© Libro N° 6250.
Caos Fractales Y Cosas Raras. Braun, Eliezer. Emancipación. Julio 20 de 2019.
Título
original: © Caos Fractales Y Cosas Raras. Eliezer Braun
Versión Original: © Caos Fractales Y Cosas Raras. Eliezer Braun
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© Edición, reedición y Colección Biblioteca Emancipación: Guillermo Molina
Miranda
LEAMOS SIN RESERVAS,
ANALICEMOS SIN PEREZA Y SOMETAMOS A CRÍTICA TODA LA CULTURA
CAOS FRACTALES Y COSAS RARAS
Eliezer Braun
CONTENIDO
Introducción
La
geometría euclidiana. Lo que nos enseñaron en la escuela
Ejemplos
de algunas cosas raras
A
veces se está mirando algo pero no se ve…algunos casos históricos
Los
fractales. Nuevas dimensionalidades
Más
sobre fractales.
Condiciones
iniciales y su importancia
Caos.
Fenómenos no lineales
Más
sobre el caos
¿Determinismo
o indeterminismo?…predictibilidad
Similitud
y caos
Aritmética.
La secuencia de Fibonacci
Cuasicristales
Leyes
de potencias. Otra fuente de similitud
La
similitud en la música. Cómo usó Bach las…leyes de potencias de las que jamás
oyó hablar
La
turbulencia de los fluidos
Acerca
de los ciclos biológicos. El caso del…corazón. El caos saludable
Estructuras
biológicas y raras. La sabia…evolución y los fractales
El
diseño de estructura en la ingeniería
Seguridad
y catástrofe
El
caos ordena la lingüística. La ley de Zipf
Economía
¿es posible ganar en la bolsa…de valores?
La
composición de mapas. Relieves y…líneas costeras
¿Durará
el sistema solar?
Los
asteroides
Los
tropiezos de Hiperión
¿Y
qué ocurre con los planetas?
Comentarios
finales
§1.
Introducción
Hace
alrededor de 20 años se ha estado produciendo una revolución en el mundo de las
ideas científicas que no ha sido conocida por el público en general. Han
surgido ideas nuevas muy útiles para describir y entender la multitud de
fenómenos que se da en diversas ramas del conocimiento. Nos referimos a los
fractales y al caos. Como verá el lector, las aplicaciones se han dado en los
campos de la física, las matemáticas, la biología, la medicina, la economía, la
lingüística, por mencionar sólo algunos. Se podrá apreciar la gran amplitud de
temas que es posible tratar con estos novedosos conceptos.
En todos los campos del conocimiento que hemos mencionado se han dado
situaciones que al ser tratadas con los procedimientos en uso no han podido ser
explicadas satisfactoriamente. Sólo con el advenimiento de las ideas nuevas es
que ha sido posible progresar en el conocimiento de fenómenos antes no
comprendidos.
En vista de lo antes dicho, consideraremos una gran variedad de fenómenos y
situaciones. El propósito del presente libro es dar una explicación somera,
accesible al público no especialista, de los antecedentes de nuestro sujeto de
estudio. Será necesario utilizar algunas operaciones matemáticas que no van más
allá de la aritmética; sin embargo, el lector no debe espantarse ya que se le
llevará de la mano en forma gradual.
El tratamiento formal de los fractales y del caos se ha convertido en una rama
muy compleja de las matemáticas. Por supuesto que no entraremos en estos
espinosos temas. Así, en el caso del caos no trataremos de hablar en términos
del espacio fase. En este libro los conceptos detrás de estos formalismos
matemáticos los trataremos de manera accesible.
En el capítulo 2 se repasan algunos conceptos elementales de la geometría que
no son conocidos.
En los capítulos 3 y 4 presentamos algunos hechos raros que, a pesar de que
mucha gente los había conocido, no fueron tratados adecuadamente. La posición
que asumieron muchos científicos fue no hacer caso a los hechos que no se
ajustaban con la forma de pensar preponderante en su época. Una vez que en 1975
Benoit Mandelbrot los consideró a fondo, se inició la era de los fractales.
Estos casos ilustran una situación que ha ocurrido en la historia de la ciencia
muchas veces: se tiene la evidencia de algún fenómeno, pero ésta no se ve y se
soslaya su tratamiento.
En los capítulos 5 y 6 se presenta el concepto de fractal y de similitud. La
idea de fractal nos puede parecer muy extraña, máxime si empezamos a ver
algunas de sus características: hay líneas con longitud y cosas semejantes. Sin
embargo, esta extrañeza se debe a que nos hemos limitado mentalmente a
considerar situaciones que son realmente ideales, como las figuras geométricas.
En la naturaleza estas figuras son la excepción, mientras que la mayoría de las
figuras que hay a nuestro alrededor son fractales. Aunque parezca increíble,
¡este hecho tan contundente no había sido considerado en serio durante muchos
siglos por la humanidad!
En el capítulo 7 se presenta el concepto de las condiciones iniciales, crucial
en la descripción de fenómenos físicos. Este concepto lo descubrió Isaac Newton
al resolver las ecuaciones que describen las leyes que llevan su nombre. Él ya
se había percatado de algunos puntos finos que mencionaremos en este capítulo.
En los capítulos 8 y 9 presentamos en forma muy elemental, y utilizando
principalmente operaciones aritméticas tales como sumas, restas y
multiplicaciones, el concepto de caos. Aquí descubriremos hechos cruciales,
como las bifurcaciones que, con el tiempo, llevan al caos. Nos daremos cuenta
de que el comportamiento de un fenómeno dado puede ser estable o caótico,
dependiendo de los valores de los parámetros que lo describen.
Una creencia muy importante en la ciencia es que una teoría que describe los
fenómenos de la naturaleza debe poder hacer predicciones acerca del desarrollo
futuro del sistema que se esté tratando. En el capítulo 10 se profundiza lo que
significa la predictibilidad. A esto quedan asociados los conceptos de
determinismo e indeterminismo. Estos conceptos se puntualizan en ese capítulo y
la relación entre el caos y los fractales se ilustra en el capítulo 11.
Los antecedentes que se han presentado hasta este momento nos servirán para
aplicarlos en el resto del libro a una serie de situaciones de gran diversidad
y así, en el capítulo 12 presentamos un ejemplo de aritmética, la secuencia de
Fibonacci, que se podría creer que es sólo un tema divertido. Sin embargo, como
se ilustra en el capítulo 13I, su aplicación a la ciencia de los materiales,
para entender un descubrimiento hecho en 1984, es crucial; nos referimos a un
nuevo tipo de arreglo de la materia que se llama cuasicristal.
En el capítulo 14 se introduce el concepto matemático de la ley de potencias, y
hacemos ver que tiene propiedades fractales. Las aplicaciones de las leyes de
potencias se producen en varios campos, aun en la música, hecho que se explica
en el capítulo 15 al estudiar la estructura de famosas obras de grandes
compositores.
Las características de los fenómenos caóticos que se trataron en el capítulo 8
se aplican a varias situaciones. La primera de ellas es la turbulencia, tratada
en el capítulo 15. Desde mediados del siglo pasado se había intentado sin éxito
comprender este fenómeno. Sólo a partir de la década de 1990, con ayuda de los
novedosos conceptos del caos, se ha podido empezar a vislumbrar la manera en
que se puede entender este fenómeno, cuya comprensión es determinante en muchas
aplicaciones prácticas como, por ejemplo, la aviación.
Otro empleo de las ideas del caos se hace en la biología y en particular en la
medicina, como se puede apreciar en el capítulo 17. Fenómenos cardiológicos se
han empezado a ver desde otras perspectivas que han podido dar un entendimiento
más profundo del comportamiento dinámico del corazón y que posiblemente puedan
tener aplicaciones prácticas en el tratamiento de varias enfermedades.
En la naturaleza biológica se han encontrado muchas estructuras fractales. A
pesar de que estas estructuras, como por ejemplo la de los bronquios, las ha
conocido el hombre desde tiempos inmemoriales, su comprensión como fractal es
muy reciente. Este tema lo tratamos en el capítulo 18.
La aplicación de los fractales y el caos al campo de la ingeniería se presenta
en los capítulos 19 y 20. Un problema importante en la ingeniería civil es la
determinación de estructuras que por un lado sean ligeras y que por el otro
puedan soportar cargas pesadas. Por medio de estructuras fractales es posible
alcanzar tales requerimientos que, en apariencia, son contradictorios. Por otro
lado, el análisis del comportamiento de sistemas complejos, como los de una red
eléctrica, por ejemplo, ha empezado a llevarse a cabo en los últimos años,
desde la perspectiva amplia tratada en el capítulo 8. De este modo se ha podido
entender que una pequeña variación en los valores de los parámetros que rigen
al sistema puede cambiar dramáticamente su comportamiento. Éste puede pasar de
un comportamiento estable a uno caótico.
En el capítulo 21 se presenta una aplicación de los temas tratados al campo de
la lingüística, mientras que en el 22 se reseñan algunos elementos de la
economía. Aquí hablaremos del interesante caso de la compañía que se ha formado
en los Estados Unidos, The Prediction Company, que se dedica a predecir el
comportamiento de la Bolsa de Valores. El éxito financiero de esta empresa,
formada por científicos que han desarrollado el tema del caos, es algo
sorprendente.
En el capítulo 23 presentamos una manera novedosa de dibujar mapas geográficos,
basada en las operaciones para construir fractales.
El resto del libro se dedica a estudiar la estabilidad del Sistema Solar
(capítulo 24.) y de algunos de sus elementos, como los asteroides (capítulo
25); de Hiperión, que es un satélite de Saturno (capítulo 26) y finalmente de
los planetas (capítulo 27). Se ha descubierto en años recientes que, desde un
punto de vista que comprende intervalos de millones de años, dentro del Sistema
Solar sí hay comportamientos caóticos. ¿Qué le ocurrirá? Ésta es una cuestión
todavía no resuelta.
Como podrá apreciar el lector, la gama de temas es en realidad muy vasta. Uno
de los puntos interesantes es que todos estos temas, y muchos otros que por
falta de espacio no hemos tratado, se rigen por el mismo tipo de leyes. Éste es
un gran descubrimiento, hecho en época muy reciente, que en el momento actual
sigue siendo un capítulo abierto a trabajos de investigación muy activa,
realizados por muchísimos científicos en todo el mundo, incluyendo mexicanos.
La última palabra sobre estos temas no ha sido dicha todavía; de hecho aún
falta mucho terreno por recorrer.
Iniciemos, pues, nuestro viaje por el camino de los fractales y del caos.
§2. La geometría euclidiana. Lo que nos enseñaron en la escuela
El
matemático griego Euclides, que vivió alrededor del año 300 a. C., escribió
los Elementos, una de las obras más conocidas de la literatura
mundial. En ella se presenta de manera formal el estudio de las propiedades de
líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las
formas regulares. Los teoremas que nos enseña Euclides son los que generalmente
aprendemos en la escuela. Por citar algunos de los más conocidos:
a. La
suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180°;
b. En
un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.
La
geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento
deductivo ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento, por
ejemplo en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde
luego es muy útil en las matemáticas.
Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se
formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro
del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en
líneas perfectas, o sea círculos y combinaciones de círculos.
Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de
la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es
un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que
una superficie no tiene ancho, etcétera.
En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le
asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo
que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene ancho, por lo
que tiene dimensión dos. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene
dimensión tres. De hecho, en la geometría euclidiana las únicas dimensiones
posibles son las que corresponden a los números enteros: 0, 1, 2 y 3.
En el transcurso del desarrollo de este libro nos estaremos refiriendo a
diversas características de las figuras acerca de las que trata la geometría de
Euclides.
§3. Ejemplos de algunas cosas raras
Una
situación que nos parece común es medir alguna longitud; como la de una costa,
entre dos puntos A y B (figura 1).
Figura 1. ¿Cuál es la longitud de la costa entre los puntos A y B?
Una
manera de hacerlo sería medir la longitud de una línea recta que une A con B
(figura 2).
Figura 2. La distancia recta entre A y B no es la longitud de la costa.
Sin
embargo, la costa es, en general, irregular, por lo que es claro que su
longitud será mayor que la de la línea recta entre sus dos puntos extremos.
Podríamos ahora tomar como unidad una barra arbitraria de longitud H, por
ejemplo. Para medir la longitud de la costa llevaríamos esta barra a lo largo
de la costa (figura 3) y contaríamos las veces que la barra cabe a lo largo de
la costa desde A hasta B. A este número, denotado por L1, le
llamamos la longitud de la costa.
Nos damos cuenta inmediatamente de que tal número en realidad no es el valor de
la longitud de la costa, ya que por ejemplo, entre los puntos A y C donde cayó
la barra la primera vez, la longitud de ese tramo de costa no es la de la
barra.
Para mejorar nuestra medición tomamos otra barra, de menor longitud, digamos de
la décima parte de la anterior, H/10, y repetimos el procedimiento obteniendo
para la longitud de la costa el número L 2. Nuevamente podemos
afirmar, por el mismo argumento que dimos arriba, que no es exactamente la
longitud de la costa.
Podemos continuar indefinidamente de esta manera, tomando unidades cada vez más
y más pequeñas. Intuitivamente esperaríamos que la sucesión de valores que se
obtengan para las longitudes de la costa, medidas de esta manera, tendería a
alcanzar un valor bien definido que sería la "verdadera" longitud de
la costa. Sin embargo, esto no ocurre. De hecho, lo que sucede es que esta
sucesión de longitudes aumenta cada vez más y más. Es decir, al seguir el
procedimiento indefinidamente, la longitud de la costa que se mide se va
haciendo cada vez más y más grande, esto es, ¡la longitud de la costa entre A y
B tiende a un valor infinito!
Este resultado sorpresivo se puede explicar como sigue: si primero observamos
la costa en un mapa de escala 1/100 000 nos daremos cuenta de que tiene algunas
bahías y penínsulas. Si en seguida volvemos a examinar la misma costa, pero
ahora en un mapa que tenga la escala de 1/10 000, es decir, en una escala más
amplia, aparecerán características que no se veían en el mapa anterior. Así,
ahora se ven nuevas bahías y nuevas penínsulas. Si se sigue examinando la
costa, pero en un mapa que esté a una escala todavía más grande, digamos de 1/1
000, aparecerán nuevas bahías y penínsulas que no se veían en ninguno de los
mapas anteriores. Así podemos continuar indefinidamente.
Figura 3. Con la barra de longitud H se mide cuántas veces ésta cabe entre A
y B.
En
consecuencia, al ir cambiando de escala, como van apareciendo más y más bahías
y penínsulas pequeñas, éstas contribuyen a la longitud que se está midiendo.
Por muy chica que sea la nueva bahía o península, al ir aumentando la escala,
en algún momento aparecerá en el mapa y contribuirá a la longitud de la costa.
Si uno cambiara el método de medición de la longitud, también se llegaría a la
misma conclusión.
Otro ejemplo de este tipo de situación ocurre al tratar de medir la frontera
entre dos países. Se puede dar un argumento análogo al que presentamos arriba
para la bahía y se llega a la misma conclusión: ¡la frontera entre dos países
tiene, en rigor, longitud infinita!
En 1961 el inglés L. F. Richardson presentó una serie de las mediciones
experimentales que hizo de varias costas, fronteras y cuerpos geométricos
regulares. En cada caso fue cambiando el valor de la unidad de medida H; de
esta forma obtuvo el correspondiente valor de la longitud L que denotamos como
L(H), pues depende de la unidad H. En la figura 4 se muestran algunos de sus
resultados. Se puede apreciar que al ir disminuyendo el valor de H la longitud
L va aumentando. Sin embargo, se puede ver que la variación de L en ciertos
intervalos de H no es muy pronunciada.
Podemos ahora preguntarnos lo siguiente: ¿si aplicamos estas ideas a la
medición del perímetro de una figura como un cuadrado o un círculo, no pasará
lo mismo? La línea (d) de la figura 4(d) muestra el valor de L para un círculo;
se ve que L es siempre el mismo (e igual al valor del perímetro del círculo,
tal como se enseña en los cursos de geometría) en todo el intervalo de valores
de H en que se hicieron las mediciones. Lo que ocurre es que en las figuras
geométricas, al ir aumentando la escala de la observación NO aparecen estructuras
del tipo de bahías o de penínsulas, que eran invisibles en la escala anterior,
ya que por definición, la línea que delimita a la figura carece de estas
estructuras. Por ejemplo, el círculo se define como el conjunto de puntos que
dista una longitud constante del centro. Por lo tanto, en el círculo no puede
haber algo análogo a una península, como en el caso de la costa.
Figura 4. La longitud de varias curvas depende de la longitud de medida H.
a) Frontera entre Portugal y España. b) Costa occidental de Gran Bretaña. c)
Frontera terrestre alemana (1900). d) Perímetro de un círculo.
Aquí
vemos con claridad lo que significa la abstracción de la realidad que hizo
Euclides, quien no consideró figuras tales como las de una costa, sino que
supuso que sus líneas no tenían estructuras que eran invisibles en una escala y
visibles en otra. Sin embargo, en la realidad, muchas líneas que se presentan
en la naturaleza sí tienen esta última característica.
En este punto esperamos que el lector se sienta incómodo. ¿Cómo es posible que,
por ejemplo, la frontera entre dos países no esté perfectamente determinada?
Pues, efectivamente, en lo que respecta a su longitud no lo está. Richardson
menciona que cada país da un valor diferente a la longitud de su frontera
común. Por ejemplo, España dice que su frontera con Portugal mide 987 km,
mientras que Portugal afirma que son 1214 km; según Holanda su frontera con
Bélgica mide 380 km, mientras que Bélgica reclama que son 449 km. Lo que sucede
es que, al hacer las mediciones, cada país utilizó, de hecho, otro valor de la
unidad H, y por tanto obtuvo otro valor de la longitud.
La discusión anterior nos lleva a la conclusión inesperada de que la longitud
de cierto tipo de objetos, que más adelante llamaremos fractales, no tiene un
valor bien determinado. Su longitud depende de la unidad H que se escoja. Si
dos observadores eligen dos unidades distintas obtendrán dos resultados
distintos. ¡Y ambos observadores tendrán razón! Es decir, este tipo de
mediciones no es completamente "objetivo". Es claro que, en las
relaciones entre países, se debe reconocer el carácter especial de las
cantidades que se van a medir y llegar a un convenio mutuo sobre cuál deberá
ser la unidad de longitud que se debe seleccionar. De esta forma se evitarán
ambigüedades.
§4. A veces se está mirando algo pero no se ve…algunos
casos históricos
Si
se suelta un grano de polen en un vaso de agua se observa que realiza un
movimiento desordenado e irregular. Se mueve siguiendo una trayectoria en forma
de zigzag (figura 5).
Figura 5. Trayectoria irregular y azarosa que sigue una partícula browniana.
En
un cine, en el haz de luz que envía el proyector hacia la pantalla, se puede
ver que las partículas de polvo que flotan en el aire realizan también un
movimiento en zigzag.
Ambos movimientos reciben en física el nombre de movimiento browniano, que fue
descrito por primera vez por el botánico inglés Robert Brown en 1828. [1] No
entraremos en la historia de este fenómeno. Sólo presentaremos algunas
características de él que nos serán útiles.
Las líneas de la trayectoria de una partícula browniana (figura 5) no tienen en
rigor ninguna realidad física. La forma en que se trazaron las líneas del
dibujo es imaginando que cada 30 segundos se observa la posición de la
partícula de polen y se marca con un punto; luego estos puntos se unen
sucesivamente con líneas rectas. Por tanto, lo único que tiene realidad son los
puntos, que indican las posiciones de la partícula browniana al final de cada
intervalo. Si ahora, en lugar de marcar las posiciones en cada intervalo de 30
segundos se marcan en cada intervalo de 3 segundos y se unieran los puntos con
líneas rectas, cada línea recta de la figura 5 quedaría reemplazada por una
sucesión de líneas quebradas de menor tamaño, pero de igual complejidad. Así, por
ejemplo, si nos fijamos en dos puntos sucesivos, A y B, de la figura 5, se
obtendrán entre ellos los puntos mostrados en la figura 6. Si ahora unimos
estos puntos con líneas rectas obtendremos las líneas quebradas de la misma
figura 6. Concluimos que la segunda figura que se forma tiene el mismo tipo de
estructura que la primera.
Se podrían tomar ahora intervalos más pequeños, por ejemplo, de 0.3 segundo y
seguir el mismo procedimiento; ocurriría lo mismo que antes. Nos damos cuenta
de que la trayectoria que sigue una partícula browniana es tal que mantiene una
estructura similar al cambiar la escala de tiempos de la observación. Este tipo
de línea fue denominada fractal por el científico Benoit Mandelbrot en 1975. Es
interesante mencionar que ya en 1906 el físico francés Jean Perrin se había
dado cuenta de este tipo de comportamiento.
Figura 6. a) Los puntos A y B son las posiciones de la partícula Browniana
al inicio y al final de un intervalo de tiempo. b) Posiciones de la misma
partícula browniana al registrarla en intervalos equivalentes a la décima parte
del intervalo anterior.
En
particular, había hecho notar que si uno toma un punto de la trayectoria que
sigue una partícula browniana entonces, en rigor, no se puede trazar una línea
tangente a ella, y apuntó entonces:
Usando
lenguaje geométrico, las curvas que no tienen tangente constituyen la regla, y
curvas regulares, tales como el círculo, son interesantes pero especiales.
A primera vista, la consideración del caso general puede parecer un mero
ejercicio intelectual, ingenioso pero artificial. Los que oyen hablar de curvas
sin tangente tienden a pensar que la naturaleza no presenta tales
complicaciones, ni siquiera las sugiere.
Sin embargo, lo contrario es la verdad. Esta afirmación se puede ilustrar
considerando ciertos valores experimentales sin preconcepción.
Considérese, por ejemplo, uno de los copos blancos que se obtienen al añadir
sal a una solución jabonosa. A cierta distancia su contorno puede dar la
sensación de estar nítidamente definido, pero a medida que nos acercarnos esta
nitidez desaparece. El ojo ya no puede dibujar una tangente en cualquier punto.
Una línea que, a primera vista, pareciera ser satisfactoria, bajo un escrutinio
detallado resulta ser perpendicular u oblicua. El uso de una lupa o de un microscopio
aún nos deja más en la duda, ya que aparecen nuevas irregularidades cada vez
que aumentamos la magnificación, y nunca logramos conseguir una impresión
nítida, lisa como la dada, por ejemplo, por una bola de acero...
...la característica esencial de nuestro copo es que cualquier escala incluye
detalles que prohíben absolutamente la fijación de una tangente.
Quedaremos dentro de los dominios de la realidad experimental en el momento en
que observemos bajo el microscopio el movimiento browniano con el que se agita
una partícula (browniana) suspendida en un fluido. Se descubre entonces que la
dirección de la línea recta que une las posiciones ocupadas por una partícula
en dos instantes muy cercanos en el tiempo varía irregularmente en forma
absoluta a medida que el intervalo entre ambos instantes se hace menor. Un
observador sin prejuicios concluiría, en consecuencia, que está tratando con
una curva a la que no se le puede dibujar una tangente.
Nadie
hizo caso a los comentarios de Perrin, y este asunto quedó dormido hasta
finales de la década 1960-1970, cuando Mandelbrot lo retomó. Hablaremos al
respecto en el capítulo siguiente. Si se hubiera seguido investigando la
observación hecha por Perrin a principios de siglo, lo que hoy llamamos
fractales posiblemente habrían sido desarrollados 60 años antes.
Otro caso que nos será de interés en este libro es el del científico francés
Henri Poincaré. Para entender su proposición, olvidada durante cerca de 70
años, recordaremos algunos hechos.
Las leyes del movimiento de Isaac Newton, expuestas a fines del siglo XVII,
implicaban que si se conoce la fuerza que se aplica sobre una partícula se
puede conocer la trayectoria que seguirá. Sin embargo, esta posibilidad
contiene una condición: que se debe poder especificar qué posición y qué
velocidad tenía la partícula en el instante inicial. Es decir, si se pueden
precisar las condiciones iniciales de la partícula, las leyes de Newton
permiten conocer completamente su futuro, lo cual resultará válido para
cualquier sistema que tenga cualquier número de partículas.
Basado en estos hechos, el matemático francés Pierre Simon de Laplace
(1749-1827) llegó a jactarse de que si se le dieran las posiciones y
velocidades iniciales de cada una de las partículas que componen el Universo,
podría predecir el futuro por el resto del tiempo. Este hecho conlleva un
riguroso determinismo en las leyes de la naturaleza. Las inferencias de estas
conclusiones acerca de las leyes de Newton las trataremos en un capítulo
posterior.
En el año de 1903 Poincaré escribió lo siguiente:
...nosotros
solamente podemos conocer la situación inicial de manera aproximada. Si esto
nos permitiera predecir la situación que sigue en el tiempo con la misma
aproximación, es todo lo que necesitaríamos, y podríamos decir que el fenómeno
ha sido predicho, que está regido por leyes. Pero esto no es siempre así; puede
ocurrir que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan
condiciones muy diferentes en los fenómenos finales. Si un pequeño error en las
condiciones iniciales produce un enorme error en las condiciones finales, la
predicción se vuelve imposible y tenemos un fenómeno fortuito.
En
el capítulo 7 se analizará con mayor detalle este comentario.
Al igual que en el caso de Perrin, las observaciones de Poincaré permanecieron
olvidadas durante muchos años; ningún científico les puso atención. Si se
hubiera continuado trabajando en este campo desde esa época, es posible que el
caos como teoría científica se hubiera desarrollado muchas décadas antes.
Éstos son dos ejemplos de situaciones que no son muy raras en la historia de la
ciencia. Algún científico se da cuenta de cierto fenómeno, pero por diversos
motivos nadie se ocupa de él y cae en el olvido, lo que ilustra el hecho de que
el desarrollo de la ciencia no es tan objetivo como se quisiera pensar.
§5. Los fractales. Nuevas dimensionalidades
En
las últimas dos décadas se ha desarrollado una línea de investigación, iniciada
por Benoit Mandelbrot, cuyo tema son los objetos llamados fractales.
Se puede construir un tipo de figuras fractales siguiendo el siguiente ejemplo.
Tomemos un triángulo equilátero cualquiera (figura 7(a)) al que se denominará
iniciador.
Figura 7. Pasos que siguen para construir el fractal llamado curva de Koch.
Figura 7. Pasos que siguen para construir el fractal llamado curva de Koch
(continuación).
Divídase
cada lado en tres partes iguales. En las partes intermedias de cada lado
añádanse dos lados de un triángulo equilátero cuyo lado sea igual a la tercera
parte del lado original. Se obtiene así la figura 7(b). Enseguida, divídase
otra vez cada uno de los lados de la figura así formada en tres partes iguales,
y en cada parte intermedia añádanse dos lados de un triángulo equilátero cuyo
lado sea igual a la longitud resultante. Se encuentra así la forma mostrada en
la figura 7(c). Si se continúa indefinidamente este procedimiento se encontrará
una forma parecida a la mostrada en la figura 7(d). Esta figura es un fractal
y, como veremos a continuación, su perímetro tiene longitud infinita.
Analicemos con un poco de detalle el perímetro de estas figuras. Supongamos que
el lado del triángulo iniciador de la figura 7(a) sea igual a 1 (en cualquier
unidad). El perímetro del triángulo original, que es igual a la suma de las
longitudes de sus lados, es entonces igual a 8.
Por construcción, cada línea recta de la figura 7(b) tiene longitud (1/3). Por
tanto, dado que hay 12 líneas rectas de este tamaño, el perímetro de la figura
7(b) es 12 x (1/3) = 4. El lector se dará cuenta de que este nuevo perímetro
(4) es mayor que el original (3).
Veamos ahora la figura 7(c). Cada línea recta de esta figura tiene (1/9) de
longitud. En vista de que hay 48 de estas líneas, su perímetro es 48 x (1/9) =
5.333, mayor que los perímetros de las figuras 7(a) y 7(b).
Vemos entonces que la sucesión de valores de los perímetros es: 3, 4, 5.333,...
Esta sucesión va creciendo. La causa de que crezca es clara, ya que de un paso
al otro el número de líneas rectas aumenta más rápidamente de lo que disminuye
la longitud de cada línea recta. De hecho, en cada paso de la construcción el
número de líneas se multiplica por el factor 4, mientras que la longitud de
cada línea disminuye 3 veces. Por lo tanto, el perímetro se multiplica, de un
paso al otro, por el factor 4 x (1/3) = 1.333, que es un número mayor que 1. Si
el número de pasos es infinito, el perímetro de la figura así formada también
resulta ser infinito. La curva de la figura 7(d) se llama curva de Koch.
Nos debemos dar cuenta de que si se comparan las figuras que se forman en dos
construcciones sucesivas, se verá que ambas tienen la misma estructura. Se
recordará del capítulo 3 que lo mismo ocurre con la bahía cuando se cambia la
escala.
Un objeto que presenta la misma estructura al cambiársele indefinidamente la
escala de observación recibe el nombre de fractal. Por lo tanto, la curva de
Koch y la bahía son fractales.
Figura 8. La forma de una cadena montañosa es un fractal.
Mandelbrot
asegura que en la naturaleza existen muchos fenómenos de carácter fractal, de
hecho, muchos más de los que podemos imaginar. Mencionaremos en forma breve
algunos.
La trayectoria que sigue una partícula que realiza movimiento browniano,
descrita en el capítulo 4 es un fractal. En efecto, al pasar de una escala a
otra, como por ejemplo, cuando se pasa de la figura 5 a la 6, las estructuras
son similares.
También los paisajes naturales presentan características de los fractales. Así,
la forma de las cadenas montañosas (figura 8) da lugar a que si uno intentara
medir su superficie encontraría valores infinitos. Una manera de crear un
paisaje fractal es la siguiente. Tomemos el triángulo de la figura 9(a). El
punto medio de cada lado lo desplazamos cierta cantidad (figura 9(b)). Así el
punto A se traslada al punto B; el punto G al D, y el E al F. Uniendo los
puntos B, D y F con los vértices del triángulo se forman cuatro triángulos más
pequeños que el original, como se ve en la figura 9(c). Si se sigue este
procedimiento muchas veces con cada uno de los triángulos formados, se logra
obtener una figura que tiene todo el parecido a una montaña (figura 8). Un
programa de computadora llena los triángulos resultantes con sombreados
apropiados que le dan un toque en extremo realista a la figura.
Figura 9. Pasos para construir un paisaje fractal.
En
la geometría euclidiana se enseña que hay una relación determinada entre, por
ejemplo, el área que ocupa una figura y la longitud de la línea que encierra a
dicha área. Así, por ejemplo, para un cuadrado, la longitud de su perímetro
elevada al cuadrado es igual a 16 veces el área encerrada. En efecto,
supongamos que el lado del cuadrado es de 3 cm. Entonces el perímetro es:
perímetro
= 4 x 3 cm = 12 cm.
Si
se eleva al cuadrado se obtiene:
perímetro2 =
(12 cm)2 = 144 cm2
Por
otro lado, el área del cuadrado de lado 3 cm es:
área
= (3 cm)2 = 9 cm2
Pero:
144=16
x 9,
por
lo que vemos que:
perímetro2 =
16 x área (1)
En
un cuadrado, el perímetro al cuadrado es igual a 16 veces el área encerrada.
Si se trata de un círculo, la longitud del perímetro elevada al cuadrado es
igual a cuatro veces p (la letra griega pi) por el área encerrada:
perímetro2 =
4π x área (2)
Recuérdese
que el número π (pi) es igual a 3,14159...
De manera general, el cuadrado del perímetro de una figura geométrica es igual
al área encerrada, multiplicada por un número. Este número depende de la forma
particular de la figura que se esté tratando: para el cuadrado el número es 16
y para el círculo 4π.
Un tipo de relación análoga se encuentra entre el volumen de un cuerpo y el
área de la superficie que lo encierra. En efecto, se puede demostrar que en una
figura cúbica el cubo del área es igual a 216 veces el cuadrado del volumen
encerrado. Por ejemplo, si el lado de un cubo mide 2 cm, entonces el área total
del cubo es 6 veces el área de cada cara, ya que tiene 6 caras. Pero el área de
cada cara es (2 cm) x (2 cm) = 4 cm2. Por tanto:
área
total del cubo = 6 x 4 cm2 = 24 cm2.
Elevemos
ahora este valor al cubo:
área3 =
(24 cm2)3 = 13824 cm6.
Por
otro lado, el volumen del cubo se obtiene elevando al cubo la longitud de su
lado:
volumen
= (2 cm)3 = 8 cm3.
Elevando
al cuadrado este valor:
volumen2 =
(8 cm3)2 = 64 cm6.
Pero:
13824
= 216 x 64,
por
lo que:
área3 =
216 x volumen2 (3)
Para
otro tipo de figuras, el factor que multiplica al (volumen) 2 no
es 216, este coeficiente depende de la figura particular de que se trate.
En el caso de las figuras que son fractales, las relaciones que obtuvimos no se
satisfacen. Consideremos, por ejemplo, el caso del cerebro de los mamíferos; se
sabe que su corteza presenta numerosas circunvoluciones. De mediciones hechas
con mucha precisión resulta que la relación entre el volumen del cerebro y el
área de la superficie que lo encierra no sigue el patrón mencionado arriba para
las figuras geométricas regulares. Se encuentra ahora que el cubo del área ya
no es proporcional al volumen elevado al cuadrado, sino que:
área3 =
A x volumen α (4)
donde
A es un número, análogo al 216 de la ecuación (3), pero el exponente α (alfa)
no es igual a 2 como en la ecuación (3) sino que tiene un valor entre 2.73 y
2.79.
Se puede demostrar que de esta relación puede inferirse que la superficie que
encierra al cerebro es fractal. Este resultado se ha explicado en relación con
las necesidades que la evolución va creando para los mamíferos.
De hecho, cuando en una figura se satisface la relación (3) entre su área y su
volumen, la figura es euclidiana. Si no, como en el caso del cerebro que se
está considerando, entonces es fractal.
Otro ejemplo del campo biológico se da en la estructura nasal de algunos
animales. La membrana que cubre el hueso de la nariz es tal, que la relación
entre área y volumen encerrado no sigue un patrón geométrico euclidiano, sino
fractal. Ciertos animales tienen esa membrana con un área muy grande para el
volumen que encierran. La membrana podría estar relacionada con el sentido del
olfato y, por ejemplo, en el caso de los camellos su gran área les ayudaría a
localizar; husmeando, el agua tan escasa en el desierto.
La descarga y el nivel de las crecidas de los ríos son otro ejemplo de
fractales. Resulta que estas cantidades, tomadas anualmente, tienen valores muy
persistentes. Se ha intentado dar, infructuosamente, diversas explicaciones a
este hecho. Aparentemente la única explicación que tiene visos de conformarse
con los resultados experimentales es que estas cantidades se comportan como
fractales.
También se han aplicado las ideas de los fractales a la economía. Un análisis
detallado del comportamiento en el cambio de precio de las mercancías muestra
que su estructura es análoga a la de un fractal. Esto se debe a que al cambiar
de escalas temporales la determinación de los cambios, se encuentran
estructuras similares.
En lingüística también se producen estructuras fractales. Se ha estudiado las
relaciones que sigue en un idioma la frecuencia en el uso de las palabras. Pues
resulta que este comportamiento es fractal. Uno de los parámetros de este
fractal da la medida de qué tan rico es el uso del vocabulario a través de la
frecuencia relativa del uso de palabras poco comunes.
Se ha determinado que los fractales también se dan en la teoría de los
circuitos eléctricos y en la teoría de la información, por mencionar sólo
algunos campos. Se han abierto de esta manera vastos horizontes de estudio y
aplicación que apenas empiezan a explorarse.
El hecho de que en las figuras regulares, las que trata la geometría
euclidiana, la relación entre el cuadrado del perímetro y el área (véanse las
ecuaciones (1) y (2) anteriores, o bien, entre el área al cubo y el cuadrado
del volumen (véase la ecuación (3)) se dé con exponentes que son números
enteros (por ejemplo, el 3 del área al cubo y el 2 del cuadrado del volumen) se
debe a que se está tratando con una, dos y tres dimensiones. Sin embargo,
cuando se trata de fractales (véase la ecuación (4) de la página 30), entonces,
como vimos arriba, ya no se tienen estas relaciones con números enteros en los
exponentes. Por tanto, los fractales son figuras que no corresponden a una
dimensionalidad entera.
Lo que está ocurriendo es que la geometría euclidiana, con sus dimensiones
enteras, no logra alcanzar la esencia de las formas irregulares. Considérese un
ovillo de cuerda. Si se le observa desde muy lejos (figura 10(a)) se le verá
como un punto, es decir, una figura de dimensión nula. Si el observador se
acerca verá que el ovillo ocupa un espacio parecido a una esfera, o sea, de
tres dimensiones (figura 10(b)). Si el observador se sigue acercando advertirá
con detalle la cuerda que forma el ovillo y éste se transforma, en realidad, de
dimensión uno (figura 10(c)). Si seguimos acercándonos, es decir; nos
disminuimos imaginariamente para apreciar la estructura microscópica de la
cuerda, la cuerda empieza a verse nuevamente de tres dimensiones, porque se
empezará a apreciar las fibras que lo componen, que podrán verse como columnas
tridimensionales. Así se puede continuar. De esta manera, se aprecia que no se
puede hablar de la dimensionalidad de la cuerda de una manera
"objetiva". Todo depende de la perspectiva del observador, esto es,
de la escala en que se haga la observación.
Figura 10.a) De lejos, un ovillo se ve como un punto. Su dimensión es 0; b)
más de cerca vemos el ovillo como una esfera. Su dimensión es 3; c) todavía más
cerca vemos la cuerda del ovillo. Su dimensión es 1.
Mandelbrot
dio un paso muy atrevido al proponer que se asignara a los fractales
dimensiones que no fueran números enteros. La dimensión fraccionaria propuesta
constituyó una manera de poder medir de otra forma características no definidas
claramente. Por ejemplo, el grado de irregularidad de una línea, como la bahía,
o la aspereza de una superficie. Mandelbrot propuso la forma de calcular la
dimensión de un objeto fractal y demostró que el número que así se obtiene no
depende de la escala en que se hacen las observaciones. Recuérdese que si se
asignan dimensiones enteras, entonces, como en el caso del ovillo de cuerda, la
dimensión va cambiando al cambiar la escala de observación.
Láminas 1 - 4. Sucesión de fotografías que muestran la caída de una gota de
tinta en agua. Al caer la gota, se transforma en un anillo de vórtices, que se
expande hasta volverse inestable, dando lugar a un nuevo anillo de vórtices.
Este proceso se repite muchísimas veces, es decir se forma un fractal. En las
fotografías se ven distintos estados de los fractales así formados.
Láminas 5-16. Diversos fractales generados por computadora. En cada caso se
ha utilizado un procedimiento repetitivo diferente, como se ejemplifica en el
texto. (Fotos del Doctor José Luis del Río, Departamento de Física, Universidad
Autónoma Metropolitana-Iztapalapa y de Jorge Lodigiani Rodríguez, División de
Ciencias Biológicas y de la salud Universidad Autónoma
Metropolitana-Iztapalapa.)
Figura 11. La forma de una rama es fractal.
Por
tanto, el grado de irregularidad de un fractal es el mismo a medida que se
cambia de escala. Es decir; hay una irregularidad regular, valga la expresión.
Como ilustración mencionamos que la curva de Koch (figura 7(d)) tiene una
dimensión igual a 1.2618.
Una de las características de un fractal es que conserva la misma forma si se
le ve en distintas escalas, como en el caso de las líneas asociadas al
movimiento de una partícula browniana (figuras 5 y 6). Esta característica de
los fractales se llama auto similitud.
Es posible construir figuras fractales siguiendo un procedimiento bien
determinado, o como se dice más técnicamente, un algoritmo, por ejemplo, el
procedimiento para construir la curva de Koch. De la misma manera se puede
construir una superficie que se parece mucho a la terrestre (figura 9). Este
algoritmo ha sido utilizado en la filmación de películas con el fin de crear
superficies. Se ha demostrado que la superficie terrestre tiene una dimensión
fractal de 2.7, hecho que han utilizado muy provechosamente los geólogos.
Otros empleos son los de fabricar patrones semejantes a los del crecimiento de
las especies biológicas (figura 11) o las de una descarga eléctrica como un
rayo (figura 12).
Figura 12. Un rayo tiene forma de fractal.
En
capítulos posteriores trataremos en detalle algunos de los casos mencionados,
en los que aparecen objetos fractales.
En
el capítulo anterior se vio que un fractal es una figura que mantiene su forma
si se le cambia de escala. En el presente capítulo consideraremos con más
detalle esta importante propiedad.
Las famosas muñecas rusas están formadas por una muñeca grande en cuyo interior
se halla otra muñeca, similar a la grande, pero de menor tamaño. Dentro de esta
segunda muñeca hay otra similar, pero de tamaño aún menor. Un conjunto contiene
cinco o seis muñecas, todas similares, pero cada una de menores dimensiones. Al
pasar de una muñeca a la otra se está cambiando la escala. Al cambiar de
escala, las muñecas en conjunto son similares. Si se pudiera tener un conjunto
muy grande, infinito, de muñecas, todas iguales pero una más pequeña que la
anterior, tendríamos un fractal. Sin embargo, no se puede construir este
conjunto porque llega un momento en que resulta imposible tallar una muñeca lo
suficientemente pequeña. El conjunto, por lo tanto, constituye una aproximación
a un fractal.
Otro ejemplo de similitud parcial es el caso de una etiqueta colocada, por
ejemplo, en una caja de chocolates. En la etiqueta está dibujada la misma caja
con su etiqueta que, a su vez, muestra la caja de chocolates con la etiqueta,
etc. Nótese que al cambiar de escala, o sea en el dibujo que está en una
etiqueta, lo que se ve es similar al objeto original. Si se pudiera seguir así
un número muy, pero muy grande de veces, de hecho infinito, entonces habríamos
formado un fractal. Esta similitud no se puede llevar al infinito, por razones
claras.
Otro caso es el de una caricatura en la que un pez se come a otro más chico;
éste a otro todavía más chico y así sucesivamente.
En el caso en que un objeto tiene la misma forma al cambiar la escala, es
decir, que es similar al anterior, y se cambia la escala un número infinito de
veces y se sigue obteniendo una figura similar a las anteriores, se dice que el
objeto es autosimilar. Un fractal es un objeto autosimilar. Un ejemplo, como ya
se vio, es la trayectoria de una partícula browniana (figura 5).
Otro ejemplo de similitud se da cuando una persona se coloca entre dos espejos
paralelos y observa las imágenes de su cuerpo. Pero estas imágenes no son todas
iguales, sino que una es más pequeña que la otra. Si los espejos se hallan
situados en forma perfectamente paralela, entonces el número de imágenes es
infinita y así tenemos un conjunto autosimilar.
La autosimilitud es una idea que ya había sido sugerida en muchas ocasiones a
lo largo de la historia. Por ejemplo, en el siglo XVII, el pensador
alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) propuso que una gota de agua
contenía todo un universo, que a su vez contenía gotas de agua más pequeñas;
cada una de estas pequeñas gotas encerraba a su vez un universo que tenía en su
interior otras gotas de agua, todavía más pequeñas y cada una de ellas...
Esta autosimilitud y otras muchas que se sugirieron fueron desechadas con el
tiempo ya que no se pudieron comprobar experimentalmente. En una gota de agua
no hay ningún universo en el sentido propuesto por Leibniz.
Fue hasta la década de 1960 y de 1970 que Mandelbrot volvió a proponer esta
idea, pero en un contexto completamente distinto de los anteriores. Se ha
demostrado que la autosimilitud se presenta en gran variedad de fenómenos y
situaciones muy diversas, como veremos en los capítulos siguientes.
§7. Condiciones iniciales y su importancia
En
el capítulo 4 citamos a Poincaré cuando aludía a las condiciones iniciales. En
el presente capítulo analizaremos en detalle esa cuestión.
Consideremos un fenómeno físico bien conocido, la caída de los cuerpos. Una
piedra cae al soltarla debido a que experimenta una fuerza, la de gravedad, que
está dirigida hacia el centro de la Tierra. Con base en las leyes de Newton se
puede encontrar que la trayectoria que sigue la piedra es una línea recta
vertical.
Sin embargo, la misma piedra sujeta a la misma fuerza (su peso) también puede
moverse a lo largo de otra trayectoria. Por ejemplo, si la lanzamos hacia
arriba formando cierto ángulo con la horizontal, entonces se moverá a lo largo
de la trayectoria mostrada en la figura 13, que resulta ser una parábola.
Nos podemos hacer la siguiente pregunta: si en los dos casos la misma piedra
estuvo sujeta a la misma fuerza, ¿por qué en un caso se movió a lo largo de una
línea recta vertical y en el otro a lo largo de una parábola? Como podemos
apreciar, a pesar de ser la misma piedra y la misma fuerza, hubo una
diferencia.
· En el primer caso se soltó la piedra, lo que significa que en el instante
inicial su velocidad fue nula
· En
el segundo caso se le dio a la piedra, en el instante inicial, una velocidad
dirigida hacia arriba, como se muestra en la figura 13.
Por tanto, en los dos casos hubo condiciones iniciales diferentes y, en
consecuencia, las trayectorias seguidas fueron distintas, a pesar de que en
ambos casos la piedra estuvo sujeta a la misma fuerza, la gravedad.
Este ejemplo nos ilustra un hecho muy importante: para conocer el tipo de
evolución que sigue un sistema se necesita conocer, además de las leyes que lo
rigen (en los casos de arriba, las de Newton y la fuerza de la gravedad), las
condiciones iniciales del sistema. Bajo las mismas leyes, diferentes
condiciones iniciales producen distintas evoluciones en el tiempo.
La cuestión a que se refirió Poincaré tiene que ver con lo siguiente. Tomemos
dos piedras iguales. Soltemos la primera piedra desde cierto punto, digamos el
A, sobre el suelo (figura 14(a)). Al mismo tiempo soltemos la segunda piedra
desde el punto B, que está muy cercano al A. Nos damos cuenta de que, no
obstante que en ambos casos las velocidades iniciales de las piedras son
iguales (cero), sus posiciones iniciales no son iguales ya que las soltamos
desde dos puntos distintos, aunque difieren muy poco. Decimos que las
condiciones iniciales de ambas piedras no son las mismas, aunque sí muy
parecidas.
Figura 13. Una piedra lanzada hacia arriba, formando un ángulo con la
horizontal, describe una trayectoria parabólica.
Veamos
qué pasa con las posiciones que van ocupando las dos piedras en sus caídas. Si
nos fijamos medio segundo después de haber soltado las piedras veríamos (figura
14(b)) que están en las posiciones C y D, respectivamente.
Nos damos cuenta de que la distancia entre los puntos C y D también es muy
pequeña (de hecho es igual a la de los puntos iniciales A y B). En
consecuencia, si la diferencia de condiciones iniciales es muy pequeña,
entonces al transcurrir el tiempo la diferencia entre las posiciones de las dos
piedras sigue siendo muy pequeña. Es decir, en este caso, las trayectorias que
siguen son muy cercanas.
Figura 14. Cuando dos cuerpos caen a partir del reposo y desde posiciones
muy cercanas, no se separan mucho en sus trayectorias.
Veamos
ahora otra situación. Supongamos que soltamos las dos piedras iguales desde
puntos cercanos a la cima de una montaña (figura 15). La primera en la cima C,
y la otra desde el punto A de la figura, es decir, un lugar que no es ya la
cima, pero muy cercano a ella. ¿Qué ocurre ahora con las trayectorias de las
piedras? Pues la primera se quedará en la cima mientras que la segunda rodará
por la ladera de la montaña. En consecuencia, después de cierto intervalo,
digamos 3 segundos, la separación entre las posiciones de ambas piedras será
muy grande: una en la cima y la otra abajo. En este caso, nuevamente las
condiciones iniciales de las dos piedras son muy parecidas pero ahora sus
posiciones, al transcurrir el tiempo, difieren marcadamente. Es decir, con el
paso temporal en este caso no se conservan las posiciones muy cercanas unas de
otras.
Figura 15. Dos piedras que caen desde puntos distintos de una montaña y a
partir de posiciones muy cercanas, se separan mucho a lo largo de sus
trayectorias.
Otro
ejemplo se ilustra en la figura 16, en que se observa dos bolas de billar que
inciden sobre una mesa que tiene varios botadores fijos.
Figura 16. Ilustración de que variaciones pequeñas en las posiciones
iniciales producen trayectorias muy separadas.
Las
posiciones iniciales de las bolas son ligeramente distintas. Vemos que aun
cuando las velocidades iniciales de las bolas sean las mismas, las trayectorias
que siguen son completamente diferentes.
De los casos que hemos considerado podemos afirmar que hay dos tipos de
situaciones:
1. Condiciones
iniciales muy parecidas producen condiciones finales también muy parecidas, y
2. condiciones
iniciales muy parecidas producen condiciones finales completamente diferentes.
Ahora
bien, para determinar la evolución de un sistema cuando el tiempo transcurre
debemos conocer las leyes que lo rigen, así como sus condiciones iniciales. Si
fuera posible determinar con TODA precisión estas condiciones iniciales
entonces podríamos saber en cualquier instante las características que tiene el
sistema. A esto se refería Laplace (véase capítulo 4) cuando decía que si se le
daban las condiciones iniciales del Universo podría determinar el futuro.
Sin embargo, en una situación real no podemos afirmar que se puedan determinar
con TODA precisión las condiciones iniciales. Al medir estas cantidades siempre
se cometerán errores, que son inevitables. Por lo tanto, lo más que se puede
hacer es dar las condiciones iniciales en forma aproximada. Estas condiciones
iniciales diferirán de las verdaderas condiciones iniciales del sistema en muy
poco si los errores cometidos son pequeños. ¿Qué podemos decir acerca de la
trayectoria que seguirá el sistema?, ¿podemos predecirla?
De
lo que se ha visto puede ocurrir una de dos posibilidades: 1) Si
estamos en un caso en que diferencias de condiciones iniciales producen
condiciones finales muy parecidas, entonces podremos predecir qué ocurre con el
sistema, con el transcurso del tiempo, también con un error pequeño. En este
caso la separación entre las trayectorias es muy pequeña y la predicción que se
haga será muy parecida a la trayectoria real. 2) Si se está en
el caso en que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales producen
condiciones finales muy distintas, entonces la trayectoria real que siga el
sistema se separará muy marcadamente de la trayectoria que podamos predecir. En
este caso nuestra predicción está muy lejos de la realidad, por lo que no hay
posibilidad de hacer predicción válida alguna.
En la cita de Poincaré mencionada en el capítulo 4, este científico se refirió
precisamente a estas dos posibles situaciones. En el próximo capítulo se
considerarán las consecuencias de estas posibilidades.
Los casos de las figuras 15 y 16 son ejemplos físicos de dependencia muy
sensible de las condiciones iniciales.
§8. Caos. Fenómenos no lineales
A lo
largo de muchos años, en el estudio que varias ciencias han hecho de diferentes
fenómenos se han encontrado situaciones que no ha sido posible describir de
manera satisfactoria. Por ejemplo, en el caso de la meteorología un problema
muy importante es poder predecir el clima que prevalecerá no sólo al día
siguiente, sino una semana, un mes, un año después. Sin embargo, a pesar de que
esta ciencia se ha desarrollado bastante y mucha gente ha trabajado en ella
durante más de un siglo, este tipo de predicciones no ha podido llevarse a cabo
de manera efectiva.
En la física podemos mencionar el fenómeno de la turbulencia. Cuando un fluido
se mueve a lo largo de un tubo, en ciertas condiciones el fluido lo hace de
manera muy tranquila y regular; se dice que el flujo es laminar y sus
propiedades sí han podido ser determinadas. Sin embargo, en otras
circunstancias, el flujo se vuelve turbulento: empiezan a aparecer primero
pequeños remolinos, después remolinos más y más grandes y el movimiento del
fluido se vuelve muy irregular. Se dice que el flujo ha entrado en turbulencia.
Este efecto no se había podido entender en más de cien años de estudio de la
hidrodinámica.
En la economía no se han podido entender los motivos por los cuales en cierto
momento el índice de la Bolsa de Valores empieza a subir y luego desciende. En
muchas ocasiones parece ser un fenómeno del azar.
Los casos anteriores ilustran algunos de los problemas que habían quedado sin
solución. Sin embargo, con el advenimiento de la teoría del caos se han podido
entender diferentes aspectos de estos fenómenos, antes incomprensibles.
Una cuestión muy importante, común a diferentes fenómenos, es la posibilidad de
que se pueda hacer predicciones. Por ejemplo, si se sabe que hoy está
lloviendo, se quisiera predecir si lloverá mañana o si lloverá pasado mañana.
Es decir, una cuestión es la posibilidad de poder predecir lo que ocurrirá en
el futuro si sabemos en qué situación nos encontramos ahora.
En los últimos 20 años se ha desarrollado una novedosa forma de abordar este
tipo de situaciones. Resulta que muchos fenómenos completamente distintos, como
la turbulencia, el clima, el índice de la bolsa, las señales electrónicas,
ciertas reacciones químicas y otras más, tienen comportamientos que, vistos
desde perspectivas apropiadas, son muy parecidos. Debido a este hecho,
trataremos un caso muy especial para ilustrar el fenómeno del así llamado caos.
Consideraremos un problema importante en la ecología, a saber, cómo evoluciona
en el transcurso del tiempo una población determinada, por ejemplo de los
insectos. Si conocemos el número de insectos este año, nos podemos preguntar
¿cuántos insectos habrá el año próximo, el siguiente, y así sucesivamente?
Con el estudio que se haga se quisiera poder encontrar una regla que nos dijera
que si este año hay, por ejemplo, en un determinado lugar 10 500 insectos, el
próximo año habrá 12 750. Si se puede descubrir esta regla, entonces
aplicándola de año en año se podrá conocer la población en cualquier año
futuro. En matemáticas una regla de este tipo se llama función. ¿De qué depende
ésta? Pues debería hacerlo de las condiciones en que vive la población. No dará
lo mismo si se trata de un lugar desértico o de una selva; si la población
dispone de muchos alimentos o si más bien son escasos. Es decir; de alguna
manera en la función tiene que aparecer esta información. Además, la población
que vaya a haber el año siguiente dependerá de la población que existe en este
año. Encontrar esta función se llama hacer o construir un modelo.
La función más sencilla es la siguiente. Se supondrá que la población crecerá
el año siguiente en un porcentaje fijo de la población del año actual. Por
ejemplo, si la población crece año con año 10%, se tiene la siguiente
situación: supongamos que en el presente año hay 10 000 insectos; entonces el
año próximo aumentará en 10% este número, así, habrá un aumento de:
0.1
x 10 000 = 1000,
y
por tanto, el número de insectos que habrá el año próximo será igual al número
que hay en el presente año (10 000) más el aumento que ocurrió
(1000),
o sea:
10
000 +1000=11 000 insectos.
El
siguiente año habrá un aumento de 10% de 11 000, o sea aumentará en:
0.1
x 11000 = 1100,
y el
número que habrá será:
11
000 +1100=12 100.
De
esta manera se puede calcular el número de insectos del año que se quiera. Sin
embargo, hacerlo a un plazo de 150 años, por ejemplo, sería muy engorroso. Pero
puede abreviarse este procedimiento como sigue. Nos damos cuenta de que se
puede encontrar la población del año siguiente (11000 en nuestro ejemplo)
haciendo la siguiente operación:
11000=1.1
x 10 000.
Aquí,
10 000 es la población inicial. De la misma forma, la población en el segundo
año (12 100) se puede obtener a partir de la población en el primer año (11
000) haciendo la siguiente multiplicación:
12
100 =1.1 x 11000
Vemos
entonces que la población en cualquier año se encuentra multiplicando 1.1 por
la población del año anterior. O equivalentemente, la población del año
siguiente se puede encontrar multiplicando 1.1 por la población del año
presente:
población
del año próximo = 1.1 x población del año presente
La
población de un año cualquiera se introduce como dato para encontrar la
población del año siguiente. Repitiendo o iterando esta operación tantas veces
como se quiera, se encontrará la población de cualquier año futuro. La
operación que acabamos de encontrar es la función a la que nos referimos
arriba.
De lo que acabamos de explicar nos damos cuenta de que si se conoce la función
y la población inicial, entonces es posible determinar con precisión la
población en cualquier año futuro.
Se puede abreviar el procedimiento presentado de la manera siguiente: la letra xserá
la población en cierto año y la letra y la población del año
siguiente. Entonces:
y =
1.1 x
Para
obtener y se multiplica 1.1 por x. El 1.1 proviene
del hecho que se supuso que el crecimiento sería de 10% anual. Sin embargo, no
siempre será así, podrá haber otras posibilidades. Si así fuera, el 1.1 se
sustituirá por otro número. De manera general, este otro número se representará
con la letra q. Así, la función se puede escribir:
y =
qx (5)
población
del año próximo = q x población del año presente
El
valor numérico que tenga el factor q que aparece en esta
expresión dependerá de las condiciones en que ocurra el aumento de la
población. En la forma en que se establece el modelo considerado, el valor
de q varía de 0 a 4.
Se puede representar la información contenida en esta expresión de manera
gráfica. En una gráfica, en el eje horizontal (figura 17) se miden los valores
de x y en el eje vertical los valores de y. La
expresión (5) queda representada por una línea recta. Mientras mayor sea el
valor de q, mayor será la inclinación de la recta. Debido a
que la gráfica de la ecuación (5) es una recta se dice que la expresión (5) es
lineal.
Una consecuencia de la aplicación de esta función es que, al transcurrir el
tiempo, la población crecerá de manera indefinida; llegará un momento en que
será tan grande que el número de individuos de la especie no cabría en el
planeta. Es claro que un modelo como el que acabamos de presentar no puede
describir de manera correcta las variaciones reales de una población. Si ésta
crece mucho, llegará un momento en que los alimentos no alcancen para todos y,
por tanto, la población empezará a descender. Este efecto debe considerarse,
por lo que la función dada por la expresión (5) se deberá modificar para que
tome en cuenta que una población puede crecer, pero hasta cierto punto; más
allá deberá reducirse. Por otro lado, si la población es pequeña, entonces
tendrá mucho alimento disponible y crecerá.
Lo anterior significa que la gráfica de la figura 17 deberá ser reemplazada por
otra en la que para valores pequeños de x, o sea de la
población, la curva suba, mientras que para valores muy grandes de x la
curva disminuya. Esta gráfica se deberá ver como se muestra en la figura 18.
Para que la curva disminuya, necesariamente tendrá un máximo; es decir, la
curva deberá tener la forma de una campana invertida. El lector se dará cuenta
de que esta curva ya no es una línea recta. Por tanto, a esta situación se le
llama no lineal.
Figura 17. Gráfica del modelo que muestra la población de insectos del año
próximo (y) determinada por la población del año presente (x). En este momento
la población crece sin cesar.
Una
forma matemática de representar la curva de la figura es la siguiente:
y =
qx (1-x) (6)
y =
población del año próximo
x = población del año presente
Esta expresión implica que, dado el valor de la población en el presente año
(valor representado por x), se obtendrá el valor y de
la población del año siguiente. Por conveniencia se han tomado x y y como
la fracción entre los valores cero y uno, por tanto 0£ q £ y. El valor cero
representa la extinción de la población y el valor uno el máximo valor posible
de la población.
Lo que nos está diciendo la ecuación (6) es que si se da x, para
obtener el valor de y las operaciones que hay que hacer son:
1. De 1
le restamos x: [(1 -x)],
2. el
resultado lo multiplicamos por x: [x (1 -x)]
3. este
último resultado lo multiplicamos por q: [qx (1 - x)].
Así
se obtiene el valor de y
Por ejemplo, si q = 2.5 y el valor de x es
0.7, obtenemos sucesivamente que:
Figura 18. Modificación del modelo de la figura 17 para tomar en cuenta el
hecho de que llega un momento en que la población no puede crecer
indefinidamente.
1. x =
1 - 0.7 = 0.3
2. x (1-x)
= 0.7 x 0.3 = 0.21
3. qx (1 - x)
= 2.5 x 0.21 = 0.525
El
valor de la población y al año siguiente es 0.525.
Si ahora se usa como valor inicial de la población el valor que acabamos de
encontrar, o sea 0.525, siguiendo el procedimiento se obtiene que la población
al tercer año será 0.6234. Siguiendo esta iteración se encuentran sucesivamente
los siguientes valores de la población en años sucesivos (se deja al lector
verificar que estos valores efectivamente se obtienen):
0.5869,
0.6061, 0.5968, 0.6016, 0.5992, 0.6004, 0.5998, 0.6001, 0.6000, 0.6000, 0.6000,
0.6000, 0.6000, 0.6000, ...
Estos
resultados nos indican que a partir de cierto momento la población llega a un
valor que ya no cambia con el tiempo. En nuestro caso, la población llega al
valor 0.6000. En el caso que acabamos de tratar, se empezó con la población
inicial de x = 0.7 y se terminó con la de 0.6000. Si en lugar
de haber empezado con 0.7 se hubiera empezado con el valor inicial de x =
0.25 (para el mismo valor de q de 2.5), siguiendo el mismo
procedimiento iterativo se obtendrían los siguientes valores:
0.4688,
0.6226, 0.5874, 0.6059, 0.5970, 0.6015, 0.5992, 0.6004, 0.5998, 0.6001, 0.6000,
0.6000, 0.6000, 0.6000, ...
¡Se
llega al mismo valor final de 0.6000! O sea, si se empieza con otra condición
inicial se llega al mismo valor final. Así se comience con el valor que sea,
para este caso de q = 2.5, siempre se llegará al mismo valor
final de 0.6.
Este resultado nos indica varias cosas acerca de la ecuación (6). En primer
lugar, la población no crece indefinidamente por más iteraciones que se hagan.
En segundo lugar, después de algunos años se alcanza un valor que NO depende de
cuál haya sido el valor de la población inicial. Es decir, el valor 0.6 no
depende de la condición inicial. Se logra así una población estacionaria: la
misma año con año.
Si se vuelve a repetir este procedimiento pero para otro valor de q en
la ecuación (6) se obtendrá otro valor final. Por ejemplo, si se usa para q el
valor de 2.7, el valor final que se obtiene es 0.6296. Nótese que:
·
para q 2.5 se obtiene como valor final 0.6
·
para q 2.7 se obtiene como valor final 0.6296.
A
medida que q aumenta de valor, el valor final también aumenta
su valor.
Vayamos ahora al otro extremo, el de un valor de q pequeño,
por ejemplo 0.4. Si se empieza con una población de 0.3, entonces los valores
de la población que se van obteniendo son los siguientes:
0.0840,
0.0308, 0.0119, 0.0047, 0.0019, 0.0007, 0.0003, 0.0001, 0.000, 0.000,...
El
valor final al que se llega es cero. ¡La población se extingue! De hecho, para
los valores de q menores o iguales que 1, la población se
extingue con el tiempo, sin importar cuál sea su valor inicial.
Ahora nos vamos al extremo de valores grandes de q. Por ejemplo,
usemos para q el valor de 3.3 y el inicial de la población de
0.6. Así se van obteniendo los siguientes valores:
0.7920,
0.5436,
0.8187,
0.4898,
0.8247,
0.4772,
0.8233,
0.4801,
0.8237,
0.4779,
0.8236,
0.4795,
0.8236,
0.4794
0.8236,
0.4794
0.8236,
0.4794,
...
Ahora
no se obtiene un solo valor final que se vaya repitiendo año con año, sino que
se va pasando del valor 0.8236 al de 0.4794 sucesivamente. Es decir, ahora la
población en un año tendrá el valor de 0.4794 y al año siguiente el de 0.8236;
el año siguiente se repetirá el valor de 0.4794 y luego, nuevamente el de
0.8236, y así sucesivamente. Esto significa que ahora se tienen dos valores
finales posibles y que el valor de 0.4794 se alcanza no cada año sino cada dos
años. Lo mismo ocurre con el otro valor de 0.8236. Es decir, el ciclo ahora
dobló su valor de un año a dos; es decir, aparece ahora una periodicidad de 2
años. Nótese que los valores 0.8236 y 0.4794 no dependen del valor inicial que
se escogió. Si en lugar de 0.6 se hubiera tomado otro valor, llegaríamos a los
mismos valores finales (0.8236 y 0.4794); esto siempre y cuando se mantenga el
mismo valor deq o sea, 3.3. Se dice que estamos en condiciones de
periodo dos.
Para el valor de q = 3.5, con la condición inicial de 0.6, se
obtienen, después de varias iteraciones, no dos valores finales sino cuatro,
que son 0.3028, 0.8260, 0.5001 y 0.8750.
Estos cuatro valores se van repitiendo, en el orden dado. Ahora esto
corresponde al período 4.
Si se sigue aumentando el valor de q, se obtienen ocho valores
finales. Para q=3.55 por ejemplo, éstos son:
0.3548,
0.8127, 0.5405, 0.8817 0.3703, 0.8278, 0.5060, y 0.8874
Esta
situación corresponde al periodo 8.
Para q =3.651, ahora los valores finales serán 16, que ya no
escribiremos. Al seguir aumentando q se obtienen,
sucesivamente, 32, 64, 128,... valores finales.
Si ahora se escoge para q el valor de 3.6, resulta que por más
iteraciones que se hagan no se llega a un valor final, en el sentido de que
este valor (o valores) se repita como en los casos mencionados arriba. Ahora se
encuentra una sucesión de números que no se repiten y que tienen toda la
apariencia de una sucesión escogida al azar. Si se cambia la condición inicial,
pero se mantiene el valor de q3.6, se obtiene otra sucesión con
números distintos de los anteriores y que tampoco adquiere valores finales que
se repiten constantemente.
Figura 19. Gráfica de los valores finales que se obtienen con referencia a
la población como función del parámetro q y que muestra dos tipos de regímenes:
el periódico (estable) y el caótico.
Estos
resultados pueden observarse haciendo la siguiente gráfica (figura 19) En el
eje horizontal mediremos los valores de q; en el eje vertical
se medirá(n) el(los) valor(es) final(es) que se obtenga(n)para el
correspondiente valor de q. Así,
·
para q = 2.5, cuyo valor final = 0.6000 le
corresponde el punto A;
·
para q = 2.7, cuyo valor final = 0.6296 le
corresponde el punto B;
·
para q =0.4, cuyo valor final = 0 le
corresponde el punto C;
·
para q = 3.3, cuyos valores finales = 0.8236 y
0.4794 le corresponden los puntos D y E;
·
para q = 3.5, cuyos valores finales no los
escribiremos, le corresponden los puntos F, G, H, I, etcétera.
Los
valores de q para los cuales no se obtienen valores finales,
se marcarán en la gráfica con una línea completa, ya que todos los valores son
posibles.
De la gráfica se puede observar lo siguiente, a medida que va aumentando el
valor de q:
Para q menor o igual que 1, los valores son nulos; hay
extinción de la población.
Para q entre 1 y 3 , solamente hay un solo valor final, el del
estado estacionario, que va aumentando a medida que q aumenta.
En este intervalo la gráfica es la línea curva KL
Al seguir aumentando q, en L empieza a aparecer una bifurcación que
da dos valores finales. Así q entre 3 y 3.45 tiene dos valores
finales; estamos en la región del periodo 2. La gráfica en este intervalo
consiste en dos líneas curvas, la LR y la LS.
Si q sigue aumentando, para el valor de 3.45 (aproximadamente)
aparecen otras dos bifurcaciones y ahora se tendrán cuatro valores finales. De
hecho entre 3.45 y 3.54 estaremos en la región del periodo 4 y la gráfica
muestra cuatro líneas curvas, que ya no nombraremos.
Al seguir aumentando q, aparecen nuevas bifurcaciones y nuevas
líneas curvas hasta que, finalmente, cuando q adquiere el
valor de 3.5699 ya no hay valores finales fijos y se tiene una región con
manchas que se llama caótica. En esta región y adquiere
cualquier valor.
Como se puede apreciar en la figura, dentro de la región caótica aparecen
regiones que sí tienen valores fijos. Estas son las regiones blancas de la
figura. En efecto, para q alrededor del valor 3.84 aparece una
región con valores finales bien determinados. Ahora se obtienen tres valores:
0.1494, 0.4879 y 0.9594. Al seguir aumentando q hay una
bifurcación y por ejemplo, para q 3.846, ahora hay seis valores finales. Al
seguir aumentando q siguen las bifurcaciones, hasta que se
llega a una nueva región caótica.
Podemos entonces afirmar que al ir aumentando q, se pasa por los
siguientes regímenes:
extinción
→ un solo valor final → periódicos con periodicidades de 2, 4, 8, 16,... →
caótico → periódicos con periodicidades de 3, 6,... → caótico, ...
Estos resultados se obtuvieron con el estudio de la función dada por la
ecuación (6). Sin embargo, hay muchas otras funciones, distintas de ésta, pero
cuyas gráficas tienen la misma forma cualitativa mostrada en la figura 19.
Resulta que para todas estas funciones distintas el comportamiento de los
valores finales es el mismo que se explicó en este capítulo. Este
comportamiento es característico de las funciones no lineales.
En capítulos posteriores analizaremos algunas consecuencias de este
comportamiento.
En
este capítulo se examinará una forma diversa de considerar al fenómeno caótico.
Regresemos al caos de la población que tratamos en el capítulo anterior. Vimos
que si el valor del parámetro q de la ecuación (6) es
suficientemente pequeño, entonces, sea cual sea el valor inicial de la
población, es decir, el valor inicial de x, después de cierto
número de iteraciones se llega a un valor final que ya no cambia al seguir
iterando. Recordando que cada iteración nos da el valor de la población un año
después, concluimos que si q es suficientemente pequeño,
después de cierto tiempo se llega a una población final que ya no varía al
transcurrir el tiempo.
Si q aumenta, ocurre que después de ciertas iteraciones la
cantidad x adquiere dos valores. En una iteración adquiere el
primero, y en la siguiente, el segundo, y estos dos valores se van alternando.
Esto significa que después de cierto tiempo, en un año la población tiene un
valor y al siguiente el segundo valor. En el tercero la población vuelve a
tener el primer valor, en el cuarto el segundo valor, y así sucesivamente. Por
lo tanto, el primer valor final lo adquiere la población cada dos años; lo
mismo ocurre con el segundo valor, la población lo va adquiriendo cada dos
años. Este era el régimen que se llama de periodicidad dos.
Al seguir aumentando el valor de q se llega a un régimen final
en el que hay cuatro posibles valores finales de la población, que se van
alternando. Por tanto, cada uno de estos valores se va adquiriendo cada cuatro
años. Estamos en el caso de la periodicidad cuatro.
Podemos así continuar, hasta que se llegue al régimen caótico, en que cada año
la población va adquiriendo cierto valor que ya no se repite.
Ahora bien, lo anterior significa que, antes de entrar en el régimen caótico,
el periodo va aumentando de 1 a 2 años, a 4 años, a 8 años, etc., a medida que
el valor de q va aumentando. Llega cierto momento en que ya no
se puede hablar de periodo, se ha entrado en el régimen caótico.
Otra forma de presentar estos resultados es en términos de la frecuencia y no
del periodo. Estas dos cantidades están íntimamente relacionadas. El periodo es
el tiempo que tarda algún fenómeno en volverse a repetir, por ejemplo, el
tiempo en que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor de su eje es el
periodo de su rotación. Como sabemos este periodo es de 24 horas. Es claro que
para poder hablar de periodo el fenómeno debe ser repetitivo, esto es,
periódico.
La frecuencia de un fenómeno periódico es el número de veces que se repite en
un segundo, en un minuto o en otra unidad de tiempo. Si un tocadiscos da 33
vueltas por minuto, esto significa que su frecuencia es de 33 revoluciones por
minuto, abreviado 33 rpm.
Un ejemplo de fenómeno repetitivo es cuando un cuerpo se mueve alrededor de un
círculo. Supongamos que el cuerpo tarda 5 segundos en dar una vuelta; su
periodo es de 5 segundos. Por lo tanto, en un segundo el cuerpo habrá dado
(1/5) de vuelta; su frecuencia es (1/5) = 0.2. De este ejemplo vemos que si el
periodo tiene cierto valor, llamémosle T, entonces su frecuencia es igual a
(1/T). La frecuencia es igual al inverso del periodo.
Figura 20. Gráficas que muestran las frecuencias características que
gobiernan el fenómeno para valores recientes de q. A medida que q crece,
aumenta el número de frecuencias.
Regresando
al caso de la población que estudiamos antes, llegamos a la conclusión de que
al ir aumentando el valor de q el periodo aumenta a 2, luego a
4, luego a 8, y así sucesivamente, hasta llegar al régimen caótico. Expresando
esto en términos de frecuencia, vemos que si para un valor de q solamente
hay un periodo esto equivale a un valor de la frecuencia.
Al aumentar el valor de q, el periodo aumenta al doble y por
tanto, la frecuencia disminuye entonces a la mitad.
Al seguir aumentando el valor de q, el periodo aumenta cuatro
veces, por lo que la frecuencia disminuye cuatro veces.
Al continuar aumentando el valor de q, el periodo aumenta ocho
veces, por lo que la frecuencia disminuye ocho veces, etcétera.
En consecuencia, si para cada valor de q se hiciera una
gráfica de la frecuencia que corresponde al fenómeno, se encontraría la
sucesión de gráficas de la figura 20. Cada gráfica de esta sucesión corresponde
a un valor de q. Vemos entonces que los picos de las gráficas, a
medida que q aumenta, van apareciendo a la mitad del valor de
la frecuencia anterior. Cuando se llega al régimen caótico, entonces ya no hay
ningún pico, ya que no hay periodo, y por tanto, no hay ninguna frecuencia
característica.
Una forma de obtener resultados experimentales, como en el caso de la
turbulencia, es por medio de análisis de frecuencias del fenómeno en cuestión.
Este es el motivo por el cual introdujimos la explicación en términos de esta
cantidad.
§10. ¿Determinismo o indeterminismo?…predictibilidad
Una
de las más grandes metas de la ciencia es ser capaz de predecir fenómenos.
Veamos con un poco de detalle lo que esto significa.
Después de investigar a fondo un fenómeno específico, se han podido establecer
los mecanismos que rigen este fenómeno. Por ejemplo, el caso del movimiento de
los planetas alrededor del Sol fue estudiado por Newton, quien demostró que, si
hay una fuerza entre cuerpos que tienen masa, dada por la ley de la gravitación
universal que propuso, entonces, de acuerdo con sus leyes de movimiento los
planetas deberían girar alrededor del Sol en elipses. Newton estableció ciertas
ecuaciones matemáticas que describen el fenómeno y, a partir de la solución de
sus ecuaciones, encontró las elipses. Es decir, Newton pudo hacer una
predicción. Esta forma de proceder se llama en física construir un modelo. De
alguna forma este modelo refleja matemáticamente las características físicas
del sistema: en este caso, de la relación entre los planetas y el Sol.
Pero esto no es todo. Por medio de sus resultados Newton pudo considerar lo
siguiente: si se llega a saber dónde se encuentra un planeta en determinado
momento, se podrá saber dónde estará en cualquier otro instante de tiempo. Es
decir, si se conocen las condiciones iniciales del planeta se puede determinar
su trayectoria en el futuro. Aplicadas estas ideas al movimiento del cometa
Halley, este científico inglés predijo en el siglo XVIII, que el cometa debería
regresar cada 76 años, hecho que en efecto ha ocurrido; las dos últimas
apariciones fueron en 1910 y en 1986.
Sin embargo, para poder especificar las condiciones iniciales es necesario
medirlas con algún aparato. Como resultado de la medición de cualquier cantidad
se obtiene un número. Pero este número contiene incertidumbres, ya que en el
proceso de medición en que lo obtenemos hay factores que, en general, no se
pueden controlar. Por ejemplo, si se mide el peso de un cuerpo con una balanza,
pueden ocurrir errores en la lectura de la aguja, debido a alguna vibración que
produzca el paso de un vehículo, o a causa de alguna corriente de aire, etc. Es
decir, siempre que se mide algo hay errores. Por tanto, como resultado de una
medición se debe dar el número obtenido así como los límites de los errores que
se puedan cometer.
Así, por ejemplo, como resultado de una medición de peso se dirá que el peso
del cuerpo de interés se encuentra entre 54.5 kg y 54.8 kg. El
"verdadero" valor del peso está dentro de este intervalo. El
intervalo:
54.8
kg - 54.5 kg = 0.3 kg
es
un cálculo del error cometido al hacer la medición.
Por supuesto que mientras menores sean los errores que se cometan, mejor será
el resultado de la medición. Lo más que se puede hacer es lograr que el
intervalo dentro del cual caen las mediciones disminuya, pero no se puede
eliminar.
En general, podemos afirmar que no se puede hacer una medición con precisión
absoluta. Siempre se tendrá un intervalo de error dentro del cual cae el
"verdadero" valor. Los límites de error experimental son estimaciones
cuantitativas de la importancia de las perturbaciones que muchos factores
externos, prácticamente imposibles de controlar, provocan en la medición. La
determinación del intervalo de error experimental es parte del trabajo
cotidiano de un científico experimental. Mientras menor sea el intervalo de
error, más precisa será la medición efectuada.
Como consecuencia del hecho de que una medición contiene errores, ocurre lo
siguiente: supongamos que se lanza hacia abajo una piedra desde 7 m de altura
sobre el suelo (figura 21(a)) y queremos predecir dónde estará la piedra
después de 2 segundos. Si tenemos un modelo necesitaremos introducir las
condiciones iniciales; en este caso, una es la altura sobre el suelo. Supóngase
que al medir la posición inicial de la piedra se encuentra que los errores
experimentales la sitúan entre los puntos A y B de la figura, con un intervalo
de 0.12 cm. El modelo que se tiene puede entonces predecir que después de 2
segundos, la piedra se encontrará a una altura de 1.5 m sobre el suelo.
Figura 21. Al transcurrir el tiempo, el error inicial en la determinación de
la posición de la piedra (a) puede quedar dentro de un intervalo análogo al
inicial (b) o puede crecer mucho (c).
Ahora
supondremos que se produce una de las dos situaciones siguientes:
·
La piedra deberá estar en un intervalo de 0.14 cm entre los
puntos C y D (figura 21(b))
·
La piedra deberá estar en un intervalo de 2.15 cm entre los
puntos C y D (figura 21(c)).
Si
el modelo con el que se trabaja da lugar a los resultados del inciso (2)
entonces no se puede hablar de que el modelo predice dónde estará la piedra
después de 2 segundos, ya que los límites de error se magnificaron: de 0.12 cm
a 2.15 cm. Este resultado casi nos dice que la piedra puede estar, después de 2
segundos, en cualquier lugar. Claramente esto no es lo que llamaríamos una
predicción.
Por otro lado, en el caso del inciso (1) vemos que los errores se mantuvieron
muy parecidos a los de la determinación inicial. Se considera que en este caso
el modelo ha predicho la posición de la piedra. No es posible hacer una mejor
predicción.
Si se hace un experimento para determinar la posición de la piedra, los límites
de error deberán ser análogos a los hechos en el momento en que se determinó la
posición inicial.
En consecuencia, si los parámetros del sistema que se está considerando son
tales que la propagación de los errores no se amplifica, entonces el modelo sí
predice el comportamiento futuro del sistema (éste sería el caso del inciso
(1)). Si ocurre que los límites de error se amplifican (como en el caso del
inciso (2)), entonces el modelo no es capaz de predecir el comportamiento
futuro del sistema.
Ahora trataremos esta cuestión de la predicción para el caso que se consideró
en el capítulo 8, es decir, la forma en que evoluciona una población dada por
la ecuación (6), es decir, para el caso no lineal.
Consideremos el caso de q = 2.5 y tratemos dos condiciones
iniciales muy cercanas: 0.25 y 0.27. A continuación presentamos las primeras
iteraciones:
|
Valor inicial = 0.25 |
Valor inicial = 0.27 |
Diferencia |
|
0.4688 |
0.4928 |
0.0240 |
|
0.6226 |
0.6229 |
0.0003 |
|
0.5874 |
0.5860 |
0.014 |
|
0.6059 |
0.6065 |
0.0006 |
|
0.5970 |
0.5966 |
0.0004 |
|
0.6015 |
0.6017 |
0.0002 |
|
0.5992 |
0.5992 |
0.0000 |
|
0.6004 |
0.6004 |
0.0000 |
|
0.5998 |
0.5998 |
0.0000 |
|
0.6001 |
0.6001 |
0.0000 |
|
0.6000 |
0.5999 |
0.0001 |
|
0.6000 |
0.6000 |
0.0000 |
En la última columna se presenta el cálculo de la diferencia entre los valores
de cada renglón.
Se puede observar que, en primer lugar, la diferencia entre los valores
iniciales es 0.27 - 0.25 = 0.02. En segundo lugar, si se observa la columna de
diferencias podemos afirmar que éstas nunca son mayores que 0.02, la diferencia
inicial (excepto en el primer renglón, en que es de 0.024, que es parecido a
0.02), sino que disminuyen a medida que progresamos en la iteración hasta que
finalmente son prácticamente nulas. Esto último es una manifestación de algo
que ya conocemos. No importa cuáles sean las condiciones iniciales, para el
caso de q = 2.5, siempre se terminará con el valor final de
0.6. En consecuencia, en este caso el modelo sí es capaz de hacer una
predicción, ya que los límites de error iniciales no se amplifican, sino que
prácticamente se llega al mismo resultado (0.6) sin importar cuál haya sido el
valor inicial de la población.
Por otro lado, supóngase que el valor de q es igual a 3.6 y se
tratan dos condiciones iniciales, por ejemplo, 0.60 y 0.63; si uno se pregunta
cuáles son las poblaciones en las iteraciones 98, 99 y 100, se obtienen los
siguientes valores:
|
Valor inicial = 0.60 |
Valor inicial = 0.63 |
Diferencia |
|
0.3413 |
0.4567 |
0.1154 |
|
0.8094 |
0.8932 |
0.0838 |
|
0.5555 |
0.3433 |
0.2122 |
En primer lugar, vemos que la diferencia entre los valores iniciales es 0.63 -
0.60 = 0.03. En segundo lugar observamos que para estas iteraciones, las
diferencias no son del mismo tamaño que la inicial. Estas diferencias llegan a
ser mucho mayores que 0.03 y además son muy variables, la primera es de 0.1154,
luego es 0.0838 y enseguida crece fuertemente a 0.2122. Podemos afirmar
entonces que si la situación es tal que q =3.6, los límites de
error iniciales no nada más se amplifican, sino que se vuelven azarosos. Por
tanto, en este caso el modelo no es capaz de predecir la situación futura de la
población.
Del análisis de estos dos casos concluimos que: a) el modelo
es capaz de hacer predicciones, en el sentido que arriba mencionamos, si los
parámetros del sistema (en nuestro caso el valor de q) son tales
que ocurre un comportamiento periódico, y b) que el modelo no
es capaz de hacer predicciones si los parámetros son tales que se está en la
región caótica.
Por otro lado nos damos cuenta de que, para cualquier valor del parámetro q, la
regla para hacer iteraciones está completamente determinada. Esto significa que
el modelo es determinista. si uno da el valor de q y la
condición inicial de x, siempre obtendrá el mismo valor para la
iteración 127, digamos. En consecuencia, este modelo es determinista y presenta
dos tipos de regímenes: el periódico y el caótico. Puede parecer a primera
vista que hay una contradicción entre estos términos. Sin embargo, como se ha
ilustrado, éste no es el caso.
En este punto conviene hacer una aclaración muy importante. El modelo
constituye la descripción de una parte de la naturaleza: puede ser descrito en
términos matemáticos o no. Así el modelo dado en el capítulo 8 trata de
representar un fenómeno, el de la variación de la población de insectos. El
modelo es el que puede ser determinista o no, puede ser caótico o no. En
nuestro caso el modelo sí es determinista, porque se puede determinar cuantas
veces se quiera el valor de la población en el instante que se quiera (o sea la
iteración que se quiera) habiendo dado el parámetro q y la
condición inicial de x.
No hay que confundir entre el modelo que trata de representar a cierta realidad
con la realidad misma.
Se ha ilustrado un hecho muy importante. Un modelo determinista, como el de la
ecuación (6), en ciertas condiciones de los valores de los parámetros (por
ejemplo q) puede predecir el comportamiento futuro y los
errores en las condiciones iniciales no se amplifican. En otras condiciones,
para otros valores de los parámetros, el modelo no puede predecir el
comportamiento futuro; ahora los errores en las condiciones iniciales se
amplifican y además el comportamiento se vuelve azaroso. En el primer caso
(donde sí se pueden hacer predicciones) el sistema está en un régimen periódico.
En el segundo caso (donde no se pueden hacer predicciones) el sistema está en
un régimen caótico. Nótese que ambos tipos de comportamientos ¡se dan en el
mismo sistema!
En
la figura 22(a) se muestra una porción amplificada de la gráfica de la figura
19. Considérese la región QPRT que corresponde al periodo tres. Si se amplifica
esta porción se obtiene la figura 22(b).
Figura 22. Varias amplificaciones de la gráfica de la figura 19 muestran que
ésta es autosimilar.
Ahora
tomamos la región KLMN de esta última figura, la amplificamos y se encuentra la
figura 22(c).
Se observará que la figura 22(c) se parece a la 22(b); a su vez, la 22(b) se
parece a la 22(a). Si se siguieran haciendo amplificaciones a escalas cada vez
más y más grandes, se obtendrían figuras que se parecerían unas a otras.
Por tanto, recordando lo que se presentó en los capítulos 5 y 6, vemos que la
estructura geométrica de las gráficas de la figura 19 es autosimilar, y por lo
tanto forman un fractal.
Lo anterior ilustra el hecho de que hay una relación entre caos y fractales.
§12. Aritmética. La secuencia de Fibonacci
Vamos
a formar una secuencia de números de la siguiente forma. Empecemos con el cero
y el uno; si los sumamos nos da:
0+1
= 1.
Sumemos
ahora el 1 de la derecha con el anterior 1 del lado izquierdo:
1+1
= 2.
Ahora
sumemos este 2 con el 1 que está a la izquierda, antes del signo igual:
1+2
= 3
y
seguimos formando la secuencia, sumando el resultado con el último número del
lado izquierdo:
2 +
3 =5
3 +
5 = 8
5 +
8 = 13,
y
así sucesivamente.
De esta manera se forma la secuencia llamada de Fibonacci, que es,
0,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...
Esta
secuencia tiene características aritméticas muy interesantes y, sin haberse
pretendido, tiene aplicaciones importantes, como veremos.
En primer lugar, multipliquemos cada número de la secuencia por el número 1.6.
Así se obtiene la siguiente secuencia:
0,
1.6, 1.6, 3.2, 4.8, 8.0, 12.8, 20.8, 33.6,...
Si
ahora redondeamos cada uno de estos números al entero más cercano encontramos:
0,
2, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
que
a partir del segundo 2 es ¡precisamente la secuencia de Fibonacci! (a excepción
de unos términos iniciales y posiblemente algunos posteriores). Esto es,
resulta que la secuencia de Fibonacci es autosimilar.
Ahora vamos a construir otra secuencia, a partir de la de Fibonacci, como
sigue. Tomamos un número de la secuencia de Fibonacci y lo dividimos entre el
siguiente. Si empezamos con el segundo, que es 1, y lo dividimos entre el
tercero, que también es 1, nos da:
1/1
= 1
Ahora
dividimos el tercero, que es 1, entre el cuarto, que es 2, y nos da:
1/2
= 0,5
Al
dividir el cuarto, que es 2, entre el quinto, que es 3, nos da:
2/3
= 0,666
Si
seguimos así obtenemos los siguientes números:
3/5
= 0,6
5/8
= 0,625
8/13
= 0,615
13/21
= 0,619 etc.
Si
seguimos así nos daremos cuenta de que todos los demás cocientes se van
acercando al número 0.618. Este último recibe el nombre de la media dorada.
Otra manera de obtenerlo es como sigue:
Sumemos 1 con 1, que nos da 2. Tomemos su inverso:
1/(1+1)
= 1/2 = 0,5
Sumemos
1 a este número
1 +
0,5 = 1,5
Tomemos
su inverso:
1/1,5
= 0,666
El
lector se dará cuenta que lo que hizo es la operación siguiente:
Ahora
repetimos el procedimiento con 0.666. Le sumamos 1, que nos da 1.666 y tomamos
su inverso:
Nótese
que lo que se ha hecho hasta ahora es:
Continuando
de esta manera se obtienen las siguientes formas. Le sumamos 1 a 0.6 y
obtenemos 1.6. Su inverso es:
1/1,6
= 0,626
Este
valor también se puede escribir como sigue:
Si
se continúa con este procedimiento llega un momento en que se obtiene el número
0.618. Continuando, le sumamos 1 y obtenemos 1.618. Su inverso es:
1/1.618
= 0,618
¡Otra
vez 0.618! Por tanto, al continuar con el procedimiento obtendremos todo el
tiempo 0.618.
En la figura 23 se muestra la forma de encontrar este número 0.618, que recibe
el nombre de la media dorada.
A este tipo de quebrados se les llama fracciones continuas. Por lo tanto, la
media dorada se obtiene también como una fracción continua. En la figura 23
vemos que es geométricamente autosimilar.
La secuencia de Fibonacci fue obtenida por primera vez en 1202 por el
matemático italiano Leonardo de Pisa, hijo de Bonacci (en italiano, figlio de
Bonacci, o Fibonacci, nombre que se le quedó), al tratar la cuestión del
crecimiento de una población de conejos. Se hizo la pregunta de cuántas parejas
de conejos habrá después de cierto número de temporadas de crianza, esto es,
cómo se multiplican los conejos. Para simplificar supuso lo siguiente:
1. Se
empieza con una pareja inmadura.
2. Los
conejos maduran una temporada después de haber nacido.
3. Las
parejas de conejos maduras producen una nueva pareja cada temporada de crianza.
4. Los
conejos nunca mueren.
Figura 23. La sucesión de operaciones para obtener la media dorada es
autosimilar.
De
acuerdo con estas reglas, el número de conejos en una generación es igual a la
suma de las parejas de conejos que hay en las dos generaciones anteriores. Si
se empieza con una pareja, después de una temporada se produce una nueva
pareja. Por tanto, al final de la temporada hay 1 + 1= 2 parejas de conejos. Si
se sigue de esta manera se encuentran los siguientes números de parejas en las
sucesivas temporadas:
1,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,...
que
es precisamente la secuencia de Fibonacci.
Otra manera de ver lo anterior es como sigue: vamos a llamar con el número 0 a
una pareja inmadura y con el 1 a una pareja madura. Por tanto, después de una
temporada una pareja inmadura (0) producirá una pareja madura (1), o sea, donde
hay un 0 → 1. Además, una pareja madura (1) produce una pareja inmadura (0) y,
por lo tanto, después de esta temporada existirán la pareja madura (1) y la
inmadura (0). En consecuencia, después de una temporada donde hay un 1 → 10.
Con esta regla de transformar unos y ceros, veamos qué se obtiene al
transcurrir las temporadas.
Si empezamos con 0 → 1; este 1 → 10; el último 1 → 10, y el 0 se transforma en
1, por lo que el 10 → 101. Transformando cada uno de estos números de acuerdo
con la regla que dimos:
101
→ 10110
Este
último número se transforma, a su vez, en:
10110
→ 10110101
y
éste a su vez en:
10110101
→ 1011010110110,
y
así seguimos indefinidamente. De esta forma se obtiene la secuencia siguiente
0,
1, 10, 101, 10110, 10110101, 1011010110110,...
llegando
después de muchas temporadas, al número:
1011010110110...
Es
esta secuencia autosimilar? En este número vamos a subrayar las parejas
"10":
10 1
10 10 1 10 1 10...
Si
en lugar de cada pareja "10" subrayada sustituimos ahora un
"1", y en lugar de cada "1" no subrayado sustituimos un
"0", encontramos lo siguiente:
10110101...
que
es la secuencia (A).
Esta secuencia la podemos ver gráficamente como sigue (figura 24).
Figura 24. Una pareja inmadura se muestra en blanco y otra, madura, en
negro. Son los resultados que se obtienen en cada temporada.
Dibujemos
una pareja inmadura en blanco, y una pareja madura en negro. Al principio hay
sólo una pareja inmadura (renglón 1). Después de una temporada, esta pareja
llega a la madurez (renglón 2) y, además de seguir viviendo, produce una pareja
inmadura después de una temporada. Por tanto, en la tercera temporada (renglón
3) hay una pareja madura y una inmadura.
Siguiendo con este razonamiento, se muestran en la figura 24 las poblaciones en
varias temporadas posteriores. Si ahora representamos una pareja inmadura (en
blanco) con el "0" y a una madura (en negro) con el "1", se
van obteniendo las siguientes secuencias
0
1
10
101
10110
10110101
que
son precisamente las secuencias que vimos arriba. El lector se dará cuenta de
que una pareja inmadura (0) produce una pareja madura (1), o sea, 0 → 1.
Además, después de una temporada, una pareja madura (1) produce una inmadura
(0), por lo que al final de la temporada quedan la madura (1) y la inmadura
(0), o sea, 1 → 10. Estas transformaciones son precisamente las que se usaron
arriba.
Una
consecuencia obtenida al aplicar el concepto de la autosimilitud fue lograr la
predicción de la existencia de una nueva fase de la materia, a saber, los
cuasicristales. Haremos una breve revisión de algunos conceptos referentes al
estado sólido.
La materia se encuentra a nuestro alrededor formando diferentes fases: la
gaseosa, la líquida y la sólida.
En la fase gaseosa, los átomos o moléculas se mueven y giran totalmente al
azar. Esto da como consecuencia que el gas no tenga ninguna estructura.
En un líquido los átomos también están desordenados. En un sólido se dan varias
posibilidades. En un caso importante los átomos se encuentran situados al azar,
o sea desordenados; éste es un sólido amorfo. Un ejemplo son los vidrios.
En otros sólidos, los átomos se encuentran formando redes periódicas, dando
lugar a un cristal. Muchas sustancias sólidas conocidas son cristales, como la
sal de mesa, formada por átomos de cloro y de sodio (figura 25) o los
diamantes.
Figura 25. Esquema de un cristal. Nótese que cada celda se va repitiendo.
En
un cristal los arreglos son periódicos, lo que significa que se repiten.
Además, en un cristal hay simetrías, lo que significa que si se traslada el
cristal a determinada distancia, entonces el patrón se repite.
Figura 26. Simetrías de un cristal en dos dimensiones: (a) simetría de
180°=360°/2; (b) simetría de 90°=360/4; (c) simetría de 120°=360°/3 y (d)
simetría de 60°/6. No hay simetría de 360°/5=72°.
Por
ejemplo, en la figura 26 se muestran redes cristalinas en dos dimensiones
(debido a que se encuentran en un plano, el de la hoja). Si se traslada
cualquiera de ellas adecuadamente, se vuelve a repetir la red.
Nos damos cuenta de que cada una de estas redes tiene una simetría. Esto quiere
decir que si se gira la red por cierto ángulo alrededor de un punto que esté en
el centro del "azulejo", se vuelve a recuperar la red. Por ejemplo,
en el caso de la figura 27, que está formada de "azulejos"
hexagonales, si se gira el patrón alrededor del punto C en un ángulo de 60°, el
punto A cae en el punto B, que es un punto de la red.
Figura 27. Una celda en que los átomos ocupan los vértices de un hexágono
tiene simetría de 60°=360°/6.
Si
el ángulo que se girara fuera de 45° digamos, entonces el punto A caería en el
punto D, que no es punto de la red, y ésta no se reproduciría. Decimos que la
red hexagonal tiene simetría de 60° = 360°/6. Para los casos de la figura 26,
al girar el punto A alrededor de C al ángulo anotado a continuación, llega al
punto B, que es un punto de la red. Las simetrías son entonces:
a. figura
26(a): 180°= 360°/2;
b. figura
26(b): 90° = 360°/4;
c. figura
26(c): 120°= 360°/3;
d. figura
26(d): 60° = 360°/6.
En
la teoría del estado sólido se demuestra que, en el caso de dos dimensiones,
éstas son las únicas posibles simetrías.
Un caso prohibido es la simetría de 5, o sea la que resultaría de un giro de
360&3176/5 = 72°. La demostración es la siguiente: supóngase que los puntos
A y B sean puntos de una red, en que la distancia AB sea la mínima en el
cristal (figura 28(a)). Los puntos A y B están entonces ocupados por átomos. Si
hubiera simetría de 72°, esto querría decir que si se gira el cristal, con
centro en el punto A, por un ángulo de 72° (figura 28(b)) entonces el punto B
caería en el punto C, que debería ser ocupado por un átomo. De la misma forma,
al girar el cristal por un ángulo de 72° alrededor del punto B (figura 28(c)),
el punto A caería en el punto D, que también debería ser ocupado por un átomo.
En consecuencia, los puntos C y D también serían puntos de la red cristalina
(figura 28(d)). Vemos que la distancia CD es menor que la distancia AB. Pero se
partió del hecho de que la mínima distancia entre dos átomos es la distancia
AB. Por lo tanto se llega a una contradicción, hecho que indica que no puede
darse este tipo de simetría.
Lo que hemos mencionado para el caso de dos dimensiones, también se aplica en
el de tres dimensiones. No todas las simetrías son posibles.
Durante muchos años así lo pensaron los científicos e ingenieros. Sin embargo,
en 1984 se anunció el descubrimiento de la fase de una aleación de
aluminio-manganeso que tiene simetría de 72°. Esto se descubrió por medio del
patrón de difracción de electrones mostrado en la figura 29. La muestra se
bombardea con un haz de electrones y se registran en una película las
direcciones de los electrones que salen de la muestra. [2]
Solamente diremos que este patrón refleja las simetrías que tiene la sustancia.
Se puede ver en la figura 29 que si se gira el patrón alrededor del centro un
ángulo de 72º, se vuelve a recuperar el patrón original. Es decir, hay simetría
de 72°.
Figura 28. Demostración de que la simetría de 72° = 360°/5 no es posible.
La
pregunta que inmediatamente surgió fue: ¿cómo es posible llenar el plano con
cierta figura de manera completa? Si nos fijamos en la figura 26(b) vemos que
con la celda cuadrada es posible llenar completamente un plano. Por este motivo
es que ocurre la simetría 4. Es posible llenar el plano con cada una de las
forma de la figura 26. ¿Cómo sería posible llenar el plano para que se obtenga
una simetría de 72°?
Figura 29. Patrón de difracción de electrones en una muestra de
aluminio-manganeso que tiene la simetría de 72° = 360°/5.
Una
manera de llenar un plano con esta simetría es la mostrada en la figura 30. A
primera vista la figura da la impresión de ser periódica. Sin embargo, a
diferencia de lo que pasa con las formas de la figura 26, si nos fijamos con
detenimiento, veremos que ahora ya no hay periodicidad. A este tipo de
estructura se le llama cuasicristal.
Se han descubierto también cuasicristales de tres dimensiones, mas no
hablaremos de ellos.
Figura 30. Forma en que se puede llenar todo el plano con figuras que tiene
la simetría de 72°. Nótese que esta estructura no es periódica.
Pero,
¿qué tiene que ver todo esto con la autosimilitud? Para contestar esta pregunta
vamos a construir, en primer lugar, una red de una dimensión, es decir; a lo
largo de una línea recta. Para este fin consideremos primero una red cuadrada
como la que se muestra en la figura 31(a). Ahora tracemos una línea recta
(figura 31(b)) que forme con el eje horizontal un ángulo de 58.280. Esta línea
es la LK. Al lector que sepa trigonometría le diremos que este ángulo es tal
que su tangente es igual a (1/0.618) = 1.618, donde 0.618 es la media dorada de
la que se trató en el capítulo anterior. Es decir, el ángulo de 58.28° está
relacionado con la media dorada.
La línea recta LK cruza varios cuadrados de la red, como por ejemplo, el ABCD.
Ahora bien, cada vez que la línea entre en un cuadrado, desde el vértice
superior izquierdo se trazará una línea perpendicular a la línea recta. Así, en
el cuadrado ABCD, el vértice superior izquierdo es D; desde D se traza la línea
DQ, perpendicular a la línea LK De esta manera se forman en la línea los puntos
Q, P, R, T,S,... y resulta que las distancias QP, RT, TS sólo adquieren dos
valores. Las distancias QP, RT, TS son iguales entre sí; asimismo, las
distancias PR, SV, WX, ... son también iguales entre sí. De las dos distancias que
se forman, una es más grande que la otra. Por ejemplo, PR es menor que QP.
Figura 31. Procedimiento de construcción de un cuasicristal a lo largo de
una línea recta. En el texto se ilustra la importancia de la media dorada para
esta construcción.
Resulta
que la relación entre estas dos distancias diferentes que así se forman es:
PR/QP
= 0,618
¡igual
a la media dorada! Si llamamos longitud grande igual a "1" y a la
pequeña igual a "0", entonces las longitudes en las que se divide la
línea transversal, a partir de Q, son (figura 31(c)):
1011010110110...
que
es precisamente la secuencia de Fibonacci, que se trató en el capítulo anterior
(véase (A) de la página 72). Si ahora consideramos la línea LK y en los puntos
Q, P, R,... se colocan átomos, se forma un cuasicristal en una dimensión.
Para los casos de dos y tres dimensiones se puede hacer algo análogo. Sin
embargo, esto implica consideraciones en las que no entraremos y solamente
diremos que se puede hacer con ayuda de una computadora. Para el caso de dos
dimensiones lo que se obtiene es el arreglo mostrado en la figura 32. Si uno se
fija con cuidado, los puntos de esta red no forman una red periódica. Resulta
que estos puntos corresponden a los vértices de la red mostrada en la figura
30. Nótese que esta red cubre completamente todo el plano pero no es periódica.
Por otro lado, el patrón de difracción de electrones que produce una red como
la mostrada en la figura 32 es ¡precisamente el patrón mostrado en la figura
29! En consecuencia, el patrón de la figura 29 obtenido experimentalmente,
corresponde a una red con simetría de 72°.
Figura 32. Cuasicristal construido en dos dimensiones siguiendo el
procedimiento correspondiente a la figura 31 en un plano.
Podemos
afirmar que las redes que se construyeron en las figuras 31(c) y 32 son
cuasicristales, en una y dos dimensiones, respectivamente.
De la manera en que se construyeron estos cuasicristales vemos que llevan
inmersos dentro de sus estructuras una característica de autosimilitud, que se
encuentra en la secuencia de Fibonacci.
§14. Leyes de potencias. Otra fuente de similitud
Uno
de los notables descubrimientos de Newton fue la ley de la gravitación
universal, según la cual si dos cuerpos tienen masa, cuando están cerca uno del
otro hay una fuerza de atracción entre ellos. Así, por ejemplo, la Tierra atrae
a la Luna y el Sol a la Tierra. Para nuestros propósitos, lo importante de esta
ley es que nos indica, en primer lugar, que la fuerza entre los cuerpos depende
de la distancia entre ellos. No da lo mismo tener dos cuerpos muy cercanos uno
del otro que muy separados. Mientras mayor sea la distancia entre los cuerpos,
menor será la fuerza entre ellos, ya que a medida que la distancia entre dos
cuerpos sea mayor, menor será el efecto que uno ejerza sobre el otro.
En segundo lugar, la ley de la gravitación universal nos indica cómo depende la
fuerza de la distancia. Supongamos que dos cuerpos están a una distancia de un
metro y la fuerza tiene determinado valor. Si la distancia entre estos mismos
cuerpos aumenta al doble, o sea a 2 m, entonces la fuerza disminuye a la cuarta
parte. Si la distancia aumenta al triple, o sea a 3 m, la fuerza disminuye a la
novena parte, etcétera.
La cuarta parte de la fuerza es igual a 1/4; pero 4 = 22, o sea, 2
elevado a la potencia 2; por lo que la cuarta parte es igual a 1/2 2.
La novena parte de la fuerza es igual a 1/9; pero 9 = 32, o sea, 3
elevado a la potencia 2; por lo que la novena parte es igual a 1/3 2,
etc. En consecuencia: si la distancia aumenta 2 veces, la fuerza disminuye 1/22 veces;
si la distancia aumenta 3 veces, la fuerza disminuye 1/32 veces;
si la distancia aumenta 4 veces, la fuerza disminuye 1/42 veces,
etcétera.
Esto último se expresa diciendo que la disminución del valor de la fuerza es
como el cuadrado de la distancia. En forma abreviada, usando lenguaje
matemático lo anterior se expresa diciendo que la fuerza depende en forma
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Inversamente quiere
decir que al aumentar la distancia disminuye la fuerza.
Ahora bien, si en lugar de haber considerado la distancia en la escala de metros
la hubiéramos tomado en la escala de kilómetros, la forma en que varía la
fuerza con la distancia no cambia, sigue disminuyendo en razón al cuadrado de
la distancia. Si se toma una escala en miles o de millones de kilómetros (como
ocurre en el caso del sistema planetario), la dependencia de la fuerza con la
distancia sigue siendo la misma. Por tanto, como el mismo comportamiento ocurre
sin importar la escala, este fenómeno es autosimilar.
Existen otros fenómenos en la naturaleza en los que la dependencia de la
distancia no es como el cuadrado, que acabamos de considerar, sino que dependen
de otra potencia. Además, puede ocurrir que la fuerza no disminuya al aumentar
la distancia, sino que aumente. Por ejemplo, podemos considerar un resorte: si
éste se estira sabemos entonces que ejerce una fuerza que trata de regresarlo a
su posición original (se dice de equilibrio). Mientras mayor sea la distancia
que se estire, mayor será la fuerza que el resorte ejerza. Lo mismo ocurre
cuando se comprime, mientras mayor sea la distancia que se le comprima, mayor
será la fuerza que ejerza.
Además, resulta que: si la distancia aumenta al doble, la fuerza aumenta al
doble; si la distancia aumenta al triple, la fuerza aumenta al triple,
etcétera.
O dicho de otra manera: si la distancia aumenta 2 veces, la fuerza aumenta 2
veces; si la distancia aumenta 3 veces, la fuerza aumenta 3 veces, etcétera.
Vemos ahora que el 2, o el 3, son 21 y 31, respectivamente, cantidades elevadas
a la potencia 1.
En este caso vemos que la fuerza aumenta como la distancia. Usando lenguaje
matemático se abrevia esta información diciendo que la fuerza es proporcional a
la primera potencia de la distancia.
En este caso, también hay autosimilitud.
Hemos hablado de relación entre fuerzas y distancias. Sin embargo, en muchos
fenómenos alguna cantidad depende de una variable (no necesariamente la
distancia), ya sea:
·
inversamente, lo que quiere decir que al aumentar el valor de la
variable disminuye el valor de la cantidad, o bien
·
en forma proporcional, lo que quiere decir que al aumentar el
valor de la variable aumenta el valor de la cantidad.
Además,
la dependencia entre la cantidad y la variable de la que depende puede darse
por medio de alguna potencia, que no necesariamente tiene que ser siempre ni 2
(como en la ley de la gravitación universal) ni 1 (como en el resorte). Puede
ser con otro valor numérico, ya sea entero o no.
Cuando la dependencia de una cantidad de su variable es como la que acabamos de
explicar se dice que el fenómeno está regido por una ley de potencias. En todos
estos casos existe la autosimilitud.
§15. La similitud en la música. Cómo usó Bach las…leyes de
potencias de las que jamás oyó hablar
El
análisis de la estructura de diferentes obras musicales ha demostrado que la
selección de las notas que han hecho diferentes compositores, en distintas
épocas, tiene algunos elementos comunes. Trátese de uno de los Conciertos de
Brandemburgo de Bach, del Cuarteto de cuerdas # 3 de Babbit, de obras de piano
de Scott Joplin, todas estas obras tienen la misma forma si se considera la
estructura en términos de frecuencias. Explicaremos esto a continuación.
En el análisis auditivo de diversas obras musicales una cantidad que se ha
estudiado es la potencia de audio de la música. Esta cantidad es, en esencia,
la energía que se emite en forma de ondas sonoras cada segundo, cuando se
ejecuta la obra musical. Al analizar cómo está estructurada esta cantidad, en términos
de la frecuencia, se obtiene lo que se llama su espectro.
¿Cómo dependen de la frecuencia los espectros de las diferentes obras
musicales?
Los análisis hechos de diferentes obras musicales han mostrado que sus
espectros dependen de la frecuencia, que llamaremos con la letra f, como (1/f).
Si recordamos lo que se analizó en el capítulo anterior vemos que este espectro
es una ley de potencia que, en el lenguaje matemático, depende de la frecuencia
en forma inversa a la primera potencia de f (ya que el exponente de la f en
(1/f) es 1). Por lo tanto, como ya se describió, este espectro es autosimilar y
en consecuencia, contiene una estructura fractal.
Un espectro del tipo mencionado en el párrafo anterior recibe el nombre de
espectro rosa.
¿Por qué Bach y muchos otros compositores escogieron el espectro rosa? La
realidad es que ningún músico oyó hablar jamás de estas ideas, ni mucho menos
las escogió de manera deliberada. Para entender lo que sucede explicaremos cómo
se haría música con otro tipo de espectro.
Una forma sería como sigue: cada nota que se escribe es tal que su posición y
duración no dependen para nada de las notas anteriores ni de su duración.
Figura 33. (a) Ejemplo de música blanca. (b) Ejemplo de música café. (c)
Ejemplo de música rosa.
En
este caso se dice que la composición es completamente al azar o estocástica. Un
ejemplo de este tipo de música se presenta en la figura 33(a). El espectro de
la potencia de audio de este tipo de música es el mismo para cualquier valor de
la frecuencia, lo que significa que el valor de la potencia es el mismo para
cualesquiera valores de la frecuencia, o sea, que se trata de una cantidad
constante. Matemáticamente, el espectro depende de la frecuencia (1/f0),
ya que f0 = 1. A un espectro de este tipo se le
llama blanco. Si se tocara este tipo de música en un instrumento la oiríamos
sin estructura; además daría la impresión de que de una nota a otra siempre
habría una sorpresa.
Otro tipo de espectro, yéndose al otro extremo, es el que depende de la
frecuencia (1/f2), espectro llamado brown o café, nombre que
se le dio porque está asociado al movimiento browniano que se trató en el
capítulo 4. En la figura 33(b) se presenta música que tiene el espectro café.
En la música cada nota y su duración dependen en grado considerable de las
notas anteriores. Por lo tanto, la sensación que se tiene al escucharla es que
después de haber tocado unas notas las que siguen son previsibles.
La música que tiene espectro rosa, o sea (1/f), se encuentra, por así decirlo,
entre los casos de música al azar (espectro blanco) y música determinista
(espectro café). En este caso las notas y su duración no son ni muy previsibles
ni muy sorprendentes. Un ejemplo de este tipo de música se muestra en la figura
33(c).
Regresando a la pregunta que se hizo arriba: ¿por qué los compositores usaron
efectivamente espectros rosas, o sea una ley de potencias (1/f) para componer
su música?, se puede afirmar que los compositores han intentado, y por cierto
muchos de ellos logrado, componer música interesante. La cuestión se debería
plantear como sigue: ¿por qué la música interesante tiene un espectro rosa? La
respuesta podría ser que la música con este tipo de espectro resulta ser ni muy
previsible (espectro café) ni muy sorprendente (espectro blanco). El científico
holandés Balthazaar van de Pol afirmó en una ocasión que la música de Bach es
grandiosa porque es inevitable y al mismo tiempo sorprendente, lo que significa
que su espectro es rosa.
Debido a que la música que tiene un espectro rosa es autosimilar, tiene
estructura similar en diferentes escalas de frecuencias. Lo que ocurre en una
escala de frecuencias debe ocurrir en cualquier otra escala de frecuencias. Si
se grabara una composición de este tipo en cinta magnética a cierta velocidad y
se tocara a distintas velocidades, lo que se oiría sería similar a lo grabado.
Esto contrasta con lo que ocurre con la voz humana, pues cuando se toca una
grabación a una velocidad, por ejemplo al doble de lo que debiera hacerse, se
oye muy chillona. Una forma de exhibir la autosimilitud es con ayuda de un
aparato electrónico que genere sonidos de las frecuencias que uno desea. Si se
produce un sonido que sea la superposición de 2 notas, siendo cada nota una
octava (de frecuencia doble) de la anterior y se empieza con una nota de 10
Hertz (Hz), (1 Hertz = 1Hz = 1/seg), las siguientes 11 notas serían de
frecuencias:
20 =
2 x 10,
40 = 4 x 10,
80 = 8 x 10,
160 =16 x 10,
320 = 32 x 10,
640 = 64 x 10,
1280 = 128 x 10,
2560 = 256 x 10,
5120 = 512 x 10,
10240 = 1024 x 10 y
20480 = 2048 x 10,
todas
en unidades Hz.
Ahora cambiemos cada una de estas notas por otras que sean de frecuencias
mayores por un semitono (que corresponde a la diferencia entre dos notas
sucesivas de un piano); la frecuencia del semitono se obtiene de la nota
anterior multiplicando por 1.05946. Ahora se tocará el sonido que es la
superposición de las frecuencias siguientes:
10 x
1,05946 = 10,6,
20 x 1,05946 = 21,2,
40 x 1,05946 = 42,38,
80 x 1,05946 = 84,76,
160 x 1,05946 = 169,51,
320 x 1,05946 = 339,03,
640 x 1,05946 = 678,06,
1280 x 1,05946 = 1356,11,
2560 x 1,05946 = 2712,22,
5120 x 1,05946 = 5424,44,
10240 x 1,05946 = 10848,88 y
20480 x 1,05946 = 21697,74 Hz
Este
sonido se oirá con un tono más alto que el anterior.
Si se aumenta otra vez la frecuencia de cada una de las notas en un semitono,
la superposición de los nuevos sonidos producirá un sonido de tono aún más
alto. Si se repite 12 veces el proceso de aumentar en un semitono cada uno de
los componentes del sonido, resulta que el sonido que se produce es
¡indistinguible del original! Ésta es una demostración musical de la
autosimilitud.
§16. La turbulencia de los fluidos
El
fenómeno de la turbulencia ha sido estudiado por un buen número de científicos
a lo largo de más de 150 años. Desafortunadamente durante casi todo este tiempo
no se le pudo dar una explicación satisfactoria. No fue sino hasta el decenio
1980-1990 que finalmente se ha empezado a entender el fenómeno de la
turbulencia en términos de caos.
Cuando el agua de un río fluye por su cauce sabemos que existen diferentes
formas de flujo. Si la velocidad del agua es pequeña, entonces este flujo es
regular; cuando el agua pasa por alguna piedra que está en el río, simplemente
la rodea y el flujo continúa de manera regular. Se dice que el flujo es
laminar, ya que su movimiento ocurre como si un conjunto de láminas de agua
fluyera una sobre otra.
Sin embargo, al aumentar la velocidad del agua llega cierto momento en que el
flujo se vuelve altamente irregular. Nos damos cuenta de que al bordear la
piedra se producen remolinos. Si la velocidad del agua es mucho más alta
todavía, aparecen remolinos dentro de los remolinos. En estas condiciones el
flujo del agua es turbulento.
La descripción inicial de estos fenómenos, que corresponden a la hidrodinámica,
fue hecha aplicando las leyes del movimiento de Newton a los fluidos. De esta
manera se encontró una ecuación que resultó ser no lineal. En la bibliografía
técnica esta ecuación recibe el nombre de Navier-Stokes. Como ha ocurrido con
la mayoría de las ecuaciones no lineales, la ecuación de Navier-Stokes no se ha
podido resolver de manera exacta.
En el caso en que la velocidad del líquido es muy reducida, el término no
lineal de la ecuación de Navier-Stokes resulta ser extraordinariamente pequeño
y es posible no tomarlo en cuenta, obteniéndose así una ecuación lineal, que sí
se ha podido resolver. Bajo estas condiciones nos encontramos en el régimen
laminar. Las propiedades de los flujos laminares se han obtenido y se conocen
bastante bien. De hecho, gran parte de la tecnología basada en la hidrodinámica
se ha desarrollado a partir de las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes
linealizada.
Un ejemplo de turbulencia ocurre cuando se calienta un pocillo de agua en una
estufa. Como se sabe, si se deja calentar el agua un tiempo suficiente, ésta
aumenta su temperatura y empieza a verse un movimiento en el agua, que recibe
el nombre de convección. La causa de la convección se debe a que la porción de
agua más cercana a la flama se calienta y por tanto su volumen aumenta. Al
ocurrir esta dilatación, esta agua se vuelve más ligera que el agua más fría de
arriba. Por tanto, el agua fría es más pesada y se mueve hacia abajo,
desalojando a la caliente, que a su vez se mueve hacia arriba. De esta forma se
genera un movimiento tipo circular de abajo hacia arriba y de arriba hacia
abajo.
A medida que continúa aumentando la temperatura, el movimiento se hace muy
irregular y, cuando esto sucede, se dice que ha empezado la turbulencia.
En la década de 1980-1990 se hicieron varios trabajos muy cuidadosos sobre la
turbulencia debida a variaciones de la temperatura. Para estudiar este fenómeno
se encierra un líquido en una cápsula muy pequeña y se mantiene una diferencia
de temperatura fija entre las superficies superior e inferior de la cápsula. La
superficie inferior se mantiene más caliente que la superior. Esta diferencia
de temperatura causa que el líquido en la parte inferior se expanda,
volviéndose más ligero que el de arriba. Éste empieza a bajar y el de abajo
sube, es decir, ocurre la convección. Si las longitudes del recipiente tienen
valores bien determinados, el movimiento del líquido se realiza alrededor de
trayectorias cilíndricas (figura 34).
Después de cierto tiempo, si no cambia la diferencia de temperatura entre ambas
caras, el movimiento se hace estacionario, lo que quiere decir que el giro se
vuelve periódico; el líquido tarda cierto tiempo en dar una vuelta completa. En
el experimento se mide este tiempo o periodo de flujo.
El experimento se lleva a cabo cambiando gradualmente la diferencia de
temperaturas entre las caras de la cápsula. Para cada valor de esta diferencia
se espera el tiempo necesario hasta que se llega a una situación estacionaria y
se registra el periodo del movimiento.
Figura 34. En determinadas circunstancias el movimiento de convección se da
en trayectorias cilíndricas.
Lo
que se encontró es que al aumentar la diferencia de temperaturas llega un
momento en que aparecen dos periodos, es decir, hay dos tiempos de giro, y no
nada más esto, sino que uno de los tiempos es igual al que había anteriormente,
y el otro tiene valor doble respecto al primero. Esto significa que se presenta
un fenómeno de bifurcación (véase el capítulo 8).
Al seguir aumentando la diferencia de temperatura llega otro momento en que
parecen cuatro tiempos, o sea cuatro periodos, es decir, se produce otra
bifurcación. Continuando de esta manera se encuentran las características que
estudiamos en el capítulo 8, sobre el camino al caos. Hemos de decir que en
este caso particular la diferencia de temperatura entre las caras de la cápsula
es el análogo de la cantidad q con la que se trabajó en la ecuación (6) del
capítulo 8. Una mayor diferencia de temperatura corresponde a un valor mayor de
este parámetro.
Una forma —que resultó adecuada— de presentar los resultados fue haciendo un
análisis no de periodos sino de frecuencias. En la figura 35 se muestra una
sucesión de las frecuencias que aparecen para cada valor fijo de la diferencia
de temperatura, o sea, del valor q.
Figura 35. Frecuencias características que aparecen al aumentar
continuamente la diferencia de temperaturas: (a) hay dos frecuencias; (b) hay
cuatro frecuencias, y (c) Caso en que hay turbulencia. Las frecuencias son
muchísimas. Se ha llegado al régimen caótico.
En
primer lugar, cuando el valor de la diferencia es suficientemente pequeño, sólo
hay una frecuencia (o sea, un solo periodo); al aumentar esta diferencia, llega
un momento en que aparecen dos frecuencias (figura 35 (a)), una igual a la
anterior y la otra igual a la mitad. Al aumentar todavía más la diferencia de
temperatura aparecen cuatro frecuencias, la inicial, una igual a la mitad, otra
de valor igual a la cuarta parte y otra más igual a la octava parte del valor
de la inicial (figura 35(b)). Si la diferencia de temperatura continúa
aumentando, van apareciendo más y más frecuencias precisamente con los valores
asociados con las bifurcaciones. Finalmente, llega un momento en que hay
frecuencias de todos los valores (figura 35(c)). Se ha llegado al régimen
caótico. En esta situación, dentro del fluido se inicia el régimen turbulento.
Por tanto, se ha demostrado que la turbulencia está asociada precisamente al
caos que describirnos en el capítulo 8.
Se han realizado diversos experimentos análogos, con condiciones que generan
turbulencias. Los análisis de los resultados obtenidos, bajo el punto de vista
que acabamos de considerar, indican que al iniciarse la turbulencia es cuando
empieza el caos. La relación entre turbulencia y caos en un fluido es tema de
investigación activa en la actualidad.
§17. Acerca de los ciclos biológicos. El caso del…corazón. El
caos saludable
En
los sistemas biológicos existe un variado número de ritmos. Uno de los más
conocidos es el latido del corazón; otro es el ritmo de sueño, que se presenta
en los animales y en el hombre. Ambos, en general, están asociados a los
llamados relojes biológicos.
La forma acostumbrada de estudiar este tipo de fenómenos ha sido investigar el
órgano biológico que lo produce y estudiar con todo detalle su comportamiento
biológico, químico y físico. Así se han obtenido los conocimientos que han
permitido el gran avance de la medicina. Sin embargo, esta forma de proceder no
ha sido suficiente. A partir de los años ochenta se ha dado un nuevo enfoque en
la investigación de los fenómenos biológicos, a saber, dirigir el estudio a las
propiedades globales de los sistemas considerándolos no lineales. El lector se
dará cuenta de que ésta es precisamente la manera corno se ha tratado otro tipo
de fenómenos, la turbulencia por ejemplo.
Entre lo primero que se investigó fue el movimiento de los ojos de las personas
afectadas de esquizofrenia. Si una persona normal observa la oscilación del
péndulo de un reloj de pared, por ejemplo, sus ojos siguen el péndulo
continuamente, como si estuvieran ligados al movimiento. En contraste, cuando
un esquizofrénico ve la oscilación del péndulo, sus ojos realizan una serie de
movimientos erráticos cuyo origen es desconocido.
Se ha creído que la causa de estas fluctuaciones se debe a las variaciones de
las señales que provienen del sistema nervioso central, que es el que controla
los músculos de los ojos. Se ha supuesto que estas fluctuaciones se deben a
perturbaciones al azar que afligen el cerebro de los esquizofrénicos. Si las
señales de entrada tienen ruido, se esperaría que los resultados también
mostraran ruido.
Al estudiar este fenómeno usando las novedosas ideas del caos, se encontró que
este tipo de comportamiento se podría entender de otra forma.
Resulta que el movimiento del ojo puede considerarse un fenómeno no lineal. En
el sistema del ojo hay varios parámetros, análogos al parámetro q del capítulo
8, que son la masa del ojo, la viscosidad de los líquidos dentro del ojo,
etcétera.
Se ha descubierto que en el movimiento del ojo hay varios regímenes, tanto de
orden como de caos, dependiendo de los valores de los parámetros. Para algunos
valores de los parámetros (que equivalen a valores pequeños de q en el capítulo
8) el movimiento del ojo es regular. Al aumentar estos valores, o sea el grado
de no linealidad (que equivale a aumentar el valor de q en el capítulo 8),
empieza una secuencia de doblamiento de periodo y bifurcaciones, que finalmente
lleva a un régimen caótico, en el que el ojo se mueve tal como se informa que
ocurre con los esquizofrénicos.
En consecuencia, el movimiento irregular de los ojos de los esquizofrénicos
parece que no se debe a señales enviadas al azar por el cerebro, sino que es
consecuencia inevitable de excesiva no linealidad en su sistema ocular; por
supuesto que entonces la forma de evitarlo sería disminuirla. Sin embargo,
todavía no se ha podido hacerlo en la práctica, y por tanto, la cuestión sigue
abierta. La irregularidad en el movimiento de los ojos se presenta no sólo en
los esquizofrénicos sino también en otros pacientes con enfermedades
neurológicas.
La forma de proceder que hemos reseñado, en la que los detalles particulares no
desempeñan el papel principal en el comportamiento del sistema, sino en la que
el punto crucial es reconocer que el fenómeno está regido por el comportamiento
global, ha empezado a dar frutos.
El caso del corazón merece atención especial, pues en él se dan varios tipos de
ritmos, que se han investigado en forma aislada y han sido categorizados. Es
posible distinguirlos en los electrocardiogramas. Sus irregularidades han sido
reconocidas como signos de alguna enfermedad. Sin embargo, sólo recientemente
se ha empezado a analizar su dinámica.
Muy importante es la fibrilación, que causa miles de muertes súbitas al año. En
muchos casos, éstas se deben al bloqueo de las arterias, que a su vez causan la
muerte del músculo que bombea la sangre. Sin embargo, no se sabe a qué se debe.
En un corazón normal los músculos se contraen y relajan de manera periódica,
mientras que cuando ocurre la fibrilación los músculos del corazón se
contorsionan sin coordinación alguna y no pueden bombear sangre. En un corazón
normal las señales eléctricas viajan de manera coordinada a lo largo del
órgano. Cuando la señal llega, cada célula se contrae; enseguida la célula se
relaja durante un intervalo determinado, dentro del cual no puede volver a
contraerse. En cambio, cuando hay fibrilación la onda se esparce sin
coordinación con el resultado de que el corazón nunca está del todo contraído
ni del todo relajado.
Una forma de ayudar a un paciente que ha sufrido un ataque de fibrilación es
aplicarle una corriente eléctrica —un shock eléctrico—, con lo que a menudo su
corazón vuelve a trabajar normalmente.
En un corazón afectado de fibrilación cada una de sus partes puede estar
funcionando normalmente. Las autopsias de las personas que murieron por esta
causa muestran que los músculos no están dañados y que, sin embargo, el
conjunto del corazón no funcionó.
El corazón es un sistema complejo, que ha empezado a ser estudiado desde un
ángulo distinto: el del caos. Se ha encontrado que su actividad eléctrica
presenta secuencias de doblamiento de periodos hasta llegar a un régimen
caótico, comportamiento similar al de otros sistemas que desarrollan caos.
Resulta que cuando se presenta la fibrilación se está en un régimen caótico, y
al dar un shock eléctrico los parámetros del corazón se modifican y éste
regresa a un régimen que ya no es caótico, por lo que su comportamiento vuelve
a ser regular.
Por lo tanto, se ve que la modificación de algún parámetro relacionado con el
funcionamiento del corazón, como por ejemplo un cambio en la conductividad de
los músculos o en el tiempo de llegada de alguna señal, puede alterar el
régimen en que se encuentra el órgano. Esto correspondería a modificar el
parámetro q del capítulo 8. La consecuencia es que este cambio puede hacer que
el órgano sano pase por una bifurcación y tenga un nuevo comportamiento
cualitativo. Como sabemos, al pasar una bifurcación aparecen nuevos periodos de
oscilación que no siempre pueden ser sanos, pues dan otros dos ritmos al
corazón.
El comportamiento caótico de algún sistema biológico no siempre está
relacionado con alguna enfermedad. Aunque pueda parecer increíble, se ha
empezado a considerar el caos como fuente de salud. Los sistemas no lineales
tienen la capacidad de regulación y de control. Si a un sistema que se comporta
linealmente se le produce una pequeña perturbación, entonces se comportará de
manera cercana a como lo haría si no se le hubiera perturbado. Sin embargo, si
se da la misma perturbación a un sistema no lineal, éste tiende a volver a su
condición inicial. Recuérdese que en el sistema no lineal que se vio en el
capítulo 8 los valores finales que adquiría la variable x no dependían de sus
valores iniciales. Entonces, si el sistema está en un instante dado en el valor
final y a la siguiente iteración, o sea al siguiente instante de tiempo, se le
da un valor distinto del final, después de varias iteraciones, es decir,
después de cierto tiempo, regresa al valor que tenía, que es el valor final
correspondiente al valor de q. Por tanto, para un valor fijo de q el sistema
siempre tenderá a tener un valor final de su variable; se puede decir que, pase
lo que pase, está "condenado" a terminar con ese valor.
Ahora bien, si un sistema llegara siempre a un valor final de sus variables,
sin importar el valor de sus parámetros (q, en el caso que hemos tratado),
entonces este sistema no podría ajustarse a cambios. Sin embargo, los seres
vivientes deben poder adaptarse a los cambios. Por tanto en un sistema como el
tratado, si las circunstancias externas hacen que el valor de q se altere,
entonces los valores finales que adquirirá la variable x serán distintos de los
que tenía antes del cambio. Si el sistema biológico es capaz de vivir con los
nuevos valores finales significa que se ha podido adaptar a las nuevas circunstancias.
Si no, desaparecerá.
El hecho de que muchos sistemas biológicos sean no lineales y se comporten
caóticamente ha permitido la posibilidad de adaptación. Algunos investigadores
han sugerido que para que estos sistemas sobrevivan bajo nuevas circunstancias
tendrán que desarrollar estructuras fractales. Por ejemplo, las fibras
conductoras del corazón o las redes que forman los bronquios tienen estructura
fractal que permite una gran variedad de ritmos.
Por lo tanto, se puede llegar a la sorprendente conclusión de que el caos
permite la salud, mientras que si un sistema fuera totalmente pronosticable, al
ocurrir cualquier cambio se enfermaría y poco después desaparecería.
De estas consideraciones se obtiene una sugerencia muy interesante: cuando una
enfermedad se debe a la inadaptabilidad del organismo a los posibles nuevos
ritmos debidos al cambio de circunstancias, el tratamiento debería consistir en
ampliar sus capacidades para que estos nuevos ritmos fueran capaces de darse.
Esta idea puede abrir una nueva forma de tratar ciertas enfermedades.
§18. Estructuras biológicas y raras. La sabia…evolución y los
fractales
En
los sistemas biológicos existe un variado número de ritmos. Uno de los más
conocidos es el latido del corazón; otro es el ritmo de sueño, que se presenta
en los animales y en el hombre. Ambos, en general, están asociados a los
llamados relojes biológicos.
La forma acostumbrada de estudiar este tipo de fenómenos ha sido investigar el
órgano biológico que lo produce y estudiar con todo detalle su comportamiento
biológico, químico y físico. Así se han obtenido los conocimientos que han
permitido el gran avance de la medicina. Sin embargo, esta forma de proceder no
ha sido suficiente. A partir de los años ochenta se ha dado un nuevo enfoque en
la investigación de los fenómenos biológicos, a saber, dirigir el estudio a las
propiedades globales de los sistemas considerándolos no lineales. El lector se
dará cuenta de que ésta es precisamente la manera corno se ha tratado otro tipo
de fenómenos, la turbulencia por ejemplo.
Entre lo primero que se investigó fue el movimiento de los ojos de las personas
afectadas de esquizofrenia. Si una persona normal observa la oscilación del
péndulo de un reloj de pared, por ejemplo, sus ojos siguen el péndulo
continuamente, como si estuvieran ligados al movimiento. En contraste, cuando
un esquizofrénico ve la oscilación del péndulo, sus ojos realizan una serie de
movimientos erráticos cuyo origen es desconocido.
Se ha creído que la causa de estas fluctuaciones se debe a las variaciones de
las señales que provienen del sistema nervioso central, que es el que controla
los músculos de los ojos. Se ha supuesto que estas fluctuaciones se deben a
perturbaciones al azar que afligen el cerebro de los esquizofrénicos. Si las
señales de entrada tienen ruido, se esperaría que los resultados también
mostraran ruido.
Al estudiar este fenómeno usando las novedosas ideas del caos, se encontró que
este tipo de comportamiento se podría entender de otra forma.
Resulta que el movimiento del ojo puede considerarse un fenómeno no lineal. En
el sistema del ojo hay varios parámetros, análogos al parámetro q del capítulo
8, que son la masa del ojo, la viscosidad de los líquidos dentro del ojo,
etcétera.
Se ha descubierto que en el movimiento del ojo hay varios regímenes, tanto de
orden como de caos, dependiendo de los valores de los parámetros. Para algunos
valores de los parámetros (que equivalen a valores pequeños de q en el capítulo
8) el movimiento del ojo es regular. Al aumentar estos valores, o sea el grado
de no linealidad (que equivale a aumentar el valor de q en el capítulo 8),
empieza una secuencia de doblamiento de periodo y bifurcaciones, que finalmente
lleva a un régimen caótico, en el que el ojo se mueve tal como se informa que
ocurre con los esquizofrénicos.
En consecuencia, el movimiento irregular de los ojos de los esquizofrénicos
parece que no se debe a señales enviadas al azar por el cerebro, sino que es
consecuencia inevitable de excesiva no linealidad en su sistema ocular; por
supuesto que entonces la forma de evitarlo sería disminuirla. Sin embargo,
todavía no se ha podido hacerlo en la práctica, y por tanto, la cuestión sigue
abierta. La irregularidad en el movimiento de los ojos se presenta no sólo en
los esquizofrénicos sino también en otros pacientes con enfermedades
neurológicas.
La forma de proceder que hemos reseñado, en la que los detalles particulares no
desempeñan el papel principal en el comportamiento del sistema, sino en la que
el punto crucial es reconocer que el fenómeno está regido por el comportamiento
global, ha empezado a dar frutos.
El caso del corazón merece atención especial, pues en él se dan varios tipos de
ritmos, que se han investigado en forma aislada y han sido categorizados. Es
posible distinguirlos en los electrocardiogramas. Sus irregularidades han sido
reconocidas como signos de alguna enfermedad. Sin embargo, sólo recientemente
se ha empezado a analizar su dinámica.
Muy importante es la fibrilación, que causa miles de muertes súbitas al año. En
muchos casos, éstas se deben al bloqueo de las arterias, que a su vez causan la
muerte del músculo que bombea la sangre. Sin embargo, no se sabe a qué se debe.
En un corazón normal los músculos se contraen y relajan de manera periódica,
mientras que cuando ocurre la fibrilación los músculos del corazón se
contorsionan sin coordinación alguna y no pueden bombear sangre. En un corazón
normal las señales eléctricas viajan de manera coordinada a lo largo del
órgano. Cuando la señal llega, cada célula se contrae; enseguida la célula se
relaja durante un intervalo determinado, dentro del cual no puede volver a
contraerse. En cambio, cuando hay fibrilación la onda se esparce sin
coordinación con el resultado de que el corazón nunca está del todo contraído
ni del todo relajado.
Una forma de ayudar a un paciente que ha sufrido un ataque de fibrilación es
aplicarle una corriente eléctrica —un shock eléctrico—, con lo que a menudo su
corazón vuelve a trabajar normalmente.
En un corazón afectado de fibrilación cada una de sus partes puede estar
funcionando normalmente. Las autopsias de las personas que murieron por esta
causa muestran que los músculos no están dañados y que, sin embargo, el
conjunto del corazón no funcionó.
El corazón es un sistema complejo, que ha empezado a ser estudiado desde un
ángulo distinto: el del caos. Se ha encontrado que su actividad eléctrica
presenta secuencias de doblamiento de periodos hasta llegar a un régimen
caótico, comportamiento similar al de otros sistemas que desarrollan caos.
Resulta que cuando se presenta la fibrilación se está en un régimen caótico, y
al dar un shock eléctrico los parámetros del corazón se modifican y éste
regresa a un régimen que ya no es caótico, por lo que su comportamiento vuelve
a ser regular.
Por lo tanto, se ve que la modificación de algún parámetro relacionado con el
funcionamiento del corazón, como por ejemplo un cambio en la conductividad de
los músculos o en el tiempo de llegada de alguna señal, puede alterar el
régimen en que se encuentra el órgano. Esto correspondería a modificar el
parámetro q del capítulo 8. La consecuencia es que este cambio puede hacer que
el órgano sano pase por una bifurcación y tenga un nuevo comportamiento
cualitativo. Como sabemos, al pasar una bifurcación aparecen nuevos periodos de
oscilación que no siempre pueden ser sanos, pues dan otros dos ritmos al
corazón.
El comportamiento caótico de algún sistema biológico no siempre está
relacionado con alguna enfermedad. Aunque pueda parecer increíble, se ha
empezado a considerar el caos como fuente de salud. Los sistemas no lineales
tienen la capacidad de regulación y de control. Si a un sistema que se comporta
linealmente se le produce una pequeña perturbación, entonces se comportará de
manera cercana a como lo haría si no se le hubiera perturbado. Sin embargo, si
se da la misma perturbación a un sistema no lineal, éste tiende a volver a su
condición inicial. Recuérdese que en el sistema no lineal que se vio en el
capítulo 8 los valores finales que adquiría la variable x no dependían de sus
valores iniciales. Entonces, si el sistema está en un instante dado en el valor
final y a la siguiente iteración, o sea al siguiente instante de tiempo, se le
da un valor distinto del final, después de varias iteraciones, es decir,
después de cierto tiempo, regresa al valor que tenía, que es el valor final
correspondiente al valor de q. Por tanto, para un valor fijo de q el sistema
siempre tenderá a tener un valor final de su variable; se puede decir que, pase
lo que pase, está "condenado" a terminar con ese valor.
Ahora bien, si un sistema llegara siempre a un valor final de sus variables,
sin importar el valor de sus parámetros (q, en el caso que hemos tratado),
entonces este sistema no podría ajustarse a cambios. Sin embargo, los seres
vivientes deben poder adaptarse a los cambios. Por tanto en un sistema como el
tratado, si las circunstancias externas hacen que el valor de q se altere,
entonces los valores finales que adquirirá la variable x serán distintos de los
que tenía antes del cambio. Si el sistema biológico es capaz de vivir con los
nuevos valores finales significa que se ha podido adaptar a las nuevas circunstancias.
Si no, desaparecerá.
El hecho de que muchos sistemas biológicos sean no lineales y se comporten
caóticamente ha permitido la posibilidad de adaptación. Algunos investigadores
han sugerido que para que estos sistemas sobrevivan bajo nuevas circunstancias
tendrán que desarrollar estructuras fractales. Por ejemplo, las fibras
conductoras del corazón o las redes que forman los bronquios tienen estructura
fractal que permite una gran variedad de ritmos.
Por lo tanto, se puede llegar a la sorprendente conclusión de que el caos
permite la salud, mientras que si un sistema fuera totalmente pronosticable, al
ocurrir cualquier cambio se enfermaría y poco después desaparecería.
De estas consideraciones se obtiene una sugerencia muy interesante: cuando una
enfermedad se debe a la inadaptabilidad del organismo a los posibles nuevos
ritmos debidos al cambio de circunstancias, el tratamiento debería consistir en
ampliar sus capacidades para que estos nuevos ritmos fueran capaces de darse.
Esta idea puede abrir una nueva forma de tratar ciertas enfermedades.
§19. El diseño de estructura en la ingeniería
Vamos
a construir un fractal de la siguiente forma. Tomemos una línea recta de cierta
longitud (figura 36(a)) que supondremos que es de valor uno. Dividamos ahora
esta línea en tres partes iguales y quitemos la parte central (figura 36(b)).
Cada segmento de los que quedaron tiene ahora longitud igual a (1/3).
Figura 36. Procedimiento para construir el polvo de Cantor.
Enseguida
repetimos el mismo procedimiento con cada uno de los segmentos restantes,
obteniendo la figura 36(c). Cada uno de los segmentos tiene una longitud de
(1/9) (un tercio de un tercio). Por tanto ahora se tienen cuatro segmentos de
longitud (1/9) cada uno.
Si se repite este procedimiento con cada uno de los segmentos obtenidos, se
encuentran sucesivamente las líneas mostradas en la figura 36 (d). En cada paso
se va encontrando un número mayor de segmentos, pero cada uno de menor
longitud.
Si se llevara a cabo este procedimiento un número muy grande de veces, se
llegaría a obtener un "polvo" formado de un número
extraordinariamente grande de segmentos, cada uno de longitud pequeñísima.
Supongamos que la longitud de la línea original, la de la figura 36(a) es igual
a 1. La longitud de cada línea de la figura 36(b) es entonces igual a (1/3).
Por tanto, como hay dos líneas, la longitud total de las líneas de la figura
36(b) es:
En
la figura 36(c) hay 4 líneas y cada una tiene de longitud:
Por
tanto, la longitud total de las líneas de la figura 36(c) es:
En
el primer renglón de la figura 36(d) hay ocho líneas y cada una con una
longitud igual a:
En
consecuencia, la longitud total de las líneas de este renglón es:
Continuando
de la misma manera vemos que en el segundo renglón de la figura 36(d) hay 16
líneas, cada una con una longitud de:
La
longitud total es:
En
el tercer renglón de la figura 36(d) hay 32 líneas, cada una tiene de longitud:
La
longitud total es:
En
resumen, vemos que las longitudes totales de las líneas de las figuras 36(d)
son, sucesivamente:
1,
0.667, 0.444, 0.296, 0.1975, 0.132, ...
Cada
vez que pasamos de una figura a otra la longitud total va disminuyendo, pero el
número de líneas va aumentando (de 1 a 2 a 4 a 8 a 16 a 32 a ...).
Si así continuáramos indefinidamente, el número de líneas crecería sin límite y
la longitud total sería cada vez más y más pequeña.
Este conjunto de segmentos se denomina el polvo de Cantor. Ahora comparemos los
segmentos en el primer y segundo renglones de la figura 36(d). Nos damos cuenta
de que ambas figuras son similares; lo mismo sucede al comparar el segundo y el
tercer renglones. Esto nos indica que el polvo de Cantor es un fractal, con una
dimensión de 0.63, que es un número comprendido entre 0 y 1. Esta dimensión es
mayor que 0, ya que el polvo es mucho más que un punto (dimensión 0) y mucho
menos que una línea continua (dimensión 1).
Figura 37. Procedimiento para construir una empaquetadura de Sierpinski. Uno
se puede preguntar si es posible construir un fractal análogo al polvo de
Cantor, pero en lugar de que sea en una dimensión, que ocurra en dos
dimensiones. La respuesta es positiva.
Tomemos
como base un triángulo con los tres lados iguales, o sea equilátero (figura
37(a)). Enseguida dividimos cada lado en dos partes iguales y construimos otros
tres triángulos idénticos al anterior y los unimos como se muestra en la figura
37(b), dejando en blanco la porción central, que tiene la forma del mismo
triángulo con el que iniciamos la construcción. Enseguida eliminamos el
triángulo central.
En el siguiente paso dividimos cada lado de cada triángulo en dos partes
iguales y formarnos los triángulos mostrados en la figura 37(c). Asimismo
quitamos los triángulos blancos.
Continuando de esta manera se llega a configurar un objeto como el mostrado en
la figura 37(d). Si se sigue así indefinidamente se construirá un objeto que
recibe el nombre de empaquetadura (gasket en inglés) de Sierpinski. Nos damos
cuenta de que este objeto tiene agujeros en todas las escalas, y que es
autosimilar, por lo que es un fractal. La dimensión fractal que tiene la
empaquetadura de Sierpinski es 1.58. Nótese que esta figura es más que una
línea recta (dimensión 1) y menos que una superficie (dimensión 2).
Supongamos que la longitud del lado del triángulo de la figura 37 (a) sea igual
a 1. El perímetro de este triángulo es igual a la suma de sus tres lados, o
sea:
3 x
1 = 3.
La
longitud de cada línea de la figura 37(b) es (1/2) Por tanto, cada triángulo
negro tiene un perímetro de:
En
vista de que hay tres triángulos negros, su perímetro total es:
3 x
1.5 = 4.5.
La
longitud de cada línea de la figura 37(c) es:
Cada
triángulo negro de esta figura tiene un perímetro de:
En
vista de que hay nueve triángulos negros, su perímetro total es:
9 x
0.75= 6.75.
En
la figura 37(d), la longitud de cada línea es:
En
consecuencia, cada triángulo negro tiene un perímetro de:
Dado
que hay 27 triángulos negros, su perímetro es:
27 x
0.375 = 10.125.
De
estos cálculos apreciamos que al pasar de una figura a la siguiente, el
perímetro de los triángulos negros va aumentando: 3, 4.5, 6.75, 10.125, ... Sin
embargo, también vemos que de una figura a la otra, el número de huecos también
aumenta, por lo que el área total de los triángulos negros va disminuyendo. Si
se siguiera este procedimiento indefinidamente, concluiríamos que la
empaquetadura de Sierpinski ¡tiene un perímetro infinito pero su área es de
cero!
Se puede, asimismo, iniciar la construcción en dos dimensiones con un cuadrado,
en lugar de iniciarla con un triángulo. Al cuadrado se le quita al centro un
cuadrado de lado igual a (1/3) del lado original. En seguida se remueven los
centros de los ocho cuadrados que quedan y así se continúa.
También se puede construir el análogo en tres dimensiones (figura 38).
Figura 38. Esponja de Menger.
Su
construcción se inicia con un tetraedro regular (pirámide cuyas caras son
cuatro triángulos equiláteros). Unimos cuatro pirámides de modo que en el
interior quede en blanco una pirámide igual a ellas; ésta se elimina.
Continuando de esta manera se obtiene la versión tridimensional de la
empaquetadura de Sierpinski. La dimensión de esta construcción es igual a 2,
que es menor que 3 en la cual se construyo. Resulta claro, ya que la
generalización tridimensional no llena completamente el espacio. Este objeto,
llamado esponja de Menger tiene ¡área superficial infinita y volumen nulo!
Nos damos cuenta de que las construcciones de Cantor, Sierpinski y Menger son
objetos muy calados, que tienen longitud (Cantor), área (Sierpinski) y volumen
(Menger) prácticamente nulos, ya que en el límite infinito casi no existen ni
segmento, ni triángulo, ni pirámide, respectivamente. Desde este punto de vista
matemático, tales construcciones son patológicas.
Supongamos que la masa del triángulo de la figura 37(a) es igual a 1. Cada
triángulo de la figura 37(b) tiene entonces una masa igual a (1/4). Como
solamente quedan tres de estos triángulos, la masa total en le figura 37(b) es:
La
masa de cada triángulo negro de la figura 37(c) es la cuarta parte de la de un
triángulo negro de la figura 37(b). Como la masa de este último triángulo es
(1/4), la masa de cada triángulo negro de la figura 37(c) es:
Dado
que en la figura 37(c) hay nueve triángulos negros, cada uno de masa igual a
(1/16), la masa total en esta figura es:
La
masa de cada triángulo negro de la figura 37(d) es la cuarta parte de la de un
triángulo negro de la figura 37(c). En vista de que la masa de este último
triángulo es igual a (1/16), la masa de cada triángulo negro de la figura 37(d)
es:
En
la figura 37(d) hay 27 triángulos negros y cada uno de ellos tiene una masa de
(1/64). Dado que hay 27 de estos triángulos, en la figura 37(d) hay una masa
de:
Ahora
bien, vemos que los triángulos de cada una de las figuras incluidas en la
figura 37 están dentro del área del triángulo original (figura 37(a)). Por
tanto, la sucesión de triángulos de la figura 37 va teniendo cada vez menos y
menos masa (1, 0.75, 0.5625, 0.4219,...) y éstas están encerradas en la misma
área. En consecuencia, la sucesión de figuras que da lugar a la empaquetadura
de Sierpinski se va volviendo cada vez más y más ligera. En el límite en que el
número de pasos es extraordinariamente grande, el número de triángulos es
también muy grande pero la masa total encerrada es muy pequeña, ¡casi nula! La
empaquetadura de Sierpinski es notablemente ligera.
Figura 39. El punto R se llama ramal.
Otra
característica importante de esta construcción es la siguiente. Consideremos
una curva como la que se muestra en la figura 39; al punto R se le llama punto
ramal. De acuerdo con el "sentido común" uno podría pensar que una
curva no puede consistir solamente de puntos ramales. Sin embargo, si
consideramos el perímetro, o sea, la línea que encierra la empaquetadura de
Sierpinski, ésta es una línea formada solamente por puntos ramales. Es decir,
en cada punto sale un ramal de la curva. Por supuesto, esto ocurre en el caso
en que se ha iterado un número muy grande de veces.
Las empaquetaduras de Sierpinski, tanto en dos como en tres dimensiones, son
modelos de muchas estructuras construidas por el hombre, así como de varios
fenómenos naturales. Un caso interesante se dio en la ingeniería civil, cuando
Gustave Eiffel construyó su famosa torre en París, Francia, en 1889 (figura
40). Esta construcción de 335 m de altura tiene cuatro lados y cada lado tiene
la forma de una letra A. Los cuerpos de cada parte de la A no están construidos
con vigas sólidas, llenas, sino con armaduras gigantescas. Si uno se fija con
detalle en cada una de estas armaduras, se dará cuenta de que están formadas, a
su vez, de otras armaduras, que están formadas de armaduras, que a su vez son
armaduras, que a su vez... Así se obtiene una estructura autosimilar que
constituye un fractal. Si compararnos una armadura y una viga cilíndrica llena
con la misma capacidad de carga, la armadura resultará muchísimo más ligera que
la viga. Eiffel sabía que las armaduras, cuyos miembros las integran a su vez
armaduras, son todavía más ligeras. Así, vemos que la Torre Eiffel es una
aproximación a la empaquetadura de Sierpinski en tres dimensiones. Además, se
trata de una estructura muy ligera, igual que en el caso de Sierpinski.
Figura 40. La estructura de la Torre Eiffel se acerca a una esponja de
Menger.
Otro
punto importante y crucial con respecto a la capacidad de carga de una
estructura es que, mientras más puntos ramales tenga una estructura, mayor será
la resistencia que pueda soportar. Resulta que la Torre Eiffel cuenta con
muchos puntos ramales. El famoso arquitecto estadunidense Buckminster Fuller,
diseñador de los domos geodésicos muy populares en la década 1960-1970, sabía
que la capacidad de carga reside no en la masa total de la estructura sino en
los puntos ramales que tenga. Mientras más puntos ramales tenga una estructura
más se acercará al ideal de una empaquetadura de Sierpinski y mayor será la
carga que pueda soportar.
De esta forma se pueden lograr estructuras muy ligeras que son capaces de
soportar cargas muy grandes. Mientras más se acerquen a una empaquetadura de
Sierpinski o a una esponja de Menger, mejor se logrará este efecto.
El
comportamiento de un sistema complejo, al que en general rigen leyes no
lineales, puede entenderse, como vimos, en términos de regiones periódicas y de
regiones caóticas. En el capítulo 8 estas regiones quedan delimitadas por
valores precisos de los parámetros característicos del sistema. En el ejemplo
tratado en el capítulo 8, el sistema está representado por un solo parámetro,
q. En la figura 19 podríamos colorear los valores de q que dan lugar a un
comportamiento periódico con un color, rojo, por ejemplo, y con otro, azul
digamos, los valores de q que dan un comportamiento caótico.
Sin embargo, en muchos sistemas no es uno sino varios los parámetros que lo
conforman. En este caso, el comportamiento es similar al que estudiamos, pero
hay una diferencia. El hecho de que haya varios parámetros hace que la frontera
entre un tipo de comportamiento, periódico, y otro, caótico, no sea tan fácil
de definir. Para aclarar lo que ocurre, supongamos que un sistema está regido
por una ecuación no lineal, similar a la ecuación (6) del capítulo 8, que tenga
dos parámetros, que llamaremos p y r. Procediendo de manera análoga a corno se
hizo en el capítulo 8, dados valores específicos de p y r, por ejemplo p = 2.1
y r = 0.43, se obtendría el tipo de comportamiento que sigue este sistema. Si
se cambian los valores p y r (equivalente a cambiar el valor de q) se vuelve a
encontrar el tipo de comportamiento, y así se continúa para todas las
posibilidades de p y de r.
Podemos presentar los resultados de este procedimiento de la forma siguiente:
consideremos dos ejes perpendiculares (figura 41) en los que uno de los ejes,
el horizontal, marque los valores de p, y el vertical los de r. Para un
conjunto de valores de p y de r dados (en la figura, para el valor p = a y r =
b) marcamos el punto P. Ahora bien, si este par de valores de los parámetros da
como resultado un comportamiento periódico del sistema, entonces el punto P lo
marcamos de negro, por ejemplo. Si el comportamiento del sistema para esta
pareja de valores resulta ser caótico, entonces marcamos el punto P con otro
tono, blanco, por ejemplo. De esta manera se obtiene una figura corno la de la
figura 42. Observamos que las regiones blancas y negras están entremezcladas.
Figura 41: Gráfica para el caso en que haya dos parámetros que describan el
sistema.
Si
quisiéramos ver en detalle la frontera entre una región negra y una blanca
adyacente, esto es, si amplificáramos la región encerrada en la figura 42,
obtendríamos lo que se ve en el figura 43; si ahora amplificáramos cualquier
región de la figura 43, se encontraría una figura similar a la figura 43.
Continuando de esta manera, al ir yendo a escalas cada vez más pequeñas se
muestra la gran complejidad de la separación entre dos regiones adyacentes, la
negra y la blanca. De hecho, se puede uno dar cuenta de que al cambiar de
escala hay similitud en las figuras que se van obteniendo. Por tanto, estas
figuras son fractales.
Figura 42. Las regiones negras corresponden a valores de los parámetros para
los cuales hay un comportamiento estable. Las regiones blancas corresponden a
comportamientos caóticos.
Si
el sistema estuviera regido por más de dos parámetros, la representación de lo
que ocurre ya no la podríamos hacer en dos dimensiones, sino en un número
mayor, cosa que no haremos.
Figura 43. Amplificación de la zona encerrada en la figura 42.
Consideremos
como ejemplo de un sistema complejo la red eléctrica de una región del país.
Este sistema es oscilatorio y un gran problema es saber lo que le ocurre si por
algún motivo se presenta una perturbación, como puede ser alguna variación en
el voltaje o la falla de una parte del sistema.
Cuando el sistema está funcionando en forma estable, los valores de los
parámetros tendrán ciertos valores a los que corresponderá un punto en una
región como la negra de la figura 42, que llamamos Q. Si ocurre alguna
perturbación en la red, entonces los valores de los parámetros cambian y por
tanto el punto Q ya no describe al sistema perturbado, sino que será otro punto
el que lo represente, digamos el T. Si éste cae dentro de una región negra,
entonces bajo los efectos de la perturbación, el sistema seguirá funcionando de
forma periódica, será estable. Pero ¿qué ocurre si el punto T cae en una región
blanca? En este caso el comportamiento del sistema será caótico y habrá
problemas.
Si el comportamiento del sistema está representado por gráficas análogas a las
de las figuras 42 y 43, entonces una pequeña variación en los parámetros p y r
puede pasar al sistema de una región negra (estable) a otra blanca (caótica),
que esté en su vecindad. Nótese que los puntos de una región negra están muy
cercanos, de hecho entremezclados, a los de las regiones blancas.
En general, el dominio en el cual un sistema complejo se comporta de manera
estable se adivina a partir de un conjunto pequeño de datos. En el
funcionamiento cotidiano de estos sistemas, el comportamiento se extrapola de
modo que cubra una variación muy estrecha de valores de los parámetros. Sin
embargo, esta extrapolación no está completamente justificada. ¿Qué ocurre si
al extrapolar se pasa de una región negra (estable) a una blanca (caótica)?
Nótese que una pequeña variación puede cambiar completamente el comportamiento
del sistema.
Un problema que debe tratarse al considerar el diseño de un sistema no lineal,
como la red eléctrica, es poder conocer con detalle la frontera entre las
regiones estables (negra) y caótica (blanca), la frontera entre la calma y la
catástrofe. Dentro de los sistemas conocidos esta frontera todavía no se conoce
con exactitud. Este problema es abierto. Es claro que, una vez conocida esta frontera,
se podrá saber a ciencia cierta cuándo los comportamientos serán seguros y se
podrán tomar las providencias necesarias para evitar caer en una región
caótica.
§21. El caos ordena la lingüística. La ley de Zipf
En
todo texto escrito hay palabras que se repiten. Por ejemplo, la preposición
"de". Así, en un texto se puede contar cuántas veces aparece
"de" y se encuentra un número. Si éste se divide entre el número
total de palabras del texto, se obtiene su frecuencia y, de esta manera, la
frecuencia de cada palabra que aparece en un escrito.
Ahora se enlistan las palabras del texto colocando en primer lugar la palabra
que aparece con mayor frecuencia; en segundo la palabra con segundo valor de
frecuencia, y así sucesivamente. Al lugar que ocupa una palabra en ese texto se
denominará rango de la palabra. Supongamos que en un texto la palabra de más
frecuencia es "de"; en la lista ocupará el primer lugar y por tanto
tendrá el primer rango. Si el artículo "el" tiene segundo valor de la
frecuencia ocupará el segundo lugar en la lista y tendrá rango dos, etcétera.
Del estudio de diferentes textos en varios idiomas se encuentra que existe una
relación entre la frecuencia de una palabra y su rango. En efecto, mientras
mayor sea el rango de una palabra, menor será la frecuencia con la que aparece
en el texto. Esto es claro, ya que mientras mayor sea su rango, más abajo
estará la palabra en la lista, lo que significa que menor será su frecuencia.
¿Cómo depende la frecuencia del rango? Pues resulta que depende en forma
inversa (porque disminuye a medida que el rango aumenta) de la primera potencia
del rango. Si denotamos con la letra f la frecuencia y con la letra r al rango,
entonces la relación matemática es que f depende de r como (1/r) (véanse los
capítulos 14 y 15). Este resultado se llama la ley de Zipf.
Nos damos cuenta de que esta dependencia es precisamente la misma que se
obtiene para otros fenómenos que ya estudiamos y que recibe el nombre de
dependencia (1/f). Como ya se vio, esta dependencia es la de una ley de
potencias; en este caso la potencia -1, matemáticamente hablando. Y ya Sabemos
que esta ley de potencias implica un comportamiento autosimilar.
La ley de Zipf también da la dependencia de la frecuencia de ocurrencia de una
palabra con respecto al número de palabras que se usen, o sea, a la amplitud
del vocabulario utilizado. Mientras menor sea el vocabulario, mayor será la
frecuencia de las palabras en los primeros rangos. Así por ejemplo, en un texto
en español con un vocabulario de alrededor de 10 000 palabras, las frecuencias
de las palabras de mayor rango, como "de", "el",
"y", son 0.11, 0.06, 0.33, respectivamente.
La dependencia que indica la ley de Zipf se encuentra no solamente en muchos de
los idiomas modernos, sino también en lenguajes especiales como la
hagioantroponomía, que estudia el empleo del nombre de los santos como
sobrenombres o apodos de personas; también lo estudia en su uso relativo a los
apellidos de familias.
La ley de Zipf tiene vigencia no solamente en el lenguaje en general sino en la
obra de escritores en particular. Por ejemplo, en el caso de un buen escritor
cuyo vocabulario activo sea de, digamos, unas 100 000 palabras, las palabras
que ocupan los primeros 10 lugares en la lista llenan alrededor de 25% del
texto, es decir, la frecuencia total de estas 10 palabras es de 0.25. En
contraste, en un texto en el que se usara una décima parte de aquel vocabulario
(unas 10 000 palabras), como el de un periódico, el porcentaje apenas crece a 30%.
Esto se debe principalmente a que el escritor no podría evitar el uso de
palabras como "de", "el", "y", "a",
etc., las que generalmente ocupan los primeros rangos en cualquier texto.
Una de las formas de entender el origen de la ley de Zipf ha sido considerada
con razonamientos como los que siguen: es cierto que los lenguajes han sido
producidos por el cerebro humano que genera su estructura; se ha hecho el
análisis de modelos dinámicos de lingüística acerca de los cuales existe mucho
material que ha sido descubierto por la psicología cognoscitiva, lo que ha
permitido hacerse algunas ideas acerca de la forma como procesa la información
un agente biológico, como el cerebro humano.
Se ha descubierto que esta dinámica presenta comportamientos caóticos como los
que describimos en el capítulo 8. Esto no debería extrañarnos ya que, como
vimos, una de las características de un régimen caótico es que puede generar
variedad, mientras que cuando está dentro del régimen periódico, o sea regular,
se produce la confiabilidad, ambas características necesarias en el lenguaje.
La variedad permite que haya innovación, mientras que la confiabilidad permite
que haya orden.
Consecuencia de construir el lenguaje con una dinámica que produzca un régimen
caótico es que la estadística que resulta con respecto a las palabras sigue la
ley de Zipf.
De hecho, este resultado se puede ver de manera más general. En vista de que
muchos tejidos, órganos y sistemas biológicos son fractales, dan lugar a
comportamientos caóticos que producen una ley, la de Zipf en el caso
lingüístico, que tiene estructura fractal.
§22. Economía ¿es posible ganar en la bolsa…de valores?
Todos
los días se ven en la sección financiera del periódico gráficas que muestran el
comportamiento del índice de precios de la bolsa de valores, como la que
aparece en la figura 44, que muestra alzas y bajas aparentemente sin
regularidad, al azar.
Figura 44. Gráfica de los índices de precios en la bolsa de valores de un
periodo determinado. Parece que las alzas y bajas no tienen regularidad alguna.
Para
mucha gente, en particular las que invierten dinero en la bolsa de valores, es
de interés poder predecir la tendencia y, si fuera posible, el precio de las
acciones, ya que si tuvieran esta información podrían comprar o vender con
ventaja y así ganar dinero.
Desde hace mucho tiempo los economistas han intentado estudiar y comprender los
movimientos de precios en la bolsa de valores. ¿De qué depende que una acción
suba o baje?
Los economistas han supuesto, en general, que la variación de los precios de
algún producto, por ejemplo el algodón, tiene dos componentes: una de largo
alcance, en el que los precios se regirían por fuerzas económicas profundas
como la apertura de rutas comerciales, inventos que utilizaran el producto, una
guerra, alguna innovación tecnológica que modificara el uso del producto, una
revolución, etc. Esta tendencia a largo alcance, meses, años o décadas,
quedaría determinada de manera muy clara.
La otra componente del precio sería de corto alcance: los precios variarían al
azar, debido a un número muy grande de causas, muchas de las cuales no se
podrían determinar con precisión. Estos vaivenes, llamados fluctuaciones, son
transitorios. Se ha pensado que casi no hay relación entre los dos ritmos de
largo y de corto alcance.
Figura 45. Curva gaussiana
Se
ha considerado que las variaciones de los precios, a largo alcance, siguen una
ley determinada, como la que se muestra en la figura 45 y que grafica la
probabilidad del cambio en el precio de, por ejemplo, el algodón. Esta curva,
llamada curva gaussiana, tiene forma de campana y nos dice que la mayoría de
los cambios ocurrirá cuando el precio esté dentro de los límites marcados entre
los valores A y B, alrededor de un valor promedio. Así, por ejemplo, la
probabilidad del valor C, muy lejano del intervalo AB, es muy pequeña. La
distribución gaussiana se utiliza en muchos campos en los que hay variables al
azar. Por ejemplo, si se miden las longitudes de los clavos de un paquete que
nominalmente deberían tener una longitud de 20 cm, se encontraría que no todos
tienen efectivamente esta longitud. Resulta que, si el paquete es grande, la
distribución de longitudes toma una forma gaussiana, centrada alrededor de 20
cm. Es decir, la mayoría de los clavos tiene una longitud, si no de 10 cm, sí
muy cercana a 20 cm. Una longitud de 45 cm tiene una probabilidad
extraordinariamente pequeña de ocurrencia. Este es el significado que tiene la
distribución gaussiana.
Sin embargo, en el intento de sobreponer los precios que el algodón adquirió de
1880 a 1958 se encontró que no se ajustaban a una curva gaussiana. Se hicieron
muchos intentos de hacer este ajuste, todos ellos sin éxito.
El mismo fracaso se alcanza al analizar los precios de diferentes acciones en
la bolsa de valores, en la que también se ha pensado que existen dos tipos de
ritmos casi independientes entre sí: largo y corto alcance.
Fue Mandelbrot el primero que vio los valores de los precios del algodón desde
otra perspectiva, y se preguntó: ¿por qué deberían los precios del algodón, o
para el caso de cualquier otra entidad económica, tener una distribución
gaussiana? Es más, ¿por qué debería haber una separación tan cortante, como lo
que se proponía, entre largo y corto alcance?
Una de las suposiciones implícitas que los economistas hicieron al trabajar con
la distribución gaussiana es que los precios cambian continuamente. Esto
significa que si hay una variación en el precio de una acción de $100 a $40,
entonces el precio debe pasar por todos los valores intermedios, o sea, la
acción debe adquirir los valores de $87.5, $55, $49.75, etc. Esto desde luego
no es cierto. Mandelbrot hizo la suposición de cambios discontinuos en los
precios y llegó así a la predicción de la distribución de precios que se
muestra en la figura 46, en la cual se dibuja la gráfica, en el eje vertical,
de una cantidad relacionada con la variación de precios, y en el eje
horizontal, de los precios. La predicción hecha es la curva continua y los
valores de los datos que tenía de las variaciones de los precios del algodón se
muestran por medio de puntos. El conjunto de puntos marcados con 1 corresponde
a cambios positivos de los precios diarios del algodón. El conjunto de puntos
marcado con 2 corresponde a cambios positivos de los precios mensuales; el
conjunto marcado con 3 corresponde a cambios de los precios anuales. Los
conjuntos 4, 5 y 6 corresponden a cambios negativos en los precios diarios,
mensuales y anuales, respectivamente.
Figura 46. Comparación entre la variación de precios en distintas
circunstancias (conjuntos de puntos) con las predicciones (líneas continuas).
Cada línea corresponde a una escala de tiempo distinta.
Nótese
que los distintos conjuntos de puntos corresponden a escalas de tiempo muy
diferentes. Si se copiara esta gráfica en un acetato transparente y se
trasladara la curva predicha (línea continua), se superpondría en cada uno de
los conjuntos empíricos formados por los puntos. Es decir, la misma predicción
resulta ser válida a lo largo de diferentes escalas: diaria, mensual y anual.
No hay diferencias entre las escalas temporales como se ha pensado. Esto
significa que hay similitud y que la estructura de los precios es fractal. Si
en lugar de hacer una gráfica como la de la figura 44, en que se muestran las
fluctuaciones de los precios de las acciones en la bolsa de valores a lo largo
de un día, se hiciera la gráfica a lo largo de un mes, o de un año, se
encontrarían gráficas que tienen la misma forma, o sea, son similares.
Doyne Farmer, Norman Packard y James McGill en Nuevo México, EUA, han llevado
este análisis de la economía mucho más adelante, considerando que la dinámica
que rige los fenómenos económicos es no lineal. Un efecto de ésta es que una
causa pequeña puede producir efectos muy grandes. Un ejemplo es la conocida
fábula del camello muy cargado al que, en cierto momento, se le añade una
pajita y se rompe su espalda. La paja es en extremo liviana, pero el peso extra
que añade tiene una consecuencia fuera de toda proporción. Esto se debe a que
su efecto NO queda determinado por una simple relación entre el peso de la paja
y el peso del camello, sino a una interacción muy complicada entre todos los factores
que afectan al camello, como los objetos que ya está cargando, si durmió bien
la noche anterior, la temperatura del desierto, etc. Es decir, una pequeña
causa puede ejercer un gran efecto.
Si en un fenómeno hay una relación directa entre la causa y el efecto, y si
ocurre que al aumentar la causa al doble el efecto aumenta al doble, entonces
la relación es lineal. Claramente, en el caso de la fábula la relación entre el
peso de la paja y el efecto sobre el camello no es lineal.
Si se considera el patrón de tráfico de vehículos en una ciudad grande y se
quisiera poder hacer predicciones, una manera de proceder sería aprender todo
lo que se pudiera sobre cada vehículo individual, todas sus velocidades y todos
los sentidos de las calles, etc. Sin embargo, esta forma de proceder no
permitiría hacer predicciones de tráfico. Si un conductor frena porque un niño
se le atraviesa, podrían darse repercusiones a varios kilómetros de distancia.
Es decir, este fenómeno es no lineal.
Si, por otro lado, se observa el tráfico desde cierta altura, por medio de un
helicóptero, uno se podría dar cuenta de que hay un flujo y sería posible hacer
predicciones a futuro, por lo menos para intervalos cortos. Nótese que el
observador del helicóptero no necesita información detallada acerca de las
características de cada uno de los vehículos.
Las personas que manejan las acciones en la bolsa de valores son análogas a los
coches y por medio de relaciones no lineales, como las que consideramos en el
capítulo 8, se pueden entender tendencias a corto alcance del comportamiento de
los precios de las acciones de la bolsa de valores.
Debido a que la dinámica de los precios es no lineal, como ya sabemos, en estos
casos existe un régimen caótico. Entender este hecho ha permitido a algunas
personas hacer predicciones a corto alcance, de unos cuantos días, sobre el
comportamiento de los precios. Es más, en 1991, Farmer, Packard y McGill
fundaron una compañía, The Prediction Company (Compañía de Predicciones) que se
dedica a analizar la evolución en el tiempo de los precios de diferentes
acciones de la bolsa de valores. Se basan en la teoría del caos, algunos de
cuyos elementos se trataron en el capítulo 8. Son capaces de hacer predicciones
que abarquen unos cuantos días sobre el comportamiento de precios, y los
resultados se los proporcionan a sus clientes.
Para tener una idea de cómo trabajan, diremos que toman como base lo siguiente:
regresando al tema tratado en el capítulo 8, estudiaremos el caso en que q =
3.6 y como valor inicial de x tomemos 0.6. Como vimos, este valor de q
corresponde a la región caótica. Al iterar en la misma forma que se hizo en el
capítulo 8, los valores de x que se obtienen, como lo puede comprobar el lector
son, sucesivamente: 0.6, 0.756, 0.664, 0.803, 0.569, 0.883, ... 0.437, 0.886,
0.364, 0.834, 0.499, 0.900, ...
Supongamos que se nos diera el valor de 0.437, con éste podríamos predecir que
los siguientes tres valores de x son: 0.886, 0.364, 0.834. Si por algún motivo,
como es lo que ocurre en el caso de la economía, no se conoce la función (6)
con cuya ayuda encontramos estos números, entonces hay procedimientos
matemáticos más complicados para encontrar los resultados, no de todas, pero sí
de las iteraciones inmediatas. Con este espíritu proceden en The Prediction
Company.
La manera matemática completa como se han podido hacer predicciones no está
todavía suficientemente desarrollada. Fundamentar y completar este trabajo
todavía tomará tiempo. Sin embargo, llevan una gran delantera sobre quienes
analizan la evolución de precios a la manera tradicional.
The Prediction Company mantiene en secreto los procedimientos que utiliza en
sus predicciones. Lo que se puede decir es que han ganado mucho dinero —ellos y
sus clientes— en la bolsa de valores.
Se podría pensar que si toda la gente que participa en la bolsa de valores
supiera que, por ejemplo, el jueves el precio de una acción va subir, entonces
el miércoles antes del cierre todos comprarían, y por tanto, el precio subiría
no el jueves, sino el miércoles, y por tanto, la predicción no serviría. Es
decir, el comportamiento en la bolsa de valores es tal, que si uno encuentra un
patrón, al actuar lo elimina. Esto no ocurre en un fenómeno físico.
Sin embargo, la filosofía de los miembros de la compañía de la que estamos
hablando es otra. Lo que pasa es que si se dice que se tiene una nueva idea, lo
prudente sería esperar a ver si efectivamente ocurre. Dejar pasar cierto tiempo
y no actuar. Si todo funciona bien, quien la emplee tendrá buenas ganancias y,
en el momento en que los demás quieran aprovechar esta idea, deja de funcionar.
El resultado neto es que el primero en idear y usar tal sistema sí ganó dinero.
§23. La composición de mapas. Relieves y…líneas costeras
En
el capítulo 5 se mencionó el hecho de que con fractales es posible imitar
mapas. Al igual que con cualquier fractal, como se recordará, se da una regla y
ésta se itera un número muy grande de veces. Así se logra con ciertos
algoritmos de manera muy realista el dibujo de un mapa, de un relieve
geográfico y de líneas costeras. Se puede escoger la dimensión fractal que deba
tener la figura. Cuando esta dimensión adquiere el valor mínimo, igual a 2, el
relieve es extremadamente liso. A medida que esta dimensión aumenta, el relieve
aparece más y más "corrugado" y empieza a aparecer un relieve
natural. Las iteraciones se hacen con un programa de computadora, en el que se
añade una rutina para simular la iluminación a partir de cierta dirección si el
observador está localizado en determinado punto fijo. De esta forma se
encuentran relieves y líneas costeras como las que se muestran en la figura 47.
Figura 47. Composiciones fractales que producen relieves geográficos y
líneas costeras.
Una
de las grandes ventajas de lograr imitar este tipo de características
geográficas es la siguiente: si, por ejemplo, se quisiera transmitir con ayuda
de un aparato electrónico de un lugar a otro y a través de un satélite la
imagen de una montaña, lo que se haría de primera intención sería tomar una
fotografía de la montaña, dividirla en una serie de pequeños cuadros (llamados
pixeles) y luego transmitir las tonalidades de cada uno. Esto implica codificar
y enviar una cantidad muy grande de información. Si se puede lograr su
imitación por medio de un fractal, entonces lo único que se debe transmitir es
la figura inicial o iniciador y el algoritmo que se debe repetir. Del otro lado
de la línea de comunicación se harán las iteraciones y se obtendrá la figura de
la montaña. Se debe apreciar que esta novedosa manera de transmitir información
es muy práctica, ya que lo que se envía es mínimo en comparación con los
resultados.
§24. ¿Durará el sistema solar?
DESDE
tiempos inmemoriales el hombre ha observado el cielo y los cuerpos celestes que
en él se encuentran, entre ellos la Luna y el Sol. Diversos pensadores llegaron
a la conclusión de que estos cuerpos celestes giran alrededor de la Tierra.
Posteriormente, después de observar durante mucho tiempo, seguramente siglos,
se descubrió que había otros cuerpos celestes, que ahora llamamos planetas, que
también se mueven en el firmamento. A diferencia de los planetas, las
estrellas, otro conjunto de cuerpos, parecen estar fijas.
No entraremos en la historia de cómo se descubrió que el Sol y los planetas no
giran alrededor de la Tierra, sino que junto con nuestro planeta, todos lo
hacen alrededor del Sol. En el siglo XVI, el astrónomo Tycho Brahe construyó en
Dinamarca un observatorio con aparatos muy novedosos, aunque todavía no se
disponía de telescopios. Las observaciones que hizo Tycho fueron muy precisas.
Así, compiló larguísimas tablas numéricas de las posiciones de los planetas
entonces conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno). Su ayudante
Johannes Kepler trabajó durante muchos años tratando de entender lo que
significaban los números medidos por Tycho, y finalmente, después de 17 años de
intenso trabajo numérico pudo expresar de manera sucinta que:
a)
Los planetas se mueven alrededor del Sol a lo largo de órbitas elípticas.
b) Cuando un planeta da una vuelta alrededor del Sol, su velocidad va
cambiando. Descubrió la forma en que se produce esta variación de la velocidad.
De esta manera era posible predecir su posición.
c) De dos planetas, el que se encuentra más lejos del Sol tarda más tiempo en
dar una vuelta completa alrededor del astro. Dicho en otras palabras, mientras
más lejano esté el planeta, mayor será la duración de su año.
Los resultados obtenidos de las observaciones hechas por Tycho, son llamadas
las tres leyes de Kepler.
Fue Isaac Newton quien pudo ofrecer una explicación fundamental de las tres
leyes de Kepler. Con base en el trabajo de Galileo Galilei, propuso sus famosas
tres leyes de movimiento, así como la ley de la gravitación universal. Esta
última describe la forma en que dos partículas se atraen por el mero hecho de
tener masa. Para poder extraer las consecuencias físicas de sus leyes, Newton
tuvo necesidad de inventar una herramienta matemática, que hoy se llama cálculo
diferencial e integral. De esta manera el científico inglés demostró que las
tres leyes de Kepler son, de hecho, consecuencia de sus leyes. Newton publicó
estos descubrimientos en su tratado Philosophiae naturalis principia
mathematica (" Los principios matemáticos de la filosofía
natural"), que constituye una de las hazañas intelectuales más
excelsas del pensamiento humano y base fundamental y paradigma de la física
moderna y la ciencia en general.
Newton presentó sus leyes en forma matemática, las llamadas ecuaciones de
Newton que, junto con la ley de la gravitación universal, fueron suficientes
para describir el movimiento de los cuerpos del Sistema Solar.
Después de Newton, un buen número de científicos se ocuparon en deducir otras
consecuencias de sus ecuaciones. Sin embargo, lo que efectivamente hizo el
sabio inglés fue considerar solamente el sistema compuesto por el Sol y un solo
planeta. Es así que descubrió, al resolver las ecuaciones que había propuesto,
las tres leyes de Kepler. De esta manera, demostró que cada planeta gira
alrededor del Sol siguiendo indefinidamente una trayectoria elíptica.
De hecho, lo que Newton suponía es que el efecto de los demás planetas sobre el
que estaba estudiando era ínfimo. Se puede pensar que esta suposición es
adecuada ya que la masa de cualquier planeta es muchísimo menor que la del Sol,
cuya influencia es preponderante sobre cualquier planeta. Por tanto, resolvió
lo que se llama el sistema de dos cuerpos: el Sol y un planeta, y demostró que
este sistema de dos cuerpos es un sistema estable.
Si se añade un segundo planeta al sistema bajo estudio tendremos un sistema de
tres cuerpos. Se tienen ahora tres cuerpos atrayéndose mutuamente. En este caso
cada planeta ya no sigue rigurosamente una órbita elíptica. Es cierto que el
efecto de un planeta sobre el otro es mucho más pequeño que el del Sol, apenas
una pequeña perturbación. Cada planeta continúa girando alrededor del Sol
siguiendo su órbita muy parecida a una elipse. Su trayectoria exacta depende de
su distancia al otro planeta, pues resulta afectado en distintos instantes por
una fuerza gravitacional distinta. Estas perturbaciones distorsionan la
trayectoria elíptica que tendría si sólo existiera el Sol.
Las ecuaciones de Newton, al tomar en cuenta las fuerzas gravitacionales entre
tres cuerpos, no han podido ser resueltas en forma exacta hasta el día de hoy.
Por tanto, no se puede de escribir y precisar la trayectoria que seguirá cada
cuerpo, con precisión ilimitada y durante todo el tiempo.
El problema se vuelve mucho más complicado si se añade otro planeta más; y cada
vez que se añade otro el asunto se enreda todavía más. Lo mejor que se ha
podido hacer es calcular, en primer lugar, los efectos más importantes, como el
de la influencia preponderante del Sol, y luego, paso a paso, ir tomando en
cuenta las influencias, menos importantes, de los demás planetas. Se tiene la
esperanza de que este tipo de aproximaciones vaya llevando gradualmente a la
solución exacta. Sin embargo, al aplicar este procedimiento al Sistema Solar
resulta que se requieren cantidades extraordinarias de cálculos, lo que limita
su utilidad como instrumento matemático. Por ejemplo, si se desea saber qué
ocurriría con el Sistema Solar dentro de algunos miles de millones de años o
mirar hacia atrás, para tratar de descubrir sus orígenes.
Antes del advenimiento de las calculadoras mecánicas y de las computadoras
modernas, se partía de suponer aproximaciones plausibles que daban las
predicciones de las posiciones planetarias con un nivel de precisión dado. Sin
embargo, si se quería lograr una mayor precisión había que hacer un número
mayor de cálculos. En la actualidad, teniendo a nuestra disposición una
capacidad de cálculo impresionante, se pueden obtener resultados antes
imposibles. Esto ha sido de importancia vital para, por ejemplo, lanzar al
espacio y controlar las trayectorias de los satélites artificiales y de las
naves que han visitado otros planetas, como el Voyager 2. La calidad de las
observaciones y de los cálculos es lo suficientemente alta como para poder
conocer el futuro cercano y el pasado reciente del Sistema Solar, con un grado
considerable de confiabilidad. Se ha podido observar así la forma como las
trayectorias de los planetas se desarrollan a lo largo de muchísimo tiempo para
tratar de encontrar señales de inestabilidad. Se ha estudiado la historia de la
órbita terrestre para encontrar evidencias de pequeñísimos tambaleos y cambios
en su órbita que hayan podido afectar el clima y la historia geológica de
nuestro planeta.
Sin embargo, estos cálculos han demostrado también lo que Poincaré (véase el
capítulo 4) entendió pero no pudo probar: que las ecuaciones formuladas por
Newton contienen una riqueza tal que el mismo Newton y los científicos que le
siguieron no fueron capaces de extraer; se ha demostrado que engloban no sólo
lo predecible sino también comportamientos caóticos. La naturaleza de las
ecuaciones de Newton refleja el comportamiento de los sistemas físicos, en los
que se puede pasar de un tipo de movimiento aparentemente ordenado, periódico y
predecible a uno irregular e impredecible, esto es, caótico. Las ecuaciones que
rigen los movimientos de un sistema de 3 cuerpos son no lineales. También lo
son en el caso de 4, 5 o más cuerpos.
Con ayuda de la investigación numérica de las ecuaciones de Newton aplicadas a
varios cuerpos, se ha descubierto que en el Sistema Solar hay regímenes de
orden y de caos. Se ha encontrado evidencia de caos dinámico en las órbitas de
la faja de asteroides situada entre Marte y Júpiter; en el movimiento a tumbos
que efectúa Hiperión, uno de los satélites de Saturno, y en los anillos de los
planetas exteriores, entre otros. Las últimas evidencias numéricas de que se
tienen informes muestran trazas de caos en el movimiento de Plutón, y aun en la
trayectoria de la Tierra. Se calcula al Sistema Solar una existencia de
aproximadamente de 4 000 000 000 años con una forma muy parecida a la actual,
mas no se trata de un sistema tan tranquilo o pronosticable, como un buen
reloj. Nada garantiza que el futuro de los planetas, incluida la Tierra, no
traiga sorpresas. La pregunta aún sin respuesta sería: ¿es el Sistema Solar
estable?
En los siguientes capítulos analizaremos con algo de detalle las
características caóticas de algunos de los cuerpos del Sistema Solar.
ENTRE
Marte y Júpiter se localiza un cinturón de asteroides, integrado por rocas de
dimensiones diversas y que giran alrededor del Sol. Quizá los componentes de un
planeta que no llegó a formarse. El tamaño de estas rocas es mucho menor que el
de cualquiera de los planetas conocidos: un ejemplo es Gaspra, fotografiado en
1991 por la nave Galileo a una distancia de 5 300 km; mide 19 por 12 por 11
kilómetros.
Se considera que el cinturón de asteroides contiene varios millones de cuerpos
y se podría pensar que en el espacio que ocupa las rocas chocan continuamente
entre sí. Sin embargo, el volumen del cinturón es tan grande que la distancia
común entre dos asteroides es de varios millones de kilómetros, por lo que los
acercamientos y las colisiones entre ellos son muy raros.
Debido a que el tamaño de los asteroides es mínimo en comparación con el de los
planetas vecinos, cada uno de ellos es, de hecho, una sonda que casi no ejerce
fuerza alguna sobre aquéllos pero que sí experimenta sus efectos. Por eso son
de interés para el presente estudio pues cosas extrañas ocurren en los
asteroides. Cada uno de ellos está sujeto, además de la fuerza atractiva del
Sol, a las ejercidas por Marte y Júpiter, lo que causa que su trayectoria
alrededor del Sol sea ondulada. Se podría uno preguntar si, a lo largo de
tiempos muy grandes, tales perturbaciones, que son relativamente pequeñas, se
pudieran acumular y causar cambios radicales en sus órbitas.
A mediados del siglo pasado se empezó a estudiar la trayectoria de varios
asteroides y se descubrió un hecho interesante. Al medir su distancia al Sol se
encontró que había algunas para las cuales prácticamente no había asteroides.
Con más detalle, si se hace una gráfica en la que se enumere la cantidad de
asteroides situada a cada distancia (figura 48) se encuentra que a ciertas
distancias del Sol casi no hay asteroides sino brechas.
Figura 48. Gráfica del número de asteroides a distintas distancias del Sol.
En
la gráfica se ha usado como unidad de distancia la unidad astronómica
(abreviada u.a.), que equivale a la distancia del Sol a la Tierra, unos 150 000
000 km. Así, por ejemplo, a las distancias de aproximadamente 2.5 u.a., 2.8
u.a., 2.9 u.a., 3.3 u. a., no hay asteroides.
Ahora bien, como se vio en el capítulo anterior, la tercera ley de Kepler nos
indica que hay una relación entre la distancia de un cuerpo al Sol y el tiempo
en que completa su órbita, esto es, su año, o su periodo orbital. Por tanto,
también se puede contar el número de asteroides que tienen determinado periodo
orbital. En este caso conviene tomar como unidad el año de Júpiter
(aproximadamente 4 333 días, el año joviano). La escala de tiempos se muestra
en la misma figura 48. De ésta vemos que a la distancia de 2.5 u. a., a la que
le corresponde un periodo orbital de (1/3) que es igual a 1444 días, casi no
hay asteroides. De la misma gráfica vemos que tampoco hay gran número de
asteroides en los periodos orbitales de (2/5) (2.8 u. a.), (3/7) (2.9 u. a.),
(1/2) (3.3 u a) de años jovianos, etcétera.
Lo curioso de este descubrimiento es que, como se ve, las brechas se dan en
periodos que son cocientes de números enteros: el periodo de (1/3) es el
cociente de 1 entre 3; el periodo de (2/7) es el cociente de 2 entre 7, etc. A
estos periodos se les llama resonancias; a (1/3) se le llama la resonancia de
3:1; a (2/7), la resonancia de 7:2, y así sucesivamente.
Figura 49. Movimiento de un asteroide que tiene con Júpiter una resonancia
de 3:1.
La
figura 49 muestra lo que ocurre a un asteroide cuyo periodo se halla en la
resonancia 3:1 con Júpiter. En la figura (a) el planeta y el asteroide están a
la mínima distancia. En (b), (c) y (d) vemos las posiciones de Júpiter después
de cada vuelta completa del asteroide. Después de 12 años estos cuerpos
volverán a estar nuevamente a la mínima distancia (figura 49(d)). Queda claro
que el asteroide y el planeta se acercan casi a las mismas posiciones en
intervalos regulares. Al transcurrir el tiempo, durante millones de años, estas
coincidencias acumulan efectos que pueden ser perceptibles y que podrían
modificar el tamaño de la órbita del asteroide. La cuestión que se planteó fue
si estas resonancias podrían causar inestabilidades en las órbitas de los asteroides
que están en resonancia y que, en consecuencia, sus órbitas aumentaran tanto
que tomaran una nueva órbita en la que no hubiera ninguna resonancia. Quedaría
claro entonces que si alguna vez hubo algún asteroide en resonancia, después de
mucho tiempo habría cambiado de órbita y la población de asteroides en
resonancia disminuiría.
Desde el siglo pasado se trató de resolver esta cuestión buscando soluciones a
las ecuaciones de Newton ajustadas al sistema asteroide, Marte y Júpiter. Sin
embargo, por el motivo que se mencionó en el capítulo anterior, sólo se pudo
hacer entonces para intervalos de tiempo muy pequeños, alrededor de 10 000
años, con el resultado de que en estos intervalos de tiempo no ocurría ninguna
modificación de la órbita del asteroide.
No fue sino hasta la década 1970-1980 que, disponiéndose ya de computadoras
electrónicas, fue posible hacer cálculos que cubrieran intervalos de tiempo
mucho mayores. Se supuso que se colocaban 300 asteroides a las distancias
correspondientes a la resonancia 3:1. Cada uno con diferente posición y
velocidad. Las diferencias entre estas condiciones iniciales eran tales que
diversos asteroides tenían posiciones iniciales distintas. Se inició el cálculo
de las órbitas que seguiría cada uno de estos objetos durante dos millones de
años y se halló que, para ciertas condiciones iniciales, las órbitas que
seguían los asteroides no cambiaron de tamaño en dos millones de años. Es
decir, estas condiciones daban lugar a órbitas estables. Además, se descubrió
que para otro tipo de condiciones iniciales, en ciertos instantes las órbitas
cambiaban abruptamente su tamaño. Estas condiciones iniciales corresponden a
regiones caóticas.
En la figura 50 se muestra la gráfica del tamaño de la órbita de un asteroide
de la región caótica en la resonancia 3:1, con el transcurso del tiempo.
Podemos apreciar que, en los instantes marcados por las flechas, el tamaño de
la órbita crece desmesuradamente. Se ve que un asteroide puede permanecer
alrededor de 150 000 años en una órbita reducida y de pronto cambiarla
notablemente. La nueva órbita es tan grande que, al recorrerla, el asteroide
cruza las órbitas de Marte y la Tierra. Con el tiempo, puede ocurrir que el
asteroide y uno de estos dos planetas choquen. De esta manera, los asteroides cuyas
órbitas caen inicialmente en la zona caótica de la resonancia 3:1, gradualmente
van desapareciendo creándose así la brecha en el cinturón.
Figura 50. Variación en el tiempo de los tamaños de las órbitas de
asteroides en la zona caótica.
Lo
anterior también explica el hecho de que sobre la Tierra han caído meteoritos
cuya composición química es parecida a la de los del cinturón de asteroides.
Hasta épocas recientes no se había podido explicar cómo éstos podrían llegar
hasta nuestro planeta. Por tanto, se puede pensar que la zona del cinturón de
asteroides, con distancias que corresponden a la resonancia 3:1, es la fuente
de algunos de los numerosos meteoritos caídos en nuestro planeta.
En la misma figura 50 vemos que si el asteroide no experimenta ninguna
colisión, después de cierto tiempo vuelve a alterarse el tamaño de su órbita y
cambia a otra órbita de tamaño parecido al que tenía originalmente. Al seguir
transcurriendo el tiempo vuelve a recorrer una órbita muy grande.
Posteriormente cambia a una pequeña y así sucesivamente.
Lo interesante de este descubrimiento es saber que en ciertas circunstancias y
con determinadas condiciones iniciales el comportamiento de un cuerpo del
Sistema Solar puede ser caótico. Esto es lo que había intuido Poincaré a
principios de siglo sin haberlo podido demostrar. Las ecuaciones de Newton
incluyen este tipo de dinámica.
§26. Los tropiezos de Hiperión
DESDE
tiempos inmemoriales los hombres se dieron cuenta de que la Luna completa una
vuelta alrededor de su eje en el mismo tiempo que le lleva dar una vuelta
alrededor de la Tierra. Por este motivo siempre vemos su misma cara; la cara
oculta de la Luna fue conocida cuando naves espaciales, alrededor de 1975, la
fotografiaron. De hecho, todos los satélites de los planetas de nuestro sistema
giran sobre su eje al mismo tiempo en que giran alrededor de su planeta. Hay
una excepción: el satélite Hiperión de Saturno, que da una vuelta alrededor de
su eje en 13 días mientras que gira alrededor de Saturno en 21 días.
Nuestra Luna siempre nos presenta la misma cara debido a que la Tierra ejerce
una fuerza gravitacional de atracción sobre el satélite que hace que éste se
deforme, generando tensiones internas. De esta manera, el giro del satélite se
modifica hasta adquirir el mismo ritmo que el que tiene para dar una vuelta
alrededor del planeta. Lo que se dijo acerca de la Luna es válido para los
satélites de los demás planetas, y así ocurre. Entonces surge la pregunta: ¿por
qué Hiperión no ha sincronizado su rotación? Hay dos factores que lo han
impedido: su forma elongada y la influencia del satélite Titán de Saturno.
Considerémoslas.
Hiperión no tiene la forma casi esférica de los demás satélites planetarios. Su
forma es muy especial, con dimensiones de 380 km por 290 km por 230 km. Además,
su superficie muestra muchos cráteres. De todos los satélites conocidos,
Hiperión es el más irregular.
Su orientación es poco común, pues un satélite así de elongado debería girar
alrededor de su eje más corto. El mayor, AB, debería estar situado en el plano
de su órbita (figura 51). De esta manera el eje de giro debería hallarse en
posición perpendicular al plano de la órbita; sin embargo, se halla inclinado.
Figura 51. Orientación que el eje de giro de Hiperión debería tener.
La
órbita de Hiperión está situada lejos de los famosos anillos de Saturno y muy
cercana a la órbita del gigantesco satélite Titán. La distancia de Hiperión a
Saturno es de aproximadamente 1 500 000 km. Titán, por sus dimensiones y su
cercanía a Hiperión ejerce sobre éste una fuerza considerable y experimenta,
por tanto, dos fuerzas de gran magnitud: la ejercida por el planeta y la de
Titán. Como resultado, por cada cuatro vueltas que Titán da alrededor de
Saturno, Hiperión da sólo tres, es decir, hay una resonancia 4:3. La fuerza
ejercida por Titán ha forzado a Hiperión a seguir y permanecer en una órbita
estable y, como resultado de estas influencias, la orientación del eje de giro
de Hiperión va cambiando, dando tumbos.
Figura 52. Eje de giro que, efectivamente, tiene Hiperión.
Al
resolver, con ayuda de una computadora, las ecuaciones de Newton del sistema de
tres cuerpos: Hiperión, Titán y Saturno, se ha encontrado que hay zonas
caóticas, análogas a las descritas en el capítulo 8. Las características del
movimiento caótico se refieren a la orientación del eje de giro. La más pequeña
desviación de éste, con respecto de una posición perpendicular al plano de su
órbita, puede crecer tan rápidamente que, en muy poco tiempo, puede quedar
paralelo al plano de la órbita (figura 52) y de ésta, pasar a una nueva
orientación. En el momento presente, Hiperión se halla en una región caótica
como la descrita.
De lo anterior, podemos decir que Hiperión sigue un comportamiento que
constituye una mezcla de movimientos ordenados y caóticos. La parte ordenada es
su trayectoria alrededor de Saturno, mientras que la caótica es la relacionada
con el giro alrededor de su eje. De hecho ha sido posible predecir la posición
de Hiperión en su órbita por períodos grandes de tiempo. Esto es debido al
movimiento ordenado. Sin embargo, la predicción de la dirección del eje de giro
no se ha podido hacer con precisión, a causa de lo caótico del movimiento. Las
observaciones de la orientación del satélite indican, efectivamente, un
movimiento caótico.
Con base en un análisis matemático muy detallado, se ha encontrado que la
región de caoticidad en la que se encuentra Hiperión es muy grande, lo cual
significa que, aunque se den variaciones en su orientación, lo más probable es
que termine en otro punto de la misma región caótica. Sin embargo, Hiperión no
siempre estuvo en esta región. Es poco probable que cuando el satélite se formó
se haya encontrado en una región caótica. En el pasado distante, el tiempo que
tardaba Hiperión en rotar sobre su eje era mucho menor que el que tardaba en
dar una vuelta alrededor de Saturno. Es decir, la duración de su día era mucho
más corta que la de su año. A medida que las fuerzas de tensión internas fueron
acumulando su influencia a lo largo de millones de años, la velocidad de rotación
de Hiperión alrededor de su eje iba disminuyendo, es decir, su día iba siendo
cada vez más y más grande. De esta forma, llegó un momento en que adquirió una
velocidad de giro que correspondía a la zona caótica. En este caso, la
velocidad de giro desempeña el papel de la cantidad q del capítulo 8. Antes de
adquirir la velocidad que lo envió al caos, el eje de giro era perpendicular a
su órbita, como se ve en la figura 51. Sin embargo, una vez que Hiperión entró
a la zona caótica, la estabilidad de su giro se perdió e Hiperión empezó a dar
tumbos.
Es posible que otros satélites de formas irregulares hayan estado alguna vez en
zonas caóticas. Sin embargo, en cierto momento adquirieron velocidades
rotacionales tales que los sacaron de aquéllas y entraron en una zona ordenada
en la cual se encuentran hasta el día de hoy.
El estudio de la caoticidad en los satélites es de gran importancia para el
desempeño de los satélites artificiales. Como nuestro planeta no constituye una
esfera perfecta ni tiene su masa distribuida uniformemente, las órbitas de los
satélites artificiales pueden ser afectadas de manera notable, en particular si
entran en una zona caótica. Para evitar que den tropiezos en su eje de giro o
se desvíen de la órbita planeada, los ingenieros deben estar controlando y
ajustando constantemente la posición y la orientación del satélite. De otra
forma, los efectos gravitacionales no equilibrados harán que la órbita del
satélite se desvíe o que se produzca un movimiento irregular de tal magnitud
que impida que cumpla su misión. Para evitar movimientos no deseados se
utilizan cohetes pequeños o ráfagas de gases que corrigen las velocidades del
satélite. Sin embargo estos dispositivos necesitan combustible y, una vez que
se agota, ya no hay manera de hacer las correcciones y la vida útil del
satélite llega a su fin.
Después de hacer cálculos muy largos y complicados se han encontrado las
órbitas más adecuadas para los satélites artificiales. Se sabe cuáles de ellas
son ordenadas y cuáles se hallan en zonas caóticas. Una vez escogida la órbita
adecuada es problema de los ingenieros determinar las condiciones de
lanzamiento del satélite para que entre, efectivamente, en la órbita con las
condiciones previstas. Por supuesto, en este caso se toman en cuenta las
perturbaciones que producen al satélite el Sol y la Luna.
Hemos considerado hasta este momento tipos de movimientos irregulares de los
satélites debidos a que sus condiciones los colocan en zonas caóticas, pero
¿qué pasa con los planetas?
§27. ¿Y qué ocurre con los planetas?
En
los dos capítulos anteriores vimos que los asteroides y algunos satélites
planetarios muestran un comportamiento caótico.
Viene ahora la siguiente pregunta: ¿pueden también los planetas del Sistema
Solar mostrar este tipo de comportamiento?
Como se dijo antes, Newton fue el primero que sentó las bases para estudiar el
movimiento de los cuerpos celestes, análisis que se realiza a partir de las
ecuaciones de Newton y de la ley de la gravitación universal. En primera
instancia, Newton resolvió un problema imaginario: que el Sistema Solar lo
integrara sólo el Sol y un planeta. Usando las leyes que propuso pudo resolver
con exactitud el problema, obteniendo como resultado las leyes que Kepler había
descubierto a partir de las observaciones de Tycho Brahe. Es decir, Newton pudo
explicar los hechos observados y expresados en forma sucinta por Kepler. El
inglés estuvo consciente de que su trabajo, que por cierto constituye una gran
hazaña intelectual, no era suficiente, ya que en realidad un planeta no está sujeto
sólo a la fuerza gravitacional del Sol, sino también a la de los demás
planetas, satélites y asteroides. Es claro que el efecto preponderante sobre
cualquier planeta es el que se debe a la fuerza del Sol, ya que la masa de este
astro es muchísimo más grande que la de cualquier otro cuerpo de nuestro
sistema; el efecto de los demás planetas y cuerpos del sistema es pequeño en
comparación. El planeta gigante, el de mayor masa, es Júpiter, y la masa del
Sol es unas 1 050 veces la de Júpiter que, a su vez, es 315 veces más que la de
la Tierra.
Newton intentó tomar en cuenta el efecto de los demás planetas sobre sus
respectivos movimientos. El conjunto de interacciones gravitacionales de los
planetas y el Sol es tan complejo que ni Newton ni nadie hasta la fecha ha
podido resolver matemáticamente y de forma exacta las ecuaciones de movimiento
para este conjunto de cuerpos. Newton ya se había dado cuenta de ciertas
irregularidades en los movimientos de los planetas que le hicieron sospechar
que se podría romper el orden del Sistema Solar, a menos que sus órbitas fueran
corregidas en momentos determinados y concluyó que la intervención divina era
necesaria para mantener el Sistema Solar como lo conocemos.
Años más tarde Laplace, a quien ya nos referimos en un capítulo anterior, en un
alarde de dominio de las matemáticas, demostró que aun si hubiese algunas
desviaciones en los parámetros de las órbitas planetarias, resultaba que eran
pequeñas y se autocorregían, es decir, que existía la tendencia a que se
eliminaran. Laplace concluyó que estas perturbaciones no se podían acumular a
lo largo de millones de años de modo que produjeran las inestabilidades capaces
de desquiciar el Sistema Solar. Las posibles desviaciones de las órbitas de los
planetas se dan dentro de límites muy estrechos, por lo que nuestro sistema,
como lo conocemos, permanecerá casi igual para siempre. Es dentro de esta línea
que escribió el párrafo que citamos en el capítulo 4.
Figura 53. Frecuencias del movimiento de Júpiter.
Sin
embargo, a pesar de su gran optimismo, Laplace no pudo explicar todos los
detalles de los movimientos conocidos de la Luna, por ejemplo. Sus cálculos
mostraban discrepancias con las observaciones que, a pesar de ser pequeñas eran
significativas y no encontró forma de resolverlas.
En última instancia, resulta que los cálculos de Laplace y sus conclusiones
sólo podían dar cuenta de lo que ocurriría en el Sistema Solar a lo largo de
unos miles de años.
Posteriormente, Poincaré fue el que se dio cuenta, como ya lo mencionamos, de
que podrían ocurrir comportamientos, que hoy llamamos caóticos, si se
consideraban intervalos muchísimo más grandes. Como ya ejemplificamos en varios
casos, a pesar de que el comportamiento de un sistema parezca regular y
ordenado en determinado intervalo de tiempo, puede ocurrir que efectivamente
sea caótico y de repente muestre algunas características erráticas. Poincaré
llegó a la conclusión de que, hasta su época, el problema de la estabilidad del
Sistema Solar no había sido resuelto. El problema concreto era que calcular su
evolución a partir de las ecuaciones de Newton y de su ley de la gravitación
universal por varios miles de millones de años requería de un esfuerzo
imposible de concretar a principios de siglo. Una computadora lo
suficientemente poderosa puede sin embargo realizar estos cálculos por el
método que se llama integración numérica. Sin embargo, se requieren tiempos
extraordinariamente grandes de cálculo. Cualquier cálculo directo debe proceder
en incrementos de tiempo lo suficientemente pequeños como para poder seguir el
curso de cada uno de los planetas.
Así, debe tomar en cuenta que Mercurio da una vuelta alrededor del Sol en 88
días, mientras que Plutón lo hace en 249 años. Además, debido a que nada
importante ocurre en periodos de varios miles de años se debe seguir el cálculo
de la evolución del Sistema Solar durante varios millones de años para intentar
encontrar comportamientos de largo plazo. Al mismo tiempo hay que considerar
tiempos pequeños y grandes. Para desarrollar este programa se debe trabajar en
la computadora durante muchísimo tiempo.
No fue sino hasta 1984 que el astrónomo estadunidense Gerald Sussman desarrolló
un método y construyó un sistema de computación especial para lograr los
requerimientos necesarios. La máquina que construyó podía calcular la situación
de los constituyentes del Sistema Solar unos 100 millones de años hacia el
futuro. En colaboración con otro científico, Jack Wisdom, trabajaron en el
cálculo numérico de la evolución del Sistema Solar. Descubrieron que el
movimiento de Júpiter muestra muchísimas frecuencias, como se observa en la
figura 53; si gira en un órbita periódica pura sólo mostraría una frecuencia
única y la gráfica se vería con una sola línea vertical. Las frecuencias que
aparecen en el movimiento del planeta se deben a las interacciones que sobre él
ejercen los demás cuerpos del Sistema Solar. Con el método propuesto por
Laplace, este tipo de efectos no se logró descubrir.
Sussman y Wisdom hicieron dos corridas con el planeta Plutón, en cada caso en
posiciones ligeramente distintas. En la primera Plutón tenía determinada
posición y en la siguiente corrida una ligeramente distinta. En ambas, los
demás planetas y cuerpos del Sistema Solar tenían las mismas condiciones iniciales.
Encontraron que las dos trayectorias estudiadas se separaban muy rápidamente.
Como ya sabemos, esto indica una situación caótica.
Lo anterior significa que los astrónomos sólo podrán predecir dónde se
encontrará Plutón dentro de unos miles de años con un pequeño error, pero no
dónde estará en 50 000 000 de años. Esto se debe a que para poder predecir su
posición en el futuro hay que conocer su posición actual sin ningún error, cosa
imposible. El hecho de que se encuentre en una zona caótica no significa
necesariamente que en algún momento se vaya a separar del Sistema Solar, pues
hacer predicciones en estas condiciones no es posible. Resulta que Plutón ha
seguido su actual órbita durante muchos millones de años.
Otros cálculos, usando otras técnicas numéricas, han posibilitado remontarse a
100 000 000 000 de años en el futuro. Nuevamente se ha encontrado que Plutón
efectivamente se halla en una zona caótica.
En los últimos años, Jacques Laskar, en Francia, con ayuda de las técnicas de
cálculo más nuevas, realizó lo que Sussman y Wisdom hicieron con Plutón, pero
abarcando todo el Sistema Solar. Es decir, considerando dos situaciones en las
que los planetas y el Sol diferían muy poco en sus posiciones y velocidades
iniciales. Dicho en otras palabras hizo dos corridas; en una de ellas consideró
al Sol y a los planetas en determinadas posiciones y velocidades iniciales y
calculó las posiciones que cada cuerpo tendría en los próximos 200 000 000 de
años. En seguida volvió a repetir el cálculo, pero cambiando ligeramente las
posiciones y velocidades iniciales del Sol y los planetas. Encontró que las
órbitas que seguirían los planetas en los dos casos empezaban a separarse cada
vez más. Esto es una manifestación de que el Sistema Solar está también en una
región caótica.
La conclusión de estos estudios es que más allá de varios miles de años no se
puede predecir las posiciones que tendrán los planetas, y en particular la
Tierra. Este tema es de activa investigación en la actualidad. Entre las
cuestiones que se estudian se halla la relación entre caos y estabilidad. Puede
ser posible que, a pesar de que no se puedan hacer predicciones precisas para
muchos millones de años, la caoticidad de los movimientos de los cuerpos del
Sistema Solar sea limitada. La cuestión de si éste seguirá grosso modo el curso
que ha mantenido hasta ahora, sin grandes alteraciones, sigue siendo un
problema abierto. El significado de su movimiento caótico, pese a los avances
que hemos reseñado, es todavía un misterio que no ha sido aclarado.
Hemos
presentado una visión del desarrollo de nuevas ideas, de los fractales y del
caos, que tienen aplicación en varios campos del conocimiento: la física, la
biología, la ingeniería, la música y la lingüística entre otros. Éstas han
abierto la posibilidad de entender fenómenos que con anterioridad no habían
sido tratados satisfactoriamente. Esta gama de fenómenos se comporta en formas
análogas. Un hecho interesante es que hay una aparente universalidad en la
descripción de fenómenos que son de distinta naturaleza. Se ha descubierto que
los detalles particulares de los fenómenos no tienen gran importancia.
Un hecho interesante es que muchos de los elementos necesarios para el
desarrollo de las teorías de los fractales y del caos ya se tenían desde hace
más de un siglo por lo menos. Sin embargo, los pocos científicos que algo
vislumbraron no tuvieron eco y sus ideas quedaron en el olvido.
Una característica común a los fenómenos estudiados —provenientes de distintas
ramas del conocimiento— es que se trata de fenómenos no lineales. Este parece
ser el punto crucial. Todos los fenómenos no lineales tienen un comportamiento
que muestra, en ciertas circunstancias que analizamos con detalle, el caos. En
consecuencia, una vez que se analiza un caso, sus resultados nos permiten
conocer importantes propiedades cualitativas de otros casos.
No hemos podido presentar una revisión de todos los casos en que se han
aplicado las ideas de fractales y de caos. La variedad de aplicaciones es
considerable y crece día con día, de modo que no es posible incluirlas todas.
Sin embargo, hemos tratado un gran número de situaciones muy diferentes y
todavía hay mucho por hacer en este campo.
La manera novedosa de tratar los fenómenos que hemos reseñado en el libro
consiste en estudiar sus características en términos de los valores que pueden
adquirir los parámetros del sistema. Esta forma de análisis global ha permitido
descubrir que para ciertos valores de estos parámetros el comportamiento es
estable mientras que para otro conjunto de valores es caótico.
Las ideas desarrolladas acerca de los fractales y del caos tienen gran
importancia, no sólo conceptual sino de aplicación práctica, por ejemplo, en la
hidrodinámica y la aviación, en la economía y la bolsa de valores, y en muchos
otros casos.
Un elemento de importancia vital para el desarrollo que hemos presentado ha
sido la moderna computadora digital. Con su ayuda es que se ha podido extraer
el contenido de fractales y de caos de las distintas situaciones.
La creación de los nuevos métodos para tratar los fenómenos que hemos
considerado ha dado oportunidad de que se haya producido un trabajo
interdisciplinario entre matemáticos, físicos, químicos, ingenieros,
economistas, músicos, médicos, biólogos, que han realizado con gran motivación.
De esta manera se han obtenido logros considerables.
La utilización de las ideas de fractales y de caos ha tenido mucha repercusión
en la descripción de fenómenos muy complejos. En particular, la geometría
fractal ha resultado ser la que describe, posiblemente, la mayoría de los
objetos que hay a nuestro alrededor, en contra de la idea que se tenía durante
siglos de que las formas más comunes son las descritas por la geometría
euclidiana. ¡Estas han resultado ser las excepciones!
De la misma manera, el caos parece estar en todos lados: en la columna de humo
de un cigarrillo, en el clima, en el movimiento de los automóviles, en las
avenidas de alta velocidad, en los seguros, en la teoría política, en
astronomía. El caos ha eliminado barreras y fronteras entre disciplinas. El
caos es una ciencia de la naturaleza global de los sistemas.
Hemos considerado el análisis de situaciones que pueden parecer raras o, más
bien, poco familiares. Sin embargo, viéndolas con mayor detenimiento resultan
ser de gran simplicidad.
Es así que hemos presentado una vista panorámica de un tema que está causando
una revolución en el pensamiento científico contemporáneo: el de los fractales
y del caos.
Notas:
[1] Véase
Braun, E.,Un movimiento en zigzag. La Ciencia para todos, núm. 13,
Fondo de Cultura Económica, México, 1991.
[2] Para
más detalles de cómo se encuentra una estructura microscópica a partir de un
patrón de difracción, véase E. Braun, Arquitectura de sólidos y
líquidos, Fondo de Cultura Económica. La Ciencia para todos, núm. 26,
1987.
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