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Guillermo Molina Miranda

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LÓGICA

Lewis Carroll

Lewis Carroll: Lógica

Charles L. Dodgson (también conocido como Lewis Carroll), 1832-1898, fue un matemático y lógico británico, autor de los libros de «Alicia», « Las aventuras de Alicia en el país de las maravillas» y «A través del espejo y lo que Alicia encontró allí ». Su fama se debe principalmente a sus obras literarias, pero en el siglo XX algunas de sus ideas matemáticas y lógicas encontraron importantes aplicaciones. Su enfoque lo llevó a inventar diversos métodos que se prestan al razonamiento mecánico. No era un matemático tradicional. Más bien, aplicaba soluciones matemáticas y lógicas a problemas que le interesaban. Como lógico nato en una época en que la lógica no se consideraba parte de las matemáticas, trabajó con éxito en ambos campos. Todo lo que publicó en matemáticas reflejaba una forma de pensar lógica, en particular sus trabajos sobre geometría. Dodgson tenía un interés permanente en la geometría de Euclides. De los diez libros de matemáticas que escribió, incluidos sus dos libros de lógica, cinco trataban sobre geometría. A partir de su estudio de la geometría, desarrolló una gran afinidad por determinar la validez de los argumentos, no solo en matemáticas sino también en la vida cotidiana. Dodgson creía firmemente en la lógica como base para un pensamiento coherente en todos los ámbitos de la vida; sin embargo, no se percató de que había desarrollado conceptos que serían explorados y ampliados en el siglo XX. Su enfoque para resolver problemas lógicos lo llevó a inventar diversos métodos, en particular el método de diagramas y el método de árboles. Como método para un gran número de conjuntos, los diagramas de Carroll son más fáciles de dibujar que los diagramas de Venn debido a su autosimilitud. Su singular exposición de la lógica elemental ha divertido a autores modernos que siguen citando sus libros de lógica. Las ideas del matemático y lógico Hugh MacColl sobre la lógica se vieron influenciadas por la lectura de la primera parte de Lógica Simbólica de Dodgson . Sus intercambios demuestran que ambos tenían un profundo interés en el uso preciso de las palabras. Y ninguno veía inconveniente en atribuir significados arbitrarios a las palabras, siempre que dicho significado fuera preciso y la atribución fuera consensuada. La reputación de Dodgson como autor de los libros de «Alicia en el País de las Maravillas» lo encasilló principalmente como autor de libros infantiles e impidió que sus libros de lógica fueran tomados en serio. La barrera creada por la fama que Carroll merecidamente se ganó con sus libros de «Alicia en el País de las Maravillas», sumada a un estilo de escritura más literario que matemático, impidió que la comunidad de lógicos británicos lo reconociera debidamente como un lógico importante durante su vida.

Tabla de contenido

La vida de Dodgson
La lógica se establece en su época.
Lógica y geometría
1. Silogismos, soriteses y problemas de rompecabezas
2. Diagramas de Venn y Carroll
3. Los "métodos" de Dodgson
La automatización de la deducción
El círculo lógico de Dodgson
1. El efecto 'Alicia'
Paradojas lógicas
1. La paradoja de la barbería
2. Aquiles y la tortuga
Dodgson y las matemáticas modernas
Carroll como divulgador
Conclusión
Referencias y lecturas adicionales
1. Primario
2. Secundario

1. La vida de Dodgson

Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), más conocido por su seudónimo Lewis Carroll, que adoptó en 1856, ingresó en Christ Church, Universidad de Oxford, en Inglaterra, en 1852. Tras aprobar las Responsions, el primero de los tres exámenes obligatorios, y obtener una calificación de sobresaliente en Matemáticas y notable en Clásicas en las Moderations, el segundo examen obligatorio, se licenció en 1854, ocupando el primer puesto en la lista de honores de sobresaliente en Matemáticas y obteniendo un notable en Clásicas. Recibió el máster en Artes en 1857. Permaneció en Christ Church College el resto de su vida.

Comenzó a impartir clases particulares a estudiantes individuales de cálculo diferencial, cónicas, geometría euclidiana, álgebra y trigonometría. En 1856, el decano de Christ Church, el reverendo Henry Liddell, lo nombró profesor de matemáticas, cargo que ocupó durante 25 años, antes de renunciar en 1881.

En 1856 se inició en la fotografía, llegando a tomar cerca de 3000 fotos, muchas de ellas de personalidades destacadas del gobierno, la ciencia, las artes y el teatro. Entre sus retratados figuran el primer ministro Salisbury, Michael Faraday y John Ruskin. Se convirtió en uno de los fotógrafos más eminentes de su época. Además, fue un prolífico escritor de cartas, llevando un registro de las 98 721 que recibió y envió durante los últimos treinta y cinco años de su vida.

Para todo el profesorado era requisito ordenarse sacerdote. Él prefirió ser diácono en lugar de sacerdote para poder dedicar su tiempo a la enseñanza y seguir asistiendo al teatro en Londres, su pasatiempo favorito. Fue ordenado diácono en 1861. Dodgson desarrolló una profunda religiosidad a lo largo de su vida. Su padre, el archidiácono Charles Dodgson, había sido considerado un firme candidato al puesto de arzobispo de Canterbury antes de casarse.

Sus primeras publicaciones (folletos y libros de 1860 a 1864) fueron diseñadas para ayudar a los estudiantes: Un programa de geometría algebraica plana , organizado sistemáticamente con definiciones formales, postulados y axiomas ; Notas sobre los dos primeros libros de Euclides ; Notas sobre la primera parte del álgebra ; Las fórmulas de la trigonometría plana ; Las enunciaciones de Euclides I y II ; Lista general de temas [matemáticos] y ciclo de ejemplos prácticos; Una guía para el estudiante de matemáticas .

A mediados de la década de 1860, Dodgson se involucró activamente en la vida universitaria, escribiendo ingeniosos ensayos matemáticos para debatir diversos temas en Christ Church, votando en la elección de estudiantes (miembros) y en las modificaciones físicas de los edificios y terrenos de la universidad. Estas actividades despertaron su interés por los sistemas de clasificación y votación. En 1867, se convirtió en miembro del Consejo de Gobierno y permaneció en él durante toda su vida. En 1868, adquirió un apartamento en la esquina noroeste de Tom Quad, parte de Christ Church, donde construyó un estudio fotográfico en la azotea. Su apartamento era el más exclusivo y caro de la universidad.

En la década de 1880, se involucró activamente en la política fuera del Colegio y envió numerosas cartas a los editores de The St. James's Gazette, Pall Mall Gazette y otros periódicos, exponiendo su postura sobre diversos temas de importancia nacional. Gracias a su afición a la fotografía, entabló amistad con Lord Salisbury, quien se convirtió en Primer Ministro en 1881. Su relación social, iniciada en 1870, perduró durante toda la vida de Dodgson y lo impulsó a reflexionar sobre el problema de la equidad tanto en la representación como en el reparto de escaños, culminando en su folleto de 1884, Los principios de la representación parlamentaria .

Sus publicaciones, panfletos y dos libros, durante el resto de la década de 1860, reflejan estos intereses, así como los de las matemáticas, y aquellos que evidencian sus considerables habilidades literarias: La dinámica de una partícula con un excurso sobre el nuevo método de evaluación aplicado a Π; Las aventuras de Alicia en el país de las maravillas; Un tratado elemental sobre determinantes con sus aplicaciones a ecuaciones lineales simultáneas y geometría algebraica; El quinto libro de Euclides tratado algebraicamente, en lo que respecta a magnitudes conmensurables, con notas; Fórmulas algebraicas para el uso de candidatos para respuestas; Fantasmagoría y otros poemas.

Sus publicaciones en la década de 1870 continuaron en la misma línea: Fórmulas algebraicas y reglas para el uso de candidatos para respuestas; Fórmulas aritméticas y reglas para el uso de candidatos para respuestas; A través del espejo y lo que Alicia encontró allí; Las enunciaciones de Euclides, libros I-VI; Ejemplos de aritmética; Una discusión de los diversos métodos de procedimiento para llevar a cabo elecciones; Sugerencias sobre el mejor método para tomar la votación; Euclides, libro V, demostrado algebraicamente en lo que respecta a magnitudes conmensurables, con notas; La caza del snark; Un método para tomar votaciones sobre más de dos temas; Euclides y sus rivales modernos .

Tras renunciar a su puesto como profesor de matemáticas, Dodgson dispuso de más tiempo para escribir. En la primera mitad de la década de 1880, publicó * Torneos de tenis sobre césped*, *Los principios de la representación parlamentaria*, *Un cuento enredado* y *Las aventuras de Alicia bajo tierra* (edición facsímil).

Pero la segunda mitad de la década de 1880 vio un cambio radical con su primer libro sobre lógica: El juego de la lógica , así como con su cifrado, Memoria Technica, y dos libros más, Curiosa Mathematica, Parte I: Una nueva teoría de los paralelos, y Sylvie y Bruno . En 1887 publicó el primero de tres artículos en Nature , «Cómo encontrar el día de la semana para cualquier fecha dada».

En la última década de su vida se publicaron más libros . The Nursery Alice apareció en 1890. Curiosa Mathematica, Part II: Pillow Problems , y Sylvie and Bruno Concluded aparecieron en 1893. Sus únicas otras publicaciones en lógica aparecieron entre 1894 y 1896. Estas fueron los dos artículos en Mind , “A Logical Paradox”, “What the Tortoise Said to Achilles”, y un libro, Symbolic Logic, Part I: Elementary . De 1892 a 1897 trabajó en un capítulo de un libro proyectado sobre juegos y acertijos que nunca se publicó. Incluía su “Regla para encontrar el día de Pascua para cualquier fecha hasta el año 2499 d. C.”. Sus últimas publicaciones fueron: “ Breve método para dividir un número dado por 9 u 11 ” (1897) y “División larga abreviada” (1898). Ambas aparecieron en la revista Nature .

2. La lógica que imperaba en su época.

El tratamiento de la lógica en Inglaterra comenzó a cambiar radicalmente cuando George Boole publicó en 1847 un breve libro titulado El análisis matemático de la lógica . En él desarrolló la idea de que las relaciones lógicas podían expresarse mediante fórmulas algebraicas. Boole, utilizando sus leyes de cálculo, logró representar algebraicamente todos los métodos de razonamiento de la lógica clásica tradicional. Y en un libro que publicó en 1854, Una investigación de las leyes del pensamiento , Boole se propuso crear un método completamente general en lógica.

Paralelamente al trabajo de Boole, se encontraba el de De Morgan, cuyo libro, Lógica formal , apareció casi al mismo tiempo que el de Boole en 1847. De Morgan se interesó en desarrollar la lógica de las relaciones para complementar la lógica de las clases de Boole. Su propósito era mostrar la forma más general de un silogismo. Su convicción de que las leyes del álgebra pueden enunciarse formalmente sin dar una interpretación particular, como el sistema numérico, influyó en Boole.

Aunque Boole y sus seguidores comprendieron que simplemente estaban algebrizando la lógica, es decir, reescribiendo silogismos en un nuevo sistema de notación en lugar de inventar un nuevo cálculo lógico, afirmaron correctamente que no todos los argumentos válidos pueden reducirse a estas formas. Venn lo entendió; publicó un artículo en Mind en 1876 que incluía el siguiente problema como ilustración de las deficiencias de las formas de razonamiento aristotélicas y la superioridad de los métodos booleanos. Venn había planteado el problema cuya conclusión es: ningún accionista es tenedor de bonos, como pregunta de examen a estudiantes de la Universidad de Cambridge. Observó que, de los aproximadamente 150 estudiantes, solo cinco o seis fueron capaces de resolver el siguiente problema sencillo:

Una determinada empresa tenía un Consejo de Administración. Cada consejero poseía bonos o acciones, pero ninguno poseía ambas. Todos los tenedores de bonos formaban parte del Consejo. Deduce todo lo que se pueda deducir lógicamente, con el menor número de proposiciones posible.

Para Dodgson y sus contemporáneos, el problema central de la lógica de clases, conocido como el problema de eliminación, consistía en determinar la cantidad máxima de información que se podía obtener de un conjunto dado de proposiciones. En su libro de 1854, Boole complicó considerablemente la solución a este problema al proporcionar un mecanismo de tratamiento puramente simbólico que permitía que las proposiciones tuvieran cualquier número de términos, introduciendo así la posibilidad de una cantidad abrumadora de cálculos.

Los argumentos lógicos que utilizan reglas de inferencia son un componente fundamental tanto de la geometría como de la lógica. Para Dodgson, la lógica y la geometría compartían las características de la verdad y la certeza, cualidades que lo cautivaron. A partir de mediados de la década de 1880, cambió su enfoque de la verdad dada por los teoremas geométricos (afirmaciones verdaderas) a la validez de los argumentos lógicos, las reglas que garantizan que solo se pueden inferir conclusiones verdaderas a partir de premisas verdaderas, y amplió los límites de las formas estándar de la lógica predominante de su tiempo, que era aristotélica.

Dodgson comenzó a escribir explícitamente sobre lógica en la década de 1870, cuando inició su obra magna , Lógica simbólica, cuya primera parte apareció en 1896. La formulación de la lógica formal por parte de Dodgson llegó al final de su vida, tras sus publicaciones sobre la geometría de Euclides en las décadas de 1860 y 1870. En matemáticas en general, y en geometría en particular, se parte de un conjunto de axiomas y ciertas reglas de inferencia para deducir que si una proposición es verdadera, entonces también lo es otra. Para Dodgson, la geometría y la lógica compartían la característica de la certeza, una cualidad que siempre le interesó. Pero a principios de la década de 1890, había desplazado su enfoque de la verdad dada por los teoremas geométricos a la validez de los argumentos lógicos.

Dodgson trabajó solo, pero no estaba en absoluto aislado de la comunidad de lógicos de su época. Mantuvo correspondencia con varios lógicos británicos, entre ellos: James Welton, autor del manual de lógica en dos volúmenes ; John Cook Wilson, profesor de lógica en Oxford desde 1889 hasta su muerte en 1915; Thomas Fowler, profesor de lógica Wykeham en Oxford (1873 a 1889) y autor de Los elementos de la lógica deductiva ; William Ernest Johnson, colaborador de John Neville Keynes en Cambridge y autor de "El cálculo lógico", una serie de tres artículos que aparecieron en Mind en 1892; Herbert William Blunt; Henry Sidgwick, profesor de filosofía moral en Cambridge; John Venn, autor del influyente libro Lógica simbólica; así como FH Bradley, autor de Los principios de la lógica ; y Stewart. También citó el libro Estudios de lógica , editado por Peirce, que incluye textos de sus alumnos: Marquand, Ladd-Franklin, Oscar Howard Mitchell y B. I. Gilman. Sabemos, por la reseña de Venn sobre Estudios de lógica publicada en la edición de octubre de 1883 de Mind , poco después de la publicación del libro de Peirce, que Peirce era bien conocido entre los simbolistas británicos y que estos estaban al tanto de sus publicaciones.

Las contribuciones de Marquand, un breve artículo titulado "Una máquina para producir variaciones silogísticas" y su "Nota sobre una máquina lógica de ocho términos", contienen ideas que Dodgson plasmó en su Registro de Atributos, una herramienta que construyó para organizar las premisas cuando aplicó su método de árbol a las sorítesis (una sorítesis es un argumento que tiene muchas premisas y una sola conclusión. Puede resolverse como una lista de silogismos, donde la conclusión de cada uno se convierte en premisa del siguiente silogismo). Dodgson ya había utilizado ideas asociadas con una máquina lógica incluso antes en El juego de la lógica .

La venta de la biblioteca de Dodgson tras su muerte incluyó obras sobre lógica de Boole, Venn, Allan Marquand, Mitchell, Ladd-Franklin, Benjamin Ives Gilman, Peirce, John Neville Keynes, Rudolph Hermann Lotze (en traducción al inglés de Bernard Bosanquet), James William Gilbart, De Morgan, Bernard Bosanquet, Francis H. Bradley, John Stuart Mill, William Stirling Hamilton, William Whewell y Jevons, entre otros. Algunas de estas obras influyeron en su propia escritura y también le proporcionaron el material que necesitaba en sus tratos con sus adversarios de Oxford.

3. Lógica y Geometría

De forma implícita, Dodgson escribió sobre lógica a lo largo de toda su carrera profesional. Todo lo que publicó en matemáticas reflejaba una forma de pensar lógica, especialmente sus trabajos sobre geometría. El creciente interés de Dodgson por la lógica surgió tras sus publicaciones sobre la geometría euclidiana en las décadas de 1860 y 1870.

Desde mediados de la década de 1880, cambió su enfoque de la verdad dada por los teoremas geométricos (enunciados verdaderos) a la validez de los argumentos lógicos, las reglas que garantizan que solo se pueden inferir conclusiones verdaderas a partir de premisas verdaderas. En la página xi del prefacio de la tercera edición (1890) de su libro sobre geometría, Curiosa Mathematica Parte I: Una nueva teoría de los paralelos , señaló que la validez de un silogismo es independiente de la verdad de sus premisas. Dio este ejemplo:

—Os he mandado llamar, mis queridos patos —dijo la honorable señora Bond—, para preguntaros con qué salsa queréis que os comamos. —¡Pero no queremos que nos maten ! —gritaron los patos. —Os estáis desviando del tema —fue la respuesta perfectamente lógica de la señora Bond.

Dodgson mantuvo un profundo interés por la geometría euclidiana. De los diez libros de matemáticas que escribió, incluidos sus dos libros de lógica, cinco trataban sobre geometría. A partir de su estudio de la geometría, desarrolló una gran afinidad por determinar la validez de los argumentos, no solo en matemáticas, sino también en la vida cotidiana. Podría decirse que la formulación de la lógica formal por parte de Dodgson llegó al final de su vida, como la culminación de sus publicaciones sobre la geometría euclidiana en las décadas de 1860 y 1870. Exactamente un mes antes de su muerte, en una carta inédita que Dodgson escribió a Dugald Stewart criticando un manuscrito que Stewart le había dado para que diera su opinión, comentó:

Desde esa perspectiva, la lógica se convertiría para mí en una ciencia tan incierta que no debería interesarme más en ella. Es su absoluta certeza lo que actualmente me fascina. ( Dodgson , Colección Berol, Universidad de Nueva York, 14 de diciembre de 1897)

También sabemos que Dodgson dominaba la demostración de teoremas por el método de contradicción en sus numerosas publicaciones sobre geometría. Así como la lógica influyó en su trabajo geométrico, la geometría influyó en sus escritos lógicos. En su libro de lógica, utilizó notación y términos geométricos, por ejemplo, el símbolo de párrafo invertido para el conector principal, un silogismo, la relación de implicación y el símbolo correspondiente ∴ para «por lo tanto».

a. Silogismos, soriteses y problemas de rompecabezas

En la lógica aristotélica clásica existen cuatro formas de proposiciones:

A : Todo x es y
E : Ningún x es y
I : Alguna x es y
O : Alguna x no es y.

Estos Boole escribieron como:

x(1 – y) = 0
xy = 0
xy ≠ 0
x(1 – y) ≠ 0.

Los símbolos x, y, z denotan clases; y Boole utilizó las leyes algebraicas ordinarias que rigen los cálculos con números para interpretar su sistema de clases y las operaciones permitidas sobre ellas. Asumió que cada una de estas leyes, como xy = yx, expresa una proposición verdadera. Boole también desarrolló reglas para abordar problemas de eliminación. Si la ecuación f(x) = 0 denota la información disponible sobre una clase x, y queremos encontrar las relaciones que existen entre x y las otras clases (y, z, etc.) con las que x está relacionada, simbolizadas por la expresión f(x), Boole, utilizando sus leyes de cálculo, pudo representar algebraicamente todos los métodos de razonamiento de la lógica clásica tradicional. Por ejemplo, el razonamiento silogístico implica reducir dos ecuaciones de clase (premisas) a una ecuación (conclusión), eliminar el término intermedio y luego resolver la ecuación de la conclusión para el término sujeto. La naturaleza mecánica de estos pasos es evidente.

Dodgson, como la mayoría de sus contemporáneos, empleó formas clásicas, como el silogismo y el sorites, para resolver problemas lógicos. Estas formas de la lógica aristotélica tradicional constituían la base del sistema de razonamiento lógico que prevaleció en Inglaterra hasta el primer cuarto del siglo XX. Sin embargo, Dodgson fue mucho más allá, creando problemas de lógica a modo de acertijos, algunos de los cuales contenían argumentos destinados a confundir al lector, mientras que otros podían describirse como paradójicos, pues parecían demostrar lo que se creía falso. Con estos propósitos, quería demostrar que la forma silogística clásica, el sistema lógico predominante en su época, permitía un razonamiento mucho más general de lo que se creía comúnmente.

Los lógicos aristotélicos medievales habían formulado clasificaciones de quince, diecinueve o veinticuatro silogismos válidos, según una serie de supuestos. Y en la segunda parte de Lógica simbólica , Bartley incluye tres fórmulas silogísticas válidas adicionales que Dodgson había construido principalmente para manejar silogismos que contienen proposiciones del tipo "no todos".

El razonamiento silogístico, desde la época de Aristóteles hasta la obra de George Boole en lógica a mediados del siglo XIX, fue el método esencial de todo razonamiento lógico. En un silogismo, hay tres términos (clases) en sus tres enunciados: sujeto, predicado (una expresión que atribuye propiedades) y término medio, que aparece una vez en cada premisa. Existen varios sistemas de clasificación para silogismos que involucran la posición relativa del término medio repetido (que determina su figura o caso; hay cuatro casos) y la forma en que un silogismo puede construirse dentro de una figura (que determina su modo ).

Dodgson creó la primera parte de su sistema de demostración visual, un sistema diagramático, a partir de 1887 en un pequeño libro titulado El juego de la lógica . Su sistema diagramático podía detectar falacias, un tema que le interesaba mucho. Definió una falacia como un «argumento que nos engaña , al aparentar probar lo que en realidad no prueba…» (Bartley 1977, p. 129).

El “juego” utiliza únicamente diagramas de dos y tres conjuntos. Estos diagramas pueden representar tanto afirmaciones universales como existenciales. Este libro de texto, dirigido a jóvenes, incluye numerosos ejemplos y sus soluciones.

Con el fin de ampliar su método de demostración, Dodgson procedió a expandir su conjunto de diagramas, creando finalmente diagramas para ocho conjuntos (clases) y describiendo la construcción de diagramas de nueve y diez conjuntos.

Creía que las actividades y recreaciones mentales, como los juegos y, en particular, los rompecabezas, eran placenteras y conferían una sensación de poder a quienes se esforzaban por resolverlas. En un anuncio de la cuarta edición de Lógica simbólica, Parte I. Elemental , dirigido a los maestros, escribió:

Sostengo que la lógica simbólica ocupa un lugar muy destacado entre los pasatiempos que tienen la naturaleza de juegos o acertijos… La lógica simbólica posee una característica única , en comparación con los juegos y acertijos, que, a mi juicio, la sitúa por encima de todos ellos… Quien la practica puede aplicar su habilidad a cualquier tema del pensamiento humano; en cada uno de ellos le ayudará a obtener ideas claras , a organizar su conocimiento de forma ordenada y, lo que es más importante, a detectar y desentrañar las falacias que encontrará en cualquier tema de su interés. (Bartley 1977, p. 46)

Dodgson creía firmemente en la lógica como base para un pensamiento coherente en todos los ámbitos de la vida; sin embargo, no se percató de que había desarrollado conceptos que serían explorados y ampliados en el siglo XX. Si bien reconoció la importancia de sus innovaciones, el hecho de que las presentara principalmente en un contexto didáctico, en lugar de uno de investigación, influyó en cómo fueron percibidas y evaluadas en su época e incluso después de la publicación de Bartley.

La concepción de Carroll sobre la construcción silogística difería tanto de la clásica como de la medieval, así como de la de sus contemporáneos. Entre las razones que adujo para consolidar las diecinueve formas distintas que aparecían en los libros de texto actuales se encontraban las siguientes: las reglas silogísticas eran demasiado especializadas; muchas conclusiones eran incompletas; y se ignoraban muchas formas silogísticas legítimas. Si bien Boole creía que las soluciones obtenidas al utilizar sus métodos eran completas, se ha demostrado que no siempre fue así.

Carroll introdujo varios cambios en las construcciones silogísticas en comparación con las aceptadas en su época. El resultado son los quince silogismos válidos que reconoció, aunque no los enumeró. Un silogismo es un argumento con dos premisas y una conclusión, donde cada proposición pertenece a uno de cuatro tipos: A : «todos… son…»; E : «ninguno… es…»; I : «algunos… son…»; O : «algunos… no son…». Hay tres términos (clases) en las tres proposiciones: sujeto, predicado (una expresión que atribuye propiedades) y término medio, que aparece una vez en cada premisa. El número de silogismos válidos que reconoció oscila entre dieciocho y veinticuatro.

En su libro anterior, El juego de la lógica , Carroll creó un sistema diagramático para resolver silogismos. Diez años después, en Lógica simbólica , Parte I , extendió el método de diagramas para abordar la construcción de hasta diez clases (conjuntos) que representan sus relaciones y las proposiciones correspondientes. Este método de lógica visual , que emplea diagramas triliterales y biliterales, es un sistema de demostración para silogismos categóricos cuyas proposiciones son del tipo A , E , I. Subsumió el tipo O bajo I , es decir, «algunos x no son y» es equivalente a «algunos x son y y algunos x no son y». Pero no utilizó el método como sistema de demostración más allá de los silogismos. Para las soriteses más complejas, optó por los «métodos de premisas prohibidas y grupos prohibidos», y su método visual final, el método de los árboles, que permaneció inédito hasta 1977, cuando apareció en el libro de W. W. Bartley III, Lógica simbólica de Lewis Carroll. En la construcción de la parte II de Lógica simbólica por parte de Bartley , utilizando los documentos, cartas y manuscritos existentes de Dodgson, los temas principales en los ocho libros son: falacias, diagramas lógicos, los dos métodos de premisas prohibidas y de árboles, y problemas de rompecabezas. En la parte I de Lógica simbólica, Dodgson utilizó solo tres fórmulas, a las que llamó Figuras o Formas para designar los silogismos clásicos. En la cuarta edición de Lógica simbólica, Parte I. Elemental , Dodgson señaló esto en un Apéndice, Dirigido a los maestros, donde escribió:

En cuanto a los silogismos , encuentro que sus diecinueve formas [en los libros de texto], junto con una veintena más que han omitido, pueden agruparse en tres formas, cada una con una regla muy simple. (Bartley 1977, p. 250)

En Lógica simbólica, Parte I, que apareció en cuatro ediciones en 1896, Dodgson representó los silogismos como en este ejemplo:

No hay x que sean mʹ;

Todos m son y.

∴ No hay x que sean yʹ

en forma de declaraciones condicionales usando una forma de subíndice que se escribe simbólicamente como: xmʹ 0 † m 1 yʹ 0 (inverso ¶) xyʹ 0 (Bartley 1977, p. 122) con el signo de párrafo inverso que significa la relación de implicación de conexión, que definió como: las proposiciones del lado izquierdo “probarían, si fueran verdaderas,” la proposición del lado derecho. (Bartley 1977, p. 119) La notación algebraica de Dodgson es una modificación de la de Boole que él consideraba engorrosa.

¿Por qué Dodgson eligió escribir sus libros de lógica bajo su seudónimo? Bartley sugiere una combinación de motivos: quería que el material atrajera a un público amplio, especialmente a los jóvenes, una tarea facilitada por el gran reconocimiento que se le había otorgado como escritor, Lewis Carroll. Además, existía el motivo económico; los libros de Lewis Carroll podían generar mayores ingresos que los del matemático Charles Dodgson. En 1896, Dodgson estaba muy preocupado por su mortalidad y la responsabilidad que tenía del cuidado futuro de su familia, especialmente de sus hermanas solteras. Pero había otras razones por las que deseaba la visibilidad que le brindaría su seudónimo. Hombre profundamente religioso, Dodgson consideraba sus habilidades matemáticas un don que debía usar al servicio de Dios. En una carta a su hermana Louisa, de gran talento matemático, fechada el 28 de septiembre de 1896, escribió:

Considerando que no existe ningún hombre vivo que pueda (o al menos se tome la molestia de) terminar y publicar la segunda parte de la Lógica, y que además tengo el libro de Lógica en mente… Por lo tanto, he decidido terminar primero la segunda parte … El libro será una gran novedad y, estoy convencido, facilitará enormemente el estudio de la Lógica . Asimismo, creo que será de ayuda para las reflexiones religiosas, al brindar claridad conceptual y de expresión, lo que permitirá a muchas personas afrontar y superar por sí mismas numerosas dificultades religiosas. Por ello, realmente lo considero una obra para Dios . (Bartley 1977, pp. 366-371)

b. Diagramas de Venn y Carroll

En sus métodos diagramáticos, tanto Venn como Carroll emplearon figuras simétricas simples y valoraron la claridad visual y la facilidad de dibujo como los atributos más importantes. Al igual que Boole y Jevons, ambos se inscribieron en la tradición del cálculo ratiocinator , es decir, la deducción mecánica. Cada uno de ellos utilizó un sistema de formas simbólicas isomorfas a sus formas diagramáticas.

Tanto los diagramas de Venn como los de Carroll son maximales , en el sentido de que no pueden representar información lógica adicional, como disyunciones inclusivas. Sin embargo, los diagramas de Carroll son más fáciles de dibujar para un gran número de conjuntos debido a su autosimilitud y construcción algorítmica. Esta regularidad simplifica la localización y, por lo tanto, la eliminación de celdas correspondientes a clases destruidas por las premisas de un argumento. Si bien ambos diagramas pueden representar enunciados existenciales, los diagramas de Carroll son capaces de manejar fácilmente problemas más complejos que el sistema de Venn sin comprometer la claridad visual del diagrama. Carroll solo insinuó la superioridad de su método cuando comparó su propia solución a un silogismo con una que Venn había proporcionado. (Carroll 1958, pp. 182-183)

En los sistemas de Dodgson y Venn, se pueden representar proposiciones existenciales. El uso de un pequeño signo de suma, '+', en una región para indicar que no está vacía no apareció hasta 1894, y Dodgson lo mencionó en su libro de lógica simbólica. Sin embargo, es posible que Dodgson haya sido el primero en utilizarlo. Una hoja de trabajo manuscrita sobre problemas de lógica, probablemente de 1885, contiene una variante de un diagrama triliteral donde un '+' representa una región no vacía. Pero en su obra publicada, Dodgson prefirió el símbolo '1' para una región no vacía y el símbolo '0' para designar una región vacía.

Tanto los diagramas de Venn como los de Carroll pueden representar disyunciones exclusivas; ninguno puede representar enunciados disyuntivos inclusivos como x + y cuando x e y tienen algo en común. Las disyunciones exclusivas son importantes en la lógica silogística porque enunciados existenciales como «algunos x son y» pueden escribirse como la disyunción xyz o xyz¢; y el enunciado «algunos y son z¢» puede escribirse como la disyunción xyz¢ o x¢yz¢. En realidad, no es posible representar información disyuntiva general en un diagrama sin añadir un recurso sintáctico adicional arbitrario, y dicha adición resultaría en una pérdida de la fuerza visual del diagrama. Carroll también representó el conjunto universal encerrando el diagrama, una característica que Venn no consideró lo suficientemente importante como para incluirla, pero que es esencial para representar el universo del discurso, un concepto clave en la lógica moderna discutido por Boole y desarrollado posteriormente por él.

Los quince silogismos de Carroll pueden representarse mediante diagramas de Venn e incluso de Euler, pero no con la claridad visual de los diagramas de Carroll. El propio Carroll lo demostró al presentar una solución a un silogismo mediante el método de Euler, que implica dieciocho diagramas, y una solución que Venn proporcionó para el mismo silogismo, donde, posiblemente por primera vez (ya que no aparece en la segunda edición de su libro de lógica simbólica), Venn utilizó un pequeño signo '+' para indicar una región no vacía. (Carroll 1958, pp. 180-182)

Anthony Macula construyó un método iterativo para producir nuevos diagramas de Carroll, que denominó (k+n)-gramas, donde k > 4 y es múltiplo de cuatro, y n = 1, 2, 3, 4, colocando las 2k particiones de un k-grama en cada una de las particiones de un n-grama, respectivamente. El algoritmo construye un (k+n)-grama para cualquier k de este tipo mediante iteración. Ahora es fácil ver que la descripción que hace Dodgson en la primera parte de Lógica Simbólica de un diagrama de 9 conjuntos como compuesto por dos diagramas de 8 conjuntos, uno para el interior y otro para el exterior del octavo conjunto, es el resultado de colocar las particiones de un 8-grama en cada una de las dos particiones de un 1-grama. Y el diagrama de 10 conjuntos, que describió como una disposición de cuatro diagramas octoliterales en un cuadrado, es el resultado de colocar las particiones de un 8-grama en cada una de las cuatro particiones de un 2-grama. Observamos que cuando k > 4, la construcción de un nuevo (k+n)-grama invierte el orden de inserción de las particiones porque las inserciones son múltiplos de 4-gramas en n-gramas. (Carroll 1958, pp. 178-9; Macula 1995, pp. 269-274)

Aunque el sistema de Venn es isomorfo a la lógica de clases de Boole, no es isomorfo a un álgebra booleana porque no hay manera de ilustrar enunciados disyuntivos inclusivos, es decir, enunciados distintos de los que pueden expresarse en términos de la eliminación de clases como en el ejemplo anterior, y en otras expresiones disyuntivas exclusivas como: x'w(yz' + y'z), es decir, lo que no es x pero es w, y también es y pero no z, o z pero no y. (Venn 1881, p. 102) Los enunciados existenciales pueden representarse en diagramas de Venn, y él proporcionó el mecanismo en la segunda edición de Lógica simbólica (en realidad dos representaciones diferentes: sombreado de línea horizontal, enteros) . La elección de un pequeño signo más en una región '+' para indicar que no está vacía parece haberse hecho después de 1894 y fue reportada por Carroll en su libro de lógica simbólica . (Venn 1971, págs. 131-132; Carroll 1958, pág. 174)

En 1959, Trenchard More, Jr. demostró lo que Venn ya sabía: que los diagramas de Venn pueden construirse para cualquier número de regiones simplemente conexas. Su construcción conserva la propiedad que Venn consideraba esencial: que cada subregión es simplemente conexa y representa una combinación diferente de superposición de todas las regiones simplemente conexas delimitadas por las curvas de Jordan. Sin embargo, los diagramas resultantes de la construcción de More son bastante complejos e incluyen lo que More denominó una «curva de tejido». (More, 1959, págs. 303-304)

Para un gran número de conjuntos, los diagramas de Carroll son más fáciles de dibujar porque son autosimilares, es decir, cada diagrama permanece invariante ante un cambio de escala, discontinuo y susceptible de ser construido algorítmicamente. Su regularidad simplifica la localización y eliminación de celdas que deben ser destruidas por las premisas de un argumento silogístico, una tarea difícil de lograr en diagramas de Venn para cinco o más clases. Por ejemplo, un diagrama de cinco conjuntos resulta de colocar un segmento de línea vertical en cada una de las dieciséis particiones de un diagrama de cuatro conjuntos, y un diagrama de seis conjuntos se obtiene colocando las 2 × 2 particiones de un diagrama de dos conjuntos adecuadamente reducido en cada una de las dieciséis particiones de un diagrama de cuatro conjuntos. Los diagramas de siete y ocho conjuntos se construyen de manera similar. Vemos que cada k-grama (un diagrama de k conjuntos) tiene 2 k particiones; por ejemplo, un diagrama de cinco conjuntos tiene treinta y dos particiones, mientras que un diagrama de ocho conjuntos tiene doscientas cincuenta y seis.

c. Los 'Métodos' de Dodgson

El enfoque de Dodgson para resolver problemas de lógica lo llevó a inventar varios métodos. En Lógica simbólica, Parte I, estos son el método de subrayado, el método de subíndices y el método de diagramas. En la Parte II, son los métodos de premisas prohibidas y grupos prohibidos, aunque no los denominó "métodos", y, sobre todo, el método de árboles. En el Libro (capítulo) XII de la segunda parte de Lógica simbólica , en lugar de simplemente mostrar el árbol de solución por partes para un problema en particular, ofrece un "soliloquio" mientras lo desarrolla, acompañado de "acotaciones escénicas" que muestran lo que está haciendo para permitir al lector construir el árbol de una manera amena. Bartley proporciona muchos ejemplos de problemas de sorites resueltos con el método del árbol en el Libro XII de la Parte II de Lógica simbólica. Y varios problemas de rompecabezas complejos resueltos con el método del árbol aparecen en el Libro XIII de la Parte II de Lógica simbólica .

Si bien su distinción como lógico se basa en estas innovaciones visuales, los métodos de Dodgson dependen esencialmente de su peculiar notación algebraica, a la que denominó Método de Subíndices. Utilizaba letras para representar términos que pueden ser clases o atributos. (En la segunda parte de Lógica Simbólica , las letras también se utilizan para representar enunciados). El subíndice 0 sobre una letra indica la negación de la existencia del objeto; el subíndice 1 indica su existencia. Cuando hay dos letras en una expresión, no importa cuál de ellas esté primero ni cuál esté subíndice, ya que cada subíndice surte efecto desde el principio de la expresión, es decir, de derecha a izquierda.

Bartley observó que la implicación existencial está implícita en el método de subíndices de Dodgson. Al usar esta notación, Dodgson no tenía otra forma de separar el sujeto del predicado; por ejemplo, xy 1 z′ 0 , que expresa que todos los xy son z, implica que existen algunos xy. Pero podemos interpretar esto como que ningún xy no es z, o que todos los xy son z, lo cual es equivalente en el uso de la lógica moderna. Sin embargo, es posible que Dodgson no haya sostenido esta idea como una creencia filosófica.

Como señala George Englebretsen, “Una buena notación hace evidentes las cosas ocultas… Carroll consideraba que su propia notación era al menos más sencilla que la de Boole”. (Englebretsen 2007, p. 145)

¿Cuándo utilizó Dodgson por primera vez su método de árboles? Sin duda, antes del 16 de julio de 1894, fecha en la que escribió en su diario que había resuelto un problema de cuarenta premisas. Fue entonces cuando construyó su último método formal, al que denominó Método de Árboles. La característica esencial de este método es que emplea una reducción al absurdo , un método de demostración estándar en geometría, donde, para probar que un conjunto de términos restantes (los términos de la conclusión) es nulo (vacío), se parte de la suposición de que se trata de una entidad. Posteriormente, mediante un proceso deductivo, se llega a una contradicción de esta suposición que demuestra que el conjunto de términos restantes es, en efecto, nulo. Necesitaba este nuevo método formal para resolver problemas más complejos, pues comprendía que su método de diagramas ya no sería suficiente. La característica esencial del método de árboles es que, si se asume que una conclusión derivada de un conjunto de premisas es falsa y, al razonar a partir de ella junto con todas las premisas, se llega a una contradicción, se demuestra la validez del argumento original. Este es el primer uso moderno de un árbol de verdad empleado para razonar de manera eficiente en la lógica de clases.

El 4 de agosto de 1894 relacionó su método del árbol con su Método de Subrayado, escribiendo en su diario: «Acabo de descubrir cómo convertir una genealogía en un Sorites punteado». (Abeles 1990, p. 30) Parece que planeaba seguir trabajando con este método y sus extensiones naturales, premisas prohibidas y grupos prohibidos.

Tres meses después, grabó:

Hice un descubrimiento en lógica: la conversión de una prueba genealógica en una serie regular de Sorites. Hoy se me ocurrió la idea de trabajar cada columna hasta la unión, luego comenzar de nuevo con el Premisa inmediatamente superior e incorporar los resultados de las columnas en el orden que mejor funcione. Esta es la única forma que conozco de organizar, como Sorites, un número de Premisas muy superior al número de Eliminaciones, donde cada Atributo aparece dos o tres veces en cada columna de la Tabla. Mi ejemplo fue el último de la nueva edición de Keynes. (Wakeling 2005, p. 155)

En otra carta a Louisa Dodgson, fechada el 13 de noviembre de 1896, en la que respondía a las preguntas que ella le había planteado sobre uno de los problemas que intentaba resolver, vemos de nuevo que el uso que Dodgson hacía de sus métodos visuales progresó desde su método de diagramas hasta su método de árboles. Escribió:

En cuanto a sus 4 preguntas,… La mejor manera de ver el asunto es suponer que los Retenends son Atributos de la Univ. Luego, imagine un Diagrama, asignado a esa Univ., y dividido, mediante una dicotomía repetida, para todos los Atributos, de modo que tenga 2 n Celdas, para n Atributos. (¡Un Diagrama alegre de dibujar, con, digamos, 50 Atributos!)

(Habría aproximadamente 1.000.000.000.000 de celdas). Si el árbol desaparece, muestra que cada celda está vacía . (Colección Weaver, reproducida en Abeles 2005, pág. 40)

Dodgson consideraba que el método del árbol era superior al "método" del local cerrado. Escribió:

Descubriremos que el Método de los Árboles nos ahorra gran parte del trabajo que implicaba el proceso anterior. En ese proceso anterior, nos veíamos obligados a vigilar cuidadosamente todas las premisas restringidas para asegurarnos de no utilizar ninguna hasta que todas sus "barreras" hubieran aparecido en ese Sorites. En este nuevo método, las premisas restringidas se gestionan automáticamente. (Bartley 1977, p. 287)

Antes de crear su método de árbol, Dodson utilizó su método de premisas prohibidas para guiar la generación de las listas más prometedoras (ordenadas) de premisas y conclusiones parciales, con el fin de obtener la conclusión completa de un sorites. Se dio cuenta de que demasiadas de estas listas no conducirían a una conclusión adecuada, por lo que abandonó este enfoque en favor de su método de árbol. Sin embargo, los programas modernos de razonamiento automatizado pueden utilizar un enfoque directo, debidamente guiado para evitar la demostración de resultados parciales espurios que son irrelevantes para obtener el resultado completo.

Cuando Dodgson utilizó su «método» de premisas prohibidas para verificar un árbol, guió la generación de las listas ordenadas empleando una estrategia de ordenación conocida ahora como preferencia de unidad , que selecciona primero las proposiciones con el menor número de términos. En sus propias palabras:

“[C]uando hay dos Ramas, una encabezada por una sola Letra y la otra por un Par , primero se toma la Letra simple , se la convierte en un Sorites y se registra su Conclusión Parcial; luego se toma la Rama de doble Letra y se la convierte también en un Sorites.” (Bartley 1977, p. 295)

Al verificar un árbol, también empleó una regla para eliminar premisas superfluas (aquellas que no eliminan nada). Su regla consistía en ignorar dichas premisas, incluso si provocaban una ramificación del árbol. Sin embargo, ante la ausencia de reglas de inferencia más potentes y estrategias adicionales desarrolladas a partir del siglo XX, no disponía de una forma más eficiente de abordar la solución de estos problemas multiliterales.

El método del árbol es una extensión de las tablas de verdad, y la migración de tablas a árboles es sencilla. (Para un análisis completo de este tema, véase Anellis 2004). Utilizar tablas de verdad para verificar la inconsistencia es directo, pero muy ineficiente, como bien saben quienes han trabajado con tablas de verdad que involucran ocho o más casos. En cambio, el método del árbol de verdad examina conjuntos de casos simultáneamente, lo que permite comprobar de forma eficiente la validez de argumentos que involucran un gran número de oraciones, ya sea manualmente o con un ordenador. Para comprobar la validez de un argumento compuesto por dos premisas y una conclusión, es decir, determinar si el conjunto de las dos oraciones premisa y la negación de la oración conclusión es inconsistente, mediante el método de tablas de verdad que involucran, por ejemplo, tres términos, se requiere calcular los valores de verdad en ocho casos para determinar si existe algún caso en el que los valores de los tres términos sean verdaderos. Sin embargo, un árbol cerrado completo establece la validez del argumento al demostrar que no existen casos en los que las tres oraciones sean verdaderas. Sin embargo, si no se puede cerrar algún camino en un árbol terminado, el argumento no es válido porque un camino abierto representa un conjunto de contraejemplos.

El método moderno del árbol, como procedimiento de decisión para la lógica proposicional clásica y la lógica de primer orden, tiene su origen en la obra de Gentzen sobre deducción natural, en particular en su formulación del cálculo de secuentes conocido como LK. Sin embargo, el camino no es directo; los principales contribuyentes son Evert W. Beth, Jaakko Hintikka, Raymond Smullyan y Richard Jeffrey.

El 16 de julio de 1894, Dodgson relacionó su método del árbol con su trabajo anterior, el Método de los Diagramas. Escribió: «Se me ocurrió probar un Sorites complejo mediante el método que he estado utilizando para determinar qué celdas, si las hay, sobreviven para una posible ocupación cuando se dan ciertas nulidades» (Bartley 1977, p. 279).

El editor de la revista, en una nota al artículo titulado " El método de los árboles de Lewis Carroll: sus orígenes en 'Estudios de lógica'", comentó:

Los árboles desarrollados por Carroll en 1894, que anticipan conceptos posteriormente articulados por Beth en su desarrollo de diagramas deductivos y semánticos, tienen sus raíces en la obra de Charles Peirce, sus estudiantes y colegas, y en particular en los propios gráficos existenciales de Peirce.” (Anellis 1990, p. 22)

En un extenso artículo de su propia autoría, sugirió que “Quizás esta valiosa contribución a la teoría de la demostración [el método del árbol de Dodgson] debería llamarse el método del árbol de Hintikka-Smullyan, o incluso el árbol de Dodgson-Hintikka-Smullyan…” (Anellis 1990, p. 62).

En los ocho libros o capítulos de Lógica simbólica, Parte I. Elemental , Carroll introduce los conceptos de cosas y sus atributos, proposiciones y sus tipos, diagramas y el método diagramático, silogismos y sus tipos, las sorítesis más complejas y los dos métodos de subíndices y subrayado.

Cuando Dodgson utilizó el método de premisas prohibidas para verificar un árbol, guió la generación de las listas ordenadas mediante una estrategia de ordenación conocida como preferencia unitaria , que selecciona primero las proposiciones con el menor número de términos. También empleó una regla para eliminar premisas superfluas (aquellas que no eliminan nada) al verificar un árbol. Su regla consistía en ignorar dichas premisas, incluso si provocaban una ramificación del árbol. Sin embargo, ante la ausencia de reglas de inferencia más potentes y estrategias adicionales, no tenía forma de abordar la solución de estos problemas multiliterales de manera más eficiente.

Mientras que contemporáneos como Venn usaban diagramas para representar problemas lógicos en lógica, Dodgson llevó un enfoque visual a un nuevo nivel con su Método de Árboles. Fue uno de los dos métodos adicionales de lógica formal que presentó en la parte II de Lógica Simbólica . El primero, un enfoque directo para la solución de soriteses multiliterales que él llamó premisas prohibidas , es una extensión de su método de subrayado. Una premisa prohibida es aquella en la que un término t aparece en una premisa y su negativo t N aparece en dos o más premisas, y viceversa. Por ejemplo, si una premisa contiene el término a y los dos términos eliminando bc , entonces abc es una nulidad que implica que a tiene el par de atributos: bc N o b N c o b N c N , es decir, a está prohibido por la nulidad de tener atributos bc .

Dodgson extendió esta idea a lo que denominó un grupo prohibido : cuando un término t aparece en dos o más premisas y t N también aparece en dos o más premisas. Su regla para trabajar con premisas prohibidas exige que se utilicen primero todas las premisas que excluyen una premisa dada. Dodgson no definió este método explícitamente, por lo que llamaremos a estas definiciones y a la regla para trabajar con ellas su Método de Premisas Prohibidas. Se trata de una técnica formal temprana para guiar el orden de uso de las premisas de un sorites y llegar a la conclusión.

Parece que planeaba seguir trabajando con su método del árbol y su método de grupos con barras. En una carta inédita, de la que falta la primera página, probablemente de finales de 1896 o principios de 1897, escribió, muy probablemente a su hermana Louisa:

He estado pensando en ese asunto de los “Grupos Prohibidos”… Pertenece a una rama fascinante de la materia, que pretendo llamar “La Teoría de la Inferencia”:… He aquí un teorema. Creo que, si se construye un Sorites que elimine todo y dé como resultado el agregado de los Retinends como una Nulidad, y si se introduce en él la misma letra, dos o tres veces, como Eliminando, y su Contradictorio el mismo número de veces, y se elimina cada vez que aparece, se encontrará, si se resuelve como un Árbol , que ¡no se utilizan todas las Premisas! (Colección Weaver, sin fecha; reproducido en Abeles 2005, p. 40)

Un ejemplo, conocido como el «Problema de los Cerdos y los Globos», se encuentra en Bartley, en las páginas 378-380. Allí, Dodgson creó un Registro de Atributos que muestra los términos que deben eliminarse (términos que aparecen en ambas filas del Registro, es decir, en forma positiva y negativa en dos premisas). Cuando un término aparece en ambas filas y en una sola fila en más de dos premisas, se trata de premisas prohibidas. Todos los demás términos son términos que deben conservarse.

Su preocupación casi obsesiva por la exactitud introdujo cierta rigidez en muchos de sus escritos matemáticos serios, pero el humor que emplea es contagioso e impregna estas obras, en particular las de lógica, de una atractiva ligereza. Que su uso del humor distinguía su obra queda patente en las reseñas de Lógica simbólica, Parte I. Elemental , publicadas durante su vida.

Un crítico anónimo del libro escribió en The Educational Times que «[E]sta exposición tan inusual de lógica elemental parece haber cautivado al público» (1 de julio de 1896, pág. 316). Las citas que siguen siendo utilizadas por autores modernos, especialmente de sus libros de lógica, refuerzan esta opinión. Sin embargo, la reacción del matemático Hugh MacColl, crítico anónimo de Lógica simbólica, Parte I. Elemental en The Athenaeum, fue ambivalente. Describió el método diagramático de Carroll para resolver problemas lógicos como elegante, pero criticó su notación (método de subíndices) y el uso de la implicación existencial, que afirma la existencia del sujeto en las proposiciones A. Por ejemplo, la proposición «Todos los filósofos son lógicos» implica la existencia de al menos un filósofo. MacColl añadió: «[N]o podemos predecir qué sorpresas importantes nos depararán las partes ii y iii de su sistema cuando se publiquen». (17 de octubre de 1896, págs. 520-521)

Las ideas de Hugh MacColl sobre lógica estuvieron influenciadas por la lectura de la primera parte de Lógica simbólica de Dodgson . Tanto MacColl como Dodgson colaboraron activamente en la sección «Preguntas y soluciones matemáticas» de The Educational Times . Y, al menos en una ocasión, abordaron la misma cuestión de probabilidad. MacColl presentó una solución al problema lógico de Dodgson, la pregunta 14122, una versión de la paradoja de la barbería publicada póstumamente.

Además de la claridad expositiva y el estilo singular que caracterizan sus libros, parece existir otra afinidad esencial que explicaba la atracción de MacColl por la obra de Carroll. Sus intercambios demuestran que ambos compartían un profundo interés por el uso preciso de las palabras. Y ninguno veía inconveniente alguno en atribuir significados arbitrarios a las palabras, siempre y cuando el significado fuera preciso y la atribución consensuada.

Parece claro que entre agosto y diciembre de 1894, Dodgson pudo haber estado considerando una dirección que Hugh MacColl desarrolló más formalmente ya en 1896-97, y que amplió en su libro de 1906, Symbolic Logic and Its Applications , donde definió la implicación estricta , en la que el contenido del antecedente y el consecuente influye en la validez del condicional, veinte años antes de que la lógica modal comenzara a establecerse sobre bases modernas a partir del trabajo del filósofo y lógico estadounidense Clarence Irving Lewis .

4. La automatización de la deducción

El inicio de la automatización de la deducción se remonta a la década de 1920 con la obra de Thoralf Skolem, quien estudió el problema de la existencia de un modelo que satisfaga una fórmula dada e introdujo funciones para manejar cuantificadores universales y existenciales. Otros lógicos como David Hilbert, Wilhelm Ackermann, Leopold Löwenheim, Jacques Herbrand, Emil Post y, un poco más tarde, Alonzo Church, Kurt Gödel y Alan Turing, aportaron ideas importantes adicionales. Una de las más importantes, consecuencia del marco metamatemático de Hilbert, fue la noción de que los sistemas lógicos formalizados pueden ser objeto de investigación matemática. Pero no fue hasta la década de 1950 que los programas informáticos, utilizando un árbol como estructura de datos esencial, se emplearon para demostrar teoremas matemáticos.

El objetivo principal de estos primeros programas era demostrar teoremas de lógica proposicional y de predicados. Al describir la "máquina lógica" de Newell, Shaw y Simon de 1957, Martin Davis señaló que una ruta dirigida en un árbol proporcionaba la prueba de un argumento válido, donde sus premisas y conclusión se representaban como nodos, y una arista que unía dos nodos de premisas representaba una derivación válida según un conjunto de reglas preestablecidas para derivar las pruebas.

El método moderno del árbol, como procedimiento de decisión para la lógica proposicional clásica y la lógica de primer orden, se originó en el trabajo de Gerhard Gentzen sobre la deducción natural, en particular en su formulación del cálculo de secuentes conocido como LK. Sin embargo, el camino no fue directo, siendo los principales contribuyentes Evert Beth, Richard Jeffrey, Jaakko Hintikka y Raymond Smullyan. En 1955, Beth presentó un método de tableau que había ideado, consistente en dos árboles que permitirían una búsqueda sistemática de una refutación de un secuente dado (verdadero). Un árbol es un tableau de Beth del lado izquierdo en el que todas las fórmulas son verdaderas. Las reglas para descomponer el árbol, es decir, las reglas de inferencia, son equivalentes a las reglas de Gentzen en su cálculo de secuentes.

Bartley comentó lo siguiente sobre el método del árbol de Dodgson para llegar a conclusiones válidas a partir de problemas de sorites y rompecabezas:

El procedimiento de Carroll guarda un parecido asombroso con los árboles empleados... según un método de "tableros semánticos" publicado en 1955 por el lógico holandés E. W. Beth. Las ideas básicas son idénticas. (Bartley 1977, p. 32)

Dodgson fue el primero en la época moderna en aplicar un procedimiento mecánico, su método del árbol, para demostrar la validez de la conclusión de ciertos problemas complejos. El método del árbol es una extensión directa de las tablas de verdad, y Dodgson había trabajado con una tabla de verdad incompleta en una de las soluciones que dio a su Problema de la Barbería en septiembre de 1894. Bartley escribe: «La matriz se usa… para los componentes; pero el análisis y la asignación de valores de verdad a los compuestos se llevan a cabo en un comentario en prosa sobre la tabla». (Bartley 1977, p. 465n.)

El 4 de agosto, conectó el método del árbol con un sorites punteado:

Acabo de descubrir cómo convertir una genealogía en un Sorites puntuado: la dificultad reside en lidiar con las bifurcaciones. Digamos que «todo a es b o c» = «todo A es b» y «todo α es c», donde los dos conjuntos A y α forman a. Luego, demostremos cada columna por separado. (Wakeling, 2005, p. 158)

El 30 de octubre, utilizando un problema de una nueva edición del libro de Keynes, Estudios y ejercicios de lógica formal , descubrió cómo recorrer un árbol que representa un sorites con 21 premisas y 10 atributos, de los cuales se eliminan 8. (Wakeling 2005, p. 181)

Cuando una rama abierta se divide en dos ramas y un término, en este caso bʹ, aparece en una de ellas y su negación se añade a la otra, tenemos un ejemplo del uso de la regla de corte. Dodgson anticipó un método que no se desarrolló completamente hasta la década de 1930. Escribió:

Vale la pena señalar que, en cada caso, añadimos a una de las letras individuales la contraria de la otra : este hecho debe recordarse como regla general … Ahora tenemos una regla de procedimiento que debemos observar siempre que nos veamos obligados a dividir nuestro árbol en dos ramas. (Bartley 1977, p. 287)

Continuó descubriendo nuevas formas de mejorar su manejo de árboles, registrando en su diario el 12/13 de noviembre de 1896: “Descubrí [un] método para combinar 2 árboles, que prueban abcʹ 0 † abdʹ 0 , en uno que prueba ab(cd)ʹ 0 , usando el axioma cd(cd)ʹ 0 ”. (Wakeling 2005, p. 279)

En un intercambio de cartas entre octubre y noviembre de 1896 con John Cook Wilson, profesor de lógica en la cátedra Wykeham de Oxford, Dodgson modificó una versión de dieciocho premisas de un problema que contenía premisas superfluas, reduciéndola a una de quince premisas. Bartley incluye ambas versiones, así como sus soluciones mediante el método del árbol.

En una carta inédita fechada el 25 de septiembre de 1896 dirigida al cocinero Wilson, en relación con un problema de sorites, Dodgson escribió:

Lo que dices sobre las «premisas superfluas» me interesa mucho. Es un tema que me desconcierta actualmente... y, si puedes formular alguna prueba que te permita afirmar que «todas las premisas son ciertamente necesarias para probar la conclusión», me alegrará mucho verla. ( Dodgson , Colección Sparrow, 25 de septiembre de 1896. Cortesía de Morton N. Cohen)

Le preocupaba la dificultad de establecer un teorema para determinar premisas superfluas. Era un problema que no lograba resolver.

5. El círculo lógico de Dodgson

John Venn fue otro lógico inglés con cuya obra Dodgson estaba familiarizado y con quien mantuvo contacto. Venn, partidario del enfoque lógico de Boole, publicó la primera edición de su Lógica simbólica en 1881. Esta incluía sus diagramas, ahora conocidos, para representar las relaciones entre clases, de modo que se pudiera determinar la verdad o falsedad de las proposiciones que los empleaban.

En 1892, William E. Johnson publicó el primero de tres artículos en Mind titulados «El cálculo lógico», donde distinguía entre el término condicional y el hipotético . Dodgson, como la mayoría de los lógicos de su época, no hacía esta distinción, utilizando el término hipotético para ambas situaciones. La postura de Johnson era que un condicional expresa una relación entre dos fenómenos, mientras que un hipotético expresa una relación entre dos proposiciones de importancia independiente. Así, un condicional conecta dos términos, mientras que un hipotético conecta dos proposiciones. John Neville Keynes, con cuya obra Dodgson estaba bastante familiarizado, coincidía con la opinión de Johnson. Venn, sin embargo, aunque también conocía la obra de Johnson, tenía una visión muy diferente de los hipotéticos, argumentando que, debido a su naturaleza no formal, no deberían considerarse parte de la lógica simbólica.

William Stanley Jevons fue otro partidario de Boole, cuyos libros, Pure Logic; or, the Logic of Quality Apart From Quantity (1864) y The Principles of Science: A Treatise on Logic and Scientific Method (1874), pertenecían a Dodgson. Jevons introdujo un alfabeto lógico para la lógica de clases en 1869, y al año siguiente exhibió en la Royal Society de Londres una máquina que lo utilizaba para resolver problemas de lógica mecánicamente, a la que llamó el piano lógico.

Dodgson conocía muy bien la segunda edición de *Estudios y ejercicios de lógica formal* de Keynes, publicada en 1887, y la citaba directamente en el capítulo II del Libro X, en la segunda parte de *Lógica simbólica* . Keynes incluyó la *Paradoja de la barbería* de Dodgson como ejercicio en el capítulo IX de la edición de 1906 de su libro. (Keynes, 1906, págs. 273-274)

a. El efecto 'Alicia'

En un intercambio epistolar entre Venn y Dodgson en 1894, y a partir de las reseñas que aparecieron poco después de la publicación de * El juego de la lógica* y *Lógica simbólica, parte I* , se observa que la reputación de Dodgson como autor de los libros de «Alicia» lo encasilló principalmente como autor de literatura infantil e impidió que sus libros de lógica fueran tomados en serio. La barrera creada por la fama que Carroll merecidamente se ganó con sus libros de Alicia, combinada con un estilo de escritura más literario que matemático, impidió que la comunidad de lógicos británicos lo reconociera debidamente como un lógico relevante.

Su propio estilo de escritura, más literario, contribuyó a esta impresión. Que esta era su reputación resulta evidente en las reseñas de Lógica simbólica, Parte I, publicadas durante su vida. Ciertamente, la mayoría de sus contemporáneos desconocían la importancia de su método diagramático para resolver silogismos, que presentó por primera vez en El juego de la lógica . En una carta inédita a Venn, fechada el 11 de agosto de 1894, escribió:

«Puede utilizar libremente el problema que le envié y, por supuesto, consultar el artículo de "Mind" [ A Logical Paradox, NS vol. 3, 1894, págs. 436-438, relativo a un ejemplo de proposiciones hipotéticas]. Veo que su carta incluye una respuesta mía tachada, en la que le envié la ilustración algebraica de Nemo. Espero que pueda incluirla en su próximo libro. Quizás podría añadirla como nota al final y citarla en la página 442. Le agradecería que no mencionara mi nombre real a nadie , en relación con mi seudónimo. Espero con interés estudiar la nueva edición de su libro.» (Archivos Venn, Bibliotecas Gonville y Caius, Universidad de Cambridge)

Y en la página 442 de la segunda edición revisada de su Lógica simbólica, Venn escribió:

Que la frase «x implica y» no implica que se sepa que los hechos en cuestión están conectados, ni que una proposición sea formalmente inferible de la otra. Este aspecto particular de la cuestión probablemente les resultará familiar a algunos de mis lectores gracias a un problema que circuló recientemente entre lógicos para comparar opiniones. Dado que el autor es más conocido para el lector general en una rama muy distinta de la literatura, lo llamaré el Problema de Alicia .

6. Paradojas lógicas

a. La paradoja de la barbería

Un apéndice del Libro XXI contiene ocho versiones de la Paradoja de la Barbería de Dodgson, una de las cuales se publicó en Mind con el título de «Una paradoja lógica». En otro apéndice de este libro, Bartley analiza la otra contribución de Carroll a Mind , «Lo que la tortuga le dijo a Aquiles». Estos dos apéndices hacen que los temas que Carroll trató en estos artículos publicados —junto con los comentarios que suscitaron entre lógicos y filósofos modernos— sean mucho más accesibles.

El problema de la barbería fue la primera publicación de Dodgson en la revista Mind . Se trata de la transcripción de una disputa que lo enfrentó a John Cook Wilson. Bertrand Russell utilizó este problema en sus Principios de Matemáticas para ilustrar su principio de que una proposición falsa implica todas las demás. Venn fue uno de los primeros en abordarlo por escrito, en la segunda edición de su Lógica Simbólica . Bartley incluye ocho versiones de la paradoja de la barbería de Dodgson, una de las cuales se publicó en Mind , junto con un extenso comentario.

En la Paradoja de la Barbería, existen dos reglas que rigen los movimientos de tres barberos: Allen, Brown y Carr. La primera establece que cuando Carr sale, si Allen también sale, Brown se queda. La segunda regla establece que cuando Carr sale, Brown también sale. El desafío consiste en utilizar estas reglas para determinar los posibles movimientos de Carr. En una animada correspondencia de dos años, desde finales de 1892, conservada en la Biblioteca Bodleiana, Dodgson y Cook Wilson definieron sus diferentes puntos de vista sobre la Paradoja de la Barbería. Wilson creía que todas las proposiciones son categóricas y, por lo tanto, las hipótesis no podían ser proposiciones.

La naturaleza inestable del tema de las hipótesis durante la vida de Dodgson es evidente al comienzo de la nota que Carroll escribió al final de su artículo:

Esta paradoja… es, a mi parecer, una dificultad muy real en la Teoría de los Supuestos Hipótesis. El punto en cuestión ha sido objeto de debate durante algún tiempo entre varios lógicos experimentados, a quienes se lo he presentado; y las diversas y contradictorias opiniones que ha suscitado mi correspondencia con ellos me convencen de que el tema requiere mayor consideración, para que los profesores y autores de lógica puedan llegar a un acuerdo sobre qué son los supuestos hipotéticos y cómo deben tratarse. (Carroll 1894, p. 438)

Bartley señala en su libro que la paradoja de la barbería no es una paradoja lógica genuina como lo es la paradoja del mentiroso . En general, una paradoja es una afirmación que parece ser contradictoria o contraria a las expectativas.

Las numerosas versiones de la Paradoja de la Barbería que desarrolló Dodgson demuestran una evolución de su pensamiento sobre las hipótesis y la implicación material, en la que la conexión entre el antecedente y el consecuente del condicional (si (antecedente), entonces (consecuente)) es formal, es decir, no depende de sus valores de verdad. Esto es resultado de la lógica de Boole. Seis versiones de la Paradoja de la Barbería ofrecen una perspectiva del pensamiento de Dodgson sobre el problema a medida que evolucionaba. Bartley publicó cinco de estas seis, así como otras tres, dos de las cuales son ejemplos; una es casi idéntica a otra que Bartley publicó. Además, existen tres versiones anteriores que Bartley no publicó; todas datan de marzo de 1894.

Las versiones anteriores de la "Paradoja de la Barbería" muestran el cambio en la forma en que Dodgson representaba las proposiciones condicionales. En esas versiones, expresaba una proposición hipotética en términos de clases, es decir, si A es B, entonces C es D. Solo más tarde designó A, B, C y D como proposiciones.

Una versión de la paradoja de la barbería, que Bartley no reconoció como tal (Pregunta 14122), se publicó en febrero de 1899 en The Educational Times tras la muerte de Dodgson y se reimprimió en Mathematical Questions and Solutions al año siguiente. Ese mismo año aparecieron dos soluciones diferentes: una de Harold Worthington Curjel, miembro de la Sociedad Matemática de Londres, y la otra de Hugh MacColl. (Para un análisis más detallado de la paradoja de la barbería, véanse las publicaciones de A. Moktefi).

Un artículo titulado "Una paradoja lógica", publicado en 1894 en Mind , generó respuestas en forma de artículos posteriores publicados en Mind por muchos de los lógicos más eminentes de la época de Dodgson, entre ellos Hugh MacColl, E. E. Constance Jones, profesora de lógica en Girton, uno de los colegios femeninos de Cambridge, Alfred Sidgwick, autor de Fallacies: A View of Logic from the Practical Side , así como Johnson, Keynes, Cook Wilson y Russell.

Una carta fechada el 11 de agosto de 1894 de Dodgson a John Venn dio como resultado que Venn incluyera una versión de la paradoja de la barbería en la segunda edición (1884) de su libro Lógica simbólica . Keynes incluyó una versión de la paradoja de la barbería en su libro, y Bradley la analizó en un libro de correspondencia selecta .

Bertrand Russell ofreció la conclusión generalmente aceptada para este problema en su libro de 1903, Los principios de las matemáticas . Si p representa «Carr está fuera»; q representa «Allen está fuera»; r representa «Brown está fuera», entonces la paradoja de la barbería se puede escribir como: (1) q implica r; (2) p implica que q implica no-r. Russell afirmó que la única inferencia correcta de (1) y (2) es: si p es verdadera, q es falsa, es decir, si Carr está fuera, Allen está dentro. (Russell, 1903, p. 18)

b. Aquiles y la tortuga

Al año siguiente, Dodgson publicó en Mind una paradoja de mayor trascendencia : «Lo que la tortuga le dijo a Aquiles». Si bien no generó ninguna respuesta en vida de Dodgson, sí recibió numerosas reacciones tras su muerte, y sigue siendo un problema sin resolver hasta el día de hoy. (Véase Moktefi y Abeles, 2016).

Esta es la paradoja:

1. Las cosas que son iguales a una misma cosa son iguales entre sí,
2. Los dos lados de este triángulo son cosas que son iguales.
3. Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí.

Dodgson fue el primero en reconocer que, al realizar una inferencia lógica, la regla que permite llegar a una conclusión a partir de las premisas no puede considerarse una premisa adicional sin generar una regresión infinita.

Tanto la paradoja de la barbería como la de Aquiles implican condicionales, y Dodgson empleó la implicación material para argumentarlas, pero se sentía incómodo con ella. Tuvo dificultades con varias cuestiones adicionales relacionadas con las hipótesis. En la nota a la versión publicada de la paradoja de la barbería en julio de 1894, Dodgson planteó varias preguntas: la primera, si una hipótesis puede ser legítima cuando su premisa es falsa; la segunda, si dos hipótesis cuyas formas son "si A entonces B" y "si A entonces no B" pueden ser compatibles.

En 1986, Bartley publicó una segunda edición de Lógica simbólica, Parte II, en la que incluyó soluciones a algunos de los problemas y acertijos más importantes de Carroll, descubrimientos adicionales de pruebas de imprenta y una nueva interpretación, a cargo de Mark R. Richards, de los diagramas lógicos de Carroll.

Hacia 1897, es posible que Dodgson estuviera reconsiderando su uso del concepto de importancia existencial. Bartley cita una entrada de su diario de 1896 y una carta sin fecha dirigida a Cook Wilson como prueba (Bartley 1977, pp. 34-35). Sin embargo, existe aún más evidencia, incompleta en el libro de Bartley, que respalda esta ruptura con la idea de importancia existencial. El libro (capítulo) XXII contiene las soluciones de Dodgson a problemas planteados por otros lógicos. Una de estas soluciones a un problema planteado por Augustus De Morgan sobre la existencia de sus sujetos aparece en una carta sin destinatario, fechada el 15 de marzo de 1897 (Bartley 1977, pp. 480-481). Gracias a la respuesta de Dodgson a esta carta seis días después, sabemos que fue enviada a su hermana Louisa, en respuesta a su solución del problema. En esta carta inédita, Dodgson sugirió:

Si se tiene en cuenta la cuestión de la existencia y se asume que cada proposición implica la existencia de su sujeto y, por lo tanto, de su predicado, entonces ciertamente se obtienen diferencias entre ellas: cada una implica ciertas existencias no implícitas en las demás. Pero esto complica el asunto, y creo que resulta más sencillo acordar (como propondré en mi solución) que las proposiciones no deben entenderse como implicativas de la existencia de estas relaciones, sino que solo deben entenderse como afirmaciones de que, si tales y cuales relaciones existieran , entonces se derivarían ciertos resultados. (Dodgson, Colección Berol, Universidad de Nueva York, 21 de marzo de 1897)

7. Dodgson y las matemáticas modernas

En la segunda parte de Lógica Simbólica , el enfoque de Dodgson lo llevó a inventar diversos métodos que se prestan al razonamiento mecánico. Estos son los métodos de premisas prohibidas y grupos prohibidos y, sobre todo, el método de árboles. Si bien Dodgson trabajó con una forma restringida de la lógica de clases y empleó una notación algo engorrosa y nombres extraños, los métodos que introdujo anticiparon conceptos y técnicas modernas del razonamiento automatizado, como los árboles de verdad, la resolución binaria, la preferencia de unidades, las estrategias de conjuntos de apoyo y la completitud de la refutación.

Su sistema de diagramas lógicos constituye un sistema de demostración sólido y completo para silogismos. La solidez de un sistema de demostración garantiza que solo se puedan deducir conclusiones verdaderas. (Un sistema de demostración es sólido si y solo si las conclusiones que podemos derivar de las premisas son consecuencias lógicas de las mismas). Por el contrario, su completitud garantiza que se puedan deducir todas las conclusiones verdaderas. (Un sistema de demostración es completo si y solo si, siempre que un conjunto de premisas implique lógicamente una conclusión, podemos derivar dicha conclusión de esas premisas).

Varios de los métodos que Dodgson empleó en su Lógica Simbólica contienen conceptos y técnicas que se han utilizado en la demostración automática de teoremas desde el siglo XX. Estos primeros programas se centraban en la demostración de teoremas de lógica proposicional y de predicados.

Su única regla de inferencia, el subrayado, que toma dos proposiciones, selecciona un término en cada uno del mismo sujeto o predicado que tenga signos opuestos y produce otra proposición, es un ejemplo de resolución binaria , el más importante de estos primeros métodos de prueba en la deducción automatizada.

Aunque Dodgson no dio el siguiente paso, adjuntando la idea de inconsistencia al conjunto de premisas y conclusión, este método para manejar silogismos multiliterales en la primera figura es una prueba formal de inconsistencia que califica como una refutación finita del conjunto de eliminandos y retenidos. Su construcción de un árbol utiliza una regla de inferencia (algoritmo), resolución binaria , y guía el desarrollo del árbol con una estrategia de restricción, ahora conocida como conjunto de soporte , que aplica la resolución binaria en cada paso subsiguiente de la deducción solo si el paso precedente se ha deducido de un subconjunto de las premisas y negación de la conclusión, es decir, del conjunto de retenidos. Esta estrategia mejora la eficiencia del razonamiento al evitar el establecimiento de caminos infructuosos. Y esta prueba de árbol es a la vez sólida y completa , es decir, si el conjunto inicial de premisas y conclusión es consistente, habrá un camino abierto a través del árbol que lo hace sólido; Si existe un camino abierto en el árbol terminado, el conjunto inicial de premisas y conclusión es coherente, lo que lo hace completo.

Una comparación de las dos partes de Lógica Simbólica revela el progreso que Dodgson logró hacia un enfoque automatizado para la solución de problemas silogísticos con múltiples conexiones (soriteses) y problemas de rompecabezas con nombres intrigantes como "El problema de los tenderos en bicicleta" y "El problema de los cerdos y los globos".

Muchos programas modernos de razonamiento automatizado emplean un argumento de reducción al absurdo , mientras que otros programas de razonamiento que se utilizan para encontrar información adicional no buscan establecer una contradicción. En 1985, uno de los problemas de rompecabezas de Dodgson, el "Problema de los escolares", fue modificado por Ewing Lusk y Ross Overbeek para que fuera compatible con la generación directa de enunciados (en forma clausal) por un programa de razonamiento automatizado. Su programa primero produjo una conclusión más débil antes de generar la misma conclusión más fuerte que Dodgson produjo utilizando su método de árbol. La solución de Lusk y Overbeek en 1985 al "Problema de la sal y la mostaza" de Dodgson y la de A. G. Cohn en 1989 al mismo problema cinco años después utilizaron una lógica de múltiples órdenes para ilustrar el poder de dos de estos programas.

En informática, una base de datos tiene un estado , que es un valor para cada uno de sus elementos. Un disparador puede comprobar una condición especificada por una cláusula `when` ; es decir, una acción determinada se ejecutará solo si se activa la regla y la condición se cumple cuando ocurre el evento desencadenante.

Dodgson definió el término Cosmofase como “[e]l estado del Universo en un momento particular: y considero cualquier Proposición que sea verdadera en ese momento como un Atributo de esa Cosmofase”. (Bartley 1977, p. 481) Curiosamente, la definición de Cosmofase de Dodgson encaja perfectamente en este marco moderno.

8. Carroll como divulgador

Dodgson fue tanto divulgador como educador de matemáticas y lógica. Comenzó a impartir clases de matemáticas en la escuela St. Aldate's, frente a Christ Church, en 1856. Consideraba que El juego de la lógica y, en mayor medida, Lógica simbólica, Parte I. Elemental , eran muy superiores a los que se utilizaban en ese momento y útiles para la enseñanza de alumnos de entre doce y catorce años. El objetivo del juego, que se jugaba con un tablero y fichas, era resolver silogismos. Creía que todo su libro de Lógica simbólica , incluidas las partes II y III proyectadas, resultaría atractivo para alumnos de hasta veinte años y, por lo tanto, útil a nivel universitario.

Mientras fue profesor de matemáticas en Christ Church, a menudo impartía clases particulares gratuitas a grupos familiares formados por padres, hijos y amigos de estos en sus casas sobre temas matemáticos como cifrados, en particular su cifrado Memoria Technica , acertijos aritméticos y algebraicos, y un método algorítmico para determinar el día de la semana de cualquier fecha. Originalmente creó el cifrado Memoria Technica en 1875 para calcular logaritmos, pero le encontró muchos más usos como ayuda general para la memoria, escribiendo una versión simplificada con fines didácticos en 1888.

Los temas que eligió para impartir clases particulares se centraron en técnicas mnemotécnicas, trucos numéricos, atajos computacionales y problemas que requerían un cálculo mental rápido, desarrollando este último tema en un libro, Curiosa Mathematica, Part 2 : Pillow Problems Thought Out During Wakeful Hours (1894), publicado en 1893. Continuó impartiendo clases de lógica de esta manera. También dio lecciones de lógica en sus aposentos en Christ Church. En junio de 1886 impartió conferencias en Lady Margaret Hall, Oxford, y en mayo de 1887 en la Oxford High School for Girls. Allí dio clases tanto a estudiantes como, por separado, a sus profesoras. Impartió conferencias en St. Hugh's Hall, otro de los colegios femeninos de Oxford, en mayo y junio de 1894. En enero de 1897 comenzó un curso de conferencias sobre lógica simbólica en el Abbot's Hospital de Guildford.

Utilizó material que posteriormente incorporó a su libro, El juego de la lógica , obra que prácticamente había terminado en julio de 1886, pero que no se publicó hasta noviembre en una edición que Dodgson rechazó por considerarla deficiente. La segunda edición (publicada) apareció en febrero del año siguiente. Dodgson esperaba que el libro resultara atractivo para los jóvenes como un divertido ejercicio mental. Consideraba este libro, y aún más su Lógica simbólica, Parte I. Elemental, esencial para la enseñanza de los estudiantes. Creía que su propio libro sobre lógica simbólica era muy superior a los que se utilizaban en ese momento.

El 21 de agosto de 1894, respondiendo a una carta de una antigua amiga de la infancia, Mary Brown, que entonces tenía treinta y dos años, escribió:

Me preguntas qué libros he escrito… Actualmente estoy trabajando intensamente (y llevo meses haciéndolo) en mi libro de Lógica. (En realidad, lo tengo preparado desde hace doce años: los «meses» se refieren a la preparación para la imprenta). Se trata de Lógica Simbólica , en tres partes, y la primera está diseñada para ser lo suficientemente sencilla para chicos y chicas de unos 12 o 14 años. Espero que se utilice en institutos, etc. Lo he estado impartiendo en Oxford a un grupo de chicas del instituto, a otro grupo de profesoras (!) y a otro grupo de chicas de un colegio femenino. (Cohen 1979, p. 1031)

En una carta fechada el 25 de noviembre de 1894 a su hermana Elizabeth, escribió:

Una gran utilidad del estudio de la lógica (que me esfuerzo por popularizar) sería ayudar a las personas con dificultades religiosas , haciéndoles comprender la absoluta necesidad de tener definiciones claras , para que, antes de abordar cualquiera de estos temas complejos, tengan una idea clara de qué están hablando . (Cohen 1979, p. 1041)

Los enunciados de casi todos los problemas en ambas partes de sus libros de lógica simbólica resultan entretenidos. Esta cualidad se debe al propósito declarado de los libros: popularizar la materia. Sin embargo, Dodgson incorporó naturalmente el humor en gran parte de sus escritos matemáticos más serios, imprimiendo a esta obra el sello de su genio literario.

Edward Wakeling señala que su enseñanza de la lógica se desarrolló de tres maneras: una serie de lecciones en una escuela, lecciones a un pequeño grupo de amigos o familiares conocidos, o enseñando a un único amigo niño, seguro de sí mismo, inteligente y atento. Este último método era su favorito. Edith Rix, a quien dedicó * A Tangled Tale* (1885) en forma de acróstico de ocho versos en el que la segunda letra de cada verso forma su nombre, fue su primera alumna de lógica. Dodgson le escribió muchas cartas sobre problemas de lógica. Según se cuenta, él decía que ella era la mujer más inteligente que jamás había conocido.

En el Apéndice dirigido a los profesores de la primera parte de Lógica simbólica , cuarta edición, Carroll indicó algunos de los temas que planeaba para la segunda parte. Estos incluyen «Los temas tan desconcertantes de las hipótesis, los dilemas y las paradojas» (Bartley 1977, p. 229). Dodgson estaba generalmente interesado en la calidad de los argumentos, particularmente aquellos que podían generar confusión. Las paradojas entran en esta categoría porque parecen demostrar lo que se sabe que es falso. Y las paradojas ciertamente lo desafiaron a crear métodos ingeniosos para resolverlas, como su método del árbol.

Dodgson expresó sus ideas sobre la mejor manera de enseñar lógica a los jóvenes en “Una fascinante recreación mental para los jóvenes”, donde escribió:

En cuanto a la primera idea popular —que la lógica es demasiado difícil para la gente común, y especialmente para los niños—, solo puedo decir que he enseñado el método de la lógica simbólica a muchos niños con total éxito… Las chicas de secundaria lo asimilan con facilidad. He impartido clases a estas chicas, y también a sus profesoras … En cuanto a que la lógica simbólica sea árida y poco interesante , solo puedo decir: ¡ pruébenla ! Me he entretenido con diversas actividades científicas durante unos cuarenta años y no he encontrado ninguna que la iguale en cuanto a su atractivo constante y cautivador. (Carroll 1896, reproducido en Abeles 2010, pp. 96-97)

9. Conclusión

Gran parte de la inspiración para los escritos de Dodgson sobre lógica provino de sus contactos con profesores de otras universidades de Oxford, Cambridge y otros lugares. Compartió su trabajo con un círculo de colegas y solicitó sus opiniones. A diferencia de la mayoría, no buscó ser miembro de las sociedades profesionales de matemáticas y filosofía, ni asistió a sus reuniones ni impartió conferencias, salvo contadas excepciones. No era un matemático tradicional. Más bien, aplicaba soluciones matemáticas y lógicas a problemas que le interesaban. Como lógico innato en una época en que la lógica no se consideraba parte de las matemáticas, trabajó con éxito en ambos campos.

Si bien la ingeniosidad de los acertijos y ejemplos creados por Dodgson fue generalmente aplaudida, las afirmaciones de Bartley sobre la importancia de su obra fueron cuestionadas, por lo que su valor para el desarrollo de la lógica no fue plenamente apreciado cuando se publicó el libro por primera vez. Sin embargo, posteriormente, otros investigadores que trabajaron en los escritos lógicos y matemáticos de Carroll, como Duncan Black, George Englebretsen, Amirouche Moktefi, Adrian Rice, Mark Richards, Eugene Seneta, Edward Wakeling y Robin Wilson, realizaron importantes descubrimientos que han realzado enormemente la reputación de Carroll.

¿Por qué los académicos se interesaron en la obra de Dodgson recién en la segunda mitad del siglo XX? Además de la publicación del libro de Lógica Simbólica de Carroll por Bartley, existen varias razones más. Una de las más importantes es el papel que desempeñaron ciertas editoriales para difundir su obra. Entre ellas se encuentran Clarkson N. Potter y Dover Press en Estados Unidos, y Kluwer en los Países Bajos, cuyos libros se distribuyeron tanto en Estados Unidos como en el Reino Unido. Los artículos de la popular sección "Juegos Matemáticos" de Martin Gardner en la revista Scientific American también incluían varias ideas matemáticas de Dodgson y fueron fuentes de información invaluables para los académicos. Otra razón importante es que solo en el siglo XX algunas de sus ideas matemáticas y lógicas encontraron aplicación, en el sentido de que su obra anticipó su uso. La obra matemática y lógica de Dodgson tenía una base amplia, pero su influencia en importantes desarrollos del siglo XX se produjo principalmente después de su muerte.

10. Referencias y lecturas adicionales

a. Primaria

Boole, G. Una investigación sobre las leyes del pensamiento . Londres, Macmillan, 1854.
Boole, G. El análisis matemático de la lógica . Londres, Macmillan, 1847.
Bradley, FH Los principios de la lógica , Londres, Oxford University Press, 1883.
Carroll, CL El juego de la lógica . Macmillan, Londres, 1887.
Carroll, CL Lógica simbólica: Parte I. Londres, Macmillan, 1896.
Carroll, CL El juego de la lógica . Publicado junto con Lógica simbólica, Parte I , como Las recreaciones matemáticas de Lewis Carroll , Nueva York, Dover, 1958.
Carroll, L. “Una paradoja lógica”. Mind vol. 3, n.º 11, 1894, págs. 436-438.
Carroll, L. Lo que la tortuga le dijo a Aquiles.” Mind , v.4, n.14, 1895, pp. 278-280.
Cohen, MN Las cartas de Lewis Carroll . 2 vols. Nueva York, Oxford University Press, 1979.
De Morgan, A. Lógica formal . Londres, Taylor & Walton, 1847.
De Morgan, A. Sobre el silogismo y otros escritos lógicos . Londres, Routledge & Kegan Paul, 1966.
Dodgson, C.L. Euclides y sus rivales modernos . Londres, Macmillan, 1879.
Dodgson, CL Curiosa Mathematica. Parte I: Una nueva teoría de los paralelos . Londres, Macmillan, 1888.
Dodgson, CL Curiosa Mathematica. Parte II: Problemas de almohada . Londres, Macmillan, 1893.
Jevons, WS Lógica pura, o la lógica de la calidad aparte de la cantidad , Londres, E. Stanford, 1864.
Johnson, WE “El cálculo lógico I, II, III”, Mind 1, pp. 3-30; II, pp. 235-250; III, pp. 340-357, 1892.
Keynes, JN Estudios y ejercicios de lógica formal , 3.ª ed . Londres, Macmillan, 1894.
Russell, B. Principios de matemáticas . Cambridge, Cambridge University Press, 1903.
Sidgwick, A. Falacias: Una visión de la lógica desde el punto de vista práctico . Londres, Kegan, Paul, Trench, 1883.
Venn, J. Lógica simbólica . Londres, Macmillan, 1881.
Venn, J. Lógica simbólica , 2.ª ed . revisada. Londres, Macmillan, 1894.
Wakeling, E., ed. Diarios de Lewis Carroll . vol. 6. Clifford, Herefordshire, The Lewis Carroll Society, 2001.
Wakeling, E., ed. Diarios de Lewis Carroll . vol. 8. Clifford, Herefordshire, The Lewis Carroll Society, 2004.
Wakeling, E., ed. Diarios de Lewis Carroll . vol. 9. Clifford, Herefordshire, The Lewis Carroll Society, 2005.

b. Secundaria

Abeles, FF “El método de árboles de Lewis Carroll: sus orígenes en los estudios de lógica”. Modern Logic , vol. 1, n.º 1, 1990, págs. 25-35.
Abeles, FF, ed. Los folletos matemáticos de Charles Lutwidge Dodgson y obras relacionadas . Nueva York, Lewis Carroll Society of North America, 1994.
Abeles, FF “La lógica formal de Lewis Carroll”. Historia y filosofía de la lógica, vol. 26, 2005, págs. 33-46.
Abeles, FF “Del método del árbol en la lógica moderna al comienzo de la demostración automatizada de teoremas”. En: Shell-Gellash, A. y Jardine, D., eds. Del cálculo a las computadoras . Washington DC, Mathematical Association of America, 2005, pp. 149-160.
Abeles, FF “La lógica visual de Lewis Carroll”. Historia y filosofía de la lógica, vol. 28, 2007, págs. 1-17.
Abeles, FF, ed. Los folletos de lógica de Charles Lutwidge Dodgson y obras relacionadas . Nueva York, Lewis Carroll Society of North America, 2010.
Abeles, FF “Hacia un sistema de prueba visual: el método de árboles de Lewis Carroll”. Logica Universalis , vol. 6, n.º 3/4, 2012, págs. 521-534.
Abeles, FF “Legado matemático”. En: Wilson, R. y Moktefi, A. (eds.). El mundo matemático de Charles L. Dodgson (Lewis Carroll) . Oxford, Oxford University Press, 2019, pp. 177-215.
Anellis, Irving. “De los cuadros semánticos a los árboles de Smullyan: la historia del método del árbol de falsabilidad”. Modern Logic , vol. 1, n.º 1, 1990, págs. 36-69.
Corcoron, J. “Lógica de la teoría de la información”. En Martinez, C. et al . eds. Truth in Perspective , Aldershot, Ashgate, 1998, pp. 113-135.
Englebretsen, G. "La tortuga, la tortuga y la lógica deductiva". Jabberwocky , v. 3, 1974, págs. 11-13.
Englebretsen, G. "La tortuga propiamente victoriana". Jabberwocky , v. 23, 1993/1994, págs.12-13.
Englebretsen, G., “El dodo y el DO: Lewis Carroll y el Dictum de Omni”. Actas de la Sociedad Canadiense para la Historia y la Filosofía de las Matemáticas, vol. 20, 2008, págs. 142-148.
Macula, A. “Lewis Carroll y la enumeración de cubiertas mínimas”. Mathematics Magazine , vol. 69, 1995, págs. 269-274.
MacColl, H. “Reseña de Lógica simbólica, Parte I , de Lewis Carroll”. The Athenaeum , 17 de octubre de 1896, págs. 520-521.
Marion, M. y Moktefi, A. “La Logique Symbolique en Sébat à Oxford à la Fin du XIXe Siècle: Les Disputes Logiques de Lewis Carroll et John Cook Wilson”. Revue d'Histoire des Sciences , v. 67 n. 2, 2014, págs. 185-205.
Moktefi, A. “Más allá de los silogismos: el diagrama cuadriliteral (marcado) de Carroll”. En: Moktefi, A., Shin, S.-J.,eds. Razonamiento visual con diagramas , Basilea, Birkhäuser, 2013, pp. 55-72.
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Moktefi, A., "¿Son difíciles de leer los libros de otras personas? Los libros de lógica en la biblioteca privada de Lewis Carroll". Acta Baltica Historiae et Philosophiae Scientiarum , v. 5, n. 1, 2017, págs.28-49.
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Moktefi, A. “¿Por qué hacer las cosas simples cuando se pueden complicar? Una apreciación de la lógica simbólica de Lewis Carroll”, Logica Universalis , volumen 15 (2021), páginas 359–379.
More, T., Jr. “Sobre la construcción de diagramas de Venn”. J. of Symbolic Logic v. 24, n.4 , 1959, pp. 303-304.
Rice, Adrian. “Álgebra”. En: Wilson, RJ, Moktefi, A., eds. El mundo matemático de Charles L. Dodgson (Lewis Carroll) , Oxford, Oxford University Press, 2019, pp. 57-85.
Richards, M. Juego de lógica . https://lewiscarrollresources.net/gameoflogic/.
Seneta, E. “Lewis Carroll como probabilista y matemático”. Mathematical Scientist, vol. 9, 1984, págs. 79-84.
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Van Evra, J. “El desarrollo de la lógica reflejado en el destino del silogismo 1600-1900”. Historia y filosofía de la lógica , vol. 21, 2000, págs. 115-134.
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Wilson, R. y Moktefi, A. (eds.). El mundo matemático de Charles L. Dodgson (Lewis Carroll) . Oxford, Oxford University Press, 2019.

Información del autor

Francine F. Abeles
Correo electrónico: fabeles@kean.edu
Universidad de Kean,
EE. UU.

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5. El círculo lógico de Dodgson

a. El efecto 'Alicia'

6. Paradojas lógicas

a. La paradoja de la barbería

b. Aquiles y la tortuga

7. Dodgson y las matemáticas modernas

8. Carroll como divulgador

9. Conclusión

10. Referencias y lecturas adicionales

a. Primaria

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c. Los 'Métodos' de Dodgson

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6. Paradojas lógicas

a. La paradoja de la barbería

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