© Libro N° 6246.
Amor Y Matematicas. Frenkel, Edward. Emancipación. Julio 20 de 2019.
Título
original: © Amor Y Matematicas. Edward Frenkel
Versión Original: © Amor Y Matematicas. Edward Frenkel
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© Edición, reedición y Colección Biblioteca Emancipación: Guillermo Molina
Miranda
LEAMOS SIN RESERVAS,
ANALICEMOS SIN PEREZA Y SOMETAMOS A CRÍTICA TODA LA CULTURA
AMOR Y MATEMATICAS
Edward Frenkel
CONTENIDO
Prefacio
Guía
para el lector
Una
bestia misteriosa
La
esencia de la simetría
El
quinto problema
Kerosinka
Las
hebras de la soludón
Aprendiz
de matemático
Teoría
de la Gran Unificación
Números
mágicos
La
piedra Rosetta
En
el bucle
Conquistar
la cima
El
Árbol del Conocimiento
La
llamada de Harvard
Atando
los haces de la sabiduría
Una
danza delicada
Dualidad
cuántica
Descubriendo
conexiones ocultas
Buscando
la formula del amor
Epílogo
Agradecimientos
Glosario
Prefacio
Hay
un mundo secreto ahí fuera. Un universo oculto, paralelo, de belleza y
elegancia, intrincadamente conectado con el nuestro. Es el mundo de las
matemáticas. Y a la mayoría de nosotros nos resulta invisible. Este libro es
una invitación a descubrir ese mundo.
Piense en la paradoja: por una parte, las matemáticas están presentes en el
tejido mismo de nuestras vidas. Cada vez que realizamos una compra online,
enviamos un mensaje de texto, efectuamos una búsqueda por Internet o empleamos
un dispositivo GPS, hay fórmulas y algoritmos matemáticos en acción. Por otra
parte, a la mayoría de la gente las matemáticas la intimidan. Se han
convertido, en palabras del poeta Hans Magnus Enzensberger, en «un punto ciego
de nuestra cultura: territorio ajeno, en el que sólo la élite, unos cuantos
iniciados, han conseguido atrincherarse». Es infrecuente, asegura, «encontrarse
con alguien que declare públicamente que la mera idea de leer una novela, mirar
un cuadro o ver una película le causa un sufrimiento insoportable», y sin
embargo, «gente sensata, educada», a menudo dice «con una notable mezcla de
provocación y orgullo» que las matemáticas son «una auténtica tortura» o «una
pesadilla» que «les deprime».
¿Cómo
se puede dar esta anomalía? Veo dos razones principales: la primera, que las
matemáticas son más abstractas que otras asignaturas y, por tanto, menos
accesibles. La segunda, que lo que estudiamos en la escuela es tan sólo una
diminuta parte de las matemáticas, en general establecida hace más de un
milenio. Las matemáticas han avanzado tremendamente desde entonces, pero estos
tesoros se nos han escamoteado.
¿Se imagina que en la escuela hubiera asistido a una «clase de arte» en la que
sólo le hubieran enseñado a pintar una valla? ¿Que nunca le mostraran las obras
de Leonardo da Vinci o de Picasso? ¿Apreciaría el arte? Lo dudo. Probablemente
diría algo así: «aprender arte en la escuela fue una pérdida de tiempo. Si
alguna vez necesito pintar mi valla, pagaré a alguien para que lo haga».
Obviamente suena ridículo, pero es como se enseñan las matemáticas, así que, a
ojos de la mayoría, son el equivalente a mirar cómo se seca la pintura.
Mientras que las obras de los grandes maestros se encuentran por todas partes,
las matemáticas de los grandes maestros se encuentran encerradas bajo llave.
Sin
embargo, no es tan sólo la belleza estética de las matemáticas lo que las hace
fascinantes. Como dijera Galileo, «las leyes de la Naturaleza están escritas en
el lenguaje de las matemáticas». Las matemáticas son una manera de describir la
realidad y averiguar cómo funciona el mundo, un lenguaje universal que se ha
convertido en el patrón oro de la verdad. En nuestro mundo, cada vez más regido
por la ciencia y la tecnología, las matemáticas se están convirtiendo, con
mayor frecuencia, en fuente de riqueza, poder y progreso. De ahí que quienes
hablen correctamente este nuevo idioma se encontrarán en la vanguardia del
progreso.
Uno
de los conceptos erróneos más extendidos es que las matemáticas sólo pueden
emplearse como «herramienta»: por ejemplo, un biólogo realiza trabajo de campo,
recoge datos e intenta construir un modelo matemático que encaje con estos
datos (quizá con ayuda de un matemático). Aunque este es un importante modo de
funcionar, las matemáticas nos ofrecen mucho más: nos permiten
realizar cambios revolucionarios, capaces de provocar variaciones de paradigma,
de los que no seríamos capaces de ninguna otra manera. Por ejemplo, Albert
Einstein no intentaba encajar datos con ecuaciones cuando comprendió que la
gravedad afecta al espacio curvándolo. Esos datos ni existían. En aquella época
nadie podía imaginar que el espacio se curvara; ¡todo el mundo «sabía» que nuestro
universo era plano! Pero Einstein se dio cuenta de que era la única manera de
extrapolar su teoría de la relatividad especial a sistemas no inerciales, y
esto se combinó con su noción de que gravedad y aceleración producen el mismo
efecto. Se trataba de un ejercicio intelectual de alto nivel en el reino de las
matemáticas, para el que Einstein confió en la obra de un matemático, Bernhard
Riemann, publicada cincuenta años atrás. El cerebro humano está formado de tal
manera que somos sencillamente incapaces de imaginar espacios curvos de más de
dos dimensiones. Tan sólo podemos acceder a ellos mediante las matemáticas. Y
lo que resultó fue que Einstein tenía razón: nuestro universo está curvado,
y aún más: ¡se está expandiendo! ¡Ese es el poder de las matemáticas del que
hablaba!
Se pueden hallar muchos ejemplos más como este, y no sólo en física, sino en
muchas otras áreas de la ciencia: hablaremos de algunas más adelante. La
historia demuestra que las matemáticas cambian la ciencia y la tecnología a un
ritmo acelerado; incluso teorías matemáticas que al principio se ven como
abstractas y esotéricas se convierten, más tarde, en parte indispensable de sus
aplicaciones prácticas. Charles Darwin, cuya obra, al comienzo, prescindía de
las matemáticas, escribió posteriormente, en su autobiografía: «Siempre me he
arrepentido sinceramente de no haber profundizado más para comprender siquiera
parte de los grandes principios de las matemáticas, pues los hombres que lo
consiguen parecen dotados de un sentido extra». Creo que es un clarividente
consejo a las generaciones por venir: invertid en el inmenso potencial de las
matemáticas.
De
niño yo no era consciente del mundo oculto de las matemáticas. Como la mayoría
de la gente, pensaba que las matemáticas eran una asignatura difícil y
aburrida.
Pero tuve suerte: en mi último año de secundaria conocí a un matemático
profesional que me abrió las puertas del mágico mundo de las matemáticas.
Aprendí que estas están llenas de infinitas posibilidades, así como de
elegancia y belleza, al igual que la poesía, el arte y la música. Y me enamoré
de las matemáticas.
* *
* *
El
lenguaje matemático es diferente a todos los demás conocimientos. Mientras que
nuestra percepción del mundo físico puede verse distorsionada, nuestra
percepción de las verdades matemáticas, no. Son verdades objetivas,
persistentes y necesarias. Una fórmula o teorema matemático significa lo mismo
para cualquiera en cualquier lugar: no importa sexo, religión o color de piel;
significará lo mismo para alguien de aquí a mil años que ahora mismo. Y lo
sorprendente es que son nuestros. Nadie puede patentar una fórmula matemática,
es nuestra para que podamos compartirla. No hay nada en este mundo tan profundo
y exquisito y a la vez tan disponible. Que una cantidad tan grande de
conocimiento exista es casi increíble. Es demasiado precioso como para dárselo
a unos «pocos iniciados». Nos pertenece a todos.
Una de las funciones clave de las matemáticas es la de ordenar la información.
Esto es lo que distingue los trazos de pincel de Van Gogh de una simple mancha
de pintura. Con el advenimiento de la impresión 3D, la realidad que conocemos
está sufriendo una transformación radical: todo migra de la esfera de lo físico
a la de la información y los datos. Pronto seremos capaces de convertir
información en objetos bajo demanda con impresoras 3D de la misma manera en que
convertimos un archivo PDF en un libro o un archivo MP3 en música. En este
nuevo mundo, el papel de los matemáticos será incluso más importante: como
manera de ordenar y organizar la información, y como medio de facilitar la
conversión de esta en realidad física.
En este libro describiré una de las ideas más grandes que han salido de los
matemáticos en los últimos cincuenta años: el Programa Langlands, considerado
por muchos la Teoría de la Gran Unificación de las matemáticas. Es una teoría
fascinante que teje una telaraña de sensacionales conexiones entre campos
matemáticos que a primera vista parecen encontrarse a años luz de distancia:
álgebra, geometría, teoría de números, análisis y física cuántica.
Si vemos esos campos como continentes en el mundo oculto de las matemáticas, el
Programa Langlands constituiría el dispositivo definitivo de teletransporte,
capaz de llevarnos instantáneamente de uno a otro, de ida y de vuelta.
Impulsado a finales de la década de 1960 por Robert Langlands, el matemático
que ocupa actualmente el despacho de Albert Einstein en el Instituto de
Estudios Avanzados de Princeton, el Programa Langlands hunde sus raíces en una
revolucionaria teoría matemática de la simetría. Sus cimientos los puso, hace
dos siglos, un prodigio francés antes de morir en un duelo, a los veinte años.
Posteriormente, un nuevo y sorprendente descubrimiento, que no sólo llevó a la
prueba del último teorema de Fermat, sino que revolucionó el modo en que
concebimos los números y las ecuaciones, lo enriqueció. Otra reflexión más
profunda fue que las matemáticas poseen su propia piedra Rosetta[i], y que rebosan
de misteriosas analogías y metáforas. Al seguir estas analogías como si se
tratase de valles en el mundo encantado de las matemáticas, las ideas del
Programa Langlands se extendieron a los reinos de la geometría y de la física
cuántica, creando orden y armonía donde antes había un aparente caos.
Quiero explicar todo esto para mostrar el lado de las matemáticas que rara vez
sale a la luz: el de la inspiración, las ideas profundas, la de las
revelaciones sorprendentes. Las matemáticas son una manera de romper las
barreras de lo convencional, una expresión de imaginación desatada en la
búsqueda de la verdad. Georg Cantor, creador de la teoría del infinito,
escribió que «lo esencial de las matemáticas radica en su libertad». Las
matemáticas nos enseñan a analizar rigurosamente la realidad, a estudiar los
hechos, a seguirlos a donde quiera que lleven. Nos liberan de dogmas y
prejuicios, nutren nuestra capacidad de innovación. De este modo nos
proporcionan herramientas que la trascienden a ella misma.
Estas herramientas se pueden usar para bien o para mal, lo que nos obliga a
enfrentarnos con los efectos de las matemáticas en el mundo real. Por ejemplo,
la crisis económica mundial tuvo su causa por el uso extendido de modelos
matemáticos inadecuados en los mercados financieros. Muchos de los que tomaron
las decisiones no comprendían plenamente estos modelos debido a su
analfabetismo matemático, pero de todos modos los usaron, arrogantes, motivados
por la codicia… hasta que esta práctica casi hundió todo el sistema. Se
aprovechaban de la injusta asimetría en el acceso a la información, con la
confianza de que nadie descubriría su fraude porque nadie sentía el deseo de
preguntar, tampoco, cómo funcionaban esos modelos matemáticos. Quizá, si más
gente hubiera sabido cómo operaban esos modelos, cómo funcionaba en realidad el
sistema, no nos habrían engañado durante tanto tiempo.
A modo de otro ejemplo, piense en esto: en 1996, una comisión nombrada por el
gobierno de Estados Unidos se reunió en secreto y alteró la fórmula para el
Índice de Precios al Consumo, la manera de medir la inflación que determina los
tramos de impuestos, Seguridad Social, Medicare[ii] y otros
pagos indexados.
Afectó a decenas de millones de estadounidenses, pero hubo poco debate acerca
de la nueva fórmula y sus consecuencias. Y recientemente ha habido otro intento
de explotar esta arcana fórmula como puerta trasera de la economía
estadounidense.[1]
En una sociedad matemáticamente instruida se efectuarían muchos menos de esos
tratos secretos. Las matemáticas son iguales a rigor más integridad intelectual
por fiabilidad en los datos. Todos deberíamos tener acceso al conocimiento
matemático y a las herramientas necesarias para protegernos de decisiones
arbitrarias tomadas por los poderosos en un mundo cada vez más dominado por las
matemáticas. Sin matemáticas, no hay libertad.
* *
* *
Las
matemáticas son parte de nuestra herencia cultural, tanto como las artes
plásticas, la literatura y la música. Como humanos, estamos hambrientos de
cosas nuevas, de alcanzar nuevos significados, de comprender mejor el universo
y nuestro lugar en él. Lamentablemente, no podemos descubrir un nuevo
continente, como Colón, ni ser los primeros en pisar la Luna. Pero ¿y si le
dijera que no es necesario navegar por los océanos o volar por el espacio para
descubrir las maravillas del mundo? Están aquí mismo, imbricadas en nuestra
realidad cotidiana. En cierto sentido, dentro de nosotros. Las matemáticas
dirigen el flujo del universo, se agazapan tras sus formas y curvas, sujetan
las riendas de todo, desde los diminutos átomos a las estrellas más grandes.
Este libro constituye una invitación a ese rico y deslumbrante mundo. Lo he
escrito para lectores sin ningún conocimiento matemático previo. Si cree que
las matemáticas son difíciles, que no lo va a entender, si está aterrorizado
por las matemáticas, pero al mismo tiempo siente curiosidad por ver si hay algo
que valga la pena saber… entonces este libro es para usted.
Existe la falacia, muy extendida, de que hay que estudiar matemáticas durante
años para apreciarlas. Hay incluso quienes creen que la mayor parte de las
personas tiene una dificultad de aprendizaje innata en cuanto a las
matemáticas. No estoy de acuerdo: la mayoría de nosotros hemos oído hablar, y
poseemos al menos cierto conocimiento rudimentario, de temas como el Sistema
Solar, los átomos y las partículas elementales, la doble hélice del ADN y mucho
más, sin necesidad de estudiar física ni biología. Y a nadie sorprende que
ideas tan sofisticadas formen parte de nuestra cultura, nuestra consciencia
colectiva. De igual manera, todo el mundo puede comprender los conceptos e
ideas matemáticas clave, si se explican de la manera adecuada. Para ello no es
necesario estudiar muchos años de matemáticas; en muchos casos podemos
saltarnos tediosos pasos e ir directamente al grano.
El problema es que mientras que todo el mundo, generalizando, habla
continuamente de planetas, átomos y ADN, lo más seguro es que nadie le haya
hablado a usted de las fascinantes ideas de las modernas matemáticas, como los
grupos de simetrías, los novedosos sistemas numéricos en que 2 más 2 no siempre
son 4 o bellas formas geométricas como las superficies de Riemann. Es como si
siguieran enseñándole un gatito y le dijeran que es a eso a lo que se parece un
tigre. Pero, en realidad, el tigre es un animal completamente distinto. Se lo mostraré
en todo su esplendor y será capaz de apreciar esa «terrible simetría» de la que
elocuentemente hablaba William Blake.[iii]
Que no se me malinterprete: leer sólo este libro no le convertirá en un
matemático. Tampoco abogo por que todo el mundo se haga matemático. Piense más
bien de esta manera: aprender unos cuantos acordes le permitirá tocar un montón
de canciones con la guitarra. No le convertirá en el mejor guitarrista del
mundo, pero enriquecerá su vida. En este libro le enseñaré los acordes de las
matemáticas modernas, que le han ocultado. Y le prometo que esto enriquecerá su
vida.
Uno de mis profesores, el gran Israel Gelfand, solía decir: «La gente cree que
no entiende las matemáticas, pero en realidad el problema es cómo se las
explican. Si le preguntas a un borracho qué número es mayor, 2/3 o 3/5, no será
capaz de decírtelo. Pero si replanteas la pregunta: ¿qué es mejor: 2 botellas
de vodka para 3 personas o 3 botellas de vodka para 5 personas? Te dirá
claramente: 2 botellas para 3 personas, por supuesto».
Mi objetivo es explicarle estos temas de manera que puedan comprenderlos.
También hablaré de mi experiencia de haber crecido en la antigua Unión
Soviética, donde las matemáticas representaron una avanzadilla de libertad
frente a un régimen opresivo. Se me denegó la entrada en la Universidad Estatal
de Moscú por las leyes discriminatorias de la antigua Unión Soviética. Me
cerraron las puertas en las narices. Yo era un marginado. Pero no me rendí. Me
colaba en la universidad para asistir a lecciones y seminarios. Leía libros de
matemáticas por mi cuenta, a veces muy avanzada la noche. Y al final, fui capaz
de trampear al sistema. No me dejaron entrar por la puerta principal, así que
entré por una ventana. Cuando uno está enamorado, ¿qué puede detenerlo?
Dos brillantes matemáticos me acogieron bajo su ala protectora y se
convirtieron en mis mentores. Guiado por ellos, comencé a realizar
investigación matemática. Aún era un estudiante universitario, pero comenzaba
ya a probar los límites de lo desconocido. Fue la época más fascinante de mi
vida, y lo hice incluso sabiendo que la política discriminatoria de la Unión
Soviética nunca me permitiría tener un trabajo como matemático allí.
Pero había una sorpresa aguardándome: alguien pasó de contrabando mis primeros
artículos académicos y me hice conocido, y con veintiún años me invitaron en
calidad de profesor visitante a la Universidad de Harvard. Milagrosamente, al
mismo tiempo la perestroika levantaba el telón de acero en la
Unión Soviética, y permitía a sus ciudadanos viajar al extranjero. De modo que
allí estaba yo, profesor en Harvard pese a no tener un doctorado, trampeando nuevamente
al sistema. Continué con mi camino académico, que me llevó a investigar en los
límites del Programa Langlands, y me permitió tomar parte en algunos de los
avances más importantes en esta área durante los últimos veinte años. En las
páginas que siguen, explicaré los espectaculares resultados obtenidos por
científicos brillantes, así como lo que sucedía entre bastidores.
* *
* *
Este
libro trata también de amor. Una vez tuve la visión de un matemático que
descubría la «fórmula del amor». Se convirtió en la premisa de una
película, Rites of Love and Math, de la que hablaré más adelante en
el libro. Cada vez que exhibo la película alguien pregunta: «¿existe esa
fórmula?».
Mi respuesta es: «todas y cada una de las fórmulas que creamos son una fórmula
de amor». Las matemáticas son fuente de un conocimiento profundo y atemporal,
que llega al corazón de las cosas y nos une a través de culturas, continentes y
siglos. Mi sueño es que todos seamos capaces de ver, apreciar y maravillarnos
ante la mágica belleza y la exquisita armonía de estas ideas, fórmulas y
ecuaciones, porque ello proporcionará mucho más significado a nuestro amor por
este mundo y por el prójimo.
Guía
para el lector
Me
he esforzado para presentar, en este libro, los conceptos matemáticos de la
manera más elemental e intuitiva posible. Aun así, me doy cuenta de que algunas
partes del libro son más densas en conceptos matemáticos (especialmente algunos
aspectos de los capítulos 8, 14, 15 y 17). Es perfectamente lícito
saltarselas partes que parezcan confusas o tediosas en una primera lectura
(a menudo yo mismo lo hago). Si regresa más tarde a ellas, con nuevos
conocimientos adquiridos, puede que le resulten más fáciles de seguir. Pero,
por norma general, no es necesario para poder seguir lo que viene a
continuación.
Quizá
un argumento mucho más importante es que es perfectamente válido que algo no
quede claro. Así es como me siento el 90% de las veces que trabajo en
matemáticas, así que… ¡bienvenido a mi mundo! El sentimiento de confusión
(incluso, a veces, frustración) es parte esencial de ser un matemático. Pero
vea el lado positivo: ¡qué aburrida sería la vida si pudiéramos comprender todo
acerca de ella con poco o ningún esfuerzo! Lo que hace que las matemáticas sean
tan interesantes es nuestro deseo de superar esta confusión, de comprender, de
alzar el velo de lo desconocido. Y el sentimiento de triunfo personal cuando
comprendemos algo hace que todo merezca la pena.
En este libro intento centrarme en la imagen general y en las conexiones entre
diferentes conceptos y distintas ramas de las matemáticas, no en los detalles
técnicos. He relegado un tratamiento más en profundidad a las notas, que
contienen también referencias y sugerencias bibliográficas. Sin embargo, aunque
las notas pueden mejorar la comprensión, se pueden saltar sin problemas (al
menos, en una primera lectura).
He intentado minimizar el empleo de fórmulas, y he optado, en la medida de lo
posible, por explicaciones verbales. Siéntase libre de pasar por encima de las
fórmulas siempre que aparezcan.
Una
advertencia en cuanto a la terminología matemática: mientras escribía este
libro descubrí, para mi sorpresa, que ciertos términos que los matemáticos
usamos de una manera específica significan, en realidad, algo completamente
diferente para los no matemáticos. Términos como correspondencia,
representación, composición, lazo, variedad y teoría. Siempre que he detectado
este problema he incluido una explicación. También, cuando me ha sido posible,
he cambiado términos matemáticos poco comprensibles por otros con un
significado más transparente (por ejemplo, he escrito «relación Langlands» en
lugar de «correspondencia Langlands»). Puede resultarle útil consultar el
Glosario y el Índice siempre que una palabra no le resulte del todo clara.
Puede acudir a mi página web (http://edwardfrenkel.com) para actualizaciones y
material de apoyo, y enviarme un correo electrónico contándome lo que opina del
libro (la dirección consta en la página web). Sus aportaciones serán bien
recibidas.
Capítulo
1
Una bestia misteriosa
¿Cómo
se convierte uno en matemático? Puede pasar de muchas maneras. Déjeme
explicarle cómo me ocurrió a mí.
Puede que le sorprenda, pero cuando estaba en el colegio odiaba las
matemáticas. Bueno, quizá «odiar» sea una palabra muy fuerte. Dejémoslo en que
no me gustaban. Pensaba que eran aburridas. Podía hacer mis deberes, es cierto,
pero no comprendía por qué los estaba haciendo. La materia que se trataba en
clase me parecía irrelevante y sin sentido. Lo que realmente me entusiasmaba
era la Física, especialmente la cuántica. Devoraba los libros de divulgación al
respecto que caían en mis manos. Yo nací en Rusia, donde ese tipo de libros era
fácil de encontrar.
Me fascinaba el mundo cuántico. Incluso desde el alba de los tiempos, filósofos
y científicos habían soñado con describir la naturaleza fundamental del
universo. Algunos incluso lanzaron la hipótesis de que toda la materia estaba
constituida por diminutas partículas llamadas «átomos». A principios del siglo
XX se demostró que los átomos existían, pero casi al mismo tiempo, los
científicos descubrieron que se podían dividir en partículas más pequeñas.
Resultó que cada átomo constaba de un núcleo central con electrones en órbita
en torno a él. El núcleo, a su vez, consistía en protones y neutrones, como se
ve en el diagrama inferior.[2]
Átomo de carbono
¿Y
qué había de los protones y neutrones? Los libros de divulgación que yo leía me
decían que estaban compuestos de las partículas elementales llamadas «quarks».
Me gustaba el nombre, quarks, y sobre todo la manera en que se llegó a él. El
físico que inventó estas partículas, Murray Gell-Mann, tomó el nombre del libro
de James Joyce Finnegan's Wake, en la que hay un poema satírico que
dice así:
Three
quarks for Muster Mark!
Sure he hasn't got much of a bark
nd sure any he has it's all beside the mark[iv]
Pensé
que estaba muy bien que un físico nombrara una partícula a partir de una
novela, especialmente una tan compleja y poco trivial como Finnegan's
Wake. Yo tendría unos trece años, pero por entonces ya sabía que se suponía
que los científicos eran criaturas ermitañas y poco sociables, tan implicados
en su trabajo que carecían de interés en otros aspectos de la vida, como las
Humanidades o las Artes. No era así. Yo tenía muchos amigos, me gustaba leer y
me interesaban muchas más cosas además de la ciencia. Me gustaba jugar al
fútbol y pasaba horas pateando el balón con mis amigos. Más o menos por la
misma época descubrí los pintores impresionistas (gracias a un gran libro
acerca del impresionismo, que hallé en la biblioteca de mis padres). Van Gogh
era mi favorito. Subyugado por sus obras, incluso intenté pintar. Todos estos
intereses me hacían dudar acerca de si realmente estaba destinado a ser
científico. Así que cuando leí que Gell-Mann, un gran físico, ganador del
premio Nobel, tenía varios intereses (no sólo Literatura; también la
Lingüística, la Arqueología, etc.) me sentí muy feliz.
Según Gell-Mann, hay dos tipos diferentes de quarks, up («arriba»)
y down(«abajo»), y las diferentes mezclas entre ellos dan a los
neutrones y protones sus características. Un neutrón está compuesto de dos
quarks «abajo» y uno «arriba», y un protón, de dos quarks «arriba» y uno
«abajo», como se ve en el gráfico.[3]
Hasta
ahí todo estaba claro. Pero cómo llegaron los físicos a la conclusión de que
los protones y neutrones no eran partículas indivisibles, sino que estaban
compuestos de trozos más pequeños, era más complejo.
La historia dice que a finales de la década de 1950 se descubrió una gran
cantidad de partículas aparentemente elementales, los hadrones. Tanto los
protones como los neutrones son hadrones, y, evidentemente, desempeñan un papel
importantísimo en nuestra vida cotidiana como «ladrillos» básicos de la materia.
Con respecto a los demás hadrones…, bueno, nadie tenía ni idea de para qué
existían («quién los había encargado», en palabras de un físico). Había tantos
diferentes que el influyente físico Wolfgang Pauli aseguraba, en broma, que la
Física se había convertido en Botánica. Los físicos necesitaban
desesperadamente dominar los hadrones, hallar los principios subyacentes que
gobiernan su comportamiento y que explicarían su descontrolada proliferación.
Gell-Mann, y, de modo independiente, Yuval Ne'eman, propusieron un nuevo
esquema de clasificación. Ambos demostraron que se podía dividir a los hadrones
en pequeñas familias, cada una compuesta por ocho o diez partículas. Las
llamaron octetes y decupletes. Dentro de cada familia, las partículas tenían
propiedades similares.
En los libros de divulgación que yo leía por aquel entonces, encontraba
diagramas de octetes como este:
En
este caso, el protón corresponde a p, el neutrón a n y
hay otras seis partículas con nombres extraños que se representan mediante
letras griegas.
Pero ¿por qué 8 y 10, y no 7 y 11, por poner un ejemplo? En los libros que leía
no hallaba una respuesta satisfactoria. Mencionaban la misteriosa idea de
Gell-Mann denominada «camino óctuple» (que hacía referencia al «Noble camino
óctuple» de Buda). Pero nunca intentaban aclarar de qué iba realmente todo eso.
Esta falta de explicaciones me dejó completamente insatisfecho. Los aspectos
clave de la historia permanecían ocultos. Quería desentrañar ese misterio, pero
no sabía cómo.
Cosas del azar, recibí ayuda de un amigo de la familia. Crecí en una pequeña
ciudad industrial llamada Kolomna, de ciento cincuenta mil habitantes, a unos
cien kilómetros de Moscú (un par de horas en tren). Mis padres trabajaban como
ingenieros en una compañía que fabricaba maquinaria pesada. Kolomna es una
vieja ciudad situada en la confluencia de dos ríos, fundada en 1177 (sólo
treinta años después de Moscú). Aún posee algunas bellas iglesias y la muralla,
que da fe de su historia. Pero no es, para ser precisos, un centro educativo o
intelectual. Tan sólo había una pequeña universidad en ella, que formaba a
futuros profesores de primaria. Uno de sus profesores, un matemático llamado
Yevgueni Yevguénievich Petrov, sin embargo, era un antiguo amigo de mis padres.
Un día mi madre se lo encontró en la calle tras un largo tiempo sin verse, y se
pusieron a conversar. A mi madre le gustaba hablarles a sus amigos de mí, así
que acabé saliendo en la conversación. Al oír que me interesaba la ciencia,
Yevgueni Yevguénievich le dijo:
—He de conocerlo. He de intentar convertirlo a las matemáticas.
—Oh, no —respondió mi madre—. No le gustan las matemáticas. Dice que son
aburridas. Quiere estudiar física cuántica.
—No hay problema —le respondió Yevgueni Yevguénievich—; creo que sabré cómo
hacerle cambiar de opinión.
Se concertó un encuentro. Yo no estaba especialmente entusiasmado por ello,
pero en cualquier caso fui a visitar a Yevgueni Yevguénievich a su oficina.
Yo estaba a punto de cumplir quince años y estaba acabando noveno curso, el
penúltimo año de escuela preparatoria (era un año más joven que mis compañeros
porque me había saltado sexto). Por aquella época recién entrado en la
cuarentena, Yevgueni Yevguénievich era un tipo amistoso y modesto. Con gafas y
barba de tres días, era exactamente como me imaginaba que debía ser un
matemático, y pese a todo había algo cautivador en la sagaz mirada de sus grandes
ojos, que hablaban de una curiosidad desmedida por todo.
Resultó que Yevgueni Yevguénievich tenía un inteligente plan para convertirme a
las matemáticas. En cuanto entré en su oficina me dijo:
—Me han contado que te interesa la física cuántica. ¿Has oído hablar del camino
óctuple de Gell-Mann y del modelo de quarks?
—Sí, he leído sobre el tema en varios libros de divulgación.
—Pero ¿sabes cuál fue la base para ese modelo? ¿Cómo llegó a esa idea?
—Bueno…
—¿Has oído hablar del grupo SU(3)?
—¿SU qué?
—¿Cómo esperas comprender el modelo de quarks si no sabes qué es el grupo
SU(3)?
Sacó un par de libros de las estanterías, los abrió y me enseñó páginas con
fórmulas. Yo veía los conocidos diagramas de octetes, como el de la gráfica
anterior, pero estos no eran sólo gráficos bonitos: eran parte de lo que
parecía una explicación coherente y detallada.
Aunque no entendía nada de aquellas fórmulas, me quedó claro al instante que
contenían las respuestas que había estado buscando. Fue un momento de epifanía.
Me quedé hipnotizado por lo que veía y oía; me tocó algo que nunca antes había
experimentado. Era incapaz de expresarlo con palabras, pero sentía la energía,
el entusiasmo que uno siente al escuchar una composición musical o contemplar
un cuadro que le causan una impresión inolvidable. Sólo podía pensar:
«¡Ostras!».
—Seguro que piensas que las matemáticas son eso que te enseñan en la escuela
—dijo Yevgueni Yevguénievich.
Movió la cabeza.
—No, no. Es de esto —señaló las fórmulas del libro— de lo que van realmente las
matemáticas. Y si de verdad quieres comprender la física cuántica, es aquí
donde debes comenzar. Gell-Mann predijo los quarks empleando una bella teoría
matemática. En realidad, se trató de un descubrimiento matemático.
—Pero ¿cómo voy a siquiera comenzar a comprender todo esto?
Tenía un aspecto bastante temible.
—No te preocupes. Lo primero que tienes que aprender es el concepto de grupo de
simetrías. Esa es la idea principal. Una gran parte de las matemáticas, así
como de la Física teórica, se basan en ello. Aquí hay un par de libros que
quiero pasarte. Comienza leyéndotelos y marca las frases que no comprendas.
Podemos encontrarnos aquí semanalmente y hablar de ello.
Me pasó un libro acerca de grupos de simetrías y un par más sobre otros temas:
acerca de los llamados números p-ádicos (un sistema de numeración
radicalmente distinto a aquel a que estamos acostumbrados) y de topología (el
estudio de las propiedades fundamentales de las formas geométricas). Yevgueni
Yevguénievich tenía un gusto impecable: halló la mezcla de temas perfecta que
me permitiría ver a esta misteriosa bestia (las Matemáticas) desde
diferentes perspectivas, y entusiasmarme con ellas.
En la escuela estudiábamos cosas como ecuaciones de segundo grado, un poco de
cálculo, algo de geometría euclidiana básica y trigonometría. Había dado por
sentado que todas las matemáticas giraban en torno a estos temas, que quizá los
problemas se hacían más complicados pero permanecían en el mismo marco general
que yo conocía. Pero los libros que me prestó Yevgueni Yevguénievich me
ofrecían una mirada a un mundo completamente diferente, cuya existencia yo ni
siquiera imaginaba.
Me convirtió al instante.
Capítulo 2
La esencia de la simetría
Para
la mayoría de la gente, la matemática trata sobre números. Imaginan a los
matemáticos como personas que se pasan el día procesando números: números
grandes y números más grandes aún, con nombres exóticos. Yo también lo
pensaba…, al menos, hasta que Yevgueni Yevguénievich me presentó los conceptos
e ideas de las matemáticas modernas. Uno de ellos resultó ser clave para el
descubrimiento de los quarks: el concepto de simetría.
¿Qué es la simetría? Todos comprendemos intuitivamente qué es: la reconocemos cuando
la vemos. Cuando pido a la gente que me dé un ejemplo de simetría, suelen
mencionar mariposas, copos de nieve o el cuerpo humano.
Pero
si les pregunto qué significa que un objeto determinado es simétrico, dudan.
Yevgueni Yevguénievich me la explicó así:
—Observemos esta mesa cuadrada y esta mesa redonda —dijo, señalándome las dos
mesas de la oficina—. ¿Cuál es más simétrica?
—La redonda, claro, ¿no es obvio?
—Pero ¿por qué? Ser matemático significa que uno no da nada por obvio, sino que
intenta razonarlo. Muy a menudo te darás cuenta de que la respuesta más obvia
es errónea.
Al ver mi cara de confusión, Yevgueni Yevguénievich me dio una pista:
—¿Cuál es la propiedad de la mesa redonda que la hace más simétrica?
Pensé en el tema durante un rato y de repente me di cuenta:
—Supongo que la simetría de un objeto tiene que ver con que mantenga su forma y
su posición cuando se le aplican cambios.
Yevgueni Yevguénievich asintió.
—Efectivamente. Veamos todas las posibles transformaciones de una mesa que
conservan su forma y su posición —dijo—. En el caso de la mesa redonda…
Le interrumpí:
—Cualquier rotación en torno a su centro valdrá. Tendremos la misma mesa en la
misma posición. Pero si aplicamos una rotación arbitraria a una mesa cuadrada,
tendremos una mesa cambiada de posición. Sólo las rotaciones de 90 grados y sus
múltiplos la mantendrían sin cambios en su aspecto.
—¡Exacto! Si te fueras de la oficina durante un minuto y yo girara la mesa
redonda en cualquier ángulo, no notarías la diferencia. Pero si hiciera lo
mismo con la mesa cuadrada, lo verías, a menos que yo la girara 90, 180 o 270
grados.
Si aplicamos a una mesa redonda una rotación de un ángulo cualquiera no
cambia, pero si a una mesa cuadrada le aplicamos una rotación de un ángulo que
no sea múltiplo de 90, sí cambia (ambas vistas desde arriba).
Continuó:
—A estas transformaciones se les denomina simetrías. De modo que, como ves, la
mesa cuadrada tiene cuatro simetrías de rotación, mientras que la mesa redonda
tiene muchas más: en realidad, infinitas más. Por eso decimos que la mesa
redonda es más simétrica.
Tenía mucho sentido.
—Esta es una observación bastante directa —continuó Yevgueni Yevguénievich—. No
es necesario ser matemático para ver esto. Pero si eres un matemático, te harás
la siguiente pregunta: ¿cuáles son todas las posibles
simetrías de un objeto?
—Examinemos el caso de la mesa cuadrada. Sus simetrías[4] son estas
cuatro rotaciones alrededor del centro de la mesa: de 90 grados, de 180 grados,
de 270 grados y de 360 grados, en el sentido contrario a las agujas del reloj.[5] Un
matemático diría que el conjunto de simetrías de la mesa
cuadrada consiste en cuatro elementos, que se corresponden a los ángulos 90,
180, 270 y 360. Cada rotación lleva a una de las esquinas (marcada con un
círculo en la figura) a uno de los cuatro rincones.
—Una
de estas rotaciones es especial: la rotación a 360 grados es la misma que la
rotación a 0 grados, es decir, que ninguna rotación. Se trata de una simetría
especial porque, en realidad, no hace nada a nuestro objeto: cada punto de la
mesa acaba exactamente en la misma posición en que estaba al principio. La
llamamos identidad.[6]
Téngase en cuenta que una rotación en cualquier ángulo superior a 360 grados
equivale a una rotación de un ángulo entre 0 y 360 grados. Por ejemplo, una
rotación de 450 grados es lo mismo que una rotación de 90 grados, porque
450
= 360 + 90
Es
por eso por lo que sólo tenemos en cuenta las rotaciones en ángulos de entre 0
y 360 grados.
Aquí llega la observación crucial: si aplicamos dos rotaciones de la lista (90,
180, 270, 360 grados) una después de la otra, obtendremos otra rotación de la
misma lista. Llamamos a esta nueva simetría una composición de
las dos.
Como es obvio, cualquiera de las dos simetrías conserva la mesa: por tanto, la
composición de ambas también la conserva. Ergo, esta composición también ha de
ser una simetría. Por ejemplo, si rotamos la mesa 90 grados y luego otros 180
grados, el resultado neto de la operación es una rotación de 270 grados.
Veamos qué ocurre con la mesa al aplicar estas simetrías. Tras la rotación de
90 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj, la esquina de la
derecha (la que está marcada con un punto en la imagen anterior) pasará a ser
la esquina superior. Luego, aplicamos una rotación de 180 grados, de modo que
la esquina superior pasa a ser la esquina de la parte inferior. El resultado
final será que la esquina de la derecha pasará a ser la esquina de la parte
inferior. Esto es el resultado de una rotación de 270 grados en sentido
contrario a las agujas del reloj.
He aquí otro ejemplo:
90º
+ 270º = 0º
Al
rotar 90 grados y luego 270 grados más, obtenemos una rotación total de 360
grados. Pero el efecto de una rotación de 360 grados es el mismo que el de una
rotación de 0 grados, como hemos visto antes. Esta es la «identidad».
En otras palabras: la segunda rotación de 270 grados deshace la rotación
inicial de 90 grados. Esta es, en realidad, una propiedad importante: toda
simetría puede deshacerse, es decir: para toda simetría S existe
otra simetría S' tal que su composición sea la identidad. A
esta S' se le llama el inverso de la simetría S.
De modo que vemos que la rotación de 270 grados es el inverso de la rotación de
90 grados. De igual manera, el inverso de una rotación de 180 grados es la
misma rotación de 180 grados.
Ya vemos que lo que parecía una sencilla agrupación de simetrías de la mesa
cuadrada (las rotaciones de 90, 180, 270 y 360 grados) en realidad tiene una
enorme estructura interna, o reglas de cómo pueden interactuar los miembros del
conjunto.
En primer lugar, podemos componer dos simetrías cualesquiera (es decir,
aplicarlas una tras la otra).
En segundo lugar, existe una simetría especial, la identidad. En nuestro
ejemplo, es la rotación de 0 grados. Si la componemos con cualquier otra
simetría, obtenemos nuevamente esa simetría. Por ejemplo:
90º
+ 0º = 90º, 180º + 0º = 180º, etc.
En
tercer lugar, para toda simetría S existe una simetría
inversa S' tal que la composición de S y S' sea
la identidad.
Y ahora llegamos al punto esencial: el conjunto de rotaciones, junto con estas
tres estructuras, constituye un ejemplo de lo que los matemáticos denominan
un grupo.
Las simetrías de cualquier otro objeto también constituyen un grupo, que en
general tiene más elementos: posiblemente, infinitos.[7]
Veamos cómo funciona esto en el caso de la mesa redonda. Ahora que ya tenemos
cierta experiencia, vemos fácilmente que el conjunto de todas las simetrías de
la mesa redonda es el conjunto de todas sus posibles rotaciones (no sólo los
múltiplos de 90 grados) y podemos visualizarlo como el conjunto de todos los
puntos de la circunferencia.
Pero no deberíamos pensar en los puntos de esta circunferencia como puntos de
la mesa redonda. Más bien, cada punto de la circunferencia representa una
rotación determinada de la mesa redonda. Fíjese en que la mesa no tiene un
punto preferido, pero nuestro círculo sí: el que corresponde a una rotación de
0 grados.[8]
Veamos ahora si las tres estructuras antes mencionadas se pueden aplicar al
conjunto de puntos de la circunferencia.
En primer lugar, la composición de dos rotaciones, en los ángulos φ1 y
φ2, es la rotación de la suma de ángulos φ1 + φ2.
Si φ1 + φ2 es mayor que 360 grados,
sencillamente restamos 360 grados. En matemáticas, a esto se le llama suma
de módulo 360. Por ejemplo, si φ1 = 195º y φ2 =
250º, la suma de los dos ángulos es de 445º, y una rotación de 445º es igual
que una rotación de 85º. De modo que en el grupo de rotaciones de la mesa
redonda, tenemos que
195º
+ 250º = 85º.
En
segundo lugar, hay en la circunferencia un punto especial que corresponde a una
rotación de 0 grados. Es el elemento identidad de nuestro grupo.
En tercer lugar, el inverso de la rotación en sentido contrario a las agujas
del reloj de φ grados es la rotación en sentido contrario a las agujas del
reloj de (360-φ) grados, o, de manera equivalente, a la rotación en
sentido de las agujas del reloj de φ grados (véase figura).
Así
hemos descrito el grupo de rotaciones de la mesa redonda. Le llamaremos grupo
circular. A diferencia del grupo de simetrías de la mesa cuadrada, que
tiene cuatro elementos, este grupo tiene infinitos elementos más porque hay
infinitos ángulos entre 0 y 360 grados.
Hemos puesto ahora nuestra intuición acerca de la simetría sobre bases sólidas:
en efecto, la hemos convertido en un concepto matemático. En primer lugar,
hemos postulado que la simetría de un objeto determinado es una transformación
que conserva este objeto y sus propiedades. Y hemos dado un paso decisivo: nos
hemos centrado en el conjunto de todas las simetrías posibles de este objeto.
En el caso de la mesa cuadrada, este conjunto rotacional consiste en cuatro
elementos (rotaciones de ángulos múltiplos de 90 grados); en el caso de una
mesa redonda, es un conjunto infinito (todos los puntos de la circunferencia).
Finalmente, hemos descrito las precisas estructuras que este conjunto de
simetrías posee siempre: se pueden componer dos simetrías cualesquiera para
obtener otra simetría; existe la simetría identidad y para toda simetría existe
su simetría inversa. La composición de simetrías satisface también la propiedad
de asociatividad (descrita en la nota 4). De este modo hemos llegado al concepto
matemático de grupo.
Un grupo de simetrías es un objeto abstracto muy diferente del objeto concreto
con el que comenzamos. No podemos tocar ni sostener el conjunto de simetrías de
una mesa (a diferencia de la propia mesa) pero podemos imaginarlo, dibujar sus
elementos, estudiarlo y hablar de él. Todos los elementos de este conjunto
abstracto tienen un sentido concreto: representan una transformación puntual de
un objeto concreto, su simetría.
Las
matemáticas tratan del estudio de objetos abstractos y conceptos como estos.
La
experiencia demuestra que la simetría es un principio básico que ejerce de guía
para las leyes naturales. Por ejemplo, un copo de nieve tiene una forma
hexagonal perfecta porque este es el estado de energía mínima en que las
moléculas de agua pueden cristalizar. Las simetrías del copo de nieve son
rotaciones en múltiplos de 60 grados, es decir, en 60, 120, 180, 240, 300 y 360
grados (que es la misma que a 0 grados). Además, podemos «voltear» el copo de
nieve en torno a cualquiera de los seis ejes correspondientes a esos ángulos.
Todas estas rotaciones y giros conservan la forma y posición del copo de nieve,
y son, por tanto, sus simetrías.[v]
En el caso de una mariposa, voltearla equivaldría a ponerla patas arriba. Dado
que tiene patas en uno de sus lados, voltearla no sería una geometría,
estrictamente hablando, de la mariposa. Cuando decimos que una mariposa es
simétrica estamos hablando de una versión idealizada de la misma, en la que la
parte frontal y la de atrás son idénticas, a diferencia de las de una mariposa
real. En tal caso, el volteo, que intercambia las alas de derecha e izquierda,
sí que se convierte en una simetría (también podríamos pensar en intercambiar
las alas de la mariposa sin darle la vuelta).
Esto nos lleva a un punto importante: hay muchos objetos en la naturaleza cuyas
simetrías son aproximadas. Una mesa real no es perfectamente redonda ni
cuadrada; una mariposa presenta asimetría entre el lado delantero y el de
atrás; un cuerpo humano no es completamente simétrico.
Sin embargo, en estos casos resulta útil pensar en versiones abstractas e
idealizadas, o modelos: una mesa perfectamente redonda o cuadrada, o una imagen
de una mariposa sin distinción entre ambas caras. Entonces exploramos simetrías
de estos objetos idealizados y ajustamos las inferencias que hayamos podido
extraer del análisis para que tenga en cuenta las diferencias entre el objeto
real y el modelo.
Esto no significa que no apreciemos la asimetría: lo hacemos, y a menudo
hallamos belleza en ella. Pero el objetivo principal de la teoría matemática de
simetrías no es el estético. Es formular el concepto de simetría en los
términos más generales y, por tanto, más abstractos, que se puedan aplicar de
manera unificada en diferentes dominios como la geometría, la teoría de
números, la física, la química, la biología, etcétera. Una vez enunciamos dicha
teoría, podemos hablar de los mecanismos de ruptura de simetría, ver la
asimetría emergente, en otras palabras. Por ejemplo, las partículas elementales
adquieren masa porque la llamada simetría de gauge a que obedecen (que se
tratará en el capítulo 16) se rompe. Esto lo facilita el bosón de Higgs, una
escurridiza partícula recientemente descubierta en el Gran Colisionador de
Hadrones que hay bajo la ciudad de Ginebra.[9] El
estudio de estos mecanismos de ruptura de simetría proporciona valiosísimas
reflexiones acerca del comportamiento de los ladrillos fundamentales de la
naturaleza.
* *
* *
Me
gustaría señalar algunas de las cualidades básicas de la teoría abstracta de
simetrías porque constituye un buen ejemplo de por qué las matemáticas son
importantes.
La primera es la universalidad. El grupo circular no es tan sólo el
grupo de simetrías de una mesa redonda, sino también el de todos los demás
objetos redondos, como un vaso, una botella, una columna, etcétera. En
realidad, decir que un objeto es redondo es lo mismo que decir que su grupo de
simetrías es el grupo circular. Es una frase poderosa: vemos que podemos
describir un importante atributo de un objeto («que es redondo») describiendo
su grupo de simetrías (el círculo). De igual manera, «ser cuadrado» significa
que su grupo de simetrías de rotación es el grupo de cuatro elementos arriba
descrito. En otras palabras, el mismo objeto abstracto matemático (por ejemplo,
el grupo circular) sirve para muchos objetos concretos diferentes, y señala
propiedades universales que todos tienen en común (como su cualidad de
redondos).[10]
La segunda es la objetividad. El concepto de un grupo, por ejemplo,
es independiente de nuestra interpretación. Significa lo mismo para todos
aquellos que lo aprenden. Evidentemente, para comprenderlo, uno ha de conocer
el lenguaje en que se expresa, es decir, el lenguaje matemático. Pero
cualquiera puede aprender ese lenguaje. De igual manera, si uno quiere aprender
el significado de la frase de René Descartes Je pense, donc je suis,
necesitará saber francés (al menos, las palabras empleadas en la frase)… pero
cualquiera puede aprenderlo. Sin embargo, en el caso de esta última frase, una
vez la comprendamos, serán posibles distintas interpretaciones. Además,
diferentes personas pueden estar de acuerdo o en desacuerdo con respecto a
cualquier interpretación acerca de si la frase es cierta o no. Sin embargo, el
significado de una frase matemática consistente no está sujeto a
interpretaciones.[11] Además,
su verdad es objetiva. (Por norma general, la verdad de una determinada
afirmación puede depender del sistema de axiomas dentro del cual se enmarque.
Sin embargo, incluso en ese caso, la dependencia de esos axiomas es también
objetiva). Por ejemplo, la afirmación «el grupo de simetrías de una mesa
redonda es el círculo» es verdadera para todo el mundo, en cualquier lugar, en
cualquier momento. Dicho de otra manera: las verdades matemáticas son las
verdades necesarias. Hablaremos más de esto en el capítulo 18.
La tercera cualidad, estrechamente relacionada, es la resistencia.
No cabe duda de que el teorema de Pitágoras significaba lo mismo para los
antiguos griegos que hoy en día para nosotros, y existen todas las razones del
mundo para suponer que significará lo mismo para cualquiera en el futuro. De la
misma manera, todas las afirmaciones matemáticas de las que hablaremos en este
libro serán verdaderas para siempre.
El hecho de que exista un conocimiento objetivo y perdurable (y más aún, de que
nos pertenezca a todos) es poco menos que un milagro. Sugiere que los conceptos
matemáticos existen en un mundo separado de los mundos físico y mental, al que
a veces se llama mundo platónico de las matemáticas: hablaremos de ello en el
capítulo final. Aún no comprendemos exactamente qué es y qué impulsa el
descubrimiento matemático. Pero es evidente que esta realidad oculta jugará un
papel cada vez más grande en nuestras vidas, especialmente con el advenimiento
de las nuevas tecnologías informáticas y de la impresión 3D.
La cuarta cualidad es la relevancia de las matemáticas con
respecto al mundo físico. Por ejemplo, se han realizado grandes progresos en
física cuántica en los últimos cincuenta años gracias a la aplicación del
concepto de simetría a las partículas elementales y a la interacción entre
ellas. Desde este punto de vista, una partícula, como un electrón o un quark,
es como una mesa redonda o un copo de nieve, y su comportamiento está
determinado en gran manera por sus simetrías. Algunas de esas simetrías son
exactas y otras son aproximadas.
El descubrimiento de los quarks es un ejemplo perfecto de cómo funciona esto.
Al leer los libros que Yevgueni Yevguénievich me prestó, aprendí que en la raíz
de la clasificación de Gell-Mann y Ne'eman de los hadrones, de la que hablamos
en el capítulo previo, había un grupo de simetrías. Este grupo ya
había sido estudiado previamente por matemáticos, que, sin embargo, no habían
previsto ninguna conexión con partículas subatómicas. El nombre matemático del
grupo era SU(3). En este caso, «S» y «U» eran las iniciales de special
unitary («unitario especial»). Este grupo es muy similar en sus
propiedades al grupo de simetrías de la esfera, del que hablaremos en el
capítulo 10.
Los matemáticos habían descrito las representaciones del grupo SU(3), es decir,
las diferentes maneras en que el grupo SU(3) podía actuar como grupo de
simetrías. Gell-Mann y Ne'eman notaron las similitudes entre la estructura de
esas representaciones y los patrones de hadrones que habían hallado. Emplearon
esa información para clasificar los hadrones.
El plano es bidimensional porque tiene dos ejes de coordenadas y, por tanto,
todo punto tiene dos coordenadas.
Por consiguiente, decimos que hemos construido una «representación
bidimensional» del grupo de rotaciones. Significa sencillamente que todos y
cada uno de los elementos del grupo de rotaciones se entienden como una
simetría del plano.[12]
También hay espacios de más de dos dimensiones. Por ejemplo, el espacio que nos
rodea es tridimensional, es decir, posee tres ejes de coordenadas, de modo que
para especificar la posición de un punto, deberemos especificar sus tres
coordenadas (x, y, z) tal y como se muestra en
esta gráfica:
No
somos capaces de imaginar un espacio tetradimensional, pero las matemáticas nos
proporcionan un lenguaje universal que nos permite hablar de espacios con
cualquier cantidad de dimensiones. Para ser exactos, representamos puntos del
espacio tetradimensional mediante grupos de cuatro números (x, y, z, t)
de la misma manera que representamos puntos del espacio tridimensional mediante
tripletes de números (x, y, z). De igual manera,
representamos los puntos de cualquier espacio n-dimensional, para
cualquier número natural n, mediante grupos de n números.
Si alguna vez ha empleado un programa de hoja de cálculo, se habrá encontrado
con estos grupos de n números: aparecen como filas en la hoja,
en la que cada uno de los n números corresponde a un atributo
particular de los datos almacenados. Así, cada fila de una hoja de cálculo se
refiere a un punto en un espacio n-dimensional. Hablaremos más de
espacios de varias dimensiones en el capítulo 10.
Si todos los elementos de un grupo pueden generarse, de un modo consistente,[13] como
simetrías de un espacio n-dimensional, podemos decir que el grupo
tiene «una representación n-dimensional».
Resulta que un grupo determinado puede tener representaciones de diferentes
dimensiones. La razón por la que las partículas elementales se pueden ensamblar
en grupos de a 8 y de a 10 es que el grupo SU(3) posee una representación
8-dimensional y una representación 10-dimensional. Las 8 partículas de cada
octete construido por Gell-Mann y Ne'eman (como la del diagrama de la p. 26)
están en correspondencia uno a uno con los 8 ejes coordenados de un espacio
8-dimensional que es una representación de SU(3). Lo mismo vale para el
decuplete de partículas. Pero las partículas no pueden ensamblarse en, digamos,
familias de 7 u 11, porque los matemáticos han demostrado que el grupo SU(3) no
posee representaciones 7- u 11-dimensionales.
Al principio, esto era tan sólo una manera cómoda de combinar partículas con
propiedades similares. Pero después, Gell-Mann fue más allá. Postuló que había
una razón profunda para este esquema de clasificación. En esencia, dijo que
este esquema funciona tan bien porque los hadrones están hechos de partículas
aún más pequeñas, a veces de dos y a veces de tres: los quarks. El físico
George Zweig (que llamó a estas partículas «ases») hizo, de modo independiente,
una propuesta similar.
Se trataba de una propuesta sorprendente. No sólo atentaba contra la creencia
común, en aquella época, de que protones, neutrones y otros hadrones eran
partículas indivisibles, sino que se proponía que estas nuevas partículas
poseían cargas que eran fracciones de la del electrón. Se trataba de una
predicción sorprendente porque nadie había visto con anterioridad esas
partículas. Sin embargo, pronto se comprobó experimentalmente la existencia de
los quarks y, como se había predicho, ¡poseían cargas eléctricas fraccionales!
¿Qué había motivado a Gell-Man y Zweig a predecir la existencia de quarks? La
teoría matemática de representaciones de SU(3). Para ser exactos, el hecho de
que el grupo SU(3) tiene dos representaciones tridimensionales diferentes (en
realidad, esa es la razón del «3» en su nombre). Gell-Man y Zweig sugirieron
que esas dos representaciones describirían dos familias de partículas
fundamentales: 3 quarks y 3 antiquarks. Resultaba que las representaciones 8- y
10-dimensionales de SU(3) se podían construir a partir de las 3-dimensionales.
Y esto daba unas instrucciones precisas para construir hadrones a partir de
quarks, como en un juego de Lego.
Gell-Man denominó a los 3 quarks up («arriba»), down («abajo»)
y strange(«extraño»).[14] Un
protón consiste en dos quarks arriba y uno abajo, mientras que un neutrón
consiste en dos quarks abajo y uno arriba, como hemos visto en los gráficos
anteriores. Ambas partículas pertenecen al octete mostrado en el diagrama
anterior. Otras partículas de este octete implican al quark extraño, así como a
quarks arriba y abajo. Existen también octetes que consisten en partículas
compuestas por un quark y un antiquark.
El descubrimiento de los quarks es un buen ejemplo de ese papel preponderante
que desempeñan las matemáticas en la ciencia, del que hablábamos en el
prefacio. Estas partículas se predijeron no fundamentándose en datos empíricos,
sino a partir de patrones de simetría matemáticos. Fue una predicción puramente
teórica, efectuada dentro del marco de una sofisticada teoría matemática de
representaciones del grupo SU(3). Los físicos tardaron años en dominar esta
teoría (e incluso hubo algunas resistencias a ella al principio) pero hoy en
día forma parte básica de la teoría elemental de partículas. No sólo
proporcionó una clasificación de hadrones, sino que también llevó al
descubrimiento de los quarks, lo que cambió para siempre nuestra comprensión de
la realidad física.
Imagínelo: una teoría matemática aparentemente esotérica nos permitió llegar al
corazón de los «ladrillos» básicos de la naturaleza. ¿Cómo no quedar fascinados
ante la mágica armonía de esos diminutos trocitos de materia, o maravillarse
ante la capacidad de las matemáticas para revelar los principios fundamentales
que rigen el universo?
Dice una anécdota que Elsa, la mujer de Einstein, al oír que se necesitaba un
telescopio en el Monte Wilson para determinar la forma del espacio-tiempo,
dijo: «Oh, mi marido lo hace en el revés de un sobre».
Los físicos necesitan máquinas gigantescas y sofisticadas como el Gran
Colisionador de Hadrones de Ginebra, pero lo asombroso es que científicos como
Einstein y Gell-Man han empleado lo que parece ser el conocimiento matemático
más puro y abstracto para desvelar los secretos más profundos del universo que
nos rodea.
No importa quién sea o en qué crea, todos compartimos este conocimiento. Nos
acerca unos a otros y proporciona un nuevo sentido a nuestro amor por el
universo.
El
plan de Yevgueni Yevguénievich funcionó perfectamente: me «convertí» a las
matemáticas. Aprendía rápido, y cuanto más me adentraba en las matemáticas, más
me fascinaban y más quería saber. Es lo que ocurre cuando uno se enamora.
Comencé a reunirme con Yevgueni Yevguénievich periódicamente. Me pasaba libros
para leer y una vez a la semana quedábamos en la escuela en que trabajaba para
hablar de las lecturas. Yevgueni Yevguénievich jugaba al fútbol, a hockey sobre
hielo y a voleibol habitualmente, pero como muchos hombres de la Unión
Soviética de aquella época, era un fumador compulsivo. Incluso muchos años
después asociaría el olor del humo de cigarrillos con las matemáticas.
A veces nuestras conversaciones se prolongaban hasta bien entrada la noche. Una
vez, el vigilante, que no podía imaginar que a aquellas horas hubiera alguien
dentro, cerró con candado el auditorio en el que estábamos. Y seguramente
nosotros estábamos tan ensimismados en nuestra conversación que ni oímos el
ruido de la llave al cerrarlo. Por suerte, el auditorio estaba en unos bajos y
conseguimos salir por una ventana.
Era 1984, mi último año de escuela secundaria. Tenía que decidir a qué
universidad solicitar la entrada. Moscú tenía muchas escuelas, pero sólo un
lugar donde estudiar matemáticas: la Universidad Estatal de Moscú, más conocida
por sus iniciales del ruso Moskjovskiy Gosudarstvenny Universitet,
o MGU. Su famoso «Mekh-Mat», el Departamento de Mecánica y Matemáticas, era el
buque insignia del programa matemático de la Unión Soviética.
Los exámenes de admisión a la universidad en Rusia no son como las pruebas SAT[vi] estadounidenses.
En Mekh-Mat había cuatro: una prueba escrita y otra oral de matemáticas, una
prueba oral de física y una prueba de composición literaria de ensayos.
Quienes, como yo, se graduaban de la escuela secundaria con las máximas notas
(en aquella época, en la Unión Soviética, nos daban una medalla de oro)
accedíamos directamente si obteníamos un 5 (la máxima nota) en la primera
prueba.
Por aquel entonces yo había sobrepasado ampliamente las matemáticas de
secundaria, por lo que parecía que pasaría sin problemas las pruebas de la MGU.
Resulté ser demasiado optimista. El primer aviso vino en forma de una carta que
recibí de una escuela por correspondencia con la que había estudiado. La había
creado años atrás Israel Gelfand, el famoso matemático soviético (hablaremos
mucho de él más adelante). La escuela pretendía ayudar a aquellos estudiantes
que, como yo, vivían lejos de las grandes ciudades y no disponían de acceso a
escuelas especiales de matemáticas. Todos los meses los estudiantes
participantes recibían un folleto aclarando el material que se estudiaba en la
escuela e incluso yendo un poquito más allá. También contenía problemas, más
difíciles que los que se estudiaban en la escuela, que el estudiante debía
devolver solucionados. Quienes ponían las notas (habitualmente estudiantes de
la Universidad de Moscú) leían las soluciones y las devolvían corregidas. Yo
estuve en esta escuela a distancia durante tres años, así como en otra más
orientada a la física. Me resultaba un recurso útil, pese a que el material era
muy parecido a lo que hacía en la escuela (a diferencia de lo que estudiaba en
privado con Yevgueni Yevguénievich).
La carta que recibí de la escuela por correspondencia era escueta: «Si desea
solicitar la entrada a la Universidad de Moscú pásese por nuestra oficina y
estaremos encantados de orientarle». Daba su dirección en el campus de la MGU y
los horarios de visita. Poco después de recibir la carta realicé el viaje, de
dos horas en tren, hasta Moscú. La oficina de la escuela era una gran habitación
con un montón de escritorios y gente trabajando, escribiendo a máquina y
corrigiendo exámenes. Me presenté, enseñé la cartita y de inmediato me
presentaron a una mujer diminuta, de treinta y muchos años.
—¿Cómo te llamas? —me dijo a modo de bienvenida.
—Eduard Frenkel. (En aquellos días empleaba la forma rusa de Edward).
—¿Y quieres solicitar entrada a la MGU?
—Sí.
—¿Qué departamento?
—Mekh-Mat.
—Ya veo. —Bajó lo ojos y me preguntó:
—¿Cuál es tu nacionalidad?
—Ruso —respondí.
—¿En serio? ¿Y cuáles son las nacionalidades de tus padres?
—Bueno…, mi madre es rusa.
—¿Y tu padre?
—Mi padre es judío.
Ella asintió.
Puede que este diálogo le resulte surrealista, y ahora que lo estoy
escribiendo, a mí también me parece surrealista. Pero en la Unión Soviética, en
1984 (¿recuerda a Orwell?)[vii] no se
consideraba extraño preguntar a alguien por su «nacionalidad». En el pasaporte
interior que todo ciudadano debía llevar consigo, había incluso una línea
destinada a «nacionalidad». Estaba bajo (1) nombre, (2) patronímico, (3)
apellido y (4) fecha de nacimiento. Por ello lo llamaban pyataya grafa,
«la quinta línea». La nacionalidad también se anotaba en el certificado de
nacimiento, así como las de los padres. Si las nacionalidades eran diferentes,
como en mi caso, los padres podían decidir qué nacionalidad dar al hijo.
A todos los efectos y propósitos, la quinta línea era un eufemismo para saber
si eras judío o no. También se detectaba, de esta manera, a personas de otras
nacionalidades, como tártaros y armenios, contra quienes también había
prejuicios y persecuciones (aunque no a la misma escala que contra los judíos).
Mi quinta línea decía que yo era ruso, pero mi apellido (que era el de mi
padre, y sonaba claramente judío) me delató.
Es importante subrayar que mi familia no era en absoluto religiosa. A mi padre
no lo habían educado bajo ninguna tradición religiosa, ni tampoco a mí. En
realidad, en aquella época, en la Unión Soviética, la religión era
prácticamente inexistente. La mayor parte de iglesias cristianas ortodoxas
estaban cerradas o habían sido destruidas. En las pocas que aún existían, uno
sólo hallaba las típicas babushkas(«abuelas»), como mi abuela
materna. Ocasionalmente, ella asistía a algún servicio en la única iglesia
activa en mi ciudad. Había incluso menos sinagogas. No había ninguna en mi
ciudad; en Moscú, con una población de diez millones de personas, había
oficialmente una sola.[15] Acudir
a un servicio religioso en una iglesia o sinagoga era peligroso: agentes
especiales camuflados podían detectarte y entonces te metías en problemas
serios. Así que cuando se referían a alguien como «judío» no era en el sentido
religioso, sino en el de etnia o «sangre».
Incluso si no hubiera empleado el apellido de mi padre, el comité de admisiones
hubiera detectado, de todas formas, mi origen judío, porque la hoja de
solicitud preguntaba explícitamente los nombres completos de ambos
progenitores. Esos nombres completos incluían los patronímicos, es decir: los
nombres de pila de los abuelos del solicitante. El patronímico de mi padre era
Joseph, que en la Unión Soviética de aquella época sonaba inconfundiblemente
judío, de modo que este hubiera sido otro modo de averiguarlo (si su apellido
no me hubiera delatado). El sistema estaba pensado de tal manera que señalara a
cualquiera que fuera al menos una cuarta parte judío.
Tras establecer, por esta definición, que yo era judío, la mujer me dijo:
—¿Sabes que no se admite a judíos en la Universidad de Moscú?
—¿Qué quiere decir?
—Que ni siquiera deberías tomarte la molestia de solicitarlo. No pierdas el
tiempo. No te dejarán entrar.
Yo no sabía qué decir.
—¿Es por eso por lo que me envió esta carta?
—Sí. Estoy intentando ayudarte.
Miré a mi alrededor. Era obvio que todo el mundo en la oficina sabía de qué
versaba esta conversación, incluso si no prestaban demasiada atención. Debía
haber pasado docenas de veces, y todo el mundo parecía ya acostumbrado. Todos
desviaban la mirada, como si yo fuera un paciente terminal. Me hundí.
* *
* *
Había
topado con el antisemitismo anteriormente, pero a una escala personal, no
institucional. Cuando estaba en quinto curso, algunos compañeros de clase se
dedicaron a gritarme evrey, evrey («judío, judío»). No creo
que tuvieran ni idea de lo que significaba, algo que quedaba claro teniendo en
cuenta que algunos de ellos confundían la palabra evrey, «judío»,
con evropeyets, «europeo»: seguramente habían oído comentarios
antisemitas de sus padres u otros adultos. Lamentablemente, el antisemitismo
estaba fuertemente arraigado en la cultura rusa. Yo era fuerte y tuve la suerte
de poseer un par de auténticos amigos que me protegieron, de modo que aquellos
matones nunca me golpearon, pero fue una experiencia desagradable. Yo era
demasiado orgulloso como para decírselo a mis profesores o a mis padres, pero
un día un profesor los escuchó e intervino. Como resultado, enviaron a aquellos
chicos a hablar con el director y el acoso desapareció.
Mis padres habían oído acerca de la discriminación contra los judíos en el acceso
a las universidades, pero por alguna razón no le dieron demasiada importancia.
Para empezar, en mi ciudad no había muchos judíos, y todos los casos de
supuesta discriminación de que habían oído hablar mis padres estaban
relacionados con programas de física. Un argumento típico que se daba era que
no aceptaban judíos porque los estudios de aquellos programas estaban
relacionados con la investigación nuclear y, por tanto, con secretos nacionales
y de defensa: el gobierno no quería judíos en aquellas áreas porque podían
emigrar a Israel o adonde fuese. Por esta misma lógica, no debería haber
problemas con los que estudiaran matemáticas puras. Bien, pues por lo visto a
alguien le importaba.
Todo en mi charla en la MGU fue extraño. No hablo sólo del aspecto kafkiano. Es
posible concluir que la mujer con la que hablé simplemente quisiera ayudarme, a
mí y a otros en mi situación, advirtiéndonos de lo que iba a ocurrir. Pero ¿era
realmente así? Recordemos que hablamos de 1984, cuando el Partido Comunista y
el KGB controlaban aún férreamente todos los aspectos de la vida en la Unión
Soviética. La política oficial del estado era que todas las nacionalidades eran
iguales, y sugerir lo contrario en público podría poner a alguien en peligro.
Y, sin embargo, esta mujer me hablaba tranquilamente a mí, un extraño al que
acababa de conocer, y no parecía preocuparle que la oyeran sus colegas.
Además, los exámenes para la MGU se rendían siempre un mes antes que los de las
demás universidades. Por tanto, los estudiantes que suspendieran en la MGU aún
tenían una oportunidad de entrar en alguna otra universidad. ¿Por qué querría
alguien convencerles de que no lo intentaran? Era como si ciertas fuerzas
poderosas pretendieran espantarme a mí y a otros estudiantes judíos.
Pero no me iban a detener. Tras hablar de todo esto en profundidad, mis padres
y yo decidimos que no teníamos nada que perder. Decidimos que enviaría mi
solicitud para la MGU y lo haría lo mejor posible.
* *
* *
El
primer examen, a principios de julio, era una prueba de matemáticas por
escrito. Siempre constaba de cinco problemas. El quinto problema se solía
considerar mortal, irresoluble. Era como el quinto elemento del examen. Pero
resolví todos los problemas, incluido el quinto. Consciente como era de la alta
probabilidad de que quien corrigiera mi prueba tuviera prejuicios contra mí e
intentara encontrar huecos en mis soluciones, lo escribí todo con un detalle
minucioso. Luego comprobé una y otra vez mis argumentos y cálculos para
asegurarme de que todo era correcto. Parecía que sería un buen comienzo.
Mi siguiente prueba era el examen oral de matemáticas. Estaba programado para
el día 13 de julio, que resultó ser un viernes.
Recuerdo muy claramente muchos detalles de aquel examen. Estaba citado a
primera hora de la tarde, y esa mañana tomé con mi madre el tren. Entré en la
sala de la MGU pocos minutos antes del examen. Era una clase normal, y había
allí entre quince y veinte estudiantes y cuatro o cinco examinadores. Al
comienzo de la prueba, cada uno de nosotros debía coger una hoja de papel de un
gran montón que había en el escritorio a la entrada de la sala. Todos los
papeles tenían dos preguntas escritas en él, y estaban boca abajo. Era como
coger un billete de lotería, de modo que así llamábamos al papel, bilet,
«billete». Había, quizá, un centenar de preguntas, todas conocidas de antemano.
A mí no me importaba qué billete sacara, puesto que me conocía a fondo todo el
temario. Tras coger el billete, los estudiantes debían sentarse en una de las
mesas y preparar la respuesta, empleando tan sólo las hojas de papel que se
daban.
Las preguntas de mi billete eran: (1) una circunferencia inscrita en un
triángulo y la fórmula para el área del triángulo empleando su radio; y (2)
derivada de la razón de dos funciones (sólo la fórmula). Estaba tan preparado
para estas preguntas que las podría haber contestado dormido.
Me senté, escribí un par de fórmulas en una hoja de papel y concentré mis
pensamientos. Me debió llevar unos dos minutos. No necesitaba prepararme más,
estaba listo: levanté la mano. En la sala había varios examinadores y estaban
esperando a que los estudiantes levantaran la mano, pero, cosa extraña, me
ignoraron, como si yo no existiera. Era como si fuera transparente. Estuve
sentado con la mano levantada durante un rato: no hubo respuesta.
Entonces, al cabo de un par de minutos, otros dos chicos levantaron la mano, y
en cuanto lo hicieron los examinadores fueron hacia ellos. Los examinadores se
sentaban junto al estudiante y le escuchaban responder las preguntas. Estaban
bastante cerca de mí, así que les oía. Eran muy educados y en general asentían
con la cabeza o hacían preguntas aclaratorias. Nada extraordinario. Cuando un
estudiante acababa de responder las preguntas del billete (unos diez minutos)
el examinador le daba un problema más para resolver. Los problemas parecían
bastante sencillos, y la mayor parte de los estudiantes los resolvían
fácilmente. ¡Y eso era todo!
Los primeros estudiantes ya se habían ido felices tras ganar obviamente un 5,
la nota más alta, y yo seguía sentado allí. Finalmente detuve a uno de los
examinadores que deambulaban, un chico joven que parecía recién doctorado, y le
pregunté:
—¿Por qué no hablan conmigo?
Miró a lo lejos y dijo en voz baja:
—Perdona, no se nos permite hablar contigo.
A la hora, más o menos, de haber comenzado el examen, un par de señores de
mediana edad entraron en la sala. Se dirigieron con brusquedad a la mesa del
extremo de la sala y se presentaron ante el hombre que había allí sentado. Él
asintió y me señaló. Me quedó muy claro que era la gente a la que había estado
esperando: mis inquisidores.
Vinieron hasta la mesa y se presentaron. Uno era delgado y ágil; el otro, con
cierto sobrepeso y un gran bigote.
—OK —dijo el delgado—. ¿Qué tenemos aquí? ¿Cuál es la pregunta?
—La circunferencia inscrita en un triángulo y…
Me interrumpió:
—¿Cuál es la definición de circunferencia?
Era bastante agresivo, lo que contrastaba mucho con la manera en que los otros
examinadores trataban a los demás estudiantes. Además, los otros examinadores
nunca preguntaban nada antes de que el estudiante tuviera la oportunidad de
presentar por completo su respuesta a la pregunta del billete.
Dije:
—Una circunferencia es el conjunto de puntos, en un plano, equidistantes con
respecto a un punto dado. —Era la definición estándar.
—¡Erróneo! —declaró, alegremente, el hombre.
¿Cómo podía ser erróneo? Esperó unos segundos y luego dijo:
—Es el conjunto de todos los puntos, en un plano, equidistantes
con respecto a un punto dado.
Eso parecía estirar demasiado las palabras: el primer síntoma del problema que
se avecinaba.
—OK —dijo el hombre—. ¿Cuál es la definición de triángulo?
Cuando le di la definición y pensó acerca de ella, sin duda intentando ver si
podía encontrarle los tres pies al gato, continuó:
—¿Y cuál es la definición de una circunferencia inscrita en un triángulo?
Eso nos llevó a la definición de «tangente», luego a la de «recta» y eso a más
cosas; pronto me estaba preguntando por el quinto postulado de Euclides acerca
de la singularidad de las rectas paralelas, ¡algo que ni siquiera estaba en el
programa de secundaria! Estábamos hablando de temas que ni siquiera se
acercaban a la pregunta del billete y que iban mucho más allá de lo que se
suponía que yo debía saber.
Se cuestionaba cada palabra que yo decía. Había que definir cada concepto, y si
en la definición se empleaba otro concepto, se me pedía de inmediato que
también lo definiera.
No es necesario decir que si mi apellido hubiera sido Ivanov, jamás me habrían
hecho todas estas preguntas. Mirando hacia atrás, me doy cuenta de que lo
prudente por mi parte hubiera sido protestar allí mismo y decir a los
examinadores que se habían extralimitado. Pero esto es fácil de decir ahora. Yo
tenía dieciséis años y esos hombres me sacaban veinticinco. Eran los
funcionarios que administraban un examen en la Universidad Estatal de Moscú y
me sentía obligado a responder a sus preguntas lo mejor posible.
Tras un interrogatorio de casi una hora, pasamos a la segunda pregunta de mi
billete.
Para entonces, los demás estudiantes se habían ido y el auditorio estaba vacío.
Por lo visto, yo era el único estudiante de aquella sala que requería «cuidados
especiales». Supongo que colocaban a los estudiantes judíos de tal manera que
no hubiera más de uno o dos por sala.
La segunda pregunta me pedía escribir la fórmula de la derivada de la razón de
dos funciones. No se me pedía dar definiciones ni pruebas. La pregunta decía,
de forma específica, sólo la fórmula. Pero, por supuesto, los examinadores
insistieron en que yo les explicara un capítulo completo del libro de cálculo.
—¿Cuál es la definición de derivada?
La definición estándar que les di implicaba el concepto de límite.
—¿Cuál es la definición de límite? —Luego—: ¿Qué es una función? —etcétera,
etcétera, etcétera.
* *
* *
La
discriminación en los exámenes de acceso a la MGU ha sido tema de varias
publicaciones. Por ejemplo, en su revelador artículo[16] en Notices
of the American Mathematical Society, el matemático y pedagogo Mark Saul
empleó mi historia como ejemplo. Efectuó una aguda comparación entre mi examen
y el interrogatorio de la Reina de Corazones de Alicia en el país de
las maravillas. Yo sabía las respuestas, pero en este juego, en que se
volvía en mi contra todo lo que yo dijera, no tenía ninguna posibilidad de
ganar.
En otro artículo[17] acerca
del mismo tema en Notices, el periodista George G. Szpiro narra lo
siguiente:
Los
judíos (o los solicitantes con nombres de resonancias judías) eran separados a
la entrada para un tratamiento especial… Les elevaban las dificultades en el
examen oral. A los candidatos no deseados se les daban «preguntas asesinas» que
exigieran razonamientos difíciles y largos cálculos. Algunas preguntas eran
imposibles de resolver, se preguntaban de manera ambigua o carecían de
respuesta correcta. No estaban destinadas a comprobar las habilidades del
candidato, sino a cribar a los «indeseables». Los agotadores y evidentemente
injustos interrogatorios a menudo duraban cinco o seis horas, pese a que, por
decreto, sólo podían durar hasta tres horas y media. Incluso si las respuestas
de un candidato eran correctas, siempre se podían encontrar razones para
suspenderlo. En una ocasión suspendieron a un candidato por responder, a la
pregunta «¿Cuál es la definición de circunferencia?», con «el conjunto de
puntos equidistantes a un punto dado». La respuesta correcta, dijo el
examinador, era «el conjunto de todos los puntos equidistantes a un punto
dado». En otra ocasión, se consideró incorrecta la respuesta a la misma
pregunta porque el estudiante no había estipulado que la distancia no podía ser
cero. Cuando se le preguntó por las soluciones a una ecuación, declararon que
la respuesta «1 y 2» era errónea: la correcta, según el examinador, era «1 o
2». (En otra ocasión, el mismo examinador dijo a otro candidato exactamente lo
opuesto: que «1 o 2» era una respuesta errónea).
Pero
volvamos a mi examen. Había pasado otra hora y media. Uno de los examinadores
dijo:
—OK, hemos acabado con las preguntas. Aquí tiene un problema que queremos que
resuelva.
El problema que me dieron era bastante difícil. La solución requería aplicar el
llamado principio de Sturm, que no se estudiaba en secundaria.[18] Sin
embargo, lo conocía por mis cursos por correspondencia, de modo que fui capaz
de resolverlo. Mientras acababa mis cálculos finales, el examinador regresó.
—¿Ha acabado?
—Casi.
Miró lo que yo había escrito y vio, evidentemente, que mi solución era correcta
y que estaba acabando mis cálculos.
—¿Sabes qué? —dijo—. Déjame darte otro problema.
Curiosamente, el segundo problema era el doble de difícil que el primero.
También fui capaz de resolverlo, pero el examinador volvió a interrumpirme
antes de acabar.
—¿Aún no has acabado? Prueba con este.
Si hubiera sido una velada de boxeo, con uno de los boxeadores acorralado en la
esquina, sangrando, intentando desesperadamente resistir contra la batería de
puñetazos que le caían encima (muchos de ellos por debajo de la cintura, todo
hay que decirlo), ese habría sido el equivalente del golpe final, el mortal. El
problema parecía inocente a primera vista: dada una circunferencia y dos puntos
en el plano fuera de la circunferencia, construya otra circunferencia que pase
por esos dos puntos y toque a la primera circunferencia en un punto.
Pero, en realidad, la solución es bastante complicada. Incluso un matemático
profesional podría no ser capaz de resolverlo directamente. Uno debe o bien
emplear un truco llamado inversión o seguir una elaborada construcción
geométrica. Ninguno de ambos métodos se estudiaba en secundaria, de modo que
este problema no debería haber sido permitido en el examen.
Yo conocía la inversión, y me di cuenta de que la podía aplicar en ese caso.
Comencé a trabajar en el problema, pero unos minutos más tarde mis
interrogadores regresaron y se sentaron a mi lado. Uno de ellos dijo:
—¿Sabes? Acabamos de hablar con el director adjunto del comité de admisiones y
le hemos comentado tu caso. Me preguntó por qué seguimos perdiendo el tiempo…
Mira —sacó un formulario de aspecto oficial con algunas notas escritas a mano
en él. Era la primera vez que lo veía—: en la primera pregunta de tu billete,
no nos has dado una respuesta completa, ni siquiera sabías la definición de una
circunferencia. Así que te tuvimos que poner un suspenso. En la segunda
pregunta, tus conocimientos son también regulares, pero OK, te hemos puesto un
suspenso alto. Luego, no fuiste capaz de resolver el primer problema, ni el
segundo problema. ¿Y el tercero? Tampoco lo has resuelto. ¿Ves? No tenemos más
remedio que suspenderte.
Miré mi reloj. Habían pasado más de cuatro horas desde el inicio del examen.
Estaba exhausto.
—¿Puedo ver mi examen escrito?
El otro hombre se levantó, fue hacia la mesa principal y trajo mi examen. Me lo
puso delante. Mientras pasaba las páginas me sentí el protagonista de una
película surrealista. Todas las respuestas eran correctas, todas las soluciones
eran correctas. Pero estaba lleno de comentarios. Estaban escritos en lápiz
(supongo que para que fueran fáciles de borrar) pero eran ridículos, como si
alguien me estuviera gastando una broma pesada. Uno de ellos sigue grabado en
mi mente: en el curso de un cálculo escribí «√8> 2», y había un comentario
al lado: «no demostrado». ¿En serio? Los demás comentarios no eran mejores. ¿Y
qué calificación me dieron, por los cinco problemas resueltos, con todas las
respuestas correctas? No un 5, no un 4. Un 3, el equivalente ruso a una «C»
estadounidense (un «aprobado»). ¿Me daban un «aprobado» por esto?
Sabía que se había acabado. No había manera de luchar contra el sistema. Dije:
—Muy bien.
Uno de ellos preguntó:
—¿No vas a apelar?
Yo sabía que había un comité de apelaciones. Pero ¿para qué? Quizá podría subir
la nota del examen escrito de 3 a 4, pero apelar contra el resultado del examen
oral sería más difícil: sería su palabra contra la mía. E incluso si pudiera
elevar la nota a un 3, luego, ¿qué? Había aún dos exámenes más en los que
podrían cazarme.
Esto es lo que Szpiro escribió en Notices:[19]
Y si
un candidato, contra todo pronóstico, conseguía aprobar tanto el examen escrito
como el oral, se le podía tumbar en el obligatorio ensayo sobre literatura rusa
con la frase «el tema no está suficientemente elaborado». Con raras
excepciones, las apelaciones contra decisiones negativas no tenían ninguna
posibilidad de éxito. En el mejor caso se les ignoraba; en el peor, se
castigaba al candidato por mostrar «desprecio hacia sus examinadores».
Una
pregunta más importante era: ¿quería yo realmente entrar en una universidad que
hacía todo lo posible por evitar que yo entrara en ella? Respondí:
—No. En realidad, quiero retirar mi candidatura.
Vi la alegría en sus caras. Que no hubiera apelación significaba menos trabajo,
menos potenciales problemas.
—Claro —dijo el más parlanchín—. Te traeré tus cosas.
Salimos de la habitación y entramos en el ascensor. Las puertas se cerraron.
Estábamos solos. El examinador estaba, evidentemente, de buen humor. Me dijo:
—Lo has hecho fantástico. Un examen realmente impresionante. Estaba
preguntándome…,¿has ido a una escuela especial de matemáticas?
—Crecí en una ciudad pequeña, no había escuelas especiales de matemáticas.
—¿En serio? ¿Quizá tus padres son matemáticos?
—No, son ingenieros.
—Interesante… Es la primera vez que veo a un estudiante tan bueno y que no haya
acudido a una escuela especial.
Yo no me podía creer lo que estaba oyendo. Este hombre me acababa de suspender
tras un agotador examen de casi cinco horas, injustamente administrado,
discriminatorio. Por lo que a mí respectaba, había acabado con mi sueño de
convertirme en matemático. Un estudiante de dieciséis años cuyo único delito
era proceder de una familia judía… ¿Y ahora me felicitaba y esperaba que me
abriera ante él?
Pero ¿qué podía hacer yo? ¿Gritarle, darle un puñetazo en la cara? Me quedé
allí de pie, aturdido, en silencio.
Él continuó:
—Déjame que te dé un consejo: ve al Instituto de Petróleo y Gas de Moscú.
Tienen un programa de matemáticas aplicadas que es muy bueno. Allí admiten
estudiantes como tú.
Las puertas del ascensor se abrieron y un minuto después me alcanzaba mi gruesa
carpeta de solicitud de ingreso, con un buen montón de mis premios y trofeos
escolares sobresaliendo de manera extraña.
—¡Buena suerte! —me deseó, pero yo estaba demasiado cansado para responder.
* *
* *
Mi
único deseo era salir de allí lo antes posible. Y de repente estuve fuera en la
enorme escalinata del edificio de la MGU. Respiraba nuevamente el aire fresco
del verano y oía los sonidos de la gran ciudad en la lejanía. Estaba
anocheciendo y no había casi nadie por allí. De inmediato vi a mis padres, que
me habían esperado ansiosos en la escalera todo ese tiempo. Por la cara que
puse, y por la gruesa carpeta que llevaba, supieron de inmediato qué había
pasado dentro.
Esa
noche, tras el examen, mis padres y yo regresamos a casa bastante tarde. Nos
encontrábamos todavía en el estado inicial de shock, sin poder
creer lo que había ocurrido.
Era una experiencia desgarradora para mis padres. Yo siempre había tenido una
relación muy estrecha con ellos, y siempre me habían apoyado y dado su amor de
manera incondicional. Nunca me habían forzado a estudiar más ni a escoger una
profesión determinada, sino que me animaron a seguir lo que me apasionaba. Y,
por supuesto, estaban orgullosos de mis logros. Estaban desolados por lo
sucedido en mi examen, tanto por la flagrante injusticia como por haber sido
incapaces de proteger a su hijo.
Treinta años atrás, en 1954, el sueño de mi padre de ser físico teórico se
había hecho añicos de manera igual de despiadada, pero por otra razón. Como
millones de inocentes, su padre (mi abuelo) había sido una víctima de las
persecuciones de Stalin. Lo habían arrestado en 1948 bajo la falsa acusación de
querer volar la gran planta de automóviles de Gorki (hoy en día, Nizhni
Nóvgorod) en la que trabajaba como encargado de suministros. La única «prueba»
presentada en su contra en el momento de la detención fue una caja de cerillas.
Fue enviado a un campo de trabajos forzados en una mina, en el norte de Rusia,
parte del archipiélago Gulag que Aleksandr Solzhenitsyn y otros escritores
describirían tan vívidamente años después. Calificaron a mi abuelo de «enemigo
del pueblo» y a mi padre, por tanto, de «hijo de un enemigo del pueblo».
Mi padre estaba obligado a escribirlo en su solicitud de ingreso al
Departamento de Física de la Universidad de Gorki. Pese a que acabó la
secundaria con las notas más altas y se suponía que lo aceptarían
automáticamente, lo suspendieron en la entrevista, cuyo único propósito era
cribar a los parientes de los «enemigos del pueblo». Mi padre se vio obligado a
ingresar, en lugar de ello, en una escuela de ingeniería. Como con otros
prisioneros, a su padre lo rehabilitaron y liberaron por decreto de Nikita
Jrushév, en 1956, pero ya era demasiado tarde para reparar la injusticia.
Y ahora, treinta años después, su hijo tenía que pasar por una experiencia
similar.
Pero no era un momento para la compasión por uno mismo. Teníamos que decidir
rápidamente qué hacer a continuación, y la primera pregunta era a qué escuela
enviar la solicitud. Todas ellas realizaban los exámenes en el mismo momento,
en agosto (en aproximadamente dos semanas), y yo sólo podía enviar mi solicitud
a una.
A la mañana siguiente mi padre se despertó muy temprano y regresó a Moscú. Se
tomó en serio la recomendación que me había hecho mi examinador de la MGU. De
modo que en cuanto llegó a Moscú fue directamente a la oficina de solicitudes
para el Instituto de Petróleo y Gas.[viii] De alguna
manera halló a alguien dispuesto a hablar con él en privado y le describió mi
situación. Su colega le respondió que estaba al tanto del antisemitismo de la
MGU y le aseguró que en el Instituto de Petróleo y Gas no había nada de todo
eso. Le explicó que el nivel de quienes solicitaban el acceso al programa de
matemáticas aplicadas era bastante alto debido a la gran cantidad de
estudiantes como yo, no aceptados en la MGU. El examen de entrada no sería
precisamente un paseo. Pero le dijo:
—Si su hijo es tan brillante como usted dice, lo admitirán. Aquí no hay ninguna
discriminación contra los judíos en los exámenes de ingreso.
Y al final de la conversación le aclaró:
—Sin embargo, he de advertirle que los estudios de posgrado los lleva gente
distinta, y creo que probablemente no acepten a su hijo en la escuela de
posgrado.
Pero eso era algo de lo que preocuparse dentro de cinco años, demasiado tiempo.
Mi padre fue a un par de escuelas más en Moscú con programas de matemáticas
aplicadas, pero no había nada como la actitud que encontró en el Instituto de
Petróleo y Gas. De modo que, cuando regresó esa tarde y nos contó las noticias,
a mi madre y a mí, decidimos inmediatamente que solicitaríamos el ingreso en el
Instituto de Petróleo y Gas, en su programa de matemáticas aplicadas.
El Instituto era uno de la docena de escuelas de Moscú que preparaban técnicos
para varias industrias, como el Instituto de Metalurgia y el Instituto de
Ingenieros Ferroviarios (en la Unión Soviética, muchas facultades se llamaban
«institutos»). Desde finales de la década de 1960, el antisemitismo de la MGU
«había creado una demanda de puestos de matemáticos para estudiantes judíos»,
escribe Mark Saul en su artículo.[20] El
Instituto de Petróleo y Gas «comenzó a responder a esa demanda, beneficiándose
de la política antisemita de otras universidades para obtener alumnos altamente
cualificados». Mark Saul explica:
Su
apodo, «Kerosinka», reflejaba [su] orgullo y cinismo. Una kerosinka era una
estufa de queroseno, una respuesta de tecnología básica pero eficaz a la
adversidad. A los estudiantes y graduados de la universidad pronto se les
conoció como kerosineshchiks, y la escuela se convirtió en un refugio para
estudiantes judíos apasionados por las matemáticas.
¿Cómo escogió el destino a Kerosinka como receptáculo de tanto talento? No es
fácil responder a esta pregunta. Sabemos que había otras instituciones que se
beneficiaron de la exclusión de los judíos de la MGU. Sabemos también que el
establecimiento de esta política exclusivista fue un acto consciente, que
probablemente se encontró con cierta resistencia al principio. Para algunas
instituciones debe haber resultado más fácil seguir aceptando estudiantes
judíos que cambiar su política. Pero una vez el fenómeno creció y hubo un buen
contingente de estudiantes judíos en Kerosinka, ¿por qué se le toleró? Existen
oscuros rumores de un complot por parte de la policía secreta (el KGB) para
tener a los estudiantes judíos bien vigilados, en uno o dos lugares. Pero parte
de la motivación podría haber sido más positiva: la administración del
instituto habría visto crecer un buen departamento y haber hecho todo lo
necesario para preservar este fenómeno.
Creo
que la última frase es la más acertada. El presidente (o rector, como se le
denominaba) del Instituto de Petróleo y Gas, Vladimir Nikoláevich Vinógradov,
era un astuto administrador, famoso por reclutar profesores implicados en un
tipo de enseñanza innovadora y por usar nuevas tecnologías en las clases. Fue
él quien instituyó la política de que todos los exámenes (incluyendo las
pruebas de acceso) se hicieran por escrito. Evidentemente, había
alguna oportunidad para abusos incluso en exámenes escritos (como se vio en mi
examen escrito de acceso a la MGU), pero esto evitaba el tipo de debacles como
el que tuvo lugar en mi examen oral en la MGU. No me sorprendería que fuese
decisión personal de Vinógradov no discriminar a los solicitantes judíos; de
ser así, debe haber requerido de buena voluntad, y puede que hasta coraje, por
su parte.
Como se había anunciado, no pareció haber discriminación en las pruebas de
acceso. Me aceptaron tras el primer examen (matemáticas escritas), en el que
saqué un 5, es decir, una «A» («excelente»). A los alumnos que habían ganado
medalla de oro se les aceptaba directamente si obtenían un «excelente» en el
primer examen. En un extraño giro de los acontecimientos, este 5 no me llegó
fácilmente, puesto que aparentemente algunas de mis soluciones se incorporaron
de forma incorrecta en el sistema automático de corrección, por lo que
inicialmente mi nota fue un 4, una «B» («notable»). Tuve que pasar por el
proceso de apelaciones, que implicaba hacer cola durante horas, con todo tipo
de malos pensamientos arremolinándose en mi cabeza. Pero en cuanto conseguí
hablar con el comité de apelaciones se halló el fallo y se arregló de
inmediato, se me pidieron excusas y la odisea de mis pruebas de acceso
universitario llegó a su fin.
En septiembre de 1984 comenzó el curso escolar y conocí a mis nuevos compañeros
de clase. Sólo se aceptaba, en este programa, a cincuenta miembros nuevos al
año (como contraste, en Mekh-Mat el número era de casi quinientos). Muchos de
mis compañeros habían pasado por la misma experiencia que yo. Eran parte de los
estudiantes de matemáticas con más talento y más brillantes del lugar.
Todos, excepto yo y Misha Smolyak, de Kishinev, que se convirtió en mi
compañero de dormitorio, eran de Moscú. Quienes vivían fuera de Moscú sólo
podían solicitar el ingreso si se habían graduado de la secundaria con medalla
de oro, como era, por suerte, mi caso.
Muchos de mis compañeros habían estudiado en las escuelas de Moscú con mejores
programas de matemáticas: las escuelas nº 57, nº 179, nº 91 y nº 2. Algunos se
acabarían convirtiendo en matemáticos profesionales, y ahora trabajan como
profesores en algunas de las mejores universidades del mundo. Sólo en mi clase
contábamos con algunos de los mejores matemáticos de nuestra generación: Pasha
Etingof, hoy en día profesor en el MIT;[ix] Dima
Kleinbock, profesor en la Universidad de Brandeis; y Misha Finkelberg, profesor
de la Escuela Superior de Economía de Moscú. Era un ambiente muy estimulante.
En Kerosinka las matemáticas se enseñaban a un nivel alto, y los cursos básicos
como análisis, análisis funcional o álgebra lineal se enseñaban con el mismo
rigor que en la MGU. Sin embargo, no había cursos de otras áreas de matemáticas
puras, como geometría o topología. Kerosinka sólo ofrecía el programa de
matemáticas aplicadas, de modo que nuestra educación estaba encaminada hacia
aplicaciones concretas, en particular a la exploración y producción de petróleo
y gas. Tuvimos que tomar clases más orientadas a lo aplicado, como
optimización, análisis numérico, probabilidad y estadística. Había también un
gran componente de informática.
Me alegró tener la oportunidad de aprender de estas clases de matemática
aplicada. Me enseñó que no hay una diferencia real entre matemáticas «puras» y
matemáticas «aplicadas»: las matemáticas aplicadas, si son de buena calidad, se
basan en sofisticadas matemáticas puras. Pero, pese a lo útil de la
experiencia, no podía olvidar mi amor verdadero. Tenía que encontrar una manera
de aprender los temas de matemáticas puras que no se daban en Kerosinka.
La solución se presentó sola cuando me hice amigo de los demás estudiantes,
incluidos aquellos que habían ido a prestigiosas escuelas de matemáticas de
Moscú. Nos contamos nuestras historias. A los que eran judíos (según los
estándares que he descrito con anterioridad) los habían suspendido en los
exámenes de manera tan despiadada como a mí, mientras que a todos sus
compañeros no judíos los habían aceptado en la MGU sin mayores problemas. A
través de esos compañeros ellos sabían lo que pasaba en el Mekh-Mat, qué cursos
valían la pena y cuándo y dónde se daban conferencias. De modo que en mi
segunda semana en Kerosinka, mi compañero (creo que fue Dima Kleinbock) vino
hacia mí y dijo:
—Eh, vamos a la clase de Kirílov en la MGU. ¿Vienes con nosotros?
Kirílov era un famoso matemático, y claro que quería ir a su clase. Pero no
tenía ni idea de que fuera posible. El gran edificio de la MGU estaba
custodiado por policías. Se necesitaba tener un pase para entrar.
—No te preocupes por eso —dijo mi compañero—. Saltaremos la valla.
Sonaba peligroso y fascinante, así que dije:
—¡Claro!
La valla que rodeaba el edificio era bastante alta, quizá unos siete metros,
pero en una parte el metal estaba doblado y uno podía colarse. Luego, ¿qué?
Entrábamos en el edificio por una puerta lateral y tras unos largos pasillos
acabábamos en la cocina. Desde allí, atravesando la cocina (intentábamos no
atraer mucho la atención del personal que trabajaba) a la cafetería, y de ella
al salón principal de la entrada. Ascensor al piso catorce, donde estaba el auditorio.
Aleksandr Aleksándrovich Kirílov (o «San Sanych»,[x] como lo
llamaban afectuosamente) es un conferenciante carismático y un gran ser humano,
al que llegaría a conocer bien años más tarde. Creo que estaba dando una clase
normal acerca de la teoría de representación según lo delineado en su famoso
libro.[xi]Daba asimismo
un seminario de posgraduado, al que también asistimos.
Nos salimos con la nuestra gracias al buen corazón de Kirílov. Su hijo Shurik
(hoy en día profesor en la Universidad Stony Brook) había estudiado en la
escuela especial de matemáticas nº 179 junto con mis compañeros Dima Kleinbock
y Syoma Hawkin. Obviamente, San Sanych conocía la situación con respecto a las
admisiones en la MGU. Muchos años después me confesó que no había nada que
pudiera hacer al respecto: no le dejaban ni acercarse al comité de admisiones,
consistente, mayoritariamente, en apparatchiks del Partido
Comunista. Lo único que podía hacer era permitirnos colarnos en sus clases.
Kirílov hacía todo lo posible para que los estudiantes de Kerosinka que
asistían a sus clases se sintieran bienvenidos. Uno de los mejores recuerdos de
mi primer año universitario fue asistir a sus animadas clases y seminarios.
También asistí a un seminario impartido por Aleksandr Rudakov, que fue una gran
experiencia.
Entre tanto, aprendía cuantas matemáticas podía en Kerosinka. Vivía internado
pero regresaba a casa los fines de semana, y todavía me reunía con Yevgueni
Yevguénievich cada dos semanas. Me aconsejaba qué libros leer y yo le informaba
de mis progresos. Pero estaba ya llegando rápidamente al punto en que, si
quería mantener mi progresión, así como mi motivación, necesitaría un tutor con
el que reunirme con más periodicidad y del que no sólo aprender, sino obtener
algún problema en el que trabajar. Dado que no estaba en Mekh-Mat, no podía aprovechar
los vastos recursos que ofrecía. Y yo era demasiado tímido para acercarme a
alguien como A. A. Kirílov y pedirle estudiar con él de manera individual, o
que me diera un problema en el que trabajar. Me sentía abandonado. Para el
semestre de primavera de 1986 (mi segundo año en Kerosinka) la complacencia y
el estancamiento comenzaban a aposentarse. Con todo en mi contra, comenzaba a
dudar de poder conseguir mi sueño de convertirme en matemático.
Capítulo 5
Las hebras de la solución
Estaba
empezando a desesperar cuando un día, durante un descanso en una clase en
Kerosinka, uno de nuestros profesores de matemáticas más respetados, Aleksandr
Nicolaévich Varchenko, se me acercó en el pasillo. Varchenko es un antiguo
estudiante de Vladimir Arnold (uno de los grandes matemáticos soviéticos) y un
matemático de clase mundial por méritos propios.
—¿Te interesaría trabajar en un problema matemático? —me preguntó.
—Sí, por supuesto, ¿qué tipo de problema? —respondí, como si no estuviera feliz
de poder hacer cualquier cosa.
—Hay una cuestión que ha surgido en mi investigación y creo que es un buen
problema para pasar a un estudiante brillante como tú. El experto en este tema
es Dmitry Borisovich Fuchs.
Era el nombre de un famoso matemático, uno que ya había oído con anterioridad.
—Ya he hablado con él y está de acuerdo en supervisar una investigación de un
estudiante acerca del tema. Ten su número de teléfono. Llámalo y él te dirá qué
hay que hacer.
Es habitual, entre matemáticos expertos como Varchenko, encontrarse con todo
tipo de problemas matemáticos sin resolver en su investigaciones. Si el
problema de Varchenko hubiera estado íntimamente relacionado con su propia área
de investigación lo habría intentado resolver él solo. Pero ningún matemático
hace todo por sí mismo, sino que se delegan este tipo de problemas sin resolver
(en general, los que consideran más sencillos) en sus estudiantes. A veces un
problema queda fuera de los intereses inmediatos de un profesor pero este puede
sentir curiosidad al respecto, como era el caso con mi problema. Era la razón
por la que Varchenko había reclutado a Fuchs, un experto en el tema, para que
me supervisara. En resumen, se trataba, en líneas generales, de una
«transacción» típica en el funcionamiento social del mundo de los matemáticos.
En realidad, lo inusual era que Fuchs no enseñaba formalmente en ninguna
universidad. Pero durante muchos años, había estado, con un montón de otros
matemáticos de primer nivel, intentando aliviar el efecto de la discriminación
contra los estudiantes judíos, dando clases en privado a jóvenes con talento
que la MGU no había admitido.
Como parte de ese esfuerzo, Fuchs había estado implicado en lo que se acabó
conociendo como la «Universidad Popular Judía», una escuela nocturna no oficial
en la que él y sus colegas daban clases y conferencias a estudiantes. Algunas
de esas conferencias se habían dado en Kerosinka, aunque bastante antes de que
yo entrara.
La escuela la había organizado una mujer valiente, Bella Muchnik Subbotovskaya,
que era su alma y su corazón. Lamentablemente el KGB se había enterado,
alarmado de que hubiera reuniones no autorizadas de judíos. Al final el KGB la
convocó y la interrogó. Poco después de la entrevista, un camión la atropelló
en circunstancias sospechosas, lo que llevó a mucha gente a creer que se había
tratado, en realidad, de un asesinato a sangre fría.[21] Sin
ella al timón, la escuela acabó desapareciendo.
Yo llegué a Kerosinka dos años después de esta trágica cadena de
acontecimientos. Aunque la escuela nocturna ya había desaparecido, existía
todavía una pequeña red de matemáticos profesionales que ayudaban a
desafortunados parias como yo, pero a escala individual. Buscaban estudiantes
prometedores y les proporcionaban consejos, ánimos y, en algunos casos, les
hacían de mentores y asesores. Esta era la razón por la que Varchenko me había
pasado el problema a mí, un estudiante en Kerosinka, en lugar de a un
estudiante de Mekh-Mat, donde, con sus contactos, podría haber hallado sin
problemas un estudiante dispuesto a aceptarlo. Esta era también la razón por la
que Fuchs estaba dispuesto a pasar tiempo libre supervisándome.
Me alegra que lo hiciera. Mirando en retrospectiva, me queda claro que sin la
amabilidad y generosidad de Fuchs yo nunca me habría convertido en matemático.
Estaba estudiando matemáticas en Kerosinka y asistía a las clases de la MGU,
pero eso, por sí solo, no era suficiente. En realidad, es casi imposible que
los estudiantes realicen investigaciones propias sin alguien que guíe su
trabajo. Tener un asesor es totalmente fundamental.
Por aquella época, sin embargo, lo único que yo sabía era que tenía en mi mano
el número de teléfono de Fuchs, un matemático de renombre, y que iba a
embarcarme en un proyecto supervisado por él. ¡Era increíble! No sabía en qué
acabaría todo esto, pero de inmediato me di cuenta de que algo grande acababa
de ocurrir.
Esa tarde, tras reunir todo mi coraje, llamé a Fuchs desde un teléfono público
y le expliqué quién era.
—Sí, ya lo sé —dijo Fuchs—; he de darte un ensayo para que lo leas.
Nos encontramos al día siguiente. Fuchs tenía la apariencia física de un
gigante; no era en absoluto como me lo había imaginado. Era muy formal.
—Ten —me dijo, entregándome una copia impresa de un artículo—; intenta leer
esto, y en cuanto veas una palabra que no entiendas, llámame.
Yo me sentía como si me acabaran de pasar el Santo Grial.
Se trataba de un artículo de una docena de páginas que él había escrito unos
años atrás acerca de los «grupos de trenzas». Aquella tarde comencé a leerlo.
Los tres años precedentes de estudios con Yevgueni Yevguénievich y por mi
cuenta no habían sido en vano. No sólo comprendía todas las palabras del
título, sino que también entendía en líneas generales el resumen. Decidí
intentar leerlo por completo por mí mismo. Era una cuestión de orgullo. Ya me
imaginaba lo impresionado que quedaría Fuchs cuando le dijese que había
comprendido todo por mi cuenta.
Ya había oído hablar con anterioridad de los «grupos de trenzas». Se trata de
excelentes ejemplos de grupos, ese concepto del que ya hablamos en el capítulo
2. Yevgueni Yevguénievich me había presentado el concepto en el contexto de las
simetrías, de tal manera que elementos de los grupos que habíamos tocado eran
simetrías de un objeto. Por ejemplo, el grupo circular consistía en las
simetrías de una mesa (o cualquier otro objeto) redonda, y el grupo de cuatro rotaciones
era el grupo de simetrías de una mesa (o cualquier otro objeto) cuadrada. Una
vez conocemos la noción de «grupo», podemos buscar otros ejemplos. Resulta que
hay muchos ejemplos de grupos que no tienen nada que ver con las simetrías, que
fueron el motivo principal de que introdujéramos el concepto de grupo. Esto es
algo típico, en realidad. La creación de un concepto matemático puede estar
motivada por problemas y fenómenos de un área específica de las matemáticas (o
física, ingeniería, etcétera) pero posteriormente puede resultar útil para
otras áreas y adaptarse bien a ellas.
Resulta que muchos grupos no proceden de simetrías. Y los grupos de trenzas son
parte de esos grupos.
Yo no conocía aún nada de la aplicación en el mundo real de los grupos de
trenzas, en áreas tales como la criptografía, la computación cuántica y la
biología, de los que hablaremos más tarde. Pero quedé hipnotizado por la
belleza innata de estas abstracciones matemáticas.
Hay un grupo de trenzas para cada número natural n = 1, 2, 3…
Podemos emplear estos números para obtener un nombre para cada grupo de
trenzas. Por norma general, los denominamos Bn, de tal
manera que para n = 1 tenemos un grupo llamado B1;
para n = 2 tenemos un grupo llamado B2,
etcétera.
Para describir el grupo Bn, debemos describir en primer
lugar sus elementos, como hicimos con las simetrías rotacionales de las mesas
redonda y cuadrada. Los elementos del grupo Bn son
las llamadas trenzas con n hebras, como la que se ve en la
gráfica inferior, con n = 5. Imagine dos placas sólidas y
transparentes con cinco clavos en cada una, y con una hebra que conecta cada
clavo de una placa a un clavo de la otra placa. Dado que las placas son
transparentes, podemos ver cada hebra en su totalidad. Cada hebra puede
cruzarse con cualquier otra hebra, pero no pueden enredarse consigo misma. Cada
clavo ha de conectar con tan sólo una hebra. Las posiciones de las placas
quedan fijadas de modo definitivo.
Todo
esto (dos placas y la cantidad de hebras que sea) constituye una trenza, de la
misma manera que un coche posee cuatro ruedas, una transmisión, cuatro puertas,
etcétera. No consideramos esas partes por separado, sino que nos centramos en
la trenza como en un todo.
Estas son las trenzas con n hebras. Ahora hemos de mostrar que
todas las trenzas con n hebras forman un grupo. Lo que
significa que debemos describir cómo realizar la composición de dichas hebras.
En otras palabras, para cada par de trenzas con n hebras,
hemos de producir otra trenza con n hebras, como cuando al
aplicar dos rotaciones, una después de la otra, obteníamos una tercera
rotación. Y después deberemos comprobar que esa composición satisface las
propiedades enumeradas en el capítulo 2.
Así que supongamos que tenemos dos trenzas. A fin de crear una nueva trenza a
partir de ellas, las ponemos una encima de la otra, alineando los clavos, como
se muestra en el gráfico. Y luego retiramos las placas de en medio mientras
conectamos las hebras superiores con las inferiores, ambas unidas a sus
respectivos clavos.
La
trenza resultante será el doble de alta, pero eso no es un problema. Ya
ajustaremos las hebras para que la trenza resultante sea igual de alta que las
originales, pero conservando la manera en que las hebras están dispuestas unas
en torno a las otras. Voilà! Comenzamos con dos trenzas y hemos
creado una nueva. Esta es la regla de composición de dos trenzas en el grupo de
trenzas.
Dado que un grupo de trenzas no procede de simetrías, a veces es mejor no
pensar en esta operación tanto como una «composición» (que era natural en el
caso de las simetrías) sino como en una «suma» o «multiplicación», similar a la
operación que realizamos con números. Desde este punto de vista, las trenzas
son como números… unos «números peludos», si se quiere ver así.
Dados dos números enteros, podemos sumarlos y obtener un número nuevo. De igual
modo, dadas dos trenzas, producimos una nueva mediante la regla arriba
descrita. Así que podemos pensar en esta como la «suma» de dos trenzas.
Ahora debemos comprobar que esta suma de trenzas satisface todas las
propiedades (o axiomas) de un grupo. En primer lugar, necesitamos el elemento
identidad (en el grupo circular, era el punto correspondiente a una rotación de
0 grados). Será la trenza en la que todas las hebras bajan directamente sin
entrelazarse, como se ve en el siguiente gráfico. Es un tipo de trenza
«trivial», en el que no se da ningún trenzado, de la misma manera en que una
rotación de 0 grados no rota en absoluto.[22]
Esta trenza inversa será el reflejo de b con respecto a la
placa inferior. Si la componemos a partir de la original, de acuerdo con
nuestra regla, deberemos ser capaces de resituar todas las hebras de tal manera
que el resultado sea la trenza identidad.
En este momento he de explicar algo importante, que hasta ahora, por decirlo de
alguna manera, he estado ocultando bajo la alfombra: no distinguimos entre
trenzas que hayamos obtenido a partir de otras tirando de las hebras,
alargándolas o acortándolas como nos plazca, en tanto no cortemos ni volvamos a
coser las hebras. En otras palabras: las hebras deben ir unidas a los mismos
clavos, y no permitimos que las hebras se atraviesen unas a otras; pero podemos
modificarlas de cualquier otra manera que deseemos. Pensemos en esto como en
peinar nuestra trenza. Cuando lo hacemos, sigue siendo nuestra trenza (sólo que
más bonita). Es en este sentido en que la suma de una trenza y de su imagen en
el espejo sea «la misma» que la trenza identidad; no es literalmente la misma,
pero se convierte en ella una vez retocamos las hebras.[23]
Ahora vemos que satisface los axiomas de un grupo (composición o suma,
identidad e inverso). Hemos demostrado que las trenzas con n hebras
forman un grupo.[24]
* *
* *
Para
ver de manera más concreta qué son los grupos de trenzas, examinemos
atentamente el más sencillo: el grupo B2 de trenzas
con 2 hebras (el grupo B1, con una sola hebra, sólo
tiene un elemento y por tanto no hay nada de lo que tratar).[25]
Asignaremos a cada una de estas trenzas un entero N. Por entero,
quiero decir un número natural: 1, 2, 3… o 0; o un negativo de un número
natural: -1, -2, -3…
En primer lugar, a la trenza identidad le asignaremos el número 0. En segundo
lugar, si la hebra que comienza en el clavo izquierdo de la placa superior pasa
por detrás de la otra hebra, le asignaremos el 1. Si la rodea, le asignaremos
el 2, etcétera, como en los gráficos.
Si
esta hebra pasa por delante de la otra hebra, asignaremos a la trenza el número
negativo -1; si la rodea de la manera descrita en el gráfico le
asignaremos el -2, etcétera.
Llamemos,
al número asignado a las trenzas de esta manera, «número de superposiciones».
Si tenemos dos trenzas con el mismo número de superposiciones, podemos
convertir una en la otra tan sólo «tirando» de las hebras. Por decirlo de otra
manera: el número de superposiciones determina totalmente la trenza.
De modo que tenemos una correspondencia «uno a uno» entre trenzas con dos
hebras y números enteros.
Aquí resulta útil tener en cuenta algo que suele darse por sentado: ¡el
conjunto de todos los números enteros es, en sí mismo, un grupo! Presenta la
propiedad de adición, el «elemento identidad» es el numero 0, y para cualquier
entero N su inverso es -N. De modo que todas las
propiedades de grupo enumeradas en el capítulo 2 quedan satisfechas.
Efectivamente, tenemos que N + 0 = N y
que N + (-N) = 0.
Lo que hemos hallado es que el grupo de trenzas con dos hebras tiene la misma
estructura que el grupo de números enteros.[26]
Ahora bien, en el grupo de los enteros, la suma de dos de ellos, a y b,
es la misma sea cual sea su orden:
a + b = b + a
Esto
también es así en el grupo de trenzas B2. A los grupos
que satisfacen esta propiedad se les llama «conmutativos» o «abelianos» (en
honor al matemático noruego Niels Henrik Abel).
En una trenza con 3 hebras o más, las hebras pueden entrecruzarse de un modo
mucho más complicado que en la trenza con 2 hebras. El patrón no puede
describirse ya meramente a partir del número de superposiciones (observe la
gráfica anterior de una trenza con 5 hebras). El patrón en que se da la
superposición es también importante. Además, resulta que la suma de dos trenzas
con 3 o más hebras sí que depende del orden en que se realiza (es decir, de
cuál de las dos hebras está arriba en el gráfico de suma de trenzas
anteriormente visto). Es decir, en el grupo Bn para n =
3, 4, 5… tenemos que, en general,
a + b = b + a
A
estos grupos se les llama «no conmutativos» o «no abelianos».
Los grupos de trenzas tienen muchas aplicaciones prácticas importantes. Por
ejemplo, se emplean para construir robustos y eficaces algoritmos de clave
pública en encriptación.[27]
Otra dirección prometedora es el diseño de ordenadores cuánticos basados en la
creación de complejas trenzas de partículas cuánticas llamadas aniones. Sus
trayectorias se entrecruzan, y sus superposiciones se emplean para construir
«puertas lógicas» para el ordenador cuántico.[28]
Existen también aplicaciones en biología. Dada una trenza con n hebras,
podemos numerar los clavos de las dos placas de 1 a n, de izquierda
a derecha. Luego, conectar los extremos de las hebras unidas a los clavos con
el mismo número en ambas placas. Esto crea lo que los matemáticos llaman un
«enlace»: una unión de curvas cerradas que se entrecruzan.
En
el ejemplo de esta ilustración sólo hay una curva cerrada. El nombre que le dan
los matemáticos es «nudo». En general, habrá varias hebras cerradas.
En biología se emplea la teoría matemática de enlaces y nudos, por ejemplo,
para el estudio de las uniones entre ADN y enzimas.[29] Vemos
una molécula de ADN como una hebra, y la molécula de la enzima como otra hebra.
Resulta que cuando se unen, pueden darse varios nudos, todos importantes, y que
pueden alterar el ADN. La manera en que se entrecruzan es, por tanto, de gran
importancia. El estudio matemático de los nudos resultantes arroja luz sobre
los mecanismos de recombinación del ADN.
En matemáticas, las trenzas son también importantes debido a su interpretación
geométrica. Para entenderlo, consideremos todas las posibles colecciones
de npuntos en un plano. Supondremos que se trata de puntos
diferenciados, es decir, que las posiciones de dos puntos cualesquiera en el
plano han de ser distintas. Escojamos unos cuantos de esos puntos;
concretamente, n puntos dispuestos en línea recta, con la
misma distancia entre ellos. Pensemos en cada punto como en un bichito: cuando
hacemos sonar la música, los bichitos cobran vida y comienzan a moverse por el
plano. Si vemos el tiempo como la dirección vertical, la trayectoria de cada
bichito parecerá una hebra. Si las posiciones en el plano son en todo momento
distintas (es decir, si suponemos que los bichitos no chocan) esas hebras nunca
se cruzarán. Mientras la música suena, pueden moverse unos alrededor de los
otros, como las hebras de una trenza. Sin embargo, exigimos que cuando la
música deje de sonar (al cabo de un tiempo prefijado) los bichitos se alineen
en una recta en el mismo orden que al comienzo, aunque se permite a cada
bichito acabar en una posición que inicialmente ocupara otro de ellos.
Entonces, sus rutas colectivas parecerán una trenza con n hebras.
Por tanto, las trenzas con n hebras pueden verse como las
trayectorias en el espacio de enjambres de n puntos distintos
en un mismo plano.[30]
* *
* *
El
problema que Varchenko me dio, y en el que iba a comenzar a trabajar con Fuchs,
concernía a una parte del grupo de trenzas, llamada «subgrupo conmutador».
Recordemos que para trenzas de dos hebras hemos definido el número de
superposición. Se puede asignar un número similar a una trenza con cualquier
número de hebras.[31] Empleamos
esto para definir el grupo conmutador B'n de un
grupo de trenzas con n hebras. Consiste en todas las trenzas
cuyo número de superposición es cero.[32]
El problema que yo debía resolver era computar los llamados «números de Betti»
del grupo B'n. Estos números reflejan propiedades
profundas de un grupo, importantes para sus aplicaciones. Por poner una
analogía, pensemos en un objeto físico, como una casa. Tiene varias
características: algunas más obvias, como la cantidad de pisos, habitaciones,
ventanas, etc., y otras menos obvias, como las proporciones de los materiales
con los que está construida. De igual manera, un grupo tiene varias
características, y esas son los números de Betti.[33] Fuchs
había computado con anterioridad los números de Betti del grupo de
trenzas Bn. Me pasó su trabajo para que yo aprendiera
las bases del tema.
En una semana estuve en condiciones de leer todo el estudio de Fuchs por mi
cuenta, buscando de vez en cuando conceptos y definiciones hasta entonces
desconocidos para mí en, para entonces, mi nutrida biblioteca de matemáticas.
Llamé a Fuchs.
—Ah, eres tú —dijo—. Estaba preguntándome cómo es que no llamabas. ¿Has
comenzado a leer el artículo?
—Sí, Dmitry Borisovich. En realidad, ya lo he acabado.
—¿Acabado? —Fuchs parecía sorprendido—. Bueno, entonces deberíamos
encontrarnos. Quiero saber lo que has aprendido.
Fuchs sugirió que nos viéramos al día siguiente en la MGU, tras un seminario al
que iba a asistir. Mientras me preparaba para el encuentro, releía el artículo
y ejercitaba para el tipo de preguntas que pensaba que Fuchs me haría. Un
matemático de clase mundial como Fuchs no iba a tomar a un nuevo estudiante
sólo por compasión. El listón estaba muy alto. Comprendí que mi primera
conversación con Fuchs sería algo así como un examen, y por eso estaba tan
deseoso de causar una buena impresión.
Nos encontramos a la hora establecida y caminamos por los pasillos de Mekh-Mat
hasta hallar un banco en el que no nos molestaran. Tras sentarnos comencé a
explicarle a Fuchs lo que había aprendido de su artículo. Él me escuchó con
atención, haciéndome alguna pregunta de vez en cuando. Creo que le gustaba lo
que oía. Tenía curiosidad por saber dónde había aprendido todo aquello, y le
conté de mis estudios con Yevgueni Yevguénievich, la lectura de libros y mi
asistencia a conferencias en Mekh-Mat. Incluso hablamos de mi examen en la MGU
(lo cual, por supuesto, no resultaba algo nuevo para Fuchs).
Por suerte, nuestro encuentro fue bien. Fuchs parecía impresionado por mis
conocimientos. Me dijo que yo ya estaba preparado para enfrentarme al problema
de Varchenko y que me ayudaría con él.
Aquella tarde, mientras abandonaba el edificio de la MGU, estaba exultante. Iba
a comenzar a trabajar en mi primer problema matemático, guiado por uno de los
mejores matemáticos del mundo. Habían pasado menos de dos años desde mi examen
de ingreso en Mekh-Mat. Volvía a entrar en el juego.
Capítulo 6
Aprendiz de matemático
Resolver
un problema matemático es como completar un rompecabezas, sólo que no sabes de
antemano cómo será la imagen final. Podría ser difícil, podría ser fácil o
podría ser imposible de resolver. Nunca lo sabrás hasta que lo hagas (o te des
cuenta de que es imposible de hacer). Esta incertidumbre es, quizá, el aspecto
más difícil de ser un matemático. En otras disciplinas se puede improvisar,
inventar nuevas soluciones, incluso cambiar las reglas del juego. Ni siquiera
la noción de qué constituye una solución está claramente definida. Por ejemplo,
si se nos encomienda aumentar la productividad de una compañía, ¿qué medida
empleamos para determinar el éxito? ¿Contará un incremento del 20% como un
éxito? ¿Y un 10%? En matemáticas, el problema está siempre bien definido, y no
hay ninguna ambigüedad en cuanto a qué es resolverlo. O lo resuelves o no.
Para el problema de Fuchs tenía que computar los números de Betti del
grupo B'n. No había ambigüedad en cuanto a qué significa
esto. Significa lo mismo hoy en día, para cualquiera familiarizado con el
lenguaje matemático, que significaba en 1986, cuando por primera vez me
enfrenté al problema, y seguirá significando lo mismo dentro de cien años.
Sabía que Fuchs había solucionado un problema similar y sabía cómo lo había
hecho. Me preparé para mi propia tarea mediante problemas análogos para los que
ya se sabían las soluciones. Esto me proporcionó intuición y habilidades y me
equipó con métodos de resolución. Pero no podía saber a priori cuál
de esos métodos funcionaría, ni de qué manera enfocar el problema, o siquiera
si podría solucionarlo sin crear una técnica completamente nueva o un método
totalmente diferente.
Este dilema acosa a todos los matemáticos. Fijémonos en uno de los problemas
matemáticos más famosos de la historia, el último teorema de Fermat, para ver
cómo uno puede hacer de matemático cuando el problema es fácil de enunciar pero
la solución es mucho menos que obvia.
Cojamos un número natural n, es decir, 1, 2, 3… y consideremos la
siguiente ecuación:
xn + yn = zn
con
los números naturales x, y y z.
Si n = 1, tendremos la ecuación:
x + y = z,
que
seguramente tiene muchas soluciones entre los números naturales: tan sólo tome
cualquier x y cualquier y y establezca z = x+ y.
Fíjese que aquí empleamos la misma operación de suma de números naturales de la
que hablamos en el capítulo previo.
Si n = 2, tenemos la ecuación
x2 + y2 = z2
Esta
ecuación tiene muchas soluciones en números naturales, por ejemplo:
32 +
42 = 52
Todo
esto se ha sabido desde la Antigüedad. Lo que no se sabía era si la ecuación
tenía soluciones para n mayor que 2. Parece bastante sencillo,
¿no? ¿Cuán difícil puede resultar contestar a una pregunta así?
Pues, como acabaría viéndose…, bastante difícil. En 1637, un matemático
francés, Pierre Fermat, dejó una nota en el margen de un viejo libro diciendo
que si n es mayor que 2, la ecuación no tenía soluciones x, y y z que
fueran números naturales. En otras palabras, que no podemos hallar tres números
naturales x, yy z tales que
x3 + y3 = z3,
que
no podemos hallar tres números naturales x, y y z tales
que
x4 + y4 = z4,
etcétera.
Fermat escribió que había hallado una sencilla prueba de lo que decía, para
todos los números n mayores que 2, «pero el margen del libro
es muy pequeño para ponerla». Mucha gente, desde matemáticos profesionales
a amateurs, tomó la nota de Fermat como un desafío e intentó
reproducir su «prueba», haciendo de este el problema matemático más famoso de
todos los tiempos. Se anunciaron premios. Se escribieron y publicaron cientos
de pruebas sólo para ser rechazadas posteriormente. El problema permanecía
irresuelto trescientos cincuenta años después.
En 1993, un matemático de Princeton, Andrew Wiles, anunció su propia
demostración del último teorema de Fermat. Pero su prueba, a primera vista, no
tenía nada que ver con el problema original. En lugar de poner a prueba el
último teorema de Fermat, Wiles se había enfrentado a la llamada «conjetura
Shimura-Taniyama-Weil», que es algo completamente diferente y mucho más
complicado de explicar. Pero unos pocos años antes, un matemático de Berkeley
llamado Ken Ribet había demostrado que la declaración de esta conjetura
implicaba que el último teorema de Fermat era cierto. Por eso, una prueba de la
conjetura demostraría también el último teorema de Fermat. Hablaremos de todo
esto en detalle en el capítulo 8; lo que quiero explicar ahora es que lo que
parece un problema sencillo puede no tener necesariamente una solución
elemental. Hoy en día está claro que Fermat no pudo haber demostrado el teorema
que se le atribuye. Se tuvieron que crear campos enteros de las matemáticas para
poder hacerlo, una creación que aprovechó el duro trabajo de muchas
generaciones previas de matemáticos.[34]
Pero ¿es posible predecir todo eso a partir de esta ecuación de aspecto
inocente?
xn + yn = zn
¡En
absoluto!
Nunca se sabe, con ningún problema matemático, lo que se necesitará para
solucionarlo. Esperas y rezas por ser capaz de hallar una solución bonita y
elegante, y descubrir, quizá, algo interesante a lo largo del camino. Y
ciertamente esperas ser capaz de hacerlo en un período razonable de tiempo, y
no tener que esperar trescientos cincuenta años para llegar a la conclusión.
Pero nunca puedes estar seguro.
En el caso de mi problema, tuve suerte: había una solución elegante, y fui
capaz de hallarla en un período de tiempo relativamente corto, unos dos meses.
Pero no me llegó con facilidad. Nunca lo hace. Probé muchos métodos diferentes.
Conforme iban fracasando, mi frustración y ansiedad aumentaban. Era mi primer
problema, e inevitablemente yo me preguntaba si podría ser un matemático. Era
mi primer examen para ver si tenía lo que hacía falta.
Trabajar en el problema no me excusaba de asistir a clases ni rendir exámenes
en Kerosinka, pero mi máxima prioridad era el problema, y pasé incontables
horas con él, noches y fines de semana. Me presionaba a mí mismo demasiado.
Empezaba a tener dificultades para dormir: era la primera vez que me ocurría.
El insomnio que contraje mientras trabajaba en este problema fue el primer
«efecto secundario» de mi investigación matemática. Me siguió durante muchos
meses después, y desde ese momento nunca más me he permitido obsesionarme hasta
tal punto por un problema matemático.
Me reunía con Fuchs semanalmente en el edificio de Mekh-Mat, donde le informaba
de mis progresos (o falta de ellos). Para entonces me había conseguido una
identificación, así que ya no tenía que colarme por la verja. Fuchs siempre me
apoyó y animó, y siempre que nos encontrábamos me explicaba algún truco nuevo o
me sugería una nueva reflexión que yo intentaba aplicar al problema.
Y entonces, de repente, lo tuve. Encontré la solución, o, para ser exactos, la
solución se presentó por sí sola, en todo su esplendor.
Estaba intentando emplear uno de los métodos estándar para computar números de
Betti, que Fuchs me había enseñado, llamado «secuencia espectral». Era capaz de
aplicarlo hasta cierto punto, lo que me permitió, en principio, computar los
números de Betti del grupo B'n, a partir del
conocimiento de los números de Betti de todos los grupos B'm en
que m < n. El problema era, evidentemente, que
yo tampoco sabía cuáles eran esos otros números de Betti.
Pero esto me dio una manera de abordar el problema: si podía adivinar la
respuesta correcta, lo que tendría que hacer después sería demostrarla siguiendo
ese método.
Es fácil de decir, pero llegar a esa conclusión requirió muchos cómputos de
prueba, que se hacían cada vez más complicados. Durante un largo tiempo no
pareció surgir ningún patrón.
De repente, como en un hechizo de magia negra, lo tuve todo claro. El
rompecabezas estaba completo, y se me reveló a la vista la imagen final, llena
de elegancia y belleza, en un momento que siempre recordaré con cariño. Fue un
increíble momento de elevación que hacía que todas aquellas noches sin dormir
valieran la pena.
Por primera vez en mi vida estaba en posesión de algo que nadie más en el mundo
tenía. Era capaz de decir algo nuevo acerca del universo. No era un remedio
para el cáncer, pero era un valioso pedacito de conocimiento, y nadie nunca me
lo podría quitar.
Cuando uno experimenta esta sensación una vez, quiere volver a repetirla. Era
la primera vez que me ocurría, y, como un primer beso, fue muy especial. Sabía
que ya podía llamarme a mí mismo matemático.
La respuesta fue algo bastante inesperado, y mucho más interesante que nada que
Fuchs o yo pudiéramos imaginar. Hallé que por cada divisor del número
natural n (el número de hebras de la trenza en cuestión) hay
un número de Betti del grupo B'n que es igual a la
famosa «función de Euler» de dicho divisor.[35]
La función de Euler asigna a cualquier número natural d otro
número natural, llamado φ(d). Este es el número de enteros entre 1
y d que son primos relativos («coprimos») con d;
es decir, que no tienen divisores comunes con d (aparte de 1,
por supuesto).
Por ejemplo, tomemos d = 6. En este caso, 1 es coprimo con 6;
2 no lo es (es divisor de 6); 3 tampoco (es divisor de 6); 4 tampoco lo es (4 y
6 comparten un divisor común: 2); 5 es coprimo con 6 y 6 no lo es. De modo que
hay dos números naturales entre 1 y 6 que son coprimos con 6, a saber: 1 y 5.
De aquí que la función de Euler de 6 es igual a 2. Lo escribimos así: φ(6) = 2.
La función de Euler tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, se emplea en el
llamado algoritmo RSA que se utiliza para encriptar los números de las tarjetas
de crédito en transacciones online (esto se explica en la nota
7 del capítulo 14). Se la llama así en honor al matemático suizo del siglo
XVIII Leonhard Euler.
El que los números de Betti que hallé fueran dados por la función de Euler
sugería la existencia de conexiones ocultas entre grupos de trenzas y teoría de
números. Por lo tanto, el problema que acababa de solucionar podía tener
potenciales implicaciones mucho más allá de su ámbito inicial.
Evidentemente, yo estaba ansioso por enseñarle a Fuchs mis resultados. Era ya
junio de 1986, casi tres meses después de nuestro primer encuentro. Para
entonces, Fuchs había abandonado Moscú, con su mujer y sus dos hijas, para
pasar el verano en su dacha no muy lejos de la ciudad. Por suerte para mí,
estaba situada a lo largo de la misma línea férrea que mi ciudad natal, a medio
camino, de modo que me fue fácil visitarle de vuelta a casa.
Tras ofrecerme la taza de té de costumbre, Fuchs me preguntó por mis progresos.
—¡He resuelto el problema!
No podía contener mi entusiasmo, y supongo que la explicación de la prueba que
le di resultó bastante dispersa e inconexa. Pero no había ningún problema:
Fuchs lo comprendió todo rápidamente. Estaba encantado.
—Esto es genial —dijo—. ¡Bien hecho! Ahora has de comenzar a escribir el
artículo al respecto.
Era la primera vez que yo escribía un artículo matemático para su publicación,
y resultó ser no menos frustrante que mi trabajo matemático, y mucho menos
divertido. Buscar nuevos patrones en los límites del conocimiento era algo
cautivador y fascinante. Sentarme en mi escritorio, intentando organizar mis
pensamientos y ponerlos sobre papel era un proceso completamente diferente.
Como alguien me dijo más tarde, escribir artículos académicos era el castigo
que había que sufrir a cambio de la emoción de descubrir nuevas matemáticas.
Era la primera vez que me castigaban así.
Volví a ver a Fuchs con diferentes esbozos, y él los leyó con detenimiento,
señalando las deficiencias y sugiriendo mejoras. Como siempre, fue
extremadamente generoso a la hora de ayudar. Desde el comienzo puse su nombre
como uno de los coautores, pero él lo rechazó de plano:
—Este es tu artículo —decía.
Finalmente, Fuchs declaró que el artículo estaba listo y me dijo que debería
enviarlo a Análisis funcional y aplicaciones, la publicación
matemática dirigida por Israel Moiseévich Gelfand, el patriarca de la escuela
matemática soviética.
Gelfand, un hombre compacto y carismático, por aquel entonces recién inaugurada
la setentena, era una leyenda en la comunidad matemática moscovita. Dirigía un
seminario semanal en el gran auditorio de la decimocuarta planta del edificio
principal de la MGU. Se trataba de un importante acontecimiento matemático y
social, que se venía celebrando desde hacía más de cincuenta años y que tenía
renombre a nivel mundial. Fuchs era un antiguo colaborador de Gelfand (su
trabajo, en lo que se acabaría llamando «cohomología Gelfand-Fuchs», era
ampliamente conocido y apreciado) y uno de los miembros de más antigüedad del
seminario de Gelfand (entre los otros estaban A. A. Kirílov, exestudiante de
Gelfand, y M. I. Graev, histórico colaborador durante años de Gelfand).
El seminario era diferente a cualquier otro seminario al que yo hubiera
acudido. Por norma general, un seminario tiene una duración fija (en Estados
Unidos, entre una hora y una hora y media) y un presentador que prepara una
charla acerca de un tema determinado con antelación. En ocasiones, alguien del
público hace preguntas. El seminario de Gelfand no tenía nada que ver con todo
eso. Se reunía todos los lunes por la tarde y el horario oficial de apertura
era a las 19.00 horas. Sin embargo, el seminario rara vez comenzaba antes de
las 19.30, y generalmente empezaba entre las 19.45 y las 20.00. Durante la hora
(más o menos) antes de su comienzo, los invitados (y el propio Gelfand, que
solía llegar entre las 19.15 y las 19.30) se paseaban y charlaban por el
auditorio y el vestíbulo. Era, evidentemente, la idea original de Gelfand: un
seminario tanto como un acontecimiento social.
La mayoría de matemáticos que acudían al seminario de Gelfand trabajaban en
lugares no afiliados con la MGU. El seminario de Gelfand era el único lugar en
el que podían reunirse con sus colegas, averiguar qué se cocía en el mundo de
las matemáticas, compartir ideas y forjar colaboraciones. Dado que el propio
Gelfand era judío, su seminario se consideraba un «refugio seguro» para judíos,
e incluso se lo celebraba como «el único de la ciudad» (o uno de los pocos) en
que matemáticos judíos podían participar (aunque, para ser justos, había muchos
otros seminarios en la MGU abiertos al público y dirigidos por gente sin
prejuicios de tipo étnico). Sin duda, Gelfand aprovechaba esto.
El antisemitismo que yo había experimentado en los exámenes de ingreso a la MGU
se extendía a todos los niveles del mundo académico de la Unión Soviética. Con
anterioridad, en la década de 1960 y principios de 1970, aunque había habido
restricciones (o «cuotas») para estudiantes de origen judío, aún podían acceder
como estudiantes al Mekh-Mat. La situación fue empeorando desde los años
setenta hasta los ochenta, hasta el punto de que en 1984, cuando solicité el
ingreso en Mekh-Mat, casi no se aceptaban estudiantes judíos.[36] Pero
incluso en aquellos tiempos, a aquellos estudiantes les resultaba casi
imposible cursar estudios de posgrado. La única manera en que un estudiante
judío podía conseguirlo era ir a trabajar tres años fuera, tras la
licenciatura, y que el empleador lo enviara a un curso de posgrado (a menudo en
alguna provincia lejana). E incluso si conseguían superar este obstáculo y
conseguir un doctorado, les resultaba imposible conseguir un puesto académico
de matemáticos en Moscú (por ejemplo, en la MGU). O bien tenían que conformarse
con un trabajo en alguna provincia o trabajar en alguno de los muchos
institutos de Moscú que tenían poco o nada que ver con las matemáticas. La
situación era incluso más difícil para quienes no procedían de Moscú, puesto
que carecían de propiska, el sello de residencia en Moscú en su
pasaporte interior, exigido para cualquier trabajo en la capital.
Incluso los estudiantes más excepcionales recibían este tratamiento. Vladimir
Drinfeld, un brillante matemático y futuro ganador de la Medalla Fields,[xii] de
quien hablaremos posteriormente, consiguió entrar como estudiante de posgrado
en Mekh-Mat tras obtener su licenciatura (aunque, por lo que tengo entendido,
fue complicadísimo de conseguir), pero al ser natural de Járkov, Ucrania, le
resultó imposible conseguir un puesto de trabajo en Moscú. Tuvo que conformarse
con un puesto docente en una universidad provincial de Ufa, una ciudad
industrial en los montes Urales. Con el tiempo consiguió un trabajo como
investigador en el Instituto de Física de Bajas Temperaturas de Járkov.
Quienes se quedaban en Moscú acababan empleados en lugares como el Instituto de
Estudios Sísmicos o el Instituto para el Procesado de Señales. Sus trabajos
consistían en tediosos cálculos relacionados con alguna industria en particular
a la que estaba vinculado el instituto (aunque algunos, de multifacético
talento, conseguían abrir nuevos caminos en esas áreas). Tenían que realizar el
tipo de investigación matemática que constituía su verdadera pasión en su
tiempo libre.
El propio Gelfand fue expulsado de su trabajo docente en Mekh-Mat en 1968, tras
firmar la famosa carta de noventa y nueve matemáticos en demanda de la
liberación del matemático y activista por los Derechos Humanos Aleksándr
Esenin-Volpin (hijo del poeta Sergéi Esenin) de una pena políticamente motivada
que cumplía en un hospital psiquiátrico. Aquella carta estuvo tan hábilmente
escrita que, tras su emisión por la radio de la BBC, la condena mundial puso en
tal apuro a los líderes soviéticos que liberaron a Esenin-Volpin casi de
inmediato.[37] Pero
también enfadó gravemente a las autoridades. Posteriormente encontraron maneras
de castigar a todos los firmantes. Muchos de ellos, en especial, fueron
despedidos de sus trabajos.[38]
De modo que Gelfand ya no era profesor de matemáticas en la MGU, aunque había
sido capaz de conservar su seminario en el edificio principal. Su empleo
oficial era en un laboratorio de la MGU que él mismo había fundado para
realizar investigaciones en biología, otra de sus pasiones.[xiii] Fuchs
trabajaba en el mismo laboratorio.
Anteriormente Fuchs me había urgido a que comenzara a acudir al seminario de
Gelfand, así que asistí a un par de sesiones a finales del semestre de
primavera. Esas reuniones me impresionaron mucho. Gelfand dirigía su seminario
del modo más autoritario imaginable. Él decidía sobre todos los aspectos del
mismo, y aunque a un ojo desentrenado le pudiera parecer caótico y
desorganizado, en realidad dedicaba una gran cantidad de tiempo y energía a
preparar y coreografiar los encuentros semanales.
Tres años después, cuando Gelfand me pidió que hablara de mi trabajo, tuve la
oportunidad de ver desde dentro cómo funcionaba el seminario. Pero de momento
lo hacía desde el punto de vista de un chico de diecisiete años que apenas
comenzaba su carrera de matemático.
El seminario era, en muchos sentidos, un teatro para un solo actor.
Oficialmente había un conferenciante designado para hablar de un tema
específico, pero generalmente sólo una parte del seminario se dedicaba a eso.
Gelfand solía sacar otros temas y llamar a la pizarra a otros matemáticos, a
quienes no se les había pedido que preparasen nada por adelantado, para que los
explicasen. Pero él se encontraba siempre en el centro de todo. Él, y sólo él,
controlaba el flujo del seminario y tenía el poder absoluto para interrumpir a
quien hablaba en cualquier momento con preguntas, sugerencias y comentarios.
Casi puedo oírle todavía decir «Dayte opredelenie» («Dé la definición»), su
frecuente advertencia a un conferenciante.
Tenía también la costumbre de arrojarse a largos monólogos acerca de varios
temas (a veces sin ninguna relación con el material que se debatía) y contar
chistes, anécdotas e historias de todo tipo, muchas de ellas realmente
entretenidas. Fue aquí donde escuché por primera vez la anécdota que he
mencionado en el prefacio: puede que un borracho no sepa qué número es mayor,
2/3 o 3/5, pero sabe que 2 botellas de vodka para 3 personas es mejor que 3
botellas de vodka para 5 personas. Una de las habilidades de Gelfand era
«redefinir» preguntas que se hacían otros de manera que la respuesta fuera
obvia.
Otro chiste que le gustaba contar tenía que ver con el telégrafo sin cables. «A
principios del siglo XX, alguien pregunta a un físico, en una fiesta:
—¿Nos podría explicar cómo funciona?
El físico responde que es muy sencillo.
—Primero hay que comprender el telégrafo normal, con cables: imagine un perro
con la cabeza en Londres y su cola en París. Usted tira de la cola en París y
el perro ladra en Londres. El telégrafo sin cables —explica el físico— es lo
mismo, pero sin el perro».
Tras contar el chiste y esperar a que las risas se acabaran (incluso las de
quienes lo habían oído mil veces), Gelfand se volvía hacia el problema
matemático que se estaba debatiendo. Si creía que la solución requería un
enfoque radicalmente nuevo, decía:
—Lo que intento decir es que necesitamos hacerlo sin el perro.
Una técnica frecuentemente empleada en el seminario era nombrar a un kontrol'nyj
slushatel' («un oyente de prueba»), habitualmente algún joven del
público, a quien se pedía que repitiera cada cierto tiempo lo que explicaba el
conferenciante. Si se estimaba que el «oyente de prueba» seguía bien la
conferencia, era que el conferenciante estaba realizando un buen trabajo. De lo
contrario, el conferenciante debía frenar y explicarse mejor. A veces, Gelfand
echaba del atril a un conferenciante especialmente incomprensible y lo
sustituía por otro miembro del público. Y, evidentemente, Gelfand también
tomaba el pelo al oyente de prueba. Todo esto hacía que el seminario fuera muy
entretenido.
La mayor parte de seminarios se desarrollan a un ritmo regular, con los
miembros del público escuchando (y a veces durmiéndose) de modo correcto,
demasiado complaciente, demasiado cívico, o sencillamente temerosos de hacer
ninguna pregunta al conferenciante, y posiblemente aprendiendo poco. No cabe
duda de que el ritmo irregular y el carácter en general subversivo del
seminario de Gelfand no sólo mantenía a la gente despierta (una tarea nada
fácil, teniendo en cuenta que a veces se extendía hasta pasada la medianoche),
sino que la estimulaba de tal modo que otros seminarios sencillamente no
podían. Gelfand exigía mucho a sus conferenciantes. Trabajaban duro, y él
también. Uno puede decir lo que quiera del estilo de Gelfand, pero lo cierto es
que la gente nunca abandonaba el seminario con las manos vacías.
Sin embargo, me da la impresión de que un seminario como este sólo podía
existir en una sociedad totalitaria como la Unión Soviética. La gente estaba
acostumbrada al tipo de poderes y conducta dictatoriales que exhibía Gelfand.
Podía ser cruel, a veces incluso insultante, con la gente. No creo que en
Occidente muchos tolerasen este tipo de tratamiento. Pero en la Unión Soviética
no se consideraba nada fuera de lo común, y nadie protestaba. (Otro ejemplo
igual de famoso era el seminario de Lev Landau sobre física teórica).
Cuando comencé a acudir al seminario, Gelfand tenía a un joven físico, Vladimir
Kazakov, presentando una serie de charlas acerca de los llamados modelos de
matrices. Kazakov empleaba métodos de física cuántica de manera novedosa para
obtener profundos resultados matemáticos que los matemáticos no podían obtener
por medios más convencionales. A Gelfand siempre le había interesado la física
cuántica, y era un tema que tradicionalmente había desempeñado un papel
importante en su seminario. Estaba especialmente impresionado por el trabajo de
Kazakov, a quien promovía activamente entre los matemáticos. Como muchas de sus
visiones, resultó ser acertada: unos años después, este trabajo se hizo famoso,
se puso de moda y llevó a muchos importantes avances tanto en física como en
matemáticas.
En sus conferencias en el seminario, Kazakov hacía un esfuerzo admirable por
explicar sus ideas a los matemáticos. Gelfand tenía más deferencia de la
habitual hacia él, y le dejaba hablar sin interrupciones mucho más que a otros
conferenciantes.
Mientras tenían lugar estas sesiones, llegó un nuevo artículo, de John Harer y
Don Zagier, en el que daban una elegante solución a un problema de combinatoria
especialmente difícil.[39] Zagier
tiene reputación de resolver problemas aparentemente intratables; también es
muy rápido. Se decía que la solución a este problema le había costado seis
meses, algo de lo que estaba muy orgulloso. En el siguiente seminario, mientras
Kazakov continuaba su presentación, Gelfand le pidió que resolviera el problema
Harer-Zagier empleando su trabajo en los modelos de matrices. Gelfand había
presentido que los métodos de Kazakov se podían emplear para solucionar este
tipo de problemas, y tenía razón. Kazakov no conocía el artículo de
Harer-Zagier, y era la primera vez que escuchaba el problema. De pie ante la
pizarra, lo pensó durante un par de minutos e inmediatamente escribió el
lagrangiano de una teoría de campos cuánticos que llevaría a la respuesta empleando
sus métodos.
El público al completo estaba estupefacto. Pero Gelfand, no. Preguntó
inocentemente a Kazakov:
—Volodya, ¿cuántos años has estado trabajando en este tema?
—No estoy seguro, Israel Moiseévich, quizá unos seis años.
—De modo que has tardado seis años más dos minutos, mientras que a Don Zagier
le ha costado seis meses… ¿Te das cuenta de que es mejor que tú?
Y esta era una broma «suave» comparada con otras. En este entorno había que
tener una piel muy gruesa para sobrevivir. Lamentablemente, algunos
conferenciantes se tomaban este tipo de «despelleje» como algo personal, y esto
les causaba mucho dolor. Pero he de añadir que Gelfand tenía la lengua más
afilada para los matemáticos viejos y ya establecidos, y que era mucho más
suave con los matemáticos jóvenes y los estudiantes.
Solía decir que daba la bienvenida al seminario a todos los estudiantes
universitarios, a los estudiantes de posgrado con talento y tan sólo a los
profesores brillantes. Comprendía que, a fin de mantener en movimiento el tema,
era muy importante preparar a las siguientes generaciones de matemáticos, y
siempre se rodeaba de jóvenes talentos. También lo mantenían joven: estuvo
realizando investigaciones de máximo nivel de forma activa hasta muy pasados
los ochenta años. A menudo invitaba a estudiantes de secundaria al seminario y
los hacía sentarse en las primeras filas para asegurarse de que seguían lo que
ocurría. Evidentemente, no se trataba de estudiantes de secundaria comunes:
muchos de ellos acabarían convirtiéndose en matemáticos de renombre mundial.
Según todas las fuentes, Gelfand fue siempre muy generoso con sus estudiantes,
y pasaba horas hablando con ellos de manera regular. Muy pocos profesores hacen
eso. No era fácil ser su estudiante; otorgaba una especie de amor rudo, y había
que aguantar sus muchas manías y hábitos dictatoriales. Pero mi impresión, por
lo que hablé con varios de ellos, era que le eran leales y que sentían que
tenían una enorme deuda hacia él.
Yo no era estudiante de Gelfand: era su «re-estudiante», puesto que mis dos
profesores, Fuchs y Feigin (que aún no había entrado en mi vida) habían sido,
al menos en parte, estudiantes de Gelfand. Por ello siempre me consideré parte
de la «escuela matemática de Gelfand». Mucho más tarde, cuando ambos estábamos
en Estados Unidos, Gelfand me preguntó directamente acerca de ello, y por el
orgullo y la satisfacción que vi en su cara cuando le dije que sí, me di cuenta
de lo importante que era para él el tema de su escuela y el reconocimiento por
parte de quien pertenecía a ella.
Esta escuela, de la que el seminario era el punto focal, su ventana al mundo,
tuvo un enorme impacto no sólo en los matemáticos de Moscú, sino en todo el
mundo. Matemáticos extranjeros venían a Moscú para conocer a Gelfand y acudir a
su seminario, y muchos consideraban un honor dar una conferencia en él.
La fascinante, excesiva personalidad de Gelfand jugaba un papel importante en
la reputación del seminario. Unos años después se interesó por mi trabajo y me
pidió que hablara en su seminario. Pasé muchas horas conversando con él, no
sólo acerca de matemáticas, sino de muchos otros temas. Estaba muy interesado
en la historia de las matemáticas y en su propio legado en especial. Recuerdo
vívidamente cómo, cuando fui a visitarlo a su apartamento de Moscú por primera
vez (yo acababa de cumplir veintiún años), me informó de que se consideraba a
sí mismo el Mozart de las matemáticas.
—A la mayoría de compositores se les recuerda por alguna pieza en particular
que crearon —me dijo—. En el caso de Mozart, no es así: es la totalidad de su
obra la que le convierte en un genio.
Hizo una pausa y continuó:
—Lo mismo vale para mi obra matemática.
Dejando aparte algunas cuestiones interesantes provocadas por una
autovaloración como esa, me parece que se trata, en realidad, de una
comparación válida. Aunque Gelfand no demostrara ninguna famosa conjetura de
las que duran años y años, como el último teorema de Fermat, el efecto
acumulativo de sus ideas era impresionante. Más importante quizá, Gelfand
poseía un excelente gusto por las matemáticas elegantes, así como una astuta
intuición acerca de qué áreas de las matemáticas eran las más interesantes y
prometedoras. Era como un oráculo con la capacidad de predecir en qué
direcciones se moverían las matemáticas.
En una asignatura que estaba fracturándose y especializándose cada vez más, él
era uno de los últimos hombres del Renacimiento, capaces de hacer de puente
sobre varias áreas. Era el ejemplo perfecto de la unidad de las matemáticas. A
diferencia de muchos seminarios, que se especializaban en un área de las
matemáticas, si ibas al de Gelfand podías ver cómo encajaban todas esas partes.
Es por eso por lo que nos reuníamos los lunes en el auditorio del piso catorce
del edifico principal de la MGU y esperábamos ansiosos las palabras del
maestro.
Y fue a este hombre que inspiraba admiración a quien Fuchs me sugirió enviar mi
primer artículo de matemáticas. La revista de Gelfand, Análisis
funcional y aplicaciones, se publicaba en forma de cuatro delgados números
al año, de unas cien páginas cada uno (una cantidad lastimosa para una revista
como esta, pero el editor se negaba a dar más, así que había que adaptarse), y
poseía una reputación muy alta en todo el mundo. Se traducía al inglés y muchas
bibliotecas científicas de todo el mundo estaban suscritas.
Era muy difícil conseguir que esta revista publicara un artículo, en parte
debido a las enormes limitaciones del número de páginas. Había, en realidad,
dos tipos de artículos que se publicaban: los de investigación, de unas quince
a veinte páginas cada uno, con pruebas detalladas, y anuncios cortos en que
sólo se indicaban los resultados, sin pruebas. Los anuncios no podían exceder
las dos páginas. En teoría, a un artículo tan corto le debía suceder
posteriormente un artículo detallado con todas las pruebas, pero, de hecho, a
menudo esto no ocurría porque publicar un artículo más largo era
extraordinariamente difícil. En efecto, era casi imposible para un matemático
de la Unión Soviética publicar en el extranjero (se necesitaban todo tipo de
pases de seguridad, que tardaban más de un año y mucho esfuerzo en
conseguirse). Por otra parte, la cantidad de revistas matemáticas, en la Unión
Soviética, era muy pequeña para la cantidad de matemáticos que había.
Lamentablemente, muchas de ellas estaban controladas por varios grupos, que no
permitían a los de fuera publicar, y también abundaba el antisemitismo en
muchas de ellas.
Debido a todo esto se generó una cierta subcultura de artículos matemáticos en
la Unión Soviética, a la que se dio en llamar «tradición rusa» de artículos
matemáticos: una escritura extremadamente concisa, proporcionando pocos
detalles. Lo que muchos matemáticos de fuera de la Unión Soviética no veían era
que esto se debía a la necesidad, no a una elección deliberada.
Era este tipo de anuncio corto lo que Fuchs buscaba para mi primer artículo.
Gelfand debía cribar y aprobar todo artículo enviado a Análisis
funcional y aplicaciones, incluidos los anuncios cortos. Si el artículo le
gustaba, dejaba que el artículo pasara por el proceso estándar de arbitraje.
Esto significaba que para que mi artículo se tuviese en cuenta, yo debía
conocer a Israel Moiseévich en persona. Así que, antes de uno de los primeros
seminarios del semestre de otoño de 1986, Fuchs nos presentó.
Gelfand me dio la mano, sonrió y dijo:
—Encantado de conocerte. He oído hablar de ti.
Yo estaba completamente deslumbrado. Juraría que veía un halo en torno a la
cabeza de Gelfand.
Entonces este se giró y le pidió a Fuchs ver mi artículo, que Fuchs le entregó.
Gelfand comenzó a pasar las páginas. Había cinco de ellas, que yo había copiado
a limpio (lentamente, con dos dedos) en una máquina de escribir que tomé
prestada en Kerosinka, y sobre las que había copiado las fórmulas a mano.
—Interesante —dijo Gelfand, mostrando aprobación—, pero ¿por qué es importante?
Fuchs comenzó entonces a explicar algo acerca de los discriminantes de
polinomios de grado n con raíces distintas, y de cómo mi
resultado se podía emplear para describir la topología del fibrado del
discriminante, y… Gelfand le interrumpió:
—Mitya —le dijo, empleando la forma diminutiva del primer nombre de Fuchs—,
¿sabes cuántos suscriptores tiene la revista?
—No, Israel Moiseévich, no lo sé.
—Más de mil… —Era un número bastante alto teniendo en cuenta lo especializado
de la revista—. No puedo enviarte a cada suscriptor con cada número para que le
expliques para qué sirve este resultado, ¿verdad?
Fuchs negó con la cabeza.
—Ha de explicarse bien en el artículo, ¿de acuerdo?
Gelfand se preocupó de decirle todo esto a Fuchs, como si fuera culpa suya.
Luego nos dijo a los dos:
—Aparte de eso, el artículo me parece bueno.
Después me sonrió otra vez y se fue a hablar con alguna otra persona.
¡Menudo diálogo! Fuchs esperó a que Gelfand no pudiera oír y me dijo:
—No te preocupes, sólo quería impresionarte —(¡y vaya si lo hizo!)—. Tendremos
que añadir un párrafo al principio para explicarlo, y luego probablemente lo
publicará.
Era el mejor resultado posible. Tras añadir el párrafo requerido por Gelfand,
envié oficialmente el artículo y acabó apareciendo en la revista.[40] Así se
completó mi primer proyecto matemático. Había cruzado mi primer umbral y me
encontraba al comienzo de una senda que me llevaría al mágico mundo de las
matemáticas modernas.
Ese es el mundo que quiero compartir con usted.
Capítulo 7
Teoría de la Gran Unificación
La
solución a mi primer problema fue, de alguna forma, mi iniciación en el templo
de las matemáticas. De un modo un tanto casual, el siguiente proyecto
matemático que realicé con Fuchs me llevó de pleno al Programa Langlands, una
de las teorías matemáticas más profundas y fascinantes que han surgido en los
últimos cincuenta años. Hablaré acerca de mi proyecto más tarde, pero mi
objetivo, en este libro, es describir mucho más que mi experiencia personal. Es
proporcionarle una idea de cómo son las matemáticas modernas, demostrarle que
tratan, en realidad, de originalidad, imaginación, ideas innovadoras. Y el
Programa Langlands es un gran ejemplo. Me gusta pensar en él como en una Teoría
de la Gran Unificación de las matemáticas, porque descubre y saca a la luz
misteriosos patrones compartidos por diferentes áreas de las matemáticas, y por
tanto apunta a profundas e inesperadas conexiones entre ellos.
Las matemáticas constan de varios campos separados. A menudo parecen
continentes diferentes, y es como si los matemáticos que trabajan en esas áreas
hablaran idiomas distintos. Es por eso por lo que la idea de «unificación», de
reunir las teorías procedentes de campos diversos y ver que forman parte de una
narrativa única, es tan poderosa. Es como si uno se diera cuenta de repente que
comprende otro idioma, que había estado intentando aprender desesperadamente y
sin mucho éxito.
Es útil pensar en las matemáticas como en un gigantesco rompecabezas del que
nadie sabe cómo será la imagen final. Resolver este rompecabezas es una tarea
colectiva, de miles de personas. Trabajan en grupos: los de álgebra trabajan en
su parte del puzle; los de teoría de números, los geómetras, etcétera. Cada
grupo ha sido capaz de crear un pequeño «islote», un trozo de la gran
composición, pero a lo largo de la mayor parte de la historia de las
matemáticas ha sido difícil ver siquiera cómo unir esos islotes. Por ello, la
mayor parte de gente trabaja intentando expandir esas islas del rompecabezas.
Sin embargo, de vez en cuando alguien ve cómo interconectar las islas. Cuando
eso ocurre, surgen importantes rasgos de la imagen general, y eso da nuevos
significados a los campos individuales.
Eso es lo que hizo Robert Langlands, pero su intención era más ambiciosa que la
de juntar tan sólo algunos islotes. En lugar de ello, el Programa Langlands,
que comenzó en la década de 1960, se ha convertido en la búsqueda por hallar el
mecanismo mediante el cual construir puentes entre esos islotes, por escasa
relación que parezcan tener.
Hoy en día Langlands es profesor emérito de matemáticas en el Instituto de
Estudios Avanzados de Princeton, donde ocupa el despacho que antaño tuviera
Albert Einstein. Hombre de sorprendentes talento y visión, nació en 1936 y se
crio en una ciudad pequeña cerca de Vancouver. Sus padres tenían un molino. Una
de las cosas más sorprendentes acerca de Langlands es su facilidad para los
idiomas: habla inglés, francés, alemán, ruso y turco, pese a que no hablaba
ninguno (excepto su inglés natal) antes de ingresar en la universidad.[41]
Robert Langlands en su oficina de Princeton, en 1999. Fotografía de Jeff
Mozzochi.
En
años recientes he tenido la oportunidad de colaborar de cerca con Langlands y
nos hemos escrito a menudo en ruso. En algún momento me envió una lista de
autores rusos a los que había leído en idioma original. La lista era tan larga
que me dio la impresión de haber leído más de mi literatura natal, la rusa, que
yo mismo. A menudo me pregunto si la infrecuente facilidad para los idiomas de
Langlands tendrá algo que ver con su capacidad para unir diferentes culturas
matemáticas.
El punto clave del Programa Langlands es el concepto de simetrías, con el que
estamos ya familiarizados. Hemos hablado de simetrías en geometría: por
ejemplo, cualquier rotación es simetría de una mesa redonda. Nuestro estudio de
esas simetrías nos ha llevado a la noción de grupo. Luego hemos visto que los
grupos aparecen, en las matemáticas, con varios aspectos: como grupos de
rotaciones, grupos de trenzas, etcétera. También hemos visto que los grupos
fueron fundamentales para clasificar las partículas elementales y para predecir
la existencia de los quarks. Los grupos relevantes para el Programa Langlands
aparecen en el estudio de los números.
Para explicar esto, primero tenemos que hablar de los números que nos
encontramos en nuestra vida cotidiana. Todos nacemos un año determinado,
vivimos en una casa con un número determinado de la calle, tenemos un número de
teléfono, un número PIN para acceder a nuestra cuenta bancaria desde el cajero
automático, etcétera. Todos estos números tienen algo en común: todos se pueden
obtener sumando 1 a sí mismo un número determinado de veces: 1 + 1 es 2, 1 + 1
+ 1 es 3, etcétera. A estos se les llama números naturales.
Tenemos también el número 0, así como los números negativos: -1, -2, -3…
Como dijimos en el capítulo 5, a estos números los conocemos como «enteros». De
modo que un número entero es un número natural, o el número 0, o el negativo de
un número natural.
También nos encontramos con números un poco más generales. Un precio, en euros
y céntimos, se suele representar así: 2,59 €, lo que significa 2 euros y 59
céntimos. Es lo mismo que 2 más la fracción 59/100, o 59 veces 1/100. A los
números de este tipo los llamamos racionales o fracciones.
Un buen ejemplo de número racional es un cuarto: matemáticamente se representa
mediante la fracción 1/4. De modo más general, podemos formar la fracción m/n a
partir de dos números enteros cualesquiera, m y n.
Si m y ntienen un divisor común (por
ejemplo, d) podemos decir que m = dm' y n = dn'.
Podemos entonces suprimir d y escribir, en su lugar, m'/n' en
lugar de m/n. Por ejemplo, 1/4 puede representarse como
25/100, y por eso en Estados Unidos se llama quarter («cuarto»)
a la moneda de 25 centavos.
La inmensa mayoría de los números que nos encontramos en la vida cotidiana son
estos números racionales o fracciones. Pero hay otros números que no son
racionales. Un ejemplo de ellos es la raíz cuadrada de 2, que escribimos de la
siguiente manera: √2. Se trata del número que, elevado al cuadrado, da 2.
Geométricamente, √2 es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
con catetos de longitud 1.
Dado que √2 es igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo arriba indicado,
sabemos que el número está allí, en algún lugar. Pero, sencillamente, no encaja
con el sistema numérico de números racionales.
Hay muchos otros números como este, como √3 o como la raíz cúbica de 2.
Necesitamos desarrollar una manera sistemática de sumar estos números a los
números racionales. Pensemos en los números racionales como en una taza de té.
Podemos beberlo por sí solo, pero nuestra experiencia mejorará si le añadimos
azúcar, leche, miel, especias… y estos son como los números √2, √3, etcétera.
Intentemos añadir a la mezcla √2. Será el equivalente a añadir un terrón de
azúcar en nuestra taza de té. Así que dejemos caer √2 en los números racionales
y veamos qué tipo de sistema numérico obtenemos. Como queremos ser capaces de
multiplicar los números de este nuevo sistema numérico, tendremos que incluir
todos los números que sean productos de números racionales por √2. Estos tienen
la forma
De
modo que nuestro sistema numérico deberá incluir todas las fracciones m/n (los
números racionales) y todos los números con el formato
Pero
queremos ser capaces también de sumarlos, de modo que tendremos que incluir las
sumas
El
grupo de números de esta forma ya es «autosuficiente» en el sentido en que
podemos efectuar las operaciones habituales con él (sumar, restar, multiplicar,
dividir) y el resultado será un número del mismo tipo.[43] Es
nuestra taza de té con el terrón de azúcar completamente mezclado.
Resulta que este nuevo sistema numérico tiene una propiedad oculta que los
números racionales no tenían. Esta propiedad será nuestra puerta al mágico
mundo de los números. Resulta que este nuevo sistema numérico tiene simetrías.
Cuando digo «simetrías», en este caso, quiero decir una regla que asigna un
nuevo número a cualquier número con el que comencemos. En otras palabras: una
simetría dada transforma cada número en otro número del mismo sistema numérico.
Diremos que una simetría es una regla por la que un número «va» a otro número.
Esta regla debería ser compatible con las operaciones de suma, resta,
multiplicación y división. Aún no está claro por qué deberíamos preocuparnos
por las simetrías de un sistema numérico. Por favor, tenga paciencia y en un
momento verá por qué.
Nuestro sistema numérico posee la simetría identidad, es decir: la regla por la
que todo número va a sí mismo. Es como la rotación de 0 grados de una mesa, en
la que todos los puntos de la mesa van hacia sí mismos.
Resulta que nuestro sistema numérico tiene también una simetría no trivial.
Para explicar en qué consiste eso, pensemos que √2 es una solución de la
ecuación x2= 2. En efecto, si sustituimos x por
√2 obtenemos una igualdad. Pero en realidad esta ecuación tiene dos soluciones.
Una de ellas es √2 y la otra es -√2. Y, en realidad, añadimos ambas a los
números racionales cuando construimos nuestro sistema numérico. Al intercambiar
ambas soluciones, obtenemos una simetría en este sistema numérico.[xiv]
Para explicar esto más a fondo en términos de nuestra analogía de la taza de
té, modifiquémosla un poco. Digamos que echamos en nuestra taza un terrón de
azúcar blanco y uno de azúcar moreno y los mezclamos con el té. El primero es
como √2 y el segundo como -√2. Obviamente, intercambiarlos no modificará el
resultado de la taza de té. Por lo tanto, intercambiar √2 y -√2 constituirá una
simetría de nuestro sistema numérico.
En este intercambio, los números racionales no experimentan cambio.[44] Por
tanto, el número de la forma
irá
al número de la forma
Dicho
de otro modo, sencillamente cambiamos en cada número el símbolo que precede a
√2 y dejamos lo demás igual.[45]
Como puede ver, nuestro sistema numérico es como una mariposa: los números
son
como las escamas de sus alas, y la simetría de estos números al intercambiar √2
y -√2 es como la simetría de la mariposa con sus alas.
De un modo más general, podemos pensar en otras ecuaciones para la
variable x, en lugar de x2 = 2. Por
ejemplo, la ecuación cúbica x3 - x +
1 = 0. Si las soluciones de una ecuación como esta no son números racionales
(como es el caso de las ecuaciones arriba mencionadas) entonces podemos unirlas
a los números racionales. También podemos unir, a los números racionales, las
soluciones de varias de estas ecuaciones a la vez. De esta manera obtenemos
muchos sistemas numéricos diferentes, o, como los matemáticos los
denominan, cuerpos numéricos. La palabra «cuerpo» hace referencia a
que este sistema numérico es cerrado con las operaciones de suma, resta,
multiplicación y división.
Al igual que el cuerpo numérico obtenido al añadir √2, los cuerpos numéricos
poseen, en general, simetrías compatibles con estas operaciones. Las simetrías
de un cuerpo numérico determinado se pueden aplicar una tras otra (compuestas
entre sí) igual que las simetrías de un objeto geométrico. No es sorprendente,
por tanto, que estas simetrías formen un grupo. A este grupo se le denomina
grupo de Galois del cuerpo numérico,[46] en
honor al matemático francés Évariste Galois.
La
de Galois es una de las historias más románticas y fascinantes acerca de
matemáticos jamás ocurridas. Niño prodigio, Galois realizó descubrimientos
impresionantes ya desde muy joven. Y a los veinte años murió en un duelo. Hay
opiniones divergentes acerca de cuál fue la causa del duelo, que tuvo lugar el
31 de mayo de 1832: hay quien asegura que hubo una mujer de por medio y hay
quien dice que Galois no era nada conciliador a la hora de expresar sus ideas
políticas, y que habría conseguido hacer enfadar a mucha gente a lo largo de su
breve vida.
Fue literalmente en la víspera de su muerte cuando, escribiendo frenéticamente
a medianoche, a la luz de las velas, completó su manuscrito, en el que esbozaba
sus ideas acerca de las simetrías numéricas. Fue, básicamente, su carta de amor
a la humanidad, en la que compartía con nosotros los fascinantes
descubrimientos que había realizado. En efecto, los grupos de simetrías que
Galois descubrió, y que ahora llevan su nombre, son las maravillas de nuestro
mundo, como las pirámides de Egipto o los Jardines Colgantes de Babilonia. La
diferencia es que no tenemos que viajar a otro continente, o hacia atrás en el
tiempo, para hallarlos.
Galois, para ser sinceros, estaba muy adelantado a su época. Sus ideas eran tan
radicales que la mayor parte de sus contemporáneos, al principio, no pudieron
comprenderlas. La Academia Francesa de las Ciencias rechazó por dos veces sus
artículos, y su obra tardó casi cincuenta años en ser publicada y apreciada por
otros matemáticos. Sin embargo, hoy en día se le considera uno de los pilares
de las matemáticas modernas.
Lo que Galois hizo fue llevar la idea de simetría, que comprendemos de manera
intuitiva en la geometría, al escenario central de la teoría de números. Es
más: demostró el impresionante poder de las simetrías.
Antes de Galois, los matemáticos se centraban en intentar descubrir fórmulas
explícitas para las soluciones de ecuaciones como
x2 =
2yx3 - x + 1 = 0,
las
llamadas ecuaciones polinómicas. Lamentablemente, esto es lo que se nos sigue
enseñando en el colegio, pese a que han transcurrido dos siglos desde la muerte
de Galois. Por ejemplo, se nos pide que memoricemos una fórmula para las
soluciones de una ecuación cuadrática general (es decir, de segundo grado)
ax2 + bx+ c =
0
en
función de sus coeficientes a, b y c.
No escribiré esa fórmula aquí para no provocar recuerdos desagradables. Lo
único que debemos recordar es que exige emplear raíces cuadradas.
De igual manera, hay una fórmula similar, aunque más complicada, para la
ecuación cúbica (de tercer grado) general
ax3 + bx2 + cx+ d =
0,
en
función de sus coeficientes a, b, c, d,
que implica raíces cúbicas.
La tarea de resolver una ecuación polinómica en términos de radicales (es
decir, raíces cuadradas, cúbicas, etcétera) se va complicando a medida que sube
el grado de la ecuación.
El matemático persa Al-Khwarizmi, en el siglo IX, conocía ya la fórmula general
para las soluciones de las ecuaciones de segundo grado: la palabra «álgebra»
procede de «al-yabr», palabra que aparece en el título de su libro. Las
fórmulas para las soluciones de ecuaciones cúbicas y de cuarto grado se
descubrieron en la primera mitad del siglo XVI. Como es lógico, el siguiente
objetivo era la ecuación de quinto grado. Con anterioridad a Galois, muchos
matemáticos habían buscado desesperadamente la fórmula para sus soluciones
durante casi trescientos años, pero en vano. Pero Galois se dio cuenta de que
habían estado buscando en el lugar erróneo. Lo que deberían haber hecho, dijo,
era centrarse en el grupo de simetrías del cuerpo numérico obtenido al unir las
soluciones de esta ecuación a los números racionales: lo que hoy en día llamamos
el grupo de Galois.
Cómo describir el grupo de Galois resulta ser mucho más asequible que escribir
una fórmula explícita para las soluciones. Se pueden decir cosas profundas
acerca de este grupo incluso sin saber cuáles son las soluciones. Y de esto se
puede inferir, incluso, importante información sobre estas soluciones. En
realidad, Galois pudo demostrar que una fórmula para soluciones en términos de
radicales (es decir, raíces cuadradas, cúbicas, etcétera) existe si y sólo si
el correspondiente grupo de Galois tiene una estructura especialmente sencilla:
es lo que hoy en día los matemáticos llaman un grupo resoluble.
Para ecuaciones cuadráticas, cúbicas y de grado 4, los grupos de Galois son
siempre resolubles. Es por eso por lo que las soluciones a ese tipo de
ecuaciones se pueden escribir en términos de radicales. Pero Galois demostró
que el grupo de simetrías de una ecuación típica de grado 5 (o de nivel
superior) no es resoluble. Lo que implica que no hay fórmula para soluciones de
esas ecuaciones en términos de radicales.[47]
No entraré en los detalles de su demostración, pero déjeme mostrarle un par de
ejemplos de grupos de Galois para que sepa qué aspecto tienen. Ya hemos
descrito el grupo de Galois en el caso de la ecuación x2 =
2. Esta ecuación tiene dos soluciones, √2 y -√2, que adjuntamos a los números
racionales. El grupo de Galois del cuerpo numérico resultante[48] consiste,
pues, en dos elementos: la identidad y el intercambio simétrico entre √2 y -√2.
Para nuestro ejemplo siguiente pensemos en la ecuación cúbica arriba descrita y
supongamos que sus coeficientes son números racionales, pero sus tres
soluciones son irracionales. Luego, construiremos un nuevo cuerpo numérico
adjuntando esas soluciones a los números racionales. Es como añadir tres
ingredientes distintos a nuestra taza de té: pongamos, por ejemplo, azúcar,
unas gotas de leche y una cucharada de miel. Bajo cualquier simetría de este
cuerpo numérico (la taza de té con estos ingredientes añadidos) la ecuación
cúbica no cambiará porque sus coeficientes son números racionales, conservados
por las simetrías. De aquí que cualquier solución de la ecuación cúbica (uno de
los tres ingredientes) irá necesariamente a otra solución. Esta observación nos
permite describir el grupo de Galois de las simetrías de este cuerpo numérico
en términos de permutaciones de estas tres soluciones. Lo más importante es que
obtenemos esta descripción sin escribir ninguna fórmula para las soluciones.[49]
De manera similar, el grupo de Galois de simetrías del cuerpo numérico obtenido
al unir todas las soluciones de una ecuación polinómica arbitraria a los
números racionales puede también describirse en términos de permutaciones de
estas soluciones (habrá n soluciones para una ecuación
polinómica de grado n siempre que estas soluciones sean
distintas y no racionales). De esta manera podemos inferir mucha información
acerca de la ecuación sin expresar sus soluciones en términos de los
coeficientes.[50]
La obra de Galois es un gran ejemplo del poder de una comprensión matemática.
Galois no resolvió el problema de hallar una fórmula para soluciones a
ecuaciones polinómicas en el sentido en que se entendía. ¡Había puenteado el
problema! Lo había reformulado, le había dado la vuelta y lo había mirado bajo
una luz completamente diferente. Y su brillante percepción cambió para siempre
la manera en que la gente piensa en los números y las ecuaciones.
Y entonces, ciento cincuenta años después, Langlands llevó esas ideas mucho más
lejos. En 1967 llegó con revolucionarias ideas que enlazaban la teoría de
grupos de Galois con otra área de las matemáticas llamada «análisis armónico».
Estas dos áreas, que parecían estar a años luz de distancia, resultó que se
relacionaban estrechamente. Langlands, que por entonces acababa de entrar en la
treintena, resumió sus ideas en una carta al eminente matemático André Weil.
Las copias circularon ampliamente entre los matemáticos de la época.[51] La nota
escrita en la introducción es famosa por su eufemismo:[52]
Profesor
Weil: en respuesta a su invitación a visitarle y charlar, he escrito la carta
adjunta. Tras escribirla me he dado cuenta de que apenas hay en ella alguna
frase de la que esté seguro. Si desea leerla a modo de pura especulación,
estaré encantado; si no… seguro que tiene usted una papelera a mano.
Lo
que seguía era el inicio de una teoría revolucionaria que cambiaría para
siempre la manera en que pensábamos en las matemáticas. Así nació el Programa
Langlands.
Varias generaciones de matemáticos han dedicado sus vidas a resolver los
problemas avanzados por Langlands. ¿Qué es lo que les inspiró a ello? La
respuesta está en el capítulo siguiente.
Cuando
hablamos por primera vez de simetrías en el capítulo 2 vimos que las
representaciones de un grupo llamado SU(3) gobiernan el comportamiento de las
partículas elementales. El Programa Langlands también se centra en las
representaciones de grupos, pero esta vez se trata del grupo Galois de
simetrías de un cuerpo numérico del tipo que vimos en el capítulo precedente.
Resulta que estas representaciones son el «código fuente» de un cuerpo
numérico, y transportan toda la información necesaria acerca de los números.
La maravillosa idea de Langlands fue que podíamos extraer toda esa información
de objetos de una naturaleza completamente diferente: las llamadas funciones
automorfas, que proceden de otro campo de las matemáticas llamado análisis
armónico. Las raíces del análisis armónico se hunden en el estudio de los
armónicos, que son las ondas básicas de sonido cuyas frecuencias son múltiplos
unas de otras. La idea es que una onda sonora es, en general, una superposición
de armónicos, de la manera en que una sinfonía es la superposición de los
armónicos correspondientes a las notas tocadas por varios instrumentos.
Matemáticamente, esto significa expresar una función dada como una
superposición de las funciones que describen armónicos, como las conocidas funciones
trigonométricas de seno y coseno. Las funciones automorfas son versiones más
sofisticadas de estos conocidos armónicos. Hay potentes medios de análisis para
efectuar cálculos con estas funciones automorfas. Y la sorprendente idea de
Langlands fue que podíamos emplear estas funciones para saber mucho acerca de
cuestiones mucho más difíciles en teoría de números. De esta manera, hallamos
una armonía oculta en los números.
He escrito en el prefacio que una de las principales funciones de las
matemáticas es ordenar la información, o, en palabras del propio Langlands,
«crear orden a partir del aparente caos».[53] La idea
de Langlands es tan poderosa precisamente porque ayuda a organizar datos
aparentemente caóticos de teoría de números en patrones regulares llenos de
simetría y armonía.
Si pensamos en los diferentes campos de las matemáticas como continentes, la
teoría de números sería Norteamérica y el análisis armónico, Europa. A lo largo
de los años, hemos ido tardando menos tiempo cada vez en viajar de un
continente a otro. Se solía tardar varios días en barco; ahora son sólo unas
horas en avión. Pero imagine que se inventara una nueva tecnología que
permitiera transportarse instantáneamente desde cualquier lugar de Norteamérica
a algún lugar de Europa. Eso sería el equivalente a las conexiones descubiertas
por Langlands.
Voy ahora a describir una de esas impresionantes conexiones, estrechamente
relacionada con el último teorema de Fermat, del que hablamos en el capítulo 6.
El último teorema de Fermat es engañosamente sencillo a la hora de presentarse.
Dice que no hay números enteros x, y y z para
resolver la ecuación
xn + yn = zn
si n es
mayor que 2.
Como ya he escrito, el matemático francés Pierre Fermat ya supuso esto hace más
de trescientos cincuenta años, en 1637. Escribió al respecto en el margen de un
libro que estaba leyendo, asegurando que había encontrado una prueba «realmente
maravillosa» de esta afirmación, «pero el margen del libro es muy
pequeño para ponerla». Digamos que podría ser una prueba estilo Twitter del
siglo XVII: «He hallado una maravillosa prueba para este problema, pero
lamentablemente no la puedo poner aquí porque excede de los ciento cuarenta
carac»… vaya, me quedé sin espacio.
Existen pocas dudas acerca de que Fermat estaba equivocado. Se tardó más de
trescientos cincuenta años en hallar una auténtica demostración, y es
increíblemente complicada. Hay dos pasos principales: en primer lugar, en 1996
Ken Ribet demostró que el último teorema de Fermat se podía obtener a partir de
la llamada conjetura Shimura-Taniyama-Weil.
Quizá debería explicar aquí que una conjetura matemática es una afirmación que
uno espera que sea cierta, pero para la que aún no existe una prueba. Una vez
se encuentre una prueba, la conjetura pasa a ser un teorema.[54]
Lo que Ken Ribet demostró fue que si existían números naturales x, y y z que
resolvieran la ecuación de Fermat, empleando esos mismos números uno podía
construir cierta ecuación cúbica, que cumple una propiedad que no sería posible
debido a la conjetura Shimura-Taniyama-Weil (explicaré qué son esta ecuación y
esta propiedad). Por tanto, si sabemos que la conjetura Shimura-Taniyama-Weil
es cierta, esta ecuación no puede existir. Pero, por lo mismo, los
números x, y y zpara resolver la
ecuación de Fermat tampoco pueden existir.[55]
Detengámonos un minuto y repasemos la lógica de esta argumentación una vez más.
A fin de demostrar el último teorema de Fermat, supongamos que es falso, es
decir: que sí existen números x, y y z tales
que satisfagan la ecuación de Fermat. Después asociamos estos números a una
ecuación cúbica, que resulta poseer una propiedad indeseable. La conjetura
Shimura-Taniyama-Weil nos dice que una ecuación así no puede existir.
Pero, entonces, estos números x, y y ztampoco
pueden existir. Así pues, no puede haber solución a la ecuación de Fermat. Por
tanto, ¡el último teorema de Fermat es cierto! Esquemáticamente, el diagrama de
flujo de esta argumentación es como sigue (abreviaremos el último teorema de
Fermat como UTF y la conjetura Shimura-Taniyama-Weil como CSTW):
A
este tipo de argumentación se le llama reducción al absurdo.
Comenzamos por afirmar lo opuesto de lo que intentamos demostrar (en este caso,
la afirmación es que existen números naturales x, y y z que
resuelven la ecuación de Fermat, que es lo opuesto a lo que queremos probar).
Si, mediante una cadena de implicaciones, llegamos a una afirmación que es
demostrablemente falsa (en este caso, la existencia de una ecuación cúbica
prohibida por la conjetura Shimura-Taniyama-Weil) podemos concluir que la
afirmación por la que comenzamos es falsa. De aquí que la afirmación que
queríamos demostrar (el último teorema de Fermat) es cierta.
Lo que queda, entonces, para establecer el último teorema de Fermat es
demostrar que la conjetura Shimura-Taniyama-Weil es cierta. Una vez se
comprendió esto (en 1986, tras la obra de Ribet) la búsqueda se desplazó hacia
pruebas de la conjetura Shimura-Taniyama-Weil.
A lo largo de los años se habían anunciado varias demostraciones, pero los
análisis subsiguientes corroboraron que esas pruebas contenían errores o
vacíos. En 1993 Andrew Wiles afirmó que había demostrado la conjetura, pero
meses después se comprobó que había un lapsus en su demostración. Durante un
tiempo pareció que esta prueba sería recordada como una más de las «no
demostraciones» anteriores, en las que se hallaban lapsus que nunca se
conseguían cerrar.
Afortunadamente, Wiles fue capaz de cerrar el hueco en menos de un año, con
ayuda de otro matemático, Richard Taylor. Juntos, completaron la demostración.[56] En una
maravillosa película documental acerca del último teorema de Fermat, Wiles se
emociona al recordar el momento, y nosotros sólo podemos imaginar lo terrible
que debe haber sido la experiencia para él.
Así pues, la conjetura Shimura-Taniyama-Weil es un resultado clave a la hora de
demostrar el último teorema de Fermat. También se le puede ver como un caso
especial del Programa Langlands, y por tanto proporciona un ejemplo excelente
de las inesperadas conexiones predichas por este.
La conjetura Shimura-Taniyama-Weil es una afirmación acerca de determinadas
ecuaciones. De hecho, una gran parte de las matemáticas tiene que ver con
resolver ecuaciones. Queremos saber si una ecuación dada tiene solución en un
dominio determinado; si es así, ¿podemos hallar una? Si hay varias, ¿cuántas?
¿Por qué algunas ecuaciones tienen solución y otras no?
En el capítulo anterior hablamos de las ecuaciones polinómicas de una variable,
como x2 = 2. El último teorema de Fermat trata
sobre una ecuación con tres variables:
xn+yn = zn
Y la
conjetura Shimura-Taniyama-Weil trata de un tipo de ecuaciones algebraicas de
dos variables, como esta:
y2 + y = x3 - x2
La
solución a este tipo de ecuaciones es un par de números x e y tales
que el lado de la izquierda sea igual que el lado de la derecha.
Pero ¿qué tipo de números queremos que sean x e y?
Existen varias opciones: una posibilidad es decir que x e y son
números naturales o enteros. Otra posibilidad es decir números racionales.
Podemos buscar soluciones en las que xe y sean
números reales o incluso números complejos: hablaremos de esta opción más a
fondo en el próximo capítulo.
Resulta que hay una opción más, menos obvia pero igualmente importante:
considerar soluciones x e y «módulo N»
para algún número natural determinado N. Es decir, buscamos números
enteros x e y tales que el lado izquierdo sea
igual al lado derecho añadiendo cualquier número divisible por N.
Por ejemplo, busquemos soluciones módulo N = 5. Hay una
solución obvia: x = 0, y = 0. Y hay otras
tres soluciones un poco menos obvias: x = 0, y =
4 es una solución módulo 5 porque en tal caso el lado izquierdo es 20 y el lado
derecho, 0. La diferencia entre ambos lados es 20, que es divisible por 5: se
trata de una solución módulo 5. Por la misma razón, x =
1, y = 0 y x = 1, y = 4 son
también soluciones módulo 5.
Ya habíamos hablado de este tipo de aritmética en el capítulo 2, cuando
tratamos del grupo de rotaciones de una mesa. En aquella ocasión ya vimos que
la suma de ángulos se realizaba «módulo 360». Eso significa que si el resultado
de la suma de dos ángulos es superior a 360, le restamos 360 para llevarlo al
rango de 0 a 360. Por ejemplo: una rotación de 450 grados es como una rotación
de 90 grados, porque 450 - 360 = 90.
También hallamos esta aritmética cuando usamos un reloj. Si empezamos a
trabajar a las 10 de la mañana y trabajamos 8 horas, ¿cuándo acabamos? Bueno,
10 + 8 = 18, de modo que lo natural sería decir que «acabamos a las 18 en
punto». Esto sería perfectamente normal en Francia, donde se habla de las horas
empleando de 0 a 24 (en realidad, no tan correcto, porque un día de trabajo en
Francia suele estar limitado a siete horas). Pero en España se dice «salimos a
las 6 de la tarde». ¿Cómo obtenemos 6 de 18? Pues le restamos 12: 18 - 12 = 6.
De modo que usamos la misma idea con las horas que con los ángulos. En el
primer caso, hacemos sumas «módulo 360»; en el segundo, hacemos sumas «módulo
12».
Podemos hacer, de la misma manera, sumas en cualquier módulo de número
natural N. Pensemos en el conjunto de todos los números naturales
consecutivos entre 0 y N - 1:
{0,
1, 2…, N - 2, N - 1}
Si N =
12, se trata del conjunto de horas posibles. En general, el papel de 12 lo
interpreta el número N, de modo que no es 12 quien nos lleva de
regreso al 0, sino N.
Definimos la suma en el conjunto de estos números de la misma manera que con
las horas. Dados dos números del conjunto, los sumamos, y si el resultado es
mayor que N, le restamos N para obtener un número
del conjunto. Esta operación convierte a este conjunto en un grupo. El elemento
identidad es el número 0: al sumarlo a cualquier otro número, este no cambia.
En efecto, tenemos que n + 0 = n. Y para cualquier
número n de nuestro conjunto, su «inverso por la suma»
es N - n, porque n+(N - n)
= N, que es lo mismo que 0 según nuestras reglas.
Por ejemplo, tomemos N = 3. Tenemos el conjunto {0, 1, 2} y
suma módulo 3. Tenemos, por ejemplo,
2 +
2 = 1 módulo 3
en
este sistema, porque 2 + 2 = 4, pero dado que 4 = 3 + 1, módulo 3, el 4 es
igual a 1 módulo 3.
De modo que si alguien le dice «dos más dos son cuatro» para indicar un hecho
cierto, ahora puede usted responder (con una sonrisa condescendiente, si
quiere): «Bueno, en realidad eso no siempre es verdad».
Y si le preguntan qué quiere decir, puede responder: «Si realizas una suma
módulo 3, 2 más 2 es igual a 1».
Dados dos números cualesquiera del conjunto arriba visto, también podemos
multiplicarlos. El resultado puede no estar entre 0 y N - 1,
pero habrá un número único en este rango que diferirá del resultado de la
multiplicación una cantidad que sea múltiplo de N. Sin embargo, en
general, el conjunto {0, 1, 2…, N - 2, N - 1}
no es un grupo con respecto a la multiplicación. Tiene el elemento identidad:
el número 1. Pero no todos los elementos tienen inverso para la multiplicación
módulo N. Esto ocurre si, y sólo si, N es un
número primo, es decir, un número no divisible por ningún otro número
aparte de 1 y de sí mismo.[57]
Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13… Es tradición excluir el 1
de esta lista. Los números naturales pares, exceptuando el 2, no son primos,
porque son divisibles por 2, y 9 no es primo, puesto que es divisible por 3.
Hay, de hecho, infinitos números primos: no importa cuán grande es un número
primo, habrá otro más grande.[58] Los
primos, por ser indivisibles, son las partículas elementales del mundo de los
números naturales; todos los demás, en realidad, pueden escribirse como
producto de números primos. Por ejemplo, 60 = 2 · 2 · 3 · 5.
Fijemos un número primo. Por costumbre lo llamaremos p. Luego
consideremos el conjunto de números naturales consecutivos de 0 a p -
1, es decir:
{0,
1, 2, 3, 4…, p - 2, p - 1}
Y
pensemos en dos operaciones con ellos: suma y multiplicación módulo p.
Como hemos visto arriba, este conjunto es un grupo con respecto a la suma
módulo p. Lo que es incluso más remarcable es que si quitamos el
número 0 y consideramos el conjunto de números consecutivos entre 1 y p -
1, es decir
{1,
2…, p - 2, p - 1},
obtenemos
un grupo con respecto a la multiplicación módulo p. El elemento 1
es el elemento identidad de la multiplicación (hasta aquí, claro) y puedo
asegurar que todo número natural entre 1 y p - 1 tiene un
inverso para la multiplicación.[59]
Por ejemplo, si p = 5, tenemos que
2 x
3 = 1 módulo 5,
y
que
4 x
4 = 1 módulo 5,
de
modo que el inverso para la multiplicación de 2 módulo 5 es 3, y que 4 es su
propio inverso para la multiplicación módulo 5. Resulta que esto es cierto en
general.[60]
En nuestra vida cotidiana, estamos acostumbrados a números que son enteros o
fracciones. A veces empleamos números como √2. Pero ahora hemos descubierto un
sistema numérico de una naturaleza completamente diferente: el conjunto finito
de números {0, 1, 2…, p - 1} en que p es un
número primo, en el que tenemos las operaciones de suma y multiplicación
módulo p. Se le llama cuerpo finito con p elementos.
Estos cuerpos finitos forman un importante archipiélago en el mundo de los
números; uno que, lamentablemente, a la mayoría de nosotros no se nos dice que
existe.
Pese a que estos sistemas numéricos parecen bastante diferentes de los sistemas
numéricos a los que estamos acostumbrados, como los números racionales, poseen
las mismas propiedades destacadas: son cerrados para las operaciones de suma,
resta, multiplicación y división.[61] Por
tanto, cualquier cosa que podamos hacer con los números racionales la podemos
hacer con estos cuerpos finitos de apariencia más esotérica.
En realidad ya no son tan esotéricos, tras haberse hallado para ellos
importantes aplicaciones, sobre todo en criptografía. Cuando hacemos una
compra online, e introducimos nuestro número de tarjeta de crédito,
este número se encripta usando la aritmética de módulos primos, todo dictado
por ecuaciones como la que hemos visto arriba (véase la descripción del
algoritmo de encriptación RSA en la nota 7 del capítulo 14).
Regresemos a la ecuación cúbica
y2 + y = x3 - x2
que
vimos antes. Busquemos soluciones para esta ecuación módulo p, para
varios números primos p. Por ejemplo, ya hemos visto arriba que hay
4 soluciones módulo 5. Pero nótese que las soluciones módulo 5 no son
necesariamente soluciones módulo otros números primos (por poner un par de
ejemplos, p = 7 y p = 11). De modo que estas
soluciones dependen del número primo p del módulo en que
realizamos la operación aritmética.
La pregunta que vamos a hacer ahora es la siguiente: ¿de qué manera el número
de soluciones de esta ecuación, módulo p, depende de p?
Con números ppequeños, podemos contarlos de manera explícita (quizá
con ayuda de un ordenador) y compilar una pequeña tabla.
Los matemáticos han sabido desde hace algún tiempo que el número de soluciones
a una ecuación de este tipo módulo p es aproximadamente igual
a p. Señalemos el «déficit», el número en que la cantidad real de
soluciones difiere de la cantidad esperada de soluciones (es decir, p)
como ap. El número de soluciones de la ecuación arriba
mencionada módulo p es p - ap.
Los números ap pueden ser positivos o negativos
para un p determinado.
Como ejemplo, vimos arriba que para p = 5 hay 4 soluciones.
Dado que 4 = 5 - 1, tenemos que a5 = 1.
Podemos hallar los números ap para números primos
pequeños con un ordenador. Parecen ser aleatorios. No parece haber ninguna
fórmula natural o regla que nos ayude a computarlos. Peor aún: muy pronto la
computación se vuelve terriblemente complicada.
Pero ¿qué pensaría si le dijera que hay, en realidad, una regla sencilla capaz
de generar todos los números ap de una sola tacada?
En caso de que se pregunte a qué me refiero por «una regla» para generar esos
números, observemos una secuencia mucho más conocida, la serie de números de
Fibonacci:
1,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
Llamados
así en honor a un matemático italiano que los expuso en su libro publicado en
1202[xv] (en el
contexto de un problema de apareamiento de conejos, ahí es nada) los números de
Fibonacci están por todas partes en la naturaleza: desde la disposición de
pétalos en las flores a los patrones de la superficie de una piña. También
tienen múltiples aplicaciones, como los retrocesos de Fibonacci en los análisis
técnicos de movimientos de la Bolsa.
Los números de Fibonacci se definen de la siguiente manera: los dos primeros
son iguales a 1. A partir de ahí, cada número es igual a la suma de los dos
números de Fibonacci anteriores. Por ejemplo,
2 =
1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2, etc.
Si
indicamos el n-ésimo número de Fibonacci como Fn,
tenemos que F1 = 1, F2 =
1 y que
Fn = Fn-1 + Fn-2, n >
2
En
principio, esta regla nos permite hallar el n-ésimo número de
Fibonacci para cualquier n. Pero para poder hacer esto, primero
tenemos que hallar todos los números de Fibonacci Fi para i entre
1 y n - 1.
Sin embargo, resulta que estos números también pueden generarse de la manera
siguiente. Considere la serie
q + q(q + q2)
+ q(q + q2)2 + q(q + q2)3 + q(q + q2)4+…
En
palabras, estamos multiplicando una variable auxiliar q por la
suma de todas las potencias de la expresión (q + q2).
Si operamos los paréntesis obtenemos una serie infinita, cuyos primeros
términos son
q + q2 +
2q3 + 3q4 + 5q5 +
8q6 + 13q7+…
Por
ejemplo, calculemos el término con q3. Sólo puede darse
en q, q(q + q2)
y q(q + q2)2. (De
hecho, las demás expresiones que aparecen en la suma definida, como q(q+q2)3,
contendrán tan sólo potencias de q mayores a 3.) La primera de
estas no contiene q3, y cada una de las otras dos
contiene una vez q3. Su suma arroja 2q3.
Obtenemos de manera similar otros términos de la serie.
Si analizamos los primeros términos de la serie, veremos que para n entre
1 y 7, el coeficiente que multiplica qn es el n-ésimo
número de Fibonacci Fn. Por ejemplo, tenemos el término
13q7 y F7 = 13. Resulta que
esto se cumple para todo n. Por ello, los matemáticos llaman a esta
serie infinita la función generadora de los números de
Fibonacci.
Esta notable función se puede emplear para proporcionar una fórmula eficaz para
calcular el n-ésimo número de Fibonacci sin ninguna referencia de
los números de Fibonacci precedentes.[62] Pero
incluso dejando de lado los aspectos computacionales podemos apreciar el valor
añadido por esta función generadora: en lugar de proporcionar un procedimiento
autorreferente, la función generadora contempla todos los números de Fibonacci
a la vez.
Volvamos a los números ap que cuentan las
soluciones para la ecuación cúbica módulo números primos (p). Pensemos
en estos números como en análogos de los números de Fibonacci (ignoremos el
hecho de que los números ap sólo tienen subíndice
primo p, mientras que los de Fibonacci tienen cualquier número
natural n).
Parece casi increíble que pueda haber una regla generadora de estos números. Y
sin embargo, el matemático alemán Martin Eichler descubrió una en 1954.[63]Piense en la
siguiente función generadora:
q(1
- q)2(1 - q11)2(1
- q2)2(1 - q22)2(1
- q3)2(1 - q33)2…
Puesta
en palabras, es q veces el producto de los factores de la
expresión (1 - qa)2 con a recorriendo
la lista de números de las expresiones n y11n, en
que n = 1, 2, 3… Operemos los paréntesis usando las reglas
estándar:
(1
- q)2 = 1 - 2q + q2,
(1 - q11)2 = 1 - 2q11 + q22…
y
luego multipliquemos todos los factores. Agrupando los términos, obtenemos una
suma infinita que comienza así:
q -
2q2-q3 + 2q4 + q5 +
2q6 - 2q7
- 2q9 -
2q10 + q11 - 2q12 +
4q13+…
y
hacemos omisión de las potencias de q mayores que 13 por no
ser necesario conocer más coeficientes para la comprensión de esta explicación.
Aunque esta serie es infinita, los coeficientes están bien definidos porque
están determinados por un número finito de factores del producto. Indiquemos el
coeficiente de qmcomo bm. Así
tenemos que
b1 =
1, b2 = -2, b3 =
-1, b4 = 2, b5 = 1,
etcétera.
Es
fácil calcularlos a mano o con un ordenador.
Una genialidad de Eichler fue que para todos los números primos p,
el coeficiente bp es igual a ap.
Dicho de otra manera,
a2 = b2, a3 = b3, a5 = b5, a7 = b7,
etcétera.
Comprobemos,
por ejemplo, si esto es así para p = 5. En este caso, si
miramos la función generadora vemos que el coeficiente para q5 es b5 =
1. Por otra parte, ya hemos visto que nuestra ecuación cúbica tiene 4
soluciones módulo p = 5. Por lo tanto, a5 =
5 - 4 = 1, de modo que, en efecto, a5 = b5.
Comenzamos con lo que parecía un problema de una complejidad infinita: contar
las soluciones para la ecuación cúbica
y2 + y = x3 - x2
módulo p,
para todos los números primos p. Y sin embargo, toda la información
necesaria para este problema se encuentra resumida en una sola línea:
q(1
- q)2(1 - q11)2(1
- q2)2(1 - q22)2(1
- q3)2(1 - q33)2…
Esta
línea es un código secreto que contiene toda la información acerca de la
cantidad de soluciones para la ecuación cúbica módulo números primos.
Una analogía útil sería pensar en la ecuación cúbica como en un sofisticado
organismo biológico, y en sus soluciones como en diferentes características del
mismo. Sabemos que todas esas características están codificadas en su molécula
ADN. De la misma manera, la complejidad de nuestra ecuación cúbica está
codificada en una función generadora, que es como el ADN de la ecuación.
Además, esta función viene definida por una sencilla regla.
Lo que resulta incluso más fascinante es que si q es un número
cuyo valor absoluto es menos que 1, la suma infinita que hemos visto arriba
tiende a un número bien definido. De modo que obtenemos una función en q,
y esta función resulta tener una propiedad muy especial, similar a la
periodicidad de las conocidas funciones trigonométricas, como seno y coseno.
La función seno sen(x) es periódica, con período 2π, es decir, sen(x+2π)
= sen(x). Pero también sen(x+4π) = sen(x), y de un modo
más general, sen(x + 2 πn) = sen(x) para
cualquier entero n. Piense en ello de esta manera: todo
entero n genera una simetría de la recta: todo punto x de
la recta se desplaza a x + 2πn. Por tanto, el grupo de
todos los enteros se entiende como un grupo de simetrías de la recta. La
periodicidad de la función seno significa que esta función es invariante bajo
este grupo.
De la misma manera, la función generadora Eichler de la variable q escrita
anteriormente resulta ser invariante bajo un determinado grupo de simetrías.
Aquí deberíamos considerar q no como un número real, sino más
bien un número complejo (hablaremos de esto en el siguiente capítulo). Así
podríamos ver q no como un punto en una recta, como en el caso
de la función seno, sino como un punto dentro de un disco unidad en el plano
complejo. La propiedad de simetría es similar: en este disco hay una serie de
simetrías, y nuestra función es invariante bajo este grupo.[64] A una
función con este tipo de propiedad de invarianza se le llama forma modular.
Este grupo de simetrías del disco es muy rico. Para hacernos una idea de lo que
es, veamos una ilustración en la que el disco está descompuesto en infinitos
triángulos:[65]
Como mencioné al principio del capítulo, la función seno es el ejemplo más
sencillo de un armónico (onda básica) empleado en análisis armónico de la
recta. De igual manera, la función Eichler, junto con otras formas modulares,
son los armónicos que aparecen en el análisis armónico del disco unidad.
La magnífica idea de Eichler fue que las cantidades aparentemente aleatorias de
soluciones a una ecuación cúbica módulo números primos procedía de una sola
función generadora, lo que obedece a una exquisita simetría, y revela un orden
y una armonía ocultos en esos números. De igual manera, como por un
encantamiento mágico, el Programa Langlands organiza información previamente
inaccesible en patrones regulares, tejiendo un delicado tapiz de números,
simetrías y ecuaciones.
Puede que se haya preguntado, cuando empecé a hablar de matemáticas al
principio del libro, a qué me refería cuando decía que un resultado matemático
podía ser «bello» o «elegante». Es esto. El hecho de que estas nociones tan
abstractas estén unidas con una armonía tan refinada es completamente
alucinante. Apunta a que hay algo poderoso y misterioso acechando bajo la
superficie, como si alguien hubiera levantado el telón y tuviéramos destellos
de una realidad que se nos había ocultado cuidadosamente. Estas son las
maravillas de las matemáticas modernas, y del mundo moderno.
Uno podría también preguntarse si, además de poseer una belleza innata y de
revelar un sorprendente vínculo entre áreas de las matemáticas aparentemente
distantes, este resultado tiene aplicaciones prácticas. Es una pregunta justa.
Por el momento, no conozco ninguna. Pero las ecuaciones cúbicas sobre cuerpos
finitos de p elementos que hemos visto arriba (y que generan
las llamadas curvas elípticas) se emplean ampliamente en criptografía.[66] De modo
que no me sorprendería que algún día resultados análogos a los de Eichler
hallaran aplicaciones como poderosos y ubicuos algoritmos de encriptación.
La conjetura Shimura-Taniyama-Weil es una generalización del resultado de
Eichler. Dice que para toda ecuación cúbica como la arriba
descrita (sujeta a leves condiciones) las cantidades de soluciones módulo
números primos son los coeficientes de una forma modular. Más aún: hay una
correspondencia uno a uno entre las ecuaciones cúbicas y cierto tipo de formas
modulares.
¿Qué quiere decir una correspondencia uno a uno? Supongamos que tengo cinco
bolígrafos y cinco lápices. Podemos asignar un lápiz a cada bolígrafo de tal
manera que cada lápiz esté emparejado tan sólo con un bolígrafo. A esto se le
llama correspondencia uno a uno.
Hay muchas maneras de hacerlo. Pero supongamos que bajo nuestra correspondencia
uno a uno, cada bolígrafo sea exactamente igual de largo que el lápiz que le
hemos asignado. Diremos que la longitud es una «invariante» y que nuestra
correspondencia conserva esta invariante. Si cada lápiz tiene una longitud
diferente, la correspondencia uno a uno estará determinada de modo único por
esta propiedad.
En el caso de la conjetura Shimura-Taniyama-Weil, los objetos de un lado son
ecuaciones cúbicas como la arriba descrita. Estos serán nuestros bolígrafos, y
para cada uno de ellos, los números ap serán las
invariantes asociadas a ellos. Es como la longitud de un bolígrafo, sólo que
ahora no hay sólo una invariante, sino muchas de ellas, etiquetadas por números
primos p.
Los objetos del otro lado de la correspondencia son formas modulares. Serán
nuestros lápices, y para cada uno de ellos, los coeficientes bp serán
las invariantes asociadas (como la longitud de los lápices).
La conjetura Shimura-Taniyama-Weil dice que hay una correspondencia uno a uno
entre estos objetos, conservando estas invariantes:
Es
decir: para toda ecuación cúbica existe una forma modular tal que ap = bppara
todos los números primos p, y viceversa.[67]
Ahora ya puedo explicar el vínculo entre la conjetura Shimura-Taniyama-Weil y
el último teorema de Fermat: a partir de una solución de la ecuación de Fermat
podemos construir una ecuación cúbica.[68] Sin
embargo, Ken Ribet demostró que la cantidad de soluciones de estas ecuaciones
módulo números primos no pueden ser los coeficientes de una forma modular cuya
existencia esté estipulada por la conjetura Shimura-Taniyama-Weil. Una vez se
demuestra la conjetura, la conclusión es que esa ecuación cúbica no puede
existir. Por tanto, no hay soluciones a la ecuación de Fermat.
La conjetura Shimura-Taniyama-Weil es un resultado fascinante porque las
cantidades ap proceden del estudio de soluciones de
una ecuación módulo números primos (proceden del mundo de la teoría de números)
y los números bpson los coeficientes de una forma
modular, procedente del mundo del análisis armónico. Estos dos mundos parecen
encontrarse a años luz de distancia y, sin embargo, ¡resulta que describen la
misma cosa!
La conjetura Shimura-Taniyama-Weil puede reformularse como un caso especial del
Programa Langlands. Para hacerlo, sustituimos las ecuaciones cúbicas de la
conjetura Shimura-Taniyama-Weil por cierta representación bidimensional del
grupo de Galois. Esta representación se obtiene de modo natural de la ecuación
cúbica, y las cantidades ap se pueden unir
directamente a esta representación (en lugar de a la ecuación cúbica). Por
tanto, la conjetura se puede expresar como la relación entre representaciones
bidimensionales del grupo de Galois y formas modulares.
(Recordaré del capítulo 2 que la representación bidimensional de un grupo es
una regla que asigna una simetría de un espacio bidimensional [es decir, un
plano] a cada elemento de este grupo. En el capítulo 2, por ejemplo, hablamos
de una representación bidimensional del grupo circular).
De manera incluso más general, las conjeturas del Programa Langlands
relacionan, de maneras inesperadas y profundas, representaciones n-dimensionales
del grupo de Galois (que generalizan las representaciones bidimensionales
correspondientes a las ecuaciones cúbicas de la conjetura
Shimura-Taniyama-Weil) con las llamadas funciones automorfas (que generalizan
las formas modulares en la conjetura Shimura-Taniyama-Weil):
Aunque
hay pocas dudas sobre si estas conjeturas son ciertas, la mayoría siguen sin
haberse demostrado a día de hoy, pese a los enormes esfuerzos de varias
generaciones de matemáticos en los últimos cuarenta y cinco años.
Puede que se esté preguntando: ¿cómo se puede llegar a una conjetura así, en
primer lugar?
Se trata de una pregunta acerca de la propia naturaleza de la inspiración
matemática. La capacidad para ver patrones y conexiones que nadie ha visto
antes no es algo fácil de conseguir. Suele ser el producto de meses, cuando no
años, de duro trabajo. Poco a poco va surgiendo una corazonada para un nuevo
fenómeno o teoría, y al principio ni uno mismo acaba de creérselo. Luego uno se
pregunta: ¿y si esto es verdad? E intenta poner a prueba la idea mediante
cálculos simples. A veces se trata de cálculos difíciles, y hay que navegar a
través de montañas de fórmulas. La probabilidad de equivocarse es muy alta y,
si al principio no funciona, intentas rehacerlo una y otra vez.
Muy a menudo, al cabo del día (o del mes, o del año) te das cuenta de que tu
idea inicial era errónea, y has de intentar alguna otra cosa. Esos son momentos
de frustración y desespero. Sientes que has desperdiciado un montón de tiempo,
sin nada que mostrar a cambio. Es difícil de digerir. Pero uno nunca puede
rendirse. Regresas al escritorio, analizas más datos, aprendes de tus errores
previos e intentas tener una idea mejor. Y de vez en cuando, de repente, la
idea empieza a funcionar. Es como si hubiera pasado un día en el agua sin conseguir
surfear y finalmente coges una ola: intentas subirte a ella y correrla durante
el mayor tiempo posible. En momentos como este, tienes que dejar que tu
imaginación vuele libre para que la ola te transporte tanto como sea posible.
Incluso si la idea, al principio, suena a locura absoluta.
La afirmación de la conjetura Shimura-Taniyama-Weil, al principio, debió
sonarles absurda a sus creadores. ¿Cómo no iba a ser así? Sí, la conjetura
hundía sus raíces en resultados previos, como los de Eichler arriba mencionados
(que serían generalizados, subsiguientemente, por Shimura), según los cuales
para algunasecuaciones cúbicas, las cantidades de soluciones
módulo p se registraban en coeficientes de una forma modular.
Pero la idea de que esto fuera cierto para todas las
ecuaciones cúbicas tiene que haber sonado completamente descabellada en su
momento. Era un acto de fe, un salto conceptual. El primero que lo dio fue el
matemático japonés Yutaka Taniyama, en forma de una pregunta que realizó en el
simposio internacional sobre teoría algebraica de números, en Tokio, en 1955.
Siempre me he preguntado cuánto le costó llegar a creer que no era una locura,
sino algo real. ¿Y reunir el valor para decirlo públicamente?
Nunca lo sabremos. Lamentablemente, poco después de su gran descubrimiento, en
noviembre de 1958, Taniyama se suicidó. Sólo tenía treinta y un años. Para
añadir más tragedia, poco después, la mujer con la que tenía planeado casarse
se quitó también la vida. Dejó la siguiente nota:[69]
Nos
prometimos mutuamente que, no importaba dónde fuéramos, nunca nos separaríamos.
Ahora que él se ha ido, he de irme yo también, para reunirme con él.
Sería
otro matemático japonés, el amigo y colega de Taniyama, Goro Shimura, quien
precisaría la conjetura. Shimura ha trabajado casi toda su vida en la
Universidad de Princeton, donde es actualmente profesor emérito. Ha aportado
grandes contribuciones a las matemáticas, muchas de ellas pertenecientes al
Programa Langlands, y varios de los conceptos fundamentales en esta área llevan
su apellido (como las «relaciones de congruencia Eichler-Shimura» y las
«variedades de Shimura»).
En su reflexivo ensayo acerca de Taniyama, Shimura hizo este llamativo
comentario:[70]
Aunque
no era, en absoluto, un hombre chapucero, tenía la habilidad especial de
cometer muchos errores, la mayoría en la dirección acertada. Le envidio por
esto, y he intentado en vano imitarlo, pero me parece dificilísimo cometer los
errores correctos.
En
palabras de Shimura, Taniyama «no fue muy cuidadoso cuando expuso su problema»
en el simposio de Tokio en septiembre de 1955.[71] Había
que realizar algunas correcciones. Y aun así, se trataba de una inspiración
revolucionaria, que llevó a uno de los logros en matemáticas más importantes
del siglo XX.
La tercera persona cuyo nombre va unido a la conjetura es André Weil, a quien
he mencionado antes. Se trata de uno de los gigantes de las matemáticas del
siglo XX. Famoso por su brillantez y por su temperamento, nació en Francia y
fue a vivir a Estados Unidos durante la segunda guerra mundial. Tras ocupar
puestos académicos en varias universidades, se estableció en el Instituto de
Estudios Avanzados de Princeton en 1958, y se quedó allí hasta su muerte en
1998, a los noventa y dos años de edad.
André Weil en 1981. Fotografía de Herman Landshoff. Fuente: Centro de
Archivos Shelby White y Leon Levy, Instituto de Estudios Avanzados, Princeton.
Weil
es especialmente relevante para el Programa Langlands, y no sólo porque la
famosa carta en que Robert Langlands formulara por primera vez sus ideas fuese
dirigida a él, ni por la conjetura Taniyama-Shimura-Weil. El Programa Langlands
se aprecia mejor si se le mira a través del prisma de la «imagen general» de
las matemáticas que André Weil esbozó en una carta a su hermana. Hablaremos de
ello en el próximo capítulo. Será nuestro trampolín para traer el Programa
Langlands al reino de la geometría.
En
1940, durante la guerra, André Weil estuvo preso en Francia por negarse a
servir en el ejército. Como explicaba el obituario que publicó The
Economist,[72]
[Weil] estaba conmocionado… por el daño que la primera guerra mundial había
hecho a los matemáticos franceses, cuando «una errónea noción de igualdad
frente al sacrificio» llevó a la masacre de la joven élite científica del país.
En vista de ello, creía tener el deber, no sólo hacia sí mismo, sino hacia la
civilización, de consagrar su vida a las matemáticas. En efecto, aseguraba,
sería un pecado que cualquier cosa le apartara de ese objetivo. Cuando los
demás objetaban con la frase «pero si todo el mundo fuese a comportarse como
usted…» respondía que esa probabilidad le parecía tan poco plausible que no se
sentía obligado siquiera a tenerla en cuenta.
Mientras se encontraba en prisión, Weil escribió una carta a su hermana Simone
Weil, una famosa filósofa y humanista. Esta carta es un documento notable: en
ella, intenta explicar en términos elementales (accesibles incluso para un
filósofo… ¡es broma!) el panorama de las matemáticas como él lo veía. Al
hacerlo, estableció el gran ejemplo que debían seguir todos los matemáticos. A
veces digo en broma que quizá deberíamos encarcelar a algunos de los mejores
matemáticos para obligarles a expresar sus ideas en términos accesibles, como
hizo Weil.
Esta analogía demostró ser extremadamente importante en el desarrollo del
Programa Langlands. Como dijimos antes, las raíces del Programa Langlands se
hunden en la teoría de números. Langlands conjeturaba que las preguntas más
difíciles de teoría de números, como la cantidad de soluciones de ecuaciones en
módulo números primos, se podían resolver mediante métodos de análisis
armónico, más específicamente, el estudio de funciones automorfas. Es
fascinante: en primer lugar, nos proporciona una nueva manera de resolver lo
que previamente parecían problemas irresolubles. En segundo lugar, señala
profundas y fundamentales conexiones entre diferentes áreas de las matemáticas.
Así que, como es lógico, queremos saber qué ocurre realmente aquí: ¿por qué
existen estas conexiones ocultas? Pero todavía no lo sabemos del todo. Se tardó
mucho en resolver la conjetura Taniyama-Shimura-Weil, y tan sólo es un caso
especial de las conjeturas generales Langlands. Hay cientos, miles de
afirmaciones similares que aún no se han demostrado.
Así pues, ¿cómo deberíamos tratar estas difíciles conjeturas? Una manera es
seguir trabajando duro e intentar tener nuevas ideas e inspiraciones. Es lo que
se ha venido haciendo, y se han alcanzado importantes progresos. Otra
posibilidad es intentar expandir el alcance del Programa Langlands. Dado que
proporciona indicios de que existen estructuras fundamentales en teoría de
números y análisis de armónicos, y de conexiones entre ambos, lo lógico es
pensar que conexiones y estructuras similares existan entre otros campos de las
matemáticas.
En efecto, resulta que es así. De un modo gradual, se fue llegando a la
conclusión de que los mismos misteriosos patrones se podían observar en otras
áreas de las matemáticas, como la geometría e incluso en la física cuántica.
Cuando aprendemos algo de esos patrones en esa área, obtenemos intuiciones
acerca de su significado en otras áreas. Ya he escrito anteriormente que el
Programa Langlands constituye una Teoría de la Gran Unificación de las
matemáticas. Y creo que posee la clave para comprender de qué tratan realmente
las matemáticas, más allá de las conjeturas Langlands originales.
El Programa Langlands es, hoy en día, un tema amplio. Hay una gran comunidad de
personas trabajando en él desde diferentes campos: teoría de números, análisis
de armónicos, geometría, teoría de representación, física matemática… Aunque
trabajan con objetos muy diferentes, todos observan fenómenos similares. Y
estos fenómenos nos proporcionan pistas para comprender cómo estos dominios tan
diversos están interconectados, como partes de un gigantesco rompecabezas.
Mi puerta de entrada al Programa Langlands fue mi trabajo en álgebras de
Kac-Moody, que describiré en detalle en los próximos capítulos. Pero cuanto más
aprendía acerca del Programa Langlands, más me entusiasmaba por lo ubicuo que
es en las matemáticas.
Piense en las diferentes áreas de las matemáticas modernas como en lenguas.
Tenemos frases de todos esos idiomas que, creemos, significan lo mismo. Las
ponemos unas junto a las otras, y poco a poco comenzamos a crear un diccionario
que nos permite traducir entre diferentes áreas de las matemáticas. André Weil
nos proporcionó un marco de trabajo adecuado para comprender las conexiones
entre la teoría de números y la geometría, una especie de «piedra Rosetta» de
las matemáticas modernas.
Por una parte, tenemos objetos de teoría de números: números racionales y otros
cuerpos numéricos que ya describimos en el capítulo anterior, como el que se
obtiene al adjuntar √2, así como sus grupos de Galois.
Por el otro lado tenemos las llamadas superficies de Riemann. El ejemplo más
sencillo es la esfera.[73]
El siguiente ejemplo es el toro, la superficie con forma de donut. Quiero
subrayar aquí que lo que estamos considerando es la superficie del
donut, no su interior.
El ejemplo que le sigue es la superficie de un pastel danés, como el de la
siguiente ilustración (también puede pensar en él como la superficie de
un pretzel):
El
toro tiene un «agujero»; el pastel danés tiene dos «agujeros». Hay también
superficies con n agujeros para n = 3, 4, 5…
Los matemáticos denominan géneroal número de agujeros de la
superficie de Riemann.[xvi] Esta se
llama así por el matemático alemán Bernhard Riemann, quien vivió en el siglo
XIX. Su obra abrió caminos en varias direcciones importantes en las
matemáticas. La teoría de los espacios curvos de Riemann, a la que ahora
llamamos geometría de Riemann, es la piedra angular de la teoría de la
relatividad general de Einstein. Las ecuaciones de Einstein describen la fuerza
de la gravedad en términos del llamado tensor de Riemann, expresando así la
curvatura del espacio-tiempo.
A primera vista, la teoría de números no tiene nada en común con las
superficies de Riemann. Sin embargo, resulta que hay muchas analogías entre
ellas. La clave es que existe otra clase de objetos entre ambas.
Para ver esto, tenemos que darnos cuenta de que se puede describir una
superficie de Riemann como una ecuación algebraica. Por ejemplo, pensemos otra
vez en una ecuación cúbica como
y2 + y = x3 - x2.
Como
vimos antes, cuando hablamos de las soluciones de dicha ecuación es importante
especificar a qué sistema numérico pertenecen. Hay muchas opciones, y las
diferentes opciones dan lugar a diferentes teorías matemáticas.
En el capítulo previo hablamos de soluciones en módulos primos, y es una
teoría. Pero también podemos buscar soluciones en números complejos.
Es otra teoría, una que da como resultado superficies de Riemann.
La gente suele adscribir cualidades casi místicas a los números complejos, como
si se tratara de algún tipo de objetos increíblemente complicados. Lo cierto es
que no son más complicados que los números de los que hablamos en el capítulo
anterior, cuando intentábamos dar sentido a la raíz cuadrada de 2.
Deje que me explique. En el capítulo anterior, adjuntamos a los números
racionales las dos soluciones de la ecuación x2 =
2, que indicamos como √2 y -√2. Ahora, en lugar de fijarnos en la
ecuación x2 = 2, fijémonos en la ecuación x2=-1.
¿Parece mucho más complicada que la previa? No. Carece de solución en números
racionales, pero eso no nos da miedo. Adjuntemos las dos soluciones de esta
ecuación a los números racionales. Indiquémoslas como √-1 y -√-1. Ambas
resuelven la ecuación x2=-1, es decir, que
(√-1)2 =
-1, (-√-1)2 =-1
Apenas
hay una diferencia con el caso anterior. El número √2 no es racional, pero es
un número real, de modo que si lo adjuntamos a los números
racionales no abandonamos el reino de los números reales.
Podemos pensar geométricamente en los números reales de la siguiente manera:
dibuje una recta y marque dos puntos en ella, que representarán los números 0 y
1. Después, marque un punto a la derecha del 1, a la misma distancia que el 1
está del 0. Este punto representará el número 2. Representaremos los demás enteros
de la misma manera. Ahora marcaremos los números racionales subdividiendo los
intervalos entre los puntos que representan los enteros. Por ejemplo, el número
½ está exactamente a media distancia entre el 1 y el 2; el número 7/3,
se encuentra a un tercio de la distancia entre el 2 y el 3, etcétera. De modo
intuitivo, los números reales se corresponden, uno a uno, con todos los puntos
de esta recta.[74]
Recuerde
que nos encontramos con √2 como la longitud de la hipotenusa del triángulo
rectángulo de catetos de longitud 1. De modo que marcamos √2 en la recta de
números reales hallando un punto a la derecha de 0 cuya distancia a 0 sea igual
a la longitud de esta hipotenusa. De igual modo, podemos marcar[75]en esta recta
el número π, que es la circunferencia de un círculo de diámetro 1.
Por otra parte, la ecuación x2=-1 carece de
soluciones entre los números racionales, y tampoco las posee entre los números
reales. En efecto, el cuadrado de cualquier número real ha de ser positivo o 0,
de modo que no puede ser igual a -1. Así que, a diferencia de √2 y
-√2, los números √-1 y -√-1 no son números reales. Pero ¿qué más da? Seguimos
el mismo procedimiento y los introducimos de la misma manera en que
introdujimos los números √-2 y -√-2. Y empleamos las mismas reglas para la
aritmética con estos nuevos números.
Recordemos cómo lo hicimos anteriormente: nos dimos cuenta de que la
ecuación x2 = 2 no tenía soluciones entre los
números racionales. Así que creamos dos soluciones para esta ecuación, las
indicamos como √-2 y -√-2 y las adjuntamos a los números racionales, creando
así un nuevo sistema numérico, que llamamos después cuerpo numérico. De igual
modo, ahora tomamos la ecuación x2=-1 y vemos que
tampoco tiene soluciones entre los números racionales. De modo que creamos dos
soluciones para esta ecuación, los indicamos como √-1 y -√-1 y los adjuntamos a
los números racionales. ¡Exactamente el mismo procedimiento! ¿Por qué
deberíamos creer que este nuevo sistema numérico es algo más complicado que
nuestro antiguo sistema numérico, el que contenía √2?
El motivo es meramente psicológico: mientras que podemos representar √2 como la
longitud de un lado de un triángulo rectángulo, carecemos de una representación
geométrica tan obvia para √-1. Pero podemos manipular √-1 con álgebra de un
modo tan eficaz como con √2 .
Los elementos del nuevo sistema numérico que obtenemos al adjuntar √-1 a los
números racionales se llaman números complejos. Todos y cada uno de ellos
pueden escribirse de la manera siguiente:
r + s√-1
en
la que r y s son números racionales. Compare
esta fórmula con la de la p. 114, que expresa los elementos generales del
sistema numérico obtenido al adjuntar √2. Podemos sumar dos números
cualesquiera de esta secuencia sumando por separado sus partes r y s.
También podemos multiplicar dos números cualesquiera abriendo los paréntesis y
empleando el hecho de que √-1 x -√-1 =-1. De manera parecida, podemos también
restar y dividir estos números.
Por último, ampliamos la definición de números complejos permitiendo que r y s,
en la fórmula arriba mencionada, sean números reales arbitrarios (no tan sólo
los números racionales). De esta manera obtenemos los números complejos más
generales. Tenga en cuenta que es costumbre indicar √-1 como i (de
«imaginario»), pero he preferido no hacerlo para subrayar el sentido algebraico
de este número: en realidad es tan sólo la raíz cuadrada de -1, ni
más, ni menos. Es tan concreto como la raíz cuadrada de 2. No hay nada de
misterioso en ello.
Podemos hacernos una idea de lo concretos que son estos números si los
representamos geométricamente. Así como los números reales se pueden
representar geométricamente como puntos en una recta, los números complejos se
pueden representar como puntos en un plano. Representamos el número
complejo r + s√-1 como un punto en el plano con
las coordenadas r y s:[76]
Regresemos
a nuestra ecuación cúbica
y2 + y = x3 - x2
y
busquemos soluciones para x e y que sean
números complejos.
Un hecho notable es que el conjunto de todas las soluciones resulta ser
exactamente el conjunto de puntos del toro que hemos visto antes. Dicho de otro
modo, podemos asignar todo punto del toro a un (y sólo un) par de números
complejos x, y que resuelvan la ecuación cúbica
arriba representada, y viceversa.[77]
Si nunca antes había pensado en números complejos, puede que en este momento su
cabeza esté comenzando a dolerle. Es completamente natural. Comprender
perfectamente un solo número complejo es ya de por sí difícil; mucho más
comprender parejas de números complejos como soluciones de una ecuación. No
resulta obvio que estos pares poseen una correspondencia uno a uno con los
puntos de la superficie de un donut, así que no se alarme si no consigue ver
por qué. En realidad, muchos matemáticos profesionales se las verían para
demostrar este sorprendente resultado no trivial.[78]
Para convencernos de que las soluciones a ecuaciones algebraicas dan lugar a
formas geométricas, miremos una situación más sencilla: soluciones entre los
números reales, en lugar de entre los números complejos. Por ejemplo, pensemos
en la ecuación
x2 + y2 =
1
y
marquemos sus soluciones como puntos en el plano con coordenadas x e y.
El conjunto de todas las soluciones conforma una circunferencia de radio 1,
centrada en el origen. De igual modo, las soluciones de otras ecuaciones
algebraicas con dos variables (con valores reales) x e y forman
una curva sobre este plano.[79]
Ahora bien, los números complejos son, en cierta manera, dobles de números
reales (en efecto, todo número complejo está determinado por una pareja de
números reales) de modo que no es tan sorprendente que las soluciones a
ecuaciones algebraicas de este tipo en variables complejas formen una
superficie de Riemann (una curva es unidimensional, y una superficie de Riemann
es bidimensional, en el sentido de que hablamos en el capítulo 10).
Además de entre números reales y números complejos, podemos buscar soluciones x e y,
a estas ecuaciones, que tomen valores en un cuerpo finito
{0,
1, 2…, p - 2, p - 1}
en
que p es un número primo. Esto significa que cuando
sustituimos x, y en la ecuación arriba mencionada,
ambos lados de la misma se convierten en enteros iguales unos a otros salvo una
diferencia múltiplo de p. Esto nos proporciona un objeto que los
matemáticos llaman «curva sobre un cuerpo finito». Como es evidente, en
realidad no se trata de curvas. La terminología se debe a que cuando buscamos
soluciones en números reales obtenemos curvas sobre el plano.[80]
Una gran idea de Weil fue que el objeto más fundamental, aquí, es una ecuación,
como la cúbica arriba expresada. Dependiendo de la elección del dominio en que
busquemos las soluciones, la misma ecuación da lugar a una superficie, una
curva o un montón de puntos. Pero todos estos no son sino avatares de
algo inefable, la propia ecuación, del mismo modo en que Vishnu tiene diez
avatares, o encarnaciones, en el hinduismo. En una curiosa coincidencia, en la
carta a su hermana, André Weil invocaba el Bhagavad-Gita,[81] un
texto sagrado del hinduismo, en el que se cree que apareció por primera vez la
doctrina de los avatares de Vishnu.[82] Weil
escribió poéticamente acerca de lo que pasa cuando la corazonada de una
analogía entre dos teorías se convierte en conocimiento concreto:[83]
Ambas
teorías desaparecen; desaparecen sus problemas y sus deliciosos reflejos
mutuos, sus furtivas caricias, sus inexplicables peleas; ¡ah!, tenemos una sola
teoría, cuya majestuosa belleza ya no consigue entusiasmarnos. Nada es más
fértil que aquellas ilícitas relaciones; nada proporciona más placer al
conoisseur… El placer procede de la ilusión y del estímulo de los sentidos; una
vez la ilusión desaparece y se adquiere conocimiento, se obtiene indiferencia;
existen vívidos versos en el Gita al respecto. Pero volvamos a las funciones
algebraicas.
La
conexión entre superficies de Riemann y curvas sobre cuerpos finitos debería
haber quedado ya clara: ambas proceden del mismo tipo de ecuaciones, pero
buscamos soluciones en dominios diferentes, ya sean cuerpos finitos o números
complejos. Por otra parte, «toda argumentación o resultado en teoría de los
números puede traducirse, palabra por palabra», a curvas sobre cuerpos finitos,
como escribía Weil en su carta.[84] La idea
de Weil era, por tanto, que las curvas sobre cuerpos finitos son los objetos
que median entre la teoría de números y las superficies de Riemann.
Así, encontramos un puente, o «plataforma giratoria» (como gustaba de
denominarla Weil) entre teoría de números y superficies de Riemann, y se trata
de la teoría de curvas algebraicas sobre cuerpos finitos. Por decirlo de otro
modo, tenemos tres columnas paralelas:
Weil
quería aprovecharlo tomando una afirmación en cualquiera de las tres columnas y
traducirla en afirmaciones en las otras columnas. Escribió a su hermana:[85]
Mi
tarea consiste en descifrar un texto trilingüe. Tan sólo tengo fragmentos
dispersos de cada una de ellas; tengo algunas ideas acerca de cada uno de los
tres lenguajes, pero sé también que hay enormes diferencias de significado de
una columna a otra, para las que nada me ha preparado con antelación. En los
varios años que llevo trabajando en ello, he hallado pequeños trozos del
diccionario.
Weil
llegaría a hallar una de las más espectaculares aplicaciones de su piedra
Rosetta: lo que hoy en día denominamos conjeturas de Weil. La prueba de estas
conjeturas[86] estimuló
en gran medida el desarrollo de las matemáticas en la segunda mitad del siglo
XX.
Regresemos al Programa Langlands. Las ideas originales de Langlands concernían
tan sólo a la columna de la izquierda de la piedra Rosetta de Weil, es decir,
la teoría de números. Langlands relacionaba representaciones de los grupos de
Galois de cuerpos numéricos, que son objetos que se estudian en teoría de
números, con funciones automorfas, que son objetos en análisis armónico, un
área de las matemáticas muy alejada de la teoría de números (y de las demás
columnas de la piedra Rosetta). Ahora podemos preguntarnos si este tipo de
relaciones puede establecerse si sustituimos los grupos de Galois por otros
objetos en las columnas central y derecha de la piedra Rosetta de Weil.
Es bastante sencillo traducir la relación de Langlands a la columna de en medio
porque todos los instrumentos necesarios están ya disponibles. Habría que
sustituir los grupos de Galois de cuerpos numéricos por grupos de Galois de
curvas sobre cuerpos finitos. Existe también una rama de análisis de armónicos
que estudia las funciones automorfas adecuadas. Ya en su obra original,
Langlands relacionaba representaciones de grupos de Galois y funciones
automorfas relevantes para la columna central.
Sin embargo, no queda del todo claro cómo traducir esta relación a la columna
de la derecha de la piedra Rosetta. Para poder hacerlo, tenemos que hallar
analogías geométricas de los grupos de Galois y de las funciones automorfas en
la teoría de las superficies de Riemann. Cuando Langlands formuló sus ideas, se
conocía lo primero, pero lo último era un gran misterio. No fue hasta la década
de 1980 cuando se encontró la noción apropiada. Se comenzó con el trabajo
pionero del brillante matemático ruso Vladimir Drinfeld. Esto permitió la
traducción de la relación de Langlands a la tercera columna de la piedra
Rosetta.
Veamos en primer lugar la analogía geométrica del grupo de Galois. Se trata del
llamado grupo fundamental de una superficie de Riemann.
El grupo fundamental es uno de los conceptos más importantes del campo de la
topología, que se centra en los rasgos más sobresalientes de formas geométricas
(como el número de «agujeros» de una superficie de Riemann).
Pensemos, por ejemplo, en un toro. Escogemos un punto sobre él
(llamémoslo P) y analicemos los caminos cerrados que comienzan y
acaban en este punto. En la imagen se muestran dos patrones de este tipo:
De
un modo similar, el grupo fundamental de cualquier superficie de Riemann
consiste en caminos cerrados en ella, que comienzan y acaban en el mismo punto
fijo P.[87]
Dados dos caminos que comienzan y acaban en el punto P, construimos
otro del siguiente modo: nos movemos a lo largo del primer camino y luego a lo
largo del segundo. De esta manera obtenemos un nuevo camino, que también
comenzará y acabará en el punto P. Resulta que esta «suma» de
caminos cerrados satisface todas las propiedades de un grupo enumeradas en el
capítulo 2. Por tanto, hallamos que estos caminos forman un grupo.[88]
Puede que se haya dado cuenta de que la regla de suma de caminos en el grupo
fundamental es similar a la regla de suma de trenzas en los grupos de trenzas,
según las hemos definido en el capítulo 5. Esto no es casual. Como se explicaba
en el capítulo 5, se puede ver a las trenzas con n hebras como
caminos en el espacio de recolecciones de n puntos distintos
en el plano. En realidad, el grupo de trenzas Bn es
precisamente el grupo fundamental de este espacio.[89]
Resulta que los dos caminos sobre el toro descritos en el gráfico de arriba son
conmutables, es decir, que al sumarlos en los dos posibles órdenes obtenemos el
mismo elemento del grupo fundamental.[90] Por
tanto, se obtiene el elemento más general del grupo fundamental del toro
siguiendo el primer camino M veces y siguiendo luego el
segundo camino N veces, donde M y N son
enteros (si M es negativo, se sigue el primer camino -M veces
en la dirección opuesta, y lo mismo para un N negativo). Dado
que estos dos caminos básicos son conmutables, el orden en que los sigamos no
importa; el resultado será el mismo.
En otras superficies de Riemann, la estructura del grupo fundamental es más
complicada.[91] Caminos
diferentes no son necesariamente conmutables. Esto es similar a las trenzas con
más de dos hebras no conmutables, como vimos en el capítulo 5.
Durante algún tiempo se ha sabido que hay una profunda analogía entre los
grupos de Galois y los grupos fundamentales.[92] Esto
proporciona la respuesta a nuestra primera pregunta: ¿cuál es el análogo del
grupo de Galois en la columna de la derecha de la piedra Rosetta de Weil? Es el
grupo fundamental de la superficie de Riemann.
La siguiente cuestión es hallar análogos adecuados de las funciones automorfas,
los objetos que aparecen en el otro lado de la relación de Langlands. Y aquí
tenemos que efectuar un salto espectacular, cuántico. Las viejas y conocidas
funciones resultan inadecuadas. Hemos de sustituirlas por objetos más
sofisticados de las matemáticas modernas, llamados haces, que
describiremos en el capítulo 14.
Esto lo propuso Vladimir Drinfeld en la década de 1980. Aportó una nueva
formulación del Programa Langlands que se aplica a las columnas central y
derecha, que conciernen a curvas sobre cuerpos finitos y superficies de
Riemann, respectivamente. A esta formulación se le conoce como el Programa
Langlands geométrico. Drinfeld, para ser exactos, halló los análogos de las
funciones automorfas adecuados para la columna de la derecha de la piedra
Rosetta de Weil.
Me encontré con Drinfeld en la Universidad de Harvard en primavera de 1990. No
sólo me entusiasmó con el Programa Langlands, sino que además me contó que
tenía un papel que desempeñar en su desarrollo. Esto se debía a que Drinfeld
veía una conexión entre el Programa Langlands geométrico y el trabajo que yo
realicé en Moscú como estudiante. Los resultados de este trabajo eran
fundamentales para el nuevo enfoque de Drinfeld, y esto, a la vez, cambió mi
vida matemática: desde entonces el Programa Langlands ha jugado un papel
predominante en mi investigación.
Así que volvamos a Moscú y veamos adónde fui tras publicar mi primer artículo
académico acerca de grupos de trenzas.
En
Moscú, en otoño de 1966, yo me encontraba en tercer curso de mis estudios en
Kerosinka. Con el artículo acerca de los grupos de trenzas acabado y enviado,
Fuchs tenía una pregunta para mí:
—¿Qué quieres hacer ahora?
Yo quería otro problema que resolver. Resultó que durante varios años Fuchs
había estado trabajando con su antiguo estudiante Boris Feigin en
representaciones de «álgebras de Lie». Fuchs dijo que era un área activa con
muchos problemas sin resolver y con estrechos vínculos con la física cuántica.
Eso captó mi atención. Pese a que Yevgueni Yevguénievich me había «convertido»
a las matemáticas, e incluso pese a que yo estaba entusiasmado con ellas, nunca
había perdido mi fascinación de infancia por la física. Que los términos
«matemáticas» y «física cuántica» fueran de la mano en una frase me seducía.
Fuchs me pasó un artículo de investigación de ochenta páginas que él y Feigin
habían realizado.
—Primero pensé en pasarte un libro de texto acerca de las álgebras de Lie —me
dijo—, pero luego pensé: «¿por qué no darte directamente este artículo?».
Deposité el artículo con cuidado en mi mochila. Por aquella época estaba aún
sin publicar, y gracias a los estrictos controles de las autoridades soviéticas
(preocupadas por la posibilidad de que la gente pudiera copiar literatura
prohibida, como los libros de Solzhenitsin, o el Doctor Zhivago)
sobre las fotocopiadoras, tan sólo había un puñado de copias disponibles en
todo el mundo. Muy poca gente había llegado a ver este artículo: Feigin
bromearía, tiempo después, diciendo que yo era el único en haberlo leído de
principio a fin.
Estaba escrito en inglés y se suponía que debía aparecer en una antología de
artículos publicados en Estados Unidos. Pero el editor administró
extraordinariamente mal el libro, y su publicación se demoró unos quince años.
Para entonces, muchos de los resultados se habían reproducido en otros lugares,
de modo que, cuando salió a la luz, tampoco fue una lectura muy novedosa. En
cualquier caso, el artículo se hizo famoso y a Feigin y Fuchs, finalmente, se
les concedió el crédito que merecían por él. Su artículo se ha citado hasta la
saciedad en literatura (como «preimpresión de Moscú») e incluso se acuñó un
nuevo término («representaciones de Feigin-Fuchs») para referirse a las nuevas representaciones
de álgebras de Lie que estudiaban en aquel artículo.
Conforme comencé a leer el artículo mi primera pregunta fue: ¿qué eran esos
objetos de nombre tan extraño, «álgebras de Lie»? El artículo de Fuchs daba por
sentado cierto conocimiento acerca de temas que yo nunca había estudiado, así
que fui a una librería y compré todos los libros acerca de álgebras de Lie que
encontré. Lo que no pude conseguir, lo alquilé en la biblioteca de Kerosinka.
Iba leyendo todos esos libros en paralelo al artículo de Fuchs y Feigin. Esta
experiencia modeló mi manera de aprender. Desde entonces, jamás me he
conformado con una sola fuente: intento hallar todas las fuentes disponibles y
las devoro.
Para entender qué son las álgebras de Lie primero he de explicarle acerca de
los «grupos de Lie». Ambos se llaman así en honor al matemático noruego Sophus
Lie (se pronuncia «li») que los inventó.
Los conceptos matemáticos habitan en el Reino Matemático de la misma manera en
que los animales pueblan el Mundo Animal: están vinculados unos a otros, forman
familias y subfamilias, y a menudo dos conceptos diferentes se reproducen y
tienen descendencia.
El concepto de «grupo» es un buen ejemplo. Piense en los grupos como en
análogos de las aves, que forman una clase en el reino animal o Animalia (clase
Aves). Esa clase se divide en veintitrés órdenes; cada orden se divide a su vez
en familias, y cada una de estas se subdivide, a su vez, en los géneros. Por
ejemplo, el águila pescadora africana pertenece al orden de los Accipitriformes,
a la familia Accipitridae, y al género Haliaeetus (¡comparado
con esos nombres, «grupo de Lie» no suena tan exótico!). De la misma manera,
los grupos forman una amplia clase en los conceptos matemáticos, y dentro de
esta clase hay diferentes «órdenes», «familias» y «géneros».
Por ejemplo, hay un orden de grupos finitos que incluye a todos los grupos con
elementos finitos. El grupo de simetrías de una mesa cuadrada, que vimos en el
capítulo 2, tiene cuatro elementos, de modo que es un grupo finito. De la misma
manera, el grupo de Galois de un cuerpo numérico obtenido al unir las
soluciones de una ecuación polinómica a los números racionales es un grupo
finito (por ejemplo, en el caso de la ecuación cuadrática tiene dos elementos).
La clase de grupos finitos se subdivide a su vez en familias, como la de grupos
de Galois. Otra familia es la de los grupos cristalográficos, que son los
grupos de simetrías de varios cristales.
Hay otro orden, el de los grupos infinitos. Por ejemplo, el grupo de enteros es
infinito, como lo es también el grupo de trenzas Bn, del
que hablamos en el capítulo 5, para cada n = 2, 3, 4… dado (Bn consiste
en trenzas con n hebras, hay infinitas trenzas de ese tipo).
El grupo de rotaciones de una mesa redonda, que consiste en todos los puntos de
una circunferencia, es también un grupo infinito.
Pero hay una importante diferencia entre el grupo de números enteros y el grupo
circular. El grupo de números enteros es discreto, es decir: sus elementos no
se combinan en una figura geométrica continua de ninguna forma en un sentido
natural. No podemos movernos de modo continuo de un entero al siguiente:
saltamos de uno al otro. En cambio, podemos cambiar el ángulo de rotación de
manera continua entre 0 y 360 grados. Y juntos, estos ángulos suman una forma
geométrica: el círculo. Los matemáticos llaman a estos grupos variedades.
El grupo de números enteros y el grupo de trenzas pertenecen a la familia de
los grupos infinitos discretos en el Reino Matemático. Y el grupo circular
pertenece a otra, la de los grupos de Lie. Para simplificar, podemos decir que
un grupo de Lie es un grupo cuyos elementos son puntos de una variedad. De modo
que este concepto es la descendencia de dos conceptos matemáticos: grupo y
variedad.
Este
es el árbol de conceptos relacionados con grupos de que hablaremos en este
capítulo. (Algunos de estos conceptos aún no han aparecido, pero lo harán más
adelante en este mismo capítulo).
Muchas
simetrías de la naturaleza se explican mediante grupos de Lie, y es por eso por
lo que es tan importante estudiarlos. Por ejemplo, el grupo SU(3) del que
hablamos en el capítulo 2, y que se emplea para clasificar partículas
elementales, es un grupo de Lie.
He aquí otro ejemplo de un grupo de Lie: el grupo de rotaciones de una esfera.
La rotación de una mesa redonda viene determinada por su ángulo. Pero en el
caso de una esfera, hay más libertad: además del ángulo de rotación tenemos que
especificar el eje, como vemos en la gráfica. El eje puede ser toda recta que
pase por el centro de la esfera.
El
grupo de rotaciones de la esfera tiene un nombre propio en matemáticas: el
grupo especial ortogonal del espacio tridimensional, o, como se le suele
abreviar, SO(3). Podemos pensar en las simetrías de la esfera como en
transformaciones del espacio tridimensional en que está incrustada. Estas
transformaciones son ortogonales, lo que significa que conservan todas las
distancias.[93] Por
cierto, esto nos da una representación tridimensional del grupo SO(3), un
concepto que vimos por primera vez en el capítulo 2.
Del mismo modo, el grupo de rotaciones de la mesa redonda, del que hemos
hablado antes, se denomina SO(2); estas rotaciones son transformaciones
ortogonales especiales del plano, que es bidimensional. Por tanto, tenemos una
representación bidimensional («2-dimensional») del grupo SO(2).
Los grupos SO(2) y SO(3) no son sólo grupos, también son variedades, es decir:
formas geométricas. El grupo SO(2) es una circunferencia, que es una variedad.
De modo que SO(2) es un grupo y una variedad. Por eso decimos que es un grupo
de Lie. Del mismo modo, elementos del grupo SO(3) son puntos de otra variedad,
pero es más complicado visualizarlo. (Nótese que esta variedad no es
una esfera). Recordemos que cada rotación de la esfera viene determinada por el
eje y por el ángulo de rotación. Veamos ahora que cada punto de la esfera da
lugar a un eje de rotación: la recta que conecta este punto con el centro de la
esfera. Y el ángulo de rotación es lo mismo que un punto de la circunferencia.
De modo que un elemento del grupo SO(3) está determinado por un punto de la
esfera (que determina el eje de rotación) y un punto de la circunferencia (que
determina el ángulo de rotación).
Quizá deberíamos comenzar por una pregunta más sencilla: ¿cuál es la dimensión
de SO(3)? Para contestarla, debemos tratar el significado de «dimensión» de un
modo más sistemático. Ya hemos mencionado, en el capítulo 2, que el mundo que
nos rodea es tridimensional. Es decir, que para poder fijar la posición de un
punto en el espacio, hemos de especificar tres números o coordenadas (x, y, z).
Un plano, por otra parte, es bidimensional: una posición en el plano se
especifica mediante dos coordenadas (x, y). Y una recta es
unidimensional: sólo hay una coordenada.
Pero ¿cuál es la dimensión de una circunferencia? Es tentador decir que una
circunferencia es bidimensional porque la podemos dibujar en el plano, que es
bidimensional. Todos los puntos de la circunferencia, cuando se les ve como
puntos del plano, se describen mediante dos coordenadas. Pero la definición
matemática de la dimensión de un objeto geométrico dado (como una
circunferencia) es el número de coordenadas independientes que
necesitamos en ese objeto para señalar cualquier localización
en el mismo. Este número no tiene nada que ver con la dimensión del paisaje en
que este objeto está inscrito (como un plano). En efecto, también podemos
inscribir una circunferencia en un espacio tridimensional (pensemos, por
ejemplo, en un anillo en un dedo) o en un espacio de dimensión incluso mayor.
Lo que importa es que, para una circunferencia dada, la posición de cualquiera
de sus puntos se puede describir con un número: el ángulo. Este es la única
coordenada en la circunferencia. Por eso decimos que la circunferencia es
unidimensional.
Evidentemente, para hablar de ángulo, deberemos escoger un punto de referencia
en la circunferencia, correspondiente al ángulo 0. De igual modo, a fin de
asignar una coordenada x a cada punto de una línea deberemos
escoger un punto de referencia en ella, correspondiente a x =
0. Podemos fijar un sistema de coordenadas sobre cualquier objeto de varias
formas distintas. Pero todos estos sistemas de coordenadas tendrán el
mismo número de coordenadas, y es a ese número al que se
denomina dimensión del objeto.
Tengamos en cuenta que conforme nos acercamos y miramos un entorno cada vez más
pequeño del punto de la circunferencia, la curvatura de esta desaparece. No
existe prácticamente diferencia alguna entre el pequeño entorno del punto de
una circunferencia y el pequeño entorno del mismo punto en una tangente a la
circunferencia. La tangente es la recta que es la aproximación más cercana a la
circunferencia en este punto.
Esto demuestra que la circunferencia y la recta tienen la misma dimensión.[94]
Conforme nos acercamos a un punto, la circunferencia y la tangente se
parecen cada vez más la una a la otra.
La
esfera está también inscrita en un espacio tridimensional, pero sus dimensiones
intrínsecas son dos. En efecto, hay dos coordenadas independientes en la
esfera: latitud y longitud. Lo sabemos porque las empleamos para determinar una
posición en la Tierra, que tiene una forma muy cercana a la de una esfera. La
retícula que hay sobre la esfera de la ilustración que hemos visto previamente
está compuesta por los «paralelos» y «meridianos», que corresponden a valores
fijos de latitud y longitud. El que haya dos coordenadas en la esfera nos
revela que es bidimensional.
¿Qué pasa con el grupo de Lie SO(3)? Todo punto de SO(3) es una rotación de la
esfera, de modo que tenemos tres coordenadas: el eje de la rotación (que puede
especificarse como un punto en que el eje atraviesa la esfera) se describe
mediante dos coordenadas, y el ángulo de rotación nos proporciona la tercera
coordenada. De aquí que las dimensiones del grupo SO(3) sean tres.
Pensar en un grupo de Lie (o en una variedad) de más de tres dimensiones puede
ser muy difícil. Nuestro cerebro está «cableado» de tal manera que sólo podemos
imaginar formas geométricas, o variedades, de hasta tres dimensiones. Incluso
imaginar la combinación tetradimensional de espacio-tiempo es una tarea
extenuante: sencillamente, no concebimos el tiempo (que constituye la cuarta
dimensión) como un equivalente a una dimensión espacial. ¿Y qué pasa cuando hay
más dimensiones? ¿Cómo podemos analizar variedades penta, hexa, o
100-dimensionales?
Piense en ello en estos términos: los cuadros nos ofrecen representaciones
bidimensionales de objetos tridimensionales. Los artistas pintan proyecciones
bidimensionales de esos objetos en los lienzos y emplean la técnica de la
perspectiva para crear la ilusión de profundidad (la tercera dimensión) en sus
obras. Podemos hacer lo mismo con objetos tetradimensionales analizando sus
proyecciones tridimensionales.
Otra manera más eficaz de imaginar una cuarta dimensión es pensar en un objeto
tetradimensional como en un grupo de «rodajas» tridimensionales. Sería similar
a cortar en rodajas una barra de pan, que es tridimensional, pero en rodajas
tan finas como para poder pensar en ellas como si fueran bidimensionales.
Si la cuarta dimensión representa el tiempo, a este «corte en rodajas»
tetradimensional se le conoce como fotografía. En efecto, tomar instantáneas de
una persona en movimiento nos ofrece una rodaja tridimensional de un objeto
tetradimensional que representa a esa persona en el espacio-tiempo
tetradimensional: luego esta «rodaja» se proyecta en un plano. Al tomar varias
imágenes en sucesión obtenemos una colección de estas rodajas. Si las pasamos
rápidamente ante nuestros ojos podemos ver ese movimiento. Esta es,
evidentemente, la idea básica del cine.
Podemos también transmitir la impresión de una persona en movimiento
yuxtaponiendo las imágenes. A principios del siglo XX, hubo pintores que se
interesaron por esta idea y la emplearon como un modo de incluir una cuarta
dimensión en sus pinturas, a fin de darles dinamismo. Un hito de esta tendencia
es el cuadro de 1912 de Marcel Duchamp Desnudo bajando una escalera, nº
2.
Es
interesante señalar que la teoría de la relatividad de Einstein, que demostraba
que espacio y tiempo son inseparables, apareció más o menos por la misma época.
Esto llevó la noción de continuo espaciotemporal tetradimensional a primer
plano en la física. En paralelo, matemáticos como Henri Poincaré se adentraban
aún más en las profundidades de la geometría multidimensional y trascendían el
paradigma euclidiano.
Duchamp estaba fascinado tanto por la idea de una cuarta dimensión como por la
geometría no euclidiana. Tras leer el libro Traité élémentaire de
géométrie à quatre dimensions et introduction à la géométrie à n dimensions,[xvii] de E.
P. Jouffret, que presentaba, especialmente, las innovadoras ideas de Poincaré,
Duchamp escribió la siguiente nota:[95]
La
sombra proyectada por una figura tetradimensional en nuestro espacio es una
sombra tridimensional (véase Jouffret, Geom. en 4-dim., p. 186, últimas 3
líneas)… por analogía con el método por el que los arquitectos representan un
plano de cada nivel de una casa, una figura tetradimensional se puede
representar (en cada uno de sus niveles) mediante secciones tridimensionales.
Será la 4.a dim. la que unirá estos niveles unos con otros.
egún
la historiadora del arte Linda Dalrymple Henderson,[96] «Duchamp
halló algo deliciosamente subversivo en las nuevas geometrías y su desafío a
tantas "verdades" establecidas». El interés de Duchamp y otros
artistas de la época por la cuarta dimensión, escribe, fue uno de los elementos
que llevó al nacimiento del arte abstracto.
Así, las matemáticas contribuyeron al arte; permitieron a los pintores ver
dimensiones ocultas y les inspiraron a exponer, en formas estéticas hipnóticas,
profundas verdades sobre nuestro mundo. Las obras de arte moderno que crearon
contribuyeron a elevar nuestra percepción de la realidad y afectaron a nuestra
consciencia colectiva. Esta, a su vez, influyó a las siguientes generaciones de
matemáticos. El profesor de ciencias Gerald Holton lo expresaba de modo
elocuente:[97]
En
efecto, una cultura se mantiene viva por la interacción entre todas sus partes.
Su progreso es un proceso alquímico, en el que todos sus variados ingredientes
pueden combinarse para formar nuevas piedras preciosas. Acerca de esto, supongo
que Poincaré y Duchamp están de acuerdo conmigo y entre sí, al haberse
encontrado ambos en algún punto de ese hiperespacio que ambos, cada uno a su
manera, amaban tanto.
Las
matemáticas nos permiten percibir la geometría en todas sus encarnaciones,
formas y especies. Son un lenguaje universal que se aplica igual de bien en
todas las dimensiones, podamos visualizar los objetos correspondientes o no, y
nos permiten ir más allá de los límites visuales de nuestra imaginación.
Charles Darwin escribió que las matemáticas nos dotan de «un sentido extra».[98]
Por ejemplo, aunque no podemos imaginar un espacio tetradimensional, podemos
describirlo matemáticamente. Sencillamente representamos este espacio como
cuartetos de números (x, y, z, t)
del mismo modo que representamos puntos en un espacio tridimensional mediante
tercetos de números (x, y, z). Igualmente,
podemos ver puntos de un espacio plano n-dimensional, para
cualquier entero n, grupos de n números (los
analizamos del mismo modo que las filas y columnas de una hoja de cálculo, como
ya vimos en el capítulo 2).
Quizá debería explicar por qué digo que estos espacios son planos. Una recta,
está claro, es plana, y lo mismo pasa con un plano. Pero no resulta tan
evidente que debamos analizar el espacio tridimensional como algo plano. Nótese
aquí que no estoy hablando de las distintas variedades curvas inscritas en el
espacio tridimensional, como la esfera o el toro; estoy hablando del propio
espacio. La razón es que no tiene curvatura. La definición matemática exacta de
curvatura es sutil (la dio Bernhard Riemann, el creador de las superficies de
Riemann) y no entraremos ahora en detalles, pues es tangencial con respecto a
nuestro propósito inmediato. Una buena manera de pensar en lo plano del espacio
tridimensional es darse cuenta de que posee tres ejes de coordenadas infinitos
y perpendiculares unos a los otros, del mismo modo en que un plano tiene dos
ejes de coordenadas perpendiculares. De igual modo, un espacio n-dimensional,
con nejes de coordenadas perpendiculares, no posee curvatura y es,
por tanto, plano.
Los físicos han pensado durante décadas que habitamos en un espacio
tridimensional plano, pero, como vimos en el prefacio, Einstein demostró con la
teoría de la relatividad general que la gravedad hace que el espacio se curve
(la curvatura es pequeña y no la notamos en nuestra vida cotidiana, pero no es
cero). Por lo tanto, nuestro espacio es un ejemplo de una variedad
tridimensional curva.
Esto nos lleva a la pregunta de cómo puede un espacio curvo existir por sí
mismo sin estar inscrito en un espacio plano de más dimensiones, de la misma
manera en que una esfera está inscrita en un espacio tridimensional plano.
Estamos acostumbrados a pensar que el espacio en que vivimos es plano, por lo
que, en nuestra experiencia cotidiana, las formas curvas parecen aparecer tan
sólo dentro de los confines de ese espacio plano. Pero se trata de un
malentendido, una falsa noción debida a nuestra estrecha percepción de la
realidad. Y lo irónico es que, para empezar, ¡el espacio en que vivimos no es
plano! Las matemáticas nos ofrecen una salida a esta trampa: como Riemann
demostró, los espacios curvos existen de modo intrínseco, como objetos
independientes, sin un espacio plano que los contenga. Lo que necesitamos para
definir estos espacios es una regla que mida distancias entre dos puntos de
este espacio (regla que ha de satisfacer ciertas propiedades).
Esta regla es lo que los matemáticos denominan una métrica. Los conceptos
matemáticos de métrica y de tensor de curvatura, introducidos por Riemann, son
las piedras angulares de la teoría de la relatividad general de Einstein.[99]
Las formas curvas, o variedades, pueden tener dimensiones arbitrariamente
altas. Recordemos que la circunferencia se define como el conjunto de puntos,
en un plano, equidistantes a un punto dado (o, como insistía mi examinador en
la MGU, ¡el conjunto de todos esos puntos!). Del mismo modo,
una esfera es el conjunto de todos los puntos, en un espacio tridimensional,
equidistantes con respecto a un punto dado. Definamos ahora el análogo
pluridimensional de una esfera (algunas personas la llaman hiperesfera)
como el conjunto de puntos equidistantes con respecto a un punto dado en el
espacio n-dimensional. Esta condición nos impone una restricción
con respecto a las coordenadas n. Por tanto, las dimensiones de la
hiperesfera en el espacio n-dimensional serán de (n-1). Más
aún: podemos estudiar el grupo de Lie de rotaciones de esta hiperesfera.[100] Se le
denomina SO(n).
Desde el punto de vista de la taxonomía de grupos del Reino Matemático, la
familia de los grupos de Lie se divide en dos géneros: el de los grupos de Lie
de dimensión finita, como el grupo circular y el grupo SO(3), y el de los
grupos de Lie de dimensión infinita. Nótese que cualquier grupo de Lie de
dimensión finita es, de por sí, infinito, en el sentido de que posee infinitos
elementos. Por ejemplo, el grupo circular posee infinitos elementos (los puntos
de la circunferencia). Pero es unidimensional porque todos sus elementos pueden
describirse mediante una sola coordenada (el ángulo). Con un grupo de Lie de
dimensión infinita, necesitamos infinitas coordenadas para describir sus
elementos. Este tipo de «doble infinito» es realmente difícil de imaginar. Sin
embargo, estos grupos existen en la naturaleza, de modo que también tenemos que
estudiarlos. Ahora describiré un ejemplo de grupo de Lie de dimensión infinita
conocido como grupo de lazos.
Para explicar en qué consiste, pensemos primero en lazos en el espacio
tridimensional. En términos sencillos, un lazo es una curva cerrada, como la
que mostramos abajo en el gráfico de la izquierda. Ya los habíamos visto cuando
hablábamos de grupos de trenzas (los llamábamos «nudos»).[101] Quiero
recalcar que una curva no cerrada, como la que se muestra en la gráfica de la
derecha, nose considera un lazo.
De igual manera, podemos imaginar lazos (es decir, curvas cerradas) dentro de
cualquier variedad M. El espacio de estos lazos se conoce como
espacio de lazos de M.
Como veremos con más profundidad en el capítulo 17, estos lazos juegan un papel
importante en la teoría de cuerdas. En la física cuántica convencional, los
objetos fundamentales son las partículas elementales, como los electrones y los
quarks. Son objetos similares a puntos, sin estructura interna; es decir, son
cero-dimensionales. En la teoría de cuerdas se postula que los objetos
fundamentales de la naturaleza son cuerdas unidimensionales.[102] Una
cuerda cerrada no es sino un lazo inscrito en una variedad M (el
espacio-tiempo). Es por eso por lo que los espacios de lazos son pieza
fundamental en teoría de cuerdas.
Veamos
ahora el espacio de lazos del grupo de Lie SO(3). Sus elementos son lazos en
SO(3). Observemos de cerca uno de estos lazos. En primer lugar, se parece al
lazo de la ilustración de antes. En efecto, SO(3) es tridimensional, de modo
que a pequeña escala se parece al espacio plano tridimensional. En segundo
lugar, todo punto de este lazo es un elemento de SO(3), es decir: una rotación
de la esfera. De aquí que nuestro lazo sea un objeto sofisticado: es una
colección uniparamétrica de rotaciones de la esfera. Dados dos lazos como este,
podemos obtener un tercero al componer las correspondientes rotaciones de la
esfera. Así, el espacio de lazos de SO(3) se convierte en un grupo. Lo llamamos
grupo de lazos de SO(3).[103] Se
trata de un buen ejemplo de grupo de Lie de dimensión infinita: en realidad, no
podemos describir sus elementos mediante un número finito de coordenadas.[104]
El grupo de lazos de cualquier otro grupo de Lie, como, por ejemplo, el grupo
SO(n) de rotaciones de una hiperesfera, es también un grupo de Lie de
dimensión infinita. Estos grupos de lazos surgen como simetrías en teoría de
cuerdas.
El segundo concepto relevante de cara al artículo de Feigin y Fuchs que yo
estaba estudiando era el concepto de álgebra de Lie. Todas las álgebras de Lie
son, en cierto sentido, la versión simplificada de un grupo de Lie.
El término «álgebra de Lie» parece pensado para crear confusión. Cuando oímos
la palabra «álgebra» pensamos en la asignatura que estudiamos en el instituto,
como la resolución de ecuaciones de segundo grado.
Sin embargo, ahora encontramos la palabra «álgebra» con una connotación
diferente: como parte de la frase indivisible «álgebra de Lie», en referencia a
objetos matemáticos con propiedades específicas. Pese a lo que el nombre
sugiere, estos objetos no forman una familia en la clase de las álgebras, en la
manera en que los grupos de Lie forman una familia en la clase de grupos. No
importa: habrá que aceptar esta incoherencia en el nombre.
Para explicar qué es una álgebra de Lie, primero he de explicarle el concepto
de espacio tangente. No se preocupe, no nos estamos yendo
por la tangente: estamos siguiendo una de las ideas clave de cálculo,
llamada «linealización», es decir, aproximación a formas curvas por parte de
formas planas o lineales.
Por ejemplo, el espacio tangente a una circunferencia en un punto dado es la
recta que pasa por este punto y es la recta más próxima a la circunferencia de
todas las rectas que pasan por ese punto. Ya lo habíamos visto antes cuando
hablábamos de la dimensión de la circunferencia. La recta tangente toca a la
circunferencia en ese punto en particular, y lo hace apenas, mientras que todas
las demás rectas que pasan por ese punto cruzan la circunferencia también por
otro punto, como se ve en el gráfico.
De
igual manera, se puede hacer una aproximación de cualquier curva (es decir, una
variedad unidimensional) en un entorno de un punto dado por una recta tangente.
René Descartes, que describió un eficaz método para calcular estas rectas
tangentes en su Géométrie, publicada en 1637, escribía:[105] «Me
atrevería a decir no sólo que es el problema de geometría más útil y general
que conozco, sino también que haya deseado conocer». También se puede hacer la
aproximación a una esfera mediante un plano tangente en un punto dado. Piense
en una pelota de baloncesto: cuando la dejamos en el suelo, toca este sólo por
un punto, y el suelo se convierte en su plano tangente en ese punto.[106] Y una
variedad n-dimensional podría ser aproximada en un punto dado por
un espacio n-dimensional plano.
Ahora bien, en todo grupo de Lie tenemos un punto especial, que es el elemento
identidad del grupo. Llevamos el espacio tangente del grupo de Lie a este punto
y… voilà! Tenemos el álgebra de Lie de este grupo de Lie. De modo
que todo grupo de Lie tiene su álgebra de Lie, que es como su hermana pequeña.[107]
Por ejemplo, el grupo circular es un grupo de Lie, y su elemento identidad es
un punto en especial de la circunferencia[108] que
se corresponde con el ángulo 0. La tangente en este punto es, por lo tanto, el
álgebra de Lie del grupo circular. Lamentablemente no podemos realizar un
dibujo de SO(3) y su espacio tangente, puesto que ambos son tridimensionales.
Pero la teoría matemática que describe espacios tangentes está creada de tal
manera que funciona igual de bien en todas las dimensiones. Si queremos
imaginar cómo funcionan las cosas, podemos realizar modelos en una o dos
dimensiones (como una circunferencia o una esfera). Así, empleamos variedades
de menos dimensiones como metáforas de variedades más complicadas y de más
dimensiones. Pero no necesitamos hacerlo así: el lenguaje de las matemáticas
nos permite trascender nuestra limitada intuición visual. Matemáticamente, el álgebra
de Lie de un grupo de Lie n-dimensional es un espacio plano n-dimensional,
también llamado espacio vectorial.[109]
Hay más. La operación de multiplicación en un grupo de Lie da lugar a una
operación en su álgebra de Lie: dados dos elementos cualesquiera del álgebra de
Lie, podemos construir un tercero. Las propiedades de esta operación son más
difíciles de describir que las propiedades de multiplicación en un grupo de
Lie, y por el momento no nos resultan necesarias.[110]
Un ejemplo, que será conocido para los lectores que hayan estudiado cálculo
vectorial, es la operación de producto vectorial en el espacio
tridimensional.[111]Y adivine:
¡esta operación realmente convierte el espacio tridimensional en una álgebra de
Lie!
Resulta que es, en realidad, el álgebra de Lie del grupo de Lie SO(3). De modo
que la aparentemente esotérica operación de producto vectorial se hereda de las
reglas de composición de las rotaciones de la esfera.
Puede estar preguntándose por qué preocuparnos de las álgebras de Lie si operar
con ellas es tan raro. ¿Por qué no seguir con los grupos de Lie? La razón
principal es que, a diferencia de un grupo de Lie, que suele ser curvo (como
una circunferencia) una álgebra de Lie es un espacio plano (como una recta, un
plano, etcétera). Esto hace que el estudio de las álgebras de Lie sea mucho más
sencillo que el estudio de los grupos de Lie.
Por ejemplo, podemos hablar de las álgebras de Lie de los grupos de lazos.[112] A
estas álgebras de Lie, que deberíamos ver como versiones simplificadas de los
grupos de lazos, se les denomina álgebras Kac-Moody en honor a dos matemáticos:
Victor Kac (nacido en Rusia, emigrado a Estados Unidos, hoy en día profesor en
el MIT) y Robert Moody (británico, emigrado a Canadá, hoy en día profesor en la
Universidad de Alberta). Ellos comenzaron a investigar, de modo independiente,
estas álgebras en 1968. Desde entonces, la teoría de las álgebras Kac-Moody ha
sido una de las áreas más interesantes y de más rápido crecimiento en las
matemáticas.[113]
Eran estas álgebras de Kac-Moody las que Fuchs había sugerido como tema de mi
siguiente proyecto de investigación. Cuando comencé a aprender todo esto, me di
cuenta de que debería estudiar muchísimo antes de llegar al punto en que
pudiera hacer algo por mí mismo. Pero estaba fascinado por el tema.
Fuchs vivía en la zona noroeste de Moscú, no lejos de una estación de tren
desde la que yo podía regresar a mi ciudad natal. Solía regresar a casa todos
los viernes para pasar el fin de semana, de modo que Fuchs me propuso que fuera
a verle los viernes a las 5 de la tarde y que cogiera el tren tras nuestras
reuniones. Solía trabajar con él unas tres horas (durante las cuales también me
preparaba algo de cenar) y luego me subía al último tren, para llegar a casa cerca
de la medianoche. Esos encuentros desempeñaron un papel muy importante en mi
educación matemática. Los tuvimos, semana tras semana, durante todo el semestre
de otoño de 1986 y después durante todo el de primavera de 1987.
No fue hasta enero de 1987 cuando acabé de leer el largo artículo de Feigin y
Fuchs y me sentí capaz de comenzar a trabajar en mi proyecto de investigación.
Por aquella época conseguí un pase para la Biblioteca de Ciencias de Moscú, un
enorme repositorio de libros y publicaciones, no sólo en ruso (muchos de los
cuales ya los tenía la biblioteca de Kerosinka) sino también en otros idiomas.
Comencé a acudir regularmente para enfrascarme en decenas de publicaciones
matemáticas, en busca de artículos sobre las álgebras Kac-Moody y temas afines.
Estaba también ansioso por aprender acerca de sus aplicaciones en física
cuántica, que, lógicamente, seguían constituyendo una gran atracción para mí.
Como he mencionado antes, las álgebras Kac-Moody desempeñan un papel importante
en la teoría de cuerdas, pero también aparecen como simetrías de modelos de
física cuántica bidimensional. Vivimos en un espacio tridimensional, de modo
que un modelo realista que describiera nuestro mundo debería ser
tridimensional. Si incluimos el tiempo, obtenemos cuatro dimensiones. Pero
matemáticamente, nada nos impide construir y analizar modelos que describan
mundos con otras dimensiones. Los modelos en menos de tres dimensiones son más
sencillos, y tenemos más posibilidades de resolverlos. Podemos usar lo que
aprendamos en ellos para enfrentarnos a los más sofisticados modelos
tridimensionales y tetradimensionales.
Esta es, en realidad, una de las principales ideas de la asignatura llamada
«física matemática»: estudiar modelos de diferentes dimensiones que pueden no
ser directamente aplicables a nuestro mundo físico, pero que comparten algunos
de los rasgos característicos con los modelos realistas.
Algunos de estos modelos bidimensionales poseen aplicaciones en el mundo real.
Por ejemplo, una lámina de metal muy fina se puede ver como un sistema
bidimensional y, por tanto, un modelo bidimensional la puede describir de modo
eficaz. Un ejemplo famoso es el llamado modelo Ising de partículas
interactuantes en los nodos de una red bidimensional. La solución exacta del
modelo de Ising por Lars Onsager proporcionó valiosas reflexiones con respecto
al fenómeno de la magnetización espontánea, o ferromagnetismo. En el núcleo de
los cálculos de Onsager había una simetría oculta de este modelo, lo que
subraya una vez más el papel crucial de las simetrías para comprender sistemas
físicos. Posteriormente se comprendería que esa simetría quedaba descrita por
la llamada álgebra de Virasoro, una prima cercana de las álgebras Kac-Moody[114](en
realidad, era el álgebra de Virasoro la protagonista del artículo de Feigin y
Fuchs que yo me encontraba estudiando). Hay también una amplia clase de modelos
de este tipo en que las simetrías se describen adecuadamente mediante álgebras
de Kac-Moody. La teoría matemática de las álgebras Kac-Moody es fundamental
para comprender estos modelos.[115]
La biblioteca de Kerosinka estaba suscrita a una publicación llamada Referativny
Zhurnal, «la Revista de Referencias». Esta revista, de publicación mensual,
mostraba breves reseñas de todos los nuevos artículos, en todos los idiomas,
organizados por temas, con un escueto resumen de cada uno. Comencé a leerlo
habitualmente, y ¡qué valioso resultó ser! Todos los meses salía un nuevo
volumen acerca de artículos matemáticos, y yo buscaba en las secciones más
relevantes intentando hallar algo de interés. Si encontraba algo que parecía
fascinante, anotaba la referencia y la daba en mi siguiente visita a la
Biblioteca de Ciencias de Moscú. De esta manera hallé un montón de material
interesante.
Un día, mientras hojeaba el Referativny Zhurnal, tropecé con un
artículo de un matemático japonés llamado Minoru Wakimoto, publicado en uno de
los diarios que yo seguía con atención, Communications in Mathematical
Physics. El resumen no adelantaba mucho, pero el titular hacía referencia
al álgebra Kac-Moody asociada al grupo de rotaciones de la esfera, SO(3), de
modo que anoté la referencia y en mi siguiente visita a la Biblioteca de
Ciencias me leí el artículo.
En él, el autor creaba novedosas construcciones del álgebra Kac-Moody asociada
a SO(3). Para dar una idea de lo que son, emplearé el lenguaje de la física
cuántica (muy relevante, dado que las álgebras Kac-Moody describen simetrías de
modelos de física cuántica). Los modelos cuánticos realistas, como los que
describen las interacciones entre partículas elementales, son bastante
complicados. Pero podemos construir «modelos de campo libre», mucho más
sencillos e ideales, en los que no hay (o apenas hay) interacción. Los campos
cuánticos, en esos modelos, son «libres» unos de otros, de ahí el nombre. A
menudo es posible construir otro modelo cuántico, complicado, y por ello más
interesante, dentro de uno de estos modelos de campo libre. Esto nos permite
diseccionar y deconstruir los modelos más complicados, y realizar cálculos que
de otro modo no serían accesibles. Estas construcciones son muy útiles, en
consecuencia. Sin embargo, en los modelos cuánticos con álgebras Kac-Moody como
simetrías, los ejemplos conocidos de esas construcciones de campo libre habían
sido más bien de corto alcance.
Mientras leía el artículo de Wakimoto, me di cuenta casi de inmediato de que el
resultado podía interpretarse como la construcción de más amplio alcance
posible para el caso del álgebra Kac-Moody más sencilla, la asociada a SO(3).
Comprendí la importancia de este resultado y me hizo preguntarme: ¿de dónde
venía esta construcción? ¿Hay manera de generalizarla a otras álgebras
Kac-Moody? Sentía que estaba preparado para enfrentarme a estas preguntas.
¿Cómo describir el entusiasmo que sentí al ver esa bella obra y darme cuenta de
su potencial? Supongo que es como cuando, tras un largo viaje, de repente la
cima de una montaña aparece, completa, ante la vista. Uno aguanta el aliento,
absorbe su majestuosa belleza y sólo puede exclamar: ¡caramba! Es el momento de
la revelación. Aún no has alcanzado la cima, ni siquiera imaginas los
obstáculos que quedan por delante, pero la atracción es irresistible, y ya te
imaginas en el pico. Ahora toca conquistarlo. Pero ¿tienes la fuerza y la
resistencia necesarias para hacerlo?
Capítulo 11
Conquistar la cima
Hacia
verano ya estaba preparado para compartir mis hallazgos con Fuchs. Sabía que el
artículo de Wakimoto le entusiasmaría tanto como a mí. Fui a ver a Fuchs a su
dacha, pero a mi llegada me dijo que había un pequeño problema: había quedado
el mismo día conmigo y con su colaborador y antiguo alumno Boris Feigin, sin
darse cuenta, dijo, aunque yo no le creí, y muchos años más tarde me confirmó
que había sido intencionado.
Fuchs me había presentado a Feigin meses atrás. Fue antes de uno de los
seminarios de Gelfand, poco después de haber acabado mi artículo acerca de
grupos de trenzas, y mientras empezaba a leerme el de Feigin y Fuchs. Por
sugerencia de Fuchs, pregunté a Feigin qué más debería leer. Boris Lvovich,
como yo me dirigía a él, tenía en aquella época sólo treinta y tres años pero
ya se le consideraba una de las estrellas más rutilantes de la comunidad
matemática de Moscú. Vestía tejanos y unas zapatillas muy gastadas, y
aparentaba ser muy tímido. Llevaba gafas de gruesos cristales, y durante la mayor
parte de nuestra conversación miró hacia abajo, evitando todo contacto visual.
Huelga decir que yo también era tímido y no estaba muy seguro de mí mismo: era
un estudiante primerizo, y él era ya un famoso matemático. Así que no se trató
del más interesante de los encuentros. Pero de vez en cuando levantaba la vista
y me miraba con una gran sonrisa que desarmaba, y eso rompió el hielo. Pude
comprobar su genuina amabilidad.
Sin embargo, la sugerencia inicial de Feigin me sorprendió: me dijo que debería
leer Statistical Physics de Landau y Lifshitz, una sugerencia
que en aquel momento hallé horrible, en parte por el parecido, en tamaño y
peso, entre aquel grueso volumen y el libro de texto del Partido Comunista que
todos debíamos estudiar en la escuela.
En defensa de Feigin hay que decir que se trataba de un excelente consejo: en
efecto, era un libro importante, y mi investigación acabaría yendo a parar a
ese campo (pese a que he de admitir, para mi vergüenza, que aún no he leído el
libro). Pero en aquel momento la idea no me acabó de convencer, y quizá fue en
parte por ello por lo que nuestra conversación no llegó a buen puerto. Y, en
realidad, no había vuelto a hablar con Feigin, más allá del «hola» al coincidir
con él en el seminario de Gelfand, hasta que me encontré con él en la dacha de
Fuchs.
Poco después de mi llegada, vi por la ventana a Feigin desmontando de su
bicicleta. Tras los saludos y las conversaciones triviales, nos sentamos a una
mesa redonda en la cocina y Fuchs me preguntó:
—Bueno, ¿qué novedades hay?
—Pues… he encontrado un interesante artículo de un matemático japonés,
Wakimoto.
—Ya veo… —se volvió hacia Feigin—. ¿Sabes algo de esto?
Feigin negó con la cabeza y Fuchs me dijo:
—Siempre lo sabe todo… Pero es bueno que no conozca este artículo: así también
a él le resultará interesante escucharlo.
Me lancé a describirles la obra de Wakimoto. Como esperaba, se mostraron muy
interesados. Era la primera vez que tenía ocasión de debatir en profundidad
conceptos matemáticos con Feigin, y sentí de inmediato que conectábamos.
Escuchaba con atención y hacía exactamente las preguntas adecuadas. Era
evidente que comprendía la importancia de aquello, y pese a que su conducta
seguía siendo relajada y amistosa, parecía entusiasmado. Fuchs, sobre todo,
supervisaba, y estoy seguro de que estaba feliz de que su plan secreto de que
Feigin y yo nos conociéramos mejor hubiera funcionado tan bien. Fue realmente
una conversación asombrosa. Sentía estar muy cerca de algo importante.
Fuchs parecía sentir lo mismo. Mientras me iba, me dijo:
—Bien hecho. Ojalá este fuera tu artículo. Pero creo que ya estás listo para
llevarlo al siguiente nivel.
Regresé a casa y seguí estudiando las preguntas originadas por el artículo de
Wakimoto. Este no daba explicaciones de sus fórmulas. Yo estaba realizando un
trabajo de forense: intentar hallar rastros de la gran imagen oculta tras
aquellas fórmulas.
Días más tarde, esa gran imagen comenzó a aflorar. En un arranque de
inspiración, mientras daba vueltas por mi habitación, me di cuenta de que las
fórmulas de Wakimoto procedían de la geometría. Se trataba de un descubrimiento
sorprendente, porque el enfoque de Wakimoto era completamente algebraico, sin
trazas de geometría.
Para explicarle mi interpretación geométrica, volvamos al grupo SO(3) de
simetrías de la esfera y a su grupo de lazos. Como comenté en el capítulo
anterior, un elemento del grupo de lazos de SO(3) es un conjunto de elementos
de SO(3) con un elemento de SO(3) para cada punto del lazo. Cada uno de esos
elementos de SO(3) actúa en la esfera mediante una rotación en particular. Eso
implica que cada elemento del grupo de lazos de SO(3) da lugar a una simetría
del espacio de lazos de la esfera.[116]
Me di cuenta de que podía emplear esta información para obtener una
representación del álgebra Kac-Moody asociada a SO(3). Esto no nos da, todavía,
las fórmulas de Wakimoto. Para conseguirlas, debemos modificarlas de cierto
modo radical. Pensemos en ello como en dar la vuelta de adentro hacia fuera a
un abrigo. Lo podemos hacer con cualquier abrigo, pero en la mayoría de los
casos la prenda se vuelve imposible de llevar, al menos no podemos vestirla en
público. Sin embargo, hay abrigos que se pueden usar por cualquiera de ambos
lados. Y lo mismo ocurría con las fórmulas de Wakimoto.
Armado con este nuevo dato, intenté de inmediato generalizar las fórmulas de
Wakimoto a otras álgebras Kac-Moody más complicadas. El primer paso,
geométrico, funcionó bien, como en el caso de SO(3). Pero cuando intenté
«invertir» las fórmulas, lo que obtuve no tenía sentido. Las matemáticas
resultantes simplemente no salían. Intenté juguetear con las fórmulas, pero no
hallaba una salida a mi problema. Tuve que tener en cuenta la posibilidad real
de que esta construcción sólo funcionase para SO(3) y no para álgebras
Kac-Moody más generales. No había modo de saber con seguridad si el problema
tenía una solución y si, de tenerla, se podía obtener con los medios
disponibles. Sólo podía trabajar tan duro como pudiera y esperar lo mejor.
Pasó una semana, y fue nuevamente momento de encontrarme con Fuchs. Planeaba
contarle todo acerca de mis cálculos y pedirle ayuda. Cuando llegué a la dacha,
Fuchs me dijo que su mujer había ido a Moscú a hacer unos recados, y que él
tenía que quedarse al cuidado de sus dos hijas.
—Pero ¿sabes qué? Feigin estuvo aquí ayer y estaba muy entusiasmado con lo que
nos contaste la semana pasada. ¿Por qué no lo visitas? Su dacha está a sólo
quince minutos de aquí. Le dije que te enviaría, de modo que te está esperando.
Me dijo cómo llegar y me dirigí a la dacha de Feigin.
Feigin, en efecto, estaba esperándome. Me dio una cálida bienvenida y me
presentó a su encantadora esposa Inna y sus tres hijos: los dos chicos, Roma y
Zhenya, de ocho y diez años y llenos de energía, y su adorable hija Lisa, de
dos años de edad. En aquel momento no podía saber lo vinculado que estaría a
esa maravillosa familia en los años venideros.
La mujer de Feigin nos ofreció té y pastel y nos sentamos en la terraza. Era
una hermosa tarde de verano: los rayos del sol atravesaban las copas de los
árboles, lo pájaros cantaban… la idílica vida rural. Pero, evidentemente, la
conversación rápidamente gravitó en torno a la construcción de Wakimoto.
Resultó que Feigin también estaba pensando en ella, y en torno a líneas
similares. Al principio de nuestra conversación incluso acabábamos cada uno las
frases del otro. Era un sentimiento especial: me comprendía completamente, y yo
le comprendía a él.
Comencé a contarle acerca de mi fracaso a la hora de generalizar la
construcción a otras álgebras Kac-Moody. Feigin escuchó atentamente, y tras
quedarse un rato sentado en silencio, llamó mi atención sobre un importante
punto que se me había pasado por alto. Al intentar generalizar la construcción
de Wakimoto, necesitamos hallar una correcta generalización de la esfera, la
variedad sobre la que SO(3) actúa mediante simetrías. En el caso de SO(3), esta
elección es prácticamente única. Pero para los demás grupos existen muchas
opciones. En mis cálculos, yo había dado por sentado que las generalizaciones
naturales de la esfera eran los llamados «espacios proyectivos», pero no era
necesariamente así: que yo no llegara a ningún lugar con ello podía deberse a
que mi elección de espacios fuera mala.
Como he explicado arriba, al fin y al cabo había necesitado «invertir» las
fórmulas. Toda la construcción descansaba en la esperanza de que,
milagrosamente, las fórmulas resultantes acabarían teniendo sentido. Era lo que
había ocurrido en el caso de Wakimoto, para el grupo más sencillo, SO(3). Mis
cálculos indicaban que, para los espacios proyectivos, no sería el caso, pero
esto no significaba que no se pudiera hallar una construcción mejor. Feigin me
sugirió que probase con las «variedades bandera».[117]
La variedad bandera para el grupo SO(3) es la conocida esfera, de modo que para
otros grupos estos espacios pueden verse como sustitutos naturales de la
esfera. Pero las variedades bandera son más ricas y versátiles que los espacios
proyectivos, así que había una posibilidad de que la construcción de Wakimoto
funcionara con ellas.
Anochecía: hora de regresar a casa. Acordamos volver a vernos a la semana
siguiente, así que me despedí de la familia Feigin y me dirigí a la estación de
tren.
De vuelta a casa, en un vagón de tren vacío, con las ventanillas abiertas que
dejaban entrar el aire de verano, no podía dejar de pensar en el problema.
Tenía que intentar hacerlo, allí mismo, en aquel momento. Saqué un bolígrafo y
un bloc de notas y comencé a escribir fórmulas para la variedad bandera más
sencilla. El viejo vagón de tren, que hacía un ruido como de staccato,
daba sacudidas de un lado a otro, y yo no conseguía sujetar el bolígrafo con
firmeza, de modo que iba escribiendo las notas por cualquier lugar de la hoja.
Apenas podía leer lo que había escrito. Pero en medio de este caos comenzó a
surgir un patrón. Definitivamente, las cosas iban mejor con variedades bandera
que con los espacios proyectivos que yo había intentado, sin éxito, domar la
semana anterior.
Unas cuantas líneas más de cálculos y… ¡Eureka! Funcionaba. Las fórmulas
«invertidas» iban tan bien como en la obra de Wakimoto. La construcción se
generalizaba perfectamente. Yo estaba abrumado de alegría: ¡era increíble! ¡Lo
había hecho, había hallado nuevas construcciones de campo libre de álgebras de
Kac-Moody!
A la mañana siguiente comprobé cuidadosamente mis cálculos. Todo encajaba. La
dacha de Feigin no tenía teléfono, así que me moría de impaciencia por llamarlo
y contarle mis nuevos hallazgos. Comencé a escribirlos en un formulario de
carta, y cuando nos encontramos, a la semana siguiente, le expliqué acerca de
los nuevos resultados.
Así fue como empezamos a trabajar juntos. Se convirtió en mi profesor, mi
mentor, mi asesor, mi amigo. Al principio yo lo llamaba Boris Lvovivch, a la
antigua usanza rusa, que incluía el patronímico. Posteriormente insistió en que
pasara a llamarlo por el más informal Borya.
He tenido una suerte increíble con mis profesores. Yevgueni Yevguénievich me
mostró la belleza de las matemáticas e hizo que me enamorara de ellas. También
me ayudó a aprender las bases. Fuchs me salvó tras la catástrofe del examen de
entrada de la MGU y forzó el arranque de mi estancada carrera matemática; me
guio a lo largo de mi primer proyecto matemático serio, que me proporcionó
confianza en mis capacidades, y me dirigió a una apasionante área de
investigación en la frontera entre las matemáticas y la física. Finalmente
estaba preparado para entrar en primera división. Borya demostró ser el mejor
asesor que pudiera siquiera soñar en aquella fase de mi viaje vital. Era como
si alguien hubiera puesto un turbocompresor a mi carrera matemática.
Borya Feigin es sin duda uno de los matemáticos más originales de su generación
en el mundo entero, un visionario dotado con el sentido más profundo de las
matemáticas. Me guio a través del País de las Maravillas de las matemáticas
modernas, lleno de mágica belleza y de una armonía sublime.
Ahora que ya he tenido mis propios estudiantes, aprecio incluso más lo que
Borya ha hecho por mí (y lo que Yevgueni Yevguénievich y Fuchs hicieron por mí
con anterioridad). ¡Ser profesor es un trabajo duro! Supongo que, en muchos
aspectos, es como tener hijos: hay que sacrificarse mucho sin pedir nada a
cambio. Por supuesto, las recompensas pueden ser también tremendas. Pero ¿cómo
decides qué dirección señalar a tus estudiantes, cuándo ofrecerles ayuda y
cuándo arrojarlos a aguas profundas y dejarlos nadar por sí mismos? Es un arte.
Nadie puede enseñarte a hacerlo.
Borya cuidó mucho de mí y de mi desarrollo como matemático. Nunca me dijo qué
hacer, pero hablar con él y aprender de él siempre me proporcionó una
orientación. De alguna manera siempre se aseguró de que yo supiera qué quería
hacer. Y con él a mi lado, siempre tuve la confianza de estar en el camino
adecuado. Tuve mucha suerte de tenerlo como profesor.
Comenzaba ya el semestre de otoño de 1987, mi cuarto año en Kerosinka. Yo tenía
diecinueve años y mi vida nunca había sido más apasionante. Aún vivía en la
residencia de estudiantes, salía con amigos, me enamoraba… Me mantenía al día
con mis estudios. Para entonces, me saltaba la mayoría de clases y estudiaba
para los exámenes por mi cuenta (ocasionalmente, unos días antes del examen).
Seguía sacando excelentes con la única salvedad de Política Económica Marxista,
en la que sacaba algún notable (¡qué vergüenza!).
Mantenía en secreto a la mayoría de gente que tenía una «doble vida» (que me
llevaba la mayor parte de mi energía y tiempo): mi vida matemática con Borya.
Solía encontrarme con Borya dos veces a la semana. Su trabajo oficial estaba en
el Instituto de Física de Estado Sólido, pero no tenía mucho que hacer allí, y
sólo debía presentarse una vez a la semana. Los demás días trabajaba desde la
casa de su madre, a sólo diez minutos andando desde la suya. También quedaba
cerca de Kerosinka y de mi residencia, y era nuestro lugar de encuentro
habitual. Yo llegaba a última hora de la mañana o primera hora de la tarde y
trabajábamos en nuestros proyectos, a veces todo el día. La madre de Borya
regresaba de trabajar por la tarde y nos hacía la cena, y a menudo nos íbamos
cada uno a su casa a eso de las nueve o diez de la noche.
Como prioridad, Borya y yo escribimos un corto resumen de nuestros resultados y
lo enviamos a la revista Russian Mathematical Surveys. Se publicó
al cabo de un año, bastante rápido para los estándares de las publicaciones
matemáticas.[118]Tras
sacarnos eso de encima, Borya y yo nos preocupamos de concentrarnos en
profundizar en nuestro tema. Nuestra construcción era potente, y abría muchas
nuevas direcciones de investigación. Empleamos nuestros resultados para
comprender mejor las representaciones de las álgebras Kac-Moody. Nuestro
trabajo nos permitió también desarrollar una construcción de campo libre de
modelos cuánticos bidimensionales. Esto nos permitió efectuar cálculos en esos
modelos que no eran accesibles anteriormente, lo que hizo que pronto los
físicos se interesaran en nuestra obra.
Eran tiempos apasionantes. Los días en que Borya y yo no estábamos juntos, yo
trabajaba por mi cuenta, en Moscú durante la semana y en casa los fines de
semana. Seguí acudiendo a la Biblioteca de Ciencias y devorando más y más
libros y artículos sobre temas íntimamente relacionados. Vivía, comía y bebía
ese material. Era como si estuviera inmerso en un universo paralelo y quería
permanecer allí, adentrándome más profundamente en el sueño. Con cada nuevo
descubrimiento, con cada nueva idea, ese mundo mágico se convertía más y más en
mi hogar.
Pero en otoño de 1988, conforme entraba en mi quinto y último año de estudios
en Kerosinka, la realidad me trajo de regreso: era hora de comenzar a pensar en
el futuro. Aunque estaba entre los mejores de mi clase, mis perspectivas se
presentaban desesperanzadoras. El antisemitismo obligaba a descartar los
posgrados y los mejores trabajos para licenciados. Al no tener propiska,
residencia en Moscú, las cosas se complicaban incluso más. Se acercaba el
momento de ajustar cuentas.
Capítulo 12
El Árbol del Conocimiento
Pese
a que sabía que nunca me permitirían tener una carrera académica, seguí
estudiando matemáticas. Mark Saul habla de ello en su artículo[119] refiriéndose
a mí por el diminutivo de mi nombre, Edik:
¿Qué impelía a Edik y a otros a continuar, como los salmones, contra la
corriente? Todo indicaba que la discriminación que habían sufrido a escala
universitaria continuaría en sus vidas profesionales. ¿Por qué, pues, deberían
prepararse tan intensamente y contra toda probabilidad para una carrera en
matemáticas?
Yo no esperaba recibir nada a cambio que no fuera la mera alegría y pasión de
la investigación intelectual. Quería dedicar mi vida a las matemáticas
sencillamente porque las amaba.
En la estancada vida del período soviético, los jóvenes de talento no podían
aplicar sus energías a los negocios; la economía carecía de sector privado. En
lugar de ello, se encontraba bajo un férreo control estatal. De igual manera,
la ideología comunista controlaba toda carrea intelectual en las esferas de
humanidades, economía y ciencias sociales. Todo libro o artículo académico en
esas áreas debía comenzar, por aquella época, con citas de Marx, Engels y
Lenin, y apoyar inequívocamente el punto de vista marxista sobre el tema. La
única manera de escribir un artículo acerca de filosofía extranjera, por decir
algo, era presentarlo como una condena de los «reaccionarios puntos de vista
burgueses» de los filósofos. Aquellos que no seguían estas estrictas reglas
acababan condenados y perseguidos. Lo mismo ocurría en el arte, la música, la
literatura y el cine. Cualquier cosa que se pudiera ver como remotamente
crítica hacia la sociedad, política o estilo de vida soviéticos, o
sencillamente se desviara de los cánones del «realismo socialista», era
automáticamente censurada. A los escritores, compositores y directores que se
atrevían a seguir su visión artística se les prohibía, y sus obras se
secuestraban o destruían.
Muchas áreas de la ciencia estaban también dominadas por la línea del partido.
Por ejemplo, la genética estuvo prohibida durante muchos años porque se decía
que sus hallazgos contradecían las enseñanzas del marxismo. Ni siquiera la
lingüística se salvaba: después de que Stalin, quien se consideraba a sí mismo
un experto en el tema (y en muchos otros) escribiera su infame ensayo El
marxismo y los problemas de la lingüística, todo este campo de estudio se
redujo a interpretar este tratado, en gran parte sin ningún sentido. A todos
aquellos que no lo seguían se les reprimía.
En este entorno, las matemáticas y la física teórica eran un oasis de libertad.
Aunque los apparatchiks del partido querían controlar todos
los aspectos de la vida, estas áreas eran sencillamente demasiado abstractas y
les costaba demasiado comprenderlas. Stalin, por poner un ejemplo, nunca se
atrevió a realizar ninguna afirmación matemática. Pero, al mismo tiempo, los
líderes soviéticos se daban cuenta de la importancia de esas aparentemente abstrusas
y esotéricas áreas del conocimiento para el desarrollo de las armas nucleares,
y era por eso por lo que no querían «entrometerse» en esas áreas. En
consecuencia, el Gran Hermano toleraba a los matemáticos y físicos teóricos que
trabajaban en el proyecto de la bomba atómica (muchos de ellos, he de añadir, a
desgana) e incluso a algunos de ellos los trataba bien.
Así, por una parte, las matemáticas eran algo abstracto y barato, y por la
otra, era algo útil en las áreas por las que los líderes soviéticos realmente
se preocupaban, especialmente en defensa, que aseguraba la supervivencia del
régimen. Era por ello por lo que a los matemáticos se les dejaba, en términos
generales, hacer sus investigaciones, y no se les sujetaba a las imposiciones
que tenían otros campos (a menos que intentaran meterse en política, como
ocurrió con la «Carta de los 99» que mencioné antes).
Creo que esta era la razón por la que tantos jóvenes de talento escogían las
matemáticas como su profesión. Era un área en la que podían dedicarse a una
búsqueda intelectual en libertad.
Pero, pese a la pasión y a la alegría de investigar en matemáticas, yo
necesitaba un trabajo. Por ello, en paralelo a mi principal trabajo de
investigación matemática, que realizaba en secreto con Borya, tuve que realizar
algo de «investigación oficial» en Kerosinka.
Mi tutor en Kerosinka era Yakov Isaévich Khurgin, profesor en el Departamento
de Matemáticas Aplicadas y uno de los miembros más carismáticos y queridos de
la facultad. Antiguo alumno de Gelfand, Yakov Isaévich contaba en aquella época
con sesenta y muchos años, pero era uno de los profesores más «populares» que
teníamos. Debido a su interesante manera de enseñar y a su sentido del humor,
sus clases tenían el mayor índice de asistencia. Pese a que ya desde tercer
curso me saltaba la mayor parte de las clases, siempre intentaba asistir a sus
clases sobre teoría de la probabilidad y estadística. Comencé a trabajar con él
en tercer curso.
Yakov Isaévich fue muy amable conmigo. Se aseguró de que me trataran bien y
estuvo allí para mí siempre que necesité ayuda. Por ejemplo, cuando tuve
problemas en mi residencia de estudiantes, empleó sus influencias para
intervenir. Yakov Isaévich era un hombre inteligente que aprendió bien a
«trabajarse el sistema»: pese a que era judío, ocupaba una posición de
prestigio en Kerosinka, como profesor y jefe de un laboratorio que realizaba
investigaciones que iban desde áreas como la prospección petrolífera a la
medicina.
Era también un divulgador de las matemáticas, y había escrito varios libros
superventas acerca de matemáticas para no especialistas. A mí me gustaba
especialmente uno de ellos, titulado Nu i chto? («¿Y qué? »). Trata
acerca de su colaboración con científicos, ingenieros y médicos. A través de
diálogos con ellos, explica de manera accesible y entretenida interesantes
conceptos matemáticos (la mayoría relacionados con estadística y probabilidad,
áreas en las que es experto) y sus aplicaciones. El título del libro quiere
representar la curiosidad con que un matemático enfoca problemas en la vida
real. Estos libros, y su pasión por hacer de las ideas matemáticas algo
accesible al público me han inspirado mucho.
Durante muchos años Yakov Isaévich trabajó con médicos, en su mayor parte
urólogos. Su motivación original era personal. Estaba apuntado como estudiante
en Mekh-Mat cuando lo convocaron a luchar en el frente en la segunda guerra
mundial. En las gélidas trincheras contrajo una grave enfermedad renal. Tuvo
suerte, porque se lo llevaron al hospital y esto le salvó la vida: la mayoría
de sus compañeros de clase, que estaban con él, perecieron en el campo de
batalla. Pero desde aquel momento tuvo que afrontar problemas renales. En la
Unión Soviética la medicina era gratuita, pero la calidad de los servicios médicos
era baja. A fin de obtener un buen tratamiento, uno tenía que tener conexiones
con un médico o poseer algo que ofrecer a modo de soborno. Pero Yakov Isaévich
tenía algo que ofrecer que muy poca gente tenía: su experiencia como
matemático. La empleó para hacerse amigo de los mejores especialistas en
urología de Moscú.
Fue un gran trato para él, porque cada vez que sus riñones fallaban, tenía el
mejor tratamiento de manos de los mejores urólogos en el mejor hospital de
Moscú. Y fue también un buen trato para los médicos, porque él les ayudaba a
analizar sus datos, que a menudo revelaban fenómenos interesantes y previamente
desconocidos. Yakov Isaévich solía decir que el modo de pensar de los doctores
estaba bien adaptado para analizar pacientes en particular y a tomar decisiones
basadas en criterios particulares, pero les resultaba difícil ver la imagen
global e intentar hallar patrones y principios generales. Es ahí donde los
matemáticos somos útiles, porque nuestro modo de pensar es completamente diferente:
nos enseñan a buscar y analizar estos tipos de grandes patrones. Los amigos
médicos de Yakov Isaévich apreciaban esto.
Cuando me convertí en su alumno, Yakov Isaévich me enroló en sus proyectos
médicos. En total, en los casi dos años y medio que trabajé con él,
desarrollamos tres proyectos diferentes de urología. Los resultados los
emplearon tres jóvenes urólogos para sus tesis doctorales (en Rusia había un
grado posterior en medicina tras el de doctor, al nivel del doctorado de otros
países, para el que se requería escribir una tesis con investigación médica
original).[xviii] Me
convertí en coautor de publicaciones en revistas académicas médicas e incluso
fui coautor de una patente.
Recuerdo bien el inicio del primer proyecto. Yakov Isaévich y yo fuimos a
visitar al joven urólogo Alexei Velikanov, hijo de uno de los mejores médicos
de Moscú. Yakov Isaévich había sido amigo (y paciente) de Velikanov padre
durante muchos años, y este le había pedido que ayudara a su hijo. Alexei nos
mostró una enorme hoja de papel con datos obtenidos de cerca de cien pacientes
a los que se había operado de hiperplasia benigna de próstata, un tumor benigno
que suele ser común en ancianos. Los datos comprendían varias características,
como presión sanguínea y otros resultados de análisis, antes y después de
cirugía. Esperaba poder emplear esos datos para llegar a conclusiones acerca de
cuándo tenía más probabilidades de éxito la cirugía, y poder así hacer un
conjunto de recomendaciones acerca de cuándo extirpar el tumor.
Necesitaba ayuda para analizar los datos y esperaba que pudiéramos ayudarlo.
Después supe que esta era una situación habitual. Médicos, ingenieros y otros
esperaban a menudo que los matemáticos poseyeran algún tipo de varita mágica
que les permitiese extraer rápidamente conclusiones de los datos recogidos,
fueran cuales fuesen. Evidentemente, esto es más un deseo que una realidad.
Conocemos ciertos métodos potentes de análisis estadístico, pero muy a menudo
no podemos aplicarlos porque los datos no son precisos o porque hay diferentes
tipos de datos, algunos objetivos y otros, subjetivos (descripciones de cómo
«se siente» el paciente, por ejemplo); otras veces los hay cuantitativos
(tensión arterial, pulso) y otros cualitativos, como respuestas «sí» o «no» a
diferentes preguntas específicas. Es muy difícil, si no directamente imposible,
acomodar datos tan poco homogéneos en una fórmula estadística.
Por otra parte, a veces hacer las preguntas correctas te permite darte cuenta
de que algunos de esos datos son irrelevantes y deberían sencillamente
descartarse. En mi experiencia, tan sólo un 10 o 15% de la información obtenida
por los médicos se empleó para realizar el diagnóstico o las recomendaciones de
tratamiento. Pero si se lo preguntas, nunca te dirán esto directamente.
Insistirán en que todo es útil e incluso te saldrán con alguna situación
hipotética en que deberían tener en cuenta esa información.
Lleva un poco de tiempo convencerlos de que, en realidad, en todos esos casos
ellos ignoraron la mayor parte de esos datos y tomaron la decisión basándose en
unos pocos criterios fundamentales.
Por supuesto, a veces había preguntas que se podían responder sencillamente
introduciendo los datos en algún tipo de programa estadístico. Pero al trabajar
en estos proyectos me di cuenta, gradualmente, de que si los matemáticos somos
tan útiles para los médicos no es a causa de nuestro conocimiento de esos
programas estadísticos (al fin y al cabo, no es algo tan difícil, cualquiera
puede aprenderlo), sino debido a nuestra capacidad para formular las preguntas
correctas y pasar luego a un análisis en frío y libre de sesgos a fin de
obtener las respuestas. Realmente es este tipo de «enfoque matemático» el que
parece más útil para quienes no están formados para pensar como los
matemáticos.
En mi primer proyecto, esta capacidad nos ayudó a descartar datos irrelevantes
y luego a hallar conexiones no triviales (correlaciones) entre los parámetros
restantes. No fue fácil y nos llevó algunos meses, pero los resultados nos
dejaron satisfechos. Escribimos un artículo conjunto acerca de nuestros
hallazgos, y Alexei los empleó en su tesis doctoral. Se nos invitó, a Yakov
Isaévich y a mí, a la defensa de su tesis, junto con otro estudiante de
Kerosinka, Alexander Lifshitz, mi buen amigo, que también trabajó en el
proyecto.
Recuerdo cómo durante la defensa de la tesis uno de los médicos preguntó el
nombre del programa informático empleado para derivar estos resultados, y que
Yakov Isaévich respondió que los nombres eran «Edward y Alexander». Esto era
cierto: no empleamos ningún ordenador; efectuamos los cálculos a mano o con una
sencilla calculadora. El objetivo no era calcular (esa era la parte fácil),
sino hacer las preguntas adecuadas. Un eminente cirujano, presente en la
defensa de la tesis, comentó entonces lo sorprendente que era que unos
matemáticos resultaran tan útiles en Medicina, y que quizá lo seríamos aún más
en los años por venir. La comunidad médica recibió bien nuestro trabajo, y
Yakov Isaévich estaba complacido.
No mucho después me pidió trabajar en otro proyecto de urología que tenía que
ver con tumores renales (para otra tesis doctoral) que también resolví
satisfactoriamente.
El tercer y último proyecto médico en que trabajé fue el más interesante para
mí. El joven doctor Sergei Arutyunyan (quien también precisaba nuestra ayuda
para analizar datos para su tesis) y yo nos compenetramos muy bien. Estaba
trabajando con pacientes cuyos sistemas inmunitarios rechazaban los trasplantes
de riñón. En una situación así, el médico ha de tomar rápidamente una decisión:
luchar por el riñón o retirarlo, con consecuencias de amplio alcance. Si deja
el riñón el paciente puede morir, pero si lo retira el paciente necesitará
otro, que no será fácil de encontrar.
Sergei quería hallar una manera de saber qué recomendación era estadísticamente
más viable, basándose en diagnósticos cuantitativos por ecografía. Tenía mucha
experiencia en esta área y había recogido muchísimos datos. Esperaba que yo
pudiera ayudarle a analizarlos y llegar a un criterio objetivo y válido de toma
de decisiones que pudiera ser útil para otros médicos. Me dijo que nadie había
sido capaz de hacerlo hasta aquel momento: la mayoría de médicos creían que era
imposible y preferían confiar en sus enfoques ad hoc.
Examiné los datos. Como en nuestros proyectos previos, había como cuarenta
parámetros diferentes medidos para cada paciente. Durante nuestros encuentros
periódicos hacía a Sergei preguntas específicas, intentando averiguar cuáles de
esos datos eran relevantes y cuáles no. Pero esta vez era difícil. Como otros
médicos, daba sus respuestas basándose en casos específicos, lo que no ayudaba
mucho.
Decidí intentar un enfoque diferente. Pensé: «este hombre toma este tipo de
decisiones a diario, y evidentemente es muy bueno en ello. ¿Y si me las ingenio
para aprender a "ser" él? Incluso si no sé mucho acerca de los
aspectos médicos del problema, puedo intentar aprender su metodología si sigo
su proceso de toma de decisiones, y utilizar sus conocimientos para extraer
algún conjunto de reglas».
Sugerí que jugáramos a una especie de juego.[120] Sergei
había recogido datos de aproximadamente doscientos setenta pacientes. Escogí
aleatoriamente datos de treinta de ellos y dejé los demás de lado. Yo tomaba el
historial de cada uno de esos pacientes escogidos al azar y pedía a Sergei, que
se sentaba en la esquina opuesta de la oficina, que me hiciera preguntas acerca
del paciente, que yo respondía tras mirar el archivo. Mi objetivo, en todo
esto, era intentar comprender el patrón de sus preguntas, incluso si no
comprendía tan bien como él qué significaban esas preguntas. Por ejemplo, a
veces hacía preguntas diferentes, o las misas preguntas pero en un orden
distinto. En tal caso, yo le interrumpía: «La última vez no preguntaste esto.
¿Por qué lo preguntas ahora?».
Y él me explicaba: «Porque en nuestro último paciente el volumen del hígado era
tal y tal, y por tanto eso excluía esta situación. Pero en el paciente actual
el volumen es así y así, de modo que la situación es bastante posible».
Yo tomaba notas de todo esto e intentaba comprender tanta de esta información
como fuera posible. Incluso después de tantos años lo imagino perfectamente:
Sergei sentado en una silla en una esquina de su oficina, concentrado en sus
pensamientos, fumando un cigarrillo (era un fumador en cadena). Me resultaba
fascinante intentar desmenuzar la manera en que razonaba: era como intentar
deshacer un rompecabezas para ver cómo eran sus piezas fundamentales.
Las respuestas de Sergei me proporcionaron información extremadamente valiosa.
Siempre llegaba al diagnóstico tras no más de tres o cuatro preguntas. Entonces
yo lo comparaba con lo que le había pasado realmente a cada paciente. Siempre
acertaba.
Tras un par de docenas de casos, ya podía diagnosticar yo mismo, siguiendo las
sencillas reglas que había aprendido mientras le interrogaba. Tras media docena
más, ya era prácticamente tan bueno como él prediciendo el resultado. En
realidad, había un algoritmo sencillo en juego que Sergei seguía en la mayoría
de casos.
Evidentemente, había siempre un puñado de casos en que el algoritmo no era
útil. Pero incluso si uno podía obtener de manera eficaz y rápida el
diagnóstico para un 90 o 95% de casos, ya era todo un logro. Sergei me contó
que en la literatura acerca del tema de diagnósticos por ecografía no existía
nada parecido.
Tras acabar nuestro «juego», tracé a partir de él un algoritmo que he incluido
en forma de árbol de toma de decisiones en la página siguiente. De cada nodo
del algoritmo surgen dos ramas a dos nodos más; la respuesta a una pregunta
específica en el primer nodo dicta a cuál de los dos siguientes nodos irá el
usuario. Por ejemplo, la primera pregunta trata acerca de la resistencia
periférica (RP) del vaso sanguíneo dentro del trasplante. Este era un parámetro
al que Sergei había llegado durante su investigación. Si su valor era mayor de
0,79 había una alta posibilidad de que el riñón estuviera siendo rechazado, y
de que el paciente requiriera cirugía inmediata. En tal caso, pasamos al nodo
negro de la derecha. Si no, nos movemos al nodo blanco de la izquierda y hacemos
la siguiente pregunta: ¿cuál es el volumen (V) del riñón? Etcétera. Los datos
de cada paciente, de esta manera, dan lugar a un sendero en particular en el
árbol. Este termina tras tres o cuatro pasos (por ahora no es importante qué
significan los otros dos parámetros, TP y IMP). El nodo terminal contiene el
veredicto, como se ve en el gráfico: el nodo negro significa «operar», y el
nodo blanco significa «no operar».
Pasé los datos de los siguientes 240 pacientes, aproximadamente, cuyos
historiales había dejado aparte, por el algoritmo. El acuerdo fue notable. En
un 95% de los casos llevó a un diagnóstico correcto.
El
algoritmo describía, en términos sencillos, puntos fundamentales del proceso
mental de un médico al tomar la decisión, y mostraba qué parámetros, de los que
describían la enfermedad, eran más relevantes para el diagnóstico. Sólo había
cuatro, de los cuarenta aproximadamente del inicio. Por ejemplo, el algoritmo
mostraba la importancia del índice de resistencia periférica general que había
desarrollado Sergei, y que medía el flujo de sangre hacia el riñón. Que ese
parámetro desempeñara un papel tan destacado en la toma de decisiones era ya,
de por sí, un importante descubrimiento. Todo esto se podía emplear para
futuras investigaciones en esta área. Otros médicos podían aplicar el algoritmo
a sus pacientes, ponerlo a prueba y quizá incluso afinarlo para hacerlo más
eficaz.
Escribimos un artículo al respecto, que se convirtió en la base de la tesis
doctoral de Sergei, y este lo sometió a una solicitud de patente que se aprobó
un año después.
Yo estaba orgulloso de mi trabajo con Yakov Isaévich, y él, de mí. Sin embargo,
pese a nuestra buena relación, yo mantuve mi «otra» vida matemática (mi trabajo
con Fuchs y Feigin, y todo eso) en secreto, como con respecto a la mayoría de
la gente. Era como si las matemáticas aplicadas fueran mi esposa, y las
matemáticas puras, mi amante secreta.
Aun así, cuando llegó el momento de buscar un trabajo, Yakov Isaévich me dijo
que intentaría contratarme como ayudante en su laboratorio de Kerosinka. Eso, a
su vez, me permitiría convertirme en un estudiante de doctorado allí mismo un
año después, lo que me abriría las puertas a un empleo en el futuro próximo.
Esto parecía un plan excelente, pero había muchos obstáculos, y no era el menor
de ellos el que, como habían advertido a mi padre la primera vez que fue a
Kerosinka antes de que yo solicitara la entrada, que debería enfrentarme
nuevamente al antisemitismo.
Evidentemente, Yakov Isaévich estaba al corriente de todo esto. Llevaba en
Kerosinka varias décadas y sabía cómo funcionaba todo. Lo había contratado el
propio rector Vinógradov, a quien Yakov Isaévich tenía en alta estima.
Las cuestiones relativas a mi nombramiento las tramitarían burócratas de nivel
medio, no el propio Vinógradov, y esos individuos cerrarían las puertas con
toda seguridad a todo aquel cuyo apellido sonara a judío, pero Yakov Isaévich
sabía cómo puentear el sistema. A principios del semestre de primavera de mi
último año en Kerosinka, cuando el tema de mi empleo se volvió urgente,
escribió una carta nombrándome su ayudante de laboratorio. Llevaba la carta con
él en su maletín, para estar preparado por si surgía la oportunidad de hablar
de mí con Vinógradov.
La oportunidad se presentó muy pronto. Un día tropezó con Vinógradov mientras
este entraba en Kerosinka. Vinógradov estaba encantado de verle y le preguntó:
—¿Cómo estás, Yakov Isaévich?
—Muy mal —replicó Yakov Isaévich, grave (era un gran actor).
—¿Qué ha ocurrido?
—Hemos hecho cosas maravillosas en mi laboratorio en el pasado, pero ya no
podemos hacer nada más. No consigo nuevos talentos. Tengo un gran estudiante
que se gradúa este año, pero no consigo contratarlo.
Supongo que Vinógradov quería demostrar a Yakov Isaévich quién mandaba allí
(que era exactamente el objetivo de Yakov Isaévich) de modo que le dijo:
—No te preocupes, me ocuparé de esto.
En ese momento, Yakov Isaévich extrajo mi carta de nombramiento. Vinógradov no
tuvo más remedio que firmarla.
Por norma general, la carta debía firmarla una docena de personas antes de
acabar en la mesa de Vinógradov: los jefes de la organización Komsomol[xix] y
del Partido Comunista y todo tipo de burócratas. Seguramente podrían encontrar
una manera de hacer descarrilar el proceso para que el nombramiento no tuviera
lugar. Pero ¡ya tenía la firma de Vinógradov! Así que, ¿qué podían hacer?
Él era el jefe, y no podían desobedecer sus órdenes.
Apretarían los dientes y maldecirían un rato, pero finalmente se darían por
vencidos y firmarían. ¡Debería haber visto sus caras cuando advirtieron la
firma de Vinógradov al pie! Yakov Isaévich había puenteado el sistema de modo
brillante.
Capítulo 13
La llamada de Harvard
En
medio de todo aquel estrés e incertidumbre, en marzo de 1989 llegó una carta de
Estados Unidos, con el membrete de la Universidad de Harvard.
Estimado
Dr. Frenkel:
Por recomendación del Departamento de Matemáticas, me gustaría invitarle a
visitar la Universidad de Harvard en otoño de 1989 como receptor del premio
Fellowship[xx] Harvard.
Sinceramente suyo,
Derek Bok
Presidente de la Universidad de Harvard.
Había
oído con anterioridad acerca de la Universidad de Harvard, aunque debo admitir
que en aquel momento no comprendía su importancia en el mundo académico. Aun
así, me sentí halagado. Que te invitaran a Estados Unidos como ganador de una
beca fellowship parecía un gran honor. ¡Me había escrito en
persona el presidente de la universidad! ¡Y se dirigía a mí como «doctor», pese
a que aún no me había licenciado! Por aquel entonces estaba en mi último
semestre en Kerosinka.
¿Cómo había ocurrido? El rumor de mi trabajo con Borya se estaba extendiendo.
Nuestro primer artículo corto ya se había publicado y estábamos acabando otros
tres, más largos, todos en inglés. El físico Lars Brink, de visita en Moscú
desde Suecia, pidió uno de ellos para un volumen que estaba compilando. Se lo
cedimos y le pedimos que hiciera una veintena de copias y las enviara a los
matemáticos y físicos que él creyera que pudieran estar interesados en nuestro
trabajo. Yo había hallado sus direcciones en artículos publicados disponibles en
la Biblioteca de Ciencias de Moscú, y di la lista a Lars. Él accedió
generosamente a ayudarnos porque sabía lo difícil que resultaría para nosotros
enviar las copias personalmente. Aquel artículo se hizo famoso, sobre todo, por
sus aplicaciones en física cuántica.
Esto ocurría varios años antes de que el uso de Internet se extendiera, y sin
embargo el sistema de distribución de literatura científica era bastante
eficaz: los autores hacían circular copias a máquina de sus manuscritos antes
de su publicación (se les llamaba «preimpresiones»). Quienes los recibían
hacían una copia y la reenviaban a sus colegas y a bibliotecas universitarias.
La veintena de personas que recibieron la copia de nuestro artículo de manos de
Lars Brink seguramente hicieron lo mismo.
Entre tanto, la Unión Soviética estaba experimentando tremendos cambios: era la
época de la perestroika, instaurada por Mijaíl Gorbachov. Una de
las consecuencias es que se permitió a la gente viajar al extranjero con mucha
mayor libertad. Antes de eso, matemáticos como Feigin y Fuchs recibían muchas
solicitudes para dar conferencias y visitar universidades en Occidente, pero
los viajes fuera del país estaban estrictamente regulados por el gobierno.
Antes de conseguir el típico visado de entrada al país de destino, había que
conseguir el visado de salida, que permitía a la persona salir de la Unión
Soviética. Se daban muy pocos de esos visados de salida, por miedo a que la
gente no regresara (y, en efecto, muchos de aquellos a quienes se les concedió
un visado de salida nunca regresaron). Se denegaban casi todas las peticiones,
habitualmente por motivos absurdos, y una vez Fuchs me dijo que hacía años de
la última vez que había intentado conseguir uno.
Pero de repente, en otoño de 1988, se permitió a varias personas viajar al
extranjero, y una de ellas fue Gelfand. Otra persona era un inteligente joven
matemático y amigo de Borya llamado Sasha Beilinson, quien también viajó a
Estados Unidos para visitar a su antiguo coautor Joseph Bernstein, quien había
emigrado unos años antes y enseñaba en Harvard.
Entre tanto, algunos científicos de Occidente se habían dado cuenta de que se
avecinaban cambios e intentaron aprovechar esta oportunidad para invitar
académicos de la Unión Soviética. Una de estas personas era Arthur Jaffe, un
famoso físico matemático, por aquel entonces jefe del Departamento Matemático
de Harvard. Había decidido crear un nuevo puesto para jóvenes matemáticos rusos
con talento. Cuando Gelfand, que había recibido un doctorado honoris
causa de Harvard, lo visitó en 1988, Jaffe le pidió que ayudara a
convencer al presidente Derek Bok, a quien Gelfand conocía en persona, de que
proporcionara ayuda y fondos para su programa (parte de los fondos los
proporcionó también Landon Clay, quien más tarde fundaría el Instituto Clay de
Matemáticas). Jaffe lo denominó «Premio Fellowship Harvard».
Una vez el programa estuvo instaurado, la cuestión era a quién invitar, y Jaffe
sondeó a varios matemáticos en busca de sugerencias. Al parecer, bastante gente
mencionó mi nombre (entre ellos Beilinson) y esa era la razón por la que me
habían elegido entre los cuatro primeros ganadores del premio.
A la carta del presidente Bok le siguió una más larga y detallada del propio
Jaffe, en que describía los términos de la cita con más detalle. Iría para un
período de entre tres y cinco meses; sería profesor visitante pero no tendría
ninguna obligación formal excepto ocasionales conferencias acerca de mi
trabajo; Harvard pagaría el viaje, alojamiento y gastos de manutención. Se
puede decir que lo único que no aportaba Harvard era el visado de salida. Por
suerte, y para sorpresa mía, lo obtuve en un mes.
Arthur Jaffe me decía en su carta que podía ir a finales de agosto y quedarme
hasta finales de enero, pero yo escogí quedarme tres meses, el mínimo
especificado en la carta. ¿Por qué? Bueno, yo no tenía intención de emigrar a
Estados Unidos, y planeaba regresar. Además, me sentía culpable por tener que
tomarme una excedencia del trabajo en Kerosinka que Yakov Isaévich me había
conseguido con tanto esfuerzo.
Una vez conseguido mi visado de salida, se me hizo evidente que el viaje se
estaba convirtiendo en una realidad, y que debía sincerarme con Yakov Isaévich
y hablarle acerca de mis «actividades extracurriculares»: mi labor matemática
con Feigin y la invitación de Harvard. Naturalmente, se sorprendió mucho.
Estaba convencido de que yo dedicaba toda mi energía a los proyectos médicos en
que trabajaba con él. Su primera reacción fue bastante negativa.
—¿Y quién trabajará en mi laboratorio si te vas a Harvard? —preguntó.
En ese momento, la mujer de Yakov Isaévich, Tamara Alekseevna, que siempre me
dio una cálida bienvenida a su casa, vino en mi auxilio:
—Yasha, sólo dices tonterías —dijo—. El chico ha recibido una invitación a
Harvard. ¡Son grandes noticias! Definitivamente, debería ir, y cuando regrese
volverá a trabajar contigo.
A desgana, Yakov Isaévich se mostró de acuerdo.
Los meses de verano pasaron rápidamente y llegó la fecha de mi partida, el 15
de septiembre de 1989. Volé de Moscú al aeropuerto JFK de Nueva York y de allí
a Boston. Jaffe no podía venir personalmente al aeropuerto, pero envió a un
estudiante de doctorado a recogerme. Me llevaron a un apartamento de dos
habitaciones que el Departamento de Matemáticas había alquilado para mí y para
otro premiado, Nicolai Reshetikhin, quien llegaría unos días más tarde. Estaba
en los Jardines Botánicos, un complejo de apartamentos propiedad de Harvard, a
menos de diez minutos de camino desde Harvard Yard.[xxi] Todo
parecía nuevo y emocionante.
Era noche cerrada cuando llegué a mi apartamento. Con el jet lag,
preferí irme inmediatamente a dormir. A la mañana siguiente fui a un mercado de
abastos cercano y compré verduras. Ya en casa, comencé a hacerme una ensalada y
me di cuenta de que no tenía sal. En el apartamento no había, de modo que tuve
que comérmela sin ella.
En cuanto hube acabado llamaron al timbre. Era Arthur Jaffe. Me propuso dar una
vuelta por la ciudad en su coche. Era realmente genial: un chico de veintiún
años paseando en coche por la ciudad con el jefe del Departamento de
Matemáticas de Harvard. Vi Harvard Yard, el río Charles, bellas iglesias y los
rascacielos del centro de Boston. El tiempo era perfecto. La ciudad me
impresionó mucho.
Durante el viaje de regreso, de dos horas, dije a Arthur que necesitaba comprar
sal, y me respondió:
—Ningún problema, te llevaré a un supermercado que hay aquí cerca.
Era la primera vez que yo entraba en un supermercado, y fue una experiencia
sorprendente. Por aquella época había escasez de alimentos en Rusia. En mi
ciudad natal, Kolomna, sólo se conseguía pan, leche y las verduras básicas,
como patatas. Para otros tipos de comida había que ir hasta Moscú, e incluso
allí lo mejor a que se podía aspirar era una mortadela de tercera o queso. Cada
fin de semana, cuando volvía a casa desde Moscú, aprovechaba para llevar algo
de comida para mis padres. Así que ver pasillos enteros abarrotados de todo
tipo de comida me resultaba absolutamente increíble.
«¿Cómo encuentra uno nada aquí?» pensé. Comencé a recorrer arriba y abajo los
pasillos en busca de sal, pero no conseguía encontrarla. Supongo que estaba un
poco mareado por la abundancia de material; en cualquier caso, ni siquiera vi
los signos en la parte superior. Pregunté a un empleado del supermercado:
—¿Dónde está la sal?
Pero no pude comprender nada de lo que dijo. Mi inglés era suficientemente
bueno para dar una clase de matemáticas, pero no tenía ninguna experiencia con
el inglés coloquial, cotidiano. El cerrado acento bostoniano tampoco facilitaba
que lo entendiera.
Pasó media hora y yo estaba desesperado, perdido en el Star Market como en un
gigantesco laberinto. Finalmente encontré un paquete de sal mezclada con ajo.
«Te sirve —me dije—. Salgamos de aquí». Pagué y salí de la tienda. El pobre
Arthur se había preocupado (¿qué demonios estaba haciendo ese chico allá dentro
durante cuarenta y cinco minutos?), así que había comenzado a buscarme.
«Perdido en la abundancia del capitalismo», pensé.
Mi adaptación a América había comenzado.
Los otros dos premiados con el Fellowship Harvard que llegaron en el semestre
de otoño eran Nicolai Reshetikhin, con quien compartía mi apartamento (llegó
una semana después) y Boris Tsygan.[xxii] Ambos
me sacaban diez años y habían hecho ya contribuciones seminales a las
matemáticas. Yo sabía de su obra pero nunca los había conocido en persona.
Durante ese primer semestre forjamos una amistad que duraría toda la vida.
Nicolai, o Kolya, como muchos lo llamaban afectuosamente, era de San
Petersburgo. Era ya famoso como uno de los inventores de los llamados grupos
cuánticos, que son generalizaciones de los grupos comunes. Para ser más
precisos, los grupos cuánticos son ciertas deformaciones de los grupos de Lie,
los objetos matemáticos de los que hablamos anteriormente. Estos grupos
cuánticos son ahora tan ubicuos como los grupos de Lie en muchas áreas de las
matemáticas y la física. Por ejemplo, Kolya y otro matemático, Vladimir Turaev,
los emplearon para construir invariantes de nudos y variedades
tridimensionales.
Borya Tsygan había sido desde hacía tiempo colaborador de Boris Feigin, mi
profesor. Originario de Kiev, Ucrania, Tsygan tuvo una gran idea justo al
acabar la facultad, que llevó a un gran descubrimiento en el campo de la
«geometría no conmutativa». Como a otros matemáticos judíos, le impedían
doctorarse tras la facultad. Por ese motivo, tras graduarse en la universidad
tuvo que trabajar en una planta de maquinaria pesada de Kiev, rodeado de
ruidosas máquinas. Sin embargo, fue en esas condiciones, mucho menos que
perfectas, cuando hizo su descubrimiento.
La gente tiende a pensar que los matemáticos trabajan en condiciones asépticas,
sentándose y concentrándose en la pantalla de un ordenador, o al techo, en una
oficina prístina e inmaculada. Pero la realidad es que algunas de las mejores
ideas vienen cuando uno menos se lo espera, y a veces a través del ruido
industrial.
Al caminar por Harvard Yard y presenciar la anticuada arquitectura de ladrillo
rojo, la estatua de Harvard,[xxiii] las
agujas de las antiguas iglesias, no pude sino sentir la exclusividad del lugar,
junto a su larga tradición de búsqueda del conocimiento e incansable
fascinación por el descubrimiento.
El Departamento de Matemáticas de Harvard estaba situado en el Centro
Científico, un moderno edificio justo a las afueras de Harvard Yard. Tenía el
aspecto de una gigantesca nave espacial alienígena que hubiera aterrizado en
Cambridge, Massachusetts, y hubiera decidido quedarse. El Departamento de
Matemáticas ocupaba tres pisos. Dentro, los despachos se mezclaban con áreas
comunes que contaban con máquinas de café y cómodos sofás. Había también una
bien diseñada biblioteca matemática propia y hasta una mesa de ping-pong.
Todo esto creaba una atmósfera acogedora, e incluso en medio de la noche podía
encontrar uno un montón de gente por allí: jóvenes y viejos, trabajando,
leyendo en la biblioteca, recorriendo nerviosos los pasillos, en una animada
conversación… Tenías la sensación de que nunca debías abandonar el lugar (y parecía
que alguna gente nunca lo había hecho).
El departamento era bastante pequeño en comparación con otras facultades.
Poseía no más de quince profesores permanentes y una decena de posdoctorados en
puestos de tres años. Cuando yo llegué, la facultad contaba con algunos de los
más grandes matemáticos de nuestro tiempo, como Joseph Bernstein, Raoul Bott,
Dick Gross, Heisuke Hironaka, David Kazhdan, Barry Mazur, John Tate y
Shing-Tung Yau. Conocerlos y aprender de ellos era una oportunidad única en la
vida. Tengo grandes recuerdos del carismático Raoul Bott, un amistoso gigante
de cabello gris, en aquella época con sesenta y muchos años, tirando de mí por
el pasillo y preguntando, con una voz atronadora:
—¿Cómo va todo, jovencito?
También había una treintena de licenciados, todos ellos con diminutos cubículos
en el piso intermedio.
Todo el mundo dio una calurosa bienvenida a los tres rusos (Kolya, Borya y yo).
Aunque éramos sólo el comienzo de una marea de científicos rusos que tomarían
por asalto las universidades estadounidenses en los años siguientes, por
aquella época era todavía muy inusual tener visitantes de la Unión Soviética.
Aun así, tras una semana, más o menos, por Cambridge, sentía que ya me había
adaptado al entorno. Todo parecía tan natural y relajado… Me compré los tejanos
más a la moda y un Walkman Sony (¡recuerde, era 1989!) y
caminaba por la ciudad con los auriculares puestos, escuchando las canciones
más geniales. Para un extranjero debía parecer el típico estudiante de
veintitantos. Mi inglés cotidiano aún dejaba mucho que desear. Para mejorarlo
compraba cada día el New York Times y lo leía, con un
diccionario, durante al menos una hora (descifrando algunas de las palabras más
extrañas y antiguas del idioma inglés, como supe después). También me volví
adicto a la televisión nocturna.
El show de David Letterman (que comenzaba a las 00.35 en la
NBC) era mi favorito. La primera vez que lo vi no pude entender ni una sola
palabra. Pero de alguna manera tenía claro que era mi programa, que si comprendiera
lo que decía el presentador lo disfrutaría. Esto me proporcionó una motivación
extra. Lo veía tercamente noche tras noche y poco a poco comencé a comprender
las bromas, el contexto, el fondo. Fue mi manera de descubrir la cultura pop
estadounidense, y devoraba toda migaja de ella que encontrase. Las noches en
que tenía que irme a dormir pronto, grababa en vídeo el programa y lo veía por
la mañana mientras desayunaba. El show de Letterman se
convirtió en una especie de ritual religioso para mí.
Aunque ni los demás becados ni yo teníamos ninguna obligación formal, acudíamos
cada día al departamento a trabajar en nuestros proyectos, hablar con gente y
acudir a seminarios, de los que había muchos. Los dos profesores con los que
más hablaba eran dos expatriados rusos: Joseph Bernstein y David Kazhdan. Ambos
son matemáticos extraordinarios, antiguos alumnos de Gelfand y buenos amigos
entre sí, pero es imposible encontrar temperamentos más dispares.
Joseph es cálido y acogedor. Cuando yo le hacía una pregunta, escuchaba
atentamente, se tomaba su tiempo para responder y a menudo decía que no sabía
la respuesta, pero aun así te contaba lo que sabía sobre el tema. Sus
explicaciones eran claras y sencillas, y a menudo contenían la respuesta que
había asegurado no conocer. Siempre te hacía sentir que no era necesario ser un
genio para comprender todo aquello, algo fantástico para un joven que aspiraba
a ser matemático.
David, en cambio, es un volcán: extremadamente agudo, ocurrente, rápido. Por su
enciclopédico conocimiento, la exhibición que hace de él y sus ocasionales
muestras de impaciencia, recuerda a su profesor Gelfand. En los seminarios, si
creía que el conferenciante no estaba explicando bien el tema, simplemente se
subía al encerado, cogía la tiza del conferenciante por la fuerza y tomaba el
relevo. Esto, si el tema le interesaba. Si no, sencillamente se dormía. Era muy
infrecuente oírle decir «no lo sé» en respuesta a una pregunta: realmente sabe
muchísimo acerca de todo. He pasado muchas horas hablando con él a lo largo de
los años y he aprendido un montón. Posteriormente colaboramos en un proyecto
conjunto que resultó ser una experiencia enriquecedora.
En mi segunda semana en Harvard tuve otro encuentro trascendental. Además de
Harvard, en Cambridge hay otra universidad menor, menos conocida, a la que se
suele nombrar por sus siglas… MIT (¡es broma, claro!). Siempre ha habido cierta
rivalidad entre Harvard y el MIT, pero en realidad los dos departamentos de
matemáticas están íntimamente relacionados. No es raro, por poner un ejemplo,
que un estudiante de Harvard tenga a un profesor del MIT como asesor, o
viceversa. A menudo los estudiantes de una universidad van a clases de la otra.
Habían nombrado a Sasha Beilinson, amigo de Borya Feigin y coautor con él,
profesor en el MIT, y yo asistía a las clases que daba allí. En la primera
clase, alguien me señaló a un elegante hombre de cuarenta y tantos años sentado
a un par de filas de distancia.
—Ese es Victor Kac.
¡Cielos! Era el creador de las álgebras Kac-Moody y muchas otras cosas, cuya
obra había estado estudiando durante varios años.
Tras la clase nos presentaron. Victor me saludó con calidez y me dijo que
quería saber más de mi trabajo. Sentí escalofríos cuando me invitó a hablar en
su seminario. Acabé dando tres conferencias en su seminario, en tres viernes
consecutivos. Fueron mis primeras conferencias en inglés, y creo que hice un
trabajo decente: la asistencia fue alta, la audiencia parecía interesada e
hicieron muchas preguntas.
Victor me tomó bajo su ala protectora. A menudo nos encontrábamos en su
espacioso despacho del MIT, hablábamos de matemáticas y me invitaba a su casa a
cenar. Posteriormente trabajamos juntos en varios proyectos.
Aproximadamente un mes después de mi llegada, también Borya Feigin vino a
Cambridge. Sasha Beilinson le envió una invitación para visitar el MIT durante
dos semanas. Me sentí feliz de que Borya viniese a Cambridge: era mi profesor,
y éramos muy amigos. Teníamos también un buen número de proyectos matemáticos
en marcha, y era una gran oportunidad para trabajar en ellos. No me di cuenta,
al principio, de que su visita iba a arrojar mi vida a tremendas turbulencias.
La noticia de que la puerta a Occidente estaba abierta, y que los matemáticos
podían viajar libremente y visitar universidades de Estados Unidos y del resto
del mundo se extendió rápidamente entre la comunidad matemática de Moscú.
Muchos decidieron aprovechar la oportunidad y emigrar definitivamente a
América. Comenzaron enviando solicitudes a varias universidades y llamando a
sus colegas en Estados Unidos para decirles que buscaban trabajo. Dado que
nadie sabía cuánto duraría esta «apertura» (la mayoría imaginaba que tras unos
meses las fronteras se cerrarían nuevamente), hubo una especie de frenesí en
Moscú. Todas las conversaciones llevaban a la misma pregunta: «¿Cuál es la
mejor manera de salir?».
Y ¿por qué iba a ser de otro modo? La mayoría de aquella gente había tenido que
enfrentarse con el antisemitismo y con varios otros obstáculos en la Unión
Soviética. No encontraban empleo en el mundo académico y tenían que realizar su
labor matemática aparte. Y aunque la comunidad matemática de Moscú era muy
fuerte, estaba en gran parte aislada del resto del mundo. Había grandes
oportunidades de carrera profesional en Occidente que sencillamente no existían
en la Unión Soviética. ¿Cómo podía nadie esperar que esta gente fuera leal al
país que los rechazaba e incluso intentaba evitar que trabajasen en el campo
que amaban, cuando se presentaban oportunidades de una vida mejor en el
extranjero?
Cuando llegó a Estados Unidos, Borya Feigin se dio cuenta de que se avecinaba
una «fuga de cerebros», y de que nada podría detenerla. En Rusia, la economía
se hacía pedazos, había escasez de alimentos en todas partes y la situación
política era cada día más inestable. En América había un nivel de vida mucho
más alto, abundancia de todo, y ¡la vida en el mundo académico parecía tan
cómoda! El contraste era inmenso. ¿Cómo convencer a nadie de regresar a la
Unión Soviética tras experimentar todo esto en persona? El éxodo de una
abrumadora mayoría de los mejores matemáticos de Rusia (o de todo aquel, en
realidad, que pudiera hallar un empleo) parecía inevitable, e iba a ocurrir muy
rápidamente.
Sin embargo, Borya decidió regresar a Moscú, pese a haber luchado toda su vida
contra el antisemitismo y pese a no hacerse ilusiones con respecto a la
situación en la Unión Soviética. La Universidad de Moscú lo había aceptado como
estudiante (en 1969, cuando presentó la solicitud, aún aceptaba a algunos estudiantes
judíos), pero no le permitió entrar en el programa de doctorado. Tuvo que
alistarse en la universidad de la provinciana ciudad de Yaroslavl para
doctorarse. Tuvo grandes dificultades para hallar un empleo hasta que consiguió
hacerse con un puesto en el Instituto de Física de Estado Sólido. Aun así, a
Borya esta huida a la carrera le resultaba perturbadora. Creía que era
moralmente incorrecto abandonar Rusia en masse de esta manera
en un momento de grandes dificultades, como ratas que abandonan un barco que se
hunde.
A Borya le entristecía profundamente saber que pronto la Gran Escuela
Matemática de Moscú dejaría de existir. Aquella tupida red de matemáticos en la
que había vivido durante tantos años iba a evaporarse ante sus ojos. Sabía que
pronto estaría prácticamente sólo en Moscú, privado del mayor placer de su
vida: trabajar en matemáticas con sus amigos y colegas.
Obviamente, este se convirtió en el principal tema de mis conversaciones con
Borya. Él intentaba convencerme de que yo regresara y no sucumbiera a lo que él
denominaba «histeria de masas» que se había apoderado de los que querían huir a
Occidente. También le preocupaba que yo no fuera capaz de convertirme en un
buen matemático en la «sociedad de consumo» estadounidense: pensaba que era
capaz de matar la motivación personal y la ética de trabajo.
—Mira, tú tienes talento —me decía—, pero necesita desarrollarse más. Tienes
que trabajar duro, como hacías en Moscú. Sólo entonces podrás conocer tu
potencial. Aquí en América, eso es imposible. Hay demasiadas distracciones y
tentaciones. Aquí la vida sólo es diversión, disfrute, gratificación
instantánea. ¿Cómo puedes concentrarte en tu trabajo aquí?
Yo no compartía sus argumentos; al menos, no del todo. Sabía que poseía una
gran motivación para las matemáticas. Pero sólo tenía veintiún años, y Borya,
quince años mayor, era mi mentor. Yo le debía todo lo que había conseguido como
matemático. Sus palabras me hacían reflexionar. ¿Y si tenía razón?
La invitación a Harvard fue un punto de inflexión en mi vida. Cinco años antes
me habían suspendido en el examen de ingreso a la MGU, y parecía que mi sueño
de convertirme en matemático había sido definitivamente destrozado. Venir a
Harvard era mi vindicación, una recompensa por todo el duro trabajo realizado
en Moscú durante aquellos años. Pero quería seguir en movimiento, efectuar
nuevos descubrimientos. Quería ser el mejor matemático posible. Veía la
invitación a Harvard como tan sólo una fase en un viaje mucho más largo. Era un
adelanto: Arthur Jaffe y otros creían en mí, y no podía defraudarlos.
En Cambridge tuve la suerte de contar con el apoyo de maravillosos matemáticos
como Victor Kac, quien me animó y me ayudó en todo lo que le fue posible. Pero
también sentía los celos por parte de algunos de mis colegas. ¿Por qué le dan
tanto y tan pronto a este sujeto? ¿Qué ha hecho para merecerlo? Me sentía
obligado a cumplir mi promesa, a demostrar a todo el mundo que mis primeros
trabajos matemáticos no eran cuestión de suerte, que podía hacer cosas más grandes
y más importantes en el mundo de las matemáticas.
Los matemáticos formamos una pequeña comunidad y, como todos los humanos, hay
cotilleos acerca de cuánto vale cada uno. En mi corta estancia en Harvard ya
había oído suficientes historias acerca de prodigios que se habían quemado
antes de tiempo. Había oído despiadados comentarios acerca de ellos, cosas como
«¿te acuerdas de tal y tal? Sus primeros trabajos fueron tan buenos… Pero no ha
hecho nada ni remotamente tan importante en los últimos tres años. ¡Qué pena!».
Me aterraba la posibilidad de que en tres años dijeran eso de mí, de modo que
me sentía constantemente presionado para ser productivo y tener éxito.
Entre tanto, la situación económica en la Unión Soviética se deterioraba a gran
velocidad, y las perspectivas eran muy inciertas. Viendo todo esto desde
dentro, y convencidos de que yo no tendría ningún futuro allí, mis padres
comenzaron a llamarme regularmente urgiéndome a que no regresara.
En aquellos días era muy caro y difícil llamar a Estados Unidos desde la Unión
Soviética. Mis padres temían que su teléfono estuviera intervenido, de modo que
viajaban a la central de correos de Moscú y llamaban desde allí. Un viaje así
les llevaba casi todo el día. Pero estaban decididos, pese a que me extrañaban
de un modo terrible, a hacer todo lo que estuviese en su poder para convencerme
de quedarme en América. Estaban completamente seguros de que era lo mejor para
mí.
También Borya quería lo que era mejor para mí, pero su postura se debía en
parte a una creencia moral. Iba a contracorriente, y lo admiro por eso. Pero
también tengo que admitir que podía hacerlo gracias a su situación,
relativamente desahogada, en Moscú (aunque eso pronto cambiaría, y se vería
obligado a pasar unos cuantos meses al año en el extranjero, sobre todo en
Japón, para mantener a su familia). Mi situación era completamente diferente:
no tenía dónde quedarme en Moscú, y tan sólo un propiska (derecho
a vivir allí) temporal. Aunque Yakov Isaévich me había conseguido un empleo de
ayudante en Kerosinka, el salario era escaso y apenas me llegaría para pagar
una habitación en Moscú. Debido al antisemitismo, ingresar en una facultad para
el doctorado sería una batalla titánica, y mis perspectivas de empleo
posteriores eran incluso peores.
A finales de noviembre, Arthur Jaffe me llamó a su despacho y me ofreció la
posibilidad de extender mi estancia en Harvard hasta finales de mayo. Tenía que
tomar una decisión pronto, y estaba desgarrado por dentro. Me gustaba mi estilo
de vida en Boston. Sentía que era donde debía estar. Con Harvard y el MIT,
Cambridge era uno de los más importantes centros matemáticos. Algunas de las
mentes más brillantes del mundo estaban aquí, y yo podía simplemente llamar a
sus puertas, preguntarles algo y aprender de ellos. Había también abundantes
seminarios en los que se anunciaban fascinantes nuevos descubrimientos poco
después de que se hicieran. Estaba rodeado de los estudiantes más inteligentes.
Se trataba del entorno más estimulante para un joven aspirante a matemático que
nadie pudiera imaginar. Moscú solía ser así, pero ya no.
Pero era la primera vez que estaba tanto tiempo lejos de casa. Extrañaba a mi
familia y a mis amigos. Y Borya, mi maestro, que era la persona más cercana a
mí en Cambridge, se obstinaba en que yo debía regresar en diciembre, conforme a
lo planeado.
Todas las mañanas me despertaba aterrorizado, preguntándome: «¿qué debo
hacer?». Desde la perspectiva del tiempo pasado, la respuesta parece evidente.
Pero con tantas fuerzas diferentes colisionando, todas al unísono, tomar una
decisión no era fácil. Al final, tras angustiosas deliberaciones, decidí seguir
el consejo de mis padres y quedarme, y así se lo comuniqué a Jaffe. Mis amigos
Reshetikhin y Tsygan hicieron lo mismo.
A Borya no le gustó esto, y yo sentía que le había defraudado. Verlo marcharse
de regreso a Moscú, en el aeropuerto de Logan, a mediados de diciembre, fue un
momento de tristeza. No sabíamos qué nos deparaba el futuro a ninguno de los
dos; ni siquiera sabíamos si volveríamos a vernos pronto. Yo había hecho caso
omiso al consejo de Borya. Pero todavía me atemorizaba que sus miedos se
hicieran realidad.
Capítulo 14
Atando los haces de la sabiduría
El
semestre de primavera trajo más visitantes a Harvard, uno de los cuales,
Vladimir Drinfeld, cambió la dirección de mi investigación y, en más de un
modo, mi carrera matemática. Y todo eso sucedió gracias al Programa Langlands.
Yo había oído hablar de Drinfeld con anterioridad. En aquella época sólo tenía
treinta y seis años, pero era ya una leyenda. Seis meses después de conocerle,
le concedieron la Medalla Fields, uno de los más prestigiosos premios en
matemáticas, al que muchos comparan con el premio Nobel.
Drinfeld publicó su primer artículo matemático con sólo diecisiete años, y para
cuando cumplía los veinte estaba ya realizando descubrimientos revolucionarios
en el marco del Programa Langlands. Originario de Járkov, Ucrania, donde su
padre era un célebre profesor de matemáticas, Drinfeld estudió en la
Universidad de Moscú a principios de la década de 1970. Por aquella época a los
judíos les costaba entrar en la MGU, pero se admitía un pequeño porcentaje de
judíos. Para cuando recibía su licenciatura de la MGU, era ya famoso en todo el
mundo y lo aceptaron en el doctorado, algo extraordinario para un estudiante
judío. Su tutor era Yuri Ivánovich Manin, uno de los matemáticos más originales
e influyentes del mundo.
Sin embargo, ni siquiera Drinfeld consiguió escapar del todo del antisemitismo.
Tras obtener su doctorado, fue incapaz de conseguir un empleo en Moscú y tuvo
que pasar tres años en una universidad de provincias, en Ufa, una ciudad
industrial en los montes Urales. Drinfeld se trasladó a Ufa a desgana, y no era
la menor de las razones el que no había, en la ciudad, matemáticos que
trabajaran en las áreas que a él le interesaban. Pero el resultado de su
estancia en Ufa fue que Drinfeld escribió una importante obra en el campo de la
teoría de sistemas integrables, un tema bastante alejado de sus intereses,
conjuntamente con un matemático local llamado Vladímir Sokolov. A los sistemas
integrables que crearon se les denomina, hoy en día, sistemas Drinfeld-Sokolov.
Al cabo de tres años en Ufa, Drinfeld consiguió hacerse, finalmente, con un
empleo en su ciudad natal, en el Instituto Járkov para Física de Bajas
Temperaturas. Se trataba de un empleo relativamente cómodo, y podía estar cerca
de su familia, pero al estar en Járkov quedaba aislado de la comunidad
matemática soviética, que se concentraba en Moscú y, en menor medida, en San
Petersburgo.
Pese a todo ello, y a trabajar en gran parte solo, Drinfeld siguió obteniendo
maravillosos resultados en diversas áreas de las matemáticas y la física.
Además de demostrar importantes conjeturas del Programa Langlands, y de abrir
un nuevo capítulo en la teoría de sistemas integrables con Sokolov, desarrolló
la teoría general de grupos cuánticos (originalmente descubierta por Kolya
Reshetikhin y sus coautores) y muchas otras cosas. La amplitud de sus
contribuciones mareaba.
Se hicieron intentos, en Moscú, de contratar a Drinfeld. Me contaron, por
ejemplo, que el físico Alexander Belavin intentó llevarlo al Instituto Landau
de Física Teórica, cerca de Moscú. Para aumentar las probabilidades de éxito,
Belavin y Drinfeld resolvieron juntos un importante problema de clasificación
de soluciones a la «ecuación Yang-Baxter clásica», en la que muchos físicos se
interesaban por aquel entonces. Su artículo se publicó en la revista de
Gelfand, Análisis funcional y aplicaciones, con mucho éxito. Creo
que es el artículo más largo jamás publicado por Gelfand, lo que dice mucho de
su importancia. Fue esa obra la que llevó a Drinfeld a la teoría de grupos
cuánticos, que revolucionó muchas áreas de las matemáticas. Sin embargo,
ninguno de esos planes de contratación funcionó. El antisemitismo y la carencia
de propiska en Moscú por parte de Drinfeld eran una
combinación letal. Drinfeld permaneció en Járkov, visitando Moscú sólo
ocasionalmente.
Se invitó a Drinfeld a visitar Harvard en 1990, y esto fue una afortunada
casualidad para mí. Llegó a finales de enero. Tras haber oído todas aquellas
leyendas acerca de él, me sentí intimidado al principio, pero resultó ser
extremadamente agradable y amistoso. Hablaba bajo, escogía cuidadosamente sus
palabras y, cuando hablaba de matemáticas, era el ejemplo vivo de la claridad.
Cuando te explicaba algo, no intentaba hacerlo para agrandar su figura, como si
estuviera desvelando un gran misterio que nunca hubieras sido capaz de
comprender por ti solo (que es, lamentablemente, como suelen explicarse algunos
colegas a los que no nombraré). Por el contrario, siempre conseguía explicar
las cosas de la manera más sencilla y clara posible, de modo que una vez te las
había explicado te sentías como si siempre las hubieras sabido.
Más
importante aún; Drinfeld me dijo desde el principio que estaba muy interesado
en mi trabajo con Feigin, y que deseaba emplearlo para su nuevo proyecto,
relacionado con el Programa Langlands.
Recordemos, del capítulo 9, las tres columnas de la piedra Rosetta de André
Weil:
El
Programa Langlands surgió inicialmente con las columnas izquierda y central:
teoría de números y curvas sobre cuerpos finitos. La idea es establecer una
relación entre las representaciones de un grupo de Galois y las funciones
automorfas. El concepto de grupo de Galois tiene todo el sentido del mundo en
las columnas izquierda y central de la piedra Rosetta, y hay funciones
automorfas adecuadas que se pueden encontrar en otra área de las matemáticas
llamada análisis armónico.
Con anterioridad a la obra de Drinfeld, no se sabía si había algún análogo del
Programa Langlands para la columna de la derecha, la teoría de superficies de
Riemann. Las maneras de incluir las superficies de Riemann comenzaron a surgir
a principios de la década de 1980 en la obra de Drinfeld, a la que siguió la
del matemático francés Gérard Laumon. Se dieron cuenta de que era posible
efectuar una reformulación geométrica del Programa Langlands que tuviera
sentido tanto para la columna central como para la de la derecha de la piedra
Rosetta de André Weil.
En las columnas izquierda y central, el Programa Langlands relaciona los grupos
de Galois y las funciones automorfas. La cuestión es, entonces, hallar los
análogos adecuados del grupo de Galois y de las funciones automorfas en la
teoría geométrica de superficies de Riemann. Ya hemos visto en el capítulo 9
que, en teoría geométrica, el grupo fundamental de una superficie de Riemann
desempeña el papel de grupo de Galois. Pero dejamos sin explorar los análogos
geométricos de las funciones automorfas.
Resulta que los análogos geométricos perfectos no son funciones, sino lo que
los matemáticos llaman haces.
Para explicar lo que son, hablemos de números. Tenemos los números naturales:
1, 2, 3… y, evidentemente, sirven para muchas cosas. Una de ellas es medir
dimensiones. Como vimos en el capítulo 10, una recta es unidimensional, un
plano es bidimensional y para cualquier número n natural
tenemos un espacio plano n-dimensional, también llamado espacio
vectorial.[121] Imaginemos
ahora un mundo en el que los números naturales se vieran sustituidos por
espacios vectoriales, es decir: en lugar del número 1 tuviéramos una recta; en
lugar del número 2, un plano; etcétera.
En este nuevo mundo, la suma de números se vería sustituida por lo que los
matemáticos llaman la suma directa de espacios vectoriales. Dados dos espacios
vectoriales, cada uno con su sistema de coordenadas, obtenemos un tercero, que
combina las coordenadas de los dos espacios vectoriales, de modo que su dimensión
es la suma de dos dimensiones. Por ejemplo: una recta tiene una coordenada y un
plano tiene dos. Al sumarlos obtenemos un espacio vectorial con tres
coordenadas. Se trata de nuestro espacio tridimensional.
La multiplicación de números naturales se ve sustituida por otra operación con
espacios vectoriales. Dados dos espacios vectoriales, obtenemos un tercero,
llamado su producto tensorial. No daré ahora una descripción detallada de lo
que es un producto tensorial: lo importante es que si los dos espacios
vectoriales con los que comenzamos tienen dimensiones m y n,
su producto tensorial tendrá dimensión m · n.
Así, tenemos operaciones en espacios vectoriales análogas a las operaciones de
suma y multiplicación con números naturales. ¡Pero este mundo paralelo de
espacios vectoriales es mucho más rico que el mundo de los números naturales!
Un número dado cualquiera no tiene estructura interna. El número 3, por
ejemplo, por sí mismo carece de simetrías. Pero un espacio tridimensional sí
las posee. En realidad, hemos visto que cualquier elemento del grupo de Lie
SO(3) da lugar a una rotación del espacio tridimensional. El número 3 es una
mera sombra del espacio tridimensional, que refleja tan sólo un atributo del
mismo, su dimensionalidad. Pero no hace justicia a otros aspectos de los
espacios vectoriales como sus simetrías.
En matemáticas modernas, creamos un nuevo mundo en el que los números cobran
vida en forma de espacios vectoriales. Cada uno de ellos tiene una vida rica y
plena, y tienen también relaciones más profundas con los demás, que no se
reducen a la mera suma y multiplicación. En efecto, sólo podemos restar 1 a 2
de un amanera determinada. Pero podemos inscribir una recta en un plano de
muchas formas diferentes.
A diferencia de los números naturales, que forman un conjunto, los espacios
vectoriales forman una estructura más sofisticada, que los matemáticos llaman
categoría. Una categoría determinada tiene «objetos», como los espacios
vectoriales, pero además tiene «morfismos» de un objeto cualquiera a otro
objeto cualquiera.[122] Por
ejemplo, los morfismos desde un objeto a sí mismo en una categoría dada son
esencialmente las simetrías de ese objeto permitidas en esta categoría. Por
tanto, el lenguaje de las categorías nos permite centrarnos no en qué consisten
los objetos, sino en cómo interactúan entre sí. Por ello la teoría matemática
de categorías se adapta especialmente bien a la informática.[123] La
creación de lenguajes de programación funcionales, como Haskell, es tan sólo un
ejemplo de una miríada de recientes aplicaciones.[124] Parece
inevitable que las próximas generaciones de ordenadores estén basadas más en la
teoría de categorías que en la de conjuntos, y que las categorías entren en
nuestra vida cotidiana, nos demos cuenta o no.
El cambio de paradigma de conjuntos a categorías es también una de las fuerzas
motrices de las matemáticas modernas. Se le llama categorificación.
Básicamente estamos creando un nuevo mundo, en el que elevamos a un nivel mucho
más alto los conceptos conocidos. Por ejemplo, los espacios vectoriales sustituyen
a los números. La siguiente pregunta es: ¿qué pasará con las funciones en este
nuevo mundo?
Para responder a esta pregunta, volvamos por un momento a la noción de función.
Supongamos que tenemos una forma geométrica, como una esfera o un círculo, o la
superficie de un donut. Llamémosla S. Como ya vimos antes, los
matemáticos nos referimos a estas formas como variedades. Una función f en
una variedad S es una regla que asigna un número a cada
punto s en S, llamado valor de la función f en
el punto s. La indicamos como f (s).
Un ejemplo de función es la temperatura, en que la variedad S es
sencillamente el espacio tridimensional en que vivimos. En cada punto de S podemos
medir la temperatura, que es un número. Esto nos proporciona una regla que
asigna un número a cada punto, de modo que tenemos una función. De igual
manera, la presión barométrica nos da también una función.
Para ver un ejemplo más abstracto, hagamos que S sea la
circunferencia. Cada punto de la circunferencia está determinado por un ángulo,
al que, como antes, llamaremos φ. Que f sea la función seno.
En tal caso, el valor de esta función en el punto de la circunferencia
correspondiente al ángulo φ es sen(φ). Por ejemplo, si φ = 30º
(o π/6, si medimos los ángulos en radianes en lugar de en grados) el valor de
la función seno es 1/2. Si φ = 60º (o π/3), el valor será √3/2,
etcétera.
Sustituyamos ahora los números por espacios vectoriales. De esta manera una
función se convertirá en una regla que asigna a cada punto s en
una variedad Sno un número, sino un espacio vectorial. A esa regla
se le llama haz. Si indicamos un haz mediante un símbolo F,
el espacio vectorial asociado a un punto s se indicará con el
símbolo F(s).
Así, la diferencia entre funciones y haces reside en lo que asignamos a cada
punto de nuestra variedad S: para las funciones, asignamos números
a puntos, y para los haces, asignamos espacios vectoriales. Para un haz dado,
estos espacios vectoriales pueden ser de diferentes dimensiones para diferentes
puntos s. Por ejemplo, en la imagen inferior, la mayoría de estos
espacios vectoriales son planos (es decir, espacios vectoriales
bidimensionales) pero hay uno que es una recta (un espacio vectorial
unidimensional). Los haces son categorificaciones de funciones, del mismo modo
en que los espacios vectoriales son categorificaciones de números.
Aunque
esto va más allá del alcance de este libro, en realidad un haz es más que una
recolección desarticulada de espacios vectoriales asignados a puntos de una
variedad. Las fibras de un haz, en diferentes puntos, tienen que estar
relacionadas entre sí mediante un estricto conjunto de reglas.[125]
De momento, lo que nos importa es que existe una profunda analogía entre
funciones y haces, descubierta por el gran matemático francés Alexander
Grothendieck.
La influencia de Grothendieck en las matemáticas modernas no tiene casi
parangón. Si pregunta cuál es el matemático más importante de la segunda mitad
del siglo XX, muchos matemáticos le responderán, sin dudar un instante:
Grothendieck. No sólo creó, en solitario, la moderna geometría algebraica, sino
que transformó completamente la manera en que vemos las matemáticas. El
diccionario entre funciones y haces, que empleamos en la reformulación del
Programa Langlands, es un excelente ejemplo del conocimiento profundo típico
del trabajo de Grothendieck.
Para darle una pincelada de la idea de Grothendieck, recordemos, del capítulo
8, la noción de cuerpo finito. Para cada número primo p, existe un
cuerpo finito con p elementos: {0, 1, 2…, p -
1}. Como ya dijimos, estos p elementos comprenden un sistema
numérico con operaciones de suma, resta, multiplicación y división módulo p,
que obedecen las mismas reglas que las operaciones correspondientes con números
racionales y reales.
Pero en este sistema numérico hay también algo especial. Si toma cualquier
elemento del cuerpo finito {0, 1, 2…, p - 1} y lo eleva a
la p-ésima potencia, en el sentido de la aritmética de módulo p del
que hablamos anteriormente… ¡obtendrá el mismo número! En otras palabras,
ap = a módulo p
Esta
fórmula la demostró Pierre Fermat, el matemático del último teorema de Fermat.
Sin embargo, a diferencia de la de aquel, la demostración de esta fórmula es
bastante sencilla. Cabría incluso en los márgenes de un libro. La he puesto en
la parte final de este.[126] Para
distinguir este resultado del último teorema de Fermat (a veces también llamado
gran teorema de Fermat) se le llama «pequeño teorema de Fermat».
Por ejemplo, sea p = 5. Nuestro cuerpo finito será, pues,
{0,1,2,3,4}. Elevemos cada uno de ellos a la 5.a potencia.
Evidentemente, con 0 toda potencia es 0, y con 1 toda potencia es 1: aquí no
hay sorpresas. Ahora, elevemos 2 a la 5.apotencia: obtenemos 32.
Pero 32 = 2 + 5 · 6, de modo que módulo 5 da 2: volvemos al 2, como prometimos.
Tomemos por ejemplo la 5.a potencia de 3: obtenemos 243, pero
243 = 3 + 5 · 48, que es 3 módulo 5. Nuevamente, obtenemos el número con el que
comenzamos. Finalmente, intentemos lo mismo con 4: su 5.a potencia
es 1.024, que es 4 módulo 5. ¡Bingo! Le animo a comprobar que a3 = a módulo
3, y que a7 = a módulo 7 (para
números primos más altos puede que necesite una calculadora si quiere verificar
el pequeño teorema de Fermat).
Lo que también es notable es que una ecuación similar forma la base del
algoritmo de encriptación RSA, empleado a escala mundial en banca online.[127]
La fórmula ap = a módulo p es
más que un bonito descubrimiento: significa que la operación de elevar números
alap-ésima potencia, convirtiendo a en ap,
es un elemento del grupo de Galois del cuerpo finito. Se le llama simetría
Frobenius, o simplemente la Frobenius. Resulta que el grupo de
Galois del cuerpo finito de pelementos se genera mediante esta
Frobenius.[128]
Regresemos a la idea de Grothendieck. Comenzamos en la columna central de la
piedra Rosetta de Weil. Luego estudiamos curvas sobre cuerpos finitos y
variedades más generales sobre cuerpos finitos. Estas variedades están
definidas por sistemas de ecuaciones polinómicas como
y2 + y = x3 - x2,
de
las que ya hablamos en el capítulo 9.
Supongamos que tenemos un haz en una de estas variedades. Es una regla que
asigna a cada punto de la variedad un espacio vectorial, pero en realidad hay
más estructura. La noción de haz se define de tal manera que cualquier simetría
del sistema numérico sobre el que definamos nuestra variedad (que, en este
caso, es un cuerpo finito) da lugar a una simetría en su espacio vectorial. En
especial, la Frobenius, que es un elemento del grupo de Galois del cuerpo
finito, da lugar necesariamente a una simetría (como una rotación o una
dilatación) de este espacio vectorial.
Ahora bien, si tenemos una simetría de un espacio vectorial, podemos obtener un
número de ella. Existe una técnica estándar para hacer esto. Por ejemplo, si
nuestro espacio vectorial es una recta, la simetría de este espacio vectorial
que obtendremos de la Frobenius será una dilatación: todo elemento z se
transformará en Az para un número A. Por tanto, el
número que asignamos a esta simetría es justamente A. Y para los
espacios vectoriales de dimensión mayor a 1, tomamos lo que se denomina traza
de la simetría.[129] Al
tomar la traza de la Frobenius en el espacio F (s),
asignamos un número al punto s.
El caso más sencillo es que la Frobenius actúe como la simetría identidad en el
espacio vectorial. De modo que en este caso, al tomar la traza de la Frobenius,
asignamos a un espacio vectorial su dimensión. Pero si la Frobenius no es la
identidad, esta construcción asigna al espacio vectorial un número más general,
no necesariamente un número natural.
El resultado es que si tenemos una variedad S sobre un cuerpo
finito {0, 1, 2…, p- 1} (que es lo que ocurre si nos encontramos en
la columna central de la piedra Rosetta de Weil) y tenemos un haz F sobre S,
entonces podemos asignar un número a cada punto s de S.
Esto nos da una función de S. Por lo tanto, vemos que en la columna
central de la piedra Rosetta de Weil tenemos una manera de pasar de haces a
funciones.
Grothendieck llamó a esto «diccionario haces–funciones». Se trata, sin embargo,
de un diccionario curioso: basándonos en el procedimiento que hemos visto,
obtenemos un pasaje de haces a funciones. Es más: las operaciones naturales
sobre haces son paralelas a las operaciones naturales sobre funciones. Por
ejemplo, la operación de tomar la suma directa de dos haces, definida de modo
similar a la suma directa de dos espacios vectoriales, es paralela a la
operación de suma de dos funciones.
Pero no hay manera natural de pasar de funciones a haces.[130] Resulta
que podemos hacerlo sólo para determinadas funciones, no para todas. Pero si
pudiéramos hacerlo, este haz llevará un montón de información adicional que la
función no tenía. Esta información puede emplearse, luego, para llegar al
corazón mismo de la función. Un hecho notable es que la mayoría de las
funciones que aparecen en el Programa Langlands, en la segunda columna de la
piedra Rosetta de Weil, proceden de haces.
Los matemáticos han estudiado las funciones, uno de los conceptos centrales de
todas las matemáticas, durante siglos. Es una noción que podemos comprender de
modo intuitivo si pensamos en la temperatura o en la presión atmosférica. Pero
de lo que la gente no se daba cuenta antes de Grothendieck es que si estamos en
el contexto de variedades sobre cuerpos finitos (como curvas sobre un cuerpo
finito) podemos ir más allá de las funciones y, en su lugar, trabajar con
haces.
Las funciones eran, si se quiere, conceptos de las matemáticas arcaicas, y los
haces son los conceptos de las matemáticas modernas. Grothendieck demostró que,
en muchos sentidos, los haces son más fundamentales; las buenas viejas
funciones eran tan sólo sus sombras.
Este descubrimiento estimuló enormemente el progreso en las matemáticas en la
segunda mitad del siglo XX. La razón es que los haces son objetos mucho más
vitales y versátiles, con mucha más estructura. Por ejemplo, un haz puede tener
simetrías. Si elevamos una función a haz, podemos aprovechar esas simetrías y
de esta manera aprender mucho más que lo que aprenderíamos empleando sólo
funciones.
Lo realmente importante para nosotros es que los haces tienen sentido tanto en
la columna central como en la de la derecha de la piedra Rosetta de Weil. Esto
abre una puerta a mover el Programa Langlands de la columna central a la
derecha.
En la columna derecha de la piedra Rosetta tenemos variedades definidas sobre
los números complejos. Tenemos, por ejemplo, superficies de Riemann como la
esfera o la superficie del donut. En este entorno, las funciones automorfas que
aparecen en las columnas izquierda y central de la piedra Rosetta de Weil no
tienen mucho sentido. Pero los haces, sí. De modo que una vez sustituimos las
funciones por haces en la columna central (y podemos hacerlo, gracias al
diccionario de Grothendieck) volvemos a obtener la analogía entre las columnas
central y derecha de la piedra Rosetta.
Resumamos: cuando pasamos de la columna central de la piedra Rosetta de Weil a
la de la derecha, hemos de efectuar ajustes en ambos lados de la relación
concebida por el Programa Langlands. Esto se debe a que los conceptos de grupo
de Galois y función automorfa no tienen contrapartidas directas en la geometría
de las superficies de Riemann. Primero, el grupo de Galois halla su análogo en
el grupo fundamental de la superficie de Riemann, como explicamos en el
capítulo 9. Después, empleamos el diccionario de Grothendieck y en lugar de
funciones automorfas empleamos haces que satisfacen propiedades análogas a las
de las funciones automorfas. Los llamamos haces automorfos.
El siguiente diagrama ilustra esto. En él tenemos tres columnas de la piedra
Rosetta, y las dos hileras de cada columna contienen los nombres de los objetos
en los dos lados de la relación Langlands específica a esa columna.
La
pregunta es, entonces, cómo construir estos haces automorfos. Resultó ser un
problema muy difícil. A principios de los años ochenta, Drinfeld propuso la
primera de tales construcciones para el caso más sencillo (profundizando en un
trabajo no publicado de Pierre Deligne). Pocos años después, Gérard Laumon
desarrolló las ideas de Drinfeld.
Cuando conocí a Drinfeld, me dijo que había ideado un método radicalmente nuevo
para construir haces automorfos. Pero la nueva construcción que había concebido
dependía de cierta conjetura que creía que yo podría derivar de mi trabajo con
Feigin en álgebras Kac-Moody. No podía creérmelo: ¿podía mi trabajo ser útil
para el Programa Langlands?
La posibilidad de hacer algo relacionado con el Programa Langlands me hizo
querer aprender todo lo que se sabía al respecto. Aquella primavera acudí al
despacho de Drinfeld en Harvard casi todos los días, y lo acribillé a preguntas
acerca del Programa Langlands, que, paciente, respondió una a una. Él también
me preguntaba sobre mi trabajo con Feigin, cuyos detalles eran cruciales para
lo que intentaba hacer. El resto del día yo devoraba todo lo que encontrara en
la biblioteca de Harvard acerca del Programa Langlands. El tema era tan
atractivo que intentaba dormir cada noche lo antes posible para que la mañana
llegara antes y poder sumergirme aún más en el Programa Langlands. Sabía que me
estaba embarcando en uno de los proyectos más importantes de mi vida.
Hacia finales del semestre de primavera ocurrió algo más, que me devolvió a la
kafkiana experiencia de mis exámenes de entrada a la Universidad de Moscú.
Un día, Victor Kac me llamó a mi casa en Cambridge y me dijo que alguien había
invitado a Anatoli Logunov, el presidente (o rector, como se le denominaba) de
la Universidad de Moscú a dar una conferencia en el Departamento de Física del
MIT. Kac y muchos de sus colegas estaban indignados por que el MIT ofreciese
una tribuna al responsable directo de la discriminación contra los estudiantes
judíos en los exámenes de entrada a la MGU. Kac y los demás opinaban que sus
acciones eran constitutivas de delito y que, por lo tanto, tal invitación era
un escándalo.
Logunov era un hombre muy poderoso: no sólo era el rector de la MGU, sino
también el director del Instituto de Física de Alta Energía, miembro del Comité
Central del Partido Comunista de la Unión Soviética y más. Pero ¿por qué le
invitaba alguien del MIT? En cualquier caso, Kac y sus colegas protestaron y
exigieron que tanto su visita como su conferencia se cancelasen. Tras algunas
negociaciones, se llegó a un compromiso: Logunov vendría y daría su
conferencia, pero tras la misma habría un debate público acerca de la situación
en la MGU y el público tendría ocasión de enfrentarse a él por la
discriminación. Sería como una asamblea municipal.
Naturalmente, Kac me pidió que acudiera a la reunión para presentar mi historia
como testimonio directo de lo que estaba ocurriendo en la MGU bajo la dirección
de Logunov. Yo tenía mis reparos al respecto. Estaba convencido de que Logunov
acudiría acompañado por sus «ayudantes», que tomarían nota de todo. Hay que
recordar que era mayo de 1990, y faltaba más de un año para el fallido putsch de
agosto de 1991 que daría inicio al derrumbe de la Unión Soviética. Y yo iba a
regresar en verano. Si decía cualquier cosa ligeramente embarazosa para un
funcionario soviético de alto rango como Logunov, me metería en serios
problemas. Como mínimo, me impedirían abandonar la Unión Soviética y regresar a
Harvard. Aun así, no podía negarme a la proposición de Kac. Sabía cuán
importante podía resultar mi testimonio en esa reunión, de modo que respondí a
Victor que acudiría y que, de ser necesario, testificaría. Kac intentó darme
ánimos:
—No te preocupes, Edik —dijo—; si te meten en la cárcel por esto, haré todo lo
que esté en mi mano para sacarte.
La noticia del acontecimiento se difundió rápidamente y la sala de conferencias
estaba a rebosar para la conferencia de Logunov. La gente no acudía para
aprender nada de su clase. Todo el mundo sabía que Logunov era un físico mediocre
que había construido su carrera intentando desacreditar la teoría de la
relatividad de Einstein (me pregunto por qué). Como era de esperar, la charla
(acerca de su «nueva» teoría gravitatoria) fue insustancial. Pero fue bastante
inusual en muchos aspectos. En primer lugar, Logunov no hablaba inglés, y dio
su conferencia en ruso, que un hombre alto, vestido con traje y corbata negros,
traducía simultáneamente a un inglés perfecto. Hubiera podido llevar la palabra
«KGB» escrita en grandes letras de imprenta en su frente. Su clon (como en la
película Matrix) estaba sentado entre el público, mirando a su
alrededor.
Antes de la charla, uno de los anfitriones de Logunov lo presentó de una manera
muy particular: proyectó una diapositiva de una primera página de un artículo
en inglés, escrito por Logunov y otras personas, publicado hacía una década.
Supongo que intentaban demostrar que Logunov no era un completo idiota, sino
que en realidad tenía varias publicaciones a su nombre en distintas revistas
académicas. Nunca había visto presentar a nadie de esta manera. Estaba claro
que a Logunov no se le había invitado a charlar en el MIT por su brillantez
científica.
No hubo protestas durante la conferencia, aunque Kac había distribuido entre
los miembros del público fotocopias de documentos condenatorios. Uno de ellos
era una transcripción de un compañero judío de una década atrás. Había sacado
excelentes en todas las asignaturas y aun así, durante su último año en la MGU,
lo habían expulsado por «fracaso académico». Una corta nota añadida a la
transcripción informaba al lector que agentes desplegados habían visto a este
estudiante en la sinagoga de Moscú.
Tras la conferencia, la gente se trasladó a otra habitación y se sentó
alrededor de una gran mesa rectangular. Logunov se situó a un lado, cerca de
uno de los extremos, flanqueado por sus dos «ayudantes» trajeados, que le
traducían, y Kac y otros acusadores se sentaban al otro lado de la mesa,
directamente frente a él. Yo me senté, callado, con algunos amigos, en el
extremo opuesto de la mesa, a un lado de Logunov, de modo que no me prestaba
atención.
Al principio hablaron Kac y otros, y contaron que habían oído muchas historias
acerca de estudiantes judíos no admitidos en la MGU. Preguntaron a Logunov si
él, como rector de la Universidad de Moscú, tenía algo que decir al respecto.
Evidentemente, lo negó todo, le dijeran lo que le dijeran. En un momento
determinado uno de los individuos con traje dijo, en inglés:
—¿Sabe? El profesor Logunov es una persona muy modesta y nunca le confesaría
esto. Pero yo lo haré. En realidad, ha ayudado a muchas personas judías con sus
carreras.
Entonces el otro tipo trajeado dijo a Kac y los demás:
—Deberían explicarse o callarse. Si tienen algún caso concreto del que quieran
hablar, expónganlo. Si no, el profesor Logunov es un hombre ocupado y tiene
otros asuntos que atender.
En ese momento, evidentemente, Kac dijo:
—En realidad sí, tenemos un caso concreto del que le queremos hablar —e hizo un
gesto hacia mí.
Me puse de pie. Todo el mundo me miró, incluidos Logunov y su «ayudantes». Sus
caras traicionaban cierta ansiedad. Ahora me enfrentaba a Logunov directamente.
—Muy interesante —dijo Logunov en ruso (esto se tradujo para todo el mundo) y
luego se dirigió a sus ayudantes—: No olviden apuntar su nombre.
He de confesar que estaba un poco asustado, pero había llegado al punto de no
retorno. Me presenté y dije:
—Me suspendieron en los exámenes de ingreso en el Mekh-Mat hace seis años.
Y luego describí brevemente lo que había pasado en los exámenes. La habitación
estaba en silencio. Era una declaración «concreta» de una víctima de la
política de Logunov, y no había manera de negar que hubiera sucedido. Los dos
ayudantes se apresuraron a minimizar los daños.
—Así que le suspendieron en la MGU. Tras ello, ¿dónde solicitó su entrada?
—Fui al Instituto de Petróleo y Gas.
—Acudió a Kerosinka —tradujo el ayudante a Logunov, quien asintió enérgico:
evidentemente, sabía que se trataba de uno de los pocos lugares de Moscú en que
aceptaban a estudiantes como yo.
—Bueno —siguió el ayudante—, tal vez la competencia en el Instituto de Petróleo
y Gas no era tan dura como en la MGU. ¿Quizá por eso entró en una y no en la
otra?
Eso era falso: yo sabía de buena tinta que había muy poca competencia en el
Mekh-Mat entre quienes no eran discriminados. Me habían dicho que con un
«notable» y tres «aprobados» entre los cuatro exámenes era suficiente para
ingresar. Los exámenes de ingreso en Kerosinka eran, por el contrario, muy
competitivos. En ese momento, Kac intervino:
—Mientras era estudiante, Edward realizó descubrimientos matemáticos avanzados
e innovadores y lo invitaron como profesor visitante a Harvard con sólo
veintiún años, menos de cinco años después de que lo suspendieran en la MGU.
¿Está sugiriendo que la competencia para el puesto en Harvard era también menor
que la entrada en la MGU?
Un largo silencio. Entonces, de repente, Logunov se animó.
—¡Me siento indignado por esto! —gritó—. Investigaré y castigaré a los
responsables de suspender a este joven. ¡No permitiré que este tipo de cosas
pasen en la MGU!
Y siguió diciendo cosas por el estilo durante unos minutos.
¿Qué podía uno responder ante eso? Nadie en la mesa se creía que el arrebato de
Logunov fuera sincero ni que fuera a hacer nada. Logunov era muy listo. Al
expresar su supuesta indignación por un caso evitaba un tema mucho más amplio:
los despiadados suspensos a miles de otros estudiantes, como consecuencia de
una política de discriminación cuidadosamente calculada y claramente condonada
por los máximos dignatarios de la MGU, incluido el propio rector.
No era posible llevar todos esos casos a la reunión y demostrar que había una
política concertada de antisemitismo en los exámenes de ingreso a Mekh-Mat. Y
aunque había cierto grado de satisfacción por haber podido enfrentarme cara a
cara con mi torturador y obligarle a admitir que, en efecto, sus subordinados
me habían perjudicado, todos sabíamos que la cuestión más importante había
quedado sin responder.
Los anfitriones de Logunov, visiblemente molestos por la publicidad negativa
que había rodeado su visita, querían acabar con esta lo antes posible.
Levantaron la sesión y se lo llevaron de allí. Nunca se le volvió a invitar.
Capítulo 15
Una danza delicada
En
otoño de 1990 me convertí en estudiante de doctorado en Harvard, algo que debía
hacer para pasar de profesor visitante a algo más permanente. Joseph Bernstein
accedió a ser mi tutor oficial. Para entonces yo ya tenía material más que
suficiente para una tesis doctoral, y Arthur Jaffe consiguió que el decano
declinara para mí el habitual requerimiento de dos años como estudiante a fin
de poder conseguir mi doctorado en un año. Por eso, mi «degradación» de
profesor visitante a estudiante de doctorado no duró mucho.
En realidad escribí mi tesis doctoral acerca de un nuevo proyecto, que acabé
durante aquel año. Todo comenzó debido a mis debates con Drinfeld acerca del
Programa Langlands, aquella primavera. Este es uno de ellos en forma de guión
cinematográfico.
ENTRADA
EN FUNDIDO
INTERIOR DEL DESPACHO DE DRINFELD EN HARVARD
DRINFELD camina delante de su pizarra.
EDWARD, sentado en una silla, toma notas. En la mesa, junto a él, hay una taza
de té.
DRINFELD
De
modo que la conjetura Shimura Taniyama Weil nos ofrece un vínculo entre
ecuaciones cúbicas y formas modulares, pero Langlands fue mucho más allá.
Concibió una relación mucho más general, en la que las representaciones
automorfas de un grupo de Lie interpretan el papel de las formas modulares.
EDWARD
¿Qué
es una representación automorfa?
DRINFELD
(Tras una larga pausa)
Ahora
mismo la definición exacta no es importante. Y, en cualquier caso, la puedes
encontrar en un libro. Lo importante es que se trata de la representación de un
grupo de Lie G: por ejemplo, el grupo SO(3) de rotaciones de una
esfera.
EDWARD
OK.
Y ¿con qué están relacionadas estas representaciones automorfas?
DRINFELD
Bueno,
esa es la parte más interesante: Langlands predijo que estarían relacionadas
con representaciones del grupo de Galois en otro grupo de Lie.1
EDWARD
Ya
veo. ¿Quieres decir que este grupo de Lie no es el mismo grupo G?
DRINFELD
¡No!
Es otro grupo de Lie, al que se denomina grupo Langlands dual de G.[131]
DRINFELD escribe el símbolo LG en la pizarra.
EDWARD
¿La L es
por Langlands?
DRINFELD
(esboza una sonrisa)
Bueno,
la motivación original de Langlands era comprender algo llamado funciones L,
de modo que llamó a este grupo «grupo L»…
EDWARD
Déjame
ver si comprendo esto. Para todo grupo de Lie G existe otro
grupo de Lie llamado LG, ¿correcto?
DRINFELD
Sí.
Y aparece en la relación Langlands, que esquemáticamente es algo así:
DRINFELD escribe un diagrama en la pizarra2[132]:
EDWARD
No
lo entiendo... al menos, todavía no. Pero permíteme una pregunta más sencilla
¿cuál es el grupo Langlands dual de, pongamos por caso, SO(3)?
DRINFELD
Es
bastante fácil: es un recubrimiento doble de SCX3). ¿Has visto el truco del
vaso?
EDWARD
¿El
truco del vaso? Ah, sí, ya me acuerdo... FUNDE A: INTERIOR DE UNA CASA; FIESTA
DE ESTUDIANTES DE HARVARD Una docena de estudiantes, aproximadamente,
veinteañeros, hablan y beben cerveza y vino. EDWARD está hablando con una
ESTUDIANTE.
ESTUDIANTE
Así
es como funciona. La ESTUDIANTE toma un vaso de plástico con vino y lo coloca
en la palma abierta de su mano derecha. Entonces comienza a rotar la palma de
su mano y el brazo (como en las fotografías de abajo). Tras realizar un giro
completo (360 grados) su brazo está completamente torcido. Manteniendo el vaso
derecho, sigue rotando otra vuelta entera y ¡sorpresa! Su brazo y el vaso
regresan a la posición inicial, como si no hubieran girado.3[133]
OTRO
ESTUDIANTE
He
oído que los filipinos tienen una danza tradicional del vino en que hacen esto
con las dos manos.4[134]
Coge dos vasos de cerveza e intenta rotarlos a la vez, pero sus manos no son
firmes y pronto vuelca cerveza de ambos vasos. Todo el mundo se ríe. FUNDIDO A:
OTRA VEZ EN EL DESPACHO DE DRINFELD
DRINFELD
El
truco demuestra el hecho de que hay un camino cerrado en el grupo SO(3) que es
no trivial, pero si cruzamos dos veces este camino, obtenemos un camino
trivial.5[135]
EDWARD
Oh,
ya veo. El primer giro completo del vaso te retuerce el brazo cuando haces
esto, y equivale a un camino no trivial en SO(3).
Toma una taza de té de la mesa y realiza el movimiento del primer giro.
EDWARD
Uno
pensaría que el segundo giro retorcería aún más el brazo. En lugar de ello, lo
vuelve a dejar recto. EDWARD completa el movimiento.
DRINFELD
Exactamente.6[136]
EDWARD
¿Qué
tiene todo esto que ver con el grupo Langlands dual?
DRINFELD
El
grupo Langlands dual de SO(3) es un doble recubrimiento de SO(3), de modo que…
EDWARD
De
modo que por cada elemento de SO(3) hay dos elementos del grupo dual Langlands.
DRINFELD
Debido
a ello, este nuevo grupo7[137] no
tendrá ningún camino cerrado no trivial.
EDWARD
¿De
modo que pasar al grupo Langlands dual es una manera de deshacerse de este
extraño torcimiento?
DRINFELD
En
efecto.8[138]
A
primera vista puede parecer una diferencia menor, pero en realidad tiene
importantes consecuencias, como diferencias de comportamiento en los ladrillos
fundamentales de la materia, como electrones y quarks, y en las partículas que
interactúan con ellos, como los fotones. En grupos de Lie más generales, la
diferencia entre el grupo y su grupo Langlands dual es incluso más pronunciada.
En muchos casos no hay vínculo aparente entre los dos grupos duales.
EDWARD
¿Por
qué aparece el grupo dual en la relación Langlands? Parece magia...
DRINFELD
En
realidad no lo sabemos.
FUNDIDO A NEGRO
Truco del vaso (de izquierda a derecha, de arriba abajo). Fotos de Andrea
Young.
La
dualidad Langlands construye una relación de paridad entre grupos de Lie: para
cada grupo de Lie G hay un grupo Langlands dual LG,
y el dual de LG es el propio G.[139] Ya es
bastante sorprendente que el Programa Langlands relaciones dos tipos diferentes
de objetos (uno de teoría de números y otro de análisis armónico) pero que dos
grupos duales, G y LG, aparezcan en
ambos lados de la relación, como muestra el diagrama de la p. 247, es realmente
desconcertante.
Ya hemos hablado anteriormente de cómo el Programa Langlands conecta diferentes
continentes del mundo de las matemáticas. A modo de analogía, digamos que esos
continentes fueran Europa y Norteamérica, y que tuviéramos una manera de
enlazar a cada persona de Europa con una de Norteamérica, y viceversa. Es más,
supongamos que bajo esta relación, varios atributos, como peso, altura y edad,
coincidieran perfectamente, pero que los géneros estuvieran invertidos: cada hombre
estaría enlazado a una mujer, y viceversa. Sería como un interruptor entre un
grupo de Lie y su grupo Langlands dual bajo la relación predicha por el
Programa Langlands.
Este interruptor es, en realidad, el factor más misterioso del Programa
Langlands. Conocemos varios mecanismos que describen cómo aparece el grupo
dual, pero todavía no comprendemos por qué aparece. Esa
ignorancia es uno de los motivos por los que intentamos difundir las ideas del
Programa Langlands a otros campos de las matemáticas (a través de la piedra
Rosetta) y a la física cuántica, como veremos en el próximo capítulo. Queremos
hallar más ejemplos de la aparición del grupo Langlands dual y esperamos que
ello nos proporcione más pistas acerca de por qué ocurre y qué significa.
Centrémonos en la columna de la derecha de la piedra Rosetta de Weil, que
concierne a las superficies de Riemann. Como establecimos en el capítulo previo
(véase el diagrama de la p. 238) en la versión de la relación Langlands que
juega con esta columna, en el reparto de personajes están los «haces
automorfos» interpretando el papel de las funciones automorfas (o
representaciones automorfas) asociadas al grupo de Lie G. Resulta
que estos haces automorfos «viven» en cierto espacio vinculado a la superficie
de Riemann X y el grupo G, llamado espacio de
móduli de G-fibrados sobre X. Por el momento no nos
interesa saber exactamente qué es.[140] En el
otro lado de la relación, el papel del grupo de Galois lo desempeña el grupo
fundamental de esta superficie de Riemann, como hemos visto en el capítulo 9.
Por tanto, del diagrama de la p. 247 hallamos que la relación geométrica
Langlands (también denominada correspondencia geométrica Langlands) debería ser
algo así:
Esto
significa que a cada representación del grupo fundamental en LG deberíamos
poderle asociar un haz automorfo. Y Drinfeld tenía una idea radicalmente nueva
acerca de cómo hacerlo.
ENTRADA
EN FUNDIDO
INTERIOR DEL DESPACHO DE DRINFELD
DRINFELD
Así
que hemos de hallar un modo sistemático de construir estos haces automorfos. Y
creo que las representaciones de álgebras Kac-Moody pueden funcionar.
EDWARD
¿Por
qué?
DRINFELD
Ahora
estamos en el mundo de las superficies de Riemann. Una superficie de estas
puede tener límites, que son lazos.
DRINFELD dibuja una ilustración en la pizarra.
DRINFELD
Los
lazos de una superficie de Riemann nos dan un vínculo a los grupos de lazos y,
por consiguiente, a las álgebras Kac Moody. Con este vínculo podemos convertir
representaciones de un álgebra Kac Moody en haces en el espacio de móduli de
G-fibrados sobre nuestra superficie de Riemann. Ignoremos los detalles de
momento. De un modo esquemático, espero que funcione de esta manera:
Dibuja un diagrama en la pizarra.
DRINFELD
La
segunda flecha no me parece problemática. La verdadera pregunta es cómo
construir la primera flecha. Feigin me contó acerca de tu trabajo en las
representaciones de álgebras Kac-Moody. Creo que puede ser válido aquí.
EDWARD
Pero
en tal caso, las representaciones del álgebra Kac-Moody de Gdeberían
de algún modo «saber» acerca del grupo Langlands dual LG.
DRINFELD
Exacto.
EDWARD
¿Cómo
es posible?
DRINFELD
Esa
es una pregunta para ti.
FUNDIDO EN NEGRO
Supongo
que me sentía un poco como Neo hablando con Morfeo en la película Matrix.
Era fascinante y daba un poco de miedo. ¿Sería capaz de aportar algo nuevo en
este campo?
Para poder explicar cómo enfoqué este problema, tengo que explicarle acerca de
un eficaz método para construir representaciones del grupo fundamental de una
superficie de Riemann. Se hace empleando ecuaciones diferenciales.
Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función con sus
derivadas. Por ejemplo, imaginemos un coche moviéndose en una carretera recta.
Esta carretera tiene una coordenada; llamémosla x. La posición del
coche en un momento t del tiempo queda, por tanto, codificada
por la función x(t). Por ejemplo, podría ser que x(t)
= t2.
La velocidad del coche es la razón entre la distancia viajada en un pequeño
período de tiempo ?t y este período de tiempo:
Si
el coche viaja a una velocidad constante, no importa qué período temporal ?ttomemos.
Pero si el coche va cambiando de velocidad, un ?t más pequeño nos
daría un cálculo más preciso de la velocidad en el momento t. Para
conseguir el valor exacto e instantáneo de la velocidad en ese momento, tenemos
que tomar el límite de esta razón conforme ?t se acerca a 0. Este
límite es la derivada de x(t). Lo señalamos como x'(t).
Por ejemplo, si x(t) = t2,
entonces x'(t) = 2t, y, de un modo más general,
si x(t) = tn, entonces x'(t)
= ntn-1. Estas fórmulas no son difíciles de
derivar, pero en este momento no nos resulta necesario.
Muchas leyes de la naturaleza se pueden expresar mediante ecuaciones
diferenciales, es decir, ecuaciones que implican funciones y sus derivadas. Por
ejemplo, las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo, de las que
hablaremos en el siguiente capítulo, son ecuaciones diferenciales, como lo son
también las ecuaciones de Einstein para describir la fuerza de la gravedad. En
realidad, la mayoría de modelos matemáticos (sean en física, biología, química
o mercados financieros) implican ecuaciones diferenciales. Incluso las
preguntas más sencillas que uno se puede plantear acerca de economía doméstica,
como el cálculo del interés compuesto, nos llevan rápidamente a las ecuaciones
diferenciales.
He aquí un ejemplo de ecuación diferencial:
La
función x(t) = t2 es una
solución de esta ecuación. En efecto, tenemos que x'(t) = 2t,
y que 2x(t)/t = 2t2/t =
2t, de modo que si sustituimos x(t) = t2 a
izquierda y derecha obtenemos la misma expresión, 2t. Más aún: resulta
que cualquier solución a esta ecuación posee la forma x(t)
= Ct2, donde C es un número real
independiente de t (es C de «constante»). Por
ejemplo, x(t) = 5t2 es una solución.
De igual modo, las soluciones de la ecuación diferencial
las
da la fórmula x(t) = Ctn, en
que C es un número real arbitrario.
Nada nos impide que n sea un número negativo aquí. La ecuación
aún tendría sentido, y la fórmula x(t) = Ctn también
seguiría teniendo sentido, sólo que la función ya no se podría definir en t =
0. De modo que excluyamos t = 0. Una vez lo hagamos, podemos
hacer que n sea cualquier número racional arbitrario, e
incluso un número real arbitrario.
Y ahora efectuamos un paso adicional: en la formulación original de esta
ecuación diferencial, tratábamos t como tiempo, de modo que
suponíamos que era un número real. Ahora supongamos que t es
un número complejo, de modo que tiene la forma r + s √-1
, en que r y s son números reales. Como vimos
en el capítulo 9 (véase gráfico en p. 152) los números complejos pueden
representarse como puntos en el plano con coordenadas r y s.
Una vez hacemos que t sea complejo, x(t) se
convierte, de facto, en una función sobre el plano. Es decir, en el
plano menos un punto. Dado que decidimos que x(t) no se
puede definir en el punto t = 0, que es el origen en el plano
(en que ambas coordenadas, r y s, son iguales a
0) x(t) queda definido en el plano excepto un punto, el
origen.
Ahora traemos a colación el grupo fundamental. Los elementos del grupo
fundamental, como vimos en el capítulo 9, son caminos cerrados. Veamos el grupo
fundamental del plano con un punto excluido. En ese caso, todo camino cerrado
tiene un «índice»: es el número de veces que el camino cerrado gira alrededor
del punto excluido. Si el camino gira en sentido contrario a las agujas del
reloj, lo contamos en positivo, y si lo hace en sentido de las agujas del
reloj, lo contamos con signo negativo.[141] En la
imagen se muestran los caminos cerrados con los índices +1y-1.
Un
camino en espiral que diera dos vueltas y cruzara sobre sí mismo para regresar
a su inicio tendría un índice de +2ode-2, y así seguiríamos
para caminos más complicados.
Regresemos a nuestra ecuación diferencial:
en
que n es un número real arbitrario y t toma,
ahora, valores en números complejos. Esta ecuación tiene una solución x(t)
= tn. Sin embargo, hay una sorpresa aguardando: si n no
es un entero, cuando evaluemos la solución a lo largo de un camino cerrado en
un plano y regresemos al mismo punto, el valor de la solución en el punto final
no será necesariamente el valor con el que comenzamos. Se verá multiplicado por
un número complejo. En esta situación, decimos que la solución ha sufrido
una monodromía a lo largo de su camino.
La afirmación de que algo cambia cuando efectuamos una vuelta completa puede
parecer poco intuitiva, e incluso contradictoria al principio. Pero todo
depende de lo que queramos decir cuando hablamos de una vuelta completa.
Podemos recorrer un camino cerrado y regresar al punto de inicio en el sentido
de un atributo en particular, como nuestra posición en el espacio.
Pero otros atributos también pueden sufrir cambios.
Pensemos en este ejemplo. Rick conoció a Ilsa en una comida formal el 14 de
marzo de 2010 e instantáneamente se enamoró. A Ilsa no le decía nada Rick al
principio, pero accedió a una cita con él, de todos modos. Y luego otra. Y
otra. A Ilsa comenzó a gustarle Rick: es divertido, listo y se preocupa de
ella. Antes de darse cuenta estaba enamorada; incluso cambió su estatus de
Facebook a «en una relación», y Rick hizo lo mismo. El tiempo voló, y pronto
fue nuevamente 14 de marzo, el aniversario del día en que se conocieron. Desde
el punto de vista del calendario (si sólo atendemos al día y al mes, e
ignoramos el año) Rick e Ilsa habían efectuado una vuelta completa. Pero las
cosas habían cambiado. El día en que se conocieron, Rick estaba enamorado e
Ilsa no. Pero un año después ya no era así; en realidad podían estar igual de
enamorados, o quizá Ilsa completamente loca de amor y Rick… de aquella manera.
Incluso es posible que Rick se hubiera desenamorado de Ilsa y comenzado a ver
en secreto a alguien más. No lo sabemos. Lo importante es que pese a que habían
regresado a la misma fecha del calendario, 14 de marzo, el amor que sentían
mutuamente había cambiado.
Ahora bien, mi padre me dice que este ejemplo es confuso porque parece sugerir
que Rick e Ilsa hubieran regresado al mismo punto en el tiempo, lo que es
imposible. Pero en lo que me estoy centrando es en los atributos: para ser
específicos, en mes y día. En ese sentido, ir del 14 de marzo de 2010 al 14 de
marzo de 2011 es dar, efectivamente, una vuelta entera.
Pero quizá sea más útil imaginar un camino cerrado en el espacio. Supongamos
que, mientras estaban juntos, Rick e Ilsa dieron una vuelta al mundo. Mientras
viajaban su relación iba evolucionando, de modo que al regresar al punto de
partida (su ciudad) el amor que sentían uno por el otro podía haber cambiado.
En el primer caso, tenemos un camino cerrado en el tiempo (para ser más
exactos, en el calendario de días y meses) y en el segundo caso, un camino
cerrado en el espacio. Pero las conclusiones son similares: ambos escenarios
ilustran un fenómeno que podríamos denominar monodromía del amor.
Matemáticamente, podemos representar el amor de Rick por Ilsa con el
número x, y el amor de Ilsa por Rick, con el número y.
En ese caso, podemos representar el estado de su relación en cada momento por
un punto en el plano con coordenadas (x, y). Por ejemplo, en
el primer escenario, el día en que se conocen, era el punto (1,0). Pero
posteriormente, conforme se movían en un camino cerrado (en tiempo o en
espacio) la posición del punto cambiaba. De aquí que la evolución de su
relación se represente como una trayectoria en el plano XY. La
monodromía es sencillamente la diferencia entre el punto de inicio y el punto
final de esta trayectoria.
He aquí un ejemplo menos romántico. Supongamos que está usted subiendo una
escalera en espiral y da una vuelta entera. Con respecto a una proyección de su
posición sobre el suelo, usted acaba de dar una vuelta entera. Pero otro
atributo (su altitud) ha cambiado: ha llegado usted al siguiente piso. Eso
también es una monodromía. Podemos unir este ejemplo con el primero que
pusimos, porque el calendario es también como una espiral: 365 días del año
equivalen a una vuelta en proyección sobre el suelo, pero el año es como la
altitud. Por tanto, ir de una fecha determinada, como el 14 de marzo de 2010, a
la misma fecha de un año después es como subir por la escalera.
Volvamos a la solución de nuestra ecuación diferencial. Un camino cerrado en el
plano es como el camino cerrado de su proyección sobre el suelo. El valor de la
solución es como la altitud de su posición en la escalera. Desde este punto de
vista, no debería suponer una sorpresa que el valor de la solución, conforme
damos una vuelta entera, sea diferente al valor inicial.
Tomando la razón entre estos dos valores, obtenemos la monodromía de la
solución a lo largo de su camino. Resulta que podemos interpretar esta
monodromía como un elemento del grupo circular.[142] Para
ilustrar mejor esto, imagine que pudiera doblar un bastón de caramelo hasta que
tuviera la forma de un donut. Luego siga la raya espiral de color rojo. Moverse
a lo largo del bastón es como seguir un camino cerrado en el plano, y la raya
roja sería nuestra solución. Cuando demos una vuelta entera al bastón, por lo
general la raya roja habrá quedado en un punto diferente al de inicio. Esa
diferencia es la monodromía de nuestra solución. Corresponde a una rotación del
bastón en un ángulo determinado.
El cálculo presentado en la nota 12 muestra que la monodromía a lo largo de un
camino cerrado con el índice + 1 es el elemento del grupo circular
correspondiente a una rotación de 360n grados. Por ejemplo,
si n = 1/6, entonces asignamos a su camino la rotación de
360/6 = 60 grados. De igual manera, la monodromía a lo largo del camino con el
índice w es la rotación de 360wn grados.
El resultado de todo esto es que las monodromías a lo largo de diferentes
caminos en el plano sin un punto dan lugar a una representación de su grupo
fundamental en el grupo circular.[143]. De
un modo más general, podemos construir representaciones del grupo fundamental
de cualquier superficie de Riemann (posiblemente quitando algunos puntos, como
en este caso) con sólo evaluar la monodromía de las ecuaciones diferenciales
definidas en su superficie. Estas ecuaciones van a ser más complicadas, pero
localmente, en un pequeño entorno de un punto en la superficie, parecerán
similares a la de arriba. Mediante la monodromía de soluciones de ecuaciones
incluso más sofisticadas podemos construir, de igual modo, representaciones del
grupo fundamental de una superficie de Riemann dada en grupos de Lie que no
sean el grupo circular. Por ejemplo, podemos construir representaciones del
grupo fundamental en el grupo SO(3).
Regresemos al problema al que yo me enfrentaba: comenzamos con un grupo de
Lie G y tomamos la correspondiente álgebra Kac-Moody. La
conjetura de Drinfeld exigía hallar un vínculo entre representaciones de esta
álgebra Kac-Moody y representaciones del grupo fundamental del grupo Langlands
dual LG.
El primer paso es sustituir las representaciones del grupo fundamental por
ecuaciones diferenciales adecuadas, cuya monodromía tome valores en LG.
Esto hace la cuestión más algebraica y, por tanto, más cercana al mundo de las
álgebras Kac-Moody. Los tipos de ecuaciones diferenciales relevantes aquí los
introdujeron con anterioridad (en esencia, en el caso de un plano sin un punto,
como las de arriba) Drinfeld y Sokolov en la época en que Drinfeld estaba
«exiliado» en Ufa. Tras ello, Beilinson y Drinfeld generalizaron ese trabajo a
superficies de Riemann arbitrarias y llamaron «opers» a las ecuaciones
diferenciales resultantes. La palabra «oper» viene, evidentemente, de
«operador», pero era también en parte una broma, puesto que en Rusia es un
término coloquial para referirse a los agentes de policía, como «pasma».
En mi tesis, a partir del trabajo que realicé en Moscú con Borya, pude
construir representaciones del álgebra Kac-Moody de G parametrizadas
por los opers correspondientes al grupo Langlands dual LG.
La existencia de un vínculo entre las dos era casi milagrosa: el álgebra
Kac-Moody asociada a G «conocía», de alguna manera, la
existencia del grupo Langlands dual LG, como Drinfeld
había predicho. Esto hizo que su plan funcionara según el siguiente esquema:[144]
Mi
demostración de este resultado era técnicamente bastante compleja. Fui capaz de
explicar cómo aparecía el grupo Langlands dual, pero incluso
ahora, más de veinte años después, me sigue pareciendo un misterio por
qué aparece. Resolví el problema, pero, en definitiva, me resultó poco
satisfactorio sentir que algo aparecía de la nada. Desde entonces, mi
investigación se ha visto motivada en parte por encontrar una explicación más
completa.
A menudo ocurre esto. Uno demuestra un teorema, otros lo verifican, se hacen
nuevos avances en el campo basados en el nuevo resultado, pero la auténtica
comprensión de su significado puede tardar años o incluso décadas. Sé que
incluso si yo no encuentro la respuesta, la antorcha pasará a manos de nuevas
generaciones de matemáticos que finalmente la hallarán. Aunque, por supuesto,
me gustaría llegar en persona al corazón de la cuestión.
Beilinson y Drinfeld emplearon posteriormente el teorema de mi tesis en su
bella construcción de la relación geométrica Langlands (en la columna derecha
de la piedra Rosetta de Weil, véase p. 253). Su espectacular trabajo resultó el
comienzo de un nuevo capítulo en el Programa Langlands, y trajo un alud de
nuevas ideas y descubrimientos en el tema, profundizando aún más en él.
Posteriormente resumí la investigación que realicé en esta área (parte de ella
con Borya, parte con Dennis Gaitsgory) en mi libro Langlands
Correspondence for Loop Groups, publicado por Cambridge University Press.[145] Salió
en 2007, exactamente veinte años después de que yo escribiera mis primeras
fórmulas para la construcción de campo libre de álgebras Kac-Moody en un tren
nocturno, de regreso a casa desde la dacha de Borya, un cálculo que (cómo iba
yo a saberlo) daría inicio a mi largo viaje hacia el Programa Langlands.
Como epígrafe para mi libro, escogí estos versos de un poema de 1931 de E. E.
Cummings, uno de mis poetas favoritos:
Concentric
geometries of transparency slightly
joggled sink through algebras of proud
inwardlyness to collide spirally with iron arithmetics… [xxiv]
Me
parece una poética metáfora de lo que intentamos conseguir en el Programa
Langlands: una unidad de geometría, álgebra y aritmética, es decir, teoría de
números. La alquimia de la actualidad.
La obra de Beilinson y Drinfeld resolvió problemas que se arrastraban desde
hacía tiempo, pero también suscitó nuevas preguntas. Es lo que sucede en las
matemáticas: cada nuevo resultado descorre parte del velo de lo desconocido,
pero lo que en ese momento pasa a ser conocido no abarca sólo soluciones:
incluye preguntas que no sabíamos formular, direcciones que no sabíamos que
podíamos explorar. Y así cada descubrimiento nos inspira a dar nuevos pasos y
nunca nos deja satisfechos en nuestra búsqueda de conocimiento.
En mayo de 1991 asistí a la ceremonia de graduación de Harvard. Fue un momento
incluso más emocionante para mí porque el orador inicial era Eduard
Shevardnadze, uno de los arquitectos de la perestroika en la
Unión Soviética. Acababa de dimitir de su puesto como ministro de Asuntos
Exteriores como protesta contra la violencia en las repúblicas bálticas,
advirtiendo contra una incipiente dictadura.
Eran tiempos turbulentos. Nada sabíamos del tumulto que estaba aún por llegar:
el coup d'état en agosto de ese mismo año, la posterior
ruptura de la Unión Soviética, las inmensas dificultades que la mayoría de la
gente debería soportar en el curso de las reformas económicas.
Tampoco podíamos prever el controvertido mandato de Shevardnadze como
presidente de la República de su Georgia natal. Aquel glorioso y soleado día en
Harvard Yard yo quería decir «gracias» al hombre que había ayudado a liberarme,
y a millones de compatriotas míos, del régimen comunista.
Me acerqué a él tras su discurso y le dije que acababa de recibir mi doctorado
de Harvard, algo que no habría sido posible sin la perestroika.
Sonrió y me respondió en ruso, con su encantador acento georgiano:
—Me alegra oír eso. Le deseo grandes éxitos en su trabajo.
Se detuvo y añadió, como auténtico georgiano:
—Y felicidad en su vida personal.
A la mañana siguiente volé hacia Italia. Victor Kac me invitaba a una
conferencia que organizaba en Pisa con su colega italiano Corrado De Concini.
De Pisa fui hasta Córcega para otra reunión, y tras esta, a una en Kioto,
Japón. Estas conferencias reunieron a físicos y matemáticos interesados en las
álgebras Kac-Moody y sus aplicaciones a la física cuántica. Yo di conferencias
acerca de la obra que acababa de terminar. Era la primera vez que la mayoría de
participantes había oído hablar del Programa Langlands, y parecían intrigados
por él. Cuando recuerdo aquellos días, me asombra cuánto han cambiado las
cosas. Hoy en día el Programa Langlands se considera una piedra angular de las
matemáticas modernas y se le conoce ampliamente en diversas disciplinas.
También fue la primera vez que tuve la oportunidad de viajar por el mundo.
Estaba descubriendo diferentes culturas y cómo las matemáticas, nuestro
lenguaje común, nos unían. Todo era nuevo y fascinante, y el mundo, un
caleidoscopio de infinitas posibilidades.
Ya
hemos visto al Programa Langlands resonar a través de despachos matemáticos,[xxv] de la
teoría de números a las curvas sobre cuerpos finitos a las superficies de
Riemann. Incluso las representaciones de álgebras Kac-Moody se han incorporado
a la mezcla. A través de la lente del Programa Langlands observamos los mismos
patrones, los mismos fenómenos, en estos diversos campos matemáticos. Se
manifiestan de diferentes maneras, pero se pueden reconocer ciertos rasgos en
común, como la aparición del grupo dual Langlands. Apuntan a la existencia de
una misteriosa estructura subyacente (podríamos llamarla el código fuente) en
todas las matemáticas. Es en este sentido en el que hablamos del Programa
Langlands como de una Teoría de la Gran Unificación de las matemáticas.
Hemos visto también algunos de los conceptos más comunes e intuitivos de
matemáticas que estudiamos en la escuela: números, funciones, ecuaciones…
retorcidos, deformados, a veces hechos añicos. Muchos han demostrado no ser ni
de lejos tan fundamentales como parecían. En las matemáticas modernas hay
conceptos e ideas más profundos y versátiles: espacios vectoriales, grupos de
simetrías, aritméticas de módulo números primos, haces… De modo que hay más en
las matemáticas que lo que se aprecia a simple vista, y es el Programa
Langlands el que nos permite comenzar a ver lo que no veíamos antes. Hasta
ahora sólo hemos sido capaces de captar destellos de esa realidad oculta. Y
ahora, como arqueólogos que se enfrentan a un mosaico fracturado, intentamos
poner en común las pruebas que hemos recogido. Cada nueva pieza del puzle nos
proporciona nuevas ideas, nuevas herramientas para desentrañar el misterio. Y
cada vez nos asombra la aparentemente inagotable riqueza de la imagen que va
surgiendo.
Encontré mi punto de entrada a este mundo mágico cuando Drinfeld conectó mi
trabajo en las álgebras Kac-Moody con el Programa Langlands. Este amplio tema,
y su omnipresencia en las matemáticas, me han fascinado desde entonces. Me vi
abocado a aprender más y más acerca de las varias líneas del Programa Langlands
que se tocan en este libro, y desde entonces la mayor parte de mi investigación
se ha efectuado en el Programa Langlands o se ha inspirado en él de alguna
manera. Esto me ha obligado a visitar muchos continentes matemáticos y aprender
diferentes culturas y lenguajes.
Como todo viajero, era evidente que lo que conociera me iba a sorprender. Y
ahora viene una de las mayores sorpresas: resulta que el Programa Langlands
está también inextricablemente vinculado a la física cuántica. La clave es la
dualidad, tanto en la física como en las matemáticas.
Puede que parezca extraño buscar una dualidad en la física, pero en cierto
sentido es un concepto con el que estamos ya familiarizados. Pongamos el
ejemplo de la electricidad y el magnetismo. Aunque ambas fuerzas aparentan ser
completamente diferentes, en realidad una sola teoría matemática las describe,
la del electromagnetismo. Esta teoría posee una dualidad oculta que intercambia
fuerzas eléctricas y magnéticas (hablaremos de ella con detalle más adelante).
En la década de 1970, los físicos intentaron generalizar esta dualidad a las
teorías llamadas de campo de gauge (o teorías de gauge) no abelianas. Se trata
de las teorías que describen las fuerzas nucleares: la «fuerte», que mantiene a
los quarks dentro de los protones, neutrones y otras partículas elementales; y
la «débil», responsable de cosas como la radiactividad.
En el núcleo de toda teoría de gauge hay un grupo de Lie, al que se llama grupo
de gauge. La del electromagnetismo es, en esencia, la más sencilla de las
teorías de gauge, y el grupo de gauge es, en este caso, nuestro viejo conocido
el grupo circular (el grupo de rotaciones de cualquier objeto redondo). Este
grupo es abeliano, es decir: la multiplicación de dos elementos cualesquiera no
depende del orden en que se tomen los valores: a· b = b· a.
Pero en las teorías de las interacciones fuerte y débil, los grupos de gauge
correspondientes son no abelianos, es decir, a · b = b · a en
el grupo de gauge. De modo que las llamamos teorías no abelianas de gauge.
Ahora bien, en la década de 1970 los físicos descubrieron que había un análogo
de la dualidad electromagnética en las teorías no abelianas de gauge, si bien
con un giro sorprendente. Resultaba que si comenzábamos con la teoría de gauge
cuyo grupo de gauge es G, la teoría dual sería la teoría de gauge
con otro grupo de gauge. Y, ¡oh, maravilla!: el grupo resultó no ser otro que
¡el grupo Langlands dual LG, ingrediente clave del
programa Langlands!
Piense en ello de esta manera: las matemáticas y la física son como dos
planetas diferentes, la Tierra y Marte, por ejemplo. En la Tierra descubrimos
una relación entre continentes diferentes. Bajo esta relación, asociamos a cada
persona en Europa con una persona en Norteamérica: sus alturas, pesos y edades
son iguales. Pero tienen sexos opuestos (es como intercambiar un grupo de Lie y
su grupo Langlands dual). Y entonces, un día, recibimos a un visitante de Marte
que nos dice que en Marte han descubierto una relación entre sus continentes.
Resulta que se puede vincular a cada marciano de uno de sus continentes con
otro de otro continente distinto, de tal manera que coincidan en altura, pesos
y edad, pero… con sexos opuestos (¿quién hubiera dicho que los marcianos
tuvieran dos sexos, como nosotros?). No podemos creer lo que estamos oyendo:
parecería que la relación que tenemos en la Tierra y la que tenemos en Marte
están, de algún modo, conectadas. Pero ¿por qué?
De igual modo, dado que el grupo Langlands dual aparece tanto en las
matemáticas como en la física, es normal asumir que hay alguna relación entre
el Programa Langlands en las matemáticas y la dualidad electromagnética en la
física. Pero durante casi treinta años nadie fue capaz de hallarla.
Hablé
de esto en varias ocasiones, a lo largo de los años, con Edward Witten. Witten,
profesor del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, está considerado uno
de los físicos teóricos vivos más importantes. Una de sus sorprendentes
cualidades es su capacidad para emplear los aparatos más sofisticados de física
cuántica a fin de realizar sorprendentes descubrimientos y conjeturas en
matemáticas puras. Su obra ha inspirado a varias generaciones de matemáticos, y
fue el primer físico en ganar la Medalla Fields, uno de los premios más
prestigiosos en matemáticas.
Curioso en cuanto a un posible vínculo entre las dualidades cuánticas y el
Programa Langlands, Witten me preguntaba por este de vez en cuando. Hablábamos
de ello en mi despacho en Harvard cuando venía de visitante a Harvard o al MIT,
o en su despacho en Princeton cuando yo acudía allí. Los debates eran siempre
muy estimulantes, pero nunca iban demasiado lejos. Era evidente que faltaban
algunos elementos fundamentales, aún por descubrirse.
Obtuvimos ayuda de una fuente inesperada.
En una conferencia en Roma, en mayo de 2003,[146] recibo
un correo electrónico de mi viejo amigo y colega Kari Vilonen. Originario de
Finlandia, Kari es uno de los matemáticos más sociables que conozco. Cuando
llegué por primera vez a Harvard, él y su futura esposa, Martina, me llevaron a
un pub en Boston a ver un partido de béisbol de los Red Sox.
Los Sox perdieron, pero ¡fue una experiencia tan memorable! Hemos sido amigos
desde entonces, y años después fuimos coautores de varios artículos acerca del
Programa Langlands (junto a otro matemático, Dennis Gaitsgory). Para ser
exactos, juntos demostramos un caso importante de la relación Langlands.
En su correo, Kari (por entonces profesor en la Universidad Northwestern) me
contaba que había contactado con gente de DARPA que quería concedernos una
subvención para apoyar la investigación en el Programa Langlands.
DARPA son las iniciales en inglés de la Agencia para la Investigación de
Proyectos Avanzados de Defensa, la rama de investigación del Departamento de
Defensa estadounidense. Se creó en 1958, a la estela del lanzamiento del Sputnik,
con la misión de potenciar la ciencia y la tecnología en Estados Unidos y
evitar el tipo de sorpresas tecnológicas que representaba el Sputnik.
Leí el siguiente párrafo en la página web de DARPA:[147]
Para
cumplir su misión, la Agencia se apoya en diferentes expertos a fin de aplicar
enfoques multidisciplinares, tanto para el avance científico, a través de
investigación básica, como para crear innovadora tecnología enfocada a
problemas prácticos actuales, a través de investigación aplicada. Las
investigaciones científicas de DARPA abarcan desde el trabajo de laboratorio
hasta demostraciones de tecnología a escala real… Como primer motor de
investigación del DoD, DARPA desarrolla proyectos finitos en el tiempo pero
capaces de crear cambios duraderos y revolucionarios.
A lo
largo de los años, DARPA había financiado numerosos proyectos en matemáticas
aplicadas e informática; fue responsable, por ejemplo, de la creación de
ARPANET, la progenitora de Internet. Pero, hasta donde yo sabía, no financiaba
proyectos de matemáticas puras. ¿Por qué querrían apoyar investigaciones en
torno al Programa Langlands?
El área parecía ser pura y abstracta, sin aplicaciones inmediatas. Pero debemos
darnos cuenta de que la investigación científica fundamental conforma la base
de todo progreso tecnológico. A menudo, los descubrimientos aparentemente más
abstractos y abstrusos en matemáticas y física han llevado a innovaciones que
empleamos en nuestra vida cotidiana. Piense, por ejemplo, en la aritmética de
módulo números primos. Cuando la vemos por primera vez, nos resulta tan
abstracta que parece imposible que algo así pueda tener aplicaciones en el
mundo real. Incluso el matemático inglés G. H. Hardy aseveró que «una gran
parte de las matemáticas más elevadas es inútil». [148]
Sin embargo, fue él quien se llevó la sorpresa: muchos resultados aparentemente
esotéricos en teoría de números (el campo en que era experto) son hoy
omnipresentes en, por poner un ejemplo, la banca online. Cuando
efectuamos compras online, la aritmética de módulo N se
pone en funcionamiento (véase la descripción del algoritmo de encriptación RSA
en la nota 7 del capítulo 14). No deberíamos prejuzgar nunca el potencial de
una fórmula o idea matemática de cara a soluciones prácticas.
La Historia demuestra que todas las tecnologías revolucionarias estuvieron
precedidas, con décadas de antelación, por avances en investigación pura. Por
tanto, si limitamos el apoyo a la ciencia básica, limitamos nuestro progreso y
nuestro poder.
Hay también otro aspecto en todo esto: nuestra investigación científica e
innovación nos definen, en gran medida, como sociedad. Forman parte importante
de nuestra cultura y de nuestro bienestar. Robert Wilson, el primer director
del Laboratorio Nacional Fermi, en el que se creó el mayor acelerador de
partículas de su época, lo expresó cuando testificó en el Comité Conjunto del
Congreso sobre Energía Atómica, en 1969. Cuando le preguntaron si su máquina,
de miles de millones de dólares, podía contribuir a la seguridad del país,
dijo:[149]
Sólo
desde un punto de vista a largo plazo, el de una tecnología en desarrollo. En
cualquier caso, está muy relacionado con la siguiente pregunta: ¿somos buenos
pintores, buenos escultores, buenos poetas? Quiero decir, todas esas cosas que
veneramos y que honramos en nuestro país, y que nos hacen ser tan patrióticos.
En ese sentido, este nuevo conocimiento tiene todo que ver con el honor y el
país, pero no tiene nada que ver directamente con defender nuestra nación,
excepto hacer que valga la pena defenderla.
Anthony
Tether, que fue director de DARPA de 2001 a 2009, reconocía la importancia de
la investigación básica. Pidió a sus gestores de programas que encontraran un
buen proyecto de matemáticas puras. Uno de los gestores, Doug Cochran, se tomó
la petición en serio. Tenía un amigo en la Fundación Nacional para la Ciencia
(NSF), llamado Ben Mann. Ben, especialista en topología, había abandonado su
puesto académico y había acudido a Washington para servir como director de
programas de la División de Ciencias Matemáticas de la NSF.
Cuando Doug le pidió que le sugiriese un proyecto que valiese la pena en
matemáticas puras, Ben pensó en el Programa Langlands. Pese a no ser el área en
que era experto, pudo ver su importancia, a juzgar por las propuestas de
subvención en esta área enviadas a la NSF. La calidad de los proyectos y el
hecho de que las mismas ideas se propagasen por distintas disciplinas
matemáticas le impresionaron.
De modo que Ben sugirió a Doug que DARPA apoyase la investigación en el
Programa Langlands, y es por eso por lo que nos contactaron a Kari, a mí y a
otros matemáticos, pidiéndonos que escribiéramos una propuesta que Doug
presentaría al director de DARPA. Lo que se esperaba era que si el director lo
aprobaba, recibiríamos una multimillonaria subvención a la investigación
directa en esta área.
Con toda sinceridad, al principio dudamos. Era territorio incógnito: que
nosotros supiéramos, ningún matemático había recibido anteriormente
subvenciones de esta magnitud. Por norma general, los matemáticos reciben
subvenciones individuales relativamente pequeñas de la NSF (un poco de dinero
para viajes, apoyo para estudiantes de doctorado, quizá algo de apoyo para el
verano). Aquí tendríamos que coordinar el trabajo de decenas de matemáticos con
el objetivo de realizar un trabajo colectivo en una vasta área de
investigación. Dado que la subvención era tan grande, estaríamos sujetos a un
escrutinio público mucho mayor, y probablemente a cierto grado de celos y
envidias por parte de nuestros colegas. Nos dimos cuenta de que si el proyecto
no generaba un progreso significativo seríamos ridiculizados, y que un fracaso
así podría cerrar la puerta a proyectos dignos de subvenciones en matemáticas
puras por parte de DARPA.
Pese a nuestras dudas, queríamos hacer historia en el Programa Langlands. Y la
idea de sustituir el esquema tradicional y conservador de financiación a la
investigación matemática por una gran inyección de fondos en un área
prometedora sonaba atractiva y fascinante. Sencillamente, no nos podíamos negar.
La siguiente pregunta era sobre qué deberíamos centrarnos en nuestro proyecto.
El Programa Langlands, como hemos visto, es multifacético e implica muchos
campos de las matemáticas. Debería resultar fácil escribir media docena de
propuestas acerca del tema en general. Teníamos que elegir, y decidimos
centrarnos en el que pensamos que era el mayor misterio de todos: el potencial
vínculo entre el Programa Langlands y las dualidades en física cuántica.
Una semana después, Doug presentaba nuestra propuesta al director de DARPA, y,
según todo el mundo, fue un éxito. El director aprobó una subvención
multimillonaria para el proyecto por un período de tres años. Era, hasta donde
sabíamos, la subvención más grande jamás concedida hasta aquel momento a
investigación de matemáticas puras. Obviamente, las expectativas eran altas.
Fue un momento de gran entusiasmo, pero también de cierta ansiedad.
Por suerte para nosotros, Ben Mann pasó de la NSF a DARPA para convertirse en
el gestor de programas a cargo de nuestro proyecto. Desde nuestra primera
reunión con él vimos que Ben estaba cualificado como nadie para el trabajo.
Tiene la visión y el valor de asumir las riendas de un proyecto de alto riesgo
y alta recompensa, hallar la gente adecuada para llevarlo a cabo y ayudarles a
desarrollar al máximo sus ideas. Y su entusiasmo, contagioso, da energías a
todos los que le rodean. Fuimos realmente afortunados por tener a Ben al timón.
No habríamos conseguido una fracción de lo que conseguimos sin su guía y apoyo.
Como prioridad en el asunto, escribí un correo electrónico a Edward Witten
contándole de nuestra subvención y preguntándole si estaba interesado en unirse
a nosotros. Dada la posición única de Witten en física y matemáticas, teníamos
que tenerlo a bordo. Lamentablemente, la primera reacción de Witten fue
bastante evasiva. Nos felicitó por la subvención, pero también dejó claro que
estaba trabajando en muchos proyectos, y que no deberíamos contar con su
participación.
Pero, en un golpe de suerte, Peter Goddard, uno de los físicos que descubrieron
la dualidad electromagnética en teorías de gauge no abelianas, iba a
convertirse en director del Instituto de Estudios Avanzados en Princeton. Su
última investigación versaba sobre temas relacionados con la teoría de representación
de álgebras Kac-Moody, y debido a ello había coincidido con Peter en varias
conferencias.
Recordaba uno de esos momentos especialmente bien: fue en agosto de 1991 y nos
encontrábamos en un gran taller sobre matemáticas y física cuántica en la
Universidad de Kioto, en Japón. En medio del taller, recibimos la noticia de un
golpe de estado en la Unión Soviética. Parecía que el régimen autoritario
volvía al poder y que pronto se acabarían las limitadas libertades de la perestroika.
Esto significaba que las fronteras volverían a quedar selladas y de que había
una posibilidad muy real de que yo no volviera a ver a mi familia durante años.
Mis padres me llamaron inmediatamente para decirme que, si eso ocurría, no me
preocupara por ellos y que, de ningún modo, intentara regresar a Rusia. Cuando
nos despedimos, nos preparamos para lo peor. Ni siquiera estaba claro que
pudiéramos volver a hablar por teléfono en el futuro cercano.
Fueron días tumultuosos. Una noche, mi buen amigo y físico Fedya Smirnov y yo
nos encontrábamos en el lounge de uno de los hoteles, viendo
la televisión japonesa e intentando averiguar qué ocurría en Moscú.
De repente, a eso de las 03.00, Goddard apareció por el vestíbulo con una
botella de Glenfiddich en la mano. Nos preguntó sobre las últimas noticias y
tomamos una copa. Después regresó a la cama, pero insistió en que nos
quedáramos la botella… un bonito gesto de apoyo.
Al día siguiente el golpe de estado fue abortado, para gran alivio nuestro. Una
foto con Borya Feigin (quien también estaba en esta conferencia) y yo sonriendo
y levantando nuestros puños acabó en la portada de Yomiuri, uno de
los diarios japoneses más importantes.
En mi correo electrónico a Peter le recordaba ese episodio y le hablaba de
nuestra subvención de DARPA. Le sugerí organizar una reunión en el Instituto de
Estudios Avanzados para juntar a físicos y matemáticos y hablar del Programa
Langlands y las dualidades en física, a fin de intentar hallar terreno común y
poder resolver juntos el enigma.
La respuesta de Peter fue la mejor que podía esperar: ofreció su pleno apoyo
para la organización de la reunión.
El Instituto era el lugar ideal para una reunión así. Creado en 1930 como
centro independiente de investigación y pensamiento, había albergado a Albert
Einstein (quien había pasado en él los últimos veinte años de su vida), André
Weil, John von Neumann, Kurt Gödel y otros eminentes científicos. La facultad
actual es igual de impresionante: incluye al propio Robert Langlands, quien ha
sido profesor allí desde 1972 (hoy en día, emérito), y a Edward Witten. Otros
dos físicos de la facultad, Nathan Seiberg y Juan Maldacena, trabajan en áreas
de la física cuántica íntimamente relacionadas, y varios matemáticos como
Pierre Deligne y Robert MacPherson realizan investigaciones en temas vinculados
al Programa Langlands.
Mi intercambio de correos electrónicos con Goddard generaron planes para una
reunión exploratoria para principios de diciembre de 2003. Ben Mann, Kari
Vilonen y yo iríamos a Princeton, y Goddard prometió participar. Invitamos a
Witten, Seiberg y MacPherson; otro matemático de Princeton, Mark Goresky, que
cogestionaba el proyecto con Kari y conmigo, se nos uniría. (También invitamos
a Langlands, Maldacena y Deligne, pero estarían de viaje y no podrían asistir).
Se fijó el principio de la reunión para las 11.00 en la sala de conferencias
situada junto a la cafetería del Instituto. Ben, Kari y yo llegamos pronto,
unos quince minutos antes de la reunión. No había nadie. Conforme caminaba
inquieto por la habitación, no dejaba de preguntarme: «¿Vendrá Witten?». Era el
único de los invitados que no había confirmado su participación.
Cinco minutos antes de la hora se abrió la puerta. ¡Era Witten! En ese momento
supe que algo bueno iba a salir de todo aquello.
Unos minutos más tarde llegaron los demás participantes. Nos sentamos en torno
a una mesa redonda. Tras los saludos iniciales y las charlas triviales, se hizo
el silencio. Todos me miraban.
—Gracias por acudir —comencé—. Durante un tiempo se ha sabido que el Programa
Langlands y la dualidad electromagnética tienen algo en común. Pero la
comprensión exacta de qué ocurre nos ha estado eludiendo, pese a numerosos
intentos. Creo que ha llegado el momento de desvelar este misterio. Y ahora
tenemos los recursos necesarios porque hemos recibido una generosa subvención
de DARPA para la investigación en esta área.
La gente, en torno a la mesa, asentía. Peter Goddard preguntó:
—¿Cómo propones hacerlo?
Antes de la reunión, Kari, Ben y yo habíamos previsto diferentes situaciones,
de modo que yo iba preparado.
—Sugiero que organicemos una reunión aquí, en el Instituto. Invitaremos a
físicos que trabajen en áreas relacionadas y organizaremos conferencias de
matemáticos para explicar hasta dónde llegan hoy en día nuestros conocimientos
acerca del Programa Langlands. Luego, debatiremos posibles vínculos con la
física cuántica.
En aquel momento todos los ojos se fijaron en Witten, el decano de la física
cuántica. Su reacción era crucial.
Alto y físicamente imponente, Witten desprende un gran poder intelectual, hasta
el punto en que muchos se sientes intimidados ante él. Cuando habla, sus frases
son precisas y claras hasta el extremo; parecen compuestas de una lógica
inquebrantable. Nunca duda ni hace una pausa para pensar en su respuesta. En
esas ocasiones, lo que hace es cerrar los ojos e inclinar hacia delante su
cabeza. Es lo que hizo en aquel momento.
Todos esperábamos impacientes. Debía haber pasado menos de un minuto, pero me
pareció una eternidad. Finalmente, Witten dijo:
—Me parece una buena idea. ¿Qué fechas tienes pensadas para la reunión?
Ben, Kari y yo no pudimos evitar cruzar nuestras miradas. Witten estaba a
bordo, y era una gran victoria para nosotros.
Tras un breve debate hallamos fechas que se adecuaban a todo el mundo: del 8 al
10 de marzo de 2004. Luego alguien preguntó quiénes serían los participantes y
oradores. Mencionamos unos cuantos nombres y acordamos finalizar la lista por
correo electrónico y enviar las invitaciones en breve. Tras esto, se levantó la
sesión. No nos llevó más de quince minutos.
No es necesario decir que Ben, Kari y yo estábamos muy satisfechos. Witten
prometió ayudar a organizar la reunión (lo que, evidentemente, sería un gran
atractivo para los invitados) y participar activamente en ella. También
esperábamos que Langlands tomase parte en ella, así como otros físicos y
matemáticos del Instituto interesados en el tema. Nuestro primer objetivo se
había conseguido.
A lo largo de los días siguientes finalizamos la lista de participantes, y una
semana después salieron las invitaciones. La carta decía:
Le
escribimos para invitarle a participar en un taller informal acerca del
Programa Langlands y la Física que tendrá lugar en el Instituto de Estudios
Avanzados entre los días 8 y 10 de marzo de 2004. El objetivo de este taller es
presentar a los físicos los últimos descubrimientos en el Programa Langlands
geométrico con el interés de explorar potenciales conexiones entre este tema y
la teoría cuántica de campos. Se realizarán varias conferencias por parte de
matemáticos y habrá suficiente tiempo para debates informales. Este taller está
apoyado por una subvención de DARPA.
Por
norma general, este tipo de conferencias tiene entre cincuenta y cien
participantes. Lo que suele ocurrir es que los oradores dan sus conferencias
mientras todo el mundo escucha respetuosamente. En el mejor de los casos, al
finalizar la conferencia un par de participantes hacen preguntas, y unos
cuantos más hablan con el conferenciante al acabar. Nosotros queríamos algo
completamente diferente: una sesión dinámica, más una sesión de brainstormingque
la típica conferencia. Por ello queríamos que fuera una reunión pequeña, de
unas veinte personas. Esperábamos que este formato fomentara la interacción y
la libre conversación entre participantes.
Ya habíamos tenido nuestra primera reunión con ese formato en noviembre de
2003, en la Universidad de Chicago. Había un pequeño grupo de matemáticos
invitados, entre ellos Drinfeld y Beilinson (ambos habían aceptado puestos de
profesor en la Universidad de Chicago unos años atrás). Aquella reunión había
sido un éxito, y nos demostró que aquel formato funcionaba.
Decidimos que Kari, Mark Goresky y yo hablaríamos, así como mi antiguo alumno
de doctorado, David Ben-Zvi, por entonces profesor en la Universidad de Texas
de Austin. Dividimos el material en cuatro partes, que cada uno de nosotros
presentaría. En cada presentación teníamos que transmitir las ideas principales
del Programa Langlands a los físicos que no estuvieran familiarizados con el
tema. No era una tarea fácil.
Foto de Shane Lear. Biblioteca fotográfica de la NOAA.
Para
prepararme para la conferencia, quise aprender más acerca de la dualidad
electromagnética. Todos conocemos las fuerzas eléctrica y magnética. La fuerza
eléctrica es lo que hace que objetos eléctricamente cargados se atraigan o
repelan entre sí en función de si sus cargas tienen signos idénticos u
opuestos. Por ejemplo, un electrón tiene carga eléctrica negativa, y un protón,
positiva (la carga de signo opuesto). La fuerza de atracción entre ambos es lo
que hace al electrón orbitar en torno al núcleo del átomo. Las fuerzas
eléctricas crean lo que se conoce como campo eléctrico. Todos los hemos visto
en acción durante un relámpago, que está causado por el movimiento de una masa
de aire cálida y húmeda a través de un campo eléctrico.
La fuerza magnética tiene un origen distinto. Es la fuerza creada por imanes o
por partículas eléctricamente cargadas en movimiento. Un imán tiene dos polos:
norte y sur. Si colocamos dos imanes con sus polos opuestos uno frente al
otros, se atraen, mientras que si los polos enfrentados son idénticos, se
repelen. La Tierra es un imán gigante, y aprovechamos la fuerza magnética que
ejerce cuando empleamos una brújula. Todo imán crea un campo magnético, como
podemos ver claramente en la imagen inferior.
En la década de 1860, el físico británico James Clerk Maxwell ideó una
exquisita teoría matemática de los campos eléctricos y magnéticos. Los
describía mediante una serie de ecuaciones diferenciales que hoy en día llevan
su nombre. Seguramente esperará que esas ecuaciones sean largas y complejas,
pero en realidad son bastante sencillas: sólo hay cuatro de ellas, y son
sorprendentemente simétricas. Resulta que si consideramos la teoría en el vacío
(es decir, sin materia presente) e intercambiamos los campos magnéticos y
eléctricos entre sí, el sistema de ecuaciones no cambiará.[150] Por
decirlo de otra manera: el intercambio de campos es una simetría de las
ecuaciones. Se le llama dualidad electromagnética. Esto significa que la
relación entre los campos eléctrico y magnético es simétrica: cada uno de ellos
afecta al otro de la misma manera.
Foto de Dayna Mason[151]
Ahora
bien: las bellas ecuaciones de Maxwell describen el electromagnetismo clásico,
en el sentido de que esta teoría funciona bien a grandes distancias y bajos
niveles de energía. Pero a distancias cortas y altos niveles de energía, el
comportamiento de estos campos lo describe la teoría cuántica del
electromagnetismo. En la teoría cuántica, son los fotones, unas partículas
elementales que interactúan con otras partículas, los que transportan estos
campos. A esta teoría se le llama teoría cuántica de campos.
Para evitar confusiones, quiero resaltar que el término «teoría cuántica de
campos» tiene dos connotaciones diferentes: en un sentido amplio, significa el
lenguaje matemático general que se emplea para describir el comportamiento e
interacción de partículas elementales, pero puede referirse también a un modelo
en especial de este comportamiento, por ejemplo, el electromagnetismo cuántico
es una teoría cuántica de campos en este último sentido. Nosotros emplearemos
el término, sobre todo, en este último sentido.
En cualquier teoría (o modelo) así, algunas partículas (como los electrones o
los quarks) son las piezas fundamentales de la materia, y otras (como los
fotones) son los conductos de fuerzas. Cada partícula tiene varias
características: algunas familiares, como masa o carga eléctrica, y otras menos
familiares, como el «espín». Por tanto, una teoría cuántica de campos es una
receta para mezclarlos.
En realidad, la palabra «receta» nos señala una útil analogía: piense en una
teoría cuántica de campos como en una receta culinaria. Los ingredientes del
plato que estamos preparando son análogos de partículas, y la manera en que las
mezclamos es como la interacción entre esas partículas.
Por ejemplo, veamos la receta de la tradicional sopa borscht, un
plato típico en mi país de origen. Mi madre prepara la mejor (¡por supuesto!).
Su aspecto es este (la foto la tomó mi padre):
Evidentemente,
he de guardar el secreto de la receta de mi madre. Pero he aquí una receta que
he encontrado online:
8
tazas de caldo (de ternera o de verduras)
1 trozo de 450g de pata de ternera con hueso
1 cebolla grande
4 remolachas grandes, peladas
4 zanahorias, peladas
1 patata russet grande, pelada
2 tazas de repollo en tiras
1/4 de taza de eneldo fresco picado
3 cucharadas de vinagre de vino tinto
1 taza de nata agria
Sal
Pimienta
Piense
en esto como en el «contenido de partículas» de nuestra teoría cuántica de
campos. ¿Qué significaría la dualidad en este contexto? Sencillamente,
intercambiar algunos elementos («partículas») por otros de tal manera que el
contenido total siga siendo el mismo.
Así es como funcionaría la dualidad:
remolacha
→ zanahoria
zanahoria → remolacha
cebolla → patata
patata → cebolla
sal → pimienta
pimienta → sal
Todos
los demás ingredientes se mantienen en la dualidad, es decir:
caldo
→ caldo;
pata de ternera → pata de ternera;
etcétera.
Dado
que las cantidades de los ingredientes que intercambiamos son las mismas, el
resultado será ¡la misma receta! Este es el significado de dualidad.
Si, por otra parte, intercambiáramos remolacha por patata, tendríamos una
receta diferente: una que tendría cuatro patatas y sólo una remolacha. No la he
probado, pero apuesto que sabría fatal.
Debería quedar claro, a partir de este ejemplo, que una simetría en una receta
es una propiedad rara, de la que podemos aprender algo acerca del plato. El que
podamos intercambiar remolachas por cebollas sin afectar al resultado significa
que nuestro borscht está bien equilibrado en cuanto a ellos.
Regresemos al electromagnetismo cuántico. Cuando decimos que en esta teoría hay
una dualidad, queremos decir que hay una manera de intercambiar las partículas
de tal modo que acabamos con la misma teoría que antes. Bajo la dualidad
electromagnética queremos que todo «lo eléctrico» se convierta en «lo
magnético», y viceversa. De modo que, por ejemplo, un electrón (analogía de la
remolacha en nuestra sopa) posee una carga eléctrica, así que se lo debería
intercambiar por una partícula que posea carga magnética (la analogía de una
zanahoria).
La existencia de tal partícula contradice nuestra existencia cotidiana: ¡un
imán tiene siempre dos polos, y no se les puede separar! Si rompemos un imán en
dos piezas, cada una de ellas tendrá dos polos.
Sin embargo, los físicos han teorizado la existencia de una partícula
magnéticamente cargada, llamada monopolo magnético. El primero en hacerlo fue
uno de los fundadores de la física cuántica, Paul Dirac, en 1931. Demostró que
si permitimos que le pase algo curioso al campo magnético en la posición del
monopolo (es lo que un matemático llamaría una «singularidad» del campo
magnético), este adquirirá carga magnética.
Lamentablemente, los monopolos magnéticos no se han observado
experimentalmente, así que aún no sabemos si existen en la naturaleza. Si no
existen, sencillamente no existirá una dualidad electromagnética exacta en la
naturaleza a escala cuántica.
El jurado debate aún si este es o no el caso. Sin embargo, podemos construir
una teoría cuántica de campos suficientemente cercana a la naturaleza y que
exhiba la dualidad electromagnética. Volviendo a nuestra metáfora culinaria,
podemos intentar «cocinar» nuevas teorías que posean dualidades. Podemos
cambiar los ingredientes y sus cantidades en recetas ya conocidas, deshacernos
de algunos de ellos, añadir otros extra, etcétera. No necesariamente tenemos
que «comernos» estos platos imaginarios. Pero, comestibles o no, puede valer la
pena sus propiedades en nuestra cocina imaginaria, es decir, los modelos que
podrían describir nuestro universo.
La construcción de modelos «por prueba y error» es un camino por el que se ha
ido progresando, en física cuántica, durante décadas, al igual que en el arte
culinario. Y la simetría es una poderosa guía empleada para crear estos
modelos. Cuanto más simétrico es un modelo, más fácil resulta de analizar.
En este punto, es importante subrayar que hay dos tipos de partículas
elementales: fermiones y bosones. Los primeros son los ladrillos esenciales de
la materia (electrones, quarks, etc.) mientras que los segundos son las
partículas que transportan fuerzas (como los fotones). La huidiza partícula de
Higgs, recientemente descubierta en el Gran Colisionador de Hadrones situado
bajo Ginebra, es también un bosón.
Hay una diferencia fundamental entre ambos tipos de partículas: dos fermiones
no pueden estar en el mismo «estado» simultáneamente, mientras que cualquier cantidad
de bosones sí puede. Como su comportamiento es tan radicalmente diferente,
durante mucho tiempo los físicos supusieron que toda simetría en una teoría
cuántica de campos debía conservar una distinción entre los sectores fermiónico
y bosónico, que la naturaleza prohibía que se mezclasen. Pero a mediados de la
década de 1970 varios físicos sugirieron lo que parecía una locura: que era
posible un nuevo tipo de simetría en que bosones y fermiones se intercambiaran.
Se le bautizó supersimetría.
Como dijo Niels Bohr, uno de los creadores de la mecánica cuántica, a Wolfgang
Pauli, «todos coincidimos en que tu teoría es una locura. La pregunta que nos
separa es si es suficiente locura para tener una posibilidad de ser correcta».
En el caso de la supersimetría, aún no sabemos si se da en la naturaleza, pero
la idea se ha vuelto popular. La razón es que muchos de los problemas de los
que las teorías cuánticas de campos convencionales están plagadas se eliminan
al introducir la supersimetría. Las teorías supersimétricas son generalmente
más elegantes y fáciles de analizar.
El electromagnetismo cuántico no es supersimétrico, pero tiene extensiones
supersimétricas. Añadimos más partículas, tanto fermiones como bosones, para
que la teoría resultante se manifieste supersimétrica.
Sobre todo, los físicos han estudiado la extensión del electromagnetismo con la
máxima cantidad posible de supersimetría. Y han demostrado que en esta teoría
extendida se da, en efecto, la dualidad electromagnética.
Para resumir, no sabemos si en existe alguna forma de dualidad cuántica
electromagnética en el mundo real. Pero sabemos que en una extensión de la
teoría, idealizada, supersimétrica, la dualidad electromagnética aparece.
Hay otro aspecto importante de esta dualidad que no hemos tratado. La teoría
cuántica de campo de electromagnetismo tiene un parámetro: la carga eléctrica
del electrón. Es negativa, de modo que la señalamos como -e, donde e =
1,602 · 10-19 culombios. Es muy pequeña. La extensión
supersimétrica máxima del electromagnetismo tiene un parámetro similar, al que
también llamamos e. Si efectuamos la dualidad electromagnética e
intercambiamos todo lo eléctrico por todo lo magnético, obtendremos una teoría
en que la carga del electrón no será e, sino su inverso, 1/e.
Si e es pequeño, entonces 1/e es grande. Así que
si comenzamos con la teoría con una pequeña carga del electrón (como en nuestro
mundo), la teoría dual tendrá una carga del electrón grande.
¡Esto es enormemente sorprendente! En términos de nuestra analogía de la sopa,
imagine que e es la temperatura de la misma. En tal caso, la
dualidad implicaría que intercambiar ingredientes como las remolachas y las
zanahorias convertirían un borscht frío en uno caliente.
La inversión de e es, en realidad, uno de los aspectos clave
de la dualidad electromagnética, con consecuencias de largo alcance. De la
manera en que está construida la teoría cuántica de campos, sólo tenemos una
buena noción de la misma para valores pequeños de un parámetro como e.
Ni siquiera sabemos, a priori, si la teoría tiene sentido con
valores grandes de este parámetro. La dualidad electromagnética nos dice que no
sólo tiene sentido, sino que, en realidad, es equivalente a la teoría con
valores pequeños del parámetro. Es por ello por lo que este tipo de dualidad se
considera el Santo Grial de la física cuántica.
Nuestra siguiente pregunta es si la dualidad electromagnética existe para otras
teorías cuánticas de campo aparte del electromagnetismo y su extensión
supersimétrica.
Además de las fuerzas eléctricas y magnéticas, hay otras tres fuerzas conocidas
en la naturaleza: la gravedad, que todos conocemos y experimentamos, y las dos
fuerzas nucleares de nombres más bien mundanos, fuerte y débil.
La fuerza nuclear fuerte mantiene a los quarks dentro de partículas elementales
como los protones y los neutrones. La fuerza nuclear débil es responsable de
varios procesos que afectan a los átomos y partículas elementales, como el
llamado desintegración-beta de los átomos (emisión de electrones o neutrinos) y
la fusión de hidrógeno, que proporciona energía a las estrellas.
Estas fuerzas parecen ser bastante diferentes. Resulta, sin embargo, que las
teorías de las fuerzas electromagnéticas, nuclear fuerte y nuclear débil tienen
algo en común: son lo que llamamos teorías de gauge o teorías Yang-Mills, en
honor a los físicos Chen Ning Yang y Robert Mills, que publicaron un
revolucionario artículo sobre ellas en 1954. Como mencioné al comienzo de este
capítulo, las teorías de gauge tienen un grupo de simetrías llamado grupo de
gauge. Se trata de un grupo de Lie, un concepto del que hablamos en el capítulo
10. El grupo de gauge de la teoría de electromagnetismo es el grupo que
presenté al comienzo mismo de este libro, el grupo circular, también llamado
SO(2) o U(1). Se trata del grupo de Lie más sencillo, y es abeliano. Ya sabemos
que muchos grupos de Lie son no abelianos, como el grupo SO(3) de rotaciones de
una esfera. La idea de Yang y Mills fue construir una generalización del
electromagnetismo en la que el grupo circular se sustituiría por un grupo no
abeliano. Resultó que las teorías de gauge con grupos no abelianos describen
con precisión las fuerzas nuclear fuerte y nuclear débil.
El grupo de gauge de la teoría de fuerza débil es el grupo llamado SU(2). Se
trata del grupo Langlands dual de SO(3) y es el doble de grande (hablamos
acerca de ello en el capítulo 15). Al grupo de gauge de la fuerza nuclear
fuerte se le denomina SU(3).[152]
De modo que las teorías de gauge proporcionan un formalismo universal que
describe tres de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza (contamos
las fuerzas eléctrica y magnética como partes de una misma fuerza de
electromagnetismo). Más aún: en los años siguientes se descubrió que no eran
tres teorías separadas, sino partes de un todo: existe una teoría, llamada
generalmente Modelo Estándar, que incluye las tres teorías como piezas
diferentes. Se trata, por tanto, de algo que podríamos denominar «teoría de
unificación», algo que Einstein buscó en vano durante los últimos treinta años
de su vida (aunque por aquel entonces sólo se conocían dos fuerzas, la gravedad
y el electromagnetismo).
Ya hemos hablado extensamente acerca de la importancia de una teoría de
unificación en las matemáticas. Por ejemplo, el Programa Langlands es una
teoría de unificación en el sentido en que describe una amplia gama de
fenómenos en términos similares en diferentes áreas de las matemáticas. La idea
de construir una teoría de unificación a partir de tan pocos principios
generales como sea posible es especialmente atractiva en física, y es evidente
por qué. Nos gustaría alcanzar el entendimiento más completo posible acerca del
funcionamiento del universo, y esperamos que la teoría definitiva (si existe)
fuera sencilla y elegante.
Sencilla y elegante no significa fácil. Por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell
son profundas, y cuesta cierto esfuerzo comprender lo que significan. Pero son
sencillas en el sentido de que son las más económicas a la hora de expresar la
verdad acerca de las fuerzas eléctrica y magnética. También son elegantes. Como
lo son también las ecuaciones gravitatorias de Einstein o las ecuaciones no
abelianas de teoría de gauge de Yang y Mills. Una teoría de la unificación las
combinaría todas, así como una sinfonía integra sonidos de los diferentes
instrumentos.
El Modelo Estándar es un paso en esa dirección, y su confirmación experimental
(incluido el reciente descubrimiento del bosón de Higgs) ha sido un triunfo.
Sin embargo, no se trata de la teoría definitiva acerca del universo: en primer
lugar, no incluye la fuerza de la gravedad, que ha demostrado ser la más
huidiza. La teoría de la relatividad general de Einstein nos permite comprender
bien cómo funciona la gravedad de modo clásico, es decir, a grandes distancias,
pero aún no tenemos una teoría cuántica que se pueda probar experimentalmente
que describa la fuerza de gravedad a distancias muy cortas. Incluso si nos
centramos en las otras tres fuerzas elementales de la naturaleza, el Modelo
Estándar nos deja demasiadas preguntas sin respuesta y no tiene en cuenta una
cantidad enorme de materia observada por los astrónomos (la llamada «materia
oscura»). De modo que el Modelo Estándar no es sino un esbozo parcial de la
sinfonía definitiva.
Una cosa está clara: la partitura final de la sinfonía se escribirá en lenguaje
matemático. En realidad, una vez que Yang y Mills publicaron su famoso artículo
en el que presentaban las teorías de gauge no abelianas, los físicos
descubrieron, sorprendidos, que el aparato matemático necesario para esas
teorías lo habían creado décadas atrás los matemáticos, sin referencia alguna a
la física. Yang, quien acabaría ganando el premio Nobel, describía su sorpresa
con estas palabras:[153]
[N]o
fue sólo alegría. Fue algo más, algo más profundo. Al fin y al cabo, ¿qué podía
ser más misterioso, qué podía ser más sorprendente que darte cuenta de que la
estructura del mundo físico está íntimamente vinculada a profundos conceptos
matemáticos, conceptos que surgieron de deliberaciones cimentadas tan sólo en
la lógica y en la belleza de la forma?
Albert
Einstein expresaba el mismo tipo de admiración cuando se preguntaba:[154]
«¿Cómo
es posible que las matemáticas, que son, al fin y al cabo, un producto del
pensamiento humano, independiente de la experiencia, se adecúe tan
admirablemente a los objetos de la realidad?».
Los
conceptos que Yang y Mills emplearon para describir fuerzas de la naturaleza
aparecieron antes en las matemáticas porque también eran naturales dentro del
paradigma de geometría que los matemáticos estaban creando al seguir la lógica
interna del tema. Se trata de un gran ejemplo de lo que otro ganador del premio
Nobel, el físico Eugene Wigner, llamó «la poco razonable eficacia de las
matemáticas en las ciencias naturales».[155] Aunque
los científicos han estado empleando esta «eficacia» desde hace siglos, su raíz
no se comprende todavía demasiado bien. Las verdades matemáticas parecen
existir de modo objetivo e independiente tanto del mundo físico como del
cerebro humano. No cabe duda de que los vínculos entre el mundo de las ideas
matemáticas, la realidad física y la consciencia son profundos y es preciso ir
más lejos en esa exploración (hablaremos más de esto en el capítulo 18).
También necesitamos nuevas ideas para poder ir más allá del Modelo Estándar.
Una de estas ideas nuevas es la supersimetría. Que exista o no en nuestro
universo es objeto de un intenso debate. Hasta ahora no se han descubierto
huellas de ella. El experimento es el juez definitivo de una teoría, así que hasta
que no se demuestre empíricamente, la supersimetría seguirá siendo un
constructo teórico, no importa cuán bella y atractiva resulte la idea. Pero
incluso si resulta que la supersimetría no se da en el mundo real, proporciona
un cómodo aparato matemático que podemos emplear para construir nuevos modelos
de física cuántica. Estos modelos no están tan alejados de los que gobiernan la
física del mundo real, pero a menudo resultan mucho más fáciles de analizar
gracias al mayor grado de simetría que exhiben. Esperamos que lo que aprendamos
de estas teorías tenga influencia en las teorías realistas de nuestro universo,
sin importar que en él la supersimetría exista o no.
Así como la teoría del electromagnetismo tiene una extensión supersimétrica
máxima, también la tienen las teorías no abelianas de gauge. Estas teorías
supersimétricas se obtienen arrojando más partículas a la mezcla, tanto bosones
como fermiones, a fin de alcanzar el equilibrio más perfecto posible entre
ellos. Es, por tanto, normal preguntarse: ¿poseen estas teorías un análogo de
la dualidad electromagnética?
Los físicos Claus Montonen y David Olive se enfrentaron a esta pregunta[156] a
finales de la década de 1970. Profundizando sobre un trabajo previo[157] de
Peter Goddard (el futuro director del Instituto de Estudios Avanzados), Jean
Nuyts y David Olive llegaron a una sorprendente conclusión: sí, hay una
dualidad electromagnética en las teorías no abelianas de gauge, pero estas
teorías no son autoduales en general, de la manera en que lo es el
electromagnetismo. Como decíamos antes, si sustituimos todo lo eléctrico por
todo lo magnético, y viceversa, en el electromagnetismo, obtendremos la misma
teoría, pero con la carga del electrón invertida. Pero resulta que si hacemos
lo mismo en una teoría de gauge supersimétrica general con un grupo de
gauge G, obtenemos una teoría diferente. Aún será una
teoría de gauge, pero con un grupo de gauge diferente (y también con el
parámetro invertido, que es el análogo de la carga del electrón).
Y ¿cuál será el grupo de gauge de la teoría dual? Resulta que se trata de LG,
el grupo Langlands dual del grupo G.
Goddard, Nuyts y Olive lo descubrieron al realizar un detallado análisis de las
cargas magnética y eléctrica de la teoría de gauge con un grupo de gauge G.
En el electromagnetismo, que es la teoría de gauge cuyo grupo de gauge es el
grupo circular, los valores de ambas cargas son enteros. Cuando los
intercambiamos, un conjunto de enteros se intercambia por otro conjunto de
enteros. Por lo tanto, la teoría no varía. Pero ellos demostraron que, en una
teoría de gauge general, las cargas eléctrica y magnética toman valores en dos
conjuntos diferentes. Llamémoslos Se y Sm.
Se pueden expresar matemáticamente en términos del grupo de gauge G (de
momento no es importante cómo, exactamente).[158]
Resulta que bajo la dualidad electromagnética, Se se
convierte en Sm y Sm se
convierte en Se. De modo que la pregunta es si existe
otro grupo G' para el que Se sea
lo que era Sm para G, y Sm sea
lo que era Se para G (lo que
resultaría compatible con ciertos datos adicionales determinados por G y G').
No resultaba evidente que existiera tal grupo G', pero ellos
demostraron que existía y proporcionaron una construcción. En aquella época no
sabían que Langlands había construido G' una década antes de
una manera muy similar, pese a que la motivación de Langlands era otra
completamente diferente. Ese grupo G' no era sino el grupo
Langlands dual LG.
Por qué la dualidad electromagnética lleva al mismo grupo Langlands dual que
los matemáticos descubrieran en un contexto completamente distinto era la gran
pregunta a la que nos íbamos a enfrentar en la reunión en Princeton.
Capítulo 17
Descubriendo conexiones ocultas
A
casi de una hora en tren de Nueva York, Princeton parece el típico suburbio del
Noreste. El Instituto de Estudios Avanzados, conocido en la comunidad
científica como, sencillamente, «el Instituto», se encuentra a las
afueras de Princeton, literalmente junto al bosque. El área que lo rodea es
silenciosa y pintoresca: patos nadando en pequeños estanques, árboles
reflejados en aguas quietas. El instituto, una agrupación de edificios de
ladrillos, de dos y tres plantas, construido al estilo de la década de 1950,
irradia poder intelectual. Uno no puede evitar saborear su rica historia al
deambular por los pasillos alfombrados o la biblioteca principal, que Einstein
y otros gigantes emplearan.
Era allí donde tuvimos nuestra reunión en marzo de 2004. Pese al escaso margen
con que se avisó, la respuesta a las invitaciones enviadas en diciembre fue
abrumadoramente positiva. Había unos veinte participantes, de modo que cuando
inauguré la reunión, pedí a los asistentes que se fuesen presentando por
turnos. Me tenía que pellizcar para creérmelo: Witten y Langlands estaban allí,
sentados cerca uno del otro, como David Goddard y varios de sus colegas, tanto
de la Facultad de Matemáticas como de la Facultad de Ciencias Naturales. David
Olive, uno de los autores de los artículos Montonen-Olive y
Goddard-Nuyts-Olive, estaba también presente. Y, por supuesto, Ben Mann nos
acompañaba.
Todo transcurrió según el plan. Estábamos explicando, en esencia, la historia
que usted ha leído en este libro: los orígenes del Programa Langlands en teoría
de números y análisis armónico, el paso a curvas sobre cuerpos finitos y de
allí a superficies de Riemann. Dedicamos bastante tiempo explicando la
construcción Beilinson-Drinfeld y mi trabajo con Feigin en álgebras Kac-Moody,
así como sus vínculos con la teoría cuántica de campos bidimensionales.
A diferencia de una conferencia típica, hubo mucho intercambio entre los
oradores y el público. Fue una reunión intensa, con debates que se alargaron de
la clase a la cafetería y nuevamente a la clase.
Durante todo ese tiempo, Witten estuvo muy activo. Sentado en primera fila,
escuchaba atentamente y hacía preguntas, interpelando continuamente a los
oradores. El tercer día, por la mañana, me dijo: «Me gustaría hablar por la
tarde; creo que tengo una idea de lo que está sucediendo».
Tras la comida, realizó un esbozo de una posible conexión entre los dos temas.
Fue el comienzo de una nueva teoría que hacía de puente entre las matemáticas y
la física, un puente que él y sus colaboradores, y posteriormente muchos otros,
han estado investigando desde entonces.
Como habíamos visto, en la tercera columna de la piedra Rosetta de André Weil
la versión geométrica del Programa Langlands trata con superficies de Riemann.
Todas estas superficies son bidimensionales. Por ejemplo, como vimos en el
capítulo 10, la esfera (la superficie de Riemann más sencilla) tiene dos
coordenadas: longitud y latitud. Es por ello por lo que es bidimensional. Todas
las demás superficies de Riemann son también bidimensionales porque cualquier
pequeño entorno de cualquiera de sus puntos tiene el aspecto de parte de un
plano bidimensional, de modo que se puede describir mediante dos coordenadas
independientes.
Por otra parte, las teorías de gauge, en las que se observa la dualidad
electromagnética, se definen en el espacio-tiempo tetradimensional. A fin de
construir un puente hacia las dos, Witten comenzó aplicando una «reducción
dimensional» a una teoría de gauge tetradimensional, de cuatro a dos
dimensiones.
La reducción dimensional es, en realidad, una herramienta habitual en física:
nos aproximamos a un modelo físico dado centrándonos en ciertos ángulos de
libertad e ignorando los otros. Por ejemplo, supongamos que vuela usted en
avión y un auxiliar de vuelo, de pie en el pasillo, le da a usted un vaso de
agua. Supongamos, por simplificar, que el movimiento de la mano del auxiliar de
vuelo es perpendicular a la dirección de vuelo del avión. La velocidad del vaso
tiene dos componentes: el primero es la velocidad del avión, y el segundo es la
velocidad de la mano del auxiliar de vuelo al pasarle a usted el vaso. Pero la
primera es mucho mayor que la segunda, de modo que si tuviéramos que describir
el movimiento del vaso de agua desde el punto de vista de un observador
estático en el suelo, podríamos ignorar tranquilamente el segundo componente de
velocidad y decir sencillamente que el vaso se mueve a la misma velocidad que
el avión. Por tanto, podemos reducir un problema bidimensional, que implica dos
componentes de velocidad, a un problema unidimensional que implica el
componente más importante o dominante.
En nuestro contexto, la reducción dimensional se efectúa de la siguiente
manera: imaginamos una forma geométrica (o variedad), producto de dos
superficies de Riemann. En este caso, «producto» significa que tenemos una
nueva forma geométrica cuyas coordenadas son las de cada una de esas
superficies unidas.
A modo de ejemplo más sencillo, pensemos en el producto de dos rectas. Cada
recta tiene una coordenada, de modo que el producto tendrá dos coordenadas
independientes. Por tanto, será un plano: todos los puntos de un plano están
representados por dos coordenadas. Estas son las coordenadas de las dos rectas,
unidas.
De
igual modo, el producto de una recta y una circunferencia es un cilindro.
También tiene dos coordenadas: una circular y otra lineal.
Cuando
tomamos el producto, las dimensiones se suman. En los ejemplos que acabamos de
ver, cada uno de los objetos iniciales es unidimensional, y su producto es
bidimensional. He aquí otro ejemplo: el producto de una recta y un plano es el
espacio tridimensional: su dimensión es 3 = 1 + 2.
Del mismo modo, la dimensión del producto de dos superficies de Riemann es la
suma de sus dimensiones, es decir, 2 + 2, que es 4. Podemos
hacer un dibujo de una superficie de Riemann (hemos visto algunas antes) pero
no podemos dibujar una variedad tetradimensional, de modo que deberemos
estudiarla matemáticamente, con los mismos métodos que empleamos para formas de
menos dimensiones, más fáciles de imaginar. Nuestra capacidad para hacer esto
constituye un buen ejemplo del poder de la abstracción matemática, como ya
vimos en el capítulo 10.
Ahora supongamos que el tamaño de una de las dos superficies de Riemann,
llamémosla X, es mucho menor que el de la otra, a la que llamaremos
Σ. En tal caso, los grados de libertad efectivos estarán concentrados en Σ, y
seremos capaces de describir de manera aproximada la teoría tetradimensional
acerca del producto de las dos superficies mediante una teoría sobre Σ, a la
que los físicos llaman «teoría efectiva». Esta teoría será, pues, bidimensional.
Esta aproximación será cada vez mejor conforme hagamos X cada
vez más pequeña, mientras conservemos su forma (esta teoría efectiva dependerá
siempre de la forma de X). Así, pasamos de la teoría de gauge
supersimétrica tetradimensional del producto de X y Σ a una
teoría bidimensional definida por Σ.
Antes de tratar en detalle la naturaleza de esta teoría, hablemos de lo que
queremos decir por teoría cuántica de campos, en general. Por ejemplo, en
electromagnetismo estudiamos campos eléctricos y magnéticos en el espacio
tridimensional. Cada uno de ellos es lo que los matemáticos llaman un campo
vectorial. Una analogía útil resulta la del campo vectorial que describe un
patrón de vientos: en cada punto del espacio, el viento sopla en una dirección
determinada y con una fuerza propia; esto se representa con una flecha unida a
ese punto, a la que los matemáticos llaman vector. El conjunto de estos
vectores, unidos a todos los puntos, es un campo vectorial. Todos hemos visto
el viento representado como un campo vectorial en mapas del tiempo.
De igual manera, un campo magnético dado posee también una dirección y una
fuerza propias en cada punto del espacio, como se puede ver en la imagen de la
p. 282. Por lo tanto, se trata también de un campo vectorial. Dicho de otra
manera, tenemos una regla que asigna un vector a cada punto de nuestro espacio
tridimensional. No es sorprendente, pues, que los matemáticos llamen a esta
regla una «aplicación» de nuestro espacio tridimensional al espacio vectorial
tridimensional. Y si seguimos los cambios en el tiempo de un campo magnético,
obtenemos una aplicación del espacio-tiempo tetradimensional al espacio
vectorial tridimensional (es como observar cómo cambia el mapa del tiempo por
la TV). De un modo similar, todo campo eléctrico, que cambie en el tiempo, se
puede describir como una aplicación de nuestro espacio-tiempo tetradimensional
al espacio vectorial tridimensional. El electromagnetismo es una teoría
matemática que describe estas dos aplicaciones.
Las únicas aplicaciones que nos interesan en la teoría clásica del
electromagnetismo son las que corresponden a soluciones a las ecuaciones de
Maxwell. En cambio, en la teoría cuántica estudiamos todas las
aplicaciones. De hecho, todo cálculo, en teoría cuántica de campos, implica la
suma de todas las aplicaciones posibles, pero cada aplicación tiene un peso, es
decir, se multiplica por un factor dado. Estos factores se definen de tal modo
que las aplicaciones que corresponden a las soluciones a las ecuaciones de
Maxwell realizan la contribución fundamental, pero otras aplicaciones también
contribuyen.
Las aplicaciones de espacio-tiempo a espacios multivectoriales aparecen en
muchas otras teorías cuánticas de campos (por ejemplo, en teorías de gauge no
abelianas). Sin embargo, no todas las teorías cuánticas de campos se basan en
vectores. Existe una clase de teorías cuánticas de campos, llamadas modelos
sigma, en las que consideramos aplicaciones del espacio-tiempo a un espacio
geométrico curvo, o variedad. A esta variedad se le denomina variedad objetivo
(target manifold). Puede ser, por ejemplo, una esfera. Aunque los
modelos sigma se comenzaron a estudiar en el caso del espacio-tiempo
tetradimensional, un modelo así también tiene sentido si tomamos el
espacio-tiempo como una variedad de cualquier dimensión. Así pues, hay un
modelo sigma para toda elección de variedad objetivo y toda elección de
variedad espacio-tiempo. Por ejemplo, podemos escoger una superficie de Riemann
bidimensional como nuestro espacio-tiempo, y al grupo de Lie SO(3) como
variedad objetivo. Así, el correspondiente modelo sigma describirá aplicaciones
de esta superficie de Riemann en SO(3).
La imagen inferior ilustra ese tipo de aplicación: a la izquierda tenemos una
superficie de Riemann; a la derecha, la variedad objetivo, y la flecha
representa una aplicación entre ambas, es decir, la regla que asigna un punto
en la variedad objetivo a cada punto de la superficie de Riemann.
En
el modelo sigma clásico, consideramos aplicaciones del espacio-tiempo a la
variedad objetivo que resuelven las ecuaciones de movimiento (las análogas a
las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo); a estas aplicaciones se les
denomina armónicas. En el modelo sigma cuántico, todas las cantidades que nos
interesan, como las llamadas funciones de correlación, se obtienen sumando
todas las aplicaciones posibles, todas ellas con un peso asignado, es decir,
multiplicadas por un factor dado.
Volvamos a nuestra pregunta: ¿qué teoría cuántica de campos bidimensional
describe la reducción dimensional de una teoría de gauge supersimétrica
tetradimensional con el grupo de gauge G en Σ ×X conforme
reescalamos X de tal modo que su tamaño se vuelve muy pequeño?
Resulta que esa teoría es una extensión supersimétrica del modelo sigma de
aplicaciones de Σ a una variedad objetivo específica M, que está
determinada por la superficie de Riemann X y el grupo de
gauge G de la teoría de gauge original. Nuestra notación para
ella debería reflejar esto, de modo que la denominaremos M(X,G).[159]
Como anteriormente había resultado ser el caso con la teoría de grupos (véase
capítulo 2), cuando los físicos tropezaron con estas variedades, descubrieron
que los matemáticos habían llegado allí antes que ellos. En realidad, estas
variedades tenían un nombre: espacios de móduli de Hitchin, por el
matemático británico Nigel Hitchin, profesor de la Universidad de Oxford, quien
había presentado y estudiado estos espacios a mediados de la década de 1980.
Aunque es evidente por qué un físico podría interesarse por estos espacios
(aparecen cuando efectuamos la reducción dimensional de una teoría de gauge
tetradimensional), las razones para el interés de un matemático por estos
espacios resulta menos evidente.
Por suerte, Nigel Hitchin nos ha dejado un detallado informe[160] de la
historia de su descubrimiento, y se trata de un gran ejemplo del sutil juego
entre matemáticas y física. A finales de la década de 1970, Hitchin, Drinfeld y
otros dos matemáticos, Michael Atiyah y Yuri Manin, estudiaron las llamadas
ecuaciones de instantón, a las que los físicos habían llegado por el estudio de
teorías de gauge. Estas ecuaciones de instantón se inscribían en un espacio
plano tetradimensional. Posteriormente, Hitchin estudió ecuaciones
diferenciales en un espacio plano tridimensional, las llamadas ecuaciones de
monopolo, obtenidas a partir de la reducción dimensional de las ecuaciones de
instantón de cuatro a tres dimensiones. Estas eran interesantes desde un punto
de vista físico, y resultaron poseer una fascinante estructura matemática.
Era, por tanto, natural estudiar las ecuaciones diferenciales obtenidas al
reducir las ecuaciones de instantón de cuatro a dos dimensiones.
Lamentablemente, los físicos habían visto que estas ecuaciones no poseían
soluciones no triviales en el espacio plano bidimensional (es decir, en el
plano) de modo que no fueron más allá con ellas. La genialidad de Hitchin, sin
embargo, fue que se podían inscribir también estas ecuaciones en cualquier
superficie curva de Riemann, como un donut o un pretzel.
Los físicos pasaron esto por alto porque en la época (principios de los años
ochenta) no estaban especialmente interesados en las teorías cuánticas de
campos o en tales superficies curvadas. Pero Hitchin vio que, matemáticamente,
las soluciones en esas superficies eran especialmente ricas. Presentó su
espacio de móduli M(X,G) como el espacio de
soluciones a esas ecuaciones en una superficie de Riemann X (en
el caso de un grupo de gauge G).[xxvi] Halló
que se trataba de una variedad notable: para ser exactos, poseía una métrica
«hiperKähler», de la que se conocían muy pocos ejemplos en aquella época. Otros
matemáticos siguieron su camino.
Unos diez años más tarde, los físicos comenzaron a ver la importancia de esas
variedades en física cuántica, aunque el interés no se disparó realmente hasta
la obra de Witten y sus colaboradores, la que estoy describiendo en este
momento. (Es también interesante señalar que los espacios de móduli de Hitchin,
que aparecieron originalmente en la columna de la derecha de la piedra Rosetta
de Weil, han hallado recientemente aplicaciones en el Programa Langlands en la
columna central, en la que el papel de las superficies de Riemann lo desempeñan
las curvas sobre cuerpos finitos).[161]
La interacción entre matemáticas y física es un proceso bidireccional, en el
que cada una de las disciplinas toma prestado de (y se inspira en) la otra. En
momentos diferentes, cada una de ellas puede ir por delante en el desarrollo de
una idea en particular, sólo para pasar el testigo a la otra conforme cambia el
centro de atención. Pero juntas, interactúan en un círculo virtuoso de
influencia recíproca.
Ahora, armados con las reflexiones de físicos y de matemáticos, apliquemos la
dualidad electromagnética a la teoría de gauge tetradimensional con el grupo de
gauge G. Así obtendremos la teoría de gauge con el grupo de
gauge LG, el grupo Langlands dual de G.
(Recordemos que si aplicamos esta dualidad dos veces, obtendremos nuevamente el
grupo original G. Por decirlo de otro modo: el grupo Langlands dual
de LG es el propio grupo G). Los
modelos sigma bidimensionales efectivos sobre Σ, asociados a G y LG,
serán por lo tanto equivalentes, o duales, uno respecto al otro. Este tipo de
dualidad se denomina, en los modelos sigma, simetría especular. En
uno de los modelos sigma tenemos aplicaciones de Σ al espacio de móduli de
Hitchin M(X,G) correspondientes a G; en
el otro, aplicaciones de Σ al espacio de móduli de Hitchin M(X,LG)
correspondientes a LG. Los dos espacios de móduli de
Hitchin, y sus modelos sigma, no tienen nada que ver uno con el otro a
priori, así que la simetría especular entre ellos es tan sorprendente como
la dualidad electromagnética de las teorías de gauge originales en cuatro
dimensiones.
El interés, por parte de los físicos, en modelos sigma bidimensionales de este
tipo está motivado, en parte, por el importante papel que desempeñan en teoría
de cuerdas. Como mencioné en el capítulo 10, la teoría de cuerdas postula que
los objetos fundamentales de la naturaleza no son partículas elementales en
forma de punto (que no poseen geometría interna y son, por tanto,
cero-dimensionales) sino objetos unidimensionales denominados cuerdas, que
pueden ser abiertas o cerradas. Las primeras tienen dos extremos, mientras que
las segundas son pequeños lazos, muy similares a los que vimos en el capítulo
10.
La
idea de la teoría de cuerdas es que las vibraciones de estas diminutas cuerdas
conforme viajan por el espacio-tiempo crean las partículas elementales y las
fuerzas con que interactúan.
Los modelos sigma entran en la teoría de cuerdas cuando comenzamos a pensar
cómo se mueven las cuerdas. En física estándar, cuando una partícula puntual se
mueve en el espacio, su trayectoria es un camino unidimensional. Las posiciones
de la partícula, en diferentes momentos del tiempo, se representan como puntos
en este camino.
Sin
embargo, si una cuerda cerrada se mueve, su movimiento crea una superficie
bidimensional. Ahora, la posición de la cuerda en cada momento es un lazo en
esta superficie.
Las
cuerdas pueden también interactuar entre sí: una cuerda puede «dividirse» en
dos o más trozos, y esos trozos pueden unirse, como se ve en la siguiente
imagen. Esto nos ofrece una superficie de Riemann más general con un número
aleatorio de agujeros (y con circunferencias frontera). Se le llama la hoja del
mundo de la cuerda.
Esta
trayectoria se puede representar como una superficie de Riemann Σ incrustada en
el espacio-tiempo S y, por tanto, mediante una aplicación de Σ
a S. Este es precisamente el tipo de aplicaciones que aparece en el
modelo sigma de Σ con la variedad objetivo S. Sin embargo, ahora
las cosas están invertidas: el espacio-tiempo S es ahora la
variedad objetivo de este modelo sigma, es decir, el receptor de las
aplicaciones, no la fuente de estos, en contraste con las teorías cuánticas de
campos tradicionales, como la del electromagnetismo.
La idea de la teoría de cuerdas es que efectuando cálculos en estos modelos
sigma y sumando los resultados sobre todas las posibles
superficies de Riemann Σ (es decir, sobre todos los posibles caminos de las
cuerdas que se propagan en un espacio-tiempo S fijo)[162] podemos
reproducir los fenómenos físicos que observamos en el espacio-tiempo S.
Lamentablemente, la teoría resultante está llena de graves problemas (en
especial, que permite la existencia de taquiones, partículas elementales que se
mueven más rápido que la luz, cuya existencia queda prohibida por la teoría de
la relatividad de Einstein). La situación mejora drásticamente si pensamos en
una extensión supersimétrica de la teoría de cuerdas. Obtenemos entonces lo que
se denomina teoría de supercuerdas. Pero tenemos un nuevo problema:
la teoría de supercuerdas sólo es matemáticamente consistente si nuestro
espacio-tiempo Stiene diez dimensiones, algo en desacuerdo con el
mundo que observamos a diario, con sólo cuatro (las tres dimensiones espaciales
y una temporal).
Sin embargo, podría ser que nuestro mundo fuera resultado, de la manera
explicada arriba, del espacio-tiempo de dimensión 4 que vemos y una diminuta
variedad M de dimensión 6, tan pequeña que no podemos verla
mediante las herramientas disponibles hoy en día. Si es así, estaríamos en una
situación similar a la reducción dimensional (de cuatro a dos dimensiones) de
la que hablábamos antes: la teoría de dimensión 10 daría lugar a una teoría
efectiva de dimensión 4. La esperanza es que esta teoría efectiva describa
nuestro universo, y, especialmente, que incluya tanto el Modelo Estándar como
una teoría cuántica de la gravedad. Esta promesa de potencial unificación de
todas las fuerzas conocidas de la naturaleza es la razón principal por la que
la teoría de supercuerdas se ha estudiado tan a fondo en los últimos años.[163]
Pero tenemos un problema: ¿qué variedad es esta M de dimensión
6?
Para apreciar realmente cuán problemático resulta esto, supongamos, por un
instante, que la teoría de supercuerdas fuese matemáticamente coherente en seis
dimensiones, en lugar de serlo en diez. En ese caso, sólo habría dos
dimensiones extra y deberíamos hallar una variedad M bidimensional.
No tendríamos tantas elecciones: M debería ser una superficie
de Riemann, las cuales, como sabemos, se caracterizan por un género, es decir,
el número de «agujeros». Es más: para que la teoría funcione, esta M ha
de satisfacer ciertas propiedades adicionales: por ejemplo, ha de ser lo que se
denomina una variedad Calabi-Yau en honor a dos matemáticos, Eugenio Calabi y
Shing-Tung Yau, que fueron los primeros en estudiar matemáticamente estos
espacios (años antes de que los físicos se interesaran por ellos, he de
añadir).[164] La
única superficie de Riemann con estas condiciones es el toro. Por lo tanto,
si M fuese bidimensional, podríamos darlo por solucionado:
tendría que ser un toro.[165] Sin
embargo, conforme crece la dimensión de M, también lo hace el
número de posibilidades. Si M es de dimensión 6, se estima que
hay unas 10500 posibilidades, un número inimaginablemente alto.
¿Cuál de estas variedades hexadimensionales se da en nuestro universo y cómo
podemos verificarlo experimentalmente? Esta es una de las preguntas clave de la
teoría de supercuerdas que todavía no se ha respondido.[166]
En todo caso, de esto lo que debería quedar claro es que los modelos sigma
desempeñan un papel crucial en la teoría de supercuerdas y que, de hecho, su
simetría especular se puede remontar a una dualidad en la teoría de
supercuerdas.[167] Los
modelos sigma tienen también aplicaciones más allá de la teoría de cuerdas. Los
físicos los han estado estudiando en gran detalle, y no sólo los modelos sigma
en que la variedad objetivo M es de dimensión 6.[168]
Así, cuando Witten habló en nuestra conferencia de 2004, primero aplicó la
técnica de reducción dimensional (de cuatro a dos dimensiones) para reducir la
dualidad electromagnética de dos teorías de gauge (con grupos de gauge G y LG)
a la simetría especular de dos modelos sigma (cuyos objetivos eran los espacios
de móduli de Hitchin asociados a los dos grupos Langlands duales G y LG).
Y luego preguntó: ¿podemos conectar esta simetría especular al Programa
Langlands?
La respuesta que sugirió fue fascinante. Por regla general, en las teorías
cuánticas de campos estudiamos algo llamado funciones de correlación, que
describen la interacción de partículas. Por ejemplo, una de estas funciones se
puede emplear para describir las probabilidades de que una determinada
partícula surja de la colisión entre otras dos. Pero resulta que el formalismo
de la teoría cuántica de campos es mucho más versátil: además de estas
funciones, hay varios objetos más sutiles en la teoría, similares a los «haces»
de los que hablamos en el capítulo 14 en relación al diccionario de
Grothendieck. A estos objetos se les denomina D-branas o sencillamente
«branas».
Las branas tienen su origen en la teoría de supercuerdas, y su nombre es una
parasíntesis de «membrana». Las branas surgen de modo natural cuando
consideramos el movimiento de cuerdas abiertas en una variedad objetivo M.
La manera más sencilla de describir la posición de ambos extremos de una cuerda
abierta es estipular que un extremo pertenece a un subconjunto
determinado, B1, de M; y que el otro
pertenece a otro subconjunto, B2. Esto se muestra en el
gráfico inferior, en el que la delgada curva representa la cuerda abierta con
dos extremos, uno de los cuales está en B1 y el
otro en B2.
De esta manera, los subconjuntos (o, de modo más apropiado, las
subvariedades) B1 y B2 se
convierten en parte de la teoría de supercuerdas y del correspondiente modelo
sigma. Estos subconjuntos son los prototipos de las branas generales que se dan
en estas teorías.[169]
La simetría especular entre dos modelos sigma da lugar a una relación entre las
branas de estos dos modelos sigma. La existencia de esta relación la propuso
originalmente, a mediados de los años noventa, el matemático Maxim Kontsevich
bajo el nombre de «simetría especular homológica». Tanto físicos como
matemáticos la han estudiado a fondo, especialmente en la última década.
La
idea principal de la conferencia de Witten en Princeton era que, precisamente,
esta simetría especular homológica debía considerarse equivalente a la relación
Langlands.
En este punto es importante señalar que los modelos sigma vienen en dos
sabores, llamados «modelo A» y «modelo B». Los dos modelos sigma de que estamos
hablando son, en realidad, diferentes: si el que posee la variedad objetivo
espacio de móduli de Hitchin M(X, G) es el
modelo A, entonces el que tiene la variedad objetivo M(X,LG)
es el modelo B. De acuerdo a ello, las branas de ambas teorías se denominan
«A-branas» y «B-branas» respectivamente. Bajo la simetría especular, por cada
A-brana en M(X,G) debería haber una B-brana en M(X,LG),
y viceversa.[170]
A fin de establecer la relación geométrica Langlands, necesitamos asociar un
haz automorfo a cada representación del grupo fundamental de X en LG.
He aquí, a grandes rasgos, la manera en que Witten propuso construirla mediante
simetría especular:
Aunque
había aún muchos detalles que solventar, la conferencia de Witten fue un
acontecimiento: mostraba un sendero claro que seguir para establecer un vínculo
entre la dualidad electromagnética y el Programa Langlands. Por una parte,
traía al reino de las matemáticas modernas toda una hueste de nuevas ideas que
los matemáticos no habían tenido en cuenta (ciertamente no en conexión con el
Programa Langlands): las categorías de branas, el papel especial por desempeñar
por los espacios de móduli de Hitchin en el Programa Langlands y la conexión
entre las A-branas y los haces automorfos. Por otra parte, este vínculo
permitía también a los físicos emplear ideas y descubrimientos matemáticos para
avanzar en su comprensión de la física cuántica.
A lo largo de los siguientes dos años, Witten trabajó en los detalles de su
propuesta, en colaboración con un físico, ruso de nacimiento, del Caltech,[xxvii]Anton
Kapustin. Su artículo al respecto, de 230 páginas, apareció en abril de 2006 y
causó un gran impacto tanto en la comunidad matemática como en la física. El
párrafo de apertura de este artículo[171] describe
muchos de los conceptos que hemos tratado en este libro:
El Programa Langlands para cuerpos numéricos unifica muchos resultados clásicos
y contemporáneos en teoría de números y en una vasta área de investigación.
Tiene un análogo para las curvas sobre cuerpos finitos que ha generado,
también, un montón de grandes trabajos. Además, una versión geométrica del
Programa Langlands para curvas está muy avanzada, tanto para curvas sobre un
cuerpo de característica p como para superficies de Riemann
comunes… En este artículo nos hemos centrado en el Programa Langlands
geométrico para superficies de Riemann complejas. Deseamos mostrar cómo se
puede comprender este programa como un capítulo de la teoría de campos
cuánticos. No se asume que el lector posea familiaridad previa con el Programa
Langlands; en lugar de ello, suponemos conocimientos de temas como teorías de
gauge supersimétricas, dualidad electromagnética, modelos sigma, simetría
especular, branas y teoría topológica de cuerpos. El tema del artículo es
mostrar que, cuando se aplican esos conocidos ingredientes físicos al problema
adecuado, el Programa Langlands geométrico surge de modo natural.
Más adelante, en la misma introducción, Witten y Kapustin otorgan a nuestra
reunión en el Instituto de Estudios Avanzados (en especial, a la conferencia de
mi antiguo estudiante David Ben-Zvi) el mérito de ser el punto de partida de su
investigación.
En la parte central del artículo, Kapustin y Witten desarrollan las ideas que
Witten había formulado en nuestra conferencia de Princeton. En especial,
dilucidan las estructuras de las A-branas y B-branas que aparecen en esta
imagen, las simetrías entre ellas y la relación entre las A-branas y los haces
automorfos.
Para explicar sus resultados, comencemos con un ejemplo más sencillo de
simetría especular. En la obra de Witten y Kapustin, la simetría especular se
da entre dos espacios de móduli de Hitchin y los correspondientes modelos
sigma. Pero por ahora sustituyamos uno de esos espacios de móduli por un toro
bidimensional.
Este tipo de toro puede verse como el producto de dos circunfencias. En efecto,
la retícula de la imagen muestra claramente que el toro es como un collar de
cuentas:
Las
circunferencias verticales de la retícula hacen de cuentas, mientras que la
cadenilla a la que están sujetas lo interpreta una circunferencia horizontal
que podemos imaginar que discurre por el centro del toro. Un matemático diría
que el collar es una «fibración» cuyas «fibras» son las cuentas y cuya «base»
es la cadenilla. Por la misma regla, el toro es una fibración cuyas fibras son
las circunferencias y cuya base es también una circunferencia.
Llamemos R1 al radio de la circunferencia de la
base (la cadenilla) y R2 al radio de las
circunferencias de fibras (cuentas). Resulta que la variedad dual especular
será también un toro. Pero será el producto de las circunferencias de radios 1/R1y R2.
Esta inversión del radio es similar a la inversión de carga eléctrica que se da
en la dualidad electromagnética.
De modo que tenemos ahora dos toros especularmente duales: a uno de ellos, le
llamaremos T, con radios R1 y R2,
y al otro le llamaremos T∨, con radios 1/R1 y R2.
Nótese que si la circunferencia base en T es grande (es
decir, R1 es grande), entonces la circunferencia
base en T∨ es
pequeña (porque 1/R1 es pequeño), y viceversa. Este tipo
de paso de «grande» a «pequeño» es típico de todas las dualidades de la física
cuántica.
Estudiemos las B-branas de T y las A-branas de T∨. Por simetría especular
están asociadas, y comprendemos bien esta relación (a veces se le denomina
«dualidad T», T es por toro).[172]
Un
ejemplo típico de B-brana en el toro T es la llamada
cero-brana, que se concentra en un punto p de T.
Resulta que la A-brana dual en T∨, por el contrario, se extenderá por toda la superficie del
toro T∨.
Este «extenderse» requiere una explicación. Sin entrar en demasiados detalles,
que nos alejarían mucho del tema, esta A-brana en T∨ es el propio
toro T∨ equipado
con una estructura adicional: una representación de su grupo fundamental en el
grupo circular (similar a los que vimos en el capítulo 15). Esta representación
viene determinada por la posición del punto p original en el
toro T, así que, en realidad, existe una correspondencia uno a uno
entre las cero-branas en T y las A-branas «extendidas»
sobre T∨.
Este fenómeno es similar a lo que ocurre bajo la llamada transformada de
Fourier, ampliamente empleada en procesamiento de señales. Si aplicamos la
transformada de Fourier a una señal concentrada cerca de un momento determinado
del tiempo, obtenemos una señal que parece una onda. Esta última está
«extendida» sobre la recta que representa el tiempo, como se ve en la imagen.
La
transformada de Fourier se puede aplicar también a muchos otros tipos de
señales, y existe una transformada inversa, que nos permite recuperar la señal
original. A menudo, se transforma señales complicadas en otras más sencillas, y
es por ello que la transformada de Fourier es tan útil en aplicaciones. De
igual modo, bajo simetría especular, branas complicadas en un toro corresponden
a otras más sencillas en el otro, y viceversa.
Resulta que podemos emplear esta simetría especular tórica para describir la
simetría especular entre las branas de dos espacios de móduli de Hitchin. Aquí
debemos emplear una importante propiedad de estos espacios de móduli, descrita
por el propio Hitchin. Básicamente, un espacio de móduli de Hitchin es una
fibración. La base de la fibración es un espacio vectorial, y las fibras son
toros. Es decir, todo el espacio es un conjunto de toros, uno por cada punto de
la base. En su caso más sencillo, tanto la base como las fibras tóricas son
bidimensionales, y la fibración se asemeja a esto (tenga en cuenta que las
fibras pueden tener diferentes tamaños en distintos puntos de la base):
Piense
en la fibración Hitchin como en una caja de donuts, excepto que hay donuts
encajados no sólo en una retícula de puntos en la base de la caja de cartón,
sino también en todos los puntos de esta base. De modo que
tenemos infinitos donuts: ¡a Homer Simpson le encantaría!
Resulta que el espacio de móduli de Hitchin dual especular, el asociado al
grupo Langlands dual, es también una fibración de donut (tórica) sobre la misma
base. («Donuts. ¿Hay algo que no sean capaces de hacer?») Esto significa que
sobre cada punto de esta base tenemos dos fibras tóricas: una en espacio de
móduli de Hitchin en el lado del modelo A, y otra en el espacio de móduli de
Hitchin en el lado del modelo B. Además, estos dos toros son duales especulares
entre sí, en el sentido descrito arriba (si uno de ellos tiene radios R1 y R2,
el otro los tendrá 1/R1 y R2).
Esta observación nos proporciona la oportunidad de estudiar la simetría
especular entre dos espacios de móduli de Hitchin en cuanto a sus fibras,
empleando la simetría especular entre las fibras tóricas duales.
Por ejemplo, digamos que p es un punto del espacio de móduli
de Hitchin M(X,LG). Tomemos la cero-brana
concentrada en este punto. ¿Cuál será la A-brana dual especular en M(X,G)?
El punto p pertenece a un toro, que es la fibra de M(X,LG)
sobre un punto b en la base (el toro a la izquierda, en la
imagen de abajo, en el lado del modelo B). Miremos el toro dual, que es la
fibra de M(X,G) sobre el mismo punto b (el
toro de la derecha de la imagen, en el lado del modelo A). La A-brana dual
en M(X,G) que buscamos será la A-brana «extendida»
sobre este toro dual. Será la misma brana dual que obtenemos bajo la simetría
especular entre estos dos toros.
Este
tipo de descripción de la simetría especular basado en fibras (que emplea
fibraciones tóricas duales) lo habían sugerido con anterioridad Andrew
Strominger, Shing-Tung Yau y Eric Zaslow en una situación más general. Hoy en
día se le denomina conjetura SYZ o mecanismo SYZ.[173] Se
trata de una idea poderosa: mientras que una simetría especular para toros se
comprende muy bien, las simetrías especulares para variedades en general (como
los espacios de móduli de Hitchin) aún parecen muy misteriosas. Por lo tanto,
podemos recorrer bastante camino si lo reducimos al caso tórico. Evidentemente,
para ser capaces de implementarlo, necesitamos representar dos variedades
duales especulares como fibraciones tóricas duales sobre la misma base (estas
fibraciones tienen también que cumplir ciertas condiciones). Por suerte, en el
caso de los espacios de móduli de Hitchin tenemos ese tipo de fibraciones, de
modo que podemos emplear la conjetura de SYZ. En general, las dimensiones de
las fibras tóricas son más de dos, pero la imagen es similar.[174]
Ahora empleamos esta simetría especular para construir la relación Langlands.
Primero, resulta que puntos del espacio de móduli de Hitchin M(X,LG)
son precisamente las representaciones del grupo fundamental de la superficie de
Riemann X en LG (véase nota 1 de
este capítulo). Tomemos la cero-brana concentrada en este punto. Según la
conjetura SYZ, la A-brana dual quedará «extendida» sobre el toro dual (la fibra
en el espacio de móduli de Hitchin dual sobre el mismo punto de la base).
Kapustin y Witten no sólo describieron al detalle estas A-branas, sino que
también explicaron cómo convertirlas en los haces automorfos de la relación
Langlands geométrica. Por tanto, la relación Langlands se consigue mediante
este gráfico de fluidos:
Un
elemento fundamental de esta construcción es la aparición de objetos
intermedios: A-branas. Kapustin y Witten sostenían que se podía lograr la
relación Langlands en dos pasos: primero, construir una A-brana mediante
simetría especular. Y después, construir un haz automorfo a partir de esta
A-brana.[175] Hasta
ahora sólo hemos hablado del primer paso, la simetría especular. Pero el
segundo paso es también muy interesante. De hecho, el vínculo entre A-branas y
haces automorfos fue una revolucionaria idea por parte de Kapustin y Witten:
antes de su trabajo, no se sabía que existiera ese vínculo. Es más: Kapustin y
Witten sugerían que existe un vínculo similar en una situación mucho más
general. Esta sorprendente idea ya ha desencadenado una cascada de
investigaciones matemáticas.
Todo esto, como diría mi padre, es bastante duro: tenemos espacios de móduli de
Hitchin, simetría especular, A-branas, B-branas, haces automorfos… A uno le
puede dar dolor de cabeza sólo con intentar seguirlos a todos sin perderse.
Créame, incluso entre especialistas, muy poca gente conoce al detalle los
mecanismos de todos los elementos de esta construcción. Mi objetivo no es que
usted los aprenda. Más bien, deseo indicar las conexiones lógicas entre estos
objetos y mostrar el proceso creativo de los científicos que los estudian: qué
los motiva, cómo aprenden unos de otros, cómo se emplea el conocimiento que
adquieren para avanzar en nuestra comprensión de las cuestiones clave.
Para aligerar un poco la explicación, he aquí un diagrama que ilustra las
analogías entre los objetos que hemos tocado, a lo largo de las columnas de la
piedra Rosetta de Weil, más una columna extra que corresponde a la física
cuántica. Se trata de una extensión del diagrama de la p. 238. He mezclado las
columnas izquierda y central de la piedra Rosetta de Weil porque los objetos
que aparecen en ellas son muy similares entre sí.
Tras
observar el diagrama, mi padre me preguntó: «¿Cómo hicieron avanzar Kapustin y
Witten el Programa Langlands?». Esta es, por supuesto, una pregunta importante.
En primer lugar, vincular el Programa Langlands a la simetría especular y a la
dualidad electromagnética nos permite emplear el potente arsenal que hay en
esas áreas de la física cuántica para realizar nuevos avances en el Programa
Langlands. En sentido inverso, el trasplante del Programa Langlands a la física
motivó a muchos físicos a hacerse preguntas acerca de la dualidad
electromagnética que nunca se habían hecho antes. Esto ha llevado a algunos
descubrimientos fascinantes. En segundo lugar, el lenguaje de las A-branas
resulta estar especialmente bien adaptado al Programa Langlands. Muchas de
estas A-branas poseen una estructura mucho más sencilla que los haces
automorfos, que son famosos por su complicación. Por tanto, si empleamos el
lenguaje de A-branas, podemos desvelar algunos de los misterios del Programa
Langlands.
Quiero mostrarle un ejemplo concreto de cómo se puede aplicar este nuevo
lenguaje. De modo que permítame hablarle de mi trabajo posterior[176] con
Witten, que acabamos en 2007. Para explicarle lo que hicimos, he de contarle
antes acerca de un problema que, hasta ahora, y por decirlo así, he ocultado
bajo la alfombra. En la explicación anterior, hice ver que todas las fibras que
aparecían en los dos espacios de móduli de Hitchin eran toros diferenciables,
como los que conocemos (como los que mostré en los gráficos anteriores: donuts
perfectos, si lo prefiere). Y aunque esto es cierto para la mayoría de las
fibras, existen fibras especiales con un aspecto diferente: se trata de
degeneraciones del toro diferenciable. Si no hubiera degeneraciones, la
conjetura SYZ nos daría una descripción completa de la simetría especular entre
las branas de ambos espacios de móduli de Hitchin. Pero la presencia de toros
degenerados complica drásticamente la simetría especular. La parte más
interesante y complicada de la simetría especular corresponde, de hecho, a lo
que ocurre con las branas que «viven» en esos toros degenerados.
En su artículo, Kapustin y Witten tan sólo tenían en cuenta la simetría
especular restringida a los toros diferenciables. Esto dejaba abierta la
cuestión de los toros degenerados. En nuestro trabajo, Witten y yo explicamos
qué ocurre en los casos más sencillos de toros degenerados, aquellos con las
llamadas «singularidades de una V -variedad» como este toro
contraído:
Esta
es, en realidad, la imagen de una fibra degenerada que surge en el caso de que
nuestra superficie de Riemann X sea también un toro, y el
grupo LG es SO(3) (está tomada directamente de mi
artículo con Witten). En este caso, la base de la fibración Hitchin es un
plano. En todos los puntos de este plano, excepto por tres puntos especiales,
las fibras son los habituales toros diferenciables. De modo que, a excepción de
estos tres puntos, la fibración Hitchin es sólo una familia de toros
diferenciables. Pero en el entorno de cada uno de esos tres puntos, el «cuello»
de la fibra tórica/donut se deforma, como se ve en la imagen siguiente, en la
que seguimos las fibras a lo largo de puntos situados en un camino en la base.
Es
como si Homer Simpson se hubiese puesto tan contento por tener una caja con
infinitos donuts que accidentalmente la hubiera pisado, aplastando algunos de
los donuts (pero no se preocupe por Homer: le deberían quedar infinitos donuts
perfectos).
Conforme nos acercamos al punto marcado en la base (que es uno de los tres
puntos especiales de la misma) el cuello del toro en la fibra se va haciendo
cada vez más estrecho, hasta que, en el punto señalado, se corta. En el punto
marcado, la fibra se muestra bajo un ángulo diferente en la imagen de arriba.
Ya no se trata de un toro: es lo que llamamos un toro «degenerado».
La pregunta que necesitamos responder es qué ocurre cuando la cero-brana en el
espacio de móduli de Hitchin se concentra en el punto especial del toro
degenerado como el punto marcado de la imagen de arriba, en que el cuello se
corta. Los matemáticos lo llaman singularidad de una V -variedad.
Resulta que este punto posee un grupo de simetría adicional. En el ejemplo que
pongo arriba, es el mismo que el grupo de simetrías de una mariposa. Dicho de
otra manera: consiste en el elemento identidad y en otro elemento que
corresponde dar la vuelta a las alas de una mariposa. Esto implica que hay no
uno, sino dos cero-branas diferentes concentradas en este punto. La pregunta
es: ¿cuáles serán las dos A-branas correspondientes en el espacio de móduli de
Hitchin de la dualidad especular? Nótese que en este caso, G será
el grupo SU(2), que es el grupo dual Langlands de SO(3).
Como Witten y yo explicamos en nuestro artículo, en los tres puntos especiales
de la base de la fibración Hitchin, el toro degenerado del lado de la dualidad
especular se verá así (la imagen procede de nuestro artículo):
Aparece
en la fibración Hitchin de manera similar a lo mostrado en la imagen anterior,
excepto que ahora, conforme nos acercamos a los puntos especiales de la base,
el cuello del toro en la fibra se hace cada vez más fino por dos lados, y se
corta en ambos al llegar al punto marcado de la base.
La fibra degenerada correspondiente es bastante diferente de la anterior porque
ahora el toro se estrecha por dos puntos en lugar de por uno. Por lo tanto,
este toro degenerado tiene dos partes, que los matemáticos denominan
«componentes». Ahora podemos contestar a nuestra pregunta: las dos A-branas que
buscamos (duales especulares de las dos cero-branas concentradas en el punto
singular del primer toro degenerado) serán las A-branas «extendidas» sobre cada
uno de los dos componentes del toro dual degenerado.
Esto es sólo un prototipo de lo que ocurre en un caso general. Cuando miramos
los dos espacios de móduli de Hitchin como fibraciones sobre la misma base
habrá fibras degeneradas en ambos lados. Pero los mecanismos de degeneración
serán diferentes: si en el lado del modelo B hay una singularidad de una V-variedad
con un grupo de simetría interno (como el grupo de mariposa del ejemplo
anterior), entonces la fibra del lado del modelo A consistirá en varios
componentes, como los dos componentes de la imagen previa. Resulta que habrá
tantos componentes como el número de elementos del grupo de simetría del lado
del modelo A. Esto asegura que las cero-branas concentradas en puntos
singulares queden perfectamente emparejadas con las A-branas «extendidas» sobre
esos componentes.
En mi artículo con Witten analizamos este fenómeno en detalle. De un modo un
tanto sorprendente, esto nos llevó a nuevos descubrimientos no sólo en el
Programa Langlands geométrico para superficies de Riemann, sino también para la
columna central de la piedra Rosetta de Weil, que trata de curvas sobre cuerpos
finitos. Este es un buen ejemplo de cómo las ideas y descubrimientos en un área
(física cuántica) se propagaron hasta las raíces mismas del Programa Langlands.
Es aquí donde radica el poder de las conexiones. Ahora no tenemos tres, sino
cuatro columnas en la piedra Rosetta de Weil: la cuarta columna corresponde a
la física cuántica. Cuando descubrimos algo nuevo en esta columna, miramos cómo
deberían ser los resultados análogos en las otras tres columnas y, esto puede,
a su vez, convertirse en la fuente de nuevas ideas y descubrimientos.
Witten y yo comenzamos a trabajar en este proyecto en abril de 2007 cuando yo
estaba como visitante en el Instituto, en Princeton, y el artículo se acabó en
Halloween, el 31 de octubre (recuerdo perfectamente la fecha porque tras
subirlo online fui a celebrarlo a una fiesta de Halloween).
Durante esos siete meses acudí tres veces al Instituto, cada una de esas veces
por una semana, aproximadamente. Todos los días trabajábamos juntos en el
cómodo despacho de Witten. El resto del tiempo estábamos separados. En aquella
época yo dividía mi tiempo entre Berkeley y París, y pasé también un par de
semanas de visita en un instituto de matemáticas de Río de Janeiro.
Pero dónde me encontrara carecía de importancia. Mientras tuviese una conexión
a Internet, podíamos colaborar de modo eficaz. Durante los períodos más
intensos intercambiábamos una docena de correos electrónicos al día,
ponderábamos cuestiones, nos enviábamos el uno al otro esbozos del artículo,
etcétera. Dado que compartimos el nombre, había una especie de simetría
especular entre nuestros correos electrónicos: todos comenzaban con un «Querido
Edward» y acababan con «Un abrazo, Edward».
Esta colaboración me proporcionó la oportunidad de observar de cerca a Witten.
Me llamó la atención tanto por su potencia intelectual como por su ética de
trabajo. Presentía que le daba mucha importancia a la elección de los problemas
en los que ponerse a trabajar. Ya he hablado de ello con anterioridad en este
libro: algunos problemas pueden tardar trescientos cincuenta años en
resolverse, de modo que es importante sopesar la proporción de importancia de
un problema determinado y la probabilidad de éxito en un lapso de tiempo
razonable. Creo que Witten tiene una intuición excepcional para esto, además de
un muy buen gusto. Y una vez que escoge el problema, es incansable en su
persecución del mismo, como el personaje de Tom Cruise en Collateral.
Su enfoque es exhaustivo, metódico: no deja piedra sin levantar. Como todo el
mundo, a veces se queda perplejo y confuso. Pero siempre halla el camino.
Trabajar con él fue enriquecedor y estimulante en más de un aspecto.
La investigación de la interconexión entre el Programa Langlands y la dualidad
electromagnética se convirtió pronto en tema de acalorados debates, que
acabaron convirtiéndose en una nueva área de estudio. En este proceso
desempeñaron un papel importante las conferencias anuales que organizamos en el
Instituto Kavli de Física Teórica, en Santa Bárbara. El director del Instituto,
David Gross, ganador del premio Nobel, era un gran entusiasta de nuestra
investigación.
En junio de 2009 me pidieron que hablara de estos nuevos descubrimientos en el
Séminaire Bourbaki. El Bourbaki, uno de los seminarios matemáticos en activo
más antiguos del mundo, es objeto de adoración en la comunidad matemática.
Hornadas de matemáticos se ven atraídos a sus reuniones en el Instituto Henri
Poincaré de París, y duran un fin de semana tres veces al año. El seminario lo
crearon, poco después de la segunda guerra mundial, un grupo de jóvenes y
ambiciosos matemáticos que se hacían llamar (con un nombre falso) Association
des collaborateurs de Nicolas Bourbaki. Su idea era revisar los fundamentos de
las matemáticas empleando un nuevo estándar de rigor basado en la teoría de
conjuntos iniciada por Georg Cantor a finales del siglo XIX. Su éxito fue sólo
parcial, pero su influencia en las matemáticas ha sido enorme. André Weil fue
uno de los miembros fundadores, y algún tiempo más tarde Alexander Grothendieck
jugó un papel destacado.
El objetivo del Séminaire Bourbaki es informar de las novedades más fascinantes
de las matemáticas. El comité secreto que escoge los temas y los
conferenciantes ha seguido la regla, desde su inicio, de que sus miembros han
de tener menos de cincuenta años. Los fundadores del movimiento Bourbaki
creían, al parecer, que necesitaba constantemente sangre fresca, y esto les ha
sido muy útil. El comité invita a los conferenciantes y se asegura de que
tengan su conferencia escrita por adelantado. En el seminario se distribuyen
copias a los asistentes. Como se considera un honor ser invitado a dar una
charla en el seminario, los conferenciantes cumplen con sus obligaciones.
El título de mi conferencia era «Teoría de gauge y Programa de Langlands».[177]Aunque mi
charla era más técnica, y comprendía más fórmulas y terminología matemática,
básicamente seguía la línea cronológica que he presentado en este libro.
Comencé con la piedra Rosetta de André Weil, dando un breve repaso a cada una
de sus columnas, como he hecho aquí. Dado que Weil fue uno de los fundadores
del grupo Bourbaki, me pareció especialmente adecuado hablar de sus ideas en el
seminario. Después me centré en los nuevos descubrimientos, vinculando el
Programa Langlands y la dualidad electromagnética.
La conferencia fue bien recibida. Me encantó ver en primera fila a otro miembro
clave del movimiento Bourbaki, Jean-Pierre Serre, una leyenda por méritos
propios. Al acabar la conferencia vino a hablar conmigo. Tras hacerme unas
cuantas preguntas técnicas, me hizo la siguiente observación:
—Me pareció interesante que pienses en la física cuántica como la cuarta
columna de la piedra Rosetta de Weil —me dijo—. ¿Sabes? A André Weil no le
gustaba demasiado la física. Pero creo que si hoy en día estuviese aquí,
estaría de acuerdo con que la física cuántica tiene un importante papel en esta
historia.
Era el mejor cumplido que pudiesen hacer a nadie.
En los últimos años se han hecho muchos progresos en el Programa Langlands, en
todas las columnas de la piedra Rosetta de Weil. Aún estamos lejos de
comprender plenamente los misterios más profundos del Programa Langlands, pero
una cosa queda clara: ha superado la prueba del tiempo. Hoy en día vemos más
claramente que nos ha llevado a algunas de las preguntas más fundamentales de
las matemáticas y la física.
Estas ideas son tan vitales ahora como lo eran cuando Langlands escribió su
carta a André Weil, hace casi cincuenta años. No sé si podremos hallar todas
las respuestas en los próximos cincuenta años, pero no cabe duda de que estos
serán al menos tan fascinantes como lo han sido los últimos cincuenta. Y quizá
algunos de los lectores de este libro tengan la posibilidad de contribuir a
este apasionante proyecto.
El Programa Langlands ha ocupado la posición central de este libro. Creo que
proporciona una buena panorámica de las matemáticas modernas: su profunda
estructura conceptual, sus descubrimientos revolucionarios, sus fascinantes
conjeturas, sus intensos teoremas y sus inesperadas conexiones entre diferentes
campos. También sirve para ilustrar los intrincados vínculos entre las
matemáticas y la física y el diálogo mutuamente enriquecedor entre ambas
disciplinas. Así, el Programa Langlands sirve de ejemplo perfecto de las cuatro
cualidades de las teorías matemáticas de las que hablamos en el capítulo 2:
universalidad, objetividad, resistencia y relevancia para el mundo cotidiano.
Evidentemente, hay muchas otras áreas fascinantes en las matemáticas. Algunas
se han expuesto en literatura para no especialistas, y otras aún no. Como
escribiera Henry David Thoreau:[178] «Hemos
oído hablar de la poesía de las matemáticas, pero poco de ella se ha cantado
todavía». Sus palabras, lamentablemente, siguen vigentes hoy en día, más de
ciento cincuenta años después de que las publicara, lo que significa que
nosotros, los matemáticos, tenemos que hacerlo mejor a la hora de mostrar el
poder y la belleza de nuestra disciplina a un público más amplio. Al mismo
tiempo, espero que la historia del Programa Langlands provoque curiosidad entre
los lectores acerca de las matemáticas, y los inspire a aprender más.
Capítulo 18
Buscando la fórmula del amor
En
2008 me invitaron a realizar investigación y dar una conferencia acerca de mi
trabajo en París, como receptor de una recién creada Chaire
d'Excellence que otorgaba la Fondation Sciences Mathématiques de
París.
París es uno de los centros mundiales de las matemáticas; es también una de las
capitales del cine. Mientras estuve allí tuve la idea de rodar una película
acerca de las matemáticas. En las películas populares, se suele representar a
los matemáticos como sujetos extraños, excéntricos, inadaptados sociales al
borde de la enfermedad mental, lo que refuerza el estereotipo de los
matemáticos como seres fríos y aburridos, algo muy alejado de la realidad.
¿Quién querría una vida así, en un trabajo que, supuestamente, no tiene nada
que ver con nada?
Cuando regresé a Berkeley en diciembre de 2008, sentí que necesitaba canalizar
mi energía artística. Mi vecino Thomas Farber es un escritor maravilloso, que
enseña escritura creativa en la Universidad de California Berkeley. Le
pregunté:
—¿Y si escribiéramos juntos un guión acerca de un escritor y un matemático?
A Tom le gustó la idea y sugirió que la acción tuviera lugar en una playa del
sur de Francia. Decidimos que la película comenzaría de la siguiente manera: un
escritor y un matemático, en un bello y soleado día, sentados en mesas
contiguas en una terraza de una cafetería junto a la playa. Ambos saborean la
belleza que les rodea, se miran y comienzan a charlar. ¿Qué ocurre luego?
Comenzamos a escribir. El proceso era similar a la manera en que colaboro con matemáticos
y físicos. Pero también era algo diferente: hallar las palabras adecuadas para
describir los sentimientos y emociones de los personajes, llegar al corazón de
una historia. El marco conceptual era mucho más fluido y libre de restricciones
de lo que yo estaba acostumbrado a emplear. Y allí estaba yo, codo a codo con
un gran escritor por el que sentía tanto respeto y admiración. Por suerte para
mí, Tom no quiso imponer su voluntad, sino que me trató como a un igual, y fue
muy amable al permitirme desarrollar mis capacidades como escritor. Como
aquellos mentores que me guiaron en el mundo de las matemáticas, Tom me ayudó a
entrar en el mundo de la escritura, por lo que siempre le estaré agradecido.
En uno de los diálogos, el matemático explica al escritor el «problema de los
dos cuerpos». Se refiere a dos objetos (cuerpos) que interactúan entre sí, como
una estrella y un planeta (ignoramos las demás fuerzas que actúan sobre ellos).
Existe una sencilla fórmula matemática que predice con precisión sus trayectorias
en el futuro una vez que sabemos la fuerza de atracción recíproca. Qué
diferente, sin embargo, de la interacción entre dos cuerpos humanos, dos
amantes o dos amigos. En este caso, incluso si el problema de los dos cuerpos
tiene solución, no es única.
Nuestro guión trataba sobre el choque entre el mundo real y el mundo de la
abstracción: para Richard, el escritor, es el mundo de la literatura y el arte;
para Philip, el matemático, el de la ciencia y las matemáticas. Cada uno de
ellos es un maestro en su dominio, pero ¿de qué manera afecta esto a su vida en
el mundo real? Philip intenta llegar a un compromiso entre la verdad
matemática, en la que es un experto, y la verdad humana, en la que no lo es.
Aprende que enfrentarse a los problemas de la vida como se enfrenta a los
problemas matemáticos no siempre es útil.
Tom y yo también nos preguntábamos: ¿es posible ver los parecidos y diferencias
entre arte y ciencia (las «dos culturas», como las denominaba C. P. Snow)[179] a
través de las narrativas de ambos hombres? En realidad, la película se puede
interpretar metafóricamente como las dos caras de un mismo personaje: el lado
izquierdo y el lado derecho del cerebro, si lo prefiere. Están en constante
competición, pero se afectan recíprocamente: las dos culturas coexisten en la
misma mente.
En nuestro guión, los personajes intercambian historias acerca de sus
relaciones pasadas, amores vividos y desaparecidos, corazones rotos. Y conocen
a varias mujeres a lo largo del día, de modo que podemos verlos emplear la
pasión por sus profesiones como un medio de seducción. Hay mucho interés entre
ellos también, pero al mismo tiempo un conflicto que se va gestando, y que
llega a una inesperada conclusión al final.
Llamamos a nuestro guión El problema de los dos cuerpos, y lo
publicamos como libro.[180] Su
versión teatral la ha representado el Teatro Berkeley, dirigido por la premiada
Barbara Oliver. Era mi primera incursión en el arte, y me sorprendió y divirtió
la reacción del público. Por ejemplo, la mayoría creyó que todo lo que le
ocurría al matemático de la obra era autobiográfico.
Evidentemente, muchas de mis experiencias contribuyeron a la redacción de El
problema de los dos cuerpos. Por ejemplo, tuve una novia rusa en París, y
algunas de las notables cualidades de Natalia, la novia de Philip en la obra,
están inspiradas en ella. Algunas escenas del guión están sacadas de
experiencias mías, y otras de las de Tom. Pero como escritor, lo que te motiva
es ante todo el deseo de crear personajes atractivos y una historia
interesante. Una vez Tom y yo decidimos qué era lo que queríamos comunicar,
tuvimos que moldear los personajes de una manera determinada. Esas experiencias
de nuestra vida real quedaron tan embellecidas y distorsionadas que ya no eran
nuestras. Los protagonistas de El problema de los dos cuerpos adquirieron
su propia personalidad, como debía ser, para ser arte.
Conforme comenzamos a buscar un productor para convertir El problema de
los dos cuerpos en un largometraje, pensé que valdría la pena realizar
un proyecto cinematográfico a una escala menor. Cuando regresé a París para
continuar con mi Chaire d'Excellence en abril de 2009, un
amigo, el matemático Pierre Schapira, me presentó a una joven directora de cine
con mucho talento, Reine Graves. Antigua modelo de pasarela, había dirigido varias
películas originales y arriesgadas (una de las cuales ganó el premio Pasolini
en el Festival de Cine Censurado de París). En una comida organizada por
Pierre, ella y yo congeniamos de inmediato. Le sugerí que trabajáramos juntos
en un corto acerca de matemáticas, y a ella le encantó la idea. Meses más
tarde, cuando le preguntaron al respecto, respondió que creía que las
matemáticas eran una de las pocas áreas que quedaban en la que había una
genuina pasión.[181]
Cuando comenzamos a proponer ideas, mostré a Reine un par de fotografías que
había hecho previamente, en las que había tatuado digitalmente fórmulas
matemáticas en cuerpos humanos. A Reine le gustaron y decidimos que
intentaríamos hacer una película en que hubiese el tatuaje de una fórmula.
El tatuaje como forma de arte se originó en Japón. He visitado Japón una docena
de veces (para trabajar con Feigin, quien había estado pasando sus veranos en
la Universidad de Kioto) y me fascina la cultura japonesa. No es sorprendente
que Reine y yo fuésemos al cine japonés en busca de inspiración. Una de estas
películas fue Yûkoku («Patriotism»), del gran escritor japonés
Yukio Mishima, basado en su cuento homónimo. El propio Mishima la dirigió y
protagonizó.
La película es en blanco y negro y la acción se desarrolla en el austero
escenario típico del teatro japonés no.[xxviii] Carece
de diálogo, pero hay música de la ópera Tristán e Isolda, de
Wagner, de fondo. Tiene dos personajes: un joven oficial de la Guardia
Imperial, el teniente Takeyama, y su esposa, Reiko. Los amigos del oficial
protagonizan un fracasado golpe de estado (el filme hace referencia a los
acontecimientos de febrero de 1936, que Mishima pensaba tuvieron un efecto
dramático en la historia de Japón). Al oficial le dan la orden de ejecutar a
los autores del golpe, algo que no puede hacer: son amigos cercanos. Pero
tampoco puede desobedecer las órdenes del emperador. La única salida es el
suicidio ritual, el seppuku (o haraquiri).[xxix]
Aunque de sólo veintinueve minutos de duración, el filme me conmovió
profundamente. Podía sentir el vigor y la claridad de la visión de Mishima. Su
puesta en escena era poderosa, cruda, sin remordimientos. Uno puede no estar de
acuerdo con sus ideas (y, de hecho, su visión del vínculo íntimo entre amor y
muerte no me atrae) pero guardo un tremendo respeto por el autor, por su fuerza
e integridad.
La película de Mishima iba contra las convenciones habituales del cine: era
muda, con texto escrito entre los «capítulos» para explicar lo que ocurriría a
continuación. Era teatral; sus escenas estaban cuidadosamente ensayadas, con
poco movimiento. Pero me cautivó la corriente subterránea de emoción. Yo no
conocía aún la escalofriante similitud entre la auténtica muerte de Mishima y
lo que ocurría en la película.
Quizá el filme tuvo un efecto tan profundo en mí porque Reine y yo también
queríamos crear una película poco convencional, hablar de las matemáticas de
una manera como nadie lo había hecho hasta entonces. Sentí que Mishima había
creado el marco estético y el lenguaje que buscábamos. Llamé a Reine.
—He visto la película de Mishima —dije—; deberíamos hacer una película así.
—OK —respondió ella—. Pero ¿de qué tratará?
De repente las palabras comenzaron a salir de mi boca. Todo estaba claro como
el agua.
—Un matemático crea una fórmula del amor —le dije—, pero luego descubre el lado
peligroso de la fórmula: se puede usar para el bien, pero también para el mal.
Se da cuenta de que ha de esconder la fórmula para evitar que caiga en las
manos equivocadas. Y decide tatuarla en el cuerpo de la mujer que ama.
—Suena bien. ¿Cómo crees que deberíamos llamarla?
—Mm… ¿Qué tal así: Ritos de amor y matemáticas?
Y así nació la idea de la película.
Lo concebimos como una alegoría, que mostrara que una fórmula matemática puede
ser bella como un poema, una pintura o una pieza musical. La idea era no apelar
tanto a la parte cerebral como a la visceral e intuitiva. Que el público sienta en
lugar de entenderlo. Pensamos que subrayar los aspectos humanos y
espirituales de las matemáticas contribuiría a inspirar curiosidad en el
espectador.
A menudo se presentan las matemáticas, y la ciencia en general, como algo frío
y estéril.
Para ser sinceros, el proceso de crear nuevas matemáticas es una búsqueda
apasionada, una experiencia profundamente personal, exactamente igual que la
creación de arte o música. Exige amor y dedicación; es una lucha contra lo
desconocido y contra uno mismo que despierta fuertes emociones. Y las fórmulas
que uno descubre se meten, realmente, bajo la propia piel, como el tatuaje de
la película.
En nuestro filme, un matemático descubre «la fórmula del amor». Evidentemente,
es una metáfora: siempre intentamos llegar al máximo conocimiento, a la máxima
revelación, saberlo todo. En el mundo real, hemos de conformarnos con un
conocimiento y comprensión parciales. Pero ¿qué ocurriría si alguien
consiguiese acceder a la Verdad definitiva? ¿Y si esta se pudiera representar
mediante una fórmula matemática? Sería la fórmula del amor.
Henry David Thoreau lo expresa de modo elocuente:[182]
La expresión más única y bella de cualquier verdad ha de tomar, en fin, la
forma matemática. Podemos simplificar tanto las reglas de la filosofía moral
como las de la aritmética en una sola fórmula que las exprese a ambas.
Incluso si una sola fórmula no bastase para explicarlo todo, las fórmulas
matemáticas se encuentran entre las más versátiles, puras y económicas
expresiones de la verdad conocidas por la humanidad. Comunican conocimientos
atemporales y de valor incalculable, a los que no afectan ni las modas
pasajeras ni las veleidades, y proporcionan el mismo significado a todo aquel
que entre en contacto con ellas. Las verdades que expresan son las verdades
necesarias, firmes faros de realidad que guían a la humanidad a lo largo del
tiempo y el espacio.
Heinrich Hertz, quien demostró la existencia de las ondas electromagnéticas y
cuyo apellido se emplea hoy en día como medida de frecuencia, expresaba de esta
manera su admiración:[183] «Uno
no puede evitar sentir que estas fórmulas poseen una existencia independiente y
una inteligencia propia; que son más sabias que nosotros, más sabias incluso
que sus descubridores».
Hertz no era el único que se sentía así. La mayoría de practicantes de las
matemáticas creen que las ideas y fórmulas matemáticas existen en un mundo
aparte. Robert Langlands escribe que las matemáticas «a menudo llegan en forma
de insinuaciones, una palabra que sugiere que las matemáticas, y no sólo sus
conceptos básicos, existen de forma independiente a nosotros. Esta es una
noción difícil de creer, pero a un matemático profesional le resulta difícil
prescindir de ella».[184] Otro
eminente matemático, Yuri Manin (el tutor de Drinfeld) se hace eco de esto
cuando habla de su «visión del gran castillo de las matemáticas, elevándose, en
algún lugar del universo platónico de las Ideas, que [los matemáticos] humilde
y devotamente descubren (más que inventan)».[185]
Desde este punto de vista, el joven prodigio francés descubrió los
grupos de Galois, no los inventó. Hasta que lo hizo, el concepto
existió en algún sitio, en los jardines encantados del mundo ideal de las
matemáticas, esperando a que lo hallasen. Incluso si los artículos de Galois se
hubiesen perdido y él no hubiese obtenido el reconocimiento debido por su
descubrimiento, alguien diferente habría hallado exactamente los mismos grupos.
Compare esto con los descubrimientos en otras áreas de la experiencia humana:
si Steve Jobs no hubiera regresado a Apple, posiblemente nunca habríamos
conocido los iPods, iPhones e iPads. Se habrían realizado otras innovaciones
tecnológicas, pero no hay razón alguna para suponer que otras personas hubieran
hallado los mismos elementos. En contraste con esto, las verdades matemáticas
son inevitables.
Al mundo habitado por los conceptos e ideas matemáticos a menudo se le denomina
mundo platónico de las matemáticas, por el filósofo griego Platón, quien fue el
primero en asegurar que las entidades matemáticas son independientes de
nuestras actividades racionales.[186] En su
libro El camino a la realidad. Una guía completa a las leyes del
universo, el premiado físico matemático Roger Penrose escribe que las
afirmaciones matemáticas que pertenecen al mundo platónico de las ideas «son
precisamente aquellas que son objetivamente ciertas. Decir que una afirmación
matemática tiene una existencia platónica es tan sólo decir que es verdadera en
un sentido objetivo». De igual manera, las nociones matemáticas «tienen una
existencia platónica porque son nociones objetivas».[187]
Como Penrose, yo creo que el universo platónico de las matemáticas está
separado tanto del mundo físico como del mental. Por ejemplo, pensemos en el
último teorema de Fermat. Penrose se pregunta, retóricamente, en su libro:
«¿Hemos de asumir que la afirmación de Fermat fue siempre verdad, mucho antes
de que Fermat la hiciera pública, o su validez es tan sólo un asunto cultural,
dependiendo del estándar subjetivo de la comunidad humana de matemáticos?».[188] Apoyándose
en la larga tradición de la argumentación por reductio ad absurdum,
Penrose nos demuestra que aceptar la interpretación subjetiva nos llevaría
rápidamente a aseveraciones que son «patentemente absurdas» y que minarían la
independencia del conocimiento matemático de todas las actividades humanas.
Kurt Gödel, cuya obra —especialmente los famosos teoremas de la incompletitud—
revolucionó la lógica matemática, era un abierto partidario de esta opinión.
Escribió que los conceptos matemáticos «forman una realidad objetiva propia,
que no podemos crear ni cambiar, sino tan sólo percibir y describir».[189] Dicho
de otra manera, «las matemáticas describen una realidad no sensorial, que
existe independientemente tanto de los actos como de la disposición de la mente
humana y sólo se percibe, y probablemente de modo muy incompleto, a través de
la mente humana».[190]
El mundo platónico de las matemáticas existe también de modo independiente de
la realidad física. Por ejemplo, como veíamos en el capítulo 16, los
matemáticos desarrollaron el conjunto de teorías de gauge sin referencia alguna
a la física. En realidad, resulta que sólo tres de estos modelos describen
fuerzas conocidas de la naturaleza (electromagnética, nuclear fuerte y nuclear
débil). Corresponden a tres grupos de Lie específicos: el grupo circular, SU(2)
y SU(3), respectivamente, pese a que hay una teoría de gauge para todos
y cada uno de los grupos de Lie. Aparte de esas tres, las teorías de
gauge asociadas a grupos de Lie son matemáticamente correctas, pero no se
conocen conexiones entre ellas y el mundo real. Es más: hemos hablado de las
extensiones supersimétricas de estas teorías de gauge, que podemos analizar
matemáticamente pese a que en la naturaleza no se ha hallado la supersimetría,
y muy posiblemente no esté presente en ella en absoluto. Hay también modelos
similares, que tienen sentido matemáticamente, en un espacio-tiempo con más
dimensiones que cuatro. Hay muchos otros ejemplos de poderosas teorías
matemáticas que no están directamente vinculadas con ningún tipo de realidad
física.
En su libro Sombras de la mente: hacia una comprensión científica de la
consciencia, Roger Penrose habla del triángulo: el mundo físico, el mundo
mental y el mundo platónico de las matemáticas.[191] Están
separados pero profundamente interconectados. Todavía no comprendemos del todo
cómo se vinculan, pero hay una cosa clara: todos ellos afectan nuestras vidas
de modos poderosos. Sin embargo, mientras que apreciamos la importancia de los
mundos físico y mental, muchos de nosotros permanecemos en una alegre
ignorancia hacia el mundo de las matemáticas. Creo que cuando despertemos a
esta realidad oculta y empleemos sus poderes aún sin explotar, habrá un avance
en nuestra sociedad de la importancia de la revolución industrial.
En mi opinión, es la objetividad del pensamiento matemático la fuente de sus
ilimitadas posibilidades. Esta cualidad distingue a las matemáticas de todas
las demás empresas humanas. Creo que comprender qué hay tras esta cualidad
arrojará luz sobre los misterios más profundos de la realidad física, la
consciencia y sus interrelaciones. En otras palabras: cuanto más cerca nos
situemos del mundo platónico de las matemáticas, más poder tendremos para
comprender el mundo que nos rodea y nuestro lugar en él.
Por suerte, nada puede evitar que nos adentremos más y más en esta realidad
platónica y la integremos en nuestras vidas. Lo realmente notable es la
democracia inherente a las matemáticas: mientras que algunas partes de los
mundos físico y mental pueden interpretarse o percibirse de modo distinto en
función de las diferencias personales, o incluso pueden no resultar accesibles
para algunos de nosotros, los conceptos y ecuaciones matemáticos se perciben de
la misma manera y nos pertenecen a todos por igual. Nadie puede
tener el monopolio sobre el conocimiento matemático; nadie puede alegar que una
fórmula o idea matemática es de su invención; ¡nadie puede patentar una
fórmula! Por poner un ejemplo, Albert Einstein no podría patentar su
fórmula E = mc2. Esto se debe a que, si
es correcta, una fórmula matemática expresa una realidad eterna acerca del
universo. De aquí que nadie puede alegar que sea de su propiedad; es nuestra
para que la compartamos.[192] Ricos
o pobres, blancos o negros, jóvenes o viejos, nadie nos puede arrebatar esas
fórmulas. Nada en este mundo es tan profundo y elegante, y aun así, tan
accesible para todos.
Imitando a Mishima, la pieza central del austero decorado de Ritos de
amor y matemáticas era una gran inscripción caligráfica colgada de la
pared. En la película de Mishima, rezaba shisei, «sinceridad». Su
película trataba sobre la sinceridad y el honor. La nuestra trataba acerca de
la verdad, así que, como es evidente, pensamos que debía rezar «verdad». Y
decidimos no ponerlo en japonés, sino en ruso.
La palabra «verdad» se puede decir de dos maneras en ruso. Las más
conocida, pravda, hace referencia la verdad fáctica, a hechos (de
ahí el nombre del diario oficial del Partido Comunista de la Unión Soviética).
La otra, istina, tiene el sentido de una verdad más profunda,
filosófica. Por ejemplo: la afirmación de que el grupo de simetrías de una mesa
redonda es el círculo es pravda, pero la afirmación del Programa
Langlands (en los casos en que se ha probado) es istina.
Obviamente, la verdad por la que el matemático se sacrifica es istina.
En
nuestra película queríamos reflexionar sobre el aspecto moral del conocimiento
matemático: una fórmula tan poderosa bien puede tener un lado oscuro, el
potencial de emplearse para el mal. Pensemos en un grupo de físicos teóricos, a
principios del siglo XX, intentando comprender la estructura del átomo. Lo que
ellos pensaban que era un noble y puro objetivo científico los llevó al
descubrimiento de la energía atómica. Nos trajo cosas muy buenas, pero también
la destrucción y la muerte. De igual manera, una fórmula matemática, que
descubriéramos en nuestra búsqueda de conocimiento, podría resultar nociva.
Aunque los científicos somos libres de investigar lo que queramos, creo también
que es nuestra responsabilidad hacer todo lo que esté a nuestro alcance para
asegurarnos de que las fórmulas que descubramos no se empleen para el mal. Es
por esa razón que, en nuestra película, el matemático está dispuesto a morir
para evitar que la fórmula caiga en las manos equivocadas. Tatuarla es la única
manera de esconder la fórmula y, al mismo tiempo, asegurarse de que esta
sobrevive.
Como yo nunca me había hecho un tatuaje, tuve que aprender sobre el proceso.
Hoy en día los tatuajes se hacen con una máquina, pero históricamente (en
Japón) se efectuaban con una varilla de bambú: un proceso más largo y doloroso.
Me han dicho que aún es posible encontrar salones de tatuaje en Japón que
emplean esta antigua técnica. Así es como lo presentamos en la película.
Qué
fórmula debía hacer de «fórmula del amor» era una gran pregunta. Debía ser lo
suficientemente complicada (al fin y al cabo era la fórmula del amor) pero
estéticamente agradable. Queríamos comunicar que una fórmula matemática podía
ser bella tanto en su contenido como en su forma. Y yo quería que fuera mifórmula.
Haciendo el casting para la fórmula del amor encontré esta:
Aparece
como fórmula (5.7) en un artículo de un centenar de páginas, «Instantons Beyond
Topological Theory I» («Los instantones, más allá de la teoría topológica, I»)
que escribí en 2006 con dos buenos amigos, Andrei Losev y Nikita Nekrasov.[193]
La ecuación parece lo suficientemente difícil como para que, si yo hiciera una
película en la que escribiera la fórmula en una pizarra e intentara explicar su
significado, la mayoría del público se levantara de sus butacas y abandonara la
sala. Pero verla en forma de tatuaje despierta una respuesta completamente
diferente. Conseguí meterme bajo la piel de todo el mundo: la gente quería
saber qué significaba.
Y ¿qué significa? Nuestro artículo fue el primero de una serie que escribimos
acerca de un nuevo enfoque a teorías cuánticas de campos con «instantones», que
son configuraciones de campos con propiedades notables. Aunque las teorías
cuánticas de campos han tenido éxito a la hora de describir la interacción
entre partículas elementales, aún hay muchos fenómenos importantes que no
comprendemos del todo. Por ejemplo, según el Modelo Estándar, tanto los
protones como los neutrones constan de tres quarks cada uno, que no se pueden
separar. En física, a este fenómeno se le conoce como confinamiento. Aún carece
de una explicación teórica adecuada, y muchos físicos creen que los instantones
son la clave para resolver este misterio. Sin embargo, en el enfoque
tradicional a teorías cuánticas de campos los instantones se muestran huidizos.
Nosotros propusimos un nuevo enfoque a las teorías cuánticas de campos que,
esperamos, nos ayudase a comprender mejor los poderosos efectos de los
instantones. La fórmula expresa una sorprendente identidad entre dos maneras de
calcular una función de correlación en una de nuestras teorías.[194] Cuando
la descubrimos no nos imaginábamos que pronto la emplearíamos en el papel de
fórmula del amor.
A Oriane Giraud, nuestra especialista en efectos especiales, le gustó la
fórmula, pero dijo que era demasiado enrevesada para un tatuaje. Yo simplifiqué
la notación y así es como aparece finalmente en nuestra película:
La
escena del tatuaje quería representar la pasión que hay en la investigación
matemática. Mientras realiza el tatuaje, el matemático se aísla por completo
del mundo. Para él, la fórmula se convierte en una cuestión de vida o muerte.
Rodar la escena nos llevó muchas horas. Fue psicológica y físicamente agotador
para mí y para Kayshonne Insixieng May, la actriz que interpreta a Mariko.
Acabamos la escena a medianoche del último día de rodaje. Fue un momento muy
emotivo para el equipo, unas treinta personas, tras todo lo que habíamos pasado
juntos.
El estreno de la película tuvo lugar en abril de 2010, patrocinado por la
Fondation Sciences Mathématiques de París, en el cine Max Linder Panorama, uno
de los mejores de la capital francesa. Fue un éxito. Las primeras críticas de
la película comenzaron a aparecer. Le Monde dijo que Ritos
de amor y matemáticas era «un corto sorprendente» que «ofrece una
inusual visión romántica de los matemáticos».[195] Yel New
Scientist escribió:[196]
Es una película de gran belleza… Si el objetivo de Frenkel era acercar al
público a las matemáticas, puede felicitarse por un trabajo bien hecho. La
fórmula del amor, una versión simplificada de una ecuación que publicó en 2006
en un artículo acerca de teoría cuántica de campos titulado «Instantones más
allá de la teoría topológica, I», pronto habrá sido vista (si no entendida) por
una audiencia mucho mayor de la que, de otro modo, habría obtenido.
En palabras de la popular revista francesa Tangente Sup,[197] la
película «intrigará a quienes piensen que las matemáticas son lo diametralmente
opuesto al arte y la poesía». En un despiece que acompaña al artículo, Hervé
Lehning escribió:
En las investigaciones matemáticas de Edward Frenkel, dualidad y simetría son
de gran importancia. Están vinculadas al Programa Langlands, cuyo objetivo es
tender un puente entre la teoría de números y representaciones de ciertos
grupos. Este tema tan abstracto tiene aplicaciones, por ejemplo, en
criptografía… Si la idea de dualidad es tan importante para Edward Frenkel, uno
podría preguntarse si ve una dualidad entre amor y matemáticas, como parecería
sugerir el título de su película. Su respuesta a esta pregunta está clara. Para
él, la investigación matemática es como una historia de amor.
Desde entonces, el filme se ha exhibido en festivales de cine de Francia,
España y California; en París, Kioto, Madrid, Santa Bárbara, Bilbao, Venecia…
Las proyecciones y la subsiguiente publicidad me han proporcionado la
oportunidad de ver algunas de las diferencias entre las «dos culturas». Al
principio me resultó un shock cultural. Tan sólo un pequeño
número de personas comprende plenamente mis matemáticas; a veces, al principio,
no más de una docena en todo el mundo. Es más: dado que cada fórmula matemática
representa una verdad objetiva, existe, fundamentalmente, sólo una manera de
interpretar esa verdad. Por tanto, mi trabajo matemático se percibe de la misma
manera sin importar quién lo lea. Por el contrario, nuestra película se dirigía
a un público amplio: miles de personas estaban expuestas a ella. Y,
evidentemente, cada una la interpretaba a su manera.
Lo que aprendí de esto es que el público forma siempre parte del proyecto
artístico; todo se reduce, al final, al ojo del que mira. Un creador no tiene
poder sobre las percepciones del público. Pero, por supuesto, esto es algo de
lo que nos podemos beneficiar, puesto que cuando compartimos nuestras opiniones
todos nos enriquecemos.
En nuestra película intentamos crear una síntesis de ambas culturas al hablar
de matemáticas desde una sensibilidad artística. Al comienzo del filme, Mariko
escribe un poema al matemático.[198] Cuando,
al final de la película, él le tatúa la fórmula, es su manera de
corresponderle: para él, la fórmula es una expresión de su amor. Puede contener
la misma carga emocional y pasional que un poema, de modo que era nuestra
manera de mostrar el paralelismo entre matemáticas y poesía. Para el
matemático, es su regalo de amor, el objeto de su creación, pasión,
imaginación. Es como si le escribiera una carta de amor: recordemos al joven
Galois escribiendo sus ecuaciones en la víspera de su muerte.
Pero ¿quién es ella? En el marco del mundo mítico que creamos, ella es la
encarnación de la Verdad Matemática (de aquí su nombre, Mariko, «verdad» en
japonés, y la razón de que la palabra istina cuelgue en forma
de caligrafía de la pared). El amor que el matemático siente por ella simboliza
su amor por las Matemáticas y por la Verdad, por las que se sacrifica. Pero
ella ha de sobrevivir para llevar su fórmula, como si fuera su hijo.
La verdad matemática es eterna.
¿Pueden las matemáticas ser un lenguaje de amor? Algunos espectadores se
mostraron incómodos ante la idea de una «fórmula del amor». Por ejemplo, una
persona me dijo, tras ver la película:
—La lógica y los sentimientos no siempre van de acuerdo. Por eso decimos que el
amor es ciego. Así que ¿cómo podría funcionar una fórmula?
En efecto, nuestros sentimientos y emociones a menudo nos parecen irracionales
(aunque los científicos cognitivos nos dicen que algunos aspectos de esta
aparente irracionalidad se pueden describir matemáticamente). Por lo tanto, no
creo que haya una fórmula que describa o explique el amor. Cuando hablo de una
conexión entre amor y matemáticas, no quiero decir que el amor se pueda reducir
a términos matemáticos. Lo que quiero decir, en realidad, es que las
matemáticas son mucho más que lo que la mayoría de nosotros creemos. Entre
otras cosas, las matemáticas nos proporcionan una base racional y una capacidad
adicional para amarnos mutuamente y al mundo que nos rodea. Una fórmula
matemática no explica el amor, pero puede transportar una carga de amor.
Como escribió la poetisa Norma Farber,[199]
Make
me no lazy love…
Move me from case to case.
[«No me hagas un amor perezoso,
Conmúeveme de ocasión en ocasión»].
Las
matemáticas nos conmueven «de ocasión en ocasión», y en ello reside su
profunda, y en gran parte por descubrir, función espiritual.
Albert Einstein escribió:[200] «Todo
aquel que se encuentra seriamente implicado en la investigación científica se
convence de que algún espíritu se manifiesta en las leyes del Universo: un
espíritu enormemente superior al del hombre, uno ante el cual nosotros, con
nuestros modestos poderes, debemos sentirnos humildes». E Isaac Newton
expresaba sus sentimientos así:[201] «Con
respecto a mí, me siento como si hubiera sido tan sólo un niño jugando a
orillas del mar, entreteniéndome con encontrar de vez en cuando un guijarro más
pulido o una concha más bonita que las demás, mientras el gran océano de la
verdad se extendía, aún ignoto, ante mí».
Mi sueño es que un día despertemos a esta realidad oculta. Puede que entonces
podamos dejar de lado nuestras diferencias y centrarnos en las profundas
verdades que nos unen. Entonces seremos todos como niños jugando en la playa,
maravillados ante la deslumbrante belleza y armonía que descubramos,
compartamos y atesoremos juntos.
Mi
avión está aterrizando en el aeropuerto Logan, en Boston. Es enero de 2012.
Vengo a la Reunión Anual Conjunta de la Sociedad Matemática Americana (AMS) y
la Asociación Matemática de América. Me han invitado a pronunciar las
Conferencias Colloquium 2012 de la AMS. Estas conferencias se han dado cada año
desde 1896. Al mirar la lista de conferenciantes previos y los temas de sus
clases magistrales uno revisita la historia de las matemáticas del último
siglo: John von Neumann, Shiing-Shen Chern, Michael Atiyah, Raoul Bott, Robert
Langlands, Edward Witten y tantos otros grandes matemáticos. Me siento honrado
y humilde por formar parte de esta tradición.
Regresar a Boston desata recuerdos. Aterricé por primera vez en Logan en 1989
cuando vine a Harvard, parafraseando el famoso título de película, Desde
Rusia con matemáticas. Por aquel entonces sólo tenía veintiún años, y no
sabía qué esperar, qué iba a suceder. Tres meses después, madurando rápido en
aquellos años turbulentos, regresaba a Logan a despedirme de mi mentor Boris
Feigin, que regresaba a Moscú, preguntándome cuándo volvería a verlo. Lo cierto
es que nuestra colaboración matemática y nuestra amistad continuaron y
florecieron.
Mi estancia en Harvard resultó mucho más prolongada de lo que yo esperaba:
obtuve mi doctorado al año siguiente; fui escogido para la Harvard Society of
Fellows, y hacia el final de ese período, fui nombrado profesor asociado en
Harvard. Cinco años después de mi llegada a Boston, esperé ansiosamente en
Logan la llegada de mis padres y la familia de mi hermana, a fin de reunirnos y
que se establecieran en Estados Unidos. Ellos han vivido en la zona desde
entonces, pero me fui en 1997, cuando la Universidad de California, Berkeley,
me hizo una oferta que no pude rechazar.
Aún visito Boston regularmente para ver a mi familia. El piso de mis padres
está a sólo unas manzanas del Centro de Convenciones Hynes, donde se realiza la
Reunión Conjunta, de modo que por primera vez tendrán ocasión de verme en
acción. ¡Qué hermoso regalo: poder compartir esta experiencia con mi familia!
«¡Bienvenido a casa!».
La Reunión Conjunta Anual tiene más de siete mil asistentes inscritos: muy
probablemente, la más numerosa hasta ahora. Muchos de ellos siguieron mis
conferencias, que tuvieron lugar en un gigantesco salón de baile. Mis padres,
mi hermana y mi sobrino están sentados en primera fila. Las conferencias versan
sobre mi reciente trabajo conjunto con Robert Langlands y Ngô Bao Châu. Son los
resultados de tres años de colaboración, nuestro intento de llevar más lejos
las ideas del Programa Langlands.[202]
—¿Y si rodáramos una película acerca del Programa Langlands? —pregunto al
público—. En ese caso, como cualquier guionista les diría que tendríamos que
enfrentarnos a preguntas como estas: ¿Qué hay en juego? ¿Quiénes son los
personajes? ¿Cuál es la cronología? ¿Cuáles son los conflictos? ¿Cómo se
resuelven?
El público sonríe. Hablo acerca de André Weil y su piedra Rosetta. Nos lanzamos
en un viaje a través de diferentes continentes del mundo de las matemáticas, y
examinamos las misteriosas conexiones entre ellos.
Con cada clic del mando a distancia, cuatro gigantescas pantallas muestran la
siguiente dispositiva. Cada una de ellas describe un pequeño paso en nuestra
eterna búsqueda de conocimiento. Sopesamos atemporales cuestiones acerca de la
verdad y la belleza. Y cuanto más aprendemos de las matemáticas (este mágico
universo oculto) más nos damos cuenta de cuán poco sabemos, y cuánto más queda
por descubrir. Nuestro viaje continúa.
Agradezco
a DARPA y a la Fundación Nacional para la Ciencia su apoyo a parte de las
investigaciones que describo en este libro. Este se completó mientras yo era
profesor Miller en el Instituto Miller para Investigación y Ciencia Básicas de
la Universidad de California, Berkeley.
Agradezco a mi editor T. J. Kelleher y a la editora de proyecto Melissa
Veronesi, de Basic Books, por su experta orientación.
Mientras trabajaba en el libro, aproveché fructíferas conversaciones con Sara
Bershtel, Robert Brazell, David Eisenbud, Marc Gerald, Masako King, Susan
Rabiner, Sasha Raskin, Philibert Schogt, Margit Schwab, Eric Weinstein y David
Yezzi.
Agradezco a Alex Freedland, Ben Glass, Claude Levesque, Kayvan Mashayekh y
Corine Trang, que leyeron partes del libro en diferentes etapas y me ofrecieron
consejos útiles. Le estoy agradecido a Andrea Young por haber tomado las fotos
del «truco del vaso» empleadas en el capítulo 15.
Debo un agradecimiento especial a Thomas Farber por numerosas sugerencias y sus
expertos consejos, y a Marie Levek por leer el manuscrito y hacerme preguntas
que me ayudaron a mejorar la presentación en numerosos lugares. Mi padre,
Vladimir Frenkel, leyó las muchas versiones del manuscrito y su opinión me
resultó valiosísima.
La deuda con mis profesores, mentores y otras personas que me ayudaron en mi
carrera queda, espero, suficientemente clara a partir de la historia que he
contado.
Por encima de todo, mi gratitud es para con mis padres, Lidia y Vladimir
Frenkel, cuyo amor y apoyo hizo posible todo lo que he conseguido. Les dedico
el libro a ellos.
|
Álgebra de Lie |
Espacio tangente a un grupo de Lie en el punto correspondiente
al elemento identidad de este grupo. |
|
Álgebra Kac-Moody |
El álgebra de Lie del grupo de lazos de un grupo de Lie dado,
extendida por una recta extra. |
|
Análisis armónico |
Rama de las matemáticas que estudia la descomposición de las
funciones en términos de armónicos, como las funciones seno y coseno. |
|
Aplicación |
de un conjunto (o variedad) M a otro conjunto
(o variedad) N. Regla que asigna un punto de N a
cada punto de M. A veces se le denomina «mapeado». |
|
Categoría |
Estructura algebraica compuesta por «objetos» y «morfismos»
entre cualquier par de objetos. Por ejemplo, los espacios vectoriales forman
una categoría, como también los haces sobre una variedad. |
|
Circunferencia |
Variedad que puede describirse como el conjunto de todos los
puntos de un plano equidistantes a un punto dado. |
|
Composición (de dos simetrías) |
La simetría de un objeto dado que se obtiene al aplicar dos
simetrías de ese mismo objeto, una después de la otra. |
|
Conjetura Shimura-Taniyama-Weil |
Afirmación de que existe una correspondencia uno a uno entre
las ecuaciones cúbicas y las formas modulares que satisface ciertas
propiedades. Bajo esta correspondencia, los números de soluciones de la
ecuación cúbica en módulo números primos son iguales a los coeficientes de la
forma modular. |
|
Conjunto |
Colección de objetos, como el conjunto {0,1,2…, N -
1} para un número natural N dado. |
|
Correspondencia |
Relación entre objetos de dos tipos diferentes, o una regla
que asigna objetos de un tipo a objetos de otro. Por ejemplo, una
correspondencia uno a uno. |
|
Cuerpo finito |
El conjunto de números naturales entre 0 y p -
1, en que p es un número primo, o su extensión obtenida al
añadir soluciones de una ecuación polinómica de una variable. |
|
Cuerpo numérico |
Sistema numérico obtenido al añadir, a los números racionales,
todas las soluciones de una colección finita de polinomios de una variable
cuyos coeficientes son números racionales. |
|
Curva sobre un cuerpo finito |
Objeto algebraico que comprende todas las soluciones de una
ecuación algebraica en dos variables (por ejemplo, una ecuación cúbica) con
valores en un cuerpo finito de pelementos y todas sus
extensiones. |
|
Dimensión |
Número de coordenadas necesarias para describir puntos de un
objeto dado. Por ejemplo, una recta y una circunferencia tienen dimensión
uno, mientras que un plano y una superficie esférica tienen dimensión dos. |
|
Dualidad |
Equivalencia entre dos modelos (o teorías) bajo un intercambio
prescrito de parámetros y objetos. |
|
Ecuación cúbica |
Nos referimos a las ecuaciones de grado 3 cuya ecuación con la
forma P(y) = Q(x), en que P(y)
es un polinomio de grado dos y Q(x) es un polinomio de
grado tres. Un ejemplo, estudiado en detalle en este libro, es la ecuación y2 + y = x3 - x2 |
|
Ecuación polinómica |
Una ecuación de forma P = 0, en que P es
un polinomio de una o más variables. |
|
Entero |
Un número que es bien un número natural, o 0, o el negativo de
un número natural. |
|
Esfera |
Variedad que se puede describir como el conjunto de todos los
puntos de un espacio plano tridimensional que son equidistantes con respecto
a un punto dado. |
|
Espacio de móduli de Hitchin |
El espacio (o variedad) cuyos puntos son representaciones del
grupo fundamental de una superficie de Riemann dada en un grupo de Lie dado. |
|
Espacio vectorial |
Conjunto de todos los vectores en un espacio plano n-dimensional
dado, con las operaciones de suma de vectores y multiplicación de vectores
por números, y que satisface propiedades naturales. |
|
Fibración |
Supongamos que tenemos dos variedades M y B,
y una aplicación de M a B. Para todo punto
en B tenemos el conjunto de puntos en M que
mapean a este punto, llamados «fibra» de este punto. A M se
le denomina una fibración (o haz de fibras) sobre la base B si
todas estas fibras pueden identificarse con las demás (y cada punto en B posee
un entorno U cuya preimagen en M puede
identificarse con el producto de U y una fibra). |
|
Forma modular |
Función en el disco unidad que satisface ciertas propiedades
especiales de transformación bajo un subgrupo del grupo de simetrías del
disco (llamado grupo modular). |
|
Función |
Regla que asigna un número a cada punto de un conjunto o
variedad dada. |
|
Función automorfa |
Un tipo especial de función que aparece en análisis armónico. |
|
Grupo |
Un conjunto con una operación (que puede denominarse
composición, suma o multiplicación) que asigna un elemento de este conjunto a
cualquier par de elementos. Por ejemplo, el conjunto de todos los números
enteros con la operación de suma. Esta operación ha de satisfacer las
siguientes propiedades: la existencia de un elemento identidad, la existencia
de un inverso para cada elemento y la asociatividad. |
|
Grupo abeliano |
Un grupo en el que el resultado de la multiplicación de dos
elementos cualesquiera no depende del orden en que estos se multipliquen. Por
ejemplo, el grupo circular. |
|
Grupo circular |
Grupo de las rotaciones de un objeto circular, como por
ejemplo, una mesa redonda. Se trata de un círculo con un elemento especial,
el elemento identidad del grupo. El grupo circular es el ejemplo más sencillo
de grupo de Lie. |
|
Grupo de Galois |
El grupo de simetrías de un cuerpo numérico que conservan las
operaciones de suma y multiplicación. |
|
Grupo de gauge |
Un grupo de Lie que aparece en una teoría de gauge dada y
determina, en especial, las partículas y las interacciones entre ellas dentro
de esa teoría. |
|
Grupo de Lie |
Grupo que es también una variedad, de tal modo que la
operación del grupo da lugar a una aplicación diferenciable. |
|
Grupo fundamental |
Grupo de todos los caminos cerrados continuos sobre una
variedad dada que comienzan y acaban en un punto dado. |
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Grupo Langlands dual |
Un grupo de Lie asignado a cualquier grupo G de
Lie dado mediante un procedimiento especial. Se señala como LG. |
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Grupo no abeliano |
Grupo en el que el resultado de la multiplicación de dos
elementos depende en general del orden en el que se multiplican. Por ejemplo,
el grupo SO(3). |
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Haz |
Regla que asigna un espacio vectorial a cada punto de una
variedad dada, satisfaciendo ciertas propiedades naturales. |
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Haz automorfo |
Un haz que reemplaza a la función automorfa en la relación
geométrica Langlands en la columna de la derecha de la piedra Rosetta de
Weil. |
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Lazo |
Curva cerrada, por ejemplo, una circunferencia. |
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Número complejo |
Número con la forma a+b√-1 , siendo a y b dos
números reales. |
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Número natural |
Número 1 o cualquier número obtenido al añadir 1 a sí mismo
varias veces. |
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Número primo |
Número natural que no es divisible por ningún otro número
natural excepto 1 y él mismo. |
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Polinomio de una variable |
Una expresión de tipo anxn+ an-1xn-1 +…
+ a1x + a0,
donde xes una variable y an, an-1…,a1, a0,
son números. Los polinomios de más variables se definen de forma parecida. |
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Relación (o correspondencia) Langlands |
Regla que asigna una función automorfa (o una representación
automorfa) a una representación de un grupo de Galois. |
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Representación de un grupo |
Regla que asigna una simetría de un espacio vectorial a cada
elemento de un grupo dado de tal manera que se satisfacen ciertas propiedades
naturales. De un modo más general, una representación de un grupo G en
otro grupo H es una regla que asigna un elemento de H a
cada elemento de G, de tal modo que se satisfacen ciertas
propiedades naturales. |
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Simetría |
Transformación de un objeto dado que conserva sus propiedades,
como forma y posición. |
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SO(3) |
Grupo de rotaciones de una esfera. |
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Supersimetría |
Tipo de simetría en una teoría cuántica de campos que
intercambia bosones y fermiones. |
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Teoría |
Rama especial de las matemáticas o la física, por ejemplo,
teoría de números; o bien un modelo específico que describe relaciones entre
objetos, como la teoría de gauge con el grupo de gauge SO(3). |
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Teoría cuántica de campos |
Este término puede hacer referencia a dos cosas distintas. En
primer lugar, puede tratarse de la rama de la física que estudia modelos de
interacciones entre partículas y campos cuánticos. En segundo lugar, puede
tratarse de un modelo en particular de este tipo. |
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Teoría de gauge |
Modelo físico de un tipo especial, que describe ciertos
cuerpos y las interacciones entre ellos. Hay una teoría (o modelo) de ellas
por cada grupo de Lie, llamado grupo de gauge. Por ejemplo, la teoría de
gauge correspondiente al grupo circular es la teoría del electromagnetismo. |
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Último teorema de Fermat |
La afirmación de que para todo número natural n mayor
a 2, no hay números naturales x, y, z tales
que xn + yn = zn. |
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Variedad |
Forma geométrica lisa, como una circunferencia, una superficie
esférica o la superficie de un donut. |
Notas
al pie de página:
[i] La
piedra Rosetta es una estela inscrita en piedra (granodiorita) en la que se
expone un decreto publicado en la ciudad egipcia de Menfis el año 196 a. C. por
el faraón Ptolomeo V. Al estar inscrita en jeroglífico, demótico y griego
antiguo, sirvió para establecer las primeras correspondencias que llevaron a
comprender el lenguaje jeroglífico, tarea que completó Jean-François
Champollion en 1822. (N. del t.).
[ii] Medicare
es un programa de seguridad social administrado por el gobierno de Estados
Unidos y que proporciona cobertura médica a los mayores de sesenta y cinco años
o personas discapacitadas por diversos motivos. Opera como un seguro. (N.
del t.).
[iii] Se
refiere al poema «El tigre», del poeta, artista y agitador político William
Blake (1757–1827)
«Tigre,
tigre que brillas luminoso
en los bosques de la noche
¿qué mano inmortal, qué ojo
ideó tu terrible simetría?»
(traducido al castellano como
Canciones de inocencia y de experiencia,
Cátedra, 1987). (N. del t.).
[iv] No
sólo el poema, sino toda la novela Finnegan's Wake es casi
intraducible al español: prueba de ello es que a septiembre de 2014 no existe
ni una sola traducción completa a nuestro idioma. Finnegan's Wake está
considerado por muchos como el libro más complejo de la historia en lengua
inglesa. En el caso que nos ocupa, Gell-Mann escogió el nombre porque sonaba
como la primera palabra que había pensado para las partículas (kwork) y
porque estas aparecían, como en el poema, de tres en tres. (N. del t.).
[v] Nótese
que una mesa no se puede voltear: eso la dejaría con las patas hacia arriba (no
olvidemos que una mesa tiene patas). Si considerásemos un cuadrado o un círculo
(sin patas) los volteos serían genuinas simetrías, y deberíamos incluirlas en
sus grupos de simetrías.
[vi] El
SAT (antiguamente acrónimo de Scholastic Aptitude Test, «Prueba de
Aptitud Académica», nombre que ya no es el oficial, pese a que se le sigue
denominando por sus iniciales) es un examen estándar que se emplea en Estados
Unidos para evaluar la preparación de un estudiante de cara a su ingreso en la
universidad. (N. del t.).
[vii] Esto
era un año antes de que Mijaíl Gorbachov llegara al poder en la Unión
Soviética, y pasaría otro par de años hasta que lanzara su perestroika.
El régimen totalitario soviético era, en 1984, en muchos aspectos un igual tan
aterrador como el del visionario libro de Orwell. (N. del a.)
[viii] Massachusetts
Institute of Technology. (N. del t.)
[ix] El
SAT (antiguamente acrónimo de Scholastic Aptitude Test, «Prueba de
Aptitud Académica», nombre que ya no es el oficial, pese a que se le sigue
denominando por sus iniciales) es un examen estándar que se emplea en Estados
Unidos para evaluar la preparación de un estudiante de cara a su ingreso en la
universidad. (N. del t.).
[x] En ruso, «San» o «Sanya» es un
diminutivo cariñoso de Aleksandr; para el patronímico Aleksándrovich se emplea
el diminutivo «Sanych». «San Sanych» es una manera común de referirse, pues, a
cualquiera que se llame Aleksandr Aleksándrovich. Para una somera explicación
(en inglés) de los diminutivos, patronímicos, etc., en lengua rusa, véase
tvtropes.org. (N. del t.).
[xi] Se
refiere a Elements of the Theory of Representations. Existen varias
ediciones en inglés, ruso y francés. (N. del t.).
[xii] La
Medalla Internacional para Descubrimientos Sobresalientes en Matemáticas,
comúnmente llamada Medalla Fields en honor al matemático canadiense John
Charles Fields, es el equivalente al premio Nobel de esta disciplina; la
concede cada cuatro años la Unión Matemática Internacional desde 1936. (N.
del t.).
[xiii] Vale
la pena también hacer constar que Gelfand no fue escogido miembro de pleno
derecho de la Academia de Ciencias de la Unión Soviética hasta mediados de la
década de 1980, porque la Rama Matemática de la Academia estuvo durante
decenios controlada por el director del Instituto Matemático Steklov de Moscú,
Ivan Matveevich Vinógradov, apodado «El antisemita en jefe de la Unión
Soviética». Vinógradov había instaurado una draconiana política antisemita en
la Academia y en el Instituto Steklov, que estuvieron bajo su poder durante
casi cincuenta años. (N. del a.).
[xiv] Nótese
que empleo, aquí y más abajo, un símbolo de menos (un guión largo) para
representar números negativos, en lugar de un guión corto. Esto es conforme a
la notación matemática estándar. En realidad no existe ninguna diferencia entre
ambos, puesto que −N= 0−N. (N. del a.).
[xv] Se
trata del Liber abaci («Libro de aritmética»). (N. del t.).
[xvi] Mi
editor me dice que los pretzels del bar alemán que hay cerca
de su casa son de género 3 (y deliciosos). (N. del a.).
[xvii] Empleo
el título del original publicado por Gauthier-Villars en 1903, cuyo título
traduce el autor al inglés. (N. del t.).
[xviii] El
autor se refiere a dos sistemas de estudios diferentes. En el sistema
estadounidense, el MD (doctor en Medicina) es el primer grado profesional de
Medicina, en el que se requieren al menos noventa horas de crédito de trabajo
universitario. El PhD (doctor en Filosofía) es el nombre del diploma de
doctorado, obtenido tras la presentación de una tesis con investigación propia.
Sin embargo, en algunos países, como Reino Unido, el MD es el grado superior,
equivalente al doctorado en Medicina. En el sistema ruso, la carrera de
Medicina dura seis años y se otorga un MD al estilo estadounidense, pero se
exige una tesis doctoral para obtener el equivalente al PhD. (N. del t.)..
[xix] Organización
juvenil y estudiantil del Partido Comunista de la Unión Soviética. (N. del t.).
[xx] En
el mundo académico, una fellowship es una beca de investigación que se concede
por un tiempo limitado a licenciados o doctorados. (N. del t.).
[xxi] Centro
histórico y geográfico del campus de la Universidad de Harvard. (N. del t.).
[xxii] Vera
Serganova, cuarta premiada, llegaría en primavera. (N. del a.).
[xxiii] Se
refiere a la escultura de Daniel Chester French (1884) en honor de uno de los
fundadores de la prestigiosa universidad, John Harvard (1607-1638). Dado que el
escultor no contaba con un retrato fidedigno del homenajeado, empleó las
facciones de un descendiente colateral suyo como modelo. (N. del t.).
[xxiv] («Geometrías
de transparencia concéntricas ligeramente / turbias se hunden en álgebras de
orgullosa / reserva para chocar en espiral con aritméticas de hierro…»).
[xxv] El
original, «reverberate through chambers of mathematics», parecería una alusión
a los Cuentos de la Alhambra, de Washington Irving, concretamente
el titulado «Las habitaciones misteriosas»: «Llamé, mas nadie contestó, y el
ruido pareció repercutir a través de las desiertas cámaras» (en traducción de
Ricardo Villa-Real, Ed. Miguel Sánchez, Granada, 1991). (N. del t.).
[xxvi] Al
respecto, Hitchin cita al gran poeta alemán Goethe: «Los matemáticos son como
los franceses: todo lo que les digas lo traducen a su idioma, y desde ese
momento es algo completamente diferente». (N. del a.).
[xxvii] Abreviación
popular de California Institute of Technology.(N. del t.).
[xxviii] Forma
de teatro musical japonés, de tipo melodramático, cuyas historias solemnes y
trágicas suelen versar en torno a la redención. Se remonta al siglo XII, aunque
su auge se da en el período Muromachi (siglos XIV-XVI). (N. del t.).
[xxix] Aunque
se escriben con los mismos caracteres, las palabras seppuku y haraquiri no
significan exactamente lo mismo. Haraquiri significa,
literalmente, «rajarse el vientre» y se considera despectiva o inapropiada en
Japón, donde prevalece seppuku. La palabra genérica para suicido
es jigai.(N. del t.).
Notas
al final del texto:
[1] Frenkel,
Edward, «Don't let Economists and Politicians Hack Your Math», Slate,
8 de febrero de 2013, slate.me.
[2] Créditos
de la imagen: Physics World, www.hk-phy.org.
[3] Créditos
de la imagen: Arpad Horvath.
[4] En
esta explicación empleamos la expresión «simetría de un objeto» para describir
una transformación especial que conserva este objeto, como la rotación de una
mesa. No decimos, pues, «simetría de un objeto» en el sentido de que este sea
simétrico.
[5] Si
empleamos la rotación en sentido horario, obtenemos el mismo conjunto de
rotaciones: la rotación en sentido horario a 90 grados es la misma que la
rotación en sentido contrario al horario por 270 grados, etc. Los matemáticos
emplean, por convención, las rotaciones en sentido contrario a las agujas del
reloj, pero es tan sólo cuestión de elección.
[6] Esto
puede parecer superfluo, pero no intento ser pedante. Hay que incluirlo, si
hemos de ser coherentes. Hemos dicho que una simetría es una transformación que
conserva nuestro objeto, y la identidad es una transformación así.
Para evitar confusiones, quiero recalcar que en esta explicación tan sólo nos
preocupa el resultado final de una simetría dada. Lo que le hagamos al objeto
durante el proceso no importa: tan sólo las posiciones finales de todos los
puntos en el objeto importan. Por ejemplo, si rotamos la mesa 360 grados, todos
los puntos de la mesa acaban en la misma posición que tenían originalmente. Es
por eso por lo que, para nosotros, una rotación de 360 grados es lo mismo que
ninguna rotación en absoluto. Por esa misma razón, una rotación de 90 grados en
sentido contrario al horario es lo mismo que una rotación en sentido horario de
270 grados. A modo de ejemplo adicional, supongamos que desplazamos la mesa,
sobre el suelo, a tres metros de distancia de donde estaba y que la volvemos a
desplazar hasta su emplazamiento original, y que cada uno de sus puntos acaba
en la misma posición en que estaba al principio: a esto se le considera la
misma simetría que la simetría original.
[7] Hay
una importante propiedad que cumple la composición de simetrías, que es la
asociatividad: dadas tres simetrías, S, S' y S'',
tomar su composición con dos órdenes diferentes (S ? S')
? S'' y S ? (S' ?S'') da el mismo
resultado. Esta propiedad está incluida en la definición formal de grupo como
axioma adicional. No la menciono en el texto principal del libro porque en los
grupos que empleamos queda evidentemente satisfecha.
[8] Cuando
hablábamos sobre las simetrías de una mesa cuadrada, nos resultó cómodo
identificar las cuatro simetrías con las cuatro esquinas de la mesa. Sin
embargo, tal identificación depende de la elección de una de las esquinas (la
que representa la simetría identidad). Una vez efectuada esta elección podemos,
en efecto, identificar cada simetría con la esquina en la que la esquina
escogida es transformada por esta simetría. El inconveniente es que si
escogemos una esquina diferente para representar la simetría identidad,
obtenemos una identificación diferente. Por lo tanto, es mejor diferenciar
claramente entre las simetrías de una mesa y las esquinas de esa mesa.
[9] Véase
Carroll, Sean M., The Particle at the End of the Universe: How the Hunt
for the Higgs Boson Leads Us to the Edge of a New World, Dutton, 2012.
[10] El
matemático Felix Klein empleó la idea de que las formas están determinadas por
sus propiedades de simetría como punto de partida de su muy influyente Programa
de Erlangen, en 1872, en el que declaraba que los rasgos característicos de
cualquier geometría están determinados por un grupo de simetrías. Por ejemplo,
en la geometría euclidiana, el grupo de simetrías consiste en todas las
transformaciones del espacio euclidiano que conservan las distancias. Estas
transformaciones son composiciones de rotaciones y traslaciones. Las geometrías
no euclidianas corresponden a otros grupos de simetrías. Esto nos permite
clasificar posibles geometrías mediante la clasificación de los grupos de
simetrías relevantes.
[11] Esto
no significa que no haya aspectos de una afirmación matemática que queden
exentos de interpretación; por ejemplo, preguntas como cuán importante es una
afirmación dada, cuán ampliamente aplicable, cuántas consecuencias tendrá para
el desarrollo de las matemáticas, etcétera, pueden someterse a debate. Pero el
significado de la afirmación (lo que dice exactamente) no está abierto a
interpretación si la afirmación posee coherencia lógica. La coherencia lógica
de una afirmación no está sujeta a debate, tampoco, una vez escogido el sistema
de axiomas dentro del que enmarcamos la afirmación.
[12] Nótese
que cada rotación da lugar también a una simetría en cualquier objeto redondo,
como una mesa redonda. Por tanto, en principio, uno podría hablar de una
representación del grupo de rotaciones por simetrías en una mesa redonda en
lugar de en un plano. Sin embargo, en matemáticas el término «representación»
se reserva específicamente para la situación en que un grupo dado da lugar a
simetrías de un espacio n-dimensional. Estas simetrías han de ser
lo que los matemáticos llaman transformaciones lineales, un concepto que se
explica en la nota 2 del capítulo 14.
[13] Para
todo elemento g del grupo de rotaciones, se señala la
correspondiente simetría del espacio n-dimensional con Sg.
Ha de ser una transformación lineal para todo g, y han de
satisfacerse las siguientes propiedades: primero, para todo par de elementos
del grupo, g y h, la simetría Sg·h ha
de ser igual a la composición de las simetrías Sg y Sh.
Y, en segundo lugar, la simetría correspondiente al elemento identidad del
grupo ha de ser la simetría identidad del plano.
[14] Posteriormente
se descubrió que había más quarks, llamados «encanto», «cima» y «fondo», así
como sus correspondientes antiquarks.
[15] Había
también una sinagoga semioficial en Marina Rosha. La situación mejoró tras
la perestroika, cuando abrieron más sinagogas y centros judíos en
Moscú y otras ciudades.
[16] Saul,
Mark, «Kerosinka: an episode in the history of Soviet mathematics», Notices
of the American Mathematical Society, vol. 46, noviembre de 1999, pp.
1217-1220. Disponible online en www.ams.org (inglés).
[17] Szpiro,
George G., «Bella Abramovna Subbotovskaya and the "Jewish People's
University"», Notices of the American Mathematical Society,
vol. 54, noviembre de 2007, pp. 1326-1330. Disponible online en
www.ams.org (inglés).
[18] Alexander
Shen ofrece una lista de algunos de los problemas que se entregaban a los
estudiantes judíos en los exámenes de ingreso a la MGU en su artículo «Entrance
examinations to the Mekh-Mat», Mathematical Intelligencer, vol. 16,
n.º 4, 1994, pp. 6-10. El artículo se encuentra reimpreso en Shifman, M.
(ed.), You Failed Your Math Test, Comrade Einstein, World
Scientific, Nueva Jersey/Singapur, 2005, disponible online en
www.ftpi.umn.edu. Véanse otros artículos acerca de los exámenes de ingreso a la
MGU en este libro, especialmente los de I. Vardi y A. Vershik.
[19] Szpiro,
George G., Ibid.
[20] Saul,
Mark, Ibid.
[21] La
historia de la Universidad Popular Judía y las circunstancias de la muerte de
Bella Muchnik Subbotovskaya se cuentan en los artículos de D. B., Fuchs et
al. en Shifman, M. (ed.), You Failed Your Math Test, Comrade
Einstein, World Scientific, Nueva Jersey/Singapur, 2005. Véase también
Szpiro, George G., Ibid.
[22] Si
ponemos la trenza identidad sobre otra trenza y retiramos las placas centrales,
regresaremos a la trenza original tras acortar las hebras. Esto significa que
el resultado de sumar una trenza b a la trenza identidad es la
misma hebra b.
[23] Así
es como se ven la suma de una trenza y su imagen especular:
Ahora,
en la trenza que se muestra a la derecha de la imagen, tiramos hacia la derecha
de la hebra que comienza y acaba en el «clavo» más a la derecha. Con esto
obtenemos la trenza a la izquierda de la imagen inferior.
Luego hacemos lo mismo con la hebra que comienza y acaba en el tercer clavo de
esta trenza. Obtenemos la hebra de la derecha de la imagen inferior:
Acto
seguido, tiramos hacia la izquierda la hebra que comienza y acaba en el segundo
clavo. En la trenza resultante hay un aparente solapamiento entre la primera y
la segunda hebra. Pero se trata de una ilusión: al tirar de la segunda hebra
hacia la derecha eliminamos este solapamiento. Estos movimientos se muestran en
la siguiente imagen. La trenza resultante, en el lado derecho de la imagen
inferior, no es sino la trenza identidad que vimos arriba. Para ser más
precisos, a fin de obtener la trenza identidad necesitaremos enderezar las
hebras, ya que nuestras reglas lo permiten (también deberíamos acortarlas, para
que nuestra trenza tenga la misma altura que la trenza original). Nótese que en
ningún paso hemos cortado ni cosido las hebras o permitido que una atraviese a
otra.
[24] Esta
es una buena oportunidad para hablar de la diferencia entre «definición» y
«teorema». En el capítulo 2 vimos la definición de un grupo. Se trata de un
conjunto dotado con una operación (llamada, de modo variable, composición, suma
o multiplicación, dependiendo de las circunstancias) que satisface las
siguientes propiedades (o axiomas): hay un elemento identidad en el conjunto
(en el sentido explicado en el capítulo 2); todo elemento del conjunto tiene un
inverso, y la operación satisface la propiedad de asociatividad descrita en la
nota 4 del capítulo 2.
Una vez tenemos esta definición, la noción de grupo queda fijada
para siempre. No se nos permite realizar ningún cambio en ella.
Ahora, dado un conjunto, podemos intentar dotarlo de la estructura de grupo.
Esto supone construir una operación en este conjunto y demostrar que esta
operación satisface todas las propiedades arriba enumeradas. En este capítulo
tomamos el conjunto de todas las trenzas con n trenzas
(identificamos las trenzas obtenidas tirando de las hebras, como se explica en
el texto principal) y construimos la operación de suma de dos trenzas tales,
según la regla descrita en el texto principal. Nuestro teoremaes la
afirmación de que esta operación satisface todas las propiedades exigidas. La
prueba de este teorema consiste en la verificación directa de estas
propiedades. Hemos comprobado las dos primeras propiedades (véase notas 2 y 3,
respectivamente) y la última propiedad (asociatividad) se sigue automáticamente
de la construcción de suma de dos trenzas.
[25] Dado
que una de nuestras reglas es que una trenza no puede atravesarse a sí misma,
la hebra única que tenemos no puede ir sino directamente del clavo en la placa
superior al clavo de la placa inferior. Evidentemente podría seguir un camino
intrincado, como un sendero de montaña o una calle llena de curvas, pero al
acortarlo, de ser necesario, podemos hacer que la hebra baje en vertical. Dicho
de otra manera, el grupo B1 consiste en un solo
elemento, que es la identidad (y que es también su propio inverso y el
resultado de la suma consigo mismo).
[26] En
jerga matemática, decimos que «el grupo de trenzas B2 es
isomorfo al grupo de enteros». Esto significa que hay una correspondencia uno a
uno entre ambos grupos, es decir, que asignamos a cada trenza el número de
superposiciones, de modo que la suma de trenzas (en el sentido arriba descrito)
corresponde a la suma habitual de enteros. En efecto, al colocar dos trenzas
una encima de la otra, obtenemos una nueva trenza en la que el número de
superposiciones es igual a la suma de esos números asignados a las dos trenzas
originales. Es más; la trenza identidad, en la que no se da ninguna
superposición de hebras, corresponde al entero 0, y tomar la trenza inversa
equivale a tomar el negativo del entero.
[27] Véase
Garber, David, Braid Group Cryptography, en Berrick, A. John et
al., (ed.), Braids: Introductory Letters on Braids, Configurations
and Their Applications, World Scientific, 2010. Disponible en arxiv.org.
[28] Véase,
por ejemplo, Collins, Graham, «Computing With Quantum Knots», Scientific
American, abril de 2006, pp. 57-63.
[29] Sumners,
De Witt, Ernst, Claus, Spengler, Sylvia J. y Nicholas R. Cozzarelli, «Analysis
of the mechanism of DNA recombination using tangles», Quarterly Reviews
of Biophysics, vol. 28, agosto de 1995, pp. 253-313. Y Vasquez, Mariel, y
DeWitt Sumners, «Tangle analysis of Gin recombination», Mathematical
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 136, 2004, pp.
565-582.
[30] Una
afirmación más precisa, de la que hablaremos en el capítulo 9, es que el grupo
de trenzas Bnes el grupo fundamental del espacio
de n puntos distintos y sin ordenar en el plano. He aquí una
útil interpretación de los conjuntos de n puntos distintos y
sin ordenar en el plano en términos de polinomios de grado n.
Veamos un polinomio mónico de segundo grado x2+a1x+a0 en
que a0 y a1 son números complejos (en este caso
«mónico» significa que el coeficiente del término con la mayor potencia
de x, es decir, x2, es igual a 1). Posee dos
raíces, que son números complejos, y, a la inversa, estas raíces determinan de
modo único un polinomio mónico de segundo grado. Los números complejos se
pueden representar como puntos sobre un plano (véase el capítulo 9) de modo que
un polinomio mónico de segundo grado con dos raíces distintas es lo mismo que
un par de puntos distintos en el plano.
De igual manera, un polinomio mónico de grado n, xn+an-1xn-1+…+a1x+a0,
con n raíces complejas distintas, es lo mismo que un conjunto
de n puntos en el plano: sus raíces. Fijemos un polinomio así
(x- 1)(x- 2)…(x-n), con las raíces 1, 2, 3…
, n. Un camino en el espacio de todos los polinomios, que comience
y acabe en el polinomio (x-1)(x-2)…(x-n), puede
visualizarse como una trenza con nhebras, siendo cada una de estas
hebras la trayectoria de una raíz en particular. De aquí que hallemos que el
grupo de trenzas Bn es el grupo fundamental del
espacio de polinomios de grado n con raíces distintas (véase
el capítulo 14).
[31] A
cada superposición entre dos hebras, le asignamos +1 si la hebra
que viene desde la izquierda pasa por debajo de la que viene de la derecha; le
asignamos -1 si se da el caso opuesto. Veamos, por ejemplo, esta
trenza:
Al
sumar estos números (+1 y-1) a todas las superposiciones,
obtenemos el número total de superposiciones de una trenza dada. Si ajustamos
las hebras, siempre añadiremos o eliminaremos el mismo número de
superposiciones +1 que el número de superposiciones -1,
de modo que el número total de superposiciones permanecerá invariable. Esto
significa que el número total de superposiciones está bien definido:
no cambia cuando ajustamos la trenza.
[32] Nótese
que el número total de superposiciones de la trenza obtenida a partir de la
suma de dos trenzas será igual a la suma de todas las superposiciones de esas
dos trenzas. Por lo tanto, la suma de dos trenzas con un total de
superposiciones de 0 será, nuevamente, una trenza con un total de
superposiciones de 0. El grupo conmutador B'n comprende
todas esas trenzas. En cierto sentido muy preciso, es la parte no abeliana
maximal del grupo de trenzas Bn.
[33] El
concepto de «números de Betti» surgió en topología, el estudio matemático de
los rasgos notables de las formas geométricas. Los números de Betti de una
forma geométrica dada, como un círculo o una esfera, forman una secuencia de
números b0,b1,b2…
cada uno de los cuales puede ser 0 o un número natural. Por ejemplo, para un
espacio plano, como una recta, un plano, etc., b0= 1,
y todos los demás números de Betti son iguales a 0. En general, b0 es
el número de componentes de la forma geométrica conectados. Para el
círculo, b0= 1, b1= 1
y los demás números de Betti son 0. El que b1, el primer
número de Betti, sea igual a 1 refleja la presencia de un objeto unidimensional
no trivial. Para la esfera, b0= 1, b1= 0
y b2= 1, y los demás números de Betti son
iguales a 0. Aquí, b2refleja la presencia de un objeto
bidimensional no trivial.
Los números de Betti del grupo de trenzas Bn se
definen como los números de Betti del espacio de polinomios mónicos de
grado n con n raíces distintas. Los números
de Betti del subgrupo conmutador B'n son los
números de Betti de un espacio íntimamente relacionado. Consiste en todos los
polinomios de grado n con n raíces distintas
y la propiedad adicional de que su discriminante (la raíz cuadrada del producto
de las diferencias entre todos los pares de raíces) toma un valor fijo distinto
a cero (por ejemplo, podemos decir que su valor es 1). Por ejemplo, el discriminante
del polinomio x2+a1x+a0 es
igual a a21-4a0, y hay una
fórmula similar para todos los valores de n.De esta definición se
desprende que el discriminante de un polinomio es igual a cero si, y sólo si,
tiene múltiples raíces. Por lo tanto, el discriminante nos ofrece una
aplicación del espacio de todos los polinomios mónicos de grado n con
raíces distintas al plano complejo sin el punto 0. Por lo tanto, obtenemos una
«fibración» de este espacio sobre el plano complejo sin el origen. Los números
de Betti de B'n reflejan la topología de cualquiera
de esas fibras (topológicamente, son iguales) mientras que los números de Betti
de Bnreflejan la topología del espacio entero. Fue el
deseo de comprender la topología de las fibras, en primer lugar, lo que motivó
a Varchenko a sugerirme a mí este problema. Para más información acerca de los
números de Betti y los conceptos relacionados de homología y cohomología, puede
consultar los siguientes libros introductorios: Fulton, William, Algebraic
Topology: A First Course, Springer, Nueva York, 1995. Y Hatcher,
Allen, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge,
2001.
[34] Algunas
personas han sugerido la posibilidad de que Fermat se estuviera «tirando un
farol» cuando dejó esa nota en el margen del libro. Yo no lo creo: me parece
que cometió un error sincero. En cualquier caso, deberíamos estarle
agradecidos: su pequeña nota en el margen ha tenido, sin duda, un impacto
positivo en el desarrollo de las matemáticas.
[35] Para
ser más precisos, demostré que para todo divisor d de n,
el q-ésimo número de Betti, donde q=n(d-2)/d,
es igual a φ(d), y que todo divisor d de n-1,
el q-ésimo número de Betti donde q= (n-1)(d-2)/d,
es igual a φ(d). Todos los demás números de Betti de B'n son
iguales a cero.
[36] En
1985, Mijaíl Gorbachov llegó al poder, y poco después lanzó su política
de perestroika. Hasta donde yo sé, la discriminación sistemática
hacia los judíos en las pruebas de admisión del Mekh-Mat, como la que yo
experimenté, dejó de existir hacia 1990.
[37] Zdravkovska,
S., y P. Duren, «Golden Years of Moscow Mathematics», American
Mathematical Society, 1993, p. 221.
[38] El
matemático Yuly Ilyashenko aseguraba que este acontecimiento fue el causante de
que se instauraran las políticas de discriminación antisemita en el Mekh-Mat,
en la entrevista titulada «Los 20 años negros de Mekh-Mat», publicada en la
página web Polit.ru el 28 de julio de 2009: www.polit.ru.
[39] El
problema era hallar de cuántas maneras unir los lados de un polígono regular
con 4n lados para obtener una superficie de Riemann de género n.
En el capítulo 9 tratamos una manera especial de hacerlo cuando identificamos
los lados opuestos de un polígono.
[40] Frenkel,
Edward, «Cohomology of the commutator subgroup of the braid group», Functional
Analysis and Applications, vol. 2, 1988, pp. 248-250.
[41] Entrevista
con Robert Langlands para la Mathematical Newsletter, Universidad
de Columbia Británica (2010). Versión íntegra en: www.polit.ru.
[42] Supongamos
que existen números naturales m y n tales que
√2 =m/n. Podemos suponer también, sin pérdida de
generalidad, que los números m y n son
coprimos, es decir, que no son simultáneamente divisibles por ningún número
natural que no sea 1. De otra manera, tendríamos que m=dm' y n=dn',
y por lo tanto √2 =m'/n'. Este proceso puede repetirse, si
se desea, hasta llegar a los dos números coprimos.
Así pues, supongamos que √2 =m/n, donde m y n son
coprimos. Elevando ambos lados de la fórmula √2 =m/n al
cuadrado obtenemos 2 =m2/n2. Si
multiplicamos ambos lados por n2, obtenemos m2=2n2.
Esto implica que m es par, porque si fuera impar, m2 sería
también impar, lo que iría en contradicción con esta fórmula.
Si m es par, m= 2p para algún
número natural p. Realizando las sustituciones en la anterior
fórmula, tenemos que 4p2= 2n2,
por lo tanto, n2= 2p2.
Pero en tal caso n ha de ser también par, según la misma
argumentación empleada para demostrar que m es par. Así,
tanto m como n son pares, lo que contradice
nuestra teoría de que m y n son coprimos. Por
lo tanto, m y n como tales no existen.
Esto constituye un buen ejemplo de «reducción al absurdo». Comenzamos con la
afirmación contraria a lo que intentamos demostrar (en nuestro caso, comenzamos
con la afirmación de que √2 es un número racional, que es lo opuesto a lo que
queremos probar. Si esto implica una falsa afirmación (en nuestro caso, implica
que tanto m como n son pares, pese a que
habíamos supuesto que serían coprimos) podemos deducir que la afirmación con la
que empezamos es también falsa. De aquí que la afirmación que intentábamos
demostrar (que √2 no es un número racional) es cierta. Emplearemos nuevamente
este método en el capítulo 8: primero, cuando hablemos de la prueba del último
teorema de Fermat, y de nuevo, en la nota 6, cuando expongamos la prueba de
Euclides de que hay infinitos números primos.
[43] Por
ejemplo, multipliquemos estos dos números: ½ + √2 y 3 - √2
.
Pero
√2 x √2 = 2, de modo que, simplificando, obtenemos la
siguiente respuesta:
Es
un número del mismo tipo, de modo que pertenece, en efecto, a nuestro nuevo
sistema numérico. Sencillamente despejamos paréntesis.
[44] Sólo
tenemos en cuenta las simetrías de nuestro sistema numérico que son compatibles
con las operaciones de suma y multiplicación, y tales que 0 vaya a 0, 1 vaya a
1, inverso por la suma a inverso por la suma e inverso por la multiplicación a
inverso por la multiplicación. Pero si 1 va a 1, entonces 2 = 1 + 1
debe ir a 1 + 1 = 2. De igual modo, todos los
números naturales deben conservarse y, por lo tanto, lo mismo para con sus
negativos e inversos por la multiplicación. Por lo tanto, estas simetrías conservan
todos los números racionales.
[45] Es
fácil comprobar que, en efecto, esta simetría es compatible con suma, resta,
multiplicación y división. Hagámoslo con la operación de suma: pensemos en dos
números diferentes de nuestro nuevo sistema numérico,
en
que x, y, x' e y' son
números racionales. Sumémoslos:
Podemos
aplicar nuestra simetría a ambos. Así, tenemos:
Ahora
sumémoslos:
Vemos
que el número que obtenemos es igual al que obtuvimos al aplicar la simetría a
nuestra suma original:
Dicho
de otra manera, podemos aplicar la simetría a cada uno de los números,
individualmente, y sumarlos. O podemos sumarlos primero y después aplicar la
simetría. El resultado será el mismo. Esto es lo que significa que nuestra
simetría sea compatible con las operaciones de suma, resta, multiplicación y
división.
[46] Por
ejemplo, en el caso del cuerpo numérico obtenido al añadir √2 a los números
racionales, el grupo de Galois comprende dos simetrías: la identidad y la
simetría obtenida al intercambiar √2 y -√2. Señalemos la identidad como I y
la simetría en el intercambio entre √2 y -√2 como S. Escribamos
explícitamente cómo son las composiciones de estas simetrías:
I ? I=I, I ? S=S, S ? I=I,
y la
más interesante de todas,
S ? S=I.
En efecto, si intercambiamos √2 y -√2 y luego volvemos a hacerlo, el resultado
será la identidad:
Ahora
ya hemos descrito por completo el grupo de Galois de este cuerpo numérico:
consiste en dos elementos, I y S, y las fórmulas
que hemos visto arriba nos proporcionan sus composiciones.
[47] Pocos
años antes, Niels Henrik Abel demostró que había una ecuación de grado 5 que no
podía resolverse en radicales (con importantes contribuciones de Joseph-Louis
Lagrange y Paolo Ruffini). Sin embargo, la prueba de Galois era más general y
conceptual. Para más información acerca de los grupos de Galois y la abundante
historia acerca de la resolución de ecuaciones polinómicas, véase Livio,
Mario, The Equation That Couldn't Be Solved, Simon & Schuster,
Nueva York, 2005. [Hay trad. cast.: La ecuación jamás resuelta,
Ariel, Barcelona, 2013, trad. de Blanca Ribera de Madariaga.]
[48] De
un modo más general, veamos la ecuación de segundo grado ax2+bx+c= 0
con coeficientes racionales a, b y c.
Sus soluciones x1 y x2 nos
las dan las fórmulas
Si
el discriminante b2-4ac no es el
cuadrado de un número racional, estas soluciones no son números racionales. De
aquí que si añadimos x1 y x2 a
los números racionales, obtenemos un nuevo cuerpo numérico. El grupo de
simetrías de este cuerpo numérico comprende también dos elementos: la identidad
y el intercambio por simetría de ambas soluciones, x1 y x2.
En otras palabras, esta simetría intercambia
Pero no necesitamos escribir fórmulas explícitas para las soluciones a fin de
describir este grupo de Galois. De hecho, dado que el grado del polinomio es 2,
sabemos que hay dos soluciones, de modo que señalémoslas como x1 y x2.
Así pues, tenemos
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
Si
operamos los paréntesis, hallamos que x1 + x2 =
-b/a de modo que x2 = -b/a - x1. Tenemos también que
porque x1 es
una solución de la ecuación arriba mencionada. Por lo tanto, si el
discriminante no es el cuadrado de un número racional, el cuerpo numérico
obtenido al añadir x1 y x2 a
los números racionales comprende todos los números de la forma α + βx1,
en que α y β son dos números racionales. Bajo
el intercambio por simetría de x1 y x2,
el número α + βx1 va a
Esta
simetría es compatible con las operaciones de suma, resta, etc., porque
tanto x1 como x2resuelven la
misma ecuación con coeficientes racionales. Obtenemos que el grupo de Galois de
este cuerpo numérico comprende la identidad y el intercambio por simetría
entre x1 y x2. Recalco
nuevamente que no empleamos ningún conocimiento acerca de cómo expresar x1 y x2 en
términos de a, b, c.
[49] Para
ilustrar este punto, veamos, por ejemplo, la ecuación x3= 2.
Una de sus soluciones es la raíz cúbica de 2, 3√2 Hay dos
soluciones más, que son números complejos: 3√2ω y 3√2ω2
(véase
el tratamiento en el capítulo 9 a los números complejos). El cuerpo numérico
más pequeño que contenga esas soluciones debería contener también sus
cuadrados: 3√4 = (3√2)2, 3√4ω
y 3√4ω2, (sus cubos son iguales a 2) así como sus
razones: ω y ω2. De modo que parece
que, para construir el cuerpo numérico, tenemos que añadir ocho números a los
racionales. Sin embargo, tenemos una relación:
1 +
ω + ω2= 0
que
nos permite expresar ω2 en términos de 1 y ω:
ω2=-1 -
ω
Por
lo tanto, también tenemos
3√2ω2 =
-3√2 - 3√2ω, 3√2ω2 =
-3√2 - 3√4ω,
or
ello, para obtener nuestro cuerpo numérico, sólo necesitamos añadir cinco
números a los racionales: ω, 3√2, 3√2ω, 3√4
y 3√4ω. Por ello, un elemento general de este cuerpo
numérico, llamado cuerpo de descomposición de la ecuación x3= 2,
será una combinación de seis términos: un número racional más un número
racional multiplicado por ω más un número racional
multiplicado por 3√2, etcétera. Compare esto con el cuerpo de
descomposición de la ecuación x2= 2, cuyos
elementos son dos términos: un número racional más un número racional
multiplicado por √2.
Hemos visto arriba que los elementos del grupo de Galois del cuerpo de
descomposición de la ecuación x2= 2
intercambian las dos soluciones de esta ecuación, √2 y -√2 . Hay dos de estas
permutaciones: la que intercambia esas dos soluciones y la identidad.
De igual modo, para cualquier otra ecuación con coeficientes racionales,
definimos su cuerpo de descomposición como el cuerpo obtenido al añadir todas
sus soluciones a los números racionales. Por la misma argumentación que la nota
4, arriba, toda simetría de este cuerpo numérico compatible con las operaciones
de suma y multiplicación conserva los números racionales.
Por lo tanto, bajo una simetría de este tipo, toda solución de la ecuación ha
de ir a otra solución. Es decir, obtenemos una permutación de estas soluciones.
En el caso de la ecuación x3= 2, existen las
tres soluciones mencionadas arriba. Bajo todas las permutaciones, la
primera, 3√2, va a cualquiera de las tres soluciones; la
segunda, 3√2ω, va a cualquiera de las dos restantes, y
la tercera, 3√2ω2, ha de ir a la solución que
queda (una permutación ha de ser de uno a uno para tener un inverso). Por lo
tanto, hay 3·x2 = 6 posibles permutaciones a estas tres
soluciones. Estas permutaciones forman un grupo, y resulta que este grupo tiene
una correspondencia uno a uno con el grupo de Galois del cuerpo de
descomposición de la ecuación x3= 2. Así
pues, obtenemos una descripción explícita del grupo de Galois en términos de
permutaciones de las soluciones.
En el cálculo de arriba empleamos fórmulas explícitas para las soluciones de la
ecuación. Pero se puede efectuar una argumentación similar con una ecuación de
tercer grado con coeficientes racionales, y no necesitamos una fórmula para sus
soluciones en términos de los coeficientes. El resultado es el siguiente:
llamemos x1, x2 y x3 a
las soluciones de la ecuación. Supongamos que todos ellos son irracionales. Sin
embargo, es fácil ver que el discriminante de la ecuación, definido como
(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2,
es
siempre un número racional. Resulta que si su cuadrado no es un número
racional, el grupo de Galois del cuerpo de descomposición de esta ecuación es
el grupo de permutaciones de estas soluciones (consiste, en tal caso, en seis
elementos). Si la raíz cuadrada del discriminante es un número racional,
entonces el grupo de Galois consiste en tres permutaciones: la identidad, la
permutación cíclica x1?x2?x3?x1,
y su inversa.
[50] Por
ejemplo, no es difícil demostrar que para una ecuación típica de grado cinco
(es decir, una con n= 5), para la que tenemos cinco
soluciones, el grupo de Galois es el grupo de todas las permutaciones de esos
cinco números. Una permutación es una nueva ordenación uno a uno de esos
números, como muestra la ilustración de abajo.
Bajo tal permutación, la solución x1 va a
cualquiera de los cinco (posiblemente a sí misma), de modo que tiene cinco
opciones; x2 ha de ir a una de las cuatro
soluciones restantes; x3, a una de las tres que quedan,
etcétera. Es decir, que sumándolas, hay 5·4·3·2·1 = 120
permutaciones, de modo que el grupo de Galois consiste en 120 elementos.
El
grupo de permutaciones de un conjunto de n elementos, también
llamado grupo simétrico sobre nletras, consiste en n! =n·(n–1)·…2·1
elementos. A diferencia del grupo de Galois de ecuaciones de segundo, tercer y
cuarto grado, no es un grupo resoluble. Por lo tanto, según la argumentación de
Galois, no podemos expresar soluciones a la ecuación general de grado cinco en
términos de radicales.
[51] Hoy
en día está disponible en la página web del Instituto de Estudios Avanzados de
Princeton: publications.ias.edu
[52] Cita
a partir de la imagen disponible en las Colecciones Digitales del Instituto de
Estudios Avanzados, cdm.itg.ias.edu
[53] Langlands,
Robert, «Is There Beauty in Mathematical Theories?», en Hössle, Vittorio
(ed.), The Many Faces of Beauty, University of Notre Dame Press,
Notre Dame (Indiana), 2013, disponible onlineen
publications.ias.edu
[54] Para
más información acerca de conjeturas, véase este clarificador artículo: Mazur,
Barry, «Conjecture», Synthèse, vol. 111, 1997, pp. 197-210.
[55] Para
más información acerca de la historia del último teorema de Fermat, véase
Singh, Simon, Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's
Greatest Mathematical Problem, Anchor Books, Nueva York, 1998. [Hay trad.
cast.: El enigma de Fermat, Planeta, Barcelona, 2003, trad. de
David Galadí y Jordi Gutiérrez.]
[56] Véase
Wiles, Andrew, «Modular elliptic curves and Fermat's last theorem», Annals
of Mathematics, vol. 141, 1995, pp. 443-551; y Taylor, R., y A. Wiles,
«Ring-theoretic properties of certain Hecke Algebras», Annals of
Mathematics, vol. 141, 1995, pp. 553-572. Wiles y Taylor demostraron la
conjetura Shimura-Taniyama-Weil en el caso más típico (llamado semiestable),
que resultó ser suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. Unos
años más tarde, los casos restantes acabaron siendo demostrados por C. Breuil,
B. Conrad, F. Diamond y R. Taylor.
Dado que ahora está probada, sería más apropiado hablar de la conjetura
Shimura-Taniyama-Weil como un teorema. Y, de hecho, muchos matemáticos se
refieren ahora a ella como «teorema de la modularidad». Pero a las viejas
costumbres les cuesta desaparecer, y algunos, como yo, aún empleamos su antiguo
nombre. Irónicamente, al último teorema de Fermat siempre se le ha tratado de
teorema, pese que era, en realidad, una conjetura. Sin duda, esto comenzó así
por respeto a la afirmación de Fermat de que había hallado una demostración.
[57] Si N no
es un número primo, podemos escribir N=xy para dos números
naturales x e y entre 1 y N-1. En
tal caso, x no tiene inverso por multiplicación módulo N.
Dicho de otra manera, no existe un número natural z entre 1
y N-1 tal que
xz= 1
módulo N
De
hecho, si se satisficiera esta igualdad, multiplicaríamos ambos lados por y,
y obtendríamos
xyz=y módulo N
Pero xy=N,
de modo que el lado izquierdo es Nz, lo que significa que y es
divisible por N. Pero en tal caso, y no puede
estar entre 1 y N-1.
[58] La
prueba atribuida a Euclides es la siguiente: aplicamos el método de «reducción
al absurdo», que ya hemos empleado en este capítulo para describir la prueba
del último teorema de Fermat.
Supongamos que hay un número de números primos finito: p1, p2…, pN.
Consideremos el número Aobtenido al tomar su producto y sumarle 1;
es decir, sea A=p1p2… pN+1.
Yo aseguro que se trata de un número primo. Lo probamos por reducción al
absurdo: si no es un número primo, ha de ser divisible por un número natural
que no sea 1 ni sí mismo. Es decir, que A ha de ser divisible
por uno de los números primos: pongamos pi. Por lo
tanto, A= 0 módulo pi, mientras que,
según la definición de A, que A= 1 módulo pi.
Hemos llegado a una contradicción. Esto significa que A no es
divisible por ningún número natural excepto1yélmismo. Por lo tanto, A es
un número primo.
Pero dado que A es claramente mayor que cualquiera de los
números p1, p2…, pN,
esto contradice nuestra aseveración de que p1, p2…, pN eran
los únicos números primos. Por lo tanto, nuestra premisa inicial de que hay un
número finito de números primos es falsa. Por lo tanto, hay infinitos números
primos.
[59] Dejemos
esto muy claro: dentro de un sistema numérico determinado, el inverso por
multiplicación de un número a es un número b tal
que a·b= 1. De modo que, por ejemplo, dentro del sistema
numérico de los números racionales, el inverso por multiplicación del número
racional 3 4 es 4 3. Dentro del sistema numérico en que nos encontramos ahora,
el inverso de un número natural aentre 1 y p-1 es otro
número natural b del mismo tipo tal que
a·b= 1
módulo p.
No
importa qué sistema numérico empleemos, el número cero, la identidad en la
suma, nunca posee inverso por multiplicación. Por eso lo excluimos.
[60] Aquí
está la demostración. Escojamos un número natural a entre 1
y p-1, en que p sea un número primo.
Multipliquemos a por todos los demás números b de
su tipo y tomemos el resultado módulo p. Compilaremos una tabla de
dos columnas: en la primera columna irá el número b, y en la
segunda columna irá a·b módulo p.
Por ejemplo, si p= 5ya= 2, la tabla sería así:
Veremos
de inmediato que los números 1, 2, 3 y 4 aparecen en la columna de la derecha
exactamente una vez. Lo que ocurre cuando multiplicamos por 2 es que obtenemos
el mismo conjunto de números pero permutados de cierta manera. Para ser
exactos, el número 1 aparece en la tercera línea. Esto significa que cuando
multiplicamos 3 por 2, obtenemos 1 módulo 5. En otras palabras, 3 es el inverso
de 2 si hacemos la operación en una aritmética de módulo 5.
El fenómeno es general: si compilamos una tabla como la de arriba para
cualquier número primo p y cualquier número a de
la lista 1,2…,p- 1, todos los números de la lista 1,2…,p- 1
aparecerán en la columna de la derecha exactamente una vez.
Demostremos esto, empleando nuevamente el método de la reducción al absurdo.
Digamos que esto no es así. En tal caso, uno de los números del conjunto 1,
2…, p- 1 debería aparecer en la columna de la derecha al menos
dos veces. Esto significa que hay al menos dos números del conjunto 1,2…,p-1
llamémoslos, c1 y c2 (supongamos
que c1c2) tales que
a·c1=a·c2=n módulo p
Pero
entonces tenemos que
a·c1-a·c2=a·(c1-c2) = 0
módulo p
Esta
última fórmula significa que a·(c1-c2)
es divisible por p. Esto es imposible, porque p es
número primo y tanto a como c1-c2 son
números del conjunto {1, 2…, p-1}.
Concluimos que en la columna derecha de nuestra tabla, cada uno de los números
{1, 2…, p-1} aparece una sola vez. Pero precisamente porque
hay p-1 de esos números y tenemos el mismo número de filas en
nuestra tabla, p-1, la única posibilidad de que esto ocurra es que
cada número aparezca exactamente una vez. Pero en tal caso, el número 1 ha de
aparecer en algún lugar de la columna de la derecha y sólo una vez. Pero
resulta que tenemos que
a·b= 1
módulo p
Con
esto se completa la prueba.
[61] Por
ejemplo, podemos dividir 4 entre 3 en el cuerpo finito de 5 elementos:
4/3 = 4·3-1= 4·2 = 8
módulo 5
= 3
módulo 5
(aquí
empleamos el hecho de que 2 es el inverso por multiplicación de 3 módulo 5).
[62] Observemos
que para todo número a cuyo valor absoluto sea menos que 1
tenemos
lo
que es fácil de demostrar multiplicando ambos lados por 1 -a.
Mediante esa identidad, y señalando (q+q2) como a,
podemos reescribir la función generadora de los números de Fibonacci
q(1+(q+q2)+(q+q2)2+(q+q2)3+…)
como
Acto
seguido, si escribimos 1 -q-q2 como producto de
factores lineales, hallamos que
Empleando
nuevamente la identidad de arriba, con
hallamos
que el coeficiente de qn en nuestra función
generadora (que es Fn) es igual a
Por
lo tanto, obtenemos una fórmula cerrada para el n-ésimo número de
Fibonacci, que es independiente de los precedentes.
Nótese que el número
que
aparece en esta fórmula, es la llamada proporción áurea. Se sigue de la fórmula
de arriba que la proporción Fn/Fn-1
tiende a la proporción áurea conforme n crece. Para más
información acerca de la proporción áurea y los números de Fibonacci, véase
Livio, Mario, The Golden Ratio, Broadway Books, Nueva York, 2003.
[Hay trad. cast.: La proporción áurea, Ariel, Barcelona, 2006,
trad. de Daniel Aldea Rosell e Irene Musas Calpe.]
[63] Sigo
aquí la presentación de este resultado ofrecida en Taylor, Robert, «Modular
arithmetic: driven by inherent beauty and human curiosity», The Letter
of the Institute for Advanced Study, verano de 2012, pp. 6-8. Agradezco a
Ken Ribet sus útiles comentarios. Según Weil, André, Dirichlet Series
and Automorphic Forms, Springer-Verlag, Berlín/Nueva York, 1971, la
ecuación de tercer grado que tratamos en este capítulo la presentó John Tate,
profundizando en el trabajo de Robert Fricke.
[64] Este
grupo es uno de los llamados «subgrupos de congruencia» del grupo denominado SL2(Z),
que consiste en matrices 2 × 2 con coeficientes enteros y con
el determinante 1, es decir, la gama de enteros
tales
que ad-bc= 1. La multiplicación de matrices está dada por la
fórmula estándar:
Ahora
bien, todo número complejo q dentro del disco unidad puede
escribirse como para un número complejo τ=
El
grupo SL2(Z) (más concretamente, su cociente por el subgrupo de dos
elementos que consiste en la matriz identidad I y la
matriz -I) es el grupo de simetrías del disco dotado de una métrica
no euclidiana particular, llamado modelo del disco de Poincaré. Nuestra función
es una forma modular de «peso 2», lo que significa que es invariante bajo la
acción arriba descrita de un subgrupo de congruencia SL2(Z) sobre el
disco, si corregimos esta acción multiplicando la función por el factor (cτ+d)2.
Véase, por ejemplo, Darmon, Henri, «A proof of the full Shimura-Taniyama-Weil
conjecture is announced», Notices of the American Mathematical Society,
vol. 46, diciembre de 1999, pp. 1397-1401. Disponible online en
www.ams.org
[65] Esta
imagen es creación de Lars Madsen y se publica con su permiso. Agradezco a Ian
Agol por señalármela y por un útil debate.
[66] Véase,
por ejemplo, Koblitz, Neal, «Elliptic curve cryptosystems», Mathematics
of Computation, vol. 49, 1987, pp. 203-209. Y Blake, I., Seroussi, G. y N.
Smart, Elliptic Curves in Cryptography, Cambridge University Press,
Cambridge, 1999.
[67] En
general, esto es cierto para todos salvo un número finito de primos p.
Hay un par de invariantes adicionales, unidas a la ecuación cúbica (el llamado
«conductor») y a la forma modular (el llamado «nivel») y estas invariantes
también se conservan bajo esta correspondencia. Por ejemplo, en el caso de la
ecuación cúbica que hemos visto, ambas son igual a 11. Señalaré también que
todas las formas modulares que aparecen aquí poseen término constante cero; el
coeficiente b1 de q es igual a 1 y
todos los demás coeficientes bn con n >
1 están determinados por los bp correspondientes a
los números primos p.
[68] Básicamente,
si a, b, c resuelven la ecuación de
Fermat an+bn=cn, en que n es
un número primo impar, consideremos, siguiendo la obra de Yves Hellegouarch y
Gerhard Frey, la ecuación cúbica
y2=x(x-an)(x+bn).
Ken
Ribet demostró (siguiendo una sugerencia de Frey y ciertos resultados parciales
obtenidos por Jean-Pierre Serre) que esta ecuación no puede satisfacer la
conjetura Shimura-Taniyama-Weil. Junto al caso n= 4 (que el
propio Fermat probó) esto implica el último teorema de Fermat. De hecho, todo
entero n > 2 se puede escribir como un producto n=mk,
en que m es o bien 4 o bien un número primo impar. Por lo
tanto, la ausencia de soluciones a la ecuación de Fermat para tal m implica
su ausencia para todo n > 2.
[69] Shimura,
Goro, «Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections», Bulletin
of London Mathematical Society, vol. 21, 1989, p. 193.
[70]Ibid., p.
190.
[71] Acerca
de la rica historia de la conjetura, véase nota a pie de página, pp. 1302-1303
en el siguiente artículo: Lang, Serge, «Some History of the Shimura-Taniyama
conjecture», Notices of the American Mathematical Society, vol. 42,
1995, pp. 1301-1307. Disponible online en www.ams.org.
[72]The
Economist, 20 de agosto de 1998, p. 70.
[73] Las
imágenes de superficies de Riemann empleadas en este libro se han creado
con software Mathematica®, empleando el código generosamente
proporcionado por Stan Wagon. Para más detalles, véase su libro Wagon,
Stan, Mathematica® in Action: Problem Solving Through Visualization and
Computation, Springer-Verlag, Berlín/Nueva York, 2010.
[74] Esta
no es una definición precisa, pero proporciona la intuición correcta acerca de
los números reales. Para una definición precisa, deberíamos pensar en cada uno
de los números reales como en el límite de una sucesión convergente de números
racionales (también llamada sucesión de Cauchy); por ejemplo: los truncamientos
de la parte decimal infinita de √2 arrojarían una sucesión tal.
[75] A
fin de hacerlo, marque un punto en la circunferencia y coloque el círculo en la
recta, de modo que el punto marcado en la circunferencia toque el punto 0 de la
recta. Luego, haga rodar la circunferencia a la derecha hasta que el punto
marcado vuelva a tocar la recta (lo que ocurrirá tras una vuelta completa de la
circunferencia). Este punto de contacto entre la circunferencia y la recta será
el punto correspondiente a π.
[76] La
geometría de los números complejos (y de los demás sistemas numéricos) se
encuentra magníficamente explicada en Mazur, Barry, Imagining Numbers,
Picador, Nueva York, 2004. [Hay trad. cast.: Números imaginados (en
especial la raíz cuadrada de-15), Fondo de Cultura Económica, Buenos
Aires/México, DF, 2008, trad. de Juan Pablo Pinasco.]
[77] Para
ser más exactos, obtenemos la superficie del donut menos un punto. Este punto
extra corresponde a la «solución infinita», cuando x e y tienden
a infinito.
[78] Para
conseguir una superficie de Riemann de género g, debemos poner un
polinomio en x de grado 2g+1 en el lado derecho de la
ecuación.
[79] Este
vínculo entre álgebra y geometría fue un profundo descubrimiento de René
Descartes, descrito por primera vez en La Géometrie, un apéndice a
su obra El discurso del método, publicado en 1637. Esto es lo que
E. T. Bell escribió acerca del método de Descartes: «Pero, ahora, llegamos al
verdadero poder de su método. Partimos de ecuaciones de cualquier grado deseado
o sugerido de complejidad e interpretamos sus propiedades algebraicas y
analíticas geométricamente… El álgebra y el análisis serán nuestros pilotos en
los mares desconocidos del "espacio" y su "geometría"»
[Todo el libro está disponible online en castellano en
www.librosmaravillosos.com, de donde he sacado la traducción. Ignoro si es de
Patricio Barros, como parecería sugerir la página, o si emplea la traducción de
Jiménez de Asúa. (N. del t.).] (Bell, E. T., Men of Mathematics,
Touchstone Books, Nueva York, 1986, p. 54). [Existen varias versiones en
castellano. La más conocida quizá sea Los grandes matemáticos: desde
Zenón a Poincaré, su vida y sus obras, Losada, Buenos Aires, 1948, trad. de
Felipe Jiménez de Asúa.] Nótese, sin embargo, que el método de Descartes se
aplica a soluciones de ecuaciones con números reales, mientras que en este
capítulo nos interesan las soluciones en cuerpos finitos y en números
complejos.
[80] Por
poner un ejemplo, aprendimos en el capítulo 8 que la ecuación cúbica y2+y=x3-x2 posee
cuatro soluciones módulo 5, de modo que, ingenuamente, se puede pensar que la
curva correspondiente sobre el cuerpo finito de 5 elementos tiene cuatro
puntos.
Pero en realidad hay mucha más estructura porque también podemos considerar
soluciones con valores en varias extensiones del cuerpo finito de 5 elementos;
por ejemplo, el obtenido al añadir la soluciones de la ecuación x2= 2,
que aludimos en la nota 8 del capítulo 14. Estos cuerpos extendidos poseen 5n elementos
para n= 2,3,4… y así obtenemos una jerarquía de soluciones con
valores en estos cuerpos finitos.
Las curvas correspondientes a las ecuaciones cúbicas se denominan «curvas
elípticas».
[81]The
Bhagavad-Gita, Krishna's Counsel in Time of War,
trad. por Barbara Stoler Miller, Bantam Classic, 1986. [La Wikipedia emplea
para la bibliografía el Bhagavad-Gita, trad. de Consuelo Martín
Diza, Ed. Trotta, Madrid, 19976. Existe una versión íntegra
traducida al español en www.bhagavad-gita.org/index-spanish.html]
Es interesante señalar que Weil pasó dos años en la India a principios de la
década de 1930 y, según él mismo admitió, se vio influido por la religión
hindú.
[82] Véase,
por ejemplo, Sheth, Noel, «Hindu Avatara and Christian Incarnation: A
comparison», Philosophy East and West, vol. 52, n.º 1, pp. 98-125.
[83] Weil,
André, Collected Papers, vol. I, Springer-Verlag, Berlín/Nueva
York, 1979, p. 251 (trad. del autor).
[84]Ibid. p.
253. La idea es que dada una curva sobre un cuerpo finito, consideramos las
llamadas funciones racionales sobre ella. Estas funciones son proporciones
entre dos polinomios. Nótese que una función tal tiene un «polo» (es decir, su
valor está sin definir) en todos los puntos de la curva en los que el polinomio
que aparece en el divisor es 0. Resulta que el conjunto de todas las funciones
racionales en una curva determinada es análogo, en sus propiedades, al conjunto
de números racionales, o a un cuerpo numérico más general, como los que
tratamos en el capítulo 8.
Para explicar esto con más exactitud, veamos las funciones racionales sobre
superficies de Riemann: la analogía seguirá siendo válida. Veamos, por ejemplo,
la esfera. Empleando la proyección estereográfica, podemos ver la esfera como
la unión de un punto y un plano complejo (podemos ver el punto extra como uno
que representa el infinito). Señalemos como t=r+s√-1 la coordenada
en el plano complejo. Luego todo polinomio P(t) con
coeficientes complejos es una función sobre el plano. Estos polinomios son
análogos a los enteros que aparecen en teoría de números. Una función racional
sobre la esfera es una razón entre dos polinomios P(t)/Q(t)
sin factores comunes. Estas funciones racionales son los análogos de los
números racionales, que son razones m/n de enteros sin
factores comunes. De modo similar, las funciones racionales sobre superficies
de Riemann más generales son análogas a elementos de un cuerpo numérico más
general.
El poder de esta analogía reside en que para muchos resultados acerca de
cuerpos numéricos habrá resultados similares válidos para las funciones
racionales de curvas sobre cuerpos finitos, y viceversa. A veces es más fácil
detectar o demostrar una afirmación determinada para uno de ellos. En ese caso
la analogía nos dice que una afirmación similar ha de ser verdad para el otro.
Este ha sido uno de los vehículos empleados por Weil y otros matemáticos a fin
de obtener nuevos resultados.
[85]Ibid., p.
253. Empleo aquí la traducción de Martin H. Krieger en Notices of the
American Mathematical Society, vol. 52, 2005, p. 340.
[86] Había
tres conjeturas de Weil, que fueron demostradas por Bernard Dwork, Alexander
Grothendieck y Pierre Deligne.
[87] Hay
redundancia en esta definición. Para explicarlo, imaginemos dos caminos en el
plano como los de la imagen de abajo, uno liso y el otro de puntos. Está claro
que podemos deformar de manera continua uno de ellos hasta que sea el otro sin
que se rompa. Es razonable y económico declarar que dos caminos cerrados que
pueden deformarse hasta ser cada uno el otro son, de esta manera, iguales. Si
hacemos esto, reducimos drásticamente el número de elementos en nuestro grupo.
Esta regla es, de hecho, similar a la que empleamos en la definición de los
grupos de trenzas del capítulo 5. También allí declaramos iguales dos trenzas
que podían deformarse («retorcerse») hasta ser como la otra sin entrecruzar las
hebras.
De
modo que definimos el grupo fundamental de nuestra superficie de Riemann como
el grupo cuyos elementos son caminos cerrados que comienzan y acaban en el
punto P, con el requerimiento adicional de que identifiquemos los
caminos que pueden deformarse de modo continuo hasta ser el otro.
Nótese que si nuestra superficie de Riemann está conectada, algo que suponemos
tácitamente en todo momento, la elección del punto de referencia P deja
de ser importante: los grupos fundamentales asignados a diferentes puntos de
referencia P tendrán una correspondencia uno a uno entre sí
(para ser precisos, serán «isomorfos» entre sí).
[88] El
elemento identidad será el «camino constante». Nunca abandona el punto
marcado P. De hecho es instructivo pensar en cada camino cerrado
como en la trayectoria de una partícula, que comienza y acaba en el mismo
punto P. El camino constante es la trayectoria de la partícula que
tan sólo se limita a quedarse en el punto P. Está claro que si
sumamos cualquier camino al camino constante, en el sentido descrito en el
texto, obtendremos el camino original.
El camino inverso a un camino dado será el mismo camino pero recorrido en
dirección opuesta. Para comprobar que este es, en efecto, el inverso, sumemos
un camino y su inverso. Obtendremos un nuevo camino que recorre dos veces su
ruta, pero en dos direcciones opuestas. Podemos deformar continuamente este «doble»
camino hasta el camino constante. Primero retorcemos levemente uno de los dos
caminos. El camino resultante puede alargarse hasta un punto, como muestran las
imágenes abajo.
[89] Como
vimos en la nota 10 del capítulo 5, el grupo de trenzas Bn puede
interpretarse también como el grupo fundamental del espacio de polinomios
mónicos de grado n con n raíces distintas.
Escogemos como punto de referencia P, el polinomio (x-1)(x-2)…(x-n)
con las raíces 1,2…,n (estas son los «clavos» de las trenzas).
[90] Para
ver que los dos caminos conmutan entre sí, veamos que el toro puede obtenerse
si pegamos los lados opuestos de un cuadrado (un polígono con 4 vértices).
Cuando pegamos dos lados horizontales, a1 y a'1,
obtenemos un cilindro.
Si pegamos los círculos de los extremos opuestos del cilindro (que es en lo que
se convierten los dos lados verticales del cuadrado, a2 y a'2,
cuando pegamos los dos horizontales) obtenemos un toro. Vemos ahora que los
lados a1 y a2 se
convierten en dos caminos cerrados independientes en el toro. Nótese que en el
toro, las cuatro esquinas representan un mismo punto, de modo que estos caminos
quedan cerrados: comienzan y acaban en el mismo punto P del
toro. Y también que a1=a'1 porque
los hemos pegado, y de igual modo a2 y a'2.
En
el cuadrado, si tomamos el camino a1 y luego
tomamos el camino a2, nos llevarán de una esquina a su
opuesta. El camino resultante es a1+a2.
Pero podemos también ir de una esquina a otra por un camino diferente: primero
tomamos a'2 y luego a'1, que
es lo mismo que a1. El camino resultante es a'2 + a'1.
Tras pegar los lados opuestos del cuadrado, a'1 se
convierte en a1 y a'2 se
convierte en a2. De modo que a'2+a'1=a2+a1.
Observemos ahora que tanto a1+a2 como a2+a1 se
pueden deformar hacia el camino diagonal, una línea recta que conecta las dos
esquinas opuestas, como se ve en la imagen inferior (las flechas discontinuas
muestran cómo deformar cada uno de los caminos).
Esto
significa que los caminos a1+a2 y a2+a1 dan
lugar al mismo elemento en el grupo fundamental del toro. Hemos demostrado que
a1+a2=a2+a1.
Esto
implica que el grupo fundamental del toro tiene una estructura sencilla:
podemos expresar sus elementos como M·a1+N·a2,
donde a1 y a2 son dos
circunferencias en el toro (mostrados en la p. 157 del texto), y M y N son
enteros. La suma en el grupo fundamental coincide con la suma habitual de estas
expresiones.
[91] El
modo más fácil de describir el grupo fundamental de la superficie de Riemann de
un género gpositivo (es decir, con g agujeros) es
nuevamente imaginar que pegamos los lados opuestos de un polígono, pero ahora
con 4g vértices. Por ejemplo, peguemos los lados opuestos de un
octógono, el polígono con ocho vértices. Existen cuatro pares de lados opuestos
en este caso, y hemos de identificar cada par. El resultado de esta unión es
más difícil de imaginar que el caso del toro, pero sabemos que obtendremos una superficie
de Riemann de género 2 (la superficie de un pretzel danés).
Esto se puede emplear para describir el grupo fundamental de una superficie de
Riemann de modo similar a como describimos el grupo fundamental de un toro.
Como en el caso del toro, construimos 2g elementos en el grupo
fundamental de la superficie de Riemann de género g, tomando los
caminos a lo largo de 2g lados consecutivos del polígono (cada uno
de los 2g lados restantes se identificará con uno de estos).
Señalémoslos como a1,a2…, a2g.
Ellos generarán el grupo fundamental de nuestra superficie de Riemann, en el
sentido de que todo elemento de este grupo se puede obtener sumando estos,
posiblemente varias veces. Por ejemplo, para g= 2 tenemos el
siguiente elemento: a3+2a1+3a2+a3.
(Pero nótese que no podemos reescribirlo como 2a3+2a1+3a2,
porque a3 no conmuta con a2 y a1,
de modo que no podemos mover el a3 de más a la
derecha a la izquierda).
Como en el caso del toro, en que al expresar el camino que conecta dos esquinas
opuestas de nuestro polígono de dos maneras diferentes, obtenemos una relación
entre ellas, generalizando la relación de conmutatividad en el caso del toro:
a1+a2+…+a2g-1+a2g=a2g+a2g-1+…+a2+a1.
Esta
resulta ser la única relación entre estos elementos, de modo que obtenemos una
concisa descripción del grupo fundamental: está generado por a1, a2…, a2g,
sujeto a esta relación.
[92] Para
explicar esto con más precisión, consideremos todas las funciones racionales en
una superficie de Riemann, en el sentido de la nota 13. Constituyen análogos de
los números racionales. El grupo de Galois relevante se define como el grupo de
simetrías de un cuerpo numérico obtenido al añadir soluciones de ecuaciones
polinómicas como x2+2 a los números racionales.
Igualmente, podemos añadir soluciones de ecuaciones polinómicas a funciones
racionales sobre una superficie de Riemann X. Resulta que cuando hacemos
esto, obtenemos funciones racionales sobre otra superficie de Riemann X',
que es un «recubrimiento» de X; es decir, que tenemos una
aplicación X' ?X con fibras finitas. En esta situación, el
grupo de Galois consiste en aquellas simetrías de X' que
conserven sin cambios todos los puntos de X. Dicho de otra manera,
estas simetrías actúan a lo largo de la aplicación X' ?X.
Observemos ahora que si tenemos un camino cerrado sobre la superficie de
Riemann X, que comienza y acaba en un punto P de X,
podemos tomar todos los puntos de X' en la fibra sobre P y
«seguirlo» a lo largo de su camino. Cuando regresamos, en general obtenemos un
punto diferente en la fibra sobre P, de modo que obtenemos una
transformación en esta fibra. Este es el fenómeno de la monodromía, del que
hablaremos con más detalles en el capítulo 15. La transformación de la fibra se
puede remontar a un elemento del grupo de Galois. Así, obtenemos un vínculo
entre el grupo fundamental y el grupo de Galois.
[93] La
palabra «especial» se refiere a esas transformaciones ortogonales que conservan
la orientación (estas son, precisamente, las rotaciones de la esfera). Un
ejemplo de transformación ortogonal que no conserva la orientación, y que por
lo tanto no pertenece a SO(3) es un reflejo con respecto a uno de los planos de
coordenadas. El grupo SO(3) está íntimamente relacionado con el grupo SU(3),
que vimos en el capítulo 2 en relación con los quarks (el grupo especial
unitario del espacio tridimensional). El grupo SU(3) se define de modo análogo
a SO(3); sustituimos el espacio tridimensional real por el
espacio tridimensional complejo.
[94] Aunque
otra manera de ver que la circunferencia es unidimensional sería recordar que
se puede pensar en ella como en el conjunto de soluciones reales de la
ecuación x2+y2= 1, como
vimos en el capítulo 9. De modo que la circunferencia es el conjunto de puntos
en el plano sujetos por una ecuación. De aquí que su dimensión es la dimensión
del plano (dos) menos el número de ecuaciones (uno).
[95] Esta
cita aparece en el libro de anotaciones de Duchamp titulado À
l'Infinitif, citado en Holton, Gerald, «Henri Poincaré, Marcel Duchamp and
innovation in science and art», Leonardo, vol. 34, 2001, p. 130.
[96] Dalrymple
Henderson, Linda, The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in
Modern Art, MIT Press, Boston, 2013, p. 493.
[97] Holton,
Gerald, Ibid., p. 134.
[98] Darwin,
Charles, Autobiographies, Penguin Classics, Londres, 2002, p. 30.
[Hay trad. cast.: Autobiografías, Losada, Buenos Aires, 2009, trad.
de Nora Dottori.]
[99] Para
más detalles véase, por ejemplo, Yau, Shing-Tung y Streve Nadis, The
Shape of Inner Space, Basic Books, Nueva York, 2010.
[100] Resulta
que la dimensión de este grupo es igual a n(n- 1)/2.
Dicho de otra manera, para describir un elemento de este grupo
necesitamos n(n-1)/2 coordenadas independientes (en caso de
que n= 3, necesitaríamos 3(3-1)/2 = 3
coordenadas, como hemos visto en el texto principal).
[101] Matemáticamente,
todo lazo puede verse como la imagen de una «aplicación» particular de la
circunferencia al espacio tridimensional, es decir, una regla que asigne a cada
punto φ de la circunferencia un punto f (φ) en el espacio
tridimensional. Sólo tenemos en cuenta aplicaciones «lisas». Hablando grosso
modo, esto significa que el lazo carece de esquinas o ángulos agudos, de
tal modo que se parece al que se muestra en la imagen del texto principal. Con
más generalidad, una «aplicación» de una variedad S en una
variedad M es una regla que asigna a cada punto s de S un
punto en M, llamado la imagen de s.
[102] Véase,
por ejemplo, Greene, Brian, The Elegant Universe, Vintage Books,
Nueva York, 2003. [Hay trad. cast.: El universo elegante: supercuerdas,
dimensiones ocultas y la búsqueda de una teoría final, Booket, Barcelona,
2012, trad. de Mercedes García Garmilla.]
[103] Para
ser más exactos, un lazo en SO(3) es una agrupación {f(φ)} de elementos
de SO(3), parametrizados por el ángulo φ, que es una coordenada de la
circunferencia. Dado un segundo lazo, que es una agrupación {g(φ)},
compongamos las dos rotaciones, f (φ) ◦ g(φ) para
cada φ. Lo que obtenemos es una nueva agrupación {f (φ) ◦ g(φ)}
que es otro lazo en SO(3). De esta manera, por cada par de lazos de SO(3)
producimos un tercer lazo. Esta es la regla de multiplicación en el grupo de
lazos. El elemento identidad del grupo de lazos es el lazo concentrado en la
identidad de SO(3), es decir, f (φ) es el elemento identidad
de SO(3) para todo φ. El lazo inverso del lazo {f (φ)} es el lazo {f (φ)-1}.
Es fácil comprobar que todos los axiomas del grupo se sostienen. Por lo tanto,
el espacio de lazo de SO(3) es, en efecto, un grupo.
[104] Para
verlo, consideremos un ejemplo más sencillo: el espacio lazo del plano. El
plano tiene dos coordenadas, x e y. Por lo tanto,
un lazo en el plano es una agrupación de puntos en el plano con
coordenadas x(φ) e y(φ), uno para cada ángulo φ entre 0
y 360 grados. (Por ejemplo, las fórmulas x(φ) = cos(φ), y(φ) = sen(φ)
describen un lazo en particular: la circunferencia de radio 1 centrada en el
origen. Por ello, para especificar un lazo tal debemos especificar una
agrupación de infinitos pares de números (x(φ), y(φ)), un
par por cada ángulo φ. Esa es la razón por la que el espacio lazo, en el plano,
es infinito-dimensional. Por la misma razón, el espacio lazo de toda variedad
finito-dimensional es también infinito-dimensional).
[105] Citado
en Langer, R. E., «René Descartes», The American Mathematical Monthly,
vol. 44, n.º 8, octubre de 1937, p. 508.
[106] El
plano tangente es el plano más cercano a la esfera de todos los planos que
pasan a través de este punto. Sólo toca la esfera en este punto, mientras que
si movemos el plano incluso muy ligeramente (de modo que aún pase por el mismo
punto fijo de la esfera) obtendremos un plano que interseccione la esfera en
más puntos.
[107] Por
definición, el álgebra de Lie de un grupo de Lie dado es el espacio plano (como
una recta, un plano, etcétera) más cercano a este grupo de Lie de entre los
demás espacios de Lie que pasan por el punto en el grupo de Lie correspondiente
a la identidad.
[108] Un
círculo general no posee un punto especial. Pero el grupo circular sí
lo posee: es el elemento identidad de este grupo, que es un punto especial del
círculo. Ha de estar especificado para convertir un círculo en un grupo.
[109] He
aquí una definición más precisa de espacio vectorial: Una vez escogemos un
sistema de coordenadas en un espacio plano n-dimensional,
identificamos los puntos de este espacio con n-tuplas de números
reales (x1,x2…,xn) con
los números xi representando las coordenadas de un
punto. En particular existe un punto especial (0,0…,0) en el que todas las
coordenadas son iguales a 0. Este es el origen.
Ahora fijemos un punto (x1,x2…,xn)
en este espacio. Definimos una simetría de nuestro espacio, que envía cualquier
otro punto (z1, z2…,zn)
a (z1+x1, z2+x2…,zn+xn).
Geométricamente, podemos pensar en la simetría como el cambio de nuestro
espacio n-dimensional en la dirección del intervalo apuntado que
conecta el origen y el punto (x1, x2…, xn).
A esta simetría se le denomina vector, y se suele representar por
este intervalo apuntado. Señalemos este vector como {x1,x2…, xn}.
Existe una correspondencia uno a uno entre puntos del espacio plano n-dimensional
y los vectores. Por esta razón, el espacio plano con un sistema de coordenadas
fijado puede verse como un espacio de vectores. De aquí que lo llamemos espacio
vectorial.
La ventaja de pensar en términos de vectores más que en puntos es que en
vectores tenemos dos operaciones naturales. La primera es la operación de suma
de vectores, que convierte un espacio vectorial en un grupo. Como se explicaba
en el capítulo 2, las simetrías se pueden componer, y por tanto formar un
grupo. La composición de las simetrías de movimiento descritas en el párrafo
previo nos da la regla que seguir en la suma de vectores:
{x1,
x2, …xn} + {y1, y2, …yn}
= {y1 + x1, y2 + x2,…yn +
xn}
El
elemento identidad en el grupo de vectores es el vector {0, 0, …,0} . El
inverso por la suma del vector {x1, x2…, xn}
es el vector {-x1,-x2…, -xn}
La segunda es la operación de multiplicación de vectores por números reales. El
resultado de la multiplicación de un vector {x1, x2…,xn}
por un número real k es el vector {kx1, kx2…, kxn}.
Así pues, un espacio vectorial tiene dos estructuras: suma, satisfaciendo las
propiedades de grupo, y multiplicación por números. Estas estructuras han de
satisfacer propiedades naturales.
Ahora bien, todo espacio tangente es un espacio vectorial y, por tanto, toda
álgebra de Lie es un espacio vectorial.
Lo arriba descrito es la noción de espacio vectorial sobre números reales. En
efecto, las coordenadas de los vectores son números reales, de modo que podemos
multiplicar vectores por números reales. Si sustituimos los números reales por
números complejos en esta descripción, obtendremos la noción de espacio
vectorial sobre números complejos.
[110] La
operación sobre una álgebra de Lie se suele señalar con corchetes, así que
si
·
[
·
[
·
[k
·
así como la llamada identidad Jacobi:
[[
[111] El
producto vectorial de dos vectores en el espacio tridimensional,
[112] Por
ejemplo, el álgebra de Lie del grupo de Lie SO(3) es el espacio vectorial
tridimensional. Por lo tanto, el álgebra de Lie consiste en todos los lazos de
este espacio tridimensional. El producto vectorial en el espacio tridimensional
proporciona a una álgebra de Lie estructura sobre estos lazos. Así, dados dos
lazos, producimos un tercero, pese a que no es fácil describir qué es en
palabras.
[113] Para
ser más exactos, una álgebra Kac-Moody es una extensión del álgebra de Lie de
un grupo de lazos por un espacio unidimensional. Para más detalles, véase Kac,
Victor, Infinite-dimensional Lie Algebras, Cambridge University
Press, Cambridge, 19903.
[114] Los
modelos con simetría de álgebras Virasoro se denominan teorías conformes de
campos. Los presentaron por primera vez los físicos rusos Alexander Belavin,
Alexander Polyakov y Alexander Zamolodchikov, en 1984. Su innovador trabajo se
apoyaba en los resultados obtenidos por Feigin y Fuchs, así como por Victor
Kac.
[115] Los
más conocidos de estos son los modelos Weiss-Zumino-Witten. Para más detalles
véase Frenkel, Edward, y David Ben-Zvi, Vertex Algebras, American
Mathematical Society, Providence (Rhode Island), 2004.
[116] He
aquí una construcción precisa: supongamos que tenemos un elemento del grupo de
lazos de SO(3), que es una agrupación {g(φ)} de elementos de SO(3)
parametrizados por el ángulo φ (la coordenada en el círculo). Por otra parte,
un elemento del espacio lazo de la esfera es la agrupación {f(φ)} de
puntos de la esfera parametrizados por φ. Dados tales {g(φ)} y {f (φ)},
construimos otro elemento del espacio lazo de la esfera como la colección {g(φ)(f (φ))}.
Esto supone que aplicamos la rotación g(φ) al punto f (φ)
de la esfera, independientemente para cada φ. Por lo tanto, vemos que todo
elemento del grupo de lazos de SO(3) da lugar a una simetría del espacio lazo
de la esfera.
[117] Un
punto de una variedad bandera es una agrupación: una recta en un espacio n-dimensional
fijo, un plano que contiene esta recta, el espacio tridimensional que contiene
el plano, etcétera, hasta llegar a un hiperplano (n-1)-dimensional que
los contiene a todos.
Comparemos esto con los espacios proyectivos que yo había estudiado al
principio: un punto del espacio proyectivo es sólo una recta en el
espacio n-dimensional, nada más.
En el caso más sencillo, n= 2, nuestro espacio fijado es
bidimensional, así que la única opción que tenemos es la de una recta (sólo hay
un plano, el propio espacio). Por lo tanto, en este caso la variedad bandera es
igual al espacio proyectivo, y resulta que coincide con la esfera. Es
importante subrayar aquí que consideramos rectas, planos, etcétera, en un
espacio complejo (no en un espacio real) y tan sólo las que pasan a través del
origen de nuestro espacio n-dimensional fijado.El siguiente ejemplo
es n= 3, de modo que tenemos un espacio tridimensional. En
este caso el espacio proyectivo consiste en todas las rectas de este espacio
tridimensional, pero la variedad bandera consiste en pares: una recta y un
plano que la contiene (sólo hay un espacio tridimensional). Por lo tanto, en
este caso hay una diferencia entre el espacio proyectivo y la variedad bandera.
Podemos pensar en la recta como en el mástil de una bandera y el plano como la
bandera en sí. De aquí el nombre «variedad bandera».
[118] Feigin,
Boris, y Edward Frenkel, «A family of representations of affine Lie
algebras», Russian Mathematical Surveys, vol. 43, n.º 5, pp.
221-222.
[119] Saul,
Mark, «Kerosinka: An Episode in the History of Soviet Mathematics», Notices
of the American Mathematical Society, vol. 46, noviembre de 1999, pp.
1217-1220.
[120] Más
tarde me enteré de que Gelfand, que colaboraba con cardiólogos por razones
similares a las de Yakov Isaévich con urólogos, empleó también con éxito este
enfoque para la investigación médica.
[121] Una
definición precisa de espacio vectorial se ofrece en la nota 17 del capítulo
10.
[122] En
el caso de la categoría de espacios vectoriales, los morfismos de un espacio
vectorial V1 a un espacio vectorial V2 son
las llamadas transformaciones lineales de V1 a V2.
Se trata de aplicaciones fde V1 a V2 tales
que f(
[123] Véase,
por ejemplo, Pierce, Benjamin C., Basic Category Theory for Computer
Scientists, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1991, y Goguen, Joseph, «A
categorical manifesto», Mathematical Structures in Computer Sciences,
vol. 1, 1991, pp. 49-67. Awodey, Steve, Category Theory, Oxford
University Press, 2010.
[124] Véase,
por ejemplo, www.haskell.org y las referencias en el propio artículo.
[125] Véase,
por ejemplo, Kahiwara, Masaki, y Pierre Schapira, Sheaves on Manifolds,
Springer-Verlag, Berlín/Nueva York, 2010.
[126] Esta
sorprendente propiedad de aritmética en módulos de números primos tiene una
explicación sencilla si se mira desde el punto de vista de teoría de grupos.
Observemos los elementos no-cero del cuerpo finito: 1,2…, p-1.
Forman un grupo con respecto a la multiplicación. De hecho, el elemento
identidad con respecto a la multiplicación es el elemento 1: si multiplicamos
cualquier elemento a por 1, obtenemos nuevamente a.
Y todo elemento tiene un inverso, como se explica en la nota 8 del capítulo 8:
para todo a en {1,2…,p-1} hay un elemento b tal
que a·b= 1 módulo p.
Este grupo posee p-1 elementos. Existe un hecho general que vale
para todo grupo finito G con Nelementos: la N-ésima
potencia de todo elemento a de este grupo es igual al elemento
identidad (que señalaremos como 1),
aN= 1.
Para
demostrarlo, observemos los siguientes elementos del grupo G:
1, a, a2… dado que el grupo G es
finito, estos elementos no pueden ser todos distintos. Tiene que haber
repeticiones. Digamos que k es el número natural más pequeño
tal que ak es igual a 1 o aj para
algún j= 1…,k- 1. Supongamos que este último es el
caso. Señalemos como a-1 el inverso
de a, de modo que a·a-1= 1,
y tomemos su j-ésima potencia (a-1)j.
Multipliquemos por la derecha ambos lados de la ecuación ak=aj con
(a-1)j. Cada vez que nos
encontremos con a·a-1 sustituyámoslo por
1. Multiplicar por 1 no cambia el resultado, así que siempre podemos sacar el 1
del producto. Entonces vemos que cada a-1 suprimirá
una de las aes. De aquí que el lado izquierdo será igual a ak-j,
y que el lado derecho será igual a 1. Obtenemos por tanto que ak-j= 1.
Pero k-j es más pequeño que k, y esto contradice
nuestra elección de k. Por lo tanto, la primera repetición de
nuestra lista tendrá la forma ak= 1, de modo que
los elementos 1, a, a2…, ak-1 son
todos distintos. Esto significa que forman un grupo de k elementos:
{1, a, a2…, ak-1}.
Se trata de un subgrupo de nuestro grupo original G de N elementos,
en el sentido de que es un subconjunto de elementos de G tales
que el resultado de la multiplicación de cualesquiera dos elementos de este
subconjunto es también un elemento de este subconjunto; de que este subconjunto
contiene el elemento identidad de G y de que este subconjunto
contiene el inverso de todos sus elementos.
Ahora bien, se sabe que el número de elementos de todo subgrupo siempre es
divisor del número de elementos del grupo. A esta afirmación se le llama
teorema de Lagrange. Le dejo a usted el trabajo de comprobarla (o puede
buscarlo en Google).
Al aplicar el teorema de Lagrange al subgrupo {1, a, a2…, ak-1},
que tiene k elementos, vemos que kha de ser
divisor de N, el número de elementos del grupo G. Por
lo tanto, N=km para algún número natural m. Pero
dado que ak= 1, obtenemos que
aN= (ak)·(ak)·…·(ak) = 1·1·…·1 = 1,
que
es lo que queríamos demostrar.
Regresemos al grupo {1,2…,p-1} con respecto a la multiplicación.
Tiene p-1 elementos. Este es nuestro grupo G, de modo
que nuestro N es igual a p- 1. Aplicando el
resultado general en este caso, hallamos que ap-1= 1
módulo p para todo a en {1,2…,p-1}.
Pero entonces
ap=a·ap-1=a·1 =a módulo p.
Es
fácil ver que la última fórmula es válida para cualquier entero a,
si estipulamos que
x=y módulo p
siempre
que x-y=rp para algún entero r.
Este es el enunciado del pequeño teorema de Fermat. Fermat lo escribió por
primera vez en una carta a su amigo: «Te escribiría una demostración —le
escribió—, pero es demasiado larga».
[127] Hasta
ahora hemos visto las operaciones aritméticas en módulo número primo p.
Sin embargo, resulta que hay una afirmación análoga al pequeño teorema de
Fermat en una aritmética de módulo cualquier número natural n. Para
explicar qué es, primero he de recordar la función de Euler φ, de la que
hablamos en conjunción con los grupos de trenzas en el capítulo 6. (En mi
proyecto sobre grupos de trenzas, había hallado que los números de Betti de los
grupos de trenzas se expresan en términos de esta función). Recordaremos que φ(n)
es el número de números naturales entre 1 y n-1 que son coprimos
con n; es decir, que no tienen divisores en común con n (aparte
de 1). Por ejemplo, si n es un número primo, entonces todos
los números entre 1 y n-1 son coprimos con n, y por
tanto φ(n) =n-1.
Pues bien, el análogo de la fórmula ap-1= 1
módulo p que demostramos en la nota anterior es la fórmula
aφ(n)= 1
módulo n.
Vale
para todo número natural n y cualquier número natural a que
sea coprimo con n. Se demuestra exactamente de la misma manera que
antes: tomamos todo el conjunto de números naturales entre 1 y n- 1
coprimos con n. Hay φ(n) de ellos. Es fácil darse cuenta de
que forman un grupo con respecto a la operación de multiplicación. Por tanto,
por el teorema de Lagrange, para todo elemento de este grupo, su potencia φ(n)
es igual al elemento identidad.
Veamos, por ejemplo, el caso en que n es el producto de dos
números primos, es decir, n=pq, en que p y q son
dos números primos diferentes. En este caso, los números que no son coprimos
con n son divisibles ya por p o por q.
Los primeros tienen la forma pi, en que i= 1…,q-1
(hay q-1 de ellos), y los segundos tienen la forma qj,
en que j= 1…,p-1 (hay p-1 de ellos). Por lo
tanto, hallamos que
φ(n) = (n-1)-(q-1)-(p-1) = (p-1)(q-1).
Por
lo tanto, tenemos
a(p-1)(q-1)= 1
módulo pq,
para
todo número a que no sea divisible por p y
por q. Y es fácil ver que la fórmula
a1+m(p-1)(q-1)=a módulo pq
es
cierta para todo número natural a y todo entero m.
Esta ecuación es la base de uno de los algoritmos de encriptación más
ampliamente utilizados, llamado algoritmo RSA (por Ron Rivest, Adi Shamir y
Leonard Adleman, quienes lo describieron en 1977). La idea es que escogemos dos
números primos p y q (existen varios
algoritmos para generarlos) y decimos que n es el producto
de pq. El número n se hace público, pero los
números primos p y q no. Acto seguido
escogemos un número e coprimo con (p-1)(q-1).
Este número también se hace público. El proceso de encriptado convierte todo
número a (como el número de una tarjeta de crédito) a ae módulo n:
a?b=ae módulo n.
Resulta
que hay una manera eficaz de reconstruir a a partir de ae.
Básicamente, hallamos un número d entre 1 y (p-1)(q-1)
tal que
de= 1
módulo (p-1)(q-1).
Dicho
de otro modo,
de= 1+m(p-1)(q-1)
para
algún número natural m. Luego
ade módulo n=a1+m(p-1)(q-1) módulo n
=a módulo n según
la fórmula arriba descrita.
Por lo tanto, dado que b=ae, podemos recuperar el número
original a como sigue:
b?bd módulo n.
Resumamos:
hacemos públicos los números n y e, pero
mantenemos en secreto d. La fórmula
a?b=ae módulo n
nos
da la encriptación. Cualquiera puede hacerlo porque e y n son
de dominio público.
La desencriptación nos la da la fórmula
b?bd módulo n.
Aplicada
a ae, nos devuelve el número a original.
Pero sólo quienes conocen d pueden hacer esto.
La razón por la que este es un buen código de encriptación es que a fin de
hallar d, que nos permite reconstruir los números codificados,
hemos de conocer el valor de (p-1)(q-1). Pero para ello hemos de
saber el valor de p y q, dos números primos
divisores de n. Y estos se mantienen en secreto. Con un n suficientemente
grande, pueden tardarse muchos meses, incluso con una red de ordenadores
potentes, en hallar p y q. Por ejemplo, en 2009,
un grupo de investigadores, empleando cientos de ordenadores en paralelo,
fueron capaces de factorizar en números primos un número de 232 dígitos.
Tardaron dos años (véase eprint.iacr.org). Pero si alguien hallara una manera
más eficaz de «factorizar» números naturales en números primos (por ejemplo,
con un ordenador cuántico), tendría una herramienta para romper este código de
encriptación. Esta es la razón de que se dedique tanto esfuerzo a factorizar
números naturales en primos.
[128] En
el caso de los números racionales, vimos que las ecuaciones con forma x2= 2
pueden no tener soluciones en números racionales, pero en ese caso creábamos un
nuevo sistema numérico sumando estas soluciones, como √2 y -√2. Después vimos
que intercambiar √2 y -√2 era una simetría de este sistema numérico.
De manera similar podemos considerar ecuaciones polinómicas en la
variable x, como x2= 2 o x3-x=1,
como ecuaciones en el cuerpo finito {0, 1, 2…, p- 1}. Luego
podemos preguntarnos si esta ecuación puede resolverse para x dentro
de este cuerpo finito. Si no tiene solución podemos añadir las soluciones al
cuerpo finito, de manera similar a como añadimos √2 y -√2 a los números
racionales. De esta manera creamos nuevos cuerpos finitos.
Por ejemplo, si p= 7, la ecuación x2= 2
tiene dos soluciones,3 y 4, porque
32= 9 = 2
módulo 7, y42= 16 = 2 módulo 7.
Nótese
que 4 es -3 en la aritmética módulo 7 porque 3+4 = 0
módulo 7. Así que estas dos soluciones de la ecuación x2= 2
son opuestas cada una de la otra, de la misma manera en que √2 y -√2 son las
opuestas cada una de la otra. Esto no resulta una sorpresa: las dos soluciones
de la ecuación x2= 2 serán siempre los
opuestos una de la otra, porque si a2= 2,
entonces también (-a)2= (-1)2a2= 2.
Esto significa que si p= 2, habrá siempre dos elementos del
cuerpo finito que, elevados al cuadrado, den el mismo número, y serán el
opuesto uno del otro: si p= 2, entonces p es
necesariamente impar, y por lo tanto -a no puede ser igual
a a, puesto que de otro modo p sería igual a 2a.
Por lo tanto, sólo la mitad de los elementos diferentes a cero del cuerpo
finito {1,2…, p- 1} son cuadrados.
(La famosa ley de reciprocidad de Gauss describe qué números n son
cuadrados en la aritmética módulo p y cuáles no lo son. Esto
va más allá del alcance de este libro, pero podemos decir que la respuesta tan
sólo depende del valor de p módulo 4n. Así, por
ejemplo, ya sabemos que n= 2 es un cuadrado módulo p= 7.
En este caso, 4n= 8. Por lo tanto, también será un cuadrado módulo
cualquier número primo p que sea igual a 7 módulo 8, no
importa lo grande que sea. ¡Un resultado asombroso!)
Si p= 5, entonces 12= 1, 22= 4,
32= 4, y 42= 1 módulo 5. De modo
que 1 y 4 son cuadrados módulo 5, pero 2 y 3 no lo son. En especial, vemos que
no hay soluciones para la ecuación x2= 2 en
el cuerpo finito {0, 1, 2, 3, 4}, exactamente igual que ocurría con los números
racionales. Por lo tanto, podemos crear un nuevo sistema numérico ampliando el
cuerpo finito {0, 1, 2, 3, 4} añadiendo las soluciones de x2= 2.
Señalémoslas, una vez más, como √2 y -√2 (pero recordemos que no son los mismos
números que añadimos anteriormente a los números racionales).
Obtenemos un nuevo cuerpo numérico que consiste en números con la forma a+b√2
, donde a y b se encuentran en {0, 1, 2, 3,
4}. Dado que tenemos dos parámetros que pueden tomar los valores 0, 1, 2, 3 o
4, hallamos que este nuevo sistema posee 5·5 = 25
elementos. De un modo más general, toda extensión del cuerpo finito {0, 1,
2…, p-1} posee pm elementos para un
número natural m.
Ahora supongamos que añadimos todas las soluciones de todas las ecuaciones
polinómicas en una variable al cuerpo finito {0, 1, 2…, p-1}.
Obtenemos un nuevo sistema numérico denominado clausura algebraica del
cuerpo finito. El cuerpo finito original posee p elementos.
Resulta que su clausura algebraica posee infinitos elementos. Nuestra siguiente
pregunta es cuál es el grupo de Galois de esta clausura algebraica. Este es las
simetrías de esta clausura algebraica, que conservan las operaciones de suma y
multiplicación y envían los elementos del cuerpo original de p elementos
a sí mismos.
Si comenzamos con el cuerpo de números racionales y tomamos su clausura
algebraica, el grupo de Galois correspondiente es muy complicado. De hecho, el
Programa Langlands se creó en parte para describir este grupo de Galois y sus
representaciones en términos de análisis armónico.
En cambio, el grupo de Galois del cuerpo finito {0, 1, 2…, p-1}
resulta ser bastante sencillo. Ya conocemos una de las simetrías: la Frobenius,
que es la operación de elevar a la p-ésima potencia: a?ap.
Según el pequeño teorema de Fermat, la Frobenius conserva todos los elementos
del campo finito original de p elementos. También conserva la
suma y la multiplicación en la clausura algebraica:
(a
+ b)p=ap+bp, (ab)p=apbp.
Por
lo tanto, la Frobenius pertenece al grupo de Galois de la clausura algebraica
del cuerpo finito.
Señalemos la Frobenius como F. Claramente, toda potencia
entera Fn de la Frobenius es también un elemento del grupo de
Galois. Por ejemplo, F2 es la operación de elevar
un número a p2, a?ap2=(ap)p.
Las simetrías Fn, en que n recorre
todos los enteros, forman un subgrupo del grupo de Galois, que se denomina
grupo de Weil en honor a André Weil. El propio grupo de Galois es lo que se
denomina una completación del grupo de Weil; además de las potencias de enteros
de F, también comprende como elementos ciertos límites de Fn conforme n tiende
a 8. Pero en un sentido menos apropiado, la Frobenius genera el
grupo de Galois.
He aquí un ejemplo de cómo actúa la Frobenius sobre elementos de la clausura
algebraica de un cuerpo finito. Consideremos el caso p= 5 y
los elementos de la clausura algebraica de la forma arriba mencionada
a + b√2
en
que a y b son 0,1,2,3 o 4. Este sistema
numérico posee una simetría que intercambia √2 y -√2:
a + b√2
à a - b√2
en
paralelo con lo que sucede cuando añadimos √2 a los números racionales. Lo
sorprendente (y que no tiene analogía en el caso de los números racionales) es
que este intercambio simétrico es, de facto, igual a la Frobenius.
En efecto, aplicar la Frobenius a √2 implica elevarla a la 5a potencia,
y tenemos que
(√2)5 =
(√2)2 (√2)2 (√2) = 2 x 2 x √2 = -√2
porque
4 =-1 módulo 5. De ello se sigue que para p= 5 la
Frobenius transforma a+b√2 en a-b√2. Lo mismo es cierto
para cualquier número primo p tal que la ecuación x2= 2
no tenga soluciones en el cuerpo finito {0, 1, 2…, p-1}.
[129] Una
simetría de un espacio vectorial n-dimensional, más correctamente llamada
transformación lineal (véase nota 2) se puede representar mediante una matriz,
que es una disposición de números aij formando una
rejilla cuadrada, en que i y j van de 1
a n, en que n es la dimensión del espacio vectorial. La traza es la
suma de los elementos en diagonal de esta matriz, es decir, de todo aii con ioscilando
entre 1 y n.
[130] En
este contexto, pasar de funciones a haces implicaría hallar, para una función
dada f , un haz tal que para cada punto s de
nuestra variedad, la traza de la Frobenius en la fibra en s fuera
igual al valor de f en s. Todo número puede
entenderse como la traza de una simetría de un espacio vectorial. Lo difícil es
combinar estos espacios vectoriales en una agrupación coherente que satisfaga
las propiedades de un haz.
[131] Una
representación del grupo de Galois en un grupo H es una regla
que asigna a cada elemento del grupo de Galois un elemento de H.
Debería satisfacer la condición de que si a,b son dos
elementos del grupo de Galois y f (a), f (b)
son los elementos de H asignados a ellos, al producto ab en
el grupo de Galois se le debería asignar el producto f (a)f (b)
en H. Un nombre más apropiado para esto es el de homomorfismo del
grupo de Galois en H.
[132] Para
obtener un poco más de precisión al respecto, recordemos la noción de espacio
vectorial n-dimensional de la nota 17 del capítulo 10. Como
hablamos en el capítulo 2, una representación n-dimensional de un
grupo dado es una regla que asigna una simetría Sg de
un espacio vectorial n-dimensional a cada elemento g de
este grupo. Esta regla ha de satisfacer la siguiente propiedad: para dos
elementos cualesquiera del grupo, g y h, y su
producto gh en el grupo, la simetría Sgh es
igual a la composición de Sg y Sh.
También se requiere que para todo elemento g tengamos Sg(
Al grupo de todas las transformaciones lineales invertibles de un espacio
vectorial n-dimensional se le denomina grupo lineal general. Se
escribe como GL(n). Así, según la definición del párrafo anterior, la
representación n-dimensional de un grupo dado Γ es igual que una
representación de Γ en GL(n), o un homomorfismo de Γ en GL(n);
véase nota 1.
Por ejemplo, en el capítulo 10 hablábamos de la representación tridimensional
del grupo SO(3). Cada elemento del grupo SO(3) es una rotación de la esfera, a
la que asignamos la correspondiente rotación del espacio vectorial
tridimensional que contiene la esfera (resulta ser una transformación lineal).
Esto nos proporciona una representación de SO(3) en GL(3), o, de modo
equivalente, un homomorfismo de SO(3) en GL(3). De modo intuitivo, podemos
pensar en la rotación como en «actuar» sobre el espacio tridimensional, rotando
cada vector en este espacio hacia otro vector.
En un lado de la relación Langlands (también conocida como correspondencia
Langlands) observamos representaciones n-dimensionales del grupo de
Galois. En el otro lado tenemos funciones automorfas que se pueden emplear para
construir las llamadas representaciones automorfas de otro grupo GL(n)
de simetrías del espacio vectorial n-dimensional, aunque no sobre
los números reales, sino sobre lo conocido como adeles. No intentaré explicar
qué son estos, pero el siguiente diagrama muestra esquemáticamente cómo sería
la relación Langlands:
Por
ejemplo, dos representaciones bidimensionales del grupo de Galois están
relacionadas con las representaciones automorfas del grupo GL(2), que se pueden
construir a partir de las formas modulares de las que hablamos en el capítulo
9.
Se obtiene una generalización de esta relación sustituyendo el grupo GL(n)
por un grupo de Lie más general. Entonces, en el lado derecho de la relación
tenemos representaciones automorfas de G, en lugar de las de GL(n).
En el lado izquierdo tenemos representaciones del grupo de Galois en el grupo
dual Langlands LG, en lugar de en GL(n)(o, de
modo equivalente, homomorfismos del grupo de Galois en LG).
Para más detalles véase, por ejemplo, mi artículo Frenkel, Edward, «Lectures on
the Langlands Program and conformal field theory», en Frontiers in
Number Theory, Physics and Geometry II, Cartier, P. et al. (eds.),
pp. 387-536, Springer-Verlag, Berlín/Nueva York 2007, disponible online en
arxiv.org.
[133] Véase
el vídeo en www.youtube.com.
[134] Esta
danza se llama binasuan. Véase, por ejemplo, el vídeo www.youtube.com.
[135] Para
la construcción de este camino y la explicación de por qué si lo recorremos dos
veces obtenemos un camino trivial, véase, por ejemplo, Kaufmann, Louis
H., Knots and Physics, World Scientific, Nueva Jersey/Singapur,
20013, pp. 419-420.
[136] Dicho
de otro modo, el grupo fundamental de SO(3) consiste en sólo dos elementos: uno
es la identidad y el otro es el camino, cuyo cuadrado es la identidad.
[137] El
nombre matemático de este grupo es SU(2). Consiste en las transformaciones
«unitarias especiales» del espacio vectorial complejo bidimensional. Este grupo
es primo hermano del grupo SU(3) del que hablamos en el capítulo 2 en relación
a los quarks, y que consiste en transformaciones unitarias especiales del
espacio vectorial complejo tridimensional.
[138] De
un modo más preciso, la elevación del camino cerrado que hemos construido
(correspondiente al primer giro del vaso) del grupo SO(3) a su doble
recubrimiento, el grupo SU(2), será un camino que comienza y acaba en
diferentes puntos de SU(2), puntos ambos que se proyectan sobre el mismo punto
de SO(3), de modo que no se trata de un camino cerrado en SU(2).
[139] En
general, esta relación es más sutil, pero para simplificar, en este libro
daremos por sentado que el dual del grupo dual es el propio grupo.
[140] Un
fibrado principal G (o G-fibrado) sobre una
superficie de Riemann es una fibración sobre la superficie de Riemann tal que
todas las fibras son copias de la «complexificación» del grupo G (se
define sustituyendo, en la definición del grupo, números reales por números
complejos). Los puntos del espacio de móduli (más correctamente llamadas
pilas), del G-fibrado sobre X son la clase
equivalente a los G-fibrados sobre X.
A fin de simplificar la explicación, en este libro no hacemos distinción entre
un grupo de Lie y su complexificación.
[141] En
el grupo fundamental identificamos dos caminos cerrados cualesquiera que puedan
deformarse hasta ser uno como el otro. Dado que cualquier camino cerrado en el
plano que no rodee el punto extraído se puede contraer hasta un punto, los
elementos no triviales del grupo fundamental son aquellos caminos cerrados que
rodean este punto (los que no se pueden contraer, porque el punto que hemos
retirado del plano constituye un obstáculo para hacerlo).Es fácil darse cuenta
de que dos caminos cerrados cualesquiera con el mismo índice pueden deformarse
hasta ser uno como el otro. De modo que el grupo fundamental del plano sin un
punto no es sino el grupo de los números enteros. Nótese en este debate las
reminiscencias de lo que hablamos en el capítulo 5 sobre el grupo de trenzas
con dos hebras, que también resultó ser el mismo que el grupo de números
enteros. No se trata de una coincidencia, puesto que el espacio de pares de
puntos distintos en el plano es topológicamente equivalente al plano con un
punto retirado.
[142] La
razón por la que la monodromía toma valores en el grupo circular reside en la
famosa fórmula de Euler:
En
otras palabras, el número complejo
está
representado por el punto en la circunferencia unidad correspondiente al
ángulo θ medido en radianes. Recordemos que 2π radianes
equivalen a 360 grados (lo que corresponde a una rotación completa de la
circunferencia). Por lo tanto, el ángulo θ medido en radianes
es el ángulo 360·θ/2π grados. Un caso especial para esta fórmula,
para θ = π, es
al
que Richard Feynman llamó «una de las fórmulas más notables, casi asombrosas,
de todas las matemáticas». Desempeñó un papel preeminente en la novela The
Housekeeper and the Professor, de Ogawa, Yoko, Picador, Nueva York, 2009.
[Hay trad. cast.: La fórmula preferida del profesor, Funambulista,
Madrid, 2008, trad. de H. Jiménez Ferrer y L. González Sotos.] Otro caso
especial, no menos importante, es
Esto
significa que la circunferencia unidad en el plano complejo con la
coordenada t, sobre el que se define la solución para nuestra
ecuación diferencial, consiste en todos los puntos de la forma
t
donde θ varía
entre 0 y 2π. A medida que nos movemos a lo largo de la circunferencia unidad
en el sentido contrario a las agujas del reloj, estamos evaluando nuestra
solución x(t) = tn en los
puntos t=
Esta monodromía
Para evitar confusiones, quisiera subrayar que aquí tenemos dos planos
complejos diferentes: uno es el plano complejo en el que se define nuestra
solución: el «t-plano». El otro es el plano en el que representamos la
monodromía. No tiene nada que ver con el t-plano.
Para recapitular: hemos interpretado la monodromía de la solución a lo largo de
un camino cerrado con el índice +1 sobre el t-plano
como un punto de otra circunferencia unidad. De modo similar, si el índice del
camino es w, entonces la monodromía de este camino es , que
equivale a la rotación de 2πnw radianes, o 360wn grados.
Así pues, la monodromía da lugar a una representación del grupo fundamental del
grupo circular. Bajo esta representación, el camino en el t-plano
sin un punto, cuyo índice es w, va a la rotación por 360wn grados.
[143] Nótese
que es importante que hayamos eliminado un punto, el origen, del plano. De otra
manera, todo camino en el plano se colapsaría y el grupo fundamental sería
trivial. Luego no sería posible ninguna monodromía. Estamos obligados a
eliminar este punto porque nuestra solución, tn, no se
define en el origen si n no es un número natural o 0 (en ese
caso no hay monodromía).
[144] Para
ser más exactos, no todas las representaciones del grupo fundamental en LG se
pueden obtener mediante opers, y en este diagrama nos restringimos a las que sí
se puede. Para otras representaciones, el interrogante sigue abierto.
[145] Frenkel,
Edward, Langlands correspondence for loop groups, Cambridge
University Press, Cambridge, 2007. Hay una versión online disponible
en math.berkeley.edu.
[146] Puede
que se esté preguntando qué ocurrió entre 1991 y 2003. Bueno, mi principal
objetivo en este libro es explicarle acerca de los diversos aspectos del
Programa Langlands que encuentro más interesantes, y cómo se efectuaron los
descubrimientos en esta área, en los que tuve la suerte de participar. No
intento relatar la historia de mi vida hasta la fecha. Pero, por si tiene
curiosidad, durante esos años trasladé a mi familia de Rusia a Estados Unidos,
me mudé al Oeste, a Berkeley, California, me enamoré y luego me desenamoré, me
casé y me divorcié, llevé un montón de estudiantes de doctorado, viajé y di
conferencias por todo el mundo y publiqué un libro y decenas de artículos
académicos. Proseguí intentando descubrir los misterios del Programa Langlands en
diferentes dominios: desde la geometría hasta los sistemas integrables, de
grupos cuánticos a la física cuántica. Le ahorraré los detalles de esta parte
de mi vida para otro libro.
[147] Véase
www.darpa.mil.
[148] Hardy,
G. H., A Mathematician's Apology, Cambridge University Press,
Cambridge, 2009, p. 135. [Hay trad. cast.: Autojustificación de un
matemático, Ariel, Barcelona, 1981, trad. de Domènec Bergadá.]
[149] Testimonio
ante el Congreso de R. R. Wilson, 17 de abril de 1969, citado en
history.fnal.gov.
[150] Las
ecuaciones de Maxwell en el vacío tienen esta forma:
en
las que señala el campo eléctrico y señala el campo magnético (para simplificar
las fórmulas, escogemos un sistema de unidades en que la velocidad de la luz es
igual a 1). Está claro que si transformamos
las
ecuaciones del lado izquierdo se convertirán en las ecuaciones del lado
derecho, y viceversa. Por lo tanto, las ecuaciones cambian individualmente,
pero el sistema de ecuaciones no lo hace.
[151] Véase
la página de Flickr de Dayna Mason: http://www.flickr.com/ photos/daynoir
[152] Este
grupo gauge SU(3) no debería confundirse con el otro grupo SU(3) nombrado en el
capítulo 2, y empleado por Gell-Mann y otros para clasificar partículas
elementales (se llama «grupo de sabor»). El grupo de gauge SU(3) tiene que ver
con una característica de los quarks llamada «color». Resulta que cada quark
puede tener tres colores diferentes, y el grupo de gauge SU(3) es el
responsable de cambiar estos colores. Por ello, la teoría de gauge que describe
la interacción de quarks recibe el nombre de cromodinámica cuántica. David
Gross, David Politzer y Frank Wilczek recibieron el premio Nobel por su
sorprendente descubrimiento de la denominada libertad asintótica en la
cromodinámica cuántica (y otras teorías de gauge no abelianas), que contribuyó
a explicar el misterioso comportamiento de los quarks.
[153] Zhang,
D. Z., «C. N. Yang and contemporary mathematics», Mathematical
Intelligencer, vol. 15, n.º 4, 1993, pp. 13-21.
[154] Einstein,
Albert, «Geometría y experiencia», discurso ante la Academia Prusiana de
Ciencias en Berlín, 27 de enero de 1921. Citado en Jeffrey, G., y W.
Perrett, Geometry and Experience in Sidelights on Relativity,
Methuen, York, 1923.
[155] Wigner,
Eugene, «The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural
sciences», Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 13,
1960, pp. 1-14.
[156] Montonen.
C., y D. Olive, «Magnetic monopoles as gauge particles?», Physics
Letters B, vol. 72, 1977, pp. 117-120.
[157] Goddard,
P., Nuyts, J. y D. Olive, «Gauge theories and magnetic charge», Nuclear
Physics B, vol. 125, 1977, pp. 1-28.
[158]Se es
el conjunto de representaciones unidimensionales complejas del toro maximal
de G, y Smes el grupo fundamental del toro
maximal de G. Si G es el grupo circular, su toro
maximal es el propio grupo circular, y cada uno de estos dos conjuntos está en
correspondencia uno a uno con el conjunto de enteros.
[159] El
espacio M(X,G) puede describirse de varias maneras;
por ejemplo, como el espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones
diferenciales en X, estudiado por primera vez por Hitchin (véase
artículo en la nota 19 para más detalles). Una descripción que nos resultará
útil en este capítulo es que M(X,G) es el espacio de
móduli de representaciones del grupo fundamental de la superficie de
Riemann S en la complexificación del grupo G (véase
nota 10 del capítulo 15). Esto significa que se asigna tal representación a
cada punto de M(X,G).
[160] Véase
el vídeo de la conferencia de Hitchin en el Instituto Fields:
www.fields.utoronto.ca.
[161] Me
refiero aquí al reciente trabajo de Ngô Bao Châu acerca de la prueba del «lema
fundamental» del Programa Langlands. Véase, por ejemplo, el artículo: Nadler,
David, «The geometric nature of the fundamental lemma», Bulletin of
American Mathematical Society, vol. 49, 2012, pp. 49-52.
[162] Recordemos
que en el modelo sigma todo se calcula mediante la suma de las aplicaciones de
una superficie de Riemann Σ a la variedad objetivo S. En teoría de
cuerdas, efectuamos un paso más: además de sumar todos los mapas de una Σ
fijada a S, como hacemos normalmente en el modelo sigma, le sumamos
también todas las posibles superficies de Riemann Σ (la variedad objetivo Spermanece
fija todo el tiempo: es nuestro espacio-tiempo). En particular sumamos las
superficies de Riemann de género arbitrario.
[163] Para
más información acerca de la teoría de supercuerdas, véase Greene, Brian, The
Elegant Universe, Vintage Books, Nueva York, 2003, y The Fabric of
the Cosmos: Space, Time and the Texture of Reality, Vintage Books, Nueva
York, 2005. [Hay trad. cast., El universo elegante, Booket ciencia
(Planeta), Barcelona, 2012, trad. de Mercedes García Garmilla. Y El
tejido del cosmos, Planeta, Barcelona, 2010, trad. de Javier García Sanz].
[164] Para
más información acerca de variedades Calabi-Yau y su papel en la teoría de
supercuerdas, véase Yau, Shing-Tung, y Steve Nadis, The Shape of Inner
Space, Basic Books, Nueva York, 2010, capítulo 6.
[165] Un
toro tiene también dos parámetros continuos: básicamente, los radios R1 y R2 de
que hablamos en este capítulo, pero para el tema tratado en esta ocasión los
ignoraremos.
[166] Una
solución que se ha debatido mucho últimamente es la idea de que cada una de
estas variedades da lugar a su propio universo con sus propias leyes físicas.
Esto va de la mano de una versión del principio antrópico: nuestro universo se
selecciona entre ellas porque las leyes físicas que posee permiten que haya
vida inteligente (de tal modo que la pregunta «¿por qué es así nuestro
universo?» pueda responderse). Sin embrago, esta idea, denominada «paisaje de
la teoría de cuerdas» o «multiverso», ha hallado mucho escepticismo con apoyo
en criterios tanto científicos como filosóficos.
[167] Muchas
de las interesantes propiedades de las teorías cuánticas de campos en varias
dimensiones se han descubierto o dilucidado al conectar estas teorías con la
teoría de supercuerdas, empleando reducciones dimensionales o estudiando
branas. En cierto sentido, la teoría de supercuerdas se ha empleado como
fábrica para producir y analizar teorías cuánticas de campos (en su mayoría,
supersimétricas). Por ejemplo, de esta manera se obtiene una bella
interpretación de la dualidad electromagnética de las teorías de gauge
supersimétricas tetradimensionales. De modo que, aunque aún no sabemos si la
teoría de supercuerdas es capaz de describir la física de nuestro universo (e
incluso pese a que todavía no comprendemos del todo qué es la teoría de
supercuerdas), ya ha generado muchos valiosos descubrimientos en teoría
cuántica de campos. También ha llevado a numerosos avances en matemáticas.
[168] La
dimensión del espacio de móduli de Hitchin M(X,G) es
igual al producto de la dimensión del grupo G (que es la misma
dimensión en LG) por (g-1), donde g indica
el género de la superficie de Riemann X.
[169] Para
más información acerca de las branas, véase Randall, Lisa, Warped
Passages: Unraveling the Mysteries of the Universe's Hidden Dimensions,
Harper Perennial, Nueva York, 2006; especialmente el cap. IV.
[170] De
un modo más preciso, las A-branas en M(X,G) son
objetos de una categoría, el concepto del que hablamos en el capítulo 14. Las
B-branas en M(X,LG) son objetos de otra
categoría. La afirmación de simetría especular homológica es que ambas
categorías son recíprocamente equivalentes.
[171] Kapustin,
Anton, y Edward Witten, «Electric-magnetic duality and the geometric Langlands
Program», Comunications in Number Theory and Physics, vol. 1, 2007,
pp. 1-236.
[172] Para
más información acerca de la dualidad T, véase capítulo 7 del libro de Yau y
Nadis referido en nota 6.
[173] Para
más información acerca de la conjetura SYZ, véase capítulo 7 del libro de Yau y
Nadis referido en nota 6.
[174] Para
ser más exactos, toda fibra es el producto de n circunferencias,
en que n es un número natural, de modo que es un análogo ndimensional
de un toro bidimensional. Nótese también que la dimensión de la base de la
fibración Hitchin y la dimensión de cada fibra tórica serán siempre iguales
entre sí.
[175] En
el capítulo 15 tratamos una construcción diferente en la que obteníamos los
haces automorfos a partir de representaciones de álgebras Kac-Moody. Se cree
que ambas construcciones están relacionadas, pero en el momento de escribir
este libro esta relación es aún desconocida.
[176] Frenkel,
Edward, y Edward Witten, «Geometric endoscopy and mirror symmetry», Communications
in Number Theory and Physics, vol. 2, 2008, pp. 113-283, disponible online en
arxiv.org.
[177] Frenkel,
Edward, «Gauge theory and Langlands duality», Astérisque, vol. 332,
2010, pp. 369-403, disponible online en arxiv.org.
[178] Thoreau,
Henry David, A Week on the Concord and Merrimack Rivers, Penguin
Classics, Londres/Nueva York, 1998, p. 291.
[179] Snow,
C. P., The Two Cultures, Cambridge University Press, Cambridge,
1998. [Existen varias traducciones al castellano, la más conocida, Las
dos culturas y un segundo enfoque, Alianza, Madrid, 1977, trad. de
Salustiano Masó.]
[180] Farber,
Thomas, y Edward Frenkel, The Two-Body Problem, Andrea Young Arts,
2012. Véase thetwobodyproblem.com para más detalles.
[181] Harris,
Michael, Further investigations of the mind-body problem, capítulo
de un libro en preparación, disponible online en
www.math.jussieu.fr.
[182] Thoreau,
Henry David, A Week on the Concord and Merrimack Rivers, Penguin
Classics, Londres/Nueva York, 1998, p. 291.
[183] Bell,
E. T., Men of Mathematics, Touchstone Books, Nueva York 1986, p.
16. [Véase nota 8, capítulo 9 para traducciones en castellano.]
[184] Langlands,
Robert, «Is There Beauty in Mathematical Theories?», en Hössle, Vittorio
(ed.), The Many Faces of Beauty, University of Notre Dame Press,
Notre Dame (Indiana), 2013, disponible on-line en
publications.ias.edu.
[185] Manin,
Yuri I., Mathematics as Metaphor: Selected Essays, American
Mathematical Society, Washington D.C., 2007, p. 4.
[186] Los
filósofos han debatido sobre la ontología de las matemáticas durante siglos. El
punto de vista que defiendo en este libro suele denominarse platonismo
matemático. Nótese, sin embargo, que hay diferentes tipos de platonismos, y que
hay también otras interpretaciones de las matemáticas. Véase, por ejemplo,
Balaguer, Mark, «Mathematical Platonism», en Gols, Bonnie, y Roger Simons
(eds.), Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy,
Mathematics Association of America, Wasshington D.C., 2008, pp. 179-204, y las
referencias que contiene.
[187] Penrose,
Roger, The Road to Reality, Vintage Books, Nueva York, 2004, p. 15.
[Hay trad. cast.: El camino a la realidad: una guía completa de las
leyes del universo, Debate, Barcelona, 2007, trad. de Javier García Sanz.]
[188]Ibid.,
pp. 13-14.
[189] Gödel,
Kurt, Collected Works, vol. III, Oxford University Press, Londres,
1995, p. 320. [Hay trad. cast.: Obras completas, Alianza, Madrid,
2006, trad. y ed. de Jesús Mosterín.]
[190]Ibid., p.
323.
[191] Penrose,
Roger, Shadows of the Mind, Oxford University Press, Londres, 1994,
sección 8.47. [Hay trad. cast.: Las sombras de la mente: hacia una
comprensión científica de la consciencia, Crítica, Barcelona, 1996, trad.
de Javier García Sanz.]
[192] En
la histórica sentencia «Gottschalk vs. Benson», 409 U. S. 63 (1972) el Tribunal
Supremo de Estados Unidos dictaminó (citando casos anteriores llevados a
juicio): «una verdad científica, o la expresión matemática de la misma, no es
un invento patentable… Un principio, en abstracto, es una verdad fundamental,
una causa original, un motivo; estos no se pueden patentar, dado que nadie
puede arrogarse la propiedad exclusiva de ninguno de ellos… Quien descubre un
fenómeno de la naturaleza hasta entonces desconocido no tiene derecho a
monopolio alguno del mismo que la ley reconozca».
[193] Frenkel,
Edward, Losev, Andrei, y Nikita Nekrasov, «Instantons beyond topological theory
I», Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, vol. 10,
pp. 463-565. Hay una nota a pie de página en el artículo que explica que la
fórmula (5.7) interpretó el papel de «fórmula del amor» en Ritos de
amor y matemáticas.
[194] Consideramos
el modelo mecánico cuántico supersimétrico sobre la esfera (aquí señalado como
P1, y la función de correlación entre dos observables, señalados
como F y ω. Esta función de correlación se define
en nuestra teoría como la integral que aparece en el lado izquierdo de la
fórmula. Sin embargo, nuestra teoría predice una expresión diferente para ella:
una suma de los «estados intermedios» que aparecen en el lado derecho. La
coherencia de nuestra teoría exige que ambos lados sean iguales entre sí. Y, en
efecto, lo son: es lo que dice nuestra fórmula).
[195]Le
Monde Magazine, 10 de abril de 2010, p. 64.
[196] Spinney,
Laura: «Erotic equations: Love meets mathematics on film», New
Scientist, 13 de abril de 2010, disponible online en
ritesofloveandmath.com.
[197] Lehning,
Hervé, «La dualité entre l'amour et les maths», Tangente Sup, vol.
55, mayo-junio de 2010, pp. 6-8, disponible online en
ritesofloveandmath.com.
[198] Empleamos
el poema Para muchos, de Anna Ajmátova, la gran poetisa rusa de
primera mitad del siglo XX. [Disponible en castellano en www.amediavoz.com en
trad. de M.a Teresa León.]
[199] Farber,
Norma, A Desperate Thing, The Plowshare Press Incorporated, 1973,
p. 21.
[200] Carta
de Albert Einstein a Phyllis Wright, 24 de enero de 1936, citada en Isaacson,
Walter, Einstein: His Life and Universe, Simon & Schuster,
Nueva York, 2007, p. 388. [Hay trad. cast.: Einstein: su vida y su
universo, DeBolsillo, Barcelona, 2012, trad. de Francisco José Ramos Mena.]
[201] Brewster,
David, Memoirs of the Life, Writings, and Discoveries os Sir Isaac
Newton, vol. 2, Adamant Media Corporation, Bocton, Massachusetts, 2001
(reimpresión de la edición de 1855 de Thomas Constable & Co.), p. 407.
[202] Frenkel,
Edward, Langlands, Robert, y Ngô Bao Châu, «Formule des Traces et
Fonctionalité: le Début d'un Programme», Annales des Sciences
Mathématiques du Québec, n.º 34 (2010), pp. 199-243, disponible online en
arxiv.org. Y Frenkel, Edward, «Langlands Program, trace formulas and their
geometrization», Bulletin of AMS, vol. 50, 2013, pp. 1-55,
disponible online en arxiv.org
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