© Libro N° 8164.
Fisher. Madrid
Casado, Carlos. Emancipación. Enero 9 de 2021.
Título
original: © Fisher. Carlos Madrid
Casado
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Carlos Madrid Casado
Fisher
Carlos Madrid Casado
CONTENIDO
Introducción
1. La estadística antes de Fisher
2. Karl Pearson y la escuela biométrica
3. Los fundamentos matemáticos de la inferencia
estadística
4. La síntesis entre Darwin y Mendel
5. A vueltas con la inducción y el método
científico
Anexo
Lecturas recomendadas
Introducción
En los manuales la estadística suele definirse como
la ciencia que estudia la recogida, organización e interpretación de datos.
Pero en esta definición brilla por su ausencia un componente esencial: el
trabajo estadístico se realiza empleando el lenguaje de la probabilidad. La
estadística aborda el estudio probabilístico de la incertidumbre, sea cual sea
su fuente. Así, por ejemplo, la inferencia estadística se ocupa de evaluar y
juzgar las discrepancias observadas entre la tozuda realidad y lo prescrito por
el modelo teórico, haciendo uso indispensable del cálculo de probabilidades.
Pero, ¿quién fue el responsable de la inyección conceptual y probabilísima que
experimentó la estadística decimonónica a principios del siglo XX?
La estadística tiene muchos próceres: Karl Pearson, Jerzy Neyman o Abraham Wald
son algunos de ellos, Pero solo tiene un genio: Ronald Aylmer Fisher. Un gran
número de las técnicas estadísticas hoy habituales tiene su origen en la obra
de sir Ronald, aunque la mayoría de libros de texto omitan esta deuda. La
lectura de los artículos y los libros de Fisher, donde la discusión lógica o
filosófica siempre encuentra espacio entre el desarrollo matemático, resulta
ilustradora, sorprendente y, a menudo, comporta la exasperación del lector, por
cuanto el estadístico británico hacía gala de un estilo mordaz e insolente para
con muchos de sus colegas, sin escatimar insultos. Pero acercarse a la figura
de Fisher supone asistir a la fábrica de la estadística matemática moderna.
Las aportaciones más descollantes de nuestro personaje emergieron en un
trasfondo histórico de lo más enrevesado, conformando un mosaico de conceptos
científicos e ideas filosóficas. Fisher bebió de las fuentes de la estadística
a través de tres ciencias por completo diferentes: por medio de la astronomía
conoció las contribuciones de Gauss y Laplace; la física de gases le enseñó las
aplicaciones desarrolladas por Quetelet y Maxwell, y, finalmente, la biología
evolutiva le abrió las puertas de las principales novedades estadísticas de
finales del siglo XIX, que llevaban la firma de Francis Galton y Karl Pearson.
Se antoja imposible calibrar la verdadera talla de Fisher sin compararlo con
ese titán llamado Karl Pearson. En su búsqueda de una teoría matemática de la
evolución, Pearson ideó algunos de los métodos estadísticos hoy clásicos. Sin
embargo, fue demasiado lento a la hora de reconocer el talento de Fisher,
adoptando una cerrazón recalcitrante ante las rectificaciones que el joven y
astuto investigador introducía a su propio trabajo. Pearson pagó caro su error,
porque los artículos de juventud de Fisher enseñaron nuevos horizontes,
ensanchando el mundo estadístico conocido y preparando la eclosión de la
inferencia estadística.
Fisher tenía diecinueve años cuando ingresó en la Universidad de Cambridge y
veintinueve cuando, en 1919, aceptó un puesto como estadístico en la Estación
Agrícola Experimental de Rothamsted. Allí, rodeado de patatas, fertilizantes y
ratones, cimentó gran parte del éxito y la fama de su carrera investigadora.
Durante los años veinte, Fisher recogió el testigo de la oleada de estadísticos
crecida en torno a Karl Pearson, consolidando el estatuto científico de la
estadística al cohesionar sus fundamentos matemáticos. El estadístico inglés la
dotó de una serie de conceptos y métodos característicos. El vocabulario
técnico que redefinió o acuñó para la ocasión es solo la punta del iceberg:
población, muestra, parámetro, estadístico, varianza, verosimilitud, prueba de
significación, aleatorización...
Fisher fue el arquitecto que, simultáneamente, puso los pilares de la teoría de
la estimación y de la teoría de los test estadísticos. Mientras que la primera
se centra en determinar un estimador apropiado para cada parámetro desconocido,
así como de comparar las propiedades de los candidatos, la secunda se preocupa
de someter hipótesis que establezcan valores concretos del parámetro al dictado
de la experiencia. Cuando un astrónomo realiza repetidas mediciones de la
posición de una estrella y quiere predecir su posición real, emplea la teoría
de la estimación. Cuando dos astrónomos mantienen valores diferentes para la
posición de la estrella y deciden realizar una observación conjunta para salir
de dudas, emplean la teoría de los test estadísticos. Pero hay más. Fisher es
el creador de lo que los estadísticos denominan «diseño de experimentos», es
decir, del uso de la estadística en el momento de planear cualquier
experimento.
Todo este espléndido bagaje se dio a conocer en el libro Métodos
estadísticos para investigadores publicado en 1925, cuyo impacto fue
tremendo. No tanto por las ventas que cosechó, sino por la cantidad de
investigaciones que motivó, y no solo entre estadísticos y matemáticos, sino
principalmente entre ingenieros agrónomos, biólogos, químicos y científicos en
general. La estadística había llegado para quedarse
Esta panorámica no estaría completa si no se mencionase que la genética fue la
otra disciplina que, junto con la estadística, acaparó los pensamientos de
Fisher de por vida. Nuestro autor es uno de los fundadores de la genética de
poblaciones, la ciencia que permitió reconciliar a Darwin con Mendel, es decir,
la selección natural de las especies con las leyes de la herencia, asentando de
esta manera la teoría sintética de la evolución o neodarwinismo. No obstante,
el interés de nuestro personaje por el tema venía suscitado por la eugenesia
una inquietante doctrina —colindante con el racismo— que marcó la primera mitad
del siglo pasado, pero que para Fisher hizo de gozne entre la estadística y el
evolucionismo.
A lo largo de este libro también nos acercaremos a las numerosas controversias
científicas y filosóficas en que se sumergió Fisher, muchas de las cuales aún
perduran, y que son una prueba más de la vitalidad de la estadística, la teoría
estadística clásica, tal como hoy la conocemos (conteniendo la estimación, el
contraste de hipótesis, el diseño de experimentes y el muestreo), es fruto de
dos hombres: Ronald Aylmer Fisher y Jerzy Neyman, cuyas contribuciones muchas
veces aparecieron en paralelo, complementándose pero también contradiciéndose.
A ninguno de los dos estadísticos le gustó nunca ver asociado su nombre al del
rival, pese a que al comienzo mantuvieron una relación amistosa. El rabioso
antagonismo entre ambos no terminó hasta la muerte de Fisher, porque para este
las aportaciones de Neyman no hacían sino corroer las suyas propias.
El estadístico británico reflexionó profundamente sobre el papel que
corresponde a la inferencia estadística en el método científico, entrando con
ello en polémica con la mayoría de sus colegas. Uno de los problemas favoritos
de los filósofos, de Aristóteles a Hume, se convirtió en idea fija del
pensamiento fisheriano. Nos referimos, claro está, al problema secular de la
inducción, que él concatenó con la probabilidad y la estadística Las
inferencias inductivas establecían, por así decir, conclusiones
probabilísticas.
Supongamos por un instante que somos médicos y nos planteamos, a propósito de
un paciente, la hipótesis de si padece tuberculosis. De cara a examinar la
validez de esta hipótesis, le hacemos una prueba rutinaria con rayos X que da
negativa. Obviamente, este resultado no es concluyente, porque toda prueba
médica puede fallar, presentando lo que suele denominarse un «falso negativo»
(de la misma manera que a veces se obtienen «falsos positivos»). Nos
encontramos, pues, ante un genuino test estadístico En esta situación podemos
formulamos tres preguntas distintas:
1. A partir del dato, ¿qué debemos creer y en qué
grado? ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga tuberculosis sabiendo
que ha dado negativo en el test?
2. ¿Qué información aporta el dato sobre la
verosimilitud de la hipótesis? ¿Podemos inferir que no presenta la enfermedad?
3. Dado el dato, ¿qué debemos hacer? ¿Aceptamos o
rechazamos la hipótesis de que tiene tuberculosis?
Mientras que la primera pregunta se centra en la
creencia, la segunda lo hace en la evidencia y la tercera en la decisión. Como
cendremos ocasión lie explicar, Fisher intentó responder al segundo enigma. Los
estadísticos bayesianos contestan, por su parte, al primero, y los estadísticos
que siguen las enseñanzas de Neyman lo hacen al tercero. Bayesianos y
frecuentistas —incluyendo bajo este rótulo tanto a los partidarios de Fisher
como de Neyman— aglutinan los dos polos que roturan el campo de la estadística.
Es un hecho que la aportación de Fisher cambió el paradigma científico de la
época; pero no es fácil discurrir el modo en el cual la estadística se
convirtió por su mano en una ciencia per se, en una disciplina autónoma,
partiendo de ser un apéndice de otras disciplinas como la astronomía, la
sociología o la biología. La naturaleza de la estadística, que engloba
contenidos y aplica- dones de lo más diverso, es sumamente problemática y para
nada resulta sencillo determinar cuál es el nexo que dota de unidad a su campo,
más allá de un ramillete de herramientas matemáticas.
La convergencia de varias disciplinas naturales y sociales posibilitó la
configuración de la estadística y, al mismo tiempo, aunque resulte paradójico,
su emancipación respecto de ellas. Desde los juegos de azar, las leyes
estadísticas —cuya regularidad se revela a la escala del colectivo, no del
individuo— se radiaron a la astronomía y la geodesia, la sociología, la
biología, la agricultura, la industria, etcétera. Las monedas, los dados, las
barajas y las urnas son el modelo que utilizamos para razonar estadística-
mente sobre ios astros, las personas, los genes. Las cosechas o la producción
de coches. Para los antiguos, la probabilidad y la estadística aparecían en la
observación de la naturaleza. Desde Fisher lo hacen preferiblemente en el
muestreo, cuando se extrae una muestra aleatoria de una población, aunque esta
última no sea más que un producto de la imaginación del estadístico.
Ronald Aylmer Fisher hizo de la estadística una ciencia a medio camino entre la
matemática y la experiencia, donde la confrontación con problemas tangibles
estimula su crecimiento tanto o más que los problemas teóricos. Son los
materiales demográficos, económicos o sanitarios los que constituyen esta ciencia
y le otorgan su preeminencia actual. Sin su estigma se reduciría a una
disciplina marginal, teorética. La estadística se entreteje con una pléyade de
ciencias experimentales, proyectando luz sobre sus campos y funcionando, muchas
veces, como una suerte de geometría de las inferencias. Solo así se comprende
cómo ha conquistado casi todos los espacios a lo largo del siglo XX. Su
irrupción se inserta dentro de la gran revolución tecnológica del siglo pasado.
Es un patrón de objetividad y estandarización que se aplica en las mediciones
oficiales, los procesos de fabricación o las investigaciones farmacéuticas.
Sirva como ejemplo que la noción de una población como una cifra exacta apenas
tuvo sentido hasta que no hubo instituciones estadísticas encargadas de definir
lo que significa y de establecer con precisión cómo estimar el número de
habitantes, trabajadores o votantes de un país. La estadística ha generado un
mundo que se ha ido haciendo numérico hasta el último de sus rincones.
Y la chispa de este fuego que hoy nos calienta la encendió desde luego, nuestro
protagonista. Un científico excepcional, en su inteligencia y en su arrogancia.
Nadie como él ahondó tanto en las fundamentos de la estadística. Su obra es la
columna vertebral de la ciencia que hoy conocemos. Ahora, cojan aire y
prepárense para bucear en el océano de la ciencia estadística.
|
Cronología |
|
|
1890 |
Ronald Aylmer Fisher nace el 17 de febrero
en una localidad del extrarradio de Londres. |
|
1909 |
Ingresa en la Universidad de Cambridge,
donde estudia matemáticas, astronomía, mecánica estadística, teoría cuántica
y biología. |
|
1915 |
Fisher se anota su primer gran tanto al
deducir la distribución del coeficiente de correlación en el muestreo. La
demostración se publica en Biometrika, revista editada por Karl
Pearson. |
|
1917 |
La sintonía entre Fisher y Pearson comienza
a resquebrajarse como consecuencia de las ásperas críticas que se dirigen. |
|
1919 |
Fisher ingresa en la Estación Agrícola
Experimental de Rothamsted. |
|
1922 |
Plantea los conceptos centrales de la
inferencia estadística en su artículo «Sobre los fundamentos matemáticos
de la estadística teórica». |
|
1925 |
Publica Métodos estadísticos para
investigadores, uno de los libros que más ha hecho por la implantación y
difusión de la estadística entre científicos e ingenieros. |
|
1930 |
Aparece la monografía La teoría
genética de la selección natural, donde demuestra que la herencia
mendeliana es compatible con el darwinismo. |
|
1933 |
Tras el retiro de Karl Pearson, Fisher se
hace con el control de la mitad del departamento que lideraba en el
University College de Londres: la cátedra de Eugenesia. La cátedra de
Estadística pasa a manos del hijo, Egon Pearson. |
|
1935 |
Se publica El diseño de
experimentos, libro de cabecera para los científicos que querían sacar el
máximo partido a sus experimentos empleando herramientas estadísticas. Se
inicia la polémica con Jerzy Neyman y Egon Pearson a propósito de las pruebas
de significación y los contrastes de hipótesis. |
|
1943 |
Regresa, a Cambridge para ocupar la cátedra
de Genética. |
|
1955 |
Los rescoldos de la disputa mantenida con
Neyman y Pearson se reavivan intensamente con motivo del artículo incendiario
que Fisher presenta en La Real Sociedad de Estadística sobre la inferencia
inductiva. |
|
1958 |
Fisher polemiza sobre la relación entre el
hábito de fumar y el cáncer de pulmón, negando que se haya demostrado su
asociación. |
|
1962 |
Muere, como consecuencia de un cáncer de
colon, el 29 de julio en Adelaida (Australia), donde pasó sus últimos años de
vida como Investigador emérito. |
Capítulo 1
La estadística antes de Fisher
A finales del siglo XIX los métodos estadísticos se
encontraban desperdigados por varios campos bastante distanciados. La
astronomía custodiaba las aportaciones de Gauss y Laplace relativas al método
de mínimos cuadrados, la ley del error y el cálculo de probabilidades. La curva
normal era de uso común en la sociología y en la física de gases, gracias a la
semejanza entre las moléculas de un gas y los ciudadanos de un país. Pero sería
dentro del perímetro de la biología evolutiva donde aparecerían las principales
novedades estadísticas del siglo.
Ronald Aylmer Fisher nació el 17 de febrero de 1890
en East Finchley (Londres). Sus padres, tras el nacimiento de sus dos primeros
hijos (Geoffrey y Evelyn), decidieron llamar a su tercer hijo Alan, pero su
temprana muerte les hizo adoptar una llamativa superstición: todos sus hijos
sin excepción llevarían una «y» en el nombre, incluyendo el más joven de los
siete que tuvieron, Ronald Aylmer. Desde muy pequeño Ronald demostró tener un
talento especial para las matemáticas. Con seis años, su madre comenzó a leerle
un libro divulgativo de astronomía, que despertó en él un interés que no le
abandonó en la infancia ni en la adolescencia. Sin embargo, desde los días de
la escuela, su vista mostró ser muy pobre: padecía una miopía extrema, de
manera que los médicos le prohibieron estudiar con luz eléctrica, artificial.
Durante las tardes, los profesores particulares le enseñaban sin lápiz ni
papel, lo que le permitió desarrollar una habilidad excepcional para resolver
problemas matemáticos de cabeza, basándose en intuiciones geométricas pero
omitiendo los detalles (una costumbre que le acompañó toda la vida).
Cuando tenía catorce años, su madre murió de un ataque agudo de peritonitis y,
poco después, su padre perdió toda su fortuna. Por suerte, Fisher ganó una beca
para financiarse la universidad, En Cambridge, donde ingresó en 1909, estudió
matemáticas y astronomía, aunque también se interesó por la biología. Tras
graduarse, completó sus estudios dentro del campo de la «teoría de errores»,
una teoría matemática de gran utilidad en astronomía y que constituyó, junto
con La teoría de gases, su primer contacto con la estadística. Puede parecer
paradójico que el creador de la estadística matemática moderna conociese la
disciplina que contribuyó a revolucionar por medio de la astronomía, como si
los astros guardasen el secreto de las encuestas o las elecciones. Para poder
explicar este hecho, y con él la magnitud de la obra de Fisher, es obligado
volver la vista atrás, al siglo XIX, y rastrear el origen de los métodos estadísticos
a través de varias disciplinas fronterizas, Generalmente se admite que la
estadística se divide en dos ramas bien diferenciadas pero interconectadas. Por
un lado, la estadística descriptiva, que se encarga del análisis exploratorio
de datos; por otro, la estadística inferencial (o inferencia estadística),
encaminada a hacer predicciones en situaciones de incertidumbre. El germen de
la estadística inferencial se encuentra en los juegos de azar y en la
astronomía, aunque el conjunto de conceptos que se desarrollaron tardó en
circular al ámbito social en que brotó la estadística descriptiva. Esta primera
fase abarca, aproximadamente, desde 1650 a 1850. Finalmente, en una segunda
fase, coincidiendo con la segunda mitad del siglo XIX, las herramientas estadísticas
conocieron una nueva circulación: de la astronomía y la sociología a la
biología. Pero comencemos por el principio.
De Laplace a la socialización de la estadística
Podemos imaginar la ciencia estadística como un río formado por la confluencia
de dos afluentes que discurrían independientes. Por una parte, el cálculo de
probabilidades, que es la base de la inferencia estadística, Por otra, «la
ciencia del Estado», de donde deriva precisamente el nombre «estadística», y
que tiene más que ver con la estadística descriptiva.
El cálculo de probabilidades surgió, pese a las aportaciones pioneras de
Cardara, Galilea y algunos escolásticos, al calor de los juegos de azar ya
avanzado el siglo XVII. Cartas, dados, monedas y urnas funcionaron como
paradigmas de la naciente «geometría del azar», según atestigua la
correspondencia que a partir de 1664 entablaron un austero jansenista y un
abogado amante de las matemáticas, Blaise Pascal y Pierre de Fermat a propósito
de los acertijos propuestos por Antoine Gombaud, caballero de Méré y jugador
empedernido. El concepto de probabilidad, que como vocablo ya puede encontrarse
en Cicerón, se les escapó a los griegos por carecer de una aritmética simbólica
adecuada, así como de dados simétricos (los posibles resultados de su astrágalo
no eran equiprobables), lo que les impidió postular la regla de Laplace, que ya
se encuentra en Jakob Bernoulli (1654-1705) o Abraham de Moivre (1667-1754),
como axioma, y cuyo enunciado es el siguiente:
«La probabilidad de un suceso es igual al número de
casos favorables dividido por el número de todos los casos posibles».
Ahora bien, conviene aclarar que el concepto de
probabilidad tampoco aparece en las cartas que cruzaron Pascal y Fermat, y hay
que esperar al Ars Conjectandi de Bernoulli, publicado
póstumamente en 1713, para encontrar una discusión explícita de la noción.
En esta obra, Bernoulli partió de los problemas que había abordado Christiaan
Huygens en su libro De Ratiociniis in Ludo Aleae (1657),
aplicó la combinatoria a su resolución y, lo que es más importante en relación
con la estadística, presentó el «teorema áureo» (una versión de la ley de
estabilidad de las frecuencias) y discutió por vez primera el problema de la
probabilidad inversa: ¿cuántas observaciones hacen falta para estimar una
probabilidad a partir de la frecuencia? El matemático suizo fue pionero en
plantearse la posibilidad de inferir la probabilidad de un suceso a posteriori
(a partir de la experiencia) cuando no puede deducirse a priori (antes de la
experiencia, mediante razonamientos lógicos o psicológicos).
A caballo entre los siglos XVIII y XIX, Pierre-Simon de Laplace (1749-1827)
completó estos avances, fusionando el cálculo algebraico de probabilidades con
el análisis matemático en su obra Teoría analítica de las probabilidades
(1812).
El teorema áureo de Bernoulli
Este teorema, conocido hoy simplemente como teorema
de Bernoulli, afirma que la frecuencia relativa de un suceso tiende a
aproximarse a un número fijo —la probabilidad del suceso—conforme aumenta el
número de repeticiones del experimento aleatoria. Formalmente: dados un
suceso A, su probabilidad p de ocurrencia
y n pruebas independientes para determinar la ocurrencia o no
ocurrencia de A, si f es el número de veces
que se presenta A en los n ensayos y ε es un
número positivo cualquiera, la probabilidad de que la frecuencia relativa f/n discrepe
de p en más de ε (en valor absoluto) tiende a cero al
tender n a infinito. Es decir
Recíprocamente, la probabilidad de que la
frecuencia relativa se estabilice a largo plazo tiende a 1 (lo cual no quiere
decir que, eventualmente, no pueda haber desviaciones, esto es, rachas
contrarias, «cisnes negros»). Así, por ejemplo, la frecuencia relativa con que
sale cara al lanzar al aire una moneda legal se acerca a 0.5 (su probabilidad)
cuando la lanzamos un número suficiente de veces. En la época, el conde de
Buffon lanzó 4040 veces una moneda y obtuvo 2048 caras, es decir, el 50,69% de
las veces. Este teorema, por tanto, formalizaba la ley del azar o ley de
estabilidad de la frecuencia: hay, por decirlo con un término debido a
Bernoulli, «certeza moral» (probabilidad de 0,999) de que a la larga la
frecuencia relativa de un suceso no se desvía significativamente de su
probabilidad (véase la figura). Era la «ley de los grandes números», empleando
la expresión acuñada en el siglo XIX por Simeón Denis Poisson (1781-1840), en
su forma más sencilla.
Frecuencia relativa de que caiga cara tras 100 lanzamiento» de una moneda.
En efecto, mientras que el teorema de Bernoulli nos
asegura que la frecuencia relativa con que sale cara al tirar una misma moneda
sucesivas veces tiende a estabilizarse, la ley de los grandes números nos
asegura que la frecuencia relativa con que se obtiene cara al lanzar sucesivas
monedas también se estabiliza, aunque cada moneda tenga una probabilidad de
cara distinta.
P. L. Chebyshev y la escuela rusa continuarían el estudio de las leyes de los
grandes números, que generalizan el teorema áureo. Para Bernoulli el teorema
posibilitaba calcular empíricamente las probabilidades desconocidas. Permitía
definir la probabilidad de una forma objetiva, invirtiendo el teorema. En
efecto, sí la frecuencia se aproxima a la probabilidad según crece el número de
observaciones, ¿por qué no definir la probabilidad a partir de la frecuencia?
Mediante el recurso a la inducción parecía factible definir la probabilidad
como el límite de la frecuencia, y no ya hacerlo de una forma meramente lógica
o subjetiva (como un grado de creencia). No obstante, el matemático francés
afincado en Inglaterra, por su irredento calvinismo, era hugonote, Abraham de
Moivre, famoso por su tratado La doctrina del azar (1718),
defendía que la regularidad estadística que postulaba el teorema áureo
necesitaba obligatoriamente del concurso de Dios para funcionar. Fisher, como
tendremos ocasión de explicar, heredó esta crisis abierta en la interpretación
de la probabilidad.
Si antes de él, con contadas excepciones, el cálculo de probabilidades se
servía del álgebra, a partir de él lo haría básicamente del análisis, por medio
de las funciones generatrices. Laplace definió con rigor el concepto de
probabilidad y discutió ampliamente el problema de la probabilidad inversa,
redescubriendo el teorema de Bayes (solo llamado así por Augusto de Morgan
muchos años después, que vindicó la prioridad de su compatriota). Además, sentó
las bases de la inferencia estadística bayesiana, que empleó para predecir
tasas de matrimonios y proporciones de nacimientos según el sexo.
Y utilizó la teoría de probabilidades en la resolución de múltiples problemas
de la mecánica celeste: por ejemplo, para examinar la distribución de las
órbitas de los cometas como si se tratara de una serie de cuerpos proyectados
aleatoriamente en el espacio, como dados lanzados sobre una mesa. Sin embargo,
la aplicación de mayor envergadura vino de la mano de la «teoría de errores»
que en su día estudiara Fisher.
En el período que abarca de 1770 a 1820 se desarrollaron los métodos
estadísticos básicos en conexión con la astronomía, ya que esta ciencia
requería de un estudio cuidadoso del error. Se trataba de reducirlo al mínimo a
la hora de estimar la posición de un planeta o una estrella a partir del
conjunto de observaciones. Un astrónomo quiere determinar la posición real del
astro tras haber realizado una serie de mediciones.
El teorema de Bayes
En una memoria de 1773 titulada «Sobre la
probabilidad de las causas de los sucesos». Laplace se planteaba que las
situaciones en las que interviene el azar son, generalmente, de dos tipos. En
el primero, el azar aparece en los resultados. Por ejemplo: conocemos la
composición de una urna en la que hay bolas blancas y negras, y nos planteamos
cuál será el resultado de una extracción. A partir de las causas, la
composición de la urna, que conocemos, calculamos la probabilidad de los
resultados, de sacar blanca, o negra. Hay, en cambio, un segundo tipo de
situación en la que el azar no aparece en los resultados sino en las causas.
Conocemos el resultado de la extracción (ha salido, pongamos por caso, una bola
negra) y queremos calcular la composición de la urna, que nos es desconocida. A
partir de los resultados (ha salido negra), determinamos la probabilidad de las
causas, de cada posible composición de la urna. Pasamos, pues, de los efectos a
las causas. Laplace enunció y demostró el teorema que descubrió el reverendo
Thomas Bayes (1702-1761) y que se publicó en una memoria póstuma de 1763, pero
que seguro desconocía (los matemáticos franceses no solían leer a los
ingleses). Este teorema afirma que si {A1, A2,...,An} forman
un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, P(Ai) son
las probabilidades a priori de los sucesos y P{B|Ai) son
las verosimilitudes (la probabilidad de observar el efecto B supuesta
la causa Ai),entonces la probabilidad a posteriori de
cada suceso viene dada por:
Lo que aquí nos interesa es explicar la idea
latente tras la fórmula de Bayes que redescubrió Laplace, por cuanto fue uno de
los caballos de batalla de Fisher.
Imaginemos una urna que puede tener dos composiciones diferentes; la primera
contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras, y la segunda, 3 blancas y 2 negras,
tal como muestra la figura.
Si hemos extraído una bola negra, el teorema de Bayes concluye que la
probabilidad a posteriori de la composición de la izquierda es mayor que de la
derecha.
Se extrae una bola al azar y resulta ser negra,
¿qué composición de la urna es más probable?
Intuitivamente, a la luz del color de la bola extraída, parece claro que la
primera composición tiene que ser más probable que la segunda (dado que en esta
última hay menos bolas negras). El teorema de Bayes no hace sino cuantificar
numéricamente esta intuición. Las dos causas que han podido originar el suceso
«sacar bola negra» son, precisamente, las dos posibles composiciones de la
urna. Si se supone a priori que ambas composiciones son
igualmente probables (0.5 para cada una de ellas), la utilización de la fórmula
de Bayes lleva a que la probabilidad de la primera composición ha subido, tras
la extracción de la bola negra, a 0,6, mientras que la probabilidad de la
segunda composición ha bajado a 0,4. Las probabilidades a priori (0,5
y 0,5) han sido rectificadas a posteriori (0,6 y 0,4). Un
resultado que parece incontrovertible, puesto que en la primera composición hay
más bolas negras que en la segunda y, por lo tanto, cabe esperar una mayor
probabilidad de que la bola haya sido extraída en esas condiciones. Para
Laplace, al igual que para Bayes, este poderoso teorema posibilitaba aprender
de la experiencia y, en el límite, legitimar la inducción.
Laplace interpretó que la posición real de la estrella funcionaba como causa de
las posiciones observadas, dependiendo los errores del azar. En estos términos,
mediante una utilización ingeniosa del teorema de Bayes, concluyó que existe
una curva que representa la distribución del error en torno al valor real
(figura 1, siguiente). La curva es simétrica y decreciente a partir de ese
valor central, en el sentido de que cuanto más nos alejamos de él menos
probable es que cometamos tanto error al medir. En consecuencia, lo más
probable es que el valor que elijamos como real (la media aritmética de los
resultados) se encuentre en un entorno de ese valor central, donde la curva
alcanza su máximo. Resolviendo una ecuación diferencial, Laplace llegó a que la
curva de la distribución de los errores viene dada por una función de tipo
exponencial.
Ley de los errores según Laplace f(x)= e-|x|/2
Mientras que Laplace a fin de combinar las
observaciones sucesivas del astro en una trayectoria, buscaba minimizar la suma
de los errores absolutos, es decir, de las diferencias en valor absoluto entre
el valor real y los valores observados, otros astrónomos se centraron en
minimizar la suma de los errores cuadráticos, de los cuadrados de los errores
(los cuadrados se toman para dar el mismo valor a una discrepancia por defecto
que por exceso), un método de estimación que en seguida se reveló como generalizaba
a más variables y más sencillo de cómputo que el que ideara Laplace.
Era el método de mínimos cuadrados (figura 2). Este método fue dado a conocer
por Adrien-Marie Legendre (1752- 1833) en 1805, en su libro Nuevos
métodos para la determinación de las órbitas de los cometas.
Pero un joven matemático alemán, llamado Carl Friedrich Gauss (1777-1855),
afirmó haber sido el primero en utilizarlo para predecir la órbita del
asteroide Ceres, descubierto el primer día del siglo XIX, el 1 de enero de
1801.
El método de mínimos cuadrados sirve para ajustar sobre el conjunto de
observaciones una trayectoria que minimice el error cuadrático
En su obra Teoría del movimiento de los
cuerpos celestes (1809), Gauss expuso, en el contexto de la teoría de
errores, el método que había inventado en secreto para ajustar una curva dentro
de una nube de puntos. Demostró que la distribución de los errores está
relacionada con el método de mínimos cuadrados. Una vez determinada la curva
que minimizaba el error cuadrático, Gauss observó que los errores cometidos en
la aproximación se distribuían aleatoriamente alrededor de un valor medio. Esta
distribución simétrica con forma de campana era la denominada distribución
normal o campana de Gauss (figura 3), aunque en la época fue conocida
simplemente como ley del error. Recíprocamente, Gauss demostró que
si se suponía que los errores se distribuían de acuerdo con esta ley general,
la función de mínimos cuadrados era la que minimizaba la probabilidad de error
o, equivalentemente, la que hacía más verosímiles las observaciones (aunque en
un primer momento no razonó así, sino que empleó el teorema de Bayes inspirándose
en Laplace).
No mucho más tarde, Laplace importó los valiosos hallazgos del matemático
alemán al dominio de la teoría de la probabilidad, añadiendo un resultado
propio: el teorema central del límite, que afirma que sí una medida es el
resultado de la suma de un gran número de factores sometidos a error, esta se
distribuirá normalmente con independencia de cómo lo haga cada uno de los
factores en particular.
Ley de los errores según Gauss: f(x)= (1/√2π)ex^2/2
Este teorema mostraba que la aproximación de la
binomial a la normal, desarrollada por De Moivre como una herramienta de
cálculo sin significado probabilístico, no era sino un caso particular de un
resultado mucho más general. Cualquier suma o media, y no únicamente el número
de éxitos en n experimentos (lo que había probado De Moivre),
se distribuye aproximadamente como una normal si n es lo
suficientemente grande (figura 4). En otras palabras, este teorema justificaba
que, bajo ciertas condiciones muy generales, era plausible modelar una variable
bajo estudio como si proviniese de una distribución normal.
La probabilidad de obtener un cierto número de caras al lanzar una moneda 50
veces presenta una distribución de probabilidad que se aproxima a una curva
normal.
A este cúmulo de métodos y teoremas es a lo que los
historiadores de la ciencia se refieren, con la síntesis de Gauss-Laplace.
Si uno de los cursos progenitores de la estadística se encuentra en la
francesa Théorie matématique des probabilités, el otro hay que
buscarlo en la «ciencia del Estado», es decir, en el análisis de datos
socioeconómicas relacionados con el auge del comercio y los estados-nación. Con
más precisión, en la confluencia de dos tradiciones iniciadas también a
mediados del siglo XVII: la Political Arithmetic inglesa y
la Statistik alemana. El término «aritmética política» fue
introducido por William Petty, que pretendía operar sobre el cuerpo político
imitando a la nueva filosofía natural, con el propósito de mejorar la toma de
decisiones. Dentro de esta rama se encuentran las observaciones sobre tablas de
mortalidad debidas a John Graunt en 1662, cuya indagación de estos datos
demográficos era relevante para las rentas vitalicias y las primas de seguros.
Es de destacar que estudiando estas tablas los hermanos Huygens entrevieron los
juegos de azar como un modelo para inferir conocimiento acerca de otras
porciones del mundo, y acuñaron el concepto de esperanza de vida a partir de la
noción de esperanza o ganancia más probable de un juego.
Por su parte, el término alemán statistik apareció en el
contexto del interés por caracterizar a los nuevos estados —Prusia, en
concreto— a través de sus estadísticas, de sus números e índices, puesto que
los impuestos aduaneros entre los Estados alemanes se fijaban de conformidad
con el número de habitantes de cada uno de ellos.
El poder de un gráfico estadístico
John Snow (1813-1858) fue un destacado médico
inglés pionero en el dibujo de una suerte de pictograma orientado a demostrar
que la virulenta epidemia de cólera que azotó Londres en 1854 se debía a un
pozo de agua contaminada, alrededor del cual se acumulaban las víctimas
(representadas por puntitos), y no, como era creencia habitual, por el contagio
entre enfermos y sanos a través del aíre.
Las más de 700 personas que murieron en menos de
una semana en el barrio del Soho lo hicieron porque todas ellas bebían de una
fuente (marcada con un aspa en la calle Broad, en el centro de la imagen),
contaminada con heces. La ilustración corresponde al mapa original de John
Snow, los puntos representan las personas afectadas por la enfermedad, mientras
que las cruces corresponden a los pozos de agua de los que bebían.
La tradición inglesa y la alemana convergieron hacia finales del siglo XVIII en
las islas Británicas, pero no asimilaron las matemáticas francesas hasta bien
entrado el siglo XIX. A partir de ese momento el estudio cuantitativo de la
política y de la sociedad tomó prestadas las herramientas matemáticas de uso ya
común en la doctrina del azar y la astronomía. La socialización de la teoría de
probabilidades francesa se debe al astrónomo belga Adolphe Quetelet (como
vemos, la conexión con la astronomía no es casual), aunque su lenta composición
con la ciencia del Estado de raigambre inglesa y prusiana hubo de esperar a que
tanto la obra de Laplace como la de Quetelet fuesen dadas a conocer en Gran
Bretaña gracias al astrónomo John Herschel y al lógico Augustos de Morgan.
El «hombre medio» de Quetelet
Con la avalancha de números impresos que se produjo al final de la era
napoleónica, el foco de las estadísticas pasó de ser el número de nacimientos,
muertes y matrimonios al número de suicidios, asesinatos o analfabetos. Estas
cifras relativas a la criminalidad y la educación fueron el caldo de cultivo en
el que se engendró la idea del «hombre medio» (homme moyen), que
favoreció la erosión del determinismo.
Adolphe Quetelet (1796-1874) completó sus estudios en París, donde a través de
su maestro Joseph Fourier tomó contacto con la síntesis Gauss-Laplace. La
perplejidad de Quetelet por las regularidades de la estadística surgió cuando,
con el aumento de la burocracia, observó la terrible exactitud con que se
producían los crímenes: las estadísticas criminales en Francia se sucedían con
valores anuales casi constantes. Entre 1825 y 1830 el número anual de acusados
estaba siempre alrededor de 7.100, y el de condenados, en torno a 4.400. A su
regreso a Bruselas se interesó por el planteamiento de censos y encuestas.
Inicialmente, llevado por su deseo juvenil de ser escultor, Quetelet aplicó las
nociones probabilísticas que manejaba con soltura en astronomía y geodesia a la
medición del cuerpo humano (al astrónomo belga le debemos la definición del
índice de masa corporal que determina la obesidad). En 1835 anunció que la ley
del error, o «ley de las causas accidentales», como prefería
denominarla, se aplicaba a las características humanas, físicas y de
comportamiento, siendo el concepto central el de promedio, pues
el valor medio de la distribución de la característica bajo estudio
representaba al «hombre medio».
A la izquierda, curva de frecuencias correspondiente a la amplitud de pecho
de 5.738 soldados escoceses, según Quetelet (1845). A la derecha, curva de
frecuencia de los errores cometidos en la observación de una estrella según el
astrónomo Friedrich W. Bessel
Ciertas mediciones antropométricas, como la
estatura de los reclutas franceses o el tórax de los soldados escoceses, se
distribuían aproximadamente como la curva acampanada de Gauss. En efecto, en
1845, tras tabular y representar los datos relativos a los perímetros de pecho
de 5.738 soldados escoceses, tomados de una revista médica de la época, observó
el parecido entre la curva de frecuencias resultante y la que aparecía a la
hora de medir la posición de una estrella (figura 6).
Pero mientras que el astrónomo medía muchas veces la misma estrella, existiendo
un valor real de la posición, Quetelet mostraba datos de distintos soldados y
detrás de su curva no había un valor real del perímetro de pecho. Quetelet
argumentó que medir el perímetro de pecho de muchos soldados era como medir
muchas veces el perímetro de pecho de un mismo soldado, del «soldado medio». Y,
dando un enorme salto ontológico, propuso que la razón es que la naturaleza
apunta a una especie de hombre promedio, y que los que están en los extremos de
la campana son desviaciones azarosas del canon ideal. Su obra marcó el inicio
de la física social y sirvió de propaganda internacional del valor de las
estadísticas, catalizando la formación de la Sociedad Estadística de Londres,
entre otras instituciones estadígrafas.
No obstante, no hay que olvidar que la conexión de la probabilidad y la
estadística con la sociedad ya estaba de forma embrionaria en Laplace, puesto
que el astrónomo francés recogió el testigo de la «aritmética moral» esbozada
por Condorcet en su Ensayo sobre la aplicación del. cálculo a la
probabilidad do las decisiones (1785), cuya meta puede retrotraerse, a
su vez, a la última parte del tratado de Bernoulli, que estaba dedicado a la
aplicación del cálculo de probabilidades a cuestiones civiles, morales y
económicas, buscando aunar la sabiduría del filósofo con la prudencia del
político, según sus propias palabras. En el popular Ensayo filosófico
sobre las probabilidades, publicado originalmente como introducción a
la segunda edición de la Teoría analítica de las probabilidades (1814),
Laplace dejó escrito que «los problemas fundamentales de la vida no son
en el fondo más que problemas de probabilidades». No era un simple
matrimonio de conveniencia. Para Laplace la probabilidad era la base de la
inferencia científica, de la teoría del error, de la filosofía de la causalidad
y, atención, de la cuantificación de la credibilidad de los testimonios. Si el
cálculo de probabilidades se había revelado tan eficaz en las ciencias
naturales, ¿por qué no iba a serlo también en las ciencias políticas y morales?
En su opúsculo, Laplace equiparaba las decisiones de una asamblea a las
sentencias de un tribunal con las posibles bolas que podían extraerse de una
urna, a fin de determinar la probabilidad de error en función de! número de
diputados que formaran la asamblea o del número de votos que hiciesen falta
para, condenar al acusado, perfeccionando así los cálculos al respecto que hiciera
Condorcet antes de la Revolución.
No deja de tener su gracia, como no dejó de advertir Laplace, que una ciencia
que comenzó con consideraciones sobre monedas, dados y barajas se convirtiera
pasado el tiempo en uno de los objetos más importantes del conocimiento humano.
«La urna a la que interrogamos es la naturaleza.»
Adolphe Quetelet (1845).
De hecho, Siméon Denis Poisson, el discípulo más
prometedor de Laplace, contribuyó significativamente a la orientación social
que tomó la estadística con Quetelet. En 1835, mientras trabajaba en cuestiones
de matemática electoral y jurisprudencia, formuló la «ley de los grandes
números», que proveyó una mejor base para aplicar la matemática de las
probabilidades a los problemas sociales, explicando la estabilidad estadística
a través de los cambios sociales. Grandes números de individuos, actuando independientemente
en un sistema, producen regularidades que no dependen de su coordinación mutua,
de manera que es posible razonar sobre la colectividad sin ningún conocimiento
detallado de los individuos. En consecuencia, no se podía predecir el
comportamiento particular de un individuo, pero sí el comportamiento promedio
de la población. Se trataba de otra manifestación más de la regularidad
estadística del mundo. Poisson y Quetelet eran dos astrónomos que veían en la
conducta y en las características de sus millones de conciudadanos
regularidades dignas de los astros.
En suma, Quetelet partió de la curva de Gauss, deducida previamente como ley
del error o como distribución límite en juegos de azar como el lanzamiento de
monedas, y aplicó esta misma curva a fenómenos biológicos y sociales donde la
media no es una magnitud real, transformándola en una cantidad real. La media
no era un rasgo de un individuo concreto, sino una característica de la
población que simplificaba los datos de partida. Servía para representar a la
población en el carácter bajo estudio, de manera que los diversos individuos se
mostraban como desviaciones mayores o menores de este valor, del hombre medio.
Para Quetelet, las variaciones observadas eran simples perturbaciones, errores
naturales. Desinteresándose por el estudio intrínseco de la variabilidad, el
astrónomo belga identificaba la media con lo justo y lo correcto. Con la
recepción de sus trabajos en Inglaterra la curva acampanada fue rebautizada
como ley normal. Las personas normales eran aquellas que se
ajustaban a la tendencia central de las leyes sociales que cuantificaban la
estatura, el peso o la inteligencia.
La sociología proseguiría en esta dirección al catalogar a aquellas personas
cuyos valores se encontraban en los extremos como patológicas, «anormales».
Pero la influencia de la obra de Quetelet no se detiene aquí, pues puso a James
Clerk Maxwell (1831-1879) en el camino de la mecánica estadística; las
moléculas de un gas son como los individuos de una población, ya que el desorden
a escala individual se transforma en un orden a escala pobladora! No en vano,
la teoría de gases fue la otra materia, junto con la teoría de errores, que
permitió a Fisher aprender los métodos estadísticos clásicos.
Sir Francis Galton, el «hombre mediocre.» y la eugenesia
Para comprender cómo los métodos estadísticos pasaron del campo de la física
social al campo de la antropología física y, en especial, a la biología
evolutiva, hay que atender al cambio en el estudio de la variabilidad
estadística que propició la aparición del darwinismo y la eugenesia.
Este retrato, de 193, muestra a un joven Fisher graduado en Matemáticas tras
su paso par la Universidad da Cambridge, donde creció su interés por la
genética y la evolución a raíz de le lectura de una serie de artículos de Karl
Pearson.
Fue la insuficiencia de las teorías genéticas de
Charles Darwin (1809-1882) lo que animó a Francis Galton (1822-1911), de facto
su primo, a tratar de resolver los problemas de la herencia mediante el
análisis matemático que los datos biológicos demandaban,
Galton, que nació el mismo año que Gregor Mendel (1822- 1884), era trece años
más joven que Darwin, Tras estudiar medicina y matemáticas gracias a la
generosa herencia paterna, se embarcó hacia África como explorador (entre otros
inventos, como los mapas anticiclónicos, patentó el saco de dormir). A su
vuelta a Inglaterra, coincidiendo con la consolidación de la antropología
colonialista, se interesó por la evolución.
Galton quedó cautivado por la lectura del primer capítulo de El origen
de las especies (1859), que aborda la variación bajo domesticación,
relativa a la cría de animales, y en seguida estableció una correspondencia
regular con Darwin que duraría hasta la muerte de este último. Barajando la
posibilidad de dirigir de forma controlada la selección natural de la especie
humana, Galton comenzó a pensar seriamente en la mejora de la humanidad a
través de la crianza selectiva de los seres humanos. En Genio
hereditario (1869), decía:
De la misma manera que se logra una raza permanente
de perros o caballos dotada de especiales facultades para correr o hacer
cualquier otra cosa, sería posible producir una raza de hombres altamente
dotada mediante matrimonios sensatos durante varias generaciones consecutivas.
En 1883, Galton acuñó, precisamente, el
término eugenesia («ciencia de la mejora de la raza»). Este
concepto haría fortuna en la sociedad británica finisecular, preocupada por el
declinar de su imperio tanto en el exterior (frente a otros imperios) como en
el interior (con el avance de las clases bajas, del lumpen-proletariado, cuyo
índice de natalidad era muy superior al de la ciase alta). Y arraigaría en
Estados Unidos y en la Alemania nazi, con la promulgación de leyes de
esterilización forzosa para enfermos mentales e indigentes. El movimiento
eugenésico prácticamente no se aplacaría hasta que se apagasen los hornos
crematorios en Centroeuropa y se proclamara la división humana en razas como un
mito propio de la antropología física prebélica.
Galton creía firmemente que la población inglesa estaba sufriendo una suerte de
involución, una degeneración biológica que se transmitía hereditariamente y que
se manifestaba en las dificultades militares que atravesaba el Imperio
británico, achacables en su opinión a la creciente debilidad innata de las
tropas. La ciencia eugenésica debía aportar la solución al problema
favoreciendo que las mejores estirpes se reprodujesen y limitando la
procreación de las capas más desfavorecidas.
A diferencia de Galton, Darwin mantenía una actitud más prudente, En El
origen del hombre y la selección en relación al sexo (1871),
abordó la cuestión de las razas humanas y, aunque aceptó las teorías
eugenésicas, expresó ciertas reservas. Puede parecer sorprendente que Darwin
aceptara estas teorías basadas aparentemente en la herencia de los caracteres
adquiridos popularizada por Lamarck, pero la explicación del mecanismo
hereditario detrás de las adaptaciones era una anomalía recurrente para el
darwinismo clásico. La teoría de la «pangénesis», propuesta por Darwin a falta
de otra mejor, era totalmente compatible con la herencia lamarckiana (aunque
Galton difundió, para enfado de Darwin, los resultados de una serie de
experimentos con conejos que contradecían la existencia de «semillas sanguíneas»).
Solo el neodarwinismo, resultante de la síntesis del darwinismo clásico con la
genética mendeliana y poblacional, expulsó al lamarckismo de la escena
científica (la causa de las variaciones hereditarias son las mutaciones en el
ADN).
Hacia el final de su vida, Galton incluso escribió una novela utópica,
titulada Kantsaywhere, sobre una sociedad que vivía feliz bajo
preceptos eugenésicos dictados por sacerdotes-científicos, que su sobrina
(Galton no tuvo hijos en su matrimonio), irritada por algunas escenas subidas
de tono, quemó parcialmente. La influencia de las ideas galtonianas fue
notable, dando alas al darwinismo social y a la introducción de la estadística
en el estudio de la psicología. Los test antropométricos de Galton se
transformaron a la vuelta de siglo en los célebres test de inteligencia.
La ley de regresión a la media y la noción de correlación
La contribución más duradera de Galton fue la utilización de la estadística
como herramienta destinada a domesticar la variabilidad biológica hereditaria.
Para el polivalente científico inglés era un dogma que uno solo conoce una cosa
cuando puede medirla, lo que a la postre significó la consagración de la
antropología física cuantitativa o antropometría. Ajuicio de Galton, las
características físicas tales como la altura, el peso o los rasgos de
personalidad, son heredadas. Galton creía que la unión de dos persona
inteligentes produciría una persona más inteligente, del mismo modo que la
unión de dos personas altas produciría otra persona más alta. Sin embargo, los
experimentos sobre la herencia que realizó a lo largo de su vida le llevaron a
descubrir una nueva regularidad estadística, distinta de la esperada, y que
denominó reversión a la mediocridad, más tarde regresión a
la media, en su libro Herencia natural (1889), Galton
empleó este concepto para designar la relación que existía entre la estatura de
padres e hijos. Observó que si los padres son altos, los hijos generalmente
también lo son, y si los padres son bajos, los hijos son también de menor
estatura. Pero cuando el padre es muy alto o muy bajo, aparece una apreciable
regresión hacia la estatura media de la población, de modo que los hijos
retroceden o regresan hacia la altura media de los padres. Galton extendió este
resultado planteando una ley universal sobre la herencia ancestral: cada
peculiaridad en un hombre es compartida por sus descendientes, pero en media en
un grado menor (hoy se sabe que más que una regularidad biológica se trata
de una regularidad puramente estadística, debida al azar lo más probable es que
las realizaciones de una variable aleatoria normal sean próximas a su media o
valor esperado).
Hacia 1877 Galton había descrito este mismo fenómeno experimentando con el
tamaño de las semillas de generaciones sucesivas de guisantes. Mientras Mendel
experimentaba con caracteres cualitativos (color, rugosidad, etc.) de los
guisantes, Galton lo hacía con caracteres cuantitativos (tamaño, diámetro).
Cuando repitió su estudio con registros antropométricos (donde, por cierto,
introdujo el uso de los percentiles y revalorizó el uso de la mediana y los
cuartales), observó con algo de ayuda la siguiente relación lineal:
Altura del hijo (en cm) = 85 cm + 0,5 × Altura del
padre (en cm).
Se trataba de una de las rectas de regresión.
Además, conjeturó que la intensidad de la relación entre las dos variables, la
altura del padre y la del hijo, podía cuantificarse numéricamente. Era la mayor
innovación estadística de la centuria: la correlación.
El quincunx
El polifacético Galton buscaba explicar el hecho de
que ciertas medidas físicas (como la altura de las personas o el diámetro de
los guisantes.) se distribuyen normalmente. Para argumentar que la ley normal
era la ley de la genuina variación y no solo la ley del error, ideó en 1873
el quincunx, un dispositivo cuyo nombre proviene de los sembrados
en que cada árbol está rodeado por otros cuatro árboles, y que sirve para
ilustrar el teorema central del límite. El dispositivo consiste en un tablero
en el que se introducen unos guisantes a modo de bolitas por el extremo
superior, que van cayendo rebotando de manera azarosa en los «árboles» hasta
ser recogidos en unos compartimentos separados en el otro extremo. Con este
dispositivo. Galton demostró que las bolitas dibujan en et extremo inferior una
campana de la distribución normal, como se observa en la ilustración.
Esquema de quincunx el libro Herencia natural
Mediante este ingenioso mecanismo explicaba la
prevalencia de la distribución normal e, incluso, ilustraba la herencia
mediante una disposición en fases. Interrumpiendo el paso de las bolitas en
alguna zona, para representar las influencias dominantes en la herencia,
observó que aún se dibujaba una curva normal, aunque más pequeña y menos
dispersa. El científico inglés era verdaderamente un genio en cuanto a
transformar representaciones abstractas en modelos físicos. Con su
investigación, reconcilió la teoría de errores, según la cual una acumulación
de desviaciones accidentales da lugar a una distribución normal, con la
herencia, que si bien tiene desviaciones accidentales, también contiene obvias
correlaciones, ya que cada organismo tiende a semejarse a sus ancestros.
Mientras que la obra de Galton sobre la regresión fue el resultado directo de
sus investigaciones sobre la herencia, su teoría de la correlación nació de los
problemas de identificación de criminales (un tema en el que fue pionero al
introducir el uso de las huellas dactilares). Galton comprendió en seguida que
en el sistema de identificación propuesto por el policía francés Alphonse
Bertillon (1853-1914) había mucha redundancia. Bertillon registraba la
estatura, las dimensiones de los pies, de los brazos y de los dedos de cada
persona; pero estas cuatro medidas no eran independientes entre sí, pues las
personas altas suelen tener los pies, los brazos y los dedos largos. Galton
conjeturó que, en esencia, se trataba de la misma cuestión que había rozado en
su estudio de la regresión; la correlación entre variables. En un artículo
firmado en 1888, introdujo una primera medida matemática de la correlación, es
decir, del grado de dependencia entre variables, aunque la definición como
coeficiente vendría de la mano del economista Francis Y. Edgeworth en 1892 y
sería redondeada por el matemático Karl Pearson, a quien presentaremos en el
próximo capítulo, en 1896, que otorgaría parte del prestigio por el
descubrimiento al astrónomo francés Auguste Bravais, que ya en 1846 había dado
una formulación matemática similar a la hora de estudiar los errores
correlativos entre las coordenadas de posición de un objeto. Hoy en día se lo
conoce como coeficiente de correlación lineal de Pearson, y permite
estudiar correlaciones positivas y negativas (un caso que Galton no pareció
plantearse, cuando el incremento en la primera variable se traduce en un
decremento en la segunda).
Galton siempre rememoraba que la eugenesia, el deseo de mejorar las cualidades
raciales físicas o mentales, fue el impulso que le empujó a estudiar el
problema colateral de la variación estadística. Hasta entonces, los métodos
estadísticos solo se preocupaban por los promedios colectivos, desinteresándose
por las variaciones individuales. Para Quetelet, el hombre medio era el centro
de gravedad del cuerpo social, alrededor del cual oscilaban los átomos
sociales, los hombres particulares. Este hombre medio era el canon de
perfección, pues estaba libre de excesos y defectos. Galton reconocía su deuda
con Quetelet al referirse a él como 1a mayor autoridad en la estadística
social, por cuanto difundió el uso de la curva normal, no como ley del error,
sino como descripción de la distribución de las mediciones. Pero entre ambos
científicos se produjo una transición fundamental en la concepción de las leyes
estadísticas, debida en gran parte a la fascinación de Galton con lo
excepcional, en oposición a la preocupación de Quetelet por los promedios.
Mientras que Quetelet pensaba en la tendencia central y, por tanto, en la
media, Galton, siempre preocupado por la excepción, se fijaba en las colas de
la distribución y en la dispersión. Galton atendía a aquellos individuos que se
desviaban ampliamente de la media por exceso o por defecto: el hombre medio de
Quetelet ya no era el prototipo de perfección, sino un hombre mediocre que
necesitaba evolucionar. Lo excelso se encontraba en uno de los extremos de la
curva normal del talento. Este cambio revolucionario solo fue posible cuando la
normalidad devino mediocridad gracias a que la selección natural de Darwin y,
de forma asociada, la reforma eugenésica resucitaron el interés por la
variabilidad: las características excepcionales ya no eran errores de la
naturaleza, desviaciones del hombre medio ideal, sino variaciones importantes
para la mejora de la raza. La estadística pasó de ser una herramienta concebida
para reducir el error a un modelo para representar la variación debida al azar.
La reinterpretación de la curva normal como la ley de la genuina variación, en
vez que del mero error, fue el resultado central del pensamiento estadístico
del siglo XIX
«La ley normal habría sido deificada por los
griegos, si la hubieran conocido.»
Francis Galton, Herencia natural (1889).
En resumen, nuestro protagonista, Fisher, conoció
los entresijos de la estadística gracias a un curioso maridaje de saber
astronómico, físico y natural. A través de la teoría astronómica de los
errores, asimiló la síntesis Gauss-Laplace, en otras palabras, la yuxtaposición
entre el cálculo de probabilidades, el método de mínimos cuadrados y la ley del
error. Por medio de la teoría cinética de los gases, aprendió a modelar
colectividades mediante la distribución normal. Y, finalmente, los avances en
biología y antropología auspiciados por Galton le permitieran cobrar contacto
con la principal novedad estadística decimonónica: la correlación.
Capítulo 2
Karl Pearson y la escuela biométrica
La obra de Fisher no puede entenderse sin
contrastarla con la de su inmediato predecesor, Karl Pearson. En su intento por
desarrollar una teoría matemática de la evolución, Pearson alumbró algunos de
los conceptos y métodos estadísticos clásicos. Entre los primeros, están los
histogramas y la desviación típica. Entre los segundos, el análisis de la
regresión y el test de la Χ2. Las rectificaciones que el joven
Fisher haría a varios trabajos de Pearson conducirían a una enconada rivalidad
de por vida entre los dos.
Durante su estancia en Cambridge, Fisher leyó los
artículos publicados por el matemático Karl Pearson bajo el sugestivo título
de Contribuciones matemáticas a la teoría de la evolución. Instigado
por la lectura de esta serie de artículos que conjugaban sus dos aficiones
principales (la estadística y la biología), Fisher realizó su primera
investigación científica original. Lo hizo en 1912, con solo veintidós años de
edad y sin haber terminado aún los estudios.
Al dejar la universidad, las finanzas familiares no estaban demasiado boyantes
y Fisher no tardó en buscar una ocupación como estadístico en una compañía
mercantil e, incluso, trabajar durante un tiempo en una granja en Canadá. En
1914, de regreso a Inglaterra, coincidiendo con el estallido de la Primera
Guerra Mundial, trató de alistarse, pero le declararon no apto para el servicio
militar por culpa de su vista maltrecha. En 1917 contrajo matrimonio en secreto
con. Ruth Eileen (que, entonces, contaba con diecisiete años), con la que
tendría ocho hijos, dos niños y seis niñas (una de ellas, Joan, la mayor, se
casaría con el también estadístico George E. P. Box). En 1919, tras ejercer
como profesor de Física y Matemáticas en varias escuelas, llegó su gran
oportunidad, y lo hizo por partida doble. Pearson le ofreció una plaza como
estadístico en el Laboratorio Galton y, simultáneamente, le ofrecieron otra en
la Estación Agrícola Experimental de Rothamsted, el instituto de investigación
agrónoma con más tradición del Reino Unido.
Fisher resolvió el dilema inclinándose por la segunda opción, por Rothamsted.
La razón principal fue que trabajar en el Laboratorio Galton conllevaba que
Pearson tenía que supervisar sus publicaciones, una condición que no estaba
dispuesto a aceptar. Ni mucho menos. Sobre todo cuando los puntos de fricción
entre ambos se habían ido acumulando durante los últimos años y seguirían
haciéndolo: la distribución correcta del coeficiente de
correlación, el número exacto de grados de libertad en el test
de la Χ2 («chi-cuadrado»), la eficiencia del
método de estimación de los momentos... Lo que había comenzado siendo una
relación amistosa, acabó enturbiándose a causa de varios malentendidos. Pese a
su juventud, Fisher corrigió el trabajo de Pearson y de sus colaboradores más
cercanos en varios aspectos, un hecho que el segundo no terminó de encajar
nunca, aunque desde luego el carácter altivo que destilaba Fisher no ayudó a
mejorar las cosas. Para poder explicar en qué sentido los errores teóricos de
Karl Pearson impulsaron el despegue de la investigación de Fisher, además de
precipitar la abrupta ruptura entre ambos, es preciso acercamos a la figura
principal de la estadística victoriana y su magna obra
Entre la elasticidad y la biometría
A partir de 1884 Pearson fue profesor de Matemática aplicada y Mecánica en el
University College de Londres. Tras acceder a la cátedra, se había
especializado en teoría de la elasticidad, ya que en la segunda mitad del siglo
XIX la elasticidad era el problema por excelencia de la cosmología, puesto que
la trasmisión electromagnética precisaba de un éter elástico. Pero Pearson
poseía una vocación no estrictamente científica. Gran parte de su magnetismo
personal provenía de su enérgico diletantismo humanista, un gusto por la
literatura, la historia o la filosofía que ni siquiera cesó cuando se concentró
en el cultivo de técnicas estadísticas dentro del dominio de la biología
evolutiva.
Un personaje improbable
Karl Pearson (1857-1936) vino al mundo en el seno
de una familia londinense que pertenecía a la clase media profesional, lo que
le permitió graduarse en Matemáticas en Cambridge en 1879 y realizar estudios
de posgrado en las universidades de Heidelberg y Berlín, donde leyó y escribió
incansablemente sobre múltiples temas: poesía, teatro, ética, socialismo,
derechos de la mujer, etcétera, y hasta llegó a escribir un drama. El
nuevo Werther, publicado bajo el pseudónimo de Loki en 1880. En 1892,
Pearson publicó La gramática de la ciencia, un libro que recogía su filosofía
de la ciencia, en la que se mezclan el idealismo aprendido del filósofo
neokantiano Kuno Fisher y el positivismo expuesto por Ernst Mach, que hizo
suyos en Alemania (no en vano, Pearson cambió la C de su nombre de pila por una
K tras su estancia). Este libro conoció varias ediciones en vida del
autor,
Sin ir más lejos, en El nuevo Werther, obra que Pearson
publicó en 1880, exclamaba:
os gigantes de la literatura, los misterios del
espacio multidimensional, los intentos de Boltzmann y Crookes por escudriñar el
laboratorio de la naturaleza, la teoría kantiana del universo y los últimos
descubrimientos en embriología, con las maravillosas aventuras sobre el
desarrollo de la vida... ¡qué inmensidad más allá de nuestro entendimiento!
La metamorfosis de este matemático experto en
teoría de la elasticidad en el primer estadístico en sentido moderno no se
puede explicar si no se tiene en cuenta que se trataba de un prodigioso pero
anacrónico científico renacentista, obsesionado con la persecución de la verdad
numérica y espiritual. No es casual que una de las metas a las que aspiraba
Pearson fuese que los futuros estadísticos aunasen las dos culturas (las
ciencias y las letras), interesándose tanto por la resolución de problemas como
por la historia de la disciplina, a la manera que él mismo escribió, en sus
tiempos mozos, una historia cronológica de la teoría de la elasticidad y, ya en
su madurez, una ambiciosa biografía en tres volúmenes de su admirado Francis
Galton, así como una colección de lecciones sobre los orígenes de la
estadística en relación con el pensamiento religioso.
Hacia 1892 se produjo un cambio drástico en los intereses científicos de
Pearson. Por medio de la amistad con Walter Frank Raphael Weldon (1860-1906),
profesor de Zoología en el University College, a quien había conocido un año
antes en una reunión para reformar la universidad, se interesó por el
desarrollo de métodos estadísticos que permitieran avanzar en el estudio de la
herencia y la evolución, ya que después de la muerte de Darwin se trataba, con
la notable excepción de las investigaciones de Galton, de un campo
prácticamente moribundo. Es de destacar que Pearson había regresado de su viaje
formativo por tierras alemanas convertido no solo en un ferviente socialista,
sino en especial en un darvinista convencido, ya que había asistido a las
clases de Emil du Bois-Reymond, hermano del matemático Paul du Bois-Reymond, en
Berlín.
Raphael Weldon precisaba de ayuda con el análisis de los datos zoométricos
recolectados con el propósito de esclarecer cómo operaba la selección natural,
que constituía su hipótesis de trabajo. En 1890 había demostrado, basándose en
mediciones realizadas en Decapod crustácea (una especie de
cangrejo), que la distribución de las variaciones en este animal era casi la
misma que la observada por Quetelet y Galton en el hombre: la ley normal. Era
la primera vez que las técnicas estadísticas desarrolladas por Galton en el
ámbito de la antropología se aplicaban a la biología. Por vez primera se calculaba
también un coeficiente de correlación orgánico, entre los tamaños de dos
órganos. Galton, que leyó la memoria en calidad de árbitro, no tardó en
establecer contacto con Weldon, que en sus estudios con cangrejos se había
convencido de que la evolución era en el fondo un problema estadístico. Los dos
mecanismos de la teoría de la evolución, la producción de variabilidad y la
selección natural mediante la lucha por la existencia, tenían un innegable
atractivo desde este punto de vista. La producción de variabilidad entroncaba
con el azar, con el cálculo de probabilidades; la selección natural, con el
estudio de poblaciones, ya que son las unidades que van a sufrir la evolución
en su conjunto. Por este motivo, Weldon necesitaba la colaboración urgente de
un colega matemático.
Con treinta y cinco años cumplidos, Pearson comenzó a estudiar los métodos
estadísticos tal y como estos aparecían en muchos manuales continentales
dedicados a la demografía. Asimismo, releyó los libros de Galton (a quien
conoció en persona en 1894 por mediación de Weldon), ya que su primera lectura
de Herencia natural (1889) no había sido muy positiva, a tenor
de la opinión que expresó en el londinense Club de Hombres y Mujeres del que
era miembro:
Personalmente debo decir que existe un considerable
peligro en aplicar los métodos de las ciencias exactas a los problemas de la
ciencia descriptiva, tanto si se trata de problemas de la herencia como de
política económica.
Es más, en el ejemplar conservado del libro de
Galton, Pearson dejó constancia autógrafa de su exasperación por los argumentos
expresados por su autor: a su juicio se trataba de meras analogías sin valor
científico alguno. Pese a todas estas evidencias, sigue leyéndose demasiado a
menudo que el ímpetu estadístico de Pearson radicó en la lectura del libro de
Galton, de quien se le considera erróneamente discípulo. Probablemente, Weldon
fue el responsable de su cambio de opinión, dado que consiguió ilustrar con
ejemplos concretos cómo las técnicas estadísticas planteadas por Galton podían
aplicarse con acierto al material biológico.
Según reinterpretó años después su acercamiento a la obra de Galton, Pearson
quedó sorprendido por un descubrimiento del eminente científico: había una
categoría más amplia que la causalidad, a saber, la correlación, de la cual la
causalidad era solo el límite. Gradas a esta nueva concepción, la sociología,
la psicología, la antropología y la biología podían entroncar con las matemáticas.
Mientras que el físico piensa que un cierto valor de x produce
(causa) un valor determinado de y, el estadístico cree que la
relación entre x e y es más vaga, meramente
probabilitaria. Galton liberó a Pearson del prejuicio de que las matemáticas
solo podían aplicarse a los fenómenos naturales bajo la categoría causal. No
cabe duda de que su renovada fascinación con la obra de Galton se debió en
parte a su interés compartido por la eugenesia.
La voluntad de investigar conjuntamente determinó la fundación de la Escuela
Biométrica por Weldon y Pearson bajo la influencia directa de Galton en 1893.
El término biometría fue acuñado, precisamente, por Pearson
con el significado de «ciencia de la medida de la vida». La escuela puso las
bases de la estadística matemática entre 1895 y 1915, aun cuando la mayoría de
edad de la disciplina no llegó hasta el período que va de 1915 a 1935,
capitaneado por Fisher. En ambos casos, fue la necesidad de resolver problemas
biológicos, relacionados, durante el primer período, con la herencia y la
evolución, y, en el segundo, con la genética y la experimentación agrícola, lo
que aceleró la cristalización de nuevas herramientas estadísticas.
Contribuciones matemáticas a la teoría de la evolución
Con extraordinaria celeridad, Pearson empezó a producir nuevos conceptos y
métodos, que muy pronto se revelaron como indispensables para cualquier
aplicación de la estadística en otro campo. Antes de darlos a 1a imprenta,
Pearson presentó muchas de sus ambiciosas ideas en una serie de conferencias
vespertinas que impartió entre 1891 y 1894 en el Gresham College. Las primeras
ocho conferencias cubrieron aspectos básicos de la filosofía de la ciencia, que
fueron recogidos en el libro La gramática de la ciencia (1892).
En la edición de 1900 de esta obra, escribía
De la misma manera que podemos predecir poco o nada
de un átomo individual, poco podemos predecir de una unidad vital individual.
Solo podemos manejar las estadísticas de su conducta promedio. Pero tenemos
unas leyes de la variación y de la herencia casi tan definitivas y generales
como las leyes de la física.
Las treinta conferencias restantes se dedicaron por
completo a la «geometría de la estadística» y la «geometría del azar», por
emplear los rótulos originales. El matemático inglés eligió estos tópicos
porque muchos de los asistentes como público trabajaban por las mañanas en el
distrito financiero de la City y pensó, no sin razón, que presentar la
estadística mediante gráficos e ilustraciones podía ser de su agrado. En una de
estas conferencias introdujo, por ejemplo, los histogramas (figura
1), un diagrama que podía ser de utilidad en historia, como su nombre quería
indicar, para representar la evolución del número de habitantes o de los
ingresos de un reino mediante intervalos de tiempo que estarían adyacentes unos
con otros. Estas lecciones marcaron el comienzo de una nueva época en la teoría
y en la práctica de la estadística. No por casualidad, Pearson afirmó ante los
presentes que a esta ciencia le aguardaba un futuro prometedor, pues daría
lustre a otras ramas de la matemática e incluso al estudio de la biología.
En los histogramas, a diferencia de los diagramas de barras (que se usan
para reflejar datos no agrupados), las clases no aparecen separadas sino
contiguas.
Uno de las primeros conceptos que forjó fue el de
«desviación típica» (o «desviación estándar»), que a partir de 1893 sustituyó
al de «error probable», introducido por el astrónomo Friedrich W. Bessel
alrededor de 1815, como más adecuado para medir la variación biológica.
Mientras que la mayoría de los matemáticos y astrónomos del siglo XIX se habían
orientado al estudio de medidas de la concentración y de la posición de los
datos, Pearson se preocupó por medir su dispersión o variabilidad. Si Quetelet revalorizó
el uso de la media y Galton hizo lo propio con la mediana, una medida propuesta
por Antoine Augustin Cournot, los cuartales y los percentiles, Pearson bautizó
a la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las diferencias de cada
dato respecto de la media (una expresión conocida en la época como «error
cuadrático medio») con el nombre de desviación típica y el
signo σ, para subrayar que la variación no tenía por qué interpretarse siempre
como un error.
El error probable quedaba caracterizado porque dividía las posibles
observaciones de un astro, distribuidas según la curva gaussiana en torno al
valor real, en dos clases igualmente probables: a largo plazo, la mitad de las
observaciones caerían en un entorno de su media aritmética de radio el error
probable, y la otra mitad caería fuera, fallando demasiado por exceso o por
defecto. El error probable representaba lo que hoy a veces se denomina desviación
absoluta respecto de la mediana. La desviación típica de una serie de
observaciones se calculaba más fácilmente y poseía mejores propiedades: la
desviación típica de una distribución de error teórica, de un modelo de
probabilidad, no era más que la versión continua de la fórmula discreta antes
enunciada. En la distribución normal el error probable es de 0,6745 veces la
desviación típica, de manera que mientras que en un entorno de la media de
radio del error probable cae el 50% de las observaciones, en un entorno de
radio de la desviación típica cae aproximadamente el 68 %, y en un entorno de
dos desviaciones típicas, algo más del 95% (si la distribución no es normal
solo puede asegurarse que entra al menos el 75% de las observaciones).
Además, Pearson ideó el coeficiente de variación, definido como el cociente de
la desviación típica y la media en valor absoluto, que servía para comparar la
variabilidad entre distintos conjuntos de datos, midiendo en cada uno de ellos
el grado de representatividad de la media, esto es, si los datos están o no
concentrados alrededor suyo.
Finalmente, ideó otras dos medidas descriptivas, el
coeficiente de asimetría (figura 2) y el coeficiente de apuntamiento o curtosis (figura
3) para medir la forma de una distribución: si es simétrica o asimétrica
respecto de la media, y si es más apuntada o más achatada que la distribución
normal.
En suma, Pearson inventó toda una colección de
medidas realmente útiles en la estadística descriptiva, en el análisis
exploratorio de los datos.
Pero hay más. Weldon solicitó consejo a Pearson a la hora de analizar las
mediciones de cangrejos (diámetro del caparazón, longitud de las patas, etc.)
que había realizado durante unas vacaciones en la bahía de Nápoles. Las
observaciones no parecían distribuirse de acuerdo a la ley normal. Su
distribución no era simétrica; en lugar de una única montaña, como en la distribución
normal, parecían dibujarse dos jorobas (figura 4).
Representación del gráfico III del artículo "Ciertas relaciones
correladas en Carcinus maenas", publicada por Weldon en 1893, que recoge
la distribución asimétrica, descompuesta en dos curvas normales de las medidas
de los cangrejos napolitanos
Ayudado por Pearson, Weldon diseccionó la
distribución en dos componentes normales, siguiendo el pensamiento de Galton de
que todas las distribuciones eran normales o mixtura de normales, y concluyó
precipitadamente que debía de tratarse de dos especies diferentes de cangrejos
que por desconocimiento había medido de modo conjunto o, en su defecto, de una
única especie en proceso de generar dos especies diferentes. Pero el matemático
inglés quería encontrar una manera de interpretar los datos sin forzar su normalización,
sin distorsionar la forma de la curva de frecuencias. No debía descartarse que
hubiese una asimetría real en los datos de partida En 1894, en la que sería la
primera de sus memorias publicadas sobre estadística, Pearson imaginó todo un
sistema de curvas de frecuencias que pudiesen ser de utilidad en las
investigaciones biológicas. Quería dotar a los biómetras de un catálogo de
modelos que les permitiera extraer toda la información contenida en los datos
sin deformarlos.
El sistema de curvas de frecuencias permitió
disponer, de rebote, de toda una serie de distribuciones de probabilidad que
podían aplicarse a distintos fenómenos aleatorios. Entre ellas se cuentan
algunas de las distribuciones que más adelante demostrarían ser claves para la
extensión de los métodos estadísticos, por ejemplo, la distribución beta, la
gamma o la Χ2 (figura 5).
Esta familia de distribuciones asimétricas constituía una alternativa a la
distribución normal, dominante desde los tiempos de Quetelet, y lograba mejores
ajustes en situaciones prácticas. Para decidir cuál de las curvas había que
ajustar a los datos en cada circunstancia, Pearson desarrolló el método de los
momentos, que permitía estimar los parámetros que definían cada curva, los llamados momentos (un
nombre que tomó prestado de la mecánica), a partir de los datos observados.
Este método es el más antiguo conocido para la estimación de parámetros y
consiste, en suma, en igualar los momentos apropiados de la distribución
teórica con los correspondientes momentos calculados a partir de los datos
observados, despejando a continuación los parámetros desconocidos. En concreto,
la estimación se realizaba a partir del cálculo de cuatro momentos,
relacionados respectivamente con la media, la desviación típica, la asimetría y
la curtosis (aunque este término no apareció como tal hasta 1905), que
codifican la forma de la curva de frecuencias.
Pearson trataba de desbancar a la distribución normal de su papel preponderante
en biología ofreciendo una serie de curvas alternativas para describir
distribuciones asimétricas o, incluso, bimodales; porque durante años toda
distribución empírica que dibujaba una curva era gaussiana, ya que era todo lo
que podía ser. Galton creía ingenuamente que todos los datos tenían que
acomodarse a la distribución normal. Pearson, en cambio, enfatizaba que las
distribuciones de frecuencias empíricas podían tomar cualquier forma. La curva
normal no era la curva canónica, de modo que la tiranía de la ley normal
concluyó con el fin de siglo, cuando Pearson consiguió que se aparcara esta
visión monolítica.
La altura del neandertal
Karl Pearson aplicó el cálculo del coeficiente de
correlación y de las rectas de regresión a los datos de las alturas de padres e
hijos tomados por Galton.
La estatura de los hijos estaba relacionada con la estatura de los padres, de
manera que los hijos de padres altos solían ser altos.
Este diagrama de dispersión relaciona la longitud del fémur y la talla (en
centímetros) de una muestra de 6 individuos, como puede observarse, entre ambas
variables existe una correlación lineal fuerte (con línea punteada, la recta de
regresión
No habla una relación matemática perfecta, pero
existía una tendencia, que podía medirse mediante el «coeficiente de
correlación de Pearson» (que se define como el cociente entre el
momento-producto o covarianza y las desviaciones típicas de las dos variables
bajo estudio). Los valores de este coeficiente siempre estaban entre -1 y +1.
Si el coeficiente de correlación estaba cerca de 1 significaba que cuando la
variable «estatura del padre» aumentaba, la variable «estatura
del hijo» también lo hacía. En 1898 Pearson conjeturó que un comportamiento
similar se daba entre la estatura de un hombre y la longitud de su fémur.
Estudiando cientos de mediciones, encontró que la correlación entre la estatura
y la longitud del fémur era de 0,8048. Se trataba de una correlación directa
fuerte. A continuación, dedujo la relación existente entre la longitud del
fémur y la estatura total del individuo. En otras palabras, determinó la recta
de regresión de la estatura sobre la longitud del fémur, hallando en el caso de
los varones:
Estatura (cm) = 81,31 cm + 1,88×Longitud del fémur
(cm).
Finalmente, Pearson enseñó cómo usaría para
reconstruir la estatura de los hombres prehistóricos a partir de las medidas de
sus huesos. Por ejemplo, en el caso del hombre de Neandertal, la longitud media
del fémur era de 44,52 cm, con lo que sustituyendo en la ecuación de arriba se
obtenía que su estatura promedio era de 165,01 cm. Por su parte, el hombre de
Cromagnon medía 172,15 cm, dado que la longitud media de los fémures
conservados era de 48,32 cm. Tanto el hombre de Neandertal como el de Cromagnon
eran sensiblemente más bajos que los hombres actuales. En esencia, esta es la
metodología que a día de hoy siguen empleando los paleoantropólogos para
inferir las características de las especies extintas de homínidos que
desentierran en las excavaciones.
Aparte de la distribución binomial de Bernoulli y de la entronizada
distribución normal (ambas relacionadas entre sí por el teorema central del
límite), hasta el desembarco del sistema de curvas de Pearson no se disponía de
muchos modelos de probabilidad alternativos, con la excepción, entre otras, de
la distribución uniforme, la distribución exponencial o la puesta al día de la
distribución de Poisson o de los «sucesos raros», popularizada en la época por
representar el porcentaje de oficiales prusianos que en la década de 1890
resultaron heridos por las coces de sus caballos.
Aún más, en 1896, Pearson logró la definitiva matematización del coeficiente de
correlación y de la regresión lineal, que Galton manejara empíricamente.
Mientras que Galton empleaba unas matemáticas muy modestas y raramente
trabajaba con más de 100 datos (para así usar porcentajes cómodamente), Pearson
hizo de la matemática abstracta un requisito para hacer estadística y tomó en
consideración grandes conjuntos de datos (más de 1000).
Ofreció tanto la fórmula del coeficiente de correlación en que aparece el
«momento-producto» (lo que Fisher y su círculo llamarían covarianza, un
nombre que ha hecho fortuna) como las ecuaciones explícitas de las rectas de
regresión, aunque no completó la teoría de la regresión no lineal (curvilínea)
hasta 1905. Su ayudante en aquel tiempo, el ingeniero y luego profesor de
Estadística George Udny Yule, desarrolló hacia 1897 la regresión múltiple (en
más de dos variables, cuando se supone que la variable de estudio depende de
dos o más), conectándola con el método de mínimos cuadrados y la síntesis
Gauss-Laplace. Es poco conocido que Pearson fue el primero en alertar del
peligro de la detección de «correlaciones espurias» (uno de los abusos que
cometería con la estadística la segunda mitad del siglo XX): dos variables
pueden estar fuertemente correlacionadas entre sí sin que entre ambas medie una
relación de causa-efecto o ni siquiera una causa común (como es el caso, por
ejemplo, del número de cigüeñas presentes en Londres y el número de niños
nacidos cada semana en esa ciudad).
Finalmente, en 1900, Pearson publicó el test de la chi-cuadrado (Χ2)
para comprobar la bondad del ajuste entre la distribución observada y la
distribución teórica o esperada El test demostró ser útil no solo para dar una
medida del ajuste entre datos y distribuciones, sino que fue generalizado por
Pearson y sus discípulos para contrastar la homogeneidad entre varias muestras
y la independencia entre variables (aunque el número exacto de grados de
libertad de la distribución Χ2 que interviene en el test lo
facilitó Fisher en la década de 1920). En consecuencia, la adjudicación de una
distribución normal ya no era cuestión de una semejanza percibida
cualitativamente entre gráficas, sino de una significación estadística cuantitativa
Se trataba de uno de los puentes más sólidos tendidos hasta el momento entre la
estadística descriptiva y la estadística inferencia! De hecho, a finales del
siglo XX una conocida revista científica estadounidense eligió el test Χ2 como
uno de los veinte descubrimientos científicos del siglo que más había cambiado
nuestras vidas.
Entre otras innovaciones más prosaicas, Pearson y sus colaboradores publicaron
toda una serie de tablas para biómetras y estadísticos de gran ayuda en el
ajuste de curvas, y para cuyo diseño se sirvieron de máquinas de calcular
pioneras. No hay que olvidar que hasta el advenimiento del ordenador, estas
tablas simplificaban enormemente la vida a los estadísticos, permitiéndoles
consultar de un vistazo el resultado de laboriosos cálculos de probabilidades.
Esta abundante cosecha de resultados fue dada a conocer a lo largo de un total
de dieciocho artículos que Pearson escribió entre 1894 y 1912 bajo el título
común de Contribuciones matemáticas a la teoría de la evolución. Hoy
día estos artículos son un claro indicador de la extraordinaria capacidad para
trabajar y relacionar materias dispares de que hacía gala Karl Pearson.
La institucionalización de la estadística
Los primeros artículos de Pearson vieron la luz dentro de las Philosophical
Transactions de la Royal Society, pero la oposición despertada entre
los biólogos de la sociedad por los prolijos análisis matemáticos de los datos
(los naturalistas no estaban dispuestos a aceptar conclusiones biológicas sobre
la base de razonamientos estadísticos) condujo a Weldon y a Pearson a fundar,
con el apoyo de Francis Galton, la revista Biometrika en 1901.
La idea de crear una revista propia para publicar las investigaciones se debió
a Weldon, pero fue Pearson quien sugirió su peculiar nombre. Para ambos
científicos, el problema de la evolución era un problema estadístico. Darwin
había planteado su teoría biológica sin recurrir a la matemática, pero cada uno
de sus conceptos desde la variación y la selección a la herencia y la
regresión, era susceptible de ser definido matemáticamente y analizado
estadísticamente.
En el editorial de presentación de la revista, Weldon y Pearson describían su
radio de acción y profetizaban el advenimiento de un día en que habría
matemáticos que serían competentes biólogos y, recíprocamente, biólogos que
serian competentes matemáticos. Durante varios lustros, Biometrika publicó
sesudos análisis estadísticos sobre datos tan dispares como la envergadura de
los pájaros exóticos, la altura de los reclutas albaneses, la medida de la
tibia de los nativos africanos o la longitud del pene de los pigmeos.
La Χ2 y los V2 disparados
por los nazis contra Inglaterra
Durante la Segunda Guerra Mundial los alemanes
lanzaron una lluvia de cohetes V2 sobre Londres. Los
estadísticos que colaboraban en la defensa antiaérea dividieron el mapa de
Londres en cuadriculas de 1/4 km2 (hasta un total de 576) y
contaron el número de bombas caídas en cada cuadrícula durante un bombardeo
alemán.
Una V2 en su plataforma de lanzamiento
Observaron que en 223 cuadriculas no caía ninguna
bomba; en 211 caía solo una, etcétera. Los resultados fueron:
Los estadísticos querían averiguar si los
bombardeos seguían un patrón aleatorio, es decir, si no estaban dirigidos a
determinados objetivos militares, de manera que el vuelo de los V2 estaba
todavía lejos del control de los científicos alemanes. Para ello emplearon el
test Χ2 de Pearson, con el propósito de comprobar el ajuste
entre la distribución observada y la distribución teórica esperada, que en este
caso se trataba de una distribución de Poisson o de los «sucesos raros», ya que
esta última mide la probabilidad de que aleatoriamente ocurra un determinado
número de eventos —que se suponen «raros», improbables— durante cierto periodo
de tiempo. La distribución de Poisson depende únicamente de un parámetro,
habitualmente denotado como λ, que representa la frecuencia de ocurrencia
media. El valor estimado de λ a partir de los datos empíricos es:
(en promedio, uno esperarla aproximadamente un
impacto por cuadrícula). En consecuencia, las frecuencias que debían esperarse
si los bombardeos se ajustaban a esta distribución eran las siguientes (la
fórmula de donde salen estos valores es un poco aparatosa pero fácil de
justificar, aunque aquí no entraremos en ello):
A continuación, los estadísticos determinaron el
valor del «estadístico chi-cuadrado», que es una medida de la discrepancia
total que se cale ufa sumando las diferencias entre la frecuencia observada y
la frecuencia esperada elevadas al cuadrado (así no se compensan las
discrepancias positivas con las negativas) y dividiendo por la frecuencia
esperada:
Si la distribución de Poisson era la adecuada, este
estadístico era un valor de una distribución chi-cuadrado con 6-2 = 4 grados de
libertad (en general es siempre uno menos que el número de clases de partida,
pero como hemos estimado el valor de λ a partir de los datos, hay que restar
uno más según demostró Fisher). Consultando las tablas, los estadísticos
observaron que la probabilidad de que una chi tome un valor mayor o igual que
1,27 es de 0,87. En otras palabras, la probabilidad de obtener una discrepancia
como la observada era significativamente alta bajo el supuesto de que los
bombardeos se producían aleatoriamente, sin un objetivo fijo. Los londinenses
podían respirar tranquilos.
Karl Pearson fue editor continuado de la revista Biometrika desde
su primer número, publicado en octubre de 1901, hasta su muerte, ocurrida
treinta y cinco años después. Tras el inesperado fallecimiento de Raphael
Weldon en un desafortunado accidente de esquí en 1906, Pearson se alejó de la
biología evolutiva. Sin la inestimable colaboración de su bien entrenada mente
biológica, Pearson no se sentía con fuerzas para proseguir en solitario con el
estudio estadístico de la evolución y la herencia.
Fotografía tomada en 1909 que muestra a un anciano Galton de 87 años
acompañado por Karl Pearson.
Sin embargo, redobló esfuerzos en la institución de
un centro que convirtiera la estadística en una rama de la matemática aplicada
con vida propia, con una nomenclatura y unos métodos independientes, de manera
que los estadísticos fuesen por derecho propio «hombres de ciencia».
«La ciencia del futuro se llamará biometría y su órgano oficial será
Biometrika.»
Karl Pearson.
Sir Francis Galton falleció en 1911, dejando en herencia la provisión de una
cátedra de Eugenesia en el University College de Londres, que fue ocupada por
su protegido, Pearson, quien hizo así realidad su sueño de formar un
Departamento de Estadística Aplicada combinando el Laboratorio Biométrico (que
dirigía desde su fundación en 1903) y el Laboratorio Galton para la Eugenesia
Nacional (surgido en 1907 como evolución de la Eugenics Record Office, instituida
por Galton en 1904).
Karl Pearson con un busto de Raphael Weldon. La fotografía de 1910
El Laboratorio Biométrico desarrollaba los métodos
estadísticos en un contexto biológico, mientras que el Laboratorio Eugenésico
los aplicaba en el estudio del «deterioro nacional» (relacionando, por ejemplo,
las tasas de fertilidad con el estatus social o el alcoholismo con su influjo
en el físico y la habilidad de la descendencia). En 1925, coincidiendo con la
especialización de Biometrika en temas estadísticos teóricos,
Pearson fundó Annals of Eugenics (actualmente rebautizada
como Annals of Human Genetics), para proseguir con la
publicación de investigaciones prácticas sobre la eugenesia.
Cabecera original de Biometrika, la revista editada por Weldon y Pearson con
al apoyo da Galton y la colaboración de Charles Davenport (1866-1944)
prominente biólogo estadounidense que compartía el enfoque biométrico y el
credo eugenésico
Una polémica encarnizada
En 1914 Pearson recibió un artículo firmado por un profesor de escuela de
veinticuatro años llamado R. A. Fisher para ser publicado en la revista que
dirigía y editaba, Biometrika. En las apretadas páginas del
borrador, Fisher deducía un resultado que a Pearson y su equipo se les había
escapado sistemáticamente: la distribución correcta del coeficiente de
correlación muestral r, un conocimiento necesario para
determinar el error probable a la hora de estimar el coeficiente de correlación
poblacional ρ. La cuestión de las distribuciones en el muestreo
había comenzado a percibirse como un tema candente para el progreso de la
inferencia estadística, por cuanto permitía cuantificar la fiabilidad de las
predicciones realizadas en base a una muestra representativa con el fin de
conocer determinadas características de una población, de una colectividad que
se presupone demasiado numerosa como para ser estudiada exhaustivamente.
Proporcionar una estimación de la correlación ρ en toda la
población a partir de la correlación r observada en los datos
de la muestra era engañoso y de escasa utilidad si no se indicaba su precisión.
El estudio de la distribución muestral, es decir, de la que resulta de
considerar todas las posibles muestras que pueden extraerse aleatoriamente de
una población, permitía calcular la probabilidad de que el valor de r calculado
a partir de una muestra se acerque al valor desconocido p de
la población.
Estas características de la población que se deseaba estimar recibieron el
nombre de parámetros. Por ejemplo: la media poblacional µ,
la desviación típica poblacional σ o el coeficiente de correlación de la
población ρ. En cambio, los valores que se calculaban a partir de la muestra
para estimar puntualmente estos parámetros se llamaron estadísticos. Por
ejemplo: la media muestral Χ', la desviación típica
muestral S o el coeficiente de correlación muestral r.
Esta distinción entre parámetros poblacionales y estadísticos muestrales, como
la subyacente entre población y muestra, será canonizada por Fisher. Aún más: a
Fisher se debe la costumbre de representar los parámetros con letras griegas y
los estadísticos con letras latinas, con la excepción de la notación barrada
para la media muestral, que deriva de Maxwell. Ahora bien, junto a la
estimación, se deseaba dar un valor de la variación 0 dispersión de todas las
posibles estimaciones, a fin de dar una idea de la exactitud de la inferencia.
Para ello se calculaba el error probable o, también, el «error estándar» del
estimador, que no es más que la desviación típica de la distribución del
estadístico en el muestreo (esto es, de la distribución que mide la probabilidad
de que el estadístico tome tal o cual valor en función de los datos de la
muestra, que se considera que han sido seleccionados aleatoriamente de la
población). Este número decía lo buena que era la inferencia! a menor error,
mejor estimación. Además, el error suele depender de la raíz cuadrada del
tamaño de la muestra, de manera que conforme el tamaño muestral aumenta, la
precisión de la estimación también lo hace, ya que el error disminuye con la
raíz cuadrada del tamaño (figura 6).
El error cometido en la estimación disminuye rápidamente con el tamaño de la
muestra, hasta el punto que el aumento del tamaño muestral no se traduce en una
reducción apreciable del error.
Años antes, en 1896, Pearson había enunciado, sin
demostrarlo, la demostración corría a cargo de Fisher, que el estimador más
probable de ρ, de la correlación de toda la población, era en
esencia r, la correlación calculada a partir de los datos
observados en la muestra (aunque la notación de Pearson no distinguía bien
entre ambos valores, entre el parámetro poblacional y el estadístico muestral).
Pearson respondió con entusiasmo a Fisher, felicitándole por la prueba y
transmitiéndole que el artículo sería sin duda aceptado. Una semana después,
Pearson volvía a escribir a Fisher, contándole que por fin había leído con
detenimiento el borrador, que le parecía que era un avance y que sería un honor
publicarlo si ampliaba un poco las páginas del final. Fisher estudiaba la
distribución del coeficiente de correlación muestral geométricamente
(imaginando la muestra como un vector adimensional y la distribución como una
variedad diferenciable) y recurría, además, a una transformación algebraica,
con lo que a Pearson le costaba seguir una demostración en que no se razonaba a
partir de r sino de una función definida sobre r. Fisher
dio la bienvenida a la sugerencia y su artículo revisado fue felizmente
publicado en Biometrika en 1915.
Hasta 1917 la relación entre ambos matemáticos fue cordial, pero en la
primavera de ese año Pearson y sus colaboradores publicaron un estudio
cooperativo, en el que Pearson arremetía contra Fisher, dedicando más de una
página a criticar un supuesto error cometido por este último en su artículo de
1915. Quizá obró así movido por la nota que Fisher le había enviado
cuestionando la investigación llevada a cabo por una doctoranda danesa que
trabajaba en el laboratorio de Pearson; además, parecía poner en duda los
méritos del test Χ2 y del método de los momentos
para construir estimadores. En el artículo mencionado de 1915, Fisher daba
cumplida demostración de la afirmación que Pearson hiciera bastantes años
antes: el valor más probable del coeficiente de correlación ρ de toda una
población es, en esencia, el coeficiente de correlación r observado
en la muestra (cuando el tamaño muestral crece, porque en general r tiende
a ser mayor que ρ). Pearson afirmaba que Fisher lo había demostrado
empleando los métodos inversos de probabilidad, es decir, el teorema de Bayes,
ocasión que aprovechó para dirigirle una reprimenda, señalando lo arbitrario
del procedimiento, ya que tenía que partir de una distribución a priori uniforme,
de una presuposición de ignorancia total.
Sin embargo, Fisher no había usado este procedimiento. Como ampliaremos en el
capítulo 5, Fisher no solo compartía esta oposición radical a la inferencia
bayesiana, sino que había empleado otro método, un método nuevo que
explicaremos en el próximo capítulo: el «método de máxima verosimilitud», que
poco o nada tenía que ver, pero que ciertamente venía expresado con términos
ambiguos.
A Fisher no tuvo que agradarle la lectura de este pasaje del estudio, y es
lógico que el incidente le pesara a la hora de declinar la oferta de trabajar a
las órdenes de Pearson en el Laboratorio Galton y decantarse por ocupar la
plaza de estadístico en la Estación Agrícola Experimental de Rothamsted a
partir de 1919. Además, Fisher elaboró una respuesta en forma de artículo que
le hizo llegar a Pearson en 1920. Allí profundizaba en el estudio del
coeficiente de correlación para una muestra pequeña y, de paso, indicaba que en
su artículo de 1915 no había empleado para nada el teorema de Bayes. Y aunque
decía mostrarse reacio a criticar a los estadísticos autores del estudio (entre
ellos, claro está, Pearson), llegaba al extremo de ridiculizar los ejemplos que
ponían, terminando su respuesta con una nota sobre la confusión entre la regla
de Bayes y su nuevo método de construcción de estimadores. Como es natural, Pearson
rechazó tajantemente publicar el artículo y se lo devolvió a su autor,
rogándole que no insistiera.
El principal resultado de esta desafortunada controversia fue una enemistad
declarada que se prolongó durante años, de manera que ninguno de los dos estadísticos
desaprovechaba la ocasión de poder criticar al rival. Tanto es así que cuando
Fisher, en una trilogía de artículos publicados entre 1922 y 1924, perfeccionó
el test de la chi-cuadrado, dando el número exacto de grados de libertad,
Pearson nunca aceptó la modificación, pese a ser correcta. Recíprocamente,
cuando en 1945 se solicitó a Fisher que escribiera la entrada sobre Pearson
para un diccionario de biografías, el editor hubo de rechazar de plano su texto
por el tono calumnioso que emanaba. En cualquier caso, soslayando las rencillas
académicas, hay que poner de relieve el acusado contraste entre las visiones de
la estadística de Pearson y Fisher, por cuanto el primero empleaba muestras
grandes y el segundo, por el contrario, influido por William Sealy Gosset
(alias Student), prefería trabajar con muestras pequeñas,
amparándose en el dicho estadístico que afirma que para catar la sopa, aunque
la olla sea más grande, basta con una cucharada pequeña
Karl Pearson jugó un papel enorme en determinar el contenido y la organización
de la investigación estadística en su día, a través de sus investigaciones, sus
enseñanzas, el establecimiento de laboratorios y el inicio de un vasto programa
de publicaciones. A una obra tan prolífica que no tiene rival en cantidad en
ningún otro matemático, hay que añadir una capacidad de trabajo inmensa, que el
propio Pearson achacaba, con una pizca de ironía, a que nunca contestaba al
teléfono ni asistía a comités de bienvenida
Student y la destilería Guinness
William Sealy Gosset (1876-1937) era químico de
formación, aunque se habla familiarizado con la estadística tras pasar una
temporada en el Laboratorio Biométrico con Pearson. En 1908 publicó un célebre
artículo, titulado «El error probable de la media», bajo el seudónimo Student. La
razón es que la empresa para la que trabajaba, la fábrica de cerveza Guinness
en Dublín, no permitía que los empleados hicieran públicas las investigaciones
que realizaban para la marca.
Como puede observarse, la t de Student (en azul), presenta colas más anchas
que la normal (en naranjo)
Buscando controlar la calidad de la cerveza
producida Student recogía muestras pequeñas (lo que salía más barato) y había
descubierto que uno de los tipos de curvas de Pearson era una distribución de
probabilidad de gran utilidad para el estudio de estos experimentos a pequeña
escala. Si, por ejemplo, quería estimar la acidez media de toda la cerveza
producida por la planta en un cierto periodo de tiempo, calculaba la media de
los niveles de acidez encontrados en la docena de barriles de muestra. El problema,
y de ahí el titulo del artículo, es que Student no conocía el error probable
que cometía en la estimación de la media poblacional por medio de la media
muestral, un número necesario para valorar si la inferencia era o no precisa y,
dicho sea de paso, si la acidez entraba dentro de los limites aceptables. Para
determinarlo, Student precisaba conocer la distribución de probabilidad del
estadístico media muestral. Se sabía que si la muestra era grande, en la
práctica, mayor o igual que 30, la distribución de la media muestral era normal
(en virtud del teorema central del límite). Pero si la muestra era pequeña, no
tenía por qué serlo.
La distribución t de Student
Student obtuvo la distribución correcta, conocida hoy día, después de que
Fisher la retocara en 1925, como distribución t de Student.
Esta distribución es, en realidad, una familia de distribuciones dependientes
del número de grados de libertad; pero, en general, es más aplanada que la
distribución normal, con colas más anchas, lo que refleja la mayor
incertidumbre de las inferencias. Este modelo de probabilidad es imprescindible
en el presente por su robustez, ya que no solo se emplea en la inferencia a
partir de muestras pequeñas extraídas de una población normal (de la que se
desconocen su media y su desviación típica), sino también cuando la población
subyacente no se distribuye normalmente. La distribución t es
prácticamente insensible al supuesto de normalidad.
Rescatado del olvido
No obstante, Student fue una figura marginal hasta que Fisher rescató su labor
del olvido, aunque estaba dotado de un sentido del humor peculiar como se
observa en la regla mnemotécnica que inventó en relación con la curtosis: para
recordar el término «platicúrtico», que se aplica a las curvas más aplanadas
que la normal, Student se acordaba de un platypus, ornitorrinco en
español; y para recordar el término «leptocúrtico», aplicable a las curvas más
puntiagudas, trata a la memoria un par de canguros entrechocando sus cabezas,
porque lepping significa saltando en inglés). Fisher y Student
establecieron contacto alrededor de 1912, por mediación del tutor del primero
en Cambridge, un astrónomo de reconocido prestigio. Los apuros que Student
mostraba por carta con las demostraciones matemáticas inspiraron a Fisher la
posibilidad de deducir exactamente la distribución de varios estadísticos en el
muestreo y, de este modo, anotarse sus primeros éxitos. Por su parte, la apatía
de Pearson al respecto se explica porque estaba convencido de que la detección
de las pequeñas tendencias que se observaban en los datos biológicos requería
del empleo de muestras grandes, de un gran número de datos: «¡Solo los sucios
cerveceros manejan muestras pequeñas!», solía decir con tono jocoso a sus
ayudantes.
Todas las piezas del rompecabezas estaban ya sobre la mesa. Todo estaba listo
para el reordenamiento de los materiales estadísticos que iba a realizar
Fisher. De resultas, la estadística sería encumbrada como un nuevo estilo de
razonamiento, que se sumaría, en el plano teórico, al razonamiento axiomático
matemático y, en el plano experimental, tanto al método hipotético-deductivo de
la física como al taxonómico de las ciencias naturales. La estadística se
convertiría en un nuevo modo de pensar y, en especial, de hacer, de intervenir
en el mundo, aplicándose en áreas tan dispares como los laboratorios
biométricos, las granjas agrícolas o la industria cervecera. Una nueva estrella
anunciaba su salida en el firmamento.
Capítulo 3
Los fundamentos matemáticos de la inferencia estadística
En los años veinte, Fisher tomó el relevo de la
primera generación de estadísticos, crecida en torno a Pearson. Su artículo
«Sobre los fundamentos matemáticos de la estadística teórica» fue el aldabonazo
que anunció la implantación de la inferencia estadística como disciplina
matemática, seguido por dos influyentes libros: Métodos estadísticos para
investigadores y El diseño de experimentos. En ellos, Fisher cimentaría los
test de significación, el análisis de la varianza y la aleatorización como
principios básicos de cualquier confrontación del científico natural con los
hechos.
La inferencia estadística se define como una
colección de técnicas que permiten formular inferencias de lo particular (la
muestra) a lo general (la población), proporcionando, y esto es lo que separa a
la estadística de la adivinación, una medida de la incertidumbre de la
predicción: la probabilidad de error.
Según se ha visto en los capítulos anteriores, la unión entre los rudimentarios
métodos estadísticos de Laplace y Gauss, confinados al espacio de la
astronomía, y la ciencia del Estado, circunscrita al campo de la demografía y
la incipiente ciencia social, se produjo a caballo entre los siglos XIX y XX en
el terreno intermedio de la biología, ya que la evolución se reformuló como
problema estadístico gracias al influjo de la eugenesia y la biometría.
La estadística prefisheriana, dominada por ese titán llamado Karl Pearson, se
encontraba en la siguiente situación. En estadística descriptiva, aunque no se
distinguía claramente entre población y muestra, se conocían las
representaciones gráficas más comunes (diagrama de barras, histograma, diagrama
de dispersión, etc.,) y se calculaban las principales medidas de centralización
(media, mediana, moda), dispersión (la desviación típica, aunque no era la
única medida), posición (cuartales y percentiles) y forma (asimetría y
curtosis). El viaje desde el análisis exploratorio de los datos al dominio de
la teoría matemática de la probabilidad se realizaba mediante el ajuste de
distribuciones teóricas, la curva normal o las curvas de Pearson, sobre las
distribuciones de frecuencias observadas, por medio del método de mínimos
cuadrados y del método de los momentos. La bondad del ajuste podía comprobarse
mediante ese gran invento que era el test de la Χ2. Finalmente,
el establecimiento de inferencias estadísticas solo contaba con dos métodos
expeditos: las predicciones fundadas en el análisis de la regresión y la
correlación; y, en especial, los métodos inversos de probabilidad, mayoritarios
desde el tiempo de Laplace y basados en el teorema de Bayes (la inferencia bayesiana
o subjetiva).
Fisher vendría a rellenar el vacío de este importantísimo cajón planteando gran
parte de los métodos de estimación e inferencia hoy clásicos (la inferencia
frecuentista u objetiva). Si Pearson había enseñado cómo extraer información
relevante de la maraña de dúos. Fisher mostró cómo conocer el todo (la
población) observando la parte (la muestra). Él fue el arquitecto que afianzó
definitivamente el puente entre la estadística descriptiva y la estadística
inferencial, atando esta última a la matemática, lo que insufló nuevos aires a
la disciplina.
Y lo que es más importante. Fisher estructuró las etapas del método
estadístico. Al análisis exploratorio inicial de los datos disponibles y la
construcción de un modelo probabilístico tentativo, le seguiría una fase de
estimación de los parámetros desconocidos del modelo poblacional a partir de la
muestra observada y, finalmente, otra fase de ajuste entre el modelo y la
realidad por medio de los test de significación y el diseño de experimentos. Con
Fisher puede decirse que culminó el cierre del cuerpo metodológico básico de la
estadística: la elección del modelo teórico a partir de los datos empíricos, la
deducción matemática de las propiedades del mismo, la estimación de los
parámetros desconocidos y la validación final del modelo mediante un test
experimental. Esta aproximación, en la que se recoge información de los
resultados de un experimento y a partir de ellos se intenta sacar conclusiones,
es el núcleo de la inferencia estadística, que a diferencia del cálculo de
probabilidades no es un razonamiento deductivo sino inductivo, sometido a
cierto error que se busca cuantificar.
Problemas y criterios de la inferencia
En 1919, Fisher aceptó un puesto como asesor estadístico en la Estación
Agrícola Experimental de Rothamsted, tras rechazar la oferta de trabajo de Karl
Pearson en el Laboratorio Galton para no tener que sufrir su supervisión, ya
que las diferencias entre arribos estaban lejos de limarse. Con veintinueve
años se trasladó, junto con su esposa e hijos, a vivir a una vieja granja al
norte de Londres, cercana a la estación. Los dueños, fabricantes de abonos, le
habían contratado con la intención de que pusiera orden en la enorme cantidad
de datos que se habían ido recopilando durante los años de funcionamiento del
centro. El tiempo demostraría que la decisión tomada fue la acertada. Sir
Edward John Russell (1872-1966), responsable de la estación, mantenía una
atmósfera de libertad que estimulaba el intercambio científico entre biólogos,
químicos y estadísticos. Fisher se convirtió en un investigador agrario
infatigable, y entre la granja y la estación germinaron sus ideas más geniales,
sin dejar de lado ninguna parcela de la estadística.
En su artículo seminal titulado «Sobre los fundamentos matemáticos de la
estadística teórica» (leído en la Royal Society de Londres en 1921 y publicado
en 1922), Fisher acuñó la nomenclatura hoy habitual en cualquier manual de
inferencia estadística. Por ejemplo: el término parámetro, en
su sentido estadístico moderno, aparece por vez primera y se menciona hasta 57
veces. Una afirmación errónea que hiciera el astrofísico Arthur S. Eddington en
su libro Movimientos estelares (1914), junto a varias
preguntas formuladas epistolarmente por Pearson antes de que cortaran el
contacto, fueron el punto de partida que espoleó a Fisher para estudiar la
cuestión de la estimación estadística en detalle.
Este artículo fundacional arranca señalando que el objeto de los métodos
estadísticos es la «reducción» de los datos: expresar toda la información
relevante contenida en la muestra sobre la población por medio de unos pocos
valores numéricos. Inmediatamente después, Fisher ponía de relieve la noción de
«modelo estadístico», que posibilitaba distinguir con claridad entre una
población (real o hipotética) y una muestra suya, un par de conceptos
conjugados cuya raya de separación había estado hasta el momento difuminada.
Los datos disponibles han de considerarse como una muestra aleatoria
proveniente de una población, cuya distribución con respecto a la
característica bajo estudio viene especificada por una lista de parámetros que
se denotan con letras griegas (por ejemplo, el parámetro θ). En verdad, para
cada posible valor de los parámetros, se tiene una población distinta, de modo
que la pregunta central que se formula cada estadístico es, a saber ¿a cuál de
las infinitas poblaciones posibles pertenece esta muestra que tengo delante?
A continuación, Fisher indicó las tres clases de problemas matemáticos a que se
enfrenta la inferencia estadística. En primer lugar, los problemas de
«especificación», que consisten en definir e! modelo poblacional, es decir, la
familia de distribuciones dependientes de uno o más parámetros θ de la que se
extraen (supuestamente) las muestras. En segundo lugar, los problemas de
«estimación», que por ser el eje principal de la inferencia estadística se
explican más adelante en detalle. Y en tercer y último lugar, los problemas de
«distribución», cuyo propósito es deducir exactamente la distribución de un
estadístico en el muestreo a partir de la distribución de la población, que se
supone conocida. Las distribuciones muestrales determinan la probabilidad con
que cierto estadístico toma valores entre dos límites prefijados
(equivalentemente, la frecuencia relativa con que los toma cuando el proceso de
muestreo se repite indefinidamente). La resolución de esta clase de problemas
es, en cierto modo, un requisito previo a la inferencia, pues permite hallar el
error estándar cometido en la estimación, así como comparar los méritos de
varios estimadores entre sí. Posibilita, en suma, calcular la precisión del
estimador y medir la incertidumbre en la predicción del parámetro o parámetros
desconocidos.
Centrándonos en los problemas de la teoría de la estimación, Fisher apuntó que
se trata de la elección del valor del parámetro θ más apropiado basándose en la
muestra o, más exactamente, en los estadísticos, denotados con letras latinas
(como, por ejemplo, T) que se calculan a partir de los datos
observados, ¿Por qué se usaba la media muestral
Una primera propiedad que parecía natural exigir a la hora de estimar un
parámetro θ mediante un estadístico T era que fuera
consistente», es decir, que T convergiera en probabilidad al
verdadero valor de θ conforme el tamaño de la muestra aumentara. En
consecuencia, si la muestra era grande, el valor de T coincidiría
muy probablemente con el de θ. Los estimadores consistentes eran aquellos que
se volvían mejores según crecía el tamaño de la muestra, que tendían a dar el
valor correcto del parámetro.
«Hay que admitir que cualquier inferencia de lo
particular a lo general se realiza con un cierto grado de incertidumbre, pero
esto no es lo mismo que admitir que esa inferencia no pueda ser absolutamente
rigurosa.»
R. .A. Fisher, El diseño de experimentos (1935).
Una segunda propiedad deseable era que T no
solo convergiera al valor real del parámetro θ, sino que lo hiciera de manera
«eficiente», es decir, con el menor error posible. En términos más precisos:
que el error estándar del estimador fuera el mínimo posible (más adelante
veremos que Fisher dio con un método, el método de máxima verosimilitud, para
construir estimadores eficientes).
Finalmente, una tercera condición, más restrictiva que la de eficiencia, era la
propiedad de «suficiencia», que pedía que el estadístico T no
desaprovechara ninguna información contenida en la muestra, que contuviera toda
la información relevante para estimar el parámetro correspondiente. Cuando un
estadístico T era suficiente para θ, ningún otro estimador
proporcionaba más información sobre el parámetro a partir de la muestra.
Además, podía demostrarse que en este caso T era eficiente. La
suficiencia era el criterio supremo, ya que implicaba los otros dos criterios
más débiles (la eficiencia y la consistencia). Cuando se encontraba un
estadístico suficiente, podía afirmarse que el problema de la estimación estaba
completamente resuelto. Por desgracia, no siempre existía un estadístico
suficiente a la hora de estimar un parámetro, como Fisher se vio obligado a
reconocer.
Sesgo y eficiencia
A día de hoy, los tres criterios proporcionados por
Fisher apenas han experimentado modificación, aunque su acción se ha visto
complementada por otros criterios.
El sesgo
Así, se comienza definiendo un estimador T como centrado o
insesgado para el parámetro θ, si para cualquier tamaño muestral, la media de
su distribución en el muestreo es θ. En otras palabras, si el valor esperado
del estadístico T es, precisamente, el valor real de θ. En
otro caso, se dice que el estimador no es centrado, que tiene sesgo.
La eficiencia
Por su parte, se llama eficiencia o precisión de
un estimador al inverso de la varianza de su distribución muestral, es decir,
al inverso del cuadrado de su desviación típica, de su error estándar (el
concepto de varianza como cuadrado de la desviación típica fue
introducido por Fisher en 1918 por ser más cómodo de calcular. La eficiencia o
precisión de un estimador esta, por tanto, ligada a su varianza (ambas
cantidades son inversamente proporcionales entre sí: cuanta más dispersión
tiene un estimador, menos preciso es en sus estimaciones, y recíprocamente.
Este concepto es especialmente relevante para comparar estimadores insesgados,
ya que entre ellos es preferible el más eficiente, el de mínima varianza.
El error cuadrático medio
No obstante, en ocasiones se presenta el dilema de elegir entre dos estimadores
con propiedades contrapuestas; uno de ellos es insesgado, mientras que el otro
es sesgado aunque con menor varianza. En estos casos es razonable elegir aquel
estimador con menor error promedio de predicción del parámetro (formalmente:
con menor error cuadrático medio para el tamaño muestral prefijado, siendo esta
cantidad la suma de la varianza del estimador y del cuadrado de su sesgo). Un
ejemplo de esto nos lo proporciona la estimación de la varianza σ2 de
una población.
En principio, lo más óptimo no es usar la varianza muestral S2 (que
se define como el promedio de las diferencias elevadas al cuadrado de los datos
con respecto a la media) sino la «cuasivarianza» o varianza muestra)
corregida Ŝ2, que a la hora de promediar, en lugar de
dividir por n (el tamaño de la muestra) divide solo por n-1.
La razón estriba en que al trabajar con muestras se calcula la variabilidad en
torno a la media de la propia muestra (no en torno a la media de la población,
que es lo que realmente interesa), y ello tiende a subestimar la variabilidad
de la población total. Al dividir por n-1 se obtiene un valor
ligeramente mayor que estima mejor la dispersión de la población porque el
estadístico resultante resulta ser un estimador insesgado. Sin embargo, desde
el punto de vista del error cuadrático medio, es mejor emplear la varianza
muestral S2 que la cuasivarianza Ŝ2. El
estimador sin corregir es preferible. Finalmente, cuando se dispone de muestras
grandes y no es fácil la obtención de estimadores centrados con alta
eficiencia, el requisito mínimo que se exige aun estimador es que sea, de
acuerdo con Fisher, consistente, entendiendo por ello que se aproxime, al
crecer el tamaño muestral, al verdadero valor del parámetro.
Si equiparamos las estimaciones de varios
estadísticos con los disparos de varios tiradores, podemos comprender mejor
cuáles son lar propiedades que debe cumplir un buen estimador. Los disparos del
tirador A no se desvían hacia ninguna dirección en particular, pero se observa
que están muy dispersos (lo que representa un estimado insesgado pero no
eficiente). Los disparos del tirador B están sesgados hacia la izquierda y,
además, dispersos (estimador sesgado y no eficiente). Los disparos del tirador
C están poco dispersos pero desviados (estimador sesgado y eficiente). Y los
disparos del tirador D están centrados y aglutinados (estimador insesgado y
eficiente), lo que constituye la mejor opción.
El primer método utilizado para construir estimadores fue el método de los
momentos, propuesto por Karl Pearson. La idea era simple: tomar como estimador
de la media de la población la media muestral; de la desviación típica de la
población, la desviación típica de la muestra, y así sucesivamente. En general,
se igualaban los momentos poblacionales con los momentos muestrales, y se
despejaban los parámetros desconocidos.
Una de las fotografías icónicas de Ronald A. Fisher trabajando con una
máquina de calcular, la llamada Millonaire (Fuente fotografía tomada por Antony
Barrington-Brown reproducida en J-F. Box. R. A. Fisher The life of a Scientist,
Nueva York, Wiley, 1976)
En su artículo, Fisher juzgó que la eficiencia de
este método de construcción de estimadores no era la deseada, puesto que muchos
no cumplían las propiedades estipuladas. Los estimadores obtenidos por el
método de los momentos son consistentes, pero no son, en general, eficientes
(centrados con varianza mínima). La ventaja de estos estimadores es, desde
luego, la simplicidad. Su inconveniente es que al no tener en cuenta la
distribución de la población que genera la muestra, no utilizan toda la
información disponible
Desde entonces, Fisher siempre se refirió al método de los momentos de Pearson
como «ese método tradicional pero ineficiente». En su ceguera, Karl Pearson
nunca se dio por vencido e, incluso, en el que sería su último articulo
(publicado póstumamente en 1936 en Biometrika), defendería a
capa y espada las virtudes de su método, comenzando el texto con la siguiente
pregunta retórica: «¿Perdiendo el tiempo ajustando curvas mediante el método de
los momentos, eh?».
Un procedimiento que proporcionaba estimadores con buenas propiedades,
especialmente en muestras grandes, era el método de máxima verosimilitud, que
patentó Fisher y que en germen se encuentra, en su primer artículo publicado,
de 1912. El precedente más directo del método de máxima verosimilitud se halla
en Gauss, aunque también en Daniel Bernoulli, pero la inferencia bayesiana que
impulsó Laplace ensombreció este y otros trabajos. No obstante, Fisher fue
mucho más lejos que estos matemáticos en promocionar su uso como método
universal de construcción de estimadores.
Para entender la noción de fundón de verosimilitud, que Fisher reintrodujo y es
una de las más importantes de la inferencia, hay que distinguir con nitidez dos
conceptos muy parecidos. Sea θ el parámetro poblacional desconocido y
representemos por X la muestra extraída aleatoriamente de la
población. Por un lado se tiene la probabilidad de obtener la muestra X condicionada
a cierto valor de θ que se supone conocido, lo que se denota como P(X|θ)
(con X variable y θ fijo) y determina la probabilidad de
aparición de cada muestra.
En Rothamsted Research, antes llamado Estación Agrícola Experimenta» de
Rothamsted, uno de los centros de investigación en agricultura, más antiguos
del mundo, donde Fisher tuvo ocasión de realizar los experimentos que le
permitirían elaborar el corpus de la teoría estadística.
En cambio, en un problema de estimación, tenemos
una cosa muy distinta: se ha observado la muestra X pero θ es
desconocida. Sin embargo, la función anterior sigue siendo útil, ya que si
sustituimos X por el valor observado, P(X|θ)
proporciona, para cada valor de A, la probabilidad de obtener el valor
muestral X. Cuando variamos θ, manteniendo X fijo,
se obtiene una función que se llama función de verosimilitud y
se designa como L(θ|X), con X fijo y θ
variable. Conviene advertir que, como consecuencia de haber invertido el papel
de X y θ de acuerdo al cambio de óptica que se asume en la
inferencia, la función de verosimilitud ya no tiene por qué ser una
distribución de probabilidad, de modo que, como Fisher no dejó de apuntar, no
obedece las reglas del cálculo de probabilidades (una vez se sustituyen los
valores particulares de la muestra).
El problema de los tanques alemanes
Los estadísticos que durante la Segunda Guerra
Mundial trabajaban para los aliados se toparon con un problema peliagudo: ¿cómo
estimar el número total de tanques fabricados por los alemanes a partir de los
números de serie de los tanques capturados?
Suponiendo que los tanques alemanes habían sido numerados secuencialmente desde
1 hasta N. se trataba de construir un estimador para
N.
Supongamos, por simplificar, que los tanques capturados tenían los siguientes
números de serie: 2, 3, 7,16. A partir de esta muestra se deseaba estimar N, es
decir, el tamaño total de la población de tanques alemanes.
Durante le Segunda Guerra Mundial, la producción de Panzers alemanes fue
estimada con gran precisión por los estadísticos aliados
Por el método de los momentos, para calcular un
estimador de N se igualaba el primer momento poblacional, es
decir, la media poblacional donde se suma 1 porque no hemos empezado a contar
desde 0. con el primer momento muestral, es decir, la media muestral, que es:
igualando ambos valores y despejando N, se
obtenía que la estimación era 13. Sin embargo, por lógica, si en la muestra
había salido seleccionado el tanque número 16, era obvio que un mejor estimador
era el valor máximo observado en la muestra, 16. Los alemanes habían producido,
por lo menos, 16 tanques. No obstante, si solo se consideraba el máximo en la
muestra, la estimación tendía a subestimar el tamaño total de la población,
puesto que el máximo podía ser igual o menor pero nunca mayor que N. En
verdad, el mejor estimador posible venía dado por el estimador eficiente
(insesgado de mínima varianza) cuya fórmula para N era:
m + (m-n)/n
donde m era el mayor número de
serie observado y n el tamaño muestral. Esta fórmula puede
entenderse como la suma del máximo en la muestra más el «hueco medio» en la
muestra. Al valor mayor se le añade el promedio de los huecos entre las
observaciones que tenemos, pensando que a continuación suyo debe de haber
tantos elementos como más o menos hay entre los valores de que disponemos En
nuestro ejemplo, la mejor estimación para N sería:
16 + (16 - 4)/4 = 19 tanques en total
Esta función representa el estado de nuestra información con respecto al
parámetro de la población. En efecto, en lugar de suponer que conocemos θ y
calculamos las probabilidades de observar distintas muestras X, suponemos
que hemos observado una muestra X concreta y evaluamos la
verosimilitud de los posibles valores de θ. La función de verosimilitud es la
herramienta clave para juzgarla compatibilidad entre los valores muestrales
observados y los posibles valores del parámetro.
La intuición de Fisher radicó en escoger como estimación de θ aquel valor que
haga máxima la probabilidad de aparición de los valores muestrales
efectivamente observados. En otras palabras: se trata de seleccionar como
estimador del parámetro aquel valor que maximiza la probabilidad de lo
efectivamente ocurrido, de observar los datos que realmente fueron observados.
Esto conduce a determinar el máximo de la función de verosimilitud, de manera
que se elige como estimador de θ aquel valor que otorgue valor máximo a la
función L(θ|X). Bajo ciertas condiciones de regularidad, los
estimadores máximo-verosímiles son asintóticamente centrados y eficientes
(conforme crece el tamaño de la muestra el sesgo tiende a cero y la varianza a
su mínimo) y suficientes (si existe un estadístico así para el problema
concreto bajo estudio).
Una moneda trucada
Consideremos una moneda de la que se desconoce la
probabilidad p de que al lanzada salga cara. La moneda se
lanza cuatro veces y se obtiene la siguiente serie: CXCC (cara-cruz-cara-cara).
Por el cálculo de probabilidades sabemos que
P(CXCC|p)
= p3(1-p)
Por tanto, la función de verosimilitud es:
L(p|CXCC)
= p3(1-p)
Esta expresión nos permite intuir, por ejemplo, que
el valor 0.6 para p es más verosímil que el valor 0.5 dado que L(0.6|CXCC)
= 0,0864 y L(0.5|CXCC) = 0,0625. La función de verosimilitud
permite discriminar qué valores del parámetro p son más
verosímiles a la luz de los datos disponibles. Mediante un cálculo no
excesivamente complejo puede demostrarse que la función de verosimilitud
alcanza su máximo para el valor 0.75. Nuestra estimación a partir de la muestra
observada seria, en consecuencia, que p = 0,75. En esencia,
esta es la base del método de estimación de parámetros por máxima
verosimilitud.
Este método era el que Fisher había empleado en el artículo de 1915 que Karl
Pearson había criticado con extrema dureza. Nada tenía que ver con el teorema
de Bayes. Para estimar el coeficiente de correlación p de toda
una población, Fisher había elegido aquel valor que maximizaba la probabilidad
de obtener el coeficiente de correlación r observado en la
muestra, es decir, el máximo de la función de verosimilitud.
La noción de modelo estadístico, los tres tipos de problemas en inferencia
(especificación, estimación, distribución), los tres criterios de estimación
(consistencia, eficiencia, suficiencia) y el método de máxima verosimilitud
aportaron el marco para el programa de investigación que ha dominado la
estadística teórica o matemática durante todo el siglo XX, aunque el carácter
vago y elusivo de muchas de las demostraciones dadas por Fisher dio bastantes
quebraderos de cabeza a los matemáticos de las décadas siguientes. La aparición
de esta celebrada memoria de Fisher abrió, desde luego, una nueva era en la
estadística, consagrando una larga serie de términos (parámetro, estadístico,
estimador, etc.) que desde entonces forman parte ineludible de la literatura
estadística.
«Métodos estadísticos para investigadores»
Entre los veranos de 1923 y 1924, Fisher escribió Métodos estadísticos
para investigadores, un libro que vio la luz en 1925 y hasta la fecha
ha sido reeditado en catorce ocasiones. Se trata de su obra más influyente y
popular. Da la impresión de ser más un manual para aprendices que un libro de
texto, a tenor del estilo persuasivo y la característica ausencia de
demostraciones matemáticas. Tal vez en esto radicó su gran éxito. Problemas
prácticos, técnicos, teóricos y filosóficos se discuten en el libro a través de
ejemplos numéricos muy ilustrativos. Fisher fue un gran matemático aplicado,
pero concebía la estadística como una disciplina que no solo necesita del
razonamiento deductivo típico de las matemáticas, sino también del razonamiento
inductivo que sabe hacer el científico experimentado a partir de los datos que
maneja.
El libro contenía una introducción al tema, en la que Fisher mantenía que la
estadística no era sino matemática aplicada a los datos observacionales. La
estadística se interesaba por el estudio de poblaciones de individuos,
moléculas o medidas, fijándose en su variabilidad y en la posibilidad de
reducir o simplificar los datos de partida, de extraer toda la información
relevante que contuvieran sobre la población subyacente. En su examen de las
muestras disponibles, el estadístico realizaba inferencias sobre la población
total, pero estas no debían venir expresadas —según subrayaba Fisher con tono
agresivo— en el lenguaje de la probabilidad (como querían los partidarios del
teorema de Bayes y los métodos inversos de probabilidad) sino, en todo caso, en
el lenguaje de la verosimilitud.
A través de los capítulos del libro, Fisher recorría lo que actualmente
comprende un curso básico de inferencia estadística. Es de destacar que el
autor comenzaba apoyándose en el uso de diagramas. A su entender, su
observación no probaba nada, pero frecuentemente sugería cómo comenzar el
análisis. Tras repasar las distribuciones de probabilidad fundamentales
(normal, binomial y Poisson), presentaba la receta estadística que era la
piedra angular de la obra; los «test de significación».
Cada sección del libro dedicada a los test de significación en sus diferentes
modalidades (de ajuste, homogeneidad e independencia, para la media, la
diferencia de medias o los coeficientes de regresión y correlación) arrancaba
con un conjunto de datos con los cuales se había topado en el curso de alguna
investigación. Por medio de su disección y explicación, Fisher conducía al
lector a través de las diferentes etapas del razonamiento estadístico que
llevaban a la solución del problema. El planteamiento de los test estaba basado
en el conocimiento de las distribuciones muestrales de poblaciones normales,
deducidas con anterioridad por él mismo y otros especialistas en artículos
matemáticos que no habían llegado al público de investigadores biológicos o
agrónomos. En el libro, Fisher usaba con asiduidad la Χ2 de
Pearson, la t de Student y una distribución nueva, que a
partir de 1934 sería conocida como la F de Fisher-Snedecor, por
el matemático estadounidense George Snedecor (1881-1974), que precisó la
aproximación logarítmica («log-normal») que en principio empleara Fisher.
Pero, ¿en qué consistía un test de significación? Una prueba de significación
constaba, en primer lugar, de una hipótesis nula H0 que
establecía, por ejemplo, que el verdadero valor del parámetro desconocido era
tal o cual; θ = θ0. La hipótesis de partida del investigador fue
bautizada con este nombre por Fisher en 1935 porque en agricultura representaba
que no había cambio alguno con el uso de un nuevo fertilizante, que este no
tenía efecto, esto es, que la diferencia entre los promedios de crecimiento
usándolo y no usándolo era nula.
A continuación, tras delimitar la hipótesis nula que se deseaba poner a prueba,
se elegía el estadístico T del test y se calculaba su valor
sobre los datos de la muestra X observada, lo que se denotaba
como T(X). Dado que la distribución en el maestreo del
estadístico T era conocida, se determinaba la probabilidad de
que el estadístico T tomase un valor igual o más extremo que
el valor observado T(X) bajo el supuesto de que la hipótesis
nula era cierta (es decir, bajo la suposición de que el valor real del
parámetro θ era θ0). Simbólicamente: P(T ≥ T(X)|H0,).
Este número, se denominó p-valor. Entonces, si el p-valor era
excesivamente pequeño, en general, por debajo de 0,05, el test se decía que era
significativo, porque permitía rechazar la hipótesis nula H0. En
otro caso, el test no era significativo y, para el nivel de significación
prefijado de α = 0,05, no podía rechazarse la hipótesis nula y se aceptaba
provisionalmente.
«Todo experimento se plantea a fin de dar a los
hechos una posibilidad de refutar la hipótesis nula.»
Fisher, El Diseño de los experimentos (1936).
La hipótesis nula solo se rechazaba si la
probabilidad de observar una muestra como la dada era demasiado baja. El
razonamiento estadístico se basaba en la siguiente disyunción lógica «o bien
ha ocurrido un suceso excepcional (muy improbable), o bien la hipótesis nula no
es correcta», empleando palabras del propio Fisher. El p-valor o
probabilidad de significación, que en la época no siempre era fácilmente
computable, funcionaba para Fisher como una suerte de medida de la evidencia en
contra de la hipótesis nula: cuanto menor fuese, más evidencia en contra de la
hipótesis se disponía. Un valor demasiado pequeño indicaba que la muestra
observada se separaba de lo esperado mucho más de lo que sería achacable al
azar, a las circunstancias del muestreo aleatorio, y por tanto el investigador
se encontraba ante una hipótesis nula inverosímil, descartable.
Pongamos una ilustración sencilla para fijar ideas. Supongamos que
suministramos un nuevo fertilizante a 20 plantas y observamos su crecimiento
durante cierto período de tiempo, de manera que medimos si con el nuevo
fertilizante han experimentado un aumento (+) o una disminución (-) en el ritmo
de crecimiento con respecto al que tenían antes de usarlo. Nuestra hipótesis
nula es que el fertilizante no tiene efecto positivo alguno,
es decir, que la distribución entre los aumentos (+) y las disminuciones (-) va
a ser completamente azarosa, como si se tratara de las caras y las cruces
obtenidas al lanzar una moneda legal, perfectamente simétrica. Por consiguiente,
de acuerdo con la hipótesis nula la probabilidad de + será igual a la
probabilidad de -, esto es, θ = 0,5. Imaginemos que, tras realizar el
experimento, observamos 16 + y solo 4-. Si elegimos como estadístico T del
test el número de + obtenidos, resulta que la
probabilidad de obtener 16 + o más bajo el supuesto de que la
probabilidad de observar un aumento es de 0,5 es, según puede calcularse
fácilmente (véase la tabla siguiente), de solo 0,006.
Formalmente: P(T ≥ 16(H0) = 0,006. Como
este p-valor es inferior al umbral de α = 0,05, el test es
significativo y podemos rechazar la hipótesis nula de partida; hay evidencia
empírica en contra de la hipótesis de que el fertilizante no tenía efecto, es
más, todo parece apuntar a que estimula el crecimiento de las plantas.
Frente a la creencia común en su entorno, Fisher
apuntaba que era el p-valor y no el valor concreto T(X) del
estadístico del test Χ2 que constituía una medida
del sustrato racional en contra de la hipótesis nula Así, por ejemplo, el valor
particular del estadístico y el calculado para medir la discrepancia entre una
serie de valores teóricos y los datos observados no permitía cuantificar el
grado de asociación entre ambas series de valores (lo que sí haría el
coeficiente de correlación), porque un mismo valor del estadístico podía ser
significativo para una muestra grande pero insignificante para una muestra
pequeña. Además, Fisher alertó de que el nivel de significación a no había de
ser fijo, rígido. Pero la advertencia pronto cayó en el olvido y se generalizó
el uso de 0,05, al punto de no considerar significativo un p-valor de
0,061 y sí otro de 0,049. La elección de este valor frontera no es una cuestión
matemática, fijada universalmente, sino que depende del contexto pragmático: si
se trata de la prueba de un nuevo fármaco, un nivel de significación del 0,05
implica que se corre un riesgo del 5% de afirmar que el fármaco es eficaz
cuando en realidad no lo es (en este caso, como en otros, un nivel del 0,01 o
0,001 puede ser mucho más adecuado).
En suma, los test de significación ideados por Fisher eran, en el fondo, una
especie de modus tollens estadístico. El modus tollens tradicional
poseía la siguiente estructura:
Si A, entonces B.
NoB.
Luego, no A.
Y la nueva versión estadística era;
Si la hipótesis nula H0 es correcta, entonces los datos
observados no serán estadísticamente significativos al nivel α = 0,05 <m una
alta probabilidad de 1 - α = 0,95.
La muestra observada X es estadísticamente significativa al nivel de α
= 0,05.
Luego, la hipótesis nula H0 no es correcta.
Ahora bien, la principal diferencia entre el
razonamiento lógico y el razonamiento estadístico es que este último es
falible, en el sentido de que no siempre es seguro, pues puede fallar, ya que
existe una probabilidad de 0,06 de que por error se rechace la hipótesis nula
siendo en verdad correcta. Para sus críticos, esta es la peculiaridad que hace
que los test de significación carezcan de fuerza lógica. Podemos rechazar la
hipótesis nula y que, sin embargo, sea verdadera Los test de significación no podrían,
por tanto, inferir la falsedad o la verdad de la hipótesis de partida. Fisher
estaría confundiendo los sucesos improbables con sucesos imposibles. No
obstante, lo que diferencia a la estadística de la adivinación es, reiterando
lo dicho al principio del capítulo, la capacidad para cuantificar con precisión
esta probabilidad de error.
Fisher describía los test de significación como un procedimiento para rechazar
la hipótesis nula, que en ningún caso podía ser probada o establecida
definitivamente. Este planteamiento refutacionista era coherente con la
corriente falsacionista que poco después encabezó el filósofo de la ciencia
Karl Popper (1902- 1994). Tanto para el estadístico como para el filósofo, la
ciencia se caracterizaba por el planteamiento de pruebas empíricas que pudiesen
refutar o falsar las teorías que conjeturan los científicos. No deja de ser
sorprendente que el libro El diseño de experimentos de Fisher,
que ahonda en este tema y del que hablaremos más abajo, se publicara el mismo
año, 1935, en que Popper dio a la imprenta su obra maestra: La lógica
del descubrimiento científico (aunque el filósofo nunca citó al
estadístico). La propuesta metodológica de Fisher era una especie de
falsacionismo aplicado a la estadística: se trata de rechazar aquellas
hipótesis para las cuales las observaciones sean relativamente inverosímiles
(aunque la decisión de rechazar es, desde luego, revisable sobre la base de
nuevos hechos). Aquello que distanciaba al estadístico británico del filósofo
vienés era que, para nuestro protagonista, los test de significación, aunque
metodológicamente deductivos (si tal, tal; no tal, ergo rechazamos H0),
eran inductivos por su contenido, pues permitían aprender de la experiencia,
aunque siempre de una manera provisional. La hipótesis nula nunca se
confirmaba, pero era posible refutarla. Si el test era significativo, la
hipótesis era implausible ala luz de los datos; y si no lo era, no indicaba más
que la hipótesis era compatible con los datos. No rechazar no quería decir,
salvo que se tratara de una batería de test sucesivamente no significativos,
aceptar. Ningún experimento aislado demostraba para Fisher una ley natural.
Como ampliaremos en el capítulo 5, la aproximación fisheriana presentaba
algunas lagunas. En muchas ocasiones, la evidencia en contra de la hipótesis
nula sugería evidencia a favor de cierta hipótesis alternativa, que Fisher no
tomaba nunca en consideración dentro de los test de significación. Asimismo, el
matemático inglés no hacía demasiado hincapié en el cálculo y la importancia de
las probabilidades de error. Finalmente, otra dificultad que salía al paso era
la cuestión técnica de qué estadístico elegir para cada test. Una elección,
ciertamente, subjetiva, aunque bastante estandarizada. Fisher afirmó que había
que agarrarse al principio de suficiencia, eligiendo un estadístico suficiente,
es decir, como vimos, un estadístico que contuviera toda la información
relevante de la muestra. Pero, desafortunadamente, la mayoría de estadísticos
que Fisher empleaba en su libro I no cumplían esa propiedad tan deseable (como,
por ejemplo, el estadístico Χ2).
A mediados de 1929, Egon S. Pearson (1895-1980), hijo de Karl Pearson y
prometedor estadístico por aquel entonces, publicó una reseña sin firmar de la
segunda edición del libro en Nature que puso furioso a Fisher.
Las relaciones entre Pearson hijo y Fisher no volvieron a ser cordiales.
Probablemente, este último pensó que Pearson padre estaba malmetiendo detrás.
La principal crítica formulada por Egon era que Fisher siempre presuponía que
la población subyacente era normal, y la exactitud de los test se venía abajo
si esa premisa no era cierta. Curiosamente, Student le había insistido a Fisher
sobre este tema por carta, pero este se había hecho oídos sordos. Sería Egon Pearson,
espoleado también por Student, el que mediante simulación, es decir, mediante
tablas de números aleatorios, probara que muchos test basados en el
conocimiento de las distribuciones en el muestreo de poblaciones normales
podían seguir empleándose, porque la omnipresente distribución t era
robusta, estable aun si desaparecía el supuesto de normalidad.
«ANOVA»
Aparte de las pruebas de significación, el libro de
Fisher presentaba el análisis de la varianza, otra novedosa técnica
estadística, conocida mundialmente por sus siglas en ingles: ANOVA. Mediante
los test de significación se podía comparar la efectividad de un fertilizante
con respecto a no usarlo o a otro distinto. Esto que en la jerga estadística se
conoce como test sobre la diferencia de medias (en el anexo al
final del libro se presenta un ejemplo numérico). Pero, ¿cómo proceder si
queremos comparar tres o más fertilizantes, es decir, poner a pruebo la
hipótesis de que tres o mas medias son iguales? Una primera respuesta, bastante
ineficiente, seria comparar los efectos de los tres fertilizantes A, B y C, dos
a dos: A y B; A y C, B y C. Pero, para un nivel de significación fijo de α
=0.05, hacer tres pruebas incrementa la probabilidad de error más allá de lo
tolerable; P (algún error en los tres test) =1 - P (ningún
error en los tres test) = 1 -0.953 = 1 - 0.86 = 0.14. La
probabilidad de cometer algún error a la hora de rechazar la hipótesis nula de
que no hay diferencias es de casi tres veces lo esperado: de 0.14 en vez de
0,05. Si en lugar de tres fertilizantes fuesen cuatro, habría que realizar seis
pruebas lo que empieza a ser demasiado costoso. Para solventar estos escollos,
Fisher ideó el análisis de la varianza, que mediante la comparación de las
varianzas muestrales, de ahí el nombre, permite sacar alguna conclusión sobre
los valores relativos de las medias poblacionales. Supongamos que se han
rociado seis parcelas con tres tratamientos diferentes A, B y C (dos parcelas
para cada fertilizante), Se observa el rendimiento de cada parcela y se calcula
el promedio de productividad de cada tratamiento:
A continuación, se calcula la gran media, la media
total:
Media = (11 + 6 + 1 + 9 + 5 + 3)/6 = 5.83.
En el experimento se pueden identificar tres tipos
de variabilidad: la variación total entre las 6 parcelas (cada una tuvo
rendimientos diferentes): la variación entre tratamientos (A, B y C no tuvieron
el mismo rendimiento), y la variación dentro de cada tratamiento debida al
error o al azar, también llamada variabilidad interna o
residual (no todas las parcelas tratadas con A tuvieron el mismo
resultado). La comparación entre estas fuentes de variación permite discriminar
la igualdad de efectos de A, B y C. Si la variación entre tratamientos no es
del mismo orden que la variación dentro de cada tratamiento, es razonable
suponer que la diferencia sea achacable a los distintos efectos de A, B y C. Y
si esta diferencia es estadísticamente significativa, la hipótesis nula podrá
rechazarse. Esta diferencia entre la variación «entre» tratamientos y la
variación «dentro» de cada tratamiento es, precisamente, lo que mide el
análisis de la varianza mediante el cociente de varianzas, cuya distribución es
la F de Fisher-Snedecot. Parte del éxito del análisis de la
varianza se debe a su presentación en forma de tabla. Como la variación total
es igual a la suma de la variación de cada tratamiento más la variación debida
al error dentro de cada tratamiento, la suma de cuadrados total (SCT de cada
observación respecto de la gran media, puede descomponerse como la suma de
cuadrados de los tratamientos (SCTR), entre la media de cada tratamiento y la
gran media, más la suma de cuadrados del error (SCE), de cada observación respecto
de la media de su tratamiento:
SCT= (11 - 5,83)2 + (6 - 5.83)2 +
… + (3 - 5.83)2 = 68,83.
SCTR = 2 (10 - 5,83)2 + 2 (5,5 -
5.83)2 + 2 (2 - 5,83) = 64.33.
SCE = (11 - 10)2 + (6 - 5.5)2 +....
+ (3 - 2)2 = 4,5.
SCT = 68.83 = 64,33 + 4,5 = SCTR + SCE
Después de obtener las sumas de cuadrados, hay que
calcular los promedios respectivos, dividiendo cada cantidad por su número de
grados de libertad, es decir, por el número de datos menos 1. En nuestro
ejemplo. SCT se divide entre 6-1 = 5 (ya que había 6 observaciones); SCTR entre
3 - 1 = 2 (ya que eran 3 tratamientos), y, finalmente, SCE por el número de
grados de libertad que salen de despejar en la igualdad SCT=SCTR + SCE. Esto
es: SCE = SCT - SCTR = 5 -2 = 3, que coincide con la diferencia entre el número
de observaciones y el número de tratamientos. El cálculo de los cuadrados
medios lo resumía Fisher en una tabla como la siguiente, donde también se
calculaba el valor de la razón F entre los cuadrados medios de
los tratamientos y del error.
Por último, como el p-valor o
probabilidad de que una distribución F con 2 y 3 grados de libertad tome un
valor igual o superior a 21,44 es, según se muestra en las tablas, de 0,02, que
es menor que 0,05, puede rechazarse la hipótesis de que los tres fertilizantes
actúan de igual manera. Es más, según los datos parece que el fertilizante A
es, pese al poco tamaño de la muestra, el más beneficioso.
Una actuación emparentada con la que en su día Student usara para comprobar la
adecuación empírica de su distribución t, aunque este último no
disponía de tablas al efecto y hubo de conformarse con barajar cartas con
números extraídos de la medida de la estatura y la longitud del dedo corazón de
3000 criminales. Actualmente, una variante de este método recibe el luminoso
nombre de método de Monte-Carlo.
La circulación de Métodos estadísticos para investigadores dictaminó
el fin de la edad de la correlación y el ajuste de curvas. Hasta Fisher, los
estadísticos dedicaban la mayor parte de sus esfuerzos al cálculo de
coeficientes, siguiendo el ejemplo de Karl Pearson. Pero una confusión crucial
permeaba toda su investigación. En general, no distinguían entre el problema de
la estimación del valor del coeficiente, es decir, del grado de asociación
entre dos o más variables, y el problema adjunto de testear la significación de
esta asociación, su posible existencia. Además, Fisher revitalizó, frente a la
escuela abanderada por Pearson, el empleo de muestras de tamaño modesto,
transformando los métodos estadísticos en algo vivo, rotundo y bien trabado.
«El diseño de experimentos»
En la última sección de Métodos estadísticos para investigadores, Fisher
discutía y ejemplificaba el diseño de experimentos en agricultura, un campo a
medio camino entre el laboratorio y el invernadero con el que se había
familiarizado gracias a su estancia en Rothamsted. Poco después, dentro de un
artículo publicado en 1926, perfilaba aún más las líneas maestras que debían
regir cualquier experimento. La tormenta de ideas precipitó en otro best-
seller: El diseño de experimentos, que salió de la imprenta en 1935 y
en el que Fisher recogió los principios básicos del diseño experimental tal y
como los había pergeñado durante los años veinte. Esta obra innovadora conoció
ocho reediciones, y se trata más bien de un libro de ideas que de cálculos, que
ha tenido una gran repercusión en la investigación agraria y, en general,
experimental.
La estadística, según enseñó Fisher, es necesaria para saber cómo implementar
pruebas que respondan a preguntas del siguiente cariz: ¿qué fertilizante es
mejor?, ¿cuál de estos medicamentos es más eficaz?, etcétera. A veces no es
posible contestarlas mediante estudios concretos que analicen la acción del
fertilizante o del medicamento en el metabolismo de la planta o del organismo
en cuestión, sino que es más seguro recoger datos y comparar resultados. Ahora
bien, la recogida de datos puede llegar a ser un proceso de lo más arduo tanto
si el experimento encaminado a producirlos no se ha diseñado con cuidado como
si el científico no es ducho en interpretar su resultado. De la primera falla,
como aclaraba Fisher, se ocupa el diseño de experimentos. De la segunda, la
lógica de la inferencia científica. Para el estadístico, el diseño y la lógica
son las dos caras de la misma moneda.
La exploración del mundo biológico requiere obligatoriamente de la realización
de experimentos controlados. No basta con la observación pasiva. Las técnicas
de muestreo consisten en observar una muestra representativa de la población,
anotando los valores de las variables bajo estudio. Por el contrario, el diseño
de experimentos fija ciertas variables y observa la respuesta en otras, midiendo
los cambios que inducen. Cuando los datos se obtienen mediante un adecuado
diseño experimental, se tiene una base empírica más sólida para juzgar las
relaciones que median entre las variables.
Los objetos que reciben el «tratamiento», un nombre, ligado al uso de
fertilizantes, que ha perdurado, son las unidades experimentales. En el caso de
un experimento agrícola, las unidades experimentales son las parcelas o las
variedades de plantas tomadas en consideración. Por su parte, el factor es la
variable cuyo impacto en tales unidades desea medirse. Cualquier experimento
bien planeado debe fijarse, siguiendo a Fisher, no sólo en la comparación entre
los distintos tratamientos, sino también en poner a prueba la significación de
las diferencias observadas por medio de un test estadístico. En consecuencia,
todos los tratamientos han de aparecer al menos por duplicado y,
preferiblemente, repetidos varias veces. Si queremos comparar los tratamientos
A yB, lo idóneo es aplicarlos simultáneamente sobre varios pares de parcelas.
Jugárselo todo a una carta, a un único par de parcelas, es demasiado arriesgado
y puede conducir a conclusiones erróneas, ya que la muestra no tiene por qué
ser representativa. Pudiera ser que la diferencia observada entre los
tratamientos A y B se debiera simplemente a la distinta fertilidad de la tierra
de cada parcela y no, pongamos por caso, a que A fuera más beneficioso que B.
El principio de repetición o replicación formulado por Fisher servía, por
tanto, para acotar el error experimental, es decir, la variación aleatoria o
azarosa que escapa al control del experimentador (como que los suelos de las
parcelas sobre las que se ha aplicado A y B tengan distinta
fertilidad).
«Consultar a un estadístico después de que haya
concluido el experimento es, muy a menudo, pedirle que realice un examen
post-mortem. Quizá pueda decir de qué murió el experimento.»
Intervención de Fisher en el Primer Congreso Indio de Estadística (1938).
En la tesitura de diseñar un experimento el
científico ignora un sinfín de factores que pueden influir en el resultado. Es
incapaz de dominar todas las causas que pueden estar operando detrás. Así, por
ejemplo, si desea probar un nuevo fertilizante, no es sensato comparar el
crecimiento de las plantas a las que se le va a suministrar en un invernadero
con el de plantas de años anteriores o de otros invernaderos, que han podido
crecer o están creciendo en ambientes desiguales. Lo suyo es comparar el crecimiento
en el mismo invernadero entre dos grupos de plantas: un grupo A al que se le
suministra el compuesto químico y otro grupo B, denominado grupo
control, al que no se le suministra. El científico podría inicialmente
inclinarse por plantar los dos grupos de plantas en dos surcos paralelos: el A
a la derecha, el B a la izquierda. Pero al hacerlo de este modo podría ser que
diversos factores desconocidos, la incidencia solar en cada surco o las
corrientes de aire en el interior del invernadero, influyeran en el crecimiento
de las plantas enmascarando el verdadero efecto del fertilizante. El
instrumento más general para evitar estas desviaciones es lo que Fisher
denominó principio de aleatorización. Cada pareja de plantas
de tipo A y B ha de irse colocando en los surcos de manera aleatoria. Se puede
tirar una moneda, de forma que si sale cara, se coloca la primera planta A a la
derecha y la primera planta B a la izquierda Recíprocamente, si sale cruz, se
coloca la planta A a la izquierda y la planta B a la derecha. Y así
sucesivamente. Mediante este procedimiento, cualquier diferencia significativa
en el crecimiento entre los dos grupos de plantas podrá ser achacada al nuevo
fertilizante.
Hasta Fisher, la asignación de tratamientos se realizaba sistemáticamente, lo
que podía viciar los resultados. Aleatorizar no cuesta nada y protege contra la
influencia de posibles factores conocidos e incluso desconocidos, eliminando
las causas de variación fortuita que pueden oscurecer o empañar la evidencia.
Sin aleatorizar hubiera podido darse el caso de que el surco seleccionado para
plantar el grupo A fuese, sin saberlo, de mayor productividad que el elegido
para plantar el grupo B, de manera que la heterogeneidad del suelo camuflase el
verdadero efecto del nuevo fertilizante. De hecho, tal y como se habían tomado
los dalos en Rothamsted, la influencia de las lluvias y de la meteorología en
general enmascaraba la posible influencia de los abonos y fertilizantes que se
estaban probando en las cosechas. Ambos factores estaban confundidos. Fisher no
solo dijo qué andaba mal, sino que explicó cómo hacerlo bien. Inesperadamente,
con motivo de la aleatorización como forma de neutralizar factores externos.
Fisher estuvo a punto de romper con su viejo amigo Student (aunque el obituario
que le escribiría en 1937 se desarrollaría en términos muy elogiosos). Este
principio desencadenó bastante controversia, puesto que muchos científicos
pensaban que, dado que conocían el material que tenían entre manos, era
preferible un experimento sistemático, sin darse cuenta de que con ello
condenaban el uso de los test de significación, que requieren de muestras
aleatorias.
En ocasiones el diseño completamente aleatorizado de experimentos tropieza con
un escollo difícil de salvar la heterogeneidad de las unidades experimentales
(por ejemplo, del terreno de las parcelas). La asignación aleatoria de los
tratamientos a las unidades experimentales presupone que todas son homogéneas
entre sí. Si esta última condición no se cumple, hay que clasificarlas por bloques
(dentro de los cuales se aplicarán aleatoriamente todos los tratamientos,
claro). La razón de agrupar en bloques es evidente: cuanto más heterogéneas son
las unidades, mayor es el error experimental y menor la oportunidad de detectar
diferencias significativas atribuidles a los diferentes tratamientos. El
agrupamiento «bloquea» ese factor externo que provoca una variación en la
respuesta que no es de interés, porque no depende de la reacción a los
fertilizantes sino, por ejemplo, de las distintas variedades de suelos a los
que se les han suministrado. Es lo que Fisher denominó diseño
aleatorizado por bloques.
Imaginemos que se desea probar cinco tratamientos (A, B, C, D y E) sobre 29
parcelas. Una preparación aleatorizada sería, por ejemplo: B, C, A, C, E, E, E,
A, D, A, B, C, B, D, D, B, A, D, C, E, donde cada tratamiento es probado cuatro
veces. No obstante, es posible establecer restricciones sobre el diseño
completamente aleatorizado del experimento que eliminen parte del efecto debido
a la heterogeneidad de la tierra, al «gradiente de fertilidad», como decía
Fisher, y, por tanto, incrementen la sensibilidad para detectar diferencias
entre tratamientos. Una idea es, prosiguiendo con el ejemplo, dividir las 20
parcelas en 4 bloques según su composición, de manera que en cada bloque
aparezca cada tratamiento una vez: AECBD, CBEDA, ADEBC, CEBAD. (Es conveniente
respetar la aleatorización dentro de cada bloque para evitar sorpresas.) Así,
se reduce la variabilidad final del experimento de manera que es posible
estimar la parte que corresponde a las diferencias entre tratamientos con más
agudeza.
Tanto en el diseño completamente aleatorizado como en el diseño por bloques, la
técnica estadística que proporciona el examen de los datos no es otra que
el análisis de la varianza o una adaptación suya (ANOVA a una
o dos vías). Esta poderosa herramienta creada por Fisher suplía las carencias
de algunos de los laboriosos y a menudo erróneos métodos que estaban en boga, y
permitía comparar de una vez la acción de más de dos tratamientos, por ejemplo:
fosfato, sulfato, clorato o nada, separando las diversas fuentes de variación
hasta aislar la del factor que interesaba medir: la debida a la acción de los
tratamientos sobre las parcelas.
En resumidas cuentas, Fisher enseñó que los diseños sistemáticos no debían
utilizarse. Con un diseño completamente aleatorizado, se evitaban los sesgos
debidos a la distinta fertilidad de las parcelas, pero el error experimental
total podía ser innecesariamente grande.
El antecedente de los sudoku
Cuando se desea bloquear el efecto de más de un
factor externo que puede provocar resultados equívocos, se emplea el diseño en
cuadrado latino. Si queremos estudiar el efecto de cinco
fertilizantes (A, B, C, D y E), pero se considera que dicho efecto puede estar
mediatizado por los tipos de suelo y de insecticidas empleados (supongamos que
hay otros cinco tipos de cada uno), un experimento por bloques necesitaría de
5×5×5 = 125 unidades experimentales. Obviamente, razones de índole económica
desaconsejan experimentar con tantas parcelas. Ante esta situación es posible
recurrir a una clase especial de diseño en bloques incompletos autorizados: el
modelo en cuadrado latino. Este esquema experimental consiste en asignar uno de
los factores externos a las filas y el otro a las columnas, de manera que cada
tratamiento ocurre una vez en cada fila en cada columna. Por consiguiente, el
número de filas y de columnas ha de ser el mismo: el número de tratamientos.
Estamos ante un cuadrado, que se llama latino porque el matemático Leonhard
Euler empleó letras latinas para rellenarlo. El popular rompecabezas sudoku no
es sino un caso especial de cuadrado latino, en el que no se usan letras sino
dígitos del 1 al 9. Este refinado diseño permite al investigador obtener mucha
información con una muestra pequeña, ya que elimina la variación extraña
mediante el bloqueo simultáneo en los dos factores externos, de manera que las
posibilidades de detectar diferencias significativas entre los tratamientos se
doblan. En nuestro ejemplo, los 5 tratamientos consabidos se probarían sobre
solo 25 parcelas, distribuidas como en el siguiente cuadrado latino:
Curiosamente, entre los 56 cuadrados latinos
posibles de tamaño 5×5, el llamado cuadrado de Knut Vik, basado
en el movimiento del caballo de ajedrez, demostró ser más preciso en la
estimación que la media del resto de cuadrados latinos. Análogamente, los
cuadrados latinos diagonales, aquellos que en la diagonal portan siempre el
mismo tratamiento, mostraron ser menos precisos, lo que Fisher interpretó como
un argumento más a favor del principio de aleatorización.
En un experimento bien planeado, ciertas restricciones podían ser impuestas
sobre la aleatorización, de manera que la variabilidad debida a la distinta
fertilidad de los suelos se eliminara notablemente y fuese más fácil estimar la
parte que correspondía a la diferencia entre los tratamientos. Por medio del
diseño en bloques, el valor del experimento se incrementaba varias veces, de
forma que solo la repetición sucesiva del experimento originario podía igualar
la precisión lograda (y esto suponiendo que la replicación fuese factible, ya
que en agricultura difícilmente se cuenta con las mismas condiciones
meteorológicas).
Otro de los avances que lleva la firma de Fisher es la posibilidad de testar
más de un factor de interés en un único experimento gracias a un uso cuidadoso
de la estadística, lo que redujo los experimentos diseñados para contrastar un
solo factor al plano de los procedimientos ineficientes y costosos. En muchas
situaciones prácticas resulta necesario evaluar a un mismo tiempo los efectos
de varios factores, así como su posible interacción, Un experimento factorial
posee la ventaja de estudiar de golpe dos o más factores en lugar de tener que
realizar dos o más experimentos independientes. Más aún, la utilización del
diseño factorial identifica la interacción que pueda existir entre los
factores, lo que es imposible de detectar si los experimentos se realizan por
separado. En el caso de dos factores en que uno tiene tres niveles y el otro
dos (por ejemplo, tres niveles de abono con nitrógeno, correspondientes a las
dosis factibles, de 0 a 2, y dos niveles de potasio, 0 y 1), tendríamos un
experimento factorial con un total de 3×2 = 6 tratamientos. La respuesta seria
observada bajo seis tratamientos diferentes.
Fisher luchó denodadamente contra la máxima, hasta entonces respetada, de
variar un único factor en cada ocasión. Hasta que arrumbó esta creencia, la
mayoría de investigadores pensaba que lo mejor era investigar un factor cada
vez. Sin embargo, la naturaleza, por así decirlo, respondía mejor a un
cuestionario bien planeado que a una pregunta aislada.
Zea mays y la inferencia estadística no paramétrica
El tercer capitulo de El diseño de
experimentos está dedicado al análisis de un célebre experimento
llevado a cabo por Charles Darwin con el fin de probar que las plantas
obtenidas por fecundación cruzada crecían más que las autofecundadas. Con la
ayuda de Galton, Darwin comparaba el crecimiento de 15 pares de plantas de la
especie Zea mays, es decir, de maíz. El primer miembro de cada par provenía de
una fecundación cruzada, mientras que el segundo lo hacia de una
autofecundación. Los pares eran plantados simultáneamente en una misma maceta,
buscando que las condiciones ambientales, agua, luz, temperatura, etc., fuesen
idénticas para cada uno de los dos. Estas precauciones tomadas por Darwin
servían para que se tuviera lo que se denomina una muestra pareada, lo
que, frente a la posibilidad de tener dos muestras independientes de 15 plantas
cada una por su lado, incrementa la sensibilidad del experimento, esto es, su
capacidad para detectar diferencias significativas, porque reduce el error
experimental. Mediante el test de la t de Student, un ejemplo
del cual se presenta en el anexo para no entorpecer la lectura), Fisher
estudiaba la diferencia en los promedios de crecimiento y concluía que Darwin
estaba en lo cierto, aunque no dejaba pasar la ocasión de reconvenirle que no
aleatorizara la plantación de cada tipo de planta en una mitad de la maceta.
Asimismo, amonestaba a Galton por manipular falazmente los datos de la muestra,
reordenándolos a su antojo.
Inferencia no-para métrica
A continuación, anticipándose a la critica que ciertos estadísticos teóricas
alelados de la práctica experimental (una alusión obvia a Egon Pearson) podían
hacer señalando que el uso del test de significación presuponía que los dos
grupos de datos eran muestras provenientes de poblaciones normales. Fisher
ideaba un método nuevo que conducía a la misma conclusión. Era un ejemplo
temprano de lo que serla la inferencia no-paramétrica. una brecha abierta en la
inferencia estadística que seria muy explotada tras la Segunda Guerra Mundial,
y que se diferencia de la inferencia paramétrica organizada por Fisher en que
no especifica nada sobre la forma de la distribución de la población subyacente
y los parámetros de que depende. Los test no paramétricos presentan una menor
sensibilidad que los test paramétricos, pero no parten de la hipótesis de
normalidad, lo que los hace más generales.
Además, El diseño de experimentos convirtió el tomar el té en
una cuestión estadística. Fisher tenía la costumbre, desde los tiempos de
Rothamsted, de tomarlo con todos los miembros de su departamento. Un día, al
dar la taza a la doctora Muriel Bristol, esta declinó diciendo que prefería que
la leche se vertiera primero. A su juicio, el té tenía un sabor diferente si la
leche se ponía antes o después. Fisher contestó que aquello era irrelevante.
William Roach, otro miembro del departamento, quien después se casó con ella,
propuso realizar un experimento; irte ofreciendo una serie de tazas mezcladas
de diferente manera y comprobar si era capaz de distinguirlas. La doctora
identificó todas y cada una de las tazas correctamente. Y Fisher incluyó la
historia en su libro como hilo conductor para plantear una serie de
interrogantes que sirvieran de guía de acción para enfrentarse a cualquier
experimento: ¿cuántas tazas debían servirse?, ¿en qué orden?, ¿cuántas se
tenían que acertar?».
Si se le daba una sola taza de cada tipo, la probabilidad de que la doctora
acertara al azar era de 1/2, es decir, demasiado alta para discriminar si
acertaba por casualidad o porque podía distinguir una mezcla de la otra. Si
solo se estaba dispuesto a creerla cuando la probabilidad de que superara
correctamente la prueba por casualidad fuese suficientemente pequeña (menor de
0,05, para que este contratiempo ocurriera menos del 5% de las veces), no
servía darle 2 tazas de cada tipo, ya que por casualidad acertaría 1 de cada 6
veces (hay 6 formas de elegir 2 entre 4 objetos y solo una es la correcta), es
decir, el 17% de las veces. Tampoco funcionaba ofrecerle 3 tazas de cada tipo,
ya que acertaría por casualidad 1 de cada 20 veces (hay 20 formas de
seleccionar 3 objetos entre 6). Lo que arrojaba una probabilidad que es igual
pero no inferior al límite estipulado de 0,05. En cambio, si se le daban 4
tazas de cada tipo, la probabilidad de acertar por azar era solo de 1 entre 70
(existen 70 maneras distintas de elegir 4 objetos entre 8), es decir, de 0,014,
de modo que si la doctora acertaba en estas condiciones se podía afirmar que sí
sabía distinguir una preparación de otra. Esa era la raya que al trazarla
permitía distinguir si solo adivinaba el resultado o verdaderamente estaba
capacitada para discernir cómo se había preparado el té.
Adicionalmente, Fisher recalcaba que las tazas debían presentársele a la
doctora en un orden aleatorio, para que el experimento estuviera bien diseñado
y el test de significación fuese aplicable. Con este maravilloso ejemplo de
experimento psicofísico, el estadístico inglés arrancaba un clásico apabullante
que dinamitó la tradición experimental heredada.
La emergencia del razonamiento estadístico
Fisher revolucionó la investigación experimenta], describiendo métodos, hoy de
uso corriente, para exprimir al máximo los experimentos con muestras pequeñas,
evitando en lo posible la penetración de factores extraños. Ese niño debilucho
con muchas ganas de aprender y dotado de una profunda visión geométrica se
convirtió en uno de los científicos que más aportaciones ha hedió a la
estadística, sino el que más. En 1929 fue admitido en la Royal Society. Y al
retiro de Karl Pearson en 1933, su puesto en el University College de Londres
se escindió en dos: una cátedra de Estadística para su hijo Egon y otra de
Eugenesia para Fisher, que abandonó Rothamsted para ocupar la «cátedra Galton»,
aunque Karl Pearson movió todos los hilos para evitarlo. Por descontado, Egon
Pearson heredó la antipatía hacia su padre de que Fisher hacía gala, de forma
que las hostilidades bajo el techo común no tardaron en desencadenarse,
propiciando que la atmósfera entre ambos laboratorios, el biométrico y el
eugenésico, fuese irrespirable.
No obstante, para Fisher fueron años placenteros, plagados de éxitos
profesionales e intelectuales. Las distinciones acrecentaron su fama,
transformándolo en un investigador de prestigio internacional. George Snedecor,
con la extraordinaria síntesis que fueron sus Métodos estadísticos (1940),
así como Harold Hotelling, hirieron mucho por su temprano reconocimiento en
América En Europa, la publicación en colaboración con Frank Yates (1902-1994),
su discípulo más aventajado en Rothamsted, de las Tablas estadísticas
para la investigación biológica., agrícola y módica (1938) contribuyó
a difundir sus ideas. No obstante, seria el manual escrito por el matemático
sueco Harald Cramer, titulado Métodos matemáticos de la estadística (1946),
la obra que más ayudaría a expandir su concepción de la estadística, al
vincular la inferencia estadística británica con la teoría de la probabilidad
continental En este libro ya aparece, por ejemplo, la cota de Cramer-Rao,
deducida tanto por el matemático sueco como por el estadístico indio C. R. Rao
(doctorado con Fisher), que acota por abajo la varianza mínima de un estimador,
completando la teoría fisheriana.
De resultas de todo ello, se fraguó la definitiva autonomía de los métodos
estadísticos, que sedimentaron en torno al concepto de modelo estadístico
introducido por Fisher (aunque alguna rama actual de la estadística, como el
análisis exploratorio de datos definido por John W. Tuckey en 1977, no lo
emplea, razón por la cual a veces se lo considera una rara avis dentro
de la ciencia estadística). A nuestro juicio, aunque muchos historiadores de la
ciencia hablan de la revolución estadística del siglo XIX, creemos que, desde
una perspectiva interna, la verdadera revolución se produjo durante los años
veinte y treinta del siglo XX, cuando la inferencia estadística sufrió una
inyección probabilística y, a tiempo, experimental. Si se drenaran todos los
materiales biológicos, sociológicos, etcétera, la estadística, como no dejó de
anotar Fisher, se convertiría en una disciplina secundaria. Las aplicaciones
son los materiales imprescindibles que hacen de esta ciencia algo más que mera
matemática aplicada.
Esta dimensión de la estadística, capaz de proyectar un haz de luz sobre
múltiples campos, aceleró su institucionalización, simbolizada con la fundación
del Laboratorio Estadístico de Iowa, en Estados Unidos, en 1933 por Snedecor
(al que Fisher visitó en varias ocasiones), así como su auge durante y después
de la Segunda Guerra Mundial, cuando los laboratorios estadísticos se aliaron
con las universidades y las industrias en el esfuerzo bélico. Los análisis
estadísticos que antes parecían una excentricidad, como los de Galton sobre la
eficacia de la oración o la longitud de la soga de la horca, se convirtieron en
una realidad cotidiana en econometría, meteorología, epidemiología (la bioestadística
ingeniería industrial (el control de calidad)... Una multiplicación de campos,
investigadores, departamentos, libros y revistas especializadas que también se
vio empujada por la extensión de los ordenadores, que facilitan el uso de los
métodos estadísticos (pe ejemplo, para generar números aleatorios sin tener que
recurrir las sempiternas tablas).
En concreto, los test de significación y los principios de experimentación
dictados por Fisher han conocido mil y una prácticas exitosas, desde la prueba
de fertilizantes a vacunas. Sin ir más lejos, el reciente anuncio de la
detección del célebre bosón de Higgs, en julio de 2012 ha tomado el aspecto de
un p-valor los físicos han informado de que la probabilidad de
detectar un efecto como el observado en el acelerador de partículas bajo el
supuesto de que se trata de mero ruido de fondo (la hipótesis nula) es inferior
a 0,0000003, y han interpretado esta significación estadística como una fuerte
evidencia para presuponer la existencia de la mencionada partícula (ya que de
otra manera no se explica la señal). Un p-valor que todavía se
ha hecho más pequeño tras los experimentos reportados en marzo de 2013, dando
la razón a las sabias palabras de Fisher en El diseño de experimentos:
Un fenómeno es demostrable experimentalmente cuando
se conoce cómo conducir un experimento que raramente falla para darnos un
resultado estadísticamente significativo.
Resumiendo: al calor de los experimentos agrícolas,
Fisher cerró el grueso de la teoría estadística y, al sembrar la recurrencia de
estos métodos, segregándolos de la biometría y otros contextos técnicos, selló
la posibilidad de su aplicación continuada y flexible, de manera que la
estadística logró irrumpir en todos los órdenes. A la vanguardia de ese
ejército de revolucionarios que son los estadísticos siempre figurará Ronald
Ayimer Fisher, que puso la piedra mayor del puente que vincula esta disciplina
matemática con la práctica experimental.
Capítulo 4
La síntesis entre Darwin y Mendel
Desde los tiempos de estudiante universitario,
Fisher se propuso reconciliar a Darwin con Mendel; en otras palabras, la
selección natural de las especies con las leyes que rigen la herencia Sin las
aportaciones contenidas en La teoría genética de la selección natural (1930),
el darwinismo habría permanecido eclipsado y la teoría sintética de la
evolución habría tardado años en afianzarse.
Durante su estancia en la Estación Agrícola
Experimental de Rothamsted, Fisher no solo tuvo tiempo de refundar la
estadística como ciencia matemático-experimental, sino que desarrolló toda una
serie de experimentos biológicos encaminados a combinar la teoría de la
evolución de Darwin con la teoría de la herencia de Mendel. A pesar de que la
estación no estaba oficialmente involucrada en la investigación, le permitió
dedicar parte de su esfuerzo a la cría de ratones, caracoles y gallinas,
facilitándole tierras para ello (aunque la colonia de ratones era atendida
constantemente por su mujer e hijos).
No obstante, su atracción por la materia venía de antes, de mucho antes. Entre
1912, el año en que publicó su primer artículo 1919, cuando se instaló en
Rothamsted, Fisher escribió casi una centena de textos, de los que más de
noventa tenían que ver con temas biológicos y solo el resto con la estadística
o las matemáticas. Cabe destacar, entre los dedicados a la biología, su
influyente artículo sobre genética de 1918: «La correlación entre parientes
bajo el supuesto de herencia mendeliana».
Mientras sufría impartiendo clases a adolescentes, el científico británico
comenzó a darle vueltas a una cuestión que había planteado Karl Pearson: ¿era
la variación en las poblaciones humanas consistente con el modelo mendeliano de
la herencia? En Cambridge, donde los mendelianos predominaban, Fisher se había
convencido de que las leyes de Mendel explicaban la herencia, y quería mitigar
el debate entre biómetras y mendelianos mostrando que las mediciones de los
primeros eran coherentes con los principios de los segundos. Aunque cada rasgo
o factor hereditario, a partir de 1922 Fisher reemplazó el término factor por
el de gen, se ajustaba por separado a las leyes discretas de Mendel, la
acumulación de factores hereditarios que se daba en los individuos y en las
poblaciones respetaba la ley continua de la selección natural de Darwin, a la
manera como la suma de errores en la observación astronómica se distribuye
normalmente a pesar de que cada uno de los errores en particular no lo haga
así.
Los héroes de juventud de Fisher habían sido Darwin y Ludwig Boltzmann,
creador, junto a Maxwell, de la mecánica estadística En analogía con el
conjunto infinito de las moléculas de un gas que estudiaba la mecánica
estadística, Fisher imaginaba, tanto en el campo abstracto de la inferencia
estadística como en el más práctico de la biología evolutiva, una hipotética
población infinita de la que se extraían las muestras observadas. Un artículo
posterior de 1922 sobre la dominancia genética especificaba aún más esta
analogía pionera:
La evolución por selección natural puede compararse
al tratamiento analítico de la teoría de gases, en el que es posible hacer tas
más variadas asunciones sobre la naturaleza de las moléculas individuales y,
sin embargo, plantear leyes generales sobre el comportamiento de los gases.
El modelo fisheriano de las poblaciones mendelianas
era, en suma, una adaptación del modelo de los gases de la mecánica
estadística. La variación continua observada en el total de la población podía
perfectamente ser el producto de la acción de mochos factores hereditarios
discretos.
En el borrador que esbozó hacia 1916, Fisher incorporó por vez primera el
término estadístico varianza, que definió en la primera página. Asimismo,
mencionó de pasada la expresión análisis de la varianza como forma de separar la
fracción de variabilidad que correspondía a cada causa en la herencia. Pero el
núcleo del mismo lo constituía la tesis de que la teoría de Mendel, que se veía
rechazada por los datos biométricos. En una carta que le envió a Karl Pearson,
fechada en 1916, le decía:
Recientemente he completado un artículo sobre el mendelismo y la biometría que
probablemente sea de tu interés. Me he encontrado con que el análisis de los
datos humanos no contradice el mendelismo. Pero el argumento es bastante
complejo.
Fisher probó a enviar su artículo a la Royal Society de Londres para que lo
publicaran, pero los árbitros expresaron reservas sobre su contenido. Uno de
ellos no era otro que Kart Pearson, que aunque no era abiertamente hostil al
resultado de la investigación de Fisher, encontró su borrador poco convincente
y, probablemente, no entendió del todo las matemáticas empleadas. El otro
árbitro fue el biólogo R. C, Punnett, al que paradójicamente Fisher sucedería
en el cargo en Cambridge en 1943. Años después, Fisher soltaría el exabrupto de
que el artículo había sido referenciado por un estadístico que no sabía
biología y por un biólogo que no sabía estadística. En descargo de los árbitros
hay que señalar que los artículos de Fisher no siempre eran fáciles de seguir, pues
como Student manifestó más de una vez por carta, el evidently de Fisher se
traducía en varias horas de arduo trabajo para el resto de los mortales.
Finalmente, Fisher retiró el artículo y lo reenvió a la Roya! Society de
Edimburgo a mediados de 1918, donde fue publicado, no sin dificultad, a su
costa, gracias a la ayuda financiera de su amigo Leonard Darwin (1850-1943),
hijo de Charles Darwin y quien, desde los tiempos de Cambridge, le apadrinó y
sostuvo durante los períodos de penuria económica. El primer paso en pos de la
unificación estaba dado.
El eclipse del darwinismo
Charles Darwin confirió movimiento a las clases naturales de Linneo. Aunque el
dinamismo de Darwin, en contraposición del fijismo de Linneo, flotaba en el
aire (ya se encuentra en el transtomismo de Lamarck), la originalidad del
naturalista inglés reside en haber proporcionado un mecanismo explicativo: la
selección natural, entendida como metáfora, según expuso en El origen de las
especies (1859). El teorema darwiniano de la evolución se basa primariamente en
las técnicas de domesticación y cría de animales y plantas (la «selección
natural» como extensión de la «selección artificial» practicada por el hombre,
pero prescindiendo del sujeto operatorio, del demiurgo selector, y por tanto de
cualquier finalidad), y se materializa en los árboles evolutivos que reordenan
las especies vivas y los fósiles de las especies extintas (la reconstrucción
filogenética de las taxonomías morfológicas).
Durante el período de tiempo que media entre la muerte de Darwin en 1882 y el
resurgir de sus ideas en la década de 1930, se produjo un «eclipse del
darwinismo» en el que la biología evolutiva se sumió en un estado lamentable de
postración, como consecuencia del avance de las teorías mendelianas de la herencia.
El trabajo de Mendel fue redescubierto en torno a 1900, treinta y cuatro años
después de su publicación y dieciséis después de la muerte de su autor en el
viejo continente, por botánicos como Hugo de Vries, y en las Islas, por William
Bateson (a quien se debe la acuñación del término genética), que lo empleó como
un arma para revalorizar las teorías no darvinianas (lamarckianas o
mutacionistas) que defendían una variación no gradual, sino discontinua de las
especies. Bateson magnificó las diferencias entre Mendel y Darwin, presentando
al primero como hostil a la teoría de la evolución y al segundo como
responsable del abandono en que cayó la teoría mendeliana.
La muerte de Weldon en 1906 y de Galton en 1911 dejó prácticamente solo a Karl
Pearson en la defensa de la ortodoxia: Natura non facit saltos. De hecho, las
primeras contribuciones biométricas de Pearson habían consistido en el estudio
estadístico de la ley de herencia ancestral de Galton y en la corroboración de
la hipótesis de la gradación, mediante la que los biómetras defendían que la
evolución no había sido a saltos, como defendían los partidarios de la teoría
de la mutación, sino por una selección continua de la variación favorable en la
distribución de la descendencia.
Demasiado bueno para ser cierto
El resultado principal de los experimentos en
hibridación de plantas de Mendel fue el descubrimiento de que ciertos
caracteres son transmitidos a la descendencia sin atenuación ni fusión, porque
son transportados por alguna clase de unidad distintiva o partícula, que Mendel
denominó factores y nosotros llamamos genes.
Gregor Mendel
Pero el monje agustino también realizó un contaje
exhaustivo de sus experimentos. Así, al cruzar guisantes amarillos con verdes,
obtuvo una cosecha en que de 8023 guisantes, 6022 (75%) eran amarillos
(dominante) y 2001 (25 %) verdes (recesivo). Se trataba de la segunda ley de
Mendel o ley de la segregación. En un articulo publicado en 1936, titulado «¿Ha
sido redescubierto el trabajo de Mendel?». Fisher puso de manifiesto, mediante
el test de la coincidencia casi total entre los datos observados que publicó
Mendel en sus famosos experimentos con guisantes y los resultados teóricos que
cabía esperar. Lo más sorprendente es que Mendel había deducido una predicción
«correcta para algunos experimentos y, sin embargo, las observaciones
presentaban una similitud notable con esos valores incorrectos». Fisher
señalaba que no necesariamente debía haber sido el mismo Mendel quien cocinara
los datos, sino algún celoso asistente suyo que no habla hecho su trabajo con
diligencia y sabía lo que Mendel quería escuchar. El tema, como es natural,
levantó gran polémica, y al día de hoy no hay consenso acerca de si Mendel o un
ayudante retocaron los datos. A veces poca discrepancia también es sospechosa.
En cuanto bastión de Darwin frente a los embates mendelianos, la escuela
biométrica se enzarzó en una dura polémica. En esta oposición férrea influyó,
desde luego, la filosofía de la ciencia que asumía Pearson, heredada de sus
años de estudiante en Alemania, y que le llevaba a concebir la biometría como
mera descripción sin especulación, como una teoría puramente cuantitativa de la
evolución natural. Pearson deseaba hacer predicciones probabilísimas sobre la
evolución de una línea ancestral, pero sin comprometerse con la discusión
metafísica de los mecanismos hereditarios subyacentes. Una meta en consonancia
con la biblia del positivismo pearsoniano, La gramática de la ciencia, cuyo
parecido con la filosofía idealista no dejó de advertir y fustigar Vladimir
Dich Lenin en Materialismo y empiricocriticismo (1909). Esta
peculiar filosofía fue, por un lado, la que le condujo al desarrollo de una
ciencia puramente matemática de la herencia, equipada con herramientas
estadísticas para describir los fenómenos observables, pero, por otro lado, la
que le obstaculizó valorar la singular aportación presentada por Fisher en
1918. Para Pearson, las poblaciones infinitas y los cúmulos de factores
hereditarios de que hablaba Fisher eran in observables y, por consiguiente,
irreales. El disgusto con las imágenes empleadas por Fisher fue mayúsculo.
Revolución en la granja
La polémica entre biómetras y genetistas no se cerró, como se ha dicho, hasta
que Fisher comprobó que las mediciones empíricas de los organismos concordaban con
las leyes postuladas sobre la herencia El estadístico británico fue el artífice
de la síntesis entre Darwin y Mendel toda vez que demostró que las mediciones
eran el resultado de la adición de un gran número de factores mendelianos (los
genes) y que los valores experimentales de los coeficientes de correlación se
explicaban asimismo por la comunidad de estos factores.
Fisher cumplió con una doble misión. Por un lado, contribuyó significativamente
al nacimiento del neodarwinismo, de la teoría sintética de la evolución, en la
década de 1930. En esta síntesis confluyeron una multiplicidad de cursos de
investigación (biométricos, genéticos, anatómicos, embriológicos,
paleontológicos.), como prueba la nómina de autores que participaron en ella:
Theodosius Dobzhansky (genetista), Ernst Mayr (zoólogo), George Gaylord Simpson
(paleontólogo), etcétera. Por otro lado, fundó la genética de poblaciones, que
es uno de los pilares de la síntesis evolutiva moderna, una disciplina en la
que convergen la biología evolutiva y la genética como un todo consistente
modelizado matemáticamente.
En este punto, hay que destacar el libro revolucionario que Fisher le dictó a
su mujer durante su época en Rothamsted, La teoría genética de la
selección natural (1930), así como las obras de otros dos grandes
genetistas: Evolución en poblaciones mendelanos (1931), de
Sewall G. Wright (1889-1988), y Las causas de la evolución (1932),
de J. B. S. Haldane (1892-1964), quien ocupó en 1937 la cátedra de Biometría
del University College, asistida con los fondos que la viuda de Raphael Weldon
destinó a tal fin al morir. Fisher, Wright y Haldane son los tres tenores de la
genética de poblaciones, ya que restablecieron la selección darwiniana como
primer mecanismo evolutivo en términos de consecuencia estadística de la
genética mendeliana
«La selección natural no es la evolución.» Con esta categórica afirmación
arrancaba el libro de Fisher, que es lo que se llama un clásico de la genética
de poblaciones. El aforismo buscaba reclamar la atención sobre el otro
componente ineludible de la teoría de la evolución: la genética mendeliana.
Las unidades evolutivas no eran los individuos, sino las poblaciones, cada una
con una distribución genética propia. En ausencia de mutaciones, y suponiendo
la invariancia del entorno, la evolución de la población más tarde o más
temprano cesaría. Pese a que el número de posibles combinaciones de variantes
de genes (de «alelos») era inconcebiblemente grande, era finito, de manera que
la combinación más adaptada al entorno selectivo terminada imponiéndose, aunque
para ello la selección natural habría de operar sobre las sucesivas
generaciones durante un período de tiempo dilatado. Sin embargo, aunque
infrecuentes, las mutaciones de hecho ocurrían. Y la historia de la supervivencia
del nuevo gen mutante dependía, según ponía de relieve Fisher, tanto de los
caprichos de la fortuna como de la ventaja o desventaja selectiva que
conllevara en la lucha por la vida.
El razonamiento matemático de Fisher en su libro comenzaba presuponiendo la
aparición de un gen mutante en el seno de una población formada por millones de
individuos, y cuya distribución no era otra que la distribución de Poisson o de
los «sucesos raros», con media 1 + e (con e ≥ 0), donde e representaba
la «ventaja selectiva». Si una población presentaba, respecto de un carácter,
ejemplares fenotípicamente diferentes (pongamos por caso, polillas blancas y
polillas negras), cada uno de los cuales podía corresponder a uno o más
genotipos (dependiendo de qué alelo fuera el dominante y cuál el recesivo), de
modo que en una generación la proporción observada entre ambos fenotipos
era r y en la siguiente, en la descendencia, era r(1 + e),
entonces e era la ventaja selectiva del alelo que daba lugar a
ese fenotipo (por ejemplo, de las polillas negras con respecto a las blancas,
que se camuflaban mejor entre el humo de las fábricas inglesas). Naturalmente,
la ventaja selectiva e no tiene por qué ser igual a lo largo del tiempo o en
distintas condiciones ambientales, de tal forma que lo que es favorable aquí y
ahora puede no serlo en otro momento o lugar. En el caso de las polillas, una
ventaja selectiva de 0,01 a favor de las polillas mimetizadas con el entorno
industrial quería decir que, mientras que la variante blanca dejaba 100
descendientes, la variante negra dejaba 101 (un 1% más).
«En ocasiones he conocido genetistas que me
preguntan si es verdad que el gran genetista R. A. Fisher fue también un
importante estadístico.»
Leonard «Jimmy» Savage
En estas condiciones, Fisher calculó la
probabilidad de extinción del mutante en la n-ésima generación. En el caso de
no existir ventaja selectiva (e = 0), la probabilidad de extinción en la
sexagésimo tercera generación era igual a 0,9693, es decir, de casi un 97% a
favor de la extinción. Sorprendentemente, con una ventaja selectiva del 1 % (e
= 0,01), la probabilidad señalada era de 0,9591, de casi un 96 % a favor de la
extinción. Tan solo de un 1 % menos. Prosiguiendo con los cálculos, en la 127
generación la probabilidad de no haberse extinguido era de 0,0271 con ventaja
selectiva y de 0,0353 sin ventaja, es decir, el gen mutante tenia casi el doble
de probabilidad de supervivencia, aunque ambas probabilidades eran realmente
bajas. En el límite, la probabilidad de la mutación beneficiosa sobreviviera
era de cerca del 2% (por su parte, la probabilidad de que lo hiciera la neutra
era 0). Ahora bien, si la población era grande, del orden de millones de
individuos, habría una cantidad no despreciable de individuos dotados con la
mutación benéfica, lo que posibilitaría el cambio adaptativo, sin perjuicio de
que muchas mutaciones benignas pudieran perderse por el camino.
Con estos cálculos Fisher también pretendía mostrar cómo la dirección y el
sentido de la evolución apenas tenían que ver con los de la mutación, puesto
que sin ventaja selectiva el efecto de la mutación en la especie era
insignificante y, en el límite, nulo (y esto sin contar con que la mayoría de
las mutaciones producen deformidades monstruosas, letales). La selección
natural era el proceso por el cual una contingencia improbable como era una
mutación veía aumentada gradualmente su probabilidad con el paso de! tiempo. La
selección natural era, por tanto, el motor principal de la evolución. Lo que le
devolvía la razón a Darwin y resucitaba el darwinismo al que tan refractarios
habían sido los mendelianos. Las implicaciones biológicas de los resultados
matemáticos obtenidos por Fisher fueron extremadamente importantes, y se vieron
apoyadas por los experimentos con la mosca del vinagre (Drosophilia
melanogaster, cuyo frenético ritmo reproductor facilita el estudio de
mutaciones y cruzamientos).
Además, la obra de Fisher contenía el «teorema fundamental de la selección
natural», que santificaba la unión entre Darwin y Mendel, y era la pieza
central de la visión de Fisher de la selección natural. Este era su enunciado:
«El ritmo de aumento en la adaptación biológica de una población en cualquier
momento es Igual a la variabilidad genética en adaptación que la población
tiene en ese momento». Esta formulación algo críptica hizo de él un demento
oscuro, que tardó bastantes años en ser valorado en su justa medida
Para que la selección natural pueda actuar sobre un carácter, debe tener algo
que seleccionar, es decir, varios alelos, o formas alternativas, para el gen
que codifica ese carácter.
Un temperamento difícil
Ronald Aylmer Fisher estaba dotado de grandes
virtudes, pero también poseía notables defectos. Entre ellos, un ánimo belicoso
que le llevaba a porfiar y discutir por trivialidades, comportándose en
ocasiones con una notoria rudeza tanto oral como escrita dentro de sus
controversias con otros colegas estadísticos y genetistas. Ya hemos visto una
muestra de ello en su enfrentamiento personal con Kart Pearson, y en el próximo
capitulo veremos alguna mas a propósito de su concepción de la inferencia
estadística o de la relación entre tabaco y cáncer. Esta firmeza en su ideario
científico era extensiva a sus creencias religiosas y políticas, teñidas de un
claro talante conservador que le llevaba a respetar las tradiciones heredadas
de sus padres y denostar cualquier forma de progresismo o comunismo. Fruto de
sus convicciones eugenésicas, mantenía que no todos los hombres eran iguales. A
todo esto unía algunas de las excentricidades típicas de los matemáticos
geniales. Su tendencia a perder papeles importantes o a ser un administrador
impaciente y despistado. Por otra parte, su malhadada vista no era óbice para
una condición física envidiable, conseguida gracias a que iba corriendo a
trabajar a diario. Curiosamente, para poder continuar trabajando en casa con
tranquilidad, lo que tenía que ser difícil dada la amplitud de su prole, que
constituyó para él una fuente de desesperos monetarios), exigía que siempre
hubiera dos puertas cerradas entre él y los niños a fin de poder concentrarse.
Un profesor pésimo
Según todos los testimonios, Fisher fue, sin lugar a dudas, un profesor pésimo,
tendente a omitir explicaciones tanto en la docencia como en la investigación.
Al respecto, recogemos una anécdota relatada por el estadístico escocés W. G.
Cochran (1909-1930):
En una de sus clases citó sin demostrar un resultado. Tras varios intentos
sin que le saliera, le pedí en su despacho si podía hacerme la demostración. Me
dijo que en algún sitio la tenía archivada, abrió varios cajones y decidió que
era mejor obtenerla de nuevo. Nos sentamos y escribió la misma expresión de la
que ya había partido. El camino obvio va en esta dirección, dijo, y escribió
una expresión en dos líneas. Ahora supongo que hay que desarrollar esto, y puso
una ecuación que ocupó tres líneas. Miró le expresión y comentó, el único
camino parece ser este, y obtuvo una expresión de cuatro líneas y media. Hubo
un silencio de unos 45 segundos y dijo, el resultado se debe seguir de esto,
escribiendo debajo la expresión que yo te había preguntado. La clase había terminado.
Fisher demostró matemáticamente que cuanta más variabilidad genética hay en una
población, mayor será el ritmo de la evolución. A mayor variación genética, más
cambio evolutivo. Fisher comparaba su teorema con el segundo principio de la
termodinámica o ley de la entropía, cuyo incremento es siempre positivo.
La selección natural actuaba de manera lenta pero segura, aumentando
progresivamente la frecuencia de los genes favorables, que se Iban integrando
al genoma de la especie, lo que incrementaba la adecuación de los organismos
cada vez más. Como consecuencia, la selección tendía a convertir el alelo bien
adaptado en el alelo dominante y las mutaciones deletéreas en recesivas.
La genética de poblaciones aportó, empero, solidez matemática a la teoría de la
evolución. No obstante, Fisher y Haldane compartieron dos supuestos que fueron
muy criticados por Wright. En primer lugar, concibieron la carga genética del
individuo como un saco de judías, es decir, como un conjunto de genes que no
interactúan entre sí. Fue Wright el que generalizó los modelos amplificados de
ambos. En segundo lugar, consideraron las poblaciones al completo, lo que les
condujo a visualizar la selección natural como un proceso prácticamente
unidireccional, sin ramificaciones. Pero Wright llamó la atención acerca de que
las poblaciones grandes generalmente estaban disgregadas en poblaciones locales
pequeñas donde triunfaba la endogamia, lo que convertía la selección natural en
algo más voluble, dando origen a la noción de paisaje adaptativo.
Al día de hoy, pese a las encomiables aportaciones de Fisher y del resto de
genetistas de la síntesis, siguen existiendo dudas sobre el reparto de papeles
que cabe atribuir a la selección natural y las mutaciones en la evolución y, en
particular, sobre su acción a nivel molecular. Para algunos, la fuerza
evolutiva principal a nivel molecular es simplemente la «deriva genética», es
decir, el cambio en las frecuencias alélicas de las especies como consecuencia
del efecto estocástico causado per la reproducción (los alelos de los hijos son
una muestra aleatoria de los de los padres), primando la presión selectiva a
nivel morfológico, a escala de los organismos. Para otros, en cambio, los genes
mutantes no son selectivamente neutrales, de forma que el papel de las
mutaciones no puede desdeñarse y la selección actuaría tanto a nivel molecular
como morfológico. En otras palabras, no se sabe a ciencia cierta si el sujeto
de la evolución es la especie o el genoma.
Una exposición pro eugenésica ante una multitud, en una feria celebrada en
Kansas 1929
Por otra parte, también hay disenso sobre la
continuidad o discontinuidad de los cambios evolutivos (gradualismo). Así, por
ejemplo, los partidarios del «equilibrio puntuado» sostienen, frente a los
neodarwinianos ortodoxos, que en la evolución se alternan períodos de cambios
rápidos con lento. Nadie discute a Darwin pero los neodarwinistas no presentan
un frente único.
Estadística, darwinismo y eugenesia
El abanico de motivaciones no estaría completo si no citáramos que Fisher fue
un ardiente promotor de la eugenesia, una disciplina que estimuló y guio gran
parte de su trabajo en genética humana. Durante sus años en Cambridge, Fisher
colaboró con entusiasmo, al igual que otros ilustres científicos (como John
Maynard Keynes), con la Eugenics Education Society, fundada en 1907 por Galton
y dirigida desde su muerte en 1911 por Leonard Darwin (quien presidió el Primer
Congreso Internacional de Eugenesia, celebrado en Londres en 1912 y dedicado a
la memoria de Galton). Además, Fisher formó una sociedad eugenésica dentro de
los muros de la universidad.
Experimentos de Galton con guisantes. A la derecha se encuentra la
representación gráfica de la función distribución de los resultados que el
científico inglés asemeja, según sus propias palabras manuscritas, a la ley del
error.
En 1911 ofreció una charla a un grupo de
estudiantes simpatizantes en la que expuso la idea de Galton de que la curva
normal se aplicaba incluso a las cualidades morales e intelectuales de los
hombres, de manera que estos se repartían en varias clases que iban desde los
débiles mentales a los genios eminentes. Las virtudes intelectuales y morales
constituían, por descontado, rasgos heredables, razón por la cual los
matrimonios debían concertarse entre personas de la misma clase. Para Fisher,
la obra de Galton Genio hereditario era uno de los grandes
libros del siglo XIX, comparable a El origen de las especies de
Darwin, al que en cierto modo completaba.
Uno de los primeros artículos de Fisher vio la luz en 1914 en las páginas de
la Eugenics Review, la revista estandarte del movimiento
eugenésico, donde llegaría a publicar más de 200 artículos entre reseñas de
libros y comentarios.
Una casa edificada sobre arena
La fuerza motriz del movimiento eugenésico estaba
ya en Quetelet, que pensaba que su hombre medio compendiaba las características
físicas y morales de una raza. La otra mitad estaba en la idea ligada al
evolucionismo biológico de que mediante medidas sociales de selección podían
preservarse o alterarse las características raciales (Galton). Sin embargo, tos
historiadores de la ciencia no se ponen de acuerdo en el peso final que cabe
atribuir a la eugenesia en el desarrollo de la estadística. Un bando sostiene
que los métodos estadísticos se desarrollaron para resolver los problemas
planteados por la investigación en eugenesia. Esta doctrina no solo habría
motivado los trabajos de Galton, Karl Pearson o Fisher, sino que habría
condicionado su contenido aunque, por ejemplo, Edgeworth o Yule no compartían
el interés por la selección racial). En cambio, el otro bando combate
tajantemente esta relación, subrayando que los métodos del laboratorio
biométrico del University College eran completamente distintos a los empleados
en el laboratorio eugenésico contiguo, o que Karl Pearson nunca se adhirió a la
sociedad eugenésica (aunque no lo hizo por su oposición decidida al
mendelismo).
Separación definitiva de la estadística y la eugenesia Probablemente,
la biometría y la eugenesia no erar compartimentos estancos. Pero, mientras que
ciertos métodos como el test Χ2 encontraron mil y
una aplicaciones diferentes (en agronomía, genética, industria, etc.), otros
métodos, como los mapas de pedigrí de Galton, no las encontraron, La impronta
social de la estadística es innegable: su cristalización se produjo en contacto
con la biometría y los intentos por convertir la eugenesia en la reina de las
ciencias (como se observa en el cartel del Segundo Congreso Eugenésico
Internacional). No obstante, la recurrencia de los métodos estadísticos, es
decir, su extensión a una multiplicidad de áreas naturales y sociales,
posibilitó su independencia con respecto a la ideología envolvente, a la manera
como la mecánica clásica no depende hoy de la balística de cañones o la
mecánica cuántica dé la guerra atómica. La historia de la estadística es una
estampa que ilustra a la perfección la imbricación entre historia «interna» y
«externa» da la ciencia, la eugenesia fue la pasarela que permitió conectar la
biología evolutiva con la estadística y, de resultas de ello, impulsar la
creación de las primeras instituciones estadísticas modernas.
«La eugenesia es la autodirección de la evolución humana.» Ese era el lema
del Segundo Congreso Internacional de Eugenia (1921) que representaba a la
eugenesia como el árbol que unifica la diversidad de disciplinas humanas y
sociales, con la genética y la estadística en una posición preeminente.
Fruto de esta sinergia, la estadística cobró fuerza
suficiente para arraigar en otros ámbitos científicos, lo que dictó su
independencia respecto de la ideología eugenésica y, de paso, la devolución del
favor prestado por la biología evolutiva con creces, al determinar el cierre de
la genética de poblaciones y el establecimiento de la teoría sintética de la
evolución.
Su título era «Algunas esperanzas de un eugenista». El texto, leído
previamente para la sociedad universitaria de Cambridge, defendía la eugenesia
como vía hacia el progreso de la humanidad. Tres años más tarde, publicó un
editorial en que promovía la toma de medidas políticas que incrementaran la
tasa de natalidad de las clases profesionales y controlaran la de las clases
más bajas. Un tema en el que se explayó en los últimos capítulos de La
teoría genética de la selección natural.
Fisher atribuía el declive de las civilizaciones al hecho de que se alcanzaba
un momento histórico en el que la fertilidad de las clases altas comenzaba a
decaer en detrimento de la de las clases bajas (las peor adaptadas, a su
entender, atendiendo a las cualidades mentales). Utilizando datos extraídos de
los censos de Gran Bretaña, Fisher mostraba la relación inversa entre
fertilidad y estatus social: las clases altas tenían una baja fertilidad, y las
bajas, una tasa alta de fertilidad. Las familias con un alto estatus social no
podían permitirse dejar mucha descendencia, ya que tener un número reducido de
hijos era una ventaja económica. Para superar esta lacra, el eugenista
británico proponía que por medio de subsidios estatales se paliara el gasto
excesivo que suponía tener una prole abundante. Quizá Fisher, que tuvo dos
hijos y seis hijas, estaba expresando aquí una vivencia personal.
Coincidiendo con la publicación del libro en 1930, Fisher dedicó bastante
tiempo a colaborar con la sociedad eugenésica abanderada por Leonard Darwin.
Así, al Tercer Congreso Internacional de Eugenesia, celebrado en Nueva York en
1932, acudió para hablar en lugar de su mentor, dada su avanzada edad. Todavía
más: Fisher participó muy activamente en la campaña emprendida por la sociedad
a favor de la aprobación de una ley que permitiese la esterilización en base a
criterios eugenésicos. A diferencia de Estados Unidos, Alemania, Dinamarca y
otros países protestantes, en Gran Bretaña no se logró la adopción de leyes de
esterilización voluntaria ni forzosa. No obstante, debe matizarse que los
eugenistas británicos siempre incidieron más en la repercusión de la clase
social que en la de la raza natural sobre la herencia de las cualidades
mentales, en contraposición de sus homólogos norteamericanos o ademanes.
Tras su mudanza al University College desde Rothamsted en 1933, Fisher
prosiguió los estudios eugenésicos en el Laboratorio Galton. Junto con otros
colegas, profundizó en la recolección de datos sobre pedigrís humanos, así como
en el estudio de los grupos sanguíneos y el factor Rhesus. Y en 1950 se opuso
frontalmente a la Declaración sobre la Raza de la Unesco, que sostenía que este
concepto era una mera herramienta clasificadora, disociada de las culturas, las
etnias o las puntuaciones en los test de inteligencia. Fisher mantenía que la
experiencia de cada día mostraba que las diferencias innatas intelectuales y
emocionales entre razas no podían minimizarse.
En el presente, la palabra eugenesia posee un sabor rancio,
pasado de moda. Lo que fue una idea fuerza, parece inerte. Sin embargo, con el
propósito de contextualizar la creencia de Fisher en las virtudes de la
eugenesia, hay que apuntar que al día de hoy muchos científicos y personas en
general se muestran partidarios de la ingeniería genética, aplicada no solo a
patologías, sino a rasgos físicos seleccionables, como el color del pelo o de
los ojos del neonato.
Capítulo 5
A vueltas con la inducción y el método científico
Paralelamente a sus descubrimientos matemáticos y
biológicos, Fisher dedicó parte de su tiempo a meditar sobre el significado de
la probabilidad y el alcance de los métodos estadísticos, en especial de la
inferencia bayesiana en comparación con la inferencia frecuentista, que
defendía como más adecuada- No hubo costura del tejido estadístico que Fisher
no repasara, lo que le condujo a polemizar con Jerzy Neyman y Egon S. Pearson a
propósito de los contrastes de hipótesis y, ya en sus últimos años de vida, con
los médicos a colación del tabaco y el cáncer.
Después de atravesar una larga crisis económica y
anímica, Fisher regresó en 1943 a Cambridge, su alma mater, para
ocupar la cátedra de Genética, sucediendo a R. C. Punnett. La convivencia con
Fisher no era fácil, dada su personalidad contradictoria, lúcido y ofuscado,
feroz y amistoso, avaro y espléndido. Todo a la vez. A los apuros monetarios se
sumaba el duro trabajo, así como el cuidado de la prole. La desatención al
estado de salud de su esposa condujo a una crisis doméstica irreversible en
1942. Además, ese mismo año, el mayor de sus hijos varones, que se había
alistado como piloto de combate en la Segunda Guerra Mundial, falleció en un
accidente aéreo sobre Sicilia, lo que dejó a ambos cónyuges destrozados. El
matrimonio se rompió cuando Fisher se trasladó a Cambridge... solo.
La estadística matemática desarrollada por Fisher durante la década de los
felices años veinte en seguida sembró controversia (personal y conceptual).
Esta circunstancia motivó que Fisher reflexionara profundamente sobre la lógica
intrínseca de los nuevos métodos de inferencia científica, la inferencia
estadística denominada hoy día clásica. Ya en 1935 publicó un
artículo tentativo sobre el tema bajo el título «La lógica de la inferencia
inductiva», cuya lectura en la Real Sociedad de Estadísticos a finales del año
anterior había suscitado mil y una réplicas. Pero sería en la década de 1960
cuando más páginas dedicara a la cuestión. Al polémico artículo «Métodos
estadísticos e inducción científica» presentado a la Real Sociedad de Estadística
en 1955, le siguió el libro Métodos estadísticos e inferencia
científica, un mamotreto publicado en 1956 donde Fisher ahondaba en
los aspectos más filosóficos de la inferencia estadística.
En esta última obra, Fisher intentó ofrecer una perspectiva unificada de la
inferencia, englobando sus tres aproximaciones en vida al problema: el método
de máxima verosimilitud, los test de significación y la probabilidad fiduciaria
(cuya definición se explicará más abajo). El libro tomó la forma de un repaso
de la inferencia estadística desde Bayes al presente. Por el camino, Fisher
condenaba a la hoguera a Bayes y a Karl Pearson, entre otros «falsos profetas».
El estadístico británico aprovechó además la ocasión para mostrar su
animadversión y desdén para con los estadísticos estadounidenses, cuya
concepción de la estadística presumía que era puramente matemática, sin
contacto alguno con las ciencias experimentales. Para algunos colegas, como
Maurice Kendall, este libro, como el panfleto de 47 páginas sobre el cáncer y
el hábito de fumar que vio la luz en 1959, nunca debería haber sido escrito.
Sea como fuere, son tres los puntos de fricción a los que Fisher prestó
atención: el significado de la probabilidad, las carencias de la inferencia
bayesiana y la lógica de los contrastes de hipótesis.
Definir la probabilidad
A pesar de que la palabra probabilidad era de uso corriente en
las lenguas emparentadas con el latín (donde probable significaba
algo así como «merecedor de aprobación»), el concepto matemático de
probabilidad no hizo su entrada, como dijimos en el primer capítulo, hasta
alrededor de 1660. Y lo hizo arrastrando, desde su nacimiento, una singular
dualidad. La idea emergió como un Jano bifronte que representaba una mutación
de la idea renacentista de los signos. Una afirmación era probable cuando
estaba bien atestiguada. Con el Renacimiento, el mundo comenzó a testificar por
sus signos. No solo los libros de los doctores constituían un testimonio
válido. Ahora también lo era, por decirlo con Galileo, el libro de la
naturaleza. De modo que el signo probable era una señal frecuente, repetida,
mediante la cual el mundo daba testimonio, credibilidad (del mismo modo que el
humo es un signo del fuego).
Por tanto, la probabilidad surgió ligada, por un lado, a la creencia y, por
otro, a la frecuencia. Al igual que el modo escolástico de la posibilidad, la
probabilidad podía predicarse de dicto (acerca de las
proposiciones y su evidencia) o de re (acerca de las cosas y
de la tendencia, exhibida por algunos dispositivos de azar, a producir
frecuencias relativas estables). La palabra probabilidad fue
usada por primera vez para denotar algo medible en la Lógica de
Port-Royal, un manual sobre el arte de pensar impreso en torno a 1662 por
varios colaboradores de Pascal afincados en ese enclave jansenista.
Tanto Poisson, en su obra de 1837 sobre la ley de los grandes números, como
Cournot, en su libro de ciencia moral publicado en 1843, aclaraban que la
probabilidad mezclaba dos nociones que había que distinguir con precisión de
cirujano, por una parte, la chance o probabilidad física, que
cuantificaba la facilidad o propensión, como se dice actualmente, a aparecer
que tiene un suceso; por otra, la probabilité o probabilidad
epistémica, que medía la credibilidad que merecía la ocurrencia del suceso.
Mientras que la primera aludía a una propiedad objetiva del suceso (la
posibilidad de que ocurra, muy útil para modelar), la segunda era subjetiva
(relativa a nuestro conocimiento, de utilidad al inferir).
Curiosamente, un siglo antes, el reverendo Thomas Bayes había dejado escrito:
«por chance entiendo lo mismo que probabilidad». Pero
a la altura de 1850, el mundo ya no era como en la época de Bayes y Laplace. El
aspecto objetivo de la probabilidad pasó a ser mucho más determinante que el
subjetivo, sencillamente porque el mundo rebosaba de frecuencias. El alud de
números impresos inclinó la balanza. De hecho, John Venn, en la Lógica
del azar (1866), apostó por un enfoque frecuencial más que personal de
la probabilidad.
Sin embargo, la inferencia estadística decimonónica siguió siendo claramente
bayesiana (para estimar incertidumbres se usaban los métodos Inversos de
probabilidad de Bayes y Laplace).
Soluciones axiomáticas
Las dos interpretaciones de la probabilidad
comparten un mismo formalismo matemático: los axiomas de Kolmogórov
(1903-1987), formulados por el matemático soviético en 1933. Cualquier
interpretación de la probabilidad que satisfaga estos axiomas, y hay mas, es
una buena realización del concepto.
Los axiomas propuestos respetaban las intuiciones plasmadas en la definición
clásica (la «regla de Laplace», solo aplicable a casos equiprobables) y en la
definición frecuentista (el teorema de Bernoulli. solo aplicable a fenómenos
susceptibles de repetirse) de la probabilidad, además de conectar la teoría de
la probabilidad con la teoría de conjuntos y la teoría de la medida,
transformándola en una teoría matemática firme que en seguida se difundió por
Centroeuropa permitiendo la prueba de múltiples teoremas.
Andrei Nicolayevich Kolmogórov.
Por su parte, la interpretación subjetiva de la
probabilidad (como grado de creencia en una proposición o de adhesión a la
verificabilidad de un suceso, variable en cada persona, aunque sujeta a reglas
bastante estrictas de coherencia interna) fue formalizada independientemente
por el estadístico italiano Bruno de Finetti (1906-1985) en 1937 y difundida
por Leonard J, Savage (1917-1971) en 1954, quien resucitó la inferencia
bayesiana y recuperó este enfoque de la probabilidad relacionado con la
utilidad (noción introducida por Daniel Bernoulli, sobrino de Jakob, en 1737 y
más tarde por Frank P. Ramsey en 1931).
Solo cuando la sobrepoblación de números, de frecuencias registradas
accesibles, fue un hecho más allá del campo astronómico (acúmulo de datos
entresacados de la sociología, la biología o la agronomía), pudo desarrollarse,
gracias a Fisher, como vimos en el capítulo 3, la inferencia estadística
objetiva en detrimento de la bayesiana o subjetiva. Con la observación
continuada de regularidades en otras áreas naturales distintas de la bóveda
celeste, la interpretación subjetiva de la probabilidad como grado de creencia,
de estirpe laplaciana, quedó definitivamente marginada por la interpretación
objetiva o frecuentista: las probabilidades ya no se basaban en creencias sino
en frecuencias empíricas. Desde el principio Fisher fue consciente de que cada
interpretación de la probabilidad apuntaba a una teoría distinta de la
inferencia, ya que los conceptos probabilísticos son los ladrillos de la
inferencia estadística.
«All you need is Bayes...»
Para muchos científicos, la estadística tiene la responsabilidad de responder
una pregunta fundamental: ¿cuándo es correcto afirmar que un conjunto de
observaciones aporta evidencia a favor o en contra de una hipótesis? El recurso
más antiguo para dirimir esta cuestión se remonta a 1763: el teorema de Bayes,
aparecido en el Ensayo hacia la solución de un problema en la doctrina
del azar, firmado por el reverendo Thomas Bayes. Este teorema,
precursor de los métodos inversos de probabilidad y de la inferencia bayesiana,
era el resultado central de un ensayo destinado en espíritu a combatir la
crítica escéptica a la inducción planteada por el filósofo escocés David Hume
en Sobre los milagros, ya que ofrecía una discusión matemática
del incremento de probabilidad entendida como credibilidad.
Ronald A. Fisher en 1943, año en que volvió a la Universidad de Cambridge
para ocupar la cátedra de Genética, tras atravesar graves problemas familiares
que acabaron con la disgregación de su matrimonio
Solo dentro de este contexto teológico influido por
Newton puede entenderse que, por ejemplo, el doctor John Arbuthnot,
concupiscente médico de la corte aficionado a calcular probabilidades como la
de que una mujer de veinte años conservara su virginidad o un joven hubiera
sido infectado de gonorrea, realizara en 1710 la que pasa por ser la primera
prueba de significación de una hipótesis estadística; si la posibilidad de
nacimiento de un varón fuese igual a la de una hembra (esto es, 1/2), la
probabilidad de que se registrasen, como se había constatado, ochenta y dos
años consecutivos en que nacían más hombres que mujeres seria de (1/2)82,
o sea, prácticamente cero, Por ende, la hipótesis de igualdad de sexos al nacer
debía ser rechazada, y Aibuthnot interpretaba esta regularidad como un
argumento (inductivo) a favor de la divina providencia. En esta línea, la
fórmula de Bayes permitía emitir juicios probabilísticos sobre la validez de
una hipótesis (probabilidad a posteriori) basándose en los
datos (verosimilitudes), pero también en la apreciación subjetiva que la
hipótesis mereciese (probabilidad a priori).
«Las causas que llevaron a Bayes a su teorema eran
más teológicas y sociológicas que puramente matemáticas.»
Karl Pearson (1926).
No obstante, el problema de la probabilidad inversa
había cobrado forma con la contribución de Jakob Bernoulli en 1713. El
matemático suizo le había comunicado por carta a Leibniz en 1704 que había
encontrado un teorema que le permitía calcular aposteriori, con
una aproximación determinada, las probabilidades desconocidas de los sucesos
conocidos empíricamente tan bien como si aquellas le fuesen conocidas a
priori, de entrada. Sin embargo, como explicamos en el primer
capítulo, el teorema áureo de Bernoulli no era exactamente un ejemplo de
probabilidad inversa, porque lo que el teorema venía a afirmar es que,
«conocida» la probabilidad de ocurrencia de un suceso, la frecuencia relativa
con que este suceso ocurre tiende a ese número (ley débil de los grandes
números). En cuanto tal se trata de un teorema puro e incuestionable de la
teoría de probabilidades. Así, Bernoulli fue capaz de deducir el número de
veces que hay que lanzar un dado simétrico (legal) para que, con «certeza
moral» (esto es, con probabilidad mayor o igual que 0,999, un estándar análogo
al que los estadísticos modernos usan hoy del 95% o 99% de confianza), la
frecuencia relativa con que salga el 6 difiera de p = 1/6 (su
probabilidad, que, nótese, se supone conocida) en no más de 0,01: 1.388.889
veces. En el teorema la probabilidad p estaba fija y se
calculaba la probabilidad de observar ciertos datos, sabiendo que la frecuencia
relativa de éxitos fn tendía a p cuando
el número de experimentos n aumentaba. Bernoulli hacía
aseveraciones acerca de lo que en la época se llamaban problemas
directos de probabilidad, problemas en los que se suponía conocida la
probabilidad de éxito y se calculaba la probabilidad de cualquier sucesión de
éstos y fracasos.
Pero si no se conocía p, ¿podía usarse todavía el teorema?
Paradójicamente, Bernoulli introdujo su teorema precisamente para aquellos
casos en los que no se tenía conocimiento previo de p. Sin
embargo, resistió la tentación de invertir el teorema, conformándose con acotar
los posibles valores de p entre dos límites (anacrónicamente,
diríamos que realizó una estimación por intervalo de p para un
cierto nivel de confianza, con certeza moral; un procedimiento que tendría
continuación con la teoría astronómica de los errores probables, que
construiría estimaciones por intervalo con un nivel de confianza del 50%). En
otras palabras, Bernoulli descubrió cómo computar la siguiente probabilidad
(donde se conoce p): P (p está
en fn ± ε|p). Y le habría resultado tentador
tomar los valores calculados aquí como los valores de la probabilidad P (p está
en fn ± ε|fn) donde se ha
sustituido el conocimiento de p por el de fn. Naturalmente,
este paso es falaz, pues la segunda expresión no se deduce de la primera Parece
que fue Laplace quien sucumbió a la tentación de «invertir» el teorema, e
inferir la probabilidad p a partir de la frecuencia
observada fn, a pesar de que esta tendencia ya estaba en
el propio Bernoulli, quien de haber tenido éxito en su empeño habría resuelto
el problema de la inducción, de ascender de lo particular a lo general, de la
muestra a la población (la inferencia inductiva).
La solución completa de Laplace a este problema pasó, canonizando la
interpretación epistémica de la probabilidad, por el teorema de Bayes, que
considera la probabilidad desconocida p como una variable
aleatoria. El opúsculo de Bayes fue el primer intento sistemático de calcular
la segunda probabilidad antes expresada: mediante una asignación a
priori de probabilidades y por medio de la fórmula de Bayes, se
calculaba la probabilidad pedida. Presuponiendo una distribución a
priori de p sobre el intervalo [0,1], Laplace calculó
a partir de los datos disponibles la probabilidad (a posteriori) de
que p estuviese amenos de una cierta distancia ε de la
frecuencia relativa fn, observada. Dado el numero de
veces que había salido 6, calculaba la probabilidad de que la probabilidad de
salir 6 estuviese en un entorno de la frecuencia relativa observada.
Los estadísticos bayesianos buscan conocer la probabilidad de que cierto
parámetro desconocido θ se encuentre entre dos valores prefijados. Para ello
necesitan dos cosas: en primer lugar, las verosimilitudes P(X,θ),
es decir, las probabilidades de observar la muestra extraída de la población
dependiendo del valor que tome el parámetro; y, en segundo lugar, la
probabilidad a priori de θ o distribución a priori de
θ que mide la probabilidad de que el parámetro desconocido se encuentre entre
dos límites cualesquiera.
La distribución posteriori, calculada mediante el teorema de Bayes, se
representa con línea continua de color gris (en el eje horizontal se colocarían
los posibles valores del parámetro θ que se desea estimar). Como puede
observarse, la distribución a posteriori se encuentra entre medias, a medio
camino de la distribución a priori y la verosimilitud. De hecho, en este
ejemplo, se parece mucho más a la verosimilitud que a la a priori, lo que
muestra cuánto hemos aprendido de los datos.
La distribución a posteriori P(θ|X),
calculada mediante la regla de Bayes, no es sino un compromiso entre la
distribución a priori y la verosimilitud, entre lo que
sabíamos y lo que hemos aprendido de los datos observados (figura 1).
La preferencia del siglo XIX por los números y la objetividad incentivó a los
matemáticos a buscar alternativas a un procedimiento que era mirado con
suspicacia. Fisher hizo de la lucha contra la inferencia bayesiana una de las
razones de su vida científica. A su entender, los métodos estadísticos hablan
conducido a una comprensión más completa de la lógica inductiva, constituyendo
la base de la inferencia científica, pues la inferencia inductiva era, a
diferencia de la deductiva, ampliadora del conocimiento (porque permite aprender
de la experiencia, aunque siempre con un cierto grado de incertidumbre, pero
que al poder cuantificarse hace la inferencia perfectamente rigurosa). Ahora
bien, mientras que el papel principal en la inferencia deductiva o directa (de
lo general a lo particular, de la población a la muestra) lo tomaba la
probabilidad, la inferencia inductiva o inversa (de lo particular a lo general,
de la muestra a la población) estaba reservada a la verosimilitud y, en algunos
casos, a la probabilidad fiducial. Bajo ningún concepto a la probabilidad
bayesiana.
Entre otras endebleces, Fisher criticaba que los bayesianos transformaban
clandestinamente la inferencia inversa o inductiva en una inferencia directa,
en una deducción probabilística, al postular un conocimiento de partida: la
distribución a priori del parámetro θ. En cuanto ecuación
matemática, la fórmula de Bayes podía ser indiscutible (aunque, para Fisher,
era poco o nada evidente), pero su empleo requería asignar una
probabilidad a priori a la verdad de la hipótesis que se
valora, un número borroso sujeto a discusión. No era plausible que en
situaciones de completa ignorancia, uno admitiera que debe asignar a todos los
posibles valores de θ la misma probabilidad (distribución uniforme) o una
probabilidad que depende del estado de información en que se encuentre cada uno
(probabilidad subjetiva), de manera que dos investigadores pueden usar dos
priores inconsistentes entre sí cayendo en el subjetivismo más inaceptable. (De
hecho, actualmente se conocen algunas paradojas, como la «paradoja de Lindley»,
que muestran cómo la inferencia bayesiana puede fallar estrepitosamente si se
eligen priores inadecuadas: toda la probabilidad se deposita a
posteriori en ciertos valores del parámetro se observe lo que se
observe.) Además, el hecho de que con el aumento del tamaño muestral la forma
precisa de la distribución prior perdiera relevancia en relación con la
verosimilitud (como en el gráfico que antes hemos mostrado en la figura 1),
llevaba a Fisher a afirmar que lo más natural era extraer conclusiones sin
suposiciones o priori de ninguna clase.
No obstante, para Fisher la inferencia inductiva era posible aunque no
transcurriera por los canales bayesianos. A diferencia del filósofo Karl
Popper, Fisher no creía que la ciencia debiera retornar a un simple modelo
demostrativo, alejado de la práctica experimental. La mayoría de matemáticos,
demasiado entrenados en el arte de la deducción, confundían una inferencia
incierta (donde la incertidumbre es cuantificable) con una inferencia no
rigurosa. El aprendizaje de la experiencia se producía por medio de los test de
significación, que, como reflejamos en el tercer capítulo, servían para extraer
conclusiones de los datos observados sin referencia alguna a creencias
previas (a priori). Y la verosimilitud era la medida de
creencia racional; porque, a diferencia de la probabilidad (que solo permite
razonamientos deductivos, pues la fórmala de Bayes ya parte de la prior),
posibilita razonamientos inductivos, al ser lo que se evalúa en los test.
«Tiene un error lógico en la primera página que invalida las restantes 395,
y es que adopta el postulado de Bayes.»
Fisher sobre el libro Teoría de la probabilidad, (1938) del astrónomo Harold
Jeffreys.
En torno a 1930, Fisher encontró que, en ciertas situaciones especiales, era
factible transformar los conocimientos logrados sobre el parámetro en
sentencias probabilísticas sin usar el teorema de Bayes. A través de un oscuro
argumento, Fisher definía una distribución de probabilidad sobre el parámetro θ
en base a los datos y sin tomar en cuenta ninguna distribución a
priori. Era la denominada probabilidad, fiducial. Fisher
pensaba en F(θ|X) como una función en dos variables y, cuando sustituía
el valor muestral observado X y podía despejar adecuadamente θ
en función de X, explotaba la consideración de F(θ|X)
como una distribución de probabilidad en θ a efectos prácticos. Había
encontrado un método para invertir afirmaciones probabilísticas sobre las
observaciones una vez dado el valor del parámetro en afirmaciones
probabilísticas sobre el parámetro a partir de las observaciones.
En el argumento fiducial hay una transmisión de probabilidad de X a
θ, del estadístico muestral al parámetro, que es intuitiva pero confusa; porque
cambia el estatus del parámetro, que pasa de ser un valor desconocido pero
constante a ser una variable aleatoria. Para Leonard J. Savage, «la
aproximación fiducial de Fisher era mi intento de hacer una tortilla bayesiana
sin romper ningún huevo bayesiano», ya que lo único que diferenciaba al
método fiducial del método de Bayes era la ausencia de conocimiento a
priori. De hecho, la distribución fiducial podía calcularse como una
distribución a posteriori respecto de una prior no informativa
(neutra, uniforme).
¿Saldrá el sol mañana?
Persiguiendo refutar a Hume, quien había escrito
que únicamente era probable que el Sol saliera de nuevo al día siguiente,
Richard Price (1723-1791), el filósofo que se encargó de publicar póstumamente
el legajo de Bayes, empleó el teorema de su colega para calcular la
probabilidad de que el Sol así lo hiciera.
Teniendo en cuenta el número de días que había venido amaneciendo
ininterrumpidamente, Laplace mejoró los cálculos alcanzando la «regla de
sucesión»: si un hecho se repite seguidamente cualquier cantidad de veces, la
probabilidad de que ocurra una vez más es igual a este número más 1 y dividido
por este mismo numero más 2. Así, si suponemos que el Sol ha salido
invariablemente durante 5000 años, o sea, 1626213 días (Laplace pensaba que la
Tierra era muy joven y le adjudicaba soto 5000 años de existencia), la
probabilidad de que salga mañana es de 1826214/1826215 (≈99,9999%).
Retrato idealizado de Thomas Bayes
No obstante, como buen astrónomo. Laplace subrayaba
que en el caso de este tema se trataba más bien de un problema de mecánica
celeste que de probabilidad; porque, por esta regla. Cuanto mayores nos vayamos
haciendo, mayor resultará la probabilidad de vivir más. De modo que una persona
de ochenta años tendrá mayor probabilidad de vivir un día más que una de solo
veinte años. Lo que carece de sentido.
Esto provocó que Fisher suavizara su posición, de manera que en su libro de
1956 se muestra partidario de la aproximación bayesiana cuando la información
muestral sobre el parámetro sea lo suficientemente extensa, ya que en el
cálculo de la distribución a posteriori mediante el teorema de
Bayes la verosimilitud será determinante (como en el gráfico visto en la figura
1). En otro caso, era partidario del argumento fiducial.
Los esfuerzos por suplantar el teorema de Bayes,
encarnados en personalidades tan importantes como Fisher, no lo consiguieron, y
a lo largo de la segunda mitad del siglo XX se ha asistido a un resurgir de la
inferencia bayesiana, el enfoque ciertamente más antiguo dentro de la
inferencia estadística, en conexión con la teoría de la decisión. El
bayesianismo intenta ser una aproximación formal, algorítmica, a esa vaga idea
que sería «aprender de la experiencia para decidir mejor». Da un procedimiento
para combinar nuestra información a priori con la muestra a
fin de obtener una inferencia que tenga en cuenta toda la información
disponible.
Al día de hoy algunos estadísticos sostienen que la inferencia del futuro será
bayesiana o no será, ya que los métodos clásicos fallan en ocasiones en su
precisión, no toman en cuenta la información proveniente de estudios previos y
tampoco ayudan a valorar la credibilidad de una hipótesis. Mientras que la
inferencia clásica supone que el parámetro θ está fijo y pretende estimarlo, la
inferencia bayesiana lo interpreta como una variable aleatoria de modo que la
probabilidad P(θ|X) es objeto de estudio. Si el tamaño de la muestra X es
grande, ambos métodos ofrecen en general los mismos resultados, ya que la
información muestral pesa mucho más que la información a priori (como
puede observarse en la figura 2, la distribución a posteriori sé asemeja
más a la verosimilitud que a la prior).
Pero si la muestra es pequeña, ambos métodos pueden
conducir a resultados distintos, ya que la información a priori pesa entonces
más que la muestral (en la figura 3 la distribución a posteriori se diferencia
bastante de la verosimilitud).
Sin embargo, en situaciones de máxima incertidumbre, tomar como distribución
inicial una distribución neutra (no informativa, uniforme) recupera los
resultados clásicos (en la figura 4) la distribución a posteriori y
la verosimilitud coinciden porque la prior es uniforme).
No obstante, los métodos bayesianos a veces son
difíciles de aplicar, necesitando del cálculo numérico y del método de
Monte-Carlo. Quizá su repunte en la actualidad sea indisociable de la extensión
del ordenador.
Frente al bayesianismo subjetivo, se reivindica hoy un bayesianismo objetivo,
en el que las probabilidades a priori no están basadas en las
creencias personales previas del estadístico, sino en ciertas distribuciones
iniciales de referencia, regladas. Algunos estadísticos sostienen que esta vía
es la mejor ruta para unificar las inferencias bayesiana y clásica. De hecho,
tanto Bayes como Laplace empleaban priores objetivas, distribuciones uniformes.
Sin embargo, los bayesianos ortodoxos consideran este bayesianismo como
deshonesto, y reclaman, con De Finetti o Savage, el empleo de probabilidades
personales, confiando en el poder de la evidencia empírica para neutralizar las
diferencias en las asignaciones de probabilidad inicial de distintos sujetos,
sin que haga falta introducir otras constricciones que la consistencia o
coherencia con los axiomas de la teoría matemática de la probabilidad. La traba
es que si una persona piensa que cierta hipótesis es imposible, mientras que
otra le asigna cierta probabilidad a priori positiva, el
teorema de Bayes nunca será capaz de ponerlas de acuerdo pese a toda la
evidencia que se reúna.
Obviamente, los bayesianos objetivos tratan de neutralizar este relativismo
inicial (que los subjetivos salvan fiando a un hipotético límite futuro común)
constriñendo la asignación de probabilidades iniciales mediante diversas
reglas, como el «principio de razón insuficiente» de Laplace (o de indiferencia, según
lo rebautizó el economista John Maynard Keynes), que asigna la misma
probabilidad a todos los sucesos desconocidos Ahora bien, si para ser objetivos
se usan siempre distribuciones uniformes o cuasi-uniformes, el estadístico
bayesiano solo recupera los resultados del estadístico clásico, porque para
poder superarle, exhibiendo, por ejemplo, estimaciones de un parámetro con
menor error, ha de introducir en general una distribución o priori distinta,
en cuyo caso el debate entre estadísticos clásicos y bayesianos vuelve al punto
de partida.
Cuando Kuhn conoció a Bayes
La revitalización de los métodos bayesianos ha
tenido mucho que ver con las corrientes en boga en el ámbito de la filosofía de
la ciencia. Los filósofos de la ciencia distinguen dos clases de razonamiento
no deductivo. Por un lado está la «inducción» o inferencia bajo incertidumbre
y, por et otro, la «abducción» o creación especulativa de hipótesis teóricas
para explicar los fenómenos. Tanto la inducción como la abducción han intentado
recibir un tratamiento probabilístico por parte de los epistemólogos atravesado
el ecuador del siglo XX. La primera muesca se debió a Rudolf Carnap, un
filósofo perteneciente al Círculo de Viena que terminó afincado en Estados
Unidos, y que pretendió suturar la herida de muerte de la lógica inductiva: el
hecho de que la segundad del razonamiento inductivo palidece al compararla con
la del deductiva Para ello, planteó una teoría axiomática de la confirmación
basada en una serie de reglas que buscaban cuantificar la probabilidad
inductiva o lógica de una hipótesis, es decir, la probabilidad de una hipótesis
H a partir de la evidencia e disponible. Si P(H|e) =
1, quería decirse que e implicaba H, En cambio,
si P(H|e) = 0, e implicaba la negación
de H. Finalmente, á 0 < P(H|e) < 1, este
número media el grado en que la estructura lógica de e implicaba
parcialmente H. Esta formulación retomaba una idea que ya
estaba en los tratados que escribieran Keynes y el astrónomo bayesiano Harold
Jeffreys, para los que toda probabilidad inductiva era en el fondo condicional,
relativa a la evidencia accesible.
Karl Popper
En suma, para Carnap, confirmar inductivamente era
igual que implicar deductivamente, pero su lógica en seguida se reveló como
lastrada por graves problemas técnicos y conceptuales.
La verosimilitud de Popper
Karl Popper, en concreto, azotó furibundamente este inductivismo, estableciendo
una larga polémica. Al igual que Fisher, rechazaba tajantemente el uso
inductivo de la probabilidad, proponiendo el concepto de verosimilitud como
sustituto (aunque la verosimilitud popperiana no se define igual que la verosimilitud
fisheriana). A todos los efectos, Popper fue a los filósofos inductivistas lo
que Fisher fue a los estadísticos bayesianos. El empeño de algunos filósofos
por definir una lógica probabilística apropiada para las teorías e hipótesis ha
fracasado; pero el reconocimiento de que la ciencia envuelve juicios y
valoraciones subjetivas, como puso de manifiesto Thomas Samuel Kuhn en su
obra La estructura da las revoluciones científicas (1962). ha
puesto las esperanzas de muchos epistemólogos en la inferencia bayesiana.
Inducción, deducción y decisión
La escuela bayesiana no fue la única a la que se enfrentó Fisher. Dentro de la
inferencia objetiva auspiciada por el estadístico británico creció otra escuela
en torno a las aportaciones de Egon Pearson y, en especial, Jerzy Neyman
(1894-1981). Este matemático de origen polaco se interesó de joven por la
aplicación de la estadística en agricultura. Gracias a una beca, pasó el año
académico de 1925-1926 en el laboratorio de Karl Pearson, aunque se desilusionó
al descubrir que el gigante inglés ignoraba la matemática abstracta
continental. El siguiente curso académico optó por pasarlo en París, asistiendo
a las clases de Henri Léon Lebesgue. Si no hubiese sido por el fructífero
contacto epistolar con Egon Pearson, Neyman hubiera cambiado la estadística por
las integrales a su vuelta a Varsovia.
Cuando Karl Pearson cedió el testigo a su hijo Egon, este no tardó en invitar a
Neyman al Univereity College. Juntos formaron un tándem que concibió un nuevo
paradigma estadístico a partir de los test de significación elaborados por
Fisher, los contrastes de hipótesis, cuyo planteamiento perfeccionaron en
varios artículos espaciados entre 1928 y 1933, cuando dieron a conocer el lema
fundamental que juega un papel crucial en la teoría. Al año siguiente, Neyman
reformuló la estadística inductiva al asentar la estimación mediante intervalos
de confianza, que en cierto sentido mejoraban los intervalos fiduciales de
Fisher, y al dar inicio a la teoría moderna del muestreo: el muestreo aleatorio,
en sus diferentes modalidades, como principio básico de aplicación de la
estadística.
Al comienzo, Fisher calificó el trabajo de Neyman de luminoso y celebró que
plantease la inferencia en términos no bayesianos (la lectura del tratado de
probabilidad escrito por Richard von Mises le había convertido en un
frecuentista radical). Pero, coincidiendo con el ingreso de Neyman en la Real
Sociedad Estadística en 1936, Fisher rompió dramáticamente toda relación con
él» al atacar su investigación sobre agricultura y tildarlo de matemático puro,
sin contacto con la ciencia experimental (una acusación a la que Neyman
respondió, por descontado, con poca delicadeza). En su momento, Fisher escribió
que si la intolerancia a nuevas ideas era un signo de senilidad, Karl Pearson
la había desarrollado desde muy joven, y bien podría decirse que Fisher hizo lo
propio, convirtiéndose demasiado pronto en un egocéntrico dinosaurio de la
estadística. Siempre se mostró muy poco generoso con Neyman, a pesar de que
este lo admiraba y de que su teoría de los intervalos de confianza y del
contraste de hipótesis clarificó tanto la mística probabilidad fiducial como
las pedestres pruebas de significación. Los roces entre Fisher y Neyman fueron
constantes mientras duró su convivencia bajo el techo común del Univereity
College, y ni siquiera se calmaron cuando, en 1938, Neyman partió hacia
Berkeley, en Estados Unidos. La animadversión entre ambos estadísticos
significó la mayor grieta abierta entre los partidarios de la inferencia
frecuentista.
«Fisher a veces publicaba insultos que solo un
santo podía perdonar.»
Leonard «Jimmy» Savage (1978).
Aunque históricamente Neyman publicó su teoría de
los intervalos de confianza con posterioridad a la teoría de los contrastes de
hipótesis, aquellos son previos a estos desde un punto de vista lógico. Sobre
1930 Neyman ya poseía el germen de la idea, probablemente influido por la aproximación
fiducial que Fisher desarrollaba paralelamente (aunque soslayó referirlo). De
modo que en 1934 sugirió que mucho más interesante que la estimación puntual
era obtener un intervalo dentro del cual se tenía cierta confianza de que se
encontrase el parámetro que se quería estimar. Un intervalo de confianza
consistía en acompañar la estimación puntual con el margen de error que
reflejaba la variabilidad de la estimación. Proporcionar la estimación sin
indicar su margen de errar era de escasa utilidad y podía ser engañoso. Pero,
frente a la tradición de ofrecer la estimación puntual y el error probable (lo
que determinaba un intervalo con un nivel de confianza del 50%), Neyman
barajaba la posibilidad de construir, mediante el concurso de variables «pivotales»,
intervalos con cualquier nivel de confianza deseado (pongamos por caso, como es
habitual, al 95 o 99%). Para cada nivel de confianza determinado se calculaba
su margen de error. Naturalmente, con el nivel de confianza aumentaba el margen
de error, aunque otra forma de aumentar la confianza era aumentar el tamaño de
la muestra.
Por ejemplo, puede preverse que si extraemos muestras de tamaño 16 de una
población que se distribuye normalmente con media µ desconocida y desviación
típica 4, entonces con probabilidad 0,95 la media muestral X no
distará de la media poblacional, µ desconocida más de 1,96 unidades. En
consecuencia, si al tomar una muestra observamos que X = 40,
puede esperarse que p se encuentre previsiblemente en el
intervalo 40 ± 1,96 (con un 96% de confianza).
Ahora bien, ¿qué significa la coletilla «al 95% de confianza»? Quiere decir que
la estimación por intervalo se ha realizado con un procedimiento que se sabe
que a la larga acierta el 95% de las veces. Es como si el intervalo nos lo comunicara
una persona que dice la verdad el 95% de las veces; podemos estar bastante
seguros, pero no totalmente seguros. Conviene advertir, según insistió Neyman,
que si 7 es un intervalo de confianza concreto al 95%, no se puede decir que la
probabilidad de que I contenga el verdadero valor del
parámetro µ es 0,95 porque el parámetro θ estará o no estará en I,
pero no tiene más opciones, ya que es una constante de valor definido aunque
desconocido. Dicho de otra manera, la probabilidad de que I incluya
a θ solo puede asumir dos valores: 1 o 0, dependiente de si θ está o no
en I. Sucede que la fórmula que ha permitido construir el
intervalo I al sustituir los datos observados posee una
probabilidad de 0,95, lo que se interpreta, desde la definición objetiva o
frecuencial de la probabilidad, como que el 95% de las muestras producen un
intervalo que en efecto contiene el parámetro. Sin embargo, es imposible
conocer si nuestro intervalo concreto l es uno de ellos, pero
se espera que así sea con un 95% de confianza.
Cuando en 1955 Fisher y Neyman volvieron a cruzar espadas con motivo del
artículo incendiario que el primero comunicó a la Real Sociedad de Estadística,
Fisher dejó entrever que la concepción de Neyman ponía en peligro su método
fiducial, aparte de ser supuestamente una copia degenerada (y ello a pesar de
que los intervalos fiduciales dejan de coincidir con sus hermanos, los
intervalos de confianza, cuando se aplican a problemas multiparamétricos como
el de Behrens-Fisher). Recordamos que mediante un extraño argumento, Fisher
cambiaba el estatus del parámetro θ para hacerlo susceptible de recibir una
distribución de probabilidad. Pasaba de suponerlo una constante a una variable
aleatoria, una asunción que lo sacaba del paradigma de la estadística clásica y
lo sumergía en el marco de la estadística bayesiana. Porque para los bayesianos
es posible entender un intervalo de confianza I al 95% como
que el parámetro θ se encuentra ahí con una probabilidad (subjetiva,
credencial) de 0,95.
«De un saco de judías blancas y negras saco un
puñado y cuento el número de judías blancas y el número de judías negras y
entonces presumo que las blancas y las negras están aproximadamente en la misma
proporción en todo el costal»
Charles Sanders Pierce sobre el muestreo como base de la inducción.
Mientras que los estadísticos bayesianos contestan
a la pregunta de por qué empleamos este intervalo I en
particular, los estadísticos frecuentistas responden a la pregunta de por qué
empleamos intervalos de confianza en general, esgrimiendo que el método de
Neyman es un razonamiento deductivo que arroja un 95% de éxitos a largo plazo.
La confianza no es una medida de precisión final (atribuible al intervalo
numérico construido) sino inicial. Los contrastes de hipótesis guardan, como en
seguida veremos, un nexo fundamental con los intervalos de confianza. Buscando
fortalecer las bases lógicas de los test de significación de Fisher, Pearson y
Neyman idearon varias mejoras. El leitmotiv de su
investigación no era otro que el siguiente interrogante: ¿qué hacer si se
obtiene un resultado significativo en un test estadístico? De acuerdo, se
rechaza la hipótesis nula, pero ¿qué otra hipótesis puede abrazarse? En este
sentido las pruebas de significación eran peores que inútiles. No daban ninguna
pista.
La teoría de Neyman-Pearson planteaba una elección real entre dos hipótesis
rivales. El contraste de hipótesis es un algoritmo para decidir entre dos
afirmaciones sobre un parámetro a partir de la información contenida en la
muestra. Una será rechazada; la otra, aceptada. Tras formular la hipótesis
nula H0 se formula la hipótesis alternativa H1, que
difiere de la hipótesis de partida. A. continuación, se elige
el tamaño del test o nivel de significación a deseado, que marca la barrera que
juzga qué discrepancias son «demasiados grandes. Usualmente, suele tomarse α
=0,05 (el valor complementario al consabido 0,95). Este número determina el
riesgo aceptado, esto es, el porcentaje de muestras que tomaremos como
significativas para decir que la muestra no es compatible con la hipótesis nula
(en este caso, el 5%). Asimismo, se elige el estadístico T del
contraste, cuya distribución en el muestreo ha de ser conocida, y que funciona
como una medida de la discrepancia entre la hipótesis nula, la hipótesis
alternativa y los datos muestrales. Con α y con T se
construyen la «región crítica» o «región de rechazo» y la complementaria
«región de aceptación de la hipótesis nula» (esta última viene dada por un
intervalo de confianza de nivel 1 - α). El hecho de que el valor T(X) observado
en la muestra del estadístico del contraste caiga dentro de una u otra
dictamina si la diferencia observada es o no significativa, si hay que rechazar
la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa.
Todo contraste de hipótesis conduce, pues, a aceptar o rechazar la hipótesis
nula planteada (aceptando, en este último caso, la hipótesis alternativa).
Ahora bien, pueden ocurrir las siguientes situaciones (que aparecen
esquematizadas en la tabla):
a. Se acepta la hipótesis nula siendo verdadera Esta
es una decisión correcta
b. Se rechaza la hipótesis nula siendo falsa Esta es
otra decisión correcta.
c. Se rechaza la hipótesis nula siendo verdadera. Está
claro que cometemos un error, que se llama error de tipa I. La
probabilidad de cometer este error viene dada por él nivel de significación a,
fijado de antemano.
d. Se acepta la hipótesis nula siendo falsa. También
cometemos un error, que se llama error de tipo II la
probabilidad de cometer este error se representa por fi, y la probabilidad 1 -
(1 se llama potencia del contraste, ya que cuantifica la
probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa)
Neyman y Pearson demostraron que en bastantes
circunstancias, una vez fijada la probabilidad α de error de tipo I (esto
es, asumiendo la interpretación frecuentista del muestreo repetido, una vez
acotado el porcentaje de veces que tomaremos una decisión equivocada, al
rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera), es posible construir y
utilizar contrastes de máxima potencia, es decir, contrastes que minimizan la
probabilidad β de error de tipo II al tiempo que maximizan la
potencia del test, su sensibilidad o capacidad para detectar que la hipótesis
nula es falsa. En un célebre lema publicado en 1933, Neyman y Pearson probaron
que en el caso de hipótesis rivales simples (que asignan valores específicos al
parámetro desconocido) existe automáticamente una clase de test óptimos, de
bajo tamaño y máxima potencia: los basados en la razón de verosimilitudes (ver
anexo al final del libro). Según dejaron escrito en 1933:
Sin esperar conocer si cada hipótesis por separado es verdadera o falsa,
buscamos reglas que gobiernen nuestro comportamiento con respecto a ellas, de
modo que a la larga no esteraos frecuentemente equivocados.
De acuerdo con el planteamiento de Neyman y Pearson, un contraste de hipótesis
no es más que una regla de decisión. Si uno se comporta conforme al
procedimiento diseñado, a la larga rechazará la hipótesis nula cuando sea
verdadera no más, digamos, que cinco veces de cada cien y, además, dispondrá de
evidencia de que la rechazará con la suficiente frecuencia cuando sea falsa.
Los test estadísticos no son, por tanto, reglas de inferencia inductiva, sino
de comportamiento inductivo. Su propósito no es fundamentar nuestras creencias,
sino ajustar nuestra conducta a los datos observados. No es posible averiguar
si la hipótesis nula es verdadera o falsa. Pero, en cambio, sí es factible
comportamos respecto a ella de manera que a largo plazo no erremos con
demasiada frecuencia. Frente a Fisher, Neyman y Pearson sostenían que lo que es
inductivo no es el razonamiento sino la acción. El objeto de la estadística era
emplear la experiencia como guía para actuar apropiadamente. Ni más, ni menos.
Los procesos de control de calidad en la producción industrial siguieron de
cerca esta visión. Así, durante la Segunda Guerra Mundial, los contrastes de
hipótesis sirvieron para la selección de bastimentos en la Armada
estadounidense, ya que inspeccionando una muestra de cada lote podía tenerse la
confianza de seleccionar correctamente al menos el 95% de los lotes no
defectuosos a largo plazo. Egon Pearson escribió, de hecho, un libro sobre la
materia que pereció quemado en uno de los primeros raids sobre
Londres. Pero fue la emigración de Neyman a Estados Unidos en 1938 lo que
facilitó que esta constelación de ideas cruzara el Atlántico y terminara
sedimentando en la teoría matemática de la decisión esbozada hacia 1950 por el
malogrado Abraham Wald (fallecido tempranamente en un accidente de avión).
En múltiples ocasiones Neyman sostuvo la tantalizante doctrina de que la
inferencia inductiva es imposible y debemos contentarnos con la conducta
inductiva. Una opinión contundente que le convirtió en el villano de las
disputas filosóficas de la estadística. A su entender, la estadística
matemática no hacía justicia al presunto carácter inductivo de la empresa
científica, ya que su entramado era puramente deductivo. Del mismo modo que los
bayesianos y sus epígonos tomaban como premisa una distribución o priori de
probabilidad, Fisher partía siempre de la función matemática de verosimilitud o
de una distribución en el muestreo deducida con anterioridad. Los intervalos de
confianza, por su parte, se obtenían razonando sobre las propiedades de ciertas
variables aleatorias. Y los contrastes de hipótesis eran meras reglas de
comportamiento, donde no cabía la inferencia, ni inductiva ni deductiva, porque
había probabilidades de error. La lógica se resolvía, empero, en decisión.
A juicio de Fisher, tanto Neyman como Pearson habían desvirtuado íntegramente
su invención; porque el objetivo de un test de significación, como explicamos en
el capítulo 3, no era decidir entre dos hipótesis alternativas, sino comprobar
si una observación acreditaba o no la hipótesis nula. Sus queridos test se
habían transformado en vulgares recetas de aceptación. Mientras que las pruebas
de significación se construían tomando como referencia una única hipótesis y su
objeto era validar el modelo estadístico subyacente, los contrastes de
hipótesis consideraban dos hipótesis rivales y su propósito principal era
decantarse por una de ellas.
Además, para Fisher, Neyman y Pearson habían formalizado las pruebas de
significación en un marco (supuestamente) confuso, ya que el resultado de una
de estas pruebas venía dado por el p-valor, que medía hasta qué
punto los datos no contradecían la hipótesis nula, y no por la decisión de
aceptar la hipótesis nula o la hipótesis alternativa. No era lo mismo informar
del p-valor, como medida de la evidencia aportada por la muestra,
que de la aceptación o el rechazo de la hipótesis nula, con la consiguiente
(falsa) creencia de que esta hipótesis era verdadera o falsa simplemente poique
no/sí contradecía los datos observados. De hechos la utilización del p-valor permite
que todos los estadísticos a los que se les facilite la misma muestra obtengan
idéntico resultado. En cambio, dos estadísticos que informen del resultado de
un contraste pueden llegar, a partir de la misma muestra, a resultados
distintos si utilizan dos tamaños diferentes, dos α distintos. La razón estriba
en que el p-valor es una propiedad de la muestra, mientras que
el tamaño a es una propiedad del test.
Cuestiones candentes en la teoría de Neyman-Pearson
A pesar de que los contrastes de hipótesis han sido
universalmente aceptados, presentan ciertos déficits técnicos que no deban
dejar de señalarse. Primeramente, muchos investigadores creen que para un α
fijo, el rechazo de la hipótesis nula, caso de producirse será más evidente
conforme mayor sea el tamaño muestral n. sin embargo, esto no
es así.
Si se quiere contrastar si la producción media de una máquina es de 5000
unidades/día y se toma una muestra grande (una serie larga de observaciones
diarias), es bastante probable que se detecte una diferencia estadísticamente
significativa y se rechace que la media es 5000.
Pero la conclusión bien puede ser que la media es, entonces, de 5000 + 0,00001,
una diferencia perfectamente irrelevante en la práctica.
Jerzy Neyman.
Como la región critica depende del tamaño muestral,
el valor por encima del cual se rechaza la hipótesis nula de que la media es
5000 se acerca a 5000 según aumenta n (puesto que la media
observada ha de estar muy próxima a la media teórica si la muestra es grande).
Un efecto pequeño en una muestra grande puede ser tan decisivo como un efecto
grande en una muestra pequeña. Para evitar este engorro, hay quienes sugieren
ajustar el tamaño del test en función del tamaño de la muestra.
En segundo lugar, como consecuencia del papel privilegiado de la hipótesis nula
(ya que a se fila con anterioridad), en ocasiones se tiende a aceptar la
hipótesis nula incluso cuando los datos no encajan bien con esta hipótesis. Es
más, la obligatoriedad de decidir entre la hipótesis nula y la hipótesis
alternativa, a veces conduce a tomar decisiones basándose en datos muestrales
que encajan igual de mal con ambas hipótesis, algo que con el enfoque bayesiano
no pasa (en el anexo al final de libro abundamos en esta cuestión).
La potencia del test
Neyman enfatizaba que la no significatividad de un test para rechazar la
hipótesis nula no lleva necesariamente a verla confirmada, ya que esto depende
de la potencia del test, de que sea lo suficientemente alta. Algunos
estadísticos apuntan que la fuerza con que la hipótesis nula se ve confirmada
por la muestra puede evaluarse mediante una cantidad que denominan severidad, y
que jugaría un papel análogo al p-valor. Mientras que el p-valor se
definía, como vimos en el tercer capítulo, por la probabilidad P(T ≥
T(X)|H0), la severidad se definiría por P(T
≥ T(X)|H1). Cuanta más alta fuese esta probabilidad, más
«duro» o «severo» habría sido el test en et sentido de ser capaz de discernir
si la hipótesis nula era falsa. Un experimento confirmaría una hipótesis si y
solo si soporta un intento serio por refutarla. Por último, en tercer lugar,
cuando las hipótesis no son simples sino compuestas, el tema fundamental no se
verifica y la búsqueda del test uniformemente más potente no siempre existe, con
lo que no es fácil controlar simultáneamente las dos probabilidades de error.
Ya en su momento Fisher puso de relieve que, para rizar el rizo, el cálculo del
error del segundo tipo y, por tanto, de la potencia del contraste, no siempre
es accesible, dado que la hipótesis alternativa puede no estar unívocamente
determinada.
Al respecto, Fisher protestaba enfadado que la interpretación del nivel de
significación α del test como frecuencia de una decisión equivocada en muestras
repetidas de la misma población pervertía la lógica intrínseca a las pruebas de
significación, porque el científico natural generalmente no dispone de muestras
repetidas. La analogía que empleaban Neyman y Pearson entre el muestreo
repetido y la toma reiterada de decisiones solo funcionaba si se asimilaba el
contraste de hipótesis con la aceptación industrial de lotes de muestras. Aún
más, la expresión error de segundo tipo parecía sugerir la
posibilidad de aceptar como verdadera la hipótesis nula por error, cuando la
realización de una prueba de significación nunca autorizaba a tomarla como
verdadera.
Las diferencias entre ambas teorías no eran tanto matemáticas, numéricas, como
lógicas y filosóficas. En el polémico artículo presentado por Fisher en 1956 a
la Real Sociedad de Estadística, el estadístico británico atacó furibundamente
a Neyman por dejarse seducir por el «pragmatismo norteamericano», por mostrarse
más preocupado por acelerar la producción que por extraer conclusiones
estadísticas conectas. El matemático polaco había malinterpretado la inferencia
estadística al constreñirla, como decía literalmente Fisher, al ámbito de los
esclavos de Wall Street y del Kremlin, pero no de los científicos libres en pos
de la verdad. Neyman había cortado el nudo gordiano de la lógica de la
inferencia inductiva de la que hablaba Fisher al calificarla como ilusoria.
Pero en su ceguera había confundido el control de calidad con la inferencia
científica, al científico con el comerciante, a «comportamiento inductivo» le
parecía a Fisher una evasión para no afrontar el problema realmente existente
del «razonamiento inductivo». Fisher no quería hacer dinero sino aprender del
experimento.
La réplica que Neyman no tardó en escribir comenzaba salvando al desgraciado
Wald de las invectivas de Fisher la relación de la inferencia estadística con
la teoría de la decisión pergeñada por Wald era la de la táctica con la
estrategia. A continuación, Neyman defendía su enfoque mediante hipótesis
alternativas, llegando a subrayar que el célebre test de la catadora de té
estaba mal diseñado si no se indicaba contra qué se quería probar la hipótesis
nula (es decir, si no se precisaba numéricamente la habilidad de la dama,
suponiendo que la tuviera, en la hipótesis alternativa). En lo tocante al tema
central de discusión, Neyman se reafirmaba en que el comportamiento inductivo
solventaba de una vez por todas el problema irresoluble de la inferencia
inductiva.
Con el tiempo, el matemático polaco llegó a referirse a la conducta inductiva,
incluso en presencia del filósofo Carnap, como un concepto mayor de la
filosofía de la ciencia actual, hallando sus raíces en Gauss y Laplace. En
cierto modo las voces de Neyman y Popper se confunden en este punto al afirmar
ambos que no existe método inductivo de razonamiento alguno. Si para Popper los
posibles resultados de una prueba experimental son la falsación o, en su
defecto, la corroboración de la teoría científica, para Neyman lo son el
rechazo o la aceptación de la hipótesis nula (aunque como en el caso de Fisher,
Popper apenas citó a Neyman).
Por alusiones, Egon Pearson también hubo de terciar en la polémica, aunque a
diferencia de Neyman se resistió a bajar a la arena filosófica, limitándose a
aducir que la jerga de la toma de decisiones pertenecía más a Neyman que a sí
mismo. La buena sintonía entre ambos matemáticos se habla prácticamente terminado
cuando el segundo partió rumbo a Estados Unidos.
Usos y abusos de los métodos estadísticos
El sincretismo metodológico reinante es responsable
de bastantes errores cometidos en el empleo de las herramientas estadísticas.
Algunos de los más habituales son los siguientes:
1. En el análisis exploratorio de datos suele usarse
la media como medida canónica de centralización, que agrupa Las observaciones,
cuando la me* diana es en general más recomendable por cuanto presenta menor
volatilidad. esto es, menor sensibilidad a valores extremos.
2. En el estudio de la regresión habitualmente se toma
un coeficiente de correlación lineal de 0,6 como fiable, cuando puede
demostrarse que el modelo subyacente solo explica en este caso el 36% de las
observaciones.
3. Una ilusión permanente, fruto del pastiche que ha
fraguado en torno a los test estadísticos, es creer que estos se apoyan en el
siguiente silogismo: «Si la hipótesis nula es correcta, entonces la muestra
X no puede observarse. Hemos observado X, luego la hipótesis de partida es
falsa». Sin embargo, los test descansan sobre un silogismo a lo sumo
probable: «Si la hipótesis nula es correcta, entonces la muestra X es
altamente improbable. X ha sido observada, luego la hipótesis es altamente
inverosímil».
4. La consagración de la contestación estadística como
modo de tomar decisiones dicotómicas conlleva que a veces, basándose en el
criterio del α = 0.05 se acepte la hipótesis nula para un p-valor de
0,051 y, en cambio, se rechace para 0,049. Asimismo, un resultado
estadísticamente significativo al nivel, pongamos, del 0,001 suele
interpretarse como que la hipótesis alternativa ha recibido un apoyo del 0.999;
pero que no haya evidencia en contra suya no quiere decir que la tenga a favor.
5. Otro error muy extendido es confundir el p-valor,
es decir, la probabilidad de observar la muestra extraída suponiendo que la
hipótesis nula es verdadera, con la probabilidad de que la hipótesis nula sea
verdadera a la vista de la muestra observada (una probabilidad solo calculable
mediante el teorema de Bayes). Esta inversión ilegal de los términos es lo que
se conoce como falacia del fiscal, si eres culpable, es lógico
que todas las pruebas apunten a ti; pero que todas las pruebas apunten a ti, no
quiere decir que ipso facto seas culpable, como suelen inferir
erróneamente los fiscales.
6. Finalmente, hay que anotar que la potencia del
contraste es la gran olvidada de la teoría. Entre los investigadores ha
fructificado 'a creencia de que si un test no resulta significativo, entonces
la hipótesis nula ha sido corroborada; pero esto no puede afirmarse a la ligera
sin antes calcular la función de potencia del test, que mide su capacidad para
detectar discrepancias.
La disputa entre Fisher y Neyman en 1965 inauguró toda una serie de
controversias en la que ya no intervendrían solo estadísticos, sino también
filósofos interesados por la inferencia Científica, que subrayarían que la
teoría de los contrastes de hipótesis es idónea para poner a prueba una
hipótesis pero no para evaluar el respaldo que recibe esta hipótesis una vez
realizado el experimento. En otras palabras, la inferencia clásica es la más
adecuada para someter una hipótesis al dictado de la experiencia; pero, una vez
que la naturaleza había, la inferencia bayesiana ha de recoger el testigo (ya
que posibilita la comparación entre las alternativas por medio de sus
probabilidades a posteriori).
Ahora bien, el propósito principal de los contrastes de hipótesis no es medir
el grado de apoyo que recibe una hipótesis a partir de la muestra observada,
sino evaluar la discrepancia de esta hipótesis con los datos. En el esquema
clásico, las probabilidades entran en juego como probabilidades de error, no
como probabilidades de hipótesis. Al igual que el nivel de confianza, las
probabilidades de error funcionan como medidas de precisión inicial, no final.
Los test ideados por Fisher, Neyman y Pearson no pueden transformarse en lo que
no son. No se les puede pedir lo que no pueden dar.
Y, sin embargo, al día de hoy, ha triunfado el más vivo eclecticismo
metodológico, en especial en el campo de las ciencias sociales, donde las
pruebas de significación de Fisher y los contrastes de hipótesis de
Neyman-Pearson, e incluso en ocasiones los modelos bayesianos, cohabitan en una
amalgama viable a escala técnica pero irreconciliable a escala conceptual. A
partir de los años sesenta del pasado siglo las teorías de Fisher y de
Neyman-Pearson comenzaron silenciosamente a conformar un oscuro híbrido cuyo
uso se ha trivializado, convirtiéndose en un ritual mecánico. Bajo el
pensamiento débil de que ¡todo vale! («cualquier método estadístico es un
instrumento válido», «no hay que entrar en disquisiciones lógicas»), se oculta
un problema de calado filosófico con repercusiones a la hora de plasmar e
interpretar los resultados, porque no es lo mismo informar del p-valor que
de la distribución a posteriori o del tamaño del test, la
potencia del contraste y la decisión tomada.
Fumar perjudica gravemente la salud
Hacia 1920 se observó un gran incremento de los fallecimientos por cáncer de
pulmón. Aunque existían trabajos previos sobre la posible relación entre este
tipo de cáncer y el hábito de fumar, en la década de 1950, gracias a los
trabajos de Richard Doll (1912-1905) y Austin Bradford Hill (1897-1991), la
cuestión cobró un verdadero interés y propició agrios debates en la opinión
pública. Estos epidemiólogos fueron los artífices de la extensión de los
principios fisherianos del diseño de experimentos a la investigación clínica.
Fisher durante una visita a la India, acompañado por C. R. Rao, un
estadístico indio que se doctoró en Cambridge, bajo la tutela de Fisher.
Doll y Hill publicaron un estudio estadístico donde
los casos los constituían los pacientes que ingresaban en ciertos hospitales
con diagnóstico de cáncer de pulmón, mientras que el «grupo control» estaba
formado por pacientes cuyo ingreso se debía a otras causas. Mediante el
análisis de las historias clínicas de los enfermos que ya tenían o que
desarrollaron este cáncer, estimaron que la incidencia del mismo en los
fumadores era entre 11 y 20 veces mayor que en los no fumadores. Su conclusión
era, de facto, estadísticamente significativa al nivel del
0,001.
Sin embargo, estos trabajos recibieron numerosas objeciones de personalidades
tan respetadas como Jerzy Neyman. Pero quizá el principal paladín de las
críticas fue nada menos que Fisher (a quien distinguimos en muchas fotografías
pipa en mano). Este inveterado fumador, que incluso sirvió como consultor de
alguna compañía tabacalera, publicó varios artículos y un panfleto cuestionando
la relación entre cáncer, cigarrillos y estadística.
Una de las polémicas que sostuvo Fisher, fumador empedernido, fue no
reconocer la vinculación entre el hábito de fumar y el cáncer de pulmón.
Una de las pegas que Fisher esgrimió fue que el
estudio demostraba que los fumadores presentaban un mayor riesgo de padecer
cáncer de pulmón, pero esto no implicaba que la causa fuese necesariamente el
tabaco.
En 2002 se inauguró la "placa azul" dedicada a R. A. Fisher, en
presencia de tres de sus hijos, June, Margaret y Harry
Que A y B estén directamente correlacionadas no
quiere decir que A sea la causa de B, pues bien podría ser que B fuera la causa
de A (que el cáncer de pulmón motivara el hábito de fumar) o que existiese un
factor C que fuese la causa común de A y B (que las personas que adquieren el
hábito de fumar tuviesen algo en la estructura genética que las hiciera
propensas a caer en la adicción al tabaco y, a la vez, contraer un cáncer, una
posibilidad que Fisher barajaba amparándose en datos extraídos de gemelos). El
estadístico inglés comparaba la correlación descubierta por Doll y Hill con la
correlación engañosa que mediaba entre la evolución de la tasa de divorcios y
la importación de manzanas.
Fisher añadía que, a diferencia de los experimentos agrónomos o los estudios
sobre vacunas, el estudio de Doll y Hill no se ajustaba al diseño experimental,
sino que era un mero estudio prospectivo, porque la división en dos grupos,
casos y controles, no se había producido aleatoriamente, sino que venía dada y,
por tanto, sujeta a factores externos difíciles de bloquear. Es más, subrayaba
que si uno separaba a los fumadores en dos grupos, los que inhalan el humo y
los que no, los que no inhalaban el humo eran curiosamente los que más padecían
cáncer de pulmón. Fisher escenificaba la conclusión real del estudio con el
siguiente consejo: «fumar perjudícala salud, pero si tienes que fumar, mejor
traga el humo».
Los años sucesivos conocieron una multiplicación de estudios prospectivos, así
como de experimentos con animales que corroboraron fuera de toda duda la tesis
de Doll y Hill (y mostraron que, pese a lo que por error arrojaba el primer
estudio, inhalar el humo resulta fatal). A medida que la evidencia se fue
acumulando Neyman cambió de opinión, pero Fisher permaneció irreductible en su
posición.
La estadística en el siglo XXI
Ronald Aylmer Fisher nunca ocupó una plaza como estadístico en la universidad.
En 1957 tomó la decisión de abandonar la cátedra de Genética en la Universidad
de Cambridge y, dos años después, se incorporó como investigador emérito a un
complejo científico e industrial ligado a la Universidad de Adelaida
(Australia). Este genio de temperamento, que había sido nombrado sir por la
reina Isabel II en el año 1952, encontró la muerte el 29 de julio de 1962, a
los setenta y dos años, como consecuencia de un cáncer de colon.
Los avances que Fisher impulsó le otorgan un puesto de honor en el panteón de
los estadísticos. Gracias a él, la estadística es la matriz de muchas ciencias
experimentales. En tanto que la experimentación produce datos varios, precisa
de la estadística. Todo hecho científico posee un carácter ineludiblemente
estadístico. se trata de un compendio de observaciones repetidas, que están
sujetas a factores y errores de naturaleza aleatoria. La estadística interviene
en la descripción, modelización, explicación y predicción de estos datos. Y lo
hace, en general, cumpliendo las siguientes etapas: planteamiento de un modelo
adecuado al problema utilizando el cálculo de probabilidades; diseño del experimento;
descripción y análisis de los datos muestrales recogidos; estimación de los
parámetros desconocidos del modelo poblacional; contraste de hipótesis sobre el
modelo; reajuste de este y toma de decisiones.
«Lo mejor de ser estadístico es que puedes meterte
en cualquier jardín.»
John W. Tucket.
Al igual que otros estilos de razonamiento
científico (el geométrico de las ciencias matemáticas, el hipotético-deductivo
de las ciencias físicas, el experimental de las ciencias de laboratorio, el
taxonómico de las ciencias naturales y el histórico-genético de las ciencias
humanas), hay un estilo propio de operar, pensar y actuar enlazado a la ciencia
estadística, que se caracteriza por una fértil dialéctica entre razonamiento y
experimentación.
La aplicación de los métodos estadísticos se ha extendido a áreas tan diversas
como la ingeniería, la economía, la medicina o la psicología. En la actualidad,
tanto los filtros de spam de nuestro ordenador como la
observación de cúmulos estelares, la detección del fraude fiscal o el análisis
de las causas de accidentes como el del Challenger en 1986
emplean técnicas estadísticas.
la difusión de la estadística, de la que Ronald Aylmer Fisher fue partícipe
privilegiado, no solo ha provocado que el magia se pliegue mejor al territorio,
sino también que a resultas de ello el territorio, nuestro mundo globalizado,
se haya visto transformada hasta límites insospechados por culpa de la
introducción del mapa. Habitamos un mundo estadístico en el que el mapa se
confunde con la realidad.
Anexo
Testando a Fisher, Neyman y Bayes
El objetivo de este anexo es presentar
matemáticamente cómo cada una de las tres escuelas estadísticas posee un
enfoque muy distinto a la hora de analizar un mismo caso de estudio. Por medio
de un ejemplo numérico sencillo, el lector podrá comprobar cómo cada una de
estas filosofías de la estadística interpreta los cálculos probabilísticos de
una manera sutilmente diferente.
Supongamos que un parámetro poblacional θ desconocido solo puede tomar dos
valores: 0 ó 1. Supongamos, además, que los datos muestrales X que
observaremos únicamente tienen cuatro posibles resultados: 1, 2, 3 ó 4. La
siguiente tabla recoge las probabilidades P(X|θ) de
observar cada resultado muestral en función de los valores del parámetro:
Test de significación de Fisher
Queremos poner a prueba la hipótesis nula de que θ = 0. De acuerdo con Fisher,
no hacemos referencia a hipótesis alternativa alguna (θ = 1), ya que nuestro
objetivo no es decidir entre dos hipótesis rivales, sino validar el modelo
estadístico subyacente que presupone ese valor para el parámetro desconocido.
Si recordamos del capítulo 3, el p-valor se definía como la
probabilidad P(T ≥ T(X|H0), lo que en
este caso discreto se adapta como la probabilidad de observar un valor igual o
más raro que el valor efectivamente observado bajo la hipótesis de que θ = 0.
Con esto en mente, ¿qué inferiremos si observamos que X = 2?
Por lógica, mirando la tabla anterior, como la probabilidad de observar este
resultado muestral suponiendo que θ = 0 es muy baja (de solo 0,010), el p-valor ha
de ser pequeño. En efecto, vale 0,010 + 0,005 + 0,005 = 0,02, que al ser menor
que el consabido límite de 0,05, apunta a que la hipótesis nula no encaja con
el dato observado y, por tanto, ha de ser rechazada.
¿Y si observamos X = 3? Entonces el p-valor vale
0,005 + 0,005 = 0,01, lo que conduce a rechazar la hipótesis nula de que θ = 0
con mayor significación Finalmente, si se observa X = l (el
dato para el que la hipótesis nula encaja muy bien, ya que este dato se observa
con probabilidad 0,980), el p-valor es 0,980 + +0,010 + 0,005
+ 0,005 = 1, lo que de ningún modo contradice la hipótesis nula. En resumen,
el p-valor es la medida matemática que informa en los test de
significación de hasta qué punto la muestra refuta la hipótesis de partida.
Pero nada dice de en qué grado permite inferirla o confirmarla.
Contraste de hipótesis de Neyman-Pearson
Consideramos la hipótesis nula H0: θ = 0 versus la
hipótesis alternativa H0: θ = 1. El propósito del
contraste es decidir entre ambas. Intuitivamente, consultando 1a tabla, si
observamos X = l, aceptaremos la hipótesis nula. En cambio, si
observamos X = 2, nos inclináramos por rechazarla, aceptando
la hipótesis alternativa. Cuando X = 3 ó 4, la decisión no
está tan clara.
Como explicamos en el capítulo 5, la teoría de Neyman-Pearson comienza
balanceando las dos probabilidades de error. En primer lugar, se fija el tamaño
o nivel de significación α del test, que acota la probabilidad del error de
tipo I (esto es, la frecuencia con que tomamos la decisión equivocada de
rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera). A continuación, se busca aquel
test con menor probabilidad de error de tipo II (de aceptar la hipótesis nula
cuando es falsa) o, equivalentemente, con mayor potencia, es decir, con mayor
probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es, en efecto, falsa. Según
demostraron Neyman y Pearson en un famoso lema, los test óptimos (tamaño
pequeño, máxima potencia) se basan en la razón de verosimilitudes, es decir, en
el cociente P(X|θ) = 1) / P(X|θ) = 0),
que se obtiene dividiendo las probabilidades (verosimilitudes) de la tabla:
Es fácil ver que la razón de verosimilitudes va a
conducir al rechazo de la hipótesis nula y la aceptación de la hipótesis
alternativa cuando X = 2 (como era de esperar), ya que el
cociente toma un valor muy grande (la verosimilitud de la hipótesis alternativa
es 90 veces la de la hipótesis nula). Cuando X = 1,
mantendremos la hipótesis nula, porque el cociente toma el valor más pequeño
(0,1). Y si X = 3 ó 4, la decisión dependerá del tamaño a
elegido del test, puesto que los resultados muestrales encajan prácticamente
igual de mal con ambas hipótesis (la probabilidad de observar 3 ó 4 era baja
con ambas hipótesis). Así, puede demostrarse que con α = 0,01 la región crítica
para H0: θ = 0 solo contiene a X = 2.
En consecuencia, para X = 3 ó 4 retenemos la hipótesis nula.
La potencia de este test vendría dada por la probabilidad P(X =
2|θ = l) de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis alternativa es
verdadera, que arroja un valor (consultando la tabla inicial) de 0,900. Por
consiguiente, este test muestra una gran potencia, en otras palabras, una gran
capacidad para detectar cuándo la hipótesis nula es falsa. En concreto, si se
observa X =1 (un resultado no significativo), la «severidad»
del test viene dada por
P(T ≥ T(X)|θ)
= 1) = 0,900 + 0,001 + 0,001+0,098 = 1
lo que ofrece una evidencia excelente para inferir
la hipótesis nula frente a la alternativa.
Sin embargo, con α = 0,02, la región crítica incluye a X = 2,
3 y 4, por lo que rechazaríamos la hipótesis de partida en todas estas
circunstancias, a pesar de que la hipótesis nula es más verosímil que la
hipótesis alternativa cuando X = 3 ó 4. Como se ha dicho, los
datos muestrales 3 y 4 constituyen sucesos raros bajo cualquiera de las dos
hipótesis rivales, pero la obligatoriedad de decidir entre una y otra fuerza
siempre a tomar una decisión en la teoría de Neyman-Pearson. Esta es una de las
críticas que los partidarios de la inferencia bayesiana suelen hacer a los
defensores de la inferencia frecuentista, ya que con el enfoque bayesiano, como
enseguida comprobaremos, esto no siempre pasa.
No obstante, una línea de defensa de los estadísticos clásicos es la apelación
a la noción de severidad. De este modo, por ejemplo, la
decisión de aceptar la hipótesis alternativa cuando X = 3 (un
resultado significativo) no es un indicio que permita inferir esta hipótesis
fuera de toda duda razonable, ya que la severidad del test para can H0 es,
aunque la justificación de la fórmula excede el alcance del libro,
P(T ≥ T(X)|θ)
= 1) = 0,098 + 0,001 + 0,001 = 0,1
(muy pequeña), la severidad del test es muy baja
porque la potencia es muy alta, exactamente de 0,902. Tomemos un ejemplo
ilustrativo para explicar por qué se da esta relación: si usamos una red muy
tupida para pescar, tendremos muchas oportunidades de pescar un pez y, en
consecuencia, de rechazar la hipótesis nula de que el lago no contiene peces
(alta potencia); pero si logramos pescar, como los agujeros de la red son tan
pequeños y capturan casi todo, no podremos saber si el pez es pequeño o grande
y, por tanto, confirmar una hipótesis alternativa con respecto al tamaño de los
peces del lago (baja severidad). En suma, la observación del dato muestral 3
conduce a rechazar H0 (ya que para θ = 0 es muy
improbable observarlo), pero de aquí no se desprende necesariamente la verdad
de H1 (de que θ = 1, porque para este valor también
es muy improbable observarlo). El lector perspicaz puede estar preguntándose
por qué no consideramos el típico α = 0,05. La razón es que requeriría, al
tratarse de un ejemplo discreto, la introducción de un «test aleatorio», lo que
complicaría en exceso la discusión.
Inferencia bayesiana
El análisis bayesiano precisa de postular una distribución a priori sobre
θ. A continuación, mediante la aplicación del teorema de Bayes (que presentamos
en el capítulo 1), pueden combinarse estas probabilidades a priori con
las verosimilitudes a fin de obtener las probabilidades a posteriori que
permitan decantamos entre H0 y H1 Vamos
a considerar dos priores distintas. La primera será uniforme, es decir,
neutral, no informativa, otorgando la misma probabilidad a los dos posibles
valores de θ: P(θ = 0) = P(θ = 1) = 1/2. La segunda, en
cambio, otorgará cinco veces más credibilidad al valor θ = l: P(θ = 0) = l/6;
P(θ = l) = 5/6. Así pues, para cada uno de los dos posibles valores de θ, la
probabilidad o posteriori vendrá dada por la fórmula de Bayes, expresada a
continuación:
Según puede calcularse, en el primer caso, si
tomamos la distribución uniforme y observamos X = 1, la
probabilidad a posteriori es claramente favorable a la
hipótesis nula frente a la alternativa: P(θ = 0|X = 1) =
0,91, mientras que P(θ = 1|X = 1) =
0,09. Si observamos X = 2, la probabilidad a
posteriori favorece, como se esperaba, la hipótesis alternativa: P(θ
= 0|X = 1) = 0,09 frenteP(θ = 0|X
= 1) = 0,99. Pero, ¿qué sucede si X = 3 ó
4 (los valores muestrales que planteaban problemas a la teoría clásica)?
Tomando X = 3, se comprueba que la regla de Bayes se inclina
por la hipótesis nula frente a la alternativa: P(θ = 0|X
= 1) = 0,090,83 y P(θ = 0|X = 1) =
0,09. Sin embargo, cuando introducimos la segunda prior (que otorga más
peso a priori θ = l que a θ = 0), el panorama cambia
radicalmente: P(θ = 0|X = 3) = 0,50
y P(θ = 1|X = 3) = 0,50. ¡En
equilibrio! Como puede observarse, la elección de la prior resulta decisiva en
el enfoque bayesiano y decanta la balanza hacia uno u otro lado.
Inferencia clásica
Por último, nos gustarla mostrar con otro ejemplo cómo opera la inferencia
clásica en la vida real. Vamos a inspiramos en una aplicación que Fisher
extrajo del célebre artículo de Student de 1908. Se desea testear el poder de
un nuevo medicamento para inducir al sueño, y se ha medido el número de horas
de descanso que 10 pacientes han ganado o perdido con esta droga hipnótica con
respecto a no usarla. Es lo que se llama una muestra con
observaciones pareadas, porque las comparaciones se realizan sobre las
mismas 10 personas (si se tratase de 10 personas distintas en cada caso, se
trataría de dos muestras independientes, que requieren de otro
test estadístico algo más complejo; con muestras apareadas pueden captarse
efectos invisibles para las muestras independientes). Estas han sido las
diferencias observadas con el uso: +1,2; +2,4; +1,3; +1,3; +0; +1; +1,8; +0,8;
+4,6; +1,4. A simple vista, parece que el sedante es efectivo, pero podría ser
que el efecto se debiese al azar y no a 1a dosis. La media muestral X vale
+1,58 (lo que refuerza nuestra opinión), pero nos gustaría contrastar la
hipótesis nula de que la media poblacional µ es 0 frente a la hipótesis
alternativa µ = 0. En otras palabras, la hipótesis de que si el medicamento se
suministrase a toda la población no se detectada efecto alguno versus la
hipótesis de que sí lo hay.
Supongamos que el número de horas de sueño que se ganan o se pierden con el
sedante sigue una distribución normal de media µ y desviación típica σ
desconocidas. A partir de los datos de la muestra, queremos precisamente
estimar el efecto medio µ del medicamento sobre toda la población. Se sabe por
el teorema central del límite que para muestras grandes (n >
30), en condiciones
Para el caso de la estimación de la media
poblacional µ con muestras pequeñas en poblaciones normales, si conociéramos la
desviación típica poblacional σ, aún podríamos emplear la aproximación normal.
Con una confianza del 95%, la media poblacional µ se encontraría de la media
muestral
Cuando no se conocía σ (lo más frecuente), el astrónomo F. W.
Bessel conjeturó que podía sustituirse su conocimiento por el de la desviación
típica muestral corregida Ŝ (la raíz cuadrada de la
cuasivarianza muestral, definida en el capítulo 3, y que en nuestro ejemplo
vale 1,23) y sucumbió a la tentación de decir que los valores aceptables eran
aquellos que no excedían de:
Sin embargo, esta estimación, que hizo fortuna
durante el siglo XIX, obviaba el hecho de que Ŝ está sujeta a
las variaciones azarosas del muestreo, por lo que en unas ocasiones será mayor
y en otras menor que σ. Student fue el primero en percibir que este olvido
afectaba a las conclusiones con muestras pequeñas, reparando en que la
distribución normal (de donde procede el ±1,96) no podía emplearse. En su lugar
había que usar una nueva distribución, la t de Student, cuyas
colas de valores extremos decrecen mucho más lentamente. En consecuencia, el
refinamiento de la inferencia pasaba por usar como valor adecuado ±2,262 (al 5%
de significación). Curiosamente, Student envió las tablas de su distribución a
Fisher con el comentario: «Probablemente sea la única persona que las use
jamás». El paso del tiempo ha demostrado, contra la opinión de Karl Pearson, la
ubicuidad de la t de Student, ya que su uso es generalmente
válido con independencia de que la distribución de partida sea normal.
Resumiendo, si desconocemos o, hay que emplear la aproximación que descubrió
Student, a la que tanto juego sacó Fisher.
El test t concierne a la precisión
de la media de una muestra observaciones, y posibilita poner a prueba la
significación de una hipótesis sobre la media poblacional. Si nuestro sedante
no tuviese efecto alguno (µ = 0), sería de esperar que la media muestra! X
estuviese en el intervalo:
Como la media muestral es +1,58, podemos rechazar
la hipótesis nula: el nuevo medicamento es efectivo.
Lecturas recomendadas
Bell, E.T., Los grandes matemáticos,
Buenos Aires, Losada, 2010.
Boyer, C., Historia de la matemática, Madrid, Alianza Editorial,
2007.
Fisher, R.A., Statistical methods, experimental design and scientific
inference, Oxford University Press, 2008,
Grima, P., La certeza absoluta y otras ficciones, Barcelona, HBA,
2010.
Hacking, I. La domesticación del azar, Barcelona, Gedisa, 1995.
Hald, A., A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930,
Nueva York, Wiley, 1998.
Peña, D., Fundamentos de estadística, Madrid, Alianza, 200&
Porter, T., The Rise in Statistical Thinking, 1820-1900, Princeton
University Press, 1986.
Rivadulla, A., Probabilidad e inferencia científica, Barcelona,
Anthropos, 1991.
Stewart, L, Historia de las matemáticas, Barcelona, Crítica, 2008.
Stigler, S., The History of Statistics, Harvard University Press,
1986.
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