© Libro N° 8880. Lobachevski. Un Espiritu Indomable. Fernandez, Santiago. Emancipación. Julio 31 de 2021.
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Un Espiritu Indomable. Santiago
Fernandez
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Santiago Fernandez
Un Espiritu Indomable
Santiago Fernandez
CONTENIDO
Introducción
1. El estudiante Lobachevski
2. El imperio ruso y la dinastía de los Romanov
3. Profesor en la Universidad de Kazán
4. Los Elementos de Euclides
5. El problema de las paralelas
6. Los precursores de la geometría no euclidiana
7. Las primeras investigaciones geométricas
8. Acerca de los principios de geometría
9. Rector de la Universidad de Kazán
10. Investigaciones geométricas de la teoría de las paralelas
11. Últimos años
12. Gauss, Bolyai, Riemann. Los otros Padres de las geometrías no
euclidianas
13. Los modelos geométricos
14. Fundamentación de la geometría
Cronología
Bibliografía
A mi mujer, Ana y a mis hijas, Nora e Iris
Introducción
Debía tener yo unos dieciséis años cuando uno de mis profesores nos
habló de un sabio griego que se llamaba Euclides. Nos comentó que era
matemático, y que había dedicado toda su vida a escribir sobre aspectos
científicos, pero lo más sobresaliente es que había creado un edificio
majestuoso que aún estaba en pie; sin embargo, añadía, con los años se ha
descubierto que ese majestuoso edificio tiene algunas fisuras (seguramente nos
citaría algo relativo al quinto postulado), los esfuerzos por enmendar el asunto,
nos seguía diciendo, han dado lugar a teorías matemáticas muy importantes, que
a la postre han servido para revolucionar la geometría, la física y la ciencia
en general. En aquellos años, nadie me habló de geometrías no euclidianas, ni
de Bolyai, ni de Lobachevski, creo recordar que Gauss sí me fue presentado,
pero como un genio precoz de la aritmética.
Al año siguiente, hacía yo preuniversitario, un profesor llamado Fermín
Demás volvió a incidir tímidamente en el tema. En la Facultad de Matemáticas
curiosamente nadie mentó el asunto de una manera organizada a pesar de haber
cursado dos asignaturas de geometría. En resumen, las llamadas geometrías no
euclidianas eran para mí todo un enigma.
Sin embargo, tuve la suerte de tener como profesor, y posteriormente
como compañero de departamento, a Emiliano Aparicio, formado en la escuela
matemática rusa y amante de dicha cultura. Sus detalladas exposiciones plagadas
de anécdotas biográficas me cautivaron. Durante varios años hablé con él de
varios de sus matemáticos preferidos: Kolmogórov, Lobachevski y Vinogradov,
entre otros. Y así fue como decidí acercarme a las creaciones científicas de
esos grandes matemáticos rusos. Desde el principio, no sé muy bien por qué,
Lobachevski fue uno de mis preferidos.
Años después cayó en mis manos una extensa biografía de Lobachevski
escrita por Kagan, lo que hizo que conociera mejor su figura. Durante años
traté de entender mejor al matemático ruso, pero su geometría rayaba lo
irracional o mejor dicho presentaba una realidad poco imaginable.
Hace dos años le propuse a Jesús Fernández, editor del libro, escribir
sobre Lobachevski, él aceptó amablemente e inmediatamente me puse a organizar
mis lecturas e ideas, sin saber muy bien en qué me metía.
Este libro aborda la vida y obra del gran matemático ruso Nicolai
Lobachevski, creador de una de las geometrías no euclidianas, la geometría
hiperbólica, junto al húngaro J. Bolyai y el matemático alemán C. F. Gauss.
Durante dos décadas, Lobachevski, desempeñó el cargo de rector de la
Universidad de Kazán con una energía y entrega verdaderamente admirables. En
palabras de Clifford (1845-1879), Lobachevski era bastante más que un
matemático, calificándole como el Copérnico de la geometría. Pero
la geometría es sólo una parte del más amplio campo que renovó.
En el recorrido del libro también he tratado de mostrar la evolución del
llamado problema de las paralelas, que tuvo un desenlace
sorprendente: el nacimiento de las geometrías no euclidianas.
Para abordar el citado problema me he basado en criterios históricos y
cronológicos. De referencia obligada resultan las excelentes obras de Bonota
(1951) y de J. Gray (1992), sus aportaciones han sido fundamentales y he
recurrido a ellas en multitud de ocasiones.
Desde luego el libro ha sido para mí todo un reto intelectual, y además
era necesario ubicar al personaje en un país y en una época.
Los capítulos cuatro, cinco y seis los dedico a estudiar el
denominado problema de las paralelas, comienzo con la figura de
Euclides y finalizo con las aportaciones de los llamados precursores de las
geometrías no euclidianas: Saccheri, Lambert, Schweikart y Taurinus.
El capítulo doce está dedicado íntegramente a los otros padres de la
geometría hiperbólica: Gauss y J. Bolyai. En los dos últimos capítulos se
afronta la repercusión filosófico-matemática que ha tenido el nacimiento de las
nuevas geometrías. Los demás capítulos están dedicados íntegramente a estudiar
la figura de Lobachevski.
Afrontar la biografía científica de un personaje tan complejo como
Lobachevski lleva muchas horas de investigación, reflexión, lectura y
escritura. Ha sido un trabajo arduo tanto para mí como para muchos de mis seres
queridos, pero ampliamente recompensado ya que he tenido la oportunidad de
conocer más profundamente a un personaje sorprendente.
En este largo caminar he tenido algunas ayudas inestimables. Comenzaré
por las personas que revisaron los primeros borradores y me aportaron sus
generosas reflexiones de cara a mejorar el escrito, me refiero a Marta Macho, y
a Raúl Ibáñez, profesores de la Universidad del País Vasco; ellos, durante
algunos días se dedicaron a discutir conmigo aquellos apartados más oscuros que
eran susceptibles de mejora.
También a Antonio Aparicio, pues sus traducciones de algunos artículos
rusos fueron de vital importancia para que yo comprendiera mejor el espíritu
científico ruso de principios del siglo XIX. No quiero olvidarme de Antonio
Pérez que puso su tiempo de descanso, su saber y su cariño en la mejora y
presentación del manuscrito. Ni tampoco del editor, Jesús Fernández, su ánimo y
apoyo han sido cruciales para que yo siguiera con esta empresa. Por supuesto a
mi familia: Iris, Nora y Ana, ellas generosa y pacientemente han sabido
soportarme durante muchos días y muchas noches, a ellas las he dedicado el
libro porque han tenido una infinita paciencia conmigo; espero que cuando mis
hijas Iris y Nora sean mayores puedan leer el libro y comprender por qué les
fui robando tiempo para estar conmigo.
Notaciones
Usamos notaciones habituales en geometría. Los puntos se representarán
por letras mayúsculas A, B, C,... , P, Q, y las rectas por letras minúsculas f,
m, n,... , p, q. El segmento de extremos A y B se denotará por AB, y su
longitud por long (AE). También se denotará por AB la recta
que pasa por los puntos A y B.
Los ángulos se representarán por letras griegas α, β, γ,... , salvo los
ángulos interiores de un polígono de vértices A, B, C,..., que se podrán
representar por A, B, C
Capítulo 1
El estudiante Lobachevski
"Las grandes obras las sueñan los genios, las ejecutan los
luchadores, las disfrutan los felices y las critican los inútiles
crónicos".
Proverbio árabe
§. Los primeros años
Cuando el joven C. F. Gauss (1777-1855) había cumplido quince años,
nacía en una localidad rusa llamada Nizhni Nóvgorod un niño, que con el paso de
los años se convertiría en uno de los grandes matemáticos de todos los tiempos.
Nueve años antes había muerto Leonhard Euler.
Nikolai Ivanovich Lobachevski vino al mundo el 1 de diciembre de 1792.
Su padre, Iván Maksimovich Lobachevski, era una persona humilde que trabajaba
en una pequeña oficina dedicada a la inspección de tierra. Su madre, Praskovia
Aleksandrova, era una mujer enérgica, inteligente y muy preocupada por la
educación de sus hijos. Debido a su constancia y tesón la familia Lobachevski
pudo salir adelante.
Nikolai era uno de los tres hijos de esta humilde familia. Cuando tenía
siete años murió su padre, y ese mismo año, 1800, su madre trasladó la
residencia a la populosa ciudad de Kazán buscando mejores horizontes para sus
tres hijos.
§. La ciudad de Kazán
Kazán está situada en el centro de la Rusia europea, al este de Moscú y
a unos 800 kilómetros de distancia. Es la actual capital de la República de los
Tártaros (Tatarstán).
Fue fundada por los mongoles en el año 1257, y conquistada por los rusos
en 1552, que la fortificaron y la salpicaron de multitud de pequeñas iglesias
ortodoxas.
Quedó destruida casi por completo en 1774, en el transcurso de la
revuelta que protagonizaron los cosacos, pero durante el reinado de Catalina II
fue reconstruida casi en su totalidad.
A principios del siglo XIX era una ciudad bastante grande (tenía de
20.000 a 25.000 habitantes), muy animada y, en opinión de sus contemporáneos,
extraordinariamente pintoresca.
La ciudad de Kazán en una litografía antigua.
La ciudad se encontraba muy dispersa por montes y valles, la mayoría de
sus construcciones eran de madera y las pocas casas de mampostería que había
eran poco sólidas. La población era bastante variopinta y la cuarta parte
estaba constituida por tártaros.
El nivel cultural de la población de Kazán era más bien bajo. Sus
centros docentes, hasta mediados del siglo XVIII, eran exclusivamente
religiosos y habían sido creados por el régimen zarista con el propósito de
incorporar a la población musulmana y pagana a las enseñanzas ortodoxas.
Entre los monumentos de interés histórico y artístico destacan el Kremlin (ciudadela)
-cuya parte más antigua data del siglo XV-, una iglesia del XVI, dos mezquitas
del siglo XVIII y naturalmente su universidad.
En 1759 se inauguró un centro educativo de nivel medio (equivalente a un
instituto de enseñanza secundaria), para que los jóvenes de Kazán se pudieran
preparar debidamente para ingresar en la Universidad de Moscú o en la Academia
de las Ciencias de San Petersburgo. Por problemas de tipo económico y político,
el Gymnasium dejó de funcionar en el año 1788, aunque diez años más tarde, a
petición del gobernador general de Kazán (el príncipe Mesherski), se abriría de
nuevo. En el nuevo centro se enseñaban las siguientes materias: latín, francés,
alemán, tártaro, lógica, filosofía práctica, geometría, trigonometría,
hidráulica, mecánica, física, química, historia natural, arquitectura civil,
agrimensura, derecho político, artillería, táctica, arte de las fortificaciones,
dibujo, esgrima y danza.
Un simple vistazo a las asignaturas impartidas nos indica que el
Gymnasium respondía a los gustos y necesidades de las capas privilegiadas,
preparando a sus hijos -especialmente- para las carreras militares.
El nuevo centro fue llamado Gymnasium Imperial, y disponía de una
excelente biblioteca donde había libros y manuscritos de gran valor.
Su apertura fue una de las razones fundamentales por las que la viuda
Praskovia Aleksandrova se instaló por un tiempo en la ciudad de Kazán. En
noviembre de 1802 solicitó la admisión de sus hijos en el Gymnasium.
Plano de la fachada principal del Gymnasium Imperial de Kazán.
Nikolai tenía nueve años, sus hermanos Aleksei y Aleksander contaban
siete y once años respectivamente. Después de duros exámenes fueron admitidos
los tres. Una vez superada la difícil prueba, la madre de Nikolai escribió una
carta a los responsables educativos y les hizo saber su falta de medios para
pagar los estudios de sus hijos. La nota iba acompañada de una petición de
ayuda económica a la corona. Esta, después, de estudiar la petición se hará
cargo de todos los gastos de formación. Por tanto, los esfuerzos maternos
fueron recompensados con creces ya que sus tres hijos estaban en disposición de
acceder a una importante educación.
La vida escolar en el Gymnasium -según citan varios internos- era
extremadamente severa:
"Los alumnos se levantaban mucho antes del alba, la luz en todo el
recinto era tenue, alumbrada por unas velas de sebo que despedían un
desagradable olor, el frío en los dormitorios era extremo, la disciplina muy
severa obligaba a los internos a ir formados en filas de manera constante...
además los alumnos no podían mantener correspondencia directa con sus
familiares, las cartas eran entregadas previamente a sus vigilantes de
dormitorio, los cuales decidían el destino de la correspondencia..."
Sin embargo, en este ambiente hostil y lúgubre, Nikolai conoció a un
joven profesor de matemáticas muy motivador: Grigori Ivanovich Kartashevski,
persona interesada por la ciencia en general y por las matemáticas en
particular. Kartashevski se inspiraba en obras de matemáticos célebres de la
época, especialmente en el libro Eléments de géométrie del
matemático francés A. M. Legendre (1752-1833) publicado en el año 1794.
Grigori Ivanovich Kartashevski
Las enseñanzas de este libro y su autor tuvieron una repercusión muy
notable -como posteriormente veremos- en los trabajos de geometría de
Lobachevski.
En el verano de 1807, Lobachevski, terminó sus estudios en el Gymnasium
y se incorporó a la Universidad de Kazán. Su expediente académico era brillante
y a los quince años ya era capaz de leer memorias científicas en francés,
alemán y latín. Resulta significativo que, a pesar de la modesta educación
recibida en su casa, los tres hermanos fuesen capaces de terminar sus estudios
de manera tan admirable.
§. La Universidad de Kazán
Para reforzar la cultura rusa en una región hostil para el imperio ruso,
el zar Alejandro I aprobó en 1804 la constitución de la Universidad Imperial de
Kazán, que se crea en 1805.
La universidad disfrutaba de unos estatutos bastantes progresistas para
la época: tenía amplia autonomía, los profesores y el rector eran elegidos por
la propia universidad, y la posibilidad de editar sus propias publicaciones sin
la obligación de someterlas a la censura (tan habitual en esa época). Incluso
tenía una policía propia.
Sin embargo, era una universidad con muchas deficiencias. En los
primeros años carecía hasta de edificios, el cuerpo de profesores era escaso y
poco preparado y los únicos estudiantes que accedían a ella eran los
provenientes del Gymnasium.
El edificio principal de la Universidad de Kazán.
Además no había ni manuales ni centros de enseñanza asociados, y los
únicos laboratorios estaban situados en las dependencias del Gymnasium.
El nombramiento de S. Ya. Rumovski como protector del distrito docente
de Kazán sería de vital importancia para el futuro de la universidad, ya que
Rumovski era un importante astrónomo que había trabajado con Euler, M. V.
Lomonósov y otros hombres ilustres de ciencia. Era un personaje singular y el
único hombre de ciencia entre los responsables docentes.
Cuando le confiaron el protectorado Rumovski era muy mayor, tenía más de
70 años, pero, a pesar de su edad, en poco tiempo pudo organizar de una manera
muy digna las facultades de matemáticas y de física.
Al principio, la Universidad de Kazán era una superestructura del
Gymnasium, muchos de los docentes del mismo accedieron a dar clases en ella.
Entre ellos cabe citar a G. 1. Kartashevski, que fue nombrado profesor de
matemáticas, haciéndose cargo de la cátedra de matemáticas superiores. Rumovski
completó el plantel de profesores con docentes extranjeros, especialmente
venidos de Alemania. En el año 1808, a invitación Rumovski, tomó posesión de la
cátedra de matemáticas M. F. Bartels (1769-1833), un matemático competente y un
excelente pedagogo.
Martin F. Bartels
Bartels conocía personalmente a Gauss, con el que había coincidido en
Braunschweig, y era considerado como un profesor muy concienzudo y trabajador.
Permaneció en la Universidad de Kazán durante 12 años (de 1808 a 1820). En ese
periodo se le encargaron varias materias: análisis, geometría, mecánica
analítica y el desarrollo de cursos especiales para los alumnos más
aventajados, entre los que se encontraba Lobachevski.
Bartels utilizaba los textos de la época: cabe citar el Tratado
de cálculo diferencial e integral, en tres tomos, escrito entre 1797
al 1800 por S. F. Lacroix (1765-1843) (considerado -por su claridad y
tratamiento de los temas- el mejor curso de análisis matemático de la época),
los libros de Euler y el tratado de Cagnoli sobre trigonometría.
Grabado de la ciudad de Nizhni Novgorod en el siglo XIX.
La opinión que tenía Bartels de sus alumnos se resume en la siguiente
frase:
“Gracias a los grandes progresos de la mayor parte de mis alumnos, mis
cursos me procuran una intensa satisfacción
Con respecto a los cursos especiales, a los que siempre asistía
Lobachevski, Bartels dedicó un apartado especial a la historia de las
matemáticas.
Seguía un texto muy famoso en esa época, el libro del matemático francés
J. E. Montucla, en el que se analizan con detalle los Elementos de
Euclides y, en particular, el famoso quinto postulado. Parece muy probable que
el interés de Lobachevski por los fundamentos de la geometría fuera estimulado
por estas clases del profesor Bartels.
En 1810 la universidad contrató como profesor de astronomía a I. A.
Litrow, catedrático de matemáticas y astronomía de la Universidad de Cracovia
(Polonia). Por tanto, el plantel de profesores de las facultades de matemáticas
y de física era más que aceptable.
§. Los años de estudiante universitario
Nikolai Lobachevski ingresó en la universidad con quince años y cuatro
años más tarde acabó su formación. Sus pensamientos iniciales iban encaminados
hacia el estudio de la medicina; pero el contacto con los matemáticos,
especialmente con el profesor Bartels, le hizo cambiar de opinión. A partir de
ese momento las matemáticas fueron su pasión, que ya no abandonaría hasta el
final de sus días.
La estima y buena opinión de Bartels queda reflejada en la siguiente
carta:
"... Los progresos de Lobachevski son enormes, puede ser un
excelente estudiante en cualquier universidad europea y acaricio la esperanza
de que si se continúa perfeccionando, ocupará un lugar eminente en los medios
matemáticos...”
(carta de Bartels a Rumovski).
En 1811 Lobachevski recibió el título de licenciado en física y
matemáticas. Sus estudios fueron brillantes, con notas de sobresaliente en la
mayoría de las asignaturas.
Por esa época, se recibieron en la universidad una serie de misivas para
que se vigilara muy de cerca la conducta de los alumnos. En tales escritos, se
obligaba-”por orden suprema’’- a las autoridades docentes a
expulsar de la universidad a los estudiantes culpables de graves delitos e
incluso a enrolarlos en el ejército. Como consecuencia de ello Lobachevski, que
estaba bajo sospecha de haber participado en numerosas revueltas estudiantiles,
se vio envuelto en un examen de conducta que le causó no pocos problemas.
Cuando el asunto llegó a conocimiento de Rumovski, éste hizo el
siguiente informe:
“...Quiero hacer notar que el estudiante Nikolai Lobachevski es el
primero en mala conducta, y lamento verle malgastar sus excelentes capacidades
en su conducta indigna y que le recomiendo modificarla y enmendarse: Si
rehusase seguir mi consejo y recibo una nueva queja con respecto a él, me veré
obligado a informar al Señor Ministro de Instrucción Pública... ”
A pesar de su comportamiento, la universidad no podía perder a una
cabeza tan privilegiada. En una reunión del consejo en la que se debía
contratar a nuevos profesores, los docentes alemanes, especialmente Bartels,
propusieron a Lobachevski como candidato al grado de maestro. El
consejo, después de escuchar las alabanzas científicas dirigidas hacia
Lobachevski por la mayoría de sus profesores, aceptó admitirle como candidato
con la condición de que lamentara su mala conducta y prometiera enmendarse.
Este procedimiento humillante le abrió las puertas de la docencia universitaria
y el 3 de agosto de 1811 fue confirmado como profesor.
Capítulo 2
El imperio ruso y la dinastía de los Romanov
"Podemos sin duda representar espacialmente un estado de cosas que
vaya contra las leyes de la física, pero no uno que vaya contra la
geometría".
Ludwig Wittgenstein
§. La Rusia del XVIII
Tras el ascenso al trono de Pedro I el grande en 1694,
el reino moscovita pasó a denominarse imperio ruso. Para la inmensa población
rusa este reinado fue opresivo y distante, y su rígida estructura normativa lo
convertía prácticamente en un régimen de castas. La sorpresiva muerte de Pedro
I, en 1725, abrió un periodo de inestabilidad que se prolongó hasta la subida
al trono de Catalina II en 1762.
Este gran imperio, que durante el reinado de Pedro I el grande sólo
contaba con trece millones de habitantes, tenía al término del reinado de la
zarina Catalina II, en 1796, un territorio poblado por unos treinta millones de
personas, cifra que superaba a la población de Francia.
A mediados del siglo XVIII, el imperio ruso se encontraba en un estado
de feudalismo agrario. Las ciudades, aparte de San Petersburgo, Moscú, y
algunas otras en el sur, estaban poco desarrolladas. No había prácticamente ni
comercio ni industria, y la verdadera base de la economía era la agricultura,
de la que vivía el 96% de la población. La tierra era propiedad del estado y de
los grandes terratenientes. Los campesinos sólo eran siervos, sus amos poseían
verdaderos feudos heredados de sus antepasados, quienes a su vez los habían
recibido del zar, primer propietario, en reconocimiento por los servicios
prestados.
Los zares y la nobleza eran los propietarios de la mayoría de las
tierras rusas, por lo que los campesinos eran personas pobres. Los emperadores
de Rusia eran verdaderos autócratas.
La servidumbre era tal que el señor tenía derecho de vida y muerte sobre
sus siervos. No sólo les hacía trabajar como esclavos, sino que podía también
venderlos, castigarlos, martirizarlos e incluso matarlos, casi sin problemas
para su amo. Esta servidumbre de millones de esclavos era la base económica del
estado.
La sociedad rusa se componía de tres estamentos, uno
formado por el zar, su numerosa parentela, su corte, la nobleza, los magnates
de la burocracia, la casta militar y el clero. Otro, él más inferior, lo
componían los esclavos, los siervos campesinos y la plebe de las ciudades, sin
noción alguna de sus derechos y sin la menor libertad. Entre ellos se situaba
la clase media, constituida por los mercaderes, los funcionarios, empleados y
artesanos.
El nivel cultural, en general, era muy bajo, pero conviene señalar un
notable contraste entre la simple población trabajadora, rural y urbana,
inculta y miserable, y las clases privilegiadas, cuya educación e instrucción
era bastante avanzada.
Los siervos campesinos eran muy numerosos y cada vez estaba más
descontentos. A finales del siglo XVIII, algunos hombres instruidos protestaron
contra esta situación, pero sus protestas fueron aplastadas sin ningún
miramiento. Durante este siglo la situación de la servidumbre se deterioraría
hasta límites insospechados y sus amos conseguirían, bajo el reinado de
Catalina II, el derecho de enviar a los siervos a Siberia (lugar típico de
deportación) como convictos, sin proceso público. No es sorprendente que los
campesinos se sublevaran una y otra vez en numerosas revueltas locales. A ojos
de los intelectuales occidentales, el imperio ruso era un estado “bárbaro
y oriental”.
El primer movimiento francamente revolucionario, el de los decembristas (1825),
tenía en su programa, en lo social, la abolición de la servidumbre y, en lo
político, la instauración de una república o régimen constitucional.
En el periodo que nos interesa hay dos zares que es preciso conocer, ya
que sus trayectorias políticas marcaron de manera definitiva la vida en el
vasto imperio ruso: Pedro I el grande y Catalina II.
Pedro I el grande (1672-1725), zar de Rusia
(1682-1725), nació en Moscú el 9 de junio de 1672, hijo del zar Alexis
Mijailovich, y fue educado por profesores particulares. Posteriormente, estudió
artes técnicas y mecánicas, en particular ciencias militares y navales. Desde
1682 hasta 1689, bajo la regencia de su hermanastra Sofía Alexeievna, compartió
el trono con su hermanastro mayor, Iván IV, pero en 1689 los partidarios de
Pedro derrocaron a Sofía y le instalaron a él como único dirigente.
Durante su reinado, Rusia se convirtió en una gran potencia europea.
Pedro I el grande
Durante el reinado de Pedro I se sustituyó el alfabeto eslavo por uno
similar al latino, se introdujeron los números arábigos, se publicó el primer
periódico en ruso, se fundaron escuelas y se creó la famosa Academia de
Ciencias de San Petersburgo.
San Petersburgo, capital imperial
San Petersburgo (llamada Petrogrado en el periodo 1914 a 1924 y
Leningrado en el periodo de 1924 a 1992) fue fundada en 1703 en la
desembocadura del Nena por el zar Pedro el grande para europeizar a la
atrasada nación rusa. Para su construcción fueron traídos miles de campesinos,
artesanos y soldados.
Es una ciudad que nació de repente, no tuvo un proceso de desarrollo gradual y
equilibrado. Se construyó a la fuerza, piedra a piedra, edificio a edificio...
bajo la dirección de Pedro el grande. En 1715 fue declarada capital de
Rusia y lo siguió siendo hasta 1918. Todavía hoy se la llama la capital del
norte.
La iglesia de la Sangre Derramada.
Arquitectos de todo el mundo participaron en la construcción de la
ciudad. Sus palacios color pastel, sus parques, el trazado de sus avenidas, la
geometría de la ciudad, sus puentes, sus pináculos brillantes y cúpulas
doradas, hacen de San Petersburgo una ciudad de ensueño.
Museo de Antropología y Etnografía de la Academia de Ciencias de San
Petersburgo.
La ciudad está situada sobre 44 islas del delta del río Neva y es famosa
por sus puentes, sus museos y, por supuesto, por sus noches blancas en las que
el sol brilla las 24 horas del día. Es conocida como la Venecia del norte.
Es una ciudad que cautivó a muchos poetas y que se convirtió en el escenario de
la literatura rusa del siglo XIX. Por ella se mueven tanto el personaje de
Raskolnikov de Crimen y castigo de Dostoievski, como Eugene Onegin de Pushkin.
En el siglo XIX la ciudad fue testigo de la lucha contra la opresión zarista.
Aquí se avivaron las llamas tempranas de la revolución de diciembre de 1825,
impulsada por un pequeño grupo de oficiales aristocráticos, los llamados
decembristas.
San Petersburgo fue la capital de Rusia durante dos siglos. A orillas del Neva
se desarrollaron con rapidez las ciencias y florecieron las artes. Allí
nacieron la Academia de Ciencias y la Academia de Bellas Artes.
Pedro I realizó reformas internas de un gran calado: la subordinación de
los boyardos (nobleza rusa) y de la iglesia al trono, el fomento de la
industria, el comercio y la educación, y la reorganización del aparato
administrativo del estado para hacerlo más moderno y eficiente, creando
ministerios especializados. Hizo también una reforma del ejército que permitió
a personas sin título nobiliario la posibilidad de acceder al cuerpo de
oficiales. En definitiva, sentó las bases del gran imperio ruso. Falleció el 8
de febrero de 1725 en San Petersburgo.
§. Catalina II la grande (1729-1796), emperatriz de Rusia
(1762-1796)
Catalina II la grande se llamaba en realidad Sophie
Fredericke Auguste von Anhalt-Zerbst y había nacido en Stettin (actual ciudad
de Szczecin, en Polonia) el 2 de mayo de 1729, hija de un príncipe alemán. Sus
padres, cosas de la vida, habían visto con disgusto su nacimiento, pues
deseaban un varón. Catalina recibiría una educación con la que no podía aspirar
más que a un mediocre matrimonio.
Sin embargo, en 1745 se casó con el gran duque Pedro de Holstein,
heredero del trono ruso y en 1754 dio a luz un hijo, el futuro emperador Pablo.
El marido de Catalina accedió al trono como Pedro III en 1762, pero era una
persona excéntrica y sumamente despectivo con sus súbditos y el 9 de julio de
1762, siguiendo una práctica habitual en la Rusia del siglo XVIII, la guardia
imperial le derrocó y colocó en el trono a Catalina. Pocos días después fue
asesinado. Catalina llevaría a cabo los sueños imperiales de Pedro I,
aumentando territorialmente su imperio, principalmente a costa de Polonia y
Turquía
Catalina II la grande
La zarina conocía bastante bien la literatura de la Ilustración
francesa, que ejerció una gran influencia sobre su propio pensamiento político,
y mantuvo un estrecho contacto con Voltaire y con el enciclopedista Denis
Diderot. Además prestó apoyo económico a varios escritores franceses, y el
mismo Diderot fue huésped de su corte en 1773. Los enciclopedistas franceses la
denominaron la Minerva rusa y la Semíramis del norte.
El objetivo de Catalina era el poder aplicar algunas de las ideas
ilustradas a la racionalización y reforma de la administración del imperio
ruso, pero desgraciadamente no logró su objetivo.
La soberana trazó un ambicioso plan integral de educación que abarcaba
desde la enseñanza primaria hasta la creación de cinco universidades, pero por
distintos motivos este plan no logró ponerse en práctica, deteniéndose en la
enseñanza secundaria.
En los primeros años de su reinado, Catalina trató de ganarse el apoyo
de la nobleza y, a pesar de su declarado aborrecimiento de la servidumbre, hizo
mucho por extender esta institución concediendo a las clases acomodadas y a la
nobleza privilegios tales como la concesión de tierras, títulos, cargos y
siervos para trabajar.
El malestar de los campesinos culminó en una gran rebelión (1773-1775),
encabezada por el cosaco Yemelián Pugachov, que hizo estragos en la mayor parte
de la cuenca del río Volga y en los montes Urales, antes de ser definitivamente
aplastada por las fuerzas militares. Como respuesta a la rebelión en el año
1775 se llevó a cabo una importante reforma de la administración provincial con
el fin de conseguir un mejor control del imperio.
Durante su reinado, el territorio del imperio ruso se extendió
enormemente gracias a dos guerras contra el imperio otomano (1768-1774) y
(1787-1791) y a la anexión de Crimea (1783).
Jean-Jacques Rousseau
Además Rusia logró controlar la costa norte del mar Negro. Por último,
el control ruso sobre Polonia y Lituania hizo aumentar de manera considerable
el poderío de su imperio.
Las relaciones entre Rusia y Francia se deterioraron de tal manera que
Catalina se mostró implacable contra los republicanos franceses. Hubiera
incluso llegado hasta la misma Francia, de no ser porque el 16 de septiembre de
1796 dejó de latir su corazón.
Catalina ha sido considerada como una mujer inteligente, culta, sagaz,
muy hábil, apasionada y que desempeñó un papel clave en el desarrollo de Rusia
como estado moderno, pero a pesar de sus esfuerzos por modernizar el país la
vida del pueblo ruso prácticamente no resultó alterada.
Rusia durarte el reinado de Catalina II la grande.
Alejandro I
Alejandro I (1777-1825), zar de Rusia (1801-1825) abolió muchos castigos
bárbaros y crueles infligidos en aquella época y estableció un sistema
administrativo más ordenado con la creación de ocho ministerios en 1802. Mejoró
las condiciones de vida de la servidumbre y fomentó la educación, duplicando el
número de universidades rusas con la fundación de las de San Petersburgo,
Kharkov y Kazán. Alejandro I fue aliado de Prusia y enemigo de Napoleón durante
un tiempo. No obstante, en 1807, después de las batallas de Eylau y Friedland,
se alió con Francia. Rompió esta alianza y en 1812 Napoleón invadió Rusia,
acción que concluyó con la pérdida de su ejército y una trágica retirada de
Moscú.
La llamada Guerra Patria convirtió a Rusia en la primera potencia del
continente.
Zar Alejandro I
Posteriormente, Alejandro I desempeñó un papel destacado en la coalición
europea que provocó la caída de Napoleón. En 1815 promovió la Santa Alianza
junto con Austria y Prusia con el fin de garantizar el mantenimiento del orden
absolutista y reprimir cualquier intento de alterar la situación política en
Europa. Los últimos años de su reinado se caracterizaron por un talante
reaccionario y despótico. Le sucedió su hermano Nicolás I.
La falta de una burguesía urbana y de funcionarios cultos fueron algunos
de los obstáculos principales en ese intento de situar al imperio ruso al nivel
de otras naciones europeas.
§. Rusia a principios del siglo XIX
A comienzos del siglo XIX, Rusia era una de las grandes potencias
europeas. A lo largo de la primera mitad de este siglo continuó -aunque muy
lentamente- el proceso de desaparición de la servidumbre y se produjo un
progreso particularmente notable en la industria.
A Catalina II le sucedió su hijo Pablo I, emperador desde 1792 hasta
1801. En este corto reinado inició una política contraria a la de su madre,
persiguió con extrema dureza las ideas de los intelectuales rusos, impuso la
censura cultural, el exilio interno e incluso prohibió los viajes al exterior
del país. En 1801 el descontento de casi todas las capas sociales era muy
grande, lo que propició la conspiración contra el emperador y su posterior
asesinato. Le sucedió su hijo Alejandro I, que pretendió implantar una
monarquía constitucional pero sin abandonar el gobierno autocrático.
En los primeros años de mandato trató de estabilizar el país ya que
quería un reino en paz. Sin embargo, en 1805, el emperador francés Napoleón le
declaró la guerra y el imperio ruso, introducido de lleno en una economía de
guerra, sufrió lo indecible. La guerra napoleónica afectó muy negativamente a
la economía rusa y muchas provincias occidentales y centrales fueron
devastadas.
Capítulo 3
Profesor en la Universidad de Kazán
“Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la
filosofía".
Isócrates
A punto de cumplir los 19 años, Lobachevski ya era docente de la
Universidad de Kazán. Comenzaba su vida como pedagogo y creador.
En los primeros años la influencia del profesor Bartels fue crucial, ya
que le puso en contacto con las grandes obras del siglo XVIII. Lobachevski y su
amigo I. M. Simonov asistieron a unas lecciones dictadas por Bartels. En ellas
estudiaron concienzudamente la famosa obra, en cinco volúmenes, Tratado
de mecánica celeste (1799) de Laplace. Los progresos de Lobachevski,
en opinión de Bartels, fueron muy satisfactorios:
“Como saben mis distinguidos y respetables colegas, al comienzo del año
he aceptado dirigir los estudios avanzados de los maestros Lobachevski y
Simonov, y de rendir cuentas de ellos a ustedes... En el transcurso de mis
lecciones les he expuesto la mayor parte del primer volumen y una parte
sustancial del segundo volumen de la notable obra de Laplace... Aunque Simonov
haya hecho excelentes progresos en matemáticas, Lobachevski le sobrepasa, sobre
todo en lo que concierne a las matemáticas superiores...
...Esta breve comunicación de nuestro eminente matemático, quien con el tiempo
se hará de un nombre glorioso,... ”
Informe de Bartels al Consejo de Universidad,
10 de julio de 1812.
Bartels, como buen pedagogo, también le sugirió a Lobachevski la lectura
de las grandes obras de la época, y una de ellas fue la primera obra del joven
Gauss, titulada Disquisitiones arithmeticae (1801).
Es de señalar que, en ese periodo, Lobachevski apenas tuvo contacto con
las obras de geometría más importantes de la época. No se sabe muy bien cómo
llegaron a sus manos los manuales de los ilustres geómetras franceses.
En cuanto a la docencia, le encargaron tutorizar a los nuevos alumnos,
labor que consistía en repasar el material ya impartido. Además, era encargado
de dar clases en verano a los funcionarios de las distintas administraciones
que querían elevar su nivel de conocimientos científicos: sus clases se
centraban en la aritmética y la geometría.
En esos años, en palabras de sus compañeros, su labor fue altamente
satisfactoria y él estaba muy orgulloso de sus clases.
La Universidad de Kazán, al igual que otras universidades del país,
necesitaba mejoras, pero la organización oficial de las universidades rusas
debió aplazarse pues Rusia acababa de entrar en guerra contra Napoleón, lo que
obligó a la evacuación de buena parte de Moscú. La ciudad de Kazán se convirtió
en un centro de acogida de todo tipo de centros e instituciones de Moscú.
Fueron años de enorme sacrificio para el pueblo ruso, ya que el imperio
napoleónico estaba a sus puertas y era de vital importancia para el país luchar
con todos los recursos disponibles contra el invasor.
Es posible que la valía de Lobachevski le salvara de acudir al frente en
defensa de su país. Pero justamente en ese año, 1812, murió el protector
Rumovski y la Universidad de Kazán tomó otro aire. El nuevo protector, M. A.
Saltykov, cesó al rector, se preocupó de organizar los planes de estudios de
las facultades, dio más autonomía a la universidad y separó al Consejo de la
Universidad del Consejo del Gymnasium.
Con estos cambios la Universidad de Kazán se convertiría, a partir de
1813, en un verdadero centro superior.
Cuando Lobachevski tenía 21 años, en 1814, él y Simonov fueron nombrados
profesores adjuntos de física y matemáticas. Ese mismo año, el profesor Bartels
fue elegido decano de la facultad.
El nombramiento suponía más responsabilidad y nuevos requerimientos para
Lobachevski. Al poco de ser nombrado le correspondió impartir dos cursos, uno
sobre matemáticas puras y otro sobre geometría práctica, pero desgraciadamente
la salud le jugó una mala pasada y no pudo comenzarlos ya que su médico le
obligó a descansar una larga temporada, al término de la cual regresó con
fuerzas renovadas.
Además, la nueva categoría profesional le obligaba a dar una serie de
cursos y conferencias sobre diversos temas como álgebra, aritmética,
trigonometría, geometría, teoría de números y cálculo diferencial e integral.
En todos los casos, Lobachevski se preocupó de preparar con suma atención los
materiales didácticos para que los alumnos comprendieran lo mejor posible la
materia. El método de enseñanza fue, durante muchos años, objeto de sus
reflexiones y años después dejaría plasmadas en un artículo sus revolucionarias
e innovadoras ideas al respecto.
Gauss
Cari Friedrich Gauss nació en Braunschweig (Alemania) el 30 de abril de
1777. Fue un niño prodigio y aprendió a leer, escribir y calcular a la edad de
tres años. A los once años Gauss conoció a Bartels, que por aquel entonces era
profesor ayudante en su escuela. Bartels habló de sus habilidades matemáticas
al duque de Braunschweig y a los catorce años Gauss fue a la corte del duque
para hacer una exhibición de sus dotes como calculista. El duque quedó
impresionado y se convirtió en su protector. En 1795 comenzó a estudiar
matemáticas en Universidad de Göttingen con una beca del duque.
Antes de 1800 Gauss ya había descubierto resultados matemáticos muy notables,
entre ellos un método para construir, con regla y compás, el polígono regular
de 17 lados. E incluso fue más allá, caracterizando los polígonos regulares
construibles con ayuda de regla y compás. También hizo algunos descubrimientos
fundamentales, entre los que se incluye el método de los mínimos cuadrados.
En 1799 demostró el teorema fundamental del álgebra, que afirma que toda
ecuación algebraica tiene una raíz de la forma a + bi donde a y b son números
reales, e i es la unidad imaginaria. Por esa época comenzó sus investigaciones
sobre una geometría no euclídea, es decir, basada en axiomas distintos a los de
Euclides, pero se negó a publicarlas.
A partir de 1800, Gauss se dedicó también al estudio de la astronomía. Sus
métodos matemáticos para calcular las posiciones de los cuerpos celestes eran
casi perfectos, y en 1807 pasó a dirigir el observatorio de Göttingen. Sobre
los cuerpos celestes trataría su segunda obra, Theoria motus corporum coelestium
(1809).
Durante su estancia en el observatorio construyó un heliotropo, con él que se
pudo determinar de manera más precisa la forma del planeta. También estudió el
magnetismo terrestre, por lo que en la actualidad la unidad de flujo magnético
lleva su nombre.
A partir del año 1820, en colaboración con el físico Wilhelm Weber, exploró
muchas áreas de la física como electricidad, magnetismo, mecánica, acústica u
óptica. En 1833 construyó el primer telégrafo.
Gauss, que había definido a las matemáticas como la reina de las ciencias y a
la aritmética como la reina de las matemáticas, murió en la madrugada del 23 de
febrero de 1855 y dejó a la humanidad uno de los mayores legados matemáticos.
En esa época empleó varios libros de texto como ayuda para realizar sus
notas: Teoría de números de Legendre, Disquisiciones aritméticas de Gauss, los
libros citados anteriormente de S. F. Lacroix y el famoso libro Aplicación
del análisis a la geometría del matemático francés G. Monge. Además,
escribió dos pequeños manuales titulados Geometría y Álgebra o cálculo
de finitos.
Llama la atención que no utilizara ninguno de los libros de L. Euler, a
pesar de que el ilustre matemático tenía un enorme prestigio en las
universidades rusas, no en vano había sido miembro de la Academia de Ciencias
de San Petersburgo durante dos periodos, con una estancia total de más de
treinta años.
En julio de 1816, Lobachevski (que sólo tenía 24 años) fue propuesto
como profesor extraordinario a petición de Bartels. Después de algunas
dificultades, no del todo aclaradas, se reconoció su valía y se le confirmó en
el cargo anteriormente citado.
Vamos a detenernos en las clases de Lobachevski del curso escolar
1816-1817, durante el cual había impartido, entre otros, un curso sobre
geometría elemental. Se han conservado los apuntes de este curso del estudiante
M. Temnikov, que tienen un interés histórico notable ya que muestran
convincentemente que en este curso Lobachevski ya se planteaba el problema de
la demostración del quinto postulado sobre las rectas paralelas basándose en
los otros cuatro postulados. En cuanto a las ideas, sigue las investigaciones
de Legendre, y primero construye una geometría absoluta cuyos teoremas son
independientes del quinto postulado; a continuación empieza a demostrar los
teoremas que ya se basan en el postulado sobre las paralelas. Por tanto, en esa
época sigue en la línea de demostrar el quinto postulado como consecuencia de
los otros cuatro; no es casualidad este planteamiento, puesto que era
prácticamente la manera oficial de abordar la cuestión. Como
veremos, este problema se convirtió, a la postre, en la labor principal de toda
su vida.
§. Años difíciles. La influencia del protector Magnitski
Tras la creación de la Santa Alianza, la vida intelectual en el imperio
ruso se volvió insoportable. Además, el emperador Alejandro I cayó en un
profundo misticismo religioso que afectó a todas las acciones de su mandato.
Para imponer una política tan reaccionaria se nombró ministro de educación al
príncipe A. N. Golitsyn, que ejecutó al pie de la letra el espíritu que ya
flotaba en el ambiente. La reacción contra el pensamiento progresista,
instalado en la universidad, tuvo tales proporciones que muchos pensaron que
todas las universidades de Rusia serían cerradas excepto la de Moscú.
En 1819, M. L. Magnitski, miembro de la dirección principal de las
escuelas de toda Rusia, se dirigió a la Universidad de Kazán con el encargo de
inspeccionarla, así como las escuelas adscritas. Durante el escaso mes que duró
la inspección se ocupó especialmente de investigar a fondo el ambiente
universitario: la vida de los estudiantes, las relaciones entre los profesores,
los contenidos impartidos, etc.
A raíz de su inspección redactó un informe donde hacía resaltar de
manera muy notable los defectos que había encontrado: desde la malversación de
fondos hasta la mediocre calidad de la enseñanza. Magnitski concluía su
intervención sugiriendo la clausura de la Universidad de Kazán.
El zar Alejandro I optó, sin embargo, por una medida menos drástica e
intentó solucionar la situación de la Universidad de Kazán poniendo en marcha
una serie de acciones, entre ellas el nombramiento de un nuevo protector.
Curiosamente, el mismo Magnitski fue propuesto como nuevo protector del
distrito docente de Kazán.
Su plan de mejora y ordenamiento pivotaba sobre cinco acciones básicas:
1.
Organizar
la enseñanza del catecismo.
2.
Expulsar
a varios profesores considerados mediocres.
3.
Potenciar
los aspectos morales, políticos y económicos, colocando un responsable al
frente de dichas secciones.
4.
Reformar
profundamente el sistema de enseñanza, estableciendo una reglamentación
estricta para la mayoría de las materias.
Establecer un régimen pseudomilitar dentro del colectivo estudiantil.
Con el nuevo protector todos los profesores se sintieron observados e
incluso perseguidos. Pero, ¿qué pensaba Magnitski sobre Lobachevski? La opinión
que tenía por aquellos años era la siguiente:
“En la facultad de física y matemáticas, merece especial mención la
sección de matemáticas por la valía de sus profesores. Puedo decir que es la
única facultad bien organizada y con una enseñanza excelente... ”
“Es opinión generalizada que el profesor Lobachevski tiene excelentes
conocimientos”.
El nuevo protector provenía de una familia noble, era una persona muy
ambiciosa y además disponía de poderes ilimitados. Magnitski, que había sido
educado bajo un régimen militar, no sentía ningún remordimiento por aplicar sus
reglas con todo el rigor posible. De hecho, nada más tomar posesión de su cargo
expulsó a nueve profesores lo que provocó un pánico generalizado entre el
estamento docente. Por si fuera poco, los estudiantes fueron sometidos a un
régimen draconiano y difícilmente soportable. Con sus medidas la vida cotidiana
en la universidad se resintió considerablemente y muchos profesores
extranjeros, especialmente alemanes, optaron por abandonarla. En definitiva, la
influencia de Magnitski sobre la universidad fue muy negativa.
El profesor Bartels, viendo el panorama que se cernía sobre la
universidad, aceptó, en el año 1820, una oferta para dar clases en la
Universidad de Dorpat. Poco a poco, la Facultad Físico- Matemática se fue
desmembrando y era urgente reorganizar su enseñanza. Magnitski propuso a
Lobachevski que ocupase la cátedra de física y astronomía para cubrir el hueco
dejado por el ilustre profesor Litrow, retirado en 1816, y al profesor Nikolski
la cátedra de matemáticas.
Lobachevski
El impartir nuevas materias supuso para Lobachevski un nuevo desafío que
acometió con todas sus energías.
Además, tras la marcha de Bartels, quedó vacante el puesto de decano y
se lo ofrecieron a él a pesar de que sólo era profesor extraordinario. De
repente se vio convertido en la piedra angular de su facultad.
Su valía fue también reconocida en otros estamentos universitarios, ya
que era requerido para la mayoría de los proyectos docentes y administrativos.
Algunas de sus tareas fueron las siguientes:
1.
Le fue
encomendado ordenar la enorme biblioteca central de la universidad, que ya
disponía de unas decenas de miles de libros, manuscritos y códices, por cierto,
completamente desordenados.
2.
Se le
nombró miembro del comité de construcción de los edificios universitarios,
labor que consistía en poner en marcha las diversas construcciones que se
erigieron por esa época en la universidad.
3.
Organizó
el laboratorio de física y la compra de nuevos materiales para el mismo.
4.
Participó
en el proyecto de la construcción de un observatorio astronómico que
posteriormente él mismo utilizaría.
5.
Fue
nombrado redactor de una revista surgida en el seno de la universidad y que
posteriormente se denominó Memorias de la Universidad de Kazán.
6.
Formó
parte del comité encargado de dirigir y controlar la actividad docente de todos
los centros educativos del distrito de Kazán.
Los decembristas
El movimiento denominado los
decembristas (llamado así porque comenzó el 14 de diciembre de 1825)
fue dirigido contra el régimen, y su programa iba, en lo social, hasta la
abolición de la servidumbre y, en lo político, hasta la instauración de una
república o régimen constitucional.
Perseguían los siguientes objetivos:
1.
Proclamación
de las libertades democráticas.
2.
Supresión
de la servidumbre.
3.
Convocatoria
de una asamblea constituyente.
Tuvo lugar cuando el emperador Alejandro I murió sin dejar un heredero
directo. La corona, rechazada por su hermano Constantino, pasó al otro hermano,
Nicolás. Curiosamente, el movimiento no surgió de las clases oprimidas, sino de
los ambientes privilegiados. Los conspiradores, aprovechando los titubeos de la
dinastía, ejecutaron sus proyectos, preparados desde hacía tiempo, y
arrastraron a la rebelión, que estalló en San Petersburgo, a algunos
regimientos de la capital y a oficiales del ejército imperial.
La rebelión fue sofocada tras un breve combate en la plaza del Senado entre los
insurrectos y las tropas fieles al gobierno. El nuevo zar, Nicolás I, muy
impresionado por los acontecimientos, dirigió en persona la investigación y su
represión fue cruel, los cinco principales cabecillas fueron ejecutados y
varios centenares fueron deportados o encarcelados.
Una vez vencida la rebelión, Nicolás I, amedrentado, extremó el régimen
despótico, burocrático y policial del imperio ruso, lo que influyó muy
negativamente en la vida universitaria.
Cualquiera de esas labores eran de por sí suficientes para una persona
normal; sin embargo, Lobachevski parece que se multiplicaba. Sin duda, se
convirtió en el personaje central de la universidad, todo el mundo le estimaba
y reconocía su valía; el propio Magnitski, en esos primeros años, sentía un
gran respeto por su persona. Pero lo más notable es que fuera capaz de no
olvidar las matemáticas, de seguir estudiando, investigando, escribiendo e
impartiendo clases. En esos años de enorme trabajo administrativo, Lobachevski
fue capaz de crear los fundamentos de su notable teoría geométrica.
Magnitski estuvo siete años al frente del protectorado y su mandato
coincidió con la muerte del zar Alejandro I y con la llamada rebelión de los
decembristas lo que supuso un control aún más férreo sobre la vida
universitaria. La mayoría de los historiadores coinciden en admitir que la
influencia de Magnitski respecto a la vida universitaria fue muy negativa,
incluso llegan a decir que su mandato dejó una huella dolorosa en todos los
estamentos universitarios.
Capítulo 4
Los Elementos de Euclides
“La belleza es, por tanto, una belleza geométrica, de esa clase que
tanto hubiera apreciado Platón".
John Desmond Bernal (1901-1971)
Euclides ha sido uno de los mayores creadores de toda la historia, la
atracción y seducción de su modelo reside en que a partir de nociones
elementales como punto, recta y círculo, y sólo cinco postulados que vinculan
de manera casi obvia estas nociones, puede construirse teorema a teorema toda
la geometría clásica, es decir, la totalidad de la geometría que conocía la
humanidad hasta no hace mucho tiempo, y que Kant creyó la única posible: la que
se corresponde con la forma en que vemos al mundo y sirve a los carpinteros,
cartógrafos, arquitectos, agrimensores y para todos los usos diarios.
§. Los Elementos
Los Elementos es un tratado matemático que se compone
de 13 libros.
·
Los 6
primeros versan sobre geometría plana.
·
Los
libros 7, 8 y 9 tratan sobre la teoría elemental de números.
·
El libro
10 trata de la teoría de Eudoxo de los números irracionales. El matemático
flamenco S. Stevin bautizó a este libro como "la cruz de los
matemáticos” por la dificultad que entraña su lectura.
·
Los
libros 11,12 y 13 están dedicados al estudio de la geometría del espacio
La primera versión de Los 6 primeros libros de los Elementos en castellano
se realizó en Sevilla en 1576.
En un primer acercamiento se puede decir que los Elementos de
Euclides son notables por la claridad con que las proposiciones son demostradas
y presentadas. A este respecto escribió Proclo:
“Son singularmente admirables sus Elementos de geometría (de Euclides)
por el orden que reina en ellos, la selección de los teoremas y problemas
tomados como elementos y también la variedad de los razonamientos desarrollados
de todas las maneras y que conducen a la convicción"
Euclides
Se sabe poco de la vida de este genial matemático griego (fl. 300 a.C.).
Probablemente estudió en Atenas con discípulos de Platón y posteriormente
enseñó geometría en Alejandría.
Euclides fue un prolífico escritor, a él se le atribuyen una serie de libros
como los Cálculos (una colección de teoremas geométricos), los Fenómenos (una
descripción del firmamento), la Óptica, la División del canon (un estudio
matemático de la música), Porismas, La sección cónica, el Libro de falacias y,
el más importante, los Elementos, que es un extenso tratado de matemáticas en
13 volúmenes sobre materias tales como geometría plana y del espacio,
proporciones en general, propiedades de los números y magnitudes
inconmensurables.
Sin embargo, en la actualidad, la mayoría de los historiadores cree que alguna
de estas obras, excepto los Elementos, le han sido atribuidas a Euclides erróneamente.
Los historiadores también cuestionan la originalidad de algunas de sus
aportaciones, en particular las secciones geométricas de los Elementos ya
fueron planteadas por matemáticos anteriores, como Eudoxo. Sin embargo, se
considera que Euclides hizo diversos descubrimientos en teoría de números.
§. Los libros de los Elementos
"Es maravilloso que un hombre sea capaz de alcanzar tal grado de
certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento”.
Albert Einstein
“La lectura de Euclides a los 11 años fue uno de los grandes acontecimientos de
mi vida, tan deslumbrante como el primer amor”.
Bertrand Russell
Edición princeps de los Elementos de Euclides (1533).
Los Elementos de Euclides han sido utilizados como
libro de texto durante 2.000 años. La primera edición impresa de las obras de
Euclides apareció en Venecia en 1482, fue una traducción del árabe al latín.
·
Libro I:
Teoremas relativos a triángulos, rectas paralelas y perpendiculares,
congruencias, etc. Tiene 23 definiciones, 5 postulados, 9 nociones comunes y 48
proposiciones (las páginas 47 y 48 son el teorema de Pitágoras).
·
Libro II:
Aritmética de la escuela pitagórica. Consta de 2 definiciones y 14
proposiciones.
·
Libro
III: Círculos, cuerdas, tangencias,... Consta de 11 definiciones y 37 proposiciones.
·
Libro IV:
Construcciones con regla y compás
de polígonos regulares. Consta de 7 definiciones y 16 proposiciones.
·
Libro V:
Teoría de la proporción según Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.). Consta de 18
definiciones y 25 proposiciones.
·
Libro VI:
Estudio de figuras semejantes, además contiene una generalización del teorema
de Pitágoras. Consta de 4 definiciones y 33 proposiciones.
·
Libro
VII: Teoría de números. Consta de 22 definiciones y 39 proposiciones (la
proposición I es el algoritmo de Euclides).
·
Libro
VIII: Teoría de números. Consta de 27 proposiciones.
·
Libro IX:
Teoría de números. Consta de 36 proposiciones.
·
Libro X:
Es un análisis detallado de varias longitudes irracionales. Consta de 36
proposiciones.
·
Libro XI:
Geometría de sólidos y esfera. Consta de 39 proposiciones (se utiliza el método
de exhaución de Eudoxo).
·
Libro
XII: Geometría de sólidos y esfera. Consta de 18 proposiciones.
·
Libro
XIII: Geometría de sólidos, sólidos platónicos... Consta de 18 proposiciones.
“Los Elementos son una guía segura y completa para la consideración científica
de los objetos geométricos
§. Estructura de los Elementos
Euclides asume una serie de propiedades que han de admitirse sin
demostración, para ir deduciendo de ellas, sin otro recurso que la lógica, todo
el conjunto de proposiciones. Estas propiedades o proposiciones básicas son las
que él llamará axiomas, nociones comunes y postulados.
Los Elementos. Manuscrito griego de Los siglos XI-XII (al final del texto se
puede observar el famoso símbolo pitagórico del polígono estrellado de cinco
puntas).
Así, al comienzo de la mayoría de los libros que componen los Elementos, presenta
una definiciones y unas nociones comunes (o axiomas) relativas a los temas
desarrollados. Además, en el Libro I expone sus famosos cinco postulados en los
que basa su construcción axiomática. Con estos elementos básicos y la argamasa
de la lógica va construyendo, una tras otra, las proposiciones.
Las definiciones básicas que se proponen en el primero
de los libros son 23, redactadas de la manera siguiente:
1. Un punto es aquello que no tiene partes
2. Una línea es la longitud sin anchura.
3. Las fronteras (los extremos) de una línea son puntos.
4. La recta es aquella línea que se halla igualmente dispuesta con respecto a
todos sus puntos.
5. La superficie es lo que posee únicamente longitud y anchura.
6. Las fronteras de una superficie son líneas.
...
10.Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ángulos adyacentes iguales
entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto y la recta levantada se
llama perpendicular a aquella sobre la que está.
...
15. Círculo es una
figura plana limitada por una sola línea que se llama periferia, respecto a la
cual son iguales las rectas que inciden sobre ella trazadas desde uno de los
puntos situados en el interior de la figura.
16. Ese punto interior se llama centro del círculo.
...
23. Rectas paralelas son las que, estando en un mismo plano y
prolongadas al infinito, no se encuentran.
Las verdades o nociones comunes consideradas como
universales y tautologías por sí mismas, son:
1. Dos cosas iguales separadamente a una tercera son iguales entre sí.
2. Si a cosas iguales les agregamos iguales, obtenemos iguales.
3. Si de iguales quitamos iguales, obtenemos iguales.
4. Si a desiguales agregamos iguales, obtenemos desiguales.
5. Si duplicamos iguales obtenemos iguales.
6. Las mitades de iguales son iguales entre sí.
7. Las cosas que se pueden superponer son iguales.
8. El todo es mayor que una parte.
9. Dos rectas no encierran espacio.
La edición crítica de Heiberg, recoge únicamente cinco nociones comunes
(en negrita en la lista anterior).
Las nociones comunes, aquí expuestas, nos hablan de la igualdad,
desigualdad, suma, resta, duplicación, y de la división en dos partes iguales
de magnitudes. Conviene señalar que la séptima noción común hace referencia al
movimiento.
Las afirmaciones o postulados relativos a los objetos
básicos son las verdades iniciales del sistema. Los postulados
permiten efectuar ciertas construcciones geométricas como unir puntos mediante
líneas rectas y trazar círculos.
Los postulados se presentan de la manera siguiente:
1.
Postúlese
el trazar una recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
2.
Y el
prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
3.
Y el
describir cualquier círculo con cualquier centro y distancia.
4.
4. Y el
ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
5.
Y que si
una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo
menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se
encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos.
Los tres primeros postulados hacen referencia a construcciones, el
cuarto es en realidad una propiedad intrínseca de los ángulos rectos y el
quinto tiene la apariencia de una proposición que habría que demostrar. También
constatan la existencia de puntos, rectas y circunferencias con las que
Euclides quiere construir toda su geometría.
El majestuoso edificio se completa con las proposiciones, que
se deducen a partir de los postulados iniciales, del razonamiento lógico y de
otras verdades o proposiciones anteriores. Estas proposiciones constituyen
los teoremas del sistema axiomático.
Veamos una de las proposiciones y su correspondiente demostración.
En el Libro I, la primera proposición dice lo siguiente: Construir
un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.
Sea AB la recta finita dada.
Así pues, hay que construir sobre la recta dada un triángulo equilátero.
Descríbase con el centro A y la distancia AB el círculo BCD [Post. 3], y con el
centro B y la distancia BA descríbase a su vez el círculo ACE [Post. 3], y a
partir del punto C donde los círculos se cortan entre sí, trácense las rectas
CA, CB hasta los puntos A, B [Post. 1].
Y puesto que el punto A es el centro del círculo CB, AC es igual a AB
[Def. 15]; puesto que B es a su vez el centro del círculo CAE, BC es igual a BA
[Def. 15]; pero se ha demostrado que CA es igual a AB; por tanto, cada uno de
los segmentos CA, CB es igual a AB. Ahora las cosas iguales a una misma cosa
son iguales entre sí [N.C. 1]; por tanto, CA, AB, BC son iguales entre sí.
Por consiguiente, el triángulo ABC es equilátero y ha sido construido
sobre una recta finita dada AB. Que es lo que había que hacer.
Si analizamos con detalle esta demostración podemos decir que:
1.
Es muy
elegante, se la suele presentar como el paradigma de la demostración euclídea.
2.
Es de una
claridad meridiana, y discurre por los pasos canónicos que Proclo enumera como:
proposición, exposición, especificación, preparación y demostración.
3.
Sin
embargo, Euclides comete un grave error cuando da por supuesto que dos círculos
se cortan en un punto (...y a partir del punto C donde
los círculos se cortan entre sí). Es claramente verdad (desde un punto
de vista intuitivo) pero en el tratado no aparece este asunto y por tanto
habría que incluirlo.
§. Fallos en los Elementos
En honor a la verdad se puede decir que el tratado escrito por Euclides
es casi perfecto pero, mirado con la lupa del rigor, se pueden encontrar varios
fallos que hacen tambalear ese majestuoso tratado, así:
A.
Muchos de
los términos que figuran en las definiciones no están a su vez definidos, tal
es el caso de frontera, ancho, longitud o inclinación.
B.
Varias de
las 23 definiciones que aparecen en el primer libro (pasa lo mismo en los otros
12 libros) no son utilizadas en las demostraciones. Por tanto, se podría
reducir el número de definiciones sin que afectara al planteamiento general de
la obra.
C.
En la
mayoría de las demostraciones se utiliza la intuición geométrica reforzada con
la figura consiguiente. Por ejemplo, se supone que dos circunferencias
(secantes y no tangentes) se cortan en dos puntos y que una recta que pasa por
un punto interior al círculo y otro exterior al mismo corta a la circunferencia
en un punto que está entre los puntos anteriores
D.
En la
demostración de algunas proposiciones se utilizan implícitamente postulados y
axiomas que previamente no han sido definidos. Se puede decir a éste respecto
que la lista de los axiomas y postulados es demasiado pobre.
E.
Uno de
los fallos más sustanciales, ya que aparece en varias demostraciones, es el
concepto de movimiento. No está definido explícitamente y sin
embargo es constantemente utilizado. De hecho en la primera proposición o
teorema del primer libro, el concepto de movimiento ya es empleado. Cabe
observar que, según el significado del axioma VII, la igualdad de magnitudes y
figuras geométricas también se define mediante movimientos.
F.
Se echan
de menos unas reglas de inferencia lógica. Hay que tener presente que el empleo
de la lógica con sus reglas se consideraba, en tiempos de Euclides, más bien
como un producto espontáneo de la matemática y no como un requisito para ella.
G.
Conviene
notar que la distinción, que hace Euclides, entre nociones comunes y postulados
no es clara. Por ejemplo,
H.
la cuarta
definición del Libro V es equivalente al llamado postulado de
Arquímedes.
I.
Aún
siendo admirable el tipo de razonamiento empleado por Euclides, se pueden
encontrar algunos errores en ciertas demostraciones
J.
Algunas
definiciones no son precisas. Así, por ejemplo la definición dada para una
recta (la recta es aquella línea que se halla igualmente dispuesta con
respecto a todos sus puntos) puede servir también para definir a otras
muchas figuras: una espiral, una circunferencia, una hélice, etc.
Es cierto que en esa época no preocupaba excesivamente el rigor en las
definiciones, el mismo Aristóteles decía al respecto:
"Los verdaderos objetos matemáticos son solamente sugeridos o
iluminados mediante las figuras que se hacen".
En resumen, podemos decir que el rigor de la lógica de Euclides se basa,
en muchos casos, en intuiciones adquiridas por el hábito de nuestras
representaciones espaciales y que los Elementos no resuelven
satisfactoriamente el problema de fundamentar la geometría (enumeración de un
número suficiente de definiciones, axiomas y postulados que sirvan de base para
una demostración rigurosa de todos y cada uno de los teoremas que aparecen).
Arquímedes
“Había más imaginación en la cabeza de Arquímedes que en la de Homero”
Voltaire
Arquímedes (287-212 a.C.) nació en Siracusa, en la isla de Sicilia, que
por aquel tiempo una era colonia griega, y fue amigo del rey Herón II de
Siracusa que ejerció como su protector.
Parece que estudio en Alejandría con algunos de los discípulos de Euclides y
fue en esta etapa de su vida cuando profundizó en los trabajos de sus ilustres
predecesores (Eudoxo entre ellos) en geometría.
Arquímedes escribió muchos pequeños tratados, de los que bastantes de ellos han
llegado hasta nosotros fundamentalmente gracias a traducciones latinas del
siglo XIII en adelante. Sus obras más representativas son Sobre la cuadratura
de la parábola, El método, Sobre la esfera y el cilindro (dos libros), Sobre
espirales, Sobre la medida del círculo, El arenario y Sobre los conoides y
esferoides.
En Arquímedes hay que destacar su claridad expositiva y la perfección y el
ingenio de sus demostraciones, así como el uso que hizo del método de exhaución
(predecesor de nuestros actuales métodos de integración) para encontrar las
áreas y los volúmenes de muchas superficies y cuerpos y para aproximar el
número π.
Actualmente es considerado como el mayor genio de la matemática
greco-alejandrina y uno de uno de los más grandes matemáticos de todos los
tiempos.[1]
§. Intentos de mejora por parte de Arquímedes
Algunas de las deficiencias antes mencionadas ya fueron observadas por
científicos de la antigüedad. Arquímedes amplió la lista de los postulados
geométricos, tratando de dar más consistencia al edificio geométrico construido
por Euclides, y en particular completó los aspectos relacionados con la
medición de longitudes, áreas y volúmenes.
Con el objetivo de fundamentar mejor la geometría métrica, Arquímedes,
introdujo cinco postulados más, el primero de los cuales dice lo siguiente:
“Entre todas las líneas con extremos comunes la recta es la más corta”.
Pero el verdaderamente importante es el quinto de sus postulados, que
dice:
“De dos líneas desiguales, dos superficies desiguales o dos cuerpos
desiguales, la mayor resultará ser menor que la magnitud que se obtiene si se
repite la menor un número adecuado de veces
Esta afirmación es conocida como postulado de Arquímedes y
ha resultado ser de una gran importancia. En términos más modernos se la puede
expresar así:
“Para cualesquiera x y x' números reales, tal que x < x' existe un
número natural N tal que Nx > x’
Después de Arquímedes también continuaron los intentos por precisar los
postulados de la geometría de Euclides. Sin embargo, nadie agregó nada
sustancial. El rigor de sus demostraciones se consideraba en general
suficiente.
El tratado de Euclides, a pesar de los inconvenientes que hemos
planteado, se convirtió en el libro a imitar, en el paradigma a seguir. La
belleza de sus demostraciones, la claridad de sus planteamientos y el empleo de
su lógica le convirtieron en el libro de matemáticas por excelencia.
Capítulo 5
El problema de las paralelas
“El ser humano es esencialmente contradictorio, y hasta el propio
Descartes, piedra angular del racionalismo, creó los principios de su teoría a
partir de tres sueños que tuvo. ¡Lindo comienzo para un defensor de la
razón!"
E. Sábato
El quinto postulado es la piedra angular sobre la que descansa la
grandeza de Euclides. Dice Heath al respecto:
"Cuando se consideran los innumerables intentos realizados a través
de veinte siglos para demostrar ese quinto postulado, muchos de ellos
realizados por ilustres geómetras, no se puede por menos que admirar el genio
del hombre que llegó a la conclusión de que tal hipótesis, necesaria para la
validez de todo el sistema, es realmente indemostrable
Sin embargo, esa piedra angular ha sido la causa de los más duros
ataques a su sistema geométrico. Los cuatro postulados que lo preceden son
enunciados sencillos y cortos. El quinto postulado es más enrevesado, su
lectura nos da idea de una proposición más que de un postulado. Es posible que
el mismo Euclides tuviera, inicialmente, esa misma idea. De hecho, la
ordenación de sus proposiciones, así como la demostración que hace del
recíproco del quinto postulado nos hace pensar en esta posibilidad.
Las situaciones derivadas al tratar de demostrar el quinto postulado, a
partir de los otros cuatro, dieron lugar a un gran enredo intelectual que
se conoce como el problema de las paralelas.
Todos los fracasos por demostrar el quinto postulado fueron agrandando
más y más la figura de Euclides, pero también nos condujeron a la invención de
nuevas geometrías.
La historia del problema de las paralelas es larga y en algunas
ocasiones complicada; únicamente se exponen aquellos momentos que nos harán
entender mejor el problema.
§. Una proposición clave
El primer libro de los Elementos va demostrando una
tras otra diversas proposiciones. En particular la proposición 16 dice lo
siguiente:
“En todo triángulo, si se prolonga uno de sus lados, el ángulo externo
es mayor que cada uno de los ángulos internos y opuestos”
La Figura 2 es suficientemente explicativa:
En el triángulo ABC, el ángulo exterior DCA es mayor que los ángulos
internos y opuestos B y A.
Basándose en ésta proposición, Euclides asienta su teoría de las
paralelas, para ello realiza los siguientes razonamientos:
Dadas dos rectas en un mismo plano, si las cortamos por una tercera
obtenemos ocho ángulos:
En los ángulos creados puede suceder, tomados dos a dos, que:
1. Los ángulos
alternos-internos son iguales, es decir χ = ϕ ó δ = ε.
En ese caso las rectas son paralelas, pues si se cortasen se formaría un
triángulo, ABC (Fig. 4) en el que uno de los ángulos exteriores sería igual a
uno de los interiores no adyacente, lo que contradice la proposición 16 (Libro
I)
De la misma manera se podría razonar (Figura 3), basándose en las
igualdades
2. β = γ ó α = η
3. β = ϕ ó α = ε (ángulos correspondientes iguales)
4. ε + χ = 2 rectos (la suma de los ángulos conjugados internos es
igual a 2 rectos) o δ + ϕ = 2 rectos, ... para demostrar que las rectas son
paralelas.
§. La redacción del quinto postulado
Recogiendo todos los resultados podemos concluir que:
Si dos rectas en un mismo plano son cortadas por una tercera formando
ángulos Iguales, entonces estas dos rectas son paralelas.
Euclides no enuncia directamente este resultado sino que lo divide en
dos proposiciones, las proposiciones 27 y 28 del primer libro.
Proposición 27:
Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales
entre sí, las dos rectas serán paralelas entre sí.
Proposición 28:
Si una recta al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al
interno y al opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales
a dos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.
Inmediatamente se nos plantea la cuestión de si será cierta la
proposición inversa. ¿Será verdad que para que dos rectas sean paralelas ha de
verificarse una de las igualdades respecto a los ángulos que Euclides menciona
en las proposiciones 27 ó 28?
Es evidente que Euclides intentó demostrar este resultado, pues la
ordenación del material nos da testimonio inequívoco de este asunto. Sin
embargo, no logró demostrarlo, por lo que resolvió el problema de una manera
muy original tomando simplemente la proporción inversa como postulado y
añadiéndole los cuatro postulados que ya tenía y con los cuales ya estaba
trabajando.
Para entender, por tanto, la redacción del quinto postulado en su
totalidad hay que seguir los siguientes pensamientos:
1. Si la suma de los
ángulos conjugados es igual a dos rectos entonces las rectas (de la Figura 2)
son paralelas; cuando no ocurre esto, esto es cuando la suma de dichos ángulos
conjugados internos no equivale a dos rectos, las rectas no son paralelas e
inevitablemente habrán de encontrarse en un punto.
2. De la Proposición 16 (referente al ángulo exterior) también se
puede deducir que la suma de dos de los ángulos de un triángulo jamás puede
exceder de dos rectos (que es precisamente la Proposición 17 del Libro I). Como
se puede ver en el siguiente razonamiento (Figura 5).
La suma de los ángulos internos (Â y
 + α +
De la Proposición 16 se deduce que;
 < β y
Por tanto haciendo unas simples cuentas  +
Hemos hecho el razonamiento con los ángulos internos  y
Aunando estos dos pensamientos, Euclides enunció, como ya sabemos, su
famoso quinto postulado de la siguiente manera:
“Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos
internos del mismo menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas
indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los [ángulos] menores
que dos rectos” (Postulado 5).
Basándose en este postulado y en las proposiciones anteriormente
demostradas, Euclides va construyendo todo un corpus sobre las
paralelas, el punto culminante se encuentra en la Proposición 31 del Libro I,
que hace referencia a la construcción de una recta paralela a otra recta dada y
que pase por un punto exterior a ésta. Dice lo siguiente:
“Por un punto dado se puede trazar una recta paralela a una recta
dada".
La manera de razonar y el procedimiento seguido en esta proposición nos
llevan a concluir no sólo que existe esa paralela sino que además es única.
Cuando Proclo hace referencia a dicha proposición hace notar la
existencia y la unicidad de la paralela. Desde el punto de vista histórico éste
aspecto ha sido muy importante, ya que el negar bien la existencia o bien la
unicidad de las paralelas nos abre las puertas a un mundo fascinante: la
geometría no euclidiana.
§. Intentos de demostración del quinto postulado
Es evidente que el quinto postulado representaba una dificultad y no
resulta extraño pensar que ya los contemporáneos de Euclides hicieran intentos
serios y profundos por intentar demostrar dicho postulado utilizando
exclusivamente los cuatro anteriores. De hecho, algún que otro matemático de la
Antigüedad murió convencido que había resuelto la situación, sin embargo usaron
proposiciones más o menos encubiertas y además equivalentes al quinto
postulado, con lo cual incurrían en una petición de principio. Naturalmente
la intuición les jugaba una mala pasada.
Intento de Proclo
Veamos con un ejemplo una situación muy habitual en este tipo de
demostraciones. Proclo (411-485) se dio cuenta que el quinto postulado quedaría
demostrado si previamente demostraba la siguiente proposición:
“Dadas dos rectas paralelas l y m cualesquiera y r otra recta distinta a
(y que la corta, entonces r también corta a m"
Si Proclo conseguía demostrar tal aseveración utilizando únicamente los
cuatro primeros postulados de Euclides, quedaría demostrado el quinto
postulado.
De manera muy resumida, sin entrar en detalles, el razonamiento de
Proclo es el siguiente:
Si f y r se cortan en A (según la hipótesis de Proclo), al prolongar
dichas rectas indefinidamente pueden llegar a tener entre sí
una distancia mayor que cualquier magnitud, de manera que será
mayor que el intervalo entre las dos paralelas. Por tanto si
las rectas f y r están entre sí a una distancia mayor que la distancia entre
las rectas paralelas, ha de suceder necesariamente que la recta r corte a la
recta m.
Esta demostración es muy visual, y no cabe duda que puede resultar hasta
convincente, sin embargo si la analizamos con detalle podemos encontrar un
conjunto de aspectos oscuros:
a.
Habla de
una distancia entre rectas paralelas.
b.
Comenta
que la distancia entre dos rectas no paralelas, al prolongarse indefinidamente,
es una distancia mayor que cualquier magnitud.
Sin embargo, estas dos aseveraciones propuestas por Proclo no son
tratadas de manera explícita en los cuatro primeros postulados de Euclides y,
en consecuencia, debería demostrarlas.
Proclo atribuye la afirmación (b) a Aristóteles, mientras que la
afirmación de que existen pares de rectas tales que la distancia mínima de los
puntos de una de ellas a la otra es constante es equivalente al quinto
postulado de Euclides (aspecto que Proclo desconocía).
En definitiva, Proclo ha incurrido en argumentaciones falaces ya que ha
empleado para demostrar el quinto postulado un resultado que es equivalente al
que se quería demostrar.
Otros intentos
Siguiendo razonamientos más o menos ocurrentes, fueron muchos los que
intentaron eliminar el quinto postulado de la lista de axiomas y demostrarlo a
partir de los demás. Entre ellos están:
En muchos casos la demostración que se proponía estaba basada en alguna
propiedad que se consideraba evidente pero que en realidad era equivalente al
quinto postulado. Algunos de los enunciados que se han dado equivalentes al
quinto postulado, son éstos:
|
Autor |
Postulado |
|
Legendre |
Existe un triángulo en el cual la suma de sus tres ángulos vale dos
rectos. |
|
Legendre |
Una recta perpendicular a un lado de un ángulo agudo también corta al
otro lado. |
|
Gauss |
Existen triángulos de área arbitrariamente grande. |
|
Bolyai |
Por tres puntos no alineados pasa siempre una circunferencia. |
|
Wallis |
Existen triángulos semejantes (pero no iguales), es decir triángulos
cuyos ángulos son iguales pero de lados desiguales). |
|
Proclo |
Dos rectas paralelas entre sí están a distancia finita (acotada). |
Pero sin duda el más famoso de todos es
“Por un punto exterior a una recta dada pasa una única recta paralela a
ella” (postulado de Playfair, 1795).
En los intentos de demostración del quinto postulado también se siguió
un camino que consistía en establecer una propiedad equivalente al quinto
postulado y tratar de demostrar dicha propiedad partiendo únicamente de los
cuatro primeros postulados.
El matemático francés Legendre intentó durante muchos años demostrar el
quinto postulado, incluso llegó a publicar sus demostraciones, aunque
ninguna de ellas resultó correcta. Sin embargo, tienen mucho interés sus
aportaciones ya que a partir de ellas quedó clara la relación existente entre
el postulado y la proposición relacionada con la suma de los ángulos internos
de un triángulo.
Playfair
Con el objetivo de obtener una demostración, Legendre considera tres
hipótesis excluyentes:
1.
La suma
de los ángulos de un triángulo es mayor que dos rectos
2.
La suma
de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos
3.
La suma
de los ángulos de un triángulo es menor que dos rectos
La primera de ellas es rápidamente descartada mediante razonamientos
lógicos. Sus esfuerzos se centraron en descartar la tercera de las hipótesis,
con lo cual quedaría como única posible la segunda alternativa. Sin embargo, al
efectuar la reducción de la tercera hipótesis, Legendre, utilizó, sin darse
cuenta, una proposición equivalente al quinto postulado.
El postulado de Playfair
“Por un punto exterior a una recta dada pasa una única recta paralela a
ella”
Veamos que este postulado es equivalente al quinto postulado.
Sin usar el quinto postulado podemos probar que existe una recta r’ paralela a
r y que pasa por M: trazamos la perpendicular MN a r que pasa por M, y,
después, la perpendicular r' por M a MN. Las rectas r y r’ son paralelas,
porque, si se cortaran en P, el triángulo MNP tendría dos ángulos con suma
igual a dos rectos.
Demostramos ahora, usando el quinto postulado, que la paralela es única.
Si existiese otra recta r” paralela a r y pasando por M ¿qué pasaría? Al
no ser iguales las rectas r’ y r”, la segunda de las rectas (r”) ha de formar
un ángulo agudo con el segmento MN, por tanto, y de acuerdo con el quinto
postulado, r y r” se cortarán en un punto, por lo que no pueden ser paralelas,
lo que nos indica que la suposición de que hay más de una paralela no es
posible.
Para concluir la equivalencia con el quinto postulado nos queda por demostrar
que si se cumple el postulado de Playfair entonces se ha de verificar el quinto
postulado
Supongamos que las rectas l y m al ser intersecadas por otra recta r forman, a
un mismo lado, ángulos internos cuya suma es menor de 180°.
Por tanto α + β
< 180°, ahora tracemos una recta m’ tal que los ángulos δ y
α sean iguales, entonces las rectas l y m' son
paralelas.
Por la unicidad de la paralela, ha de suceder que la recta l no puede ser
paralela a la recta m, por tanto estas dos rectas se han de cortar, sólo queda
por demostrar que se cortan en la prolongación de los ángulos menores de 180°.
Como 𝜒 + β = 180°,
y 𝛼 + β
< 180°, deducimos que χ > α, y para que se
cumpla la Proposición 16 (Libro I) el punto de corte ha de estar en la parte
que nos interesa.
Todos estos intentos por demostrar el quinto postulado motivaron el
descubrimiento de unas nuevas geometrías, las llamadas geometrías no
euclidianas. El mérito de haber llegado hasta el final lo comparten
Jamos Bolyai (1802-1860), Carl F. Gauss (1777-1855) y Nikolai I. Lobachevski
(1793-1856). Pero antes, otros matemáticos tuvieron el honor de llegar a las
puertas del Olimpo geométrico, son los precursores de la
geometría no euclidiana.
Capítulo 6
Los precursores de la geometría no euclidiana
“Donde todos piensan igual, ninguno piensa mucho".
Walter Lippman (1889-1974)
El quinto postulado de Euclides era considerado, en alguna medida,
demasiado complicado y es posible que al propio Euclides no le satisficiera su
propia versión. Ya en los tiempos del sabio griego, los pensadores y geómetras
se esforzaron en resolver el problema planteado. Con el paso de los años se
hicieron dos tipos de intentos, el primero consistió en sustituir el quinto
postulado por otro enunciado más evidente, el segundo tipo de esfuerzos
consistió en tratar de deducirlo de los otros cuatro postulados y de los
teoremas o proposiciones que se iban construyendo.
Como ya hemos visto, la primera de las opciones ha dado lugar a
postulados sustitutivos como el enunciado por Playfair.
Es de señalar que el postulado de Playfair y el del mismo Euclides son
más fáciles de utilizar que otros postulados sustitutivos que no involucran
directamente al infinito, como por ejemplo:
“Existen triángulos semejantes (pero no iguales), es decir triángulos
cuyos ángulos son iguales pero de lados desiguales "
Wallis (1616-1703)
La segunda de las opciones, se abordó de una manera directa, es decir,
tratar de demostrar la validez del quinto postulado a partir de los otros
cuatro, empleando para ello una cadena lógica de razonamientos.
A comienzos del siglo XVIII se inicia un nuevo camino, en el que se
aborda el problema, en la mayoría de los casos, por reducción al
absurdo.
Saccheri
Giovanni Girolamo Saccheri (San Remo, 1667-Milán, 1733) ingresó en los
jesuitas en 1685. Cinco años después marchó a Milán, donde estudió filosofía y
teología en el colegio jesuita. Allí, Tommaso Ceva (hermano de Giovanni Ceva,
que descubrió el famoso teorema de Ceva) le animó a estudiar matemáticas. Su
talento para ellas se puso al descubierto cuando leyó los Elementos de
Euclides, quedando sumamente motivado por la potencia de la deducción lógica y,
en particular, por el método de reducción al absurdo. En 1694 fue ordenado
sacerdote y se dedicó a enseñar en colegios jesuitas. Fue profesor de lógica en
Turín y de matemáticas en la Universidad de Pavía desde 1699 hasta su muerte.
Entre sus libros se encuentran Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclides liberado
de toda imperfección), escrito en 1733, y Lógica demonstrativa (1697).
A este periodo corresponden los trabajos de Saccheri, Lambert,
Schweikart y Taurinus.
Saccheri publicó el mismo año de su muerte su obra Euclides ab
omni naevo vindicatus, que es un pequeño tratado dividido en dos
libros. La argumentación que realiza no desmerece en nada de la de Euclides por
la profundidad del rigor y el estilo con el que afronta las demostraciones.
Este tratado constituye, sin que llegara a suponerlo su autor, el primer texto
sobre geometrías no euclídeas. Contiene más de treinta proposiciones, muchas de
ellas nada triviales.
El intento de demostración de Saccheri, uno de los más interesantes, fue
el que marcó un punto de inflexión en la manera de abordar el problema
de las paralelas. Como sabemos, el camino seguido hasta entonces era
el de tratar de demostrar de manera directa el quinto postulado mediante los
otros cuatro. Con Saccheri el asunto toma otro rumbo ya que se propuso
demostrar que el quinto postulado era verdadero, para ello lo niega y trata de
encontrar alguna contradicción al admitir esta suposición.
Básicamente seguía un tipo de razonamiento lógico (no en vano él daba
clases de lógica) que consistía en suponer que si admitía la negación del
quinto postulado, y de aquí era capaz de demostrar una proposición P y también
su negación no P, entonces el quinto postulado debería de ser cierto.
Esta manera de razonar era nueva en la historia de las paralelas. Sus
argumentaciones se basan en su famoso cuadrilátero birrectángulo (cuadrilátero
de Saccheri).
El cuadrilátero birrectángulo se construye siguiendo el procedimiento:
1.
Trazar el
segmento AB
2.
Levantar
perpendiculares al segmento AB, en los puntos A y B
3.
Dibujar
los segmentos AD y BC de la misma longitud
4.
Unir los
puntos ABCD para formar el cuadrilátero
Por tanto, el cuadrilátero birrectángulo es un cuadrilátero con dos
lados opuestos iguales y perpendiculares a la base, Por esta razón se le suele
llamar cuadrilátero birrectángulo isósceles.
En estas condiciones Saccheri demuestra que “los ángulos
interiores D y C que se forman en los vértices D y C son iguales ”,
pero no es posible demostrar, sin hipótesis adicionales, que son ángulos
rectos. Saccheri considera tres hipótesis:
I.
C = D =
90°
II.
C = D
> 90°
III.
C = D
< 90°
Saccheri da nombre a las tres hipótesis, la primera la denomina la
hipótesis del ángulo recto, la segunda la del ángulo obtuso, y la tercera la
del ángulo agudo.
Su objetivo es demostrar que la única hipótesis aceptable es la
correspondiente al ángulo recto.
Con esta finalidad comienza sus investigaciones. Demuestra una serie de
proposiciones importantes:
“Si en un solo triángulo la suma de los ángulos es igual, mayor o menor
que dos rectos, en todos los demás triángulos esta suma será respectivamente
igual, mayor o menor que dos ángulos rectos” (Prop. VIII).
“Según que se verifique la hipótesis del ángulo recto, la hipótesis del ángulo
obtuso o la hipótesis del ángulo agudo, la suma de los ángulos de un triángulo
será respectivamente igual, mayor o menor que dos ángulos rectos ” (Prop. IX).
Para Saccheri, la hipótesis del ángulo recto daba lugar, de manera
obvia, a la geometría de los Elementos y por tanto era natural
que no la estudiase en profundidad. La hipótesis del ángulo obtuso también fue
rápidamente descartada.
Saccheri estaba seguro de superar el último de los obstáculos y emprende
una larga batalla por descartar la hipótesis del ángulo agudo que, como él
mismo dice "es la única que se opone a la verdad del Quinto
axioma”. Después de encontrar nuevas proposiciones, encuentra un
resultado que le hace decir:
“Al fin he descubierto en la hipótesis del ángulo agudo una falsedad
manifiesta, ya que conduce necesariamente a reconocer la existencia de dos
rectas que, en el mismo punto [se refiere al punto de intersección de las dos
rectas] y en el mismo plano, tienen una perpendicular común”.
En realidad no encuentra ningún resultado contradictorio desde el punto
de vista lógico, sino que vuelve la vista a su concepción del mundo y concluye:
"La hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa, porque
repugna a la naturaleza de la línea recta”
El resultado que encontró Saccheri, y que le hace decir todo esto fue el
siguiente:
Supongamos dada una recta r y un punto exterior P.
“En la hipótesis del ángulo agudo, existen dos rectas p y q pasando por P, y
que dividen la familia de rectas que pasan por P en dos clases: la primera
clase es la formada por aquellas rectas por P que cortan a r, y la segunda por
aquellas que tienen una perpendicular común con r"
La obra de Saccheri es fundamental, ya que representa la máxima
tentativa, en esa época, por solucionar el problema de las paralelas. Además,
construye una nueva teoría sin contradicciones lógicas partiendo de la
hipótesis del ángulo agudo.
El libro de Lambert Theorie der Parallellinien (Teoría de las
paralelas) fue escrito en 1766 pero no fue publicado hasta veinte años
más tarde. En esa época había en los países germánicos un gran interés por el
estudio de la teoría de las paralelas (por ejemplo el matemático alemán A. G.
Kastner (1719-1800) fue capaz de reunir una biblioteca con más de siete mil
escritos sobre el tema).
Pero el interés de Lambert por el problema de las paralelas es muy
posible que viniera motivado de la lectura de un conocido libro dedicado al
tema de las paralelas escrito por el matemático alemán G. S. Klügel
(1739-1812).
El libro de Lambert consta de tres partes, la primera es un compendio de
consideraciones de tipo filosófico, la segunda contiene varias
pseudodemostraciones del quinto postulado de Euclides, y la tercera presenta
sus más importantes contribuciones a la teoría de las paralelas. Su trabajo
discurre por un camino paralelo al de Saccheri y sus razonamientos se basan en
el cuadrilátero trirrectángulo.
Lambert
Johann Heinrich Lambert (Mulhouse, 1728-Berlín, 1777) fue un pensador
polifacético, uno de los primeros
Para construir el trirrectángulo, Lambert procede de la siguiente
manera:
1.
Trazar el
segmento AB
2.
Dibujar
el segmento AD perpendicular al segmento AB en el vértice A
3.
En el
vértice B levantar una perpendicular al segmento AB
4.
Trazar
por el vértice D una perpendicular al segmento AD y prolongarla hasta encontrar
al segmento BC dando lugar al vértice C
Se forma un cuadrilátero que tiene tres ángulos interiores rectos (los
correspondientes a los ángulos interiores A, B y D), mientras que el cuarto
vértice tiene una de estas tres posibilidades:
C = 90
C > 90°
C < 90°
La primera de ellas es la correspondiente a la hipótesis del ángulo
recto, la segunda es la hipótesis del ángulo obtuso, y la tercera es la
hipótesis del ángulo agudo.
El método ideado por Lambert, como vemos, es parecido al trabajo de
Saccheri. De hecho, el cuadrilátero de Lambert es la mitad del de Saccheri.
El cuadrilátero de Saccheri es A’BCD’ y el de Lambert es ABCD.
Inicialmente su objetivo es rechazar las hipótesis del ángulo obtuso y
del ángulo agudo para quedarse únicamente con la hipótesis del ángulo recto.
Para rechazar la hipótesis del ángulo obtuso, Lambert recurre a la
siguiente construcción.
Traza dos rectas perpendiculares a una tercera recta AB, para a
continuación desde los puntos B1, B2,... , Bn bajar
perpendiculares hasta encontrar a la otra recta en los puntos homólogos A1,
A2,...,An.
En la hipótesis del ángulo obtuso, Lambert demuestra que los segmentos
AB, A1B1,..., AnBn van
decreciendo progresivamente, de modo que se puede demostrar que AB - AnBn >
(AB – A1B1)n.
Sin embargo, para un número natural n suficientemente grande, podemos
hacer el segundo miembro de la desigualdad anterior tan grande como queramos
(postulado de Arquímedes), mientras que el primer miembro no puede ser mayor
que el segmento AB.
Esta contradicción permite a Lambert declarar falsa la hipótesis del
ángulo obtuso.
La hipótesis del ángulo agudo la trata con bastante profundidad. En la
búsqueda obstinada por encontrar contradicciones, Lambert encuentra resultados
notables. Por ejemplo, uno de los más llamativos es :
"Dado un triangulo cualquiera ABC, el área de dicho triangulo se
obtiene mediante la fórmula S = K(𝜋 – A – B - C), donde K es una constante del plano".
Este resultado nos indica que el área de un triángulo, en la geometría
del ángulo agudo, es proporcional a la diferencia de n y la
suma de sus ángulos interiores
Por esa época ya se conocía que la fórmula del triángulo esférico, sobre
una esfera de radio R, era:
S = R2(Â +
siendo Â,
los ángulos correspondientes al triángulo esférico.
Si en la fórmula anterior ponemos R i (i2 = -1) en lugar de R
resulta que obtenemos la fórmula del triángulo correspondiente a la geometría
del ángulo agudo.
Lambert se dio cuenta de este detalle y propuso una notable
conjetura: la hipótesis del ángulo agudo se verifica en una esfera de
radio imaginario.
En su trabajo, Lambert observa que todo segmento se puede poner en
correspondencia con un ángulo, lo que daría categoría de absoluto a la longitud
de segmentos.
Esta medida absoluta de la longitud -dice Lambert- repugna a nuestra
intuición euclidiana. Sin embargo actuó con cautela y no fue capaz de rechazar
la hipótesis del ángulo agudo desde el punto de vista lógico. En sus
investigaciones filosóficas considera seriamente, al menos desde el punto de
vista lógico, que la geometría del ángulo agudo sea la verdadera geometría en
nuestro mundo.
De hecho hay una serie de escritos suyos en los que se puede leer:
"Las demostraciones del postulado de Euclides pueden llevarse tan
lejos que, por lo visto, no queda más que una futilidad. Pero el análisis
minucioso revela que precisamente esa futilidad aparente constituye la esencia
del problema; generalmente, la misma contiene, ya sea la proposición que ha de
ser demostrarla, ya sea un postulado equivalente a ésta”.
Schweikart
Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859) nació tres años más tarde que
Gauss y estudió derecho en la Universidad de Marburgo. Con sólo 16 años asiste,
entre 1796 y 1798, a las lecciones dictadas en la Universidad de Marburgo por
el profesor J. K. Hauff, autor de varios escritos sobre la teoría de las
paralelas. La impresión que recibe de estas clases es enorme, tanto es así que
los siguientes años los dedica a investigar sobre este tema.
La influencia ejercida por Schweikart sobre F. A. Taurinus, sobrino suyo, para
que estudiase los problemas que a él le preocupaban es, dado que no publicó sus
resultados fundamentales sobre la materia, una de sus aportaciones a la teoría
de las paralelas. La otra fue su correspondencia con Gauss.
La obra de Schweikart es interesante desde el punto de vista histórico,
pues en 1818, sintetizó sus hallazgos en un escrito y le pidió a C. L. Gerling
(1788-1864) de la Universidad de Marburgo que lo enviara a Gauss para que le
diera su opinión.
Los aspectos más notables de sus notas son los siguientes:
1.
Hay dos
tipos de geometría: una geometría en sentido estricto, la euclídea, y otra que
denomina geometría astral.
2.
Los
triángulos de la geometría astral tienen la particularidad de que la suma de
los tres ángulos interiores no es igual a dos rectos. Se puede demostrar que:
o la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos ángulos
rectos.
o la altura de un triángulo rectángulo isósceles, aún creciendo cuando
crecen los lados, sin embargo no puede superar a un determinado segmento, que
llama constante.
3.
La
geometría euclídea surge cuando esa constante es infinitamente grande. Sólo
entonces es cierto que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es
igual a dos rectos.
4.
En la
geometría astral el cuadrado tiene la siguiente forma:
Cuadrado astral
En realidad la geometría astral coincide con la geometría surgida de la
hipótesis del ángulo agudo de Saccheri y Lambert.
Un año más tarde, en 1819, Gauss contesta a la carta de Schweikart de
una manera muy elogiosa y le dice:
“Su carta me ha proporcionado un inmenso placer,... yo también he
desarrollado una geometría astral similar a la suya”.
La nota de Schweikart concluye determinando el límite superior del área
de un triángulo, la fórmula que propone es
La constante C que aparece en la fórmula es la llamada constante de
Schweikart, mientras que la constante obtenida por Gauss es K. Se puede
demostrar que las dos constantes están relacionadas por la siguiente expresión.
Los libros escritos por F. A. Taurinus en 1825 y 1826 son distintos, en
el primero sigue las tesis de Saccheri y Lambert y es hostil a la geometría no
euclidiana ya que “repugna a toda intuición”. Sin embargo, en
el publicado en 1826 su trabajo toma un rumbo inesperado, habla de una geometría
logarítmica-esférica (la denomina de esta manera, porque la deduce a
partir de la trigonometría esférica y porque las funciones pertinentes son
funciones logarítmicas) y poco a poco va obteniendo resultados sorprendentes.
Taurinus
Franz Adolph Taurinus (1794-1874) nació en Bad König (Alemania). Su tío,
F. K. Schweikart, desempeñó un papel importante al influir en sus ideas y, al
igual que él, estudió derecho. Tuvo una posición desahogada, lo que le permitió
dedicarse por completo a la investigación. Mantuvo correspondencia con su tío
sobre asuntos matemáticos y, bajo su influencia investigó el problema de las
paralelas. Su trabajo en éste campo es muy interesante y poco conocido. En 1825
publicó sus investigaciones en un tratado titulado Theorie der Parallellinien
(Teoría de las paralelas). Un año más tarde vio la luz otro libro suyo:
Geometriae prima elementa. Los libros fueron difundidos por él mismo entre
muchos matemáticos y autoridades académicas, pero al no obtener ningún tipo de
reconocimiento, despechado, quemó el resto de la edición que guardaba
celosamente. Desde 1822 hasta su muerte vivió en Colonia.
Es interesante leer lo que Taurinus piensa de su trabajo de 1826:
“Estando el libro ya impreso, me parecía que restaba exponer mis ideas
sobre la verdadera esencia de esta geometría. Al fin tengo la certeza de que
esta visión efectivamente puede demostrarse. Desde el principio había abrigado
la sospecha de que una tal geometría tenía que ser en cierta manera inversa de
la geometría esférica, que implicaba logaritmos y que se podía deducir de las
fórmulas generales de la geometría esférica, y me extraña que este hecho, que
es tan claro y que está tan a mano, haya permanecido oculto sin explorar hasta
llegar yo, lo que nos recuerda a menudo que un asunto evidente puede permanecer
oculto durante mucho tiempo, incluso para los hombres más perspicaces ”.
Taurinus tiene la habilidad de transformar las fórmulas de la
trigonometría esférica en otras, que utilizadas convenientemente le sirven para
obtener importantes resultados. De manera muy resumida su proceso es el
siguiente:
Supongamos un triángulo ABC sobre la superficie de una esfera de radio
k. Los lados del triángulo son arcos de circunferencia máximos de la esfera, es
decir, circunferencias que están en un plano que pasa por el centro de la
esfera. Sean a, b, c las longitudes de los lados y A, B, C los ángulos del
triángulo, con a (resp. b, c) la longitud del lado opuesto al vértice A (resp.
B, C).
El siguiente paso es reemplazar el valor k (radio de la esfera) por ki
(como podemos observar se sustituye un valor real por un valor imaginario
puro). Desde el punto de vista geométrico (da origen a una esfera imaginaria de
radio ki) esto no tiene mucho sentido, sin embargo sí lo tiene desde el punto
de vista algebraico ya que en las fórmulas anteriores los valores cos(ki) e
isen(ki) son reales.
Por tanto obtenemos las siguientes fórmulas:
A partir de estas fórmulas Taurinus demuestra una serie de hechos
notables:
1.
La suma
de los tres ángulos de un triángulo es, en su geometría, menor que dos rectos.
Supongamos, para simplificar, que el triángulo en cuestión tiene los tres lados
iguales, por tanto a = b = c.
En ese caso una de las fórmulas se transforma en
Despejando tenemos
al ser cosh(a/k) > 1, se verifica que cos  > ½ y por tanto  <
60 lo que nos indica que la suma de los tres ángulos es menor que 180º.
2.
Cuanto
menores son los lados del triángulo mayores son sus ángulos (la suma de los
ángulos tiende a 180°).
Este resultado es evidente sin más que aplicar límites a la última fórmula. En
efecto:
Luego  tiende a 60º y, por tanto, la suma de los tres ángulos tiende a
180°.
3.
Si el
radio K tiende a infinito también se verifica que la suma de los ángulos de un
triángulo tiende a 180°.
En efecto, como
también se verifica que
y se verifica, al igual que en el apartado anterior, que la suma de los
tres ángulos tiende a 180°.
4.
Obtención
del ángulo de paralelismo.
Razonando a partir de la segunda fórmula, esto es de
considerando el caso particular  = 0º y
y, por tanto,
(el ángulo
Esta fórmula sería luego redescubierta por Lobachevski, Gauss y Bolyai.
El trabajo de Taurinus es básicamente algebraico. Es la primera vez que se
aborda el problema de las paralelas sin recurrir a figuras o razonamientos
estrictamente geométricos. Empleando su método va obteniendo diversos
resultados: calcula el área de un triángulo conocidos sus lados, halla la
longitud de una circunferencia, el área de un círculo, la superficie y el
volumen de una esfera, etc.
Las contribuciones de Taurinus a la teoría de las paralelas son muy
importantes y él está convencido de que la geometría del ángulo agudo no
contiene en sí misma ninguna contradicción, en términos actuales se diría que
es una geometría lógicamente consistente.
Capítulo 7
Las primeras investigaciones geométricas
"La búsqueda de la verdad es más preciosa que su posesión”.
Albert Einstein
§. El primer libro sobre geometría
Las clases en la Universidad de Kazán se impartían, en la mayoría de los
casos, mediante apuntes que provenían de las grandes obras de la época, pero el
protector Magnitski animó a los profesores a publicar sus manuales con la
intención de que la universidad tuviera sus propios libros. En el verano de
1823, Lobachevski presentó un curso de geometría a las
autoridades académicas y estas solicitaron al protector la licencia para su
publicación. Según la normativa, Magnitski hizo llegar el manuscrito a N. I. Fuss
(discípulo de Euler y secretario de la Academia de Ciencias de San Petersburgo)
acompañado de la siguiente nota:
"Señor:
Un profesor de la Universidad de Kazán ha escrito un curso de geometría y me ha
solicitado la autorización para publicarlo por cuenta del Estado en calidad de
manual. Le estaré infinitamente agradecido si me comunicara su opinión acerca
de la obra que le adjunto
Magnitski
La respuesta del académico Fuss no se hizo esperar y supuso un verdadero
disgusto para Lobachevski.
Estaba redactada en los siguientes términos:
“La obra titulada Geometría, que usted me ha enviado el 31 de julio...,
contiene diversos razonamientos e investigaciones geométricas que, después de
la corrección de los errores y la eliminación de las cosas inútiles o ya
conocidas, podría ser presentada a usted bajo el título anterior u otro
similar. Pero esa obra no es una geometría o una exposición completa y
sistemática de dicha ciencia, y si su autor cree que la misma puede servir de
manual, prueba con ello que no se da cuenta de lo que se exige de un libro
didáctico, es decir, de la plenitud de las verdades geométricas que constituyen
todo el sistema del curso elemental de esta ciencia, del método matemático, de
la necesidad de definir todos los conceptos con claridad y precisión, del orden
lógico y de la disposición metódica de las materias, de la gradación de las
verdades geométricas, del rigor impecable y puramente geométrico de sus
demostraciones, tanto como sea posible, etc. La geometría que he examinado no
posee la menor traza de todas las cualidades necesarias antes mencionadas. Por
otra parte, es extraño que el autor tome el metro francés por unidad de medida
de las líneas rectas, y la centésima parte del cuadrante, bajo el nombre de
grado, como unidad de medida de los arcos del círculo.
Por lo demás, aunque el autor haya dado a esa obra el título de Geometría, es
dudoso que él mismo pueda pensar que ha escrito un manual. A mi juicio, su fin
esencial era explicar algunos objetos geométricos que, a causa de la noción
infinitamente pequeña introducida para lograr una mayor concisión, le
parecerían confusos; pero esforzándose en evitar el uso de esa noción, le ha
sucedido lo mismo que a aquellos que hicieron la tentativa antes que él...
Teniendo en cuenta los defectos de la presente Geometría y dado el considerable
número de cursos de geometría completos y mejores, aunque en grados diferentes
(me limitaré a citar, entre otras, las obras originales de Rumovski, Osipovski,
Gamalela y Gunev, y entre las traducciones del griego, los Elementos de
Euclides, traducidos por Suvórov, Nikitin y Petrushevski; y del francés, los
libros de Bézout, Legendre, Lacroix, etc.), sin ninguna duda que dicha
Geometría no puede aceptarse en ninguna parte en calidad de manual, y yo no
puedo, en ninguna forma, recomendar su publicación por cuenta del Estado.
Es un gran honor el haberle conocido, etc.”
N. I. Fuss
Cuando el rector y Magnitski supieron de la nota le comunicaron a
Lobachevski que era necesario rectificar y mejorar una serie de aspectos de
su Geometría (de acuerdo con el escrito de Fuss) y le hicieron
saber que si esto no sucedía no era posible su publicación.
Lobachevski se sintió tremendamente ofendido, tanto por la carta de
Fuss, como por las recomendaciones de su rector y del protector Magnitski. Como
consecuencia, no corrigió el manuscrito y se olvidó de su publicación (el
citado escrito fue considerado perdido hasta que, a comienzos de 1898, fue
encontrado, casual mente, en los archivos de la oficina del protector de la
Universidad de Kazán).
Sello emitido en la Unión Soviética en 1956 para conmemorar el centenario
del fallecimiento de Lobachevski.
La severa crítica hacia el trabajo presentado por Lobachevski produjo
una impresión considerable entre sus colegas, pero Lobachevski, lejos de
abandonar sus investigaciones geométricas, siguió trabajando con el mismo tesón
y profundidad.
Fuss
N. I. Fuss (1755-1826) nació en Basilea (Suiza) y en 1772 se trasladó a
San Petersburgo para trabajar como secretario de Euler. Publicó inicialmente
trabajos sobre astronomía aunque posteriormente investigó en diversas ramas de
análisis.
Desde 1783 fue académico y profesor en San Petersburgo. También fue miembro de
las Academias de Ciencias de Alemania, Suecia y Dinamarca. Desde 1800 hasta el
final de su vida fue secretario perpetuo de la Academia de Ciencias de San
Petersburgo.
Durante varios años participó de manera muy activa en los asuntos del
Ministerio de Instrucción Pública. Era, por tanto, una persona de reconocida
valía científica.
§. La influencia de D’Alembert y Legendre
Hay que señalar que Lobachevski no consideraba al sistema de Euclides
como el modelo a imitar y, por tanto, trató de asentar los fundamentos de su
geometría sobre nuevos principios. No se trataba de un simple deseo de ser
original sino de ser más profundo y de explicar los asuntos geométricos a la
luz de las últimas tendencias de su época. Entre ellas hay que citar las
influencias de dos grandes personajes: D’Alembert y Legendre.
D’Alembert publicó un artículo sobre la enseñanza de la geometría, que
apareció en el tomo VII de la Enciclopedia en 1757, y que tuvo
una enorme repercusión e importancia en su época.
Las ideas de D’Alembert se resumen en los siguientes puntos:
1.
La
exposición de los elementos de la geometría debía depender, en primer lugar, de
los fines para los cuales estaba destinado el libro, y definía tres tipos de
libros:
o Para la enseñanza elemental
o Para fines exclusivamente prácticos
o Para un estudio más profundo de la geometría o para la preparación de
los alumnos que mostrasen inclinaciones y disposiciones particulares con
respecto a esa ciencia.
2.
A cada
uno de los tres casos habría de corresponder un tipo de manual específico. De
hecho, en esa época, ya existía una serie de textos sobre geometría que
reflejaban las tres tendencias.
3.
D'Alembert
estimaba que era necesario que los elementos de geometría comenzasen por los
axiomas para luego ir construyendo un armonioso edificio en base a los soportes
elegidos (postulados o axiomas). La exposición y ordenación de los Elementos de
Euclides no responde al rigor que debe exigírsele a un tratado de esta
naturaleza. En efecto, desde el comienzo hasta el final, los razonamientos
lógicos van acompañados de representaciones concretas y, por tanto, la obra de
Euclides no es un sistema de deducciones obtenidas exclusivamente de las
definiciones y de los axiomas, sino que el soporte visual es crucial, en la
mayoría de los casos, para completar las demostraciones.
4.
D’Alembert
propone que en los elementos de geometría el papel primordial debe corresponder
a la geometría métrica. Conforme a esta visión, un manual de geometría debería
dividirse no en fragmentos que tratasen de la recta, el plano y el espacio,
sino en tres partes dedicadas respectivamente a la medida de las longitudes,
las áreas y los volúmenes.
5.
D’Alembert,
a diferencia de Euclides, recomienda usar el movimiento de manera sistemática.
6.
Propone
no utilizar la teoría de las proporciones de Euclides ya que la considera
excesivamente complicada.
Siguiendo sus orientaciones vieron la luz muchos manuales sobre
geometría. De entre los autores que se dedicaron a poner en práctica las
teorías geométricas de D’Alembert, destacaremos a tres. Un magnífico curso, de
carácter elemental, dirigido a estudiantes de secundaria, fue escrito por
Étienne Bézout (1730-1783); otro texto de carácter superior que tuvo mucho eco
en la época fue el preparado por Silvestre-François Lacroix (1765-1843); y por
último el famoso tratado del ilustre matemático francés Adrien-Marie Legendre
titulado Éléments de géométrie. Este libro mantiene las partes
fundamentales de los Elementos de Euclides pero cambia el tipo
de lenguaje haciéndolo más cercano al lector. Además, Legendre introduce
aspectos algebraicos, lo que le permite dejar a un lado el segundo libro de
los Elementos, tal y como D’Alembert preconizaba. Los Éléments
de géométrie de Legendre han jugado un importantísimo papel por su
esmerada exposición sintética, sirviendo de base como texto fundamental en la
enseñanza secundaria y universitaria.
Los tres libros eran conocidos por Lobachevski, pero en particular los
dos últimos ya que el primero era demasiado elemental.
Básicamente, y de una manera muy resumida, las investigaciones de
Legendre en el campo de la teoría de las paralelas discurren
de la forma siguiente:
Sin recurrir al postulado de las paralelas, demuestra las tres
proposiciones siguientes:
P1. La suma de los
ángulos de un triángulo no puede ser mayor que dos ángulos rectos.
P2. Si la suma de los ángulos es igual a dos rectos en un triángulo
cualquiera, también es igual a dos rectos en cualquier otro triángulo.
P3. Si la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos
rectos, el postulado de las paralelas es válido, y por consiguiente, toda la
geometría euclídea también lo es.
Siguiendo este esquema de argumentaciones, podemos decir que:
“El quinto postulado de Euclides equivale a admitir que la suma de los
tres ángulos de un triángulo es igual a dos rectos
Por lo tanto, Legendre concentró todas sus fuerzas en demostrar
(recurriendo únicamente a los cuatro primeros postulados) que la suma de los
tres ángulos de un triángulo es igual a dos rectos. Si era capaz de probar este
aspecto podía estar satisfecho, ya que de acuerdo a sus resultados se
desprendía que el quinto postulado se podía deducir de los otros cuatro.
Si bien la demostración de Legendre es ingeniosa, comete fallos
similares a los de sus predecesores. Veámosla de manera muy resumida.
1.
Construye
el triángulo ABC, sobre el cual va a razonar.
2.
A su lado
construye un triangulo igual al ABC, pero de vértices BCD (AB = CD, BD = AC y
con el lado común BC).
3.
Construye
un triángulo AFE, tal que sus lados AF y AE contengan, respectivamente, los
segmentos AB y AC, y de tal manera que el punto D esté situado sobre el
segmento EF. Los puntos E y F no están unívocamente determinados.
De esta manera se han dibujado dentro del triángulo AFE cuatro
triángulos interiores (tal como muestra la Figura 13).
Una vez realizada la construcción, Legendre se apoya para su
razonamiento en sus proposiciones. Supone que no se cumple que la suma de los
tres ángulos interiores es igual a dos rectos, de acuerdo a la primera de sus
proposiciones ha de ser menor de dos rectos.
Luego la suma de los tres ángulos interiores del triángulo ABC es 2R - α
(α > 0). Esto quiere decir que es algo menos que dos rectos, por ser el
triángulo BCD igual al ABC, sucederá que la suma de sus ángulos interiores
también es igual a 2R - α.
De acuerdo a su segunda proposición, podemos escribir que la suma de los
ángulos interiores correspondientes a los triángulos BDF y CED son
respectivamente 2R - β (β > 0) y 2R - γ (γ > 0).
Adrien-Marie Legendre[2].
Sumando todos los ángulos interiores a los cuatro triángulos obtenemos
el valor:
2(2R - α) + (2R - β) + (2R - χ) = 8R - 2a - β - 𝜒
Pero como los tres ángulos interiores que confluyen en el punto C suman
2R, al igual sucede con los puntos B y D, podemos afirmar que la suma de los
tres ángulos interiores al triángulo grande EAF es igual a:
(8R - 2α - β - γ) - 6R = 2R - 2a - β - γ < 2R - 2 α
Por este procedimiento hemos construido, a partir del triángulo ABC,
(recordemos que los tres ángulos interiores sumaban 2R - α), un nuevo
triángulo, en nuestro caso EAF, cuya suma de ángulos interiores es menor que 2R
- 2α. Repitiendo esta técnica obtenemos otros triángulos cuya suma de ángulos
interiores es menor que 2R - 4α, 2R - 8α, 2R - 16α, 2R - 32α, 2R - 64α,...
llegando a obtener un triángulo cuya suma de ángulos interiores tendría un
valor negativo, lo que claramente es un absurdo. Por tanto, no puede ocurrir
que la suma de los ángulos interiores sea menor de dos rectos y, de acuerdo a
la primera proposición, se ha de verificar que la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es igual a dos rectos.
Sin embargo, la demostración no es correcta ya que supone que por un
punto D, situado en el interior del sector ángulo correspondiente a A, siempre
se puede trazar una recta FE que se encuentre con los dos lados del ángulo, y
tal aseveración es equivalente al quinto postulado de Euclides.
§. Contenido de la Geometría
El libro de Lobachevski resultó muy atrevido para su época, y
posiblemente el académico Fuss no comprendió el trasfondo del mismo. La propia
disposición de los distintos capítulos llama la atención. Los cinco primeros
capítulos se construyen sin utilizar en ningún momento el quinto postulado de
Euclides. Por tanto estaba elaborando una geometría absoluta (aquella
que no depende del quinto postulado, sino únicamente de los cuatro primeros).
Desde el punto de vista histórico este hecho es fundamental, ya que es la
primera persona que lo hace de manera consciente.
El aspecto métrico es clave en su trabajo. Lobachevski se da cuenta de
que la medida de los ángulos y de los segmentos no depende del quinto
postulado, mientras que la medida de las áreas sí depende directamente del
famoso postulado. Por esta razón, el cálculo de áreas de diversas figuras no es
abordado hasta bien avanzado el libro.
El libro se compone de 13 capítulos, diez de ellos están dedicados a la
medida de diferentes elementos geométricos (líneas, ángulos, poliedros,
triángulos, prismas, etc.) y los tres últimos están dedicados a la teoría de
las perpendiculares, de las paralelas y a la igualdad de los triángulos.
Lobachevski divide su Geometría en tres partes:
·
Longimetría
·
Planimetrí
·
Estereometría
La estructura del libro de Lobachevski sigue las pautas de D'Alembert,
que proponía el estudio de la geometría bajo tres ópticas: medida de
longitudes, medida de las áreas y cálculo de volúmenes, como se ha indicado
antes.
Es muy original el estudio que realiza de algunas cuestiones. Por
ejemplo, en el segundo capítulo presenta a la circunferencia y a la esfera al
mismo tiempo, en el capítulo cuatro analiza con detenimiento los polígonos
conjuntamente con los poliedros.
Lobachevski intentó demostrar el postulado de las paralelas a la inversa
de la manera en que fue enunciado por Playfair. Esto es, supuso que por un
punto P no situado en la recta AB pasan, en el plano, más de una recta no
secante con AB, tal como muestra la Figura 14.
A partir de una hipótesis tan absurda comienza a deducir resultados con
la intención de encontrar alguna contradicción. Curiosamente construye un raro,
pero armonioso, edificio geométrico que él llama geometría imaginaria y
que actualmente llamamos geometría hiperbólica o de
Lobachevski. Este hecho nos indica que por esta época Lobachevski pensaba -al
igual que Saccheri, Lambert y otros muchos- que el quinto postulado se podía
demostrar a partir de los otros cuatro.
§. Nacimiento de su geometría no euclidiana
Sin duda, el libro de Lobachevski fue la semilla de sus investigaciones
geométricas posteriores. A pesar de las severísimas críticas recibidas, siguió
trabajando y profundizando en la teoría de las paralelas y tres años más tarde,
en 1826, presentó un informe que recogía buena parte de sus revolucionarias
ideas.
Exactamente el 11 de febrero de 1826, en una reunión de la facultad,
presentó un informe acompañado de la siguiente carta:
“Tengo el honor de presentar bajo el título de Exposición sucinta de los
principios de la geometría, con una demostración rigurosa del teorema de las
paralelas, un trabajo del cual soy autor.
Al respecto, deseo conocer la opinión de mis compañeros y, si es favorable,
solicito humildemente la publicación de mi trabajo en las memorias de la
Sección de Física y Matemáticas. He preferido escribir el trabajo en francés,
porque en ese idioma, ahora común a los hombres de ciencia, se ha contemplado
editar las memorias".
N. I. Lobachevski
Para analizar su petición se reunió una comisión formada por tres
profesores de la universidad (compuesta por I. M. Simonov, A. Ya. Kupfer y N.
D. Brashmannn). Dichos docentes no estaban al corriente de las cuestiones
relativas a la geometría y, por tanto no eran las personas más idóneas para
valorar adecuadamente el escrito de su compañero.
Sin embargo, la comisión adoptó la decisión de valorar negativamente la
publicación del trabajo de Lobachevski. Desgraciadamente no se ha podido
encontrar el informe escrito, nos han quedado únicamente algunos comentarios
sueltos, la mayoría muy despreciativos, y el resultado negativo de tal
dictamen.
Observatorio de la Universidad de Kazán
Por tanto, Lobachevski era nuevamente vilipendiado y desprestigiado.
Ahora, sus propios compañeros se burlaban de sus investigaciones. Si bien el
trabajo no se editó, sí estamos en condiciones de hablar de su contenido, ya
que tres años más tarde, el mismo Lobachevski publicó en la revista El
mensajero de Kazán (una revista educativa de carácter general que se
publicaba en la Universidad de Kazán), una memoria titulada “Acerca de los
principios de geometría”. Una parte importante de la memoria incluía el informe
que tres años antes había presentado en la facultad.
El contenido de su Exposición sucinta... desarrolla los
aspectos más notables de su geometría no euclidiana y termina con el estudio de
algunas ecuaciones que relacionan los lados y los ángulos de triángulos
rectángulos
En resumen, el 11 de febrero de 1826, en la Universidad de Kazán se
produjo un hecho notable: la creación de una nueva geometría. Su artífice fue
un matemático llamado N. I. Lobachevski. Se abría una nueva era en el campo de
la geometría.
Capítulo 8
Acerca de los principios de geometría
"¡Humíllate, impotente razón!".
Blaise Pascal
En febrero del año 1829 apareció en el Mensajero de Kazán la
primera de las memorias de Lobachevski, con el título de “Acerca de los
principios de geometría”. Las siguientes memorias fueron publicadas los meses
de marzo, abril, noviembre y diciembre de 1829, así como en marzo, abril, julio
y agosto de 1830.
A lo largo de las nueve entregas, Lobachevski va desgranando sus
revolucionarias ideas. El trabajo es complejo y difícil de leer, pero podemos
señalar tres partes diferenciadas.
La primera parte se centra en el estudio de la llamada geometría
absoluta, en realidad es un resumen de su Geometría presentada
el año 1823 y que tan mal acogida tuvo.
La segunda parte expone el contenido de su Exposición sucinta... A
lo largo de muchas páginas se dedica a estudiar y obtener el ángulo de
paralelismo, que él llama Π(x).
La última parte está dedicada a la medida de longitudes, áreas y
volúmenes. El estudio se hace mediante procesos de integración. Además muchos
de los cálculos los realiza por varios procedimientos para verificar que los
resultados coinciden. Este hecho le reafirmaba en su convicción de que la
geometría que estaba edificando era correcta desde un punto de vista lógico.
En la parte final de la memoria Lobachevski utilizando métodos
específicos de su geometría imaginaria, a veces encuentra el valor de una
integral definida o bien reduce algunas integrales a otras. Sus
descubrimientos, relativos al cálculo integral, son presentados en una tabla
titulada "Comparación de las integrales y valores nuevos encontrados de
las integrales definidas".
En resumen, el trabajo presentado por Lobachevski es realmente muy
innovador. Además de un estudio analítico y métrico, contiene aplicaciones de
la nueva geometría al cálculo integral y, sobre todo, cálculos destinados a
verificar la exactitud lógica de esa nueva geometría.
Veamos algunos aspectos relacionados con el contenido matemático de su
obra.
§. La función de Lobachevski Π(x)
El ángulo de paralelismo es estudiado por Lobachevski con suma atención,
después de un estudio analítico de funciones llega a la conclusión que el
ángulo de paralelismo se puede obtener mediante una función del tipo
o bien
Ángulo de paralelismo, rectas paralelas, rectas secantes y rectas
hiperparalelas
Dada una recta AB y un punto C, exterior a ella, entre todas las rectas
que pasan por C podemos establecer dos clases de rectas respecto a AB: la clase
de las rectas que cortan a AB y la clase de las que no lo hacen.
Las primeras se llamarán rectas secantes, mientras que a la última clase
pertenecen las dos rectas p y q que forman la frontera entre las dos clases.
Estas dos líneas frontera son llamadas las rectas paralelas. El ángulo Yl(x) se
llama ángulo de paralelismo (depende de la distancia x del punto C a la recta
AB). Hay otro tipo de rectas que no son estrictamente paralelas, sin embargo
pasan por C y no cortan a AB, son llamadas rectas hiperparalelas, aunque en el
sentido de Euclides éstas son paralelas a AB y así, en este sentido, la
geometría de Lobachevski contiene un número infinito de paralelas a la recta AB
que pasan por C.
La Figura 15 nos indica que la recta n es paralela a m pasando por el
punto P. Siendo Π(x) el ángulo que forman dichas rectas paralelas en el punto
P, dónde x expresa la distancia del punto P a Q.
Al igual que los estudios realizados por Lambert, Taurinus, Gauss y
tantos otros, aparece en la fórmula del ángulo el valor k; pero, ¿qué significa
k?
Lobachevski dice:
"...teóricamente k puede tener cualquier valor, a cada uno de los
valores de la constante k le corresponde una geometría imaginaría.
"... no hay una sola geometría imaginaría) existe un número infinito de
variedades correspondientes a los diversos valores de la constante k. Entre
ellas, la vieja geometría euclidiana corresponde al caso límite (cuando k
tiende a infinito).
En cuanto a saber cuál es el valor de k en nuestro espacio concreto, en el cual
son los rapos luminosos los que sirven de líneas rectas, no se trata de una
cuestión de lógica, sino de física; a la cual sólo se le puede encontrar una
respuesta experimentalmente. Mientras nuestras medidas no revelen algunas
variaciones a la geometría euclideana, podemos suponer que solo ella rige
nuestro espacio. Pero sí, penetrando en los dominios extremadamente alejados
del universo, nuestros aparatos de medida detectaran tales variaciones, su
naturaleza y su magnitud permitirían determinar ¡os valores de la constante
k".
Una vez definida la función Π, Lobachevski pasa a estudiar sus
propiedades más importantes.
El ángulo de paralelismo para k-1 y x=l
En este caso la función toma la forma:
De tal manera que
Π(l) = 40º 24’
Podemos concluir que la unidad de longitud es aquella longitud cuyo
ángulo de paralelismo es, aproximadamente, 40° 24’
Esta idea ya había sido expuesta por Lambert cincuenta años antes.
La función Π es monótona decreciente y continua, y verifica las
siguientes propiedades:
La segunda propiedad nos confirma que cuando realizamos el estudio de
dicha geometría en valores muy próximos entre sí su comportamiento es el de la
geometría euclídea (ya que el valor del ángulo de paralelismo es igual a π/2)
En esa época Lobachevski quiso verificar de manera experimental si el
modelo de nuestro espacio respondía a la geometría euclídea (o euclidiana) o a
su geometría imaginaria. Uno de los resultados que enfrentaba
a ambas geometrías es que la suma de los ángulos de un triángulo sea igual o
menor a 180°.
Lobachevski estudió la suma de los tres ángulos de un gran triángulo
astronómico que tenía como vértices la Tierra, el Sol y la estrella Sirio. Sus
cómputos le llevaron a la conclusión de que esa suma difería de 180° menos de
0,000372". No hay que olvidar que Lobachevski era un consumado calculista
y experimentado astrónomo; sin embargo, esas cuentas eran muy laboriosas y
requerían sumo cuidado. Lobachevski era consciente de que para realizar sus
cálculos se servía de cálculos de distancias y ángulos que correspondían a la
geometría euclídea. Por esta razón inventó un método que trataba de corregir,
en la medida de lo posible, los aspectos anteriores. Sus cómputos le llevaron
al resultado anterior que, desde luego, no mostraba que el modelo de nuestro
espacio correspondiese a la geometría imaginaria (no hay que olvidar que la
sensibilidad de los instrumentos en esa época estaba en la frontera de 1”).
La trigonometría del triángulo rectángulo, en la geometría no euclidiana
de Lobachevski, es algo particular.
Si llamamos a, b y c a las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo, se verifican las siguientes relaciones:
La última fórmula relaciona los lados del triángulo rectángulo, en
función del ángulo de paralelismo de cada lado, por esta razón se la suele
conocer como el teorema de Pitágoras para triángulos
rectángulos correspondientes a la geometría no euclidiana de Lobachevski.
Lobachevski, partiendo de su fórmula fundamental
transforma la ecuación en otras, que en algunas ocasiones le interesan
más, y que son:
Si desarrollamos los segundos miembros en series de potencias, según las
potencias de y consideramos la fracción como muy pequeña, despreciando los
términos de orden igual o superior a tres, obtenemos las siguientes relaciones:
Estos cálculos son válidos para valores muy pequeños de la fracción x/k;
introduciendo estos valores en las fórmulas obtenidas k para el triángulo
rectángulo obtenemos (para k = l):
a = c sen A
b = c sen
c2 = a2 + b2
Que como podemos observar son fórmulas del triángulo rectángulo de la
geometría euclidiana.
La tercera parte de "Acerca de los principios de la geometría” no
es desarrollada en su Exposición sucinta... En primer lugar,
se preocupa por conocer mejor los aspectos trigonométricos y sus relaciones,
también en familiarizarse con los elementos básicos de la geometría analítica y
diferencial en su geometría imaginaria.
A continuación, pasa a la medida de longitudes, áreas y volúmenes de
ciertas figuras y cuerpos. Por ejemplo obtiene que:
·
La
longitud de una circunferencia de radio r se obtiene mediante la fórmula
S = 2π k cotg Π(r)
·
El
volumen de un cono, de generatriz l altura h, siendo
V = π(l cos
Al acabar el libro, Lobachevski se recrea en las fórmulas
trigonométricas que obtuvo anteriormente, así las vuelve a escribir bajo la
siguiente forma
Teniendo en cuenta que el seno hiperbólico se define por
La primera de las fórmulas se transforma en:
Esta última expresión, seguramente, es la causante de que Lobachevski
diera el nombre de geometría hiperbólica a su geometría
imaginaria.
§. La ira de los beocios
Como ya sabemos, el pequeño tratado titulado Exposición
sucinta... no llegó a publicarse nunca debido a las críticas tan
negativas que recibió de sus propios compañeros. Pero Lobachevski, lejos de
desanimarse, siguió trabajando, si cabe, con más empeño y por fin dio a conocer
al mundo científico sus revolucionarias investigaciones en la memoria titulada
“Acerca de los principios de geometría”.
Durante meses esperó las críticas con impaciencia. Por fin, en 1834, en
las revistas El hijo de la patria (nº 41) y Archivos
del norte apareció tan esperada crítica, firmada por un personaje (o
quizás varios) desconocido, que se escondía bajo la firma S. S.
La critica llevaba por título "Acerca de los principios de
geometría, obra del señor Lobachevski” y estaba redactada en los siguientes
términos:
"Hay personas que después de haber leído un libro declaran: es
demasiado simple, demasiado ordinario, no ha hecho trabajar mí espíritu. Les
aconsejo que lean la geometría del señor Lobachevski. Verdaderamente en ella
encontrarán materia para reflexionar. Muchos de nuestros excelentes matemáticos
la han leído, han reflexionado, pero no han comprendido nada. Es necesario
agregar que yo mismo he meditado durante algún tiempo sobre ese libro, y no he
podido captar un solo pensamiento por pequeño que éste sea. En vano uno se
preguntará cómo ha podido hacer el señor Lobachevski de la ciencia matemática
más fácil y más clara, como es la geometría, una teoría tan pesada, tenebrosa e
inabordable, sí él mismo nos había aclarado parcialmente ese asunto diciendo
que su geometría no es la geometría usual que hemos aprendido, y que es muy
probable que no podamos olvidar, sino una geometría imaginaría. Sí, ahora
comprendemos todo. ¡Qué no puede representar la imaginación, sobre todo sí está
viva al mismo tiempo que enfermiza! ¿Por qué no imaginar, por ejemplo, que lo
negro es blanco, que un circulo es un cuadrilátero, que la suma de todos los
ángulos de un triángulo rectilíneo es inferior a dos rectos y que una misma
integral definida vale unas veces π/4 y otras veces infinito?
(...)
Pero, ¿por qué escribir, y además publicar fantasías tan absurdas? nos
preguntaremos. Es difícil, lo reconozco, responder a esta pregunta. El autor no
hace en ninguna parte alusión al fin que persigue al publicar esta obra, por lo
tanto, quedamos sometidos a conjeturas. Es verdad que en un pasaje de la obra
expone claramente que las lagunas que él notó en la geometría en uso, le
obligaron a imaginar y hacer conocer al público esa nueva geometría; pero, sin
duda, el autor no es sincero, y sí lo pretende, es con probabilidad para
disimular mejor el verdadero fin de esa obra. Para comenzar, esto es contrario
a lo que el propio autor ha dicho de su geometría, o sea, que no existe en la
naturaleza, sino sólo en su imaginación, y que, de hecho, es absolutamente
inaplicable a las medidas; en segundo lugar, eso es efectivamente contrarío a
su contenido y nos veríamos más bien inclinados a pensar que la geometría nueva
ha sido inventada para desmentirá la antigua, más bien que para completarla.
Que se nos permita, por otra parte, referirnos brevemente al propio autor.
¿Cómo podemos creer que el señor Lobachevski, profesor titular de matemáticas,
haya podido escribir, aunque sea para un fin tan poco serio, un libro que sólo
habría aportado muy poca gloría al más humilde maestro parroquial? Todo
profesor debe tener, sí no erudición, al menos buen sentido; ahora, no es raro
que en la nueva geometría también esta última cualidad falte.
A despecho de todo eso, considero que el fin real perseguido por el señor
Lobachevski al escribir y publicar su geometría, es simplemente una broma o,
mejor dicho, una sátira contra los teóricos de las matemáticas o quizás contra
los científicos contemporáneos en general. Por otra parte, estimo que no sólo
es probable sino absolutamente cierto que la pasión insensata de escribir de
una manera extraña e inteligible, muy marcada desde hace algún tiempo entre
muchos de nuestros escritores, y el loco deseo de descubrir cosas nuevas,
mientras apenas uno está lo suficiente dotado para comprender convenientemente
las cosas viejas, son dos defectos que el autor tenía intención de exponer en
su obra, lo que ha hecho de la mejor forma.
En primer lugar, la nueva geometría, como ya he dicho antes, está escrita de
tal manera que aquellos que la leyeron casi no comprendieron nada. Deseoso de
familiarizar a ustedes lo mejor posible con esa geometría, he concentrado toda
mi atención fijándola en cada pasaje, cada palabra c incluso en cada letra,
pero a pesar de todo no he logrado disipar las tinieblas que la rodean y apenas
me siento en condiciones de decir de qué se trata, sin hablar de! contenido de
los enunciados. Al principio, como es usual, el autor expone las principales
nociones relativas al espacio y a las medidas espaciales. Naturalmente que dichas
nociones se diferencian en absoluto de las nociones corrientes y se exponen de
una manera particular.
(…)
Parece que después de haber dado algunas definiciones, formuladas con el mismo
arte y la misma precisión que las precedentes, el autor dice algo sobre los
triángulos, sobre la relación entre sus ángulos y sus lados, en lo que
precisamente su geometría difiere, de manera esencial, de la nuestra; después
propone una nueva teoría de las paralelas, la cual nadie, según él mismo, está
en condiciones de probar sí existe efectivamente en la naturaleza; por último,
el autor examina de qué forma en dicha geometría imaginaría se determinan las
curvas, las áreas, las superficies oblicuas y los volúmenes de los cuerpos, y
todo eso, repito, está escrito de tal forma que no se puede comprender nada.
En segundo lugar, al final de su libro el señor Lobachevski da dos integrales
definidas que él ha descubierto de paso, al ir derecho a su fin, que es dar
unas reglas generales para la medida de todas las magnitudes geométricas, no
permitiéndose más que algunas aplicaciones. ¡Descubrimiento verdaderamente
notable! Porque una de esas nuevas integrales se conoce desde hace mucho tiempo
y puede encontrarse de una manera mucho más simple, y la otra es completamente
falsa porque conduce al absurdo señalado con anterioridad.
(...)
¿Pero acaso no son del mismo género la mayoría de los descubrimientos famosos
en nuestro país? ¿No sucede con frecuencia que se busque hacernos tomar lo
viejo, bajo algún nuevo disfraz, por nuevo, o bien lo nuevo, pero falso, por un
descubrimiento en extremo importante? Felicitamos al señor Lobachevski por
encargarse de desenmascarar, de una parte, la imprudencia y el descaro de los
falsos inventores y, por otra parte, la ignorancia ingenua de los admiradores
de sus invenciones.
Pero apreciando la obra del señor Lobachevski en su justo valor, no me siento
impedido a reprocharle, sin embargo, el hecho de que, absteniéndose de dar a su
libro un título apropiado, nos haya obligado a reflexionar largo tiempo en
vano. ¿Por qué, en lugar de "Acerca de los principios de geometría” no
haber tomado por título "Sátira de la geometría", por ejemplo, o
"Caricatura de ¡a geometría',' o alguna cosa de ese género? Entonces cada
uno se hubiera dado cuenta de qué se trataba y el autor hubiera evitado muchos
comentarios y juicios descorteses. ¡Feliz yo por haber podido captar el
verdadero fin de ese libro, de otro modo sabe Dios lo que habría podido pensar
tanto del libro como del autor! En el presente pienso, y hasta estoy seguro, de
que el honorable autor me estará muy reconocido por haber mostrado el verdadero
punto de vista bajo el cual conviene considerar su obra”.
S. S.
La crítica es verdaderamente brutal, podemos imaginarnos lo que supuso
para Lobachevski tal ofensa. Inmediatamente el rector Lobachevski publicó una
nota que decía:
"El número 41 de la revista El hijo de la patria contiene una
crítica muy ofensiva a mí respecto y, confió, absolutamente injusta. Su autor
ha fundado sus conclusiones en el solo hecho de que no ha comprendido mi Teoría
y la estima errónea porque en los ejemplos ha encontrado una integral absurda.
Yo no encuentro tal integral en mi obra..."
Tales críticas se expandieron como la pólvora e inmediatamente llegaron
a oídos del entonces protector de la universidad, M. N. Musin-Pushkin, y del
propio ministro de Instrucción Pública. El primero defendió a Lobachevski, al
que tenía en gran estima, e inmediatamente envió una carta oficial a su
ministro para que éste investigara un asunto tan desagradable.
La respuesta del ministro se produjo mediante la siguiente nota:
“Después de tener conocimiento de la crítica a la geometría de
Lobachevski, aparecida en la revista El hijo de la patria, en su número 41,
reconozco por mi lado que, por supuesto, hubiera sido mejor que el autor de ese
artículo se abstuviese de ciertas expresiones hirientes, aunque no he
encontrado en ellas nada que sea personalmente ofensivo para el autor, cuyo
libro es objeto de un análisis crítico susceptible de desmentirse. He llamado
la atención de la censura acerca de las expresiones antes mencionadas y he dado
la orden, al editor de la revista, de publicar la respuesta a la crítica que
someterá el autor de la geometría”.
A pesar de las recomendaciones del señor ministro la respuesta de
Lobachevski nunca fue publicada en la citada revista. Claramente el autor de la
citada crítica era una persona influyente; pero, ¿quién se escondía tras las
iniciales S. S.?
§. Polémica con Mikhail V. Ostrogradski
En 1832 (recordemos que Lobachevski era rector de la universidad) el
Consejo de la Universidad de Kazán pidió a la Academia de Ciencias de San
Petersburgo un informe sobre la memoria "Acerca de los principios de
geometría”. La Academia encargó el trabajo al académico Ostrogradski, quién
después de estudiarla hizo una crítica verbal, en francés, que está recogida en
el acta de la sesión de noviembre en los siguientes términos:
"...después de haber estudiado una obra del rector Lobachevski,
tengo que observar que: la obra está redactada con tan poco cuidado que una
gran parte es ininteligible. Por eso estimo que dicha obra de Lobachevski no
merece la menor atención de la Academia
La respuesta verbal del académico Ostrogradski, también hacía referencia
al cálculo de dos integrales que aparecían en la obra y que él consideraba que
una de ellas ya era conocida años antes y la otra era falsa.
Ostrogradski
Mikhail Vasilievich Ostrogradski (1801-1862) provenía de una familia
aristocrática y rica, y se había formado en un ambiente social y político
conservador.
Sus concepciones como matemático
Hizo tan rápidos progresos que ya en esa época comenzó a publicar artículos. Es
autor de un teorema sobre análisis y geometría que en Rusia lleva su nombre,
pero que en Occidente es denominado teorema de Green, redescubierto (1846) por
lord Kelvin y que también es conocido como teorema de Gauss. Era el matemático
ruso de mayor prestigio en su época; sin embargo, ahora sabemos que Lobachevski
es muy superior.
El mismo Ostrogradski, con ánimo de aclarar mejor su postura redactó un
informe que envió a la Academia con el objetivo de matizar sus apreciaciones
verbales y de paso desprestigiar a Lobachevski. El informe, que se conserva en
su totalidad, se compone de un escrito muy escueto y de unos apéndices que
contienen algunas puntualizaciones acerca de su escrito:
La Academia me ha encargado examinar una obra de geometría del señor
Lobachevski, rector de la Universidad de Kazán, y dar mi opinión verbal sobre
ella.
Me parece que si el autor se ha propuesto la tarea de escribir de una manera
incomprensible, ha logrado su fin. La mayor parte de su libro me ha sido tan
ininteligible como si yo no lo hubiera visto jamás. Sólo he comprendido de él
lo que sigue:
Podemos admitir que la suma de los ángulos de un triángulo es menor que dos
ángulos rectos. La geometría que resulta de esta hipótesis es más difícil y
extensa que la que nosotros conocemos, y quizás de una gran utilidad en el
análisis puro y, sobre todo, en la teoría de las integrales definidas, porque
ya ella ha permitido encontrar el valor de dos integrales definidas que nadie
todavía había obtenido y que por otros medios sería difícil obtener.
Sobre lo que acabo de leer creo que mi deber es comunicar a la Academia las
observaciones siguientes:
1)De las dos integrales definidas que el señor Lobachevski cree haber encontrado,
una ya es conocida. Podemos deducirla de los principios más elementales del
cálculo integral. El valor de la otra, es verdaderamente nuevo, ha sido hallado
por el señor rector de la Universidad de Kazán y desgraciadamente es falso.
2)Todo lo que no he comprendido de la geometría de Lobachevski está por
debajo de lo mediocre.
3)Todo lo que no he comprendido está, por lo visto, mal redactado y, por
esa razón, es difícil de comprender.
De esto he sacado la conclusión de que el libro del señor rector Lobachevski
contiene errores, está redactado sin cuidado y, por consiguiente, no merece la
atención de la Academia
Como es fácil observar, las declaraciones de Ostrogradski inciden en la
misma línea que el escrito firmado por el enigmático personaje S. S.
§. Comentarios sobre las críticas de Ostrogradski
Si leemos con atención el escrito de Ostrogradski, quizás los puntos más
importantes son las menciones que hace del cálculo de dos integrales y de la
dificultad para poder seguir el trabajo de Lobachevski.
La primera de las integrales es la siguiente:
Es claro que se puede calcular empleando métodos elementales, como
comprobará el lector; sin embargo, Lobachevski tiene interés en calcularla por
medio de procedimientos derivados de su geometría imaginaria. El comprobar que
por el nuevo procedimiento se obtenía un resultado ya conocido le daba
garantías sobre la exactitud lógica de su geometría.
Algunos de los trabajos de Lobachevski
Ostrogradski también hace referencia a la mala redacción del documento.
En efecto, la redacción de "Acerca de los principios de geometría" es
muy concisa, sin apenas demostraciones y con cálculos complicados. La impresión
que da es la de un resumen redactado de manera muy esquemática y con poco
cuidado. El profesor A. P. Kotélnikov, cuando preparó el primer tomo de
las Obras completas de Lobachevski, comentó:
"Cualquiera que aborde por vez primera la geometría imaginaria en
la memoria de Lobachevski, choca con dificultades inauditas y sin duda
insuperables. La disposición de los materiales en la exposición de las
principales nociones geométricas, la manera tan original de presentar e!
problema de la teoría de las paralelas, así como la obtención de nuevos
resultados no encajan con las representaciones geométricas usuales; la
necesidad de imaginar figuras geométricas totalmente nuevas, superfluas, y hasta
falsas desde el punto de vista de la geometría euclidiana, dificulta de manera
singular la comprensión de la geometría imaginaria. Pero, además de esas
dificultades, que tienen sus raíces en el propio asunto, Lobachevski crea
nuevas. La primera parte de su memoria “Acerca de los principios de geometría”,
que precisamente encierra las consideraciones más importantes para la
comprensión de su geometría imaginaria, prácticamente no contiene ninguna
demostración y es tan concisa hasta el punto de no constituir más que un breve
resumen. Aunque más detalladas, la segunda y tercera partes no dejan de ser
también demasiado concisas. Además han sido omitidos numerosos cálculos
intermediarios, bastante difíciles de reconstruir. Particularmente son
difíciles los cálculos de la última parte; además, los cambios de notaciones
pueden, en ocasiones, poner al lector en estado de desespero, a lo que todavía
debemos agregar que el texto publicado por El mensajero de Kazán contenía
numerosas erratas de impresión que hacían la lectura aún más dificultosa”.
Lobachevski había hecho un gran esfuerzo en la creación de una nueva
geometría, pero él mismo era consciente de que sus ideas no estaban bien
explicadas y dice a propósito:
“Dentro de ¡os ¡imites estrechos de una publicación periódica yo no
podía exponer mi teoría detalladamente. Muchas de las proposiciones dadas sin
demostración, la presencia de cálculos bastante largos y complicados, de los
cuales yo no doy los resultados, me obligan a sospechar que mí obra, que
parece, a primera vista, oscura, no invitaba a leerla y ocuparse de ella con
atención, y hasta podía hacer dudar del rigor de los razonamientos y de la
exactitud de las conclusiones a las cuales había llegado".
En 1834, Lobachevski (siendo ya rector) promovió una revista
denominada Memorias de la Universidad de Kazán y al año
siguiente publicó en ella una memoria titulada "Geometría imaginaria” (en
realidad la memoria había sido escrita en francés para ser publicada en la
revista de Crelle). En 1836 publicó su continuación bajo el título
"Aplicación de la geometría imaginaria a algunas integrales”.
En realidad estas memorias no aportaban nada nuevo a sus trabajos
anteriores pero, al disponer de más espacio, Lobachevski explica mejor los
procesos y sus cálculos son más entendibles. Cabe señalar algunos aspectos de
las citadas memorias:
1. La geometría imaginaria abarca la geometría usual como
un caso particular al cual se pasa considerando las líneas infinitamente
pequeñas, de manera que, al respecto, la geometría usual puede calificarse como
geometría diferencial.
2. En la teoría no ocurre nada por suponer que la suma de
los ángulos de un triángulo rectilíneo sea considerada inferior a dos ángulos
rectos.
3. La suposición acerca de que la suma de los ángulos de
un triángulo es inferior a dos ángulos rectos sólo puede admitirse con respecto
a los métodos analíticos, ya que, según las mediciones efectuadas en la
naturaleza, esa suma nunca se diferencia, en lo más mínimo, de la mitad de la
circunferencia.
La segunda de las memorias finaliza con una tabla de 50 fórmulas para
realizar cálculos integrales, una de ellas (la 36) es especialmente importante,
nos referimos a
Lobachevski dedica un esfuerzo especial al estudio de dicha integral,
obteniendo importantes propiedades. En efecto, si llamamos
entonces la función L(x) puede ser representada mediante
series de la siguiente manera
Además se verifican las relaciones
L(x) = - L(x)
L(π – x) = π l n 2 - L(x)
L(π + x) = π l n 2 + L(x)
para los valores - π/2< x < π/2
Pero lo que es preciso resaltar es que si bien Lobachevski, dentro de su
geometría, no confirma la demostración objetiva de la falta de contradicciones
sí lo hace desde un punto de vista subjetivo. La acumulación de resultados ya
conocidos, obtenidos por los procedimientos derivados de su geometría
imaginaria, así lo confirman.
Capítulo 9
Rector de la Universidad de Kazán
"Siempre que enseñes, enseña a la vez a dudar de lo que
enseñas".
José Ortega y Gasset
Tras la destitución de Magnitski, fue nombrado protector docente de la
provincia de Kazán el conde M. N. Musin-Pushkin. Con ánimo de impulsar y
renovar la vida universitaria, el nuevo protector convocó elecciones a rector.
Lobachevski, a instancia de sus compañeros profesores, presentó su candidatura,
y en la sesión del 3 de mayo de 1827, después de una votación muy favorable
para él, fue elegido rector. Tenía sólo 33 años y la tarea que se le avecinaba
era compleja, pero le sobraban energías para afrontarla.
Por delante tenía grandes retos: mejorar los edificios de la
universidad, levantar nuevas construcciones, ordenar y proveer la biblioteca,
acondicionar los distintos laboratorios, comprar materiales para el
observatorio, erigir una nueva clínica, contratar más y mejores profesores y,
sobre todo, crear un mejor ambiente universitario.
La primera tarea que afrontó en el cargo fue rebajar la tensión que
existía entre los profesores. Las reuniones del Consejo que antes eran ruidosas
y poco planificadas, pasaron a desarrollarse con normalidad y dentro de un
clima de absoluta tranquilidad. También se preocupó por mejorar la vida
universitaria de los estudiantes. Éstos participaron en los estamentos
universitarios y su voz tuvo eco.
En realidad el trabajo administrativo de Lobachevski había comenzado
mucho antes de ocupar el cargo de rector. Como ya sabemos, ejerció como decano
de su facultad durante casi siete años; además había participado, años antes,
en distintas comisiones: de la biblioteca, de redacción de trabajos, de los
estudios, de construcción de edificios, etc.
Ocupando la plaza de rector siguió ocupándose de la biblioteca y se
planteó como objetivo primordial el ordenar y clasificar la enorme cantidad de
materiales escritos y convertirlos en una verdadera biblioteca. Los libros
estaban en algunos casos apilados, en otros aún no habían sido desembalados de
las cajas. La mezcla y el desorden de los manuales era tan evidente que la
biblioteca prácticamente no era consultada y era, por tanto, inservible. Como
rector logró obtener importantes ayudas económicas destinadas a enriquecer y
mejorar los fondos bibliográficos.
La biblioteca no era el único establecimiento donde reinaba el desorden.
Había una dejadez en el mantenimiento de edificios, incluso los
establecimientos escolares dejaban mucho que desear. Era imprescindible
construir más y mejores edificios en el recinto universitario y durante un
tiempo estuvo reuniendo fondos para mejorar el recinto universitario.
Otro episodio en la vida de Lobachevski nos muestra que no sólo las
matemáticas era su foco de atención. El 1830 se propagó una terrible epidemia
de cólera por buena parte de Rusia y, en particular, por la ciudad de Kazán.
Numerosas familias ricas abandonaron la ciudad, el terror se apoderó de las
calles y la situación se convirtió en desesperada.
El cólera era aún una enfermedad de origen desconocido entonces, aunque
los más preparados sospechaban ya que la falta de higiene tenía mucha más
intervención en el brote y propagación de la enfermedad que lo que pudiera
tener la ira de dios. Cuando el cólera invadió Kazán, los sacerdotes reunieron
en las iglesias a los fieles para pedirles que unieran sus súplicas; pero, sin
embargo el cólera no cesaba.
Dándose cuenta de que la situación de la ciudad era muy preocupante,
Lobachevski pidió a sus compañeros que trajeran a sus familias a la universidad
y luego solicitó, o mejor dicho, ordenó, a algunos de sus estudiantes que se
unieran a él en una lucha humana y racional contra el cólera. Las ventanas se
cerraron herméticamente, se impusieron estrictas medidas sanitarias, y tan sólo
se concedieron las salidas necesarias para obtener alimentos. De los 660
hombres, mujeres y niños así protegidos sólo murieron 16, una mortalidad
inferior al 2,5 %. Es de señalar que no falleció ningún
estudiante.
Para Lobachevski, la universidad era su vida, allí tenía todo. Su fama y
su prestigio era enorme entre sus compañeros, la mayoría le respetaban. El
protector del distrito docente también le tenía en alta estima.
Litografía de la catedral de San Pedro y San Pablo de Kazán pintada por E.
P. Turnerelli en 1839.
Un año después de tomar posesión como rector, pronunció un discurso en
la sesión solemne de clausura del curso académico (el
5 de julio de 1828). El discurso supuso una gran conmoción por su
frescura de ideas, independencia, y progresismo. Fue publicado en 1832 en
el Noticiero de Kazán con el título “Sobre las materias de la
educación social”.
Lobachevski, con 35 años entonces, comparte sinceramente con los oyentes
la sensación con la que recibió su elección como rector:
...todo aquello que hay que desear por fin está alcanzado.
Y seguidamente formula la pregunta fundamental para él:
...¿verdaderamente realizábamos todo lo que de nosotros se exigía?
Soñaba con educar también a sus alumnos, a los estudiantes de
universidad, en la exigencia sobre sí mismos para que procuraran llegar a ser
mediante sus conocimientos superiores el honor y la gloría de su patria.
Más adelante se plantea las cuestiones que debe estudiar una persona
para ser digna de su alta predestinación de ser el rey de la naturaleza.
¿Qué aptitudes tienen que ser descubiertas y perfeccionadas, qué cambios
tiene que haber, lo que habría que añadir o quitar, como excesivamente
perjudicial?
Sigue diciendo Lobachevski:
Mi opinión es la siguiente: no destruir nada y perfeccionar todo. ¿Es
posible que los dones de ¡a naturaleza sean inútiles?... Lo más corriente es
escuchar lamentaciones por las pasiones, pero, como dijo con razón Mably.
[Gabriel Bonnot de Mably (1709-1785), pensador político francés],
...cuanto más fuertes sean las pasiones, tanto más útiles son en ¡a
sociedad, sólo su dirección puede ser perjudicial...
Dirijámonos, en primer lugar, a la capacidad principal, a la inteligencia, por
la que pretenden diferenciar al ser humano de los demás animales, anteponiendo
en los últimos el instinto. No soy de la opinión de que el ser humano esté
privado de instinto, el cual se manifiesta en muchas acciones de la mente y el
cual en unión con la mente compone al Genio. Sólo mencionaré de paso que el instinto
no se adquiere; el que no haya nacido [con dotes necesarias, instintos,....] no
puede ser Genio. En esto mismo consiste el arte de los educadores: descubrir al
Genio, enriquecerlo con conocimientos y darle la libertad para seguir sus
sugerencias.
(...)
Hay que confesar que no tanto a nuestra mente, sino que al don de la palabra
debemos toda nuestra superioridad ante los demás anímales... A ellos les está
prohibido transmitirse conceptos. Pero al ser humano se le ofrece esta
posibilidad; él es el único en la tierra que utiliza este don; sólo a él le
está mandado estudiar, perfeccionar su inteligencia, buscar la verdad uniendo
fuerzas. Las palabras como los rayos de su inteligencia transmiten y divulgan
la luz del saber. El lenguaje del pueblo es el testimonio de su cultura, es la
auténtica demostración de su grado de ilustración.
Me pregunto ¿a qué se deben los éxitos brillantes las ciencias matemáticas y
físicas en los últimos tiempos, que son la gloría de nuestros siglos, el
triunfo de la mente humana? Sin lugar a dudas a su lenguaje artificial, de otra
forma ¿cómo no llamar todos estos signos de diversos cálculos un lenguaje, que
es singular y bastante conciso, el cual, sin cansar en vano nuestra atención,
mediante un trazo expresa conceptos generales... Todavía desde los tiempos no
tan remotos utilizamos estos medios. Nos los indicó el famoso Bacon. Dejad,
decía él, de trabajar en vano, intentando extraer de la razón sola toda la
sabiduría; preguntad a la naturaleza, ella guarda todas las verdades y a todas
vuestras preguntas os contestará al momento y satisfactoriamente. Por fin el
Genio de Descartes trajo ese cambio feliz y, gracias a sus dones vivimos ya en
unos tiempos en que la sombra de la escolástica antigua apenas anda por las
universidades. Aquí, habiendo entrado en este centro, la juventud ya no
escuchará palabras vacías sin ninguna idea, sonidos sin ningún significado.
Aquí enseñan lo que en realidad existe y no aquello que ha sido inventado por
una mente ociosa.
Las últimas palabras de esta cita atestiguan con toda evidencia que Lobachevski
era partidario de los puntos de vista materialistas sobre la naturaleza del
saber humano. En sus trabajos científicos se oponía con ardor a las
afirmaciones de Kant sobre ¡os conocimientos a priori que el ser humano recibe
antes de nacer. Según Kant son asilas representaciones geométricas, pero
Lobachevski afirmaba que sólo la experiencia puede confirmar la veracidad de
una suposición científica: ...los conceptos se adquieren por los sentidos, sin
embargo, no se debe creer a los conceptos innatos.
Pero volvamos otra vez al discurso de Lobachevski.
...nada estorba tanto a la plenitud de la vida como la ignorancia que
acompaña a la vida de la cuna a la tumba por un camino recto y mortal. Aún los
trabajos agotadores de necesidad, alternándose con el descanso, dulcifican la
vida de un labrador o de un artesano; pero vosotros, cuya existencia la
casualidad injusta convirtió en una carga para los demás; vosotros, cuya mente
se ha entorpecido y el sentimiento se ha extinguido; no disfrutáis de la vida.
Para vosotros la naturaleza está muerta, os son extrañas la belleza de la
poesía, la arquitectura está privada de encanto y esplendor, y no os entretiene
la historia de los siglos. Me tranquilizo con la idea de que de nuestra
universidad no saldrán semejantes productos del mundo vegetal: incluso no
entrarán aquí, sí, por desgracia, hubieran nacido ya con tales fines. No
saldrán, repito, porque aquí continua el amor a la gloría, el sentido del honor
y de la dignidad interior.
(…)
Vivir es sentir, gustar la vida, ensayar constantemente algo nuevo que recuerde
que vivimos.
La educación no debe ahogar la personalidad, ella debe cultivar todas las
facultades espirituales, todas las pasiones, todos los dones, ...porque nada es
más miserable que la apatía, la ausencia de imaginación y de amor a lo bello.
Es necesario cultivar en el hombre la aspiración a la gloria, sin temer a la
ambición que suscita.
Finalizando su discurso, el Rector se dirigió de esta forma a los
graduados universitarios:
¿Qué os diré como más instructivo!’ Habiendo nacido más tarde sois más
felices que yo. Estudiando la historia de los pueblos habéis visto que
cualquier estado atraviesa la edad infantil, la edad adulta y la vejez. Lo
mismo pasará a nuestra querida patria. Guardada por el destino, se erige
lentamente en su grandeza... pero los días más felices de Rusia están aún por
llegar. Hemos visto el alba, su predecesora, en el oriente; tras de ella ha
aparecido el Sol. Con esto he dicho todo".
No hay necesidad de decir que Lobachevski creía que Rusia era un país
que acababa de entrar en la edad adulta y que todavía estaba lejos de la vejez.
La tarea pedagógica de Lobachevski era enorme, para dar una idea sobre
la extensión del distrito de enseñanza de Kazán, vamos a enumerar solamente los
nombres de las provincias que lo componían: Astrakán, Viatka, Ekaterinburgo,
Kazán, Nizhni Novgorod, Orenburgo, Samara, Saratov, Simbirsk y Perm. Esto es
casi la mitad de la parte europea de Rusia, poblada por numerosos pueblos:
rusos, tártaros, bashkirios, kalmukos y chuvashios, entre otros. Además,
durante el reinado de Catalina II, grandes extensiones de las provincias de
Saratov y del territorio de Orenburgo fueron entregadas para ser pobladas por
alemanes. Todas estas circunstancias inducían a la Universidad de Kazán a
prestar una atención especial a la enseñanza de las lenguas, no sólo a las
europeas (el francés y el alemán), sino también a las orientales.
El inmenso mosaico de singularidades nacionales de la población y la
aspiración de la Universidad de Kazán a tener en cuenta estas distinciones de
alguna forma, no podía dejar de reflejarse en la amplitud de los intereses
pedagógicos de Lobachevski. Durante esa época, reflexionó detenidamente sobre
tema de enseñanza en general.
Observemos que en el primer cuarto del siglo XIX, Rusia no tenía ni
programas escolares unificados, ni textos estables, ni manuales metodológicos
bien elaborados. Los profesores actuaban según su propio criterio, recomendaban
a los alumnos guías ocasionales, las más de las veces dictaban a los alumnos
unas reglas y les obligaban a memorizarlas. Los resultados de tal enseñanza
eran poco satisfactorios. Lobachevski, ya en el primer año de dirección de la
universidad creó una comisión para la elaboración de los programas de ingreso
en la misma. Esta experiencia fue tan acertada que, en 1830, el Ministerio de
Educación encargó a la Universidad de Kazán la elaboración de los programas de
enseñanza en todos los institutos y escuelas de su departamento. Tales programas
fueron elaborados para todas las materias escolares y fueron dotados de
recomendaciones metodológicas para los profesores.
De la labor pedagógica de Lobachevski como rector es característico un
extenso documento titulado: “Normas para los profesores de matemáticas en los
liceos [institutos]...”, fechado en 1830.
Está compuesto por cuatro apartados:
1.
Método de
enseñanza
2.
Materias
de enseñanza
3.
Distribución
por grupo
4.
Manuales
de enseñanza.
Los contenidos expuestos en las “Normas...” están pensados para la
instrucción de siete cursos, son bastante amplios y contienen aritmética,
geometría (secciones cónicas incluidas) y trigonometría (plana y esférica)
Algunos párrafos del citado documento expresan de manera inequívoca su
manera de pensar. Referentes a la totalidad del curso:
"Para los conceptos abstractos y generales sobre las magnitudes y
también para las operaciones que deben unirlas entre sí, se han inventado los
signos. De la misma forma que el don de palabra nos enriquece con las opiniones
de los demás, el lenguaje matemático de los signos sirve como un medio aún más
perfecto, más preciso, breve y claro, para que uno transmita al otro los
conceptos que ha adquirido, la verdad que él ha alcanzado, y la dependencia
entre las magnitudes que ha descubierto. Pero de la misma forma que una opinión
puede resultar falsa dependiendo de que las palabras se interpreten de otro
modo, cualquier razonamiento en matemática se detiene tan pronto como dejemos
de suponer bajo los signos aquello que ellos representan. Por eso es necesario
que el maestro con la utilización de los signos defina conceptos perfectamente
determinados y rigurosos; finalmente, no estando satisfecho con esto, adjunte
ejemplos que clarifiquen las reglas
y prevengan su utilización mecánica... Lo dicho hasta ahora ya sería suficiente
para ver cómo tema que ser el modo de enseñar... pero al principio se
encuentran dificultades singulares, las cuales habría que alcanzar y saber
vencer. La cuestión consiste en que nuestra mente debe primero pasar de los
objetos, que actúan directamente sobre los sentimientos, a los números y
finalmente los propios números representar bajo el significado general mediante
letras”.
A partir de 1833, coincidiendo con su tercera reelección, Lobachevski
tuvo que enfrentarse a unos nuevos estatutos que eran de obligado cumplimiento
para todas las universidades rusas. En efecto, en 1835 fueron revocados los
antiguos estatutos universitarios, que habían sido establecidos en 1804 por el
zar Alejandro I, instaurándose un nuevo modo de vida universitaria. La reforma
fue impulsada por el ministro S. S. Uvárov, aplicando la política conservadora
del zar Nicolás I.
Con la nueva normativa se redujo de manera notable la autonomía
universitaria, y la figura del rector pasó a ocupar más poder en algunas
parcelas mientras que en otras su influencia era prácticamente nula. Esta
reforma incidía especialmente en dos aspectos:
"En primer lugar, imprimir a la enseñanza dispensada por las
universidades una forma racional, elevarla a un nivel accesible mediante
trabajos de larga duración y levantar una barrera razonable ante una juventud
inmadura y deseosa de asumir prematuramente funciones administrativas; en
segundo lugar, atraer a las universidades a los hijos de las clases más altas
del imperio y poner fin a su educación defectuosa en manos de extranjeros
S. S. Uvárov
En 1837, la Universidad de Kazán comenzó a funcionar de acuerdo a los
nuevos estatutos. Ese año coincidió con la cuarta reelección de Lobachevski.
En este nuevo periodo como rector afrontó, además, varios proyectos,
alguno de los cuales ya habían sido iniciados en periodos anteriores.
Destaquemos los siguientes: construcción de nuevos y mejores edificios
universitarios, una clínica, un anfiteatro anatómico, una nueva biblioteca, una
moderna imprenta, un gabinete de física, un renovado laboratorio de química, un
nuevo observatorio astronómico, etc.
Cabe señalar el empeño que puso Lobachevski en la construcción de los
edificios, si bien el diseño de los mismos se debió al ilustre arquitecto
Korinsfski. La ayuda que prestó el rector fue crucial, además de ser el jefe de
la comisión de construcción de edificios universitarios. Quizás lo más
reseñable es que fue capaz de ahorrar unos 50.000 rublos del dinero
presupuestado inicialmente. Incluso se cuenta que Lobachevski estudió en
profundidad aspectos relacionados con la arquitectura y la proyección de edificios,
con el objetivo de servir de ayuda al arquitecto Korinsfski.
En 1842 se dieron por finalizadas las obras, pero sucedió una imprevista
y enorme tragedia. El día 24 de agosto de ese mismo año se produjo un incendio
en una de las casas de Kazán, y el fuego se propagó de manera incontrolada y
muy rápida por toda la ciudad, no olvidemos que muchas de las casas eran de
madera. El pavoroso incendio, que destruyó más de 1500 edificios, también se
propagó por el recinto universitario. Residencias tan emblemáticas como el
observatorio astronómico fueron pasto de las llamas. El fuego llegó a rodear al
edificio de la biblioteca universitaria, tan querido por Lobachevski. Para
controlar el pavoroso incendio, el rector movilizó a muchos alumnos y
profesores de la universidad, lo que permitió el traslado de la mayoría de los
libros y escritos a un lugar más seguro, salvándose así tan preciado material.
Pero, no sólo se preocupó por construir más y mejores edificios; sus
ansias por mejorar la universidad, en su conjunto, le llevaron a la fundación
de un medio de comunicación científico, las
“Memorias de la Universidad de Kazán”; este era un proyecto que
Lobachevski tenía en la cabeza desde hacía años y que al fin pudo concretar en
1834.
Las “Memorias...” desempeñaron un papel primordial en la difusión de las
obras de Lobachevski. De hecho, al año siguiente de su fundación, en 1835,
apareció la primera entrega de la memoria “Geometría imaginaria”.
En el periodo que Lobachevski fue rector, también se organizó la sección
de lenguas orientales. Es evidente que, debido a la situación geográfica de
Kazán, la creación de esta sección era urgente. Es de señalar que uno de los
candidatos a estudiar más ilustres sería el literato León Tolstoi, que tras
fracasar en los exámenes de ingreso de 1844 decidió matricularse, al año
siguiente, en la Facultad de Derecho.
En el dilatado periodo como rector de la Universidad, Lobachevski tuvo
muchos reconocimientos. En 1833 fue nombrado consejero del Estado y condecorado
con la Orden de San Estanislao (de tercera clase), en 1836 condecorado con la
Orden de Santa Ana (de segunda clase), y en 1838, debido a su buen hacer, se le
otorgó un título nobiliario acompañado de un escudo de armas y de una pensión
económica de por vida. Por último, en 1844 le fue impuesta la Orden de San
Estanislao (de primera clase).
§. El método pedagógico de Lobachevski
La labor pedagógica de Lobachevski en la Universidad de Kazán duró 35
años. Durante este período llegó a impartir prácticamente todos los cursos de
contenido matemático y otras asignaturas como mecánica, astronomía e incluso
física. No había año en que no impartiera al menos dos o tres cursos
diferentes, que eran claros y seguidos con mucha atención por sus alumnos.
Orden de San Estanislao concedida a N. I. Lobachevski.
Tolstoi
León Tolstoi (1828-1910) nació en Yasnaia Polaina, hijo de un
terrateniente. A los nueve años quedó huérfano y su educación quedó en manos de
tutores franceses y alemanes. A los 16 años ingresó en la Universidad de Kazán,
aunque, muy influenciado por las ideas del filósofo francés Jean-Jacques
Rousseau, la abandonó en 1851 Retrato de Tolstoi pintasen terminar sus
estudios, decidiendo incorporarse al ejército ruso.
Allí estuvo en contacto con los cosacos, que se convertirían en los
protagonistas de una de sus mejores novelas cortas Los cosacos (1863),
anteriormente había escrito una trilogía autobiográfica, Infancia (1852),
Adolescencia (1854) y Juventud (1856), y una obra sobre la guerra de Crimea,
llamada Sebastopol (1855-1856).
L. Tolstoi fue un pensador comprometido con su tiempo y uno de los más
eminentes novelistas de todos los tiempos. En sus obras están reflejados sus
principios: amor hacia los seres humanos y resistencia contra las injusticias.
Como profesor, Lobachevski, en opinión de la mayoría de sus alumnos, era
excelente. Sus clases, conferencias y exposiciones las podía seguir cualquier
persona con una mínima preparación. Uno de los mejores alumnos suyos dice al
respecto:
"En el aula, el profesor Lobachevski, sabía mostrarse como una
persona fascinante o como un gran pensador, según la materia de que se tratase.
Generalmente no hablaba como escribía. Mientras que sus obras se distinguen por
un lenguaje conciso y no siempre claro, en el aula ponía todo el cuidado en
expresarse con la mayor claridad posible, resolviendo primero los problemas
particulares por el método sintético, y pasando después a la demostración de
las proposiciones generales por el método analítico. No se preocupaba demasiado
de los mecanismos de cálculo, sino que prestaba la máxima atención a la
precisión de los conceptos. En la pizarra dibujaba sin prisa, hacía las cosas
con esmero y cariño, además con una cierta elegancia".
A. F. Popov
Actualmente se sabe mucho de su manera de enseñar. Por ejemplo en
“Colección de notas de la enseñanza de la matemática pura” -así se titulan las
interesantes notas de Lobachevski que se han conservado en los archivos,
fechadas en los cursos escolares de 1822 a 1826- podemos encontrar anotaciones
de sus clases correspondientes a los cursos 1822-1823 y 1824-1825. La
“Colección...” está dividida en tres partes: método de enseñanza, plan de
enseñanza y asignaturas de enseñanza.
Colección de notas de la enseñanza de la matemática pura
La primera parte de estos textos empieza con las palabras: "El
mejor método para enseñar las matemáticos es, sin duda, el método analítico,
precisamente adoptado en la Universidad de Kazán, a excepción de las partes
donde el mismo es inaplicable, por ejemplo, en el caso de los principios de
geometría. En la universidad no podríamos aplicar otro método, puesto que aquí
se dicta un curso completo de matemáticas; en tanto que la síntesis, como
primera invención, la cual después fue reemplazada por el análisis a causa de
su superioridad, permanece en su estado primitivo. El método analítico consiste
en expresar 1as relaciones entre las magnitudes por medio de ecuaciones. Sus
ventajas son: igual modo de abordar la solución de cualquier tipo de problema,
generalidad: además, la principal ventaja consiste en que las ecuaciones que
expresan las relaciones entre las magnitudes contienen todo lo necesario para
la solución del problema, excluyen la necesidad de examinar las propiedades de
dichas magnitudes y someten la referida solución a operaciones algebraicas,
siempre parecidas, directas, breves y las cuales conducen a soluciones
completas. El inconveniente del análisis consiste en la difícil comprensión que
proviene de la generalidad y la abstracción: por último, el análisis también
tiene el inconveniente de representar las magnitudes en forma de números de
manera que sí por tales magnitudes entendemos cosas, el tiempo o las fuerzas de
la naturaleza, sus resultados deben ser interpretados, es decir, los números otra
vez deben transformarse en magnitudes reales, lo que presenta a veces grandes
dificultades y puede conducir a errores.
Como ejemplo de esto último puede servir la discusión entre D'Alembert, por una
parte, y Euler y Lagrange, por otra, sobre la continuidad de curvatura de las
cuerdas vibrantes. La síntesis, que está lejos de tener las ventajas del
análisis, tampoco tiene los inconvenientes de éste: es clara, concreta y mucho
más convincente para los principiantes. A despecho de esto, incluso en los
principios es necesario utilizar el análisis tanto con objeto de conservar la
uniformidad de la enseñanza, como a fin de que los propios principios de las
matemáticas sirvan de preparación al pasar a sus partes superiores. Para
combinar aquellas ventajas del análisis con las de la síntesis, es necesario, a
través de varios casos particulares, pasar a casos generales y enriquecer la
enseñanza con ejemplos. Eso se ha convertido en una regla en el Gymnasium
[instituto de secundaría].
Entre tanto, hay partes de la matemática donde la síntesis es necesaria como
único método llamado a conducir esa ciencia hasta cierto límite, después del
cual, y no antes, la misma puede someterse por completo al análisis. Tales son
la geometría y la mecánica. La enseñanza sistemática exige que tales partes de
la matemática estén separadas por una línea evidente, con el fin de mostrar lo
que cada una contiene distinto y dónde comienzan sus fuentes. Por otra parte,
los principios de geometría resultarían demasiado breves, separados (por un gran
intervalo) del análisis, donde por primera vez hallaríamos su aplicación,
además, de una forma muy amplía. Por consiguiente, encuentro útil y natural
dividir el curso de matemáticas puras en dos partes: la primera, preparatoria,
aprendida en el Gymnasium, la otra, completa, enseñada en la universidad. La
primera comprende los principios de álgebra; la síntesis de geometría, la
aplicación del análisis a la geometría, con diversos casos particulares y
ejemplos extraídos de la vida diaria, a fin de obtener una doble ventaja. El
curso universitario parte también de los principios matemáticos, pero
considerándolos desde otro punto de vista; abarcándolos en toda su amplitud,
separando la síntesis del análisis y exponiendo sistemáticamente las
operaciones del análisis en su orden natural y a medida que se hacen más
artificiales y generales. Merece recordar de vez en cuando la sencillez y
facilidad de la síntesis. La integración de las ecuaciones, donde el contenido
de los cuadrados de las diferenciales de dos variables es igual al de sus
senos, se encuentra con mucha facilidad a partir de un triángulo esférico; por
el contrarío, fue necesaria la ingeniosidad de Euler y Lagrange para solucionar
ese problema partiendo solamente del análisis. La síntesis siempre ocultará
numerosas fuentes para los matemáticos, pero su descubrimiento y su uso es
privilegio sólo de los genios. La enseñanza no debe sacar conocimientos de
tales fuentes. Lo aquí expuesto es suficiente, pienso, para juzgar acerca del
espíritu)' el método de mí enseñanza. En cuanto a los conceptos que deben
constituir la base de las partes de las matemáticas puras, me reservo el
cuidado de hablar de ello en el artículo de geometría"-
Además de los textos de las materias matemáticas, se explican
previamente las particularidades de la asignatura, se ofrecen comentarios a los
programas y algunas indicaciones metodológicas.
En esta “Colección..” se ven claramente las materias que se impartían en
la Universidad de Kazán, qué criterios metodológicos seguía Lobachevski y qué
debían aprender en primer lugar los estudiantes.
El método expuesto por Lobachevski no es únicamente un compendio de
reflexiones de carácter teórico, él mismo hace referencia a cómo se deben
enseñar las diversas materias. Transcribimos algunos párrafos que han tenido
mucha importancia para entender en profundidad el pensamiento matemático de
Lobachevski:
“Toda la matemática es la ciencia de las medidas, todo lo que existe en
la naturaleza obedece a la condición necesaria de ser medido”.
Esta idea métrica de las matemáticas es aplicada por Lobachevski en
muchos contextos. Por ejemplo cuando describe qué debe entenderse por longitud
de una curva, dice:
“La longitud de una curva es la suma de segmentos rectos que la
constituyen, a condición de que dicha suma exprese tanto más exactamente la
longitud de la curva cuando menores sean los referidos segmentos".
Lobachevski era también un consumado analista, conocía en profundidad
las obras de los grandes matemáticos y no es casualidad que dedicara muchos
esfuerzos a definir el concepto de función.
Puntos de vista filosóficos
Interés indudable tienen también los puntos de vista filosóficos
generales de Lobachevski. Para él las fuentes de nuestros conocimientos están
en los fenómenos y en las manifestaciones del mundo que nos rodea, los
conceptos científicos son abstracciones de los resultados de numerosas
observaciones.
“Es indiscutible que debemos a los sentidos todos nuestros conceptos sobre los
cuerpos. Se confirma la certeza de esto también porque nuestro juicio se
detiene allí, donde nos dejan de dirigir nuestros sentidos, y que apartamos de
los cuerpos también aquellos conceptos, a los cuales nos inclinan los
conocimientos... Un ejemplo de esto son las rectas, las curvas y las
superficies, que no existen en los cuerpos de la naturaleza... De aquí hay que
sacar la conclusión de que en los fundamentos de las ciencias matemáticas
pueden ser admitidos todos los conceptos, cualesquiera que sean, adquiridos de
la naturaleza, y que la matemática, basándose en estas cosas puede llamarse con
toda justicia ciencia exacta... Nosotros conocemos en la naturaleza solamente
los cuerpos, por consiguiente, los conceptos sobre las curvas y sobre las
superficies son conceptos derivados y no adquiridos... ”
Este párrafo es de una gran importancia para la historia y la filosofía de la
matemática. Se puede entender su posicionamiento filosófico en contraposición
con el de Kant. La misma idea, pero expuesta de una manera más directa, está
recogida en el famoso discurso de Lobachevski de 1828,
"...los conceptos se adquieren por los sentidos, sin embargo, no se debe
creer a los conceptos innatos...”
Esta misma manifestación aparece frecuentemente a lo largo de toda su obra,
citemos un último ejemplo:
"Las primeras nociones de la ciencia deben ser claras y reducidas al
mínimo. Sólo entonces las mismas pueden servir de fundamento sólido y
suficiente a esta ciencia. Tales nociones se adquieren por los sentidos, y no
se debe confiar en las nociones innatas".
Hacia 1820 la idea que tiene de función es similar a la que utilizaba
Euler, pero es consciente que esta definición no es muy rigurosa y enuncia un
nuevo concepto de función:
"Como junción de una variable se entiende una magnitud, cuyo valor
depende de esta variable”.
De esta forma, por primera vez en la historia de las matemáticas,
Lobachevski libera a la noción de función de su relación inseparable del
concepto de una expresión analítica (de una fórmula) o de una gráfica, mediante
los cuales se restringían las ideas de función en aquel tiempo. Conoce también
los trabajos de Fourier (1822) y del matemático francés Cauchy respecto este
asunto.
Por fin, en una memoria titulada “Acerca de la convergencia de las
series geométricas”, enuncia con toda claridad el concepto de función mucho
antes que lo haga Dirichlet (1805- 1859). Lobachevski define la noción de
función de la manera que ahora se emplea en todos los manuales de análisis
matemático.
Kant y las matemáticas
Immanuel Kant (1724-1804) nació en Königsberg (actual ciudad rusa de
Kaliningrado) el año 1724. Estudió en el Collegium Fridericianum y su
Kant encarna las virtudes de una vida dedicada por entero al estudio y a la
enseñanza. Profundamente comprometido con los ideales de la Ilustración,
profesó una simpatía profunda por los modelos de la Independencia Americana y
de la Revolución Francesa. Fue pacifista convencido, antimilitarista y ajeno a
todo tipo de patriotismo.
Sus obras más conocidas e influyentes son la Crítica de la razón pura y la
Crítica de la razón práctica.
Además de sus trabajos sobre filosofía, escribió numerosos tratados sobre
diversas materias científicas, sobre todo en el área de la geografía física. Su
obra más importante en este campo fue Historia universal de la naturaleza y
teoría del cielo, en la que anticipaba la hipótesis (más tarde desarrollada por
Laplace) de la formación del Universo a partir de una nebulosa originaria. Kant
produjo una notable cantidad de escritos, que con su vigor y la influencia de
su pensamiento obligan a considerarlo como uno de los filósofos más notables de
la cultura occidental.
Ideas filosóficas
Según el empirismo del filósofo escocés D. Hume (1711-1776), las matemáticas
son universales pero a costa de ser tautológicas, es decir que su predicado
está contenido en el sujeto sin aportar nada nuevo a la relación entre ambos.
Hume llevó el empirismo del inglés J. Locke (1632- 1704) hasta sus últimas
consecuencias. Según Hume, el conocimiento humano se compone de impresiones
sensibles y de ideas, que se forman a partir de los datos de los sentidos. No
podemos ir, pues, más allá de lo que nos aportan los sentidos, y la existencia
y verdad de las ideas resultan injustificables para nosotros.
Kant se propuso demostrar el carácter de ciencia de las disciplinas científicas
(matemáticas y física) que él admiraba profundamente. Para ello, avanzó en los
conceptos tradicionales de juicios analíticos y juicios sintéticos, creando un
nuevo tipo de juicio que llamó juicio sintético a priori.
Los juicios sintéticos están basados en la experiencia, como decir que algunos
cuerpos son pesados, conteniendo algo que no está implícito en el conocimiento
de cuerpo, pero no son universales y necesarios.
Kant formula los juicios sintéticos a priori, de los que razona que son
universales y necesarios pero sin estar contenidos en la experiencia, es decir,
que son a priori.
Entonces pasa a demostrar que tanto las matemáticas como la física están
constituidas por juicios sintéticos a priori, que explica mediante ejemplos
como que 7 + 5 - 12. Según Kant, en el concepto de 7 y en el de 5 no está
contenido el de 12, por lo que éste debe proceder de alguna otra parte, no
directamente de la primera noción. Un razonamiento similar le sirve para
demostrar que también la física está constituida por juicios sintéticos a
priori, y por lo tanto ambas disciplinas pueden y deben ser consideradas
ciencias. Sin embargo, aún le falta demostrar como estos juicios son elaborados
por la mente humana, y para ello desarrolla una nueva teoría del conocimiento
que se denomina idealismo trascendental.
En la introducción de su Crítica de la razón pura Kant
expresa:
"No hay duda alguna de que todo nuestro conocimiento comienza con la
experiencia. Pues ¿por dónde iba a despertarse la facultad de conocer., como no
fuera por medio de objetos que hieren los sentidos... y elaborar así con la
materia bruta de las impresiones sensibles, un conocimiento de los objetos que
llamamos experiencia?., mas si todo nuestro conocimiento comienza con la
experiencia no por ello se origina todo él en la experiencia. Bien podría ser
que nuestro conocimiento fuera compuesto de lo que recibimos por medio de
impresiones y de lo que nuestra facultad de conocer ( ) proporciona por sí
misma sin que distingamos este añadido de aquella materia fundamental..."
De modo que nuestro conocimiento del mundo no es una representación (en el
sentido de una copia) de esa realidad externa en nuestro intelecto, sino una
interpretación, una reconstrucción que hacemos tomando nuestros registros
perceptuales como materia prima y sometiéndolos al influjo de esa máquina de
interpretar y organizar constituida por nuestro intelecto.
Para Kant, nuestras experiencias sensoriales son posibles como fenómenos que se
desarrollan en el espacio y en el tiempo. Pero, espacio y tiempo son las formas
de sensibilidad mediante las cuales el intelecto capta las experiencias. Las
formas de sensibilidad son innatas. Sin ellas las experiencias son imposibles.
Las observaciones son moldeadas por las formas de sensibilidad, así como el
agua al entrar al recipiente adopta la forma de éste.
Kant y las matemáticas
Para Kant la ciencia se expresa mediante juicios (recuerda que son
afirmaciones de la realidad y que tienen la forma: sujeto y predicado). De
hecho estimaba que las distintas proposiciones científicas podrían reducirse a
un conjunto de juicios. Después de todo, los razonamientos se componen de
juicios. De este modo, la pregunta por las condiciones que hacen posible la
ciencia se convierte en una pregunta sobre las condiciones que hacen posible
los juicios.
Para demostrar la existencia de juicios sintéticos a priori en matemáticas se
apoya precisamente en el espacio y el tiempo. La geometría es la ciencia del
espacio y la aritmética la ciencia del tiempo (las series numéricas, 1, 2,
3,...n, se suceden en el tiempo). Por ello, las matemáticas formulan juicios
sintéticos a priori porque se apoyan en el espacio y el tiempo como intuiciones
puras. Hacen afirmaciones, juicios, sobre percepciones espacio-temporales (la imagen
de un triángulo, por ejemplo). En sus procesos perceptivos interviene el
espacio y el tiempo como sustrato de las matemáticas.
Juicios analíticos
Un juicio es analítico cuando el predicado está comprendido en el sujeto y, por
tanto, basta con analizar el sujeto para comprender que el predicado le
conviene necesariamente. Ejemplo: "el todo es mayor que las partes".
Este juicio no amplía nuestro conocimiento.
Juicios sintéticos
Un juicio es sintético cuando el predicado no está comprendido en la noción del
sujeto. Estos juicios sí amplían nuestro conocimiento.
Juicios a priori y a posteriori
Juicios a priorison aquellos cuya verdad puede ser conocida
independientemente de la experiencia ya que su fundamento no se halla en esta.
Juicios a posteriorison aquellos cuya verdad es conocida a través de los
datos aportados por la experiencia.
Para aclarar estos conceptos Kant, propone el siguiente ejemplo: "la
recta es la distancia más corta entre dos puntos". En este juicio el
predicado no está contenido en la noción del sujeto: en el concepto de línea
recta no entra para nada el concepto de distancia. Es por tanto un juicio
sintético, luego no es analítico. Tampoco es un juicio a posteriori, ya que se
refiere a una verdad sin tener que medir distancias entre dos puntos, sin
necesidad de recurrir a ninguna experiencia comprobatoria. Es estrictamente
universal y necesario, carece de posibles excepciones.
Es por tanto, a priori. Como consecuencia, Kant admite juicios sintético a
priori, al contrario que Hume. Algunos pensamientos de Kant en este sentido:
“...sólo es posible dar cuenta de la certeza de la ciencia natural y de sus
posibilidades de matematización, si suponemos que la estructura de nuestra
experiencia proviene de nuestras facultades cognitivas, que sirven de
fundamento a priori a nuestras experiencias... ”
Kant concluye que todos los principios fundamentales de la matemática y la
física se basan en los juicios sintéticos a priori.
En realidad decir que las matemáticas eran un cuerpo de verdades a priori no
era muy novedoso, los matemáticos ya estaban acostumbrados a escucharlo. Por
eso sus doctrinas no fueron tenidas muy en cuenta.
Pero Kant fue más allá, enunció que la mente organiza sus sensaciones
espaciales de acuerdo con las leyes de la geometría euclídea, obstaculizando la
aceptación de puntos de vista contrarios.
Estas concepciones kantianas se convirtieron rápidamente en el pensamiento
oficial, pues la mayor parte de los científicos aceptaron sus planteamientos,
incluso personas de la talla de Gauss no se atrevieron a expresar con toda
libertad sus pensamientos geométricos.
La concepción epistemológica de Kant se erigió en un formidable obstáculo para
los desarrollos geométricos posteriores pero, una vez superado éste, hizo
posible que las matemáticas pudieran acceder a un nivel de rigor y equilibrio
del que no habían disfrutado antes.
Capítulo 10
Investigaciones geométricas de la teoría de las paralelas
‘'Defiende tu derecho a pensar porque, incluso pensar de manera errónea
es mejor que no pensar".
Hipatia de Alejandría (370-415)
A lo largo de diez años, desde 1830 a 1840, Lobachevski alternó sus
obligaciones administrativas con investigaciones relativas a la geometría
imaginaria. Desgraciadamente, sus esfuerzos no tuvieron, en su
momento, la recompensa merecida. Actualmente se sabe que ninguno de sus colegas
rusos comprendió en profundidad sus investigaciones acerca de la nueva
geometría. El hecho de estar la mayoría de las obras de Lobachevski escritas en
ruso impidió, además, que otros científicos europeos conocieran sus novedosos
planteamientos.
La obstinación de Lobachevski le llevó a redactar una y otra vez sus
trabajos desde diferentes puntos de vista. Era consciente de que su concisión,
la originalidad de sus planteamientos, las consecuencias derivadas de su
teoría, el escribir en contra del pensamiento geométrico establecido, etc.,
hacían realmente difícil entender sus trabajos. Algunos autores dicen al
respecto:
“Cualquiera que aborde por primera vez la geometría imaginaria, escrita
hacia los años 1830, se encuentra con dificultades inauditas y sin duda
insuperables... los resultados obtenidos no cuadran con las representaciones
geométricas usuales; la necesidad de formarse imágenes geométricas nuevas y
hasta falsas, desde el punto de vista euclídeo, dificulta de manera singular la
comprensión de la llamada geometría imaginaria... ”
Con la intención de dar a conocer sus descubrimientos geométricos a la
comunidad matemática, Lobachevski decidió escribir en alemán un resumen de sus
ideas. Su cabeza había dedicado tanto tiempo a pensar en su nueva geometría que
estaba en disposición de escribir sus logros geométricos de tal manera que
cualquier persona, con unos conocimientos matemáticos de primeros años de
universidad, debería comprenderlos.
Portada de Investigaciones geométricas de la teoría de las paralelas
El trabajo fue impreso en Berlín en 1840 por una pequeña editorial
llamada Fincke. El título elegido fue Geometrische Untersuchungen zur
Theorie der Parallellinien (Investigaciones geométricas de la teoría de las
paralelas).
Por medio de este libro la comunidad matemática tomó contacto con las
revolucionarias ideas geométricas de Lobachevski. A principios de 1841 Gauss
escribe a uno de sus alumnos la siguiente nota:
“Estoy haciendo razonables progresos en ruso y esto me proporciona gran
gusto. El señor Knorre me envió una pequeña memoria de Lobachevski (en Kazán),
escrita en ruso, y esta memoria, así como su opúsculo en alemán sobre líneas
paralelas (apareció una nota absurda sobre él en Repertorium de Gersdorff) ha
despertado en mí el deseo de averiguar más acerca de este inteligente
matemático. Según me dijo Knorre, muchos de sus artículos están en la revista
rusa Memorias de la Universidad de Kazán".
Carta de Gauss a J .F. Encke (1841)
Sin duda que esta nota, escrita por el mejor matemático de ese momento,
es la consagración de las teorías geométricas de Lobachevski. Sin embargo, es
muy posible que él no supiera de su existencia hasta varios años después.
El escrito debió impresionar a Gauss, ya que en noviembre de 1842
propuso la candidatura de Lobachevski, como "uno de los excelentes
matemáticos del Estado Ruso", para que fuera nombrado miembro de
la Sociedad Científica de Göttingen, que ya entonces tenía el rango de
Academia. Lobachevski fue elegido miembro de honor y recibió un diploma firmado
por Gauss y el profesor J. F. Hausmann, respectivamente, presidente y
secretario de la sociedad.
Investigaciones geométricas de la teoría de las paralelas es un pequeño folleto de no más de 60 páginas escrito de manera
muy clara y con un estilo que recuerda a las obras clásicas de geometría. En
las páginas finales se incluyen todas las figuras que su autor ha utilizado a
lo largo del mismo.
Comienza con una introducción de la que, por su importancia,
reproducimos los párrafos más relevantes:
“Acariciando la esperanza de haber satisfecho todas las exigencias, me
he dedicado a perfeccionar esta ciencia en su conjunto y he publicado mis
resultados por partes, en las Memorias de la Universidad de Kazán de 1836, 1837
y 1838, bajo el título general de "Nuevos elementos de la geometría con
una teoría completa de las paralelas.
Sin embargo, el tamaño de dicha obra, por lo visto, impide a mis compatriotas
seguir ese tema, que después de Legendre ha dejado de interesar. Yo, sin
embargo, considero que la teoría de las paralelas no ha perdido, ni mucho
menos, el derecho de que se le preste atención por parte de los geómetras; por
eso pienso exponer aquí lo más importante de mis investigaciones y estimo
necesario indicar anticipadamente que, a pesar de la opinión de Legendre, todas
las otras imperfecciones, tal como la definición de la línea recta, por
ejemplo, se hacen aquí absolutamente extrañas a esa cuestión y no influyen de
ninguna manera sobre la teoría de las paralelas”.
A continuación le siguen 15 proposiciones que pertenecen a la
llamada geometría absoluta, ninguna de las proposiciones está
demostrada. Algunas de ellas se refieren al plano y otras al espacio.
Entre ellas están:
2. Dos líneas rectas no
pueden cortarse en dos puntos
4. Dos líneas rectas perpendiculares a una tercera, y situadas las
tres en el mismo plano, no pueden cortarse por más que las prolonguemos.
7. Dos líneas rectas no pueden cortarse, cuando ellas son cortadas
por una tercera línea recta bajo ángulos iguales
12. La intersección de una esfera con un plano es una
circunferencia
14. En un triángulo esférico, a lados iguales se oponen ángulos
iguales y recíprocamente.
Una vez presentadas las 15 primeras proposiciones dedica la número 16 a
su famoso ángulo de paralelismo. Comienza con la siguiente definición:
"Todas las rectas trazadas por un mismo punto en un plano pueden
distribuirse, con respecto a una recta dada en dicho plano, en dos clases, a
saber: rectas que cortan a la recta dada y rectas que no la cortan. La recta
que está en el límite de estas dos clases se dice paralela a la recta dada”.
La proposición viene acompañada de un dibujo aclaratorio, que figura al
final del libro y que es el siguiente:
Lobachevski llama ángulo de paralelismo en el punto P con respecto a la
recta AB a cada uno de los ángulos agudos iguales (QPY y QPX) que forman por
ambas partes las rectas paralelas a la recta AB.
La geometría euclidiana se caracteriza por el hecho de que en ella el
ángulo de paralelismo es siempre un ángulo recto, mientras que en la geometría
de Lobachevski el ángulo de paralelismo es siempre un ángulo agudo. Por
consiguiente la geometría euclidiana constituye un caso límite de la de
Lobachevski.
La proposición 17 prueba que toda línea recta conserva el carácter de
paralelismo en todos sus puntos (propiedad de transmisibilidad del
paralelismo).
Muestra que si la recta m es paralela a la recta AB, y R es un punto de
m, entonces una de las semirrectas en m con extremo R también es paralela a la
recta AB.
Posteriormente demuestra que “dos líneas rectas son siempre
recíprocamente paralelas (propiedad de simetría del
paralelismo, proposición 18).
Los enunciados de las proposiciones 19 y 20 hacen referencia a la suma
de los ángulos internos de un triángulo. Estas proposiciones ya eran conocidas
por Legendre, que ha sido citado en la introducción del libro. Su redacción es
la siguiente:
"En todo triángulo la suma de los tres ángulos no puede ser mayor
que dos ángulos rectos" (proposición 19).
“Si en un triángulo cualquiera la suma de los tres ángulos es igual a dos
ángulos rectos, entonces dicha suma será igual para cualquier otro
triángulo" (proposición 20).
Las proposiciones 22, 23 y 24 están dedicadas al ángulo de paralelismo y
sus propiedades. Es muy interesante la número 24, en ella se hace mención al
carácter asintótico de dos rectas paralelas.
Lobachevski demuestra que dos rectas paralelas se aproximan de manera
indefinida la una a la otra en el sentido del paralelismo, como si se juntaran
en un punto en el infinito, mientras que divergen (se alejan) una de la otra en
el sentido opuesto.
“Sí se prolongan más y más dos rectas paralelas en el sentido del
paralelismo, las rectas se aproximan entre ellas tanto como se quiera ’
(proposición 24)
Muestra también que las dos rectas paralelas en el sentido opuesto se
alejan indefinidamente divergiendo más y más cada vez la una de la otra.
En este tipo de geometría, dos rectas divergentes siempre tienen una
perpendicular común que es la distancia más corta entre ellas y a partir de la
cual divergen y se alejan indefinidamente la una de la otra en ambos sentidos,
tal como muestra la Figura 20.
Este resultado, que se conoce desde que se comienza a estudiar la
geometría no euclidiana, constituyó para muchos matemáticos, durante largo
tiempo, una dificultad que les impidió comprenderla y reconocerla. El primero
en entender tal resultado, Gauss, decía al respecto:
"No hay que confundir lo que nos parece antinatural con lo que es
absolutamente imposible
Las numeradas como 26, 27 y 28 son relativas a la geometría del espacio.
Las dos siguientes (29 y 30) tratan sobre aspectos de la geometría del
plano y preparan el camino para la proposición 31, que comienza con una
definición muy importante para entender el libro en su totalidad.
Lobachevski define como curva-límite (horociclo) a la
línea curva situada en un plano, tal que todas las perpendiculares elevadas
sobre los puntos medios de las cuerdas son paralelas entre sí. Una cualquiera
de esas paralelas se denomina eje de la curva-límite.
A través de la proposición 33 obtiene, mediante procedimientos de
análisis, una relación que posteriormente le permitirá obtener el ángulo de
paralelismo. Su redacción es la siguiente:
“Sean AA’ = BB’= x dos rectas paralelas entre ellas en la dirección de A
hacía A’, y supongamos que estas rectas sirven de ejes de dos arcos de
curvas-límites AB = s y A’B’ = s’, entonces se tendrá s’ = se-x "
(proposición 33)
La proposición 34, define como superficie-límite (horoesfera)
a la engendrada por la revolución de la curva-límite alrededor de uno de sus
ejes, que también será también un eje de la superficie límite.
La proposición 35, una de las más importantes de todo el tratado, además
de obtener una serie de relaciones trigonométricas, presenta una importante
relación funcional que permitirá, en la proposición 36, obtener el ángulo de
paralelismo, que como ya sabemos responde a la fórmula.
La última de las proposiciones, la 37, presenta una serie de importantes
relaciones trigonométricas, entre ellas destacamos las siguientes.
En un triángulo de lados a, b, c y con ángulos opuestos Â,
Si los lados del triángulo son muy pequeños, de acuerdo a la proposición
36, se pueden obtener las siguientes fórmulas aproximadas:
Y, por tanto, las ecuaciones anteriores se pueden escribir, para el caso
particular de triángulos muy pequeños, como
que corresponden a fórmulas fundamentales de la trigonometría euclidiana
plana.
Lobachevski finaliza esta proposición comentando que la geometría
ordinaria es un caso particular (límite) de la geometría
imaginaria.
Una de las páginas de Investigaciones geométricas de la teoría de las
paralelas.
Algunos de los dibujos que figuran al final de Investigaciones
geométricas de la teoría de las paralelas.
Capítulo 11
Últimos años
"Hay tres cosas que nunca vuelven atrás: la palabra pronunciada, la
flecha lanzada y la oportunidad perdida”.
Proverbio chino
En 1845 Lobachevski fue elegido nuevamente rector. Este hecho coincidió
con la marcha del protector Musin-Pushkin a San Petersburgo. Por tanto, el
puesto de protector de Kazán quedó, temporalmente vacío. En estos casos, de
acuerdo a las normas establecidas, el rector se hacía cargo del protectorado.
De manera que Lobachevski tenía sobre sus espaldas una doble responsabilidad:
dirigir una vasta región desde el punto de vista docente y atender a la propia
universidad.
La dilatada vida universitaria de Lobachevski acabará en 1846, pues ese
año cumplía 30 años de servicio como profesor de universidad. De acuerdo con
los estatutos universitarios los profesores debían dejar vacante su plaza a no
ser que hubiera una petición expresa del interesado y un informe positivo a tal
demanda autorizando a continuar como profesor unos años más. Con toda
seguridad, el ministro de Instrucción Pública y el Consejo de la Universidad de
Kazán hubieran sido muy favorables a emitir un informe positivo si Lobachevski
lo hubiera solicitado. Sin embargo, el mismo Lobachevski remitió una carta
dirigida al ministro redactada en los siguientes términos:
“En lo que a mí se refiere, aun sintiéndome muy reconocido al Consejo de
la Universidad por haber consentido seguir en servicio en calidad de profesor,
tengo el honor de someter a la benevolente atención de Vuestra Excelencia que
la cátedra de matemáticas puras pueda ser conferida a Popov, profesor del
Gymnasium de Kazán, quien en el último año ha obtenido el grado de doctor...
...Siendo Popov aún joven y no estando, como yo, abrumado por las obligaciones
administrativas y familiares, no tardara en ocupar su lugar entre los
científicos más distinguidos.
En tales condiciones, mi deseo de permanecer en el puesto de profesor no podría
considerarse justo..."
En la primera parte de la carta, el rector Lobachevski intercedía en
favor de su amigo de juventud, el profesor Simonov, rogando encarecidamente al
consejo que le mantuviera en sus funciones. La carta tuvo su efecto y Simonov
mantuvo la categoría de catedrático.
El retiro coincidió con el final de su mandato como rector, de manera
que en 1846 Lobachevski rompió amarras con su universidad, a la que tanto había
querido y a la que tanto tiempo había dedicado.
§. Lobachevski abandona la universidad
Tenía únicamente 53 años, una cabeza ágil, un espíritu disciplinado y un
ánimo emprendedor. Es posible que él esperara ser nombrado protector de Kazán y
de esta manera continuar con el trabajo que ya estaba desempeñando en
funciones. El Senado, no obstante, le propuso como auxiliar del nuevo
protector. Parece inexplicable que esto le sucediera a él. ¿A qué se debía este
desprecio?
Una de las explicaciones más plausibles es que a mediados del siglo XIX
era evidente que en la sociedad rusa existían unas incipientes y cada vez más
poderosas tendencias revolucionarias, inclinaciones que provenían de Occidente
y que no eran del agrado del zar Nicolás I.
Para frenarlas, el mandatario promulgó unas disposiciones, si cabe, aún
más reaccionarias, tratando de controlar la situación y derivarla hacia un
control más férreo.
El mismo zar Nicolás I impulsó varias medidas en relación con la vida
docente en general y la universitaria en particular. En primer lugar cesó al
ministro Uvárov, por considerarle demasiado liberal, nombrando a
Shirinski-Shijmátov, que tenía un talante controlador y poco propicio a
innovaciones; en cierta manera recordaba a Magnitski. Es evidente que este
nombramiento no favorecía a Lobachevski, considerado como persona emprendedora,
con carácter progresista e ideas renovadoras.
En definitiva, se auguraban nuevos tiempos y su figura no era la más
idónea de cara a dirigir el protectorado de Kazán. Lobachevski era considerado
como una persona íntegra e independiente, y por tanto no convenía al
ministerio.
De repente, la educación en el distrito de Kazán pasó a manos de
personas mediocres, pero dóciles y capaces de imponer una disciplina militar.
Nicolás I
El puesto de rector fue ocupado por su compañero Simonov, persona
inteligente pero poco ducha en tareas administrativas, mientras que el
protectorado lo asumiría el general Molostov.
La marcha de la universidad tuvo consecuencias inmediatas para él y para
su familia: disminución de sueldo, abandono de la residencia que la universidad
le había cedido en calidad de rector, menor influencia en los ambientes
estudiantiles...
Después de casi cuarenta años Lobachevski se incorporaba a nuevas
funciones. Si bien no ocupó la máxima responsabilidad del protectorado, su
influencia se seguía notando en los ambientes educativos a pesar de que el
nuevo protector no contara con él.
Se han conservado muchos documentos en los cuales Lobachevski llama la
atención a los directores de los institutos y a los maestros sobre la enseñanza
de la lengua materna y de los idiomas extranjeros. Además aconseja acercarse a
la enseñanza de la lengua desde tres posiciones distintas:
·
como
medio del pensamiento,
·
como
medio de formación de la unidad del pueblo,
·
como
medio de comunicación de las personas.
No se puede dejar de citar un fragmento del informe de Lobachevski “La
prescripción al director de las escuelas de la provincia de Saratov sobre la
mejora de la enseñanza de la lengua, exigencias a las redacciones de los
alumnos y en la educación de los alumnos en amor a la lengua natal”
(12/11/1846). Un extracto del mismo dice:
"1) Puede ser que los maestros mismos puedan ser culpables de que
analizando con los alumnos las obras de famosos escritores, se olviden de
fijarse que, además del buen estilo, se deben presentar ejemplos de un buen y
bien meditado contenido y del orden en las ideas.
2) Hay que ejercitar a los alumnos no solo en el estilo, sino también en la
composición de toda la redacción. Por esta razón hay que exigir que, una vez
elegido el tema, los alumnos presenten previamente un guión con la exposición
del contenido...
3) Hay que inculcar a los alumnos que se llama pueblo a las personas que hablan
una misma lengua, por consiguiente, la lengua forma el primer cimiento del
pueblo (o grupo étnico). La historia nos muestra que con el declive del
carácter nacional de un pueblo decae la lengua. Conocer lenguas extranjeras es
elogioso, pero no saber la suya, no comprender el espíritu en su propia lengua
nacional es vergonzoso. El estudio de las lenguas extranjeras es útil, incluso
porque ayuda al aprendizaje de la lengua natal. En la comparación de dos
lenguas se descubre la singularidad que es propia a cada una de ellas. Si vemos
que en el mejor estamento de ¡os rusos menosprecian su propia lengua y se
vanaglorian del conocimiento de la lengua extranjera, hay que lamentarlo)’
llamarlo suceso penoso de los tiempos actuales".
En muchas ocasiones, en sus prescripciones a los directores de los
institutos y de las escuelas, Lobachevski plantea la necesidad de cuidar el
empleo de la lengua de los profesores y de los alumnos para que se acostumbren
a utilizar un lenguaje lleno de ideas y no rebuscado y sin sentido. Escribía:
"...hacer saber al profesor de lengua que los alumnos escribiesen
solamente sobre los temas que ellos entienden. Sí se les propusiesen temas que
ellos escuchan en las clases, esto traería doble provecho: consolidación en la
memoria de lo estudiado y el hábito de exposición de sus ideas. La tendencia a
los adornos retóricos, a la imprecisión de las expresiones y una fantasía
desmesurada, vistas en algunos alumnos y que es justamente reprobada por el
Consejo, obligan al profesor de lengua a preocuparse de que las redacciones
sean escritas claramente y que abundasen en la cantidad de ideas y no por las
florituras..."
La vida familiar
Las personas que conocieron a Lobachevski afirmaban que era una persona
extremadamente educada, con un tono de voz suave y melodioso; hablaba despacio,
como si pensara cada una de sus palabras. Respecto a su aspecto físico,
Lobachevski era delgado, algo encorvado y la mayoría de las veces cabizbajo,
como si siempre estuviera cavilando. Su carácter era más bien serio y pocas
veces sonreía. Su mirada era profunda y penetrante; sus ojos, de un gris
intenso, conferían a su cara una expresión vivaz e inteligente. Su cabeza
estaba adornada de abundantes cabellos castaños que con los años se volvieron
canosos.
En sus primeros años como profesor de universidad su carácter era muy jovial y
sociable; pero con el tiempo, debido al enorme trabajo y a las preocupaciones
derivadas de sus cargos, su carácter se tornó más serio, de hecho era muy raro
verle alegre.
Si bien los primeros años de Lobachevski transcurrieron con bastantes
estrecheces económicas, una vez nombrado profesor de universidad su vida fue
más desahogada. Su personalidad es ciertamente singular, al respecto comenta el
historiador de las matemáticas E. T. Bell, lo siguiente:
“Poco bastaba para que despojándose del cuello y de la levita se entregara a
cualquier labor manual.
Se cuenta que un distinguido visitante extranjero, al encontrar al Rector en
mangas de camisa, le confundió con un conserje y le pidió le mostrara la
biblioteca y las colecciones del museo. Lobachevski le mostró los más preciados
tesoros añadiendo detenidas explicaciones. El visitante quedó encantado, muy
impresionado por la gran inteligencia y cortesía de los empleados subalternos
rusos. Al despedirse quiso entregarle una pequeña propina pero Lobachevski,
ante la admiración del extranjero, rechazó indignado las monedas ofrecidas.
Pensando que se trataba de alguna excentricidad del inteligente conserje, el
visitante se guardó su dinero.
Casa familiar de los Lobachevski.
Los primeros años de su matrimonio transcurrieron en esta gran casa, de
su propiedad, con tres pisos, situada en una de las calles más importantes de
Kazán.
Aquella noche, él y Lobachevski volvieron a encontrarse en la cena ofrecida por
el gobernador, y en ese momento se presentaron y aceptaron recíprocamente todo
género de excusas”.
A punto de cumplir los 40 años (en 1832), Lobachevski contrajo matrimonio con
Varvara A. Moiséeva, perteneciente a una familia acomodada de Kazán. Los amigos
de Lobachevski describían a su esposa como a una persona irascible e incapaz de
gobernar la casa familiar. Incluso en algunas ocasiones su carácter se tornaba
colérico, mientras que su marido era todo lo contrario: sereno, prudente y
educado. Constituían, sin duda, un matrimonio singular Todo parece indicar que
Lobachevski no fue feliz en su matrimonio.
Parece que el patrimonio aportado por Varvara A. Moiséeva al matrimonio era
importante, lo que supuso un verdadero desahogo económico para la familia.
Varvara A. Moiséeva esposa de Lobachevski
Este hecho permitió la compra de tres haciendas en zonas limítrofes a
Kazán. Con el paso de los años las dificultades a la hora de administrar sus
pequeñas fincas le dieron verdaderos quebraderos de cabeza. El mantenerlas
resultaba muy costoso, así que decidieron venderlas y comprarse una pequeña
aldea cerca de Kazán, a orillas del río Volga. En la aldea, Lobachevski pasaba
muchos ratos. Sus reiteradas estancias le proporcionaban tranquilidad y además
la posibilidad de dedicarse a una de sus grandes aficiones: la agricultura.
Sus conocimientos de arquitectura le permitieron emprender un ambicioso plan
dentro de sus terrenos, en poco tiempo construyó una presa, un molino de agua,
un bonito y amplio jardín, una amplia casa, unos almacenes, cocheras, un amplio
granero, e incluso compró ganado y trabajó las tierras. Sin embargo, el intenso
trabajo en ¡a universidad no le permitió disfrutar, todo lo que él hubiera
querido, de su hacienda. Con el paso de los años, debido a distintos factores,
la familia Lobachevski tuvo que desprenderse, con todo pesar, también de esta
hacienda e incluso hipotecar su vivienda habitual. Este hecho supuso un nuevo
disgusto para Lobachevski, que tenía muchas esperanzas de pasar sus últimos
años en la aldea que tan primorosamente había construido.
No se sabe exactamente el número de hijos que tuvo el matrimonio, aunque la
mayoría de los historiadores se inclinan a pensar que fueron siete (cuatro
hijos y tres hijas).
Sea como fuere, sabemos que muchos de sus descendientes murieron al poco de
nacer; además, los supervivientes tuvieron una salud enfermiza.
Coincidiendo con su salida de la universidad, su mujer cayó gravemente enferma
y al poco tiempo su hijo mayor, el preferido, murió de tuberculosis.
Esta conjunción de desgracias, unido al hecho de que estaba quedándose ciego
debido a una precoz esclerosis, debilitaron rápidamente su salud. Los últimos
años de vida debieron ser muy penosos pues se sentía abandonado y enfermo.
Con el paso del tiempo se le fue apartando de las responsabilidades
educativas del protectorado y se le requería únicamente cuando había un
conflicto o desorden, que generalmente solucionaba. En resumen, su trabajo se
hizo menos agradable y más penoso.
Último retrato que se tiene de Lobachevski (1855).
Todo esto coincidió con la muerte de varios de sus hijos, con la
hipoteca de algunos bienes que poseía en los alrededores de Kazán y, lo que es
más grave, con la aparición de una precoz esclerosis, provocada, sin duda, por
la constante tensión intelectual y, sobre todo, por los sinsabores de los
últimos años.
§. Obras no geométricas
El trabajo de Lobachevski en temas no relacionados directamente con la
geometría es profundo y muy sugestivo. Su pasión por las matemáticas le llevó a
interesarse por muchas otras ramas de esta ciencia. Proporcionamos a
continuación las obras de temática no geométrica que publicó entre los años
1823 y 1852.
El primer trabajo es una pequeña memoria publicada en ruso y titulada
“Acerca del origen y la propagación del sonido en el aire” (1823). Cinco años
más tarde publica, también en ruso, la segunda memoria incidiendo en el mismo
tema “Acerca de la resonancia o la vibración recíproca de las columnas de aire”
(1828). La aplicación de las matemáticas le lleva a interesarse por aspectos
relacionados con el clima, publicando sus investigaciones en un pequeño trabajo
titulado “Acerca de la temperatura media del aire y el suelo en algunos lugares
de la Rusia Oriental” (1829). Cinco años más tarde escribe un libro muy
importante titulado El álgebra o el cálculo de los finitos (1834)
por el cual es conocido y admirado. Ese mismo año da a conocer sus reflexiones
respecto a un caso particular de las ecuaciones binomiales titulando el trabajo
“Reducción del grado de la ecuación binomial cuando el exponente menos uno es
divisible por 8” (1834).
A comienzos de los años 30 se interesa por problemas relacionados con
las series trigonométricas. Este era una de las principales preocupaciones
entre los matemáticos de la época. Lobachevski no está muy de acuerdo con los
trabajos de A. Cauchy y Dirichlet respecto a la convergencia de las series
trigonométricas y publica un artículo, en las Memorias de la
Universidad de Kazán, titulado “Acerca de la convergencia de las
series trigonométricas” (1834), al año siguiente incide nuevamente en el tema
de la convergencia, y publica un extenso artículo titulado “Método para
asegurarse de la convergencia de las series infinitas y aproximarse a los
valores de las funciones de los números muy grandes” (1835) que también ve la
luz en las Memorias de la Universidad de Kazán, este asunto le
preocupó durante largo tiempo. En 1836, vuelve publicar sus reflexiones en
alemán bajo el título “Über die Convergenz der unendilichen Reihen”. Al
ser los puntos de vista, en parte, bastante revolucionarios, el ministro de
Instrucción Pública encargó, el año 1842, un comentario crítico a la Academia
de Ciencias de San Petersburgo. El informe cayó nuevamente en manos del
matemático Ostrogradski, que escribió:
“La Academia me ha encargado examinar una memoria acerca de las
convergencias de las series y hacer un informe sobre ella.
El autor de tal memoria, señor Lobachevski, rector de la Universidad de Kazán,
me es conocido, y a decir verdad, bajo un aspecto desfavorable, por la creación
de una nueva geometría que él califica de imaginaria, por un tratado de álgebra
bastante voluminoso y por varias disertaciones sobre diversas cuestiones de
análisis matemático. La memoria que acabo de leer no contribuye a modificar la
reputación que yo tengo sobre el autor Lobachevski ya que desdeña las
exigencias elementales de un razonamiento riguroso, complica su trabajo, por
puro placer. En vista de lo cual considero que dicha memoria no merece la
aprobación de la Academia”
Lobachevski también reflexionó sobre algunos temas clásicos relativos a
la mecánica. En 1834, en Memorias de la Universidad de Kazán, escribió
una memoria titulada “Ecuaciones convencionales del movimiento y la posición de
los ejes principales de rotación de un sistema sólido” (1834). Sus amplios
conocimientos de astronomía le permiten participar en una expedición
científica, realizada a Penza, para observar un eclipse de Sol
ocurrido en junio de 1842. En dicha expedición participa junto al astrónomo
Liapunov. Ese mismo año escribe una pequeña memoria sobre aspectos de la
probabilidad, que se publica en el Journal de Crelle, y cuyo
título es “Sur la probabilité des resultats moyens, tirés des observations
répétées” (1842).
Sus últimos trabajos no geométricos los escribe entre 1845 y 1852. El
primero de ellos es un comentario crítico relativo a un trabajo, dirigido por
el mismo Lobachevski, realizado por su alumno A. F. Popov, este trabajo
corresponde a la tesis de Popov como candidato a doctor en ciencias matemáticas
y astronómicas.
Su último trabajo no geométrico se titula “Acerca de los valores
de algunas integrales definidas” (1852) y está relacionado con una de
las memorias sobre su geometría imaginaria que tituló “Aplicación de la
geometría imaginaria a algunas integrales”.
Si bien estos trabajos no están a la altura e importancia de sus logros
geométricos, sí podemos señalar que varios de ellos encierran ideas originales
y novedosas; por ejemplo es uno de los primeros científicos en distinguir
claramente entre las funciones continuas y las diferenciables.
Pero sin duda, su obra más importante, tanto por su contenido como por
su extensión, fue su tratado de álgebra.
§. El álgebra o el cálculo de los finitos (1834)
Como ya sabemos, en 1824, Lobachevski preparó unos apuntes destinados a
publicarse y poder ser utilizados como manual en los institutos de enseñanza
secundaria. Uno de ellos llevaba por título El álgebra o el cálculo de
los finitos. Se sabe que el Consejo recibió el 19 de septiembre de
1825 el dictamen del texto, que se había encargado al profesor Nikolski, de la
sección fisicomatemática de la Academia, y donde informaba:
"Aunque dicha Algebra es un pequeño manual, el autor ha logrado
introducir en él todas las nociones necesarias, presentándolas de una manera
muy personal, con tal precisión y en forma tan completa que sería difícil
agregar algo más. Por tal motivo, la misma puede ser introducida en los
institutos con el mayor provecho”
A pesar del positivo informe, el pequeño texto no llegó a publicarse
nunca. Con el paso de los años, Lobachevski debió repensar el contenido del
manuscrito y, decidió ampliarlo y completarlo. Por último, lo adaptó para la
enseñanza en la universidad y lo publicó en 1834. La edición corrió por su
cuenta: no hay que olvidar que en esos momentos su situación económica era
bastante boyante.
Lobachevski agregó tres capítulos más a su anterior manuscrito. El libro
contenía, ahora, un total 17 capítulos. Además, reordenó la materia de manera
que en las dos versiones el último capítulo era el mismo, si bien tratado más
profundamente en la última versión.
En el prefacio del libro Lobachevski, explica el contenido de su libro
de la manera siguiente:
"Los edículos de todo género se efectúan con vistas a encontrar una
incógnita; por eso las reglas del cálculo están reunidas en un método, el
análisis. Este puede ser dividido en Aritmética, Álgebra y Cálculo Diferencial.
En Aritmética se comienza por los ejemplos numéricos; después, en Álgebra,
manteniendo gradación de los conceptos, los números se sustituyen poco a poco
por letras, evitando, sin embargo, el método infinitesimal o de los limites,
que exige más esfuerzos de reflexión y constituye la parte última y suprema del
análisis. En ese sentido, el Álgebra es también la ciencia que Newton ha
llamado aritmética general, para diferenciarla de la aritmética de los números,
y que también justamente puede ser llamada cálculo de los finitos, para
oponerlo al Cálculo Diferencial o Cálculo Infinitesimal, donde introducimos
elementos funcionalmente nuevos cualquiera que sea la forma bajo la cual
busquemos representarlos por cuestión de rigurosidad, atributo esencial de toda
teoría matemática".
También expone unas reflexiones desde el punto de vista pedagógico que
posteriormente ampliará:
"Además, estoy seguro de que las nociones no deben adquirirse por
la experiencia, sino que deben ser explicadas de entrada en toda su amplitud,
con precisión, claridad}' pureza, para después consolidarse con ejercicios,
para que se anclen con profundidad en la memoria y puedan aplicarse a estudios
ulteriores. Tal es la regla esencial en el arte de enseñar las matemáticas,
cuyas dificultades residen únicamente en la abstracción y la amplitud de las
nociones, y que, para que sean fáciles, exigen que no dejemos de ejercer
nuestro juicio sirviéndonos de signos como abreviaturas de las representaciones
mentales...”
El texto de Lobachevski estaba a la altura de los dos grandes textos
algebraicos de la época, nos referimos al famosísimo libro sobre Álgebra de
L. Euler y al Cours d'analyse algébrique del matemático
francés A. Cauchy, publicado en París en 1821.
Por la disposición del material y el tratamiento del contenido, la obra
de Lobachevski se parece más al libro de Euler que al de Cauchy.
En un momento dado Lobachevski escribe:
“la solución general de ecuaciones de grados superiores al cuarto,
todavía no se ha encontrado..."
Lo que nos muestra que ignoraba la existencia de la memoria del
matemático noruego N. Abel, aparecida en 1829, que establece la imposibilidad
de resolver (por radicales) las ecuaciones superiores al 4º grado.
La última obra geométrica: “Pangeometría”
En 1855 se celebraba el cincuentenario de la fundación de la Universidad
de Kazán y por ese motivo invitaron a Lobachevski a escribir un artículo a
incluir en un número conmemorativo especial.
A pesar de estar enfermo e impedido visualmente, se puso a trabajar y ese mismo
año tuvo aún fuerzas para concluir una obra titulada "Pangeometría ”,
aparecida en las Memorias de la Universidad de Kazán en el mismo 1855 en ruso.
Como la celebración del cincuentenario se aplazó al año siguiente (Lobachevski
ya había fallecido) los responsables de la publicación del número especial
recurrieron al artículo de Lobachevski del año anterior pero traducido al
francés.
La “Pangeometría” no contiene prácticamente nada nuevo que Lobachevski no
hubiera dicho ya con anterioridad, quizás los aspectos más relevantes son los
siguientes.
·
Es una
obra escrita de manera menos clara que obras anteriores, lo que seguramente no
ayudó, en su época, a su comprensión.
·
No
contiene ni un solo dibujo, hay que tener en cuenta que en esa época
Lobachevski estaba prácticamente ciego y dictaba sus trabajos a estudiantes que
colaboraron con él.
·
La obra
está plagada de resultados, muchos de ellos obtenidos mentalmente, que venían a
mejorar cálculos publicados anteriormente.
A Lobachevski le preocupaba que su geometría fuera una ciencia
consistente desde el punto de vista lógico, ésto es, exenta de contradicciones
internas. Al respecto, en el final de su obra dice:
"Habiendo mostrado en lo que precede de qué modo es preciso calcular la
longitud de las líneas curvas, el área de las superficies y el volumen de los
cuerpos, nos es permitido afirmar que la Pangeometría es una ciencia completa.
Una simple ojeada sobre las ecuaciones que expresan la dependencia existente
entre los lados y los ángulos de los triángulos rectilíneos, es suficiente para
demostrar que, a partir de aquí, la Pangeometría desarrolla un método analítico
que reemplaza y generaliza los métodos analíticos de la Geometría ordinaria...
Así, las ecuaciones son la base de la Geometría más general pues no dependen de
la suposición de que la suma de los tres ángulos de todo triangulo rectilíneo
sea igual a dos ángulos rectos".
La “Pangeometría” finaliza con una reflexión sobre un tema que durante buena
parte de su vida le había preocupado: el tipo de geometría tiene lugar en la
naturaleza.
Sólo la experiencia puede confirmar la hipótesis del postulado de Euclides, por
ejemplo la medida efectiva "
Hay que destacar que Lobachevski expone en su obra muchos resultados
conocidos por otros autores, pero lo hace de una manera más elegante. Es de
señalar el tratamiento de la serie binomial y de la serie para el logaritmo.
También presenta una teoría elemental de los determinantes y un nuevo
procedimiento para el cálculo de las raíces de las ecuaciones algebraicas. Este
procedimiento fue muy difundido en su época, pero curiosamente es conocido bajo
el nombre de método de Graeffe (la memoria de Graeffe se publicó
en 1837).
Para finalizar, diremos que el manual de Lobachevski es muy original y
constituyó una obra de matemáticas notable. De hecho, Lobachevski fue conocido
en su época por el contenido de este libro y no por sus investigaciones
geométricas.
§. El fallecimiento de Lobachevski
Su salud se fue deteriorando de tal manera que en 1855 dejó de ejercer
todos sus cargos y responsabilidades. Un año más tarde, exactamente el 12 de
febrero de 1856, falleció.
La tumba de Lobachevski.
En los funerales celebrados en su honor, el profesor N. N. Bülich
pronunció un apasionado y emotivo discurso que reproducimos en parte:
"Hace exactamente 51 años, día por día, el 14 de febrero de 1805,
los alumnos del Gymnasium de Kazán asistían con su director y sus maestros a la
inauguración solemne de la Universidad de Kazán, beneficio supremo aportado a
nuestra región por la voluntad del emperador Alejandro I. Entre esos alumnos,
de los cuales pocos están vivos, se encontraba éste, alrededor de cuya tumba
nos hemos reunido hoy, con el corazón apretado, para decirle nuestro adiós en
el pórtico de la inexorable eternidad, en este día aniversario de la
inauguración. Hay en esa coincidencia de fechas un sentido misterioso, pero
hermoso, que aclara toda la vida del difunto. La inauguración de la universidad
abrió un brillante porvenir a las ciencias en nuestra distante región. Los
contemporáneos de la época citan la sed de conocimientos, la ardiente
aspiración que se apoderó entonces de esos jóvenes espíritus a los cuales se
ofrecía la posibilidad de satisfacer su celo noble y puro. El talento y el
trabajo intelectual no podían hundirse en el olvido: ante ellos se abría un
largo camino. Entre esos jóvenes, los hijos mayores, mejores, de nuestra joven
universidad, estaba Nikolai Ivanovich Lobachevski, nuestro venerado jefe.
Formado para la ciencia entre las paredes de esta universidad, consagró a ella
toda su vida. No podríamos citar un solo acontecimiento, ningún hecho por poco
notable que fuese en la historia de nuestra universidad, desde entonces hasta
hoy, sin asociarlo al nombre de Lobachevski. Su noble vida está íntimamente
unida a la historia de la Universidad de Kazán; esa vida es una crónica viva de
aquélla, de sus esperanzas y aspiraciones, de su crecimiento y de su
desarrollo. El primer miembro de nuestro centro docente en hacerse de un nombre
en la ciencia fue Lobachevski, su mejor pupilo. No nos pertenece hablar aquí de
sus trabajos de matemáticas que le valieran el renombre y la gloria; sólo
mencionemos lo que ha hecho por la universidad. Recordemos que fue rector
durante 19 años consecutivos, lo que es casi un ejemplo sin precedentes. ¡Qué
no ha hecho en el transcurso de ese largo período de actividad administrativa!
Científico devoto en cuerpo y alma a su trabajo, se preocupó constantemente en
favorecer el conocimiento de tal suerte que, en esta provincia alejada, la
ciencia marchase con su tiempo. Como mentor formó varias generaciones de
profesores de matemáticas, que le deben toda su cultura. Como administrador
aumentó los medios materiales de la universidad que le es deudora de muchas
cosas. Estas paredes, estos bellos edificios que rodean la construcción
central, la preciosa colección de libros de la biblioteca y el valioso
mobiliario de los gabinetes, deben su existencia a la actividad incesante de
Nikolai Ivanovich y, a menudo, a su sola iniciativa. Acogió con favor toda
proposición o acción útil y la idea de ello con frecuencia emanaba de él mismo.
Durante cerca de 50 años sirvió a la ciencia, a nuestro bien común, con
abnegación, tenacidad y honradez. Su vida entera, desde sus fuerzas vigorosas
hasta las aspiraciones vacilantes de la vejez, cuando su espíritu entró en
lucha contra la debilidad del cuerpo, fue consagrada a su universidad querida;
el nombre de Lobachevski figura con honor en cada página de su historia, que de
él guarda un recuerdo reconocido. La ciencia y el conocimiento, tales fueron
los intereses mayores de su vida laboriosa Sirvió con constancia y rectitud a
la causa que había desposado en su juventud y jamás volvió la espalda a la vía
escogida. Incluso en sus últimos tiempos, cuando los sufrimientos físicos afectaban
gravemente su moral, y sus fuerzas la traicionaban, su corazón permaneció, como
en el pasado, fiel a la ciencia y a su causa. Jamás olvidaremos cómo,
abatido por la enfermedad y herido por la ceguera, sin embargo, no dejaba de
venir a nuestros exámenes y a nuestras reuniones solemnes, sin cesar jamás de
interesarse en todo lo que le rodeaba. Estamos embargados de un profundo
sentimiento de respeto por ese hombre noble y venerado que, a despecho de su
extremo agotamiento, permaneció fiel a su deber y a su vocación.
Monasterio de San Juan en Kazán.
Agradezcámosle de todo corazón, en este momento solemne y doloroso en
que le damos nuestro último adiós, por esa vida consagrada a la ciencia, toda
penetrada de un solo pensamiento sublime, eminentemente digno de citarse como
ejemplo. Un hombre que, como objetivo de su vida, ha escogido trabajar en el
dominio espiritual, tiene sobre lo$ otros la ventaja de que su nombre y su
recuerdo no están a punto de borrarse. Las proezas intelectuales nos son más
valiosas que todas las demás, porque sólo la ciencia, el pensamiento y el
conocimiento forman los fundamentos de la prosperidad social. Por eso todos
nosotros tenemos el corazón apretado ante este ataúd. Como el propio
pensamiento, un pensador no debe morir, y él vivirá, porque el pensamiento no
muere. ¡Adiós noble sembrador del espíritu y del pensamiento!
Monumento a Lobachevski en Kazán.
Te acompañarán en la vía desierta de la eternidad, nuestros sinceros
lamentos. ¡No has vivido en vano, has consumado tu vocación con integridad, el
recuerdo de tu existencia nos servirá de ejemplo! ¡Gracias por habernos dado
con tu vida una lección imperecedera! ¡Paz a tus cenizas! ¡Que tu recuerdo viva
eternamente!”.
Había muerto el hombre pero nacía el mito.
Capítulo 12
Gauss, Bolyai, Riemann Los otros padres de las geometrías no euclidianas
"Los axiomas geométricos no son, pues, ni juicios sintéticos a
priori ni hechos experimentales".
Henri Poincaré
§. Gauss y el problema de las paralelas
Actualmente, Gauss es considerado uno de los tres matemáticos más
importantes de todos los tiempos (los otros dos son Arquímedes y Newton) y el
más sobresaliente entre todos los que trabajaron en el problema de las
paralelas.
Gauss estudió en la Universidad de Göttingen, donde A. G. Kastner
(1719-1800) era catedrático de matemáticas. Allí conoció también a su amigo el
húngaro Farkas Bolyai, que a la postre también se dedicaría, durante muchos
años, al problema de las paralelas. Los primeros trabajos de Gauss sobre el
quinto postulado discurrieron por dos vías: una de ellas defendía la
posibilidad de nuevas geometrías y la otra daba cabida al descubrimiento de
contradicciones al modo de Saccheri.
Gauss conocía el problema desde muy joven. En una carta dirigida a su
amigo Schumacher, escrita el año 1831, le dice que desde que tenía 15 años ya
era consciente de que podía existir una geometría distinta a la del sabio
Euclides y perfectamente consistente desde el punto de vista lógico.
Los primeros contactos de Gauss con el problema de las paralelas
seguramente provienen de su maestro Kastner. Al igual que Lambert, el profesor
Kastner estaba convencido de que el quinto postulado no podía ser probado a
partir de los otros cuatro.
Los documentos que permiten entender el proceso de las investigaciones
seguidas por Gauss respecto del problema de las paralelas son principalmente
cartas que él mismo envió a distintos científicos: Schweikart, Taurinus, Farkas
Bolyai, János Bolyai, Gerling, Bessel, Schumacher etc. A modo de resumen,
sabemos que Gauss había descubierto en su geometría una unidad absoluta, al
igual que Lambert. Además, en sus fórmulas hace referencia a una constante K
similar a las que obtuvo Schweikart y que más tarde también obtendrían
Lobachevski y János Bolyai. Lo que se pone de relieve en las cartas es la
inmensa tragedia que tuvo que suponer para Gauss ir en contra del pensamiento
dominante, defendido por I. Kant en la Crítica de ¡a razón pura, editada
en 1781.
Sello conmemorativo de la antigua República Democrática Alemana dedicado a
C. F. Gauss.
Este contratiempo personal le inclina inicialmente a defender, de alguna
manera, las ideas del filósofo. Los planteamientos de esta influencia se pueden
seguir en las cartas que escribió a distintas personas entre los años 1799 y
1813. La cuestión que aborda durante este periodo es la demostración del quinto
postulado partiendo de la hipótesis de su falsedad.
En la segunda etapa, Gauss supera todos los obstáculos y vacilaciones y
se lanza a construir teoremas de lo que él llamará primero geometría
antieuclidiana, posteriormente geometría astral y,
por último, geometría no euclidiana. De la que algunos
autores, como Morris Kline, le consideran el descubridor.
Sea como fuere, Gauss trabajó en secreto durante muchos años en el
problema de las paralelas. En 1799 (tenía 22 años) escribió una carta a su
amigo F. Bolyai en los siguientes términos:
"En cuanto a mí, he hecho ya algunos progresos en mi trabajo. Sin
embargo, el camino que he elegido no conduce en absoluto a la meta que buscamos
[la deducción del axioma de las paralelas], cual me aseguráis haber alcanzado.
Más bien parece obligarme a dudar de la verdad de la geometría misma. Bien es
verdad que he llegado a resultados que para la mayoría de la gente
constituirían una demostración [de la deducción del axioma de las paralelas de
Euclides a partir de los otros axiomas]; pero a mi entender no prueban
absolutamente nada. Por ejemplo, si pudiéramos demostrar la existencia de un
triángulo rectilíneo cuya área sea mayor que cualquier área dada, entonces
estaría dispuesto a probar toda la geometría [euclídea] de forma totalmente
rigurosa.
La mayoría tomaría esta afirmación por un axioma; pero yo no. Podría,
efectivamente, ocurrir que el área permaneciera siempre por debajo de un cierto
límite, por muy lejanos entre sí que pudieran estar los vértices del triángulo
En 1824, ocho años antes de la aparición de la obra de J. Bolyai y cinco
años antes de la publicación del primer opúsculo (en ruso) de Lobachevski,
Gauss escribe a Taurinus una carta de un gran interés en la que se pueden ver
los avances que había realizado en la geometría no euclídea:
"En cuanto a tu intento no tengo nada (o casi nada) que decir salvo
que es incompleto. Cierto es que tu demostración de la prueba de que la suma de
los tres ángulos de un triángulo plano no puede superar 180a carece, en cierto
sentido, de rigor geométrico. Pero esto en sí mismo tiene fácil remedio y no
existe duda de que tal imposibilidad puede probarse con todo rigor. Pero la
situación es muy diferente en la parte segunda: que la suma de ángulos no pueda
ser menor que 180a; éste es el punto crítico, el escollo en que ocurren todos
los naufragios. Supongo que no te has ocupado de este problema por mucho
tiempo. Yo he reflexionado sobre él cerca de 30 años, y no creo que haya nadie
que haya pensado sobre esta segunda parte más que yo, aunque nunca he publicado
nada.
La hipótesis de que la suma de los tres ángulos es menor que 180a conduce a una
curiosa geometría, muy diferente de la nuestra [la euclídea], pero
completamente consistente, la cual he desarrollado a mi entera satisfacción, de
manera que puedo resolver cualquier problema de ella, a excepción de la
determinación de una constante, que no puede ser designada a priori: cuanto más
grande se tome la constante, más se aproxima esta geometría a la euclídea; y
coincide con ella cuando la constante es infinitamente grande. Los teoremas de
esta geometría parecen paradójicos y, al no iniciado, absurdos; pero una
pausada y constante reflexión revela que no contienen nada imposible en
absoluto. Por ejemplo, los tres ángulos de un triángulo pueden llegar a ser tan
pequeños como se desee, con solo alargar los lados suficientemente; sin
embargo, el área del triángulo nunca puede pasar de un límite definido, no
importa lo que se alarguen los lados, ni tampoco alcanzarlo.
Todos mis esfuerzos para descubrir una contradicción, una inconsistencia, en
esta geometría no euclídea han sido vanos, y la única cosa en la que se opone a
nuestras concepciones es que, si fuese cierta, existiría en el espacio una
magnitud lineal, determinada por ella misma (pero desconocida para nosotros).
Pero me parece que, a pesar de los metafísicos, sabemos muy poco, o casi nada
acerca de la naturaleza real del espacio, como para considerar un absolutamente
imposible lo que nos parece como no natural. Si esta geometría no euclídea
fuese cierta y fuera posible comparar tal constante con magnitudes tales como
las que encontramos en nuestras mediciones de la Tierra y de los cielos, podría
ser determinada a posteriori. Consecuentemente, bromeando he expresado algunas
veces el deseo de que la geometría euclídea no fuese cierta, pues entonces
tendríamos a priori una unidad de medida absoluta.
No temo que un hombre que ha demostrado poseer una mente matemática reflexiva
interpretará mal lo que acabo de decir, pero en todo caso, considera esto como
comunicación privada de la que no se ha de hacer uso público, ni otro ninguno
que pudiera llevar a cualquier tipo de publicidad. Tal vez yo mismo, si tengo
más tiempo que el que ahora poseo, publique mis investigaciones’’.
Gauss es el primer matemático que se dio cuenta de que la geometría
euclídea no es necesariamente la geometría del espacio físico. De hecho (según
cuenta Morris Kline) intentó verificar qué tipo de geometría describía mejor el
espacio físico. En un escrito, fechado en 1827, comunica a la comunidad
científica que había medido la suma de los ángulos del triángulo formado por
las cumbres de tres montañas (con la intención de saber si era mayor, menor o
igual a 180°), la referida suma excedía de 180º en aproximadamente
15”¿qué significaba este resultado?
Gauss era consciente que este resultado no probaba nada, puesto que el
triángulo en cuestión era demasiado pequeño y, además, en esa época los
aparatos de medida no tenían la suficiente precisión. Durante años, y en
secreto, Gauss debió realizar esfuerzos de toda índole para justificar la nueva
geometría, así como para saber cuál es la geometría que mejor explica el mundo
en que vivimos.
A primera vista, la idea de que alguna de estas extrañas geometrías
podía competir e incluso suplantar a la geometría clásica de Euclides parecía
un absurdo. En 1817, en una carta dirigida por Gauss a H. W. Olbers (1758-1840)
ya se puede leer:
“Estoy cada vez más convencido de que la necesidad física de nuestra
geometría euclídea no puede ser probada, al menos no por la razón humana ni
para la razón humana. Quizá en otra vida podamos obtener una visión profunda de
la naturaleza del espacio que, por el momento es inalcanzable. Hasta entonces,
no debemos colocar la geometría al nivel de la aritmética, que es puramente a
priori, sino al de la mecánica”.
A juicio de muchos historiadores de las matemáticas, este comentario
indica que Gauss fue el primero en creer que era posible, desde el punto de
vista lógico, una geometría no euclidiana, y que los intentos de encontrar
contradicción en ellas eran, por tanto, vanos.
La Universidad de Göttingen, donde Gauss trabajó casi 50 años, en un grabado
antiguo.
En su largo recorrido intelectual Gauss pasó por ciertos miedos y
zozobras en relación con la aventura de las paralelas, que claramente expresa
en cartas que dirigidas a L. Ch. Gerling y a F. W. Bessel.
“Me siento muy contento de saber que usted tenga el valor de reconocer
la eventualidad de que nuestra teoría de las paralelas y, por tanto, toda
nuestra geometría, sean falsas. Pero las avispas, cuyo nido usted destruye, se
levantarán sobre nuestra cabeza".
Carta de Gauss a L. Ch. Gerling (1818).
“Es probable que no pueda escribir rápidamente mis investigaciones sobre el
problema de las paralelas para que puedan ser publicadas. Además, es posible
que no me decida jamás a escribirlas, puesto que temo a los gritos de los
beodos cuando enuncie mis puntos de vista ”.
Carta de Gauss a F. W. Bessel (1829).
Entre las cartas y manuscritos redactados por Gauss se encuentran dos de
verdadero interés, dirigidas a Schumacher (1831 y 1846).
“Hace algunas semanas he comenzado a escribir algunos resultados de mis
meditaciones sobre este asunto, que se remontan en parte a cuarenta años, y de
los cuales nada había redactado, lo que me ha obligado tres o cuatro veces a
empezar de nuevo toda la labor en mi cabeza. No quisiera, sin embargo, que todo
esto pereciera conmigo”.
Carta de Gauss a Schumacher (1831).
“Recientemente tuve la ocasión de hojear de nuevo el libro de Lobachevski
(Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, 1840), que
contiene los principios de la geometría que debería existir y que sería
rigurosamente consecuente si la geometría euclidiana no fuera verdadera. Un tal
Schweikart ha dado a esa geometría el nombre de Astralgeometría; el propio
Lobachevski la llama geometría imaginaria. Usted sabe que hace ya 54 años
(desde 1792) que tengo la misma convicción (que he ampliado un poco en estos
últimos tiempos, pero sobre la cual no quiero detenerme aquí); en cuanto al
objeto de la misma; no he encontrado nada nuevo para mí en la obra de
Lobachevski; pero al desarrollarla, el autor sigue una vía diferente a la mía y
hace demostración de un arte consumado, de un espíritu puramente geométrico.
Considero mi deber llamar la atención sobre ese libro a usted que, sin duda
alguna, le complacerá mucho ".
Carta de Gauss a Schumacher (1846).
Los Bolyai
Farkas Bolyai
Farkas Bolyai (1775-1856) fue el padre de János Bolyai. Estudió en Göttingen,
donde Kastner fue su profesor y fue compañero de Gauss, del que sería un buen
amigo. Posteriormente enseñó matemática, física y química en Marosvásárhely
(Hungría).
Izquierda: Farkas Bolyai. Derecha: Imagen de János Bolyai en un sello
húngaro, se piensa que el retrato es figurado ya que no existe ninguna imagen
auténtica suya.
Farkas Bolyai se interesó por el postulado de las paralelas ya desde su
época universitaria. Se carteó con Gauss acerca de este tema durante la mayor
parte de su vida, en ocasiones para comunicarle resultados propios y en otras
para informarle de las investigaciones realizadas por su hijo.
Su principal trabajo, Tentamen Juventutem studiosa in elementa Matheseos
(1832-33) fue un intento de conseguir una base sistemática y rigurosa de la
geometría, aritmética, álgebra y análisis. Era claramente un libro menor pero
que incluía un apéndice importantísimo: la obra geométrica de su hijo János.
Cuando Farkas Bolyai renegó del postulado de las paralelas se dedicó a escribir
poesía, componer música y escribir arte dramático.
János Bolyai
János Bolyai (1802-1860) nació en Transilvania, en un tiempo en el que era
parte del imperio austro-húngaro (aunque la entonces ciudad húngara de
Kolozsvár se llama ahora Ctuj y pertenece a Rumania). János tenía una mente muy
capaz para las matemáticas y con sólo 13 años ya dominaba el cálculo y las
matemáticas superiores. También llegó a ser un estupendo violinista. Estudió en
el Colegio Real de Ingeniería, en Viena, desde 1818 hasta 1822. Posteriormente
se unió al cuerpo de ingenieros de la armada, donde pasó 11 años. Se cuenta que
Fue el mejor practicante de esgrima y bailarín de la armada del imperio
austríaco. Es un personaje singular y un excelente lingüista, hablaba 9 idiomas
entre los que se incluían el chino y el tibetano.
La influencia de su padre fue fundamental. Entre 1820 y 1823 preparó un tratado
sobre un sistema completo de geometría no euclidiana. Antes de que se publicara
su trabajo, descubrió que Gauss ya había trabajado en el mismo tema y había
obtenido resultados similares. A pesar de que Gauss no publicó nunca su trabajo,
quizás por falta de confianza, esto supuso un duro golpe para János Bolyai. De
cualquier forma, su trabajo se publicaría en 1832 como apéndice a un libro de
su padre. János padeció fiebres que le imposibilitaron trabajar en muchas
ocasiones y en 1833 fue jubilado en su carrera militar. Aunque nunca publicó
más de las 24 páginas del famoso apéndice, dejó más de 20.000 páginas
manuscritas de trabajo matemático cuando murió. Actualmente se pueden encontrar
la mayoría de sus escritos en la biblioteca Bolyai-Teleki en Tirgu-Mures
(Rumania).
Para finalizar, no queremos olvidar una obra fundamental de Gauss en el
campo de la geometría: Disquisitiones generales circa superficies
curvas (1828).
En esta obra Gauss pone las bases de la geometría diferencial. En
efecto, Gauss fue el primero en abordar sistemáticamente el estudio de las
superficies del espacio euclídeo iniciando así la después denominada geometría
diferencial (nombre que se debe al geómetra italiano L. Bianchi (1856-1928). Si
bien, el estudio de las superficies alabeadas ya habían sido considerado por
Euler, Monge y otros.
En esta obra Gauss pone ya de manifiesto el papel determinante de
la curvatura (denominada hoy curvatura de Gauss). Ya
se vislumbran las distinciones entre los aspectos locales y globales, e
intrínseco y extrínseco, en el estudio de las superficies. Gauss también fue el
primero en darse cuenta que era más conveniente pensar en las superficies como
objetos que se pueden dotar localmente de dos coordenadas, y no como
subconjuntos del espacio cuyas coordenadas verifican una determinada relación o
como fronteras de sólidos.
Un logro importante de Gauss fue la demostración de que la curvatura
depende de la métrica y no de la forma en que la superficie se dobla dentro del
espacio tridimensional Entre sus resultados más importantes figura el
famoso theorema egregium en el que establece la invariancia
del valor de la curvatura de Gauss, así como el teorema integral de
Gauss-Bonnet que relaciona el valor de la curvatura de la superficie
con la curvatura geodésica, y que a la postre se ha convertido en
el recurso más importante de la teoría global de superficies.
Los trabajos de Gauss servirían posteriormente a B. Riemann para que
construyera su geometría diferencial n-dimensional.
§. La obra geométrica de los Bolyai
Los Bolyai comenzaron a estudiar el problema de las paralelas
seguramente convencidos de que encontrarían la solución. De hecho, Farkas mandó
un escrito a Gauss en el que le informaba de sus hallazgos y lo cerca que
estaba de la solución. Sin embargo, los esfuerzos de Farkas fueron tan enormes
y penosos que cuando su hijo le comunicó que estaba trabajando en el problema
de las paralelas le escribió en los siguientes términos:
"No debes intentar así el problema de las paralelas. Yo conozco ese
camino hasta su mismísimo fin. He atravesado esa noche sin fondo, que extinguió
toda luz y alegría de mi vida. Te suplico que abandones la ciencia de las
paralelas...
Me di media vuelta cuando comprendí que ningún hombre puede alcanzar el fondo
de esa noche. Regresé desconsolado, sintiendo misericordia de mí y de toda la
humanidad”.
En otro lugar Farkas Bolyai le dice a su hijo:
“Me parece haber estado ya en esas regiones; haber viajado por todos los
escollos de ese infernal Mar Muerto, y haber regresado siempre con el mástil
quebrado y la vela desgarrada. El mal estado en que me hallo y mi postración
datan de esa época. Sin pensarlo arriesgue mi vida y mi felicidad... Te ruego
que abandones ese camino... ”
A pesar de tan dolidas recomendaciones, sin embargo János Bolyai siguió
trabajando en el problema de las paralelas.
“Estoy decidido ahora a publicar una obra sobre la teoría de las
paralelas, apenas haya ordenado la materia y las circunstancias me lo permitan.
No lo he hecho todavía; pero el camino que he seguido ha ciertamente, por
decirlo así, casi alcanzado el propósito; el propósito propio no está
alcanzado; pero he descubierto cosas tan hermosas, que me he quedado
sorprendido con ellas y se debería lamentar por siempre que se hubiesen
perdido. Cuando las veáis lo reconoceréis vos mismo. Entre tanto no os puedo decir
más que esto: he creado de la nada un nuevo universo. Todo lo que os he
comunicado hasta ahora no es más que un palacio de papel frente a esta torre.
Estoy tan persuadido de que ésto me dará gloria, como si hubiese ya
acaecido".
Carta de J. Bolyai a su padre (1823).
Farkas Bolyai expresó el deseo de incluir inmediatamente en su
obra Tentamen la teoría de su hijo, porque:
“...si la cosa está realmente conseguida, es conveniente apresurarse a
darla a la luz pública por dos motivos: primero, porque las ideas pasan
fácilmente de uno a otro, que puede anticiparse a publicarlas; en segundo
lugar, porque hay también algo de verdad en esto que muchas cosas tienen una
época, en la cual son descubiertas al mismo tiempo en más lugares, precisamente
como en primavera brotan las violetas en todas partes; y puesto que toda lucha
científica es sólo una gran guerra, a la que no sé cuando seguirá la paz, se
debe, cuando se puede, vencer, puesto que aquí la victoria corresponde al
primero “.
Carta de Farkas Bolyai a su hijo
János Bolyai siguió trabajando con ahínco y en 1826 presentó su trabajo
a un profesor suyo de la academia militar llamado J. Walter von Eckwerh
(1789-1857). Tres años más tarde le remitió el manuscrito final a su padre, que
no llegó a comprenderlo en su totalidad. Sin embargo, intuía que tenía en sus
manos una memoria científica de primer orden y la incluyó como apéndice del
primer volumen del Tentamen. Inmediatamente, remitió su libro
(1831) a su amigo Gauss, pero parece que el trabajo de los Bolyai nunca llegó a
su destino. Medio año más tarde (1832), Farkas volvió a enviar a Gauss el
trabajo de su hijo con el encargo de que lo leyera y si fuera posible le diera
su opinión.
Gauss al leer el apéndice del Tentamen, escribió a un amigo:
“...considero que este joven geómetra es un genio de primer orden... ”
Sin embargo, seis semanas después de recibir el envío, Gauss escribió al
padre de János en los siguientes términos:
“Ahora, algunas palabras sobre el trabajo de tu hijo. Comienzo por
decirte que no puedo alabarlo. Evidentemente, por un instante estarás
sorprendido, pero no puedo proceder de otra forma, puesto que eso significaría
ensalzar mis propios elogios. Todo el contenido de la obra de tu hijo, la vía
que sigue, así como los resultados que ha obtenido, casi coinciden con aquellos
que yo mismo he logrado hace unos 35 años. En realidad estoy sorprendido
enormemente. Tenía la intención de no publicar nada de mi propio trabajo
mientras estuviera vivo, por consiguiente, muy poca cosa he anotado en el
papel. La mayor parte de la gente no tiene puntos de vista correctos acerca de
las cuestiones de que se trata. He encontrado muy pocos que hayan manifestado
un interés particular por lo que les he comunicado al respecto. Para estar en
condiciones de asimilarlo es necesario, ante todo, sentir hondamente, de manera
muy viva, lo que aquí falta en realidad; ahora bien, la mayor parte de la gente
no lo comprende del todo. No obstante, me proponía, con el tiempo, exponer todo
eso en el papel, con el fin de evitar, en todo caso, que dichas ideas mueran
conmigo Por lo tanto, me sorprende en exceso que me despojen de ese trabajo, y
a la vez me siento muy feliz de que sea precisamente el hijo de mi viejo amigo
quien me haya adelantado de tan excelente manera".
Carta de Gauss a Farkas Bolyai (1832).
Portada del "Apéndice” de János Bolyai dentro de la obra Tentamen de
Farkas Bolyai.
Farkas comunicó inmediatamente, por carta, a su hijo la respuesta de
Gauss, añadiendo:
“La respuesta de Gauss respecto a tu obra redunda en honor de nuestra
patria y de nuestra nación
Sin embargo, la carta de Gauss produjo un efecto completamente distinto
en el ánimo de János Bolyai. Sus palabras fueron las siguientes:
"A juicio mío, y tal sería, de ello estoy persuadido, la opinión de
cualquier persona imparcial, todos los argumentos y motivos invocados por Gauss
para justificar la negativa de publicar (en vida) cualquier cosa sobre sus
propios trabajos referentes a esta cuestión, son absolutamente inconsistentes.
En efecto, tanto en la ciencia como en la vida corriente, es importante
descifrar las cosas universalmente útiles, sobre todo si éstas aún no han sido
aclaradas, despertar, por todos los medios, la conciencia insuficiente o
incluso dormida, de la verdad y el derecho; esto es lo que precisamente hay que
fortalecer y desarrollar. Son muy pocos los que tienen la facultad de dominar
las matemáticas. Invocando ese pretexto, Gauss podría muy bien, para ser
consecuente, guardar para sí una parte considerable de sus excelentes trabajos.
El hecho de que desgraciadamente haya todavía entre los matemáticos, incluso
entre los que son célebres, muchas personas superficiales, no puede servir de
base para que continuemos, en el futuro, comunicando nada más que los
resultados superficiales y dejando a la ciencia en el letargo, es decir, en el
estado heredado. Tal actitud sería contranatural y absolutamente absurda.
Estamos sorprendidos, de manera muy desagradable, por el hecho de que, en lugar
de reconocer con franqueza y honestidad el gran valor del "Apéndice"
y del Tentamen, de expresar su alegría y simpatía, y de reflexionar acerca de
los medios para preparar una larga vía a una empresa útil, Gauss trata de andar
con rodeos y se apresura a pronunciar piadosos deseos y a emitir lamentos a
propósito de la falta de instrucción de la gente. No en esto, ni mucho menos,
consiste el sentido de la vida y el mérito verdadero".
Leyendo esta nota, uno se da cuenta del inmenso disgusto que tenía J.
Bolyai. Por su cabeza pasaron multitud de pensamientos negativos, algunos
incluso dirigidos hacia su padre, ya que sospechó, inicialmente, que le había
comunicado varias de sus ideas al genial matemático alemán. Otros hacia Gauss,
por no aceptar deportivamente la prioridad del descubrimiento.
§. Contenido del “Apéndice”
Las primeras reflexiones de J. Bolyai se encaminaron a construir una
teoría absoluta de la geometría, esto es, aplicando el método deductivo de
Euclides pero sin decidir a priori la validez o no del quinto postulado.
En la primera carta escrita a su padre, en 1823, ya le hace saber que ha
descubierto una fórmula mediante la cual se puede obtener el ángulo de
paralelismo Π(a) en función de una constante k.
La obra de Bolyai, en términos generales, es muy parecida a la de
Lobachevski. Sus resultados más importantes son:
·
Definición
de las paralelas y sus propiedades, independientes del quinto postulado
euclídeo.
·
Definición
absoluta del horiciclo y la horosfera.
·
Obtención
de las fórmulas trigonométricas planas en el caso no euclídeo.
·
Estudio
de la geometría esférica sin recurrir al postulado de Euclides.
·
Problemas
resolubles en la geometría no euclídea, en particular obtiene un cuadrado
equivalente a un círculo dado (cuadratura del círculo en el caso de la
geometría no euclídea).
·
Demostración
de que la geometría obtenida sobre la horosfera coincide con la geometría
euclídea.
·
Demuestra
la independencia de la trigonometría esférica del postulado de Euclides.
En algunos aspectos su obra es más avanzada que la de Lobachevski. Por
ejemplo, en el campo de la trigonometría esférica obtiene más fórmulas; si bien
la mayoría ya fueron conocidas y descritas por Taurinus.
La obra de J. Bolyai concluye de la siguiente manera (1831):
"Queda finalmente por demostrar la imposibilidad de decidir a
priori si existe la Geometría euclidiana u otra Geometría distinta. Esto, sin
embargo, queda reservado para mejor ocasión
A partir de 1831, J. Bolyai se preocupó por perfeccionar su geometría
tratando de responder a una serie de cuestiones que
aún estaban sin resolver. Una de ellas era si se podía demostrar
rigurosamente que el quinto postulado no era consecuencia de los otros cuatro.
Durante algunos años más, János siguió trabajando en su geometría
absoluta, pero en 1841 llegó a sus manos un libro titulado Geometrische
Untersuchungen de un tal Lobachevski. El impacto intelectual al leer
el pequeño tratado escrito por un matemático ruso, desconocido para él, debió
ser enorme. Al principio pensó que el tal Lobachevski no existía, incluso llegó
a pensar que detrás del trabajo podía estar el mismísimo Gauss. Posteriormente
reconocerá que la obra ha tenido que ser escrita por un genio, calificándola de
obra maestra. Se da cuenta de que la obra de Lobachevski es similar a la suya,
y posiblemente se decepcione al leer la introducción, en la que el matemático
ruso hace referencia a que se trata de una versión alemana de una memoria
publicada originalmente en 1828, tres años antes de la publicación de su
“Apéndice".
§. Riemann y la geometría
Los creadores de la geometría hiperbólica murieron casi al mismo tiempo:
Gauss en 1855, Lobachevski en 1856 y J. Bolyai en 1860.
Por aquellos años sus obras eran prácticamente desconocidas pero sus
teorías, aún insuficientemente establecidas y fundamentadas, plantearían pronto
una serie de difíciles problemas, lo que condujo a una revisión del edificio
geométrico clásico.
Dibujos de János Bolyai referentes a sus investigaciones sobre la geometría
no euclidiana (1820).
El punto de partida de esta revolución fue la célebre exposición de B.
Riemann presentada en 1854, si bien no sería publicada hasta 1868. Riemann
introduce espacios muy generales mediante el dato constituido por el cuadrado
del elemento lineal ds2, y sugiere el segundo tipo de geometría
no-euclídea, que corresponde al caso en el cual la suma de los ángulos de un
triángulo es superior a dos rectos.
Riemann
Bernhard Riemann (1826- 1866) nació en Breselenz (Hannover, Alemania) en
1826 Con apenas seis años ya era capaz de resolver problemas de aritmética
elemental. Los estudios de secundaria los
En 1846 marchó a estudiar teología a Göttingen. Sin embargo, asistió a una
serie de conferencias matemáticas que le impresionaron enormemente. De esta
manera alternaría sus estudios de teología con los de matemáticas. En este
periodo asistió a diversos cursos de matemáticas dictados por Moritz A. Stern
(1807-1849) y por Gauss. Sus estudios de matemáticas los completó en Berlín, a cuya
universidad debe su formación matemática, puesto que fue discípulo de C. Jacobi
(1804-1855), Dirichlet (1805-1859), J. Steiner (1796-1863) y F. Eisenstein
(1823-1852), que dejaron en él huella profunda.
Al acabar sus estudios, en 1849, volvió Göttingen donde se doctoró en 1851 con
una tesis de la que Gauss dijo en su informe oficial:
“Esta tesis es una prueba fidedigna de las profundas y penetrantes
investigaciones del autor en el punto de que se trata y denuncia, al propio
tiempo, un espíritu creador, activo, realmente matemático, y de fecunda
originalidad. El lenguaje es claro y conciso y, en algunos pasajes, bello y
elegante. La mayoría de los lectores hubieran preferido, sin duda, mayor
claridad en la exposición; pero, en su conjunto, este trabajo es un estudio
sustancial cuyo valor intrínseco no sólo satisface las condiciones exigidas en
una tesis para el doctorado, sino que las supera ampliamente
Con ayuda de Gauss, Riemann se incorporó a la Universidad de Göttingen y
comenzó a trabajar para obtener la habilitación, requisito imprescindible para
ser profesor. Para ello tenía que disertar sobre un tema. Propuso tres (dos
sobre temas de electricidad y uno sobre geometría) creyendo que, según la
costumbre, el tribunal elegiría el primero de la terna; pero en este caso se
decantó por el último porque se refería a una cuestión sobre la que Gauss, que
presidía el tribunal, llevaba trabajando casi sesenta años. El tema en cuestión
era fundamentos de la geometría
Riemann trabajó con una intensidad sobrehumana preparando la exposición sobre
el tema y el día 10 de junio de 1854 impartió su famosa disertación titulada:
"Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grande liegen ” ("Sobre
las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría ”). Riemann, a quien
le aterraba la idea de tener que hablar en público, presentó la geometría bajo
un aspecto completamente nuevo y su exposición entusiasmó a Gauss, tanto por la
belleza de la misma como por su profundidad.
Riemann considera a la geometría como no-euclídea, haciéndola depender del
concepto de medida. Su trabajo se puede dividir en dos partes, en la primera
Riemann plantea el problema de cómo definir un espacio n-dimensional y propone
una definición de lo que hoy se conoce como variedad de Riemann. La segunda
parte de la conferencia plantea cuestiones profundas acerca de la relación de
la geometría con el mundo en el que vivimos.
Respecto a la exposición, dice Monastyrsky :
“Entre la audiencia de Riemann solamente Gauss fue capaz de apreciar la
profundidad de los razonamientos de Riemann... La conferencia superó todas sus
expectativas y le sorprendió gratamente... A su regreso a la facultad, Gauss
comentó con W. Weber entre grandes alabanzas sobre la profundidad de los
pensamientos que Riemann había presentado”.
Este brillante trabajo permitió que Riemann iniciara su carrera como profesor.
Sus ideas relativas a la geometría han tenido profundos efectos en el
desarrollo de la matemática y de la teoría física modernas.
Se funda en realidad en dos hipótesis, una de las cuales niega la
posibilidad de trazar una recta paralela a otra por un punto exterior, mientras
que la segunda abandona la concepción de la infinitud de la recta. Esta geometría
elíptica, introducida explícitamente por Klein en 1871, es a
priori más desconcertante que la de Gauss, Lobachevski y Bolyai, lo
que explica que estos geómetras no la tuvieran en cuenta aunque correspondiera
a uno de los casos previstos por Saccheri y Lambert.
Después de haber establecido esas nociones generales, Riemann se
pregunta cuales son los ejemplos más simples de la geometría que él ha creado.
Se trata de espacios en que la curvatura en cada punto es la misma, es decir,
espacios de curvatura constante.
Tales espacios, naturalmente, se dividen en tres categorías: los de
curvatura positiva constante, cuya geometría suele llamarse elíptica;
los de curvatura negativa constante, cuya geometría es conocida con el nombre
de hiperbólica, y los de curvatura nula, cuya geometría se
llama parabólica.
La geometría parabólica (geometría del espacio de curvatura nula) es la
geometría euclidiana; la geometría hiperbólica no es otra cosa que la geometría
de Lobachevski.
¿Cuál es, pues, la geometría elíptica? En lo que se refiere a la
geometría elíptica bidimensional, la respuesta es absolutamente clara: es la
geometría de la esfera, después de identificar los pares de puntos antipodales.
Las rectas son las circunferencias máximas de la esfera, con todos los pares de
puntos antipodales identificados, de forma que dos rectas, distintas,
cualesquiera se cortan en un punto, ya que las circunferencias máximas
correspondientes se cortan en dos, pero antipodales. Además, vemos que la
longitud de las rectas es finita, y el área de todo el plano elíptico también.
Al demostrar, en el capítulo 5, que el quinto postulado de Euclides
implica el postulado de Playfair, se usó que, gracias a los postulados de
Euclides sin el quinto, por un punto exterior a una recta existe al menos una
paralela. Como en la geometría elíptica no existe tal paralela, debe existir
algo en el sistema de Euclides, sin el quinto postulado, incompatible con la
geometría elíptica. Siguiendo las demostraciones se ve que la existencia de la
paralela se deduce de la Preposición 16 de Euclides y su demostración necesita
que las rectas tengan longitud infinita. Es este hecho el que es incompatible
con la geometría elíptica.
§. Distinción entre lo infinito y lo ilimitado
El primer científico en percibir la existencia de una geometría
compatible con la hipótesis del ángulo obtuso fue Riemann. Su
idea se basa en sustituir la hipótesis de la recta infinita por
otra más general de recta ilimitada. La distinción entre los
conceptos infinito e ilimitado es clave para entender el sistema geométrico
expuesto por Riemann.
Dice Riemann:
“Cuando se extienden las construcciones del espacio a lo infinitamente
grande, es necesario distinguir entre lo ilimitado y lo infinito; lo primero
pertenece a las relaciones de extensión, mientras que lo segundo, a las
relaciones métricas. Que el espacio sea una variedad ilimitada de tres
dimensiones es una hipótesis que se aplica en todas las concepciones relativas
al mundo externo, que nos sirve para completar en todo momento el campo de
nuestras percepciones y construir los lugares posibles de los objetos
observados, y que se encuentra constantemente verificada en todas estas
aplicaciones. La propiedad del espacio de ser ilimitado posee, pues, una
certeza empírica, que ningún otro dato empírico posee. Pero la infinidad del
espacio no se sigue de aquí de ningún modo; al contrario, si se suponen los
cuerpos independientes de sus posiciones y se atribuye al espacio una curvatura
constante, el espacio sería necesariamente finito, apenas esta medida de la
curvatura tuviese un valor positivo, por pequeño que fuera... ”
Las ideas de Riemann son muy profundas y está fuera de lugar explicarlas
aquí, pero sí concluiremos con una idea fundamental que él mismo describe: lo
básico de la geometría es la idea de posición, y las relaciones de posición se
pueden expresar por medio de dirección y distancia. Partiendo de estas nociones
básicas sería posible describir la geometría clásica e inventar nuevas
geometrías que también podrían ser interesantes para otros campos del saber,
por ejemplo en física.
Capítulo 13
Los modelos geométricos
“Los hechos son entes que no pueden manipularse ni discutirse”.
RobertBurns (1759-1796)
Lobachevski había ideado una nueva geometría pero surgía una gran
pregunta: ¿había algún modelo real capaz de explicar dicha teoría?
La primera interpretación intuitiva de la geometría de Lobachevski se
dio en 1868. El matemático italiano E. Beltrami hizo notar que la geometría
intrínseca de una superficie, llamada pseudoesfera, coincidía con la geometría
sobre parte del plano de Lobachevski.
La superficie en cuestión se genera a partir de una curva muy conocida,
llamada tractriz. Esta curva tiene la propiedad de que la longitud del segmento
de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el punto de corte con el
eje OY es constante.
El eje OY es una asíntota de la tractriz. Si giramos la curva alrededor
de su asíntota se engendra una superficie llamada pseudoesfera.
Beltrami
Eugenio Beltrami (1835-1900) nació en Cremona (Italia) y murió en Roma.
Provenía de una familia de artistas Además de las matemáticas tenía
El hallazgo de Beltrami viene a decirnos que todas las relaciones
geométricas sobre una parte del plano de Lobachevski coinciden con las
relaciones geométricas sobre una parte conveniente de la pseudoesfera,
naturalmente suponiendo una serie de convenios:
“Los segmentos de recta son las líneas, que unen dos puntos, con menor
longitud sobre la superficie, las llamadas geodésicas. La distancia entre dos
puntos se define como la longitud de la línea más corta que une a ambos sobre
la superficie. Diremos que dos figuras son iguales si entre sus puntos se puede
establecer una correspondencia, de forma que la
El modelo de Klein
En el plano euclidiano tomemos un círculo y consideremos únicamente su
interior. Convenimos en llamar plano al interior de! círculo, las rectas de
dicho plano son las cuerdas del círculo (con la exclusión, por tanto,
En este modelo dos rectas son paralelas si los segmentos correspondientes
tienen un extremo común. Un movimiento será cualquier transformación que
transforma rectas en rectas y que aplique el círculo en sí mismo.
Mediante estos acuerdos se pueden demostrar todos los resultados de la
geometría de Lobachevski dentro del círculo e inversamente El famoso axioma de
Lobachevski (“Por un punto P fuera de la recta AB pasan al menos dos rectas
paralelas a la recta dada”) se muestra perfectamente en la siguiente
representación:
En el dibujo se pueden ver las dos paralelas (AC y BD) que pasan por P, así
como otras muchas hiperparalelas que no cortan a la recta AB y que también
pasan por P.
El modelo de Klein (actualmente es conocido como modelo de
Beltrami-Cayley-Klein) así construido sirve para interpretar la geometría plana
de Lobachevski.
La interpretación de Beltrami muestra que, en estas condiciones, a cada
proposición de la geometría de Lobachevski referida a una parte del plano
corresponde una situación en la geometría intrínseca sobre la pseudoesfera. El
descubrimiento del matemático italiano es notable: la geometría de Lobachevski
no es más que una exposición abstracta de la geometría sobre la pseudoesfera.
Por tanto la geometría imaginaria creada por el matemático ruso tiene un
perfecto significado real.
El descubrimiento de Beltrami cambió por completo la actitud de los
matemáticos hacia la geometría de Lobachevski, que pasó de
Al modelo de Klein le siguió el famoso modelo del matemático francés H.
Poincaré (1854-1912). En el plano euclidiano tomemos un círculo y consideremos
únicamente su interior. Convenimos en llamar plano al interior del círculo,
nuestros puntos son puntos corrientes dentro del círculo, pero nuestras líneas
son los arcos de los círculos dentro del círculo dado, con la condición de que
corten al mismo en ángulos rectos, tal como muestra la Figura 25.
En el dibujo se puede ver que por el punto P pasan dos rectas, mientras que por
el punto P* pasan tres rectas, además dos de esas rectas son paralelas a la
recta t El modelo descrito se conoce como modelo circular de
Poincaré.El mismo Poincaré ideó otro modelo muy interesante, conocido en la
literatura como modelo semiplanar de Poincaré.
En nuestro dibujo las rectas hiperbólicas son r, s y t, así como las m y n; las
rectas r y s se cortan en el punto P y además las rectas s y t son paralelas
(ya que no se cortan al no pertenecer los puntos de la recta inicial al plano
hiperbólico).
E. Beltrami también observó en 1868 que el quinto postulado de la
geometría elíptica se verifica en la superficie de la esfera a condición de que
las rectas elípticas sean interpretadas como círculos máximos sobre la esfera,
y considerando que los puntos diametralmente opuestos de la esfera es un objeto
único que llamaremos punto de la geometría de Riemann.
Escher y la geometría de Lobachevski
En el grabado aparecen los peces de diferente tamaño. Así, las figuras
que están situadas cerca de la frontera son más pequeñas para nosotros que las
situadas en el interior del círculo.
Mientras que para los habitantes de ese universo lobachevskiano, todas
las figuras tienen el mismo tamaño.
El modelo circular de Poincaré ha cautivado a muchos geómetras y
artistas. El holandés Maurits Escher (1898-1972) se inspiró en el modelo
circular de Poincaré para describir en una magnifica ilustración el universo de
Lobachevski.
En este breve resumen no podemos olvidar las aportaciones del matemático
Ernst A. Minding (1824-1873), que inició el estudio geométrico sobre las
superficies con curvatura negativa. Matemáticos posteriores fueron capaces de
unificar los tres tipos de geometrías, basándose en el concepto de curvatura
propuesto por Gauss.
§. La difusión de las geometrías no euclidianas
La historia de cómo la geometría de Gauss, Lobachevski y Bolyai llegó a
ser aceptada es compleja de contar. En 1866, diez años después de la muerte de
Lobachevski, el matemático francés G. J. Hoüel (1823-1886) publicó una
traducción al francés del libro de Lobachevski Geometrische Untersuchungen
junto con parte de la correspondencia de Gauss sobre geometría imaginaria. En
1867 el matemático italiano G. Battaglini (1826-1894) fue quien tradujo al
italiano la “Pangeometría” de Lobachevski.
Beltrami, en 1868, proporcionó una realización concreta de la geometría
de Lobachevski, ese mismo año apareció la traducción rusa de Geometrische
Untersuchungen editada por Letnikov. Karl Weierstrass (1815-1897) impartió un
seminario (1870) sobre la geometría de Lobachevski al que acudió Félix Klein,
que por esa época ya trabajaba en el problema de las geometrías al mismo tiempo
que lo hacía el noruego M. S. Lie (1842-1899).
Las ideas de Klein sobre su visión general de la geometría, expresadas
en su famoso Programa de Erlangen, así como las contribuciones de H. Poincaré
(1854-1912) hicieron que por fin se aceptaran las ideas de Lobachevski.
Curvatura y geometrías
Gauss ya conocía la fórmula
En la misma se relaciona la integral de superficie, aplicada sobre un
triángulo geodésico ABC, con la suma de sus tres ángulos, siendo K la curvatura
en cada punto de la superficie en cuestión.
Si analizamos las superficies de curvatura constante, nos encontramos con tres
posibilidades:
a) Si K = 0 entonces la integral de superficie es igual a
cero, y por tanto en este tipo de superficies se cumple que  +
b) Si K > 0, si hacemos K = 1/k2 >
0 , entonces la integral de superficie nos indica que
 +
Sobre superficies de curvatura positiva la suma de los ángulos de un
triángulo geodésico es mayor que Π.
Además como ∫Tds = Δ = Área del triángulo, tenemos que el área del
triángulo geodésico ABC es proporcional al exceso de la suma de sus tres
ángulos sobre el valor de 180", o bien
Δ = k2(Â +
Una superficie de curvatura constante y positiva K = 1/k2 es
necesariamente una esfera de radio k. Estas fórmulas son, entonces,
consistentes con las de Lambert y Taurinus (capítulo 6).
c) Si K < 0, si hacemos K = - 1/k2 <
0, entonces la integral de superficie nos indica que  +
Sobre superficies de curvatura negativa la suma de los ángulos de un triángulo
geodésico es menor que Π.
Siguiendo los pasos anteriores, obtenemos
Δ = k2(Π - Â -
que nos indica que el área del triángulo geodésico ABC es proporcional
al defecto de la suma de sus tres ángulos sobre el valor de 180°.
Las superficies de curvatura nula y de curvatura constante positiva ya eran
conocidas, corresponden a la geometría plana euclidiana y a la geometría sobre
una esfera. Mientras que la curvatura negativa está relacionada con la
geometría de Lobachevski o hiperbólica.
El siguiente esquema es suficientemente explicativo:
A partir de la década de los 60 del siglo XIX, el camino geométrico que
iniciaron Gauss, Lobachevski y Bolyai discurrió por una etapa que el filósofo y
matemático británico Bertrand Russell llamó etapa métrica. Representantes de
dicha corriente son B. Riemann y Hermann von Helmholtz (1821-1894),
iniciándose, en paralelo, la llamada investigación sintética o proyectiva. Con
la figura del geómetra A. Cayley (1821-1895) se abre un nuevo camino, ya que
fue el primero en realizar el intento de generar un espacio euclídeo a partir
de un espacio proyectivo. El testigo lo recogió F. Klein demostrando que era
posible generalizar el método de Cayley tanto para espacios euclidianos como no
euclidianos. En 1872, en el Programa de Erlangen, queda plasmada la idea central
de Klein de que las diferentes geometrías pueden ser caracterizadas como un
grupo de transformaciones y que una geometría trata realmente de los
invariantes de ese grupo de transformaciones.
Felix Klein
Curiosamente el interés por las geometrías no euclídeas declinó poco
después de la obra de Klein, en parte porque éste fue capaz de generalizar
todas las geometrías conocidas, y en parte porque no se veían aplicaciones de
dichas geometrías al mundo real. Además, no hay que olvidar la primacía que por
esos años tenía la geometría proyectiva, incluso B. Russell (1897) se atrevió a
decir “que la geometría proyectiva era necesariamente la forma a priori de
cualquier geometría del espacio físico”.
§. Problema de la consistencia
Con el paso de los años quedaba una gran pregunta sin resolver: ¿eran
consistentes las geometrías no euclidianas que se habían inventado?
La consistencia de estas geometrías se estableció partiendo del supuesto
de que la geometría euclídea era consistente. Los modelos anteriores nos dicen
claramente que si la geometría euclidiana es consistente entonces la geometría
hiperbólica o imaginaria también lo es.
Para la mayoría de los matemáticos, hasta 1880, la geometría que propuso
Euclides era perfectamente consistente, y además era aceptada como la única
geometría que explicaba el mundo físico. Sin embargo, no había una demostración
rigurosa y convincente de que la geometría euclidiana fuera consistente.
El panorama era el siguiente: teníamos modelos perfectamente
consistentes dentro de una geometría que se admitía consistente. Por tanto, era
urgente abordar el problema de consistencia dentro de la geometría clásica (la
de Euclides). En ello se pusieron a trabajar los mejores matemáticos de la
época. Había que pulir las demostraciones, definir y precisar términos no
definidos, completar los teoremas que faltaban, revisar las demostraciones
realizadas anteriormente, proponer nuevas definiciones y postulados, etc. El
asunto que tenían entre manos era, ni más ni menos, fundamentar la geometría.
Capítulo 14
Fundamentación de la geometría
“La lógica es el arte de equivocarse con confianza".
Anónimo
El demostrar que la geometría de Lobachevski no es contradictoria se
reduce a formular de una manera completa y exacta sus postulados. Además, como
los supuestos iniciales de la geometría de Lobachevski sólo difieren de los de
la de Euclides en el postulado de las paralelas, la tarea consiste en dar una
formulación completa y precisa a los postulados de la geometría de Euclides.
Como ya sabemos, tal formulación no se encuentra en la obra de Euclides
El trabajo de construir los postulados de Euclides de una forma exacta y
completa surgió precisamente en conexión con el desarrollo de la geometría de
Lobachevski, así como de una tendencia general a hacer más rigurosos los
fundamentos de las matemáticas.
Como una generalización de los sistemas axiomáticos de las geometrías no
euclidianas se inicia una etapa conocida como etapa axiomática
formalizada, y aparece una nueva idea de rigor lógico: los sistemas
axiomáticos formales.
En este periodo hay un riguroso tratamiento de la geometría de Euclides,
y varios matemáticos trabajan en esta línea: Moritz Pasch (1843-1930), Giuseppe
Peano (1858-1932), Giuseppe Veronese (1854-1927), Mario Pieri (1860-1913) y
David Hilbert (1862-1943), entre otros.
§. Hilbert y sus Fundamentos de la geometría
La obra de Hilbert Fundamentos de la geometría (1899)
es considerada actualmente como una réplica moderna de los Elementos de
Euclides.
El académico español José M. Sánchez Ron dice al respecto:
“Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la geometría) es todo un
clásico de la Matemática, una obra cuya influencia se dejó sentir durante mucho
tiempo en diversas áreas del pensamiento matemático y filosófico. Ninguno de
sus precursores se le puede comparar en perfección y capacidad de persuasión.
Con un mínimo de simbolismo, Hilbert convenció a la mayor parte de los
geómetras, como ni Pasch o Peano habían logrado, del carácter abstracto y
puramente formal de la Geometría, y su gran autoridad estableció el método
axiomático, no sólo en la Geometría del siglo XX, sino también en casi toda la
Matemática a partir de 1900.
Como trabajo constituyó en su momento una cierta novedad, ya que hasta entonces
su autor apenas se había ocupado de la Geometría: únicamente había publicado en
1895 una nota acerca
de la línea recta como el camino más corto entre dos puntos, en donde
presentaba una generalización del modelo de geometría hiperbólica propuesto por
Cayley y Klein . No obstante, parece que los gérmenes de Grundlagen der
Geometrie se encontraban en la mente de Hilbert desde mucho antes de 1899, al
menos esto es lo que se deduce de una anécdota contada por Otto Blumenthal
(1876-1944), quien señaló que a comienzos de 1891, regresando en tren a
Königsberg después de haber asistido a una conferencia de Hermana Wiener en
Halle dedicada a los fundamentos y estructura de la Geometría (más
concretamente, al papel de los teoremas de Desargues y Pascal-Pappus), Hilbert
manifestó: «Uno debería ser capaz de decir siempre, en lugar de puntos, líneas
rectas y planos; mesas, sillas y jarras de cerveza»
En la obra de Hilbert se sistematiza, con rigor lógico formal, el saber
geométrico anterior. Hilbert inicia su famosa obra estableciendo tres clases de
objetos a los cuales denomina puntos, rectas y planos. Admite
que tales elementos están en relaciones mutuas que designa por expresiones
como estar en, entre, paralelo, congruente y continuo, cuya
exacta y completa descripción se consigue por medio de los axiomas o postulados
de la geometría. La relación de los axiomas de la geometría está basada en los
conceptos de punto, línea, recta, movimiento, y nociones tales como: el punto X
está sobre la recta a; el punto B se encuentra entre los
puntos A y C ; un movimiento lleva el punto X sobre el punto
Y.
"Concebimos los puntos, rectas y planos en ciertas relaciones
recíprocas y expresamos estas relaciones con palabras tales como “estar
situado”, “entre”, “congruente”, “paralelo”, “continuo”. La descripción
completa de estas relaciones hecha exactamente y con fines matemáticos resulta
de los axiomas de la Geometría. Los axiomas de la Geometría podemos dividirlos
en cinco grupos: cada uno de estos grupos, aisladamente, expresa ciertos hecho
fundamentales correspondientes a nuestra intuición”.
D. Hilbert
En el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en París
en 1900, Hilbert pronunció una famosa conferencia en la que intentó, basándose
en las principales tendencias de las investigaciones matemáticas de finales del
siglo XIX, predecir de alguna manera las direcciones futuras de los progresos
matemáticos. Para ello propuso veintitrés problemas que, a sus ojos,
representaban los puntos de discusión que podrían eventualmente hacer progresar
las matemáticas.
Los problemas sugeridos por Hilbert provienen de diferentes áreas de las
matemáticas y se adivina fácilmente la profundidad y complejidad de su
contenido. Se incluye la hipótesis del continuo, la buena ordenación de los
números reales, la conjetura de Goldbach, la trascendencia de las potencias de
números algebraicos, la hipótesis de Riemann, la extensión del principio de
Dirichlet y muchos otros temas.
Una de estas cuestiones era: ¿son las matemáticas decidióles? es decir,
¿hay un método definido que pueda aplicarse a cualquier sentencia matemática y
que nos diga si esa sentencia es cierta o no? Esta cuestión recibió el nombre
de entscheidungsproblem (problema de decisión) y para
resolverla, Alan
Turing (1912-1954), construyó, en 1936, un modelo formal de computador,
conocido como la máquina de Turing y demostró que había
problemas que una máquina no podía resolver.
La primera edición de Fundamentos de la geometría de Hilbert (89 páginas),
apareció en un volumen que también incluía un trabajo de E. Wiechert. Se
publicó en 1899 en Leipzig.
En Fundamentos de la geometría, Hilbert afirma que los
axiomas o postulados (actualmente estos términos se consideran equivalentes)
son proposiciones absolutamente arbitrarias cuyo conjunto constituye la
definición implícita de los conceptos primitivos. Demuestra la compatibilidad e
independencia de sus axiomas o postulados y, con todos ellos, establece los
teoremas o demostraciones de la geometría, mediante razonamientos puramente
lógicos.
La construcción axiomática formal debida a Hilbert ha sido modificada en
los últimos años, aunque conservando la estructura que él le dio. En ese
sentido son notables las contribuciones del matemático italo-argentino Beppo
Levi.
En síntesis, la geometría euclidiana, con los axiomas de Hilbert, es un
sistema axiomático deductivo, cuyos objetos no son objetos físicos, sino,
ideales o sea, pertenecen a un espacio conceptualizado. Como en todo sistema
deductivo, los axiomas o postulados deben cumplir ciertas condiciones
(consistencia o no contradicción, independencia, completitud). Se trata, en
definitiva, de un modelo clásico construido sobre las ideas de Euclides.
Desgraciadamente la obra de Hilbert no está exenta de defectos e
imprecisiones y ha dado lugar a muchos trabajos y discusiones. La no
independencia del sistema axiomático de Hilbert fue señalada y subsanada por el
americano E. H. Moore en 1902 y por A. Rosenthal en 1912. Modernamente el
desarrollo axiomático más perfecto, según el modelo euclídeo, ha sido propuesto
por los polacos Karol Borsuk y W. Szmielew.
El largo camino iniciado con el estudio de las geometrías desembocó en
problemas de fundamentación. Hacia 1930 el estado de los fundamentos de las
matemáticas era tolerable, aunque es verdad que de vez en cuando se encontraban
paradojas y situaciones comprometidas, pero en el ánimo de los matemáticos
había grandes esperanzas de asentar las matemáticas sobre un sistema lógico
riguroso.
Había, no obstante, dos problemas que continuaban preocupando a los
matemáticos: el problema de establecer la consistencia de las matemáticas
(propuesto por Hilbert en 1900) y el problema de la completitud.
Hilbert
David Hilbert (1862-1943) nació en un pueblo cerca de Königsberg, la
capital de la Prusia del Este en aquella época (hoy Kaliningrado). Asistió a un
instituto en su ciudad natal. Después ingresaría en la
En 1931, el matemático Kurt Gödel (1906-1978) anunció a la comunidad
matemática un resultado espectacular, conocido como el teorema de la
incompletitud. Demostró que en cualquier sistema matemático axiomático, que
contenga la aritmética de los números enteros, hay proposiciones indecidibles,
es decir, tales que ni ellas ni su negación pueden ser verificadas con los
axiomas del sistema.
Este teorema es un hito en las matemáticas. Durante años se había
intentado establecer un conjunto de axiomas en el que se pudiesen basar todas
las matemáticas. Bertrand Russell (1872-1970) lo intentó en Principia
mathematica, David Hilbert también lo pretendió. Por fin, Kurt Gödel
demostró que la tarea era imposible.
La eminente posición que ocupaba en el mundo de las matemáticas, desde
su famosa conferencia del año 1900, hizo que otras instituciones quisieran
convencerlo de que abandonara Göttingen. En 1902, la Universidad de Berlín le
ofreció la cátedra de L. Fuchs (1833-1902), pero prefirió quedarse en Göttingen
y convenció a las autoridades para que crearan otro puesto de profesor para su
amigo Minkowski.
Hilbert trabajó sobre los invariantes algebraicos, geometría, ecuaciones
integrales, también se dedicó a la física (decía que era demasiado difícil para
los físicos), los fundamentos de las matemáticas y la lógica matemática. Entre
sus discípulos se encuentran Hermana Weyl (1885-1995), Ernst Zermelo
(1871-1953) y el campeón mundial de ajedrez Emanuel Lasker (1868-1941).
Hilbert recibió muchos honores y reconocimientos. En 1930 se retiró a su
ciudad, de la que fue nombrado hijo predilecto. Pronunció entonces un discurso
que acabó con sus seis palabras famosas: "Wir müssen wissen, wir werden
wissen" ("Debemos saber, de modo que sabremos").
Algunos axiomas o postulados de la geometría de Hilbert
Axiomas de incidencia o de enlace
1.
Por dos
puntos pasa una línea recta, y sólo una.
2.
Una línea
recta contiene al menos dos puntos.
3.
Existen
al menos tres puntos que no se hallan sobre una recta.
Axiomas de orden
1.
De cada
tres puntos que se hallan sobre una línea recta, hay uno que se encuentra entre
los otros dos.
2.
Si A y B
son dos puntos de una línea recta, existe al menos un punto C sobre la recta
tal que R se halla entre A y C.
3.
(Axioma
de Pasch) Sean A, B, C tres puntos que no pertenecen a una misma recta, y r una
recta en el plano ABC, que no contiene ninguno de los puntos A, B, C. Entonces,
si la recta r pasa por algún punto del segmento AB, también pasará o bien por
algún punto del segmento AC] o bien por algún punto del segmento BC.
Axiomas de congruencia (o de movimiento)
Los axiomas de este grupo definen el concepto de congruencia, y, con éste, el
de movimiento.
1.
Un
movimiento transforma rectas en rectas.
2.
Dos
movimientos efectuados sucesivamente equivalen a un solo movimiento
3.
Sean A y
B dos puntos, a y b dos semirrectas que parten de ellos, α y β dos semiplanos
limitados por las rectas prolongación de a y b ; entonces existe un único
movimiento que lleva A sobre B, a sobre b, y α sobre β.
Axiomas de continuidad
1.
(Axioma
de Arquímedes) Sean AB y CD segmentos arbitrarios. Entonces sobre la recta AB
existe un número finito de puntos A1, A2, A3,
An situados de manera que A1 está entre A y A2,
A2, está entre. A1 y A3, tales que los
segmentos AA1, A1 A2, A2,A3…An-1An son
congruentes al segmento CD y B está entre A y An.
2.
(Axioma
de Cantor o de la plenitud lineal). Supóngase que en una recta arbitraria a se
da una sucesión infinita de segmentos A1B1 , A2,B2…,
cada uno de los cuales está en el interior del precedente. Supóngase además
que, cualquiera que sea un segmento prefijado, existe un índice n para el cual
AnBn es menor que dicho segmento.
Entonces existe sobre la recta a un punto X que está en el interior de todos
los segmentos: A1B1 , A2B2...
(a la sucesión de segmentos suele llamársela: sucesión de segmentos encajados o
anidados.)
Axiomas de paralelismo
1.
Por un
punto que no está sobre una recta dada sólo se puede trazar una recta que no la
corte (Euclides).
1’. Por un punto que no está sobre una recta dada pasan al menos dos rectas que
no cortan a la primera recta (Lobachevski).
El resultado frustró a Hilbert, quien tenía confianza en la posibilidad de
fijar los fundamentos de las matemáticas mediante un proceso autoconstructivo en
el que la consistencia pudiera deducirse de una teoría lógica sencilla y
evidente.
Kurt Gödel
Gödel no creyó que sus conclusiones demostrasen la arbitrariedad del
método axiomático-deductivo, sino sólo que la deducción de teoremas no puede
mecanizarse del todo, justificando así el papel de la intuición en la
investigación formal.
Bertrand Russell
Morris Kline resume el desarrollo de la fundamentación de las
matemáticas con la siguiente parábola:
“A orillas del Rin, un hermoso castillo se había mantenido en pie
durante siglos. En los sótanos del castillo las laboriosas arañas que lo
habitaban habían construido una tupida red de telarañas. Un día sopló un fuerte
viento y destruyó la red. Las arañas se pusieron a trabajar frenéticamente para
reparar el daño. Creían que eran sus telarañas las que mantenían en pie el
castillo”
Cronología
En la época de Lobachevski el calendario utilizado en el imperio ruso
era el llamado calendario juliano (implantado por Julio César
en el año 47 a.C.). a diferencia de la mayoría de los territorios europeos que
ya habían adoptado el calendario gregoriano (elaborado
principalmente según las reglas establecidas por Luigi Lilio (1510-1576) y
establecido por bula papal de Gregorio XIII en 1582).
Las fechas que figuran a continuación corresponden al calendario
juliano.
|
1792 |
El 20 de noviembre (1 de diciembre en el calendario gregoriano) nace
Lobachevski en la ciudad de Nizhni Novgorod (llamada Gorki durante la época
soviética). |
|
1800 |
Muere su padre. La familia se traslada a la ciudad de Kazán. |
|
1802 |
El 5 de noviembre, es admitido en el Gymnasium (instituto) de Kazán,
al que asiste hasta 1807 |
|
1807 |
El 14 de febrero comienza sus estudios de matemáticas y ciencias
naturales en la Universidad de Kazán. |
|
1811 |
Aprueba con matrícula de honor el examen de maestría. Recibe, el 3 de
agosto, el grado de maestro en Ciencias Físicas y Matemáticas Comienza su
actividad como docente en la universidad. |
|
1814 |
El 26 de marzo es nombrado profesor adjunto. Ese mismo año comienza a
da clases de matemáticas puras y aplicadas. |
|
1816 |
El 7 de julio alcanza la categoría de profesor extraordinario del
departamento de matemáticas y física. |
|
1819 |
Comienza a dar cursos de física y astronomía. Además, asume las
funciones de director del observatorio. A finales de año, el 14 de diciembre,
es nombrado miembro del comité encargado de poner en orden la biblioteca. |
|
1820 |
El 19 de noviembre es elegido decano de la Facultad Físico- Matemática
(permanecerá en el cargo basta junio de 1821), ocupando el cargo que había
dejado vacante su profesor Bartels. |
|
1821 |
Realiza un viaje a San Petersburgo para comprar instrumentos de
astronomía y física, así como libros de matemáticas. |
|
1822 |
Es elegido, el 25 de febrero, profesor titular. Poco después, el 16 de
marzo, es nombrado miembro del comité de construcción universitario. |
|
1823 |
Es nuevamente elegido decano de la Facultad Físico- Matemática. Ocupa
dicho cargo desde junio de 1823 hasta agosto de 1825. |
|
1825 |
Es elegido bibliotecario de la universidad y presidente del comité de
construcción. Además de sus obligaciones, imparte cursos sobre estática y
dinámica. |
|
1826 |
Recibe el título de bibliotecario, permaneciendo en dicho cargo hasta
el 22 de marzo de 1835. El 11 de febrero lee una memoria que contiene los
principios de una geometría no euclidiana. Esta fecha es considerada como el
nacimiento de la geometría no euclidiana. |
|
1827 |
El 30 de julio es elegido rector de la Universidad de Kazán. Desempeña
dicho cargo, de forma ininterrumpida, desde el 25 de agosto de 1827 hasta el
14 de agosto de 1846. |
|
1828 |
Pronuncia, el 5 de julio, su famoso discurso “Sobre las materias de la
educación social". |
|
1829-1839 |
Se publican en varias revistas diversas memorias geométricas. Entre
ellas está “Acerca de los principios de geometría” (1829-30), primera obra
publicada sobre la geometría no euclidiana, “Geometría imaginaria” (1835),
“Aplicación de la geometría imaginaria a algunas integrales” (1836) y “Nuevos
elementos de geometría con una teoría completa de las paralelas” (1835-38). |
|
1832 |
El 16 de octubre contrae matrimonio con Varvara A. Moiséeva. |
|
1834 |
Publica un libro titulado El álgebra o el cálculo de los
finitos. |
|
1840 |
Publica en alemán el libro Geometrische Untersuchungen zur
Theorie der Parallellinien. |
|
1842 |
A propuesta de Gauss, es nombrado miembro de honor de la Sociedad
Científica de Göttingen. |
|
1846 |
Se retira de la universidad. El 18 de abril pasa al protectorado de
los centros docentes de Kazán. |
|
1855 |
Publica "Pangeometria", su última obra. El 12 de noviembre,
por razones de salud, es liberado de todas sus responsabilidades académicas. |
|
1856 |
El 12 de febrero fallece Lobachevski en la ciudad de Kazán. |
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Notas:
[1] Más
información en el libro Arquímedes. Alrededor del círculo de R. Torija Herrera,
en esta misma colección de NIVOLA.
[2] Más
información sobre este matemático en el libro Legendre. La honestidad
de un científico de Ana Garcia Azcárate (NIVOLA, 2002).
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