© Libro N° 6264. Todo Y Mas. Foster Wallace, David. Emancipación. Julio 27 de 2019.

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© Edición, reedición y Colección Biblioteca Emancipación: Guillermo Molina Miranda

LEAMOS SIN RESERVAS, ANALICEMOS SIN PEREZA Y SOMETAMOS A CRÍTICA TODA LA CULTURA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TODO Y MAS

David Foster Wallace

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONTENIDO

 

Prólogo breve pero necesario

Capítulo Uno

Capítulo Dos

Capítulo Tres

Capítulo Cuatro

Capítulo Cinco

Capítulo Seis

Capítulo Siete

Agradecimientos

Bibliografía

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prólogo breve pero necesario

Desafortunadamente este es un prólogo que hay que leer —y en primer lugar— para entender ciertas características estructurales del texto principal y algunas partes que casi parecen un código. De estas, la más frecuente es la abreviatura SEI en negrita. Para su información, no se trata de un tic o un error tipográfico, sino que sustituye la expresión «Si está interesado», que, de tanto usarla en los primeros borradores, finalmente, por pura repetición, evolucionó de ser una frase normal, utilizada para introducir algún párrafo, hasta convertirse en un signo abstracto extratextual — SEI— que ahora sirve para clasificar ciertos fragmentos de texto de un modo particular. De qué modo lo hace es algo que ahora quedará justificado y explicado.
Todo y más es una obra de divulgación científica. Aborda un conjunto de logros matemáticos extremadamente abstractos y técnicos, aunque enormemente profundos e interesantes, y también hermosos. El objetivo es hablar de esos logros de tal manera que resulten atractivos y comprensibles para lectores que no tengan preparación técnica de nivel profesional ni sean expertos en la materia. Hacer las matemáticas bonitas, o por lo menos conseguir que el lector entienda que alguien pueda considerarlas así. Todo esto, por supuesto, suena muy bien, pero hay una pega: ¿cómo de técnica puede llegar a ser la presentación sin que el lector se pierda o sin enterrarle en un sinfín de pequeñas definiciones y aclaraciones aparte? Además, si se asume, como parece plausible, que algunos lectores tienen mucha más preparación técnica que otros, ¿qué tono debe tener la explicación para que sea accesible al neófito sin ser aburrida o irritante para alguien que ha practicado muchas matemáticas en el instituto?

A partir de este punto, SEI en negrita señala partes del material a las que se puede echar un vistazo, leerlas por encima u omitirlas por completo si el lector lo desea. Es decir, se pueden ignorar sin perderse nada importante. Probablemente, más de la mitad de las notas son SEI, así como varios párrafos, e incluso un par de subsecciones del texto principal. Algunos de los fragmentos opcionales son divagaciones o efemérides históricas;^[1] algunos son definiciones o explicaciones en los que un lector ducho en matemáticas no tendrá que perder el tiempo. Pero la mayoría de los fragmentos SEI están pensados para lectores con gran preparación técnica, o un interés poco usual en las verdaderas matemáticas, o una paciencia sobrenatural, o las tres cosas; dichos fragmentos proporcionan una mirada más detallada a asuntos que la explicación principal pasa por alto o deja de lado.

Hay otras abreviaturas en el libro. Algunas solo están para ahorrar espacio. Otras son consecuencia de un peculiar problema de estilo que se da en la escritura técnica, que consiste es que con frecuencia tenemos que utilizar las mismas palabras una y otra vez de un modo que se hace terriblemente pesado —la cuestión es que algunas palabras técnicas tienen significados muy específicos que ningún sinónimo puede captar—. Así, especialmente en el caso de ciertos términos de alta tecnología, la abreviatura es el único modo de conseguir un poco de variedad. En realidad, nada de esto es un problema. Todas las abreviaturas del libro están contextualizadas de tal modo que debería quedar totalmente claro qué significan. Sin embargo, por si hubiera errores del autor o confusiones innecesarias, aquí presentamos una lista de las principales abreviaturas que puede consultar en caso de necesidad:

 

 

 

 

 

 

 

 

Capítulo Uno

§ 1ª

Existe algo así como un historiador de las matemáticas. Aquí está, a modo de apertura, una cita de tal historiador en la década de 1930:

Una conclusión parece ser ineludible: sin una teoría consistente del infinito matemático no hay teoría de los irracionales. Sin una teoría de los irracionales no hay análisis matemático de ninguna forma remotamente parecida a lo que tenemos ahora. Y finalmente, sin el análisis, la mayor parte de las matemáticas —incluyendo la geometría y la mayor parte de las matemáticas aplicadas— tal como existe actualmente, dejaría de existir. Por lo tanto, la tarea más importante a la que tienen que hacer frente los matemáticos debería ser la construcción de una teoría satisfactoria del infinito. Cantor lo intentó; con qué éxito es algo que se verá después (Bell, págs. 521-522).
Los excitantes términos matemáticos no importan por ahora. El Cantor de la última línea es el profesor Georg F. L. P. Cantor, nacido en 1845, naturalizado alemán, perteneciente a una familia de comerciantes y reconocido padre de la teoría abstracta de conjuntos y de las matemáticas transfinitas. Algunos historiadores han debatido en un tira y afloja la cuestión de si era judío. Cantor en latín significa «cantante».
Georg F. L. P. Cantor es el matemático más importante del siglo XIX y una figura de gran complejidad y sufrimiento. Estuvo entrando y saliendo de hospitales mentales buena parte de su madurez tardía y murió en un sanatorio en Halle^[2]en 1918. Curiosamente, Kurt Gödel, el matemático más importante del siglo XX, también murió como resultado de una enfermedad mental. Ludwig Boltzmann, el físico matemático más importante del siglo XIX, se suicidó. Y así sucesivamente. Los historiadores y los estudiosos de la cultura pop tienden a dedicar mucho tiempo a los problemas psiquiátricos de Cantor y a si estaban relacionados, y de qué modo, con su trabajo sobre las matemáticas del ∞.

En el año 1900 se celebró en París el 2º Congreso Internacional de Matemáticos. El profesor David Hilbert, por aquel entonces el matemático nº 1 del mundo, describió los números transfinitos de Georg Cantor como «el mejor producto del genio matemático» y «una de las más bellas realizaciones de la actividad humana en el dominio de lo puramente inteligible» (Hilbert, «Über das Unendliche» [«Sobre el infinito»], pág. 197).
He aquí una cita de Gilbert K. Chesterton: «Los poetas no enloquecen, pero los jugadores de ajedrez sí. Los matemáticos se vuelven locos, y los cajeros, pero los artistas creativos no suelen hacerlo. No estoy atacando la lógica: solo digo que este peligro yace en la lógica, no en la imaginación» (Chesterton, citado por Barrow, pág. 171). Y aquí está un fragmento del texto de la solapa de una reciente biografía divulgativa de Cantor: «A finales del siglo XIX, un matemático extraordinario languidecía en un sanatorio […] Cuanto más se acercaba a las respuestas que buscaba, más lejanas parecían. A la larga, ello le condujo a la locura, igual que a otros matemáticos antes que a él» (Amir D. Aczel, The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity, Four Walls Eight Windows, 2000).
Los casos de grandes matemáticos con enfermedades mentales tienen enorme resonancia para los escritores y cineastas de la época pop. Esto tiene que ver principalmente con las ideas preconcebidas y las sensibilidades de esos mismos escritores/cineastas, y a su vez dichas ideas están en función de lo que se podría llamar el molde arquetípico particular de nuestra época. No hace falta decir que dichos moldes cambian con el tiempo. Hoy, el Matemático Mentalmente Enfermo parece ser de algún modo lo que el Caballero Errante, el Santo Mortificado, el Artista Atormentado y el Científico Loco fueron en otras épocas: algo así como nuestro Prometeo, el que va a lugares prohibidos y vuelve con regalos que todos podemos aprovechar pero cuyo precio solo paga él. Esto es probablemente un poco exagerado, por lo menos en la mayoría de los casos.^[3] Pero Cantor encaja en el molde mejor que la mayoría. Y las razones para ello son mucho más interesantes que cualesquiera fueran sus problemas y síntomas.^[4]
Pero saber algo sobre los logros de Cantor no es lo mismo que valorarlos, lo cual constituye nuestro objetivo e implica ver las matemáticas transfinitas como una especie de árbol, con sus raíces en las paradojas de la Antigua Grecia acerca de la continuidad y la inconmensurabilidad, y sus ramas enredadas en la crisis moderna sobre los fundamentos de las matemáticas: Brouwer y Hilbert y Russell y Frege y Zermelo y Gödel y Cohen y sus colegas. Los nombres ahora mismo son menos importantes que el árbol, siendo este una especie de esquema general que conviene recordar.

§ 1b.

Pero Chesterton se equivocaba respecto a una cosa. O era por lo menos impreciso. El peligro que intentaba concretar no es la lógica. La lógica es solo un método, y los métodos no pueden desquiciar a las personas. De lo que en realidad intenta hablar Chesterton es de una de las principales características de la lógica, y de las matemáticas. Su cualidad de abstractas. La abstracción.
Vale la pena esclarecer el significado de abstracción. Puede que sea el término más importante para apreciar el trabajo de Cantor y el contexto que lo hizo posible. Gramáticamente, la raíz viene de un adjetivo, del latín abstractus («apartado»). El Oxford English Dictionary contiene nueve definiciones importantes del adjetivo, de las cuales la más pertinente es la 4.a.:

«Apartado o separado de la materia, de la corporeidad material, de la práctica, o de los ejemplos particulares. Opuesto a concreto».

También resultan de interés las definiciones 4.b., «Ideal, destilado hasta su esencia», y 4.c., «Abstruso».
He aquí una cita de Carl B. Boyer, que es más o menos el Gibbon de la historia de las matemáticas^[5]: «Pero ¿qué son, después de todo, los enteros? Todo el mundo cree saber qué es el número tres, hasta que intenta definirlo o explicarlo» (Boyer, pág. 596). Por ello, resulta instructivo hablar con los profesores de matemáticas de preescolar e informarse acerca de cómo se enseñan realmente los números enteros a los niños. Cómo se les enseña, por ejemplo, lo que es el número cinco. Primero se les dan, por ejemplo, cinco naranjas. Algo que puedan tocar o sostener. Se les pide que las cuenten. Luego se les da una foto de cinco naranjas. Después, una foto que combina las cinco naranjas con el numeral «5», de modo que asocien ambas cosas. Luego, una imagen con solo el numeral «5» y sin las naranjas. Entonces los niños comienzan con ejercicios verbales en los que empiezan a hablar sobre el entero 5 per se, como un objeto en sí mismo, aparte de las cinco naranjas. En otras palabras, son sistemáticamente engañados, o inducidos, para que traten a los números como cosas en lugar de como símbolos de las cosas. Entonces se les puede enseñar aritmética, la cual contiene relaciones elementales entre números. (El lector notará el paralelismo con el modo en que se nos enseña a usar el lenguaje. Pronto aprendemos que el nombre «cinco» significa, simboliza, el entero 5, etc.).

A veces un chaval tiene dificultades, dicen los profesores. Algunos niños entienden que la palabra «cinco» significa 5, pero siguen queriendo saber ¿5 qué? ¿5 naranjas? ¿5 céntimos? ¿5 puntos? Esos niños, que no tienen ningún problema para sumar o restar naranjas o monedas, a pesar de todo tendrán malos resultados en las pruebas de aritmética. No pueden tratar el 5 como un objeto per se. A menudo son enviados a grupos de Educación Matemática Especial, donde todo se enseña en términos de grupos o conjuntos de objetos reales en lugar de números «separados de ejemplos particulares»^[6].
La cuestión clave es que la definición básica de «abstracto» para nuestros propósitos va a ser algo combinada: «apartado o más allá de la particularidad concreta, de la experiencia sensorial». Usado solo de este modo, «abstracto» es un término de la metafísica. De hecho, en todas las teorías matemáticas está implícito algún tipo de postura metafísica. El padre de la abstracción en las matemáticas fue Pitágoras. El padre de la abstracción en la metafísica, Platón.

Pero las otras definiciones del Oxford English Dictionary no son irrelevantes. No solo porque las matemáticas modernas son abstractas en el sentido de ser extremadamente abstrusas. Para las matemáticas también es esencial abstraer en el sentido de reducir algo a su esencia absoluta, a su esqueleto, como en el resumen de un artículo o de un libro^[7]. Como tal, su significado puede ser pensar profundamente en cosas en las que la mayoría de la gente no puede pensar profundamente, porque se pone como loca.
Todo esto es solo una especie de calentamiento. No será todo igual. Aquí están dos citas más de figuras prominentes. Morris Kline:

«Una de las grandes contribuciones griegas al concepto mismo de matemáticas fue el reconocimiento consciente y el énfasis en el hecho de que las entidades matemáticas son abstracciones, ideas sostenidas por la mente y claramente diferenciadas de los objetos físicos o las imágenes» (Kline, pág. 29). Ferdinand de Saussure: «Lo que se les ha pasado por alto a los filósofos y a los lógicos es que desde el momento en que un sistema de símbolos se vuelve independiente de los objetos designados, él mismo está sujeto a sufrir cambios que son incalculables para el lógico» (Saussure, pág. 23).

La abstracción lleva incluidos todo tipo de problemas y quebraderos de cabeza, eso lo sabemos todos. Parte del riesgo es cómo usamos los nombres. Pensamos en los significados de los nombres en términos de denotaciones. Los nombres sustituyen cosas: hombre, mesa, pluma, David, cabeza, aspirina. Se da un tipo especial de comicidad cuando hay confusión respecto a lo que es un nombre de verdad, como en «¿Quién va primero?» o en aquellas bromas de Alicia en el país de las maravillas: «¿Qué puedes ver en el camino?». «Nada». «¡Qué vista más buena! ¿Qué aspecto tiene nada?». Pero la comicidad tiende a desvanecerse cuando los nombres denotan abstracciones, en el sentido de conceptos generales divorciados de ejemplos concretos. Muchas de estas abstracciones-nombres tienen su raíz en un verbo. «Movimiento» es un nombre, y también «existencia». Usamos palabras como estas continuamente. La confusión viene cuando intentamos pensar en qué significan exactamente. Es como la observación de Boyer acerca de los enteros. ¿Qué denotan exactamente «movimiento» y «existencia»? Sabemos que existen cosas concretas y particulares, y que a veces se mueven. ¿Existe el movimiento per se? ¿De qué manera? ¿De qué manera existen las abstracciones?
Por supuesto, esta última cuestión es en sí misma muy abstracta. Ahora probablemente usted comienza a sentir dolor de cabeza. Hay una especie de incomodidad o impaciencia ante este tipo de cosas. Surgen preguntas como: «¿Qué es exactamente la existencia?» o «¿Qué queremos decir exactamente cuando hablamos del movimiento?». La incomodidad es muy distintiva y aparece solo en cierto nivel del proceso de abstracción, porque la abstracción funciona por niveles, igual que los exponentes o las dimensiones. Digamos que «hombre» refiriéndose a un hombre en particular es el Nivel Uno. «Hombre» refiriéndose a la especie es el Nivel Dos. Algo así como «humanidad» es el Nivel Tres: ahora estamos hablando de los criterios abstractos para que algo pueda ser calificado de humano. Y así sucesivamente. Pero pensar de ese modo puede ser peligroso, extraño. Pensar con suficiente abstracción sobre cualquier cosa… Seguramente todos hemos tenido la experiencia de pensar en una palabra, por ejemplo, «pluma», y en algo así como repetirla para nuestros adentros una y otra vez, hasta que deja de significar nada. La misma extrañeza de llamar «pluma» a algo empieza a meterse en la conciencia de un modo inquietante, como los síntomas de un inminente ataque epiléptico.
Como probablemente sabe el lector, buena parte de lo que ahora llamamos filosofía analítica está relacionado con cuestiones como estas, del Nivel Tres o incluso del Cuatro. Como en la epistemología = «¿Qué es exactamente el conocimiento?»; la metafísica = «¿Cuáles son exactamente las relaciones entre los constructos mentales y los objetos del mundo real?», etc.^[8]. Podría ser que los filósofos y los matemáticos, que pasan mucho tiempo pensando (a) en abstracto (b) sobre abstracciones o (c) ambas cosas, tengan eo ipso propensión a las enfermedades mentales. O podría ser simplemente que las personas susceptibles de padecer una enfermedad mental tengan mayor propensión a pensar en este tipo de cosas. Es como la cuestión del huevo y la gallina. Pero algo es seguro. Es un mito total que el hombre sea curioso por naturaleza y que esté ávido de la verdad, y que desee, por encima de todo, conocer^[9]. Admitiendo ciertos significados de «conocer», hay en realidad una gran cantidad de cosas que no queremos conocer. Evidencia de ello son los abundantes asuntos y problemas acerca de los cuales no nos gusta pensar en abstracto.

Veamos un poco de teoría. Los temores y peligros del pensamiento abstracto constituyen grandes motivos para que ahora a todos nos guste estar todo el día muy ocupados y bombardeados por estímulos. El pensamiento abstracto tiende más bien a asaltarnos en momentos de tranquilo reposo. Por ejemplo, a primera hora de la mañana, especialmente si usted se despierta antes de que suene el despertador, de repente y sin ningún motivo puede comenzar a pensar que ha estado levantándose de la cama cada mañana sin la más mínima duda de que el suelo le sostendría. Mientras yace ahí considerando el asunto, parece por lo menos teóricamente posible que algún defecto en la construcción del suelo o en su integridad molecular podría hacer que este se combara, o incluso que usted lo atravesara limpiamente por algún aberrante fenómeno cuántico o algo parecido. En cierto sentido, no es algo que parezca una imposibilidad lógica o algo así. No es que usted tenga realmente miedo de que el suelo se venga abajo justo en el momento en que se levante.

Es solo que ciertos estados mentales y líneas de pensamiento son más abstractos, y no están centrados en ninguna necesidad u obligación que vaya usted a atender cuando se levante. Esto es solo un ejemplo. La cuestión abstracta que está usted considerando desde la cama es si su confianza en el suelo está verdaderamente justificada. La respuesta inicial, que es afirmativa, se basa en el hecho de que usted se ha levantado por la mañana miles, en realidad bastante más de diez mil veces hasta ahora, y el suelo le ha sostenido cada vez. Es la misma manera de justificar que saldrá el sol, que su esposa recordará cómo se llama usted, que cuando tiene ciertas sensaciones eso significa que está a punto de estornudar, etc. Porque han sucedido una y otra vez anteriormente. El principio involucrado es realmente el único modo de predecir cualquiera de los fenómenos con los que contamos automáticamente sin tener que pensar en ellos. Y la inmensa mayoría de los hechos cotidianos son fenómenos de este tipo, y sin esta confianza basada en experiencias anteriores nos volveríamos todos locos, o por lo menos seríamos incapaces de hacer nada porque tendríamos que detenernos y deliberar acerca de la más mínima cosa. Es un hecho: la vida tal como la conocemos sería imposible sin esta confianza. Pero aun así, esta confianza ¿está verdaderamente justificada o es solo extremadamente conveniente?
Esto es pensar en abstracto, con su característico perfil escalonado, y ahora usted se encuentra varios escalones hacia arriba. Ya no está pensando solo en el suelo y en su peso, ni en su confianza ni en cuán necesaria parece ser ese tipo de confianza para la supervivencia básica. Ahora está usted pensando en una regla, ley o principio mucho más general por el que esta confianza rutinaria, con toda su miríada de formas e intensidades, está de hecho justificada en lugar de ser solo una serie de extraños reflejos clónicos que le impulsan a lo largo del día. Otra señal clara de que se trata de pensamiento abstracto: usted todavía está quieto. Parece que está gastando una tremenda energía y aún no se ha movido. Todo está ocurriendo en su mente. Es extremadamente raro. No es nada sorprendente que a la mayoría de la gente no le guste. De repente tiene sentido que a menudo se represente a los locos poniéndose las manos en la cabeza o golpeándola contra algo. Pero si recibió buenas lecciones en la escuela, puede que ahora recuerde que la regla o principio que usted intuye ya existe: su nombre oficial es principio de inducción (P. I.). Es el precepto fundamental de la ciencia moderna. Sin el principio de inducción, los experimentos no podrían confirmar las hipótesis, y nada en el universo físico podría predecirse con un mínimo de confianza. No podría haber leyes naturales o verdades científicas.

El P. I. afirma que si algo, x, ha sucedido en ciertas circunstancias particulares n veces en el pasado, tenemos justificación para creer que las mismas circunstancias darán lugar a x en la ocasión n + 1. El P. I. es totalmente respetable y fidedigno, y parece una salida inteligente para librarse del problema. Es decir, hasta que le asalte (como solo puede suceder en estados mentales muy abstractos o cuando falta más de la cuenta para que suene el despertador) la idea de que el propio P. I. no es más que una abstracción a partir de la experiencia… Así que, ahora ¿qué justifica exactamente nuestra confianza en el P. I.? Este último pensamiento puede estar o no acompañado de cierto recuerdo de la infancia, por ejemplo, de varias semanas pasadas en la granja de un pariente (es una larga historia). Veamos, en un corral con alambrada, al lado del garaje, había cuatro pollos, el más listo de los cuales se llamaba señor Pollo. Cada mañana, cuando el empleado de la granja llegaba al corral con cierto saco de arpillera, el señor Pollo se excitaba y empezaba a dar picotazos anticipados en el suelo, porque sabía que era la hora de comer.

Era cada mañana a la misma hora h, y el señor Pollo se había dado cuenta de que h(empleado + saco) = comida, y así estaba confiadamente dando sus picotazos por adelantado aquella última mañana de domingo cuando el empleado de repente extendió el brazo, cogió al señor Pollo estrujándole el cuello, lo metió en el saco de arpillera y se lo llevó a la cocina. Recuerdos como este tienden a mantenerse bastante vivos, si se tienen. Pero la idea que sale de aquí es que de acuerdo con el principio de inducción parece que el señor Pollo estuviera en lo cierto, al no esperar otra cosa que la comida tras la aparición (n + 1) del empleado + el saco a la hora h. Pero el hecho de que el señor Pollo no solo no sospechara nada sino que su falta de desconfianza parece completamente justificada, resulta sin duda inquietante. Hallar alguna justificación a un nivel más alto para nuestra confianza en el P. I. parece mucho más urgente cuando nos damos cuenta de que, sin dicha justificación, nuestra propia situación es indistinguible de la del señor Pollo. Pero la conclusión, por abstracta que sea, parece ineludible: lo que justifica nuestra confianza en el principio de inducción es que haya funcionado tan bien en el pasado, por lo menos hasta ahora. Eso significa que nuestra única verdadera justificación para el principio de inducción es el principio de inducción, lo cual parece poco firme y cuestionable en extremo.
Tras esta última conclusión, la única alternativa a la posibilidad de quedarse paralizado en la cama de por vida es hacer más indagaciones abstractas acerca de lo que significa exactamente «justificación» y averiguar si es verdad que las únicas justificaciones válidas para ciertas creencias y principios son racionales y no circulares. Por ejemplo, sabemos que en cierto número de casos cada año hay coches que de repente invaden el carril contrario y chocan frontalmente, matando a personas que conducían sin esperar un accidente. Y así también sabemos, en cierta medida, que sea cual sea la confianza que nos permite conducir en carreteras de doble sentido, esta confianza no está en un 100% justificada racionalmente por las leyes de la probabilidad y la estadística. Y aun así, «justificación racional» podría no ser aplicable en este caso. Podría tratarse más bien de que si usted no pudiera creer que su coche no va a chocar de repente, simplemente no sería capaz de conducir, y así su necesidad o deseo de conducir funciona como una especie de «justificación» de su confianza^[10].
Entonces sería mejor no empezar a analizar las diversas «justificaciones» aparentes para su necesidad o deseo de conducir un coche: en algún punto usted se da cuenta de que el proceso de justificación abstracta puede, por lo menos en principio, seguir para siempre. La capacidad para detener una línea de pensamiento abstracto tan pronto como se ve que no termina nunca es parte de lo que habitualmente distingue a las personas sanas y funcionales, las que cuando finalmente suena el despertador pueden pisar el suelo sin inquietudes y entrar en los asuntos concretos del mundo real, de las personas desquiciadas.

Interpolación

La razón táctica para usar a veces el símbolo ∞ en lugar de «infinito» en este libro es que la parpadeante extrañeza de ∞ sirve como recordatorio de que no está nada claro de qué hablamos siquiera. Todavía no. Por ejemplo, evite pensar que ∞ es solo un número increíblemente, inverosímilmente enorme. Por supuesto, hay muchos números como esos, especialmente en la física y la astronomía, por ejemplo, si en la física un ultranano-instante de 5 × 10⁻⁴⁴segundos se admite generalmente como el intervalo de tiempo más pequeño al que se puede aplicar el concepto normal de tiempo continuo (que lo es), los datos astronómicos indican que ha habido aproximadamente 6 × 10⁶⁰ ultranano-instantes de esos desde el Big Bang. O sea, un 6 seguido de 60 ceros. Todos hemos oído hablar de tales números, y habitualmente imaginamos que solo se pueden tratar y manipular mediante ordenadores muy avanzados y super-refrigerados o algo así. La verdad es que hay muchos números demasiado grandes para que los procese un ordenador real o incluso teórico. El límite de Bremermann es el término relevante en este caso.

Dados los límites impuestos por la teoría cuántica básica, un tal Hans-Joachim Bremermann demostró en 1962 que «Ningún sistema de procesamiento de datos, artificial o viviente, puede procesar más de 2 × 10⁴⁷ bits por segundo por cada gramo de su masa» (Klir y Yuan, págs. 2-3), lo que significa que un superordenador hipotético del tamaño de la tierra (= 6 × 10²⁷ gramos aproximadamente) funcionando durante tanto tiempo como la tierra ha existido (= 10¹⁰ años aproximadamente, con cerca de 3,14 × 10⁷ segundos/año) puede haber procesado a lo sumo 2,56 × 10⁹² bits, número que se conoce como límite de Bremermann. Los cálculos que involucran números mayores que 2,56 × 10⁹²se llaman problemas transcomputacionales, en el sentido de que no son teóricamente viables siquiera. Y hay abundantes problemas de este tipo en la física estadística, la teoría de la complejidad, la teoría de fractales, etc. Todo esto resulta excitante pero no muy pertinente. Lo pertinente es esto: considere algún número transcomputacional, imagínese que es un grano de arena, piense en una playa entera, o en un desierto, o en un planeta, o incluso en una galaxia llena de esa arena, y no solo un 1 seguido de ese número de ceros será < ∞, sino que su cuadrado será < ∞, y si llamamos x al número,

será < ∞, y así sucesivamente. Y en realidad ni siquiera es correcto comparar 10^xe ∞ aritméticamente de ese modo porque ni siquiera están en la misma área de codificación matemática ni incluso, de algún modo, en la misma dimensión. Y, sin embargo, también es verdad que algunos ∞ son mayores que otros, como en las comparaciones aritméticas. Hablaremos de todo esto. Por ahora la cuestión es que solo después de Richard Dedekind y George Cantor ha sido posible hablar de cantidades infinitas y su aritmética de un modo coherente y significativo. De ahí el uso del símbolo ∞.

SEI. El propio símbolo ∞ tiene el nombre técnico lemniscata (al parecer viene de «cinta» en griego) y fue introducido en las matemáticas por John Wallis en su obra de 1655 Arithmetica Infinitorum, que fue uno de los antecedentes importantes del cálculo de Newton^[11]. Thomas Hobbes, contemporáneo de Wallis y algo así como un matemático excéntrico, se quejó en una reseña de que la Arithmetica Infinitorum tenía un grado de abstracción demasiado exagerado como para intentar leerla, definiéndola como «una costra de símbolos», hablando así en nombre de futuras generaciones de estudiantes. Entre otras denominaciones de la lemniscata están «el nudo del amor» y «la curva del plano cartesiano que satisface la ecuación»

(x² + y²)² = a²(x² − y²)

Por otro lado, si se trata trigonométricamente, se define como «la curva que satisface la ecuación en coordenadas polares»

r² = a cos 2θ

y se conoce también como lemniscata de Bernoulli.

Fin de la interpolación

§ 1c.
Respecto a todo el asunto de la abstracción y los significados de los términos, hay un síndrome que es o bien una abstracción de alto nivel o algún tipo de extraña mutación nominal. «Caballo» puede significar este caballo de aquí, o puede significar el concepto abstracto, como al decir «Caballo: mamífero con pezuñas de la familia Equidae». Lo mismo ocurre con la palabra «cuerno», y con «frente». Todos los términos pueden abstraerse de entes particulares, pero aun así sabemos que provienen de ellos. Pero ¿qué pasa con un unicornio, el cual parece resultar de la combinación de los conceptos «caballo», «cuerno» y «frente», de forma que se origina completamente por la concatenación de abstracciones? O sea, podemos juntar y manipular abstracciones para formar entes con un nombre que no denota nada en absoluto. Aquí el gran problema resulta ser: ¿cómo podemos decir que un unicornio existe, y que sea de una manera fundamentalmente diferente, menos real, de la manera en que existen abstracciones como humanidad, cuerno o número entero? O dicho de otra forma: ¿de qué modo existen las entidades abstractas?, ¿existen solo como ideas en la mente humana, es decir, son ficciones metafísicas? Este tipo de cuestión también puede mantenerle todo el día en la cama. Y pende sobre las matemáticas desde el principio: ¿cuál es el estatus ontológico de las entidades y relaciones matemáticas? Las realidades matemáticas, ¿son descubiertas o meramente creadas, o de algún modo ambas cosas? He aquí de nuevo a Morris Kline: «Las doctrinas filosóficas de los griegos limitaron las matemáticas de otro modo. Durante el período clásico creían que el hombre no crea los hechos matemáticos: estos son preexistentes. El hombre se limita a establecerlos y registrarlos» (Kline, pág. 175).
Y aquí está otra cita de David Hilbert, el gran primer defensor de los transfinitos de Cantor:

El infinito no se halla en ninguna parte de la realidad, sin importar qué experiencias, observaciones o conocimientos se invoquen. ¿Puede el pensamiento acerca de las cosas ser tan diferente de las cosas? ¿Pueden los procesos de pensamiento ser tan distintos del proceso real de las cosas? En definitiva, ¿puede el pensamiento estar tan apartado de la realidad? (Hilbert, pág. 191).

Y es verdad, no hay nada más abstracto que el infinito. Por lo menos en el sentido de nuestro concepto de ∞ difuso, intuitivo y expresado en «lenguaje natural». Es algo así como el más definitivo alejamiento de la experiencia real. Considérese la característica única más ubicua y opresiva del mundo de lo concreto, es decir, que todo llega a un fin, es limitado, termina, y luego concíbase, en abstracto, algo sin esa característica. Son obvias las analogías con ciertas ideas de Dios. La abstracción de todas las limitaciones es una manera de explicar el impulso religioso en términos laicos, lo cual también se conoce como antropología de la religión. Un ser perfecto puede entenderse como uno desprovisto de todas las imperfecciones que percibimos en nosotros mismos y en el mundo, uno omnipotente, es decir sin limitaciones a su voluntad, etc. El hecho de que sea una manera bastante seca y triste de hablar de la religión no tiene importancia. La cuestión es que exactamente el mismo tipo de explicación puede darse acerca de cómo llegamos al concepto de ∞ y qué queremos decir en definitiva con todas las formas de la palabra «infinito» que barajamos. Pero si se trata realmente de la explicación correcta es algo relacionado con los compromisos que adquirimos. En un sentido metafísico. ¿Queremos decir realmente que el ∞ existe solo del modo en que existen los unicornios, que todo es cuestión de manipular abstracciones hasta que la palabra «infinito» no tenga ningún referente real? ¿Qué hay del conjunto de todos los números enteros? Empiece a contar 1, 2, 3, y así sucesivamente, y dese cuenta de que nunca se detendrá, ni sus hijos cuando usted muera, ni los hijos de sus hijos, etc. Los enteros nunca se detienen. No hay fin. El conjunto de todos los enteros, ¿constituye un ∞ real? ¿O los enteros mismos no son reales sino solo abstracciones? Además, ¿qué es exactamente un conjunto?, y ¿los conjuntos son reales o solo instrumentos conceptuales, etc.? O ¿son quizá los enteros y/o los conjuntos solo «matemáticamente reales» y no «realmente reales»?, y ¿cuál es exactamente la diferencia?, y ¿podríamos desear conceder al ∞ cierta realidad matemática pero no del otro tipo (suponiendo que no haya todavía más tipos)? Y ¿en qué punto las cuestiones se vuelven tan abstractas y las distinciones tan sutiles y el dolor de cabeza tan terrible que simplemente ya no podemos pensar más en nada de ello?
Es en áreas como las matemáticas y la metafísica donde encontramos una de las cualidades más extrañas de la mente humana media. Es la habilidad de concebir cosas que, estrictamente hablando, no podemos concebir. Podemos concebir de un modo aproximado qué es la omnipotencia, por ejemplo. Por lo menos podemos usar la palabra «omnipotencia» con bastante seguridad de saber de qué estamos hablando. Y, aun así, incluso la antinomia de un escolar como «¿Puede un ser omnipotente crear algo tan pesado que ni él mismo podría levantarlo?» pone de relieve serios fallos en nuestra comprensión cotidiana de la omnipotencia. Así que hay más de un tipo de abstracción que resulta relevante aquí. Este tipo es más psicológico, y muy moderno.
Un dato evidente: nunca antes ha habido tantos abismos entre lo que el mundo parece ser y lo que la ciencia nos dice que es. Para nosotros, la gente de la calle, es como si un millón de revoluciones copernicanas tuvieran lugar al mismo tiempo. Es decir, por ejemplo, sabemos, como alumnos de instituto y lectores de Newsweek que somos, que el tiempo es relativo, que las partículas cuánticas pueden estar ahí y a la vez no estarlo, que el espacio es curvo, que los colores no son inherentes a los objetos mismos, que las singularidades astronómicas tienen densidad infinita, que nuestro amor por nuestros hijos está preprogramado por la evolución, que hay un punto ciego en el centro de nuestra visión que nuestro cerebro rellena automáticamente. Sabemos también que nuestros pensamientos y sentimientos en realidad solo son transferencias químicas en 1,5 kg de masa electrificada. Que estamos hechos en nuestra mayor parte de agua, que el agua es fundamentalmente hidrógeno, y el hidrógeno es inflamable, y, sin embargo, nosotros no somos inflamables. «Sabemos» una casi infinidad de verdades que contradicen nuestra experiencia inmediata y de sentido común acerca del mundo. Y aun así tenemos que vivir y funcionar en el mundo. Así que abstraemos, compartimentamos: hay cosas que sabemos, y cosas que «sabemos». «Sé» que mi amor por mi hijo está en función de la selección natural, pero sé que le quiero, y siento y actúo según lo que sé. Vista objetivamente, toda esta cuestión es bastante esquizoide, pero el hecho importante es que, como gente subjetiva de la calle, raramente notamos el conflicto. Porque, naturalmente, nuestra vida es en un 99,99% concretamente operativa, y operamos en concreto según lo que sabemos, no según lo que «sabemos».
De nuevo, hablamos de gente de la calle como usted y yo, no de los gigantes de la filosofía y las matemáticas, muchos de los cuales tuvieron famosas dificultades para navegar por el mundo real. Einstein saliendo de su casa en pijama, Gödel incapaz de alimentarse, etc. Para valorar cómo es la vida interior de los grandes científicos/matemáticos/metafísicos, solo necesitamos tumbarnos e intentar formarnos una idea verdaderamente rigurosa y coherente, en contraste con una idea difusa como las que se exponen en Newsweek, acerca de qué significa en realidad «omnipotente», «número entero» o «ilimitable», o «finito pero ilimitado». Intentar llevar a cabo un poco de pensamiento abstracto disciplinado o dirigido^[12]. 
Hay una tensión, como la de una fuga musical, muy definida pero inarticulable involucrada en este tipo de pensamiento, una sensación de la que aquella repetición epiléptica de «pluma, pluma» una y otra vez es solo un pálido reflejo. Uno de los caminos más rápidos hacia esa sensación (por experiencia personal madrugadora) es intentar pensar profundamente en la dimensión. Hay algo que «sé», y es que las dimensiones espaciales más allá del Gran 3 existen. Incluso puedo construir un teseracto o hipercubo con cartón. Un teseracto, un extraño tipo de cubo dentro de un cubo es una proyección 3D de un objeto 4D, del mismo modo en que « » es una proyección 2D de un objeto 3D. El truco es imaginar que las líneas y planos relevantes del teseracto forman ángulos de 90^o (es lo mismo con « » y un cubo real), porque la 4ª dimensión espacial es una que de algún modo existe perpendicularmente a la longitud, anchura y profundidad de nuestro campo visual normal. Yo «sé» todo esto, como probablemente lo «sabe» usted…, pero ahora intente imaginarlo realmente. Concretamente. Casi de forma inmediata, puede sentir una tensión en la raíz misma de su yo, las primeras hebras deshilachadas de una mente cuyas costuras empiezan a ceder.
Con respecto a «saber» en contraste con saber de un modo concreto y material, el segundo tipo es lo que Descartes quería decir con «una clara y distinta aprehensión» y lo que en lenguaje moderno se llama «entender» o «captar». Es de nuevo el estado epistoesquizoide de la mente moderna media: sentimos que «sabemos» cosas que el aparato conceptual de nuestra mente en realidad no puede captar. A menudo son objetos y conceptos en los más lejanos límites de la abstracción, cosas que literalmente no podemos imaginar: espacios con D > 3, coreografía cuántica, conjuntos fractales, materia oscura, raíces cuadradas de números negativos, botellas de Klein y cajas de Freemish y escalinatas de Penrose. E ∞. A menudo, este tipo de cosas se caracterizan como dotadas de una existencia únicamente «intelectual» o «matemática». De nuevo, están muy lejos de tener un significado claro, aunque usar estos términos constituye un juego de niños.
Obsérvese, por favor, que esta habilidad común de dividir nuestra atención y «saber» cosas que no podemos captar es un rasgo distintivo moderno. Los antiguos griegos, por ejemplo, no podían hacerlo. O no querían. Necesitaban las cosas claras, y creían que no se puede saber algo a menos que se entienda realmente^[13]. No es un accidente que sus matemáticas no incluyeran ni el 0 ni el ∞. Su palabra para infinito también significaba «lío».
El espíritu griego ha dado forma a la filosofía y a la práctica de las matemáticas desde el principio. Las verdades matemáticas se establecen mediante demostraciones lógicas y son extremadamente claras y nítidas. Es precisamente esto lo que exime a las matemáticas de problemas laberínticos al estilo de cómo justificar con exactitud el principio de inducción: las relaciones y demostraciones matemáticas no son inductivas sino deductivas, formales. Las matemáticas, en otras palabras, son un sistema formal, donde «formal» significa forma pura, 100% abstracta. La idea central es que las verdades matemáticas son ciertas y universales precisamente porque no tienen nada que ver con el mundo. Si esto resulta algo opaco, he aquí un pasaje de Godfrey H. Hardy en su Apología de un matemático, la obra inglesa en prosa más lúcida jamás escrita sobre matemáticas:

«La certidumbre de las matemáticas —dice [Alfred N.] Whitehead— depende de su completa generalidad abstracta».

Cuando afirmamos que

2 + 3 = 5

afirmamos una relación entre tres grupos de «cosas», y esas cosas no son manzanas ni peniques, o cosas de uno u otro tipo en particular, sino solamente cosas, «cosas cualesquiera». El significado de la afirmación es completamente independiente de las individualidades de los miembros de los grupos. Todos los «objetos» matemáticos o «entidades» o «relaciones», como «2», «3», «5», «+» o «=», y todas las proposiciones matemáticas en las que aparecen, son completamente generales en el sentido de ser completamente abstractas. Realmente una de las palabras de Whitehead es superflua, porque la generalidad, en este sentido, es abstracción (Hardy, Apology, pág. 106).
Observe el lector que en esta cita «generalidad» se refiere no solo a la abstracción de términos y referentes individuales, sino a la universalidad completamente abstracta de las verdades afirmadas. Esta es la diferencia entre una mera curiosidad matemática y un teorema matemático. Un famoso ejemplo de esa diferencia (famoso para los alumnos del doctor Goris, en cualquier caso) es que

1.     «La suma de la serie (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 5²» es una curiosidad, mientras que

2.     «Para cualquier x, la suma de los primeros x enteros impares = x²» es un teorema, es decir, matemáticas de verdad.

Lo que viene a continuación está pensado principalmente como recordatorio de cosas que usted ya conoce por encima o vio en la escuela. Si su familiaridad con los sistemas formales es menos superficial, reconocerá los siguientes tres párrafos como extremadamente burdos y simplistas y está invitado a tratarlos como SEI y omitirlos o echarles una ojeada. Un sistema formal de demostración requiere axiomas y reglas de inferencia. Los axiomas son proposiciones básicas tan obvias que pueden afirmarse sin demostración. Recuerde, por ejemplo, los axiomas de Euclides o los postulados de Peano. Las reglas de inferencia, a veces llamadas leyes del pensamiento, son los principios lógicos que justifican la obtención de verdades a partir de otras verdades.^[14]
Algunas de las reglas de inferencia son tan simples como la ley de identidad, la cual básicamente sostiene que si algo es P, entonces es P. Otras son más elaboradas. Para nuestros propósitos son especialmente importantes dos reglas de inferencia. La primera es conocida como ley del tercero excluido (LTE). Por la LTE, una proposición matemática tiene que ser o bien verdadera o bien, si no lo es, falsa^[15]. 
La otra gran regla de inferencia involucra la relación lógica de implicación, con el significado «Si… entonces» y se representa a menudo con el símbolo «→». La regla de implicación más obvia es que (1) «P → Q» y (2) «P es verdadera» permiten obtener la conclusión «Q es verdadera». La que vamos a usar con frecuencia es la complementaria de esta regla, llamada habitualmente modus tollens. Puede sostenerse que (1) «P → Q» y (2) «Q es falsa» permiten afirmar que (3) «P es falsa».^[16]
Una razón por la que la LTE y el modus tollens son importantes para las matemáticas es que hacen posible el método de demostración indirecta, también conocido como demostración por reductio ad absurdum o a veces solo reductio. He aquí cómo funciona. Supongamos que quiere demostrar P. Lo que hace es suponer lo contrario, no-P, y entonces demostrar que no-P implica lógicamente una contradicción como, por ejemplo, «Q y no-Q». (Por la LTE, nada puede ser verdadero y falso a la vez, de modo que la conjunción «Q y no-Q» será siempre falsa). Por el modus tollens, si (1) no-P → (Q y no-Q) y (2) (Q y no-Q) es falsa, entonces (3) no-P es falsa. Y, por la LTE,^[17] si no-P es falsa, entonces P tiene que ser verdadera.
Muchas de las demostraciones más importantes y conocidas de la historia de las matemáticas han sido de este tipo. Aquí está un ejemplo. Es la demostración de Euclides de la Proposición 20 en el Libro IX de los Elementos. La Proposición 20 trata de los números primos, es decir —como probablemente recuerda de la escuela—, de los números enteros que no pueden dividirse por enteros más pequeños sin que quede resto. La Proposición 20 afirma básicamente que no existe un último número primo. (Lo que esto significa, por supuesto, es que la cantidad de números primos es en realidad infinita, pero Euclides le da vueltas a la cuestión, y con toda seguridad nunca dice «infinito»). Aquí está la demostración. Supóngase que de hecho existe el último número primo. Llamémosle P_n. Esto significa que la secuencia de números primos (2, 3, 5, 7, 11,…, P_n) es exhaustiva y finita: (2, 3, 5, 7, 11, …, P_n) son todos los primos que existen.^[18] Ahora considérese el número R, que definimos como el número que se obtiene multiplicando todos los primos hasta P_n y sumando 1 al resultado. R es obviamente mayor que P_n. Pero ¿es R primo? Si lo es, tenemos una contradicción inmediata, porque ya habíamos supuesto que P_n era el mayor número primo posible. Pero si R no es primo, ¿por qué número se puede dividir? Obviamente no se puede dividir por ninguno de los números primos de la secuencia (2, 3, 5,…, P_n), porque dividir R por cualquiera de ellos daría resto 1. Pero dicha secuencia contiene todos los números primos que existen, y estos son en definitiva los únicos números por los que se puede dividir un número que no sea primo. Así que si R no es primo, y si ninguno de los primos (2, 3, 5,…, P_n) puede ser divisor suyo, tiene que haber algún otro primo por el que R se pueda dividir. Pero esto contradice la suposición de que (2, 3, 5, …, P_n) es una lista exhaustiva de todos los números primos. De uno u otro modo, tenemos una contradicción clara. Y como la suposición de que hay un último número primo implica una contradicción, el modus tollens dicta que la suposición es necesariamente falsa, lo cual por la LTE^[19] significa que la negación de la suposición es necesariamente verdadera, es decir, que ningún número primo es el último. Q. E. D.
Observe, por favor, que la primalidad no tiene nada que ver con el mundo. Concierne solo a relaciones entre números. Los griegos fueron los verdaderos inventores de lo que llamamos matemáticas, porque —en eso también— fueron los primeros en tratar los números y sus relaciones como abstracciones más que como propiedades de colecciones de objetos reales. Es importante ver hasta qué punto esto fue un salto. Ya desde registros muy antiguos, es fácil ver que las matemáticas tuvieron su matriz en lo concreto. En lo inmediatamente concreto. Considérense hechos como que las cifras también se llaman «dígitos» y que la mayoría de los sistemas de numeración —no solo el nuestro en base 10 sino también los de base 5 y base 20 de la Europa prehistórica— están claramente pensados a partir de los dedos de la mano y los dedos de los pies. O que aún hablamos de «cuerdas» de círculos o de «caras» de poliedros, o que «cálculo» proviene de la palabra griega que significa «piedrecita», etc. Es bien conocido que hubo civilizaciones anteriores a la griega, como los babilonios y los egipcios, con un grado considerable de sofisticación matemática, pero las suyas eran unas matemáticas extremadamente prácticas, usadas para la agrimensura, el comercio y las finanzas, la navegación, etc. Los babilonios y los egipcios, en otras palabras, estaban más interesados en las cinco naranjas que en el 5. Fueron los griegos los que convirtieron las matemáticas en un sistema abstracto, un lenguaje simbólico especial que permite a las personas no solo describir el mundo, sino explicar sus más profundas leyes y pautas. Se lo debemos todo.^[20] Hasta el punto de que los logros de Weierstrass, Cantor y Dedekind en la teoría de conjuntos y la teoría de números modernas son imposibles de valorar sin entender el salto hiperdimensional entre las matemáticas como una abstracción práctica de propiedades del mundo real y las matemáticas, como diría Ferdinand de Saussure, como un «sistema de símbolos […] independiente de los objetos designados». Ni tampoco se pueden valorar verdaderamente sin considerar también los consiguientes «cambios incalculables…», porque las matemáticas abstractas que han desterrado la superstición y la ignorancia y la sinrazón y han dado a luz al mundo moderno son también las matemáticas abstractas atravesadas por la sinrazón y la paradoja y el enigma, y que han estado intentando, en cierto modo, atarse los zapatos sobre la marcha desde el momento mismo en que adquirieron el estatus de lenguaje verdadero. Por favor, tenga presente que un lenguaje es a la vez un mapa del mundo y su propio mundo, con sus propias zonas de penumbra y sus grietas, lugares donde enunciados que parecen obedecer todas las reglas del lenguaje son, a pesar de todo, imposibles de tratar.
Podemos suponer que el «lenguaje natural» es un territorio familiar, pero solo como recordatorio considere la distancia y la diferencia entre usar «árbol» y «roca» para designar auténticos árboles y rocas y la vergonzosa semántica de Clinton hablando de «inhalar» o «contacto sexual». O explore la conocida paradoja «Estoy mintiendo» (también un invento griego). O medite sobre frases como «"'No tiene sentido, no tiene sentido" no tiene sentido» o «"Produce falsedad cuando es precedida por su cita" produce falsedad cuando es precedida por su cita». Se dará cuenta de que estas tres últimas, como la mayoría de las fisuras paradójicas, involucran la autorreferencia o la regresión, dos demonios que han afligido el lenguaje desde hace tanto tiempo como queramos retroceder.
Las matemáticas no están exentas. Y, por supuesto, como las matemáticas son un lenguaje totalmente abstracto, y se supone que extremadamente «higiénico» debido a su falta de referentes específicos del mundo real, sus paradojas y enigmas son mucho más problemáticos. Es decir, que las matemáticas tienen que afrontarlos realmente en lugar de ponerlos sin más en la trastienda del pensamiento cuando suena el despertador. Algunos dilemas pueden tratarse con un enfoque «legalista», por así decirlo, mediante definiciones y estipulaciones.^[21]Analicemos un ejemplo fácil del álgebra escolar: a partir del hecho indiscutible de que en una igualdad entre dos fracciones los denominadores son iguales si los numeradores lo son, es decir, si

entonces y = z, podría parecer que si

entonces

(x − 4) = (x − 3),

o sea 4 = 3, lo que evidentemente no tiene sentido, ya que presenta una «fisura». Esto se resuelve decretando que la única solución posible de

) es x = 5 (pues 0 dividido por cualquier cosa da otra vez 0, lo cual, obviamente, no implica 4 = 3) y estipulando que el teorema

solo es válido si x ≠ 0.
Veamos un caso difícil. Todos conocemos los decimales periódicos, como 2/3 = 0,666… Resulta posible demostrar que 0,999… es igual a 1,0 con solo un par de movimientos totalmente «legales»: si x = 0,999…, entonces 10x = 9,999…, y ahora restemos x de 10x:

9,999… − 0,999…

y obtenemos

9x = 9,0

y por lo tanto x = 1. 
¿Es engañoso o no? Depende de cómo tratemos la secuencia infinita «0,999…» y de si decidimos postular la existencia de algún número mayor que 0,999… pero menor que 1,0. Un número así involucraría un infinitésimo, es decir, un ente matemático de pequeñez literalmente infinita. Puede que recuerde los infinitésimos de las matemáticas del instituto. 
Pero puede que no recuerde —probablemente porque no se lo explicaron— que a causa de los infinitésimos los fundamentos del cálculo fueron extremadamente controvertibles y poco firmes durante doscientos años, ni que más o menos por el mismo motivo las matemáticas transfinitas de Cantor fueron recibidas con acalorado escepticismo a finales del siglo XIX: nada ha causado más problemas —históricamente, metodológicamente, metafísicamente— que las cantidades infinitas. En muchos sentidos, la historia de esos problemas relacionados con el ∞ es la propia historia de las matemáticas.

§ 1d.
Esta introducción es muy rápida e imprecisa, por supuesto. Ahora tenemos que hacer algunas distinciones al aproximarnos al ∞ como tema histórico. La primera es la distinción obvia entre lo infinitamente grande (= transfinito) y lo infinitamente pequeño (= infinitesimal = 1/∞)
La segunda gran diferencia es entre el ∞ como característica del mundo físico —por ejemplo, al preguntarnos si el universo es infinito, si la materia es infinitamente divisible, si el tiempo tiene un principio y un fin— y el ∞ como ente matemático abstracto o concepto, en la misma línea que las funciones, los números, la primalidad, y demás. 
También ha habido algo de introducción a la ontología de las abstracciones analizando si existen realmente los objetos matemáticos y cómo existen, cuestiones acerca de las cuales, por supuesto, aún quedan cavilaciones para llenar una biblioteca. Lo que debe quedar claro es que los problemas y controversias sobre el ∞ de los que nos vamos a ocupar aquí se centran en la cuestión de si las cantidades infinitas pueden existir realmente como entes matemáticos.
La tercera distinción puede empezar pareciendo nimia. Concierne a palabras relacionadas con el ∞ como «cantidad» y «número». Estas tienen un extraño y confuso doble sentido, del mismo modo en que lo tienen «longitud» o «gramo». Un trozo de cuerda tiene cierta longitud, por ejemplo, en metros, pero también decimos cosas como «unos metros de cuerda» o «longitud de onda». Una cierta cantidad de fármaco que pesa un gramo también se llama «un gramo de fármaco». Asimismo, «cantidad» o «número» pueden funcionar predicativamente —es decir, respondiendo a las preguntas «¿cuántas?» o «¿cuánto?» de algo— y también como nombres comunes que denotan el ente descrito. Por lo tanto, puede resultar ambiguo, cuando se usa un término como «número infinito», si se está usando predicativamente («Hay una cantidad infinita de números primos») o nominativamente («El primer número infinito de Cantor es ℵ₀»). Y la diferencia es importante, porque el uso predicativo de «∞» puede ser difuso y puede significar solo «indefinidamente grande» o «muy muy grande», mientras que, tras Dedekind y Cantor, el uso nominativo tiene una denotación muy específica, aunque abstracta.
En cierto sentido, el poder y quizás incluso toda la raison d'être del lenguaje de las matemáticas es que está diseñado para ser tan claro y sin connotaciones que evite justamente este tipo de ambigüedades. Intentar expresar cantidades y relaciones numéricas en lenguaje natural, como traducir proposiciones matemáticas al castellano y viceversa, a menudo causa problemas.^[22]
Un ejemplo favorito del doctor Goris era la vieja historia sobre tres hombres que llegan a un motel tarde por la noche. Solo queda una habitación libre, y cuesta 30 €. Los huéspedes deciden poner 10 € cada uno y compartirla, pero cuando llegan a la habitación se dan cuenta de que está hecha un desastre —parece que, por alguna confusión, nadie había hecho la limpieza tras irse los anteriores ocupantes— y comprensiblemente los tres hombres llaman al recepcionista para quejarse. Aquí pueden omitirse unos cuantos detalles y florituras. La cuestión es que se hace tarde, las personas de la limpieza ya no están, y no hay ninguna habitación más, de modo que, tras un poco de regateo, el recepcionista acepta rebajar 5 € el precio de la habitación y repartir sábanas limpias. Manda al botones a la habitación con sábanas, toallas y el reintegro de 5 € en forma de cinco monedas de 1 €…etc., etc., donde lo importante es que hay cinco monedas de 1 € y tres individuos, de modo que estos (misteriosamente ablandados) se quedan 1 € cada uno y dejan que el botones se quede los 2 € restantes como propina. Así, cada hombre ha empezado pagando 10 € y ha recuperado 1 €, de modo que cada uno ha pagado 9 €, y los tres juntos, 27 €. El botones tiene los otros 2 €, lo que suma 29 €, así que ¿dónde está el euro restante? 
En este problema, la cuestión es que la verborrea (de la que había considerablemente más en la versión del doctor Goris: incluía un relato épico que duraba todo el curso sobre esos tres hombres y sus diversas biografías y peripecias y los diferentes enigmas matemáticos con que se topaban siempre) le confunde para que intente calcular (30 − 3) + 2 en lugar de la pertinente (30 − 5) + (3 + 2), dando como resultado mayor confusión y diversión y posibles puntos extra.
Existen varios tipos de provocaciones interlingüísticas como esta. Las que no se pueden resolver se convierten en verdaderas paradojas, algunas de las cuales son profundas. No debería sorprender, dado que el ∞ es la abstracción definitiva y a la vez arraigadamente difuso, que este figure en muchas de esas paradojas. Tome, por ejemplo, la idea de que no hay un último entero, o un entero mayor que todos los demás, y de que el tiempo se extiende hacia adelante infinitamente. Ahora imagine una lámpara de larga duración perfectamente construida con un gran botón rojo de Apagada/Encendida, e imagine que esta mañana la lámpara está apagada pero a las 16:30 alguien la encenderá, a la misma hora del día siguiente alguien la apagará, a la misma hora del día siguiente alguien la encenderá de nuevo, y así sucesivamente, cada día, por el resto del tiempo. Y ahora considere si, tras un número infinito de días, la lámpara estará apagada o encendida. Puede que recuerde de las matemáticas del instituto^[23] que en realidad este problema está relacionado con algo llamado una serie infinita divergente, más específicamente la serie de Grandi,

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1…,

serie que suma 0 si la calculamos según

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +…

pero que suma 1 si la calculamos según

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1)…,

y la traca final es que, como ambos cálculos son matemáticamente lícitos, la suma «real» de la serie parece ser a la vez 1 y no -1, lo cual por la LTE es imposible. Sin embargo, tal vez recuerde^[24] que la serie de Grandi resulta ser de un subtipo particular de serie infinita divergente conocida como serie oscilante, y que como tal es un ejemplo aleccionador de estipulación de sumas parciales (denotadas por s_n), siendo el simbolismo relevante algo parecido a

«donde s_n = 0 para n par y s_n = −1 para n impar», simbolismo que parece tan legislativamente críptico y pesado precisamente porque tiene que estar diseñado para evitar fisuras como la paradoja de la lámpara.
También hay antinomias que giran alrededor del ∞ no como un concepto del lenguaje natural o un terrain vague numérico sino simplemente como un rasgo de la geometría, de tal forma que pueden representarse mediante figuras simples, y no basta con meras estipulaciones. Considérense los puntos y las rectas. Está claro que cualquier recta contiene una infinidad de puntos. Un punto, recuerde, es «un elemento de la geometría que tiene posición pero no extensión» (Nelson, pág. 330), en el sentido de que un punto es una abstracción, pura posición. Pero si una recta se compone únicamente de puntos, y los puntos no tienen extensión, ¿cómo puede tener extensión una recta? Por definición, todas las rectas la tienen. La respuesta parece tener algo que ver con el ∞, pero ¿cómo puede ∞ × 0 ser igual a algo que no sea 0?
Aquí está otra peor. Todo lo que necesita es a Euclides y una regla. Dibuje una línea como esta:

donde el segmento de recta PQ es tres veces más largo que el segmento QR. Como los segmentos de recta están compuestos por puntos, parece razonable la idea de que debería haber tres veces más puntos en PQ que en QR. Pero resulta que hay exactamente la misma cantidad en ambos. Puede verlo. Convierta los segmentos en el triángulo recto QPR girando PQ hacia arriba y continuando la rotación hasta que P esté justo encima de R, y después dibuje el segmento PR:

Después recuerde que, por el axioma de las paralelas de Euclides,^[25] por cada punto del segmento PQ pasará exactamente una recta paralela al segmento PR:

y que esta recta cortará al segmento QR exactamente en un punto. Lo mismo es cierto para cada punto individual de PQ; simplemente dibuje una recta paralela a PR que corte a PQ en dicho punto, y la recta cortará a QR en un único punto:

sin duplicaciones y sin que falten puntos, de modo que a cada punto de PQ le corresponde un punto de QR, es decir, que hay exactamente tantos puntos en QRcomo en PQ, aunque PQ = 3(QR).
Puede usted generar una paradoja similar creando un par de círculos concéntricos tales que el radio del círculo mayor mida el doble que el radio del círculo interior.^[26] Como la circunferencia de cualquier círculo es una función directa de su radio, la circunferencia del círculo mayor mide el doble que la del círculo menor. Y una circunferencia también es una línea (curva), de modo que debería haber dos veces más puntos en la circunferencia del círculo mayor. Pero no: como ambos círculos tienen un centro común, el simple trazo de algunos radios permite establecer que cualquier radio que corte al círculo grande en un punto N cortará al círculo pequeño en un único punto correspondiente N₁, sin redundancias ni ausencias:

demostrando así que el número de puntos en las circunferencias de ambos círculos es el mismo.
Estos son verdaderos problemas, no solo tediosos o antiintuitivos sino matemáticamente profundos. Georg F. L. P. Cantor los resolvió todos, más o menos. Pero, por supuesto, la expresión coloquial «resolver» puede significar distintas cosas. 
Como se ha mencionado, en matemáticas un modo de tratar con los problemas desestabilizantes es decretar su inexistencia, desterrando ciertos tipos de entes matemáticos y/o cargando los teoremas de estipulaciones y exclusiones diseñadas para evitar resultados extraños. Antes de la invención de las matemáticas transfinitas, esta era la manera de tratar la mayor parte de las paradojas del ∞. 
Se «resolvían» empezando por difuminar la distinción entre una paradoja y una contradicción, y luego aplicando una especie de reducción al absurdo metafísica: si admitir cantidades infinitas, como el número de puntos de una recta o el conjunto de todos los enteros, conduce a conclusiones paradójicas, tiene que haber algo inherentemente erróneo o sin sentido en las cantidades infinitas, y así las entidades relacionadas con el ∞ no podrían «existir» realmente en un sentido matemático. Este fue esencialmente el argumento desplegado, por ejemplo, contra la famosa paradoja de Galileo en el siglo XVII. 
Aquí está la paradoja de Galileo. El quinto axioma de Euclides dicta que «el todo es siempre mayor que la parte», lo cual parece bastante irrefutable. También resulta obvio que todo cuadrado perfecto (por ejemplo, 1, 4, 9, 16, 25…) es un número entero, mientras que no todo número entero es un cuadrado perfecto. En otras palabras, el conjunto de todos los cuadrados perfectos no es más que una parte del conjunto de todos los números enteros, por lo que en virtud del quinto axioma de Euclides es más pequeño. El problema es que el mismo tipo de igualdad, mediante-correspondencia que vimos con PQ/QR y los dos círculos también se puede establecer en este caso. 
Porque aunque no es cierto que cada número entero sea un cuadrado perfecto, sí es cierto que cada número entero es la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto: 2 de 4, 3 de 9, 4 de 16, 912 de 831.744, y así sucesivamente. Visualmente, se pueden alinear los dos conjuntos y demostrar una perfecta e inagotable correspondencia de uno a uno entre sus miembros:^[27]

Así pues, la conclusión de la paradoja de Galileo es que el quinto axioma de Euclides, una parte indispensable de las matemáticas básicas, y una verdad obvia que podemos comprobar con cualquier tipo de conjunto que seamos capaces de ver o contar, queda contradicho por los conjuntos infinitos de todos los números enteros y todos los cuadrados perfectos. Ante esta situación, hay dos caminos posibles. El estándar, como se ha mencionado, es declarar que los conjuntos infinitos son el equivalente matemático de los unicornios o la «nada» que Alicia ve en el camino.^[28] El otro, que es revolucionario tanto intelectual como psicológicamente, es tratar la equivalencia paradójica de Galileo no como una contradicción sino como la descripción de cierto nuevo tipo de ente matemático que es tan abstracto y extraño que no se ciñe a las reglas normales de las matemáticas y requiere un tratamiento especial. Es decir, consiste en indicar (como hizo adivine quién) que

«El fallo fundamental de todas las así llamadas demostraciones de la imposibilidad de los números infinitos es que atribuyen a dichos números todas las propiedades de los números finitos, mientras que los números infinitos […] constituyen una clase completamente nueva de número, un tipo cuya naturaleza debería ser objeto de investigación y no de prejuicios arbitrarios» (Cantor, «Über die verschiedenen Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche», en Gessamelte Abhandlungen. Traducción editada de un extracto de Dauben, Georg Cantor, pág. 125).

Pero, por otro lado, dicha actitud podría no ser revolucionaria, sino sencillamente una locura.^[29] Como considerar el hecho de que nunca nadie ha visto un unicornio ni una sola vez y afirmar que esto no es una indicación de que los unicornios no existen realmente, sino más bien un indicio de que los unicornios constituyen un nuevo tipo de animal con la singular propiedad de ser invisibles. Está claro que aquí encontramos la sutil diferencia entre genio y locura de la que se alimentan escritores y cineastas modernos. La verdad es que toda clase de entes extraños y no directamente observables como el 0, los enteros negativos, los números irracionales, etc., se introdujeron originalmente en las matemáticas con el mismo tipo de aura de locura/incoherencia pero, a día de hoy, están totalmente aceptados y son incluso esenciales. Al mismo tiempo, ha habido muchas otras innovaciones que eran realmente insensatas o intratables y fueron expulsadas entre risas de la ciudad, matemáticamente hablando, y nosotros, la gente de la calle, jamás oímos hablar de ellas.
Sin embargo, que algo sea una sutil distinción no significa que no sea una distinción. El pensamiento matemático es abstracto, pero también minucioso y pragmático y muy enfocado a la obtención de resultados. La diferencia entre una teoría matemática revolucionaria y brillante y otra «chiflada» está, por lo tanto, en lo que se pueda hacer con ella, en si da o no da resultados significativos. He aquí a Hardy explicando lo que considera «resultados significativos»:

Podríamos decir, en cierto modo, que una idea matemática es «significativa» si se puede relacionar, de una manera natural y reveladora, con un gran complejo de otras ideas matemáticas. Así, un teorema matemático serio, un teorema que conecte ideas significativas, es probable que conduzca a importantes avances en las propias matemáticas e incluso en otras ciencias (Hardy, Apology, pág. 89).

Las teorías de Cantor sobre los conjuntos infinitos y los números transfinitos acaban resultando significativas precisamente de esta manera. La razón de ello es, en parte, que Cantor era un excelente matemático profesional y aportó demostraciones ingeniosas de las características formales importantes, que hicieron de sus ideas verdaderas teorías y no solo hipótesis atrevidas. Pero también hay otras razones. El mismo Galileo había planteado la hipótesis de que la verdadera conclusión de su paradoja era que «los atributos "igual", "mayor" y "menor" no son aplicables al infinito, sino solo a cantidades finitas» (Galileo Galilei, pág. 32). 
Pero nadie se tomó esto en serio, y no por estupidez: las matemáticas no tienden a estar llenas de gente estúpida o de mente cerrada. Realmente, el momento no era el adecuado para la sugerencia de Galileo, ni existían todavía las herramientas matemáticas adecuadas para convertirla en una verdadera teoría incluso si Galileo hubiera querido… lo cual no fue así, hecho del que sería equivocado concluir que él no era tan perspicaz o brillante como Georg Cantor. Como la mayoría de los gigantes que revolucionan las matemáticas o la ciencia, Cantor era en un 100% un hombre de su tiempo y lugar, y sus logros fueron la habitual conjunción de un talento personal y un coraje extraordinarios^[30] con el contexto adecuado de problemas y condiciones generales que, en retrospectiva, tienden a hacer que los avances intelectuales parezcan inevitables, y sus autores, casi incidentales.
Para expresarlo de otro modo, las matemáticas son piramidales. Cantor no surgió súbitamente de la nada. Por lo tanto, una verdadera valoración requiere una comprensión de los conceptos y problemas que dieron lugar a la teoría de conjuntos e hicieron que las matemáticas transfinitas fueran significativas en el sentido de Hardy. Esto necesita tiempo, pero como la explicación es también piramidal podemos proceder de un modo más o menos ordenado, y no será todo tan abstracto y discursivo como esta introducción.

Capítulo Dos

§ 2a.
Ahora estamos empezando de verdad. Hay dos maneras de investigar el contexto de la teoría de conjuntos cantoriana. 
La primera es hablar de la intrincada y abstracta danza del infinito y los límites a lo largo de la evolución de las matemáticas. 
La segunda es examinar el esfuerzo histórico de las matemáticas para representar la continuidad, es decir, el suave fluir y/o los aspectos densamente sucesivos del movimiento y los procesos del mundo real.
Cualquiera que tenga incluso los más vagos recuerdos de las matemáticas del instituto recordará que la continuidad y el ∞/límite son esencialmente el fundamento del cálculo, y podría recordar también que, en términos generales, tienen su origen en la metafísica de los antiguos griegos y su matriz particular en Zenón de Elea (hacia 490-435 a. C., quien murió con sus dientes literalmente aún en la oreja del despótico gobernante de Elea, Nearco I; es una larga historia), cuyas epónimas paradojas lo desencadenaron todo.
Unos cuantos hechos procedentes de Ática, para empezar. 
En primer lugar, las matemáticas griegas eran abstractas, ciertamente, pero estaban profundamente arraigadas en los métodos de los babilonios y los egipcios. Para los griegos no hay una diferencia real entre los entes aritméticos y las figuras geométricas, por ejemplo, entre el número 5 y un segmento de cinco unidades de longitud. 
En segundo lugar, para ellos tampoco hay unas distinciones claras entre las matemáticas, la metafísica y la religión: en muchos sentidos eran todas la misma cosa. 
En tercer lugar, el desagrado propio de nuestra época y cultura respecto a los límites —por ejemplo, al decir «un hombre limitado» o «SI SU VOCABULARIO ES LIMITADO, SUS POSIBILIDADES DE ÉXITO SON LIMITADAS», etc.— habría sido incomprensible para los antiguos griegos. Baste decir que los límites les gustaban mucho, y una consecuencia directa de ello es su antipatía/desconfianza respecto al ∞. El término helénico to apeiron significa no solo infinitamente largo/grande, sino también indefinible, complejo sin remedio, aquello-que-no-puede-ser-tratado.^[31]
To apeiron también hacía referencia al caos ilimitado y sin naturaleza propia del que surgió la creación. Anaximandro (610-545 a. C.), el primero de los presocráticos que usó el término en su metafísica, lo define esencialmente como «el sustrato ilimitado del que provino el mundo» (Edwards, v. 3, p. 190). 
Y aquí «ilimitado» significa no solo sin fin e inagotable, sino informe, desprovisto de cualquier frontera, distinción o cualidad específica. Algo así como el vacío, pero de lo que está desprovisto inicialmente es de forma.^[32]
Y esto, para los griegos, no es nada bueno. Aquí está una cita definitiva de Aristóteles, esa fuente de citas definitivas:

«La esencia del infinito es la privación, no la perfección sino la ausencia de límite» (Física, III, 7, 208a).

La cuestión es que al abstraer todas las limitaciones para obtener el ∞, también se elimina lo más importante: sin límite implica sin forma, y eso significa el caos, la fealdad, un lío. Téngase, pues, presente el hecho ático cuatro: el ubicuo y esencial esteticismo del intelecto griego. El desorden y la fealdad eran el malum in se definitivo, la señal segura de que algo iba mal con un concepto, del mismo modo en que la desproporción y el desorden eran inaceptables en el arte griego.^[33]
Pitágoras de Samos (570-500 a. C.) es crucial en todos los sentidos para la historia del ∞. (En realidad, es más exacto decir «la Divina Hermandad de Pitágoras» o por lo menos «los pitagóricos», porque en relación con el ∞ no es tan importante el hombre como la secta). Fue la metafísica pitagórica la que combinó explícitamente el to apeiron de Anaximandro con el principio de límite (peras en griego) que otorga estructura y orden —la posibilidad de forma— al vacío primigenio. La Divina Hermandad de Pitágoras (D. H. P.), que, como es bien sabido, fundó una religión entera del número, postuló este límite como matemático, geométrico. 
Es la acción del peras sobre to apeiron la que da lugar a las dimensiones geométricas del mundo concreto: to apeiron limitado una vez da lugar al punto geométrico, limitado dos veces da lugar a la recta, tres veces da lugar al plano, y así sucesivamente. 
Por extraño o primitivo que esto pueda parecer, era extremadamente importante, y también lo eran los pitagóricos. Su cosmología basada en el peras implicaba que la génesis de los números era la génesis del mundo. Sí, la excentricidad de la D. H. P. es legendaria, igual que sus reglas estacionales para el sexo o el odio patológico de Pitágoras hacia las legumbres. Pero fueron las primeras personas que consideraron, y adoraron, los números como abstracciones. El puesto central del número 10 en su religión, por ejemplo, no estaba relacionado con los dedos, sino con el estatus del número 10 como la suma perfecta de

1 + 2 + 3 + 4.

Los miembros de la D. H. P. fueron también los primeros filósofos que trataron de forma explícita la relación metafísica entre las realidades matemáticas abstractas y las realidades empíricas concretas. Su postura fundamental era que la realidad matemática y el mundo concreto eran lo mismo, o más bien que la realidad empírica era una especie de sombra o proyección de las matemáticas abstractas.^[34] Además, muchos de sus argumentos a favor de la primacía del número se basaban en el hecho observado de que las relaciones matemáticas puramente formales tenían sorprendentes consecuencias para los fenómenos del mundo real. Un famoso ejemplo es cómo la D. H. P. obtuvo la razón áurea

(cuya solución es aproximadamente 55/34), de las conchas marinas y los troncos de algunos árboles y estableció su uso en la arquitectura. 
Como se ha mencionado, algunas de estas conexiones fueron conocidas por culturas anteriores como los egipcios, o quizás «usadas» sería mejor, pues los egipcios tenían un interés nulo en conocer cuáles eran realmente las conexiones, o en qué significaban. 
Un par más de ejemplos. En la práctica, los egipcios habían usado lo que ahora llamamos el teorema de Pitágoras en ingeniería y agrimensura a lo largo del Nilo, pero fue Pitágoras quien lo convirtió en un auténtico teorema, y lo demostró. Muchas culturas pregriegas también tocaban música, pero fue la D. Η. P. la que descubrió los conceptos de octava, de quinta perfecta, etc., observando que ciertos intervalos musicales siempre se correspondían con ciertas razones entre las longitudes de las cuerdas pulsadas: de 2 a 1, de 3 a 2, y así sucesivamente. 
Como las cuerdas eran rectas y las rectas eran entes geométricos/matemáticos,^[35] las razones entre las longitudes de las cuerdas eran lo mismo que razones entre números enteros, o sea números racionales, que resultan ser los entes fundamentales de la metafísica pitagórica.
Etcétera, siendo lo importante que los intentos de la D. Η. P. para articular las conexiones entre la realidad matemática y el mundo físico eran parte del proyecto, más amplio, de la filosofía presocrática, el cual era básicamente dar una explicación racional, no mitopoiética, de lo que era real y de su origen. Quizás incluso más importante que la D. Η. P., en relación con el ∞, es el protomístico Parménides de Elea (hacia el 515-? a. C.), no solo porque su distinción entre «Vía de Verdad» y «Vía de Apariencia» delimitó los términos de la metafísica griega y (también) influyó en Platón, sino porque el discípulo y defensor nº 1 de Parménides fue el antes mencionado Zenón, el más endiabladamente listo e irritante de todos los filósofos griegos (al que se puede ver dándole un palizón a Sócrates, argumentativamente hablando, en el Parménides de Platón). 
Los argumentos de Zenón a favor de la metafísica de Parménides tomaron la forma —como también se ha mencionado— de algunas de las más profundas y enrevesadas paradojas de la historia del mundo. A favor de la relevancia de estos rompecabezas para nuestro propósito general, he aquí otra bonita cita de Bertrand Russell:

En este mundo caprichoso, nada es más caprichoso que la fama póstuma. Uno de los más notables ejemplos de la falta de juicio de la posteridad es el eleático Zenón […], que puede ser considerado el fundador de la filosofía del infinito. Inventó cuatro argumentaciones, todas inconmensurablemente sutiles y profundas, para demostrar que el movimiento es imposible, que Aquiles nunca puede alcanzar a la tortuga, y que una flecha en pleno vuelo está realmente en reposo. Tras ser refutadas por Aristóteles, y por todos los filósofos posteriores desde entonces hasta nuestros días, dichas argumentaciones fueron reformuladas, y constituyeron la base de un renacimiento matemático, por parte de un profesor alemán, quien probablemente nunca soñó en ninguna conexión entre él mismo y Zenón (Russell, Mysticism and Logic, pág. 76).

Dicho sea de paso, la metafísica de Parménides —que es incluso más aventurada que la de la D. H. P., y que en retrospectiva se parece más a la religión oriental que a la filosofía occidental— se puede describir como una especie de monismo estático,^[36] y las paradojas de Zenón (que en realidad son más de cuatro) están, conforme a ello, dirigidas contra la realidad de

1.     la pluralidad y

2.     la continuidad.

Por ahora nos interesa (2), que para Zenón toma la forma, como menciona Russell, del movimiento físico tal como lo conocemos habitualmente.
El argumento básico de Zenón contra la realidad del movimiento se conoce como la dicotomía. Parece muy simple y se desarrolla en dos de sus más famosas paradojas: «El Estadio» y «Aquiles contra la Tortuga». La dicotomía es usada y analizada posteriormente, con todo tipo de presentaciones e intenciones, por Platón, Aristóteles, Agripa, Plotino, santo Tomás de Aquino, Leibniz, John Stuart Mill, Francis Herbert Bradley y William James (sin olvidar a Douglas Hofstadter en Gödel, Escher, Bach). Veamos cómo funciona.^[37] Usted está en una esquina, el semáforo cambia e intenta cruzar la calle. Observe la maniobra al usar el término «intenta». Porque antes de que usted pueda cruzar toda la calle, obviamente tiene que hacer la mitad del recorrido. Y antes de hacer la mitad del recorrido, debe hacer la mitad de la mitad del recorrido. Esto no es más que sentido común. Y antes de hacer la mitad de la mitad del recorrido, debe hacer la mitad de la mitad de la mitad del recorrido, y así sucesivamente. Y más. Expresado de un modo más excitante, la paradoja es que un peatón no puede desplazarse del punto A al punto B sin cruzar todos los subintervalos sucesivos de AB, cada uno de los cuales tiene una longitud

donde los valores de n forman la secuencia (1, 2, 3, 4, 5, 6, …), y donde los puntos suspensivos significan, por supuesto, que la secuencia no termina nunca. Continúa para siempre. Este es el temido regressus in infinitum, también conocido como regresión infinita viciosa o RIV. 
Lo que la convierte en «viciosa» en este caso es que le pide a usted que realice un número infinito de acciones antes de alcanzar su objetivo, lo cual —como «infinito» consiste precisamente en que la cantidad de dichas acciones no tiene fin— convierte al objetivo en algo lógicamente imposible. O sea, que usted no puede cruzar la calle.
La manera estándar de esquematizar la dicotomía es habitualmente:

1.     Para cruzar el intervalo AB primero tiene que cruzar todos los subintervalos  , siendo n = 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

2.     Hay una cantidad infinita de tales subintervalos.

3.     Es imposible cruzar una cantidad infinita de subintervalos en una cantidad finita de tiempo.

4.     Por lo tanto, es imposible cruzar AB.

No hace falta decir que el intervalo AB no tiene por qué ser una calle muy ancha, ni siquiera una calle. La dicotomía se aplica a cualquier tipo de movimiento continuo. En clase, al doctor Goris le gustaba presentar la argumentación en términos del movimiento del dedo desde la falda hasta la punta de la nariz. Y, por supuesto, como sabe cualquiera que haya logrado alguna vez cruzar una calle o tocarse la nariz, tiene que haber algo sospechoso en el argumento de Zenón. Hallar y articular esa sospecha es un asunto muy distinto. Tenemos que ir con cuidado, también: hay más de una manera de equivocarse. 
Si estudió usted algo de matemáticas de bachillerato, por ejemplo, puede ser tentador decir que el paso (2) de la dicotomía esconde una simple falacia, concretamente la de suponer que la suma de una serie infinita tiene que ser a su vez infinita. 
Posiblemente recuerde que el

del paso (1) es simplemente otra manera de representar la serie geométrica

y que la fórmula correcta para hallar la suma de esta serie geométrica es

donde a es el primer término de la serie y r es su razón, y que aquí ambos valen ½, y que

por lo que en este caso parece que las calles se pueden cruzar y las narices se pueden tocar sin ningún problema, así que la dicotomía en realidad es solo un truco con las palabras y no una paradoja en absoluto, excepto tal vez para civilizaciones demasiado primitivas y poco ilustradas como para conocer la fórmula de la suma de una serie geométrica.
Solo que esta respuesta no servirá. De momento dejemos a un lado la cuestión de si es técnicamente correcta. Lo que importa es que es trivial: representa lo que los filósofos llamarían una visión empobrecida del problema de Zenón.
Pues ¿de dónde sale exactamente

como fórmula para sumar esta serie geométrica? Es decir, dicha fórmula ¿es solo un poco de palabreo «legalista» para evitar que existan ciertas paradojas, o es matemáticamente «significativa» en el sentido de Hardy? Y ¿cómo determinamos cuál es?
Curiosamente, cuanto más estándar fuera la lección de matemáticas que recibió, más difícil será evitar responder de una manera demasiado pobre. Como, por ejemplo, justificar

indicando, en la mejor tradición del 2º curso de cálculo,^[38] que la serie geométrica relevante en este caso es un subtipo particular de serie infinita convergente, y que la suma de tal serie se define como el límite de la sucesión de sus sumas parciales (es decir, si la sucesión s₁, s₂, s₃, …, s_n, … de las sumas parciales de una serie tiende a un límite S, entonces S es la suma de la serie), y que podemos afirmar con seguridad, respecto a dicha serie, que

así que

funciona perfectamente… en cuyo caso usted habrá respondido una vez más a la dicotomía de Zenón de un modo que es complejo, formalmente excitante, técnicamente correcto y profundamente trivial. En la línea de responder «Porque es ilegal» como respuesta a «¿Por qué está mal matar?».
El problema con las clases de matemáticas de bachillerato —las cuales consisten casi completamente en la ingestión y la regurgitación rítmicas de información abstracta, y cuyo ritmo es tal que maximiza este flujo de datos recíproco— es que su misma dificultad superficial puede hacernos creer que realmente sabemos algo cuando todo lo que «sabemos» realmente son fórmulas abstractas y reglas para su aplicación. En las clases de matemáticas raramente aprendemos si cierta fórmula es verdaderamente significativa, o por qué, o de dónde salió, o qué dependía de ella.^[39] Hay claramente una diferencia entre ser capaz de usar una fórmula de forma correcta y saber realmente cómo resolver un problema, saber por qué un problema es un problema matemático de verdad y no un simple ejercicio. Respecto a esto véase un pasaje más de Russell sobre Zenón,^[40] esta vez destacando algunas partes:

Zenón se preocupó, de hecho, acerca de tres problemas, cada uno planteado por el movimiento pero cada uno más abstracto que el movimiento, y susceptible de un tratamiento puramente aritmético. Esos son los problemas de lo infinitesimal, lo infinito y la continuidad. Enunciar claramente las dificultades involucradas quizás era lograr la parte más dura de la tarea del filósofo (Russell, Mysticism and Logic, pág. 77).

Además,

no consigue aclarar las dificultades en vueltas, pues le falta contexto y no aporta motivación. Poner en claro dichas dificultades es, de hecho, la verdadera dificultad con la que nos encontramos aquí (y si usted empieza a sentir cierta incomodidad/dolor de cabeza, sabrá que estamos en el auténtico territorio de Zenón).
En primer lugar, para ahorrarnos por lo menos 10³ palabras, eche un vistazo de tipo recordatorio a las dos siguientes gráficas esquemáticas, una de la sucesión divergente^[41] correspondiente a 2ⁿ y la otra de la sucesión convergente expresada por

 

Una de las auténticas dificultades contextuales que rodeaban la dicotomía era que los griegos no tenían ni usaban el 0 en sus matemáticas (el 0 había sido una invención babilonia muy tardía, puramente práctica y actuarial, hacia el año 300 a. C.). Por lo tanto, se podría decir que al no haber número/cantidad reconocido/a hacia donde pueda converger la sucesión convergente

(véase la Figura 2a(2)), las matemáticas griegas carecían de equipamiento conceptual para comprender la convergencia, los límites, las sumas parciales, etc. Esto sería verdad en cierto sentido,^[42] y no completamente trivial.

Aún menos trivial es el mencionado temor griego de to apeiron. Zenón fue el primer filósofo en usar ese agujero negro de la lógica que viene a ser el ∞ como una auténtica herramienta argumentativa, es decir, la regresión infinita viciosa (RIV), que incluso actualmente se usa en argumentaciones lógicas como un método de demostración en la línea de la reducción al absurdo. Ejemplo: en epistemología, la RIV es la manera más fácil de refutar la afirmación habitual de que para saber realmente algo hay que saber que se sabe. Como en la mayoría de las demostraciones por RIV hay algo maliciosamente divertido en esta. Sea x una variable con la cual denotaremos cualquier hecho o estado de cosas que pueda ser precedido por el término «que» y reformulemos la afirmación original como (1) «Para saber que x, tiene que saber que sabe que x». Como la frase entera «que sabe que x» también es un hecho o estado de cosas, en el siguiente paso de la demostración puede simplemente sustituir x por [sabe que x] dentro de la afirmación original y, mutatis mutandis, el resultado es (2) «Para saber que [sabe que x], tiene que saber que sabe que [sabe que x]», la siguiente y totalmente válida extensión de la cual es (3) «Para saber que [sabe que sabe que x], tiene que saber que sabe que [sabe que sabe que x]», y así sucesivamente, ad infinitum, exigiéndole que satisfaga una cantidad sin fin de precondiciones para saber cualquier cosa.

[SEI La RIV es una herramienta tan poderosa que puede usted usarla fácilmente para irritar competidores profesionales o enfurecer a su pareja en conflictos domésticos, o (aún peor) para volverse loco usted mismo en la cama por la mañana pensando, por decir algo, en cualquier tipo de relación entre dos cosas o términos, como cuando decimos que 2 y 4 están relacionados por la función y = x2, o que si las nubes provocan la lluvia, entonces las nubes y la lluvia tienen una relación causal. Si usted considera la idea en abstracto y pregunta, respecto a cualquier relación, si dicha relación está ella misma relacionada con los dos términos que relaciona, la respuesta es ineludiblemente sí (pues es imposible ver cómo una relación puede conectar dos términos a menos que tenga su propia relación con cada uno, del modo en que un puente entre dos orillas tiene que estar conectado con cada orilla), en cuyo caso la relación entre, digamos, las nubes y la lluvia en realidad implica dos relaciones más —o sea, aquellas entre (1) las nubes y la relación y (2) la lluvia y la relación—, cada una de las cuales obviamente implica dos más, y así sucesivamente, ad infinitum…, lo cual no resulta ser en absoluto un camino abstracto divertido ni productivo para seguir a tempranas horas de la mañana, especialmente porque la serie geométrica de relaciones en este caso es más bien divergente y no convergente, y como tal está relacionada con todo tipo de series divergentes modernas y especialmente temibles, como el aumento exponencial del cáncer, la fisión nuclear, la epidemiología, etc. También vale la pena observar que las horribles RIV divergentes, como las que acabamos de ver, siempre involucran la metafísica de las abstracciones, tales como «relación» o «conocimiento». Es como si siempre se abriera algún tipo de rendija o fisura en el desplazamiento de los casos particulares de conocimiento/relación al conocimiento/relación in abstractus].

Zenón mismo está casi fetichísticamente atado a la RIV divergente y la usa en varias de sus paradojas menos conocidas. Aquí está una P. Z.^[43] específicamente antipitagórica contra la idea de que cualquier cosa puede estar en algún sitio en particular, lo que se puede esquematizar de la siguiente forma simplificada:

1.     Todo lo que existe está en alguna ubicación.

2.     Por lo tanto, la ubicación existe.

3.     Pero por (1) y (2), la ubicación tiene que estar en una ubicación, y

4.     Por (1)-(3), la ubicación de la ubicación tiene que estar ella misma en una ubicación, y…

5.     así sucesivamente ad infinitum.

A esta es fácil verle los engranajes, pues aquí la verdadera dificultad russelliana es cierta imprecisión respecto a «existir». En realidad, como los antiguos griegos ni siquiera tenían un verbo específico para la existencia, el infinitivo relevante es el aún más impreciso «estar». Desde un punto de vista puramente gramatical, el argumento de Zenón puede ser acusado de la clásica falacia de la equivocación,^[44] pues «estar» puede tener todo tipo de significados distintos, por ejemplo, «Estoy asustado» en comparación con «Está lloviendo» o «Estar ahí». Pero puede usted ver que continuar en esta línea conducirá (una vez más) a las cuestiones más profundas de la paradoja, las cuales son (otra vez de nuevo) metafísicas: ¿qué significan exactamente estos diferentes sentidos de «estar»?, y en particular, ¿qué significa el sentido más especializado de «existir»?, es decir, ¿qué tipo de cosas existen realmente?, y ¿de qué maneras?, y ¿hay diferentes tipos de existencia para diferentes tipos de cosas?, y entonces, ¿algunos tipos de existencia son más básicos o sustanciales que otros? Etcétera.
Se habrá dado cuenta de que ya nos hemos topado con este tipo de cuestiones una docena de veces y todavía estamos a más de dos mil años de Georg Cantor. Son la verdadera oveja negra en la historia del ∞ y no hay manera de evitarlas si queremos algo más que un montón de clases vomitadas de matemáticas abstractas sobre teoría de conjuntos transfinita. Trato hecho. Ahora es el momento de trazar un esbozo del argumento de Platón del Uno Sobre Muchos (U. S. M.), que es precisamente el tratamiento clásico de este tipo de cuestiones al aplicarlas al asunto de la predicación.
Puede que también recuerde el U. S. M. del instituto. En ese caso relájese porque esto no durará mucho. Para Platón, si dos individuos tienen algún atributo común y, por lo tanto, pueden ser descritos^[45] por el mismo predicado —«Tom es un hombre», «Dick es un hombre»—, entonces hay algo en virtud de lo cual Tom y Dick (junto a todos los demás referentes del predicado nominativo «hombre») tienen ese atributo en común. Ese algo es la «forma» ideal hombre, forma que es lo que realmente, definitivamente existe, mientras que los hombres individuales son solo manifestaciones temporales de la forma, con una especie de existencia prestada o derivada, como las sombras o las imágenes proyectadas. Esta es una versión muy simplificada, pero no distorsionada, del U. S. M., e incluso a este nivel no debería ser difícil ver las influencias de Pitágoras y Parménides en la teoría ontológica de Platón sobre las «formas», de la cual el U. S. M. es obviamente una parte.
Aquí es donde la verdad se vuelve un poco complicada. Como parece suceder a menudo, la complicación involucra a Aristóteles. Es cierto que la primera mención del U. S. M. está en el Parménides de Platón, pero de hecho lo que hizo famoso al argumento fue la Metafísica de Aristóteles,^[46] que intenta demolerlo en una extensa discusión. El contexto podría llenar varias estanterías pero podemos omitir la mayor parte.^[47] Lo extraño (por razones que están al caer) es que el argumento más conocido de Aristóteles contra la teoría de las formas de Platón es virtualmente el Zenón de los libros de texto. Ese argumento, habitualmente llamado del Tercer Hombre, es a todos los efectos una reducción al absurdo de tipo RIV divergente aplicada al U. S. M. Tras observar que tanto los hombres individuales como la forma hombre obviamente comparten alguna cualidad o atributo predicativo, Aristóteles indica que entonces tiene que haber otra forma metafísica —digamos hombre'— que incluye ese atributo común, lo cual implica aún otra forma, hombre'', para incluir lo predicativamente común a hombre' y [hombre + hombre], etc., ad infinitum.
Le parezca o no válido el argumento del Tercer Hombre como refutación del U. S. M. puede muy bien haberse dado cuenta de que la teoría de las formas de Platón^[48] tiene sus propios problemas, como, por ejemplo, una conspicua ridiculez cuando el U. S. M. se aplica a ciertos predicados: ¿hay una forma ideal del hecho de ser zurdo?, ¿de la estupidez?, ¿de la porquería? Pero observe que la teoría de Platón tiene mucha más potencia y plausibilidad cuando se aplica a cualquier tipo de sistema que depende de relaciones formales entre abstracciones. Como, por ejemplo, a las matemáticas. El desplazamiento conceptual de «cinco naranjas» y «cinco céntimos» a la cantidad cinco y el número entero 5 es precisamente el desplazamiento de Platón de «hombre» y «hombres» a Hombre. Recuerde, después de todo, la conclusión de Hardy en § 1c: cuando usamos una expresión como

«2 + 3 = 5»

lo que estamos expresando es una verdad general cuya generalidad depende de la abstracción total de los términos involucrados. En realidad estamos diciendo que dos cosas cualesquiera más tres cosas cualesquiera son igual a cinco cosas cualesquiera.
Solo que realmente nunca decimos eso. En cambio, hablamos del número 2 y del número 5, y sobre relaciones entre esos números. Vale la pena «una vez más» indicar que esto podría ser solo una maniobra semántica, o metafísica, o ambas cosas. Y vale la pena recordar aquellas dos cosas del § 1d sobre los sentidos predicativo y nominativo de «longitud» y «gramo», y los diferentes tipos de afirmaciones de existencia envueltas en «No veo nada en el camino» y «El hombre es curioso por naturaleza» y «Está lloviendo». 
Y entonces considerar, cuidadosamente, las afirmaciones de existencia que suscribimos cuando hablamos de números. ¿Es el «5» solo algún tipo de abreviatura intelectual para todos los conjuntos quíntuples del mundo real?^[49]Parece bastante claro que no lo es, o por lo menos que esto no es todo lo que «5» es, pues hay montones de cosas acerca del 5 (por ejemplo, que 5 es primo, que la raíz cuadrada de 5 es 2,236…) que no tienen nada que ver con conjuntos de objetos reales, pero sí tienen que ver con cierto tipo de entidad llamada números y con sus cualidades y relaciones. 
La existencia real, aunque extraña, de los números es también sugerida por el modo en que muchas de esas cualidades y relaciones —como, por ejemplo, que √5 no se puede expresar ni como un decimal finito ni como una razón de números enteros— parece que en realidad son descubiertas en lugar de ser inventadas o propuestas y después defendidas. La mayoría de nosotros nos sentiríamos inclinados a decir que √5 es un número irracional incluso si nunca nadie demostrara realmente que lo es, o por lo menos resulta que para negarlo habría que comprometerse con una teoría muy compleja y de aspecto extraño acerca de qué son los números. Todo este asunto es, por supuesto, increíblemente complejo (lo cual es una de las razones por las que hablamos de él solo a pequeños pedazos contextuales), porque no solo la cuestión es abstracta, sino que todo a lo que se refiere es una abstracción: existencia, realidad, número… 
Pero considere también por un momento cuántos niveles de abstracción intervienen en las propias matemáticas. En la aritmética está la abstracción del número. Y luego está el álgebra, donde una variable es un símbolo aún más abstracto de algún número o números y una función es una precisa pero abstracta relación entre dominios de variables. Y luego, por supuesto, están las matemáticas de bachillerato y sus derivadas e integrales de funciones, y luego, ecuaciones integrales que involucran funciones desconocidas, y familias de funciones en el caso de las ecuaciones diferenciales, y funciones compuestas (que son funciones de funciones), e integrales definidas calculadas como la diferencia entre dos integrales, y así sucesivamente hacia arriba a través de la topología y el análisis tensorial y los números complejos y el plano complejo y los complejos conjugados de matrices, etc., con lo que toda la aventura se convierte en una especie de torre de pasteles con abstracciones de abstracciones de abstracciones que bien vale la pena suponer que todo lo que se está manipulando es algo real y tangible, o si no uno se queda tan abstraído que no puede ni sacar punta al lápiz y mucho menos hacer cálculos.
Los aspectos más relevantes respecto a todo esto son que la cuestión de la realidad última de los entes matemáticos no es solo enojosa, sino también controvertida, y que, de hecho, fueron las teorías de Cantor sobre el ∞ las que pusieron dicha controversia en primer plano dentro de las matemáticas modernas. Y que en esta controversia, los matemáticos que tienden a considerar las cantidades y relaciones matemáticas como metafísicamente reales se llaman platónicos,^[50] y por lo menos ahora está claro el porqué, y el término podrá reaparecer más adelante.

§ 2b.
El primer no platónico realmente serio es Aristóteles. Sin embargo, lo que resulta extraño e irónico de la RIV al estilo de Zenón que Aristóteles usa contra la metafísica de Platón es que Aristóteles también realiza el primer y más importante intento griego de refutar las paradojas de Zenón. Esto está principalmente en los Libros III, V y VIII de la Física y en el Libro IX de la Metafísica, cuyas discusiones sobre Zenón acabarán teniendo un efecto pernicioso sobre la manera en que las matemáticas tratarán el ∞ durante los dos milenios siguientes. 
Al mismo tiempo, Aristóteles sí logra articular las dificultades clave en por lo menos algunas de las paradojas de Zenón, así como plantear claramente y por primera vez algunas cuestiones realmente vitales relacionadas con el ∞ que nadie intentará siquiera responder de un modo riguroso hasta el siglo XIX. Por ejemplo:

«¿Qué significa exactamente decir que algo es infinito?» y «¿De qué tipo de cosa podemos siquiera preguntar coherentemente si es infinita o no?» (semiextractado de Edwards, v. 3, pág. 183).

Respecto a esas cuestiones centrales, puede que recuerde la famosa predilección de Aristóteles por la división y la clasificación; literalmente le puso «analítica» a la filosofía analítica. Véase, por ejemplo, este fragmento de la discusión de la dicotomía en el Libro VI de la Física: «Pues hay dos sentidos en los que la longitud y el tiempo y en general cualquier cosa continua se llaman "infinitos": se llaman así o bien respecto a su divisibilidad, o bien respecto a sus extremidades [= tamaño]» (VI, 2, 233a), la cual resulta ser la primera ocasión en la que alguien indica que «infinito» tiene más de un significado. Aristóteles quiere principalmente distinguir entre un sentido fuerte o cuantitativo, al significar literalmente infinito en tamaño, longitud o duración, y un sentido más débil correspondiente a la divisibilidad infinita de una longitud finita. 
La distinción realmente crucial, afirma, involucra el tiempo: «Así, mientras que en un tiempo finito una cosa no puede entrar en contacto con cosas cuantitativamente infinitas, puede entrar en contacto con cosas infinitas respecto a la divisibilidad: pues en este sentido el tiempo mismo es infinito» (ibíd.).
Ambas citas precedentes provienen de dos de los principales argumentos de Aristóteles contra la dicotomía de Zenón, tal como se ha esquematizado en las págs. 57-58. El objetivo de este argumento en particular es la expresión de la premisa (3) «en una cantidad finita de tiempo». La conclusión de Aristóteles es que si Zenón puede representar el intervalo AB como la suma de un número infinito de subintervalos, el tiempo adjudicado para cruzar AB debería representarse del mismo modo: digamos 

Pero este argumento no es de gran ayuda, pues tener una cantidad infinita de tiempo para cruzar la calle no es menos contradictorio que la propia dicotomía original respecto a nuestra experiencia cuando cruzamos la calle en diez segundos. Además, es fácil construir versiones de las P. Z. que no requieren explícitamente acción o tiempo transcurrido. (Por ejemplo, imagine un queso cuya primera porción es = a la mitad del queso entero, y la siguiente porción, = la mitad de la primera porción y puntos suspensivos ad infinitum: ¿hay una última porción de queso o no?). La cuestión: los contraargumentos relacionados con el tiempo secuencial o con subintervalos o incluso movimientos humanos reales siempre acabarán empobreciendo la dicotomía y no lograrán subrayar las verdaderas dificultades involucradas. Porque Zenón puede corregir su presentación y simplemente decir que estar en A y luego estar en B requiere que usted ocupe los infinitos puntos correspondientes a la secuencia

o, peor, que llegar a B en absoluto implica que usted haya ocupado ya una secuencia infinita de puntos. Y esto parece contradecir bastante claramente la idea de una secuencia infinita: si «∞» significa realmente «sin fin», entonces una secuencia infinita es una secuencia donde, sin importar cuántos términos se tomen, todavía quedan términos restantes. O sea, que podemos olvidarnos de cruzar calles o tocarnos la nariz. Zenón puede hacer girar su molinillo en términos de secuencias abstractas y de que hay algo inherentemente contradictorio o paradójico en la idea de que una secuencia infinita jamás pueda completarse.
Contra esta segunda versión más abstracta y dañina de la dicotomía, Aristóteles lanza su argumento más influyente. Este depende de la semántica de «infinito», también, pero es diferente, y se centra en el mismo tipo de cuestiones predicativas que surgen en el U. S. M. y en la paradoja de la ubicación de Zenón. Tanto en la Física como en la Metafísica, Aristóteles traza una distinción entre dos cosas distintas que podemos querer decir en realidad cuando usamos «haber» + ∞ en una oración predicativa como «Hay un número infinito de puntos que deben ser ocupados entre A y B». 
La distinción es solo superficialmente gramatical; en realidad, es una distinción metafísica entre dos afirmaciones de existencia radicalmente diferentes implícitos en el «hay» de la oración. La dicotomía parece depender de que no veamos esto. La distinción es entre realidad y potencialidad como cualidades predicativas, y la argumentación general de Aristóteles es que el ∞ es un tipo especial de cosa que existe potencialmente pero no realmente, y que los predicados con la palabra «infinito» deben aplicarse a las cosas de un modo correspondiente, como demuestra la confusión de la dicotomía. De manera específica, Aristóteles afirma que ninguna extensión espacial (por ejemplo, el intervalo AB) es «realmente infinita», pero que cualquiera de tales extensiones es «potencialmente infinita» en el sentido de ser infinitamente divisible.
Todo esto se vuelve muy elaborado y complejo, por supuesto: se dedican carreras enteras a estudiar de manera sesuda las definiciones de Aristóteles. Baste decir aquí que la cuestión de la existencia-real-o-potencial-del-∞ es vital para nuestro relato general aunque reconozcamos su dificultad. No ayuda mucho que las propias explicaciones y ejemplos de Aristóteles…
Es como el que está construyendo respecto al que tiene la capacidad de construir, o el despierto respecto al dormido, o el que está viendo respecto al que tiene los ojos cerrados pero puede ver. Definamos la realidad mediante uno de los miembros de esta antítesis, y la potencialidad mediante el otro. Pero no afirmamos que todas las cosas tengan existencia real en el mismo sentido, sino solo por analogía, como A en B o respecto a B, C en D o respecto a D, pues algunas son como el movimiento respecto a la potencia, y las otras como la sustancia respecto a algún tipo de materia… (Metafísica, IX, 6, 1048a-b)
… no son exactamente prodigios de claridad. Lo que quiere decir con «potencial» es, póngase énfasis en esto, no el tipo de potencialidad por el cual una niña es potencialmente una mujer o una bellota es un roble en potencia. Es más bien como el extraño y abstracto tipo de potencialidad por el cual una copia perfecta de la Pietà^[51] de Miguel Ángel existe potencialmente en un bloque de mármol intacto. O, hablando del ∞, el modo en que cualquier cosa que suceda cíclicamente (o, en términos de A., «sucesivamente») —como, por ejemplo, que sean las 6:54, lo cual ocurre cada día puntualmente— para Aristóteles es potencialmente infinita en el sentido de que es posible una recurrencia periódica sin fin de que sean las 6:54, aunque el conjunto de todos los momentos 6:54 no puede ser realmente infinito porque nunca coexistirán todos los 6:54: el ciclo periódico nunca será «completado».^[52]
Probablemente pueda usted ver cómo va a desarrollarse todo esto en relación con la dicotomía. Pero también tiene su truco. Las analogías de la estatua y de las 6:54 aquí no van a funcionar demasiado bien. Cierto, el intervalo AB y/o el conjunto de todos los subintervalos o puntos entre A y B no es «realmente infinito» sino solo «potencialmente infinito». Pero aquí el sentido en el que Aristóteles quiere decir que «AB es potencialmente infinito» es más cercano a la idea, digamos, de precisión infinita en la medición. Lo cual se puede ilustrar del siguiente modo. La altura actual de mi sobrina mayor, que es de unos 97,9 cm, puede precisarse hasta 97,87 cm, y con un entorno más controlado y equipamiento sofisticado sin duda alguna podría precisarse todavía más y más, hasta tres, once o n decimales, donde n es, potencialmente, ∞; pero solo potencialmente ∞, porque es obvio que en el mundo real nunca habrá ninguna manera de lograr una precisión verdaderamente infinita, aunque sea posible «en principio». De esta manera, para Aristóteles, AB es «en principio» infinitamente divisible, aunque esta división infinita nunca se puede llevar a cabo con toda verdad en el mundo real.

SEI Un poco de complicación final: En su mayor parte, lo que Aristóteles llama «número» (en el sentido de las cantidades matemáticas en general) aparentemente es potencialmente infinito no en el modo en que la medición es potencialmente infinita, sino en el modo en que el conjunto de todos los instantes 6:54 es potencialmente infinito. Por ejemplo, el conjunto de todos los enteros es potencialmente infinito en el sentido de que no hay un número entero mayor que los demás («En la dirección del tamaño siempre es posible pensar en un número de tamaño mayor» [Aristóteles, Física, III, 6, 207b]), pero no es realmente infinito porque el conjunto no existe como una entidad completa. En otras palabras, para Aristóteles los números forman un continuo sucesivo: hay una cantidad infinita pero nunca coexisten («Se puede tomar una cosa tras otra sin fin» [ibíd., 206b]).

Como refutación de la dicotomía de Zenón, la distinción ∞-potencial-respecto-a-∞-real no es demasiado persuasiva, evidentemente ni siquiera para Aristóteles, cuya regresión del Tercer Hombre parece que se podría descartar como solo potencialmente infinita. Pero la distinción acaba resultando enormemente importante para la teoría y la práctica de las matemáticas. En resumen, relegar el ∞ al estatus de potencialidad permitió que las matemáticas occidentales, o bien descartaran las cantidades infinitas, o bien justificaran su uso, o a veces ambas cosas, dependiendo de las intenciones. Es todo muy extraño. Por un lado, el argumento de Aristóteles dio credibilidad al rechazo griego del ∞ y de la «realidad» de las series infinitas, y fue una razón importante por la que los griegos no desarrollaron lo que ahora conocemos como cálculo. Por otro lado, otorgar a las cantidades infinitas por lo menos una existencia abstracta o teórica permitió que algunos matemáticos griegos las usaran en técnicas que eran extraordinariamente parecidas al cálculo diferencial e integral; tan parecidas que, en retrospectiva, es sorprendente que el cálculo tardara mil setecientos años en ser inventado. Pero, volviendo al primer punto, una gran razón por la que tardó tantos años fue la penumbra metafísica a la que Aristóteles, con su concepto de potencialidad, había desterrado el ∞, y que servía para legitimar la alergia de las matemáticas a un concepto que de todos modos nunca podría tratar.
Excepto que —volviendo al segundo punto o ya en un tercer punto^[53]—cuando Leibniz y Newton introducen realmente el cálculo hacia 1700, es esencialmente la metafísica de Aristóteles la que justifica su despliegue de infinitesimales, o sea dx en la infame

de las matemáticas de primer año en la universidad. Recuerde, por favor, o sepa, que una cantidad infinitesimal de algún modo está lo bastante cerca de 0 para ser despreciable en una suma, es decir x + dx = x, y lo bastante lejos de 0 para servir como divisor en fórmulas como la que acabamos de ver. De nuevo, muy brevemente, tratar los infinitesimales como cantidades potencialmente/teóricamente existentes permitió que los matemáticos las usaran en cálculos que tenían extraordinarias aplicaciones en el mundo real, pues eran capaces de abstraer y describir justamente los tipos de fenómenos suavemente continuos que el mundo contenía. 
Estos infinitesimales resultan ser muy importantes. Sin ellos puede usted caer en grietas como la cuestión de 0,999… = 1,0 a la que hemos echado un vistazo en § 1c. 
Como prometimos entonces, la salida más rápida en este caso es permitir que xrepresente no 0,999…, sino 1 menos cierto infinitesimal, al que llamaremos 1/∞ , tal que

1 > (1 - ¹/_∞) > 0,999…

Entonces se pueden hacer las mismas operaciones que antes:

 

en cuyo caso x todavía da (1 - ¹/_∞) y no hay ninguna fea confabulación con 1,0.
Excepto, claro está, que la cuestión es si tiene sentido metafísico o matemático postular la existencia, ya sea real o potencial, de cierta cantidad que es < 1 pero a la vez excede el decimal infinito 0,999… El problema es doblemente abstracto, porque no solo 0,999… no es una cantidad del tipo de las del mundo real, sino que es algo que ni siquiera podemos concebir como un ente matemático: sea cual sea la relación entre 0,999… y (1 - ¹/_∞) existe^[54] más allá del decimal n-ésimo, un lugar al que nada ni nadie puede llegar nunca, ni siquiera en teoría. Así que no queda claro si no estamos simplemente cambiando un tipo de grieta paradójica por otro. Este es un tipo más de cuestión de las que fueron totalmente polémicas hasta que llegaron Weierstrass, Dedekind y Cantor en el siglo XIX.
Piense lo que piense usted de la ontología de tipo potencial de Aristóteles para el ∞, observe que por lo menos estuvo muy acertado en el uso de palabras como «punto» y «existen» en la oración no predicativa «Hay [= existen] un número infinito de puntos intermedios entre A y B». Igual que en la paradoja de la ubicación de Zenón, obviamente aquí hay alguna imprecisión semántica. En la dicotomía revisada, la imprecisión se halla en la correspondencia implícita entre un ente matemático abstracto —en este caso una serie geométrica— y el espacio físico real. Pero no está claro que «existir» sea el blanco más vulnerable: hay una ambigüedad bastante más obvia en la semántica de «punto». Si A y B son los dos lados de una calle del mundo real, entonces la expresión «el número infinito de puntos entre A y B» está usando «punto» para denotar una ubicación precisa en el espacio físico. Pero en la expresión «el número infinito de puntos intermedios designado por ^AB/_2n », «punto» se refiere a una abstracción matemática, un ente sin dimensión, con «posición pero no magnitud». Para ahorrarnos varias páginas de concienzudo análisis que puede usted hacer en su tiempo libre,^[55] aquí observaremos simplemente que cruzar un número infinito de puntos matemáticos sin dimensión no es obviamente paradójico del modo en que lo es cruzar un número infinito de puntos del espacio físico. Respecto a esto, el argumento de Zenón puede parecerse más bien al rompecabezas de los tres-hombres-en-un-motel del § 1: la traducción de una situación esencialmente matemática al lenguaje natural nos lleva a olvidar que las palabras normales pueden tener significados y referentes enormemente distintos. Observe, una vez más, que el simbolismo abstracto y el esquematismo de las matemáticas puras están diseñados para evitar precisamente este problema, y que este es el motivo por el que las definiciones matemáticas técnicas a menudo son tan soporíferamente densas y complejas. No debe caber ninguna ambigüedad o equivocación. Las matemáticas, como medir la altura de los niños, son una actividad consagrada al ideal de la precisión.
Lo cual suena todo muy bien, excepto que resulta que también hay una inmensa ambigüedad —formal, lógica, metafísica— en muchos de los términos y conceptos básicos de las matemáticas mismas. De hecho, los conceptos matemáticos más fundamentales habitualmente son los más difíciles de definir. Esto en sí mismo es una característica de los sistemas formales. La mayor parte de las definiciones matemáticas están construidas a partir de otras definiciones. Son las cosas realmente básicas las que tienen que definirse a partir de casi nada. Con un poco de suerte, y por razones que ya se han analizado, esas cosas básicas tendrán algo que ver con el mundo en el que realmente vivimos todos.

§ 2c.
Volvamos por un momento al tema de Zenón-y-la-semántica-de-«punto». La relación entre un ente matemático (por ejemplo, una serie, un punto geométrico) y el espacio físico real es también la relación de lo discreto con lo continuo. Piense en un camino adoquinado en contraste con una carretera recién asfaltada. Como lo que la dicotomía intenta hacer es descomponer un proceso físico continuo en una serie infinita de pasos discretos, puede verse como el primer intento en la historia de representar la continuidad matemáticamente. No importa que Zenón en realidad estuviera intentando demostrar que la continuidad era imposible; igualmente fue el primero. También fue el primero en reconocer^[56]que hay más de un tipo de ∞. El to apeiron de la cosmología griega es pura extensión, tamaño infinito, y la serie de enteros 1, 2, 3… asciende y se aleja hacia ese mismo tipo de Gran ∞. Mientras que por otro lado el Pequeño ∞ de Zenón parece estar como anidado, en medio de los enteros ordinarios, y esto último es naturalmente difícil de concebir.
Resulta que la manera más clara de representar estos dos tipos diferentes de ∞ es con la buena y vieja recta numérica (R. N.), componente habitual de las aulas escolares.^[57] La recta numérica es otro legado de los griegos, que, como recordará, trataban los números y las formas geométricas casi del mismo modo. (Euclides, por ejemplo, rechazaba cualquier razonamiento matemático que no pudiera ser «construido», es decir, demostrado conforme a la geometría.)^[58]
Lo que debemos valorar de la recta numérica y su modesto matrimonio de matemáticas y geometría es que también se trata de la perfecta unión entre forma y contenido. Porque cada número corresponde a un punto, y como la recta numérica a la vez contiene todos los puntos y determina su orden, los números pueden definirse completamente según su posición en la R. N. en relación con las posiciones de otros números. Por ejemplo, 5 es el entero inmediatamente a la derecha de 4 y a la izquierda de 6, y decir que 5 + 2 = 7 es como decir que 7 está dos posiciones a la izquierda de 5; es decir, la «distancia» matemática entre dos números distintos puede ser representada e incluso calculada de forma gráfica. Incluso sin el cero o enteros negativos^[59], y con la definición más bien difusa de «punto» dada por Euclides como «aquello que no tiene parte», la recta numérica es una herramienta inmensamente poderosa. También resulta ser la perfecta esquematización de un continuo, en el sentido de «ente o sustancia cuya estructura o distribución es continua e ininterrumpida», y como tal la R. N. encarna perfectamente la antinomia de la continuidad que Zenón propuso y nadie hasta Dedekind pudo resolver. Pues en la R. N. se cumplen las dos cosas siguientes:

1.     Cada punto está próximo a otro punto,

2.     Entre dos puntos cualesquiera siempre hay otro punto.

Aunque todo el mundo sabe qué aspecto tiene, la recta numérica^[60] se reproduce aquí, empezando por el 0 que los griegos, por motivos que ahora no importan, no tenían:

Si el Gran ∞, el infinito en extensión, está a la derecha interminable de la recta numérica, el Pequeño ∞ que Zenón explota se halla en el intervalo de aspecto totalmente finito entre 0 y 1. Zenón revela que dicho intervalo contiene un número infinito de puntos intermedios, como la secuencia

Lo que es más (por decirlo así), está claro que este infinito de 1/2ⁿ no agota realmente los puntos entre 0 y 1, pues omite no solo sucesiones infinitas convergentes como

sino otro conjunto infinito de fracciones 1/x donde x es un número impar. 
Y al considerar que cada una de dichas fracciones corresponderá a su propia sucesión geométrica infinita a través del desarrollo de1/xⁿ —por ejemplo,

parece que el intervalo finito 0 - 1 de la R. N. en realidad aloja una infinidad de infinitos. Lo cual es, por decirlo con suavidad, metafísicamente confuso y a la vez matemáticamente ambiguo: ¿será ∞², ∞^∞, o qué?
Solo que la cosa empeora, o mejora. Porque todos los números recién mencionados son racionales. Probablemente ya sabe que ese adjetivo proviene de «razón» y que la expresión «los números racionales» se refiere a todos los números expresables como enteros o como razones de dos enteros (o sea, fracciones). Esto es solo un recordatorio, pero es importante. El descubrimiento de que no todos los números son racionales fue por lo menos tan duro para la visión griega del mundo como las paradojas de Zenón. Y fue especialmente enojoso para la Divina Hermandad de Pitágoras. Recuerde las convicciones pitagóricas de que todo es una cantidad o razón matemática y de que nada infinito puede existir realmente en el mundo (pues «peras→ forma» es lo que hace posible la existencia para empezar).
Luego recuerde el teorema de Pitágoras. Como se ha mencionado, una curiosidad interesante es que los de la D. Η. P. no fueron los verdaderos descubridores de ese teorema. En realidad aparece en tablillas de la Antigua Babilonia tan tempranas como del 2000 a. C. Una razón por la que se llama teorema de Pitágoras es que permitió que la D. Η. P. descubriera las «magnitudes inconmensurables», también llamadas números irracionales.^[61]
Dichos números, que resultan ser inexpresables como cantidades finitas, eran tan letales para la metafísica pitagórica que su descubrimiento fue como la versión griega del caso Watergate. Recordará de la infancia que el teorema de Pitágoras no causa problemas con figuras como el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 que aparece en las introducciones a la geometría, donde la suma de los cuadrados de 3 y 4 es un número cuya propia raíz cuadrada es racional. Pero comprenda que eso de los «cuadrados» era literal para los griegos. Es decir, en un triángulo de lados 3, 4 y 5 trataban cada lado también como el lado de un cuadrado: y entonces sumaban las áreas de los cuadrados. Hay dos razones por las que esto merece comentarse. La primera ya se ha mencionado antes: aunque ahora jugamos con exponentes y raíces in abstractus, para los griegos los problemas de matemáticas siempre se formulaban, y resolvían, geométricamente.
Un número racional era una razón literal de las longitudes de dos segmentos.

Elevar al cuadrado era construir un cuadrado y tomar su área. La otra razón es que según la mayoría de los relatos fue un simple y humilde cuadrado el que empezó todo el embrollo. Considérese específicamente el familiar cuadrado unidad, de lado 1, e incluso más en concreto el triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa es la diagonal del cuadrado unidad:

De lo que se dio cuenta la D. Η. P. (probablemente a través de mediciones reales y cada vez más frenéticas) es que por pequeña que sea la unidad de medida usada, el lado del cuadrado unidad es inconmensurable con la diagonal, es decir, no es medible con la diagonal. 
Esto significa que no hay ningún número racional p/q tal que D/S = p/q. La cantidad D/S era algo que la D. Η. P. acabó llamando arratos, «lo que no tiene razón», o —como logos podía significar a la vez palabra y proporción— alogos, que por lo tanto significaba a la vez «lo que no tiene proporción» y «lo que no puede ser dicho».
La demostración de la inconmensurabilidad de D/S es otro famoso caso de demostración por reducción al absurdo, y una especialmente bonita porque es muy simple y solo requiere matemáticas elementales. Veamos. En primer lugar, para los propósitos de la reducción al absurdo, supóngase que D y S son conmensurables. Esto significa que D/S es igual a alguna razón p/q donde p y q son enteros sin ningún factor común aparte de 1. Sabemos por el teorema de Pitágoras que

D² = S² + S², o D² = 2S²,

lo cual si D/S = p/q significa que p² = 2q². 
También sabemos que el cuadrado de cualquier número impar será impar y el cuadrado de cualquier número par será par (puede comprobarlo usted mismo). Además, sabemos que el doble de cualquier número entero es un número par. Esa es toda la artillería que necesitamos. Por la LTE, o bien p es impar, o bien pes par. Si (1) p es impar, hay una contradicción inmediata, pues 2q² tiene que ser impar. Pero si (2) p es par, eso significa que es igual al doble de algún número, digamos 2r, así que introduciendo dicha equivalencia en la ecuación original p² = 2q² se obtiene 4r² = 2q², lo cual se reduce a 2r² = q², lo que significa que q² es par, lo que evidencia que q es par, lo cual quiere decir que p y q son ambos pares, en cuyo caso tienen un factor común distinto de 1, lo cual de nuevo es una contradicción, (1) Arroja una contradicción, (2) arroja una contradicción, y no hay (3). Así que D y S son inconmensurables. Fin de la demostración.^[62]
El hecho de que los números racionales no pudieran expresar algo tan cotidiano como la diagonal de un cuadrado —por no mencionar otros irracionales hipotenoides fáciles de construir como √5, √8, etc.— obviamente era desestabilizante para toda la cosmogonía de los pitagóricos. Al parecer, el golpe de gracia fue el descubrimiento de que su amada razón áurea era también irracional, resultando ser

Hay todo tipo de espeluznantes relatos apócrifos acerca de los extremos a los que llegó la D. Η. P. para mantener en secreto la existencia^[63] de los irracionales, algo que nos podemos saltar porque son mucho más importantes, histórica y matemáticamente, los propios números irracionales. Son importantes por lo menos por tres razones.

1.     Matemáticamente, los números irracionales son una consecuencia directa de la abstracción. Están un nivel entero por encima de las 5 naranjas o el ½ queso. No se encuentran números irracionales hasta que se empiezan a generar teoremas abstractos como el T. P. Y observe, por favor, que en realidad solo son una grieta para las matemáticas puras. Los egipcios y otros pueblos se habían encontrado con números irracionales en la agrimensura y la ingeniería, pero como solo les importaban las aplicaciones prácticas no tenían ningún problema en tratar la √2 como 1,4 ó ⁷/₅

2.     El descubrimiento de los irracionales señaló la primera verdadera divergencia entre las matemáticas y la geometría, pues los matemáticos podían entonces crear números que los geómetras no podían medir realmente.

3.     Resulta que los irracionales, como los 1/2ⁿ de Zenón, son una consecuencia de intentar expresar y explicar la continuidad con respecto a la recta numérica. Los números irracionales son el motivo por el que la recta numérica no es técnicamente continua. Como la RIV de la dicotomía, los irracionales representan huecos o agujeros en la recta numérica, intersticios a través de los cuales el caos ilimitado del ∞ podía entrar y provocar un lío en las pulcras matemáticas de la Ática.

Y no es solo un problema griego. Porque lo importante de los números irracionales es que no pueden ser representados por fracciones; y, además, si usted intenta expresar irracionales en notación decimal,^[64] entonces la secuencia de dígitos tras la coma no será ni finita (como en el caso de los decimales racionales 2,0 o 5,74) ni periódica (lo que significa una repetición según alguna pauta, como en el caso de los racionales 0,333… = ¹/₃, 1,181818… = ¹³/₁₁ , etc.).^[65]
Esto significa que, por ejemplo, la expresión decimal de √3 puede desarrollarse hasta 1,732, o 1,73205, o 1,7320508, o, literalmente, hasta donde usted quiera… o más lejos. Y a su vez esto significa que cierto punto definido de la recta numérica —o sea, el punto correspondiente al intervalo que, multiplicado por sí mismo, corresponde al punto-entero 3— no puede ser nombrado ni expresado de modo finito.^[66]
Así, el intervalo finito 0-1 de la recta numérica está aún más inconcebiblemente poblado. No solo hay una cantidad infinita de secuencias infinitas de fracciones, sino también una cantidad infinita de irracionales,^[67] cada uno de los cuales es a su vez numéricamente inexpresable excepto como una secuencia infinita de decimales no periódicos. Hagamos una pausa para considerar los vertiginosos grados de abstracción involucrados en esto. Si la CPU humana no puede aprehender o incluso concebir siquiera el ∞, parece que ahora se le pide dar cuenta de una infinidad de ∞, de la cual una cantidad infinita de miembros individuales son a su vez inexpresables con finitud, y todos en un intervalo tan finito y de aspecto tan inocente que se usa en la clase de los niños pequeños. Todo lo cual suena muy extraño.
Desde luego, hay tantas maneras de tratar esa extrañeza como connotaciones tiene «tratar». Los griegos, (ver § 2d.)* por ejemplo, simplemente rehusaron tratar los irracionales como números. O bien los incluían en la categoría de longitudes/áreas puramente geométricas y no los usaban nunca en sus matemáticas per se, o bien racionalizaban literalmente el uso de irracionales manipulando su aritmética (ejemplo: los pitagóricos usaron el truco de escribir 2 como 49/25 de modo que pudieran tratar la √2 como 7/5 ).^[68]
Si su rechazo a reconocer la existencia de números dados por su propio razonamiento matemático parece algo peculiar, sepa que hasta el siglo XVIII prácticamente todos los grandes matemáticos europeos hicieron lo mismo,^[69]incluso cuando la legendaria revolución científica estaba empezando a dar todo tipo de resultados que requerían una aritmética de los irracionales. Hasta finales del siglo XIX, (ver § 2d.)* de hecho, nadie (ver § 2d.)* daría con una teoría rigurosa o incluso una definición de los irracionales. La mejor definición vendría de Richard Dedekind, (ver § 2d.)* mientras que el tratado más exhaustivo del estatus de los números reales en la recta sería el de Georg Cantor.

§ 2d.

* Interpolación inevitable pero al fin y al cabo de tipo

SEI Omita las siguientes páginas si lo desea, pero los asteriscos en el párrafo precedente marcan cosas que históricamente hablando no son 100% verdad. A saber: un estudiante y protegido de Platón conocido como Eudoxo de Cnidos (408-354 a. C.) en realidad se aproximó mucho a una definición rigurosa de los irracionales, que luego Euclides incluyó como Definición 5 en el Libro V de los Elementos. La definición de Eudoxo incluye proporciones y razones geométricas, lo cual no es nada sorprendente dado que las matemáticas griegas se habían visto confrontadas con los irracionales en forma de ciertas proporciones geométricas que no podían expresarse como razones. Tras la debacle de la D. Η. P., esas magnitudes inconmensurables parecían estar por todas partes. Por ejemplo, considérese un rectángulo en el que dos de los lados son iguales a la diagonal del cuadrado unidad: ¿cómo se supone que debe calcularse su área? Y lo que es más importante: ¿cómo podían los griegos distinguir los casos de inconmensurabilidad de tipo irracional de los casos donde simplemente se tienen magnitudes de especies diferentes que no se pueden comparar mediante razones, como una longitud respecto a un área, o un área respecto a un volumen 3D? En realidad, Eudoxo fue el primer griego que intentó definir «razón» de forma matemática:

Se dice que unas magnitudes tienen la misma razón, la primera respecto a la segunda y la tercera respecto a la cuarta, cuando, si cualesquiera equimúltiples se tomen de la primera y de la tercera, y cualesquiera equimúltiples de la segunda y de la cuarta, los primeros equimúltiples a la vez exceden, a la vez igualan, o a la vez son inferiores a los segundos equimúltiples tomados en el orden correspondiente (Euclides en Heath, v. 2, pág. 114).

… la opacidad de lo cual puede mitigarse traduciendo algunas partes del teorema de lenguaje natural a símbolos matemáticos básicos. La definición de Eudoxo afirma que, dados p/q, r/s, y los enteros a y b, p/q= r/s si y solo si

·    (ap < bq) → (ar < bs) y

·    (ap = bq) → (ar = bs) y

·    (ap > bq) → (ar > bs).

A primera vista, esto puede parecer obvio o trivial;^[70] véase, por ejemplo, cuánto se parece a la regla que aprendimos en la escuela para multiplicar fracciones en cruz. Pero en realidad no es nada trivial. Aunque Eudoxo solo pretendía aplicarla a magnitudes geométricas más que a números per se, la definición funciona perfectamente para identificar y distinguir números racionales de números irracionales y de cantidades geométricas inmisciblemente diferentes, etc. Además, observe, por favor, el modo en que la definición de Eudoxo resulta efectiva para operar en un conjunto infinito completo, por ejemplo, el de los números racionales.^[71] Lo que Eudoxo hace es usar enteros arbitrarios para especificar una división^[72] del conjunto de todos los racionales en dos subconjuntos: el conjunto de todos los racionales para los cuales ap ≤ bq y el conjunto de todos los racionales para los cuales ap > bq. El suyo es, pues, el primer teorema capaz de referirse, exhaustiva y específicamente,^[73] a una colección infinita completa. Desde este punto de vista se le podría llamar el primer resultado significativo en teoría de conjuntos, unos dos mil trescientos años antes de la invención de la teoría de conjuntos.
También vale la pena señalar que en las matemáticas probablemente no hay mejores ejemplos del dicho de Russell sobre los caprichos de la fama intelectual que Eudoxo y su colaborador póstumo Arquímedes (287-212 a. C.). El segundo, está claro, es famoso anecdóticamente por su «¡Eureka!», pero a la vista de nuestros propósitos generales sería injusto no reconocer que él y Eudoxo, en cierta medida, inventaron las matemáticas modernas, las cuales tuvieron que ser reinventadas varios siglos después porque nadie se había preocupado de prestar atención a las consecuencias de sus resultados.
Probablemente, su invento más importante es la conocida propiedad de exhaustación, que Eudoxo descubrió y Arquímedes refinó. Era un modo de calcular las áreas y volúmenes de superficies y figuras curvadas, algo con lo que la geometría griega, obviamente, tenía muchos problemas (pues es respecto a las curvas donde se encuentran la mayor parte de los problemas de la continuidad y los irracionales). Los geómetras anteriores a Eudoxo habían tenido la idea de aproximar el área de una figura curva comparándola con polígonos regulares^[74]cuyas áreas podían calcular con exactitud. Como ejemplo, véase cómo el mayor cuadrado que puede caber dentro de un círculo funciona como una burda aproximación del área del círculo:

mientras que, digamos, el mayor octágono que cabe dentro será una aproximación algo mejor:

y así sucesivamente, siendo lo importante que cuantos más lados tenga el polígono inscrito, más próxima será su área a la del propio círculo. La razón por la que el método nunca funcionó realmente es que se necesitaría un polígono de ∞ número de lados para acertar el área del círculo, e incluso si este ∞ era solo uno de los ∞ potenciales de Aristóteles, los griegos todavía estaban estancados, por la misma razón mencionada respecto a la dicotomía: no tenían el concepto de convergencia hacia un límite. Eudoxo dio a las matemáticas justamente este concepto con su introducción de la propiedad de exhaustación, que aparece como la Propiedad 1 en el Libro X de los Elementos:

Si de cualquier magnitud se sustrae una parte no menor que su mitad, y si del resto se sustrae otra vez no menos que su mitad, y si este proceso de sustracción se continúa, finalmente quedará una magnitud menor que cualquier magnitud preasignada del mismo tipo (Euclides en Boyer, pág. 91).

En notación moderna, esto es equivalente a decir que si p es una magnitud dada y r una razón tal que 1/2 ≤ r < 1, entonces el límite de p(1 − r)ⁿ es 0 cuando n tiende a ∞; es decir,

Esto permite aproximar de forma arbitraria un polígono de una infinidad de lados, o un número infinito de rectángulos bajo una curva, siendo cada lado/rectángulo arbitrariamente (= infinitesimalmente) pequeño, y luego sumar los lados o las áreas mediante la inversa del mismo proceso por el que se han obtenido. El método de exhaustación es, a todos los efectos, el bueno y antiguo cálculo integral. Con él, Eudoxo fue capaz de demostrar, por ejemplo, que la razón de las áreas de dos círculos cualesquiera es igual a la razón de los cuadrados de sus radios, que el volumen de un cono es 1/3 del volumen del cilindro con la misma base y altura, etc. Y la obra de Arquímedes Medición de un círculo usa la exhaustación para obtener una aproximación sin precedentes de π, según ²²³/₇₁ < π < ²²/₇₇.
Obsérvese también la precaución metafísica de las entidades abstractas de la exhaustación. El método de Eudoxo para conseguir que lados o figuras infinitamente pequeños entren en las ecuaciones no hace afirmaciones acerca de la existencia de magnitudes infinitamente pequeñas. Fíjese en el lenguaje suave de la citada Proposición 1 de los Elementos. El «menor que cualquier magnitud preasignada» es particularmente brillante y sorprendentemente similar al «arbitrariamente grande/pequeño» del análisis moderno.^[75]Básicamente, supone decir que, para propósitos matemáticos, se pueden alcanzar magnitudes tan pequeñas como se quiera, y trabajar con ellas. Es esta preocupación por el método y los resultados más que por la ontología lo que hace a Eudoxo y a Arquímedes tan misteriosamente modernos. El modo en que sus «magnitudes menores que cualesquiera magnitudes preasignadas» son creadas y desplegadas en la exhaustación viene a ser idéntico al modo en que los infinitesimales serán tratados en el cálculo temprano.
Por qué, entonces, Europa tuvo que esperar diecinueve siglos hasta el verdadero cálculo, la geometría diferencial y el análisis constituye una muy larga historia, que esencialmente explica el mencionado dicho de Russell. Una causa es la misma razón por la que nadie pensó en aplicar la exhaustación a la dicotomía de Zenón: a los griegos solo les importaba la geometría, y entonces nadie pensaba en el movimiento y la continuidad como abstraíbles en la geometría de la recta numérica. Otra razón es Roma, la Imperial, cuyo saqueo de Siracusa y asesinato de Arquímedes hacia el 212 a. C. puso fin bruscamente a la matemática helénica,^[76] y cuya hegemonía durante los siglos posteriores conllevó que gran parte de la sustancia y el impulso de las matemáticas griegas se perdiera durante mucho tiempo. La causa más eficiente, sin embargo, fue Aristóteles, cuya influencia, por supuesto, no solo sobrevivió a Roma sino que alcanzó nuevas cimas con la expansión del cristianismo y la Iglesia en el período 500-1300 d. C., aproximadamente. Resumiendo: la doctrina aristotélica se convirtió en dogma de la Iglesia, y parte de la doctrina aristotélica era la consideración del ∞ como solo potencial, una ficción abstracta y origen de confusión, to apeiron, territorio reservado solo a Dios, etc. Esta visión predominó fundamentalmente hasta la era isabelina.

Fin de la interpolación

§ 2e.

(Continuación de § 2c desde el párrafo con asteriscos de interpolación).

Aquí están, a modo de aperitivo, algunas de las cosas que Cantor^[77] acabó descubriendo sobre los ∞ anidados de Zenón y Eudoxo. Aquí «descubierto» no quiere decir simplemente encontrado, sino realmente demostrado. La recta numérica es, obviamente, infinitamente larga y contiene una infinidad de puntos. Incluso hay tantos puntos en el intervalo 0-1 como en la recta numérica entera. 
De hecho, hay tantos puntos en el intervalo 0,0000000001-0,0000000002 como en toda la R. N. También resulta que hay tantos puntos en el mencionado microintervalo (o en uno un cuatrillón de veces más pequeño, si usted quiere) como en el plano 2D —incluso si este plano es infinitamente grande— o en cualquier forma 3D, o en la totalidad del propio espacio 3D infinito.
Es más, sabemos que hay una infinidad de números racionales en la recta numérica infinita, y (por cortesía de Zenón) que dichos racionales son tan infinitamente densos en la recta que literalmente ningún número racional dado tiene un siguiente; es decir, entre dos números racionales cualesquiera de la R. N. siempre se puede encontrar un tercero. Un hecho del cual aquí tenemos una breve demostración. Tomemos dos racionales distintos p y q. Como son diferentes, p ≠ q, lo cual implica que uno es mayor que el otro. Digamos que es p> q. Esto significa que en la recta numérica hay por lo menos alguna distancia medible, por pequeña que sea, entre q y p. Tomemos esa distancia, dividámosla por algún número (2 es el más fácil), y añadamos el cociente al número más pequeño q. Tenemos un nuevo número racional

entre p y q. Y como el número de números simplemente enteros por los cuales podemos dividir (p − q) antes de añadir el cociente a q es infinito, en realidad hay una infinidad de puntos racionales entre cualesquiera p y q. Dejemos que esto vaya calando, y entonces tengamos en cuenta que incluso dada la densidad infinita de la cantidad infinita de números racionales en la recta numérica, puede demostrarse que el porcentaje total de espacio de la R. N. ocupado por la totalidad de los infinitamente infinitos números racionales es: ninguno. Es decir, o, nulo, nada. La versión técnica de la demostración es de Cantor, y observe qué espíritu más eudoxiano-exhaustivo tiene, incluso en la siguiente forma en lenguaje natural, que requiere un poco de visualización creativa.
Imagine que puede ver la recta numérica entera y cada uno de los infinitos puntos individuales que contiene. Imagine que quiere una manera rápida y fácil de distinguir los puntos correspondientes a números racionales de los correspondientes a irracionales. Lo que va a hacer es identificar los puntos racionales envolviendo cada uno de ellos en un pañuelo rojo.^[78] De este modo destacarán. Como técnicamente los puntos geométricos carecen de dimensión, no sabemos qué aspecto tienen, pero lo que sí sabemos es que no se necesitará un pañuelo muy grande para cubrir uno de ellos. En este caso, el pañuelo rojo puede ser arbitrariamente pequeño, por ejemplo de 0,00000001 unidades, o la mitad de ese tamaño, o la mitad de la mitad, …, etc. En realidad, incluso el más pequeño de los pañuelos será innecesariamente grande, pero para nuestros propósitos podemos decir que el pañuelo es básicamente infinitamente pequeño: llamemos φ a ese tamaño. Así, un pañuelo de tamaño φ cubre el primer punto racional de la R. N. Entonces, como, por supuesto, el pañuelo puede ser tan pequeño como queramos, digamos que usted usa solo un pañuelo de tamaño φ/2 para envolver el siguiente punto racional. Y digamos que usted continúa de ese modo, siendo el tamaño de cada pañuelo rojo exactamente ½ del tamaño del anterior, para todos los números racionales, hasta que todos están envueltos y cubiertos. Ahora, para hallar el porcentaje total de espacio que todos los números racionales ocupan en la recta numérica, todo lo que tiene que hacer es sumar los tamaños de todos los pañuelos rojos. Por supuesto, hay una infinidad de pañuelos, pero respecto al tamaño se traducen como términos de una serie infinita, específicamente la serie geométrica al estilo de Zenón

y, dada la buena y vieja fórmula

para sumar tal serie, la suma del tamaño total de los infinitos pañuelos resulta ser 2φ. Pero φ es infinitesimalmente pequeño, siendo los infinitesimales (como se mencionó en § 2b) tan increíblemente próximos a o que al multiplicarlos por cualquier cosa el resultado es también un infinitesimal, por lo cual 2φ es también infinitesimalmente pequeño, lo que significa que todos los infinitos números racionales combinados ocupan solo una porción infinitesimalmente pequeña de la R. N. —o sea, básicamente ninguna en absoluto—,^[79]lo que a su vez es como decir que la inmensa, inmensa mayoría de los puntos en cualquier tipo de recta continua corresponderán a números irracionales, y así, a pesar de que la antes mencionada recta real es realmente una recta, la recta numérica formada solo por racionales, aunque pueda parecer infinitamente densa, en realidad es en un 99,999…% espacio vacío, como un helado muy poroso o el universo mismo.
Dejemos que cada uno haga una pausa en privado para intentar imaginar por un momento qué aspecto podía tener el interior de la cabeza del profesor Georg F. L. P. Cantor cuando está demostrando este tipo de cosas.
Un lector atento puede objetar aquí que hay algún truco como los de Zenón en la anterior demostración, y preguntar por qué no se podría aplicar un procedimiento similar con pañuelos y series a los números irracionales para demostrar que el porcentaje total de espacio recto ocupado por los irracionales es también 2φ. La razón de que tal demostración no pueda funcionar es que, por infinitamente o incluso ∞^∞mente numerosos que sean los pañuelos rojos, siempre habrá más números irracionales que pañuelos. Como siempre, esto también lo demostró Cantor.

Capítulo Tres

§ 3a.
Llegados a este punto resulta justificado ahorrarse cualquier pretensión de continuidad narrativa y hacer un barrido de varios siglos en una especie de cronología esquemática que va de, digamos, el 476 d. C. (caída de Roma) hasta la década de 1660 (preliminares del cálculo). Por supuesto, en la cronología destaca lo relacionado con el ∞ y/o la situación general de las matemáticas cuando Dedekind y Cantor entraron en escena. Y quedando las desventajas de la abstracción esquemática en cierto modo superadas por las ventajas del ahorro de espacio, pues por lo menos uno de nosotros está empezando a darse cuenta que el espacio disponible va a ser un problema. Así pues, aquí en § 3, el objetivo es simplemente resumir ciertos desarrollos que ayudan a sacar a la luz las eventuales condiciones necesarias/suficientes para las matemáticas transfinitas.^[80]
Aproximadamente del 500 al 1200 d. C. Sin demasiados progresos en las matemáticas occidentales gracias a Roma, Aristóteles, el neoplatonismo, la Iglesia, etc., la verdadera actividad está ahora en Asia y el mundo islámico. Como muy tarde hacia el 900 d. C., las matemáticas de la India han introducido el cero como «décimo numeral» y lo representan mediante el símbolo con el que estamos familiarizados,^[81] han desarrollado un sistema decimal de notación posicional que es básicamente el nuestro, y han codificado los fundamentos de cómo funciona el 0 en aritmética (0 + x = x, 0/x = 0, no es válido dividir por 0, etc.)· Los matemáticos indios y árabes, libres de cualquier geomefilia griega, son capaces de trabajar y lograr resultados significativos con los enteros negativos, el antes mencionado o, las raíces irracionales, y variables para representar números arbitrarios y así enunciar propiedades generales.^[82] La mayoría de las innovaciones indo-árabes regresaron a Europa más tarde, gracias principalmente a las conquistas islámicas (p. ej., de la India, cuyas matemáticas los árabes asimilaron, en el siglo VII, llegando incluso a España en 711, etc.).
Hacia 1260. Los argumentos guía de santo Tomás de Aquino a favor de la existencia de Dios^[83] constituyen la fusión oficial de la metafísica de Aristóteles y la doctrina de la Iglesia. La base de la argumentación de santo Tomás es que, como en el mundo todo tiene una causa y esas causas, a su vez, tienen causas, y así sucesivamente, en algún punto de la cadena tiene que haber una «causa original» sin causa, es decir, Dios. Observe que este es esencialmente el mismo argumento que el famoso «primer motor», al que nada mueve, de Aristóteles en el Libro VIII de su Metafísica. El argumento del primer motor es adoptado tanto por san Agustín como por Maimónides también en demostraciones de Dios. Lo que es más importante, véase que para que el argumento de santo Tomás funcione tiene que aceptarse la premisa tácita de que una cadena transitiva infinita de causas y efectos es imposible o incoherente. En otras palabras, tiene que considerarse como axiomática la imposibilidad del ∞ como característica real del tiempo o del universo, lo cual básicamente significa aceptar el destierro aristotélico del ∞ al mismo extraño estatus puramente potencial de El pensador de Rodin en todas las masas de bronce.
Sin embargo, en otra parte de la Summa Theologiae, santo Tomás introduce un argumento más original:

La existencia de una multitud infinita real es imposible. Pues cualquier conjunto de cosas que uno considere tiene que ser un conjunto específico. Y los conjuntos de cosas están especificados por el número de cosas en ellos. Ahora, ningún número es infinito, pues el número resulta de contar a lo largo de un conjunto en unidades. Así, ningún conjunto de cosas puede ser inherentemente ilimitado, ni puede ocurrir que sea ilimitado (Summa Theologiae, I.a., 7.4. Traducción semiextractada, y editada, de Rucker, Infinity and the Mind, pág. 52).

Este pasaje es citado por el propio Cantor en su «Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten»,^[84] donde lo califica de la única objeción realmente significativa, en toda la historia, a la existencia de un ∞ real. Para nuestros propósitos, hay dos cosas significativas acerca del argumento de santo Tomás:

1.     Trata el ∞ en términos de «conjuntos de cosas», que es lo que Cantor y Dedekind harán seiscientos años después (además, la tercera frase de santo Tomás es casi exactamente la manera en que Cantor definirá el cardinal de un conjunto).

2.     Todavía más importante, reduce todas las distinciones y complicaciones metafísicas de Aristóteles a la cuestión de si existen números infinitos.

Es fácil ver que aquí lo que realmente le gusta a Cantor es el punto (2), que convierte el argumento en una especie de reto a medida, pues la única y verdaderamente plausible refutación a santo Tomás consistirá en que alguien dé una teoría rigurosa y coherente de los números infinitos y sus propiedades.

Hacia 1350 + Breve salto temporal. Tres personajes de mediana importancia respecto a la continuidad y las series infinitas: Nicole Oresme, Ricardus «el Calculador» Suiseth y Francesco Luigi Grandi. Oresme inventa en 1350 un método «latitudinal» para representar de forma gráfica el movimiento y la aceleración uniforme.^[85] Entre otras cosas, ello permite la primera indicación de que la velocidad relativa (= recta inclinada) y el área relativa (= área bajo la recta inclinada) son dos aspectos de la misma cosa. Coincidiendo más o menos en el tiempo, Suiseth resuelve un problema latitudinal particular que equivale a demostrar que la serie infinita

tiene una suma finita, concretamente 2. (N. B.: nadie piensa todavía en aplicar este método a la dicotomía). 
Entonces, Oresme responde demostrando que otra serie infinita

alias la «serie armónica», no da una suma finita a pesar de que la sucesión de términos individuales parece aproximarse claramente a 0. (SEI La demostración de Oresme es ingeniosamente simple. Agrupando los términos de la serie de tal modo que el primer término = el primer grupo, el segundo y tercer términos = el segundo grupo, los términos del cuarto al séptimo = el tercer grupo, etc., de manera que el grupo n-ésimo contenga 2ⁿ⁻¹ términos, demuestra que al final tenemos un número infinito de grupos cada uno de los cuales tiene una suma parcial ≥½, dando lugar a una suma infinita para la serie).
Las series de Suiseth y de Oresme son, por supuesto, ejemplos respectivos de convergencia y divergencia, pero durante siglos nadie sabrá cómo nombrar o tratar los distintos tipos de series infinitas.^[86]
Incluso en la era poscálculo, cuando las series se convirtieron en la manera obvia de representar funciones complicadas para la diferenciación y la integración, algunos avatares de Zenón continuaron reapareciendo con paradojas que confundieron varios intentos de sistematizar la convergencia y la divergencia. Una de las más diabólicas era la buena y vieja serie oscilante 1 − 1 + 1− 1 + 1 − 1 + 1… de § 1d, que el matemático católico Grandi gustaba de usar para atormentar a los hermanos Bernoulli, famosos colegas de Leibniz que habían demostrado la divergencia de la serie armónica de Oresme en la década de 1690. Recuerde que el truco de la serie de Grandi es que según cómo se agrupen los términos acaba resultando igual a 0 y a 1 a la vez…; o, poniendo x = 1 en la fórmula protologarítmica

 
se obtiene la igualdad ½ = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 …, la cual, jocosamente Grandi, sugirió que era la forma en que Dios había creado algo½ del vacío (0).

[SEI Si recuerda usted algo del álgebra del instituto, también vale la pena echar un vistazo a una horrible pequeña serie divergente que en la década de 1730 puso en apuros a Leonhard Euler (1707-1783, icono del análisis temprano). Recordará que según las reglas de división de polinomios,

que, sustituyendo x = 2 se convierte en la desafortunada igualdad

−1 = 1 + 2 + 4 + 8 +…

O puede obtenerse de nuevo la serie de Grandi sustituyendo x = −1 en la misma expansión.
O, si su formación matemática es sólida, puede divertirse expandiendo

mediante el teorema del binomio para obtener

y viendo (al igual que Newton, Mercator y Wallis) que cuando x = 2, la serie tiene una suma infinita pero también debería ser igual a log 3. Hay un sinfín de rompecabezas de este tipo]. Hacia 1425-1435. El arquitecto florentino Filippo Brunelleschi inventa la técnica de la perspectiva lineal en la pintura. La obra de Leon B. Alberti Della pictura es el primer tratado publicado sobre cómo funciona. Probablemente todos sabemos que antes del Renacimiento los cuadros parecían planos y muertos y extrañamente desproporcionados. Brunelleschi aplica la geometría al espacio pictórico, hallando un modo de representar un «plano-base» horizontal 3D en un «plano-pintura» vertical 2D. 
La técnica se ve muy fácilmente en las representaciones de cuadrados horizontales (por ejemplo, el embaldosado del Baptisterio de Florencia) como paralelogramos (en numerosos cuadros del mismo) que se vuelven más estrechos y agudos a medida que el suelo se desliza hacia el fondo del cuadro. 
Brunelleschi/Alberti consideran a todos los efectos una pintura como una ventana abierta interpuesta entre una escena y el espectador, y observan que todas y cada una de las «ortogonales», o rectas paralelas que se alejan en el espacio a 90° respecto a dicha ventana, parecerán converger hacia un punto de fuga a la altura de los ojos del espectador (Honour y Fleming, págs. 319-320). Este punto de fuga se concibe, geométricamente, como un punto a distancia infinita del espectador. Casi todo el mundo sabe lo que Masaccio, Durero, Da Vinci y otros colegas fueron capaces de hacer con este descubrimiento.
Matemáticamente, el concepto de punto-en-el-∞ es usado más tarde por Johannes Kepler en el principio de continuidad que establece para secciones cónicas y que luego emplea para sus leyes del movimiento planetario (véase más adelante), y también es de importancia central para Gérard Desargues y su invención, hacia 1640, de la geometría proyectiva, e incluso más adelante para la topología, la geometría riemanniana, el análisis tensorial (sin el cual, a su vez, no habría relatividad general), etc.

Año 1593. La obra Varia Responsa de François Viète (un abogado/criptógrafo francés) incluye la primera fórmula para sumar una serie geométrica infinita,^[87]que es terriblemente parecida a la antes mencionada

de las matemáticas elementales. Aunque no es demasiado bonita, Viète es también el primero en dar una expresión numérica precisa de π, concretamente como un producto infinito expresable así

[SEI La finalidad de destacar puntos como los dos últimos es establecer que el ∞, en varias manifestaciones y contextos, está adquiriendo cada vez más interés en aplicaciones fructíferas incluso aunque continúe siendo metafísicamente sospechoso y nadie tenga ni idea de cómo tratarlo matemáticamente].

Año 1637. La géometrie de René Descartes introduce el ahora omnipresente plano coordenado cartesiano, el cual permite que las figuras geométricas se representen aritmética/algebraicamente.
Aproximadamente entre 1585 y 1638. Tres personajes importantes, de los cuales dos son extremadamente famosos: Simon Stevin, Johannes Kepler y Galileo Galilei.
En la década de 1580, Stevin (un ingeniero flamenco) resucita la propiedad de exhaustación de Eudoxo al derivar fórmulas para características relacionadas con el peso de diferentes figuras geométricas. Por ejemplo, en su obra Estática(1586), Stevin demuestra que el centro de gravedad de un triángulo se halla sobre su mediana, y lo hace inscribiendo un número ilimitado de paralelogramos arbitrariamente pequeños en el triángulo y demostrando cosas acerca de los centros de gravedad de las figuras inscritas resultantes. Stevin, también conocido como el Arquímedes holandés, merece más fama de la que consiguió. Aquí está una cita descontextualizada pero pertinente de Carl Boyer:

«Fueron en gran manera las modificaciones resultantes de los antiguos métodos infinitesimales las que acabaron conduciendo al cálculo, y Stevin fue uno de los primeros en sugerir tales cambios» (Boyer, pág. 322).

Tal como se explica en la obra de Kepler Astronomia nova (1609), la 2ª ley del movimiento planetario depende de que se conciba el área circunscrita por un vector radial que une un planeta orbitando con el Sol como compuesta (es decir, el área está compuesta) de infinitos triángulos infinitamente delgados, cada uno con el vértice A en el Sol y los vértices B y C infinitesimalmente próximos a lo largo de la trayectoria orbital. La suma efectuada por Kepler de las áreas de esta infinidad de infinitesimales era, setenta años antes de Leibniz, cálculo aplicado.^[88]

Años 1636-1638. Galileo Galilei, puesto por la Inquisición bajo arresto domiciliario en Florencia, escribe Dos nuevas ciencias, un diálogo al estilo de Platón sobre la mecánica/dinámica. En este libro hay un montón de cosas relacionadas con el ∞. Un ejemplo es el modo en que Galileo aplica las técnicas de representación latitudinal de Oresme al movimiento de proyectiles y demuestra que la curva descrita por la trayectoria de un proyectil es una parábola. 
Tras dos mil años de estudio matemático de las secciones cónicas, la elipse orbital de Kepler y la parábola de los proyectiles de Galileo son las primeras aplicaciones reales de las cónicas a las ciencias físicas. La obra menos conocida de Kepler, Ad Vitellionemparalipomena,^[89] ya había demostrado que las elipses, las hipérbolas, las parábolas y las circunferencias son todas productos de una extraña y armónica danza entre dos focos. La parábola se explica como lo que le ocurre a una hipérbola cuando la posición de un foco respecto al otro alcanza el ∞. De un modo nada accidental, toda la teoría de Kepler sobre las interrelaciones de las cónicas se conoce como el principio de continuidad.
La obra Dos nuevas ciencias de Galileo era en cierto sentido una larga «pedorreta» a la Inquisición, que lo trató de forma infame. Parte de su proyecto era que el hombre normal del diálogo actuara como portavoz de la metafísica aristotélica y del credo de la Iglesia, y que su compañero algo más ilustrado le fuera dando bofetones intelectuales. Una de las dianas principales es la división ontológica por Aristóteles del ∞ en real y potencial, que la Iglesia básicamente había transformado en la doctrina de que solo Dios es realmente infinito y nada más en su creación puede serlo. Ejemplo: Galileo ridiculiza la idea de que el número de partes en el que se puede dividir cualquier segmento sea solo «potencialmente» (o sea, no realmente) infinito demostrando que si usted dobla el segmento hasta que sea una circunferencia —el cual, según Nicolás de Cusa,^[90] se define como un polígono regular con un ∞ número de lados—, usted ha «reducido a realidad ese número infinito de partes que pretendía, mientras era recto, que estaban contenidas en él solo potencialmente» (ibíd., pág. 329).
El portavoz de Galileo también dedica mucho tiempo a los infinitesimales, principalmente por su utilidad en los resultados de Stevin y Kepler. Galileo es el primero en distinguir entre diferentes «órdenes» de infinitesimales, principalmente a través de un elaborado argumento sobre por qué, si la Tierra gira, los objetos no son arrojados hacia fuera según varias tangentes a la curva de giro, lo cual es una larga historia, pero lo importante es que dos infinitesimales son de distinto orden si su razón tiende o bien a 0, o bien a ∞ y son del mismo orden si su razón es finita. Esto es relevante porque

1.     la idea de que los infinitesimales de orden más alto son tan increíblemente pequeños y evanescentes que se pueden descartar de una ecuación porque no tendrán ningún efecto sobre el resultado acabaría siendo vital para el cálculo clásico, y

2.     la distinción de Galileo anticipa algunos de los propios descubrimientos de Cantor sobre la extraña aritmética de las cantidades infinitas, es decir, que no todos los ∞ tienen el mismo tamaño pero que las diferencias entre ellos no son realmente aritméticas (por ejemplo, sumar n a ∞ no lo incrementa, ni sumar ∞ a ∞ o multiplicar ∞ por ∞) sino, en cierto modo, geométricas.^[91]

La extremada extrañeza matemática del ∞, que Galileo dedica mucho tiempo a ejemplificar en las DNC, es bastante lúcidamente atribuida a la epistemología y no a la metafísica. Las paradojas surgen, según el portavoz de Galileo, solo

«cuando intentamos, con nuestra mente finita, discutir el infinito, asignándole aquellas propiedades que otorgamos a lo finito y limitado» (Galileo Galilei, pág. 31).

La gran ilustración de ello es la paradoja de Galileo que hemos visto en § 1, en la cual recuerde que podía establecer una correspondencia de uno a uno entre todos los enteros y todos los cuadrados perfectos incluso aunque sea evidente que hay muchos más enteros que cuadrados perfectos.^[92] De este rompecabezas, Galileo concluye que «debemos decir que hay tantos cuadrados como números», y así (otra vez) que «los atributos "igual", "mayor" y "menor" no son aplicables a las cantidades infinitas, sino solo a las finitas» (ibíd., pág. 32). Aunque esta última conclusión acabe resultando equivocada, las de DNC todavía es la primera actitud verdaderamente moderna hacia los infinitos reales como entes matemáticos. Obsérvese, por ejemplo, que Galileo no recurre a la vieja reducción al absurdo aristotélica para concluir, a partir del comportamiento paradójico de los conjuntos infinitos, que no se puede razonar acerca del ∞. 
En cambio, se las arregla de algún modo para anticiparse tanto a Kant (atribuyendo las paradojas del ∞ a las arraigadas restricciones de las «mentes finitas» y no a cualquier realidad exterior a la mente) como a Cantor (usando la correspondencia de uno a uno como medida comparativa de los conjuntos, argumentando que las cantidades infinitas obedecen a un tipo de aritmética diferente al de las cantidades finitas, etc.).
Hechos conocidos: el siglo XVII, con su Contra-Contra-Reforma y su revolución científica, vio la primera auténtica explosión de progreso filo-matemático desde el apogeo helenístico. Este es el siglo en el que Descartes inventa la geometría con coordenadas (así como la duda radical), Desargues inventa la geometría proyectiva; Locke, el empirismo; Newton y Leibniz, las matemáticas superiores. 
Nada de eso habría sido posible sin aflojar el estrangulamiento aristotélico del pensamiento occidental. Las DNC de Galileo están al mismo nivel que el Discurso del método de Descartes y el Novum Organum de Bacon en términos de ruptura liberadora, y no es en absoluto accidental que dedique tanto tiempo al De entre montones de citas pertinentemente favorables, véase la del profesor Danzig:

«Cuando, tras un estupor de mil años, el pensamiento europeo se deshizo del efecto de las pócimas adormecedoras tan hábilmente administradas por los Padres Cristianos, el problema del infinito fue uno de los primeros en ser revivido» (Tobías Danzig, Number: the Language of Science, extractado de Seife, pág. 106).

El otro motivo por el que Dos nuevas ciencias es importante es por su sostenido y original uso de la función. Sin duda recordará usted lo que es una función matemática y por qué es difícil definirla claramente (como, por ejemplo, «Una relación entre variables», «Una regla para establecer la imagen de un dominio», «Una correspondencia»). Una función está por lo menos un nivel de abstracción por encima de las variables, siendo básicamente una regla para emparejar elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto. 
Por ahora supongamos que todos sabemos bastante bien qué es una función, o más bien qué hace, pues una función en realidad es una especie de procedimiento, aunque un simbolismo como

tiende a hacer que parezca una cosa. Por lo menos gráficamente, la idea de una función había estado ahí desde Oresme en el siglo XIV, aunque este había usado terminología escolástica y llamaba a esa técnica una latitud de formas, siendo «forma» el término aristotélico para características o calidades, de las que se consideraba que incluían cosas como la velocidad de un cuerpo en movimiento. No fue hasta Galileo que la gente entendió que la velocidad no es una cualidad de la cosa que se mueve, sino más bien un proceso abstracto representable por la función elemental

igual que (un nivel de abstracción más hacia arriba) fue Galileo quien determinó que la aceleración actúa como la función

Dos nuevas ciencias es el primer libro de matemáticas en usar funciones de forma extensiva y no gráfica, aunque estas son descritas verbalmente y a menudo (como los griegos) en términos de proporciones y razones. Lo que es sorprendente es la velocidad con que la noción/teoría de las funciones ganó aceptación una vez alcanzada cierta masa crítica de necesidades y permisos.^[93]La mayor parte de esas necesidades involucraban la continuidad. Lo principal aquí es que la astronomía de Kepler y los estudios del movimiento de Galileo —motivados en gran parte por la necesidad de mejorar la medición del tiempo en la navegación (otra vez, una larga historia)— generaron el impulso para un estudio riguroso de las curvas, que el plano coordenado cartesiano permitía expresar de forma algebraica, es decir, en términos de funciones como y = x², y = sen x, y así sucesivamente.
Las importantes distinciones entre funciones polinómicas, algebraicas y trascendentes^[94] se obtenían fácilmente a partir de la clasificación de las curvas por Descartes, y también a partir de las representaciones explícitas como funciones mediante diferentes tipos de series algo más tarde (1670 aprox.). La propia palabra «función», a propósito, viene de Gottfried W. Leibniz.^[95] Lo cual, por supuesto, no es para nada un accidente, pues Leibniz ayudó a inventar el cálculo, y una de sus características más poderosas es el uso de funciones para representar procesos. Tras Leibniz, el concepto plagado de fisuras de «fenómeno continuo» es reemplazado en las matemáticas por la función continua y la serie infinita… y, de hecho, las exploraciones del ∞ por Cantor acabarán surgiendo de una aplicación particular de dichas herramientas a cierto conjunto de problemas acerca del calor. Lo cual es obviamente una historia muy larga que ahora no vamos a desarrollar.
Aquí, dicho sea de paso, está una cita de David Berlinski: «Es el contraste entre lo continuo y lo discreto lo que constituye el gran motor generador por el cual los números reales son construidos y el cálculo creado» (Berlinski, pág. 130). Para recordar dónde estamos en el bosque general, esta sección es solo de árboles.
Aproximadamente 1647-1665. Tres personajes medianamente importantes, que si esto hubiera sido doscientos años antes ahora serían todos extremadamente famosos: Gregory de St. Vincent, John Wallis y James Gregory.
Hacia 1647: Gregory de St. Vincent propone una solución a la dicotomía de Zenón que menciona de manera explícita la suma de una serie geométrica.^[96] Es también el primer matemático en postular que una serie infinita representa una verdadera magnitud o suma, la cual también es el primero en postular cómo el límite de la serie, que él llama el «terminus de la progresión» y describe en términos bastante eudoxianos como un extremo «al que la progresión no llega, aunque continúe hacia el infinito, pero al que puede acercarse más próximamente que por cualquier intervalo dado» (Gregory of St. Vincent, Opus Geometricum, extractado de Kline, pág. 437).
Año 1655: Wallis, el segundo matemático británico más grande del siglo, publica su antes mencionada obra Arithmetica infinitorum, cuyo título es 0% casual. Este es el primer trabajo importante sobre la aplicación de las series infinitas a la aritmetización de la geometría, y será indispensable para la versión newtoniana del cálculo^[97] un par de décadas después. Entre los resultados importantes de la Arithmetica infinitorum: las primeras definiciones generales correctas del límite de una sucesión infinita y de la suma de una serie infinita, el uso de un producto infinito para representar el seno y el coseno, la demostración de que

(compárese con la

de Leibniz unos cuantos años después), y, por supuesto, el primer uso de «∞» como símbolo para ∞.
Año 1665: James Gregory (un escocés) define «función», insta a que se considere la aproximación a un límite como la sexta función básica del álgebra, y expande varias funciones trigonométricas y trigonométricas inversas como series infinitas, por ejemplo, demostrando que

se cumple para −1 ≤ x ≤ 1. En esta época se llevó a cabo mucho trabajo sobre expansiones en serie, principalmente porque los navegantes, ingenieros, etc., necesitaban una trigonometría mucho más detallada y precisa, y tablas de logaritmos, y las expansiones de funciones en serie infinita eran la mejor manera de interpolar los valores de las tablas.

[SEI también en 1665 aprox. El teorema del binomio, es decir, la fórmula para desarrollar (p + q)n, es liberado de la dependencia de (p + q)n−1 y del triángulo de Pascal por Newton. Se cree que la expansión es infinita para n fraccionarias o negativas, pero nadie puede demostrar nada realmente sobre el T. B. o la convergencia/divergencia de las series en general hasta Jean-Baptiste Fourier hacia 1820.]

§ 3b.
Tal como, por lo menos, se ha sugerido y ahora será explicado, el consenso histórico-matemático es que el siglo XVII tardío marca el inicio de una Edad de Oro moderna en la cual hay muchos más avances matemáticos significativos que en cualquier otra época de la historia mundial. Ahora las cosas empiezan a moverse realmente deprisa, y no podemos hacer mucho más que intentar construir una especie de camino señalizado desde los primeros trabajos sobre funciones hasta Cantor y su «infinicopia».
Subrayemos rápidamente dos cambios a gran escala en el mundo matemático. El primero tiene que ver con la abstracción. La mayor parte de las matemáticas desde los griegos hasta Galileo tiene una base empírica: los conceptos matemáticos son abstracciones directas a partir de la experiencia del mundo real. Esta es una razón por la que la geometría (junto a Aristóteles) dominó el razonamiento matemático durante tanto tiempo. La moderna transición del razonamiento geométrico al algebraico^[98] constituye un síntoma en sí mismo de un cambio mayor. Hacia 1600, entidades como el cero, los enteros negativos y los irracionales se usan de forma rutinaria. Ahora empiece a añadir en las décadas subsiguientes las introducciones de los números complejos, los logaritmos neperianos, los polinomios de grado alto y los coeficientes literales en el álgebra —y también más adelante, por supuesto, las derivadas 1ª y 2ª y la integral— y está claro que desde la pre-Ilustración hasta aquí las matemáticas se han alejado tanto de cualquier tipo de observación del mundo real que podemos decir junto a Saussure que ahora son, como sistema de símbolos, «independientes de los objetos designados», es decir, que ahora las matemáticas se ocupan mucho más de las relaciones lógicas entre conceptos abstractos que de cualquier correspondencia particular entre esos conceptos y la realidad física. La cuestión es que en el siglo XVII las matemáticas se convierten principalmente en un sistema de abstracciones a partir de otras abstracciones y no a partir del mundo.
Lo cual hace que el segundo gran cambio parezca paradójico: la nueva hiperabstracción de las matemáticas resulta funcionar increíblemente bien en las aplicaciones al mundo real. En la ciencia, la ingeniería, la física, etc. Tome, como ejemplo obvio, el cálculo, que es exponencialmente más abstracto que cualquier tipo de matemáticas «prácticas» anteriores (por ejemplo, ¿a partir de qué observación del mundo real sueña uno la idea de que la velocidad de un objeto y el área bajo una curva tienen algo que ver entre sí?), y a pesar de todo tienen un acierto sin precedentes al representar/explicar el movimiento y la aceleración, la gravedad, los movimientos planetarios, el calor: todo lo que la ciencia nos dice que es real del mundo real. No es por nada que David Berlinski llamara al cálculo «el primer relato que este mundo se contó a sí mismo al convertirse en el mundo moderno» (Berlinski, pág. xi). Porque de lo que va el mundo moderno, lo que es, es la ciencia. Y es en el siglo XVII cuando se consuma el matrimonio entre las matemáticas y la ciencia, siendo la revolución científica a la vez la causa y el efecto de la «explosión matemática» porque la ciencia —cada vez más liberada de sus encuentros aristotélicos con la sustancia respecto a materia y potencialidad respecto a realidad— ahora se convierte esencialmente en una actividad matemática^[99] en la que la fuerza, el movimiento, la masa, y la ley-como-fórmula constituyen la nueva plantilla para entender cómo funciona la realidad. Hacia finales del siglo XVII, las matemáticas serias son parte de la astronomía, la mecánica, la geografía, la ingeniería civil, la planificación urbana, la marmolería, la carpintería, la metalurgia, la química, la hidráulica, la hidrostática, la óptica, el pulido de lentes, la estrategia militar, el diseño de pistolas y cañones, la elaboración de vinos, la arquitectura, la música, la construcción de barcos, la medición del tiempo, los calendarios, todo.
Y la influencia práctica actúa en ambos sentidos. Aquí está una cita definitiva de Kline:

«A la vez que la ciencia empezó a apoyarse más y más en las matemáticas para obtener sus conclusiones físicas, las matemáticas empezaron a apoyarse más y más en los resultados científicos para justificar sus propios procedimientos» (Kline, pág. 395).

Y, como se verá de sobras en los § 4 y 5, esta unión resulta fructífera pero también está llena de riesgos. En pocas palabras, todo tipo de cantidades y procedimientos antes dudosos ahora son aceptados en las matemáticas por su eficacia práctica, lo que significa que si las matemáticas quieren mantener su rigor deductivo tendrán que ser rigurosamente «teorizadas» y basadas en el esquema axiomático de las matemáticas. Adivine en qué ejemplos de estos conceptos largamente cuestionables estamos interesados aquí. Eche otro vistazo al translúcido Kline, ahora en un capítulo de su Pensamiento matemático titulado «Las matemáticas en 1700»:

«Las cantidades infinitamente grandes, que los griegos habían evitado estudiadamente, y las infinitamente pequeñas, que los griegos habían esquivado hábilmente, [ahora] tenían que ser afrontadas» (Ibíd., pág. 393).

§ 3c.
Así pues, una vez la historia del ∞ llega a finales del siglo XVII, ahora vamos disparados a una velocidad irreversible hacia Cantor y sus colegas, y las matemáticas se vuelven mucho más abstractas y técnicas. Y el «Alto Mando» ha decidido que en puntos seleccionados deberá usted someterse a pequeños y rápidos glosarios de emergencia (G. E.) en los cuales ciertos términos/conceptos inevitables se definen de modo que luego puedan usarse sin tener que parar constantemente y hacer sesudas búsquedas in medias acerca de lo que significan. Algunos serán nuevos, otros ya han sido mencionados o pueden parecer algo obvios, pero son lo bastante importantes para que ellos y algunos de sus subtérminos asociados se aseguren al 100%.
N. B.: El siguiente primer GLOSARIO DE EMERGENCIA puede resultar un poco seco debido simplemente a la compresión. Y aunque era tentador designarlo como SEI para lectores con fuerte formación matemática, el hecho es que muchas de las definiciones están tan radicalmente reducidas y simplificadas que probablemente le valga la pena dedicar algo de su tiempo por lo menos a hojear este G. E. I para tener claras las maneras específicas en las que vamos a utilizar los términos. Para los lectores que no sepan demasiadas matemáticas superiores, por otro lado, lo que sigue es todo lo que necesitan para continuar por lo menos durante unos cuantos § más.

Glosario de emergencia I,
con un salto temporal narrativo asociado

·    Recta real. Como se ha mencionado, es esencialmente una recta numérica ampliada, en el sentido de una recta geométrica con una graduación fija y densa de modo que cada número real corresponde a un único punto en la recta. Para nuestros propósitos, la recta real es un «espacio topológico», lo cual aquí significa que la recta y el conjunto de todos los números reales que representa pueden usarse sin distinción para referirse a la misma cosa abstracta,^[100] la cual, también se ha mencionado, se llama de manera habitual «el continuo», donde este término significa exactamente lo que aparenta significar: el origen y la manifestación de la continuidad combinados.

·    Función. Ya bastante tratado en § 3a, o eche un vistazo a esta maravillosa definición directa de una clase de matemáticas escolares: «Una relación entre dos cosas donde el valor de una está determinado por el valor de la otra». Recordará del álgebra básica que en una función típica como y = f(x), x es la variable independiente e y es la variable dependiente, en el sentido de que los cambios en x producen cambios en y según las reglas de f. El conjunto^[101] de todos los valores posibles que la variable independiente puede adquirir se llama el dominio de la función. El conjunto de todos los valores posibles de y es el recorrido de la función.

·    Función real. Una función cuyos dominio y recorrido son conjuntos de números reales.

·    Función continua (a). La función y = f(x) es continua si cambios muy pequeños en x dan solo cambios muy pequeños en y: no hay grandes saltos ni interrupciones ni cosas extrañas. Si una función es discontinua, habitualmente es discontinua para cierto valor de la variable independiente, por ejemplo,

es discontinua en x = 1.^[102] (Para su información, resulta que hay todo tipo de discontinuidades, cada una con su comportamiento, gráfica y nombre técnico característicos, «discontinuidad de salto», «discontinuidad evitable», «discontinuidad asintótica», pero mejor no nos vamos a liar con esas distinciones).

·    Intervalo. El espacio en la recta real entre dos puntos, digamos p y q, que es equivalente al conjunto de todos los números reales entre p y q. Aquí, p y q se llaman los extremos del intervalo. El intervalo cerrado [p, q] contiene los extremos, el intervalo abierto (p, q) no. Observe los corchetes en el caso de los intervalos cerrados y los paréntesis en el caso de los intervalos abiertos; así es como se simboliza la diferencia.

·    Entorno. En la recta real, el entorno de un punto p es el intervalo abierto (p− a, p + a) donde a > 0. Otra manera de expresar eso es decir que el a-entorno de p es el conjunto de todos los puntos cuya distancia a p es menor que a.

·    Función continua (b) Las funciones se califican a menudo de continuas/discontinuas en o sobre ciertos intervalos. Una función f(x) es continua en el intervalo abierto (p, q) si es continua en cada punto de (p, q). Para que sea continua en el intervalo cerrado [p, q], tiene que cumplirse lo siguiente:

que, por supuesto, solo tendrán sentido si está usted familiarizado con los límites.

Límites. O quizá más bien límites y cotas, pues estos están relacionados pero también son crucialmente diferentes. La distinción es probablemente más fácil de ver respecto a las sucesiones. ¡Uy!

·    Sucesión. Cualquier secuencia de términos formada mediante alguna regla, por ejemplo, la sucesión geométrica 1, 2, 4, 8, 16,…, 2ⁿ⁻¹,…

·    Límites y cotas (a-d) La técnica memorística informal que el doctor G. siempre sugería era que límite involucra las expresiones «tiende a» o «se aproxima a», mientras que cota se califica de «superior» o «inferior»,

a.      El límite de una sucesión es el gran concepto tácito tras la dicotomía de Zenón y está implícito en la exhaustación de Eudoxo, la volumétrica de Kepler, etc. Respecto a las sucesiones, «límite» se refiere al número al que nunca llegamos realmente pero al que nos aproximamos más y más y más, a medida que aumenta el número de términos de la sucesión. Expresado de un modo algo más excitante, el límite L de una sucesión infinita p₁, p₂, p₃, …, p_n, … es el número al que la sucesión se aproxima (o al que «tiende») cuando n se aproxima a donde esta última aproximación se simboliza mediante una pequeña «→» bajo la línea de texto, siendo la expresión completa:

b.     El límite de una función es básicamente el valor al que se aproxima la variable dependiente cuando la variable independiente se aproxima a algún otro valor. Un ejemplo frecuente de las clases de cálculo es

donde f(x) se aproxima a 0 cuando x tiende a ∞, expresado según^[103]

c.      Una cota de una función es un «espécimen» totalmente distinto. Es una restricción de algún tipo (o de algunos tipos) sobre el recorrido de la función. Un ejemplo clásico de la trigonometría es f(x) = sen x, donde todos los valores de f(x) van a estar entre −1 y 1. Más importante para nuestros propósitos es que las funciones pueden tener cotas superiores (M) y/o cotas inferiores (L) tales que f(x) ≤ M y/o f(x) ≥ L, para toda xdel dominio de la función. Incluso más importantes son las todavía más restringidas mínima cota superior y máxima cota inferior de una función, donde M₁ es la mínima cota superior de f(x) si cualquier otra cota superior M_n es ≥ M₁, y L₁ es la máxima cota inferior de f(x) si es ≥ que cualquier otra cota inferior L_n.

d.     Las sucesiones pueden tener cotas de modo muy parecido al de las funciones. La sucesión infinita de enteros positivos 1, 2, 3,… obviamente tiene una cota inferior en 0, que también será la cota superior de −1, −2, −3,… Una sucesión acotada es una que tiene cota superior y cota inferior: por ejemplo, si x ≥ 1, es fácil ver que la secuencia generada al desarrollar^[104]

será acotada.^[105][106]

·    Series. Definibles como sucesiones cuyos términos están sumados los unos a los otros, como en la serie geométrica

1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… + 2ⁿ⁻¹ +…

La relación íntima de las series con las sucesiones significa que comparten la mayoría de las cualidades y predicados asociados, con una gran excepción: donde las sucesiones tienen límites, las series tienen límites y sumas. Puede que recuerde la infame sigma mayúscula de las matemáticas superiores, que le permite designar la suma incluso de series con un número infinito de términos: porque resulta que todas las series interesantes son infinitas. La suma de la serie infinita p₁ + p₂ + p₃ + … + p_n … se escribe

donde los pequeños y antipodales «∞» y «n = 1» indican los límites (en el sentido del intervalo de posibles valores de n) de la serie.^[107] Las series infinitas son convergentes si convergen hacia una suma finita (véase, por ejemplo, cómo la zenoide

converge hacia la suma 2) y divergentes si no lo hacen (como la serie 1 + 2 + 3 + 4 + …). Pero ambos tipos de series tienen por lo menos sumas abstractas^[108] que se pueden simbolizar mediante ∑ y tratadas como cantidades en cálculos posteriores.

·    Producto infinito. Algo así como una serie infinita excepto que los términos se multiplican.^[109] Muchas cosas en trigonometría, de π a las funciones seno y coseno, pueden representarse como productos infinitos, dependiendo de cómo se traten los desarrollos.

·    Desarrollo o expansión. Esto significa expresar algo matemático en forma de sucesión/serie/producto (estamos especialmente interesados en desarrollos en serie). Su funcionamiento depende de lo que esté usted desarrollando. El desarrollo de una expresión matemática habitualmente es bastante directo. Recuerde todas las operaciones mecánicas de las matemáticas de bachillerato, como

(x + y)²→x² + 2xy + y²

(respecto a las cuales recordará también que cualesquiera constantes haya delante de las variables de los términos se conocen como los coeficientes de la serie). Las funciones, por otro lado, son más interesantes y, por lo tanto, más complicadas. Ni siquiera todas son desarrollables, para empezar. Para que una función sea representable como una serie, el desarrollo en serie de la función, o bien

1.            tiene que ser finito, o bien

2.            si es infinito tiene que converger hacia la función para todos los valores de las variables.

Ejemplo: la función trigonométrica cos x es representable por la serie de potencias convergente^[110]

·    Serie de potencias. Un tipo particular de serie que incluye exponentes (o sea, potencias), siendo la forma genérica de una serie de potencias

p₀ + p₁x + p₂x² + p₃x³ + … + p_nxⁿ + …

donde los valores de x son números reales y las p son coeficientes.

Curiosidad: el desarrollo de todas las funciones básicas (seno, coseno, elípticas, hiperbólicas, logarítmicas y exponenciales) son todas series de potencias (como también lo es la dicotomía de Zenón).

·    Series de Fourier, que son algo así como la suma de dos series de potencias; se estudian en matemáticas superiores^[111] y pueden constituir verdaderos quebraderos de cabeza, pero son vitales para el contexto de la matemática transfinita y merecen por lo menos una explicación general. Para nuestros propósitos, las series de Fourier se pueden ver como desarrollos de funciones periódicas, respecto a las cuales todo lo que necesita saber es que son maneras de representar varios tipos de ondas, por lo que a veces también se llaman funciones de onda. Las funciones de onda fundamentales son las trigonométricas sen x y cos x, y la serie de Fourier elemental es el desarrollo de una función periódica f(x) como —prepárese—^[112]

donde a y b son lo que se conoce como coeficientes de Fourier, los cuales son tan peliagudos conceptualmente que nuestro plan es evitarlos casi a cualquier precio.

·    Cuadratura. Este es el término del siglo XVII para cierto tipo de problema que condujo al cálculo integral. Técnicamente, se refiere a construir un cuadrado cuya área = el área delimitada por una curva cerrada. Una versión moderna temprana del viejo problema de la cuadratura del círculo, en otras palabras. Nos preocupamos de definir la «cuadratura» porque se usa más adelante en ciertos contextos históricos donde sería erróneo decir «integración» en su lugar, porque la integración, estrictamente hablando, no existía todavía.
Derivada (n). El McGuffin del cálculo diferencial. Es una expresión del ritmo de variación de una función respecto a su variable independiente.^[113] Como puede traer recuerdos de las clases de matemáticas, añadamos que la derivada de una función f(x) en cierto punto p puede entenderse como la pendiente de la tangente a la curva dada por y = f(x) en p, aunque esto no nos va a resultar demasiado útil. Una curiosidad importante como propina: el proceso de hallar la derivada de una función dada se llama diferenciación.

·    Integral (n). Esta es la inversa de la derivada, es decir, la función que tiene una derivada dada, esto es, la función de la que se deriva la derivada, es decir, si f(x) es la derivada de g(x), entonces g(x) es la integral de f(x). Encontraremos mucho más sobre esto, en un contexto moderno, en § 4. (N. B. El proceso de hallar la integral de una función dada se llama integración, que es lo que los matemáticos hacen a menudo cuando están atascados en un problema y no saben cómo continuar. De ahí el eslogan que puede verse en las habitaciones de muchos estudiantes universitarios: no te sientes a esperar: integra).

·    Análisis. Otro término altamente abstracto que no podemos ni embellecer ni evitar. Hay una definición muy formal que incluye el modo en que ciertos tipos de funciones varían en el entorno de un punto en una superficie, que dados nuestros objetivos generales podemos omitir en favor de la idea de que el análisis es la rama de las matemáticas que estudia cualquier cosa relacionada con los límites o los «procesos límite», o sea, el cálculo, las funciones de variables reales o complejas, la topología de la recta real, las sucesiones y las series infinitas, etc. En los libros y las clases suelen hallarse referencias al análisis como «las matemáticas de la continuidad». Lo cual puede despistar un poco, porque a la mayoría nos enseñan que la continuidad es la jurisdicción del cálculo, y hay algunas áreas completamente fuera del cálculo que siguen siendo análisis, y de las cuales un par son especialmente relevantes. El álgebra, de algún modo, se mezcla con el análisis a través del teorema del binomio^[114] cuando n es < o y el desarrollo de (p + q)ⁿ se convierte en la infame serie binomial. De modo parecido, trigonometría → análisis cuando, por ejemplo, las funciones seno y coseno se desarrollan en sus respectivas series de potencias.

Una complicación adicional es que para las matemáticas modernas «análisis» también puede tener como connotación un tipo particular de espíritu metodológico propio de las disciplinas recién mencionadas. Véase, por ejemplo, lo siguiente, del Oxford Concise Dictionary of Mathematics: «El término "análisis" ha llegado a usarse para indicar un enfoque bastante más riguroso de los temas del cálculo y de los fundamentos del sistema de los números reales» (Clapham, pág. 6), donde la última frase = el ámbito de Dedekind y Cantor, y las razones por las que los temas del cálculo debían haber necesitado «un enfoque más riguroso» constituyen la verdadera causa motivadora de su trabajo. En pocas palabras, toda la cuestión de rigor-y-fundamentos era parte de la gran emergencia filosófica de las matemáticas poscálculo, una profunda división acerca del modo en que los entes matemáticos debían ser considerados, y los teoremas, demostrados. Y esta división es a su vez el contexto profundo tras las controversias respecto a las matemáticas transfinitas de Cantor. Todo lo cual será analizado mientras avancemos.
Otro aspecto implícito en la cita del diccionario Oxford son las viejas oposiciones entre discreto y continuo y entre geometría y matemáticas puras. Resulta que todos los grandes nombres tras el cálculo temprano estaban preocupados por las funciones continuas y magnitudes que eran o bien directamente geométricas (rectas, curvas, áreas, volúmenes) o representables geométricamente (fuerza, velocidad, aceleración). Pero ahora tenga en cuenta que una de las mayores preocupaciones de las matemáticas en el siglo anterior a Cantor y Dedekind será la aritmetización del análisis, que esencialmente significa obtener teoremas sobre funciones continuas usando solo números, no curvas o áreas. Esa aritmetización acaba llevando el análisis más hacia los territorios del álgebra y la teoría de números, campos que hasta entonces se habían dedicado a entes matemáticos y fenómenos 100% discretos. Lo que ocurre en el análisis del siglo XIX será una separación de la geometría similar a la de las matemáticas griegas tras el descubrimiento de los irracionales por la D. H. P.
Estamos de nuevo algo adelantados, cronológicamente hablando. La principal cuestión relacionada con el ∞ que debe tenerse en cuenta a lo largo del siguiente par de § s será por qué exactamente el cálculo debía haber requerido el rigor adicional mencionado antes en el Glosario de emergencia (en el cual más o menos ya no estamos). También vale la pena subrayar, de nuevo para su futuro uso, que la distinción más importante entre los fenómenos discretos y continuos en las matemáticas es que los primeros se pueden caracterizar simplemente mediante números racionales, mientras que la continuidad requiere todos los números reales, incluyendo los irracionales.
Resulta que una figura importante tanto en la aritmetización del análisis como en las matemáticas del ∞ Bernard P. Bolzano (1781-1848) de la Universidad de Praga. Por diversas razones este es el lugar adecuado para hablar de él, aunque para hacerlo tendremos que entrar brevemente en el siglo XIX y luego saltar de nuevo hacia atrás en el próximo § . En términos de aritmetización, el padre Bolzano es el menos conocido de un cuarteto de matemáticos que fueron pioneros de lo que se acabó conociendo como «análisis riguroso» a principios del siglo XIX, siendo los otros tres Augustin-Louis Cauchy, Niels Abel, y Peter Gustav Lojeune Dirichlet. Cauchy tiende a recibir mayor reconocimiento gracias, principalmente, a su Cours d'Analyse (1821), que durante ciento cincuenta años fue el libro de texto estándar de matemáticas superiores en Europa. A grandes rasgos, el proyecto de Cauchy implica intentar rescatar el cálculo de sus dificultades metafísicas^[115] definiendo los infinitesimales rigurosamente en términos de límites, pero buena parte del análisis de Cauchy todavía está ligado a la geometría de modos que acaban causando problemas. Es en realidad Bolzano, en su obra de 1817 Rein analytischer Beweis desLehrsatzes…,^[116] quien da la primera demostración puramente aritmética de un teorema que involucra funciones continuas.^[117] En este mismo libro proporciona lo que ahora se considera la definición matemática correcta de la continuidad: f(x) es continua en el intervalo A si en cualquier punto a de A la diferencia f(a + δ) − f(a) puede hacerse tan pequeña como se quiera haciendo que δ sea arbitrariamente pequeña. En realidad, Bolzano representa otra clara manifestación de los caprichos de la fama matemática. Algo de esto resultará aquí descontextualizado y ante rem, pero para su información, por ejemplo, su método para determinar si una serie es continua todavía se usa hoy, y se atribuye a Cauchy. O que Bolzano fue el primer matemático en obtener una función que es continua pero no diferenciable (es decir, sin derivada), un resultado que derribó la suposición del cálculo temprano de que la continuidad y la diferenciación iban de la mano, y fue completamente ignorado. La construcción por Karl Weierstrass de una función similar, treinta años más tarde, fue celebrada como su «descubrimiento».^[118]
Todo esto acabará siendo más importante de lo que parece ahora mismo, en particular la idea de la continuidad como una propiedad aritmética. Pero es el trabajo posterior de Bolzano sobre cantidades infinitas^[119] lo que resulta pertinente aquí, aunque solo sea porque es la conexión histórica más importante entre las Dos nuevas ciencias de Galileo y el trabajo de Dedekind/Cantor. Por lo menos, Bolzano, que era una especie de hereje, tanto matemática como religiosamente (por ejemplo, fue finalmente expulsado de la Universidad de Praga por sus sermones contra la guerra), es el primer matemático desde Galileo en tratar de manera explícita la distinción entre los infinitos real y potencial de Aristóteles. Como las DNC, la obra de Bolzano Las paradojas del infinito es profundamente anti-aristotélica, aunque también hay diferencias importantes: los argumentos de Bolzano son mucho más matemáticos que los de Galileo, y también su motivación. Para mencionar otra vez algunas cosas que después se desarrollarán con más detalle, lo que impulsa las P. del I. tiene que ver con ciertas dificultades metafísicas relacionadas con el despliegue de cantidades e incrementos de tipo ∞ en el cálculo. Prácticamente, todos los matemáticos poscálculo habían intentado esquivar u ofuscar esas dificultades invocando vagamente a Aristóteles y suponiendo que todos los ∞ que estaban manejando eran solo potenciales o «incompletos» (esta era la idea básica tras los límites cauchianos). Que Bolzano intentara abrir grandes hendiduras en dicha suposición es una razón por la que su trabajo recibió tan poca atención. También por ello, el profesor Cantor, que tiende a ser uniformemente vitriólico hacia la mayor parte de los tratamientos históricos del ∞, a menudo destaca a Bolzano con especial aprobación.^[120]
P. del I. es la consecuencia de los intereses combinados de Bolzano por las funciones, las colecciones infinitas y la recta real. Resulta que a este libro solo le faltan algunos conceptos para inventar la teoría de conjuntos moderna: «moderna» en el sentido de ser capaz de tratar conjuntos infinitos.^[121] Una de las importantes maneras en que anticipa el trabajo de Cantor es que expresa abiertamente algo que solo estaba implícito en la paradoja de Galileo, es decir, la idea de la correspondencia uno a uno como un modo de establecer la equivalencia de dos conjuntos. El enfoque de Bolzano respecto a la paradoja de Galileo es puramente abstracto, y cantoriano. Consiste en tomar algo que Galileo había atribuido a las limitaciones de la mente humana y considerarlo como una propiedad intrínseca de los conjuntos infinitos; o sea, el hecho de que un subconjunto de un conjunto infinito puede tener tantos elementos como el conjunto mismo. Como vamos a ver, tras Georg Cantor (cuyo propio trabajo fue controvertido pero para nada ignorado), los matemáticos entendieron que esa propiedad era, de hecho, la característica distintiva de los conjuntos infinitos, y la definición matemática formal de conjunto infinito se basa ahora en esta extraña equivalencia.
Observe también que la versión de Galileo de la equivalencia implicaba solo los grandes ∞ de todos los enteros y todos los cuadrados perfectos. Es Bolzano quien formula por primera vez la equivalencia entre los densos, zenoicos pequeños ∞ de la recta real. Lo hace en P. del I. examinando el conjunto de todos los números reales entre 0 y 1, es decir, el conjunto de todos los puntos en el intervalo cerrado [0, 1] de la recta real. Bolzano considera la función elemental^[122]y = 2xy observa que si los valores de x de su dominio son todos los puntos de [0, 1], la función asignará a cada x un único valor de y en el intervalo cerrado más largo [0, 2]. De modo que 0,26 corresponderá a 0,52; 0,74, a 1,48; 0,624134021…, a 1,248268042…, y así sucesivamente. En otras palabras, una perfecta correspondencia uno a uno: hay exactamente tantos puntos de la recta real en [0, 1] como los hay en [0, 2]. Y (como ahora parece obvio, pero Bolzano fue el primero en señalar) simplemente cambiando el coeficiente de x en la función por cualquier otro entero, y = 5x,y = 6,517x puede usted demostrar que hay exactamente tantos números reales entre 0 y 1 como entre 0 y cualquier otro número finito en el que pueda pensar.*

*Interpolación de tipo SEI

En realidad, como ya vimos en § 2e, el número de puntos en [0, 1] es igual a la de puntos en toda la recta real extendiéndose infinitamente en ambas direcciones. Aunque la demostración formal de esto es bastante elaborada,^[123] una demostración de la equivalencia está dentro de las capacidades del escolar medio. Tome el segmento de la recta real correspondiente a [0, 1] y suspéndalo por encima de la recta real entera, luego sitúe la punta de un compás en el punto medio exacto del segmento y trace la mitad inferior de un círculo C cuyo diámetro es 1,^[124] y dispóngalo de ese modo:

Tome cualquier punto de la recta real y trace una recta L desde este punto hasta el centro de C, es decir, hasta el punto medio del diámetro. Sea cual sea el punto de intersección con la semicircunferencia inferior, trace una recta vertical desde dicho punto hasta que corte al diámetro [0, 1], de nuevo como se indica:

Así, cualquier punto de la recta real puede, mediante una L₁, L₂, L₃, …, L_n, ser puesto en correspondencia uno a uno con un punto de [0, 1]. Q .E. D.

Fin de la interpolación

Premoniciones técnicas aparte, Las paradojas del infinito es también notable por sus intenciones metafísicas. En esto, también, se parece a las DNC y a parte del trabajo posterior de Cantor. La postura básica de Bolzano es desautorizar la cadena aristo-escolástica del ser. Cree que el universo creado es a la vez infinito en extensión e infinitamente divisible. La «Eternidad» es simplemente un ∞ temporal. Como la mayoría de los matemáticos religiosos desde Pitágoras hasta Gödel,^[125] Bolzano cree que las matemáticas son el lenguaje de Dios y que se pueden obtener y demostrar matemáticamente profundas verdades metafísicas. Lo que le falta, en términos de ampliar sus inspiraciones sobre tamaños ∞, densidades y equivalencias a verdaderos teoremas, son los conceptos de teoría de conjuntos acerca de la cardinalidad, ordinalidad y potencia tal como se aplican a colecciones de puntos.^[126] Puede establecer y demostrar la extraña equivalencia de conjuntos/subconjuntos infinitos, y puede vislumbrar que su relación no es contradictoria, sino paradigmática. Pero no tiene manera de convertir sus demostraciones en una auténtica teoría de los conjuntos infinitos y sus relaciones, comportamientos, etc. La principal razón de ello —por extraño que pueda parecer ahora— es que en la era de Bolzano todavía no hay ninguna teoría coherente del sistema de los números reales, ninguna definición rigurosa de número irracional.

Capítulo Cuatro

§ 4a.
El consenso académico es que ha habido tres grandes períodos de crisis en los fundamentos de las matemáticas occidentales. El primero fueron los inconmensurables pitagóricos. El tercero es la era (en la que se puede argumentar que estamos todavía) tras las demostraciones de incompletitud de Gödel y el derrumbe de la teoría de conjuntos cantoriana.^[127] La segunda gran crisis envolvió el desarrollo del cálculo.
Ahora la idea va a ser trazar de forma resumida cómo las matemáticas transfinitas evolucionan gradualmente a partir de ciertas técnicas y problemas asociados con el cálculo/análisis. En otras palabras, construir un andamiaje conceptual para contemplar y valorar los logros de Georg Cantor.^[128] Como se ha mencionado, esto significa ir diacrónicamente hacia atrás, hacia donde estaba la línea temporal original al final de § 3a.
O sea, que ahora estamos cerca del fin del siglo XVII, la época de la Restauración y el sitio de Viena, de pelucas altas como torres y pañuelos perfumados, etc. Sin duda, ya sabe que el cálculo fue el descubrimiento matemático más importante desde Euclides. Un avance fundamental en la capacidad de las matemáticas para representar la continuidad y el cambio y los procesos del mundo real. Ya se ha hablado de algo de esto. Probablemente también sabe que a Isaac Newton y/o Gottfried Wilhelm Leibniz se les suele atribuir su descubrimiento.^[129]
También podría saber —o por lo menos ser capaz de anticipar a partir de la cronología de § 3a— que la idea de una atribución exclusiva o incluso dual es absurda, como lo es la noción de que lo que ahora llamamos cálculo corresponda a cualquier invención individual. Incluso, según el más simple de los recuentos, la autoría tendría que ser compartida por al menos una docena de matemáticos en Inglaterra, Francia, Italia y Alemania que estaban todos ocupadísimos ramificando el trabajo de Kepler y de Galileo sobre funciones, series infinitas y las propiedades de las curvas, motivados (es decir que lo estaban, como ya se ha mencionado) por ciertos problemas científicos urgentes que también eran, o bien problemas matemáticos, o abordables como tales.
Estos eran algunos de los problemas motivadores más urgentes: calcular la velocidad y la aceleración instantáneas (física, dinámica), hallar la tangente a una curva (óptica, astronomía), hallar la longitud de una curva, el área delimitada por una curva, el volumen delimitado por una superficie (astronomía, ingeniería), hallar el valor máximo/mínimo de una función (ciencia militar, esp. artillería). Probablemente había algunas más. Ahora sabemos que todos estos problemas están estrechamente relacionados: todos son aspectos del cálculo. Pero los matemáticos que trabajaban en ellos en el siglo XVII no lo sabían, y Newton y Leibniz sí merecen un enorme reconocimiento por ver y conceptualizar las relaciones entre, por ejemplo, la velocidad instantánea de un punto y el área delimitada por la curva que describe su movimiento, o la tasa de variación de una función y el área dada por una función cuya tasa de variación conocemos. Fueron Newton y Leibniz los primeros en ver el bosque —o sea, el teorema fundamental de que la diferenciación y la integración son inversas mutuas— y fueron capaces de obtener un método general que funcionaba con todos los problemas de los tipos mencionados. Sobre el propio misterio de la continuidad. Aunque no sin tener que dar rodeos para evitar algunas horribles grietas en este bosque, y ciertamente no sin todo tipo de árboles preliminares en forma de resultados y descubrimientos de otras personas. Además de los ya mencionados en la cronología, están, por ejemplo:

·    1629 - Pierre de Fermat y su método para hallar los valores máximo y mínimo de una curva polinómica;

·    hacia 1635 - Gilles Personne de Roberval y su descubrimiento de que la tangente a una curva se podía expresar como una función de la velocidad de un punto móvil cuya trayectoria da la curva;^[130]

·    1635 - Francesco Bonaventura Cavalieri y su método de los indivisibles para calcular áreas bajo curvas;

·    1644 - Isaac Barrow y su método de las tangentes geométrico.

Además, hacia 1668, hay un párrafo muy premonitorio en el prefacio a la obra de James Gregory Geometriae Pars Universalis cuyo punto destacado es que la división realmente importante de las matemáticas no es en geométricas y aritméticas, sino en universales y particulares. Motivo por el que es premonitorio: varios matemáticos desde Eudoxo hasta Fermat habían inventado y puesto en práctica métodos propios del cálculo, pero siempre geométricamente y siempre en relación con problemas específicos. Son Newton y Leibniz quienes combinan los diversos métodos de las latitudes y los indivisibles y demás en una única técnica aritmética cuya amplitud y generalidad (es decir, su abstracción) son su gran fuerza.^[131] Pero sus formaciones y enfoques son diferentes. Newton llega al cálculo a través del método de las tangentes de Barrow, el teorema del binomio y el trabajo de Wallis sobre series infinitas. La ruta de Leibniz incluye funciones, pautas numéricas llamadas «sucesiones de sumas y sucesiones de diferencias», y una distintiva metafísica^[132] según la cual una curva podía ser tratada como una sucesión ordenada de puntos separados por una distancia literalmente infinitesimal. (En pocas palabras, para Leibniz las curvas son generadas por ecuaciones, mientras que las cantidades que varían a lo largo de una curva son dadas por funciones; seguramente hemos mencionado que tiene derechos de autor sobre el término «función»).
No vamos a entrar demasiado en el asunto de Newton contra Leibniz, pero las diferencias metafísicas en su manera de contemplar las cantidades infinitesimales son muy relevantes.^[133] Newton, en el fondo un físico que pensaba en términos de velocidad y tasa de variación, usó incrementos infinitamente pequeños en los valores de sus variables como herramientas desechables al llegar a la derivada de una función. La derivada de Newton era básicamente un límite de tipo eudoxiano de las razones de dichos incrementos cuando se volvían arbitrariamente pequeños. Leibniz, un abogado/diplomático/cortesano/filósofo para quien las matemáticas eran una especie de pasatiempo colateral,^[134] tenía una ya mencionada metafísica idiosincrática que involucraba ciertos extraños, fundamentales, infinitamente pequeños constituyentes de toda la realidad,^[135] y se puede decir que construyó su cálculo alrededor de las relaciones entre ellos. Esas diferencias tenían implicaciones metodológicas, obviamente, con Newton viéndolo todo en términos de tasas de cambio y el teorema del binomio, y, por lo tanto, tendiendo a representar las funciones^[136] como series infinitas, y Leibniz prefiriendo lo que se conoce como «formas cerradas», evitando las series y usando sumas y funciones tal cual, incluyendo funciones trascendentes cuando las algebraicas no daban resultado. Algunas de esas diferencias eran solo de gusto: por ejemplo, los dos usaron notaciones y vocabularios totalmente diferentes, aunque Leibniz era mejor y en términos generales ganó.^[137] Para nosotros, lo importante es que las versiones del cálculo de ambos hombres causaron serios problemas a las matemáticas como disciplina deductiva, lógicamente rigurosa, y fueron vigorosamente atacadas al mismo tiempo que hacían posible todo tipo de resultados increíbles en las matemáticas y la ciencia. La causa de la debilidad en los fundamentos debería ser fácil de ver, tanto si el problema es metodológico (en el caso de Newton) como metafísico (caso de Leibniz). Como se ha mencionado en § 2b y probablemente en alguna otra parte (y es de todos modos bien conocido), el problema concierne a los infinitesimales, que una vez más a finales del siglo XVII obligan a todos a intentar tratar con las matemáticas del ∞.
La mejor manera de hablar de esos problemas es resumir de qué modo funciona el cálculo temprano. Vamos a hacer una deducción no muy estándar de tipo cuadratura que consigue ilustrar varios aspectos de la técnica de una sola vez, de manera que no tenga usted que aburrirse con un montón de casos distintos. También vamos a mezclar en cierto modo los diferentes métodos y terminologías de Newton y Leibniz, pues la finalidad aquí no es la exactitud histórica, sino la claridad en la ilustración. Por la misma razón, vamos a evitar los casos de cómo-hallar-la-tangente y cómo-llegar-de-la-velocidad-media-a-la-velocidad-instantánea que usan la mayoría de los libros de texto.^[138]
Primero, tome como referencia la que vamos a llamar Figura 4a, la cual, por favor, observe que ni siquiera está remotamente a escala, pero tiene la ventaja de hacer que las cosas resulten fáciles de ver. Por la misma razón, la «curva» relevante en la Figura 4a es una recta, el tipo más simple de curva, respecto a la cual los cálculos no son nada complejos.^[139] La curva de la Figura 4a puede contemplarse, o bien como un conjunto de puntos dado por una función continua en un intervalo cerrado, o bien como la trayectoria de un punto en movimiento en el espacio 2D. Para este último caso, el newtoniano (que parece ser el preferido en la mayoría de las clases de matemáticas superiores), observe que aquí el eje vertical indica la posición y el eje horizontal es el tiempo (por una larga historia y buenas razones, podrían estar intercambia dos, o no estarlo, respecto a los ejes de las gráficas de movimiento que usted debió de ver en la escuela). Por lo tanto:

En primer lugar, pongamos que A, el área bajo la curva, es igual a x². (Esto puede parecer extraño porque la curva de la Figura es una línea recta, así que parece como si A en realidad debiera ser xy/2, pero para la mayoría de las curvas dibujadas exactamente a escala x² funcionará; o sea, que aquí sígame la corriente y suponga que y es exactamente igual a x). Esto significa que formalmente suponemos lo siguiente:

1.     A = x². Luego pongamos que x se incrementa en una cantidad infinitesimalmente pequeña t,^[140] con el área bajo la curva incrementándose consecuentemente en tz. Dado esto, y dada la igualdad en (1), obtenemos:

2.     A + tz = (x + t)². Desarrollando el binomio, obtenemos:

3.     A + tz − x² + 2xt + t². Y, como, por (1), A = x² podemos reducir (3) a:

4.     tz = 2xt + t². Ahora mire atentamente. Tomamos (4) y dividimos por tobteniendo:

5.     z = 2x + t. Mire de nuevo: al estar t definida como infinitesimalmente pequeña, 2x + t es equivalente, en términos finitos, a 2x, de modo que la ecuación relevante se convierte en:

6.     z = 2x. Y punto final. En un momento veremos qué demuestra esto (Lavine, págs. 16-17).

Probablemente se habrá dado cuenta de algún cambio serio en el tratamiento que hace esta deducción de la cantidad infinitesimal t. En el paso de (4) a (5), t es suficientemente > 0 para ser un divisor válido. En el paso de (5) a (6), sin embargo, t parece ser = 0, pues t sumada a 2x da 2x. En otras palabras, t se trata como o cuando conviene y como > 0 cuando conviene,^[141] lo cual parece dar lugar a la contradicción (t = 0) y (t ≠ 0), lo cual —como recordará de la anterior discusión sobre demostraciones por reducción al absurdo— parece una amplia base argumental para volver atrás y decir que debe de haber algún error en el uso de cantidades infinitesimales como t. Por lo menos, esa t parece un truco de notación, alguna versión matemática de la «contabilidad creativa» en economía.^[142]
Excepto por lo siguiente. Si pasa usted por alto la contradicción aparente, o por lo menos aplaza la reducción al absurdo, una deducción como la de la Figura 4a (la cual, a pesar de su parecido con el triángulo característico de Leibniz, es en realidad una versión simplificada del proceso que Newton usa en De Analysi)^[143]resulta ser una pieza de artillería matemática realmente notable, que arroja por lo menos dos resultados cruciales. El resultado nº 1 es que se puede demostrar que la tasa de cambio de x² es 2x si se acepta el cálculo

como representación del cambio de x durante el «instante» t.^[144] El resultado nº 2 es que se puede demostrar que la tasa de cambio del área A es la «curva» (o sea, la y de la Figura 4a; recuerde que una recta es un tipo de curva) que delimita A. Para verlo, calcule

y simplifique para obtener , luego divida por la sospechosamente conveniente tpara obtener z, la cual, recuerde, es solo «infinitesimalmente mayor» que y, y por lo tanto aquí se puede considerar como = y.^[145]
Acaba usted obteniendo y = 2x, la que resulta ser la función que da la curva de la Figura 4a. Lo cual significa que el resultado y = 2x lleva empaquetado el principio básico del cálculo integral: la tasa de cambio del área delimitada por una curva no es más que esa misma curva. Lo que, a su vez, significa que la integral de una función que tiene una derivada dada es la propia función, lo cual resulta ser el teorema fundamental del cálculo (T. F. C.);^[146] o sea, que la diferenciación y la integración son recíprocas^[147] del mismo modo en que lo son la multiplicación y la división o las potencias y las raíces, lo cual es el motivo de que el cálculo sea tan poderoso y de que Newton y Leibniz merezcan tanto reconocimiento: el T. F. C. combina ambas técnicas en un paquete de gran calibre (… mientras se acepten los posibles malentendidos acerca de si t = 0).
Sin embargo, la mayoría de nosotros no aprendimos esto así en la escuela. Si estudió usted un primer curso de cálculo es probable que aprendiera, mediante gráficos de velocidad-y-aceleración, a tomar el límite de Δx, o que

donde dy/dx es la notación de Leibniz y el concepto de límite es el modo en que el análisis poscálculo embelleció a posteriori todo el problema de los infinitesimales. Puede que recuerde o que sepa, por ejemplo, que en la mayoría de los libros de texto modernos un infinitesimal se define como «una cantidad que da o tras la aplicación de un proceso límite». Si usted es un auténtico superviviente de primer curso de cálculo, seguramente también puede recordar cuán brutalmente abstracto y antiintuitivo resulta intentar aprender esa cosa de los límites: casi nadie explica a los estudiantes de carrera los porqués del método,^[148] ni menciona que hay una manera más fácil o por lo menos más intuitiva de entender dx y Δx y t, concretamente como órdenes de 1/∞. La mayoría de los profesores, en cambio, intentan distraer a los estudiantes con vistosos ejemplos de la capacidad del cálculo para resolver todo tipo de complejos problemas del mundo real: desde la velocidad y aceleración instantáneas como la 1ª y la 2ª derivadas, a las órbitas elípticas de Kepler y la

de Newton, los movimientos de muelles disparados y bolas rebotando, las penumbras de los eclipses, o la intensidad de un sonido como función de la rotación del regulador de volumen, sin olvidar el panorama trigonométrico que se abre al aprender que d(sen x) = cos x y d(cos x) = − sen x, que la tangente es el límite de la secante, etc. Todo esto se presenta de manera habitual como preparación para dominar el concepto de límite, un concepto que en realidad no es menos abstracto o doloroso que intentar solo concebir dx o t como cantidades increíblemente, alucinantemente pequeñas.
A partir de todo lo dicho, queda claro que el verdadero motivo tras el enfoque del cálculo basado en los límites era que las cantidades infinitesimales de Newton y Leibniz, y sus juegos de manos con la notación, habían abierto algunas horribles hendiduras en los fundamentos de las matemáticas, dado que la proposición «(x= 0) y (x ≠ 0)» viola todo tipo de axiomas básicos de tipo LTE. Dado nuestro relato hasta ahora, lo más fácil de decir parece ser que la mayoría de dichos presuntos problemas en realidad estaban causados por la incapacidad de las matemáticas para tratar con cantidades infinitas, es decir, que, como en el caso de la dicotomía de Zenón y la paradoja de Galileo, la auténtica dificultad era que nadie entendía todavía la aritmética del ∞. No sería exactamente un error decir esto, pero para nuestros propósitos resultaría por lo menos algo pobre.^[149]Como todo lo demás acerca de las matemáticas tras el cálculo, las verdaderas dificultades y las cosas que están en juego aquí son más complejas.

§ 4b.
Recapitulemos y reformulemos un poco las cosas. La propia potencia del cálculo y su relevancia provocaron en las matemáticas de la modernidad temprana el mismo tipo de crisis que la dicotomía de Zenón había planteado a los griegos. Solo que de algún modo era peor. Las paradojas de Zenón no habían resuelto ningún problema matemático existente, mientras que las herramientas del cálculo sí lo habían hecho. La panoplia de resultados acerca del mundo real que permitió el cálculo ya se ha detallado, así como su extraordinaria pertinencia en aquel momento: todas las ciencias aplicadas se estaban dando de bruces con los problemas de los fenómenos continuos justamente cuando Newton y Leibniz y sus respectivas teorías dieron con una explicación matemática de la continuidad.^[150] Una que funcionaba. Una que condujo directamente a la gran decodificación moderna de las leyes físicas como ecuaciones diferenciales.
Solo que desde el punto de vista de los fundamentos es un desastre. Es todo un castillo en el aire. Los leibnizianos^[151] no podían explicar u obtener cantidades que fueran verdaderamente distintas de o pero a la vez infinitamente próximas a o. Los newtonianos,^[152] que afirmaban que el cálculo no dependía realmente de cantidades infinitesimales sino más bien de las «fluxiones» —donde fluxión significa la tasa de cambio de una variable dependiente del tiempo—, se basaban en el requisito de que los cocientes de dichas fluxiones se tomen justo cuando se desvanecen o surgen de 0, en el sentido del primer o último instante infinitesimal en el que son > 0, lo cual, por supuesto, no es más que sustituir cantidades infinitamente pequeñas por instantes infinitamente breves. Y los newtonianos no tenían una explicación mejor de esos cocientes instantáneos que la que tenían los leibnizianos de las cantidades infinitesimales.^[153] La única verdadera ventaja de la versión de Newton (para todo el mundo excepto para los estudiantes de primer curso de cálculo) es que ya tiene el concepto de límite implícito de algún modo en la idea de un primer/último instante que se desvanece de tan pequeño: serían principalmente Agustin-Louis Cauchy y luego Karl Weierstrass quienes desarrollaron todo esto. (Weierstrass, dicho sea de paso, fue profesor de Cantor).
A propósito de la continuidad, los infinitesimales y el cálculo, vale la pena echar un rápido vistazo a otra de las paradojas de Zenón contra el movimiento. Esta se llama habitualmente la paradoja de la flecha, porque analiza el intervalo de tiempo durante el cual una flecha está viajando desde su arco hasta la diana.^[154]Zenón observa que en cualquier instante específico de ese intervalo, la flecha ocupa «un espacio igual a sí misma», y dice que esto es lo mismo que estar «en reposo». La cuestión es que la flecha no puede estar realmente moviéndose en un instante, porque el movimiento requiere un intervalo de tiempo, y aquí un instante no es un intervalo: es la unidad de tiempo más pequeña imaginable, y no tiene duración, del mismo modo en que un punto geométrico no tiene dimensión. Y si en todos y cada uno de los instantes la flecha está en reposo, entonces la flecha no se mueve jamás. De hecho, nada se mueve en ningún caso, realmente, pues en cualquier instante dado todo está en reposo.
Hay por lo menos una premisa implícita en el argumento de Zenón, que puede ponerse en evidencia mediante un esquema:

1.     En todos y cada uno de los instantes, la flecha está en reposo.

2.     Cualquier intervalo de tiempo está compuesto de instantes.

3.     Por lo tanto, durante cualquier intervalo de tiempo la flecha no se está moviendo.

La premisa encubierta es (2), que es justamente lo que Aristóteles ataca en la Física, descartando todas las P. Z. sobre la base de que «… el tiempo no está compuesto de instantes indivisibles»,^[155] es decir, que la misma noción de que algo esté o bien en movimiento o bien en reposo en un instante es incoherente. Obsérvese, sin embargo, que es precisamente a esa idea del movimiento en un instante a la que el cálculo de Newton y Leibniz es capaz de hallarle sentido matemáticamente, y no solo el movimiento en general sino la precisa velocidad instantánea, sin olvidar la tasa-de-cambio-de-la-velocidad instantánea (= aceleración, 2ª derivada), la tasa-de-cambio-de-la-aceleración instantánea (= 3ª derivada), etc.
En relación con la paradoja de la flecha, el hecho de que el cálculo clásico sea capaz de tratar precisamente lo que Aristóteles dice que no puede ser tratado no es una coincidencia. Para empezar, eche otro vistazo a lo del instante «sin duración» de hace dos párrafos, y observe que este término es algo ambiguo. Resulta que el tipo de instante del que habla Zenón es, por lo menos matemáticamente, no algo de duración o, sino un infinitésimo. Tiene que serlo. Considere de nuevo la vieja fórmula escolar para el movimiento,

Velocidad × Tiempo = Distancia, o v = d/t.

Una flecha en reposo tiene una v de 0 y cubre una distancia 0d, obviamente. Pero si en términos de tiempo un instante = 0, entonces desde el punto de vista de Zenón se acaba postulando que 0 es el divisor en v = d/t, lo cual es matemáticamente ilegal/falaz del mismo modo que todo el asunto de «0 = 0/0» es ilegal/falaz.
Solo que aquí tenemos que ir de nuevo con cuidado, y también con las demás P. Z. Como ya se ha mencionado en todo tipo de diferentes contextos, no es lo mismo «tratar» algo que tratarlo realmente. Incluso si admitimos que el instante de Zenón es infinitesimal y, por lo tanto, apto para el tratamiento mediante fluxiones de Newton o el dx de Leibniz, probablemente ya puede ver que una «solución», al estilo del cálculo clásico, de la flecha de Zenón puede resultar trivial en el mismo sentido en que

es trivial respecto a la dicotomía. Es decir, la flecha es realmente una paradoja metafísica, y es precisamente una explicación metafísica de los infinitesimales lo que el cálculo no tiene. Sin tal explicación, todo lo que podemos hacer es aplicar a la flecha alguna fórmula de aspecto excitante que dependerá de los mismos infinitesimales misteriosos y de aspecto paradójico que Zenón usa desde el principio. Además, aún quedará la inquietante cuestión de cómo llega realmente una flecha a la diana tras un intervalo que contiene una infinidad de instantes de tamaño 1/∞.^[156]
El problema es que, siendo la flecha metafísica, también es extremadamente sutil y abstracta. Considere por ejemplo otra premisa encubierta, o quizás un tipo de subpremisa que está implícita en la parte (1) del argumento de Zenón: ¿es realmente verdad que algo tiene que estar o bien en movimiento o bien en reposo? Al principio parece ciertamente verdadero, suponiendo que tomemos «en reposo» como sinónimo de «no moviéndose». Recuerde la LTE, después de todo. Es seguro que, en cualquier instante dado t, algo o bien se está moviendo o bien no se está moviendo, en el sentido de que en el instante t tiene o bien una velocidad > 0 o una velocidad = 0. 
Que en realidad esta disyuntiva no es válida —que aquí la LTE no se puede aplicar realmente— puede verse examinando la diferencia entre el número 0 y la palabra abstracta «nada». Es una diferencia sutil, pero importante. La incapacidad de los griegos para verla fue probablemente lo que les impidió ser capaces de usar el 0 en sus matemáticas, lo cual fue un gran inconveniente. Pero 0 o nada es una de esas distinciones abstractas de las que es casi imposible hablar directamente: más bien tiene que hacerse mediante ejemplos. Imagine una clase de matemáticas, y que en esa clase hay un examen diabólicamente difícil que se puntúa sobre 100, e imagine que ni usted ni yo obtenemos ni un solo punto. Pero hay una diferencia: usted no está en la clase y ni siquiera hizo el examen, mientras que yo sí estoy, y lo hice. El hecho de que usted obtuviera o puntos de ese examen es, pues, irrelevante —su 0 significa Información No Disponible, nada—, mientras que mi 0 es un cero de verdad. O, si no le gusta esta, imagine que usted y yo somos, respectivamente, mujer y hombre, ambos sanos y con una edad de entre veinte y cuarenta años, y que ambos estamos en la consulta de un médico, y que ninguno de los dos ha tenido la regla en las últimas diez semanas, en cuyo caso mi número total de reglas no es nada, mientras que el suyo es 0, y, por lo tanto, significativo. Fin de los ejemplos.
Así que simplemente no es verdad que algo siempre tenga que ser o bien 0 o bien no-0: también podría ser nada, Información No Disponible.^[157] En cuyo caso hay una respuesta no trivial a la premisa de Zenón (1), a saber: el hecho de que la flecha no se esté moviendo en t no significa que su v en t sea o, sino más bien que su v en t no es nada. Que esta imprecisión en la premisa (1) no se capte enseguida se debe en parte a la cuestión del 0 o nada y en parte a la vertiginosa abstracción, de Cuarto Nivel, de palabras como «desplazamiento» y «movimiento». El término «movimiento», por ejemplo, es especialmente engañoso porque no parece para nada abstracto: parece denotar llanamente algo o algún proceso, mientras que, si piensa usted en ello,^[158] incluso el tipo más simple de movimiento es en realidad una complicada relación entre

a. un objeto,

b.     más de un lugar, y

c. más de un instante.

Punto a destacar: la falacia de la flecha está en la suposición que Zenón hace de que la pregunta «¿Está o no está en movimiento la flecha en el instante t?» es más coherente que «¿Qué nota obtuvo usted en ese curso que no hizo?» o «Un punto geométrico, ¿es curvo o recto?». La respuesta correcta a las tres es: Información No Disponible.^[159]
Admitámoslo, esta respuesta al problema de la flecha es, estrictamente hablando, más filosófica que matemática. Del mismo modo que una solución como la dada por el cálculo clásico será filosófica, también, en el sentido de que tiene que hacer afirmaciones metafísicas sobre los infinitesimales. La manera que tiene el análisis moderno de tratar esta P. Z. es muy diferente, y puramente técnica. Si alguna vez estudió el problema de la flecha en las matemáticas de bachillerato, probablemente aprendió que la premisa engañosa de Zenón es (1), pero no oyó nada^[160] sobre los instantes como infinitesimales. Esto (de nuevo) es porque el análisis ha hallado el modo de esquivar tanto los infinitesimales como el problema del o-como-divisor en sus representaciones de la continuidad. Así, en una clase moderna de matemáticas, la premisa (i) es declarada falsa porque la v-en-el-instante-t de la flecha se puede calcular como «el límite de v medias respecto a una sucesión de intervalos anidados que convergen a 0 y siempre contienen t», o algo muy parecido. Para su información, el lenguaje de esta solución^[161] es weierstrassiano: es su refinado concepto de límite^[162] lo que permitirá que el cálculo trate con los problemas, relacionados entre sí, de los infinitesimales y la divisibilidad infinita al estilo de Zenón.
Las relaciones específicas entre estos problemas son intrincadas y abstractas, pero para nosotros son totalmente oportunas. Por muy extraños o corrosivos para los fundamentos que sean los infinitesimales, resulta que su descalificación matemática/metafísica también da lugar a algunas pequeñas y perversas grietas. Ejemplo: sin los infinitesimales, aparentemente no tiene sentido hablar del «siguiente instante» o de la «fracción de segundo inmediatamente posterior», pues dos instantes no pueden ser sucesivos. Explicación: sin infinitesimales, admitiendo cualesquiera dos instantes supuestamente sucesivos t₁ y t₂, hay solo dos opciones: o bien no hay ningún (o sea, 0) intervalo de tiempo entre t₁ y t₂, o hay algún intervalo de tiempo > 0 entre ellos. Si el intervalo es 0, entonces t₁ y t₂ son claramente no sucesivos, porque entonces son exactamente el mismo instante. Pero si hay algún intervalo de tiempo entre ellos, entonces siempre hay otros instantes, a intervalos más pequeños, entre t₁ y t₂, porque cualquier intervalo de tiempo finito siempre se puede subdividir más y más, igual que las distancias en la recta numérica.^[163] Es decir, que nunca va a haber un t₂inmediatamente después de t₁. De hecho, mientras los infinitesimales sean non grata, siempre tiene que haber un número infinito de instantes entre t₁ y t₂. Esto es así porque si solo hubiera un número finito de tales casos intermedios, entonces uno de ellos, t_x, sería por definición el primero, lo cual implicaría que t_xes el instante más próximo a t₁, es decir, que t_x es el instante inmediatamente posterior a t₁, lo cual ya hemos visto que es imposible (porque, claro, ¿qué pasa con el instante (t_x- t₁)/2?
Si ahora está usted notando cierto parecido familiar entre estos problemas de instantes no sucesivos, las paradojas de Zenón, y algunos de los rompecabezas de la recta real descritos en § 2c y e, sepa que no es ninguna coincidencia. Todos son aspectos del gran enigma de la continuidad en matemáticas, el cual es que los entes relacionados con el aparentemente no pueden manejarse ni eliminarse. En ningún caso resulta esto más evidente que en el de los 1/x. 
Están llenos de paradojas y es imposible definirlos, pero si se destierran de las matemáticas al final hay que postular que cualquier intervalo tiene una densidad infinita,^[164] por lo cual la idea de sucesión no tiene sentido y ninguna ordenación de los puntos del intervalo puede completarse jamás, pues entre dos puntos cualesquiera habrá no solo algunos puntos más, sino toda una infinidad de ellos.
Conclusión general: por muy bueno que sea el cálculo para cuantificar el movimiento y el cambio, no puede hacer nada para resolver las verdaderas paradojas de la continuidad. En cualquier caso, no sin una teoría coherente del ∞.

Capítulo Cinco

§ 5a.
La tarea de las dos secciones siguientes es mostrar cómo las innovaciones de Dedekind y de Cantor surgieron más o menos del mismo modo que el cálculo; a saber, como maneras de tratar ciertos problemas que se habían hecho tan urgentes que las matemáticas no podían avanzar realmente sin afrontarlos. La idea de § 5 es trazar un esquema de los particulares desarrollos y controversias poscálculo que crearon un entorno en el cual las matemáticas transfinitas se hicieron posibles, lo cual es también decir necesarias. Por favor, obsérvese también el uso de la expresión «trazar un esquema». No hay modo de hacer una cronología, incluso burda, del período 1700-1850. Ocurren demasiadas cosas demasiado rápido.
En general, la situación de las matemáticas tras el año 1700 resulta enormemente extraña, y gran parte de esta extrañeza tiene que ver de nuevo con las relaciones entre la realidad empírica y la abstracción conceptual.^[165]Como puede atestiguar cualquiera que haya pasado de las matemáticas de bachillerato a las de primer curso de carrera, el análisis es exponencialmente más abstracto y difícil que cualquier otra cosa anterior.^[166] Al mismo tiempo, su poder explicativo no tiene precedentes y sus aplicaciones prácticas se disparan. Esto se debe principalmente a la capacidad del análisis para cuantificar el movimiento y el proceso y el cambio, y por el gran aumento en la generalidad de las leyes físicas expresadas como ecuaciones diferenciales y/o series trigonométricas. Al mismo mismo tiempo, igual que con el desarrollo del cálculo clásico, buena parte del progreso matemático desde 1700 hasta por lo menos 1830 responde a problemas científicos: de nuevo, algunos de ellos ya han sido mencionados. La cuestión es aquí todavía más empática que en § 3b: en cualquier campo, desde la astronomía hasta la ingeniería, la navegación, la tecnología de guerra, etc., las herramientas del análisis funcionaban realmente. El resultado fue lo que el bueno y viejo Morris Kline llama «una fusión virtual de las matemáticas y vastas áreas de la ciencia» (Kline, pág. 395).
Las ventajas de esa fusión son más obvias que sus peligros. Recuérdese una vez más que, supuestamente, una característica de incalculable valor que tienen las matemáticas es la verdad a priori, y deductiva, de sus teoremas. Las verdades científicas se establecen empíricamente. Son verdades inductivas, y como tales están sujetas a todas las incertidumbres abstractas de madrugada detalladas en § 1. La inducción, desde un punto de vista lógico, no tiene fundamento, mientras que las verdades matemáticas están construidas sobre el granito de los axiomas y las reglas de inferencia. Todo esto se ha analizado ya, así como las conexiones entre fundamentos y rigor, además de la parte del glosario de emergencia en § 3c acerca del análisis y su (eventual) intento de inyectar más rigor en el cálculo.
Conclusión: no es suficiente que las teorías matemáticas funcionen. También se supone que deben estar rigurosamente definidas y demostradas de un modo que se ajuste al gran estándar deductivo griego. Pero esto no es lo que ocurrió durante la mayor parte del siglo XVIII. Fue más bien como una burbuja financiera. Y durante un tiempo pareció estupenda. La «fusión virtual» por la que los descubrimientos matemáticos hicieron posible avances científicos que a su vez motivaron más descubrimientos matemáticos^[167] dio lugar a una situación parecida a la de un árbol^[168] de espectaculares ramas y abundantes hojas pero sin auténticas raíces. Todavía no existían definiciones rigurosas y fundamentadas de la diferencial, la derivada, la integral, el límite, o las series convergentes/divergentes. Ni siquiera de la función. Había constantes controversias, y, sin embargo, al mismo tiempo parecía que no le importaba a nadie.^[169] El hecho de que los infinitesimales del cálculo (y/o ahora los límites de tipo ∞ hacia los que las cantidades podían «tender» sin llegar nunca realmente) funcionaran tan bien sin ninguna fundamentación coherente, de algún modo infectó todo el espíritu del análisis. Sin que nadie lo dijera de forma explícita, las matemáticas empezaron a operar inductivamente.
Fue en los terrenos de las funciones, las ecuaciones diferenciales y las series trigonométricas donde surgieron muchos de los avances más significativos del siglo XVIII y muchas de sus más abominables confusiones. En relación con nuestro relato, va a ser importante examinar algunos de los problemas matemáticos y científicos específicos en los que se usaron dichos conceptos. Esto a su vez requerirá otro glosario de emergencia relevante (aunque algo más duro)^[170], al cual está usted de nuevo invitado a dedicar exactamente el tiempo o la atención que sus conocimientos o su interés merezcan (pero que probablemente debería por lo menos hojear y dejar a punto para consultas posteriores si las dificultades in situ lo requieren), etc.

Glosario de emergencia II

Derivada (n) y Diferencial (n) Deben distinguirse aunque están tan estrechamente relacionadas que una derivada a veces se llama un «coeficiente diferencial». Recuerde del G. E. I que una derivada es la tasa de cambio de una función respecto a la variable independiente. En el caso de una simple función como y = f(x),^[171] la derivada es dy/dx . Pero aquí los dx y dy individuales son diferenciales. En algo como y = f(x), donde x es la variable independiente, la diferencial de x (es decir, dx) es cualquier cambio arbitrario en el valor de x, en cuyo caso dy se puede definir mediante dy = f'(x)dx, donde f'(x) es la derivada de f(x). (¿Le parece que tiene sentido? Si f'(x) = dy/dx, entonces dy es bastante claramente f'(x)dx).
Una manera fácil de aclarar ambos términos es recordar que una derivada es literalmente el cociente de dos diferenciales, que es como muchos leibnizianos definían en realidad la derivada para empezar.
Derivada parcial y diferencial total es la distinción correspondiente en el caso de «funciones de varias variables»,^[172] es decir, las que tienen más de una variable independiente. Una derivada parcial es la tasa de cambio de una función multivariable respecto a una de las variables relevantes, tomando las demás como constantes. Así, en general una función tendrá tantas derivadas parciales como variables independientes. Para las derivadas parciales se usa un símbolo especial que el doctor Goris llamaba el «6 disléxico». Por ejemplo, las derivadas parciales de la función que da el volumen de un cilindro recto, V = πr²h, son

Una diferencial total, por otro lado, es la diferencial de una función con más de una variable independiente, lo cual habitualmente equivale a decir que es la diferencial de la variable dependiente. Los ∂s también se usan en las diferenciales totales. En el caso de una función multivariable como z = f(x, y), la diferencial total de z, dz, será

Estas dos primeras definiciones pueden parecer excesivamente sutiles pero, de hecho, son necesarias para entender las
Ecuaciones diferenciales (a-c [siendo (b) bastante extensa]), que son la herramienta matemática nº 1 para resolver problemas de física, ingeniería, telemetría, automática y todo tipo de disciplinas científicas. Habitualmente se empieza a flirtear con las E. D. al final de las matemáticas de primer curso de carrera. Y en el tercer curso de cálculo se empieza a descubrir cuán ubicuas y difíciles son realmente. 
En un sentido amplio, las ecuaciones diferenciales involucran relaciones entre una x independiente, una y dependiente, y por lo menos una de las derivadas de yrespecto a x. Las E. D. pueden considerarse o bien cálculo integral combinado con algún tipo de alucinógeno de clase IV o bien (mejor^[173]) como «metafunciones», en el sentido de hallarse un nivel de abstracción por encima de las funciones normales; a su vez esto significa que si una función ordinaria es una especie de máquina en la que se introducen ciertos números y de la que salen otros números,^[174] una ecuación diferencial es otra especie de máquina en la que se introducen ciertas funciones y de la que salen otras funciones. Entonces, la solución de una ecuación diferencial concreta es siempre alguna función, específicamente una que se puede poner en el lugar de la variable dependiente de la E. D. para dar lugar a lo que se conoce como una «identidad», que es básicamente una tautología matemática.
Puede que esto no haya sido de mucha ayuda. En términos más concretos,^[175]una simple ecuación diferencial como

tiene como solución aquella función cuya derivada es 3x² − 1. Esto significa que ahora se necesita la integración, es decir, hallar por lo menos una función equivalente a ∫(3x² − 1)dx. 
Si recuerda algo de las matemáticas de primero de carrera, probablemente verá que

(donde C es la infame constante de integración),^[176] ecuación que es lo mismo que y = x³ − x + C, que al fin resulta ser la solución general de la ecuación diferencial dy/dx = 3x² − 1. Las soluciones particulares de dicha E. D. serán aquellas funciones en las que C toma algún valor específico, como, por ejemplo, y= x³ − x + 2 (semisemiextractado a partir de Berlinski, págs. 230-231).
Gráficamente, a causa de C y la cuestión de lo particular/general, las ecuaciones diferenciales tienden a dar «familias de curvas» como soluciones. Los desarrollos de las ecuaciones, por otro lado, normalmente dan secuencias de funciones, y sepa que el cambio en el análisis de las sucesiones/series de cantidades a las sucesiones/series de funciones acaba resultando crucial para la historia del ∞. Desde el punto de vista histórico, este cambio caracteriza la transición de las matemáticas desde el análisis del siglo XVIII al estilo de Euler al de principios y mediados del siglo XIX más al estilo de Cauchy. Como se mencionó brevemente en § 3, al barón Agustin-Louis Cauchy se le atribuye el primer intento real de dar rigor al análisis. Propuso un concepto de límite más sofisticado, basado en la convergencia, y fue capaz de definir la continuidad, los infinitesimales, e incluso del ∞ en términos de dicho concepto.^[177]
También fue Cauchy el primero que trabajó seriamente en las series de funciones, en las cuales los problemas realmente cruciales también involucran la convergencia.

Interpolación rápida incrustada en (b)

Las E. D. de (b) van a complicarse. Además de estar invitado a consultar el G. E. I cuando sea apropiado, debe usted conocer dos hechos relacionados: (1) La convergencia es (o por lo menos parece) muy diferente en el caso de las sucesiones/series de funciones que en el caso de las sucesiones/series de cantidades. Por ejemplo, una serie convergente de funciones tiende hacia una cierta función… o más bien es más preciso decir que la suma de una serie convergente de funciones siempre convergerá a una función.^[178] (2) Hay un montón de conexiones entre los conceptos de continuidad para funciones y de convergencia para series de funciones. Afortunadamente, solo unas pocas de ellas nos importan, pero en conjunto dichas conexiones llegan hasta el mismo agitado corazón del análisis del siglo XIX, y algunas cosas se hacen extremadamente complicadas. Un ejemplo es un famoso error que cometió Cauchy, que se presenta aquí solo como una indicación de lo estrechamente ligadas que están la continuidad y la convergencia respecto a las funciones. Cauchy sostenía que si la suma de una sucesión de funciones continuas c₀, c₁, c₂,… converge en todas partes de un cierto intervalo hacia una función C, entonces la propia función C es continua en ese intervalo. Por qué eso era importante, y erróneo, quedará claro, con un poco de suerte, en un par de §.

Fin de la interpolación. Regreso al párrafo 2 de (b), en curso

Como no podemos hacer sumas parciales con las series de funciones, resulta importante pensar en comprobaciones generales de la convergencia de dichas series/sucesiones. Una comprobación general pionera llamada condición de convergencia de Cauchy (o «3C») de la década de 1820 sostiene que una secuencia infinita a₀, a₁, a₂, …, a_n, … converge (es decir, tiene límite) si y solo si el valor absoluto de (a_n+r − a_n) es inferior a cualquier cantidad especificada para todo valor de r, suponiendo que n sea suficientemente grande.^[179]
Un hecho final respecto a las funciones y la convergencia (que probablemente se tendría que haber incluido en la anterior interpolación): para demostrar que una función F es representable (= desarrollable) como una serie infinita, debe ser posible verificar que la serie converge en todos los puntos hacia F. Lo cual, obviamente, no puede hacerse sumando un número infinito de términos: se necesita una demostración abstracta. Esto también será importante cuando lleguemos a los primeros trabajos de Cantor sobre análisis.
Una de las razones por las que las ecuaciones diferenciales son tan difíciles para los estudiantes es que existen muchos tipos y subtipos distintos, especificados por toda clase de nomenclatura sofisticada: «orden», «grado», «separabilidad», «homogeneidad», «linealidad», «factor de crecimiento», «factor de decrecimiento», etc. Para nosotros, la distinción más importante es entre una ecuación diferencial ordinaria y una ecuación diferencial parcial. Una E. D. parcial involucra más de una variable independiente, y, por lo tanto, derivadas parciales (de aquí el nombre), mientras que una E. D. ordinaria no contiene derivadas parciales. Como la mayoría de los fenómenos físicos son lo bastante complicados para requerir funciones multivariable y derivadas parciales, no es sorprendente que las ecuaciones diferenciales verdaderamente útiles y significativas sean las parciales. Un par más de términos sobre E. D. que debe conocer son condiciones de frontera y condiciones iniciales, los cuales tienen que ver con especificar valores permitidos de la función y/o cualesquiera constantes que intervengan en la ecuación. Esos términos son pertinentes porque hay importantes conexiones entre dichas condiciones y la especificación de ciertos intervalos de la recta real en los cuales una función puede adquirir valores, lo cual después resultará crítico para el análisis weierstrassiano de mediados del siglo XIX del que hablaremos en § 5e.
La ecuación de onda. Se trata de una E. D. parcial especialmente famosa y poderosa. De enorme influencia tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, sobre todo en la física y en la ingeniería.^[180] Para nuestros propósitos, la forma relevante de la ecuación de onda es la iD o «no laplaciana», la cual (SEI) tiene este aspecto:

Series trigonométricas, que probablemente tendrían que haber sido tratadas en el G. E. I, son básicamente series cuyos términos se escriben como los senos y los cosenos^[181] de varios ángulos. La forma genérica es habitualmente algo parecido a

Las series trigonométricas tienen un papel importante en nuestro relato, no solo porque contienen las series de Fourier como subtipo,^[182] sino también porque ciertas funciones muy importantes pueden representarse a la vez mediante series trigonométricas y mediante ecuaciones diferenciales parciales. Resulta que las conexiones entre E. D. parciales y series trigonométricas llegan directamente a la raíz de lo que es una función. Y, de hecho, la definición matemática moderna de función —que difiere de la definición ad hoc del G. E. I pues especifica que la asociación entre cada x y su f(x) puede ser 100% arbitraria, sin requerir ninguna regla ni siquiera explicación^[183]— es el resultado de un trabajo exhaustivo sobre las relaciones entre las funciones y sus representaciones como series.
Convergencia uniforme y secretos asociados (a-e). Estos términos incluyen las definiciones del G. E. I de intervalo y función continua así como el material sobre la convergencia de series y funciones según Cauchy en el apartado anterior Ecuaciones diferenciales (b). Además de ser necesaria para entender ciertos resultados precantorianos importantes en posteriores §, esta definición le dará alguna idea de la abstracción realmente vertiginosa del análisis del siglo XIX.

a. Definición central: una serie de funciones continuas de x en un intervalo (p, q) es uniformemente convergente si converge para cada valor de x entre p y q. También hay detalles que podemos omitir sobre la pequeñez arbitraria de los «residuos»^[184] de las series. Lo crucial es que la suma de una serie uniformemente convergente será también una función continua de x en el intervalo (p, q).

b.     Así como no todas las series son convergentes, no todas las series convergentes son uniformemente convergentes. Ni todas las series convergentes son monótonas, lo cual esencialmente significa que cambian siempre en el mismo sentido. Ejemplo de serie monótona decreciente: la dicotómica^[185]

c. Algo que tiene relación con la convergencia de las series en un intervalo dado (p, q) es el asunto de si una función f(x) es seccionalmente continua en un intervalo dado (p, q), lo que ocurre cuando (p, q) se puede dividir en un número finito de subintervalos, siendo f(x) continua en cada subintervalo y teniendo un límite finito en cada extremo inferior (= p) y superior (= q). (Observe aquí que «seccional» también puede modificar/especificar la monotonía^[186], es decir, que algunas series son seccionalmente monótonas, un pequeño recordatorio que necesitará tener a mano en algún punto de § 5d).

d.     Por razones complicadas, si una función es seccionalmente continua, tendrá solo un número finito de discontinuidades en su intervalo (p, q) relevante. He aquí un término fácil de entender: una discontinuidad es simplemente un punto^[187] en el cual la función f(x) no es continua. Ejemplo: la semifourieriana

tendrá claramente discontinuidades en los valores de x que hagan cos(x − α) igual a 1. Hay muchas subespecies diferentes de discontinuidades, hecho que en su mayor parte vamos a pasar por alto.

Gráficamente, una discontinuidad es un punto en el cual una curva no es suave, es decir, donde salta, o cae bruscamente, o incluso tiene un agujero. Véase también un poco de sutileza semántica: como la palabra discontinuidad también puede referirse, con abstracción de 2º nivel, a la condición general de que algo sea no continuo, el término punto excepcional se usa a veces para referirse a un punto específico en el cual hay una discontinuidad. Aquí el meollo de la cuestión es que el análisis tiende a usar «discontinuidad» y «punto excepcional» de modo intercambiable.
Finalmente: un término engañosamente parecido a «convergencia uniforme» es convergencia absoluta, que matemáticamente es algo totalmente diferente. Una serie convergente infinita S puede tener términos negativos (por ejemplo, la serie de Grandi de § 3a). Si todos los términos negativos de S se convierten en positivos (es decir, si solo se admiten los valores absolutos de los términos) y Sconverge todavía, entonces es absolutamente convergente. Si no, es condicionalmente convergente.

Fin del g. E. II

Lo principal de § 5 hasta ahora: desprovistas de amarre durante el siglo XVIII, pero cruciales, flotan en el ambiente ideas sobre funciones, funciones continuas, funciones convergentes, etc., con todas sus distintas definiciones respectivas y propiedades en constante evolución y refinamiento al abordar el análisis varios problemas. Como se ha mencionado, e igual que en el siglo XVII, muchos de esos problemas eran científicos/físicos. He aquí algunos de los grandes problemas del siglo XVIII: el comportamiento de cadenas flexibles suspendidas de dos puntos (también conocidos como «problemas de catenarias»), los movimientos de un punto a lo largo de curvas descendientes (=«la braquistócrona»), las barras elásticas bajo tensión, los movimientos de un péndulo en medios que presentan resistencia, las formas adquiridas por una vela bajo la presión del viento (=«velaria»), las órbitas de los planetas los unos respecto a los otros, las curvas cáusticas en óptica, y los movimientos de rumbo fijo (respecto a la brújula) en una esfera (la Tierra) o problema de la «loxodrómica». Para nuestros propósitos, el más importante de todos es el infame problema de la cuerda vibrante (P. C. V.), que en algunos sentidos se remonta a los descubrimientos de Pitágoras acerca de la escala diatónica en § 2a. El P. C. V. general es: dadas la longitud, la posición inicial y tensión de una cuerda de la que se tira verticalmente, calcular sus movimientos cuando se la libera y empieza a vibrar. Esos movimientos serán curvas, lo cual es decir lo mismo que funciones.
La razón por la que el P. C. V. es, a menudo, un pilar de las matemáticas de segundo curso de carrera es que marca la primera aplicación real de las ecuaciones diferenciales parciales a un problema físico. He aquí un poco de historia. En la década de 1740, Jean le Rond D'Alembert propone lo que es básicamente la ecuación de onda 1D como la representación correcta del P. C. V., dando^[188] la solución general

y = f(x + ct) + g(x − ct)

donde x es un punto de una cuerda de longitud π, y es el desplazamiento transversal de x en el tiempo t, c es una constante,^[189] y f y g son funciones determinadas por las condiciones iniciales. Donde las cosas se ponen controvertidas es en el alcance que se puede permitir a f y g. Resulta que la solución de D'Alembert solo funciona si la «curva inicial» de la cuerda (es decir, el modo en que se la tensa al principio) es ella misma una función periódica. Esto impone una gran restricción al modo de tensarla, mientras que, por supuesto, en las matemáticas y en la ciencia se desean soluciones lo más generales posible. Y así, jugadores de primera línea como Leonard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph Louis LaGrange, Pierre Simon de Laplace y D'Alembert^[190] empiezan a discutir acaloradamente unos con otros sobre si dejar que la tensión inicial de la cuerda sea cualquier tipo de curva/función, sobre cómo hacerlo y conseguir que la ecuación de onda siga siendo aplicable. En pocas palabras, el consenso que al final sale de todo ello es que independientemente de la forma inicial de la cuerda, sus curvas vibracionales van a ser funciones periódicas, específicamente ondas senoidales. De lo cual, por complicadas razones, se sigue que sin importar cómo se tense la cuerda al principio —es decir, que puede seguir cualquier curva continua—, la curva vibracional se podrá representar mediante una serie trigonométrica.
En pocas palabras, muchísimos descubrimientos importantes sobre la naturaleza y las relaciones de las funciones, las ecuaciones diferenciales y las series trigonométricas surgen de la ópera del desacuerdo acerca del P. C. V. Lo que resulta crucial para nuestro relato es esa idea de que cualquier función continua^[191] puede ser representada como una serie trigonométrica. En primer lugar, Euler, luego D'Alembert, LaGrange, y el ya mencionado y quijotesco Clairaut empiezan a desarrollar métodos para representar «funciones arbitrarias» como series trigonométricas. El problema es que esos métodos siempre se obtienen y aplican con respecto a algún problema físico particular, y luego se afirma que la solución de dicho problema es la justificación del método. Nadie es capaz de zanjar el asunto de la función → serie trigonométrica mediante un teorema abstracto. Eso es todo lo que está ocurriendo hacia finales del siglo XVIII.
Ahora es el principio del siglo XIX, tiempo durante el cual Cauchy y el noruego Niels Henrik Abel^[192] empiezan a hacer un trabajo significativo sobre la convergencia de las series, trabajo que acaba resultando incluso más significativo en 1822. Ese año, el barón francés Jean-Baptiste Joseph Fourier^[193] (1768-1830), trabajando en problemas sobre la conducción del calor en metales, demuestra en su obra Teoría analítica del calor (TAC) que la representabilidad mediante una serie trigonométrica en realidad podía establecerse tanto para funciones continuas como para funciones discontinuas,^[194] incluso para curvas «libremente dibujadas» (Lavine, pág. 30). La demostración de Fourier en la TAC es demasiado técnica para entrar mucho en ella, pero básicamente lo que hace es explotar la relación entre la suma de una serie y la integral de una función: se da cuenta de que la representabilidad mediante una serie para funciones completamente arbitrarias requiere ignorar el T. F. C. y definir la integración geométricamente^[195] y no simplemente como la recíproca de la diferenciación.
Como en muchas clases se enseñan las series de Fourier sin explicar de dónde vienen las matemáticas, vale la pena por lo menos mencionar que Fourier empieza con una ecuación diferencial parcial de 2º orden para la difusión del calor en un cuerpo 1D,^[196]

donde y es la temperatura de un punto x en el instante t, tras lo cual usa una técnica estándar de E. D. llamada «separación de variables», y la condición inicial de que y = f(x), para obtener esa muy especial serie trigonométrica conocida actualmente como serie de Fourier, cuya forma relevante se muestra aquí como Figura 5b:

donde 0 ≤ x ≤π
Resulta que esta serie de Fourier es en realidad muy parecida a lo que Bernoulli había propuesto como solución al P. C. V. hacia 1750, excepto que Fourier es capaz de calcular los coeficientes de la serie^[197] para cada valor entre 0 y 2π. En el caso de b_n, por ejemplo,

es decir, si se integra término a término, los coeficientes b_n serán 1/π veces el área bajo la curva (f(u) sen nu) en el intervalo entre u = 0 y u = 2π. Los cálculos para a₀ y a_n son similares.
Se canse o no su vista, la cuestión es que, mediante la fórmula de esos coeficientes de Fourier, toda función de una variable que se pueda concebir, algebraica, trascendente, continua e incluso discontinua,^[198] se vuelve representable según una serie trigonométrica de tipo Fourier en el intervalo [0, 2π]. Hay todo tipo de maravillosos puntos fuertes y ventajas en esa técnica (la cual Fourier desarrolló principalmente para dar una solución general a la ecuación de difusión; y en verdad lo logró). Un ejemplo: entender la integración geométricamente, y concebir una función en términos de sus valores y no como una mera expresión analítica,^[199] le permite a Fourier considerar la posibilidad de representar como series funciones sobre intervalos finitos, lo que para el análisis del siglo XIX constituye un importante avance en flexibilidad.
Sin embargo, al mismo tiempo, las series de Fourier son como una repetición del cálculo temprano en términos del contraste entre eficacia práctica y rigor deductivo. Especialmente con el refinamiento por Siméon Denis Poisson hacia 1820, las series de Fourier se convierten en la manera nº 1 de resolver ecuaciones diferenciales parciales —que son, como se ha mencionado, las llaves de oro para la física matemática, la dinámica, la astronomía, etc.— y como tales se puede decir que revolucionan las matemáticas y la ciencia una vez más. Pero también carecen de fundamento: no hay nada parecido a una teoría rigurosa de las series de Fourier. En palabras de un historiador de las matemáticas, las técnicas de Fourier «suscitaron más preguntas de las que él estaba interesado en contestar o era capaz de resolver» (Dauben, Georg Cantor, pág. 7).Lo cual es a la vez delicado y cierto: la TAC de Fourier afirma que una función «completamente arbitraria» puede ser representada por una serie como la de la Figura 5b, pero no lo demuestra. Tampoco detalla qué condiciones específicas debe satisfacer una función para ser representable de ese modo. Aún más importante, Fourier afirma que sus epónimas series son siempre convergentes en un intervalo independientemente de cuál sea la función o incluso de que sea expresable como una única «y = f(x)», y aunque esto tiene implicaciones importantes para la teoría de las funciones, la afirmación acerca del 100% de convergencia no está demostrada ni comprobada siquiera.

[SEI Había un problema parecido que involucraba las integrales de Fourier, sobre las cuales todo lo que debemos saber es que son tipos especiales de expresiones «cerradas» que dan soluciones de ecuaciones diferenciales parciales, las cuales, una vez más, Fourier afirma que funcionan para cualesquiera funciones arbitrarias, y que ciertamente parecen hacerlo —es decir, funcionar— siendo especialmente buenas para problemas de física. Pero ni Fourier ni nadie más a principios de la década de 1820 puede demostrar que las integrales de Fourier funcionen para todas las f(x), en parte porque todavía hay una profunda confusión en las matemáticas acerca de cómo definir la integral…, pero, de todos modos, la razón por la que estamos mencionando el problema de las integrales de Fourier es que el trabajo de Augustin-Louis Cauchy sobre él le conduce a la mayor parte de la «rigorización» del análisis por la que se le da reconocimiento. Parte de ese rigor incluye definir la integral como «el límite de una suma», pero la mayor parte (= la mayor parte del rigor) concierne a los problemas de convergencia mencionados en (b) y en su pequeña interpolación del apartado Ecuaciones diferenciales del G. E. II, específicamente al pertenecer dichos problemas al ámbito de las series de Fourier].^[200]

Hay otra manera de enunciar la dificultad general. Fourier (en la línea de Leibniz y Bolzano) tiene un modo esencialmente geométrico de entender las cosas, y una inclinación hacia las demostraciones geométricas más que hacia las demostraciones formales. En muchos aspectos, esto es un remanente del cálculo clásico y de la mentalidad los-resultados-importan-más-que-las-demostraciones del siglo XVIII. Pero tal enfoque ahora es cada vez más insostenible. También en la década de 1820 se descubren las primeras geometrías no euclidianas (basadas principalmente en el descubrimiento de que el axioma de las paralelas de los elementos^[201] era prescindible), y la idea de que la geometría podría ser cualquier tipo de fundamento fijo e inequívoco para cualquier cosa se convierte en oficialmente absurda. Un problema relacionado es que los matemáticos desde Newton a Euler y siguiendo hasta Gauss se habían encontrado con muchos problemas de paradojas al usar series sin considerar su convergencia o divergencia,^[202] y el énfasis de Fourier y Cauchy en la convergencia a intervalos ahora ayuda a revelar cuán impreciso había sido el análisis respecto a las series. El resultado general es el arranque de una rectificación en la «burbuja financiera» del análisis o, tal como lo expresa Morris Kline, «[Los] matemáticos empezaron a preocuparse de las imprecisiones en los conceptos y demostraciones de vastas ramas del análisis» (Kline, pág. 947). Es en la década de 1820 cuando empezamos a ver pronunciamientos como el de Cauchy: «Sería un serio error pensar que uno solo puede hallar la certidumbre en demostraciones geométricas o en el testimonio de los sentidos» (Cauchy, Introducción al Cours, traducción extractada de Kline, ibíd. algo editada) y el de Abel: «Hay muy pocos teoremas en el análisis avanzado que hayan sido demostrados de un modo lógicamente sensato. En todas partes uno se encuentra con ese precario método de concluir lo general a partir de lo especial» (Abel, págs. 263-264),^[203] convirtiéndose este último en tan representativo del atrincheramiento del siglo XIX como el «Simplemente siga adelante» de D'Alembert lo había sido del laissez faire del siglo XVIII.
Conclusión general: junto a la caída de Euclides, son las series de Fourier y sus problemas de convergencia y de representación de funciones arbitrarias lo que provoca que los matemáticos de la época se den cuenta de que los conceptos atómicos como «derivada», «integral», «límite», «función», «continuo» y «convergente» necesitaban definiciones rigurosas, donde «riguroso» significa basar el análisis en demostraciones formales y el razonamiento aritmético y no en la geometría, la intuición o la inducción a partir de problemas específicos.
Excepto que a su vez «aritmético» significaba el sistema de los números reales, que en ese momento también era todavía un lío sin fundamentar. Por ejemplo, había terribles problemas con los números negativos: Euler estaba convencido de que en realidad eran > ∞, es decir, que deberían estar muy lejos hacia la derecha en la recta numérica, y tan tardíamente como en la década de 1840, Augustus De Morgan sostenía que los números negativos eran simplemente tan «imaginarios» como √−1. Y no olvidemos el caos respecto a los números complejos. Sin embargo, el peor problema era que el concepto raíz de «número real» a su vez no estaba claro porque los irracionales aún estaban indefinidos. Si no se pueden definir de manera coherente números como √2 o √3, no se puede demostrar ninguna de las leyes aritméticas básicas acerca de ellos, por ejemplo, que √2 × √3 = √2 × 3.^[204] Esto no es bueno, en términos de rigor. En este período hay cierta cantidad de valioso trabajo colateral sobre los irracionales trascendentes y algebraicos,^[205] pero en su mayor parte el propio sistema de los números reales, sobre el cual está trabajando todo el mundo para fundamentar el análisis, está colgando en el aire, lógicamente hablando. 

§ 5c.

Interpolación de tono ligero, situada aquí ante rem porque este es el último lugar donde hacerlo sin perturbar el imparable impulso del contexto matemático precantor

Se conservan varias fotos de Georg F. L. P. Cantor en los libros, una de las cuales, con un poco de suerte, será apropiada y se podrá reproducir aquí en alguna parte. Es un burgués alemán de aspecto completamente corriente de la era de los cuellos almidonados y las barbas inflamables. (Observe, en las fotos de familia, el chaleco de cuero y el reloj de bolsillo con una muy visible leontina, las trenzas y el miriñaque de su mujer, la expresión austeramente serena o abstraída del hombre victoriano estándar. En Estados Unidos habría llevado sombrero).
Hacia 1940, ciertos historiadores de las matemáticas nacionalsocialistas «descubrieron» que Cantor había sido encontrado, poco después de nacer y sin que se supiera nada de sus padres, en un barco alemán rumbo al puerto de San Petersburgo. Lo cual es pura ficción. Aparentemente, el Reich estaba preocupado por la posibilidad de que Cantor hubiera sido judío: por aquel entonces era considerado uno de los más grandes intelectuales alemanes de todos los tiempos. La historia del barco todavía circula a veces; también se ajusta a algunos de nuestros moldes, no solo al de los nazis.

Otra mentira de las gordas es que Cantor dedujo varias de sus más famosas demostraciones sobre el ∞ estando en un sanatorio, lo cual también es una tontería. La primera hospitalización de Cantor fue en 1884, cuando tenía treinta y nueve años; la mayor parte de su importante obra ya estaba hecha por aquel entonces. No volvió a ser hospitalizado hasta el año 1899. Fue en los últimos veinte años de su vida cuando le estuvieron dando de alta y de baja constantemente. Murió en la Nervenklinik de Halle el 6 de enero de 1918.
En esta foto faltan las trenzas y el reloj de bolsillo con leontina, pero puede hacerse la idea.
El hogar de la familia Cantor en Händelstrasse fue, por lo menos, brevemente ocupado durante la Segunda Guerra Mundial. No hay indicios de que los nazis supieran de quién había sido la casa. En todo caso, parece evidente que la mayor parte del patrimonio literario de Cantor se perdió o se quemó. La mayor parte de lo que se conserva está en la Akademie der Wissenschaften en Gotinga y puede examinarse tras un cristal. Cartas familiares, árboles genealógicos, etc. También se conservan todavía algunos de los cuadernos que Cantor utilizaba, como era habitual en aquella época entre las personas instruidas, para hacer borradores de cartas antes de pasarlas a limpio y enviarlas. Además había otros matemáticos a los que escribía y que conservaron sus cartas. Estas son las fuentes principales.
He aquí una cita de Joseph W. Dauben, que en Estados Unidos es el decano de los eruditos cantorianos: «Se ha conservado demasiado poca información para que se pueda hacer una valoración detallada de la personalidad de Cantor, lo que deja al historiador en la situación o bien de no decir nada sobre el tema, o bien de hacer conjeturas tan bien como pueda» (Dauben, GC, pág. 288). Buena parte de las conjeturas publicadas son acerca del padre de Cantor, el señor Georg W. Cantor, siendo la gran cuestión moderna si «Georg Woldemar tuvo un efecto completamente nocivo y ruinoso sobre la salud psicológica de su hijo» (Bell, parafraseado por Dauben [que aborrece absolutamente a Bell], GC, pág. 278)^[206] o si Georg W. Cantor fue en realidad «un hombre dotado y sensible, que amaba profundamente a sus hijos y quería que vivieran vidas felices, exitosas y gratificantes» (Dauben, ibíd.). De uno u otro modo, es seguro que hubo exactamente dos hombres de negocios que tuvieron un profundo efecto en la vida de Georg F. L. P. Cantor, siendo uno de ellos su padre, y el otro, el profesor Leopold Kronecker, que empieza a estar muy presente en § 6.

  Aquí está el esbozo a lápiz al que nos referimos en el siguiente párrafo.

El señor y la señora Georg W. tienen seis hijos. Georg Jr. es el primero. Toda la familia, en sentido amplio, es artística y muestra mucho talento: varios parientes son violinistas clásicos o pintores que realizan exposiciones. Un tataratío había sido director del Conservatorio de Viena y profesor del virtuoso Joseph Joachim, un tío abuelo había sido el profesor de derecho de Tolstoi en la Universidad de Kazan. La fecha de nacimiento de Georg F. L. P. Cantor es el 3 de marzo de 1845. Un piscis. Algo parecido a un prodigio del violín en su infancia. Nadie sabe por qué lo dejó, pero tras un cuarteto clásico en el instituto no hay más mención del violín. También era un buen dibujante naturalista. Un dibujo a lápiz de su niñez, bastante extraordinario, ha sobrevivido. Es famoso por una «proclama» escrita con doble sentido e indiscutiblemente escalofriante que Georg W. puso en él. La proclama misma ha sobrevivido porque (también de modo escalofriante) Georg Jr. la guardó consigo toda su vida:
Aunque Georg Ferd. Louis Phil. Cantor no ha dedicado años al estudio del dibujo según los antiguos cánones, y aunque este es su primer trabajo y en este difícil arte una técnica perfeccionada solo se consigue tras una gran diligencia, y aunque además hasta ahora él ha descuidado mucho este bello arte, la gratitud de la nación —quiero decir de la familia— es unánimemente acordada para él por este primer esfuerzo, el cual da muestras ya de una gran promesa (Dauben, GC, pág. 278).
Todas las fuentes están de acuerdo en que Georg W. supervisaba personalmente el desarrollo religioso de sus hijos de un modo bastante autoritario. Dese cuenta de lo fácil que es, desde un punto de vista moderno, ver esto como algo opresivo o neurogénico cuando en realidad podría haber sido simplemente lo habitual en su tiempo y lugar. Es difícil de decir. Lo mismo ocurre con el hecho de que Cantor padre «se tomaba un interés especial en la educación [de Georg] y se preocupaba de dirigir su desarrollo personal e intelectual» (ibíd., pág. 277).
La familia se muda de San Petersburgo a Alemania occidental cuando Georg tiene once años. La razón, según los historiadores, es la «mala salud» (Grattan-Guinness, «Towards a Biography» pág. 352) de Georg W., lo cual en 1850 era otra manera de decir tuberculosis. Viven principalmente en Fráncfort, en el Rin. Georg asiste a escuelas preparatorias en Darmstadt y en Wiesbaden. Como parece ocurrir con la mayoría de los grandes matemáticos, el genio analítico de Cantor es descubierto en su adolescencia temprana. En la Akademie aún pueden verse cartas extasiadas de sus profesores de matemáticas. La versión estándar de la historia es que Georg. W. quiere que los dones de Georg Jr. se dediquen a usos prácticos e intenta obligar al chico a hacer ingeniería, que Georg desea ardientemente estudiar matemáticas puras y tiene que insistir y suplicar, etc., y que cuando finalmente Georg W. accede, lo hace presionando mucho a su frágil hijo para que alcance el éxito y la excelencia. Tampoco está muy claro si esto era cierto o hasta qué punto se trataba de algo singular en su gestalt padre-hijo.^[207]
Cantor estudia la carrera en Zúrich y luego obtiene un título superior en ciencias y el equivalente alemán de un doctorado en la Universidad de Berlín, que en aquella época es la vanguardia europea de la ciencia (algo así como lo que representa hoy el Massachusetts Institute of Technology en Estados Unidos). Entre sus profesores están Ernest Eduard Kummer, Leopold Kronecker y Karl Weierstrass. Kronecker es el director de tesis de Cantor y su verdadero mentor y defensor en el departamento. La ironía de esto también empezará a aparecer en § 6.

§ 5d.
Ahora hemos vuelto a 1820 con Fourier y las series trigonométricas y todos los retos y oportunidades que allí aguardan. Si la discusión de § 5b acerca de las series de Fourier y el apartado Ecuaciones diferenciales del G. E. II con su material interpolado sobre las conexiones entre la continuidad y la convergencia resultaron medianamente claros, no le sorprenderá saber que en la TAC Fourier proporciona la primera definición moderna de convergencia, y también introduce la vital idea de convergencia en un intervalo. Pero que (de nuevo) Fourier no llega a dar una demostración rigurosa, o incluso a especificar criterios de convergencia que hicieran posible dicha demostración. Así, de lo que estamos hablando ahora es de la convergencia.
Fueron Bolzano^[208] y, más célebremente, Cauchy quienes hicieron el primer trabajo destacado sobre condiciones/pruebas de convergencia. Como se ha mencionado ya en un par de ocasiones, muchos de los resultados de Cauchy eran valiosos, pero también cometió errores extraños que causaron más problemas. Aunque gran parte de su trabajo era sobre series de funciones, por ejemplo, Cauchy optó por definir «límite» en términos de variables y no de funciones. O un ejemplo incluso mejor en este caso es el modo en que intentó establecer una identidad total entre la convergencia y la continuidad en términos de sucesiones/series de funciones. Recuerde^[209] que la afirmación de Cauchy es que si una sucesión de funciones continuas converge en el intervalo I hacia una función C, entonces la propia C es continua en I, lo cual resulta que no es cierto a menos que la sucesión convergente sea uniformemente convergente. Lo que ocurre en este caso es que Niels Abel, al demostrar que Cauchy se equivoca^[210]y refinar el teorema, desarrolla lo que ahora se conoce como prueba de convergencia uniforme de Abel,^[211] a la vez que toda clase de criterios y condiciones para varios tipos de convergencia de varios tipos de series trigonométricas y polinómicas también están siendo desarrollados por varios matemáticos del siglo XIX al esforzarse estos en enmendar los errores de otros matemáticos y/o resolver los problemas con mejores métodos.
Uno de los más importantes matemáticos enmendadores de la época fue Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), un amigo de Fourier cuya obra de 1829 «Sur la convergence des séries trigonométriques» hizo mucho para clarificar y rigorizar lo que llegó a conocerse como el problema de la convergencia general de las series de Fourier (P. C. G. S. F). Hay varios avances importantes en este artículo, por ejemplo, que Dirichlet es el primero en descubrir y distinguir la convergencia absoluta y la convergencia condicional. Además, desmiente la afirmación de Cauchy de que una serie monótona decreciente es lo mismo que una serie convergente. Pero más importante es que en «Sur la convergence» Dirichlet establece y demuestra la validez del primer conjunto de condiciones suficientes^[212] para que una serie de Fourier converja hacia su f(x) original.
Este último resultado es pertinente y merece algo de detalle. Dirichlet usa una f(x) periódica en el intervalo [−π, π] y básicamente demuestra que si (1) su serie de Fourier es seccionalmente continua y, por lo tanto, solo tiene un número finito de discontinuidades^[213] en el intervalo, y si (2) la serie es seccionalmente monótona, entonces (3) la serie convergerá siempre hacia la función f(x), incluso si esa función requiere más de una expresión de tipo «y = f(x)» para representarla en el intervalo.
Hay un requisito adicional, que Dirichlet demuestra también. La función f(x) tiene que ser integrable, es decir,

tiene que ser finita, básicamente porque los coeficientes relevantes de la serie de Fourier se calculan como integrales y estas tienen que estar «bien definidas» (larga historia). Como ejemplo de una función que no es integrable y, por lo tanto, no puede ser representada por una serie de Fourier bien definida, Dirichlet se inventa una f(x) patológica cuyos valores son iguales a una constante c cuando x es racional pero iguales a una constante d (con d ≠ c) cuando x es irracional, función que ciertamente no es integrable. A grandes rasgos, es esa f(x) patológica lo que conduce a Dirichlet, ocho años más tarde,^[214] a dar la definición de «función» que se usa todavía en las matemáticas modernas: «y es una función de x cuando a cada valor de x en un intervalo dado le corresponde un único valor de y» (Dirichlet, «Über die Darstellung…», traducción extractada de Kline, pág. 950). 
Lo importante es que la correspondencia puede ser completamente arbitraria. No importa si la dependencia de y respecto a x sigue alguna regla en particular, o incluso si puede expresarse matemáticamente.^[215] Por extraño que pueda sonar, en realidad es 100% rigurosa para propósitos matemáticos, pues la arbitrariedad da máxima generalidad, o sea abstracción. (La definición de Dirichlet también resulta estar muy próxima a la idea bolzano-cantoriana de la correspondencia uno a uno entre dos conjuntos de números reales, excepto que por supuesto ni «conjunto» ni «número real» han sido definidos aún en las matemáticas).
En su artículo de 1837, Dirichlet es también capaz de demostrar que se puede prescindir del requisito acerca de la monotonía (2) e incluso permitir un número mayor de discontinuidades (1) en su demostración de 1829 y aun así garantizar la convergencia de la serie de Fourier hacia su f(x) integrable… siempre que el número de discontinuidades en (1) permanezca finito. Sin embargo, esto todavía no es lo mismo que demostrar la convergencia de las series de Fourier para cualquier f(x) arbitraria, especialmente si se intenta fourierizar las complejas funciones y a menudo salvajemente discontinuas del análisis puro y la teoría de números.^[216] Respecto a esas funciones complejas, la cuestión que Dirichlet no llega a responder es si el criterio (1) de su demostración se podría debilitar para permitir una infinidad^[217] de discontinuidades en el intervalo y constituir aún una condición suficiente de convergencia.
Ahora entra en escena Georg Friederich Bernhard Riemann (1826-1866, ese coloso de las matemáticas puras que lo revolucionó todo desde las funciones y la teoría de números hasta la geometría,^[218] y es el único rival serio de Cantor para el título de Matemático del Siglo), aunque la intervención de Riemann es breve y con un papel de transición. Veinte años mayor que Cantor, Riemann es alumno de Dirichlet en la Universidad de Berlín, y también amigo de Dedekind.^[219] En un artículo fundacional de 1854,^[220] Riemann ataca el problema de la convergencia general de las series de Fourier de un modo completamente nuevo. Centrándose en la suposición de que una f(x) tiene que ser integrable para ser representable como una serie de Fourier, deduce condiciones generales que cualquier función debe satisfacer para tener una integral, condiciones que acaban resultando importantes tanto para la teoría de la integración en análisis como para la convergencia de las series. Esencialmente, las «condiciones generales que cualquier función debe satisfacer» significa condiciones necesarias, mientras que recordará usted que la demostración de Dirichlet de 1829 había involucrado condiciones suficientes. Entonces, al darle la vuelta al enfoque de su profesor y al concentrarse en las condiciones necesarias de convergencia, Riemann resuelve el gran problema de Dirichlet: construye una función que tiene una infinidad de discontinuidades en cada intervalo pero a pesar de todo es integrable y 100% convergente en cada punto.^[221] Una consecuencia de este resultado es algo conocido como teorema de localización de Riemann, el cual afirma que la convergencia de una serie trigonométrica en un punto depende completa y exclusivamente del comportamiento de su f(x) relevante en un entorno arbitrariamente pequeño^[222] de dicho punto. Y lo del «entorno arbitrariamente pequeño» es lo que finalmente da validez a las afirmaciones de Fourier y Dirichlet acerca de las series que representan funciones completamente arbitrarias: mediante el teorema de localización, incluso funciones altamente discontinuas y patológicas pueden ser representadas por series trigonométricas, y, si son integrables, por series de Fourier.
Sin embargo, como es ya habitual, a la vez que el trabajo de Riemann está resolviendo antiguas preguntas también está planteando otras nuevas. Y en definitiva son esas cuestiones las que dan tanta importancia a su artículo de 1854. Ejemplo: una consecuencia del teorema de localización es que dos funciones integrables diferentes pueden representarse mediante la misma serie trigonométrica incluso aunque difieran en una cantidad grande pero finita de puntos. ¿Hay alguna manera de obtener el mismo resultado para dos funciones que difieran en una infinidad de puntos? Otros ejemplos importantes: ¿Exactamente qué propiedades de las series trigonométricas les permiten ser convergentes incluso con ∞ puntos excepcionales en cada intervalo?, y ¿Cómo están relacionados exactamente los conceptos de f(x)-continuidad, intervalos y entornos con la teoría de las series trigonométricas?, y ¿Es toda serie trigonométrica una serie de Fourier? (es decir, ¿converge toda serie trigonométrica hacia una función integrable?), y ¿Si más de una función puede ser representada por la misma serie trigonométrica, es cierto el recíproco, o cada f(x) única tiene una sola y única representación como serie trigonométrica?^[223]
Tras el artículo de Riemann, el siguiente gran asunto en las matemáticas puras es afrontar las técnicas necesarias para resolver los problemas que este había planteado, siendo especialmente desafiante la cuestión de basar dichas técnicas en fundamentos rigurosos en lugar de la intuición inductiva o basada en la fe que había marcado buena parte del análisis en el pasado. N. B. el énfasis en el rigor/fundamento se debe en parte a que las funciones totalmente abstractas de Riemann finalmente han desplazado las series de Fourier del reino de la física y las matemáticas aplicadas al de las matemáticas puras per se. Pero además, por supuesto, ahora estamos en 1850, y la necesidad de rigor (tal como se ha discutido en relación con la década de 1820 en § 5b) es todavía más urgente y general. En tiempo real ha tardado varias décadas, pero el boom de la justificación-por-resultados ahora está dando paso completamente a la economía más contraccionista, del demuestre-mientras-avanza, de lo que los historiadores de las matemáticas llamarán la aritmetización del análisis.

§ 5e.
La figura crucial en este punto es Karl Weierstrass (1815-1897), a quien ahora podemos revelar dramáticamente como uno de los héroes de lo referido en § 2a acerca de Bertrand Russell y las paradojas de Zenón. Aquí está el resto de aquella cita:^[224]
Desde Zenón hasta nuestros días, los mejores intelectos de cada generación han atacado por turnos los problemas, pero a grandes rasgos no han conseguido nada. En nuestro propio tiempo, sin embargo, tres hombres —Weierstrass, Dedekind y Cantor— no solo han logrado avances en los problemas, sino que los han resuelto completamente. Las soluciones, para aquellos familiarizados con las matemáticas, son tan claras que ya no cabe la menor duda o dificultad […] De los tres problemas, el de los infinitesimales fue resuelto por Weierstrass; la solución de los otros dos fue empezada por Dedekind y definitivamente conseguida por Cantor (Russell, Mysticism and Logic, pág. 77).
Weierstrass no está directamente en la fila de eruditos formada por Fourier-Cauchy-Dirichlet-Riemann: hasta sus cuarenta años, es un desconocido en el mismo sentido en que lo fue Bolzano. Su carrera temprana está dedicada a dar clases de bachillerato en Prusia Oriental (no exactamente un centro de poder),^[225] y se dice que era literalmente demasiado pobre para pagar el envío de sus trabajos a las revistas. Finalmente, empieza a publicar a finales de la década de 1850, y causa un revuelo en las matemáticas, y es contratado como profesor por la prestigiosa Universidad de Berlín: es toda una historia, larga y algo romántica. (SEI Weierstrass es también conocido entre los matemáticos por ser físicamente corpulento, un atleta dotado, un fiestero empedernido que se escaqueaba en el instituto, indiferente a la música —los matemáticos suelen ser fanáticos de la música—, y un compañero jovial, gregario, nada neurótico, buenazo y muy querido. También es generalmente considerado el mejor profesor de matemáticas del siglo, aunque nunca publicó sus lecciones y ni siquiera dejaba que sus alumnos tomaran apuntes).^[226]
La razón específica por la que estamos hablando de Weierstrass es que son principalmente sus descubrimientos los que permiten a las matemáticas atacar las cuestiones planteadas por los trabajos de Dirichlet y Riemann acerca del P. C. G. S. F. Véase en este sentido la siguiente cita del historiador de las matemáticas I. Grattan-Guinness: «[L]a historia del análisis matemático durante el último tercio del siglo XIX es en notable medida la historia de los matemáticos aplicando técnicas weierstrassianas a problemas riemannianos» (Grattan-Guinness, From the Calculus to Set Theory [«Del cálculo a la teoría de conjuntos»], pág. 132). La verdadera inspiración tras esas técnicas no es Fourier o de Riemann, sino el tangencialmente mencionado Niels Henrik Abel (siendo Weierstrass un enorme fan de Abel), específicamente una innovación llamada funciones elípticas que Abel había obtenido hacia 1825 a partir de la integrales elípticas, las cuales, más tarde, para abreviar, surgen al calcular la longitud de arco de una elipse y son un asunto importante tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.^[227] El primer trabajo significativo de Weierstrass (aún en Prusia, a la luz de una vela, entre cuestionarios de examen) incluye los desarrollos en serie de potencias de las funciones elípticas, lo cual le conduce a problemas acerca de la convergencia de las series de potencias,^[228] y luego a la convergencia, la continuidad y las funciones en general.
La razón por la que Russell le alaba respecto al problema de los infinitesimales es la misma razón por la que Weierstrass recibe el máximo reconocimiento por la aritmetización del análisis. Es el primero en dar una teoría de los límites totalmente rigurosa y metafísicamente impoluta. Como es importante, y está detrás del modo en que ahora la mayoría de nosotros aprendemos cálculo en el instituto, por lo menos observemos rápidamente que la definición de los límites de Weierstrass sustituye los términos en lenguaje natural usados por Abel/Bolzano/Cauchy, expresiones como «se aproxima a un límite» y «se hace menor que cualquier cantidad dada», por las épsilon y delta minúsculas y los delimitadores «| |» del valor absoluto. Un gran beneficio colateral de la teoría de Weierstrass es que caracteriza el límite y la continuidad de tal modo que cualquiera de los dos puede ser definido en términos del otro. Véase, por ejemplo, esta definición de función continua, que ciento cincuenta años después sigue siendo todavía el «estándar de la industria»:^[229]f(x) es continua en un punto x_n si y solo si, para cualquier número positivo ε, existe un δ positivo tal que para cualquier x del intervalo

|x − x_n| < δ, |f(x) − f(x_n)| < ε*

(semiextractado de Kline, pág. 952).

*Interpolación rápida incrustada semi- SEI

Por favor, omita los siguientes tres párrafos si y solo si la definición de Weierstrass ya le parece perfectamente clara.
Como la definición recién mencionada no es SEI, debemos considerar la posibilidad de que quizás esté < 100% claro por qué es tan importante. Podríamos hablar de cómo la definición es específicamente una rigorización de la que aparece en el Cours d'Analyse de Cauchy, «f(x)será una función continua de la variable si el valor numérico de la diferencia f(x + α) − f(x) decrece indefinidamente con el de a» (Cauchy, Cours, pág. 35): el gran acierto de Weierstrass es que da con un sustituto riguroso, totalmente aritmético, del nebuloso «decrece indefinidamente». Pero nada de eso va a significar mucho si no podemos ver cómo funciona realmente la nueva definición de Weierstrass, lo cual a su vez requiere examinar la densa sintaxis técnica en la que está expresada para los matemáticos. Su lenguaje hiperabstracto puede hacer que la definición parezca o bien totalmente trivial (por ejemplo, como ε y δ no tienen relación entre sí en la definición, ¿no es obvio que se puede tomar una δ por cada ε que se quiera?), o bien totalmente incomprensible (por ejemplo, ¿cómo se puede determinar a qué equivale |x − x_n| si no se sabe qué es x?). O por lo menos estas eran las quejas iniciales de nuestra clase al doctor Goris, quien las trataba a su manera habitual e inolvidable, más o menos como sigue:^[230]
En primer lugar, recordemos del G. E. I que función continua significa que cambios muy pequeños en la variable independiente de la función (x) producen solo cambios muy pequeños en la variable dependiente (f(x), alias y). Lo de los «cambios muy pequeños» es lo que realmente importa aquí: nos da la pista de que diferencias como |x − x_n| de la definición se van a considerar realmente pequeñas. Respecto a x_n y x: x_n es un punto en particular, concretamente el punto para el cual vamos a evaluar la continuidad de la función, y x es, técnicamente, cualquier punto en el intervalo de la función, aunque dado lo que función continua significa es mejor pensar en x como cualquier punto que sea «suficientemente próximo» a x_n. Esto es así porque lo más importante de la definición de Weierstrass es que nos permita verificar que una diminuta diferencia entre x y x_n dará solo una diminuta diferencia entre f(x) y f(x_n). El motor de esa verificación son los números positivos ε y δ, y la manera fácil de entender esos dos números y su relación es en términos de un juego. Aquí está el juego: usted escoge cualquier positivo que desee, no importa lo pequeño que sea, y yo intento encontrar un positivo que haga verdadera la conjunción (|x − x_n| < δ) y (|f(x) − f(x_n)| < ε):^[231] y si puedo encontrar tal para cada positivo que usted escoja, entonces la f(x) es continua, mientras que si no puedo, entonces no lo es.
Como hacía el doctor Goris, veamos un ejemplo con una función que no sea continua, de modo que podamos ver que no cualquier δ servirá para un ε dado. La función se define así: f(x) = 1 si x ≠ 0, y f(x) = 0 si x = 0. Vamos a evaluar la continuidad de esa f(x) en el punto x_n donde x_n = 0. El juego es que usted puede escoger cualquier valor positivo que desee para ε, y supongamos que escoge ε = ½. Así que ahora yo tengo que encontrar un positivo tal que (|x − x_n| < δ) y (|f(x) − f(x_n)| < ½) sea cierto. Pero ahora, por favor, retroceda hasta, o recuerde, la nota 14 de § 1c y su regla de que una conjunción lógica es verdadera solo cuando sus dos términos, tanto el pre-«y» como el post-«y», son verdaderos. Y ahora mire nuestro término «post», «|f(x) − f(x_n)| < ½|». 
Por la definición de nuestra función, sabemos que f(x_n) = 0, y por la misma definición, sabemos que cualquier otro x que no sea x_n da un f(x) igual a 1 (porque x_n es el único punto en el cual x = 0). Por lo tanto, si x_n = 0, |f(x) − f(x_n)| siempre será igual a 1, el cual es obviamente mayor que ½. No importa qué pueda yo escoger para que |x − x_n| sea menor que él, |f(x) − f(x_n)| jamás será < ½ cuando x_n = 0. Como el segundo término será siempre falso, la conjunción (|x − x_n| < δ) y (|f(x) − f(x_n)| < ½) será falsa independientemente del valor de δ. Aquí lo importante es que no hay un δ positivo para ε = ½, de modo que el criterio de la definición, «para cualquier número positivo, existe un positivo tal que…» no se satisface. Por lo tanto, la función no es continua en x_n (cosa que ya sabíamos para empezar, pero aquí se trataba de aplicar la definición de Weierstrass a un caso claro). El juego ha terminado.

Fin de la interpolación semi- SEI.

Regreso a la discusión principal de § 5e, en curso
Un retazo de posible perplejidad no cubierto en la interpolación: lo que Weierstrass ha definido aquí arriba es solo la continuidad en un punto, pero como usted puede escoger cualquier punto en un intervalo dado para que sea x_n, una f(x) puede obviamente definirse como continua en un intervalo si es continua en todos y cada uno de los x_n del intervalo. Así, una definición general de continuidad para funciones sale directamente de la definición inicial. Y —eso es lo que sacudió el mundo matemático— también sale la definición de límite: si se toma la definición original de Weierstrass, entonces se puede decir que f(x) tiene límite L en si se sustituye f(x_n) por L y todavía se puede encontrar un δ para cada ε de modo que (|x − x_n| < δ) y (|f(x) − L| < ε) sea cierto.
Hay una razón por la que todo esto parece tan horriblemente abstracto: es horriblemente abstracto. Sin embargo, por esa misma abstracción, la de Weierstrass es la teoría más limpia y clara que se ha formulado jamás sobre los límites y la continuidad.^[232] No hay líos con el lenguaje natural: la definición no usa nada más que números reales y operadores elementales como − y <. Como es tan limpia y abstracta y aritmética, la teoría también permite a Weierstrass definir la convergencia, la convergencia uniforme y la convergencia absoluta rigurosamente, proporcionar pruebas fiables para todas ellas,^[233] y demostrar una serie de cosas acerca de la continuidad y la convergencia de las series trigonométricas que nadie había sido capaz de esclarecer. Los ejemplos relevantes aquí incluyen (1) su demostración de que una serie de funciones continuas^[234] puede converger hacia una función discontinua, y (2) su ya mencionado desmentido de la teoría según la cual continuidad = diferenciabilidad, lo cual desmiente dando una función de la que demuestra que es 100% continua pero no tiene derivada en ningún punto. Si tiene usted curiosidad, esta es la f(x) dada por

donde a es impar, 0 < b < 1, y 2ab > 2 + 3π, y, dicho sea de paso, si usted representa gráficamente esta f(x) obtiene una curva sin ninguna tangente. Recordará de § 3c que Bernhard P. Bolzano ya había dado una función parecida (de la que no hay indicios que Weierstrass supiera nada), pero hay una diferencia crucial. Bolzano simplemente había presentado su ejemplo, mientras que gracias a sus definiciones puramente formales Weierstrass tiene munición para demostrar realmente que su propia f(x) es a la vez continua y no diferenciable. Otro avance importante: en el análisis weierstrassiano, el ejemplo concreto siempre es coincidente con la demostración general abstracta.
Como también se ha mencionado en § 3c, a Bolzano y a Weierstrass conjuntamente se les reconoce un gran teorema sobre los límites de una función continua,^[235] un teorema que es pertinente aquí en parte porque considera una sucesión/serie infinita de números reales como un conjunto infinito de puntos de la recta real (y los primeros tipos de conjuntos infinitos que interesarán a Georg Cantor serán esos conjuntos de puntos). Aquí probablemente quiera usted recordar las definiciones de intervalo, límites y cotas del G. E. I. Formalmente hablando, el teorema de Bolzano-Weierstrass sostiene que todo conjunto de puntos infinito y acotado contiene por lo menos un punto límite, que es un punto x_n, tal que todo intervalo que lo contiene también contiene ∞ miembros del conjunto (semiextractado de Lavine, pág. 38).^[236] Puede no parecerlo de inmediato, pero el T. B. W. es una auténtica bomba. Por ejemplo, resulta que da un potente antídoto, y sin infinitesimales, a la paradoja del sin-instante-siguiente de § 4b (rompecabezas que en sí mismo es consecuente con la alucinante densidad de los ∞ puntos de la recta real).
Si le interesa esto, he aquí cómo funciona. El T. B. W. en realidad contiene dos teoremas, uno de los cuales es de Bolzano, hacia 1830, y afirma que, dado un intervalo cerrado [a, b], una función continua f(x) en [a, b] que sea positiva para algún valor de x y negativa para algún otro valor de x tiene que ser igual a 0 para algún valor de x.^[237] Geométricamente, podemos entender esto viendo que una curva continua que vaya de algún lugar por encima del eje x a algún lugar por debajo del eje x en realidad tiene que cortar el eje x en algún punto. En términos de rigor, el problema de Bolzano era que para demostrar este teorema tenía que demostrar que todo conjunto acotado de valores/puntos debe tener una mínima cota superior,^[238] demostración que se iba a pique por la ausencia de teorías coherentes sobre los límites y los números reales. De modo que, una vez más, en realidad Bolzano solo pudo proponer su teorema y demostrar geométricamente que era cierto. No pudo demostrarlo formalmente. Sin embargo, veinte años más tarde, Karl Weierstrass usa su teoría rigurosa de los límites para demostrar el «lema de la mínima cota superior» de Bolzano como parte de su propio teorema de los valores extremos (T. V. E.), que es la otra gran parte del T. B. W. Es este teorema de los valores extremos (= si una f(x) es continua en [a, b], entonces tiene que haber por lo menos un punto en [a, b] donde f(x) tiene su valor máximo, M, y otro punto en [a, b] donde f(x) tiene su valor mínimo, m), junto a la muy poderosa definición de continuidad de Weierstrass, lo que proporciona una salida matemática de la grieta del sin-instante-siguiente. A saber: como el tiempo es claramente una función que fluye continuamente,^[239] podemos suponer que hay un intervalo finito [t₁, t₂] de longitud > 0 entre dos instantes cualesquiera t₁y t₂, y ahora, gracias al T. V. E., demostramos que hay un punto en [t₁, t₂] donde la función tiempo tiene su valor mínimo m, y, por lo tanto, que ese t_m será, matemáticamente hablando, el instante inmediatamente posterior a t₁.
A partir de este resultado, probablemente pueda usted ver cómo el teorema de los valores extremos se podría utilizar contra la dicotomía de Zenón misma (pues 1/2ⁿes una función continua prototípica). En el análisis weierstrassiano estricto, sin embargo, el T. V. E. ni siquiera es necesario, pues la teoría aritmética de los límites nos permite explicar —con pleno sentido— por qué la serie convergente

tiene suma 1.

§ 5e(1)

Interpolación sobre el análisis weierstrassiano y Zenón

Recordará que ya hemos intentado invocar

y otras diversas soluciones predecibles de la dicotomía, solo para descubrir que no «enuncian claramente las dificultades involucradas», y aún menos explican cómo podemos llegar a cruzar la calle. Ahora se pueden ignorar, más o menos, todos esos intentos anteriores, aunque no hará ningún daño recordar o revisar la nota 35 de § 2c y su explicación acerca de cómo los decimales son representaciones de series convergentes. Además de, por supuesto, las últimas páginas del § 5e justo anterior. Así pues, aquí está una respuesta a la dicotomía según el análisis weierstrassiano.^[240]
De lo que habla realmente la dicotomía es de cierto número racional s (= la anchura de la calle, la longitud de arco desde la falda hasta la punta de la nariz), número que Zenón nos invita a aproximar mediante una serie de potencias convergente de otros números racionales s_n, donde n representa por sí mismo la sucesión infinita 1, 2, 3,… Esto puede parecer opaco en lo abstracto, pero muchos números racionales se pueden aproximar del mismo modo. El racional s²/₃, por ejemplo, se puede aproximar mediante la siguiente serie convergente

La dicotomía es solo un poco más engañosa que lo de ²/₃, y parte de ese engaño se puede mitigar hablando de la dicotomía «revisada» y más abstracta de § 2b, donde no hay tiempo ni longitud, sino simplemente cierta cantidad s de la que se toma la mitad, de esta se toma la mitad, y de esta, la mitad, etc., hasta que las porciones más pequeñas empiezan a igualar 1/2ⁿdonde n es arbitrariamente grande.^[241] Sumar las porciones obtenidas de este modo nos da el s_n de la dicotomía como la siguiente serie de potencias convergente:

Y lo que hay que ver aquí es que ese s_n es una aproximación de 1 del mismo modo que 0,999… es una aproximación de 1. Es decir, la suma de s_n difiere de 1 solo en 1/2ⁿ, y esa diferencia se hará arbitrariamente pequeña al aumentar n indefinidamente.
Se admite que esos «arbitrariamente» e «indefinidamente» cauchyescos aquí parecen vagos e insatisfactorios, y Zenón quiere que lo sean: quiere que quedemos apabullados por el hecho de que hay un número infinito de términos en

y que en el mundo real nunca podemos acabar de sumarlos todos, en cuyo caso ahora viene Weierstrass al rescate.
Un par de preliminares harán más fácil ver cómo funciona esto. En primer lugar, sepa que el índice n también funciona como un número ordinal^[242] de cualquier término dado de la serie s_n, es decir, que 1/2¹ es el 1^er término, 1/2⁴ es el 4º término, 1/2⁴⁷ es el 47º término, etc. 
Observe, también, que la diferencia entre dos términos sucesivos cualesquiera de s_n se hace más y más pequeña al alejarnos cada vez más en la serie. Donde la «diferencia» de esta última frase se puede representar como una distancia en la recta numérica. Es decir, que estamos hablando de intervalos.
O sea, que allá vamos. Sabemos que la suma de la s_n de la dicotomía diferirá de 1 solo en 1/2ⁿ donde n = 1, 2, 3,… Para demostrar que 1 es realmente la suma de s_n, tenemos que demostrar que 1 es el límite de la función 1 - 1/2ⁿ donde n = 1, 2, 3, …^[243]
Lo demostramos mediante el planteamiento de Weierstrass «f(x) tiene límite L en un punto x_n si y solo si, para cualquier número positivo ε, existe un número positivo δ tal que para cualquier x del intervalo |x − x_n| < δ, |f(x) − f(x_n)| < ε». Aquí L y x_n son ambas 1, f(x) es (1 - 1/2ⁿ), y x puede ser cualquiera: la manera más simple de hacer la demostración es dejar que x = el punto 1/2ⁿ. Y recuerde (suponiendo que leyó la interpolación de § 5e) que la extraña sintaxis de la definición en realidad significa que tenemos que ser capaces de hallar un δ para cada ε de modo que la conjunción lógica (|x − x_n| < δ) & (|f(x) − L| < ε) sea cierta. 
Luego, el único otro preliminar es asegurarnos de que recordamos qué significan los símbolos de valor absoluto: |1 − 10| y |10 − 1|, ambos = 9, y que |f(x) − L| y |L − f(x)| también son equivalentes. Weierstrass usa valores absolutos porque hablamos de intervalos en la recta numérica, es decir, de la distancia numérica entre diferentes puntos, que es la misma desde cualquier dirección. 
Aquí, lo que los «| |» nos permiten hacer es, a efectos prácticos, intercambiar ambos términos de sustracción, lo cual hará que los auténticos intervalos de la R. N. de los que estamos hablando sean más fáciles de representar claramente.
Perdón por toda la verborrea: estamos haciendo que suene menos fácil de lo que es realmente. Así, para demostrar que 1 es el límite de la función dicotómica (1 - 1/2ⁿ) , tenemos que hallar, para cualquier número positivo ε tal que el intervalo entre 1 y (1 - 1/2ⁿ) es < ε, un positivo δ tal que

sea cierta. Lo cual resulta que no es difícil de hacer. Respecto a ε y al segundo término de la conjunción, la situación es de algún modo la contraria que en el ejemplo de la interpolación:

nunca será falso, sin importar qué valor positivo escoja usted para ε. Por ejemplo, supongamos que decide que ε = 0,001. Entonces puede hacer que

sea cierto haciendo que n sea igual a 10 (tal como lo será en el décimo término de s_n), en cuyo caso  1/2ⁿ = 1/1024, en cuyo caso (1 - 1/2ⁿ) = 1023/1024, en cuyo caso

(1 - (1 - 1/2ⁿ)) = ¹⁰²⁴/₁₀₂₄ - ¹⁰²³/₁₀₂₄ = ¹/₁₀₂₄

lo cual es lo mismo que 0,0009765, que es ciertamente < 0,001. La cuestión es que sin importar qué diminuto ε se escoja, se puede ajustar el valor de n de tal modo que (1 - (1 - 1/2ⁿ))  acabe siendo inferior a ε.
Así, el segundo término de la conjunción siempre va a ser cierto. Ahora todo de lo que debemos preocuparnos es el primer término y encontrar un δ que haga ((1 - 1/2ⁿ) < δ)  cierto para un ε dado. Obviamente, no tenemos la misma carte blanche para escoger δ que teníamos para escoger ε, porque nuestra elección de ε determina el valor que asignamos a n y, por lo tanto, a 1/2ⁿ, y es (1 - 1/2ⁿ) que δ tiene que superar. Pero resulta que la relación de dependencia entre escoger δ y ε simplifica la tarea de hallar una δ relevante. Veamos de nuevo el ejemplo donde ε = 0,001 y así n = 10 y  1/2ⁿ = ¹/₁₀₂₄. Aquí necesitamos un δ positivo tal que (1 - ¹/₁₀₂₄) < δ. 
En este caso particular, δ = 1 funcionará perfectamente… y, de hecho, resulta que δ = 1 funcionará para cualquier valor posible de ε. Probablemente puede ver por qué. Es porque todos los valores posibles de los ε deben, por definición, ser positivos. Aunque ε se puede hacer más y más pequeño, y cuanto más pequeño, mayor tiene que ser n para hacer que (1 - (1 - 1/2ⁿ)) sea inferior a ε, y cuanto mayor sea n, más próximo a 1 será (1 - 1/2ⁿ). 
De todos modos, el requisito de que ε sea > 0 asegura que (1 - 1/2ⁿ) será siempre < 1. Y como, sin importar que ε escoja usted, δ = 1 asegura que la conjunción (1 - (1 - 1/2ⁿ) < 1)  y (1 - (1 - 1/2ⁿ) < ε) será cierta, entonces el criterio principal de la definición: «para cualquier número positivo ε, existe un positivo δ», se satisface.
Por lo tanto,

por consiguiente, 1 es la suma de s_n. Por lo tanto, usted puede realmente cruzar la calle.
La confusión central de la dicotomía queda ahora al desnudo: la tarea de desplazarse del punto A al punto B no involucra subtareas necesarias, sino más bien una sola tarea cuyo «1» puede ser aproximado con validez mediante una serie infinita convergente. Es la mecánica de esa aproximación lo que el análisis weierstrassiano es capaz de explicar, es decir, explicar realmente, 100% aritméticamente, sin infinitesimales, analogías, o cualesquiera ambigüedades del lenguaje natural de las que buscaba Zenón. No resulta nada pobre decir que, tras Weierstrass, la dicotomía se convierte simplemente en un problema de definición más.
Pero hay algo más. La demostración que acabamos de ver es inusualmente detallada. En una clase de nivel intermedio, las demostraciones de que

raramente entran en los intervalos de Weierstrass o los ε/δ. Han pasado a ser de algún modo los cimientos ocultos de los conceptos de límite, su justificación deductiva. El concepto mismo sigue siendo expresado en términos del lenguaje natural como «indefinidamente» y «tiende a». Lo cual probablemente es bueno. En lugar de un tocho más acerca de respuestas técnicas o genuinas, observemos simplemente que en una clase de matemáticas estándar una solución de la dicotomía se detendrá básicamente tras el 2º párrafo de § 5e(1). Es decir, en una clase de matemáticas se expondrá la serie convergente

se indicará que la diferencia entre s_n y 1 es 1/2ⁿ, se demostrará que esta diferencia se vuelve arbitrariamente pequeña al aumentar n indefinidamente, y se enseñará que el modo adecuado de manejar una serie como esta es «diciendo que la suma s_nse aproxima al límite 1 cuando n tiende a infinito, y escribiendo

(Courant y Robbins, pág. 64)». Lo que está entre comillas es de un auténtico libro de texto, edición revisada © 1996, cursiva sic. El mismo texto continúa:

Esta «ecuación» no significa que realmente tengamos que sumar infinitos términos; es solo una expresión abreviada del hecho de que 1 es el límite de la suma finita s_n cuando n tiende a infinito (en ningún caso es infinito). El infinito aparece solo en el procedimiento sin fin y no como una cantidad real (ibíd).

Dejemos claro, de una manera muy calmada y discreta, que si usted piensa que puede detectar un tufillo aristotélico en todas esas urgentes garantías de que el ∞ no tiene que ser tratado «como una cantidad real» en problemas como la dicotomía, no está imaginando cosas. 
Ni tampoco es cuestión del modo prefabricado en que las matemáticas se enseñan hoy a los estudiantes universitarios. Es más profundo que todo eso, y más antiguo. Algo notable acerca del análisis y la teoría de funciones del siglo XIX es que cuanto más sofisticados se volvían, más asombrosamente iba pareciéndose su tratamiento del ∞ al viejo y canoso concepto aristotélico de «potencialidad». Y la cima de dicha sofisticación, y de ese parecido, es el análisis weierstrassiano.
Si, a pesar de todo, por algún azar adicional se ha dado usted cuenta de que la dicotomía y sus pretendidas soluciones de aula y pizarra involucran solo números racionales y la recta numérica —sin olvidar que los ε y δ ejemplarizantes de nuestra propia demostración en § 5e también han sido todos racionales— entonces está usted en situación de valorar una especie de encantadora ironía.

Capítulo Seis

§ 6a.
En definitiva, más importante que cualquier resultado específico es el espíritu según el cual Weierstrass redefine los límites y las funciones continuas. Es decir, su compromiso con el rigor fundacional, la higiene apodíctica, etc. Su propia aritmetización del análisis es 100% literal. Apunta no solo a eliminar los conceptos geométricos y la intuición inductiva de las demostraciones, sino también a basar todas las matemáticas poscálculo en el sistema de los números reales del mismo modo en que lo está la aritmética. Pero el sistema de los números reales significa la recta real, que como hemos visto no está exactamente desprovista de grietas de tipo ∞.
Los historiadores de las matemáticas expresan esto de varias maneras, por ejemplo, Kline: «Fue Weierstrass el primero en indicar que para establecer cuidadosamente las propiedades de las funciones continuas necesitaba la teoría del continuo aritmético» (Kline, pág. 979), o Bell: «Los irracionales que nos dan los conceptos de los límites y la continuidad, de los cuales surge el análisis, deben referirse de nuevo a los enteros mediante un firme razonamiento» (Bell, pág. 419). Lo destacado es la ironía prometida al final de § 5: el concepto riguroso de límite dado por Weierstrass, que parecía final y coherentemente haber eliminado del análisis la necesidad de cantidades de tipo y 1/∞, resulta que a su vez necesita una teoría rigurosa y clara de los números reales, es decir, de los irracionales y el continuo de la recta real. Con respecto a lo cual véase la frase del filósofo matemático Shaughan Lavine:

«Y esa teoría prontamente reintrodujo el infinito en el análisis. El viejo infinito de las cantidades infinitesimales e infinitas fue simplemente sustituido por el nuevo infinito de las colecciones infinitamente grandes» (Lavine, pág. 38).

La verdad es que hay varias razones diferentes e interrelacionadas por las que los números irracionales/reales se convierten ahora en un problema puntero y apremiante. Uno de ellos, como se acaba de mencionar, es fundacional. Otro tiene que ver con las aplicaciones: resulta que los ε y δ weierstrassianos que aparecen en los límites de problemas del mundo real son a menudo irracionales, haciendo que la cuestión de los ε y δ sea mucho más difícil de establecer. Además, están el antes mencionado P. C. G. S. F., la pérdida de fe en los axiomas de Euclides, etc. También está el hecho de que el nuevo énfasis de las matemáticas en el rigor y la coherencia formal pone de relieve un problema lógico en el modo de tratar los irracionales ya desde que la Divina Hermandad los descubriera por primera vez en § 2c. Ese descubrimiento, como vimos, fue geométrico —lo cual significa magnitudes inconmensurables, √2, cocientes eudoxianos, etc.— y las definiciones de los irracionales utilizadas en matemáticas han sido geométricas desde entonces. Esa práctica era, en los translúcidos términos de Bertrand Russell,
altamente ilógica, pues si la aplicación de números al espacio [geométrico] debe dar algo más que tautologías, los números aplicados deben definirse independientemente, y si no fuera posible nada más que una definición geométrica, no habría, hablando con propiedad, tales entes aritméticos como la definición pretende definir (Russell, Principles of Mathematics, pág. 278).
Argumento que costaría demasiado tiempo examinar en detalle, pero puede verse la tendencia general.
Así que lo que ocurre es que en las décadas de 1860 y 1870 varios matemáticos empiezan a intentar obtener teorías rigurosas de los irracionales/reales. Aquí los grandes nombres incluyen a William Rowan Hamilton, H. Kossak, Karl Weierstrass, Ferdinand Lindemann, H. C. R. Méray, Georg Cantor, Η. E. Heine, y Richard Dedekind. Adivine en cuáles estamos interesados.
En primer lugar, trabajando aparentemente a partir de ideas que había bosquejado en sus clases en la Universidad de Berlín, algunos de los alumnos y seguidores de Weierstrass intentan usar sus definiciones clave para intentar definir un número irracional como, esencialmente, el límite de un tipo particular de series infinitas de números racionales. La técnica de las definiciones es convulsivamente técnica, pero por fortuna ni siquiera tenemos que entrar en ello porque resulta que la teoría no funciona: es circular.^[244] Esto es así porque el límite irracional de Weierstrass no puede existir, lógicamente hablando, hasta que haya una definición de los números irracionales. Aquí «existir» significa precisamente lo que Russell quiere decir justo antes cuando dice que «no habría tales entes geométricos como la definición [geométrica] pretende definir». No se puede usar coherentemente el concepto de número irracional en la definición de «número irracional» como no se puede definir coherentemente «negro» como «el color de un perro negro». Así, en pocas palabras, los esfuerzos de los weierstrassianos en realidad nunca llegaron a ninguna parte.
La teoría del propio Cantor acerca de los números reales surge en el contexto de su trabajo sobre algo llamado el teorema de unicidad (T. U.) para series trigonométricas, y hay buenas razones para esperar un poco a hablar de él.
El plan más potente, significativo y extraño para definir los irracionales es el de Julius W. R. «Richard» Dedekind, 1831-1916, que es una docena de años más joven que Weierstrass pero muy parecido a él. Una persona afable y equilibrada que dedica su vida principalmente a dar clases en Hochschulen, técnicas en Brunswick y Zurich. Un soltero empedernido^[245] que vive con su hermana. Dedekind vive hasta una edad tan avanzada y es tan apreciado por los demás que aparece en todas las matemáticas modernas: alumno de Dirichlet y Gauss en Göttingen, editor de la Zahlentheorie de Dirichlet, amigo de toda la vida de Riemann, semiweierstrassiano, colaborador temprano con Leopold Kronecker en geometría algebraica, colaborador y amigo de Georg Cantor; y no era fácil ser amigo de Cantor. Una historia favorita entre los matemáticos es que Dedekind fue tan increíblemente longevo que en el famoso Calendario Matemático de Teubner figuró durante un tiempo que había muerto cierto día de 1899, hasta que, finalmente, un año Dedekind le escribió al editor que estaba vivo y que además había pasado el día en cuestión «en estimulante conversación sobre "sistema y teoría" con mi invitado del almuerzo y honrado amigo Georg Cantor de Halle» (traducción extractada, y algo editada, de Bell, pág. 519).
La fecha de publicación de la famosa obra de Dedekind «Continuidad y números irracionales»^[246] es 1872. En parte es una respuesta a la propia definición de Cantor de los irracionales, que había aparecido como parte de un extenso artículo sobre el teorema de unicidad ese mismo año. Pero resulta evidente que Dedekind tenía su teoría básica a punto tan tempranamente como en 1860. Como Weierstrass (y a diferencia de Cantor), no es muy ambicioso respecto a publicar sus materiales. La motivación de Dedekind, de nuevo como la de Weierstrass, venía de enseñar cálculo en la universidad: se había sentido cada vez más incómodo con el uso de conceptos geométricos indefinidos para definir los límites y la continuidad. Pero en vez de centrarse en la aritmetización de los límites, Dedekind en cierto modo profundiza más, va al problema raíz que había preocupado a Zenón, la D. H. P., Eudoxo, Aristóteles y Bolzano, y había acechado al análisis desde el teorema fundamental. El problema: cómo obtener una teoría 100% aritmética de lo que se supone que el cálculo se ocupa —continuidad pura, como la del movimiento y constructos geométricos continuos como líneas y áreas y volúmenes—^[247]pero nunca había definido con suficiente claridad y rigor para hacer que sus demostraciones tuvieran realmente sentido.
La entidad que Dedekind elige como emblema de la continuidad aritmética es la buena y vieja recta real, la cual técnicamente aún deberíamos llamar la recta numérica, pues solo tras el establecimiento de lo que se llama el axioma de Cantor-Dedekind se convierte en rigurosamente correcto hablar de la recta real. Llamémosla, pues, la recta numérica (Dedekind simplemente la llama L), y recuérdese de § 2c que es ordenada e infinitamente densa y extensa, y que puede usarse para representar los números racionales asignando a cada número racional un punto único de la recta. Y, sin embargo, que toda la razón por la que el análisis necesita algo más que los números racionales es que la recta numérica, como todas las rectas, es continua de un modo en que el conjunto de todos los racionales no lo es. La manera que tiene Dedekind de expresar esto se remonta directamente a los griegos: «Sin embargo, es de la máxima importancia el hecho de que en la recta L hay infinitos puntos que no corresponden a ningún número racional» (Dedekind, pág. 8), y cita como ejemplo la buena y vieja diagonal del cuadrado unidad. De modo que su estrategia es simplemente explicar qué tiene L que la haga continua y sin huecos mientras que el conjunto infinitamente denso de los números racionales no lo es. Por supuesto, sabemos, como él y todos los demás por aquel entonces, que son los números irracionales, pero nadie ha sido capaz de definirlos directamente. Así que Dedekind aquí va a hacer de Sócrates y a actuar como si nunca hubiera oído hablar siquiera de los irracionales y simplemente preguntara: ¿En qué reside exactamente la continuidad de L?^[248] Es su respuesta a esta cuestión lo que convierte a la recta real en una realidad matemática y establece, junto a Cantor, que el conjunto de todos los números reales compone el continuo.

§ 6b.

Interpolación

Conocido hoy como corte de Dedekind, el recurso de R. D. para construir la recta real es extremadamente ingenioso y extraño, y antes de que sucumbamos a sus complejidades vale la pena indicar que en un sentido profundo es la voluntad de Dedekind de tratar el infinito real lo que permite que su demostración siga adelante. Como se ha mencionado en § 5 y en otras partes, una de las razones por las que el concepto de límite fue tan bien recibido en el análisis era que se ajustaba bien a la vieja idea del infinito potencial: la idea de que el ∞ es algo a lo que nos podemos «aproximar» sin tener que llegar nunca realmente hasta él parece sacada directamente de la Metafísica. La aceptación tácita por las matemáticas de la distinción aristotélica se hace explícita en una frase muy citada de Karl Friedrich Gauss (sí: el Gauss de Dedekind) hacia 1830:
Protesto por el uso de una cantidad infinita como un ente real; esto no se admite nunca en matemáticas. El infinito es solo una manera de hablar, en la cual uno habla propiamente de límites hacia los cuales ciertas razones pueden aproximarse tanto como se desee, mientras que a otras se les permite aumentar sin restricciones (Gauss, extractado por Kline, pág. 993).
Y así, por supuesto, es irónico que solo un par de décadas después de que Weierstrass despoje a los límites de las últimas sombras del ∞ empecemos a ver matemáticos de primera fila que no solo aceptan el infinito real, sino que lo usan en las demostraciones. Dedekind es uno de ellos. Y no es que quede persuadido por Cantor o por Bolzano o por nadie más de la coherencia de los conjuntos infinitos. Dedekind es, tal como se definió el término en § 2a, un platónico. Cree claramente que la realidad matemática no es tan empírica como cognitiva:
Al hablar de la aritmética (el álgebra, el análisis) como una parte de la lógica, mi intención es dar a entender que considero el concepto de número completamente independiente de las nociones o intuiciones del espacio y el tiempo, que lo considero un resultado inmediato de las leyes del pensamiento (Dedekind, pág. 31).
O quizá sea mejor llamarle un fenomenólogo, pues la distinción acerca de si las realidades matemáticas son creaciones o descubrimientos no parece importarle mucho a Dedekind: «Los números son creaciones libres de la mente humana; sirven como medio para aprehender más fácilmente y más nítidamente la diferencia entre las cosas» (ibíd.).
O mire esto. En un ensayo complementario a «Continuidad y números irracionales» que se traduce habitualmente como «El significado y la naturaleza de los números»,^[249] Dedekind desarrolla una notable demostración de su «Teorema 66. Existen sistemas infinitos» que consiste en lo siguiente: «Mi propio reino de pensamientos,^[250] es decir, la totalidad S de todas las cosas que pueden ser objetos de mi pensamiento, es infinito. Pues si s significa un elemento de S, entonces el pensamiento s', que s puede ser un objeto de mi pensamiento, es él mismo un elemento de S,…» (ibíd., pág. 64, ligeramente editado) y así sucesivamente, de modo que la serie infinita ([s] + [s es un objeto del pensamiento] + [«s es un objeto del pensamiento» es un objeto del pensamiento] +…) existe en el Gedankenwelt, lo cual implica que el Gedankenwelt mismo es infinito. Respecto a esta demostración, observe (a) su gran parecido con varias RIV al estilo de Zenón que habíamos visto en § 2a, y (b) cuán fácilmente podríamos objetar que la demostración solo establece que el Gedankenwelt de Dedekind es «potencialmente infinito» (y en el preciso sentido aristotélico del término), pues nadie podrá jamás sentarse y pensar realmente en una serie infinita completa de pensamientos del tipo (s + s' + s''), es decir, la serie es una abstracción total.
La cuestión es que la demostración de Dedekind en «El significado y naturaleza de los números» no va a convencer a nadie que no esté ya dispuesto a admitir la existencia^[251] de sistemas/series/conjuntos… realmente infinitos, y tanto Dedekind como Cantor lo están. Al 100%. Sin embargo, a diferencia de Dedekind, Cantor tiende a representarse a sí mismo como si le hubieran arrastrado gritando y pataleando hacia el ∞ real. Por ejemplo:

La idea de considerar lo infinitamente grande no solo en la forma de la magnitud ilimitadamente creciente y en la forma estrechamente relacionada de las series infinitas convergentes […] sino también fijarla matemáticamente mediante números en la forma definida del infinito completado me sobrevino como una obligación lógica, casi contra mi voluntad, pues era contraria a unas tradiciones que había llegado a considerar muy valiosas en el curso de varios años de esfuerzo científico e investigaciones (Cantor, «Foundations of the Theory of Manifolds», págs. 75-76).

Una parte de esa diferencia en la presentación es que Georg Cantor era un retórico más hábil que Richard Dedekind, y otra parte es que tenía que serlo: Cantor estaba en el frente de la guerra por el ∞ de un modo en que Dedekind nunca lo estuvo.
Otra cosa a tener en cuenta, sin embargo, es que las matemáticas transfinitas de Cantor acabarán socavando totalmente las objeciones aristotélicas, como la anterior (b), a la demostración de Dedekind, pues la teoría de Cantor constituirá una evidencia directa de que los conjuntos realmente infinitos pueden ser entendidos y manipulados, verdaderamente tratados por el intelecto humano, igual que la velocidad y la aceleración son tratados por el cálculo. Así, algo a valorar desde el principio es que, por muy abstractos que puedan ser los sistemas infinitos, después de Cantor está claro que no son abstractos del modo real/irreal en que lo son los unicornios.

Fin de la interpolación

§ 6c.
Volvamos a la táctica inicial de Dedekind de preguntar qué distingue la continuidad de la recta numérica L. Resulta que tanto Galileo como Leibniz y Bolzano habían intentado postular que la continuidad de L se basaba realmente en la densidad infinita de sus puntos constituyentes, es decir, en el hecho de que entre dos puntos cualesquiera de la R. N. siempre se puede hallar un tercer punto. Como hemos visto, sin embargo, la misma característica vale para todos los racionales de la forma p/q,^[252] y como (1) todo número racional se puede expresar en la forma p/q,^[253] y (2) ya sabemos que el conjunto de todos los racionales no es continuo, Dedekind descarta la idea de que la continuidad de L resida en algún tipo de densidad o «estrecha vecindad»: «Mediante vagos comentarios acerca de la conexión ininterrumpida de las más pequeñas partes [de L] obviamente no se gana nada; el problema es indicar una característica precisa de la continuidad que pueda servir como base para deducciones válidas» (Dedekind, págs. 10-11).
El golpe de efecto de Dedekind es situar esta «característica precisa» no en la densidad o la cohesión de L, sino más bien en una propiedad contraria, la separabilidad, a su vez una consecuencia del hecho de que la recta numérica sea ordenada y sucesiva, es decir, que cada punto de la R. N. está a la derecha de todos los puntos correspondientes a números inferiores y a la izquierda de todos los puntos correspondientes a números superiores. Esto significa que en cualquier punto en particular podemos, en cierto modo, cortar^[254] la recta numérica en dos partes, dos conjuntos infinitos mutuamente exclusivos,^[255]A a la derecha y Ba la izquierda, donde todo número racional de B es mayor que todo número racional de A. Respecto a esto, «Continuidad y números irracionales» (que es, como se ha mencionado, el nombre informal para un artículo matemático técnico) tiene un aparte del tamaño de un párrafo donde Dedekind en cierto modo da un puntapié en el suelo y pretende disculparse por lo poco convincente y obvio que lo del schnitt debe de parecer, por ejemplo: «[L]a mayoría de mis lectores quedarán muy decepcionados al saber que es mediante ese comentario banal que el secreto de la continuidad será revelado» (ibíd., pág. 11). El comentario al que se refiere es el recíproco lógico de la afirmación anterior acerca de la separabilidad, es decir:
Si todos los puntos de la recta caben en dos categorías tales que todo punto de la primera categoría se halla a la izquierda de todo punto de la segunda categoría, entonces existe un punto, y solo uno, que da lugar a esta división de todos los puntos en dos categorías, dividiendo la recta en dos porciones (ibíd.).
Lo que esto significa es que al definir los miembros y las cotas de los conjuntos Ay B, se puede definir el valor del punto en el cual se corta L en las partes A y B. Y, como usted recordará de § 2c, definir un punto es definir un número.
Solo que, como la recta en cuestión es la recta numérica y representa solo los números racionales, es justo preguntar cómo va a ser posible que el schnitt ayude a definir los números irracionales, los cuales, por supuesto, son el verdadero «secreto de la continuidad». Que cada número racional corresponderá a un schnitt pero no cada schnitt corresponderá a un número racional podría parecer simplemente otro modo de formular la aseveración según la cual no podemos definir irracionales en términos de racionales. La respuesta es que Dedekind puede construir literalmente la definición de cada número irracional a partir de las características de los dos conjuntos en los que divide la recta. El método funciona como sigue.
Considere un schnitt en la R. N. que divide toda la ∞ de números racionales en dos conjuntos A y B tales que todos los elementos b de B son mayores que todos los elementos a de A. De forma más específica, considere si estos A y B pueden tener elementos máximos/mínimos.^[256] Dependiendo de dónde y de cómo se defina el schnitt, hay solo tres posibilidades, de las cuales solo una puede ser cierta. Posibilidad 1 = El conjunto A tiene un elemento máximo a' (como en el caso, por ejemplo, en que el corte A contiene todos los números racionales ≤ 2 y B contiene todos los números racionales > 2). Posibilidad 2 = El conjunto B tiene un elemento mínimo b' (como en el caso, por ejemplo, en que el corte A contiene todos los números racionales < 2). Posibilidad 3 = No hay un elemento máximo de A ni un elemento mínimo de B.*

*Miniinterpolación

Respecto a que estas sean las únicas tres opciones, probablemente ya puede usted ver que no hay ningún modo en que el conjunto B pueda tener jamás un elemento máximo, porque B lo contiene todo desde el schnitt hasta el ∞. Y la L de Dedekind es la recta real y también incluye todos los racionales extendiéndose hacia la izquierda desde 0, así que Alo contiene todo desde −∞ hasta el schnitt y no puede tener un miembro mínimo. Pero en caso de que se esté preguntando por qué no puede haber una Posibilidad 4 en la cual haya a la vez un miembro máximo a' de A y un miembro mínimo b' de B, hay una manera fácil de demostrar que esto no es posible. Es una demostración por reducción al absurdo, así que vamos a suponer que existe un a' máximo y también un b' mínimo. Pero esto significa que existirá cierto número racional, igual a (a' + b')/2, que es a la vez mayor que a' y menor que b', y, por lo tanto, no puede ser miembro ni de A ni de B. Pero A y B han sido definidos de tal modo que juntos contienen todos los números racionales. Por lo tanto, la Posibilidad 4 es contradictoria.
Pero entonces, ¿por qué la Posibilidad 3 no es contradictoria de la misma manera?

Dramático final de la miniinterpolación

Enunciado informalmente, el ejemplo de Dedekind para la Posibilidad 3 es un schnitt cuyo conjunto A contiene todos los números racionales negativos y todos los racionales positivos x tales que x² < 2, y cuyo conjunto B contiene todos los racionales positivos x tales que x² > 2. Si se puede demostrar que ningún número racional corresponde a este schnitt, habremos definido cierto número irracional, en este caso el milenariamente inconmensurable √2.^[257]
Ya hemos visto, en § 2c, una demostración de que √2 no es racional.^[258]Podríamos dormirnos en estos laureles. Pero Dedekind no lo hace, y proporciona su propia demostración específica de que el schnitt del ejemplo de la Posibilidad 3 no corresponde a ningún número racional. Vamos a verla. Puede que todos queramos respirar a fondo un momento y relajarnos y estar muy atentos. La de Dedekind es una demostración por reducción al absurdo y, por lo tanto, empieza suponiendo que sí existe un racional x correspondiente al schnitt de la Posibilidad 3. Si ese x existe, entonces, por la definición del conjunto A, o bien x es el elemento máximo de A, o bien es mayor que cualquier elemento de A (o sea, que está en B). 
En todo caso, cualquier número que sea mayor que x (llamémosle x⁺) por definición va a pertenecer con absoluta seguridad a B, lo cual significa que (x⁺)²debe ser > 2. Entonces, si para cierto x podemos dar un x⁺ mayor que x de tal modo que (x⁺)² < 2, la suposición inicial de que x es racional quedará contradicha.
De modo que aceptemos las anteriores especificaciones de x y x⁺, y definamos cierto número positivo p como igual a (2 − x²), y definamos x⁺ como igual a (x + ^p/₄). Esta última definición puede parecer un poco extraña, pero puede usted verificar fácilmente que dadas las especificaciones originales y el valor de p, (x + ^p/₄) será mayor que x, de modo que se mantiene la crucial relación x⁺ > x. Ahora lo que queda de la demostración son solo buenos y viejos cálculos escolares:

(x⁺)² = (x + ^p/₄)²

(x + ^p/₄)² = x² + xp/2 + p²/1

Como x es por definición mayor que 1, x² > x, de modo que

x²p/2 > xp/2

y así

x² + xp/2 + p²/16 < x² + x²p/2 + p²/16

Haciendo que 16 sea el denominador común, se obtiene

(16x² + 8x²p + p²)/16

Como, por definición, p = (2 − x²), entonces claramente x² = (2 − p); así que por sustitución la cantidad de (4) se convierte en

(16(2 - p) + 8(2 - p)p + p²)/16

que tras multiplicar constantes se convierte en

(32 - 16p) + (16 - 8p)p + p²)/16

que tras desarrollar el paréntesis del 2º término da

(32 - 16p) + 16^p - 8p² + p²)/16

lo cual bastante obviamente se reduce a

(32-7p²)/16

lo cual es lo mismo que

2 - (⁷/₁₆)p²

cantidad que, al ser p > 0 por definición, siempre va a ser < 2. Así, mediante los pasos (1)-(9) (destacando en particular los pasos (1), (3) y (9)), hemos determinado que

(x⁺)² < 2 - (⁷/₁₆)p² < 2

lo cual, por la ley básica de la transitividad, significa que

(x⁺)² < 2

que es precisamente lo que necesitábamos para contradecir la suposición inicial de que el schnitt correspondía a un racional x. Y esto quiere decir que no corresponde a ningún racional x. Q. E. D.
Dedekind, justo tras la demostración: «En esa propiedad de que no todos los cortes son producidos por números racionales consiste lo incompleto o la discontinuidad del dominio de todos los números racionales» (ibíd., pág. 15, editado).
Pero esto no es ni la mitad del asunto. El truco del schnitt permite que los números irracionales se definan completamente en términos de los racionales, que es el único modo de elaborar una teoría deductiva y 100% rigurosa de los números reales. La definición, en lenguaje asequible, es que un número irracional es el valor de un punto en el cual un schnitt divide la R. N. en dos conjuntos A y B bilateralmente exhaustivos que respectivamente no tienen elemento máximo o elemento mínimo.^[259] Es esta definición la que crea el continuo —es decir, el conjunto de todos los números reales— y transforma la recta numérica en la recta real.^[260] Lo que es especialmente genial e ingenioso es que la técnica de Dedekind usa justamente lo que había hecho tan misteriosos a los irracionales —su correspondencia a puntos innominables de la recta numérica— como parte de su definición rigurosa.

§ 6d.
Por supuesto, la teoría de Dedekind también presupone la existencia de conjuntos realmente infinitos. Más que presuponer: mediante el truco del schnitt, la definición formal de un número real se convierte en «Cierto par de conjuntos infinitos con ciertas características particulares». Hay cierto número de potenciales rarezas de las que nos podemos dar cuenta en este punto. En primer lugar, dada la larga y muy documentada alergia de las matemáticas a los ∞ reales, la teoría de Dedekind bien podría verse simplemente como la sustitución de una cantidad de tipo indefinible por otra, es decir, como invocar, para fundamentar y definir los irracionales, la idea oculta de no uno sino dos conjuntos inimaginablemente enormes y, aun así, precisamente ordenados, cada uno de ellos infinito de algún modo pero a la vez limitado muy específicamente. Lo cual podría chocarle una vez más como algo demasiado parecido a Zenón. Si es así, guárdese esa idea.
Segunda rareza: Si es usted inusualmente atento e inmune al aburrimiento, puede que ya haya notado un sorprendente parecido entre la teoría de Dedekind y lo de la conmensurabilidad geométrica de Eudoxo de Cnidos que vimos en § 2d. Con respecto a lo cual, por favor, recuerde o revise § 2d y vea que el concepto de schnitt ahora ayuda a hacer más claro cómo la definición por Eudoxo de «razón» funciona para designar números irracionales: el número expresado por la razón p/q  es irracional (o sea, p y q son inconmensurables) justo cuando, para cualquier número racional a/b , la disyunción (ap < bq) o (ap > bq) es cierta,^[261] o sea ap ≠ bq. No hay aquí acusación alguna de que Dedekind plagiara a Eudoxo o ni siquiera de que necesariamente supiera algo de él. Véase, por ejemplo, el prefacio de «La naturaleza y significado de los números», en el cual Dedekind cita la eudoxiana Definición 5 de los Elementos sin ningún conocimiento evidente de dónde la obtuvo Euclides. Esta cita subraya la gran diferencia entre Dedekind y Eudoxo, así como entre las matemáticas griegas y el análisis moderno:
[S]i uno contempla el número irracional como la razón de dos cantidades mensurables,^[262] entonces esta manera [= la del mismo Dedekind] de determinarlo está ya descrita de la manera más clara posible^[263] en la celebrada definición que da Euclides de la igualdad de dos razones (Elementos, V, 5) (ibíd., editado).
La diferencia está en la condición inicial «Si… cantidades mensurables». Eudoxo y Euclides eran (otra vez) geómetras, y para ellos el problema de los irracionales incluía magnitudes geométricas como rectas/áreas/volúmenes. Mientras que el proyecto general de Dedekind (como, de nuevo, el de Weierstrass mismo) es huir de la geometría y fundamentar el análisis totalmente en la aritmética.^[264]
Por esto, Dedekind dice una y otra vez que la R. N. y los puntos geométricos en su teoría del schnitt son solo para entretenimiento. En realidad, su antes mencionado prefacio contiene una de las declaraciones más conmovedoras jamás escritas sobre la estética de la aritmetización, a saber: «Aún me parece más bello que sin ninguna noción de cantidades mensurables y simplemente mediante un sistema finito de sencillos pasos del pensamiento el hombre pueda avanzar hacia la creación del dominio numérico continuo puro» (ibíd., pág. 38 [puntuación sic]).
Por otro lado, si resulta correcto decir que la intervención de conjuntos realmente infinitos en una definición matemática involucra solo «un sistema finito de pasos del pensamiento» es una cuestión justa, esto nos lleva de nuevo al asunto que pusimos sobre la mesa hace dos párrafos. Si resulta que usted presenta objeciones al uso de conjuntos infinitos en una definición rigurosa porque le parece que tales conjuntos de tipo realmente ∞ son matemáticamente irreales/ilícitos, entonces usted es, por supuesto, un aristotélico/gaussiano y contará como su defensor nº 1 al profesor Leopold Kronecker (1823-1891), que como se ha mencionado fue una vez el mentor de Georg Cantor y después su archienemigo y la persona que algunos historiadores piensan que más o menos por sí sola le condujo a la locura, y quien (= Kronecker) fue básicamente el primer intuicionista de las matemáticas, y que creía que solo los enteros eran matemáticamente reales porque solo ellos eran «claros a la intuición», lo cual significaba que los decimales, los irracionales y ciertamente los conjuntos infinitos eran todos unicornios matemáticos. En la historia de las matemáticas, la figura de Kronecker a menudo se resume mediante su máxima «Solo los enteros son una creación de Dios; todo lo demás es obra del hombre», del mismo modo en que la figura de D'Alembert queda resumida por «Siga adelante y la fe vendrá», y la de Arquímedes, por «¡Eureka!».^[265] Veremos más de lo que probablemente quiere usted oír acerca de Leopold Kronecker y el intuicionismo dentro de unos §. Por ahora basta saber que así como Weierstrass, Dedekind y algunos colegas quieren eliminar la geometría del análisis y basarlo todo en el sistema de los números reales, Kronecker va incluso más allá y quiere basar el análisis solo en los enteros y en los racionales expresados como razones de enteros.
Así que volviendo ahora a la objeción específica no-se-pueden-usar-conjuntos-infinitos-en-una-definición a la teoría de Dedekind de los números reales. Hay por lo menos dos maneras no triviales de responder a esto. La primera es decir (de acuerdo con la nota 21) que la teoría de Dedekind en realidad no nos exige tratar conjuntos infinitos en el sentido especial de «tratar» descrito en § 1. Estrictamente hablando, la técnica del schnitt no presupone ∞ reales más de lo que lo hace

Lo cual equivale a decir que los conjuntos infinitos A y B de la teoría de Dedekind son completamente abstractos, hipotéticos: no tenemos que contarlos ni representarlos o ni siquiera pensar en ellos más allá de saber que B > A y decidir si existe un a' máximo, un b' mínimo o ninguno.
Si esta respuesta no le emociona demasiado y todavía le parece que todo lo que la definición supuestamente rigurosa de Dedekind está haciendo es sustituir la imprecisión matemática de los números irracionales por la de los conjuntos infinitos, entonces es oportuno indicar que coincidiendo con la aparición de «Continuidad y números irracionales», Cantor está empezando a publicar trabajos que dan precisión justo al tipo de conjuntos realmente infinitos que Dedekind está postulando. Como se insinuó en los § 1 y 4, la aparición casi simultánea de Cantor y Dedekind en las matemáticas es más o menos como lo de Newton y Leibniz, una señal segura de que era el «momento adecuado» para los conjuntos de tipo ∞. Igual de impresionante es la manera escheriana en que se superpone la obra de ambos hombres.^[266] Cantor es capaz de definir y fundamentar los conceptos de «conjunto infinito» y «número transfinito», y de establecer técnicas rigurosas para combinar y comparar diferentes tipos de ∞, que es justamente donde la definición de Dedekind de los irracionales necesita apuntalarse. Recíprocamente, la técnica del schnitt demuestra que los conjuntos realmente infinitos pueden tener verdadera utilidad en el análisis. En otras palabras, que por muy sensitiva y cognitivamente abstractos que deban permanecer, los ∞ a pesar de todo pueden funcionar en las matemáticas como abstracciones prácticas y no solo como extraños divertimentos paradójicos.^[267]
También la coincidencia en el tiempo es casi inquietante. Dedekind se entera por primera vez de la existencia de Georg Cantor el mes de marzo de 1872, cuando lee su obra «Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen»^[268] en una importante revista mientras está dando los toques finales a «Continuidad y números irracionales», en el último borrador del cual añade una cita de Cantor y un «gracias de corazón» a «este ingenioso autor» cuyo artículo contiene una teoría de los irracionales* que «… está de acuerdo, aparte de la forma de la presentación, con lo que designo como la esencia de la continuidad» (Dedekind, pág. 3, editado). Luego, más tarde ese mismo año se conocen, por casualidad, cuando están de vacaciones en Suiza. Chocan el uno con el otro, literalmente. Cantor es privatdozent en la Universidad de Halle, y Dedekind da clases de bachillerato en Brunswick.^[269] Congenian inmediatamente y empiezan a cartearse, y muchos de los resultados más significativos de Cantor se desarrollan en esas cartas. Pero nunca son auténticos colaboradores, y aparentemente tienen un gran desacuerdo en 1880, cuando Cantor se las arregla para conseguirle a Dedekind una plaza de profesor en Halle y este la rechaza (aunque deben de haberlo resuelto con el tiempo si en 1899 tienen largas sobremesas tras comer juntos). De nuevo, nos saltamos la mayor parte de esas cosas personales.

§ 6e.

*Interpolación semi- SEI<

La teoría de los irracionales de Georg Cantor, que como se ha mencionado está principalmente en el «Über […] Reihen» de 1872, es a la vez técnicamente compleja y, en definitiva, menos relevante que el trabajo sobre teoría de conjuntos del que forma parte,^[270] y dependiendo de su cociente general ^interés/_fatiga puede que usted no quiera hacer más que echarle una ojeada a la siguiente explicación, que ocupa un complicado nicho retórico y ha sido clasificada como SEMI-SEI.

Cantor no está tan interesado en definir los irracionales per se como en desarrollar una técnica mediante la cual pueda definir todos los números reales, racionales e irracionales, del mismo modo. En realidad, Cantor es el primero que introduce en las matemáticas la idea de un conjunto de todos los números reales que comprenda tanto a los racionales como a los irracionales (a lo cual Dedekind, por complicadas razones, se opone). Obviamente, la teoría del propio Cantor también depende de los conjuntos infinitos, pero en este punto para Cantor estos son más como conjuntos infinitos de sucesiones infinitas de números racionales. De aquí viene, en parte, lo complejo de su teoría. Otra parte es que Cantor quiere usar la idea weierstrassiana de los irracionales-como-límites sin el problema de circularidad mencionado en § 6a, lo cual le conduce a usar sucesiones convergentes en lugar de series.
En concreto, para evitar la circularidad de la definición de Weierstrass, Cantor explota los hechos de que (1) todos los números reales pueden ser representados por decimales infinitos (y los racionales tienen decimales que o bien repiten infinitamente su período básico (como en la nota 10 de § 6c), o bien acaban con una infinidad de o seguidos o 9 seguidos (los cuales, recuperando el rastro de la nota 35 de § 2c, son equivalentes, como cuando veíamos que 0,999… = 1,000…), y que (2) los decimales infinitos funcionan como límites de fracciones decimales. (En la escuela aprendió las fracciones decimales: son la manera de hacer que los chavales entiendan los decimales en términos de fracciones, por ejemplo

0,15 = ⁰/₁ + ¹/₁₀ + ⁵/₁₀₀

Aquí, pues, tenemos otro caso en el cual el análisis superior resulta estar en el fundamento de la aritmética infantil: la regla general es que cualquier decimal infinito puede ser representado como la serie infinita convergente

a₀10⁰ + a₁10⁻¹ + a₂10⁻² + a₃10⁻³ + … + a_n10⁻ⁿ + …,

serie que converge hacia el decimal original, es decir, el decimal es el límite/suma de la serie).^[271] Entonces, mediante un ingenioso ejercicio de semántica matemática, Cantor puede conseguir todo el botín de los decimales observando, en la línea de § 5d, que el hecho de que una sucesión cualquiera^[272] de números racionales converja equivale a que sea representable mediante un decimal infinito, el cual está, pues, definido matemáticamente por la sucesión.
[SEI Si el anterior párrafo parece sospechoso o enrevesado, podemos reducir el argumento a un simple silogismo: «Como (1) todos los números son definibles mediante decimales y (2) todos los decimales son definibles mediante sucesiones, (3) todos los números son definibles mediante secuencias», lo cual resulta ser 100% válido].
En definitiva, la idea básica de Cantor es que una sucesión infinita de números racionales define un número real si la sucesión converge en el sentido de que

para cualquier m arbitraria (semiextractado de Kline, págs. 984-985),^[273] es decir, si la diferencia entre dos términos sucesivos cualesquiera tiende a 0^[274] al alejarnos más y más por la sucesión (que por supuesto es justo el modo en que los decimales funcionan: en la posición decimal n-ésima, valores sucesivos pueden diferir a lo sumo en 10⁻ⁿ). Cantor llama a las sucesiones que se comportan de ese modo sucesiones fundamentales, y lo que se conoce como teoría de los números reales de Cantor es que cada número real queda definido mediante por lo menos una secuencia fundamental.
Un par de potenciales objeciones en este punto. Si a usted tal vez le choca como algo circular o cuestionable que Cantor defina «número real» como el-que-es-definido-por-una-sucesión-fundamental —algo parecido a definir «perro» como el-que-es-definido-por-la-definición-de-«perro»— entonces tenemos que aclarar qué significa exactamente «definir» en relación con la teoría de Cantor. Básicamente significa «es» o «es igual a». Es decir, lo que permite que la teoría evite la circularidad es que la sucesión fundamental relevante es el número real, del mismo modo que 0,15 es lim(0(10⁰), 1(10⁻¹), 5(10⁻²)) y una función trigonométrica es su desarrollo en serie convergente. Por otro lado, como los números reales incluyen tanto los irracionales como los racionales, podría estar preguntándose si, y cómo, las sucesiones fundamentales de racionales de Cantor también pueden definir números racionales, o si la idea tiene sentido siquiera. La respuesta es que tiene sentido y pueden hacerlo: la estipulación de Cantor es que cuando una sucesión fundamental a₀, …, a_n, … tiene todos los términos posteriores a a_n iguales a x, la sucesión define (= es) el número racional x.^[275]
Para hacer verdaderamente viable su teoría, Cantor todavía tiene que demostrar cómo deducir propiedades aritméticas y realizar operaciones básicas con sus sucesiones fundamentales y los números reales que estas definen. A continuación, veremos un par de ejemplos de las demostraciones de su artículo, donde nuestros números reales relevantes son aquí x e y:
(A) Como resulta que se puede definir el mismo número real x mediante más de una sucesión fundamental,^[276] la regla de Cantor es que dos sucesiones fundamentales a₀, a₁, a₂, … y b₀, b₁, b₂, … definen el mismo x si y solo si |a_n − b_n| se aproxima^[277] a 0 cuando n tiende a ∞.
(B)Para demostrar que se pueden hacer las operaciones aritméticas básicas, supongamos que a_n y b_n son sucesiones fundamentales que definen x e y, respectivamente. Cantor demuestra (en una orgía de simbolismo ultratecnificado que estamos omitiendo) que (a_n ± b_n) y (a_n × b_n) son también sucesiones fundamentales, definiendo así los números reales x ± y y x × y. En su demostración de que b_n/a_n  es una sucesión fundamental que define x/y, la única restricción es que x obviamente no puede ser 0.
Por último, puede que haya visto usted otra objeción potencial. Una bastante fea. Y quizás el aspecto más impresionante de la teoría de Cantor de los reales-mediante-sucesiones-fundamentales —y por lo que Dedekind le llama ingenioso— es el modo en que Cantor evita esa objeción, del tipo de las RIV letales, ante la cual su teoría parece vulnerable al principio. Pues si sucesiones fundamentales de números racionales definen números reales, ¿qué hay de las sucesiones fundamentales de números reales (= tanto racionales como irracionales)? Se pueden construir fácilmente sucesiones de números reales que convergen según las especificaciones de Cantor: varios tipos de series trigonométricas ya lo hacen. ¿Necesitamos crear toda una clase completamente nueva de números para que funcionen como límites de esas sucesiones de números reales? Si es así, entonces necesitaremos otra clase más para los límites de sucesiones fundamentales de esos nuevos números, y luego otra más… y allá vamos: será el Tercer Hombre de Aristóteles otra vez. Solo que Cantor lo elude demostrando^[278] el siguiente teorema: si r_n es una secuencia de números reales tal que

para un m arbitrario —es decir, si r_n es una sucesión fundamental de números reales bona fide— entonces existe un número real único r, definido por una secuencia fundamental a_n de números racionales, tal que

En otras palabras, Cantor es capaz de demostrar que los propios números reales pueden servir como límites de las sucesiones fundamentales de números reales, de modo que su sistema de definiciones es autocontenido y a prueba de RIV.

§ 6f.
Como se insinuó vagamente en § 6d, las teorías de Dedekind y Cantor entran en conflicto con una más de las doctrinas kroneckerianas, a menudo conocida como constructivismo, que se convertirá en una parte muy importante del intuicionismo y de las controversias acerca de los fundamentos filosóficos de las matemáticas desatadas por la teoría de conjuntos.^[279] Todo esto se vuelve muy pesado y complicado, pero es importante. Aquí están los principios básicos del constructivismo tal como los practicó Kronecker y los codificaron Jules-Henri Poincaré y Luitzen Egbertus Jan Brouwer y otras figuras destacadas del intuicionismo: (1) Cualquier enunciado o teorema matemático que sea más complicado o abstracto que la aritmética de los enteros de toda la vida debe ser explícitamente derivado (es decir, «construido») de la aritmética de los enteros mediante un número finito de pasos puramente deductivos. (2) Las únicas demostraciones válidas en matemáticas son las constructivas, y aquí el adjetivo significa que la demostración proporciona un método para encontrar (es decir, «construir») cualesquiera entes matemáticos involucrados en ella.^[280]
Respecto a la metafísica de las matemáticas, el constructivismo es, por lo tanto, directamente opuesto al platonismo: con la excepción quizá de los enteros, las verdades matemáticas no existen fuera de la mente humana. De hecho, desde el punto de vista de Kronecker y sus seguidores, decir que cierto ente matemático «existe» es decir literalmente que puede ser construido con lápiz y papel por seres humanos reales durante el tiempo del que, siendo mortales, pueden disponer.
Puede usted ver, entonces, que los constructivistas van a tener serios problemas con los teoremas y las demostraciones que involucran el ∞, los conjuntos infinitos, las sucesiones infinitas, etc., particularmente cuando esas cantidades infinitas son explícitamente presentadas como reales. Respecto a los schnitts de Dedekind, por ejemplo, los constructivistas obviamente van a ponerse nerviosos desde el principio. No solo los irracionales no existen realmente, y no solo Dedekind usa la reducción al absurdo para demostrar que algunos schnitts no corresponden a números racionales. También está todo el problema de definir un número en términos de conjuntos infinitos de otros números. Por ejemplo, Dedekind ni siquiera especifica nunca las reglas matemáticas mediante las cuales obtiene los conjuntos A y B. Simplemente dice que si la recta numérica se puede dividir en A y B…, sin dar ningún método o procedimiento mediante el cual uno pueda construir realmente estos conjuntos (conjuntos que de todos modos no pueden construirse o verificarse realmente), entonces son infinitos. Y ya que estamos, ¿qué es exactamente un «conjunto», técnicamente hablando, y cuál es el procedimiento para construir uno? Y así sucesivamente.
Esta última pregunta compuesta de los constructivistas (y admitamos que Dedekind no la puede contestar)^[281] nos muestra un buen ejemplo del genio particular de Georg Cantor Jr. y de por qué merece el título de padre de la teoría de conjuntos. Recuerde la mención en § 3c de cómo Cantor tomó lo que se había considerado como una característica paradójica y totalmente intratable del ∞ —concretamente que un conjunto/clase/agregado infinito puede ponerse en correspondencia uno a uno con su propio subconjunto— y la transformó en la definición técnica de conjunto infinito. Observe cómo hace lo mismo aquí, convirtiendo lo que parecían devastadoras objeciones en criterios rigurosos, al definir un conjunto S como cualquier agregado o colección de entes discretos que satisfaga dos condiciones: (1) S puede ser considerado por la mente como un agregado, y (2) Hay alguna regla o condición enunciada mediante la cual uno puede determinar, para una entidad x cualquiera, si x es 0 no es un elemento de S.^[282]
Esta definición no aparece de repente de la nada, está claro. Ahora resulta apropiado recuperar cosas de § 5d sobre la convergencia y la representabilidad de las series trigonométricas, el teorema de localización de Riemann, etc., para ver de dónde sale realmente el trabajo de Cantor sobre los irracionales y los conjuntos.

Capítulo Siete

§ 7a.
Esta sección incluso tiene epígrafes:

La teoría moderna del infinito evolucionó de un modo contiguo a partir de las matemáticas que la precedieron.
SHAUGHAN LAVINE, pág. 41

Pero los no iniciados pueden preguntarse cómo es posible tratar con un número que no puede contarse.
BERTRAND RUSSELL, Mysticism and Logic, pág. 82

Pónganse todos los cinturones por favor, porque estamos a punto de subir por una pendiente muy pronunciada.
E. ROBERT GORIS

Por razones que a estas alturas resultarán familiares, gran parte de lo que sigue va a ir realmente rápido. También es algo duro al principio, pero, como ocurre con buena parte de las matemáticas puras, se vuelve más fácil al profundizar. Como ya se ha mencionado, Cantor estudia en Berlín bajo la responsabilidad de Weierstrass y de Kronecker; sus primeros artículos publicados son trabajos bastante estándares sobre ciertos problemas en teoría de números.^[283] Obtenido el doctorado, Cantor consigue un modesto trabajo como privatdozent (lo cual parece ser un extraño tipo de asistente académico por libre)^[284] en la Universidad de Halle, y allí conoce a un tal Eduard Heinrich Heine (1821-1881), un especialista en análisis aplicado que había hecho importantes trabajos sobre el calor, particularmente sobre la ecuación de potencial.^[285] En todo caso, hacia 1870, Heine pertenece al gran grupo de matemáticos que trabajan en las series de Fourier y los problemas planteados por el artículo de Riemann «Sobre la representabilidad…», y aparentemente él (= Heine) consigue que Cantor se interese por lo que se había llegado a conocer como el problema de la unicidad: si cualquier f(x) dada puede ser representada por una serie trigonométrica, ¿es dicha representación única, es decir, hay una sola serie trigonométrica que puede hacerlo? El propio Heine había sido capaz de demostrar la unicidad solo con la condición de que la serie trigonométrica relevante fuera uniformemente convergente.^[286] Lo cual, claramente, no era suficientemente bueno, pues hay muchas series trigonométricas e incluso series de Fourier que no son uniformemente convergentes.
En 1872, el artículo de Cantor «Sobre la extensión de una proposición de la teoría de series trigonométricas»^[287] define y demuestra un teorema de unicidad mucho más general que no solo no requiere la convergencia uniforme, sino que permite excepciones a la convergencia en una infinidad de puntos, suponiendo que esos puntos excepcionales^[288] estén distribuidos de un modo específico.
Como veremos, la forma precisa de esta distribución es bastante complicada, como lo es el propio teorema de 1872, que en realidad Cantor ha desarrollado a lo largo de varios artículos previos y apéndices publicados a los mismos, pues su criterio de unicidad evolucionó gradualmente de requerir que la serie trigonométrica dada fuera convergente para todos los valores de x, a permitir un número finito de puntos excepcionales, hasta el teorema de unicidad definitivo, en una forma 100% general. Lo interesante es que es el profesor Leopold Kronecker quien ayuda a Cantor a refinar y simplificar varios aspectos iniciales de su demostración. Al mismo tiempo, el enfoque de Cantor está profundamente influido por el trabajo de Weierstrass sobre la continuidad y la convergencia, por ejemplo, la observación de que una serie trigonométrica general de la forma

debe ser uniformemente convergente para ser integrable término a termino (que era el modo en que Heine y todos los demás habían intentado atacar el problema de la unicidad). Los historiadores han observado que las relaciones Cantor-Kronecker se enfriaron y que las cartas de Kronecker se volvieron cada vez más críticas cuando los refinamientos que hacía Cantor del teorema de unicidad empezaron a admitir infinitos puntos en los cuales se podían permitir excepciones a la representación de la f(x) dada o a la convergencia de la serie.^[289] En cada sucesiva versión de la demostración, Kronecker básicamente veía a Cantor alejarse de su propia postura algebraica constructivista de la teoría de funciones hacia una más weierstrassiana. La apostasía fue completa cuando el artículo definitivo de 1872 fue publicado y toda su primera parte estaba dedicada a la teoría de los irracionales/reales detallada en § 6e.
Entender por qué precisamente necesitaba una teoría coherente de los irracionales es una manera tan buena como cualquier otra de ver cómo el trabajo de Cantor en el teorema de unicidad le llevó a estudiar los conjuntos infinitos per se. La discusión, que se va complicando, requiere que usted recuerde la regla del teorema de Bolzano-Weierstrass según la cual todo conjunto infinito y acotado de puntos contiene por lo menos un punto límite, y, por lo tanto, claro está, también qué es un punto límite.^[290] Además, debe tener en cuenta que los conceptos centrales de la demostración de la unicidad se refieren todos a la recta real (es decir, cuando se usan términos como «conjunto de puntos» o «punto excepcional» o «punto límite», en realidad se refieren a puntos geométricos que corresponden a números).^[291] Por favor, observe también que los «conjuntos infinitos acotados de puntos» bajo consideración tanto en el T. B. W. como en la demostración de Cantor son en realidad sucesiones, que son también las entidades más sencillas respecto a las cuales entender los puntos límite: por ejemplo, el conjunto infinito de puntos de la recta numérica ^[292]

tiene como punto límite el mismo ½ que es el límite de la sucesión infinita 0,

O sea, que aquí vemos cómo Cantor consigue su resultado cada vez más general. Al principio (1870) necesita una serie trigonométrica que no sea uniformemente convergente^[293] pero que sea convergente en cualquier punto, o sea convergente para todos los valores de x. En el siguiente paso (1871)^[294] es capaz de demostrar que si dos series trigonométricas aparentemente distintas convergen hacia la misma función (arbitraria) en todas partes excepto en un número finito de puntos, en realidad son la misma serie. Vamos a omitir esta demostración porque lo realmente pertinente es lo siguiente, que es el resultado de 1872 donde Cantor puede permitir un número infinito de puntos excepcionales y, aun así, consigue demostrar que las dos series trigonométricas representativas son en definitiva idénticas.^[295] Su manera de hacerlo es mediante la introducción del concepto de conjunto derivado, cuya definición es básicamente: si P es un conjunto de puntos (o sea, cualquier conjunto de puntos-números reales, aunque en lo que obviamente está pensando Cantor es en el conjunto infinito de puntos excepcionales entre las dos series trigonométricas), entonces el conjunto derivado de P, llamado P', es el conjunto de todos los puntos límite de P. O más bien deberíamos decir que P' es el primer conjunto derivado de P, porque mientras los conjuntos de puntos relevantes sean infinitos, el proceso entero es, en principio, indefinidamente iterable: P'' es el conjunto derivado de P', P''' es el conjunto derivado de P'', y así sucesivamente, hasta que tras (n − 1) iteraciones tendremos Pⁿ como el n-ésimo conjunto derivado de P. En la explicación del teorema de unicidad dada anteriormente, en lo que se centra el criterio «suponiendo que estos puntos excepcionales se distribuyen de cierto modo específico» es en este n-ésimo conjunto derivado Pⁿ, siendo la cuestión vital si Pⁿes infinito o no.
Las verdaderas matemáticas que hay detrás de todo esto incluyen partes extremadamente técnicas sobre el comportamiento de los puntos límite, pero esencialmente aquí estamos viendo cómo funciona lo de la distribución-de-puntos-excepcionales en el teorema de unicidad. Probablemente, otra inspiración profunda no le vendría mal para afrontar lo que viene.^[296] Postulemos un conjunto infinito de puntos P tal que, para algún n finito, el (n − 1)-ésimo conjunto derivado de P, P⁽ⁿ⁻¹⁾ es infinito mientras que su n-ésimo conjunto derivado Pⁿ es finito. Entonces, si dos series trigonométricas convergen a la misma f(x) excepto en algunos o todos los puntos de P, son la serie equivalente: así, la unicidad queda demostrada. Probablemente, esto no le ha resultado cegadoramente claro y luminoso. La parte que resulta crucial desarrollar es el requerimiento de que Pⁿ sea finito. Y para explicar eso tenemos que introducir otra distinción: cualquier conjunto P para el cual su conjunto derivado Pⁿ es finito para algún n finito es lo que Cantor llama un conjunto de primera especie, mientras que, si Pⁿ no es finito para ningún valor finito de n, entonces P es un conjunto de segunda especie. (Por eso el proceso de obtener conjuntos derivados fue descrito antes como «en principio» indefinido; son solo los conjuntos de segunda especie los que nunca dan lugar a conjuntos derivados finitos y, por lo tanto, permiten ∞ iteraciones del proceso).
En definitiva, he aquí la razón por la cual Cantor, en su demostración del T. U., necesita que el conjunto infinito de puntos excepcionales original P sea un conjunto de primera especie, y, por lo tanto, que Pⁿ sea finito. Esto es así porque, mediante el teorema de los valores extremos de Weierstrass, se puede demostrar con seguridad que si cualquier conjunto derivado Pⁿ es finito, entonces en algún punto n + k más adelante el conjunto derivado P^(n+k) va a tomar su valor mínimo absoluto m, que en este caso será 0, o ningún punto límite en absoluto. Lo cual, en otras palabras, significa que tan pronto como la progresión P', P'', P''', …, Pⁿ, … llega a un conjunto derivado finito, sabemos que todo el proceso iterativo va a detenerse en algún lugar: acabará llegándose a un P^(n+k) sin elementos. Y, por supuesto, sabemos que los elementos de todos estos diversos P' y P'' son puntos límite, y sabemos también, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, que cualquier conjunto infinito acotado tiene, por lo menos, un punto límite. Si P^(n+k) no tiene elementos, entonces el conjunto del cual es el conjunto derivado no tiene punto límite, y, por lo tanto, según el T. B. W. él mismo tiene que ser finito, y ahora por el T. V. E. su número de elementos debe tomar en algún punto su propio valor mínimo de o elementos, y en ese mismo punto el conjunto del cual este es el conjunto derivado resulta que debe ser finito, y así sucesivamente hacia atrás pasando por los P^(n+k) y Pⁿ y P⁽ⁿ⁻¹⁾ y P'…, lo cual significa —simplificando mucho— que en algún momento puede demostrarse que las dos series trigonométricas representativas se confunden en una sola serie, estableciendo la unicidad.
Sin embargo, recordará de los § 5e y 6e, que para funcionar al 100% en todos los casos el teorema de los valores extremos requiere una teoría de los números reales, y que la versión weierstrassiana de tal teoría era (como Cantor mismo demostró) muy precaria. Esta es una razón por la que la demostración de Cantor de 1872 necesita su propia teoría de los números reales. La segunda razón, relacionada con la primera, es que para usar el teorema de Bolzano-Weierstrass más general para construir su teoría de conjuntos derivados y especies, Cantor necesita reconciliar las propiedades geométricas de los puntos en el continuo de una recta —en el sentido de conceptos como «punto límite», «intervalo», etc.— con el continuo aritmético de los números reales, ya que, por supuesto, las entidades involucradas en el análisis son en realidad números y no puntos.^[297]
Si observamos que los conjuntos derivados de Cantor se parecen a la idea general de un subconjunto y que el hecho de que el valor mínimo del número de elementos de P^(n+k) = 0 es esencialmente lo mismo que la definición del conjunto vacío, es posible distinguir las semillas de lo que ahora se conoce como teoría de conjuntos^[298] en la demostración de la unicidad de Cantor. Los conjuntos derivados, el continuo de la recta real/continuo de los números reales y el teorema de unicidad son también los «progenitores» de las matemáticas transfinitas de Cantor, aunque de un montón de maneras bastante complicadas. Acabamos de ver que el P'' del teorema de unicidad requiere que n sea finito, es decir, que Cantor usa solo iteraciones finitas del proceso conjunto-derivado-del-conjunto-derivado en su demostración. Sin embargo, como ya hay tantos conjuntos infinitos flotando alrededor de la demostración (por ejemplo: el P original es infinito, y todos los P' y P'' y así hasta P⁽ⁿ⁻¹⁾ pueden ser infinitos, y por supuesto las series trigonométricas relevantes son series infinitas, sin olvidar que los puntos límite involucran un número infinito de puntos intraintervalo, y que dichos intervalos pueden ser, ellos mismos, infinitesimalmente pequeños), no debería sorprendernos que Cantor empiece a considerar más de cerca las características de sus conjuntos derivados bajo infinitas iteraciones (descaradamente extractado de Lavine, págs. 40-41).
En concreto, Cantor empieza a preguntarse si la infinitud de un conjunto derivado de segunda especie infinitamente iterado P^∞ podría diferir de la infinitud del conjunto de primera especie finitamente iterado o excederla de algún modo. Más específicamente aún, se da cuenta del gran parecido de esas cuestiones con aquella otra acerca de las relativas infinitudes de los números racionales de la R. N. y de los números reales de la R. R. Esta última cuestión concierne al problema discutido hace mucho en § 2c. A saber: mientras que los números racionales son a la vez infinitos e infinitamente densos, no son continuos (es decir, la recta numérica está plagada de huecos), mientras que, por supuesto, tanto Dedekind como Cantor ahora han demostrado la continuidad del conjunto de todos los números reales tal como se esquematizan en la R. R. Así, a Cantor —quien para el T. U. ya ha desarrollado técnicas para examinar tanto los números reales como los racionales y las propiedades de los conjuntos infinitos— le parece natural^[299]preguntarse si el conjunto infinito de todos los números reales es, en cierto modo, mayor que el conjunto infinito de todos los números racionales. Pero ¿qué significaría aquí «mayor»? Y lo mismo para «exceder» en la anterior cuestión acerca de P^∞ y P⁽ⁿ⁻¹⁾, es decir, ¿cómo se pueden describir y explicar matemáticamente los tamaños comparativos de diferentes ∞? Llegados a este punto, en las inmortales palabras de Gleason…

Interpolación administrativa

Ahora hay un par de cuestiones de procedimiento que deben abordarse. Varios volúmenes muy eruditos están enteramente dedicados a los logros de Cantor.^[300] Puede usted asistir a un curso de dos trimestres de teoría de conjuntos en un departamento de Lógica, Matemáticas, Filosofía o Informática Teórica^[301] y, aun así, solo habrá rascado el barniz. Históricamente, las teorías y demostraciones transfinitas de Cantor se extienden a lo largo de veinte años^[302] y docenas de diferentes artículos, a menudo con refinamientos sucesivos y rectificaciones a materiales anteriores, de modo que a veces hay más de una versión de la misma demostración. Está claro que aquí va a ser imposible desarrollar completamente las matemáticas transfinitas o hacer verdadera justicia a su evolución en las publicaciones de Cantor.^[303] Por otro lado, hay ciertos libros populares recientes que dan explicaciones tan superficiales y reduccionistas de las demostraciones de Cantor (explicaciones que, como se ha mencionado, suelen estar subordinadas a una narrativa prometeica más amplia acerca de los problemas psíquicos de Cantor o su supuesta afiliación mística) que las matemáticas quedan distorsionadas y su belleza oscurecida, y obviamente tampoco queremos hacer esto.
Así que el Alto Mando decide: el compromiso de aquí en adelante será sacrificar el orden cronológico y cierta meticulosidad en el desarrollo a favor de la meticulosidad conceptual y la cohesión; es decir, presentar los conceptos, teoremas y demostraciones de Cantor de un modo que subraye sus relaciones entre ellos y con las matemáticas per se. Esto implicará no solo omitir algunas cosas, sino a menudo no decir que se están omitiendo, o que a veces hay varias versiones diferentes de una demostración dada y solo se explica la mejor, o cuáles son las fechas exactas y los títulos, traducidos o no, de todos los artículos relevantes,^[304] etc. También implica cierto glosario de emergencia III especial de teoría de conjuntos, aunque este G. E. tendrá que administrarse gradualmente e in situ porque parte del material es simplemente demasiado abstracto para introducirlo de entrada sin contexto.

Fin de la interpolación administrativa

§ 7b.
Como debería ser evidente, algunas ideas muy importantes relacionadas con el ∞ salen de la demostración del T. U. general. Una de ellas concierne a los tamaños relativos del conjunto de todos los números racionales y del conjunto de todos los números reales. Otra es si la continuidad de la recta real está relacionada de algún modo con el tamaño/composición de este último. Y otra idea es el concepto de número transfinito, el cual Cantor obtiene a partir de las mismas consideraciones que le llevaron a distinguir conjuntos infinitos de primera y de segunda especie en la demostración de 1872.
Para ver cómo Cantor concibe y genera sus números transfinitos, en primer lugar necesitamos asegurarnos de que algunos términos de teoría de conjuntos que probablemente vio en la escuela están claros por lo menos al nivel de un G. E.^[305] A saber: el conjunto A es un subconjunto del conjunto B si y solo si no hay ningún elemento de A que no sea elemento de B. La unión de dos conjuntos A y Bes el conjunto de todos los elementos de A y todos los elementos de B, mientras que la intersección de A y B es el conjunto de solo aquellos elementos de A que también son elementos de B. La unión y la intersección se representan normalmente mediante ∪ y ∩, respectivamente. Por último, el conjunto vacío de toda la vida, cuyo símbolo habitual es ∅, es un conjunto sin elementos. Y sepa que, en virtud de lo que a primera vista parece solo una rareza de la definición de subconjunto, en cualquier circunstancia todo conjunto siempre tendrá ∅ como subconjunto. Fin del primer fragmento in situ del G. E. III. Además, ahora debe usted recordar lo de los conjuntos de puntos de primera y segunda especie del anterior § . En realidad también hay algunos tecnicismos relacionados con los criterios para distinguir conjuntos «densos» y «densos en cualquier punto» que estamos omitiendo, pero esencialmente el modo en que Cantor concibe y genera los números transfinitos es este:^[306]
Supongamos que P es un conjunto de puntos infinito de segunda especie. Cantor demuestra que el primer conjunto derivado, P', puede «descomponerse»^[307] en la unión de dos subconjuntos diferentes, Q y R, donde Q es el conjunto de todos los puntos pertenecientes a conjuntos derivados de P' de primera especie, y R es el conjunto de los puntos que pertenecen a todo conjunto derivado de es decir, Res el conjunto de aquellos puntos que todos los conjuntos derivados de P' tienen en común. Por qué no detenerse un segundo y leer esa última frase de nuevo.^[308]R es la parte importante, y es en realidad como Cantor define por primera vez la «intersección» de conjuntos, aquí mediante la sucesión infinita de conjuntos derivados P', P'', P''', … (siendo la sucesión infinita porque P es un conjunto de segunda especie). A diferencia de nuestro ∩, el símbolo de Cantor para la intersección es un extraño Đ ultracursivo. (De nuevo, no vamos a hacerlo todo con tanto detalle). Así, la definición oficial de R es: R = Đ (P'P'', P''', …), que, junto a la definición de «conjunto de segunda especie», permite decir que las siguientes dos afirmaciones son ciertas:

(1)R = Đ (P⁽²⁾, P⁽³⁾, P⁽⁴⁾, P⁽⁵⁾, …)…

(2)R = Đ (P⁽ⁿ⁾, P⁽ⁿ⁺¹⁾, P⁽ⁿ⁺²⁾, P⁽ⁿ⁺³⁾, …).^[309]

Miniinterpolación incrustada

Las afirmaciones (1) y (2) juntas constituyen en realidad un tipo de demostración, tan famosa como la reducción al absurdo. Esta se llama inducción matemática. Para demostrar algún enunciado C_n para todos (n = ∞) los casos mediante inducción matemática, primero (a) se demuestra que C₁ es cierto en el primer caso n = 1, luego (b) se supone que C_k es cierto en los primeros k casos (usted no sabe qué número es k, pero a partir del paso (a) sabe que existe: por lo menos es 1), y entonces (c) se demuestra que C_k+1 es cierto en los primeros (k + 1) casos. Por extraño que parezca, los pasos (a)-(c) nos aseguran que C_n será cierto independientemente del valor de n, es decir, que C es un auténtico teorema.

Fin de la miniinterpolación

Lo que las afirmaciones (1) y (2) de Cantor le permiten hacer es definir R, obtenido a partir de P, como: R = P^∞; es decir, R es el ∞-ésimo conjunto derivado de P. Y como (otra vez) P es un conjunto de segunda especie, no hay ninguna posibilidad de que P^∞ = ∅, lo cual significa que el propio P^∞ dará el conjunto derivado P^∞+1, este último dará el conjunto derivado P^∞+2, y así sucesivamente, solo que aquí «y así sucesivamente» significa que podemos seguir generando conjuntos derivados infinitos de la forma abstracta^[310]p⁽ⁿ₀^∞v +n₁^{∞v−1 + … + n}_v⁾. Y como la n y la v de esta fórmula son variables, Cantor puede construir la siguiente sucesión infinita de conjuntos infinitos: P^(n∞∞), P^(∞∞+1), P^(∞∞+n), P^(∞n∞), P^(∞∞n), P^(∞∞∞), … De esta sucesión dice: «Vemos aquí una generación dialéctica de conceptos, que lleva más y más lejos, y así se mantiene necesaria en sí misma y libre de arbitrariedades»… (Cantor, Gessamelte Abhandlungen, pág. 148, traducción extractada de Grattan-Guinness, From Calc to S.T., pág. 191) mediante lo cual quiere decir que dichos «conceptos» son entes matemáticos reales —números transfinitos— rigurosamente establecidos por el teorema de Bolzano-Weierstrass, las propias definiciones de Cantor de «número real», «conjunto derivado» e «intersección», y la inducción matemática.
Si objeta usted (como hicimos algunos de nosotros al doctor Goris) que los números transfinitos de Cantor no son realmente números en absoluto sino más bien conjuntos, entonces dese cuenta de que, por ejemplo, «P^(∞∞+n)» es realmente un símbolo del número de elementos de un conjunto dado, del mismo modo en que «3» es un símbolo del número de elementos del conjunto {1, 2, 3}. Y como los transfinitos son demostrablemente distintos e, igual que los enteros, forman una sucesión ordenada infinita,^[311] son realmente números, simbolizables (por ahora) mediante el bien conocido sistema de Cantor de los alephs o ℵ.^[312] Y, como verdaderos números, los transfinitos resulta que están sujetos a los mismos tipos de relaciones y operaciones aritméticas que los números normales, aunque, tal como ocurre con el 0, las reglas de dichas operaciones son muy diferentes en el caso de los ℵs y tienen que establecerse y demostrarse independientemente.

[SEI No haremos mucho con ellos, pero si tiene usted curiosidad, aquí están algunos de los teoremas estándar para la suma, la multiplicación y la exponenciación de números transfinitos, todos obtenidos o sugeridos por Cantor. (Observe, por favor, que las sumas y/o los productos de una cantidad infinita de términos no tienen nada que ver con las sumas/límites de series infinitas en el análisis, series ahora consideradas, pos-Cantor, cuasi-infinitas). Supongamos que n es cualquier entero finito, y que tenemos dos números transfinitos distintos, designados por ℵ₀ y ℵ₁, siendo ℵ₁ > ℵ₀,^[313] en cuyo caso las siguientes afirmaciones son todas verdaderas:

1.     1+ 2 + 3 + 4 + … + n + … = ℵ₀

2.     ℵ₀ + n = ℵ₀

3.     ℵ₀ × n = ℵ₀

li>ℵ₀ + ℵ₀ + ℵ₀ + … = ℵ₀ × ℵ₀ = (ℵ₀)² = ℵ₀

4.     ℵ₁ + n = ℵ₁ + ℵ₀ = ℵ₁

5.     ℵ₁ × n = ℵ₁ × ℵ₀ = ℵ₁

6.     ℵ₁ + ℵ₁ + ℵ₁ + … = ℵ₁ × ℵ₀ = ℵ₁

7.     ℵ₁ × ℵ₁ = (ℵ₁)² = (ℵ₁)ⁿ = (ℵ₁)^ℵ₀ = ℵ₁ (semiextractado de Edwards, ν. 7, pág. 422)

NB. La sustracción y la división solo son posibles en ciertos casos híbridos, por ejemplo, para un n finito, ℵ₀ − n = ℵ₀; ℵ₀/n = ℵ₀, no entre los transfinitos per se. [De nuevo, esto no es muy diferente de lo que ocurre con la aritmética del 0]. Observe también que el caso de los exponentes transfinitos como 2^ℵ₀, 2^ℵ₁, etc., es especial y se discute en detalle más adelante. 

Fin de SEI].

En caso de que se esté preguntando qué tiene que ver todo esto con las otras grandes cuestiones relacionadas con el ∞, concretamente los infinitos comparativos de los números racionales y los números reales, y el papel de los irracionales en la continuidad de la recta real, sepa que uno de los argumentos favoritos de Cantor a favor de la realidad de los números transfinitos^[314] es su similitud matemática/metafísica con los irracionales, los cuales ya han sido definidos con éxito por Dedekind en términos de conjuntos infinitos. Como dice Cantor:

Los propios números transfinitos son en cierto sentido nuevos irracionales, y de hecho pienso que la mejor manera de definir los números irracionales finitos es enteramente similar;^[315] podría incluso decir que en principio es lo mismo que mi método para introducir los números transfinitos. Uno puede aseverar absolutamente: los números transfinitos tienen la misma aceptabilidad que los números irracionales finitos; son parecidos en su naturaleza más intrínseca; pues tanto los unos como los otros son formas definidas y delineadas o modificaciones del infinito real (Cantor, Gessamelte Ab., págs. 395-396, traducción extractada de Dauben, GC, pág. 128, editado. Todas las cursivas sic).

Lo que resulta interesante es que esta declaración clara e inequívoca aparece en el mismo «Contribuciones al estudio de los transfinitos» donde hace mucho, en § 3a, vimos que Cantor citaba a santo Tomás de Aquino y le atribuía la objeción a los números infinitos en cuanto conjuntos infinitos. Sin embargo, el argumento nº 1 del propio Cantor a favor de los números transfinitos —un argumento repetido en varias formas desde 1874 hasta finales de la década de 1890— es que «su existencia se confirma directamente mediante la abstracción a partir de la existencia de conjuntos infinitos» (Cantor resumido por Dauben, GC, pág. 127).^[316] Así, el objetivo fundamental del trabajo de Cantor entre 1874 y 1884 es desarrollar una teoría coherente y consistente de los conjuntos infinitos, y observe, por favor, el plural «conjuntos», porque para que tal teoría no sea trivial tiene que haber más de un tipo de conjunto (en el sentido de tipo matemático, que se refiere básicamente al tamaño)^[317] y algún conjunto de reglas para evaluarlos y compararlos.

§ 7c.
Esto obviamente se confunde con la cuestión de si la continuidad de la recta real significa que el conjunto infinito de todos los números reales es de algún modo > el conjunto infinito de todos los números racionales. Para abreviar una historia muy larga, el trabajo de Cantor en este problema avanza más o menos simultáneamente a su desarrollo del material acerca de los conjuntos derivados y los números transfinitos.^[318]
Veamos. Al intentar hallar algún modo de comparar los tamaños de dos conjuntos que son ambos infinitamente grandes, Cantor da con el mismo concepto que ahora se utiliza en la escuela para definir la igualdad entre dos conjuntos, concretamente la correspondencia uno a uno, o «C1-1». (En realidad «da con» no es muy correcto, pues hemos visto tanto a Galileo como a Bolzano usar la correspondencia uno a uno para establecer sus respectivas paradojas; aunque tras la teoría de Cantor ya no serían paradojas). La correspondencia uno a uno es, como puede que usted ya sepa, el modo de establecer si dos colecciones son iguales sin necesidad de contarlas. Los libros de texto usan todo tipo de diferentes situaciones para ilustrar cómo funciona el emparejamiento C1-1, por ejemplo, los dedos en su mano derecha y de su mano izquierda, el número de asistentes y de asientos en un teatro lleno, los platillos y las tazas de café de un restaurante. El doctor Goris tenía su propia analogía (hecha claramente a medida de su audiencia), que incluía el número de chicos y de chicas en un baile. Todos buscan pareja para bailar y la cuestión es si alguien se queda solo y afligido, de pie, apoyado en la pared. Ya coge la idea. Un par de definiciones formales: hay una correspondencia uno a uno entre los conjuntos A y B si y solo si existe un método (que, desde un punto de vista técnico, no necesariamente tenemos que conocer explícitamente) para emparejar los elementos de A con los elementos de B de modo que cada elemento de A esté emparejado con exactamente un elemento de B, y viceversa. Entonces, por definición, los conjuntos A y B tienen el mismo número cardinal (o cardinalidad) si y solo si hay realmente una C1-1 entre ellos.^[319]
Ahora, para la siguiente definición recuerde, por favor, cómo Galileo generó su epónima paradoja en § 1d. También ayudaría recordar la definición formal de subconjunto del § anterior. Un conjunto A es un subconjunto propio de B si y solo si A es un subconjunto de B y existe por lo menos un elemento de B que no es elemento de A.^[320] Así, por definición, todo conjunto es subconjunto de sí mismo, pero ningún conjunto es subconjunto propio de sí mismo. ¿Tiene sentido? Debería tenerlo, por lo menos para conjuntos con un número finito de elementos.
Pero lo que Georg Cantor postula como característica formal definitoria de un conjunto infinito es que tal conjunto se pueda poner en C1-1 con al menos uno de sus subconjuntos propios. Lo que equivale a decir que un conjunto infinito puede tener el mismo número cardinal que un subconjunto propio suyo, como en el caso descrito por Galileo del conjunto infinito de todos los enteros positivos y el conjunto de todos los cuadrados perfectos, el cual es subconjunto propio de aquel y también un conjunto infinito.
Esta característica hace que toda la idea de comparar los «tamaños» de conjuntos infinitos parezca muy rara, pues, por definición, un conjunto infinito puede tener el mismo tamaño (o cardinalidad) que un conjunto que por definición es más pequeño. Lo que Cantor hace aquí^[321] es tomar otro ingrediente distinto de la paradoja de Galileo y convertirlo en una herramienta extremadamente poderosa e importante para comparar conjuntos de tipo ∞. Este es, si quiere seguir la pista, su primer golpe de increíble, escalofriante genio, aunque al principio pueda no parecer gran cosa. Es la idea de correspondencia uno a uno con el conjunto de todos los enteros positivos, o sea {1, 2, 3,…}. La razón por la que esto es crítico es que el conjunto de todos los enteros positivos puede, en principio, ser contado,^[322] o sea que es posible decir «Aquí está el primer elemento 1, y el siguiente es 2, y …», etc., aunque en la práctica el proceso nunca termine. En todo caso, de aquí el concepto de Cantor de numerabilidad: un conjunto infinito A es numerable si y solo si hay una C1-1 entre A y el conjunto de todos los enteros positivos.^[323]
El conjunto de todos los enteros positivos también establece una especie de número cardinal base para conjuntos infinitos. Es la cardinalidad de este conjunto lo que Cantor simboliza con su famoso «ℵ₀».^[324] La idea es que las cardinalidades de otros conjuntos infinitos se pueden evaluar mediante ese cardinal base, es decir, se pueden comparar con ℵ₀ viendo si se pueden poner en correspondencia uno a uno con los enteros positivos. Aquí está un ejemplo (no es de Cantor per se, pero es un buen precalentamiento):
Considérese si el conjunto C de todos los enteros positivos y el conjunto D de todos los enteros (incluyendo el 0 y los negativos) tienen la misma cardinalidad. El problema es que hay una diferencia crucial entre estos dos conjuntos: C tiene un primerísimo elemento (es decir, uno más pequeño que todos los demás), concretamente 1, mientras que D (que es básicamente el conjunto

{…, −n, …, 0, …, n, …})

no lo tiene. E inicialmente es difícil ver cómo podemos comprobar si hay una C1-1 entre dos conjuntos si uno de ellos no tiene un primer elemento. Afortunadamente, de lo que estamos hablando aquí es de la cardinalidad, la cual no tiene nada que ver con el orden específico de los elementos del conjunto.^[325]Así que podemos jugar un poco con el orden del conjunto D de tal modo que a pesar de no tener un elemento mínimo sí tenga un primer elemento, pongamos por caso el 0. Y este pequeño juego nos permite establecer, y representar esquemáticamente, una perfecta correspondencia C1-1

(Bunch, pág. 115, sustancialmente editado) que demuestra que C y D tienen la misma cardinalidad. Observe que a pesar de que nunca pueda finalizarse literalmente el proceso de emparejamiento con conjuntos infinitos, mientras se pueda establecer un procedimiento para una correspondencia uno a uno que funcione para los casos primeros, n-ésimo y (n + 1)-ésimo, se habrá demostrado por inducción matemática que la correspondencia funcionará en toda la extensión de ambos conjuntos. En el ejemplo anterior hemos demostrado que el conjunto de todos los enteros es numerable aunque sea imposible contar la totalidad de sus elementos.^[326] El método de demostración es © Cantor, y lo importante que debe verse es que una vez más es capaz de tomar una característica implícita de algo, aquí la capacidad de la inducción matemática para abstraer un ∞ de posibles casos a partir de un número finito de resultados, y hacerla explícita, rigurosamente aplicable a conjuntos infinitos.
Entonces, ahora está claro cómo Cantor puede hacer una comparación de tamaños de los conjuntos infinitos de todos los números racionales y de todos los números reales:^[327] puede mirar si uno de ellos es numerable, o si lo son ambos. Lo que sigue es una serie de demostraciones muy famosas, la mayoría desarrolladas en la correspondencia con Richard Dedekind, publicadas en la década de 1870, y luego revisadas y ampliadas a principios de la década de 1890. Primero los racionales.^[328] Cuando se considera la densidad infinita que Zenón había explotado meramente en los racionales geométricos entre 0 y 1, parece como si el conjunto de todos los números racionales jamás pudiera ser numerado. No solo carece de un elemento mínimo, sino que ni siquiera hay un siguiente elemento tras ningún racional dado (algo de lo que hemos visto dos demostraciones distintas). Sin embargo, de lo que se da cuenta Cantor es de que ignorando las «relaciones de magnitud» (extractada de Courant y Robbins, pág. 79) entre miembros sucesivos, en realidad podemos disponer el conjunto de todos los racionales en una fila, algo así como la fila de todos los enteros positivos, y en esa fila habrá un primer elemento r₁, un segundo elemento r₂, y así sucesivamente. Resulta que el término técnico que denota esto, colocar un conjunto en fila de ese modo, es dar una numeración del conjunto, y la fila misma se llama la numeración del conjunto, en el sentido de que aquí la construcción válida de una fila ordenada constituirá una demostración de que el conjunto de todos los racionales realmente es numerable (es decir, que se puede poner en C1-1 con el conjunto de todos los enteros, y, por lo tanto, tiene la misma cardinalidad que este). La construcción de Cantor, a veces llamada incorrectamente su «demostración en diagonal»,^[329] funciona más o menos así:
Como vimos en § 6c, todos los números racionales se pueden escribir como el cociente de dos enteros p/q. Así que creamos una tabla 2D de esos p/q, donde la fila horizontal superior contiene todos los racionales de la forma p/1 (es decir, los enteros), y la primera columna vertical contiene todos los racionales de la forma 1/q, y un racional dado p/q estará situado en la q-ésima fila y la p-ésima columna, del siguiente modo:

Está claro que una tabla 2D no es lo mismo que la sucesión/fila única y ordenada de una verdadera numeración, pero Cantor se las ingenia para hallar un orden en los racionales de la tabla mediante una única línea continua en zigzag, del siguiente modo: empiece en 1 y vaya una posición hacia el este hasta 2; luego en diagonal hacia el sudoeste hasta ½; luego, hacia el sur hasta ¹/₃; luego, otra vez en diagonal hacia el nordeste a la primera fila de nuevo hasta 3; luego, al este hasta 4; luego, al sudoeste todo el camino hasta ¹/₄; al sur hasta ¹/₅; nordeste hasta 5, y así sucesivamente, como en:

 
Los puntos en la línea anterior formarán la secuencia

1, 2, ¹/₂, ¹/₃, ²/₂, 3, 4, ³/₂, ²/₃, ¹/₄, ¹/₅, ²/₄, ³/₃, ⁴/₂, 5, 6, ⁵/₂, ⁴/₃, ³/₄, ²/₅, ¹/₆, ¹/₇, ²/₆,…

de la que podemos eliminar con legitimidad todos los cocientes donde p y qtienen un factor común, de modo que cada número racional diferente aparezca solo una vez en su forma más básica. Este proceso de eliminación/reducción entonces da la sucesión lineal

1, 2, ¹/₂, 3, 4, ³/₂, ²/₃, ¹/₄, ¹/₅, 5, 6, ⁵/₂, ⁴/₃, ³/₄, ²/₅, ¹/₆, ¹/₇,…^p/_q, …, ¹/₃

sucesión que constituye la fila ordenada necesaria para la numeración,^[330] lo cual significa que el conjunto de todos los racionales es, en efecto, numerable y, por lo tanto, tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los enteros, o sea, el bueno y viejo ℵ₀.
La verdadera demostración en diagonal aparece en la respuesta de Cantor a la cuestión de si el conjunto de todos los números reales es > el conjunto de todos los racionales. Ahora debería ser obvio que la demostración de Cantor involucrará la numerabilidad de los números reales, es decir, si los reales son numerables, entonces su cardinalidad = la de los racionales, y si no lo son, entonces los reales son > los racionales. A grandes rasgos, la demostración es una reducción al absurdo, y su método de diagonalización se considera ahora como una de las técnicas de demostración más importantes en toda la teoría de conjuntos. Aquí deben observarse dos cuestiones preliminares. (1) La primera demostración de Cantor, en 1873-1874 y con influencia de Dedekind, de la no numerabilidad de los reales involucraba límites de sucesiones respecto a «intervalos anidados» en la recta real y resultaba enormemente compleja. Las demostraciones que estamos haciendo aquí son las versiones revisadas de Cantor, de hacia 1890: son a la vez más simples y más significativas que la primera. (2) Observe una vez más en la siguiente explicación cómo Cantor usa la forma decimal de los números reales y explota el hecho, visto en § 2c, de que 0,999… = 1 para representar no solo los irracionales sino todos los números reales como decimales que no terminan nunca: por ejemplo, como en 0,5 = 0,4999…, 13,1 = 13,0999…, etc. Esta estrategia (que en realidad sugirió Dedekind) asegura que hay solo una representación lícita de cada decimal; enseguida veremos por qué Cantor necesita disponer los números reales de ese modo.
Veamos la demostración. Como es una reducción al absurdo, empezamos suponiendo que el conjunto de todos los números reales es, de hecho, numerable; es decir, que se puede disponer como una sucesión o fila ordenada.^[331] Esta sucesión consistirá en una tabla infinita de decimales infinitos, de la cual podemos mostrar por lo menos el principio del siguiente modo:

1º Real = X₁, a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇…
2º Real = X₂, b₁b₂b₃b₄b₅b₆b₇…
3º Real = X₃, c₁c₂c₃c₄c₅c₆c₇…
4º Real = X₄, d₁d₂d₃d₄d₅d₆d₇…
5º Real = X₅, e₁e₂e₃e₄e₅e₆e₇…
6º Real = X₆, f₁f₂f₃f₄f₅f₆f₇…
…

Y así sucesivamente…
En esta tabla, las X denotan cualesquiera partes enteras anteriores a las comas decimales, y las a, b, etc., representan las infinitas sucesiones de dígitos tras las comas decimales. Y la suposición de la demostración es que la versión infinita de tal tabla será exhaustiva de todos los números reales. Esto significa que la contradicción deseada para conseguir la reducción al absurdo requiere demostrar que dicha tabla en realidad no agota el conjunto de todos los reales, lo cual requiere hallar un número real que no esté —no pueda estar— en la tabla.
Lo que la demostración en diagonal de Cantor hace es generar justamente tal número, al que podemos llamar R. La demostración es a la vez ingeniosa y bella: una total confirmación de la presencia del arte en las matemáticas puras. En primer lugar, eche otro vistazo a la tabla. Podemos dejar que la parte entera de R sea cualquier X que queramos, no tiene importancia. Pero ahora mire la primerísima fila de la tabla. Vamos a asegurarnos de que la primera cifra decimal de R, a, es diferente a la a₁ de la tabla. Es fácil hacerlo incluso sin saber qué número particular es a₁: especifiquemos que a = (a₁ − 1) a menos que a₁ resulte ser 0, en cuyo caso a = 9. Ahora mire la segunda fila de la tabla, porque vamos a hacer lo mismo con la segunda cifra de R, o sea b: b = (b₂ − 1), o b = 9 si b₂ = 0. Así es como funciona. Seguimos el mismo procedimiento con la tercera cifra de R, c, y la cifra c₃ de la tabla, con d y d₄, con e y e₅, y así sucesivamente, ad infinitum. Aunque no podemos construir R en su totalidad (del mismo modo que no podemos finalizar toda la tabla infinita), aún podemos ver que este número real R = X,abcdefghi… va a ser demostrablemente diferente de cualquier número real de la tabla. Diferirá del 1.er número real en su primera cifra decimal, del 2.0 número real en su segunda cifra decimal, del 3.er número real en su tercera cifra… y, dado el método diagonal,^[332] diferirá del n-ésimo número real de la tabla en su n-ésima cifra. Ergo R no está —no puede estar— incluido en la tabla infinita anterior; ergo, la tabla infinita no es exhaustiva de todos los números reales; ergo (por las reglas de la reducción al absurdo), la suposición inicial es rebatida y el conjunto de todos los números reales no es numerable, es decir, no se puede poner en C1-1 con el conjunto de los enteros. Y como el conjunto de todos los números racionales sí se puede poner en C1-1 con los enteros, la cardinalidad del conjunto de todos los reales tiene que ser mayor que la cardinalidad del conjunto de todos los racionales. Q. E. D.*

*Interpolación rápida de bosque y árbol

Demos un paso atrás y reflexionemos solo por un segundo acerca de lo estratosféricamente abstracto que es todo esto. Y de por qué la teoría de conjuntos, de la que se puede decir que es la parte más fundamental de las matemáticas modernas, es también la más alucinante. La teoría de conjuntos es 100% trivial mientras tratemos con conjuntos finitos, porque todas las relaciones entre dichos conjuntos se pueden determinar de manera empírica, basta contar sus elementos. En la teoría de conjuntos de números reales, estamos tratando con agregados abstractos de entes abstractos tan numerosos que jamás podrán ser contados ni completados ni comprendidos siquiera… y, sin embargo, estamos demostrando, deductivamente y, por lo tanto, de forma definitiva, verdades sobre la disposición y las relaciones de tales cosas. En el fragor de todas estas demostraciones y explicaciones, es fácil perder de vista la absoluta rareza de los conjuntos infinitos, una rareza que no queda para nada disminuida por el hecho de que Cantor y Dedekind demostraran que esos ∞ yacen en la misma raíz de las matemáticas y son necesarios para tratar algo tan básico como una recta. A propósito de dicha rareza, he aquí una bonita cita de los filósofos Benacerraf y Putnam:
Están los conjuntos; bellos, perennes, multitudinarios, intrincadamente conectados. No trabajan ni hilan. Ni tampoco, y ahí está el problema, interaccionan con nosotros de ningún modo. Así que, ¿cómo se supone que debemos tener acceso epistemológico a ellos? Responder: «por intuición», es difícilmente satisfactorio. Necesitamos alguna explicación de cómo podemos tener conocimiento de esas criaturas (Benacerraf y Putnam, pág. 410).
Y una del duro intuicionista Jules-Henri Poincaré:
Una realidad completamente independiente del espíritu que la concibe, la ve, o la siente, es una imposibilidad. Un mundo tan externo como este, incluso si existiera, nos sería inaccesible para siempre (Poincaré extractado por Barrow, pág. 276).
Y una refutación bastante deliciosa del platonista Kurt Gödel:
A pesar de su remota lejanía de la experiencia de los sentidos, tenemos algo parecido a una percepción también de los objetos de la teoría de conjuntos, como se ve por el hecho de que los axiomas nos obligan a reconocerlos como ciertos. No veo ninguna razón por la que deberíamos tener menos confianza en este tipo de percepción, es decir, en la intuición matemática, que en la percepción sensorial, la cual nos induce a construir teorías físicas y a esperar que las percepciones sensoriales futuras se ajusten a ellas… (Gödel, «What is Cantor's Continuum Problem?», pág. 270).

Fin de la interpolación y regreso a § 7c en el párrafo de la pág. 236 con asterisco al final

Algunas cosas más respecto a esas dos primeras demostraciones.

1.     Como el número cardinal de los conjuntos numerables es ℵ₀, parece como si tuviera sentido denotar la cardinalidad del conjunto de todos los números reales mediante «ℵ₁», pero, por complicadas razones, Cantor llama al cardinal de este conjunto c, o también «la potencia del continuo», pues resulta ser la no numerabilidad de los reales lo que explica la continuidad de la recta real. Lo que esto significa es que la infinidad de puntos involucrados en la continuidad es mayor que la infinidad de puntos comprendidos por cualquier tipo de sucesión discreta, incluso una infinitamente densa.

2.     Mediante su demostración en diagonal de que c > ℵ₀, Cantor ha logrado caracterizar la continuidad aritmética íntegramente en términos de orden, conjuntos, numerabilidad, etc. Es decir, la ha caracterizado 100% de manera abstracta, sin referencia alguna a tiempo, movimiento, calles, narices, quesos, o cualquier otra característica del mundo físico, y por este motivo Russell le atribuye el haber «resuelto definitivamente» los profundos problemas tras la dicotomía.^[333]

3.     La D. en D. también explica, respecto a la demostración del doctor Goris que vimos en § 2e, por qué habrá siempre más números reales que pañuelos rojos. Y nos ayuda a entender por qué los números racionales en definitiva ocupan un espacio o en la recta real,^[334] pues son obviamente los números irracionales los que hacen que el conjunto de todos los números reales sea no numerable.

4.     Una ampliación de la demostración de Cantor ayuda a confirmar la demostración de Joseph Liouville, en 1851, de que hay un número infinito de irracionales trascendentales en cualquier intervalo de la recta real. (Esto es bastante interesante. Recordará de la nota 15 de § 3a que de los dos tipos de irracionales, los transcendentes, como π y e, son los que no pueden ser raíces de polinomios con coeficientes enteros. La demostración de Cantor de que el ∞ de los reales sobrepasa al de los racionales se puede modificar para demostrar que son en realidad los irracionales trascendentes los que son no numerables y que el conjunto de todos los irracionales algebraicos tiene la misma cardinalidad que los racionales,^[335] lo cual establece que, en definitiva, son los reales-irracionales-trascendentes los que explican la continuidad de la R. R.).

5.     Dado que la D. en D. es una demostración por reducción al absurdo y que sus cantidades no se pueden construir de ningún modo, no debería sorprendernos que al profesor Leopold Kronecker y a otros proto-constructivistas no les gustara en absoluto (más respecto a esto en un par de § ). Según todos los testigos, la campaña pública de Kronecker contra Cantor empezó en serio con los artículos acerca de c.

§ 7d.
Matemáticamente, es probable que pueda usted ver cuál es el siguiente movimiento importante de Cantor. Una vez demostrado mediante c que hay una potencia de ∞ mayor que ℵ₀, empieza a buscar conjuntos infinitos cuya cardinalidad podría ser mayor que c. Su siguiente paso importante (que, como podrá observar, todavía involucra conjuntos de puntos) es un intento de demostrar que el plano 2D contiene una infinidad de puntos que es mayor que el c de la recta real 1D, del mismo modo en que c es mayor que el ℵ₀ de la recta numérica. Esta es la demostración acerca de cuyo resultado final Cantor le escribió la frase célebre a Dedekind «Je le vois, mais je'n le crois pas» en 1877.^[336] Se conoce a veces como su demostración de la dimensión. La idea general es demostrar que los números reales no se pueden poner en C1-1 con el conjunto de puntos en un espacio n-dimensional, en este caso un plano, y, por lo tanto, que la cardinalidad del conjunto de puntos del plano es > la cardinalidad del conjunto de todos los reales. Los casos específicos de la demostración son el cuadrado unidad pitagórico de toda la vida y el intervalo [0, 1] de la recta real. (Recordará de § 3 que las P. del I. de Bolzano ya habían sugerido en 1850 que [0, 1] contenía tantos puntos como la recta real, equivalencia que ahora Cantor demuestra formalmente en su artículo de la dimensión. Como ya hemos visto una demostración gráfica de la equivalencia en § 3c, omitiremos esta demostración excepto para poner de relieve lo que seguramente puede anticipar: Cantor demuestra que cualquier tipo de diagonalización que se use para crear un nuevo número real que sea > 1 puede duplicarse para crear un nuevo número real en [0, 1]).
Para la demostración de la dimensión, la principal del artículo, tiene que visualizarse de algún modo el cuadrado unidad como una cuadrícula o malla cartesiana, con coordenadas numéricas correspondientes a todos y cada uno de los puntos del plano al que pertenece. La estrategia de Cantor es usar la diagonalización para demostrar que hay números correspondientes a esas coordenadas 2D que no se pueden hallar en el conjunto de todos los reales. Como resulta claro en sus cartas a Dedekind, al principio Cantor está seguro de que tales números se pueden generar, pues todo geómetra desde Riemann había trabajado bajo la suposición de que la dimensión de cualquier espacio (por ejemplo, 1D, 2D, 3D) estaba determinada de manera única por el número de coordenadas necesarias para identificar un punto en dicho espacio (semiextractado de Grattan-Guinness, From Calc to S.T., pág. 188).
Solo que la suposición resulta ser errónea, tal como descubre Cantor en su intento de construir sucesiones decimales de coordenadas 2D que permitan comparar puntos del plano con decimales de números reales. Lo peliagudo es, obviamente, que los puntos del plano se especifican mediante pares de números reales, y los puntos de la recta, mediante números reales solos, de modo que (con ecos de Pitágoras y Eudoxo) Cantor tiene que pensar una manera de hacer conmensurables ambos conjuntos de puntos. Le cuesta tres años imaginar cómo hacerlo. Una vez más, representemos todos los números relevantes mediante sucesiones infinitas de decimales. Tomemos cualquier punto (x, y) del cuadrado unidad. Estas coordenadas se pueden escribir así:

x = 0,a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇…

y = 0,b₁b₂b₃b₄b₅b₆b₇…

las cuales se combinan para dar lugar a la representación decimal única^[337] del punto (x, y):

0,a₁b₁a₂b₂a₃b₃a₄b₄a₅b₅a₆b₆a₇b₇…

Y a este punto le corresponderá claramente un punto z único en el intervalo [0, 1] de la R. R., concretamente el correspondiente al número real

0,a₁b₁a₂b₂a₃b₃a₄b₄a₅b₅a₆b₆a₇b₇…^[338]

Así, mediante ese mismo procedimiento y por extrapolación directa a partir del cuadrado unidad y [0, 1], cada punto de un plano 2D se puede poner en C1-1 con un punto de la R. R., y viceversa. Además, el método (relativamente simple) de Cantor de combinar las coordenadas en un único número real implica que la misma técnica general se puede usar para demostrar que un cubo 3D, un hipercubo 4D, o en realidad el conjunto total de puntos de cualquier figura n-dimensional tiene la misma cardinalidad que el conjunto de números reales de la R. R., concretamente c. Este es un resultado extraordinario, y por eso Cantor no quedó decepcionado al no poder demostrar su premisa original: había descubierto una increíble profundidad y riqueza en el continuo, y su demostración revelaba (tal como le escribió a Dedekind) «qué maravillosa potencia albergan los números reales, puesto que uno está en situación de determinar de manera única, con una sola coordenada, los elementos de un espacio continuo n-dimensional» (Cantor in Cavaillès, pág. 234. Traducción editada semiextractada de Dauben, GC, págs. 55-56, sustituyendo la variable «ρ» original de Cantor por «n»).
El descubrimiento de Cantor de que las rectas, los planos, los cubos y los politopos^[339] eran todos equivalentes como conjuntos de puntos llega bastante lejos a la hora de explicar por qué la teoría de conjuntos constituye un desarrollo tan revolucionario para las matemáticas: revolucionario en teoría y también en la práctica. En parte, esto se remonta al problema de conmensurabilidad de los griegos y la relación ambivalente del cálculo clásico con la geometría. La incomodidad acerca de utilizar cantidades como x² y x³ en la misma ecuación (pues los cuadrados implicaban áreas 2D y los cubos → volúmenes 3D) había persistido durante siglos, y el énfasis del siglo XIX en el rigor hacía que las ambigüedades geométricas fueran todavía más indigestas. Para abreviar una larga historia, la teoría de conjuntos cantoriana ayuda a unificar y a clarificar las matemáticas en el sentido de que todos los entes matemáticos ahora se pueden entender fundamentalmente como el mismo tipo de cosa: un conjunto. Además, en las nuevas geometrías no euclidianas,^[340] el descubrimiento de Cantor de que todos los conjuntos de puntos geométricos son transfinitamente equivalentes (es decir, que todos tenían la cardinalidad c) es de gran importancia, en particular en la idea de dimensión, tal como Cantor le comenta también a Dedekind:
Esta visión [= la de G. C.] parece opuesta a la que prevalece generalmente, en particular entre los defensores de la nueva geometría, pues hablan de dominios infinitos de una, dos, tres,… n dimensiones. A veces uno incluso encontrará la idea de que la infinidad de puntos de una superficie [2D] se puede obtener, por así decirlo, elevando al cuadrado la infinidad de puntos de una recta, y la de un sólido elevándola al cubo (ibíd.).
No hace falta decir, sin embargo, que nuestras expresiones «desarrollo revolucionario» y «de gran importancia» son en retrospectiva. Como ya se ha insinuado claramente, no se dio el caso de que las matemáticas predominantes en la época se arrodillaran inmediatamente para dar la bienvenida a las demostraciones de Cantor posteorema de unicidad. Particularmente, en relación a la demostración de la dimensión, matemáticos de casi todas las tendencias se alinearon para denostarla. Además de las objeciones generales en § 7c, los constructivistas odiaban en especial la idea de crear, de algún modo, irracionales 1D a partir de combinaciones 2D de otros irracionales, así como la «correspondencia no continua» que daba la demostración de la dimensión entre puntos de la recta y puntos del plano.^[341] Y fue en realidad el artículo de la demostración de la dimensión^[342] el primero contra el que Kronecker intrigó para conseguir que fuera rechazado por una revista en cuyo comité editorial estaba, algo acerca de lo cual Cantor escribió muchas cartas descargando su cólera. Pero no eran solo los constructivistas o los fundamentalistas. Véanse, para poner solo un ejemplo, las siguientes líneas de Paul Du Bois-Reymond, que no era un kroneckeriano, sino un analista destacado, en la tradición aristotélico-gaussiana de los ∞ solo potenciales, comentando la demostración de la dimensión:
Parece absolutamente repugnante al sentido común. El hecho simple es que este es el resultado de un tipo de razonamiento que permite a ficciones idealistas [= platónicas] asumir el papel de genuinas cantidades aunque no sean ni siquiera verdaderos límites de representaciones de cantidades (Du Bois-Reymond, de la traducción al francés de Die allgemeine Funktiontheorie, fragmentos semiextractados de Kline, pág. 998).^[343]

§ 7e.
En todo caso, hasta aquí hemos establecido por lo menos y quizás a lo sumo dos órdenes distintos de conjuntos infinitos, ℵ₀ y c,^[344] y ahora resulta apropiado preguntarse qué tienen que ver exactamente esos números cardinales con los números transfinitos que vimos a Cantor fabricar a partir de R y Đ y lo de los conjuntos derivados de conjuntos derivados en § 7b. Siendo la gran cuestión específica si se puede demostrar que la sucesión infinita de conjuntos infinitos P^(n∞∞), P^(∞∞+1), P^(∞∞+n), etc., corresponde a una jerarquía infinita de números cardinales cada vez mayores, o si ℵ₀y c son los únicos cardinales infinitos y no hay reales más allá de la potencia transdimensional del continuo.
El siguiente gran descubrimiento de Cantor es que se puede construir de manera válida una sucesión infinita de con juntos infinitos con números cardinales cada vez mayores sin usar nada más que las propiedades formales de los conjuntos.^[345] Dichas propiedades involucran los conceptos de subconjunto y de conjunto potencia, el segundo de los cuales se define aquí mismo, para algún conjunto A, como simplemente el conjunto de todos los subconjuntos de A. Es decir, que todo elemento de P(A) es algún subconjunto de A. Esto resulta ser peor de lo que parece. Todo conjunto, finito o no, tiene un conjunto potencia,^[346] pero lo que Cantor es capaz de demostrar es que incluso si el conjunto A es infinito, su conjunto potencia P(A) siempre tendrá un número cardinal mayor que A. Más específicamente, puede demostrar que el número cardinal de P(A) siempre será igual a 2^A.^[347] Y esa cosa de A→ 2^a acaba resultando crucial para navegar por lo transfinito, en cuyo reino resulta que uno en cierto modo salta, como cuánticamente, de una clase de números a la siguiente, sin nada en medio: 2^ℵ₀ = ℵ₁, 2^ℵ₁ = ℵ₂, y así sucesivamente (en cierto modo).
Las demostraciones de Cantor acerca del conjunto potencia son extremadamente intrincadas, y tenemos que prepararnos para ellas de alguna manera. Y como no hay duda de que para todos nosotros la escuela elemental queda muy lejana, conviene que, por si no lo hemos dicho antes, explicitemos que la manera formal de designar un conjunto es poner a sus elementos entre {llaves}, así, y que el simbolismo para decir que «a es un elemento de A» es «a∈A». Recordemos también que «subconjunto» es por definición más inclusivo que «subconjunto propio», y que entre los subconjuntos de cualquier conjunto A estarán (1) el mismo A y (2) el conjunto vacío, simbolizado por «∅» o, a veces, por «{ }».^[348]Por lo tanto, como cualquier conjunto tiene por lo menos algunos subconjuntos, se sigue que cualquier conjunto tiene un conjunto potencia. Para ver de manera informal que el número de elementos del conjunto potencia de A siempre es igual a 2^{(Número de elementos de a)}, sea A el conjunto de tres elementos {1, 2, 3}. Los subconjuntos de A son:

{ }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3},

de los que hay exactamente 8 o 2³. Una manera más rigurosa de demostrar que P(A) = 2^A es por inducción matemática, que técnicamente no es como lo hace Cantor pero está por lo menos implícito en su demostración. Además, es comparativamente sencilla. Por favor, repase o rememore lo visto en § 7b sobre los tres pasos de una demostración por inducción matemática, que aquí irán del siguiente modo:
(a)Demostrar que la cardinalidad de P(A) es igual a 2^A para un conjunto A con solo un elemento. Tal A tiene como subconjuntos los siguientes: ∅ y A mismo, lo que significa que su P(A) tiene dos elementos, lo cual es 2¹ elementos, es decir, es 2^A elementos, o sea que ¡bingo!^[349].
(b)Supongamos que es cierto que si A tiene k elementos, el número cardinal de P(A) = 2^k.
(c)Demostrar que si A tiene (k + 1) elementos, P(A) = 2^(k+1).
A partir del paso (b) sabemos que los primeros k elementos de A dan 2^ksubconjuntos de A. Ahora tomamos cada uno de esos 2^k subconjuntos y formamos un subconjunto nuevo que también contiene el último de los (k + 1) elementos de A (es decir, el nuevo elemento extra designado por el «+ 1»). Podemos formar exactamente 2^k subconjuntos nuevos de ese tipo con «1 elemento +»: uno para cada uno de los subconjuntos originales. Así que ahora tenemos los 2^k subconjuntos originales que no contienen al nuevo elemento, y tenemos 2^k nuevos subconjuntos que sí lo contienen. Esto son (2^k + 2^k) subconjuntos, lo cual es equivalente a (2 × 2^k) subconjuntos, que es igual a 2^(k+1) subconjuntos. Así que (c) también está demostrado. Podemos estar lo bastante seguros de que P(A) = 2^A.
Para nuestros propósitos, Cantor tiene dos demostraciones principales respecto al conjunto potencia. En ninguna de las dos se preocupa todavía por lo de 2A: su preocupación básica es demostrar que incluso para un conjunto infinito A, P(A) > A.^[350] La primera versión, hacia 1891, es importante principalmente porque exhibe el poder de la técnica de diagonalización como arma de reducción al absurdo. Se puede considerar una demostración de que el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto de los enteros no es numerable,^[351] lo cual, como Cantor ya ha demostrado que el conjunto de los enteros es numerable, significará, obviamente, que su conjunto potencia tiene un número cardinal mayor que ℵ₀.
Aquí está la demostración. Llamemos £ al conjunto de todos los enteros, y P(E) a su conjunto potencia. Sabemos de § 7c que para que P(E) sea numerable, debe ser posible establecer una correspondencia uno a uno entre P(E) y E. La presente demostración es una reducción al absurdo, o sea que supongamos que sí es posible tal C1-1 entre P(E) y E. Esto (como también sabemos por las demostraciones en diagonal de § 7c) significa que la C1-1 se puede representar en una tabla como en el siguiente ejemplo parcial, con los elementos de E en la izquierda, y los subconjuntos de E (que también son los elementos de P(E), y pueden estar en cualquier tipo de orden arbitrario que queramos), en la derecha (parecido razonable con Hunter, págs. 22-23):
 

Resulta que podemos modificar esta tabla explotando una propiedad de su C1-1 que quizás usted ya ha notado si ha dedicado algún tiempo a pensar por qué exactamente la relación entre los conjuntos y sus conjuntos potencia es siempre 2ª y no 3ª ni ningún otro x^A. La respuesta de fondo es que el «2» de 2ª refleja un tipo particular de procedimiento de decisión. Para cada subconjunto s de un conjunto A, hay exactamente dos elecciones respecto a cada elemento a de A: o bien a es un elemento de s, o bien no lo es. Esta última frase probablemente necesita más de una lectura. Es difícil expresarlo de manera clara en lenguaje natural, pero la idea misma no es tan complicada. A es un conjunto, a es algún elemento en particular de A, s es algún subconjunto en particular de A. Preguntémonos si resulta que a es un elemento de s. Pues, o bien lo es, o bien no lo es. Agotamos todas las posibilidades respecto a la pertenencia de a al conjunto s si una vez incluimos a en s y otra vez lo excluimos, dando lugar así al dúo de subconjuntos s y s' respecto a cada a.
(SEMI- SEI Este es uno de los puntos de los que es simplemente imposible saber si lo que se acaba de decir tendrá sentido para el lector no experto. Si lo del abstracto a-es-elemento-de-s-o-no es lo bastante claro para que usted entienda por qué explica por sí solo que un conjunto A de tres elementos tenga 2³subconjuntos, puede omitir libremente el resto de este párrafo. Por si no lo es, vamos a ver un ejemplo concreto. Pongamos que A es el mismo conjunto {1, 2, 3} que hemos visto en la pág. 246, donde hicimos la lista de los subconjuntos de A: { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Eche un vistazo a esos subconjuntos y vea cuántas veces un elemento particular de A —digamos el elemento 1— pertenece a alguno de los ocho subconjuntos. Podrá ver que pertenece a cuatro de ellos y está ausente de cuatro. Si se fija en el elemento 2, podrá ver qué sucede lo mismo: 2 está presente en cuatro y ausente de cuatro. Lo mismo con el 3. ¿Puede ver por qué? Hay ocho subconjuntos en total: la mitad de ellos contienen cualquier elemento en particular de A, y la otra mitad no. En realidad, puede construir el conjunto de todos los subconjuntos de A de ese modo. Tome cualquier elemento de A. Si su primer subconjunto s no contiene el elemento, su siguiente s' lo contendrá. O recíprocamente. Es decir, para todo elemento y subconjunto en particular, hay dos elecciones, y en el conjunto de todos los conjuntos estarán ambas. Dos posibilidades para cada elemento. Por lo tanto, el número de subconjuntos de {1, 2, 3} será 2 × 2 × 2, o 2³. Si esto aún no consigue aclararle la idea básica, le pedimos que simplemente se la trague (la idea) porque no podemos hacer nada mejor).
Bien, entonces esto significa que podemos tomar la Tabla nº 1 y ampliarla por un lado preguntándonos, para cada entero del conjunto E, si realmente es parte de su correspondiente subconjunto de la columna P(E). Ponemos «Sí» si el entero está en ese subconjunto en particular, y «No» si no lo está. Así:

Y una vez hemos elaborado esta Tabla nº 2, podemos demostrar fácilmente que la supuesta correspondencia entre E y P(E) no es exhaustiva y, por lo tanto, no es una C1-1 válida. Lo hacemos usando la buena y vieja diagonalización para construir un subconjunto de E que nunca jamás aparecerá en la correspondencia E↔P(E) de la tabla. Es el subconjunto definido empezando por la casilla que está completamente al noroeste de la Tabla nº 2 y desplazándose diagonalmente hacia el sudeste, cambiando «Sí» por «No» y viceversa en todo el recorrido, así:
 

Todo lo que sabemos sobre este nuevo subconjunto es que incluye 1, 4, 6 y 7, y que difiere por lo menos en un elemento de cada subconjunto (o sea cada elemento de P(E)) de la C1-1 original. Naturalmente, nuestra Tabla nº 3 es solo un fragmento, pero continuando el simple proceso de intercambio «Sí»-«No» a lo largo de la diagonal podemos garantizar que el nuevo subconjunto generado de ese modo diferirá de todos los subconjuntos de la C1-1 sin importar lo lejos que lleguemos en los emparejamientos. Por lo tanto, una verdadera C1-1 entre E y P(E) es imposible. Lo cual significa que P(E) es no numerable,^[352] y eso quiere decir que su cardinalidad es mayor que ℵ₀. Q. E. D.
Aunque hay buenas razones por las que hemos repasado esta demostración tan gráfica y detalladamente, sepa que no es así como lo hace Cantor. La verdad es que nunca presenta de manera explícita la demostración en diagonal para P(E) > E y, por lo tanto, para P(A) > A: simplemente hace alusión a ella como una «extensión natural» de su demostración en diagonal de la no numerabilidad de los números reales.^[353] El argumento que da para P(A) > A es un poco rompecabezas, pero acaba jugando un papel clave en el desenlace de nuestro relato y, por lo tanto, es necesario detallarlo. Esta demostración es completamente abstracta y no específica, diseñada solo para demostrar que a partir de cualquier conjunto infinito A se puede construir algún conjunto infinito B cuyo número cardinal supera al de A. Quizá sería bueno que se preparase usted, emocionalmente, para tener que leer lo siguiente más de una vez.
A es un conjunto infinito. B es el conjunto de todos los subconjuntos de A^[354]. Como todos los conjuntos son por definición subconjuntos de sí mismos, A es un subconjunto de A, es decir que A es un elemento de B. Así que, definitivamente, es posible establecer una C1-1 entre todos los elementos de A y, por lo menos, los de un elemento de B. No es posible, sin embargo, establecer una C1-1 entre todos los elementos de A y todos los elementos de B. Vamos a demostrar esto mediante reducción al absurdo, por lo que vamos a adoptar la postura habitual y suponer que tal C1-1 está en efecto construida y agota ambos conjuntos infinitos. Ahora, sea a un elemento cualquiera de A y b un elemento cualquiera de B (o sea, que b es un subconjunto cualquiera de A). Como vimos antes con la Tabla nº 2, la C1-1 entre A y B puede ser completamente aleatoria en el sentido de que, en cualquier correspondencia individual a↔b, a puede ser o no ser un elemento del b con el que está emparejado. Por ejemplo, allí el entero 3 estaba emparejado con {Todos los enteros impares} y él mismo es un entero impar, mientras que 6 estaba emparejado con {Todos los cuadrados perfectos} pero no es un cuadrado perfecto. Será lo mismo con nuestra C1-1 actual y sus infinitos emparejamientos a ↔ b: a veces a será un elemento del subconjunto b con el que está emparejado, y a veces no lo será. Hasta aquí es todo bastante sencillo y directo. Sin embargo, ahora considere la totalidad de todos los a en la C1-1 que no son elementos de los b con los que están emparejados. Sea φ el conjunto de todos los a con esa característica. Por supuesto, φ es un subconjunto de A, lo cual significa que φ es un elemento de B, y aun así se puede demostrar que φ no se puede incluir en la C1-1 supuestamente exhaustiva entre A y B. Pues si φ está incluido, entonces está emparejado con algún a, y como hemos visto solo hay dos opciones: o bien este a es él mismo un elemento de φ, o bien no lo es. Si a es un elemento de φ… pero no puede serlo, pues esto contradice la definición de φ. Pero si a no es un elemento de φ, entonces es, por definición, un elemento de φ… lo cual no puede ser, o sea que debe serlo, pero entonces no puede serlo… y así, de un modo u otro, ya tiene usted una contradicción de tipo LTE. Por lo tanto, una verdadera C1-1 entre A y B no es posible; luego, la cardinalidad de B es > la cardinalidad de A. Quod erat dem*.

§ 7f

*Semiinterpolativo

Por favor, observe el parecido entre esta última demostración y la paradoja de los antiguos griegos «Estoy mintiendo»,^[355] donde si la afirmación es verdadera entonces es falsa y si es falsa entonces es verdadera. Lo cual significa que ahora hemos entrado en el territorio abismal de la autorreferencia. Este es el verdadero motivo por el que nos acabamos de arrastrar por la demostración de Cantor de que B > A: abre un tipo completamente nuevo de grieta en las matemáticas modernas.
Aunque no es estrictamente nuestro ámbito, sepa que en la década de 1930 el profesor Kurt Gödel^[356] usará algo muy parecido al truco de Cantor «(a∉ φ) → (a∈ φ)» para demostrar sus devastadores teoremas de incompletitud. (Dicho burdamente, Gödel demostrará que ciertas proposiciones matemáticas bien formadas son verdaderas, y aun así indemostrables, mediante la deducción de «Proposición P: la Proposición P es indemostrable» como un teorema). Más importante para nuestros propósitos es esta idea de que los conjuntos pueden tener otros conjuntos como elementos, que es esencial para el concepto de conjuntos potencia y, por supuesto, parece bastante inocente…, solo que tras la demostración de Cantor resulta ser una auténtica caída en picado por la grieta de la autorreferencia. Ejemplo: considere el teorema que Cantor acaba de demostrar, que el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto A siempre contendrá más elementos que el mismo A. Pero ahora suponga que A se define como «el conjunto de todos los conjuntos». Por definición, este A contendrá todos sus subconjuntos, pues dichos subconjuntos son conjuntos, o sea que en este caso P(A) > A no es posible en modo alguno. Conclusión: el mismo principio de los conjuntos-de-conjuntos que Cantor necesita para construir una jerarquía de conjuntos infinitos da lugar a una paradoja casi inmediatamente.
La evidencia histórica indica que Cantor conocía la paradoja del conjunto-de-todos-los-conjuntos hacia 1895,^[357] aunque jamás la mencionó ni una sola vez en sus trabajos publicados. A pesar de todo ahora se la conoce como la paradoja de Cantor. También se considera como la base de la paradoja más famosa de toda la teoría de conjuntos, habitualmente conocida como la antinomia de Russell porque el ubicuo Bertrand Russell la usó para torpedear la obra de Frege Fundamentos de la aritmética en 1901.^[358] Podemos esbozar la antinomia de Russell muy rápida y fácilmente porque casi todo el mundo ha oído hablar de ella en alguna ocasión. Aunque se desprende directamente de la demostración abstracta de Cantor sobre el conjunto potencia, la antinomia también causa estragos en el criterio principal de la definición de «conjunto» que da Cantor, que es (como recordará de la nota 16 de § 7a) que siempre hay un procedimiento por el que dado un elemento cualquiera se puede determinar si es un elemento de un conjunto dado.^[359] O sea, que aquí está la antinomia de Russell. Como hemos visto, algunos conjuntos son elementos de sí mismos y algunos no lo son. En realidad, la mayoría no lo son; por ejemplo, el conjunto de todas las sillas no es una silla, el conjunto de todos los entes que pueden anudar el pedúnculo de una cereza con su lengua no puede hacer lo mismo, etc. Pero algunos conjuntos sí se contienen a sí mismos como elementos; por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos, el conjunto de todas las abstracciones, el conjunto de todos los entes que no pueden anudar el pedúnculo de una cereza. Russell llama a los conjuntos que no son elementos de sí mismos conjuntos normales, y a los autocontenidos, anormales. Así pues, considere ahora el conjunto N de todos los conjuntos normales: ¿es N un conjunto normal?^[360] Bien, si N es un conjunto normal, entonces por definición no es un elemento de sí mismo. Pero N es el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos, de modo que N es un elemento de sí mismo si no es un elemento de sí mismo. Aunque entonces si N realmente es un elemento de sí mismo, entonces no puede ser un elemento del conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos, de modo que en realidad N no es un elemento de sí mismo, en cuyo caso lo es… y así una y otra vez ad infinitum.
Este tipo de paradoja, como el rompecabezas «(a∉ φ) → (a∈ φ)» en la reducción al absurdo de Cantor, se conoce oficialmente como un círculo vicioso (CV). Aquí «vicioso» significa más o menos lo mismo que en la RIV de § 2a, es decir, que se convierte en lógicamente imposible hacer algo que estamos lógicamente obligados a hacer. En las paradojas de tipo CV, como las de Russell y Cantor, lo que no podemos hacer es determinar si algo es o no es un elemento de un conjunto, lo cual viola tanto la definición formal de «conjunto» como (mucho peor) la LTE. O sea, que dichos problemas no son minucias.
Llegados a este punto es casi seguro que ha captado usted la dinámica general de la historia del en virtud de la cual ciertas paradojas dan lugar a avances conceptuales que pueden abordar esas paradojas originales, pero a su vez dan lugar a nuevas paradojas, que entonces generan otros avances conceptuales, y así sucesivamente. Si es usted uno de los lectores que se preocupan de las notas al pie SEI, ya ha visto algo sobre un tipo de solución técnica a la antinomia de Russell, que es la sustitución por Zermelo y otros colegas del principio de abstracción ilimitada por el P. A. Limitada. Otro tipo de solución es la prohibición de definiciones impredicativas, defendida por Jules-Henri Poincaré (1854-1912), una figura clave de la topología que además fue, tras la muerte de Kronecker en 1891, el oponente nº 1 de las matemáticas transfinitas.^[361] La definición de Poincaré de impredicativo es algo sospechosa, pero en esencia implica definir un objeto en términos de todo un grupo de objetos del cual es parte. Aún más esencialmente, una definición impredicativa depende de propiedades y descripciones autorreferentes, y «El conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos» es un ejemplo perfecto de dicha definición (como lo son «El conjunto de todos los conjuntos» y la definición de Cantor del conjunto φ en la anterior demostración de B > A). Todo esto se complica bastante, pero la táctica general de Poincaré es caracterizar las definiciones impredicativas en términos de los resultados paradójicos que pueden arrojar,^[362] lo cual entonces constituye el argumento lógico para rechazarlas. Es algo así como el modo en que la división por o quedó proscrita. Desafortunadamente, las definiciones formales de todo tipo de términos y conceptos en el análisis, desde «sucesión» y «serie» hasta «punto límite» y «cota inferior», también son impredicativas —y además se puede hacer que el mismo concepto de impredicatividad genere algunos CV muy feos—^[363]de modo que la solución de Poincaré nunca cuajó realmente.
La propuesta de Russell para evitar las epónimas paradojas de Cantor y de él mismo es la teoría de los tipos, que, para abreviar una muy larga historia, es parte del programa fundacional de Russell para intentar demostrar que todas las matemáticas son reducibles a lógica simbólica. La teoría de los tipos es una especie de gramática de la abstracción que rechaza ciertas clases de proposiciones en las cuales entidades de tipos diferentes se tratan como equivalentes. En el sentido, esencialmente, de metafísicamente equivalentes.^[364] La idea es que los conjuntos de individuos no son el mismo tipo de entidad que los individuos mismos, y los conjuntos de conjuntos no son del mismo tipo que los conjuntos de individuos, y así sucesivamente. Y el tipo de una entidad en particular es función directamente de cuán abstracta es dicha entidad, de modo que se llega a una jerarquía de conjuntos que se parece a los niveles de abstracción informales de los que hablamos en § 1b: el tipo de Russell 1 = individuos, tipo 2 = conjuntos, tipo 3 = conjuntos de conjuntos, tipo 4 = conjuntos de conjuntos de conjuntos, etc.^[365] Lo que permite que la teoría evite los círculos viciosos es que la misma clase de jerarquía se puede aplicar a las proposiciones; por ejemplo, tipo x; = alguna entidad de algún tipo particular, tipo (x + 1) = alguna proposición sobre esa entidad, tipo (x + 2) = alguna proposición sobre la proposición sobre la entidad, y así sucesivamente. (N. B. Para Russell «proposición» puede significar o bien una frase en lenguaje natural o bien una aseveración formal/matemática como «a∈A»).^[366] Y la gran regla es que, suponiendo que m y n son enteros, una proposición o conjunto de tipo n no se puede aplicar a otra proposición u otro conjunto de tipo n, sino solo a una proposición o un conjunto de tipo m donde m < n.
Por lo que respecta a nuestro relato, la teoría de tipos viene a ser un ejemplo perfecto de cómo se halla una salida legal de una paradoja. Ciertamente, la teoría ofrece una «solución» a los rompecabezas de Russell y Cantor —es decir, da una explicación de cuál es el paso «ilegítimo» de la paradoja— pero también es increíblemente críptica e inmanejable, y en definitiva tan dañina para las matemáticas como lo de Poincaré y la impredicatividad. Veamos un rápido ejemplo: como los números racionales se definen como razones de enteros, y los irracionales como conjuntos/sucesiones de racionales, los tres tipos de números son de diferentes tipos, y según las reglas de la teoría no podríamos hacer predicados en común acerca de los tres sin un sinfín de diferentes demostraciones y niveles y salvedades. Para su información, Russell intentó solventar algunas de esas dificultades mediante lo que él llamó axiomas de reducibilidad, pero estos eran incluso más complicados y artificiosos y… básicamente toda su tipología se vuelve muy etérea y ahora solo es de interés histórico.^[367]
Si es necesario decir una vez más que solo estamos echando una ojeada a una superficie turbulenta, considérese dicho. Medidas antiparadoja específicas como las de Russell y Poincaré son parte de una crisis mucho más amplia y profunda, una que precede a Cantor pero llega a hacerse apremiante a través de sus teorías del ∞. Lo destacado, a grandes rasgos: las paradojas de la teoría de conjuntos, emparejadas con las preocupaciones respecto a los fundamentos que empiezan con Abel y Cauchy y llegan al clímax con Frege y Peano, conducen directamente a las grandes controversias formalismo-contra-intuicionismo de principios del siglo XX. De nuevo, solo podemos esbozarlas de manera esquemática. Respecto a los conjuntos infinitos, por ejemplo, el intuicionismo es rabiosamente anti-Cantor, y el formalismo, incondicionalmente pro-Cantor, a pesar de que tanto el formalismo como el intuicionismo son anti-Platón y Cantor es un platónico irreductible. Lo cual, con dolor de cabeza o sin él, significa que volvemos de nuevo a la metafísica: la riña moderna respecto a los procedimientos de las matemáticas es, en definitiva, una disputa acerca del estatus ontológico de los entes matemáticos.
Ya tuvimos una introducción al intuicionismo en las discusiones de § 6 acerca del constructivismo. El formalismo es harina de otro costal. Quizá la mejor aproximación sea volver a la cuestión en la que hemos insistido anteriormente, a saber: las paradojas de la teoría de conjuntos son parte del problema más amplio de la consistencia de las matemáticas, que Hilbert propuso como Problema Importante nº 2 ^[368]en el mismo Congreso de París donde se le pudo ver hablando de Cantor con entusiasmo en § 1a. El programa del propio Hilbert para reconstruir las matemáticas de tal modo que los teoremas no arrojen paradojas es el formalismo, el cual busca hacer que la abstracción de las matemáticas sea a la vez total y primaria. La idea básica del formalismo es separar totalmente las matemáticas del mundo y convertirlas en un juego. Literalmente. Este juego involucra la manipulación de ciertos símbolos según ciertas reglas que permiten construir secuencias de símbolos a partir de otras secuencias de símbolos. Es 100% formal: de aquí el nombre. Lo que los símbolos de ese juego matemático significan, o si significan algo, no tiene nada que ver con el juego. Y decir que un ente matemático «existe» es simplemente decir que no causa una contradicción.^[369] Lo que importa son las reglas, y el proyecto entero del formalismo es una teoría de la demostración: el objetivo es construir un conjunto de axiomas y reglas de inferencia^[370] de donde se puedan deducir todas las matemáticas, de modo que todo sea deductivo y riguroso y limpio, o sea, como un juego autocontenido.
Si tiene usted algún tipo de conocimientos de lógica o de filosofía de las matemáticas, reconocerá que esta es una descripción radicalmente simplificada del formalismo. (Por decir algo más, el programa de Hilbert también implica descomponer las matemáticas en niveles de razonamiento algo parecidos a los tipos de Russell, de nuevo sin permitir proposiciones inter-nivel). Probablemente, también sabrá que dicho movimiento empieza a tener serios problemas mucho antes de las ya mencionadas demostraciones de Gödel de que un sistema formal no puede ser a la vez completo y consistente:^[371] por ejemplo, los formalistas ni siquiera podían conseguir que la aritmética básica fuera completa y consistente si incluía la multiplicación como una operación «legal», lo cual, obviamente, es un serio problema. Así que no necesitamos hablar del empobrecimiento filosófico o de la absoluta extrañeza de un juego matemático sin referentes, porque el formalismo ni siquiera podía tener éxito según sus propias reglas.
Las respuestas más coherentes y exitosas a las paradojas de tipo CV vienen de dentro de la misma teoría de conjuntos (la cual, hacia 1900, es un campo en plena ebullición tanto en las matemáticas como en la lógica, gracias a adivine quién), y son encabezadas por el seguidor y sistematizador nº 1 de Cantor, el profesor Zermelo.^[372] Un resultado de dichas respuestas es la separación de la teoría de conjuntos abstracta en dos subtipos, la teoría informal de conjuntos y la teoría axiomática de conjuntos. La T. I. C. es simplemente la teoría de conjuntos de Cantor normal con todas sus miserias y grandezas, incluyendo su susceptibilidad a las paradojas.^[373] La teoría axiomática de conjuntos es un intento de obtener una versión más rigurosa, fundacionalmente segura de la teoría de conjuntos que tenga toda la potencia conceptual de la T. I. C. pero organizada de tal modo que evite paradojas graves. El programa de la T. A. C. es algo formalista en espíritu y euclidiano: consiste en hacer que la teoría de conjuntos sea un sistema formal independiente^[374] con un conjunto propio de axiomas que proporcione máxima consistencia y completitud. Como ya se ha mencionado en alguna parte, el sistema axiomático más conocido se llama habitualmente ZFS (de Zermelo, Fraenkel, y Skolem). También hay el sistema, más restrictivo, de von Neumann-Bernays (VNB), y algunos más, con varios embellecimientos metateóricos, diseñados por eminencias como Tarski, Quine, Ramsey, y otros colegas.
Resulta que la teoría axiomática de conjuntos y su correspondiente lógica han tenido aplicaciones fructíferas en muchos campos, como la teoría matemática de las funciones reales, el análisis y la topología, la gramática generativa y los estudios sintácticos en lingüística, y la teoría de la decisión, algoritmos, circuitería lógica, problemas de detención/«estudios-Ω», inteligencia artificial y procesamiento combinatorio en ciencias de la computación. Por lo tanto, a pesar de tener cada vez menos espacio, vale la pena incluir por lo menos un resumen rápido de la axiomatización básica de la que todos los sistemas principales son variantes, con explicaciones ajustadas y directamente relevantes donde sea necesario, y por supuesto, en este punto tardío, toda esta parte es omitible/ojeable a su discreción SEI, como sigue.
Concepto primitivo: la relación de pertenencia ∈, donde «s∈S» significa que el objeto s es un miembro o elemento del conjunto S.
Αx. 1.Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos. (Observe que no es «si y solo si…»; esto se debe a que los conjuntos infinitos y sus subconjuntos propios también pueden ser iguales).
Αx. 2.Sia y b son objetos o conjuntos, entonces {a, b} es un conjunto.
Αx. 3.Hay dos variantes en este caso. 1ª variante: Para un conjunto S y un «predicado definido»^[375]P, existe el conjunto S_p que contiene solo aquellos x∈S^[376] que tienen la propiedad designada por P. 2ª variante: Existe un conjunto S con las siguientes características: (a) ∅∈S, y (b) Para cada x, si x∈S, entonces {x} ∈S. (Estas son dos versiones técnicamente distintas del principio de abstracción limitada mencionado antes. Ambas versiones hacen dos cosas importantes. En primer lugar, establecer que el conjunto vacío existe. En segundo lugar, definir y validar el método de la teoría de conjuntos de la inducción transfinita y, mediante dicho método, establecer la existencia de un conjunto S infinito numerable cuyos elementos son ∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, …^[377] Con lo cual si, en este conjunto, ∅ se toma como 1 y, para cada x, {x} es igual a (x + 1), entonces S se convierte en el conjunto ordenado de todos los enteros positivos; lo cual resulta ser muy parecido al modo en que los postulados de Peano^[378] generan los enteros).
Αx. 4.La unión de un conjunto de conjuntos es también un conjunto. (Esto sirve como definición técnica de «unión», a partir de la cual «intersección», «producto cartesiano»,^[379] etc., se pueden obtener mediante manipulación lógica; algo no muy distinto a definir completamente la conectiva lógica «y» en términos de «no» y «o»).
Αx. 5. El famoso axioma del conjunto potencia: Para cualquier conjunto S, existe el conjunto potencia P(S) de S. (Aquí se establece la jerarquía infinita de los conjuntos infinitos. Recuerde de § 7b y siguientes que toda la teoría de conjuntos es trivial en el caso de los conjuntos finitos, donde «trivial» significa que se puede comprobar la veracidad de cualquier proposición de teoría de conjuntos simplemente mirando los elementos de los conjuntos relevantes. Toda la relevancia de estos axiomas está en la posibilidad de demostrar teoremas que sean trans-experienciales, 100% abstractos: como él mismo).
Αx. 6.El famoso e infame axioma de elección (A. E.). En la nomenclatura de la teoría de conjuntos, el A. E. es: «Si S es un conjunto de conjuntos no vacíos disjuntos dos a dos, el producto cartesiano de los elementos de S^[380] es no vacío; cada elemento de este producto cartesiano se designa como un conjunto selección de S'» (semiextractado de Edwards, v. 7, pág. 425, editado). En lenguaje natural, es que a partir de cualquier S se puede construir un subconjunto S' con alguna propiedad particular incluso si no se puede especificar un procedimiento para elegir los elementos individuales de S' [Zermelo propuso el axioma de elección a principios del siglo XX. Es demasiado técnico para intentar desarrollarlo aquí,^[381] pero una consecuencia importante del A. E. es el principio del buen orden, o sea que cualquier subconjunto S' de cualquier conjunto S se puede elegir y disponer de tal modo que S' tenga un primer elemento. Ya hemos visto la importancia de este principio en las demostraciones con C1-1, por ejemplo, la primerísima acerca de que {Todos los enteros} y {Todos los enteros positivos} tienen la misma cardinalidad. El principio del buen orden es también crucial para las demostraciones de Cantor de que c > ℵ₀ y P(E) > E, pues las diversas tablas de esas demostraciones obviamente debían tener todas un primer elemento. Pero el axioma de elección fue también terriblemente controvertido (por ejemplo, puede usted entender por qué los intuicionistas y los constructivistas odiaban la idea de que se pudiera designar un subconjunto sin ningún tipo de procedimiento para elegir sus elementos), y se mantuvo como una de las grandes polémicas de la teoría de conjuntos hasta que (1) Kurt Gödel en 1940 demostró la consistencia lógica del A. E. con los demás axiomas de la teoría de conjuntos, y luego (2) el profesor Paul Cohen^[382] en 1963 demostró la independencia lógica del A. E. (es decir, la consistencia de su negación) respecto a los demás axiomas de la teoría de conjuntos, demostraciones que, juntas, se puede decir que resolvieron el lío del axioma].^[383]
Αx. 7.Este suele conocerse como el axioma de regularidad (A. R.). También tiene varias versiones. La más simple es que si x es un objeto o un conjunto, x∉x. Una formulación más subida de tono es: «Todo conjunto no vacío S contiene un elemento x tal que S y x no tienen ningún elemento en común» (semiextractado de Edwards, v. 7, pág. 426, editado).^[384] (El axioma de regularidad de algún modo encierra las objeciones de Poincaré y Russell a la autorreferencia, o en todo caso es este axioma el que elimina la antinomia de Russell. También evita formulaciones como «el conjunto de todos los conjuntos» y «el conjunto de todos los números ordinales» y así evita la paradoja de Cantor y la paradoja, que explicaremos enseguida, de Burali-Forti. Observe que también rechaza la demostración de Cantor, basada en φ, de que P(A) > A en § 7e. Este es el motivo de que exista, separadamente, el axioma del conjunto potencia que hemos visto antes, del cual se puede deducir P(A) > A sin ningún tipo de demostración que viole el axioma de regularidad. Pero, por favor, sepa que incluso con el A. R., axiomáticas como la de ZFS aún pueden estar sujetas a ciertas paradojas de la teoría de modelos,^[385] de modo que ahora, digamos en las cercanías del año 2000, hay toda una jerarquía de axiomatizaciones de la teoría de conjuntos, cada una con su propia inmunidad especial a las paradojas, conocida entre los especialistas como fuerza de consistencia. Si está interesado —y porque por lo menos sus nombres son divertidos—, los sistemas principales de hoy, en orden creciente de fuerza de consistencia, son: los postulados de Peano, analítico, ZFS, Mahlo, VNB, quiniano, débilmente compacto, hiper-Mahlo, inefable, Ramsey, supercompacto, y n-enorme).

Fin de § 7f s.-1.

§ 7g.
Sin duda habrá notado que hace un buen rato que Georg Cantor même no ha sido mencionado y quizá se haya preguntado dónde está en toda la turbulencia fundacional de § 7f. Las profilaxis de Poincaré y de Russell, las axiomatizaciones de Zermelo, etc., son todas de principios del siglo XX, tiempo en el cual Cantor ya ha realizado sus mejores trabajos y casi ha abandonado las matemáticas en favor de las preocupaciones obsesivas que consumieron sus últimos años.^[386] También es en esta época cuando entra y sale de hospitales continuamente. La dolorosa ironía es que es justamente cuando la obra de Cantor está ganando amplia aceptación y la teoría de conjuntos está floreciendo en las matemáticas y la lógica, cuando su enfermedad se pone realmente fea, y hay todo tipo de congresos especiales y entregas de premios a las que no puede asistir porque está demasiado indispuesto.
Más directamente relevante es que incluso cuando Cantor se encontró por primera vez con sus paradojas en la década (probablemente) de 1880, no se preocupó demasiado acerca de ellas, o más bien no podía, porque tenía otros problemas más apremiantes. De matemáticas. Uno de los más importantes es lo que ahora se conoce como la hipótesis del continuo.^[387] La H. C. se caracteriza de toda clase de formas —«¿Es la potencia del continuo equivalente a la de la segunda clase de números?»; «¿Son los números reales el conjunto potencia de los números racionales?»; «¿Es c lo mismo que 2^ℵ₀?»; «Es c = ℵ₁?»— pero todas ponen el dedo en la llaga. Cantor ya ha demostrado que hay una jerarquía infinita de conjuntos infinitos, así como sus conjuntos potencia, y ha demostrado que P(A) = 2^A y 2^A > A son teoremas para conjuntos infinitos. Pero todavía no ha demostrado cómo se relacionan exactamente esos distintos resultados. La cuestión central es si lo de 2^A > A constituye una ley exhaustiva acerca de cómo se dispone la jerarquía transfinita —es decir, si para cada conjunto infinito A el siguiente conjunto mayor es siempre 2^A, sin ∞ intermedios entre ellos— y, por lo tanto, si este proceso de —exponenciación binaria— es la manera de ir de un conjunto infinito al siguiente, del mismo modo en que la suma permite ir de un número entero al siguiente. Un sí a esta larga pregunta es la hipótesis del continuo. Lo que se considera ahora como la forma general de la H. C. es 2^ℵ_n = ℵ_n+1,^[388] pero la versión original de Cantor es más específica. Sabemos que ha demostrado la existencia y cuáles son las cardinalidades de dos conjuntos infinitos distintos, concretamente el conjunto de todos los enteros/racionales/algebraicos (= ℵ₀) y el de todos los reales/trascendentes, equivalente también a los intervalos y espacios continuos (= c); y ha demostrado que c > ℵ₀. Su propia hipótesis del continuo es que c = 2^ℵ₀, es decir, que c es en realidad ℵ₁, el conjunto infinito que sigue inmediatamente a ℵ₀, sin nada en medio.^[389]
Los intentos de Cantor de demostrar la H. C. se produjeron a lo largo de las décadas de 1880 y 1890, y hay algunas conmovedoras cartas en las que anunciaba con excitación a Dedekind una demostración y entonces un par de días más tarde descubría un error y tenía que echarse atrás. Nunca la demostró ni demostró que fuera falsa, y algunos historiadores de la tendencia pop piensan que la H. C. es lo que realmente desquició a Cantor.
Matemáticamente hablando, la verdad acerca de la hipótesis del continuo es más complicada de lo que los escritores pop dejan traslucir, porque en realidad Cantor llega a los diversos problemas de la H. C. a través de su trabajo sobre números ordinales, cuyas relaciones son más o menos como la de «R = Đ (P', P'', P''', …)» en § 7b, y que, a pesar de nuestras mejores intenciones, ahora tenemos que esquematizar muy brevemente.^[390] En primer lugar, para ahorrar tiempo, por favor recuerde o relea la nota 78 de § 5e(1) y su manual básico sobre enteros ordinales y cardinales. Ahora estamos interesados en los números ordinales en la teoría de conjuntos, que son un poco diferentes, e involucran el concepto de tipos de orden de los conjuntos. Explicación simple: sabemos que si los conjuntos A y B tienen el mismo número cardinal, se pueden poner en C1-1. Si esta C1-1 se puede hacer de tal modo que el orden de los elementos de A y B quede sin modificar, entonces A y B son del mismo tipo de orden. (Un ejemplo sencillo y directo de dos conjuntos con la misma cardinalidad pero diferentes tipos de orden era {Todos los enteros positivos y Todos los enteros} en § 7c. Recuerde que tuvimos que apañar el orden de este último para que tuviera un primer elemento que se pudiera emparejar con el 1 de los enteros positivos).
Puede ver por qué esto va a ser más complicado que los cardinales: ahora nos preocupamos no solo de la cantidad de elementos de un conjunto, sino también de su disposición. O más bien disposiciones, porque las posibles permutaciones de dichas disposiciones son buena parte del meollo de la teoría de ordinales. Meollo al que vamos a echar un vistazo, aunque debería usted tener en cuenta que hay gran cantidad de términos técnicos y distinciones —«ordenado», «bien ordenado», «parcialmente ordenado», «denso por doquier», «número de relación», «teorema de numeración», y así sucesivamente— de las que vamos a ignorar la mayoría.^[391] Algunos hechos básicos: para conjuntos finitos, cardinalidad = tipo de orden; es decir, dos conjuntos finitos con el mismo número cardinal tendrán de manera automática el mismo tipo de orden. Esto se debe a que hay exactamente un tipo de orden para todos los conjuntos de un elemento, un tipo de orden para todos los conjuntos de dos elementos, y así sucesivamente.^[392] El número total de posibles tipos de orden para conjuntos finitos es, de hecho, lo mismo que el número cardinal del conjunto de los enteros positivos, o sea, ℵ₀. Pero con los conjuntos infinitos, los tipos de orden se complican. Lo cual no debería sorprendernos. Tómese el recién mencionado conjunto infinito numerable de todos los enteros positivos: {1, 2, 3, 4,…} tiene más de un tipo de orden. Esto no significa solo intercambiar algunas tiras de números en la sucesión infinita, pues el conjunto todavía se podrá poner en C1-1 con el conjunto original de los enteros positivos, incluso si la correspondencia es algo parecido a

Pero si toma usted uno de los elementos del conjunto de los enteros y lo pone en último lugar, como en {1, 3, 4, 5, 6, 7,…, 2}, ahora tiene un tipo de orden totalmente diferente. El conjunto {1, 3, 4, 5, 6, 7,…, 2} ya no se puede poner en C1-1 con un conjunto ℵ₀ normalmente ordenado que no tiene último elemento y, por lo tanto, no le da ningún modo de llegar a nada que se pueda emparejar con el 2. Además, observe que en el nuevo tipo de orden, 2 se convierte en un número ordinal diferente: ya no es el 2º elemento de un conjunto sino ahora más bien el último elemento, y no tiene ningún número en concreto inmediatamente antes que él. De aquí la definición de número ordinal: es un número que identifica dónde aparece cierto elemento de un conjunto en cierto tipo de orden.^[393]
En la teoría de conjuntos cantoriana hay dos reglas principales para generar números ordinales, (1) Dado cualquier número ordinal n, siempre se puede obtener el siguiente ordinal, que es n + 1. (2) Dado cualquier conjunto N de n ordinales ordenado en sucesión creciente (por ejemplo, el conjunto de los enteros positivos), siempre se puede obtener un último ordinal mayor que todos los demás n. Este ordinal final técnicamente funciona como el límite de la sucesión de N y se puede expresar como «Lim(N)».^[394] Esas reglas no tienen mal aspecto, pero las cosas empiezan a complicarse cuando consideramos no solo conjuntos de números ordinales, sino números ordinales como conjuntos, lo cual podemos hacer porque un principio básico de la teoría de conjuntos es que todos los entes matemáticos se pueden representar como conjuntos (por ejemplo, el cardinal transfinito «ℵ₀» es el conjunto de números cardinales {1, 2, 3, 4,…}; además, recuerde la observación ante rem en § 2a de que «5» es literalmente el conjunto de todos los quíntuplos). Pero así, entonces, un número ordinal n, ¿qué conjunto es? La respuesta es la tercera gran regla de Cantor: para cada ordinal n, n = el conjunto de todos los ordinales menores que n; es decir, n se identifica simplemente con el conjunto de ordinales del cual es el límite.^[395] O, en términos formales,^[396]n = (∀x)x < n). Se puede generar toda la secuencia de los enteros normales (ya sea como cardinales o como ordinales) de este modo: 0 = (∀x)x < 0} = ∅; 1 = (∀x)x < 1} = {0}; 2 = (∀x)x < 2} = {0,1}; y así sucesivamente. El número ordinal de todo el conjunto infinito numerable {0, 1, 2, 3, 4, …} es simbolizado por omega minúscula, ω. Este ordinal transfinito es el límite de la sucesión de elementos del conjunto; es decir, es el más pequeño de los números mayores que todos los enteros finitos. Otra manera, más común, de describir ω es como el número ordinal de aquel conjunto del cual ℵ₀ es el número cardinal.^[397]

Interpolación SEI

Por duro que pudiera parecer el último párrafo, casi todo lo que va más lejos en la teoría de ordinales es tan brutalmente abstruso y técnico que solo podemos hacer algunas observaciones generales. Una es que la aritmética de los ordinales transfinitos es distinta a la de los cardinales transfinitos, pero no menos extraña; por ejemplo (1 + ω) = ω, pero (ω + 1) > ω, ya que por definición (ω + 1) es el ordinal inmediatamente posterior a ω. Otra es que, como en el caso de los ℵ cardinales, se puede generar una jerarquía infinita de ordinales transfinitos de conjuntos infinitos de ordinales (puede que usted quiera leer esta última frase otra vez), aunque en este caso es un proceso muy diferente a lo de 2^ℵ_n = ℵ_n+1. La jerarquía transfinita-ordinal está asociada con entes abstractos llamados números épsilon y con una operación aritmética llamada tetración. No hablaremos de los primeros excepto para decir que esencialmente son una clase de números tales que ω^ε= ε.^[398] Pero la tetración es más simple, y puede que ya esté familiarizado con ella si estudió muchas matemáticas en primeros cursos de carrera o tuvo asignaturas como teoría de cuerpos o combinatoria. Básicamente es una exponenciación delirante. La 4ª tetración de 3 se expresa como «⁴3» y significa 3³³³, que es = 3³⁹, que es = 3^19.683, un valor cuyo cálculo puede usted aceptar como desafío. La relación técnica entre la tetración, los ordinales transfinitos y los números épsilon es el hecho de que ε₀ = ^ωω, que no es tan importante. Pero si puede usted concebir, en abstracto, una progresión como ω, ((ω + 1), (ω + 2), …, (ω + ω)), ω², ω^ω, ^ωω, ^ωωω, …, entonces puede usted hacerse una idea —o en todo caso una «idea»— de la jerarquía y de las impensables alturas de los números ordinales de conjuntos infinitos de conjuntos infinitos de ordinales de conjuntos infinitos que involucra (sospechoso parecido con Rucker, Infinity and the Mind, págs. 74-75). Fin de las observaciones generales.

Fin de la interpolación SEI

Muy bien, o sea que el modo específico en que Cantor se topa con la hipótesis del continuo concierne a los ordinales y los tipos de orden. Hemos visto que hay más de un tipo de orden para los conjuntos infinitos, como en el caso de {1, 2, 3, 4, …} y {1, 3, 4, 5, 6, 7, …, 2}, no hace muchos párrafos. Hay, de hecho, una infinidad de tipos de orden distintos para cualquier conjunto infinito, y lo que Cantor demuestra^[399] es que el conjunto de posibles tipos de orden para un conjunto infinito numerable es, en cambio, no numerable. Esto significa que hay una manera más de generar una jerarquía infinita de conjuntos infinitos: si S es un conjunto infinito numerable, entonces Z es el conjunto infinito no numerable de posibles tipos de orden de S, y Z' será el conjunto de posibles tipos de orden de Z, y…, y allá vamos. (En realidad, decir que los distintos procesos para obtener jerarquías del ∞ son «distintos» es un poco engañoso, porque la verdad es que están relacionados de todo tipo de formas. Las matemáticas de esas relaciones están más allá del alcance técnico de este libro y no las trataremos aquí, pero puede por lo menos hacerse una idea de ellas a partir de la definición técnica que da Cantor del conjunto Z [teniendo en cuenta que «clase numérica» en realidad se refiere a conjuntos de ordinales], a saber: «La segunda clase numérica Z(ℵ₀) es la totalidad {α} de todos los tipos de orden α de conjuntos bien ordenados de cardinalidad ℵ₀») (Cantor, pág. 44).
Pero no se necesita profundizar tanto. Dejando fuera los ordinales transfinitos como ω, todavía podemos ver una marcada similitud, con seguridad no casual, entre: (1) c como conjunto de todos los números reales (y no de todos los racionales, que es ℵ₀); (2) ℵ₁ como conjunto potencia de ℵ₀, es decir, como 2^ℵ₀; (3) Z como el conjunto de todos los tipos de orden de ℵ₀. El auténtico problema es que Cantor no puede demostrar cierta relación crucial entre estas tres identidades. Recordará de hace un par de páginas que la H. C. original de Cantor es que (1) y (2) son lo mismo, que c = 2^ℵ₀ = ℵ₁, y que no hay ningún tipo de ∞ intermedio entre ℵ₀ y c. Ahora estamos preparados para entender por lo menos a grandes rasgos cómo interviene aquí la relación (3). En los últimos § de «Contribuciones… Números» —a través de un proceso de profundo razonamiento técnico, imposible de resumir—, Cantor logra deducir dos grandes cuestiones: (a) que de ningún modo c puede ser > ℵ₀, y (b) que en caso de que sí exista algún conjunto infinito que sea mayor que ℵ₀ pero menor que c, este conjunto tiene que ser el conjunto no numerable Z, o sea la segunda clase numérica. Es la cuestión (b) la que inspira su principal ataque a la H. C., el cual consiste en un intento de demostrar que las anteriores relaciones (2) y (3) son en realidad la misma; es decir, si Cantor puede demostrar que Z = 2^ℵ₀, entonces por (b) se podrá demostrar que no existe ningún conjunto intermedio entre ℵ₀ y c, lo cual implicará que c = ℵ₁. Específicamente es Z = 2^ℵ₀ lo que no pudo demostrar. Jamás. Pese a años de estrujarse los sesos de manera inimaginable. Si fue o no fue esto lo que le desquició es una pregunta imposible de contestar, pero es cierto que su incapacidad de demostrar la H. C. le dolió el resto de su vida: lo consideraba su gran fracaso. Esto también resulta triste en retrospectiva, porque ahora los matemáticos profesionales saben exactamente por qué Cantor no pudo ni demostrar ni desmentir la H. C. Las razones son profundas e importantes y llegan de manera corrosiva hasta la raíz de la consistencia formal de la teoría axiomática de conjuntos, de modo bastante parecido a como las demostraciones de incompletitud de Kurt Gödel desarraigan todas las matemáticas como sistema formal. Una vez más, los problemas correspondientes solo los podemos esbozar o sintetizar.
La hipótesis del continuo y el antes mencionado axioma de elección son los dos grandes problemas acuciantes de la teoría de conjuntos temprana. Particularmente respecto a la primera, es importante distinguir entre dos cuestiones diferentes. Una, metafísica, es si la H. C. es verdadera o falsa. La otra es si la H. C. se puede demostrar formalmente, o desmentir, a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos estándar.^[400] Es la segunda cuestión la que ha sido contestada definitivamente, a lo largo de un período de varias décadas, por Kurt Gödel y Paul Cohen, a saber:
1938 Gödel demuestra formalmente que la forma general de la hipótesis del continuo es consistente con los axiomas de ZFS; es decir, que si la H. C. misma se trata como un axioma y se añade a los de la teoría de conjuntos, entonces no puede resultar ninguna contradicción lógica.
1963 En uno de esos coups d'éclat salidos de la nada que tanto gustan a los eruditos de la cultura pop y a los cineastas, un joven profesor de Stanford llamado Paul J. Cohen demuestra que la negación de la H. C. general también se puede añadir a los axiomas de ZFS sin contradicción.^[401]
Estos dos resultados juntos establecen lo que ahora se conoce como la independencia de la hipótesis del continuo, lo cual significa que la H. C. ocupa un lugar bastante parecido al del axioma de las paralelas^[402] respecto al resto de la geometría de Euclides: no se puede demostrar ni contradecir a partir de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos.^[403] Además, recordará del § anterior que Gödel y Cohen pueden obtener un resultado parecido para el axioma de elección, tan vital para las diversas demostraciones en diagonal de Cantor; Gödel demuestra que el axioma no se puede contradecir dentro de ZFS/VNB; Cohen, que no es demostrable en ZFS/VNB.^[404] Existen, como se ha mencionado, sistemas axiomáticos alternativos en los cuales la H. C. y el A. E.: son demostrables/indemostrables (por ejemplo, la teoría de conjuntos de Quine está construida de tal modo que el axioma de elección es contradictorio prima facie), aunque muchos de esos sistemas de consistencia enriquecida usan el término «conjunto» de modos que son terriblemente diferentes respecto a las definiciones originales de Cantor.
La hipótesis del continuo permanece viva de otras maneras. Es, por ejemplo, la causa motivadora tras varias axiomatizaciones teóricas y extensiones de modelos de la teoría de conjuntos en las cuales la H. C. y diversos equivalentes se suponen^[405] demostradas o contradichas. Esos sistemas especulativos están entre los constructos más hiperabstractos de las matemáticas modernas, e involucran enrarecidos términos como «universos cantónanos o de 1.^er orden», «conjuntos construibles o no construibles», «cardinales medibles», «ordinales inaccesibles», «recursión transfinita», «super-completación» y muchos otros cuya pronunciación resulta divertida incluso si no se tiene una idea clara de lo que se supone que significan.^[406] Para terminar, lo más importante que debemos considerar es cómo repercute la indemostrabilidad de la H. C. en la otra gran cuestión: si la hipótesis es de hecho verdadera. No es ninguna sorpresa que haya n posibles visiones diferentes acerca de esto. Un tipo de enfoque formalista es que las distintas axiomatizaciones tienen distintas ventajas e inconvenientes, que la H. C. será demostrable/desmentible en algunas e indecidible en otras, y que el sistema a adoptar dependerá del propósito particular que se tenga. Otra respuesta, más estrictamente hilbertiana, será que, en realidad, en este contexto, «verdadero» no puede significar nada excepto «demostrable en ZFS», y, por lo tanto, que la independencia lógica de la H. C. respecto a ZFS significa literalmente que no es ni verdadera ni falsa.^[407] Un intuicionista puro será propenso a ver todo el lío de la teoría de conjuntos con las paradojas y la indemostrabilidad como la consecuencia natural de admitir dentro de las matemáticas conceptos difusos y no constructivos como los de conjunto, subconjunto, ordinal, y, por supuesto, ∞ de tipo real.^[408]
Pero son los platónicos matemáticos (a veces también conocidos como realistas, cantorianos y/o transfinitistas) los más preocupados por la indecidibilidad, lo cual es interesante, puesto que los dos platónicos modernos más famosos son Georg Cantor y Kurt Gödel, quienes son conjuntamente responsables de, por lo menos, dos tercios de todo el desconcierto. La postura platónica en este caso queda resumida con precisión por Gödel, en un escrito acerca de su demostración y la de Cohen respecto a la independencia de la H. C.:
Solo alguien que (como el intuicionista) niegue que los conceptos y axiomas de la teoría de conjuntos clásica tengan significado alguno podría estar satisfecho con tal solución, no quien crea que describen una realidad bien determinada. Pues en realidad la conjetura de Cantor debe de ser o bien verdadera o bien falsa, y su indecidibilidad a partir de los axiomas tal como se conocen hoy solo puede significar que dichos axiomas no contienen una descripción completa de la realidad (Gödel, «¿En qué […] Cantor?», pág. 268. Versión editada semiextractada a partir de Barrow, pág. 264).
Es decir, para un platónico matemático, lo que las demostraciones acerca de la H. C. demuestran realmente es que la teoría de conjuntos necesita hallar un conjunto mejor de axiomas clave que el ZFS clásico, o por lo menos necesitará añadir algunos postulados más que sean —como el axioma de elección— a la vez «evidentes por sí mismos» y consistentes con los axiomas clásicos. Si está usted interesado, la visión personal del propio Gödel era que la hipótesis del continuo es falsa, que en realidad hay toda una infinidad de ∞ al estilo de Zenón anidados entre ℵ₀ y c, y que tarde o temprano debería hallarse un principio que lo demostrara. Hasta ahora no se ha hallado jamás tal principio. Gödel y Cantor murieron ambos en el confinamiento,^[409][410]legándonos un mundo sin confines finitos. Uno que gira, ahora, en una nueva especie de vacío de lo formal. Las matemáticas continúan levantándose de la cama.

Agradecimientos

Mi agradecido reconocimiento a las siguientes personas por su ayuda: Classena Bell, Jesse Cohen, Mimi Bailey Davis, Jon Franzen, Bob Goris y la jefa de departamento, Rochelle Hartmann, Rich Morris, Erica Neely, Joe Sears, Stephen Stern, John Tarter, Jim Wallace, Sally Wallace y Bob Wengert.
No hace falta decir que el autor es el único responsable de cualesquiera errores o imprecisiones que usted pueda detectar en este manuscrito.

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Notas:

^[1]SEI Aquí tenemos un buen ejemplo de curiosidad SEI. El autor, aquí presente, es alguien con un interés de aficionado medio-alto en las matemáticas y los sistemas formales. También es alguien a quien se le atravesaron las matemáticas en todos los cursos a los que asistió, excepto uno, que ni siquiera fue en la universidad, pero que estaba impartido por uno de esos raros especialistas que pueden hacer que lo abstracto resulte vivo y llamativo, y que te hablan realmente cuando dan la lección, y de quien todo lo que pueda ser bueno de este librito es un pálido y bienintencionado reflejo.

^[2]SEI Halle, una mina de sal río arriba cerca de Leipzig, más conocida como el lugar de nacimiento de Händel.

^[3]SEI aunque también lo es el otro estereotipo, en las antípodas de este, de los matemáticos como pequeñas criaturas empollonas con pajarita. En la arquetipología contemporánea, ambos estereotipos parecen combinarse de maneras importantes.

^[4] En términos médicos modernos, resulta bastante claro que Georg F. L. P. Cantor padecía un trastorno maníaco-depresivo en una época en la que nadie sabía lo que era, y que sus ciclos bipolares se vieron agravados por tensiones profesionales y decepciones, las cuales a Cantor no le faltaron. Por supuesto, esto no da un titular tan interesante como Genio Enloquecido por Intentar Lidiar con el ∞. La verdad, sin embargo, es que el trabajo de Cantor y su contexto son tan interesantes y bellos que no hay necesidad de convertir la vida de este pobre tipo en una vacía alegoría prometeica. La verdadera ironía es que la visión del ∞ como una zona prohibida o camino a la locura —visión muy antigua y poderosa que acechó a las matemáticas durante más de dos mil años— es precisamente lo que la obra de Cantor derribó. Decir que el ∞ enloqueció a Cantor es como lamentar la derrota de san Jorge ante el dragón: no solo es falso, sino insultante.

^[5]SEI Boyer comparte únicamente con el profesor Morris Kline la cima de la «cadena alimentaria» de los historiadores de las matemáticas. Las obras principales de Boyer y Kline son respectivamente Historia de las matemáticas y El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. Ambos libros son excelentes y extraordinariamente completos, por lo que los citaremos con frecuencia.

^[6] Respecto a esto, Bertrand Russell tiene un párrafo interesante sobre las matemáticas de nivel intermedio, donde suele darse el siguiente gran salto de abstracción tras la aritmética: «Al empezar álgebra, incluso el muchacho más inteligente se encuentra, por regla general, con grandes dificultades. El uso de letras es un misterio, que parece no tener otro propósito que la mistificación. Es casi imposible, al principio, no pensar que cada letra representa algún número en particular, y que solamente el profesor nos revelará qué número representa. El hecho es que en el álgebra la mente aprende por primera vez a considerar verdades generales, verdades que no se afirman solo de esta o aquella cosa en particular, sino de cualquiera de un grupo entero de cosas.
Es en el poder de entender y descubrir tales verdades donde reside el dominio del intelecto sobre todo el mundo de las cosas reales y posibles; y la capacidad de tratar con lo general en sí es uno de los dones que una educación matemática debería otorgar (Russell, Mysticism and Logic, pág. 60)»

^[7] En inglés el resumen de un artículo académico suele llamarse abstract. (N. del t.)

^[8]SEI Según la mayoría de las fuentes, Cantor no era únicamente un matemático: tenía una auténtica filosofía del infinito. Era extraña y casi religiosa y, nada sorprendentemente, abstracta. En cierto momento, Cantor intentó cambiar su puesto de trabajo en la Universidad de Halle del Departamento de Matemáticas al de Filosofía; la petición fue denegada. Cabe reconocer que este no fue uno de sus períodos más estables.

^[9]SEI La fuente de este pernicioso mito es Aristóteles, quien desde cierto punto de vista es el villano de todo nuestro relato.

^[10] Una analogía aquí casi obligada es el hecho de que la mayoría de nosotros vamos en avión a pesar de saber que cada año un determinado porcentaje de aviones de pasajeros se estrellan. Pero esto tiene que ver con las distintas maneras de saber o «saber» (véase § 1c más adelante). También está relacionado con la urbanidad, pues los viajes en avión son públicos y entra en juego algo así como la confianza en el grupo. Por ello, dirigirse a la persona del asiento de al lado para informarle de la probabilidad estadísticamente calculada de que aquel avión se estrelle no es incurrir en falsedad, sino en crueldad: sería meterse con la delicada infraestructura psicológica de su justificación para volar. SEI Dependiendo del estado de ánimo o del momento del día, podría resultarle a usted curioso y parecerle interesante que de las personas que no pueden reunir esa extraña fe en principios que no se pueden justificar racionalmente, y, por lo tanto, no pueden volar, se diga que tienen un «miedo irracional» a volar.

^[11]SEI Resulta que lo único que impidió a Wallis inventar el cálculo diferencial en Arithmetica Infinitorum fue su ignorancia del teorema del binomio, el cual es esencial para trabajar con infinitesimales. Véase esp. § 4 más adelante.

^[12] El singular e imponente doctor E. Robert Goris, profesor de matemáticas en el instituto, solía referirse a esto como «mentalidad de sector privado», en el sentido de que se esperaban resultados productivos reales.

^[13]SEI Por ello, la mayor parte de la obra de Platón (y casi toda la de Aristóteles) es acerca de la conceptualización y la sistematización de lo abstracto.

^[14] N. B. Independientemente del significado, una verdad demostrada en un sistema formal se conoce técnicamente como un teorema, de aquí el teorema de Pitágoras, etc.

^[15] Esta parte se requiere en la lógica formal a causa de ciertas propiedades del operador disyuntivo «o». Entraremos lo menos posible en esas cosas tan crípticas. (Solo que, ya que estamos, confesemos que estamos usando la «LTE» de un modo informal que también incluye el principio de bivalencia. Dejar que la «LTE» connote todo el edificio de la lógica bivaluada está bien para nuestros propósitos, pero sepa que no es 100% riguroso).

^[16] Modus tollens (= «método de negación» en latín) podría no parecer una regla universal a menos que tenga en cuenta que la implicación, como relación lógica, no tiene que ver con la causa sino con la certeza. En lógica aplicada, los términos son condiciones necesarias y suficientes. Si, por ejemplo, P representa el enunciado «mide 1,65 m de altura» y Q representa «mide por lo menos 1,55 metros de altura», entonces el significado puramente lógico de «P → Q» se hace evidente: en realidad significa que «Si P es verdadera, Q no puede ser falsa en modo alguno». Modus-tollenizar esto como «no Q → no P» es simplemente decir que si alguien no llega a los 1,55 m de altura, entonces no es posible que mida 1,65 m. Dicho sea de paso, otra relación lógica importante que veremos bastante más adelante, en § 5e, podemos mencionarla ya aquí. Es la relación de conjunción, que significa «y» y se representa habitualmente mediante «&» o «∧». La regla de oro es que «P & Q» es verdadera solo cuando P y Q son ambas verdaderas. Si cualquiera de ellas es falsa, toda la conjunción es falsa.

^[17]SEI Bueno, técnicamente, esto no es tanto por la LTE como por la definición de la conectiva lógica «no», cuya definición, sin embargo, o bien se obtiene a partir de la LTE o (como argumentan algunos) es lo mismo que la LTE. N. B. Algunos sistemas formales incluyen toda la transacción de la reducción al absurdo como un axioma, a veces llamado ley de absurdidad.

^[18] Recordará del instituto que los puntos suspensivos dentro de una sucesión o serie significan «todos los términos relevantes en medio». Si están al final significan «y así sucesivamente sin fin». Esta es una abreviatura que se usa mucho en las matemáticas puras.

^[19] De nuevo, estrictamente hablando es algo más complicado pero, para nuestros propósitos, la LTE servirá.

^[20]SEI incluyendo nuestra esquizofrenia de la abstracción y, en definitiva, el ser esclavos de la tecnología y la razón científica.

^[21] Una de las razones por las que los textos de matemáticas son tan abstrusos y técnicos es por todas las especificaciones y condiciones que deben ponerse en los teoremas para evitar las fisuras. En este sentido son como documentos legales, y a menudo su lectura es igual de divertida.

^[22] Recordará de las clases de matemáticas lo especialmente desagradables que resultaban las dificultades para definir las cosas. [Aquí el autor se refiere específicamente a los problemas donde un enunciado erróneamente formulado induce a confusión. (N. del t.)].

^[23]SEI Quede claro desde el principio que «puede que recuerde usted» y «no hace falta decir» y demás no son tics, sino tácticas retóricas cuyo objetivo es reducir las molestias de aquellos lectores que ya están familiarizados con lo que sea que se está discutiendo. En realidad, no se necesita ninguna experiencia en particular ni recordar las matemáticas superiores para leer este libro, pero parece por lo menos razonable suponer que algunos lectores tendrán una buena preparación matemática, y simplemente lo educado es admitirlo de vez en cuando. Como se mencionó brevemente en el Prólogo, la retórica de la escritura técnica está cargada de incertidumbres acerca de los niveles de experiencia de los distintos lectores y sus curvas de confusión-enojo. Nada de esto es su problema, claro, por lo menos no directamente.

^[24] Lo que viene a continuación no es demasiado SEI, pero para seguirlo con detalle probablemente necesitaría haber estudiado algo de matemáticas superiores, y si no es así no se preocupe de nada más, excepto de cómo el simbolismo tiene que cargarse de salvedades. ( SEI Y si estudió usted los primeros cursos de cálculo y se da cuenta de que nuestro simbolismo es algo no estándar, tampoco se inquiete por eso; más que nada porque todavía no se ha definido ninguno de los símbolos relevantes).

^[25]SEI = Definición 23 en el Libro I de los Elementos.

^[26]SEI Esta está relacionada con una cosa llamada la rueda de Aristóteles, que es una historia en sí misma.

^[27]SEI Como veremos en § 7, que exista una correspondencia uno a uno entre sus miembros en realidad ahora es la definición de igualdad entre dos conjuntos.

^[28]SEI Esto es un poco burdo. El auténtico modo en que las matemáticas neutralizaron el ∞ se basaba en cierta distinción metafísica trazada por Aristóteles para refutar a Zenón, a todo lo cual llegaremos.

^[29] No es nada injusto mencionar que Cantor se prodigó bastante en declaraciones extravagantes durante la controversia sobre los conjuntos infinitos, muchas con un tono religioso exageradamente grandilocuente, por ejemplo: «No albergo duda alguna respecto a la verdad de los transfinitos, a los que he identificado con la ayuda de Dios». (Cantor en la obra de Dauben «Georg Cantor and Pope Leo XIII», pág. 106) o «El miedo al infinito es una forma de miopía que destruye la posibilidad de ver el infinito real, a pesar de que este en su forma más alta nos ha creado y nos sostiene» (Cantor, Gessamelte Abhandlungen, pág. 374. Traducción editada de un extracto de Rucker, Infinity and the Mind, pág. 46).

^[30] Naturalmente, se necesita tiempo para obtener los resultados significativos que dan legitimidad a una teoría matemática, e incluso más tiempo para que sea plenamente aceptada, y, por supuesto, durante ese tiempo la cuestión locura-o-genio permanece sin resolver, probablemente incluso para el propio matemático, de modo que este desarrolla su teoría y elabora sus demostraciones en unas condiciones de enormes tensiones y dudas personales, y a veces ni siquiera es reivindicado en vida, etc.

^[31]SEI Parece ser que el término to apeiron se originó en la tragedia griega, donde se refería a vestimentas o ataduras «en las cuales uno se queda enredado, sin escape».

^[32]SEI Probablemente valga la pena destacar aquí que la descripción del Génesis 1:2: «La tierra era caos y confusión», es una manera plenamente griega de caracterizar la pre-Creación.

^[33] N. B. Este esteticismo helénico nunca ha desaparecido de las matemáticas, como se puede constatar por el hecho de que una buena demostración o un buen método se dice que son «elegantes» o por la frase, muy citada, de la Apología de Hardy: «La belleza es la primera prueba; no hay lugar permanente en el mundo para las matemáticas feas» (Hardy, Apology, pág. 85).

^[34]SEI En caso de que usted haya notado que esta descripción suena bastante platónica, sepa que, a pesar de que Platón vivió un siglo más tarde que Pitágoras, hay buenos indicios de que entró en estrecho contacto con sus sucesores, miembros de la D. Η. P., durante sus viajes por la Magna Grecia (actualmente el sur de Italia, territorio entonces colonizado por los griegos), y que su metafísica de las matemáticas subyace a la teoría de las «formas» del propio Platón, respecto a lo cual véase lo que sigue.

^[35] El concepto de «recta» de los egipcios, por otro lado, era solo una cuerda tensa, usada para delimitar el terreno de alguien.

^[36] = a grandes rasgos «Todo es Uno» + «Nada cambia».

^[37] Lo que sigue no debería clasificarse como SEI aunque usted ya conozca la dicotomía, pues esta discusión está hecha más bien a medida.

^[38] Lo cual quiere decir, otra vez, que lo siguiente solo tendrá sentido al 100% si ha estudiado usted las matemáticas relevantes, y, una vez más, no se preocupe si no lo hizo: lo importante es la forma general del razonamiento, que puede usted captar sin conocer los símbolos/términos específicos. (SEIDe hecho, todos los términos/símbolos en juego se definirán más adelante, pero no hasta que los necesitemos).

^[39] Y, por supuesto, los estudiantes raramente lo preguntan: las fórmulas por sí solas son tan difíciles de «entender» (es decir, de usar para resolver problemas correctamente), que a veces no nos damos cuenta de que no las entendemos en absoluto. Que acabemos sin saber siquiera todo lo que ignoramos es la parte realmente insidiosa de la mayoría de las clases de matemáticas.

^[40] SEI Aquí se cita tanto a Russell porque su prosa sobre todo esto es extremadamente lúcida y acertada. Además, observe el modo en que, como los griegos, no hace ninguna distinción real entre matemáticas y filosofía.

^[41]SEI en el sentido de que no tiene un límite finito. Puede que la convergencia y la divergencia no adquieran pleno sentido hasta que hablemos de los límites en § 3c. Todo lo que usted necesita en este punto es una idea aproximada de la diferencia entre la una y la otra, lo cual pretenden ilustrar los gráficos.

^[42]SEI Los modos en los que eso no es 100% cierto involucran a Eudoxo de Cnidos, del cual tiende a hablarse incluso menos que de Zenón. Véase § 2d más adelante.

^[43]SEI Todo lo que se sabe de las paradojas de Zenón proviene de fuentes secundarias, pues o bien Zenón no escribió nada, o bien todo se perdió. La paradoja anterior aparece célebremente en el § 209a de la Física de Aristóteles, y observe cómo esta también gira alrededor de cuestiones sobre la ontología de las abstracciones, particularmente en la transición del paso (1) al paso (2). Además, si es usted el tipo de persona que puede mantener cosas aparentemente irrelevantes en su cabeza durante varias páginas, fíjese en que exactamente la misma imprecisión metafísica de esta P. Z. reaparecerá respecto a la dicotomía en cuestiones acerca de qué es exactamente un punto matemático, como, por ejemplo, si un punto es una abstracción geométrica, una ubicación física real o ambas cosas.

^[44] Por ejemplo: 1) La curiosidad mató al gato. 2) La bola de cordel más grande del mundo es una curiosidad. 3) Por lo tanto, la bola de cordel más grande del mundo mató al gato.

^[45] Mediante la forma predicativa (o «copulativa») de «ser», a causa de la cual aquí la predicación es problemática.

^[46]SEI en el Libro I, caps. 6 y 9. Además, el término metafísica proviene del título de este libro, por supuesto. Originalmente solo quería decir que era el siguiente tratado de Aristóteles tras la Física.

^[47] Una o dos curiosidades. Platón, nacido Aristocles, vive entre el 427 a. C. y 347 a. C. aprox.; Aristóteles vive entre el 384 a. C. y 322 a. C. aprox. (compárese con Sócrates, 470 a. C.-399 a. C. aprox., y Zenón, 490 a. C.- 435 a. C. aprox.). Aristóteles había sido un alumno estrella de la Academia de Platón, encima de cuyo portal curiosamente estaba inscrito el lema QUE NO ENTRE AQUÍ NADIE QUE SEA IGNORANTE EN GEOMETRÍA.

^[48] O por lo menos nuestra versión simplificada de ella.

^[49]SEI Esto es un poco esotérico, pero es para evitar posibles objeciones a lo que sigue: Sí, en cierto sentido, si «5» se entiende como una referencia o indicación del conjunto de todos los quíntuplos, entonces por los postulados de Peano lo anterior es exactamente lo que «5» es, aunque tanto «conjunto» como los postulados de Peano son dependientes de Cantor, o sea que nos estamos adelantando literalmente dos mil años.

^[50]SEI Véase, por ejemplo, esta afirmación platónica clásica de Charles Hermite (1822-1901, figura muy destacada en teoría de números): «Creo que los números y las funciones del análisis no son el producto arbitrario de nuestros espíritus: creo que existen fuera de nosotros con el mismo carácter de necesidad que los objetos de la realidad objetiva; y los descubrimos y los estudiamos como hacen físicos, químicos y zoólogos (Hermite en Barrow, pág. 259)». Como irá saliendo probablemente en diversos contextos a continuación, Bernhard P. Bolzano, Richard Dedekind, y Kurt Gödel son todos platónicos, y Georg F. L. P. Cantor es por lo menos un platónico en el armario.

^[51] Así como, claro está, cualquier otra estatua jamás hecha, o imaginada, o incluso no imaginada…

^[52]SEI Como tantas cosas de Aristóteles, esto no resulta fácil de entender. La cuestión aquí es que coexistir significa básicamente «existir todos al mismo tiempo», lo cual es imposible a causa del lapso de 23 horas y 59 minutos entre cada repetición de las 6:54 (estando dichos lapsos incluidos en la misma definición de «6:54»). En esencia, esta cuestión de la Sucesión → No completación es también el argumento de Aristóteles a favor de que el Tiempo con mayúscula es potencialmente pero no realmente infinito, lo cual a su vez evita ciertas paradojas de tipo Lámpara sobre la eternidad y los momentos primero y último.

^[53]SEI y para anticipar algunas cosas que se discutirán en detalle en § 4.

^[54] por así decirlo.

^[55] Solo como propuesta de reflexión: no es trivial observar que los antiguos griegos no tenían un verdadero concepto de punto sin dimensión, algo de extensión cero, pues no tenían 0. Y quizá por lo tanto que, en cierto sentido, la dicotomía era solo un síntoma del verdadero problema de los griegos, que era intentar hacer matemáticas abstractas usando solo cantidades concretas.

^[56]SEI en todo caso, el primero en la práctica, el Libro VI de la Física se lleva el mérito de hacerlo explícito.

^[57]SEI En las escuelas estadounidenses, la representación de la recta numérica solía situarse encima de la pizarra (o en la parte superior de la pared de atrás en las aulas que tenían retratos de los presidentes de EE. UU. encima de la pizarra) y parecía algo así como un termómetro tumbado.

^[58]SEI Más adelante, en § 6f, veremos la importancia de un criterio completamente diferente de «constructibilidad» para teoremas.

^[59] Los griegos también carecían de estos últimos.

^[60] Por excitantes razones técnicas, a las que llegaremos, la recta numérica es más apropiadamente llamada recta real si también representa los números irracionales. Es decir, la «recta real» de todos los números reales. Observe, por cierto, que otro término matemático para designar tanto el conjunto de los números reales como a la recta real resulta ser: el continuo. Probablemente algo de todo esto será mencionado en el texto, pero en algún punto deberá resumirse la cuestión de la recta numérica y la recta real, y este es un lugar tan bueno como cualquier otro. Sepa que las matemáticas y la metafísica de ambos tipos de recta son sin duda difíciles. Comparten tres características cruciales, y la recta real tiene una cuarta característica. Ambos tipos de recta son por definición infinitamente extensos, ambos son infinitamente densos (= entre dos puntos cualesquiera siempre hay otro punto), y ambos son «sucesivos» u «ordenados» (lo cual básicamente significa que para cualquier punto n (n − 1) < n < (n + 1)). La recta real, además, tiene la propiedad de ser continua, lo cual en este caso quiere decir que no tiene huecos o agujeros. Tenga en cuenta, para más adelante, que es la continuidad de la recta real en este sentido lo que acaba abriendo una grieta en las matemáticas modernas. Sin embargo, como se ha mencionado justo antes en el texto principal, la dicotomía de Zenón no necesita nada más que la densidad de la recta numérica para crear la paradoja. Por esta razón, la dicotomía se puede reformular tan fácilmente para eliminar el tiempo/movimiento: su RIV involucra cruzar no un espacio real, sino solo el intervalo 0-1 de la recta numérica. Es este segundo tipo en particular de ∞, denso e inter-numérico, que Aristóteles quiere descartar calificándolo de meramente «potencial». Finalmente, observe, por favor, que en ciertos apartados a partir de ahora y hasta § 6 vamos a hablar como si la recta numérica y la recta real fueran la misma cosa, o como si la recta numérica también pudiera representar números irracionales. Esto se debe a complicadas razones que involucran la traducción de complejas demostraciones al lenguaje natural, pero no se preocupe por ello, solo le conviene recordar el estatus especial de la recta real hasta dentro de varios § s, cuando resultará importante.

^[61]SEI El término anglosajón surd era el preferido del doctor Goris porque sostenía que su pronunciación era mucho más divertida. Si alguien decía «número irracional», él hacía como si no pudiera oírle, lo cual, si conoce usted la etimología de surd, verá que también era una especie de broma entre él y nosotros. [La etimología a la cual se refiere el autor es la raíz latina surdus, la misma de la cual proviene «sordo». Hay una interesante relación histórica, etimológica y conceptual entre «irracional» y «sordo», que se remonta al griego alogos, que podía significar «sin razón» o «sin habla». (N. del t.)].

^[62]SEI Por supuesto, esto también funciona como una demostración de que la √2 es irracional, y así lo presentó en clase por primera vez el doctor Goris.

^[63] Por así decirlo.

^[64]SEI Lo cual es una invención del siglo XVI.

^[65] También es importante recordar que los decimales son solo numerales, en el sentido de representaciones de números y no números en sí mismos. Y que los decimales también resultan ser representaciones de series por convergentes, ejemplo 0,999… es equivalente a 0/10⁰ + 9/10¹ + 9/10² + 9/10³ + … 
Si puede usted ver por qué la suma de esta serie infinita en particular es 1,0, probablemente se le ocurrirá que en realidad la paradoja antes mencionada de 0,999… = 1,0 no es una paradoja en absoluto, sino una mera consecuencia del hecho de que siempre hay más de una manera de representar cualquier número dado en notación decimal. En este caso, la cantidad 1 se puede expresar, o bien como «1,000…», o bien como «0,999…». Ambas representaciones son válidas, aunque se necesita algo de matemáticas superiores para ver el porqué. ( SEI Una vez más, si puede usted recordar las cosas durante mucho tiempo y muchas páginas, sepa ahora que en los § 6 y 7, Georg Cantor va a hacer un uso ingenioso de esa equivalencia técnica entre 1,0 y 0,999… en un par de sus más famosas demostraciones)

^[66]SEI En todo caso, no numéricamente. Otras maneras de decir lo mismo: en la nomenclatura, digna de un dentista, de las matemáticas de bachillerato, no se puede extraer completamente la raíz de 3; en términos gráficos, una recta con una pendiente irracional que parta del origen nunca alcanzará ningún punto correspondiente a unas coordenadas cartesianas racionales.

^[67] Para ver de forma intuitiva que hay (por lo menos) un número infinito de puntos irracionales entre 0 y 1, considere el conjunto de todos los puntos correspondientes a 1/n, donde n es irracional.

^[68]SEI En el fondo esto explica por qué la trigonometría y la astronomía griegas eran tan complejas: intentaban cuantificar curvas continuas y áreas bajo curvas solo con números racionales.

^[69] Véase esta muy apropiada cita del algebrista alemán Michael Stiefel, hacia 1544: «Pues, al hacer demostraciones geométricas, cuando los números racionales nos fallan, los números irracionales se ponen en su lugar y demuestran exactamente aquellas cosas que los números racionales no podían demostrar, nos vemos obligados a aseverar que son verdaderamente números. Por otro lado, otras consideraciones nos obligan a negar que los números irracionales sean números en absoluto. A saber, cuando buscamos someterlos a [representación decimal], nos encontramos con que se escabullen de manera perpetua, de modo que ninguno de ellos puede ser precisamente aprehendido en sí mismo. Ahora, esto no puede llamarse un verdadero número, si es de tal naturaleza que carece de precisión. Por lo tanto, así como un número infinito no es un número, asimismo un número irracional no es un verdadero número, sino que permanece oculto en una especie de nube de infinito (Michael Stifel, Arithmetica Integra, 1544, extractado a partir de Kline, pág. 251)».

^[70]SEI Si no es así, entonces sepa/recuerde que, según las reglas de la lógica formal, una implicación como «(ap < bq) → (ar < bs)» será falsa solo cuando el primer término sea verdadero, y el segundo, falso. A la vista de esto, si quiere puede usted asignar valores, por ejemplo, p = 1, q = 2, r = 2, s = 4, a = 2, y b = 1, y comprobar casos particulares de la implicación. Verá que no hay ningún caso en el cual el primer término sea verdadero, y el segundo, falso; es decir, que 1/2 realmente es igual a 2/4.

^[71]SEI Esto se hará mucho más relevante cuando lleguemos a la teoría de los números reales de Dedekind en § 6.

^[72]SEI Que en la teoría de Dedekind se llamará un corte.

^[73] La especificidad reside en la elección de los valores de a y b.

^[74]SEI = los que tienen todos los lados de la misma longitud.

^[75]SEI Es, en verdad, casi increíblemente parecido al modo en que Cauchy acabará definiendo los infinitesimales en términos de límites para evitar las varias fisuras asociadas con las cantidades infinitamente pequeñas, de todo lo cual se habla más adelante en § 5.

^[76] Una pequeña broma entre los historiadores de las matemáticas es que lo único matemáticamente significativo que hicieron los romanos fue matar a Arquímedes.

^[77]SEI Como veremos, tras unos cuantos machetazos simplificadores por parte de Bolzano y Dedekind.

^[78]SEI Hay todo tipo de procedimientos y objetos diferentes para ilustrar esta demostración. Resulta que el doctor Goris solía llevar/sonarse con/desplegar de forma ilustrativa un gran pañuelo rojo, al que durante más de veinticinco años de clases se refirió como al «pañuelito de la muerte».

^[79]SEI De hecho, se puede demostrar matemáticamente que la probabilidad de que alguien acierte un punto racional de la recta numérica con un dedo puesto al azar, un dardo o un protón lanzados de manera aleatoria, o lo que sea, es en todo caso: 0%. [El autor omite aquí la observación de que los susodichos dedo, dardo y protón deberían tomarse como puntos matemáticamente ideales para que la afirmación tenga sentido. (N. del t.)].

^[80] El único otro objetivo general de § 3 es lograr cierto grado de reducción y simplificación que sea lógicamente < absurdo.

^[81] Si en la escuela aprendió que el símbolo viene de la letra griega ómicron (ο), le mintieron.

^[82] Reconocerá esto último como una definición de álgebra, palabra que es en realidad una deformación de Al-jabra, un tratado del matemático de Bagdad al-Khwarizmi (m. < 850 d. C.).

^[83]SEI en la Summa Theologiae y De Potentia Dei (donde, SEI2, que significa «razonar retroactivamente de los efectos a las causas»).

^[84] = «Contribuciones al estudio de lo transfinito» (1887), que es uno de los artículos más importantes de Cantor y aparece en las págs. 378-440 de su Gessamelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts (= Obras completas). Lo citamos de un modo tan horriblemente detallado para que de ahora en adelante entienda por qué no indicamos detalladas citas polisilábicas y traducciones-de-citas de hasta el último pequeño extracto relacionado con Cantor. Prácticamente todo lo cantoriano se puede encontrar en Gessamelte Abhandlungen, obra que recogemos en la Bibliografía.

^[85]SEI = un cálculo primitivo, precartesiano y prenewtoniano, de tipo cien por cien geométrico. Las epónimas latitudes del método son pequeños segmentos verticales cuyas longitudes representan la velocidad en un instante (los instantes eran las «longitudes» de la gráfica). No estoy seguro de si todo esto explica el nombre de la técnica o solo lo hace más confuso.

^[86] Adivine quién lo consigue.

^[87]SEI Viète no usó las palabras «suma», «serie» o «geométrica», pero eso es lo que eran a todos los efectos.

^[88]SEI Disculpas por la críptica prosa matemática. Si puede soportarlo, consulte también la obra de Kepler de 1615 Stereometria doliorum (= Medición del volumen de barriles [larga historia, donde intervienen el emperador Rodolfo II y la industria vinícola austriaca]). El método «volumétrico» del libro para determinar áreas/volúmenes de figuras creadas por curvas en rotación implica tratar los sólidos como si estuvieran compuestos de n figuras infinitesimales cuyas extensiones se pueden sumar —de nuevo, mucho antes que Newton y Leibniz—.

^[89]SEI Es verdad, todos los títulos matemáticos de la modernidad temprana suenan como horribles enfermedades.

^[90]SEI hacia 1401-1464, aprox., matemático y cardenal de la Iglesia católica; larga historia.

^[91]SEI Todo esto se desarrolla con mucho más detalle más adelante, en el clímax de § 7.

^[92]SEI De hecho, la propia razón   tiende a ∞ al alejarnos más y más por la secuencia.

^[93] James Gregory (véase el texto principal justo a continuación) da la primera definición ampliamente aceptada de función en un libro sobre problemas de cuadratura solo treinta años después de DNC.

^[94] De las diferencias entre estos tipos de funciones expliquemos solo que las trascendentes son las realmente complejas: trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc. Lo que no podemos dejar sin aclarar es la distinción entre números algebraicos y trascendentes, que es parte de la amplia taxonomía en la cual, por supuesto, los enteros + las fracciones son los números racionales, los racionales + los irracionales son los números reales, un número real más un número imaginario como √−1 constituye un número complejo, y así sucesivamente. Dado nuestro objetivo general, no necesitamos tratar con nada más que números reales, afortunadamente. Pero tenga en cuenta que el componente irracional de los números reales se compone, a su vez, de dos tipos de números diferentes, o más bien la distinción racional o irracional se superpone en cierto modo con otra distinción, entre números algebraicos y trascendentes. La diferencia se vuelve importante cuando llegamos a las demostraciones de Cantor sobre los diferentes tamaños de los ∞ de diferentes «clases numéricas». Así pues, un número es algebraico si es raíz de un polinomio con coeficientes enteros. Por ejemplo, √8 es un número algebraico porque es la solución de la ecuación 1 x 2 − 8 = 0. (En realidad, los números enteros, los racionales, e incluso los complejos también pueden ser algebraicos, por ejemplo, las respectivas soluciones de 2x − 14 = 0, 2x − 7 = 0, y 3 x 2 − 2x + 1 = 0, pero en términos de Cantor/Dedekind/continuidad solo tenemos que esclarecer la cuestión de los irracionales). Los números trascendentes, pues, son aquellos que no son algebraicos, es decir, que no pueden ser raíces de polinomios con coeficientes enteros; π es un irracional trascendente, y también el número e, la base del logaritmo natural/hiperbólico (no se preocupe si el término no le resulta familiar).

^[95]SEI «Función» era la alternativa de Leibniz al extraño «fluxión» de Newton. Y, como ocurrió en muchos otros casos con la terminología, el término de Leibniz se convirtió en el favorito. Curiosidad: Leibniz también introdujo «constante» y «variable».

^[96]SEI La solución presentada es en realidad para la paradoja de Aquiles y la tortuga, pero viene a ser lo mismo.

^[97]SEI Esta es la razón por la cual el cálculo anglicano depende en gran medida de las series infinitas y del teorema del binomio. Véase § 4a más adelante.

^[98]SEI Este cambio queda simbolizado por la evolución de la trigonometría, pasando de los grados y las formas geométricas a los radianes y las funciones trigonométricas.

^[99]SEI Aquí el coloso dominante es, obviamente, Newton…

^[100] N. B. Tenga en cuenta, especialmente para después, que las teorías de Weierstrass, Dedekind y Cantor sobre los números reales y la continuidad suelen conocerse en los libros de texto como la topología de la recta real.

^[101]SEI por supuesto, estrictamente hablando los conjuntos son entes poscantorianos, pero qué le vamos a hacer…

^[102]SEI Es decir, si usted representa  , verá que la curva resultante tiene un agujero correspondiente a la posición del 1 en el eje x, porque aquí es donde f(x) es igual a 0/0, que matemáticamente se define como matemáticamente indefinido. (SEI2 El lector con muchas tablas podría darse cuenta de que aquí hay cosas relacionadas con el valor límite y el límite de una función, las cuales no mencionamos porque todavía no hemos hecho límites).

^[103]SEI Lo de la «aproximación» en realidad es técnicamente erróneo, tal como se explicará con algo de detalle cuando empecemos a hablar del análisis weierstrassiano en § 5e. La idea, aquí en G. E. I, es explicar los límites de un modo intuitivamente claro, no matemáticamente riguroso.

^[104] ¡Uy! 2: véase Desarrollo más adelante.

^[105]SEI o sea, por un 0 inferiormente y por un 1 superiormente, para comprobar lo cual está usted invitado a dar valores a x.

^[106] N. B. Observe, por favor, que, a grandes rasgos, las cotas y el ser no acotado funcionan del mismo modo para los conjuntos y para las sucesiones. Esto empezará a ser importante en § 7, momento en el que probablemente se le pedirá que retroceda aquí y repase esta misma nota.

^[107]SEI Más materiales para futura recuperación: en caso de que se le haya ocurrido preguntarse si el ∞ que corona la suma denota un límite real o un final o, de hecho, más bien la ausencia de cualquier límite/final, sepa que esta cuestión es altamente significativa y llega hasta el corazón de lo que Weierstrass/Dedekind/Cantor fueron capaces de hacer por el análisis (respecto a lo cual no se pierda el apartado Análisis). Si, por otro lado, se está preguntando qué visión tenían en realidad los matemáticos anteriores a Weierstrass de estos ∞ a los que sus x y sus n se «aproximaban», la respuesta básica es que relegaron esas cantidades infinitamente grandes/pequeñas a la misma existencia vaga, nebulosa, del infinito potencial de Aristóteles. La idea es que el verdadero estatus matemático/metafísico de los infinitos de los límites nunca tiene que considerarse, porque en realidad nada llega jamás allí. Si esto le choca como algo sospechoso, entonces ya se encuentra en situación de comprender por qué Weierstrass pensaba que debía ponerse rigor a todo el asunto.

^[108] Maldición. Muy bien. La verdad estricta es más complicada que eso, e involucra los límites de sucesiones de sumas parciales, donde una suma parcial = la suma de un número finito de términos consecutivos de una serie. La idea básica es que si la sucesión infinita de sus sumas parciales tiende a algún límite S, entonces una serie infinita es convergente y su suma es S. Y que una serie divergente es una cuya sucesión de sumas parciales no se aproxima a un límite, y por lo tanto no tiene una suma finita. Todo lo cual resulta demasiado abstracto en este punto, pero con un poco de suerte tendrá más sentido hacia el final de § 5.

^[109]SEI No nos vamos a preocupar de términos asociados como producto continuo y producto oscilante.

^[110] SEI donde el factorial 2! significa 2 × 1, 4! significa 4 × 3 × 2 × 1, etc.

^[111]SEI estudiadas habitualmente con la denominación de análisis armónico.

^[112]SEI Si por casualidad está usted volviendo a este apartado desde § 5b y dándose cuenta de que esta serie de Fourier no se parece a la original de Fourier vista en la presentación, sepa que ambas son realmente la misma. Es solo que la forma anterior clarifica cómo la serie de Fourier contiene y combina dos series trigonométricas diferentes, las cuales —si no estaba usted regresando— serán a su vez más comprensibles cuando se definan las series trigonométricas en G. E. II. Nos disculpamos si esto resulta confuso: lo estamos haciendo lo mejor que podemos.

^[113]SEI Si no tiene usted conocimientos de matemáticas superiores, esta definición tendrá más sentido cuando veamos el cálculo clásico en § 4a.

^[114]SEI Que fue definido de facto justo al final de § 3a.

^[115]SEI Respecto a lo cual, de nuevo, véase lo que viene inmediatamente después y § 4 algo después.

^[116]SEI = «Demostración Puramente Analítica…». El título entero tiene una longitud de veintidós palabras y usted no quiere verlo.

^[117] La demostración específica es que los polinomios algebraicos son continuos, lo cual es menos relevante que las conexiones entre el hecho de que una función sea continua en un intervalo y que una serie/sucesión de funciones sea convergente en un intervalo. Estas conexiones empiezan a volverse realmente importantes en § 5.

^[118] Para adelantarnos todavía más: en § 5e se analizará con cierta extensión una importante hipótesis de Bolzano acerca de sucesiones infinitas y puntos límite, una hipótesis que Weierstrass también redescubrió y demostró, aunque respecto a esto la historia fue amable con Bernard Bolzano y nombró este resultado teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual resulta ser importante para la teoría de Dedekind de los números irracionales. (Para su información, no hay ninguna indicación de que Weierstrass plagiara a Bolzano ni nada parecido. Este tipo de descubrimientos paralelos se producen a menudo en las matemáticas).

^[119] Concretamente su Paradoxien des Unendlichen de 1851, que ni siquiera estuvo disponible en inglés (como Paradoxes of the Infinite) hasta 1950.

^[120]SEI Véase, por ejemplo, la versión inglesa de la obra de Cantor «Foundations of the Theory of Manifolds», que está en la Bibliografía en el apartado de Artículos y Ensayos.

^[121] Como veremos en § 7, la mayor parte de la teoría formal de conjuntos es trivial si se supone que solo existen los conjuntos finitos.

^[122] Como Cantor, Bolzano tiene un don para elaborar demostraciones simples, y con imágenes convincentes, de proposiciones muy abstractas.

^[123]SEI Véase § 7d, o, si está regresando desde § 7d, ahora puede ver por qué aquí entramos con tanto detalle en esta equivalencia.

^[124] Es decir; que el diámetro es el propio intervalo [0, 1]. (SEI La longitud del arco hemisférico será obviamente, pero esto no nos preocupa realmente).

^[125] Esto incluye a Cantor en algunas de sus declaraciones menos cautelosas o equilibradas.

^[126]SEI Una vez más, todo eso se define y analiza en § 7.

^[127] Decisión del Alto Mando: vamos a dejar de decir «véase más adelante» todo el rato y a suponer simplemente que de aquí en adelante resultará obvio cuándo es oportuno.

^[128]SEI Como se ha mencionado, aquí el objetivo retórico es preparar la discusión para que no sea grotescamente reduccionista pero a la vez sea lo bastante clara y simple para que se pueda seguir incluso si usted no estudió matemáticas superiores. Es cierto que estaría bien si las hubiera estudiado, pero, por favor, tenga por seguro que se han hecho considerables esfuerzos y se ha pasado por muchas fatigas para que no sea necesario.

^[129] De hecho hubo una gran disputa en las matemáticas europeas acerca del verdadero inventor; en concreto, acerca de si Leibniz, cuyo primer artículo relacionado con el cálculo es de 1674, había plagiado a Newton, cuyo De analysi per aequationes numero terminorum infinitas circulaba privadamente en 1669.

^[130] Disculpas por esta terrible sintaxis: no hay una manera fina de comprimir a Roberval.

^[131] Por ello, intentar resolver la cuestión de la autoría diciendo que Newton inventó el cálculo diferencial, y Leibniz, el cálculo integral (como a algunos profesores de matemáticas les gusta hacer), lleva a confusión y es erróneo. Lo importante es que Newton y Leibniz entendieron que el problema de las tangentes (= velocidad instantánea) y el problema de las cuadraturas (= áreas bajo curvas) eran dos aspectos de un mismo problema más amplio (= el de la continuidad) y, por lo tanto, se podían tratar mediante el mismo método general. La única razón por la que Newton y Leibniz son inmortales de las matemáticas es que no separaron el cálculo del modo en que lo hacen los cursos introductorios. [Esta última afirmación del autor es quizás exagerada, puesto que Newton y Leibniz hicieron otras importantes contribuciones a la ciencia, la técnica y la filosofía, las cuales eran más que suficientes para garantizar la inmortalidad a ambos. Véase sin ir más lejos la nota siguiente. (N. del t.)].

^[132] Siendo por supuesto Leibniz, como Descartes, un importante filósofo, de cuya ontología puede haber oído términos como «sustancia individual», «transcreación», «identidad de indiscernibles» y «mónada sin ventanas».

^[133]SEI Algo de lo que sigue puede enturbiar un poco la vista de tan abstracto, pero será más fácil de entender dentro de poco, cuando veamos un ejemplo sencillo.

^[134] Seguramente todos detestamos ese tipo de personas.

^[135]SEI O sea, las mónadas mencionadas tres notas al pie antes.

^[136]SEI Incluso funciones involucradas en problemas de áreas.

^[137]SEI Entre otros leibnizismos están «cálculo diferencial», «cálculo integral», «dx» y el signo integral de toda la vida, «∫», del cual podemos decir (curiosidad gorisiana) que originalmente Leibniz quería que fuera una S alargada para denotar «la suma de las [coordenadas y] bajo una curva» = (Boyer, pág. 403).

^[138] N. B. sobre posible SEI: si tiene mucha preparación matemática, puede omitir la siguiente presentación y sus correspondientes comentarios, puede que las simplificaciones no valgan la pena.

^[139]SEI Para lectores con mucha preparación que a pesar de todo no han omitido todo esto pero ya se están dando cuenta de que la Figura 4a se parece a una ilustración muy simplificada del «cociente de diferencias» de Leibniz, y quizá se están preguntando por qué no seguimos adelante sin más y hacemos su famoso triángulo característico, la respuesta es que usar el T. C. haría que la explicación del problema se comiera más de SEIs páginas y sometiera a todos a un exceso de detalle de cálculo que al final no resultaría importante.

^[140] De nuevo, si la Figura 4a se trata como un problema de tasa de cambio, t es un instante infinitesimal. (SEI Si se ha encontrado usted con el término algo pasado de moda cálculo infinitesimal en relación con el cálculo clásico, ahora puede ver que el término proviene de la infinita pequeñez de cantidades/duraciones como t).

^[141] N. B. Según Leibniz, eso es precisamente lo que son los infinitesimales: criaturas extrañas con las que podemos hacer esto. Véase, por ejemplo, este extracto de una carta a John Wallis hacia 1690: «Es útil considerar cantidades infinitamente pequeñas tales que cuando se busca su razón, puedan no ser consideradas cero pero que sean despreciadas tan pronto como se presenten acompañadas de cantidades incomparablemente mayores. Así, si tenemos x + [t], [t] es despreciado. Pero eso es distinto si buscamos la diferencia entre x + [t] y x…» (Leibniz extractado a partir de Kline, pág. 384).

^[142] Una analogía incluso mejor podría ser el caso de un científico experimental que amañara sus datos para confirmar la hipótesis que desea confirmar.

^[143]SEI Los ejemplos de Newton en D. A. eran más liosos y dependían más del teorema del binomio, donde una equivalencia como z = r x n (donde r es una constante y la n puede ser una fracción o incluso negativa) se puede desarrollar para demostrar que la tasa de cambio de r x n siempre será = nr x n−1. Esto es lo que permite la cadena teóricamente infinita de derivadas sucesivas en las matemáticas superiores. Por ejemplo, la 1ª derivada de, por ejemplo, y = x⁴ es 4 x 3; la 2ª derivada es 12 x 2, y así sucesivamente, de modo que se puede hallar cualquier derivada n-ésima mediante la razón, aunque en el cálculo básico habitualmente no se va mucho más allá de la 2ª derivada.

^[144] Observe, sin embargo, que se tienen que usar el mismo tipo de prácticas dudosas en este cálculo: (1) = (2), que es = (3), punto en el que se supone que t ≠ 0 y se divide para obtener: (4) 2x+ t, donde se supone que t = 0 y se desprecia para obtener: (5) 2x.

^[145] O se puede obtener el mismo resultado tratando z como equivalente a todos los efectos a y en la ecuación (6) de la deducción original.

^[146]SEI Tal como lo articuló Leibniz por primera vez en 1686.

^[147]SEI Por esto, los silabófilos llaman a la integración antidiferenciación.

^[148] En este contexto, realmente el método de los límites es un truco de contabilidad metafísica que convierte la infinitud/infinitesimalidad en una característica del proceso de cálculo más que de las cantidades calculadas. Como debería ser evidente a estas alturas, las leyes normales de la aritmética no funcionan con cantidades de tipo ∞ o infinitésimo, pero al restringirse básicamente a sumas parciales durante el 99% de las operaciones, el cálculo basado en límites permite aplicar esas reglas. Luego, una vez el cálculo básico se ha completado, se «toma el límite» y se deja que t o dx o lo que sea «se aproxime a 0», y se extrapola el resultado. En términos pedagógicos, al estudiante de matemáticas se le pide que suponga que ciertas cantidades son finitas y estables para los propósitos del cálculo, pero luego transformables y pequeñas hasta desvanecerse en la etapa de los verdaderos resultados. Esta contorsión intelectual hace que el cálculo no solo parezca difícil, sino extraña e innecesariamente difícil, lo cual es una de las razones por las que el cálculo es una asignatura tan temida.

^[149]SEI (y quizá no sea buena idea mencionarlo). Hay, de hecho, una manera no trivial de decir lo mismo, pero involucra el análisis no estándar, inventado por un tal Abraham Robinson en la década de 1970 y pretende dar rigor a los infinitesimales en el análisis mediante el uso de los números hiperreales, los cuales a su vez básicamente combinan los números reales y los transfinitos cantónanos. Esto significa que es todo extremadamente teórico-conjuntista y Cantor-dependiente, además de controvertido, y salvajemente técnico, y mucho más allá de los límites de esta discusión… pero parece que para ser rigurosos debemos por lo menos mencionarlo, y quizá recomendar, atendiendo a cualquier ardiente interés por parte de usted, la obra del profesor Abraham Robinson Nonstandard Analysis, Princeton U. Press, 1996.

^[150] Esto probablemente necesita ser explicado en lugar de solo repetido una y otra vez. En el cálculo clásico, la continuidad es tratada esencialmente como una propiedad de las funciones: una función es continua en algún punto p si y solo si es diferenciable en p. Por ello será tan importante el hallazgo de Bolzano y Weierstrass en el siglo XIX de aquellas funciones continuas pero no diferenciables, y por esta razón la teoría de la continuidad en el análisis moderno es ahora mucho más complicada.

^[151]SEI Esto quiere decir principalmente los dos J. Bernoulli y el hijo de J. D., además de Guillaume Fraçois Antoine, marqués de l'Hôpital, que fue mecenas de uno de los J. (es difícil no hacerse un lío con los Bernoulli), todos los cuales florecieron más o menos a principios del siglo XVIII.

^[152]SEI = principalmente los británicos Edmund Halley, Brook Taylor y Colins MacLaurin, también a principios del siglo XVIII.

^[153]SEI Resulta que el obispo George Berkeley (1685-1753, importante filósofo empirista y apologeta cristiano; y un destacado adicto al pleonasmo) hizo una famosa crítica del cálculo clásico justo en esta línea en un tratado del siglo XVIII cuyo título de 64 (sí, 64) palabras empieza con «El Analista…». Sigue un extracto representativo: «Nada es más fácil que concebir expresiones o notaciones para las fluxiones e infinitesimales […] Pero si quitamos el velo y miramos debajo, si, dejando a un lado las expresiones, nos ponemos atentamente a considerar las cosas mismas que se supone que son expresadas o indicadas de ese modo, vamos a descubrir mucha vacuidad, oscuridad y confusión; es más, si no yerro, imposibilidades y contradicciones directas». La invectiva de Berkeley es en cierto modo la revancha del cristianismo contra Galileo y la ciencia moderna (y en realidad es muy divertido de leer con sus excentricidades, aunque esto no tiene nada que ver). Su argumento general es que las matemáticas del siglo XVIII, a pesar de sus pretensiones deductivas, en realidad descansan sobre la fe no menos que la religión, es decir, que «[A]quel que puede asimilar una segunda o tercera fluxión, una segunda o tercera [derivada], no necesita, a mi parecer, ser remilgado con aspecto alguno de la divinidad» (Berkeley en Works, v. 4, págs. 68-69)• Por otro lado, Jean le Rond d'Alembert (1717-1783, gran matemático poscálculo e intelectual todoterreno, y además uno de los primeros proponentes de la idea según la cual «la verdadera metafísica del cálculo debe hallarse en la idea de límite») objeta a los infinitesimales, en los términos estrictamente lógicos de la LTE, en su famosa Encyclopédie que coeditó con Diderot en la década de 1760, como en, por ejemplo: «Una cantidad es algo o nada; si es algo, todavía no se ha desvanecido; si no es nada, se ha desvanecido literalmente. La suposición de que hay un estado intermedio entre esos dos es una quimera» (D'Alembert, Encyclopédie. Traducción semiextractada y editada a partir de Boyer, pág. 450).

^[154] La paradoja de la flecha, como la dicotomía, se discute en el Libro VI de la Física de Aristóteles; también aparece en forma fragmentaria en Vidas y opiniones de Diógenes Laercio.

^[155]SEI No hace falta decir que es algo dudosa la compatibilidad de esta afirmación con las objeciones de Aristóteles a la dicotomía, basadas en series temporales, que vimos en § 2b. Hay modos de reconciliar los dos argumentos de Aristóteles, pero son muy complicados, y < 100% convincentes; y de todos modos se trata de duros asuntos de erudición aristotélica muy lejos de nuestro recorrido.

^[156]SEI Puede revisar la llamada de atención de § 2a sobre la diferencia entre aplicar fórmulas y resolver verdaderamente los problemas, que aquí es plenamente oportuna.

^[157]SEI Respecto a la objeción de D'Alembert a los infinitesimales en la reciente nota 27, es precisamente esta tercera posibilidad lo que resta solidez a su argumento.

^[158]SEI Este es un bonito ejemplo de un caso en que un poco de pensamiento abstracto madrugador horizontal realmente da buen resultado. Una vez estamos levantados y usando nuestras palabras, es casi imposible pensar acerca de lo que significan realmente.

^[159]SEI Observe, por favor, que no es en absoluto lo mismo que la objeción de Aristóteles a «¿Está la flecha […] instante t?». Lo que él piensa que es realmente incoherente es la idea de la premisa (2) de que el tiempo puede estar compuesto de instantes infinitesimales, que es un argumento sobre la continuidad temporal, bajo cuya interpretación la paradoja de la flecha se puede resolver con una simple fórmula de cálculo. Como probablemente ha empezado a ver, Aristóteles consigue de algún modo estar grandiosa y sobrecogedoramente equivocado, siempre y en todas partes, cuando se trata del ∞.

^[160] (no 0)

^[161] Solución que, aunque 100% técnica, por lo menos tiene la ventaja de reconocer que el movimiento-en-un-instante es un concepto que siempre involucra más de un instante (poco más que una ligera reformulación de Sainsbury, pág. 21).

^[162]SEI Como veremos en § 5, básicamente lo que hace Weierstrass es hallar una manera de definir los límites de un modo que elimine lo de «tiende a» o «se aproxima gradualmente». Se había demostrado que expresiones como esas eran vulnerables a confusiones, al estilo de Zenón, acerca del espacio y el tiempo (por ejemplo, «¿se aproxima desde dónde?», «¿cuán rápido?», etc.), además de ser, en general, rebuscadas.

^[163] Este es el problema, y el motivo por el que la relación entre los infinitesimales y la divisibilidad al estilo de Zenón es de algún modo como la relación entre la quimioterapia y el cáncer. La dificultad con cantidades que son menores que 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/n, pero, aun así, mayores que o es que no se puede llegar a ellas dividiendo una y otra vez, del mismo modo que no se puede llegar a un número transfinito sumando o multiplicando números finitos. ∞ y 1/∞ están exentos de todas las paradojas de subdivisión infinita y expansión… aunque, en cierto sentido, son la misma encarnación de dichas paradojas. O sea, que todo el asunto es pero que muy raro.

^[164] En el sentido de intervalo en el tiempo, en el espacio o en la recta real; los tres son terreno de la continuidad.

^[165] Si pegamos «pero más» detrás de cada predicado, los últimos tres párrafos de § 3 b también se pueden aplicar aquí bastante acertadamente.

^[166]SEI Esta dificultad, a pesar de lo que suelen pensar los que han estudiado humanidades, no es a causa de toda la notación de aspecto pesado que puede intimidarnos cuando hojeamos un libro de matemáticas superiores. La notación especial del análisis en realidad solo es una manera muy muy compacta de representar información. No hay tantos símbolos distintos, y en comparación con el lenguaje natural es ridículamente fácil de aprender. El problema no es la notación: es la extrema abstracción y generalidad de la información representada por el simbolismo lo que hace tan difíciles las matemáticas superiores. Con un poco de suerte esto se entenderá, porque es cien por cien cierto.

^[167]SEI Es decir, nuevos resultados no solo en las matemáticas ya establecidas, sino en áreas completamente nuevas de la era poscálculo, incluyendo las ecuaciones diferenciales, varios tipos de series infinitas, geometría diferencial, teoría de números, teoría de funciones, geometría proyectiva, cálculo de variaciones, fracciones continuas, y así sucesivamente.

^[168]SEI Observe que hemos vuelto a lo del árbol.

^[169] Véase en este caso no solo la famosa racionalización de D'Alembert por no tener una definición rigurosa del concepto de límite, «Simplemente siga adelante, y la fe vendrá», sino también esta declaración, hacia 1740, de Alexis-Claude Clairaut (1713-1765, gran fisicomatemático): «[Solía ocurrir que] la geometría, igual que la lógica, debía basarse en el razonamiento formal para rebatir a los quisquillosos. Pero ahora es al revés. Todo razonamiento concerniente a lo que el sentido común conoce de antemano, sirve solo para ocultar la verdad y cansar al lector y actualmente se desprecia» (Clairaut extractado y editado a partir de Kline, págs. 618-619).

^[170] El Alto Mando reconoce: francamente, algunas partes del G. E. II van a ser brutales, y en conjunto esa podría ser la parte más dura de todo el libro, y aquí mismo expresamos nuestro arrepentimiento. Pero en realidad es mejor hacerlo todo aquí en un pasaje denso y sin contexto que tener que ir deteniéndose y dando pequeñas definiciones sin fin, y explicaciones que interrumpan la descripción del verdadero trabajo de las personas. Se intentó de las dos maneras, y Mal₁ < Mal₂.

^[171]SEI Este simbolismo universal para funciones es cortesía del antes mencionado Leonhard Euler, la gran figura predominante de las matemáticas del siglo XVIII.

^[172] = lo que se conoce académicamente como cálculo multivariable, es decir, esencialmente las matemáticas de las superficies en el espacio de 3 dimensiones, f(x, y), o de los sólidos en el espacio de 4 dimensiones, f(x, y, z), etc.

^[173]SEI Lo que sigue era la manera que tenía el doctor Goris de explicar las ecuaciones diferenciales, que resultaba más clara y significativa que la manera llena de fórmulas en que suelen presentarse en los cursos de matemáticas superiores.

^[174]SEI Curiosidad gorisiana: el ideograma japonés original para función significaba, literalmente, «caja para números».

^[175] Por así decirlo.

^[176] Larga historia: por favor, recuerde simplemente que existe algo así.

^[177] Todo esto se puede encontrar en el primer capítulo de la famosa obra de Cauchy Course d'analyse, por ejemplo, para 1/∞ y ∞: «Una cantidad variable se hace infinitamente pequeña cuando su valor numérico decrece de forma indefinida de tal manera que converge al límite 0» (Cauchy, Cours d'analyse algébrique. Traducción extractada, algo editada, a partir de Kline, pág. 951) y «Una cantidad variable se hace infinitamente grande cuando su valor numérico crece de forma indefinida de tal manera que converge al límite ∞» (pero donde, como indica Kline «∞ significa no una cantidad fija, sino algo indefinidamente grande»).

^[178] Otra ventaja de pensar en las ecuaciones diferenciales como metafunciones es que, como las sucesiones/series de funciones son el resultado del desarrollo de las E. D., en cierto modo tiene sentido suponer que lo que surja de tales sucesiones/series será una función.

^[179]SEI Puede saber o recordar de las matemáticas superiores que esto no se parece en nada a la prueba de convergencia general que se enseña hoy. La razón es otra semiequivocación de Cauchy: resulta que se puede demostrar rigurosamente que su 3C original solo es una condición necesaria de convergencia. Una prueba fiable de convergencia también debe proporcionar condiciones suficientes (véase la nota [1.14] y su explicación acerca de condiciones necesarias y suficientes), para lo cual resulta que se necesita una teoría de los números reales, que no estará disponible hasta la década de 1870.

^[180]SEI Respecto a las dos últimas, o en clase de astronomía, puede que haya aprendido algo de la ecuación de onda y de su relación con las funciones de Bessel, que son soluciones particulares de la ecuación de onda expresadas en un tipo especial de sistema de coordenadas 3D.

^[181] que por supuesto son, estrictamente hablando, funciones trigonométricas, de modo que puede usted ver por qué las series trigonométricas son un caso clásico del tema de series de funciones analizado antes en el apartado Ecuaciones diferenciales (b).

^[182] En realidad no hará ningún daño volver al G. E. I y repasar el apartado Series de Fourier otra vez, especialmente lo de las series de Fourier como desarrollos de funciones periódicas. Por ello, las propias series trigonométricas tienden a ser periódicas, en el sentido de que básicamente repiten una y otra vez la misma onda, donde «período» se refiere al tiempo requerido para una oscilación completa, e y = sen x (alias onda senoidal) es una función periódica prototípica. (SEI Si resulta que usted recuerda el término serie oscilante, esa es una cosa totalmente distinta que no tiene nada que ver, y debería eliminarse de la memoria durante el resto de este libro).

^[183] Larga historia, que se desarrolla más o menos a lo largo de los siguientes § .

^[184] No pregunte.

^[185]SEI Una función monótona, por otro lado, es una función cuya primera derivada no cambia de signo +/−, independientemente de si la derivada es continua o no. (Es bastante seguro que no vamos a tener que tratar con funciones monótonas, aunque el análisis weierstrassiano tiende a necesitarlo casi todo).

^[186]SEI La forma nominativa inglesa se traduciría directamente como «monotonicidad» [aunque en español suele usarse simplemente el término «monotonía». (N. del t.)].

^[187] Aquí quiere decir un punto en el dominio de f(x).

^[188] Los detalles siguientes son SEI.

^[189]SEI Esta es la misma c de la ecuación de onda: se define como «la velocidad de propagación de la onda» o algo parecido

^[190]SEI Por alguna razón, este es un período de la historia en el que casi todos los matemáticos importantes son franceses o suizos. El siguiente siglo lo van a dominar los alemanes. No hay una buena explicación de esto en la literatura. Quizá las matemáticas son como la geopolítica o los deportes profesionales, con distintas dinámicas que siempre están desarrollándose y decayendo.

^[191] Lo cual (otra vez, y como el doctor Goris en persona solía repetir y enfatizar porque decía que si no captábamos esto nunca entenderíamos cómo se relacionaban el P. C. V. y la ecuación de onda con las series trigonométricas) es lo mismo que una curva.

^[192]SEI 1802-1829; él y Évariste Galois son los dos grandes prodigios trágicos del siglo; larga, triste historia; ejerció (Abel) una influencia póstuma especialmente fértil en Karl Weierstrass.

^[193]SEI Curioso añadido al misterio de la nota 26. Muchos matemáticos franceses preeminentes de esta época también eran nobles: Laplace un marqués, LaGrange un conde, Cauchy un barón, y así sucesivamente. Algunos de estos títulos fueron concedidos por Napoleón I. En todo caso, el de Fourier lo fue: su padre era sastre.

^[194] Breve versión de la historia tras la f(x) discontinua de Fourier: aparentemente, cuando un cuerpo adquiere calor, su temperatura se distribuye no de manera uniforme, en el sentido de que partes distintas tienen temperaturas distintas en momentos distintos. Es en la distribución del calor en lo que Fourier está realmente interesado.

^[195] Es decir, como área o suma de áreas.

^[196] Esta E. D. parcial se conoce comúnmente como la ecuación de difusión, la cual, como usted puede observar, se parece a la ecuación de onda. Es precisamente dicho parecido lo que las series de Fourier pueden explicar, matemáticamente hablando.

^[197] Puesto que en el G. E. I prometimos apartarnos de los coeficientes de Fourier, las cinco siguientes líneas de texto están clasificadas como SEI.

^[198] Aquí es mejor pensar en las funciones discontinuas como funciones que no pueden ser expresadas mediante una única ecuación de tipo «y = f(x)». Véase un párrafo más adelante en el texto principal.

^[199] Expresión analítica significa básicamente lo de «y = f(x)». Otra manera de enunciar lo que dice el texto principal es que Fourier interpreta una función denotativamente, es decir, como un conjunto de correspondencias específicas entre valores, más que connotativamente como el nombre de la regla que genera la correspondencia. Lo cual, como veremos en el siguiente §, es una manera muy moderna de pensar en las funciones.

^[200] Realmente no hay nada que se pueda hacer respecto a la frase anterior excepto disculparse.

^[201]SEI Véase § 1d.

^[202]SEI Recuerde, por ejemplo, el truco de Euler con   en § 3a, o ya puestos todo el asunto de la serie de Grandi.

^[203] Observación importante: la última frase de Abel es solo un rodeo para decir «inducción».

^[204]SEI Ni tampoco se puede demostrar dicha equivalencia mediante cálculos, ya que, por supuesto, tanto √2 como √3 representan decimales infinitos. En la nomenclatura del análisis, no se puede demostrar que el producto de las sumas de las series infinitas de esos dos decimales converja hacia la suma correspondiente a √6.

^[205]SEI Dicho trabajo es de Joseph Liouville y de Charles Hermite (más franceses). Respecto a todo el asunto de algebraico-o-irracional-trascendente, véase o recuérdese la nota de § 3a. También hay algo más acerca de la demostración de Liouville más adelante en § 7c.

^[206] Otra cita ejemplar en esa línea es de Eric Temple Bell: «Si Cantor hubiera sido educado como un ser humano independiente, nunca habría adquirido la tímida deferencia respecto a los hombres de reputación establecida que hizo desdichada su vida» (Bell, pág. 560).

^[207]SEI Se cita a menudo otro intercambio de cartas, con todas las rarezas y cursivas sic: Georg W. → Georg Jr.: «… Acabo con estas palabras: tu padre, o más bien tus padres y todos los demás miembros de la familia tanto en Alemania como en Rusia y en Dinamarca tienen sus ojos puestos en ti como el mayor, y esperan que seas nada menos que un Theodor Schaffer [profesor de G. C. Jr.] y, Dios mediante, después quizás una brillante estrella en el horizonte de la ciencia». Georg Jr. → Georg W.: «… Ahora soy feliz de ver que ya no va a disgustaros que siga mis propios sentimientos en esta decisión. Tengo la esperanza de que estaréis orgullosos de mi algún día, querido padre, pues mi alma, todo mi ser vive por mi vocación; sea lo que sea lo que uno quiere y es capaz de hacer, sea lo que sea hacia lo que una voz secreta, desconocida [?!] le llama, aquello será lo que llevará a cabo con éxito! (Dauben, GC, págs. 275-277)».

^[208]SEI Baste decir que las definiciones y resultados de Bolzano acerca de la continuidad que vimos en §3c se pueden extender, sin más que unos pequeños ajustes, al concepto de convergencia de una serie.

^[209] SEI del G. E. II, apartado E. D. (b), interpolación.

^[210] SEI Esto es 1826. El contraejemplo específico de Abels es la serie    que resulta ser el desarrollo en serie de Fourier de y = π/2 en el intervalo −π < x < π y es, con mucho, convergente, pero su suma es discontinua para x = π(2n + 1), donde n es un entero.

^[211]SEI Prueba que todavía se usa en la actualidad, y puede que la haya estudiado. Si no lo hizo, aquí está para que pueda ver el verdadero aspecto de una de esas cosas: supongamos que c_n(x) es una sucesión de funciones en algún intervalo [a, b]. Si (1) la sucesión se puede reescribir en la forma c_n(x) = a_nf_n(x), y si (2) la serie ∑a_n es uniformemente convergente, y si (3) f_n(x) es una sucesión monótona decreciente tal que f_n−1(x) ≤ f_n(x) para todo n, y si (4) f_n(x) es acotada en [a, b], entonces (5) para todo x en [a, b], la serie ∑c_n es uniformemente convergente. [Si el requisito (2) de que ∑a_n sea uniformemente convergente le parece extraño/circular, sepa que un truco habitual de las matemáticas puras es tomar una propiedad de algo en un caso simple o fácil de demostrar (siendo ∑a_n la parte más simple, con mucho, de la descomposición de c_n(x) en (1)) y usarlo para demostrar que la misma propiedad se cumple para un ente mucho más complicado. De hecho, ese mismo truco es clave para la inducción matemática, una técnica de demostración 100% respetable que hará su aparición en § 7].

^[212]SEI Por favor, vea o recuerde la nota 15 de §5a.

^[213]SEI De nuevo, también conocidas como puntos excepcionales.

^[214]SEI = 1837, en un artículo cuyo encantador título es: «Über die Darstellung ganz willkürlicher Functionen durch Sinus und Cosinusreihen», cuya traducción viene a ser «Sobre la representación de funciones completamente arbitrarias mediante series de senos y cosenos». (Es impresionante cómo los matemáticos de esta época parece que saben escribir tanto en francés como en alemán, según la revista a la que envían el artículo).

^[215] En el sentido de que ahora, en el análisis, una función en realidad no es ni una cosa ni un procedimiento, sino más bien solo una correspondencia entre dos conjuntos, llamados dominio y recorrido.

^[216] Deberíamos mencionar que Fourier, Cauchy y Dirichlet trabajaban de manera habitual con funciones de la física matemática, que tienden a ser comparativamente simples y de buen comportamiento.

^[217]SEI Justo aquí se vislumbra de verdad, por primera vez, cómo el análisis avanzado da lugar a las matemáticas transfinitas.

^[218] Uno duda de si entrar en esto, pero, de hecho, la versión riemanniana de la geometría no euclídea —a veces conocida como «geometría diferencial general», y que se remonta a 1854 (un excelente año para Riemann)— constituye un vector de explicación completamente distinto de por qué en el siglo XIX se hacen necesarias las teorías rigurosas sobre los números reales y el ∞. Es ligeramente tangencial, y brutalmente abstracto, y será mayoritariamente omitido excepto aquí. De forma muy simplificada, la geometría de Riemann involucra (a) el plano complejo de Gauss (es decir, una malla cartesiana que tiene números reales en un eje y números imaginarios en el otro eje) y (b) algo llamado una esfera de Riemann, que se puede concebir básicamente como un plano euclidiano 2D curvado en forma de bola y puesto encima del plano complejo. Esta nota no es técnicamente SEI, pero puede usted detenerse en cualquier momento. Lo que relaciona la geometría de Riemann con la antes mencionada geometría proyectiva de Desargues es que cada punto de la esfera de Riemann tiene una «sombra» en el plano complejo, y las relaciones trigonométricas creadas por esas sombras resultan ser terriblemente fecundas, en términos de Por ejemplo, una recta en el plano complejo es la sombra de algo llamado un círculo máximo en la esfera de Riemann, es decir, un círculo cuya circunferencia pasa por el polo norte de la esfera de Riemann, polo definido, literalmente, como «punto del ∞». De hecho, la propia esfera de Riemann se puede definir como «el plano complejo con un punto en el ∞», algo conocido también como plano complejo ampliado. El 0 es el polo sur de la esfera de Riemann, e ∞ y 0, en términos geométrico-diferenciales, son inversos el uno del otro (porque tomar el inverso de un número en el plano complejo es equivalente a darle la vuelta a la esfera de Riemann: larga historia). Así que en la geometría de Riemann, «0 = 1/∞» y «∞ = 1/0» no solo son legales: son teoremas. Detendremos aquí la discusión específica y esperaremos que tenga sentido a grandes rasgos. Algo importante que conviene saber: no es ningún accidente que el símbolo del plano complejo ampliado sea «C_∞» mientras que el símbolo más famoso de Cantor para el conjunto de todos los números reales (alias el continuo, que como veremos es básicamente el 2º orden matemático de ∞) es «c». Hay todo tipo de conexiones fascinantes entre la geometría riemanniana y la teoría de conjuntos cantoriana, la mayor parte de las cuales están desafortunadamente más allá de lo que nos hemos propuesto explicar.

^[219]SEI En esta época, todos los participantes de primera línea en la creación de las matemáticas transfinitas están vivos, y la mayoría matemáticamente en activo. En 1854, Riemann tiene veintiocho años; Dedekind, veintitrés; Weierstrass tiene treinta y nueve; y L. Kronecker, treinta y uno. El todavía no mencionado Heine tiene treinta y tres. Cantor tiene nueve años y está tocando el violín ante la atenta mirada de Georg W.

^[220]SEI El largo título de este artículo empieza con «Über die Darstellbarkeit…» (=«Sobre la representabilidad…»). En realidad era más como una segunda tesis doctoral que una monografía profesional (larga historia), y los manuscritos circularon entre los matemáticos hasta que finalmente Dedekind hizo posible su publicación tras la muerte de Riemann.

^[221]SEI Para los incondicionales y/o con fuerte preparación, o quizá si solo quiere usted recrearse algo más en la simbología del análisis: Riemann deduce su f(x) tomando una serie trigonométrica estándar e integrando cada término dos veces, dando:

y logra demostrar que esta serie trigonométrica es convergente siempre y cuando

 se comporte en cierto modo especial (modo del cual, una vez más, no podemos hablar por carecer de las herramientas conceptuales adecuadas, pero no son dudosas ni extrañas, solo muy técnicas).

^[222]SEI como se ha definido en G. E. I.

^[223]SEI Más premoniciones: la primera y la última de estas cuestiones serán lo que el trabajo temprano del propio Cantor intente contestar, y es dicho trabajo lo que le lleva al ∞ per se.

^[224]SEI Las partes precedentes aparecen en las págs. 55 y 59.

^[225]SEI N. B. Tenga en cuenta, sin embargo, que las Hochschulen técnicas alemanas eran instituciones extremadamente autoritarias desde el punto de vista actual, y que el cálculo y el análisis básico eran asignaturas obligatorias. (Pero los salarios de los profesores eran legendariamente bajos).

^[226] El estudiante que sí tomó notas a escondidas y a quien se debe principalmente que ciertas teorías de Weierstrass sobre funciones fueran conocidas fue un tal Gösta Mittag-Leffler (1846-1927), quien más tarde puso en marcha la famosa revista especializada Acta Mathematica y publicó el trabajo de Cantor sobre el ∞ cuando la mayoría de las revistas de matemáticas todavía lo consideraban una locura. Históricamente, Mittag-Leffler es considerado como el segundo matemático que más correspondencia mantuvo con Cantor, después de Dedekind.

^[227]SEI Principalmente, las integrales elípticas son generalizaciones de funciones trigonométricas inversas. Tienden a aparecer en todo tipo de problemas físicos, del electromagnetismo a la gravedad. Si las ve usted en una clase de matemáticas, habitualmente es en conjunción con Adrien Marie Legendre (otro de los franceses de principios del siglo XIX), que fue para las integrales elípticas lo que Fourier para las series trigonométricas, y desarrolló las «integrales elípticas de Legendre de 1ª, 2ª y 3ª especie». (SEI₂ Si, casualmente, sabe que Riemann también trabajó mucho con las I. E. y ciertas integrales asociadas en el cálculo de variaciones, sepa que no vamos a entrar en nada de esto).

^[228] Es casi seguro que en el G. E. I se mencionó que las series de Fourier se pueden entender como sumas de series de potencias.

^[229] Por razones que se harán evidentes, esta definición tan tecnificada no es SEI.

^[230] El Alto Mando reconoce: lo que sigue va a ser mucho menos formal/riguroso que la explicación del propio doctor Goris acerca de la definición. Buscamos una explicación que resulte comprensible al máximo en términos del vocabulario y los conceptos desarrollados hasta ahora en el libro.

^[231] Hablando 100% técnicamente, la definición de Weierstrass «para cada … existe … tal que» en realidad está formulando una relación de implicación en el cálculo de predicados de primer orden, que es una lógica de un tipo más elaborado que usa cuantificadores como ∀ y ∃. Excepto por uno o dos comentarios en § 7, sin embargo, este libro no entra en el cálculo de predicados, de modo que aquí estamos simbolizando la relación entre los ε y δ de la definición como una conjunción lógica. Para nuestros propósitos de dar demostraciones ilustrativas eso será suficiente: los valores «cierto»/«falso» relevantes resultan ser los mismos.

^[232]SEI Curiosidad: esta técnica de Weierstrass resulta tan significativa que una gran cantidad de demostraciones posteriores en el análisis y la teoría de números usan la formulación «Para cada ε, existe un…», para la cual el llamativo término (en inglés) es epsilontic proof («demostración epsilóntica»).

^[233]SEI Su prueba de convergencia uniforme, conocida como prueba M de Weierstrass, todavía se enseña en las clases de análisis.

^[234] Por ejemplo, una serie de Fourier.

^[235]SEI Curiosidad histórica: la contribución de Weierstrass a este teorema en realidad es parte de su intento infructuoso de definir los números irracionales: véase § 6a más adelante.

^[236] Esencialmente, esto consiste en reformular el concepto de convergencia hacia un límite en términos de conjuntos de puntos e intervalos de la R. R. Ejemplo de Shaughan Lavine: «1 es un punto límite del conjunto {0, ½, ³/₄, ⁷/₈, K}. Intuitivamente uno ve que los elementos del conjunto se aglomeran junto a 1» (semiextractado de Lavine, pág. 38). Admitimos que no es una definición totalmente rigurosa de punto límite, pero ciertamente es lo relevante. Observe aquí también que el punto límite de una sucesión infinita es un punto tal que cada intervalo a su alrededor contiene un número infinito de términos de la sucesión: o sea, que funciona más o menos del mismo modo, lo cual resultará relevante en § 7a.

^[237]SEI Una consecuencia directa del teorema de Bolzano es algo habitualmente llamado el teorema de los valores intermedios (T. V. I.), que es una pieza básica de la teoría de funciones y dice esencialmente que si una f(x) es continua en [a, b] y tal que f(a) = A y f(b) = B, entonces f(x) toma todos los valores posibles entre A y B. Si definimos la función continua como f(x) = 2x, [a, b] como [0, 1] y [A, B] como [0, 2], entonces puede usted ver que un primer ejemplo del T. V. I. es la demostración de Bolzano en § 3c acerca de la correspondencia uno a uno entre [0, 1] y [0, 2]. A su vez, esto podría aclarar por qué el teorema de Bolzano requiere una teoría de los números reales, pues «todos los posibles valores entre A y B» no van a ser una cantidad que podamos verificar contando.

^[238]SEI También en lo del G. E. I acerca de Límites y cotas.

^[239]SEI Ciertamente, en lo que respecta al mundo real, es el paradigma de una función.

^[240] Lo que sigue es, de nuevo, muy informal, y hecho a medida para trabajar con los conceptos de lógica y matemáticas que hemos preparado hasta ahora. (SEI Una respuesta 100% rigurosa pondría en práctica la definición weierstrassiana del límite de una sucesión infinita, que es una forma algo diferente de demostración epsilóntica, y hemos decidido no dedicar otra interpolación a desarrollar eso. Para lo que pretendemos hacer, la definición del límite de una función funcionará perfectamente).

^[241] En el sentido de que n «va hacia» el ∞ igual que la sucesión de enteros 1, 2, 3,… (SEI ¿Hemos mencionado antes en § 2 el asombroso parecido entre la dicotomía revisada y la propiedad de exhaustación de Eudoxo?)

^[242] Como quizá ya sabe, este adjetivo viene de «orden», y número ordinal significa el 1.er número, el 2º número, el 3^er número, etc., a diferencia de los números cardinales 1, 2, 3, etc. En otras palabras, la ordinalidad concierne a dónde está el número en una secuencia dada más que a qué es. La distinción cardinal-ordinal resulta tener una mastodóntica importancia en la teoría de conjuntos cantoriana, respecto a lo cual véase como pequeño adelanto lo que dice Russell: «En su teoría [del ∞], es necesario tratar de manera separada los cardinales y los ordinales, los cuales son mucho más distintos en sus propiedades cuando son transfinitos que cuando son finitos» (Russell, Principies of Mathematics, pág. 304).

^[243]SEI Esto, por supuesto, es lo mismo que demostrar que 0 es el límite de 1/2ⁿ  cuando n = 1, 2, 3,… Usamos la función 1 - 1/2ⁿ para una máxima claridad respecto a la dicotomía.

^[244] El primer matemático en indicar esto: el profesor Georg Cantor.

^[245]SEI Extraña curiosidad: casi todos tos grandes filósofos de la historia fueron solteros toda su vida. Heidegger es la única verdadera excepción. En el caso de tos grandes matemáticos hay más o menos un 50% de casados, aún por debajo de la media de la población. No hay registro de una explicación concienzuda: puede elaborar usted sus hipótesis.

^[246]SEI = «Stetigkeit und irrationale Zahlen», cuya traducción al inglés está en la obra de Dedekind Essays on the Theory of Numbers. Véase la Bibliografía. (Observemos también aquí que, a pesar de su profundidad, el artículo de Dedekind es claro y accesible y raramente requiere nada más que matemáticas de bachillerato. En esto no es como tos materiales de Cantor, que tienden a ser casi medusianos en su lenguaje y simbolismo).

^[247] Weierstrass, por otro lado, estaba interesado principalmente en la continuidad desde la perspectiva de las funciones, la cual en definitiva depende de la continuidad aritmética (como indica Kline al principio de § 6a) pero sigue siendo harina de otro costal.

^[248] En caso de que parezca circular o cuestionable que Dedekind use la recta numérica geométrica para una teoría no geométrica de la continuidad, sepa que la R. N. es soto un recurso ilustrativo, y que más adelante, en Continuidad y números irracionales, lo abandonará y hablará de «cualquier sistema ordenado» de números. Incluso al introducir la recta, Dedekind subraya que: «[S]erá necesario indicar claramente las propiedades puramente aritméticas correspondientes para evitar incluso la apariencia de que la aritmética esté necesitada de ideas ajenas a ella» Dedekind, pág. 5 (sintaxis sic).

^[249]SEI Este artículo, aparecido en la década de 1880, consiste íntegramente en 171 teoremas y demostraciones + 1 «Comentario Final». Aquí mismo le ahorramos el título en alemán. La versión inglesa es la otra mitad del libro Essays mencionado en la nota 3 anterior.

^[250] = del alemán Gedankenwelt, literalmente «mundo del pensamiento».

^[251] En el sentido matemático, aunque en la demostración no está claro si el «sistema infinito» S de Dedekind está representado como un ente estrictamente matemático o como un ente más general del tipo de una «forma» platónica, lo cual es otro problema de este argumento.

^[252]SEI Quizá recuerde que la demostración de § 2e, basada en q + ½(p - q), para ver que entre dos puntos racionales siempre hay un tercero, involucraba distancias en la recta numérica, lo cual podría parecer un poco circular en el presente contexto. En este caso, aquí está una fórmula 100% aritmética para encontrar el valor medio. Tome dos números racionales expresados como fracciones con denominador común y numeradores sucesivos, por ejemplo, ⁴¹/₇₇ y ⁴²/₇₇, y doble los cuatro números que intervienen. Así se crea automáticamente espacio para un número entero entre los nuevos numeradores, puesto que ahora tenemos ⁸²/₁₅₄ y ⁸⁴/₁₅₄, de modo que podemos insertar el valor medio ⁸³/₁₅₄.

^[253]SEI Un algoritmo que encontrarán divertido las personas que encuentran divertido este tipo de cosas: cualquier número racional expresado en forma decimal finita o periódica se puede poner en forma fraccionaria p/q mediante (a) la multiplicación del decimal por 10n, donde n = el número de dígitos en el período del decimal (por ejemplo, el período de 0,111111… tiene un solo dígito y es 1; el período de 876,9567567567567… tiene tres dígitos y son 567), después (b) la sustracción del decimal original de la cantidad obtenida en (a), después (c) la división del resultado por (10"− 1), y después (d) la simplificación del resultado eliminando los posibles factores comunes. Ejemplo: x = 1,24242424…, luego n − 2; luego 10n = 100.

Así, x = 123/99, que simplificando da: x = 41/33.

^[254] El verbo que usa aquí el propio Dedekind es geschnitten (n. = schnitt), que parece poder denotar cualquier cosa desde rebanar hasta partir: una palabra muy concreta y física, y bastante más divertida de pronunciar que «corte».

^[255]SEI La traducción al inglés de «Continuidad y números irracionales» usa «classes» (esp. «clases»), que era el término matemático original para los conjuntos. Cantor, Russell y demás tienden a decir «clase», aunque en realidad Cantor a veces también usa palabras que se pueden traducir como «multiplicidad», «variedad» o «agregado». Decisión del Alto Mando: de aquí en adelante solo vamos a usar «conjunto».

^[256]SEI Si está regresando desde capítulos posteriores, observe lo mucho que se parece esto al material cantoriano, en § 7c y posteriores, acerca de los órdenes de los conjuntos infinitos.

^[257]SEI El verdadero ejemplo de Dedekind en «C. y N. I.» es más abstracto y usa el hecho de que si D es un entero positivo que no es el cuadrado de ningún entero, entonces existe un entero positivo λ tal que λ² < D < (λ + 1)², lo cual ahora resulta ser un teorema básico de la teoría de números. Dedekind quiere una demostración totalmente abstracta y general porque su verdadero objetivo es: «demostrar que existe una infinidad de cortes no producidos por números racionales». Su propia demostración, sin embargo, resulta demasiado compleja y con demasiada teoría de números para nuestros propósitos, así que solo usaremos √2 y le pediremos que confíe en que este resultado se puede ampliar para cubrir todos los irracionales (que puede).

^[258]SEI Vea o recuerde la demostración de la incomensurabilidad de D/S

^[259]SEI De aquí la definición de número irracional que daba el doctor Goris en clase: «schnitt sandwich», que obviamente tenía mucho éxito entre los adolescentes.

^[260] Respecto a la pág. 191: que los puntos de la recta real pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de todos los números reales es lo que ahora se conoce como el axioma de Cantor-Dedekind.

^[261]SEI En el lenguaje de la lógica, una disyunción es verdadera si por lo menos uno de sus términos es verdadero.

^[262] Este es el término de Dedekind para las magnitudes geométricas.

^[263] glups

^[264]SEI Una diferencia, relacionada con esto, entre Eudoxo y Dedekind es la concepción que tienen de los conjuntos infinitos de sus respectivas teorías. Recuerde de § 2d que la propiedad de exhaustación de Eudoxo involucra conjuntos infinitos en el sentido de secuencias infinitas de restos-de-sustracciones, excepto, por supuesto, que aquí las sustracciones son a partir de magnitudes geométricas y el ∞ es solo potencial. Recuerde, por ejemplo, de la pág. 88, la Propiedad I del Libro X de los Elementos:   que es como el análisis pre-Dedekind habría tratado los restos de la exhaustación. Matemáticamente y metafísicamente, la visión de Dedekind es exactamente opuesta a la de Eudoxo. Dedekind considera los puntos/líneas geométricos de su propia teoría como únicamente teóricos e ilustrativos: no importa si se podría construir realmente una recta numérica completa o medir las longitudes exactas necesarias para aislar el punto √2. Lo que importa —y para Dedekind son reales, pues después de todo «Los números son creaciones libres de la mente humana» y la existencia matemática es «un resultado inmediato de las leyes del pensamiento»— son los conjuntos infinitos A de todos los x² < 2 y B de todos los x² > 2. Son estos ∞, y no ninguna cantidad o figura geométrica, los que son fundamentales para la teoría de Dedekind.

^[265] El otro gran relato apócrifo sobre Kronecker concierne a su reacción cuando Ferdinand Lindemann demostró en 1882 que π era un irracional trascendente (demostración que finalmente clavó una estaca en el corazón del viejo problema griego de la cuadratura del círculo). Según el relato, en un congreso, Kronecker se dirigió espontáneamente a Lindemann y dijo, muy seriamente: «¿De qué sirve su adorable demostración sobre π? ¿Por qué malgastar su tiempo con problemas como este, si los irracionales ni siquiera existen?» (semiextractado de Kline, pág. 1.198). No hay constancia de la reacción de Lindemann. Perfil rápido de Leopold Kronecker l'homme: fechas de nacimiento y muerte ya dadas. Uno de los muy escasos matemáticos de primera fila que también fue un gran hombre de negocios. Kronecker hace tal fortuna en operaciones bancarias que a la edad de treinta años puede retirarse y dedicar su vida a las matemáticas puras. Se convierte en profesor en la Universidad de Berlín, el Harvard de Alemania, donde también había sido un alumno estrella. Desde el punto de vista de su investigación, es principalmente un algebrista, siendo su especialidad los cuerpos de números algebraicos, que son una larga historia. También lo es su más famoso descubrimiento, la función delta de Kronecker, que en cierto modo anticipa las matemáticas binarias de la digitalización moderna. Un buen gimnasta y alpinista, Kronecker no mide más de 1,65 m, es ágil y muscular, siempre inmaculadamente peinado, vestido y arreglado. Lo de los 1,65 m no es broma. De modales corteses, aparentemente, aunque es una verdadera piraña en las matemáticas y la política académica. Muy activo y bien relacionado en toda la comunidad matemática, el tipo de colega que más vale no tener como enemigo porque está en todos los comités y consejos editoriales posibles. Principal aliado: el teórico de números Erns Eduard Kummer. Principal enemigo pre-Cantor: el antes mencionado, alto, arrugado, flegmático Karl Weierstrass. Las descripciones de los debates entre Kronecker y Weierstrass a menudo evocan la imagen de un chihuahua rabioso persiguiendo a un dogo. Motivos de la antipatía: (1) La especialidad de Weierstrass son las funciones continuas, que Kronecker considera ilusorias y perversas; (2) Kronecker cree que el programa de Weierstrass de aritmetización del análisis se queda muy corto. Gran sueño de Kronecker: basar todo el análisis en los enteros. La ontología matemática ultraconservadora de Kronecker se considera ahora como la precursora del intuicionismo y el constructivismo, aunque no tuvo otros adherentes hasta Poincaré y Brouwer, todo lo cual se desarrolla extensamente en § 7.

^[266]SEI Al doctor Goris le gustaba decir que Weierstrass, Dedekind y Cantor formaban su propia serie convergente especial, donde por turnos cada uno proporcionaba a los demás justo lo que necesitaban para que sus avances fueran viables.

^[267] Hay, no hace falta decirlo, matemáticos de finales del siglo XIX para los que nada de esto resulta convincente. Kronecker es solo uno de ellos.

^[268] = algo así como «Sobre la extensión de una proposición de la teoría de series trigonométricas», que es el primer artículo importante de Cantor y ocupará buena parte de los dos siguientes § .

^[269]SEI Curiosidad gorisiana: Brunswick es más conocido por su inexplicablemente popular sándwich Braunschweiger, que es un poco como paté que se ha dejado solidificar en la punta del pie de una vieja zapatilla de gimnasia. En nuestra clase (para obtener puntos extra), durante la lección sobre Dedekind y Cantor, todo el mundo estaba invitado a probar un poco, encima de una galleta salada.

^[270] Algo más relevante para nosotros es que la teoría de Cantor de los irracionales simplemente no es tan buena como la de Dedekind. Esta última es más simple y más elegante y (bastante irónicamente) hace mejor uso de los conjuntos de tipo.

^[271]SEI Probablemente notará algunas notables similitudes entre el material sobre fracciones decimales y lo explicado en § 5e(1) sobre la aproximación de números racionales mediante series de potencias convergentes de otros racionales. En cualquier caso, concedamos una vez más que si buscáramos el rigor técnico más que la comprensión general, todos estos tipos de conexiones se seguirían/discutirían a fondo, aunque, por supuesto, entonces el libro entero sería mucho más largo y difícil, y el nivel requerido de preparación-y-paciencia-del-lector, mucho más alto. O sea, que es una serie continua de compromisos.

^[272]SEI Seguramente es innecesario insistir una vez más en que una serie es solo un tipo particular de sucesión.

^[273]SEI Si ha notado el parecido de esto con la condición de convergencia de Cauchy de § 5a (véase G. E. II, Ecuaciones diferenciales (b)), puede entender por qué Cantor no dice que la secuencia de a define un número real si y solo si converge de esa manera, sino meramente si converge.

^[274] Naturalmente, esto solo es cuestión de notación. En el verdadero «Über […] Reihen», Cantor sigue el programa de Weierstrass y evita «tiende a»/«se aproxima a», prefiriendo el bueno y viejo pequeño épsilon; así, técnicamente, el límite de la secuencia se define mediante la regla de que para cualquier ε dado, no más de un número finito de términos sucesivos de la sucesión pueden dejar de diferir entre sí en un valor m tal que m < ε.

^[275]SEI Es decir, si la sucesión tiene un comportamiento constante a partir de cierto punto, y a partir de entonces todos sus términos tienen exactamente el mismo valor, la sucesión define dicho valor.

^[276] Infinitas, de hecho, aunque la demostración es demasiado elaborada para que entremos en ella.

^[277] De nuevo, cuestión de notación. Lo mismo respecto al final de la frase.

^[278] de nuevo, fuera de cuadro: desarrollarlo costaría varias páginas y otro glosario de emergencia entero. Vamos a dedicar un tiempo más que suficiente a las demostraciones formales de Cantor sobre ∞ en § 7, de todos modos.

^[279]SEI Algunos historiadores de las matemáticas usan «constructivismo» para referirse también al intuicionismo, o viceversa, y a veces, operacionalismo para referirse a ambos —además está el convencionalismo, que es a la vez similar y algo distinto—, es decir, que puede resultar todo extremadamente complicado y desagradable. Por ello, de aquí en adelante, vamos a clasificar las diversas escuelas e ideologías de la manera más simple que sea posible. (Por favor, observe también que de toda la controversia intuicionista no vamos a discutir nada más que lo directamente relevante para nuestra misión. Para los lectores especialmente interesados en el debate metamatemático que empieza con Kronecker y termina con las demoliciones de fundamentos por Gödel en la década de 1930, nos complace recomendar la obra editada por Paolo Mancuso From Brouwer to Hilbert, también Introduction to Metamathematics de Stephen C. Kleene, y/o Philosophy of Mathematics and Natural Science de Hermann Weyl; todos ellos están en la Bibliografía).

^[280] Aquí hay una interesante coincidencia lingüística en la idea kroneckeroide de demostración constructiva. Aparte de tener connotaciones literales como «que involucra una construcción real», la palabra «constructivo» puede significar «no destructivo». Como algo positivo más que negativo, edificante más que rupturista. El principal tipo de demostración destructiva resulta ser la reducción al absurdo; y, ciertamente, el constructivismo no considera la reducción al absurdo como un procedimiento de demostración válido. La verdadera razón, sin embargo, es que la reducción al absurdo depende en términos lógicos de la ley del tercero excluido, en virtud de la cual (como recordará de § 1c) toda proposición de tipo matemático es, formalmente hablando, o bien verdadera, o bien falsa. Los constructivistas (en especial el seco y extremadamente excéntrico Luitzen Brouwer) rechazan la LTE como un axioma formal, principalmente porque la LTE no se puede demostrar constructivamente; es decir, no existe formulación alguna de un procedimiento de decisión mediante el cual se pueda verificar, para cualquier proposición P, si P es verdadera o falsa. Además, hay todo tipo de hipótesis matemáticas importantes —por ejemplo, la conjetura de Goldbach, la irracionalidad de la constante de Euler, y la hipótesis del continuo del propio Cantor— que o bien no se pueden demostrar todavía, o bien se puede demostrar que son indemostrables sin la LTE. Etc. [Observe, SEI, que por estrafalario o fundamentalista que pueda sonar el constructivismo, no está desprovisto de influencia y valor. El énfasis de dicho movimiento en los procedimientos de decisión fue importante para el advenimiento de la lógica matemática y el diseño de ordenadores, y su rechazo de la LTE es en parte motivo de que el intuicionismo se considere como el antecedente de la lógica multivaluada, incluyendo la lógica difusa hoy tan vital para la inteligencia artificial, la genética, los sistemas no lineales, etc. (SE muy I respecto a esto último, los lectores con cierta hipertrofia de preparación matemática y mucho tiempo disponible deberían ver la obra de Klir y Yuan Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications, cuyos datos también están en la Bibliografía)].

^[281] Aunque, para ser justos, en realidad no es su terreno.

^[282]SEI Hay más detalle/contexto acerca de esa definición más adelante, en § 7a. Por ahora, un buen ejemplo de un conjunto sería el conjunto de todos los números irracionales, especialmente tras ver a Dedekind explicar un procedimiento muy definido para determinar si cualquier número dado es irracional o no.

^[283]SEI Más específicamente en ecuaciones indeterminadas y formas ternarias, temas de teoría de números algebraica en los que Kronecker está interesado. (¿Hemos mencionado que Kronecker fue el director de tesis de Cantor? ¿Y que es habitual que los jóvenes matemáticos trabajen en problemas propuestos por su director de tesis? Véase también la inminente explicación sobre la continuación por Cantor de la demostración de Heine).

^[284]SEI El sistema académico alemán del siglo XIX es bastante indescifrable.

^[285]SEI = un tipo particular de ecuación diferencial parcial que quizá recuerde de las matemáticas de segundo curso de carrera, probablemente en el contexto del teorema de Green.

^[286] Lo cual, como quizá recuerde del G. E. II, de su apartado Convergencia Uniforme y secretos asociados, significa que la f(x) que la serie representa (= suma) tiene que ser continua. ( SEI La verdadera demostración de Heine requiere que la serie y la función sean uniformemente convergentes y continuas «casi en cualquier punto», lo cual implica distinciones tan finas que podemos ignorarlas sin distorsión alguna).

^[287]SEI Es decir, el mismo artículo en el que, como vimos en § 6e, presenta su teoría de los números reales (y cuyo título probablemente ahora resultará más comprensible).

^[288]SEI Véase el apartado Convergencia uniforme y los secretos asociados, del G. E. II, sección (d) en lo que respecta a puntos excepcionales, los cuales, recuerde por favor otra vez, también pueden llamarse «discontinuidades». (N. B.: En algunas clases de matemáticas también se usa el término singularidad, lo cual es a la vez confuso e intrigante, pues dicho término también se refiere a los agujeros negros, que en cierto sentido es lo que las discontinuidades son).

^[289] Es importante recordar, en toda esta sección, que para nosotros son la misma cosa.

^[290] Véase § 5e, el texto de la pág. 178 y la nota 72.

^[291] C.f. Cantor, justo al principio de «Sobre la extensión […] series» afirma: «A todo número le corresponde un determinado punto de la recta, cuya coordenada es igual a ese número» (Cantor, Gessamelte Abhandlungen, p. 97. Traducción extractada a partir de Dauben, GC, pág. 40).

^[292] ¿Hemos indicado ya en algún lugar que esas extrañas llaves que parecen el contorno de una persona, { }, son lo que se pone alrededor de las cosas para indicar que forman un conjunto matemático?

^[293] Es decir, que no es integrable término a término de tal modo que el resultado sea convergente.

^[294]SEI Evidentemente aquí es donde Kronecker fue especialmente de ayuda.

^[295] Y claramente, si una representación en serie acaba resultando demostrablemente idéntica a la serie representativa original de la f(x), entonces esa serie original es la representación única de la función. Así es básicamente como funciona el teorema de unicidad: no es que solo haya una serie que represente una función dada, sino más bien que todas las series que sí la representan son demostrablemente equivalentes.

^[296]SEI Si el siguiente par de párrafos le resultan muy difíciles, por favor, no se desanime. La verdad es que la ruta de Cantor hacia la teoría del ∞ es mucho más dura, matemáticamente, que la teoría misma. Todo lo que necesita adquirir usted en realidad es una cierta comprensión de cómo el teorema de unicidad conduce a Cantor a las matemáticas transfinitas. La parte más compleja terminará enseguida.

^[297] Véase, por ejemplo, Joseph W. Dauben sobre la demostración de 1872: «Cantor subrayó, sin embargo, que los números en esos varios dominios [conjuntos derivados] se mantenían enteramente independientes de esta identificación geométrica, y el isomorfismo servía, en realidad, como una ayuda para pensar en los números mismos» (ibíd.). Se dará cuenta de que esta actitud es más o menos idéntica a la de Dedekind en «Continuidad y números irracionales».

^[298] Una cuestión previa: necesitamos trazar una distinción entre dos diferentes tipos de teoría de conjuntos de los que podría usted saber algo. Lo que se llama teoría de conjuntos de puntos se refiere a conjuntos cuyos elementos son números, puntos espaciales o de la recta real, o varios grupos/sistemas de estos mismos. La teoría de conjuntos de puntos es hoy muy importante para, por ejemplo, la teoría de funciones y topología analítica. Por otro lado, la teoría de conjuntos abstracta se denomina así porque la naturaleza y/o los elementos de sus conjuntos no están especificados. Es decir, que concierne a conjuntos de prácticamente cualquier cosa; es totalmente general y no específica: por eso se llama «abstracta». De aquí en adelante, «teoría de conjuntos» se referirá a la teoría de conjuntos abstracta, a menos que se indique lo contrario. Lo complicado es que Cantor, cuya fama se debe realmente a ser el autor de la teoría de conjuntos abstracta, obviamente puso en marcha (y básicamente inventó) el tipo de conjunto de puntos. En realidad, hasta la década de 1890 no proporciona la definición de conjunto que ahora caracteriza la teoría de conjuntos abstracta: «Una colección, como un todo, de objetos distintos y definidos de nuestra intuición o pensamiento, [los cuales] se llaman los elementos del conjunto» (traducción extractada a partir de Edwards, v. 7, pág. 420), pero todos sus resultados significativos en las décadas de 1870 y 1880 sobre conjuntos de puntos también son válidos para la teoría de conjuntos abstracta. Además, por favor, observe finalmente, respecto a la anterior definición de Cantor en comparación con lo que vimos en § 6f, que su «definido» significa que para algún conjunto S y cualquier objeto x, es por lo menos, en principio, posible determinar si x es un miembro de S (si ha estudiado mucha lógica, quizá recuerde que esa característica de los sistemas formales se llama decidibilidad). En cambio, el «distinto» de su definición significa que para dos elementos cualesquiera x e y de S, x ≠ y, lo cual sirve formalmente para distinguir un conjunto de una sucesión, puesto que en las sucesiones un mismo término puede aparecer una y otra vez.

^[299] No hace falta decir que todo esto está muy condensado; no es que estuviera en su despacho y en un momento dado tuviera una singular epifanía en la que se lo ocurrieran todas esas cosas.

^[300]SEI Algunas obras académicas de primera categoría (en inglés) son The Theory of Sets and Transfinite Arithmetic de Alexander Abian, Cantonan Set Theory and Limitation of Size de Michael Hallett, y Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite de Joseph W. Dauben, todos los cuales figuran en la Bibliografía. La salvedad, sin embargo, es que en este caso «académico» significa despiadadamente denso y técnico. En particular, el libro de Dauben requiere tantos conocimientos de matemáticas puras que es difícil imaginar que cualquier lector capaz de disfrutarlo pierda su tiempo con el librito que tiene en sus manos… por lo cual esta misma nota tiende a autoanularse, ya que en cierto modo carece de interés.

^[301]SEI Estas últimas en relación con la lógica extensional de George Boole (1815-1864), del cual es una vergüenza que no vayamos a hablar.

^[302]SEI Es más exacto decir que la parte más importante de su trabajo original lo realiza entre 1874 y 1884, y que los artículos de la siguiente década son principalmente ampliaciones y revisiones de demostraciones previas, así como réplicas a objeciones de otros matemáticos.

^[303] Por favor, tenga en cuenta que mientras inventaba estas cosas Cantor no procedía axiomáticamente: basó la mayor parte de ello en lo que llamaba «imágenes», o conceptos en bruto. Además, a pesar del uso masivo de símbolos, la mayoría de sus argumentaciones eran en lenguaje natural, y no precisamente en un lenguaje rígidamente claro de calibre russelliano, tampoco. Lo importante es que el trabajo original de Cantor es algo más difuso y complicado que las matemáticas transfinitas que vamos a discutir, que usan axiomatizaciones y codificaciones aportadas por teóricos de conjuntos poscantorianos como Ernst Zermelo, Abraham A. Fraenkel y Thoralf Skolem (no es que los nombres importen mucho aún en este § ).

^[304]SEI Aunque obviamente todo se puede encontrar en las publicaciones de Cantor indicadas en la Bibliografía.

^[305]SEI Especialmente si tiene usted la edad adecuada para que le sometieran a las nuevas matemáticas.

^[306]SEI Las disculpas y garantías de la nota 14 también son pertinentes para el siguiente párrafo del texto principal.

^[307]SEI = término usado por Cantor. Por lo que parece, en alemán no tiene las connotaciones postmortem que tiene para nosotros.

^[308]SEI La demostración de Cantor de que P' = Q ∪ R es enormemente compleja pero totalmente válida; por favor, haga un acto de fe.

^[309]SEI Observe que la sucesión de (1) también tiene puntos suspensivos exteriores al paréntesis, lo cual significa que la sucesión continúa más allá de la progresión con superíndices finitos. Los puntos suspensivos de (2) son 100% intraparentéticos porque n misma es infinita. ¿Se entiende?

^[310] La notación que sigue es, por supuesto, SEI, pero por lo menos es bastante bonita.

^[311]SEI En verdad hay una analogía de los números transfinitos mucho mejor que los enteros, o sea algún otro tipo de número que en realidad no se puede nombrar ni contar pero que a pesar de todo se puede generar de forma abstracta, por ejemplo, dibujando la diagonal del cuadrado unidad, o tomando la raíz cuadrada de 5, o describiendo unos A y B particulares dedekindianos y un schnitt intersticial. Respecto a todo lo cual, por favor, vea o espere la discusión dos párrafos después.

^[312]SEI Que aleph sea una letra hebrea a veces es muy aprovechado por algunos historiadores en relación a los supuestos orígenes o estudios cabalísticos de Cantor. Explicaciones más plausibles de que Cantor eligiera ℵ son que (1) quería un símbolo completamente nuevo para un tipo de número completamente nuevo, y/o, (2) las letras griegas de toda la vida ya estaban todas ocupadas.

^[313]SEI Las demostraciones de lo cual llegarán a partir de § 7c.

^[314]SEI Matemáticamente hablando.

^[315] Aquí está hablando del método del schnitt de Dedekind, el cual, tras un tiempo trabajando en el Cantor, prefirió a su propio enfoque, por razones bastante obvias.

^[316] Por consideraciones de espacio no vamos a entretenernos demasiado en esto, pero subrayemos una vez más aquí que Cantor es, como Dedekind, un platónico matemático, es decir, cree que tanto los conjuntos infinitos como los números transfinitos existen realmente, en un sentido metafísico, y que se «reflejan» en auténticos infinitos del mundo real, aunque su teoría acerca de esto último involucra las mónadas leibnizianas y es mejor no entrar en ella. Resulta que Cantor también desarrolla todo tipo de planteamientos y argumentos teológicos respecto a algunos concienzudos y poderosos, y otros meramente excéntricos. Aun así, como matemático y rétorico, Cantor es lo bastante listo para argumentar que no se necesita aceptar ninguna premisa metafísica particular para admitir a los conjuntos infinitos o sus números abstractos en el dominio de los conceptos matemáticos legítimos. Véase, por ejemplo, este pasaje de la obra de Cantor antes mencionada «Contribuciones…»: «En particular, al introducir nuevos números, las matemáticas solo están obligadas a dar definiciones de ellos, mediante las cuales se les confiera tal precisión y, si las circunstancias lo permiten, tal relación con los antiguos números que, dados los casos, se puedan distinguir definitivamente los unos de los otros. Tan pronto como un número satisface todas esas condiciones, puede y debe ser contemplado como existente y real en matemáticas. Aquí percibo la razón por la que debe considerarse que los números racionales, irracionales y complejos son tan existentes como los enteros positivos finitos» (Cantor, Gessamelte Ab., pág. 182). Esta última frase tan clara es un pequeño guiño a Kronecker. Como el resto es bastante críptico, Dauben lo resume así: «Para los matemáticos, solo se necesitaba una prueba: tan pronto como se veía que los elementos de una teoría matemática cualquiera eran consistentes, entonces eran matemáticamente aceptables. No se necesitaba nada más» (Dauben, GC, pág. 182).

^[317]SEI Aquí el mejor apoyo es del seguidor de Cantor Abraham A. Fraenkel: «El concepto de magnitud transfinita es insignificante mientras solo se conozca la existencia de una única magnitud de ese tipo» (Fraenkel en Edwards, v. 2, págs. 20-21).

^[318]SEI En realidad, más «en conjunción» que «simultáneamente», pues al final resulta que ambos proyectos tienen todo tipo de relaciones de alto nivel.

^[319]SEI Si alguna vez se ha encontrado con referencias a los cardinales transfinitos de Cantor, eso es lo que son: los números cardinales de conjuntos infinitos.

^[320]SEI La paradoja de Galileo se sustenta de modo directo aunque encubierto en esta definición. Véase, por ejemplo, § 1d, pág. 47: «Es también obvio que mientras todo cuadrado perfecto (o sea 1, 4, 9, 16, 25, …) es un entero, no todo entero es un cuadrado perfecto».

^[321]SEI «Aquí» = principalmente dos artículos fundacionales en 1874 y 1878, aunque también dedica mucho tiempo a concretar la idea en sus artículos posteriores, más discursivos. Si quiere saber el título de la monografía de 1874, es «Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen». La traducción sería algo así como «Sobre una característica del conjunto de todos los números reales algebraicos».

^[322]SEI En esto, de hecho, consiste contar una colección cualquiera de n cosas: es poner las cosas en una correspondencia uno a uno con el conjunto de enteros {1, 2, 3,…, n}. La equivalencia de contar y poner en C1-1 con {todos los enteros} es lo que convirtió a la teoría de conjuntos en la base para enseñar aritmética a los niños, de acuerdo con las nuevas matemáticas.

^[323]SEI N. B. En la teoría de conjuntos cantoriana numerable está relacionado con contable pero no es sinónimo. Definición: un conjunto es contable si y solo si es o bien (a) finito, o bien (b) numerable.

^[324] Esto se llama tradicionalmente aleph-cero.

^[325]SEI El orden solo empieza a ser importante con los ordinales transfinitos de Cantor, que hacen su aparición en § 7g.

^[326]SEI Observe que estamos empezando a ser capaces de responder a la epigráfica cuestión de Russell al principio de § 7.

^[327] Decisión del Alto Mando: de aquí en adelante, cuando hablemos de «todos los números» trataremos solo con valores positivos. Esto incluye a los enteros, pues al fin y al cabo acabamos de demostrar que la cardinalidad del conjunto de todos los enteros = la del conjunto de todos los enteros positivos. Además, debería ser obvio que las demostraciones de Cantor para todos los racionales positivos, todos los reales positivos, etc., seguirán siendo válidas si los conjuntos infinitos relevantes se doblan para incluir los valores negativos. Si tiene dudas, entonces observe que doblar algo es lo mismo que multiplicarlo por 2, y que 2 es finito, y que —por los teoremas transfinitos (3) y (6) de § 7b— cualquier ℵ multiplicado por un n finito seguirá siendo = ℵ.

^[328]SEI De nuevo, tenga en cuenta, por favor, que estamos haciendo estas demostraciones en el orden que facilita una exposición más clara y lógica. N. B. Tenga en cuenta también que hay algunas distinciones entre cardinales y ordinales que de momento vamos a eludir.

^[329]SEI Lo que Cantor llama realmente «diagonalización» es su método para demostrar la no numerabilidad de los reales, que como veremos es bastante diferente.

^[330]SEI Si esta definición esquemática le parece insuficiente y quiere usted una verdadera C1-1 entre los conjuntos de los racionales y de los enteros, entonces tome simplemente la fila ordenada que hemos visto y empareje su primer elemento con 1, su segundo elemento con 2, …, y así sucesivamente.

^[331]SEI Aquí quizá pueda usted anticipar algunas complicaciones familiares respecto a cuál podría ser el primerísimo número real de la sucesión, y para ver por qué ninguna de las anteriores manipulaciones con los órdenes de las filas funcionará con los números reales. En este caso, para su tranquilidad, le informamos ahora de que el famoso axioma de elección (otro lío enmarañado, véase § 7f) de la teoría de conjuntos, del profesor Zermelo, asegura que siempre podemos construir un conjunto ordenado de números reales de tal modo que tenga un auténtico primer elemento. Sería interesante que de momento simplemente se creyera esto.

^[332] Así que el motivo de que se llame «diagonal» es por lo del primer dígito en la primera fila, el segundo dígito en la segunda fila, y la construcción de R en un ángulo de 45°.

^[333]SEI Véase el principio de § 5e.

^[334]SEI La demostración de esta extraña curiosidad, véanse las págs. 91-93 de § 2e, está claro que ahora se puede liberar del requisito de que todos los pañuelos y medios pañuelos y mitades de medios pañuelos sean infinitesimalmente pequeños; solo invocamos la demostración de Weierstrass en § 5e(i) de que 

^[335]SEI Desde un punto de vista histórico, el primer resultado acerca de la no numerabilidad que Cantor pudo realmente demostrar fue que el conjunto de todos los números trascendentes era no numerable y que el conjunto total de todos los números racionales + todos los irracionales algebraicos tenía la misma cardinalidad que el de los racionales. Véase la nota 39 anterior, y el título del artículo de Cantor de 1874, que ahora debería resultar más comprensible.

^[336]SEI = «Lo veo, pero no me lo creo» (lo cual es un retazo muy conciso, aunque involuntario, de antiempirismo). No está claro por qué le escribe esto en francés a un destinatario que también era alemán; podría haber sido un modo de subrayar la emoción. El alemán académico de Cantor, también, a menudo cambia al francés o al griego por ninguna razón discernible. Quizás era habitual en su contexto.

^[337] Esta unicidad es crítica. No se pueden permitir dos expresiones decimales distintas para representar un mismo punto, porque la idea principal es ver si a cada punto en particular del cuadrado unidad le corresponde un punto en particular en el intervalo [o, 1] de la R. R. Ahora debería quedar 100% claro por qué Cantor necesita estipular que números como   deberán ser designados solo por 0,4999…, y así sucesivamente. Si recuerda que mencionamos esta estipulación en § 7c, ahora sepa que Dedekind se la sugirió a Cantor en relación a esta demostración de la dimensión, indicando que la «correspondencia única» (que era el término original de Dedekind y de Cantor para la C1-1) quedaría destruida si se permitían a la vez 0,4999… y 0,5000…

^[338] INTERPOLACIÓN TAN SEI QUE NI SIQUIERA ESTÁ EN el texto principal Técnicamente es algo más complicado, pero no mucho más. La demostración de la dimensión original de Cantor es, en cierto modo, innecesariamente intrincada. Supone definir la representación decimal de un punto (x, y) como la serie convergente β₁   + β₂   + β₃   +… + β_n   +…, y entonces «separar los términos [de esta serie]» de modo que para cada miembro se forme una sucesión de «ρ variables independientes» (Cantor resumido por Dauben, GC, pág. 55) en [0, 1], designadas por α₁ α₂ α₃, α₄, …, α_ρ. La «separación» y la subsiguiente correspondencia (así como la operación recíproca, de modo que la correspondencia α ↔ β funcione en ambos sentidos) se consigue mediante cuatro ecuaciones, de las cuales la primera tiene este aspecto: «α₁,n = β(n−1)_ρ+1». Lo cual puede hacer que la C1-1 no sea demasiado obvia. El problema de la verdadera demostración (como explicó en 1979 el imponente doctor Goris) es que la descripción «a1a2a3b1b2b3» de las coordenadas (x, y) del plano que hemos dado antes resulta un poco simple porque parece que a y b sean dígitos individuales. Lo que hace realmente la técnica de Cantor es subdividir x e y en pequeñas tiras de cifras decimales; la regla es que cada tira termina en la primera cifra distinta de cero que se encuentre (otro motivo, más técnico, por el que Cantor no puede permitir que los enteros y los racionales terminen en 0,000…). Así que digamos, por ejemplo, que x = 0,020093089… y que y = 0,702064101…, en cuyo caso se subdividen en: x = 0,02 009 3 08 9… y = 0,7 02 06 4 1 01… Son estas tiras las que se combinan con alternadamente para dar la representación decimal única del punto

(x, y) = 0,02 7 009 02 3 06 08 4 …

Y aquí los espacios extra son solo a efectos ilustrativos; la auténtica representación decimal de (x, y) es 0,02700902306084… Por supuesto, esto también es un número real, concretamente el punto z de [0, 1] que es igual a 0,02700902306084… Y lo ingenioso de jugar con las tiras de este modo es que si hay algún z' que difiere de z en una sola cifra n posiciones tras la coma (de los que por supuesto habrá: ∞ z, de hecho), entonces el (x, y) relevante también será diferente en la tira que contenga esa n-ésima cifra, de modo que la correspondencia relevante es biunívoca: eso quiere decir que para cada z hay un único (x, y), y viceversa, o sea que se trata de una genuina C1-1.

^[339]SEI (incluida a insistencia del editor) = el lascivo término para poliedros en 4 o más dimensiones.

^[340]SEI como se ha mencionado en los § 5b y 5d. (Y en § 5d, por lo menos se habló un poco del uso en la geometría riemanniana del ∞ y de puntos relacionados con el ∞).

^[341] Esto entra en un área bastante especializada de la teoría de funciones, pero básicamente correspondencia no continua significa que si usted se mueve continuamente a lo largo de los puntos de [0, 1] en la R. R., los puntos correspondientes en el cuadrado unidad no formarán una curva continua, sino que quedarán esparcidos por todas partes. ( SEI Respecto al segundo párrafo de § 7d un poco antes, resulta que la suposición de Riemann et al. estaba equivocada de un modo interesante: la dimensión de un conjunto dado de puntos depende no solo de cuántas coordenadas por punto hay, ni tampoco de la cardinalidad de todo el conjunto de puntos, sino también del modo particular en que los puntos están distribuidos. Esto último es una cuestión de la topología de conjuntos de puntos, respecto a la cual todo lo que estamos en situación de decir en este libro es que es otra rama más de las matemáticas que no existiría sin el trabajo de Cantor sobre el ∞).

^[342]SEI fecha = 1878; título = «Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre», o algo así como «Una contribución a la teoría de multiplicidades/agregados/conjuntos».

^[343]SEI Probablemente resulta obvio que aquí las «ficciones» de Du Bois-Reymond son específicamente las representaciones decimales compuestas de (x, y); pero en el contexto más amplio de su escrito también está hablando de los conjuntos infinitos de puntos de la R. R. y del C. U. que los decimales representan. (N. B. Exactamente la misma acusación se podría haber lanzado contra los A y B de la teoría del schnitt de Dedekind; por alguna razón, Dedekind nunca atrajo la misma hostilidad que Cantor).

^[344] Cantor a menudo se refiere a esto como la primera clase numérica y la segunda clase numérica, respectivamente.

^[345]SEI Los libros de texto a menudo formulan esto como un teorema abstracto, por ejemplo, «Dado cualquier conjunto infinito S, es posible construir otro conjunto infinito S' con un número cardinal mayor».

^[346]SEI Este principio se conoce en la teoría de conjuntos como el axioma del conjunto potencia (A.C.P.). Una razón por la que es un axioma es que depende directamente de las definiciones de «subconjunto» y «conjunto vacío», tal como resultará evidente enseguida en el texto principal. Sin embargo, hay problemas con el A.C.P.: véase el § 7f interpolativo más adelante.

^[347]SEI Técnicamente, esto debería escribirse «P(A) = 2A», donde A representa el número cardinal de A. Habiendo declarado esto para que quede constancia, a partir de ahora lo escribiremos informalmente, sin más.

^[348]SEI Una vez más, técnicamente sería mejor decir que «∅» es el símbolo de { }, el cual es el conjunto vacío… pero ya se entiende.

^[349]SEI Puede demostrar que P(A) = 20 también en el caso del conjunto vacío. Si A = ∅, tiene o elementos. Sin embargo, tiene un subconjunto, o sea ∅, pues el conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto. O sea, que en este caso P(A) = 1, que es 20.

^[350] Entenderá esto si recuerda que el contexto general de estas demostraciones es el intento por parte de Cantor de obtener conjuntos infinitos (también conocidos como clases numéricas) cuya cardinalidad excediera c.

^[351]SEI De hecho, la de 1891 es en realidad una demostración de que este conjunto potencia es no contable. Pero recuerde que para que un conjunto sea contable debe ser o finito o numerable, y es fácil ver que en este caso el conjunto relevante no es finito. Como el conjunto de todos los enteros {1, 2, 3, 4, 5,…} es, él mismo, infinito, basta tomar cada elemento individual, ponerlo entre llaves, y darse cuenta de que {1}, {2), {3), etc., son todos subconjuntos del conjunto de todos los enteros. Así que el conjunto de todos los subconjuntos no puede ser finito en modo alguno. O sea, que la verdadera cuestión es si el conjunto potencia es numerable.

^[352]SEI EXTRACTO DE LA CARTA DEL EDITOR CON PETICIONES ACERCA DE LA VERSIÓN MANUSCRITA DEL LIBRO: «pág. 250, párrafo tras gráfica de la "Tabla n.º 3"; o sea que, en otras palabras, sin importar cuántos subconjuntos de E podamos obtener, ¿siempre podemos crear otros nuevos? Si es así, ¿quiere usted que lo digamos tal cual, soltarlo sin más?», de la respuesta del autor: «No, no queremos decir algo así, porque sería erróneo. Lo que muestra la Tabla n.º 3 es que sin importar cuántos infinitos o subconjuntos de E pongamos en la lista, es demostrable que siempre habrá algunos subconjuntos que no están en la lista. Esto es, recuerde, lo que "no numerable" significa: que no puede ser exhaustivamente listado/puesto en fila/puesto en una tabla (y, de nuevo, es por lo que siempre habrá más irracionales que pañuelos de la muerte en la demostración del doctor Goris en § 2e: los pañuelos, como los enteros y los racionales, solo pueden formar un ∞ numerable). Además, la parte de "siempre podemos crear otros nuevos" es profunda y seriamente, errónea: no estamos creando nuevos subconjuntos; estamos demostrando que existen y siempre existirán algunos subconjuntos que ninguna lista o C1-1 con los enteros podrá capturar. Respecto a "existir", cabe reconocer que necesita un "en cierto modo" o "sea lo que sea que esto significa" o algo parecido, pero el lector tendría que ser un fundamentalista-radical kroneckeriano para creer que lo que estamos haciendo en esta demostración es realmente crear esos nuevos subconjuntos».

^[353]SEI Esto saca a relucir una cuestión importante. Puede muy bien haber notado el gran parecido entre la demostración en diagonal de la no numerabilidad de P(E) y la demostración en diagonal de la no numerabilidad de {todos los números reales} en § 7c. Y ahora, dado que tanto P(E) como {todos los reales} tienen cardinalidades > ℵ0, puede muy bien estar preguntándose si el número cardinal de P(E) es c igual que lo es el de {todos los números reales}. En cuyo caso, usted habrá formulado, por sí mismo, una versión de uno de los problemas más profundos de la teoría de conjuntos cantoriana, el cual se analiza extensamente en § 7g. Lo importante es que está 100% acertado al preguntarse sobre la relación entre P(E) y c, pero espere.

^[354]SEI, es decir, que B es también P(A), pero para esta demostración es más fácil si olvida usted todo el asunto del conjunto potencia.

^[355]SEI a veces conocida también como la paradoja de Euclides para distinguirla de la variante de Epiménides «Todos los cretenses son mentirosos» —larga historia—.

^[356]SEI 1906-1978, el absoluto Príncipe de las Tinieblas de las matemáticas modernas, ya se ha hecho referencia a él en § 1a y en otras partes.

^[357]SEI Sabemos, por ejemplo, que se la explicó a David Hilbert, y se menciona por lo menos en una de las cartas de Cantor a Dedekind. Observe ahora, de cara a más adelante, que hay otra paradoja con la que también se encontró y tampoco publicó, que hoy se conoce como la paradoja de Burali-Forti y tiene que ver con los ordinales transfinitos, que como se ha mencionado también están al llegar.

^[358]SEI Lo de Frege y Russell es una historia larga pero muy apreciada por los historiadores de las matemáticas, y muy fácil de encontrar en otra parte. (N. B. La antinomia de Russell también se conoce como la paradoja de Russell, pero resulta cansino decir «paradoja» una y otra vez).

^[359]SEI Una vez más, es algo más complicado. Lo que la antinomia de Russell explota realmente es un axioma poco sólido de la teoría de conjuntos temprana llamado (no es broma) el principio de abstracción ilimitada (P. A. I.), que a todos los efectos afirma que toda característica/condición concebible determina un conjunto; es decir, que dada cualquier propiedad concebible, existe un conjunto de todas las entidades que poseen dicha propiedad. Tres rápidos comentarios acerca del P. A. I. (1) Observe su intrigante parecido con el argumento de Platón del Uno Sobre Muchos de § 2a. (2) Pronto debería ser evidente en el texto principal por qué el P. A. I. es defectuoso y da lugar a la antinomia de Russell. (3) Por favor, retenga neocorticalmente durante solo unas páginas el hecho de que el sistema de axiomas de Zermelo-Fraenkel-Skolem para la teoría de conjuntos enmienda el P. A. I. con el principio de abstracción limitada (P. A. L.), el cual sostiene que dada cualquier propiedad p y un conjunto S, podemos formar el conjunto de todos los elementos de S que tienen p.

^[360]SEI El resto del texto principal de este párrafo lo puede omitir usted si ya puede ver cómo funciona la paradoja simplemente a partir de «¿Es N un conjunto normal?». (SEI₂ Russell también tiene una manera famosa de presentar su antinomia en lenguaje natural, a saber: imagine un barbero que solo afeita a los que no se afeitan a sí mismos; entonces, ¿se afeita el barbero a sí mismo?).

^[361]SEI En esta oposición a Poincaré se le asocia a menudo con los especialistas en conjuntos de puntos finitos Félix Édouard Borel y Henri Léon Lebesgue, y así en la metafísica de las matemáticas este trío es a veces conocido como la Escuela antiplatónica.

^[362] Algo muy parecido a la caracterización griega del ∞ como to apeiron.

^[363]SEI Aquí está uno que quizá ya haya usted anticipado: si alguna propiedad es impredicativa si se aplica a sí misma —digamos, por ejemplo, la propiedad de ser expresable en lenguaje natural, o correctamente deletreado, o abstracto— entonces podemos llamar a una propiedad «predicativa» si no se aplica a sí misma. Pero entonces, esa propiedad de ser predicativa, ¿es predicativa o impredicativa?

^[364]SEI Sí: ahora estamos volviendo de nuevo a las cuestiones de existencia abstracta y denotación planteadas en § 1.

^[365]SEI Si cree que puede ver al fantasma del Tercer Hombre de Aristóteles flotando encima de la teoría de tipos, no se equivoca. Muchos de los problemas fundacionales de la teoría de conjuntos acaban remontándose a la metafísica griega.

^[366]SEI N. B. Observe también que los argumentos de Russell respecto a la conexión entre la tipología metafísica de entidades/abstracciones y la tipología semántica de entidades/enunciados/metaenunciados son largos y complejos, pero están allí: no es que lo postule todo a partir de la nada.

^[367]SEI Las subsiguientes extensiones y modificaciones de la teoría de tipos russelliana, por lógicos como Ramsey y Tarski, son tan horripilantemente complicadas y confusas que, si saca usted el tema, la mayoría de los matemáticos harán como si ni siquiera le oyeran.

^[368]SEI Es decir, el segundo de los 10 Principales Problemas no Resueltos que Hilbert presentó en el 2.º C. I. M. en el año 1900 como problemas cruciales para las matemáticas que debían resolverse durante el inminente siglo; otra muy larga historia que puede encontrar en cualquier buen compendio de historia de las matemáticas. (SEI₂ Si le enseñaron o ha leído que en realidad había 23 Problemas de Hilbert, la verdad es que Hilbert presentó una lista del 1 al 10 en su discurso de París y del 1 al 23 en la versión escrita publicada en 1902).

^[369] Compare esta ontología formalista con la visión del intuicionismo de que: «[L]os objetos matemáticos son entidades mentales que no existen de manera independiente de nuestra capacidad para proporcionar una demostración de su existencia en un número finito de pasos» (Nelson, pág. 229). Puede ver que ambas visiones no son para nada disímiles, especialmente en su rechazo de la idea de que las matemáticas tengan algo que ver con la realidad extramental, aunque tras el criterio intuicionista del «número finito de pasos» está la intención específica de proscribir entidades como los irracionales y los conjuntos infinitos con los que Poincaré y Brouwer, igual que Kronecker antes de ellos, tenían problemas metafísicos (no solo de procedimiento). (SEI La manera del doctor Goris de contrastar ambas escuelas era decir que el intuicionismo era taimado mientras que el formalismo era más bien simplemente excéntrico).

^[370]SEI véase § 1c.

^[371] Estos improperios ya deberían estar en un G. E. III a estas alturas. Son términos de lógica, de la teoría de modelos. Un sistema es completo si y solo si todas y cada una de las proposiciones verdaderas se pueden deducir como un teorema; es consistente si no incluye ni implica contradicción alguna. Hay también un tercer criterio, antes brevemente mencionado, llamado decidibilidad, que concierne a si hay un procedimiento/algoritmo para determinar, para cualquier proposición bien formada del sistema, si es o no verdadera (es decir, si es un teorema). Los tres criterios están obviamente interconectados, pero también tienen diferencias importantes, y un sistema formal deductivamente inmaculado se supone que satisface las tres… respecto a lo cual, a grandes rasgos, Gödel demostró que ningún sistema significativamente potente podía, por lo cual se le conoce como el Príncipe Tenebroso, y por ello las matemáticas han estado en el aire durante los últimos setenta años.

^[372]SEI Fechas: 1871-1953. Artículo principal: «Investigaciones de los fundamentos de la teoría de conjuntos» (1908). Principal colaborador: Abraham Fraenkel, quien es también el primer biógrafo de Cantor.

^[373] Paradojas de las que ahora muchos matemáticos profesionales no se preocupan demasiado durante su trabajo del día a día; no mucho más de lo que nosotros nos preocupamos de si el suelo se hundirá bajo nuestros pies cuando nos levantemos de la cama.

^[374] Probablemente más que «independiente» sería mejor decir «conceptualmente anterior a» o «subyacente» a las matemáticas per se. La idea tras la T. A. C. es que como la teoría de conjuntos es la rama más abstracta y primitiva de las matemáticas, sirve como fundamento para los conceptos matemáticos más básicos, como «número», «función», «orden», etc. Aunque toda la cuestión se complica mucho —particularmente las cuestiones acerca de la relación de la teoría de conjuntos con la lógica simbólica y sobre cuál es el verdadero fundamento de las matemáticas— es, sin embargo, cierto que tanto Gottlob Frege como Giuseppe Peano, las dos figuras más importantes en la fundamentación de la aritmética, definen los números y las operaciones matemáticas básicas en términos de la teoría de conjuntos.

^[375]SEI = o bien una función o algún predicado en lenguaje natural que tenga sentido para todos los elementos de S (donde «que tenga sentido» significa básicamente que el predicado es algo definitivamente verificable como cierto o falso para cualquier elemento del conjunto, como «es azul» o «pesa más de 28,7 gramos» en contraste con «es adorable» o «tiene gusto de pollo»).

^[376] Usar este símbolo en una frase así, tal cual, es la manera llamativa de decir «elemento de S»

^[377] Así, un corolario obvio del P. A. I. es: los conjuntos infinitos existen.

^[378]SEI Este es otro punto donde no está claro exactamente qué lectores sabrán o recordarán lo que se está omitiendo. Si no está familiarizado con los postulados de Peano y le gustaría estarlo, invierta 45 segundos en lo siguiente: los postulados de Peano son los cinco axiomas básicos de la teoría de números; permiten deducir toda la sucesión infinita de los enteros positivos a partir de solo dos conceptos primitivos, que son (a) «es un entero», y (b) «es sucesor de». En lenguaje natural, los postulados son: (1) 1 es un entero; (2) Si x es un entero, el sucesor de x es un entero; (3) 1 no es sucesor de ningún entero; (4) Si los sucesores de dos números x e y son iguales, entonces x = y; (5) Si un conjunto E contiene 1, y si, para cualquier entero x de E, el sucesor de x está en E, entonces todo entero está en E. Por qué exactamente el postulado (5) es la autoridad axiomática tras la demostración por inducción matemática es algo que queda claro mediante una formulación alternativa, que sería más o menos así: (5) Si P es cierta propiedad, y si 1 tiene P, y si cuando un entero x tiene P, el sucesor de x tiene P, entonces todos los enteros tienen P. (SEI₂ Curiosidad gorisiana: Aunque Peano merece un 100% de reconocimiento por introducir todo tipo de cosas importantes en la teoría de números y en la teoría de conjuntos (como los símbolos estándar ∈, ∩ y ∪), sus epónimos postulados son un caso claro de los caprichos de la fama matemática, pues axiomas equivalentes a los postulados (1)-(5) habían aparecido en la obra de Dedekind Naturaleza y significado de los números por lo menos dos años antes que en la obra de Peano Arithmetices Principia Nova Methode Expósita)

^[379]SEI No nos preocuparemos mucho de los productos cartesianos (P. C.) excepto para decir (1) que son un tipo específico de unión inter-conjuntos que involucra «pares ordenados», los cuales en sí mismos son toda una saga; y (2) que los P. C. son un ejemplo del importante principio de preservación de la homogeneidad, en el sentido de que si dos conjuntos A y B comparten ciertas características especiales, su producto cartesiano (A × B) también tendrá dichas características (por ejemplo, si A y B son conjuntos de puntos y comparten la característica de ser un espacio topológico, su P. C. también será un espacio topológico).

^[380]SEI Aquí «producto cartesiano» específicamente significa (inspiración profunda) «el conjunto de solo aquellos subconjuntos de la unión de todos los elementos de S tal que cada uno (= cada subconjunto) contiene exactamente un elemento de cada conjunto de S». Este tipo de cosa es solo para que tenga una muestra del embriagador aroma de la auténtica T. A. C.

^[381]SEI Cualquier libro decente sobre lógica matemática o teoría de conjuntos incluye un capítulo entero sobre el A. E. y su relación con otros seductores conceptos como el axioma multiplicativo de Russell, el lema de Zorn, el principio de tricotomía, el principio maximal de Hausdorff y (no es broma) el lema del elemento máximo de Teichmüller-Tukey.

^[382]SEI un americano (!) al cual estamos a punto de ver en acción respecto al tema de la hipótesis del continuo, justo a continuación.

^[383]SEI El historial de demostraciones relacionadas con el A. E. es —sorpresa— una muy larga historia; lo importante queda resumido en el siguiente extracto de la obra de Mendelson de 1979 Introduction to Mathematical Logic (y donde la segunda frase es de un tono muy acalorado para tratarse de un lógico): «El estatus del axioma de elección se ha hecho menos controvertido en años recientes. Para la mayoría de los matemáticos parece bastante plausible y tiene tantas aplicaciones importantes en prácticamente todas las ramas de las matemáticas que no aceptarlo parecería restringir deliberadamente la actividad práctica del matemático (Mendelson, pág. 213)».

^[384]SEI Si quiere ver el axioma de regularidad simbólicamente desnudo al 100%, es (∀S)[(S ≠ ∅→ (∃x)((x ∈ S) & (x ∩ S = ∅))], en el cual los únicos símbolos no familiares podrían ser los cuantificadores del cálculo de predicados «∀S» (que significa «Para todo S…») y «∃x» (que significa «Existe por lo menos un x tal que…»; donde el significado de «existe» es matemático/teórico-conjuntista [donde, claro está, se supone que este tipo de existencia es distinto de otro(s) tipo(s)]) (extractado de Mendelson, pág. 213, con modificaciones menores en el simbolismo).

^[385] Estas tienen que ver principalmente con cuantas interpretaciones válidas diferentes puede tener un sistema de axiomas (siendo modelo el término elegante para designar una interpretación específica de qué representan en realidad las fórmulas y los símbolos abstractos). Resulta que la mayoría de los axiomáticas razonablemente completas tienen ∞ modelos válidos —a veces incluso un ∞ no numerable—, lo cual implica enormes dolores de cabeza, pues sistemas como ZFS o los postulados de Peano se han elaborado pensando en modelos bastante específicos, y no es difícil ver que, con un ∞ real de posibles modelos, algunos van a contradecir los que se buscaban.

^[386]SEI Las dos principales eran la paternidad real (biológica) de Jesús, y si fue Bacon el verdadero autor de las obras atribuidas a Shakespeare. No se necesita mucha psicología: se trata de obsesiones acerca de hechos incomprobables y que comportan descrédito. Dada la hostilidad y la desconfianza que tuvo que soportar Cantor en su vida profesional, que se centrara en tales obsesiones parece comprensible y, a la vez, triste.

^[387]SEI En algunos textos se llama a esto el problema del continuo.

^[388] Los matemáticos que lo llaman el problema del continuo enuncian la forma general como: «¿Existe un conjunto con una cardinalidad más alta que la de ℵn pero más baja que la de P(ℵn)?» (semiextractado de Edwards, v. 2, pág. 208).

^[389]SEI Es el hecho de que Cantor se centrara específicamente en c lo que le dio este nombre a la hipótesis del continuo.

^[390]SEI N. B. Tenga en cuenta que lo que viene ahora es, incluso para nuestro rasero, un resumen deplorablemente simplificado de la teoría de los ordinales de Cantor —una teoría que es incluso más compleja y ramificatoria que la de los números cardinales— y la única razón por la que pasamos el dedo siquiera es que aún sería más deplorable pretender que la H. C. solo tiene que ver con la jerarquía de los cardinales transfinitos.

^[391]SEI La teoría horripilantemente técnica de Cantor acerca de los ordinales y los tipos de orden de los conjuntos se desarrolla principalmente en dos artículos: «Principios de una teoría de los tipos de orden» (1885) y «Contribuciones a la fundamentación de la teoría de los números transfinitos» (1895).

^[392] La razón por la que esto podría resultar confuso al principio es la misma por la que la frase de nuestra explicación inicial «de tal modo que el orden de los elementos de A y B permanezca inalterado» era simplista: el tipo de orden no es lo mismo que mera ordenación, {a, b} y {b, a} tienen el mismo tipo de orden, por ejemplo.

^[393]SEI Otra metáfora a medida del doctor Goris era que los números cardinales eran como los personajes en una de las obras de teatro de la escuela y los números ordinales eran los lugares que tenían que ocupar en una escena. Algo así como el guión de la obra por un lado, y sus acotaciones por otro.

^[394]SEI Podemos ver aquí algunas claras afinidades con la teoría de Cantor sobre los irracionales como límites de sucesiones de números (en § 6e). Esta teoría anterior fue, en ciertos sentidos, el origen de su trabajo sobre los ordinales.

^[395]SEI La todavía sin definir paradoja de Burali-Forti sale directamente de esta definición. Considérese el conjunto de todos los números ordinales. Todos ellos. Ahora considere el número ordinal de este mismo conjunto, el cual por definición será mayor que cualquier ordinal en el conjunto; solo que este conjunto se ha definido como uno que contiene todos los ordinales. O sea, que de uno u otro modo hay una contradicción. Esta es muy fea, y es el verdadero motivo «profiláctico» que hay tras el axioma de regularidad.

^[396] Pero véase la nota 102 de § 7f respecto a lo que significa el inminente «∀x», lo cual en retrospectiva significa que la nota 102 no se debería haber clasificado como SEI.

^[397] DEFINITIVAMENTE SEI No estoy seguro de que sea muy inteligente mencionar esto, pero por lo menos algunas veces Cantor usó «ℵ0» para designar el primer ordinal transfinito y «ω» para designar el primer cardinal transfinito. La verdad estricta es que fue en realidad el conjunto de todos los ordinales finitos (que es lo que él realmente llamaba la «primera clase numérica») lo que Cantor usó para obtener el primer cardinal transfinito, cosa que hizo básicamente porque en su teoría los números cardinales también eran definibles como ordinales límite, concepto que no vamos a discutir porque requiere un grado de detalle teórico-conjuntista sobre las relaciones entre números cardinales y ordinales para el que este librito no está equipado. Estamos usando lo que ha llegado a ser actualmente el simbolismo estándar, o sea «ℵ»s para los cardinales transfinitos y «ω» para los ordinales transfinitos; el razonamiento para justificarlo es que este simbolismo es el que tiene más posibilidades de resultar familiar por lo menos a algunos lectores. (N. B. Tenga en cuenta que todas las matemáticas cantorianas con todos sus intríngulis y sin rebajar excrecencias están disponibles en varios excelentes libros técnicos, incluyendo las antes mencionadas Georg Cantor, de Dauben, Theory of Sets, de Abian, y The Continuum and Other Types of Serial Order, with an Introduction to Cantor's Transfinite Numbers de Huntington —véase la Bibliografía—).

^[398]SEI y que están relacionados con las épsilons weierstrassianas de § 5e solo en el sentido de que son creadas por una definición de tipo «existe… tal que» similar; por ejemplo, el primer número ordinal k tal que ωk = k se designa «épsilon 0» o «ε₀».

^[399]SEI en § 15 de la antes mencionada «Contribuciones… números».

^[400] Estas dos cuestiones se colapsan en una solamente si o bien (1) la teoría formal de conjuntos es una representación o reflejo fidedigno de la verdadera realidad del ∞ y de los conjuntos de tipo ∞, o bien (2) la teoría formal de conjuntos es esa verdadera realidad, en el sentido de que la «existencia» de un conjunto infinito dado es única y exclusivamente una cuestión de su compatibilidad lógica con los axiomas de la teoría. Observe, por favor, que estas son precisamente las cuestiones sobre el estatus metafísico de los entes abstractos que han afligido a las matemáticas desde los griegos.

^[401]SEI Si la teoría de conjuntos y la teoría de la demostración no fueran tan increíblemente esotéricas, ya se habría hecho una película de gran presupuesto sobre la demostración de Cohen y los relatos que la rodean, relatos que los historiadores de las matemáticas adoran y que se pueden encontrar en una miríada de fuentes bibliográficas. Lo que es pertinente para nosotros son algunos inquietantes paralelismos con Cantor. Para empezar, Cohen proviene del análisis funcional y el análisis armónico, áreas que involucran tanto ecuaciones diferenciales como series de Fourier; es decir, que él también llega a la teoría de conjuntos desde el análisis puro. La cosa se vuelve todavía más inquietante. La tesis doctoral de Cohen (Universidad de Chicago, 1958) se titula Temas de la teoría de unicidad de las series trigonométricas. Además, así como Cantor había inventado demostraciones teórico-conjuntistas de tipo «φ» y diagonal completamente nuevas, asimismo Cohen inventa una técnica de demostración completamente nueva conocida como forcing, que es prohibitivamente hiper-tecnificada, pero en ciertos aspectos se parece a una especie de inducción matemática maniquea donde se pide que los casos «n = 1» y «k» tomen uno de solo dos valores posibles… Lo cual quizá no se entienda pero no es para nada vital ahora mismo: lo que es hollywoodiense es que Cohen se pasa a la teoría de conjuntos, inventa y refina su método de demostración, y demuestra la independencia de la H. C., todo en un solo año.

^[402]SEI Véanse § 1d y 5b.

^[403] Este tipo de independencia (que también se puede llamar indecidible) sin duda es importante. Por lo menos demuestra que los resultados de Gödel acerca de la incompletitud (así como la demostración de Church en 1936 de que la lógica de predicados de 1.er orden también es indecidible) no están describiendo solo posibilidades teóricas, que existen realmente auténticos teoremas significativos en las matemáticas que no se pueden demostrar ni contradecir (extractado de Bunch, pág. 158). Lo cual a su vez significa que incluso unas matemáticas maximalmente abstractas, generales, completamente formales no van a ser capaces de representar (o, dependiendo de sus convicciones metafísicas, contener) todas las verdades matemáticas del mundo real. Es este quebrantamiento de la creencia de que 100% abstracción = 100% verdad de lo que las matemáticas puras aún no se han recuperado, ni tampoco está claro qué significaría aquí «recuperación».

^[404]SEI Además, en otra demostración de 1963, Cohen pudo demostrar que incluso si el axioma de elección se añade a los axiomas de ZFS, la hipótesis del continuo en su forma general sigue sin ser demostrable. Así se establece que el A. E. y la H. C. también son independientes mutuamente, algo que impactó de nuevo al mundo matemático.

^[405] Aquí «supuesto» = de un modo especulativo, preguntándose «¿y si?» ( SEI Curiosidad acerca de los «diversos equivalentes» de la misma frase: la obra de Waclaw Sierpinski en 1934 Hypothèse du Continu da una lista de más de ochenta proposiciones matemáticas que son equivalentes o reducibles a la H. C. en su forma general).

^[406]SEI Buena parte de la teoría de conjuntos contemporánea parece incluir discusiones acerca de qué significan esos términos técnicos y exactamente cuándo y por qué lo hacen (= significar lo que significan, si significan algo (y, si no significan nada, entonces qué podría significar ese nada, y así sucesivamente)).

^[407]SEI De nuevo puede ver cómo esta visión formalista incorpora elementos del intuicionismo, el más obvio de los cuales es la voluntad de olvidar la LTE.

^[408]SEI La declaración de Luitzen E. J. Brouwer acerca de toda la cuestión de la consistencia y la indecidibilidad en teoría de conjuntos suena muy aristotélica: «Nada que tenga valor matemático se conseguirá de ese modo; una teoría falsa que no es detenida por una contradicción es igualmente falsa, del mismo modo en que una negligencia criminal no reprendida en un juicio sigue siendo igualmente criminal» (Brouwer extractado por Barrow, pág. 217).

^[409]SEI Hilbert tampoco tuvo un final fácil. Brouwer y Russell, por otro lado, resultaron ser tan longevos que prácticamente tuvieron que echarlos a garrotazos.

^[410]SEI En el momento de escribir este libro Paul J. Cohen era el Marjorie Mhoon Fair Professor de ciencia cuantitativa en Stanford.