© Libro N° 11953.
El Fracaso De La Matemática Moderna. Kline,
Morris. Emancipación. Diciembre 9 de 2023
Título original: ©
El Fracaso De La Matemática Moderna. Morris Kline
Versión Original: © El Fracaso De La Matemática Moderna. Morris
Kline
Circulación
conocimiento libre, Diseño y edición digital de Versión original de textos:
http://www.librosmaravillosos.com/elfracasodelamatematicamoderna/index.html
Licencia Creative Commons:
Emancipación Obrera utiliza una licencia Creative Commons, puedes copiar,
difundir o remezclar nuestro contenido, con la única condición de citar la
fuente.
La
Biblioteca Emancipación Obrera es un medio de difusión cultural sin fronteras,
no obstante los derechos sobre los contenidos publicados pertenecen a sus
respectivos autores y se basa en la circulación del conocimiento libre. Los
Diseños y edición digital en su mayoría corresponden a Versiones originales de
textos. El uso de los mismos son estrictamente educativos y está prohibida
su comercialización.
Autoría-atribución: Respetar la autoría del
texto y el nombre de los autores
No
comercial: No se puede utilizar este trabajo con fines
comerciales
No
derivados: No se puede alterar, modificar o reconstruir este
texto.
Fondo:
https://i.pinimg.com/564x/2b/37/64/2b3764e5c2672390b811b8c9707b0230.jpg
Portada
E.O. de Imagen original:
http://www.librosmaravillosos.com/elfracasodelamatematicamoderna/imagenes/portada.jpg
© Edición,
reedición y Colección Biblioteca
Emancipación:
Guillermo Molina Miranda
EL FRACASO DE LA MATEMÁTICA MODERNA
Morris Kline
El
Fracaso De La Matemática Moderna
Morris
Kline
CONTENIDO
Prefacio
1. Una
muestra de la matemática moderna
2. El
plan de estudios tradicional
3. El
origen del movimiento de la matemática moderna
4. La
interpretación deductiva de las matemáticas
5. El
rigor
6. El
lenguaje de las matemáticas
7. La
matemática por la matemática
8. El
nuevo contenido de la nueva matemática
9. El
testimonio de los exámenes
10. La
verdadera justificación de las nuevas matemáticas
11. La
dirección conveniente para una reforma
Prefacio
Durante
muchas generaciones los Estados Unidos han mantenido un plan de estudios casi
invariable en las escuelas primarias y secundarias. Este plan, al cual
denominaremos tradicional, se enseña todavía en el 50 ó 60 por 100 de las
escuelas americanas. Un nuevo plan de estudios para las escuelas primarias y
secundarias ha sido elaborado y ha tenido una aceptación bastante amplia
durante los últimos quince años. Es el llamado plan de enseñanza de matemáticas
modernas o de nueva matemática. Aunque son muchos los grupos que han
contribuido a elaborarlo, y sus recomendaciones no han sido totalmente
idénticas, creo que, para el objetivo que nos proponemos, es conveniente dejar
de lado sus diferencias.
El
trabajo experimental de todo tipo con respecto al nuevo plan ya ha sido hecho.
Se han escrito cientos de nuevos textos y millones de niños y jóvenes han sido
y están siendo enseñados con este nuevo material. Además se han publicado
varias docenas de libros que explican el nuevo plan a los padres, maestros,
directores, inspectores y otras partes interesadas. El dinero, tiempo, energía
e ideas invertidos en este programa han sido considerables, aún más: enormes.
Las
matemáticas ocupan el lugar principal en la escuela. Los estudiantes consagran
a las matemáticas ocho años en la escuela primaria y de dos a cuatro años en la
secundaria. Por otro lado, esta asignatura ha demostrado ser un obstáculo para
que muchos estudiantes pudiesen completar sus estudios en la escuela. Por
tanto, es importante saber si el nuevo plan ha mejorado realmente la enseñanza
de las matemáticas y ha hecho verdaderamente esta asignatura más accesible para
el estudiante.
Ahora que
el nuevo programa se ha estabilizado algo y se aclara su naturaleza, parece
posible y necesario decidir si realmente se ha progresado. ¿Están nuestros
niños realmente más preparados a causa de esta reforma a escala nacional, tan
pregonada? Ciertamente la educación de nuestros niños es demasiado importante
para que aceptemos un plan sin la menor crítica sólo porque ha sido
extensamente promocionado y respaldado por muchos profesores de matemáticas.
Hasta el
presente el público en general ha supuesto que la profesión ya se ha
manifestado al respecto y que el único problema es cómo extender la enseñanza
del nuevo programa a muchas más escuelas. Sin embargo, existen fuertes
diferencias de opinión por lo que se refiere a los méritos de las innovaciones
entre los matemáticos profesionales y los maestros. Todas las partes
interesadas deben examinar la eficacia del nuevo material para que las
innovaciones no se impongan como una nueva ortodoxia a pesar de la ausencia de
toda evidencia cierta de que estas innovaciones suponen auténticas mejoras.
Esto es lo que propongo que se haga.
Espero
que el lector opine, como yo, que cualquier libro que critica un determinado
intento de reforma no es ipso facto reaccionario. El plan
tradicional tiene importantes defectos, que yo citaré. Necesita ser mejorado.
Pero me parece que solamente si tenemos el valor de admitir que no se ha hecho
un intento especial de reforma es posible el verdadero progreso y puede
adoptarse una actitud verdaderamente progresiva.
Estoy en
deuda con mucha gente por sus valiosas críticas y sugerencias, y especialmente
con el profesor Fred V. Pohle, de la Adelphi University; el
profesor Alexander Calandra, de la Washington University, y el
Dr. George Grossman, director de Matemáticas en el City Board of
Education de Nueva York. También estoy en deuda con Mr. Thomas
McCormack, presidente de St. Martin’s Press, no sólo por sus críticas y
sugerencias, sino por su aliento para publicar este libro. Repetidas veces
subrayó que la crítica al programa de matemáticas sería un servicio público.
Naturalmente, los puntos de vista expresados en este libro sólo pueden ser
atribuidos a mí.
Morris
Kline, 1973
Capítulo
1
Una muestra de la matemática moderna
«… ¡Gran
Dios! Me gustaría ser un pagano amamantado en un credo gastado.
Así podría…tener visiones que me hiciesen menos desvalido.»
William Wordsworth
Echemos
un vistazo a una clase de matemáticas modernas. La maestra pregunta:
—¿Por qué
es 2 + 3 = 3 + 2?
Los
estudiantes responden decididamente:
—Porque
ambos son iguales a 5.
—No
—reprueba la profesora—, la respuesta correcta es: porque se cumple la
propiedad conmutativa de la suma.
La
siguiente pregunta es:
—¿Por qué
9 + 2 = 11?
De nuevo
los estudiantes responden a la vez:
—9 y 1
son 10 y 1 más son 11.
—Falso
—exclama la profesora—. La respuesta correcta es que, por definición de 2, 9 +
2 = 9 + (1 + 1). Pero como se cumple la propiedad asociativa de la suma, 9 + (1
+ 1) = (9 + 1) + 1. Ahora bien, 9 + 1 son 10, por definición de 10, y 10 + 1
son 11 por definición de 11.
Evidentemente,
la clase no lo está haciendo muy bien, así que la maestra plantea una pregunta
más sencilla:
—¿7 es un
número?
A los
estudiantes, desconcertados por la sencillez de la pregunta, les cuesta trabajo
creer que es necesario responder; pero el hábito de la pura obediencia les
lleva a responder afirmativamente. La maestra se horroriza.
—Si os
pregunto quiénes sois, ¿qué responderíais?
Los
estudiantes, ahora, responden con cautela, pero uno, más valiente, contesta:
—Yo soy
Roberto Fernández.
La
maestra le mira con incredulidad y le dice con tono de reprensión:
—¿Quieres
decir que tú eres el nombre Roberto Fernández? Desde luego que no. Tú eres una
persona y tu nombre es Roberto Fernández. Volvamos ahora a mi pregunta inicial:
¿7 es un número? ¡Claro que no! Es el nombre de un número. 5 +
2, 6 + 1 y 8 − 1 son nombres del mismo número. El símbolo 7 es un numeral del
número.
La
maestra se da cuenta de que los alumnos no aprecian la diferencia e intenta
otro camino.
—¿Es el
número 3 la mitad del número 8? —pregunta. Y se responde a sí misma—: ¡Desde
luego que no! Pero el numeral 3 es la mitad del numeral 8, la mitad derecha.
Los
estudiantes arden ahora en deseos de preguntar: «¿Qué es entonces un número?»
Sin embargo, están tan desanimados por las respuestas equivocadas que han dado
que ya no tienen ánimos para plantear la pregunta. Esto le viene muy bien a la
maestra, porque explicar qué es realmente un número está más allá de su
capacidad y también más allá de la capacidad de comprensión de los alumnos. Así
que después de esto los alumnos tendrán cuidado en decir que 7 es un numeral,
no un número. Pero nunca sabrán qué es un número exactamente.
Las
tristes respuestas de los alumnos no arredran a la maestra, que pregunta:
—¿Cómo
podremos expresar correctamente todos los números que hay entre 6 y 9?
—¡Toma!
—responde uno de los alumnos—, pues 7 y 8.
—No
—replica la maestra—. Es el conjunto de números, intersección del conjunto de
números mayores que 6 y del conjunto de números menores que 9.
Así se
enseña a los alumnos el uso de los conjuntos y, supuestamente, el de la
precisión.
La
maestra, que estando profundamente convencida del cacareado valor del lenguaje
preciso, quiere preguntar a sus alumnos si un número de pirulíes es igual a uno
de niñas, hace la pregunta en la forma siguiente:
—Hallad
si el conjunto de pirulís está en correspondencia biunívoca con el conjunto de
niñas.
No hace
falta decir que no recibe ninguna respuesta de sus alumnos.
Cansada,
pero no vencida, la maestra pregunta una vez más:
—¿Cuántas
son 2 dividido por 4?
Un
brillante estudiante dice sin dudar:
—Menos 2.
—¿Cómo
has obtenido ese resultado? —pregunta la maestra.
—Bien
—dice el alumno—, usted nos ha enseñado que la división es una substracción
repetida. Yo resté 4 de 2 y saqué menos 2.
Podría
parecer que los pobres chicos se habían hecho merecedores de algún descanso
después de la escuela, pero no; los padres, ansiosos por conocer los progresos
hechos por sus niños, también les preguntan. Un padre le pregunta a su hijo de
ocho años:
—¿Cuántas
son 5 + 3?
Por toda
respuesta obtiene que 5 + 3 = 3 + 5, por la propiedad conmutativa. Asombrado,
vuelve a preguntar:
—Pero,
¿cuántas son 5 manzanas y 3 manzanas?
El niño
no comprende bien que «y» significa «más» y pregunta:
—¿Quieres
decir 5 manzanas más 3 manzanas?
El padre
se apresura a responder afirmativamente y espera atento.
—¡Oh!
—dice el niño—, no importa si son manzanas, peras o libros; en cada caso, 5 + 3
= 3 + 5.
Otro
padre, preocupado por los progresos de su hijo en aritmética, le pregunta cómo
va.
—No muy
bien —responde el niño—. La maestra se dedica a hablar de las propiedades
asociativa, conmutativa y distributiva. Yo hago las sumas bien, pero a ella no
le gustan.
Estos
ejemplos intrascendentes nos permiten ilustrar, y quizá caricaturizar, algunas
de las características del ahora llamado plan de matemática moderna o de nueva
matemática. Examinaremos sus características principales con mayor detalle en
el momento oportuno y señalaremos sus ventajas y defectos. Pero antes
revisaremos brevemente las «viejas» matemáticas y veremos qué defectos instaron
al desarrollo de un nuevo plan.
Capítulo
2
El plan de estudios tradicional
«Le he
dado un argumento, pero no estoy obligado a hacérselo comprender.»
Samuel Johnson
Aunque en
los últimos años el plan de enseñanza tradicional en los Estados Unidos se ha
visto algo afectado por el espíritu de reforma, sus características esenciales
se pueden describir en pocas palabras. Los seis primeros cursos de la escuela
primaria están dedicados a la aritmética. En los cursos séptimo y octavo los
alumnos aprenden un poco de álgebra y elementos de geometría, como las fórmulas
de áreas y volúmenes de las figuras más frecuentes. En el primer curso de
secundaria se estudia álgebra elemental; en el segundo, geometría, y en el
tercero, más álgebra (generalmente llamada álgebra intermedia) y trigonometría.
Generalmente el cuarto curso de secundaria está dedicado a la geometría y el
álgebra superior; sin embargo, sobre el trabajo del cuarto curso no hay tanta
unanimidad como sobre el de los primeros.
Repetidamente
se han expresado varias y serias críticas a este plan. La crítica más
importante, que se dirige contra el álgebra en particular, es que impone un
proceso mecánico y por tanto fuerza al alumno a confiar sobre todo en la
memoria antes que en la comprensión.
Fácilmente
se puede ilustrar la naturaleza de tal proceso mecánico. Pongamos un ejemplo de
aritmética. Para hacer la suma de las fracciones 5/4 y 2/3, es decir, para
calcular
los
estudiantes saben que tienen que hallar el mínimo común denominador, es decir,
el menor número al que 4 y 3 dividen exactamente. Este número es 12. Entonces
al dividir 12 por 4 se obtiene 3 y este resultado se multiplica por el
numerador de la primera fracción, 5. Igualmente se divide 12 por 3 y el
resultado, 4, se multiplica por el numerador de la segunda fracción, 2. El
resultado que se obtiene es la conversión de la suma anterior en una suma igual
15
Fácilmente
se ve ahora que la suma es 23/12.
Un buen
maestro no dudaría en hacer todo lo posible para ayudar a comprender la
fundamentación de este proceso, pero, por lo general, el plan tradicional no
presta mucha atención a la comprensión. Confía en la práctica para lograr que
los alumnos hagan el proceso rápidamente.
Después
que los alumnos han aprendido a sumar fracciones numéricas, se encuentran con
una nueva dificultad cuando se les pide sumar fracciones en las que hay letras.
Aunque se sigue el mismo procedimiento para calcular
cada paso
es más complicado. De nuevo, el plan confía en la práctica para pasar la
lección. Se pide a los alumnos que practiquen con numerosos ejercicios de suma
hasta que los pueden resolver con rapidez.
Se
enseñan multitud de procedimientos como el anterior: descomponer en producto de
factores, resolver ecuaciones con una o dos incógnitas; uso de los exponentes,
suma, substracción, multiplicación y división de polinomios y operaciones con
números negativos y con radicales como √3. En cada caso se les pide que imiten
lo que el maestro y el libro hacen. Por tanto, los alumnos se enfrentan con una
variedad desconcertante de procedimientos que aprenden de memoria a fin de
dominarlos. Casi siempre el aprendizaje es completamente memorístico.
También
es verdad que los varios procedimientos están desconectados entre sí, por lo
menos tal como se les presenta habitualmente. Raramente están relacionados.
Aunque todos estos procedimientos contribuyen al objetivo de lograr que los
alumnos realicen operaciones algebraicas, en matemáticas superiores, por lo que
los alumnos alcanzan a ver, los temas son inconexos. Son como páginas
arrancadas de un centenar de libros diferentes, ninguno de los cuales expresa
la vida, el significado y el espíritu de la matemática. Esta exposición del
álgebra no se sabe ni dónde empieza ni dónde acaba.
Después
de un año de estudiar este tipo de álgebra en el plan tradicional, se pasa a la
geometría euclídea. Aquí la matemática se hace de repente deductiva. Es decir,
que el texto comienza con las definiciones de las figuras geométricas y con los
axiomas o definiciones básicas sobre las figuras que se supone son «obviamente
ciertas». Luego se demuestran los teoremas aplicando a los axiomas
razonamientos deductivos. Los teoremas se deducen uno de otro en sucesión
lógica; es decir, que la demostración de los últimos teoremas depende sobre
todo de las conclusiones obtenidas en los primeros. El repentino cambio del
álgebra mecánica a la geometría deductiva es verdaderamente molesto para la
mayor parte de los alumnos. Hasta ahora no han aprendido, durante su educación
matemática, lo que es una «demostración» e inevitablemente deben dominar este
concepto además de aprender a dominar la propia materia.
En
matemáticas es fundamental el concepto de demostración y así en geometría los
alumnos tienen la oportunidad de aprender lo más característico de la
asignatura. Pero puesto que la demostración final deducida de un teorema es
generalmente el resultado final de un montón de conjeturas y experimentaciones,
y a menudo depende de un esquema ingenioso que permite demostrar el teorema en
la adecuada sucesión lógica, la demostración no es necesaria mente la natural,
es decir, la que se le ocurriría inmediatamente al adolescente. Por otra parte,
el argumento deductivo no da idea de las dificultades que hubo que superar al
hacer por primera vez la demostración. Así pues, el alumno no puede comprender
el razonamiento de ésta y hace en geometría lo mismo que en álgebra. Aprende de
memoria la demostración.
Otro
problema preocupa a muchos alumnos: si el álgebra forma también parte de las
matemáticas, ¿por qué se exige una demostración deductiva en geometría y no en
álgebra? Este problema se acentúa cuando los alumnos llegan al álgebra
intermedia, generalmente después del curso de geometría, cuando las
demostraciones se sustituyen por las técnicas.
Con o sin
demostración, el método de enseñanza tradicional es el resultado de un tipo de
enseñanza: la memorización. La afirmación de que tal tipo de exposición enseña
a pensar es sumamente exagerada. Para ponerlo en evidencia, si es que esta
evidencia es necesaria, he desafiado a cientos de profesores de enseñanza
secundaria y de colleges[1] a
hacer exámenes con libros. Esta sugerencia les escandaliza; pero si
estuviéramos enseñando a pensar realmente y no a memorizar, ¿de qué les iban a
servir los libros a los alumnos?
El plan
tradicional se ha hecho demasiado tradicional. Algunos de los temas en los que
se había insistido considerablemente, durante generaciones, han perdido
importancia, aunque aún se estudian. Un ejemplo es la resolución de triángulos
en trigonometría. Conociendo algunos datos —lados y ángulos— de un triángulo,
la teoría enseña cómo obtener los restantes elementos, e incluso cómo utilizar
los logaritmos en los cálculos. Esta cuestión, que tenía más importancia cuando
en un principio la trigonometría se enseñaba a los futuros topógrafos, la ha
perdido hace tiempo. Otro ejemplo es el de la obtención de raíces irracionales
de ecuaciones polinómicas. El método que habitualmente se enseñaba, llamado
método de Horner, requería un aprendizaje de varias semanas, y esto no estaba
justificado.
También
hay defectos lógicos secundarios en el plan tradicional. Por ejemplo, se enseña
a los estudiantes que x2 − 4 puede descomponerse en
los factores (x + 2)(x − 2), pero que esto no es
posible para x2 − 2. Sin embargo, esta última
expresión sí se puede descomponer en factores cuando queremos introducir
números irracionales. En este caso los factores son x − √2
y x + √2. Igualmente, x2 + 4 puede
descomponerse en factores si queremos usar números complejos. En este caso los
factores son x + 2i y x − 2i,
donde i = √−1. Así que el error cometido por el método
tradicional de enseñanza consiste en no especificar la clase de números que
queremos manejar con objeto de obtener la descomposición en factores.
Además de
los pocos fallos que ya hemos descrito, el plan tradicional de enseñanza se
resiente del defecto más grave que se pueda achacar a cualquier plan: la falta
de motivación. La verdadera matemática, como decía el famoso matemático de este
siglo Hermann Weyl, tiene las propiedades inhumanas de la luz de las estrellas,
es brillante y nítida, pero fría. También es abstracta. Trabaja con conceptos,
aunque algunos, tales como los geométricos, pueden visualizarse. Por ambos
motivos, la frialdad y la abstracción, muy pocos estudiantes se sienten
atraídos por la materia.
La gente
joven comprende sin duda que hay alguna razón para aprender aritmética, pero no
ve el motivo para estudiar álgebra, geometría y trigonometría. ¿Por qué han de
aprender la suma de fracciones algebraicas, la resolución de ecuaciones, la
descomposición en factores y otros temas parecidos? El atractivo de la
geometría no es mayor. Es verdad que los estudiantes pueden ver de qué trata la
geometría y qué afirman los teoremas; las figuras revelan de qué se ocupa esta
rama de la matemática. Pero la pregunta de por qué se debe estudiar esta
asignatura, aún no ha sido respondida. Es fácil comprender en qué consiste la
historia de China, pero cabe preguntarse por qué se está obligado a aprenderla.
¿Por qué es importante saber que los ángulos opuestos de un paralelogramo son
iguales o que las alturas de un triángulo se cortan en un punto?
Evidentemente,
no se puede defender el álgebra, la geometría y la trigonometría diciendo que
se utilizarán después en la vida práctica. Los profanos no tienen nunca ocasión
de usar estos conocimientos a menos que lleguen a ser científicos, matemáticos
o ingenieros profesionales. Pero este grupo sólo lo forma un pequeño porcentaje
del alumnado de enseñanza secundaria. Además, aun si todos los alumnos fuesen a
usar las matemáticas más adelante en su vida, es to podría no motivar su
interés. A los jóvenes no se les puede pedir seriamente que aprendan algo
porque pueden necesitarlo en años sucesivos. Esta motivación a me nudo se
describe como «ofrecer la luna».
El caso
es que, en un esfuerzo por interesar a los alumnos, las escuelas trataron de
enseñar algunas aplicaciones de la aritmética en los cursos séptimo y octavo.
Enseñaban interés simple y compuesto y descuento en préstamos. Pero los alumnos
de doce y trece años no se interesaron por tales cuestiones y el experimento
resultó un fracaso. La motivación debe atraer al alumno en el momento que cursa
los estudios.
Otra
motivación que a menudo se ofrece a los estudiantes es que deben estudiar
matemáticas para entrar en el college. Si las matemáticas que les
han enseñado en la escuela primaria y secundaria son una muestra de lo que van
a aprender en el college, puede que ellos no quieran ir
al college.
Los
futuros matemáticos, científicos e ingenieros encontrarán que las matemáticas
son útiles en sus carreras. Pero si las matemáticas que se les ofrecen no
indican en qué serán útiles y carecen totalmente de atractivo, decirles a los
estudiantes que son necesarias para la ciencia y la ingeniería sólo les animará
a buscar otra carrera.
A menudo
se defiende la enseñanza de las matemáticas como un «entrenamiento mental».
Puede muy bien ser un entrenamiento, pero es posible lograr el mismo efecto con
un contenido que sea más comprensible y agradable. Se podrían enseñar las
formas de razonamiento usadas comúnmente recurriendo a problemas sociales o
sencillamente legales cuya importancia en la vida es mucho más clara para los
estudiantes. No se necesitan matemáticas para enseñar a la gente que decir
«todos los coches buenos son caros» no es igual que decir «todos los coches
caros son buenos». Además, el uso de problemas sociales o legales no requiere
el dominio del lenguaje técnico, el simbolismo y los conceptos abstractos que
tienden a oscurecer el razonamiento. Así pues, es mucho más difícil para el
estudiante comprender que la afirmación «todos los paralelogramos son
cuadriláteros» no es igual que «todos los cuadriláteros son paralelogramos». De
hecho, la experiencia en la enseñanza muestra que a fin de hacer comprensibles
para los estudiantes los argumentos lógicos que se usan en los razonamientos
matemáticos, se deben utilizar ejemplos no matemáticos que contengan los mismos
argumentos. Por otra parte, está la cuestión de si el entrenamiento mental en
una esfera es aplicable en otra. Hay motivos para inclinarse a creer que es
así, pero no es posible probarlo.
Otra
justificación que se da habitualmente del estudio de las matemáticas a nivel de
enseñanza media es la belleza de la asignatura. Pero sabemos que los temas
enseñados no han sido seleccionados por su belleza. Han sido escogidos porque
son necesarios para el estudio posterior de la matemática. No hay belleza
alguna en la suma de las fracciones, en la resolución de la ecuación de segundo
grado o en la fórmula del seno. Todos los sermones o delirios del mundo acerca
de la belleza de las matemáticas no podrán hacer atractivo este «patito feo».
Además, los neófitos no están dispuestos a encontrar belleza en materias que
aún están tratando de dominar; al igual que el que está aprendiendo gramática
francesa no puede apreciar la belleza de la literatura francesa.
Las
matemáticas atraen a unos pocos estudiantes por estímulo intelectual o porque
les gusta algo que esperan hacer bien. El raro estudiante que experimenta este
estímulo puede verdaderamente sentirse intrigado —como algunos matemáticos— por
el hecho de que sólo haya cinco poliedros regulares. Sin embargo, por lo que
respecta a la mayor parte de los estudiantes, el mundo sería igualmente cómodo
si hubiese un número infinito de ellos. De hecho, hay un número infinito de
polígonos regulares y nadie parece deprimido por ello.
Verdaderamente
hay un valor intelectual en las matemáticas. Pero cabe preguntarse si los
jóvenes pueden apreciarlo, de igual manera que cabe preguntarse si un niño de
seis años puede apreciar la música de Beethoven. Si el profesor demuestra un
teorema de matemáticas, el alumno aún estará luchando por comprender el
teorema, su demostración y su significado. Mientras el estudiante libre tales
luchas no es probable que se impresione con el contenido intelectual y los
logros de la mente humana. En él, el teorema y la demostración producen
desconcierto y confusión.
Además de
los pretendidos valores del entrenamiento mental, la belleza y el estímulo
intelectual, los defensores del plan tradicional destacan los problemas. Estos,
dicen ellos, enseñan el uso de las matemáticas y convencen al estudiante de que
el tema es importante. Hay problemas tales como el del hombre que está cavando
un foso. «Un hombre puede cavar un foso en dos días y otro en tres días.
¿Cuánto tiempo necesitarán los dos hombres para cavarlo juntos?» Tales
problemas crean trabajos inútiles.
También
están los problemas de llenar depósitos para estudiantes que no tienen piscina
que llenar. Y problemas de mezclas como: «¿Cuántos litros de leche con un diez
por ciento de crema y cuántos con un cinco por ciento de crema deben mezclarse
para obtener cien litros de leche con un cincuenta por ciento de crema?». Estos
problemas son útiles para los granjeros que quieran falsificar el contenido de
crema de su leche. Otros problemas son los de mezclar marcas de café o té para
hacer brebajes impotables.
También
hay problemas de edades: «Juana es veinte años mayor que María. Dentro de diez
años, Juana será dos veces mayor. ¿Qué edad tiene María?» Este tipo de
problemas exige averiguar la edad de otras personas, y mucha gente es muy
susceptible acerca de su edad.
Hay
también problemas de números tales como «Un número es igual a tres veces otro
número menos dos. ¿Cuáles son los números?» (Las trampas de números son
actualmente ilegales.) Más «reales» son los problemas de tablas. «Una tabla de
siete metros de largo debe ser cortada en dos partes, una de ellas dos metros
más larga que la otra. ¿Qué longitud tienen las dos partes?» Naturalmente los
alumnos terminan aburridos con los problemas de tablas.
Y no
debemos olvidar los problemas de tiempo, proporciones y distancias, tales como
el de cruzar un río perpendicularmente, destinados a estudiantes que no están
interesados en ir a ningún sitio. Algunos de los problemas se refieren a paseos
por un jardín circular y preguntar la dimensión del jardín. Si permitiéramos a
los estudiantes pasear por un jardín en una agradable compañía haríamos más
felices a los estudiantes.
Todos
estos problemas son desesperadamente artificiales y no convencerán a nadie de
que el álgebra es útil.
Algunos
de los autores de textos de álgebra hacen hincapié en los problemas de física
«auténticos». Por ejemplo, la ley de Ohm dice que el voltaje y es igual a la
intensidad I por la resistencia R. En
símbolos, V = IR. Calcular V si I =
20 y R = 30. Pero la corriente que se utiliza en el problema
no mueve ningún motor mental. Por lo que sabe el estudiante, la ley de Ohm
podría describir el número de matrimonios que se celebran en Birmania cada año.
Durante
generaciones los textos de cálculo infinitesimal han enseñado a los estudiantes
a calcular los centros de gravedad y momentos de inercia de los cuerpos sin que
nunca se señalase por qué estas cantidades son importantes. En consecuencia, la
gravedad de estos problemas no produce sino inercia en los estudiantes. Tales
problemas de física, planteados sin exponer ni sus antecedentes ni su
significado físico, carecen de sentido para el estudiante. Está claro que una
aplicación física es inútil si el estudiante no puede ver cómo se utiliza.
Aun el
uso de la palabra «aplicación» es a menudo molesto. Supongamos que se enseña a
los estudiantes la fórmula de un área y se les pide calcular áreas con ella. Se
supone los cálculos que son una «aplicación». Esta clase de aplicaciones no
hacen más que añadir leña al fuego. Puesto que las llamadas aplicaciones son
inútiles y sin embargo forman parte de la matemática, ¿en qué sentido son
aplicaciones?
El hecho
es entonces que en el plan tradicional no se ofrece ninguna motivación para el
estudio de las matemáticas. Los estudiantes lo hacen porque se les obliga. La
motivación es algo más que un estímulo psicológico. La motivación auténtica,
además, permite comprender el verdadero significado de la matemática. Gran
parte de la matemática, especialmente la de nivel elemental, fue originada
directamente por situaciones y problemas reales. La simple fórmula s =
16 t2 adquiere significado cuando se aprende que
relaciona la distancia recorrida por un objeto en una caída con el tiempo que
tarda en caer. Una elipse se con vierte en algo más que otra curva cuando se
aprende que es la trayectoria de un planeta alrededor del sol. Además las
preguntas que sugieren la fórmula y la curva adquieren significado al
relacionarse con situaciones físicas. El significado físico permite también, al
menos en muchos casos, pensar en los problemas de matemática que se han
planteado, ya que la matemática no es más que una descripción de la física y un
medio de resolver problemas físicos y de otro tipo.
Si no se
da un significado a las matemáticas es como si se enseñara a los estudiantes a
leer la notación musical sin permitirles interpreta r la música. Puede
enseñarse a los estudiantes a reconocer una redonda, una blanca, un sostenido,
un bemol, la clave y cómo cambiar la música de una clave a otra sin haber oído
nunca música. Pero si no oyen lo que estas diversas notaciones y técnicas
significan, serán para ellos conocimientos aburridos y carentes de significado.
El plan
tradicional ha sido fielmente reproducido en mi les de libros de texto. La
impresión más general sobre los textos tradicionales es que son insufriblemente
pesados. La mayor parte de los autores de libros de texto parecen creer que una
obra científica debe ser fría, sin imaginación, mecánica y seca. Estos libros
no tienen autor. No sólo están impresos por máquinas, también están escritos
por máquinas.
Los
autores de libros de texto también parecen estar excesivamente orgullosos de su
brevedad, la cual, a menudo, puede interpretarse como incomprensibilidad. Las
razones de los pasos o no se dan o se dan de forma tan breve que la exposición
resulta casi inútil para el estudiante. Muchos de los autores parecen estar
diciendo: «Yo he aprendido este tema y ahora le desafío a usted que lo
aprenda.» La brevedad en la exposición matemática es la esencia de la estupidez
y la oscuridad.
Lo peor
de muchos textos tradicionales de matemáticas es que carecen de originalidad y
se repiten unos a otros interminablemente. Desde 1900 han sido publicados
varios miles de textos de aritmética, álgebra, geometría y trigonometría.
Prácticamente todos los textos de cualquiera de es tos temas utilizan los
mismos materiales y la misma exposición; sólo el orden es diferente. Sin
embargo, hay alguna esperanza de «progreso», ya que cada uno de ellos con tiene
al menos diez temas y el número de permutaciones de diez objetos es de
3.628.800. Sería difícil calcular cuántos textos de trigonometría han sido
escritos con la justificación de que tratan el ángulo en general antes que el
ángulo agudo. Se puede estar seguro, sin embargo, de que serán tantos como los
que alardean de tratar el ángulo agudo antes que el ángulo en general. Lo único
agudo de estos libros es el dolor que producen al lector.
¿Hay
variaciones entre estos libros? Hay variaciones tales como el álgebra elemental
y el álgebra superior, el álgebra superior elemental y el álgebra elemental
superior, el medio curso y el curso completo, el curso de siete octavos y así
sucesivamente. Aquí también cabe alguna esperanza de «progreso», porque como
hay números irracionales podemos confiar en que habrá cursos de álgebra
irracional.
Lo
especialmente molesto de estos libros es que muchos de los autores son
conscientemente deshonestos en su profesión. Una vez pregunté a un profesor que
había escrito muchísimas trigonometrías completas o parcialmente completas, por
qué incluía temas tan inútiles como la solución de triángulos oblicuos mediante
las relaciones entre las tangentes y los ángulos mitad. Admitió que estos temas
no tienen valor, pero dijo que los incluía porque los libros se vendían mejor.
Según parece, por muchas trigonometrías que escriba un hombre, ninguna
reflejará su opinión sinceramente.
Pregunté
a otro profesor, que había publicado una álgebra estereotipada para uso
de colleges, por qué se molestaba en escribir tales retahílas
sin sentido. «¡Oh! —me dijo—. Puedo escribir esto entre clase y clase sin tener
que pensar. ¿Por qué no lo iba a hacer?» No es preciso decir que la falta de
pensamiento era evidente en la presentación del material.
Otro
profesor publicó un libro que contenía algunos temas que él creía sin
importancia. Esto lo admitía en el prefacio, y añadía cándidamente que los
incluía con vistas al mercado. ¡Qué deshonestidad más honesta!
Los
autores que repiten los temas de otros, en cierto modo se plagian. Pero el
plagio va más allá de esto. Fácilmente se encuentran paráfrasis de partes
completas de muchos apartados. Un autor copia capítulos completos de otro libro
con cambios mínimos, reconociendo, naturalmente, la inspiración de Dios,
Euclides, Newton y Einstein.
La mayor
parte de los textos de matemáticas tradicionales parecen trabajos comerciales
que sólo contribuyen a llenar el bolsillo del autor. La ética de algunos
profesores, por no hablar de su mentalidad, se encuentra en estado lamentable.
Los únicos que pueden reclamar que se les reconozca el mérito de un trabajo
original en relación con estos libros son los encargados de la publicidad de
las editoriales, que deben imaginar buenos y atractivos anuncios.
La
imparcialidad exige que se mencionen las recientes mejoras en el formato de los
textos de matemáticas. Las fórmulas importantes ahora se encuadran en rojo.
Otros textos usan láminas de plástico para mostrar, superponiendo las
transparencias sobre la figura original en el texto, cómo va aumentando la
complejidad de la figura.
Evidentemente,
los defectos del plan tradicional son numerosos. La confianza en la
memorización de desarrollos y demostraciones, el tratamiento dispar del álgebra
y la geometría, los defectos lógicos secundarios, la conservación de temas
anticuados, la falta de toda motivación o atractivo explican por qué a los
jóvenes no les gusta la asignatura y, por tanto, no avanzan en ella. La
aversión a las matemáticas se intensifica y las dificultades de comprensión
aumentan al tener que leer libros de texto oscuros, pobremente escritos, y
concebidos con fines comerciales.
Cierto es
que la reforma era necesaria. Los iniciadores del nuevo movimiento matemático
no citaron todos los defectos anteriores. Sin embargo señalaron algunos de
ellos. Así que vamos a ver ahora qué propuso hacer esta gente y a intentar
valorar las mejoras efectivas que introdujeron en la enseñanza de las
matemáticas.
Capítulo
3
El origen del movimiento de la matemática moderna
«La
experiencia, sin embargo, enseña que para la mayoría de la gente culta, e
incluso de los científicos, las matemáticas siguen siendo la ciencia de lo
incomprensible.»
Alfred Pringsheim
A
comienzos de los años cincuenta, e incluso antes, todo el mundo estaba de
acuerdo en que la enseñanza de las matemáticas era insatisfactoria. El nivel de
los estudiantes en matemáticas era más bajo que en las otras asignaturas. La
aversión e incluso el terror estudiantil a las matemáticas estaban muy
extendidos. Los adultos no recordaban casi nada de las matemáticas que habían
aprendido y no sabían efectuar, operaciones sencillas con fracciones. De hecho,
no vacilaban en decir que no habían sacado nada en limpio de sus cursos de
matemáticas. Cuando los Estados Unidos entraron en la segunda guerra mundial,
los militares descubrieron rápidamente que los hombres estaban mal preparados
en matemáticas y tuvieron que organizar cursos especiales para elevar el nivel
de conocimientos.
Aunque
hay muchos factores que determinan el resultado de cualquier actividad docente,
los grupos que acometieron la reforma se centraron en el plan y razonaron que
si se perfeccionaba este componente, la enseñanza de las matemáticas sería un
éxito.
En 1952
el comité de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Illinois, dirigido
por el profesor Max Beberman, comenzó a elaborar un nuevo o moderno plan de
matemáticas. Hacia 1960 el plan (que en aquella fecha solamente había sido
concebido para la enseñanza secundaria) fue probado en un grupo experimental.
Más adelante, el comité comenzó a confeccionar un plan para la escuela primaria
y gradualmente extendió la enseñanza de los temas de la enseñanza primaria y
media a otras áreas geográficas. Los textos experimentales, fotocopiados,
fueron finalmente publicados como textos comerciales.
En 1955,
el College Entrance Examination Board, cuya función es preparar exámenes de
ingreso en los colleges que cumplan los requisitos exigidos
por la mayor parte de ellos, decidió atacar el problema del plan de matemáticas
para la enseñanza secundaria y elaborar lo que consideraron el plan adecuado.
Esto les llevó a la creación de su propia comisión de matemáticas. En 1959, la
comisión distribuyó su informe, el Program for College Preparatory
Mathematics, y añadió varios apéndices con ejemplos de temas recomendados.
Durante los años 1955 a 1959, y también durante varios años después, los
miembros de la comisión recorrieron el país haciendo propaganda del plan que
proponían en su Programa.
En otoño
de 1957 los rusos lanzaban su primer Sputnik. Este acontecimiento convenció al
gobierno y al país de que Estados Unidos estaba por detrás de los rusos desde
el punto de vista de las matemáticas y la ciencia, y tuvo el efecto de aflojar
la bolsa de los organismos gubernamentales y de las fundaciones. Puede que
fuese una coincidencia, pero en ese momento otros muchos grupos decidieron
participar en la elaboración de un nuevo plan.
La
American Mathematical Society, organización dedicada a la investigación,
decidió en 1958 aplicar todos sus esfuerzos a la redacción de un plan para la
enseñanza secundaria y creó un nuevo grupo, el School Mathematics Study
Group, dirigido por Edward G. Begle, entonces profesor de la
Universidad de Yale, para acometer la tarea. Este grupo comenzó su trabajo
redactando un plan para todos los cursos de la enseñanza secundaria, y luego
amplió su programa para incluir el plan de aritmética de las es cuelas primarias.
El
National Council of Teachers of Mathematics organizó su propio comité para el
plan, el Secondary School Curriculum Committee, que dio a conocer sus
recomendaciones en un artículo publicado en The Mathematics Teacher en
mayo de 1959. Otros muchos grupos, tales como el Ball State Project, el
University of Maryland Mathematics Project, el Minnesota School Science and
Mathematics Center y el Greater Cleveland Mathematics Program, pronto fueron
organizados y comenzaron su trabajo.
Los
profesores de enseñanza secundaria y de college comenzaron a
finales de los años cincuenta a escribir sus propios textos siguiendo la línea
ya prevista o expresamente recomendada por dichos grupos. Un torrente de libros
de este tipo había aparecido ya a comienzos de los años sesenta y muchos más
han continuado apareciendo desde entonces.
Sorprendentemente,
los numerosos grupos y escritores independientes siguieron todos,
aproximadamente, la misma dirección. Por tanto, su obra, con bastante razón, ha
sido descrita con el término de «matemática moderna» (o «nueva matemática»).
El origen
del término «matemática moderna» es significativo. Antes de que los miembros de
la Comisión de Matemáticas hubiesen determinado qué iban a recomendar, se
dirigieron a un buen grupo de profesores. El contenido principal de su mensaje
era que la enseñanza de las matemáticas había fracasado porque el plan
tradicional enseñaba unas matemáticas anticuadas, entendiendo por ello las
matemáticas creadas antes de 1700. Estaba implícito en el argumento el supuesto
de que los jóvenes conocían este hecho y que, por tanto, se negaban a aprender
matemáticas. ¿Iría usted, argumentaban estos educadores, a un abogado o a un
médico cuyos conocimientos estuviesen limitados a lo que se sabía antes de
1700? Aunque estos portavoces estaban sin duda bien informados sobre las
matemáticas, ignoraban el hecho de que las matemáticas se desarrollan en forma
acumulativa y que es prácticamente imposible aprender los últimos procesos si
no se conocen los anteriores. No obstante, la Comisión mantenía que debíamos
abandonar los temas de la matemática tradicional en favor de campos tan nuevos
como el álgebra abstracta, la topología, la lógica simbólica, la teoría de
conjuntos y el álgebra de Boole. La consigna de la reforma era: «matemáticas
modernas».
Así pues,
la reforma ofrecía tanto un nuevo enfoque del plan tradicional como un nuevo
contenido, y algunos grupos destacaron este hecho. Por eso el término
matemática moderna no es realmente el adecuado para describir el nuevo plan.
Sin embargo, quizá porque el valor propagandístico de la palabra «moderno» era
demasiado grande como para desperdiciarla —está claro que es más deseable un
automóvil de 1970 que uno de 1969—, se conservó el término matemática moderna o
nueva matemática.
Aunque el
plan de moderna o de nueva matemática, tal como ha llegado hasta hoy, fue
elaborado por los grupos ya mencionados, nuevos grupos aparecieron en la escena
y comenzaron a recomendar reformas más radicales. Por ejemplo, una conferencia
internacional celebrada en Royaumont (Francia) en 1959 instaba virtualmente el
abandono de todos los métodos familiares en las matemáticas de enseñanza
secundaria, incluso de la geometría de Euclides. La conferencia declaró que
estos planteamientos habían sido superados por la electrónica, la relatividad,
los ordenadores y la inmensa importancia de las matemáticas abstractas como
base de la ciencia moderna. Las nuevas materias serían la lógica, la estructura
y la unidad de las matemáticas en conjunto y serían enseñadas con un nuevo
lenguaje. Esta conferencia no dio lugar a la nueva formación de otros grupos
para hacer un plan, pero incitó a iniciar otros derroteros partiendo del plan
tradicional.
Entre los
nuevos grupos que propusieron las reformas más radicales mencionaremos dos.
Durante el verano de 1963 un grupo de matemáticos asistió a la Cambridge
Conference on School Mathematics (su informe, Goals for School
Mathematics, fue publicado por la Houghton Mifflin Company). Este
grupo recomendó la inclusión —al final del duodécimo curso, cuarto año de
enseñanza secundaria— de muchos temas adicionales avanzados sacados de la
teoría de los números, el álgebra abstracta, el álgebra lineal, la geometría
n-dimensional, la geometría proyectiva, tensores, topología, ecuaciones
diferenciales y, naturalmente, el cálculo infinitesimal. En la página 7
afirmaba:
«Los
temas que proponemos pueden ser descritos a grandes rasgos diciendo que un
estudiante que ha estudiado matemáticas durante trece años, de los cursos 1 al
12 (es decir, desde la escuela primaria hasta el cuarto año de bachillerato),
tendría que tener un nivel comparable a los tres años de enseñanza al más alto
nivel en un college de hoy día.»
La
justificación de abogar por tal programa, cuando los grupos ya existentes en
torno al plan apenas habían comenzado a poner en práctica sus programas o aún
los estaban elaborando, fue dada en el prefacio por Francis Keppel, comisario
de Educación de los Estados Unidos. En él señalaba que los cambios recientes de
plan eran esencialmente diferentes de los intentados en el pasado y que las
reformas habían tenido un gran éxito, en su mayor parte (no está claro cómo
podía saber esto el doctor Keppel en 1963, cuando la mayor parte de los nuevos
planes apenas habían sido llevados a la práctica), hasta el punto de que
«a veces
ha sido difícil distinguir sus defectos. Sin embargo, los defectos están allí y
no son en modo alguno insignificantes. Se puede argumentar, de hecho, que las
deficiencias del actual movimiento de reforma son lo suficientemente graves
como para amenazar los objetivos expresos de los movimientos.»
Keppel
entonces apuntaba que los cambios recomendados por el grupo de Cambridge
trataban de presentar la asignatura tal como la ven los estudiantes y que se
supo nía que los estudiantes podían aprender mucho más de lo que se había
esperado en el pasado. Las limitaciones del profesor eran señaladas también.
«La mayor
parte de los planes de reforma, bastante prácticamente, han preferido limitar
sus ambiciones a la luz de estas realidades. Han tendido a crear tantos nuevos
métodos como puedan utilizar de forma competente los profesores existentes,
después de obtener el beneficio de una breve reeducación. Lo han hecho
perfectamente conscientes de que estaban así estableciendo un límite superior,
límite desagradablemente reducido.»
Keppel
continuaba:
«Si la
cuestión fuese acabar allí, el resultado podría ser desastroso. El nuevo plan
se congelaría en el sistema educativo y acabaría por tener, con el tiempo,
todas las deficiencias del plan que ahora se está barriendo. Y con toda
probabilidad el actual entusiasmo por el plan de reforma tardará en agotarse;
el “nuevo” plan puede permanecer en el sistema hasta que, como el antiguo, se
vuelva no solamente inadecuado sino, de hecho, intolerable. Dado el relativo
conservadurismo del sistema educativo y la tendencia del escolar a ocuparse de
lo que le afecta directamente, el desfase puede ser tan grande, al menos, como
lo ha sido durante la primera mitad del siglo.
»Este
informe es un paso audaz para enfrentarse con el problema. Está caracterizado
por una completa impaciencia ante el actual carácter del sistema educativo. No
solamente la mayoría de los profesores serán completamente incapaces de enseñar
gran parte de las matemáticas expuestas en el plan propuesto aquí; a la mayoría
les costará comprenderlas. Un breve periodo de reeducación no sería suficiente.
Aun el primer grado del plan implica nociones con las cuales el promedio de los
profesores no está familiarizado.
»Sin
embargo, éstos son los planes hacia los que las escuelas deberían apuntar…»
El
segundo de los grupos más recientes que se unió al movimiento para revisar los
planes, el Secondary School Mathematics Curriculum Improvement Study, fue
organizado en 1965 por el profesor de la Universidad de Columbia, Howard Fehr.
Su objetivo era reconstruir las matemáticas de la escuela secundaria «desde
un punto de vista global». Se pretendía eliminar las barreras que separan
las diversas ramas de las matemáticas y unificar la materia mediante sus
conceptos generales, formulaciones, operaciones, aplicaciones, relaciones y
estructuras. (Estudiaremos estos conceptos más adelante.) La argumentación del
profesor Fehr era que su organización de la materia permitía la introducción en
la enseñanza secundaria de buena parte de las matemáticas que hasta entonces se
habían considerado exclusivas del college. Los trabajos del grupo
de Cambridge y del Curriculum Improvement Study han progresado muy lentamente y
su efecto en las escuelas no está muy extendido hasta ahora. Por consiguiente,
nuestro informe y evaluación de los movimientos a favor de la matemática
moderna se concentrarán en los esfuerzos de los grupos precedentes, algunos de
los cuales están trabajando aún en uno u otro aspecto de los programas
escolares.
Los
planes que han sido elaborados por estas organizaciones son el producto de los
esfuerzos de grupos en los que han colaborado matemáticos, profesores de college y
enseñanza secundaria e incluso representantes de la industria. A primera vista
tal colaboración parece ser un juicioso proceder. Sin embargo, los intentos por
hacer que coincidan las opiniones a menudo acaban en componendas que no son
satisfactorias para nadie o que vician la confianza en el esfuerzo. Se puede
ilustrar este punto con la anécdota de que la famosa danzarina Isadora Duncan
se ofreció a sí misma en matrimonio a Bernard Shaw, y quizá en broma le dijo:
«… y
piensa en un niño que tuviera tu cerebro y mi físico».
«Sí —dijo
Shaw—, pero ¿y si el niño tiene tu cerebro y mi físico?»
Cuando se
intenta determinar qué cambios ofrecen es tos planes, por qué son deseables y
qué razones o pruebas se pueden dar para defender la oportunidad de estos
cambios, se tropieza con un problema de magnitud considerable. Es verdad que en
su informe, en 1959, la Commission on Mathematics of the College Entrance
Examination Board describía los cambios que recomendaba. Sin embargo, excepto
para acentuar que la sociedad moderna necesita unas matemáticas totalmente
nuevas, la comisión no defendía los cambios que proponía. Aún más, los diversos
grupos interesados por la reforma que escribieron textos, no solamente
extendieron la reforma a los cursos de las escuelas primarias, sino que no
siguieron necesariamente las recomendaciones de la comisión. Cabía esperar que
cada grupo declarase su postura y presentase su alegato para incluir o excluir
temas en particular o para adoptar su propio punto de vista. Esto no se ha
producido. Ello es aún aplicable a todos los textos publicados por autores
aislados que proclaman su carácter moderno. Así, se deja que deduzcamos por
nosotros mismos qué es el plan de matemáticas moderno y por qué es
supuestamente superior al plan tradicional. ¿Podría suponerse que la ausencia
de explicaciones y justificaciones significa que los partidarios de las
matemáticas modernas no tienen muy claro ellos mismos qué es lo que han
encabezado, o que temen que una afirmación explícita de las características y
los supuestos méritos de sus proyectos no resistiría un examen? En cualquier
caso, para determinar la naturaleza y las cualidades de los planes de
matemática moderna hay que examinar los textos y escuchar los discursos de los
diversos partidarios de la reforma. Por el momento, en espera de una discusión
más amplia, permítasenos señalar que hay dos características principales en el
nuevo plan: una nueva interpretación de la matemática tradicional y un nuevo
contenido.
Puesto
que intentamos valorar las nuevas matemáticas es necesario considerar en base a
qué se las va a juzgar. Podría usarse como criterio: ¿es la matemática
correcta? La respuesta es sí, pero el criterio es inservible. La corrección no
garantiza que los estudiantes se aficionen a la asignatura, que puedan
comprenderla o que estas matemáticas, en particular, sean las que deberían
enseñarse.
¿Se
formarán con ellas matemáticos? Aunque éste fuese el plan ideal para formar
matemáticos, esto no sería suficiente. Las nuevas matemáticas se enseñan a
alumnos de enseñanza primaria y secundaria que escogerán las más diversas
profesiones, trabajos, empleos técnicos y salidas o se convertirán ante todo en
esposas y madres. De los niños de la escuela primaria, ni un uno por mil serán
matemáticos; y en cuanto a los estudiantes que cursan enseñanza secundaria, ni
uno de cada cien llegará a serlo. Entonces está claro que un plan que pudiera
ser ideal para la formación de matemáticos podría no ser el correcto para estos
niveles de enseñanza.
Su
contenido debería contribuir a alcanzar los objetivos de la enseñanza primaria
y secundaria y ser accesible a los jóvenes. Su enfoque debería hacer el
contenido atractivo y ayudar en lo posible a su comprensión. En particular, las
nuevas matemáticas deberían remediar, al menos en parte, algunos de los
defectos del plan tradicional. Desgraciadamente, en el campo de la educación, a
diferencia de las matemáticas propiamente dichas, no es posible dar una
demostración irrebatible de que un determinado principio o tema es correcto o
falso. Pero hay argumentos que nos permiten decidir.
Aunque
más de una docena de grupos han elaborado nuevos planes y, por ahora, muchos
textos de nuevas matemáticas están en el mercado, ya hemos señalado que todos
optaban aproximadamente por el mismo enfoque y contenían los mismos temas. Esta
uniformidad es consecuencia, en parte, de la imitación. También es una
consecuencia de las preferencias y la orientación de los matemáticos en la
investigación actual, que estudiaremos ampliamente más adelante. Así pues,
aunque no toda afirmación que hagamos acerca de las nuevas matemáticas se
aplique necesariamente a cada uno de los planes, es justo tratarlos como
movimientos aislados caracterizados por líneas y programas comunes.
Nuestro
propósito es considerar cuidadosamente la naturaleza de los programas de las
nuevas matemáticas y analizar sus ventajas e inconvenientes. Antes de hacer
esto, nos gustaría intercalar una crítica diferente, pero no obstante adecuada.
La reforma de la enseñanza de las matemáticas era necesaria, pero la cuestión
es si el plan era el componente más débil y si debería haber sido atacado en
primer lugar. Todo el mundo admito, creo, que la política de enseñanza general
proseguida en Estados Unidos es muy loable, pero nuestro país no estaba ni está
aún preparado para llevar adelante tal programa. Lo cierto es que no tenemos
bastantes profesores cualificados; por tanto, la educación en muchas partes de
esta nación es lamentablemente floja. Si hubiera habido mejores profesores,
éstos habrían sido capaces desde hace tiempo, actuando de acuerdo, de remediar
los defectos del plan tradicional. Puesto que el profesor es al menos tan
importante como el plan, el dinero, el tiempo y la energía dedicados a la
reforma del plan muy bien podían haberse dedicado al perfeccionamiento de los
profesores. Es verdad que en 1958 la National Science Foundation inauguró
varios institutos para la formación de profesores que han proseguido esta
labor. Estos institutos debían haber sido utilizados para mejorar los
conocimientos matemáticos de los profesores de enseñanza primaria y secundaria,
que hubieran podido formar juicios independientes sobre qué es lo más
importante en matemáticas. Desgraciadamente, han sido utilizados en gran medida
para enseñar a los profesores cómo enseñar matemáticas sin haber probado antes
si éstas valían la pena.
Tanto si
la reforma del plan debería haber recibido prioridad como si no, debemos
afrontar el hecho histórico de que el nuevo plan está ahí y se usa ampliamente.
Intentemos por tanto evaluarlo.
Capítulo
4
La interpretación deductiva de las matemáticas
«La misma
gran ciencia (las matemáticas) emplea al menos tanto el poder de la imaginación
como el poder de las conclusiones lógicas.»
Johann Friedrich Herbart
Una de
las criticas fundamentales al plan tradicional es que los alumnos aprendían a
hacer las matemáticas maquinalmente, memorizando procedimientos y
demostraciones. El argumento de los defensores del plan de matemática moderna
es que si la materia se enseñara lógicamente, si se evidenciara el razonamiento
en que se apoya cada paso, los alumnos ya no tendrían necesidad de estudiar de
memoria. Comprenderían las matemáticas. La interpretación lógica es también, en
otras palabras, la interpretación pedagógica y la panacea para las dificultades
que los estudiantes han tenido para aprender matemáticas.
¿Qué
significa exactamente la interpretación lógica? Fundamentalmente es el usado en
el plan tradicional para enseñar la geometría en la enseñanza secundaria. Es
decir, se comienza por los axiomas y definiciones y se demuestran en forma
deductiva las conclusiones, a las que se llama teoremas. Aunque este enfoque ha
sido usado en geometría, no ha sido utilizado en la enseñanza de la aritmética,
el álgebra y la trigonometría. Por tanto, el mayor cambio en este aspecto del
nuevo plan se ha producido en estas asignaturas. Veamos qué supone el
planteamiento deductivo de la aritmética y del álgebra[2]. Los
ejemplos que examinaremos están tomados de textos típicos de matemática
moderna.
En
aritmética se presupone habitualmente que sabemos lo que son los números 0, 1,
2,…, los llamados números naturales. Entonces se introducen los axiomas.
Sabemos que 4 más 3 da lo mismo que 3 más 4 o que 3 + 4 = 4 + 3. Este axioma se
escribe con lenguaje simbólico a + b = b + a y
se llama axioma conmutativo. Es decir, que podemos intercambiar o conmutar el
orden en el que sumamos dos números.
Si
tenemos que calcular 3 + 4 + 5, podemos sumar 3 + 4 y después sumar 5 al
resultado, o bien podemos calcular 4 + 5 y sumar 3 al resultado. Es decir, que
podemos asociar primero 3 y 4 y entonces sumar 5 o asociar primero 4 y 5 y
sumar el resultado, 9, a 3. Este es el axioma asociativo de la suma. En
lenguaje simbólico se expresa en la forma (a + b)
+ c = a + (b + c).
Los axiomas conmutativo y asociativo se aplican también a la multiplicación. O
sea: a × b = b × a y
(a × b) × c = a × (b × c).
Consideremos
ahora 3 × (4 + 5). Esto es igual a 3 × 9, o sea, 27. También es igual a 3 × 4 +
3 × 5. Es decir, que a × (b + c)
= a × b + a × c.
Esto corresponde a otro axioma, llamado distributivo. Significa que podemos
distribuir la multiplicación entre b y c en
vez de aplicarla a b + c.
Hay otros
axiomas. Por ejemplo, la suma y el producto de números naturales es un único
número natural. Hay un único número natural, 0, tal que a + 0
= a para todo número natural a, y hay un único
número natural, 1, tal que a × 1 = a, para todo
número natural a.
Estos
axiomas se usan en la aritmética para justificar ciertos pasos. Consideremos la
suma de 38 y 3. Esta se hace en la forma siguiente. Por definición de 38,
38 + 3 =
(30 + 8) + 3.
El axioma
asociativo nos dice que
(30 + 8)
+ 3 = 30 + (8 + 3).
Ahora,
por definición de 3,
30 + (8 +
3) = 30 + (8 + [2 + 1]),
y por el
axioma asociativo de la suma
30 + (8 +
[2 + 1]) = 30 + ([8 + 2] + 1).
Sumando 8
y 2 tenemos
30 + ([8
+ 2) + 1) = 30 + (10 + 1).
Por el
axioma asociativo
30 + (10
+ 1) = (30 + 10) + 1.
y puesto
que 30 + 10 = 40 y 40 + 1 = 41, tenemos finalmente deducido que
38 + 3 =
41.
Para
mostrar cómo se usa el axioma distributivo en la aritmética, consideremos el
producto 7 × 13. Por definición de 13,
7 × 13 =
7 × (10 + 3).
Ahora el
axioma distributivo nos dice que
7 × (10 +
3) = 7 × 10 + 7 × 3.
Como 7 ×
10 = 70 y 7 × 3 = 21, hemos deducido que
7 × 13 =
91.
Probablemente
estos pasos, que emplean el axioma distributivo, dejan más claro cómo se
obtiene el 91 que el multiplicar en la forma habitual, diciendo que 7 × 3 = 21
escribiendo el 1, llevando el 2 a la columna de las decenas y sumándolo al
resultado obtenido de multiplicar 7 y 1.
Es verdad
que nuestro método de escribir números tales como el 13 emplea lo que se llama
la notación posicional. Es decir, el 1 en el 13 vale 10 y esto debe tenerse en
cuenta en cualquier método que enseñe a multiplicar. La cuestión es si la
mención del axioma distributivo clarifica la operación. Supongamos que es así y
veamos a qué conduce esto. Veamos el problema de multiplicar 17 × 13. Para
seguir el modelo anterior debemos hacer:
17 × 13 =
(10 + 7) × (10 + 3).
Entonces
10 + 7 debe mirarse como un número simple, y por el axioma distributivo
(10 + 7)
× (10 + 3) = [10 + 7] × 10 + [10 + 7] × 3.
Por el
axioma conmutativo de la multiplicación
[10 + 7]
× 10 + [10 + 7] × 3 = 10 × [10 + 71 + 3 × [10 + 7],
y de
nuevo por el axioma distributivo
10 × [10
+ 7] + 3 × [10 + 7] = (10 × 10 + 10 × 7) + (3 × 10 + 3 × 7).
Calculando
las cantidades entre paréntesis y sumándolas obtenemos 221. Fácilmente podemos
imaginar los pasos que deberíamos dar para multiplicar, por ejemplo, 172 por
135.
En cierta
etapa de la exposición de la aritmética y el álgebra, generalmente entre los
grados séptimo y noveno, se estudian los números negativos. Para «justificar»
la introducción de los números negativos se les pregunta primero a los alumnos
¿qué número x satisface la ecuación 21 + x =
17? Para responder a esta pregunta se escribe 21 como 17 + 4, tal que
(17 + 4)
+ x = 17.
Por el
axioma asociativo,
17 + (4
+ x) = 17.
Pero por
definición de 0,
17 + 0 =
17,
así que,
puesto que el cero es único,
4 + x =
0.
Vemos que
si hubiera un número x tal que x + 4 = 0,
podríamos resolver la ecuación original. Por tanto, tenemos motivos para
introducir el número −4, entendiendo que 4 + (−4) = 0.
A los
números naturales (excepto el 0) se les llama ahora enteros positivos, y a los
nuevos se les llama enteros negativos. Para operar con los enteros negativos se
acepta que los axiomas, o propiedades básicas que se aplicaban a los naturales,
ahora se verifican para la combinación de los antiguos números naturales y los
nuevos números negativos. Así, puesto que los axiomas asociativo y conmutativo
de la suma se cumplen para los números naturales, se verificarán para los
enteros positivos y negativos.
Por
ejemplo, para sumar −2 y −5 señalamos, primero, que por definición de −2 y −5,
(−2 + 2)
+ (−5 + 5) = 0 + 0 = 0.
Pero por
los axiomas asociativo y conmutativo,
(−2 + 2)
+ (−5 + 5) = 2 + 5 + [(−2) + (−5)];
así que
0 = 7 +
[(−2) + (−5)].
Por
tanto, −2 + (−5) deben ser −7, ya que sumando 7 a dicha expresión da 0.
Una vez
que se ha aprendido cómo sumar números negativos y positivos, se dice a los
alumnos que restar significa añadir el opuesto. El 4 es el opuesto de −4 y a la
inversa. Por tanto,
17 − 13 =
17 + (−13) = 4;
6 − 8 = 6
+ (−8) = −2;
−5 −
(−11) = −5 + 11 = 6.
Antes de
establecer más propiedades de los números negativos, vamos a probar que a ×
0 = 0, para todo entero a. Puesto que por definición de 0, a +
0 = a, entonces
a × (a +
0) = a × a.
Sin
embargo, por el axioma distributivo,
a × (a +
0) = a × a + a × 0.
Entonces
a × a + a ×
0 = a × a.
Por
tanto,
a × 0
= 0,
puesto
que 0 es un número tal que sumado con cualquier número b, da b.
Ahora se
supone que los alumnos están preparados para entender la demostración de que el
producto de un entero negativo por un positivo es un negativo. Es decir, que
(−3) × 4 = −12. Comenzamos con
(1) a ×
[b + (−b)] = a × 0 = 0,
ya
que b + (−b) = 0. Sin embargo, por el axioma
distributivo,
(2) a ×
[b + (−b)] = a × b + a ×
(−b).
Entonces
los segundos miembros de (1) y (2) son iguales, luego
a × b + a ×
(−b) = 0.
Por
tanto, a × (−b) debe ser −(a x b),
ya que a x (−b) sumado con a x b da
0 y esto sólo se cumple para el opuesto de a × b,
es decir, −(a × b).
Finalmente,
si en vez de (1) partimos de
(−a)
× [b + (−b)]
y
repetimos los mismos pasos sin más que cambiar −a por a, podemos demostrar que
(−a)
× (−b) = a × b.
A menudo
se usa otro método para introducir los números enteros (positivos y negativos).
Se comienza con los números 1, 2, 3, 4,…; éstos son los números naturales,
excepto el 0. Entonces los enteros se definen como las clases de equivalencia
de los pares ordenados de números naturales. Lo que significa lo siguiente. Un
par ordenado de números naturales es el par (7,5). Esto intuitivamente
significa 7 − 5. Sin embargo, (6,4), (4,2), (8,6) y millones de otros pares
representan el mismo entero. Dos de estos pares, (a,b) y (c,d),
se llaman equivalentes si a + d = b + c.
Entonces, el entero 2 es la clase de todos los pares equivalentes, por ejemplo,
al par (7,5). El mérito de esta definición es que permite introducir el par
ordenado (5,7), que intuitivamente representa 5 − 7 ó −2, utilizando tan sólo
los números naturales. (5,7), (4,6), (6,8) y los demás pares de esta forma son
también el mismo entero negativo −2. El entero que generalmente llamaremos 0 es
la clase de los pares ordenados (5,5), (6,6), (7,7), etc. Con el método
anterior creábamos los números negativos; con éste los «construimos».
Las
operaciones con enteros positivos y negativos se definen, según este
planteamiento, en términos de pares ordenados. Así que la suma de (7,5) y (6,3)
es (13,8) Intuitivamente sabemos que 2 + 3 = 5, pero el desarrollo lógico exige
hacer lo anterior. Más en general, (a,b) + (c,d) =
(a + c, b + d). Vemos que
la definición de suma sirve igualmente para los negativos. Así, (5,7) + (3,6) =
(8,13) o, intuitivamente, (−2) + (−3) = −5. La definición de los enteros
mediante pares ordenados puede usarse para introducir la resta, la
multiplicación y la división, y se obtienen milagrosamente las leyes habituales
con que se manejan los números enteros.
Para la
introducción de las fracciones se sigue un planteamiento similar al utilizado
para los números enteros negativos. Se pregunta al alumno cómo encontraría el
valor de x para el que 3x = 6. Es claro que x =
(1/3) × 6 ó 6/3. Entonces se le pregunta cómo calcularía x cuando
3x = 7. Ningún entero satisface esta ecuación. Creamos entonces
unos nuevos números, las fracciones. En particular, para este x creamos
el número 7/3, que significa (1/3) × 7, y acordamos que 3 × 1/3 = 1. Una vez
introducidas las fracciones, acordamos verificar los axiomas asociativo,
conmutativo y distributivo. Podemos demostrar entonces que se cumplen las
operaciones habituales para la suma, resta, multiplicación y división de
fracciones.
Algunos
textos también introducen las fracciones como pares ordenados de enteros. Así,
(3,5) es la fracción que intuitivamente significa 3/5. Las operaciones se
definen con respecto a los pares ordenados y entonces se puede probar que la
suma y la multiplicación son asociativas, conmutativas y distributivas.
El
planteamiento deductivo encuentra un serio obstáculo, al menos a nivel
elemental, al tratar los números irracionales. El lector debe recordar que
números tales como √2, √5, 7√4 y otros parecidos también
pertenecen al sistema de numeración. Para los principiantes es mucho más
difícil entender un tratamiento enteramente lógico de estos números, y aunque
los alumnos pudiesen asimilarlo, el tiempo necesario sería desmesurado. Entonces
los textos, habitualmente, aceptan un convenio. Justifican la introducción de
tales números, en primer lugar, mostrando que para resolver
x2 = 4
tomamos
la raíz cuadrada en ambos lados de igualdad y obtenemos
x =
±2
Similarmente,
para resolver
x2 = 2
se toma
la raíz cuadrada en ambos lados y se obtiene
x =
±√2.
Así es
como se introducen los números irracionales. Se puede probar, y muchos textos
lo hacen así, que √2 no es racional; es decir, que no es igual al cociente de
dos enteros. Está claro que objetos tales como √2 son una nueva clase de
números. Sin embargo, esta «justificación» no basta para introducir todos los
números irracionales, en particular el número π. Tampoco proporciona una base
lógica para construir las propiedades de los números irracionales. En
consecuencia, estas propiedades deben postularse. Por ejemplo, se cumple que,
si a y b son mayores que cero, √a√b = √ab.
Pero puesto que no puede probarse esto a nivel elemental, los textos se limitan
a afirmarlo y darle un nombre. Se le llama propiedad del producto de las raíces
cuadradas. Análogamente, no se puede probar que √a/b = √a/√b, y así simplemente
se afirma que esto se cumple y se designa como propiedad del cociente de las
raíces cuadradas.
Otras
dificultades surgen en la introducción de los números complejos, es decir, de
los números de la forma 3 + √−1, 2√−2, etc. En este caso, el nuevo plan, como
el antiguo, inventa √−1 como solución a la ecuación x2 =
−1 y forma entonces los números complejos. Por otra parte, se introducen los
números complejos como pares ordenados de números reales. Entonces se definen
las operaciones aritméticas entre números complejos y se demuestra que las
propiedades asociativa, conmutativa y distributiva se cumplen con estas
operaciones.
Los
fundamentos lógicos de la aritmética nos sirven ahora para construir el
álgebra. El álgebra se distingue de la aritmética en que trabaja con
expresiones que incluyen letras, como 3x2 + 5x +
2, y opera con tales expresiones. Puesto que las letras sustituyen a números y
todos los números obedecen las mismas leyes, las letras obedecen a estas leyes.
Consideremos una demostración algebraica. Demostraremos que si a × b =
0, entonces o bien a es 0, o b es 0, o ambos
son cero.
Si a =
0, el teorema está demostrado. Si a no es igual a cero, hay
una propiedad del sistema de números que nos dice que existe un inverso 1/a.
Entonces, como a × b = 0 y cualquier número
multiplicado por 0 da 0,
asociativo
de la multiplicación,
Pero como
(1/a) × a = 1, 1 × b = 0; y ya que 1
× b = b,
b =
0.
Queda así
probado el teorema.
Algunos
de los autores de libros de texto quieren hacer más fácil el desarrollo lógico
del sistema de números o «innovarlo». Los autores de los textos más usados, al
introducir los números negativos, dan una lista de muchas de las propiedades
habituales: la suma de dos enteros cualesquiera es un entero, las propiedades
conmutativa, asociativa y distributiva y alguna tan peculiar como la propiedad
del opuesto de una suma: −(a + b) = (−a) + (−b).
Se dan ejemplos del uso de estas propiedades y se pide a los alumnos que los
repitan. Por último se enumeran unas treinta o cuarenta propiedades y se supone
que los alumnos deben aprenderlas y aplicarlas. Los autores no dicen si estas
propiedades son axiomas ni demuestran sus enunciados. El resultado es la
confusión entre lo que se demuestra a partir de los axiomas y lo que son
reglas. Los autores, en efecto, están repitiendo reglas mientras afirman que
están enseñando matemáticas deductivas.
Los
ejemplos que hemos utilizado para mostrar cómo se aplica la deducción al
álgebra y la aritmética han sido muy sencillos. Se puede imaginar fácilmente lo
largas y complicadas que son las demostraciones cuando el álgebra y la
aritmética se hacen más complejas.
La
interpretación deductiva de la geometría euclídea es fundamentalmente aquella
que se enseñaba antes en la enseñanza secundaria. Por tanto, no es necesario
exponerla aquí. Sin embargo, en el capítulo siguiente tendremos que decir algo
más acerca de las demostraciones en la geometría.
Puesto
que la mayor innovación de las nuevas matemáticas es la interpretación
deductiva de los temas estudiados en el plan tradicional, tratemos de
determinar qué méritos pedagógicos puede tener esta interpretación. En
particular, ¿lleva a comprender las matemáticas?
Varias
consideraciones nos obligan a responder esta pregunta negativamente. Veamos, en
primer lugar, cómo se han desarrollado las mismas matemáticas y si su historia
nos proporciona argumentos a favor de una u otra respuesta. Las matemáticas han
sido creadas, después de todo, por seres humanos que indudablemente las
comprendían. ¿Cómo llegaron los maestros Euclides, Arquímedes, Newton, Euler y
Gauss a comprender las matemáticas?
Las
matemáticas en sentido estricto se inician con las contribuciones de los
egipcios y babilonios durante un período aproximado que va desde el año 3000 al
300 a. de J. C. Estos dos pueblos crearon los rudimentos de la aritmética, el
álgebra y la geometría. En aritmética trabajaban siempre con números y
fracciones positivas. Desconocían los números negativos e incluso no
introdujeron el cero, pese a que los babilonios usaban una notación posicional
en base sesenta para escribir grandes números. Es decir, que, en su simbolismo,
un número tal como 125 significa 1 × (60)2 + 2 × 60 + 5, así
como en nuestra base diez 125 significa 1 × 102 + 2 × 10 + 5.
Tal sistema de escritura exige casi el cero, ya que para escribir 105 se
necesita el 0 para indicar que el 1 no está en la posición de las «decenas»,
sino en la de las «centenas». Los babilonios, sin embargo, no crearon el cero.
Sus números fueron ambiguos y se tiene que juzgar su significado por el
contexto.
Todo lo
que los egipcios y babilonios podían manejar en geometría eran las fórmulas del
perímetro, el área y el volumen de las figuras geométricas más simples. Para
cualquier figura que presentaba dificultades, tales como la longitud o el área
del círculo, las fórmulas eran sólo aproximaciones. Así que durante casi tres
mil años, dos civilizaciones bastante desarrolladas en campos tales como el
arte, la religión, el comercio, la astronomía y la arquitectura, no llega ron
en las matemáticas si no a los rudimentos. Más aún, aceptaron todos sus
resultados sobre una base puramente empírica. No desarrollaron siquiera el
concepto de demostración deductiva. ¿Habrían podido tener estas civilizaciones
un conocimiento más amplio de las matemáticas? Indudablemente. Todo lo que
podemos decir es que la mente humana no comprende fácilmente las matemáticas
más sofisticadas. De hecho, incluso los escasos resultados de los egipcios y de
los babilonios superan lo conseguido en el terreno de las matemáticas por
cientos de civilizaciones que tuvieron las mismas oportunidades y necesidades
que ellos.
La
primera civilización en la que se puede decir que florecieron las matemáticas
fue la de la Grecia clásica; esta civilización alcanzó su cénit entre los años
600 y 300 a. de J. C. Está claro que los griegos tuvieron una mentalidad de
alcance sorprendente, incluso asombroso. Los pensadores clásicos griegos fueron
indiferentes generalmente a las necesidades del comercio, la navegación y las
cuestiones prácticas, pero se dedicaron intensamente a la comprensión de la
naturaleza. La geometría resultaba especialmente adecuada para ello, y es en
esta área donde hicieron sus máximas contribuciones. Los griegos fueron también
quienes prime ro concibieron la matemática deductiva. Su objetivo era obtener
conocimientos verdaderos acerca de la naturaleza, y su plan, comenzar con
algunas verdades evidentes por sí mismas, tales como que dos puntos determinan
una recta y que todos los ángulos rectos son iguales. Dadas estas verdades, o
axiomas, planearon obtener deductivamente conclusiones o teoremas. Los teoremas
también serían entonces verdaderos.
Erigieron
varias estructuras magistrales, la principal de las cuales es la de los Elementos de
Euclides, que constituye básicamente el curso de geometría de la enseñanza
secundaria tradicional. Sin embargo, la geometría euclídea no apareció en forma
deductiva. Hicieron falta trescientos años, el período que va de Tales a
Euclides, de exploraciones, titubeos, argumentos vagos e incluso incorrectos,
antes de que se plasmaran los Elementos. Por tanto, los Elementos constituyen
el resultado final y relativamente sofisticado de un pensamiento más tosco e
intuitivo. Incluso esta estructura, que intenta ser estrictamente lógica, se
apoya demasiado sobre argumentos intuitivos, definiciones injustificadas e
incluso carentes de significado y demostraciones inadecuadas, como
comprendieron los matemáticos del siglo XIX. Lo que es más importante, sin
embargo, es que este sistema deductivo aparece después de que se ha logrado
comprender todo su contenido. Más aún: no es un accidente que fuese la
geometría euclídea el primer tema que recibió un desarrollo lógico extensivo;
la razón para ello es que la intuición puede aplicarse inmediatamente para
inferir cuestiones geométricas y que las mismas figuras sugieren métodos de
demostración.
También
es importante el que los números irracionales, tales como √2, √3, 3√5
y otros, no fuesen aceptados como números durante un largo periodo de cultura
griega. ¿Por qué no? Porque lodos los números y fracciones tenían un claro
sentido físico del que los irracionales carecen. El único sentido intuitivo que
se podía dar a los irracionales era el de representar ciertas longitudes
geométricas, tales como la diagonal de un cuadrado de lado 1. ¿Qué hicieron
entonces los griegos? Rechazaron los irracionales como números y pensaron en
ellos como longitudes. De hecho, convirtieron toda el álgebra en geometría para
poder trabajar con longitudes, áreas y volúmenes, que podían, por otro lado,
ser representados numéricamente con números irracionales; incluso resolvieron
las ecuaciones cuadráticas geométricamente.
La
historia de las matemáticas tras el período superior de la cultura griega es lo
más opuesto a la forma en que se conciben ordinariamente las matemáticas. El
progreso en el uso de los números irracionales se debió a la civilización
griega de Alejandría, que fue una fusión de las civilizaciones de la Grecia
clásica, Egipto y Babilonia, y a los árabes e hindúes, cuyos planteamientos
eran totalmente empíricos. Fueron los hindúes quienes decidieron que √2√3 = √6,
y su razonamiento fue que con los irracionales podía «calcularse como con los
enteros», es decir, como con √4√9 = √36. Puesto que esta última expresión es
obviamente correcta, como se puede ver tomando las raíces cuadradas de cada
número, igual sucede con √2√3 = √6. Los números irracionales fueron gradualmente
aceptados a causa de su utilidad y porque la familiaridad elimina la crítica.
Los
números negativos, introducidos por la pragmática mentalidad hindú alrededor de
600 años d. de J. C., no tuvieron aceptación durante mil años. Razón: la falta
de una base intuitiva. Algunos de los matemáticos más grandes, como Cardano,
Vieta, Descartes y Fermat, se negaron a trabajar con números negativos. La
historia de los números complejos es similar, aunque no aparecieron hasta 1540
d. de J. C., aproximadamente, y aunque sólo transcurrieron unos doscientos años
hasta que su uso se normalizó. Es interesante citar una observación del
eminente matemático Carl Friedrich Gauss. Como es bien sabido, fue uno de los
descubridores de la representación geométrica de los números complejos, y
acerca de ella dijo en 1831: «Aquí [en esta representación] la demostración del
significado intuitivo de √−1 está completamente razonada y no se necesita más
para admitir esta cantidad en el dominio de la aritmética.» Ni Descartes, ni
Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss o Cauchy podrían haber dado una
definición de número negativo, complejo o irracional. Sin embargo, todos ellos
manejaron estos números muy satisfactoriamente en su trabajo, al menos en
relación con el uso que de ellos se hacía en su tiempo. La historia de todo el
sistema numérico no sólo es pertinente por mostrar cómo se ha desarrollado,
sino también porque el álgebra y el análisis (el cálculo infinitesimal y sus
ramas más complicadas) utilizan obviamente el sistema numérico, e
independientemente de la base sobre la que éste se apoye, debe servir de base
al álgebra y al análisis.
En la
historia del álgebra hay otra anécdota significativa. El uso de una letra para
representar un número fijo pero desconocido proviene de los griegos. Sin
embargo, el uso de una o varias letras para representar toda una clase de
números no se concibió hasta finales del siglo XVI. François Vieta introdujo
entonces expresiones como ax + b, donde a y b podían
ser cualquier número (real)[3]. El
interés mayor de tales expresiones generales es que lo que podemos demostrar
acerca de ellas se cumple para todos los valores de a, b y x.
Así que si aprendemos a resolver la ecuación cuadrática ax2 + bx + c =
0, podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas, porque a, b y c pueden
representar cualquier número. El uso de letras para representar cualquier
número o incluso una clase restringida de números es entonces, verdaderamente,
una enorme contribución y aparentemente simple una vez que se ha obtenido. Sin
embargo, durante todos los siglos en que los babilonios, egipcios,
alejandrinos, griegos, hindúes y árabes trabajaron en álgebra, no se les
ocurrió la idea de usar letras por clases de números. Estos pueblos hicieron su
álgebra trabajando con expresiones concretas como 3x2 +
5x + 6 = 0. Es decir, que siempre usaron coeficientes numéricos, e
incluso, de hecho, en su mayor parte no usaron un símbolo como la x para
la incógnita. Usaron palabras.
¿Por qué
se retrasó el uso de las letras como coeficientes, en general, durante tanto
tiempo? La respuesta podría ser que este recurso es parte de un nivel más alto
de abstracción en matemáticas, un nivel mayor, que suprime la intuición. Es más
difícil pensar acerca de ax2 + bx + c =
0 que acerca de 3x2 + 5x + 6 = 0. Sin
embargo, sólo después de que se introdujeron estos coeficientes generales fue
posible razonar deductivamente acerca de los procedimientos algebraicos para
expresiones generales significativas.
La
historia del cálculo infinitesimal es igualmente instructiva. No entraremos en
los detalles de los conceptos que están relacionados con los fundamentos de
esta materia. Pero puede bastar con señalar unos pocos hechos acerca de su
desarrollo. Los grandes nombres en la creación del cálculo infinitesimal son,
naturalmente, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Sin embargo, Descartes,
Fermat, Cavalieri, Pascal, Roberval, Barrow y al menos una docena más de
conocidos matemáticos hicieron contribuciones significativas antes que ellos. A
pesar de que tanto se hubiese hecho antes de que ellos desarrollaran su
trabajo, ni Newton ni Leibniz pudieron formular correctamente los conceptos
básicos del cálculo infinitesimal. Newton escribió tres importantes artículos
sobre cálculo infinitesimal y publicó tres ediciones de su obra maestra Los
principios matemáticos de la filosofía natural. En cada uno de estos textos
dio una explicación diferente del concepto básico, que llamamos derivada.
Actualmente, ningún principiante en el cálculo infinitesimal aceptaría ninguna
de ellas. Leibniz fue igualmente desafortunado en muchos de sus artículos. Su
primer artículo fue descrito por los famosos hermanos Bernoulli, James y John,
como «un enigma más que una explicación».
Tanto los
trabajos de Newton como los de Leibniz recibieron muchos ataques. Newton no
respondió, pero Leibniz sí lo hizo. Se opuso a las «críticas puntillosas», y
sostuvo que no debíamos permitir que un exceso de escrúpulos nos llevara a
rechazar los frutos de la inventiva. Sin embargo, los defectos estaban allí y
los ataques continuaron durante todo el siglo XVIII. Eran tan grandes las
dificultades para clarificar los conceptos básicos del cálculo, que el famoso
matemático del siglo XVIII Jean LeRond D'Alembert tuvo que advertir a los
estudiantes: «Insistid y la fe vendrá a vosotros.»
Cabía
esperar que el cálculo entrara en crisis, en vista de lo incierta, falta de
claridad e incluso incorrecta que era su fundamentación. Pero antes de que se
crease la adecuada estructura deductiva, no solamente se había extendido y
aplicado con éxito el cálculo, sino que se habían desarrollado, sobre la base
del cálculo, temas tan amplios como las ecuaciones diferenciales ordinarias y
en derivadas parciales, el cálculo de variaciones, la geometría diferencial y
la teoría de funciones de variable compleja. ¿Cómo lograron los matemáticos
estos enormes avances? Está claro que pensaron intuitivamente. Los argumentos
físicos, los dibujos, las generalizaciones apoyadas en casos sencillos
conocidos y la experiencia matemática contribuyeron a llegar a conclusiones
correctas.
Es muy
significativo que los fundamentos lógicos del sistema numérico, el álgebra y el
análisis (el cálculo y sus ampliaciones) no fuesen desarrollados hasta finales
del siglo XIX. En otras palabras, durante los siglos en los que se edificaron
las ramas más importantes de las matemáticas no había un desarrollo lógico para
la mayor parte de ellas. Aparentemente la intuición de los grandes hombres es
más poderosa que su lógica.
¿Qué
podemos deducir de esta historia? Parece claro que primeramente se aceptaron y
utilizaron los conceptos que tenían mayor significado intuitivo: todos los
números, las fracciones y los conceptos geométricos. Los menos intuitivos, los
números irracionales, los números negativos, los números complejos, el uso de
letras como coeficientes generales y los conceptos del cálculo, necesitaron de
muchos siglos para su creación o para su aceptación. Además, cuando fueron
aceptados no fue la lógica la que indujo a ello a los matemáticos, sino los
argumentos por analogía, el significado físico de algunos conceptos y la
obtención de resultados científicos correctos. En otras palabras, fue la
evidencia intuitiva lo que indujo a los matemáticos a aceptarlos. La lógica
siempre ha venido mucho después de la invención, y, evidentemente, ha sido más
difícil de alcanzar. Así pues, la historia de la matemática sugiere, aunque no
lo pruebe, que es más difícil el planteamiento lógico.
Se podría
encontrar otro argumento contra la interpretación deductiva en la evidencia
histórica. Este argumento, esencialmente, es el de que cada persona debe pasar
aproximadamente por las mismas experiencias por las que pasa ron sus
antepasados si quiere alcanzar el nivel de pensamiento que muchas generaciones
han alcanzado. Este argumento ha sido anticipado por muchos grandes matemáticos
relacionados con la pedagogía. Henri Poincaré, uno de los más grandes
matemáticos de los últimos tiempos, dijo en sus Fundamentos de la
ciencia: «Los zoólogos mantienen que el desarrollo del embrión de un
animal reproduce en un breve período la historia de sus antepasados a lo largo
de las épocas geológicas. Parece que sucede lo mismo en el desarrollo de la
mente. La tarea del educador es hacer que la mente de un niño pase por las
experiencias que han tenido sus padres, pasando rápidamente por ciertas etapas,
pero sin omitir ninguna. La historia de la ciencia debe guiarnos en este
propósito.»
El mismo
pensamiento ha sido expresado por uno de los más importantes matemáticos y
profesores de finales del siglo XIX y comienzos del XX. Félix Klein, en
sus Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint, dice:
«Al acabar esta discusión de la teoría de colecciones (conjuntos), debemos
hacer de nuevo la pregunta que acompaña a todas estas lecciones: “¿qué es lo
que se puede usar de todo esto en la enseñanza?”. Desde el punto de vista de la
pedagogía matemática, debemos naturalmente protestar contra la imposición a los
alumnos de cosas tan abstractas y difíciles demasiado pronto. Para aclarar mi
propio punto de vista, desearía recordar la ley fundamental de la biogenética,
según la cual el desarrollo de los individuos reproduce en una serie resumida todas
las etapas del desarrollo de las especies. Esto es algo que hoy día sabe todo
el mundo. Pues bien, pienso que la enseñanza de las matemáticas, como la de
cualquier otra cosa, sigue esta ley, por lo menos a grandes rasgos. Teniendo en
cuenta la capacidad natural de los jóvenes, se les debe llevar lentamente hacia
las ideas más elevadas y, finalmente, a las formulaciones abstractas, siguiendo
al hacer esto el mismo camino a lo largo del cual la raza humana ha salido de
su sencillez original para llegar a las formas más elevadas del conocimiento.
Es necesario recordar frecuentemente este principio, ya que siempre hay
quienes, al estilo de la escolástica medieval, comienzan la enseñanza con las
ideas más generales, defendiendo este método como “el único científico”. Y, sin
embargo, esta justificación es todo menos cierta. Enseñar científicamente sólo
quiere decir inducir a pensar científicamente, de ningún modo enfrentar al
alumno, desde el principio, con fríos sistemas científicamente pulidos.
»Un
obstáculo esencial para la difusión de tal método, natural y verdaderamente
científico, es la falla de conocimientos históricos que tan a menudo se hace
notar. Para combatir esto, he intentado que el texto incluya notas históricas.
Al hacerlo confío haber puesto de relieve con qué lentitud se han producido
todas las ideas matemáticas; cómo casi siempre han aparecido primero en esbozo
y sólo han cristalizado después de largo tiempo en la forma definitiva que
resulta familiar en la exposición sistemática.»
No se
puede dudar de que las dificultades que los gran des matemáticos encontraron
son también los obstáculos en los que tropiezan los estudiantes y no puede
tener éxito ningún intento de acabar con estas dificultades a base de
palabrería lógica. Si los matemáticos necesitaron un millar de años desde que
aparecieron las primeras matemáticas hasta que llegaron al concepto de número
negativo —y esto es lo que sucedió—, y si fueron necesarios otros mil años para
que los matemáticos aceptaran los números negativos —como así fue—, podemos
estar seguros que los estudiantes tendrán dificultades con los números
negativos. Además, los estudiantes tendrán que superar estas dificultades
aproximadamente en la misma forma en que lo hicieron los matemáticos,
acostumbrándose gradualmente a los nuevos conceptos, trabajando con ellos y
sacando partido de todo apoyo intuitivo que el profesor pueda darles.
Naturalmente, se puede argumentar que, aun si el crecimiento de las matemáticas
ha seguido el camino descrito, nosotros tenemos ahora las estructuras lógicas
necesarias para el sistema numérico, el cálculo, etc., y no necesitamos pedir a
los estudiantes que repitan las especulaciones de los maestros. Podemos ofrecer
a los estudiantes los planteamientos correctos y ellos los entenderán. Este
argumento puede ser contrarrestado por el hecho de que los más importantes
matemáticos trataron de construir los fundamentos lógicos de estas materias,
pero fracasaron durante siglos. Su fracaso demostraría que las interpretaciones
lógicas no son fáciles de captar. Se puede comprimir la historia y evitar
muchos de los esfuerzos y trampas inútiles, pero no es posible darla de lado.
Pero, naturalmente, nuestros estudiantes pueden ser superiores a los mejores
matemáticos del pasado.
Pero no
insistiremos más en la evidencia histórica. Hay otros argumentos más fuertes
contra una interpretación puramente deductiva de las matemáticas elementales.
Debemos
notar, antes de nada, que existe ya una experiencia en la presentación
deductiva de las matemáticas. La geometría euclídea ha sido expuesta de esta
manera durante siglos. Además, su significado intuitivo es también evidente
para el estudiante. Sin embargo, los estudiantes no han te nido más éxito en
dominar la geometría que el álgebra; ni han dejado el curso de geometría con un
sentimiento de alegría por haber comprendido al fin una rama de las
matemáticas. Entonces, si la evidencia histórica no es suficiente, debe haber
otros argumentos pedagógicos contra la interpretación lógica. No son difíciles
de encontrar.
Hacia la
mitad del siglo XIX se establecieron los diversos tipos de números y sus
propiedades sobre la base del uso que se hacía de ellos. Asimismo,
las propiedades de las funciones, derivadas e integrales, usadas en el cálculo
se aceptaron sobre la base de que parecían evidentes para las funciones más
simples o sobre la base de la verdad física de los resultados obtenidos. Los
matemáticos se ocuparon entonces de la construcción lógica de los fundamentos
de las propiedades que habían empleado. De hecho, la lógica tenía que justificar aquellas
propiedades, antes que determinarlas. Así es como se edificó una estructura muy
artificial y complicada de axiomas y teoremas. El propósito de esta estructura
era satisfacer las necesidades de los matemáticos profesionales, que insistían
en la estructura deductiva, pero nunca se pensó utilizarla para una
interpretación pedagógica. Sin embargo, son estos fundamentos lógicos los que
la nueva matemática emplea para educar el entendimiento.
El hecho
de que la utilidad determina la interpretación lógica, y no al contrario, es
tan básico en matemáticas que merece que hagamos hincapié en él. Veamos un
ejemplo. Para sumar fracciones, en la mayor parte de los casos, por ejemplo,
para sumar 1/2 y 1/3, las reducimos al mínimo común denominador y sumamos 3/6 y
2/6, obteniendo 5/6. Sin embargo, cuando multiplicamos fracciones,
multiplicamos los numeradores y los denominadores, es decir, 1/2 × 1/3 = 1/6.
Podríamos «sumar» las fracciones sumando los numeradores y los denominadores y
obtener 1/2 + 1/3 = 2/5. ¿Por qué no usamos este último método? Sería más
simple, pero no se ajustaría a la experiencia. Cuando hemos adoptado una
definición útil de la suma, las propiedades lógicas de ésta deben deducirse de
la definición.
Otro
ejemplo puede ser la multiplicación de matrices. Para el uso de las matrices se
requiere que la multiplicación sea no-conmutativa, aunque podríamos definir una
multiplicación que fuera conmutativa. Desde el momento en que la multiplicación
debe ser no-conmutativa, los fundamentos lógicos de la teoría de matrices deben
adaptarse a este hecho. Por tanto, la lógica no dicta cuáles son los contenidos
de la matemática; el uso es lo que determina la estructura lógica. La
organización lógica aparece a posteriori, y en cierto sentido
es tan sólo un adorno[4].
De hecho,
si un estudiante es realmente inteligente y se le pide que emplee el axioma
conmutativo para, por ejemplo, justificar que 3 × 4 = 4 × 3, puede muy bien
preguntar ¿por qué se cumple el axioma conmutativo? La verdadera respuesta es,
naturalmente, que nosotros aceptamos el axioma conmutativo porque nuestra
experiencia con grupos de objetos nos dice que 3 × 4 = 4 × 3. En otras
palabras, el axioma conmutativo es correcto porque 4 × 3 = 3 ×
4 y no hay que darle más vueltas. El estudiante normal repetirá como un
papagayo las palabras «axioma conmutativo» y querrá, como Pascal lo expresó en
sus Cartas provinciales, «fijar estos términos en la memoria
porque no significan nada para la inteligencia».
Repitamos
que es preciso conocer la finalidad de la matemática para poder edificar sus
fundamentos lógicos. Poincaré señalaba que existen varias formas de construir
el sistema numérico a partir de los números positivos. ¿Por qué aceptamos una y
no otra? «La elección se guía por la con sideración de la noción intuitiva
dentro de la cual esta construcción ocupa un lugar; sin esta consideración, la
elección aparece injustificada. Pero para comprender una teoría no es
suficiente con mostrar que el camino elegido no presenta obstáculos, es
necesario tener en cuenta las razones por las que se toma ese camino. ¿Es
posible entender una teoría si desde el primer momento se le da la forma
definitiva que impone una lógica rigurosa, sin mencionar para nada el camino por
el que ha llegado a adoptar esta forma? No, realmente no es posible entenderla;
incluso resulta imposible retenerla si no es de memoria.»
Las
consideraciones de Poincaré pueden aplicarse al juego del ajedrez. Para jugarlo
no basta con saber las reglas para mover las piezas. Con este conocimiento
únicamente se puede saber si un movimiento es correcto, pero no se puede
entender si un movimiento es mejor que otro. Las razones o estrategias internas
no son evidentes. En el caso de la matemática, la razón interna es su uso.
En
realidad, la interpretación lógica induce a error. Al extender el sistema
numérico desde los números naturales a los otros tipos de números, se insiste
en el nuevo plan en la conservación de las propiedades asociativa y conmutativa
de las operaciones. ¿Por qué insistir en esas propiedades? Los profesores saben
que el uso de los números necesita de ellas, pero los estudiantes adquieren la
idea de que son propiedades necesarias a todas las cantidades matemáticas. ¿Por
qué, entonces, no extendemos la propiedad conmutativa a la multiplicación de
matrices? La respuesta es que el uso al que se destinan las matrices exige la
multiplicación no conmutativa. La interpretación lógica da a los estudiantes
una impresión enteramente falsa sobre la forma en que se desarrollan las
matemáticas.
La mayor
parte de las demostraciones que se enseñan a los estudiantes también son
artificiales por otras razones. Cuando un matemático pretende demostrar un
teorema que le parece correcto, utiliza para la demostración todos los medios,
por más que sean pesados, indirectos o tortuosos, pero quizá más naturales en
el proceso creativo. Una vez que el teorema ha sido demostrado, sabiendo cómo
puede superarse la dificultad esencial, el matemático o sus sucesores pueden
idear por lo general una demostración más fácil o más directa. Algunos teoremas
han sido demostrados varias veces, y cada una de las sucesivas demostraciones
remodela y simplifica la anterior, incluyendo a menudo generalizaciones y
resultados más fuertes. Así que el teorema final y su demostración se alejan de
los iniciales planteamientos naturales. Cabe esperar, entonces, que los
estudiantes, al enfrentarse a un resultado tan trabajado y limado, y
posiblemente más complejo, no puedan captarlo. Además de intentar rehacer una
demostración para aumentar su brevedad y quizá su elegancia, a los matemáticos
les gusta erigir estructuras lógicas en las que se deducen muchos teoremas a
partir de un pequeño número de axiomas. El ajustar un teorema dentro de una
estructura semejante puede exigir complicaciones adicionales en la demostración
y producir aún más dificultades a los estudiantes que pretenden comprenderlo.
Muchos
profesores salen de sus clases muy satisfechos consigo mismos después de haber
expuesto una serie de semejantes teoremas y demostraciones. Pero los
estudiantes no quedan satisfechos. No han comprendido de qué iba, y todo lo que
pueden hacer es aprender de memoria lo que han oído. No conocían el pensamiento
original y no han sacado nada en limpio de las repulidas demostraciones. La
interpretación deductiva ha sido comparada a un zorro que borra sus huellas con
la cola.
El
hincapié en la interpretación lógica engaña también al estudiante en otro
sentido. Le hace creer que las matemáticas han sido creadas por genios que
comenzaban con axiomas y razonaban directamente desde los axiomas hasta los
teoremas. El estudiante, que no puede funcionar de esta manera, se siente
humillado y desconcertado, pero el servicial profesor está completamente
preparado para demostrar su genio en acción. Quizá no haga falta decirnos, a la
mayor parte de nosotros, cómo ha sido creada la matemática, pero nos convendría
escuchar las palabras de Félix Klein: «A menudo oye decir a los no-matemáticos,
especialmente a los filósofos, que las matemáticas consisten exclusivamente en
sacar conclusiones de unas premisas claramente establecidas, y que en este
proceso no importa lo que las premisas significan, ni si son verdaderas o
falsas, siempre que no se contradigan entre sí. Pero una persona que haya hecho
un trabajo matemático productivo hablará de forma diferente. De hecho, esta
gente [los no-matemáticos] piensan sólo en la forma cristalizada que finalmente
adoptan las teorías matemáticas. Sin embargo, el investigador en matemáticas
como en cualquier otra ciencia, no trabaja con un modelo deductivo riguroso.
Por el contrario, esencialmente hace uso de su imaginación, y procede
intuitivamente ayudado por métodos heurísticos. Se pueden dar numerosos
ejemplos de matemáticos que habiendo descubierto teoremas de gran importancia
no han sido capaces de demostrarlos. ¿Deberíamos insistir en que esto no es matemática,
por respeto a la definición anterior, y negamos a reconocer sus logros? Después
de todo, el modo en que se use la palabra es algo arbitrario, pero ningún
juicio de valor podrá negar que el trabajo inductivo de quien enuncia un
teorema por primera vez es, por lo menos, tan válido como el trabajo deductivo
de quien lo prueba. Pues ambos son igualmente necesarios, y sin el
descubrimiento no sería posible la conclusión posterior.» Es intelectualmente
deshonesto enseñar la interpretación deductiva como si se llegara a los
resultados por pura lógica.
La
interpretación lógica produce complicaciones prácticas. Si un estudiante tiene
que demostrar, por ejemplo, que 4ab (ab + 3ac) =
4a2b2 + 12a2bc,
debiendo justificar cada paso, tendrá que pensar cuidadosamente y dar razones a
tantos pasos que necesitará minutos para hacer lo que haría casi
automáticamente sobre la base de la experiencia numérica. Es muy preferible que
los estudiantes se familiaricen con las propiedades básicas, tales como la
distributividad, conmutatividad y asociatividad, hasta el punto de no advertir
cuándo las están usando.
Pedir a
los estudiantes que citen los axiomas en las operaciones elementales con
números es como pedirle a un adulto que justifique cada acción que realiza al
levantarse por la mañana. ¿Por qué se baña? ¿Por qué se limpia los dientes?
¿Por qué se pone la ropa? Si un hombre tuviera que plantearse estas preguntas y
responderlas, nunca llegaría al trabajo. La mayor parte de las cosas que hace
por la mañana deben ser habituales.
Hay un
cuento sobre un ciempiés que iba caminando tranquilamente cuando se encontró
con un sapo. El sapo le dijo al ciempiés: «Es asombroso que teniendo cien pies
sepas cuándo debes usar cada uno». Al instante el ciempiés comenzó a pensar qué
pie debía usar a continuación y no se pudo mover.
Los
estudiantes deberían habituarse a las operaciones elementales con números, de
tal forma que no tuvieran que pensar en ellas. Después de ver que cuatro
conjuntos de tres cubos y tres conjuntos de cuatro cubos hacen ambos doce
cubos, los estudiantes aceptarán el principio conmutativo como algo tan
evidente que no necesita ser mencionado. Más aún, en vez de obligarles a
considerar esta propiedad en los números naturales, en los números enteros, en
los números racionales y en los demás, se les debería enseñar que todos los
números poseen estas propiedades. De hecho, deberíamos hacer lo posible para
que los estudiantes se familiarizaran con las operaciones elementales, hasta el
punto de no pensar en ellas más de lo que se piensa cuando uno se ata el cordón
de los zapatos. Debería alegrarnos que los alumnos aceptasen incondicionalmente
hechos que les parecen completamente razonables, basándose en la experiencia
con números o en argumentos intuitivos. Si un alumno no ve rápidamente que 3
× a = a × 3, no es por no estar familiarizado
con la propiedad conmutativa, sino por no haber comprendido que a es
simplemente un número. Cuando llegue el momento de estudiar una operación no
conmutativa, entonces se deberá discutir el concepto de conmutatividad.
La
necesidad de que parte del trabajo se realice automáticamente ha sido acentuada
por hombres que sin duda comprendían el papel de las demostraciones deductivas.
El filósofo Alfred North Whitehead dice en An Introduction to
Mathematics: «Es un tópico profundamente erróneo, repetido por todos
los libros de texto y por las personas eminentes cuando dan conferencias, que
deberíamos cultivar el arte de pensar en lo que estamos haciendo. Sucede
exactamente al revés. La civilización avanza al aumentar el número de
operaciones importantes que podemos realizar sin pensar en ellas. Las
operaciones del pensamiento son como las cargas de caballería en las batallas:
su número debe ser estrictamente limitado, exigen caballos frescos y sólo deben
hacerse en momentos decisivos.»
Hay
muchos campos en los que el actual hincapié en la interpretación lógica es
completamente hipócrita. ¿Qué matemático usa el desarrollo lógico de los
números complejos para justificar sus operaciones con números reales o
complejos? Esto es, sin embargo, lo que se enseña a los alumnos como camino
para aprender la «verdad» sobre los números. ¿Cuántos matemáticos han
comprobado alguna vez que √2√3 está definido en la teoría de
los números irracionales, o han demostrado rigurosamente que √2√3 = √3√2?
¿Cuántos han trabajado alguna vez sobre desarrollos de la geometría euclídea
sin la ayuda de figuras? Félix Klein no vaciló en admitir: «Para mí es
imposible seguir un argumento geométrico puramente lógico sin tener delante las
figuras en las que el razonamiento se apoya constantemente.»
De hecho,
la tentativa de mantener planteamientos completamente deductivos conduce a una
trampa. A menudo es necesario recurrir a demostraciones que incluso los
profesores de orientación lógica reconocen ser demasiado difíciles para el
estudiante; por ejemplo, la demostración de la fórmula del área del círculo en
geometría. Muchos textos evitan el problema aceptando como un axioma que el
área es igual a πr2 donde r es el
radio. Naturalmente, si podemos introducir axiomas a voluntad no hay necesidad
de probar nada. La única lección que un estudiante aprenderá de tales
exposiciones es que cuando se quede atascado puede introducir un axioma.
Mientras que en otras cuestiones se pide a los alumnos que asimilen
trivialidades, en el axioma del área se les pide que se traguen un camello
completo.
Por otra
parte, al poder introducir axiomas libremente, numerosos textos emplean hasta
setenta u ochenta axiomas. Como a los alumnos se les exige que al hacer las
demostraciones citen los axiomas que justifican cada paso, están obligados a
recordar los setenta u ochenta axiomas. Lo cual es una carga intolerable que
los alumnos no pueden sobrellevar. Sin embargo, tales libros piden que se evite
el estudio de memoria y que se enseñe a pensar y a comprender. El profesor de
matemáticas no puede permitirse ser parco ni generoso en el uso de axiomas.
Otras
medidas para evitar las demostraciones dificultosas son igualmente
perjudiciales. En la presentación del sistema de los números reales, los textos
de bachillerato parten de la axiomática de los números naturales. Pero al
llegar a los números irracionales, los autores reconocen que su desarrollo
lógico es demasiado difícil para los estudiantes, recurriendo a la recta
numérica. Muestran cómo los enteros y las fracciones pueden relacionarse con
los puntos de una recta y entonces hacen notar que para algunos puntos no
existen los números correspondientes. Se introducen entonces los números
irracionales, como los correspondientes a esos puntos. Si la presentación
lógica de los números racionales tenía algún valor, éste se ha disipado a causa
de esta introducción de los irracionales, tan carente de significado.
Todos los
planes piden que se enseñe a los estudiantes a obtener los resultados por sí
mismos. El descubrimiento, por oposición con y opuesto a la aceptación activa y
pasiva de los enunciados acabados y pulidos de teoremas y demostraciones,
supone la creación o recreación de las matemáticas por los estudiantes,
posiblemente con la orientación del profesor. ¿Cómo crean los matemáticos? Su
primera meta es adivinar un posible teorema. Cuando lo han logrado, deben
realizar un nuevo trabajo creativo para encontrar la demostración. Como el gran
matemático Cari Friedrich Gauss dijo, «he llegado al resultado, pero no sé
todavía cómo demostrarlo». En el trabajo creativo intervienen la imaginación,
la intuición, la experimentación, las conjeturas sensatas, el tanteo, las
analogías, incluso las más vagas, los tropiezos y los titubeos. Las
demostraciones deductivas juegan un papel pequeño, si juegan alguno.
La
creatividad presupone flexibilidad en la resolución de un problema, y que
tomemos ideas de todos los campos de las matemáticas, aunque no caigan dentro
de los confines de una estructura axiomática particular. Esta última, de hecho,
actúa como una camisa de fuerza mental.
¿Cuál es
la contribución de la lógica a la creación de los conceptos?, ¿qué procesos
deductivos nos llevan a considerar triángulos semejantes o a considerar las
alturas o las medianas de un triángulo? La lógica sola no conduce hasta nuevas
ideas, como la gramática no conduce a la poesía ni el solfeo a la música. La
creación ha sido descrita algunas veces como el siguiente proceso. Las
matemáticas dicen A, escriben R, quieren decir C,
pero lo que significan es D. Y de hecho, D es una
idea espléndida que emerge al poner orden en la confusión.
Algunas
de las más grandes ideas no son cuestión de lógica. El mejor ejemplo es quizá
la aplicación de la geometría no-euclídea al espacio físico. El aspecto lógico,
a saber, llevar hasta el fin las consecuencias de aceptar un axioma de
paralelas no-euclídeo, fue una tarea relativamente simple que realizaron
Saccheri, Lambert, Legendre, Schweikart, Taurinus y muchos otros. Pero fue
Gauss quien por vez primera reconoció que todas estas nuevas geometrías eran
tan aplicables como la geometría euclídea. Las consecuencias que esto trajo
para las matemáticas fueron tan revolucionarias como la misma creación de la
matemática.
Uno de
los principales matemáticos de nuestro tiempo, Henri Lebesgue, señaló el papel
subordinado de la lógica. «Ningún descubrimiento ha sido hecho en matemáticas,
o en un campo relacionado, por un esfuerzo de lógica deductiva; los
descubrimientos resultan del trabajo de la imaginación creadora, que construye
lo que le parece que es verdad, guiada a veces por analogías, a veces por un
ideal estético, pero sin apoyarse nunca en sólidas bases lógicas. Una vez que
un descubrimiento ha sido hecho, la lógica interviene como un control; es la
lógica la que decide finalmente si el descubrimiento es verdadero o ilusorio;
su papel, por tanto, aunque considerable, es solamente secundario.»
Así que
la concentración en la interpretación deductiva omite el trabajo vital.
Destruye la vida y el espíritu de las matemáticas. La formulación deductiva
atavía la actividad real, pero disimula la carne y el hueso. Es como las ropas
que hacen a la mujer, pero no son la mujer. Es el último acto en el desarrollo
de una rama de las matemáticas y, como dijo un prudente profesor, cuando se
lleva a cabo la cuestión está lista para el entierro. La lógica debe ser una
norma y una obligación de las matemáticas, pero no es su esencia en mayor
medida que la gramática es la esencia de la Biblia o de las obras de
Shakespeare. Las estructuras deductivas a las que muchos matemáticos llaman
matemáticas son las ramas secas de una planta viva. Son formalismos vacíos
opuestos a los contenidos reales; son la fachada de los palacios.
Otro de
los argumentos que empican los defensores de la nueva matemática es el de que
las estructuras lógicas enseñan a los estudiantes a pensar deductivamente. Esto
es probablemente correcto. Pero aunque sea así, ¿por qué es tan importante la
lógica deductiva? No es el tipo de pensamiento que resulta útil en la vida
diaria. No es posible solucionar deductivamente los problemas grandes y
pequeños que los seres humanos encuentran en su vida. No hay axiomas evidentes
por sí mismos de los cuales se pueda deducir qué camino seguir, con quién
casarse o si ir al cine. Las verdaderas decisiones exigen discernimiento, para
el que no hay lugar en el razonamiento deductivo. La mentalidad jurídica, la de
negocio y la política son mucho más importantes.
Los
modernistas utilizan a menudo otro argumento a favor de su planteamiento. Las
matemáticas se pueden disfrutar como un juego jugado de acuerdo con ciertas
normas. Pero, probablemente, ante la interpretación puramente axiomática de las
matemáticas, un estudiante inteligente se preguntará: «¿por qué tengo que jugar
este juego de acuerdo con estas particulares reglas?».
En vista
de los muchos defectos pedagógicos de la interpretación lógica de las
matemáticas, no es sorprendente que muchos matemáticos perspicaces (hay algunos
no perspicaces) se hayan opuesto públicamente a la interpretación lógica.
Descartes desaprobó la lógica en un lenguaje bastante severo. «Yo encuentro que
la lógica, sus silogismos y la mayoría de sus preceptos son útiles para
comunicar lo que ya sabemos, o para discernimiento de lo que ignoramos, pero no
para la investigación de lo desconocido.» Roger Bacon dijo: «Un argumento puede
decidir una cuestión, pero no nos da la seguridad de hallarnos ante una ver
dad, excepto si podemos comprobar por la experiencia que esta verdad lo es
realmente.» Pascal apuntaba: «La razón es el lento y tortuoso método por el
que descubren la ver dad quienes no la comprenden.»
La
interpretación lógica recuerda la réplica que Samuel Johnson dio a un hombre
que insistía en pedirle una explicación de sus comentarios. Johnson dijo: «Le
he dado un argumento, pero no estoy obligado a hacérselo comprender.» La
estéril y seca interpretación axiomática no facilita la comprensión. El estilo
de la lógica formal es una de las influencias más desvitalizadoras en la
enseñanza de las matemáticas en la enseñanza secundaria. Una ordenada
presentación lógica de las matemáticas puede tener un atractivo estético para
el matemático, pero sirve de anestésico para el estudiante.
Estos
argumentos contra una interpretación exclusivamente deductiva de las
matemáticas no significan que se deba rechazar completamente el uso de las
demostraciones deductivas. Estas tienen un lugar que discutiremos más adelante
(cap. 11), pero respecto a las demostraciones de ductivas, es fundamental
ponerlas en su sitio.
Quizá,
después de todo, tenga alguna ventaja la interpretación lógica de las
matemáticas. Como dijo Bertrand Russell en The Principies of
Mathematics (pág. 360), «una de las principales ventajas de las
demostraciones es que inculcan un cierto escepticismo respecto al resultado
demostrado». Henri Lebesgue veía otro valor en las demostraciones
deductivas: «La lógica nos hace rechazar ciertos argumentos, pero no nos
puede hacer creer ningún argumento.» Se deben respetar las demostraciones
matemáticas, pero sospechando de ellas. Si uno de los principales objetivos de
la enseñanza de las matemáticas es inculcar el escepticismo en los estudiantes,
éstos están obteniendo al menos un beneficio de las actuales extravagancias
lógicas.
Capítulo
5
El rigor
«La
geometría no es nada si no es rigurosa… Se considera casi universalmente que
los métodos de Euclides son impecables en lo que se refiere al rigor.»
Henri John Stephen Smith (1873)
Los
portavoces de la matemática moderna no están contentos con la interpretación
deductiva de las matemáticas. Quieren presentar un desarrollo deductivo
riguroso.
Aclaremos
primero la distinción entre desarrollo deductivo y desarrollo deductivo
riguroso. La geometría euclídea, que la mayor parte de nos otros aprendimos en
la escuela secundaria y que coincide esencialmente con la presentación que de
ella hizo Euclides en sus Elementos, unos 300 años de J. C.,
es deductiva. Sin embargo, no es rigurosa. La distinción está en el hecho de
que Euclides y sus sucesores, hasta épocas recientes, usaban implícitamente
axiomas y teoremas que eran tan evidentemente verdaderos que o bien no
comprendieron que los estaban usando (así como nosotros ignoramos el aire que
respiramos), o pensaron que no había necesidad de enunciarlos o mencionarlos en
las demostraciones. Así es obvio que una línea divide al plano en dos partes y
que un triángulo tiene un interior y un exterior. Si tenemos tres puntos en una
línea, parece evidente que uno y sólo uno de los tres puntos está entre los
otros dos.
Consideremos
otro ejemplo. Supongamos dos círculos trazados de tal forma que la distancia
entre los dos centros es menor que la suma de los dos radios (fig. 5.1).
Euclides no vaciló en afirmar que los círculos se cortaban en dos puntos. Este
hecho no está garantizado por los axiomas de Euclides. Se podría argumentar que
la estructura del círculo es tal que exactamente en los dos lugares donde se
supone que los círculos se cortan puede que no haya puntos de uno o de los dos
círculos. El argumento es técnicamente correcto. Sin embargo, el concepto de
círculo de Euclides, como nuestro concepto intuitivo, indica que se les puede
dibujar como estructuras continuas, es decir, con puntos todo a lo largo de la
circunferencia.
Figura 5.1
Como
hemos dicho, estos y otros hechos fueron usados por Euclides y los textos
tradicionales sin mencionarlos explícitamente. Los modernistas creen que lo que
perturba a los estudiantes es el uso de suposiciones y teoremas no mencionados,
y que, por no estar las demostraciones estrictamente completas, se dificulta la
comprensión de los estudiantes. Es engañoso también, dicen los modernistas,
presentar demostraciones supuestamente completas, pero que en realidad no lo
están.
El
remedio para estos «defectos» de la geometría euclídea tradicional es añadir
axiomas adicionales y entonces demostrar cada afirmación, aunque sea evidente,
mediante razonamientos deductivos. Los nuevos axiomas son de varios tipos:
axiomas de existencia, axiomas de orden y axiomas de continuidad. Entre los
axiomas que deben añadirse están los que afirman que la recta que une dos
puntos cualesquiera es única, que la distancia entre dos puntos es única, que
un plano contiene al menos tres puntos y que la línea divide al plano en dos
partes. Hay también un axioma de continuidad que garantiza que dos círculos
trazados previamente se cortan efectivamente en dos puntos y que si A y B (fig.
5.2) están a lados opuestos de una recta l, la línea que une A y B corta
realmente a l en un punto común a las dos líneas. El enunciado
de estos axiomas varía algo de uno a otro texto moderno.
Figura 5.2
En el
tratamiento moderno de las matemáticas se detallan todos los axiomas y teoremas
necesarios para una interpretación deductiva rigurosa de la geometría. Esto
implica la introducción de muchos axiomas adicionales y de docenas de teoremas
cuyos resultados son obvios intuitivamente. Por ejemplo, se demuestra que un
segmento no sólo tiene un punto medio, sino que éste es único, y que un
triángulo tiene interior y exterior.
El rigor
ha sido incorporado también al álgebra. Así que no se presupone que el
resultado de sumar 4 y 6 sea un único número. Podrían concebirse dos
respuestas. Se introduce el llamado axioma de cierre que afirma la existencia y
unicidad de la suma. Al tratar con la relación de igualdad no se suponen sus
propiedades evidentes. Se acepta como un axioma que a = a y
esta propiedad se llama reflexiva. ¿Podemos estar seguros de que si a = b,
entonces b = a? Un axioma nos asegura que se
cumple esto. Esta propiedad se llama simétrica. Finalmente se postula que
si a = b y b = c,
entonces a = c, con lo que la transitividad de la
igualdad está asegurada.
En
álgebra, como en geometría, la acumulación de axiomas requeridos por el rigor
exige la demostración de teoremas evidentes, que los estudiantes usarían en
otro caso inadvertidamente.
¿La
incorporación del rigor supone una contribución a la pedagogía? Señalemos
primeramente que algunos de los defectos ahora señalados en el desarrollo de la
geometría euclídea podrían ser remediados fácilmente. Así, el método de
Euclides para establecer sus teoremas sobre la congruencia de los triángulos se
apoya en su axioma de que dos figuras son congruentes si pueden ser
superpuestas. Hay objeciones válidas a este axioma, pero estas objeciones
pueden evitarse fácilmente mediante un cambio intuitivamente aceptable, por
ejemplo, diciendo que dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo
comprendido de uno de ellos son iguales a los dos lados y el ángulo comprendido
del otro. De esta manera se perfecciona a Euclides sin ir más allá de la
comprensión de los jóvenes; así que no hay razón para no hacer el cambio. Por
el contrario, hay serias objeciones contra la introducción de la mayor par te
de los axiomas y teoremas que requieren un desarrollo deductivo verdaderamente
riguroso.
Hasta
hace unos cien años los matemáticos veían en el planteamiento de Euclides un
modelo de rigor. Es verdad que algún matemático podía criticar esporádicamente
el enunciado de un axioma o señalar la necesidad de un axioma adicional. Pero
nadie se tomó estas críticas en serio porque sólo requerían pequeños cambios o
adiciones. La creación de la geometría no-euclídea, en el primer tercio del
siglo XIX, forzó a los matemáticos a ser más críticos respecto a la geometría
euclídea y así se dieron cuenta de que Euclides había usado axiomas y teoremas
intuitivamente tan evidentes que no se había percatado de estarlos usando.
Pedir a
los estudiantes que reconozcan la necesidad de estos axiomas y teoremas que
faltan es pedirles una actitud crítica y una madurez mental que no está al
alcance de los jóvenes. Si los mejores matemáticos no advirtieron la falta de
estos axiomas y teoremas durante dos mil años, ¿cómo puede esperarse que los
jóvenes vean su necesidad? Para los defensores de las axiomáticas rigurosas no
tiene ningún peso el que los mejores matemáticos hayan considerado durante dos
mil años que la geometría euclídea, tal y como fue formulada por un Euclides
supuestamente descuidado o ingenuo, como un modelo de rigor. Los estudiantes de
hoy, aparentemente, son más listos y no están satisfechos con la tosca versión
presentada por Euclides. Posiblemente, también es ésta la razón de que no vayan
bien en geometría.
Para
presentar un desarrollo riguroso del sistema numérico y de la geometría,
debemos asegurarnos primero de que los estudiantes advierten las faltas de
rigor, y entonces enseñarles a tenerlo. Los estudiantes de geometría usan
figuras que automáticamente ponen de relieve detalles tales como el orden de
los puntos en una línea, que la presentación rigurosa resuelve mediante axiomas
adecuados. Así, el profesor tiene que emplear gran cantidad de tiempo en hacer
comprender a un estudiante que ha aceptado muchos hechos con una base intuitiva
o visual. Incluso si el profesor consigue, a base de insistencia y de hacer
hincapié en ello, que los estudiantes vean la necesidad de los axiomas y de los
teoremas que faltan, los estudiantes llegarán a una conclusión que no aumentará
en nada su inclinación a las matemáticas. En un desarrollo riguroso del álgebra
y la geometría es preciso demostrar muchos teoremas intuitivamente evidentes.
La conclusión de los estudiantes será que las matemáticas se ocupan sobre todo
de probar lo evidente.
Además,
aunque los axiomas que los matemáticos introducen en la interpretación rigurosa
son simples, en el sentido de que tratan de propiedades fundamentales de los
puntos, líneas y planos, éstas no son las propiedades de las que se partiría
naturalmente. Por ejemplo, uno de los axiomas de orden especifica que dados
tres puntos en una línea, uno y sólo uno está entre los otros dos. Otro
especifica que una recta que corta un lado de un triángulo necesariamente corta
el otro lado. Otro más dice que si los puntos de una recta están divididos en
dos conjuntos, tales que todos los puntos de uno de los conjuntos preceden, en
el orden de los puntos de la recta, a los puntos del otro conjunto, entonces
hay un punto y sólo uno que separa los puntos de los dos conjuntos. Tales
axiomas se introducen para demostrar los teoremas más sencillos de la geometría
euclídea. De hecho, muchos teoremas son más evidentes que los axiomas usados
para demostrarlos. Así que lo menos evidente se usa para demostrar lo más
evidente. Pero para los estudiantes el sentido de una demostración es
exactamente el contrario. Los estudiantes se preguntarán qué es lo que se está
intentando hacer e incluso dudarán de que los profesores estén cuerdos.
En un
artículo sobre la lógica y la intuición, Henri Poincaré atacó esta locura.
«Cuando un estudiante comienza a estudiar seriamente matemáticas, cree saber
qué es una fracción, qué es la continuidad y cuál es el área de una superficie
curva; considera como evidente, por ejemplo, que una función continua no puede
cambiar de signo sin anularse. Si se le dice, sin ninguna preparación: No, eso
no es evidente, debes demostrarlo; y si la demostración se apoya en premisas
que le parecen menos evidentes que las conclusiones, ¿qué pensará el
infortunado estudiante? Pensará que la ciencia de las matemáticas es sólo una
acumulación arbitraria de sutilezas inútiles; se aburrirá de las matemáticas o
se divertirá con ellas como con un juego y llegará a un estado mental análogo
al de los sofistas griegos.»
Casi
trescientos años antes, Blaise Pascal dijo en sus Pensées: «No
intentéis demostrar nunca cosas que son tan evidentes por sí mismas que no
existe nada más claro en que podamos apoyarnos para demostrarlas.»
Otra
consecuencia de la incorporación de todos los axiomas que requiere una
interpretación rigurosa de la geometría euclídea es que es preciso demostrar
una multitud de teoremas triviales antes de llegar a los más importantes. El
número de teoremas menores es tan grande que los principales rasgos del tema
quedan oscurecidos. Además, el tiempo consumido en demostrar teoremas evidentes
impide que los estudiantes estudien los teoremas significativos y profundos que
son esenciales para avanzar en las matemáticas.
El
desarrollo riguroso de una rama de las matemáticas es a menudo tan artificial
que carece de significado. El ejemplo más claro es el del desarrollo lógico del
sistema de los números reales. Había buenas razones para axiomatizar el sistema
de números, pero la introducción de las fracciones y los números negativos
mediante pares (véase el capítulo 4), con definiciones especiales de las
operaciones entre estos pares, aunque pueda ser muy brillante, es tan
artificial y forzada y está tan alejada del significado intuitivo y del uso de
estos números como para imposibilitar toda comprensión.
Muchos
profesores pueden replicar que los estudiantes ya han aprendido los hechos
intuitivos acerca de los sistemas de números y pueden comprender la versión
rigurosa como ejemplificación de la matemática. Si los estudiantes realmente
comprenden el sistema de números intuitivamente, el desarrollo lógico no
sólo no aumentará su comprensión, sino que la destruirá. Y
como ejemplo de rigor matemático no se puede encontrar otro peor, por lo
artificial de su construcción. El desarrollo está tan lleno de detalles y tan
hinchado que no sólo anula la mente, sino que oscurece las ideas importantes.
Sin embargo, este tema se ha convertido en el más importante de los cursos de
matemáticas de la enseñanza secundaria y de los colleges.
Algunos
de los axiomas que se usan en la interpretación rigurosa del sistema de números
reales les resultan absurdos a los estudiantes. Se les pide que acepten el
axioma de cierre. En el caso de los enteros, por ejemplo, este axioma dice: la
suma de dos enteros es un entero. ¿Pensarían los alumnos, a falta de este
axioma, que la suma de dos enteros es una vaca? En el caso de los números
racionales (todos los enteros y fracciones positivos y negativos) se hace
hincapié en la unicidad del inverso para la suma y la multiplicación.
¿Esperaban los estudiantes encontrar dos resultados al restar o al dividir? Los
axiomas de cierre sólo sirven para cerrar las cabezas de los estudiantes.
La
distinción entre demostración deductiva y rigor acarrea más complicaciones. Una
demostración rigurosa no es estática. Las exigencias de rigor están cambiando
constantemente y crecen en complejidad. Las matemáticas crecen como un árbol.
Mientras el tronco, las ramas y las hojas crecen, las raíces profundizan. Es
seguro que ninguna demostración hecha antes del año 1800, por lo menos, en
cualquier área de las matemáticas, excepto quizá en la teoría de números, puede
considerarse satisfactoria desde la perspectiva del 1900. Pero la perspectiva
del año 1900 ya no es aceptable. El significado pedagógico de la creciente
exigencia de rigor es que los textos que puedan satisfacerla mantendrán a los
estudiantes excavando constantemente en busca de las raíces y sin llegar nunca
a ver propiamente el árbol. Sin embargo, este rigor no es necesario. Los
jóvenes no lo necesitan más de lo que lo necesitaron los grandes matemáticos de
hace cien años. Lo que fue intuitivamente aceptable hace dos mil años todavía
es aceptable hoy. Por otra parte, los estudiantes pueden sentirse atraídos más
fácilmente por los frutos que por las raíces de las matemáticas.
Es
bastante irónico que los reformadores, en su esfuerzo por ser modernos y estar
al día, decidieran hacer hincapié en el rigor de 1900. Han llegado al menos
setenta y cinco años demasiado tarde. Al dar los toques finales a los
planteamientos rigurosos que parecían satisfactorios a finales del siglo XIX,
han aparecido dificultades lógicas precisamente en aquella rama de las
matemáticas, la teoría de conjuntos, que es el tema de la nueva matemática en
que más hincapié se hace. Estas dificultades, a las que eufemísticamente se
llama paradojas, pero a las que propiamente se debería llamar contradicciones
de la teoría de conjuntos, no han sido resueltas a satisfacción de todos los
matemáticos, y la lógica de las matemáticas nunca ha estado en un estado tan
triste. En realidad, actualmente no existe acuerdo sobre qué es una
demostración matemática correcta, y es casi seguro que una interpretación
axiomática de cualquier rama de las matemáticas resulte inadecuada.
No
podemos entrar aquí en la historia del rigor o en la dificultad de construir
rigurosamente las matemáticas, pero podemos señalar que muchos matemáticos son
suficientemente escépticos sobre la posibilidad de alcanzar el rigor para hacer
observaciones sarcásticas tales como «La lógica es el arte de cometer errores
con confianza», «La ventaja de una demostración lógica no es imponer opiniones,
sino sugerir dudas», «Una demostración matemática nos dice dónde concentrar
nuestras dudas». Toda la preocupación por inyectar rigor a las matemáticas
equivale a encontrar serpientes bajo las joyas.
Al igual
que el razonamiento deductivo, el rigor juega un papel en las matemáticas; pero
esto sólo afecta al profesional de las matemáticas, que quiere comprobar si las
estructuras deductivas son firmes. Tales hombres, que han desarrollado su
espíritu crítico después de años de especialización pueden ver la necesidad del
rigor y apreciar sus frutos. Sin esta experiencia, las detalladas y
sofisticadas axiomáticas parecen inventos inútiles y sin sentido. Ofrecer esto
a los estudiantes supone desconcertarlos y confundir los, no ayudarlos. De
hecho, la presentación deductiva rigurosa, introducida por los grandes
matemáticos de finales del siglo XIX y primera parte del siglo XX, nunca
pretendió ser una ayuda a la pedagogía. Los grandes matemáticos que tuvieron interés
por la pedagogía siempre insistieron en que la presentación estrictamente
lógica está completamente subordinada a la esencia, que se aprende
intuitivamente. El rigor puede salvar a las matemáticas, pero seguramente
perderá a los alumnos.
En vista
de los perjuicios que la presentación rigurosa impone a la pedagogía, se podría
muy bien preguntar por qué fue incorporada por los confeccionadores del plan.
Hemos señalado ya que los diversos planes han sido escritos por grupos de
matemáticos y profesores sacados de todos los niveles del mundo de las
matemáticas. Algunos de ellos, conocedores recientes del rigor de 1900, se
hicieron entusiastas portavoces de lo que les parecía la nueva cara de las
matemáticas. Evidentemente, confundieron lo que es lógicamente prioritario con
lo que es pedagógicamente deseable. Otros buscaban la novedad que el rigor
suponía. Entre ellos también había matemáticos superficiales, relativa mente
ignorantes, que dieron un aspecto de profundidad a los temas más sencillos de
las matemáticas elementales, disimulándolos mediante lo que de cara a los
jóvenes sólo se puede describir como pedantería repipi. Buscaban de ese modo
dar una impresión de profunda penetración matemática. Es más fácil hacer
sofisticados los temas triviales que dar una exposición clara e intuitiva de
las ideas más difíciles. Gran parte del rigor de los textos modernos ha sido
introducido por hombres que buscaban conciliar su propia superficialidad con
una fachada de profundidad y por pedantes que enmascaraban su pedantería bajo
el aspecto del rigor. Se les puede acusar de falsa sofisticación. Si la
educación tradicional ha adolecido del rigorismo que imponía el aprendizaje
mecánico, la nueva educación sufrirá aún más de manos de los traficantes en
rigor.
Capítulo
6
El lenguaje de las matemáticas
«Si estás
ansioso de brillar en la línea de la alta estética como hombre de rara cultura,
/ Debes tomar las semillas de las palabras transcendentales y plantarlas por
todas partes. / Debes tumbarle sobre las margaritas y discursear con frases
extrañas sobre el complejo estado de tu mente, / No importa lo que digas
mientras sea un charloteo inútil lleno de transcendencia. / Y todos dirán
mientras sigues tu místico camino, / “Si este joven se expresa en términos
demasiado profundos para mí, / Bueno, ¡este profundo joven debe ser
singularmente profundo!”.»
Sir W. S. Gilben
Uno de
los defectos del plan tradicional, según los portavoces de la matemática
moderna, es su lenguaje impreciso. Las imprecisiones y ambigüedades son, en su
opinión, tan numerosas y tan graves que los estudiantes encuentran en ellas un
fuerte obstáculo. El nuevo plan pretende erradicar estos defectos introduciendo
un lenguaje preciso. Veamos cuál es la gravedad de los defectos y cómo se ha
pretendido eliminarlos.
Para
ilustrar la incorrección del lenguaje tradicional, los modernistas ponen este
tipo de ejemplos: «Pedro tiene cuatro balones y Juan cinco. ¿Cuántos balones
tienen los dos?» Cualquiera pensaría que eso quiere decir «¿cuál es la suma del
número de balones que tiene Pedro y del número de balones que tiene Juan?», y
respondería que nueve. No es así, dicen los modernistas. Los dos chicos juntos
no tienen ningún balón, lo cual quiere decir, naturalmente, que no tienen
balones en común.
En un
segundo ejemplo se dice: «María se gasta doce centavos en dos lápices», y
entonces se pregunta, «¿cuánto le ha costado cada uno?» Cualquiera respondería
que seis centavos cada uno, suponiendo, a falta de más información, que los dos
lápices son iguales. Los modernistas objetan que no se nos ha dicho
explícitamente que los dos lápices sean iguales.
Parece
evidente que estas preguntas, aunque estén mal formuladas, podrían ser
replanteadas sin necesidad de ningún lenguaje especial. Pero los modernistas
creen que es necesario un perfeccionamiento drástico del lenguaje de las
matemáticas.
Para
asegurar la precisión introducen la distinción entre número y numeral. El
símbolo 7 no es un número, sino el símbolo de un número. Otros símbolos del
mismo número son 3 + 4, 5 + 2, 8 − 1 y muchos más. Se espera que los alumnos
aprendan que trabajan con numerales, no con números. Para poner de relieve la
necesidad de esta distinción los textos modernos dan el siguiente ejemplo. Se
puede decir que el número 343 tiene tres dígitos. Pero 343 = 73.
Luego se podría decir que 73 que es el mismo número, contiene
tres dígitos. La afirmación original debería ser que el numeral 343
contiene tres dígitos.
A
propósito de la distinción entre número y numeral, se cuenta que los redactores
de un texto titularon uno de sus capítulos «Aprendiendo a leer y a escribir
grandes números». Cuando se dieron cuenta de que se leen y escriben numerales,
no números, cambiaron la palabra «números» por «numerales». Pero en seguida
advirtieron que este título podía significar escribir numerales de gran tamaño,
así que el título fue cambiado de nuevo por «Aprendiendo a leer y a escribir
los numerales de grandes números». Pero a estas alturas ya nadie entendía lo
que quería decir.
La
precisión en el lenguaje está más «asegurada» usando el lenguaje de los
conjuntos. Los conjuntos no son más que colecciones de objetos, por ejemplo, el
conjunto de todas las manzanas, el conjunto de todos los números y el conjunto
de los hombres. Al usar el concepto de conjunto se pueden escribir muchos
enunciados matemáticos, teóricamente para hacerlos más precisos. Así, en vez de
preguntar qué valores de x satisfacen la ecuación x +
3 = 5, se llama a tales expresiones frases abiertas y se pregunta cuál es el
conjunto de verdad de esta frase abierta. El conjunto de verdad está formado
por los val ores de x que satisfacen la ecuación.
Naturalmente, en el conjunto de verdad de esta frase abierta sólo hay un
valor, x = 3. El conjunto de verdad de la frase abierta x2 =
4 lo forman 2 y −2.
Para
asegurar la precisión, los modernistas han reemplazado muchas definiciones de
los textos tradicionales por sus propias versiones. En un texto tradicional una
variable puede definirse como un símbolo o letra que puede tomar cualquiera de
los valores de una colección o conjunto. Así, la x en y = x2 puede
tomar cualquier valor real. Este lenguaje no es aceptable en las matemáticas
modernas. Un texto moderno diría que una variable es un símbolo que puede
representar a cualquiera de los elementos de un conjunto definido. Al conjunto
cuyos elementos pueden sustituir a una variable se le llama conjunto de
sustitución de la variable. También se le llama dominio de la variable. Los
elementos individuales del conjunto de sustitución se llaman valores de la variable.
Una variable con un solo valor se llama una constante[5].
Las
variables son importantes porque entran en las funciones. Así, y = x2 es
una función, y la definición tradicional de una función es una relación entre
variables tal que si se le asigna un valor a una variable, el valor o los
valores de la segunda están determinados. Así, en el caso de y = x2,
si x = 3, entonces y tiene el valor único 9.
Por otro lado, si la función es y2 = x +
5, entonces cuando x = 4, y = +3 e y =
−3. La función y = x2 se llama
uniforme, y la función y2 = x + 5,
multiforme.
Una
«chapuza» semejante no cabe en los textos modernos. Primero se introduce la
noción de par ordenado. Así, (3,4), (5,6) y (6,−2) son pares ordenados de
números reales. El concepto de función, uniforme o multiforme, es reemplazad
por el concepto de relación. Una relación es cualquier conjunto de pares
ordenados. Una función (en el sentido de función uniforme) es una relación en
la que no hay dos pares ordenados distintos que tengan la misma primera
componente. Así, (4,3) y (4,−3) no pueden pertenecer al conjunto de pares
ordenados que define una función. Dadas estas definiciones de relación y
función se es pera que los estudiantes vean que y2 = x +
5 es una relación y que y = x2 es
una función.
En
geometría se asegura la precisión mediante una cuidadosa distinción de
conceptos. Un ángulo, para Euclides, es la inclinación entre dos líneas que se
cortan en un punto. Por lo visto no es así. Un ángulo es ahora la figura
formada por dos semirrectas que se cortan en un punto común (fig. 6.1).
Naturalmente, si el ángulo son las dos semirrectas, no sabemos de qué ángulo se
habla, si del A o el B. Para decidir
necesitamos saber qué es el interior de un ángulo. Con este propósito
necesitamos otro axioma (o teorema en algunas exposiciones). Este axioma
establece que una línea divide el plano en dos partes. Si tomamos la parte del
plano determinada por la recta OC (que incluye la semirrecta OC)
que contiene D, y tomamos la parte determinada por la recta OD que
contiene a C y ahora tomamos el conjunto intersección de estas
dos partes (los puntos comunes a estas dos partes), obtenemos el interior del
ángulo DOC. Habiendo determinado el interior del ángulo podemos
probar que si E y F están en el interior del
ángulo (fig. 6.1), entonces el segmento EF está en el interior
del ángulo.
Figura 6.1
El saber
de qué ángulo estamos hablando no nos dice cuál es su medida (tamaño). Pero
otro axioma nos dice que se pueden numerar todas las semirrectas que salen de O
(fig. 6.1) a partir de OC, y que el número asignado a OD es
la medida del ángulo DOC. Así, el número 0 se asigna a OC porque
la numeración comienza en ella, y a OD se le puede asignar el
número 30. Luego el tamaño del ángulo COD es 30.
Los
ángulos se estudian a menudo como partes de un triángulo. Al ver la figura 6.2
podríamos sentirnos tentados de decir que el ángulo A es un
ángulo del triángulo BAC y que BA y CA son
los lados del ángulo. Esto sería groseramente incorrecto. Los lados de un
ángulo son semirrectas que se prolongan hasta el infinito, mientras que BA y
CA son segmentos finitos. Sin embargo, algunos autores conceden una dispensa a
sus lectores y les permiten hablar del ángulo A como ángulo
del triángulo BAC.
Figura 6.2
Euclides
fue muy descuidado al definir un triángulo como una figura formada por tres
segmentos. Naturalmente, esto no es así. La figura 6.3 está formada por tres
segmentos y no es un triángulo. «Propiamente», un triángulo es una figura
consistente en la unión (noción de la teoría de conjuntos) de tres puntos no
alineados y de los segmentos que unen estos puntos.
Figura 6.3
En
álgebra elemental y en geometría analítica los estudiantes aprenden qué es un
sistema de coordenadas rectangulares. En este sistema cada punto del plano está
localizado mediante dos números. El primero es la distancia del punto al
eje y, desde su derecha o su izquierda, y el segundo es la
distancia a que se encuentra por encima o por debajo del eje x.
Así, las coordenadas del punto P en la figura 6.4 son 2 y 4.
Se escriben como pares ordenados (2,4). Este enfoque de las coordenadas resulta
demasiado tosco para muchos modernistas. Consideran la noción de sistema de
coordenadas a través del concepto de espacio producto. Si se tienen los dos
conjuntos A y B, entonces el espacio producto es
el conjunto de los pares (a,b) tales que a pertenece
a A y b a B. El orden de los
elementos de un par debe conservarse. Es decir, que el producto de A por B no
es igual al producto de B por A. Para llegar a la
noción de coordenadas de un punto en el plano, se toman A y B como
el conjunto de los números reales, y el espacio producto de estos dos conjuntos
es el conjunto de las coordenadas (a,b). Entonces se
identifica a con la distancia de P al
eje y, y b con la distancia de P al
eje x. Se supone que la noción de espacio producto introduce más
precisión en la definición de las coordenadas.
Figura 6.4
De
acuerdo con su deseo de asegurar la precisión, los textos modernos definen
cuidadosamente cada uno de los conceptos que usan. La consecuencia de esto es
una sobreacumulación de terminología. Así tenemos las definiciones de ángulo,
triángulo, polígono, numeral, ecuación, frase abierta, enunciado abierto,
expresión algebraica, operación binaria, cierre, inverso, unicidad del inverso,
conjunto nulo (vacío), unión, intersección, conjunto solución, segmento, par de
puntos, distancia, longitud, semirrecta y muchos otros términos. Un recuento
real del número de términos introducidos en el curso de álgebra de noveno grado
y en el curso de geometría de décimo grado, muestran que se han introducido en
cada uno cientos de términos. Naturalmente, se espera que los estudiantes se
aprendan estos términos y los usen.
Gran
parte de esta terminología es abstracta. Naturalmente, los autores de textos
modernos desean introducir la suma y la multiplicación. Estas operaciones,
aplicadas a números, se enseñan en los grados elementales. Aplicadas a letras,
se enseñan en el álgebra. Sin embargo, los términos suma y multiplicación se
consideran muy mundanos. Para tratar de la suma de 5 y 7, los textos hablan de
una operación binaria, refiriéndose a que la suma se aplica a dos números o
letras. La multiplicación, igualmente, es una operación binaria.
Estos
ejemplos pueden ilustrar lo que los modernistas quieren dar a entender cuando
dicen que es posible eliminar los errores y el pensamiento confuso mediante un
lenguaje preciso. Consideraremos ahora su tesis. Una muestra típica de
precisión es la distinción que ya hemos señalado, a saber, la distinción entre
número y numeral. Esta distinción provoca una pregunta: si 7 es un numeral para
el número siete, ¿qué es un número? Es una idea en la mente, se les dice a los
estudiantes. Esta respuesta difícilmente puede satisfacer a los jóvenes: la
distinción hace más mal que bien. Se envuelve a los números en el misterio y se
hace dudar a los estudiantes de su capacidad de comprensión.
Desde
luego, hay una distinción entre número y numeral, y entre el nombre Roberto
Fernández y el muchacho Roberto Fernández. Sin embargo, las prácticas
incorporadas al lenguaje a veces se saltan etapas, pero en todo caso permiten
una comunicación efectiva. El exceso de palabras se debe evitar si no hay
peligro de error. Parece innecesario decir «el niño cuyo nombre es Roberto
Fernández» cuando al decir Roberto Fernández claramente se refiere al niño y no
a su nombre. El contexto determina el significado en casi todos los casos. El 2
en 245 y 425 tiene significado distinto, pero esto no provoca ninguna
confusión.
Gran
parte de la nueva terminología es totalmente innecesaria. Al hablar de
operaciones binarias, de cierre, etc., se emplean muchos términos para
etiquetar lo que no necesita ser etiquetado. Parte de esta terminología
reemplaza a la vieja sin ninguna ventaja en particular. Así, se decía que x +
2 era una expresión. Ahora es una frase abierta, abierta porque el valor
de x no está especificado. Una ecuación, por ejemplo x +
2 = 0, se supone que resulta más clara si se la rebautiza como proposición
abierta. El problema de resolver una ecuación en x se
convierte en el problema de encontrar el conjunto de verdad de una proposición
abierta, pero el problema de resolver la ecuación es el mismo que antes de
introducir la nueva terminología.
La
comprensión que los estudiantes adquieren generalmente a través de la
experiencia es suficientemente buena; habitualmente las definiciones formales
no son necesarias. Los estudiantes saben lo que es un triángulo y no es
necesario enseñarles que consiste en la unión de tres puntos no alineados y de
los tres segmentos que los unen. Después de leer semejante definición hay que
pensarla, y cuesta trabajo admitir que se refiere al familiar triángulo. Los
términos «relación» y «función» han sustituido a las funciones multiformes y
uniformes. El viejo término, función multiforme, estaba lleno de significado:
el nuevo, relación, resulta vago. Además, la relación y la función se definen
en términos de conjuntos de pares ordenados. Se supone que este conjunto transmite
la idea de, digamos, y = 3x, donde x puede
tomar todos los valores reales e y es tres veces x.
Sin embargo, la función tiene un número infinito de valores de x y
de y. La definición como un conjunto de pares ordenados crea una
visión deformada porque da la impresión de que es finito el número de pares que
forman el conjunto. Además, la función no puede especificarse enumerando el
conjunto de los pares ordenados, porque el número de pares es infinito,
mientras que y = 3a especifica toda la función.
Finalmente, la idea intuitiva básica de función —es decir, que al variar los
valores de una variable x varían también los valores de la
segunda variable y, dependiendo de los valores que toma la primera—
se pierde en la descripción estática de un conjunto ordenado de pares.
Aparentemente, la novedad es deseable incluso a costa de la comprensión.
Se debe
admitir que hay funciones en las que x sólo puede tomar un
número finito de valores enteros. Por ejemplo, la función que expresa la
población de Nueva York, siendo x el tiempo, por ejemplo el
número de meses desde el 1 de enero de 1950 hasta el 1 de enero de 1970,
e y la población correspondiente, tendrá sólo un número finito
de valores enteros de x y de y. Aunque la
definición de pares ordenados es más aplicable en estos casos especiales, no es
de gran ayuda.
La
introducción de tantos términos nuevos, y particularmente de términos que no
sugieren los conceptos que representan, supone una carga intolerable para la
memoria. El exceso de terminología ha sido criticado por Richard P. Feynman,
profesor de Física en el Instituto de Tecnología de California y premio Nobel
en 1965. El profesor Feynman estuvo en la California State Curriculum
Commission, que examinó los textos que se iban a usar en las escuelas de
California. En su artículo «New Textbooks for the New Mathematics», que
apareció en Engineering and Science, atacaba el exceso de
terminología en la geometría. «Muchos de los libros se explayan en la
definición de curva cerrada, curva abierta, región abierta, etc., y sin embargo
la única geometría que enseñan es el hecho de que una línea recta trazada en el
plano lo divide en dos partes. Al final de algunos de estos libros de
geometría, conviene tratar de ver qué conocimientos de geometría se han
adquirido exactamente tras un largo discurso o un largo esfuerzo para aprender.
Pienso que a menudo el número total de hechos que se han aprendido es muy
pequeño, mientras que el número total de palabras es muy grande. Esto es
insatisfactorio. Además hay una tendencia en algunos de estos libros a usar
palabras peculiares: la jerga técnica de la más pura matemática. No veo ninguna
razón para esto.»
La
terminología, especialmente la terminología pretenciosa, no puede sustituir el
contenido. En vista del énfasis que ponen en la terminología, es evidente que
los reformadores creen que el dar nombres a las cosas otorga automáticamente
poder sobre ellas. Muchas críticas señalan que los textos de matemática moderna
no son más que diccionarios o estudios de lingüística.
Parece
indudable que la supuesta novedad de las nuevas matemáticas procede en buena
medida de la introducción de una nueva terminología, menos útil que la antigua.
Lo que se ha presentado como matemática moderna es más bien palabrería y muchas
veces una parodia de dicha matemática moderna.
Otro
medio de lograr precisión muy explotado por las nuevas matemáticas es el
simbolismo. Puesto que los conjuntos son un tema básico del plan, hay una
notación para ellos. Así, {1, 2, 3} denota el conjunto que contiene los
elementos 1, 2, 3. El plan también distingue entre los objetos y el conjunto
formado por esos conjuntos. Así, 3 y {3} son entes diferentes. La razón de esta
distinción es que el conjunto {3} se puede sumar a otros conjuntos, pero el
objeto 3 no se puede sumar a otros conjuntos, del mismo modo que los caballos y
las vacas no se pueden sumar a menos que pensemos en ellos como pertenecientes
a un género superior de animales. Otra cuestión es que los estudiantes
comprendan esta distinción, pero si lo logran, es probable que el siguiente paso
los trastorne. En la teoría de conjuntos entra el concepto de conjunto vacío.
El conjunto vacío, designado normalmente por el signo ∅, se puede ejemplificar con el conjunto de los
reyes de Estados Unidos. Sin embargo, un conjunto formado por el conjunto vacío,
es decir, {∅} no es vacío porque contiene el
conjunto vacío[6].
Para
especificar el conjunto de todos los valores de x que
satisfacen x + 2 = 4, es decir, los valores que convierten en
proposiciones verdaderas, la proposición abierta x + 2 = 4, la
notación moderna exige escribir {x : x + 2 = 4}.
Para indicar que el 1 forma parte del conjunto {1,2,3}, se escribe 1 ∈ {1,2,3}, donde el símbolo ∈ significa «pertenece a». Para designar propiamente
la colección de todos los perros de Estados Unidos, se debe escribir {x : x es
un perro de Estados Unidos}.
Con el
simbolismo anterior se pueden estructurar en forma simbólica enunciados más
complejos. Así, para especificar la colección de todos los gatos y perros de
Estados Unidos se escribe {x : x es un perro de
Estados Unidos } ∪ {x : x es
un gato de Estados Unidos}. Aquí ∪
simboliza la unión de dos conjuntos, es decir, la colección de todos los
objetos que están en uno de los dos conjuntos al menos. Si se quiere preguntar
cuál de los números 1, 2 y 3 satisface la desigualdad 3x − 1 <
8, se debe escribir: si x ∈ {1,2,3},
determinar los elementos de {x : 3x − 1 < 8}.
Igualmente, para describir los valores de x e y para
los que x + y = 5, se escribe {(x,y)
: x + y = 5}. Los valores positivos de y en x −
6y = 10, que corresponden a x = −10 y x =
2, se denotan mediante el conjunto solución de x − 6y =
10, x ∈ {−10,
2}, y ∈ {números
positivos}. Para especificar que hay al menos un valor de x para
el que x + 2 = 3, se usa la notación {∃x : x +
2 = 3}. Por otro lado, para establecer que un número par no es impar,
expresamos mediante px que x es
par, y mediante qx que x no es
impar. Entonces usando el símbolo ⇒ que
significa implicación, se escribe ∀x (px ⇒ qx), que expresado en
palabras dice que para todo x, x par implica
que x no es impar. Los símbolos ∃ y ∀ se llaman cuantificadores.
La
crítica aplicada a la terminología se aplica igualmente al uso de los símbolos.
Naturalmente, habitualmente es necesario algún simbolismo. Cuando está
justificada y cuidadosamente elegida, la notación contribuye a la clarificación
de los conceptos y relaciones esenciales de la matemática, y ahorra trabajo en
las operaciones. También ayuda en la comprensión de las ideas. Expresar con
palabras la expresión a2 + 2ab + b2,
no sólo resultaría más largo, sino que sería más difícil de comprender.
Sin
embargo, el plan de matemática moderna ha hecho del uso excesivo de símbolos
más un vicio que una virtud. Consideremos el ejemplo siguiente. Dada la
expresión f(x,y) = 3x − 2y =
1, determinar el conjunto
A =
{(x,y) : x ∈ N, y ∈ N, f(x,y) =
1},
donde N es
el conjunto de los números enteros. Todo este simbolismo equivale a decir:
determinar las soluciones enteras de 3x − 2y = 1. Los
autores modernos disfrutan con los símbolos. Así encontramos corchetes, llaves,
barras verticales, paréntesis, cuantificadores, los símbolos de implicación y
doble implicación, los símbolos de unión e intersección, el signo ∈ de pertenencia y muchos otros símbolos. Los
estudiantes quedan aturdidos por estos símbolos oscuramente amenazadores.
Muchos
símbolos no sirven para nada; el lenguaje ordinario es mejor. El pequeño ahorro
de espacio está más que compensado por el obstáculo psicológico que el
simbolismo supone para el estudiante. Nadar en símbolos hace más difícil la
lectura y la comprensión. Cuando cuesta recordar lo que los símbolos
significan, sería menos perjudicial usar expresiones verbales. Por otra parte,
los símbolos asustan a los estudiantes, y por ello deben usarse con parquedad.
La dificultad en recordar sus significados y la general falta de atractivo de
las expresiones simbólicas repelen y molestan a los estudiantes; los símbolos
son como banderas enemigas flotando sobre una ciudadela aparente mente
inexpugnable. El mismo hecho de que el simbolismo no comenzara a ser usado habitualmente
en las matemáticas hasta los siglos XVI y XVII indica que no es fácilmente
accesible para la gente.
El
simbolismo puede servir para tres fines. Puede comunicar eficazmente las ideas,
puede ocultar las ideas y puede ocultar la ausencia de ideas. A menudo parece
como si los textos modernos de matemáticas usasen el simbolismo para ocultar la
pobreza de ideas. En otros casos, el propósito de su simbolismo parece ser el
de hacer inescrutable lo evidente y evitar así su comprensión.
El
énfasis exagerado en el simbolismo puede dar a la mayor parte de la gente una
impresión sobre las matemáticas análoga a la que se sacaría de una presentación
de la música que centrara todo el esfuerzo en aprender a escribir y leer la
notación musical. No tendríamos ningún indicio de lo que significan las notas,
los agudos, los bemoles, el tiempo del compás o cualquier otro símbolo, en
relación con los sonidos reales, bellos temas y composiciones completas, que
los símbolos simplemente registran. En realidad, se puede llevar más allá la
analogía entre la música y las matemáticas, en lo referente a la educación.
Nadie transcribe las notas de una composición musical y la interpreta después
para saber qué quieren decir las notas. Las ideas e incluso el desarrollo total
están pensados e «interpretados» en la mente del compositor antes de que los
exprese mediante la notación musical. Así, también las ideas y los argumentos
con los que trabaja el matemático tienen una realidad física, intuitiva y
geométrica mucho antes de ser expresados mediante símbolos. Vemos entonces que
los símbolos de las matemáticas, como las notas musicales, son simplemente una
escritura artificial sin significado intrínseco. Sólo pueden transmitir la
vida, el significado, la riqueza de pensamiento y la belleza si las ideas y los
pensamientos que los símbolos simplemente transcriben se enseñan usando tan
pocos símbolos como sea posible.
A pesar
de las desventajas que acarrea el uso de símbolos, los textos de matemáticas
modernas prefieren usarlos generosamente. Cabe sospechar que lo hacen para dar
un aire de profundidad a lo simple y sencillo. Incluso se encuentran
expresiones verbales «aclaradas mediante símbolos», como si los símbolos
clarificasen las palabras.
Lo
ridículo de los esfuerzos por conseguir la precisión mediante la terminología y
el simbolismo ha sido puesto de relieve por el profesor Feynman. En su artículo
«New textbooks for the New Mathematics», critica la búsqueda de precisión
mediante el uso del lenguaje de los conjuntos. Caricaturizando la precisión,
escribe: «Un guardián del zoo, para mandar a su ayudante que saque los lagartos
enfermos de la jaula, podría decir: “Toma el conjunto de animales formado por
la intersección del conjunto de los lagartos con el de los animales enfermos y
sácalos de la jaula.” Este lenguaje es correcto, preciso, es el lenguaje de la
teoría de conjuntos, pero no dice más que “Saca los lagartos enfermos de la
jaula…”. La gente que usa las matemáticas en la ciencia, la ingeniería y demás,
nunca usa frases tan largas como las de nuestro imaginario guardián… A la mayor
parte de la gente que ha estudiado estos libros de texto puede que le sorprenda
descubrir que los símbolos ∪ y ∩, de
unión e intersección de conjuntos, el uso especial de los corchetes y toda la
notación elaborada para los conjuntos que se da en estos libros, no aparece
casi nunca en los artículos de física teórica, ingeniería, aritmética
empresarial, diseño de computadores u otros campos en los que se aplican las
matemáticas. No veo ninguna necesidad ni razón para que todo esto se exponga o
sea enseñado en la escuela. No es una forma útil, ni lógica o sencilla, de
expresarse. Se supone que proporciona precisión, pero ¿precisión para qué?».
Feynman
incluye en su crítica estas palabras: «Muchos de los libros de matemáticas que
se recomiendan ahora están llenos de estos sinsentidos, palabras especiales,
cuidadosa y precisamente definidas, que son usadas por los matemáticos puros en
sus análisis más sutiles y difíciles y que nadie más usa… El problema real al
hablar no es que el lenguaje sea preciso. El problema es que el
lenguaje sea claro.» Pone como ejemplo una forma de las ahora
habituales de buscar precisión, la distinción entre una pelota y el dibujo de
una pelota. Un texto dice: «Colorear de rojo el dibujo de la pelota», en vez de
«Colorear la pelota de rojo». Feynman señala que la frase «Colorear de rojo el
dibujo de la pelota» comienza por crear dudas, mientras que «Colorear la pelota
de rojo» no las crea. El dibujo de la pelota incluye la pelota y un paisaje.
¿Se deberá colorear también el paisaje? Como también indica Feynman, los
conjuntos, a los que ahora se da tanta importancia, se usan solamente de manera
forzada para levantar construcciones artificiales y complicadas.
Capítulo
7
La matemática por la matemática
«Se puede
decir que las matemáticas hablan de cosas que no interesan al hombre en
absoluto… Parece una ironía de la creación el que la mente del hombre sepa
manejar mejor aquellas cosas que más lejos están del centro de su existencia.
Así, somos especialmente capaces en aquellos terrenos en que el conocimiento
importa menos: en matemáticas, especialmente en teoría numérica.»
Herrnann Weyl
La nueva
matemática se presenta como autosuficiente. Se presupone que las matemáticas
pueden alimentar su propio crecimiento y que su estudio por sí y para sí tiene
un valor.
Por
ejemplo, se presenta a las matemáticas generándose a sí mismas. Así, dados los
números naturales, las fracciones pueden introducirse y se introducen en el
nuevo plan preguntando qué número x satisface 3x =
7. Está claro que no todo número cumple esto, y por tanto, se nos dice, los
matemáticos se ven obligados a introducir las fracciones, por ejemplo 7/3.
Dados los números positivos y las fracciones se puede preguntar qué
número x satisface la ecuación x + 5 = 2. Una
vez más, los números existentes se muestran inútiles para resolver tales
ecuaciones, y así es como se crean los números negativos. Un planteamiento
análogo conduce a la introducción de los números irracionales y de los números
complejos, es decir, números que son raíces cuadradas de números negativos, por
ejemplo √−5.
No sólo
se introducen los diversos tipos de números para resolver problemas
matemáticos, sino que los axiomas que se verifican para todos los números se
suponen aplicables a cada una de las nuevas clases introducidas, y de este modo
se demuestran las propiedades de cada una de estas clases. Hemos ilustrado este
último hecho en conexión con la interpretación deductiva adoptada para la nueva
matemática.
Hay otro
ejemplo de la introducción de nuevas ideas matemáticas a partir de los
problemas que plantean las antiguas. Al resolver ecuaciones lineales, es decir,
ecuaciones de la forma ax + b = 0, es
importante matemáticamente preguntar si se pueden resolver ecuaciones tales
como x2 + 7x + 9 = 0, x2 −
5x + 4 = 0, y, en general, ax2 + bx +
c = 0.
No es
posible desarrollar todas las matemáticas proponiendo problemas sobre las ideas
ya estudiadas. La geometría debe introducirse partiendo de cero. Sin embargo,
una vez que ha sido introducida es fácil proponer cuestiones matemáticas que
planteen nuevos temas geométricos. Por ejemplo, una vez que los estudiantes han
estudiado la congruencia de triángulos se puede preguntar: «¿Qué se puede decir
acerca de dos triángulos que tienen sus ángulos iguales?» Tales triángulos no
necesitan ser congruentes, pero son semejantes, y de esta forma se sugiere el
estudio de los triángulos semejantes. Igualmente, una vez que hemos considerado
los triángulos, que son figuras de tres lados, se pueden formular y responder
preguntas sobre los cuadriláteros o figuras de cuatro lados. Estos ejemplos
pueden servir para ilustrar lo que se entiende al decir que las matemáticas s e
generan a sí mismas. Los nuevos conceptos y los nuevos problemas se introducen
planteando preguntas acerca de conceptos ya estudiados.
Históricamente
este enfoque de las matemáticas es total mente falso. Los conceptos,
operaciones, teoremas e incluso métodos de demostración importantes fueron
sugeridos por situaciones y fenómenos reales. La matemática nació de nuestras
experiencias en el mundo físico. Por ejemplo, como ya hemos señalado por otra
razón, nuestro método de sumar fracciones fue adoptado porque la suma así
obtenida representa lo que resulta físicamente cuando se reúnen partes de
objetos. Podríamos haber sumado numeradores y denominadores, de forma que 1/2 +
1/2 = 2/4, pero este resultado no es cierto cuando juntamos medio pastel a otro
medio pastel. Igualmente, las propiedades que poseen las operaciones
matemáticas no son el resultado de extender las propiedades asociativa, conmutativa
y distributiva a nuevos elementos. Si la multiplicación de matrices debe ser no
conmutativa para ser útil, abandonaremos la conmutatividad, aunque podríamos
definir una multiplicación de matrices conmutativa. Así, el extender los
axiomas asociativo, conmutativo y distributivo a nuevas clases de números
podría llevarnos a unas matemáticas inútiles. La geometría también surge del
estudio de las figuras reales existentes en el espacio físico y del deseo de
conocer las propiedades de las figuras reales y del espacio mismo.
El origen
histórico de los procesos y conceptos matemáticos no tiene por qué ser una
interpretación pedagógica. Sin embargo, una objeción válida a la generación de
los nuevos conceptos y operaciones a partir de los viejos es la falta de
sentido de lo que se introduce. Por ejemplo, para introducir los números
negativos, algunos textos modernos preguntan: «¿Qué número hay que sumar al 2
para que dé 0?» Entonces introducen el −2 como el número requerido. Como
algunos textos dicen, el −2 es el único elemento opuesto al 2 respecto a la
suma. Pero esta introducción del −2 no nos dice nada, como la definición
«Antimateria es la sustancia que añadida a la materia produce el vacío» no nos
dice nada sobre la antimateria.
Al
generar las matemáticas a partir de proposiciones matemáticas y al extender a
nuevos dominios las leves o los axiomas que se cumplen en lo previamente
establecido, las matemáticas han quedado aisladas de todos los otros cuerpos
del conocimiento. Existe por sí misma y se su pone que es autosuficiente.
Entonces parece como si las estructuras deductivas así construidas se ajustaran
casualmente a algunos fenómenos físicos y las matemáticas pudieran ser
aplicadas a los problemas reales. Sin embargo, este valor aparentemente
fortuito no se utiliza. Las matemáticas, en los textos de matemática moderna,
no se aplican a problemas reales. Algunos autores hacen pequeñas concesiones a
las aplicaciones en los cursos séptimo y octavo. Habiendo tranquilizado sus
conciencias, ignoran las aplicaciones en cursos superiores.
El
aislamiento del mundo real es evidente en los artificiosos problemas que se
encuentran en los textos. Además de los ejercicios puramente técnicos que
sirven de práctica y que evidentemente no tienen conexión con el mundo real,
hay ejercicios cuyo carácter se ilustra a continuación.
Al
dividir un cierto número por dos se obtiene el mismo resultado que
multiplicándolo por tres y restando quince. Hallar el número.
Harry
gana a la semana tres veces más que Tom, mientras que Dick cobra ochenta
dólares a la semana más que Tom. Si Dick y Harry tienen el mismo salario,
¿cuánto gana cada uno de los tres?
Bill
tiene el doble de años que Mary. Si tiene exacta mente diez años más de los que
tenía Mary el año pasado, ¿cuántos años tienen Bill y Mary?
La Cruz
Roja teje cincuenta suéteres en diez días. La Cruz Roja juvenil ha contribuido
con dos docenas menos que la organización de los mayores. ¿Cuántos suéteres ha
tejido la Cruz Roja Juvenil?
¿De qué
tamaño es un ángulo cuyo suplementario tiene 21º menos que cuatro veces su
complementario?
He aquí
un problema «científico»: Según la ley de la reflexión, i = r.
Siendo i = (2n + 30)º y r = (4n −
10)º, hallar n. No se incluye ni una palabra acerca del significado
de la ley de la reflexión. Se podría referir a la reflexión mental.
La
artificialidad de estos problemas es obvia. Su necedad e inutilidad harían que
cualquier estudiante sensible se retorciera mentalmente de dolor. Desde luego,
este tipo de problemas se utilizaban también en el plan tradicional.
A juzgar
por las manifestaciones de algunos de los grupos que han elaborado los planes,
se podría pensar que al menos en algunos de los nuevos programas las
aplicaciones reales habían sido incorporadas e incluso puestas en un primer
plano. Por ejemplo, la comisión de matemáticas justificaba en su informe de
1959, Program for College Preparatory Mathematics, la
necesidad de un nuevo plan, señalando que había muchas nuevas aplicaciones de
la matemática en campos tales como la exploración del espacio, la ciencia
nuclear, las ciencias sociales, la psicología, los negocios y la industria.
Otros grupos se hicieron eco de este pensamiento. Pero ninguna de tales
aplicaciones, por no hablar de las aplicaciones físicas tradicionales, ha sido
incluida en los planes.
El olvido
de las aplicaciones ha sido señalado y lamentado incluso por los abogados de la
nueva matemática. Así, el profesor Rosenbloom, un activo trabajador en el nuevo
plan, dijo en un artículo sobre matemática aplicada (véase la referencia a
Carrier en la bibliografía): «En la redacción de los temas para los grados 9 y
11, algunos quedamos decepcionados de que quienes pensábamos que defendían la
introducción de aplicaciones terminasen escribiendo sobre proposiciones
abiertas y cosas por el estilo.» Pero las aplicaciones no se han introducido.
Una de
las razones de esto es que los profesores y los maestros que redactaron el
nuevo plan no conocían la ciencia. Los profesores eran matemáticos puros y los
cursos seguidos por los maestros fueron dados en su mayoría por estos
profesores, así que los maestros ignoraban también para qué pueden servir las
matemáticas. Ambos grupos, por tanto, preferían un tratamiento puramente
matemático que les evitaría tener que presentar y explicar unos pocos conceptos
físicos y cómo se formulan problemas físicos matemáticamente.
Los
modernistas aparentemente también quieren mantener la pureza de las
matemáticas. No quieren mancharlas; desean limpiarlas de los residuos de la
tierra de la que han crecido. Pero al lavar el mineral se quedan con el hierro
y dejar ir el oro. Un dominio perfecto de la lengua es inútil si un hombre no
tiene nada que decir, y las matemáticas puras tienen poco que decir a los
estudiantes jóvenes. Como dijo Bertrand Russell, «las matemáticas pueden
definirse como una materia en la que nunca sabemos de qué estamos hablando ni
si estamos diciendo la verdad». Aunque Russell se refería a la estructura
lógica de las matemáticas, su afirmación es válida para la enseñanza. El
contenido y el espíritu del plan de matemática moderna pueden satisfacer al
matemático académico, pero toda relación con el mundo real ha sido ignorada.
Naturalmente,
la matemática no es un cuerpo aislado y autosuficiente de conocimientos. Existe
sobre todo para ayudar al hombre a comprender y dominar el mundo físico y
también, en alguna medida, los mundos económico y social. La matemática está al
servicio de determinados fines y propósitos. Si no fuese así, no habría lugar
para ella en los programas de enseñanza. Si las matemáticas son objeto de gran
demanda y se les concede tanta importancia, la razón es que son un instrumento
de gran ayuda. Esto debería reflejarse en el plan.
Durante
los últimos años muchos de los portavoces del plan han reconocido que no se han
puesto de relieve las aplicaciones de las matemáticas. Pero su intento de
remediar estas deficiencias ha sido cómico. Han solicitado a especialistas en
matemática aplicada de algunos grandes laboratorios de investigación o de
organizaciones industriales, que suministrasen ejemplos de aplicaciones. Estos
hombres han separado de las aplicaciones reales algunos retazos de matemáticas
presentes en ellas. Pero estos retazos no revelan de qué se trata. Son como sal
en un pastel. Se pide a los estudiantes que se coman la sal con la esperanza de
que, de ese modo, disfruten el pastel.
El
aislamiento de las matemáticas ha sido atacado por el doctor Alvin M. Weinberg
en su artículo «¿Pero son también ciudadanos los enseñantes?» El doctor
Weinberg, director del Laboratorio Nacional de Oak Ridge, denuncia que los
profesores están tan absorbidos por sus propias disciplinas que olvidan enseñar
a los estudiantes conocimientos útiles, conocimientos que puedan ser aplicados
en otros campos, del mismo modo que la matemática se aplica a la física, y
conocimientos que les puedan convertir en miembros más útiles de la sociedad.
Denomina a las nuevas matemáticas «un monstruo purista».
Presentar
las matemáticas como generadas por sí mismas no sólo supone una negación de la
historia, sino que oculta sus conexiones vitales con otras ramas del
conocimiento. Desde un punto de vista pedagógico este intento es más
desafortunado, porque renuncia a la oportunidad y gran necesidad de dar
motivación y significado a las matemáticas. Desde el momento en que las ideas
matemáticas elementales surgen de problemas físicos y prácticos, estos
problemas o sus equivalentes más modernos podrían usarse para motivar el uso de
las matemáticas. Ya hemos señalado que el defecto más grave del plan
tradicional era su falta de motivación. En vez de remediar este defecto, el
plan moderno lo ha agravado. No se puede inducir a los jóvenes para que
estudien matemáticas a base de más matemáticas. Los estudiantes que no estén
interesados en resolver x + 3 = 4, ciertamente no estarán
interesados en resolver x + 4 = 3.
Aislar a
las matemáticas es también privarlas de su significado. Se puede persuadir a
los estudiantes para que estudien la función s = 16t2.
Pero la función como tal no tiene significado. Físicamente representa el
movimiento de caída de una bola. La variable s representa la
distancia recorrida en t segundos. Con esta interpretación los
alumnos pueden visualizar el incremento de s y t según
cae la bola, y con una pequeña ayuda pueden apreciar cómo difiere esta función
de s = 16t o de s = 16t3.
La apreciación física de cómo varían distintas funciones es de hecho el camino
más seguro para lograr la comprensión de la naturaleza y comportamiento de
estas funciones.
Las
matemáticas se vuelven inútiles y faltas de atractivo si quedan aisladas. Es
como enseñarlas en una habitación con espejos en las paredes en vez de ventanas
al mundo exterior. Los portavoces de las matemáticas modernas han supuesto que
las matemáticas por sí mismas y para sí mismas son atractivas para la gente
joven. Pero esto no es verdad. Las matemáticas propiamente dichas se presentan
a los ojos de los estudiantes como un enorme e intrincado rompecabezas. Las
matemáticas puras pueden proporcionar problemas interesantes, pero también lo
hacen el derecho, la economía y la biología, y estas materias resultan mucho
más vivas e importantes para los estudiantes. Las matemáticas, a causa de su
abstracción, no constituyen un interés humano natural. El hecho mismo de que
entre varios centenares de civilizaciones sólo unas pocas hayan dedicado tiempo
y esfuerzo a este asunto muestra lo poco natural que éste es.
Los
abogados de las matemáticas modernas opinan que los estudiantes pueden
encontrar ciertos valores en el estudio de las matemáticas por sí mismas. Uno
de los valores que ensalzan es la estructura. Realmente, estructura ha llegado
a ser la palabra de moda. Así, el prefacio al curso de álgebra de matrices,
preparado por el School Mathematics Study Group, dice «que es esencial el
discernimiento de la estructura, no tanto en la apreciación de una pintura o
una sinfonía como en el comportamiento de un sistema físico, tanto en la
economía como en la astronomía». También en su prefacio al Teachers
Commentary del curso de álgebra de primer año, este grupo afirma que
«el objetivo principal de este primer curso de álgebra es ayudar a los alumnos
a desarrollar la comprensión y apreciación de algunas de las estructuras
algebraicas que aparecen en el sistema de los números reales, y el uso de estas
estructuras como base para las técnicas del álgebra».
¿Qué es
exactamente la estructura? Cualquier rama de las matemáticas está formada
básicamente por definiciones, axiomas y teoremas. Esta es la estructura en
sentido amplio. Sin embargo, las propiedades que se cumplen en una rama no se
cumplen en otra. Así, la multiplicación de dos números reales cualesquiera es
conmutativa, pero la multiplicación de matrices no. En consecuencia, la
estructura lógica de los números reales es diferente de la de las matrices.
¿Qué se
puede enseñar a los estudiantes acerca de la estructura? Para los números
positivos y el cero (es decir, los números naturales), las propiedades
asociativa y conmutativa se cumplen en la suma y la multiplicación. Sin
embargo, no es posible restar 5 de 2 dentro de la clase de los números
naturales. De otra forma: podemos decir que 3 no tiene inverso en la clase de
los números positivos; o sea, que no hay un número positivo tal que 3 + a =
0. Por otro lado, en la clase de los números positivos y negativos el 3 posee
un inverso, es decir, existe un −3. Entonces el conjunto de los números
positivos y negativos posee una propiedad que el conjunto de los números
positivos, por sí solos, no tiene. Entonces las dos clases de números difieren
en su estructura.
No es
posible, en la clase de los números positivos y negativos, dividir cualquier
número por otro. Así, en esta clase no existe 1/7. De otra forma: podemos decir
que en la clase de los números enteros no existe el inverso de la
multiplicación; o sea, que existe un número x tal que 7
× x = 1. Por otro lado, en la clase de los números positivos y
negativos y de las fracciones, cada número tiene un inverso respecto de la
multiplicación. Entonces cada número tiene en esta clase un inverso con
respecto a la multiplicación y a la suma, luego la estructura de los números
racionales (positivos, negativos y fracciones) es diferente de la de los
números enteros.
Puesto
que los alumnos de enseñanza secundaria no llegan mucho más allá del uso de los
números reales, es decir, de los números racionales e irracionales, no tienen
ocasión de estudiar muchas estructuras o la oportunidad de conocer estructuras
muy distintas. No pueden ni comparar las similitudes y diferencias de muchas
estructuras. Sin embargo, cierto número de defensores de la matemática moderna
hacen hincapié en el estudio de la estructura. Además de las citas anteriores
tenemos la siguiente afirmación de la comisión de matemáticas en su Program
for College Preparatory Mathematics (p. 2): «Aunque el punto de vista
contemporáneo no desecha las técnicas operativas necesarias para la eficacia
del pensamiento matemático, hace especial hincapié en la estructura o forma del
sistema y en el pensamiento deductivo.» En el folleto The Revolution in
Schools Mathematics, publicado por el National Council of Teachers of
Mathematics, Kenneth E. Brown, del Departamento de Sanidad, Educación y
Bienestar, dice: «La estructura es otro aspecto en que todos los nuevos
programas hacen hincapié. Esto se refleja en el cuidadoso desarrollo de las
matemáticas como un sistema deductivo.»
No hay
nada intrínsecamente equivocado en pretender el estudio de la estructura,
aunque se pueda cuestionar su importancia en el aprendizaje de las matemáticas
a nivel elemental. Sin embargo, la posibilidad de que resulte significativo el
estudio de la estructura es, ciertamente, discutible. Para apreciar las
diferencias y similitudes en la estructura de los seres vivos es preciso
conocer bien una gran variedad de animales. Quien sólo conozca gatos y perros
creerá que todos los animales tienen la misma estructura, y de hecho no se le
ocurrirá pensar acerca de la estructura. Quien, por el contrario, conozca
jirafas, elefantes, peces y pájaros, encontrará que la estructura puede
convertirse en objeto de investigación.
Los
estudiantes de enseñanza primaria y secundaria están en la situación de un
hombre que sólo conoce a los gatos y a los perros. Es cierto que es posible
comparar la estructura lógica de los naturales con la de los enteros, y la de
los enteros con la de los números racionales. Sin embargo, mientras el
estudiante se está esforzando todavía por comprender estos números y las
operaciones con ellos, no está preparado para tener la visión general que
requiere la percepción de la estructura. Aunque vislumbre algunas diferencias
entre las operaciones posibles con números racionales y las posibles con los
enteros, no es probable que asimile el concepto de estructura. Si continúa
estudiando matemáticas hasta encontrar álgebras en que la multiplicación no es
conmutativa, puede comenzar a darse cuenta de las diferencias de estructura. No
es realista esperar que entiendan de arquitectura quienes sólo conozcan
perreras y cochiqueras.
Otra
razón esgrimida a favor del estudio de la estructura es que éste unifica el
cuerpo de las matemáticas al mostrar que todos los teoremas proceden de un
conjunto de axiomas y están ordenados en una sucesión lógica. Pero esta faceta
de la estructura tiene muy poco valor para los alumnos de secundaria. En el
plan moderno de matemáticas, el álgebra elemental sigue siendo el habitual
batiburrillo de temas inconexos que era en el plan tradicional. El hecho de que
todos estos temas puedan tratarse a partir de un conjunto básico de axiomas
puede darles unidad en la mente del matemático, pero esta unificación o
conexión no pueden afectar especialmente a jóvenes que todavía no han aprendido
qué es una estructura deductiva.
Los
profesores de matemáticas hablan a menudo de dar a los estudiantes conciencia
del poder de las matemáticas, y de hacerlo mediante la exhibición de la
estructura y el orden presentes en todas sus ramas. Lo que no está claro es en
qué forma estos rasgos evidencian el poder de las matemáticas. Para mostrar
este poder es preciso usarlas en situaciones reales. De esta forma se aplica su
poder y los estudiantes llegan a apreciarlo.
Por
tanto, el que los jóvenes estudien la estructura es algo que debe criticarse,
independientemente de su importancia mayor o menor, por su carencia de
significado a este nivel. Y este mismo hecho implica que no debería ser
estudiada a este nivel.
Capítulo
8
El nuevo contenido de la nueva matemática
«Con
frecuencia la sabiduría está más cerca de nosotros cuando descendemos que
cuando nos elevamos.»
William Wordsworth
El plan
de matemática moderna incluye el desarrollo lógico como camino para la
comprensión, el rigor, la precisión mediante la terminología y el simbolismo, y
el énfasis en la matemática por sí misma. ¿Qué temas resultan favorecidos?
Todavía se enseñan en el nuevo plan los viejos temas, la aritmética, el
álgebra, la geometría euclídea, la trigonometría y los elementos de geometría
analítica, a pesar de las opiniones de muchos modernistas de que estas
matemáticas anteriores al 1700 están anticuadas y son incluso inútiles en la
sociedad moderna. Naturalmente, la proporción de temas tradicionales varía de
una versión a otra en los planes de matemática moderna, pero es, desde luego,
la parte predominante en todos los casos.
Sin
embargo, el nuevo plan presenta algunos contenidos nuevos. Entre los nuevos
temas el que más atención ha recibido ha sido la teoría de conjuntos. Se
estudia desde el jardín de infancia, como si los estudiantes se fuesen a morir
de hambre, mentalmente al menos, a falta de esta dieta. Un conjunto, como dice
cualquiera de los textos de matemática moderna, no es más que una clase o
colección de objetos. Un conjunto de manzanas, de cubos de basura, de letras
del alfabeto inglés y el conjunto de los números naturales son otros tantos
ejemplos. El concepto y la palabra conjunto son bastante
sencillos. Sin embargo, la teoría de conjuntos contiene muchos
conceptos y teoremas sutiles. Los conceptos básicos son la unión y la
intersección de dos conjuntos. Entendemos por unión del conjunto de los objetos
rojos y del conjunto de los libros, el conjunto de todos los objetos que o son
rojos o son libros. La intersección de dos conjuntos es el conjunto de todos
los objetos comunes a los dos. Así, puesto que un libro con las tapas rojas es
un objeto rojo, el conjunto de los libros rojos es la intersección de los dos
conjuntos. Ahora se puede hablar de la unión e intersección de tres o más
conjuntos y de combinaciones de uniones e intersecciones. Habitualmente un
conjunto posee subconjuntos. Las sillas rojas serían un subconjunto de todos
los objetos rojos. Todo conjunto posee al menos un subconjunto, que es el
conjunto vacío. Este conjunto puede ejemplificarse con el conjunto de las
mujeres que han sido presidentes de los Estados Unidos.
Los
conjuntos más significativos son los conjuntos infinitos. El conjunto de los
números naturales es infinito. Se enseña a los estudiantes que dos conjuntos
son equivalentes si es posible establecer una correspondencia biunívoca entre
ellos.
Por medio
de la correspondencia
tenemos
una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números naturales y el
conjunto de los números naturales pares, tal que a cada número natural le
corresponde el número doble y al revés. Estos dos conjuntos, y cualquier otro
que se pueda poner en correspondencia biunívoca con el de los números
naturales, se dice que tienen el mismo número de objetos. Así, hay tantos
números pares como números naturales pese a que aquellos son una parte de
estos. A los estudiantes se les muestra entonces que el conjunto de los números
racionales se puede poner en correspondencia biunívoca con los números
naturales, es decir, que hay tantos números racionales como números naturales.
También se les enseña que el conjunto de los números reales no se puede poner
en correspondencia con el de los números naturales y que el conjunto de los
números reales contiene a los números naturales, por lo que es más grande que
éste.
Los
portavoces de la matemática moderna justifican con varios argumentos la
importancia concedida a los conjuntos. El primero es que se trata de un
concepto básico en matemáticas. Así, los números son nombres de conjuntos de
objetos (aunque la unión y la intersección de conjuntos no sean las mismas
operaciones que la suma y multiplicación de los números). El segundo argumento
es que el concepto de conjunto unifica varias ramas de las matemáticas. La
noción de conjunto se usa para hablar del conjunto solución de las raíces de
una ecuación, para definir figuras geométricas y definir relaciones y funciones
en términos de conjuntos de pares ordenados de números. La unificación mediante
los conjuntos, a nivel elemental por lo menos, se limita a una terminología
especial y a una problemática remodelación de definiciones aceptadas y
aceptables de los conceptos.
Quizá el
segundo tema en popularidad de la matemática moderna sea el de los sistemas de
numeración en distintas bases. Este concepto proviene de los babilonios, 2500
años a. de C., que usaban la base sesenta. El concepto fue ampliamente aireado
por los famosos matemáticos John Wallis y Gottfried Wilhelm Leibniz en el siglo
XVII.
¿Qué es
una base? Nuestro método de escribir cantidades utiliza la base diez Así, 372
significa 3 × 102 + 7 × 10 + 2. La misma cantidad puede
escribirse en otra base, ocho, por ejemplo. Como 372 = 5 × 82 +
6 × 8 + 4, 372 escrito en base ocho es 564. Se enseña a los estudiantes a
escribir números en otras bases y a sumar y multiplicar en ellas. Los modernos
computadores electrónicos operan en base dos. Cabría esperar, entonces, que a
los estudiantes se les enseñarían las bases de numeración cuando tienen que
aprender algo acerca de computadores. Pero el argumento de los defensores de
las matemáticas modernas es que aprender a operar en bases distintas de diez
ayuda a comprender la base diez y las operaciones en aritmética.
Un tercer
tema común en las nuevas matemáticas es el estudio de las congruencias. Este
tema se introduce frecuentemente mediante la llamada aritmética del reloj.
Nuestros relojes llegan hasta las doce y después comienzan de nuevo en cero. Es
decir, que cuando han pasado veintidós horas desde las doce el reloj no marca
22, sino 10. Esto implica que a todos los números se les restan docenas como
sea posible. Veintidós se reduce a diez, y se dice que es congruente con diez
en módulo 12. Para hacer los cálculos más simples se les enseña a los
estudiantes la congruencia en módulos cinco o seis. Ahora bien, las
congruencias no tienen aplicación a la ciencia o la ingeniería. Se enseñan por
su interés matemático, y de hecho, el tema pertenece a la teoría numérica, la
cual se estudia principalmente por su propio interés. No obstante, es un tema
curioso y que puede despertar interés por los números. Se requieren nuevas
tablas de suma y de multiplicación. Así, en módulo 6, 4 × 3 = 0, ya que si se
toma el producto normal, doce, y se sustraen tantos 6 como sea posible, queda
cero. Este producto tiene otra característica curiosa, que el producto de dos
números puede ser cero aunque ninguno de los factores lo sea.
Otro tema
privilegiado en el plan de matemática moderna es el de las desigualdades. Un
ejemplo simple sería el hallar los valores de x para los que 3x <
6. Este tema ha sido enseñado en el college durante
generaciones, dentro del álgebra tradicional, pero el nuevo plan lo ha incluido
en el álgebra de noveno grado.
El School
Mathematics Study Group recomienda el estudio de matrices en el segundo
semestre del duodécimo grado. Una matriz es una ordenación rectangular de
números, habitualmente cuadrada. Por ejemplo:
es una
matriz y se dice que es de segundo orden porque tiene dos filas y dos columnas.
Tales matrices se pueden sumar, restar, multiplicar y habitualmente dividir por
otra. También se las puede convertir en matrices con números diferentes
multiplicándolas por un número. En otras palabras, existe un álgebra de
matrices.
En muchos
de los planes modernos se enseña lógica simbólica. En el razonamiento ordinario
combinamos afirmaciones de varias maneras. Así se puede decir: «no está
lloviendo» y «voy a pasear». Aquí las dos afirmaciones, «no está lloviendo» y
«voy a pasear», son proposiciones independientes conectadas por la conjunción
«y». Evidentemente, la afirmación simultánea de estas dos proposiciones, p y q,
es verdad si y sólo si ambas proposiciones son ciertas. Sin embargo, este
significado evidente no se acepta como tal, sino que se define mediante lo que
se llama una tabla de verdad, que es de la siguiente forma:
El
símbolo ᴧ significa «y»; la tabla de verdad nos dice que la afirmación total es
verdadera si y sólo si p y q son las dos
verdaderas. Se supone que la tabla de verdad es más informativa y más precisa
sobre el significado de «y» que el enunciado verbal. Hay tablas de verdad para
«o», para la «implicación» y la «negación». Estas tablas de verdad se usan para
demostrar teoremas de lógica. De esta manera se demuestra que la negación de la
afirmación «No está lloviendo y voy a dar un paseo» puede significar que está
lloviendo o que no voy a dar un paseo o ambas cosas. Se supone que mediante el
uso de estas tablas se a prende a razonar.
Muchos
textos modernos enseñan álgebra de Boole, a la que también se considera una
ayuda para el razonamiento, y que constituye una alternativa al uso de las
tablas de verdad. Esta álgebra es igual al álgebra de conjuntos. Por ejemplo,
en teoría de conjuntos el conjunto de los perros más el conjunto de los perros
es exactamente el conjunto de los perros. En álgebra de Boole, si a representa
el conjunto de perros, el enunciado algebraico es a + a = a.
Si b representa el conjunto de los animales, el enunciado de
que todos los perros son animales se expresa por ab = a,
donde ab significa el conjunto de objetos que están a la vez
en a y en b. Usando el álgebra de Boole se pueden
expresar los razonamientos ordinarios en forma puramente simbólica.
Los
textos de matemática moderna son partidarios de los conceptos abstractos. Antes
de que los estudiantes hayan trabajado con funciones se les pide que aprendan
qué son relaciones y funciones en términos de conjuntos de pares ordenados
(cap. 6). Sólo después de las definiciones generales se deja que los
estudiantes aprendan a trabajar con y = x2, y = r3 y
similares.
Para
conseguir que los estudiantes se habitúen a la abstracción, se les pide que
respondan a ejercicios como el siguiente: Si ⊗ es una
operación con los números positivos, ¿cuál de las definiciones siguientes de ⊗ cumple que x ⊗ y = y ⊗ x?:
Lo que
realmente se pregunta en este ejercicio es: «¿Para cuál de las ⊗ definidas a la derecha de los signos de igualdad
se pueden intercambiar x e y sin alterar la
expresión?» (La respuesta es d).
Manteniendo
su énfasis en la abstracción y la estructura, los textos de matemática moderna
introducen las nociones de grupo y cuerpo. Un grupo es cualquier colección de
elementos con una operación que cumple varias condiciones. Si a la operación la
llamamos suma (aunque puede no ser la suma de los números reales), entonces una
condición es que la suma de dos elementos cualesquiera sea otro elemento de la
colección. La suma debe cumplir la propiedad asociativa. Debe haber un elemento
llamado 0 tal que a + 0 = a para cada
elemento a de la colección. Finalmente, para cada a de
la colección debe haber otro elemento de la colección, indicado por −a,
tal que la suma de a y −a sea 0.
El
ejemplo más simple de grupo es el conjunto de los números positivos y negativos
con la suma. Sin embargo, la importancia de la noción de grupo reside en que
hay muchas colecciones diferentes de elementos, con una operación asociada a
cada colección, que forman grupo.
El
concepto de cuerpo se aplica a una colección de elementos con dos operaciones,
llamadas suma y multiplicación; cada una de estas operaciones debe poseer las
propiedades que tienen las operaciones de grupo (excepto la existencia de
cero), y las dos operaciones están relacionadas por la propiedad distributiva,
es decir, a × (b + c) = a × b + a × c.
El ejemplo más simple de un cuerpo es la colección de números racionales
(números enteros y fracciones) con las operaciones habituales de suma y
multiplicación. Al igual que en el caso de los grupos, hay muchas colecciones
de elementos y operaciones que forman un cuerpo.
Se espera
que los estudiantes aprendan no sólo los conceptos de grupo y cuerpo, sino las
propiedades de estas estructuras no contenidas en sus definiciones. El estudio
de estas estructuras abstractas y sus propiedades se situaba dentro del plan
tradicional en el tercer o cuarto año de licenciatura, y sólo para quienes se
especializaban en matemáticas. En las nuevas matemáticas algunos de estos
conceptos se enseñan en la enseñanza primaria, y la cuestión propiamente dicha
se estudia en el cuarto año de enseñanza secundaria.
Se pide a
los estudiantes que aprendan conceptos abstractos con la esperanza de que si lo
consiguen, podrán entender automáticamente sus concreciones. Así, si un
estudiante aprende la definición general de función, comprenderá las funciones
específicas con las que tendrá que tratar; y si aprende qué es un cuerpo, lo
sabrá todo acerca de los números racionales y de otras colecciones que forman
cuerpos. Expresándolo en términos de abstracción y concreción, se puede decir
que las matemáticas modernas favorecen la abstracción como forma de
aproximación a lo concreto.
Ya en los
comienzos del movimiento era evidente que iban a destacar las cuestiones
abstractas. Por ejemplo, la Commission on Mathematics of the College Entrance
Examinaron Board afirmaba en su informe de 1959 (p. 20):
«El
objetivo de la enseñanza del álgebra no debería entenderse exclusiva o
principalmente como el desarrollo de la capacidad operativa. Antes bien, la
educación debería estar orientada hacia el desarrollo y comprensión de las
propiedades de un cuerpo de números.»
La
comisión recomendaba que para el segundo semestre del duodécimo curso se
escogiera entre una introducción a las probabilidades, con aplicaciones
estadísticas, y una introducción al álgebra abstracta centrada en el estudio de
grupos y cuerpos.
Hemos
descrito los nuevos contenidos del plan de matemáticas modernas. Se supone que
este corresponde a la necesidad de introducir a los jóvenes estudiantes en la
sociedad moderna. Aparentemente también debería resultarles atractivo, porque,
como dicen los autores de The Revolution in School Mathematics (p. 32),
«[El estudiante] quiere saber cómo encajan las matemáticas en su mundo. Y, por
fortuna, su mundo está lleno de imaginación y de abstracciones. Así, los
estudiantes se interesan por las matemáticas porque les proporcionan un rápido
acceso a una aventura intelectual atractiva y satisfactoria.» Aparentemente la
imaginación humana no ha muerto.
Revisemos
el contenido de las nuevas matemáticas a la luz de las pretensiones del nuevo
plan.
Los
defensores de las nuevas matemáticas han insistido mucho en que las matemáticas
enseñadas en el plan tradicional eran ya conocidas antes de 1700 y en que los
estudiantes se aburrían con unas matemáticas tan anticuad as. Sostienen además
que la edad moderna requiere unas matemáticas totalmente nuevas. ¿En qué medida
es moderno el contenido de la moderna matemática?
Realmente
la mayor parte del plan de matemáticas modernas está formado por temas
tradicionales. La aritmética, el álgebra, la geometría, la trigonometría, la
geometría analítica y el cálculo tradicionales están incluidos en el nuevo plan
y formando de hecho su núcleo. Luego no cabe hablar de contenido moderno. La
acusación de que el plan tradicional está anticuado se contradice con la
confesión de los modernistas de que ellos ofrecen ante todo una nueva
interpretación del antiguo plan. A pesar de este hecho, los defensores de la
nueva matemática basan su campaña en que la época actual requiere una nueva
matemática para aplicaciones tales como la programación lineal, la
investigación operativa, la teoría de juegos, el control de calidad, etc. De
hecho, en estas aplicaciones se usan las matemáticas tradicionales.
¿Mejoraría
el nuevo plan si hubiera abandonado los antiguos contenidos por haber sido
creados antes de 1700? ¿Estaría entonces el plan tradicional trescientos años
atrasado? Tal clase de argumento puede aplicarse a la historia, pero carece de
fuerza cuando se aplica a las matemáticas. La matemática es acumulativa. Lo
nuevo se construye sobre lo viejo, y es preciso comprender los antiguos temas
si se pretende dominar los nuevos desarrollos. Un plan basado únicamente en las
matemáticas posteriores a 1700 no tendría cimientos.
No se
puede defender todo lo antiguo. Ya hemos señalado (en el capítulo 2) que la
resolución logarítmica de triángulos, tema predilecto de la trigonometría
tradicional, ha perdido su importancia. Puede ser dado de lado. Sin embargo, es
muy poco lo que en el plan tradicional puede considerarse envejecido o sin uso
actual. Las matemáticas han sido comparadas a un gran árbol que da siempre
nuevas ramas y hojas y que sin embargo conserva el mismo fuerte tronco de
conocimientos establecidos. El tronco es esencial para la vida de todo el
árbol.
Sin
embargo, el nuevo plan sí incluye algunos temas nuevos. Al evaluar estos temas
nuevos debemos tener presente que los estudiantes de enseñanza primaria y
secundaria no saben a qué van a dedicarse en la vida. Incluso los pocos que lo
piensan pueden cambiar varias veces de idea. Por tanto, los diferentes cursos
de matemáticas que se den deberían ser útiles para las distintas carreras que
los estudiantes puedan emprender.
El nuevo
tema al que se concede importancia en la matemática moderna es la teoría de
conjuntos. No hay duda de que la palabra «conjunto» es útil. En el sentido
habitual, no técnico, significa colección, clase, grupo y cosas parecidas. Sin
embargo, como ya hemos señalado, se pide a los alumnos que estudien la unión e
intersección de conjuntos, los subconjuntos, el conjunto vacío, los conjuntos
infinitos, las correspondencias biunívocas entre conjuntos infinitos y otros
conceptos. Todo esto es un total despilfarro de tiempo. En las teorías
matemáticas muy avanzadas y complicadas, la teoría de conjuntos juega un papel,
pero en las matemáticas elementales no juega ninguno. De hecho es casi seguro
que la teoría de conjuntos se incluyó en las matemáticas modernas más para
darles aspecto de ser complejas y avanzadas que por su utilidad. Sucede que es
uno de los pocos temas de la matemática superior que se puede presentar sin una
excesiva preparación previa, y sin duda es uno de los pocos temas de
matemáticas avanzadas que los creadores del plan de matemática moderna podían
comprender.
Una vez
que han introducido la teoría de conjuntos, los creadores del plan debían
usarla. Para ello inventaron una terminología y unas definiciones. Si se habla
del «conjunto solución de x + 2 = 4», en vez de los valores
de x para los cuales x + 2 = 4, se usa el
lenguaje de los conjuntos. Se habla de un triángulo como «la unión de tres
puntos no alineados y de los segmentos que los unen», en vez de hablar de tres
puntos no alineados y los segmentos que los unen. El punto de intersección de
dos líneas se describe como la intersección de dos conjuntos lineales. Las
funciones, como señalamos antes, son conjuntos de pares ordenados. Esta
definición de función es particularmente desafortunada. Lo importante acerca de
una función, por ejemplo y = x2, es que
al variar x, varía y, y que los valores de y dependen
de los valores de x, Este significado de la función queda oculto en
su definición como un conjunto de pares ordenados. De hecho, el conjunto de
pares es infinito, y no puede ser ordenado por la mente para ver el importante
concepto de variación. Por tanto, estas aplicaciones de la teoría de con juntos
distorsionan los conceptos básicos.
El
profesor Feynman, cuyas críticas a los libros de texto que se usan en
California ya hemos citado, dice que
«en casi
todos los libros de texto que tratan sobre conjuntos, éstos no llegan a
utilizarse para nada, ni se llega a explicar por qué el concepto posee interés
o utilidad especiales. Lo único que se nos dice es que “el concepto de conjunto
es muy familiar”. Realmente esto es cierto. La idea de conjunto es tan familiar
que no comprendo la necesidad de una paciente discusión del tema, una y otra
vez, por distintos libros de texto, sin que al final se usen los conjuntos para
nada».
El papel
de la teoría de conjuntos en las matemáticas puede ser digno de atención porque
nos da alguna indicación de cómo se han interpretado las matemáticas en el plan
de matemática moderna. Este papel puede entenderse median te una analogía.
Supongamos que, a causa de la general insatisfacción respecto a la producción
de músicos de nuestro país, se decidiera cambiar la enseñanza de la música. Un
grupo de educadores podría argumentar que no hemos logrado hacer progresos en
música porque todavía estudiamos a Beethoven, a Bach y a Brahms. En su lugar
deberíamos estudiar música moderna. Es más, deberíamos estudiar los fundamentos
físicos de la música. Ahora bien, los fundamentos físicos de la música son la
física de los sonidos, de los sonidos musicales en particular. Entonces a los
estudiantes de música se les enseñaría primeramente la teoría de los sonidos en
vez de enseñarles a interpretar música, a oír música y a apreciar las grandes
composiciones del pasado. Naturalmente, se podría mantener que la física de los
sonidos musicales es un tema valioso por sí mismo. Esto es verdad. Pero el
dominio de este tema, incluso suponiendo que pedagógicamente sea accesible a
los jóvenes, no producirá músicos.
Se puede
usar el mismo argumento respecto a la enseñanza de la pintura. Se puede enseñar
la teoría de los colores y formar expertos en ese tema. Pero estos expertos
pueden no ser capaces de dar una pincelada, al menos contando con sus
conocimientos sobre los colores.
De forma
análoga, la teoría de conjuntos no tiene ninguna utilidad para comprender la
matemática elemental o para aprender a trabajar con ella, aunque constituya el
fundamento lógico de un planteamiento complejo y riguroso de las matemáticas.
De hecho
la teoría de conjuntos puede causar desorientación incluso en el contexto en
que se supone que es de más ayuda, es decir, en el estudio de los números. Lo
más que los modernos textos pueden decir acerca de la relación entre números y
conjuntos es que un número es la propiedad o nombre de un conjunto. Esto, en sí
mismo, es tan vago que resulta inútil como definición de número. Pero la
situación es peor aún. Dados dos conjuntos {1,2,3} y {3,4,5}, la unión de estos
dos conjuntos es el {1,2,3,4,5}, el cual sólo contiene cinco objetos. Pero si
sumamos el número de objetos del primer conjunto al número de objetos del
segundo conjunto el resultado es 6. Igualmente, la intersección de los dos
conjuntos originales es el conjunto {3}. Pero el producto de los números
correspondientes a los dos conjuntos es 9. Luego las dos operaciones básicas
entre conjuntos, unión e intersección, no se corresponden con la suma y la
multiplicación de los números representados por los conjuntos.
Un examen
crítico del uso de la teoría de conjuntos en los textos de enseñanza primaria y
secundaria refuta el argumento de que la teoría de conjuntos unifica las
matemáticas. No se hace un uso importante de la teoría, con excepción de su
utilización artificial, para definir conceptos. El tema se abandona de hecho en
los desarrollos posteriores y solamente se mantiene la terminología.
Naturalmente la teoría de conjuntos arroja resultados importantes, pero incluso
los modernistas reconocen que éstos caen fuera de la esfera de las matemáticas
elementales. En este sentido podemos comparar la teoría de conjuntos con la
geometría elemental. Los axiomas de la geometría deben parecer inmediatamente
evidentes al estudiante cuando se estudian por primera vez, y en este aspecto
la geometría y la teoría de conjuntos comienzan a la par. Pero casi antes de
darse cuenta de que están haciendo algo de envergadura, los estudiantes
obtienen en geometría resultados sorprendentes y excitantes. A partir de
axiomas aparentemente simples, y mediante el modo deductivo de razonamiento,
surgen resultados tan interesantes e inesperados como el de que las medianas de
un triángulo se cortan en un punto, al igual que las alturas, las bisectrices y
las mediatrices, y no sólo para un tipo de triángulo, sino para todo triángulo.
Para un estudiante con sensibilidad matemática, tales resultados aparecen como
una revelación inolvidable de la potencia del razonamiento matemático
abstracto. No hay nada comparable. En el tratamiento rudimentario que de la
teoría de conjuntos se hace en el nuevo plan de matemáticas no hay nada
comparable a esto.
En las
matemáticas elementales la teoría de conjuntos es un formalismo hueco que
obstaculiza ideas que son mucho más fáciles de comprender intuitivamente. La
justificación de su introducción es casi ridícula y supone una parodia de la
pedagogía. La teoría de conjuntos no ha resultado el elixir de la pedagogía
matemática.
La
importancia otorgada a la teoría de conjuntos ha provocado críticas cáusticas.
Una muestra podría ser la siguiente: «Un autor exige que los estudiantes
participen activamente en una aventura de aprendizaje de conceptos. ¿Y cuál es
esta aventura? Los estudiantes dan al profesor sus propios ejemplos de
conjuntos. Comienzan con conjuntos de cosas similares; pero la aventura alcanza
pronto el punto en que se pueden considerar conjuntos tales como “la nariz del
notario, la luna y el número 4”. Los estudiantes han sido llevados con gran
destreza pedagógica a la pasmosa conclusión de que cualquier colección de cosas
es una colección.»
Otro
crítico fue igualmente severo: «Oh, veamos, Johnny tiene un conjunto de
canicas. Mirad, mirad, Billy tiene un conjunto de canicas. Veamos el conjunto
de Billy. Aquí viene Mary. Mary coge todas las canicas. Mary tiene la unión del
conjunto de Johnny y del de Billy. Veamos la unión de Mary.»
El
segundo de los nuevos temas incorporados en las nuevas matemáticas es el de las
bases de los sistemas de numeración. Como ya hemos señalado, este tema no es
históricamente nuevo, ni es nuevo en la enseñanza de las matemáticas. Varias
generaciones lo han estudiado en el álgebra del college. Luego lo
único que es nuevo es que el tema ha sido introducido en la enseñanza primaria.
El argumento es que los estudiantes comprenderán mejor la habitual base diez en
que se escriben los números, si aprenden a escribirlos en cualquier base.
Los
problemas pedagógicos son a menudo difíciles de resolver. Una buena analogía de
la enseñanza prematura de las bases de numeración sería quizá la de la
enseñanza del francés a estudiantes que aún no dominaran su propio idioma. ¿Lo
aprenderían mejor así? Es más probable que la enseñanza simultánea de dos
lenguas produzca confusión. Se puede perfeccionar y profundizar el conocimiento
del propio idioma aprendiendo francés, pero esto se logra mejor después de que
se ha conseguido un dominio razonable del propio idioma. Otra analogía podría
ser la de aprender a tocar el piano y el violín simultáneamente.
Otro de
los argumentos más frecuentes a favor de la introducción de las bases es que
las modernas calculadoras electrónicas usan la base dos. Las calculadoras usan
la base dos, luego sería más interesante enseñar la base dos cuando los
estudiantes comenzaran a aprender a usar computadores, no en la aritmética de
segundo, tercer o cuarto grado.
La
congruencia es el tercero de los nuevos temas. Podemos recordar que hace
referencia a la aritmética de módulo doce, cinco o seis. Este concepto no tiene
aplicación a nivel elemental. Puede interesar a los estudiantes, pero a
expensas de cosas más importantes y quizá igualmente interesantes. No parece
haber nada que haga recomendable este tema para el nivel elemental, excepto su
novedad.
Las
desigualdades —otro de los temas característicos en los textos de matemática
moderna—, como las bases, se enseñaban normalmente en el álgebra a nivel
de college, y lo único que se ha hecho ha sido trasladar este
tema a la enseñanza secundaria. Es muy poco lo que se puede hacer con este tema
a nivel de la enseñanza secundaria. Incluso cuando se enseñaba en el college se
tardaba algo en hacer uso de él. De aquí que tenga menos sentido aún enseñarlo
a un nivel inferior.
Otro de
los temas nuevos, el álgebra de Boole, es similar a la unión y a la
intersección en teoría de conjuntos. Ante todo, es un paso hacia la lógica
matemática. Se defiende su enseñanza a nivel de enseñanza secundaria, en base a
su uso en el diseño de circuitos de conexión, especialmente en los
computadores. Esta defensa parece débil en vista de que los estudiantes de
enseñanza primaria y secundaria no saben qué carreras seguirán, así que la
educación a estos niveles debería ser más general que preprofesional. ¿Cuán tos
estudiantes de enseñanza secundaria diseñarán circuitos de conexión a lo largo
de su vida?
Otro tema
más del plan moderno es la lógica simbólica. Hay muchas razones para que no se
les enseñe a los jóvenes. La creencia de que los símbolos explican los
conceptos o las ideas parece ser predominante, pero no por ello es me nos
falsa. Se supone que el significado de la afirmación conjunta de dos
proposiciones, tales como «Está lloviendo y voy a dar un paseo», queda aclarado
e incluso definido mediante una tabla de verdad. Esto es poner el carro delante
del caballo. ¿Cómo se ha obtenido la tabla de verdad? Evidentemente, tenemos
que saber antes que la afirmación conjunta de dos proposiciones es verdad si y
sólo si ambas son verdad. Entonces podemos construir la tabla de ver dad. Todo
intento de razonar mediante las tablas de verdad es ineficaz, torpe e incluso
desconcertante. Ni los matemáticos ni los abogados razonan de esa forma. Y
ningún matemático, excepto los especialistas en el tema, usa la lógica
simbólica. Por el contrario, lodo matemático piensa intuitivamente y luego
presenta sus argumentos en forma deductiva usando palabras, símbolos
matemáticos familia res y lógica ordinaria. Recurren a la lógica simbólica los
especialistas en problemas de base, que deben ocuparse de las imprecisiones y
ambigüedades del lenguaje ordinario. Pero incluso ellos comprenden
intuitivamente qué quieren decir y expresan después sus pensamientos mediante
símbolos especiales. La lógica simbólica no controla ni dirige el pensamiento;
es simplemente la más compacta expresión escrita del pensamiento real. Es
preciso asegurarse de que los símbolos expresan lo que deseamos, sin confiar en
que los símbolos nos aclaren qué queremos decir. No solamente la mayor parte de
los matemáticos no usan la lógica simbólica, sino que aquellos que la usan
piensan realmente en lenguaje ordinario.
Uno de
los temas recomendados para el duodécimo grado, y que está bastante extendido,
es una introducción al álgebra abstracta. En este curso, en muchos textos se
hace hincapié en las matrices, cuya naturaleza describimos antes. Hay un
álgebra general de matrices con la que se enseña a los estudiantes a sumar,
restar, multiplicar y dividir matrices, así como otras muchas operaciones. Sin
embargo, las matrices son formas abreviadas de lo que se llama
transformaciones, y los estudiantes, a nivel del duodécimo grado, no tienen
antecedentes de qué significan y para qué se usan las transformaciones. Por
tanto, aprenden a usar las matrices sin ninguna finalidad, y no pueden ver
ningún sentido en lo que hacen porque no conocen el contexto en el que se usan
las matrices. El uso de las matrices se convierte entonces en una serie de
tareas mecánicas, tan mecánicas como la enseñanza tradicional del álgebra, que
tan justamente ha sido criticada. El álgebra de los números ordinarios es, al
menos, un paso necesario para progresar en las matemáticas elementales; y
aunque no es posible defender ninguna matemática que carezca de sentido, tiene
alguna justificación la enseñanza del álgebra de los números ordinarios a los
estudiantes de bachillerato. No hay justificación para el estudio de las
matrices a nivel del duodécimo grado.
Otra
parte del curso recomendado de álgebra abstracta es el estudio de grupos y
cuerpos. Ya hemos explicado que éstos constituyen formulaciones abstractas de
otras álgebras más concretas. Las versiones abstractas se reducen al estudio de
las estructuras comunes a los casos concretos. Contra la enseñanza de tales
estructuras se puede argumentar simplemente que es prematura. También se podría
intentar enseñar la estructura de todas las lenguas —todas tienen
características comunes— a un niño que no dominara todavía su propia lengua.
Una vez que un estudiante ha aprendido las álgebras de los números reales, de
los números complejos, de las funciones racionales, matrices, vectores,
transformaciones y congruencias, puede interesarle saber si estas álgebras tienen
o no características comunes. Entonces se podrá demostrar un teorema sobre
grupos y el teorema se aplicará a todas aquellas álgebras concretas que formen
grupos. En otras palabras, merece la pena demostrar el teorema abstracto de una
vez por todas cubriendo de un golpe muchos casos especiales. Sin embargo, las
abstracciones no tienen significado si no van precedidas de un conocimiento
efectivo de álgebras específicas, y la ventaja de demostrar un teorema general
para un álgebra abstracta no puede afectar a quien solamente conoce un ejemplo
de grupo o cuerpo, y además lo conoce imperfectamente.
El
interés de una formulación abstracta es que unifica y revela las propiedades
comunes a ramas concretas y familiares de las matemáticas. Por tanto, en el
desarrollo de las matemáticas la abstracción no es el primer paso, sino el
último. Puede clarificar solamente aquellas estructuras concretas que son ya
bien conocidas. Unifica sólo aquello que ya conocernos. Sin un amplio
conocimiento previo de los casos concretos, los conceptos abstractos permanecen
vacíos, arbitrarias criaturas de la fantasía matemática. Enfrentar a los
estudiantes más jóvenes con abstracciones que están por encima de su nivel de
madurez, sólo produce confusión y rechazo, pero no incrementa el conocimiento.
En pocas palabras, los conceptos más abstractos no pueden utilizarse a nivel elemental.
Hay otra
objeción contra la enseñanza prematura de estructuras abstractas. Es cierto que
los números racionales, los reales y los complejos tienen estructura de cuerpo.
Es decir, que la suma, el producto, la diferencia y el cociente de dos números
racionales cualesquiera es un número racional y lo mismo sucede con los números
reales y los complejos. Por tanto, se podría argumentar que los estudiantes
poseen tres ejemplos concretos de cuerpo. ¿Debería entonces enseñarse
tempranamente el concepto de cuerpo? La respuesta sigue siendo no, porque las
propiedades de cuerpo son aquellas que son comunes a todos
estos sistemas de números, así que borran automáticamente cualquier
característica que los distingue. Pero las operaciones con números racionales
son diferentes de las operaciones con números reales y éstas son diferentes de
las operaciones con números complejos. Así, el producto de las fracciones 3/4 y
7/8 es 21/32, el producto de √2 y √3 es √6, y el producto de 2 + 3i y
4 + 5i es −7 + 22i. Hasta que el estudiante pueda al menos
operar fácilmente con números racionales y reales, tiene poco sentido enseñarle
que a × b = b × a es
una propiedad de los cuerpos. Un estudiante que conociera perfectamente las
propiedades de un cuerpo podría no saber devolver el cambio en una tienda de
ultramarinos, mucho menos llevar un libro de caja. No olvidemos que es más
vacío un concepto matemático cuanto más generales.
Dicho de
otra manera, los cuerpos no explican los distintos tipos de números ni las
operaciones que se hacen con ellos. De hecho sucede justamente al revés. La
buena comprensión de varios sistemas de números aclara el concepto de cuerpo.
Por tanto, carece de base el argumento usual de que es útil enseñar
tempranamente el concepto abstracto porque da cuenta de varios casos concretos
a la vez. Por lo que concierne a la utilidad, el tiempo que se emplea en
enseñar conceptos abstractos es tiempo perdido. Cuando advertimos que quizá el
cincuenta por ciento de los estudiantes que ingresan en el college no
saben sumar ni multiplicar fracciones, especialmente con letras, resulta
evidente en qué se debe hacer hincapié.
Psicológicamente
la enseñanza temprana de abstracciones constituye un error. Una completa
comprensión de lo concreto debe preceder a la abstracción. Los conceptos
abstractos no tienen sentido a menos que se tengan bien presentes diversas
interpretaciones concretas. Las abstracciones prematuras caen en oídos sordos.
En
sentido estricto no es posible enseñar una abstracción. La dificultad para el
estudiante sería análoga si se le diera una definición de perro biológicamente
correcta y luego se le presentaran como ejemplos un caniche y un pastor. Si se
le enseñara un bull-terrier y se le preguntara si aquello era un perro, el
estudiante podría quedar desconcertado. La definición biológica contiene tantos
términos extraños y técnicos que no podría comprenderla; y si pudiera, no
sabría aplicarla.
Las
abstracciones deben nacer en la gente. No es posible enseñarlas ex
catedra. Conforme aumenta la experiencia de la gente en las distintas
variedades de relaciones funcionales y en sus peculiaridades, advierten el gran
número de situaciones que tienen en común una idea básica; en este momento será
esclarecedor señalarles esta idea común. También podrán valorar las diversas
condiciones o cualidades que deben incluirse en una definición general.
Empezar
con un concepto general y luego usarlo sólo en casos especiales, como es
habitual en la matemática moderna, es pedagógicamente absurdo por otra razón.
Se puede enseñar a un niño de seis años algo sobre los perros, de manera que
pueda jugar con ellos y, al mismo tiempo, ser precavido. ¿Se debería empezar
con la definición biológica? Prescindiendo de si la definición tendría
significado para un pequeño, deberíamos preguntarnos si le ayudaría a conocer a
los perros. ¿No sería más práctico que el chico aprendiera acerca de los perros
que encontrara a su alrededor? Así sucede con los conceptos matemáticos. La
definición general de una función es inútil en tanto que el objetivo inmediato
sea aprender acerca de y = 3x, y = 3x +
7, y = x2 y funciones parecidas.
De hecho, la definición general carga al estudiante con un misterio que nubla
todo su pensamiento ulterior. Un año o dos después de aprender una definición
aplicable a casos simples solamente, podrá necesitar una definición de función
un poco más amplia, por ejemplo, cuando encuentre funciones de dos o tres
variables. Incluso entonces la definición general es inútil. Basta con ampliar
el término función para que incluya, por ejemplo, z = x2 + y2.
La mente
humana no opera en las matemáticas de forma distinta que en política o en
sociología. Se puede predicar la hermandad de los hombres, pero esto no lleva a
la gente a comprender y practicar la hermandad. El enseñar a los niños a
convivir con otros de diferentes razas y credos, y a respetarlos, puede lograr
esta hermandad, pero el principio ético general no les afectará. Los
estudiantes a quienes se les han enseñado abstracciones antes de que hayan
adquirido la rica experiencia que lleva de hecho a aquellas abstracciones,
pueden adquirir algunos conocimientos superficiales y usar las palabras
adecuadas. Pero no se puede decir que comprendan realmente estas abstracciones.
La
preferencia de los matemáticos modernos por la abstracción nos recuerda un
cuento. El director de una escuela alardeaba de apreciar mucho a sus
estudiantes y de preocuparse por su salud. Un día vio a un estudiante caminando
por una acera en la que se acababa de echar hormigón. Se lanzó violentamente
sobre él y lo arrastró fuera del hormigón fresco. Un profesor que vio el
incidente recordó al director su supuesta preocupación por los estudiantes y le
reprochó que tratara tan rudamente al muchacho. El director replicó: «Me
gustan los estudiantes en abstracto, pero no en concreto»[7].
Los
abogados de las nuevas matemáticas tratan de responder a la acusación de
excesiva abstracción, citando al psicólogo Jerome S. Bruner, de Harvard, que
dijo: «Cualquier tema se le puede enseñar, en forma intelectualmente honesta, a
cualquier niño en cualquier nivel de desarrollo.» La característica salvadora
de esta tesis es su vaguedad. Dejando de lado la cuestión de si se debe dar
prioridad a las abstracciones particulares en que un grupo puede estar
interesado, cabe preguntarse cómo se podría presentar la sustancia de la Crítica
de la razón pura de Kant a los estudiantes de secundaria. Lo que puede
pasar y lo que pasa cuando se toma demasiado en serio la tesis de Bruner es que
los estudiantes aceptan las abstracciones dócilmente, con tan poca comprensión
y capacidad crítica como los niños cuando aprenden el catecismo.
El cuadro
total que ofrecen los nuevos temas en el plan moderno no es muy grandioso.
Algunos temas, como las bases y las desigualdades, han sido traídos simplemente
de los niveles superiores en que previamente se enseñaban sin ningún beneficio
y con muchos inconvenientes. Otros, como las congruencias, son novedades
inútiles a nivel elemental. Otros, como el álgebra de Boole y la lógica
simbólica, son especialidades que deberían reservarse a los especialistas. Y
finalmente, los temas más avanzados, la teoría de conjuntos, las matrices y el
álgebra abstracta, parecen haber sido escogidos deliberadamente para mostrar
que el plan ha puesto al día las matemáticas superiores —aunque por lo demás
estos avances no tengan sentido ni cumplan ninguna función en la educación de
los chicos—. En lo que concierne a los temas más avanzados, «los reformadores»
parecen tener la impresión de que todo lo que huele a matemática moderna es
matemática moderna, como los niños pequeños que creen haber crecido cuando se
ponen pantalones largos.
Aunque
varios matemáticos capaces y muy preparados han participado en la preparación
de las distintas versiones de las nuevas matemáticas, sus contribuciones han
quedado muy diluidas. Las nuevas matemáticas, como un todo, corresponden al
punto de vista del matemático superficial, que sabe apreciar solamente pequeños
detalles deductivos y distinciones estériles y pedantes como aquella entre
número y numeral, y que pretende realzar lo trivial con una terminología y un
simbolismo impresionantes y sonoros. Se nos ofrece una versión abstracta y
rigurosa de la matemática, que oculta su rica y fructífera esencia y hace
hincapié en generalidades poco inspiradoras, aisladas de todo otro cuerpo de
conocimiento. Se subrayan sofisticadas versiones finales de las ideas simples,
mientras se tratan superficialmente las ideas más profundas, lo que conduce
necesariamente al dogmatismo. El formalismo de éste plan solamente puede
conducir a una disminución de la vitalidad de las matemáticas y a una enseñanza
autoritaria, al aprendizaje mecánico de nuevas rutinas, mucho más inútiles que
las rutinas tradicionales. Resumiendo, pone de relieve la forma a expensas de
lo sustancial y presenta lo sustancial sin pedagogía ninguna.
Quizá la
crítica más decisiva de los programas de matemática moderna la hizo
inconscientemente un profesor que estaba satisfecho con ella e intentaba que
sus observaciones fueran una alabanza: «Si vamos a suspenderles [a los
estudiantes] en matemáticas, por lo menos les suspenderemos en unas buenas
matemáticas.»
Cuando se
critica el programa de matemática moderna, a menudo sucede que nuestro
interlocutor, tratando de ser amable y no sabiendo a qué carta quedarse, señala
que sin duda la verdad está a medio camino entre la matemática tradicional y la
moderna. Este tipo de compromiso puede ser correcto en algunas controversias,
pero no es aplicable aquí. Si una persona afirma que la tierra gira de este a
oeste y otra que gira de oeste a este, no es posible llegar a un compromiso,
por muy bien intencionado que sea, diciendo que la verdad está a medio camino
entre estas alternativas. Como veremos más adelante en el capítulo 11, la
verdadera reforma es diametralmente opuesta al camino tomado por la matemática
moderna y se encuentra, por decirlo así, en la otra «cara» de la matemática
tradicional.
Capítulo
9
El testimonio de los exámenes
«He aquí
que el nombre de Ben Adhem traía consigo todo lo demás.»
Leigh Hunt
A pesar
de todas las críticas aparentemente válidas para ambos planes de matemáticas,
tradicional y moderno, se echa de menos un criterio más objetivo para
determinar si un programa es más conveniente o mejor que el otro. Cabría pensar
que los creadores de los planes modernos de matemáticas habrían experimentado
con numerosos grupos de niños y profesores, obteniendo así alguna evidencia a
favor de su programa antes de recomendarlo a todo el país. El triste hecho es
que la mayor parte de los grupos no emprendieron casi ningún trabajo
experimental. La única excepción significativa fue el Committee on School
Mathematics de la Universidad de Illinois, dirigido por el profesor Max
Beberman. E incluso este grupo nunca presentó pruebas de la superioridad de su
plan.
A partir
de 1952, y durante algunos años, Beberman comenzó a experimentar con clases de
enseñanza secundaria en la Universidad de Illinois. También preparaba
profesores para enseñar el nuevo programa en otros centros y es taba dispuesto
a pasar varios años poniendo a prueba su programa. Pero hacia 1955 entró en
escena la Commission on Mathematics, anunciando lo que defendería en su informe
final de 1959. En 1958 se organizó el School Mathematics Study Group (SMSG).
Durante el verano de 1958 se redactaron catorce de los temas experimentales
para séptimo y octavo grado. Unos cien profesores de doce centros ensayaron
estos temas durante el curso 1958-59. Durante el verano de 1959 se introdujeron
en ellos algunos cambios. Para entonces los grupos de trabajo del SMSG habían
completado los textos para los grados séptimo a duodécimo. Estos textos fueron
usados experimentalmente durante el curso 1959-60, y revisados durante el
verano de 1960. El SMSG comenzó sin más a colocar el plan por todo el país. Al
ver a éstos y a otros competidores suyos dispuestos a lanzar al mercado sus
productos, el profesor Beberman pensó probablemente que su trabajo se perdería
en la avalancha y comenzó una activa campaña en favor de su versión del plan de
matemática moderna. Desde este momento, el trabajo experimental desapareció
prácticamente y la lucha para asegurarse el predominio desplazó a cualquier
otra actividad.
El
National Council of Teachers of Mathematics, que había puesto a punto un plan
propio a través de su Secondary School Curriculum Committee, organizó durante
el primer semestre de 1960 ocho conferencias regionales en varios lugares de
Estados Unidos. El propósito de estas conferencias era dar a los
administradores y a los supervisores en matemáticas de los centros información
que les permitiera introducir uno de estos «nuevos y mejorados» programas de
matemáticas. En otras palabras, la edad de oro había llegado y el país estaba
invitado a regocijarse y participar en él. El folleto The Revolution in
School Mathematics, publicado en 1961, relataba lo que se discutió
durante la conferencia de 1960 y decía en su prefacio: «Ahora tenemos la
posibilidad de hacer un esfuerzo concertado hacia un rápido mejoramiento de las
matemáticas escolares. Su forma general está clara y los materiales de
enseñanza necesarios están disponibles… Consideramos cada uno de los nuevos
programas como una muestra de un plan de matemáticas mejorado que merece la
atención de todos los interesados en idear mejores programas de matemáticas.»
Así, en 1960 —habiéndose centrado los esfuerzos casi por completo en la
redacción de los temas, mientras los testes habían sido prácticamente ignorados—
los nuevos planes se extendieron por el país.
El
profesor Edwin E. Moise, que había participado en el trabajo de redacción del
SMSG y dado conferencias a favor de este plan de matemática moderna, testificó
inconscientemente su falta de experimentación. En su artículo, incluido en el
folleto Five Views of the New Math (publicado por el Council
for Basic Education), Moise dijo:
«Sin
embargo, una cosa fue evidente, tan pronto como los libros fueron escritos y
antes de que fueran probados: la ganancia en contenido intelectual era tan
grande que podían producir o bien una mejora en la educación o un colapso de la
moral de la clase.»
¿Qué tipo
de evidencia objetiva nos permitiría establecer la superioridad de cualquier
plan? Casi inmediatamente se piensa en los exámenes. Pero se debe ser cauteloso
con el significado de los exámenes de matemáticas. Los cursos de matemáticas
deberían enseñar a los estudiantes a plantear se problemas, a encontrar los
resultados ellos mismos y a comprender los conceptos y demostraciones que han
aprendido. Realmente los exámenes no valoran esto, y en gran medida no pueden
hacerlo. Los exámenes habituales exigen que un estudiante responda a una buena
cantidad de preguntas en un tiempo limitado. Una pregunta que plantee realmente
un nuevo tipo de problema o conduzca a un nuevo resultado requerirá demasiado
tiempo para que el estudiante medio pueda responderla correctamente en el
tiempo permitido. Incluso aunque el estudiante haga esfuerzos inteligentes y
significativos para responder una pregunta semejante, la falta de resultados
positivos se traducirá probablemente en una calificación baja o nula.
Por
tanto, los exámenes de matemáticas, habitual y casi forzosamente, exigen hacer
uso de información anteriormente aprendida que ahora simplemente se reproduce.
La principal facultad que miden los exámenes es la capacidad para aprender de
memoria. Aunque la adquisición de información es un objetivo de la educación
matemática, se supone que no es el único ni el más importante. Si bien la mayor
parte de los profesores niegan que sus exámenes sean pruebas de memoria, su
comportamiento contradice sus palabras. En el capítulo 2 señalamos que los
profesores no permiten a sus alumnos usar libros durante los exámenes. Pero si
los exámenes requieren que el estudiante piense, ¿en qué les puede afectar el
uso de libros?
Supongamos,
sin embargo, que para conseguir datos objetivos debamos recurrir a los exámenes
mejor que a las opiniones de los profesores, y supongamos, además, que los
exámenes arrojen resultados positivos. Aun así deberemos ser cautelosos sobre
lo que los resultados significan, particularmente en el caso del movimiento de
matemática moderna.
En la
mayor parte de los centros el plan de matemáticas modernas se ofrece a los
mejores alumnos. De hecho, muchos de los introductores de las matemáticas
modernas consignan ahora explícitamente que este programa se pensó para los
estudiantes capacitados y destinados a llegar al college. Está
claro que estos estudiantes responderán mejor que la media.
También
es verdad que la gran mayoría de los profesores de cursos de matemática moderna
tiene motivos para hacer mejor su trabajo. Hay varias razones para ello. Son
los profesores más capaces y más emprendedores los que desean ensayar nuevos
temas. Algunos reciben sobresueldo, u otros beneficios, por experimentar o
enseñar a otros profesores a explicar matemáticas modernas. Otros han sido
convencidos por los artículos que defienden la matemática moderna de que ésta
representa un mejor programa, y responden al reto que supone su explicación.
Finalmente, muchos profesores han participado en la elaboración de una u otra
versión del moderno plan y están decididos a demostrar que es superior. Cuando
además estos profesores dicen a los estudiantes que han sido especialmente
escogidos y que están participando en un gran experimento, los estudiantes
responden habitualmente a tales cumplidos haciendo un esfuerzo adicional.
Ciertamente, los estudiantes a los que se enseña bajo alguna de estas
condiciones responderán mejor. Incidentalmente, el efecto conseguido haciendo
creer a los estudiantes que son la clave de un experimento importante se conoce
como efecto Hawthorne.
Los
exámenes han sido hechos en pequeños grupos por profesores y redactores del
plan que son partidarios de las matemáticas modernas. Habitualmente el
resultado de las evaluaciones es que los estudiantes han aprendido los nuevos
temas y además dominan las técnicas de la matemática tradicional en la misma
medida que los estudiantes a los que sólo se ha enseñado ésta. Este tipo de
evaluaciones resulta sospechoso. Además de las razones previamente citadas, hay
otros factores para discutir los resultados de los exámenes. Estos no están
normalizados; por tanto, es muy fácil para el profesor orientar las preguntas
de tal modo que sea mínimo el conocimiento de la matemática tradicional
requerido. Además, los resultados de cualquier examen requieren una interpretación.
Supongamos que las preguntas que se refieren a temas tradicionales hayan sido
usadas para examinar a cien mil estudiantes con un rendimiento del 60 por 100.
El grupo examinado particularmente podría arrojar un rendimiento del 70 por 100
en los temas tradicionales. ¿Ha respondido mejor este grupo? No necesaria
mente. Este pequeño grupo puede estar formado por los mejores estudiantes y
podría haber obtenido un 70 por 100 en el examen hecho a los
cien mil estudiantes. Además, si este grupo hubiese estudiado solamente
matemáticas tradicionales podría haber alcanzado un 90 por 100 de nota media en
los temas tradicionales. ¿No se podría examinar la inteligencia en general de
este pequeño grupo de tal manera que se la pudiera comparar con la de los cien
mil estudiantes? Cualquier intento de hacerlo suscita el problema de la
fiabilidad de los testes de inteligencia. Sabemos muy poco acerca de lo que es
la inteligencia y de cómo examinarla.
El cuadro
de lo conseguido en los cursos de matemática moderna resulta confuso por otra
razón. Cierto número de textos y de cursos basados en ellos contienen
principalmente material tradicional revestido (¿contaminado?) con un barniz de
matemática moderna. Los capítulos de los temas de matemática moderna están
entremezclados con los de matemáticas tradicionales sin integración entre los
dos enfoques. Incidentalmente, muchos de estos textos híbridos (se podría usar
una palabra más adecuada para describir la prole de esta unión ilegítima de
matemáticas modernas y tradicionales) son obra de autores hipócritas que
evidente mente quieren capitalizar en ambos mercados, el moderno y el
tradicional. De hecho, algunos de los principales defensores de las matemáticas
modernas han escrito textos semejantes. Otros textos comienzan con un capítulo
sobre la teoría de conjuntos, pasan acto seguido a la matemática tradicional y
no hacen en lo sucesivo ninguna referencia a la teoría de conjuntos o a
cualquier otro tema de la matemática moderna. Otros textos sólo van más allá
del capítulo introductorio sobre teoría de conjuntos, en la medida en que
utilizan la terminología de la matemática moderna a lo largo del libro, pero
contienen principalmente matemáticas tradicionales.
Nos
podríamos sentir inclinados a creer que estos textos tradicionales con un
pellizco de matemática moderna no son muy usados, y que por tanto no afectan a
la valoración de la matemática moderna. En realidad, tales textos son los más
populares, porque sirven al profesor de orientación tradicional que quiere o
está obligado a decir que enseña las nuevas matemáticas. Puede decir que lo
hace así explicando realmente la mínima parte contenida en los textos o puede
omitir estos temas sin cambiar el tratamiento de los temas tradicionales, ya
que ambos no están integrados.
Puede ser
interesante mencionar una prueba internacional, el International Study
of Achievement in Mathematics, ya que fue realizada en 1964; por aquel
tiempo muchos de los participantes en Estados Unidos habían estudiado
matemáticas modernas. La prueba consistía en realidad en varios exámenes para
estudiantes de diferentes edades. Los Estados Unidos obtuvieron una mala
clasificación a todos los niveles, y especialmente en el grupo de trece años,
que quedó en el décimo puesto. El Japón, incidentalmente, se clasificó el
primero en todos los niveles de edad, y sus estudiantes sólo estudiaban
matemáticas tradicionales. A pesar de los malos resultados de nuestros
estudiantes, algunos partidarios de las matemáticas modernas trataron de
interpretar las estadísticas en el sentido de que aquellos estudiantes que
habían dado matemáticas modernas respondían mejor que los que habían dado
matemáticas tradicionales. Pero había pocas y dudosas pruebas de ello. Aunque
estos resultados parecen favorecer la enseñanza de las matemáticas
tradicionales, incluso esta conclusión podía ser errónea. La importancia que se
da a las matemáticas varía mucho de unos países a otros. Por ejemplo, los
estudiantes ingleses de enseñanza secundaria que cursan matemáticas,
prácticamente se especializan en el tema. Además, los estudiantes menos capaces
nunca llegan a la enseñanza secundaria; son eliminados en los exámenes que se
hacen a los once años, y se les envía a la enseñanza profesional. En la Unión
Soviética y en el Japón los jóvenes de ambos sexos deben conseguir muy buenos
resultados para obtener la admisión en cualquier college, y
trabajan mucho para sobresalir. Los estudiantes en los Estados Unidos no están
bajo una presión semejante.
En la
medida en que los exámenes son significativos, deberíamos examinar a
estudiantes normales enseñados en condiciones normales, y sobre ellos no
tenemos datos. De hecho, no se ha puesto en marcha un examen a gran escala
sobre la calidad del programa de matemáticas modernas. Por ahora el esfuerzo
dedicado a valorar adecuadamente las pretensiones de los partidarios de las
matemáticas modernas es insignificante por comparación con las pretensiones. No
se ha demostrado mediante exámenes o medidas objetivas de cualquier tipo la
comprensión más profunda que se supone proporciona la matemática moderna.
Los
planes de matemática moderna han estado en vigor el tiempo suficiente para que
hayan llegado al college estudiantes formados en ellos. ¿Han
obtenido estos estudiantes mejores resultados por haber recibido una educación
teóricamente superior? Es casi imposible responder a esta pregunta. No se ha
hecho ningún examen a gran escala de estos estudiantes. Además, es difícil
saber quiénes han estudiado matemáticas modernas, porque, como ya hemos
indicado, muchos cursos que pretenden ser modernos son realmente mezclas de
matemática moderna y tradicional o tienen tan sólo un barniz de matemática
moderna. Hay una unanimidad informal entre los profesores de college en
el sentido de que los estudiantes están ahora más flojos en técnica de cálculo
que los de hace diez años. Pero este hecho, si se trata realmente de un hecho,
no implica necesariamente la existencia de defectos en el plan de matemática
moderna. La presión sobre los jóvenes para que consigan una educación a nivel
de college ha provocado la entrada en los college de
muchos estudiantes que no están preparados ni interesa dos en todos los temas.
Además, la enseñanza de las matemáticas está siendo acelerada, cuando sería más
cuerdo ir más despacio. Los estudiantes de enseñanza secundaria solían seguir
un curso completo de geometría plana sintética. En el programa de matemática
moderna se incluye en este curso algo de geometría analítica y de geometría de
sólidos. Antes los estudiantes cursaban álgebra superior y geometría sólida en
el último año de secundaria o en el primero de college. Estos temas
han quedado prácticamente eliminados. Más adelante los estudiantes solían
dedicar un semestre completo a la geometría analítica antes de estudiar cálculo
infinitesimal. El curso de geometría analítica, además de introducir la
relación fundamental entre ecuaciones y curvas, permitía a los estudiantes
hacer progresos en álgebra, geometría y trigonometría. Durante los diez últimos
años la geometría analítica ha sido sumergida en el cálculo infinitesimal y es
muy poco lo que se enseña de ella. Así, los estudiantes llegan al cálculo con
mucha me nos preparación que la que tenían, y, en consecuencia, obtienen peores
resultados.
Sin
embargo, además de los exámenes, hay otros indicios de que no todo marcha bien
en la matemática moderna. El profesor Beberman confesó en un discurso
pronunciado en Pittsburgh en noviembre de 1960, dentro de un congreso
patrocinado por la Thomas Alva Edison Foundation, que se había equivocado al
hacer hincapié en el rigor en la geometría, llegando incluso a exclamar que no
podía comprender cómo había podido cometer un error semejante.
En este
mismo congreso, el profesor Edward G. Begle, director del mayor y más
influyente grupo de elaboración del plan, el School Mathematics Study Group,
dijo al comienzo de su intervención: «En nuestro trabajo sobre el plan no hemos
tenido en cuenta la pedagogía.»
Algo más
tarde, durante una charla en el University Symposium on Mathematics, que tuvo
lugar en la Chicago State University, el 16 de noviembre de 1962, el profesor
Beberman lanzó nuevas dudas sobre el acierto de su programa, que entonces tenía
ya diez años. «Pienso que en algunos casos hemos tratado de responder a
preguntas que los chicos no hacen y resolver dudas que ellos nunca tienen, y en
realidad hemos respondido a nuestras propias preguntas y resuelto nuestras
propias dudas, como adultos y profesores; pero éstas no eran las dudas y las
preguntas de los chicos.»
El
profesor Beberman siguió adelante con notable honradez hasta llegar a la
crítica frontal. El 30 de diciembre de 1964, en la reunión de Navidad del
National Council of Teachers of Mathematics, celebrada en Montreal, el doctor
Beberman confesó: «estamos en peligro de formar una generación de niños que no
sepan hacer cálculos aritméticos». Admitió que el nuevo plan había fracasado en
relacionar las matemáticas con el mundo real y que se había ignorado todo
principio pedagógico. A causa del excesivo acento puesto en ramas esotéricas de
las matemáticas a expensas de las fundamentales, y a causa de la precipitada
introducción de las nuevas matemáticas en las escuelas primarias, el profesor
Beberman temía que se estuviese fraguando «un gran escándalo nacional».
A partir
de éstas y otras muchas indicaciones, está claro que el profesor Beberman no
estaba satisfecho con el trabajo de su grupo, y durante el invierno de 1971-72
fue a Inglaterra para estudiar nuevos planes experimentales que allí se estaban
confeccionando. Desgraciadamente, el profesor Beberman murió poco después de
llegar a Inglaterra. Cabe preguntarse qué hará el grupo de Illinois sin su
dinámico director.
La
evidencia más clara de que el plan moderno, tal y como se expuso a principios
de los años sesenta, no es satisfactorio, se encuentra en algunas afirmaciones
del profesor Begle. En numerosos discursos el profesor Begle ha admitido que el
plan del SMSG ha minimizado la adquisición de técnicas y ha fracasado en la
presentación de las relaciones que unen las matemáticas con los temas conexos.
En una carta abierta (que apareció en The Mathematics Teacher en
abril de 1966 y en Science en febrero de 1966) anunció su
intención de preparar un plan totalmente nuevo para los grados séptimo a
duodécimo. En esta carta afirma que la oficina asesora del SMSG «cree que se
necesitan una planificación y una experimentación más amplias, a las que se
debería dar ya comienzo. Esto debe hacerse para impedir que los temas actuales
se fosilicen en una nueva ortodoxia que exigiría otra revolución dentro de unos
años».
Pero si
el trabajo realizado entre 1958 y 1966 fuera realmente válido, ¿por qué debería
preocuparnos que el plan se fosilizase o la necesidad de una nueva revolución?
Lo más parecido a una respuesta que se puede encontrar en la carta del doctor
Begle es que el nuevo plan «debe responder al creciente requerimiento de las
matemáticas en nuestra sociedad».
En 1966
fue designado un comité para proyectar la redacción de un nuevo plan. Hacia
1972 estaba acabada la revisión relacionada con la primera etapa de la
enseñanza secundaria.
También
se esbozó una versión especial para alumnos con resultados bajos y un curso de
décimo grado que serviría de paso a los temas de los antiguos grados once y
doce del SMSG. En el SMSG Newsletter de febrero de 1972, el
profesor Begle describía este programa. Aunque el contenido del nuevo plan para
la primera etapa de enseñanza secundaria difiere algo de los temas anteriores,
las características principales no eran esencialmente diferentes. Por ejemplo,
«… la estructura sigue siendo claramente uno de los temas unificadores».
Además, no se introdujeron cambios en el plan de la escuela primaria ni en los
antiguos temas de los grados diez, once y doce.
El
programa proyectado en 1966 no será completado. Se sabe en círculos
profesionales que ni el profesor Begle ni sus patrocinadores quedaron
satisfechos con la revisión parcial. La ayuda financiera ha sido retirada y el
SMSG se ha dispersado.
Además de
las pruebas presentadas hasta ahora y de las críticas hechas en los capítulos
precedentes, los argumentos contra las nuevas matemáticas están respaldados por
los juicios de hombres de los que tenemos todas las razones para creer que son
imparciales. Numerosos artículos críticos han aparecido en revistas
profesionales tales como The Mathematics Teacher. No hay duda de
que muchos más profesores, a quienes les gustaría expresar su desaprobación por
las matemáticas modernas, no lo hacen porque esto podría molestar a sus
directores, jefes de estudio o inspectores.
Querría
mencionar una crítica en particular. Algunos profesores de college (el
autor entre ellos) se reunieron y redactaron una protesta contra el movimiento,
y pidieron a otros matemáticos que la respaldaran. Se habrían podido obtener
centenares de firmas, pero, puesto que se trataba de mostrar la existencia de
una oposición significativa, se decidió pedir unas setenta y cinco firmas de
matemáticos experimentados y en activo. El documento, titulado «On the
Mathematics Curriculum of the High School», fue publicado en The
Mathematics Teacher y en el American Mathematical Monthly en
marzo de 1962. Su lectura merece la pena y lo reproducimos a continuación.
Sobre el
plan de matemáticas de enseñanza secundaria
El
presente documento ha sido elaborado por varios de los firmantes y enviado a 75
matemáticos de Estados Unidos y Canadá. No se ha hecho ningún intento para
conseguir gran número de firmas entre todos los matemáticos. Antes bien, el
objetivo ha sido obtener un número modesto de firmas de hombres matemáticamente
competentes, con conocimientos y experiencia, y de diversas localidades
geográficas. Algunos de los firmantes, cuyo apoyo es realmente bien venido,
ofrecieron sus nombres cuando tuvieron noticias del documento a través de algún
colega.
Los
matemáticos de este país cuentan ahora con un clima más favorable para el
desarrollo y la introducción de mejoras en la enseñanza de la matemática.
Varios grupos han advertido la oportunidad y están trabajando duramente y con
las mejores intenciones para aprovecharla.
Sería una
tragedia, sin embargo, que la reforma del plan fuese mal encaminada y se
perdiera esta preciosa oportunidad. Desafortunadamente existen factores y
fuerzas en la situación actual que nos pueden desorientar. Los matemáticos,
reaccionando frente al control de la educación por los educadores
profesionales, quienes quizá han hecho hincapié en la pedagogía a expensas del
contenido, pueden ahora acentuar el contenido a expensas de la pedagogía de
forma igualmente estéril. Los matemáticos pueden suponer inconscientemente que
a todos los jóvenes les interesa lo mismo que a los matemáticos o que los
únicos estudiantes dignos de a tención son los que pueden convertirse en
matemáticos profesionales. La necesidad de hoy día de aprender muchas más
matemáticas que en el pasado puede llevarnos a buscar atajos que, sin embargo,
podrían ser más dañinos que beneficiosos.
En vista
de los posibles peligros, podría ser útil formular los que nos parecen
principios fundamentales y líneas prácticas a seguir.
1. Para
quién. El plan de matemáticas de bachillerato debe ría satisfacer las
necesidades de todos los alumnos: contribuir a la formación cultural del
estudiante en general y ofrecer preparación profesional a quienes usarán más
tarde las matemáticas, es decir, a los ingenieros y científicos, teniendo en
cuenta a la vez las ciencias físicas, que son la base de nuestra civilización
tecnológica, y las ciencias sociales, que pueden hacer progresivamente mayor
uso de las matemáticas en el futuro. Respondiendo también a las necesidades de
los otros estudiantes, el plan puede incluir los temas más esenciales para los
futuros matemáticos. Sin embargo, explicar a todos los estudiantes temas que
sólo pueden interesar a la minoría de los futuros matemáticos es un despilfarro
y significa ignorar las necesidades de la comunidad científica y de toda la
sociedad.
2. Saber
es hacer. En matemáticas un conocimiento valioso no supone nunca
posesión de información, sino «saber hacer». Saber matemáticas significa poder
hacer matemáticas: usar el lenguaje matemático con alguna fluidez, hacer
problemas, criticar argumentos, buscar demostraciones y, lo que puede ser más
importante, reconocer un concepto matemático en una situación concreta o
extraerlo de ella.
Por
tanto, introducir nuevos conceptos sin un fondo suficiente de hechos concretos,
introducir conceptos unificadores cuando no hay experiencia que unificar, o
machacar constantemente en los conceptos introducidos sin aplicaciones
concretas que estimulen a los estudiantes es peor que inútil: la formalización
prematura puede llevar a la esterilidad; la introducción prematura de
abstracciones encuentra resistencia especialmente en las mentes críticas, que,
antes de aceptar una abstracción, quieren saber por qué es importante y cómo
podría usarse.
3. Las
matemáticas y la ciencia. En su significado cultural, tanto como en su
uso práctico, las matemáticas están conectadas a las otras ciencias y las otras
ciencias están conectadas con las matemáticas, que es su lenguaje y su
instrumento esencial. Las matemáticas separadas de las otras ciencias pierden
una de sus más importantes fuentes de interés y motivación.
4. La
interpretación inductiva y las demostraciones formales. El pensamiento
matemático no es tan sólo razonamiento deductivo; no consiste simplemente en
demostraciones formales. El proceso mental que sugiere que se debe demostrar y
cómo demostrarlo es una parte del pensamiento matemático, tanto como la demostración
que eventualmente resulta de él. La extracción del concepto apropiado de una
situación concreta, la generalización a partir de los casos observados, los
argumentos inductivos, los argumentos por analogía y los ejemplos intuitivos
para una conjetura imprevista son modos matemáticos de pensamiento. De hecho,
sin alguna experiencia en tales procesos «informales» de pensamiento, el
estudiante no puede comprender el verdadero papel de la demostración formal y
rigurosa, que tan bien describió Hadamard: «El objeto del rigor matemático es
confirmar y legitimar las conquistas de la intuición, y nunca ha tenido otra
finalidad.»
Hay
varios niveles de rigor. El estudiante debería aprender a comprender, buscar y
criticar las demostraciones al nivel correspondiente a su experiencia y
formación. Si se le empuja prematuramente a un nivel demasiado formal, puede
desanimarse y hastiarse. Además, la necesidad de rigor puede advertirse mucho
mejor en ejemplos en que las demostraciones presentan dificultades reales que
en trivialidades nimias o inacabables.
5. El
método genético. «Es muy útil para los estudiantes de cualquier tema
leer los artículos originales sobre el tema; la ciencia se asimila siempre más
completamente en su etapa de formación», escribió James Clerk Maxwell. Ha
habido algunos profesores, tales como Ernst Mach, que para exponer una idea se
referían a su génesis y reconstruían su formación histórica. Esto puede sugerir
un principio general: el mejor camino para guiar el desarrollo mental de un
individuo es reconstruir el desarrollo mental de la raza; recordar sus líneas
generales, naturalmente, y no los miles de errores de detalle.
El
principio genético puede protegemos de una confusión común: Si A es lógicamente
anterior a B en cierto sistema, B puede, sin embargo, preceder a A en la
enseñanza, especialmente si B ha precedido a A en la historia. En conjunto,
cabe esperar mayores éxitos siguiendo las sugerencias del principio genético
que la interpretación puramente formal de las matemáticas.
6. Las
matemáticas «tradicionales». La enseñanza de las matemáticas en la
enseñanza primaria y secundaria está retrasada con respecto a los
requerimientos de la actualidad, y necesita mejoras esenciales: sin ningún
género de dudas suscribimos esta opinión casi universal mente aceptada. Sin
embargo, debería examinarse cuidadosamente la extendida opinión de que los
temas que se enseñan en las escuelas secundarias han quedado sobrepasados, sin
aceptarla literalmente. El álgebra elemental, la geometría plana y de sólidos,
la trigonometría, la geometría analítica y el cálculo infinitesimal son aún
fundamentales, como lo fueron hace cincuenta o cien años: los futuros usuarios
de las matemáticas deben aprender todos estos temas si se están preparando para
ser matemáticos, físicos, científicos sociales o ingenieros, y todos estos
temas pueden ofrecer valores cultura les a los estudiantes en general. El plan
tradicional de enseñanza secundaria incluía en alguna medida todos estos temas,
excepto el cálculo infinitesimal; quitar alguno de ellos sería desastroso.
Lo que
está mal en el actual plan de enseñanza secundaria no son tanto los temas que
se tratan como el aislamiento de las matemáticas de los otros dominios del
conocimiento y la investigación, especialmente de las ciencias físicas, y el
aislamiento de los distintos temas entre sí; incluso las técnicas y los
teoremas dentro de un mismo tema aparecen aislados, como trucos inconexos, para
el estudiante, a quien se deja en la oscuridad acerca del origen y el propósito
de las manipulaciones y hechos que se supone debe aprender de memoria. Y así,
desgraciadamente, a menudo sucede que la materia explicada aparece como inútil
y aburrida, excepto quizá para los pocos futuros matemáticos que puedan
persistir a pesar del plan.
7. Las
matemáticas «modernas». En vista de la falta de conexión entre las varias
partes del plan actual, los grupos que trabajan en el nuevo plan harían bien en
buscar introducir conceptos generales unificadores. Pensamos también que el uso
juicioso de los conjuntos y del lenguaje y de los conceptos del álgebra
abstracta puede dar más coherencia y unidad al plan de enseñanza secundaria.
Sin embargo, el espíritu de la matemática moderna no se aprende repitiendo
simplemente su terminología. De acuerdo con nuestros principios, querríamos que
la introducción de los nuevos términos y conceptos fuera precedida de una
suficiente preparación concreta y seguida de aplicaciones reales estimulantes y
no de cuestiones superficiales y sin sentido: es preciso justificar la
introducción de nuevos conceptos y mostrar sus aplicaciones si se quiere
convencer a un chico inteligente de que estos conceptos merecen atención.
No
podemos entrar aquí en análisis detallados del nuevo plan propuesto, pero no
podernos dejar de decidir que, juzgándolo en base a las líneas principales
establecidas antes (puntos 1-5), encontramos aspectos con los que no podemos
estar de acuerdo.
Naturalmente,
no todos los matemáticos tienen la misma opinión. Las matemáticas tienen muchos
aspectos. Pueden ser consideradas como un instrumento para comprender nuestro
mundo: se supone que para Arquímedes y Newton las matemáticas cumplían esta
función. Las matemáticas también pueden considerarse como un juego con reglas
arbitrarias en el que lo principal es sujetarse a las reglas del juego: tal
visión puede considerarse adecuada para algunos problemas de fundamentos.
Existen otros aspectos de las matemáticas, y los matemáticos profesionales
pueden dedicarse a cualquiera de ellos. Pero en el terreno de la enseñanza, la
elección no es una simple cuestión de gusto. Podemos esperar que un chico
inteligente quiera explorar el mundo que le rodea pero no podemos esperar que
aprenda reglas arbitrarias: ¿por qué estas y no otras?
De todos
modos, deseamos fervientemente mucho éxito a quienes trabajan en el nuevo plan.
Deseamos especialmente que el nuevo plan refleje más la conexión entre las
matemáticas y la ciencia, que preste cuidadosa atención a la distinción entre
cuestiones lógicamente prioritarias y cuestiones que deberían tener prioridad
en la enseñanza. Sólo en esta línea podemos esperar que los valores básicos de
las matemáticas, su significado, sus objetivos y su utilidad reales resulten
accesibles a todos los estudiantes, incluso, naturalmente, a los futuros
matemáticos. La «extendida preocupación por la tendencia a un excesivo énfasis
en la abstracción dentro de la enseñanza de las matemáticas para ingenieros»[8] de
la que se ha hablado recientemente, apunta en la misma dirección.
Lars V.
Ahlfors (Universidad de Harvard). Harold M. Bacon (Universidad de Stanford),
Clifford Bell (Universidad de California, Los Angeles), Richard E. Bellman
(Rand Corporation), Lipman Bers (Universidad de Nueva York) Garret Birkhoff
(Universidad de Harvard). P. P. Boas (Universidad del Noroeste), Alfred T.
Brauer (Universidad de Carolina del Norte), Jack R. Britton (Universidad de
Colorado), R. C. Buek (Universidad de Wisconsin), George F. Carrier
(Universidad de Harvard), Hirsh Cohen (IBM), Richard Courant (Universidad de
Nueva York), H. S. M. Coxeter (Universidad de Toronto), Dan T. Dawson
(Universidad de Stanford), Avron Douglis (Universidad de Maryland), Arthur
Erdelyi (Instituto de Tecnología de California). Walter Freiberg (Brown
University), K. O. Friedrichs (Universidad de Nueva York), Paul R. Garabedian
(Universidad de Nueva York), David Gilbarg (Universidad de Stanford), Sydney
Goldstein (Universidad de Harvard), Herman Goldstine (IBM), Herbert Greenbcrg
(IBM), John D. Hancock (Alameda State College), Charles A. Hutchinson
(Universidad de Colorado), Mark Kac (Instituto Rockefeller), Wilfred Kaplan
(Universidad de Michigan), Aubrey J. Kempner (Universidad de Colorado), Lucien
B. Kinney (Universidad de Stanford), Morris Kline (Universidad de Nueva York),
Ignace I. Kolodner (Universidad de Nuevo México), Rudolph E. Langer
(Universidad de Wisconsin), C. M. Larsen (San José State College), Peter D. Lax
(Universidad de Nueva York), Walter Leighton (Western Reserve University),
Norman Levison (Instituto de Tecnología de Massachusetts), Hans Lewy
(Universidad de California. Berkeley), W. Robert Mann (Universidad de Carolina
del Norte), M. H. Martin (Universidad de Maryland), Deane Montgomery (Institute
for Advanced Study), Marston Morse (Instituto for Advanced Study), Zeev Nehari
(Carnegie Institute of Technology), Jerzy Neyman (Universidad de California,
Berkeley), Frederick V. Pohle (Adelphi College), H. O. Pollak (Bell Telephone
Laboratories), George Polya (Universidad de Stanford), Hillel Poritsky (General
Electric Co.), William Prager (Brown University Murray H. Protter (Universidad
de California, Berkeley), Ti Rado (Universidad de Ohio), Warwick W. Sawyer
(Wesle University), Max M. Schiffer (Universidad de Stanford), James B. Serrin
(Universidad de Minnesota), Lehi T. Smith (Universidad de Arizona), I. S.
Sokolnikoff (Universidad de California Los Angeles), Eli Stemberg (Brown
University), J. J. Stoker (Universidad de Nueva York), A. H. Taub (Universidad
de Illinois), Clifford E. Truesdell (Universidad John Hopkins), R. J. Walker
(Instituto for Defense Analyses y Universidad Cornell), Wolfgang Wasow
(Universidad de Wisconsin), André Weil (Institule for Advanced Study),
Alexander Wittenberg (Universidad Laval).
Capítulo
10
La verdadera justificación de las nuevas matemáticas
«Un
matemático moderno preferiría caracterizar positivamente su campo como el
estudio de sistemas generales abstractos, cada uno de los cuales se construye
con elementos abstractos específicos y está estructurado por la presencia de
relaciones arbitrarias pero inequívocas entre ellos.»
Marshall H. Stone
En vista
de los defectos del programa de matemáticas modernas y de su fracaso en
remediar los defectos del plan tradicional, ¿por qué se creó y se promocionó el
programa de matemáticas modernas? Es más, puesto que la proclama da
superioridad de este programa no estaba suficientemente apoyada por su
contenido u otros argumentos, ¿qué justifica su aceptación?
Para
comprender por qué se estableció el plan de matemáticas modernas, y no otra
versión más acertada, es necesario señalar primero cuáles son los intereses de
los matemáticos modernos. No hay duda de que hasta el final del siglo XIX la
principal preocupación de los grandes matemáticos era comprender el
funcionamiento de la naturaleza. No necesitamos recurrir a la historia porque
esto es algo que no se discute. Las matemáticas eran consideradas como una de
las ciencias y durante los siglos XVII, XVIII y la mayor parte del XIX
raramente se señala la distinción entre matemáticas y ciencia teórica. De
hecho, muchos de los hombres que han sido considerados como los matemáticos más
importantes del pasado hicieron un trabajo más sobresaliente en astronomía,
mecánica, hidrodinámica, elasticidad, electricidad y magnetismo. Las
matemáticas fueron simultánea mente la reina y la criada de las ciencias.
Estos
hombres no vacilaban en buscar aplicaciones prácticas para los conocimientos
científicos que ellos y otros habían acumulado. Newton estudió el movimiento de
la luna para ayudar a los marinos a determinar su posición en el mar. Euler
estudió el diseño de barcos veleros e hizo mapas y escribió un texto básico de
artillería. Descartes diseñó lentes para mejorar el telescopio y el
microscopio. Gauss no sólo levantó el cuerpo del electorado de Hannover, sino
que trabajó para mejorar el telégrafo eléctrico y la medida del magnetismo.
Estos pocos ejemplos pueden multiplicarse cien veces. Casi todos estos hombres
no sólo veían la utilidad potencial del conocimiento científico que estaban
ayudando a acumular, sino que estaban volcados en la aplicación de este
conocimiento.
Sin
embargo, la mayor parte de los matemáticos de los últimos cien años se han
separado de la ciencia. No conocen la ciencia y, lo que es más, no están ya
preocupados por la utilización de los conocimientos matemáticos. Es verdad que
algunos, conscientes de la noble tradición que motivó la investigación
matemática en el pasado y que justificó el honor reconocido a hombres como
Newton y Gauss, aún reivindican el potencial valor científico de su trabajo
mate mático. Hablan de la creación de modelos para la ciencia. Pero en realidad
no están interesados en este objetivo. De hecho, la mayor parte de los
profesores de matemáticas modernas no pueden crear modelos, puesto que no
entienden de ciencia. Intentan brillar con el reflejo de la luz de los grandes
matemáticos del pasado e incluso buscan apoyo para sus investigaciones citando
los logros de sus predecesores. Las matemáticas se han cerrado sobre sí mismas,
se alimentan de sí mismas, y es muy improbable, si podemos juzgar por lo que
sucedió en el pasado, que la mayor parte de la investigación matemática moderna
contribuya al avance de la ciencia. Cuando se enfrentan con esta acusación, los
matemáticos no se atreven a negarla, sino que defienden sus creaciones en base
a que son bellas. No vamos a discutir aquí sí lo son realmente. Lo importante
es que se utiliza la belleza para justificar el trabajo.
Otra
característica de la actividad matemática actual es la gran especialización.
Las matemáticas se han extendido enormemente, como la ciencia, y la mayor parte
de los matemáticos están casi obligados a concentrarse en áreas limitadas para
mantenerse al corriente de las creaciones de otra gente y producir nuevos
resultados propios. No hay que decir que la educación de los nuevos
matemáticos, a cargo de profesores que son a su vez especialistas en campos
concretos, sigue el mismo curso. Los candidatos a doctores se ven obligados a
meterse en oscuros rincones para producir tesis satisfactorias. Ya no tienen
una amplia educación matemática, y mucho menos científica.
El
énfasis en el campo propio de las matemáticas y en la especialización es
particularmente fuerte en los Estados Unidos. La razón principal es que en este
país la investigación es un fenómeno relativamente nuevo, y los profesores
americanos ansiosos de brillar y de educar a estudiantes que brillen, se
especializan con la intención de obtener resultados rápidamente. El trabajo
matemático clásico, poseedor de objetivos científicos, exige una amplia
formación, porque los temas que trata han sido explorados durante varios
cientos de años. Consecuentemente, sólo un pequeño porcentaje de matemáticos, a
los que frecuentemente se etiqueta como matemáticos aplicados, continúan
intentando alcanzar los objetivos tradicionales. La mayor parte se han pasado a
los problemas puramente matemáticos y a la formalización, axiomatización y
generalización de lo que ya es conocido. Tales tareas son mucho más fáciles.
El famoso
físico-matemático John L. Synge se lamentaba ya en 1944 de la ruptura entre las
matemáticas y la ciencia.
La mayor
parte de los matemáticos trabajan (hoy con ideas que, según opinión general,
pertenecen de forma definida a las matemáticas. Forman una cofradía cerrada.
Los iniciados renuncian a las cosas de este mundo y generalmente cumplen su
voto. Sólo unos pocos matemáticos se aventuran fuera de casa buscando sustento
matemático en problemas surgidos directamente de otros campos de la ciencia. En
1744 ó 1844 casi todos los matemáticos pertenecían a esta segunda clase. En
1944 forman una fracción tan pequeña que es necesario recordar a la mayoría la
existencia de la minoría y explicar sus puntos de vista.
La
minoría no quiere ser etiquetada como «físicos» o «ingenieros» por estar
siguiendo una tradición matemática que se ha extendido durante más de veinte
siglos e incluye nombres como los de Euclides, Arquímedes, Newton, Lagrange,
Hamilton, Gauss o Poincaré. La minoría no pretende despreciar de ninguna forma
el trabajo de la mayoría, pero teme que una matemática que se alimente sólo de
sí misma acabará con el tiempo por agotar su interés… Aparte de que el estudio
de la naturaleza ha suscitado (y con toda probabilidad continuará suscitando)
problemas mucho más difíciles que los planteados por los matemáticos dentro del
círculo de sus propias ideas…
La
ciencia está en el presente más activa que lo hubiera estado nunca antes. No
hay signos evidentes de decadencia. Sólo los más observadores se han dado
cuenta que el vigilante ha abandonado su deber. No se ha ido a dormir. Está
trabajando más que nunca, pero solamente para sí mismo…
El cambio
y la muerte son tan inevitables en el mundo de las ideas como lo son en los
asuntos humanos. Ciertamente, no es propio de un verdadero amante de las
matemáticas fingir que no existen cuando sobrevienen. Es imposible estimular
artificialmente las fuentes profundas del interés intelectual Si no hay algo
que retenga nuestra imaginación, no hay nada que hacer. Si los matemáticos han
perdido realmente su antiguo toque universal —si, de hecho, ven con más certeza
la mano de Dios en los refinamientos de una precisa lógica que en los
movimientos de las estrellas—, entonces cualquier tentativa para atraerlos de
nuevo a sus viejas querencias no sólo sería inútil, sino que sería una negación
del derecho de los individuos a la libertad intelectual.
En vez de
fingir interés por la utilidad de su trabajo, algunos matemáticos enarbolan una
nueva declaración de independencia. El profesor Marshall H. Stone, estando en
la Universidad de Chicago, decidió tomar el toro por los cuernos en su artículo
«The Revolution in Mathematics».
Aunque
desde 1900 se han producido varios cambios importantes en nuestra concepción de
las matemáticas o en nuestra visión de ellas, lo que verdaderamente implica una
revolución en las ideas es el descubrimiento de que las matemáticas son
completamente independientes del mundo físico. Dicho con más precisión: vemos
ahora que las matemáticas no tienen necesariamente otras conexiones con el
mundo físico que las vagas y mistificadoras implícitas en la afirmación de que
el pensamiento tiene lugar en el cerebro… Cuando dejemos de comparar las
matemáticas de hoy con las matemáticas de fines del siglo XIX, nos asombraremos
al advertir cuán rápidamente ha crecido en cantidad y en complejidad nuestro
conocimiento matemático, pero tampoco dejaremos de observar que este desarrollo
ha estado estrechamente relacionado con el énfasis en la abstracción y con un
creciente interés por la percepción y análisis de modelos matemáticos amplios.
También comprende remos que la tendencia a la abstracción debe continuar
inevitablemente, reforzada por el éxito que ya ha alcanzado. Siguiendo esta
tendencia y prestando cada vez mayor atención a discusiones y estudios de
modelos abstractos, los matemáticos han tomado progresivamente conciencia de la
antítesis fundamental entre los aspectos estructurales de las matemáticas y el
aspecto estrictamente manipulativo que tan frecuentemente parece tener suprema
importancia en sus aplicaciones y que tan a menudo es la principal preocupación
del profesor de matemáticas…
Un
matemático moderno preferiría caracterizar positivamente su campo como el
estudio de sistemas generales abstractos, cada uno de los cuales se construye
con elementos abstractos específicos y está estructurado por la presencia de
relaciones arbitrarias pero inequívocas entre ellos. Entendería por estudio de
tales sistemas matemáticos no sólo el examen de las propiedades intrínsecas de
los sistemas individuales, sino también la comparación de las estructuras de
los diferentes sistemas. Mantendría que ni estos sistemas ni los medios dados
por la lógica para estudiar sus propiedades estructurales tienen ninguna
conexión directa, inmediata o necesaria con el mundo físico.
… En
realidad, es evidente que las matemáticas pueden equipararse a un juego —o, más
bien, a una infinidad de juegos— en el que las piezas y los movimientos no
tienen significado intrínseco, y el interés principal reside en percibir y
utilizar los modelos de juego permitidos por las reglas. Cuando vemos desde
esta perspectiva las matemáticas, las cuestiones anteriores suscitan el
problema de determinar si es o no posible reducir estos juegos a un
procedimiento automático prescrito que no deje lugar al raciocinio o la
inspiración.
Los
puntos de vista expresados por Stone y otros no han dejado de suscitar
oposición. Richard Courant, antiguo director del departamento de matemáticas de
la Universidad de Gotinga, que durante el período prehitleriano fue el centro
del mundo de las matemáticas, y posterior director del Courant Institute de
Ciencias Matemáticas de la Universidad de Nueva York, replicó a Stone (véase la
referencia a Carrier en la bibliografía):
Muchos de
ustedes han visto en el último número del American Mathematical Monthly [octubre
de 1961] un artículo que tiene particular importancia para nuestro presente
programa de discusiones. El artículo (del profesor Marshall Stone) habla de «La
revolución en las matemáticas»; afirma que vivimos en una era de grandes éxitos
matemáticos, que deja atrás todo lo hecho desde la antigüedad hasta ahora. El
triunfo de la «matemática moderna» se atribuye a un principio fundamental: la
abstracción y el consciente abandono por las matemáticas de la física y otros
contenidos. Así, la mente matemática, libre de lastres, puede remontarse a las
alturas desde las que puede ser perfectamente observada y dominada la realidad
a ras de tierra.
No quiero
deformar o minimizar las afirmaciones y las conclusiones pedagógicas del
distinguido autor. Pero como llamada, como tentativa para establecer una línea
de investigación y, ante todo, de enseñanza, el artículo parece ser una señal
de peligro, y necesitar ciertamente algunos matices. El peligro de los
entusiastas de la abstracción procede de que esta moda no defiende sinsentidos,
sino simplemente promueve una media verdad. No se debe permitir que las medias
verdades unilaterales borren los aspectos vitales de una verdad completa y
equilibrada.
Ciertamente,
el pensamiento matemático actúa por abstracción, las ideas matemáticas
necesitan progresivos refinamientos abstractos, axiomatización, cristalización.
Es cierto que cuando se alcanza un nivel más alto de comprensión estructural,
se hacen posibles importantes simplificaciones. Ciertamente es verdad —y esto
ha sido claramente resaltado durante largo tiempo— que las dificultades básicas
en matemáticas desaparecen si se prescinde del prejuicio metafísico de ver en
los conceptos matemáticos descripciones de una realidad en algún modo
sustantiva.
Sin
embargo, la sangre vital de nuestra ciencia procede de sus raíces; estas raíces
se extienden en ramificaciones sin fin, profundizando en lo que se puede llamar
la realidad, si es que la «realidad» son la mecánica, la física, las formas
biológicas, el comportamiento económico, la geodesia, o en último término otras
ramas de las matemáticas que ya entran en el reino de lo conocido. La
abstracción y la generalización no son más vitales para las matemáticas que los
fenómenos concretos, y, sobre todo, no lo son más que la intuición inductiva.
Sólo la síntesis y la interacción de estas fuerzas pueden mantener a las
matemáticas vivas y evitar que se sequen convirtiéndose en un esqueleto muerto.
Debemos luchar contra todo intento de llevamos unilateralmente hacia un polo de
la antinomia vivir/consumirse.
No
debemos aceptar el antiguo y blasfemo sinsentido de que la justificación final
de la ciencia matemática sea la «gloria de la mente humana». No debe permitirse
que las matemáticas se dividan en una variedad «pura» y otra «aplicada». Deben
permanecer y fortalecerse como una rama vital unificada en la amplia corriente
de la ciencia, y se debe evitar que se conviertan en un pequeño arroyo lateral
que puede desaparecer en la arena…
Quizá la
amenaza más seria de la unilateralidad hace referencia a la educación. Una
enseñanza inspirada por profesores competentes, ampliamente informados es hoy
más que nunca una necesidad abrumadora para nuestra sociedad. Es verdad que los
planes son importantes, pero las peticiones de reforma no deben cubrir las
pérdidas de contenido, la propaganda a favor de una abstracción carente de
interés, el aislamiento de las matemáticas, el abandono del ideal del método
socrático en favor de los métodos del dogmatismo catequético.
De todos
modos, un remedio radical y vitalmente necesario para muchas de las
enfermedades de nuestros schools y colleges sería
el que se reconociese que una estrecha interconexión entre matemáticas,
mecánica, física y otras ciencias es el principio obligatorio que debe ser
vigorosamente abrazado por las nuevas generaciones de profesores. Ayudar a tal
reforma es una obligación solemne de todo científico.
En otra
ocasión, en la necrológica de un matemático muy conocido, Courant expresó su
preocupación por el abandono de la ciencia. «Existe el peligro de que las
matemáticas aplicadas del futuro deban desarrollarlas los físicos y los
ingenieros y que los matemáticos profesionales importantes no tengan contacto
con los nuevos descubrimientos.»
La
tendencia a la abstracción, a las matemáticas por las matemáticas, llevó al
mundialmente renombrado matemático John von Neumann a lanzar una advertencia.
En su artículo «The Mathematician» dijo:
Si una
disciplina matemática se aleja de sus fuentes empíricas, o aún más, si tan sólo
se inspira indirectamente en la «realidad» a través de ideas de segunda o
tercera mano, se ve acosada por muy graves peligros. Se hace cada vez más
estetizante, más y más puramente l’art pour l’art. Esto puede no ser malo si el
campo está rodeado de temas correlacionados que todavía poseen estrechas
conexiones empíricas o si la disciplina está bajo la influencia de hombres con
un juicio excepcionalmente bien desarrollado. Pero hay un gravo peligro de que
el tema se desarrolle según la línea de mínima resistencia, de que la
corriente, al alejarse de su fuente, se divida en una multitud de ramas
insignificantes, y de que la disciplina se convierta en una masa desorganizada
de detalles y minucias. En otras palabras, a gran distancia de sus fuentes
empíricas, o tras un largo desarrollo «abstracto», un tema matemático se ve en
peligro de degeneración. Al comienzo el estilo es normal mente clásico; cuando
éste muestra signos de hacerse barroco, se enciende la luz de peligro.
El
eminente matemático, profesor James J. Stoker, de la Universidad de Nueva York,
expresó en 1962 otra protesta:
Es
extraño que en este país, que tanto se enorgullece del uso práctico que hace de
todo conocimiento científico acumulado a lo largo de los siglos, las
matemáticas hayan seguido en los últimos cincuenta años un camino marcadamente
abstracto, y que se haya descuidado mucho más el aspecto de nuestra ciencia en
el que la relación entre matemáticas y mundo físico juega un papel más
importante…
… Observo
que el punto de vista abstracto y el descuido, incluso el desprecio, por
aquella clase de matemáticas que se refieren a la realidad, aún representa el
tono que prevalece en las matemáticas norteamericanas. El hecho es que los más
importantes cultivadores de la rama de las matemáticas en que la interrelación
con la mecánica y la física es una fuerte motivación son casi todos de la vieja
generación, y parecen previsibles escasos relevos. En mi opinión, esto no es
conveniente, ni para nuestra ciencia ni para la prosperidad de este país.
Además, observo que existen importantes fuerzas que tienden a perpetuar esta
situación propagando la noción de que la interpretación fuertemente abstracta
es el mejor camino para enseñar matemáticas a los niños en las escuelas
primarias. Me parece que esta actitud ignora la psicología humana y razona al
revés: ignora el hecho histórico de que el progreso en matemáticas siempre ha
venido ligado a la formulación de abstracciones apropiadas y verdaderamente
válidas, con base en una prolongada experiencia de carácter muy concreto, e
ignora también la correspondiente y muy verosímil conclusión de que este es
también el camino que sigue la mente de la mayor parte de la gente.
No debe
pensarse que ni yo ni otros colegas que comparten mi actitud nos sentimos en
oposición a aquellos matemáticos que han elegido seguir su trabajo de manera
tan abstracta como ellos creen conveniente y provechoso. Nuestro punto de vista
es que para la salud de nuestra ciencia es vital que el contacto con el mundo
físico se preserve y se cultive, no simplemente por los evidentes resultados
prácticos que inevitablemente resultan dé tal trabajo, sino porque toda la
historia de las matemáticas muestra que tales preocupaciones tienen un efecto
estabilizador, vitalizador y fructífero en nuestra ciencia.
El
peligro para las matemáticas de romper con las ciencias ha sido subrayado por
muchas otras personas. El importante matemático americano George D. Birkhoff,
profesor de matemáticas en la Universidad de Harvard, dijo ya en 1943:
«Serán
probablemente los nuevos descubrimientos matemáticos inspirados por la física
los que tendrán mayor importancia, pues, desde el principio, la naturaleza ha
marcado el camino y establecido el modelo que deben seguir las matemáticas, el
lenguaje de la naturaleza».
Al
argumento de que las matemáticas son ahora potencialmente más poderosas para la
ciencia porque son libres de seguir su propio curso, los «matemáticos
aplicados» replican con la evidencia de la historia. Todas las aplicaciones de
las matemáticas a la ciencia vinieron de ideas matemáticas inspiradas por la
ciencia. Ningún matemático ha producido ideas útiles para la ciencia desde una
torre de marfil. Es verdad que las ideas inspiradas por la ciencia han
encontrado después inesperadas aplicaciones, pero las ideas iniciales eran
sólidas por proceder de verdaderos problemas físicos. En el artículo ya
mencionado Synge también señalaba este punto:
La
naturaleza suscitará importantes problemas, pero éstos nunca llegarán hasta el
matemático. Él puede sentarse en su torre de marfil esperando al enemigo armado
con todo un arsenal, neto el enemigo nunca vendrá hacia él. La naturaleza no
presenta problemas va formulados. Deben desenterrarse con pico y pala, y el que
no quiera ensuciar sus manos nunca los verá.
¿Qué
relación existe entre la naturaleza de la actual investigación matemática y la
reforma del plan? La cuestión reside en que los portavoces de la reforma han
sido profesores de college. Estos hombres fueron educados en un
mundo matemático radicalmente alejado de los conceptos que alentaban a los
grandes matemáticos del pasado. Aproximadamente el 80 por 100 de los doctores
en matemáticas no solamente son especialistas en un reducido campo, sino que
están confinados en rincones de la lógica matemática, el álgebra y la
topología, campos que, en conjunto, están muy alejados de la ciencia. Estos
hombres ni conocen la física elemental ni tienen ningún deseo de conocerla.
Como no tienen idea del papel que han jugado las matemáticas en la historia,
son ignorantes en tanto matemáticos y, desde luego, en tanto seres humanos
educados. La mayor parte de los profesores de hoy se dedican a las
abstracciones, las generalizaciones, las estructuras, el rigor y las
axiomáticas. Puesto que es esto lo que hacen la mayor parte de los matemáticos,
no es sorprendente que piensen que esto es lo que se debería enseñar a los
jóvenes. Cuando se les pide ayuda en la preparación del plan, estos profesores
de college, competentes o incompetentes, sólo pueden sugerir
los estrechos y especializados temas abstractos con los que están
familiarizados, o haciendo alguna concesión al nivel elemental de la
instrucción, versiones aguadas o abreviadas de los planteamientos más
sofisticados de las matemáticas tradicionales. Este hecho explica en gran parte
el contenido del plan de matemática moderna.
El
profesor Stone, cuya caracterización del moderno investigador matemático ya
hemos citado, no vaciló en decir, en el mismo artículo, que el plan debía ser
remodelado para enseñar esta clase de matemáticas.
«Es
completamente evidente que estas nuevas intuiciones y avances que en suma
constituyen una genuina revolución en matemáticas plantean difíciles problemas
prácticos a los educadores. El incorporar al plan de matemáticas los elementos
esenciales de nuestros nuevos conocimientos matemáticos es de por sí un trabajo
bastante considerable, pero la necesidad de presentar las matemáticas al nivel
abstracto que han alcanzado y de reconciliar sus aspectos antitéticos
incrementa grandemente las dificultades implícitas en poner la enseñanza
matemática a la altura que requieren los tiempos…»
Las
consecuencias de que intervengan profesores de universidad en la reforma del
plan son aún más perjudiciales. Se admite que los profesores de college han
sido escogidos principalmente por sus conocimientos de los temas de la materia
y su esfuerzo investigador y no por su habilidad pedagógica. Estando entrenados
para la investigación, están mal preparados para la enseñanza incluso a nivel
de college. Los matemáticos no son pedagogos. De hecho, unos y
otros son casi conjuntos disjuntos. Estos hombres no comprenden que los
objetivos de la escuela primaria, secundaria e incluso de la educación
universitaria y los intereses y capacidades de los estudiantes a estos niveles
tienen poca relación con la investigación matemática. Habiéndose consagrado
como sabios, mediante la adquisición del grado de doctor y teniendo
posiblemente una posición prestigiosa en alguna de las principales
universidades, se consideran expertos en áreas en las que de hecho son
totalmente ignorantes. A pesar de sus fallos pedagógicos cuando enseñan en su
propio nivel y a pesar de que la mayor parte de los profesores que participaron
en la reforma del plan no habían estado en una escuela primaria o secundaria
desde sus tiempos de estudiantes, los profesores de matemáticas no vacilaron en
cargar sobre sí una tarea que exigía una considerable perspicacia pedagógica.
Se podría decir que fueron presuntuosos. Actuaron como si la pedagogía fuese
sólo un detalle, mientras que si hubieran aprendido real mente algo de sus
estudios, tendrían que saber que casi cualquier problema relacionado con los
seres humanos es enormemente complejo. Los problemas de pedagogía son
ciertamente más difíciles que los problemas de matemáticas, pero los profesores
tienen una confianza suprema en ellos mismos. El problema de la mayor parte de
los hombres de ciencia, como dijo un gracioso, es que la ciencia se les sube a
la cabeza.
El doctor
Alvin M. Weinberg, director del Oak Ridge National Laboratory, en su artículo
«But Is the Teacher Also a Citizen?», criticaba el punto de vista estrechamente
profesional de los matemáticos y científicos. Refiriéndose a ambos decía:
Así,
nuestra ciencia tiende a hacerse más fragmentada y más estrechamente purista,
porque los científicos, bajo la presión social de la comunidad universitaria,
tienen poco tiempo o inclinación a ver lo que están haciendo desde otro punto
de vista que no sea el propio. Imponen en los planes elementales su punto de
vista estrechamente disciplinal, que da más valor a las fronteras de un campo
que a su tradición, y tratan de exponer exhaustivamente lo que les parece
importante, no lo que es importante desde una perspectiva más amplia. Los cien
tíficos no aprecian las aplicaciones a lo interdisciplinar porque esto se halla
fuera de su propio universo; y de forma natural y con toda honradez tratan de
imponer su estilo y sus criterios de valor…
Weinberg
señalaba en otro lugar de su artículo cuál era la tendencia en la nueva ciencia
y en los planes de matemáticas.
Pero en
la medida en que los nuevos planes han caído en manos de científicos
universitarios y matemáticos de visión estrechamente purista, en la medida en
que los planes reflejan una fragmentación y una abstracción deplorables,
especialmente en matemáticas, en la medida en que los planes niegan la ciencia
como codificación en favor de la ciencia como investigación, yo los considero
peligrosos… Los puristas profesionales, que representan el espíritu de una
universidad fragmentada y orientada a la investigación, se han hecho con la
reforma del plan, y por su diligencia y agresividad han creado monstruos
purísticos. Pero la educación a nivel elemental en cualquier campo es demasiado
importante para ser dejada enteramente en manos de los profesionales de ese campo,
especialmente si estos profesionales tienen una visión demasiado estrechamente
especializada.
Quizá sea
innecesario añadir que los matemáticos profesionales están tan absorbidos en
progresar en sus investigaciones matemáticas que se ocupan poco o nada de
adquirir conocimientos sobre la historia o el significado humano y cultural de
su disciplina. Algunos incluso se enorgullecen de su ignorancia de la ciencia.
Unos pocos pueden ser conscientes de los valores más amplios de las
matemáticas, pero no consideran necesario enseñarlos. Por tanto, los
matemáticos no están realmente preparados para presentar la materia bajo una
luz interesante y atraer así a estudiantes que muy bien podrían dedicarse a
ella si las clases fuesen atractivas. Incluso si estuvieran ansiosos de atraer
a los estudiantes, unos profesores con tantas limitaciones serían incapaces de
hacer lo o de llevar a cabo el esfuerzo necesario para adquirir los
conocimientos adecuados.
El
profesor Feynman, cuyo artículo «New Textbooks for the New Mathematics» ya ha
sido citado, también critica mordazmente que los textos de las nuevas
matemáticas hayan sido escritos por matemáticos puros que no están interesados
en las conexiones de las matemáticas con el mundo real, ni en las matemáticas
usadas en la ciencia y en la ingeniería por no ser en general nuevas, sino
antiguas.
Ninguna
de las críticas anteriores pretende negar las buenas intenciones de los
profesores de college, pero las buenas intenciones a menudo
sólo sirven para pavimentar ciertos caminos. No obstante, sus errores fueron
tan gran des que uno no puede menos que preguntarse: «¿Cómo han podido
equivocarse tanto?» En parte ya hemos enumerado sus errores, pero la cosa no
termina aquí. Como profesionales con un extenso conocimiento de las
matemáticas, poseen una cierta comprensión de la materia. Olvidando que ellos mismos
han necesitado años para lograr esta comprensión, han creído poderla imbuir de
una vez en la mente de los jóvenes. Por otra parte, su interés era formar
futuros matemáticos, pero al no tener en cuenta la pedagogía también han
fracasado en este cometido. Se han ceñido a los aspectos superficiales de las
matemáticas, a saber, la forma deductiva de las estructuras ya conocidas en vez
de hacer énfasis en la formulación y resolución de problemas. Los matemáticos
profesionales tienen motivos para proseguir con las matemáticas. Pero les faltó
tener en cuenta que otras personas no ven el sentido de estudiar matemáticas.
Los
matemáticos profesionales constituyen la amenaza más seria para la vida de las
matemáticas, por lo menos en lo que se refiere a su enseñanza. Se molestan con
los estudiantes que no se dedican a las matemáticas por completo y se
impacientan con los estudiantes que necesitan convencerse de que esta materia
merece la pena. Pero las matemáticas pueden resultar mortíferas, especialmente
porque los cursos siguen un orden determinado por el propio orden lógico y esto
significa mucho trabajo para progresar en el tema.
Los
profesores de matemáticas protestarían enérgica mente si se les pidiese que
empleasen ocho años en la enseñanza primaria, tres o cuatro en la secundaria y
luego otro año en el college estudiando cerámica. Pero no ven
que las matemáticas por las matemáticas tienen para los jóvenes menos interés
que la cerámica para ellos mismos.
Los
matemáticos de este siglo están obsesionados por el rigor. Hay razones
históricas para esta preocupación. Sin embargo, ya hemos señalado cuán
perjudiciales son las demostraciones rigurosas para los estudiantes. ¿Por qué
insisten los matemáticos en esto? La respuesta es que, por ejemplo, partir de
un conjunto mínimo de axiomas satisface su interés personal. No están
dispuestos a preocuparse de la pedagogía.
Para
preparar planes de estudio a cualquier nivel se deben conocer los objetivos de
la educación a ese nivel. Por ejemplo, es mucho más importante en los primeros
grados interesar a los estudiantes en la enseñanza que desarrollar su habilidad
en cualquier materia. Para conocer estos objetivos se debe dedicar mucha
atención al problema global de la educación. Y estos matemáticos ni lo hacen ni
lo harán.
La mayor
parte de los matemáticos no están interesados en la psicología del aprendizaje.
Es un tema muy difícil, más difícil que las matemáticas. ¿Cuánto pueden
aprender los jóvenes? ¿Se les puede sobornar con caramelos para que aprendan
algo de memoria? ¿Resultan más fáciles las abstracciones para los jóvenes?
¿Parecerían los números negativos menos artificiales si se enseñasen antes? Un
pedagogo hará todo lo que pueda para aprovechar los resultados de los
psicólogos y aprender también de su propia experiencia. Los matemáticos no se
tomarán el trabajo de aprovechar lo que los psicólogos puedan ofrecer, ni se
tomarán la molestia de desarrollar su dominio del arte de enseñar.
También
es fácil ver por qué los textos están tan pobre mente escritos. La escritura de
los matemáticos profesionales tiene un estilo propio. Es sucinta, monótona,
simbólica y dispersa. La preocupación principal es la corrección. Pero los
buenos textos deben tener un estilo vivo, atraer el interés, decir a los
estudiantes dónde van y por qué. El escribir es un arte y los matemáticos no lo
cultivan.
Una de
las razones básicas de que los matemáticos fallen como pedagogos proviene de la
naturaleza de la mente matemática. Una de las creencias más comunes es que los
matemáticos son la encarnación misma de la inteligencia y que por tanto siempre
pueden actuar sabiamente y obtener la solución de todos los problemas. La mayor
parte de la gente lo cree porque les asusta la sola apariencia de los símbolos,
y concluyen que si un hombre puede manejar estos símbolos debe ser muy
inteligente. Cabría pensar también que todos los franceses deben ser muy
inteligentes desde el momento en que saben francés. Pero yo me arriesgaría a
distinguir entre la capacidad intelectual de un matemático y su inteligencia.
El matemático tiene la habilidad de hacer distinciones exactas sobre el
significado de las palabras, tiene la capacidad de aprender y aplicar las leyes
de la lógica y la capacidad de retener y comparar un número de hechos. Posee lo
que yo llamaría una mente racional. También puede ser creador en el terreno de
las matemáticas. La inteligencia ciertamente puede incluir estas cualidades
racionales, pero también incluye muchas más: el discernimiento, la capacidad de
aprender de la experiencia, la percepción de los valores, la comprensión de los
seres humanos y la capacidad de usar el conocimiento para solucionar los
problemas humanos. Estas últimas cualidades no las poseen los matemáticos ni
ningún otro grupo de gente seleccionado al azar.
Es
racional presentar las matemáticas lógicamente, pero no es acertado.
Consideremos la enseñanza del cálculo. Sabemos que el cálculo se construye
sobre la teoría de los límites y podríamos concluir que el camino para enseñar
el cálculo es empezar con la teoría de los límites. Un hombre inteligente
también reflexionaría sobre si los jóvenes podrán aprender la teoría de los
límites desde un principio y si querrán aprenderla sin motivaciones y
aclaraciones previas.
Sobre una
base de pura probabilidad, la inteligencia se distribuiría entre los
matemáticos como entre los abogados, los médicos, los ingenieros y los hombres
de negocios. Pero un ligero análisis nos puede llevar a dudar de que los
matemáticos posean su parte de inteligencia. ¿Qué puede atraer a la gente hacia
las matemáticas? Son una cosa sencilla, por comparación con la economía, la
psicología o la física. Son un campo estrecho. No hay que tener un amplio
bagaje de conocimientos para hacer matemáticas puras. Además, las
matemáticas per se no tienen nada que ver con los seres
humanos ni con los complejos problemas que plantea su trato. Como dijo Bertrand
Russell,
«Distante
de las pasiones humanas, distante incluso de los compasivos actos de la
naturaleza, las generaciones han creado un cosmos ordenado en que el
pensamiento puro puede explayarse como en su propia casa y en el que al menos
uno de nuestros más nobles impulsos puede escapar de su monótono exilio en el
mundo real». Las matemáticas son adecuadas para atraer a aquellos que no se
sienten capaces de tratar con la gente, a aquellos que se alejan de los
problemas del mundo y que reconocen incluso conscientemente su incapacidad para
tratar con tales problemas. Las matemáticas pueden servir de refugio.
Los
matemáticos como clase están sobrevalorados en otras cuestiones esenciales. Se
tiende a suponer que los profesores son de condición superior y que por tanto
sólo abrazarán aquellas causas y movimientos que sean provechosos para la
sociedad. Desgraciadamente, en las matemáticas también hay oportunistas,
chaqueteros, reaccionarios, gentes ansiosas de prestigio o de poder y rateros.
Es triste leer en la historia de las matemáticas que incluso muchos grandes
matemáticos se rebajaron a presentar como propios resultados que habían tomado
de otros.
Esta
valoración de los matemáticos es terriblemente negativa, pero parece necesario
desacreditar la creencia de que los profesores de matemáticas son infalibles y
constituyen un grupo verdaderamente superior.
En vista
de su obsesión por el progreso personal mediante la investigación, de su
desgana a dedicar tiempo a los problemas de la pedagogía y de su desarrollo
posiblemente limitado como seres humanos juiciosos, no es vero símil que los
profesores de college puedan dirigir el trabajo de preparación
de los planes de estudio para la enseñanza primaria y secundaria.
¿Cómo se
vieron los profesores de los college envueltos en la reforma
del plan de enseñanza primaria y secundaria? No hay duda de que en parte se
necesitaba su ayuda. Los profesores de enseñanza primaria y secundaria no
tienen tiempo suficiente para seguir los avances en matemáticas, mantenerse al
corriente de los nuevos que deberían incluirse en el plan, obtener resultados
de las investigaciones sobre el proceso de aprendizaje e incorporarlos a una
revisión a gran escala del plan. Necesitan ser informados de estos asuntos por
profesores universitarios, cuya función es estar informados en estas áreas. Por
ello los profesores de matemáticas fueron llamados a participar en la reforma.
Hay otro
grupo que podía haber sido útil en la reforma del plan. Es el grupo de los
educadores. Sin embargo, la mayor parte de ellos no estaban al día en
matemáticas superiores y esta tan concentrados en cómo enseñar las matemáticas
tradicionales. La situación de estos profesores fue expresada honesta y
abiertamente por el profesor Max Beberman, que fue educador[9] de
matemáticas. En las actas de la conferencia del 1964 del Committee on School
Mathematics de la Universidad de Illinois, dedicada al «Papel de las
aplicaciones en el plan de matemáticas de la enseñanza secundaria», dijo:
Mi punto
de vista siempre ha sido que yo, personalmente, tengo muy poca responsabilidad
en la selección del contenido que se pone a prueba experimentalmente. Mi
trabajo es determinar qué cosas pueden enseñarse y qué cosas no pueden ser
enseñadas. Así que si alguien sugiere que se enseñe un tema determinado y aun
haciendo mi mejor esfuerzo no consigo enseñárselo a los chicos, puede que no
sea posible enseñar este tema: puede. Yo no sé si hacemos daño a los
estudiantes si en primer lugar seleccionamos un buen contenido matemático y
después hacemos nuestros mejores esfuerzos para enseñarlo. Estoy perfectamente
satisfecho, como educador, de dedicar toda mi atención a encontrar la clase
exacta de pedagogía necesaria para que las ideas matemáticas lleguen a los chicos,
pero muchos críticos han señalado que no es posible confiar en los matemáticos
para seleccionar el contenido de la enseñanza, que, de una forma o de otra, los
matemáticos no comprenden qué es lo que pueden aprender los estudiantes de
enseñanza secundaria. Estas objeciones me parecen absurdas, porque ¿quién sabe
qué pueden aprender los estudiantes de secundaria? Esto es algo que debe
experimentarse. Una crítica más sería es que los matemáticos no saben cuáles
son las matemáticas apropiadas para los estudiantes. No saben qué cosas son
realmente importantes dentro de las matemáticas en lo que a la educación
general se refiere. Ahora bien, no sé quién cabe suponer que nos pueda aclarar
esta cuestión. ¿Deberemos buscar gente no experta en matemáticas para que nos
diga qué matemáticas son apropiadas? Pienso que éste es un problema con el que
siempre vamos a encontrarnos. Sin embargo, creo que debemos pedir ayuda a los
matemáticos a este respecto. No pienso que nos hayan engañado demasiado en el
pasado. Pero pienso que es importante reconocer que hay mucha gente ahora, más
de la que había hace tres o cuatro años, que discuten la suposición de que los
matemáticos son los mejores para aconsejar qué matemáticas se deben enseñar en
la enseñanza secundaria.
El pedir
consejo a los profesores de matemáticas sobre qué temas deben explicarse no es
en sí mismo un error, y de hecho, como hemos señalado, es necesario.
Desgraciadamente, los que han participado en el trabajo del plan no eran en
general los adecuados. Aquellos pocos que todavía trabajaban en las áreas
tradicionales de las matemáticas, las áreas referentes a las matemáticas y sus
relaciones con las ciencias, estaban en los años sesenta altamente dedicados a
la investigación de los problemas de ciencias de rápido crecimiento. Por tanto,
los profesores que se sentían libres para dedicarse al trabajo del plan eran
los dedicados a los aspectos más remotos, abstractos y puros de las
matemáticas. Además de su propia unilateralidad, estos hombres, como generalmente
sucede con los profesores de college, no habían tenido
experiencia ni contacto con el plan de enseñanza primaria y secundaria. De
hecho, habían desdeñado este campo en el pasado y por tanto no tenían idea de
qué debería enseñarse a estos niveles o de cómo piensan los jóvenes. Muchos
profesores de dudosa competencia, advirtiendo que sólo tendrían que trabajar
con matemáticas elementales, se incorporaron encantados a esta tarea en busca
de una actividad que pudiera incrementar su prestigio.
Cabría
pensar que la debilidad pedagógica de los profesores de college habría
sido compensada por los profesores de secundaria y por los educadores. Estos
dos últimos grupos deberían saber qué se puede enseñar a los estudiantes de las
escuelas primarias y secundarias y qué puede interesar a estos jóvenes. Pero
los profesores de secundaria y los educadores sentían un temor reverencial por
los matemáticos. En nuestra sociedad se considera a quien puede escribir un
artículo sobre investigación como una persona de extraordinaria capacidad.
¿Cómo podrían los miembros más humildes de la hermandad dudar de hombres tan
distinguidos y de tan indiscutibles conocimientos? Se puede decir, sobre la
base de lo que ha sucedido, que en cada grupo de elaboración del plan los
profesores de college dominaron a los educadores y a los
profesores de las schools. Los educadores y los profesores se
inclinaron ante los ídolos sin saber que la mayor parte de ellos tenían los
pies de barro.
Lo
sucedido no implica que los intelectuales no deban ocuparse de los problemas
escolares. Ya hemos reconocido la necesidad de que lo hagan. Pero puede poner
de relieve que los centros escolares deben tener fuerza suficiente para saber
cuándo se les ayuda y cuándo se les lleva por caminos equivocados. El valor de
la ayuda que los centros pueden recibir dependerá completamente de la
competencia de quienes reciben la ayuda. Ellos deben juzgar la validez de los
consejos recibidos. Dicho de otra manera, los profesores de college pueden
ser utilizados como asesores, pero ciertamente no deben dirigir ni dominar la
elaboración de los planes de estudio de enseñanza primaria y secundaria.
Hemos
dado cuenta de la orientación del nuevo plan de matemáticas, pero esto no
explica su aceptación relativa mente amplia. En vista de los múltiples defectos
de este plan, cabía pensar que en general sería rechazado por el país. Varios
factores explican su adopción.
Probablemente
el factor más importante es que los grupos del plan estaban organizados y bien
financiados. Por tanto, estos grupos emprendieron una activa campaña para poner
el nuevo plan en circulación. No solamente los directores, sino también los
miembros de los distintos grupos comenzaron a hablar en favor del nuevo plan en
reuniones de profesores, directores y administradores. Puesto que el plan
tradicional no tenía éxito, esta gente se interesó, por lo menos, en el nuevo
plan. Cuando se les aseguró que matemáticos, educadores y profesores de
enseñanza secundaria habían colaborado en el nuevo plan y estaban de acuerdo
sobre sus méritos, quedaron convencidos.
Además de
dar conferencias, los grupos del plan publicaron informes. El documento ya
mencionado, The Revolution in School Mathematics, subtitulado
«Un reto para administradores y profesores», fue publicado en 1961 por el
National Council of Teachers of Mathematics. En apariencia el documento era un
informe sobre las conferencias dadas por todos los Estados Unidos para informar
a los administradores escolares y a los supervisores de matemáticas de la
naturaleza del nuevo plan. Pero se describía el plan diciendo «que les
permitiría ponerse a la cabeza en la introducción de nuevos y perfeccionados
programas de matemáticas». Esto implicaba que los administradores que no
aceptaran la reforma serían culpables de negligencia o desinterés. Pero en 1961
este país había tenido muy poca experiencia en los nuevos planes. En aquella
época un folleto que los promocionaba podía ser acusado justamente de
propaganda.
Desgraciadamente
la propaganda fue eficaz. La mayor parte de los administradores escolares no
tenían la amplia formación científica necesaria para valorar las innovaciones
propuestas. No sabían si las innovaciones eran modelos de saber hacer educativo
combinado con los mayores avances en la materia o si eran el resultado del
entusiasmo de los especialistas en la materia, sin ningún interés para las
necesidades de los estudiantes. La presión ejercida sobre ellos puso a los
administradores en un aprieto. Podían fingir interés y amor al progreso
adoptando alguno de los modernos programas, o podían ser honrados y admitir que
no eran competentes para juzgar los méritos de ninguno. Lo que pasó finalmente
fue que muchos directores y jefes de estudios impusieron el plan moderno a sus
profesores para mostrar a los padres y a la administración del centro su
información y su dinamismo.
La misma
adopción del término matemática moderna es pura propaganda. «Tradicional»
indica antigüedad, inadecuación y esterilidad, y es un término peyorativo.
«Moderno» significa actual, importante y vital. Los términos moderno y nuevo
fueron utilizados para todo. Los portavoces insistieron en que el plan
tradicional ofrecía pocas cosas que no fueran conocidas antes de 1700.
Naturalmente, como hemos visto, los términos moderno y nuevo no estaban
demasiado justificados desde el momento en que el plan consistía principalmente
en una nueva interpretación de las matemáticas tradicionales.
Algunos
portavoces se rebajaron a recurrir a amenazas poco veladas. Algunos de ellos
estaban en la Comisión de Matemáticas de la College Entrance Examination Board.
Esta junta elabora los exámenes de aptitud que los alumnos de enseñanza
secundaria hacen para ingresar en un college. Los portavoces
insinuaron que estos exámenes contendrían preguntas sobre los temas de
matemática moderna. Puesto que los profesores estaban ansiosos de que sus
estudiantes hiciesen bien estos exámenes, se vieron obligados a aprender el
contenido del nuevo plan y a enseñar estos temas.
Otra
estratagema empleada deliberadamente para poner las matemáticas en circulación
ha sido descrita por el profesor Paul Rosenbloom, matemático muy competente que
participó en la redacción del plan. En su artículo, «Applied Mathematics: What
is Nceded in Research and Education» (véase la referencia a Carrier en la
bibliografía), el profesor Rosenbloom describía esta estratagema: «Ahora bien,
en esta cuestión de tratar de revisar la enseñanza de las matemáticas escolares
hemos tenido muchos problemas. Entre ellos un problema de ingeniería social,
pues tenía que hacerse rápidamente un gran cambio en unas condiciones en que
nadie tenía el poder de imponer nada a nadie. Había que conseguir que mucha
gente decidiera hacer voluntariamente lo que debía hacer. No sólo teníamos el
problema de planear qué matemáticas debían enseñarse en el grado 7 o en
cualquier otro grado, sino que teníamos también el problema de introducirlas
rápidamente en un gran número de centros sin poder forzarles. Así, el
procedimiento tenía que ser reunir a un gran número de personas de diferentes
partes del país y que representaran distintos puntos de vista, el matemático,
el educativo, el escolar, etc., para que escribieran libros en una atmósfera de
libertad. Esencial mente el problema era poder decir que el curso de noveno
grado, por ejemplo, representa un acuerdo de matemáticos y profesores. Las
escuelas de Seattle adoptaron el plan del SMSG porque su supervisor de
matemáticas formaba parte del equipo de redacción. El National Council of Mathematics
Teachers jugó también un papel en esto. El presidente de su comité de planes de
estudio de escuela secundaria, estaba en el equipo de redacción del curso de
grado undécimo. Se tienen estos problemas y, hasta cierto punto, el resultado
depende sobre todo de la persuasión y madurez de juicio de la gente que está en
los equipos de redacción representando diversos puntos de vista.» Tales
esquemas promocionales llevaron al asesor de una escuela a decir que si la
intuición pedagógica de quienes han desarrollado algunos de los programas
modernos fuese igual a su perspicacia para la promoción, habría llegado la edad
de oro de la enseñanza de las matemáticas.
Aunque
muchos de los profesores de los equipos de redacción estuviesen desilusionados
e incluso disgustados por los compromisos que se vieron obligados a hacer, no
obstante volvieron a sus lugares de procedencia satisfechos de haber sido
partícipes en la elaboración del plan, y naturalmente inclinados a favorecer lo
que habían ayudado a crear. Pronto se convirtieron en campeones ardientes de
las matemáticas modernas y encabezaron su promoción.
Muchos
profesores de college que buscaban una actividad en la que
creían ser competentes —seguramente, argumentaban, los temas de enseñanza
secundaria deben ser un juego de niños para eruditos profesores de college como
nosotros—, tomaron a su cargo la defensa del plan moderno e incluso dieron
cursos para iniciar a los profesores en las matemáticas modernas. Otros
siguieron la moda porque participar en una actividad que había llegado a ser
importante les daba relevancia e incluso prestigio. También los profesores de
enseñanza primaria y secundaria, ansiosos de aparecer al frente de la
enseñanza, se encargaron de promocionar lo que les habían echado encima.
Desgraciada mente, al estar sometidos a un trabajo agotador y absorbente en sus
obligaciones como maestros, no habían tenido oportunidad de aprender más acerca
de lo que es significativo en matemáticas, y así no pudieron examinar crítica
mente las nuevas versiones en cuanto forma de enseñanza de las matemáticas.
Muchos
profesores se metieron en esto porque vieron una oportunidad de escribir nuevos
textos abasteciéndose de las nuevas matemáticas. A menudo se han limitado a
revestir los viejos textos con algunas gotas de las nuevas matemáticas y a
etiquetar estos libros como textos de matemática moderna. Naturalmente estos
profesores deben aparentar al menos ser partidarios de las matemáticas
modernas.
Cabría
decir que estos textos representan un compromiso. Los estudiantes no están
listos para dar un salto brusco a la matemática moderna, especialmente si ya
han estudiado durante unos años las matemáticas tradicionales. Pero estos
textos de compromiso no sirven realmente de transición. No se ha conseguido
unificar razonablemente en ellos los temas tradicionales y los modernos. Son
obras claramente comerciales que dan la impresión de ser matemáticas modernas,
pero en realidad son montajes de temas modernos y tradicionales no integrados
en absoluto.
Los
editores, tratando de adelantarse en el mercado, sacaron series de textos de
nueva matemática, y para asegurar su adopción, no sólo se unieron a la
propaganda a favor de las nuevas matemáticas mediante anuncios llenos de hábil
palabrería, sino que enviaron conferenciantes a las reuniones de profesores
para hablar a favor de las nuevas matemáticas. La combinación de los portavoces
del plan, los profesores que se convirtieron en partidarios suyos y los
editores formó una tupida red de intereses creados que hicieron presa en la
ingenuidad matemática de la prensa, del público e incluso de las fundaciones
que apoyaron el movimiento.
Además de
estos factores que hemos descrito, hay otras razones para que las matemáticas
modernas hayan encontrado apoyo. No hay duda de que algunos profesores creen
realmente que la interpretación axiomática deductiva constituye la esencia de
las matemáticas. Se trata de pedagogos sinceros, aunque no estén acertados,
independientemente de que hayan adquirido esta estrecha visión por la educación
que ellos mismos han recibido o se hayan visto inducidos a adoptarla porque
muchos textos la defienden. También tiene uno la solapada sospecha de que
algunos profesores disfrutan presentando el familiar sistema de numeración en
su recóndita forma axiomática porque comprenden la sencilla matemática
requerida, y sin embargo pueden fingir estar enseñando una profunda cuestión
matemática.
Muchos
jóvenes profesores creen que, ahora que poseemos una versión correcta y acabada
de las matemáticas, es suficiente presentar su planteamiento axiomático o
riguroso para que los estudiantes lo asimilen. Estos mismos profesores no
habrían podido asimilar dicho planteamiento, pero habiendo aprendido la versión
correcta no pueden recordar ni apreciar las dificultades que conlleva el
aprendizaje de las versiones rigurosas.
Algunos
profesores, que conocen las demostraciones rigurosas, se sienten incómodos al
presentar simplemente un argumento convincente que ellos, al menos, saben que
es incompleto. Pero no es el profesor quien debe quedar satis fecho, sino el
estudiante. La buena pedagogía exige compromisos de esta índole.
El deseo
natural del profesor es explicar unas matemáticas deductivas en su forma más
acabada. Esta versión es ciertamente más elegante. Pero su valor para el
estudiante es inversamente proporcional a la elegancia y armonía de la
exposición, porque la versión final supone una explicación muy laboriosa y
artificial.
Otros
profesores quieren dar a los estudiantes toda la verdad de una vez, de forma
que no tengan que olvidar lo que han aprendido una vez. Pero tampoco se puede
enseñar inglés o historia empezando por el final. Una redacción que obtuviera
la nota más alta en un curso de lengua en la enseñanza secundaria probablemente
obtendría una calificación insuficiente a nivel de college. Además,
una cosa es enseñar que 2 + 2 = 5 y luego tener que corregirlo, y otra enseñar
a restar «quitando» y luego introducir la noción de que −2 es el inverso
aditivo de 2. Para un chico esto último es palabrería.
Otra
razón importante de la popularidad de la interpretación deductiva axiomática es
que su presentación es más sencilla. Toda la materia se dispone en una sucesión
clara, bien definida, y todo lo que el profesor tiene que hacer es seguirla. No
tiene más que ofrecer material enlatado. Yo he oído a algunos profesores
quejarse de que muchos estudiantes, sobre todo de ingeniería, quieren tan sólo
que se les enseñen las técnicas que deben aprender y luego limitarse a
repetirlas. Pero los profesores que explican el planteamiento lógico porque les
evita el problema de enseñar a los estudiantes a obtener resultados por sí
mismos, llevándoles a participar en un proceso constructivo, explicándoles las
razones para seguir un procedimiento y no otro, y buscando argumentaciones
convincentes, son más reprensibles que los estudiantes que quieren evitar
pensar y prefieren repetir mecánicamente los procedimientos aprendidos.
Postular las propiedades resulta tan cómodo como robar en vez de trabajar
honradamente, como dijo Bertrand Russell. Pedagógicamente tiene menos ventajas,
porque el robo no produce ganancias para el entendimiento.
Ya hemos
señalado que muchos profesores, especialmente a nivel de college, prefieren
explicar aproximaciones axiomáticas rigurosas porque favorecen su propio
interés profesional a expensas de los estudiantes. Incluso si estos sistemas
pudieran llegar a ser comprensibles para los jóvenes, el tiempo necesario para
enseñarles se debería emplear en cuestiones de mayor interés. En esta materia,
así como en la presentación de sofisticadas demostraciones rigurosas, los
profesores están obrando por interés propio, no sólo por la forma en que
explican las matemáticas, sino también por enseñar de forma prematura temas
tales como los conceptos del álgebra abstracta, los espacios vectoriales
lineales, las geometrías finitas, la teoría de conjuntos, la lógica simbólica y
las matrices, porque son temas avanzados y satisfacen el ego del profesor. No
es extraño que los estudiantes se sientan alienados y pongan en duda la
importancia de lo que se les está enseñando.
Cualesquiera
que sean las razones por las que los profesores insisten en presentar
demostraciones rigurosas a los jóvenes, se están engañando a sí mismos. Como ya
hemos señalado (cap. 5), no hay demostraciones rigurosas definitivas. Esto se
deduce del mismo camino que siguen las matemáticas en su desarrollo. El gran
investigador matemático y pedagogo Félix Klein lo expresó así: «De hecho, las
matemáticas han crecido como un árbol, que no nace de sus más pequeñas
raicillas y crece simplemente hacia arriba, sino que antes envía sus raíces a
más y más profundidad al mismo ritmo y en la misma medida en que sus ramas y
hojas se extienden hacia arriba.
… Vemos,
entonces, que en lo que se refiere a las investigaciones fundamentales en
matemáticas, no hay conclusión final, ni por tanto tampoco un punto de partida
definitivo que puedan ofrecer una base absoluta para la enseñanza.»
Poincaré
expresó un punto de vista similar. No hay problemas resueltos; sólo hay
problemas que están más o menos resueltos. Las matemáticas serán tan correctas
como los seres humanos, y los humanos son falibles.
En
ninguna época de la historia de las matemáticas hemos estado menos seguros de
qué es el rigor. Por tanto, ninguna demostración es realmente completa, y el
profesor debe siempre llegar a un convenio. Sería interesante saber cuántos
profesores están enterados de que la teoría de con juntos, que ahora consideran
un comienzo indispensable para cualquier interpretación rigurosa de las
matemáticas, ha sido la fuente de nuestras más profundas y también más
insuperables dificultades lógicas. Aquellos que no tengan conciencia de los
problemas fundamentales deberían al menos recordar las palabras de uno de los
mayores matemáticos de nuestro tiempo, Hermann Weyl:
«La
cuestión de los fundamentos y el significado últimos de las matemáticas
permanece abierta; no sabemos en qué dirección se encontrará la solución final,
ni siquiera si cabe esperar una res puesta final objetiva. El “matematizar”
podría ser muy bien una actividad creadora del hombre, como el lenguaje o la
música, de origen primitivo, cuyas decisiones históricas desafíen toda
racionalización objetiva completa.»
Aunque la
interpretación deductiva axiomática y rigurosa se vea favorecida, hay
indicaciones de que algunos de los profesores que la explican no están
realmente seguros de que esto sea correcto. Algunos libros de cálculo parten de
definiciones y teoremas rigurosos, los referentes a límites y continuidad, por
ejemplo, y luego no vuelven a hacer referencia a este tema. Están estructurados
como un libro de recetas. Lo más caritativo que se puede decir de tales libros
es que tal vez sus autores desean tranquilizar sus conciencias o dar a los
estudiantes una cierta idea de lo que significa el rigor. Quizá sea una opinión
más exacta decir que estos libros ofrecen tan sólo una apariencia de rigor para
satisfacer dos mercados: el que pide rigor y el que se contenta con la
enseñanza de procedimientos mecánicos.
Otros
textos adoptan otro «compromiso». A lo largo de los textos la presentación es
mecánica, con alguna concesión ocasional a la explicación intuitiva. La
«verdadera explicación» está dada mediante demostraciones rigurosas, pero éstas
aparecen como apéndices, y presentadas de una forma tan compacta que se puede
tener la seguridad de que resultan totalmente incomprensibles para los
estudiantes. Sin embargo, los autores han salvado sus conciencias. Estos libros
no difieren en nada de las antiguas explicaciones rutinarias. Tan sólo mejoran
nuestra comprensión de una cosa: muestran que hay matemáticos competentes que
son ineptos para la pedagogía.
Por las
diversas razones que hemos ido citando, las matemáticas modernas están ahora de
moda. Pero la moda, como decía Oscar Wilde, es la momentánea conversión de lo
fantástico en universal.
Capítulo
11
La dirección conveniente para una reforma
«La
lógica puede ser paciente porque es eterna.»
Oliver Heaviside
Hemos
mostrado que el plan tradicional es insatisfactorio en varios aspectos y que el
nuevo plan de matemáticas ciertamente no remedia los defectos del plan
tradicional. Por añadidura, posee nuevos defectos. ¿En qué dirección debería
orientarse entonces una reforma eficaz? De entrada, esta dirección debe ser
diametralmente opuesta a la que han tomado las nuevas matemáticas.
Antes de
poder hablar del planteamiento y el contenido del plan conveniente para
enseñanza primaria y secundaria, debemos ver cuáles son los objetivos o fines
de estas fases de la educación. A nivel de la enseñanza primaria podemos dejar
de lado la preparación para el college. Sólo un pequeño porcentaje
de estos estudiantes irá al college. Incluso a nivel de secundaria,
en el que aproximadamente un 50 por 100 de los graduados ingresan en el college, los
estudiantes todavía ignoran la naturaleza y la importancia de los varios temas
que se les pide que aprendan. En muchas materias, incluyendo las matemáticas
(con excepción de la aritmética), lo que se brinda en la enseñanza secundaria
es tan sólo una introducción. Además, muy pocos de los estudiantes que pasen
al college se especializarán en matemáticas. Incluso a los que
piensan que se harán matemáticos se les debe aconsejar que no se especialicen
hasta que no conozcan mucho mejor el contenido de las distintas materias. Luego
la educación para todos estos estudiantes debería ser más amplia que profunda.
Debería ser una verdadera educación en humanidades, en la que los estudiantes
no solamente aprendieran cuál es el contenido de cada materia, sino también qué
papel juega en nuestra cultura y en nuestra sociedad. No se debería intentar
preparar profesionales de las matemáticas ni habría que preocuparse por lo que
el estudio futuro de las matemáticas pudiera requerir. Desde esta perspectiva,
¿qué pueden ofrecer las matemáticas además de la aritmética de uso diario?
Las
matemáticas son la llave de nuestra comprensión del mundo físico; nos dan poder
sobre la naturaleza, y le han dado al hombre la convicción de que puede
continuar profundizando en los secretos de la naturaleza. Las matemáticas han
permitido a los pintores pintar de forma realista y no sólo han hecho posible
la comprensión de los sonidos musicales, sino también el análisis de tales
sonidos que es indispensable para la construcción del teléfono, el fonógrafo,
la radio y otros instrumentos de grabación y reproducción de sonidos. Las
matemáticas se han hecho cada vez más valiosas para la investigación biológica
y médica. La pregunta «¿Qué es la verdad?» no se puede discutir sin hablar del
papel que las matemáticas han jugado para convencer al hombre de que puede o no
alcanzar verdades. Gran parte de nuestra literatura está impregnada de temas
que tratan cuestiones matemáticas. De hecho, a menudo es imposible comprender a
muchos escritores y poetas a menos que se conozca la influencia que en ellos
han tenido las matemáticas. Finalmente, las matemáticas son indispensables para
nuestra tecnología.
¿Deberían
resaltarse en los cursos de matemáticas esta entidad y estas aplicaciones?
¡Ciertamente! El conocimiento es un todo y las matemáticas son una parte del
todo. No se desarrollan por separado de las demás actividades e intereses.
Enseñar las matemáticas como una disciplina aparte es una perversión, una
corrupción y una distorsión del verdadero conocimiento. Si nos vemos impulsados
por razones prácticas a separar la enseñanza en matemáticas, ciencias, historia
y otras materias, reconozcamos al menos que esta separación es artificial y
falsa. Cada materia representa una aproximación al conocimiento, y cualquier
mezcla o superposición que sea conveniente y pedagógicamente útil es deseable y
debe ser bienvenida.
De esta
forma, modelaríamos y enseñaríamos más allá de las propias matemáticas, las
relaciones de las matemáticas con otros intereses humanos; en otras palabras,
un plan de matemáticas culturalmente amplio que buscaría su íntima unión con
las principales corrientes del pensamiento y de nuestra herencia cultural.
Algunas de estas relaciones podrían proporcionar una motivación, otras serían
aplicaciones y otras suministrarían lecturas interesantes y mate rial para
discusiones que darían variedad y vitalidad al contenido de nuestros cursos de
matemáticas.
¿Pueden
tratarse estos temas a nivel de enseñanza primaria y secundaria? Naturalmente.
De hecho, si incluso los niveles elementales de las matemáticas no tuvieran
íntima relación con las ramas principales y más vivas de nuestra cultura, la
materia no merecería un lugar importante en el plan de estudios.
La
necesidad de relacionar las matemáticas con nuestra cultura ha sido subrayada
por Alfred North Whitehead, el más profundo de los filósofos de nuestra época y
un hombre capacitado para el pensamiento abstracto más exigente. En su artículo
«The Aims of Education», escrito en 1912, Whitehead dice:
En la
educación científica, lo primero que hay que hacer con una idea es demostrarla.
Pero permítaseme por un momento ampliar el significado de «demostrar»; quiero
decir demostrar su valor…
Lo que
pido es que se ponga fin a la fatal desconexión de los temas que mata la
vitalidad de nuestro moderno plan de estudios. Sólo hay una cosa que se deba
enseñar: la vida en todas sus manifestaciones. En vez de esta sencilla unidad,
ofrecemos a los niños un álgebra y una geometría no relacionadas con nada…
Volvamos
a las ecuaciones cuadráticas… ¿Por qué tenemos que enseñar a los niños su
resolución?
Las
ecuaciones cuadráticas son parte del álgebra, y el álgebra es un instrumento
intelectual para clarificar los aspectos cuantitativos del mundo.
En su
ensayo de 1912, «Mathematics and Liberal Education» (publicado en Essays
in Science and Philosophy), Whitehead va más lejos.
Las
matemáticas elementales… deben ser depuradas de todo elemento que sólo pueda
justificarse de cara a estudios posteriores. No puede haber nada más
destructivo para una verdadera educación que el gastar largas horas en la
adquisición de ideas y métodos que no llevan a ningún sitio… La sola idea de
aprender tiene un sentido muy extendido de aburrimiento. Yo lo atribuyo a que
[a los estudiantes] se les enseñan muchas cosas simplemente en el aire, cosas
que no tienen ninguna coherencia con los pensamientos que surgen naturalmente
en cualquier persona que viva en este mundo moderno, independientemente de que
sea o no un intelectual. Todo el aparato de enseñanza les parece un sinsentido…
Ahora
bien, lo que queremos es que nuestros alumnos desarrollen la capacidad de
aplicar las ideas al universo concreto… El estudio del álgebra debería comenzar
con el estudio sistemático de las aplicaciones de la idea matemática de
cantidad en alguna cuestión importante.
[En
geometría, igualmente, el plan] debería ser rígidamente depurado de todo lo que
pudiera parecer a los estudiantes como simples curiosidad es sin importancia…
¿Cuál es
en pocas palabras el resultado final de nuestra reflexión? Que los elementos de
matemáticas deberían tratarse como el estudio de un conjunto de ideas
fundamentales, cuya importancia pueda apreciar el estudiante inmediatamente;
que los enunciados y métodos que no puedan pasar esta prueba,
independientemente de su importancia para estudios más avanzados, deberían
suprimirse inexorablemente… Este tosco resumen puede resumirse a su vez en un
principio esencial: simplificar los detalles y resaltar los principios y las
aplicaciones importantes.
En 1912,
Whitehead hablaba del plan tradicional, pero sus críticas y recomendaciones son
hoy aún más válidas.
Las
matemáticas no son un cuerpo de conocimientos aislado y autosuficiente. Existen
en principio para ayudar al hombre a comprender y dominar el mundo físico,
económico y social. Responden a fines y propósitos determinados. Debemos
mostrar constantemente su utilidad fuera de su propio campo. Podemos esperar y
tratar de inculcar el interés y el gusto por las matemáticas, pero éstos deben
ser subproductos de un objetivo más amplio: mostrar para qué sirven las
matemáticas.
Hay
quienes han llegado a recomendar que se combine la enseñanza de las matemáticas
y la ciencia. El profesor H. Moore, un notable matemático, que estuvo en la
Universidad de Chicago, se refirió en su artículo «On the Foundations of
Mathematics» al problema de la enseñanza de las matemáticas, recomendando que
se combinaran las matemáticas y la ciencia a nivel de enseñanza secundaria.
Pidió que se pusiera fin a la separación artificial entre matemáticas puras y
aplicadas, y que se hiciese un programa conjunto a nivel secundario de
matemáticas y ciencias. De esta forma se podía suscitar en los estudiantes «el
sentimiento de que las matemáticas son una realidad fundamental del pensamiento
y no una simple cuestión de símbolos, reglas y convenios arbitrarios».
Tanto si
se las combina con la ciencia como si no, el presentar las matemáticas como una
parte de los esfuerzos del hombre para comprender y dominar su mundo, podría
dar a los estudiantes las razones históricas y actuales por las que este campo
tiene tan gran importancia. Esta es también la primera razón para la presencia
de las matemáticas en el plan. Estamos, por tanto, obligados a explicitar esta
significación de las matemáticas. Lo contrario es engañar al estudiante sobre
la utilidad de sus estudios.
El que
nos ocupemos de los estudiantes en general no significa que demos de lado a los
futuros profesionales. Un pequeño porcentaje de estudiantes serán físicos,
químicos, ingenieros, sociólogos, técnicos, estadísticos, etc. Es deseable que
estos estudiantes aprendan, tan pronto como sea posible, cómo pueden ayudarles
las matemáticas en su futuro trabajo. De hecho, si sintiéndose inclinados hacia
una de estas carreras nosotros les mostramos cómo las matemáticas les serán
útiles en ella, se interesarán en las matemáticas, en beneficio de sus
carreras. Incluso si los estudiantes no se sienten inclinados hacia vina
carrera en particular, estamos obligados a abrirles las puertas del mundo
poniendo en claro la naturaleza de las distintas profesiones. Un medio importante
para lograrlo es mostrar el papel que juegan las matemáticas en estos campos.
Presentar
las matemáticas como artes liberales requiere un cambio de punto de vista
radical. Las interpretaciones tradicionales y modernas presentan las
matemáticas como un continuo desarrollo acumulativo lógico. El álgebra precede
a la geometría porque en ésta se utiliza el álgebra. La trigonometría viene
tras la geometría porque ésta se utiliza en aquélla. Desde el nuevo enfoque se
incluiría lo que fuera interesante, informativo y culturalmente significativo,
con la ligera restricción tan sólo de incluir los primeros conceptos y técnicas
que se usarán más tarde. En otras palabras, tendríamos una orientación
objetiva, no temática.
Hasta
aquí hemos hecho hincapié en que las matemáticas deben presentarse como parte
integrante de una educación liberal. Igualmente vital es otro principio que
debería guiar la presentación de las matemáticas, un principio descuidado por
el plan tradicional y más aún incluso por el plan de matemática moderna. Se
debe justificar la introducción de cada tema. Las matemáticas no atraen a la
mayor parte de los estudiantes, y constantemente se preguntan «¿Por qué tengo
que aprender esto?» Esta pregunta está completamente justificada.
Las
matemáticas son una materia muy restringida. Hermann Weyl, que fue uno de los
grandes matemáticos de nuestro tiempo y trabajó en muchas ramas de las
matemáticas y la física matemática, dijo en 1951: «Se puede decir que las
matemáticas hablan de cosas que no interesan al hombre en absoluto… Parece una
ironía de la creación el que la mente del hombre sepa manejar mejor aquellas
cosas que más lejos están del centro de su existencia. Así, somos especialmente
capaces en aquellos terrenos en que el conocimiento importa menos: en
matemáticas, especialmente en teoría numérica».
Las
matemáticas trabajan con abstracciones y esto es, en sí mismo, una de sus más
severas limitaciones. Un discurso sobre la naturaleza del hombre difícilmente
puede ser algo tan rico, tan satisfactorio y capaz de colmar nuestra vida como
el vivir con la gente, incluso aunque se pueda aprender mucho sobre la gente a
partir de una discusión abstracta sobre el hombre. Hablar o leer acerca de los
niños no es lo mismo que educar a los niños. Además de ser abstractas, las
abstracciones matemáticas son algo alejado de nosotros. Las matemáticas tratan
de números y de figuras geométricas y generalizaciones que surgen de estos
conceptos básicos. Pero los números y las figuras geométricas son propiedades
insignificantes de los objetos reales. Un rectángulo puede ser la forma de un
trozo de tierra o el marco de un cuadro, pero la forma es algo incidental res
pecto al valor real de la tierra o de la pintura.
Las
matemáticas no atraen, y puede que no deban atraer, al 98 por 100 de los
estudiantes. Son un estudio esotérico, de atractivo exclusivamente intelectual,
y carentes del atractivo emocional que poseen, por ejemplo, la música y la
pintura. El matemático creador puede obtener algunas compensaciones
emocionales, como la satisfacción del ego, el orgullo del éxito y la gloria
—compensaciones no demasiado nobles, en cualquier caso—, pero los estudiantes
no pueden obtener ni siquiera esto del estudio de las matemáticas, o en todo
caso, la intensidad de sus emociones es pequeña. El desafío intelectual puede
mover a algunas personas, pero difícilmente se puede refutar a quienes
sostienen que es más importante el desafío de construir una sociedad más humana
y conseguir di rigentes honrados.
Entonces
el interés de quienes no sean matemáticos no puede ser de origen matemático. Ya
hemos señalado que es inútil tratar de interesar a los estudiantes en general
en los números complejos pidiéndoles que resuelvan x2 +
1 = 0. Puesto que los no matemáticos no se ocupan de resolver x −
2 = 0, ¿por qué se iban a ocupar de resolver la ecuación anterior? Los textos
de cálculo «motivan» muchos conceptos y teoremas aplicándolos al cálculo de
áreas y volúmenes y longitudes de arcos. Pero éstas son también cuestiones
matemáticas, y el hecho de que el cálculo nos permita resolverlas no le
convierte en más absorbente para los no matemáticos. La falta de sentido para
los estudiantes de muchos teoremas de geometría euclídea los ha indispuesto con
la geometría; por tanto, el estudio de más geometría, incluso si es a través
del cálculo, les despertará aversión por el cálculo antes que interés. El
argumento de que el cálculo nos da poder para hacer lo que temas más
elementales no pueden hacer, no impresiona ciertamente a los estudiantes que no
desean por encima de todo calcular áreas, volúmenes y longitudes de arcos.
La
motivación natural es el estudio de problemas reales, en gran parte físicos.
Prácticamente las principales ramas de las matemáticas surgen como respuesta a
tales problemas, y ciertamente a nivel elemental esta motivación es genuina.
Quizá pueda parecer extraño que el mayor interés de las matemáticas sea
exterior a las matemáticas, pero se debe contar con este hecho. Para la mayor
parte de la gente, incluidos los grandes matemáticos, la riqueza y el interés
de las matemáticas derivan de su uso en el estudio del mundo real. Las
matemáticas son un medio para un fin. Se usan los conceptos y los razonamientos
para lograr resultados acerca de cosas reales.
Cabría
pensar que los profesores en todos los niveles de la enseñanza habrían
advertido desde hace mucho la deplorable falta de motivación de las matemáticas
y que en vez de buscar nuevos enfoques para los antiguos temas o bien nuevos
temas, se habrían enfrentado con el problema de la motivación. Desde luego, hay
algunas excusas aceptables para este fracaso. El profesor medio se ve obligado
a seguir un plan que le han dado hecho. El profesor puede, en su propia clase,
hacer algo para interesar a sus estudiantes, pero generalmente tiene un límite
de tiempo para hacerlo así. Además, una revisión capaz de producir interés en
los alumnos requeriría un nuevo planteamiento. Si esto llevara a la
introducción de nuevos temas, no se le permitiría pasar de exponer el programa,
y éste sería prohibido.
Pero los
participantes en la reforma educacional no pueden excusarse por el fracaso en
dar una motivación a las matemáticas. Los educadores en matemáticas han
demostrado tener una visión limitada. Aunque su trabajo es enseñar a exponer
las matemáticas, ni ellos mismos saben por qué son importantes las matemáticas
y dónde entran en contacto con los problemas reales que pueden ser usados para
interesar a los estudiantes. Hasta que se preparó el plan moderno, los
profesores de college habían mostrado poco interés en los
cursos de enseñanza primaria y secundaria. Dirigieron la elaboración del nuevo
plan cuyos defectos ya hemos señalado. El problema de la motivación no fue
afrontado.
Junto con
cada tema debe explicarse el motivo de su interés. No sirve de nada asegurar a
los estudiantes que algún día apreciarán la utilidad de las matemáticas que se
les pide que aprendan. Si un tema tiene interés, entonces, como dice Whitehead,
los estudiantes deben poder apreciar inmediatamente su importancia; o como
expuso en Aims of Educations, «El interés de la materia debe
introducirse aquí y ahora…» Si las matemáticas no reviven con el aire de la
realidad, no podemos esperar que sobrevivan como parte importante de la
educación liberal.
¿Interesan
los problemas reales a los jóvenes? Los jóvenes viven en el mundo real y, como
lodos los seres humanos, sienten alguna curiosidad acerca de los fenómenos
reales, o al menos es más fácil interesarles en ellos que interesarles en las
matemáticas abstractas. Por consiguiente, hay gran des esperanzas de que el
verdadero interés de las matemáticas sea también lo que interese a los
estudiantes, y de hecho nuestra limitada experiencia ha mostrado que es así.
Pero no basta con esto, se necesitan más cosas para asegurar un efectivo
interés de los estudiantes. Si los acertijos, los juegos u otros trucos sirven
a determinados niveles de edad, también pueden usarse, aunque no pueden
constituir la principal fuente de interés, pues en ese caso los estudiantes
tendrían una impresión equivocada sobre la utilidad de las matemáticas.
Ciertamente queda mucho trabajo por hacer para buscar problemas que sean
motivos de interés, genuinos y significativos, para el estudiante.
Para
interesar a los estudiantes, no siempre es necesario que antes de introducir un
tema matemático se trate un problema sacado de las ciencias o de la vida real.
A veces es más conveniente introducir un tema matemático, presentar las
matemáticas e inmediatamente después aplicarlas a una situación no matemática.
Por ejemplo, un tema de geometría elemental es el de las líneas paralelas. Se
puede explicar este tema y después mostrar cómo un simple teorema nos permite
calcular la circunferencia de la tierra. La parábola puede explicarse en cuanto
curva como un problema de lugar geométrico. Y luego puede enseñarse el uso de
la parábola en la focalización y dirección de las ondas de luz y radio. Los
dibujos de los faros de los automóviles, las antenas de radio, los reflectores
e incluso las linternas comunes, muestran estos usos en situaciones reales. En
álgebra estudiamos funciones lineales y cuadráticas. Estas pueden aplicarse en
seguida para calcular la altura que alcanzarán una bola o un proyectil lanzados
hacia lo alto, y si el proyectil podrá alcanzar una altura determinada. En
estos tiempos de exploraciones espaciales, lanzamientos de cohetes y naves
espaciales, puede ser un tema interesantísimo incluso si solamente pueden
estudiarse a nivel de enseñanza secundaria los problemas más simples.
El que
los pedagogos hayan descuidado los motivos de interés y las aplicaciones de las
matemáticas es algo que ha dañado su enseñanza. Estos hombres han presentado el
tallo, pero no las flores, y así no han conseguido mostrar el verdadero valor
de lo que enseñan. Piden a los estudiantes que batallen, pero no les dicen por
qué. Incluso el ejército de los Estados Unidos lo sabe algo mejor. En parte, la
paupérrima enseñanza de las matemáticas puede relacionarse con el hecho de que
los profesores las explican como si no tuviesen ninguna relación con nada
exterior a sus confines técnicos. Lo más triste en la enseñanza de las
matemáticas —antiguas o nuevas— no es que los profesores no sepan qué es lo que
enseñan, sino que ignoran por qué es importante, y por consiguiente no pueden
explicárselo a sus alumnos.
Hay
muchos profesores y maestros que piensan que la motivación y la aplicación de
las matemáticas salen del legítimo contenido de los cursos. Pero saber para qué
sirven las matemáticas forma parte del conocimiento matemático. Además, a falta
de motivos de interés, los estudiantes no estudiarán matemáticas, y en
consecuencia poco es lo que se consigue enseñando tan sólo matemáticas.
Plutarco dijo que «la mente no es un vaso que debe llenarse, sino un fuego que
debe encenderse». El interés es lo que enciende el fuego.
El uso de
problemas reales y especialmente físicos no sólo sirve para hacer interesantes
las matemáticas, sino también para darles un significado. Los números negativos
no son sólo los inversos de los números positivos con respecto a la suma, sino
también los grados por debajo de cero en un termómetro. La elipse no es sólo un
lugar geométrico particular, sino también la trayectoria de un planeta o un
cometa. Las funciones no son conjuntos de pares ordenados, sino relaciones
entre variables reales como la altura y el tiempo de vuelo de una pelota
lanzada por el aire, la distancia a un planeta desde el sol en diferentes
tiempos del año, y la población de un país a lo largo de los años. Las
funciones son leyes del universo y de la sociedad. Los conceptos matemáticos
surgieron de tales situaciones o fenómenos físicos y sus significados eran
físicos para quienes crearon las matemáticas por vez primera. Privar a los
conceptos de sus significados es conservar la cáscara y arrojar la fruta.
Incluso
uno de los principales grupos del plan, The Secondary School Curriculum
Committee of the National Council of Teachers of Mahtematics, subrayó la
importancia de las aplicaciones para dar significado a las matemáticas: «Las
aplicaciones de las matemáticas son importantes como medio a través del cual se
puede apreciar en profundidad el valor instrumental de las matemáticas y como
ayuda para clarificar e ilustrar el contenido de las matemáticas.» Igualmente,
diversas personas que trabajaron en el plan de matemática moderna han hablado y
escrito en favor de las aplicaciones. Uno de estos hombres llegó a decir que si
en el estudio de las matemáticas no hubiese aplicaciones físicas sería
necesario inventar algunas. Sólo que los textos están desprovistos de tales
aplicaciones.
El
desarrollo de las matemáticas a partir de situaciones reales tiene otra
ventaja. Una de las más grandes dificultados que los estudiantes encuentran en
las matemáticas es la solución de problemas planteados verbalmente. No saben
cómo traducir la información verbal en forma matemática. Con la presentación
habitual en los planes de matemáticas tradicional y moderna, esta dificultad es
previsible. Las matemáticas se presentan por y para sí mismas, divorciadas del
significado físico, y después se les exige a los estudiantes relacionar estas
matemáticas aisladas y sin sentido con las situaciones reales. Claramente no
tienen base a partir de la cual pensar sobre tales situaciones. Por otro lado,
cuando las matemáticas surgen de problemas reales, la dificultad de traducción
queda resuelta automáticamente.
En lo que
se refiere a la manera práctica de presentar las matemáticas, hay otro
principio que debería seguirse. Las matemáticas no deberían desarrollarse
deductivamente, sino constructivamente. Por otra parte, hoy se dice que se
debería enseñar a descubrir. Los charloteos sobre este principio llenarían
muchos volúmenes, pero su práctica se reduce al conjunto vacío. El
planteamiento constructivo significaría que los estudiantes deberían construir
los teoremas y las demostraciones. Los estudiantes crearían las matemáticas.
Naturalmente estarían realmente recreándolas con ayuda del profesor. Podrían
llegar a hacerlo si se les permitiera e incluso animara a pensar
intuitivamente, pero no se puede esperar de ellos que «descubran» nada en el
marco de un desarrollo lógico que es casi siempre una reconstrucción muy
sofisticada y artificial del trabajo creativo original. El planteamiento
constructivo asegura la comprensión y enseña a pensar de forma independiente y
productiva.
Enseñar a
descubrir no es de ningún modo un trabajo sencillo. Exige que los estudiantes
aprendan a usar la intuición, a hacer suposiciones, a tantear, a generalizar
resultados conocidos, a relacionar lo que se busca con los resultados ya
conocidos, a utilizar interpretaciones geométricas de proposiciones
algebraicas, a medir, y docenas de otros procedimientos. Es relativamente fácil
conseguir que los estudiantes vean que de
1 = 1
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5
= 32
podemos
inferir que
1 + 3 +
5+ … + (2n − 1) = n2;
en otras
palabras, que la suma de los n primeros números impares
es n2. Igualmente el dibujo de un triángulo isósceles
sugiere enseguida que los ángulos de la base son iguales. Midiendo los lados de
varios triángulos rectángulos llevaremos a los estudiantes a la conclusión de
que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos. Pero, casi siempre, el enseñar a descubrir exige la preparación
cuidadosa de una serie de preguntas sencillas que gradualmente conducen a las
conclusiones deseadas. Incluso el enseñar a descubrir resultados tan
relativamente sencillos como la fórmula cuadrática no es sencillo en absoluto.
El método
socrático de hacer preguntas que lleven a los estudiantes a descubrir un
resultado debe usarse juiciosamente. Las preguntas deben ser razonables y que
puedan ser respondidas por la mayor parte de los estudiantes. De otra manera,
los estudiantes se sentirán derrotados y se llegarán a desinteresar. Los
estudiantes deben adquirir confianza en su propia capacidad. Será más fácil que
lo consigan si contribuyen a la construcción de las matemáticas que si se les
pide que aprendan un teorema sofisticado cuya demostración es el resultado de
muchas remodelaciones de versiones anteriores y menos perfectas.
Es
comprensible y de alguna manera justificable que los autores de artículos de
investigación no den cuenta de todos los pensamientos, rodeos, falsos comienzos
y conjeturas que les llevan a sus teoremas y demostraciones. Pero es deplorable
que, por ocultar a los jóvenes la existencia de tanteos y esfuerzos
infructuosos, demos la impresión de que los matemáticos razonan directa e
indefectiblemente hacia sus conclusiones. No solamente privamos a los
estudiantes del placer del descubrimiento, sino que destruimos la confianza en
sí mismos que habrían podido desarrollar si les hubiésemos dicho la verdad y
les hubiésemos permitido apreciar que difícil es realmente descubrir un teorema
acertado y su correspondiente demostración.
Los
profesores están tan ansiosos de avanzar que presentan a los estudiantes los
resultados y demostraciones finales, y puesto que los estudiantes no están
preparados para asimilarlos, deben recurrir a aprendérselos de memoria. Para
enseñar a pensar debemos dejar a los estudiantes pensar, dejar a los
estudiantes obtener sus propios resultados y demostraciones, aun si son
incorrectos. Dejar también que aprendan a juzgar por sí mismos el acierto de
los resultados. No hagamos a los estudiantes tragar los hechos. No estamos
metiendo objetos en un baúl. Este tipo de enseñanza embota la mente en vez de
avivarla.
La
cultura es tanto un proceso como un producto. Hasta el siglo XVI, «cultura»
significaba cultivo del suelo, y, como sabemos, no se entierra la fruta. Se
plantan semillas y se las alimenta. Enseñar a los estudiantes a conseguir
conocimientos es una parte de la educación liberal. Deberíamos tratar de que
los estudiantes quisieran conseguir conocimientos, no pregonárselos. La
afirmación comúnmente aceptada de que las matemáticas enseñan a la gente a
pensar no ha sido comprobada. La enseñanza de las matemáticas, viejas y nuevas,
no está preparada para enseñar a la gente a pensar, sino a seguir a un guía, el
profesor. En el plan tradicional se enseña a los estudiantes a seguir los
procesos y repetir las demostraciones. Hoy, con las nuevas matemáticas, los estudiantes
aprenden de memoria las definiciones y las demostraciones. De hecho, se ven
obligados a estudiar de memoria porque el nivel de los temas está fuera de su
alcance.
El
principio genético es de enorme ayuda como guía para desarrollar las
matemáticas constructivamente. Este principio dice que el orden histórico es
habitualmente el orden de exposición adecuado y que las dificultades que los
mismos matemáticos han experimentado son exactamente las que encontrarán los
estudiantes. Los números irracionales, negativos y complejos se les
atragantaron a los mejores matemáticos. Podemos estar seguros, entonces, de que
los estudiantes van a tener problemas con estos números. Luego debemos prever
estas dificultades y ayudarles a superarlas, y podemos seguir en gran medida el
mismo camino que siguieron los matemáticos hasta llegar a aceptar estos números
y a trabajar con ellos. La extensión de la ley distributiva a los números negativos
no será de ninguna ayuda para que los estudiantes se sientan a gusto con ellos.
La
enseñanza constructiva, como ya hemos señalado, no es nada fácil. Pero no hay
caminos fáciles. Para disfrutar de la vista desde lo alto de una montaña es
preciso escalarla. En matemáticas no hay teleféricos. Los cables se rompen en
la mente de los jóvenes. El verdadero arte de enseñar reside sólo en la
utilización hábil de los procesos de descubrimiento. Con este enfoque
estimulamos y desarrollamos el poder creativo del estudiante y le damos el
placer del descubrimiento.
Habiendo
conseguido que los estudiantes descubran un resultado, por cualquier medio,
surge la cuestión de la de mostración. No hay duda de que la demostración
deductiva es la piedra de toque de las matemáticas. Ningún resultado es
aceptado en el cuerpo de las matemáticas hasta que ha sido demostrado
deductivamente a partir de un conjunto explícito de axiomas. Sin embargo, la
demostración como criterio de aceptación de un resultado por los matemáticos y
la demostración desde el punto de vista de la pedagogía son cosas diferentes.
Ya hemos tenido ocasión (capítulos 4 y 5) de señalar el gran error que supone
insistir en las demostraciones lógicas o deductivas como interpretación
pedagógica de las matemáticas. ¿Qué alternativa existe?
Contrariamente
a lo que se ha hecho durante generaciones en algunas ramas de las matemáticas,
como la geometría euclídea, en que la enseñanza de la demostración deductiva ha
sido el objetivo principal, y contrariamente al enfoque del plan de matemática
moderna, el planteamiento básico de cualquier nueva materia a cualquier nivel
debe ser intuitiva. Esta recomendación puede parecer una traición a las
matemáticas, pero es una muestra de lealtad a la pedagogía.
Es verdad
que la naturaleza de la intuición es algo vago. Se refiere a cierta captación
directa de una idea, tanto si se trata de un concepto como de una demostración.
Podía haber una especial facultad intuitiva distinta de la facultad lógica que
critica y razona. Independientemente de que haya o no una facultad intuitiva,
hay ayudas específicas y explícitas a la intuición que le permiten funcionar.
En primer lugar, las matemáticas se comprenden a través de los sentidos, pues,
como ya dijo Aristóteles, no hay nada en el intelecto que no haya estado
primero en los sentidos —aunque Leibniz añadiese, excepto el intelecto mismo—.
Por consiguiente, un recurso muy útil será el dibujo. Por ejemplo, podemos
mostrar varios triángulos para inculcar la idea en vez de la
definición: la unión de tres puntos no alineados y los segmentos que los unen.
La mayor parte de los estudiantes incluso después de haber aprendido cómo
multiplicar a + b por a + b,
sea mecánica o lógicamente, dirán que (a + b)2 = a2 + b2.
Un dibujo puede ayudar. En el dibujo (fig. 11.1) resulta evidente que el área
de un cuadrado cuyo lado vale a + b es
a2 + 2ab + b2.
Figura 11.1
Incluimos
en la interpretación intuitiva lo que a menudo se llaman argumentos
heurísticos. Gracias a la experiencia con objetos reales un niño puede aprender
que 3 + 4 = 4 + 3. La generalización de que a + b = b + a es
heurística.
El
razonamiento por analogía, aunque no sea deductivo sino heurístico, puede
emplearse con gran utilidad. Los estudiantes tienen grandes problemas al
trabajar con números irracionales expresados mediante radicales. Veamos si √2 +
√3 = √5. Podemos establecer una analogía con √4 + √9. Está claro que esta suma
no es igual a 13. Por tanto, estaremos de acuerdo en que √2 + √3 no es igual a
√5. Por otro lado, consideremos √2 × √3. ¿Es igual a √6? La respuesta puede
obtenerse tomando √4 × √9. Esto es igual a √36. Por tanto, obtendremos que √2 ×
√3 = √6. De hecho, los hindúes y los árabes, que fueron los primeros en
trabajar con radicales, razonaban completamente por analogía; y los europeos
que aprendieron estas operaciones de los árabes hicieron lo mismo. Las bases
lógicas de los números irracionales no fueron formuladas hasta el final del
siglo XIX.
Se puede
facilitar la intuición mediante argumentos físicos. Entre las operaciones con
números negativos, la multiplicación de números positivos y negativos es causa
de continuos problemas. Una explicación muy conocida mediante pérdidas y
ganancias puede convencer a los estudiantes. Aceptemos que en cuestiones de
dinero una ganancia se representa con un número positivo y una pérdida con un
número negativo. También representaremos el tiempo futuro con un número
positivo y el tiempo pasado con un número negativo. Ahora podemos usar los
números negativos para calcular el aumento o disminución de la riqueza de un
hombre. Así, si gana cinco dólares al día, tres días después será quince
dólares más rico. En símbolos, (+5) × (+3) = 15. Si pierde cinco dólares al día,
entonces tres días más tarde será quince dólares más pobre. En símbolos, (−5) ×
(+3) = −15. Si gana cinco dólares, entonces tres días antes era quince dólares
más pobre. En símbolos, (4 − 5) × (−3) = −15. Finalmente, si pierde cinco
dólares al día, entonces hace tres días era quince dólares más rico. En
símbolos, (−5) × (−5) = 15. Pueden usarse para reforzar estas reglas de
multiplicación otras situaciones tales como las del agua saliendo de un tanque.
Muchos textos usan para enseñar las mismas reglas lo que se llama línea
numérica y efectúan movimientos hacia adelante y atrás sobre ella.
Probablemente todo ello debe usarse. Tales presentaciones concretas pueden
convencer a los estudiantes de que las definiciones para la multiplicación con
números negativos son razonables y útiles.
Otro
ejemplo de utilización de hechos físicos es argumentar que la velocidad a la
máxima altura de una pelota lanzada al aire es cero, porque si fuera positiva
continuaría subiendo, y si fuese negativa estará cayendo. Tal argumento puede
usarse para hacer que los estudiantes igualen la velocidad a cero para calcular
el tiempo que tarda la pelota en alcanzar la máxima altura.
Todos los
recursos citados, los dibujos, los argumentos heurísticos, la inducción, el
razonamiento por analogía y los argumentos físicos son recursos intuitivos.
Naturalmente la intuición no es algo estático. Así como nuestra intuición
acerca de lo que cabe esperar del comportamiento humano mejora con la
experiencia, lo mismo sucede con la intuición matemática. Nos puede sugerir,
como se lo sugirió a Leibniz, que la derivada del producto de dos funciones es
el producto de sus derivadas. Esta conclusión deberá comprobarse (otra medida
heurística), y naturalmente se encontrara que es falsa. Un análisis más
profundo mostrara que lo que se verifica para límites de funciones no se
verifica para derivadas, y la intuición se afinara con la experiencia.
Naturalmente,
la intuición puede inducir a error, pero cometer errores y aprender a controlar
los propios resultados es parte del proceso de aprendizaje. La verdad, señalaba
Francis Bacon, surge más fácilmente del error que de la confusión. Si el temor
a equivocarse fuese un obstáculo, un niño nunca aprenderá a caminar; y un
estudiante que no cometa errores no hará nada de nada.
El
enfoque intuitivo es también recomendable porque es relativamente fácil dar una
motivación genuina o significativa a un tema matemático cuando se introduce
intuitiva o heurísticamente, pues los problemas físicos son el punto de partida
natural para un enfoque intuitivo. Con el planteamiento lógico, por el
contrario, es mucho más difícil motivar el interés, porque se encuentra alejada
de la realidad y con frecuencia resulta artificial. ¿Cómo es posible justificar
el interés de las fracciones si se las introduce como conjuntos de pares
ordenados y equivalentes de números naturales?
Nuestra
opinión es que la comprensión se consigue intuitivamente y que la exposición
lógica es, en el mejor de los casos, una ayuda subordinada y suplementaria para
la enseñanza, y en el peor, un obstáculo decisivo. Por tanto, en vez de
presentar las matemáticas tan rigurosamente como sea posible, deberían
presentarse tan intuitivamente como fuese posible. Como ha dicho el profesor
Max M. Schiffer, de la Universidad de Stanford: «Nunca se deben poner los
carros lógicos delante de los caballos heurísticos». Herman Weyl definía así el
papel de la lógica: «La lógica es la higiene que los matemáticos practican para
mantener las ideas sanas y fuertes». Y Jacques Hadamard, otro de los más
famosos matemáticos de nuestro tiempo, subrayaba que la lógica tan solo sanciona
las conquistas de la intuición. Por lo que a la comprensión se refiere, el
sustituir la intuición por la lógica equivale, en palabras del filósofo Arthur
Schopenhauer, a amputarse las piernas para caminar con muletas.
Es
significativo que cuando un matemático lee un teorema que contradice lo que
esperaba intuitivamente, su primer impulso no es dudar de su intuición, sino de
la demostración. Confía más en su intuición. Si después de haber comprobado la
demostración cuidadosamente se convence de que es correcta, entonces trata de
saber en qué se ha equivocado su intuición.
El
enfoque intuitivo puede reforzarse enormemente incorporando a las clases de
matemáticas lo que a menudo se llama un laboratorio de matemáticas. Este
consiste en aparatos de varias clases que pueden usarse para mostrar hechos
físicos de los que se pueden inferir resultados matemáticos. Se han diseñado
algunos sencillos mecanismos de laboratorio, de los que se hace un uso
limitado. Uno de ellos son las barras (de Cuisenaire), que no son más que tacos
de varias longitudes con los que se pueden hacer operaciones aritméticas con
enteros positivos y negativos. Un segundo mecanismo, llamado geoboard (introducido
por Caleb Gattegno), es un tablero de madera con filas y columnas de clavos.
Tendiendo gomas elásticas entre los clavos se pueden formar varias figuras
geométricas y demostrar relaciones sencillas. Otro mecanismo funciona sujetando
objetos de varios pesos a un resorte y mostrando que la longitud del resorte es
proporcional al peso. Esta demostración sirve para introducir la función
lineal y = kx, en donde k depende
de la extensión del resorte. Otro mecanismo es el péndulo. Se puede alargar o
acortar la longitud del péndulo y medir el periodo del péndulo para las
diversas longitudes. El objetivo es hacer que los estudiantes encuentren la
relación funcional entre la longitud del péndulo l y el
periodo T. La fórmula exacta T = (½π) √l/g (g es
la aceleración de la gravedad) no se obtiene fácilmente de esta manera, pero
los números obtenidos por los estudiantes pueden usarse como base para inferir,
con la ayuda del profesor, cual es la fórmula precisa. Igualmente se puede
pedir a los estudiantes que encuentren la fórmula que da l en
los términos de T; esta es l = 4π2gT2,
que es un poco más fácil de descubrir, aunque de nuevo el profesor tendrá que
ayudar a obtener la fórmula precisa. En cada caso los estudiantes verán la
utilidad de las diferentes clases de relaciones funcionales. Con demasiada
frecuencia se les explican a los estudiantes distintas funciones sin poner de
relieve que para fenómenos físicos diferentes se requieren funciones
diferentes.
Un
instrumento excelente para avivar y enriquecer la enseñanza de la trigonometría
es el osciloscopio. No es más que una televisión simplificada. Si hacemos
vibrar cerca de un micrófono diapasones de diferentes frecuencias con distintas
intensidades, el osciloscopio presenta en la pantalla la forma de funciones
sinusoidales de varias frecuencias y amplitudes. Esto corresponde a sonidos
simples. Haciendo a los estudiantes vocalizar varios sonidos o interpretar no
tas en varios instrumentos musicales, el osciloscopio muestra las gráficas de
estos sonidos. Se ve fácilmente que estas gráficas son combinaciones de
gráficas sinusoidales y así los estudiantes advierten que los sonidos vocales y
musicales no son más que combinaciones de sonidos simples como los emitidos por
los diapasones. Muchos fenómenos más pueden recogerse en la pantalla del
osciloscopio. El punto principal, sin embargo, es dar vida a las funciones
trigonométricas. Los estudiantes llegan a apreciar que estas funciones secas,
frías, «artificiales», están presentes por doquier. Se «habla» trigonometría
cada vez que se pronuncia una palabra. Además, se les puede mostrar fácilmente
cómo los conocimientos sobre el sonido pueden usarse en el diseño de un
teléfono, un fonógrafo, una radio y otros instrumentos que graban o reproducen
sonidos.
El
material de laboratorio puede ser utilizado por los profesores para hacer
demostraciones o por los mismos estudiantes para trabajar juntos en pequeños
grupos. Aunque la idea del laboratorio de matemáticas no es nueva, no ha sido
usada en amplia escala, ni se ha prestado bastante atención a la invención de
mecanismos útiles e ingeniosos. Este interesante apoyo pedagógico ha sido
descuidado. La financiación de la colaboración entre profesores de matemáticas
e ingenieros para inventar material de laboratorio, un proyecto que nunca ha
sido llevado a cabo, sería una forma mucho más acertada de gastar dinero que
los diez millones de dólares dedicados al desarrollo del plan de matemáticas
modernas.
¿La
dependencia de la intuición, está o no respaldada por demostraciones físicas,
significa que las demostraciones rigurosas y el rigor no juegan ningún papel en
la enseñanza de las matemáticas elementales? De ninguna manera. Después de que
los estudiantes conocen a fondo un resultado y comprenden que un argumento es
admisible, el profesor puede plantear una demostración deductiva. Sin embargo,
la misma idea de demostración deductiva es algo que es preciso aprender, y sólo
puede introducirse gradualmente. En ningún caso se deberá «empezar» con
demostraciones deductivas, ni siquiera después de que los estudiantes hayan
llegado a saber lo que significan. La demostración es el paso final. Además, el
nivel de rigor debe adecuarse al nivel de desarrollo del estudiante. La
demostración sólo debe convencer al estudiante. Debe permitírsele aceptar y
usar algunos hechos que son tan obvios para el que no advertirá que los está
usando. La capacidad para apreciar el rigor está en función de la edad
matemática del estudiante, no de la edad de las matemáticas. Esta apreciación
se adquiere gradualmente y los estudiantes deberían tener la misma libertad que
tuvieron los grandes matemáticos para tomar atajos intuitivos. Sólo deberían
introducirse las demostraciones de cualquier tipo cuando los estudiantes
pensasen que eran necesarias. Las demostraciones tienen sentido cuando
responden a las dudas de los estudiantes, cuando se demuestra algo que no es
evidente. La intuición puede hacer volar aj estudiante hasta una conclusión, pero
cuando persistan dudas se le debe pedir que aplique la lógica para seguir el
camino por tierra hacia el mismo objetivo.
Naturalmente,
el nivel de rigor puedo elevarse según progresa el estudiante. Poincaré decía
sobre esto: «Por otro lado, cuando está más adelantado, cuando se haya
familiarizado más con el razonamiento matemático y su mente está más madura por
la misma experiencia, las dudas brotaran por sí mismas y entonces tu
demostración será bien recibida. Nacerán nuevas dudas y se le plantearán al
niño sucesivamente las mismas preguntas que se les plantearon a nuestros
antecesores, hasta que sólo el rigor absoluto pueda satisfacerle. No es
suficiente con dudar de todo, es necesario saber por qué se duda.» El rigor no
refinara una intuición a la que no se ha permitido funcionar libremente. Los
estudiantes deben experimentar el paso gradual de lo evidente a lo no tan evidente
y a la necesidad de una demostración más completa. No se les impondrá la
necesidad de rigor, sino que la descubrirán.
Esta
aproximación al rigor es algo más que una concesión pedagógica. La imposición
gradual del rigor es precisamente lo adecuado si se desea explicar cómo se
desarrollan las matemáticas y cómo piensan los matemáticos.
E. H.
Moore, en su artículo «On the Foundations of Mathematics», dice a propósito de
esto: «Se plantea la cuestión de saber si los matemáticos abstractos no están
perdiendo la visión del carácter evolutivo de todos los procesos vitales, en el
individuo o en la raza, al precisar las metas y límites de la lógica y de las
ciencias específicamente deductivas.»
Se ha
exaltado el pensamiento crítico como uno de los resultados fundamentales del
estudio de las matemáticas. Los portavoces de las matemáticas modernas se
enorgullecen de haber promocionado el desarrollo del pensamiento crítico al
hacer hincapié en el rigor. Pero la capacidad de los estudiantes para pensar
críticamente es algo que debe desarrollarse. Si se les pide que asimilen y
reflexionen críticamente sobre resultados a los que los matemáticos han tardado
dos mil años en llegar, los estudiantes se sentirán abrumados, y en vez de
pensar se darán por vencidos. Enfrentar a los estudiantes jóvenes con la
formulación matemática sofisticada de ideas básicas es como pedir a los alumnos
de un kindergarten que critiquen un trabajo de filosofía. No
hay atajos en el desarrollo de la capacidad crítica. Como dijo E. H. Moore: «A
cada edad le basta con su propio rigor». Y por edad entiende la edad del
estudiante.
Afortunadamente,
los jóvenes aceptan como rigurosas demostraciones que en realidad no lo son, y
de ellas aprenden lo que es una demostración. ¿Es un engaño? ¡No! Es pedagogía.
En cualquier caso es un engaño en el que caemos nosotros mismos. Al aumentar nuestra
propia capacidad para comprender demostraciones más rigurosas, podemos ver los
defectos de las demostraciones menos elaboradas que nos han enseñado y llegar a
dominar demostraciones más sólidas. Así es también como los grandes matemáticos
mejoraron gradualmente el rigor de sus resultados. Pero no olvidemos que no hay
una demostración rigurosa definitiva. Los simbolismos de la moderna lógica
simbólica, del álgebra de Boole, de la teoría de conjuntos y de los métodos
axiomáticos no han conseguido ni pueden conseguir que las matemáticas sean
perfectamente rigurosas.
Respecto
a las técnicas de presentación, hay principios adicionales que deben
observarse. En lugar de conceptos abstractos deberíamos presentar ejemplos
concretos mientras fuera posible. Así, no importa si un estudiante no puede dar
una definición general de función. Es suficiente que conozca funciones
concretas tales como y = 2x e y = x2 y
que aprenda a trabajar con ellas. Tras tener alguna experiencia con funciones,
el estudiante podrá dar su propia definición. Y tampoco pasa nada si cuando
tenga más experiencias debe modificar la definición. Esta es precisamente la
forma en que procedieron los matemáticos desde 1700 hasta 1900. Igualmente, no
importa si un estudiante sabe o no definir un polígono mientras pueda
reconocerlo y trabajar con él. En este sentido un dibujo equivale a mil
palabras. Sabemos lo que son los perros y los hombres, y afortunadamente los
distinguimos sin haberlos definido. Piaget ha señalado que los jóvenes
necesitan acumular capas de experiencia antes de poder dominar la abstracción.
La comprensión, en todos los campos del conocimiento, sólo se alcanza y
desarrolla con la experiencia. Como dijo Whitehead: «No hay un camino fácil
para aprender siguiendo un sendero etéreo de brillantes generalizaciones… El
problema de la enseñanza es conseguir que el alumno vea el bosque formado por
los árboles.»
En vez de
multiplicar la terminología deberíamos introducir tan pocos términos como fuese
posible. Deberían usarse palabras comunes, preferiblemente aquellas ya
familiares al estudiante, aunque se les dé un significado técnico. La
terminología debería reducirse a un mínimo. Las palabras vienen después de la
comprensión, y pueden ser las palabras del estudiante mejor que el lenguaje
artificial y compacto de las matemáticas modernas.
Al igual
que la terminología, el simbolismo debería reducirse al mínimo. Los símbolos
asustan a los estudiantes. Además, el significado de los símbolos es algo que
es preciso recordar, y por tanto resultan ser una carga con más frecuencia que
una ayuda. La ganancia en brevedad puede no compensar las desventajas.
Conviene
decir algo acerca del contenido. Las dos con sideraciones previamente
discutidas, la necesidad de ofrecer una educación liberal y la necesidad de
motivar a los chicos deberían tener prioridad en el momento de determinar el
contenido de la enseñanza primaria y secundaria. Sería desde luego deseable,
dada la naturaleza secuencial de las matemáticas, incluir aquellos temas que
normalmente se enseñan a varios niveles, de forma que los estudiantes que sigan
la materia a nivel de college, no sufran un retraso por la
omisión de temas necesarios. Afortunadamente, es posible enseñar la mayor parte
de los temas del plan tradicional justificando adecuadamente su interés y
explicando su significado. Aunque afortunado, este hecho no es fortuito. Los
temas tradicionales, con la excepción de unos pocos, y de una posible
reordenación del álgebra, son los que han probado ser útiles, y por esto han
sido enseñados con preferencia a otros muchos. Sin embargo, no se debería
vacilar en prescindir de algunos si fuera posible poner a punto un programa más
rico y más vivo. Por ejemplo, la estadística y el uso de los computadores son
temas fundamentales y que despiertan interés. Algunos temas que sea preciso
omitir y que sean necesarios para avanzar en las matemáticas pueden incluirse
en cursos dirigidos a los estudiantes que vayan a dedicarse definitivamente a
ellas.
Además de
estas consideraciones, tenemos la cuestión de la prioridad en importancia de
las matemáticas y la ciencia. No hay nada intrínsecamente malo en la teoría de
conjuntos, y de hecho es algo esencial a nivel universitario. Pero no se le
debe dedicar tiempo a niveles inferiores. Son más importantes la aritmética, el
álgebra y la geometría, y la teoría de conjuntos no contribuye al aprendizaje
de estos temas. Lo mismo se puede decir del álgebra de Boole, las congruencias,
la lógica simbólica, las matrices y el álgebra abstracta.
Muchos
defensores de las matemáticas modernas han reducido drásticamente la geometría
euclídea. Así, los textos modernos usuales sustituyen en gran parte la
geometría sintética por la geometría analítica. Algunos extremistas del
modernismo querrían suprimir la geometría sintética. «Abajo Euclides» y «fuera
Euclides» parecen ser las consignas de las nuevas matemáticas. Tal paso sería
trágico. La geometría sintética es una parte esencial de las matemáticas cuya
base es la geometría euclídea, pero además la geometría proporciona la
interpretación gráfica de la mayor parte del trabajo analítico. Los matemáticos
piensan habitualmente en términos de imágenes, y la geometría no sólo
proporciona imágenes, sino que sugiere nuevos teoremas analíticos. Es increíble
que matemáticos expertos pretendan abolir la geometría sintética.
Es muy
conocida la historia del matemático que dando su clase se detiene de pronto a
la mitad de una demostración. Se dirige hacia la pizarra, dibuja algunas
figuras, las borra y luego puede continuar su clase. Esta anécdota resulta
seriamente perturbadora en lo referente a la pedagogía, pero es un argumento a
favor del empleo de figuras.
Por lo
que se refiere al contenido de las matemáticas, los cambios deseables no exigen
sino pequeñas modificaciones en el plan tradicional, y todo lo que se diga
acerca de que la sociedad moderna requiere una clase totalmente nueva de
matemáticas es un completo sinsentido.
No basta
con esbozar el enfoque y el contenido de los cursos de matemáticas. La obsesión
por el plan de estudios ha sido en gran parte una huida de la realidad. El
problema más grave es la educación de los profesores. Puesto que el plan deberá
proporcionar una educación liberal y ante todo motivar el interés por los temas
que enseñamos, tendremos que buscar, respetar y pagar a una nueva clase de
profesores, de matemáticos, que puedan dar la preparación adecuada a los
profesores. El plan tradicional fue moldeado por matemáticos relativamente poco
informados y sin conocimientos pedagógicos. El plan de matemáticas modernas fue
elaborado conjuntamente por esta misma gente y por investigadores estrechamente
especializados en matemáticas puras igualmente carentes de conocimientos
pedagógicos. La gente que necesitamos tendrá que poseer amplitud de juicio no
sólo en matemáticas, sino también en las diversas áreas en las que las
matemáticas han influenciado nuestra cultura. Tendrán también que ser
educadores. Esto significa que tendrán que saber qué demostraciones y qué
abstracciones pueden manejar los jóvenes, y qué interesa a los chicos de diez
años y a los de catorce. Además, la amplitud y apertura de juicio deseable en
el profesor ideal requerirían que él viese también las matemáticas desde un
punto de vista no matemático y que pudiese apreciar así las actitudes y
problemas de los jóvenes. Dicho a grandes rasgos, el profesor de matemáticas
ideal no sólo debería saber lo que enseña, sino también a quiénes se lo enseña.
Necesitamos, en otras palabras, profesores de amplios conocimientos académicos
y educativos, por oposición al investigador especializado y autocentrado.
Lo más
probable es que el tipo de persona que necesitamos tendrá que haberse formado
en los departamentos de matemáticas de las escuelas de graduados[10] y
se encontrará vinculado a las universidades. El programa apropiado para
preparar este tipo de personas no existe por el momento. Ni parece probable,
desgraciadamente, que las escuelas de graduados vayan a encargarse de su
preparación. La inercia y la estrechez de las escuelas de graduados pueden
verse a partir de una cuestión estrechamente vinculada con ésta. Las escuelas
de graduados preparan doctores para la investigación. Sin embargo, hace unos
diez o quince años que se ha reconocido que la mayor parte de los doctores
preparados por las escuelas de graduados, un setenta y cinco u ochenta por
ciento, no investigan después de haber obtenido el doctorado. Esta gente se
coloca en colleges o en pequeñas universidades en que la
enseñanza es la actividad y el objetivo principales. Hace diez años, un comité
conjunto de la American Mathematical Society y de la Mathematical Association
of America recomendó que las escuelas de graduados ofreciesen un programa
alternativo dirigido a la preparación de profesores de college, en
vez de a la preparación de investigadores, buscando más la amplitud que la
profundidad. A estos hipotéticos profesores podría serles concedido el habitual
grado de doctor o un nuevo grado llamado doctorado en artes. Pese a que esta
recomendación parecía ser realista y prudente, ninguna de las más importantes
escuelas de graduados del país la siguió. Hacia 1970, diez de las universidades
menos prestigiosas comenzaron a experimentar este programa bajo subvención de
la Carnegie Corporation. Conociendo a la administración de las universidades,
cabe preguntarse si su principal incentivo para realizar el experimento fue lo
acertado del programa o el acuerdo financiero.
Los
profesores de universidad no están interesados en la formación de profesores
de college. Consideran que este trabajo es degradante y rebaja la
categoría de sus departamentos. La formación de matemáticos con la amplitud de
miras y la capacidad necesarias para tratar los problemas pedagógicos de la
enseñanza primaria y secundaria exigiría un abandono aún más radical de los
programas orientados hacia la investigación, y los actuales profesores de
universidad no dirigirán una preparación de esta índole y de hecho no están
preparados para dirigirla.
Algunas
universidades han tratado de enfrentarse al problema de formar mejores
profesores de centros escolares contratando profesores universitarios de
matemáticas para formar profesores escolares. Esta idea, fundamentalmente
válida, no ha funcionado, y es interesante ver cuáles han sido las razones. Los
matemáticos han visto siempre la formación de profesores de matemáticas como
una actividad inferior (lo que estaba justificado en el pasado por la baja
calidad de las escuelas de formación). Por tanto, los matemáticos que se
sienten bien instalados en los departamentos de matemáticas no aceptarán
trabajar en la formación de profesores escolares de matemáticas.
Desgraciadamente, las universidades que trataron de contratar matemáticos
universitarios para formar profesores escolares de matemáticas buscaron
matemáticos con prestigio, y tales hombres se mostraron todos poco dispuestos a
aceptar lo que sus colegas considerarían una posición inferior. A menudo se
presentó el caso de que quienes se sentían atraídos por la formación de
profesores de matemáticas eran quienes o bien no habían tenido mucho éxito en
su papel como matemáticos o quienes se sentían atraídos por factores tales como
el dinero o el mayor prestigio de la universidad a la que irían. Pero estos hombres
no tenían por qué ser buenos educadores y de hecho no lo son. Los más adecuados
para formar profesores escolares de matemáticas serían claramente los
matemáticos de amplia formación con un genuino interés por la educación, pero
este tipo de personas no destaca en el mundo matemático, y sería más difícil de
localizar. Además, sus nombres no darían prestigio a la universidad que los
contratara, porque el prestigio de las matemáticas se construye sobre la
investigación, y teniendo en cuenta la intensa especialización actual, esto
casi siempre significa estrechez de miras. Por consiguiente, en la atmósfera de
la universidad actual, todo esfuerzo para obtener matemáticos que se dediquen a
la formación de profesorado conduce al cruce de un caballo y un asno (no
importa quién es quién) y produce una progenie estéril o sólo consigue atraer a
quienes no son ni lo uno ni lo otro y fracasan por ello.
La
primera de las funciones de los matemáticos universitarios debería ser mejorar
la formación de los profesores de matemáticas para la enseñanza primaria y
secundaria. Actualmente el conocimiento de matemáticas que estos profesores
poseen es a menudo inadecuado; tampoco se les pide que sepan nada sobre el uso
y la importancia cultural de las matemáticas. En particular carecen de
conocimientos científicos. Claramente tales profesores no están preparados para
explicar la matemática como una parte de las humanidades, para justificar el
interés de las matemáticas mediante problemas no matemáticos o para aplicar las
matemáticas. La mayor parte de los profesores están convencidos de que las
matemáticas son importantes y se lo dicen a sus estudiantes. Sin embargo, no
pueden mostrar su importancia y así sus intentos para convencer a los
estudiantes carecen de convicción. Los estudiantes pueden ver a través de las
certidumbres vanas.
Hay
también otras fuerzas que actúan contra la posibilidad de formar adecuadamente
al profesorado. Un comité de la Mathematical Association of America, Committee
on the Undergraduate Program in Mathematics (CUPM), ha preparado un programa
para la formación de profesores de matemáticas para la enseñanza secundaria.
Los cursos de college recomendados para esta formación son los
de geometría analítica y cálculo, álgebra abstracta, álgebra lineal, geometría,
probabilidad y estadística, lógica y conjuntos. En absoluto se sugiere, ni
mucho menos se exige, que estos futuros profesores deban estudiar ciencias.
En la
actualidad los profesores escolares están en un dilema. Muchos viven en
pequeñas comunidades que no están cercanas a las grandes universidades Los que
podrían matricularse en los cursos de matemáticas en la universidad no están
mucho mejor. Si entran en el ciclo de graduados de la universidad tienen que
seguir un programa de master o doctor en matemáticas. Los
cursos de estos programas están dirigidos a formar investigadores matemáticos,
y por tanto no ofrecen la amplitud que los profesores escolares necesitan.
Además, los cursos son demasiado difíciles. La alternativa para los profe sores
es ir a una School of Education[11].
Aquí pueden aprender sobre la educación, pero no aprenden matemáticas. Así, los
profesores no están en la mejor posición para juzgar qué es importante en
matemáticas y desarrollar su competencia para enseñar y escribir textos
escolares.
La
formación de buenos profesores es mucho más importante que el plan de estudios.
Tales profesores pueden hacer maravillas con cualquier plan. Recordemos cuántos
buenos matemáticos se han formado con el plan tradicional, que es decididamente
insatisfactorio. Un mal profesor y un buen plan darán una mala enseñanza,
mientras que un buen profesor superará las deficiencias de cualquier plan.
¿Quién va
a preparar el plan «correcto» para el futuro? Las personas adecuadas para
hacerlo son los matemáticos de amplia formación y los profesores de escuelas
primarias y secundarias maduros, experimentados y con una preparación
suficiente. Se puede consultar a investigadores, psicólogos y educadores
ordinarios, pero no deben ser ciertamente ellos quienes lleven el peso del
trabajo. Por lo demás, los profesores escolares deberían ser los árbitros para
establecer qué se debe enseñar y cómo debe enseñarse. Ellos son los únicos que
han trabajado con jóvenes y que conocen la forma de interesarles y qué grado de
abstracción pueden asimilar.
¿Qué
criterio de éxito debería utilizarse? No se debería buscar que los estudiantes
avanzaran lo más posible en matemáticas —muchos centros de enseñanza secundaria
se enorgullecen actualmente de que sus alumnos estudian cálculo—, ni que
aprendieran nociones sofisticadas. Cuando el cincuenta por ciento de los
graduados en enseñanza secundaria puedan decir honestamente que les gustan las
matemáticas y que comprenden su significado, entonces habremos alcanzado un
gran éxito en la enseñanza de las matemáticas.
A la
vista de la vergonzosa historia de la enseñanza de las matemáticas, tanto en el
pasado como en la actualidad, ¿cómo es posible que las matemáticas hayan
sobrevivido en este país, y que tengamos unas matemáticas florecientes e
incluso sólidas en términos generales? Pienso que lo que hemos conseguido se lo
debemos a unos pocos profesores inteligentes, maduros y dedicados, que por su
cuidado en la elección de lo que se debe resaltar y por su encanto y magnetismo
personales han atraído a las matemáticas a algunos estudiantes. Son estos
espíritus nobles quienes nos han salvado del desastre.
Notas:
[1] En
Estados Unidos los primeros años de enseñanza a nivel universitario se cursan
en un college. (N. del T.).
[2] El
lector que esté familiarizado con el planteamiento deductivo puede prescindir
de los próximos ejemplos.
[3] Vieta
no admitía en realidad valores negativos para a, b y x.
[4] Véase
la definición de matriz en el capítulo 8.
[5] Lógicamente
esta definición de variable parece presentar problemas. Si una constante se
define como una variable con un solo valor, ¿qué son los elementos del conjunto
de reemplazamiento?, ¿no son constantes? Si lo son, el concepto de constante
está incluido en la definición de variable.
[6] De
este modo podemos crear de la nada y llegar a la riqueza desde la miseria más
absoluta.
[7] Se
trata de un juego con la palabra concrete, que puede
significar «lo concreto» y «el hormigón». (N. del T.).
[8] First
Summer Study group in Theoretical and Applied Mechanics Curricula, Boulder,
Colorado, junio 1961.
[9] Profesor
en una school of education, o escuela de formación de profesorado.
(N. del T.).
[10] Las
escuelas para graduados cubren en Estados Unidos las enseñanzas
correspondientes a nuestros cursos de doctorado. (N. del T.).
[11] Escuelas
de formación de profesorado. (N. del T.).
Publicar un comentario