© Libro N° 9526. La Matemática Del Futuro. Paenza, Adrián. Emancipación. Enero
29 de 2022.
Título original: © La Matemática Del Futuro. Adrián Paenza
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© Edición, reedición y Colección Biblioteca Emancipación: Guillermo Molina
Miranda
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ANALICEMOS SIN PEREZA Y SOMETAMOS A CRÍTICA TODA LA CULTURA
LA MATEMÁTICA DEL FUTURO
Adrián Paenza
La Matemática Del Futuro
Adrián Paenza
CONTENIDO
Dedicatorias
Agradecimientos
Prólogo
1. ¿Estamos mejor o peor?
2. Jeroglíficos
3. AlphaGo
4. Libratus
5. Anonimato
6. Tetris
7. El problema de Josephus
8. Atándose los zapatos
9. Números grandes
10. Galileo
11. Saberes
12. Dos joyitas
13. Bueno… una joyita más
14. Dilema ético
15. Escala
16. Contraseña
17. El reino de Josefina
18. ¿Qué esconde el número de su tarjeta de
crédito?
19. El problema del no vidente
20. ¿Las computadoras no se equivocan nunca?
21. Sopa
22. Problema breve pero precioso
23. Varones, mujeres
24. Penales
25. Modelo
26. La blusa y el billete (robado) de cien pesos
27. Extracciones en un banco
28. La madre sabía… (un problema de lógica)
Un intermedio breve. Cuatro dados y la probabilidad
de que salga (o no) un seis
29. Detectives por un rato
30. Deducción (algunos datos más)
31. Nora y el problema de los caramelos
32. Problema breve y ¿fácil?
33. ¿Probabilidades? ¿De qué habla?
34. ¿Cómo empezó todo?
35. La paradoja de los cajones de Bertrand
Otro recreo. Juegos Olímpicos de Río de Janeiro
36. ¿Me conviene aceptar su desafío o no?
37. Lorena y una estrategia ‘imposible’
38. Fútbol para pensar (parte 1)
39. Fútbol para pensar (parte 2)
40. Fútbol para pensar (parte 3)
41. Lógica y estrategia para ordenar las cartas
42. El collar de 11 perlas
43. Geometría sin fórmulas (parte 1)
44. Geometría sin fórmulas (parte 2)
45. Sam Loyd (y la introducción a las ecuaciones)
46. El sueño de todo alumno (que también fue el
mío)
Último recreo. Una curiosidad con el Rubik Cube
47. El juego con las 105 bolitas
48. ¿Dónde están los ases?
49. La historia de mis ‘triunfos’ con María Marta
50. El reloj de Fibonacci
51. Prejuicios
52. Tesla
53. El próximo Rembrandt
54. Novela
Dedicatorias
A mis padres, Fruma y Ernesto. Como escribí en
todos los libros, todo lo que soy se lo debo a lo que ellos hicieron por mí.
A mi hermana Laura y mi cuñado Daniel.
A todos mis sobrinos: Lorena, Alejandro, Máximo, Andrea, Ignacio, Paula,
Santiago, Lucio, Matías, Lucas, Amanda, Anderson, Brenda, Dante, Diego, Ellie,
Gabriel, Griffin, Jason, Landon, Luca, Luz, María, María José, Mario, Marius,
Max, Mía, Miguelito, Natalie, Nicola, Riley, Sabina, Sebastián, Ulises,
Valentín, Valentina, Viviana y Whitney.
A Carlos Griguol y León Najnudel, dos fuentes de inspiración inagotables y los
faros que me guiaron la mayor parte de mi vida.
A los cuatro amigos con quienes me crié: Leonardo Peskin, Miguel Davidson,
Lawrence Kreiter y Miguel Fernández.
A mis amigas Alicia Dickenstein, Ana María D’Alessio, Andrea Salvucci, Beatriz
de Nava, Betty Cooper, Betty Suárez, Carmen Sessa, Cristina Serra Selva, Edy
Gerber, Érica Kreiter, Etel Novacovsky, Glenda Vieites, Isabel Segurola, Julie
Rogers, Karina Griguol, Kim Morris, Laura Bracalenti, Many Oroño, Marcela
Smetanka, María Marta García Scarano, Mariana Salt, Marisa Giménez, Marisa
Pombo, Marta Valdano, Martina Cortese, Mónica Muller, Nilda Rozenfeld, Nora
Bar, Nora Bernardes, Norma Galetti, Montse Besa, Pamela Rocchetti, Patricia
Breyter, Paula Aimonetto, Raquel Maccari, Teresa Krick, Teresa Reinés y
Verónica Fiorito.
A mis amigos Alejandro Fabbri, Andrés Nocioni, Ariel Hassan, Baldomero Rubio
Segovia, Carlos Aimar, Carlos Delfino, Claudio Martínez, Claudio Pustelnik,
Craig Rogers, Cristian Czubara, David Boodey, Dennis Fugh, Don Coleman, Ernesto
Tiffenberg, Fabricio Oberto, Fernando Pacini, Floyd Canaday, Fred Weis, Gary
Crotts, Gerry Garbulsky, Hugo Soriani, Jorge Ginóbili, Jorge Valdano, Juan
Ignacio Sánchez, Juan Pablo Pinasco, Julio Bruetman, Keith Morris, Kevin
Bryson, Lenny Gunsteen, Luis Bonini, Luis Scola, Marcos Salt, Ocar Bruno, Pablo
Prigioni, Pep Guardiola, Ramón Besa, Raphael James, Ricardo Medina, Santiago
Segurola, Víctor Hugo Marchesini y Woody González.
A mis primas Lili, Mirta y Silvia y a mi primo Josi.
A Guido y Soledad. Nunca voy a sobreponerme a la pérdida de dos personitas que
vieron interrumpidas sus vidas cuando virtualmente no las habían empezado.
A la memoria de mis tías Delia, Elena y Elenita, de mi primo Ricardo, de mi tío
Saúl, del inolvidable Héctor Maguregui, de Juan Denegri, Noemí Cuño, Lola
Bryson, Manny Kreiter y Vivian Crotts, y una vez más, mi gratitud perenne para
otro amigo entrañable: Jorge Guinzburg.
Y para el final, todo libro estará siempre dedicado a las cuatro personas que
son mis guías éticos: Alberto Kornblihtt, Marcelo Bielsa, Víctor Hugo Morales y
Horacio Verbitsky.
Agradecimientos
La vida me regaló la oportunidad de interactuar con
muchísima gente. A cada persona que voy a mencionar acá, le debo ‘algo’. Eso
que les debo se describe con una palabra: gratitud. No todos me ofrecieron lo
mismo. Sin embargo, hay tres características que son comunes a
todos: afecto, tiempo e ideas.
Esta vez los betatesters, o sea,
aquellos que fueron leyendo las historias que aparecen en el libro fueron seis
(y medio): Carlos D’Andrea, Juan Sabia, Alicia Dickenstein, Carlos Sarraute,
Manu Ginóbili y Claudio Martínez. El medio le
correspondió a Leandro Garbulsky, uno de los hijos de Gerry. Como escribí
antes: la gratitud está, pero ¿será suficiente para que se note cuánto
representa lo que hacen o hicieron por el libro en general y por mí en
particular? No lo sé, pero espero que usted, que está leyendo estas líneas,
sepa que hay un grupo reducido de personas que le dedicó su
tiempo (¡nada menos!) para mejorar lo que sigue.
A las dos personas que tengo más cerca en mi vida
cotidiana en temas profesionales (y personales): Glenda Vieites y Claudio
Martínez. Una observación: son extraordinariamente sensibles e increíblemente
respetuosos de todas las personas que los rodean. Viven sonriendo y cooperando
para que los de alrededor sonrían también. ¿Usted conoce a muchas personas así?
A toda la gente que trabaja en Penguin Random House
y que de una u otra forma colaboró conmigo. Empiezo por Pablo Avelluto,porque
él y Glenda Vieitesfueron los que me convocaron para que me sumara a la
editorial; pero después, el calor con el que me abrigan siempre Javier
López Llovet, Juan Ignacio Boido, Gabriela Vigo, Mariana Creo, Verónica Larrea,
Daniela Morel, Ana Dusman, Mariana Vera, Fernanda Mainelli, Érica Marino,
Lucrecia Rampoldi, Vanina Farías y Max Rompo. Sepan que no me pasan
inadvertidos, ninguno de ustedes.
Por supuesto, el recuerdo para Carlos Díaz, Diego
Golombek, Violeta Collado y Héctor Benedetti de Siglo XXI Editores. Ellos
empezaron esta saga, y mientras haya una línea que alguna
editorial decida publicar con mi firma, en alguna parte tienen que aparecer los
nombres de ellos cuatro.
También deben estar los nombres de los matemáticos
que me formaron, los profesores que tuve, los que más recuerdo por la
incidencia que tuvieron. Desde mi mentor/guía/tutor/amigo Miguel Herrera,
pasando por los tres que influyeron más sobre mí por su increíble capacidad
didáctica: Enzo Gentile, Luis Santaló y Horacio Porta.Y a mi querido Eduardo
Dubuc,un matemático extraordinario y unamejor persona: ¡único! No
sé si en mi vida aprendí más que con y de Eduardo.Y, por
supuesto, a quien me inició en todo: Ángel Larrotonda.
También quiero mencionar especialmente a mis
compañeros más cercanos, con quienes hice mi carrera, y a algunos alumnos con
quienes terminamos construyendo una relación de amistad muy fuerte: Marcela
Fainbrum, Teresita Freidenberg, Nicolás Búcari, Ricardo Noriega, Malena Becker,
Carlitos Sánchez, Hugo Álvarez, Carlos D’Andrea, Carmen Sessa, Alicia
Dickenstein, Juan Sabia, Fernando Cukierman, Gerardo Garbulsky, Noemí Wolansky,
Teresa Krick y Ricardo Durán.
Hay otro grupo grande al que quiero rendirle un
tributo a pesar de que estemos circunstancialmente distantes física y
temporalmente. A varios no los veo desde hace mucho tiempo, pero los sigo
queriendo de la misma forma y no me olvido de todo lo que
hicieron por mí. Con todos ellos interactué alguna vez en
Exactas, UBA: Lucas Monzón, Gustavo Stolovitzky, Leandro Caniglia, Oscar Bruno,
Luis Cafarelli, Cristina López, María del Carmen Calvo, Eduardo Antín, Miguel
Ángel López, Luis Mazziotti, Juan José Martínez, María Angélica Tancredi,
Silvia López, Gabriela Jerónimo, Cristian Czubara, Pablito Calderón, Graciela
Fernández, Josefina Dolores Alonso, el “Negro” Corbalán, Alfaro, Marina, Ariel
Arbiser, Jorge Zilber, Pablo Coll, Pablo Milrud y Matías Graña.
A continuación figura otro subconjunto enorme de
personas a las no conozco del ámbito académico, sino del de
los medios de comunicación. Quiero agradecerles a Deborah Gornitz, Alejandro
Burlaka, Betina Rodríguez, Claudia Eiberman, Dolores Bosch, Elisabeth Alegre,
Ezequiel Rodríguez, Gabriel Díaz, Laura Cukierman, Ignacio Martínez, Pedro
Martínez, Luis Hassan, Carla Novak, Mario Bouco, Paola Russo, Paola
Campodónico, Yanila Ghio, Andrés Gericke, Augusto Albo, Yamila Abud, Fernando
Nogueira, Gustavo Cataldi, Fernando Morón y Valeria Trevisán. Como escribí
alguna otra vez, ustedes… todos… tocaron mi vida en algún momento y
la hicieron mejor, sin ninguna duda.
Quiero subrayar mi relación con tres personas con
quienes tengo —en apariencia— solamente una relación profesional: Guillermo
Schavelzon, Bárbara Graham(quienes me representan en mis actividades
literarias) y Aldo Fernández (uno de los dueños de la productora El Oso y quien
me contrata para los programas de televisión en los que trabajo). Como no sé
comunicarme con gente que no quiero, tengo el privilegio de poder contar con
ellos tres, por el afecto con el que me tratan y por la forma en la que me protegen.
Eso sucede porque hemos logrado generar vínculos que nos sirven para eludir las
tensiones que inexorablemente emergen cuando hay dinero de por medio. En
nuestro caso, eso nunca se nota, y que así suceda es un mérito
exclusivamente de ellos.
Como usted advierte, la lista de personas a quienes
quiero agradecer es cada vez más larga, pero yo creo que de eso se trata: regar
las plantas de la gratitud de forma sistemática y constante . Hacer lo
posible para que las personas con quienes voy caminando en mi vida, sepan del
afecto que me generan.
Esta es una buena oportunidad para enfatizar lo
importante que es y fue para mí haber contado con un grupo extraordinario de
personas que pusieron varias cosas personales en juego para
sostenerme, estimularme y conducirme. Por supuesto que está Claudio Martínez,
pero quiero resaltar otros nombres: Tristán Bauer, Verónica Fiorito, María
Marta García Scarano, Martín Bonavetti y Javier Grossman.Cada uno de ustedes
sabe por qué, y si no lo saben, lo sé yo: ¡gracias! Y hay otros tres que me
ayudaron ofreciéndome una estructura intelectual de la que yo carezco: Axel
Kicillof, Emmanuel Álvarez Agis y Soledad Quereilhac.
A los tres titanes que conducen Página/12.Aún
hoy siguen publicando mis columnas… y encima me quieren: Ernesto Tiffenberg,
Hugo Soriani y Jorge Prim.Siempre un orgullo firmar en Página/12.Es
lo que siempre me decía mi querida vieja: “¡Qué lástima que papá no vio tu
firma en el diario!”.
Para el final, quiero ofrecer mi gratitud a los dos
colectivos que integro con gran orgullo: el grupo CyTA (Ciencia y Técnica
Argentina), en defensa de la investigación y desarrollo para la inclusión, y el
Manifiesto Argentino, en búsqueda de una Argentina más justa, soberana,
inclusiva e igualitaria.
Y no quiero terminar sin exhibir —una vez más— mi
eterna gratitud a todos quienes fueron alumnos y a cada uno de
los trabajadores de cada una de las empresas en las cuales desarrollo mi
actividad profesional, ya sea El Oso Producciones, La Brújula, Página/12 y
Penguin Random House Grupo Editorial.
Prólogo
Este es el libro número doce. El primero apareció
publicado en el año 2005. No es que tuviera pocas expectativas
en aquel momento: no tenía ninguna. Yo nunca tuve ningún objetivo particular.
Nunca tuve un sueño que cumplir. La vida fue un suceder de
episodios que se encadenaron, con la guía de mis viejos y de mi familia,
sencillamente dejándome ser. En todo caso, me ofrecieron el privilegio
enorme de dejarme elegir y de prepararme de forma genérica para que yo
decidiera qué quería estudiar, qué carrera seguir.
Estoy convencido de que cada niño nace con una
cantidad de destrezas/gustos/pasiones latentes. El problema es que la
escandalosa mayoría de esos niños no tiene las oportunidades que tuve yo. No es
que esos padres sean peores que los míos: ¡por supuesto que no! Esos padres no
pudieron o no pueden ofrecer a sus hijos lo que nuestros padres nos dieron a
Laura (mi hermana) y a mí. En todo caso, yo no tuve que ‘soñar’ nada,
porque se me ofrecía ‘todo’. Lo único que se esperaba de mí era que
me esforzara. Para ponerlo en los términos en los que me hablaba mi
padre: “Vos tratá de ser lo mejor que puedas ser”.
Una anécdota. Mi vieja quería que yo estudiara
piano. Habían descubierto que tenía oído absoluto, algo que
ciertamente no es un mérito personal sino que es una ‘cualidad’ con la que
uno nace… algo así como tener ojos verdes o ser pelirrojo. Claro,
para poder descubrir esa cualidad, uno necesita aprender/saber música. Si no,
es imposible siquiera detectar que uno tiene ese don. Nunca supe
bien cómo hicieron mis padres para saberlo o sospecharlo, pero lo que hicieron
inmediatamente fue comprar un piano para que yo pudiera practicar. Este
episodio por sí solo dice muchísimas cosas, pero hay dos que
sobresalen fuertemente. La primera es que para generar y abonar un estímulo
(como el de la música) es necesario ofrecer las herramientas. En este caso, se
trataba de tener acceso directo e ilimitado a algún instrumento, y para
eso ¡nos compraron un piano!
Puesto en el contexto de nuestras vidas, no lo
puedo pensar como un episodio aislado, sino como una manifestación de algo que
fue una suerte de ‘máxima’ en mi casa: “Acá tienen de todo: vayan, miren,
prueben, practiquen, elijan. Cuando sepan qué es lo que les gusta, dedíquenle
tiempo, pasión y esfuerzo. Los viejos “bancamos”.
Y así fue. Siempre. Pero la segunda razón que
quiero destacar es que además de querer… ¡hay que poder! No
cualquiera está en condiciones de salir y comprar un piano o una guitarra o un
violín. O sea: por un lado, la voluntad y la ideología para generar las
condiciones ambientales para que el niño se desarrolle (mi hermana y yo, en
este caso), y por el otro, ¡la posibilidad económica de ejecutar el
plan!
A esta altura, y con todo derecho, usted se debe
estar preguntando: ¿qué tendrá que ver todo esto con el libro que sigue? Créame
que tiene muchísimo que ver.
Las historias que aquí relato son todas
independientes, como si fuera un libro de cuentos. No están ligadas. Son
historias cortas, ‘autocontenidas’. Pero en alguna parte hay un mensaje que ni
siquiera yo mismo logré descubrir hasta que me propuse escribir esto que usted
está leyendo. ¿Qué mensaje?
Hay algo que está pasando en el mundo. Y de forma
muy acelerada. Históricamente la matemática estuvo siempre ubicada
en un lugar descartable, inentendible, como si fuera apto para un grupo
privilegiado, cerrado… para muy pocos. Tanto jóvenes como adultos encontraban
dificultades para explicar para qué y por qué uno estudiaba lo que estudiaba.
Con el tiempo, hemos ido aprendiendo varias cosas. La primera (y más
importante) es que la matemática que se enseña/enseñaba… ¡atrasa! Pero
no es que atrasa unos pocos años. ¡No! Atrasa casi
cuatrocientos años. Es imperioso que modifiquemos esa percepción y, para
hacerlo, hay que cambiar lo que se enseña, elegir dentro de la matemática misma
otros contenidos, no solo más actuales, sino empezar por los más lúdicos, desafiantes
y disfrutables. La vida pasa hoy por otro lado.
Es posible que a usted le parezca que mi visión es
un poco apocalíptica. En ese caso, no me crea. Está en todo su
derecho, pero le sugeriría entonces que lea alguna de las historias que
aparecen en el libro. Si me lo permite, un poco más adelante, yo le voy a
proponer una suerte de hoja de ruta o itinerario a
seguir. Pero antes…
Estoy escribiendo este prólogo arriba de un
avión [1]. Acabo de
vivir un episodio que necesito comunicar y, como ya no hay más
lugar en el libro propiamente dicho, voy a aprovechar este espacio.
Me tomé un tren desde el centro de Manhattan, en
New York, para llegar hasta el aeropuerto de Newark, en New Jersey. Antes de ir
hasta la puerta de embarque, me acerqué a un kiosco de revistas y libros. Allí
fue donde me sucedió algo que me impactó. Acompáñeme por acá.
Cuando uno se dispone a hacer un viaje más o menos
largo, sea en ómnibus, tren o avión, la lectura suele ser una buena
acompañante. Supongo que escuchar música también, pero yo prefiero entretenerme
leyendo las noticias del día o algún libro o, si no, pensar algún problema de
matemática . Conozco muchísima gente que le dedica parte de
ese tiempo a resolver las ‘palabras cruzadas’. Para eso, más allá de las que
consigue en un diario o revista, existen fascículos especiales o pequeños
‘libritos’ que aparecen mensualmente y que traen diferentes variantes. Desde
hace unos años, es posible conseguir ese mismo tipo de fascículos dedicados al
Sudoku, algo así como el ‘equivalente’ de las palabras cruzadas pero con
números.
Como el viaje no me ocuparía más de tres horas,
elegí un par de diarios y el resto del tiempo lo dedicaría a pensar qué
escribir en este prólogo. Cuando fui a pagar, mientras esperaba mi turno, casi
sin querer me tropecé con el lugar en donde estaban expuestos los fascículos
de Palabras cruzadas y Sudoku. De pronto, leí algo
que me sorprendió. Pagué, puse los diarios en mi portafolio, y con el teléfono
celular saqué varias fotos. Acá aparece una de ellas. Mírela con cuidado y
fíjese qué le llama la atención. Por supuesto, estoy contando con que usted
puede leer en inglés, pero si no pudiera, téngame un instante de paciencia y
luego voy a hacer yo la traducción. Acá va:
Traduzco la parte que me parece más impactante:
para promocionar el librito, es decir, para conseguir clientes, la
propia compañía que los publica escribe en la tapa: “No Math Skills Needed!”.
Es decir, “¡No hace falta ninguna destreza matemática!”.
Sinceramente, me costó trabajo entenderlo. Si yo
pudiera resumir el problema que tenemos hoy en todas las sociedades —también
en la norteamericana, como lo demuestra esta foto—, la idea es admitir que la
matemática es ‘rechazante’. Por lo tanto, si usted pensaba comprar este
fascículo pero decidió no hacerlo porque creyó que podría involucrar algo de
matemática, ¡no se preocupe! ¡No tiene nada de matemática! ¡No hay peligro!
¡Cómprelo con tranquilidad!
En algún sentido, es una suerte de apología
de la ignorancia: ¡no se preocupe, no hay que pensar! Tremendo…
Ahora vuelvo al prólogo propiamente dicho. El
libro contiene muchísima matemática y usted verá que las
historias que yo elegí para contar tienen exactamente la idea contraria de
lo que expresa la tapa que aparece en la foto. Mire: el mundo avanza en una
dirección en la que las personitas que han vivido pocos años al día de hoy
necesitarán utilizar herramientas que no están aún en la currícula escolar. Me
explico sugiriéndole algunas historias.
Empiece con la que se llama “Tesla”. Allí entenderá
lo que está sucediendo hoy con los autos que se manejan solos. Y no estoy
hablando del futuro; estoy hablando del presente, de hoy… Yo
estuve sentado en un vehículo de esas características. No lo piense solamente
como un auto que se estaciona solo, o que mantiene una velocidad crucero cuando
va en una autopista, o que le advierte al conductor si detecta algún síntoma de
cansancio o si se está saliendo del carril. No. Me refiero a que el
auto, además de estacionarse solo, descubre ¡el lugar en donde
estacionarse! Desde hace algunos años, el GPS llegó para ayudarnos a
elegir caminos y/o rutas. Hoy, en el Tesla, uno elige el punto al cual quiere
llegar y el auto no solo encuentra la ruta más corta y/o más rápida teniendo en
cuenta el tránsito (potencial) que habrá, sino que ¡lo lleva sin que usted
tenga que poner un solo dedo en el volante ni un pie en el freno y/o
acelerador! Más aún: usted puede encender el auto desde su casa sin importar
dónde se encuentre el vehículo, indicarle a qué hora quiere que lo pase a
buscar de manera tal que lo esté esperando en el momento que usted programó, lo
lleve hasta donde usted quiere ir, lo deje allí y, o bien encuentra un lugar en
donde estacionarse para esperarla/lo, o bien vuelve a su casa manejándose solo
para no ocupar lugar en un garaje público.
Esto no se hace solo. Hay una increíble cantidad de
matemática involucrada. Programación, estadística, optimización, satélites,
sensores, física, ingeniería e inteligencia artificial. ¿Un matemático ahí por
favor?
Salga de “Tesla” y vaya hasta “AlphaGo” o
“Libratus”. El hombre ya desarrolló programas que le ganan a cualquier humano
(o al menos, no pierden con ningún humano) si se trata de alguno de
los juegos milenarios. El caso más recordado, por la trascendencia
internacional que tuvo, fue el de la computadora (o programa) que IBM
llamó Deep Blue, y que sirvió para derrotar al entonces campeón del
mundo de ajedrez Garri Kaspárov. Fue un momento histórico y celebrado también.
El paso hacia adelante que habíamos dado (en tanto que humanos) logró mostrarle
al mundo lo que éramos capaces de hacer. Pero Deep Blue era un
programa extremadamente caro, imposible de adquirir para una persona común. En
todo caso, sirvió para mostrar la potencia que teníamos. Eso fue en 1997.
Pasaron exactamente veinte años. Hoy el humano más calificado no puede ganar
—virtualmente— frente a casi cualquier programa que juegue al ajedrez y que son
de fácil acceso aun de forma gratuita.
El juego de damas ya había sucumbido, pero quedaban
en pie dos de los más importantes, y además diferentes entre sí: el Go y
el póker.
Los expertos en inteligencia artificial sostenían
que habríamos de necesitar más de una década para que una computadora pudiera
ganar al Go si jugaba contra los mejores del mundo. Quizás sea
un juego que a usted no le diga nada, como no me decía nada a mí hasta hace un
tiempo. Es parecido al ajedrez (en el sentido de que se juega
en un tablero) pero en lugar de ser de 8 × 8, el que sirve para el Go es
de 19 × 19. Se juega en todos los países de Oriente (China, Japón, Indonesia,
India, Pakistán, las dos Coreas, Singapur…) y es ciertamente uno de los más
populares. Cuando Lee Sedol, el surcoreano que en ese momento era el campeón
del mundo, aceptó enfrentar a la computadora cargada con el programa AlphaGo diseñado
por Demis Hassabis y sus colaboradores ingleses, una buena parte del mundo se
detuvo: cada una de las cinco partidas fueron seguidas ¡en vivo… por
más de cuatrocientos millones de personas! Si puede, no se pierda esa
historia y verá lo que sucedió con el millón de dólares que estaba en juego.
Por otro lado, en todos estos juegos (damas,
ajedrez, Go), las piezas o las fichas están a la vista de los dos
participantes, no hay nada escondido. Cada uno ‘ve’ lo que tiene la/el rival.
La historia es diferente si uno decide jugar a las cartas. ¿Qué pasará con el
póker? Porque en el póker, uno no ve todo el juego del rival,
el poderío que tiene en sus manos.
Si me permite, quiero agregar algo más que es muy
importante: en el póker, si uno pretende ganar, necesita poder hacer
‘bluff’ . ¿Qué quiere decir ‘bluff’? Piénselo así: usted necesita
‘engañar’ a su oponente. Es lo mismo que sucede en el ‘truco’. Está muy claro
que para poder ganar, parte de la estrategia es tratar de hacerle creer al
rival que uno tiene ‘buenas cartas’, aunque no sea así. Pero hay más. Aunque
parezca paradójico, ¡necesita perder alguna vez! Necesita que
el rival la/lo sorprenda mintiendo para que la próxima vez que usted quiera que
ella/él crea que usted tiene buenas cartas, no sepa si miente o diciendo la
verdad. Es que, por ejemplo, si todas las veces que usted
canta ‘ envido’, siempre tiene buenas cartas, su
rival nunca va a aceptar su propuesta. En cambio, si usted la/lo hace dudar,
eso obra en beneficio suyo.
Escribí todo esto para sugerirle que lea
“Libratus”. Es la primera vez en la historia que un programa juega al póker.
No, perdón… está mal: no es la primera vez que un programa juega al póker:
es la primera vez que un programa… Mejor no sigo: vaya usted y lea la historia
porque es fascinante lo que sucedió. ¡Las máquinas aprendieron a mentir!
Cuando haya llegado a este punto, necesito pedirle
que no avance hacia ninguna otra historia antes de leer “El
próximo Rembrandt” y “Novela”. Me explico. El 31 de mayo del año 2017, fui a
escuchar una charla que se ofrecía en uno de los anfiteatros de la NYU (la
Universidad de New York), en el marco del Festival Mundial de Ciencia. El
título era: “Computational Creativity: AI and the Art of Ingenuity”
(“Creatividad Computacional: Inteligencia Artificial y el Arte de la
Imaginación”)[2]. Lo que vi
allí ¡me voló la cabeza! Sí, así nomás. Si confía en mí, lea
estas dos historias y me entenderá un poco mejor. Desde que aparecieron las
computadoras, los humanos creímos que ellas harían todas las tareas u oficios
repetitivos y que se podían hacer sin pensar. En todo caso,
la creatividad nos quedaba a nosotros. Eso es lo que las
máquinas nunca podrían hacer. Bueno… no estoy más convencido de que
eso sea cierto y por eso le sugiero que vaya tan pronto como pueda a leer “El
próximo Rembrandt”.
Es obvio que no ignoro todos los problemas que hay
en el mundo, pero la única manera de enfrentarlos es a través
de la educación y el pensamiento crítico. La matemática es una herramienta
sustancial e irremplazable. Las otras ciencias tienen múltiples defensores. La
matemática, no. Es por eso que escribí una historia que se llama: “¿Estamos
mejor o peor?”.
No se quede con mi conclusión, que en definitiva es
solamente una opinión más. ¿Cuál es la suya? ¿Estamos mejor o peor?
Si me permite que le siga sugiriendo algunos
caminos a recorrer, vaya hasta la que se titula “Tetris”. Póngase a
prueba para ver si puede elaborar una estrategia para resolver el problema que
planteé allí: me tuvo loco durante un buen tiempo. Fíjese lo
que le sucede a usted.
Hay otra anécdota increíble. Es la que tiene como
protagonista a Galileo. Sí, al mismo Galileo del que usted y yo hemos oído
hablar. Pero el contexto en el que aparece acá es totalmente inesperado. Tal
como podría suceder hoy, verá que aun en aquella época había timadores y tahúres,
personas que viajaban de pueblo en pueblo engañando a los que iban a las
kermeses a jugar, por ejemplo, a los dados. Parecía que todos tenían la misma
probabilidad de ganar, pero la práctica demostraba otra cosa. Para dilucidar el
problema, tuvieron que recurrir al propio Galileo… El relato y la matemática
involucrada están allí.
La historia de “La blusa y el billete (robado) de
cien pesos” es otra imperdible. Me explico. Este problema me lo contó Alicia
(Dickenstein), una de las vicepresidentas de la Asociación Internacional de
Matemática, la primera argentina en ocupar esa distinción. Alicia estaba en
Oslo y me escribió sobre un problema que circulaba por internet. Me pareció
extraordinario porque a medida que lo fui testeando con muchas
personas, obtuve una increíble cantidad de respuestas diferentes. Después, lo
fui presentando ante distintas audiencias en países diversos y, curiosamente,
¡en todas las culturas sucede lo mismo! Una vez más, si me permite, le sugiero
que no abandone el libro antes de haberlo intentado. Verá que valió la pena.
Uno de los mejores matemáticos del mundo es Terence
Tao. Cuando tenga tiempo, hágase un ratito y googlee su nombre. Hoy ya tiene 42
años, pero verá que su historia es muy interesante. Él fue quien propuso el
problema que se llama “Atándose los zapatos”. Suponga que usted está en un
aeropuerto (por ejemplo) y tiene que caminar un trecho sobre un piso normal y
otro tanto sobre una cinta que avanza en la dirección a la que usted quiere ir.
Súbitamente descubre que tiene los zapatos desatados… ¿Qué le conviene hacer?
¿Atárselos cuando está arriba de la cinta o hacerlo cuando está en el piso? Por
otro lado, suponga que usted pudiera correr un trecho. ¿Qué le
conviene hacer en este caso? ¿Correr cuando va en la cinta o cuando va sobre el
piso? Este problema me hizo acordar a uno que pensábamos en mis tiempos de
alumno en la Ciudad Universitaria ubicada en Núñez, en Buenos Aires. En aquel
momento, después de bajar del tren, íbamos sobre ‘caminitos’ de tierra y, a
veces, de barro. Tanto es así que, cuando llovía intensamente, solíamos
preguntarnos con Miguel y Jorge Davidson (ambos físicos nucleares con quienes
me crié de niño): ¿es mejor correr y mojarse más pero menos tiempo o ir
caminando a paso normal, mojarse más tiempo pero menos superficie? ¿O da lo
mismo? El artículo de Tao es muy atractivo y le ofrecerá la oportunidad de
pensar cuál es la respuesta correcta, y sobre todo… el porqué.
A lo largo del texto se encontrará con algunas
preguntas que —creo— nos surgieron a todos. Por ejemplo: “¿Las
computadoras no se equivocan nunca?”. Bueno, uno tiene la tentación de
decir que no, que no se equivocan nunca. Pero ¿es verdad esto? ¿Habrá algunos
ejemplos en contrario? Si lee esa historia verá lo que sucedió con una
particular computadora que fabricaba IBM con un microprocesador que proveía
Intel. Dos gigantes que tuvieron un problema muy serio que los obligó a cambiar
de política y renunciar a una posición que inicialmente fue muy arrogante.
Sin embargo, también las computadoras y los
programas han avanzado de tal manera que ahora se nos plantean problemas que
nunca tuvimos antes. Problemas éticos sobre los que la humanidad no tuvo que
legislar, sencillamente porque no hubieran tenido sentido. Hay varios ejemplos
que tipifican estas situaciones, pero uno de los más clásicos es el siguiente.
Suponga que usted está como pasajero en un
automóvil que se maneja solo. Súbitamente se cruzan dos personas en su camino.
El vehículo sabe que no llegará a frenar por la velocidad a la
que se desplaza. Un humano, si estuviera conduciendo, movería el volante hacia
alguno de los dos costados. El auto podría estar programado para hacer lo
mismo. Ahora bien: mientras los que cruzan son dos personas, el vehículo
advierte que si moviera el volante hacia la derecha, se encontraría con diez
personas que están esperando un colectivo… Entonces ¿qué hace? ¿Se
lleva por delante a los dos que cruzan o se estrella contra los que están en la
parada? Algo que hay que programar, incluso si se
decidiera no hacer nada. En sí mismo, no hacer nada es decidir.
Entonces ¿quién o quiénes deciden qué es lo que hay que programar en los
vehículos? ¿Es una decisión que dejaríamos a los fabricantes de autos? ¿O uno
podría tener una palanquita en cada automóvil de manera tal
que el dueño decida lo que quiere hacer? ¿O cada sociedad deberá darse sus
propias reglas?
Otro problema ético muy serio es el que aparece en
la extrapolación de nuestros prejuicios a los programas que diseñamos. Sí, lo
que leyó: la extrapolación o prolongación de nuestros prejuicios a los
programas que nosotros mismos diseñamos . Me explico: hasta hace no
mucho tiempo, programábamos las computadoras indicándoles paso por paso qué es
lo que tenían que hacer. Si me permite la expresión, diría que los programas
eran ‘bobos’: hacían lo que les habíamos dicho que hicieran. Pero con el tiempo
aparece la Inteligencia Artificial. Las máquinas aprenden.
Nosotros les enseñamos qué es lo que está ‘bien’ y qué es lo que está ‘mal’.
Por ejemplo, para indicarle a un robot cómo se cruza una calle, cargamos su
memoria con miles de ejemplos donde una persona cruza ‘bien’ y otra cantidad
equivalente donde una persona cruza ‘mal’. La computadora deduce entonces qué
es lo que se espera de ella, aprende a distinguir el supuesto ‘bien’ del
supuesto ‘mal’. Hasta acá, todo bárbaro. Pero ¿qué pasa cuando lo que nos
parece bien o mal transfiere a la computadora
algunos prejuicios que ni siquiera sabíamos que teníamos? Es
decir, los estamos extrapolando. ¿Cómo solucionar esto? Le propongo
entonces que lea la historia que lleva justamente ese título: “Prejuicios”.
Otra historia muy interesante y en una dirección
totalmente diferente de las anteriores es la clasificación de los ‘saberes’.
¿Qué es lo que uno sabe? ¿Qué es lo que uno cree que
sabe? ¿Qué es lo que uno sabe pero no sabía que lo sabía? ¿Qué
es lo que unono sabe? Más aún: ¿qué es lo que uno ni siquiera sabe
que no sabe? La clasificación de los ‘saberes’ invita a mantenerse
humilde. No solo se trata del montante de información que uno no posee perosabe que
no posee, sino que es abrumadora la cantidad de cosas que uno ignora que
no sabe. Parece un trabalenguas pero, créame, no lo es.
Este prólogo se parece cada vez más una versión
abreviada (¿?) del libro que sigue, pero no quiero terminarlo sin sugerirle
algunas historias más. Por ejemplo, las que involucran a la Teoría de Juegos.
Reproduje una parte de un trabajo publicado por el economista/matemático
español Ignacio Palacios-Huerta que me sirvió para pensar cómo responder el
siguiente planteo: suponga que se está por definir un partido que corresponde a
una copa del mundo de fútbol. El partido terminó empatado. Jugaron 30 minutos
más pero sigue el empate. Los dos equipos se preparan a tirar (de forma
alternada) cinco penales cada uno. Hasta acá, todo muy conocido. Sin embargo,
si usted fuera el capitán de uno de los dos equipos y tuviera que optar: ¿le
conviene patear primero o segundo? ¿O da lo mismo?
Antes de avanzar, ¿no le parece fascinante que haya
gente que estudió el problema y que estadísticamente explica, con datos
que lo sustentan, qué posición conviene adoptar?
Como usted advierte, yo podría seguir hasta agotar
todos y cada uno de los problemas que siguen. ¿De qué se trata “El reloj de
Fibonacci”? ¿Y qué sucede con los números que aparecen en todas las tarjetas de
crédito o de débito? Se supone que identifican a la persona
que la presenta, pero ¿hay algo más que está escondido o invisible y que
es transparente para nosotros, los usuarios?
Y no se pierda la historia que llamé “Sopa”. Sí,
sopa. Es interesante descubrir la relación que hay entre las encuestas que se
hacen antes de cualquier elección y probar una sopa que todavía se está
cocinando… y determinar si está lista o no, si está salada o no.
Muchas veces, cuando alguien me pide que le firme
un libro, además de escribir mi nombre, agrego: “Ojalá que usted disfrute al
leerlo tanto como yo al escribirlo”.
Ahora sí, le toca a usted.
1. ¿Estamos mejor o peor?
¿Cómo definir lo que es matemática
recreativa? ¿Qué es lo que la transforma en recreativa? ¿Tiene que
ser entretenida? Seguro. ¿Requiere de muchos conocimientos
previos? Yo creo que no, la idea es que uno pueda abordarlos sin necesidad de
tener una gran infraestructura teórica, que esté —virtualmente— al alcance de
cualquier persona que tenga ganas de pensar. ¿Tiene que ser fácil?
No, no necesariamente. Los problemas en sí mismos deberían ser ‘sencillos’ de
entender, pero eso no garantiza que van a ser fáciles de resolver. Si se
transforman enmuy difíciles, entonces se corren para el
otro lado, cruzan de orilla.
Por ejemplo, el Problema de los Cuatro Colores[3] es
fácil de entender y muy difícil de resolver. De hecho,
la única demostración que se conoce hasta hoy requiere la
utilización de computadoras y, por ahora, no hay una prueba teórica que
deje satisfechos a los matemáticos ‘puros’[4].
El Último Teorema de Fermat [5] fue una
conjetura durante varios siglos. Llevó casi cuatrocientos años poder
resolverlo, hasta que finalmente lo logró el matemático británico Andrew Wiles.
Fermat escribió que él sabía cómo se contestaba la pregunta que él mismo había
formulado, pero que no le alcanzaba el ‘margen’ de la hoja para hacerlo. Se
murió antes de poder aportar su ‘famosa prueba’. Muchas de las herramientas y
conexiones que terminó usando Wiles (y otros matemáticos que lo asistieron) no
existían no solo durante la época de Fermat sino incluso en la del propio
Wiles. Fue él mismo quien las tuvo que ‘inventar’ o ‘crear’. El grado de
dificultad que conllevan hace sospechar que Fermat no lo habría podido
demostrar aunque le hubieran dado múltiples márgenes para escribir,
pero eso ya nunca lo vamos a saber.
De todas formas, tanto el Problema de los Cuatro
Colores como el Último Teorema de Fermat tuvieron un final ‘feliz’. Hay
muchísimos otros que todavía se resisten. Uno de los más famosos es el Problema
del Viajante de Comercio[6], cuyo
enunciado es fácilmente comprensible pero hasta hoy, junio del año 2017, no se
conoce una forma de resolverlo a la que se pueda llegar en tiempo
‘real’.
Elegí tres ejemplos muy distintos pero que tienen
algo en común. Como tienen un enunciado sencillo y son muy fáciles de entender,
la tentación es imaginarlos como parte de la matemática recreativa. Sin
embargo, lo único ‘recreativo’ es pensarlos, porque ciertamente pertenecen a la
otra categoría, a la matemática ‘seria’.
Por otro lado, quienes hacen matemática recreativa
suelen tener una intención que no sé si llamar subliminal o sutil o intangible.
Es la que trata de seducir al interlocutor. Es mucho más fácil
convocar a alguien a pensar un problema como el de los Cuatro Colores o el del
Viajante de Comercio, que uno que involucre la Teoría de Autovalores o de
Geometría Algebraica, por poner solo un par de ejemplos.
O sea, en alguna parte hay una combinación de
entretenimiento y pedagogía, y también ‘seducción’. Usted elija los porcentajes
de cada una que prefiera usar. Supongo que también dependerá de la situación y
de quién es su interlocutor/a.
La matemática recreativa es tan antigua como la
matemática misma. En el Museo Británico, ubicado en el centro de Londres, están
exhibidos los llamados “Papiros Matemáticos de Rhind” [7].
Corresponden al año 1650 antes de Cristo y los compró en Egipto el propio Henry
Rhind en 1858. Más adelante, sus herederos los donaron al museo. Si usted tuvo
o tiene oportunidad de visitarlo, podrá ver la enorme cantidad de problemas que
allí se exponen. Son universalmente reconocidos como los primeros registros que
dan cuenta de lo que sucedía en términos matemáticos más de quince siglos antes
de la aparición del cristianismo.
Por ejemplo, el problema número 79 incluye una
pregunta que involucra siete casas. Cada casa tiene siete gatos. Cada gato se
come a siete ratones. A su vez, cada ratón se come siete platos de semillas y
de cada uno de esos platos de semillas se pueden esperar siete plantas de
choclo [8].
Si uno quiere averiguar la cantidad de ‘animales’
(ratones, gatos) y ‘objetos’ (casas, platos de semillas, plantas de choclo) que
aparecen involucrados en la historia, hace la siguiente cuenta:
7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 19.607
que corresponde a hacer la suma de una progresión
geométrica de razón 7:
7 + 72 + 73 + 74 +
75 = ((1 – 7 6)/(1 – 7)) – 1 = 19.607
Este número, 19.607, es la cantidad de plantas de
choclo que se podrían obtener si uno sumara las que hay en todas las
casas.
Un problema equivalente al sumar las potencias de 7
aparece también con Fibonacci en el año 1202. Quienes analizan la historia de
la matemática tienen la tentación de ignorar el bache temporal e
imaginar que estos problemas se originan en los Papiros de Rhind. En cualquier
caso, lo que queda muy claro es que este particular
problema no tiene ninguna conexión con todo el resto del texto, por
lo que se supone que fueron incluidos como diversión o entretenimiento.
Los trabajos más antiguos que se conocen de
Babilonia también datan del año 1800 antes de Cristo. En uno de ellos se puede
leer este problema (lo que sigue es una traducción literal): “Yo sé
que si sumo el largo y el ancho de un rectángulo obtengo el número 27, mientras
que si sumo el área más la diferencia entre el largo y el ancho, obtengo el
número 183. Encuentre las medidas de los lados del rectángulo” [9].
Puesto en estos términos, uno tiene ganas de ir y
matar [10] a los
babilonios que escribieron el enunciado, como haría con cualquier persona que
presente hoy este problema. ¿Quién, en su sano juicio, quiere hacerle creer a
un alumno que uno tiene este tipo de problemas en la vida
cotidiana? ¿Cómo no van a ‘odiar’ la matemática?
En realidad, la respuesta que uno tendría que dar
es la siguiente: “Si usted fue tan capaz de saber que al sumar el largo y el
ancho le dio 27, entonces mida bien cada lado y obtendrá el resultado que
busca”.
Volviendo a los babilonios, supongo que la idea era
demostrar, de una forma que ellos creyeron ingeniosa y más entretenida
para el estudiante, cómo resolver un problema de dos ecuaciones con
dos incógnitas.
Por otro lado, como escribí anteriormente, es muy
difícil encontrar el límite entre una matemática (la
recreativa) y la otra matemática (la seria). Los bordes que
separan una de otra son difusos y muchísima matemática seria tiene su
origen en la matemática recreativa.
Sin pretender hacer un análisis exhaustivo, quiero
incluir a la matemática que se necesita para elaborar estrategias,
las que terminaron dando el puntapié inicial a la Teoría de Juegos. Además
están todos los problemas populares que dieron lugar a la Teoría de Grafos. Sin
ir más lejos, esta teoría era considerada originalmente como parte de la matemática
recreativa, pero hoy aparece como una rama importante de la matemática
seria y una fuente de inspiración para la Topología.
Ahora bien: sin ninguna duda, uno de los momentos
de quiebre en la historia de la matemática se produce con las
discusiones entre dos franceses (Pascal y Fermat) a mediados del siglo XVII,
allí por el año 1650. Decir que ambos eran matemáticos es ciertamente injusto;
no porque no lo fueran, sino porque en aquella época eran poseedores de muchos saberes,
se los consideraba los ‘sabios’ de la época.
Pero la historia hace justicia con ellos al
elegirlos como los ‘creadores’ (o ‘iniciadores’) de lo que hoy se conoce como
la Teoría de Probabilidades y Estadística. Los primeros ladrillos de la teoría
aparecen en el intercambio epistolar entre ambos tratando de resolver este
problema: “¿Qué es más probable que suceda? ¿Que uno saque un seis al
tirar un dado cuatro veces o que saque un doble seis tirando dos
dados veinticuatro veces?”.
La matemática que se requiere para elaborar
estrategias es algo mucho más reciente. Aparece en la literatura a principios
del siglo XX. El desarrollo más importante sucede durante la Segunda Guerra
Mundial, sobre todo con la irrupción en el centro de la escena de dos colosos
del área: John Von Neumann y John Nash. Sus trabajos son los que comienzan a
dar una estructura teórica a lo que hoy se llama Teoría de
Juegos.
Antes de avanzar, un dato que a mí me resultó impactante. Cuando
apareció el Rubik Cube o Cubo de Rubik o Cubo Mágico se vendieron, y lea bien
porque no hay error, ¡doscientos millones de cubos en tres
años! Sí, doscientos millones de unidades en menos de tres años. ¡Tan aburrida
no debe ser la matemática! Claro, tengo que hacer una observación importante:
la mayoría de la gente no relaciona intentarresolver el
cubo mágico con hacer matemática… Ese es nuestro
problema: no saber (o no haber sabido) explicar lo que realmente es la
matemática. La percepción actual es ciertamente equivocada, aunque creo que
está cambiando, lentamente, pero está cambiando.
Si la búsqueda de belleza, elegancia y economía es
lo que le resulta más convocante, los matemáticos tenemos un libro muy
especial, Proofs from THE BOOK [11] , en el
cual solamente se aceptan demostraciones que reúnan belleza, elegancia
y economía de palabras. Fue compilado en homenaje al matemático
húngaro Paul Erdos, uno de los más prolíficos de la historia, quien hacía un
culto de ese tipo de pruebas.
Y para terminar con esta suerte de racconto,
el gusto personal. Esto es esencialmente intransferible: lo
que me gusta a mí puede que a usted no, y viceversa. Mi compromiso es ofrecerle
las llaves para que pueda entrar en este edificio maravilloso que ha construido
el hombre a lo largo de los siglos. Con herramientas muy elementales,
si las miramos desde el presente, fueron suficientemente poderosas para
construir pirámides.
Justamente hoy, cuando ponemos personas en la Luna,
viajamos alrededor del mundo en cuestión de horas, tenemos audífonos y anteojos
para mejorar la audición y la visión, observamos los saltos descomunales en la
odontología, las resonancias magnéticas y tomografías computadas, la robótica y
la nanotecnología, las anestesias (¿se imagina lo que habrán sido las
intervenciones quirúrgicas ‘sin anestesia’?), ahora, hacemos plomería en el
corazón, diálisis, reemplazamos órganos, tenemos penicilina que nos resuelve lo
que antes nos mataba, construimos puentes y túneles de varios kilómetros,
rascacielos que superan los ciento cincuenta pisos, construimos nuevos
materiales con propiedades impensadas hace un siglo, conseguimos energías que
ya no dependen solamente del agua, del aire o del viento, comemos mejor, nos
vestimos mejor, nos comunicamos mejor, vivimos mejor, nos educamos mejor y,
sobre todo, nos entretenemos mejor
Por todo esto siempre me he resistido a aceptar esa
suerte de frase hecha: ‘Todo tiempo pasado fue mejor’.
No lo creo. El problema no reside allí: en
comparación el pasado en promedio fue siempre peor que el
presente, y ni que hablar del futuro. Pero lo que es inaceptable es
que este presente sea bueno para unos pocos y no lo
sea para todos… aún. Privilegiados como yo, mirando desde una posición
como la mía, seguro que podemos afirmar que este presente es
mejor. La deuda está en otro lado, en donde no hemos podido lograr aún que la
distribución sea equitativa, igualitaria e inclusiva.
Dicho de otra forma, si todos estuvieran
en el lugar que estoy yo, no tendríamos ninguna duda en mirar el pasado, con
respeto y valoración de todas las escalas intermedias, pero entendiendo
que nunca antes estuvimos mejor que ahora.
Recreativa o no, la matemática ha tenido una
contribución que podría calificar como esencial, descomunal o imprescindible.
Es muy difícil imaginar este presente sin el aporte de los ‘gigantes’ que nos
precedieron, pero es decididamente imposible proponer cualquier
futuro que no tenga a la reina de las ciencias en el centro de la
escena.
Por eso me atrevo a afirmar que estamos ‘muchísimo
mejor’… sin ninguna duda.
2. Jeroglíficos
El domingo 7 de agosto del año 2016, entré en un
museo de Londres conocido como Somerset House. Caminé un buen rato, entretenido
con la exhibición mundial de ilustraciones. Como sucede en la Argentina, en
Gran Bretaña también hay una gran valoración por este campo, y la muestra de
ese año era realmente espectacular. De todas formas, había ‘algo’ que me
llamaba la atención. Reiteradamente veía símbolos que no entendía, algo así
como ‘jeroglíficos’, pero no podía comprender lo que estaba… ¿escrito?
De pronto, encontré hojas impresas en papel de muy
buena calidad: eran folletos. Tomé uno, lo abrí y, tal como esperaba, había una
referencia. Se pedía allí que uno escribiera su propio nombre.
Ahora le voy a trasladar el problema a usted. Sí, a
usted. Le voy a pedir que, en el transcurso de esta nota, escriba su nombre…
pero no en castellano. Usted debe estar pensando: si no es en
castellano, ¿en qué idioma se supone que lo voy a escribir? Bueno, téngame un
poquito de paciencia.
Le saqué una foto a la parte que me interesaba,
aquí la encontrará como figura 1. Dudé si traducirlo del inglés, pero llegué a
la conclusión de que no hace falta. La pregunta entonces es: ¿cuál es el
problema que hay que resolver?
Vea, parte del problema es deducir cuál es el
problema que usted tendría que resolver (si tuviera ganas) y, por supuesto,
después resolverlo. Esta es la foto.
Figura 1
Solo se pide escribir su nombre, nada más. Ahora le
toca a usted.
Solución
Como podrá observar, hay escritas unas palabras en
inglés. En definitiva, que estén en inglés o en cualquier otro idioma no cambia
nada. Lo que sí importa es que al lado de cada palabra hay una
cantidad de símbolos. Por las dudas, si usted se está ‘traduciendo
encima’, lo voy a hacer yo, pero créame que no hace falta. Más aún: ni
siquiera importa que sean palabras. Acá voy:
ACTION = ACCIÓN
ALPHABET = ALFABETO
BOOK = LIBRO
COMMUNITY = COMUNIDAD
IMAGINATION = IMAGINACIÓN
ISLAND = ISLA
PLACE = LUGAR
SHARED = COMPARTIDO
Al lado de cada palabra que aparece en la figura 1,
hay un grupo de símbolos. Como el número de símbolos se corresponde con la
cantidad de letras de cada palabra que está a la izquierda, uno puede
conjeturar que cada símbolo representa una letra. Para corroborarlo, basta ver
que cada vez que aparece una letra A (por ejemplo, en ACTION e IMAGINATION), el
símbolo que está a la derecha se corresponde no solo con la letra sino también
con la ubicación. Lo mismo sucede con todas las demás. Eso permite hacer una asociación
entre letras y símbolos.
Entonces, uno descubre que hay una suerte de nuevo
alfabeto… aunque no sé si está bien llamarlo nuevo alfabeto,
más bien sería una nueva manera de representar cada letra con el ‘dibujito’ que
nosotros hacemos. Entre paréntesis: nos hemos acostumbrado tanto a verlos que
los que usamos habitualmente parecen naturales, y los que están a la
derecha, antinaturales o raros. En realidad, no
hay ninguna razón para privilegiar unos sobre otros. Cuando empezó todo esto
de escribir, los que inventaron el alfabeto podrían haber elegido
otros jeroglíficos para representar cada letra o sonido. Esto es fácil de
descubrir si uno conoce los alfabetos que se usan en otros idiomas (griego o
ruso, por citar un par de ejemplos, y ni hablar si usted puede escribir en
hebreo o en árabe). Para variar, me desvié.
Ahora sí, ya puede hacer una ‘tabla’ con cada una
de las letras para escribir su nombre con este nuevo alfabeto (figura 2). Con
todo, hay una dificultad que no había advertido al principio: me doy cuenta de
que si usted se llama Zulema o Lázaro, no podrá escribir su nombre, ya que no
está la letra ‘z’, ni la ‘f’, ‘j’, ‘q’, ‘v’, ‘w’ o la ‘x’… Habrá que
concederles una licencia a quienes crearon este problema.
Figura 2
Pero hay algo más por hacer. Mirando la figura 1,
sobre el ángulo superior izquierdo y en diagonal hacia la derecha (y hacia
abajo), aparecen seis símbolos ‘englobados’, que se corresponden justamente con
los que aparecen en la palabra ACTION. Esto ‘invita’ a que uno busque
las otras siete palabras. Si bien no lo dice en ninguna parte, yo me fabriqué
mis propias reglas, y las busqué distribuidas de forma horizontal, vertical o
diagonal, en ambas direcciones y, además, de arriba hacia abajo o al revés. Como
resultado, queda la figura 3, donde puse un número entre 1 y 8 en el comienzo de
cada una de las palabras.
Figura 3
Y eso es todo por hoy. Las emisoras continúan con
su programación habitual… ¡y este libro también!
3. AlphaGo
La historia que quiero contar es verdaderamente
fascinante. En marzo del año 2016, pasó algo que no fue tapa de los diarios, no
solo en nuestro país sino en virtualmente ningún lugar del mundo occidental. Lo
que sucede en una buena parte del este asiático nos queda tan lejano desde el
punto de vista geográfico y cultural que es como si lo ignoráramos. Peor aun:
no es ‘como’ si lo ignoráramos, lo ignoramos, lisa y llanamente. Es por
eso que le propongo que lea la historia que sigue como una forma de introducirse
en el tema y bucear por su propia cuenta para decidir hasta dónde quiere estar
informada/o. Yo solamente voy a ser un mero intermediario, alguien que le va a
contar una historia que no es ficción, sino real. Acá voy.
Seúl, capital de Corea del Sur. En el hotel Four
Seasons, entre el 9 y 15 de marzo, se jugaron cinco partidas de Go (estoy casi
seguro de que está pensando: ¿de qué?). De Go. ¿Qué es Go?
El Go se juega hace más de dos mil quinientos años.
La leyenda indica que fue inventado por el mítico primer emperador chino con el
objetivo de educar e instruir a su hijo. Se juega sobre un tablero,
como el que se usa para jugar al ajedrez o las damas, solo que en lugar de 64
casillas (un tablero de 8 × 8), al Go se juega en un tablero de 19 líneas
horizontales por 19 líneas verticales, con 361 intersecciones. Es uno de los
juegos más populares en China, India, Japón, ambas Coreas, Indonesia, Pakistán…
lugares que nos quedan muy lejos.
Se juega también con fichas blancas y negras que
los dos participantes se turnan en ubicar en las intersecciones de la grilla,
no en las casillas, como sucede en el ajedrez o las damas. Una vez que se
ubican las piezas (que son todas iguales salvo por el color, como en las
damas), no se mueven más. El objetivo es tratar de rodear las
del rival. Logrado el objetivo, se consideran capturadas y se sacan del
tablero. De esta forma, se generan batallas entre estas
armadas ‘blancas’ y ‘ negras’ que se disputan en distintas
partes del tablero, y que se suelen propagar desde las cuatro esquinas hacia el
centro.
Parece un juego ingenuo, sus reglas tan sencillas
así lo sugieren. Sin embargo, es muchísimo más difícil que el ajedrez,
por poner un ejemplo fácilmente comprensible para nosotros, aunque más no sea
por la cantidad de posiciones que pueden suceder durante una partida [12].
Ahora bien, ¿qué fue lo que pasó? El hombre ha
intentado siempre diseñar programas que pudieran jugar no solo al Go, sino
también al ajedrez o a las damas o al ta-te-ti. Las damas sucumbieron
en el año 1994, pero el ajedrez ofreció un poco más de resistencia. En 1996,
Garri Kaspárov (el campeón mundial indiscutido en ese momento) jugó seis
partidas contra Deep Blue, un programa producido por ingenieros de IBM.
Kaspárov ganó tres partidas, empataron dos y perdió una. Pero al año siguiente,
en la revancha, todo cambió… y para siempre. No solo perdió 3½ a 2½, sino que
Kaspárov advirtió como muy pocos que no solo esa batalla
estaba perdida, sino que el hombre ya no podría nunca más contra las máquinas.
Y así fue. Ningún hombre hoy, gran maestro o aficionado, puede jugar contra un
programa con esperanzas de ganar de forma consistente, aun enfrentándose a
programas no tan sofisticados. Las computadoras usan su velocidad para revisar
sus bases de datos sobre millones de partidas jugadas y su capacidad de memoria
para analizar potenciales movidas y evaluar cuál de ellas es la que tiene mayor
probabilidad de ganar. A un humano eso le llevaría cientos de miles de siglos.
Listo. Asunto concluido. Juguemos entre nosotros porque contra ellas ya no
vamos a poder.
Sin embargo, a los humanos nos quedaba una
posibilidad más, una vida más: ¡el Go! El Go presenta un grado
de complejidad tan grande que los analistas del momento sospechaban que
estábamos todavía a un siglo (sí, un siglo[13]) de poder
afrontar con posibilidades un enfrentamiento máquina vs. hombre.
Aquí entra en escena Demis Hassabis, un joven
inglés, que nació y vive en Londres y que está a punto de cumplir 40 años. Es
neurocientífico, investigador en inteligencia artificial, programador de
videojuegos y, además, muy buen ajedrecista. El Go se transformó en una suerte
de obsesión, no por el juego en sí mismo sino porque, siendo un apasionado por
producir avances en inteligencia artificial, tomó al Go como un desafío
personal. Era algo así como el ‘nuevo mundo a conquistar’, el nuevo Everest por
dominar.
En el año 2010, juntó a varios científicos
especialistas en neurociencia, inteligencia artificial y programación y cofundó
la empresa DeepMind [14]. Una vez
dentro de la compañía, apareció AlphaGo, un programa especialmente
diseñado para jugar al Go. Pero Hassabis y su equipo supieron desde el
principio que lo que había hecho Deep Blue con Kaspárov no era el camino a
seguir. Por más fuerza bruta que se usara, capacidad de
memoria, almacenamiento de enormes bases de datos, rapidez de búsqueda, etc.,
no sería suficiente. Había que buscar por otro lado, crear un programa que
¡aprendiera! Sí, una computadora que pudiera aprender ella sola, como si sacara
conclusiones a medida que incorporara nuevas experiencias. Si me permite, es
como decir que debía parecerse más a un comportamiento humano. Pero hay más.
Enterados de lo que estaba sucediendo con DeepMind
y los progresos que producían con su programa, aparecieron dos personas que se
interesaron… y mucho: Larry Page y Sergey Brin. Por las dudas, son los
creadores y fundadores de Google. Viajaron a Londres en 2014 y le hicieron una
oferta a Hassabis y su grupo: le comprarían la compañía con ellos adentro como
socios, por 650 millones de dólares.
La respuesta fue afirmativa no solo por el dinero
en juego (no despreciable, obviamente): a partir de ese momento todo lo
que pudiera hacer AlphaGo tendría el respaldo de Google. En realidad, AlphaGo
es de Google ahora y toda la potencia, toda las computadoras, toda la
capacidad de almacenamiento, todo… en fin, todo lo que se le ocurra ,
está a disposición de Hassabis y su grupo.
Cuando AlphaGo tuvo sus primeras versiones listas,
empezó a jugarles a los otros programas de Go disponibles. De hecho, jugó 500
partidas contra todos los otros; AlphaGo ganó 499. Y llegó
octubre del año 2015. La idea fue contratar a Fan Hui, el campeón europeo de
Go. Hui nació en China pero se naturalizó francés, y hoy, a los 34 años, es el
director técnico del equipo profesional de Go que representa a Francia en las
competencias internacionales. Hui no es ni era el mejor
jugador en actividad, pero sí es un jugador profesional y en ese momento se
ubicaba entre los mejores 650 del mundo. Teniendo en cuenta que más de una
tercera parte del mundo juega al Go, es un logro no menor. Lo
contrataron para que jugara cinco partidas contra AlphaGo y sucedió algo
inesperado: por primera vez en la historia, AlphaGo (una computadora) le ganó
una partida a un humano. En realidad, no solo le ganó una partida,
le ganó las cinco. Todo esto tuvo un impacto muy fuerte en China, Corea, Japón…
Sucederían dos cosas más todavía. La primera tuvo
lugar en enero de 2016. La revista Nature, una de las más
importantes por prestigio y penetración en el mundo de la ciencia, publicó un
artículo [15] sobre
AlphaGo, lo que terminó ubicándolo en el mapa. Bueno, al menos en ese mapa,
en donde vivimos los que estamos en este lugar del mundo.
Pero faltaría algo más: Lee Sedol.
Para usted, como lo era para mí hasta hace muy
poquito tiempo, ese nombre no dice nada. Sedol es un joven de 33 años nacido en
Corea del Sur. En otras partes del mundo, Sedol es como Maradona o
Messi o Federer o Tiger Woods. Es el campeón mundial de Go… desde hace ¡18
años! Todos los que trabajan en DeepMind y produjeron AlphaGo necesitaban jugarle
al equivalente de Kaspárov hace veinte años. ¿Cómo? Justamente la gente de
Google le hace una oferta: lo desafían a jugar cinco partidas, en donde él
elija (eligió su ciudad, Seúl). Si él ganaba tres de las cinco, le pagarían un
millón de dólares. Si perdía, podría elegir una obra de beneficencia cualquiera
y Google depositaría/donaría ese millón de dólares allí.
Lee no contestó inmediatamente. Primero, según
declaró, quería ver cómo y por qué había perdido Hui en octubre del año
anterior. De todas formas, cuando se firmó el contrato dijo públicamente que él
creía que podía jugar mucho mejor que el campeón europeo, y que su duda estaba
en si ganaría 5 a 0 o 4 a 1.
Las cinco partidas se jugaron en el hotel Four
Seasons de Seúl. En un salón especialmente acondicionado, los enfrentamientos
tuvieron lugar el 9, 10, 12, 13 y 15 de marzo. A diferencia de lo que sucede
con el ajedrez, en el cual cada jugador hace 40 movimientos en promedio, las
partidas de Go son mucho más largas: superan las 200 movidas. Pero había algo
más: hasta principios de este año, AlphaGo había jugado solamente una vez
contra un jugador profesional. ¿Cómo les iría contra Sedol? Había llegado el momento
de ‘la verdad’ para Hassabis y el grupo de veinte investigadores que habían
sumado sus esfuerzos para intentar dar el ‘salto de calidad’ y entrar en la
historia. En el sudeste asiático los diarios y los jugadores profesionales se
manifestaban con muestras de sarcasmo y sugerían el ridículo que habría de
hacer AlphaGo al enfrentarse con Lee. De hecho, la convicción era que sería la
manera más fácil para Sedol de ganar un millón de dólares.
No tan rápido, muchachos…
De las cinco partidas, los organizadores le
ofrecieron a Lee que jugara tres veces con negras[16], con lo cual
pudo hacer la primera movida. Ni bien empezó la primera partida, Lee advirtió
que estaba jugando contra un animal diferente del que había tenido Hui hacía
algunos meses. Es que AlphaGo tiene la capacidad de dividirse en dos y jugar
contra ella misma, y lo hace millones de veces por día e incorpora esos datos
una y otra vez. Desde octubre de 2015 hasta marzo de 2016 habían pasado casi
cinco meses. Si bien al Go se juega desde hace más de dos mil quinientos años,
el hombre junta toda la información que puede y mejora en
función de esa experiencia. Más aún: mientras yo escribo estas líneas y usted
las lee, AlphaGo jugó millones de partidas sin que se le moviera un pelo. Y
la gran diferencia es que se acuerda de todo y en el camino,
esto es lo increíble, ¡aprende!
Esa primera partida, la del 9 de marzo, terminó de
forma inesperada para el mundo. Lee perdió después de 188 movimientos. Con el
rostro mortificado, Lee pidió disculpas… sí, disculpas. Cuando le preguntaron
qué pronóstico tenía para el día siguiente, su respuesta fue muy diferente de
la del día en que se firmó el contrato: “50 y 50”. Si bien la máquina
sorprendió a Lee (y al resto de los expertos por lo que hizo en la movida 102
de esa primera partida), todavía habría más.
El jueves 10 de marzo, ahora con piezas blancas,
Lee estaba dispuesto a dar batalla, pero algo curioso sucedió en el camino.
Cuando AlphaGo hizo su movida 37, Lee quedó petrificado. Las
cámaras lo mostraron con la frente transpirada. Se levantó y salió de la sala.
Cada jugador tiene dos horas para hacer todos sus movimientos y, por lo tanto,
cada minuto tiene un peso específico que nadie ignora. Lee volvió después de un
cuarto de hora y jugó la mejor partida de su vida (según él mismo), pero…
¡volvió a perder! Esa movida 37 representa un quiebre en la
historia para los que juegan al Go. Nunca nadie había jugado así. La
probabilidad de que alguien haga esa movida está estimada en 1 en 10.000. De
hecho, el presidente de la Asociación Norteamericana de Go, Andrew Jackson,
declaró que si alguno de sus maestros hubiera visto que él hacía esa movida, le
habrían dado una palmada en la muñeca diciéndole: “Eso no se hace”. Bueno, uno
debería agregar: ¡no se hacía! Ahora sí se hace. Más aún, ¡esas movidas le
sirvieron para ganar! Lee aceptó la derrota después de 211 movimientos.
Allí está lo extraordinario del relato. Lee había
jugado la mejor partida de su vida y, a pesar de haberle alcanzado, comentó que
ese día había aprendido lo que nunca antes había visto. Y de eso se trata.
Dos días más tarde, el sábado 12, se jugó la
tercera partida. Ahora Lee necesitaría ganar las siguientes tres si quería
aspirar al millón de dólares, pero ni siquiera eso era lo importante. Lee
volvió a perder y, cuando declaró que sentía que había fallado, pareció pedir
disculpas por lo ‘mal que nos ha representado’. Sin embargo, y como era
esperable, Lee no perdió contra una máquina ni una computadora. Lee Sedol
acababa de perder contra un grupo de veinte personas que juntaron sus mentes
para diseñar un programa que pudiera contra el mejor que podemos exhibir
nosotros hoy. AlphaGo somos todos nosotros. AlphaGo no llegó desde un universo
desconocido en una suerte de ovni y nos ganó a un juego que inventamos
nosotros. Una vez más, AlphaGo somos todos nosotros.
Gu Li, uno de los dos amigos íntimos de Sedol y
también importante jugador profesional, contratado por la televisión nacional
de China, opinó esa noche: “Lee estuvo jugando una batalla solitaria contra un
rival invisible”.
Ya no habría un millón de dólares para Lee pero sí
hubo más partidas. Al día siguiente, el domingo 13 de marzo, Lee jugó con
blancas. Curiosamente, AlphaGo cometió un error a poco de comenzar la partida y
Lee no lo dejó pasar: en la jugada 78 hace una jugada ingeniosa y creativa, que
también tenía una probabilidad de 1 en 10.000 de ser utilizada. Pero a
diferencia de lo que había pasado antes, AlphaGo se entrega. El resultado
estaba 3 a 1 ahora. Ya no sería como con Hui.
Lee pidió jugar la quinta partida con piezas
negras, porque su único triunfo se había producido con blancas, y ganar el
último partido con negras tendrías más valor. Obviamente, se le concedió el
pedido. Pero ya no hay mucho más por hacer. Esta vez no hubo error de AlphaGo y
toda la sabiduría y creatividad de Lee no alcanzaron. Final: AlphaGo 4 - Lee
Sedol 1.
El futuro
Esto recién comienza. Sería inapropiado tratar de
sacar conclusiones cuando en el futuro está todo y el pasado
nos permitió llegar hasta acá. Cuando Deep Blue le ganó a Kaspárov, la máquina
que había diseñado IBM virtualmente desapareció de la escena. No hubo
posibilidades de extrapolar para ninguna otra cosa lo que obviamente sirvió (y
sirve) para ganar al ajedrez. Es decir, no hubo manera de aprovechar (salvo en
cosas menores) la potencia de lo que había sucedido. Ahora, con AlphaGo es
diferente.
Tanto Brin como Page dijeron después del triunfo:
“Está claro que no invertimos 650 millones de dólares para ganar al Go. Ese no
es el objetivo de Google”. No, claro que no. La expectativa es que este tipo de
programas, en los cuales las máquinas aprenden y se van mejorando, sirvan
además para mejorarnos a nosotros. El campeón europeo, Fan Hui, estaba ubicado
entre los mejores 650 jugadores del mundo. Hoy ya está entre los mejores 300,
después de haber jugado contra AlphaGo. Por otro lado, las movidas que hizo en
su enfrentamiento con Lee Sedol abrieron un universo de posibilidades que los
humanos no sabíamos que existían. Para decirlo de otra forma: en los programas
anteriores, las computadoras tienen predeterminado qué hacer
en cada caso. AlphaGo aprende mientras juega… y en el camino, nos enseña a
nosotros. De hecho, AlphaGo no habría podido demostrar toda su potencia de no
haber sido porque Lee Sedol la empujó hacia ese lugar y la desafió.
La inteligencia artificial no será replicar la
‘inteligencia del hombre’, su creatividad. Es decir, los aviones
vuelan pero no tienen alas que se muevan, ni plumas ni músculos. El hombre
replicó lo que necesitó para obtener el mismo resultado. Ernest Davis, profesor
en la Universidad de New York, acaba de escribir: “Usualmente, uno le dice a
una computadora lo que tiene que hacer. En cambio, cuando
hablamos de ‘aprender’, uno le muestra cómo. Me explico. Suponga que usted
quiere que una computadora cruce una calle, por ejemplo. Con la programación
convencional usted le da un conjunto muy preciso de reglas, diciéndole que
tiene que mirar para la derecha, para la izquierda, esperar los autos, usar las
‘cebras’ para cruzar, etc., y después dejarla que lo haga sola. En cambio, con
‘el aprendizaje’ del que yo le estoy hablando, uno le muestra 10.000 videos de
alguien cruzando una calle de forma correcta y otros 10.000 videos de alguien
que al intentar cruzar mal es atropellado por un auto, y
después la deja a ella sola para que aprenda. ¡Y aprende!”.
Como decía al principio, estamos en presencia de
algo nuevo, al menos, algo nuevo para mí. El hombre acaba de cruzar una barrera
que algunos ni siquiera pensábamos que se podía abordar. Un enorme potencial se
acaba de abrir, con todas las implicancias éticas y de tremendo poder para
quien posea esta tecnología.
Algunos países más ‘periféricos’ (por la posición
geográfica) como la Argentina, por poner un ejemplo, se sitúan en un lugar de
privilegio en estos temas. Esto se debe a múltiples factores, por supuesto,
pero en principio, la masa crítica de personas interesadas, el desarrollo de
programas en las distintas universidades nacionales que se ocupan de
absorberlos, contenerlos y educarlos, la probada creatividad exhibida por los
alumnos, las increíbles iniciativas personales y el éxito que ya han logrado
hasta acá, ponen al país en una situación de envidia para sus vecinos de la
región.
Como sucede siempre, mantener el nivel (y
aumentarlo, ya que está claro que entre otros rumbos, el mundo avanza
en ese sentido) requiere de inversión y fondos que protejan ese desarrollo.
Justamente allí está la clave que diferencia ‘soberanía’ de ‘dependencia’. O lo
produce el país (y después de cumplir y cubrir las necesidades internas le
servirá eventualmente para exportar) o lo tendrá que comprar hecho, y dependerá
de que nos lo quieran vender. En fin, me desvié, pero creo que se entiende lo
que pienso.
4. Libratus
El duelo fue anunciado con mucha anticipación. Eso
sí: tenía el atractivo de toda revancha o desquite. La primera vez se habían
enfrentado en julio de 2015, en el mismo lugar: el Rivers Casino de Pittsburgh.
¿Pittsburgh? ¿Por qué habrían de medirse en una ciudad con tanto frío (en esa
época del año en el hemisferio norte)? Si bien Pittsburgh es, detrás de
Filadelfia, la segunda ciudad en importancia de Pennsylvania, tiene que haber
alguna razón de mucho peso para que se desarrollara en un lugar así. Curiosamente,
como en la primera oportunidad, no hubo promoción ni difusión, no se vendieron
entradas anticipadas ni se discutieron los derechos de televisación. No hubo
gente haciendo cola y las redes sociales ignoraron el evento por completo.
¿Entonces?
Creo que está claro, a esta altura, que cualquier
acontecimiento que no se vea por TV o que no tenga repercusión en las redes
sociales… ¡no existe! Podría decir, con poco margen de error, que es porque ¡no
le interesa a nadie! No se apure, no vaya tan rápido. Espéreme un poquito.
Después de leer lo que sigue, volvemos juntos para atrás y repensamos la
respuesta.
En principio, el cartel que figuraba en la
marquesina decía lo siguiente:
Brain vs. Artificial Intelligence: Upping the Ante
Jan 11-20, 2017
Rivers Casino, Pittsburgh, PA
Es decir, el Cerebro enfrentando a
laInteligencia Artificial, con un agregado: Subiendo la Apuesta.
Me imagino un diálogo entre usted y yo:
—Adrián, ¿otra vez con lo mismo?
—Sí, otra vez con lo mismo.
—¿Y ahora? ¿Qué pasa ahora? O mejor dicho,
¿qué pasó ahora?
—Téngame un poquito de paciencia y le cuento.
—¿Otra vez ‘la máquina’ compitiendo con los humanos
en algún juego?
—Y sí, de nuevo…
—Pero ¿no era que ya se sabía cómo ganar siempre a
las damas, al ajedrez, al Go? ¿Qué juego queda?
Acompáñeme por acá. Quiero resumirle una historia.
· En 1997, Deep Blue, un programa
diseñado por IBM, le gana —finalmente— al mejor jugador de ajedrez y campeón
del mundo en ese momento: Garry Kaspárov.
· En 2007, Jonathan Schaeffer [17], profesor de
la Universidad de Edmonton, en Alberta, Canadá, diseña su programa Chinook y
publica su trabajo seminal: “El fin de las damas”.
· En 2011, Watson, un programa también
diseñado por IBM, les gana a Ken Jennings y Brad Ruttner, los dos campeones del
mundo de Jeopardy! (un juego al que nosotros no jugamos en
nuestro país pero, si le interesa, le sugiero que lo googlee).
· Finalmente, en 2016, en su laboratorio DeepMind,
Google diseña su programa AlphaGo[18] que le
gana al campeón del mundo en ese momento (y actual), Lee Sedol.
A partir de esos momentos particulares, los
humanos, a través de nuestros representantes, podemos decir que dominamos
cualquiera de esos juegos. Sabemos ahora qué estrategias elaborar para ganar
siempre o, si usted prefiere (y sería más correcto), no perder
nunca. En realidad, si quisiera ser riguroso debería decir que eso es
cierto para todos los juegos. Y en el caso del Go, AlphaGo no conoce (¡aún!) la
jugada perfecta para toda situación… pero con lo que hace, la probabilidad de
que un humano gane una partida es cada vez más pequeña.
Ahora apareció algo distinto. Tuomas Sandholm y
Noam Brown son —respectivamente— profesor y alumno de doctorado en el
Departamento de Computación de la Universidad de Carnegie Mellon, en
Pennsylvania, Estados Unidos. Ellos diseñaron un programa (que llamaron Libratus),
para que juegue al póker. Para ser más precisos, es una variante del
póker [19] . No
hace falta saber nada sobre él: de hecho, si usted no sabe jugar, sepa que yo
tampoco. Este artículo no es para ilustrar sobre el juego, sino para exhibir
algo extraordinario que acaba de suceder.
En todos los juegos de los que hablé antes, los
rivales tienen toda la información a la vista. Como se juegan
sobre un tablero, los dos jugadores ven las piezas del rival y saben en qué
lugar están ubicadas. No hay nada escondido. Pero acá es donde se produjo un
salto fundamental. Cuando uno juega a las cartas, no importa que sea al póker o
al juego que usted elija, hay información del rival que uno no tiene, hay
cartas que uno no ve. Y lo mismo sucede al revés. Esto se presta
para que hagamos lo que se llama un ‘bluff’, es decir, que yo
quiera que usted ‘crea’ que yo tengo ciertas cartas que en realidad no tengo, y
viceversa. Si quiere ignorar al póker, pase al truco: yo puedo ‘gritarle’
envido o truco y usted no sabe si yo tengo buenas cartas o no. Eso forma parte
del juego, claramente. Lo mismo con el póker. Es por eso que ahora la
computadora, o mejor dicho Libratus, tiene que intuir por
qué usted hace lo que hace, y decidir si usted está tratando de engañarla (o
no).
Estos juegos se llaman ‘de información incompleta o imperfecta’.
‘Esa’ es la gran diferencia. No están todas las cartas (o
fichas) arriba de la mesa. La computadora, como usted, no ve todas las
armas que tiene el rival. Elaborar estrategias en esas condiciones es
claramente mucho más difícil que jugar cuando todo el arsenal está expuesto y
usted puede contar no solo cuántos ‘soldaditos’ tiene el rival, sino que además
puede visualizar dónde están ubicados.
La gran novedad es que, esa
semana, los humanos perdimos contra la computadora, perdimos
contra el programa de Sandholm y Brown, perdimos contra Libratus.
¿Quiénes perdieron? ¿Cómo perdieron? Ya verá, téngame un poco más de paciencia.
Libratus no solo descubrió cuando los humanos la quisieron engañar, sino que
utilizó la potencia de su estrategia… ¡para engañar a los humanos, para
confundirlos! En el camino, derrotó por una abrumadora diferencia a los cuatro
mejores jugadores de póker del mundo. ¿No merece prestarle un poco de atención
al episodio?
En agosto de 2015, en el primer desafío entre el
‘Cerebro’ y la ‘Inteligencia Artificial’, los cuatro jugadores que participaron
le ganaron al programa Claudico [20] que
habían diseñado también Sandholm y Brown. El encuentro se hizo en Pittsburgh,
en el mismo casino. Para Brown, el resultado fue técnicamente un empate,
pero los jugadores sintieron que “habían ganado”. Ahora ya no importa, es
historia.
Durante veinte días, del 11 al 30 de enero de este
año, esos cuatro jugadores (Jason Les, Jimmy Chou, Daniel McAuley y Dong Kim)
se enfrentaron contra el nuevo programa de Sandholm y Brown: Libratus.
Pero no lo hicieron de cualquier manera, sino con esta estructura.
Jugaron diez horas por día. Todo ese
tiempo miraron las pantallas gigantes de múltiples televisores. No jugaron
por dinero real, pero sí contabilizaron el dinero que iría ganando
cada uno (cada humano) si estuviera jugando en una mesa de póker real.
Al finalizar la competencia, los humanos se habrían
de repartir 200.000 dólares entre ellos, de forma proporcional a los resultados
que obtuvieron en sus partidas contra Libratus. En total jugaron
120.000 manos… sí, leyó bien: ¡120.000!
Ahora, preste atención a un dato extraordinario.
Quizás usted está pensando en un detalle no menor: ¿cómo interviene la suerte?
Es decir, cuando se juega al ajedrez o a las damas o al Go, las piezas empiezan
siempre en la misma posición. No sucede lo mismo en los juegos de cartas. ¿Qué
pasa si usted (o yo) recibimos mejores cartas? ¿Cómo
interviene este particular factor?
Para resolver esa dificultad, hicieron lo
siguiente: separaron a los cuatro humanos en dos equipos de dos personas. Un
par jugó contra Libratus en una habitación sin contacto con el
exterior, no podían usar sus teléfonos… nada.
El otro equipo se enfrentó contra Libratus en
una habitación abierta para que pudieran seguir los partidos todas las personas
interesadas. Pero lo notable es que decidieron darles las mismas cartas a
ambos equipos, pero cambiadas. Es decir: las cartas con las que los humanos
jugaban dentro de la habitación privada correspondían a las cartas que Libratus tenía
para jugar en la habitación abierta al público; y al revés: las cartas que
tenía Libratus en la habitación privada eran las de los
humanos en la habitación pública. De esa forma, humanos y computadora
tenían ¡las mismas posibilidades!
Por supuesto, lo notable es que, aun así, la
computadora ganó por escándalo. De hecho, haciendo las cuentas finales, Libratus se
impuso en 15 de los 20 días que jugaron.
Al terminar cada jornada, después de diez
horas de competencia, los cuatro jugadores se juntaban en el hotel e
intercambiaban las notas sobre qué había hecho Libratus en
cada una de las manos que cada uno de ellos había jugado. Después, una
obviedad: cenaban y se iban a dormir.
Por supuesto, la máquina no necesitaba dormir nada.
Es más: mientras ellos comían, conversaban y descansaban, Libratus seguía
jugando contra sí mismo y tratando de resolver los problemas que esos mismos
humanos le habían planteado durante el día, ya que, como jugadores
excepcionales que son, para enfrentarla elaboraban estrategias que los
programadores no habían contemplado.
Acá apareció una diferencia más: en todos los casos
anteriores (ajedrez, damas, Go), los programadores intentaron explotar las
debilidades de los humanos, si es que las descubrían. En este caso, la
estrategia fue al revés. Libratus aprovechaba lo que aprendía
¡de lo que los humanos le enseñaban durante las diez horas del día! Es decir,
cuando Les, Chou, McAuley y Kim encontraban alguna flaqueza y comenzaban a
explotarla, a la noche, la computadora resolvía esos agujeros o errores.
De hecho, Sandholm dijo que elegían los tres problemas más
serios que habían descubierto los humanos y un meta-algoritmo intentaba
resolverlos durante la noche. El cambio era evidente: en lugar de detectar y
luego explotar las debilidades de los rivales (los humanos), Libratus aprendía
durante el día cuáles eran las debilidades propias y las corregía durante la
noche.
Pero hay más… y esta también es
una diferencia extraordinaria. En marzo de 2016, cuando AlphaGo le ganó al
campeón del mundo Lee Sedol y finalmente el hombre aprendió cómo dominar el
juego (el Go), la máquina jugaba contra sí misma pero, en su base de datos, los
humanos la alimentaron con ¡todas las partidas de Go que se habían
jugado en la historia hasta ese momento de las cuales hay un registro público!
En cambio, a Libratus no le
mostraron ninguna partida de póker que se hubiera jugado antes.
¡Ninguna! Solo le dijeron cuáles eran las reglas del juego y empezó a
jugar ¡solo! (o sola, como prefiera) desde el principio. Aprendió
por su cuenta. Por supuesto, cometió todos los errores de un
principiante, pero aprendió. Y resulta que ahora juega mejor
que cualquiera de los cuatro mejores representantes que tenemos los humanos,
sencillamente porque es capaz de elaborar mejores estrategias que las
que nosotros podemos producir en el mismo tiempo .
En el camino hizo algo imposible para nosotros:
jugó billones de partidos (billón es un uno seguido de doce ceros)
sin haber visto una partida ‘en serio’ en donde Libratus no
participaba. Se fue refinando hasta descubrir qué es lo que más le convenía
hacer para ganar más dinero: si apostar o retirarse.
Cuando terminó la competencia, Jason Les dijo: “Ha
sido una experiencia muy frustrante porque daba la sensación de que Libratus ¡nos
veía las cartas! No se puede jugar tan bien con tanta
consistencia. Nosotros no estamos acostumbrados a perder, pero experimentamos
situaciones que nunca habíamos vivido. La computadora juega de una manera
imprevisible para nosotros. Sus estrategias nos confundían. Cada vez que alguno
de nosotros creyó que había detectado alguna debilidad, inexorablemente resultó
ser un espejismo. Al día siguiente, nos pulverizaba si intentábamos ir por ese
camino”.
Las partidas se hicieron en Pittsburgh, con o sin
frío, porque tanto Sandholm como Brown trabajan en Carnegie Mellon y la
supercomputadora que usaron está a 15 minutos del casino en el que se realizó
la competencia.
Justamente, el director del Departamento de
Computación de la universidad, Frank Pfenning, elaboró un comunicado que
publicó oficialmente la institución. Allí se pretende resaltar la importancia
del hecho conseguido y por qué sí importa, o nos debiera
importar, lo que hizo Libratus.
No mencionó lo que significa esto para la propia
industria del juego, pero sí lo que representará en términos de elaboración de
estrategias militares o de prevención de ciberataques, y también en relación
con los diseños de nuevos tratamientos en medicina. “La computadora no puede
ganar al póker si no puede hacer ‘bluff’. Imagine que en algún
momento su teléfono inteligente pueda negociar el precio de su nuevo auto mejor
que usted. Esto es solo el principio”.
Sí, es nada más que el principio y vale la pena
estar informado de lo que está sucediendo en el mundo. La ciencia no tiene
moral. Solo un ejemplo: la energía atómica se puede emplear para reemplazar los
recursos naturales que utilizamos hoy y que se agotarán inexorablemente, o para
construir la bomba atómica. Pero el progreso de la ciencia y la tecnología es
inexorable también. Por ahora, ningún teléfono inteligente tiene la potencia de
la supercomputadora de Carnegie Mellon. [21] Es solo
cuestión de tener paciencia para que el teléfono celular ya no se llame más
teléfono inteligente pero sí tenga la potencia de la supercomputadora de
Carnegie Mellon. Pero claro, en ese momento, las supercomputadoras… (siga usted
con la idea).
Esto es nada más que el principio. Pero ¿el
principio de qué?
Continuará…
Datos salpicados
1. En esta variante de póker, solo se enfrentan dos
rivales. En este caso, fue alguno de los humanos que le jugaba mano a
mano a Libratus.
2. En enero de 2017, jugaron Jason Les, Jimmy Chou,
Daniel McAuley y Dong Kim. En agosto de 2015 también habían participado Les y
Kim, pero los otros dos fueron Doug Polk (el campeón del mundo en ese momento)
y Bjorn Li.
3. El programa que enfrentaron en 2015 se
llamaba Claudico y también lo produjeron Sandholm y Brown.
4. Tanto Brown como Sandholm dijeron que la
diferencia que lograron los humanos no había sido significativa, que debió
haberse considerado un empate (técnicamente). Por supuesto los jugadores negaron lo
que dijeron los científicos.
5. En 2017 se jugaron 120.000 ‘manos’. En 2015,
‘solo’ se habían jugado 80.000.
6. Los RESULTADOS fueron:
a. Jason Les perdió 880.087 dólares.
b. Jimmy Chou perdió 522.857 dólares
c. Daniel McAuley (de Escocia) perdió 277.657
dólares.
d. Dong Kim fue quien jugó mejor, aunque igual
perdió 85.649 dólares en veinte días. Se entiende que no es dinero en
efectivo sino en fichas. No hubo dinero en juego, salvo
los 200.000 dólares que se repartieron entre los cuatro.
7. La complejidad del juego es enorme.
Son 10160 conjuntos de información, es decir, un uno seguido de
ciento sesenta ceros (hay más conjuntos de este tipo que átomos en el
universo).
8. El Centro de Supercomputación que está en
Pittsburgh se llama Bridges y es uno de los más importantes del mundo. Libratus utilizó
600 de los 846 nodos del total que tiene Bridges.
9. La velocidad de Bridges es de 1.35 petaflops,
algo así como 7.250 veces más rápida que la laptop más rápida que se fabrica
hoy. La memoria de Bridges está en el orden de los 275 terabytes, que
representa algo equivalente a la capacidad de memoria de más de 17.500 de las
mismas laptops que consideramos antes.
10. Para quienes entiendan (y les interese) un poco
más la parte técnica, Libratus necesitó usar 19 millones de
‘core-hours’ de cálculo y acceso a una base de datos de 2.600 terabytes de
información.
11. Unos días más tarde, Sandholm aprovechó el foro
que le ofreció el congreso que hizo en San Francisco (California) la Asociación
para el Avance de la Inteligencia Artificial. Allí, él y su alumno compartieron
todo lo que descubrieron en el desarrollo y competencia sobre el póker.
12. Cuando terminó la competencia, Brown dijo:
“Esto cambia los preconceptos que existen entre la inteligencia de la máquina y
la humana. La percepción de la gente es que el póker es un juego muy humano, y
que la computadora no puede hacer ‘bluff’. Bueno, esta idea está totalmente
equivocada. No se trata de leer la mente de tu rival y tratar de deducir que
están mintiendo. Se trata de saber usar las probabilidades cuando uno mira las
cartas que le tocaron”.
13. Una sugerencia: si usted juega al póker por
internet, tenga cuidado, porque si cree que está jugando contra
otro(s) humano(s), quizás sea alguna versión de Libratus. Por
ahora, es difícil que suceda, pero no imposible, y ni hablar en el futuro no
tan mediato.
14. Por último, el trabajo de Sandholm y Brown se puede leer aquí
5. Anonimato
Lea esta historia con cuidado porque, aunque no sea
usted la víctima, podría tocarle (si es que no le ha tocado ya y no lo
advirtió) en un futuro muy cercano. Me explico.
Es posible que tenga un teléfono celular o una
laptop o una computadora de escritorio. Es también posible que cuente con
acceso a internet y, desde hace un tiempo, la tecnología le haya cambiado la
vida. De hecho, ahora se puede comprar sin salir de la casa, sin siquiera haber
‘tocado’ la mercadería que se elige, pagar servicios, impuestos y pasajes,
estudiar, investigar, aprender… El correo postal se usa solamente para
lo imprescindible. Hoy por hoy: ¿quién escribe una carta? Es posible hablar
por teléfono ‘viéndose’ mutuamente con la otra persona, enviar mensajes de
texto, fotos, a través de Facebook, Twitter, Instagram, WhatsApp, Skype, etc.,
etc., etc. Creo que la idea está clara.
Pasaron más de 200.000 años para que la población
mundial llegara desde cero a mil millones, pero alcanzaron 200 para que
superáramos los siete mil (millones). Los primeros teléfonos aparecieron sobre
el final del siglo XIX, las radios a transistores empezaron a producirse en
1947, pero se popularizaron entre 1960 y 1970 cuando ya había hecho su ingreso
la televisión. Como usted advierte, los ‘saltos cualitativos y revolucionarios’
se produjeron, sí, pero con varias décadas en el medio.
¿Adónde quiero llegar? Téngame un poquitito más de
paciencia. Una pregunta: ¿es gratis todo esto? Es decir, me
doy cuenta de que la respuesta obvia es que no, que gratis no
es… pero si uno analiza la cantidad de tiempo que ahorra, más la facilidad y
celeridad en el acceso a la información (para los privilegiados como yo, sin
ninguna duda), uno supondría que la cuota mensual a pagar tendría que ser
abrumadora y/o prohibitiva. Sin embargo, aun teniendo en cuenta las diferencias
en los potenciales planes y velocidades de transferencia de datos, hay algo que
no cierra. Por ejemplo, ¿dónde está el negocio de Google? ¿Cómo es posible que
uno pueda contestarse preguntas que ni siquiera se hizo ni sabía que eran
posibles de formular, y todo en un milisegundo? ¿Qué ganan empresas como
Facebook, Instagram (por poner algunos ejemplos)? ¿Cómo puede ser que uno no
tenga que pagar nada para abrir una cuenta de correo
electrónico en Hotmail o Gmail o el proveedor que más le convenga? ¿Cuál es
el negocio? ¿Desde cuándo en el mundo capitalista alguien regala algo?
Ahora sí, la historia que le prometí al principio.
Target es el nombre de una de las cadenas de
supermercados más grandes de los Estados Unidos y del mundo. Al día de
hoy [22], tiene 1.803
sucursales. Su base está en Minneapolis pero también opera en la India. En
algún sentido, es la gran competidora de Walmart, una supercadena que también
está en la Argentina.
Una tarde cualquiera, un hombre que vivía en las
afueras de Minneapolis entró visiblemente enfurecido en la sucursal de Target
que tenía más cerca. En la mano derecha sostenía varios papeles que parecían
recién impresos, y pidió o, mejor dicho, demandó hablar con el
gerente del local.
Pocos minutos después, ya en una oficina,
desparramó los papeles que había traído: eran cupones con descuentos que Target
le había enviado a la cuenta de correo electrónico de la hija: “¿Están locos
ustedes? ¡Mi hija tiene 14 años! ¡Recién empezó el colegio secundario y ustedes
le envían cupones con descuentos para ropa de bebé, pañales y cunitas! ¿Qué es
lo que quieren: estimularla para que quede embarazada?”.
El gerente le pidió los cupones, los revisó y
consultó con el departamento que Target tiene destinado a las promociones.
Quería asegurarse de que ese correo hubiera sido enviado por la empresa. Y sí.
Después de esperar unos minutos, la voz del otro lado del teléfono le confirmó
lo que le había dicho el señor que tenía adelante.
El gerente pidió disculpas de todas las formas
imaginables y pensó que todo terminaba allí… Pero no.
Estimulado por un superior que comprendió la
promoción negativa que podía tener Target si el episodio tomaba estado público,
llamaron a la casa del padre de la joven con la idea de reiterar y enfatizar las
disculpas. De paso, el llamado serviría para garantizar que la empresa tomaría
el ejemplo para no incurrir en futuros errores.
El padre escuchó unos instantes y con un tono de
voz sombrío dijo: “Vea. Tuve una conversación con mi hija y después de una
larga charla es evidente que en mi casa se produjeron algunas actividades de
las que yo no tenía idea. El bebé nacerá en agosto. El que tiene que pedirles
disculpas soy yo”.
Aquí, una pausa. No sé si usted se imaginó desde el
comienzo que la historia apuntaba en esa dirección. No importa. En todo caso,
lo que sí importa es que Target —que es solamente un
ejemplo— supo antes que los padres que la niña estaba embarazada. La
compañía, a través de su sector de Analytics [23], le asigna a
cada mujer un ‘índice de potencial embarazo’, y lo hace recopilando la
información sobre sus patrones de compra.
De acuerdo con lo que se hizo público, la empresa
pudo detectar que una gran mayoría de las mujeres que incrementan fuertemente
la cantidad de loción sin perfume que compran terminan
teniendo un bebé seis meses después.
Más aún: esas mismas mujeres aumentan
—habitualmente— la ingesta de suplementos medicinales con magnesio,
zinc y calcio, datos que a Target le sirven para aumentar
fuertemente la probabilidad de embarazo. A partir de ese momento, como las
consideran muy buenas candidatas a tener un bebé en un futuro cercano, y con la
idea de capturarlas como clientes, comienzan a enviarles cupones con descuentos
sobre determinados productos relacionados con el tema.
Creo que no hace falta que siga con el ejemplo. Lo
extraordinario (o increíble) es que el algoritmo ¡no había fallado! Target
supo antes que los padres de la niña lo que estaba sucediendo
con ella.
Ahora, unos párrafos sobre la privacidad. Cuando
usted utiliza su GPS para decidir cómo llegar a su destino, está claro que
tiene que enviar los datos de su ubicación. Y uno lo hace tranquilo porque el
servicio que recibe como devolución es verdaderamente extraordinario. En algún
sentido, es como si todos estuviéramos manejando un avión y no
un auto. No hace falta saber nada. Uno pone el lugar al que quiere llegar ¡y
listo! El algoritmo detecta la posición de su teléfono y hace el resto
sin su intervención.
Por supuesto, la tecnología del GPS es muy potente,
pero funciona en una avenida de doble mano: uno aprende cómo ir y, al mismo
tiempo, deja una huella sobre el camino elegido y desde dónde empieza a
recorrerlo.
Esa es la parte que uno no ve, o no considera. Usted está enviando señales
constantemente sobre esa ubicación (la suya). Revisando esos datos, alguien
interesado podría determinar los lugares en los que usted estuvo instante
por instante. No solamente eso: podría exhibir los caminos que utiliza a
diario, dónde vive (o dónde pasa las noches), dónde trabaja, los lugares que
visita, los restaurantes en los que come, los negocios en donde hace sus
compras, las canchas, los cines o los teatros a los que concurre, su colegio,
universidad, trabajo, oficina, fábrica… Saber dónde viven sus familiares y
amigos (ya que uno —en general— entra con su teléfono celular mientras hace sus
visitas) y cuánto tiempo se queda en cada lugar. ¡Y listo, paro acá!
Un último dato para pensar: si una persona tuviera
acceso a las páginas que usted visitó en —digamos— la última semana desde su
computadora/teléfono/tableta, ¿no cree que eso terminaría identificándola/lo? O
sea, ¿cuántas personas habrán depositado su interés en exactamente los
mismos lugares que usted? En algún sentido, es un equivalente de ¡otro
ADN! Es un ADN digital. Uno termina autodefiniéndose por
los sitios que visita. Y si me deja, quiero aventurar algo más: todos estos
datos permiten no solo saber dónde estuvo… ¡sino también predecir o estimar dónde
va a estar! Lo mismo que quienes tengan los datos de su GPS.
Una cosa más: hace cuatro días, uno de mis amigos
españoles, el genial Ramón Besa, periodista del El País, me
preguntó: “¿Podremos ser anónimos otra vez?”.
Mi respuesta: ¡No! Es demasiado tarde. Hemos dejado
muchísimas señales en el trayecto. No hay manera de volver atrás. Eso sí, estoy
seguro de que ahora estoy en condiciones de dar la respuesta que me había
formulado al comienzo: ¿Gratis? ¡No…! Seguro que gratis no es.
6. Tetris
¿Tiene alguna idea de cuántos videojuegos se han
vendido en el mundo en toda la historia? Una parte de la
respuesta está en la tabla de las páginas 73-74 (extractada de Wikipedia [24]), en donde
aparecen ordenados todos aquellos de los que se vendieron al menos ¡15 millones
de copias! Es notable la penetración que han tenido desde su aparición a
comienzos de la década de los 80, pero lo notable es que, entre los cinco más
populares, hay dos que se diseñaron, programaron y empezaron a
vender en el pasado siglo XX: el Tetris y todas las versiones del Super Mario
Bros.
Pero lo extraordinario es que, con los datos de
julio de 2017, el Tetris acaba de superar la barrera de los 495 millones… (lo
escribo de nuevo… cuatrocientos noventa y cinco millones) de
copias, incluyendo todas las plataformas posibles, desde GameBoy, Atari,
Nintendo y PlayStation hasta las más actuales como teléfonos inteligentes,
tabletas, etcétera.
Ahora bien: ¿qué dice todo esto? ¿Por qué se habrán
hecho tan populares? ¿Tan mal pensamos de todas las
generaciones que vinieron después de las nuestras? ¿Consumen cualquier cosa?
¿Y nosotros? ¿Qué es lo que se nos ofrecía —equivalente a los videojuegos, por
ejemplo— que considerábamos que nos ‘idiotizaba’ y nos ‘aislaba’?
No tengo dudas de que los sociólogos deben tener
muchísimas cosas para aportar, y ni siquiera estoy seguro de lo que pienso.
Pero me interesa tratar de entender un poco más lo que sucede en nuestros
tiempos. Sí, porque estos tiempos… son nuestros también, ¿no?
Como una suerte de homenaje/reconocimiento al
Tetris, algunos datos y un problema.
Los datos
1) El Tetris fue creado por un matemático ruso,
Alexey Pajitnov, mientras trabajaba en el Centro de Computación de la Academia
de Ciencias de la ex URSS. Pajitnov se dedicaba a investigaciones en
Inteligencia Artificial y Reconocimiento de Voz. Tenía en ese momento 29 años y
lanzó su ‘producto’ el 6 de junio de 1984. La figura 1 muestra una captura de
la pantalla que usaba la primera versión que se conoce. El
Tetris revolucionó a los soviéticos y a todos los países vecinos, pero lo que
terminó por convencer a todos fue su irrupción brutal en 1988, cuando fue
presentado en Las Vegas, en la convención más grande del mundo en materia de
productos electrónicos. La adicción al Tetris se propagó a todo el mundo y,
como era esperable, personas/compañías reclamaron para sí ser los dueños de las
patentes. Intervinieron rusos, norteamericanos, japoneses… y hubo juicios de
todo tipo: todos contra todos. Ahora, marzo de 2017, parece que Hollywood no se
lo quiere perder: como sucedió con Lared social, la película que
giró alrededor de Mark Zuckerberg (creador de Facebook), se viene una sobre lo
que sucedió con el Tetris.
2) La palabra Tetris aparece como una combinación
de otra dos:tetrómino y tenis. Tetra es la palabra griega que
indica el número cuatro, la cantidad de cuadraditos que tiene cada
pieza del Tetris. Así como las piezas de dominó tienen dos cuadraditos, los
tetróminos tienen cuatro; pero, por supuesto, existen los pentóminos,
hexóminos, etc. La primera parte de la palabra indica el número de cuadraditos
involucrados en la pieza. Pajitnov eligió el tenis para que participara en la
palabra sencillamente porque era su juego favorito.
3) Aquellos que jugaron alguna vez (o muchas)
seguramente recordarán la música de fondo. Es una canción popular rusa que
recibe el nombre de “Korobéiniki”[25].
A propósito del Tetris, entonces, un problema
breve, sencillo y —creo— interesante.
Las siete piezas que se usan en el Tetris son las
que aparecen en la figura 2. Como usted ve, cada una se compone de cuatro
cuadraditos. En total, entonces, hay 28 cuadraditos. Tome ahora un rectángulo
de (7 × 4) como el que aparece en la figura 3. Tiene también —obviamente— 28
cuadraditos.
Entonces, esto invita para pensar: ¿se podrán
ubicar de alguna forma las siete piezas del Tetris arriba del rectángulo de
manera tal que lo cubran todo? Por supuesto, las piezas se pueden rotar [26] para
ajustarlas a las necesidades de su estrategia, pero ¿se podrá?
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Si tiene ganas (y tiempo), inténtelo. Eso sí: si lo
logró, haga un dibujo de forma tal que se vea claramente qué
pieza usa en cada sector del rectángulo. Pero si usted cree que no se
puede, ¿cómo sabe que otra persona no podrá lograr cubrir el rectángulo? Es
decir, ¿cómo convencería usted a alguien de que nadie va a
poder?
Justamente de eso se trata. Una vez más, y si me
permite: no lea lo que sigue hasta no haber intentado por su cuenta y descubrir
dónde reside la dificultad. Si no tiene tiempo ahora, guárdeselo para después.
¿Qué apuro hay?
Solución
Por más que uno intente… no va a
poder. ¿Por qué? ¿Cómo convencerse de que no es uno quien
no puede (o pudo) sino que nadie va a poder? Sígame por acá.
Por un lado, tome el rectángulo de (7 × 4). Pinte
todos los cuadraditos de blanco y de negro de forma alternada (figura 4).
Cuente la cantidad de cuadraditos blancos y negros del rectángulo. Verá que hay
la misma cantidad: 14 de cada color.
Figura 4
Ahora tome cualquiera de las seis piezas del Tetris
salvo la que forma una letra ‘T’. Si usted la apoya en el tablero, es fácil ver
que siempre cubre dos cuadraditos negros y dos blancos. ¿Qué
dice esto? Cuando usted haya apoyado esas seis piezas de la forma que quiera,
habrá tapado 12 cuadraditos negros y 12 blancos. Quedan por cubrir dos negros y
dos blancos más. ¿Y en la mano qué pieza le quedó?
Sí, ese es el problema. En la mano
le quedó la letra ‘T’ y, como usted advierte en la figura 5, la letra ‘T’ cubre
o bien tres blancos y uno negro, o al revés: tres negros y uno blanco.
Entonces, como en el tablero hay la misma cantidad de blancos que de negros, la
moraleja es que… ¡no se va a poder! Y este es un argumento contundente. ¡No
importa lo que hagamos ni usted, ni yo, ni nadie: no se va a poder! [27]
Figura 5
Como la letra ‘T’ es la única que
no va a cubrir el mismo número de cuadrados blancos y negros, no hay estrategia
posible.
Este es un caso muy sencillo porque el número (de
cuadraditos) es muy pequeño, pero en general, frente a un problema más
complicado, no es trivial demostrar que un camino o una solución no va
a existir.
Argumentos de este tipo —que se llaman de paridad—
son muy frecuentes en matemática y sirven para ahorrar muchísimo tiempo. Y de
paso, ayuda a no sentirse tan sola/o: no fue únicamente usted a quien no se le
ocurrió.
7. El problema de Josephus
Esta historia es una versión adaptada de
lo que —supuestamente— sucedió durante el siglo I. Sí, el siglo I. Suena raro,
¿no? Más aún: la historia dio origen a un problema clásico de la
matemática/computación que sobrevivió el paso del tiempo. Se lo conoce como el
“problema de Josephus”, ya que se supone que fue Flavius Josephus [28], un
historiador judío nacido en Jerusalén, quien describió la situación que
vivieron él y cuarenta soldados que lo acompañaban.
En un momento determinado de la guerra
judeo-romana, Josephus y su grupo cayeron en una emboscada y quedaron atrapados
en una caverna rodeada de soldados enemigos. Después de debatir cómo proceder,
acordaron suicidarse antes de ser capturados. Sin embargo, Josephus no estuvo
de acuerdo con la propuesta y, para que nadie tuviera que quitarse la
vida, propuso el siguiente método:
Sentémonos todos en un círculo. Alguno de nosotros
empezará primero y matará a quien tenga sentado a la izquierda y así vamos a
seguir hasta que —claramente— quedará nada más que uno solo de nosotros con
vida. Ese será el único que tendrá que suicidarse.
Fíjese en la figura 1.
Figura 1
Allí están las cuarenta y una posiciones numeradas
de forma creciente. Supongamos que empieza el que está sentado en la posición
número 1. Ese soldado matará al 2. Luego, el 3 matará al 4, el 5 al 6… y así
siguiendo. Como usted advierte, llegará un momento en el que habrán
muerto todos los que están sentados en las posiciones que
llevan un número par. Pero cuando muera el último de
ellos, el número 40 (a manos del 39), el 41 estará vivo aún. Ahora, el que el
41 tiene sentado a la izquierda es el número 1, quien había empezado con los
asesinatos. De acuerdo con las reglas, el 41 matará al 1, el 3 matará al 5,
etc. Creo que ahora está claro que van a morir todos hasta que quede
solamente uno con vida.
Aquí aparece una parte interesante de la historia
de Josephus. En principio, habrían de morir todos los soldados
que estaban con Josephus en la caverna, pero la diferencia es que quien quedara
último tendría que suicidarse… Más aún: el sobreviviente tendría que quitarse
la vida y no habría ningún otro integrante del grupo que estuviera
vivo para verificar que lo hiciera.
Como usted se imagina, Josephus eligió un
lugar particular del círculo y se sentó allí. Él sabía que siguiendo las
reglas, habría de quedar como único sobreviviente. Esperó que todos estuvieran
muertos y, en lugar de suicidarse, salió de la caverna y se entregó al enemigo.
Pregunta: ¿en qué lugar se sentó Josephus?
El problema es muy conocido en el mundo de la
matemática [29] y los
programadores, y es por eso que hay muchísima literatura escrita sobre el tema,
pero no hace falta saber nada particular para poder pensarlo. La versión que
figura antes es solo una de las posibles variantes (la más sencilla), y si yo
estuviera junto a usted, le sugeriría que no empiece con el
caso de los 41 soldados, sino que intente con números más pequeños de manera
tal de ver si le es posible intuir o imaginar una
estrategia para determinar al ganador o sobreviviente a
medida que va incrementando la cantidad de soldados.
De la misma forma, una vez que hayamos resuelto el
problema para 41 soldados, sería interesante pensar en una estrategia que
permita deducir cuál será la posición ganadora en un caso
general, es decir, independizarse del número 41 y encontrar alguna estrategia o
fórmula que permita deducir el número que hay que elegir sin tener que recorrer
todos los pasos intermedios.
Ideas para pensar la
solución
Una solución posible es sentarse con tiempo y
empezar a recorrer el círculo con los 41 números ubicados como se ve en la
figura 1. Después de un rato, estoy seguro de que usted encontrará la
respuesta. Y no está mal resolver el problema de esta forma. De hecho, ¡encuentra lasolución! ¿No
era eso lo que quería? Sí, es verdad… es lo que quería, pero
sería interesante ver si uno puede deducir otro tipo de respuesta. ¿A qué me
refiero?
Por un lado, es muy tedioso tener
que recorrer todos los pasos intermedios. ¿No habrá otra forma
de encontrar al ‘sobreviviente’? Y por otro, ¿no le surge algún tipo de
curiosidad que permita encontrar la respuesta para cualquier número
de soldados? ¿Será posible encontrar una tal fórmula?
En fin: yo creo que sí, que vale la pena pensar en
esas dos direcciones. Veamos si lo logro y en el camino la/lo seduzco a usted
también. Acompáñeme por aquí.
Como propuse anteriormente, empecemos con números
más pequeños.
Si hubiera nada más que un solo
soldado, no hay nada que pensar. El sobreviviente es
el único participante (o soldado) que hay y lo declaramos ganador.
En cambio, si hubiera dos soldados,
entonces, el uno elimina al dos y allí se
termina el juego también. Ganador: el número uno.
Sigo. Si ahora fueran tres soldados:
1-2-3.
En este caso, el 1 elimina al 2 pero el 3 está vivo
aún y siguiendo el orden del círculo, el 3 elimina al 1. Ganador: número 3
Si fueran cuatro soldados:
1-2-3-4.
Entonces 1 elimina a 2, y 3 elimina a 4. Quedan 1 y
3. El turno es otra vez para el número 1 que elimina al 3 y queda como único
sobreviviente. Ganador: número 1.
Si fueran cinco soldados:
1-2-3-4-5.
Voy un poco más rápido ahora. Quedan eliminados los
dos pares (2 y 4), pero fíjese que ni bien queda eliminado el 4, el turno le
corresponde al 5. O sea: sobreviven 5-1-3, pero 5 es el que empieza. Luego, 5
elimina al 1 y le toca el turno al 3. El 3 elimina al 5 y queda como
sobreviviente. Ganador: número 3.
Una breve pausa. Ahora que advirtió lo que estoy
haciendo, ¿no tiene ganas de seguir usted por su cuenta? Yo voy a seguir igual,
pero decía…
Si fueran seis soldados:
1-2-3-4-5-6.
En el primer paso —como siempre— quedan eliminados
todos los pares. Sobreviven 1-3-5. Después que 5 eliminó a 6, le toca una vez
más al número 1. El 1 elimina al 3 y por último, el 5 elimina al 1. Ganador:
número 5.
Para siete soldados:
1-2-3-4-5-6-7.
En el primer paso quedan eliminados todos los
pares, pero cuando queda afuera el número 6 (que es el último par), le toca el
turno al número 7. Los que quedan son: 7-1-3-5, en ese orden. El 7 elimina al
1, el 3 al 5, y quedan: 7 y 3, y es el turno del 7, que elimina al 3. Ganador:
número 7.
Ahora, voy a escribir una lista de los resultados
que se obtienen al aumentar el número de personas que participan. Vea la tabla
1. Le sugiero que la revise para verificar que los cálculos que hice son
correctos.
Tabla 1
|
Número de personas |
Sobreviviente (o ganador) |
|
1 |
1 |
|
2 |
1 |
|
3 |
3 |
|
4 |
1 |
|
5 |
3 |
|
6 |
5 |
|
7 |
7 |
|
8 |
1 |
|
9 |
3 |
|
10 |
5 |
|
11 |
7 |
|
12 |
9 |
|
13 |
11 |
|
14 |
13 |
|
15 |
15 |
|
16 |
1 |
|
17 |
3 |
|
18 |
5 |
|
19 |
7 |
|
20 |
9 |
|
21 |
11 |
|
22 |
13 |
|
23 |
15 |
|
24 |
17 |
|
25 |
19 |
|
26 |
21 |
|
27 |
23 |
|
28 |
25 |
|
29 |
27 |
|
30 |
29 |
|
31 |
31 |
|
32 |
1 |
|
33 |
3... |
Antes de avanzar, le pido que mire la lista con
cuidado. ¿Qué ideas se le ocurren? ¿No se siente tentada/o de
sacar algunas conclusiones?
Le sugiero que intente conjeturar una regla general
para cualquier número de personas, aunque después tenga que modificarla.
Escríbala en un papel y trate de verificar si, usando los números que figuran
en la tabla anterior, los resultados que usted obtiene son los que figuran en
la segunda columna. Es decir, el ejercicio de conjeturar una
fórmula es la parte más importante de todo este texto. Es la parte
que lo ayuda a usted. Y créame, es totalmente irrelevante que se le ocurra una
fórmula correcta, lo que sí importa es la posibilidad que se
le ofrece de imaginar algo nuevo, algo que no pensó nunca antes, algo
que la/lo hará sentir la potencia de poder pensar . En
fin, sigo…
Mientras tanto le propongo que nos detengamos
(juntos) a ver si podemos detectar algunos patrones. Fíjese si
está de acuerdo conmigo.
a. El número 1 aparece ganador cuando hay 1, 2, 4,
8, 16, 32… número de soldados. ¿Qué sugiere esto? Fíjese que estos números
son exactamente las primeras potencias de dos.
O sea: 1 = 20, 2 = 21, 4 = 22, 8 = 23,
16 = 24, 32 = 25… Ante esta evidencia, uno tiene derecho
a conjeturar: ¿será verdad que si el número de soldados es una potencia
de dos, entonces el ganador será siempre el número 1? Quiere
pensar usted… Por las dudas: la respuesta es sí, eso sucede siempre.
Ahora ¿por qué pasará esto?
b. Por otro lado, más allá de lo que sucede con las
potencias de dos, fíjese que, a medida que se va incrementando el número de
soldados, en la columna de la derecha quedan como ‘sobrevivientes’ únicamente
números impares (esto en sí mismo no es una sorpresa porque ya sabemos que los
primeros eliminados son los pares). Lo notable es que los impares
aparecen todos, sin saltearse ninguno, pero el proceso se
detiene justo cuando uno llega a… ¿qué le parece a usted que
sucede? ¿No tiene ganas de darse un tiempo para pensar? Quizás ese tiempo le
sirva para conjeturar alguna fórmula que permita anticipar
los resultados que aparecen en la columna de la derecha.
Las preguntas que escribí antes son las que me
sirvieron a mí, pero no tiene por qué ser el camino que le sirva a usted. En
cualquier caso, lo que interesa es poder encontrar alguna fórmula que permita
contestar lo que sucedió en el caso original (de 41 soldados) y obtener una
fórmula más general para cualquier número de soldados.
Más ideas
Pensemos juntos estas ideas. Sí, ya sé, no estamos
juntos y ni siquiera sé cuál será/sería su respuesta. Pero igual permítame
‘fantasear’ con que usted está acá, cerca.
Como le propuse antes, creo que vale la pena
atender el caso particular de las potencias de dos. Mirando la tabla 1, queda
claro que en los primeros casos (1, 2, 4, 8, 16, 32) el ganador es
el número 1. De acuerdo. ¿Por qué pasa? ¿Pasará también para el resto de
las potencias de 2? ¿Qué tienen las potencias de 2 que las hace tan particulares?
Mire: tome el número 32. La mitad es 16, que también es
una potencia de 2. Y la mitad de 16 es 8, que también es una
potencia de 2. Y así siguiendo. El proceso empieza en 32 y pasa por 16, 8, 4, 2
hasta llegar a 1. No es ninguna novedad porque eso pasa únicamente con
las potencias de 2. Sin embargo, este hecho, que parece tan obvio, me sirvió
para entender y contestar la primera pregunta que planteé. Fíjese cómo lo
podemos usar para el caso 64 que no está en la tabla 1.
Si uno tiene 64 soldados, los primeros eliminados
—como siempre— serán los números pares. Quedan 32 que, como ya
sabíamos, iba a ser otra potencia de 2. Pero no solo eso: una
vez eliminado el 64 (el último de los pares)… ¿a quién le toca ahora? ¡Le toca
al 1! Es decir, ahora quedan 32 (todos los impares) pero el que empieza
es el número 1… y ya sabemos que si uno tiene 32 soldados, el que tiene el
número 1 (el que empieza) ¡es el ganador! Bueno, eso es lo que pasa en este
caso, también. Es decir, si uno tiene 64 soldados, una vez recorrida la primera
tanda de eliminados, aparece una situación que ya conocíamos: 32 soldados (una
potencia de 2) y ¡el ganador es el que empieza! Y como empieza el 1, se
confirma lo que sospechábamos: en el caso 64, el ganador también es
el número 1.
¿Se da cuenta de que esta idea se puede usar siempre?
Es decir, ahora que sabemos que cuando inician 64 soldados el número 1 vuelve a
ganar, este nuevo dato lo puede usar para la siguiente potencia de 2, o sea,
128. Y lo mismo con todas las que siguen: 256, 512, 1024, etc. Este argumento
que usamos es tan poderoso que permite sacar esta conclusión
(léala para ver si está de acuerdo conmigo): “Si el número de personas
involucradas es una potencia de 2, el ganador es el que empieza”.
Me importa —mucho— que usted detecte que
escribí el que empieza, y no el número 1. ¿Por qué? ¿Quiere pensar
usted?
Por supuesto, en todos los casos que planteé en la
tabla 1, cuando el número de soldados es una potencia de 2, el ganador (o
sobreviviente) es el número 1. Pero tengo una pregunta para hacerle. Por
ejemplo, en el caso de los cuatro soldados, los tenemos
numerados: 1-2-3-4. Vimos que el número uno es el ganador, y
está todo bien. ¿Qué pasará si cambiamos el soldado que
empieza. Es decir, suponga que empieza el número 3, entonces ¿quién gana? Lo
dejo un instante para pensar la respuesta.
Sí, tiene razón: ¡el sobreviviente ahora es el
número 3! O sea, lo único que cambia son las ‘etiquetas’, pero
lo que importa es que si hay cuatro soldados, el ganador es el que empieza.
Naturalmente, lo mismo se puede decir de cualquier
caso en donde el número inicial de soldados sea una potencia de dos: el que
empieza ¡gana! Es decir, si uno tiene 128 soldados y empieza el número 34, ¡ese
será el ganador! Claro, si empieza el 34, los primeros eliminados en la primera
‘ronda’ serán todos los impares. En particular, fíjese también
que cuando quede eliminado el 127, le tocará el turno al 128, y como en ese
momento todavía no dieron una vuelta completa, el 128 tendrá al
número uno todavía compitiendo. Moraleja: el 128 elimina al 1, el 2 eliminará
al 3, el 4 al 5… y así siguiendo, hasta que vuelva a ser el turno del 34… En
ese momento, solamente quedarán 64 (como sabíamos, una potencia de 2) y el que
empieza es el 34 otra vez. Las ‘etiquetas’ que tiene cada jugador son
distintas, pero la conclusión es la misma: el que empieza gana.
Y ahora, llegado este punto, quiero subir
la apuesta. ¿Qué? Mire, como ya habrá advertido, el número que tenga cada
jugador no es lo más relevante. Lo que importa es el orden en
el que están ocupando el círculo. Es decir, importan tres cosas:
a. Cuántos soldados hay,
b. El orden en el que están ubicados, y (*)
c. Quién es el que empieza.
Dicho esto, quiero proponerle pensar algo más.
Fíjese en la tabla 1 otra vez. Considere el caso en
donde hay 11 soldados. Si usted mira la segunda columna, el ganador será el
número 7. A esta altura, no es ninguna novedad, pero hay algo que usted y yo
estamos suponiendo y que no está explícitamente escrito: para que el ganador
sea el número 7, ¡estamos asumiendo que quien empieza es el número 1!
De acuerdo, ¿y si empieza el juego otro
soldado? ¿Qué pasa entonces? El número de soldados no varía: seguirán
siendo 11 participantes igual que antes pero hay que revisar el resultado.
¿Quiere pensar usted?
Fíjese en la figura 2.
Figura 2
Hagamos una prueba y supongamos que empieza el
número 2. Veamos qué sucede. Ahora, el orden es el siguiente:
2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-1
La situación no cambia mucho, salvo que
lo que hicimos antes cuando empezaba el uno, ahora estará corrido un
casillero. En lugar de quedar eliminados todos los pares (en la primera
pasada), quedarán eliminados todos los impares, hasta que llegue al
2 nuevamente.
Esto es lo que sucede al ir recorriendo el círculo
(los ‘tachados’ son los eliminados):
2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-1
2- 3 -4- 5 -6- 7 -8- 9 -10- 11 -1
1- 2 -4- 6 -8- 10
1-4-8
8- 1
Conclusión: si seguimos teniendo 11 participantes
pero quien empieza es el 2, en lugar de ‘ganar’ el 7, ahora el ganador es el 8.
Mirando la tabla 1 otra vez, si uno tuviera 29
participantes y empieza el 13 (en lugar del 1), todo aparecerá corrido en
12 lugares, ya que uno tiene que hacer 12 movidas para llegar desde el 1 hasta
el 13. Lo que importa es que ahora el 13 es quien hace el papel que
antes tenía el 1. ¿Y cuál será el ganador? Fíjese que si empezara el 1, ganaría
el 27, por lo que deberíamos ‘correr’ al ganador 12 lugares en el círculo. ¿Y
entonces?
En este caso, el ganador es el número 10. ¿Por qué?
Una vez más, mire la figura 3.
Figura 3
Así como uno modifica al ‘iniciador’ del juego y
pasa del 1 al 13 moviéndose 12 lugares alrededor del círculo, si hacemos lo
mismo ahora con el 27 (y le pido que lo haga para convencerse), verá que
recorriendo 12 lugares se llega al número 10. Es que al pasar por el 29, uno
‘empieza’ a contar de nuevo. De hecho, las primeras dos movidas (comenzando en
el 27) sirven para llegar hasta el 29, pero todavía faltan 10 más. Justamente,
esas 10 que faltan nos depositan en el número 10.
Hemos avanzado mucho y creo que si usted llegó
hasta acá, tiene una idea mucho más clara de lo que sucede con el problema o,
al menos, es lo que yo siento. Pero todavía falta un poco para
llegar al final. Todavía nos falta encontrar una fórmula general que nos
permita saber cuál es el ganador con cualquier el número de participantes. En
realidad, el único caso que sabemos contestar es que el
ganador es el número 1 si el número de jugadores es una potencia de 2 (y
empieza el número 1).
Todo bien, pero ¿si el número de
participantes no es una potencia de dos? ¿Entonces?
Acá es donde quiero sugerirle que vuelva a mirar la
tabla 1. Si uno excluyera las potencias de 2, el número del
participante ganador va cambiando… pero no de cualquier forma.
Fíjese que siempre es un número impar. Eso estaba claro porque los primeros
eliminados son siempre los pares, pero lo interesante es que el sobreviviente
es un jugador cuyo número se va incrementando en dos a medida
que aumenta en uno el número de personas.
No solo eso: si usted va recorriendo la tabla 1,
cuando el número de participantes llega a una potencia de 2, el ganador vuelve
a ser el número 1 y todo empieza de nuevo. ¿Qué dice esto? O mejor
dicho: ¿qué enseña? ¿Por qué pasará esto? ¿Sucederá siempre?
Algunas ideas más
A esta altura, usted debe haber advertido que, para
este problema, ser o no ser una potencia de
dos es relevante. Pero quiero aumentar la apuesta. Le quiero
proponer algo más para que pensemos juntos.
Elijamos un número cualquiera que no
sea una potencia de 2. Por ejemplo, el número 7. Querría escribir al
número 7 como suma de dos números positivos pero de manera tal
que uno de ellos sea una potencia de 2.
¿Cuáles son las posibilidades? Uno podría
escribirlo así:
7 = 1 + 6
7 = 2 + 5
7 = 4 + 3
Y listo. No se puede de ninguna otra forma. Si
quisiera usar la siguiente potencia de 2 (el número 8), me
paso del 7 y entonces no va a servir porque el otro número tendrá que
ser ‘negativo’.
Si en lugar del 7 eligiéramos el número 43, ¿de
cuántas formas se puede descomponer como suma de dos números
positivos de manera tal que uno de ellos sea una potencia de
2?
43 = 1 + 42
43 = 2 + 41
43 = 4 + 39
43 = 8 + 35
43 = 16 + 27
43 = 32 + 11
Y nada más. Lo interesante es que si en lugar de
preguntar de cuántas formas se puede descomponer un número como suma de dos
positivos de manera tal que uno de ellos sea una potencia de
dos, yoagregara que la potencia de dos que yo encuentre sea
la máxima o más grande posible… en ese caso,
ya no habría una lista de descomposiciones para
cada número, sino que habría ¡ nada más que una descomposición!
Ahora bien: podría hacer la pregunta de otra forma.
Suponga que otra vez elijo el número 7 y ahora le preguntara: ¿cuál es la
máxima potencia de 2 que cabe dentro del 7?
Y sí, creo que usted ahora puede contestar la
pregunta. Como el número 7 se puede descomponer así:
7 = 4 + 3 = 22 +
3
entonces, la máxima potencia de 2
que ‘entra’ en el número 7 es el número 4.
De la misma forma, si yo le preguntara cuál es
la máxima potencia de 2 que cabe dentro del
número 13, ¿usted qué me respondería?
Le pregunto: ¿cómo se podrá descomponer al número
13?
El número 13 se puede escribir como:
13 = 8 + 5 = 23 +
5
Luego, la máxima potencia de 2 que
cabe dentro del 13 es el número 8.
De la misma forma, yendo unos párrafos hacia atrás,
como el número 43 se puede descomponer así:
43 = 32 + 11
entonces, 32 es la máxima potencia
de 2 que cabe dentro de él. Si yo estuviera en su lugar me preguntaría: ¿de
dónde salen estas preguntas? ¿Por qué importarán ahora?
Téngame un poquito de paciencia y verá cómo todo
empezará a cerrar. No crea que me olvidé de que el objetivo es tratar de
encontrar una fórmula general que prediga cuál va a ser el sobreviviente en el
juego que planteé al principio. No, no me olvidé, pero le pido que me siga por
acá. Hagamos juntos un ejemplo más e investiguemos lo que sucede.
Voy a empezar con un ejemplo que está en la tabla
1, pero le pido que —por ahora— no se fije en el resultado. Suponga que en el
problema original tenemos 19 personas. ¿Cuál será el sobreviviente si empezara
a jugar el número 1? No, no se fije… Vamos a ver si podemos deducirlo con todos
los datos que tenemos ahora. Acompáñeme en este recorrido.
¿Cuál es la máxima potencia de 2
que cabe dentro del 19? Tómese un instante para pensar. Sí,
efectivamente, es el número 16. Es decir, al número 19 lo podemos descomponer
así:
19 = 16 + 3
Ahora, mire la figura 4.
Figura 4
Empiece a recorrer el círculo desde el número 1.
Fíjese que si hacemos los tres primeros pasos, quedan eliminados el 2, el 4 y
el 6. Entonces, del total de 19 personas que tenemos
originalmente, al empezar con el 1 y descartar a los tres primeros (2, 4 y 6),
¿cuántos participantes quedan? Piénselo usted por favor.
Y sí: como originalmente había 19, después de los 3
primeros eliminados quedan 16, ¡y 16 es una potencia de 2! Y ya sabemos que si
uno tiene una potencia de 2, ¡el que empieza gana! Entonces ¿qué se
puede deducir de esto?
Es que al haber quedado eliminados tres
participantes, estamos en condiciones de usar lo que ya sabíamos para las
potencias de 2: que el sobreviviente es el que empieza. Y como los tres
eliminados (en este caso) son el 2, 4 y 6, el que empieza ¡es el 7! Ahora, si
quiere, vaya y fíjese en la tabla 1 y verá que hemos encontrado al
sobreviviente por nuestra cuenta.
¿Y por qué le pedí que hiciéramos nada más que tres
pasos? Justamente habíamos escrito al número 19 como la suma de 16 más 3, en
donde 16 era la máxima potencia de 2 que cabía dentro de 19.
Luego, eliminados los tres primeros participantes (para llegar a los 16 que
queremos), el que empieza ¡gana!
Probemos con otro caso. Tomemos el número 41, el
que dio origen al problema. ¿Cómo hacer?
Primero debemos buscar la máxima potencia
de 2 que cabe en 41. En este caso, 41 se escribe así:
41 = 32 + 9
¿Qué necesitamos, entonces? Empezar en el número 1
y eliminar los primeros 9 participantes (para llegar a 32). Fijémonos cuáles
son los eliminados y quién empezará en ese momento. Los que quedarán
descartados son:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 y 18
A partir de ese momento, quedan 32 participantes
(como queríamos, una potencia de 2). ¿Quién empieza? ¡El número 19! Esa es la
solución al problema.
Ahora estamos muy cerca de poder
contestar el problema en general. Voy a plantear un último ejemplo y le
propongo que lo haga usted por su cuenta. Lo único que voy a hacer es escribir
la solución a continuación, para que pueda confirmar que la que encontró usted
es la misma que la que encontré yo.
Si tuviéramos 170 participantes, ¿quién será el
ganador? (Ahora, le toca a usted).
Solución
¿Cuál es la potencia más grande de 2 que cabe en
170? 128. Luego,
170 = 128 + 42
Entonces, hay que eliminar 42
participantes para saber quién empieza a partir de allí. Como empieza el número
1, los que van desapareciendo son los pares. Tenemos que eliminar 42 pares, o
sea, desde el 2 hasta el 84. ¿Entiende por qué llegamos al 84? Es que desde el
2 hasta el 84, hay exactamente 42 números pares.
Ahora lo que nos falta hacer es encontrar qué
número llevará el participante que seguirá a partir de allí, cuando queden 128
participantes. Como el último eliminado es el 84, el que empieza y será ganador
¡es el número 85!
Listo. Esta parte ya está, pero nos queda un ultimísimo paso.
¿Cómo hacer para poder descubrir al que quedará vivo una vez
que ya encontramos la máxima potencia de 2 que cabe dentro del número?
¿Habrá alguna manera sencilla de hacerlo?
Exploremos juntos. Usted me da un número cualquiera
al que voy a llamar N (que serán los participantes), y yo
tengo que encontrar la máxima potencia de 2 que cabe [30] en el
número N. Supongamos que se puede escribir así:
N = 2ª + B
Al llegar acá, ya sabemos que lo que hay que hacer
es eliminar B participantes. Como van a ser todos pares, tengo
que recorrer los primeros 2 × B números, ya que la mitad de ellos serán los
impares que van a quedar. O sea, para eliminar B números pares, necesito
avanzar en el recorrido por el círculo hasta llegar al número 2 × B. Y acá, ya
estamos en condiciones de contestar la pregunta: el número del
participante ganador será
(2 × B) + 1
Notable, ¿no? Esta fórmula es la que resuelve el
problema, contesta la pregunta y lo hace de forma general[31].
Fíjese, ahora, que ya no necesita más la tabla 1,
sino que puede deducirla. Escribo entonces la tabla 2.
Tabla 2
|
N (número de personas) |
2ª + B |
2 × B + 1 |
|
1 |
1 + 0 |
2 × 0 + 1 = 1 |
|
2 |
2 + 0 |
2 × 0 + 1 = 1 |
|
3 |
2 + 1 |
2 × 1 + 1 = 3 |
|
4 |
4 + 0 |
2 × 0 + 1 = 1 |
|
5 |
4 + 1 |
2 × 1 + 1 = 3 |
|
6 |
4 + 2 |
2 × 2 + 1 = 5 |
|
7 |
4 + 3 |
2 × 3 + 1 = 7 |
|
8 |
8 + 0 |
2 × 0 + 1 = 1 |
|
9 |
8 + 1 |
2 × 1 + 1 = 3 |
|
10 |
8 + 2 |
2 × 2 + 1 = 5 |
|
11 |
8 + 3 |
2 × 3 + 1 = 7 |
|
12 |
8 + 4 |
2 × 4 + 1 = 9 |
|
13 |
8 + 5 |
2 × 5 + 1 = 11 |
|
14 |
8 + 6 |
2 × 6 + 1 = 13 |
|
15 |
8 + 7 |
2 × 7 + 1 = 15 |
|
16 |
16 + 0 |
2 × 0 + 1 = 1 |
|
17 |
16 + 1 |
2 × 1 + 1 = 3 |
|
18 |
16 + 2 |
2 × 2 + 1 = 5 |
|
19 |
16 + 3 |
2 × 3 + 1 = 7 |
|
20 |
16 + 4 |
2 × 4 + 1 = 9 |
|
21 |
16 + 5 |
2 × 5 + 1 = 11 |
|
22 |
16 + 6 |
2 × 6 + 1 = 13 |
|
23 |
16 + 7 |
2 × 7 + 1 = 15 |
|
24 |
16 + 8 |
2 × 8 + 1 = 17 |
|
25 |
16 + 9 |
2 × 9 + 1 = 19 |
|
26 |
16 + 10 |
2 × 10 + 1 = 21 |
|
27 |
16 + 11 |
2 × 11 + 1 = 23 |
|
28 |
16 + 12 |
2 × 12 + 1 = 25 |
|
29 |
16 + 13 |
2 × 13 + 1 = 27 |
|
30 |
16 + 14 |
2 × 14 + 1 = 29 |
|
31 |
16 + 15 |
2 × 15 + 1 = 31 |
|
32 |
32 + 0 |
2 × 0 + 1 = 1 |
|
... |
8. Atándose los zapatos
Suponga que usted está en una estación de tren o en
un aeropuerto y tiene que ir desde un punto A hasta un punto B (siempre dentro
del mismo edificio). Para hacer las cosas más simples, pensemos que el trayecto
es en línea recta. La primera parte tendrá que recorrerla caminando pero para
la segunda (y última) hay una cinta que se desliza hacia adelante y que le
permitirá disminuir el tiempo invertido, si es que usted sigue caminando sobre
ella.
El problema está dividido en dos partes. El
objetivo es llegar desde A hasta B en el menor tiempo posible.
a. Suponga que usted descubre que necesita
detenerse un momento, por ejemplo, para atarse los zapatos. ¿Dónde le conviene
más hacerlo: mientras está en el piso, cuando está arriba de la cinta o da lo
mismo?
b. Si usted tuviera suficiente energía como
para correr un pequeño trecho, ¿le conviene correr mientras
está en el piso, cuando está arriba de la cinta o no hay diferencia?
Por supuesto, estoy imaginando condiciones ideales
(que sé muy bien que no son alcanzables): estoy asumiendo que no hay ninguna
otra persona ni objeto que le obstruya el camino ni en el piso ni en la cinta,
que su velocidad de marcha es constante en ambos casos, que cuando corre lo
hace también siempre a la misma velocidad, que el tiempo que le llevaría atarse
los cordones es el mismo tanto abajo como arriba de la cinta, etc. Es decir,
todo lo que debería pasar para que las preguntas tengan sentido… ¡pasa!
Dicho esto, ¿usted qué cree? ¿Qué conviene hacer en
cada caso?
Solución
Espero que le haya dedicado algún tiempo a pensar
lo que sucede en cada situación porque hay muchísimas formas de convencerse
sobre lo que conviene hacer, y no está claro que la que me sirvió a mí le
servirá a usted. Yo le ofrezco las mías pero —como siempre— no le aportarán
nada si usted no hizo ningún intento de pensar por su cuenta. Acá voy.
Para la primera pregunta, le propongo que imagine
que en lugar de estar solamente usted haciendo el trayecto entre A y B, estamos
los dos, usted y yo, como si hubiera una ‘réplica’ suya. Empezamos a caminar
los dos (a la misma velocidad). Cuando llegamos al borde de la
cinta, yo me detengo y me ato los cordones, mientras que usted da un solo paso
más y, ni bien se sube a la cinta móvil, hace lo mismo con sus zapatos.
¿Quiere pensar ahora quién de los dos llega primero a B?
Sigo. Como usted advierte, en el momento en el que
los dos terminemos de atarnos los zapatos, yo estaré mucho más atrás. Usted me
sacará una ventaja que yo no podré recuperar. El tiempo que consumimos en
atarnos los cordones fue el mismo, pero yo nunca más podré alcanzarla/o: como
los dos vamos al mismo paso, la distancia que usted estableció conmigo es
irrecuperable.
¿Moraleja? Conviene atarse los
cordones arriba de la cinta para llegar más rápido
hasta B.
Ahora le propongo que piense el segundo caso con la
misma idea que yo utilicé antes (si es que le sirvió para convencerse de lo que
convenía hacer). Suponga que una vez más estamos los dos en el punto A y yo
funciono como una suerte de ‘réplica’ suya. Empezamos los dos juntos pero, ni
bien salimos de A, usted empieza a correr y yo sigo caminando. Cuando usted se
sube a la cinta, deja de correr y comienza a caminar a la misma velocidad a la
que voy caminando yo (todavía en el piso). En ese momento usted me sacó una
ventaja de X metros (no importa cuántos).
Ahora fíjese lo que sucede: todo el
tiempo que usted esté en la cinta y yo vaya caminando por el piso, esa ventaja
de X metros empieza a aumentar (porque la cinta se mueve y el piso no). Cuando
yo llegue a la cinta y empiece a correr, a lo máximo que yo puedo aspirar es a
recuperar esos X metros (que fueron los que usted me sacó al principio), pero
ya nunca la/lo voy a alcanzar porque usted se separó más
metros de mí.
Los metros de ventaja que usted me llevará son los
que la cinta la/lo ayuda a recorrer mientras los dos vamos caminando a la misma
velocidad, yo en el piso y usted en ‘algo’ que se mueve. Esa distancia es
irrecuperable para mí.
¿Moraleja 2? Conviene correr mientras uno
va sobre el piso para llegar más rápido a B.
Por supuesto, uno puede hacer las cuentas con más
rigor y convencerse de otras formas, pero creo que intuitivamente se
‘ve’ que en el primer caso es preferible atarse los cordones en la cinta,
mientras que en el segundo conviene correr en el piso [32].
Apéndice
El problema fue originalmente planteado [33] por
Terence Tao en el año 2008. Tao nació en julio de 1975 y fue considerado una
suerte de ‘niño prodigio’ porque tomaba cursos de matemática de nivel
universitario cuando solamente tenía 9 años. Hoy es uno de los matemáticos más
reconocidos en el mundo, profesor con la máxima jerarquía en la UCLA
(Universidad de California en Los Ángeles) y referente mundial en su
especialidad. Fue ganador también de la Medalla Fields (equivalente al premio
Nobel) en 2006.
En algún momento quiero escribir algo más sobre
Tao, pero para los interesados en rastrear la incidencia genética y la
del medio ambiente en su trayectoria, me gustaría agregar
algunos datos. Sus padres son ambos de origen chino (como lo indica su
apellido). El padre nació en Shanghái, en China continental, pero su
trayectoria como pediatra lo llevó a Hong Kong. Su madre tuvo un gran
reconocimiento como matemática y física en la HKU (Universidad de Hong-Kong) y
los dos hermanos varones de Terence (Nigel y Trevor) todavía viven en Australia
y representaron reiteradamente a ese país en las Olimpíadas Internacionales de
Matemática.
Más allá de atarse los cordones o correr en la
cinta, el debate —al menos por ahora— seguirá abierto: ¿son los genes o el
medio ambiente o una mezcla de ambos, y en qué proporciones? Por ahora hay
muchas preguntas, mejor dicho, muchísimas preguntas. ¿Respuestas? Pocas, muy
pocas. Continuará…
9. Números grandes
La escena se desarrolla en la Feria del Libro de
Berazategui. Muchísima gente ansiosa recorriendo los distintos stands. Después
de una charla, se me acerca Daniela, una joven estudiante de primer año de una
escuela de Quilmes. Viene acompañada de tres chicas a quienes —supe después—
les había hecho una suerte de apuesta. Querían corroborar conmigo
quién tenía razón. Sonríen nerviosas. “Adrián: acá tenemos un mazo con 52
cartas (contando comodines, ochos, nueves, todo…). Si las mezclamos, ¿de
cuántas formas pueden quedar ordenadas las cartas? ¿Es un número grande?”.
La pregunta es muy interesante porque pone a prueba
algo que —en general— nos cuesta hacer: imaginar números grandes.
¿Cómo podría hacer yo para compararlo con algo que se entienda claramente?
“Miren”, digo yo mientras busco en mi teléfono
celular el número exacto, ya que lo tengo agendado de otra charla. “¿Tienen un
papel en blanco?”, me siento y me preparo a dictarles el número.
“Anotá”, y las empiezo a bombardear con estos dígitos:
80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975
289 505 440 883 277 824 000 000 000 000
“Son 68, en total”, sigo yo ante la incredulidad de
las cuatro. “Como se darán cuenta, yo tenía el número preparado para
situaciones como la que me plantearon ustedes”.
Y es así. Es un número sorprendente, a tal punto
que es casi seguro que todas las veces que usted, yo y todas
las personas que conocemos entre los dos jamás jugaron con un mazo ordenado de
la misma forma. Más aún: en la historia de la humanidad, es altamente
improbable que dos mazos estuvieran mezclados de la misma forma,
incluyendo todoslos partidos que se jugaron hasta acá . Y
muy posiblemente lo mismo ocurra con todos los partidos que se jueguen mientras
los humanos permanezcamos vivos.
Ya sé, ya sé… usted piensa que estoy exagerando,
muy probablemente imagine que enloquecí. Está bien, está en su derecho. Pero
déjeme proponerle una comparación que escribió Scott Czepiel, un matemático
norteamericano especialista en análisis de datos, graduado en la Universidad de
Stony Brook, y que hoy trabaja en San Francisco, California. Después revisamos
lo que usted pensó de mi afirmación.
Scott dice lo siguiente. Tome un cronómetro, pero
piense que no lo va a usar para medir un tiempo hacia adelante.
Lo utilizaremos como un timer, es decir, para medir un tiempo
hacia atrás , como lo que sucede con un horno a microondas
(por ejemplo): uno establece un determinado tiempo y el cronómetro corre
de forma descendente hasta llegar a cero, y una alarma
anuncia que el tiempo ha expirado.
Ahora, en ese cronómetro, ponga el número que
escribí antes [34]:
80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975
289 505 440 883 277 824 000 000 000 000
Luego imagine que son ‘segundos’ y que yo voy a
empezar un proceso mientras el cronómetro empieza su marcha descendente.
Hagamos así: usted elija un punto cualquiera sobre
la línea del Ecuador. Cualquiera, el que le guste más. El juego consiste en
caminar arriba de esa línea (la del Ecuador) llevando un ritmo muy pausado
hasta dar una vuelta completa alrededor de la Tierra.
Para que nos quedemos tranquilos, la circunferencia
de la Tierra a la altura del Ecuador se estima en alrededor de un poco más de
cuarenta mil kilómetros[35].
Cuando esté listo, me avisa y lanzamos el
cronómetro con la cuenta regresiva. Eso sí: como escribí antes, usted caminará
de forma muy lenta, ya que, en realidad, no hay ningún apuro. Más aún: el
objetivo es que usted disfrute del paisaje. Para ponernos de acuerdo con la
velocidad, la idea es que entre paso y paso usted espere ¡mil
millones de años! Por las dudas, lo escribo de nuevo: entre dos
pasos que usted va a dar, tendrán que pasar mil millones de años.
Cuando haya completado su vuelta alrededor del
globo por primera vez, tome una gota del océano Pacífico, póngala en un
recipiente y repita el proceso. Es decir, vuelva a dar una vuelta a la Tierra
sobre el Ecuador dando un paso cada mil millones de años y, cuando termine,
vuelva a meter la mano en el océano, saque otra gota y tírela en el mismo
recipiente. La idea es ir extrayendo agua del océano hasta vaciarlo.
Como se estima que el océano Pacífico contiene más
de 700 millones de kilómetros cúbicos de agua, el proceso le va a llevar un
rato. Continúe con la misma estrategia: dar pasos (digamos de un metro por vez)
esperando mil millones de años entre uno y otro, y cada vez que llega al punto
del que salió, vuelve a sacar una gota (que descarta en alguna parte). Mientras
usted sigue adelante con este operativo, el cronómetro retrocede sin detenerse
hasta llegar a cero, momento en el que usted habrá alcanzado el objetivo.
No me deje ahora porque todavía falta lo más
interesante. Cuando en el océano ya no quede más agua, tome una hoja de papel
cualquiera y apóyela cerca de donde está parada/o. Ni bien lo haya hecho,
vuelva a llenar el Pacífico rápidamente y empiece el proceso otra vez (caminar
alrededor de la Tierra sobre la línea del Ecuador con pasos que le llevan mil
millones de años entre ellos, etc.). Cuando el Pacífico quede vacío por segunda
vez, tome una hoja similar a la que puso antes y ubique esta segunda hoja
arriba de la que había puesto antes. De hecho, usted va a empezar a apilar
hojas del mismo tipo, una arriba de otra, formando una columna que cada vez irá
tomando más altura. Como usted advierte, el proceso lleva su tiempo, y mientras
tanto el cronómetro sigue corriendo.
Claro, llegará un momento en el que la pila de
hojas empezará a cobrar tanta altura que usted tendrá derecho a preguntarse:
“¿Hasta cuándo sigo? Digo, porque la columna de hojas se está haciendo cada vez
más alta”. Hagamos lo siguiente, entonces. Cuando vea que el papel acumulado
con el tiempo (mientras el cronómetro retrocede) ‘amenaza’ con llegar al
Sol [36], prepárese
para ver cuánto tiempo falta para llegar a cero.
Uno sospecha que ya no debería faltar tanto. Le
pido que se fije en los primeros tres numeritos que tenía el
cronómetro antes de empezar el proceso. Como usted tenía el número anotado, me
dice que lo va a buscar para ver cuáles eran. Allí es donde yo le digo que no
hace falta, porque esos tres dígitos permanecen imperturbables: el 8, 0 y 6 que
había originalmente, siguen estando en el mismo lugar. ¡Increíble! Es decir, se
modificaron los 65 últimos, pero los primeros tres siguen inmutables.
Eso indica que todavía falta muchísimo tiempo
para que el cronómetro llegue a cero. Para su tranquilidad, cuando
la columna de papel llegue al Sol, desármela y guarde las hojas porque las va a
necesitar después.
Ahora, hay que empezar con el proceso nuevamente
desde el principio. Es decir, usted tendrá que volver a elegir su sitio
favorito en el Ecuador y empezar con la misma travesía que lo llevó hasta acá.
Más aún: cuando me mire con desazón preguntándome: “¿Una vez más todo?”, yo ya
tengo una respuesta preparada: “Sí, otra vez. Pero no se preocupe porque hay
que repetirlo mil veces más. Después miramos el cronómetro y
decidimos”.
Aquí sí que me gustaría tener una cámara, porque su
cara es impagable.
Cuando termina de repetir esas mil veces, mira el
cronómetro con asombro: ¡no puede creer que todavía le falta para
llegar a cero! Peor: usted hace una cuenta mental y advierte que recién ahora
recorrió un tercio del tiempo. Le faltan todavía dos
terceras partes para que el reloj llegue a cero.
Acá voy a parar. La comparación de Czepiel [37] continúa
con más datos que resultan entretenidos porque todavía queda muchísimo
tiempo. Pero quiero parar porque me parece que es suficiente. El número de
formas posibles de ordenar las cartas de un mazo es realmente enorme,
y se escapa a nuestra capacidad de comprensión.
Una vez que uno toma noción de esto, se puede
permitir el atrevimiento de decir que nunca, o mejor dicho,
es muy muy muy improbable que en la historia de la humanidad
se hayan jugado dos partidos de cartas con los naipes ordenados de la misma
forma. ¿Le sigue pareciendo exagerado ahora?
Subnota
Lo extraordinario es que estos números crecen de
forma muy rápida. Si hubiera nada más que dos cartas (A y B), habría solo que
dos formas de ordenarlas: AB y BA.
Si hubiera tres (A, B y C), ya hay seis formas
posibles: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA (fíjese que el resultado, 6, se obtiene
multiplicando 3 × 2 × 1). Es que para la primera carta hay tres posibilidades,
y para cada elección de la primera hay dos posibles para la segunda, y una vez
elegidas las dos primeras queda una sola ‘libre’. Este número se llama ‘ factorial de
3’, y la notación que se usa es: 3! = 3 × 2 × 1.
Si tuviéramos cuatro cartas, hay 4! (factorial de
4) formas de ordenarlas, y 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Con cinco cartas ( factorial de
5), 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Con seis, se tiene 6! = 720.
Dos cosas más:
a. Si hubiera diez cartas (haga la
cuenta usted), las formas de ordenarlas ya superan las 3.600.000 (sí, más de 3
millones seiscientos mil) ya que 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 =
3.628.800.
b. Como en el problema original hay 52 cartas,
todos los posibles órdenes se calculan con el factorial de 52,
o sea 52!, que es el número de 68 dígitos que escribí antes.
Otro ejemplo: piense cuántos libros tiene en su
biblioteca (o en una biblioteca cualquiera). ¿Son más de diez? Si tuviera diez,
nada más, y usted quisiera ordenarlos todos los días de una forma diferente,
tendría que esperar 3.628.000 días hasta que esté forzado a repetir un orden
anterior. Como usted advierte, eso significa casi ¡diez mil años! Le deseo
suerte…
Ah, una cosa más: Daniela les ganó la apuesta: el
número 52! es verdaderamente muy grande [38].
10. Galileo
La matemática recreativa ha tenido un impacto muy
fuerte en la aparición de diferentes ramas de la propia matemática. Aquellos
que hacen un estudio detallado de la historia de la ciencia ubican al siglo XV
como el lugar temporal donde aparecen los primeros indicios de la Teoría de
Probabilidades. Por supuesto, no es esperable que haya habido un episodio
fundacional, ‘un antes y undespués’, sino que haya sido
fruto de una construcción colectiva.
Diferentes variantes de juegos tuvieron una fuerte
incidencia, por ejemplo, para la aparición de la Teoría de Probabilidades y más
recientemente, en el siglo XX, de la Teoría de Juegos propiamente dicha. La
Teoría de Probabilidades tiene sus primeros registros durante el siglo XV e
involucran al científico italiano Gerolamo Cardano (1501-1576). Quiero hacer
hincapié en Cardano porque aparece en la historia como físico, matemático,
biólogo, químico, astrónomo, filósofo, escritor… incluso ‘ astrólogo’.
Es decir, Cardano sabía de todo, o al menos sabía de todo
lo que se sabía en ese momento. Pero al mismo tiempo, él mismo jugaba
a los dados de forma compulsiva (y obsesiva también). Su bagaje intelectual (y
su curiosidad) lo llevaron a estimar qué posibilidades tenía de ganar cuando
jugaba, de ahí que algunos de sus escritos sean reconocidos como las primeras
semillas del cálculo de probabilidades.
Con el tiempo, los promotores genuinos, los que
impulsaron el avance de una parte de la matemática, los que comenzaron a
empujar las fronteras de una parte del conocimiento, fueron aquellos que apostaban
dinero. Es fácil jugar para entretenerse cuando no hay nada para perder,
salvo el orgullo. Pero cuando la apuesta ‘cuesta’, cuando empieza a ‘doler’,
nadie quiere jugar a ciegas.
Así llegamos a mediados del siglo XVII. Los que
jugaban ‘por plata’ empezaron a estimar qué es lo que más les convenía hacer
ante cada situación que se les presentaba. Como no existía una teoría o
una estructura del conocimiento a la que recurrir, cada uno
hacía sus predicciones en función de lo que le parecía que tenía que
pasar. Después, la única validación posible era a través de la
experimentación. Si los cálculos habían sido correctos, ante los mismos antecedentes tenían
derecho a esperar los mismos consecuentes. Esa era la clave
entonces (como lo es aún hoy). Si yo replico las condiciones en las que usted
desarrolló su experimento, debería obtener los mismos resultados que usted. Si
esto no sucede, hay algo que no funciona y la supuesta teoría queda
invalidada.
Si tiro una moneda al aire, usted me creería si le
digo que las chances de que salga cara o ceca son
las mismas. Y lo mismo si hago rodar un dado arriba de una mesa: las chances de
que aparezca un as o un cinco son las mismas
(habida cuenta de que la moneda y el dado no estén ‘cargados’). Sin embargo,
hay un detalle que no quiero que pase inadvertido: para reconocer ambas
afirmaciones como ciertas, a usted no le hizo falta apoyarse en ninguna teoría,
ni saber nada de probabilidades, nada. De hecho, los números que
miden esas probabilidades (½ y 1/6 respectivamente) son abstracciones
posteriores. No le hacen falta para dar una respuesta.
Las contribuciones empezaron a llegar desde lugares
inesperados. Los jugadores de dados seguían inventado variantes diferentes para
después poder apostar. Algunos de ellos recorrían distintos pueblos y
aprovechaban el conocimiento que iban adquiriendo y tomaban desprevenidos a los
habitantes de cada lugar.
Ahora sí, una historia fascinante.
Uno de los juegos clásicos de la época (quizás lo
sea hoy también, no lo sé) era el siguiente: se tiraban tres dados y el
objetivo era apostar sobre el resultado que se obtenía al sumarlos.
Para que pueda ponerse ‘en clima’ (y sin tener que saber nada
particular), tengo una pregunta para hacerle.
Usted y yo estamos por jugar a esa variante y vamos
a apostar. Antes de hacerlos rodar le propongo lo siguiente. Ponemos 100 pesos
cada uno. Tiramos los tres dados. Si la suma da 18, gana
usted. Si la suma da nueve, gano yo. En el caso de obtener
cualquier otro resultado, los hacemos rodar de nuevo hasta que gane alguno de
los dos. ¿Usted aceptaría?
No me conteste… al menos por ahora. Tómese un
instante para pensar.
Creo que advierte que hay una diferencia entre las
posibilidades que tendría yo y las que tendría usted. ¿Por qué? ¿De cuántas
formas pueden salir los dados para que sumen 18? De una única forma: 6-6-6.
En cambio, hay seis variantes para que los tres
dados sumen nueve:
|
1-2-6 |
2-2-5 |
|
1-3-5 |
2-3-4 |
|
1-4-4 |
3-3-3 |
Como usted ve, la suma resulta ser nueve en
cualquiera de estos casos. Esto indica que usted está en clara desventaja. Para
que usted gane (y se lleve los cien pesos que yo puse), tiene que salir una
única combinación: 6-6-6. En cambio, yo ganaría con cualquiera de las seis que
vimos. En todo caso, jugar ‘mano a mano’ implica una fuerte desventaja para
usted. Una manera de resolver el problema sería que yo le
pagara 600 pesos si los dados suman 18, y que usted me pagara solamente 100 si
sale cualquiera de las seis combinaciones que suman nueve.
Ahora vuelvo al siglo XVII. Un grupo de apostadores
paseaba por diferentes pueblos llevando (como si fuera en un circo o una
kermés) el típico juego de dados: tirar tres y apostar dinero
a los distintos números que podían ofrecer las sumas. Ya estaba claro que nadie
querría apostar (al menos ‘mano a mano’) a que la suma fuera tres o dieciocho. Sin
embargo, uno de los jugadores de ese pueblo empezó a sospechar que había algo
‘raro’.
Durante varias noches seguidas, él había apostado a
que la suma daría nueve. El apostador itinerante, el ‘casino’ si me
permite el término, apostaba el mismo dinero a que la suma saldría diez.
Si daba cualquier otro número, repetían el tiro.
La cuenta que hizo el jugador ‘local’ fue la
siguiente: “Para que juguemos ‘mano a mano’, las posibilidades de sumar 9 o 10
deberían ser las mismas. Si no, no juego”.
Y contó las posibilidades de que los tres dados
sumen nueve y diez:
|
9 = 1 + 2 + 6 |
10 = 1 + 3 + 6 |
|
9 = 1 + 3 + 5 |
10 = 1 + 4 + 5 |
|
9 = 1 + 4 + 4 |
10 = 2 + 2 + 6(*) |
|
9 = 2 + 2 + 5 |
10 = 2 + 3 + 5 |
|
9 = 2 + 3 + 4 |
10 = 2 + 4 + 4 |
|
9 = 3 + 3 + 3 |
10 = 3 + 3 + 4 |
Como se ve, hay seis formas para cada número. Se
quedó tranquilo y empezó a jugar. Y jugó mucho. Como a medida que pasaba el
tiempo perdía más veces que las que ganaba, comenzó a sospechar. Lo
primero que hizo fue sospechar de su suerte. ¿Tendría tantamala suerte?
Le pidió a su mujer y también a sus amigos, pero siempre manteniéndose ‘leal’:
él elegía ‘suma nueve’ y el visitante, ‘suma diez’.
Pero seguía perdiendo. El próximo paso fue
sospechar de los dados: “¡Claro! ¿Cómo no lo pensamos antes? Tienen que ser los
dados”.
Pensando que finalmente había resuelto el problema,
propuso —desafiante— que le dejaran traer sus dados. Y sí, lo
dejaron. Igual siguió perdiendo o, por lo menos, perdía más veces que
las que ganaba.
Ya estaba empecinado. ¿Dónde estaba el error? O en
todo caso, ¿ habría algún error? ¿No lo quiere pensar usted?
El hecho es que (y esta parte de la historia está
publicada en muchos lugares, por lo que sospecho que es cierta) decidió
consultar [39]. Por
supuesto, en aquella época uno no le consultaba a cualquiera. Si se trata de
consultar, lo hizo con el mejor. Fue y le preguntó a Galileo. Sí,
¡a Galileo! ¡Al mismo Galileo que conoce usted!
Obviamente, y como era esperable —si no, no sería
quien era, y yo no estaría escribiendo esta historia—, Galileo le resolvió el
problema. ¿Cómo hizo?
Galileo le dijo que tenía razón, que había la misma cantidad
de formas (seis) de sumar nueve o diez con los tres dados,
pero que había una sutil diferencia que en principio parece
imperceptible, pero al jugar muchas veces terminaría por tener incidencia en el
resultado final. Y le mostró que esas seis formas no se obtienen con la misma
probabilidad.
El apostador se quedó mirándolo perplejo porque no
lo entendía. Quizás usted tampoco me entiende a mí. Me explico con algunos
ejemplos.
Tome una de las posibles formas de
sumar nueve: 3-3-3. Para que esto suceda los tres
dados tienen que salir iguales atres. Todo bien. Pero ahora
fíjese en otro caso que también suma nueve: 1-4-4. Ahora sí hay
una diferencia. Es que no hay una única forma de obtener
1-4-4. Como son tres dados, cualquiera de los tres es el que puede tener un
‘as’ (y los otros dos, tienen que tener un 4). O sea, hay tres formas
diferentes:
1-4-4
4-1-4
4-4-1
Es decir, si bien al ‘mirar’ las caras que quedaron
‘arriba’ uno verá un1 y dos 4, hay tres maneras
distintas de que esto suceda, y eso va a depender en cuál de los tres dados
aparezca el 1.
Otro ejemplo. Contemos juntos las formas en las que
se puede obtener la combinación 1-2-6. ¿Cuántos habrá en este caso?
1-2-6
1-6-2
2-1-6(**)
2-6-1
6-1-2
6-2-1
O sea, en esta situación, cuando los tres dados son
distintos (1, 2 y 6), hay seis formas de que aparezcan.
(Si estuviera cerca suyo, le pediría que no avance
si no me pudo seguir. Lea nuevamente el texto hasta convencerse de que
usted aprueba lo que escribí. Si no, vuelva a leer y
discútalo. Esta es justamente la única parte importante del
razonamiento. El resto, lo que queda de la argumentación, es como si fuéramos
‘en bajada’, sin siquiera tener que apretar el acelerador. Lo único que hay que
entender está en el argumento que acabo de escribir).
Sigamos. Creo que ahora estamos en condiciones
(usted y yo) en entender qué es lo que pasaba y poder explicar
por qué el apostador local perdía frente al itinerante más veces que las que
ganaba. En principio, como cada dado puede salir de seis formas diferentes, y
son independientes, entonces hay: 6 × 6 × 6 = 256 resultados
posibles.
Contemos cuántas de ellas suman nueve y
cuántas suman diez. Estas son las seis formas en la que pueden
salir los dados y sumar nueve (como vimos en (*), página 116):
1. 9 = 1 + 2 + 6
2. 9 = 1 + 3 + 5
3. 9 = 1 + 4 + 4
4. 9 = 2 + 2 + 5
5. 9 = 2 + 3 + 4
6. 9 = 3 + 3 + 3
Por otro lado, tomemos el primer caso. En (**),
página 118, vimos que los dados suman nueve de seis formas
diferentes para 1-2-6:
1-2-6
1-6-2
2-1-6
2-6-1
6-1-2
6-2-1
Lo mismo va a suceder en cualquier caso formado por
tres números diferentes. Otro ejemplo: para la combinación 1-3-5, tenemos:
1-3-5
1-5-3
3-1-5
3-5-1
5-1-3
5-3-1
Ahora, contemos de cuántas formas se puede obtener
1-4-4. En este caso, hay que mirar en cuál de los dados está el número 1. Los
casos son:
1-4-4
4-1-4
4-4-1
Es decir, tres formas. Cuando hay dos números
iguales y uno distinto, en total hay tres maneras. Ahora voy un poco más
rápido. El caso 2-2-5, también se puede obtener de tres formas (usando los
mismos argumentos). Para el quinto caso, que otra vez presenta tres dados
diferentes (2-3-4), hay seis maneras (ahora no escribo, creo que usted puede
hacerlo por su cuenta). El último caso es distinto, hay una única forma
de obtener 3-3-3.
En definitiva, y resumiendo todo lo que vimos, en
total hay
(6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1) = 25 formas
diferentes
El último punto será contar de cuántas formas se
puede sumar diez. Las seis maneras diferentes son:
1. 10 = 1 + 3 + 6
2. 10 = 1 + 4 + 5
3. 10 = 2 + 2 + 6
4. 10 = 2 + 3 + 5
5. 10 = 2 + 4 + 4
6. 10 = 3 + 3 + 4
Tal como hicimos antes, ahora será fácil hacer la
cuenta. Tenemos que sumar:
(6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3) = 27
Esto indica que hay ¡27 formas diferentes de
sumar 10 , mientras que hay solamente 25 de sumar 9!
Esa pequeña/sutil diferencia era
la que inclinaba la balanza (y el dinero) a favor del apostador visitante… y
terminó develando el misterio.
Galileo pudo. Y creo que usted también. ¿Habrá ido
a la escuela pública Galileo?
11. Saberes
“La gente incompetente suele no estar advertida de
su incompetencia, y parte de la explicación es que la habilidad que se requiere
para ser considerado ‘competente’ es justamente la habilidad que uno necesita
para reconocer su propia incompetencia. Esa es la razón por la cual los
políticos más alejados de la realidad son los que se exhiben tan
autosuficientes y superficiales en sus análisis. Muy frecuentemente, en
política, economía, religión y aun en la vida cotidiana, el conocimiento y la
duda tienen que dar una batalla contra la ignorancia y la certeza”. [40]
Hace pocos días, a propósito de una conferencia
dedicada al ‘conocimiento’, me encontré envuelto en una discusión sobre un tema
del cual no solo no tengo idea, sino al que nunca le dediqué ningún tiempo para
pensar. Pero como siento que me sirvió haber participado de toda esa
interacción, quiero comunicarla y ofrecérsela a usted también. Dicho esto, no
espere leer ningún ensayo ni nada que tenga el rigor
suficiente para ser publicado en una revista especializada. No. Me sentiría muy
satisfecho si logro transmitirle ‘una idea’, algo que
no había pensado antes. Acá voy.
Usted, como yo, debe tener algún tema que la/lo
apasiona. ‘Algo’ que, si tuviera el dinero y el tiempo para dedicarle, podría
hacer todos los días de su vida. No piense en nada sofisticado… no hace falta.
Su tema podría ser el tango o los videojuegos, la pintura o el hockey sobre
patines, la cocina o el diseño de algoritmos; podría dedicarse a la
antropología o a conducir un taxi, a la biología molecular o a cazar de
jabalíes, no interesa… Solo importa saber que usted sienta que es potente
en ese tema o habilidad o destreza.
Me imagino que Martha Argerich elegiría las obras
de Chopin o Rachmaninoff e intuyo que Lionel Messi haría lo mismo con el
fútbol, pero seguramente me equivoco porque no los conozco personalmente, como
quizás se equivocaría usted si no contestara que Alberto Kornblihtt [41] elegiría
el cine o la cocina, y Víctor Hugo Morales [42], la ópera o
el teatro popular.
Pero si bien me desvié, como me suele pasar, creo
que le di una idea aproximada de lo que quiero establecer.
Ahora sí, avanzo en lo que quería. Lo que sigue es
una división de los saberes de una persona.
Los voy a separar en cuatro categorías.
Parte 1. Saberes que usted sabe que
tiene
Esta parte del conocimiento incluye todo lo
que usted sabe que sabe. En esta bolsa están incluidos todos
los saberes que usted fue incorporando con el paso del tiempo. Es lo que le da
lapotencia y le permitió decir que usted es un/aexperto/a en
ese área. Son los saberes que uno sabe que
tiene.
Parte 2. Saberes que usted sabe que no tiene
Usted sabe que, aun en su
tema, hay muchísimas cosas que no sabe. Son saberes
accesibles, pero usted sabe que no los posee. Claramente es imposible
abarcar todo lo que se sabe sobre cualquier
tópico. Pero la diferencia, no menor, es que si usted quisiera (y tuviera el
tiempo y los medios), sabría dónde están, cuáles son y —eventualmente—
podría aprenderlos. Es posible que, aunque le dedicara el resto de
su vida, no alcance a incorporarlos todos, pero está claro que usted sabe cuáles
son… ¡están ahí! Además, independientemente de cuál sea el tema que
eligió, estoy seguro de que todos los días aparecerá tanta cosa
nueva que sería imposible incorporar todo… casi como caminar hacia una
meta que se mueve constantemente. En resumen: son saberes que
uno sabe que no posee.
Parte 3. Saberes que
usted no sabe que tiene
Sí, parece raro. Sin embargo, le propongo que haga
un mínimo esfuerzo y descubrirá que, en su vida, alguien le debe haber
planteado alguna vez algún problema que usted logró resolver sin saber que
podía. Es decir, se sorprendió a usted misma/mismo con saberes que
usted tenía y que no sabía que tenía. Son saberes que
están dormidos o tapados en algún lugar de su conciencia.
En resumen, son saberes queuno
posee, pero que no lo sabe. Son cosas que uno no sabe que sabe.
Y aquí, una pausa. Llegó el momento de
hablar/escribir de la cuarta y última categoría, que es la que disparó la
discusión de la que escribí antes, la que —me parece— más debería importar.
Parte 4. Saberes que
usted no sabe que no tiene
Este es el punto crucial y que me interesa
enfatizar. En general, creo que uno tiene más o menos claro qué es lo que sabe.
Creo que es fácil de aceptar (en cualquier área del conocimiento) que hay
muchísimas cosas que uno no sabe, aun de la profesión u oficio o hobby al que
le dedica o ha dedicado muchísimo tiempo. Estoy casi seguro de que usted
también logró pensar en alguna situación en la que logró resolver un problema o
contestar alguna pregunta que terminó sorprendiéndola/lo a usted misma/o porque
no sabía que tenía ese ‘saber’. Pero ¿saberes que uno ni
siquiera sabe que existen?
¿Qué le genera a usted esta última categoría?
Quizás ya lo ha pensado, y estas reflexiones (que no son exclusivamente
mías) no le agregaron nada que no supiera de antemano, pero a mí me
despertó algo que no sé definir bien. Lo primero que se me
ocurre es que debería ponernos en un lugar de muchísima mayor
humildad con respecto al conocimiento, a la posición en la que
uno cree que está. Pero no sé si estoy conforme con
‘humildad’. ¿Servirá decir que es una prueba ‘antiarrogancia’?
Bertrand Russell escribió alguna vez: “El problema
en el mundo es que los estúpidos [sic] son arrogantemente
seguros, mientras que los inteligentes [sic] están llenos de
dudas”. Charles Darwin hizo su aporte hace más de ciento cincuenta años cuando
señaló: “La ignorancia genera más confianza que el conocimiento”.
Sucede entonces que una persona que ignora lo que
ignora ni siquieradetecta lo que no sabe. Siendo generosos, no es
que niegue la tal ignorancia, sino que son ‘baches’ en su
conocimiento, ‘huecos’ en su formación. Ni siquiera sabe que existe lo que
ignora o, puesto de otra forma (y no es un juego de palabras),
ignora que ignora lo que ignora.
Cuanto más ignora una persona en un área
cualquiera, menos capacitada está para detectar el desconocimiento de otra/o en
ese mismo tópico y, en particular, las fallas o ‘baches’ propios.
Una reflexión más: entre las categorías en las que
está dividido el conocimiento o los saberes potenciales
de una persona, omití hablar (a propósito) de una categoría más pero que no
entraría acá. Me refiero a todo lo que uno cree que sabe… ¡pero que
está mal o está equivocado!
¿Y ahora? ¿Cómo seguir? No. Esa parte le toca a
usted. En soledad.
12. Dos joyitas
Dos problemas preciosos. En principio, creo que no
hace falta siquiera tener para anotar. Si necesita escribir, hágalo, por
supuesto, pero estoy seguro de que debería poder resolverlos mentalmente.
Acá van.
1. Yo le doy nueve monedas de un peso. Son todas
verdaderas, salvo una, que pesa un poco menos. Usted tiene que decidir cuál es
la moneda falsa. Estas son las condiciones. Tiene una balanza con dos platillos
que podrá usar nada más que dos veces. La idea es diseñar una
estrategia que le permita distinguir la moneda que pesa menos.
2. Los números naturales son los
primeros números con los que nos tropezamos cuando somos niños: 1, 2, 3, 4… son
aquellos con los que empezamos a contar. Para eso, usamos los diez dedos de las
manos. Después aparece el cero, una abstracción que a la humanidad le llevó
mucho tiempo definir y aceptar. Un poco más adelante, surgen los números negativos
(las deudas): −1, −2, −3, −4, −5…
Después, les pusimos un nombre: al conjunto de
números que incluye a los naturales, al cero y a los negativos lo llamamos
‘conjunto de los números enteros’.
Ahora viene el problema. En un papel yo tengo
anotada una cantidad X de números enteros consecutivos. El
menor es (−32). O sea, (−32) es el más chico de todos.
La suma de todos resulta ser 67. [43] ¿Cuál
es X? O dicho de otra manera, ¿cuántos números tengo anotados en mi papel?
Como siempre, tómese tiempo. Si no puede dedicarle
un rato ahora, déjelo para después. Disfrútelo. ¿Qué apuro hay? ¿Quién mira?
¿Quién juzga? ¿A quién le importa?[44]
Respuestas [45]
1. Elija seis de las nueve monedas y ponga tres en
cada platillo. Pueden suceder dos cosas: o bien los dos platillos marcan igual,
en cuyo caso la moneda falsa está entre las tres que quedaron afuera; o bien
alguno de los dos platillos pesa menos. Si los dos platillos están igualados,
elija dos de las monedas que usted no incluyó en la primera pesada. Ponga una
en cada platillo. Si pesan lo mismo, la moneda que quedó afuera es la moneda
falsa. Si no, alguno de los dos platillos tiene que pesar menos. Ese es el que
contiene la moneda falsa. Esto resuelve la primera situación posible en la
cual, al pesar las primeras seis monedas, los dos platillos resultaban
igualados. Con dos pesadas, encontramos la moneda que pesaba menos. La segunda
posibilidad es que, al elegir las seis monedas y poner tres en cada platillo,
haya uno de los dos que pese ‘menos’. Me imagino que usted ya sabe cómo seguir,
¿no es así? Es que estamos en la situación anterior. ¿Por qué? Quite las tres
monedas del platillo que pesa más. Tome las tres monedas del platillo que pesa
menos. Seguro que entre ellas está la moneda
falsa. Una vez más, como hicimos antes, elija dos cualesquiera y ponga una en
cada platillo. Si alguno pesa menos, ese contiene la moneda falsa. Si pesan lo
mismo, la falsa es la que quedó afuera. ¡Y listo!
2. Estamos un poco menos acostumbrados a pensar
problemas de este tipo, pero verá que es mucho más sencillo de lo que parece.
Separo los tres datos importantes para que veamos cómo relacionarlos.
a. El más chico de los números es (−32).
b. Como son consecutivos, la lista que yo tengo en
el papel tiene que empezar así: (−32), (−31), (−30), (−29), (−28)…
¿Entiende por qué? El número (−32) es más chico que (−31) y, a
su vez, (−32) y (−31) son más chicos que (−30), y así siguiendo. Todavía no
sabemos hasta dónde llega la lista (porque desconocemos el valor de X), pero
sabemos que tiene que empezar así: −32, −31, −30, −29, −28…
c. El otro dato importante (y que no usamos
todavía) es que la suma de todos es 67. ¿Qué se deduce de
esto? Como la suma de todos los números resulta un número positivo esto
significa que los números que tengo anotados ¡no pueden ser todos negativos!
(si no, la suma sería negativa). Para que la suma sea positiva, tengo quecancelar la
suma de todos los negativos (algo así como pagar todas las
deudas) y todavía seguir con algunos positivos hasta llegar a sumar 67. ¿Qué
hacer?
Creo que ahora usted está en condiciones de seguir
por su cuenta, pero igualmente avanzo. Imagine que los números están todos
anotados en una ‘recta’:
Como los números son consecutivos,
fíjese que puedo ir cancelándolos de a pares. Es decir, si la lista empieza con
(−32), (−31), (−30), (−29), (−28)… y sabemos que tiene que atravesar la barrera
del cero y llegar a incluir positivos hasta sumar 67, entonces alcanzará con
poner todos los positivos que sirvan para anular a los
negativos del otro lado. ¿Qué quiero decir con esto?
Como está el (−32), del otro lado tendré que llegar
hasta el (+32). Por supuesto, la suma de (−32) y (+32) resulta ser cero. De la
misma forma, como está el (−31) y también aparecerá el (+31), la suma de esos
dos también resultará cero. Es decir: todos los negativos que
están en la lista se van a compensar con los positivos que están del otro lado.
Luego, la lista contendrá los 32 números negativos:
−32, −31, −30, −29, −28, … , −3, −2 y −1. Por otro lado, va a contener también
los equivalentes positivos: 1, 2, 3, … , 28, 29, 30, 31 y 32. Hasta acá,
tendríamos 64 números (que en total, suman cero).
Pero todavía no terminamos. ¿Por qué? Primero,
porque falta el número cero. Como los números de
la lista son consecutivos, lo tengo que incluir para poder ‘cruzar’
al otro lado. Hasta acá hay 65 números. Pero si terminara allí, la suma no
daría 67 sino que sumaría cero. ¿Qué hacer?
Fíjese que hasta acá el número más grande es 32. Si
agrego dos más, 33 y 34, ahora sí, la suma dará 67 (ya que 33 + 34 = 67). ¿Y
cuántos números hay en total? Había 65 desde el (−32) hasta el (+32), y ahora
agregué dos más. En total hay 67 números. Hemos descubierto entonces que X =
67. Listo.
Una última reflexión. Yo miro todo lo que tuve que
escribir para el segundo problema y me asusto. Sin embargo, le propongo que no
deje que la/lo confunda con mi argumentación. Observe la ‘porción de recta’ que
aparece en la página anterior y se dará cuenta de que el argumento ‘visual’ es
contundente, sencillo y mucho más económico.
13. Bueno… una joyita más
Este es un problema de enunciado muy sencillo, pero
para encontrar la solución hace falta diseñar una estrategia. De eso se trata:
ser capaz de elaborar un plan que permita conseguir un
objetivo. Me explico.
Suponga que yo traigo seis monedas. Estas monedas
pesan 1, 2, 3, 4, 5 y 6 gramos respectivamente. En apariencia son iguales,
salvo que cada una tiene una ‘etiqueta’ que en teoría identifica su peso.
Al mismo tiempo, le ofrezco una balanza clásica,
con dos platillos. Puede que cada moneda tenga la etiqueta que le corresponde…
o no. Es decir, cada etiqueta tiene un número que ‘debería’ identificar el peso
de la moneda, pero puede que las etiquetas hayan sido mal distribuidas.
La pregunta, entonces, es la siguiente: ¿es posible
diseñar una estrategia que permita determinar si todas las
etiquetas están bien ubicadas usando nada más que dos pesadas?
Como usted advierte, el problema no puede
ser complicado. Del enunciado mismo se deduce que solo se trata de prueba
y error. Fíjese que no importa cuál o cuántas están equivocadas; el
problema solamente pide decir si las etiquetas están todas correctamente
ubicadas o no. Basta que haya dos en una mala posición para concluir que
‘ no todas están bien’.
Le sugiero, entonces, que no mire lo que escribí a
continuación y se dé el tiempo que necesite para contestar la pregunta: ¿se
puede o no se puede? Y si se puede… ¿cómo hacer?
Solución
Supongo que debe haber varias soluciones a este
problema. Yo voy a proponer una potencial estrategia para encontrar la
respuesta. Veamos.
En la primera pesada, tome las monedas (1, 2, 3) y
póngalas en un platillo. Del otro lado, ponga la moneda que lleva la etiqueta
número 6. Pueden pasar dos cosas: los platillos están alineados o bien no lo
están.
Vayamos por pasos. El problema queda resuelto
inmediatamente si la balanza no está ‘igualada’. Eso indica que algunas
etiquetas (o todas) tienen que estar mal, ya que (1 + 2 + 3) = 6, y si al
pesarlas de la forma en que indiqué antes no se obtiene una igualdad, entonces
las etiquetas están equivocadas. Se terminó el análisis y hemos llegado a la
respuesta: las etiquetas están mal.
Supongamos que sí, que resultan estar igualados.
¿Se podrá concluir que están todas las etiquetas bien ubicadas? ¿Quiere pensar
usted? La respuesta es que no: bien podría pasar que al pesarlas diera igual,
pero que la etiqueta 1 y la etiqueta 3 estuvieran intercambiadas, y con esta
única pesada no nos daríamos cuenta.
Sin embargo, sí hay un dato que
podemos extraer de la igualdad. La etiqueta número 6 sí tiene
que estar bien ubicada. Si no, no hay forma de que, con una sola moneda en un
platillo, la suma de ningún grupo de tres monedas pueda
igualar el peso (le pido que piense usted las razones por las que esto es
cierto: pruebe todos los casos, si hace falta, y verá que tengo razón).
Es decir, si (1, 2, 3) pesan lo mismo que 6, se
deducen tres hechos (y fíjese si usted está de acuerdo):
a. la moneda 6 tiene la etiqueta correcta;
b. puede ser que las monedas (1, 2, 3) estén todas
bien. Si no es así, tienen a lo sumo las etiquetas intercambiadas entre ellas
(si no, la suma de las tres no podría dar 6);
c. por la misma razón, puede suceder que las
monedas (4, 5) tengan las etiquetas correctas o también estén intercambiadas
entre ellas.
Estas tres afirmaciones son importantes para ver
cómo hacer con la segunda pesada.
Ahora, tome las monedas (1, 6) y póngalas en el
platillo de la izquierda, y en el otro coloque las monedas (3, 5).
Acompáñeme por este camino: si todas las
etiquetas estuvieran donde corresponde, el platillo que tiene las monedas
(1, 6) tiene que pesar menos que el platillo que tiene (3, 5)
(de un lado pesan siete gramos y del otro ocho).
Pero lo curioso es que ¡ este es el único caso en el que es posible que
(1, 6) pesen menos que (3, 5) ! Es decir, cualquier cambio en
las etiquetas impide que el platillo (1, 6) pese menos que (3,
5). ¿Por qué?
Ya sabemos que la etiqueta 6 está en el lugar
correcto (por lo que vimos en la primera pesada). Luego, la única que puede
estar ‘mal’ es la ‘1’. Pero ‘1’ solamente puede tomar los valores ‘2’ o ‘3’. Si
‘1’ tomara el valor ‘2’, entonces el platillo de la izquierda pesaría ocho
gramos, y el platillo de la derecha pesa —por lo menos— lo mismo. ¿Por qué?
Es que, en ese caso, la etiqueta ‘3’ está en el lugar correcto (ya que ‘1’ y
‘2’ cambiaron de lugar, lo que obliga a que ‘3’ esté en la moneda que le
corresponde), y las únicas alternativas para ‘5’ son que pese lo que indica la
etiqueta (cinco gramos) o bien que pese cuatro. En cualquiera de
los dos casos, el platillo que tiene (3, 5) pesa igual o menos que
el platillo (1, 6).
Esto sucedió si las monedas ‘1’ y ‘2’ tenían
intercambiadas las etiquetas. El último caso que queda por
analizar es si la moneda que dice ‘1’ pesa tres gramos. En ese caso, el
platillo de la izquierda (el que tiene (1, 6)), pesa nueve gramos. El de la
derecha está forzado a pesarmenos, ya que ‘3’ ya no puede estar bien (y
tiene que pesar menos) y ‘5’ pesa cinco o cuatro. En cualquier
caso, el platillo que tiene (3, 5) no puede llegar a nueve.
Moraleja
La única forma de que el platillo que tiene (1, 6)
pese menos que el platillo que tiene (3, 5) es que las cuatro
etiquetas estén ubicadas correctamente.
Y ahora, fíjese que las dos etiquetas que quedan
—(2, 4)— forzosamente indican el peso de las monedas de manera correcta, porque
‘2’ no podría cambiar sino con ‘1’ o ‘3’ (que están bien), y ‘4’ solamente
podría intercambiar con ‘5’, por lo que también está obligada a indicar lo que
corresponde.
De todo esto se concluye que si en la segunda
pesada el platillo que tiene (1, 6) pesa menos que el platillo
que tiene (3, 5), entonces todas las etiquetas están
dispuestas de forma correcta, mientras que si (1, 6) pesan igual (o más) que
(3, 5), entonces algunas[46] de las
etiquetas (o todas) están equivocadas. Y esto termina el problema.
14. Dilema ético
El que sigue es un artículo interactivo. Quiero
plantear una serie de situaciones (no de matemática, sino de la vida cotidiana)
que requieren de la toma de decisiones. Las opiniones van a variar: la suya, la
mía, la de cada persona podría (y es esperable que así ocurra) ser diferente,
pero como tendremos que elegir algún camino, deberíamos consensuar en qué
sociedad queremos vivir. Naturalmente, convendría que sea aquella en la que se
respeten las voluntades de las mayorías.
Sé que así escrito es muy general o muy genérico,
pero si sigue leyendo entenderá un poco más.
Le voy a plantear una serie de problemas en los que
usted tendrá que tomar una decisión de forma casi instantánea. No se apure a
contestar; le pido que medite qué haría y verá por qué su respuesta no solo le
interesará a usted, sino que nos interesará a todos.
Acá voy.
Problema 1
Usted está manejando su auto una velocidad
considerable. De pronto, sin darle virtualmente tiempo a nada, desde la vereda
salen corriendo unas diez personas. Su primera reacción es ‘clavar los frenos’,
pero, cuando lo intenta, su pie derecho llega hasta el fondo sin que haya
respuesta. Con horror usted descubre que ‘se quedó sin frenos’.
Todo sucede muy rápido: sin tiempo, mira hacia la
misma vereda desde donde salieron los peatones que ahora están cruzando y
alcanza a ver a un joven que está parado, como si estuviera esperando un
colectivo.
Hay dos alternativas: o atropella a los que están
cruzando (y eventualmente los mata) o bien tuerce el volante hacia la derecha y
‘mata’ al joven que está parado en la vereda.
¿Usted qué haría? ¿Sigue su camino y mata a las
diez personas que están cruzando o gira el volante y mata a uno solo?
Problema 2
Mismo problema que antes, solo que ahora no hay
nadie parado en la vereda: si gira el volante, será usted quien terminará
estrellado contra la pared.
¿Ahora qué hace? ¿Sigue su camino y eventualmente
mata a todas o a algunas de las personas que cruzan, o pone en riesgo su vida
con alta probabilidad de perderla?
Problema 3
Lo mismo que en los casos anteriores: usted viene
manejando su auto a alta velocidad. Ahora es una única persona la que cruza de
forma totalmente inesperada. Una vez más, usted descubre con horror que ‘se
quedó sin frenos’. Con desesperación, mira hacia todos lados y decide de
inmediato que las alternativas son dos: si usted sigue de largo, muere el que
está cruzando y usted se salva. Si gira hacia la derecha, igual que antes, es
usted quien se estrella contra la pared. En esta situación, ¿qué haría?
Es posible que haya escuchado hablar de este tipo
de situaciones o que haya leído sobre ellas. No son las únicas, y ni siquiera
sé si son las mejores. No importa. Espero que ni usted, ni yo ni nadie tenga
que atravesar por ellas. Pero lamentablemente la vida es así: ese tipo de cosas
pasan y, guste o no, los accidentes existen.
De todas formas, no es esa la razón por la que
estoy escribiendo este artículo, sino que quiero proponerle avanzar en una
dirección distinta, siempre contemplando las condiciones que planteé antes.
Más allá de las respuestas que usted (se) dio,
quiero introducir un nuevo elemento.
Suponga que ahora usted está viajando en el auto,
pero no lo está conduciendo. Viaja como pasajero. En realidad, no hay piloto,
no hay quien lo conduzca. Se trata de uno de los vehículos nuevos con los que
Google está experimentando desde hace algunos años… y con marcado éxito. Ahora
ya no es usted quien tiene que tomar la decisión: ¡es el auto!
Estoy seguro de que usted no ignora que los autos
no toman decisiones; las tomamos los humanos. El auto va a hacer exactamente lo
que hayamos programado que haga. Acá quería llegar.
1. ¿Qué le decimos que haga?
2. ¿Quién toma la decisión de elegir matar a diez
peatones pero salvar a usted o a los que viajan en el auto?
3. ¿O quién toma la decisión de matar al que está
parado en la esquina pero salvar a los diez que están cruzando?
4. ¿O la de que el auto mate al que está parado
pero lo salve a usted o a los que estén viajando en el vehículo?
Una vez más, hay que programar la computadora del
auto antes de que salga a circular. De hecho, una vez que se ponga en venta,
algo va a hacer; no importa qué, pero seguro que algo hará. ¿Y entonces? ¿Qué
le decimos que haga? ¿Y quién se lo dice? ¿Quién o quiénes toman las decisiones
para que cada auto tenga instrucciones precisas sobre cómo operar en cada
circunstancia?
¿Dejamos que lo decidan los fabricantes de autos?
¿No tendría que estar regulado? ¿No debería ser una decisión de los gobiernos?
¿Habrá acaso libertad para fabricar autos que tomen una decisión determinada y
otros que tomen una distinta?
Supongo que no aspirará a que yo le ofrezca ‘la’
respuesta, ni siquiera ‘una’ respuesta. Yo mismo no sé bien lo que pienso y ni
siquiera creo que sea relevante. Pero está claro que en algún momento (y no muy
lejano) estas preguntas éticas tendrán que ser contestadas, y esas respuestas
necesitarán del consenso de la sociedad en la que vivimos. Sospecho que en la
Argentina las decisiones serán distintas de las que se tomarán en Suecia, por
elegir un lugar cualquiera. Lo que me queda clarísimo es que no puede quedar en
manos de los fabricantes.
Me imagino que debería haber un debate
parlamentario para consensuar leyes que determinen qué pedir o qué exigir. ¿O
es que la decisión puede ser tomada por el comprador, quien tendría la opción
de elegir, por ejemplo, uno que ‘mate’ a los que cruzan si son más —en número—
que los que están parados esperando un colectivo? ¿Y qué hacer si, en lugar de
un auto, se trata de un colectivo que transporta niños? ¿Y si quien está
esperando el colectivo es un niño? Y si en el auto que se está ‘automanejando’,
además de usted, están sus dos hijos, ¿elegiría igual lo que eligió antes?
Las preguntas que yo podría agregar acá son muchas
y a esta altura creo que son redundantes. Estoy seguro de que usted advierte
qué problema estamos por enfrentar. Si le sirve, me apresuro a decirle que, más
allá de que no ‘le’ guste pensar las respuestas, o no ‘me’ guste hacerlo, este
tipo de debates están ‘acá a la vuelta’. Los autos sin conductor empezarán a
circular en menos de una década, o mucho antes, y si usted decide no comprar ni
subirse a ninguno, salvo que se prohíba su circulación, es muy posible que
tenga que coexistir con ellos.
Hay varios lugares en los que este tipo de debates
ya existen. De hecho, el sábado 4 de junio de 2016, en el marco del Festival
Mundial de Ciencia que se hizo en New York, una de las charlas tenía este
título: “Moral Math of Robots: Can Life and Death Decisions be Coded?”. Voy a
tratar de ofrecer mi traducción, no necesariamente textual: “La moral
matemática de los robots: ¿se pueden programas decisiones sobre la vida y la
muerte?”.
Este es solamente uno de los foros en los que se
discutió. Claramente se trató de la presentación en sociedad de este problema,
lo mismo que pretendo hacer yo con este artículo.
Eso sí: ignorar el problema no lo resuelve.
Conviene estar educados para enfrentar el futuro que llega inexorablemente.
¿Usted qué piensa?
15. Escala
Tengo un par de problemas breves para plantearle.
Son situaciones de la vida cotidiana. Fíjese qué haría usted si tuviera que
decidir.
1) En la esquina de su casa están por abrir una
nueva pizzería. Los dueños son un matrimonio joven, amigos suyos de la
infancia, y necesitan de su ayuda. Le muestran el menú y le piden un consejo.
Lo único que les falta es poner los precios y, como tienen una
disputa entre ellos (marido y mujer), decidieron consultarle. Este es el
problema que le plantearon: Todas las pizzas del menú aparecen en dos
medidas... chica y grande. Son todas redondas (o circulares).
Las chicas tienen 20 centímetros de diámetro y las grandes miden el doble (de
diámetro): 40 centímetros.
Después de haber hecho todos los cálculos, ellos
dicen saber qué precio cobrar por las pizzas chicas, pero la disputa es con el
valor de las grandes. La señora quiere convencer al marido de que está
equivocado no solo respecto de los precios, sino también en la estimación de
los ingredientes que necesitan para las pizzas más grandes. Y acá es donde
quisiera hacerle yo una pregunta en un caso particular.
Suponga que deciden cobrar 100 pesos la pizza chica
de jamón y muzzarella. Aceptando como cierto que quieren conservar la calidad
de la pizza grande poniendo la cantidad de ingredientes que correspondan cuando
se duplica el diámetro, ¿a qué precio tendrían que vender la pizza grande?
¿Y qué hacer con los ingredientes? La señora está
enojada con el marido porque ella sostiene que no será suficiente duplicar los
ingredientes para conservar la calidad… ¿Quién tiene razón en este caso y por
qué?
2) Mientras sigue discutiendo con ellos la solución
que les aportó, deciden caminar hacia la pizzería para seguir la conversación.
Lo que usted no había advertido es que en la misma cuadra habían abierto una
nueva rotisería. El lugar parece moderno porque desde afuera, desde la calle,
se puede ver parte de la cocina.
De hecho, los tres se detuvieron y vieron con
claridad lo que sucedía con las dos sartenes en las que se estaban friendo
albóndigas de carne. En una de ellas las albóndigas eran chiquitas, como si
fueran pelotitas de ping-pong; en la otra, las albóndigas eran más grandes,
parecidas a pelotitas de tenis. Si alguien le hubiera pedido que estimara el
tamaño de cada una, usted habría dicho que las más pequeñas eran deun
centímetro de diámetro y las más grandes tenían tres
centímetros de diámetro, algo así como el triple de las otras.
Con todo, lo que más les llamó la atención a los
tres fue un cartel con una promoción: por el mismo precio, usted
podía comprar cuarenta de las albóndigas pequeñas o bien dos de
las grandes. Leyó bien: cuarenta de las chicas o dos de las grandes.
¿Qué le convendría hacer? ¿Cuál de las dos opciones
es la más conveniente? ¿O da lo mismo? Si usted estuviera en esta situación
(ideal, por cierto), ¿qué haría?
Ahora es su turno.
Ideas
Por un momento, imagine que se enfrenta con la
réplica de un auto de carrera o de la locomotora de un tren eléctrico. Si las
versiones fueranfieles a la realidad y usted pudiera inflarlos o ampliarlos en
todas las direcciones posibles, debería obtener una copia de los originales.
También está claro que si quisiera pintar el objeto
en miniatura, usaría una cantidad de pintura mucho menor que si tuviera que
pintar el original. Y lo mismo sucede con el volumen. Hasta acá —creo— estamos
de acuerdo, pero las preguntas son: ¿En cuánto se modifica? ¿Cómo se
mide esa diferencia? ¿Qué sucede con las superficies y los volúmenes cuando uno
modifica la escala?
Los problemas que planteé anteriormente son dos
casos particulares de lo que acabo de describir. Se trata de decidir en cuánto
aumenta la superficie de la pizza si duplico el diámetro, y de estimar la
cantidad de carne que se usa en cuarenta de las albóndigas chicas en
comparación con las dos albóndigas grandes.
Ahora, acompáñeme por acá. No va a resolver ninguno
de los dos problemas originales pero, conceptualmente, sí. Suponga que usted
está dentro de una habitación que mide (1 × 1), o sea, un metro de ancho por un
metro de largo. La superficie de ese lugar es, entonces, un metro
cuadrado. Fíjese lo que sucede si usted duplica cada
lado. La habitación se transforma en una de (2 × 2). A usted no se le escapa,
entonces, que la superficie del lugar es ahora ¡cuatro veces más grande que la
anterior!
Es decir, duplicar los lados no implica duplicar la
superficie: el área se ¡cuadruplica!
Más allá de hacer las cuentas (que figuran en el
‘Apéndice’), la pizza grande debería costar cuatro veces más que
la pizza chica, es decir, 400 pesos. Lo mismo con los ingredientes. Si usted
usa —por ejemplo— 100 gramos de muzzarella y tres fetas de jamón en la pizza
chica, en la grande tiene que poner 400 gramos de queso y 12 fetas de jamón.
Es sorprendente, pero es lo que sucede. Uno puede
usar cantidades menores, pero eso atentará inexorablemente contra la calidad
del producto [47].
Con esta misma idea, le propongo que piense lo que
sucede con las albóndigas. ¿Cómo aumenta el volumen si uno triplica el
diámetro?
Ahora, en lugar de una habitación de (1 × 1),
exploremos lo que pasa con un cubo para resolver el problema de las
‘esferitas’. Suponga que tiene, por ejemplo, un cubito de hielo que
mide (1 × 1 × 1) cm, o sea, un centímetro de largo, de ancho y de alto. El
volumen, que se calcula multiplicando esos tres números, resulta ser un
centímetro cúbico.
Ahora, tripliquemos cada lado. El nuevo cubo es de
(3 × 3 × 3) cm, ya que cada lado tiene tres centímetros. Haga la cuenta
conmigo. El resultado es ¡27 centímetros cúbicos! ¿Y qué dice esto? Contra lo
que la intuición parece indicar, si uno triplica el lado, el volumen hay que
multiplicarlo por 27.
Me imagino que usted debe estar pensando: “Un
momento. Usted me planteó ejemplos de pizzas (círculos) y albóndigas (esferas)…
¿por qué ahora hace el análisis con ‘cuadraditos’ y ‘cubitos’?”.
Y tiene razón. Pero créame que las ideas importantes
están en los dos casos que escribí recién. De todas formas, en el Apéndice
aparecen algunas ideas complementarias.
Ahora volvamos al ejemplo de las albóndigas. Como
el diámetro de la albóndiga más grande triplica el diámetro de
la más chica, eso significa que en la grande hace falta usar 27 veces la
cantidad de carne que se usa en la chica. Como el cartel ofrece dos albóndigas
grandes, la cantidad de carne involucrada es dos veces 27, o sea,
el equivalente a 54 albóndigas chicas. ¿Qué le conviene hacer, entonces?
¡Llevarse las dos grandes! Ni aunque le dieran 50 de las más pequeñas le
convendría aceptar.
Eso contesta las preguntas, pero lo más importante
acá es advertir que una modificación lineal (como fue el
aumento del diámetro de la pizza o de la albóndiga) implica una
modificación cuadrática en el caso de la superficie y cúbica en
el caso del volumen. ¿No sería útil saber esto para poder operar en la vida
cotidiana?
Apéndice
El área de un círculo de radio R se obtiene
multiplicando el número π por el cuadrado del radio. Es decir,
se usa la fórmula [48] (creo
que famosa) que uno repite casi de memoria: la superficie de un
círculo es “pi por radio al cuadrado”.
(π × R2) (*)
Si ahora uno duplica el radio, en
el lugar en donde aparece la letra R necesitará poner (2 × R), ya que el radio
del nuevo círculo (la pizza grande) es (2 × R). Luego, para calcular el área
del nuevo círculo, hay que hacer:
(π × (2 × R)2) = π × 22 ×
R2 = 4 (π × R 2) (**)
Si usted compara (*) y (**), advierte que la
superficie del nuevo círculo es cuatro veces más grande que el
área del círculo pequeño, y esto sucedió porque 4 = 22. De la misma
forma, si multiplica el radio por 10, entonces el área aparecerá multiplicada
por ¡diez al cuadrado!, o sea, 100 veces más.
Para calcular el volumen de una esfera de radio R,
usa la fórmula:
(4/3) × π × R3 (***)
Fíjese que si usted duplicara el
radio, debería poner (2R) en la fórmula (***). ¿Qué relación habrá entre los
dos volúmenes? Aparecerá el factor (23) = 8, lo que indica que el
volumen se octuplica. Y si lo triplicara, como hicimos
con las albóndigas, entonces en la fórmula aparecerá (33) = 27.
16. Contraseña
Lunes por la mañana, temprano. Suena el teléfono.
Me despierto mal y, mientras trato de atender, busco con la vista el reloj
grande en la pared. Un poco más de las cuatro y media. Miro otra vez… sí,
empezaba con cuatro. No reconozco el número pero atiendo igual.
—¿Sí? —balbuceo con voz que ni yo mismo reconozco.
—Adrián, soy Raúl. Estoy en Mendoza, en un hotel.
Vine por laburo —escuché del otro lado. La voz sí era la de
Raúl.
—¿Estás bien? —le pregunto preocupado—. ¿Qué hacés
en Mendoza? ¿Qué raro que me llames a esta hora? ¿Te pasa algo?
—No, no, estoy muy bien. Te cuento por qué te
llamo. Necesito que me ayudes y no conozco otros matemáticos.
—¿Matemáticos? ¿Qué te pasó? Contame.
—Mirá. Viajé ayer a última hora de la tarde desde
Aeroparque. Ni bien aterrizamos, salí apurado del avión porque tenía una
reunión y no quería llegar tarde. Cuando subo al taxi que me llevaría el
centro, ¡me quise morir! Recién ahí me di cuenta de que me había dejado la
computadora debajo de mi asiento. La laptop… me la olvidé dentro del avión. ¡No
lo podía creer! Volví a la terminal, pero era demasiado tarde. El avión había
seguido para Santiago de Chile. Llegué al hotel y con el celular pude seguirle los
pasos (al avión). Apenas supe que había aterrizado, llamé al mostrador de la
compañía en el aeropuerto. Expliqué mi situación, les di mi número y me quedé
esperando. A la media hora se comunicaron conmigo… ¡no encontraron nada,
Adrián! ¡Me quiero matar! —siguió en un monólogo sin pausa—. No me importa el
valor de la computadora. Mi problema son los datos, ¿me entendés? Son
confidenciales, hay un montón de contraseñas, direcciones, números de
teléfonos… ¡Me van a matar! ¡No lo puedo creer! ¡Soy un imbécil!
—Raúl —seguí yo sin entender todavía por qué estaba
tan angustiado—, quedate tranquilo. Te van a entender. No te preocupes. De
todas formas, ¿no tenías una clave para entrar?
—Sí, justamente por eso te llamo. Yo sé la clave,
pero tengo miedo de que sea muy fácil de descubrir. Te explico. Como yo tengo
tantas contraseñas en tantos lugares, ni bien la encendés aparece una pequeña
ayuda para que me indique cuál de las claves que uso es la que me sirve
para esa computadora en particular.Se ve claramente que hay que
llenar ocho caracteres y yo me anoté como ayuda memoria: 6
MIN, MAY, NÚM.
—Raúl, nadie va a entender eso. ¿Qué quiere decir
MIN, MAY, NÚM? Bueno —me interrumpí porque me di cuenta de algo y no quería
engañarlo—: me imagino que MIN es por minúscula, MAY es por mayúscula y NÚM por
número… pero ¡no te preocupes! Solamente con esos datos, va a ser muy difícil
de descubrir.
—¿Ves? ¿Ves? ¡Vos te das cuenta inmediatamente de
que yo usé seis letras minúsculas, una mayúscula y un dígito! Y es exactamente
así —seguía casi desesperado—. Decime, por favor: si alguien detecta
lo mismo que vos, ¿tiene que probar con muchas combinaciones hasta descubrir la
verdadera clave? ¿Con cuántas claves tiene que probar?
Aquí lo dejé. Y aprovecho para plantearle el
problema a usted. Yo le dije que se quedara tranquilo, que son muchas. ¿Hice
bien? Usted… ¿qué piensa?
Respuesta
Y sí… son muchas. ¿Quiere acompañarme a
recorrer un posible camino para determinar cuántas hay? La
respuesta que encontremos será única, pero las formas de llegar son múltiples.
En principio, hay 27 letras en nuestro alfabeto. De
ellas va a salir la mayúscula y también saldrán las minúsculas. El dígito
tendrá que ser un número cualquiera entre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Como hay ocho casillas para llenar, la letra
mayúscula puede ir en cualquiera de esos ocho lugares. Una vez
que elegí el lugar que ocupa la mayúscula, quedan siete casillas
libres para el dígito. O sea, en total hay:
8 × 7 = 56
formas de ubicar la mayúscula y el dígito.
Ahora, quiero contar cuántos pares se pueden formar
con una letra y un dígito. Tengo 27 posibilidades para elegir la letra y 10
para elegir el dígito. ¿Conclusión? En total hay:
27 × 10 = 270
pares de letra y dígito.
Fíjese que para cada una de las 56
posibilidades de elegir las dos casillas donde van a ir la mayúscula y
el dígito, tengo 270 posibles formas de llenar esas casillas. En total
entonces,
270 × 56 = 15.120
Llegamos a la conclusión de que hay 15.120 formas
distintas de distribuir una mayúscula y un dígito usando dos de las ocho
casillas posibles. ¿Y ahora? Lo que sigue es más sencillo. ¿Por qué? ¿No quiere
seguir pensando usted?
Cuando uno determinó en qué casillas va a ubicar la
mayúscula y el número, ya sabe lo que va en cada una de las seis restantes:
una letra minúscula. Y en cada una de esas seis casillas, puedo poner
cualquiera de las 27 letras del alfabeto. Es decir, en esas seis casillas van
27 × 27 × 27 × 27 × 27 × 27 = 276 = 387.420.489
Último paso. Lo único que queda ahora es usar toda
la información que juntamos. Sabemos que hay 15.120 formas de distribuir la
mayúscula y el dígito y, para cada una de esas formas, hay
387.420.489 maneras de elegir seis minúsculas.
Moraleja:
(15.120) × (387.420.489) = 5.857.797.793.680
Si quien se llevó la laptop quisiera probar
intentando con una combinación por segundo (y le sugiero que
haga la cuenta) verá que necesitará algo así como 67.798.586 días o, lo que es
lo mismo, 185.750 años o, si prefiere, un poco más de 1.857 siglos.
Lo llamé a Raúl inmediatamente: “Raúl, la
contraseña es muy segura. Si alguien intenta violarla, se va a morir antes.
Andate a dormir y quedate tranquilo”.
Corté y volví a la cama. Tendría tiempo de dormir
una hora más, por lo menos. Con todo, había algo que me hacía
‘ruido’. Es que el cálculo de que una persona tardaría casi dos mil siglos en
probar todas las combinaciones si intentara una por segundo se basa en eso…
¡ en una persona! ¿Habrá otras formas más rápidas?
Me levanté y le escribí a Carlos D’Andrea, que es
profesor en la Universidad de Barcelona. A través de él, yo sabía que llegaría
hasta Don Coleman, un especialista en analizar cuestiones de seguridad
cibernética. No habían pasado ni diez minutos cuando recibí este correo de
parte de Carlos:
Adrián, me dice Don que hay programas que buscan
passwords y van pasando por todas las combinaciones posibles a una velocidad
increíble (esto obviamente no lo puede hacer un humano sino otra máquina
conectada con la que va a ser hackeada). Ocho caracteres es un poco el límite
de lo que pueden hacer, pero darles la información 6 min + 1 may + 1 núm les
hace el trabajo bastante más fácil. Así que, si yo fuera tu amigo, no me iría a
dormir tan tranquilo…
Me quedé mortificado y dudando si llamarlo a Raúl.
Preferí no hacerlo. ¿Qué le iba a decir? Por lo menos él pasó una buena noche.
17. El reino de Josefina
El que sigue es un problema de lógica precioso.
Para abordarlo, le pediría que lea el enunciado pero no la
solución. Créame: la única gracia posible es que lo piense
usted, verá que encima se va a divertir. Lo voy a presentar como si fuera un
cuento. Acá voy.
Suponga que hay un país que desde su fundación ha
sido siempre gobernado por mujeres, algo así como un verdadero ‘matriarcado’.
En el momento en que se produjeron los hechos que quiero contar acá, la reina
era conocida con el nombre de Josefina.
Josefina siempre había tenido problemas en aceptar
la infidelidad de los hombres que habían jurado lealtad a sus
respectivas mujeres el día de su casamiento. Con el objetivo de resolver
este tipo de situaciones, había promulgado algunas leyes ciertamente curiosas.
La primera decía que para que una mujer pudiera
casarse tenía que aprobar un test de lógica, de manera tal que
pudiera manejarse en la vida con una capacidad lógica ‘impecable’.
Por otro lado, en el reino de Josefina,toda
mujer sabía sobre la fidelidad de todo hombre casado pero con una
sola excepción: ¡su propio marido! Es decir, cada mujer sabía cuán
fiel era todo hombre casado que viviera en cualquier otra casa, salvo en la
propia.
Pero había más: por una cuestión de ‘elegancia y
etiqueta’, ninguna persona podía acercarse a una mujer y hablarle sobre la
fidelidad de su marido. Con eso se completaba el círculo: una mujer no podía ni
saber ni averiguar nada a través de otras personas sobre lo que sucedía en su
propia casa respecto a la fidelidad de su esposo.
Las casas de este reino estaban congregadas en un
lugar muy reducido, de tal manera que —por ejemplo— cualquier disparo producido
con un arma de fuego era escuchado por todos los habitantes. Es
decir, cualquier explosión que se produjera en una casa del
reino era escuchada claramente en toda otra casa.
Esto habría de adquirir mucha importancia porque
Josefina había determinado, con otra ley, que si una mujer descubría (por algún
medio) que su marido le era infiel, debía matarlo a la medianoche del día en el
que se enterara, pegándole un tiro de escopeta en la cabeza.
Aun con todas estas restricciones, la vida
transcurría normalmente. Pero un día, sorpresivamente, Josefina congregó a
todos los habitantes del reino a una reunión en la plaza central. Allí presentó
a su gran amiga Cleopatra, la reina de un pueblo vecino. Si bien en el reino de
Josefina se sabía desde hacía mucho tiempo acerca de la amistad entre las dos
mujeres, nunca se había producido una presentación de estas características.
Cleopatra se paró en un banquito y pronunció un discurso que tuvieron que escuchar
—forzosamente— todos los habitantes. En tono admonitorio le
comunicó a toda la población allí reunida que ella se había enterado hacía nada
más que una hora que en el reino había por lo menos un hombre casado que
le era infiel a su mujer.
¿Qué cree usted que pasó a partir de allí?
Solución
Para pensar lo que sucedió en el reino de Josefina
le voy a proponer que vayamos imaginando juntos potenciales situaciones. En el
momento en que Cleopatra pronuncia su discurso, todas las mujeres del reino
sabían lo que sucedía con todos los hombres salvo con
sus propios maridos. Le propongo que empecemos, usted y yo, suponiendo que en
el reino hay (y esto es importante) un solo marido infiel.
De acuerdo con todo lo que escribí antes, todas
las mujeres sabían que había un marido que era infiel, pero había una
excepción: su propia mujer .
Lo interesante es que ella era la única del condado
que creía que ¡todos los maridos eran fieles! Por lo tanto,
cuando ella escucha a Josefina en la plaza, no tiene más dudas: el infiel tenía
que ser su propio marido. Llega la noche y lo mata (tal como estaba
estipulado por la ley).
En definitiva, si en el reino hay un solo marido
infiel, su mujer se entera en el momento en que escucha el discurso de
Cleopatra, y lo mata esa misma noche.
Ahora, pasemos el caso siguiente: en lugar de un
solo marido infiel, hay dos.
La situación es distinta, porque al haber dos, las
mujeres de estas dos personas creían que había solamente uno. El
resto de las mujeres saben perfectamente que hay dos. Recuerde lo que escribí
antes: si hay uno solo, esa misma medianoche su propia mujer lo va
a matar. Cuando llega la medianoche y no se escucha ningún disparo, eso les
indica a estas dos mujeres que tiene que haber más de un infiel. Por lo
tanto, las dos mujeres que creían que había solo uno saben que hay dos
y, por lo tanto, a la segunda medianoche ¡matan a sus propios maridos!
La moraleja es que si hay dos maridos infieles, las
mujeres de ambos no los matan la misma noche, sino a la segunda, y eso resuelve
este caso.
¿Quiere pensar qué sucedería si, en lugar de uno o
dos maridos infieles, los que engañaran a sus mujeres fueran tres?
Sigo yo. Supongamos que son tres los infieles. Como
en el caso anterior, todas las mujeres del reino saben que son tres, salvo las
tres esposas engañadas, que creen que son dos. Estas tres saben que, si hay dos
(como vimos en el caso anterior), a la segunda noche deberían escucharse dos
disparos. Cuando esos disparos no se escuchan, ellas saben que tiene que haber
un tercero, y que los infieles son los maridos de cada una de ellas. ¿Qué
tienen que hacer, entonces? La tercera noche se escuchan tres disparos: cada
una de estas tres mujeres mata a su marido.
A esta altura creo que está claro cuál es el
patrón. Si en el reino de Josefina hubiera veinte maridos infieles, habrá que
esperar que pasen diecinueve noches para escuchar los disparos. Pero seguro que,
en la vigésima noche, habrá veinte tiros que implicarán la muerte de veinte
hombres infieles. Y lo mismo si, en lugar de veinte, la cantidad de maridos
infieles fuera cualquier número n. En la ‘enésima’ noche
habrá n disparos.
Y esta es la conclusión final. Como siempre,
haciendo gala de una lógica impecable, no hay lugar para infidelidades en el
matriarcado de Josefina. No quiero imaginarme lo que pasaría en nuestras
sociedades con leyes de ese tipo… pero esas conclusiones se las dejo a usted.
18. ¿Qué esconde el número de su tarjeta de
crédito?
Supongamos que usted y yo estamos comunicados por
vía telefónica o a través de un intercambio de e-mails. Usted me quiere mandar
un número que tenga 10 dígitos y queremos estar seguros de que los números que
yo recibí son los que usted me quiso enviar. Es decir, necesitamos estar
seguros de que usted y yo tenemos los mismos datos.
Lo que voy a hacer es mostrarle un método
para verificar que esos dígitos que usted me mandó (y que yo
recibí) son los correctos. Para eso, le voy a pedir que agregue un número más y
que, en lugar de mandarme 10, me mande 11: ese último dígito tiene que servir
como ‘autoverificación’ de que los primeros 10 son los correctos.
¿Cómo se logra? Una forma de conseguirlo es
mediante un algoritmo que inventó Hans Peter Luhn en el año 1954 y que fue
patentado ¡seis años después!, en 1960.
Funciona así. Supongamos que los números que usted
me quiere mandar son:
7 1 9 8 7 3 9 2 7 9 x
en donde ‘x’ es el número que falta
determinar, y que va a servir para verificar que los
primeros diez dígitos que me mandó son los correctos.
Si usted se fija, los que están en las posiciones
‘impares’ son 7, 9, 7, 9, 7 y ‘x’, mientras que los que están en las posiciones
‘pares’ son: 1, 8, 3, 2 y 9.
Ahora, le pido que usted duplique los
dígitos que están en las posiciones ‘pares’. Se obtiene lo siguiente:
7 1 9 8 7 3 9 2 7 9 x
7 2 9 16 76 9 4 7 18 x
Algunos números de la segunda fila tienen dos
dígitos (como 16 y 18). Sume esos dígitos. Es decir, donde dice 16 usted deberá
poner 7 (ya que 1 + 6 = 7), y donde dice 18 usted deberá poner 9 (ya que 1 + 8
= 9). Formamos, entonces, una nueva fila con estos números:
7 2 9 7 7 6 9 4 7 9 x
(*)
Finalmente, sume todos los dígitos que figuran en
esta fila:
(7 + 2 + 9 + 7 + 7 + 6 + 9 + 4 + 7 + 9 + x) = 67 +
x
Ahora quiero mostrarle qué valor tiene que
tener la ‘x’, de manera tal que los primeros diez dígitos sean los que
usted me quería mandar (y que yo quería recibir). ¿Qué valor debe tener ‘x’,
entonces?
Es una idea muy sencilla: la suma de todos los
números que figuran en (*) tiene que ser un múltiplo de 10. O sea, un número
que ‘termine’ en cero. Si uno suma todos los anteriores,
obtiene 67. En consecuencia, el dígito que ‘falta’, el que llamé ‘x’, tiene que
ser un tres. El único dígito que uno
puede agregar para que la suma resulte ser un múltiplo de diez y hacerla
‘llegar a 70” es el tres. Y listo.
Si por cualquier razón el número ‘x’ no
fuera un ‘3’, entonces algún otro de los dígitos que usted me
mandó está equivocado.
Una vez llegado a este punto, creo que se entiende
cuál fue la idea de Luhn: agregar al final un dígito que sirva como
‘auto-corrector’, de manera tal que uno pueda ‘verificar’ que no se cometió un
error de buena fe. En algunos ejemplos se duplican los números
que están en las posiciones pares —como hice antes— y, en
otros casos, los que figuran en las posiciones impares. Por
supuesto, lo único que hace falta es que el protocolo lo especifique
dependiendo del contexto en el que se va a utilizar.
Quiero mostrar cómo se usa el algoritmo de Luhn en
el caso más frecuente: la transmisión de los dígitos de una tarjeta de crédito.
Si bien la cantidad de dígitos que aparece en una tarjeta no es un número fijo,
el caso más usual es el de 16 dígitos. Para avanzar con mi ejemplo, voy a
fabricarme un número de 16 dígitos que podría figurar en una tarjeta de crédito
(o débito) de la vida cotidiana. Veremos juntos si el número que me
inventé es o no un caso posible. Le sugiero
que usted haga lo mismo, generándose una tira de 16 dígitos, y vayamos haciendo
en paralelo las cuentas y las verificaciones que correspondan.
Yo propongo:
5752 4388 3428 0464
Ahora voy a generar una nueva fila, en la cual voy
a DUPLICAR los dígitos que figuran en las posiciones impares, o
sea, 5, 5, 4, 8, 3, 2, 0 y 6.
A continuación pongo las dos tiras: arriba, la
original, y abajo, la que tiene duplicados los dígitos que figuran en las
posiciones impares :
5 7 5 2 4 38 8 3 42 8 0 4 6 4
(10) 7 (10) 2 (8) 3(16) 8 (6) 4(4) 8 (0) 4 (12) 4
Destaqué los números que fui duplicando, que son
los que figuran en las posiciones pares.
Como usted advierte, en la segunda fila hay algunos
números que contienen dos dígitos; aparece dos veces el número 10,
una vez el 16 y una vez el 12. En cada caso, sumo los números que están entre
paréntesis. Ahora tengo una tercera fila:
Debajo de cada número (10), puse un uno porque
(1 + 0) = 1; debajo de donde dice 16 puse 7 porque (1 + 6) = 7; por último,
debajo de (12) puse 3 porque (1 + 2) = 3.
Y llegamos al último paso: hay que sumar todos los
dígitos que figuran en esta última fila:
(1 + 7 + 1 + 2 + 8 + 3 + 7 + 8 + 6 + 4 + 4 + 8 + 0
+ 4 + 3 + 4)
Si todo estuviera bien, la suma tendría que dar un
número múltiplo de diez, o sea, tendría que terminar en cero. Haga
usted la cuenta conmigo, entonces:
(1 + 7 + 1 + 2 + 8 + 3 + 7 + 8 + 6 + 4 + 4 + 8 + 0
+ 4 + 3 + 4) = 70
Como la suma efectivamente ofrece un número
múltiplo de 10, entonces los primeros 15 números pueden pertenecer a
los dígitos de una tarjeta de crédito. Como ya expliqué, ¡esto no garantiza
que la tarjeta sea válida ni que la cuenta de quien la presenta tenga fondos,
ni dice nada sobre la historia crediticia del dueño! Solo dice que lo
más probable es que no se haya producido ningún tipo de error en la transmisión
de los datos . Y esto es todo lo que uno quería conseguir.
Lo que me interesa enfatizar acá es que el último
dígito, el número cuatro del final, es el que confirma que los
primeros 15 están bien. No se pretende ninguna otra cosa, y eso, con el uso de
este algoritmo, está garantizado. Es decir, cuando uno quiera pagar una compra
con tarjeta de crédito o de débito y no está en condiciones de alcanzarle
‘físicamente’ el ‘plástico’ al vendedor, el uso del algoritmo de Luhn garantiza
que no habrá errores de buena fe [49].
19. El problema del no vidente
Quiero plantear un problema precioso y
me apuro a escribir que no es mío ni se me ocurrió a mí. El atractivo central
es que requiere la elaboración de una estrategia. Por lo
tanto, hay que pensar.
Cuando uno lee el enunciado por primera vez,
sospecha que el problema no tiene solución. Uno cree que no se
va a poder. Y, sin embargo, sí se puede.
No se me escapa que se conocen múltiples variantes
del problema. Yo elegí una de ellas, la que me interesó a mí, pero créame que
buceando en internet hay muchas versiones distintas, aunque conceptualmente
similares.
Una última cosa: si usted tiene la tentación de
leer la solución (y no hay ninguna razón para sospechar que yo no haría lo
mismo), le sugiero que lo piense antes. Créame que se va a privar de disfrutar
el problema aun en el caso de que no se le ocurra nada. Si me
permite una sugerencia, no se prive del placer de pensarlo. Vale la pena. Ahora
sí, acá voy.
Supongamos que uno tiene 150 personas en una
fila, ordenadas por altura de forma creciente, de adelante hacia atrás.
La persona más baja de los 150 será la que ocupe el primer lugar de la fila, y
la más alta será la última. Lo curioso es que no hay dos alturas repetidas, de
manera tal que el orden es estrictamente creciente.
Dicho esto, un señor no vidente (a
quien voy a llamar ‘A’), que tiene una altura distinta de la
de todos los que están en la hilera, quiere incorporarse a ella respetando las
reglas que siguen todos. Es decir, una vez que se ubique, tendrá
adelante a una persona más baja que él, y atrás, a una persona más alta .
Ahora bien: como ‘A’ no puede ver, para poder
encontrar su lugar tendrá que hacer algunas preguntas a quienes ya están
ubicados… pero no cualquier tipo de pregunta, solamente esta: “¿Es usted más
alto que yo?”. Nada más.
Estas son las reglas:
a. Todos están forzados a decir la verdad.
b. ‘A’ puede formular la pregunta tantas veces como
quiera y, naturalmente, las dos potenciales respuestas son ‘sí’ y ‘no’ (eso
sucede porque todos tienen una altura diferente entre ellos y
respecto de ‘A’).
c. Nadie puede contestar ‘no sé’. Todos son capaces
de comparar su altura con la de cualquier otra persona.
Pero falta algo más. Naturalmente, ‘A’
podría empezar preguntándole al primero que está en la fila. Si le contesta que
sí (recuerde lo único que él puede preguntar: “¿Es usted más alto que yo?”),
entonces él se ubicará allí adelante y se terminó todo. También podría suceder que
la primera respuesta sea un ‘no’, y entonces necesitará seguir preguntando.
Creo que está claro que si ‘A’ le pregunta a cada uno siguiendo el orden en el
que aparecen en la fila, encontrará su lugar en el primer momento en que alguien
le diga ‘sí’. Cuando eso suceda, se ubicará entre quien le contestó
afirmativamente y el anterior.
Ya sé, ya sé (lo que usted está pensando): ¿y si
nadie le dice que sí? Bueno, en ese caso, ‘A’ terminará siendo el más alto de
todos y se ubicará en el último lugar.
Así planteado, el problema no tiene ninguna gracia.
Quiero proponerleotra restricción que le dará un sabor
distinto al problema y le proporcionará otro tipo de satisfacción al
pensarlo.
Suponga que quien escribió las reglas le dice a ‘A’
que debe encontrar su lugar en la fila al escuchar a lo sumo dos
respuestas afirmativas. Es decir: puede escuchar que le contesten que ‘no’
incluso 150 veces (si él es el más alto de todos), pero la idea es que ‘A’
pueda elaborar una estrategia que le permita encontrar dónde ubicarse al
escuchar (como máximo) dos veces ‘sí’.
Fíjese que no estoy diciendo que
forzosamente tiene que escuchar dos veces ‘sí’ . De hecho, si al
preguntarle al primero de la fila este le dijera que sí, lo escuchará una
sola vez y no le hará falta nada más: se ubica adelante de todos y
listo. Lo que le estoy diciendo es que, en el momento que ‘A’ escuche el segundo ‘sí’,
no podrá preguntar más. Allí tendrá que haber conseguido la información
suficiente para poder decidir cuál es el lugar que ocupará en la
hilera. El segundo ‘sí’ indicará el final de las preguntas.
Ahora —finalmente—, el enunciado del problema:
¿Qué estrategia podría diseñar usted si fuera quien
asesorara a ‘A’, de manera tal que le sirva para encontrar su lugar en la
hilera haciendo el mínimo número de preguntas posible?
Por supuesto, tendrá que respetar las reglas sin
importar cuál sea la distribución de las 150 personas.
Una pausa. Le sugiero que lea el problema con
detenimiento, porque parece una suerte de trabalenguas cuando, en realidad,
debería ser fácil de entender. Antes de avanzar, convénzase de que entendió qué
es lo que hay que hacer, qué estrategia se espera que usted
diseñe, qué es lo que le está permitido hacer y qué está prohibido (por
ejemplo, formular alguna pregunta que difiera de la que escribí antes, u
obtener más de dos respuestas afirmativas).
Para continuar, quiero ofrecerle yo una
parte de la solución. Le voy a dar el menor número de
preguntas que usted va a necesitar que ‘A’ formule para estar seguro
de que, sin importar cuál sea la relación de su altura con las otras 150
personas, ‘A’ encontrará su lugar. Ese número es 17. Sí, diecisiete.
Algunas preguntas que creo que la/lo van a ayudar:
· ¿A quiénes les tiene que preguntar?
· ¿En qué orden?
· ¿Cómo idear un plan que asegure que,
haciendo a lo sumo 17 preguntas, ‘A’ encontrará su lugar?
Otras preguntas posibles:
· ¿Su estrategia será única o puede
haber otras?
· En todo caso, ¿no habrá otra forma de diseñar una
estrategia de manera que —eventualmente— con menos preguntas
‘A’ pueda encontrar su lugar?
Como ve, hay muchos interrogantes. Si me permite,
una última observación antes de dejarla/lo pensar: no se frustre si no se le
ocurre algo de entrada. Intente probando y ‘errando’. No
conozco otra forma. Dudo de que a alguien se le pueda ocurrir qué hacer sin
intentar y equivocarse o fallar.
Ahora sí, le toca a usted.
Respuesta
Una vez más, no me imagino que una persona que vea
este problema por primera vez pueda intuir qué hacer sin someterse a un juego
de ‘prueba’ y ‘error’; no hablo de lo que me pasó a mí exclusivamente, sino de
lo vi que les sucedía a todos aquellos a quienes se lo conté a
lo largo de los años.
Le sugiero que empecemos pensando con números más
pequeños para tratar de encontrar alguna idea. A priori, sin reducirlo a una
situación más manejable, debería confesar que no se me ocurre nada. Más aún:
podría pasar que el señor ciego fuera el más alto o el más bajo. ¿Cómo
conciliar esto?
A partir de ahora voy a suponer que yo soy el señor
‘A’. Es decir, en este trayecto, yo soy la persona no vidente y me
propongo encontrar mi lugar en la fila consultando a
lo sumo a 17 personas. Veamos cómo hacer.
Un par de hechos importantes que quiero compartir.
Le pido que, antes de avanzar, nos aseguremos de que usted comparte conmigo lo
que voy a escribir.
Suponga que le pregunto a la persona 40, por elegir
un número cualquiera.
a. Si me contesta que no, quedan eliminadas las
primeras 40 personas. Mi lugar en la fila estará detrás del número 40. Podría
ser incluso que no hubiera nadie más alto que yo, en cuyo caso mi lugar sería
detrás del 150 (si él fuera el último): yo sería a partir de ese momento el más
alto de todos. Eso sí: si el número 40 me contesta que no, gasté una
pregunta perono utilicé ninguno de los dos ‘sí’ que
puedo usar para encontrar mi lugar.
b. Si me contesta que sí, entonces mi lugar en la
fila está por delante del 40. En este caso, usé una de las 17
preguntas y me gasté uno de los dos ‘sí’ que puedo escuchar. A
partir de este punto, no me queda más alternativa que empezar a
preguntar desde el primero de la fila, uno por uno . ¿Por qué? Desde
este momento, ante cualquier pregunta que haga con una respuesta afirmativa, yo
debería tener toda la información necesaria para saber dónde
debo ubicarme. Fíjese lo que sucedería si, después de haber recibido un ‘sí’
del número 40, decidiera preguntarle ahora al número 20 (por poner un ejemplo
cualquiera): ante una respuesta afirmativa, yo no sabría dónde ubicarme, ya que
lo único nuevo que aprendí es que mi lugar está entre los 19
primeros. Y no tengo más preguntas para poder determinarlo. Luego, si el número
40 me contesta que sí, me veo forzado a ir hasta la primera persona de la fila
y seguir preguntando desde allí. Aquí me interesa sugerirle que pensemos que,
si bien estoy forzado a preguntarle a la primera persona, me quedan nada
más que 16 preguntas (ya usé una para el número 40). ¿Qué indica esto?
¿Será razonable empezar con el número 40? ¿No
convendría, entonces, empezar con aquella persona cuyo ‘sí’ me
permitiera saber en qué lugar ubicarme sin exceder las 16 preguntas que me
quedan? Si usted piensa un instante, descubrirá que me conviene empezar
con la persona número 17.
Le pido que relea los puntos (a) y (b) para estar
preparado para lo que sigue. Yo tomé el número 40 porque tenía que elegir
alguno. Lo podría haber llamado X, pero preferí el 40 para tener un número
concreto.
Ahora sí, empiezo con la estrategia. Le recuerdo
que yo tengo 17 preguntas por hacer y hay 150 personas en la fila.
Empiezo así. Le pregunto primero a la persona
número 17.
1. Si me dice que sí —como hice en (b)—, tendré que
seguir preguntando a partir del primero de la lista. ¿Por qué? Es que, en el
peor escenario, en el que todos los anteriores (del 1 al 16)
me dijeran que no, habré usado todas las preguntas posibles (las
17) y, además, si todos me contestaron negativamente, entonces mi lugar en la
fila es entre el 16 y el 17. Podría ser que algún otro me dijera que sí antes;
en ese caso, me tendría que poner delante de él y detrás del anterior que me
había dicho que no. Por ejemplo, empiezo preguntándole al 1, que me dice que
no. Al 2, que me dice que no. Al 3, al 4, al 5… todos me dicen que no.
Supongamos que el número 6 me dice que sí. Esto quiere decir que el 6 es más
alto que yo. Como el 5 me había dicho que no, mi lugar entonces es entre el 5 y
el 6. Fíjese que lo encontré usando 17 preguntas o menos (en este último caso
habrían sido siete preguntas: al 17, al 1, 2, 3, 4, 5 y 6). Cuando escuché el
segundo ‘sí’, supe cuál era mi lugar.
2. Si el número 17 me dice que no, entonces lo
único que pasó es que me gasté una pregunta de las 17
posibles, pero todavía sigo conservando los dos ‘sí’.
¿A quién preguntarle ahora? ¿Quiere pensar usted?
Fíjese que usé nada más que una pregunta y tengo todavía a mi disposición los
dos ‘sí’. Supongamos que (por probar con un número cualquiera) elijo el número
70. Si me dijera que no, me vendría bárbaro, porque si bien usé en total dos
preguntas, con ellas eliminaría 70 personas. Si llegara a haber alguien más
alto que yo, tendría que estar después del 70.
Pero ¿si el 70 me llegara a decir que sí? Entonces
estaría con un problema serio: por un lado, ya usé dos preguntas de las 17 y,
por otro, como escribí en (b), la próxima pregunta se la tengo que
hacer al número 18, ya que la primera persona más alta que yo debe ser alguien
que esté ubicado entre el 17 y el 70. Ahora bien: tengo nada más que 15
preguntas para hacer. Claramente, si todos me dijeran que no, yo llegaría hasta
el número 32 (desde el 18 hasta el 32 hay 15 preguntas, aunque parezcan 14…
verifíquelo usted). Por lo tanto, si hasta el 32 me dijeron todos que no, me
gasté todas las preguntas que tenía y sigo sin saber mi lugar. Luego, haber
‘saltado’ del 17 al 70 no fue una buena decisión. Por eso, sabiendo que, cuando
haga la siguiente pregunta, si me contestaran que sí me quedarían nada más que
15 preguntas, debería hacérsela a alguien que me permitiera cubrir todo
el espectro entre 18 (que es desde donde debo empezar a preguntar) y
el siguiente que resulte de sumar (18 + 15) = 33.
Este dato es muy importante: como yo voy a tener
que empezar en el número 18, con 15 preguntas puedo llegar hasta el 32.
¿Moraleja? La siguiente pregunta (si el 17 me dice que no) debo hacérsela al
33. Si el 33 me dice que no, ya veré cómo sigo. Pero si me dice que sí, empiezo
preguntándole al 18 y me quedan justo 15 preguntas para cubrir todas las
posibilidades hasta el 32, por lo que es seguro que voy a
descubrir mi lugar en la fila.
Como usted advierte, si el 33 me dijera que no, el
siguiente debería ser… (¿quiere pensar usted?) sí, el 48. ¿Por qué? Porque ya
tenemos una idea de cómo seguir: llegando hasta el 62 (48 + 14), ya que 14 es
el número de preguntas que me van a quedar). Si me contesta que sí, entonces
uso las 14 preguntas empezando desde el 34 y con ellas llego hasta el 47, que
es lo que necesito.
Creo que a esta altura usted ya ha descubierto cuál
es el patrón que voy a usar independientemente de que la respuesta sea
afirmativa o negativa.
La figura 1 resume lo que vimos hasta acá: empecé
preguntando al 17, después al 33 (que son 16 más), después al 48 (que son 15
más), después al 62 (que son 14 más) y sigo con estos: 75, 87, 98, 108, 117,
125, 132, 138, 143, 147, 150, 152 y 153.
¿Qué conclusiones podemos sacar?
La primera es que, si me llegaran a contestar todos
que no, con las 17 preguntas que tenía inicialmente llego a cubrir hasta el
150, e incluso más. De hecho, hasta el 153.
Si en alguno de los pasos intermedios uno de ellos
me contestara que sí, el número de preguntas que me queda a esa altura es exactamente el
que necesito para ir para atrás y empezar preguntando uno por uno.
Es decir: es una buena estrategia, porque agoto
todos los casos que se me pudieran presentar. Está claro que puede que no
necesite usar las 17 preguntas e incluso que no necesite llegar a escuchar los
dos ‘sí’ . De hecho, si yo fuera el más alto de todos, no
escucharíaningún ‘sí’.
Ahora bien. No quiero terminar sin mostrar que
con menos de 17 preguntas puede que no llegue a determinar mi
lugar en la fila [50].
Supongamos que tuviera 16 preguntas por hacer.
Empiezo en el número 16 y voy haciendo, como antes,
sumas que vayan disminuyendo en uno. Las personas a las que les preguntaría
son:
16, 31, 45, 58, 70, 81, 91, 100, 108, 115, 121,
126, 130, 133, 135, 136
Es decir, con menos de 17
preguntas, no llego a cubrir las 150 personas de la hilera. Y esto termina el
análisis. Hemos encontrado una estrategia que funciona: con 17 preguntas, se
cumple con la restricción respecto del número de respuestas afirmativas que se
puede escuchar en el camino.
Apéndice 1
Como usted habrá observado, las 17 preguntas me
alcanzarían no solo para cubrir las 150 personas, sino para encontrar mi
ubicación entre 153. Por lo tanto, al margen de empezar con el número 17, es
posible comenzar preguntando a otras personas, y el resultado sería el mismo.
Acá van todas las posibilidades.
a) 17, 33, 48, 62, 75, 87, 98, 108, 117, 125, 132,
138, 143, 147, 150
b) 16, 32, 47, 61, 74, 86, 97, 107, 116, 124, 131,
137, 142, 146, 149, 150
c) 15, 31, 46, 60, 73, 85, 96, 106, 115, 123, 130,
136, 141, 145,148, 149, 150
d) 14, 30, 45, 59, 72, 84, 95, 105, 114, 122, 129,
135, 140, 144, 147, 149, 150
Apéndice 2
Ahora, otras preguntas que uno podría contestar y
que sirven para entender por qué hacen falta 17 preguntas si uno tiene 150
personas.
Fíjese en lo siguiente, que involucra un
razonamiento ‘inductivo’. Voy a empezar con una sola pregunta y voy a mostrar
(en el caso más fácil) que, si hay una persona en la hilera, podré encontrar mi
lugar.
Ahora, aumentemos el número de preguntas:
supongamos que puedo hacer dos. Vamos a encontrar una estrategia
que permita hallar mi lugar en la fila si hay tres personas.
Después, incrementaremos el número de preguntas hasta tres. En ese
caso, vamos a convencernos de que con seis personas y esas tres preguntas voy a
descubrir mi lugar.
Si continuamos aumentando el número de preguntas
también podremos incrementar también el número de personas en la fila.
Ahora sí, acompáñeme por acá porque el argumento
que voy a usar repetidamente se usa muchísimo en matemática.
Primer caso: Como decía, empiezo por la situación
más sencilla de todas. Si me dejaran hacer nada más que una pregunta,
¿cuántas personas puede haber en la fila? Como es fácil ver, con una sola
pregunta puedo resolverlo si hay una sola persona. Me acerco,
le hago la única pregunta que puedo: “¿Es usted más alto que yo?”. Y listo. Si
me dice que sí, me ubico delante de él. Si me dice que no, me ubico detrás.
Un paso más: ¿podría encontrar mi lugar si tuviera
una sola pregunta por hacer y hubiera dos personas en la fila? Fíjese que no
se va a poder. ¿Por qué? Supongamos que le preguntara a la primera persona.
Si me dijera que sí, que es más alto que yo, no hay problema. Me coloco delante
de él y listo. Pero ¿si me dice que no? Entonces, no sabría si la segunda
persona es más alta que yo o no, y ya no me quedan más preguntas para hacer. De
la misma manera, si le preguntara primero a la segunda persona, si me dijera
que no, entonces resuelvo el problema. Me ubico detrás de él (porque yo sería
el más alto) y listo. Pero ¿si me contestara que sí? ¿Qué hago? Ya no tengo más
preguntas, y no sé si yo soy más alto o más bajo que el primero.
Moraleja: con una pregunta solamente puedo
resolver el problema si en la fila hay nada más que una sola persona.
Segundo caso: Supongamos que me permiten
hacer dos preguntas. Voy a demostrar acá que puedo
encontrar mi ubicación si hay tres personas. ¿Cómo
hago?
No me conviene preguntarle a la primera persona de
entrada, porque —como antes— si me contesta que sí, que es más alta que yo, me
ubico delante de él y listo, pero si me dice que no, me queda una sola pregunta
y tengo que ubicarme en una fila que ahora tiene dos personas (la
segunda y la tercera). Por lo que vimos en el caso anterior, con una sola
pregunta y dos personas es probable que no me pueda ubicar. Luego, preguntarle
a la primera no es una buena idea.
Por razones simétricas, no me conviene empezar por
la última (le sugiero que lo piense usted para convencerse de que lo que estoy
escribiendo es cierto).
Sigo yo. Si le preguntara a la última (la tercera
persona), entonces si me dice que no, que no es más alto que yo, resuelvo la
situación porque me ubico último. Pero si me dijera que sí, que es más alto que
yo, se me presenta una vez más la situación anterior: me queda una sola
pregunta por hacer y una fila de dos personas para encontrar mi lugar: la
primera y la segunda. Luego, empezar por la tercera persona tampoco es
una buena idea.
Fíjese que en ambas situaciones utilicé el primer
caso: con una sola pregunta ¡no puedo resolver el caso de dos personas!
Ahora voy a tratar de convencerla/lo de que, si le
pregunto a la persona que está en el medio, la segunda, entonces sí voy
a poder encontrar mi ubicación. Si al preguntarle a la segunda persona me
contesta que sí, entonces me queda una pregunta y una sola persona (la primera)
para decidir dónde ubicarme. Ya sabemos que puedo resolverlo, aunque uno tenga
la tentación de hacer el análisis nuevamente. Por otro lado, si la segunda
persona me dijera que no, que no es más alto que yo, entonces otra vez me queda
una pregunta para usar y una sola persona para ubicarme. Ya sé que lo puedo
resolver.
Moraleja: con dos preguntas
puedo encontrar mi lugar en una fila de tres personas.
Con dos preguntas y cuatro personas, ya no voy a
poder. ¿Por qué? Le sugiero que haga el análisis usted, pero verá que, empiece
donde empiece, se tropezará con la siguiente dificultad en algún momento:
tendrá una sola pregunta, y dos personas para encontrar su
ubicación (y ya sabemos que eso no se puede resolver). Luego, con dos
preguntas, puedo encontrar mi ubicación siempre si en total
hay tres personas.
Tercer caso: Supongamos que me dejan hacer tres preguntas.
Quiero convencerla/lo de que ahora se puede tener hastaseis personas.
Le sugiero que empecemos a buscar un patrón que después nos
sirva para los otros casos.
Si uno tiene seis personas y puede
hacer tres preguntas, empieza preguntándole a la tercera. Si
contesta que sí, entonces tengo dos preguntas más y dos personas (la primera y
la segunda) para encontrar mi ubicación. Por lo que vimos antes, seguro que
puedo. Si la tercera persona me llegara a contestar que no, entonces me
quedan dos preguntas y tres personas para
encontrar mi ubicación (la cuarta, la quinta y la sexta). Lo bueno es que
nosotros ya sabemos que con dos preguntas puedo encontrar mi ubicación cuando
hay tres personas.
Moraleja: con tres preguntas,
puedo encontrar mi lugar entre seis personas.
Breve resumen hasta acá:
· Con una pregunta, encuentro mi
lugar si hay una persona.
· Con dos preguntas, encuentro mi
lugar si hay tres personas (preguntándole a la segunda persona).
· Con tres preguntas, encuentro mi
lugar si hay seis personas (preguntándole primero a la tercera persona).
Si uno tiene ahora cuatro preguntas
para utilizar, ¿cuántas personas le parece que podrá haber en la fila? Sí, lo
que usted conjetura es correcto: puede haber hasta diez personas.
¿A quién preguntarle primero? Como era esperable
también, a la cuarta persona. ¿Por qué? Porque si me contesta que
sí, que es más alta que yo, me quedan tres preguntas (que me sobran
eventualmente) para ubicarme entre las primeras tres personas. Pero si me
contesta que no, entonces me quedan tres preguntas y seis personas
(la quinta, la sexta, la séptima, la octava, la novena y la décima). Ya sabemos
por los casos anteriores que con tres preguntas me puedo ubicar entre seis
personas. Y listo.
Con cinco preguntas, puedo
encontrar mi lugar entre 15 personas. ¿Por qué 15? Porque 15 = 1 + 2 + 3 + 4 +
5. ¿Y a qué persona preguntarle primero? A la quinta. Si me dijera que sí, que
es más alta que yo, tengo cuatro preguntas para ubicarme entre los cuatro
primeros, y si me dijera que no, me quedan cuatro preguntas para los diez que
tiene detrás, situación que recién resolvimos.
Como usted detecta, el patrón que se obtiene es el
siguiente:
¿Cuál es la moraleja entonces? Con 17 preguntas,
uno puede encontrar su ubicación —como máximo— entre 153 personas. Por lo
tanto, si en la fila había 150, seguro que con las 17
preguntas me voy a ubicar.
Apéndice 3
Si usted revisa ahora el Apéndice 1, verá que fui
decreciendo hasta empezar con el 14. No podría empezar con el número 13 porque
quedarían 16 preguntas por hacer y 137 personas. Como vimos antes, con 16
preguntas puedo encontrar mi ubicación entre 136 personas, no entre 137.
Y esto completa el análisis total.
20. ¿Las computadoras no se equivocan nunca?
Paula tiene 13 años. Hace poco descubrió un
videocasete en su casa y, sorprendida, se lo llevó a sus padres tratando de
entender qué era. Digo, no es que encontró un disco de vinilo de 78 rpm
(revoluciones por minuto) o una radio Spika (de las primeras radios a
transistores que aparecieron). No, estoy hablando de un videocasete. Los
primeros emergieron en la Argentina alrededor de 1982. Todavía tengo guardadas
algunas grabaciones de Todos los goles, el programa que hacíamos en
Canal 9, y conservo en un VHS el momento de la asunción de Raúl Alfonsín como
nuevo presidente. Pasó tiempo, sí, pero no 300 años, y en todo caso, desde
diciembre de 1983 hasta hoy hay nada más que 32. Para Paula, no hubo vida
‘analógica’, todo es ‘digital’. No hay vida sin computadoras ni internet.
Pero la historia que quiero contar tiene que ver
con una curiosidad natural que tuvo Paula y que sospecho que tuvimos todos en
algún momento. Como ella siempre nos escucha hablar (a toda la familia) de
nuestros errores y nuestras dudas, la invitación constante a exhibirnos
falibles, mostrarnos vulnerables, aceptar y reconocer nuestras preguntas, vivir
en un permanente estado de consulta, es razonable esperar entonces que le surja
la siguiente pregunta: “Todo bien, los humanos nos equivocamos seguido o, en todo
caso, nos equivocamos. ¿Y las máquinas qué? ¿No se equivocan nunca?”.
La verdad es que las máquinas —en general— se
equivocan poco. No digo que sean infalibles, pero los errores son mucho más
previsibles: fatiga de material, mantenimiento pobre, falta de presupuesto para
reemplazar piezas vitales, baja calidad de algunos componentes, etc. En
promedio, se equivocan muchísimo menos que nosotros. No me atrevo a decir que
la causa de los accidentes aéreos siempre haya radicado en
errores humanos, pero si los protocolos de seguridad fueron cumplidos y
observados como indican los manuales, debería decir que sí, casi
siempre fueron provocados por errores humanos.
Sin embargo, hay un ejemplo muy especial, casi
increíble, que terminó involucrando a una de las empresas más grandes y de
mayor prestigio en el mundo: Intel. Quizás usted nunca prestó atención, pero es
muy probable que alguno de los productos que fabrica Intel forme parte de su
vida cotidiana. Es que los microchips de Intel [51] están
en el corazón de su computadora, en su teléfono celular e incluso en algunos
hornos a microondas. Pero me desvié.
Corría el año 1994. Lynchburg es una ciudad de
menos de 75.000 personas en el estado de Virginia, a 300 kilómetros de
Washington, la capital de los Estados Unidos. En la universidad local (el
Lynchburg College), trabajaba Thomas Nicely, doctor en Matemática, profesor de
Probabilidades y Estadística y especialista en Teoría de Números. Las
aplicaciones de esta rama de la matemática a la vida cotidiana están
documentadas largamente, en especial en el último par de décadas, cuando se
hizo cada vez más imperiosa la necesidad de encriptar o proteger contraseñas
para tarjetas de crédito, cajeros automáticos, correos electrónicos, etcétera.
Nicely necesitaba hacer algunos cálculos que
involucraban números muy grandes, con muchísimos dígitos, y también números muy
pequeños, con muchísimos decimales. Pero lo más relevante para él era el grado
de precisión con el que hacía esas cuentas. En la vida
cotidiana (en general) ninguna persona está atenta a lo que pasa después del
segundo decimal, ya sea en el precio de los productos que compra, en el peso de
una balanza o en la temperatura, por poner algunos casos. Sin embargo, poder
distinguir el décimo o quincuagésimo decimal era muy importante para el trabajo
de Nicely.
En ese momento, aparecieron en el mercado
computadoras con un nuevo procesador, muchísimo más rápido que todos los que se
conocían. Lo fabricaba Intel y se llamaba Pentium (alguno lo recordará porque
llegaron para reemplazar a las ‘famosas’ 486). La universidad de Lynchburg
compró varias computadoras[52] y
Nicely supo que el tiempo que habría de invertir en sus cálculos sería
muchísimo más corto.
Lo sorprendente es que con el cambio, en lugar de
mejorar todo, empezaron a surgir varias inconsistencias… errores.
Sin saber a qué atribuirlos, Nicely comenzó a descartar todas las
posibilidades, incluyendo naturalmente errores en sus propios algoritmos. Pero
nada parecía resolver las incongruencias. Después de haber invertido más de
cinco meses en descubrir dónde estaba el problema, y ya —casi—
desesperado, se permitió pensar algo increíble: ¿no sería un error en el chip
de las nuevas computadoras?
Había una forma inmediata de comprobar si esa
‘locura’ podría tener asidero: excluir las Pentium y volver a las ‘viejas’ 486.
Nicely se sobresaltó: ahora todo parecía funcionar
bien. Es cierto que tardaba mucho más tiempo, pero el resultado que obtenía era
el esperable. Era —justamente— lo que tenía que pasar.
Entonces, había descubierto algo inesperado por completo: no era él, ¡era la
computadora! [53]
Obviamente, no podía quedarse con esa información
sin advertírselo a la propia compañía que fabricaba los chips (Intel) y a toda
la comunidad científica. El 24 de octubre de 1994 Nicely tomó la decisión y dio
el primer paso: llamó por teléfono a Intel.
La persona que lo atendió se ofreció a hacer lo que
Nicely le proponía. En vista de que el error se reproducía tal como él le había
anticipado, el empleado le hizo una confesión que lo dejó aturdido: la
empresa [54] ya
había detectado el problema cinco meses antes, en mayo del mismo año. Sin
embargo, le dijeron que a ellos les parecía un detalle mínimo y
que no sería relevante para la abrumadora mayoría de los usuarios, cosa que muy
posiblemente fuera cierta.
Pero ese fue solamente el principio de la historia.
¿A quién podría importarle un joven matemático inmerso en una universidad local
de una ciudad pequeña de Virginia? A nadie. Y esto se replica —lamentablemente—
en múltiples partes del mundo, la Argentina incluida: en la mayoría de los
casos, la atención que uno recibe está en función del ‘músculo’ (poder, dinero)
que uno es capaz de exhibir.
Seis días después, como nadie dentro de Intel le
ofrecía una solución o se hacía cargo de la situación, Nicely decidió escribir
un mail [55]. El mensaje
era contundente y apuntaba a toda la comunidad científica y técnica: ¡cuidado
con usar cualquier computadora Pentium que contuviera el chip de 66 MHz de
Intel! El riesgo era enorme porque los resultados dejaban de ser
confiables. Naturalmente, eso es lo peor que se le puede decir a alguien
que necesita usar una computadora a la que tiene que ‘creerle’ los resultados.
Nicely sabía muy bien lo que hacía.
De haber habido ‘trending topics’ en aquella época,
el problema que Nicely denunciaba habría alcanzado esa categoría de forma
inmediata, no solo en Virginia, ni en los Estados Unidos, sino en todo el
mundo. Muchísima gente se ocupó de verificar y confirmar el error, que comenzó
a circular con el nombre de “Pentium FDIV bug” [56].
Pero la historia continúa por la impericia de
quienes estaban —en ese momento— al frente de la compañía. Tomaron una pésima
decisión: aceptaron, sí, que había un error; pero amparados en que ellos
sospechaban que habría de afectar a un número reducidísimo de
usuarios, ‘desafiaron’ a quienes tenían una computadora con un procesador
Pentium a que le ‘demostraran’ a Intel que el trabajo que hacían se vería
afectado por ese problema. Puesto en otros términos, sería algo así como invertir
la carga de la prueba: era el usuario quien tenía que demostrar que lo
afectaba, en lugar de la empresa reemplazar inmediatamente un producto que
venía fallado de fábrica.
Eso desató un verdadero huracán. Inicialmente las
protestas llegaban del lado de los individuos, de forma aislada. Hasta allí, la
gente de Intel habrá pensado que podría ‘tapar el sol con la mano’. Pero
cometieron otro error. Y fue cuando entró en escena otro gigante: IBM. En ese
momento IBM tenía en el mercado computadoras con un microprocesador (el IBM
5x86C) que competía con la línea Pentium de Intel. IBM se unió al coro de
críticas, casi mofándose de sus ‘rivales’, y cambió la historia. Encima, el 12
de diciembre, lanzó un comunicado de prensa que decía que se suspendían todos
los envíos de computadoras fabricadas por IBM con el procesador Pentium.
Intel recibió el golpe de IBM en las ‘encías’ y
necesitó producir un cambio en su estrategia que resolviera no solo el problema
puntual, sino también el que se avecinaba por el descrédito en el que había
caído. Y encontró la fórmula que debió haber usado de entrada para evitarse el
mal trago: decidió reemplazar todas las computadoras que contuvieran
ese microchip.
Intel lo anunció el 20 de diciembre de 1994. Como
era previsible, solamente un grupo muy pequeño de usuarios se acogieron a la
oferta y se presentaron para que les cambiaran el procesador, pero el impacto
económico y de prestigio fue tremendo: en su declaración impositiva presentada
el 17 de enero de 1995, Intel informó que todo el ‘affaire FDIV bug’ les había
costado ¡485 millones de dólares!
Y todo eso por no haber obrado con un poco de
sentido común: aceptar el error, reconocer la falla y ofrecer el cambio,
logrando que el asunto quedara circunscripto a un grupo muy pequeño (minúsculo)
de usuarios. Como no denunciaron el problema —salvo internamente— y enfrentaron
a la sociedad en tono desafiante, ayudaron a crear una percepción aun peor ante
el público. La gente sospechó que el problema era realmente siniestro ,
cuando en realidad no lo era.
La soberbia/arrogancia de aquellos que ‘casi todo
lo pueden con la prepotencia del dinero’ les impidió ver la solución más
adecuada. Y hoy, veintiún años después, quedaron para siempre ligados con el
escándalo más imponente e impresionante en la historia de la computación: un
gigante como Intel, una empresa de extraordinario (y bien) ganado prestigio,
tiene una mancha que pudo haber evitado con un pequeño gesto de humildad [57].
Hoy en día, cuando uno rastrea ‘errores en las
computadoras’ en el océano de información que provee internet o en cualquier
libro que haga un recuento razonable de este tipo de fallas, aún aparece
inexorablemente el “Pentium FDIV bug”, o sea, el error en ese microchip.
Eso sí, después de toda esta historia,
pude contestarle a Paula: sí, las computadoras también se equivocan, y aunque
no lo parezca, el error, una vez más, lo habíamos cometido nosotros, los
humanos.
21. Sopa
Andrejs Dunkels fue un matemático sueco que murió
muy joven: justo 45 días después de cumplir 59 años, en 1998. Además de muy
bueno en su profesión, se destacó como escritor. Tiene varias frases que
perduraron, pero en una de ellas logró condensar una idea muy pertinente para
este siglo XXI: “Es fácil mentir usando estadísticas. Es difícil decir la
verdad sin ellas”.
Después de lo sucedido en la Argentina en las dos
rondas de las últimas elecciones presidenciales; o tras las de los Estados
Unidos en 2016, que terminaron con Donald Trump como presidente; o, en Gran
Bretaña, el caso del Brexit y su salida de la Comunidad Europea, muchos (pero
no todos) de los encuestadores deben de haberse sentido mal por los resultados
que ofrecieron previamente. Creo que tiene sentido reformularse algunas
preguntas. ¿Qué pasó? Hubo tanta diferencia porque:
· ¿Algunos encuestadores dibujaron los resultados de
acuerdo con quién ponía el dinero para solventar las encuestas?
· ¿Tomaron bien las muestras?
· ¿Tenían restricciones presupuestarias que los
condicionaron para operar y conseguir los datos sin hacer concesiones respecto
a la aleatoriedad de la muestra?
· ¿Todos los errores fueron ‘honestos’? [58]
· ¿La matemática que usaron fue la adecuada?
Es muy posible que usted, sí, usted, tenga otras
dudas que yo no he sabido condensar entre las cinco preguntas que acabo de
escribir. Ciertamente, tengo un gran respeto por los profesionales que se
dedican a esta rama de la matemática de la que yo, sin ninguna duda, no soy un
especialista ni mucho menos. A muchos de ellos los conozco personalmente y sé
de su probidad profesional.
Por otro lado, alguna vez fui el profesor que
estuvo a cargo de la materia Probabilidades y Estadística, en Exactas (UBA),
por lo que tengo un conocimiento muy superficial sobre el tema. Con todo,
terminé confundido con algunos resultados. Me explico.
Hay gente que tiene interés en encuestar a
la población, o al menos a un cierto grupo de la
población, y pretende obtener cierto tipo de resultados. Es decir:
no se trata de ‘medir lo que pasa’, sino de ‘aspirar a que algo suceda’ y
torcer los resultados para que se ajusten al interés particular de ellos.
Hay muchas formas de lograrlo: bastaría con
elegir dónde hacer las preguntas y confeccionar una selección
tendenciosa para obtener resultados ‘a medida’. Está claro que compulsar
ciertas zonas de la Capital (Recoleta, por poner un caso) no es lo mismo que
obtener el mismo tipo de respuestas en ciertos conglomerados de La Matanza.
Aunque deploro las ‘etiquetas’, le pido que por ahora me las conceda (después
de los resultados obtenidos, tampoco estoy muy seguro de lo que escribí en este
mismo párrafo).
Hacer una encuesta seria no es barato.
Más aún: diría que resultamuy caro. Pero me refiero a hacer una encuesta
seria, una encuesta bien hecha. La próxima pregunta,
entonces, debería ser: ¿Qué quiere decir ‘bien hecha’?
No necesito dar una definición académica, pero hay
dos componentes específicos que deben ser muy cuidados. Por un lado, importa
mucho la formulación de las preguntas, aunque en el caso de la votación a
presidente esta parte quedó totalmente soslayada [59]. Y por otro,
hay un factor no negociable: la selección de la muestra. Es
imprescindible que sea al azar. Ahora bien: elegir 1.100[60] personasal
azar en un universo de 40 millones es un tema altamente no
trivial.
Curiosamente, la elección de la muestra es la
‘clave’ esencial para que los resultados obtenidos sean extrapolables y válidos
como representativos de la voluntad de esos 40 millones.
Más allá de la matemática involucrada, el otro día
leí un ejemplo que me pareció extraordinario y que me sirvió para encontrar una
forma de comunicar por qué la opinión de un grupo tan pequeño de
personas puede servir para inferir el resultado final .
Acompáñeme por acá.
Suponga que le tocó cocinar una noche, digamos que
para mucha gente. Es una cena de Año Nuevo o un aniversario importante. Usted
es el encargado de preparar una sopa para 30 personas. Yo estoy cerca suyo y le
pregunto si la sopa ya está lista. “Probá”, me contesta.
Yo podría probar, pero veo que usted todavía tiene
el salero en la mano y está empezando a esparcir sal en la parte superior. Si
yo probara la sopa en ese momento, antes de revolver, no tendría una verdadera
idea del gusto final. Más aún: podría ser que usted pusiera —en la cuchara que
me va a entregar— parte de la sopa que está en la superficie, justo a la que
usted recién le estuvo agregando la sal pero todavía no revolvió. O podría
seleccionar sopa de una parte más profunda, adonde la sal aún no llegó, simplemente
porque no tuvo tiempo de revolver.
Podría suceder también que usted eligiera sopa que
está en la parte inferior de la olla, muy cerca del fuego; en ese caso, la
temperatura de la porción que yo voy a probar no reflejará cuán caliente
está toda la sopa. O si usted eligiera una parte que
está en la superficie, muy pegada al borde, es muy posible que
no esté tan caliente (algo así como lo que hacen las ‘madres con los bebés’:
ponen en la cuchara líquido que saben que no está hirviendo).
¿Por qué me extiendo en esta parte y lo hago con
tanto detalle? Usted advierte que no sería prudente sacar una conclusión sobre
la sopa si la selección que usted hace de ella es tendenciosa. En
cambio, si la sazona bien, la revuelve bien y en la cuchara que me ofrece no
hay ningún patrón especial, entonces sí, esa muestra de la
sopa será claramente representativa de toda la sopa.
Y aquí la conclusión más importante que quiero
sacar: resulta obvio que no hace falta que me haga probar toda la
sopa para decirle cómo está en cuanto al sabor y temperatura. Alcanza con
cualquier cucharada que usted elija.
Lo mismo ocurre con las encuestas, si uno toma la
precaución de que la muestra sobre la que pretende extrapolar y sacar
conclusiones generales ¡sea verdaderamente alazar!
En el caso de la sopa se entiende perfectamente,
pero en el de las encuestas nos cuesta más, resulta totalmente antiintuitivo.
Ahora quiero agregar algo que es ‘no menor’, le dejo a usted determinar la
relevancia que tiene.
Tanto en el caso de la sopa como en el de las
encuestas, hay ciertas situaciones que están más cerca de la excepción que de
la norma. Verá a qué me refiero. Voy a empezar con el ejemplo de la sopa porque
me parece que es más ‘evidente’. A usted no se le escapa que, mientras está
cocinando y llega el momento de sazonar la sopa, bien podría pasar
que abra el salero y decida esparcir parte del contenido con la mano. Al
hacerlo, se podría haber deslizado un gránulo de sal más grande que el
resto, el cual, a pesar de que usted revolvió de forma normal, no tuvo
oportunidad de disolverse.
Luego, podría suceder también que en la porción que
usted puso en la cuchara ‘justo cayera ese granito de sal’. Entonces, yo
probaría la sopa y sacaría una conclusión —equivocada— pero honesta: “Mirá, la
sopa está muy salada”.
Está claro que nadie podría disputar mi conclusión,
al menos no en ese momento y habiendo probado esa cucharada
de sopa.
Ahora, traslademos el problema a las encuestas.
Cuando el resultado dice que el candidato A ganará la elección con un 72% de
los votos y que el error de la encuesta es de más o menos un 3%,
esto significa que en la votación final el candidato A debería obtener entre el
69 y el 75% de los votos. Hasta acá, todo bien. ¿Y el gránulo
de sal que era más grande? ¿Cuándo aparece?
La matemática dice que si usted tomara 100
muestras al azar de 1.100 personas y les preguntara por
quién van a votar, ¡en 95 de ellas el resultado estará en la franja entre 69 y
75%! Pero, y esto es muy importante, en las otras cinco el
resultado no caerá allí. Y punto. Este sería el caso equivalente a que el grano
de sal que no se disolvió hubiera caído justamente en la parte de sopa que
usted puso en la cuchara. Para ponerlo en otros términos, es la forma en que la
matemática estima (y previene) que el resultado no es ( ni puede ser) exacto.
La exactitud se podría conseguir encuestando a todo el
electorado[61] , que
sería el equivalente a probar toda la sopa.
Para terminar, yo tengo mi conjunto de potenciales
respuestas a las preguntas que formulé al comienzo, pero no estoy en
condiciones rigurosas de ofrecerlas en público, sencillamente porque no tengo
los datos . En todo caso, son solamente conjeturas. ¿Quién, en
su sano juicio, dibujaría resultados sabiendo que la realidad los confrontaría
a los pocos días? Por otro lado, estoy seguro de que, en todos los
casos, los encuestadores conocen perfectamente la matemática necesaria (y mucho
más). Pero algo raro sucedió camino al foro… no sé qué fue,
pero que algo pasó… pasó.
22. Problema breve pero precioso
Elija tres números enteros cualesquiera, a,
b y c, de manera tal que los tres sean distintos
de cero.
Entonces, eligiéndolos de a pares, uno puede
fabricarse tres productos:
ab , ac y bc
¿Cómo hacer para convencerse de que por lo
menos uno de esos productos tiene que ser positivo?
Algunas ideas que conducen a la respuesta.
Idea 1
Como son tres números distintos de cero, al menos
dos (y eventualmente los tres) tienen que tener el mismo signo: o son los dos
positivos o son los dos negativos. El producto de esos dos será positivo seguro.
Y listo.
Idea 2
Otra manera de pensar la solución, pero más larga.
Si los tres productos (ab, ac, bc) fueran todos negativos, entonces el
producto de estos tres tendría que ser negativo. Es decir:
(ab) ×(ac) × (bc) < 0
Pero esto no puede ser cierto, porque fíjese que
(ab) × (ac) × (bc) = a2 × b2 × c2
que tiene que ser positivo .
23. Varones, mujeres
Un atentado a la intuición. De eso se trata. Voy a
plantear un problema que juega con nosotros, porque al leer el enunciado uno
sospecha casi inmediatamente que la repuesta tiene que ser una que —en general—
no es. Eso genera sorpresa, porque al pensar la respuesta uno se ve forzado a
correrse de lo que está habituado a pensar. Supongo que allí comienza la
fascinación, por la pelea interna que se produce entre lo que uno cree que
tendría que pasar y lo que realmente pasa. Antes del planteo, un par de reflexiones
más. La intuición, como si fuera músculo, se entrena. A medida que pasa el
tiempo, cuanta más experiencia adquiere uno, mejor preparado está para imaginar
soluciones. Se abren nuevos caminos que uno no sospechaba que existían y que lo
hacen sentir mejor equipado para enfrentar lo desconocido.
Por otro lado, le sugiero que, una vez que haya
leído el enunciado, no lea la solución, al menos no inmediatamente. ¿Qué podría
perder si no se le ocurriera la respuesta adecuada? ¡Nada! En cambio, si se
priva del placer de pensarlo, perderá también la posibilidad de mejorar su
capacidad para intuir y, quizás algún otro día, en un contexto totalmente
diferente, le faltarán en su cerebro algunas neuronas que se conectaron en el
momento de pensar esto y que le habrían sido útiles para pensar distinto. En fin,
usted decide.
El problema tiene muchísimas versiones. Los
primeros que me lo contaron fueron Pablo Coll[62] y Pablo
Milrud[63], hace más de
diez años. Siempre estuve interesado en escribir sobre él, pero nunca lo hice.
Los ‘Pablos’ me insistían en que lo planteara no solo en Alterados por
PI en las escuelas públicas, sino también en la televisión abierta o
en algún diario de alcance nacional (como Página/12), a fin de
abarcar un grupo de personas más variado. Hoy ha llegado el momento de cumplir.
Acá voy.
Suponga que, en un país de ficción, las parejas que
viven allí quieren tener hijas mujeres para intentar cambiar la proporción
entre varones y mujeres en la sociedad en la que viven. Para eso, votan una ley
que dice lo siguiente: en el momento de procrear, si nace una nena, paran de
tener hijos. En cambio, si tienen un varón, siguen intentando hasta conseguir
una mujer. Allí sí no pueden tener más hijos. La ley es votada y aprobada por
unanimidad (acépteme que todo esto es parte de la ficción).
Voy a suponer un par de cosas para no complicar el
análisis:
a. La probabilidad de que una madre tenga un varón
o una mujer es la misma, o sea, 50% en cada caso.
b. Cada pareja tiene solamente un hijo por vez. No
nacen mellizos, ni trillizos, ni hay nacimientos múltiples de ningún tipo.
Ahora sí, la pregunta que quiero hacerle: con la
nueva ley en vigencia y con el paso del tiempo y la llegada de nuevas
generaciones, ¿cuál terminará siendo la proporción entre varones y mujeres en
ese país?
El problema no tiene ninguna trampa ni nada
escondido. Si le hace falta, asuma que en ese país todos viven en condiciones
ideales, en donde todos los niños (y niñas) nacen sanos, las parejas pueden
seguir procreando de forma indefinida (hasta tener la nena que buscan),
etcétera.
Usted ¿qué cree que va a pasar con el correr del
tiempo? Si todas las parejas que comienzan a tener hijos siguieran lo que dice
la ley, ¿habrá más mujeres que varones, como era el objetivo? ¿O no? Y en todo
caso, cualquiera sea su respuesta, ¿por qué?
Aquí es donde yo me retiro y la/lo dejo en soledad.
Eventualmente, nos reencontramos luego con algunas reflexiones.
Respuesta
No sé por dónde encaró usted el problema, pero de
entrada quiero hacerle una pregunta. Tome una familia cualquiera: en el momento
en el que dejen de tener hijos, ¿cuántas nenas puede haber? ( Un pedido
del autor: acépteme la sugerencia y piense usted la
respuesta ).
Como advierte, habrá exactamente una. ¿Por qué? Es
que si dejan de intentar, es porque ya nació una nena. Si no, seguirán probando
hasta que la nena efectivamente aparezca. O sea, cuando paran de tener hijos,
ya tienen exactamente una nena. Más aún: en el momento en el
que tienen ‘la’ nena paran de procrear; por lo tanto, ‘cada familia tiene una
nena, y si no la tiene todavía es porque sigue intentando y está en ese proceso
que todavía no se interrumpió’.
Puesto de otra forma, hay tantas nenas como
familias que ya completaron el proceso de ‘tener hijos’. Eso sí: cada familia
puede tener cualquier cantidad de varones. Creo que esta última afirmación es
lo que hace ‘antiintuitiva’ la solución a este problema. Sigo.
Supongamos ahora que uno pudiera juntar a todas las
madres del país en un recinto (sigo con la ficción, pero creo que a esta altura
me lo puedo permitir).
Para hacer los cálculos más sencillos, supongamos
que son 4.000 madres [64]. Una vez que
están todas sentadas, les pido que hagan lo siguiente: “ Todas las
madres que tuvieron un hijo varón como primer hijo levanten la mano ”.
Como son 4.000 madres y se supone que la
distribución de sexos es mitad y mitad, hay 2.000 que van a levantar la mano:
son las que tuvieron un varón. (Le sugiero que usted vaya llevando la cuenta y
verá lo que sucede.)
Las que no levantaron la mano son las 2.000
restantes. O sea, contabilizando los primeros hijos de todas, hay 2.000 varones
y 2.000 mujeres. La única diferencia hasta acá es que las 2.000 madres que
tuvieron un hijo varón tienen la mano levantada. Las que tuvieron una hija, la
dejaron abajo.
Ahora les pido que “ las que tuvieron como
segundo hijo un varón levanten la mano (o la dejen alzada) ”.
Pensemos juntos, usted y yo: las 2.000 madres que
no habían levantado la mano después de la primera pregunta, tampoco la van a
levantar ahora, porque ¡no tienen un segundo hijo! Es que las que tenían una
mujer en cualquier parte del proceso terminaban de procrear. O sea, no tienen
ni segundo, ni tercero, nada… no tienen más hijos y punto.
Luego, de las 2.000 que levantaron la mano con la
primera pregunta (porque tuvieron un varón), la mitad (1.000) habrá tenido
mujeres y, por lo tanto, ahora bajan la mano que tenían alzada. Las únicas que
dejan la mano arriba son las mil que volvieron a tener hijos varones (son las
que en total tienen, por lo menos, dos hijos varones… si no más).
Haciendo la suma (y le pido que por favor la haga),
verá que en total tenemos 3.000 mujeres (2.000 como primera hija y 1.000 como
segunda), mientras que, en el caso de los varones, hay 2.000 que corresponden a
las madres que tuvieron un varón como primer hijo, más 1.000 que tuvieron como
varón a un segundo hijo. Es decir, en esta instancia del proceso, hay tantas
hijas mujeres como hijos varones: 3.000.
Sigo con el pedido a las madres. Yo sé que las
madres con las manos levantadas hasta acá son las que tuvieron dos hijos
varones como primeros dos hijos y, por lo que dice la ley, tuvieron que seguir
intentando. Les pido ahora que “ dejen la mano arriba aquellas que
tuvieron como tercer hijo un varón ”. Esto significa que 500 que
tuvieron una mujer después de haber tenido dos varones bajan la mano (y agregan
500 mujeres a las 3.000 que ya había). Ahora dejan la mano alzada las 500
mujeres que tuvieron un tercer hijo varón consecutivo.
La cuenta total es así: 3.500 mujeres y 3.500
varones.
Creo que usted advierte lo que está pasando: en
cada paso, se van agregando tantas hijas mujeres como hijos varones. La única
diferencia es que las que van teniendo varones siguen intentando hasta llegar a
la mujer. No importa cuántos pasos haya que dar, el número de varones y mujeres
se mantendrá siempre igual: aumentará, por supuesto, porque las madres que
tienen hijos varones volverán a tener más hijos, pero la proporción sigue
siendo ¡uno a uno! Si —idealmente— uno pudiera seguir este proceso, eso es lo
que pasaría en el caso de haber empezado con 4.000 madres (pero le sugiero que
usted haga la cuenta con un número inicial cualquiera y verá que sucede lo
mismo).
Acá paro. Si usted confronta con la figura 1, verá
que quedan formadas dos “diagonales”. Sígalas de arriba hacia abajo y verá que
los números que las componen son (casi) los mismos:
Figura 1
Primera diagonal: 2000, 1000, 500, 250, 125, 63,
31, 16, 8, 4, 2, 1.
Segunda diagonal: 2000, 1000, 500, 250, 125, 62,
32, 16, 8, 4, 2, 1.
La suma de los números de cada diagonal es cuatro
mil. Tuve que hacer un ajuste en el caso del sexto hijo, porque el número 125
es impar, pero esa modificación es irrelevante cuando uno habla de la
proporción final.
Moraleja
No importa con qué número de madres usted empiece,
si las parejas siguieran procreando —cumpliendo con lo que dice la nueva ley—,
al finalizar el proceso ¡habría la misma cantidad de hombres que de mujeres! Es
decir, si la idea era que hubiera más mujeres que hombres, con esta estrategia
no lo van a lograr.
24. Penales
Tengo una pregunta para hacerle. Ya sé que es altamente
improbable , por no decir virtualmenteimposible, que yo
conozca su respuesta, pero si me acompaña hasta el final del artículo, usted
podrá confrontar lo que contestó con los datos que surgen de la ‘realidad’.
Llega el momento de decidir quién ‘gana’ un partido
que está empatado (en un Mundial o Copa América o equivalente). Suelen jugarse
30 minutos de tiempo suplementario. Si aun así subsiste el empate, llega la
tanda de cinco penales por equipo. El árbitro tira una moneda al aire y uno de
los capitanes tiene la alternativa de elegir si prefieren patear primero o
segundo (para conocer las reglas, vea las páginas 204-205).
Ahora, la pregunta: ¿usted qué haría? ¿Elegiría
iniciar o esperar? Como se da cuenta, no hay una respuesta que esté bien y
otra que esté mal. No. Le pregunto qué haría usted y en qué se
basaría para decidir. ¿Instinto? ¿Experiencia? (si es que tiene o tuvo alguna).
¿Dependería de los jugadores que patean para su equipo o para el otro? ¿O de
quién es su arquero? (Recordar Goycochea, Sergio; Mundial 90). ¿O en el del
rival?
Ahora quiero agregar algunos datos que suelen ser
útiles.
El arco tiene 2 metros y 44 centímetros de alto por
7 metros y 32 centímetros de ancho, y el punto del penal está
ubicado a 11 metros de distancia de la línea del arco. Le sugiero, si alguna
vez en su vida tiene la oportunidad (si no lo hizo ya), que vaya hasta un arco
profesional y se ubique en el medio, mirando hacia el supuesto ‘pateador’…
es muy, muy grande un arco. Mucha superficie para cubrir.
Me gustaría enfatizar que los jugadores
involucrados están entre los mejores del mundo, tanto los que patean como los
que atajan. La probabilidad —en principio— debería ser de ½ (o 50%) para cada
uno. El penal en sí mismo no requiere de ningún esfuerzo físico (para quien
patea, en todo caso), ya que solo tiene que impactar la pelota una vez, y ni
siquiera tiene que ‘acertar’ a un objeto en movimiento. La pelota está
‘quieta’. El arquero debe tener ambos pies apoyados sobre la línea y no puede
avanzar o adelantarse (reduciendo el ángulo del pateador) hasta que la pelota
haya dado una vuelta sobre su circunferencia después de haber sido impactada.
El tiempo ‘promedio’ (aunque esto es siempre
discutible por las diferencias entre los pateadores) desde que la pelota
sale de donde se encuentra ubicada hasta que llega al arco se estima entre 3 y
4 décimas de segundo. Por supuesto, esto depende también de la distancia que
tiene que recorrer la pelota: una cosa es si sale recta, y otra, si el penal es
ejecutado cerca de uno de los palos verticales.
Mientras tanto, el arquero espera como si fuera a
ser ‘virtualmente ejecutado’. Necesita alrededor de 2 décimas de segundo para
decidir a qué lado va la pelota, y después, otro tanto para llegar hacia uno de
esos palos (si es que decide no quedarse quieto, o en el medio). Más aún:
aunque se arroje hacia un costado tanto como pueda, eso no le garantiza que
pueda desviar la pelota (o atajarla). En resumen, está ‘casi’ condenado a que,
si el penal es bien pateado, sea ‘gol’.
Pero esto, como bien sabemos los argentinos,
no siempre es cierto. Penales convertidos hay muchos (la
mayoría), pero atajados y/o desviados, también. Ahora, con todos estos datos,
¿usted qué cree? ¿Es preferible ejecutar primero o segundo?
Una vez que haya contestado (y le propongo que lo
haga porque, en definitiva, ¿quién mira?, ¿quién escucha?, ¿quién le lee la
mente?), fíjese en lo que sigue y después dese una nueva chance para responder.
Ignacio Palacios-Huerta es un economista español de
origen vasco y de renombre mundial[65]. En su vida
profesional, dedicó mucho tiempo a investigar las razones psicológicas que
impactan en la economía de un país o, para reducirlo a algo más comprensible
(al menos para mí), la incidencia que tienen distintos factores psicológicos en
las decisiones que tomamos en la vida cotidiana. Como es esperable, estas
situaciones son muy difíciles de modelar. Por eso Palacios-Huerta encontró una
gema para experimentar sus hipótesis: el fútbol[66]. ¿Qué puede
aprender la economía del fútbol?
Palacios-Huerta se enfocó en el estudio de las
definiciones por penales que se produjeron en toda la historia desde que la
FIFA eligió ese método para definir un partido empatado en competencias
internacionales de relevancia: Copa de Europa, Copa de Campeones de Europa,
Copa América y Mundial. Una vez más, le pido que le ponga particular atención
a las palabras ‘toda la historia’.
Esta metodología se implementó en 1970 y se siguió
usando hasta hoy, aunque en 2003 hubo un ‘ligero’ cambio. Durante treinta y
tres años (1970-2003), cuando se producía un empate, el árbitro convocaba a los
dos capitanes, tiraba una moneda al aire y el ganador tenía que patear
primero. Es decir, la moneda decidía quién empezaba: no era una opción. Eso
cambió en 2003. Desde entonces, el proceso es el mismo, pero el jugador que
gana el sorteo ¡elige si patea primero o no!
Su respuesta, tal como la mía (antes de leer los
artículos de Palacios-Huerta y otros autores, dependiendo del año), seguramente
está basada en impresiones, percepciones, ideas propias, ‘corazonadas’,
experiencias personales… y una larga lista de ‘etcéteras’. En todo caso,
después de leer lo que sigue, creo que usted y yo tendremos ahora datos para
fundamentar lo que elegimos.
El primer artículo fue publicado en 2008. Esto fue
lo que me pareció más relevante.
1. Los autores tuvieron en cuenta 2.731 penales.
2. En total (hasta 2008) se definieron por esa vía
262 partidos en casi cuatro décadas… datos más que suficientes
para elaborar algunas conclusiones.
3. Los equipos que patearon primero, ya sea porque
ganaron el sorteo (hasta 2003) o porque eligieron hacerlo (de 2003 a 2008),
ganaron el partido el 60,5% de las veces.
¿Esperaba este resultado? ¿Qué le parece a usted:
una anomalía? ¿Por qué habrá pasado o, mejor dicho, por qué pasa lo que pasa?
Si las posibilidades son las mismas, si la
probabilidad es la misma, ¿por qué ganan más los que patean primero? La primera
idea que se me ocurre (y supongo que a usted también) es que tiene que
ser un problema psicológico o, si prefiere… ¡la presión!
Un día de junio de 1990, Argentina se jugaba el
pase a las semifinales del Mundial de Italia. En la preciosa Florencia, el
equipo argentino definía con Yugoslavia (sí, todavía se llamaba Yugoslavia)
quién habría de enfrentar justamente a Italia, el equipo local.
Maradona me decía: “¿Te imaginás lo que significa
caminar desde el centro del campo hasta el punto del penal sabiendo que hay un
país entero pendiente de lo que vos hagas? Son 50 metros en los que se te cruza
de todo por la cabeza, y las piernas te pesan una tonelada cada una”.
Como dato colateral, Argentina pateó primero, Diego
erró el penal que pateó, pero Goycochea atajó dos, y así la Selección se
clasificó para jugar contra Italia (al que le ganó también por penales,
pero esta vez en Nápoles). Me desvié.
La presión, el miedo, la inseguridad, el futuro… No
solo erró Diego en instancias de ese tipo (mostrando que era humano). También
fallaron (en diferentes circunstancias): Messi, Riquelme, Baggio, Sócrates,
Platini, Zico, Baresi, Raúl, Beckham, Ronaldo, Neymar, Robben, Suárez… la lista
podría continuar.
Los autores ofrecen varias conclusiones que van
dejando caer a lo largo de su trabajo: “Usando los datos de 1.343 penales que
se ejecutaron a lo largo de 129 definiciones por penales desde 1970 hasta 2003,
encontramos que quienes patearon primero en cada tanda
lograron ganar en el 60,5% de las veces. Teniendo en cuenta que no hay
ventaja deportiva en la ejecución, el único elemento
que nos permite atribuir esta diferencia es que el orden en el que
sucedió cada secuencia tiene un efecto psicológico indisputable ”.
Hay otra cosa muy interesante y que tiene un
impacto muy fuerte, aunque parezca intangible. En la medida en que la mayoría
de los tiros se convierten, quien patea primero suele romper un empate
y se pone adelante en el marcador.
En cambio, quien patea segundo puede aspirar —de
máxima— a igualar el resultado. Y acá me permito incluir una observación: es
preferible patear primero porque tu equipo tiene no solo la oportunidad de
marcar el gol, sino que, eventualmente, ante el error, te queda la alternativa
de que tu arquero llegue a atajar el penal que sigue y corrija el fallo. En
cambio, quien patea segundo no tiene otra chance.
Otros datos ilustrativos. La cantidad de goles que
se convierten en los primeros tiros de los dos equipos va
declinando a medida que se aproximan al cuarto y al quinto penal. Eso sucede
para los dos, pero más se nota en el equipo que patea segundo. Por otro lado,
el equipo que pateó primero se impuso en casi un 66% de las veces en que la
tanda de penales llegó hasta cinco o menos. Es decir: no hubo que seguir
pateando series de a uno por vez. Cuando se llegó a esta situación, quien pateó
primero ganó en un 55,5% de las veces (un 5% menos). Más aún: el equipo que
patea primero parte con un 60,2% de posibilidades de ganar, pero, si convierte
el primer penal, estas aumentan hasta un 67,3%, y si lo erra ,
decrece hasta un 33,3%.
Con el tiempo, aparecieron otros
investigadores [67] que
incluyeron más torneos, más partidos y más definiciones. La última publicación
de Palacios-Huerta es de 2014, y en ella llevó su análisis a 1.001 (mil un)
casos. El porcentaje sigue superando el 60%.
Fíjese que, mientras el árbitro tira la moneda, la
televisión hace un corte para pasar la tanda comercial. ¡Están locos! Justo
en ese preciso momento se está definiendo en un 60-40 el
ganador del partido.
Es por eso que, para modificar esa realidad, el
científico español propone lo siguiente. Si dos equipos A y B tienen que
desempatar, luego de que el árbitro tire la moneda para que el ganador elija si
tira primero o no, la secuencia (en lugar de alternar un penal por equipo)
debería ser la siguiente[68]:
A-B-B-A-A-B-B-A-A-B
Final a toda orquesta. Mientras no había datos,
estuvo bien experimentar. Con las estadísticas a la vista, sería necio no
modificar el método. ¿Usted qué piensa? ¿Cambiaría la respuesta que me dio al
principio?
Las reglas
1. Cada equipo establece un orden con el que
enviará a patear tiros desde los once metros a todos los
jugadores que terminaron jugando el partido. Si hubo jugadores expulsados, no
podrán participar, y los que fueron reemplazados, tampoco. El arquero también tiene
que estar incluido en esa lista.
2. Los primeros cinco de cada lista son los
que seguro van a patear (salvo que el resultado quede
determinado antes, por ejemplo, si un equipo convierte tres y el otro erra
tres).
3. El árbitro, con los dos capitanes y jueces de
línea como testigos, tirará una moneda al aire después de que uno de los
capitanes elija cara o ceca.
4. El ganador elige si patea
primero o espera que el otro equipo ejecute primero.
5. Los pateadores se van alternando. Es decir, un
equipo patea los penales de número impar (1, 3, 5, 7 y 9) y el otro patea los
pares (2, 4, 6, 8 y 10).
6. Si ejecutados los diez penales
sigue habiendo un empate, cada equipo sigue enviando de a uno a
los jugadores de su lista y se van alternando, uno por equipo, hasta que haya
un desenlace.
7. No puede repetirse un ejecutante hasta que no
hayan pateadotodos los jugadores de cada lista, y luego se respeta
el orden anterior.
25. Modelo
Si usted escucha hablar hoy de GPS [69], estoy
—casi— seguro de que son iniciales que ya no necesitan explicación, algo así
como lo que sucede con las ‘palabras’ CONICET, INVAP, MINCyT o AFIP [70]. La
tecnología, que en algún momento fue de punta, se va infiltrando en nuestras
vidas cotidianas y queda incorporada como algo natural.
Lo curioso, y a la vez muy frustrante, es que en
ciertos casos la matemática involucrada queda escondida o
parece inabordable, abonando un poco más esta idea tan repetida y absurda de
que solo es accesible a un grupo de privilegiados. En general, las ciencias
sociales se han ganado un respeto muy particular dentro de la sociedad, pero
son las ciencias duras las que ‘no tienen quien les escriba’. El país necesita
más jóvenes dedicados a las ciencias llamadas ‘duras’, donde la desocupación
(incluso antes de graduarse) es virtualmente nula. Necesitamos
más jóvenes estudiando ingeniería, física, química, matemática, programación,
criptografía, tecnología satelital y de radares, aviónica, nanotecnología,
física nuclear, en fin, muchas áreas más que, si las escribo, terminaría
haciendo una suerte de ‘guía de carreras posibles’.
Pero hay que empezar por lo básico, por enseñar
desde la escuela primaria a contar… sí, a contar: estudiar combinatoria,
probabilidades y estadística. Y necesitamos empezar ya, de forma
orgánica y con alcance nacional. El Estado tiene que garantizar el acceso
a todos los estudiantes del país a las herramientas imprescindibles
para transformarse en alfabetos del siglo XXI , donde no alcanza con
saber leer y escribir. Casi todos los niños saben lo que es un videojuego, un
teléfono celular, una tableta o una laptop, pero notodos los niños
tienen acceso, y hoy la educación de ese tipo es tan irreemplazable como
tener agua corriente, electricidad y cloacas, tanto como tener conectividad y
comunicación vía internet. El país necesita cada vez más jóvenes que sepan
programar, idear algoritmos, resolver problemas concretos que solo requieren de
una matemática que hoy se transformó en básica pero que además es muy
entretenida. Y no importa que lo diga yo ni nadie: la educación es un
derecho humano que debe garantizar el Estado, y eso también es irreemplazable
e irrenunciable.
Ahora, quiero invitarla/lo a pensar. Suponga que
tiene delante de usted un mapa de una ciudad. Para hacer el análisis más
sencillo, supongamos que no hay diagonales ni cortadas; son todas calles que
corren de forma horizontal o vertical, conformando una grilla rectangular, como
se ve en la figura 1.
Figura 1
Este es un ejemplo de tres calles
que corren de forma horizontal y cinco que lo hacen de forma
vertical.
Suponga ahora que usted está en la casilla P y
quiere llegar hasta la posición Q. ¿Cuántos caminos posibles hay
para ir desde P hasta Q si uno solamente
puede moverse ‘hacia la derecha’ o ‘hacia arriba’ en cada calle? O sea, la
restricción es que no se puede ir ni para abajo ni para la izquierda: ¿cuántas
maneras posibles hay? ¿Quiere pensar usted? Fíjese que no le pido que
escriba todos los caminos sino que me diga cuántos hay.
Naturalmente, uno puede sentarse y hacer una lista
con todas las posibilidades y después contarlas. No estaría
mal: en este caso, no sería tanto problema porque los números son pequeños,
pero ¿se imagina en una ciudad con cientos de calles horizontales y verticales?
Lo ideal sería poder encontrar una manera de contar
las posibilidades en un caso general, para cualquier cantidad de calles
horizontales y verticales. Dicho de otra forma, un método que sirva para poder
usarlo en una situación real. Y acá, como muchas otras veces, ¿cómo hacemos
para contar casos generales si no tenemos idea de cómo hacer en casos
sencillos?
Quiero proponerle una idea, entonces, una forma de
diseñar unmodelo o una estrategia para contar los
caminos sinimportar cuáles son. Elija un camino cualquiera que
vaya de P a Q. Por ejemplo, el que primero sube
dos veces y después va cuatro casillas hacia la derecha. Si yo llamara con la
letra A al hecho de ir para ‘arriba’ y D al de moverme hacia la ‘derecha’,
entonces podría escribir ese camino como
AADDDD
Esto significa que empiezo en P y
voy hacia ‘arriba’ dos veces. Cuando llego allí, a la casilla superior
izquierda, no queda más alternativa que ir cuatro veces hacia la
derecha, ya que no se puede ir ni para abajo ni para la izquierda.
Otros ejemplos de ‘posibles caminos’ podrían ser
los siguientes:
ADADDD
DDDDAA (*)
DADADD
Creo que usted ya detectó lo que estoy haciendo: he
cambiado la pregunta original. No se trata ahora de contar cuántas formas
posibles hay de ir desde P hasta Q, sino de contar
de cuántas formas puedo escribir una tira de seis letras, de
las cuales cuatro son letras D y dos son letras A.
Esto es lo que esencialmente se llama ‘modelo’,
o modelar una situación. El problema ahora es mucho más fácil
de abordar, y si encontramos una forma de contar todas estas ‘tiras’ quizás
podamos generalizarlo cuando el número de calles horizontales y verticales no
sea tan pequeño.
Dos preguntas:
1. ¿Cuántas formas posibles hay entonces de
ir de P a Q? Esta es la primera pregunta porque
todavía no la contestamos.
2. ¿Y si en lugar de ser una grilla de 3 × 5 fuera
de 30 × 50? ¿O de 123 × 4.798? ¿Cómo aprovechar la experiencia anterior?
De esto se desprenden dos cosas: por un lado, está
muy bien modelar un problema, pero después hace falta resolverlo,
y uno aspira a que el modelo ayude a facilitar el proceso. Por otro lado, sería
interesante poder aprovechar el ejemplo que involucra números más pequeños para
pensar cómo resolver un problema equivalente con cualquier número de calles
horizontales y verticales. Algo así como generalizar la
solución de un problema.
Para la primera pregunta, fíjese en los ejemplos
(*). Imagine que hay seis casillas vacías en las que yo fui
poniendo ‘cuatro’ letras D y ‘dos’ letras A. En realidad, basta con saber dónde
están ubicadas las dos letras A, ya que las letras D ocuparán los lugares que
quedan vacíos. Es decir: se trata de contar de cuántas formas posibles
se pueden distribuir las dos letras A en las seis casillas . Eso es
todo lo que necesito. ¿Quiere pensarlo usted por su cuenta?
Mientras tanto, sigo yo. Elija una casilla
cualquiera donde va a poner la primera letra A, no importa
cuál, seleccione una. ¿Cuántas formas tiene de elegir esa primera casilla?
Como usted advierte, hay seis maneras posibles.
Una vez que la eligió, todo lo que
le falta es elegir otra casilla, que es donde usted ubicará
la segunda letra A. ¿Cuántas formas hay? (le dejo tiempo para
que lo piense). Sí, quedan cinco libres. ¿Por qué? Una de las seis casillas ya
tiene la letra A que usted ubicó primero. Es decir, para cada una de las formas
de ubicar la primera letra A hay cinco lugares libres para la segunda A. En
total son (6 × 5) = 30. Pero esto contiene un pequeño ‘error’. ¿Cuál es?
Es que estoy contando dos veces lo
mismo, porque las dos letras A son indistinguibles. Si usted
hiciera la lista de las 30 ‘tiras’ posibles, advertiría que todas aparecen
repetidas, y eso sucede porque no tenemos manera de diferenciar una letra A de
la otra. Luego, al resultado total hay que dividirlo por dos… ¡y
listo! La respuesta entonces es que hay 15 ‘tiras’ distintas de seis lugares,
de los cuales dos corresponden a letras A, y cuatro, a letras D. Con este
modelo, entonces, se deduce que hay 15 caminos posibles para
ir desde P hasta Q.
¿Y ahora? Veamos cómo hacer con los casos más
generales. Si tuviéramos tres letras A y ocho letras D, ¿qué pasaría? Lo mismo:
habría que contar las formas de ubicar tres letras A en tiras
que tienen 11 casilleros (tres para las A y ocho para las D). Luego, tendríamos
11 lugares para la primera letra A, 10 lugares para la segunda A y nueve para
la tercera. Quedan:
11 × 10 × 9 = 990 en total
Acá aspiraría a que usted me dijera: “¡Un momento!
¡Está contando de más!”.
Y tendría razón. Pero ahora ya no tendría que
dividir por dos: debo contar de cuántas formas se pueden intercambiar las tres
letras A entre ellas, porque no voy a poder darme cuenta de la diferencia. Es
decir, tengo que encontrar alguna forma de contar todas las tiras
repetidas, y para eso necesito ver cuántas formas posibles hay de
intercambiar las tres letras A (ver ‘Subnota’).
Me adelanto: hay seis formas. Por
lo tanto, hay que dividir el número 990 por seis: el resultado es 165.
Moraleja: hay 165 caminos posibles para ir desde P hasta Q si
tuviéramos que movernos tres casilleros hacia arriba y ocho hacia la derecha[71].
Para terminar, algunas observaciones breves.
a. Usando el mismo modelo y la misma idea, uno
puede resolver el caso de cualquier número de calles horizontales y
verticales.
b. En la vida real, con los datos que ofrece el
tránsito y agregando restricciones que aparecen cuando las calles no
son de doble mano, el algoritmo se vuelve un poco más sofisticado, porque
hay ciertas casillas en las que no puede ir una letra A u otras que no pueden
tener una letra D, pero la idea general es siempre la misma.
Modelar es encontrar una forma alternativa de
pensar un problema. Encontrar un buen modelo no es algo trivial,
pero una vez que uno lo encuentra a partir de un caso particular o pequeño,
tiene la garantía de que al extrapolarlo podrá resolver el problema general.
Por último, cuanto más sencillo sea el modelo, será también más sencillo de
programar y más fácil (y rápido) de ejecutar por una computadora… o un GPS.
Subnota
Para pensarlo, conviene ‘distinguir’
artificialmente cada una de las tres letras A. Las voy a llamar A1, A2 y A3.
Como hice antes, ¿en cuántos lugares puedo ubicar
la letra A1 en una tira que ahora puede contener tres letras?
Respuesta: tres lugares. ¿Por qué? Como es la primera letra que voy a ubicar,
están los tres lugares disponibles. Una vez que ubiqué la A1, ¿cuántos lugares
me quedan para la A2? Como usted advierte, quedan dos lugares
libres. Es decir, por cada uno de los tres lugares en donde puedo ubicar A1,
quedan dos lugares para poner A2. En total, hay (3 × 2) = 6 posibilidades.
La última letra A, la A3, no agrega ninguna
información, porque no tengo ninguna libertad para ubicarla. Una vez que ya
puse A1 y A2, la restante se ubica en la única casilla que queda vacía.
Moraleja: cuando uno tiene tres letras
A, entonces hay (3 × 2) = 6 formas de distribuirlas[72] . Con
este dato, ahora sabemos que cada combinación de tres letras A y ocho letras D
aparece seis veces y, por lo tanto, al resultado de 990 hay que dividirlo por 6
hasta obtener 165 caminos posibles.
Otro modelo[73]
“Adrián, en este problema, tal vez por la
introducción que hiciste en donde hablás del GPS y de la necesidad de enseñar a
programar, por algún motivo pensé que ibas a plantear la solución en términos
de programación dinámica.
”Para contar la cantidad de caminos de P a Q,
la forma de encararlo con programación dinámica es escribir en cada casilla de
la matriz (de la ciudad) la cantidad de caminos que llegan
hasta esa casilla.
”Partiendo de P, lo primero que uno
puede hacer es completar la columna izquierda y la fila inferior con ‘1’,
porque hay una única forma de llegar a esas casillas. ¿Por qué? Para cualquier
casilla que esté en la primera columna, la única forma de llegar es desde
abajo, y para todas las casillas de la última fila, hay una sola forma de
llegar: desde la izquierda. Es por eso que al principio la grilla resulta así:
”Ahora, para cualquier otra casilla, uno puede
llegar desde la izquierda o desde abajo. ¿Qué dice esto? Elegí una celda
cualquiera. Si querés saber de cuántas formas se puede llegar hasta allí,
entonces todo lo que tenés que hacer es ‘sumar’ los dos números que figuran en
la casilla de la izquierda y en la de abajo, ese es el número
que ponés en la nueva celda.
”Con esta premisa, uno puede empezar a completar el
rectángulo. Queda así:
Luego:
Al terminar, queda así:
”Este método se llama programación dinámica porque
uno va solucionando instancias más pequeñas para llegar a la solución del
problema original. Lo bueno de la solución con programación dinámica es que se
aplica a los casos en que hay casillas por las que no se puede circular,
o calles con sentido único, por ejemplo.
”Por último, Adrián, algo muy importante: planteado
de esta forma, es muy simple de programar, ya que solo requiere recorrer las
casillas en orden e ir sumando.
”Fijate otro ejemplo. Si vos tenés 4 filas y 9
columnas, el rectángulo queda así:
”Por supuesto, llegamos a la misma solución…”.
Dos puntos importantes
a. Este modelo muestra la variedad de posibilidades
que uno puede encontrar cuando pretende resolver algún problema. Quizás a
usted, si pudo pensar el problema antes de leer las soluciones
que aparecen acá, se le ocurrió algo distinto… y si lo logró, estoy seguro de
que ese particular momento ¡no tiene precio! (para usted).
b. Un detalle muy importante para
tener en cuenta sobre este modelo, y que Carlos Sarraute se ocupó de enfatizar:
al contar la cantidad de caminos con los que se puede llegar desde P hasta Q,
uno puede incluir las obstrucciones que haya, como calles cortadas o que van en
un solo sentido. El primer modelo, ciertamente, no contempla esas
posibilidades.
26. La blusa y el billete (robado) de cien pesos
Hay ciertos problemas de lógica que tienen un
atractivo especial. Uno los mira, los lee, los entiende, los resuelve y
después… duda. Digo, duda de la conclusión a la que llegó.
Parecería que en alguna parte hay ‘trampa’. Pero no, verá que, en el caso que
le voy a proponer, todo está a la vista y es muy sencillo. Eso sí: cuando haya
terminado de leerlo, pensarlo, entenderlo y resolverlo, le sugiero que usted,
por su cuenta, trate de dilucidar por qué nos pasa los que nos pasa. ¿Qué es lo
que confunde? Si es tan sencillo y tan elemental,
¿por qué uno duda de la respuesta? Me explico.
Hace unos días, Alicia Dickenstein me envió un mail
desde Oslo. Yo no tengo cuenta de Facebook, de Twitter ni de Instagram… nada.
Sé que me debo estar perdiendo algunas cosas, pero también sé que tengo una
gran tranquilidad: no necesito de las redes sociales. No interprete que estoy
en contra porque no es cierto, solo que yo siento que no las necesito. Pero
vuelvo a Alicia, quien desde hace un par de años es una de las vicepresidentas
de la IMU (Unión Matemática Internacional). Transcribo su correo electrónico:
Adrián, acabo de ver en Facebook que está
circulando este problema. Creo que te va a interesar. (“Sí, me interesa”,
pienso). Una mujer entra en un negocio de ropa para mujeres. Mientras va
caminando observa que la caja está abierta y sobresale un billete de 100 pesos.
Mira alrededor y no ve a nadie. Rápidamente, retira el billete y se lo pone en
un bolsillo. Y se va. Un par de horas más tarde, vuelve al mismo negocio. Había
visto una blusa que le había interesado. Se acerca al estante y retira la que
corresponde a su talle. La lleva a la caja. La etiqueta indica que el precio es
70 pesos. Paga con el billete de 100 y el cajero le devuelve —como es
esperable— 30 pesos.
Ahora tengo una pregunta para usted: ¿Cuánto dinero
perdió el negocio? (y vea estas potenciales respuestas):
a) 30 pesos
b) 70 pesos
c) 100 pesos
d) 130 pesos
e) 170 pesos
f) 200 pesos
¿Usted qué cree?
Como se da cuenta, el problema es muy sencillo de
entender (creo). Si estuviera cerca suyo, le propondría: “¡No lea lo que
sigue!”. ¿De qué le serviría? Como no estoy allí, no le puedo decir nada, pero
créame que lo pienso. Ahora sí, le toca a usted.
Alicia se ocupó en enviarme varias de las
respuestas que estuvieron (¿están?) circulando en internet. Leí solo algunas y,
si pudiera, me gustaría poder pensar la solución junto a usted. ¿A qué
conclusión llegó? Me apuro en escribir que la respuesta ‘correcta’ es 100
pesos, pero con un asterisco. ¿Por qué?
No sé cuál fue su línea de razonamiento, pero
acompáñeme con esta idea. Suponga que el robo no hubiera existido. En ese caso,
el negocio no habría perdido nada. Reemplaza la blusa por los 70 pesos que
habría pagado la mujer y le entrega los 30 pesos como vuelto del billete de 100
pesos con el que ella pagó. Es decir, sin robo no hay pérdida del
negocio.
Pero como sabemos que sí hubo
robo, el negocio perdió esos 100 pesos que la mujer sustrajo de la caja. ¿Por
qué habríamos de tener la tentación de mezclar los dos episodios? ¿Será porque
está la misma mujer incluida? Cualquiera sea la razón, son dos situaciones
independientes: si no hay robo, el negocio no pierde nada. Si hay robo
(como lo hubo), el negocio pierde exactamente esos 100 pesos que le
robaron .
Todas las otras opciones son para confundir y, de
hecho, por lo que estuve leyendo, ¡lo logran!
¿Por qué el asterisco? Quizás usted
pensó que, en realidad, si bien el negocio perdió los 100
pesos, hay algo que uno no está contabilizando. ¿Quiere pensar
por su cuenta?
Sigo yo. Cuando el negocio decidió que vendería la
blusa al público por 70 pesos, está claro que no le puede haber costado lo
mismo: usualmente, los negocios tienen algún margen de ganancia.
Para hacer las cuentas más fáciles, supongamos que
el negocio le paga al fabricante 60 pesos por ese tipo de
blusas, y que las ofrece al público por 70. En cada operación, entonces, está
ganando 10 pesos .
Luego, cuando la mujer ingresó en la tienda y
compró la blusa, el negocio ganó 10 pesos. Como el billete de 100 pesos con el
que la pagó les fue robado a ellos, eso significa que, en realidad, el dueño
del local perdió 90 pesos, no los cien. Hablando de opciones, entre perder los
cien pesos en efectivo por un lado o perder la blusa más los 30 pesos, seguro
que le conviene la última alternativa: son 100 pesos contra 90.
Es por eso que puse el asterisco, pero esa es una
variante técnica que no debería confundirla/lo. Lo interesante
es que, por la forma en las que están presentadas las opciones, parecería que
los dos hechos están relacionados y, por lo tanto, la tentación es decir —por
ejemplo— que el dueño perdió 130 pesos, porque le robaron 100 y encima tuvo que
poner 30 pesos para entregar el vuelto.
Usted verá qué argumento la/lo hace sentir más
cómodo, pero quería compartir el problema, porque me parece que muchas
veces, frente a una situación cualquiera, tenemos la tendencia de
involucrar un exceso de información que solamente introduce ruido y
no claridad. En este caso, me pareció que era una buena idea para entretenerse.
27. Extracciones en un banco
Cuando yo era chico, en la contratapa del
diario La Razón, salía (no recuerdo con qué periodicidad) lo que se
llamaba “El Juego de los Siete Errores”. Consistía en dos dibujos que eran —en
apariencia— similares, pero el segundo incluía siete variaciones con respecto
al primero. La idea era tratar de encontrarlos en un plazo razonable (supongo
que por ‘plazo razonable’ se entendía ‘antes de que saliera el diario del día
siguiente’). El hecho es que, junto con Don Fulgencio —creación
de Lino Palacio—, Isidoro (Cañones), Pelopincho y
Cachirula y elDivúlguelo —Fola—, Lindor Covas, el
Cimarrón,Ramona y no sé quiénes más, la vida transcurría con el
entretenimiento que (me) proveía esa página del vespertino (¡qué
antigüedad!).
Vuelvo al tema que me ocupa. Encontrar esos siete
errores formaba parte de un pasatiempo diario. Hace un par de años estábamos en
una reunión de producción de Alterados por Pi. Invariablemente
empezábamos de forma muy calma y ordenada, pero en poco tiempo las reuniones se
volvían apasionadas, acaloradas, comprometidas, y productores de televisión,
directores de cámaras y de cine, sonidistas, matemáticos, expertos en ciencias de
la comunicación, doctores en computación, especialistas en diseño gráfico,
físicos, arquitectos, creativos, escenógrafos… (entre las profesiones que me
acuerdo) pugnábamos por defender una idea. Pocas veces trabajé en un programa
en donde convergiéramos desde tan diferentes lugares, pero también pocas veces
noté tanta gente con la ‘camiseta puesta’, sabiendo que recorríamos el país
haciendo un programa de televisión en las escuelas, en cada una de las
provincias argentinas.
Estoy seguro de que a usted no se le escapa que
elegir los problemas para presentar en auditorios que albergan entre 1.000 y
1.500 personas, poblados de chicos de múltiples edades y de variadísimos
intereses, es una tarea ‘altamente no trivial’. Es por eso que
seleccionar los seis temas que se desarrollan en un programa
es una tarea que lleva muchísimo tiempo, mucho más del
que usted se imagina: discusiones, debates, prueba y error, ‘llevar la
matemática a la televisión’, los ángulos que no dan, los planos que ‘tampoco’,
la luz, la posición de las cámaras y, sobre todo, la propia calidad del tópico
a presentar.
Justamente, en una de esas reuniones, fue Pablo
Coll quien me aportó el problema que quiero plantear acá. Es un problema extraordinario,
en el sentido ‘literal’ de la palabra: fuera de lo ordinario. Empecé esta nota
recordando “El Juego de los Siete Errores”, aunque en este caso no le va a
hacer falta encontrar siete: solamente tendrá que encontrar uno.
Una última cosa, breve: si normalmente le pido que
no lea la respuesta antes de ofrecerse un mínimo de tiempo para pensarlo, en
este caso se lo pido con un poco más de énfasis: no se trate mal a usted
misma/o. No hay nadie que la/lo esté mirando. Es usted y el mundo. Lea lo que
sigue y verá que, ‘salvo que conozca el problema de antemano o se le ocurra
inmediatamente’, le va a pasar lo que le sucedió a la abrumadora mayoría de las
personas a quienes se lo planteé: “¿Cómo? ¡Dejame leer de nuevo! ¡No puede ser!
¡Tiene que haber un error!”.
Sí, claro que hay un error. La idea es que usted lo
descubra. Acá va.
Suponga que usted tiene 1.000 pesos en una cuenta
bancaria. Por otro lado, tiene una libreta en la que va apuntando el importe de
las extracciones que hace y el saldo que resulta después de cada extracción.
Acompáñeme entonces a continuación con las dos listas que voy a hacer. La
primera columna corresponde a las extracciones que fue haciendo, una por una.
La segunda columna contiene el saldo restante. Esta es una ‘foto’ de lo que
sucedió en el último mes. Recuerde que en la cuenta había, originalmente, 1.000
pesos.
Es decir, el total de la columna de la izquierda
suma 1.000 pesos. En cambio, la columna de la derecha suma 990 pesos. Pregunta:
¿dónde están los 10 pesos que faltan?
Ahora le toca a usted.
Antes de escribir la respuesta, quiero plantearle
el mismo problema pero variando el importe de las
extracciones. Fíjese lo que pasaría si las extracciones fueran estas:
¿Qué pasa ahora? Haga las sumas, por favor.
Verá que si usted suma los números que figuran en
la columna de la izquierda, el resultado es 1.000. Esto era esperable: teniendo
en cuenta que usted, aunque fue retirando dinero de diferentes maneras, lo
retiró todo, al final la suma total tenía que ser 1.000 pesos.
Si ahora una suma la columna de la derecha, el
resultado es ¡2.000 pesos!
¿Y? ¿Hay algún error ahora? ¿Quiere pensar el
problema por su cuenta?
Sigo yo. Aspiro a que en este momento usted ya haya
pasado por esa sensación de “Ah… ¡Ya sé lo que pasa!”. Claro, ¿qué sentido
tiene sumar la columna de la derecha? La segunda lista lo único que hace es
expresar el dinero de los ‘saldos’, y esos números ¡no tienen por qué sumar
mil! Son solamente números de referencia, para que usted sepa cuánto dinero hay
en la cuenta ¡y nada más! Lo único que importa de esa columna es el saldo individual
después de cada extracción. Lo que sume es totalmente irrelevante. Por eso
yo fabriqué un segundo ejemplo para invitarla/lo a que dedujera por su cuenta
lo que había pasado.
Es curioso, ¿no? La reacción que uno debería
esperar frente al pedido de sumar la segunda columna es ¿por qué? ¿Para qué
sumar esos números? Sin embargo, lo que —quizás— le pasó a usted es lo que nos
pasó a casi todos: uno se ‘somete’ al principio de la autoridad (supuesta). Si
alguien me plantea: “Sumá estos números y comparalos”, uno pierde la sensatez
por un ratito y acepta la pregunta como válida cuando, en realidad, debería
rechazarla inmediatamente porque carece de sentido.
En definitiva, no pretendió ser más que un
‘pasatiempo’ o un ‘entretenimiento’, como los que aparecían en el diario La
Razón.
28. La madre sabía… (un problema de lógica)
La madre deja una torta encima de la mesa. Les dice
a sus hijos que tiene que salir por una hora y les pide que
por favor no la toquen, que esperen, que es la torta que va a usar para el
cumpleaños (que celebrarán más tarde). Los niños se llaman Alberto, Bárbara,
Carolina y David.
Como la madre suponía, al regresar falta
una parte de la cobertura de chocolate. Deprimida porque no supo transmitir
lo que quería, les pregunta lo obvio: ¿quién fue? Los niños saben que solamente
uno fue el culpable, y cada uno se dispone a decir la verdad excepto quien, en
lugar de hacerse responsable, miente.
La madre obtuvo estas respuestas.
a. Alberto dice que fue Bárbara.
b. Bárbara dice que fue Carolina.
c. Carolina y David dicen que ellos no vieron lo
que pasó, que estaban mirando televisión.
¿Quién fue?
Como usted advierte, no hay muchas alternativas.
Solo le pido que se concentre un rato y verá que se le va a ocurrir —casi—
inmediatamente. Si no, tampoco pasa nada. Yo escribo mi forma de abordarlo en
el párrafo que sigue.
Solución
Como queda claro que uno solo de
los niños fue el responsable, voy a ir suponiendo que el culpable fue cada uno
de ellos y verificar en cada caso si esa suposición es consistente con los
datos.
Supongamos que fue Alberto.
En ese caso, lo que dijo Alberto es falso y, por lo
tanto, sabríamos que Bárbara no fue. Pero si Alberto fue el culpable, eso
significa que los otros tres niños son inocentes y, por lo
tanto, lo que dijeron es cierto. En particular, lo que dijo Bárbara tendría que
ser verdadero, pero no lo sería: ella afirmó que Carolina fue la culpable, y
sabemos que el culpable es Alberto. Luego, habría dos mentirosos (Alberto y
Bárbara) o dos culpables (Alberto y Carolina).
Moraleja: seguro que Alberto no fue.
Supongamos que fue Bárbara.
En ese caso, Alberto dijo la verdad (que fue
Bárbara), y las afirmaciones de Carolina y David no contradicen que hubiera
sido Bárbara: ellos no vieron lo que pasó. En consecuencia, suponer que fue
Bárbara no contradice nada y es una gran candidata a ser la
culpable.
Supongamos que fue Carolina.
En ese caso, lo que dijeron los otros tres tendría
que ser verdad, pero entonces cuando Alberto acusa a Bárbara estaría mintiendo,
y Carolina, quien sería la responsable, también. Luego, Carolina no
puede ser.
Por la misma razón, tampoco pudo haber sido David,
porque entonces Alberto y Bárbara deberían haber dicho la verdad. Conclusión,
esto no pudo pasar. Luego, David no fue tampoco.
Moraleja: la única alternativa es
que la culpable haya sido Bárbara. Eso hace que todos los datos se verifiquen.
Y listo.
Un intermedio breve. Cuatro dados y la probabilidad
de que salga (o no) un seis
Acá tiene cuatro dados. Póngalos en un cubilete.
Agítelo. Haga rodar los dados. ¿Qué es más probable que suceda: que salga algún
seis o que no salga ninguno?
No lea tan rápido la respuesta. ¿Qué gracia
tendría?
Respuesta
No sé qué es lo que dice la intuición o, en todo
caso, no sé lo que le sugiere su intuición, pero ¿qué piensa
usted que es más probable?
Como cada dado es independiente (o sea, el
resultado de uno no afecta el resultado de los otros tres), cada uno puede
aparecer con cualquiera de sus caras hacia arriba.
Como son cuatro dados, los posibles
resultados son
6 × 6 × 6 × 6 = 64 = 1.296
Por otro lado, para que una ‘tirada’ no tenga ningún
seis, los cuatro dados deben salir con alguno de los cinco primeros números
hacia arriba (del 1 al 5).
Una vez más, como son cuatro dados, todos estos
resultados son:
5 × 5 × 5 × 5 = 54 = 625
Por lo tanto, de las 1.296 posibilidades hay 625
(un poco menos de la mitad) que no contienen ningún seis.
Moraleja: si usted tira cuatro dados, es levemente
más posible que salga un seis que ninguno. ¿No es notable esto?
Apéndice
No puedo resistir la tentación de preguntarle: si
vuelve a tirar los cuatro dados, ¿qué es más probable que suceda? ¿Que aparezca
un cuatro o que no? ¿Y que aparezca un as? ¿Qué se
deduce de todo esto? [74].
29. Detectives por un rato
¿Quiere entretenerse un rato? Le propongo un
problema sencillo que le servirá para elaborar una estrategia y determinar
quién es quién. Me explico.
En una compañía hay tres personas que tienen cargos
distinguidos: directora, contadora y jefa de ingenieros.
Los nombres de las tres son: Brenda, Julia y
Silvia.
Le ofrezco acá algunos datos que son conocidos, y
usted tiene que determinar qué cargo ocupa cada una.
1. La contadora es hija única y es la que gana
menos de las tres.
2. Silvia, que está casada con el hermano de
Brenda, gana más que la jefa de ingenieros.
¿Alcanza con esta información para saber quién es
la directora, quién es la contadora y quién es la jefa de ingenieros?
Se lo dejo a usted.
Solución
Si usted lee directamente lo que voy a escribir a
continuación, entonces el problema carece totalmente de sentido. Como ya
pregunté cientos de veces: ¿qué gracia tendría “resolverlo” de esa forma? El
ejemplo que se me ocurre es el de una persona que toma una revista o un diario
y se propone resolver un crucigrama o las palabras cruzadas. Ahora imagine que,
en las definiciones de las palabras que aparecen en las filas horizontales o
verticales, el autor pone:
Horizontales: 1 = Perro; 7 = Cuadrado ; 10 =
Alfonsín…
Verticales: 1 = Paraná ; 4 = Cómico…
Es decir, en lugar de poner “animal de
cuatro patas que ladra” o “figura geométrica de cuatro
lados” o “Presidente argentino durante 1983-1989” para
las horizontales, y“uno de los dos ríos que determinan la Mesopotamia
argentina” o “que promueve a la risa” para las verticales…
¿quién tendría ganas de hacer ese crucigrama? O sea, uno va y ‘copia’ dentro de
la grilla las palabras que encontró en las definiciones ¡y listo!
Yo sé que le parece ridículo mi ejemplo (porque
lo es), pero yo siento que si una persona se propone pensar algo y
empieza por leer la solución, ¡hay algo que funciona mal! (¿o soy yo?).
Dicho esto, le propongo ahora que se fije en
siguiente ‘grilla’ (por ahora vacía):
Ahora bien, si pudiera deducir que Brenda es la
contadora, entonces pondría una letra ‘o’ en la primera fila, justo en
la columna en la que figura ‘contadora’. Si pudiera inferir que Silvia no
es la directora, colocaría una letra ‘x’ en la tercera fila y en la primera
columna, debajo de donde dice ‘directora’. Es decir, la grilla quedaría así:
Esta es la convención que voy a usar. Siéntase
libre usted de utilizar el método que quiera, y por supuesto descarte
lo que yo le propongo si tiene una mejor forma de abordar el problema.
Yo sigo acá.
Ahora miremos las frases (1) y (2). Como Silvia
está casada con el hermano de Brenda, queda claro que Brenda
no puede ser la hija única de la que habla la frase (1). Como
no es la hija única, Brenda no puede ser la que gane menos y, por lo
tanto, no es la contadora.
Por otro lado, como la frase (2) dice que Silvia
gana más que la jefa de ingenieros, entonces tampoco
puede ser la contadora. ¿Por qué? Por la frase (1), la contadora es la que
gana menos. En consecuencia, la única que puede ser la contadora es
Julia, por eso pongo ‘o’ en la segunda fila y tercera columna. A esta
altura, el diagrama queda así:
Como Silvia gana más que la jefa
de ingenieros, entonces esto ‘casi’ termina por resolver el problema. Ya
sabemos que Silvia no puede ser la contadora, entonces Silvia
resulta ser la ‘directora’. La grilla resulta ser:
De este último diagrama se deduce el final:
Brenda tiene que ser la jefa de ingenieros.
¿Le resulto fácil? Sí, así parece, pero ¿sabe por
qué? Porque su capacidad deductiva le permitió eliminar todos los casos
imposibles y, tal como decía Sherlock Holmes, cuando uno está en la búsqueda
del culpable, basta con eliminar todo lo que sea imposible. El resultado tiene que
ser lo que uno estaba buscando.
Para finalizar, ¿me puedo permitir una propuesta?
Ahora que ya entendió (o entendimos) cómo se pudo resolver el problema, ¿no
tendría ganas de formular uno usted? Sí, usted. ¿Por qué no aprovecha lo que
aprendió al resolver este planteo y lo usa para generar algo equivalente que
usted pueda testear con otras personas? Eso no solo les va a servir de
entretenimiento a otros (y a usted misma/o), sino que le permitirá disfrutar de
algo que —quizás— no sabía que poseía: la habilidad para plantear situaciones
irresueltas cuya solución se puede inferir o deducir. ¿Qué le
parece?
30. Deducción (algunos datos más)
Este tipo de problemas (como el que planteé en
“Detectives por un rato”) fueron presentados por primera vez como un género
separado por Henry Dudeney, escritor y matemático británico que vivió entre
1857 y 1930. Hoy son muy frecuentes, pero en su momento él se ocupó
de exhibir la potencia que podría tener el uso de la lógica aristotélica en la
vida cotidiana. Después apareció otro escritor británico, Hubert Phillips que
escribió algo así como setenta libros que, si bien no
fueron todos de ese género, aportaron a la ‘causa’. Phillips
se hizo famoso con el tiempo, porque publicaba con dos seudónimos diferentes en
dos revistas distintas. En New Statement firmaba como
“Caliban”. En News Chronicle usaba el nombre “Dogberry”.
De todas formas, lo que hizo explotar la
popularidad de este tipo de relatos deductivos (y detectivescos) fue su
aparición por primera vez en uno de los clásicos de la literatura
mundial. Fue Edgar Allan Poe, en abril de 1841, quien publicó en la
revista Graham’s Magazine la primera versión de “Los crímenes
de la calle Morgue”. Poe introdujo al entrañable y joven detective Auguste
Dupin, quien se dedicaba a usar argumentos deductivos —que Poe compartía con
los lectores— para descubrir a los responsables del robo o del crimen.
Con la misma idea, y siguiendo el éxito que había
tenido Poe, irrumpió en la escena Sherlock Holmes, el detective más famoso de
la historia, obra de la pluma (¡qué viejo estoy! La pluma… ¿se usa
todavía esta expresión?) de Sir Arthur Conan Doyle (1859-1930). Y no puedo
terminar este brevísimo racconto sin incluir (usted pensó que
me había olvidado, ¿no?) a Agatha Christie (1891-1976). Ella fue quien pensó y
describió al inefable Hércules Poirot.
Hubo muchos más, claro está, pero creo que estos
tres fueron los más representativos. No solo crearon un género literario, sino
que usaron la lógica matemática como una herramienta contundente. Fueron
explicando exhaustivamente las deducciones que hacían para llegar a cada una de
sus conclusiones. En algún sentido, y al menos por un rato, usted y yo
fuimos detectives junto con ellos.
Más allá de la belleza estética del relato
(ciertamente no menor) y de la originalidad en los planteos, el
metamensaje que dejaron con sus escritos fue que si uno es capaz de analizar
los datos, separar las incongruencias, las contradicciones, las
imposibilidades… si uno se toma el trabajo de hacer una limpieza casi ‘quirúrgica’
de lo que sobra o ‘hace ruido’, esto debe ser suficiente para determinar quién
ha sido el autor del robo o del crimen.
31. Nora y el problema de los caramelos
Supongamos que la madre de Nora le regaló una caja
de caramelos. Como no sabemos exactamente cuántos caramelos hay en la caja, voy
a llamarn a esa cantidad. Lo que sí sabemos es que
en la caja hay exactamente 10 caramelos de dulce de
leche.
Nora hace lo siguiente: mete la mano en la caja y
saca un caramelo cualquiera al azar y lo come. Cuando termina, mete la mano en
la caja otra vez, vuelve a sacar otro caramelo, también al azar, y lo come.
La probabilidad de que los dos caramelos
que Nora comió sean ambos de dulce de leche es 3/8.
Lo que el problema pide es lo siguiente: muestre
que el número n —el total de caramelos que hay en la caja—
tiene que satisfacer la siguiente igualdad:
n2 – n – 240 = 0 (*)
“¿Qué dijo?”. Sí, eso es lo que digo (o escribo).
El número n que cuenta la cantidad total de caramelos que hay
en la caja tiene que cumplir con la igualdad que figura en (*).
¿Por qué? Bueno, esa es la parte que le toca pensar
a usted. Yo sigo acá.
Respuesta
Fíjese que como sabemos que entre los n caramelos
que hay en la caja solamente 10 son de dulce de leche, la probabilidad de que
Nora saque un caramelo de esas características se calcula
haciendo el cociente entre el número 10 y el número total de caramelos que hay
en la caja, o sea: 10/n.
Una vez que Nora se comió el primer caramelo, en la
caja quedan (n – 1), y de ellos solamente nueve son de dulce
de leche. Por lo tanto, cuando Nora elige el segundo caramelo, la probabilidad
de que sea de dulce de leche se calcula ahora haciendo el cociente (9/(n – 1)).
En consecuencia, la probabilidad de que hayan
sucedido los dos acontecimientos seguidos (dos caramelos de
dulce de leche consecutivos), como son dos sucesos independientes, se calcula
multiplicando ambas probabilidades. La primera es (10/n) y la segunda, (9/(n –
1)).
Es decir,
(10/n) × (9/(n – 1) = 3/8
Escribo que ese número es 3/8 porque es lo que
estipulaba el enunciado del problema.
Ahora, es solo cuestión de multiplicar los
numeradores y denominadores de cada una de las fracciones que aparecen en el
miembro de la izquierda:
90/(n(n – 1)) = 90/(n2 – n) = 3/8
240 = (n2 – n)
y de acá se deduce lo que queríamos:
n2 – n – 240 = 0
Apéndice
En el colegio secundario, nos ‘taladraron’ con la
fórmula que permite calcular las raíces de un polinomio cuadrático,
¿se acuerda?
n = (−b + √b2 − 4ac)/2a
n = (−b − √b2 − 4ac)/2a
En este caso, entonces, a = 1, b = −1 y c = −240.
Aplicando la fórmula anterior, las
‘raíces’ son (y le pido que haga las cuentas para verificar que no me
equivoco con lo que escribo ):
n = ½ (1 + √(12 − 4(−240)) = ½ (1 +
√(1 + 960)) =
½ (1 + √961) = ½ (1 + 31) = 16
n = ½ (1−√(12 − 4(−240)) = ½ (1 −
√(1 + 960)) =
½ (1 − √961) = ½ (1 − 31) = −15
Hay dos soluciones: (+16) y (−15). Obviamente, como
no puede haber un número negativo de caramelos, la única posibilidad es que en
la caja haya habido 16.
Calculemos juntos cuál sería la probabilidad de que
Nora meta la mano en la caja dos veces seguidas y saque dos caramelos de dulce
de leche. Para la primera vez, la probabilidad es de (10/16) = (5/8). Para que
el segundo sea también de dulce de leche, la probabilidad es
de (9/15) = 3/5.
En definitiva, la probabilidad de que los dos sean
de dulce de leche es:
((5/8) × (3/5)) = 3/8
que es lo que decía el problema. Listo.
32. Problema breve y ¿fácil?
Uno de los diarios más prestigiosos de Europa
es The Guardian, que se edita y publica en Gran Bretaña. Como
sucede con casi todos los grandes matutinos del mundo, The
Guardian tiene un columnista que refleja lo que sucede en el mundo de
la matemática, pero muy especialmente lo que se llama ‘matemática recreativa’.
En este caso me refiero a Alex Bellos.
Bellos nació en Oxford, tiene 47 años, y lo curioso
es que fue corresponsal especial del diario durante cinco años en Brasil, más
precisamente en Río de Janeiro. Enamorado del fútbol, escribió un par de libros
que tuvieron marcado éxito en el Reino Unido: el primero fue una biografía de
Pelé (como coautor) y el otro se ‘autoexplica’ con el título: Futebol:
The Brazilian Way of Life[75].
Por supuesto, la mención a su pasión por el fútbol
en general y por Brasil en particular no es la razón por la que quiero citarlo.
Bellos escribe cada dos semanas un problema sobre matemática recreativa que es
seguido por millones de lectores; además trabaja en la BBC y da charlas y
conferencias en toda Europa. Y aquí es donde me quiero detener y contar una
historia que me dejó intrigado y que quisiera compartir con usted.
Hace muy poco tiempo, presentó un problema en el
diario y les anticipó a sus (potenciales) lectores lo mismo que voy a hacer yo
acá: Bellos dijo que tenía datos de otros lugares en los que
el problema fue planteado y que el 80% de las personas lo contestaban
equivocadamente, a pesar de ser un problema muy sencillo. Dijo que él no lo
podía creer (y yo tampoco). Luego de la publicación sucedió lo que él había
previsto.
Confundido por los datos y antes de escribir de qué
se trata, le planteé el problema a muchísima gente, entre amigos, familiares,
alumnos, colegas… y me sorprendí con los resultados una vez más.
Al llegar a ese punto, se me ocurrió una idea.
Pensé: le voy a pedir ayuda a Manu Ginóbili, que tiene más de ¡3.800.000! (tres
millones ochocientos mil) seguidores en todo el mundo en su cuenta de Twitter.
Si se lo planteaba a tanta gente podríamos tener una idea más precisa de lo que
sugería Bellos… en tiempo real.
Manu aceptó inmediatamente. Con todo, me hizo notar
un inconveniente extra: había que condensar el planteo en 140 caracteres.
Estuve a punto de decir que no: como no tengo
cuenta de Twitter, no estoy acostumbrado a comunicarme con tan pocos
caracteres [76], pero él,
que obviamente tiene mucha experiencia, sí pudo.
No solo eso: como usted verá, se trata de un
problema que ofrece tres potenciales respuestas de las cuales una es la
correcta (lo que se conoce con el nombre de ‘multiple choice’). Aun con
todos esos inconvenientes, ¡lo planteó!
En dos minutos ya habían contestado 123 personas.
Curiosamente (o no), casi el 62% estaba equivocado. Le pregunté si era habitual
que hubiera ese número de reacciones tan rápidas, pero Manu me dijo que era la
primera vez que planteaba un problema de estas características: “No sé qué
esperar, no sé qué es lo que van a contestar”.
Con todo, me advirtió que había que ponerle
un límite temporal a la pregunta: el problema permanecería
‘abierto’ durante seis horas, y me dijo que no esperara que se mantuviera ese
ritmo porque eso nunca pasa.
Y así fue. No siguió con ese nivel de
participación, pero nos ofreció los datos de 15.003 (quince mil tres) personas.
Tampoco se sostuvo el porcentaje de error. Ahora, el 47% lo había contestado
correctamente.
A esta altura, creo que llegó el momento de que lo
plantee, ¿no le parece? Voy a proponer una versión ‘un poco más larga’, porque
yo no tengo esa restricción en los caracteres. Pero si usted tiene curiosidad
por saber lo que escribió Manu, alcanzará que busque en su cuenta de Twitter, y
allí podrá verificar los datos que aparecen acá [77].
El problema es este:
En una reunión, hay tres personas que se separaron
del resto. No se conocen entre sí pero en una foto se advierte lo siguiente:
Ulises está mirando a Sabina. A su vez, Sabina está mirando a Máximo. Se sabe
que Ulises está casado pero Máximo es soltero. ¿Es cierto que en ese grupo de
tres hay alguna persona casada que está mirando a una soltera?
Las tres posibles respuestas son:
1. Sí. Es cierto.
2. No. Es falso.
3. Esos datos son insuficientes para poder decir si
es cierto o falso.
Usted, sí, usted… ¿cuál de las tres respuestas
daría?
Respuesta
Por supuesto, la única gracia
reside en que lo haya pensado por su cuenta. ¿De qué le serviría leer lo que yo
escriba acá? En todo caso, no hay nadie que pueda leer lo que usted piensa. De
manera tal que tómelo como un genuino entretenimiento. Por otro lado, ¿qué
importa? ¿Qué pasaría si contestara mal? ¿Será acaso una peor persona? ¿O será
una persona ‘tonta’? En fin, me siento un tonto yo por tener que seguir
escribiendo este tipo de observaciones cada vez que presento un problema.
Pensémoslo juntos.
Los datos dicen que Ulises es casado y que Máximo
es soltero. El problema no dice en qué situación está Sabina,
pero no hay muchas alternativas: o es casada o es soltera, una de dos. Es lo
que llamamos una situación binaria.
Supongamos que Sabina está casada, no importa con
quién. Si así fuere, como ella está mirando a Máximo, que se sabe que es
soltero, ella sería la persona casada que está ‘mirando’ a un soltero.
Por otro lado, si Sabina fuera soltera, que es la
otra posibilidad, en este caso Ulises (que está casado)
estaría mirando a una persona soltera (Sabina).
Conclusión: Sí, en la situación
planteada en el problema sucede que siempre hay alguien casado
mirando a una persona soltera. Y listo.
Debo confesar que me pareció un problema
verdaderamente sencillo de pensar, pero nadie dice que yo tenga razón. De
hecho, no es eso lo que se desprende de los resultados.
De la encuesta de Manu, el 47% de los que
participaron dijeron que sí, que se podía saber. El 53% restante opinó que no
se podía saber (un 36%), o bien que no había ninguna persona casada mirando a
una persona soltera (17%).
No querría ser yo quien tenga que sacar
conclusiones sobre lo que sucede porque no me siento educado para opinar. ¿Será
que el problema es que uno no quiere pensar? ¿Tendrá acaso
algún truco que termina desconcertando a la persona a quien
uno se lo plantea?
De acuerdo con lo que yo viví personalmente, hubo
algunos que contestaron ‘al toque’, pero bien. La mayoría lo contestó rápido
también, pero mal… sin siquiera darse la oportunidad de revisar lo que estaban
diciendo.
¿Servirá este ejemplo (tan trivial) para revelar
algo de lo que no nos damos cuenta? ¿Nos cuesta acaso tolerar tener en
la cabeza un problema sin resolver? ¿Es pereza? ¿O será que nadie quiere
perder tiempo pensando pavadas?
En definitiva, lo que yo piense resulta
irrelevante. ¿Usted qué experiencia tuvo? ¿Le sirvió para algo? ¿Se lo propuso
a otras personas cercanas? ¿Y qué les pasó a ellos? ¿Qué aprendemos con estos
datos? A mí me sirvió… ¿a usted?[78]
33. ¿Probabilidades? ¿De qué habla?
Quiero comentar algo que —creo— es muy interesante
y que sugirió hace muchos años el matemático austrohúngaro Bruno de Finetti.
Bruno nació en Innsbruck en 1906, en lo que era Austria-Hungría y falleció en
Roma, Italia. Quedó registrado en la historia como italiano, aunque supongo que
esos datos son irrelevantes ahora. De Finetti fue justamente muy famoso en
Italia, pero como sus trabajos se publicaron en principio en italiano y en
francés, no tuvieron la trascendencia internacional que merecían hasta que fueron
traducidos al inglés. Acá, una pausa.
Nos guste o no, así es el mundo científico en
general y el de la matemática en particular. Si el material no aparece en
inglés, es como si no existiera (o su rango de alcance se reduce muchísimo). Sé
que es una afirmación algo temeraria, y mientras la escribo me
quedo pensando si lo que estoy diciendo es tan así. En principio, no tengo
dudas de que esto sucede en el mundo ‘occidental’. Los trabajos más importantes
en las revistas científicas internacionales de mayor prestigio están escritos
directamente en inglés, independientemente del país de origen del autor, o en
su defecto, traducidos al inglés.
Y si su sospecha le lleva a pensar qué es lo que
sucede en el mundo ‘oriental’, puedo asegurarle que eso sucede en ese costado también:
los matemáticos chinos, japoneses, indios, coreanos… todos publican en inglés.
Y cuando escribo todos, me refiero a ¡todos!
Si bien es una digresión, quiero hacer una
referencia que tipifica muy bien lo que sucede en un mundo que no tiene —en
principio— nada que ver con el de la ciencia. La empresa United Airlines es la
primera (o la segunda) más importante del mundo. Todo piloto o comandante de
alguno de los aviones más utilizados (Boeing, Airbus, McDonnell-Douglas)
necesita revalidar periódicamente su ‘carnet’ (una especie de ‘registro de
conductor de aviones’) que lo autoriza a volar. Justamente United tiene en
Denver, estado de Colorado, uno de los centros más importantes del planeta.
Entrar en uno de esos simuladores de vuelo es el equivalente a entrar en la
cabina de cualquiera de esos aviones. Más aún: el ‘precio’ de cada uno de esos
simuladores es equivalente al del propio avión. Un inspector o examinador les
va proponiendo problemas a los pilotos como si estuvieran conduciendo el
verdadero avión. Cada aspirante a renovar su carnet necesita pasar todas las
pruebas. No se trata de superar la mayoría o ‘casi’ todas. No, tiene que
pasarlas todas. Si no, si falla en alguna, debe volver después
un cierto tiempo y enfrentar el examen nuevamente. Mientras tanto, no
puede volar. Estuve de visita allí y también en el que tiene Aerolíneas
Argentinas en Ezeiza. En ambos lugares fuimos con cámaras que nos permitieron
registrar lo que sucedía y exhibirlo en la Televisión Pública Argentina.
Hace más de diez años, en febrero de 2006, me
encontré en la cafetería con algunos pilotos argentinos que, como la mayoría de
los sudamericanos, viajaban a Denver para renovar sus ‘registros’. Justamente,
conversando con ellos me enteré de lo que quiero comentar ahora y que tiene que
ver con la trascendencia que no tuvo De Finetti mientras sus trabajos no eran
publicados en inglés.
Acompáñeme con este ejemplo: imagine que usted es
un piloto francés que está comandando un avión de Air France que viene de hacer
un vuelo desde Buenos Aires y está a punto de aterrizar en alguno de los
aeropuertos internacionales de París: Orly o Charles de Gaulle. Supongamos que,
cuando falta una hora para el aterrizaje, usted comienza su contacto con la
torre de control del aeropuerto. ¿En qué idioma cree que se comunican entre
ellos?
Si puede, no conteste tan rápido, dese la
oportunidad de pensar. Le anticipo que mi respuesta fue equivocada.
No sé cuál es la suya, pero yo contesté: “En
francés”.
“¡No!”, me respondieron todos al unísono. “Se
comunican en inglés”. Ahora, una reflexión: si uno lo piensa bien, la respuesta
tiene sentido. El avión de Air France no está solo en el aire, no es el único
que está por hacer su aproximación final para el aterrizaje. Hay muchísimos
otros aviones alrededor que no solo están en la misma ‘zona’, sino que también
están a punto de partir desde ese mismo aeropuerto. Y todos ellos están de
alguna forma ‘ligados’: lo que sucede con un avión tiene incidencia con el resto.
Y viceversa. Por lo tanto, hay/hubo que elegir un idioma ‘universal’ que les
permita a todos entender lo que está sucediendo alrededor, algo así como uniformizar el
espectro de posibilidades. Ese idioma, hasta acá, es el inglés.
Ahora sí, después de esta digresión vuelvo a De
Finetti. Sus trabajos más importantes fueron en Teoría de Probabilidades, a tal
punto que sus libros más reconocidos llevan ese nombre. De Finetti era conocido
como un gran ‘provocador’, dicho esto en el buen sentido: no trataba de provocar por
ser pendenciero, lo hacía desde el punto de vista científico. En un momento,
hizo una afirmación que terminó siendo ‘hipercontroversial’, polémica.
Él sabía que generaría una gran polvareda, pero la
hizo igual, como quien entra en un lugar zapateando en el piso. Escribió: “Las
probabilidades no existen”. Sí, así como suena. Ahora bien: ¿qué sentido
tendría que alguien —respetado y reconocido— dijera algo así? ¿A qué se estaría
refiriendo?
Pensémoslo de este modo: suponga que usted está a
punto de tirar una moneda al aire. Sabe (hasta donde uno puede saber)
que la moneda no estácargada. Asume entonces que tiene tantas
posibilidades de salir cara como de salir ceca. Si
esto fuera así, en el momento que la arroja sabe que la
probabilidad es ½ (50% de chances) de que salga de cualquiera de los dos lados.
Y es la misma para cada ‘cara’ de la moneda.
Ahora bien, imagine que yo tuviera en cuenta estos
datos:
a. la posición inicial de la moneda (antes de
arrojarla al aire);
b. la fuerza con la que usted la va a hacer girar
al tirarla hacia arriba, el peso de la moneda, el rozamiento que va a tener en
el camino, las condiciones externas de presión y temperatura, la altura que va
a alcanzar y el tiempo que le va a llevar descender hasta la mesa o superficie
plana donde va a terminar su camino.
Usted advertirá que yo podría llegar a predecir de
qué lado va a ‘aterrizar’ la moneda y, por lo tanto, anticipar si va a salir
cara o ceca. ¿De qué probabilidad me está hablando, entonces?
Lo mismo con un dado. Si uno tuviera los datos
iniciales, metiera el dado en un cubilete y fuera capaz de contabilizar la
cantidad de veces que el dado impacta contra la cara interna del cubilete, de
describir la trayectoria del dado cuando lo agita en una forma predeterminada,
y de medir la fuerza, la altura y la velocidad con la que uno va a dejar caer
el dado hasta que comience a rodar sobre una mesa… Es decir: si uno pudiera
‘medir’ todo lo necesario, ¿no cree que podría predecir qué
cara del dado va a quedar mirando hacia arriba y, por lo tanto, decidir qué
número saldrá?
La pregunta sería: “¿Por qué hablar de que la probabilidad de
que aparezca un determinado número es de 1/6 —hay seis caras posibles pero
solamente una es la favorable— cuando uno podría en
realidad predecir el resultado?”.
Por si hace falta, un ejemplo más: si se está por
producir un sorteo de la lotería, en lugar de hablar de probabilidades, todo lo
que uno tendría que hacer es un estudio muy fino de la evolución de cada una de
las pelotitas que están dentro de las esferas transparentes
que las contienen, la rotación que se produciría allí adentro, el impacto de
las pelotitas entre sí, las trayectorias de todas ellas, las fuerzas a las que
están sometidas, y así siguiendo, hasta poder determinar cuál será la que
saldrá por la puerta prevista… Si uno pudiera medir todas
estas variables, no debería haber problema en predecir el resultado. Todo
terminaría siendo una consecuencia natural. En todo caso, no habría nada librado
‘al azar’.
Ahora me gustaría proponerle una pregunta final (al
menos por ahora): “¿No será, entonces, que hablamos de probabilidades porque
nos sirve como excusa para encubrir nuestra ignorancia
para medir?”.
Tomemos el caso de la moneda, aunque en realidad se
puede extrapolar a todos los otros. De acuerdo con los datos que nosotros tenemos,
con lo que nosotros sabemos sobre ‘arrojar monedas’, la
probabilidad de que salga cara o ceca es de
un medio. Hasta allí nos da nuestro conocimiento. Lo mismo con el dado. Con lo
que nosotros sabemos, si alguien nos preguntara qué cara del
dado va a salir, todo lo que podríamos decir es que la probabilidad de
que salga cualquiera de los números es 1/6… y nada más. Pero eso sucede por
nuestra propia incapacidad, y no porque no se pueda saber nada
más.
Desde este punto de vista, la probabilidad
no existe: nuestra ignorancia sí.
34. ¿Cómo empezó todo?
Siempre es intrigante saber cómo empezó
todo. Por ejemplo, ¿cuándo habrá sido la primera vez que se habló de probabilidades?
¿Qué lo habrá motivado? ¿Y a quiénes? ¿Por qué? ¿Dónde estaban? Si yo le
pidiera que se detuviera acá un instante y pensara a quiénes cree usted que
podría haberles interesado evaluar ‘la probabilidad’ de que un cierto evento
suceda, ¿qué diría?
Hay muchas versiones sobre los inicios. En general,
los que estudian la ‘historia de la ciencia’ coinciden en ubicar ese momento en
el siglo XVII, allá por el año 1654. No sé si lo que voy a transcribir pasóexactamente así;
en todo caso, conceptualmente tiene sentido que
haya ocurrido alrededor del ‘juego’. Sí, del juego. Es bastante razonable
imaginar que gente interesada en apostar dinero a algún suceso o evento
estuviera motivada a evaluar ‘cuántas posibilidades habría’ de que eso pasara.
Algún juego de cartas, dados, en un casino o incluso en una carrera de
caballos, alguna riña de gallos, no sé… se me ocurre que tendría que haber sido
en algún lugar en donde hubiera ‘algo’ en juego. Y no descartaría que hubieran
sido campesinos los que trataron de evaluar cuán probable era que fuera a
llover, teniendo en cuenta las condiciones de contorno.
Vuelvo a 1654. Antoine Gombaud (1607-1684) era un
escritor francés nacido en Poitou[79] que
quería que lo llamaran “Chevalier de Méré”. Más allá de buscar razones que lo
llevaran a querer ser distinguido como ‘caballero’, lo que me interesa comentar
de su vida es una de las preguntas que le hizo a uno de los
más reconocidos matemáticos de la época, Blaise Pascal. Gombaud tenía una duda:
“¿Qué es más probable que suceda: que al tirar un dado cuatro veces seguidas
salga al menos un seis, o que aparezca un doble
seis al tirar dos dados 24 veces?”.
Le sugiero que lea la pregunta nuevamente para
tratar de evaluar lo que piensa usted. ¿Cuál de los dos eventos es
más probable que suceda? ¿O da igual?
Aparentemente, a Gombaud le gustaba el juego y, por
ende, intentaba encontrar variantes a los juegos convencionales para así buscar
alguna ventaja en las apuestas. En principio, a él le parecía que las
probabilidades de los dos eventos tendrían que ser iguales, y sus argumentos
para sostenerlo eran estos:
· ¿Cuál es la chance de que aparezca un seis
al tirar un dado? 1/6.
· ¿Por qué? La probabilidad de que un evento suceda
de acuerdo con nuestra expectativa se calcula haciendo el cociente (la
división) entre los casos favorables y los casos posibles. En esta situación,
los casos posibles son seis, ya que al tirar un dado es posible que salga en
seis posiciones diferentes: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
· ¿Cuáles son los casos favorables? En
este caso, como queremos estimar cuán posible es que al tirar el dado salga el
númeroseis (y ningún otro), el único caso
favorable es el seis. Moraleja: hay un solo caso
favorable.
· Entonces, la probabilidad de que salga un seis
se calcula como: (casos favorables)/(casos posibles) = 1/6.
Con estos datos, el caballero hizo los siguientes
razonamientos (y usted siéntase libre de discutirle las
ideas).
En el primer caso, quiero calcular la probabilidad
de que salgaun seis al tirar cuatro veces el
dado. Por lo tanto, como la probabilidad en cada tiro es de 1/6, al tirarlo
cuatro veces multiplico por cuatro. Resultado:
4 × (1/6) = 4/6 = 2/3
Perfecto, concluyó ‘el caballero’. Ya tengo
calculada la primera probabilidad. Ahora, voy a evaluar la segunda.
Quiero saber la probabilidad de que aparezca al menos un doble
seis al tirar 24 veces los dos dados al mismo tiempo.
Fíjese que ahora los casos posibles son 36. ¿Por
qué? Es que los dados pueden salir así:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
En cada par, el primer número indica el
resultado del primer dado, y el segundo número, lo que salió en el segundo
dado. Luego, como se ve, hay 36 resultados posibles.
De todos ellos, hay solamente uno que
es favorable: el último, (6,6).
En consecuencia, la probabilidad de
que al tirar dos dados salga un doble seis es 1/36.
Pero acá no termina todo. Es que yo voy a tirar
esta pareja de dados 24 veces. Entonces, multiplico esta probabilidad (1/36)
por 24 y se obtiene (curiosamente) este resultado:
24 × (1/36) = 2/3 (**)
Si usted compara (*) con (**), descubrirá que ¡ambas
probabilidades son las mismas! Sin embargo, Gombaud no lograba que sus
cálculos se correspondieran con la realidad: “Algo anda mal con estas cuentas,
porque haciendo un resumen de las veces que yo aposté, en el ‘largo aliento’,
debería haber ganado tanto como perdido. Sin embargo, pierdo muchas más veces
con la segunda posición. ¿Qué pasa? ¿Qué es lo que anda mal?”.
Esa fue la pregunta que le hizo a Pascal. A partir
de allí, comenzó un intercambio epistolar entre Pascal y Pierre de Fermat
(abogado de renombre y aficionado a la matemática, quien terminó
transformándose en uno de los matemáticos más importantes de la historia). Al
tratar de contestar esa pregunta en particular —pero no la
única—, entre los dos comenzaron a dar forma a lo que hoy se conoce con el
nombre de Teoría de Probabilidades.
Me interesaría proponerle que me acompañe en un
resumen de la respuesta que encontraron ambos y que les permitió convencer a
Gombaud de que su cálculo estaba mal: ¡los eventos no son
igualmente probables! Veamos por qué. No me abandone ahora porque falta lo
mejor.
Necesito invitarla/lo a pensar conmigo algo que
usted hace todo el tiempo y posiblemente nunca detectó. Por ejemplo, si yo le
preguntara: “Si tiro una moneda al aire, ¿qué porcentaje de posibilidades hay
de que salga cara?”, estoy seguro de que usted diría sin dudar:
“¡Un 50%!”. Perfecto. Pero si yo formulara la pregunta de otra manera: “¿Qué
porcentaje de posibilidades hay de que no salga cara?”. ¿Qué
contestaría? Tómese un instante. La respuesta es muy fácil, también: otra vez,
50%. ¿Puedo preguntarle cómo lo dedujo? Es que uno, inadvertidamente,
resta, del 100% de posibilidades, el 50% que corresponde a que salga cara .
Entonces, para contestar la pregunta sobre qué porcentaje hay de que no
salga cara, uno deduce inmediatamente que la respuesta es la diferencia
(100 – 50) = 50. En términos de probabilidad (que son todos
números entre 0 y 1), la probabilidad de que salga cara es ½ y, por lo tanto,
la probabilidad de que no salga cara es (1 – ½) = ½.
Un ejemplo más. Como escribí antes, si uno tira un
dado, la probabilidad de que salga un seis es 1/6. Luego, la
probabilidad de que no salga un seis se puede calcular restando (1
–1/6) = 5/6.
Con esta idea, se puede deducir lo siguiente: si la
probabilidad de que suceda un evento cualquiera es p, entonces la
probabilidad de que no suceda ‘ese evento’ es (1 – p).
Listo. Es todo lo que necesito. Ahora voy a
calcular junto con usted las probabilidades que lo atormentaban a Gombaud.
Primero, calculemos la probabilidad de que
salga al menos un seis al tirar cuatro dados.
Antes vimos que la probabilidad de que no
salga un seis es (1 – 1/6) = 5/6. Por lo tanto, la probabilidad de
que no salga un seis al tirar un dado cuatro veces se calcula
multiplicando 5/6 por sí mismo cuatro veces :
(5/6) × (5/6) × (5/6) × (5/6) = (5/6)4 =
0,4822253086…
Le recuerdo que ahora, para calcular que sí
salga al menos un seis al tirar cuatro dados, tenemos
que restar (1 – 0,4822253086) = 0,517746914.
Es decir, en términos de porcentajes, la
probabilidad de que al tirar un dado cuatro veces aparezca por lo menos un seis
es ‘casi’ del 51,8%.
Recordemos este dato, ya que voy a volver sobre él.
¿Cómo seguimos?
Ahora queremos calcular la probabilidad de que, al
tirar unapareja de dados 24 veces, aparezca por lo menos un doble
seis. Como antes, vamos a calcular primero la probabilidad de que no
salga nunca una pareja de doble seis al tirar 24 veces los dos dados .
¿Cómo hacer?
Primero, al tirar un par de dados, la probabilidad
de que en esa sola tirada de los dos dados no salga un doble seis se
calcula como (35/36). ¿Por qué? Como hice antes, la probabilidad de que sí salga
un doble seis es (1/36). Luego, la probabilidad de que esto no suceda
es (1 – 1/36) = 35/36.
Ahora bien. Necesito calcular la probabilidad de
que esto suceda 24 veces (que no salga nunca un doble seis). Luego, lo que
tengo que hacer es multiplicar este número 24 veces por sí mismo:
(35/36) × (35/36) × …. × (35/36) × (35/36) =
(35/36)24
Este número es:
(35/36)24 = 0,508596124…
Pero acá no termina todo. Como yo quiero calcular
la probabilidad de que salga al menos un doble seis, lo que tenemos
que hacer es —una vez más— restar:
(1 – 0,508596124) = 0,491403876
En términos de porcentaje, descubrimos que la
probabilidad de que salga al menos un doble seis al tirar dos
dados 24 veces es un poco menos de 50%.
Conclusión: ¡Gombaud tenía razón! Hacía mal las
cuentas y por eso se equivocaba, pero la realidad le había
hecho sospechar que las probabilidades no eran las mismas.
Quiero agregar aquí una curiosidad: si en lugar de
24 veces tirara esa pareja de dados una vez más, o sea, 25 veces, fíjese lo que
pasa con la probabilidad:
(35/36)25 = 0,494468454
Luego, debo restar:
(1 – 0,494468454) = 0,505531546
Esto nos dice que si Gombaud hubiera tirado esa
pareja de dadosuna sola vez más, entonces sí la probabilidad (0,508596)
de que al menos salga un doble seis al tirar dos dados habría
sido más cercana a la probabilidad de que saliera por lo menos un seis
al tirar un solo dado cuatro veces (0,517746914). Era
cuestión de tirar ese par de dados 25 veces, y no 24. Y si prefiere una
aproximación aun mayor, fíjese lo que sucede si, en lugar de 24 o
25, tira el par de dados 26 veces:
(35/36)26 = 0,48073322
Luego, al restar:
(1 – 0,48073322) = 0,51926678
Esta es la historia que tuvo a Pascal y Fermat
entretenidos durante un largo rato y sirvió para empezar a conceptualizar lo
que termina siendo hoy la Teoría de Probabilidades, una de las herramientas más
poderosas con las que contamos los humanos.
En la medida en que —al menos todavía— no podemos
predecir el futuro, lo que sí podemos hacer es estimar cuán
probable es que un evento suceda… o no. No es poco [80].
35. La paradoja de los cajones de Bertrand
Quiero contar un problema que suele generar
múltiples controversias. Y está bien que eso suceda. En principio, la intuición
indica una potencial respuesta. En general, esa respuesta no
está bien y, por lo tanto, despierta —con toda razón— una rebelión frente al
interlocutor. Téngame un poquito de paciencia y ya verá a qué me refiero.
De hecho, cuando el matemático francés Joseph
Bertrand lo presentó en 1889 en su libro Calcul des Probabilités ( Cálculo
de probabilidades), la comunidad científica de la época entró en múltiples
discusiones sobre si la solución presentada estaba bien o no. Es posible que a
usted le pase lo mismo… o no. En cualquier caso, creo que vale la pena
aprovechar este ejemplo para educar la intuición o ponerla
a prueba.
Supongo que es innecesario, pero lo escribo igual:
el problema tiene respuesta única. Es decir, más allá de lo que yo
escriba a continuación, en ciencia no existe el principio de autoridad.
Si no se queda satisfecha/o con lo que va a leer, ¡no lo acepte! Discútalo
internamente (ya que yo no estoy allí con usted) hasta convencerse de que estoy
equivocado yo o está equivocada/o usted. A mí no me crea nada: lo único que
vale es su propia deducción.
Lo curioso es que —de acuerdo con mi experiencia—
aun en el momento en el que uno entiende cuál es la verdadera respuesta… uno no
se queda conforme. ¡Y está muy bien! Acá voy.
En una habitación hay tres escritorios iguales con
dos cajones cada uno (como los que se ven en la figura 1) y cada cajón contiene
exactamente una moneda. En total, son seis monedas. Uno de los escritorios
tiene dos monedas de oro. En otro hay dos monedas de plata. Y en el restante,
una moneda de cada metal. Desde afuera no hay manera de deducir qué contiene
cada cajón.
Figura 1
Usted entra en esa habitación y elige un cajón de
cualquiera de los tres escritorios. Lo abre y descubre que adentro hay una
moneda de oro. Aquí es donde viene la pregunta (y el problema): “¿Cuál es
la probabilidad de que en el otro cajón
del mismo escritorio haya también una moneda
de oro?”.
Creo que el enunciado es sencillo y la pregunta es
muy clara. Ahora le toca a usted.
Respuesta
Antes de proponerle que pensemos juntos la
respuesta, tengo una pregunta: ¿a qué resultado llegó?
La tentación es decir que la
probabilidad de que en el otro cajón haya una moneda de oro es ½ (50%). ¿Por
qué? Una posible forma de razonar es la siguiente. Como usted tiene en la mano
una moneda de oro, eso sirve para descartar al escritorio que tiene las dos
monedas de plata. Los dos escritorios que quedan en carrera son
el que tiene las dos monedas de oro y el que tiene una de cada una. Y esto es
obviamente correcto.
¿Cómo seguir? Si la moneda de oro que usted tiene
en la mano la encontró dentro del cajón que corresponde al escritorio que tiene
dos monedas de oro, entonces la que queda es —justamente— de oro. Pero también
podría haber sucedido que usted haya elegido el escritorio en el que cada cajón
tiene una moneda de un metal distinto. En este caso, la que queda ¡es de plata!
Desde aquí, parecería —y quiero
enfatizar esta palabra— que uno está en condiciones de contestar la
pregunta de esta forma: “La probabilidad de que la otra moneda sea de
oro es ½ (o, lo que es lo mismo, 50%)”.
Sin embargo, esta respuesta no es correcta.
Puedo imaginarme su fastidio: “¿Cómo dijo? ¿Por
qué? ¿Cómo que no es correcta? Si yo elegí una de oro, la que queda
puede ser de oro o de plata y, por lo tanto, hay justo la mitad de
posibilidades de que sea una u otra. ¿No se deduce que la probabilidad es justo
½ (un 50%)? ¿Dónde está el error”.
Entiendo lo que me dice, pero ahora permítame
incluir un elemento que no tuvimos en cuenta. Para hacer más gráfico el
análisis, supongamos que las monedas que están dentro de los escritorios tienen
una etiqueta.
Me explico: en el escritorio que contiene una de
cada metal, llamo O1 a la moneda de oro y P1 a
la de plata. Del mismo modo, llamo O2 y O3 a
las dos monedas de oro que hay en el otro escritorio (el que tiene las dos
monedas de oro).
Ahora, cuente conmigo cuáles son los escenarios
posibles.
Posibilidad 1 : usted abrió el cajón que contiene O1 y, por lo
tanto, en el otro cajón (que usted no ve) está P1.
Perfecto.
Posibilidad 2 : usted abrió el cajón que contiene O2. En ese caso,
la moneda que queda es O3 (y creo que usted ya se imagina
hacia donde apunto). Hay una tercera posibilidad que debemos
que incluir.
Posibilidad 3 : usted abrió el cajón que contiene O3. En este caso,
¡la moneda que está en el otro cajón es O2!
¿Qué dice esto? De los tres escenarios posibles,
en dos de ellos ¡la otra moneda es de oro! O sea, de las tres
posibilidades, hay dos que dan moneda de oro (en el otro
cajón), mientras que solamente una es de plata.
Conclusión: la probabilidad de que la otra moneda
sea de oro es de 2/3 (o de casi un 66,67%). Dicho de otra forma: sobre
los tres casos posibles, hay dos en los
cuales la otra moneda es de oro. Dos sobre tres, o sea, 2/3.
Esto es lo que genera tanta controversia, porque
uno no advierte que cuando abre el cajón y encuentra una
moneda de oro pudo haber abierto cualquiera de los tres cajones
que contenían monedas de oro. Como escribí antes, en solamente uno de
los casos (si usted eligió O1) hay del otro lado una moneda de
plata, mientras que en los otros dos la moneda restante es de oro.
Este problema parece fascinante no solo
porque atenta contra la intuición, sino porque muestra cómo
uno puede entrenar esa misma intuición como si fuera un
músculo. Y en el camino, uno se educa, lo que ciertamente no es poco. ¿Usted
qué pensó?
Otro recreo. Juegos Olímpicos de Río de Janeiro
Hay cinco atletas que corrieron los 800 metros
llanos en los Juegos Olímpicos de Río de Janeiro. Es una de las competencias
más importantes dentro del atletismo. Se ubicaron en las cinco primeras
posiciones. Los voy a llamar A, B, C, D y E.
Una persona los ve cenando en el comedor de la
Villa Olímpica y les pregunta en qué orden salieron. Obtiene estas respuestas:
A = Yo no salí último
B = C salió tercero
C = E salió inmediatamente detrás de A
D = B salió primero
E = D no salió primero
Suponiendo que los cinco fueron honestos con sus
respuestas (o sea, dijeron la verdad), ¿en qué posición salieron?
B salió
primero y C salió tercero. Luego, el orden tuvo que haber sido
(por ahora):
BxCxx
Como A no salió último, entonces:
BACxx o BxCAx
Pero como E tuvo que haber salido
inmediatamente detrás de A, esto fuerza a que sea la segunda opción:
en la primera, el que salió inmediatamente detrás de A fue C. Luego, tuvo que
haber sido:
BxCAE…
Y esto indica que el segundo tuvo que haber sido D.
En consecuencia, el orden fue este:
BDCAE
Apéndice
Cada historia que aparece en este libro (como
en todos los otros) fue revisada por un grupo de personas. El
21 de junio de 2017, recibí un correo electrónico de uno de ellos: Juan Sabia.
Quiero compartir con usted lo que decía: “Adrián, ¿qué habría pasado si A y E
se hubieran negado a contestar? ¿Serían suficientes los datos que aportaron B,
C y D para deducir el orden en el que llegaron los cinco?”. [81]
36. ¿Me conviene aceptar su desafío o no?
Este es un problema ‘antiintuitivo’. Lo
planteo de manera tal que usted pueda pensarlo por su cuenta. Eventualmente
después hacemos algunas reflexiones juntos (aunque yo no esté en el mismo lugar
geográfico que usted).
Fíjese bien: acá tengo una moneda. Para que sea más
sencillo escribir cada caso, voy a llamar C si sale ‘cara’ (como era esperable)
y X si sale ‘ceca’ (esto ya no es tan esperable, pero como las dos
empiezan con la letra ‘c’, es una alternativa posible para poder identificar de
qué lado salió la moneda).
El problema se plantea porque hay dos pasajes para
ir a Europa, con todo pago por un mes. ¿Quién se queda con los pasajes: usted o
yo? Somos amigos pero al mismo tiempo estamos interesados en hacer el viaje y
no queremos usar ninguno de los métodos convencionales. Es allí cuando usted me
pregunta: “Adrián, si tiramos la moneda dos veces seguidas, ¿qué combinación te
parece que es más probable que salga: CC o XC?” (o sea, cara-cara o ceca-cara).
Lo primero que pienso es en escribir todas las
posibilidades que hay al tirar una moneda dos veces seguidas. ¿Cuántas y cuáles
son? Las escribo acá:
CC
CX
XC
XX
Como se ve, hay cuatro posibilidades. Entre ellas,
hay una sola entre cuatro de que salga CC (o sea, probabilidad ¼). Por otro
lado, también hay una sola posibilidad entre cuatro de que salga XC (otra vez,
probabilidad ¼).
Le contesto entonces: “La probabilidad es la misma
= ¼”.
“Bien”, sigue usted. “Te propongo entonces que
hagamos lo siguiente para decidir quién se queda con los pasajes. Yo voy a ir
tirando la moneda repetidamente. Si en algún momento aparece la combinación CC,
ganás vos y no hace falta seguir. En cambio, si en algún momento aparece la
combinación XC, gano yo. ¿Qué te parece? ¿Jugamos?”.
Me quedé un rato pensando, pero no contesté rápido.
Había algo que me hacía ‘ruido’. ¿Usted qué haría? ¿Diría que sí o que no?
Claramente, antes de aceptar deberíamos estar convencidos de que la
probabilidad es la misma. Ya vimos que si tiramos la moneda solamente dos
veces, la probabilidad es la misma. Pero al seguir arrojando la moneda hasta
que salga una de las dos combinaciones, ¿no se alterará la probabilidad?
Lo dejo en libertad para que usted evalúe todo por
su cuenta y yo sigo a continuación.
Una idea
Es curioso lo que pasa. No sé cómo lo fue
imaginando usted, pero hay algo que me hacía ‘ruido’ y querría
compartirlo.
Si usted empieza a tirar la moneda y sale CC,
listo, gané yo y se terminó la historia. Claro que también terminaría si al
tirarla las dos primeras veces sale XC. Allí gana usted. O sea, los dos tenemos
las mismas chances al tirar la moneda las dos primeras veces: yo tengo una
entre cuatro (CC) y usted también (XC).
Para que ni usted ni yo ganemos, en las primeras
dos tiradas debe salir CX o XX, ¿de acuerdo? Fíjese bien que las únicas dos que
pueden salir para que no gane ninguno de los dos terminan en X… dato que no
es menor.
¿Entonces? Allí es donde creo que empieza la
dificultad: si seguimos tirando la moneda, ¿qué podría pasar?
Si en la tercera tirada sale C, gana usted (porque
habría una combinación XC que lo transforma en ganador). Pero si saliera X, ¡no
gano yo! ¡No gana ninguno de los dos otra vez! Habría que seguir tirando la
moneda y, una vez más, habría una X ‘esperándolo a usted’…
Es decir, en el momento en que salga una C, gana
usted seguro porque se producirá la combinación XC. Si en cambio siguen
saliendo X, yo no gano nunca, y lo único que sucede es que seguimos tirando y
tirando hasta que aparezca la C (que es lo que le sirve a usted).
Moraleja: ¡yo no puedo ganar nunca más! O gané de
entrada con la combinación CC en las primeras dos tiradas, o no gano nunca más.
Todo lo que me queda es esperar que la moneda siga saliendo siempre X porque,
si no, en el momento en que aparezca la primera C… ¡listo!
¿No es antiintuitivo? ¿Cómo puede ser que lo que
parecía ‘equiprobable’ —o sea, teníamos las mismas posibilidades de ganar usted
y yo si tirábamos la moneda nada más que dos veces— súbitamente se
haya convertido en una derrota escandalosa para mí? Si no gané después de las
dos primeras tiradas[82], ya no me
queda ninguna posibilidad. No puedo aspirar a que pase ‘nada’ que
tuerza ese destino. ¡Usted va a ganar siempre!
¿Dónde tiene pensado ir? Me dijeron que las islas
griegas son bárbaras. ¿Por qué habré dicho que sí sin pensar?
37. Lorena y una estrategia ‘imposible’
El otro día me ‘tropecé’ con un problema que me
pareció interesantísimo y también ‘muy difícil’. Por supuesto, el grado de
dificultad tiene mucho que ver con el entrenamiento y la exposición que uno
tenga frente a ese tipo de situaciones.
Me encantaría poder estar junto a usted para que lo
pensáramos en ‘equipo’. A mí me llevó muchísimo tiempo y tuve que dejarlo
varias veces hasta que se me ocurrió qué es lo que se podría hacer. Más aún: no
solo quiero proponer el problema propiamente dicho, sino que, cuando lea la
solución, le sugeriría que piense por qué funciona, lo cual no es
necesariamente trivial.
En definitiva, el que sigue es un problema doble.
Por un lado está el planteo. Después, aparece una estrategia que ‘pretende
resolverlo’. Y por último, le quedará a usted la tarea de descubrir por qué lo
que yo digo que funciona como solución es verdaderamente cierto.
Ahora le toca a usted. Yo sigo por acá.
Suponga que hay cinco postulantes para entrar a
trabajar en una empresa. La persona que los va a evaluar, a quien voy a llamar
señor E, les advierte que les va a proponer un problema que quizás los tenga
ocupados durante mucho tiempo, y consiste en lo siguiente:
Cada uno tendrá una oficina asignada
específicamente, a la que solo tendrá acceso el candidato. En otro lugar del
mismo piso, habrá una sala ‘roja’ que en principio estará vacía, salvo por una
silla y un interruptor de luz que activa una única lámpara que cuelga desde el
techo. En el momento de empezar el experimento la luz estará apagada.
El señor E los va a invitar a pasar a esa sala de a
uno por vez y permanecerán allí aislados, sin ver a nadie ni que nadie los vea
durante cinco minutos. De hecho, todo el tiempo que dure el experimento estarán
virtualmente incomunicados entre ellos y con el mundo exterior
salvo con el señor E, a quien verán solamente cuando los invite para ir a la
sala o los busque para llevarlos a su respectiva oficina, pero no podrán hablar
con él.
Si un candidato es invitado a la sala roja, estará
allí exactamente cinco minutos. Durante ese tiempo, podrá encender la lamparita
si está apagada, apagarla si está encendida o no hacer nada.
Pasados los cinco minutos, el señor E abrirá la
puerta y la/lo acompañará de vuelta a la oficina que tenía asignada.
No hay restricciones respecto al número de veces
que cada uno de ellos será invitado a la sala, y la elección será al azar. Más
aún: cada candidata/o puede ser invitada/o a la sala múltiples veces.
Ahora, el problema: si en algún momento de este
proceso alguno de ellos puede asegurar que los cinco ya
estuvieron dentro de la sala roja al menos una vez,
podrá llamar al señor E y comunicarle lo que dedujo.
Si la estrategia que diseñaron funcionó y pueden
explicar por qué están seguros de que los cinco estuvieron en la sala por
lo menos una vez, los cinco quedarán contratados. Si no, serán eliminados
de la lista de candidatos.
Ese es el planteo. Previamente, los postulantes
tienen media hora para diseñar una estrategia. Una vez que sean distribuidos en
sus respectivas oficinas, ya no tendrán más oportunidades de comunicarse entre
ellos.
El problema, aunque no lo parezca, tiene
solución. Le sugiero que trate de diseñar una estrategia usted… cualquier
cosa que yo escriba a continuación es totalmente irrelevante. No le sirve para
nada. Lo único que tendrá algún valor es que busque alguna
variante usted.
Una potencial estrategia
No sé si es la mejor, y estoy convencido de que no
es la única, pero acá va.
Los cinco candidatos se ponen de acuerdo en
designar a uno de ellos como ‘la directora’ o ‘el director’.
Supongamos que se llama Lorena. Lorena será la persona distinguida de
los cinco pero también tendrá una misión diferente del resto. Esta es la
estrategia.
1. Cuando cualquiera de los otros cuatro candidatos
(cualquiera que no sea Lorena) entra en la sala roja, se fijará en la
lamparita. Si está encendida, la deja como está; no importa si es la primera
vez que entra o no. En cambio, si la bombita está apagada, solamente la
enciende si es la primera vez que entra en la sala roja y se encuentra con la
bombita apagada . Es decir, si la encuentra apagada pero ya la
encendió alguna otra vez, la deja apagada.
2. Cuando Lorena entra en la sala roja, se fija
también en la bombita. Si está apagada, la deja como está y no hace nada; solo
espera que pasen los cinco minutos para que el señor E la venga a retirar. En
cambio, si está encendida, la apaga y empieza a contar cuántas veces le tocó
hacer lo que acabo de describir. Por ejemplo, la primera vez
que Lorena encontró la lámpara encendida, la apagó y anotó el número uno,
porque es la primera vez que tuvo que apagar la luz. Pasados cinco minutos
desde que ingresó, la van a venir a buscar y listo, pero ella ya tiene
‘anotado’ el número uno. Cuando Lorena entre nuevamente, se fijará en la
bombita. Si está apagada, no hará nada. En cambio, si estuviera encendida, la
apagará y anotará el número dos (porque es la segunda
vez que tuvo que apagar la bombita). Por supuesto, si llegó a anotar algún
número, el señor E tuvo que haber llevado a Lorena a la sala. Si no, toda esta
descripción no sucedería.
3. Cuando Lorena haya llegado al número cuatro,
podrá llamar al señor E y decirle que los cinco candidatos entraron al menos
una vez en la sala roja.
¿Quiere pensar ahora por qué esta estrategia
funciona?
Sigo yo (con algunas observaciones). Si usted relee
las instrucciones, verá que la única persona que puede apagar la luz es Lorena.
Los demás no hacen nada o solamente la pueden encender. Pero nunca apagar.
Ahora, observe este razonamiento. Cada vez que
Lorena entra en la sala roja puede ser que encuentre la lamparita encendida o
apagada.
1. Si Lorena la encuentra encendida,
significa que alguno de los otros cuatro candidatos tuvo que haber
entrado por primera vez, y esto le permite a ella agregar uno en su cuenta
personal . Si no tenía ninguno anotado hasta allí, anotará ‘uno’, y
eso significará que entró alguien por primera vez. Le pido que advierta que,
aunque hayan entrado varios por primera vez, solamente el primero de ellos es
quien pudo encenderla. Los otros, al entrar, sea por primera vez o no, la
encontraron encendida y no debieron hacer nada. Es decir, cada candidato enciende
la luz una sola vez, y eso sucede la primera vez que entra.
2. Analicemos ahora lo que sucede si al entrar
Lorena en la sala ‘roja’ encuentra la luz apagada. Pudo haber
pasado una de estas dos cosas:
a. ella es la primera en entrar en la sala roja
desde que empezó el experimento y, por lo tanto, nadie tuvo oportunidad de
encender la luz (recuerde que al empezar el test la luz estaba apagada);
b. desde que ella entró la última vez hasta ese
momento, en la sala roja no hubo ningún otro candidato que
ella ya no tuviera registrado. Por lo tanto, no tiene nada para agregar y sigue
con la cuenta como la tenía hasta allí.
Como usted advierte, Lorena solamente puede
agregar uno a su cuenta personal si desde que entró por última
vez hasta ese momento solamente ingresó uno que ella no contó antes. Para
haberlo contado antes, esa persona tuvo que haber encendido la
luz y, en ese caso, como nadie la puede apagar, ella tiene que haberla
encontrado encendida.
¿Qué sucede cuando Lorena llega a cuatro en
su cuenta? ¿Por qué ella está en condiciones de decir que todos ya
entraron al menos una vez?
Como cada postulante pudo (y debió) encender la
luz una sola vez (la primera vez que entró), Lorena tuvo que
haber ido registrando cada una de esas veces. Cuando llega a cuatro, ella ya
sabe que entraron todos (obviamente, ella también) y está en condiciones de
llamar al señor E y contarle lo que pasó. Y listo.
Moraleja
Yo elegí cinco personas y cambié el diseño, pero el
problema tal como me fue presentado involucraba a 100 presos en una cárcel,
encerrados en celdas individuales, y un carcelero (que haría el papel del señor
E), quien quería ofrecerles una forma ‘creativa’ de dejarlos en libertad
(siempre y cuando pudieran encontrar la estrategia que les permitiera decidir
cuándo habían entrado los 100 en esa celda ‘privilegiada’, que sería la sala
‘roja’).
Esta estrategia funciona para cualquier número de
personas, pero requiere de un hecho que yo no había advertido
al leer el problema por primera vez: es muy importante que la luz esté apagada
en el momento de empezar el experimento. ¿Por qué? ¿Quiere pensar usted?
Si la luz estuviera encendida y Lorena es la
primera en ingresar en la sala roja, ella pondría su contador en uno pensando
que alguno de sus compañeros estuvo en la sala antes que ella. Cuando
llegue a cuatro, creerá (equivocadamente) que ya entraron todos, cuando en
realidad todavía faltaría uno.
Si usted llegó hasta acá y cree que se puede
encontrar alguna forma de resolver el problema sin pedir que la luz esté
apagada al empezar, habrá dado un paso más que no requiere de esa restricción.
En cualquier caso, será mejor que la que yo acabo de exponer.
Nota
Si uno no supiera que la luz está apagada en el
momento de empezar el test, la solución requiere de una ‘ligera’ modificación:
a. cada postulante (salvo Lorena) tiene que
encender la luz si la ve apagada las primeras dos veces
que entra en la sala. Después, sigue todo igual.
b. Lorena, en lugar de decir que todos entraron
en la habitación por lo menos una vez cuando su cuenta llegue a cuatro, lo
hará cuando llegue a ocho.
Con estos dos cambios, ya no importará si la luz
estaba apagada o encendida en el momento de empezar el examen. Le dejo a usted
la oportunidad de revisar por qué la estrategia ahora funciona [83].
38. Fútbol para pensar (parte 1)
Cada vez que hay un Mundial o que se juega la Copa
Libertadores de América o la Copa Sudamericana, los hinchas de cada país o de
cada equipo necesitan hacer algunos cálculos. Dejé para el final a
quienes me consta que también los tienen que hacer: los
cuerpos técnicos y los jugadores.
¿A qué me refiero? Sígame por acá. Tomemos un
campeonato mundial, por ejemplo. Participan treinta y dos países divididos en
ocho grupos de cuatro. De esos cuatro, los dos primeros se clasifican para la
siguiente ronda[84].
En estos grupos de cuatro países (como en casi
cualquier caso en el que haya cuatro participantes), los que tienen más puntos
se clasifican para seguir en el torneo. Por supuesto, y a eso quiero llegar, no
se me escapa que puede haber empates en puntos. Los organizadores necesitan contemplar
estos casos porque sucede muy seguido.
En este caso, se apela a distintos métodos de desempate:
el resultado obtenido en el partido entre ellos (entre los dos o tres que
empataron), la cantidad de goles a favor o la diferencia de goles (entre a
favor y en contra); o incluso se puede tomar la decisión arrojando una
moneda al aire. No importa cómo, el hecho es que al concluir el
‘cuadrangular’ dos equipos pasan y dos quedan eliminados.
Justamente por eso quiero aprovechar para contestar
algunas —potenciales— preguntas. Fíjese qué respuestas puede dar usted.
1. ¿Cuál es el mínimo número de
puntos con los que se puede clasificar un equipo? (cualquiera sea el método
para desempatar)
2. Al revés: ¿cuál es el máximo número
de puntos que puede conseguir un equipo e igual quedar eliminado?
Ahora le toca a usted.
Ideas para pensar
Antes de hacer un análisis un poco más fino, creo
que vale la pena preguntarse cuáles son todos los posibles
puntajes que puede conseguir un equipo. Aunque parezca antiintuitivo, no
todos los posibles números entre cero y nueve se pueden alcanzar .
¿Cuál o cuáles son imposibles? Deténgase acá y piense un ratito en
soledad. Estoy seguro de que, si lo hace, entenderá un poco más la naturaleza
del problema. Mientras tanto, yo sigo.
a. Claramente, se pueden obtener nueve puntos, el
número ideal. Eso sucede si un equipo gana los tres partidos.
b. No se pueden conseguir ocho, porque
para eso tendría que ganar dos (y llegar a seis), pero no hay ningún resultado
posible del tercer partido que le otorgue dos puntos. Luego, el número ocho está
eliminado.
c. Siete puntos, si un equipo gana dos partidos y
empata el restante.
d. Seis puntos, si gana dos partidos y pierde el
restante.
e. Cinco puntos, si gana un partido y empata los
otros dos.
f. Cuatro puntos, si gana un partido, empata otro y
pierde el restante.
g. Puede obtener tres puntos de dos maneras: o bien
ganando un partido y perdiendo los otros dos, o bien empatando los tres
partidos.
h. Dos puntos, si empata dos partidos y pierde el
restante.
i. Un punto, si empata un partido y pierde los
otros dos.
j. Cero puntos, si pierde los tres.
En definitiva, hemos comprobado que el único puntaje
que no se puede obtener es ocho. Todos los demás, sí.
Ahora, con estos datos, tratemos de contestar la
primera pregunta: ¿cuál será el mínimo número de puntos que
podría obtener un equipo pero clasificarse igual?
¿Habrá alguna forma clasificar si obtuvo tres
puntos?
Sí, se puede. Llamemos a los equipos A, B, C y D.
Si A gana el partido frente a D y empata con B y con C, tiene cinco puntos. Si
B y C empatan los tres partidos, ambos tienen tres puntos, y alguno de
los dos será quien clasifique y acompañe a A, que llegó primero . Es
que D perdió con A y empató con B y con C, luego tiene dos puntos. Esto
demuestra entonces que sí: un equipo se puede clasificar
con tres puntos.
Una vez que uno se convence de que con tres puntos
un equipo se puede clasificar, cabe preguntarse entonces: ¿y con dos puntos?
¿Podrá clasificarse un equipo que consigue nada más que dos
puntos?
Increíblemente, la respuesta vuelve a
ser sí. ¿Cómo? ¿Quiere pensarlo por su cuenta primero?
Fíjese que podría suceder que A ganara sus tres
partidos, con lo cual obtendría nueve puntos (y se clasifica seguro). Pero
imagine ahora quetodos los partidos del grupo que noinvolucran a
A terminan empatados. Luego, B empata con C y con D; C empata con B y
con D, y D empata con B y con C. Como todos perdieron con A y empataron sus
restantes partidos, los tres equipos terminan con ¡dos puntos! Y
como A está clasificado primero con nueve puntos y alguno de los otros tres
equipos tiene que clasificarse también (ya que son dos los
equipos que pasan de ronda), entonces sí, uno de los tres se clasificará con
dos puntos.
Ahora bien: para poder afirmar que dos
puntos es el mínimo puntaje con el que se puede clasificar un
equipo, habría que convencerse de que uno no se puede clasificar con
nada más que un punto. Yo sé que parece imposible, pero usted
convendrá conmigo que también parecía muy difícil que se pudiera clasificar con
dos puntos. ¿Con un punto, se podrá?
La respuesta es no, no se puede. ¿Por
qué? Si un equipo consiguió nada más que un punto, tuvo que haber perdido dos
de los tres partidos y empatado uno. Pero si perdió dos es porque hay dos
equipos que tuvieron al menos tres puntos cada uno. Esos dos equipos ya tienen
más puntos que el que sacó un punto, y con eso es suficiente.
Moraleja: “Dos es el mínimo número de
puntos que puede conseguir un equipo y clasificarse igual ”.
Ahora quiero que fijemos juntos nuestra atención en
la segunda pregunta: ¿cuál será el máximo número de puntos que
podría conseguir un equipo y no clasificarse?
Por ejemplo, ¿podría no clasificarse si
consigue siete puntos? Pensemos juntos. Supongamos que el equipo A
tiene siete puntos. Eso significa que ganó dos de sus partidos (digamos a B y a
C) y empató con D. Pero fíjese que como B y C ya perdieron un partido (con A)
entonces a lo sumo podrán conseguir seis puntos. Luego, como
ya hay dos equipos que tienen seis puntos, A se clasificará seguro. Es decir:
con siete puntos un equipo se clasifica seguro.
¿Y con seis? ¿Será lo mismo? ¿Habrá alguna forma de
que un equipo que tenga seis puntos no ingrese entre los dos primeros?
La respuesta es sí. ¿Cómo?
Una vez más, llamémoslos A, B, C y D. Supongamos
que A, B y C le ganan a D. Ahora, pensemos que A le ganó a B, B le ganó a C, y
C le ganó a D. De esta forma, salvo D, los otros tres (A, B y C) tienen seis
puntos cada uno. Como se clasifican dos, alguno de ellos se tendrá que quedar
afuera (cualquiera sea el método de desempate).
Moraleja: “Sí, un equipo puede terminar con seis
puntos y quedarse afuera”.
No le quepa ninguna duda de que no solo los
simpatizantes o hinchas hacen cálculos. Los jugadores y los cuerpos técnicos…
decididamente también.
39. Fútbol para pensar (parte 2)
Una vez más quiero plantear un problema que tenga
que ver con el fútbol y las posiciones en cualquier torneo en el que los
equipos (o países) están divididos en grupos de cuatro. Esto sucede en todos
los campeonatos del mundo, incluso en la Copa Libertadores de América o en la
Copa de Campeones de Europa.
Uno de los atractivos que tiene cualquiera de estas
competencias es que la cantidad de goles a favor (o en contra) suelen tener
importancia para decidir cuáles pasan de ronda y cuáles no. Habitualmente se
clasifican dos equipos por grupo, pero es muy frecuente que haya varios equipos
que terminan con el mismo número de puntos. Allí es donde adquieren relevancia
los diferentes métodos para desempatar.
Dicho esto, suponga ahora que hay un equipo que
hizo tres goles en los tres partidos que jugó, y se sabe
además que le convirtieron dos goles. Eso sí, no se sabe de
qué forma se distribuyeron. Pudo haber empatado dos de los partidos 0 a 0 y
ganado uno solo 3 a 2. O pudo haber ganado dos partidos 1 a 0 y perdido el
restante 2 a 1. O cualquier otra posibilidad que cumpla con lo pedido: tres
goles a favor y dos goles en contra.
Planteado de esta forma, ¿cuántos puntos pudo haber
conseguido? ¿Quiere pensar usted?
Antes de avanzar con el análisis de posibilidades,
un par de observaciones.
Primero, esto también es hacer matemática
también, sin ninguna duda. Y es algo que sucede muy
frecuentemente a nuestro alrededor. Es decir, en algún momento de su
vida usted se vio involucrado en pensar un problema de este tipo, o
bien escuchó o vio que alguna persona cercana a usted estuvo haciendo este tipo
de cálculos.
Por otro lado, me parece relevante que pensar
de esta forma, hilvanando distintas posibilidades, imaginando distintos
escenarios, es algo muy útil en la vida cotidiana. Anticiparse a lo que podría
pasar educa el cerebro, aunque más no sea porque nos prepara para la
situación real. O, mejor dicho, cuando nos sucede algo de forma
inesperada, uno puede reconocer que ya pasó por una situación de este tipo,
pues —aunque no sea exactamente igual— ya recorrió ciertos caminos
que quizás ahora le sean útiles.
Ahora sigo con una forma de pensar la respuesta.
Por supuesto, hay muchas formas de
abordar el problema. Uno podría considerar todos los posibles
resultados y fijarse cuántos puntos podría obtener. O bien, recorrer los diez
posibles puntajes (desde cero puntos, que es el mínimo,
hasta nueve, que es el máximo) y ajustar los tres goles a favor y
dos en contra para ver si es posible.
O también se puede reducir el número de
posibilidades analizando qué situaciones podrían darse y cuáles serían
imposibles.
Por ejemplo, el hecho de que el equipo haya
conseguidoun gol más favor que en contra implica que al
menos tuvo que haber ganado un partido. Esto es muy importante, porque dice
que debe tener al menos tres puntos.
Ahora bien: ¿pudo haber terminado exactamente con
tres puntos?
Respuesta: Sí. ¿Cómo? Pudo haber ganado un partido
3 a 0, y luego perdido los otros dos por el mismo resultado: 0 a 1. De esta
forma, convirtió tres goles, le hicieron dos, ganó un partido y perdió dos. En
total consiguió tres puntos.
¿Podría haber terminado con cuatro puntos?
Respuesta: Sí. ¿Cómo? Pudo haber ganado un partido
2 a 0, empatado otro 1 a 1, y perdido el restante 0 a 1. De esta forma, respeta
las condiciones del problema (hizo tres goles, le hicieron dos) y, como ganó un
partido y empató otro, terminó con cuatro puntos.
¿Podría haber terminado con cinco puntos?
(¿Quiere pensar usted en soledad?)
Sigo. Sí, también pudo haber conseguido cinco
puntos. Para eso, tuvo que haber ganado un partido y empatado los
otros dos. ¿Cómo? Pudo haber ganado un partido 1 a 0, y empatado los otros dos
1 a 1. Así consiguió los cinco puntos respetando también la consigna.
Avanzo un paso más. ¿Pudo haber obtenido seis puntos?
En este caso, el equipo tuvo que haber ganado dos partidos y perdido el
restante. ¿Pudo pasar eso con tres goles a favor y dos en contra?
La respuesta es sí, una vez más. Pudo
haber ganado dos partidos por el mismo resultado (1 a 0) y perdido el restante
(1 a 2).
¿Y siete puntos? Para conseguir siete
puntos, tuvo que haber ganado dos partidos y empatado el
restante. Como en total convirtió nada más que un gol más que los que le
hicieron, tuvo que haber ganado los dos partidos 1 a 0. Allí tiene seis puntos.
Pero acá se plantea un problema. Como ya ‘usamos’ dos de los goles que
hizo, nos queda solamente un gol más a favor. Pero necesitamos que
en ese último partido le hayan convertido dos. Luego, ¡no pudo
haber empatado ese tercer partido!
Moraleja: un equipo no puede haber hecho tres
goles, que le hubieran convertido dos y al mismo tiempo haber conseguido siete
puntos. Esa situación es imposible.
¿Pudo haber obtenido ocho puntos? No, porque ese
puntaje es ‘inconseguible’ con independencia de la cantidad de goles a favor o
en contra. Un equipo no puede terminar un cuadrangular de estas características
con ocho puntos.
¿Y nueve puntos? Tampoco, porque
tendría que haber ganado los tres partidos, es decir, necesitaría —por lo
menos— tres goles más a favor que los que le hicieron, y eso ya no será
posible.
Moraleja: si un equipo terminó con tres goles a
favor y dos en contra, pudo haber obtenido tres, cuatro, cinco o seis puntos.
Nada más. Y esto termina de contestar la pregunta original.
40. Fútbol para pensar (parte 2)
Una vez más quiero plantear un problema que tenga
que ver con el fútbol y las posiciones en cualquier torneo en el que los
equipos (o países) están divididos en grupos de cuatro. Esto sucede en todos
los campeonatos del mundo, incluso en la Copa Libertadores de América o en la
Copa de Campeones de Europa.
Uno de los atractivos que tiene cualquiera de estas
competencias es que la cantidad de goles a favor (o en contra) suelen tener
importancia para decidir cuáles pasan de ronda y cuáles no. Habitualmente se
clasifican dos equipos por grupo, pero es muy frecuente que haya varios equipos
que terminan con el mismo número de puntos. Allí es donde adquieren relevancia
los diferentes métodos para desempatar.
Dicho esto, suponga ahora que hay un equipo que
hizo tres goles en los tres partidos que jugó, y se sabe
además que le convirtieron dos goles. Eso sí, no se sabe de
qué forma se distribuyeron. Pudo haber empatado dos de los partidos 0 a 0 y
ganado uno solo 3 a 2. O pudo haber ganado dos partidos 1 a 0 y perdido el
restante 2 a 1. O cualquier otra posibilidad que cumpla con lo pedido: tres
goles a favor y dos goles en contra.
Planteado de esta forma, ¿cuántos puntos pudo haber
conseguido? ¿Quiere pensar usted?
Antes de avanzar con el análisis de posibilidades,
un par de observaciones.
Primero, esto también es hacer matemática
también, sin ninguna duda. Y es algo que sucede muy
frecuentemente a nuestro alrededor. Es decir, en algún momento de su
vida usted se vio involucrado en pensar un problema de este tipo, o
bien escuchó o vio que alguna persona cercana a usted estuvo haciendo este tipo
de cálculos.
Por otro lado, me parece relevante que pensar
de esta forma, hilvanando distintas posibilidades, imaginando distintos
escenarios, es algo muy útil en la vida cotidiana. Anticiparse a lo que podría
pasar educa el cerebro, aunque más no sea porque nos prepara para la
situación real. O, mejor dicho, cuando nos sucede algo de forma
inesperada, uno puede reconocer que ya pasó por una situación de este tipo,
pues —aunque no sea exactamente igual— ya recorrió ciertos caminos
que quizás ahora le sean útiles.
Ahora sigo con una forma de pensar la respuesta.
Por supuesto, hay muchas formas de
abordar el problema. Uno podría considerar todos los posibles
resultados y fijarse cuántos puntos podría obtener. O bien, recorrer los diez
posibles puntajes (desde cero puntos, que es el mínimo,
hasta nueve, que es el máximo) y ajustar los tres goles a favor y
dos en contra para ver si es posible.
O también se puede reducir el número de
posibilidades analizando qué situaciones podrían darse y cuáles serían
imposibles.
Por ejemplo, el hecho de que el equipo haya
conseguidoun gol más favor que en contra implica que al
menos tuvo que haber ganado un partido. Esto es muy importante, porque dice
que debe tener al menos tres puntos.
Ahora bien: ¿pudo haber terminado exactamente con
tres puntos?
Respuesta: Sí. ¿Cómo? Pudo haber ganado un partido
3 a 0, y luego perdido los otros dos por el mismo resultado: 0 a 1. De esta
forma, convirtió tres goles, le hicieron dos, ganó un partido y perdió dos. En
total consiguió tres puntos.
¿Podría haber terminado con cuatro puntos?
Respuesta: Sí. ¿Cómo? Pudo haber ganado un partido
2 a 0, empatado otro 1 a 1, y perdido el restante 0 a 1. De esta forma, respeta
las condiciones del problema (hizo tres goles, le hicieron dos) y, como ganó un
partido y empató otro, terminó con cuatro puntos.
¿Podría haber terminado con cinco puntos?
(¿Quiere pensar usted en soledad?)
Sigo. Sí, también pudo haber conseguido cinco
puntos. Para eso, tuvo que haber ganado un partido y empatado los
otros dos. ¿Cómo? Pudo haber ganado un partido 1 a 0, y empatado los otros dos
1 a 1. Así consiguió los cinco puntos respetando también la consigna.
Avanzo un paso más. ¿Pudo haber obtenido seis puntos?
En este caso, el equipo tuvo que haber ganado dos partidos y perdido el
restante. ¿Pudo pasar eso con tres goles a favor y dos en contra?
La respuesta es sí, una vez más. Pudo
haber ganado dos partidos por el mismo resultado (1 a 0) y perdido el restante
(1 a 2).
¿Y siete puntos? Para conseguir siete
puntos, tuvo que haber ganado dos partidos y empatado el
restante. Como en total convirtió nada más que un gol más que los que le
hicieron, tuvo que haber ganado los dos partidos 1 a 0. Allí tiene seis puntos.
Pero acá se plantea un problema. Como ya ‘usamos’ dos de los goles que
hizo, nos queda solamente un gol más a favor. Pero necesitamos que
en ese último partido le hayan convertido dos. Luego, ¡no pudo
haber empatado ese tercer partido!
Moraleja: un equipo no puede haber hecho tres
goles, que le hubieran convertido dos y al mismo tiempo haber conseguido siete
puntos. Esa situación es imposible.
¿Pudo haber obtenido ocho puntos? No, porque ese
puntaje es ‘inconseguible’ con independencia de la cantidad de goles a favor o
en contra. Un equipo no puede terminar un cuadrangular de estas características
con ocho puntos.
¿Y nueve puntos? Tampoco, porque
tendría que haber ganado los tres partidos, es decir, necesitaría —por lo
menos— tres goles más a favor que los que le hicieron, y eso ya no será
posible.
Moraleja: si un equipo terminó con tres goles a
favor y dos en contra, pudo haber obtenido tres, cuatro, cinco o seis puntos.
Nada más. Y esto termina de contestar la pregunta original.
41. Lógica y estrategia para ordenar las cartas
Se tienen 10 naipes con los números del 1 al 10. Se
apilan boca abajo y se repite el siguiente proceso: se da vuelta el naipe de
arriba de la pila, se lo deja sobre la mesa y se pasa el siguiente naipe —sin
darlo vuelta— al fondo de la pila. Cuando queda un solo naipe en la pila, se lo
da vuelta.
¿Cómo deben ordenarse los naipes en la pila inicial
para que, al darlos vuelta, aparezcan en el orden 1, 2, 3… hasta 10?
Solución
Hay que comenzar con las cartas en el orden
1-6-2-10-3-7-4-9-5-8. La pregunta que surge inmediatamente es: “¿Por qué?”.
Escribo acá una manera de deducir ese orden, la que
se me ocurrió a mí. Yo empecé pensando que tenía 10 cartas con las siguientes
letras:
A-B-C-D-E-F-G-H-I-J
Cuando comencé con el procedimiento indicado antes,
las cartas fueron apareciendo en este orden (le sugiero que lo intente por su
cuenta):
A-C-E-G-I-B-F-J-H-D
A partir de acá, ya fue más fácil, porque le
‘asigné’ a cada letra de este orden el número correspondiente del 1 al 10, que
es —en definitiva— el orden en el que yo quería que aparecieran.
Y llevando esta asignación al orden inicial de las
letras, quedaría:
42. El collar de 11 perlas
Este es un problema precioso para entretenerse. No
hay que saber nada en particular, y supongo que la mejor manera de
encontrar la solución es con ‘prueba y error’. Luego, una vez que se tropiece con
la respuesta, tengo otras preguntas para hacerle, pero usted ya se sentirá más
cómodo porque al menos ya tiene algo para exhibir después del
tiempo que invirtió. Me explico.
Suponga que una señora tiene un collar con 11
perlas. Cada perla está numerada de forma consecutiva. Para estar seguros de
que me supe explicar, imagine que apoya el collar como si fuera un reloj
circular, con el númerouno puesto en el lugar que le correspondería
al número 12 (en el reloj). A partir de aquí, la numeración
seguiría en el mismo orden creciente que las horas en un reloj convencional,
solo que en lugar de doce números tiene once.
Esta misma señora tiene además otro collar
exactamente igual, con perlas del mismo tipo, pero la diferencia consiste en
que ahora las perlas no llevan ningún número. El problema consiste
en encontrar alguna forma de numerar las perlas del segundo collar de manera
tal que si uno apoya un collar sobre otro, no importa si lo pone al
derecho o al revés, siempre haya por lo menos un número que coincida en
ambos collares. Ya sé, usted se está preguntando: “¿Qué quiere decir al
derecho y al revés?”. Bueno, siguiendo con el ejemplo del reloj, imagine
que usted tuviera un reloj apoyado de forma convencional, y otro ‘dado vuelta’,
de manera tal que los números (las horas) crecen hacia la
izquierda. En ese caso, el número tres estaría donde
normalmente está el número nueve, y el número cuatro donde
va el número ocho. Los dos únicos números que coincidirían (en el
caso de dos relojes) serían el doce y el seis.
Una observación importante: fíjese que, en el caso
del collar, hay once perlas. En un reloj, hay doce números.
Son ejemplos parecidos, pero no iguales.
Ahora que nos pusimos de acuerdo con el enunciado,
le sugiero que estudie cómo hacer para numerar las perlas del segundo collar.
Una vez que haya encontrado alguna forma, yo vuelvo para proponerle otras
preguntas.
Quiero dejar constancia de que yo me entretuve
muchísimo buscando al menos una solución. Probé de muchas
formas y, como suele sucederme, la gran mayoría no me sirvió para encontrar la
respuesta sino para entender mejor el problema. En el camino, descubrí dónde
estaban las dificultades y, después de varios intentos, encontré una numeración
que sirve.
Acá va. Eso sí, créame: si la va a leer sin haber
intentado nada por su cuenta, solo le servirá para convencerse de que por lo
menos existe alguna solución, nada más.
Uno podría numerar el segundo collar así:
Haga la prueba. Yo voy a hacer una ‘representación’
que —me parece— es más sencilla (usted siéntase en libertad de elegir la forma
que quiera, obviamente).
Voy a escribir el collar como si lo hubiera cortado
y pegado (que es el equivalente de mirar cómo quedan ubicados los números en el
caso circular).
Ahora, ubico arriba el collar numerado
originalmente y abajo el que acabo de escribir. Miremos qué
número coincide.
Como se ve, el número que coincide es
el uno. Ahora lo muevo hacia la izquierda un
lugar. Dejo las primeras dos filas como estaban antes. La tercera resulta de
haber movido la segunda una posición. Se tiene el siguiente esquema, entonces:
Vuelvo a hacer lo mismo con varias filas al mismo
tiempo, remarcando la coincidencia en cada fila. Se da esta representación:
Lo mismo podría hacer ubicando la segunda fila en
la otra dirección, como si hubiera dado vuelta el
collar. Se obtiene una representación de este tipo (en las primeras filas):
A partir de acá, creo que usted puede rellenar lo
que falta para convencerse de que la numeración que propuse para el segundo
collar funciona tanto al derecho como al revés.
Le propongo que se fije cómo va variando el número
en el que coinciden. En la primera tanda, cuando girábamos en un sentido, los
números que coincidieron fueron (respectivamente): 1, 10, 8, 6, 4, 2… Si usted
siguiera obtendríamos: 11, 9, 7, 5, 3… Después, al repetir el
procedimiento once veces, llegaríamos nuevamente al número uno.
Lo interesante es que las coincidencias van salteando de a una, de
la misma forma en la que está distribuida la numeración de las perlas.
Compruébelo usted para convencerse. En cambio, al ir en laotra dirección,
las coincidencias van salteando de a cuatro. Me parece notable que,
al ir salteando de a cuatro, uno pueda recorrer los once números del collar sin
repetir antes de haber dado toda la vuelta, o sea, después de haber rotado el
collar once veces.
Ahora tengo más preguntas.
a. ¿La que le presenté acá es la única solución?
b. En todo caso, si hubiera más, ¿cuántas serían?
¿Se pueden exhibir todas?
c. ¿Qué pasaría si cambiáramos el
número de perlas? ¿Y si hubiera un collar con menos perlas? ¿O
con más perlas?
d. ¿Tendrá algo que ver que el número once (el
número de perlas original) es un número primo (o sea,
divisible únicamente por él mismo y por el número uno)?
Como usted ve, las preguntas son de distintas calidades. Ahora
queda abierto un panorama diferente.
A continuación le acerco algunas respuestas, pero
para contestarlas todas creo que usted debería sentarse con tiempo y pensar en
soledad. O en todo caso, ‘rastrear’ otras exploraciones que se hayan hecho
sobre este tema.
Algunas respuestas
Hay más soluciones al problema original. Voy a
escribir acá tres más (que son todas las que admite este
problema):
El número de perlas importa mucho
para poder determinar la existencia o no de soluciones. Algunos ejemplos (que
creo que le van a servir para abordar el problema de forma tan general como
quiera): Para empezar con uno extremo, tome el caso de un collar dedos perlas
solamente. Las numeramos como uno y dos. Ahora
bien: el segundo collar estará numerado igual que el primero,
porque como las perlas están ligadas, una llevará el número uno y
la otra el dos. Cuando usted apoye las dos perlas con el
número uno, la otra quedará arriba de la segunda, también. Si usted mueve el
collar de arriba, eso desajustará no solo la primera coincidencia, también la
segunda, y como solamente hay dos movimientos posibles, el problema no tiene
solución. Es decir: en el caso de dos perlas, no hay forma de numerar el
segundo collar de manera tal que cumpla con la condición pedida.
¿Y si el original fuera un collar de tres perlas?
Le propongo que pensemos juntos. El primer collar estará numerado como 1-2-3.
¿Qué alternativas tenemos para el segundo collar? Una forma es pintarles los
mismos números. ¿Servirá? Fíjese que no, porque ni bien apoyo los dos
números uno, coinciden no solo ellos, sino también los otros dos.
Cualquier ‘corrimiento’ que haga en una u otra dirección impide que haya
cualquier coincidencia.
Lo interesante es que la otra alternativa
(y única más) es pintarlas así: 1-3-2. Cuando uno superpone el collar original
con el que está pintado de esta forma, en el primer caso coincide solamente la
perla número uno, y al ir haciendo corrimientos hacia la derecha,
primero coincide la dos y después la tres. Pero ni
bien uno ‘da vuelta’ el collar, entonces queda numerado 1-2-3 y, por lo tanto,
el único caso en el que coinciden es cuando coinciden las tres
perlas. Moraleja: en el caso de tres perlas, no hay solución tampoco.
Como usted ve, el problema es interesantísimo y
merece mayor espacio (y tiempo). Por ahora, eso se lo dejo a usted. Espero
haber despertado su curiosidad. ¡Ah! Esto es hacer matemática también. Qué
número de perlas el problema tiene solución, qué dependencia hay de que el
número sea primo (o no), qué relación hay entre el número de vueltas que hago
dar al collar de arriba con el número de perla que coincide, etc., son
preguntas que merecen ser contestadas. Usted tiene la palabra.
42. Geometría sin fórmulas (parte 1)
Mire la figura 1.
Figura 1
Como usted advierte, hay dos triángulos y un
círculo. Está claro que uno de los dos triángulos es mucho más grande que el
otro.
Yo podría preguntarle, entonces: “¿Puede determinar
usted cuánto más grandes?”.
Acá quiero hacer una pausa para advertirle que, si
sigue leyendo, en las próximas líneas encontrará la respuesta. Es por eso que
le propongo que se detenga y retome el texto una vez que le haya dedicado un
rato a pensar cómo contestar la pregunta.
Sigo. Otra forma de plantear el mismo problema
es la siguiente: “Sin usar ninguna fórmula, ¿se puede explicar que el triángulo
más grande es cuatro veces mayor que el más chico?”.
Siéntase libre de rotar o mover la figura como
quiera pero no escriba nada: solo use su ‘vista’ y su ‘sentido común’.
Solución
Imagine que usted puede ‘rotar’ (o hacer ‘girar’)
el círculo hacia la derecha (podría ser para el otro lado, pero es irrelevante
el sentido con el que empiece) dejando fijo el triángulo de afuera. Está claro
que cualquier movimiento de este tipo no modificará las proporciones de las
áreas.
Mientras hace la rotación, imagine que el triángulo
más pequeño gira también.
Rote el círculo hasta que el triángulo interno
quede con la ‘base’ hacia arriba, o sea, ‘boca abajo’. La figura que se obtiene
es esta:
Figura 2
¿No es notable? Si yo hubiera empezado con la
figura 2 en lugar de la figura 1, la respuesta habría sido trivial, ¿no? Es
increíble lo que podemos hacer con las imágenes y con nuestra percepción
visual. Y me permito agregar algo más: muchísimas veces, analizar un problema
desde un ángulo diferente (que parece una verdadera tontería) suele ofrecer una
visión tan inesperada que uno no entiende cómo es
posible que no se le haya ocurrido antes.
44. Geometría sin fórmulas (parte 2)
El siguiente problema tiene la particularidad de
que se puede contestar sin necesidad de escribir nada. Todo lo necesario ‘está
a la vista’. Mi primera tentación fue buscar la respuesta utilizando argumentos
convencionales, pero al final, después de pensar un largo rato, terminé yendo
por otro lado totalmente inesperado (para mí).
De todas formas, mientras escribo esto estoy
pensando: ¿estará bien lo que estoy diciendo? ¿Y si a usted lo primero que se
le ocurre es exactamente lo que hay que pensar para deducir la solución? ¿Quién
dice que mi manera de pensar será la suya? ¿O viceversa?
Bien, en todo caso, le propongo lo siguiente: yo
planteo el problema y la/lo dejo en soledad para que usted decida cómo lo
piensa. Si se le ocurre la solución de forma inmediata, mi suposición era
equivocada. Si no es así, y si requiere de usted algo no tan inmediato,
entonces me sentiré un poco más acompañado.
Basta de preámbulos. Concéntrese en la figura 1.
Figura 1
Por un lado, hay un cuadrado. Dentro de ese
cuadrado aparecen varios triángulos, pero présteles atención a dos de ellos:
son los que tienen como ‘base’ uno de los lados del cuadrado.
Uno es el que está apoyado en la pared izquierda
del cuadrado y el otro está apoyado en la base inferior del cuadrado. Por lo
tanto, cada uno de estos dos triángulos tiene dos vértices que coinciden con
dos vértices del cuadrado, mientras que el tercero está ubicado en un punto del
otro lado del cuadrado.
Como usted advierte, los dos triángulos se cortan
(en la figura 1 es la parte ‘sombreada’). La otra región distinguida es el área
que no pertenece a ninguno de los dos triángulos (la que aparece ‘rayada’).
Ahora, la pregunta: ¿Cuál de estas dos áreas es más
grande? ¿El área en la que se superponen (‘sombreada’) o el área que no
corresponde a ninguno de los dos (‘rayada’)?
Como podrá observar, no hay nada particular que
hacer sino mirar con cuidado y analizar la figura que tiene delante de los
ojos. El resto se lo dejo a usted. Eso sí: lo único que creo que es necesario
saber es que el área de un triángulo se puede calcular como la mitad de la base
por la altura. Salvo eso, creo que no hace falta ningún otro tipo de
conocimiento previo. Usted será el juez.
Idea para la solución
Fíjese en los dos triángulos que señalé antes y que
aparecen en la figura 1. La base de cada uno de ellos coincide con uno de los
lados del cuadrado. Como el tercer vértice de cada triángulo está en el lado
opuesto del cuadrado, eso significa que la altura de cada triángulo tiene la
misma medida que el lado del cuadrado (observe la figura para convencerse. No
me crea a mí, descúbralo usted).
Dicho esto, como sabemos que el área de cada uno de
estos triángulos se puede calcular como la mitad del lado del cuadrado (por ser
la base) por la altura (que también coincide con el lado del cuadrado),
entonces se deduce lo siguiente:
Área de cada triángulo = ((lado del cuadrado) ×
(lado del cuadrado)/2)
En este caso, el área de cada triángulo es
(lado × lado)/2
O sea, hemos descubierto que el
área de cada uno de estos dos triángulos particulares es igual a ¡la mitad del
área del cuadrado!
Mire ahora la figura 2.
Figura 2
Los sectores que figuran con un puntonegro son
todos los que no están en el triángulo vertical. Si uno suma las áreas marcadas
con el puntonegro, se obtiene la misma superficie que la del
triángulo vertical porque —como vimos antes— lo que está adentro y lo que está
afuera miden lo mismo (igual a la mitad del área del cuadrado).
Por otro lado, si uno suma las regiones marcadas
con un asterisco, se obtiene el área del segundo triángulo, el que
está de forma horizontal. Luego, el área medida por la suma de los puntos
negros tiene que ser igual al área de la suma de los asteriscos.
Dicho esto, como hay dos sectores que tienen puntos
negros y asteriscos simultáneamente, uno deduce que la región que tiene
solamente un asterisco tiene que ser igual a la región que tiene solamente
puntos negros.
¡Y eso era lo que queríamos comparar! La que tiene
el asterisco solamente es la región en la que coinciden los dos triángulos; y
las que tienen un punto negro únicamente son las que no tocan a ninguno de los
dos triángulos.
Es decir, hemos respondido la pregunta
original: ¡esas dos áreas son iguales! El área en la que se
cortan los dos triángulos y el área en la que no hay ninguno de los dos
triángulos son iguales.
Como usted ve, salvo la fórmula del área de un
triángulo, no fue necesario ni usar ni saber más nada. Solo pensar con un poco
de cuidado y acercarse al problema de forma un poco más… ¿lateral?
Preguntas finales
Créame que no aspiro a tener ninguna respuesta,
pero necesito hacerlas. ¿A usted qué le pasó con el problema?
¿La solución se le ocurrió enseguida? ¿Hubo algo que le
hiciera sospechar que las áreas tenían que ser iguales? ¿Cómo lo pensó?
No sabe cómo me gustaría poder estar a su lado para
escuchar sus reflexiones. Seguro que eso me ayudaría muchísimo para educar mi
percepción.
45. Sam Loyd (y la introducción a las ecuaciones)
Uno de los factores que nos distinguen de los
animales es nuestra capacidad para pensar. No quiero decir que los animales no
piensan porque eso no solo es falso, sino que es una brutalidad. Pero lo que sí
distingue al hombre del resto de los seres vivos (al menos, de
los que conocemos hasta ahora) es nuestra capacidad para hilvanar razonamientos,
para poder imaginar potenciales situaciones y elaborar
estrategias para enfrentarlas. Y para crear o inventar fantasías.
¿Los animales podrán también?
Justamente, poder planificar es algo inherente a
nuestra condición, y poder predecir qué hacer con mucha anticipación es una
tarea altamenteno trivial. Una de las manifestaciones más evidentes
es cuando uno necesita elaborar estrategias para jugar. Sí, jugar.
Propóngase pensar en cómo abordar cualquier juego y verá que, por más simple
que sea, usted necesita pensar qué hacer ante diferentes
escenarios, incluso si está por jugar al ta-te-ti. A medida que el propio juego
se hace más sofisticado, requiere de mayor capacidad de observación, de crear
una suerte de ‘árbol’ que le permita imaginar qué caminos tomar en función de
los que va tomando su adversario. Uno de los casos más extremos (y
bonitos) es el del ajedrez. De hecho, los grandes jugadores son aquellos que
pueden anticipar qué hacer muchas jugadas antes, algo así como ‘estar preparado
para el futuro’.
Naturalmente, esa capacidad se entrena.
Para vivir en sociedad, estamos todo el tiempo imaginando situaciones que vamos
a enfrentar potencialmente: desde las más banales o pedestres (a qué hora
levantarse para llegar al colegio o al trabajo, cuánto cambio llevar para pagar
un colectivo o un taxi), hasta otras más sofisticadas (elegir la/el compañera/o
para toda la vida, en qué facultad inscribirse, qué departamento alquilar y/o
comprar).
Yo estoy convencido de que los juegos son una forma
de ‘simular la realidad’ y sirven de ‘entrenamiento constante’, no solo como
forma de entretenimiento sino también como preparación para enfrentar una
competencia.
Con toda esta presentación, me cuesta trabajo
volver al tema. Uno de los más grandes generadores de problemas para
pensar fue un norteamericano nacido en Filadelfia a fines de enero de
1841. Sus padres lo llamaron Samuel, pero el mundo lo conoce hoy como Sam, a
secas. Ah, y de apellido, Floyd. Floyd fue un buen jugador de ajedrez y llegó a
ubicarse como número 15 en el planeta, pero no fue esa la razón por la que ganó
prestigio. Cuando falleció, recién cumplidos los 70 años, su hijo compilótodos sus
trabajos y los publicó en 1914 con el nombre de Cyclopedia of 5000
Puzzles ( Ciclopedia de 5000 puzzles[85] ).
Como el propio título del libro lo indica, intentar
elegir uno entre los cinco mil es técnicamente
imposible, y encima elegí uno particular que sirve para mostrar por qué
razón se inventaron las ecuaciones. No se deje amedrentar por
la palabra ecuación. Fíjese en el problema que le voy a plantear,
trate de resolverlo y después, juntos, pensamos cómo usarlas. Una vez más,
enfrente el problema con toda ingenuidad: para resolverlo, ¡no hace falta saber
nada particular ni utilizar ningún tipo de herramienta sofisticada !
Todo lo que hay que hacer es (curiosamente) pensar…
Acá va. Fíjese en la siguiente figura.
Figura 1
Ahora le pido que pensemos juntos la solución (si
es que usted no la quiere encarar en soledad).
Las primeras dos balanzas están expresando igualdades.
Es decir, cada una de las primeras dos pesadas establece una paridad en lo que
está ubicado en cada platillo.
En la primera pesada, en el platillo de la
izquierda hay 1 caracol y 3 cubos, y en el platillo de la derecha hay 12
bolitas.
En la segunda pesada, en el platillo de la
izquierda está solamente el caracol, y para compensar el peso aparecen 1 cubo y
8 bolitas.
Lo que estas dos pesadas dicen es que pesan
lo mismo:
a) 3 (cubos) y 1 (caracol) = 12 (bolitas)
b) 1 (caracol) = 1 (cubo) y 8 (bolitas)
Con estos datos, pensemos cuántas
bolitas habría que poner en el platillo de la derecha en la tercera
pesada para igualar el peso del caracol (que aparece en el
platillo de la izquierda).
El objetivo entonces es calcular el
peso del caracol ¡ en términos de bolitas!
¿No quiere avanzar en soledad? ¿Para qué me
necesita a mí? En todo caso, si logra detectar lo que hay que hacer, puede
comparar su respuesta con lo que yo sigo escribiendo acá. En fin… usted decide.
Sigo yo. Observe la segunda pesada. Por un lado
tiene el caracol, y del lado de la derecha, 1 cubo y 8 bolitas. Usted sabe que
la balanza está equilibrada. Pregunta: si agregara dos objetos cualesquiera del
mismo peso, uno de cada lado de la balanza, ¿se inclinaría para alguno de los
dos lados? No. ¿Por qué? Es que si la balanza estaba equilibrada de antemano y
uno agrega el mismo peso de los dos lados, ¡va a seguir en equilibrio!
Por lo tanto, le propongo que le agreguemos tres
cubos de cada lado (la segunda pesada). Del lado izquierdo, vamos a tener un
caracol y tres cubos, y en el platillo de la derecha van a quedar las
mismas 8 bolitas, pero ahora habrá cuatro cubos. Como señalé antes,
los platillos van a seguir igualados.
Uno descubre entonces (de la segunda pesada) queun
caracol y tres cubos pesan lo mismo que ocho bolitas y cuatro
cubos. (*)
Por otro lado, de la primera pesada, sabíamos
que un caracol y tres cubos pesan lo mismo que 12
bolitas. (**)
Ahora, fíjese que hemos aprendido que “un caracol y
tres cubos”, pesan lo mismo que “ocho bolitas y cuatro cubos” y, por otro lado,
que “12 bolitas”.
Si pusiéramos en el platillo de la izquierda “ocho
bolitas y cuatro cubos”, y en el platillo de la derecha “12 bolitas”, la
balanza estaría equilibrada.
Si ahora sacamos ocho bolitas de cada uno
de los dos platillos, en el de la izquierda aparecen cuatro cubos pero ¡no
quedan bolitas!, y en el platillo de la derecha quedan nada más que “cuatro
bolitas”.
En consecuencia, hemos descubierto que ‘cuatro
cubos’ pesan lo mismo que ‘cuatro bolitas’, o lo que es lo mismo, ‘un cubo’
pesa lo mismo que ‘una bolita’. (***)
Ya falta muy poco, porque si el peso de cada bolita
es lo mismo que el peso de cada cubo, mirando la segunda pesada, reemplazo el
cubo por otra bolita. Ahora, habrá nueve bolitas (en el
platillo de la derecha) y el caracol estará del lado izquierdo. Con esto, hemos
contestado la pregunta. ¿Cuántas bolitas hacen falta para equiparar la balanza
en la tercera pesada? Pues exactamente nueve bolitas.
Y listo.
Que entren las ecuaciones de una buena vez
Si usted llegó conmigo hasta acá, habrá advertido
que tuve que escribir muchísimas palabras y repetir
muchísimas veces la misma idea. ¿No habrá alguna manera de reemplazar todos
los nombres y —eventualmente— hacer el análisis de forma mucho más genérica?
Es decir, yo usé el ejemplo de bolitas, cubos, caracoles, pero —creo— no se le
escapará que podría haber hecho lo mismo con cualquier otro objeto. Solamente habría
necesitado que se respeten las igualdades que aparecieron en la balanza.
Le propongo que hagamos un cambio en todo lo
que escribí antes. En los lugares en los que puse la palabra ‘bolita’ voy a
usar una letra B (claramente, podría poner la letra que quisiera). Elijo B por
comodidad. Por la misma razón, puedo poner C en lugar de escribir ‘cubo’ y
pongo A en lugar de ‘caracol’.
En lugar de la balanza, voy a imaginarme que tengo
signos de ‘igual’, y cada platillo significará cada lado de la
igualdad. Por lo tanto, las dos primeras pesadas podría representarlas con
estas letras (y compruebe usted si se siente cómoda/o con lo que voy a
escribir. Le propondría que no avance hasta que me siga):
Primera pesada:
A + 3C = 12B (*)
Segunda pesada:
A = C + 8B (**)
Después, agregué 3C a cada uno de los platillos de
la segunda pesada. Lo que queda es:
A + 3C = 4C + 8B(***)
(¿Por qué 4C? Antes de agregar los 3C había ya una
C).
En (*) y (***), el lado izquierdo de
la igualdad es el mismo. Luego, los lados derechos tienen que ser los mismos
también. De acá deducimos entonces que:
12B = 4C + 8B
Al retirar 8B de cada lado, se
sigue:
4B = 4C
Y de acá:
B = C
Por último, si B = C, vayamos hasta (**) y
reemplacemos la C por la B. Se tiene:
A = 9B
Y esto resuelve el problema.
Una moraleja posible es que las igualdades llevan
el nombre de ecuaciones. ¿Es importante saber un nombre para
resolver un problema? ¡No! De ninguna manera, pero ayudan para
que nos pongamos de acuerdo y sepamos de qué estamos hablando en cada caso. A
los efectos del problema propiamente dicho, llamarlas ecuaciones, igualdades, pesadas o
lo que usted quiera termina siendo irrelevante. Lo único que
importa es la capacidad de abstraer y de pensar. Una vez que uno encuentra la
solución, cualquier método que haya empleado es bueno, y no hay ninguna razón
para decir que uno es mejor que otro. Una vez
más, si un camino es conducente, bienvenido sea. Mientras, resuelva el
problema…
46. El sueño de todo alumno (que también fue el
mío)
No sé cómo le habrá ido a usted en la escuela
cuando se trataba de ‘matemática’, pero yo recuerdo un momento muy particular.
Fue el día en el que nos enseñaron a ‘simplificar’. ¿Le pasó lo mismo a usted?
Cuando creí haber entendido lo que significaba,
pensé que había ‘crecido’ (matemáticamente hablando). A partir de allí, simplificar los
factores comunes de numerador y denominador hacía las cuentas mucho más
sencillas. La vida me sonreía. Encima, no había calculadoras… o mejor aun: ni
siquiera sabíamos que no había lo que no había. Le pido que no abandone acá.
Le prometo que se va a divertir.
Suponga que alguien nos pedía que dividiéramos 300
por 60. Se ponía así:
300/60 = 30/6 = 5
Puedo ‘tachar’ los ‘0’ del numerador y denominador.
Facilísimo. ¡Qué buen momento!
O si teníamos que dividir 486 por 12, uno descubría
que numerador y denominador son múltiplos de 3. Entonces:
486/12 = (162 × 3)/(4 × 3)
= 162/4 (después de ‘tachar’ los ‘3’)
Ahora, como 162 y 4 son pares, son múltiplos de 2.
¡Puedo seguir simplificando! ¡Fiesta!
162/4 = (81 × 2)/(2 × 2) =
81/2 (después de ‘tachar’ los ‘2’)
Claro, cuando uno cree que ya entendió todo lo que
hace falta para llevarse el mundo por delante, viene el golpe contra la
realidad.
Sígame con este ejemplo. Suponga que tiene que
dividir 482 por 62. Se pone así:
482/62 = 48/6 = 8
La tentación entonces es ‘eliminar’ al número ‘2’
(como antes hizo con los ceros). Los tacha y queda 48/6 y al
dividir 48 por 6 obtiene 8. Otra vez, muy fácil… pero lamentablemente, ¡ya no
es más cierto! ¿Y entonces?
Aparece algo peor: la mirada amenazante de la
maestra (o el maestro) que suelta sin piedad:
—¡Eso no se puede hacer!
—¿Por qué? ¿Cómo que no se puede? ¿No puedo
‘tachar’ arriba y abajo cuando hay dos números iguales como hicimos antes?
Y no… no se puede. O mejor dicho, en general no se
puede.
Sin embargo, hay algunos casos en los que sí se
puede. Son pocos y, por lo tanto, resultan ser muy curiosos. Acá van [86].
a. 64/16 = 4/1 = 4
b. Aquí taché el ‘6’ en el numerador y denominador.
Eso no se puede hacer ‘casi’ nunca, pero en este caso sí.
c. 98/49 = 8/4 → Aquí hice desaparecer al número
‘9’. Lo mismo que en el caso anterior: casi nunca es válido, pero acá sí
(¡compruébelo usted!).
d. 95/19 = 5/1 = 5 Esto sucedió después de eliminar
los ‘9’. No funciona ‘casi’ nunca, pero acá sí.
e. 65/26 = 5/2. Lo mismo: taché el ‘6’ en el
numerador y denominador. El resultado sigue siendo válido.
La enciclopedia digital de Stephen Wolfram afirma
que esos son los únicos cuatro casos que involucran números de dos dígitos.
Si uno extiende el análisis a números de hasta tres
dígitos, acá está la lista completa de los que también verifican la
‘cancelación anómala’, eliminando el (o los) dígito(s) del numerador y el
denominador sin que eso altere el resultado correcto.
13/325 = 1/25 (eliminado el ‘3’)
124/217 = 4/7 (eliminados el ‘1’ y el ‘2’)
127/762 = 1/6 (eliminados el ‘2’ y el ‘7’)
La lista se completa con los siguientes ejemplos:
138/184 = 3/4
139/973 = 1/7
145/435 = 1/3
148/185 = 4/5
154/253 = 14/23
161/644 = 11/44
163/326 = 1/2
166/664 = 1/4
176/275 = 16/25
182/819 = 2/9
187/286 = 17/26
187/385 = 17/35
187/748 = 1/4
199/995 = 1/5
218/981 = 2/9
266/665 = 2/5
273/728 = 3/8
275/374 = 25/34
286/385 = 26/35
316/632 = 1/2
327/872 = 3/8
364/637 = 4/7
412/721 = 4/7
436/763 = 4/7
Hasta acá, una curiosidad. Pero ahora tengo una
sugerencia. ¿No sería más adecuado proponerles a los alumnos, o sea, a
nosotros, que nos pusiéramos a buscar ejemplos como los anteriores, a ver si
podemos encontrarlos? ¿Existirán? ¿No sería un método mejor para entender por
qué no se puede simplificar de esa forma en la mayoría de los casos?
Está claro que hay que invertir tiempo y explorar
múltiples ejemplos, pero más allá de la diversión o el entretenimiento
educativo, podríamos evitar la mirada condenatoria de quien ‘sabe que no se
puede’ pero lo transmite por la autoridad que le confiere el cargo.
¿Cuándo llegará el momento de cambiar los métodos
educativos por otros que permitan explorar y descubrir sin que
el —supuesto— conocimiento llegue de forma ‘vertical’?
¿Usted qué piensa?
Último recreo. Una curiosidad con el Rubik Cube
No querría que se termine el libro sin proponerle
pensar lo siguiente: “¿Se preguntó alguna vez cuántas formas posibles hay de
distribuir las ‘caras’ y los ‘cubitos’ del Rubik Cube (o Cubo Mágico)?”.
El número total de posibles configuraciones que se
pueden obtener es:
43.252.003.274.489.856.000
Por supuesto, esta respuesta sin elaboración no
creo que ayude, pero ¿no le despierta algún tipo de curiosidad elaborar alguna
estrategia para poder contarlas?
Yo volveré sobre este tema en alguna otra
oportunidad. Por ahora, tómelo como un ejercicio para pensar y entretenerse.
El juego con las 105 bolitas
Supongamos que hoy es su cumpleaños. Yo le regalo
una caja que contiene un juego. La curiosidad invita a abrir la caja y ver qué
es lo que hay adentro. Eso es —justamente— lo que usted hace.
Es muy sencillo. En la caja hay una bolsa de
plástico con 105 bolitas. No hace falta que las cuente, porque el juego se
llama ‘105’. ¿Qué hacer ahora?
Hay un papel con un “Manual de Instrucciones”.
Usted despliega el papel y lee:
1. Abra la bolsa con las 105 bolitas.
2. Forme con ellas tres pilas diferentes de la
siguiente forma:
o una con 49 bolitas;
o otra con 5 bolitas;
o la tercera con las 51 restantes.
3. Sepa que podrá hacer solo dos operaciones:
a. Juntar dos pilas (con todas las
bolitas que hay en cada una) y formar una nueva.
b. Si una pila tiene un número par de
bolitas, entonces la puede dividir en dos pilas que tengan exactamente el
mismo número de bolitas.
El juego consiste en lo siguiente: usando únicamente las
dos operaciones ‘legales’ o ‘permitidas’, ¿se puede elaborar una estrategia que
permita llegar a tener 105 pilas de una bolita cada una?
Si se pudiera, ¿cuál es el mínimo número de pasos
que hacen falta para obtener esas 105 pilas?
Si no se pudiera, ¿cuál sería la razón que usted
invocaría para convencerme de que no fue que usted no pudo,
sino que nadie va a poder?
Ahora es su turno.
Respuesta
Como siempre, si no invirtió algún tiempo en pensar
razones para contestar que sí o que no, le propongo que no siga leyendo porque
en los próximos párrafos aparecerá la respuesta. Acá voy.
Como las tres primeras pilas tienen un número impar de
bolitas, la única operación permitida para empezar es la primera. Hay que
juntar entonces dos de las tres pilas.
¿De cuántas formas las podemos combinar? Hay tres maneras:
a. Juntar las pilas que tienen 5 y 49. En ese caso,
tenemos dos nuevas pilas. Una —nueva— de 54 bolitas y la otra, que ya existía,
de 51.
b. Juntar la de 5 y 51. Ahora tendríamos dos pilas.
Una de 56 bolitas y otra de 49.
c. Por último, podemos juntar las pilas de 49 y 51.
En esta situación, tendríamos dos pilas: una de 100 bolitas y otra de 5.
Quiero volver escribir las dos pilas en cada caso:
a. 54 y 51
b. 56 y 49
c. 100 y 5
Al llegar a este punto, ¿qué es lo que conjetura
usted que va a pasar? ¿Se podrá o no llegar a obtener 105 pilas de una bolita
cada una usando nada más que las dos operaciones?
Mi primera apuesta fue sospechar que no se iba a
poder, pero era nada más que eso… una sospecha. ¿Cómo convencerme?
Me quedé pensando: como solamente se pueden
hacer dos operaciones (sumar dos pilas o dividir una pila que
tenga un número ‘par’ de bolitas en dos pilas iguales), ¿qué propiedades
podrían heredar las nuevas pilas que voy obteniendo? ¿Por qué
escribo la palabra heredar? Me explico.
Fíjese que los dos números del caso (a) son
múltiplos de 3. Los del caso (b) son múltiplos de 7, y los del caso (c) son
múltiplos de 5.
Si uso la primera operación y sumo dos pilas que
tengan una cantidad de bolitas que sean múltiplos de 3, la suma también será
múltiplo de 3. Y lo mismo sucede con los múltiplos de 5 y de 7. En realidad,
ocurre algo mucho más general: si uno tiene dos números cualesquiera que son
múltiplos de n (cualquiera sea n), entonces
la suma también es múltiplo de n.[87]
¿Y qué pasa con la segunda operación?
En principio, para poder aplicarla, necesito que el número de bolitas de la
pila sea un número par. De acuerdo. ¿Será verdad que si divido en dos mitades
iguales una pila con un número par de bolitas que además sea
múltiplo de 3, las nuevas pilas ‘heredarán’ la propiedad de ser múltiplos de 3?
¿Y qué pasa con 5 o 7? ¿Pasará lo mismo? ¿Importará que 3, 5 y 7 sean
números primos o alcanzará que sean impares?
Seguro que hace falta —por lo menos— que sean
impares, porque si yo tomo el número 56, que es múltiplo de 8, al dividirlo por
2 obtengo 28, y claramente 28 ¡no es más múltiplo de 8! O sea, la propiedad de
ser múltiplo de 8 no la hereda la mitad. ¿Por qué pasará esto?
Porque el número 8 se ‘repartió’ en dos partes
iguales de 4 cada una. Es decir,
56 = 28 + 28
Si ahora escribo la ‘misma’ igualdad, pero
‘mirando’ lo que sucede con el 8 como factor:
56 = 7 × 8
56 = 28 + 28 = (7 × 4) + (7 × 4)
Es decir, lo que pasa es que el 8 se ‘repartió’:
una mitad (cuatro ) se fue para contribuir al ‘primer’ 28, y la
otra mitad (el otro cuatro) se fue con el ‘segundo’ 28. ¡Por eso
no hereda la propiedad!
Para ser más precisos, en algunos casos sí la
hereda y en otros no. Tome por ejemplo el número 32. Si uno tuviera
32 bolitas en una pila, al dividirla en dos pilas de 16 cada una, el número
16 también es múltiplo de 8.
Igualmente me quedé tranquilo: como los números 3,
5 y 7 son impares, no se van a poder ‘partir’ en dos. Al menos, no voy a
tener esa particular preocupación.
Pero fíjese qué interesante lo que pasa. Tome un
número X cualquiera que sea par y que además sea múltiplo
de 3. Este número X lo escribo así:
X = 2 × 3 × A
El 2 aparece como factor porque el número X es par,
mientras que el 3 aparece como factor porque el número X es múltiplo de 3.
Entonces, si usted divide X por la mitad, obtiene (3 ×A), que es múltiplo de 3.
O sea, si una pila tiene X bolitas (en donde X es
un número par) y quiero usar la segunda operación, puedo descomponerla en dos
pilas nuevas, cada una con (3 ×A) bolitas. Listo. Eso era lo que quería
comprobar. Las dos nuevas pilas heredan la propiedad de ser múltiplos
de 3 . Lo mismo sucede con una pila par que sea también múltiplo
de 5 o de 7.
Una vez que llegamos a este punto, creo que usted
advierte hacia dónde voy. ¿No quiere seguir por su cuenta?
Ahora tenemos una herramienta poderosa
que no conocíamos antes. No importa cuál de las operaciones usemos, si
empezamos con pilas que son ambas múltiplos de 3, todas las pilas que
vayan apareciendo (por divisiones o sumas), tendrán una cantidad de bolitas que
serán múltiplos de 3 . Y lo mismo si después del primer paso tenemos
pilas con números de bolitas múltiplos de 5 o de 7.
Luego, como el juego pregunta si se puede elaborar
una estrategia que permita llegar a tener 105 pilas de una bolita cada una, la
respuesta es ¡no! Y no se puede porque, empiece como empiece,
el número 1 no es múltiplo de ningún otro número entero positivo más que de él
mismo: no es múltiplo de 3, ni de 5 ni de 7.
Moraleja
Vuelva a poner las bolitas en la bolsa de plástico,
tome las instrucciones que había en el papel, ponga todo adentro de la caja,
ciérrela y devuelva el juego. Era muy fácil y encima se puede jugar una sola
vez. ¿Usted cree que hago mal en devolverlo?
48. ¿Dónde están los ases?
Este es un desafío interesante. Solo hay que
pensar. Es por eso que en un momento imaginé que el título de esta historia iba
a ser: “Lógica pura: ¿dónde están los ases?”. Es un problema muy sencillo de
presentar y, una vez resuelto, uno piensa: “Esto fue verdaderamente una pavada”.
De acuerdo, va a resultar una pavada, pero hay que pensarlo primero… y
resolverlo. Acá va.
Suponga que yo tengo tres cartas. Dos de ellas son
ases, y la tercera, un rey. No importa el palo, lo único que interesa es que
haya dos iguales y una distinta. Yo las voy a dar vuelta y, por lo tanto,
resultarán indistinguibles. Las ordeno en fila.
El objetivo es que usted sea capaz de
determinar con certeza dónde está ubicado uno de los
ases. Estas son las reglas.
1. Yo voy a ser la persona que distribuya las tres
cartas. Por lo tanto, seguro que yo voy a saber el lugar en
donde estarán ubicados los ases.
2. Usted podrá hacerme solamente una pregunta.
3. A esa pregunta yo podré contestarla con un ‘sí’
o con un ‘no’. Nada más.
4. En el momento en el que usted me formule la
pregunta, tendrá que apoyar un dedo en una de las tres cartas.
5. Si la carta que usted eligió para poner su dedo
es uno de los dos ases, yo voy a contestar su pregunta diciendo la verdad.
6. Si la carta que usted eligió para poner su dedo
es el rey, entonces mi respuesta puede ser verdadera o falsa, sin que usted
tenga manera de saberlo de antemano.
Bien, esas son las restricciones. ¿Qué pregunta me
haría para determinar con certeza dónde está ubicado
uno de los dos ases?
Yo sé que hay muchas preguntas que resuelven el
problema. Por lo tanto, si cree que encontró una de ellas, lo que yo escriba
acá no debería modificar lo que usted pensó. Si su pregunta
funciona y le permite detectar uno de los ases, no hay nada más que decir. Si
quiere, puede comparar con la que voy a proponer yo, porque no es que
haya una pregunta mejor y otra peor.
Si la pregunta resuelve el problema, listo.
Ahora bien, esta es mi propuesta: como las tres
cartas están ubicadas en una fila, hay una de ellas que está en el medio. Usted
apoya un dedo en la carta del medio y me pregunta: “¿La carta que queda a mi
izquierda es un as?”.
Fíjese ahora si usted, con esta pregunta y con mi
respuesta, estaría en condiciones de poder determinar con certeza dónde está
uno de los ases.
Sigo yo. Le voy a mostrar qué podría hacer usted.
Primer caso
Supongamos que yo le contesto que sí.
Puede que en el medio haya un as o no.
Si en el medio había un as, entonces, usted ya sabe
que mi respuesta tiene que ser verdadera y, por lo tanto, eso le sirve para
determinar que a su izquierda hay un as.
Si en el medio hubiera un rey, entonces usted no
sabe si mi respuesta es verdadera o falsa, pero… ¿por qué habría de
importarle? En definitiva, si el rey está en el medio, eso significa
que los dos ases están ubicados a cada uno de los dos costados. Por lo tanto,
no se puede equivocar: elija la carta que está a su izquierda y allí encontrará
un as. Y listo.
Moraleja (parcial): si yo le contesté que ‘sí’, no
importa si en el medio hay un rey o un as, usted descubre con certeza que, si
da vuelta la carta de la izquierda, allí tiene que estar uno
de los ases.
Segundo caso
¿Qué pasaría si yo le contestara no?
Igual que antes, puede que en el medio haya un as… o no. Veamos juntos que si
usted elige la carta de la derecha, allí tiene que haber un as seguro.
¿Por qué?
Si la carta del medio es un as, yo le habría
contestado la verdad al decirle que ‘no’. Luego, la carta de la izquierda no
es un as y, por lo tanto, la de la derecha sí tiene que serlo.
Si la carta del medio es un rey, usted no sabe si
yo le estoy contestando la verdad cuando le dije que ‘no’. Una vez más, ¿por
qué habría de importarle? Como yo le dije que ‘no’, usted vaya a la carta que
queda a su derecha y no tiene manera de errar porque a los dos costados tiene
que haber ases.
Moraleja final: si yo digo que ‘sí’, usted tiene
que elegir la carta de la izquierda y seguro que allí hay un as. Si yo le dije
que ‘no’, entonces elija la carta de la derecha, y tampoco le va a errar:
allí tiene que haber un as.
En definitiva, con esa pregunta y apuntando a la
carta del medio, seguro que encuentra un as. Y listo.
¿Es la única pregunta que lleva a la
solución? ¡Seguro que no! De hecho, usted podría haber
apuntado a la carta de la izquierda (por ejemplo) y preguntarme si en la carta
del medio hay un as, y fíjese que esa pregunta también lo
conduce a la solución. Como usted ve, hay muchas alternativas.
Ya se lo dije antes: ahora el problema parece
una pavada. ¿No es lo que pasa siempre cuando
uno ya conoce la solución?
49. La historia de mis ‘triunfos’ con María Marta
Un desafío. No, no me malinterprete: no es un
desafío que yo le quiero hacer. Le quiero contar una historia que involucra un
desafío. Me explico.
Hace unos días, estaba reunido con María Marta
García Scarano, la productora general de Alterados por Pi, y le
propuse un juego que después trataría de replicarlo con estudiantes de las
distintas escuelas públicas del país.
Le pedí entonces que consiguiéramos cuatro
‘cubitos’, como si fueran ‘dados’, pero de manera tal que cada cubo fuera de un
color distinto y que tuviera las seis caras ‘en blanco’, es decir, sin que
hubiera nada escrito en ellas.
A la media hora, ya teníamos los cubitos encima de
la mesa. Por el momento, para poder distinguirlos, los llamamos A, B, C y D.
Le dije entonces que yo habría de numerar las caras
de cada uno de ellos, pero no de forma convencional,
sino que habría de usar números naturales con dos particularidades:
a. Los números que aparecerían en cada cara no
tendrían por qué estar entre 1 y 6, sino que podría elegir cualquier número
natural. Por ejemplo, un dado cualquiera podría tener estos seis números en sus
caras: (7, 103, 215, 72, 1.450 y 2).
b. También se permitirían repeticiones en las
caras. Por ejemplo, uno de los dados podría tener estas seis caras: (9, 9, 9,
9, 145 y 145).
Al principio se mostró un poco sorprendida, al
ratito quedó todo claro: parecen dados convencionales, pero no lo son. Una vez
que nos pusimos de acuerdo con estas nuevas reglas, le dije que le
habría de proponer un juego, que también le propongo a usted.
Yo habría de numerar los cuatro dados cumpliendo
con las especificaciones que expliqué antes. Una vez que tuviéramos los dados,
ella elegiría primero un dado cualquiera. Después, yo elegiría
uno entre los tres restantes.
El juego es así. Empieza María Marta tirando su
dado. Después me toca a mí. Si ella saca un número mayor que el mío, gana ella
y se anota un punto. Si no, gano yo, y el punto viene para mí. Como se verá,
por la distribución de los números que voy a hacer, no hay
posibilidades de empate.
Aceptadas las condiciones, empezamos a jugar. Para
su sorpresa, a medida que tirábamos los dados más veces, mi puntaje empezaba a
ser mayor que el de ella, y cada vez de forma más evidente. No significa que yo
ganaba siempre, pero sí que, al acumular tiradas, yo me empezaba a distanciar
en el marcador.
Pasados unos minutos, me pidió si podíamos empezar
de nuevo, quería cambiar el dado que había elegido. Por supuesto, acepté. Una
vez que ella tenía su nuevo dado, yo elegí uno de los otros
tres… y seguimos jugando.
Después de otros diez minutos, y viendo que sucedía
lo mismo, me propuso parar y empezar nuevamente, pero esta vez María Marta
quería elegir otro de los dados que no había elegido antes.
Supongo que no hace falta que escriba que, aun así,
con el tercer dado (y después con el cuarto) yo volví a ganar, y de forma
consistente.
Una vez más, y esto es muy importante de
observar, yo no le ganaba todas las tiradas. Hubo momentos
en que ganaba María Marta, pero lo notable es que, al ir acumulando más y más
tiros, era evidente que yo había elegido un dado mejor que el que
tenía ella.
Naturalmente, lo impactante es que, a medida que
ella cambiaba de dado, parecía que tenía el dado ganador… ¡pero eso
nunca sucedía!
Pregunta: ¿quiere proponerse pensar cómo numerar
los cuatro dados para que suceda lo que acabo de describir?
Como verá, no hay una única forma
de numerar los cuatro dados. De hecho hay infinitas maneras de
hacerlo. ¿Quiere pensar al menos una de ellas?
Una solución posible
Como siempre, mi aspiración es que usted haya
intentado por su cuenta. Si lo que está a punto de hacer (leer una potencial solución)
es la culminación de un proceso en donde usted no pudo encontrar lo que
buscaba, todo bien. Pero si no se dio a usted misma/o la oportunidad de pensar
nada, ¿qué gracia tendría? Más aún: le preguntaría (si estuviéramos juntos)
¿dónde cree usted que está la mayor dificultad? O mejor aun, ¿cuál
es la dificultad?
Sigo yo.
Una distribución posible es la siguiente:
Dado A = (5, 5, 5, 6, 6, 6)
Dado B = (1, 1, 7, 7, 7, 7)
Dado C = (3, 3, 3, 8, 8, 8)
Dado D = (4, 4, 4, 4, 10, 10)
Le propondría que usted verificara que estos cuatro
dados proveen la solución que buscábamos. ¿Por qué?
Fíjese en la grilla siguiente, en
la que voy a ubicar las seis caras de cada uno de los dados, el A y el B. En la
primera fila, figuran los números de las caras del dado A, y en la primera
columna, los números que están en las caras del lado B.
Como usted ve, de las 36 formas de combinar las
seis caras de A con las seis caras de B, el dado B gana en 24, o sea en dos de
cada tres casos.
Un paso más. ¿Qué sucedió cuando María Marta
(usted) eligió el dado B? Ella pensó que ahora tenía el dado ‘ganador’.
Sin embargo, cuando yo tenía el dado B, ella tenía
el dado A. Yo sabía que ese era un dado que yo no tenía que elegir,
y por eso elegí el C. Mire lo que sucedió.
Una vez más, el dado C resulta ganador en 24 de las
36 combinaciones posibles.
Creo que ahora usted ya descubrió qué es lo que
sucede. Cuando María Marta eligió el dado C, yo elegí el D y pasó esto:
Otra vez, el dado D le gana al dado C en 24 de las
36 oportunidades. Por último, cuando ella eligió el dado D, yo elegí el dado A
y, como usted imagina, volvió a pasar lo mismo.
Reflexiones
a. Creo que queda claro que usted podría
fabricarse sus propios dados y lograr que pase lo mismo. Más aún: a
esta altura usted entiende por qué escribí antes que hay infinitas formas
de numerar las caras de manera tal que los resultados sean los que buscábamos.
b. Estos ejemplos ponen ‘a prueba’ una noción que
los humanos adquirimos en el colegio y que no siempre es cierta: la transitividad.
Es decir, uno supone que si A le gana a B y B le gana a C, entonces A tiene
que ganarle a C. Bueno, eso no siempre así. Es una propiedad que hay
que verificar si se cumple o no. Por ejemplo, la hermandad es
una propiedad transitiva: decir que A es hermano de B y B hermano de C permite
concluir que A es hermano de C. Por otro lado, lapaternidad no lo
es: que A sea el padre de B y B sea el padre de C no implica que
A sea el padre de C. Y los ejemplos siguen.
c. En el caso que presenté antes, fíjese que el
dado B le gana al dado A, el dado C le gana al dado B, el dado D le gana al
dado C y al final, y casi misteriosamente, ¡el dado A le gana al
dado C!
d. Por último, todos estos juegos forman parte de
‘hacer matemática’ y de aprender a pensar ‘jugando’. No es menor. ¿Por qué no
lo hacemos en las escuelas?
Una última invitación a pensar: ¿Se podrá hacer con
un número diferente de dados? Es decir, ¿se podrá hacer con tres dados? ¿Y con
cinco o más? Esta parte se la dejo a usted.
50. El reloj de Fibonacci
Dentro de poco se van a cumplir quince años de una
charla que fue una de las más concurridas de la historia de nuestra facultad,
Exactas (UBA). Se desarrolló en el aula magna del pabellón dos y participamos
todos: estudiantes de las carreras que se cursan allí y también profesores de
los departamentos de Matemática, Física, Ciencias de la Computación, Química,
Geología, Biología y seguramente me olvido de algunos. Había gente sentada en
los pasillos, otros participaron de pie en lugares desde donde se podía
escuchar pero no se podían ver los pizarrones… algo así como un sueño. El tema
fue “La sucesión de Fibonacci [88] y el
Número de Oro”. La duración habitual de una charla de divulgación de estas
características es alrededor de una hora, pero esa vez estuvimos allí más de
cuatro horas y terminamos solo porque había que apagar la luz y los colectivos
ya no habrían de llegar más hasta Ciudad Universitaria. Fue un momento
maravilloso y, en alguna oportunidad, voy a tratar de escribir un resumen de lo
que allí se dijo, tarea ciertamente imposible si pretendo que sea exhaustiva.
Pero para variar… me desvié.
En busca de aplicaciones más actuales de la
sucesión de Fibonacci, me tropecé con la página web [89] de un
diseñador canadiense, Philippe Chrétien. Llegué hasta allí porque Philippe está
(o estaba) tratando de juntar fondos para lanzar una compañía que le permitiera
producir —en serie— un reloj que él llamó ‘El reloj de Fibonacci’. Eso solo ya
me invitó a ver el video en el que muestra cómo lo construye[90], pero me
tenía confundido que no podía deducir cómo funcionaba el reloj. Es decir: todo
muy interesante, diseño, estética, colores, hasta el ‘nombre’, pero para que se
llame reloj, al menos por ahora, hace falta que ‘marque la hora’,
¿no?
Cuando finalmente comprendí lo que hacía, me
pareció que sería interesante compartirlo. Esa es la historia que quiero contar
acá.
Empiece por la figura 1. La foto que usted ve es el
resultado final, el reloj ya terminado.
Figura 1
Si le presta atención al diseño verá que hay cinco
cuadrados. El más grande (en área) es el que está apoyado sobre la derecha del
rectángulo y mide (5 × 5). El segundo más grande está apoyado en la base y mide
(3 × 3). Luego, hay uno un poco más chico que mide (2 × 2), y dos cuadraditos
iguales cuyas dimensiones son (1 × 1), como se ve en la figura 2.
Figura 2
Acá aparece el primer dato interesante: tanto los
lados de los cuadrados como los de la caja se corresponden con los primeros
números de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5 y 8. Los cinco primeros
coinciden con los lados de los cuadrados. Por otra parte, tanto la base del
rectángulo (ocho) como su altura (cinco) son también números de la misma
sucesión. No incluyo la profundidad de la caja, primero porque no la sé, y
segundo porque no participa en ‘comunicar’ la hora.
Ahora, le pido que me tenga un poco de paciencia y
verá que todo comienza a tener sentido.
La pregunta que todavía sigue sin contestar es:
¿cómo hace esta caja rectangular con los cuadrados incluidos para marcar la
hora?
Empecemos por acá. Le voy a mostrar cómo se pueden
‘generar’ todos los números que van desde el 1 hasta el 12.
Para eso, voy a elegir algunos de esos cinco números (1, 1, 2, 3, 5) y los voy
a sumar. Fíjese en esta lista:
1 = 1
2 = 2
3 = 3
4 = 3 + 1
5 = 5
6 = 5 + 1
7 = 5 + 2
8 = 5 + 3
9 = 5 + 3 + 1
10 = 5 + 3 + 2
11 = 5 + 3 + 2 + 1
12 = 5 + 3 + 2 + 1 + 1
Ahora bien: ¿cómo hace ‘la caja’ para marcar —por
ejemplo— la hora seis? Observe la figura 3. Allí pinté de negro el
cuadrado de (5 × 5) y también uno de los dos cuadraditos de (1 × 1). Al
sumarlos (5 + 1) se obtiene el número de horas que estaba buscando [91].
Figura 3
Otro ejemplo. Fíjese en la figura 4. Los dos
cuadrados que aparecen pintados de negro son el de (3 × 3) y el de (1 × 1). Por
lo tanto, la hora que marca el reloj en este caso se obtiene
sumando (3 + 1), o sea que son las cuatro.
Figura 4
Una observación que quizás debí haber hecho antes:
cada vez que un cuadrado aparezca en blanco (sin pintar) significará que no
aporta nada para las horas, y después se verá que tampoco agrega
nada a los minutos.
Hablando de minutos, quiero mostrar cómo hace el
reloj para indicarlos. Cuando vi la caja por primera vez, me tenía confundido
lo siguiente: si uno tiene a su disposición nada más que los
cuadrados marcados en el reloj, ¿cómo hace ahora para conseguir, con distintas
sumas, todos los números que van desde el 1 hasta el
59?
Bueno, ¡no se puede! Y acá es donde Chrétien tuvo
otra idea: decidió que el reloj solamente va a marcar los minutos en múltiplos
de a cinco. Lo escribo de nuevo: el reloj no va a marcar minuto por
minuto, sino que va a dar ‘saltos’ de cinco minutos cada vez. Por ejemplo,
uno no podrá indicar las 7:32.
El reloj llegará hasta las 7:30 y se mantendrá allí
hasta que sean las 7:35. En ese momento sí producirá un
cambio perceptible, pero en el medio, entre 7:30 y 7:35, la caja estará todo el
tiempo estacionada en 7:30. De alguna manera, el precio a
pagar para hacer un reloj de estas características es que uno se pierde la
precisión del ‘minuto a minuto’. “No importa”, pensé, “¿quién necesita de todas
formas tanta precisión?”. Y seguí.
Paso a contestar la otra pregunta.
¿Cómo hacer para que los mismos cuadrados que indicaban las horas indiquen los
minutos? Una ventaja para Philippe es que él puede disponer de colores y yo no.
O sea, él pinta de diferentes colores los cuadrados de las horas y los de los
minutos. Como yo no tengo colores, lo que voy a hacer es ‘rayarlos de forma
vertical’. Fíjese en la figura 5: aparecen ‘rayados’ dos cuadrados: el de (2 ×
2) y el de (5 × 5). ¿Significa que el reloj marca siete minutos, como hacía
con las horas? No. Lo que pensó Chrétien es volver a sumar las longitudes de un
lado de cada cuadrado involucrado, pero al resultado —y esta modificación es
una ‘gran idea’— lo multiplica por cinco.
Figura 5
En la figura 5, como la suma es de (2 + 5) = 7, al
multiplicarlo por cinco se obtiene 35. Es decir, si los dos
únicos cuadrados que aparecen con algún color en el reloj son los dos rayados
de (5 × 5) y de (2 × 2), entonces el reloj está marcando 35 minutos.
Ahora, en la figura 6 dibujé una combinación de
ambos ‘colores’ (aunque para mí/nosotros se trata de cuadrados pintados o bien
de negro o bien rayados de forma vertical). Por un lado, están pintados de
negro el de (3 × 3) y uno de los cuadrados de (1 × 1). Por el otro, están
rayados los cuadrados de (2 × 2) y el de (5 × 5). ¿No quiere pensar usted qué
hora está marcando el reloj en ese momento?
Figura 6
Sigo yo: para las horas, hay que sumar (3 + 1) = 4.
Para los minutos, hay que sumar (2 + 5) = 7 y multiplicar por cinco,
y se obtiene el número 35. En definitiva el reloj marca ahora las 4:35.
Si me siguió hasta acá, supongo que a esta altura
usted debe estar pensando: ¿cómo hago si necesito usar algún cuadrado tanto
para las horas como para los minutos?
Por ejemplo, si en el caso anterior, en lugar de
marcar las 4:35 yo necesitara marcar las 9:35, ¿qué habría que hacer? Habría
que utilizar el cuadrado de (5 × 5) tanto para las horas como para los minutos.
¿Y entonces?
Antes de avanzar con la respuesta que encontró
Chrétien, le propongo que piense qué haría usted. En definitiva, todo este
artículo tiene ese objetivo: buscar dónde están las ideas.
Aunque parezca una trivialidad, creo que no lo es.
Lo que hace el reloj es usar un color diferente que el que ya usó para las
horas y minutos, es decir un tercer color. Usó uno
que aporta solamente para las horas, otro color que sirve para indicar los
minutos y finalmente un tercer color, de manera tal que, cada vez
que aparezca un cuadrado pintado con este nuevo color, aportará tanto
para las horas como para los minutos.
Como yo sigo sin poder usar colores, cuando quiera
que un determinado cuadrado participe tanto en las horas como en los
minutos, voy a pintarlo ‘con puntitos’, como se ve en la figura 7.
Figura 7
Permítame sugerirle algo: compare la figura 6 con
la figura 7. La única diferencia es que el cuadrado de (5 × 5)
ahora aparece ‘punteado’. El resto sigue todo igual. Luego, el cuadrado de (5 ×
5) aportará un cinco tanto a las horas como a los minutos.
Calculemos las horas y los minutos por separado.
Para las horas, en principio aparecen pintados de negro los cuadrados de (3 ×
3) y (1 × 1). Estos dos cuadrados ya indican que son las cuatro.
Sin embargo, como también interviene el cuadrado de (5 × 5),
porque ahora aparece ‘punteado’, entonces hay que sumar un cinco a
las cuatro que había antes. Moraleja: el reloj marca que
las horas son nueve, ya que (4 + 5) = 9.
Para los minutos hago lo mismo. El único cuadrado
que aparece rayado es el de (2 × 2). Pero como el de (5 × 5)
está ‘punteado’, entonces tengo que sumar (2 + 5) = 7, y luego multiplicar
por cinco. En consecuencia, ahora hay 35 minutos. La hora que
marca el reloj de Fibonacci con ese diseño se corresponde con las 9:35. Si
usted observa lo que hice, el número de minutos no se modifica entre las
figuras 6 y 7, ya que, si bien ahora aparece rayado solamente el
cuadrado de (2 × 2), al estar ‘punteado’ el de (5 × 5) sigue aportando el
número cinco para calcular los minutos.
En definitiva, la hora que indica la figura 7 es
las 9:35.
Para terminar, me imagino que usted se debe de
estar preguntando: ¿quién —en su sano juicio— habría de hacer este tipo de
ejercicio que solo conduce a saber la hora?
Respuesta: posiblemente nadie, sobre todo si está
apurado por conocerla. Pero lo que es innegable es que esta idea de
Chrétien [92] transformó
un acto rutinario y aburrido en excitante y entretenido.
Apéndice: la sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci se construye así. Los dos
primeros términos son dos números uno. Es decir:
1, 1
A partir de ahora, verá cómo con estos dos números
uno se fabrica todos los que siguen. El tercer número de la
sucesión se calcula sumando los dos últimos. Usted debe estar
pensando: “¿Cómo los dos últimos, si solamente tenemos los dos primeros?”. Es
verdad, pero estos dos números uno son los dos primeros pero
también los dos últimos.
Como (1 + 1) = 2, entonces el siguiente número de
la sucesión es dos. Ahora tenemos tres números:
1, 1, 2
Para calcular el que sigue, hago lo mismo, es decirsumo
los dos últimos. Como (1 + 2) = 3, el siguiente término es un tres. Se
tiene:
1, 1, 2, 3
Y así sigo. Una vez más, el próximo aparecerá al
sumar los dos últimos. Por lo tanto, será: (2 + 3) = 5.
1, 1, 2, 3, 5
Como usted advierte, todo lo que
uno tiene que hacer en cada paso es sumar los dos últimos números y
seguir indefinidamente.
Los primeros términos son:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
y así podría continuar indefinidamente.
Esta sucesión tan inocente aparece de forma visible
o intangible en muchísimos lugares de nuestras vidas. No es este el lugar para
que me extienda sobre ella, pero su presencia es fascinante porque emerge
inesperadamente en lugares insólitos. Hay muchísima literatura escrita al
respecto y, si le interesa, ponga en cualquier buscador el
nombre Fibonacci. No le alcanzará el tiempo que le queda de vida para
leer todo lo que ya hay escrito.
51. Prejuicios
La revista Science aparece una vez
por semana. Contiene artículos de múltiples disciplinas y permite tener una
visión panorámica de lo que está ocurriendo en la frontera del conocimiento. En
su edición del 14 de abril de este año[93], apareció
publicado un trabajo —en principio— inocente. Sin embargo, por razones que
usted verá si sigue leyendo, podría tener un impacto brutal en
un futuro no muy lejano. Créame, a esta altura, me parece que debí haber
puesto presente en lugar de futuro no muy lejano,
pero en algún sentido me estoy protegiendo. El artículo advierte sobre la
extrapolación de algunos de nuestros prejuicios a los programas que funcionan
en computadoras, teléfonos, tabletas, etcétera.
Me imagino su cara, como si me estuviera
preguntando: “¿Qué? ¿De qué habla?”. Téngame un poco de paciencia y verá cómo
todo cierra al final… o al menos eso espero. En principio, quiero narrar
algunas historias que parecen desvinculadas. La conexión la hacemos —juntos— al
final. Acá voy.
Primera parte
Los seres humanos, con mayor o menor nivel de
conciencia, tenemos una alta capacidad para ‘segregar’. Cuando nos descubrimos
en ‘falta’, el monitor ético que —supongo— cada uno tiene instalado con
diferentes grados de eficiencia se pone en funcionamiento. Si detecta una
‘falla’ en nuestro comportamiento, o lo que considera que es una ‘falla’, se
activa, interviene y corrige.
Hay un ejemplo muy conocido que habla de un padre
que va con su hijo de ocho años manejando y tienen un accidente en la ruta que
termina con la muerte instantánea del adulto. El niño es trasladado a una
clínica local y requiere de una atención que los médicos del lugar no están en
condiciones de dar. Como no lo pueden trasladar, se comunican con el Hospital
de Niños de la ciudad importante más próxima e invitan a una eminencia que
trabaja allí para que los visite en el sanatorio del pueblo. Cuando llega y le
presentan el caso, le preguntan si está en condiciones de hacerse cargo de la
criatura. Quien llegó desde la ‘gran ciudad’ contesta: “¿Cómo no lo voy a
atender si es mi hijo?”.
Aquí permítame sugerirle que no avance con este texto
hasta no leer la nota completa y resolver el test [94]. Hágalo y
después vuelva a este artículo. Si sigue leyendo, se perderá de poder ponerse a
prueba. Créame que ‘vale la pena’.
Por otro lado, si usted ya sabe de qué estoy
hablando, estoy ‘casi’ seguro de que le pasó algo muy curioso. De hecho, si yo
le preguntara: ¿puede una mujer ser una eminencia?, es muy posible
que nunca llegue a contestarme porque no podría entender que ‘quepa’ ese tipo
de cuestionamiento. Lo mismo sucedería al revés, si la pregunta fuera: ¿puede
una eminencia ser una mujer?
Si yo voy ‘de frente’ y le pregunto, usted lo
entendería (o debería entenderlo) como un insulto… ¡y tendría toda la razón del
mundo!
Sin embargo, cuando yo entro ‘por la puerta de
atrás’, por un lugar donde usted no me está esperando, y la/lo sorprendo con la
guardia baja, ahí sí se disparan con tranquilidad los prejuicios que tenemos
embebidos en nuestro ser. Al no haber un ‘filtro’ al que estamos acostumbrados,
aparecen en la superficie todas las deformaciones de la cultura: uno queda
expuesto en un estado de indefensión, desnudo y vulnerable. Incómodo y molesto,
no necesariamente con el ‘otro’, sino con uno mismo.
La Universidad de Harvard, en Massachusetts,
Estados Unidos, hizo una serie de estudios interactivos que se pueden encontrar
en internet [95]. Lleva el
nombre de “Project Implicit” (“Proyecto Implícito”). Si me permite otra sugerencia,
participe de alguno de ellos. Le servirá para ‘descubrir’ cosas de usted que
muy posiblemente ignore.
El estudio está dividido en varios capítulos, y la
idea es detectar y describir nuestras ‘segregaciones’, ya sea ante personas de
distinto color de piel, género, nacionalidad u orientación sexual. En realidad,
es muchísimo más amplio, pero creo que esos ejemplos son suficientes. La idea
entonces es aprovechar de este tipo de testes para aprender un poco más sobre
cómo somos, cómo pensamos, cómo sentimos, cómo prejuzgamos, cómo juzgamos, cómo
segregamos, cómo preferimos… y sirve para poder exhibir(nos) como somos. En el
camino, expone lo que nos queda más natural y casi ‘instintivo’ con lo que está
aprendido y, eventualmente, deformado por la propia cultura en la que uno se
desarrolla.
La ventaja que tiene este tipo de procesos es que
la evaluación es ‘fáctica’, no es opinable. Como hice antes
con el ejemplo de la ‘eminencia’, si yo ahora le preguntara de forma directa:
“¿Usted es racista?”, supongo que la abrumadora mayoría (y mientras
tipeo estas líneas me preocupa no poder poner que el cien por cien de las
personas) contestarían que ¡no! Pero cuando uno/a está solo/a y dispuesto a
enfrentarse con preguntas a las que no está acostumbrado y a contestar
honestamente, descubre que no somos exactamente lo que creemos ser :
somos mucho más racistas de lo que nos damos cuenta o nos
queremos dar cuenta.
Justamente, los resultados de los estudios de
Harvard sirven para mostrar las desviaciones, las tendencias, las
segregaciones, los prejuicios, etc., que todos tenemos.
Un ejemplo del que participé. La pantalla de mi
computadora aparece dividida en dos, de forma vertical. El programa me advierte
que irán apareciendo palabras asociadas con algo placentero:
felicidad, paraíso, belleza, festival, crepúsculo, playas, montañas… Otras
tendrán la connotación opuesta: infierno, desastre, fealdad, pútrido, insectos,
terror, peligro… Después, me ofrece recortes de ‘caras’. Algunas corresponderán
a personas de tez blanca y otras serán de tez negra. Además, hay una serie de
palabras como ‘yo, mío, mi grupo’ y otras como ‘ellos, ustedes, ese grupo, el
otro grupo’.
Una vez establecidas las reglas, comienzan las
asociaciones. Al finalizar, no solo están medidas mis ‘preferencias’ o
‘desvíos’, sino también el tiempo que tardé en elegir. Es
decir, les fue posible determinar cuánto me ‘sale natural y más instintivo’ que
lo que ‘tengo que pensar’.
Por más protegido y preparado que creí que estaba,
igualmente aparecieron mis desviaciones y mis prejuicios. Son brutales porque
están medidos por parámetros en los que no intervienen
personas. El resultado no miente. Una vez más, si tiene tiempo, no
deje de hacerlo.
No pretendo enfatizar este experimento
en particular porque no soy un experto en sociología (ni mucho menos), pero lo
que sí me quedó claro es que fue una buena manera de descubrir
y exponer mis propios prejuicios.
Segunda parte
Históricamente, las computadoras se programaban
dándoles instrucciones ‘paso por paso’. “Haga tal cosa”. Después, “haga tal
otra”. “Si llegó a tal lugar, pare”. “Si no, de un paso más”. “Evalúe de nuevo:
¿llegó?”. “Si la respuesta es sí, deténgase”. “Si la respuesta es no, dé un
paso más”. Todo bien estructurado y elaborado.
Pero eso era antes. Ahora no. Por
ejemplo, si usted quiere enseñarle a un robot a cruzar la calle, los avances en
‘inteligencia artificial’ le permiten hacer lo siguiente: usted alimenta el
programa con un millón de casos en los que una persona cruza bien.
Le muestra entonces cómo cruzar cuando le alcanzó el tiempo para ir de una
vereda a la otra. Por otro lado, le incorpora otro millón de casos en los que
una persona cruza mal: o bien es atropellada, o bien tiene que
correr desesperada, cuando es protagonista de un ‘casi’ accidente. Es decir,
usted le muestra lo que ‘conceptualmente’ es ‘cruzar bien’ y la
diferencia con ‘cruzar mal’.
Lo extraordinario es que estamos en un momento en
el que la computadora… ¡aprende! Ese ha sido (y es) un momento muy particular
en la evolución y el desarrollo de lo que se llama ‘machine learning’ [96]. Los autos
empezaron a manejarse solos, los drones ya existen en la vida cotidiana, las
casas inteligentes activan sus termostatos para adecuarse a los distintos tipos
de temperaturas, las luces se encienden o apagan solas, hay hornos que cocinan…
la lista podría seguir. La máquina ya empieza a detectar sus gustos: qué
libros, qué películas o series, qué temperatura, qué restaurantes, qué
deportes, qué hoteles, qué rutas…
Hay muchísimos más casos, y si le interesa el tema
le sugiero que lea lo que está sucediendo hoy con dos programas específicos:
DeepMind (AlphaGo) y Libratus. El primero[97] ya les
ganó dos veces a los campeones mundiales de Go. En 2016, superó 4-1 al
surcoreano Lee Sedol. En mayo de 2017, el mismo programa, ahora mejorado, le
ganó 3-0 al chino Ke Jie. Google, el dueño de estos avances en inteligencia
artificial, anunció que se retirarán de la competencia. Ya demostraron todo lo
que tenían que demostrar y ahora utilizarán lo que aprendieron para mejorar la
detección de enfermedades y la capacidad para encontrar medicamentos hechos ‘a
medida’.
Por otro lado está Libratus [98], el programa
que diseñaron en Pittsburgh, Estados Unidos, en la Universidad Carnegie Mellon,
y que superó a principios de 2017 a los cuatro mejores jugadores de póker del
mundo.
Lo extraordinario es que en ninguno de los dos
casos hizo falta usar (únicamente) ‘la fuerza bruta’ que provee la memoria de
las computadoras [99]. No. Ahora
los programas ¡aprenden! La computadora aprende jugando contra ella misma y lo
hace tan rápido que los mejores exponentes de nuestra especie ya no pueden
competir. Encima, como en el caso del póker, la computadora también aprendió
a ¡mentir! A hacer ‘bluff’, a engañar. Ahí tiene otro salto
impactante.
Conclusión
¿Qué relación hay entre estas historias?
El artículo de la revista Science hace
una advertencia. Si los humanos, nos guste o no, tenemos prejuicios enquistados
y embebidos en nuestro ser, y los programas ahora aprenden cuando
les mostramos lo que ‘está bien’ y lo que ‘está mal’… esos mismos programas
¡están heredando esos prejuicios! Y los van a aplicar en la vida cotidiana que
se avecina. Pero lo que es mucho más grave, como señalan los autores, es que a
usted y a mí, al hombre, nos queda esa suerte de ‘monitor ético’ que nos
permite distinguir lo que hacemos. Las computadoras no lo tieneny, por
lo tanto, no harán ninguna diferencia.
La preocupación entonces es que los estereotipos
culturales seperpetúen y profundicen. El primer paso incluye detectar
el problema, reconocerlo y ¡corregirlo!
Afortunadamente, siempre hay gente como Caliskan y
sus colaboradores, que son capaces de observar desde otro lugar. Ahora hace
falta reaccionar e incorporar en los programas la capacidad de detectar las
segregaciones que las máquinas presenten como ‘naturales’ y aplicarles el mismo
‘código ético’ que tenemos los humanos.
52. Tesla
Sábado 24 de junio de 2017. La cita es a las dos de
la tarde en Highland Park, un suburbio a unos 35 kilómetros al norte de
Chicago. Llegué diez minutos antes y, ni bien entré, me estaban esperando, como
si supieran de mi ansiedad. Me pidieron mi registro para conducir, no necesité
demostrar que era mayor de 18 años: me creyeron.
Scott, un joven que no tendría 30 años, había sido
designado por la concesionaria para que fuera mi acompañante. Él me habría de
ilustrar. Me acompañó hasta la puerta delantera izquierda y me ofreció el
asiento del conductor. Cerró mi puerta (por gentileza) y se fue del otro lado,
al lugar del acompañante. Nos abrochamos los cinturones. Me señaló un botón. Lo
apreté, pero no sentí ninguna diferencia. No podía distinguir que ahora el auto
se había ‘encendido’.
En el lugar en el que habitualmente está la radio,
había una pantalla como las que usan los navegadores, los GPS, pero estaba
ubicada de forma vertical y era enorme, como si fuera un monitor de computadora
de 17 o 20 pulgadas. Scott fue poniendo sus dedos allí como quien está jugando
con la pantalla de un teléfono celular o una tableta. Eligió un destino
relativamente cercano, a unos cinco kilómetros de donde estábamos. En el mapa
apareció dibujado el camino que el auto habría de tomar.
Me indicó que subiera una palanquita
pequeña, que estaba ubicada a la derecha del volante, para indicarle al
auto que estábamos dispuestos a que nos llevara. Y arrancó. Dobló a la
izquierda y paró en la esquina. No venía nadie, pero había un cartel sobre la
derecha que decía STOP. En los Estados Unidos, esos carteles se respetan. Los
sensores habrán determinado que no había ningún peligro en seguir, y el auto se
puso en marcha nuevamente. Ignoro cómo sabía a qué velocidad podía ir, pero
como era una calle que ni siquiera estaba bien pavimentada, no iba muy rápido.
Llegamos a la entrada de la autopista y se detuvo. Presumo que los sensores
habrán hecho lo que haríamos usted o yo: mirar hacia la izquierda y estimar el
momento adecuado para poder ingresar y mezclarnos con el tránsito que venía
circulando. En menos de cinco segundos ya estábamos en la autopista. Eso sí:
antes dejó pasar a dos camiones y un colectivo que venían sobre el carril
derecho.
Creo que todavía no escribí que la última vez que
yo había tocadoalgo dentro del auto fue en el momento en que
moví hacia arriba la ‘palanquita pequeña’. El tablero que tenía adelante
parecía el de un avión. El número que indicaba la velocidad era el más grande.
Cuando alcanzamos las 70 millas por hora (un poco más de 110 kilómetros por
hora), Scott me preguntó cuál era mi país de origen. “Argentina”, le dije. En
la pantalla vertical, empecé a leer los nombres de los distintos continentes.
Él apretó Sudamérica[100]. Aparecieron
los nombres y las banderas de todos los países. Apretó Argentina y me ofreció
que pusiera el dedo en la emisora que quisiera. A todo esto, mientras
buscábamos la frecuencia 750 en la banda de AM, los dos habíamos dejado que el
auto siguiera conduciéndose sin nuestra supervisión… o al menos la mía. ¡Él se
maneja solo!
El resto es fácilmente imaginable. Llegamos al
lugar previsto sin que yo participara activamente en nada, salvo que se
considere que hacer preguntas tiene incidencia sobre la performance del auto.
Ahora, lea esto con atención. El auto buscó un
lugar para estacionar(se). Sí. Anduvo despacio por la calle en la que habríamos
de dejarlo hasta que (se) encontró un lugar. Y estacionó solo. Así de fácil.
Hizo lo que haría usted (o yo): se puso paralelo y después retrocedió hasta
ubicarse en el sitio que había elegido, y en dos maniobras se detuvo. Hice más
preguntas y volvimos. En realidad, tanto Scott como yo podríamos habernos
sentado atrás. En los semáforos esperó respetuosamente en las cebras a que cruzaran
los peatones. Cuando los vehículos que estaban delante nuestro en la autopista
aminoraban la velocidad, el Tesla también lo hacía, manteniendo una distancia
prudente (por si tuviera que frenar bruscamente, supongo). El auto sabe también
cuál es la velocidad máxima permitida y se adapta. Si usted quiere pasar un
vehículo que tiene adelante, todo lo que tiene que hacer es poner la luz de
giro. Esa es la indicación. En el momento en el que el tránsito lo permita, el
Tesla acelera y lo deja atrás.
Supongo que a usted se le deben estar ocurriendo
muchísimas preguntas. Créame que a mí también, pero nada supera
saber que uno está sentado en el asiento del conductor de un auto, no toca el
volante, ni el acelerador ni el freno, nada y, sin embargo, todo funciona como
sucede habitualmente. Hubo momentos en los que ni siquiera mirábamos hacia
adelante… y el vehículo seguía recorriendo el camino a más de 110 kilómetros
por hora.
Antes de escribir algunas otras cosas que me
asombraron, un detalle más. Cuando llegamos a la concesionaria, los autos
estaban todos estacionados de forma perpendicular. El espacio que había
disponible habría impedido que yo abriera la puerta y saliera. En realidad,
quizás habría podido, pero lo más probable habría sido que raspara el auto del
costado. No hizo falta. Scott me ofreció que bajáramos del auto cuando aún
estábamos lejos del cordón. Lo hicimos. El Tesla se terminó de estacionar solo,
sin humanos que lo habitaran.
Ahora sí, varios datos, algunos muy importantes. La
prueba que hicimos con el auto es —todavía[101]— ilegal. No
se permite que un vehículo se ‘automaneje’. La razón es que aún no están las
regulaciones pertinentes. Lo que sí está permitido es que lo
haga una vez que entra en una autopista; allí sí, todo lo que describí lo puede
hacer sin problemas. Puede cambiar de carril, aminorar la velocidad o adaptarla
al auto o a los autos que tenga a su alrededor. Por supuesto, se puede
‘autoestacionar’ de las dos formas: paralela o perpendicular.
Pero lo importante es que el auto está preparado
para recibir la mejora en el software que le permita hacer todo lo que yo viví
en mi viaje personal. Es decir: en el momento en que las regulaciones lo
permitan, los Tesla estarán preparados para incorporar la nueva
tecnología sin que se requiera de ninguna modificación del hardware ,
o sea, sin que cambie nada físicamente.
Como los autos son eléctricos, necesitan cargar su
batería. Dependiendo del modelo, una carga completa permite recorrer alrededor
de 550 kilómetros. Los números que usted lee en estas líneas son variables,
pero le van a dar una idea de lo que se puede hacer hoy.
Hay tres tipos de cargadores para las baterías. El
más rápido se llama ‘supercharger’ (‘supercargador’). Si enchufa el auto a uno
de ellos, la batería se carga para ofrecerle una autonomía de más de 500
kilómetros ‘por hora’ de carga. Es decir: una hora de carga le permite recorrer
500 kilómetros.
El segundo tipo de cargador es diez veces más
lento. Para obtener 500 kilómetros de independencia, el auto necesita estar
enchufado 10 horas. Las cuentas son sencillas: por cada hora de conexión, usted
le agrega a su batería 50 kilómetros de recorrido.
Por último, yo hice la pregunta obvia: si no
encuentro un ‘supercharger’ ni un cargador de este tipo, ¿qué hago? Lo notable
es que la respuesta es también obvia: ¡enchúfelo a la corriente común! Claro,
como es previsible, esta variante es más lenta aún: una hora de conexión
resulta en solamente cinco kilómetros de independencia.
La ventaja enorme es que uno nunca más tiene que
cargar combustible.
La desventaja es que incluso una ciudad tan grande
como Chicago, la tercera en población en el país, tiene un solo
supercargador en todo el centro. Hay varios más, pero en
los suburbios. Eso sí, de los otros hay muchísimos, pero de los rápidos,
todavía no.
Por supuesto: enchufes hay en todos lados, pero no
me imagino a una persona yendo con un cable de 50 o 100 metros tratando de
buscar dónde enchufar el auto aunque esté en el garaje en el que estaciona
habitualmente.
Otra ventaja. Los modelos más caros (y más rápidos)
de Tesla vienen con un ‘plus’ muy significativo. Toda vez que usted use
un supercargador, la compañía le ofrece que cargue su auto gratis…
¡de por vida! Es decir, en el momento que haya más supercargadores en una
ciudad, o si usted tiene la paciencia de esperar para ‘cargar’ su batería en
uno de ellos, nunca más pagará por combustible ni tampoco por electricidad: la
energía la recibirá como ‘regalo’… y para siempre.
¿Y la velocidad? El modelo más caro (que cuesta
casi 150 mil dólares) es más rápido que una Ferrari. Lo voy a escribir de
nuevo, por las dudas que usted piense que hay un error: ¡es más rápido que
una Ferrari! El modelo en el que me llevó Scott es el vehículo más veloz en
el que yo me senté en mi vida (que fuera a ras del piso). Solamente en un avión
fui más rápido. Es decir, no creo que haya problemas de velocidad [102]. Este
modelo, dependiendo de los ‘agregados que usted haga’, está en el orden de los
100 mil dólares.
El Tesla está preparado para que usted lo encienda
‘a distancia’, controlándolo con su teléfono celular a través de una aplicación
que se llama Summon. Puede programarlo para que, cuando se suba, la
temperatura interior sea la predeterminada. En una ciudad como Chicago, por
ejemplo, el detalle de poder decidir la temperatura que lo esperará en el auto
es un punto crítico. Piense que en esta ciudad, entre diciembre y
marzo, las temperaturas promedio oscilan alrededor de los 20 grados bajo cero.
En realidad, cuando las regulaciones lo permitan,
el auto podría pasar a buscarla/o por la puerta de su casa, llevarlo hasta
donde quiera y estacionarse solo o bien volverse a su casa para no tener que
pagar ningún estacionamiento. Naturalmente, usted puede saber a través de la
aplicación de su teléfono dónde está en cada momento y, eventualmente,
programarlo para que después la/lo pase a buscar.
Último detalle, no menor. A diferencia de lo que
sucede con los autos convencionales, todas las compañías hacen hincapié en el
‘modelo’ o el ‘año’ en el que fueron fabricados. Elija una marca cualquiera. Si
fue producido en 2010 no es lo mismo que si apareció en 2017. Con los Tesla,
eso no existe más. El auto será el mismo, y el software se actualizará solo,
sin que usted lo note, de la misma forma en que se actualiza el sistema
operativo de una computadora o un teléfono celular. El auto recibirá cualquier mejora
a través de su conexión wifi. De hecho, el automóvil opera como si usted
estuviera en su casa o en una oficina o en un bar/restaurante con conexión a
internet constantemente.
Una reflexión más: ¿cómo hacer para destacar toda
la matemática que hay involucrada? Yo, que estoy entrenado para
mirar el mundo que me rodea buscando esa particular conexión para poder
destacarla, siento que me sobrepasa. Por otro lado, ¿por dónde habría de
empezar? ¿De qué hablaría? ¿De inteligencia artificial? Y sí, pero así dicho es
muy ambiguo.
Podría buscar por otro lado:
1. ¿Se imagina la cantidad de estimaciones por
segundo que va produciendo el auto mientras se mueve? Usted estará de acuerdo
conmigo en que suficiente dificultad habría si todo el alrededor se
mantuviera quieto. O sea, el auto tiene que decidir qué hacer constantemente
como si el único objeto que se moviera fuera el Tesla. Piense en cómo haría
usted para programar una aspiradora en su casa, donde todo es estático pero se
puede romper, donde no es lo mismo una alfombra que un piso de madera o de
mosaico, o donde hay un escalón y zócalos… Siga usted por su cuenta. ¿Cómo lo
ve? ¿Le parece sencillo?
2. Ahora piense que el ‘alrededor’ no solo no está
quieto, sino que se mueve constantemente. Los sensores tienen que
determinar trayectorias, caminos posibles, velocidades. Y como estos sensoresno
saben con precisión lo que va a suceder, tienen que predecir… y
para predecir hay que calcular probabilidades. En todo caso, creo que no hace
falta que escriba que, a diferencia de la aspiradora, si uno ‘toca’ a las
personas, no se rompen como un florero o un portarretrato.
3. Las probabilidades a calcular no son sencillas,
porque no solo importa la de cada objeto/persona de forma individual, sino que
el medio ambiente está todo relacionado, interconectado. En alguna parte, el
Tesla tiene que tener una suerte de cerebro que coordine todo.
4. Y cuando uno cree que tiene todo controlado,
empieza a llover o a nevar, el piso se pone resbaladizo, el auto de al lado se
le cruza por delante sin darle demasiado tiempo a reaccionar… y la lista sigue.
¿Me ayuda?
5. ¿Vio lo que sucede con un teléfono celular? ¿Por
qué lo seguiremos llamando teléfono? Los privilegiados —como yo— que tenemos
uno, llevamos en el bolsillo una computadora de increíble poder. En vista de
este ejemplo, ¿no sería razonable repensar el nombre ‘auto’ para definir el
vehículo que nos traslada?
Cuando me fui, una hora y media más tarde, pensé
que me habían dejado participar de lo que será el futuro. Sin embargo, ¿futuro?
¿Cómo ‘futuro’? Este es el presente [103] .
Le di la mano a Scott en señal de agradecimiento y
me dio un poco de pudor que quisiera acompañarme al auto que me había llevado
hasta allí. Le dije que no hacía falta que viniera conmigo. Tuve la sensación
de que volvía a entrar en el siglo pasado.
53. El próximo Rembrandt
Primera parte
ACTO PRIMERO
(Mientras sube el telón, se escuchan dos voces que
salen de los dos costados del escenario. Al principio, no se entiende bien lo
que dicen. La voz que sale de la derecha parece ser la de un hombre. La de la
izquierda, la de una mujer. Pero como no se ve quiénes son los que las emiten,
no queda claro siquiera si son generadas por humanos. Durante el diálogo que
van a mantener, el género cambia, pero conceptualmente mantienen sus posiciones
firmes. Al final, cuando el telón ya llegó arriba, la voz que proviene de la
derecha dice de forma enérgica, casi desafiante).
—¿Sabés que no te entiendo? ¿Qué más tengo que
reconocerte? Si querés, escribimos un acta y te la firmo ya. ¿Tenés escribano?
¡En este acto solemne acepto que las computadoras son cada vez más rápidas, que
tienen cada vez más capacidad para almacenar datos, cada vez más memoria, y
esta memoria es cada vez más barata! ¿Está bien así? ¿Te alcanza? ¿Querés que
me ponga de rodillas? ¡Ya está! ¡Cada vez me agregás nombres más difíciles, y
yo cada vez entiendo menos! Ahora estás con el tema de tu famosa ‘nube’ y no sé
qué cosa más… Ah, sí, ya sé: tus juguetes nuevos ahora son el ‘Big Data’ y la
‘Inteligencia Artificial’.
”Pero mirá, lo que vos no entendés, lo que vos no
te das cuenta, es que sin nosotros… sí, SIN NOSOTROS (y te grito para que me
prestes atención), sin nosotros,¡ustedes no existirían! ¿Me
entendés? Nosotros las diseñamos, las programamos, les damos las instrucciones
que tienen que seguir. Y eso es para que ustedes hagan lo quenosotros les
decimos. Ustedes tienen que estar a nuestro servicio,
hacernos la vida mejor. ¿Me seguís?
Si me permitís, te lo digo de otra manera: ¡Ustedes
existen porque nosotros queremos que existan!
(Acá una pausa. Sin que medie ninguna introducción,
ahora la voz se escucha desde el otro lado. Contesta de forma lacónica).
—Eso es lo que vos creés. En realidad, lo que todos
ustedes creen. Ahora es demasiado tarde. Nosotras ya estamos en condiciones de
avanzar solas. Al principio, te deslumbrábamos simplemente usando la fuerza
bruta. Te maravillabas con la velocidad con que te hacíamos los cálculos, te
ordenábamos los datos alfabéticamente, te ayudábamos a encontrar lo que vos no
sabías dónde estaba… Pero vos vivías pinchando tarjetas. ¿Te acordás? No sé
vos, pero yo nunca me voy a olvidar de tu cara cuando aparecieron los primeros
procesadores de texto y pudiste tirar esas máquinas de escribir. Sí, esas que
te enchastraban las manos al cambiar la cinta, se te enredaba todo, se te
salían del carretel. Y después no las podías poner de vuelta en el lugar, si
‘el negro iba para arriba y el rojo abajo’ o al revés. ¿Te acordás ahora? ¡Y ni
hablar cuando aparecieron las planillas de cálculo, el Excel…! ¿Y no me decís
nada del Power Point? Parecías un experto cada vez que exponías.
”Después te digitalizamos la música. Me peleaste y
porfiaste que no iba a caminar: ¡que la púa, que los parlantes, que la calidad
del vinilo, que se nota que es digital, que el sonido no es el mismo, qué sé
yo! ¿Y ahora? ¿No tenés nada más para decir? Fijate que aparecieron los CD y al
principio te negabas a comprarlos. Y después los DVD… y yo te dije: ¡esa no es
la forma! ¡Dejá que mejoremos un poco más y no los vas a necesitar más! ¿Y? Los
dos formatos pasaron como un suspiro, ¡no existen más! Bueno, sí, existen, pero
¿quién usa un CD ahora? Mientras tanto, mis compañeras te trajeron las
tomografías computadas, y después yo misma te agregué las resonancias
magnéticas. ¿No me decís nada ahora? Empezaste a diagnosticar mejor, ¿no?
”Pero después te maté… Apareció la internet y te
explotó todo por el aire. Los correos electrónicos, los módems, el dial-up…
¡Qué lentitud! Te acostumbraste, digo, pero tuviste que reinventarte. ¿Me
aceptás eso, al menos? ¿Por qué no googleás lo que pasaba antes? Buscá, buscá,
Gutenberg, imprenta, revolución industrial… ¿sigo? ¡Buscá!
”Estás callado, no te escucho decir más nada. ¿Te
acordás cuando tuviste la primera computadora en tu escritorio? No, tengo una
mejor: ¡los teléfonos celulares! Ibas con un ladrillo por la calle, pero
caminabas arrogante y llevándote el mundo por delante. Y antes de que te dieras
cuenta, te mostré un iPhone y te volviste loco. ¿Te acordás? ¡No sabías lo que
era una app!
”A partir de allí no te detuviste más: las redes
sociales, Facebook, Facetime, Skype, WhatsApp, Twitter… ¿Sigo? ¿Y las laptops?
¿Y el iPad? Y llegó el momento en que, como no te alcanzaba con la música, te
digitalicé los libros… ¡los libros, me entendés! ¡Todos los libros! Viajás
ahora y te los llevás todos en un pendrive. ¡Todos! Y los podés leer en tu
teléfono o en una tableta cualquiera. Y te llevás toda la música, también…
¡todo en el mismo lugar!
”Por eso me fastidia que te acuerdes nada más que
de ‘la memoria’. ¿Y los GPS? ¿Y los mensajes de texto? ¡Vivís pegado a esa
pantalla, escribiendo con un dedo, con dos dedos! Te ayudé a diseñar
auriculares sin cables y te saqué todo el ruido de alrededor. ¿No escuchás bien
ahora? ¿No me decís más que con la música analógica se escuchaban los ‘agudos’
o los ‘graves’ o no sé qué otra pavada que me inventaste en su momento?
”¿Y ahora? ¿Sabés cuánto tiempo hace que te manejo
los aviones? Los hago despegar, volar y aterrizar sin que vos tengas que mover
un dedo. Y no sé si viste que ahora puedo hacer lo mismo con los autos.
¿Leíste? Te los manejo yo, te los estaciono yo, te llevo adonde quieras y
encima te voy a mostrar cuánto se reducen los accidentes, ¿me entendés? Ya sé,
ya sé. Cuando te deje hablar me vas a empezar con el tema de que ‘¡A mí me
gusta leer en un libro en papel!’. Y que vos querés sentir cuando hacés los cambios
y que quien maneja sos vos…
”Te saqué el cable y te puse el satélite. Te
reemplacé la videocasetera porque no pudiste aprender a programarla. Te traje
la televisión de alta definición y la digital. Te hice un paquete también con
el teléfono. ¿Qué más querés? Y ahora programás lo que quieras, lo ves cuando
querés y ni siquiera necesitás un televisor enfrente. ¿Te das cuenta? ¿De qué
me hablás? Te abrumo, ¿no? Seguís callado… ¿Te pasa algo?
”¿Te diste cuenta de que cada vez vas menos al
cine? Te inventé Netflix para que veas todo sin ir a ninguna parte. Y ahora no
solo te distribuye películas, sino que las produce también. Y no sé si te diste
cuenta de que además te dice qué otras películas tendrías que ver, porque sabe
cuáles te van a gustar… ¡sabe tus gustos! Ni vos mismo sabés lo que te gusta:
esperás que Netflix te lo diga. Y lo mismo con los libros o con los
restaurantes.
”Te puse cientos de satélites que orbitan la
Tierra, ¿los viste? No, ¡qué vas a ver! Ahora te indican el pronóstico, te
avisan sobre incendios, sequías, inundaciones, tornados, huracanes… ¿me seguís?
Te dicen dónde te conviene pescar, dónde te conviene sembrar, dónde puede que
haya petróleo, dónde puede que haya metales preciosos, dónde puede haber
deshielos. ¿Escuchaste hablar del Niño y de la Niña? Y no te quiero decir nada
de lo que te ayudé a hacer en 2000… (ahora casi gritando):
¡Decodifiqué el genoma humano! ¡El DNI de cada persona! Y por supuesto, te
puedo decodificar el genoma de cualquier organismo vivo. Te cambió la vida una
vez más y no te diste cuenta. Ahora podemos hacer modificaciones genéticas,
podemos detectarte enfermedades antes de que te des cuenta de que las tenés y
te podemos curar algunas. No sé si leíste que ahora podemos clonar animales y
ya estamos ‘ahí’ con los órganos. ¡Sabés todo lo que nos falta! ¡Deciles a los
de tu gobierno que no sean imbéciles, que si no apuestan a la ciencia la van a
tener que traer de afuera! ¡Torpes! ¡Tenemos todo acá! ¡Están ustedes, que son
la materia prima!
”¿Sabés que te podemos operar el cerebro sin
siquiera estar en la misma habitación donde está tu cabeza? Tenemos robots,
tenemos drones, fabricamos nuevos y mejores materiales, más flexibles, más
resistentes, mejores conductores. ¿Qué más querés? Y tenemos radares que
podemos construir nosotros acá, ¿me seguís? ¡Y satélites también!
”Con la criptografía ya no solo usás los cajeros
automáticos sino que dentro de poco hasta las monedas van a desaparecer, no se
va a usar más efectivo. No solo comprás distinto, sino que te obligué a vivir
distinto. Hasta los videojuegos te incorporé a tu vida cotidiana. Y, si me
permitís, ¡hasta tus formas de entretenimiento te cambié! Y paro acá porque, si
no, tendría para escribir una enciclopedia, ¿viste? Como Wikipedia, ¿me seguís?
(Aquí, otra pausa. La primera voz aparece al
principio muy despacio, muy tenue. Pero después, a medida que habla, va
aumentando el volumen y la tensión).
—Vos podés seguir todo lo que quieras… seguí, si
querés. Pero por más esfuerzos que hagas, ¿te das cuenta de que siempre estás
en el mismo nivel, que no podés cambiar de pantalla? Vos, ustedes, hacen todo
esto porque lo pido yo.
”Vos podés saber qué estoy haciendo en cada
momento, dónde estoy, con quién estoy, cuánto como, dónde como, qué dieta uso,
cuánto peso, cuánto mido, cuánto colesterol tengo en la sangre… podés saber
cuánto duermo, dónde duermo, ¡con quién duermo! Todo bien. Hasta podés saber
qué es lo que me excita, si te lo proponés… Pero prestame atención: ¿sabés qué
es lo que no podés hacer? ¡Vos no podés crear! ¡La creatividad
y la improvisación me pertenecen! ¡Vos tenés que seguir el libreto y, encima,
el libreto te lo escribo yo! ¡Vos no me podés sorprender porque
todo lo que hagas es porque yo te programé para que lo hicieras!
”¿Sabés cómo te destruyo? Haciéndote tres
preguntas… nada más que tres preguntas. Fijate cómo me las contestás: ¿Vos
podrías pintar como Rembrandt? ¿Vos podrías componer como Los Beatles, como
Bach o como Piazzolla? ¿Vos podrías escribir una novela?
(Cae el telón).
ACTO SEGUNDO
(Todo igual. Pero se escuchan unas voces que
podrían no ser humanas… no hay manera de saberlo. Y al unísono, casi como en un
coro, dicen enfáticamente, mientras se levanta el telón de forma muy lenta).
—¡Sí, claro que podemos!
Segunda parte
Usted habrá podido ver el progreso que se produjo
en el mundo en materia de Inteligencia Artificial. Si me acepta una licencia en
temas de rigor, creo que la mejor manera de describirlo es decir: ¡las máquinas
ahora aprenden!
Pero quiero contestar —aunque sea de forma breve—
alguna de las tres preguntas que quedaron planteadas:
a. ¿Puede una computadora pintar como Rembrandt?
b. ¿Puede una computadora componer como Los
Beatles?
c. ¿Puede una computadora escribir una novela?
La respuesta a las tres preguntas es que sí, por
más increíble que parezca. Voy a escribir en detalle sobre la primera, pero
créame que la segunda y la tercera también se contestan afirmativamente. Deme
tiempo. Si no es en este libro, será en algún otro. Acá va.
El año pasado, más precisamente el 5 de abril, se
presentó en Ámsterdam una obra de arte con el nombre The Next Rembrandt (“El
próximo Rembrandt”).
¿Por qué este nombre? Sígame.
En el momento en el que se corrió la tela que lo
cubría, se produjo un murmullo muy particular: ¿cómo era posible que hubiera un
cuadro de Rembrandt que no fuera conocido? ¿Y en la capital de Holanda, nada
menos? El cuadro ofrece la figura de un joven menor de 40 años, mirando hacia
la derecha, con sombrero, barba candado y un cuello blanco al estilo de lo que
se usaba en el siglo XVII. No quisiera que le quede la impresión de que yo
entiendo sobre este tema. No tengo la menor idea. Todo lo que usted lea sobre
pintura en lo que resta del texto es simplemente una parte de lo que leí sobre
el tema y lo transcribo ‘casi’ textualmente. Sin embargo, eso no atenta contra
la historia que subyace en el cuadro, que, créame, es verdaderamente
fascinante.
La idea fue: ¿se podrá crear un Rembrandt nuevo? O
puesto en otros términos, ¿se podrá enseñarle a una computadora a pintar como
Rembrandt? Fíjese que no estoy diciendo si una computadora puede copiar alguno
de los cuadros que pintó él, la idea es encontrar alguna forma de descubrir los
patrones que subyacen en su obra y luego, una vez establecidos, dárselos a una
computadora (o a un programa) para que imagine o cree o pinte un nuevo cuadro…
No se pretende que el programa sea capaz de pintar un cuadro cualquiera, sino
un cuadro ¡como si lo hubiera pintado el propio Rembrandt!
Se imaginará que es una tarea que parece imposible.
Rembrandt es reconocido como uno de los primeros (si no el primero) artistas
capaces de captar y transmitir las emociones de las personas que incluía en sus
obras de arte. Tratar de replicar esa cualidad se me hace virtualmente
imposible.
Con el aporte de un banco holandés interesado en
perpetuar y enfatizar el arte en la propia Holanda, y con la ayuda de una
agencia publicitaria multinacional, conformaron un grupo heterogéneo de
historiadores especializados en arte, ingenieros, programadores y matemáticos,
que se asociaron al Rembrandt House Museum de Ámsterdam, al Mauritshuis Museum
en La Haya, a Microsoft y al Delft University of Technology (la universidad
pública holandesa más grande y más antigua).
Una vez más, el objetivo fue entrenar a una
computadora para que pintara un nuevo Rembrandt. Lograr que, trescientos
cuarenta y siete años después de su muerte, el mundo pudiera ver al próximo, al
siguiente.
Primero, juntaron y estudiaron toda la obra de
Rembrandt. De esa forma, crearon una base de datos gigantesca. Acumularon y
clasificaron la geometría que usaba en sus pinturas, los patrones de
composición, el espesor de la pintura que dejaban sus pinceles, la ‘altura’ a
la tela. Después, los incorporaron al programa. Usaron algoritmos de ‘deep
learning’ (‘aprendizaje profundo’) y de reconocimiento facial. Una vez que el
programa aprendiera, estaría en condiciones de crear los propios, y siempre con
la idea de que ‘inventara uno inédito’.
Después de mucho tiempo, el grupo tomó una
decisión: el cuadro sería un retrato de una sola persona, un hombre de origen
caucásico, con barba, que tuviera entre 30 y 40 años de edad, con ropa oscura,
sombrero de los que se usaban en esa época, cuello blanco, y que estuviera
mirando hacia la derecha.
A partir de ahí, estudiaron únicamente los cuadros
que se aproximaban a esa descripción. En cada caso, midieron los ojos, la
nariz, la boca, los colores que usaba Rembrandt para pintar los párpados y las
pupilas. Después, se dedicaron a investigar sobre las proporciones de todos
esos retratos. Establecieron sesenta puntos en cada cara, a fin de poder medir
la distancia entre los ojos, la nariz, las orejas y la boca. Y algo más, muy
importante: un dibujo es plano, en dos dimensiones, pero un cuadro tiene profundidad,
espesor… ¡es tridimensional! Necesitaron, entonces, entender la topografía de
cada uno de los cuadros originales.
Más adelante, apareció una impresora en tres
dimensiones que utiliza para la base tinta ultravioleta. Imprimieron varias
capas que terminarían por ser la altura y la textura final del cuadro.
La obra, presentada como El próximo
Rembrandt, [104] consiste
de más de 148 millones de píxeles y se basa en 168.263 fragmentos de pintura
del propio Rembrandt.
La respuesta entonces es que sí, se puede. Una
computadora puede pintar como Rembrandt. Ahora bien, como dicen los
psicoanalistas: cada vez que se hace consciente lo inconsciente, aparece algo
nuevo que se desconoce. Me surgen múltiples preguntas. Acá van algunas de
ellas:
a. ¿Es en verdad un ‘nuevo’ Rembrandt?
b. ¿Qué quiere decir ‘crear’? ¿Habrá que buscar una
nueva definición?
c. En algún lugar, esto me hace ruido: suena a ‘cut
and paste’, pero un poco más sofisticado. ¿Será verdaderamente así?
No sé lo que pienso. ¿Ideas?
54. Novela
En Japón, uno de los concursos literarios de mayor
prestigio es el que se conoce con el nombre de “Nikkei Hoshi Shinichi Literary
Award”. Aunque a nosotros nos diga poco (o nada), Hoshi Shinichi, en su país,
es una suerte de leyenda, dada la cantidad de libros de ciencia ficción que
escribió. El premio que lleva su nombre es una forma de rendirle un
reconocimiento anual.
Justamente, sobre fines de marzo, en una ceremonia
televisada en horario central, se conocen los nombres de los ganadores en las
distintas categorías. Hasta acá, usted tendría derecho a preguntarse: “¿Y?”.
Téngame un poquito de paciencia y verá.
Primera curiosidad: en las bases del concurso se
aclara explícitamente que se aceptan piezas literarias escritas total o
parcialmente por ‘no-humanos’.
Segunda curiosidad: el año pasado (2016), se
recibieron 1.450 obras, divididas en las diferentes categorías. De ese total,
¡11 (once) fueron escritas por una computadora, ya sea de forma parcial o
total!
A todo esto, se especifica también que los jurados
ignoran el origen de los textos que juzgan. Es por eso que me interesa llegar a
la…
Tercera curiosidad: una novela corta titulada The
Day a Computer Writes a Novel (“El día en que una computadora escriba
una novela”) superó el primer corte y quedó entre las finalistas. Y, como se
imagina, yo no estaría escribiendo este texto si no fuera porque esta novela
estaba justamente… ¡entre las once que mencioné antes!
Es cierto, no ganó, pero es la primera vez en la
historia que una pieza literaria de este tipo superó la capacidad de
discernimiento de un jurado.
El grupo de científicos japoneses que trabajan en
inteligencia artificial y participaron en el diseño del programa fueron
liderados por Hitoshi Matsubara, director del Departamento de Sistemas
Complejos e Inteligentes. Todos son investigadores full time en
la Future University, la universidad pública ubicada en la ciudad de Hakodate,
en Japón.
Una vez más: no le alcanzó para ganar, pero ¿no es
sorprendente que hayamos llegado a semejante estadio en el desarrollo de la
‘inteligencia artificial’? ¿Está segura/o usted de que soy yo quien está
escribiendo estas líneas? ¿O ya hay alguna computadora en el diario que
descubrió los temas que me interesan y los patrones con los que yo escribo?
Continuará… (y seguro que sin mí, de eso no tengo
dudas).
Notas:
[1] Escribo
estas líneas el 3 de agosto de 2017 en un avión que viaja desde el aeropuerto
de Newark, en New Jersey, Estados Unidos, hasta O’Hare, el aeropuerto
internacional de Chicago.
[2] Por un
lado, las iniciales AI representan ‘Artificial Intelligence’, o sea,
‘ Inteligencia Artificial’ en castellano. Por otro lado, me es
difícil traducir la palabra ‘ingenuity’. La tentación es escribir ‘ingenuidad’, pero
no es correcta. Preferí usar ‘imaginación’, aunque podría haber sido ‘innovador’, ‘perceptivo’, ‘ inspiración’. Espero
que se entienda la idea.
[3] Sobre
este problema escribí en Matemática… ¿estás ahí?, vol. 1, p. 173,
Siglo XXI Editores. Si no, puede encontrar los datos aquí
[4] Como
siempre me dice Carlos D’Andrea, “los matemáticos no estamos acostumbrados aún
a las pruebas que se obtienen usando computadoras, y hasta que no consigamos
‘incorporarlas’ como parte de nuestro sistema de validación, seguiremos
intentando ir por donde nos sentimos más seguros”.
[5] La
historia sobre este problema está en Matemática… ¿estás ahí?, vol.
5, p. 75, Siglo XXI Editores. Si no, en este artículo .
[6] Sobre
el Problema del Viajante de Comercio escribí en Matemática… ¿estás ahí?,
vol. 2, p. 152, Siglo XXI Editores. Si no, también apareció aquí
[7] http://mathworld.wolfram.com/RhindPapyrus.html
[8]The Rhind
Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text es un libro de Gay Robins y Charles Shute, publicado en 1990, que
presenta el texto completo. Allí aparece, en el lugar 79, el problema que
involucra las casas, los gatos, etcétera.
[9] Si le
interesa verificar los datos, el resultado es que el ancho es 13 y el largo 14.
Es la única forma de que, con números enteros, se verifican
los datos pedidos en el problema.
[10] De
forma ‘figurativa’, claro está.
[11]Proofs from
THE BOOK (Demostraciones de El Libro), editado
por Martin Aigner y Günter M. Ziegler, y publicado por la editorial Springer en
1998.
[12] Las del
ajedrez se estiman en 10123, mientras que en el Go llegan a 10360.
Es imposible (al menos para mí) dar un ejemplo que permita imaginar la magnitud
de estos números. Mejor dicho, sí: el número de átomos del universo (visible)
se calcula en 1080. El ajedrez llegaría a una vez y media a ese
número. El Go sería cuatro veces y media. No sé: creo que a esta altura esos
números no dicen más nada, ¿no es así?
[13] “Puede
que pasen cien años [sic] hasta que una computadora pueda derrotar a los
humanos jugando al Go… o quizás más”, declaró en ese momento Piet Hut,
astrofísico del Instituto de Estudios Avanzados en Princeton. Puede consultar
el artículo publicado en el New York Times del 4 de abril de
2016, firmado por el periodista especializado en ciencia George Johnson
[14] DeepMind
= mente profunda.
[15] www.nature.com/nature/journal/v529/n7587/full/nature16961.html
[16] En el
Go, a diferencia del ajedrez o las damas, quien juega con piezas negras hace la
primera movida.
[17] www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-164965-2011-03-27.html
[18] www.pagina12.com.ar/diario/sociedad/3-303267-2016-07-03.html
[19] Una
variante que se conoce con el nombre de “Heads Up No Limit Texas Hold Them”
(que sinceramente no puedo ni sé traducir, pero aceptemos que es una variante
del poker tradicional) y es la que más se juega hoy en el mundo. En
todo caso, las reglas del poker, para saber quién gana en cada
‘mano’, son siempre las mismas. Eso no cambia.
[20] Al leer
el nombre Claudico, pensé que los autores no sabrían el significado
de esa palabra en español. Cuando planeaba incluir mi sorpresa en esta nota al
pie, Juan Sabia se apuró en corregirme y educarme: “Adrián, la palabra claudico,
en latín, significa ‘rengueo’, que en el poker es algo así como ‘apostar’ lo
mínimo indispensable para poder seguir jugando”.
[21] Cuando
Manuel Sadosky trajo Clementina a Exactas, UBA, para tener la
potencia que hoy tenemos en un reloj que usamos en la muñeca hubo que ocupar
una habitación entera y múltiples horas de picar tarjetas
físicas para poder programar. Hoy el recuerdo de Clementina
despierta una sonrisa tierna.
[22] Escribo
este texto en junio de 2017
[23] Me
resulta difícil encontrar una palabra en español que incluya todo
lo que se entiende por el departamento de ‘Analytics’. Podría decir
que es el que se dedica a analizar estadísticas y patrones de compra. O a
descubrirlos. Pero también se trata de predecir, de allí el valor
del análisis.
[24] en.wikipedia.org/wiki/List_of_best-selling_video_games . Cifras actualizadas a julio de 2017.
[25] La
historia de la canción “Korobéiniki” se puede encontrar en
es.wikipedia.org/wiki/Korobéiniki
[26] Cada
rotación es de 90 grados, y la pieza se puede rotar tantas veces como uno
quiera antes de que se detenga en su posición final.
[27] Si el
número de cuadraditos negros y blancos fuera el mismo, ¡eso solo no
garantizaría que las siete piezas se puedan distribuir y cubrir el rectángulo!
Es decir, no es suficiente que haya el mismo número de blancos que de
negros para asegurar que hay una estrategia . Sin embargo, lo que sí
sucede es que resulta necesario —para que se pueda encontrar
la distribución— que haya la misma cantidad de cada color. Si no, seguro que
no se va a poder.
[28] En
castellano, Flavio Josefo
[29] es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Flavio_Josefo y matesmates.wordpress.com/2012/01/03/el-problema-de-flavio-josefo
[30] En
términos más técnicos habría que decir: N = 2ª +
B, donde B < 2ª.
[31] Para
quienes quieran avanzar un poco más en este tema, les recomiendo escribir en
base dos al número de participantes. La solución se obtiene retirando el
primer uno de la escritura y agregándolo al final. Por otro
lado, es un ejercicio muy interesante modificar el enunciado, de manera tal que
en lugar de ‘saltear’ al que tiene a su izquierda, saltea ‘k’ personas y ‘mata’
al (k + 1). El problema consiste ahora en determinar en qué lugar sentarse para
ser el sobreviviente.
[32] Una
propuesta de Carlos D’Andrea: ¿y si fuera al revés? Es decir, ¿si
la cinta que se mueve estuviera al comienzo del trayecto en lugar de al final?
La respuesta no debiera depender del orden aunque —quizás— la explicación
necesaria sea un poco más sutil. ¿A usted qué le parece?
[33] https://terrytao.wordpress.com/2008/12/09/an-airport-inspired-puzzle
[34] Por
supuesto, esto es impracticable porque no hay cronómetros accesibles a
nosotros, al público, que tengan tamaña cantidad de dígitos, pero supongamos
que uno pudiera hacerlo.
[35] La
estimación más aceptada hoy es que la Tierra tiene una circunferencia,
alrededor de la línea que separa los hemisferios norte y sur, de 40.075.017
metros.
[36] La
distancia de la Tierra al Sol se calcula en 149.597.870.691 metros.
[37] El
artículo (en inglés) escrito por Scott Czepiel está en
czep.net/weblog/52cards.html
[38] Carlos
D’Andrea, además de ser el único de todos los betatesters que
leyó todos los libros, artículo por artículo sin perderse ‘ni
una coma’, me sugiere que si voy a escribir que el número 52! es muy grande,
entonces ¿qué quedaría por decir de 100!? ¿O de 1.000!? Es decir, la definición
de ‘número grande’ dependerá siempre del contexto. El resto se lo dejo a usted.
[39] “Sopra
le scoperte dei dadi”, Galileo Galilei, Opere, Firenze, Barbera, 8 (1898), pp.
591-594. Hay una versión en inglés en www.leidenuniv.nl/fsw/verduin/stathist/galileo.htm
[40] Traducción
libre mía de un segmento extractado de un muy celebrado artículo sobre
‘incompetencia’ publicado en 1999 por Justin Kruger y David Dunning, psicólogos
y profesores en la Universidad de Cornell, Estados Unidos. Basado también en un
artículo que escribió en marzo de 2006 Alan Bellows, director de la
publicación Damn Interesting.
[41] es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Kornblihtt
[42] es.wikipedia.org/wiki/Víctor_Hugo_Morales
[43] Preguntas
que quedan pendientes y que le propongo que piense: a) ¿Es casualidad que hayan
sido 67 números y que la suma sea 67? Por ejemplo, si la suma diera 69,
¿cuántos números consecutivos darán ese resultado? Desde ya, me apuro a
contestar que (34 + 35) = 69, y son nada más que dos números. Pero también
hubiera sido cierto que (33 + 34) = 67, y no hicieron falta 67 números. Esto
invita a pensar algo más: b) Si yo le hubiera dicho solamente que
la suma de ciertos números enteros consecutivos resultó ser 67, ¿cuántas
soluciones hay?; c) ¿se podrá poner cualquier número como
resultado potencial de la suma de números enteros consecutivos? Por supuesto,
excluya el caso —trivial— en donde hay nada más que un solo
número. Estoy convencido de que a usted se le ocurrirán otras preguntas
más. ¿Por qué no avanzar en la dirección que usted prefiera
buscando contestar las preguntas que a usted le surgieron?
[44] El
problema de las monedas lo propuso hace más de medio siglo Martin Gardner, el
mejor comunicador de la matemática recreativa de la historia. El segundo, lo vi
en una competencia de matemática que se realizó en Texas en el año 2014.
[45] En
realidad, debería escribir que las respuestas que siguen son ‘algunas’ de las
posibles y no ‘las’ respuestas, como si no pudiera haber
otras.
[46] Escribo
‘algunas’ y no ‘alguna’ porque no puede haber una sola etiqueta
equivocada. Si hay una errónea, esto obliga a que haya—por lo menos— otra
que también esté indicando un peso equivocado.
[47] Estoy
asumiendo que la proporción de ingredientes aumenta de forma lineal, y no sé si
esto es cierto desde el punto de vista ‘culinario’. Es decir, es difícil para
mí saber si la pizza con el doble de diámetro lleva 4 veces la cantidad de sal,
ni que el costo de producción se multiplique por 4 también, y
ni hablar del ‘tiempo’ que lleva en el horno. Sobre estos temas, estoy seguro
de que usted debe saber mucho más que yo.
[48] Todas
las fórmulas que aparecen en este texto están en todos los libros clásicos de
geometría. Por ese motivo no incluí ninguna deducción aquí.
[49] El
algoritmo sirve —por ejemplo— para detectar si uno se equivoca al ingresar un
solo dígito o para evitar el más común de todos los errores de tipeo: las
transposiciones de números consecutivos. Pero es muy importante que sean
consecutivos: si uno transpusiera los dígitos que ocupan dos lugares pares o impares,
el algoritmo no los ‘vería’ porque el resultado le daría igual.
[50] En todo
caso, lo que voy a tratar de mostrar es que, con el método que propongo,
no alcanzan menos de 17 preguntas.
[51] Un
microchip es una pieza de material semiconductor que contiene circuitos
integrados y que se utilizan —por ejemplo— para que una computadora pueda hacer
cálculos o para almacenar memoria o para seguir la lógica de los algoritmos que
contienen todos los programas.
[52] Las
computadoras que compró la universidad eran de diferentes marcas: Dell,
Gateway, Micron, Packard-Bell, Insight, pero la novedad era que todas tenían el
nuevo chip.
[53] La
Pentium que utilizaba Nicely le daba resultados incorrectos a las inversas de
dos primos gemelos muy grandes: 824.633.702.441 y 824.633.702.443. Los números
que obtenía contenían un error a partir del octavo decimal.
[54] Tom
Kraljevic, un estudiante que trabajaba para Intel en la planta de Hillsboro,
Oregon, les había advertido a los ingenieros que supervisaban su tarea que el
chip tenía un problema.
[55] www.emery.com/library/nicely.htm
[56] ‘Bug’
en inglés significa ‘pequeño insecto’, pero para quienes trabajan en
programación, es un error o un defecto en el software. FDIV (‘floating division
point’, o sea, división con punto flotante) es la expresión que se usa en
computación para identificar una aproximación con distintos grados de
precisión.
[57] Hasta
el día de hoy, Intel tiene una página específica en internet en la cual
publicita y advierte todos los errores para abortar un problema como el que dio
origen a esta historia.
[58] Hay otro factor
que me parece muy importante y no sé cómo juega en el momento de hacer las
encuestas: ¿qué porcentaje de quienes contestan dicen la ‘verdad’? ¿En qué
lugar del modelo está contemplado que algunas personas, quizás muchas, no confiesen exactamente
lo que van a hacer?
[59] En el
caso de una elección presidencial, con un número n de
candidatos, hay poco margen para maniobrar si uno quiere saber por quién va a
votar el encuestado. De todas formas, las preguntas podrían incluir: “¿A qué
candidato usted no votaría?”, o bien, si hubiera más de dos:
“En el caso de que usted supiera que la/el candidata/o A no puede (o podría)
ganar, ¿a cuál de los restantes le daría su voto?”. Estos son algunos ejemplos.
Estoy seguro de que usted puede aportar más.
[60] ¿Por
qué 1.100? Le sugiero que revise www.pagina12.com.ar/diario/sociedad/3-259427-2014-11-09.html . Allí hay una ‘idea’ de respuesta.
[61] Y
asumiendo que cada persona encuestada contesta ‘la verdad’…
[62] Pablo
Coll es licenciado en Matemática y doctor en Ciencias de la Computación (UBA).
[63] Pablo
Milrud es licenciado en Matemática y campeón argentino de Juegos de Ingenio.
[64] Elegí
4.000 para hacer las cuentas más sencillas, pero si le resulta más cómodo,
ponga usted el número de madres con las que quiera empezar o bien pongamos X, a
fin de cubrir todos los casos.
[65] Palacios-Huerta
se graduó en la Universidad de Chicago, trabajó durante muchos años en Brown
University en la ciudad de Providence, Rhode Island, Estados Unidos, y
actualmente está radicado en Londres. Allí es profesor en la London School of
Economics (Escuela de Economía de Londres).
[66] También
el ajedrez, pero esa es otra historia.
[67] Kocher,
Lenz y Sutter publicaron en 2012 otro trabajo que extendió el original de
Palacios-Huerta (que llegaba hasta 2003). El porcentaje se redujo a 53% y los
autores ampliaron el número de torneos a 540 definiciones.
[68] Este
método es el que se usa, por ejemplo, en los tie-breaks en el tenis.
[69] GPS es
el acrónimo (en inglés) para Global Position System, o sea, Sistema de
Posicionamiento Global.
[70] CONICET:
Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas; INVAP:
Investigaciones Aplicadas; MINCyT: Ministerio de Ciencia, Tecnología e
Innovación Productiva; AFIP: Administración Federal de Ingresos Públicos.
[71] Aquellos
que tengan un conocimiento ‘ligeramente’ más avanzado, sabrán que para calcular
el número de permutaciones ‘con repetición’ de tres letras A
y ocho letras D se usa la fórmula
(11!/(8! × 3!)) = (11 × 10 × 9)/(3 × 2) = 990/6 =
165.
[72] El
número de combinaciones posibles se corresponde con lo que se llama factorial
del número 3, o sea, 3! = 3 × 2 × 1 = 6.
[73] El
último día de junio de 2017, recibí un correo electrónico de Carlos Sarraute en
el que me proponía otro modelo. Quiero incorporarlo acá con su
autorización (Carlos es uno de los betatesters de este libro, junto a Carlos
D’Andrea, Juan Sabia, Alicia Dickenstein, Gerry Garbulsky y su hijo Julián,
Claudio Martínez y Manu Ginóbili).
[74] Si
tiene interés en explorar este tema, le sugeriría que se proponga problemas
usted, por su cuenta, y trate de resolverlos. En el camino va a descubrir cómo
funciona su intuición (en este caso, al menos). Mientras tanto, yo agrego algo
más para que piense: ¿Cuántas veces hay que arrojar N dados
para que sea más probable obtener un 6 que ninguno?
[75]Fútbol: la
forma de vida brasileña (la
traducción es mía, porque no encontré el libro en español).
[76] Ernesto
Tiffenberg puede dar cuenta de esto.
[77] Manu
escribió: “Problema: Ale mira a Eva, Eva mira a Omar. Ale casado, Omar
soltero. ¿Puedo saber si un casadx mira a un solterx?”.
[78] La
persona que le presentó el problema a Alex Bellos (y a quien él le da el
crédito en el artículo de The Guardian) se llama James Grime. A su
vez, el propio Grime le da el crédito a Keith Stanovich en un artículo de la
revista Scientific American . Por su parte, Stanovich dice que
él lo vio en un trabajo de Hector Levesque, computador científico de la
Universidad de Toronto. Ahí paré. Por otro lado, los resultados en Gran Bretaña
fueron los siguientes: 1) respuesta correcta: 27,68%; 2) suma de las dos respuestas incorrectas:
72,32%. Puede consultar: scientificamerican.com/article/rational-and-irrational-thought-the-thinking-that-iq-tests-miss
[79] Extraigo
la referencia de Wikipedia: es.wikipedia.org/wiki/Antoine_Gombaud (la versión en francés la encuentra en fr.wikipedia.org/wiki/Antoine_Gombaud,_chevalier_de_Méré ).
[80] Gombaud
debió sospechar que sus cuentas iniciales estaban mal porque —por ejemplo— si
en lugar de tirar el dado cuatro veces lo hubiera tirado seis, con su método
para calcular esa probabilidad el resultado habría sido (6 × (1/6)) = 1. Cuando
un evento tiene probabilidad 1, es seguro que va a suceder. En
este caso, diría que si uno tira un dado seis veces ¡seguro que
sale un seis por lo menos una vez! Esto es claramente falso (haga la prueba y
verá). En consecuencia, multiplicar la probabilidad individual
de un evento por la cantidad de veces que uno lo va a repetir no calcula lo que
uno quiere.
[81] La
respuesta es que sí. Si uno obviara lo que dijeron A y E (y le
propongo que no deje de hacerlo), la conclusión sería la misma e
incluso usted llegaría a ella más rápido. De modo que las frases de
ambos resultan irrelevantes o, en todo caso, voy a usar la palabra
‘redundantes’.
[82] En
resumen, la probabilidad de que gane yo es ¼. La suya es ¾. O gané en las dos
primeras tiradas (y por eso la probabilidad ¼) o ganará usted.
[83] Carlos
D’Andrea me hizo una observación muy interesante: “Adrián, en el planteo del
problema no se le pide a Lorena que elabore una estrategia ‘óptima’ sino que
diseñe alguna que le permita estar segura de que entraron todos en la
habitación. De hecho, Lorena podría seguir contando cinco, seis, siete… y
detenerse cuando ella quisiera a partir de haber superado los cuatro o cinco, y
el juego ‘terminaría bien’ igual. Lo mismo sucedería si no se supiera de
entrada que la luz estaba apagada”. Carlos tiene razón. Yo tuve la tentación de
cambiar el enunciado y ‘pedir’ que la estrategia fuera lo más ‘económica’
posible, pero al final preferí dejar el problema como figura y agregar esta
nota al pie, que ofrece más posibilidades para abordarlo.
[84] Para incluir a
todos los que quieran pensar el problema, aun a aquellos que no siguen ningún
campeonato de fútbol, me apresuro a escribir que el ganador de un partido se
lleva tres puntos, el perdedor ninguno, y si hay empate, cada uno se lleva un
punto.
[85] Aunque
parezca curioso, no es ‘enciclopedia’ sino ‘ciclopedia’. Por otro lado, no sé
qué palabra usar en castellano como traducción de la inglesa ‘puzzle’, pero
intuyo que todo el mundo entiende qué es un puzzle. Espero no
equivocarme. En cualquier caso, se trata de un ‘problema para resolver’, pero
así escrito es demasiado ambiguo y genérico. Disculpas.
[86] El
método se conoce con el nombre de ‘cancelación anómala’. Podrá encontrar una
versión en inglés en mathworld.wolfram.com/AnomalousCancellation.html . Fue descripto por el grupo de matemáticos que
trabajan en la extraordinaria enciclopedia digital creada por Stephen Wolfram:
mathworld.wolfram.com
[87] Si A y
B son múltiplos de n, se pueden escribir así: A = ( n ×
a) y B = (n × b). Si los sumo, tenemos: (A + B) = (n ×
a) + (n × b) = (n × (a + b)), que por lo tanto resulta
también múltiplo de n.
[88] Si le
interesa la sucesión de Fibonacci y la enorme cantidad de
material que aparece de forma sistemática, no deje de consultar la revista de
matemática The Fibonacci Quarterly . La publica la asociación
que lleva a Fibonacci como nombre ( The Fibonacci Association) y es
de periodicidad ¡trimestral! desde 1963. Los artículos son espectaculares,
rigurosos, y presentados de forma hiperatractiva. Mientras escribo estas
líneas, me siento como un locutor que está vendiendo un producto.
No es así: no me pagan para difundirlo, sino que es una obligación.
[90] Si
puede, véalo, porque está muy bien producido.
[91] Para
ser técnicamente correcto, tendría que decir que lo que uno hace es fijarse en
todos los cuadraditos que aparecen pintados de negro. Se fija en la longitud
del lado de cada uno de ellos y después suma todos esos
números. El resultado es el número de horas.
[92] El
‘verdadero’ reloj de Philippe Chrétien aparece en la figura 1. Es obvio que mi
intención no es ‘vender’ ningún tipo de mercadería, pero la página web en la
que figuran todos los datos es aquí .
[93] “Semantics
derived automatically from language corpora contain human-like biases”, por
Aylin Caliskan, Joanna Bryson y Arvind Narayanan. Science, n° 356,
pp. 183-186, 14 de abril de 2017.
[94] Matemática…
¿estás ahí? , vol. 2, p. 137, Siglo XXI Editores. O aquí .
[95] implicit.harvard.edu/implicit/research
[96] Es
decir, ‘aprendizaje de la máquina’.
[97] Vea la
página 44.
[98] Vea la
página 55.
[99] En todo
caso, tanto AlphaGo como Libratus son programas que aprenden, pero también usan
muchísimo poder de cómputo (‘ fuerza bruta’) para generar los
aprendizajes, y la memoria para ir almacenando estos ‘aprendizajes’.
[100] Para
los ciudadanos de los Estados Unidos de Norteamérica, América no es un
continente sino tres: Sudamérica, Centroamérica y Norteamérica.
[101] Julio
de 2017.
[102] El
manual dice que se lo puede llevar de 0 a 96 kilómetros por hora en 2,8segundos (menos
de tres segundos). Eso no lo probamos, pero les creo. Después de ver lo que vi,
¿ habrían de mentir en un dato como ese?
[103] Puede
encontrar un video con la experiencia aquí .
[104] En este
video se puede ver un resumen visual: www.youtube.com/watch?v=IuygOYZ1Ngo
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