© Libro N° 6255.
¿Es Dios Un Matemático? Livio,
Mario. Emancipación. Julio 27 de 2019.
Título
original: © ¿Es Dios Un Matematico? Mario Livio
Versión Original: ©¿Es Dios Un Matematico? Mario Livio
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Miranda
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¿ES DIOS UN MATEMÁTICO?
Mario Livio
CONTENIDO
Prefacio
Un
misterio
Místicos:
el numerólogo y el filósofo
Magos:
el maestro y el hereje
Magos:
el escéptico y el gigante
Estadísticos
y probabilistas: la ciencia de la incertidumbre
Geómetras:
el shock del futuro
Lógicos:
pensar sobre el razonamiento
¿Eficacia
inexplicable?
Acerca
de la mente humana, la matemática y el universo
Bibliografía
A
Sofie
Prefacio
Cuando
uno trabaja en cosmología (el estudio del cosmos en su conjunto), el pan
nuestro de cada día es recibir semanalmente alguna carta, correo electrónico o
fax de una persona (que suele ser invariablemente hombre) que pretende
describirte su visión del universo. El mayor error que se puede cometer es
responder educadamente que te gustaría saber algo más acerca de ello. El
resultado inmediato es un aluvión de mensajes. ¿Hay alguna forma de impedir
este asalto? Según mi experiencia, una táctica que funciona de forma bastante
eficaz (aparte de la descortesía de no responder en absoluto) es señalar la
siguiente realidad: que, mientras la teoría no esté formulada con precisión en
el lenguaje de la matemática, no es posible evaluar su relevancia. Esta respuesta
basta para disuadir a casi todos los cosmólogos aficionados. El hecho es que,
sin la matemática, los cosmólogos modernos no podrían haber dado siquiera el
primer paso en su intento de comprensión de las leyes de la naturaleza. La
matemática proporciona unos sólidos cimientos que sostienen cualquier teoría
del universo. Esto puede parecer trivial hasta que uno toma conciencia de que
la propia naturaleza de la matemática no está del todo clara. En palabras del
filósofo británico Michael Dummett (1925-): «Las dos disciplinas intelectuales
más abstractas, la filosofía y la matemática, provocan la misma perplejidad:
¿cuál es su objeto? Esta perplejidad no surge únicamente de la ignorancia: los
mismos profesionales de estas materias tienen dificultades para dar respuesta a
esa pregunta».
Mi humilde propósito en este libro es aclarar algunos de los aspectos de la
esencia de la matemática y, sobre todo, la naturaleza de la relación entre la
matemática y el mundo tal como lo observamos. No es mi intención elaborar una
historia exhaustiva de la matemática, sino más bien seguir cronológicamente la
evolución de algunos conceptos que influyen directamente en la comprensión del
rol de la matemática en nuestra noción del cosmos.
Muchas son las personas que han contribuido, directa o indirectamente y a lo
largo de mucho tiempo, a dar forma a las ideas que se presentan en este libro.
Querría dar las gracias a Michael Atiyah, Gia Dvali, Freeman Dyson, Hillel
Gauchman, David Gross, Roger Penrose, Martin Rees, Raman Sundrum, Max Tegmark,
Steven Weinberg y Stephen Wolfram por sus amables comentarios. Estoy en deuda
con Dorothy Morgenstern-Thomas por permitirme utilizar el texto completo del
relato de Oscar Morgenstern sobre las experiencias de Kurt Gödel con el
Servicio de Inmigración y Naturalización (INS). Agradezco también a William
Christens-Barry, Keith Knox, Roger Easton y en particular a Will Noel su
gentileza al explicarme sus esfuerzos en la operación de descifrar el
palimpsesto de Arquímedes. Un agradecimiento especial para Laura Garbolino por
proporcionarme materiales esenciales y archivos singulares acerca de la
historia de la matemática. También quiero dar las gracias a los departamentos
de Colecciones Especiales de la Universidad Johns Hopkins, la Universidad de
Chicago y de la Bibliothèque Nationale de Francia en París, por ayudarme a
localizar algunos manuscritos excepcionales.
Estoy en deuda con Stefano Casertano por su ayuda con ciertas complicadas
traducciones del latín, y con Elizabeth Fraser y Jill Lagerstrom por su
inapreciable asistencia bibliográfica y lingüística (siempre con una sonrisa).
Un agradecimiento especial va también para Sharon Toolan por su apoyo
profesional en la preparación para la imprenta, y para Ann Feild y Krista Wildt
por dibujar algunas de las figuras.
Todo autor debería considerarse afortunado por recibir de su pareja un apoyo y
paciencia continuos, como el que yo he recibido de mi mujer, Sofie, durante el
largo período de elaboración de este libro.
Por último, quisiera dar las gracias a mi agente, Susan Rabiner, sin cuyos
ánimos esta obra no hubiese visto jamás la luz. Estoy también en deuda con mi
editor, Bob Bender, por su cuidadosa lectura del manuscrito y sus perspicaces
comentarios, con Johanna Li por su inestimable ayuda en la producción del
libro, con Loretta Denner por sus correcciones, con Victoria Meyer por su labor
de promoción y con todo el equipo de producción y marketing de Simon &
Schuster por su esfuerzo.
Capítulo
1
Un misterio
Hace
unos años, durante una charla que daba en la Universidad de Cornell, una de mis
diapositivas de PowerPoint, decía: « ¿Es Dios un matemático?». Nada
más aparecer, uno de los estudiantes de las primeras filas exclamó: «¡Por Dios,
espero que no!».
Mi pregunta retórica no era un intento filosófico de definir «Dios» a mi
público, ni una confabulación para intimidar a los matemafóbicos. En realidad
sólo estaba presentando un misterio que ha tenido en vilo a las mentes más
originales durante siglos: la aparente omnipresencia y omnipotencia de la
matemática. Este tipo de características suelen asociarse con los entes
divinos. Como decía el físico británico James Jeans [1](1877-1946):
«El universo parece haber sido diseñado por un matemático puro». La matemática
parece ser excepcionalmente eficaz para describir y explicar, no sólo el Cosmos
en su conjunto, sino incluso algunas de las iniciativas más caóticas del
hombre.
Ya se trate de físicos que intentan formular teorías sobre el universo,
analistas de bolsa que se devanan los sesos para predecir cuándo volverá a caer
el mercado, neurobiólogos que construyen modelos de las funciones cerebrales o
estadísticos militares que optimizan la asignación de recursos, todos ellos
utilizan la matemática. Es más, incluso cuando aplican formalismos
desarrollados en ramas distintas de la matemática, todos hacen referencia a la
misma matemática, global y coherente. ¿Qué es lo que otorga a la matemática tan
extraordinario poder? O, como Einstein se preguntaba: [2] «¿Cómo es
posible que la matemática, un producto del pensamiento humano independiente
de la experiencia se ajuste de modo tan perfecto a los objetos de la
realidad física?». (La cursiva es mía.)
Esta sensación de extrema perplejidad no es nueva. Algunos filósofos de la
antigua Grecia, especialmente Pitágoras y Platón, quedaron sobrecogidos por la
aparente capacidad de la matemática para dar forma y guía al universo y al
mismo tiempo existir, al parecer, más allá de la capacidad humana de alterarlo,
dirigirlo e influir sobre él. El filósofo político inglés Thomas Hobbes
(1588-1679) no pudo tampoco ocultar la admiración que sentía. En Leviatán,
la impresionante exposición de Hobbes sobre los fundamentos de la sociedad y
del gobierno, señaló a la geometría como paradigma [3] de la
argumentación racional:
Si
advertimos, pues, que la verdad consiste en la correcta ordenación de los
nombres en nuestras afirmaciones, un hombre que busca la verdad precisa tiene
necesidad de recordar lo que significa cada uno de los nombres usados por él, y
colocarlos adecuadamente; de lo contrario, se encontrará él mismo envuelto en
palabras, como un pájaro en el lazo; y cuanto más se debata tanto más apurado
se verá. Por esto en la Geometría (única ciencia que Dios se complació en
comunicar al género humano) comienzan los hombres por establecer el significado
de sus palabras; esta fijación de significados se denomina definición, y se
coloca en el comienzo de todas sus investigaciones.
Milenios
de admirables investigaciones matemáticas y eruditas especulaciones filosóficas
apenas han servido para desentrañar el enigma del poder de la matemática. De
hecho, la magnitud del misterio incluso ha crecido. El célebre físico
matemático de Oxford Roger Penrose, por ejemplo, percibe en la actualidad no un
simple misterio, sino tres. Penrose identifica tres «mundos» distintos[4]: elmundo de
nuestra percepción consciente, el mundo físico y el mundo
platónico de las formas matemáticas. El primero de los mundos alberga
nuestras imágenes mentales: cómo percibimos los rostros de nuestros hijos, cómo
disfrutamos de una espléndida puesta de sol o cómo reaccionamos a las
terroríficas imágenes de la guerra. Es también el mundo que contiene el amor,
los celos y los prejuicios, así como nuestra percepción de la música, de los
olores de la comida o del miedo. El segundo mundo es aquel al que solemos
llamar realidad física. En él residen las flores, los dinosaurios, las nubes
blancas y los aviones de reacción, y también las galaxias, los planetas, los
átomos, los corazones de los babuinos y los cerebros humanos. El mundo
platónico de las formas matemáticas, que para Penrose posee una calidad real
comparable a los mundos físico y mental, es la patria de la matemática. En él
podrá encontrar los números naturales 1, 2, 3, 4… las formas y teoremas de la
geometría de Euclides, las leyes del movimiento de Newton, la teoría de
cuerdas, la teoría de catástrofes y los modelos matemáticos del comportamiento
del mercado de valores. Y ahora vienen, según Penrose, los tres misterios. En
primer lugar, el mundo de la realidad física parece obedecer leyes que en
realidad residen en el mundo de las formas matemáticas. Este era el enigma que
dejaba perplejo a Einstein e igualmente atónito al premio Nobel Eugene
Wigner [5](1902-1995):
El
milagro de la articulación entre el lenguaje, la matemática y la formulación de
las leyes de la física es un obsequio maravilloso que no comprendemos ni
merecemos. Deberíamos estar agradecidos por ello y esperar que siga siendo
válido en ulteriores investigaciones y que se extienda, para bien o para mal,
para nuestro placer o incluso para nuestro desconcierto, a otras ramas del
conocimiento.
En
segundo lugar, las propias mentes que perciben —el reino de nuestra percepción
consciente— se las han arreglado para surgir del mundo físico. Literalmente,
¿cómo ha podido la mente nacer de la materia?
¿Seremos algún día capaces de formular una teoría del funcionamiento de la
conciencia que sea tan coherente y convincente como, por ejemplo, la actual
teoría del electromagnetismo? Finalmente, el círculo se cierra misteriosamente.
Por medio de algún milagro, esas mismas mentes han sido capaces de acceder al
mundo matemático al descubrir, o crear, y dar articulación a un capital de
formas y conceptos matemáticos.
Penrose no ofrece explicación alguna a ninguno de los tres «misterios», sino
que concluye, de forma lacónica: «No cabe duda de que en realidad no hay tres
mundos sino uno solo, cuya verdadera naturaleza actualmente somos
incapaces siquiera de entrever». Es un reconocimiento mucho más humilde que la
respuesta del profesor de la obra Forty Years On, del autor inglés
Alan Bennett, a una pregunta similar:
Foster:
La trinidad sigue pareciéndome confusa, señor.
Profesor: Tres en uno, uno en tres; está meridianamente claro. Si tienes alguna
duda, consulta con tu profesor de matemáticas.
El
enigma es aún más intrincado de lo que he sugerido hasta ahora. En realidad, el
éxito de la matemática en dar explicación al mundo que nos rodea (un éxito al
que Wigner denominaba «la irrazonable eficacia de la matemática») tiene dos
caras, cada una más asombrosa que la otra. En primer lugar tenemos el aspecto,
digamos, «activo». Cuando los físicos deambulan por el laberinto de la
naturaleza, utilizan la matemática para iluminar su camino: las herramientas
que emplean y desarrollan, los modelos que construyen y las explicaciones que
conjuran son de naturaleza matemática. Aparentemente, esto es un milagro por sí
mismo. Newton observó la caída de una manzana, la luna y las mareas en las
playas (aunque de esto último no estoy muy seguro), y no ecuaciones matemáticas.
Sin embargo, de algún modo fue capaz de extraer de estos fenómenos naturales
una serie de leyes matemáticas de la naturaleza, claras, concisas y de
increíble precisión. De igual modo, James Clerk Maxwell (1831-1879) amplió el
campo de la física clásica para incluir la totalidad de los
fenómenos eléctricos y magnéticos conocidos en la década de 1860, y lo hizo con
tan sólo cuatro ecuaciones matemáticas. Reflexionen un momento
sobre ello. La explicación de una serie de resultados experimentales sobre luz
y electromagnetismo, cuya descripción había ocupado volúmenes enteros, se
redujo a cuatro sucintas ecuaciones. La relatividad general de
Einstein es aún más extraordinaria: se trata de un ejemplo perfecto de teoría
matemática coherente y de fantástica precisión que describe algo tan
fundamental como la estructura del espacio y del tiempo.
Pero también hay un aspecto «pasivo» de la misteriosa eficacia de la
matemática, tan sorprendente que, a su lado, el aspecto «activo» palidece en
comparación. ¡Los conceptos y las relaciones que los matemáticos exploran
únicamente por razones «puras» ( sin pensar en absoluto en su
aplicación) décadas (e incluso siglos) después acaban siendo las
inesperadas soluciones de problemas firmemente enraizados en la realidad física!
¿Cómo es posible? Tomemos, por ejemplo, el divertido caso del excéntrico
matemático británico Godfrey Harold Hardy (1877-1947). Hardy estaba tan
orgulloso de que su trabajo consistiese exclusivamente en matemática pura que
solía declarar con energía: [6]«Ninguno de mis
descubrimientos ha supuesto, o es probable que suponga, de forma directa o
indirecta, para bien o para mal, diferencia alguna en el funcionamiento del
mundo». Lo han adivinado: se equivocaba. Uno de sus trabajos, redivivo [7]en forma de ley
de Hardy-Weinberg (así llamada por Hardy y el médico alemán Wilhelm Weinberg
[1862-1937]), es un principio fundamental que los genetistas utilizan en el
estudio de la evolución de las poblaciones. En términos sencillos, la ley de
Hardy-Weinberg afirma que, si una gran población se aparea de forma totalmente
aleatoria (y no sufre los efectos de mutaciones, migraciones o selecciones), la
constitución genética permanece constante de una generación a la siguiente.
Incluso el aparentemente abstracto trabajo de Hardy en teoría de
números —el estudio de las propiedades de los números naturales— ha
hallado aplicaciones inesperadas. En 1973, el matemático británico Clifford
Cocks [8]empeló la
teoría de números para crear un avance decisivo en criptografía: el desarrollo
de los códigos. El descubrimiento de Cocks convirtió en obsoleta otra de las
afirmaciones de Hardy. En su famoso libro A Mathematician's Apology,
editado en 1940, Hardy declaraba: «Nadie ha descubierto aún ninguna finalidad
bélica para la teoría de números». Está claro que Hardy se equivocaba de nuevo.
Los códigos se han convertido en algo absolutamente esencial para las
comunicaciones militares. Así, incluso Hardy, uno de los más feroces críticos
de la matemática aplicada, acabó desarrollando sin querer (y probablemente
protestando a gritos, si hubiese estado vivo) teorías matemáticas útiles.
Pero esto no es más que la punta del iceberg. Kepler y Newton descubrieron que
los planetas de nuestro sistema solar siguen órbitas en forma de elipse, las
mismas curvas que, dos mil años antes, estudió el matemático griego Menechmo
(fl. ca. 350 a.C). Las nuevas geometrías sugeridas por Georg Friedrich Riemann
(1826-1866) en una conferencia clásica en 1854 resultaron ser exactamente las
herramientas que Einstein necesitaba para explicar el tejido del cosmos. Un
«lenguaje» matemático (la llamada teoría de grupos) que desarrolló
el joven genio Évariste Galois (1811-1832) con el único objetivo de determinar
la solubilidad de las ecuaciones algebraicas se ha convertido en nuestros días
en el idioma que los físicos, ingenieros, lingüistas e incluso antropólogos utilizan
para describir las simetrías del mundo. [9] Es más,
en cierto modo, el concepto de patrón de simetría matemático ha revolucionado
el mismo proceso de la ciencia. Durante siglos, el camino para comprender el
funcionamiento del cosmos empezaba por un conjunto de hechos experimentales u
observables a partir de los cuales, por ensayo y error, los científicos
intentaban formular leyes generales de la naturaleza. Se trataba de empezar por
observaciones locales y, a partir de ellas, armar el rompecabezas pieza a
pieza. En el siglo XX, al descubrir que en la estructura del mundo subatómico
subyacen esquemas matemáticos bien definidos, los físicos modernos empezaron a
actuar justamente al revés. Empiezan por los principios matemáticos
de simetría, exigen que las leyes de la naturaleza y, por supuesto, los bloques
básicos que constituyen la materia sigan determinados patrones y, a partir de
estos requisitos, deducen las leyes generales. ¿Cómo sabe la naturaleza que
debe obedecer a estas simetrías matemáticas abstractas?
En 1975 Mitch Feigenbaum, un joven físico matemático del Laboratorio Nacional
de Los Alamos, jugaba con su calculadora de bolsillo HP-65 examinando el
comportamiento de una ecuación sencilla. Se dio cuenta de que una serie de
números [10]que aparecía
en los cálculos se acercaba cada vez más a un número determinado: 4,669… Al
examinar otras ecuaciones, para su asombro, vio que el mismo curioso número
volvía a aparecer. Feigenbaum llegó a la conclusión de que su descubrimiento
representaba al universal, que en cierto modo marcaba la transición
entre orden y caos, a pesar de que no sabía explicar por qué. Como es lógico,
al principio los físicos se lo tomaron con escepticismo. Después de todo, ¿por
qué iba un mismo número a caracterizar el comportamiento de sistemas que, en
principio, parecían completamente distintos? Tras seis meses de evaluación
profesional, el primer artículo de Feigenbaum sobre el particular fue
rechazado. Sin embargo, poco después, los resultados experimentales mostraron
que, al calentar helio líquido desde debajo, su comportamiento era exactamente
el predicho por la solución universal de Feigenbaum. Y no se trataba del único
sistema en comportarse así. El sorprendente número de Feigenbaum aparecía en la
transición del flujo ordenado de un fluido al flujo turbulento, e incluso en el
comportamiento del agua que gotea en un grifo.
La lista de «previsiones» similares hechas por matemáticos de las necesidades
de diversas disciplinas en generaciones posteriores es inagotable. Uno de los
ejemplos más insólitos de la misteriosa e inesperada interacción entre la
matemática y el mundo real (físico) lo ofrece la historia de la teoría
de nudos, el estudio matemático de los nudos. Un nudo matemático se parece
a un nudo normal en una cuerda, pero con los extremos de la cuerda empalmados.
Es decir, un nudo matemático es una curva cerrada sin cabos sueltos.
Curiosamente, el impulso inicial de la teoría de nudos matemáticos procede de
un modelo incorrecto del átomo que se desarrolló en el siglo XIX. Cuando se
abandonó ese modelo —tan solo dos décadas después de su creación—, la teoría de
nudos siguió evolucionando como una recóndita rama de la matemática pura.
Increíblemente, esta abstracta empresa encontró de pronto numerosas
aplicaciones modernas en cuestiones que van desde la estructura molecular del
ADN a la teoría de cuerdas (el intento de unificar el mundo
subatómico con la gravedad). Volveré a hablar de esta notable historia en el
capítulo 8, ya que su circularidad es quizá la mejor prueba del modo en que una
rama de la matemática puede surgir del intento de explicar la realidad física,
y cómo esta rama deambula en el reino abstracto de la matemática para,
finalmente, volver de forma inesperada a sus orígenes.
¿Descubierta o inventada?
Basta
la somera descripción que he presentado hasta ahora para ofrecer pruebas
concluyentes de que el universo está gobernado por la matemática o, como
mínimo, es susceptible de ser analizado a través de ella. Como se mostrará en
este libro, la práctica totalidad de las iniciativas humanas, si no todas,
parecen emerger también de una subestructura matemática, incluso en las
situaciones más inesperadas. Vamos a examinar, por ejemplo, un caso del mundo
de las finanzas, la fórmula Black-Scholes (1973) para el precio de las
opciones. [11]El modelo
Black-Scholes supuso para sus creadores (Myron Scholes y Robert Carhart Merton;
Fischer Black falleció antes de la concesión del premio) el premio Nobel de
Economía. La ecuación principal del modelo permite comprender la asignación de
precios de las opciones (las opciones son instrumentos financieros que permiten
a los inversores comprar o vender acciones en un momento del futuro, a precios
previamente acordados). Pero he aquí un hecho sorprendente: en el núcleo de
este modelo reside un fenómeno que los físicos habían estudiado durante
décadas: el movimiento browniano, el estado de agitación que muestran las
partículas muy pequeñas, como el polen suspendido en el agua o las partículas
de humo en el aire. Por si esto fuera poco, esa misma ecuación se aplica
también a los movimientos de centenares de miles de estrellas en cúmulos
estelares, e incluso a las partículas subatómicas observadas en un detector.
¿No es, como diría la protagonista de Alicia en el país de las
maravillas, «curiorífico y curiorífico»? Después de todo, haga lo que haga
el cosmos, es innegable que los negocios y las finanzas son mundos creados por
la mente humana.
Vamos
a fijarnos en un problema habitual de los fabricantes de circuitos electrónicos
y de los diseñadores de ordenadores. Estos profesionales utilizan taladros
láser para practicar decenas de miles de pequeños orificios en sus placas. Para
minimizar costes, los diseñadores no quieren que su taladro se comporte como si
fuese un «turista accidental»; el problema consiste en hallar el «tour» más
corto entre orificios que pase una sola vez por cada uno de ellos. Pues bien,
resulta que los matemáticos llevan investigando este mismo problema,
denominado problema del viajante, desde los años veinte del pasado
siglo. En esencia, si un viajante comercial o un político en campaña tiene que
pasar por un número determinado de ciudades y se conoce el coste del viaje
entre cada par de ciudades, el viajante debe averiguar de algún modo cuál es la
forma más barata de visitar todas las ciudades y regresar al punto de partida.
El problema del viajante se resolvió [12]para 49
ciudades de Estados Unidos en 1954. En 2004 se resolvió para 24.978 ciudades en
Suecia. En otras palabras, la industria de la electrónica, las empresas de
paquetería que calculan las rutas de sus camiones o incluso los fabricantes
japoneses de máquinas de pachinko (que tienen que clavar
millares de clavos en los tableros de este juego similar al pinball)
deben apoyarse en la matemática para tareas simples como taladrar, planificar
trayectos y crear el diseño físico de los ordenadores.
La matemática ha hecho acto de presencia incluso en campos que tradicionalmente
no se han relacionado con las ciencias exactas. Por ejemplo, la revista Journal
of Mathematical Sociology, que llegó en 2006 a su volumen número 30, está
dedicada a la comprensión matemática de estructuras sociales complejas,
organizaciones y grupos informales. Los temas de los artículos de la revista
van desde modelos matemáticos para la predicción de la opinión pública hasta
las interacciones dentro de grupos sociales.
En la dirección contraria —de las matemáticas a las humanidades—, el campo de
la lingüística computacional, que al principio sólo incumbía a científicos
relacionados con la informática, se ha convertido ahora en una tarea de
investigación interdisciplinaria que reúne a lingüistas, psicólogos cognitivos,
lógicos y expertos en inteligencia artificial para el estudio de la complejidad
de los lenguajes evolucionados de forma natural.
Parece
como si, cada uno de los esfuerzos de las personas por comprender acabase por
sacar a la luz los aspectos cada vez más sutiles de la matemática sobre los que
se ha creado el universo y nosotros mismos, como entes complejos. ¿Qué broma es
ésta? ¿Es realmente la matemática, como les gusta decir a los educadores, el
libro de texto oculto que el profesor utiliza para parecer más listo que nadie
mientras ofrece a sus alumnos una versión simplificada? O, utilizando una
metáfora bíblica, ¿se trata, en cierto sentido, del fruto definitivo del «árbol
de la ciencia»?
Como
apunté al principio de este capítulo, la eficacia de la matemática más allá de
lo razonable hace surgir numerosos y fascinantes enigmas: ¿existe la matemática
de forma independiente de la mente humana? Dicho de otro modo, ¿estamos
simplemente descubriendo las verdades matemáticas, igual que
los astrónomos descubren galaxias desconocidas hasta el momento? ¿O quizá la
matemática es sólo una invención humana? Si realmente la matemática
existe en algún abstracto país de nunca jamás, ¿cuál es la relación entre este
mundo místico y la realidad física? ¿Cómo es capaz el cerebro humano, con sus
limitaciones, de acceder a este mundo inmutable, más allá del espacio y del
tiempo? Por otro lado, si la matemática no es más que una invención del hombre
que no existe fuera de nuestras mentes, ¿cómo podemos explicar el hecho de que
la invención de tantas verdades matemáticas se adelantó de forma milagrosa a
cuestiones acerca del cosmos y de la vida humana que ni siquiera se plantearon
hasta siglos más tarde? Estas preguntas no son fáciles de responder. Como se
mostrará ampliamente en este libro, ni siquiera los matemáticos, científicos
del conocimiento y filósofos modernos se han puesto de acuerdo en las
respuestas. En 1989, el matemático francés Alain Connes, ganador de dos de los
premios con más prestigio de la matemática, la medalla Fields (1982) y el
premio Crafoord (2001) expresó su punto de vista con claridad: [13]
Tomemos,
por ejemplo, los números primos [aquellos que sólo son divisibles por sí mismos
y por la unidad] que, por lo que a mí respecta, constituyen una realidad más
estable que la realidad material que nos rodea. El matemático de profesión se
puede comparar con un explorador que se pone en marcha para descubrir el mundo.
A partir de la experiencia se pueden descubrir hechos básicos. Por ejemplo,
basta con unos sencillos cálculos para darse cuenta de que la serie de números
primos parece no tener fin. El trabajo del matemático es entonces demostrar
que, efectivamente, hay una infinidad de números primos. Este es un resultado
antiguo, como sabemos, y se lo debemos a Euclides. Una de las consecuencias más
interesantes de esta demostración es que, si alguien afirma un día que ha
descubierto el mayor número primo que existe, será fácil demostrar que se
equivoca. Esto mismo es válido para cualquier demostración. Nos enfrentamos
pues a una realidad estrictamente igual de incontestable que la
realidad física . (El subrayado es mío.)
El
famoso autor de libros de matemática recreativa Martin Gardner se alinea
también con la idea de la matemática como descubrimiento. Para él,
no cabe duda de que los números y la matemática tienen una existencia propia,
independientemente de que los hombres sepan de ella. Según su propia e
ingeniosa afirmación: [14]«Si dos
dinosaurios se uniesen a otros dos dinosaurios en un claro, habría cuatro
dinosaurios, aunque no hubiese ningún humano allí para observarlo y las bestias
fuesen demasiado estúpidas para saberlo». Tal como resaltaba Connes, los
partidarios de la perspectiva de «matemática como descubrimiento» (que, como
veremos, se ajusta al punto de vista platónico) señalan que, una vez que se
comprende determinado concepto matemático, como los números naturales 1, 2, 3,
4…, nos enfrentamos a una serie dehechosinnegables, como 32 +
42 = 5 2 independientemente de lo
que opinemos al respecto. La impresión es que estamos en
contacto con una realidad preexistente.
Otras personas no están de acuerdo. En la crítica de un libro [15]en el que
Connes presentaba sus ideas, el matemático británico Michael Atiyah (ganador de
la medalla Fields en 1966 y del premio Abel en 2004) señalaba:
Cualquier
matemático no puede menos que simpatizar con Connes. Todos tenemos la sensación
de que los números enteros, o los círculos, existen realmente en algún sentido
abstracto, y el punto de vista platónico* (*El punto de vista platónico se
describirá en detalle en el capítulo 2.) es terriblemente seductor. Pero
¿podemos realmente defenderlo? Si el universo fuese unidimensional, o incluso
discreto, parece difícil concebir cómo podría haber evolucionado la geometría.
Parece que con los números enteros el terreno en el que pisamos es más sólido,
que contar es un concepto realmente primordial. Pero imaginemos que la
inteligencia no se hubiese desarrollado en el hombre, sino en una especie de
medusa colosal, solitaria y aislada en los abismos del océano Pacífico. Este
ente no tendría experiencia alguna de los objetos individuales, ya que sólo
estaría rodeado de agua. Sus datos sensoriales se reducirían a movimiento,
temperatura y presión. En este continuo puro, el concepto de discreto no podría
surgir ni, por consiguiente, habría nada que contar.
Atiyah,
por lo tanto, cree que «el Hombre ha creado la matemática
mediante la idealización y abstracción de elementos del mundo físico. El
lingüista George Lakoff y el psicólogo Rafael Núñez piensan lo mismo. En su
libro Where Mathematics Comes From, su conclusión es que «la
matemática es una parte natural de la condición humana. Surge de nuestros
cuerpos, nuestros cerebros y nuestra experiencia cotidiana del mundo». (La
cursiva es mía.)
El punto de vista de Atiyah, Lakoff y Núñez suscita otra interesante pregunta.
Si la matemática es por completo una invención del hombre, ¿es realmente universal?
En otras palabras, si existen civilizaciones extraterrestres, ¿inventarían la
misma matemática? Carl Sagan (1934-1996) pensaba que la respuesta a esta
pregunta era afirmativa. En su libro Cosmos, al comentar qué tipo
de señales transmitiría al espacio una civilización inteligente, decía: «Es muy
improbable que cualquier proceso físico natural pueda transmitir mensajes de
radio que sólo contengan números primos. Si recibiéramos un mensaje de este
tipo deduciríamos que allí fuera hay una civilización que por lo menos se
entusiasma con los números primos». Pero ¿cuál es la certeza de esta
afirmación? En su reciente libro A New Kind of Science, el físico
matemático Stephen Wolfram sostiene que lo que llamamos «nuestra matemática»
puede representar una única posibilidad dentro de una amplia variedad de
posibles «sabores» de la matemática. Por ejemplo, en lugar de utilizar reglas
basadas en ecuaciones matemáticas para describir la naturaleza, podríamos
utilizar tipos distintos de reglas en forma de programas de ordenador simples.
Es más, algunos cosmólogos han comentado recientemente la posibilidad de que
nuestro universo no sea más que uno de los miembros de un multiverso,
un inmenso conjunto de universos. Si ese multiverso existe realmente, ¿acaso
esperamos que la matemática sea la misma en los otros universos?
Los biólogos moleculares y los científicos cognitivos traen su propia
perspectiva a la palestra a partir de los estudios de las facultades del
cerebro. Para algunos de estos investigadores, la matemática no difiere en
realidad demasiado del lenguaje. En otras palabras, en este
escenario «cognitivo», después de eones de observar dos manos, dos ojos y dos
pechos, ha surgido una definición abstracta del número 2, de un modo similar a
como la palabra «ave» ha llegado a representar a numerosos animales de dos alas
que vuelan. Como dice el neurocientífico francés Jean-Pierre Changeux: [16]«Para mí, el
método axiomático [que se utiliza, por ejemplo, en geometría euclidiana] es la
expresión de la conexión de las facultades cerebrales con el uso del cerebro
humano, ya que aquello que caracteriza al lenguaje es precisamente su carácter
generativo». Pero, si la matemática no es más que otro lenguaje, ¿cómo se
explica el hecho de que numerosos niños encuentren dificultades en su estudio,
a pesar de la facilidad de los niños para el estudio de idiomas? La niña
prodigio escocesa Marjory Fleming (1803-1811) describió de una forma muy
graciosa el tipo de dificultades que los estudiantes sufren con las
matemáticas. Fleming, que no llegó a ver su noveno cumpleaños, dejó escritos
diarios con más de 9.000 palabras en prosa y 500 líneas en verso. En cierto
momento se queja: «Ahora les voy a hablar de los horribles y condenados apuros
que me dan las tablas de multiplicar; ni se lo imaginan. Lo más infernal del
mundo es siete por siete y ocho por ocho; ni la misma naturaleza es capaz de
soportar eso». [17]
Algunos de los elementos de las complejas cuestiones que he planteado se pueden
reformular: ¿hay alguna diferencia fundamental entre la matemática y otras
formas de expresión de la mente humana, como las artes visuales o la música? Si
no es así, ¿por qué la matemática está dotada de una impresionante coherencia y
regularidad que no parece existir en ninguna otra creación humana? Por ejemplo,
la geometría de Euclides es igual de correcta en nuestros días (dentro de su
campo de aplicación) como lo era en el año 300 a.C; representa «verdades» que
son obligatorias. En cambio, no sentimos obligación alguna de
escuchar la misma música que escuchaban los antiguos griegos, ni de estar de
acuerdo con el ingenuo modelo cósmico de Aristóteles.
Muy pocas disciplinas de la actualidad emplean ideas que tienen tres mil años
de antigüedad. Por otra parte, las últimas investigaciones en matemática pueden
hacer referencia a teoremas publicados el año pasado, pero también utilizar la
fórmula de la superficie de una esfera que Arquímedes demostró alrededor del
año 250 a.C. El modelo de nudos del átomo del siglo XIX apenas sobrevivió dos
décadas, porque los nuevos descubrimientos demostraron que determinados
elementos de la teoría eran erróneos. Así es como avanza la ciencia. Newton
compartió la fama (¡o no!, véase el capítulo 4) de su colosal visión con los
gigantes sobre cuyos hombros se alzó. También podría haberse disculpado con los
gigantes cuya obra convirtió en obsoleta.
Pero la matemática no funciona así. Aunque el formalismo necesario para
demostrar determinados resultados haya cambiado, los resultadosmatemáticos
en sí no cambian. De hecho, como dice el matemático y escritor Ian Stewart, «en
matemáticas hay una palabra para referirse a los resultados antiguos que han
cambiado: se llaman simplemente errores ». [18]Y los errores
no se reconocen como tales a causa de nuevos descubrimientos, como sucede en
las demás ciencias, sino por un examen más riguroso de las mismas viejas
verdades matemáticas. ¿Convierte esto a la matemática en la lengua propia de
Dios?
Si opina que no es tan importante averiguar si la matemática es inventada o
descubierta, tenga en cuenta lo tendencioso de la diferencia entre «inventado»
y «descubierto» en esta pregunta: ¿Dios ha sido inventado o descubierto? O,
para más provocación: ¿creó Dios a los hombres a Su imagen y semejanza, o los
hombres inventaron a Dios a imagen y semejanza de ellos?
En este libro intentaremos dar respuesta a estas fascinantes preguntas (y
algunas otras más). En el proceso, repasaremos algunas de las conclusiones
obtenidas a partir de la obra de algunos de los grandes matemáticos, físicos,
filósofos, científicos del conocimiento y lingüistas de la actualidad y de
tiempos pasados. Buscaré también las opiniones, advertencias y reservas de
numerosos pensadores de la actualidad. Vamos a iniciar este sugestivo periplo
con la revolucionaria, aunque algo vaga, perspectiva de algunos de los
filósofos de la Antigüedad.
Capítulo
2
Místicos: el numerólogo y el filósofo
El
deseo de entender el cosmos ha sido siempre un impulso humano. Los esfuerzos
del hombre por llegar al fondo de la pregunta «¿qué significa todo esto?» han
superado con creces los dedicados a la mera supervivencia, a la mejora de la
situación económica o de la calidad de vida. Eso no significa que todos hayan
participado de forma activa en la búsqueda de algún tipo de orden natural o
metafísico. Las personas que tienen que luchar por llegar a fin de mes apenas
pueden permitirse el lujo de ponerse a reflexionar acerca del sentido de la
vida. En la galería de cazadores de patrones subyacentes a la complejidad que
se percibe en el universo, varios de ellos destacan sobre los demás.
Para muchos, el nombre del matemático, científico y filósofo francés René
Descartes (1596-1650) es sinónimo del nacimiento de la «era moderna» de la
filosofía de la ciencia. Descartes fue uno de los principales arquitectos [19]del cambio de
una descripción del mundo natural en términos de las propiedades percibidas
directamente a través de los sentidos a una explicación expresada mediante
cantidades matemáticamente definidas. En lugar de sentimientos, olores, colores
y sensaciones vagas, Descartes quería que las explicaciones científicas
descendiesen hasta el nivel fundamental y utilizasen el lenguaje de la
matemática:
No
reconozco sustancia alguna en las entidades corpóreas salvo lo que los
geómetras llaman cantidad y convierten en el objeto de sus demostraciones… Y,
siendo que todos los fenómenos naturales pueden explicarse de este modo,
sostengo que ningún otro principio es admisible o siquiera deseable en
física. [20]
Es
interesante ver cómo Descartes excluía de su elevada visión científica los
reinos del «pensamiento y la mente», que consideraba independientes del mundo
de la materia, susceptible de ser explicado mediante la matemática. Aunque no
cabe duda alguna de que Descartes fue uno de los pensadores más influyentes de
los últimos siglos (y volveré a referirme a él en el capítulo 4), no fue el
primero en elevar la matemática a una posición central. Aunque parezca
increíble, ideas radicales de un cosmos impregnado y gobernado por la
matemática —ideas que, en cierto modo, iban más allá del propio Descartes—
vieron la luz por vez primera, aunque teñidas de un cierto tono místico, hacía
más de dos milenios. La persona a la que, según la leyenda, se le atribuye la
percepción de que el alma humana es «como la música» si se la mira desde el
punto de vista de la matemática pura, es el enigmático Pitágoras.
Pitágoras
Pitágoras (ca. 572-497 a.C.) fue quizá la primera persona que fue a la vez un
influyente filósofo natural y un carismático filósofo espiritual, es decir, un
científico y un pensador religioso. De hecho, se le atribuye la introducción de
las palabras[21]filosofía, que
significa amor o avidez por el saber, y matemáticas,aquellas
disciplinas que se pueden aprender. Aunque no ha sobrevivido ninguno de los
escritos del propio Pitágoras (si es que existieron, ya que en la época la
mayor parte de las comunicaciones eran orales), sí poseemos tres detalladas,
aunque sólo parcialmente fiables, biografías de Pitágoras que datan del siglo
III. [22]Una cuarta
biografía anónima se conservó en los escritos del patriarca y filósofo
bizantino Fotio (ca. 820-891 d.C). El principal problema al intentar evaluar la
contribución personal de Pitágoras es que sus seguidores y discípulos (los
pitagóricos) atribuían invariablemente sus propias ideas a él. Así, incluso
Aristóteles (384-322 a.C.) tiene problemas para identificar [23]qué partes de
la filosofía pitagórica se pueden arrogar al propio Pitágoras, de modo que
suele hablar de «los pitagóricos» o a «los así llamados pitagóricos». Sin
embargo, a juzgar por la fama de Pitágoras en la tradición posterior,
generalmente se supone que fue el inspirador de, como mínimo, algunas de las
teorías pitagóricas con las que tan en deuda se sintieron Platón o incluso
Copérnico.
No parece haber dudas de que Pitágoras nació a principios del siglo VI a.C. en
la isla de Samos, junto a la costa de la actual Turquía. Es posible que en su
juventud viajase mucho, en especial a Egipto y puede que a Babilonia, en donde
habría recibido una parte de su educación matemática. Finalmente emigró a la
colonia griega de Crotona, cerca del extremo sur de Italia, en donde
rápidamente se rodeó de un entusiasta grupo de jóvenes estudiantes y
seguidores.
El historiador griego Heródoto [24](ca. 485-425
a.C.) hablaba de Pitágoras como «el más capaz de los filósofos griegos», a lo
que el filósofo y poeta presocrático Empédocles (ca. 492-432 a.C.) agregaba con
admiración: «Pero entre ellos había un hombre de prodigiosos conocimientos,
dotado de la más profunda capacidad de comprensión y maestro en todo tipo de
artes; pues, cuando era su firme voluntad, podía fácilmente discernir cualquier
verdad de las vidas de sus diez, no, veinte hombres». [25]Pero no
causaba esta impresión a todos. En comentarios que parecen producto de alguna
rivalidad personal, el filósofo Heráclito de Éfeso (ca. 535-475 a.C), aunque
reconoce los amplios conocimientos de Pitágoras, agrega con desdén: «La
erudición no enseña la sabiduría; si así fuera, sabios serían Hesíodo [un poeta
griego que vivió alrededor del año 700 a.C] y Pitágoras».
Pitágoras y los primeros pitagóricos no eran matemáticos ni científicos en el
sentido estricto. Más bien, el núcleo de su doctrina contenía una filosofía
metafísica del concepto de número. Para los pitagóricos, los
números eran entidades vivas y principios universales imbuidos en todo, desde
los cielos a la ética de los hombres. En otras palabras, los números poseían
dos aspectos diferentes y complementarios. Por un lado, tenían una existencia
física perfectamente tangible; por otro, se trataba de fórmulas abstractas
situadas en la base de todo. Por ejemplo, la mónada[26](el número 1)
era tanto un generador de todos los demás números —una entidad tan real como el
agua, el aire y el fuego, que formaba parte de la estructura del mundo físico—,
como una idea, la unidad metafísica como origen de toda la creación. El
historiador de la filosofía inglés Thomas Stanley (1625-1678) describió con
gran belleza (y en inglés del siglo XVII) los dos significados que los
pitagóricos asociaban a los números:
El
número es de dos clases: la Intelectual (o inmaterial) y la Ciencial. La
Intelectual es esa sustancia eterna de Número, que Pitágoras, en su Discurso
acerca de los Dioses, afirmaba que era el principio más providencial de los
Cielos y de la Tierra, y la naturaleza que los hace uno… Esto es lo que se
denomina el principio, la fuente, la raíz de todas las cosas… El Número
Ciencial es el que Pitágoras define como la extensión y producción en acto de
las razones seminales que se encuentran en la Mónada o en un grupo de Mónadas.[27]
Así,
los números no eran simples herramientas para denotar cantidades: los números
debían ser descubiertos, y eran los agentes formativos que actuaban en la
naturaleza. Todo el universo, desde los objetos materiales como la Tierra a los
conceptos abstractos como la justicia, era número de extremo a extremo.
Que alguien quedase fascinado por los números [28]no es quizá
sorprendente de por sí. Después de todo, incluso los números más simples, los
que aparecen en la vida cotidiana, tienen propiedades interesantes. Por
ejemplo, los días del año: 365. Es fácil comprobar que 365 es la suma de tres
cuadrados consecutivos: 365 = 102 + 11 2 +
122. Pero no acaba ahí: 365 es también igual a la suma de los dos
cuadrados siguientes (365 = 132 + 142 ). O
fijémonos en los días del mes lunar: 28. Este número es la suma de todos sus
divisores (los números que pueden dividirlo sin dejar resto): 28 = 1 + 2 + 4 +
7 + 14. Los números que cumplen esta propiedad en especial se denominan números
perfectos (los cuatro primeros números perfectos son 6, 28, 496,
8.218). Observe que 28 es también la suma de los cubos de los dos primeros
números impares: 28 = 13 + 3 3. Incluso un
número tan vulgar como 100 posee sus propias peculiaridades: 100 = 13 +
23 + 33 + 4 3.
Muy bien, así que los números pueden ser fascinantes. De todos modos, uno se
pregunta cuál puede ser el origen de la doctrina pitagórica de los números.
¿Cómo surgió la idea, no sólo de que los números estaban presentes en todas las
cosas, sino de que todas las cosas eran números? Pitágoras no
dejó nada escrito, o sus escritos fueron destruidos, así que no se trata de una
pregunta de fácil respuesta. La impresión que ha sobrevivido sobre los
razonamientos de Pitágoras se basa en unos pocos fragmentos preplatónicos y en
comentarios muy posteriores y de menor fiabilidad efectuados por filósofos
platónicos y aristotélicos. La imagen que se obtiene al unir este mosaico de
pistas sugiere que la obsesión de los pitagóricos por los números puede deberse
a su preocupación por dos actividades aparentemente aisladas: los experimentos
con música y la observación de los cielos.
Para comprender cómo se materializó esta misteriosa conexión entre los números,
los cielos y la música, debemos empezar por la interesante observación de que
los pitagóricos poseíanuna forma de representarlos números
mediante guijarros o puntos, Por ejemplo, los números naturales 1, 2, 3, 4… los
representaban con guijarros ordenados en forma triangular (como se muestra en
la figura 1).
Concretamente,
al triángulo que se forma con los cuatro primeros números enteros (un triángulo
de diez guijarros) lo denominaron tetraktys(que significa
«Cuaternario» o «con la cualidad de cuatro»), y para los pitagóricos
simbolizaba la perfección y los elementos que la componen, según está
documentado en una historia de Pitágoras escrita por el autor satírico griego
Luciano (120-180 d.C.) Pitágoras pide a una persona que cuente. [29]Mientras lo
hace, «1, 2, 3, 4», Pitágoras lo interrumpe: «¿Lo ves? Lo que para ti es 4 es
en realidad 10, y nuestro juramento». El filósofo neoplatónico Jámblico (ca.
250-325 d.C.) revela que el juramento pitagórico era, efectivamente:
Juro
por aquel que transmitió a nuestra alma la Tetraktys en la cual se encuentran
la fuente y la raíz de la eterna Naturaleza. [30]
¿Por
qué esa veneración por la Tetraktys? Porque, a los ojos de los pitagóricos del
siglo VI a.C, parecía esbozar la naturaleza del universo entero. En geometría,
la disciplina que impulsó la revolución del pensamiento en Grecia, el número
uno representaba un punto [ • punto], dos representaba una línea [ •—• línea],
tres representaba una superficie [^A^triángulo], y cuatro representaba una
figura tetraédrica tridimensional [^/^tetraedro]. Así, el Tetraktys parecía
englobar todas las dimensiones percibidas del espacio.
Pero eso no fue más que el principio. El Tetraktys aparecía de forma inesperada
incluso en el enfoque científico de la música. Se suele atribuir a Pitágoras y
los pitagóricos el descubrimiento de que, al dividir una cuerda según los
enteros consecutivos se producen intervalos armónicos y consonantes, lo cual se
puede ver en la interpretación de cualquier cuarteto de cuerda. Cuando se
pulsan dos cuerdas similares al mismo tiempo, [31]el sonido
resultante es agradable si la proporción entre las cuerdas es simple. Por
ejemplo, las cuerdas de igual longitud (relación 1:1) producen el unísono; una
relación 1:2 produce la octava; 2:3 genera la quinta perfecta; y 3:4, la cuarta
perfecta. Así vemos que, además de los atributos espaciales que lo abarcan
todo, el Tetraktys podía representar también las proporciones matemáticas
subyacentes a la armonía de la escala musical. Para los pitagóricos, esta unión
aparentemente mágica de espacio y música suponía un poderoso símbolo, y les
ofrecía una sensación de harmonía(«correspondencia exacta»)
del Kosmos («el bello orden de las cosas»).
¿Y cuál es el papel de los cielos en todo esto? Pitágoras y los pitagóricos
desempeñaron en la historia de la astronomía un papel que, aún sin ser
esencial, no era nada desdeñable. Fueron de los primeros en sostener que la
forma de la Tierra era una esfera (probablemente a causa de su percepción de la
esfera como superior desde un punto de vista estético y matemático). Probablemente
fueron también los primeros en afirmar que los planetas, el Sol y la Luna se
mueven por sí solos de forma independiente de oeste a este, en dirección
opuesta a la rotación (aparente) diaria de la esfera de estrellas fijas. Estos
entusiastas observadores del cielo nocturno no podían ignorar las propiedades
más evidentes de las constelaciones: la forma y el número. Cada constelación se
caracteriza por elnúmero de estrellas que la componen y por
la figura geométrica que estas estrellas forman. Pero estas
dos características eran, precisamente, los ingredientes esenciales de la
doctrina pitagórica de los números, como se manifiesta en la Tetraktys. Los
pitagóricos quedaron tan cautivados por estas relaciones entre figuras
geométricas, constelaciones y armonías musicales con los números, que éstos se
convirtieron para ellos tanto en los ladrillos con los que estaba construido el
universo como en los principios en los que se basaba su propia existencia. No
es sorprendente que la categórica máxima de Pitágoras fuese: «El número es la
esencia de todas las cosas». (La cursiva es mía.)
En dos de las observaciones de Aristóteles podemos hallar hasta qué punto los
pitagóricos se tomaban en serio esta máxima. En su tratado Metafísica hallamos:
«…los llamados Pitagóricos se dedicaron por de pronto a las matemáticas, e
hicieron progresar esta ciencia. Embebidos en este estudio, creyeron que los
principios de las matemáticas eran los principios de todos los seres». En otro
pasaje, Aristóteles describe de forma muy gráfica la veneración a los números y
el papel preponderante de la Tetraktys: «…conforme al orden inventado por
Eurito [un discípulo del pitagórico Filolao], cada número es la causa de alguna
cosa, éste, por ejemplo, del hombre, aquél del caballo, porque se puede, siguiendo
el mismo procedimiento que los que reducen los números a figuras, al triángulo,
al cuadrilátero, representar las formas de las plantas por las
operaciones del cálculo». La frase «los que reducen los números a figuras, al
triángulo, al cuadrilátero» alude tanto a la Tetraktys como a otro fascinante
constructo pitagórico: el gnomon.
La palabra gnomon («indicador») [32]surge del
nombre de un dispositivo astronómico similar a un reloj de sol, utilizado en
Babilonia para medir el tiempo. Este aparato lo introdujo en Grecia el maestro
de Pitágoras, el filósofo natural Anaximandro (ca. 611-547 a.C.). No hay duda
de que el tutor había transmitido al discípulo sus ideas acerca de la geometría
y su aplicación a la cosmología, el estudio del universo en su conjunto. Más
adelante, el término gnomonse utilizó para denominar un instrumento
para dibujar ángulos rectos, similar a una escuadra de carpintero, o para la
figura en ángulo recto que, sumada a un cuadrado, forma un cuadrado mayor
(figura 2).
Obsérvese
que, al añadir siete guijarros dispuestos en forma de ángulo recto (un gnomon) a
un triángulo de 3 x 3 se obtiene un cuadrado compuesto por dieciséis (4 x 4)
guijarros. Se trata de la representación figurativa de la propiedad siguiente:
en la secuencia de números enteros impares 1, 3, 5, 7, 9…, la suma de cualquier
cantidad de números sucesivos (empezando por el 1) da siempre como resultado un
número cuadrado. Por ejemplo:
1 =
12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52, etc.
Para
los pitagóricos, esta relación íntima entre el gnomon y el
cuadrado al que «abraza» constituía un símbolo del saber, en donde el cognosciente «abraza»
lo conocido. Los números no se limitaban, pues, a ser una
descripción del mundo físico, sino que se suponía que eran asimismo la raíz de
los procesos mentales y emocionales.
El número cuadrado asociado con los gnomons podría haber sido
también el precursor del famoso Teorema de Pitágoras. Esta
célebre afirmación matemática establece que, en cualquier triángulo rectángulo
(figura 3).
El
área de un cuadrado formado a partir de la hipotenusa es igual a la suma de las
áreas de los cuadrados formados a partir de los otros dos lados. El
descubrimiento de este teorema está «documentado» de forma humorística en una
conocida tira cómica de «Frank y Ernest» (figura 4).
Como
se muestra en el gnomon de la figura 2, al agregar un número
de gnomoncuadrado (9 = 32) a un cuadrado de 4 x 4 se
forma, efectivamente, un nuevo cuadrado de 5 x 5: 32 + 42 =
52. Los números 3, 4, 5 pueden entonces representar las longitudes
de los lados de un triángulo rectángulo. Los números enteros que tienen esta
propiedad (por ejemplo, 5, 12 y 13, ya que 52 + 12 2 =
132) se denominan «tripletes pitagóricos».
Son muy escasos los teoremas matemáticos que disfrutan de un «reconocimiento
por nombre» similar al del teorema de Pitágoras. En 1971, cuando la República
de Nicaragua seleccionó las «diez ecuaciones matemáticas que alteraron la faz
de la tierra» como tema para una serie de sellos, el teorema de Pitágoras
aparecía en el segundo sello (figura 5; en el primer sello se mostraba «1 + 1 =
2»).
¿Fue
realmente Pitágoras la primera persona en formular el conocido teorema que se
le atribuye? Algunos de los primeros historiadores de Grecia así lo pensaban
sin duda. En un comentario a los Elementos, el voluminoso
tratado de geometría y teoría de números que escribió Euclides (ca. 325-265
a.C), el filósofo griego Proclo (411-485 d.C.) escribió: «Si escuchamos a los
que relatan la historia antigua, hallaremos algunos que atribuyen este teorema
a Pitágoras, y dicen que sacrificó un buey en honor a su descubrimiento». [33]Sin embargo,
los tripletes pitagóricos pueden hallarse ya ni la tableta cuneiforme
babilónica denominada «Plimton 322», que se remonta aproximadamente a los
tiempos de la dinastía de Hammurabi (ca. 1900-1600 a.C.) Es más, en India se
hallaron construcciones geométricas basadas en el teorema de Pitágoras
relacionadas con la elaboración de altares. No hay duda de que estas
construcciones eran conocidas [34]para el autor
del Satapatha Brahmana (el comentario sobre las antiguas
escrituras hindúes), que fue probablemente escrito varios siglos antes de
Pitágoras. Sin embargo, sea o no Pitágoras el creador del teorema, no hay duda
de que las repetidas conexiones halladas que tejían entre sí los números, las
formas y el propio universo acercaron a los pitagóricos un paso más a una
detallada metafísica del orden.
Otra de las ideas capitales en el mundo pitagórico era la de los opuestos
cósmicos. Los opuestos constituían el principio en el que se basaba la
antigua tradición jónica, de modo que fue algo natural su adopción por parte de
los pitagóricos y su obsesión por el orden. De hecho, Aristóteles habla de un
médico llamado Alcmeon, que vivió en Crotona en la misma época en que los
pitagóricos tenían allí su famosa «escuela», que suscribía la idea de que todo
está equilibrado «por parejas». La principal pareja de opuestos consistía en
el límite, representado por los números impares, y lo ilimitado, representado
por los pares. El límite era la fuerza que introducía orden y armonía en el
desenfreno de lo «ilimitado». La noción era que tanto la complejidad del
universo en su conjunto como la intrincada vida humana, en el nivel
microcósmico, estaban formadas y reguladas por una serie de opuestos que, en
cierto modo, «se correspondían» entre sí. Esta visión bastante bicolor del
mundo se resumía en una «Tabla de opuestos», que se conservó en la Metafísica de
Aristóteles:
|
Límite |
Ilimitado |
|
Par |
Impar |
|
Unidad |
Pluralidad |
|
Derecha |
Izquierda |
|
Masculino |
Femenino |
|
Reposo |
Movimiento |
|
Recto |
Curvo |
|
Luz |
Oscuridad |
|
Bueno |
Malo |
|
Cuadrado |
Oblongo |
La filosofía básica que expresa esta tabla de opuestos [35]no se
limitaba a la antigua Grecia. El yin y el yang chinos,
en donde el yin representa negatividad y oscuridad y el yangrepresenta
el principio de la luz, ofrecen la misma imagen. Sentimientos parecidos a éstos
pasaron a la cristiandad, mediante los conceptos de cielo e infierno (e incluso
a declaraciones del presidente de Estados Unidos: «Estás con nosotros o con los
terroristas»). De un modo más general, el sentido de la vida siempre ha estado
iluminado por la muerte, y la sabiduría sólo es sabiduría en comparación con la
ignorancia.
No todas las enseñanzas de los pitagóricos tenían una relación directa con los
números. El modo de vida de la cohesionada sociedad pitagórica se basaba en el
vegetarianismo, una sólida creencia en la metempsicosis (la inmortalidad y la
transmigración de las almas) y una misteriosa prohibición de comer alubias,
para la que se han sugerido diversas explicaciones, desde la similitud entre
las alubias y los genitales a la comparación entre comer alubias y comerse un
alma humana. Esta última interpretación considera que la expulsión de una
ventosidad (que suele ser una consecuencia de la ingestión de alubias) es la
prueba de la extinción de un hálito. Por eso, en el libro Philosophy
for Dummies[36]se resume la
doctrina pitagórica con la frase «Todo está hecho de números, y no comas judías
o serás el protagonista de un "número"».
La historia más antigua que se conoce acerca de Pitágoras tiene que ver con la
reencarnación del alma en otros seres. [37]Este relato
cuasipoético se debe al poeta del siglo VI a.C. Jenófanes de Colofón: «Cuéntase
que [Pitágoras] pasaba junto a un perro al que estaban golpeando y, apiadándose
del animal, habló de este modo: "Deteneos, no lo golpeéis más, pues su
alma es la de un amigo; lo sé porque lo he oído hablar"».
Las inconfundibles huellas de Pitágoras se hacen patentes no sólo en las
enseñanzas de los filósofos griegos que le sucedieron, sino que se extienden a
los programas de las universidades medievales. Las siete asignaturas que se
enseñaban en estas universidades se dividían en eltrivium, que
incluía dialéctica, gramática y retórica, y el quadrivium, con
los temas favoritos de los pitagóricos: geometría, aritmética, astronomía y
música. La celestial «armonía de las esferas» —la música supuestamente
interpretada por los planetas en sus órbitas que, según sus discípulos, sólo
Pitágoras era capaz de oír— ha servido de inspiración tanto a poetas como a
científicos. El famoso astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), que descubrió las
leyes del movimiento planetario, eligió para una de sus obras esenciales el
título Harmonice Mundi En el espíritu pitagórico, Kepler creó
incluso pequeñas composiciones musicales para los distintos planetas.
Desde la perspectiva de las cuestiones en las que se centra este libro, [38]después de
despojar a la filosofía pitagórica de sus ropajes místicos, el esqueleto que
queda sigue siendo un potente testimonio acerca de la matemática, su naturaleza
y su relación tanto con el mundo físico como con la mente humana. Pitágoras y
los pitagóricos fueron los precursores de la búsqueda del orden cósmico. Se les
puede considerar los padres de la matemática pura ya que, a diferencia de sus
predecesores, los babilonios y los egipcios, se dedicaron a la matemática en
abstracto, fuera de cualquier finalidad práctica. La cuestión de si los
pitagóricos dejaron también establecida la función de la matemática como
herramienta de la ciencia es más peliaguda. Aunque es cierto que los
pitagóricos asociaron todos los fenómenos con números, su objeto de estudio
eran los números en sí, no los fenómenos ni sus causas. Este no era un enfoque
especialmente fructífero desde el punto de vista de la investigación
científica. Sin embargo, en la doctrina pitagórica era fundamental la creencia
implícita de la existencia de leyes generales en la naturaleza. Esta creencia,
que se ha convertido en la columna vertebral de la ciencia moderna, podría
tener sus orígenes en el concepto de Destino de la tragedia
griega. Hasta el Renacimiento, esta osada fe en la realidad de un conjunto de
leyes capaces de explicar todos los fenómenos iba mucho más allá de las pruebas
concretas, y únicamente Galileo, Descartes y Newton la convirtieron en una afirmación
defendible desde una perspectiva inductiva.
Otra de las contribuciones esenciales que se atribuye a los pitagóricos fue el
descubrimiento aleccionador de que su propia «religión numérica» era,
lamentablemente, del todo inviable. Los números enteros 1, 2, 3…, no bastan ni
siquiera para construir la matemática, y mucho menos para una descripción del
universo. Examinemos el cuadrado de la figura 6, en el que la longitud del lado
es una unidad, y llamemos d a la longitud de la
diagonal.
Quizá aún más importante que el descubrimiento de los números irracionales
fuese la pionera insistencia de los pitagóricos en la demostración
matemática, un procedimiento basado por completo en el razonamiento
lógico mediante el cual, a partir de algunos postulados iniciales, se podía
establecer sin ambigüedad la validez de cualquier proposición matemática. Antes
de los griegos, ni siquiera los matemáticos esperaban que nadie tuviese interés
alguno en los conflictos mentales que les habían llevado a tal o cual
descubrimiento. Era prueba suficiente que una receta matemática funcionase en
la práctica (por ejemplo, en la división de parcelas de tierra). Por el
contrario, los griegos querían explicar por qué funcionaba. Aunque puede que el
concepto de demostración fuese introducido por el filósofo Tales de Mileto (ca.
625-547 a.C), fueron los pitagóricos los que convirtieron esta práctica en una
refinada herramienta para la determinación de verdades matemáticas. La
trascendencia de este avance en lógica fue capital. Las demostraciones de los
postulados colocaron a la matemática sobre unos cimientos mucho más sólidos que
los de cualquier otra de las disciplinas que ocupaban a los filósofos de la
época. Una vez presentada una prueba rigurosa, basada en razonamientos paso a
paso que no permiten dejar lagunas, la validez de la declaración matemática
asociada era, básicamente, incuestionable. Incluso Arthur Conan Doyle, el
creador del detective más famoso del mundo, reconoció la categoría especial de
la demostración matemática. En Estudio en escarlata,Sherlock Holmes
declara que sus conclusiones son «tan ciertas como las proposiciones de
Euclides».
Sobre la cuestión de si la matemática era descubierta o inventada, Pitágoras y
los pitagóricos no tenían ninguna duda: la matemática era real, inmutable,
omnipresente y más sublime que cualquier noción que fuese el posible producto
de la frágil mente humana. Para los pitagóricos, el universo estaba
literalmente incrustado en la matemática. De hecho, desde su punto de vista,
Dios no era un matemático:[42]¡la
matemática era Dios!
La importancia de la filosofía pitagórica no reside en su valor intrínseco. Al
establecer el escenario (y, en cierto modo, el orden de prioridades) de la
próxima generación de filósofos, especialmente Platón, los pitagóricos
establecieron una posición dominante en el pensamiento occidental.
En la caverna de Platón
El famoso matemático y filósofo británico Alfred North Whitehead (1861-1947)
declaró en cierta ocasión: «La generalización menos arriesgada que puede
hacerse acerca de la historia de la filosofía occidental es que no se trata más
que de una serie de notas a pie de página a Platón». [43]
Platón, hijo de Aristón y Perictione, nació en Atenas o en Egina. La figura 7
muestra un busto romano de Platón, probablemente copiado de un original griego
más antiguo, del siglo IV a.C. Su familia, tanto paterna como materna, estaba
cuajada de figuras distinguidas, como Solón, el célebre legislador, y Codro, el
último rey de Atenas. El tío de Platón, Cármides, y el primo de su madre,
Critias, eran viejos amigos del famoso filósofo Sócrates (ca. 470-399 a.C), una
relación que definiría en gran medida las influencias formativas sobre la mente
del joven Platón. Al principio, Platón intentó meterse en política, pero
diversas acciones violentas protagonizadas por la facción que pretendía
reclutarlo le convencieron de lo contrario. Más adelante, esta repulsión
inicial por la política podría haber animado a Platón a definir lo que
consideraba como la educación esencial de los futuros guardianes del estado.
Incluso intentó (infructuosamente) ser tutor del gobernador de Siracusa,
Dionisio II.
Tras la ejecución de Sócrates en 399 a.C, Platón emprendió un largo período de
viajes, que concluyó con la fundación de su célebre «escuela» de filosofía y
ciencia —la Academia— alrededor de 387 a.C. Platón fue director
(o escolarca) de la Academia hasta su muerte, y su sucesor fue
su sobrino Espeusipo. A diferencia de las actuales instituciones académicas, la
Academia era una reunión bastante informal de intelectuales que, con Platón
como guía, se dedicaban a intereses muy diversos. No había tarifas de
matrícula, ni planes de estudios programados, ni siquiera verdaderos
profesores. En cambio, había un «requisito de entrada» bastante peculiar. Según
un discurso de Juliano el Apóstata —emperador del siglo IV d.C.—, una onerosa
inscripción pendía en la puerta de la Academia de Platón. Aunque el texto de la
inscripción no aparece en la alocución, sí puede hallarse en una nota al margen
del mismo siglo IV. [45]La
inscripción decía: «Nadie entre aquí sin saber geometría». Puesto que habían
pasado casi ocho siglos entre el establecimiento de la Academia y la primera
descripción de la inscripción, no podemos saber con total seguridad si existió
realmente. Sin embargo, no hay duda de que el sentimiento expresado en este
exigente requisito reflejaba la opinión personal de Platón. En uno de sus
famosos diálogos (Gorgias) escribe: «La igualdad geométrica
tiene mucho poder entre los dioses y los hombres».
Los «estudiantes» de la Academia solían ser económicamente independientes, y
algunos de ellos (el gran Aristóteles, sin ir más lejos) permanecieron en ella
hasta veinte años. Platón consideraba que el contacto prolongado entre mentes
creativas era el mejor vehículo para la producción de ideas nuevas en todos los
temas, desde metafísica abstracta y matemática hasta ética y política. La
pureza y los atributos cuasidivinos de los discípulos de Platón fueron captados
con gran belleza en una pintura titulada La Academia de Platón del
pintor simbolista belga Jean Delville (1867-1953). Para hacer hincapié en las
cualidades espirituales de los estudiantes, Delville los pintó desnudos y con
aspecto andrógino, como se suponía que era el estado de los humanos
primigenios.
Me llevé una gran decepción cuando supe que los arqueólogos no han podido
hallar nunca los restos de la Academia de Platón. [46]En un viaje a
Grecia en el verano de 2007, busqué lo que más se le acercaba. Platón menciona
la Estoa de Zeus (una pasarela cubierta construida en el siglo v a.C.) como su
lugar favorito para conversar con sus amigos. Encontré las ruinas de esta estoa
en la parte noroeste de la antigua Ágora (el centro cívico en tiempos de
Platón; véase figura 8), en Atenas.
Aunque
la temperatura llegó ese día a los 46 °C, debo decir que noté una especie de
escalofrío al recorrer el mismo camino que aquel gran hombre había recorrido
cientos, si no miles, de veces.
La legendaria inscripción de la puerta de la Academia habla por sí sola de la
actitud de Platón hacia la matemática. De hecho, la práctica totalidad de la
investigación matemática de relieve efectuada en el siglo IV a.C. la llevaron a
cabo personas relacionadas de algún modo con la Academia. Sin embargo, el
propio Platón no era un matemático especialmente diestro técnicamente, y sus
contribuciones directas a los conocimientos en este campo probablemente fueron
mínimas. El era más bien un espectador entusiasta, una fuente de desafío y
motivación, un crítico inteligente y un guía ejemplar. El filósofo e
historiador del siglo I a.C. Filodemo lo expresa con claridad: [47]«En aquel
tiempo se produjo un gran progreso en la matemática, con Platón como arquitecto
general planteando problemas, y los matemáticos investigándolos con ahínco». El
filósofo y matemático neoplatónico Proclo (411-485 d.C) agrega: [48]«Platón …
hizo avanzar grandemente la matemática y la geometría en particular a causa de
su fervor por estos estudios. Es bien sabido que sus escritos están
generosamente salpicados de términos matemáticos y que en todo lugar trata de
despertar la admiración por la matemática entre los estudiantes de filosofía».
En otras palabras, Platón, cuyos conocimientos matemáticos estaban al día en un
sentido amplio, podía conversar con los matemáticos de igual a igual y
plantearles problemas, a pesar de que sus propios logros en ese terreno no
fueran significativos.
Otra llamativa demostración del reconocimiento de Platón hacia la matemática la
podemos encontrar en la que quizá sea su obra más lograda, La
República, una alucinante combinación de estética, ética, metafísica y
política. En el Libro VII de La República, Platón (a través de
Sócrates como protagonista principal) esboza un ambicioso plan de educación
pensado para formar gobernantes de un estado utópico. Este riguroso, aunque
idealizado, programa preveía una formación temprana durante la infancia
impartida mediante juegos, viajes y gimnasia. Después de seleccionar a los más
prometedores, el programa proseguía con nada menos que diez años de
matemáticas, cinco de dialéctica y quince de experiencia práctica, que incluía
ejercer mandos en guerra y otros cargos «adecuados a la juventud». Platón
explicaba con diáfana claridad por qué creía que ésta era la formación
necesaria para los futuros políticos:
Es
preciso, pues, que los amantes del poder no se dirijan a éste, ya que si lo
hacen les combatirán otros rivales en amores. —¿A qué otros obligarías, pues, a
ocuparse de la guarda de la polis si no es a quienes, además de ser los más
conocedores de aquello por lo que la polis se rige mejor, tienen otros valores
y una vida mejor que la del político? [49]
Reconfortante,
¿verdad? De hecho, un programa tan exigente posiblemente fuese impracticable,
incluso en los tiempos de Platón. George Washington estaba de acuerdo en que
una educación en matemática y filosofía posiblemente fuese positiva para los
futuros políticos:
La
ciencia de las cifras es, hasta cierto punto, no sólo un requisito
indispensable en todos los aspectos de la vida civilizada, sino que la
investigación de las verdades matemáticas habitúa la mente al razonamiento
correcto y metódico, y es un uso particularmente digno del ser racional. En un
estado turbio de la existencia, en donde tantas cosas parecen precarias al
desconcertado investigador, las facultades de la razón hallan aquí un cimiento
sobre el que apoyarse. Desde el terreno elevado de la demostración matemática y
filosófica podemos cruzar de forma inconsciente a especulaciones más nobles y
meditaciones más sublimes. [50]
En
cuanto a la cuestión de la naturaleza de la matemática, más
importante que el Platón matemático o el inspirador de la matemática lo fue el
Platón filósofo de la matemática. En ese campo, sus ideas pioneras no sólo lo
colocaban por encima de todos los matemáticos y filósofos de su generación,
sino que lo identificaban como una figura de gran influencia durante todo el
milenio siguiente.
La visión platónica de la verdadera naturaleza de la matemática está
estrechamente relacionada con su famoso Mito de la caverna. En
él, Platón hace hincapié en la dudosa validez de la información captada a
través de los sentidos humanos. Lo que percibimos como mundo real no es, según
él, más real que las sombras proyectadas en las paredes de una caverna. [51]Este es el
notable pasaje de La República:
Represéntate
hombres en una morada subterránea en forma de caverna, que tiene la entrada
abierta, en toda su extensión, a la luz. En ella están desde niños con las
piernas y el cuello encadenados, de modo que deben permanecer allí y mirar sólo
delante de ellos, porque las cadenas les impiden girar en derredor la cabeza.
Más arriba y más lejos se halla la luz de un fuego que brilla detrás de ellos;
y entre el fuego y los prisioneros hay un camino más alto, junto al cual
imagínate un tabique construido de lado a lado, como el biombo que los
titiriteros levantan delante del público para mostrar, por encima del biombo,
los muñecos … Imagínate ahora que, del otro lado del tabique, pasan sombras que
llevan toda clase de utensilios y figurillas de hombres y otros animales,
hechos en piedra y madera y de diversas clases … ¿Crees que han visto de sí
mismos, o unos de los otros, otra cosa que las sombras proyectadas por el fuego
en la parte de la caverna que tienen frente a sí?
Según
Platón, nosotros, los humanos en general, no somos distintos de esos
prisioneros de la caverna, que confunden las sombras con la realidad (en la
figura 9 se muestra un grabado de 1604 de Jan Saenredam en el que se ilustra la
alegoría).
En
concreto, Platón destaca que las verdades matemáticas no hacen referencia a los
círculos, triángulos o cuadrados que uno puede dibujar en un trozo de papiro o
trazar con un palo en la arena, sino a objetos abstractos ubicados en un mundo
ideal en el que residen las formas verdaderas y la perfección. Este mundo
platónico de las formas matemáticas es distinto del mundo físico, y en
él es donde las proposiciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, son
verdaderas. El triángulo rectángulo que podemos dibujar en un papel no es más
que una copia imperfecta —una aproximación— del verdadero, y abstracto,
triángulo.
Otra de las cuestiones fundamentales examinadas por Platón con cierto detalle
tiene relación con la naturaleza de la demostración matemática, como proceso
basado en postulados y axiomas. Los axiomas
son aserciones básicas cuya validez se supone evidente por sí misma. Por
ejemplo, el primer axioma de la geometría de Euclides es: «Entre dos puntos
cualesquiera se puede trazar una línea recta». En La República,Platón
combina de forma maravillosa el concepto de postulado con su idea del mundo de
las formas matemáticas:
Creo
que sabes que quienes se ocupan de geometría, aritmética y otros estudios
similares dan por supuestos los números impares y pares, las figuras, tres
clases de ángulos y otras cosas emparentadas con éstas y distintas en cada
caso; las adoptan como hipótesis, procediendo igual que si las conocieran, y no
se creen ya en el deber de dar ninguna explicación ni a sí mismos ni a los
demás con respecto a lo que consideran como evidente para todos, y de ahí es de
donde parten las sucesivas y consecuentes deducciones que les llevan finalmente
a aquello cuya investigación se proponían.
Y no sabes también que se sirven de figuras visibles acerca de las cuales
discurren, pero no pensando en ellas mismas, sino en aquello a que ellas se
parecen, discurriendo, por ejemplo, acerca del cuadrado en sí y de su diagonal,
pero no acerca del que ellos dibujan, e igualmente en los demás casos; y que
así, las cosas modeladas y trazadas por ellos, de que son imágenes las sombras
y reflejos producidos en el agua, las emplean, de modo que sean a su vez
imágenes, en su deseo de ver aquellas cosas en sí que no pueden ser
vistas de otra manera sino por medio del pensamiento ? (El subrayado
es mío.)
La
visión de Platón constituye la base de lo que se ha dado en denominar, en
filosofía en general, y en los debates sobre la naturaleza de la matemática en
particular, platonismo[52]En su sentido
más amplio, el platonismo defiende una creencia en una especie de realidades
eternas e inmutables totalmente independientes del efímero mundo que perciben
nuestros sentidos. Según esta doctrina, la existencia real de los objetos
matemáticos es un hecho objetivo, del mismo modo que la existencia del universo
en sí. No sólo existen los números naturales, los círculos y los cuadrados,
sino también los números imaginarios, las funciones, los fractales, las
geometrías no euclidianas y los conjuntos infinitos, así como una amplia
variedad de teoremas acerca de tales entidades. En resumen, todos los conceptos
matemáticos o afirmación «objetivamente cierta» (esto se definirá más adelante)
nunca formulada o imaginada, y una infinidad de conceptos y afirmaciones aún no
descubiertas, son entidades absolutas o universales que no se
pueden crear ni destruir, sino que existen independientemente de que sepamos de
dicha existencia. Ni que decir tiene que tales objetos no son físicos, sino que
viven en un mundo autónomo de esencias fuera del tiempo. Para el platonismo, los
matemáticos son exploradores de tierras extrañas, que sólo pueden descubrir las
verdades matemáticas, nunca inventarlas. De igual modo que América ya estaba
allí mucho antes de que Colón (o Leif Erickson) la descubriese, los teoremas
matemáticos existían en el mundo platónico mucho antes de que los babilonios
iniciasen sus estudios en matemática. Para Platón, las únicas cosas que
existían de un modo real y completo eran las formas y las ideas de la
matemática, porque, según sostenía, sólo en la matemática se puede obtener un
conocimiento absolutamente cierto y objetivo. Así, en la mente de Platón, la
matemática estaba íntimamente asociada con lo divino.[53]En el
diálogo Timeo, el dios creador utiliza la matemática para
modelar el mundo, y en La República, los conocimientos
matemáticos se consideran una etapa crucial en el camino del conocimiento de
las formas divinas. Platón no utiliza la matemática en la formulación de leyes
de la naturaleza comprobable mediante experimentos. Para él, el carácter matemático
del mundo es simplemente la consecuencia de que «Dios siempre hace geometría».
Platón hizo extensivas sus ideas sobre las «formas verdaderas» a otras disciplinas,
en particular a la astronomía. Su razonamiento era que la verdadera astronomía
«debe dejar los cielos en paz» y no intentar dar explicaciones sobre la
disposición y los movimientos aparentes de las estrellas visibles. Platón
opinaba más bien que la verdadera astronomía era la ciencia que trataba de las
leyes del movimiento en un mundo matemático ideal, del que el cielo observable
no era más que una simple ilustración (del mismo modo que las figuras
geométricas dibujadas en un papiro no son más que ilustraciones de las
verdaderas figuras). [54] Las
sugerencias de Platón acerca de la investigación en astronomía causaron
controversia incluso entre algunos de los más acérrimos platónicos. Los
defensores de sus ideas aducen que lo que Platón quería decir realmente no era
que la verdadera astronomía debía preocuparse de un cielo ideal sin ninguna
relación con el observable, sino que debía ocuparse de los movimientos reales de
los cuerpos celestes, a diferencia de los aparentes tal como
se veían desde la Tierra. Otros señalan, en cambio, que una interpretación
demasiado literal de las afirmaciones de Platón habría supuesto un obstáculo
grave para el desarrollo de la astronomía observacional como ciencia. Sea cual
sea la interpretación de la actitud de Platón hacia la astronomía, el
platonismo se ha convertido en uno de los dogmas más destacados al hablar de
los fundamentos de la matemática.
Pero ¿existe realmente este mundo de la matemática platónico? Y, caso de
existir, ¿exactamente dónde se encuentra? ¿Y qué son esas afirmaciones
«objetivamente ciertas» que lo habitan? ¿O acaso los matemáticos adeptos al
platonismo están simplemente expresando el mismo tipo de creencia romántica
atribuida al gran artista del Renacimiento Miguel Ángel? Según cuenta la
leyenda, Miguel Ángel creía que sus magníficas esculturas ya existían dentro de
los bloques de mármol, y que su papel consistía únicamente en revelarlas.
Los platónicos modernos (no hay duda de que existen, y hablaré de sus puntos de
vista con más detalle en capítulos posteriores) sostienen con insistencia que
el mundo platónico de las formas matemáticas es real, y ofrecen lo que para
ellos son ejemplos concretos de afirmaciones objetivamente ciertas que residen
en ese mundo.
Tomemos la siguiente proposición sencilla: todos los enteros mayores que dos se
pueden escribir en forma de suma de dos primos (números divisibles únicamente
por sí mismos o por la unidad). Esta afirmación de aspecto simple se conoce
como conjetura de Goldbach, debido a que una conjetura
equivalente a ésta aparecía en una carta del matemático aficionado prusiano
Christian Goldbach (1698-1764) el 7 de junio de 1742. Es fácil verificar la
validez de la conjetura para los primeros números pares:
4 =
2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 (ó 5 + 5)
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 (ó 7 + 7)
16 = 5 + 11 (ó 3 + 13); etc.
La
afirmación es tan simple que el matemático británico G. H. Hardy declaró que
«cualquier bobo podría haberlo adivinado». De hecho, el gran matemático y
filósofo francés René Descartes se había adelantado a Goldbach en esta
conjetura. Sin embargo, demostrarla conjetura se reveló como
algo completamente distinto. En 1906, el matemático chino Chen Jing-run dio un
paso significativo hacia una demostración, ya que logró demostrar que cualquier
número entero par lo suficientemente grande es la suma de dos números; uno de
ellos es primo y el otro tiene un máximo de dos factores primos. A finales de
2005, el investigador portugués Tomás Oliveira e Silva probó que la conjetura
era cierta para los números hasta 3 x 10 17 (trescientos
mil billones). Y sin embargo, a pesar de los colosales esfuerzos de muchos
matemáticos de talento, en el momento de escribir estas líneas la
demostración general sigue eludiéndonos. Ni siquiera la
tentación adicional del premio de 1.000.000 de dólares que se ofreció entre el
20 de marzo de 2000 y el 20 de marzo de 2002 (para dar publicidad a la novela
titulada El tío Petros y la conjetura de Goldbach) produjo el
resultado deseado. [55]Pero aquí
entra el quid de la cuestión: el significado de «verdad
objetiva» en matemática. Supongamos que en 2016 se formula una demostración
rigurosa. ¿Podríamos decir entonces que la afirmación ya era cierta la primera
vez que Descartes pensó en ella? La mayoría de las personas estarían de acuerdo
en calificar de tontería una pregunta así. Por supuesto que, si se ha
demostrado que la proposición es cierta, es que siempre lo ha
sido, incluso antes de que lo supiésemos. Podemos también echar un vistazo a otro
ejemplo de aspecto inocente llamado laconjetura de Catalán.[56]Los números 8
y 9 son enteros consecutivos, y cada uno de ellos es igual a una potencia pura,
esto es, 8 = 23 y 9 = 32. En 1844, el matemático
belga Eugene Charles Catalán (1814-1894) conjeturó que, entre todas las
posibles potencias de números enteros, la únicapareja de números
consecutivos (excluidos el 0 y el 1) era 8 y 9. En otras palabras, aunque uno
se pase la vida entera escribiendo todas las potencias puras que existen, no
encontrará otra pareja de números que difieran en 1, salvo 8 y 9. En 1342, el
filósofo y matemático judeo-francés Levi Ben Gerson (1288-1344) demostró una
pequeña parte de la conjetura: que 8 y 9 son las dos únicas potencias de 2 y 3
que difieren en 1. El matemático Robert Tijdeman efectuó un gran avance en
1976. Aun así, la demostración general de la conjetura de Catalan frustró las
mejores mentes matemáticas durante más de ciento cincuenta años. Finalmente, el
18 de abril de 2002, el matemático rumano Preda Mihailescu presentó una
demostración completa de la conjetura. Su demostración se publicó en 2004 y en
la actualidad está totalmente aceptada. De nuevo, uno podría preguntar: ¿cuándo
se convirtió en cierta la conjetura de Catalan? ¿En 1342? ¿En 1844? ¿En 1976?
¿En 2002? ¿En 2004? ¿O no es acaso obvio que la afirmación fue siempre cierta,
sólo que no sabíamos que lo era? Este es el tipo de verdades a las que los
platónicos denominarían verdades objetivas.
Algunos matemáticos, filósofos, científicos cognitivos y otros «consumidores»
de matemática (como científicos de la computación) juzgan el mundo platónico
como producto de la imaginación de mentes demasiado soñadoras (esta perspectiva
y otros dogmas los describiré con mayor detalle más adelante). [57]De hecho, en
1940, el famoso historiador de la matemática Eric Temple Bell (1883-1960)
efectuó la predicción siguiente:
Según
los profetas, el último partidario del ideal platónico en matemática se unirá a
los dinosaurios alrededor del año 2000. Despojada de estas místicas vestiduras
de eternalismo, la matemática será reconocida por lo que siempre ha sido, un
lenguaje construido por los humanos y desarrollado por éstos con finalidades
definidas establecidas por ellos mismos. El último templo de la verdad absoluta
se habrá desvanecido junto con la nada a la que estaba consagrado. [58]
La
profecía de Bell demostró ser falsa. Aunque han aparecido dogmas diametralmente
opuestos (pero en distintas direcciones) al platonismo, no han logrado ganarse
las mentes (¡ni los corazones!) de todos los matemáticos y filósofos, que
siguen estando tan divididos como siempre.
Supongamos, no obstante, que el platonismo hubiese salido vencedor y que todos
nos hubiésemos convertido al fervor platónico. ¿Explica el platonismo la «poco
razonable eficacia» con la que la matemática describe nuestro mundo? En realidad,
no. ¿Por qué iba la realidad física a comportarse según leyes que residen en el
abstracto mundo platónico? Este era, después de todo, uno de los misterios de
Penrose, un «devoto» platonista. Así que de momento tendremos que aceptar el
hecho de que, aunque adoptásemos el platonismo, el rompecabezas del poder de la
matemática seguiría sin resolver. En palabras de Wigner: «Es difícil evitar la
impresión de que nos enfrentamos a un milagro, comparable en capacidad de
sorpresa al milagro de que la mente humana pueda hilvanar un millar de
argumentos sin contradecirse».
Para apreciar en todo su esplendor la magnitud de este milagro deberemos
ahondar en las vidas y los legados de los propios «milagreros», las mentes
ocultas tras el descubrimiento de algunas de estas increíblemente precisas
leyes de la naturaleza.
Capítulo 3
Magos: el maestro y el hereje
A
diferencia de los Diez Mandamientos, la ciencia no se entregó a la humanidad en
unas imponentes tablas de piedra. La historia de la ciencia es la historia del
auge y caída de numerosas especulaciones, hipótesis y modelos. Muchas ideas
aparentemente ingeniosas resultaron ser disparos de fogueo o conducir a
callejones sin salida. Algunas teorías que en su momento se consideraban
blindadas acabaron por disolverse en la nada tras pasar por la cruel prueba de
los sucesivos experimentos y observaciones y quedar totalmente obsoletas. Ni
siquiera la mente formidable de los creadores de algunas de estas ideas
erróneas les proporcionó inmunidad para impedir que fueran sustituidas por
otras. El gran Aristóteles (384-322 a.C), por ejemplo, pensaba que las piedras,
las manzanas u otros objetos pesados caían porque buscaban su lugar natural, que
se encontraba en el centro de la Tierra. Al acercarse al suelo, sostenía
Aristóteles, estos cuerpos aumentaban su velocidad porque estaban felices de
regresar a casa. Por el contrario, el aire (y el fuego) se movían hacia arriba
porque el lugar natural del aire eran las esferas celestiales. A todos los
objetos se les podía asignar una «naturaleza» en función de la relación
percibida con los constituyentes más básicos: tierra, fuego, aire y agua. En
palabras de Aristóteles:
Algunas
cosas son por naturaleza, otras por otras causas. Por naturaleza son … los
cuerpos simples como la tierra, el fuego, el aire y el agua… Todas estas cosas
parecen diferenciarse de las que no están constituidas por naturaleza, porque
cada una de ellas tiene en sí misma un principio de movimiento y de reposo …
Porque la naturaleza es un principio y causa del movimiento o del reposo en la
cosa a la que pertenece primariamente … Se dice que son «conforme a naturaleza»
todas esas cosas y cuanto les pertenece por sí mismas, como al fuego el
desplazarse hacia arriba. [59]
Aristóteles
intentó incluso formular una ley del movimiento cuantitativa. Afirmó
que los objetos más pesados caen más deprisa, y su velocidad es directamente
proporcional al peso (es decir, se suponía que un objeto dos veces más pesado
que otro debía caer al doble de velocidad). Aunque nuestra experiencia
cotidiana puede hacernos creer que esta «ley» parece razonable (se ha observado
que un ladrillo llega al suelo antes que una pluma al dejar caer ambos desde la
misma altura), Aristóteles no se preocupó de examinar con precisión su
afirmación cuantitativa. De algún modo, nunca se le ocurrió (o quizá no
consideró que fuese necesario) comprobar si dos ladrillos atados entre sí caían
realmente el doble de rápido que un solo ladrillo. Galileo Galilei (1564-1642),
con un espíritu matemático y experimental mucho más acentuado y con no
demasiado respeto por el nivel de «felicidad» de los ladrillos y las manzanas
que caen, fue el primero en señalar el craso error de Aristóteles. Mediante un
astuto «experimento mental», Galileo mostró que la ley de Aristóteles no tenía
ningún sentido, porque era incoherente desde el punto de vista lógico. [60]Su
argumentación era la siguiente: supongamos que atamos entre sí dos objetos, uno
más pesado que el otro. ¿Con qué velocidad caerá el objeto combinado en
comparación con la de cada uno de sus componentes? Por un lado, según la ley de
Aristóteles, se puede llegar a la conclusión de que caería a una velocidad
intermedia, ya que el objeto ligero reduciría la velocidad del más pesado. Por
otro lado, sin embargo, el objeto combinado es más pesado que sus dos
componentes, por lo que debería caer aún más rápido que el más pesado de los
dos, lo cual lleva a una clara contradicción. El único motivo por el que una
pluma cae con más suavidad que una tonelada de ladrillos es que la pluma
experimenta una resistencia mayor del aire; si se dejan caer desde la misma
altura en el vacío, ambos llegarán simultáneamente al suelo. Este hecho ha
quedado demostrado en numerosos experimentos, y el más espectacular de ellos lo
llevó a cabo el astronauta del Apolo 15 David Randolph Scott, la séptima
persona en caminar por la superficie de la Luna. Scott dejó caer
simultáneamente un martillo desde una mano y una pluma desde la otra. Puesto
que la Luna carece de una atmósfera sustancial, el martillo y la pluma
golpearon la superficie lunar al mismo tiempo.
Lo más sorprendente de la falaz ley de movimiento de Aristóteles no es que
fuese falsa, sino que ¡había sido aceptada durante más de dos mil años! ¿Cómo
pudo disfrutar de tan notable longevidad una idea errónea? Se trataba de un
caso de «tormenta perfecta»: tres fuerzas distintas combinadas para crear una
doctrina incuestionable. En primer lugar tenemos el hecho de que, en ausencia
de medidas precisas, la ley de Aristóteles parecía estar de acuerdo con el
sentido común y la experiencia: las hojas de papiro tienden a flotar en el aire
mientras que no lo hacen los pedruscos de plomo. En segundo lugar tenemos el
colosal peso de la inigualable reputación de Aristóteles y su autoridad como
erudito. Después de todo, estamos hablando de la persona que estableció los
cimientos de una gran parte de la cultura intelectual de Occidente. Ya fuese en
la investigación de los fenómenos naturales o los fundamentos de la ética, la
metafísica, la política o el arte, Aristóteles escribió, literalmente, el
primer libro. Y la cosa no acababa ahí. En cierto sentido, Aristóteles también
nos enseñó cómopensar, al iniciar los primeros estudios formales de
la lógica. En nuestros días, casi todos los niños en las escuelas reconocen el
cuasi-completo sistema de inferencia lógica de Aristóteles, denominado silogismo:[61]
1. Todos
los griegos son personas.
2. Todas
las personas son mortales.
3. Todos
los griegos son mortales.
El
tercer motivo de la increíble capacidad de permanencia de la teoría incorrecta
de Aristóteles era que la iglesia cristiana adoptó su teoría como parte de la
ortodoxia oficial, lo que actuó como agente disuasorio contra cualquier intento
de cuestionar las afirmaciones de Aristóteles.
A pesar de sus impresionantes contribuciones a la sistematización de la lógica
deductiva, definitivamente las matemáticas no eran el fuerte de Aristóteles. Es
sorprendente que el hombre que, en esencia, estableció la ciencia como
disciplina organizada, no le diera demasiada importancia a la matemática (desde
luego, mucha menos que Platón), y la física no se le diera muy bien. Aunque
Aristóteles reconocía la importancia de las relaciones numéricas y geométricas
en la ciencia, consideraba la matemática como una disciplina abstracta,
apartada de la realidad física. Por consiguiente, aunque no cabe duda de que
Aristóteles era una potencia intelectual, no entraría en mi
lista de «magos».
Utilizo aquí la palabra «mago» para referirme a las personas capaces de sacar
conejos de chisteras literalmente vacías; aquellas que descubrieron conexiones
nunca antes imaginadas entre la matemática y la naturaleza; aquellas que, al
observar fenómenos complejos, fueron capaces de destilar de ellos precisas
leyes matemáticas. En algunos casos, estos pensadores de un nivel superior
utilizaron incluso sus experimentos y observaciones para hacer avanzar la
matemática. La cuestión de la colosal eficacia de la matemática para explicar
la naturaleza no hubiese surgido jamás de no haber sido por estos «magos». Este
enigma nació directamente de la milagrosa inspiración de estos investigadores.
Ningún libro puede hacer realmente justicia a estos soberbios científicos y
matemáticos que han contribuido a nuestra comprensión del universo. En este
capítulo y el siguiente tengo previsto centrarme en cuatro de estos gigantes de
siglos pretéritos, cuyo estatus de «mago» no puede cuestionarse; la crème
de la crème del mundo científico. Al primero de los «magos» de mi lista
se le recuerda por un hecho insólito: ¡por atravesar corriendo completamente
desnudo las calles de su ciudad!
Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo
Cuando el historiador de la matemática E. T. Bell tuvo que decidir a quién
situaba en su lista de «los tres mejores matemáticos», su conclusión fue:
En
cualquier lista de los tres mejores matemáticos de la historia debe aparecer el
nombre de Arquímedes. Los otros dos que suelen acompañarle suelen ser Newton
(1643-1727) y Gauss (1777-1855). Considerando la abundancia (o escasez)
relativa de matemáticos y científicos en las respectivas épocas en los que
estos dos gigantes vivieron y tomando en consideración sus logros en el
contexto de su época, algunos pondrían a Arquímedes en el primer lugar. [62]
Arquímedes
(287-212 a.C; en la figura 10 se muestra un busto que, según se dice,
representa a Arquímedes, pero que podría corresponder en realidad a un rey de
Esparta) era, efectivamente, el Newton o Gauss de su época. Una persona tan
brillante, imaginativa e inspirada que tanto sus contemporáneos como las
generaciones que lo sucedieron mencionaban su nombre con respeto y admiración.
Aunque se le conoce sobre todo por sus ingeniosos inventos en el campo de la
ingeniería, Arquímedes era sobre todo matemático, y en esta disciplina se
hallaba siglos por delante de su época. Por desgracia, apenas hay información
acerca de los primeros años de su vida y de su familia. En su primera
biografía, escrita por un tal Heráclides, [63]no ha llegado
hasta nuestros días, y los escasos detalles que sabemos sobre su vida y su
violenta muerte proceden principalmente de los escritos del historiador romano
Plutarco. Plutarco (ca. 46-120 d.C.) estaba, de hecho, más interesado en los
logros militares del general romano Marcelo, que conquistó la ciudad natal de
Arquímedes, Siracusa, en 212 a.C. [64]Por suerte
para la historia de la matemática, Arquímedes dio tantos problemas a Marcelo
durante el sitio de Siracusa que los tres principales historiadores de ese
período —Plutarco, Polibio y Livio— tuvieron que hablar de él.
Arquímedes nació en Siracusa, en aquellos tiempos un enclave griego en
Sicilia. [65]Según su
propio testimonio, era hijo del astrónomo Fidias, sobre el que se tiene escasa
información salvo que había hecho una estimación de los diámetros del Sol y de
la Luna. Arquímedes podría también estar emparentado de algún modo con el rey
Hierón II, que a su vez era hijo ilegítimo de un noble y de una de sus
esclavas. Independientemente de los lazos de parentesco que tuviese con la
familia real, tanto el rey como su hijo, Gelón, tuvieron siempre a Arquímedes
en muy alta consideración. En su juventud, Arquímedes pasó un tiempo en
Alejandría, en donde estudió matemáticas, antes de regresar a Siracusa para
dedicarse en cuerpo y alma a la investigación. [66] Arquímedes
era un matemático de la cabeza a los pies. Según Plutarco, consideraba sórdido
e innoble «cualquier arte que sirviese meramente para el uso y el provecho, y
su ambición se limitaba a aquello que, por su belleza y su excelencia,
permaneciese al margen de las necesidades más comunes de la vida». La constante
preocupación de Arquímedes por la matemática abstracta y la atención que le
dedicaba hasta llegar a consumirle iba, al parecer, mucho más allá del
entusiasmo habitual entre los practicantes de esa disciplina. Citando de nuevo
a Plutarco:
Hechizado
por la sirena que le acompañaba a todas partes, se olvidaba de comer y de los
cuidados más básicos; y, cuando se veía forzado a bañarse y ungirse, solía
dibujar figuras geométricas en las cenizas o, con los dedos, trazaba líneas
sobre su cuerpo ungido, poseído por un sublime éxtasis y, en verdad,
esclavizado por las musas.
A
pesar de su desprecio por la matemática aplicada y la poca importancia que
concedía a sus propias ideas sobre ingeniería, sus ingeniosos inventos le
supusieron una mayor celebridad a nivel popular que su genio matemático.
La leyenda más conocida sobre Arquímedes resalta aún más su imagen arquetípica
de matemático despistado. Este divertido relato fue narrado por primera vez por
el arquitecto romano Vitruvio en el siglo I d.C, y dice así: el rey Hierón
quería consagrar una corona de oro a los dioses inmortales. Cuando el rey
recibió la corona acabada, su peso era igual al del oro entregado para su
creación. Sin embargo, el rey sospechaba que una cierta cantidad de oro había
sido sustituida por el mismo peso en plata. Incapaz de corroborar sus
sospechas, el rey pidió consejo al maestro de los matemáticos: Arquímedes. Un
día, prosigue la leyenda, Arquímedes, que seguía enfrascado en la resolución
del problema del posible fraude de la corona, fue a bañarse. Mientras se
sumergía en el agua de la bañera, se dio cuenta de que su cuerpo desplazaba un
cierto volumen de agua, que desbordaba por encima de la bañera, y en su mente
vio la solución. [67]Sin poder
contener su alborozo, Arquímedes saltó de la bañera y salió corriendo desnudo
por las calles al grito de ¡Eureka! ¡Eureka! («¡Lo encontré!
¡Lo encontré!»).
Otra de las famosas máximas arquimedianas, «Dadme un punto de apoyo y moveré el
mundo», aparece actualmente, en distintas versiones, en más de 150.000 páginas
web de acuerdo con los resultados de Google. Esta osada afirmación, que parece
algo así como el lema de una gran corporación, ha sido citada en discursos de
Thomas Jefferson, Mark Twain y John F. Kennedy, y hasta en un poema de Lord
Byron. [68]Al parecer,
la frase era la culminación de los estudios de Arquímedes sobre el problema de
mover un peso determinado con una fuerza determinada. Según Plutarco, cuando el
rey Hierón solicitó ver una demostración práctica de la capacidad de Arquímedes
para manejar un peso muy grande con una fuerza muy pequeña, Arquímedes se las
arregló, mediante una polea compuesta, para botar un barco con toda su carga.
Plutarco agrega, admirado, que «movió el barco con suavidad y seguridad, como
si estuviese navegando por el mar». En otras fuentes se pueden encontrar
versiones ligeramente distintas de esta misma leyenda. Aunque es difícil creer
que Arquímedes fuese capaz de desplazar un barco entero con los aparatos
mecánicos de los que disponía, las leyendas no dejan lugar a dudas sobre una
impresionante demostración de un invento que le permitía maniobrar grandes
pesos.
Aunque Arquímedes es el responsable de muchos inventos pacíficos, como un
tornillo hidráulico para elevar agua y un planetario que mostraba los
movimientos de los cuerpos celestes, en la Antigüedad se hizo célebre por su
intervención en la defensa de Siracusa contra los romanos.
A los historiadores siempre les han gustado las guerras. Por tanto, los hechos
del sitio romano de Siracusa durante los años 214-212 a.C. aparecen descritos
con todo lujo de detalles en las crónicas de diversos historiógrafos. El
general romano Marco Claudio Marcelo (ca. 268-208 a.C), cuya fama militar era
notable en aquellos días, preveía una victoria rápida. Pero lo que al parecer no
tuvo en cuenta fue la testarudez del rey Hierón, ayudado por un genio de la
matemática y la ingeniería. Plutarco ofrece una vivida descripción del caos que
las máquinas de Arquímedes provocaron en las huestes romanas:
Al
ejército, [disparó Arquímedes] con armas arrojadizas de todo género y con
piedras de una mole inmensa, despedidas con increíble violencia y celeridad,
las cuales no habiendo nada que resistiese a su paso, obligaban a muchos a la
fuga y rompían la formación. En cuanto a las naves, a unas las asían por medio
de grandes maderos con punta, que repentinamente aparecieron en el aire
saliendo desde la muralla, y, alzándose en alto con unos contrapesos, las
hacían luego sumirse en el mar, y a otras, levantándolas rectas por la proa con
garfios de hierro semejantes al pico de las grullas, las hacían caer en el agua
por la popa, o atrayéndolas y arrastrándolas con máquinas que calaban adentro
las estrellaban en las rocas… A veces hubo nave que suspendida en alto dentro
del mismo mar, y arrojada en él y vuelta a levantar, fue un espectáculo
terrible hasta que estrellados o expelidos los marineros, vino a caer vacía
sobre los muros, o se deslizó por soltarse el garfio que la asía.
El
miedo a los dispositivos de Arquímedes llegó hasta tal punto que «si [los
soldados romanos] veían la sombra de un trozo de cuerda o un madero sobre una
pared, gritaban horrorizados "ahí está de nuevo", refiriéndose a que
Arquímedes estaba lanzando contra ellos alguno de sus ingenios, y se daban
media vuelta y salían huyendo». El propio Marcelo, profundamente impresionado,
se quejaba a su equipo de ingenieros militares: «¿Es que nunca terminaremos de
luchar contra este Briareo [el gigante de cien brazos hijo de Urano y Gea] de
la geometría que, sentado junto al mar, juega al tejo con nuestros barcos para
confundirnos y, por las armas arrojadizas que lanza contra nosotros, supera a
los gigantes de cien brazos de la mitología?».
Según otra leyenda popular que hizo su primera aparición en los escritos del
gran médico griego Galeno (ca. 129-200 d.C), Arquímedes utilizó un conjunto de
espejos que enfocaban los rayos del Sol para quemar los barcos romanos. [69]El arquitecto
bizantino del siglo VI Antemio de Tralles y varios historiadores del siglo XII
repitieron esta historia fantástica, aunque la viabilidad de tamaña proeza
sigue siendo incierta. Aun así, el número de relatos cuasi-mitológicos nos
proporciona un abundante testimonio de la veneración que «el sabio» inspiró en
las generaciones posteriores.
Como ya he mencionado, Arquímedes (ese «Briareo de la geometría» tan altamente
considerado) no tenía en demasiada consideración sus juguetes militares; más
bien los veía como diversiones geométricas. Por desgracia, esa actitud distante
podría finalmente haberle costado la vida. Cuando los romanos capturaron por
fin Siracusa, Arquímedes estaba tan absorto dibujando sus diagramas geométricos
en una bandeja de arena que apenas prestó atención al tumulto de la batalla.
Según algunas narraciones, cuando un soldado romano ordenó a Arquímedes que lo
siguiera para presentarlo ante Marcelo, el anciano geómetra repuso indignado:
«Apártate de mis diagramas». [70]Esta
respuesta encolerizó al soldado hasta tal punto que, desobedeciendo las órdenes
expresas de su superior, desenvainó su espada y dio muerte al mayor matemático
de la Antigüedad.
La
figura 11 muestra lo que se considera una reproducción del siglo XVIII de un
mosaico hallado en Herculano en el que se representan los últimos momentos de
la vida del «maestro».
En cierto sentido, la muerte de Arquímedes marcó el final de una era de
extraordinaria vitalidad en la historia de las matemáticas. Tal como señaló el
matemático y filósofo británico Alfred North Whitehead:
La
muerte de Arquímedes a manos de un soldado romano es el símbolo de un cambio de
primera magnitud a nivel mundial. Los romanos fueron un gran pueblo, pero
estaban condenados por la esterilidad que se deriva del sentido práctico. No
eran soñadores que alcanzasen nuevos puntos de vista para llegar a un control
más fundamental de las fuerzas de la naturaleza. Ningún romano perdió
nunca la vida por estar absorto en la contemplación de un diagrama matemático. (El
subrayado es mío) [71]
Por
suerte, aunque los detalles acerca de la vida de Arquímedes escasean, muchos
(aunque no todos) de sus increíbles escritos han sobrevivido. Arquímedes tenía
la costumbre de enviar notas sobre sus descubrimientos matemáticos a algunos
matemáticos amigos suyos o a personas que le merecían respeto. Esta exclusiva
lista de corresponsales incluía, entre otros, al astrónomo Conón de Sanios, al
matemático Eratóstenes de Cirene y al hijo del rey, Gelón. Tras la muerte de
Conón, Arquímedes envió algunas notas al pupilo de aquél, Dositeo de Pelusio.
La obra de Arquímedes abarca una asombrosa variedad dentro de la matemática y
la física. [72]Estos son
algunos de sus numerosos logros: ideó métodos generales para hallar las áreas
de diversas figuras planas y los volúmenes limitados por todo tipo de
superficies curvas, entre los que se encontraban las áreas del círculo, el
segmento de parábola y la espiral, y los volúmenes del segmento de cilindro, de
cono y de otras figuras generadas por la rotación de parábolas, elipses e
hipérbolas; demostró que el valor del número π, la relación entre la
circunferencia de un círculo y su diámetro, debía ser mayor que 3 10/71 y
menor que 3 1/ 7; en una época en la que no
existía método alguno para describir los números muy grandes inventó un sistema
que le permitía, no sólo escribir, sino también manipular, números de cualquier
magnitud. En física, Arquímedes descubrió las leyes que gobernaban el
comportamiento de los cuerpos flotantes, estableciendo así la ciencia de
la hidrostática. Además, calculó los centros de gravedad de
muchos sólidos y formuló las leyes mecánicas de las palancas. En astronomía,
efectuó observaciones para medir la longitud del año y las distancias a los
planetas.
Los trabajos de muchos matemáticos griegos se caracterizaron por su
originalidad y su atención a los detalles. Sin embargo, los métodos de
razonamiento y resolución de Arquímedes lo situaban en una clase aparte de los
científicos de su época. Permítanme describir únicamente tres ejemplos
representativos que ofrecen una somera idea de la inventiva de Arquímedes. El
primero de ellos, a primera vista, no parece más que una entretenida curiosidad,
pero un examen más atento revela la profundidad de su inquisitivo cerebro. Las
otras dos ilustraciones de los métodos arquimedianos demuestran un pensamiento
tan avanzado que bastan para elevar a Arquímedes a lo que he denominado el
estatus de «mago».
Al parecer, Arquímedes estaba fascinado por los números grandes. La notación
ordinaria es demasiado tosca para expresar números muy grandes (intente
escribir un cheque personal de 8,4 billones de dólares, la deuda nacional de
Estados Unidos en julio de 2006, en el espacio asignado para la cantidad). De
modo que Arquímedes desarrolló un sistema con el que podría representar incluso
números de 80 trillones de dígitos. Este sistema lo utilizó en un original
tratado llamado El arenario, para mostrar que el número total
de granos de arena en el mundo no era infinito.
La misma introducción de ese tratado es tan ilustrativa que reproduciré aquí un
fragmento de la misma (la introducción estaba dirigida a Gelón, el hijo del rey
Hierón II):
Hay
algunos, rey Gelón, que creen que el número de los granos de arena es infinito
por su multitud; y cuando digo arena no solamente me refiero a la que existe
alrededor de Siracusa y del resto de Sicilia sino también a la que se puede
encontrar en toda región, ya sea habitada o deshabitada. También hay algunos
que sin creer que sea infinita, piensan sin embargo que no existe ningún número
que sea lo bastante grande como para superar tanta abundancia. Y es claro que,
si aquellos que sostienen esa opinión imaginasen una masa hecha de arena tan
grande como la masa de la Tierra, incluyendo en ella todos los mares y los
huecos de la Tierra llenos hasta la altura de la más alta de los montañas,
seguirían muy lejos de reconocer que se puede expresar cualquier número que
supere esta multitud de arena. Pero intentaré mostrarte, con pruebas
geométricas que podrás entender, que de los números a los que nombré y que
incluí en la obra que envié a Zeuxipo [por desgracia, esta obra se ha perdido],
algunos de ellos superan no sólo el número de los granos de arena cuya masa es
igual en magnitud a la de la Tierra llena de la forma en que lo he descrito,
sino también a una masa de igual magnitud que el universo. Como sabes,
"universo" es el nombre con el que los astrónomos llaman a la esfera
cuyo centro es el centro de la Tierra y cuyo radio es igual a la longitud de
una línea recta entre el centro del Sol y el centro de la Tierra. Esto es lo
que los astrónomos dicen, y es conocimiento común. Pero Aristarco de Samos
escribió un libro en el que exponía algunas hipótesis que conducían al
resultado de que el universo es muchas veces mayor que lo que ahora se llama
así. Sus hipótesis eran que las estrellas fijas y el Sol están inmóviles, que
la Tierra gira alrededor del Sol en la circunferencia de un círculo, con el Sol
en el centro de la órbita… [73]
De
esta introducción sobresalen de inmediato dos aspectos:
i. Arquímedes
estaba preparado para poner en duda incluso las creencias más habituales (por
ejemplo, que el número de granos de arena es infinito), y
ii. que
respetaba la teoría heliocéntrica del astrónomo (en otro lugar del tratado
corrige incluso una de las hipótesis de Aristarco). En el universo de
Aristarco, la Tierra y los planetas giraban alrededor de un Sol estacionario
ubicado en el centro (¡recuerde que este modelo se propuso mil ochocientos años
antes de Copérnico!).
Tras
estas observaciones preliminares, Arquímedes se aboca a la tarea de los granos
de arena, avanzando mediante una serie de pasos lógicos. En primer lugar
efectúa una estimación del número de granos que puestos en fila son necesarios
para abarcar el diámetro de una semilla de amapola. Luego, cuántas semillas de
amapola abarcarían la anchura de un dedo, cuántos dedos en un estadio, y
continúa hasta los diez mil millones de estadios. Sobre la marcha, Arquímedes
inventa un sistema de índices y una notación que, combinados, le permiten
clasificar estos descomunales números. Arquímedes supuso que la esfera de
estrellas fijas es menos de diez millones de veces mayor que la esfera que
contiene la órbita del Sol (según se ve desde la Tierra), halló que el número
de granos de arena en un universo lleno de ella sería inferior a 1063 (un
uno seguido de sesenta y tres ceros). La conclusión de su tratado era una
respetuosa nota a Gelón:
Imagino
que estos hechos, rey Gelón, parecerán increíbles a la gran mayoría de las
personas que no han estudiado matemáticas, pero a aquellos que están versados
en ellas y han meditado sobre la cuestión de las distancias y tamaños de la
Tierra y el Sol y la Luna y el universo entero, la prueba les resultará
convincente. Y por ese motivo he pensado que el asunto no sería inapropiado
para someterlo a tu consideración.
La
belleza de El arenario reside en la facilidad con la que
Arquímedes pasa de los objetos cotidianos (semillas de amapola, arena y dedos)
a los números abstractos y la notación matemática, y de ahí a los tamaños del
sistema solar y del universo entero. Arquímedes poseía sin duda una
flexibilidad intelectual de tal calibre que podía utilizar cómodamente sus
matemáticas para descubrir propiedades desconocidas del universo y también
utilizar las características del cosmos para avanzar en los conceptos
aritméticos.
El segundo factor que hace a Arquímedes acreedor del título de «mago» es
el método utilizado para llegar a sus notables teoremas
geométricos. Apenas se sabía nada sobre este método ni sobre los procesos
mentales en general de Arquímedes hasta el siglo XX. En 1906, un espectacular
descubrimiento abrió una ventana a la mente de este genio. La historia de este
descubrimiento recuerda tanto a una de esas novelas históricas de misterio del
escritor y filósofo italiano Umberto Eco que me siento en la obligación de
desviarme brevemente para contarla. [74]
El palimpsesto de Arquímedes
En algún momento del siglo X, [75]un escriba
anónimo de Constantinopla (la actual Estambul) copió tres importantes obras de
Arquímedes: El método, Stomachion y De los cuerpos
flotantes. Probablemente se debió a un interés general por los
matemáticos griegos suscitado por el matemático del siglo IX León el Geómetra.
Sin embargo, en 1204, los caballeros de la cuarta cruzada decidieron saquear
Constantinopla en busca de soporte financiero. En los años venideros, la pasión
por las matemáticas decayó, mientras que el cisma entre la Iglesia Católica de
Occidente y la Iglesia Ortodoxa de Oriente se convirtió en un hecho consumado.
En algún momento antes de 1229, el manuscrito con las obras de Arquímedes
sufrió un catastrófico proceso de reciclaje: fue desencuadernado y lavado para
reutilizar el pergamino en un libro de oraciones cristiano. El escriba Ioannes
Myronas terminó de copiar el libro de oraciones el 14 de abril de 1229. [76]Por fortuna,
el borrado del texto original no lo eliminó por completo.
En
la figura 12 se muestra una página del manuscrito; las líneas horizontales
representan las oraciones y las verticales, el contenido matemático. Alrededor
del siglo XVI, el palimpsesto —el documento reciclado— había llegado de algún
modo a Tierra Santa, concretamente al monasterio de San Sabas, al este de
Belén. A principios del siglo XIX, la biblioteca del monasterio contenía no
menos de un millar de manuscritos. Sin embargo, por razones no del todo
conocidas, el palimpsesto de Arquímedes volvió a ser trasladado a
Constantinopla. En la década de 1840, el famoso erudito bíblico alemán
Constantin Tischendorf (1815-1874), descubridor de uno de los manuscritos más
antiguos de la Biblia, visitó el metoquio del Santo Sepulcro en Constantinopla
(dependiente de la abadía del Patriarcado Griego en Jerusalén) y allí vio el
palimpsesto. Probablemente, Tischendorf quedó intrigado por el parcialmente
visible texto matemático subyacente, porque al parecer ¡arrancó y robó una
página del manuscrito! Los herederos de Tischendorf vendieron esa página en
1879 a la Biblioteca de la Universidad de Cambridge.
En 1899, el estudioso griego Anastasius Papadopoulos Kerameus catalogó todos
los manuscritos del Metoquio, y el manuscrito de Arquímedes apareció en su
lista como Ms. 355. Papadopoulos Kerameus fue capaz de leer algunas líneas del
texto matemático y, quizá dándose cuenta de su posible importancia, escribió
estas líneas en su catálogo. El texto matemático en el catálogo captó la
atención del filólogo danés Johan Ludvig Heiberg (1854-1928). Heiberg reconoció
el texto como perteneciente a Arquímedes, de modo que viajó a Estambul en 1906,
examinó y fotografió el palimpsesto y, un año después, anunció su
extraordinario descubrimiento: dos tratados inéditos de Arquímedes (y otro del
que sólo se conocía hasta entonces su traducción al latín). Aunque Heiberg fue
capaz de leer fragmentos del manuscrito y luego publicarlos en su libro sobre
la obra de Arquímedes, aún había huecos importantes. Por desgracia, en algún
momento después de 1908, el manuscrito desapareció de Estambul en misteriosas
circunstancias, para reaparecer en manos de una familia de París, que afirmaba
haberlo poseído desde los años veinte. El palimpsesto había sufrido daños
irreversibles por moho debido a un almacenaje incorrecto, y tres de las páginas
anteriormente transcritas por Heiberg habían, simplemente, desaparecido.
Además, posteriormente a 1929, una persona pintó cuatro miniados de estilo
bizantino en cuatro de sus páginas. La familia francesa que poseía el manuscrito
decidió finalmente enviarlo a Christie's para que fuese subastado. La propiedad
del manuscrito fue disputada en un juzgado federal de Nueva York en 1998. El
Patriarcado de Jerusalén de la Iglesia Ortodoxa griega reclamaba que el
manuscrito había sido robado en los años veinte de uno de sus monasterios, pero
el juez acabó decidiendo en favor de Christie's. El palimpsesto fue subastado
en Christie's el 29 de octubre de 1998, y un comprador anónimo pagó por él dos
millones de dólares. El propietario depositó el manuscrito de Arquímedes en el
museo de arte Walters en Baltimore, donde recibe un exhaustivo tratamiento de
conservación y está siendo sometido a un concienzudo examen. Los modernos
científicos especialistas en imagen disponen de herramientas en su arsenal que
no estaban disponibles a los investigadores de épocas pasadas. Luz
ultravioleta, imagen multiespectral y rayos X enfocados (producidos por
electrones acelerados en el Acelerador lineal de Stanford) han ayudado a
descifrar porciones del manuscrito previamente ocultas. En el momento de
redactar estas líneas, los especialistas prosiguen con el cuidadoso estudio del
manuscrito de Arquímedes. Yo mismo tuve la suerte de conocer al equipo
«forense» del palimpsesto. [77]
En
la figura 13 aparezco yo mismo junto a un montaje experimental utilizado para
iluminar una de las páginas del palimpsesto en distintas longitudes de onda.
La dramática historia que rodea al palimpsesto es de lo más adecuada para un
documento que nos permite echar un vistazo sin precedentes al método del
insigne geómetra.
El método
Al leer cualquier libro de geometría griega, no deja de impresionar la economía
de estilo y la precisión con la que se enunciaban y se demostraban los teoremas
hace más de dos milenios. Sin embargo, lo que esos libros no proporcionan son
pistas claras sobre cómo se concibieron esos teoremas. El excepcional documento
de Arquímedes El método ayuda a cubrir parcialmente esta
misteriosa laguna, ya que revela cómo el propio Arquímedes se convenció de la
verdad de ciertos teoremas antes de saber cómo demostrarlos. Este texto es
parte de lo que decía al matemático Eratóstenes de Cirene (ca. 284-192 a.C.) en
la introducción:
Te
haré llegar las demostraciones de los teoremas de este libro. Como te tengo por
una persona diligente, un excelente profesor de filosofía, y sé de tu interés
por las investigaciones matemáticas, juzgué apropiado escribir y exponer para
ti en este mismo libro cierto método especial que te permitirá comprender
determinadas cuestiones matemáticas con la ayuda de la mecánica.
Estoy convencido de la utilidad de tal método para hallar las demostraciones de
estos mismos teoremas. Porque algunas cosas que primero pude apreciar por el
método mecánico se probaron luego de forma geométrica, ya que al investigarlas
por ese método no se alcanzaba una verdadera demostración. Pues es más fácil
llegar a la demostración cuando, mediante el método, se ha adquirido un
conocimiento de las cuestiones, que no llegar a ella sin conocimiento previo.
(El subrayado es mío) [78]
Arquímedes
se refiere aquí a uno de los aspectos fundamentales en la investigación
científica y matemática: con frecuencia es más complicado describir cuáles son
las preguntas o teoremas importantes que encontrar la
respuesta a las preguntas o la demostración de los teoremas conocidos.
Entonces, ¿cómo descubrió Arquímedes los nuevos teoremas? A partir de su
magistral comprensión de la mecánica, el equilibrio y los principios de la
palanca, pesó mentalmente los sólidos o figuras cuyo volumen o
área intentaba hallar comparándolos con otros que ya sabía. Tras determinar así
la solución del área o volumen desconocidos, le resultaba
mucho más sencillo probar geométricamente la corrección de esa solución.
Así, El método se inicia con una serie de afirmaciones
relativas a centros de gravedad para luego proseguir a las proposiciones
geométricas y sus demostraciones.
El método de Arquímedes resulta extraordinario desde dos puntos de vista. En
primer lugar, introduce el concepto de «experimento mental» en la investigación
rigurosa. El físico del siglo XIX Hans Christian Oersted denominó por primera
vez a esta herramienta —un experimento imaginario realizado en lugar de uno
real— Gedankenexperiment (en alemán, «experimento efectuado en
el pensamiento»). En física, donde este concepto ha resultado extremadamente
fructífero, los experimentos mentales se utilizan para percibir ciertos
aspectos de un problema antes de efectuar el experimento real, o bien en casos
en los que éste no se puede llevar a cabo. En segundo lugar, y más importante
aún, Arquímedes liberó a la matemática de las cadenas más bien artificiales que
Euclides y Platón le habían impuesto. Para ellos sólo había una forma de hacer
matemáticas. Debía empezarse por los axiomas y proseguir a través de una
inexorable secuencia de pasos lógicos, utilizando herramientas perfectamente
establecidas. Arquímedes, de espíritu más libre, utilizaba en cambio cualquier
recurso que se le ocurría para formular nuevos problemas y resolverlos. No
vacilaba en explorar y sacar provecho de las relaciones entre los objetos
matemáticos abstractos (las formas platónicas) y la realidad física (sólidos y
objetos planos reales) para progresar.
Un último ejemplo que consolida aún más el estatus de «mago» de Arquímedes: fue
capaz de prever el cálculo diferencial e integral[79]—una rama de
la matemática desarrollada formalmente por Newton (y, de forma independiente,
por el matemático alemán Leibniz) a finales del siglo XVII—.
La idea básica que subyace al proceso de integración es
bastante simple (¡después de señalarla!). Supongamos que queremos determinar el
área de un segmento de elipse. Se puede dividir el área en muchos rectángulos
de la misma anchura y luego sumar las áreas de esos rectángulos (figura 14).
Por
supuesto, cuantos más rectángulos se utilicen, más se aproximará la suma al
área real del segmento. En otras palabras, el área del segmento es en realidad
igual al límite al que se acerca la suma de los rectángulos
cuando el número de éstos tiende a infinito. El proceso de hallar este límite
se denomina integración.Arquímedes utilizó su propia versión del
método que acabo de describir para hallar los volúmenes y las superficies de la
esfera, del cono y de elipsoides y paraboloides (los sólidos que se obtienen al
hacer girar elipses o parábolas sobre sus ejes).
Uno de los principales objetivos del cálculo diferenciales hallar
la pendiente de una línea recta tangente a una curva en un
punto determinado (la línea que toca a la curva únicamente en ese punto).
Arquímedes resolvió el problema para el caso especial de una espiral, en un
atisbo de lo que serían los futuros trabajos de Newton y Leibniz. En la
actualidad, el cálculo diferencial e integral y las ramas derivadas constituyen
la base de la mayoría de los modelos matemáticos, tanto en física como en
ingeniería, economía o dinámica de poblaciones.
Arquímedes cambió profundamente el mundo de las matemáticas y la percepción de
su relación con el cosmos. Con su asombrosa combinación de intereses teóricos y
prácticos, ofreció las primeras pruebas empíricas, no míticas; del
diseño aparentemente matemático de la naturaleza. La percepción de que
las matemáticas son el «idioma» del universo nació con la obra de Arquímedes.
Sin embargo, Arquímedes dejó algo por hacer: nunca comentó las limitaciones de
sus modelos matemáticos al aplicarlos a las circunstancias físicas reales. Sus
comentarios teóricos sobre palancas, por ejemplo, suponían que éstas tenían una
rigidez infinita, y que las varas carecían de peso. Así, en cierto modo, abrió
la puerta a la interpretación de «salvar las apariencias» de los modelos
matemáticos. Me refiero a la idea de que los modelos matemáticos pueden
representar únicamente lo que los humanos observan, y no
describen la verdadera realidad física. El matemático griego Gémino (ca. 10
a.C.-60 d.C.) fue el primero en hablar con cierto detalle de las diferencias
entre los modelos matemáticos y las explicaciones físicas en relación con el
movimiento de los cuerpos celestes. [80]Distinguía
entre astrónomos (o matemáticos), que, en su opinión, sólo tenían que sugerir
modelos que reprodujesen los movimientos celestiales, y
físicos, que debían hallar explicaciones para los movimientos
reales. Esta distinción en particular llegaría a un punto crítico en la época
de Galileo, y volveré a ella más adelante en este capítulo.
Sorprendentemente,
el propio Arquímedes consideraba uno de sus mayores logros el descubrimiento de
que el volumen de una esfera inscrita en un cilindro (figura 15) era siempre
2/3 del volumen del cilindro. Estaba tan satisfecho con este resultado que hizo
que lo grabaran en su lápida. [81]Unos ciento
treinta y siete años después de la muerte de Arquímedes, el famoso orador
romano Marco Tulio Cicerón (ca. 106-43 a.C.) descubrió la tumba del insigne
matemático, lo que describe de esta forma conmovedora:
Siendo
yo cuestor en Sicilia pude localizar su tumba [de Arquímedes]. Los siracusanos
no sabían nada de ella, y de hecho negaban incluso su existencia. Pero allí
estaba, completamente oculta por arbustos de zarzas y espinos. Recordé haber
oído hablar de unos versos inscritos en su lápida que hablaban de un modelo de
una esfera y un cilindro sobre la piedra que coronaba su tumba. Así que examiné
con atención las numerosas tumbas que se erguían junto a la puerta de
Agrigento. Finalmente, observé una pequeña columna apenas visible por encima de
la maleza, sobre la que se distinguían una esfera y un cilindro. Inmediatamente
me volví a los ilustres ciudadanos de Siracusa que me acompañaban, y les
indiqué que creía que ése era el objeto que estaba buscando. Enviaron a llamar
a hombres con hoces para despejar el lugar y, cuando el monumento quedó al
descubierto, nos acercamos a él. Y los versos aún podían verse, aunque
aproximadamente la segunda mitad de cada línea se había desgastado. Así, una de
las ciudades más famosas del mundo griego, un centro de sabiduría de la
Antigüedad, habría permanecido ignorante de la tumba del más brillante de sus
ciudadanos, ¡de no haber sido porque un hombre de Arpino acudió a
señalarla! [82]
Mi
listón para ser merecedor del título de «mago» lo he colocado deliberadamente a
una altura tal que, desde el gigante Arquímedes, es necesario saltar más de
diecisiete siglos antes de hallar a alguien de una estatura similar. A
diferencia de Arquímedes, que dijo que podía mover la Tierra, este «mago»
insistía en que la Tierra ¡ya se estaba moviendo!
El mejor alumno de Arquímedes
Galileo Galilei (figura 16) nació en Pisa el 15 de febrero de 1564. [83] Su
padre, Vincenzo, era músico, y su madre, Giulia Ammannati, era una ingeniosa,
aunque algo intolerante, mujer que no podía soportar la estupidez. En 1581,
Galileo siguió el consejo de su padre y se inscribió en la facultad de artes de
la Universidad de Pisa para estudiar medicina.
Sin
embargo, su interés por la medicina se desvaneció al poco de empezar, en favor
de la matemática. Así, durante las vacaciones de verano de 1583, Galileo
persuadió al matemático de la corte de Toscana, Ostilio Ricci (1540-1603) para
que hablase con su padre y le convenciese de que el destino de Galileo era
convertirse en matemático. La cuestión quedó resuelta enseguida, y el
entusiasta joven quedó absolutamente maravillado por la obra de Arquímedes:
«Aquellos que leen sus trabajos», escribió, «pueden darse perfecta cuenta de la
inferioridad de las demás mentes en comparación con la de Arquímedes, y de la
escasa esperanza de poder hacer descubrimientos similares a los que él
efectuó». [84]Poco
imaginaba Galileo en aquel entonces que él mismo poseía una de esas raras
mentes que no eran inferiores a la del maestro griego. Inspirado por la leyenda
de Arquímedes y la corona del rey, Galileo publicó en 1586 un opúsculo
titulado La pequeña balanza sobre una balanza hidrostática de
su invención. Más adelante volvió a citar a Arquímedes en una conferencia sobre
literatura en la Academia de Florencia, en la que comentaba un tema poco
corriente: la ubicación y tamaño del infierno en el poema épico de Dante, Inferno.
En 1589, Galileo fue designado titular de la cátedra de matemáticas de la
Universidad de Pisa, debido en parte a la enérgica recomendación de Christopher
Clavius (1538-1612), un respetado matemático y astrónomo de Roma a quien
Galileo había visitado en 1587. La fama del joven matemático estaba en pleno
auge. Galileo pasó los tres años siguientes exponiendo sus primeras ideas sobre
la teoría del movimiento. Estos ensayos, estimulados por la obra de Arquímedes,
contienen una combinación fascinante de ideas interesantes y afirmaciones
falsas. Por ejemplo, al tiempo que establecía la pionera noción de que se
pueden comprobar las teorías sobre la caída de los cuerpos empleando un plano
inclinado para que el movimiento sea más lento, Galileo afirmaba incorrectamente
que, al dejar caer un cuerpo de una torre, «la madera se mueve más rápidamente
que el plomo al principio de su movimiento». [85]Las
tendencias y los procesos mentales de Galileo durante esta etapa de su vida
fueron parcialmente deformadas por su primer biógrafo, Vincenzo Viviani
(1622-1703). Viviani creó la imagen popular de un estricto experimentalista
terco y meticuloso, cuya inspiración procedía exclusivamente de la atenta
observación de los fenómenos naturales. [86]En realidad,
hasta su traslado a Padua en 1592, la orientación y la metodología de Galileo
eran principalmente matemáticas. Solía apoyarse en «experimentos mentales» y en
la descripción arquimediana del mundo en términos de figuras geométricas
sometidas a leyes matemáticas. En aquellos días, su principal reproche a
Aristóteles era que éste «no sólo ignoraba los descubrimientos más profundos y
abstrusos de la geometría, sino incluso los principios más elementales de esta
ciencia». [87]Galileo
opinaba también que Aristóteles se basaba en exceso en las experiencias
sensoriales «porque, a primera vista, ofrecen la apariencia de verdad». En su
lugar, Galileo proponía «emplear en todo momento el raciocinio en lugar de los
ejemplos (porque buscamos las causas de los efectos, y no es la experiencia la
que las revela)».
El padre de Galileo murió en 1591, animando al joven, que debía convertirse en
el sostén económico de la familia, a que aceptase una plaza en Padua, donde su
salario sería triplicado. Los dieciocho años siguientes fueron los más dichosos
en la vida de Galileo. En Padua inició una prolongada relación con Marina
Gamba, con quien nunca se casó, pero que le dio tres hijos: Virginia, Livia y
Vincenzo. [88]El 4 de
agosto de 1597, Galileo dirigió una misiva al gran astrónomo alemán Johannes
Kepler en la que admitía que hacía mucho tiempo que «era copernicano», y
agregaba que el modelo heliocéntrico de Copérnico permitía dar explicación a
diversos hechos naturales que la doctrina geocéntrica era incapaz de explicar.
Se lamentaba, no obstante, del hecho de que Copérnico «hubiese sido
ridiculizado y expulsado de la escena». Esta carta marcó el inicio de la
trascendental fisura entre Galileo y la cosmología de Aristóteles. La
astrofísica moderna empezaba a tomar forma.
El mensajero de los cielos
En la noche del 9 de octubre de 1604, los astrónomos de Verona, Roma y Padua se
asombraron al descubrir una nueva estrella que rápidamente se hizo más
brillante que todas las estrellas del firmamento. El meteorólogo Jan Brunowski,
que trabajaba para la corte imperial en Praga, vio también el fenómeno el 10 de
octubre y, terriblemente agitado, informó de ello a Kepler. Las nubes
impidieron a Kepler observar la estrella hasta el 17 de octubre; sin embargo,
desde ese momento, Kepler mantuvo un registro de sus observaciones durante
aproximadamente un año, y finalmente publicó un libro acerca de la «nueva
estrella» en 1606. Actualmente sabemos que el espectáculo celeste de 1604 no
marcaba el nacimiento de una nueva estrella, sino más bien la explosiva muerte
de una estrella vieja. Este evento, que ahora se conoce como supernova
de Kepler, causó sensación en Padua. Galileo pudo ver la nueva
estrella con sus propios ojos a finales de octubre de 1604, y en los meses de
diciembre y enero posteriores dio tres conferencias públicas sobre ello con
gran éxito de asistencia. Apelando al conocimiento por encima de la
superstición, Galileo apuntó que la ausencia de un desplazamiento (paralaje)
observable en la posición de la nueva estrella (contra el fondo de estrellas
fijas) demostraba que dicha estrella debía de hallarse más allá de la región
lunar. El significado de esta observación era tremendo. En el mundo
aristotélico, los cambios en los cielos se restringían a este lado de la Luna,
mientras que la esfera de estrellas fijas, mucho más distante, se suponía
inviolable e inmune al cambio.
Las esferas inmutables ya habían empezado a hacerse añicos en 1572, cuando el
astrónomo danés Tycho Brahe (1546-1601) observó otra explosión estelar que se
conoce en la actualidad como supernova de Tycho. El
acontecimiento de 1604 representaba otra palada de tierra sobre la cosmología
de Aristóteles. Pero el verdadero avance en la comprensión del cosmos no vino
del reino de la especulación teórica ni de las observaciones realizadas a
simple vista. Más bien fue el resultado de un sencillo experimento con lentes
de cristal convexas (abultadas hacia fuera) y cóncavas (curvadas hacia dentro):
al colocar dos lentes adecuadas a unos 33 centímetros de distancia entre sí,
los objetos lejanos parecen aproximarse. Por el año 1608, estos catalejos
empezaron a aparecer por toda Europa, y dos fabricantes de gafas flamencos y
uno holandés solicitaron incluso la patente. Los rumores sobre este milagroso
instrumento llegaron a oídos del teólogo veneciano Paolo Sarpi, que habló de
ello a Galileo sobre mayo de 1609. Deseoso de confirmar la información, Sarpi
escribió también a un amigo suyo de París para preguntarle si los rumores eran
ciertos. Según su propio testimonio, Galileo se vio «invadido por el deseo de
poseer ese bello objeto». Más adelante hablaría de estos hechos en el
libro El mensajero sideral, aparecido en marzo de 1610:
Cerca
de diez meses hace ya que llegó a nuestros oídos la noticia de que cierto belga
había fabricado un anteojo mediante el que los objetos visibles muy alejados
del ojo del observador se discernían claramente como si se hallasen próximos.
Sobre dicho efecto, en verdad admirable, contábanse algunas experiencias a las
que algunos daban fe, mientras que otros las negaban. Este extremo me fue
confirmado pocos días después en una carta de un noble galo, Jacobo Badovere,
de París, lo que constituyó el motivo que me indujo a aplicarme por entero a la
búsqueda de las razones, no menos que a la elaboración de los medios por los
que pudiera alcanzar la invención de un instrumento semejante, lo que conseguí
poco después basándome en la doctrina de las refracciones. [89]
Galileo
manifiesta aquí el mismo tipo de pensamiento práctico creativo que
caracterizaba a Arquímedes: una vez supo que era posible construir un
telescopio, no tardó demasiado en averiguar cómo construir uno él mismo. Es
más, entre agosto de 1609 y marzo de 1610, Galileo utilizó su inventiva para
perfeccionar su telescopio desde un aparato que podía acercar los objetos ocho
veces, a un dispositivo con una potencia de veinte. Pero la grandeza de Galileo
no se reveló en esta hazaña técnica y en su pericia, sino en el uso que dio a
su tubo de mejora de la visión (al que llamó perspicillum). En
lugar de espiar los distantes barcos del puerto de Venecia o de examinar los
tejados de Padua, Galileo apuntó su telescopio hacia el cielo. Las
consecuencias de ello no tienen precedente en la historia de la ciencia. En
palabras del historiador de la ciencia Noel Swerdlow: «En unos dos meses,
diciembre y enero [de 1609 y 1610 respectivamente], Galileo hizo más
descubrimientos que cambiaron la faz del mundo de los que nadie había hecho
jamás hasta entonces ni después». [90]De hecho, el
año 2009 ha sido bautizado como «Año Internacional de la Astronomía» para
conmemorar el 400 aniversario de las primeras observaciones de Galileo. ¿Qué
hizo realmente Galileo para convertirse en un héroe científico de tan colosal
magnitud? He aquí algunas de sus sorprendentes proezas con el telescopio.
Volviendo el telescopio hacia la Luna y observando especialmente el terminador
(la línea que divide las partes iluminada y sombría), Galileo halló que la
superficie de este cuerpo celeste era desigual, con montañas, cráteres y vastas
llanuras. [91]Observó cómo
aparecían puntos de luz en la zona cubierta de tinieblas, y cómo estas luces se
hacían más extensas, de forma similar a cimas de montañas iluminadas por la
claridad del sol naciente. Utilizó incluso la geometría de esta iluminación
para determinar la altura de una montaña, que resultó ser de más de 6
kilómetros. Pero eso no fue todo. Galileo vio que la parte oscura de la Luna
(en fase creciente) está también levemente iluminada, y llegó a la conclusión
de que se debía a la luz solar reflejada desde la Tierra. Del mismo modo que la
Luna llena ilumina la Tierra, Galileo afirmó que la superficie lunar recibe aún
en mayor medida la luz reflejada desde la Tierra.
Aunque algunos de estos descubrimientos no eran completamente nuevos, la
solidez de las pruebas de Galileo elevó la discusión a otro nivel. Hasta la
época de Galileo, la distinción entre lo terrestre y lo celeste, lo
que pertenecía a la Tierra y lo que pertenecía a los cielos, estaba
perfectamente delimitada. La diferencia no era únicamente científica o
filosófica: una profusión de mitologías, religiones, poesía romántica y
sensibilidad estética había surgido de la percepción de esta diferencia entre
la Tierra y el cielo. Lo que ahora decía Galileo se consideraba poco menos que
inconcebible. Contrariamente a la doctrina de Aristóteles, la Tierra y un
cuerpo celeste (la Luna) quedaban de hecho equiparados: la superficie de ambos
era rugosa, y ambos reflejaban la luz del Sol.
Más allá de la Luna, Galileo empezó a observar los planetas (un
nombre que los griegos habían dado a los cuerpos «errantes» del cielo
nocturno). Dirigió su telescopio hacia Júpiter el 7 de enero de 1610 y se
asombró al descubrir tres nuevas estrellas alineadas en una dirección que
cruzaba el planeta, dos al este y una al oeste. La posición aparente de las
nuevas estrellas pareció cambiar con respecto al planeta durante las noches
siguientes. El 13 de enero, Galileo observó una cuarta estrella como éstas.
Pasada una semana de su primer descubrimiento, Galileo llegó a una extraordinaria
conclusión: las nuevas estrellas eran en realidad satélites que
orbitaban en torno a Júpiter, de igual modo que la luna orbitaba alrededor de
la Tierra.
Una de las características que distingue a las personas que han causado una
conmoción significativa en la historia de la ciencia es su capacidad para
captar de inmediato qué descubrimientos iban a marcar la diferencia. Otro rasgo
de muchos de los científicos más influyentes es su habilidad para hacer que
otras personas entendieran su descubrimiento. Galileo dominaba con autoridad
estos dos aspectos. Preocupado por la posibilidad de que otra persona
descubriese también los satélites jovianos, Galileo publicó enseguida sus
resultados; en la primavera de 1610 apareció en Venecia su tratado Sidereus
Nuncius. Mostrando gran astucia política, Galileo dedicó el libro al
Gran Duque de Toscana, Cósimo II de Médicis, y dio a los satélites el nombre de
«estrellas mediceanas».
Dos años más tarde, después de lo que él denominó su «trabajo atlántico»,
Galileo pudo determinar los períodos orbitales —el tiempo que cada uno de los
cuatro satélites tardaba en dar la vuelta a Júpiter— con una precisión de pocos
minutos. El mensajero sideral se convirtió en un best
seller al instante —las 500 copias originales se vendieron como
churros— y Galileo se hizo famoso en todo el continente.
La
importancia del descubrimiento de los satélites de Júpiter es
fundamental. [92]No sólo se
trataba de los primeros cuerpos celestes que se sumaban al sistema solar desde
las observaciones de los antiguos griegos, sino que la mera existencia de estos
satélites acababa de un solo golpe con una de las más serias objeciones a la
doctrina de Copérnico. Los aristotélicos sostenían que era imposible que la
Tierra orbitase alrededor del Sol, ya que la Luna giraba alrededor de la propia
Tierra. ¿Cómo iba a tener el universo dos centros de rotación independientes?
El descubrimiento de Galileo demostraba de forma inequívoca que un planeta
podía tener satélites orbitando a su alrededor al tiempo que seguía su propia
trayectoria alrededor del Sol.
Otro importante descubrimiento efectuado por Galileo en 1610 fueron las fases
del planeta Venus. En la doctrina geocéntrica, se suponía que Venus se movía en
un pequeño círculo (un epiciclo) superpuesto a su órbita
alrededor de la Tierra. Se suponía que el centro del epiciclo se hallaba
siempre en la línea que unía la Tierra y el Sol (figura 17a; el dibujo no está
a escala).
En ese caso, al observarlo desde la Tierra, se espera que Venus aparezca
siempre en una fase creciente de anchura ligeramente variable. En cambio, en el
sistema copernicano, el aspecto de Venus debería cambiar, desde un pequeño
disco brillante cuando el planeta está al otro lado del Sol (respecto de la
Tierra) a un disco de gran tamaño y prácticamente oscuro cuando se halla en el
mismo lado que la Tierra (figura 17b). Entre estas dos posiciones, Venus
debería pasar por una serie completa de fases similares a las de la Luna.
Galileo intercambió correspondencia con su antiguo alumno Benedetto Castelli
(1578-1643) sobre esta importante diferencia entre las predicciones de ambas
doctrinas, y efectuó las observaciones decisivas entre octubre y diciembre de
1610. El veredicto fue obvio. Las observaciones confirmaban de modo concluyente
la predicción copernicana, demostrando que, efectivamente, Venus gira alrededor
del Sol. El 11 de diciembre, un travieso Galileo envió a Kepler el siguiente críptico
anagrama: Haec immatura a meiam frustra leguntur oy («Estas
cosas son leídas por mí en vano, prematuramente, o.y.»). [93]Kepler
intentó sin éxito descifrar el mensaje oculto, pero acabó dándose por
vencido. [94]En su
siguiente carta, del 1 de enero de 1611, Galileo transpuso las letras del
anagrama, que decía: Cynthiae figuras aemulatur mater amorum(«la
madre del amor [Venus] emula las figuras de Diana [la Luna]»).
Todos los descubrimientos descritos hasta ahora tenían que ver con planetas del
sistema solar —cuerpos celestes que giraban alrededor del Sol y reflejaban su
luz— o satélites que giraban alrededor de estos planetas.
Galileo efectuó también dos descubrimientos fundamentales relacionados
con estrellas—cuerpos celestes que generan su propia luz, como el
Sol—. En primer lugar, realizó observaciones del propio Sol. En la visión del
mundo aristotélica, se suponía que el Sol simbolizaba la perfección y la
inmutabilidad ultraterrenas. No es difícil imaginar el shock que produjo saber
que la superficie del Sol no tiene nada de perfecta, sino que contiene manchas,
zonas oscuras, que aparecen y desaparecen a medida que el Sol rota sobre su
propio eje. En la figura 18 se muestran dibujos de las manchas solares realizados
por el propio Galileo, sobre los que su colega Federico Cesi (1585-1630) señaló
que «deleitan tanto por la maravilla del espectáculo que muestran como por su
precisión». En realidad, Galileo no fue el primero que vio las manchas solares,
ni siquiera el primero que escribió sobre ellas. Un folleto en
particular, Tres cartas sobre manchas solares, escrito por el
sacerdote jesuita y científico Christopher Scheiner (1573-1650) enojó de tal
modo a Galileo que éste se sintió obligado a publicar una pormenorizada
respuesta. Scheiner argüía que era imposible que las manchas estuviesen sobre
la propia superficie del Sol. [95]Para ello se
basaba en parte en que las manchas eran, en su opinión, demasiado frías
(pensaba que eran más oscuras que las zonas oscuras de la Luna) y en parte en
el hecho de que no siempre parecían regresar a las mismas posiciones. En
consecuencia, Scheiner creía que se trataba de pequeños planetas que orbitaban
alrededor del Sol. En su Historia y demostraciones en torno a las
manchas solares, Galileo destrozó sistemáticamente y uno por uno los
argumentos de Scheiner. Con una meticulosidad, ingenio y sarcasmo que hubiesen
hecho que Oscar Wilde se pusiese en pie para aplaudir, Galileo mostró que las
manchas no eran, en realidad, oscuras, sino que sólo lo eran en relación al
brillo de la superficie solar. Asimismo, el trabajo de Galileo no dejaba lugar
a dudas: las manchas estaban sobre la misma superficie del Sol (más adelante en
el capítulo volveré a tratar sobre cómo demostró Galileo este hecho).
Las observaciones que Galileo hizo de otras estrellas fueron realmente la
primera incursión del ser humano más allá del sistema solar. A diferencia del
caso de la Luna y los planetas, Galileo descubrió que el telescopio apenas
ampliaba las imágenes de las estrellas. La implicación era evidente: las
estrellas estaban mucho más alejadas que los planetas. Esto representaba un
dato sorprendente, pero lo que fue una verdadera revelación fue el
colosal número de nuevas y tenues estrellas reveladas por el
telescopio. Sólo en una zona pequeña próxima a la constelación de Orion,
Galileo descubrió no menos de 500 nuevas estrellas. Sin embargo, cuando Galileo
volvió su telescopio a la Vía Láctea —la débil faja de luz que cruza el cielo
nocturno— le esperaba la mayor de las sorpresas. Aquel salpicón de luz de
aspecto uniforme se convirtió en un sinnúmero de estrellas que ningún humano
había visto antes. De improviso, el universo se había hecho mucho mayor. En el
algo desapasionado lenguaje científico, Galileo escribió:
Lo
que observamos en tercer lugar es la naturaleza de la materia de la propia Vía
Láctea que, con la ayuda del catalejo, puede observarse con tal claridad que
todas las discusiones que han desconcertado a los filósofos durante
generaciones quedan destruidas por una certeza visible que nos libera de
argumentos mundanos. Porque la Galaxia no es más que la reunión de innumerables
estrellas distribuidas en cúmulos. En cualquier región a la que se dirija el
catalejo se ofrecen de inmediato a la vista un inmenso número de estrellas. De
éstas, muchas parecen ser de gran tamaño y harto conspicuas, pero la multitud
de pequeñas estrellas es realmente inconmensurable.
Algunos
de los contemporáneos de Galileo reaccionaron con entusiasmo. Sus
descubrimientos inflamaron la imaginación de científicos y profanos en toda
Europa. El poeta escocés Thomas Seggett escribía, enardecido:
Colón
dio al hombre nuevas tierras que conquistar por la sangre, Galileo, nuevos
mundos nocivos para nadie. ¿Qué es mejor? [96]
Sir
Henry Wotton, un diplomático inglés destinado a Venecia, logró hacerse con una
copia del Sidereus Nuncius el mismo día de su publicación, e
inmediatamente lo envió al rey Jaime I de Inglaterra con una nota que decía,
entre otras cosas:
Envío
a Su Majestad la noticia más singular (creo que el nombre le hace justicia) que
haya recibido nunca desde este rincón del mundo; se trata del libro adjunto
(aparecido en el día de hoy) del profesor de Matemáticas de Padua quien, con la
ayuda de un instrumento óptico … ha descubierto cuatro nuevos planetas que
giran alrededor de la esfera de Júpiter, además de otras muchas estrellas fijas
antes desconocidas. [97]
Se
podrían escribir volúmenes enteros (y de hecho, se han escrito) sobre los
logros de Galileo, pero esto va más allá del ámbito del presente libro. Aquí
sólo pretendo examinar el efecto de algunas de estas sorprendentes revelaciones
sobre la visión que Galileo tenía del universo. En particular, sobre la
relación percibida por éste entre la matemática y el vasto cosmos que había
desvelado.
El gran libro de la naturaleza
El filósofo de la ciencia Alexandre Koyré (1892-1964) señaló en cierta ocasión
que la revolución del pensamiento científico provocada por Galileo se podía
resumir en un elemento esencial: el descubrimiento de que la matemática
es la gramática de la ciencia. Mientras que los aristotélicos estaban
satisfechos con su descripción cualitativa de la naturaleza, e incluso para
ella apelaban a la autoridad de Aristóteles, Galileo sostenía que los
científicos debían estar atentos a la propia naturaleza, y que las claves para
descifrar el lenguaje del universo eran las relaciones matemáticas y los modelos
geométricos. El marcado contraste entre ambos puntos de vista se ponía de
manifiesto en los escritos de los miembros más destacados de ambas tendencias.
El aristotélico Giorgio Coresio escribe: «Podemos, pues, concluir que aquel que
no quiera moverse en las tinieblas deberá consultar a Aristóteles, el más
excelente intérprete de la naturaleza». [98]A lo que otro
aristotélico, el filósofo de Pisa Vincenzo di Grazia, agrega:
Antes
de tomar en consideración las demostraciones de Galileo, parece necesario
demostrar cuán lejos se hallan de la realidad aquellos que pretenden probar los
hechos de la naturaleza mediante razonamiento matemático, entre los cuales, si
no me equivoco, se encuentra Galileo. Todas las ciencias y artes tienen sus
propios principios y sus propias causas, mediante los cuales demuestran las
propiedades especiales de los objetos que les son propios. En consecuencia, no
está permitido utilizar los principios de una ciencia para demostrar las
propiedades de otra. Así, quienquiera que piense que puede demostrar las
propiedades naturales mediante argumentos matemáticos no es más que un demente,
pues ambas ciencias son muy distintas. El científico natural estudia los
objetos naturales cuyo estado natural y adecuado es el movimiento, mientras que
el matemático se abstrae de todo movimiento. (El subrayado es mío) [99]
El
concepto de compartimentos herméticos en las diversas ramas de la ciencia era
precisamente el tipo de idea que sacaba a Galileo de sus casillas. En el
borrador de su tratado sobre hidrostática, Diálogo sobre los cuerpos
flotantes,presentaba la matemática como una poderosa herramienta que
permite desvelar los secretos de la naturaleza:
Espero
un tremendo rechazo por parte de uno de mis adversarios, y casi puedo oír sus
gritos diciéndome que una cosa es tratar los asuntos de forma física y otra de
forma matemática, y que los geómetras deben limitarse a sus fantasías y no
meterse en cuestiones filosóficas, cuyas conclusiones son distintas de las
conclusiones matemáticas. ¡Como si pudiese haber más de una verdad! ¡Como si la
geometría en nuestros días fuese un obstáculo que impide alcanzar la verdadera
filosofía! ¡Como si fuese imposible ser a un tiempo geómetra y filósofo, de
modo que, si alguien sabe de geometría, la consecuencia necesaria que se
infiere es que no puede saber de física ni tratar los asuntos de forma física!
Consecuencias insensatas, como la de cierto médico que, en un arrebato de
cólera, dijo que el gran doctor Acquapendente [el anatomista italiano
Hyeronimus Fabricius de Acquapendente (1537-1619)], siendo un famoso anatomista
y cirujano, debía contentarse con sus escalpelos y ungüentos y no tratar de
curar mediante los procedimientos de la medicina, como si los conocimientos de
cirugía fuesen opuestos a la medicina y la anulasen. [100]
Un
ejemplo simple de hasta qué punto estas distintas actitudes hacia las
conclusiones observacionales podían alterar por completo la interpretación de
los fenómenos naturales lo tenemos en el descubrimiento de las manchas solares.
Como señalaba antes, el astrónomo jesuita Christopher Scheiner observó estas
manchas de una forma meticulosa y competente. Sin embargo, cometió el error de
permitir que sus prejuicios aristotélicos sobre la perfección de los cielos
nublasen su capacidad de juicio. Por consiguiente, cuando descubrió que las
manchas no regresaban a la misma posición y orden, anunció enseguida que podía
«liberar al Sol de la herida de las manchas». Su premisa de la inmutabilidad
celestial limitaba su imaginación y le impedía siquiera tomar en consideración
la posibilidad de que las manchas pudiesen cambiar, incluso hasta resultar
irreconocibles. [101]Por lo
tanto, su conclusión fue que las manchas debían ser estrellas
que orbitaban alrededor del Sol. La estrategia de ataque de Galileo al problema
de la distancia entre las manchas y la superficie del Sol era completamente
diferente. Galileo identificó tres observaciones que precisaban de explicación.
En primer lugar, las manchas parecían ser más delgadas cuando estaban cerca del
borde del disco solar que cuando estaban próximas al centro. En segundo lugar,
las separaciones entre las manchas parecían aumentar a medida que éstas se
acercaban al centro del disco. Finalmente, las manchas parecían desplazarse más
rápidamente cerca del centro que en las proximidades del borde del disco. A
Galileo le bastó una construcción geométrica para demostrar que su hipótesis
—que las manchas eran contiguas a la superficie del Sol y que se desplazaban
con ella— era coherente con todos los hechos observados. Su explicación
detallada se basaba en el fenómeno visual del escorzosobre una
esfera, es decir, el hecho de que las formas parecen más delgadas y más juntas
cerca del borde (en la figura 19 se muestra este efecto para círculos sobre una
superficie esférica).
La
importancia de la demostración de Galileo para sentar las bases del proceso
científico fue extraordinaria. Galileo mostró que los datos observacionales
sólo son descripciones significativas de la realidad después de
incluirlos en una teoría matemática adecuada. Las mismas observaciones
pueden llevar a interpretaciones ambiguas si no se interpretan dentro de un
contexto teórico más amplio.
Galileo nunca renunciaba a una buena pelea. La exposición más elocuente de sus
opiniones sobre la naturaleza de la matemática y su función en la ciencia se
encuentra en otra polémica publicación: El ensayista.Este brillante
tratado se hizo tan popular que el papa Urbano VIII hacía que se lo leyesen
durante sus comidas. Curiosamente, la tesis central de Galileo en El
ensayista era manifiestamente falsa. Galileo intentaba argumentar que
los cometas eran en realidad fenómenos causados por peculiaridades de la
refracción óptica en este lado de la Luna. La historia de El ensayista parece
sacada del libreto de una ópera italiana. [102]En el otoño
de 1618 se pudo observar una sucesión de tres cometas. El tercero,
específicamente, fue visible durante casi tres meses. En 1619, Horado Grassi,
un matemático del jesuita Collegio Romano, publicó de forma
anónima un panfleto acerca de sus observaciones de los cometas. Siguiendo los
pasos del insigne astrónomo danés Tycho Brahe, Grassi llegó a la conclusión de
que los cometas se hallaban en algún punto entre el Sol y la Luna. El panfleto
pudo haber pasado desapercibido, pero Galileo decidió darle respuesta cuando se
enteró de que algunos jesuitas pensaban que la publicación de Grassi
representaba un duro golpe al copernicanismo. Su respuesta tomó la forma de una
serie de disertaciones dadas por su discípulo Mario Guiducci, aunque escritas
principalmente por el propio Galileo. [103] En la
versión publicada de estas conferencias, Discurso sobre los cometas, Galileo
atacaba directamente a Grassi y a Tycho Brahe. Ahora le tocaba a Grassi
sentirse ofendido, de modo que, con el seudónimo de Lothario Sarsi y haciéndose
pasar por uno de sus propios alumnos, Grassi publicó una acérrima respuesta, en
la que criticaba a Galileo sin ambages (la respuesta se titulaba La
balanza astronómica y filosófica, en la que se pesan las opiniones
de Galileo Galilei, así como las presentadas por Mario Guiducci en la
Academia Florentina) . En defensa de su aplicación de los métodos de
determinación de distancias de Tycho Brahe, Grassi (hablando como si fuese su
alumno) sostenía:
Supongamos
que mi maestro siguiese las enseñanzas de Tycho. ¿Acaso es un crimen? ¿A quién
debería seguir si no? ¿A Ptolomeo [el alejandrino que dio origen al sistema
heliocéntrico], las gargantas de cuyos seguidores se ven ahora amenazadas por
la espada blandida por la mano de Marte, que ahora se halla más próximo? ¿A
Copérnico quizá? Pero las personas piadosas deben alejarse de él y rechazar con
desdén su recientemente condenada hipótesis. Tycho es, pues, el único digno de
ser reconocido como nuestro guía en las misteriosas trayectorias de las
estrellas. [104]
Este
texto demuestra con gran elegancia la delgada línea sobre la que debían hacer
equilibrios los matemáticos jesuitas al principio del siglo XVII. Por un lado,
las perspicaces críticas de Grassi hacia Galileo estaban perfectamente
justificadas. Por otro, con su rechazo forzado al copernicanismo, Grassi se
autoimponía una restricción que afectaba a su razonamiento global. A los amigos
de Galileo les preocupaba que el ataque de Grassi minase la autoridad de
Galileo, e instaron al maestro a responderle, lo que llevó a la publicación
de El ensayistaen 1623 (el título completo explica que en el
documento «se pesan con una precisa balanza los contenidos de La
balanza astronómica y filosófica de Lotahris Sarsi de Sigüenza).
Como ya he señalado, El ensayista contiene la declaración más
clara e impactante de Galileo acerca de la relación entre la matemática y el
cosmos. He aquí este notable texto:
Creo
que Sarsi está plenamente convencido de que, en filosofía, es fundamental
apoyarse en la opinión de algún autor famoso, como si nuestro pensamiento fuese
completamente árido y estéril si no está unido a los razonamientos de otro.
Quizá piensa que la filosofía es una obra de ficción creada por un hombre, como
La Ilíada u Orlando furioso [un poema épico del siglo XVI escrito por Ludovico
Ariosto] —libros en los que no tiene la menor importancia la verdad de lo que
describen—. Señor Sarsi, las cosas no son de este modo. La filosofía
está escrita en el gran libro que está siempre abierto ante nuestros ojos (me
refiero al universo) pero que no podemos comprender si no aprendemos en primer
lugar su lenguaje y comprendemos los caracteres en los que está escrito. Está
escrito en el lenguaje de la matemática, y sus caracteres son triángulos,
círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales no es humanamente posible
comprender ni una sola de sus palabras, y sin las cuales se deambula vanamente
por un laberinto de tinieblas . (El subrayado es mío) [105]
Impresionante,
¿verdad? Siglos antes de que se formulase siquiera la pregunta de por qué la
matemática era tan eficaz para explicar la naturaleza, ¡Galileo creía poseer la
respuesta! Para él, la matemática no era más que el idioma del
universo. Para comprender el universo, decía, es necesario hablar su idioma.
Dios es, evidentemente, un matemático.
Las ideas que se manifiestan en la obra de Galileo describen una imagen aún más
detallada de su punto de vista sobre la matemática. En primer lugar, es
necesario darse cuenta de que, para él, matemática significaba en última
instancia geometría. Galileo tenía escaso interés en la medición de valores en
forma de números absolutos. Su descripción de los fenómenos se basaba sobre
todo en proporciones entre cantidades y en términos relativos. En este sentido,
Galileo se mostraba de nuevo como un auténtico discípulo de Arquímedes, cuyo
principio de la palanca y métodos de geometría comparada utilizó con profusión.
Un segundo aspecto de interés, que se revela en especial en la última obra de
Galileo, es la distinción que efectúa entre las funciones de la geometría y de
la lógica. El libro, titulado Diálogos y demostraciones matemáticas
sobre dos nuevas ciencias,está escrito en forma de animadas conversaciones
entre tres interlocutores, Salviati, Sagredo y Simplicio, cuyos papeles están
perfectamente delimitados. [106]Salviati
es, de hecho, el portavoz de Galileo. La mente de Sagredo, el aristocrático
aficionado a la filosofía, se ha zafado de las ilusiones del sentido común
aristotélico y, por tanto, está dispuesto a dejarse persuadir por el poder de
la nueva ciencia matemática. Simplicio, a quien en obras anteriores de Galileo
se representaba como alguien fascinado por la autoridad de Aristóteles, aparece
aquí como un erudito de mente abierta. En el segundo día de debates, Sagredo
protagoniza un interesante intercambio con Simplicio:
Sagredo:
¿Qué podemos decir, Simplicio? ¿No debemos acaso admitir que la geometría es el
más poderoso de los instrumentos para aguzar la mente y disponerla para el
perfecto razonamiento y para la especulación? ¿Acaso no tenía razón Platón al
exigir que sus discípulos se formaran primero en la matemática?
Simplicio
parece estar de acuerdo, y presenta una comparación con la lógica:
Simplicio:
En verdad empiezo a entender que, aunque la lógica es un instrumento de gran
excelencia para gobernar nuestra razón, no puede compararse con la agudeza de
la geometría para despertar nuestra mente a los descubrimientos.
A
continuación, Sagredo destaca la distinción:
Sagredo:A mi parecer, la lógica enseña a saber si los razonamientos y
las demostraciones ya descubiertas son concluyentes o no lo son, pero no creo
que enseñe a hallar razonamientos o demostraciones concluyentes.
El mensaje de Galileo en este texto es simple: Galileo era de la opinión que la
geometría era la herramienta que permite descubrir verdades
nuevas. La lógica, por el contrario, era para él el medio de evaluar y
criticarlos descubrimientos. En el capítulo 7 examinaremos una
perspectiva distinta, según la cual toda la matemática surge de la lógica.
¿Cómo llegó Galileo a la noción de que la matemática era el lenguaje de la
naturaleza? Después de todo, una conclusión filosófica de tal magnitud no pudo
materializarse súbitamente de la nada. En efecto, las raíces de este concepto
se pueden rastrear hasta los escritos de Arquímedes. El maestro griego fue el
primero que utilizó la matemática para explicar fenómenos naturales. A través
de un retorcido camino que pasa por ciertos calculadores medievales y
matemáticos de la corte en Italia, la naturaleza de la
matemática pasó a ser considerada un asunto digno de ser comentado. Finalmente,
algunos de los matemáticos jesuitas de la época de Galileo, en particular
Christopher Clavius, reconocieron también que la matemática podía ocupar un
lugar intermedio entre la metafísica —los principios filosóficos de la
naturaleza del ser— y la realidad física. En el prefacio («Prolegomena»), de
sus Comentarios a los Elementos de Euclides, Clavius escribía:
Puesto
que el objeto de las disciplinas matemáticas se considera apartado de la
materia perceptible, a pesar de que aquéllas se hallan inmersas en lo material,
es evidente que ocupan un lugar intermedio entre la metafísica y la ciencia
natural, si tenemos en cuenta el asunto que tratan.
A
Galileo no le satisfacía la idea de la matemática como un mero intermediario o
conducto, y tuvo el valor de ir un paso más allá para igualar la matemática a
la lengua materna de Dios. Esta identificación, no obstante, suscitó otro grave
problema, que estaba destinado a afectar de forma espectacular a la vida de
Galileo.
Ciencia y teología
Según Galileo, al diseñar la naturaleza, Dios hablaba el lenguaje de la
matemática. Según la Iglesia Cristiana, Dios era el «autor» de la Biblia. ¿Qué
sucedía entonces con los casos en los que las explicaciones científicas,
fundamentadas en la matemática, parecían contradecir las Escrituras? Los
teólogos del Concilio de Trento, en 1546, respondieron a ello en términos que
no dejaban lugar a dudas: «…ninguno fiado en su propia sabiduría, se atreva a
interpretar la misma sagrada Escritura en cosas pertenecientes a la fe, y a las
costumbres que miran a la propagación de la doctrina cristiana, violentando la
sagrada Escritura para apoyar sus dictámenes, contra el sentido que le ha dado
y da la santa madre Iglesia, a la que privativamente toca determinar el
verdadero sentido, e interpretación de las sagradas letras».
Del mismo modo, cuando en 1616 se consultó a los teólogos sobre su opinión
acerca de la cosmología heliocéntrica de Copérnico, su conclusión fue que era
«formalmente herética, pues contradice en muchos extremos de forma explícita el
sentido de las Sagradas Escrituras». En otras palabras, la objeción fundamental
de la Iglesia al copernicanismo de Galileo no era tanto el traslado de la
Tierra fuera de su posición central en el cosmos como el desafío a la
autoridad de la Iglesia en la interpretación de las Escrituras. [107]En un
ambiente en el que la Iglesia Católica romana ya se veía asediada por las
controversias con los teólogos de la Reforma, Galileo y la Iglesia se hallaban
en trayectoria de choque.
Los acontecimientos se empezaron a precipitar a finales de 1613. El antiguo
alumno de Galileo Benedetto Castelli presentó los nuevos descubrimientos
astronómicos al Gran Duque y a su séquito. Como era de esperar, se vio obligado
a dar explicaciones sobre las aparentes discrepancias entre la cosmología
copernicana y algunas de las narraciones bíblicas, como aquella en la que Dios
detiene la marcha del Sol y de la Luna para que Josué y los israelitas derroten
a los amoritas en el valle de Ayalón. Aunque Castelli señaló que defendió «como
un campeón» el copernicanismo, a Galileo le inquietaron las noticias de esta
confrontación, y se sintió impulsado a expresar su propio punto de vista acerca
de las contradicciones entre la ciencia y las Sagradas Escrituras. En una
extensa carta a Castelli de fecha 21 de diciembre de 1613, Galileo escribe:
…en
las Sagradas Escrituras era necesario, con el fin de complacer el entendimiento
de la mayoría, decir muchas cosas que difieren en apariencia del significado
preciso. Por el contrario, la Naturaleza es inexorable e inmutable, y no tiene
en cuenta en absoluto si sus causas y sus mecanismos ocultos son o no
inteligibles para la mente humana, y por eso jamás se desvía de las leyes
obligatorias. Es por tanto mi parecer que ningún efecto de la naturaleza que la
experiencia muestre a nuestros ojos o que sea la conclusión necesaria que se
deriva de la evidencia, debe considerarse dudoso por pasajes de las Escrituras
que contienen miles de vocablos que pueden interpretarse de formas diversas,
pues las frases de las Escrituras no están sujetas a las rígidas leyes que
gobiernan los efectos de la naturaleza. [108]
Esta
interpretación del significado bíblico estaba en clara discordancia con la de
algunos de los teólogos más rigurosos. [109]Por
ejemplo, el dominico Domingo Báñez escribía en 1584: «El Espíritu Santo no sólo
ha inspirado todo aquello contenido en las Escrituras, sino que también ha
dictado y sugerido cada una de las palabras en ellas escritas». Obviamente, a
Galileo no le convencía esta afirmación. En su Carta a Castelli añadía:
Me
inclino a pensar que la autoridad de las Sagradas Escrituras es convencer a los
hombres de las verdades necesarias para su salvación y que, estando más allá de
su capacidad de comprensión, únicamente la revelación del Espíritu Santo puede
hacer verosímiles. Pero que ese mismo Dios que nos ha concedido los sentidos,
la razón y el entendimiento, no nos permita utilizarlos, y sea su deseo que
lleguemos por otros caminos a los conocimientos que podemos adquirir por
nosotros mismos a través de dichas facultades, eso no estoy inclinado a
creerlo, en especial en lo que concierne a las ciencias sobre las que las
Sagradas Escrituras contienen únicamente fragmentos breves y conclusiones
dispares; y éste es precisamente el caso de la astronomía, de la que se dice tan
poca cosa que ni siquiera se enumeran los planetas.
Una
copia de la carta de Galileo llegó a manos de la Congregación del Santo Oficio
en Roma, encargada de evaluar de forma rutinaria los asuntos relacionados con
la fe; llegó, específicamente, a las manos del influyente cardenal Robert
Bellarmine (1542-1621). La primera reacción de Bellarmine al copernicanismo
había sido más bien moderada, ya que consideraba el modelo heliocéntrico como
«una forma de guardar las apariencias, del estilo de aquellos que han propuesto
los epiciclos pero en realidad no creen en su existencia». Igual que otros
antes que él, Bellarmine miraba los modelos matemáticos de los astrónomos como
una serie de trucos útiles pensados para describir las observaciones de los
seres humanos, y sin relación alguna con la realidad. Estos artefactos para
«guardar las apariencias», sostenía, no demostraban que la Tierra realmente se
moviese. Así, Bellarmine no vio en el libro de Copérnico (De Revolutionibus)
un verdadero peligro, aunque se apresuró a añadir que la afirmación de que la
Tierra se moviese no sólo «irritaría a todos los filósofos y teólogos
escolásticos», sino que también «menoscabaría la Santa Fe al proclamar su
falsedad».
El resto de los detalles de esta trágica historia se hallan más allá del ámbito
y la intención de este libro, de modo que los describiré brevemente. La
Congregación del índice prohibió el libro de Copérnico en 1616. Los posteriores
intentos de Galileo de emplear numerosos fragmentos del más venerado de los
teólogos de la Antigüedad —san Agustín— para apoyar su interpretación de las
relaciones entre las ciencias naturales y las Escrituras no le granjearon
demasiadas simpatías. [110]A pesar de
sus minuciosas cartas que defendían la tesis de la inexistencia de desacuerdos
(salvo detalles superficiales) entre la teoría copernicana y los textos
bíblicos, los teólogos de la época vieron los argumentos de Galileo como una
intrusión en su terreno. Mostrando un gran cinismo, esos mismos teólogos no
dudaban en absoluto en expresar sus opiniones en materias científicas.
Mientras nubes de tormenta se iban reuniendo en el horizonte, Galileo seguía
creyendo que se impondría la razón; craso error cuando se tratan cuestiones de
fe. Galileo publicó su Diálogo sobre los principales sistemas del mundo en
febrero de 1632 (en la figura 20 se muestra la portada de la primera
edición). [111] En
este polémico texto se exponían con todo detalle las ideas copernicanas de
Galileo. Además, Galileo argumentaba que, utilizando la ciencia con el lenguaje
del equilibrio mecánico y la matemática, el hombre era capaz de comprender la
mente de Dios.
Dicho
de otro modo, si una persona halla la solución de un problema mediante el uso
de la geometría de proporciones, los conocimientos y la comprensión que obtiene
son comparables a la divinidad. La contundente reacción de la Iglesia no se
hizo esperar. La circulación del Diálogo se prohibió en agosto
del mismo año de su publicación. Durante el mes siguiente se convocó a Galileo
en Roma para que se defendiese contra la acusación de herejía. El proceso de
Galileo se inició el 12 de abril de 1633, y se le halló «vehemente sospechoso
de herejía» el 22 de junio del mismo año. Los jueces acusaron a Galileo de
«haber creído y sostenido la doctrina —que es falsa y contraria a las sagradas
y divinas Escrituras— de que el Sol es el centro del mundo y no se mueve de
este a oeste, y que la Tierra se mueve y no se halla en el centro del mundo».
Esta fue la severa sentencia:
…condenamos
a su persona a prisión de este Santo Oficio mientras sea Nuestra voluntad; y
como penitencia deberá recitar por espacio de tres años, una vez a la semana,
los Siete Salmos Penitenciales, reservándonos la facultad de cambiar, moderar,
o eliminar cualquiera de las antes mencionadas penas y penalidades. [112]
Anonadado,
Galileo, ya un anciano de setenta años, no pudo soportar la presión. Con el
espíritu quebrado, Galileo hizo pública su carta de abjuración, en la que se
comprometía a «abandonar completamente la falsa opinión de que el Sol es el
centro del mundo y que no se mueve y que la Tierra no es el centro del mundo y
se mueve». En ella concluía:
Por
tanto, deseando quitar de la mente de sus eminencias y de todo fiel cristiano
esta vehemente sospecha, justamente concebida contra mí, con corazón sincero y
fe no fingida abjuro, maldigo y detesto los errores y herejías ahora
mencionados, y en general todos y cada uno de los errores, herejías y sectas
contrarias a la Santa Iglesia. Y juro que en el futuro no diré nunca más ni
afirmaré, oralmente o por escrito, nada que pudiera ser causa de una sospecha
semejante contra mí. [113]
El
último libro de Galileo, Diálogos y demostraciones matemáticas sobre
dos nuevas ciencias, se publicó en julio de 1638. El manuscrito se
sacó clandestinamente de Italia y se publicó en Leiden, Holanda. El contenido
de este libro representaba la verdadera y enérgica expresión de la idea
implícita en las legendarias palabras eppursi muove («y sin
embargo, se mueve»). Esa frase desafiante, que se suele poner en boca de
Galileo a la conclusión de su proceso, probablemente no se pronunció jamás.
El 31 de octubre de 1992, la Iglesia Católica decidió por fin «rehabilitar» a
Galileo. Tras reconocer que Galileo siempre estuvo en posesión de la razón,
pero evitando una crítica directa a la Inquisición, el papa Juan Pablo II dijo:
Paradójicamente,
Galileo, creyente sincero, se mostró en este punto [las aparentes discrepancias
entre la ciencia y las Escrituras] más perspicaz que sus adversarios teólogos.
La mayoría de los teólogos no percibieron la distinción formal existente entre
la Sagrada Escritura en sí misma y su interpretación, lo que les condujo a
traspasar indebidamente al campo de la doctrina religiosa una cuestión que en
realidad pertenece al campo de la investigación científica.
Los
periódicos de todo el mundo se frotaron las manos. Los Angeles Timespublicaba:
«Ya es oficial: la Tierra gira alrededor del Sol. Incluso para el Vaticano».
Muchas personas, en cambio, no le vieron la gracia. Algunos vieron este mea
culpa de la Iglesia como una medida parca y tardía.
El estudioso español especialista en Galileo Antonio Beltrán Marí señaló:
El
hecho de que el Papa siga considerándose autorizado para emitir opiniones
relevantes acerca de Galileo y de su ciencia demuestra que, en lo que a su
bando respecta, nada ha cambiado. Se comporta exactamente del mismo modo que
los jueces de Galileo cuyos errores reconoce. [114]
Es
justo reconocer que el Papa se hallaba en una situación sin salida. Cualquier
decisión por su parte, ya fuese ignorar la cuestión y mantener la vigencia de
la condena de Galileo, o reconocer por fin el error de la Iglesia, iba a
recibir críticas. Sin embargo, en una época en que se está tratando de
presentar el creacionismo bíblico como teoría «científica» alternativa (bajo el
apenas disimulado nombre de «diseño inteligente»), no está de más recordar que
Galileo ya había luchado en esta batalla hace casi cuatrocientos años ¡y ganó!
Capítulo 4
Magos: el escéptico y el gigante
En
uno de los siete sketches de la película Todo lo que
siempre quiso saber sobre el sexo y no se atrevió a preguntar, Woody
Allen hace el papel de un bufón que interpreta números cómicos para un rey
medieval y su corte. El bufón está loco por la reina, así que, con la intención
de seducirla, le hace tomar un afrodisíaco. La reina siente, efectivamente,
atracción por el bufón, pero ¡ay! su cinturón de castidad está cerrado con un
enorme candado. Ante esta frustrante situación, el bufón, nervioso, pronuncia estas
palabras en los aposentos de la reina: «Debo pensar en algo rápidamente, antes
de que llegue el Renacimiento y todos nos convirtamos en
pinturas». Bromas aparte, esta exageración es una descripción sencilla de los
acontecimientos que tuvieron lugar en Europa durante los siglos XV y XVI. El
Renacimiento, efectivamente, había producido tal número de obras maestras en
los campos de la pintura, la escultura y la arquitectura que estos asombrosos
trabajos siguen formando una parte importante de nuestra cultura. En ciencia,
el Renacimiento fue testigo de la revolución heliocéntrica en astronomía, cuyos
abanderados fueron Copérnico, Kepler y, en especial, Galileo. La nueva visión
del universo ofrecida por las observaciones de Galileo con el telescopio y los
conocimientos obtenidos a partir de sus experimentos en mecánica motivaron, más
que ningún otro factor, los desarrollos matemáticos efectuados en el siglo
posterior. Entre estos primeros signos que revelaban el derrumbamiento de la
filosofía aristotélica y el desafío a la ideología teológica de la Iglesia, los
filósofos empezaron a buscar unos nuevos cimientos sobre los que edificar el
conocimiento humano. La matemática, con su acervo de hechos aparentemente
ciertos, ofreció lo que parecía ser una base sólida para volver a empezar.
El hombre que se embarcó en la ambiciosa tarea de descubrir la «fórmula» que,
en cierto modo, actuase como guía de todo el pensamiento racional y fuerza
unificadora de todo el conocimiento, la ciencia y la ética, era un joven oficial
y caballero francés de nombre René Descartes.
Para
muchos, Descartes (figura 21) fue el primer filósofo moderno y también el
primer biólogo moderno. Si a estas impresionantes credenciales se añade el
hecho de que el filósofo empirista inglés John Stuart Mill (1806-1873)
describió uno de los logros de Descartes en matemáticas como «el paso más
importante efectuado jamás en el progreso de las ciencias exactas», [115]es fácil
darse cuenta del colosal poder del intelecto de Descartes.
René Descartes nació el 31 de marzo de 1596 en La Haye, Francia. [116]En honor de
su residente más célebre, la ciudad cambió su nombre por La Haye-Descartes en
1801 y, desde 1967, se conoce simplemente como Descartes. A la edad de ocho
años, Descartes ingresó en el colegio jesuita de La Fleche, en donde estudió
latín, matemáticas, los clásicos, ciencias y filosofía escolástica hasta 1612.
Su salud relativamente frágil excusó a Descartes de tener que levantarse a la
hora atroz de las cinco de la mañana, y se le permitía pasar en la cama las
primeras horas del día. Siendo ya adulto, Descartes siguió dedicando estas
horas a la contemplación, y una vez reveló al matemático francés Blaise Pascal
que para él la única forma de mantenerse sano y productivo era no levantarse
nunca antes de que le apeteciese hacerlo. Como veremos, esta declaración
resultó ser trágicamente profética. Después de su paso por La Fleche, Descartes
se graduó como abogado en la Universidad de Poitiers, pero nunca ejerció como
tal. Descartes era una persona inquieta y ansiosa por ver mundo, de modo que
decidió enrolarse en el ejército del príncipe Mauricio de Orange, que se
encontraba destacado en Breda, en las Provincias Unidas (Países Bajos). En
Breda tuvo lugar un encuentro accidental que iba a ser de importancia capital
en el desarrollo intelectual de Descartes. Según la tradición, Descartes vio en
un cartel un complejo problema matemático y pidió a una persona que pasaba por
allí que se lo tradujese al francés o al latín. [117]Unas horas
después, Descartes tenía el problema solucionado, y esto le convenció de que
poseía aptitudes para las matemáticas. El traductor resultó ser nada menos que
el matemático y científico holandés Isaac Beeckman (1588-1637), cuya influencia
en las investigaciones «físico-matemáticas» de Descartes se dejó notar durante
mucho tiempo. [118]En los
nueve años siguientes, Descartes alternó entre el bullicio de París y el
servicio militar en diversos ejércitos. En una Europa sumida en luchas
políticas y religiosas y al inicio de la guerra de los Treinta Años, Descartes
no tenía dificultad alguna para encontrar una batalla o un regimiento al que
unirse, ya fuese en Praga, Alemania o Transilvania. Sin embargo, a lo largo de
este período siguió, como él mismo decía, «sumergido de cabeza» en el estudio
de la matemática.
El 10 de noviembre de 1619, Descartes tuvo tres sueños que, no sólo afectaron
de forma drástica el resto de su propia vida, sino que
marcaron quizá el principio de la era moderna. [119]Al
describirlos tiempo después, Descartes decía en una de sus anotaciones: «Me
hallé henchido de entusiasmo y descubrí los cimientos de una ciencia
maravillosa». ¿Cuáles fueron esos sueños tan influyentes?
En realidad, dos de ellos eran pesadillas. En el primer sueño, Descartes se vio
atrapado en un furioso torbellino que le hacía girar con violencia alrededor de
su talón izquierdo. Además, una aterradora sensación de caída le invadía. Luego
aparecía un anciano que intentaba regalarle un melón procedente de un lejano
país. El segundo sueño era también una pavorosa visión. En él se hallaba
atrapado en una sala en la que sonaban ominosos truenos y las centellas volaban
a su alrededor. En marcado contraste con los dos primeros, el tercer sueño era
una imagen de calma y meditación. Al pasar los ojos por la habitación,
Descartes vio libros que aparecían y desaparecían de una mesa. Entre ellos se
hallaba una antología poética denominada Corpus Poetarum y una
enciclopedia. Abriendo la antología por una página al azar, Descartes pudo
echarle un vistazo a la primera línea de un poema del autor romano del siglo IV
Ausonio, que decía: Quod vitae sectabor iterl («¿Qué camino
debo seguir en la vida?»). Un hombre se materializaba milagrosamente y citaba
otro verso: Est et non («Sí y no» o «Lo es y no lo es»).
Descartes quería mostrarle el verso de Ausonio, pero la visión entera
desapareció en la nada.
Como suele suceder con los sueños, su significado no se halla en su contenido
en sí, que suele ser desconcertante y extraño, sino en la interpretación que la
persona que sueña decide asignarle. En el caso de Descartes, el efecto de estos
tres enigmáticos sueños fue increíble. Para él, la enciclopedia significaba el
conjunto del conocimiento científico y la antología de poemas, la filosofía, la
revelación y el entusiasmo. El «sí y no» —los famosos opuestos de Pitágoras—
los interpretó como la verdad y la falsedad [no es sorprendente que algunas
interpretaciones psicoanalíticas hayan sugerido connotaciones sexuales acerca
del melón]. Descartes estaba totalmente convencido de que los sueños le
exhortaban a la unificación de todo el conocimiento humano mediante la
razón. En 1621 abandonó el ejército, pero siguió viajando y estudiando
matemáticas durante los cinco años siguientes. Los que conocieron a Descartes
durante esa época, incluido el influyente líder espiritual cardenal Pierre de
Bérulle (1575-1629), quedaron hondamente impresionados por su agudeza y
claridad de pensamiento, y muchos de ellos le instaron a que publicase sus ideas.
En el caso de cualquier otro joven, estas paternalistas «sabias palabras»
hubiesen tenido el mismo efecto que tuvo el lacónico consejo «¡Plásticos!» en
el personaje de Dustin Hoffman en El graduado,pero Descartes era
distinto.
Puesto
que ya se había puesto como objetivo la búsqueda de la verdad, no fue difícil
convencerlo. Se trasladó a Holanda, que en aquellos días parecía ofrecer un
entorno intelectual más reposado, y pasó los siguientes veinte años produciendo
un tour de force tras otro.
Descartes publicó su primera obra maestra sobre los fundamentos de la ciencia,
el Discurso del método para guiar bien la razón y buscar la verdad en
las ciencias, en 1637 (en la figura 22 se muestra la portada de la
primera edición). Este tratado iba acompañado de tres notables apéndices (sobre
óptica, meteorología y geometría).
A continuación vinieron su trabajo de filosofía,Meditaciones sobre la
primera filosofía, en 1641, y en física, Principios de
filosofía, en 1644. Por entonces, Descartes ya era célebre en toda
Europa, y entre sus admiradores y corresponsales se hallaban la princesa Isabel
de Bohemia (1618-1680), que estaba en el exilio. En 1649, Descartes fue
invitado a instruir en filosofía a la pintoresca reina Cristina de Suecia
(1626-1689). Descartes, que siempre había tenido una cierta debilidad por la
realeza, accedió. De hecho, su carta a la reina estaba tan atiborrada de
reverenciales expresiones de cortesía del siglo XVII que en nuestros días
parece ridícula: «Permítame la osadía de declarar aquí ante Su Majestad que
nada de lo que pueda ordenarme será tan complicado que no me inste a hacer todo
lo posible para ejecutarlo, y que, aun siendo sueco o finés de nacimiento, no
podría hallarme más dispuesto y lleno de celo de lo que lo estoy ahora». La
joven reina, de voluntad de hierro, insistió en que Descartes impartiese sus
lecciones a la infame hora de las cinco de la mañana. En un país tan frío en el
que, tal como Descartes escribió a un amigo, «se hielan hasta los
pensamientos», esta condición resultó letal. [120]«Me hallo
fuera de mi elemento aquí», escribió Descartes, «y no deseo más que
tranquilidad y reposo, algo que ni el más poderoso de los monarcas puede
conceder a aquellos que no pueden obtenerlo por sí mismos». Tras sólo unos
meses de hacer frente al brutal invierno sueco en esas oscuras horas de la
madrugada a las que había evitado durante toda su vida, Descartes contrajo una
neumonía y, posiblemente, encefalitis. Murió a la edad de cincuenta y tres
años, el 11 de febrero de 1650, a las cuatro de la madrugada, quizá intentando
evitar tener que despertarse de nuevo. El hombre cuya obra fue el heraldo de la
era moderna cayó víctima de sus propias tendencias esnob y de los caprichos de
una joven reina.
Descartes fue enterrado en Suecia, [121]pero sus
restos, o al menos una parte de ellos, se transportaron a Francia en 1667. Allí
sufrieron numerosos traslados, hasta que finalmente recibieron sepultura el 26
de febrero de 1819 en una de las capillas de la catedral de
Saint-Germain-des-Prés.
En
la figura 23 me hallo junto a la sencilla placa negra que recuerda a Descartes.
Un cráneo que, según se afirmaba, pertenecía a Descartes pasó de mano en mano
en Suecia hasta que un químico de nombre Berzelius lo compró y lo llevó a
Francia. Ese cráneo se halla ahora en el Museo de Ciencias, que forma parte del
Musée de l'Homme. El cráneo suele mostrarse junto al del hombre de Neanderthal.
Un moderno
En una persona, la etiqueta «moderno» suele hacer referencia a los individuos
que pueden mantener una conversación fluida con sus colegas profesionales del
siglo XX (bueno, ya XXI). Lo que hace que Descartes sea un verdadero
«moderno» [122]es el hecho
de que se atrevió a cuestionar todas las afirmaciones
filosóficas y científicas efectuadas antes de su época. En cierta ocasión,
Descartes señaló que su educación sólo le sirvió para aumentar su perplejidad y
para hacer que se diese cuenta de su propia ignorancia. En su famoso Discurso, escribía:
«Nada diré de la filosofía sino que, al ver que ha sido cultivada por los más
excelentes ingenios que han vivido desde hace siglos, y, sin embargo, nada hay
en ella que no sea objeto de disputa y, por consiguiente, dudoso». Aunque el
destino de muchas de las ideas filosóficas de Descartes no iba a ser muy
distinto, en el sentido de que filósofos posteriores han señalado puntos flacos
significativos en sus proposiciones, su refrescante escepticismo incluso acerca
de los conceptos más básicos lo convierte en un verdadero moderno. Y lo que es
más importante desde la perspectiva de este libro: Descartes admitió que los
métodos y el proceso de razonamiento de la matemática generaban un tipo
de certidumbre de la que la filosofía escolástica anterior a
su época carecía. [123]Descartes
afirmaba claramente:
Esas
largas cadenas compuestas de razonamientos muy sencillos, que los geómetras
suelen utilizar para alcanzar sus demostraciones más complejas, me permitieron
formular la hipótesis de que todo lo que abarca el ámbito del
conocimiento humano está interconectado del mismo modo . Y pensé que,
siempre que nos abstengamos de aceptar como cierta cualquier cosa que no lo
sea, y que tengamos cuidado de mantener el orden necesario para deducir una
cosa de otra, nada hay tan remoto que no pueda ser finalmente alcanzado o tan
oculto que no pueda descubrirse. (El subrayado es mío.)
Esta
atrevida afirmación va, en cierto sentido, más allá de las opiniones de
Galileo. No sólo el universo físico está escrito en el lenguaje de la
matemática, sino que todo el conocimiento humano sigue la lógica matemática. En
palabras del propio Descartes: «[El método matemático] es un instrumento de
conocimiento más potente que cualquier otro que la acción de los hombres nos
haya legado, puesto que es el origen de todos los demás». Así, Descartes se
puso como uno de sus objetivos demostrar que el mundo de la física, que para él
era una realidad que se podía describir en términos matemáticos, se podía
representar sin necesidad de apoyarse en ninguna de nuestras percepciones
sensoriales que a menudo nos inducen a error. Descartes propugnaba la idea de
que la mente debe filtrar lo que ven los ojos y convertir las percepciones en
idea. Después de todo, argumentaba, «no hay señales ciertas que nos permitan
decidir si estamos despiertos o dormidos». Sin embargo, reflexionaba, si todo
lo que percibimos como real podría de hecho no ser más que un sueño, ¿cómo
podemos estar seguros de que incluso la tierra y el cielo no son más que
«espejismos de sueños» imbuidos en nuestros sentidos por algún «demonio
malicioso de poder infinito»? O, como dijo Woody Alien: «¿Y si todo es una
ilusión y nada existe? En ese caso, no hay duda de que me han cobrado demasiado
por la alfombra». Para Descartes, este aluvión de perturbadoras dudas [124] acabó
por generar lo que se ha convertido en su razonamiento más célebre: Cogito,
ergo sum («Pienso, luego existo»). En otras palabras, tras los
pensamientos debe existir una mente consciente. Quizá de forma paradójica, ¡no
se puede dudar del propio acto de la duda! Descartes intentó emplear este
aparentemente sutil comienzo para construir una estructura completa de
conocimientos fiables. Ya fuese filosofía, óptica, mecánica, medicina,
embriología o meteorología, Descartes tocó todos los campos, y alcanzó logros
significativos en cada una de estas disciplinas. Sin embargo, a pesar de su
insistencia en la capacidad de razonamiento del ser humano, Descartes no creía
que la lógica pudiese revelar verdades fundamentales por sí sola. Llegando
así en esencia a la misma conclusión que Galileo, escribió: «En cuanto a la
lógica, sus silogismos y la mayoría de sus demás preceptos resultan más útiles
para comunicar aquello que ya conocemos… que para investigar lo desconocido».
En cambio, en su heroica tarea de reinventar, o establecer, las bases de
disciplinas enteras, Descartes intentó utilizar los principios que había
extraído del método matemático para asegurarse de la solidez del terreno por el
que avanzaba. Describió estas rigurosas «pautas» en sus Reglas para la
dirección del espíritu. Empezando por certezas que no le ofrecían duda
alguna (similares a los axiomas de la geometría de Euclides), intentaba
fragmentar los problemas más complicados en otros más manejables, yendo de lo
rudimentario a lo intrincado, comprobando con rigor todo el proceso para
asegurarse plenamente de no haber pasado por alto solución alguna. Huelga decir
que ni siquiera este proceso arduo y meticulosamente construido hacía que las
conclusiones de Descartes fuesen inmunes a error. De hecho, a pesar de la fama
de Descartes por sus decisivos avances en filosofía, sus contribuciones
más duraderas se hallan en el campo de la matemática. Prestaré
ahora atención a la idea simple y brillante que John Stuart Mill calificó como
«el paso más importante efectuado jamás en el progreso de las ciencias
exactas».
La matemática de un mapa de la ciudad de Nueva York
Echemos un vistazo al mapa parcial de Manhattan que se muestra en la figura 24.
Si
uno se encuentra en la esquina de la Calle Treinta y cuatro con la Octava
Avenida y tiene que reunirse con alguien en la esquina de la Calle Cincuenta y
nueve y la Quinta Avenida, no hay problema alguno para encontrar el camino,
¿verdad? En esto consistía la esencia de la nueva geometría de Descartes, que
esbozó en un apéndice de 106 páginas titulado La Géometrié en
su Discurso del método.[125]Por difícil
de creer que resulte, este concepto notablemente simple revolucionó la
matemática. Descartes empezó por el hecho casi trivial de que, tal como se
puede ver en el mapa de Manhattan, una pareja de números pueden determinar sin
ambigüedad la posición de un punto en el plano (por ejemplo, el punto A de la
figura 25a).
A continuación empleó este hecho para desarrollar una potente teoría de curvas:
la geometría analítica. En honor a Descartes, la pareja de
líneas rectas perpendiculares que nos proporcionan el sistema de referencia se
denomina sistema de coordenadas «cartesiano». Tradicionalmente, la línea
horizontal se llama «eje x», la vertical «eje y», y el punto de intersección
«origen». El punto marcado como A en la figura 25a, por ejemplo, tiene 3 como
coordenada x y 5 como coordenada); lo que se denota
simbólicamente como (3,5) [al origen se le asignan las coordenadas (0, 0)].
Supongamos
que queremos clasificar de algún modo todos los cuerpos del plano que se hallan
a una distancia exacta de 5 unidades del origen. Ésta es, precisamente, la
definición geométrica de un círculo centrado en el origen, con un radio de 5
unidades (figura 25b). Si tomamos el punto (3, 4) de este círculo, se puede
hallar que sus coordenadas cumplen la igualdad
32 +
42 = 52
De
hecho, es fácil demostrar (mediante el teorema de Pitágoras) que las
coordenadas (x, y) de cualquier punto de este círculo cumplen
x2 +
y2 =52
Es
más, los puntos del círculo son los únicos puntos del plano
que cumplen la igualdad x2 + y2 =
52. Pero eso significa que la ecuación algebraica x2 +
y2= 52caracteriza este círculo de forma
única y precisa. En otras palabras, Descartes descubrió una forma de
representar una curva geométrica mediante una ecuación algebraica o de forma
numérica, y viceversa. [126]No parece
que esto sea demasiado emocionante para un simple círculo, pero cualquier
gráfico, ya sea las fluctuaciones semanales de las bolsas, la temperatura del
Polo Norte durante el último siglo o el ritmo de crecimiento del universo, se
basa en esta ingeniosa idea de Descartes. De pronto, la geometría y el álgebra
habían dejado de ser dos ramas independientes de la matemática para ser dos
formas de representar los mismos hechos. La ecuación que describe una curva
contiene de forma implícita cualquier propiedad imaginable de la curva,
incluidos, por ejemplo, todos los teoremas de la geometría euclidiana. Y la
cosa no acababa ahí. Descartes señaló que se podían dibujar varias curvas en el
mismo sistema de coordenadas y que sus puntos de intersección se podían hallar
simplemente hallando las soluciones comunes de sus respectivas ecuaciones
algebraicas. De este modo, Descartes aprovechaba las virtudes del álgebra para
corregir lo que se le antojaban alarmantes deficiencias de la geometría
clásica. Por ejemplo, Euclides definía un punto como una entidad sin partes
componentes ni magnitud. Esta vaga definición quedó para siempre obsoleta desde
el momento en que Descartes definió un punto en el plano simplemente como un
par ordenado de números (x, y). Pero estos novísimos puntos de
vista no eran más que la punta del iceberg. Si se pueden relacionar dos
cantidades x e y de modo que, a cada valor
de x le corresponde un único valor de y, constituyen
lo que se denomina función, y las funciones son entidades
verdaderamente ubicuas. Tanto el seguimiento diario de su peso en una dieta,
como la evolución de la altura de sus hijos en los consecutivos cumpleaños o la
relación entre los kilómetros recorridos por su coche y la velocidad son
funciones.
Las funciones son realmente el pan de cada día para los científicos,
estadísticos y economistas modernos. Una vez que numerosos experimentos
científicos u observaciones generan las mismas interrelaciones funcionales,
éstas pueden alcanzar el estado de «leyes de la naturaleza» —descripciones
matemáticas de un comportamiento que los fenómenos naturales obedecen—. Por
ejemplo, la ley de la gravitación de Newton, a la que volveremos más adelante
en este capítulo, establece que, cuando se duplica la distancia entre dos
masas, la atracción gravitatoria entre ambas decrece siempre en un factor de
cuatro. Las ideas de Descartes abrieron las puertas a una matematización
sistemática de casi todo, la esencia de la noción «Dios es un
matemático». Desde un punto de vista puramente matemático, el establecimiento
de la equivalencia de dos perspectivas de la matemática (la
algebraica y la geométrica) que se consideraban dispares, Descartes amplió el
horizonte de la matemática y allanó el camino hacia la moderna disciplina
del análisis, que permite a los matemáticos pasar de una
subdisciplina de esta ciencia a otra con comodidad. En consecuencia, no sólo un
gran número de fenómenos diversos pasaron a poder ser descritos mediante la
matemática, sino que la matemática en sí misma se hizo más amplia, rica y
unificada. En palabras del gran matemático Joseph-Louis Lagrange (1736-1813):
«Mientras el álgebra y la geometría seguían caminos propios, su progreso era
lento y sus aplicaciones, limitadas. Pero cuando estas dos ciencias se unieron,
cada una obtuvo frescura y vitalidad de la otra y, a partir de ese momento,
caminaron juntas en veloz marcha hacia la perfección».
A pesar de la importancia de los logros de Descartes en matemática, su interés
científico no se limitaba a esta disciplina. La ciencia, decía, es como un
árbol en el que la metafísica es la raíz; la física, el tronco; y las tres
principales ramas son la mecánica, la medicina y la moral. La selección de
ramas de Descartes puede parecer sorprendente al principio, pero de hecho
simbolizaban perfectamente las tres principales áreas en las que pretendía
aplicar sus nuevas ideas: el universo, el cuerpo humano y la conducta.
Descartes pasó los primeros cuatro años de su estancia en Holanda (de 1629 a
1633) escribiendo su tratado sobre cosmología y física, Le Monde[127]Sin
embargo, con el libro a punto de entrar en imprenta, Descartes recibió una
perturbadora noticia que le conmocionó. En una carta a su amigo y crítico, el
filósofo natural Marín Mersenne (1588-1648), se lamentaba:
Era
mi intención enviarle mi Mundo como regalo de Año Nuevo, y hace tan sólo dos
semanas estaba plenamente decidido a enviarle, como mínimo, una parte de él, si
no hubiese sido posible copiar la totalidad de la obra. Pero, en el ínterin,
consulté en Leiden y en Ámsterdam la disponibilidad del Sistema del mundo de
Galileo, pues creía haber oído algo acerca de su publicación en Italia el año
pasado. Me dijeron que, en efecto, se había publicado, pero que todas las
copias habían sido inmediatamente quemadas en Roma, y que Galileo había sido
condenado y multado. Quedé tan asombrado por la noticia que casi decidí quemar
todas mis notas o, al menos, no dejar que nadie las viese. Pues no podía
imaginar que él —italiano y, según tengo entendido, en buenas relaciones con el
Papa— pudiese haber sido calificado de criminal por una razón que no fuese,
como sin duda debía de ser el caso, establecer que la Tierra se movía. Tenía
conocimiento de que ciertos cardenales habían censurado esta opinión, pero
creía haber oído que de todos modos se enseñaba públicamente en Roma. Debo
admitir que, si esa aseveración resulta ser falsa, lo son también las bases
todas de mi filosofía , pues a partir de ellas se puede demostrar muy
claramente. Y está tan entretejida con todas las partes de mi tratado que no
podría prescindir de ella sin que la totalidad de la obra resultase defectuosa.
Pero por nada del mundo querría publicar un discurso en el que una sola de sus
palabras no fuese del agrado de la Iglesia; así que prefería suprimirlo antes
que publicarlo en forma mutilada… (El subrayado es mío)
En
efecto, Descartes había abandonado El mundo (el manuscrito
incompleto fue finalmente publicado en 1664), pero incorporó casi todos sus
resultados en sus Principios de filosofía, que aparecieron en
1644. En este discurso sistemático, Descartes presentaba sus «leyes de la
naturaleza» y su teoría de los vórtices. Dos de sus leyes son muy similares a
las famosas primera y segunda leyes del movimiento de Newton, [128]pero las
otras eran, de hecho, incorrectas. La teoría de vórtices tenía como hipótesis
que el Sol se hallaba en el centro de un torbellino creado en el continuum de
materia cósmica. Se suponía que este vórtice arrastraba a los planetas como
hojas en un remolino de un río. A su vez, los planetas formaban sus propios
vórtices secundarios que arrastraban los satélites a su alrededor. Aunque la
teoría de los vórtices de Descartes resultó ser espectacularmente errónea (como
señaló implacable Newton más adelante), era de todos modos interesante, ya que
era el primer intento serio de formular una teoría del universo en su conjunto,
basada en las mismas leyes que se aplican en la superficie de la Tierra. En
otras palabras, para Descartes no había diferencia entre los fenómenos
«terrestres» y «celestes»; la Tierra era parte de un universo que obedecía
leyes físicas uniformes. Por desgracia, Descartes hizo caso omiso de sus
propios principios al construir una detallada teoría que no se basaba ni en
principios matemáticos coherentes ni en observaciones. Sin embargo, el
escenario de Descartes, en el que el Sol y los planetas perturban en cierto
modo la materia del universo que les rodea, contenía ciertos elementos que más
tarde se convirtieron en piedras angulares de la teoría de la gravitación de
Einstein. En la relatividad general de Einstein, la gravedad
no es una fuerza misteriosa que actúa a través de las vastas distancias del
espacio. En realidad, los cuerpos masivos como el Sol curvan el espacio en sus
proximidades, igual que una pesada bola de bolos causa que una cama elástica se
hunda. En consecuencia, los planetas se limitan a seguir los caminos más cortos
posibles en este espacio curvado.
De forma deliberada he dejado fuera de esta extraordinariamente breve
descripción de las ideas de Descartes casi toda su influyente obra filosófica,
porque esto nos hubiese alejado demasiado de nuestro centro de atención, es
decir, la naturaleza de la matemática (más adelante en este capítulo volveré
sobre algunas de sus opiniones sobre Dios). Pero no puedo evitar incluir el
siguiente agudo comentario escrito en 1908 por el matemático británico Walter
William Rouse Ball (1850-1925):
En
lo que respecta a sus [de Descartes] teorías filosóficas, basta con decir que
comentaba los mismos problemas que se han debatido durante los últimos dos mil
años, y que probablemente se seguirán debatiendo con idéntico fervor durante
dos mil años más. No es necesario destacar que los problemas en sí son de gran
importancia e interés, pero por su naturaleza ninguna de las soluciones ha
ofrecido nunca una prueba irrefutable en uno u otro sentido; lo único que puede
lograrse es una explicación más probable que otra y, siempre que un filósofo
como Descartes cree que ha resuelto de una vez por todas una cuestión, sus
sucesores siempre han podido señalar alguna falacia en sus hipótesis. Una vez
leí que la filosofía siempre ha estado muy interesada en las relaciones entre
Dios, la Naturaleza y el Hombre. Los primeros filósofos eran griegos, y se
ocupaban principalmente de las relaciones entre Dios y la Naturaleza, tratando
al Hombre por separado. La Iglesia Cristiana estaba tan absorta con las
interrelaciones entre Dios y el Hombre que descuidó por completo la Naturaleza.
Por último, los filósofos modernos se ocupan sobre todo de las relaciones entre
el Hombre y la Naturaleza. No voy a comentar aquí si ésta me parece una
generalización histórica correcta de los sucesivos puntos de vista prevalentes,
pero la afirmación sobre el ámbito de la filosofía moderna marca las
limitaciones de los escritos de Descartes.
Descartes
remató su libro sobre geometría con las siguientes palabras (en la figura 26 se
muestra la última página): «Espero que la posteridad me juzgue con
benevolencia, no sólo por lo que he explicado, sino por lo que he omitido de
forma deliberada con el fin de ceder a otros el placer del descubrimiento».
No
podía saber que un hombre que cumplía ocho años el año en que Descartes murió
llevaría un paso, un colosal paso, más allá sus ideas de la matemática como
corazón de la ciencia. Este genio sin parangón tuvo más oportunidades de
experimentar el «placer del descubrimiento» que, probablemente, cualquier otra
persona en la historia de la humanidad.
Y se hizo la luz
El gran poeta inglés del siglo XVIII Alexander Pope (1686-1744) tenía treinta y
nueve años cuando murió Isaac Newton (1641-1727) (en la figura 27 se muestra la
tumba de Isaac Newton en la catedral de Westminster). [129]
En
su célebre epitafio, Pope intentó condensar los logros de Newton:
La naturaleza y las leyes naturales yacían ocultas en la noche. Dijo Dios:
«¡Hágase Newton!». Y se hizo la luz.
Casi cien años después de la muerte de Newton, Lord Byron (1788-1824) agregó
las siguientes líneas en su poema épico
Don Juan: Y éste es el único mortal, desde Adán, que se las tuvo que ver con
una caída y con una manzana.
Para muchas generaciones de científicos posteriores, Newton fue y sigue siendo
una figura de proporciones legendarias, incluso si se dejan de lado los mitos.
La famosa cita de Newton «si he visto más lejos que los otros hombres es porque
me he aupado a hombros de gigantes», se suele presentar como modelo de la
generosidad y humildad que se espera de los científicos acerca de sus mayores
descubrimientos. En realidad, Newton podría haber escrito esta frase como una
sutil y velada respuesta sarcástica [130]a una carta
de aquel a quien consideraba su principal némesis en el campo científico, el
prolífico físico y biólogo Robert Hooke (1635-1703). Hooke había acusado en
varias ocasiones a Newton de robarle sus ideas, primero sobre la teoría de la
luz y luego sobre la gravedad. El 20 de enero de 1676, Hooke adoptó un tono más
conciliador y, en una carta personal a Newton, declaró: «Supongo que tanto los
designios de vos como los míos [en la teoría de la luz] apuntan al mismo
objetivo, que es la búsqueda de la verdad, y supongo que ambos podemos soportar
las objeciones que se nos plantean».
Newton decidió jugar al mismo juego. En su respuesta a la carta de Hooke, [131]del 5 de
febrero de 1676, escribió: «Lo que Des-Cartes [Descartes] hizo fue un buen paso
[se refería a las ideas de Descartes sobre la luz]. Vos lo habéis ampliado en
diversos sentidos, en especial al tomar en consideración filosófica los colores
de las placas delgadas. Si he visto más lejos que los otros hombres es porque
me he aupado a hombros de Gigantes». Hooke, lejos de ser un gigante, era más
bien bajo y sufría de un grave encorvamiento, es posible que el verdadero
sentido de la cita más famosa de Newton sea que ¡no le debía nada a Hooke! El
hecho de que Newton aprovechase la mínima oportunidad para insultar a Hooke, y
su negativa a imprimir su propio libro, Óptica, hasta después
de la muerte de Hooke sugieren que posiblemente esta interpretación de la cita
no sea demasiado descabellada. La enemistad entre los dos científicos alcanzó
cotas aún mayores en lo referido a la teoría de la gravedad. [132]Cuando
Newton se enteró de que Hooke afirmaba ser el creador de la ley de la
gravitación, se dedicó con meticulosidad y afán vengativo a eliminar de la
última parte de su libro dedicado a esta cuestión todas las referencias al
nombre de Hooke. El 20 de junio de 1686 escribió a su amigo, el astrónomo
Edmund Halley (1656-1742):
…más
bien debería [Hooke] haber pedido disculpas por razón de su incapacidad. Ya que
de sus palabras se puede deducir claramente que no sabía hacia dónde ir. No
dirás que no tiene gracia. Resulta que los matemáticos que descubren,
establecen y hacen todo el trabajo deben contentarse con ser sólo simples
calculadores y bestias de carga, y otros que no hacen nada más que fingir y dar
palos de ciego en todas direcciones deben llevarse el honor de todas las
invenciones de los que les siguen y de los que les han precedido.
Hooke
no merecía consideración alguna: era incapaz de formular sus ideas en el
lenguaje de la matemática. Es bien cierto que la cualidad que hizo destacar las
teorías de Newton, la característica propia que las convirtió en
inevitables leyes de la naturaleza, era precisamente que
estaban expresadas en forma de relaciones matemáticas de perfecta claridad y
coherencia interna. En comparación, las ideas teóricas de Hooke, por muy
ingeniosas que pudiesen ser en muchos casos, no parecían más que una amalgama
de presentimientos, conjeturas y especulaciones. [133] Casualmente,
las actas de la Royal Society entre 1661 y 1682, que se consideraban perdidas,
salieron a la luz en febrero de 2006. El volumen de pergamino, que contiene más
de 520 páginas de caligrafía escrita por el propio Robert Hooke, se halló en
una casa de Hampshire, Inglaterra, en donde se cree que estuvo encerrado en un
armario durante unos cincuenta años.
Volviendo al golpe maestro de Newton, éste tomó la concepción de Descartes de
que el universo podía describirse en términos matemáticos y la convirtió en una
realidad funcional. En el prólogo de su monumental obra, Principios
matemáticos de la filosofía natural (Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica, más conocida como los Principia), declaró:
…proponemos
estos nuestros como principios matemáticos de filosofía. Pues toda la
dificultad de la filosofía parece consistir en que, a partir de los fenómenos
del movimiento, investiguemos las fuerzas de la naturaleza y después desde
estas fuerzas demostremos el resto de los fenómenos. A esto se refieren las
proposiciones generales que tratamos en los Libros primero y segundo. En el
Libro tercero proponemos un ejemplo de esto con la explicación del sistema del
mundo. Pues allí, a partir de los fenómenos celestes, por medio de
proposiciones demostradas matemáticamente en los libros anteriores, se deducen
las fuerzas de la gravedad por las que los cuerpos tienden hacia el Sol y a
cada uno de los planetas. Después, a partir de estas fuerzas, también por proposiciones
matemáticas, se deducen los movimientos de los planetas, cometas, Luna y
mar. [134]
Cuando
se comprende que, en sus Principia, Newton logró realmente
todo lo que promete en el prólogo, la única reacción posible es «¡Caray!». La
insinuación de superioridad de Newton respecto del trabajo de Descartes es
también inequívoca: el título que eligió para su obra fuePrincipios
matemáticos, en contraste con los Principios de filosofía de
Descartes. Newton adoptó también el mismo razonamiento y metodología
matemáticos en otro libro más experimental, Óptica. [135]Empieza
diciendo: «Mi designio en este libro no es dar explicación a las Propiedades de
la Luz mediante Hipótesis, sino declararlas y demostrar mediante la Razón y la
Experimentación. Para ello tomaré como premisa las siguientes definiciones y
Axiomas». A continuación prosigue como si se tratase de un texto de geometría
euclidiana, con definiciones y proposiciones concisas. En la conclusión de la
obra, Newton, para mayor énfasis, agregó: «Como en la Matemática, también en la
Filosofía Natural la Investigación de las Cuestiones difíciles por el Método
del Análisis debería preceder siempre al Método de la Redacción».
Con las herramientas matemáticas de las que disponía, las proezas de Newton no
pueden más que calificarse de milagrosas. Este genio, que por una coincidencia
histórica nació el mismo año de la muerte de Galileo, formuló las leyes
fundamentales de la mecánica, descifró las leyes que describen los movimientos
de los planetas, erigió las bases teóricas de los fenómenos de la luz y el
color, y fundó el estudio del cálculo diferencial e integral. Por sí solos,
estos logros habrían bastado para valer a Newton un lugar de honor en la
galería de los más insignes científicos. Pero fueron sus trabajos sobre la
gravedad los que lo elevaron al punto más alto del podio de los «magos», el
sitio reservado para el científico más grande de la historia. Este trabajo
tendió, de forma literal, un puente entre los cielos y la tierra, combinó los
campos de la astronomía y la física y puso el cosmos entero bajo el paraguas de
la matemática. ¿Cómo nació esta obra maestra, los Principia?
Empecé a pensar en la gravedad que alcanzaba el orbe de la luna
William Stukeley (1687-1765), un anticuario y médico amigo de Newton (a pesar
de la diferencia de edad de más de cuatro décadas) acabó siendo el primer
biógrafo del gran científico. En sus Memorias de la vida de Sir Isaac
Newtonpodemos hallar un relato de una de las leyendas más célebres de la
historia de la ciencia: [136]
El
15 de abril de 1726 visité a Sir Isaac en su vivienda de los edificios Orbils
en Kensington, en donde almorzamos y pasamos el día juntos, solos… Tras el
almuerzo, él y yo salimos al jardín a tomar el té bajo la sombra de unos
manzanos, para disfrutar del tiempo bonancible. Entre otros asuntos, me dijo
que se hallaba en la misma situación que cuando antes [en 1666, cuando Newton
volvió a su casa desde Cambridge a causa de la plaga] la idea de gravitación
había acudido a su mente. Lo había ocasionado la caída de una manzana mientras
se encontraba en un estado contemplativo. ¿Por qué caería siempre la manzana
perpendicularmente al suelo?, pensó para sí. ¿Por qué no de lado o hacia
arriba, sino constantemente hacia el centro de la tierra? Con seguridad, la razón
es que la tierra la atrae. Debe de haber una fuerza de atracción en la materia,
y la suma de esta fuerza de atracción en la materia de la tierra debe de
hallarse en el centro de la tierra, no en uno de sus costados. Así, la manzana
cae perpendicularmente, o hacia el centro. Si la materia atrae de este modo a
la materia, debe de ser proporcionalmente a su cantidad, Así, la manzana atrae
a la tierra, de igual modo que la tierra atrae a la manzana. Que hay una
fuerza, como la que aquí llamamos gravedad, que se extiende por todo el
universo… Así fue el nacimiento de esos sorprendentes descubrimientos sobre
cuya robusta base construyó la filosofía, para asombro de toda Europa.
Ocurriera
o no ese mítico incidente con la manzana en 1666, [137]la leyenda
no da una medida justa del genio de Newton y la excepcional profundidad de su
pensamiento analítico. Aunque no cabe duda de que Newton había escrito su
primer manuscrito sobre la teoría de la gravedad antes de 1669, no tenía
necesidad alguna de ver una manzana que caía para saber que la Tierra atraía
los objetos hacia su superficie. Tampoco pudo surgir su increíble inspiración
en la formulación de una ley de gravitación universal de la
simple visión de una manzana cayendo. De hecho, ciertas indicaciones sugieren
que algunos de los conceptos esenciales que Newton necesitaba para poder
enunciar una fuerza gravitatoria de acción universal no se concibieron hasta
1684-1685. Las ideas de tal magnitud son tan inusuales en los anales de la
ciencia que incluso alguien con una mente extraordinaria como Newton sólo podía
llegar a ella a través de una larga serie de etapas intelectuales.
Todo pudo haber empezado en los años jóvenes de Newton [138]con su,
digamos, imperfecto encuentro con el colosal tratado de geometría de
Euclides, Elementos.Según palabras del propio Newton, al principio
sólo leyó «los títulos de las proposiciones», porque las halló tan fáciles de
entender que se preguntó «por qué alguien iba a entretenerse en demostrarlas».
La primera proposición que le hizo detenerse y agregar unas cuantas líneas al
libro fue la que establecía que «en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a los cuadrados de los otros dos lados», el Teorema de
Pitágoras. Sorprendentemente, aunque Newton había leído algunos libros de
matemáticas mientras estaba en el Trinity College, no había leído muchas de las
obras de las que ya se disponía en aquellos días. ¡Está claro que no le hacía falta!
El libro que resultó más influyente en cuanto a la guía que proporcionó al
pensamiento científico y matemático de Newton, fue precisamente La
Géometrié de Descartes. Newton lo leyó en 1664 y lo releyó varias
veces hasta que «gradualmente llegó a dominarlo por entero». La flexibilidad
que permitía el uso de la noción de funciones y de sus variables libres abrió a
Newton una infinidad de posibilidades. La geometría analítica no sólo allanó el
camino para que Newton desarrollase el cálculo, con la
exploración de las funciones, sus tangentes y sus curvaturas, sino que actuó
como catalizador de su espíritu científico. Atrás quedaban las aburridas
construcciones con regla y compás, sustituidas por curvas arbitrarias que se
podían representar mediante expresiones algebraicas. Entonces, entre 1665 y
1666, una espantosa plaga asoló Londres. Cuando el número semanal de muertos
alcanzó los millares, las facultades de Cambridge se vieron obligadas a cerrar
sus puertas. Newton tuvo que dejar su puesto y volver a su casa en el distante
poblado de Woolsthorpe. Allí, en el tranquilo ambiente campestre, llevó a cabo
su primer intento de demostrar que la fuerza que mantenía la Luna en órbita
alrededor de la Tierra y la gravedad de la Tierra (la misma fuerza que hacía caer
las manzanas) eran, en realidad, la misma. Newton describió
estos y otros empeños en un informe escrito alrededor de 1714:
Ese
mismo año [1666] empecé a pensar que la gravedad se extendía hasta la órbita de
la Luna y, habiendo hallado la forma de calcular la fuerza con la que [un]
globo que gira dentro de una esfera presiona la superficie de la esfera, a
partir de la Regla de períodos de los Planetas de Kepler, estando en proporción
sesquiáltera de sus distancias desde los centros de sus Órbitas, deduje
que las fuerzas que mantienen los Planetas en sus Órbitas deben [ser]
recíprocamente como los cuadrados de las distancias de los centros alrededor de
los que giran : y de ese modo comparé la fuerza requisita para
mantener la Luna en su Órbita con la fuerza de la gravedad en la superficie de
la Tierra y hallé que las respuestas eran muy próximas. Todo esto tuvo lugar en
los dos años de la plaga de 1665 y 1666, y desde entonces presté más atención
que nunca a la Matemática y a la Filosofía. (El subrayado es mío) [139]
Newton
habla aquí de su importante deducción (a partir de las leyes del movimiento
planetario de Kepler) de que la atracción gravitatoria entre dos cuerpos
esféricos varía de forma inversa al cuadrado de la distancia entre ellos. En
otras palabras, si la distancia entre la Tierra y la Luna se triplicase, la
fuerza gravitatoria experimentada por la Luna sería nueve (tres al cuadrado)
veces menor.
Por motivos no del todo claros, [140]Newton
abandonó toda investigación sobre temas de gravitación y movimiento planetario
hasta 1679. Entonces recibió dos cartas de su acérrimo rival Robert Hooke que
renovaron su interés en la dinámica en general y, en particular, en el
movimiento planetario.
Los
resultados de esta curiosidad renovada fueron espectaculares: a partir de las
leyes de la mecánica que había formulado, Newton demostró la segunda ley del
movimiento planetario de Kepler.
En concreto, demostró que, a medida que el planeta se mueve en su órbita
elíptica alrededor del Sol, la línea que une el planeta con el Sol barre áreas
iguales en intervalos de tiempo iguales (figura 28).
También demostró que «para un cuerpo que gira describiendo una elipse … la ley
de la atracción dirigida al foco de la elipse … es inversa al cuadrado de la
distancia». Estas afirmaciones representan importante hitos en el camino hacia
los Principia.
«Principia»
Halley visitó a Newton en Cambridge en primavera o verano de 1684. Halley
llevaba un tiempo comentando las leyes del movimiento planetario de Kepler con
Hooke y con el célebre arquitecto Christopher Wren (1632-1723). En estas
conversaciones informales, tanto Hooke como Wren afirmaban haber deducido la
ley del inverso de los cuadrados unos años antes, pero ninguno de los dos fue
capaz de construir una teoría matemática completa a partir de su deducción.
Halley decidió formular la pregunta crucial a Newton: ¿sabía cuál sería la
forma de la órbita de un planeta afectado por una fuerza de atracción variable
según una ley de cuadrados inversos? Para su sorpresa, Newton le respondió que
hacía varios años que había demostrado que la órbita sería una elipse.
El
matemático Abraham de Moivre (1667-1754) relata esta historia en uno de sus
escritos (del que se muestra una página en la figura 29):
En
1684, Halley fue a visitarlo [a Newton] a Cambridge; al cabo de un tiempo de
estar juntos, el doctor le preguntó qué curva pensaba que describirían los
planetas suponiendo que la fuerza de atracción hacia el Sol fuese recíproca al
cuadrado de la distancia de él. Sir Isaac replicó de inmediato que sería una
Elipsis [elipse]; el Doctor, impresionado y pletórico, le preguntó cómo lo
sabía, a lo que él [Newton] repuso que lo había calculado. El doctor Halley le
pidió que le mostrase sus cálculos sin demora; sir Isaac, después de buscar
entre sus papeles, no pudo encontrarlos, pero le prometió que los volvería a
hacer y se los enviaría. [141]
Halley
volvió a visitar a Newton en noviembre de 1684. Entre ambas visitas, Newton
trabajó como un poseso. De Moivre nos ofrece esta breve descripción:
A
fin de cumplir su promesa, sir Isaac se puso de nuevo al trabajo, pero no pudo
alcanzar la conclusión que creía haber examinado meticulosamente antes; sin
embargo, probó una nueva forma que, aunque en más tiempo que la primera, le
llevó de nuevo a su antigua conclusión, y luego examinó con atención cuál
podría haber sido la razón por la que los cálculos que había realizado no
demostraron ser correctos, y … hizo que ambos cálculos coincidiesen.
Este
árido resumen no ofrece siquiera una remota idea de lo que Newton había logrado
en realidad en los meses transcurridos entre las visitas de Halley. Escribió
todo un tratado, De Motu Corporum in Gyrum, en el que
demostraba casi todos los aspectos de los cuerpos que se mueven en órbitas
circulares o elípticas, demostró todas las leyes de Kepler e incluso resolvió
el problema para una partícula que se mueve en un medio con resistencia (como
el aire). Halley quedó abrumado. Para su satisfacción, se las arregló para
convencer a Newton de que publicase todos estos asombrosos descubrimientos; por
fin, el momento de los Principia se aproximaba.
Al principio, Newton había concebido el libro como una versión ampliada y más
detallada de su tratado De Motu. No obstante, cuando empezó a
trabajar, se dio cuenta de que algunos de los temas requerían de una más
profunda reflexión. Dos aspectos en particular inquietaban a Newton. Uno de
ellos consistía en que Newton había formulado originalmente su ley de atracción
gravitatoria como si el Sol, la Tierra y los planetas fuesen masas
puntuales matemáticas, sin dimensiones. Por descontado, sabía que esto
no era cierto, por lo que consideraba que sus resultados eran sólo una
aproximación cuando se aplicaban al sistema solar. Algunos especulan incluso
que el motivo de que abandonase su investigación sobre la gravedad en 1679 fue
su descontento con este estado de cosas. [142]Con
respecto a la fuerza sobre la manzana, la situación era aún peor. En este caso,
está claro que la parte de la Tierra que se encuentra justo debajo de la
manzana está a una distancia muy inferior a la de la parte que está al otro
lado del planeta. ¿Cómo se podía calcular la atracción neta? El astrónomo
Herbert Hall Turner (1861-1930) describía así la lucha interna de Newton en un
artículo que apareció el 19 de marzo de 1927 en el Times de
Londres:
En
aquella época se le ocurrió la idea general de la atracción variable como el
cuadrado inverso de la distancia, pero vio graves obstáculos en su aplicación
completa, obstáculos de los que otras mentes menos preclaras no eran
conscientes. La más importante de estas dificultades no pudo superarla hasta
1685 … Se trataba de relacionar la atracción de la Tierra sobre un cuerpo tan
lejano como la Luna y la atracción que ejerce sobre una manzana situada a corta
distancia de su superficie. En el primer caso, las diversas partículas que
componen la Tierra (a la que Newton esperaba ampliar su ley, haciéndola así
universal) se encuentran a distancias no muy distintas de la Luna en cuanto a
magnitud o dirección; pero sus distancias con respecto a la manzana diferían de
forma conspicua, tanto en tamaño como en dirección. ¿Cómo se podrían combinar o
sumar las diversas atracciones del segundo caso para obtener una única
resultante? ¿Y en qué «centro de gravedad», en su caso, se concentrarían?
El
avance decisivo llegó finalmente en la primavera de 1685. Newton logró
demostrar un teorema esencial: para dos cuerpos esféricos, «toda la fuerza con
que una de estas esferas atrae a la otra será inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia entre sus centros». ¡Es decir, para la
gravitación, los cuerpos esféricos actúan como si fuesen masas puntuales
concentradas en sus centros! El matemático James Whitbread Lee
Glaisher (1848-1928) destacaba la importancia de esta bella demostración. En su
parlamento durante la celebración del bicentenario de los Principia de
Newton, Glaisher afirmó:
En
cuanto Newton pudo demostrar su soberbio teorema —y por sus palabras sabemos
que no tenía esperanzas de obtener un resultado tan bello hasta que éste surgió
de su investigación matemática—, todo el mecanismo del universo se mostró de
repente ante él. ¡Qué distintas debieron aparecer estas proposiciones a los
ojos de Newton cuando se dio cuenta de que sus resultados, que había tomado por
aproximados al aplicarlos al sistema solar, eran en realidad exactos! … Podemos
imaginar el efecto que esta súbita transición de aproximación a exactitud tuvo
para estimular la mente de Newton a la consecución de logros aún mayores. Ahora
tenía en sus manos la capacidad de aplicar con total precisión el análisis
matemático a las cuestiones reales de la astronomía. [143]
El
otro aspecto que al parecer seguía irritando a Newton cuando escribió el primer
borrador de De Motu era el haber despreciado la influencia de
las fuerzas con las que los planetas atraían al Sol. En otras palabras, en su
formulación original, Newton redujo al Sol a un mero papel de centro de
fuerza inamovible que, usando las palabras del propio Newton,
«apenas existe» en el mundo real. Este esquema se contradecía con la
propia tercera ley del movimiento de Newton, según la cual
«las acciones de cuerpos que atraen y que son atraídos son siempre mutuas e
iguales». Cada planeta atrae al Sol con la misma fuerza con la que el Sol atrae
al planeta. Por consiguiente, agregó, «si hay dos cuerpos [como la Tierra y el
Sol], ni el cuerpo que atrae ni el cuerpo que es atraído pueden estar en
reposo». El darse cuenta de este aspecto aparentemente poco importante fue en
realidad un paso fundamental hacia el concepto de gravitación universal.
Podemos intentar adivinar por dónde transcurrió la línea de pensamiento de Newton:
si el Sol tira de la Tierra, la Tierra debe también tirar del Sol, y con
idéntica fuerza. Es decir, la Tierra no se limita a orbitar alrededor del Sol,
sino que ambos giran alrededor de su centro de gravedad común. Pero eso no es
todo: el resto de los planetas atraen también al Sol, y de hecho cada planeta
sufre la atracción, no sólo del Sol, sino también de los demás planetas. Esa
misma lógica puede aplicarse a Júpiter y sus satélites, a la Tierra y la Luna,
e incluso a la manzana y la Tierra. La conclusión es de una increíble
simplicidad: sólo hay una fuerza de gravitación, y actúa sobre
cualquier par de masas, en cualquier lugar del universo. Esto era
cuanto Newton necesitaba. Los Principia —510 densas páginas en
latín— se publicaron en julio de 1687.
Newton realizó observaciones y experimentos cuya precisión no superaba el 4 por
100, y estableció a partir de ellos una ley matemática de la gravitación cuya
precisión resultó ser mejor que una parte por millón. Por primera vez
combinó explicaciones de los fenómenos naturales con el poder
de predicción de los resultados de observaciones. La física y
la matemática quedaron unidas para siempre, mientras que el divorcio entre la
ciencia y la filosofía se hizo inevitable.
La segunda edición de los Principia, con exhaustivas
modificaciones de Newton y, en especial, del matemático Roger Cotes
(1682-1716), vio la luz en 1713 (en la figura 30 se puede ver la portada).
Newton,
que no se caracterizaba precisamente por ser una persona afectuosa, ni siquiera
se molestó en dar las gracias a Cotes por su fabuloso trabajo en el prólogo del
libro. Sin embargo, cuando Cotes falleció a los treinta y tres años debido a
unas violentas fiebres, Newton mostró un cierto reconocimiento: «Si hubiese
vivido más tiempo habríamos oído hablar de él».
Curiosamente, algunos de los más notables comentarios de Newton acerca de Dios
sólo aparecieron como observaciones de último momento en la segunda edición. En
una carta a Cotes fechada el 28 de marzo de 1713, menos de tres meses antes de
la finalización de la segunda edición de los Principia, Newton
incluía la frase: «Sin duda es cometido de la filosofía natural el disertar
sobre Dios a partir de los fenómenos [de la Naturaleza]». En efecto, Newton
expresó sus ideas acerca de un Dios «eterno e infinito, omnipotente y
omnisciente» en el General Scholium, el apartado que, a su
juicio, daba el toque final a los Principia.
¿Cambió acaso el papel de Dios en este universo cada vez más matemático? ¿O era
quizá percibido cada vez más como un matemático? Después de todo, hasta la
formulación de la ley de la gravitación, los movimientos de los planetas se
consideraban de forma inequívoca como obras de Dios. ¿Cómo vieron los ojos de
Newton y Descartes este cambio de punto de vista hacia una explicación
científica de la naturaleza?
El Dios matemático de Newton y Descartes
Como la mayoría de las personas de su época, Newton y Descartes eran
religiosos. El escritor francés de seudónimo Voltaire (1694-1778), que escribió
ampliamente sobre Newton, dijo en una famosa cita: «Si Dios no existiese, sería
necesario inventarlo».
Para Newton, la existencia misma del mundo y la regularidad matemática del
cosmos observado eran pruebas de la presencia de Dios. [144]Este tipo
de razonamiento causal fue utilizado por vez primera por el teólogo Tomás de
Aquino (ca. 1225-1274), y sus argumentos se pueden clasificar con las etiquetas
filosóficas generales de argumento cosmológico y argumento
teleológico. En términos sencillos, el argumento cosmológico afirma
que, puesto que el mundo físico debe de haber empezado a existir de algún modo,
tiene que haber una Causa Primera, concretamente un Dios creador. El argumento
teleológico o argumento de diseño intenta proporcionar pruebas
de la existencia de Dios a partir de la apariencia de que el mundo ha sido
diseñado. Esta es la opinión de Newton, tal como aparece en los Principia: «Este
sistema de singular belleza del sol, los planetas y los cometas sólo puede
originarse en el consejo y el dominio de un Ser poderoso e inteligente. Y, si
las estrellas fijas son el centro de otros tantos sistemas similares, estos
sistemas, formados por similar consejo, deben todos estar sometidos al dominio
de Uno». La validez de los argumentos cosmológico, teleológico y otros
similares como «demostraciones» de la existencia de Dios ha sido objeto de
debate entre filósofos durante siglos. [145]Mi opinión
personal siempre ha sido que los teístas no necesitan de estos argumentos para
estar convencidos, y que no hay duda de que a los ateos no les convencen.
Newton agregó una vuelta de tuerca adicional a la universalidad de estas leyes.
Consideraba que el hecho de que todo el cosmos estuviese gobernado por
las mismas leyes y pareciera ser estable era una prueba más de
la presencia de la mano de Dios: «Especialmente siendo que la luz de las
estrellas fijas es de la misma naturaleza que la del Sol, y de
todos los sistemas la luz pasa a todos los demás sistemas: y para que los
sistemas de las estrellas fijas no caigan, por su gravedad, mutuamente unos
sobre otros, él ha situado estos sistemas a inmensas distancias entre sí». (El
subrayado es mío)
En su libro Óptica, Newton dejó claro que no creía que las
leyes de la naturaleza bastasen por sí mismas para explicar la existencia del
universo; Dios era el creador y el soporte de todos los átomos que constituían
la materia cósmica. «Porque a Él [Dios], que los creó [los átomos], le pareció
apropiado ponerlos en orden. Y, si Él lo hizo, no es propio de la filosofía
buscar otro Origen del Mundo, o pretender que puede surgir de un Caos por la
mera acción de las Leyes de la Naturaleza.» En otras palabras, para Newton,
Dios era matemático (entre otras cosas), y no sólo era una forma de hablar,
sino que lo era de forma casi literal; el Dios Creador dio existencia a un
mundo físico gobernado por leyes matemáticas.
Descartes, con una mayor inclinación que Newton hacia la filosofía, estaba
absorto en la idea de demostrar la existencia de Dios. Para
él, el camino desde la certidumbre de nuestra propia existencia («Pienso, luego
existo») a nuestra capacidad de tejer un tapiz de ciencia objetiva debía pasar
por una demostración irrefutable de la existencia de un Dios de suprema
perfección. Este Dios, afirmaba, era el origen último de toda verdad, y el
único garante de la Habilidad del razonamiento humano. Este argumento de
sospechoso aspecto circular (conocido como Círculo cartesiano) fue
criticado incluso en la época de Descartes, especialmente por parte del
perspicaz filósofo Antoine Arnauld (1612-1694). Arnauld planteó una pregunta de
una devastadora simplicidad: si necesitamos demostrar la existencia de Dios
para garantizar la validez del proceso de razonamiento humano,
¿cómo podemos confiar en tal demostración, que es a su vez un producto de la
mente humana? Descartes hizo varios intentos desesperados de huir de este
círculo vicioso, pero muchos de los filósofos posteriores no pensaron que sus
esfuerzos fuesen demasiado convincentes. La «prueba adicional» de Descartes
para la existencia de Dios también era cuestionable. Desde un punto de vista
filosófico general se puede denominar un argumento ontológico. El
teólogo y filósofo san Anselmo de Canterbury (1033-1109) fue el primero en
formular un argumento de este tipo en 1078, y desde entonces ha vuelto a
aparecer en distintas encarnaciones. El constructo lógico tiene un aspecto
similar a éste: por definición, Dios es tan perfecto que es el mayor
ente que se puede concebir. Pero, si no existiese, se podría concebir
un ente mayor aún que, además de estar dotado de todas las perfecciones de
Dios, existiese también. Esto representaría una contradicción a la definición
de Dios como mayor ente concebible; por todo ello, Dios debe existir. En
palabras de Descartes: «La existencia no puede separarse de la esencia de Dios,
de igual modo que no se puede separar de la esencia de un triángulo el hecho de
que sus ángulos suman dos ángulos rectos».
Este tipo de estratagema lógica no resulta convincente para un buen número de
filósofos; [146]su
argumento es que la lógica por sí sola no basta para
establecer la existencia de cualquier cosa que tenga
consecuencias en el mundo físico, en particular un ente de la grandiosidad de
Dios.
Curiosamente, Descartes fue acusado de fomentar el ateísmo, y sus obras
entraron en el índice de libros prohibidos de la Iglesia Católica en 1667. A la
luz de la insistencia de Descartes en plantear que Dios era el garante
definitivo de la verdad, no deja de ser una acusación estrambótica.
Dejando aparte las cuestiones puramente filosóficas, el punto de más interés
para nuestros objetivos es la perspectiva de Descartes de que Dios era el
creador de todas las «verdades eternas». En particular, declaró que «las
verdades matemáticas que llamáis eternas han sido establecidas por Dios y
dependen por completo de Él, de igual modo que el resto de sus criaturas». Así,
el Dios cartesiano era más que un matemático, en el sentido de
que era tanto el creador de la matemática como de un mundo físico basado por
completo en la matemática. Según esta visión del mundo, está claro que los
humanos se limitan a descubrir la matemática, no a inventarla.
Las obras de Galileo, Descartes y Newton cambiaron profundamente la relación
entre la matemática y las ciencias. En primer lugar, los explosivos desarrollos
en ciencias se convirtieron en poderosas motivaciones para la investigación
matemática. Además, a través de las leyes de Newton, incluso los campos más
abstractos de la matemática —como el cálculo— se convirtieron en la esencia de
las explicaciones físicas. Por último, y quizá más importante, los límites
entre la matemática y la ciencia quedaron desdibujados hasta ser
irreconocibles, llegando prácticamente a una fusión entre los conceptos
matemáticos y amplias franjas de la exploración científica. Estos
acontecimientos crearon un entusiasmo por la matemática que no sucedía desde el
tiempo de los antiguos griegos. Los matemáticos sentían que el mundo era
matemático y que ofrecía un ilimitado potencial de descubrimiento.
Capítulo 5
Estadísticos y probabilistas: la ciencia de la incertidumbre
El
mundo no se está quieto. La mayor parte de los objetos que nos rodean están en
movimiento o cambian continuamente. Incluso la Tierra bajo nuestros pies, que
parece tan firme, está de hecho rotando sobre su eje, girando alrededor del Sol
y viajando (junto con éste) alrededor del centro de nuestra galaxia, la Vía
Láctea. El aire que respiramos se compone de billones de moléculas que se
mueven sin cesar de forma aleatoria. Al mismo tiempo, las plantas crecen, los
materiales radiactivos se desintegran, la temperatura de la atmósfera sube y
baja de forma cotidiana —además de con cada estación— y la expectativa de vida
humana no deja de aumentar. Sin embargo, esta agitación cósmica no amilanó a la
matemática. Newton y Leibniz introdujeron la rama denominada cálculo[147]específicamente
para poder efectuar un análisis riguroso y una modelización precisa del
movimiento y del cambio. En nuestros días, la potencia de esta increíble
herramienta que lo abarca todo permite utilizarla para examinar problemas tan
dispares como el movimiento de la lanzadera espacial o la propagación de una
enfermedad infecciosa. De igual modo que las películas capturan el movimiento
fraccionándolo en secuencias de fotogramas, el cálculo puede medir el cambio
mediante una retícula tan fina que permite determinar cantidades cuya
existencia es extremadamente efímera, como la velocidad, la aceleración o el
ritmo de cambio instantáneos.
Guiados por los gigantescos avances de Newton y Leibniz, los matemáticos de la
«Era de la Razón» (finales del siglo XVII y siglo XVIII) desarrollaron el
cálculo hasta crear la poderosa rama de las ecuaciones diferenciales, de
innumerables aplicaciones. Esta nueva arma permitió a los científicos presentar
detalladas teorías matemáticas de fenómenos que iban desde la música que
produce una cuerda de violín al transporte del calor, desde el movimiento de
una peonza al flujo de líquidos y gases. Durante un tiempo, las ecuaciones
diferenciales se convirtieron en la herramienta favorita del progreso en
física.
Entre los primeros que exploraron las nuevas perspectivas abiertas por las
ecuaciones diferenciales se hallaban algunos miembros de la legendaria familia
Bernoulli. [148]Entre
mediados del siglo XVII y mediados del siglo XIX, esta familia produjo nada
menos que ocho matemáticos destacados. Estos talentosos individuos se hicieron
tan conocidos por sus disputas familiares como por su sobresaliente habilidad
para la matemática. [149]Aunque los
conflictos de los Bernoulli tenían siempre relación con su competencia por la
supremacía en el terreno matemático, algunos de los problemas que abordaron
pueden no parecer muy significativos desde un punto de vista actual. Sin
embargo, con frecuencia la solución a estos intrincados enigmas allanó el
camino para la consecución de logros matemáticos más destacados. En conjunto,
no cabe duda que los Bernoulli tuvieron un papel fundamental en el
establecimiento de la matemática como el lenguaje de los procesos físicos.
Como ejemplo de la complejidad de las mentes de dos de los Bernoulli más
brillantes —los hermanos Jakob (1654-1705) y Johann (1667-1748)—, valga la
siguiente historia. Jakob Bernoulli fue uno de los pioneros de la teoría
de las probabilidades, y volveremos a mencionarlo en este capítulo.
Sin embargo, en 1690, Jakob estaba ocupado desempolvando un problema que el
renacentista por antonomasia —Leonardo da Vinci— había examinado hacía dos
siglos: ¿Qué forma adopta una cadena elástica pero inextensible suspendida de
dos puntos fijos (como se muestra en la figura 31)?
En sus cuadernos de notas, Leonardo había esbozado algunas cadenas como la
descrita. El problema fue presentado también a Descartes por su amigo Isaac
Beeckman, pero no hay constancia de que Descartes intentase nunca resolverlo.
Históricamente, el problema acabó adoptando la denominación de problema
de la catenaria[150](de la
palabra latina catena, cadena). Galileo creyó que la forma
debía de ser una parábola, pero el jesuita francés Ignatius Pardies (1636-1673)
demostró que se equivocaba.
Sin
embargo, Pardies no daba la talla para resolver matemáticamente cuál era la
forma correcta.
Sólo un año después de que Jakob Bernoulli plantease el problema, su hermano
Johann lo resolvió (mediante una ecuación diferencial). Leibniz y el físico
matemático holandés Christiaan Huygens (1629-1695) lo resolvieron también, pero
la solución de Huygens utilizaba un método geométrico más críptico. El hecho de
que Johann lograse resolver un problema que había frustrado los intentos de su
hermano y maestro, Jakob, seguía suponiendo una tremenda satisfacción para el
joven Bernoulli hasta trece años después de la muerte de Jakob. En una carta
que Johann escribió al matemático francés Pierre Rémond de Montmort
(1678-1719), no podía ocultar su complacencia:
Dice
que mi hermano planteó este problema, y es cierto, pero ¿puede acaso colegirse
que disponía de una solución para él? En absoluto. Cuando planteó el problema
después de que yo se lo sugiriese (ya que yo fui el primero que pensó en él),
ninguno de los dos fuimos capaces de encontrar la solución y, perdida la
esperanza, lo calificamos de insoluble, hasta que el Sr. Leibniz publicó en el
boletín de Leipzig de 1690, p. 360, que había resuelto el problema, pero no
publicó la solución para dar tiempo a otros analistas; y esto fue lo que nos
animó a mi hermano y a mí a volver a él con un nuevo enfoque. [151]
Después
de atribuirse con todo descaro la propiedad incluso de la sugerencia del
problema, Johann prosigue con mal disimulado deleite:
Los
esfuerzos de mi hermano no se vieron premiados por el éxito; yo, por mi parte,
fui más afortunado, ya que hallé la habilidad (y lo digo sin presunción; ¿por
qué habría de ocultarlo?) de resolverlo en su totalidad … Es cierto que su
estudio me robó el sueño durante una noche entera … pero, a la mañana
siguiente, lleno de júbilo, fui al encuentro de mi hermano, que seguía
batallando miserablemente con este nudo gordiano sin llegar a ninguna parte,
pensando como Galileo que la catenaria era una parábola. «¡Detente! ¡Detente!»,
exclamé, «¡deja de torturarte para intentar demostrar la identidad de la
catenaria con la parábola, puesto que es falsa …» Y ahora me asombro al ver que
concluye que mi hermano halló un método para resolver este problema … Y yo le pregunto,
¿cree en realidad que, si mi hermano hubiese resuelto el problema en cuestión,
habría sido tan atento conmigo como para no aparecer en la lista de los que lo
solucionaron, con el fin de cederme la gloria de aparecer en solitario en
escena como el primero que lo resolvió, junto con los Sres. Huygens y Leibniz?
Por
si era necesaria alguna prueba de que los matemáticos son, después de todo,
humanos, he aquí esta historia. Sin embargo, esta rivalidad familiar no quita
mérito alguno a los logros de los Bernoulli. Durante los años posteriores al
episodio de la catenaria, Jakob, Johann y Daniel Bernoulli (1700-1782) no sólo
resolvieron otros problemas similares de cuerdas que cuelgan, sino que lograron
un progreso general de la teoría de ecuaciones diferenciales y resolvieron el
problema del movimiento de proyectiles con un medio con resistencia.
La historia de la catenaria ilustra otra faceta de la potencia de las
matemáticas: incluso los problemas físicos de apariencia más trivial poseen
soluciones matemáticas. A propósito, la propia forma de la catenaria sigue
haciendo las delicias de los millones de visitantes del famoso Gateway Arch en
Saint Louis, Missouri. El arquitecto finés-americano Eero Saarinen (1910-1961)
y el ingeniero de estructuras germano-americano Hannskarl Bandel (1925-1993)
diseñaron esta icónica estructura con una forma similar a la de una catenaria
invertida.
El increíble éxito de las ciencias físicas en el descubrimiento de las leyes
matemáticas que gobiernan el cosmos en general planteó de forma inevitable la
pregunta de si los procesos biológicos, sociales o económicos podían basarse en
principios similares. Los matemáticos se preguntaban si la matemática era
únicamente el idioma de la naturaleza, o también lo era de
la naturaleza humana.Aunque no existan principios realmente
universales, ¿pueden las leyes matemáticas utilizarse, como mínimo, para
modelar y ofrecer explicaciones de los comportamientos sociales? Al principio,
muchos matemáticos estaban convencidos de que ciertas «leyes» basadas en una u
otra versión del cálculo serían capaces de predecir con precisión cualquier
acontecimiento futuro, grande o nimio. Esta era la opinión, por ejemplo, del
gran físico matemático Pierre-Simon de Laplace (1749-1827). Los cinco volúmenes
de la Mécanique celestede Laplace ofrecieron la primera solución
prácticamente completa (si bien de un modo aproximado) de los movimientos del
sistema solar. Además, Laplace dio respuesta a una pregunta que intrigó incluso
al gigante Newton: ¿Por qué el sistema solar es estable en su estado actual?
Newton pensó que, debido a sus atracciones mutuas, los planetas debían caer
hacia el Sol o salir despedidos hacia el espacio, y atribuyó a la mano de Dios
la responsabilidad de mantener intacto el sistema solar. El punto de vista de
Laplace era bastante distinto. En lugar de confiar en el trabajo de Dios, se
limitó a demostrar matemáticamente que el sistema solar es
estable a lo largo de períodos de tiempo mucho más prolongados que los
previstos por Newton. Laplace introdujo además otro formalismo matemático
denominado teoría de perturbaciones que le permitió calcular
el efecto acumulado de muchas perturbaciones reducidas sobre la órbita de un
planeta. Como remate, Laplace propuso uno de los primeros modelos del origendel
sistema solar: su influyente «hipótesis nebular», en la que el sistema solar se
formaba a partir de la contracción de una nebulosa gaseosa.
Tras estas impresionantes proezas, no es extraño que Laplace afirme con audacia
en su Ensayo filosófico sobre las probabilidades:
Todos
los acontecimientos, incluso aquellos que por su pequeñez parece que escapan a
las grandes leyes naturales, forman un encadenamiento tan necesario como las
revoluciones del Sol. En la ignorancia de las relaciones que guardan con el
sistema total del universo, se los ha supeditado a causas finales o al azar…
Hay, pues, que considerar el estado actual del universo como efecto de su
estado precedente y como causa del que lo sucederá. Una inteligencia que en un
determinado instante pudiera conocer todas las fuerzas que impulsan la
naturaleza y la respectiva posición de los seres que la componen y que, además,
tuviera la suficiente amplitud para someter esos datos al análisis, incluiría
en una sola fórmula los movimientos de los mayores cuerpos del universo y los
más ínfimos átomos; nada le escaparía y tanto el pasado como el futuro estarían
en su presencia. El espíritu humano brinda un atisbo de tal inteligencia que se
manifiesta en la perfección la que ha sabido llevar la astronomía. [152]
Si
se están preguntando si, cuando Laplace hablaba de esta «inteligencia» suprema
hipotética, se refería a Dios, la respuesta es no. A diferencia de Newton y
Descartes, Laplace no era una persona religiosa. Al entregar una copia de
su Mecánica celeste a Napoleón Bonaparte, éste, que había oído
que en la obra no se hacía referencia a Dios, observó: «M. Laplace, me han
dicho que en este inmenso libro que ha escrito sobre el sistema del universo no
se menciona siquiera a su creador». Laplace repuso de inmediato: «No tuve
necesidad de esa hipótesis». Napoleón, divertido, comentó esta respuesta al
matemático Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), y éste exclamó: «¡Ah! Es una
bella hipótesis, que explica multitud de cosas». Pero la anécdota no acaba ahí.
Al tener noticia de la reacción de Lagrange, Laplace comentó con sequedad:
«Esta hipótesis, sir, lo explica en realidad todo, pero no permite predecir nada.
Como estudioso, mi deber es proporcionarle obras que permitan efectuar
predicciones». (El subrayado es mío)
El desarrollo de la mecánica cuántica —la teoría del mundo subatómico— en el
siglo XX ha demostrado que las expectativas de un universo totalmente
determinista pecan de exceso de optimismo. De hecho, la física moderna ha
demostrado que no es posible predecir el resultado de todos los experimentos,
ni siquiera en principio. La teoría puede únicamente predecir las probabilidades de
distintos resultados. En las ciencias sociales, la situación es aún más
compleja debido a la multiplicidad de elementos interrelacionados, muchos de
los cuales son, como mínimo, inciertos. Los investigadores sociales del siglo
XVII pronto se dieron cuenta de que su búsqueda de principios universales del
tipo de la ley de gravitación de Newton estaba condenada al fracaso de entrada.
Durante un tiempo parecía que, al introducir las complejidades de la naturaleza
humana en la ecuación, es virtualmente imposible llegar a predicción segura
alguna. La situación aún parecía más desesperada si se tomaba en cuenta el
pensamiento de toda una población. Sin embargo, en lugar de desesperar, algunos
astutos pensadores desarrollaron un innovador arsenal de herramientas
matemáticas: la estadística y la teoría de
probabilidades.
Probabilidades en la muerte y en los impuestos
El novelista inglés Daniel Defoe (1660-1731), célebre por su obra de
aventuras Robinson Crusoe, es también el autor de una obra de
temática sobrenatural titulada Historia política del diablo. Defoe,
que veía por todas partes pruebas de la acción del maligno, escribió: «Cosas
tan seguras como la muerte y los impuestos se pueden creer más firmemente».
Benjamín Franklin (1706-1790) parece ser del mismo parecer en lo que respecta a
esa seguridad. En una carta que escribió a los ochenta y tres años, dirigida al
físico francés Jean Baptiste LeRoy, decía: «Nuestra Constitución ya está en
funcionamiento. Todo parece indicar que será duradera, pero en este mundo nada
se puede afirmar con certeza salvo la muerte y los impuestos.» En efecto,
nuestras trayectorias vitales parecen seguir caminos impredecibles, somos
propensos a desastres naturales, susceptibles a errores humanos y nos afecta la
pura casualidad. Frases como «así es la vida» se han inventado especialmente
para expresar nuestra vulnerabilidad a lo inesperado y nuestra incapacidad para
controlar el azar. A pesar de estos obstáculos, o quizá debido a ellos, los
matemáticos, los científicos sociales y los biólogos han intentado desde el
siglo XVI enfrentarse seriamente a la incertidumbre. Tras la fundación de la
mecánica estadística y la comprensión de que la base misma de la física —en
forma de mecánica cuántica— se basa en la incertidumbre, los físicos del siglo
XX se han unido a la batalla con entusiasmo. Los investigadores del sector del
armamento utilizan, para combatir el indeterminismo, su capacidad para calcular
las probabilidades de un resultado determinado, que es lo
mejor que podemos esperar una vez establecido que no podemos predecir el
resultado real. Las herramientas —la teoría de probabilidades y la estadística—
creadas para mejorar la simple especulación constituyen no sólo los cimientos
de una buena parte de la ciencia moderna, sino también de numerosas actividades
sociales, de la economía a los deportes.
Todos nosotros utilizamos las probabilidades y la estadística en casi todas las
decisiones que tomamos, aunque sea de forma inconsciente. Por ejemplo, quizá no
sepa que el número de muertes en accidentes de automóvil en 2004 en Estados
Unidos fue de 42.636. Sin embargo, si esa cifra fuese de, pongamos, tres
millones, estoy convencido de que la conocería. Es más, es probable que esa
información hubiese hecho que se lo pensase dos veces antes de entrar en su
coche por la mañana. ¿Por qué precisamente estos datos sobre muertes por
accidente nos ofrecen una cierta confianza para decidirnos a conducir? Como
veremos enseguida, uno de los ingredientes esenciales de su Habilidad es que se
basan en números muy grandes.El número de accidentes mortales en
Frio Town, Texas, con una población de 49 personas en 1969, no sería tan
convincente. La teoría de probabilidades y la estadística son una
extraordinaria munición para las armas de los economistas, consultores
políticos, genetistas, compañías de seguros y, en general, cualquiera que
quiera extraer conclusiones significativas de una gran cantidad de datos.
Cuando decimos que la matemática penetra incluso las disciplinas que no se
hallan dentro del grupo original de las ciencias exactas, esta penetración
suele ser a través de ventanas abiertas por la teoría de probabilidades y la
estadística. ¿Cómo surgieron estos provechosos campos?
La palabra estadística [del italiano stato (estado) y statista (persona
que se encarga de asuntos del estado)] se refería en primer lugar simplemente a
la recopilación de datos por parte de los funcionarios gubernamentales. El
primer trabajo importante en estadística en el sentido moderno lo llevó a cabo
un insólito investigador: un tendero del Londres del siglo XVII. John Graunt
(1620-1674) vendía botones, agujas y telas, y lo hacía bien. [153]Como su
trabajo le dejaba una considerable cantidad de tiempo libre, Graunt estudió
latín y francés por su cuenta y empezó a interesarse por las Listas de
mortalidad (cifras semanales de los fallecimientos, parroquia por
parroquia) publicadas en Londres desde 1604. El proceso de emisión de estos
informes surgió principalmente con el fin de disponer de una señal de alarma
rápida ante devastadoras epidemias. A partir de estas cifras en bruto, Graunt
empezó a efectuar interesantes observaciones que acabó publicando en un pequeño
volumen de 85 páginas al que tituló Observaciones naturales y políticas
mencionadas en un índice anexo y efectuadas a partir de las listas de
mortalidad.
En
la figura 32 se muestra un ejemplo de una tabla del libro de Graunt en la que
se enumeran alfabéticamente nada menos que 63 enfermedades y fallecimientos. En
una dedicatoria al presidente de la Royal Society, Graunt señala que, puesto
que su trabajo concierne «el aire, comarcas, estaciones, fertilidad, salud,
enfermedades, longevidad y la proporción entre el sexo y las edades de la
humanidad», se trata en realidad de un tratado de historia natural.
Efectivamente, Graunt fue mucho más allá de la simple recopilación y
presentación de datos. Por ejemplo, al examinar los promedios de bautismos y
entierros de hombres y mujeres en Londres y en la parroquia rural de Romsey, en
Hampshire, demostró por primera vez la estabilidad de la proporción de sexos en
el nacimiento. En particular, halló que en Londres nacían 13 mujeres por cada
14 hombres y en Romsey, 15 mujeres por cada 16 hombres. Graunt, con notable
capacidad de previsión, expresaba el deseo de que «los viajeros se informasen
de si la situación era la misma en otros países». También indicó que «es una
bendición para la humanidad que este exceso de Hombres sea un
obstáculo natural para la Poligamia: pues, en tal estado, las
Mujeres no podrían vivir en la paridad e igualdad de expensas con sus Esposos
en que lo hacen aquí y ahora». En la actualidad, la proporción esperada entre
niños y niñas en el momento del nacimiento es de aproximadamente 1,05.
Tradicionalmente, la explicación de esta diferencia es que la Madre Naturaleza
favorece los nacimientos masculinos debido a la mayor fragilidad de los fetos y
bebés de ese sexo. A propósito, por razones que no están del todo claras, en
Estados Unidos y en Japón, la proporción de bebés de sexo masculino sufre un
descenso paulatino desde los años setenta.
Graunt fue también pionero en la construcción de una distribución de edades o
«Tabla de vida» de la población viva a partir de las cifras de muertes y sus
causas, cuya trascendencia política fue considerable, ya que ofrecía datos
acerca del número de «hombres capaces para el combate» —hombres entre dieciséis
y cincuenta y seis años de edad— en la población. En un sentido estricto,
Graunt no poseía información suficiente para deducir la distribución de edades,
y en este aspecto es precisamente donde dio muestras de su ingenio y
creatividad. He aquí la forma en que describe su estimación de la mortalidad
infantil:
Nuestra
primera observación acerca de los fallecimientos debe ser que, en veinte años,
de los 229.250 que han muerto de todas las enfermedades y desgracias, 71.124
han perecido a la fiebre aftosa, convulsiones, raquitismo, males de los dientes
y gusanos, y como abortos, bautizados, infantes, hígado hinchado y sofocación;
lo que es decir que cerca de 1/3 de todos ellos murieron de estos males, que
suponemos que cayeron sobre niños de menos de cuatro o cinco años de edad.
Murieron también de la viruela, fiebre porcina, sarampión y gusanos sin
convulsiones 12.210, cifra de la que suponemos que 1/2 pueden ser niños de
menos de seis años de edad. Si tenemos en cuenta que 16 de los mencionados 229
mil murieron de esa extraordinaria y gran desgracia, la plaga, hallaremos que
alrededor del 36 por 100 de todas las concepciones murieron antes de los seis
años de edad.
En
otras palabras, la estimación de Graunt era que la mortalidad antes de los seis
años era de (71.124 + 6.105) / (229.250-16.000) = 0,36. Mediante argumentos
similares y suposiciones razonables, Graunt pudo hacer una estimación de la
mortalidad en edad avanzada. Finalmente, completó el espacio entre los seis y
los setenta y seis años de edad mediante una hipótesis matemática acerca del
comportamiento de la tasa de mortalidad con la edad. Aunque muchas de las
conclusiones de Graunt no eran demasiado sólidas, su estudio sirvió para dar
inicio a la ciencia de la estadística tal como la conocemos. Su observación de
que los porcentajes de determinados eventos que antes se consideraban simples
coincidencias (como las muertes causadas por las diversas enfermedades)
mostraban en realidad una notable regularidad introdujo el pensamiento
científico y cuantitativo en las ciencias sociales.
Los investigadores que siguieron los pasos de Graunt adoptaron algunos aspectos
de su metodología, pero desarrollaron también una mejor comprensión matemática
del uso de la estadística. Puede resultar sorprendente saber que la persona que
efectuó las mejoras más significativas en la «Tabla de vida» de Graunt fuese el
astrónomo Edmond Halley, la misma persona que logró persuadir a Newton para que
publicase sus Principia. ¿A qué se debía este interés por las
tablas de vida? En parte, la razón era que éstas constituían (y aún
constituyen) la información básica para los seguros de vida. Las compañías de
seguros de vida (¡y, desde luego, los cazafortunas que se casan por dinero!)
están interesadas en cuestiones tales como: si una persona llega a los sesenta
años, ¿cuál es la probabilidad de que viva hasta los ochenta?
Para construir su tabla de vida, Halley utilizó registros detallados que se
conservaban en la ciudad de Breslau, Silesia, desde finales del siglo XVI. El
Dr. Caspar Newmann, un párroco local de Breslau, utilizaba estas listas para
luchar en su parroquia contra la superstición de que la salud se ve afectada
por las fases de la Luna o por las edades que eran divisibles por siete o por
nueve. El documento de Halley, cuyo extenso título era: Un cálculo de
los grados de mortalidad de la humanidad, deducido de curiosas tablas de los
nacimientos y fallecimientos de la ciudad de Breslau, con un intento de
establecer el precio de las anualidades sobre vidas, se convirtió en
la base de la matemática de los seguros de vida. [154]Para
hacerse una idea de la forma en que las compañías de seguros evalúan sus
probabilidades, examinemos la tabla de vida de Halley en la página siguiente.
Tabla
de vida de Halley
|
Edad actual |
Personas |
Edad actual |
Personas |
Edad actual |
Personas |
|
1 |
1.000 |
11 |
653 |
21 |
592 |
|
2 |
855 |
12 |
646 |
22 |
586 |
|
3 |
798 |
13 |
640 |
23 |
579 |
|
4 |
760 |
14 |
634 |
24 |
573 |
|
5 |
732 |
15 |
628 |
25 |
567 |
|
6 |
710 |
16 |
622 |
26 |
560 |
|
7 |
692 |
17 |
616 |
27 |
553 |
|
8 |
680 |
18 |
610 |
28 |
546 |
|
9 |
670 |
19 |
604 |
29 |
539 |
|
10 |
661 |
20 |
598 |
30 |
531 |
|
31 |
523 |
41 |
436 |
51 |
335 |
|
32 |
515 |
42 |
427 |
52 |
324 |
|
33 |
507 |
43 |
417 |
53 |
313 |
|
34 |
499 |
44 |
407 |
54 |
302 |
|
35 |
490 |
45 |
397 |
55 |
292 |
|
36 |
481 |
46 |
387 |
56 |
282 |
|
37 |
472 |
47 |
377 |
57 |
272 |
|
38 |
463 |
48 |
367 |
58 |
262 |
|
39 |
454 |
49 |
357 |
59 |
252 |
|
40 |
445 |
50 |
346 |
60 |
242 |
|
61 |
232 |
71 |
131 |
81 |
34 |
|
62 |
222 |
72 |
120 |
82 |
28 |
|
63 |
212 |
73 |
109 |
83 |
23 |
|
64 |
202 |
74 |
98 |
84 |
20 |
|
65 |
192 |
75 |
88 |
||
|
66 |
182 |
76 |
78 |
||
|
67 |
172 |
77 |
68 |
||
|
68 |
162 |
78 |
58 |
||
|
69 |
152 |
79 |
49 |
||
|
70 |
142 |
80 |
41 |
En la tabla se puede ver, por ejemplo, que, de las 710 personas que estaban
vivas a los seis años de edad, 346 seguían vivas a los cincuenta años. Se puede
pues tomar la proporción de 346/710, o 0,49, como cálculo estimativo de la
probabilidad de que una persona de seis años de edad viva hasta los cincuenta.
De forma similar, de las 242 personas de sesenta años de edad, 41 seguían vivas
a los ochenta años. La probabilidad de llegar de sesenta a ochenta años puede
entonces estimarse en 41/242, o alrededor de 0,17. El razonamiento subyacente
es simple: se basa en experiencias pasadas para determinar la probabilidad de
diversos acontecimientos futuros. Si la muestra en la que se basa la
experiencia es de un tamaño suficiente (la tabla de Halley se construyó para
una población de unas 34.000 personas) y si se cumplen determinadas hipótesis
(como una tasa de mortalidad constante en el tiempo), la fiabilidad de las
probabilidades calculadas es notable. Jakob Bernoulli describió el mismo
problema de este modo: [155]
¿Qué
mortal, me pregunto, podría determinar el número de enfermedades, contando
todos los casos posibles, que afligen al cuerpo humano en cada una de sus
muchas partes y en cada edad, y decir en qué medida una enfermedad es más
mortal que otra y, basándose en ello, efectuar una predicción sobre la relación
entre la vida y muerte en las generaciones futuras?
Después
de llegar a la conclusión de que este y otros pronósticos similares «dependen
de factores confusos y que constantemente engañan a nuestros sentidos por la
complejidad sin fin de sus interrelaciones», Bernoulli sugería también un punto
de vista estadístico/probabilístico:
Existe,
no obstante, otro método que nos conducirá a aquello que buscamos y nos
permitirá cuanto menos averiguar a posteriori aquello que no podemos determinar
a priori, esto es, averiguarlo a partir de los resultados observados en
numerosos casos similares. En tal sentido, debemos asumir que, en condiciones
similares, la incidencia (o no incidencia) de un determinado acontecimiento en
el futuro seguirá el mismo patrón observado para acontecimientos como éste en
el pasado. Por ejemplo, si se ha observado que, de 300 personas de la misma
edad y constitución que un tal Tito, 200 han muerto al cabo de diez años
mientas que los demás han sobrevivido, podemos llegar a la razonable conclusión
de que existe el doble de posibilidades de que Tito vaya a pagar en la década
subsiguiente su deuda con la naturaleza que de que viva más allá de ese tiempo.
Tras
sus artículos matemáticos sobre la mortalidad, Halley escribió un interesante
artículo con un trasfondo más filosófico. Uno de sus pasajes es especialmente
emocionante:
Aparte
de los usos mencionados en anteriores escritos, podría ser admisible inferir de
las mismas Tablas con qué escasa justicia nos atribulamos por la brevedad de
nuestras vidas y nos sentimos engañados si no llegamos a la edad anciana;
mientras que, por lo que podemos ver aquí, la mitad de los nacidos han muerto
antes de llegar a los diecisiete años, pues 1.238 se ven reducidos a 616. Así,
en lugar de quejarnos por lo que llamamos una muerte a destiempo, deberíamos
someternos con paciencia y despreocupación a la disolución que forma necesaria
parte de la condición de nuestros perecederos materiales y de nuestra bella y
frágil estructura y composición: y considerar una bendición que hayamos
sobrevivido, quizá muchos años, ese período de la vida que la mitad de la raza
humana no puede alcanzar.
Aunque
la situación en la mayoría del mundo moderno ha mejorado de forma significativa
en comparación con las lúgubres estadísticas de Halley, por desgracia no se
puede decir lo mismo de todos los países. En Zambia, por ejemplo, la mortalidad
antes de los cinco años en 2006 se ha calculado en unas pasmosas 182 muertes
por cada mil nacidos vivos. La esperanza de vida en Zambia sigue estando en
unos desgarradores treinta y siete años.
Sin embargo, la estadística no es sólo una cuestión de muertes. Esta disciplina
penetra en todos los aspectos de la vida, desde los rasgos físicos a los
productos del intelecto. Una de las primeras personas que reconoció el poder de
la estadística para, potencialmente, crear «leyes» para las ciencias sociales
fue el erudito belga Lambert-Adolphe-Jacques Quetelet (1796-1874). Quetelet fue
el principal responsable de la introducción del concepto estadístico del
«hombre medio» o, como diríamos actualmente, «la persona media».
La persona media
Adolphe Quetelet nació el 2 de febrero de 1796 en la antigua ciudad belga de
Gante. [156]Su padre,
funcionario municipal, murió cuando Adolphe contaba tan sólo siete años de
edad. Obligado a buscar su propio sustento, Quetelet empezó a enseñar
matemáticas a la joven edad de diecisiete años. Cuando no estaba ejerciendo de
profesor, componía poesía; también escribió el libreto de una ópera, fue
coautor de dos obras de teatro y tradujo diversas obras literarias. Sin
embargo, su tema favorito seguían siendo las matemáticas, y fue la primera
persona que obtuvo el grado de Doctor en Ciencias por la Universidad de Gante.
En 1820, Quetelet fue elegido miembro de la Real Academia de Ciencias de
Bruselas, y no tardó en convertirse en su asociado más activo. Los años
posteriores los dedicó especialmente a la enseñanza y a la publicación de
diversos tratados de matemáticas, física y astronomía.
Quetelet solía empezar su curso de historia de la ciencia con la siguiente
perspicaz observación: «Cuanto más avanzan las ciencias, más invaden el dominio
de la matemática, que actúa como una especie de punto de convergencia. Podemos
juzgar el grado de perfección al que ha llegado una ciencia por la mayor o
menor facilidad con la que se le pueden aplicar cálculos».
En diciembre de 1823, Quetelet fue a París enviado por el estado con el fin de
que estudiase técnicas de observación en astronomía. Sin embargo, esta visita
de tres meses a la que entonces era la capital matemática del mundo hizo que
Quetelet fijase su atención en algo completamente distinto: la teoría de
probabilidades. El principal responsable en despertar el entusiasmo de Quetelet
en este tema fue el propio Laplace. Más adelante, Quetelet hablaría de este
modo de su experiencia con la estadística y la probabilidad:
El
azar, ese misterioso vocablo del que tanto se ha abusado, se debe considerar
nada más que como un velo para nuestra ignorancia; es un espectro que domina de
forma absoluta la mente común, acostumbrada a considerar los acontecimientos de
un modo aislado, pero que queda reducido a nada ante el filósofo, cuyo ojo
abarca largas series de eventos y cuya lucidez no se extravía en variaciones,
que desaparecen cuando adquiere una perspectiva suficiente para aprehender las
leyes de la naturaleza. [157]
La
importancia de esta conclusión es fundamental. En esencia, Quetelet negaba el
papel del azar y lo sustituía por la audaz (aunque no del todo demostrada)
inferencia de que incluso los fenómenos sociales poseen causas y que las
regularidades que presentan los resultados estadísticos se pueden emplear para
desentrañar las reglas que subyacen al orden social.
Con la intención de probar la validez de su punto de vista estadístico,
Quetelet puso en marcha un ambicioso proyecto de recopilación de miles de medidas
relacionadas con el cuerpo humano. Estudió, por ejemplo, la distribución de
medidas de pecho de 5.738 soldados escoceses, y de altura de 100.000 reclutas
franceses, y representó gráficamente la frecuencia de
aparición de cada rasgo humano. En otras palabras, representó el número de
reclutas cuya altura estaba entre, por ejemplo, 150 y 155 centímetros, luego
entre 155 y 160 centímetros, etc. Luego construyó curvas similares incluso para
aquellos rasgos «morales» (según él los denominaba) de los que poseía
suficientes datos. Entre estas cualidades se hallaba la propensión al
comportamiento criminal, los suicidios y los matrimonios. Para su sorpresa,
Quetelet descubrió que todas las características humanas siguen lo que ahora se
denomina una distribución de frecuencias normal(o gaussiana, por
el nombre del «príncipe de la matemática» Carl Friedrich Gauss, aunque no está
demasiado justificado el porqué de esta denominación), con forma de campana
(figura 33).
Ya
se tratase de alturas, pesos, longitudes de extremidades o incluso cualidades
intelectuales determinadas a través de los antepasados de los tests
psicológicos, una y otra vez aparecía el mismo tipo de curva. La curva no era
desconocida para Quetelet; los matemáticos y los físicos la conocían desde
mediados del siglo XVIII, y Quetelet estaba familiarizado con ella por su
trabajo en astronomía; lo asombroso fue la asociación de esta curva con
características humanas. Anteriormente, se la solía denominar curva de error,
porque solía aparecer en cualquier tipo de errores de medida.
Imaginemos, por ejemplo, que debe medir con mucha precisión la temperatura de
un líquido en un recipiente. Puede utilizar un termómetro de alta precisión y
tomar mil medidas a lo largo de un período de una hora. Debido a errores
aleatorios y posiblemente a fluctuaciones en la temperatura, hallará que no
todas las mediciones dan exactamente el mismo valor, sino que tienden a
agruparse alrededor de un valor central; algunas mediciones dan un valor
superior y otras, uno inferior. Si representa el número de veces que aparece
cada medida en función de la temperatura, obtendrá el mismo tipo de curva en
forma de campana que Quetelet halló para las características humanas. De hecho,
cuanto mayor sea el número de mediciones efectuadas de cualquier magnitud
física, más se aproximará la distribución de frecuencias a la curva
normal. La influencia inmediata de este hecho en la cuestión de por
qué las matemáticas son tan extraordinariamente eficaces es bastante
espectacular: ¡incluso los errores humanos obedecen leyes matemáticas
estrictas!
Quetelet llegó incluso más allá en sus conclusiones: consideró que el hecho de
que las características humanas siguiesen la curva de error era indicativo de
que el «hombre medio» era lo que la naturaleza estaba tratando de
generar. [158]Según
Quetelet, igual que los errores de fabricación crearían una distribución de
longitudes alrededor de la longitud promedio (correcta) de un clavo, de igual
modo los errores de la naturaleza estaban distribuidos alrededor de un tipo
biológico preferible, y afirmó que las personas de una nación estaban agrupadas
alrededor de su promedio «de igual modo que los resultados de mediciones
efectuadas sobre una misma persona, pero con instrumentos imprecisos que
justificasen el tamaño de la variación».
No hay duda de que Quetelet llevó sus especulaciones demasiado lejos. Aunque su
descubrimiento de que las características biológicas (físicas o mentales) están
distribuidas según la curva de frecuencias normal fue excepcionalmente
importante, este factor no podía interpretarse como una prueba de las intenciones de
la naturaleza, ni juzgar como meros errores las características individuales.
Por ejemplo, Quetelet halló que la altura media de los reclutas franceses era
de 163 centímetros. Sin embargo, en el extremo inferior halló un hombre que
medía 43 centímetros. ¡Es obvio que uno no se puede equivocar en más de 120
centímetros al medir la altura de un hombre de 163 centímetros!
De todos modos, aunque no hagamos mucho caso de las ideas de Quetelet acerca de
las «leyes» para fabricar seres humanos a partir de un mismo molde, el hecho de
que las distribuciones de los diversos rasgos, desde pesos a niveles de
cociente intelectual, sigan la curva normal es notable por sí mismo. Y por si
eso fuera poco, incluso la distribución de los promedios de bateo en la liga de
primera división de béisbol es bastante próximo a la normal, como lo es el
rendimiento anual de los índices bursátiles (que se componen de numerosos
valores individuales). De hecho, a veces vale la pena examinar con atención las
distribuciones que se desvían de la curva normal. Por ejemplo, si se hallase
que la distribución de las notas de inglés de un determinado colegio no sigue
la curva normal, esto podría provocar una investigación en las prácticas de calificación
de ese colegio. Esto no significa que todas las distribuciones sean normales.
La distribución de la longitud de las palabras utilizadas por Shakespeare en
sus obras no es normal. Shakespeare utilizaba muchas más palabras de tres y
cuatro letras que de once o doce. Los ingresos anuales por familia en Estados
Unidos están representados también por una distribución muy alejada de la
normal. El pico se halla en unos ingresos de entre 10.000 y 20.000 USD, que
corresponde al 13 por 100 de las familias, pero la gráfica posee también un
pico significativo (que corresponde aproximadamente a un 10 por 100 de las
familias) en el intervalo de entre 100.000 y 150.000 USD, lo que suscita una
interesante pregunta: si tanto las características físicas como las intelectuales
de los seres humanos (que, es de suponer, determina el potencial de ingresos)
están distribuidas según la curva normal, ¿por qué no lo están los ingresos?
Pero la respuesta a estas cuestiones socioeconómicas va más allá del ámbito de
este libro. Desde nuestra limitada perspectiva actual, el hecho sorprendente
consiste en que prácticamente todos los detalles mesurables de los seres
humanos (de una etnia determinada) están distribuidos según un solo tipo de
función matemática.
Históricamente, los rasgos humanos no sólo sirvieron como base para el estudio
de las distribuciones de frecuencia estadísticas, sino también
para establecer el concepto matemático de correlación. La
correlación mide el grado en que los cambios en el valor de una variable están
acompañados por cambios en otra. Por ejemplo, es de esperar que las mujeres
altas lleven zapatos más grandes. De forma similar, los psicólogos hallaron una
correlación entre la inteligencia de los padres y el éxito escolar de los
hijos.
El concepto de correlación resulta especialmente útil en las situaciones en que
no hay una dependencia funcional precisa entre las dos
variables. Imaginemos, por ejemplo, que una variable es la temperatura diurna
máxima en el sur de Arizona, y la otra, el número de incendios forestales en
esa región. Para un determinado valor de temperatura, no es posible predecir
con exactitud el número de incendios que ocurrirán, ya que esto depende de
otras variables como la humedad y el número de incendios provocados. En otras
palabras, para un valor específico de temperatura podría haber muchos valores
correspondientes de incendios forestales y viceversa. Sin embargo, el concepto
matemático denominado coeficiente de correlación nos permite
medir de forma cuantitativa la intensidad de la relación entre dos variables.
La persona que introdujo por vez primera la herramienta del coeficiente de
correlación fue el geógrafo, meteorólogo, antropólogo y estadístico victoriano
sir Francis Galton (1822-1911). [159]Galton
—que, por cierto, era primo lejano de Charles Darwin— no era un matemático
profesional. Como era una persona de extraordinaria versatilidad y gran sentido
práctico, solía dejar las sutilezas matemáticas de sus innovadores conceptos a
otros matemáticos, en especial al estadístico Karl Pearson (1857-1936). Galton
explicaba así el concepto de correlación:
La
longitud del cúbito [el antebrazo] está correlacionada con la estatura, ya que
un cúbito largo implica en general un hombre alto. Si la correlación entre
ellas es muy próxima, un cubito muy largo implicaría una gran estatura; en
cambio, si no lo es tanto, un cúbito muy largo estaría asociado en promedio con
una estatura simplemente alta, pero no muy alta; mientras que, si la
correlación fuese nula, un cubito muy largo no estaría asociado con ninguna
estatura en particular y, por consiguiente, en promedio, con la mediocridad.
Pearson
formuló una definición matemática precisa del coeficiente de correlación. El
coeficiente se define de modo que, cuando la correlación es muy alta, es decir,
cuando una variable sigue de cerca las subidas y bajadas de la otra, el valor
del coeficiente es de 1. Cuando dos cantidades presentan correlación
inversa, es decir, cuando una aumenta la otra disminuye y viceversa,
el coeficiente es igual a -1. Cuando una variable se comporta como si la otra
no existiese y viceversa, el coeficiente de correlación es 0. (Por desgracia,
el comportamiento de algunos gobiernos muestra una correlación cercana a cero
con los deseos de las personas a las que supuestamente representan.)
La investigación médica moderna y las previsiones económicas dependen
esencialmente de la identificación y cálculo de correlaciones. Los vínculos
entre el tabaco y el cáncer de pulmón y entre la exposición al sol y el cáncer
de piel, por ejemplo, se establecieron inicialmente mediante el descubrimiento
y evaluación de correlaciones. Los analistas del mercado de valores se estrujan
continuamente el cerebro para hallar y cuantificar las correlaciones entre el
comportamiento del mercado y otras variables, un descubrimiento que
potencialmente puede reportarles pingües beneficios.
Los primeros estadísticos pronto se dieron cuenta de que la recogida de datos
estadísticos y su interpretación pueden ser asuntos delicados, y deben llevarse
a cabo con una exquisita atención. Un pescador que utilice una red con agujeros
de 25 centímetros de lado podría llegar a la conclusión de que todos los peces
miden más de 25 centímetros, por el simple hecho de que los menores se libran
de su red. Se trata de un ejemplo de los efectos de selección, sesgos
que se introducen en los resultados debido al procedimiento utilizado para
recoger los datos o a la metodología. El muestreo presenta otro problema. Por
ejemplo, las actuales encuestas de opinión no entrevistan más que a unos
cuantos miles de personas. ¿Cómo pueden los encuestadores estar seguros de que
los puntos de vista expresados por los miembros de su muestra representan
correctamente la opinión de cientos de millones de personas? Otro de los
aspectos que se debe tener en cuenta es que correlación no
necesariamente implica causalidad. Las ventas de tostadoras
pueden elevarse al mismo tiempo que crece el número de personas que asisten a
conciertos de música clásica, pero eso no implica que la presencia de una nueva
tostadora en una casa mejore la capacidad de apreciar la música. Posiblemente,
ambos efectos están causados por una mejora en la economía.
A pesar de estos importantes riesgos, la estadística se ha convertido en uno de
los instrumentos más eficaces de la sociedad moderna, al elevar las ciencias
sociales al rango de ciencias, precisamente. Pero en realidad, ¿por qué
funciona la estadística? La respuesta la tenemos en la matemática de la probabilidad, que
domina numerosos aspectos de la vida moderna. Desde los ingenieros que deciden
los mecanismos que se deben instalar en un vehículo tripulado de exploración
para garantizar la seguridad de los astronautas a los físicos de partículas que
analizan el resultado de los experimentos en aceleradores, los psicólogos que
califican tests de inteligencia de niños, las empresas que evalúan la eficacia
de nuevos fármacos o los genetistas que estudian la herencia humana, todos
ellos deben utilizar la teoría de probabilidades.
Juegos de azar
Los inicios del estudio serio de la probabilidad fueron muy modestos: [160]se trataba
de jugadores que intentaban ajustar sus apuestas a sus posibilidades de éxito.
En particular, a mediados del siglo XVII, un noble francés —el caballero de
Méré—, que era también un celebrado jugador, dirigió varias preguntas sobre
juegos y apuestas al famoso matemático y filósofo francés Blaise Pascal
(1623-1662). En 1654, Pascal mantuvo abundante correspondencia acerca de estas
cuestiones con el otro gran matemático francés de la época: Pierre de Fermat
(1601-1665). Se puede afirmar que la teoría de probabilidades nació en este
intercambio epistolar. Vamos a examinar uno de los fascinantes casos comentados
por Pascal en una carta de fecha 29 de julio de 1654. [161]Imaginemos
que dos nobles están enfrascados en un juego en el que lanzan un único dado.
Cada jugador ha puesto sobre la mesa 32 monedas de oro. El primer jugador elige
el número 1 y el segundo jugador, el 5. Cada vez que aparece el número que ha
elegido uno de los jugadores, éste obtiene un punto. El ganador es el primero
que consiga tres puntos. Supongamos, sin embargo, que, después de jugar durante
un rato, el número 1 ha aparecido dos veces (de modo que el jugador que lo
había elegido tiene dos puntos) mientras que el número 5 sólo ha aparecido una
vez (de modo que su oponente tiene únicamente un punto). Si, por cualquier
razón, el juego tuviera que interrumpirse en ese momento, ¿cómo deberían
repartirse los dos jugadores las 64 monedas de la mesa? Pascal y Fermat
hallaron la respuesta matemáticamente lógica. Si el jugador con dos puntos
ganase la siguiente tirada, las 64 monedas serían suyas. Si la perdiese, ambos
jugadores tendrían dos puntos, así que cada uno de ellos obtendría 32 monedas.
Por tanto, si los jugadores se separan sin efectuar la siguiente tirada del
dado, el primer jugador podría argumentar correctamente: «Poseo con seguridad
32 monedas, aunque perdiese la siguiente tirada; por lo que respecta a las
otras 32, puede que las tenga o puede que no, las posibilidades son iguales.
Vamos entonces a dividir estas 32 monedas a partes iguales, y me llevo también
las 32 monedas que tengo seguras». En otras palabras, el primer jugador debería
quedarse con 48 monedas y el segundo, con 16. Parece increíble que una nueva
disciplina matemática de gran profundidad haya podido surgir de un tipo de
discusión aparentemente trivial como éste, ¿verdad? Sin embargo, ésta es
precisamente la razón de la «inexplicable» y misteriosa eficacia de la
matemática.
La esencia de la teoría de probabilidades se puede deducir de los hechos
simples siguientes. [162]Nadie puede
predecir con certeza qué cara de una moneda no manipulada quedará hacia arriba
cuando caiga al suelo. Aunque la moneda acabe de caer diez veces seguidas en
cara, eso no mejora ni un ápice nuestra capacidad para predecir con certeza la
siguiente tirada. Sin embargo, sí podemos predecir con certeza que, si se tira
la moneda diez millones de veces, prácticamente la mitad de las tiradas serán
caras y la otra mitad serán cruces. De hecho, a finales del siglo XIX, el
estadístico Karl Pearson tuvo la paciencia de tirar una moneda 24.000 veces.
Obtuvo cara en 12.012 de las tiradas. En cierto modo, esto es, en esencia, la
teoría de la probabilidad. Esta disciplina nos proporciona información precisa
acerca de los resultados recogidos en un gran número de
experimentos; [163]no es capaz
de predecir el resultado de un experimento específico. Si un experimento puede
tener n resultados posibles, cada uno de ellos con la mismaposibilidad
de ocurrir, entonces la probabilidad de cada resultado es 1/n. Si
se tira un dado no cargado, la probabilidad de obtener el número 4 es 1/6,
porque el dado tiene seis caras, y cada una de ellas es un resultado igualmente
posible. Supongamos que se tira el dado siete veces seguidas y se saca un 4
cada vez; ¿cuál es la probabilidad de sacar un 4 en la siguiente tirada? La
respuesta de la teoría de probabilidades es de una claridad meridiana: la
probabilidad seguirá siendo de 1/6; el dado no tiene memoria; las nociones de
«buena racha» o de que la tirada siguiente compensará el desequilibrio de las
anteriores no son más que mitos. Lo único que es cierto es que, si lanzásemos
el dado un millón de veces, los resultados se compensarían y, en promedio, el 4
aparecería 1/6 parte de las veces.
Vamos a examinar una situación un poco más complicada. Supongamos que lanzamos
tres monedas al mismo tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos cruces y
una cara? Podemos hallar la respuesta con sólo enumerar todos los resultados
posibles. Si indicamos las caras con «C» y las cruces con «X», tenemos ocho
resultados posibles: XXX, XXC, XCX, XCC, CXX, CXC, CCX, CCC. De éstos, como se
puede comprobar, tres son favorables al suceso «dos cruces y una cara». Así, la
probabilidad de este evento es de 3/8. O, para generalizar, si de nresultados
con la misma probabilidad, ra son favorables al suceso que nos
interesa, la probabilidad de que ese suceso ocurra es de m/n. Observe
que eso se traduce en que el valor de la probabilidad está siempre entre cero y
uno. Si el suceso que nos interesa es, en realidad, imposible, entonces m =
0 (ningún resultado es favorable) y la probabilidad sería cero. Si, por el
contrario, el suceso es totalmente seguro, eso significa que los n casos
son favorables (m = n) y que la probabilidad es
simplemente n/n = 1. Los resultados de los tres lanzamientos
de moneda demuestran además otro importante resultado de la teoría de
probabilidades: si tenemos varios sucesos completamente independientes entre
sí, la probabilidad de que todos ellos sucedan es el producto de las
probabilidades individuales. Por ejemplo, la probabilidad de sacar
tres caras es de 1/8, es decir, el producto de las tres probabilidades de sacar
cara en cada una de las tres monedas: 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8.
Uno puede pensar ahora: de acuerdo pero, aparte de en los casinos y en otros
juegos de azar, ¿qué otros usos podemos dar a estos conceptos básicos de
probabilidades? Aunque cueste de creer, estas leyes de la probabilidad de
aspecto inocuo se hallan en la base de la genética moderna, la ciencia de la
herencia de caracteres biológicos.
La persona que unió la probabilidad con la genética fue un monje de
Moravia. [164]Gregor
Mendel (1822-1884) nació en un pueblo cercano a la frontera entre Moravia y
Silesia (actualmente Hyncice, en la República Checa). Tras entrar en la abadía
agustiniana de Santo Tomás, en Brno, estudió zoología, botánica y física y
química en la Universidad de Viena. A su regreso a Brno, Mendel inició un
activo período de experimentación con plantas de guisantes, con el entusiasta
apoyo del abad de su monasterio. Mendel centró sus investigaciones en los
guisantes porque eran de cultivo fácil, y también porque poseían órganos
reproductivos masculinos y femeninos. De este modo, las plantas de guisantes
podían autopolinizarse o cruzarse con otras plantas. Mediante la polinización
cruzada de plantas que sólo producían semillas verdes con otras que sólo las
producían amarillas, Mendel obtuvo resultados muy desconcertantes a primera
vista (figura 34).
La
primera generación de descendientes sólo tenía semillas
amarillas. ¡Sin embargo, de forma constante la generación siguiente tenía una
proporción de 3 a 1 entre semillas amarillas y verdes! A partir de estos
asombrosos resultados, Mendel pudo extraer tres conclusiones que se
convirtieron en importantes hitos de la genética:
i. La
herencia de una característica implica la transmisión de determinados
«factores» (actualmente los llamamos genes) de padres a hijos.
ii. Cada
hijo hereda uno de estos «factores» de cada padre (para un rasgo determinado).
iii.
Aunque una característica específica no se manifieste en un
descendiente, se puede transmitir a la siguiente generación.
Pero
¿cómo se pueden explicar los resultados cuantitativos del
experimento de Mendel? Mendel propuso que cada una de las plantas padre tenía
dos alelos (variedades de un gen) idénticos, ya fuesen dos amarillos (A) o dos
verdes (V) (como en la figura 35).
Al
aparearse entre sí, cada descendiente heredaba dos alelos distintos, uno de
cada padre [según la regla (ii) mencionada]. Es decir, la semilla de cada
descendiente contenía un alelo amarillo y uno verde. Entonces, ¿por qué los
guisantes de esta generación eran todos amarillos? Según la explicación de
Mendel, el amarillo era el color dominante y enmascaraba la presencia del alelo
verde en esta generación [según la regla (iii)]. Sin embargo [siguiendo con la
regla (iii)], el amarillo dominante no impedía que el verde recesivo pasase a
la siguiente generación. En la siguiente ronda de apareamiento, cada planta con
un alelo amarillo y uno verde era polinizada con otra planta que contenía la
misma combinación de alelos. Puesto que el descendiente contenía un alelo de
cada padre, las semillas de la generación siguiente podían contener una de las
combinaciones siguientes (figura 35): verde-verde, verde-amarillo,
amarillo-verde o amarillo-amarillo. Todas las semillas con un alelo amarillo se
convertían en guisantes amarillos, porque el amarillo es dominante. Así, como
todas las combinaciones de alelos tienen la misma probabilidad, la proporción
entre guisantes amarillos y verdes debe ser 3:1.
No es difícil darse cuenta de que todo el ejercicio de Mendel es, en esencia,
idéntico a lanzar dos monedas. Asignar cara a verde y cruz a amarillo y
preguntar qué fracción de los guisantes serán amarillos (sabiendo que el
amarillo es dominante para determinar el color) es exactamente lo mismo que
preguntar cuál es la probabilidad de obtener al menos una cruz
al tirar dos monedas. Obviamente, es 3/4, ya que tres de los cuatro posibles
resultados (cruz-cruz, cruz-cara, cara-cruz, cara-cara) contienen una cruz. Eso
significa que la proporción entre el número de tiradas que contienen al menos
una cruz y el número de tiradas que no la contienen debería ser (a la larga)
3:1, como en los experimentos de Mendel.
A pesar de que Mendel publicó su artículo «Experimentos sobre hibridación de
plantas» en 1865 [165](también
presentó los resultados en dos congresos científicos), su obra pasó en general
inadvertida hasta su redescubrimiento, a principios del siglo XX. Aunque han
surgido algunas dudas acerca de la exactitud de sus resultados, [166]se le sigue
considerando la primera persona que estableció las bases matemáticas de la
genética moderna. Tras los pasos de Mendel, el influyente estadístico británico
Ronald Aylmer Fisher [167](1890-1962)
estableció el campo de la genética de poblaciones (la rama matemática que se
centra en la modelización de las distribuciones de genes dentro de una
población y el cálculo de la variación temporal de las frecuencias de genes).
Los actuales genetistas pueden utilizar muestreos estadísticos combinados con
estudios de ADN en el pronóstico de las características más probables de un
descendiente no nacido. Pero ¿cuál es realmente la relación entre probabilidad
y estadística?
Hechos y pronósticos
Los científicos que intentan desentrañar la evolución del universo suelen
atacar el problema desde ambos extremos. Están los que empiezan por las
minúsculas fluctuaciones en el tejido cósmico del universo primordial, y los
que estudian hasta el más nimio detalle en el estado actual del universo. Los
primeros utilizan enormes simulaciones informáticas con el fin de hacer
evolucionar el universo hacia adelante. Los segundos se embarcan en el
detectivesco trabajo de tratar de deducir el pasado del universo a partir de
una multitud de datos sobre su estado actual. La relación entre la teoría de
probabilidades y la estadística es similar. En teoría de probabilidades, las
variables y el estado inicial son conocidos, y el objetivo consiste en predecir
el resultado final más probable. En estadística, el resultado es conocido, pero
las causas pasadas no lo son.
Vamos a examinar un ejemplo sencillo para ver de qué modo ambos campos se
complementan y, por así decirlo, se encuentran a medio camino. Podemos empezar
por el hecho de que los estudios estadísticos muestran que las mediciones de
una amplia variedad de magnitudes físicas, e incluso muchas características
humanas, se distribuyen siguiendo la curva de frecuencias normal.Para
ser más exactos, la normal no es una curva, sino una familia de curvas que se
pueden describir mediante una misma función general y que quedan caracterizadas
mediante dos únicas cantidades matemáticas. La primera de ellas —la media—
es el valor central y eje de simetría de la distribución. El valor real de la
media depende, claro está, del tipo de variable medida (por ejemplo, peso,
altura o CI). Incluso para una misma variable, la media puede ser distinta en
diferentes poblaciones. Por ejemplo, la media de la altura de los hombres en
Suecia es probablemente distinta que la de Perú. La segunda cantidad que define
la curva normal se denomina desviación estándar, y mide cómo
están agrupados los datos alrededor de la media.
En
la figura 36, la curva normal (a) es la que tiene la mayor desviación estándar,
ya que los valores en ella están más dispersos.
Pero aquí viene lo interesante: si utilizamos el cálculo integral para calcular
las áreas bajo la curva, se puede demostrar matemáticamente que, independientemente de
los valores de la media o de la desviación estándar, el 68,2 por 100 de los
datos se hallan entre los valores que abarca una desviación estándar a cada
lado de la media (como se muestra en la figura 37).
En
otras palabras, si el CI medio de una cierta población (grande) es 100, y la
desviación estándar es 15, entonces el 68,2 por 100 de las personas de esa
población tienen un CI entre 85 y 115. Aún hay más: para todas las curvas de
frecuencia normal, el 95,4 por ciento de todos los casos se hallan a dos
desviaciones estándar de la media, y el 99,8 por 100, a tres (figura 37). Esto
implica que, en el ejemplo anterior, el 95,4 por 100 de la población tiene
valores de CI entre 70 y 130, y el 99,8 por 100, entre 55 y 145.
Supongamos ahora que queremos predecir la probabilidad de que una persona de
esa población elegida al azar tenga un valor de CI entre 85 y 100. La figura 37
nos indica que sería de 0,341 (o 34,1 por 100), ya que, según las leyes que la
gobiernan, esa probabilidad consiste simplemente en el número de casos
favorables dividido por el total de casos posibles. Pongamos que ahora nos
interesa saber la probabilidad de que una persona elegida al azar en esa
población tenga un valor de CI superior a 130. Basta una ojeada a la figura 37
para averiguar que esa probabilidad es sólo de alrededor de 0,022, o el 2,2 por
100. De forma parecida, a partir de las propiedades de la distribución normal y
la herramienta del cálculo integral (para calcular áreas), se puede calcular la
probabilidad de que el valor de CI se encuentre dentro de cualquier intervalo.
En otras palabras, la teoría de probabilidades y su compañera y complemento, la
estadística, se combinan para darnos la respuesta.
Como ya he indicado antes, la probabilidad y la estadística sólo son
significativas al tratar con un gran número de sucesos, nunca con eventos
individuales. Este aspecto fundamental, denominado Ley de los grandes
números, se debe a Jakob Bernoulli, que lo formuló en forma de teorema
en su obra Ars Conjectandi (cuya portada se muestra en la
figura 38). [168]
En
términos simples, el teorema afirma que, si la probabilidad de la aparición de
un suceso es p, entonces p es la proporción más
probable de apariciones del suceso en el número total de ensayos. Asimismo, a
medida que el número de ensayos tiende a infinito, la proporción de éxitos se
convierte en p con certeza. Así presentó Bernoulli la Ley de
los grandes números en su Ars Conjectandi: «Aún está pendiente
de investigación si, con el aumento del número de observaciones, seguimos
aumentando la probabilidad de que la proporción registrada entre casos
favorables y desfavorables se acerque a la verdadera proporción, de modo que
esta probabilidad exceda finalmente cualquier grado de certeza que le
exijamos». A continuación pasó a explicar el concepto mediante un ejemplo
específico:
Tenemos
un tarro que contiene 3.000 guijarros blancos y 2.000 negros, y queremos
determinar de forma empírica la proporción —que desconocemos— entre unos y
otros a base de extraer un guijarro tras otro y anotar con qué frecuencia
extraemos un guijarro blanco y con cuál uno negro. (Me permito recordar que es
un requisito importante de este proceso devolver el guijarro al tarro después
de tomar nota del color y antes de extraer el siguiente, de modo que el número
de guijarros en el tarro permanezca constante.) La pregunta es, ¿es posible
ampliar el número de ensayos para hacer que sea 10, 100, 1.000, etc., veces más
probable (y, a la larga, más «moralmente cierto») que la proporción de
guijarros blancos extraídos respecto de la de guijarros negros adquiera el
mismo valor (3:2) que la proporción real de guijarros blancos y negros en la
urna, que no que adquiera un valor distinto? Si la respuesta es no, admitiré
entonces que probablemente seamos incapaces de averiguar el número de
instancias de cada caso (esto es, el número de guijarros blancos y negros)
mediante observación. En cambio, si es cierto que este método nos permite
alcanzar una certeza moral* [*Jakob Bernoulli demuestra en el capítulo
siguiente de Ars Conjectandi, que es así (N. del a.)] … entonces podemos
determinar el número de ejemplos a posteriori casi con la misma precisión que
si los conociésemos a priori. [169]
Bernoulli
dedicó veinte años al perfeccionamiento de este teorema, que se ha convertido
en uno de los pilares básicos de la estadística. Concluía afirmando su creencia
en la existencia de leyes fundamentales, incluso en las situaciones que parecen
estar gobernadas por el azar:
Si
observásemos de forma continua todos los eventos desde este momento hasta la
eternidad (convirtiendo de este modo la probabilidad en certeza), hallaríamos
que todo lo que ocurre en el mundo lo hace por razones determinadas y de
conformidad con leyes, y que de este modo nos vemos constreñidos, incluso en
situaciones que parecen accidentales, a asumir una cierta necesidad y, por así
decirlo, fatalidad. Porque todo cuanto sé es aquello en lo que Platón pensaba
cuando, en la doctrina del ciclo universal, sostenía que, tras el paso de
incontables centurias, todo regresaría a su estado original.
La
conclusión de este relato científico de la incertidumbre es simple: la
matemática se puede aplicar incluso en las áreas menos «científicas» de
nuestras vidas, incluso en las que parecen estar dominadas por el puro azar.
Así, al intentar explicar la «inexplicable eficacia» de la matemática, no
podemos limitarnos solamente a las leyes de la física; en
algún momento tendremos que intentar resolver el enigma de la omnipresencia de
la matemática.
El increíble poder de la matemática no pasó desapercibido para el célebre
dramaturgo y ensayista George Bernard Shaw (1856-1950). Shaw, cuya fama no se
debía precisamente a su talento matemático, escribió una vez un ingenioso
artículo sobre estadísticas y probabilidad titulado «The Vice of Gambling and
the Virtue of Insurance». [170]En él, Shaw
admite que, en su opinión, los seguros «se basan en hechos inexplicables y
riesgos que sólo puede calcular un matemático profesional». Sin embargo, ofrece
la siguiente astuta observación:
Imaginemos
una conversación de negocios entre un ambicioso mercader que quiere comerciar
con el exterior pero está aterrorizado de que su barco naufrague o de que se lo
coman los salvajes, y un capitán que lo que quiere es un cargamento y
pasajeros. El capitán responde al mercader que sus bienes estarán totalmente a
salvo, igual que él mismo si decide acompañarle. Pero el mercader, que tienen
la cabeza hinchada con las aventuras de Jonás, san Pablo, Ulises y Robinson
Crusoe, no se atreve a correr el riesgo. Su conversación sería más o menos así:
Capitán: ¡Venid conmigo! Os apuesto tropecientas libras a que, si navegáis
conmigo, estaréis sano y salvo en este mismo día dentro de un año.
Mercader: Pero, si acepto la apuesta, estaré apostando que voy a morir durante
ese año.
Capitán: ¿Y por qué no, si vais a perder la apuesta, con toda seguridad?
Mercader: Pero, si me ahogo, vos también os ahogaréis; ¿qué será entonces de
nuestra apuesta?
Capitán: Cierto. Entonces, encontraré a alguien en tierra que haga la apuesta
con vuestra esposa y vuestra familia.
Mercader: Eso lo cambia todo, pero ¿qué hay de mi cargamento?
Capitán: ¡Bah! Podemos extender la apuesta al cargamento. O convertirla en dos
apuestas: una por vuestra vida y la otra, por el cargamento. Ambos estarán a
salvo, os lo aseguro. Nada sucederá, y podréis disfrutar de las maravillas de
tierras lejanas.
Mercader: Pero, si yo y mi mercancía hacemos el viaje con seguridad, tendré que
pagaros el valor de mi vida y de los bienes. Si no me ahogo, me arruinaré.
Capitán: Eso también es cierto. Pero yo no salgo tan beneficiado como pensáis.
Si os ahogáis, yo me ahogaré primero, pues tengo la obligación de ser el último
hombre que abandone el barco cuando se vaya a pique. Pero dejadme que ejerza mi
persuasión. Os haré una apuesta diez a uno. ¿Es eso tentación suficiente?
ercader: Bueno, en tal caso…
El capitán ha descubierto los seguros, igual que los orfebres descubrieron el
negocio bancario.
Es
notable que alguien como Shaw, que se lamentaba de que, durante su educación,
«nadie mencionó una palabra sobre el significado o la utilidad de la
matemática», escribiese este relato jocoso sobre la «historia» de la matemática
de los seguros.
Con la excepción del texto de Shaw, hasta ahora hemos seguido el desarrollo de
la matemática a través de los ojos de matemáticos profesionales. Para estas
personas, y para muchos filósofos racionalistas como Spinoza, el platonismo era
evidente. No había discusión posible: las verdades matemáticas existían en un
mundo propio y la mente humana podía acceder a ellas sin necesidad de
observaciones, simplemente a través de la facultad de la razón. Los primeros
signos de una posible discrepancia entre la percepción de la geometría
euclidiana como conjunto de verdades universales y otras ramas de la matemática
fueron revelados por el filósofo irlandés George Berkeley (el obispo Berkeley)
(1685-1753). En un panfleto titulado El analista, o un discurso
dirigido a un matemático infiel[171](que se
supone que era Edmond Halley), Berkeley criticaba los mismos fundamentos del
cálculo y el análisis presentados por Newton (en Principia) y
Leibniz. Específicamente, Berkeley demostraba que el concepto de «fluxiones» o
tasas instantáneas de cambio de Newton adolecía de una definición poco
rigurosa, lo que, según el punto de vista de Berkeley, bastaba para poner en
duda toda la disciplina:
El
método de fluxiones es la clave general de cuya ayuda se valen los matemáticos
modernos para desentrañar los secretos de la Geometría y, en consecuencia, de
la Naturaleza… Lo que me propongo es investigar, con la máxima imparcialidad,
si este método es claro o confuso, sistemático o espurio, demostrativo o
precario, coherente, y someto mis investigaciones a vuestro propio juicio y al
de todo lector sincero.
No
se puede negar que Berkeley tenía algo de razón, y el hecho es que no se
formuló una teoría del análisis totalmente coherente hasta los años sesenta del
siglo XX, pero la matemática estaba a punto de sufrir una crisis más drástica
en el siglo XIX.
Capítulo 6
Geómetras: el shock del futuro
En
su famosa obra El shock del futuro, [172]el autor
Alvin Toffler (1928-) definía el término del título como «la terrible tensión y
desorientación que inducimos en las personas al someterlas a un exceso de
cambio en un tiempo demasiado breve». En el siglo XIX, los matemáticos,
científicos y filósofos sufrieron un shock así. De hecho, la antiquísima
creencia de que la matemática ofrece verdades eternas e inmutables quedó
destruida. Esta inesperada convulsión intelectual fue debida a la aparición de
nuevos tipos de geometrías, denominadas actualmente geometrías no
euclidianas. Aunque la mayor parte de las personas que no son
especialistas no han oído hablar nunca de estas geometrías, la magnitud de esta
revolución se ha comparado con la que provocó la teoría de la evolución de
Darwin.
Para poder apreciar en toda su dimensión este drástico cambio en la visión del
mundo, deberemos antes examinar el escenario histórico-matemático.
Hasta principios del siglo XIX, la geometría euclidiana, esto es, la geometría
tradicional que aprendemos en la escuela, se consideraba una apoteosis de
verdad y certidumbre. En consecuencia, no es sorprendente que el gran filósofo
judío holandés Baruch Spinoza (1632-1677) llamase Ética demostrada en
orden geométrico a su intento de unificar la ciencia, la religión, la
ética y la razón. Es más, a pesar de la clara distinción entre el mundo
platónico ideal de las formas matemáticas y la realidad física, casi todos los
científicos consideraban que los objetos de la geometría euclidiana no eran más
que abstracciones destiladas de sus homólogos físicos. Incluso los empiristas
más acérrimos como David Hume (1711-1776), que se empeñaban en afirmar que los
propios cimientos de la ciencia eran más inseguros de lo que cualquiera pudiese
sospechar, concluían que la geometría euclidiana era tan sólida como el Peñón
de Gibraltar. En su Investigación sobre el entendimiento humano, Hume
identificaba dos tipos de «verdades»:
Todos
los objetos de la razón o el entendimiento humano se pueden dividir por
naturaleza en dos clases, a saber: Relaciones entre ideas y Hechos en sí. A la
primera clase corresponden… las afirmaciones ciertas por intuición o por
demostración… Las proposiciones de esta clase pueden descubrirse con el simple
pensamiento, sin depender de ninguna cosa existente en el universo. Aunque no
existiese en la naturaleza un círculo o un triángulo, las verdades
demostradas por Euclides mantendrían siempre su certeza y evidencia. Los
hechos en sí… no quedan establecidos de la misma forma, ni es nuestra evidencia
de su verdad, por grande que sea, de una naturaleza comparable a la anterior.
El opuesto de cada hecho en sí sigue siendo posible, porque no implica
contradicción alguna… «El Sol no saldrá mañana» no es una proposición menos
inteligible, ni implica más contradicción, que la afirmación de que sí saldrá.
Es, por tanto, tarea vana tratar de demostrar su falsedad. (El subrayado es
mío.) [173]
En
otras palabras, aunque Hume y los empiristas sostenían que todo el conocimiento
surge de la observación, la geometría y sus «verdades» seguían
gozando de un estatus privilegiado.
El ilustre filósofo alemán Immanuel Kant (1729-1804) no siempre estaba de
acuerdo con Hume, pero también elevaba la geometría euclidiana a un estado de
certeza absoluta y validez incuestionable. En su inmortal Crítica de la
razón pura,Kant intentó en cierta forma dar la vuelta a la relación entre
la mente y el mundo físico. En lugar de ser la realidad física la que causa
impresiones en una mente puramente pasiva, Kant asignó a esta última la función
de «construir» o «procesar» el universo percibido. Kant decidió mirar hacia el
interior y no preguntar qué podemos saber sino cómo podemos
saber lo que sabemos. [174]Explicaba
Kant que, aunque nuestros ojos detectan partículas de luz, éstas no forman una
imagen en nuestra consciencia hasta que nuestros cerebros procesan y organizan
la información. En este proceso de construcción tenía un papel preponderante la
percepción del espacio intuitiva o sintética a priori del ser
humano, que a su vez consideraba basada en la geometría euclidiana. Kant era de
la opinión que la geometría euclidiana ofrecía la única vía
para procesar y conceptualizar el espacio, y que esta relación intuitiva y
universal con el espacio se hallaba en el núcleo de nuestra experiencia del
mundo natural. En sus propias palabras:
El
espacio no es un concepto empírico extraído de experiencias externas … El
espacio es una representación a priori necesaria, que constituye la misma base
de todas las intuiciones externas … Sobre esta necesidad de una representación
a priori del espacio reposa la certeza apodíctica de todos los principios
geométricos y la posibilidad de su construcción a priori. Porque, si la
intuición del espacio fuese un concepto obtenido a posterior, prestado de la
experiencia externa general, los principios primeros de la definición
matemática no serían más que percepciones y, como tales, estarían expuestos a
todos los accidentes de la percepción, y la afirmación «entre dos puntos sólo
se puede trazar una línea recta» no sería una necesidad, sino sólo algo que la
experiencia dictaría en cada caso. [175]
Para
simplificar, según Kant, si percibimos un objeto, necesariamente se trata de un
objeto espacial y euclidiano.
Las ideas de Hume y Kant ponen de manifiesto dos aspectos muy distintos, pero
de comparable importancia, asociados históricamente con la geometría de
Euclides. El primero es la afirmación de que la geometría euclidiana representa
la única descripción exacta del espacio físico. El segundo es
la identificación de la geometría euclidiana con una estructura firme, robusta
e infalible. En conjunto, estas dos supuestas propiedades ofrecían a los
matemáticos, científicos y filósofos lo que consideraban como la evidencia más
sólida de la existencia de verdades reveladoras e inexorables acerca del
universo. Hasta el siglo XIX, estas afirmaciones se daban por descontadas. Pero
¿eran realmente ciertas?
Las bases de la geometría euclidiana las estableció el matemático griego
Euclides de Alejandría alrededor del año 300 a.C. En una monumental obra de
trece volúmenes denominada Los elementos, Euclides intentó edificar
la geometría sobre una base lógica bien definida. Empezó por establecer diez
axiomas de certeza indiscutible y trató de demostrar un inmenso número de
proposiciones a partir de esos postulados, a base únicamente de deducciones
lógicas.
Los primeros cuatro axiomas de Euclides eran extremadamente simples y de una
exquisita concisión. [176]El primer
axioma, por ejemplo, decía: «Entre dos puntos se puede trazar una línea recta».
El cuarto afirmaba: «Todos los ángulos rectos son iguales». En contraste, el
quinto axioma, denominado «postulado de las paralelas», era de formulación más
complicada y bastante menos evidente por sí mismo: «Si dos rectas de un plano
intersecan una tercera de forma que la suma de los ángulos internos de un lado
es menor que dos ángulos rectos, inevitablemente estas rectas se intersecarán
si se prolongan lo suficiente por ese lado».
La
figura 39 muestra gráficamente el contenido de este axioma. Aunque nadie dudaba
de su certeza, esta afirmación carecía de la persuasiva simplicidad de los
otros axiomas. Todo parece indicar que ni siquiera el propio Euclides estaba
demasiado contento con su quinto postulado; las demostraciones de las primeras
veintiocho proposiciones de Los elementos no hacen uso de
él. [177]
La
versión equivalente del «Quinto» más citada en la actualidad apareció en primer
lugar en los comentarios del matemático griego Proclo en el siglo V d.C, pero
se le suele llamar «axioma de Playfair» (por el matemático escocés John
Playfair [1748-1819]). Dice: «Dados una recta y un punto exterior a ella, es
posible trazar exactamente una recta paralela a la recta dada que pase por ese
punto» (véase figura 40).
Las dos versiones del axioma son «equivalentes» en el sentido de que el axioma
de Playfair (junto con los demás axiomas) implica necesariamente el Quinto
original de Euclides y viceversa.
A lo largo de los siglos, el cada vez mayor descontento con el «Quinto» ha
tenido como resultado un número creciente de intentos infructuosos de demostrarlo a
partir de los otros nueve axiomas o sustituirlo por un postulado más evidente.
Con el fracaso de esos intentos, otros geómetras se plantearon dar respuesta a
una enigmática pregunta: ¿Y si se demostrase que el quinto axioma es, en
realidad, falso? Algunos de estos empeños empezaron a plantear molestas dudas
sobre si los axiomas de Euclides eran verdaderamente evidentes o estaban, en
realidad, basados en la experiencia.[178]El
veredicto final, un tanto sorprendente, se materializó en el siglo XIX: era
posible crear nuevos tipos de geometría con sólo elegir un
axioma distinto del quinto de Euclides. Es más, ¡estas geometrías «no
euclidianas» podrían, en principio, describir el espacio físico con la misma
precisión que la geometría euclidiana!
Vamos a hacer una pausa para reflexionar sobre el sentido de la palabra
«elegir». Durante milenios, se había considerado que la geometría euclidiana
era la única e inevitable descripción verdadera del espacio.
El hecho de poder elegir los axiomas y obtener una descripción igualmente
válida supuso un cambio radical de concepción. El esquema deductivo verdadero y
cuidadosamente construido se convirtió de pronto en algo parecido a un juego, en
el que los axiomas hacían el papel de reglas. Bastaba con cambiar los axiomas
para jugar a un juego distinto. Es difícil hacerse una idea del tremendo
impacto de este nuevo punto de vista en la comprensión de la naturaleza de la
matemática.
Una serie de matemáticos creativos prepararon el terreno para lanzar el último
asalto a la geometría de Euclides. Entre ellos son especialmente dignos de
mención el sacerdote jesuita Gerolamo Saccheri (1667-1733), que investigó las
consecuencias de la sustitución del quinto postulado por una afirmación
distinta, y los matemáticos alemanes Georg Klügel (1739-1812) y Johann Heinrich
Lambert (1728-1777), que fueron los primeros en darse cuenta de la posibilidad
de la existencia de geometrías alternativas a la euclidiana. Pero alguien tuvo
que dar el tiro de gracia a la idea de la exclusividad de la geometría
euclidiana como representación del espacio. Este honor lo compartieron tres
matemáticos: uno ruso, otro húngaro y un tercero alemán.
Nuevos y extraños mundos
El primero en publicar un tratado completo sobre un nuevo tipo de geometría
—que se podía construir en una superficie con forma de silla de montar (figura
41a)— fue el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856; figura 42). [179]
En
este tipo de geometría (que en la actualidad se denomina geometría
hiperbólica), el quinto postulado de Euclides queda sustituido por la
afirmación de que, dada una línea en un plano y un punto exterior a esta línea,
existen al menos dos líneas que pasan por el punto y son
paralelas a la línea dada. Otra diferencia crucial entre la geometría de
Lobachevski y la de Euclides es que, mientras en la de este último, los ángulos
de un triángulo siempre sumaban 180 grados (figura 41 b), en la del primero la
suma es siempre inferior a 180 grados. La aparición de la obra de Lobachevski
en el oscuro Mensajero de Kazanpasó casi por completo desapercibida
hasta la aparición de sus traducciones en francés y alemán a finales de los
años 1830.
El
joven matemático húngaro Janos Bolyai (1802-1860), [180]desconocedor
de la obra de Lobachevski, formuló una geometría similar durante la década de
1820. Con juvenil entusiasmo, en 1823 escribía a su padre (el matemático Farkas
Bolyai; figura 43): «Lo que hallé fue tan magnífico que me dejó estupefacto …
He creado un mundo distinto de la nada».
En
1825, Janos estuvo listo para presentar al padre Bolyai el primer borrador de
su nueva geometría. El título del manuscrito era La ciencia del espacio
absoluto. [181]A pesar de
la euforia del joven, su padre no quedó totalmente convencido de la solidez de
las ideas déjanos. Sin embargo, decidió publicar la nueva geometría como
apéndice de su tratado de dos volúmenes sobre los fundamentos de la geometría,
el álgebra y el análisis (cuyo supuestamente atractivo título era Ensayo
sobre elementos de matemática para jóvenes estudiosos).
En junio de 1831, Farkas envió una copia del libro a su amigo Cari Friedrich
Gauss (figura 44), que no sólo era el matemático más importante de su época,
sino que está considerado por muchos como uno de los tres más grandes de la
historia. Por desgracia, el libro se extravió en el caos provocado por una
epidemia de cólera y Farkas tuvo que enviar una segunda copia.
Gauss
envió una respuesta el 6 de marzo de 1832, y sus comentarios no eran
exactamente los que el joven Janos esperaba:
Si
empezase por decir que no puedo elogiar este trabajo, quizá eso te sorprendiese
momentáneamente. Pero no puedo decir otra cosa, porque elogiarlo supondría
elogiarme a mí mismo. El contenido de la obra, el camino que ha tomado tu hijo,
los resultados a los que ha llegado, coinciden de modo casi literal con las
meditaciones que han ocupado mi mente durante los últimos treinta o treinta y
cinco años. De modo que me he quedado anonadado. En lo que respecta a mi propio
trabajo, que hasta ahora apenas he publicado en papel, mi intención era no
permitir que se publicase mientras viviese.
Déjenme
comentar entre paréntesis que, al parecer, Gauss temía que los filósofos
kantianos, a los que Gauss llamaba «los boecios» (sinónimo de estúpidos en la
antigua Grecia), considerasen esta geometría radicalmente nueva como una
herejía filosófica. Gauss proseguía así:
Por
otra parte, tenía pensado dejar escrito todo esto más adelante para que, como
mínimo, no pereciese conmigo. Así, es para mí una agradable sorpresa poder
ahorrarme la molestia, y me complace sobremanera que sea el hijo de mi viejo
amigo quien se adelante a mí de este modo tan notable.
Mientras
que Farkas quedó gratamente satisfecho por los elogios de Gauss, que le
parecieron «espléndidos», para Janos supusieron un golpe devastador. Durante
casi una década se negó a creer en la afirmación de Gauss sobre su supuesta
«meditación previa» acerca de esta geometría, y la relación con su padre (de
quien sospechaba que había comunicado con anterioridad sus resultados a Gauss)
quedó gravemente afectada. Cuando finalmente se dio cuenta de que Gauss había
empezado a trabajar en el problema nada menos que en 1799, el carácter de Janos
se amargó, y su obra matemática posterior (a su muerte dejó unas veinte mil
páginas manuscritas) quedó deslucida en comparación.
Sin embargo, apenas cabe duda de que Gauss había reflexionado en profundidad
sobre la geometría no euclidiana. [182] En
una anotación de su diario, en septiembre de 1799, escribía: In
principiis geometriae egregios progressus fecimus («Logramos avances
maravillosos en los principios de la geometría»). Más adelante, en 1813,
señalaba: «En la teoría de las líneas paralelas no estamos más allá de donde
estaba Euclides. Esta es la partie honteuse (parte bochornosa)
de la matemática, que antes o después tendrá que adquirir una forma muy
distinta». Años después, en una carta fechada el 28 de abril de 1817, afirmaba:
«Cada vez estoy más convencido de que no es posible demostrar la necesidad de
nuestra geometría [euclidiana]». Finalmente, y de forma opuesta a las tesis de
Kant, Gauss llegó a la conclusión de que la geometría euclidiana no podía
considerarse una verdad universal, sino más bien que «habría que considerar la
geometría [euclidiana], no como la aritmética, que es válida a priori, sino
aproximadamente como la mecánica». Conclusiones similares fueron alcanzadas de
forma independiente por Ferdinand Schweikart (1780-1859), profesor de
jurisprudencia, que hizo llegar noticia de su trabajo a Gauss entre 1818 y
1819. No obstante, puesto que ni Gauss ni Schweikart publicaron sus resultados,
el mérito de primera publicación se suele atribuir a Lobachevski y Bolyai,
aunque éstos no puedan considerarse como los únicos «creadores» de la geometría
no euclidiana.
La geometría hiperbólica irrumpió como un relámpago en el mundo de la
matemática y asestó un tremendo golpe a la percepción de la geometría
euclidiana como la única e infalible descripción del espacio. Antes de los
trabajos de Gauss, Lobachevski y Bolyai, la geometría euclidiana era, a todos
los efectos, el mundo natural. El hecho de que fuese posible seleccionar un
conjunto de axiomas distinto y construir un nuevo tipo de geometría hizo surgir
por primera vez la sospecha de que, después de todo, la matemática era una
invención humana, en lugar de un descubrimiento de realidades que existían
fuera del cerebro de las personas. Al mismo tiempo, el derrumbamiento de la
conexión inmediata entre la geometría euclidiana y el espacio físico real puso
de manifiesto lo que, al parecer, eran deficiencias fundamentales en la idea de
que la matemática era el lenguaje del universo.
El estatus privilegiado de la geometría euclidiana aún empeoró más cuando uno
de los alumnos de Gauss, Bernhard Riemann (1826-1866), demostró que la
geometría hiperbólica no era la única geometría no euclidiana posible. El 10 de
junio de 1854, Riemann dio en Göttingen una espléndida conferencia [183](en la
figura 45 se muestra la primera página de su versión editada) en la que
presentaba sus puntos de vista: «Acerca de las hipótesis fundamentales de la
geometría».
En
ella empezaba diciendo: «La geometría da por supuesto el concepto de espacio y
los principios básicos para construir en él. Sólo ofrece definiciones nominales
de estos elementos, y sus especificaciones esenciales aparecen en forma de
axiomas». Sin embargo, señalaba: «La relación entre estas suposiciones es
borrosa; no es posible ver si existe alguna conexión necesaria entre ellos y,
en caso afirmativo, hasta qué punto, ni saber a priori si es siquiera posible
que exista una conexión entre ellas». Entre las posibles construcciones
geométricas, Riemann comentó la geometría elíptica, como la
que podría darse sobre la superficie de una esfera (figura 41c). Cabe destacar
que, en esa geometría, la distancia más corta entre dos puntos no es una línea
recta, sino un segmento de un círculo máximo cuyo centro coincide con el centro
de la esfera. Las líneas aéreas sacan provecho de esta característica: los
vuelos entre Europa y Estados Unidos no siguen una trayectoria que aparecería
como una recta en un mapa, sino que siguen un círculo máximo orientado hacia el
norte. Es fácil comprobar que cualquier pareja de círculos máximos se cortan en
dos puntos opuestos. Por ejemplo, dos meridianos de la Tierra, que parecen
paralelos en el Ecuador, se cortan en los dos polos. En consecuencia, a
diferencia de lo que ocurre en la geometría euclidiana, en la que sólo pasa una
paralela por un punto externo a una línea, y de la hiperbólica, en la que hay
al menos dos paralelas, en la geometría elíptica sobre una esfera no hay paralelas
en absoluto. Riemann llevó los conceptos no euclidianos un paso más allá y
planteó geometrías en espacios curvos de tres, cuatro y más dimensiones. Uno de
los conceptos fundamentales que Riemann amplió fue el de curvatura, el
ritmo al que se curva una superficie o una línea curvada. Por ejemplo, la
superficie de una cáscara de huevo se curva con más suavidad a lo ancho que a
lo largo de una curva que pase por uno de sus más estrechos extremos. Riemann
dio una definición matemática precisa de curvatura en espacios de cualquier
número de dimensiones, y con ello intensificó la unión entre el álgebra y la
geometría iniciada por Descartes. En la obra de Riemann, ecuaciones con un
número arbitrario de variables hallaron su homólogo geométrico, y los nuevos
conceptos de las geometrías avanzadas quedaron asociados a las ecuaciones.
No fue sólo el prestigio de la geometría euclidiana la víctima de los nuevos
horizontes abiertos para la geometría en el siglo XIX. Las ideas de Kant acerca
del espacio no tardaron mucho en seguir los mismos pasos. Recordemos que Kant
afirmaba que la información de nuestros sentidos se organiza exclusivamente
según modelos euclidianos antes de quedar registrada en nuestro consciente. Los
geómetras del siglo XIX desarrollaron rápidamente su intuición en las
geometrías no euclidianas y aprendieron a percibir el mundo a través de ellas.
La percepción euclidiana del espacio resultó ser, después de todo, aprendida,
no intuitiva. A la vista de estos espectaculares acontecimientos, el gran matemático
francés Henri Poincaré (1854-1912) llegó a la conclusión de que los axiomas de
la geometría «no son intuiciones sintéticas a priori ni datos experimentales.
Se trata de convenciones. Nuestra elección entre todas las
posibles convenciones, aunque guiada por los hechos experimentales, es libre».
En otras palabras, Poincaré consideraba los axiomas como simples «definiciones
disfrazadas». (El subrayado es mío)
El punto de vista de Poincaré no acusaba únicamente la influencia de las
geometrías no euclidianas que hemos descrito, [184]sino
también la proliferación de otras nuevas geometrías, que a finales del siglo
XIX parecía casi fuera de control. Por ejemplo, en geometría proyectiva(como
la que se obtiene al proyectar en una pantalla una imagen sobre una película de
celuloide) se podía literalmente intercambiar el papel de los «puntos» y las
«líneas», de modo que los teoremas sobre puntos y líneas (por este orden) se
convertían en teoremas sobre líneas y puntos. En geometría diferencial, los
matemáticos empleaban el cálculo para estudiar las propiedades geométricas
locales de diversos espacios matemáticos, como la superficie de una esfera o la
de un toro. A primera vista, estas y otras geometrías tenían el aspecto de
ingeniosas invenciones de imaginativas mentes matemáticas, más que de
descripciones precisas del espacio físico. ¿Acaso era posible seguir
defendiendo el concepto de Dios como matemático? Después de todo, si «el propio
Dios geometriza» (una frase atribuida a Platón por el historiador Plutarco),
¿cuál de estas geometrías posee la preferencia divina?
El reconocimiento cada vez más patente de las carencias de la geometría
euclidiana clásica forzó a los matemáticos a examinar con rigor los propios
fundamentos de la matemática en general, y en particular la relación entre
matemática y lógica. Volveremos sobre este importante tema en el capítulo 7.
Aquí mencionaré simplemente que la propia noción de la evidencia de los axiomas
por sí mismos había quedado destruida. En consecuencia, aunque el siglo XIX fue
testigo de otros importantes desarrollos en álgebra y en análisis,
probablemente es la revolución de la geometría la que supuso la mayor
influencia en la visión de la naturaleza de la matemática.
Del espacio, los números y los humanos
Sin embargo, antes de que los matemáticos pudiesen examinar el tema fundamental
de las bases de la matemática, tuvieron que dedicar su atención a algunas
cuestiones «menores». En primer lugar, el hecho de que se hubiesen formulado y
publicado geometrías no euclidianas no implicaba necesariamente que se tratase
de derivaciones legítimas de la matemática. Por ejemplo, el miedo a la
incoherencia —la posibilidad de que, al llevar estas geometrías a sus últimas
consecuencias lógicas se generasen contradicciones irresolubles— estaba
presente de forma permanente. En la década de 1870, el italiano Eugenio
Beltrami (1835-1900) y el alemán Felix Klein (1849-1925) habían demostrado que,
dado que la geometría euclidiana era coherente, también lo eran las no
euclidianas. Esto, no obstante, seguía dejando abierta la cuestión de la
solidez de las bases de la geometría euclidiana. Y luego estaba el importante
asunto de la relevancia. La mayoría de los matemáticos se tomaban las nuevas
geometrías, en el mejor de los casos, como entretenidas curiosidades. Mientras
que el peso histórico de la geometría euclidiana derivaba sobre todo de su
consideración como descripción del espacio real, las geometrías no euclidianas
no parecían, en principio, tener conexión alguna con la realidad física. Así,
muchos matemáticos trataban estas nuevas geometrías como a los parientes pobres
de la geometría de Euclides. Incluso Henri Poincaré, que era más complaciente
que la mayoría, insistía en que, aunque los humanos nos viésemos transportados a
un mundo en el que la geometría aceptada fuese no euclidiana, estaba
«convencido de que no sería más práctico para nosotros cambiar» [de la
geometría euclidiana a la no euclidiana]. Dos cuestiones dominaban, pues, el
panorama:
i. ¿Podía
la geometría (en particular) y otras ramas de la matemática (en general)
establecerse sobre cimientos axiomáticos sólidos?
ii. ¿Cuál
era la relación, si es que la había, entre la matemática y el mundo físico?
Algunos
matemáticos adoptaron una postura pragmática con respecto a la validación de
las bases de la geometría. Decepcionados tras comprender que aquello que
consideraban verdades absolutas habían resultado estar basadas más en la
experiencia que en el rigor, fijaron su atención en la aritmética, la
matemática de los números. La geometría analítica de Descartes, en la que los
puntos del plano se identificaban con pares ordenados de números; los círculos,
con pares que satisfacían una determinada ecuación (véase el capítulo 4),
etcétera, ofrecía las herramientas precisas para volver a edificar los
fundamentos de la geometría sobre la base de los números. Posiblemente el
matemático alemán Jacob Jacobi (1804-1851) pretendía expresar este cambio de
paradigma cuando sustituyó la frase de Platón «el propio Dios geometriza» por
su lema: «El propio Dios aritmetiza». Pero en cierto sentido, estos esfuerzos
se limitaban a trasladar el problema a una rama distinta de la matemática.
Aunque el gran matemático alemán David Hilbert (1862-1943) sí fue capaz de
demostrar que la geometría euclidiana era coherente siempre que lo fuese la
aritmética, la coherencia de esta última no estaba de ningún modo establecida
sin ambigüedad en aquellos momentos.
En el campo de las relaciones entre la matemática y el mundo físico había hecho
su aparición un nuevo aspecto sensacional. Durante muchos siglos, la
interpretación de la matemática como una forma de ver el cosmos se había
ampliado de forma continua y espectacular. La matematización de las ciencias
por parte de Galileo, Descartes, Newton, los Bernoulli, Pascal, Lagrange,
Quetelet y otros se consideraba una prueba sólida del diseño matemático
subyacente de la naturaleza. Claramente, se podía argumentar que, si la
matemática no era el lenguaje del cosmos, ¿por qué funcionaba tan bien para
explicarlo, desde las leyes básicas de la naturaleza a las características
humanas?
Es cierto que los matemáticos se daban cuenta de que la matemática trataba sólo
con formas platónicas más bien abstractas, pero estas formas se consideraban
como idealizaciones razonables de los objetos físicos reales. De hecho, la
sensación de que el libro de la naturaleza estaba escrito en el lenguaje de la
matemática estaba tan arraigada que muchos matemáticos rechazaban de plano la
posibilidad de que los conceptos y las estructuras matemáticas no estuviesen
directamente relacionadas con el mundo físico. Era el caso, por ejemplo, del
pintoresco Gerolamo Cardano (1501-1576). Cardano era un matemático de talento,
un médico de renombre y un jugador compulsivo. En 1545 publicó uno de los
libros más influyentes de la historia del álgebra: el Ars Magna. En
este exhaustivo tratado, Cardano investigaba en gran detalle las soluciones de
las ecuaciones algebraicas, desde la simple ecuación cuadrática (en la que la
incógnita aparece elevada al cuadrado, x2) hasta
innovadoras soluciones de las ecuaciones cúbicas (con la incógnita elevada al
cubo, x3) y cuál ticas (elevada a la cuarta potencia, X4). Sin
embargo, en la matemática clásica, las cantidades se solían interpretar como
elementos geométricos. Por ejemplo, el valor de la incógnita x se
identificaba con un segmento de recta de esa misma longitud, la segunda
potencia, x2, era un área y la tercera, x3,
era un sólido con el volumen correspondiente. Así, en el primer capítulo
del Ars Magna, Cardano explica: [185]
Finalizamos
nuestra detallada consideración con la cúbica, mencionando otras de paso,
aunque sea de modo general. Porque, así como positio [la primera potencia] se
refiere a una línea, quadra-tum [el cuadrado] a una superficie y cubum [el
cubo] a un cuerpo sólido, sería insensato por nuestra parte ir más allá. La
naturaleza no lo permite. Entonces, como se verá, todas las cuestiones hasta el
cúbico incluso están perfectamente demostradas, pero en el caso de las otras
que añadiremos, sea por necesidad o por curiosidad, nos limitaremos simplemente
a formularlas.
En
otras palabras, Cardano razona que, puesto que nuestros sentidos perciben el
mundo físico sólo con tres dimensiones, sería una tontería que los matemáticos
se preocupasen por un número superior de dimensiones o con ecuaciones de un
grado mayor.
El matemático inglés John Wallis (1616-1703), de cuya obra Arithmetica
Infinitorum aprendió Newton métodos de análisis, expresaba una opinión
similar. En otro importante libro, Tratado de álgebra, [186]Wallis
declaraba: «La Naturaleza, en propiedad del lenguaje, no admite más de tres dimensiones
(locales)». Y a continuación entraba en detalles:
Una
línea trazada sobre una línea hará un Plano o Superficie; ésta, trazada en una
línea, hará un sólido. Pero, si este sólido se pudiese trazar sobre una línea,
o este plano sobre un plano, ¿qué generaría? ¿Un planiplano? Eso es un monstruo
de la Naturaleza, y no más posible que una Quimera [un monstruo de la mitología
griega que exhalaba fuego, mezcla de serpiente, león y cabra] o un Centauro
[otro ser mitológico griego con el torso de un hombre y el cuerpo y patas de un
caballo]. Porque la Longitud, la Anchura y el Grosor ocupan ya todo el espacio,
y nuestra Fantasía no es capaz de imaginar cómo podría existir una Cuarta
Dimensión Local más allá de estas Tres.
De
nuevo, la lógica de Wallis era perfectamente clara: no tenía sentido siquiera
imaginar una geometría que no describiese el espacio real.
Las opiniones, sin embargo, empezaron a cambiar. [187]Los
matemáticos del siglo XVIII fueron los primeros en considerar el tiempo como
una posible cuarta dimensión. En un artículo titulado «Dimensión», [188]publicado
en 1754, el físico Jean D'Alembert (1717-1783) escribía:
Decía
antes que es imposible concebir más de tres dimensiones. Un hombre de diversos
talentos, conocido mío, sostiene que la duración se puede contemplar como una
cuarta dimensión, y que el producto del tiempo y la solidez es, en cierto modo,
un producto de cuatro dimensiones. Es posible estar en desacuerdo con esta
idea, pero a mí me parece que su mérito va más allá de la simple novedad.
El
gran matemático Joseph Lagrange iba un paso más allá; en 1797 afirmaba: [189]
Puesto
que una posición en el espacio depende de tres coordenadas rectangulares, en
los problemas de mecánica estas coordenadas se conciben como funciones de t
[tiempo]. Así, podemos contemplar la mecánica como una geometría de cuatro
dimensiones, y el análisis mecánico como una extensión del análisis geométrico.
Estas
audaces ideas abrieron la puerta a una extensión de la matemática que, hasta
ese momento, se había tomado como inconcebible: geometrías de cualquier número
de dimensiones, sin tener en cuenta su relación con el espacio físico.
Kant podía equivocarse al creer que nuestros sentidos de la percepción espacial
siguen exclusivamente patrones euclidianos, pero no cabe duda de que nuestra
percepción sólo funciona de forma natural e intuitiva en tres o menos
dimensiones. Podemos imaginar con relativa facilidad el aspecto de nuestro
mundo tridimensional en el universo de sombras de dos dimensiones de Platón,
pero pasar de las tres hacia un número mayor de dimensiones requiere realmente
la imaginación de un matemático.
El trabajo más innovador sobre el tratamiento de la geometría
n-dimensional—geometría en un número de dimensiones arbitrario— se lo
debemos en parte a Hermann Gunther Grassmann (1809-1877). Grassmann, que tenía
once hermanos y que fue padre de once hijos, era un maestro de escuela sin
formación matemática universitaria. [190]Durante su
vida fue más reconocido por su trabajo en lingüística (en particular por sus
estudios sobre el sánscrito y el gótico) que por sus logros matemáticos. Uno de
sus biógrafos escribió: «Al parecer, es el destino de Grassmann que lo
redescubran de vez en cuando, y cada vez es como si hubiese sido prácticamente
olvidado desde su muerte». Y sin embargo, Grassmann fue responsable de la
creación de una ciencia abstracta de «espacios», en la cual la geometría
habitual no era más que un caso especial. Grassmann publicó sus pioneras ideas
(que dieron origen a una rama de la matemática denominada álgebra lineal) en
1844, en un libro al que se suele llamar Ausdehnungsle-hre (que
significaTeoría de la extensión, el título completo es: Teoría
de extensión lineal: una nueva rama de la matemático).
En el prólogo de su libro, Grassmann escribía: «… la geometría no puede en modo
alguno verse … como una rama de la matemática; la geometría está relacionada
con algo que ya existe en la naturaleza, a saber, el espacio. También me di
cuenta de que debe de haber una rama de la matemática que, de un modo puramente
abstracto, genere leyes similares a las de la geometría».
Este punto de vista sobre la naturaleza de la matemática era radicalmente
novedoso. Para Grassmann, la geometría tradicional —herencia de los antiguos
griegos— trata del espacio físico, así que no se puede considerar una verdadera
rama de la matemática abstracta. Según él, la matemática es un constructo más
bien abstracto del cerebro humano, que no tiene por qué tener aplicación alguna
en el mundo real.
Es fascinante seguir el hilo aparentemente trivial de las ideas de Grassmann
hasta llegar a su teoría del álgebra geométrica. [191]Empezó por
la fórmula simple AB + BC = AC, que aparece en cualquier libro de geometría al
hablar de la longitud de segmentos (véase figura 46a).
Pero
Grassmann notó algo interesante. Descubrió que la fórmula sigue siendo
válida independientemente del orden de los puntos A, B, C,
mientras no se interprete AB, BC, etc. como simples longitudes, sino que las
asigne también una «dirección», de modo que BA = -AB.
Por ejemplo, si C se halla entre A y B (como en la figura 46b), entonces AB =
AC + CB, pero como CB = -BC, hallamos que AB = AC - BC, y volvemos a la fórmula
original AB + BC = AC con sólo sumar BC en ambos lados.
Esto ya era interesante de por sí, pero la extensión de Grassmann aún reservaba
más sorpresas. Obsérvese que, si hablamos de álgebra y no de geometría, una
expresión como AB suele denotar el producto A x B. En tal caso, la sugerencia
de Grassmann según la cual BA = -AB viola una de las leyes sacrosantas de la
aritmética: dos cantidades multiplicadas entre sí producen el mismo resultado
independientemente del orden de las cantidades. Grassmann se enfrentó de lleno
a esta perturbadora posibilidad e inventó un álgebra nueva y coherente (denominada
álgebra exterior) que permitía diversos procesos de multiplicación y, al mismo
tiempo, podía manejar la geometría en cualquier número de dimensiones.
En la década de 1860, la geometría n-dimensional se extendía como una mancha de
aceite. [192]No sólo
estaba la conferencia fundamental de Riemann, que había establecido como área
esencial de investigación los espacios de cualquier curvatura y de un número
arbitrario de dimensiones, sino que otros matemáticos, como Arthur Cayley y
James Sylvester en Inglaterra y Ludwig Schläfli en Suiza, ampliaban ese campo
con sus propias contribuciones. Los matemáticos empezaron a sentirse liberados
de las restricciones que durante siglos habían ligado la matemática únicamente
a los conceptos de espacio y número. A lo largo de la historia, esas ataduras
se habían tomado tan en serio que, incluso en pleno siglo XVIII, el prolífico
matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) expresaba así su punto de vista:
«En general, la matemática es la ciencia de la cantidad, o la ciencia que
investiga las formas de medir la cantidad». Los vientos del cambio no empezaron
a soplar hasta el siglo XIX.
En primer lugar, la introducción de los espacios geométricos abstractos y la
noción de infinito (tanto en geometría como en la teoría de conjuntos) habían
emborronado el significado de «cantidad» y de «medida» hasta el punto de que ya
no eran reconocibles. En segundo lugar, el creciente número de estudios sobre
abstracciones matemáticas contribuyeron a alejar aún más esta disciplina de la
realidad física y, simultáneamente, insuflaron vida y «existencia» en las
propias abstracciones.
Georg Cantor (1845-1918), el creador de la teoría de conjuntos,describía
el nuevo espíritu de libertad de la matemática en la siguiente «declaración de
independencia»: [193]«La
matemática es, en su desarrollo, completamente libre, y su único límite es la
cuestión evidente por sí misma de que sus conceptos deben ser coherentes entre
sí y poseer relaciones exactas, ordenadas por definiciones, con los conceptos
presentados con anterioridad y ya establecidos». A lo que el algebrista Richard
Dedekind (1831-1916) añadiría, seis años después: [194]«Considero
que el concepto de número es totalmente independiente de las nociones o
intuiciones de espacio y tiempo… Los números son creaciones libres de la mente
humana». Es decir, tanto Cantor como Dedekind veían la matemática como una
investigación abstracta y conceptual, restringida únicamente por el requisito
de coherencia, sin obligación alguna hacia el hecho de calcular ni hacia la
condición de ser el lenguaje de la realidad física. Cantor lo resumía con estas
palabras: «…la esencia de la matemática radica por completo en
su libertad».
A finales del siglo XIX, casi todos los matemáticos aceptaban la visión de
Cantor y Dedekind acerca de la libertad de la matemática. El objetivo de la
matemática cambió de la investigación de las verdades de la naturaleza a la
construcción de estructuras abstractas —sistemas de axiomas— y la búsqueda de
las consecuencias lógicas de tales axiomas. Uno podría imaginar que de este
modo se liquidaba la cuestión eterna de si la matemática era descubierta o
inventada. Si la matemática no era más que un juego, por muy complejo que
fuese, con reglas arbitrarias inventadas, no tenía sentido creer en la realidad
de los conceptos matemáticos, ¿verdad?
Pues, por sorprendente que parezca, este alejamiento de la realidad física
llevó a algunos matemáticos a opinar exactamente lo contrario. En lugar de
concluir que la matemática era una invención humana, regresaron a la noción
platónica original de la matemática como mundo de verdades independientes, cuya
existencia era tan real como la del universo físico. Estos «neoplatónicos»
calificaban los intentos de relacionar la matemática con la física como
escarceos con la matemática aplicada, en oposición a la
matemática pura, que se suponía indiferente a cualquier
elemento físico. Así lo expresaba el matemático francés Charles Hermite
(1822-1901) en una carta dirigida al matemático holandés Thomas Joannes
Stieltjes (1856-1894) el 13 de mayo de 1894: [195]
Mi
querido amigo, soy muy feliz al ver tu inclinación por transformarte en un
naturalista para observar los fenómenos del mundo aritmético. Tu doctrina, a mi
parecer, es la misma que la mía; yo creo que los números y las funciones del
análisis no son productos arbitrarios de nuestra mente; creo que existen fuera
de nosotros con las mismas características necesarias que los elementos de la
realidad objetiva, y que nosotros los hallamos, los descubrimos y los
estudiamos, del mismo modo que los físicos, los químicos y los zoólogos.
El
matemático inglés G. H. Hardy, que practicaba la matemática pura, era uno de
los platónicos más categóricos. El 7 de septiembre de 1922, en una elocuente
alocución en la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia, declaraba:
Los
matemáticos han construido gran número de sistemas geométricos distintos. [196] Euclidianos
y no euclidianos, de dos, tres o cualquier número de dimensiones. Todos estos
sistemas son igualmente válidos, y encarnan los resultados de las observaciones
de la realidad de los matemáticos, una realidad mucho más intensa y
rígida que la dudosa y elusiva realidad de la física … La función de un
matemático es, pues, simplemente observar los hechos de su propio e intrincado
sistema de realidad, ese complejo increíblemente bello de relaciones lógicas
que constituye el contenido de su ciencia, como si se tratase de un explorador
oteando una lejana cordillera, y registrar los resultados de sus observaciones
en una serie de mapas, cada uno de los cuales es una rama de la matemática
pura. (El subrayado es mío)
Es
evidente que, incluso con las pruebas del momento que apuntaban a una
naturaleza arbitraria de la matemática, los platónicos más acérrimos no estaban
dispuestos a entregar sus armas. Fueran cuales fuesen las opiniones acerca de
la realidad metafísica de la matemática, había un concepto cada vez más obvio.
Incluso dentro de la aparentemente ilimitada libertad de la matemática, una
restricción seguía en su lugar, inmutable e inquebrantable: la de la coherencia
lógica. Los matemáticos y los filósofos eran más conscientes que nunca
de la imposibilidad de cortar el cordón umbilical entre la matemática y la
lógica. Y de aquí surgió una nueva idea: ¿sería posible construir toda la
matemática sobre una única base lógica? Y a la inversa: ¿podían utilizarse los
métodos matemáticos en el estudio del razonamiento en general?
Capítulo 7
Lógicos: pensar sobre el razonamiento
El
cartel de una barbería en cierto pueblo dice: «Sólo afeito a los que no se
afeitan a sí mismos». [197]Suena
razonable, ¿verdad? Es obvio que los hombres que se afeitan a sí mismos no
precisan de los servicios del barbero, y es natural entonces que éste afeite a
todos los demás. Pero podemos preguntarnos: ¿quién afeita al barbero? Si se
afeita a sí mismo, entonces, según el cartel, él debería ser uno de los
que no afeita. Por otra parte, si no se afeita a sí mismo, de
nuevo según el cartel, ¡debería ser uno de los que él síafeita!
Entonces, ¿qué es? A lo largo de la historia, enemistades familiares graves han
surgido de preguntas mucho más inofensivas. Esta paradoja fue
formulada por primera vez por Bertrand Russell (1872-1970), uno de los lógicos
y filósofos más destacados del siglo XX, con la simple intención de demostrar
que la intuición lógica humana no es infalible. Las paradojas o «antinomias»
reflejan situaciones en las que premisas aparentemente aceptables conducen a
conclusiones inaceptables. En el ejemplo anterior, el barbero del pueblo se
afeita y no se afeita a sí mismo simultáneamente. ¿Tiene solución esta paradoja
en concreto? Si está enunciada del modo descrito arriba, hay
una posible solución simple: ¡el barbero es una mujer! Por otro lado, si se ha
establecido con anterioridad que el barbero es un hombre, la conclusión absurda
sería el resultado de haber aceptado antes la premisa. En otras palabras, este
barbero no puede existir. Pero ¿qué tiene todo esto que ver con la matemática?
Pues da la casualidad de que la matemática y la lógica están íntimamente
relacionadas. Así describía Russell esa relación: [198]«Desde un
punto de vista histórico, la matemática y la lógica han sido disciplinas
totalmente independientes. La matemática ha estado conectada con la ciencia y
la lógica con el griego. Pero ambas se han desarrollado en los últimos tiempos:
la lógica se ha hecho más matemática y la matemática, más lógica. En
consecuencia, en los tiempos actuales [en 1919] trazar una línea de separación
entre ambas se ha convertido en una tarea imposible; en realidad, las dos son
una misma cosa. Su diferencia es como la que hay entre un muchacho y un hombre:
la lógica es la juventud de la matemática, y la matemática es la madurez de la
lógica».
Russell mantiene aquí que, en gran parte, la matemática se puede reducir a
lógica. En otras palabras, que los conceptos básicos de la matemática, incluso
los objetos como los números, pueden en realidad definirse en términos de las
leyes fundamentales del razonamiento. Es más: más adelante, Russell argumentó
que esas definiciones se pueden unir a los principios de la lógica para dar origen
a los teoremas de la matemática.
Esta visión de la naturaleza de la matemática (denominada logicismo) recibió el
visto bueno tanto de los que consideraban que la matemática no era más que un
elaborado juego inventado (los formalistas) como de los atribulados platónicos.
Los primeros se alegraron (en principio) de ver cómo un conjunto de «juegos»
aparentemente no relacionados entre sí se fusionaban en una «madre de todos los
juegos». Los segundos vieron un rayo de esperanza en su idea de que la
totalidad de la matemática podía haber brotado de un solo, indudable, origen. A
los ojos de los platónicos, esta visión incrementaba la probabilidad de un
único origen metafísico.
Por completitud, debería mencionar una escuela de pensamiento —el
intuicionismo— que se oponía con vehemencia tanto al logicismo como al
formalismo. [199]El
abanderado de esta escuela era el algo fanático matemático holandés Luitzen E.
J. Brouwer (1881-1966). Brouwer creía que los números naturales derivaban de
una intuición humana del tiempo y de momentos discretos de nuestra experiencia.
Para él, era indudable que la matemática era un producto del pensamiento humano
y, por tanto, no veía necesidad alguna para la existencia de leyes lógicas
universales del tipo de las previstas por Russell. Sin embargo, Brouwer iba
mucho más allá: afirmaba que las únicas entidades matemáticas con sentido eran
aquellas que se podían construir de forma explícita sobre la base de los
números naturales en un número finito de etapas. [200]En
consecuencia, rechazaba grandes áreas de la matemática para las que era
imposible hallar pruebas constructivas. Otro de los conceptos lógicos que
Brouwer negaba era el principio del tercio excluso (la
condición de que cualquier afirmación es o bien cierta, o bien falsa). En vez
de eso, permitía que las afirmaciones flotasen en el limbo de la «indecisión».
Esta y otras restricciones intuicionistas convirtieron esta escuela de
pensamiento en algo marginal que, en la actualidad, no goza de demasiado
predicamento entre los matemáticos. Sin embargo, las ideas de los
intuicionistas se anticiparon a algunos de los descubrimientos de los
científicos cognitivos acerca del modo en que las personas adquieren los
conocimientos matemáticos (un tema que trataremos en el capítulo 9) y también
dieron forma a las contribuciones de algunos de los modernos filósofos de la
matemática (como Michael Dummett).
Pero ¿cómo se desarrolló la estrecha asociación entre matemática y lógica? Y el
programa de los logicistas ¿era en absoluto viable? Repasemos brevemente
algunos de los hitos de los últimos cuatro siglos.
Lógica y matemática
Según la tradición, la lógica trataba acerca de las relaciones entre conceptos
y proposiciones, [201]y sobre los
procesos que permitían extraer deducciones válidas de estas relaciones. En un
ejemplo simple, las deducciones de la forma «Todo X es Y; algunos Z son X,
luego algunos Z son Y» se construyen de forma que se garantiza automáticamente
la verdad de la conclusión siempre que las premisas sean ciertas. Por ejemplo:
«Todos los biógrafos son escritores; algunos políticos son biógrafos; luego,
algunos políticos son escritores» genera una conclusión cierta. Por otra parte,
las inferencias de la forma general: «Todos los X son Y; algunos Z son Y; por
tanto, algunos Z son X» no son válidas, porque se pueden hallar ejemplos en los
que, aunque las premisas sean ciertas, la conclusión sería falsa. Por ejemplo:
«Todos los hombres son mamíferos; algunos animales con cuernos son mamíferos;
luego, algunos animales con cuernos son hombres».
Siempre que se sigan algunas reglas, la validez de un argumento no depende del
tema de las afirmaciones. Por ejemplo:
O
bien el mayordomo mató al millonario, o le mató su hija.
Su hija no le mató.
Luego, el mayordomo le mató.
Genera
una deducción válida. La solidez de este argumento no se basa en absoluto en
nuestra opinión acerca del mayordomo o en la relación entre el millonario y su
hija. La validez queda garantizada por el hecho de que las proposiciones que
siguen la forma general: «si o p o q, y
no q, entonces p»resultan en una verdad lógica.
Quizá habrá notado que, en los dos primeros ejemplos, los papeles que
desempeñan X, Y y Z son similares a los de las variables en las ecuaciones
matemáticas: marcan el lugar en el que se pueden introducir expresiones, del
mismo modo que se introducen valores en las variables del álgebra. De forma
parecida, la verdad de la inferencia «si o p o q, y
no q, entonces p» recuerda a los axiomas de
la geometría de Euclides. Y sin embargo, tuvieron que pasar casi dos milenios
de contemplación de la lógica para que los matemáticos asumieran esta analogía.
La primera persona que intentó combinar las disciplinas de la lógica y la
matemática en una «matemática universal» fue el matemático y filósofo racionalista
alemán Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz, que en realidad tenía formación en
derecho, llevó a cabo la mayoría de sus trabajos en matemáticas, física y
filosofía en sus ratos de ocio. En vida, su mayor fama se debió a la
formulación de las bases del cálculo de forma independiente (y casi simultánea)
de Newton, y de la amarga controversia entre ambos por la prioridad en este
asunto. En un ensayo que había imaginado casi por completo a los dieciséis años
de edad, Leibniz previó un lenguaje universal de la razón o characteristica
universalis, que consideraba la herramienta definitiva del
pensamiento. Su plan consistía en representar las nociones e ideas simples
mediante símbolos, y las más complejas mediante las combinaciones apropiadas de
estos símbolos básicos. Leibniz esperaba literalmente poder calcular la verdad
de cualquier afirmación, en cualquier disciplina científica, mediante puras
operaciones algebraicas. Vaticinó que bastaría el cálculo lógico adecuado para
resolver los debates filosóficos. Por desgracia, Leibniz no avanzó demasiado en
el desarrollo de su álgebra de la lógica. Aparte del principio general de
«alfabeto del pensamiento», sus dos principales contribuciones fueron
únicamente una afirmación clara sobre en qué circunstancias debemos ver dos
cosas como iguales y la confirmación más bien obvia de que ninguna afirmación
puede ser simultáneamente verdadera y falsa. Así, a pesar de que las ideas de
Leibniz eran realmente brillantes, pasaron prácticamente desapercibidas.
La lógica volvió a ponerse de moda a mediados del siglo XIX, y este súbito
incremento de interés produjo importantes obras, primero por Augustus de Morgan
(1806-1871) y posteriormente por George Boole (1815-1864), Gottlob Frege
(1848-1925) y Giuseppe Peano (1858-1932).
De Morgan era un escritor extraordinariamente prolífico, [202]que publicó
literalmente miles de artículos y libros sobre diversos temas relacionados con
la matemática, la historia de la matemática y la filosofía. Entre sus obras más
peculiares se encuentran un almanaque de lunas llenas (válido durante milenios)
y un compendio de matemática excéntrica. A una pregunta acerca de su edad,
respondió: «Tenía x años en el año x2». Se puede comprobar que el
único número que, al elevarlo al cuadrado, da un resultado entre 1806 y 1871
(los años de nacimiento y muerte de De Morgan) es 43. Probablemente, las
contribuciones más originales de De Morgan fueron en el campo de la lógica, en
el que amplió de forma significativa el ámbito de los silogismos de Aristóteles
y ensayó una estrategia algebraica de razonamiento. De Morgan miraba la lógica
con los ojos de un algebrista, y el álgebra con los ojos de un lógico. En uno
de sus artículos describía su visionaria perspectiva: «Debemos volver la vista
al álgebra para hallar el uso más habitual de las formas lógicas … El
algebrista ya vivía en el elevado mundo de los silogismos, de la incesante
composición de relaciones, antes de que se admitiese la simple existencia de
ese mundo».
Una de las contribuciones más cruciales de De Morgan a la lógica se denomina
«cuantificación del predicado». Se trata de un nombre más bien rimbombante para
lo que se podría considerar un sorprendente descuido de los lógicos de la época
clásica. Los aristotélicos se dieron cuenta de que, a partir de premisas como
«algunos Z son X» y «algunos Z son Y» no se podía llegar a conclusión necesaria
alguna sobre la relación entre X e Y. Por ejemplo, las frases «algunas personas
comen pan» y «algunas personas comen manzanas» no permiten extraer una
conclusión decisiva acerca de la relación entre los comedores de manzanas y los
de pan. Hasta el siglo XIX, los lógicos asumieron también que, para poder
establecer una relación necesaria entre X e Y, el término medio (la mencionada
«Z») debía ser universal en una de las premisas. Es decir, la
frase debía incluir «todos los Z». De Morgan demostró que esta suposición era
errónea. En su libro Formal Logic (publicado en 1847),
señalaba que, a partir de premisas como «la mayoría de Z son X» y «la mayoría
de Z son Y» sigue necesariamente que «algunos X son Y». Por ejemplo, las frases
«casi todas las personas comen pan» y «casi todas las personas comen manzanas»
implican de modo inevitable que «algunas personas comen tanto pan como
manzanas». De Morgan fue un paso más allá y expresó su nuevo silogismo en una
forma cuantitativa precisa. Imaginemos que el número total de Z es z, el
número de Z que son también X es x y el número de Z que son
también Y es y. En el ejemplo anterior, podría haber 100
personas en total (z= 100), de las cuales 57 comen pan (x =
57) y 69 comen manzanas(y = 69). Entonces, señalaba De Morgan, debe
haber al menos (x + y- z) X que son también Y. Al menos 26
personas (el resultado de 57 + 69 - 100 = 26) comen tanto pan como manzanas.
Por desgracia, este astuto método de cuantificar el predicado hizo que De
Morgan se viese metido en una desagradable disputa pública. El filósofo escocés
William Hamilton (1788-1856) —al que no debe confundirse con el matemático
irlandés William Rowan Hamilton— acusó a De Morgan de plagio, porque Hamilton
había publicado unas ideas vagamente relacionadas (aunque mucho menos precisas)
unos años antes que De Morgan. El ataque de Hamilton no era de extrañar si uno
conocía su actitud general hacia la matemática y sus practicantes. Hamilton
había declarado en cierta ocasión: «Un estudio excesivo de la matemática
incapacita de forma absoluta la mente para las energías intelectuales
requeridas por la filosofía y la vida». El chaparrón de cáusticas cartas que
siguieron a la acusación de Hamilton tuvieron un resultado positivo, aunque en
absoluto deliberado: ¡guiaron hacia la lógica al algebrista George Boole! Más
adelante, Boole relataba en The Mathematical Analysis of Logic.
En
la primavera del presente año mi atención se dirigió a la cuestión que
enfrentaba a sir W. Hamilton con el profesor De Morgan; y el interés que
inspiró en mí me impulsó a reanudar el hilo de investigaciones anteriores que
ya casi había olvidado. Mi impresión era que, aunque se podía ver la Lógica con
referencia a la idea de cantidad, poseía también otro sistema de relaciones más
profundo. Si era lícito mirarla desde fuera, conectada con las intuiciones del
Espacio y del Tiempo a través del Número, era también lícito mirarla desde
dentro, basada en hechos de un orden distinto que moran en la propia
constitución de la Mente.
Estas
humildes palabras describen los principios de lo que se convertiría en una obra
fundamental de la lógica simbólica.
Las leyes del pensamiento
George Boole (figura 47) nació el 2 de noviembre de 1815 en la ciudad
industrial de Lincoln, Inglaterra. [203]Su padre,
John Boole, zapatero en Lincoln, mostraba un gran interés por la matemática, y
era un hábil artesano constructor de instrumentos ópticos.
La
madre de Boole, Mary Ann Joyce, era doncella de una dama de la sociedad. Con la
atención del padre distraída de su oficio, el estado económico de la familia no
era muy boyante. George asistió a una escuela infantil hasta los siete años de
edad y, a continuación, a una escuela primaria, en donde tuvo como maestro a un
tal John Walter Reeves. De niño, Boole estaba especialmente interesado por el
latín, que un librero le enseñó, y por el griego, que aprendió por sí mismo. A
los catorce años de edad se las arregló para traducir un poema del poeta griego
del siglo I a.C. Meleagro. El padre de George, lleno de orgullo, publicó la
traducción en el Herald de Lincoln, lo que hizo que un maestro
local publicase un artículo expresando su incredulidad. La pobreza obligó a
George Boole a empezar a trabajar de profesor ayudante a la edad de dieciséis
años. Durante los años posteriores, Boole dedicó su tiempo libre al estudio del
francés, el italiano y el alemán. El conocimiento de estos idiomas modernos le
fue muy útil, ya que le permitió dedicar su atención a las grandes obras de
matemáticos como Lacroix, Laplace, Lagrange, Jacobi y otros. Sin embargo, Boole
seguía sin poder recibir una formación matemática regular, de modo que continuó
sus estudios en solitario mientras trabajaba de maestro para contribuir al
sostén de sus padres y hermanos. Pero el talento matemático de este autodidacta
empezaba a manifestarse, y empezó a publicar en el Cambridge
Mathematical Journal.
En 1842, Boole inició una correspondencia regular con De Morgan, a quien le
enviaba sus artículos matemáticos para que éste los comentase. Su creciente
reputación como matemático original y el apoyo de una recomendación de De
Morgan hicieron que Boole recibiese la oferta de ocupar el puesto de profesor de
matemática en el Queen's College, en Cork, Irlanda, en 1849, en donde enseñó
durante el resto de su vida. En 1855, Boole se casó con Mary Everest (cuyo tío,
el explorador George Everest, dio nombre a la montaña), diecisiete años más
joven que él, y la pareja tuvo cinco hijas. Boole murió prematuramente a los
cuarenta y nueve años de edad. Un frío día de invierno de 1854, Boole llegó
empapado al colegio, pero insistió en dar sus clases con la ropa mojada. Al
llegar a su casa, su mujer contribuyó a empeorar su estado al mojar la cama con
cubos de agua, siguiendo una superstición según la cual la cura debe, en cierto
modo, replicar la causa de la enfermedad. Boole contrajo una neumonía y murió
el 8 de diciembre de 1864. Bertrand Russell no ocultaba su admiración por esta
persona de formación autodidacta: «La matemática pura fue descubierta por
Boole, en su obra titulada Las leyes del pensamiento (1854)
[…] En realidad, su libro trataba de lógica formal, que es lo mismo que decir
matemática». Sorprendentemente, tanto Mary Boole (1832-1916) como las cinco
hijas del matrimonio alcanzaron una fama considerable en distintos campos,
desde la educación a la química.
Boole publicó El análisis matemático de la lógica[204]en 1847
y Las leyes del pensamiento en 1854 (el título completo
era Una investigación de las leyes del pensamiento en las que se basan
las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades). Se trataba
de verdaderas obras maestras, el primer paso decisivo para poner de manifiesto
el paralelismo entre las operaciones aritméticas y las lógicas. Literalmente,
Boole transformó la lógica en un tipo de álgebra (a la que se llamaría álgebra
de Boole) y extendió el análisis de la lógica incluso al razonamiento
probabilístico. En palabras del propio Boole:
El
propósito de este tratado [Las leyes del pensamiento] es investigar las leyes
fundamentales de las operaciones de la mente mediante las que se lleva a cabo
el razonamiento, expresarlas en el lenguaje simbólico del Cálculo y, sobre
estos cimientos, establecer la ciencia de la Lógica y construir su método;
hacer de este método la base de un método general para la aplicación de la
doctrina matemática de las Probabilidades y, finalmente, cosechar de los
diversos elementos de verdad que estas investigaciones saquen a la luz algunos
indicios probables acerca de la naturaleza y la constitución de la mente
humana. [205]
El
cálculo de Boole se podía interpretar como aplicado a las relaciones entre
clases (conjuntos de objetos o miembros) o dentro de la lógica de
proposiciones. Por ejemplo, si x e y fuesen
clases, una relación como x = y significaría que dos clases
tienen exactamente los mismos miembros, aunque las definiciones de ambas fuesen
distintas. Tomemos el caso de un colegio en el que todos los niños miden menos
de dos metros; entonces, las dos clases definidas como: x = «todos
los niños del colegio» e y = «todos los niños del colegio que
miden menos de dos metros» son iguales. Si x e y representasen
proposiciones, entonces x = ysignificaría que ambas proposiciones
son equivalentes (que una es verdadera si, y sólo si, la otra también lo es).
Por ejemplo, las proposiciones: x = «John Barrymore era
hermano de Ethel Barrymore» e y = «Ethel Barrymore era hermana
de John Barrymore» son iguales. El símbolo «x • y» representaba
la parte común de las dos clases x e y (los
miembros que pertenecen tanto a xcomo a y) o la
conjunción de las proposicionesx e y (esto es, «x e y»). Por
ejemplo, si x fuese la clase de todos los tontos del pueblo
e y fuese la clase de todas las cosas con pelo negro,
entonces x • y sería la clase de todos los tontos del pueblo
con el pelo negro. Para las proposiciones x e y, la
conjunción x - y (sepuede también utilizar la palabra «y»)
significa que ambas proposiciones deben ser ciertas. Por ejemplo, cuando la
Dirección General de Tráfico dice que «debes pasar una prueba de visión
periférica y un examen de conducción», significa que ambos requisitos deben
cumplirse. Para Boole, el símbolo «x + y» representaba (para
dos clases sin miembros comunes) la clase que constaba de los miembros de x y
de los miembros de y. En el caso de proposiciones, «x + y» correspondía
a «o x o y, pero no ambas». Por ejemplo,
si x es la proposición «las clavijas son cuadradas» e y es
«las clavijas son redondas», entonces x + y es «las clavijas
son o cuadradas o redondas». De forma similar, «x — y» representaba
la clase de los miembros de x que no eran miembros de y,
o la proposición «x pero no y».Boole
denotaba la clase universal (que contenía todos los miembros posibles de los
que se estaba hablando) como 1, y la clase vacía o nula (que no contenía ningún
miembro) como 0. Obsérvese que la clase nula (o conjunto nulo) no es en
absoluto lo mismo que el número cero; este último es simplemente el número de
miembros de la clase nula. Obsérvese también que la clase nula no es lo mismo
que nada, porque una clase que no contiene nada sigue siendo una clase. Por
ejemplo, si todos los periódicos de Albania están escritos en albanés, la clase
de todos los periódicos de Albania escritos en albanés se denotaría con 1 en la
notación de Boole, mientras que la clase de todos los periódicos de Albania
escritos en español se denotaría con 0. En el caso de proposiciones, 1
representa la proposición verdadera estándar (por ejemplo, los humanos son
mortales) y 0, la proposición falsa estándar (por ejemplo, los humanos son
inmortales), respectivamente.
Utilizando estas convenciones, Boole formuló un conjunto de «axiomas» que
definían el álgebra de la lógica. Por ejemplo, se puede comprobar que,
utilizando las definiciones anteriores, la proposición obviamente cierta «todo
es o x o no x»se podría escribir así en el álgebra de Boole: x+ (1
- x) = 1, que es también cierto en el álgebra ordinaria. De forma similar, la
afirmación de que la parte común entre cualquier clase y la clase vacía es la
clase vacía se representaba mediante 0 • x = 0, que
significaba también que la conjunción de cualquier proposición con una falsa es
falsa. Por ejemplo, la proposición «el azúcar es dulce y los humanos son
inmortales» genera una proposición falsa, a pesar de que la primera parte es
verdadera. Obsérvese de nuevo que esta «igualdad» en el álgebra de Boole sigue
siendo cierta con números algebraicos normales.
Para demostrar la potencia de sus métodos, Boole intentó utilizar sus símbolos
lógicos en cualquier asunto que considerase importante. Sin ir más lejos,
analizó incluso los argumentos de los filósofos Samuel Clarke y Baruch Spinoza
sobre la existencia y atributos de Dios. Sin embargo, su conclusión fue
bastante pesimista: «Opino que no es posible examinar los argumentos de Clarke
y Spinoza sin llegar a la profunda convicción de la futilidad de todo empeño de
establecer, completamente a priori, la existencia de un Ser Infinito, Sus
atributos y Su relación con el Universo». A pesar de la sensatez de la
conclusión de Boole, [206]al parecer
no todas las personas quedaron convencidas de la futilidad de estos empeños,
pues a día de hoy aún siguen emergiendo versiones actualizadas de los
argumentos ontológicos para la existencia de Dios.
Boole fue capaz de domar matemáticamente los conectores lógicos y,
o, si… entonces y no, que actualmente se
encuentran en el corazón de las operaciones que realizan los ordenadores y
diversos circuitos de conmutación. Por tanto, muchos le consideran uno de los
«profetas» que dieron paso a la era digital. Sin embargo, debido a su
naturaleza pionera, el álgebra de Boole tenía sus limitaciones. En primer
lugar, los escritos de Boole son algo ambiguos y de difícil comprensión debido
a que la notación utilizada se parecía demasiado a la del álgebra ordinaria. En
segundo lugar, Boole confundió la distinción entre proposiciones (por ejemplo,
Aristóteles es mortal), funciones proposicionales o predicados (por
ejemplo, x es mortal) y afirmaciones cuantificadas (por
ejemplo, para todo x, x es mortal). Finalmente, Frege y
Russell afirmaron más adelante que el álgebra deriva de la lógica, de modo que
se podría decir que tenía más sentido construir el álgebra sobre la base de la
lógica que el proceso contrario.
Sin embargo, otro de los aspectos del trabajo de Boole estaba a punto de dar
abundante fruto. Se trataba de la comprensión de la proximidad entre la lógica
y los conceptos de clases y conjuntos. Recordemos que el álgebra de Boole
funcionaba tanto para clases como para proposiciones lógicas. En efecto, si
todos los miembros de un conjunto X son también miembros
de Y (X es un subconjunto de Y), esto
se puede expresar con una implicación lógica de la forma
«Si Xentonces Y». Por ejemplo, el hecho de que el
conjunto de todos los caballos sea un subconjunto del conjunto de todos los
cuadrúpedos se puede reescribir en forma de proposición lógica: «Si x es
un caballo entonces es un cuadrúpedo».
El álgebra lógica de Boole fue ampliada y mejorada posteriormente por diversos
investigadores, pero la persona que sacó el máximo provecho de la similitud
entre los conjuntos y la lógica y elevó el concepto a otro nivel fue Gottlob
Frege (1848-1925; figura 48).
Friedrich
Ludwig Gottlob Frege nació en Wismar, Alemania, en donde su padre y su madre
dirigieron, en distintos momentos, una escuela secundaria femenina. Frege
estudió matemáticas, física, química y filosofía, primero en la Universidad de
Jena y luego, durante dos años más, en la Universidad de Göttingen.
Tras completar su formación empezó a dar clases en Jena en 1874, en donde
estuvo enseñando matemáticas durante toda su carrera profesional. Aunque su
trabajo de profesor le dejaba poco tiempo libre, Frege se las arregló para
publicar su primera obra revolucionaria sobre lógica en 1879. [207]Se
titulaba Escritura conceptual: un lenguaje formal para el pensamiento
puro modelado según el de la aritmética (se suele conocer como
el Begriffsschrift). En esta obra, Frege desarrollaba un original
lenguaje lógico que posteriormente ampliaría en los dos volúmenes de su
tratado Grundgesetze der Arithmetic ( Leyes básicas de
la aritmética). [208]Lo que
Frege tenía planeado en el campo de la lógica era, por un lado, muy específico,
pero además extraordinariamente ambicioso. Aunque prestaba atención
principalmente a la aritmética, su intención era demostrar que incluso
conceptos tan habituales como los números naturales (1, 2, 3…) se podían
reducir a construcciones lógicas. Así, Frege creía que todas las
verdades de la aritmética podían demostrarse a partir de unos pocos axiomas de
la lógica. En otras palabras, según Frege, incluso las proposiciones como
1 + 1 = 2 no eran verdades empíricas, basadas en la
observación, sino que podían derivarse de un conjunto de axiomas lógicos. La
influencia del Begriffsschrift de Frege ha sido tan notable
que el lógico contemporáneo Willard von Orman Quine (1908-2000) escribió: «La
lógica es una disciplina antigua y, desde 1879, una disciplina magnífica».
Una idea esencial en la filosofía de Frege era la aseveración de que la verdad
es independiente del juicio humano. En sus Leyes básicas de la
aritmética escribe: «Ser verdadero es distinto de ser tomado por
verdadero, ya sea por una persona, muchas o todas, y en ningún caso puede
reducirse a ello. No existe contradicción en el hecho de que algo sea verdadero
y que todos opinen que es falso. Según yo lo entiendo, las leyes de la lógica
no son leyes acerca de creer que algo es verdad, sino leyes de la verdad …
Estas [leyes] actúan como fronteras establecidas sobre cimientos eternos que
nuestro pensamiento puede sobrepasar, pero en ningún caso desplazar».
Los axiomas lógicos de Frege [209]suelen ser
de la forma «para todo… si… entonces». Por ejemplo, uno de sus axiomas dice
«para todo p, si no (no p)entonces p»,lo
que básicamente establece que, si una proposición contradictoria con la que se
está discutiendo es falsa, entonces esta última es cierta. Por ejemplo, si no
es cierto que no tienes que detener tu coche en una señal destop,entonces
con total seguridad debes detenerte en una señal de stop. Para
desarrollar un «lenguaje» lógico, Frege complementó su conjunto de axiomas con
un nuevo e importante aspecto. Sustituyó el estilo tradicional de
sujeto/predicado de la lógica clásica por conceptos prestados de la teoría
matemática de funciones. Lo explicaré brevemente: en matemática, expresiones
como: f(x) = 3x + 1 significan que fes una función
del argumento xy que el valor de la función se puede obtener
multiplicando el argumento por tres y sumando uno. Frege definió lo que él
denominaba conceptos como funciones. Por ejemplo, supongamos
que queremos comentar el concepto «comer carne». Este concepto se podría
denotar simbólicamente mediante una función «F(x)», y el valor
de esta función sería Verdadero si x= León
y Falso si x=Ciervo. De forma similar, en el caso
de los números, el concepto (función) «ser menor que 7» asociaría a Falso todos
los números mayores o iguales que 7 y a Verdadero todos los
menores que 7. Frege se refería a los objetos para los que un cierto concepto
daba el valor Verdaderocomo objetos que «cumplían» ese concepto.
Como ya he mencionado, Frege estaba convencido de que todas las proposiciones
relativas a los números naturales eran cognocibles y derivables únicamente a
partir de definiciones y leyes lógicas. En consecuencia, inició su exposición
acerca de los números naturales sin exigir ninguna comprensión previa del
concepto de «número». Por ejemplo, en el lenguaje lógico de Frege, dos
conceptos son equinuméricos (en palabras llanas, tienen
asociado el mismo número) si hay una correspondencia uno a uno entre los
objetos que «cumplen» un concepto y los que cumplen el otro. Es decir, las
tapas de cubos de basura son equinuméricas con los propios cubos de basura (si
todos ellos tienen tapa), y esta definición no requiere de la definición de
«número». Frege introdujo entonces una ingeniosa definición lógica del número
cero. Imaginemos un concepto F definido como «no idéntico a sí
mismo». Puesto que todos los objetos deben ser idénticos a sí mismos, ningún
objeto cumple F.En otras palabras, para todos los objetos x,
F(x) = Falso. Frege definió el número común cero como el «número del
concepto F», y a continuación definió todos los números naturales
en términos de unas entidades a las que denominó extensiones.[210]La
extensión de un concepto era la clase de todos los objetos que
cumplían ese concepto. Aunque esta definición puede ser algo difícil de
comprender para alguien que no sea lógico, en realidad es bastante simple. Por
ejemplo, la extensión del concepto «mujer» era la clase de
todas las mujeres. Es necesario remarcar que la extensión de «mujer» no es una
mujer.
Quizá se pregunte cómo puede esta definición lógica abstracta ayudar a definir
algo como, digamos, el número 4. Según Frege, el número 4 era la extensión (o
clase) de todos los conceptos que cumplen cuatro objetos. Así, el concepto «ser
una pierna de un perro determinado de nombre Snoopy» pertenece a esa clase (y,
por consiguiente, al número 4), igual que el concepto «ser abuelo o abuela de
Gottlob Frege».
El proyecto de Frege era realmente impresionante, pero sufría de algunos graves
inconvenientes. Por un lado, la idea de emplear conceptos (los bloques básicos
de construcción del pensamiento) para crear la aritmética era una genialidad.
Por otro, Frege omitió algunas incoherencias esenciales en su formalismo. Uno
de sus axiomas en particular (el conocido como «Ley básica V») conducía a una
contradicción, por lo que fallaba por su base.
El texto de la ley tenía aspecto inocente: afirmaba que la extensión de un
concepto F es idéntica a la extensión del concepto G si,
y sólo si, los mismos objetos cumplen F y G. Pero
el 16 de junio de 1902, Bertrand Russell (figura 49) dejó caer la bomba en una
carta a Frege en la que señalaba una cierta paradoja que demostraba la
incoherencia de la Ley básica V. Por una broma del destino, la carta de Russell
llegó justo cuando el segundo volumen de las Leyes básicas de la
aritmética de Frege iba camino de la imprenta. Frege, horrorizado, se
apresuró a agregar al manuscrito la siguiente sincera admisión: «Apenas hay
algo más desagradable para un científico que notar cómo los cimientos de su
trabajo se resquebrajan justo después de concluirlo. Una carta de Mr. Bertrand
Russell me ha colocado en esa posición cuando este trabajo ya estaba casi
impreso». Frege dedicó estas elegantes palabras a Russell: «Su descubrimiento
de la contradicción me provocó una inmensa sorpresa y casi diría consternación,
ya que hizo temblar la base sobre la que pretendía construir la aritmética».
El
hecho de que una paradoja pudiese tener este devastador efecto sobre todo un
proyecto puede resultar sorprendente a primera vista, pero, en palabras del
lógico de la Universidad de Harvard W. V. O. Quine: «En más de una ocasión en
la historia el descubrimiento de una paradoja ha forzado una reconstrucción
esencial de las bases del pensamiento». La paradoja de Russell representó
precisamente una de tales ocasiones.
La paradoja de Russell
Una clase o conjunto no es más que una
colección de objetos. Estos objetos no tienen por qué estar relacionados entre
sí. Se puede hablar de una clase que contenga todos los elementos siguientes:
los periódicos de Albania, el caballo blanco de Napoleón y el concepto de amor
verdadero. Los elementos que pertenecen a una cierta clase se denominan miembros de
esa clase. El matemático alemán Georg Cantor (1845-1918) fue el fundador,
prácticamente en solitario, de la teoría de conjuntos. Los conjuntos —o clases—
se revelaron enseguida como objetos fundamentales, y tan irrevocablemente
ligados a la lógica que cualquier intento para construir la matemática sobre la
lógica implicaba de forma necesaria construir sobre las bases axiomáticas de la
teoría de conjuntos.
La mayoría de las ases de objetos con las que uno se tropieza no son miembros
de sí mismas. Por ejemplo, la clase de todos los copos de nieve no es un copo
de nieve, la clase de todos los relojes de pulsera antiguos no es un reloj de
pulsera antiguo, etc. Pero algunas clases sí son miembros de sí mismas. Por
ejemplo, la clase de «todo aquello que no es un reloj de pulsera antiguo» es
miembro de sí misma, ya que está claro que esta clase no es un reloj antiguo.
De forma similar, la clase de todas las clases es miembro de sí misma, ya que,
obviamente, es una clase. Pero ¿y la clase de «todas las clases que no son
miembros de sí mismas»? [211] Vamos
a llamar R a esa clase. ¿Es R miembro de sí
misma (de R) o no lo es? Está claro que R no
pertenece a Rporque, si perteneciese, violaría la definición de
pertenencia a R.Pero, si R no pertenece a sí
misma, entonces, según la definición, debe ser miembro de R. De
forma parecida a lo que sucedía con el barbero del pueblo, aquí tenemos una
clase R que pertenece y no pertenece a R, lo que
es una contradicción lógica. Esta es la paradoja que Russell envió a Frege.
Esta antinomia minaba por completo el proceso de determinación de las clases o
conjuntos, y asestó un golpe mortal al proyecto de Frege. Frege hizo algunos
intentos desesperados de reparar su sistema de axiomas, pero fueron
infructuosos. La conclusión tenía todo el aspecto de ser desastrosa: en lugar
de ser más sólida que la matemática, la lógica era, al parecer, más vulnerable
a las incoherencias paralizantes.
En el mismo período en que Frege desarrollaba su proyecto de lógica, el
matemático y lógico italiano Giuseppe Peano probaba una estrategia ciertamente
distinta. La intención de Peano era construir la aritmética sobre una base
axiomática. En consecuencia, su punto de partida era la formulación de un
conjunto de axiomas simple y conciso. Los tres primeros axiomas, por ejemplo,
decían:
i. 0 es
un número.
ii. El
sucesor de cualquier número también es un número.
iii.
Dos números no pueden tener el mismo sucesor.
El
problema es que, mientras que el sistema axiomático de Peano podía reproducir
las leyes conocidas de la aritmética (después de introducir algunas
definiciones adicionales), no contenía nada que permitiese identificar de forma
única los números naturales.
El paso siguiente lo dio Bertrand Russell. Russell sostenía que la idea
original de Frege (derivar la aritmética de la lógica) seguía siendo el camino
correcto. Y, en respuesta a esta audaz toma de postura, Russell produjo, en
colaboración con Alfred North Whitehead (figura 50), una increíble obra maestra
de la lógica: el tratado en tres volúmenes Principia Mathematica, un
hito histórico. [212]Con la
posible excepción del Organon de Aristóteles, se trata
probablemente de la obra más influyente de la historia de la lógica (en la
figura 51 se muestra la portada de la primera edición).
En los Principia, Russell y Whitehead defendían la postura de
que la matemática era, básicamente, una elaboración de las leyes de la lógica,
y que no existía una clara frontera entre ambas. [213]
Sin
embargo, para llegar a una descripción consistente consigo misma, aún debían
controlar las antinomias o paradojas (además de la paradoja de Russell se
habían descubierto otras). Para ello era necesario realizar algunos
malabarismos lógicos de envergadura. Russell argumentaba que el origen de estas
paradojas se reducía a un «círculo vicioso» en el que se definían entidades en
términos de una clase de objetos que contenía la entidad definida.
En palabras de Russell: «Si digo "Napoleón poseía las cualidades que
definen a un gran general", deberé definir "cualidades" de modo
que no incluya lo que estoy diciendo; es decir, "tener las cualidades que
definen a un gran general" no debe ser una cualidad en el sentido que
suponemos».
No cabe duda de que los Principia significan una proeza
colosal en el campo de la lógica, pero no se les puede considerar los cimientos
de la matemática buscados durante tanto tiempo. Para muchos, la teoría de tipos
de Russell es una solución bastante artificiosa del problema de las paradojas
que, además, genera ramificaciones de una inquietante complejidad. [215]Por
ejemplo, los números racionales (es decir, las fracciones simples) resultan ser
de un tipo superior que los números naturales. Para evitar en parte estas
complicaciones, Russell y Whitehead introdujeron un axioma adicional,
denominado axioma de reducibilidad, que por sí mismo generó
una cierta controversia y desconfianza.
Los matemáticos Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel sugirieron posteriormente
métodos más elegantes para librarse de las paradojas. De hecho, consiguieron
axiomatizar de forma consistente la teoría de conjuntos y reproducir la mayor
parte de los resultados de la teoría. Esto parecía satisfacer, al menos
parcialmente, el sueño de los platónicos. Si la teoría de conjuntos y la lógica
eran, en realidad, dos caras de una misma moneda, una base sólida para la
teoría de conjuntos implicaba una base sólida para la lógica. Además, si era
cierto que la mayoría de la matemática surgía de la lógica, esto concedía a la
matemática una especie de certidumbre objetiva. Por desgracia, los platónicos
tuvieron que suspender pronto sus celebraciones, poique estaban a punto de
sufrir un grave caso de déjà vu.
¿Otra vez la crisis no euclidiana?
En 1908, el matemático alemán Ernst Zermelo [216](1871-1953)
siguió un camino similar al que Euclides había abierto alrededor del año 300
a.C. Euclides formuló algunos postulados no demostrados pero, supuestamente,
evidentes por sí mismos, acerca de puntos y líneas, y construyó la geometría
basándose en esos axiomas. Zermelo, que había descubierto la paradoja de
Russell por su cuenta nada menos que en 1900, propuso una forma de construir la
teoría de conjuntos sobre una base axiomática similar. Su teoría sorteaba la
paradoja de Russell mediante una cuidadosa elección de principios de
construcción que evitaban ideas contradictorias como «el conjunto de todos los
conjuntos». El esquema de Zermelo fue posteriormente ampliado por el matemático
israelí Abraham Fraenkel [217](1891-1965)
para constituir lo que ahora se denomina la teoría de conjuntos de
Zermelo-Fraenkel (John von Neumann agregó algunos otros cambios importantes en
1925). Todo habría sido casi perfecto (aún tenía que demostrarse la
consistencia) si no hubiese sido por algunas molestas sospechas. Había un
axioma (el axioma de elección) que, igual que el famoso
«quinto» de Euclides estaba causando a los matemáticos un verdadero dolor de
cabeza. En palabras simples, el axioma de elección dice: «Si X es
una colección de conjuntos no vacíos, podemos elegir un miembro de cada uno de
los conjuntos de X para formar un nuevo conjunto, Y». [218]Esta
afirmación es obviamente cierta si la colección X no es
infinita. Si tenemos 100 cajas y cada una de ellas contiene al menos una
canica, podemos elegir sin problemas una canica de cada caja para formar un
conjunto Y que contenga 100 canicas. En un caso como éste no
necesitamos ningún axioma especial: podemos demostrar que esta
elección es posible. La afirmación es cierta incluso para colecciones X infinitas,
siempre que podamos especificar con precisióncómo efectuamos la
elección. Imaginemos, por ejemplo, una colección infinita de conjuntos no
vacíos de números naturales. Los miembros de esta colección pueden ser
conjuntos como {2, 6, 7}, {1, 0}, {346, 5, 11, 1.257}, {todos los números
naturales entre 381 y 10.457}, etc. Sin embargo, la cuestión es que en todo
conjunto de números naturales siempre hay un miembro que es el menor. Nuestra
elección podría, pues, describirse de forma única así: «De cada conjunto
elegimos el elemento menor.» En tal caso podemos de nuevo evitar la necesidad
del axioma de elección. El problema se plantea, en colecciones infinitas, en
los casos en los que no podemos realmente caracterizar la elección. En tales
circunstancias, el proceso de elección simplemente no se acaba nunca, y la
existencia de un conjunto que consta exactamente de un elemento de cada uno de
los miembros de la colección X se convierte en una cuestión de
fe.
Desde su creación, el axioma de elección ha generado una notable controversia
entre los matemáticos. El hecho de que el axioma asevere la existencia de determinado
objeto matemático (esto es, la elección) sin ofrecer ningún ejemplo tangible de
ese objeto ha atraído críticas feroces, especialmente de los adeptos a la
escuela de pensamiento denominada constructivismo (relacionada
filosóficamente con el intuicionismo). Los constructivistas sostenían que
cualquier cosa que existe debe ser explícitamente consumible. Otros matemáticos
tendían también a evitar el axioma de elección y utilizar sólo el resto de los
axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel.
Debido a los aparentes problemas del axioma de elección, los matemáticos
empezaron a preguntarse si éste se podría demostrar o refutar utilizando los
demás axiomas. La historia del quinto axioma de Euclides se estaba,
literalmente, repitiendo. A finales de los años treinta se ofreció una solución
parcial. Kurt Gödel (1906-1978), uno de los lógicos más influyentes de la
historia, demostró que el axioma de elección y otra famosa conjetura formulada
por Cantor, denominada hipótesis del continuo, [219]eran
consistentes con los demás axiomas de Zermelo-Fraenkel. Es decir, ninguna de
las dos hipótesis podía refutarse mediante los otros axiomas estándar de la
teoría de conjuntos. El matemático americano Paul Cohen [220](1934-2007)
—que por desgracia falleció mientras yo escribía este libro— presentó pruebas
adicionales en 1963 que establecían la completa independenciadel
axioma de elección y de la hipótesis del continuo. En otras palabras, el axioma
de elección no podía ser demostrado ni refutado a partir del
resto de los axiomas de la teoría de conjuntos. De forma similar, la hipótesis
del continuo no podía ser demostrada ni refutada a partir del mismo grupo de
axiomas, aunque se incluyese el axioma de elección.
Este resultado tuvo espectaculares consecuencias en filosofía. Como en el caso
de las geometrías no euclidianas, en el siglo XIX no había una única teoría de
conjuntos definitiva ¡sino cuatro, al menos! Se podían plantear hipótesis
distintas sobre los conjuntos infinitos y acabar con teorías de conjuntos
mutuamente excluyentes. Por ejemplo, se podía suponer que el axioma de elección
y la hipótesis del continuo se cumplían —y se obtenía una versión o bien
suponer que ninguno de los dos se cumplía —y se llegaba a una teoría totalmente
diferente—. También se llegaba a dos teorías de conjuntos distintas si se
asumía la validez de uno de los axiomas y se negaba la del otro.
De nuevo hacía su aparición una crisis como la de las geometrías no
euclidianas, pero aún peor. Debido al papel fundamental de la teoría de
conjuntos como posible base para la totalidad de la matemática, el problema
para los platónicos era mucho más grave. Si, en efecto, se podían formular
varias teorías de conjuntos con sólo elegir una colección de axiomas diferente,
¿no daba eso fuerza a la tesis de que la matemática no era más que una
invención humana? La victoria de los formalistas parecía prácticamente segura.
Una verdad incompleta
Mientras que a Frege le preocupaba sobre todo el significado de
los axiomas, al principal promotor del formalismo, el gran matemático alemán
David Hilbert (1862-1943; figura 52) propugnaba evitar por completo cualquier
interpretación de las fórmulas matemáticas.
Hilbert no tenía interés alguno en cuestiones como si la matemática podía
derivarse de las nociones de la lógica. Para él, la matemática consistía en
realidad en un conjunto de fórmulas sin sentido, modelos estructurados
compuestos de símbolos arbitrarios. [221]Hilbert
asignó la tarea de garantizar la solidez de los cimientos de
la matemática a una nueva disciplina a la que denominó «metamatemática». Esto
es, la metamatemática trataba del uso de los propios métodos del análisis
matemático para demostrar la consistencia de todo el proceso formal de
derivación de teoremas a partir de axiomas mediante estrictas reglas de
inferencia.
Dicho
de otro modo, Hilbert opinaba que podía demostrar matemáticamente que la
matemática funcionaba. Según sus propias palabras:
La
meta de mis investigaciones sobre los nuevos fundamentos de la matemática es la
siguiente: eliminar de una vez por todas la duda general acerca de la
fiabilidad de la inferencia matemática … Todo aquello que constituía la
matemática será formalizado con el máximo rigor de modo que la matemática
propiamente dicha o en sentido estricto se convierta en un conjunto de fórmulas
… Aparte de la formalización de la matemática propiamente dicha, existe una
matemática que es, hasta cierto punto, nueva: una metamatemática necesaria para
salvaguardar la matemática y en la cual (a diferencia de los modos puramente
formales de inferencia en la matemática propiamente dicha) se aplica la
inferencia con textual, pero únicamente para demostrar la consistencia de los
axiomas … Así, el desarrollo de la ciencia matemática en su conjunto tiene
lugar de dos formas que se alternan constantemente: por un lado, derivamos
fórmulas demostrables a partir de los axiomas mediante inferencia formal; por
otro, incorporamos nuevos axiomas y demostramos su consistencia por inferencia
contextual. [222]
El
plan de Hilbert sacrificaba el significado para aumentar la seguridad de los
fundamentos. En consecuencia, para sus seguidores formalistas, la matemática no
era más que un juego, pero su finalidad era demostrar rigurosamente que se
trataba de un juego totalmente consistente. [223]Con todos
los avances en axiomatización, la realidad del sueño formalista de la «teoría
de la demostración» parecía estar al alcance de la mano.
Sin embargo, no todos tenían fe en que el camino tomado por Hilbert fuese el
correcto. Ludwig Wittgenstein (1889-1951), considerado por algunos como el
filósofo más notable del siglo XX, [224]creía que
los esfuerzos de Hilbert y su metamatemática eran, en cierto sentido, una
pérdida de tiempo. «No podemos establecer una norma para la aplicación de otra
norma», alegaba. En otras palabras, Wittgenstein no creía que la comprensión de
un «juego» pudiese depender de la construcción de otro: «Si estoy confuso
acerca de la naturaleza de la matemática, ninguna demostración puede
ayudarme». [225]No
obstante, nadie se esperaba el mazazo que estaba a punto de caer. De un solo
golpe, Gödel, que por entonces contaba sólo veinticuatro años, atravesó con una
estaca el corazón del formalismo. Kurt Gödel (figura 53) nació el 28 de abril
de 1906 en la ciudad de Moravia que más tarde se conocería con el nombre checo
de Brno. [226]
En
aquel tiempo la ciudad formaba parte del Imperio Austrohúngaro, y Gödel creció
en una familia de habla alemana. Su padre, Rudolf Gödel, dirigía una fábrica
textil, y su madre, Marianne Gödel, cuidaba de que el joven Kurt recibiese una
amplia educación en matemática, historia, idiomas y religión. Durante su
adolescencia, Gödel desarrolló interés por la matemática y la filosofía y a los
dieciocho años ingresó en la Universidad de Viena, en donde centró
principalmente su atención en la lógica matemática. Quedó especialmente
fascinado por los Principia Mathematica de Russell y Whitehead
y por el proyecto de Hilbert, y el tema que eligió para su tesis fue el
problema de la completitud. La finalidad básica de esta investigación era
determinar si el enfoque formal de Hilbert bastaba para generar todos los enunciados
verdaderos de la matemática. Gödel recibió su doctorado en 1930 y un año más
tarde publicó sus teoremas de incompletitud, que causaron un
terremoto en el mundo de la matemática y en el de la filosofía. [227] Los
dos teoremas, enunciados en un lenguaje estrictamente matemático, sonaban
bastante técnicos y no demasiado emocionantes:
1. Cualquier
formalización consistente S en la que se puedan efectuar operaciones
aritméticas elementales, es incompleta respecto de los enunciados de la
aritmética elemental; esto es, hay enunciados cuya verdad o falsedad no se
puede demostrar dentro de S.
2. Para
cualquier formalización consistente S en la que se puedan efectuar operaciones
aritméticas elementales, no es posible probar la consistencia de S dentro de S.
Aunque
las palabras parecen inofensivas, las implicaciones para el proyecto de los
formalistas llegaban lejos. Dicho de una forma algo simplificada, los teoremas
de incompletitud demostraban que el plan formalista de Hilbert estaba
esencialmente condenado al fracaso desde el principio. Gödel demostró que
cualquier sistema formal lo bastante potente como para tener algún interés es,
de forma inherente, o bien incompleto o bien inconsistente. Es
decir, en el mejor de los casos, siempre habrá enunciados dentro del sistema
formal cuya verdad o falsedad no podrán demostrarse. En el peor de los casos,
el sistema generará contradicciones. Como, para cualquier enunciado T, T o no T
tiene que ser verdadero, el hecho de que un sistema formal finito no pueda
demostrar la verdad o falsedad de ciertos enunciados significa que siempre
existirán enunciados verdaderos que no serán demostrables
dentro del sistema. En otras palabras, Gödel demostró que ninguna formalización
compuesta por un número finito de axiomas y reglas de inferencia puede
abarcar nunca todas las verdades de la matemática. A lo más
que se puede aspirar es a que las axiomatizaciones más aceptadas sean
simplemente incompletas y no inconsistentes.
El propio Gödel creía en la existencia de una noción platónica independiente de
verdad matemática. En un artículo publicado en 1947 escribía lo siguiente:
Pero,
a pesar de estar tan apartados de la experiencia de los sentidos, sí tenemos
una especie de percepción de los objetos de la teoría de conjuntos, como se
puede deducir del hecho de que los axiomas nos parezcan forzosamente
verdaderos. No veo motivo alguno para que debamos tener menos confianza en este
tipo de percepción, es decir, en la intuición matemática, que en la percepción
de los sentidos. [228]
Por
una ironía del destino, cuando los formalistas ya se preparaban para cantar
victoria, apareció Kurt Gödel (platónico declarado) y hundió la fiesta del
proyecto formalista.
El famoso matemático John von Neumann (1903-1957), que en aquella época
impartía en sus clases la obra de Hilbert, canceló el resto del curso para
dedicar el tiempo que quedaba a los hallazgos de Gödel.
Como persona, Gödel era tan complejo como sus teoremas. [229]En 1940
huyó con su esposa Adele de la Austria nazi para ocupar un puesto en el
Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, New Jersey. Allí trabó una
estrecha amistad con Albert Einstein, a quien solía acompañar en sus paseos.
Cuando Gödel solicitó la nacionalización como ciudadano americano en 1948,
fueron Einstein y el matemático y economista de la Universidad de Princeton
Oskar Morgenstern (1902-1977) quienes le acompañaron a la oficina del Servicio
de Inmigración y Naturalización (INS). Lo que aconteció en esta entrevista es
de sobra conocido, pero revela hasta tal punto la personalidad de Gödel que
relataré los hechos con todo detalle, exactamente como los
registró Morgenstern el 13 de septiembre de 1971. Doy las gracias a Ms. Dorothy
Morgenstern-Thomas, la viuda de Morgenstern, y al Instituto de Estudios
Avanzados por haberme facilitado una copia del documento:
Corría
el año 1946 cuando Gödel iba a convertirse en ciudadano americano. Me pidió que
fuese su testigo; como segundo testigo propuso a Albert Einstein, que también
aceptó de buen grado. Einstein y yo nos habíamos visto ocasionalmente, y ambos
teníamos grandes expectativas sobre lo que podía ocurrir antes del proceso de
naturalización e incluso durante dicho proceso.
Gödel, a quien veía con frecuencia en los meses previos al acontecimiento,
empezó a prepararse de forma muy concienzuda. Gödel era una persona meticulosa,
así que empezó a estudiar la historia de la colonización de Norteamérica por el
ser humano. Eso le condujo al estudio de la historia de los indios americanos,
sus diversas tribus, etc. Me llamó numerosas veces por teléfono para que le
aconsejase libros, que leía con suma atención. Gradualmente surgieron muchas
preguntas y dudas sobre la corrección de estas historias y las peculiares
circunstancias que en ellas se revelaban. A partir de ahí y durante las semanas
posteriores, Gödel pasó a estudiar historia americana, haciendo particular
hincapié en temas de derecho constitucional. Esto le condujo a su vez al
estudio de Princeton, y en especial quiso que yo le explicase dónde estaba la
frontera entre el distrito y el municipio. Por supuesto, yo intenté hacerle
comprender que esto era totalmente innecesario, pero fue en vano. El insistía
en averiguar todos aquellos datos que quería saber, de modo que le proporcioné
la información pertinente, incluso acerca de Princeton. Entonces quiso saber
cómo se elegía el Consejo de Distrito, el Consejo Municipal, quién era el
alcalde y cómo funcionaba el Consejo Municipal. Pensaba que era posible que le
preguntasen acerca de esos asuntos y que, si demostraba que no conocía la
ciudad en que vivía, causaría una mala impresión.
Intenté convencerlo de que esas preguntas nunca surgían; de que la mayor parte
de las preguntas eran una simple formalidad y él las podría responder sin
dificultad alguna; de que, como máximo, podían preguntarle qué sistema de
gobierno teníamos en este país, cómo se llamaba la más alta instancia judicial
o cosas así. De todos modos, él siguió con su estudio de la Constitución.
Y entonces sucedió algo interesante. Con cierta excitación me dijo que, al
examinar la Constitución y para su disgusto, había hallado contradicciones
internas y que podía demostrar cómo, de forma perfectamente legal, era posible
que alguien se convirtiese en dictador e instaurase un régimen fascista que
aquellos que redactaron la Constitución nunca pretendieron. Le dije que era muy
improbable que algo así sucediese nunca, aun suponiendo que tuviese razón, cosa
que yo, desde luego, dudaba. Pero él era una persona insistente, así que
charlamos muchas veces de este asunto concreto. Yo intenté persuadirlo de que
evitase referirse a estos temas ante el tribunal de Tren ton, y también se lo
comenté a Einstein que, horrorizado de que a Gödel se le hubiese ocurrido una
idea así, también le señaló que no debía preocuparse por estas cuestiones ni
referirse a ellas.
Pasaron varios meses y, finalmente, llegó la fecha del examen en Trenton. Aquel
día pasé a recoger a Gödel en mi coche. Se sentó en el asiento posterior y
luego pasamos a recoger a Einstein por su casa de Mercer Street, desde donde
nos dirigimos a Trenton. Durante el viaje, Einstein se volvió levemente y
preguntó «Y bien, Gödel, ¿estás realmente bien preparado para el examen?» Por
supuesto, ese comentario alteró profundamente a Gödel, que era lo que Einstein
pretendía; su semblante de preocupación de Gödel le pareció muy gracioso.
Cuando llegamos a Trenton nos hicieron entrar en una gran sala y, aunque en
general se interroga a los testigos por separado del candidato, se hizo una
excepción en deferencia a Einstein y nos invitaron a los tres a sentarnos
juntos, con Gödel en el centro. El examinador preguntó primero a Einstein y
luego a mí si opinábamos que Gödel sería un buen ciudadano. Le aseguramos que
sin duda alguna era así, que se trataba de una persona distinguida, etc.
Entonces se volvió hacia Gödel y dijo:
—Bien, Mr. Gödel, ¿de dónde viene usted?
—¿Que de dónde vengo? De Austria.
—¿Qué forma de gobierno tenían en Austria?
—Era una república, pero debido a la constitución la forma cambió a una
dictadura.
—¡Vaya! Qué mala fortuna. Eso no podría suceder en este país.
—Claro que sí. Y puedo demostrarlo.
Así que, de todas las posibles preguntas, el examinador tuvo que formular
precisamente la más delicada. Einstein y yo nos mirábamos horrorizados durante
esta conversación; el examinador fue lo bastante inteligente para tranquilizar
enseguida a Gödel diciendo «Dios mío, no entremos en ese terreno» y, para
nuestro alivio, interrumpió el examen en ese mismo momento. Cuando por fin
salimos y ya nos dirigíamos hacia los ascensores, un hombre se acercó corriendo
hacia nosotros con una hoja de papel y pidió un autógrafo a Einstein, que lo
firmó con mucho gusto. Mientras bajábamos en el ascensor, le dije a Einstein
«Debe de ser terrible que tantas personas le persigan a uno de este modo».
Einstein respondió: «En realidad se trata simplemente de los últimos vestigios
de canibalismo». Desconcertado, le pregunté: «¿En qué sentido?». El me dijo:
«Verás, antes querían tu sangre, ahora quieren tu tinta».
Luego regresamos a Princeton y, al llegar a la esquina de Mercer Street, le
pregunté a Einstein si quería ir al instituto o a casa, a lo que él contestó:
«Llévame a casa, de todos modos mi trabajo ya no tiene valor alguno». Y
prosiguió con una cita de una canción política americana (por desgracia no
recuerdo sus palabras; es posible que la tenga en mis notas, y sin duda la
reconocería si alguien sugiriese esa frase en particular). Así que fuimos hacia
la casa de Einstein de nuevo. Einstein se volvió de nuevo hacia Gödel y le
dijo:
—Bueno, Gödel, éste ha sido tu penúltimo examen.
—Cielos, ¿es que aún queda otro? —dijo él, de nuevo azorado.
Y Einstein le contestó:
—Gödel, el próximo examen será cuando entres andando en tu tumba.
—Pero Einstein, yo no entraré andando en mi tumba. A lo que Einstein repuso:
—¡Ahí está la gracia precisamente, Gödel! —Y se fue. Luego llevé a Gödel a su
casa. Todo el mundo sintió un gran alivio al resolver de una vez por todas este
peliagudo asunto; ahora, Gödel tenía de nuevo la cabeza libre para cavilar
sobre problemas de filosofía y lógica. [230]
Años
después, Gödel sufriría episodios de enfermedad mental que acabaron en su
rechazo a comer. Murió el 14 de enero de 1978 de desnutrición y agotamiento. Es
un error muy extendido pensar que los teoremas de incompletitud de Gödel
implican que algunas verdades no se conocerán jamás. Tampoco podemos deducir de
ellos que la capacidad del entendimiento humano está limitada de algún modo. En
realidad, los teoremas demuestran únicamente los puntos débiles y los
inconvenientes de los sistemas formales. Por tanto, quizá resulte sorprendente
saber que, a pesar de la colosal trascendencia de los teoremas en la filosofía
de la matemática, su impacto sobre la eficacia de ésta como mecanismo de
construcción de teorías ha sido, en realidad, bastante nimio. De hecho, durante
las décadas que siguieron a la publicación de la demostración de Gödel, la
matemática alcanzó algunos de sus más espectaculares éxitos en las teorías
físicas del universo. Lejos de quedar abandonada por falta de fiabilidad, la
matemática y sus conclusiones lógicas se hicieron cada vez más esenciales para
la comprensión del cosmos. Sin embargo, eso significaba que el misterio de la
«inexplicable eficacia» de la matemática se hizo aún más insondable. Vamos a
reflexionar: imaginemos lo que hubiera sucedido si el empeño logicista se
hubiese visto coronado por el éxito. Esto habría implicado que la matemática
deriva por completo de la lógica; literalmente, de las leyes del pensamiento.
Pero ¿cómo es posible que una ciencia tan puramente deductiva se adapte de esa
forma maravillosa a los fenómenos naturales? ¿Cuál es la relación entre la
lógica formal (podríamos incluso decir la lógica formal humana) y el cosmos?
Después de Hilbert y Gödel, la respuesta a estas preguntas seguía siendo
borrosa. Ahora, todo lo que teníamos era un «juego» formal incompleto expresado
en lenguaje matemático. [231]¿Cómo
pueden los modelos basados en un sistema tan «poco fiable» penetrar con
profundidad en el enigma del universo y su funcionamiento? Antes de intentar
dar respuesta a estas preguntas, voy a afinarlas un poco más por el método de
examinar algunos casos prácticos que demuestran la sutileza de la eficacia de
la matemática.
Capítulo 8
¿Eficacia inexplicable?
En
el capítulo 1 señalé que el éxito de la matemática en las teorías físicas tiene
dos aspectos: a uno lo llamé «activo» y al otro «pasivo». El aspecto «activo
refleja el hecho de que los científicos formulan las leyes de la naturaleza en
términos matemáticos aplicables más allá de toda duda; es decir, utilizan
entidades, relaciones y ecuaciones matemáticas que se desarrollaron pensando en
su aplicación, con frecuencia para el tema en cuestión. En esos casos, los
investigadores tienden a basarse en la percepción de similitud entre las
propiedades de los conceptos matemáticos y los fenómenos observados o los
resultados experimentales. En tales situaciones, puede que la eficacia de la
matemática no sea tan sorprendente, ya que se puede sostener que las teorías se
ajustaron a medida de las observaciones. Sin embargo, existe también una parte
sorprendente del uso «activo», la relacionada con la precisión, que
comentaré más adelante en este capítulo. La eficacia «pasiva» se refiere a los
casos de desarrollo de teorías matemáticas totalmente abstractas, sin intención
alguna de hallarles aplicación, que más adelante se transforman en modelos
predictivos de gran potencia. La teoría de nudosrepresenta un
ejemplo espectacular de la interacción entre la eficacia pasiva y la activa.
Nudos
Los nudos están hechos del material del que están hechas las leyendas. Quizá
recuerden la leyenda griega del nudo gordiano. Un oráculo comunicó a los
ciudadanos de Frigia que su próximo rey sería el primer hombre que entrase en
la capital montando un carro de bueyes. Gordio, un pobre campesino incauto que
entró en la ciudad conduciendo un carro de bueyes, se convirtió de este modo en
rey. Abrumado por la gratitud, Gordio dedicó su carro a los dioses y lo ató con
un complicado nudo que resistió todos los intentos de deshacerlo. Una posterior
profecía pronosticaba que la persona que deshiciese el nudo se convertiría en
rey de Asia. El destino quiso que el hombre que finalmente deshiciera el nudo
(en el año 333 a.C.) fuese Alejandro Magno que, en efecto, más adelante se
convertiría en soberano de Asia. No obstante, la solución de Alejandro para el
nudo gordiano no fue lo que llamaríamos sutil, ni siquiera limpia; al parecer,
Alejandro ¡cortó el nudo en dos con su espada!
Pero no hace falta que retrocedamos hasta la antigua Grecia para tropezamos con
nudos. Un niño que se ata los zapatos, una chica haciendo trenzas en su
cabello, la abuela tejiendo un jersey p un marinero amarrando un barco, todos
ellos utilizan algún tipo de nudo. Hay nudos con nombres pintorescos, [232]como «gaza
de pescador», «corbata inglesa», «zarpa de gato», «nudo de amor dormido»,
«abuelita» o «nudo del ahorcado». En concreto, los nudos marineros se han
considerado lo bastante importantes desde un punto de vista histórico como para
inspirar toda una colección de libros en la Inglaterra del siglo XVII. Resulta
que uno de estos libros lo escribió nada menos que el aventurero inglés John
Smith (1580-1631), que se hizo célebre por su relación romántica con la
princesa nativa americana Pocahontas.
La teoría matemática de nudos nació en 1771, en un documento escrito por el
matemático francés Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796). [233]Vendermonde
fue el primero en reconocer que los nudos se podían estudiar como parte de la
materia denominada «geometría de posición», que trata de relaciones que
dependen únicamente de la posición, y hace caso omiso de los tamaños y de los
cálculos cuantitativos. En términos de su papel en el desarrollo de la teoría
de nudos, el siguiente puesto le corresponde al «príncipe de las matemáticas»
alemán, Cari Friedrich Gauss. Las notas de Gauss contienen bocetos y
descripciones detalladas de nudos, así como exámenes analíticos de sus
propiedades. Sin embargo, a pesar de la importancia de la obra de Vandermonde,
Gauss y otros matemáticos del siglo XIX, el principal impulso de la moderna
teoría de nudos tuvo un origen inesperado: ¡un intento de explicar la estructura
de la materia! La idea se forjó en la mente del famoso físico inglés William
Thomson (más conocido actualmente por lord Kelvin; 1824-1907). Los trabajos de
Thomson se centraban en la formulación de una teoría de los átomos, los bloques
de construcción básicos de la materia. [234]Según su
original conjetura, los átomos eran en realidad tubos anudados de éter (esa
misteriosa sustancia que, según se suponía, impregnaba todo el espacio). En
este modelo, la variedad de elementos químicos se explicaba por la gran
diversidad de nudos.
Si la especulación de Thomson nos parece actualmente casi una chifladura es
porque henos tenido un siglo de tiempo para acostumbrarnos al modelo correcto
del átomo (en el que los electrones orbitan alrededor del núcleo) y comprobarlo
experimentalmente. Pero estamos hablando de Inglaterra en la década de 1860, y
a Thomson le había impresionado profundamente la estabilidad de los anillos de
humo complejos y su capacidad de vibrar, dos propiedades que en aquella época
se consideraban esenciales en cualquier modelo del átomo. Para desarrollar el
equivalente de una «tabla periódica» de los elementos, Thomson debía clasificarlos
nudos (es decir, averiguar cuáles eran los distintos tipos de nudo posibles), y
esta necesidad de tabulación de nudos suscitó un gran interés por la matemática
de los nudos.
Como ya expliqué en el capítulo 1, un nudo matemático tiene un aspecto similar
al de un nudo en una cuerda, pero los extremos de la cuerda están empalmados.
En otras palabras, un nudo matemático se representa mediante una curva cerrada
sin cabos sueltos.
En
la figura 54 se pueden ver algunos ejemplos; los nudos tridimensionales se
representan mediante sus proyecciones (sombras) en el plano. La posición en el
espacio de dos ramales que se cruzan se indica en la figura mediante la
interrupción de la línea que representa el ramal inferior. El nudo más simple
(llamado precisamente nudo simple) es únicamente una curva
circular cerrada (como se muestra en la figura 54a). El nudo de trébol (figura
54b) tiene tres cruces de ramales, mientras que el nudo en 8 (figura
54c) tiene cuatro cruces. En la teoría de Thomson, estos tres nudos podían, en
principio, corresponder a modelos de tres átomos de complejidad creciente, como
los de hidrógeno, carbono y oxígeno, respectivamente. Pero seguía siendo
necesaria una clasificación completa de nudos, y la persona que emprendió esta
tarea fue un amigo de Thomson, el físico matemático escocés Peter Guthrie Tait
(1831-1901). Las preguntas que los matemáticos se hacen acerca de los nudos no
difieren mucho de las que uno mismo podría plantearse acerca de una cuerda
anudada o un ovillo enredado. ¿Está realmente anudado? Un nudo determinado ¿es
equivalente a otro? O, lo que es lo mismo: ¿se puede deformar un nudo hasta
adquirir la forma de otro sin romper las hebras ni hacer pasar
un ramal a través de otro como en los anillos mágicos de un ilusionista? La
importancia de esta pregunta se puede ver en la figura 55, en donde se muestra
que, mediante determinadas manipulaciones, es posible obtener dos
representaciones muy distintas de lo que, en realidad, es el mismo nudo. En
última instancia, la teoría de nudos busca una forma de demostrarque
ciertos nudos (como el nudo de trébol o el del número 8, figuras 54b y 54c) son
realmente distintos, ignorando las diferencias «superficiales» de otros nudos,
como los de la figura 55. Tait inició su trabajo de clasificación por el camino
difícil. [235]Sin ningún
principio matemático riguroso para guiarle, recopiló listas de curvas con un
cruce, dos cruces, tres cruces, etc. En colaboración con el reverendo Thomas
Pennington Kirkman (1806-1895), que también era aficionado a las matemáticas,
empezó a pasar una criba por las curvas para eliminar duplicados de nudos
equivalentes. No se trataba de una tarea trivial. Hay que tener en cuenta que
en cada cruce hay dos formas de elegir qué ramal pasa por encima. Eso significa
que, si una cura contiene, por ejemplo, siete cruces, se deben tener en cuenta
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 nudos. En otras palabras, la vida humana es
demasiado breve como para completar la clasificación de nudos con decenas de
cruces de esta forma intuitiva. Sin embargo, alguien supo apreciar el trabajo
de Tait. El gran James Clerk Maxwell, que formuló la teoría clásica de la
electricidad y el magnetismo, trató con respeto la teoría atómica de Thomson,
sobre la que expresó: «Satisface un número mayor de condiciones que cualquier
teoría atómica considerada hasta ahora.» Consciente de la contribución de Tait,
Maxwell compuso el siguiente poema:
Clear
your coil of kinkings
Into perfect plaiting,
Locking loops and lmkings
Interpenetrating [236]
(«Tu bobina sin enredos,
una trenza perfecta
todos los bucles y enlaces
interpenetrándose.»)
En
1877, Tait ya había clasificado nudos alternos hasta siete cruces. Los nudos
alternos son aquellos en los que los cruces se alternan por encima y por
debajo, como la trama de una alfombra. Tait hizo también algunos
descubrimientos más prácticos, principios básicos que luego se bautizaron como
«conjeturas de Tait». Estas conjeturas resultaron ser tan enjundiosas que
resistieron todo intento de demostración rigurosa hasta finales de la década de
1980. En 1885, Tait publicó tablas de nudos hasta diez cruces y decidió dejarlo
en ese punto. De forma independiente, el profesor de la Universidad de Nebraska
Charles Newton Little (1858-1923) publicó también en 1899 tablas de nudos no
alternos con diez cruces o menos. [237]Lord Kelvin
siempre tuvo aprecio por Tait. En una ceremonia celebrada en el Peterhouse
College en Cambridge en la que se presentaba un retrato de Tait, lord Kelvin
señaló: «Recuerdo haber oído decir a Tait en cierta ocasión que la ciencia es
lo único por lo que vale la pena vivir. Aunque lo dijo con sinceridad, el
propio Tait demostró que no era así. Tait era un gran lector. Podía recitar de
corrido a Shakespeare, Dickens y Thackeray. Su memoria era prodigiosa. Le
bastaba con leer algo con comprensión para recordarlo siempre».
Por desgracia, cuando Tait y Litde completaron su heroica tarea de tabulación
de nudos, la teoría de Kelvin había quedado totalmente descartada como posible
teoría atómica. De todos modos, el interés por los nudos siguió vivo, aunque
con una diferencia, que el matemático Michael Atiyah ha expresado de este modo:
«El estudio de los nudos se convirtió en una rama esotérica de la matemática
pura».
El área general de la matemática en la que no se tienen en cuenta propiedades
como el tamaño, la homogeneidad y, en cierto sentido, ni siquiera la forma, se
denomina topología. La topología (la geometría de la lámina de
goma) examina las propiedades que no varían cuando el espacio se estira o se
deforma (sin romperlo ni agujerearlo). [238]Por su
naturaleza, los nudos forman parte de la topología. Por cierto, los matemáticos
distinguen entre nudos, que son bucles anudados
individuales; enlaces, que son conjuntos de bucles anudados
individuales enredados entre sí; y trenzas, que son conjuntos
de cuerdas verticales unidas a barras horizontales en los extremos superior e
inferior.
Si la dificultad de clasificar nudos no le ha impresionado, piense en el
siguiente dato revelador. La tabla de Charles Little, publicada en 1899 tras un
trabajo de seis años, contenía 43 nudos no alternos de diez cruces. Esta tabla
fue examinada por muchos matemáticos y tenida por correcta durante setenta y
cinco años. En 1974, el abogado y matemático neoyorquino Kenneth Perko estaba
experimentando con cuerdas en el suelo de su salón. [239]Para su
sorpresa, Perko descubrió que dos de los nudos de la tabla de Little eran, en
realidad, el mismo nudo. Ahora sabemos que sólo hay 42 nudos no alternos
distintos de diez cruces.
Aunque el siglo XX fue testigo de grandes avances en topología, los progresos
en teoría de nudos eran relativamente lentos. Entre los principales objetivos
del estudio de los nudos en matemáticas se encuentra la identificación de las
propiedades que distinguen unos nudos de otros. Estas propiedades se
denominan invariantes de nudos, ya que representan cantidades
que resultan en el mismo valor para dos proyecciones distintas cualesquiera del
mismo nudo. En otras palabras, un invariante ideal es, literalmente, una
«huella dactilar» del nudo, es decir, una propiedad característica de éste que
no cambia al deformarlo. Quizá el invariante más simple que se puede concebir
es el número mínimo de cruces en un esquema del nudo. Por ejemplo, por mucho
que se intente desenredar el nudo de trébol (figura 54b), nunca se podrá
reducir el número de cruces por debajo de tres. Por desgracia, existen diversas
razones que explican por qué el número mínimo de cruces no es el invariante más
útil.
En
primer lugar, como se muestra en la figura 55, no siempre es fácil determinar
si un nudo se ha dibujado con el número mínimo de cruces. En segundo lugar y
aún más importante, muchos nudos distintos tienen el mismo número de cruces.
Por ejemplo, en la figura 54 hay tres nudos distintos con seis cruces y al
menos siete con siete cruces. Así, el número mínimo de cruces no distingue la
mayoría de los nudos entre sí. Por último, el número mínimo de cruces, al ser
un parámetro tan simple, no ofrece demasiada información sobre las propiedades
de los nudos en general.
En 1926 tuvo lugar un avance decisivo en la teoría de nudos. [240]En ese año,
el matemático norteamericano James Waddell Alexander (1888-1971) descubrió un
importante invariante al que se bautizó como polinomio de Alexander.Básicamente,
el polinomio de Alexander es una expresión algebraica que utiliza la
disposición de cruces para etiquetar el nudo. La novedad positiva era que, si
dos nudos tenían distintos polinomios de Alexander, los nudos eran
definitivamente distintos. El punto negativo, en cambio, era que dos que
tuviesen el mismo polinomio podían ser nudos distintos. Por consiguiente,
aunque el polinomio de Alexander resultó ser muy útil, aún no era la
herramienta perfecta para distinguir nudos.
Los matemáticos estuvieron cuatro décadas explorando la base conceptual del
polinomio de Alexander y profundizando en las propiedades de los nudos. Pero
¿por qué dedicaron tanto empeño? Desde luego, no era por razones prácticas. El
modelo atómico de Thomson había caído en el olvido tiempo atrás, y ningún otro
problema de ciencias, economía, arquitectura u otra disciplina parecía tener
necesidad alguna de la teoría de nudos. Entonces, ¿por qué tantos matemáticos
dedicaron interminables horas a los nudos? ¡Por simple curiosidad! Para estas
personas, la idea de comprender los nudos y los principios subyacentes era,
simplemente, bella. El destello de comprensión que representó el polinomio de
Alexander era para los matemáticos tan irresistible como el desafío del Everest
para George Mallory, que, a la pregunta de por qué quería escalarlo, respondió
con la célebre frase «porque está ahí».
A finales de la década de 1960, el prolífico matemático anglonorteamericano
John Horton Conway [241]descubrió
un procedimiento para «desanudar» nudos de forma gradual, revelando así la
relación entre los nudos y sus polinomios de Alexander. En concreto, Conway
introdujo dos operaciones «quirúrgicas» que podían servir como base para la
definición de un invariante de nudo. Las operaciones de Conway, denominadas
«volteo» (flipping) y «suavizado» (smoothing) se
describen esquemáticamente en la figura 56.
En
el volteo (figura 56a), el cruce se transforma pasando el ramal superior por
debajo del inferior (en la figura se indica también cómo se puede llevar a cabo
esta transformación con un nudo real en una cuerda). Observe que, por supuesto,
el volteo cambia la naturaleza del nudo. Por ejemplo, no es difícil asumir que
el nudo de trébol de la figura 54b se convierte en el nudo simple (figura 54a)
tras un volteo. La operación de suavizado de Conway elimina por completo el
cruce (figura 56b) volviendo a unir los ramales de la forma «incorrecta». A
pesar de la obra de Conway y de la nueva información que proporcionó, los
matemáticos siguieron convencidos durante casi dos décadas más de la
imposibilidad de hallar otras invariantes de nudo (del tipo del polinomio de
Alexander). Pero en 1984 la situación cambió de forma espectacular.
El matemático neozelandés-americano Vaughan Jones no estaba estudiando nudos en
absoluto, sino que se hallaba explorando un mundo aún más abstracto, el de las
entidades matemáticas denominadas álgebras de Von Neumann. De
forma inesperada, Jones observó que una relación que aparecía en las álgebras
de Von Neumann se parecía sospechosamente a una relación de teoría de nudos, y
se puso en contacto con Joan Bennan, que trabajaba en teoría de nudos en la
Universidad de Columbia, para comentar sus posibles aplicaciones. Un examen
detenido de la relación reveló un nuevo invariante para nudos, al que se
denominó polinomio de Jones.[242]Enseguida
se reconoció que el polinomio de Jones era un invariante más sensible que el
polinomio de Alexander. Por ejemplo, distingue entre un nudo y su imagen
especular (por ejemplo, los nudos de trébol a derechas y a izquierda de la
figura 57), cuyos polinomios de Alexander son idénticos.
Pero
lo fundamental es que el descubrimiento de Jones generó un entusiasmo sin
precedentes entre las personas que trabajaban en teoría de nudos. El anuncio de
un nuevo invariante generó tal oleada de actividad que, de pronto, el mundo de
los nudos parecía el parqué de la bolsa en un día en que la Reserva Federal
baja inesperadamente los tipos de interés.
El descubrimiento de Jones fue mucho más allá del simple avance en la teoría de
nudos. El polinomio de Jones conectó de repente una apabullante variedad de
áreas de la matemática y la física, desde la mecánica estadística (que se
utiliza, por ejemplo, para estudiar el comportamiento de grandes cantidades de
átomos o moléculas) a los grupos cuánticos (una rama de la matemática que tiene
que ver con la física del mundo subatómico). Matemáticos de todo el mundo se
pusieron febrilmente a la búsqueda de invariantes aún más generales que
abarcasen tanto el polinomio de Alexander como el de Jones. Esta carrera tuvo
como consecuencia el que quizá sea el resultado más asombroso en la historia de
la competencia científica. Pocos meses después de que Jones diese a conocer su
nuevo polinomio, cuatro grupos, trabajando de forma independiente y a partir de
tres estrategias matemáticas distintas, anunciaron simultáneamente el
descubrimiento de un invariante aún más sensible. El nuevo polinomio recibió el
nombre de polinomio HOMFLY (o HOMFLYPT), por las iniciales de sus
descubridores: Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish y Yetter. Por si fuera
poco, aparte de estos cuatro grupos cruzando la línea de meta, dos matemáticos
polacos (Przytycki y Traczyk) descubrieron de forma independiente exactamente
el mismo polinomio, pero un capricho de correos les impidió publicarlo a
tiempo. En consecuencia, el polinomio se denomina también HOMFLYPT, tras
agregar las iniciales de los descubridores polacos.
Desde entonces, aunque se han descubierto otros invariantes, la clasificación
completa de los nudos se sigue resistiendo. La pregunta de qué nudo se tiene
que girar y torcer para producir otro nudo aún no tiene respuesta. El
invariante más avanzado descubierto hasta ahora se debe al matemático
franco-ruso Maxim Kontsevich, que recibió la prestigiosa medalla Fields en 1998
y el premio Crafoord en 2008 por su obra. Casualmente, en 1998, Jim Hoste del
Pitzer College de Claremont, California, y Jeffrey Weeks de Canton, Nueva York,
tabularon todos los bucles anudados con 16 o menos cruces. De forma
independiente, Morwen Thistle-thwaite de la Universidad de Tennessee en
Knoxville produjo una tabulación idéntica. Cada lista contiene exactamente
¡1.701.936 nudos distintos!
Sin embargo, la verdadera sorpresa no fue tanto el avance en la teoría de nudos
en sí, sino en la reaparición espectacular e inesperada de la teoría en una
amplia variedad de ciencias. [243]
Los nudos de la vida
Como expliqué, la teoría de nudos surgió de un modelo erróneo del átomo. Sin
embargo, una vez abandonado ese modelo, los matemáticos no se desanimaron. Por
el contrario, se embarcaron con entusiasmo en un camino largo y difícil con el
objetivo de comprender los nudos por sí mismos. Puede imaginar su satisfacción
cuando la teoría de nudos resultó ser clave para la comprensión de procesos
fundamentales en los que participaban las moléculas de la vida. ¿Hay acaso un
ejemplo mejor del rol «pasivo» de la matemática en la explicación de la
naturaleza?
El ácido desoxirribonucleico o ADN es el material genético de las células. El
ADN consta de dos larguísimas hebras entrelazadas y enredadas una sobre la otra
millones de veces para formar una doble hélice. A lo largo de estas espinas
dorsales, que se pueden imaginar como los listones laterales de una escalera,
se alternan los azúcares y los fósforos. Los «peldaños» de la escalera
consisten en parejas de bases conectadas por enlaces de hidrógeno de una forma
determinada (la adenina sólo enlaza con la timina y la citosina con la guanina,
como se muestra en la figura 58).
Cuando una celda se divide, la primera fase es la replicación del ADN, de modo
que cada celda hija se quede con una copia. De forma similar, en el proceso de
transcripción (en el que la información genética del ADN se copia en el ARN),
una sección de la doble hélice del ADN se desenrosca y sólo una de las hebras
del ADN actúa como plantilla.
Una
vez finalizada la síntesis del ARN, el ADN vuelve a enroscarse en la hélice. Ni
el proceso de replicación ni el de transcripción son sencillos; sin embargo, el
ADN está enroscado de una forma tan compacta (para reducir el espacio de
almacenamiento de información) que, si no se desenredase, los procesos de la
vida no podrían tener lugar con fluidez. Además, para poder efectuar el proceso
de replicación, las moléculas de ADN hijas deben desenredarse y el ADN padre
debe en algún momento regresar a su configuración inicial. Los agentes que se
encargan de las tareas de desanudar y desenredar son enzimas. [244]Las enzimas
pueden pasar una hebra de ADN a través de otra rompiéndolas temporalmente y
conectando los extremos de forma distinta. ¿Le suena de algo el proceso? Se
trata precisamente de las operaciones «quirúrgicas» (representadas en la figura
56) que introdujo Conway para desenmarañar los nudos matemáticos. En otras
palabras, desde un punto de vista topológico, el ADN es un nudo complejo que
las enzimas deben desanudar para que pueden tener lugar los procesos de
replicación y transcripción. Utilizando la teoría de nudos para calcular la
dificultad de desanudar el ADN, los investigadores pueden estudiar las
propiedades de las enzimas que ejecutan ese trabajo. Y lo que es mejor,
mediante técnicas de visualización experimentales como microscopía electrónica y
electroforesis en gel, los científicos pueden observar y cuantificar realmente
los cambios en el anudado y enlazado del ADN que las enzimas provocan (en la
figura 59 se muestra una micrografía electrónica de un nudo de ADN).
El
desafío de los matemáticos es deducir los mecanismos de funcionamiento de las
enzimas a partir de los cambios observados en la topología del ADN.
Adicionalmente, los cambios en el número de cruces del nudo de ADN ofrecen a
los biólogos una medida de la velocidad de reacción de las
enzimas, es decir, el número de cruces por minuto sobre los que puede actuar
una enzima en una determinada concentración.
Pero la biología molecular no es el único terreno en el que la teoría de nudos
ha hallado inesperadas aplicaciones. La teoría de cuerdas (el intento actual de
formular una teoría unificada que explique todas las fuerzas de la naturaleza)
también tiene que ver con los nudos.
¿El universo en una cuerda?
La gravedad es la fuerza que opera a mayor escala. Mantiene unidas las
estrellas de las galaxias e influye en la expansión del universo. La
relatividad general de Einstein es una notable teoría sobre la gravedad. Pero,
en lo más profundo del núcleo atómico, otras fuerzas y una teoría distinta son
las que gobiernan. La interacción nuclear fuerte mantiene unidas unas
partículas llamadas quarks para formar los conocidos protones y neutrones,
constituyentes básicos de la materia. El comportamiento de las partículas y de
las fuerzas en el mundo subatómico viene dictado por las leyes de la mecánica
cuántica. ¿Actúan según las mismas reglas los quarks y las galaxias? Los
físicos creen que debería ser así, aunque aún no saben por qué. Durante
décadas, los físicos han estado buscando una «teoría de todo», una descripción
exhaustiva de las leyes de la naturaleza. En particular, su meta es llenar el
vacío entre lo más grande y lo más pequeño con una teoría cuántica de la
gravedad, una reconciliación de la relatividad general con la mecánica
cuántica. La teoría de cuerdas parece ser actualmente la posibilidad mejor
situada para una «Teoría de todo». [245]Desarrollada
en su origen como teoría para la fuerza nuclear fuerte y posteriormente
desechada, la teoría de cuerdas resucitó de la oscuridad en 1974 de la mano de
los físicos John Schwarz y Joel Scherk. La idea básica de la teoría de cuerdas
es bastante simple. La teoría propone que las partículas subatómicas
elementales, como los electrones y los quarks, no son entidades puntuales sin
estructura, sino que representan distintos modos de vibración de una misma
cuerda básica. Según esta idea, el cosmos está lleno de minúsculos aros
flexibles, similares a gomas elásticas. De igual modo que se puede pulsar una
cuerda de violín para producir distintas armonías, las distintas vibraciones de
estas cuerdas cerradas corresponden a distintas partículas de materia. En otras
palabras, el mundo es algo así como una sinfonía.
Como las cuerdas son bucles en forma de «o» que se mueven por el espacio, con
el paso del tiempo barren áreas en forma de cilindro (véase figura 60)
denominadas worldsheets.
Si
una cuerda emite otras cuerdas, el cilindro se bifurca creando estructuras en
forma de tirachinas. Cuando muchas cuerdas interaccionan, forman una intrincada
maraña de cáscaras combinadas con aspecto de donut. Al estudiar este tipo de
estructuras topológicas complejas, Hiroshi Ooguri y Cumrun Vafa, que trabajaban
en teoría de cuerdas, descubrieron una sorprendente conexión entre el número de
«cáscaras donut», las propiedades geométricas intrínsecas de los nudos y el
polinomio de Jones. [246]Con
anterioridad, Ed Witten (uno de los nombres fundamentales en teoría de cuerdas)
había creado una inesperada relación entre el polinomio de Jones y la misma
base de la teoría de cuerdas (denominada teoría cuántica de campos).[247]El modelo
de Witten fue rediseñado más adelante desde una perspectiva puramente
matemática por el matemático Michael Atiyah. [248]De modo que
la teoría de cuerdas y la teoría de nudos viven en simbiosis perfecta. Por una
parte, la teoría de cuerdas ha sacado provecho de los resultados de la teoría
de nudos y, por otra, la teoría de cuerdas ha impulsado nuevos avances en
teoría de nudos.
Con un ámbito mucho más amplio, la teoría de cuerdas busca explicaciones para
los constituyentes más básicos de la materia, de forma similar a lo que Thomson
pretendía originalmente con una teoría de los átomos. Thomson pensaba
(erróneamente) que los nudos le proporcionarían la respuesta. Por un giro
inesperado, los expertos en teoría de cuerdas han hallado que los nudos pueden
realmente ofrecerles algunas respuestas.
Como ya he mencionado, incluso el aspecto «activo» de la eficacia de la
matemática (cuando los científicos generan la matemática que necesitan para
describir los hechos observables) presenta algunas desconcertantes sorpresas en
lo que se refiere a la precisión. Voy a describir brevemente un aspecto de la
física en el que tanto la parte activa como la pasiva han desempeñado su papel,
pero que es especialmente notable por la exactitud obtenida.
Una precisión de peso
Newton tomó las leyes de la caída de cuerpos descubiertas por Galileo y otros
experimentalistas italianos, las combinó con las leyes del movimiento
planetario que había determinado Kepler y utilizó este esquema unificado para
formular una ley matemática universal de la gravitación. Durante el proceso,
Newton tuvo que formular una rama completamente nueva de la matemática (el
cálculo) que le permitiese captar de forma concisa y coherente todas las
propiedades de sus leyes de movimiento y de gravitación. La precisión con la
que el propio Newton pudo comprobar su ley de la gravedad, teniendo en cuenta
los resultados experimentales y las observaciones de su época, no era superior
al 4 por 100. Sin embargo, la ley demostró su exactitud más allá de cualquier
expectativa razonable. En la década de 1950, la precisión experimental era
superior a una diezmilésima de un 1 por 100. Pero eso no es todo. Algunas
teorías especulativas recientes, cuya finalidad es explicar la aparente
aceleración de la expansión de nuestro universo, han sugerido que la gravedad
podría cambiar su comportamiento a escalas muy pequeñas. Recuerde que la ley de
Newton afirma que la atracción gravitatoria decrece como el inverso del
cuadrado de la distancia. Es decir, si se duplica la distancia entre dos masas,
la fuerza gravitatoria que cada masa percibe se hace cuatro veces más débil.
Los nuevos escenarios predecían desviaciones de este comportamiento a
distancias de menos de un milímetro. Eric Adelberger, Daniel Kapner y su equipo
de la Universidad de Washington en Seattle [249]realizaron
una serie de ingeniosos experimentos para comprobar esta predicción de cambio
en la dependencia de la separación. Sus resultados más recientes, publicados en
enero de 2007, muestran que la ley del cuadrado inverso ¡sigue siendo válida a
una distancia de 56 milésimas de milímetro! Así, una ley matemática propuesta
hace más de trescientos años basándose en observaciones insuficientes no sólo
ha resultado ser espectacularmente precisa, sino que ha demostrado su validez
en situaciones en las que ésta no se ha podido demostrar hasta época muy
reciente.
Pero Newton dejó sin respuesta una pregunta fundamental: ¿cómo funciona
realmente la gravedad? ¿Cómo afecta la Tierra al movimiento de la Luna, situada
a una distancia de casi 400.000 kilómetros? Newton era consciente de este
defecto de su teoría, y lo admitió abiertamente en los Principia:
Hasta
aquí he expuesto los fenómenos de los cielos y de nuestro mar por la fuerza de
la gravedad, pero todavía no he asignado causa a la gravedad. Efectivamente
esta fuerza surge de alguna causa que penetra hasta los centros del Sol y los
planetas … y cuya acción se extiende por todas partes hasta distancias
inmensas, decreciendo siempre como el cuadrado de las distancias … Pero no he
podido todavía deducir a partir de los fenómenos la razón de estas propiedades
de la gravedad y yo no imagino hipótesis.
La
persona que decidió aceptar el desafío planteado por la omisión de Newton fue
Albert Einstein (1879-1955). Concretamente en 1907, Einstein tenía buenas
razones para interesarse por la gravedad: [250]¡su nueva
teoría de la relatividad especial parecía entrar en conflicto directo con la
ley de gravitación de Newton!
Newton creía que la acción de la gravedad era instantánea. Suponía que la
fuerza gravitatoria del Sol sobre los planetas o la atracción de la Tierra
sobre la manzana no tardaban tiempo alguno. Por otra parte, la columna
vertebral de la relatividad especial de Einstein era la tesis de que ningún
objeto, energía ni información podía viajar a mayor velocidad que la luz.
Entonces, ¿cómo podía hacerlo la gravedad? Como indica el siguiente ejemplo,
las consecuencias de esta contradicción podrían ser fatídicas para conceptos
tan fundamentales como nuestra percepción de causa y efecto.
Imaginemos que, de algún modo, el Sol desapareciese de repente. Libre de la
fuerza que la mantiene en su órbita, la Tierra (según Newton) empezaría a
moverse inmediatamente en línea recta (salvo pequeñas desviaciones provocadas
por la gravedad de los otros planetas). Sin embargo, el Sol tardaría ocho
minutos en desaparecer de la vista de los habitantes de la Tierra, el tiempo
que tarda la luz en recorrer la distancia que separa el Sol de la Tierra. En
otras palabras, el cambio en el movimiento de la Tierra precedería a la
desaparición del Sol.
Para evitar este conflicto y, al mismo tiempo, tratar de resolver la pregunta
sin respuesta de Newton, Einstein emprendió una búsqueda cuasiobsesiva de una
nueva teoría de la gravedad. Se trataba de una empresa formidable. Cualquier
nueva teoría, no sólo debía tener en cuenta y conservar los notables éxitos
logrados por la teoría de Newton, sino también explicar el funcionamiento de la
gravedad de forma compatible con la relatividad especial. Tras unas cuantas
salidas en falso y divagaciones sin rumbo, Einstein logró su objetivo en 1915.
Su relatividad general sigue considerándose una de las teorías
más bellas de la historia.
La idea que constituye el fundamento de la pionera estructura de Einstein es
que la gravedad no es más que deformaciones en el tejido del espacio y el
tiempo. Según Einstein, de igual modo que las pelotas de golf siguen las curvas
y relieves del green, los planetas siguen trayectorias
curvadas en el espacio deformado que representa la gravedad del Sol. En otras
palabras, en ausencia de materia u otras formas de energía, el espacio-tiempo
(la estructura que unifica las tres dimensiones del espacio y la del tiempo)
sería plano. La materia y la energía deforman el espacio-tiempo del mismo modo
que una bola de bowling haría combarse una cama elástica. Los
planetas se limitan a seguir los caminos directos en esta geometría curvada,
que es una manifestación de la gravedad. Al solucionar el problema del
funcionamiento de la gravedad, Einstein proporcionó también la estructura para
responder a la pregunta de «con qué velocidad se propaga», que se reducía a
determinar la velocidad con que las deformaciones del espacio-tiempo son
capaces de viajar. Se trataba de algo similar a calcular la velocidad de las
ondas en un estanque. Einstein fue capaz de probar que, en la relatividad
general, la velocidad de la gravedad era precisamente la velocidad de la luz,
eliminando así la discrepancia entre la teoría de Newton y la relatividad
especial. Si el Sol desapareciese, el cambio en la órbita de la Tierra tendría
lugar ocho minutos más tarde, y coincidiría con la observación de la
desaparición.
El hecho de que Einstein convirtiese el espacio-tiempo deformado de cuatro
dimensiones en la piedra angular de su nueva teoría del cosmos se tradujo en la
imperiosa necesidad de crear una teoría matemática para esas entidades
geométricas. Desesperado, recurrió a un antiguo compañero de clase, el
matemático Marcel Grossmann (1878-1936): «He adquirido un inmenso respeto por
la matemática, cuyas partes más sutiles consideraba antes nada más que productos
suntuarios». Grossmann señaló que la geometría no euclidiana de Riemann
(descrita en el capítulo 6) era precisamente la herramienta que Einstein estaba
buscando: una geometría de espacios curvados de cualquier número de
dimensiones. Se trataba de una demostración palpable de lo que he venido
llamando la eficacia «pasiva» de la matemática, y Einstein lo reconoció de
inmediato: «Podemos de hecho considerarla [la geometría] como la rama más
antigua de la física», declaró, «y sin ella me hubiese sido imposible formular
la teoría de la relatividad».
La relatividad general ha sido también comprobada hasta un extraordinario grado
de precisión. Obtener estas pruebas no es tarea fácil, ya que la curvatura del
espacio-tiempo que introducen objetos como el Sol se mide en partes por millón.
Las primeras pruebas estaban asociadas a observaciones dentro del propio
sistema solar (como minúsculos cambios en la órbita del planeta Mercurio en
comparación con las predicciones de la gravedad de Newton), pero en tiempos más
recientes ha sido posible acceder a procedimientos más exóticos. Una de las
primeras comprobaciones utiliza un objeto astronómico denominado pulsar doble.
Un pulsar es una estrella extraordinariamente compacta, fuente de emisión de
ondas de radio, cuya masa es algo superior a la del Sol, pero cuyo radio es
sólo de unos diez kilómetros. La densidad de este tipo de estrellas
(denominadas estrellas de neutrones) es tan alta que un
centímetro cúbico de su materia tiene una masa de ¡más de 60 millones de
toneladas! Muchas de estas estrellas de neutrones giran a gran velocidad al
tiempo que emiten ondas de radio desde sus polos magnéticos. Cuando el eje
magnético se halla a un cierto ángulo respecto del eje de rotación (como se
muestra en la figura 61), el haz de radio de uno de los polos puede cruzar
nuestra línea de visión una vez con cada rotación, como el destello de luz de
un faro.
En
tales casos, parecerá que la emisión de radio se emite en pulsos (de ahí el
nombre «pulsar»). A veces, dos pulsares giran alrededor de su centro de
gravedad común en una órbita reducida, creando así un sistema de pulsar doble.
Estos pulsares dobles constituyen excelentes laboratorios para la verificación
de la relatividad general debido a dos de sus propiedades:
i. Los
radiopulsares son espléndidos relojes; su ritmo de rotación es tan estable que,
de hecho, superan en precisión a los relojes atómicos.
ii. Los
pulsares son tan compactos que sus campos gravitatorios son muy intensos y
producen efectos relativistas significativos. Debido a estas dos
características, los astrónomos pueden medir con gran precisión los cambios en
el tiempo que la luz tarda en recorrer la distancia entre los pulsares y la
Tierra debido al movimiento orbital de dos pulsares en su campo gravitatorio
mutuo.
La
comprobación más reciente ha sido el resultado de mediciones temporales de gran
precisión a lo largo de un período de dos años y medio en el sistema de pulsar
doble denominado PSR J0737-3039A/B (esta denominación con aspecto de número
telefónico refleja las coordenadas celestes del sistema). [251]Los dos
pulsares de este sistema completan una revolución en sólo dos horas y
veintisiete minutos, y el sistema se halla a unos dos mil años luz de distancia
de la Tierra (un año luz es la distancia que la luz recorre en un año,
alrededor de nueve billones de kilómetros). Un equipo de astrónomos dirigido
por Michael Kramer, de la Universidad de Manchester, midió las correcciones
relativistas al movimiento newtoniano. Los resultados, publicados en octubre de
2006, se ceñían a los valores predichos por la relatividad general con un grado
de incertidumbre ¡del 0,05 por 100!
Vale la pena señalar que tanto la relatividad especial como la general
desempeñan un papel importante en los Sistemas de Posicionamiento Global (GPS)
que nos permiten localizar nuestra posición en la superficie de la Tierra y nos
indican el mejor trayecto, ya sea en coche, en avión o a pie. El GPS determina
la posición actual del receptor mediante la medida del tiempo que tarda en
llegar a él la señal de diversos satélites y efectuando una triangulación a
partir de las posiciones conocidas de cada satélite. La relatividad especial
predice que los relojes atómicos que se encuentran en los satélites marchan
algo más lentos (unas millonésimas de segundo al día) que los que están en el
suelo, debido a su movimiento relativo. Al mismo tiempo, la relatividad general
predice que los relojes de los satélites marchan más rápido (unas decenas de
millonésimas de segundo al día) que los del suelo porque, a gran altura sobre
la superficie de la Tierra, la curvatura del espacio-tiempo debida a la masa de
la Tierra es menor. Si no se efectuasen las correcciones pertinentes de ambos
efectos, los errores de posicionamiento global podrían acumularse a un ritmo de
más de ocho kilómetros al día.
La teoría de la gravedad no es más que uno de los numerosos ejemplos que
ilustran la «milagrosa» idoneidad y fantástica precisión de la formulación
matemática de las leyes de la naturaleza. En este caso, como en muchos otros,
lo que las ecuaciones nos proporcionan va mucho más allá de lo que era la
intención original. La exactitud de las teorías de Newton y Einstein ha
demostrado superar en gran medida la precisión de las observaciones a las que
las teorías intentaban originalmente dar explicación.
Quizá el mejor ejemplo de la increíble precisión que es capaz de alcanzar una
teoría matemática sea el que proporciona la electrodinámica cuántica
(QED, Quantum Electrodynamics), que es la teoría que describe los
fenómenos relacionados con las partículas con carga eléctrica y la luz. En
2006, un grupo de físicos de la Universidad de Harvard determinaron el momento
magnético del electrón (que mide la intensidad con la que el electrón
interacciona con un campo magnético) con una precisión de ocho partes por
billón. [252]Por sí
mismo, este resultado es una asombrosa proeza experimental. Pero si además se
le suma el hecho de que los cálculos teóricos más recientes basados en la QED
alcanzan una precisión similar y que los dos resultados coinciden, la exactitud
ya es casi increíble. Esta es la reacción de uno de los fundadores de la QED,
Freeman Dyson, ante los repetidos éxitos de su teoría: «Me fascina la precisión
con la que la Naturaleza baila al son de la melodía que garabateamos de forma
tan despreocupada hace cincuenta y siete años, y la forma en la que los
experimentadores y los teóricos pueden medir y calcular el ritmo de su danza
hasta una parte por billón».
Pero las teorías matemáticas no destacan sólo por su exactitud; otro de sus
puntos fuertes es su poder de predicción. Voy a mencionar un par de ejemplos
simples para ilustrar este poder, uno del siglo XIX y otro del siglo XX. El
primero predijo un nuevo fenómeno; el segundo, la existencia de nuevas
partículas elementales.
James Clerk Maxwell, que formuló la teoría clásica del electromagnetismo, probó
en 1864 que su teoría predecía que los campos eléctricos o
magnéticos variables debían generar ondas de propagación. Estas ondas (las
conocidas ondas electromagnéticas, como las ondas de radio) fueron detectadas
por primera vez por el físico alemán Heinrich Herz (1857-1894), en una serie de
experimentos llevados a cabo en los últimos años de la década de 1880.
A finales de la década de 1960, los físicos Steven Weinberg, Sheldon Glashow y
Abdus Salam desarrollaron una teoría que trata de forma unificada la fuerza
electromagnética y la fuerza nuclear débil. [253]Esta
teoría, denominada actualmente teoría electrodébil, predecía
la existencia de tres partículas (denominadas bosones W+, W - y
Z) que nunca habían sido observadas. Las partículas se detectaron de forma
inequívoca en 1983, durante experimentos en acelerador (en los que se hacen
chocar partículas subatómicas entre sí a muy altas energías) dirigidos por los
físicos Cario Rubbia y Simón van der Meer.
El físico Eugene Wigner, responsable de la frase «la eficacia inexplicable de
la matemática», propuso llamar a estos logros inesperados de las teorías
matemáticas «la ley empírica de la epistemología» (la epistemología es la
disciplina que investiga el origen y los límites del conocimiento). Su
razonamiento consistía en que, si esta «ley» no fuese correcta, a los
científicos les habría faltado el aliento y la determinación tan necesarios
para una exploración profunda de las leyes de la naturaleza. Sin embargo,
Wigner no ofrecía explicación alguna para esta «ley empírica de la
epistemología», sino que más bien la veía como un «regalo extraordinario» por
el que debemos estar agradecidos, aunque no comprendamos su origen. Según
Wigner, este «regalo» contiene la esencia de la cuestión sobre la eficacia
inexplicable de la matemática.
Creo que, a estas alturas, ya hemos reunido suficientes pistas para intentar
responder a nuestras preguntas iniciales: ¿Por qué la matemática es tan eficaz
y productiva para explicar el mundo que nos rodea, e incluso es capaz de
generar nuevos conocimientos? En última instancia, la matemática ¿es
descubierta o inventada?
Capítulo 9
Acerca de la mente humana, la matemática y el universo
Las
dos preguntas:
1. ¿Tiene
la matemática una existencia independiente de la mente humana?, y
2. ¿Por
qué los conceptos matemáticos son aplicables mucho más allá del contexto en el
que se desarrollaron originalmente?, están relacionadas entre sí por caminos
complejos. Pero, para simplificar el comentario, voy a intentar encararlas una
tras otra.
En
primer lugar podemos preguntarnos cuál es la posición de los matemáticos
actuales sobre la cuestión de si la matemática es un descubrimiento o un
invento. En su espléndido libro The Mathematical Experience, los
matemáticos Philip Davis y Reuben Hersh describen la situación del siguiente
modo: [254]«La mayor
parte de los autores parecen estar de acuerdo en que un matemático típico es
platónico (es decir, opina que es un descubrimiento) los días laborables y un
formalista (es decir, piensa que es un invento) los domingos. Esto es, cuando
el matemático está haciendo matemática, está convencido de que trata con una
realidad objetiva cuyas propiedades intenta determinar. En cambio, si se le
obliga a dar una versión filosófica de esta realidad, prefiere fingir que,
después de todo, no cree en ella».
Aparte de la tentación de hablar de «los matemáticos y las matemáticas» para
reflejar los cambios demográficos en la disciplina, tengo la impresión de que
esta caracterización sigue siendo cierta para muchos de los actuales
matemáticos y físicos teóricos. Sin embargo, algunos matemáticos del siglo XX
tomaron un claro partido por una u otra postura. En representación del punto de
vista platónico tenemos a G. H. Hardy, que afirma en A Mathematician's
Apology:[255]
Para
mí, y supongo que para la mayoría de los matemáticos, existe otra realidad, a
la que llamaré «realidad matemática», y no existe acuerdo alguno acerca de la
naturaleza de esta realidad, ni entre los matemáticos ni entre los filósofos.
Algunos sostienen que se trata de algo «mental» y que, en cierto sentido, la
construimos nosotros; otros opinan que es externa e independiente de nosotros.
Si alguien pudiese dar cuenta de la realidad matemática de una forma
convincente habría resuelto un gran número de los problemas metafísicos más
complejos. Si pudiese incluir la realidad física en su explicación, los habría
resuelto todos.
No es mi intención discutir aquí ninguna de estas cuestiones, ni siquiera en el
supuesto de que tuviese la competencia para ello, pero, para evitar
malentendidos, expondré mi postura de forma dogmática. Creo que la realidad
matemática reside fuera de nosotros, que nuestra función es descubrirla y
observarla, y que los teoremas que demostramos y que, pecando de
grandilocuencia, denominamos «nuestras creaciones», son simples anotaciones de
nuestras observaciones. Este ha sido, de uno u otro modo, el punto de vista
sostenido por numerosos y reputados filósofos empezando por Platón, y a partir
de ahora utilizaré el lenguaje natural de una persona que es partidaria de él.
Los
matemáticos Edward Kasner (1878-1955) y James Newman (1907-1966) expresaban
justamente la postura contraría en Mathematics and the Imagination:[256]
No
es sorprendente que el prestigio de la matemática no tenga parangón en ningún
otro campo del pensamiento intencional; el número de avances científicos que ha
hecho posible hacen que sea a un tiempo indispensable desde un punto de vista
práctico y la obra cumbre de la abstracción pura, de modo que el reconocimiento
de su papel destacado entre las hazañas intelectuales de la humanidad no es ni
más ni menos que el reconocimiento de un mérito real.
Pero, a pesar de esta preeminencia, la primera valoración significativa de la
matemática tuvo lugar recientemente, con la aparición de la geometría no
euclidiana y la geometría tetradimensional. Eso no significa que se deban
minimizar los avances efectuados en el cálculo, la teoría de probabilidades, la
aritmética del infinito, la topología y otras ramas que hemos comentado. Cada
uno de estos avances ha ampliado la visión de la matemática y profundizado en
su significado, así como en nuestra comprensión del universo físico. Sin
embargo, ninguno de ellos ha contribuido a la introspección matemática, al
conocimiento de las relaciones entre las distintas partes de la disciplina
entre sí y con el conjunto en mayor medida que las herejías no euclidianas.
El coraje del espíritu crítico que se halla en la génesis de estas herejías nos
ha permitido superar la noción de que las verdades matemáticas tienen una
existencia independiente externa a nuestras mentes. Ahora incluso nos parece
extraño que tal noción pudiese haber existido. Y sin embargo, es lo que
hubiesen creído Pitágoras, Descartes y cientos de otros grandes matemáticos
antes del siglo XIX. En la actualidad, la matemática ha roto sus cadenas y se
ha liberado de sus fronteras. Sea cual sea su esencia, ahora reconocemos que es
tan libre como la mente y tan indómita como la imaginación. La geometría no
euclidiana demuestra que la matemática, a diferencia de la música de las
esferas, es obra de la mano del hombre y está sujeta únicamente a las
limitaciones que le imponen las leyes del pensamiento.
Vemos
aquí, en contraste con la precisión y la certeza que caracterizan las
afirmaciones matemáticas, una divergencia de opiniones más propia de los
debates filosóficos o políticos. Pero esto no debería sorprendernos. La
cuestión de si la matemática es inventada o descubierta no es, en realidad, una
cuestión matemática.
La noción de «descubrimiento» implica una existencia previa en algún universo,
ya sea real o metafísico. El concepto de «invento» implica a la mente humana,
ya sea de forma individual o colectiva. Entonces, la pregunta está relacionada
con una combinación de disciplinas entre las que pueden hallarse la física, la
filosofía, la matemática, la ciencia cognitiva e incluso la antropología, pero
desde luego no es exclusiva la matemática (o, al menos, no de forma directa).
En consecuencia, es posible que no sean los matemáticos los que mejor puedan
responderla. Después de todo, aunque los poetas pueden hacer magia con las
palabras, posiblemente no sean los mejores lingüistas, del mismo modo que los filósofos
más profundos no suelen ser expertos en las funciones del cerebro. La respuesta
a la cuestión «inventada o descubierta» sólo puede proceder (si es que
realmente es posible hallarla) de un cuidadoso examen de numerosas claves
procedentes de una amplia variedad de disciplinas.
Metafísica, física y cognición
Los que creen que la matemática existe en un universo independiente de los
humanos pueden aún dividirse en dos tipos en lo que respecta a la
identificación de la naturaleza de este universo. [257]En primer
lugar se encuentran los «verdaderos» platónicos, para los que la matemática
reside en un mundo eterno y abstracto de formas matemáticas. Luego están los
que sugieren que las estructuras matemáticas son una parte real del mundo
natural. Ya hemos tratado el platonismo puro y algunas de sus limitaciones
filosóficas con cierta amplitud, de modo que voy a entrar en detalles acerca de
la otra perspectiva. [258] Quizá
la persona que abogue por la versión más extrema y especulativa de la tesis de
«la matemática como parte del mundo físico» sea un compañero astrofísico, Max
Tegmark del Massachussets Institute of Technology.
Tegmark sostiene que «nuestro universo no sólo se describe mediante la
matemática, sino que es matemática» (la cursiva es mía). [259]Su
argumento empieza por la hipótesis no especialmente polémica de que existe una
realidad física externa independiente de los seres humanos. A continuación pasa
a examinar cuál podría ser la naturaleza de una teoría que englobase dicha
realidad (lo que los físicos llaman una «Teoría de todo»). Al ser este mundo
físico totalmente independiente de los humanos, sigue Tegmark, su descripción
debe estar libre de cualquier «carga» humana (en particular, el lenguaje
humano). En otras palabras, la teoría definitiva no puede incluir conceptos
tales como «partículas subatómicas», «cuerdas vibratorias», «deformación del
espacio-tiempo» u otros constructos concebidos por el hombre. Partiendo de esta
base, Tegmark llega a la conclusión de que la única descripción posible del
cosmos implica únicamente conceptos abstractos y relaciones entre ellos, lo que
para él constituye la definición operativa de la matemática.
El argumento de Tegmark para una realidad matemática es realmente fascinante y,
en el caso de resultar cierto, supondría un avance crucial hacia la solución
del problema de la «inexplicable eficacia» de la matemática. En un universo
identificado con la matemática, el hecho de que esta disciplina se ajuste como
un guante al comportamiento de la naturaleza no puede resultar sorprendente.
Por desgracia, en mi opinión el razonamiento de Tegmark no es especialmente
persuasivo. El salto de la existencia de la realidad externa (independiente de
los seres humanos) a la conclusión de que, en palabras de Tegmark, «es necesario
creer en lo que yo denomino la hipótesis del universo matemático: que nuestra
realidad física es una estructura matemática», implica, en mi opinión, un juego
de prestidigitación. Tegmark intenta caracterizar lo que realmente es la
matemática con estas palabras: «Para el lógico moderno, una estructura
matemática es precisamente un conjunto de entidades abstractas y las relaciones
entre ellas». ¡Pero este lógico moderno es humano! En otras palabras, Tegmark
no demuestra en ningún momento que nuestra matemática no ha
sido inventada por los seres humanos, sino que se limita a darlo por sentado.
Además, tal como señala el neurobiólogo francés Jean-Pierre Changeux en
respuesta a una tesis similar: «Afirmar la realidad física de los objetos
matemáticos en el mismo nivel que los fenómenos naturales que se estudian en
biología plantea, en mi opinión, un considerable problema epistemológico. ¿Cómo
puede un estado físico interno de nuestro cerebro representar otro estado
físico externo a él?». [260] Otros
intentos de situar los objetos matemáticos en la realidad física externa se
apoyan simplemente en la eficacia de la matemática para explicar la naturaleza.
Pero en estos casos se supone que no es posible ninguna otra explicación de la
eficacia de la matemática, lo que, como mostraré más adelante, es falso.
Si la matemática no reside en el mundo platónico, fuera del espacio y del
tiempo, ni en el mundo físico, ¿significa que es únicamente un invento de los
seres humanos? Por supuesto que no. De hecho, mi razonamiento en la próxima
sección será que la mayoría de la matemática consiste en descubrimiento. Pero,
antes de avanzar más allá, será útil examinar las opiniones de los científicos
cognitivos contemporáneos. El motivo es que, aunque la matemática consistiese
únicamente en descubrimientos, serían de todos modos descubrimientos llevados a
cabo por matemáticos humanos utilizando sus cerebros.
Con el fabuloso avance de las ciencias cognitivas en los últimos años, era
lógico pensar que los neurobiólogos y los psicólogos prestasen atención a la
matemática y, específicamente, a la búsqueda de los fundamentos de la
matemática en la cognición humana. Un somero repaso a las conclusiones de la
mayor parte de científicos cognitivos puede traer a la mente la frase de Mark
Twain: «Si un hombre empuña un martillo, todo le parece un clavo». Salvo por
pequeñas variaciones en el énfasis, prácticamente todos los neuropsicólogos y
biólogos determinan que la matemática es un invento humano. Sin embargo, al
prestar una mayor atención a los detalles, se aprecia que, a pesar de que la
interpretación de los datos cognitivos es más bien ambigua, no hay duda de que
el punto de vista cognitivo representa una fase nueva y pionera en la búsqueda
de los fundamentos de la matemática. He aquí una pequeña pero representativa
muestra de los comentarios de los científicos cognitivos.
El neurocientífico francés Stanislas Dehaene, cuyo principal interés es la
cognición de los números, concluía en su libro de 1997 The Number
Sense: «La intuición de los número está profundamente implantada en
nuestro cerebro». [261]Esta
postura es, de hecho, próxima a la de los intuicionistas, que pretendían basar
toda la matemática en la forma pura de la intuición de los números naturales.
Dehaene razona que los descubrimientos efectuados en psicología acerca de la
aritmética confirman que «el número forma parte de los objetos naturales del
pensamiento, las categorías innatas mediante las cuales percibimos el mundo». A
partir de otro estudio llevado a cabo con los Mundurukú (un grupo indígena
amazónico completamente aislado), Dehaene y sus colaboradores agregaron un
juicio similar acerca de la geometría en 2006: «La comprensión espontánea de
los conceptos geométricos y de los mapas por parte de esta remota comunidad
humana ofrece pruebas de que los conocimientos geométricos fundamentales, igual
que la aritmética básica, son constituyentes universales de la mente
humana». [262]Pero no
todos los científicos cognitivos están de acuerdo con estas conclusiones. [263]Algunos
señalan, por ejemplo, que el éxito obtenido por los Mundurukú en el reciente
estudio geométrico, en el que tenían que identificar una curva entre líneas
rectas, un rectángulo entre cuadrados, una elipse entre círculos, etc., podría
tener más relación con su capacidad visual para distinguir un objeto distinto
entre otros iguales que un conocimiento geométrico innato.
El neurobiólogo francés Jean-Pierre Changeux, en un fascinante diálogo acerca
de la naturaleza de la matemática con el matemático (de sensibilidad platónica)
Alain Connes, publicado en Conversations on Mind, Matter, and
Mathematicsobsevaba lo siguiente: [264]«La razón
de que los objetos matemáticos no tienen nada que ver con el mundo perceptible
tiene que ver … con su carácter generativo, su capacidad de dar origen a otros
objetos. Es necesario destacar aquí que existe en el cerebro lo que podríamos
llamar un «compartimiento consciente», una especie de espacio físico para la
simulación y creación de nuevos objetos … En algunos sentidos, estos nuevos
objetos matemáticos se comportan como seres vivos: como los seres vivos, son
objetos físicos susceptibles de evolucionar de forma muy rápida; a diferencia
de los seres vivos, con la excepción específica de los virus, evolucionan en
nuestro cerebro».
Finalmente, la afirmación más categórica en el debate de invención contra
descubrimiento la efectuaron el lingüista cognitivo George Lakoff y el
psicólogo Rafael Núñez en su controvertido libro Where Mathematics
Comes From, en el que declaraban: [265]
La
matemática es una parte natural de nuestra condición humana; surge de nuestro
cuerpo, de nuestro cerebro y de nuestra experiencia cotidiana del mundo.
(Lakoff y Núñez hablan pues de la matemática como algo que surge de una «mente
encarnada») … La matemática es un sistema de conceptos humanos que utiliza de
forma extraordinaria las herramientas ordinarias de la cognición humana … Los
seres humanos somos los responsables de la creación de la matemática, y de su
conservación y ampliación. El retrato de la matemática tiene rostro humano.
Los
científicos cognitivos basan sus conclusiones en lo que consideran una
persuasiva abundancia de pruebas que son el resultado de numerosos
experimentos. Algunas de estas pruebas incluyen estudios con imágenes
funcionales del cerebro durante la realización de tareas matemáticas. Otros han
examinado la competencia matemática de niños, de grupos de
cazadores-recolectores que no han sufrido escolarización, como los Mundurukú, y
de personas con diversos grados de daños cerebrales. Casi todos los investigadores
están de acuerdo en que algunas capacidades matemáticas parecen ser innatas.
Por ejemplo, todos los humanos son capaces de apreciar de un vistazo si están
viendo uno, dos o tres objetos (esta capacidad se denomina subitizar). Una
versión muy limitada de la aritmética (las operaciones de agrupar, emparejar y
adiciones y sustracciones muy simples) podría también ser innata, del mismo
modo que una comprensión muy básica de los conceptos geométricos (aunque esta
última afirmación es más polémica). Los neurocientíficos han identificado
también regiones del cerebro, como el giro angular en el hemisferio
izquierdo, [266]que parecen
ser esenciales para la manipulación de números y cálculos matemáticos, pero que
no son esenciales para el lenguaje ni para la memoria operativa.
Según Lakoff y Núñez, una de las principales herramientas para el avance más
allá de las habilidades innatas es la construcción de metáforas conceptuales
mediante procesos que traducen conceptos a otros más concretos. Por ejemplo, la
concepción de la aritmética se fundamenta en una metáfora básica, la de la
recolección de objetos. Por otra parte, el álgebra de clases de Boole, más
abstracta, vinculaba de forma metafórica clases a números. El elaborado
escenario desarrollado por Lakoff y Núñez ofrece puntos de vista interesantes
sobre las razones por las que los seres humanos encuentran algunos conceptos
matemáticos mucho más difíciles que otros. Otros investigadores, como la
neurocientífíca cognitiva Rosemary Varley de la Universidad de Sheffield, [267]sugieren
que como mínimo algunas estructuras matemáticas parasitan la facultad del
lenguaje, es decir, las capacidades matemáticas se desarrollan a partir de las
herramientas mentales utilizadas para construir el lenguaje.
Los científicos cognitivos abogan claramente por una asociación de nuestra
matemática con la mente humana y se oponen al platonismo. De todos modos, es
interesante apreciar que el argumento, en mi opinión, más claro contra el
platonismo no viene de la neurobiología, sino de sir Michael Atiyah, uno de los
matemáticos más insignes del siglo XX. De hecho, ya mencioné su línea de
razonamiento en el capítulo 1, pero ahora me gustaría presentarla con mayor
detalle.
Si tuviese que elegir el concepto de nuestra matemática con mayor probabilidad
de existir de forma independiente de la mente humana, ¿cuál elegiría? La mayor
parte de las personas llegarían posiblemente a la conclusión de que deben ser
los números naturales. ¿Qué puede haber más «natural» que 1, 2, 3…? Incluso el
matemático alemán Leopold Kronecker (1823-1891), de tendencia intuicionista,
declaró: «Dios creó los números naturales. Todo lo demás es obra del hombre».
Así, si se pudiese demostrar que incluso el concepto de número natural tiene su
origen en la mente humana, representaría un gran avance en favor del paradigma
del «invento». Atiyah expone de este modo sus argumentos como ya vimos: «Pero
imaginemos que la inteligencia no se hubiese desarrollado en el hombre, sino en
una especie de medusa colosal, solitaria y aislada en los abismos del océano
Pacífico. Este ente no tendría experiencia alguna de los objetos individuales,
ya que sólo estaría rodeado de agua. Sus datos sensoriales básicos se
reducirían a movimiento, temperatura y presión. En este continuo puro, el
concepto de discreto no podría surgir ni, por consiguiente, habría nada que
contar». [268]En otras
palabras, Atiyah está convencido de que incluso algo tan básico como el
concepto de número natural ha sido creado por los seres
humanos mediante la abstracción (o, como dirían los científicos cognitivos, a
través de metáforas primarias) de elementos del mundo físico. Dicho de otro
modo, el número 12, por ejemplo, representa una abstracción común a todos los
objetos que van agrupados en docenas, de la misma forma que la palabra
«pensamientos» representa una diversidad de procesos que tienen lugar en
nuestro cerebro.
El lector puede poner objeciones al uso como prueba del universo hipotético de
la medusa, argumentando que sólo existe un único universo inevitable y que cada
suposición debe examinarse en el contexto de este universo. Sin embargo, esto
sería equivalente a admitir que el concepto de número natural depende de algún
modo del universo de experiencias humanas. Obsérvese que Lakoff y Núñez se
referían precisamente a esto cuando hablaban de la matemática como algo
«encarnado».
Hasta ahora he argumentado que los conceptos de nuestra matemática tienen su
origen en la mente humana, y quizá se pregunte por qué había insistido
anteriormente en que gran parte de la matemática es, de hecho, descubierta, lo
que parece estar más próximo al platonismo.
Invento y descubrimiento
En el lenguaje cotidiano, la distinción entre invento y descubrimiento es en
ocasiones de una claridad meridiana, mientras que en otras es algo más borroso.
Nadie diría que Shakespeare descubrió Hamlet ni que Madame Curie inventó el radio.
Al mismo tiempo, los nuevos fármacos para el tratamiento de ciertas
enfermedades se suelen anunciar como descubrimientos, a pesar de que con
frecuencia implican la meticulosa síntesis de nuevos compuestos químicos. Me
gustaría describir en cierto detalle un ejemplo matemático muy específico que
ayudará, no sólo a aclarar la diferencia entre invento y descubrimiento, sino
que ofrecerá también valiosa información sobre los procesos de evolución y
progreso de la matemática.
En el Libro VI de los Elementos, la monumental obra de
Euclides sobre geometría, hay una definición de cierta división de una línea en
dos partes desiguales (el Libro II contiene otra definición, en términos de
áreas). Según Euclides, si una línea AB se divide mediante un punto C de tal
modo (figura 62) que la relación entre las longitudes de los dos segmentos
(AC/CB) sea igual a la de la línea dividida por el segmento más largo (AB/AC),
se dice que la línea se ha dividido en «extrema y media razón».
Dicho
de otra forma, si AC/CB = AB/AC, cada una de estas proporciones se denomina
«razón extrema y media». Desde el siglo XIX, esta razón se denomina
popularmente Razón áurea.[269]Basta un
poco de álgebra básica para hallar que la razón áurea es igual a (1+√5)/2 =
1,6180339887…
La primera pregunta que uno puede plantearse es por qué Euclides se tomó el
trabajo de definir esta división en especial y asignar un nombre a la razón.
Después de todo, una línea se puede dividir de infinitas formas. La respuesta a
esta pregunta se halla en la herencia cultural y mística de los pitagóricos y
de Platón. Recordemos que los pitagóricos estaban obsesionados por los números.
Pensaban que los números impares eran masculinos y buenos y, mostrando un
cierto prejuicio, que los pares eran femeninos y malos. Tenían una afinidad
especial por el número 5, la unión del 2 y del 3, el primer número par
(femenino) y el primero impar (masculino). (El número 1 no se consideraba un
número, sino el generador de todos los números.) Así, para los pitagóricos, el
número 5 representaba el amor y el matrimonio, y utilizaban el pentagrama (la
estrella de cinco puntas de la figura 63) como símbolo de su hermandad.
Y
aquí es donde hace su aparición por primera vez la razón áurea. Si se toma un
pentagrama regular, la razón entre el lado de cualquiera de los triángulos y su
base implícita (a/b en la figura 63) es precisamente igual a la razón áurea. De
forma similar, la razón entre cualquiera de las diagonales de un pentágono
regular y su lado (c/d en la figura 64) es también igual a la razón áurea.
De
hecho, para construir un pentágono con una regla y un compás (el proceso
habitual de construcción geométrica para los antiguos griegos) es necesario
dividir una línea según la razón áurea.
Platón agregó un nuevo aspecto al significado mítico de la razón áurea. Los
antiguos griegos creían que todo el universo se componía de cuatro elementos:
tierra, fuego, aire y agua. En Timeo, Platón intentaba
explicar la estructura de la materia utilizando los cinco sólidos regulares que
actualmente llevan su nombre, los sólidos platónicos (figura
65).
Estos sólidos convexos (el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el
icosaedro) son los únicos cuyas caras son polígonos regulares iguales (en cada
sólido) y cuyos vértices se hallan sobre una esfera. Platón asoció cuatro de
los sólidos con los cuatro elementos cósmicos básicos. Por ejemplo, la Tierra
estaba asociada con el estable cubo, el penetrante fuego con el puntiagudo
tetraedro, el aire con el octaedro y el agua con el icosaedro.
Acerca del dodecaedro (figura 65 (d)), Platón escribía en Timeo:«Quedando
una sola figura compuesta, la quinta, Dios la utilizó para el Todo, y la bordó
con motivos y dibujos». Así, el dodecaedro representaba el universo en su
conjunto. Vale la pena observar que la razón áurea es parte indisoluble del
dodecaedro, con sus doce caras pentagonales. Tanto su volumen como su
superficie pueden expresarse en función de la razón áurea de forma simple
(también en el caso del icosaedro).
Así,
la historia nos enseña que, a base de muchos ensayos y errores, los pitagóricos
y sus seguidores descubrieron formas de construir ciertas
figuras geométricas que representan conceptos importantes desde su perspectiva,
como el amor y el cosmos en su conjunto. No es sorprendente que, junto con
Euclides (que documentó esta tradición) inventasen el concepto de
razón áurea, relacionado con estas construcciones, y lo nombrasen. A diferencia
de cualquier otra razón arbitraria, el número 1,618… se convirtió en el foco de
una intensa investigación a lo largo de la historia, y en la actualidad sigue
apareciendo en los lugares más insospechados. Por ejemplo, dos milenios después
de Euclides, el astrónomo alemán Johannes Kepler descubrióque este
número aparece, de forma casi milagrosa, en relación con una secuencia numérica
denominada serie de Fibonacci. La característica de la serie
de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…) es que, a partir
del tercero, cada número es la suma de los dos anteriores (esto es: 2 = 1 + 1;
3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3; etc.) Al dividir cada número de la serie por el
inmediatamente anterior (por ejemplo, 144/89; 233/144…), se halla que los
cocientes oscilan, pero se van aproximando a la razón áurea al avanzar en la
secuencia. Por ejemplo (redondeando al sexto decimal): 144/89 = 1,617978;
233/144 = 1,618056; 377/233 = 1,618026, etc.
En épocas más modernas, la serie de Fibonacci (y, junto a ella, la razón áurea)
se han hallado en la disposición de las hojas de algunas plantas (un fenómeno
denominado filotaxis) y en la estructura de los cristales de
ciertas aleaciones de aluminio.
¿Por qué considero que la definición de Euclides del concepto de
razón áurea es un invento? Porque la inventiva de Euclides señaló esta razón en
particular y atrajo a ella la atención de los matemáticos. Por otro lado, en
China, donde el concepto de razón áurea no se había inventado, la
literatura matemática no contenía esencialmente referencia alguna a ella. En la
India, en donde tampoco se había inventado el concepto, la razón áurea aparece
de forma lateral únicamente en algunos insignificantes teoremas de
trigonometría.
Se pueden hallar numerosos ejemplos para demostrar que la pregunta «La
matemática ¿es descubierta o inventada?» está mal planteada. Nuestra matemática
es una combinación de inventos y descubrimientos. Los axiomas
de la geometría euclidiana como concepto fueron un invento,
del mismo modo que lo fueron las reglas del ajedrez. Los axiomas fueron
complementados asimismo por otros diversos conceptos inventados, como
triángulos, paralelogramos, elipses, la razón áurea y otros. Por otro lado, los
teoremas de la geometría euclidiana fueron en su mayor parte descubrimientos;
se trataba de los caminos que vinculaban entre sí los distintos conceptos. En
algunos casos, las demostraciones generaron los teoremas: los matemáticos
examinaban lo que podían demostrar y a partir de ahí deducían los teoremas. En
otros casos, como describe Arquímedes en El método, se halló
primero la respuesta a determinada cuestión de interés y, a
continuación, se averiguaba la demostración.
En general, los conceptos eran inventados. Como concepto, los
números primos eran un invento, pero todos los teoremas acerca de números
primos fueron descubiertos. [270]Los
matemáticos de la antigua Babilonia, Egipto y China no inventaron nunca el
concepto de número primo, a pesar del avanzado estado de su matemática.
¿Podríamos decir que simplemente no habían «descubierto» los números primos? No
más de lo que podemos afirmar que el Reino Unido no «descubrió» una
constitución única, codificada y documental. Del mismo modo que un país puede
sobrevivir sin constitución, sin el concepto de número primo es posible
desarrollar una matemática elaborada. ¡Y vaya si lo era!
¿Sabemos por qué los griegos inventaron conceptos como los axiomas y los
números primos? Aunque no es posible afirmarlo con seguridad, podemos suponer
que formaba parte de su incansable afán por investigar los constituyentes
fundamentales del universo. Los números primos eran los bloques de construcción
básicos de los números, del mismo modo que los «átomos» lo eran de la materia.
De forma parecida, los axiomas eran la fuente de la que manaban, según se
suponía, todas las verdades de la geometría. El dodecaedro representaba todo el
cosmos, y la razón áurea era el concepto que otorgaba existencia a ese símbolo.
Este debate saca a relucir otro de los aspectos interesantes de la matemática:
que ésta forma parte de la cultura humana. Una vez que los griegos inventaron
el método axiomático, los matemáticos europeos que vinieron a continuación
siguieron sus pasos y adoptaron la misma filosofía y las mismas prácticas. Como
observó el antropólogo Leslie A. White (1900-1975): «Si Newton se hubiese
criado dentro de la cultura de una tribu de Sudáfrica, hubiese calculado como
un miembro de la tribu». [271]Lo más
probable es que sea esta estructura cultural de la matemática la responsable de
que muchos de los descubrimientos matemáticos (como los invariantes de nudos) e
incluso algunos de los principales inventos (como el cálculo) los hiciesen de
forma simultánea varias personas trabajando de modo independiente.
¿Habla matemática?
En una sección anterior he comparado la trascendencia del concepto abstracto de
un número con el del significado de una palabra. La matemática ¿es un tipo de
lenguaje? Desde el punto de vista de la lógica matemática, por un lado, y de la
lingüística, por otro, parece que, hasta cierto punto, lo es. Las obras de
Boole, Frege, Peano, Russell, Whitehead, Gödel y sus actuales seguidores (en
especial en áreas tales como la sintaxis y la semántica filosóficas, en
paralelo con la lingüística) han demostrado que la gramática y el razonamiento
están íntimamente relacionados con el álgebra de la lógica simbólica. Entonces,
¿por qué hay más de 6.500 lenguas pero sólo una matemática? En realidad, las
distintas lenguas tienen numerosas características de diseño comunes. Por
ejemplo, en la década de 1960, el lingüista norteamericano Charles F. Hockett
(1916-2000) señaló que todas las lenguas tienen incorporados mecanismos para la
adquisición de nuevas palabras y expresiones (por ejemplo, «ratón», «portátil»,
«música indie», etc.) [272]Del mismo
modo, las lenguas humanas permiten expresar la abstracción (por ejemplo,
surrealismo, ausencia o grandeza), la negación (como «no» o «ninguno») y la
hipótesis («si la abuela hubiese tenido ruedas podría haber sido un autobús»).
Quizá dos de las características más importantes de las lenguas sean el
hecho de queson abiertasy su libertad para responder a estímulos. La
primera representa la capacidad para crear y comprender frases que nunca antes
se han dicho. [273]Por
ejemplo, yo podría crear con facilidad una frase como «No se puede reparar la
presa de Hoover con chicle» y, aunque lo más probable es que nunca antes haya
oído esa frase, la entenderá sin ningún problema. La libertad de respuesta a
estímulos es la capacidad de elegir cómo responder a un estímulo recibido, o
incluso si queremos responder. Por ejemplo, la respuesta a la pregunta de la
cantautora Carole King en su canción Will You Still Love Me Tomorrow? podría
ser cualquiera de éstas: «No sé si seguiré vivo mañana», «Por supuesto», «Ni
siquiera te quiero hoy», «No tanto como a mi perro», «Esta es sin duda tu mejor
canción» o incluso «Me pregunto quién ganará el Open de Australia este año».
Muchas de estas características (abstracción, negación, apertura y capacidad de
evolución) son también típicas de la matemática. [274]Los
lingüistas cognitivos señalan también que las lenguas humanas utilizan
metáforas para expresar casi cualquier cosa. Y lo que es aún más importante:
desde 1957, el año en que el célebre lingüista Noam Chomsky publicó su
revolucionaria obra Syntactic Structures,[275]una gran
parte de los esfuerzos de los lingüistas se han dedicado al concepto de
gramática universal, es decir, los principios subyacentes a todas las lenguas.
Dicho de otro modo, lo que parece una Torre de Babel de diversidad puede en
realidad ocultar una sorprendente similitud estructural. De hecho, si no fuese
así, probablemente los diccionarios nunca hubiesen servido para nada.
Es lícito seguir preguntándose por la uniformidad de la matemática, tanto en
términos temáticos como de notación simbólica. La primera parte de esa pregunta
es especialmente enigmática. Casi todos los matemáticos opinan que la
matemática tal como la conocemos ha evolucionado a partir de las ramas básicas
de la geometría y la aritmética practicadas en las antiguas civilizaciones de
Babilonia, Egipto y Grecia. No obstante, ¿era realmente inevitable que los
inicios de la matemática se hallasen precisamente en esas disciplinas? En su
monumental trabajo Un nuevo tipo de ciencia,el científico
computacional Stephen Wolfram sostenía que no tenía por qué ser así. [276]En
concreto, Wolfram demostraba cómo, a partir de conjuntos de reglas básicas que
actúan como breves programas informáticos (lo que se denomina autómatas
celulares) es posible desarrollar un tipo de matemática radicalmente
distinto. Estos autómatas celulares se podrían utilizar (en principio) como
herramientas básicas para modelar los fenómenos naturales, en sustitución de
las ecuaciones diferenciales que han dominado las ciencias durante tres siglos.
Entonces, ¿qué fue lo que hizo que las antiguas civilizaciones descubriesen e
inventasen nuestro «tipo» determinado de matemática? No estoy seguro, pero creo
que las particularidades del sistema de percepción de los seres humanos pueden
haber tenido un papel fundamental en ello. Los humanos detectan y perciben con
facilidad aristas, líneas rectas y curvas suaves. Obsérvese, por ejemplo, la
precisión con la que se puede determinar a simple vista si una línea es
perfectamente recta o el poco esfuerzo que cuesta distinguir entre un círculo y
una forma ligeramente elíptica. Estas capacidades perceptivas pueden haber
modelado nuestra experiencia del mundo y, por tanto, habernos guiado hacia una
matemática basada en objetos discretos (aritmética) y figuras geométricas
(geometría euclidiana).
En cuanto a la uniformidad de la notación simbólica, quizá sea un resultado de
lo que se podría denominar «efecto Microsoft Windows»: todo el mundo utiliza el
sistema operativo de Microsoft, no porque fuese inevitable conformarse a ese
estándar, sino porque, una vez que el sistema operativo empezó a dominar el
mercado de ordenadores, todos tuvieron que adoptarlo para facilitar las
comunicaciones y la disponibilidad de los productos. De forma similar, la
notación simbólica occidental ha impuesto su uniformidad en el mundo de la matemática.
La astronomía y la astrofísica pueden aún ofrecer interesantes contribuciones a
la cuestión del «invento y descubrimiento». Los estudios más recientes de
planetas extrasolares parecen indicar que alrededor del 5 por 100 de las
estrellas poseen al menos un planeta girando a su alrededor, y que esta
proporción permanece, en promedio, aproximadamente constante en toda la Vía
Láctea. No se sabe aún qué proporción de estos planetas es similar a la
Tierra, pero es posible que la galaxia contenga miles de millones de
ellos. Aunque sólo una parte pequeña (pero no despreciable) de esas Tierras
estuviesen en la zona habitable (el intervalo de órbitas que
permiten la existencia de agua en estado líquido en la superficie) de sus
estrellas, la probabilidad de que se desarrolle en esos planetas vida en
general y, en particular, vida inteligente, no es nula. Si descubriésemos otra
forma de vida inteligente con la que podernos comunicar, obtendríamos
valiosísima información acerca de los formalismos que esta civilización habría
desarrollado para explicar el cosmos. Esto supondría, no sólo un colosal avance
en nuestra comprensión acerca del origen y la evolución de la vida, sino que
nos permitiría comparar nuestro sistema lógico con el de estos avanzados seres.
Desde un punto de vista más especulativo, ciertos escenarios cosmológicos (por
ejemplo, el denominado de inflación eterna) predicen la
posible existencia de múltiples universos. Algunos de estos universos pueden
caracterizarse por poseer no sólo valores distintos de las constantes de la
naturaleza (como la intensidad de las distintas fuerzas o las relaciones entre
las masas de las partículas subatómicas) sino incluso leyes naturales
completamente distintas. El astrofísico Max Tegmark sostiene que incluso
debería haber un universo que correspondiese a (o, en su lenguaje, que fuese) cada
posible estructura matemática. [277]En tal
caso, estaríamos hablando de una forma radical de la perspectiva «el
universo esla matemática»; no sólo hay un mundo que se puede
identificar con la matemática, sino un conjunto de ellos. Por desgracia, esta
especulación no sólo es extremadamente radical e imposible de comprobar;
también parece contradecir (al menos, en su forma más simple) lo que se ha dado
en denominar principio de mediocridad. [278]Como
describí en el capítulo 5, si se elige una persona al azar en la calle, la
probabilidad de que su altura se encuentre dentro de dos desviaciones estándar
de la altura media es del 95 por 100. Se puede aplicar un argumento similar a
las propiedades de los universos. Pero el número de posibles estructuras
matemáticas se incrementa de forma espectacular al aumentar la complejidad.
Esto se traduce en que la estructura más «mediocre» (más cercana a la media)
debería de ser increíblemente compleja, lo que parece contradecir la relativa
simplicidad de nuestra matemática y de nuestras teorías del universo e
incumplir así las naturales perspectivas de que nuestro universo debería de ser
un caso típico.
El enigma de Wigner
La pregunta «La matemática ¿es descubierta o inventada?» no está bien
formulada, porque implica que la respuesta debe ser una o la otra y que ambas
posibilidades se excluyen mutuamente. Mi sugerencia es que la matemática es en
parte inventada y en parte descubierta. Lo habitual es que los seres humanos
inventen los conceptos matemáticos y descubran las relaciones entre estos
conceptos. Ciertos descubrimientos empíricos se efectuaron sin duda antes de la
formulación de los conceptos, pero los propios conceptos ofrecieron un
incentivo para el descubrimiento de teoremas adicionales. También se debe
mencionar que ciertos filósofos de la matemática, como el norteamericano Hilary
Putnam, adoptan una posición intermedia denominada realismo:[279]creen en la
objetividad del discurso matemático (es decir, las frases son ciertas o falsas,
y lo que hace que lo sean es externo a los seres humanos) sin comprometerse (a
diferencia de los platónicos) con la existencia de «objetos matemáticos». La
cuestión es la siguiente: ¿ofrece alguna de estas perspectivas una explicación
satisfactoria del enigma de Wigner acerca de la «eficacia inexplicable» de la
matemática?
Antes de responder, examinaré algunas de las posibles soluciones formuladas por
algunos pensadores contemporáneos. [280]El premio
Nobel de Física David Gross escribe: [281]
…un
punto de vista que, según mi experiencia, no es inusual entre los matemáticos
creativos, a saber, que las estructuras matemáticas que alcanzan no son
creaciones de la mente humana, sino que están dotadas de una característica de
naturaleza propia tan real como las estructuras creadas por los físicos para
describir el mundo denominado real. Dicho de otra forma, los matemáticos no
inventan nueva matemática, sino que la descubren. Si éste fuera el caso, quizá
una parte de los enigmas que venimos explorando* [* La «eficacia inexplicable».
(N. del a.)] no sean en realidad tan misteriosos. Si la matemática versa sobre
estructuras que forman parte real del mundo natural, tan real como los
conceptos de la física teórica, no es sorprendente que se trate de una herramienta
eficaz en el análisis del mundo real.
Dicho
de otro modo, la postura de Gross es una versión de la perspectiva «matemática
como descubrimiento» que se halla en algún punto intermedio entre el mundo
platónico y el mundo de «el universo es matemática» (aunque
más próxima al punto de vista platónico). Sin embargo, como hemos podido ver,
es complicado apoyar el punto de vista de «matemática como descubrimiento». Es
más: el platonismo no puede dar respuesta a la fabulosa precisión que he
descrito en el capítulo 8 (algo que el propio Gross ha reconocido).
Sir Michael Atiyah, cuya perspectiva acerca de la naturaleza de
la matemática comparto en general, plantea el siguiente argumento: [282]
Si
se observa el cerebro en su contexto evolutivo, el misterioso éxito de la
matemática dentro de las ciencias físicas queda explicado, al menos
parcialmente. El cerebro ha evolucionado para tratar con el mundo físico, de
modo que no debería sorprendernos que haya desarrollado un lenguaje, la
matemática, adecuado para esta finalidad.
Este
tipo de razonamiento es muy similar a las soluciones propuestas por los
científicos cognitivos. Sin embargo, Atiyah reconoce también que no se trata de
una explicación satisfactoria para los aspectos más peliagudos del problema
(por ejemplo, la forma en que la matemática arroja luz sobre los aspectos más
esotéricos del mundo físico) y, en particular, deja completamente en el aire la
cuestión de lo que he venido denominando eficacia pasiva (es
decir, los conceptos matemáticos que hallan aplicación tiempo después de su
invención). Señala Atiyah: «El escéptico puede argumentar que la lucha por la
supervivencia sólo nos exige enfrentarnos a fenómenos en la escala humana; sin
embargo, la teoría matemática parece ser eficaz en todas las escalas, de la
atómica a la galáctica». A lo que sugiere: «Puede que la única explicación
resida en la naturaleza jerárquica abstracta de la matemática, que nos permite
subir y bajar en la escala del mundo de forma comparativamente sencilla».
El matemático y científico computacional norteamericano Richard Hamming
(1915-1998) hizo extensas e interesantes aportaciones al debate del enigma de
Wigner en 1980. [283]En primer
lugar, acerca de la naturaleza de la matemática, su conclusión era: «La
matemática ha sido fabricada por el hombre y es, por tanto, susceptible de ser
continuamente alterada por él». A continuación proponía cuatro posibles
respuestas para la eficacia inexplicable:
i. los
efectos de selección;
ii. la
evolución de las herramientas matemáticas;
iii.
el poder de explicación limitado de la matemática, y
iv. la
evolución del ser humano. Voy a explicar brevemente lo que Hamming quiere decir
en cada una de estas respuestas y señalar los posibles puntos débiles.
Los
efectos de selección son sesgos en los resultados de los experimentos,
provocados por la instrumentación o por la metodología utilizadas. Por ejemplo,
un pescador que utilice una red con agujeros de 25 centímetros de diámetro
puede llegar a la conclusión de que todos los peces miden más de 25
centímetros. Dicho de otra forma, lo que Hamming sugiere es que, en ciertos
casos, «el fenómeno original surge de las propias herramientas matemáticas
utilizadas, y no del mundo real … una gran parte de lo que vemos está
relacionado con el color del cristal con el que miramos». Para ilustrar su
argumento indica que se puede mostrar que cualquier fuerza que emane
simétricamente de un punto (y conserve la energía) en el espacio de tres
dimensiones debe seguir una ley del cuadrado inverso, de modo que no es
sorprendente que la ley de gravitación de Newton sea aplicable. Aunque el
argumento de Hamming es correcto, los efectos de selección no son capaces de
explicar el fantástico nivel de precisión de algunas teorías.
La segunda posible solución de Hamming se basa en el hecho de que los seres
humanos seleccionan y mejoran de forma continua la matemática para que se
adapte a situaciones concretas. En otras palabras, Hamming propone que estamos
asistiendo a lo que podríamos llamar una «evolución y selección natural» de las
ideas matemáticas: los humanos inventan un gran número de conceptos matemáticos
y sólo se seleccionan los más aptos. Durante años yo mismo he creído que este
argumento ofrecía una explicación completa. El premio Nobel de Física Steven
Weinberg proponía una interpretación similar en su libro El sueño de
una teoría final.[284]¿Podría ser
ésta la explicación del enigma de Wigner? No cabe la menor
duda de que, en efecto, estos procesos de selección y evolución tienen lugar.
Después de filtrar numerosos formalismos y herramientas matemáticas, los
científicos conservan las que funcionan y las actualizan y modifican a medida
que surgen otras mejores. Pero, aunque aceptemos esta idea, ¿por qué existen teorías
matemáticas capaces de explicar el universo?
El tercer argumento de Hamming es que nuestra impresión de la eficacia de la
matemática puede ser, de hecho, ilusoria, ya que una gran parte del mundo que
nos rodea no puede explicarse mediante la matemática. Esta perspectiva toma
fuerza, por ejemplo, en esta cita del matemático Israïl Moiseevich
Gelfand: [285]«Sólo hay
una cosa que sea más inexplicable que la inexplicable eficacia de la matemática
en física, y es su inexplicable ineficacia en biología». (El
subrayado es mío.) Pero no creo que esto baste para dar explicación al problema
de Wigner. Es cierto que, a diferencia de lo que sucede en la Guía del
autoestopista galáctico,no podemos decir que la respuesta a la vida, el
universo y todo lo demás sea 42. Sin embargo, el número de fenómenos que la
matemática sí ayuda a dilucidar es lo bastante grande como para
justificar una explicación. Es más: la variedad de hechos y procesos que se
pueden interpretar desde un punto de vista matemático no hace más que ampliarse
continuamente.
Hamming tomó en consideración una posible cuarta explicación, muy similar a la
que había sugerido Atiyah: que la «evolución darwiniana seleccionaría de forma
natural para su supervivencia las formas de vida en competición que tuviesen en
su mente los mejores modelos de la realidad, siendo «los mejores» los más aptos
para la supervivencia y la propagación.
El científico computacional Jef Raskin (1943-2005), uno de los iniciadores del
proyecto Macintosh para Apple Computer, tenía un punto de vista similar, con
especial énfasis en la función de la lógica. Su conclusión era que:
La lógica humana nos ha sido impuesta por el mundo físico y es, por tanto,
coherente con él. La matemática deriva de la lógica, y por ese motivo es
coherente con el mundo físico. No es ningún misterio, pero eso no significa que
debamos perder nuestra capacidad de sorprendernos y maravillarnos ante la
naturaleza a medida que llegamos a comprenderla mejor.
Hamming, que no estaba tan convencido, a pesar de la solidez de sus propios
argumentos, señaló que:
Si se toma como edad de la ciencia 4.000 años, se obtiene generalmente un
límite superior de 200 generaciones. Considerando los efectos de la evolución
mediante la selección de pequeñas variaciones aleatorias, no me parece que la
evolución sea capaz de explicar más que una pequeña parte de la eficacia
inexplicable de la matemática.
Raskin sostenía que «los fundamentos de la matemática se habían establecido
mucho antes de la llegada de nuestros antepasados, probablemente a lo largo de
millones de generaciones [286]». Pero
debo decir que este argumento no me parece especialmente convincente. Aunque la
lógica esté firmemente arraigada en los cerebros de nuestros antepasados, es
difícil ver cómo este hecho puede haber conducido a la aparición de teorías
matemáticas abstractas del mundo subatómico (como la mecánica cuántica o los
formalismos conocidos como teorías «gauge») de fabulosa precisión.
Es sorprendente constatar que Hamming concluía su artículo admitiendo que
«todas las explicaciones que he ofrecido, una vez unidas, no bastan para
aclarar lo que pretendía» (la eficacia inexplicable de la matemática).
Entonces, ¿debemos concluir que esta eficacia sigue siendo igual de enigmática
que al principio?
Antes de rendirnos, vamos a intentar llegar a la esencia del misterio de
Wigner; para ello vamos a examinar lo que se denomina método científico. En
primer lugar, los científicos averiguan, a través de una serie de experimentos
y observaciones, hechos acerca de la naturaleza. Estos hechos se utilizan
inicialmente para desarrollar una especie de «modelos» cualitativos de los
fenómenos (por ejemplo, la Tierra atrae las manzanas, la colisión de partículas
subatómicas puede producir otras partículas, el universo se expande, etc.). En
muchas de las ramas de la ciencia, las teorías incipientes pueden incluso no
ser matemáticas. Uno de los mejores ejemplos de una teoría de este tipo con una
inmensa capacidad para explicar los fenómenos es la teoría de la evolución de
Darwin. Aunque la selección natural no está basada en formalismo matemático
alguno, es notable su éxito en la explicación del origen de las especies. En
física fundamental, por el contrario, el paso siguiente suele consistir en
intentar construir teorías cuantitativas, matemáticas (por
ejemplo, la relatividad general, la electrodinámica cuántica, la teoría de
cuerdas, etc.). Finalmente, los investigadores utilizan esos modelos
matemáticos para predecir nuevos fenómenos, nuevas partículas y resultados de
experimentos y observaciones nunca realizados. Lo que confundía a Wigner y a
Einstein era la increíble precisión del resultado de estos dos últimos
procesos. ¿Cómo es posible que, una y otra vez, los físicos puedan hallar
herramientas matemáticas que no sólo expliquen los resultados experimentales y
las observaciones anteriores, sino que lleven a descubrir nuevos criterios y
efectuar nuevas predicciones? Voy a intentar dar respuesta a esta versión de la
pregunta a partir de un ejemplo del matemático Reuben Hersh. Hersh proponía
que, en el espíritu del análisis de muchos de estos problemas de la matemática
(y, desde luego, de la física teórica), se debía examinar el más simple de los
casos posibles. [287]Pensemos en
el experimento aparentemente trivial de introducir guijarros en un jarrón
opaco. Supongamos que metemos primero cuatro guijarros blancos y luego siete
guijarros negros. En algún momento de la historia, los humanos aprendieron que,
en algunos casos, podían representar un grupo de guijarros de cualquier color
mediante un concepto abstracto que habían inventado: un número natural. Es
decir, el conjunto de guijarros blancos se podía asociar con el número 4 (o
IIII, IV o cualquiera que fuese el símbolo utilizado en la época) y el de
guijarros negros, con el número 7. A través de experimentos como el descrito,
los seres humanos descubrieron que otro concepto inventado (la adición
aritmética) representaba correctamente el acto físico de acumular. Dicho de
otra forma, el resultado del proceso abstracto denotado simbólicamente por 4 +
7 puede predecir de forma no ambigua el número final de guijarros en el jarrón.
¿Qué significa todo esto? ¡Significa que los seres humanos han desarrollado una
increíble herramienta matemática, capaz de predecir de forma fiable el
resultado de cualquierexperimento de este tipo! Esto puede parecer
una trivialidad, pero no lo es, porque esta misma herramienta no sirve, por
ejemplo, con gotas de agua. Si se vierten cuatro gotas de agua en el jarrón una
a una y, a continuación, otras siete gotas, no se obtienen once gotas de agua
independientes. De hecho, para poder efectuar predicciones en experimentos
similares con líquidos o gases, los seres humanos tuvieron que inventar conceptos
completamente distintos (como el de peso) y darse cuenta de que era necesario
pesar cada gota de agua o volumen de gas de forma individual.
La conclusión es clara: las herramientas matemáticas no se han elegido de forma
arbitraria, sino precisamente por su capacidad para predecir de forma correcta
los resultados de los experimentos u observaciones pertinentes. De manera que,
al menos en este caso tan simple, su eficacia estaba garantizada. Los seres
humanos no tuvieron que adivinar a priori cuáles eran las matemáticas
correctas: la Naturaleza tuvo la gentileza de permitirles utilizar el ensayo y
error para determinar qué era lo que funcionaba. Tampoco tenían que utilizar
obligatoriamente las mismas herramientas para todas las circunstancias. A
veces, el formalismo matemático apropiado para determinado problema no existía
y alguien tuvo que inventarlo (es el caso de Newton y su invención del cálculo,
o de las diversas ideas en geometría y topología surgidas en el contexto de los
actuales estudios en teoría de cuerdas). En otros casos, el formalismo ya
existía, pero era necesario descubrir que se trataba de una solución en espera
del problema adecuado (como en el caso del uso de la geometría de Riemann por
Einstein, o de la teoría de grupos en física de partículas). La cuestión es que
su extraordinaria curiosidad, su perseverancia, su imaginación creativa y su
intensa determinación han permitido a los seres humanos hallar los formalismos
matemáticos relevantes para crear modelos de un gran número de fenómenos físicos.
Una de las características de la matemática que ha resultado esencial para lo
que he venido denominando su eficacia «pasiva» ha sido su validez esencialmente
eterna. La geometría euclidiana sigue siendo tan correcta en la actualidad como
lo era en el año 300 a.C. Ahora comprendemos por qué sus axiomas no son
inevitables y, en lugar de representar verdades absolutas acerca del espacio,
representan verdades dentro del universo particular que los seres humanos
percibimos y de su formalismo asociado. Sin embargo, una vez que hemos
comprendido que su contexto es más limitado, todos sus teoremas siguen siendo
ciertos. Dicho de otro modo, las distintas ramas de la matemática se incorporan
a ramas más amplias (por ejemplo, la geometría euclidiana es sólo una de las
posibles versiones de la geometría), pero la corrección se conserva dentro de
cada rama. Esta longevidad indefinida ha permitido que los científicos de cada
época buscasen las herramientas adecuadas dentro del arsenal de formalismos
desarrollados.
De todos modos, el ejemplo sencillo de los guijarros en el jarrón deja en el
aire dos de los elementos del enigma de Wigner. En primer lugar se halla la
siguiente cuestión: ¿por qué en algunos casos parece que, en términos de
exactitud, obtenemos de la teoría más de lo que hemos puesto? En el experimento
de los guijarros, la exactitud de los resultados «predichos» (la acumulación de
otros conjuntos de guijarros) no es mejor que la exactitud de los experimentos
que condujeron a la formulación inicial de la teoría (la adición aritmética).
Por otro lado, se ha demostrado que la exactitud de las predicciones de la
teoría de la gravitación de Newton supera en gran medida la de los resultados
observacionales que motivaron la formulación de la teoría. ¿Por qué? Vamos a
recapitular brevemente sobre la historia de la teoría de Newton.
El modelo geocéntrico de Ptolomeo fue el dominante durante unos quince siglos.
Aunque el modelo no pretendía ser universal (el movimiento de cada planeta se
trataba de forma individual) y no mencionaba nada acerca de causas físicas
(como fuerzas o aceleraciones), se ajustaba razonablemente a las observaciones.
Nicolaus Copernicus (1473-1543) publicó su modelo heliocéntrico en 1543, y
Galileo le proporcionó una base sólida. Galileo estableció también los
fundamentos de las leyes del movimiento. Pero fue Kepler quien dedujo las
primeras leyes matemáticas (aunque sólo fenomenológicas) del movimiento
planetario a partir de observaciones. Kepler utilizó una colosal cantidad de
datos recopilados por el astrónomo Tycho Brahe (1546-1601) para determinar la
órbita de Marte. [288]A los
centenares de páginas de cálculos que tuvo que llevar a cabo los denominó «mi
guerra personal con Marte». Salvo por un par de discrepancias, las
observaciones se ajustaban a una órbita circular. Sin embargo, Kepler no quedó
satisfecho con esta solución, y más adelante describió así sus cavilaciones:
«Si hubiese pensado que podía hacer caso omiso de esos ocho minutos [de arco,
alrededor de una cuarta parte del diámetro de la luna llena], hubiese
modificado mis hipótesis … en consecuencia. Pero no era aceptable ignorarlos,
de modo que esos ocho minutos señalaron el camino de una reforma total de la
astronomía». Las consecuencias de esta meticulosidad fueron fenomenales. Kepler
dedujo que las órbitas de los planetas no son circulares, sino elípticas, y formuló
dos leyes cuantitativas adicionales que podían aplicarse a todos los planetas.
Unidas a las leyes de movimiento de Newton, se convirtieron en la base para la
ley de la gravitación universal. Recordemos, no obstante, que Descartes había
propuesto antes su teoría de los vórtices, en la que los planetas eran
transportados alrededor del Sol por vórtices de partículas en movimiento
circular. Esta teoría no tuvo demasiado predicamento, ni siquiera antes de que
Newton demostrase que era incoherente, porque Descartes no había desarrollado
un tratamiento sistemático de los vórtices.
¿Qué lección podemos extraer de esta breve historia? No cabe duda de que la ley
de la gravitación de Newton fue la obra de un genio. ¡Pero este genio no se
encontraba aislado en el vacío! Una parte de los cimientos habían sido
establecidos anteriormente con gran meticulosidad por otros científicos. Como
ya señalé en el capítulo 4, matemáticos de un nivel mucho menor que el de
Newton, como el arquitecto Christopher Wren y el físico Robert Hooke, habían
sugerido de forma independiente la ley de atracción del cuadrado inverso. La
grandeza de Newton consistió en su capacidad única para ligarlo todo en forma
de una teoría unificada y su terquedad para hallar demostraciones matemáticas de
las consecuencias de su teoría. Podemos preguntarnos por qué este formalismo
resultó ser tan preciso. En parte se debió a que trataba el problema más
fundamental: las fuerzas entre dos cuerpos graves y el movimiento resultante,
sin otros factores que complicasen el escenario. Newton sólo obtuvo una
solución completa para este problema. Así, la teoría fundamental era
extraordinariamente precisa, pero sus implicaciones tuvieron que sufrir una
continua corrección. El sistema solar se compone de más de dos cuerpos. Cuando
se incluyen los efectos de otros planetas (siguiendo igualmente la ley del
cuadrado inverso), las órbitas dejan de ser simples elipses. Por ejemplo, se ha
hallado que la órbita de la Tierra cambia lentamente su orientación en el
espacio (un movimiento denominado precesión), algo parecido a
lo que sucede con el eje de una peonza en rotación. De hecho, los estudios más
modernos han mostrado que, en contradicción con las expectativas de Laplace, es
posible que las órbitas de los planetas acaben convirtiéndose en
caóticas. [289]La propia
teoría fundamental de Newton fue, desde luego, destronada por la relatividad
general de Einstein, y esa misma teoría apareció después de una serie de
salidas en falso y de «casi» dianas. Esto demuestra que no es posible prever la
exactitud. Para probar el pastel es necesario comérselo: hasta obtener la
precisión deseada, se efectúan todas las correcciones y modificaciones
necesarias. Los casos en los que se logra una exactitud superior en un solo
paso parecen milagros.
En segundo plano tenemos, parece claro, un hecho esencial que hace que la
búsqueda de leyes fundamentales valga la pena. Se trata del hecho de que la
naturaleza ha sido tan amable de obedecer leyes universales, en lugar de
simples normas locales. Un átomo de hidrógeno se comporta exactamente
del mismo modo en la Tierra, en el otro extremo de la Vía Láctea o en
una galaxia a diez mil millones de años luz de distancia. Y esto se cumple en
todas las direcciones y momentos.
Los matemáticos y físicos han inventado un término para referirse a estas
propiedades: se denominan simetrías, y dan cuenta de la
inmunidad a los cambios en la ubicación, en la orientación o el momento en que
se pone en marcha el reloj. Si no fuese por estas (y otras) simetrías, la
esperanza de descifrar algún día el gran plan de la naturaleza se hubiese perdido,
porque los experimentos deberían haberse repetido en todos los lugares del
espacio (si es que hubiese sido posible la aparición de la vida en un universo
así). Otra de las propiedades del cosmos que subyace tras las teorías
matemáticas es lo que se ha venido en llamar localidad. Esta
propiedad refleja nuestra capacidad para construir la «imagen global» como si
fuese un rompecabezas, empezando por una descripción de las interacciones más
básicas entre partículas elementales.
Y ahora llegamos al último elemento del enigma de Wigner: ¿qué es lo que
garantiza que deba existir siquiera una teoría matemática? En otras palabras:
¿por qué existe, por ejemplo, una teoría de la relatividad general? ¿Podría
ser que no existiese una teoría matemática de la gravedad?
La respuesta, en realidad, es más simple de lo que podría parecer. [290] ¡No
hay garantía alguna! Hay multitud de fenómenos para los que ni siquiera
en principioes posible efectuar predicciones precisas. En esta categoría se
hallan, por ejemplo, una amplia gama de sistemas dinámicos que desarrollan
comportamientos caóticos, en los que un cambio nimio en las condiciones
iniciales puede provocar resultados finales completamente distintos. Entre los
fenómenos con este tipo de comportamientos se encuentran el mercado de valores,
el tiempo atmosférico sobre las Montañas Rocosas, una bola rebotando en una
ruleta, el humo que sale de un cigarrillo y, por supuesto, las órbitas de los
planetas en el sistema solar. Esto no significa que los matemáticos no hayan
desarrollado formalismos ingeniosos para tratar aspectos importantes de estos
problemas, pero no existe una teoría determinista predictiva para ellos. Los
campos de la probabilidad y la estadística se han creado precisamente para
abordar las cuestiones en las que no se dispone de una teoría que permita
obtener resultados más allá de las observaciones. De forma similar, el concepto
denominado complejidad computacional delimita nuestra
capacidad para resolver problemas mediante algoritmos prácticos, y los teoremas
de incompletitud de Gödel determinan ciertas limitaciones dentro de la propia
matemática. Así, aunque la matemática es extremadamente eficaz para ciertas
descripciones, en especial las que tienen que ver con la ciencia, es incapaz de
describir nuestro universo en todas sus dimensiones. Hasta
cierto punto, los científicos han seleccionado los problemas
en los que trabajan basándose en cuáles pueden recibir un tratamiento
matemático.
Entonces, ¿hemos resuelto definitivamente el misterio de la inexplicable
eficacia de la matemática? Dudo mucho que los argumentos que he expuesto en
este libro hayan dejado completamente convencidas a todas las personas. Sin
embargo, puedo citar a Bertrand Russell en Los problemas de la
filosofía: [291]
Para
resumir nuestro análisis sobre el valor de la filosofía: la filosofía debe ser
estudiada, no por las respuestas concretas a los problemas que plantea, puesto
que, por lo general, ninguna respuesta precisa puede ser garantizada como
verdadera, sino más bien por el valor de los problemas mismos; porque estos
problemas amplían nuestra concepción de lo posible, enriquecen nuestra
imaginación intelectual y disminuyen la seguridad dogmática que cierra el
espíritu a la investigación; pero, ante todo, porque por la grandeza del
Universo que la filosofía contempla, el espíritu se hace a su vez grande, y
llega a ser capaz de la unión con el Universo que constituye su supremo bien.
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[1] Jeans
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[2] Einstein
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[3] Hobbes
1651.
[4] Penrose
comenta de forma sublime estos «tres mundos» en Penrose 1989 y Penrose 2004.
[5] Wigner
1960. Volveré diversas veces a este artículo en el transcurso del libro.
[6] Hardy
1940.
[7] Para
un comentario sobre la ley de Hardy-Weinberg en su contexto véase, por ejemplo,
Hedrick 2004
[8] En
1973, Cocks inventó lo que se ha popularizado con el nombre de algoritmo de
cifrado RSA, pero en aquel momento era secreto. Años después, R. Rivest, A.
Shamir y L. Adleman del MIT reinventaron el algoritmo de forma independiente.
Véase Rivest, Shamir y Adleman 1978
[9] Se
puede hallar una descripción para profanos de la teoría de grupos y su historia
en Livio 2005
[10] Véase
Gleick 1987 para una descripción divulgativa de la aparición de la teoría del
caos
[11] Black
y Scholes 1973
[12] En
Applegate et al. 2007 se ofrece una soberbia (aunque técnica) descripción del
problema y de sus soluciones
[13] Changeux
y Connes 1995
[14] Gardner
2003
[15] Atiyah
l995
[16] Changeux
y Connes 1995
[17] Véase,
por ejemplo, Wallechinsky y Wallace 1975-1981 para una breve biografía de
Marjory Fleming
[18] Stewart
2004.
[19] Véase
el capítulo 4 para una descripción más detallada de la aportación de Descartes
[20] Descartes
1644
[21] Laercio
ca. 250 d.C; Porfirio ca. 270 d.C; Jámblico ca. 300 d.C. Véase Hicks 1925,
Dillon y Hershbell 1991, Taylor 1986
[22] Jámblico
ca. 300 d.C; comentado en Guthrie 1987
[23] Aristóteles
ca. 350 a.C. (Barnes y Lawrence 1984); comentado en Burkert 1972
[24] Herodoto
440 a.C. (Greve 1988)
[25] Porfirio
ca. 270 d.C.7.
[26] Véase
Strohmeier y Westbrook 1999 para un comentario certero de la perspectiva
pitagórica
[27] Stanley
1687
[28] Para
una fascinante recopilación de propiedades de los números véase Wells 1986
[29] Citado
en Heath 1921
[30] Jámblico
ca. 300 d.C; comentado en Guthrie 1987
[31] Strohmeier
y Westbrook 1999; Stanley 1687
[32] En
Heath 1921 se comenta ampliamente el término y su significado en distintas
épocas. El matemático Teón de Esmirna (ca. 70-135 d.C.) utilizaba el término en
relación con la expresión figurativa de los números descritos en el texto del
libro (Lawlor y Lawlor 1979)
[33] Como
se puede ver, en sus comentarios Proclo no detalla específicamente su propia
opinión sobre si Pitágoras fue el primero en formular el teorema. La historia
del buey aparece en los escritos de Laercio, Porfirio y el historiador Plutarco
(ca. 46-120 d.C.) Se basa en poemas de Apolodoro. Sin embargo, los versos sólo
mencionan «esa famosa proposición» sin mencionar a qué proposición se refiere.
Véase también Hicks 1925, Dryden 1992
[34] Renon
y Felliozat 1947, Van der Waerden 1983
[35] Esta
cosmología se basaba en la idea de que la realidad surge del hecho de que la
Forma (que se considera el límite) da forma a la Materia (que se considera
indefinida)
[36] Morris
1999
[37] Joost-Gaugier
2006
[38] Véase
Huffman 1999, Riedweg 2005, Joost-Gaugier 2006 y Huffman 2006 en la Stanford
Encyclopedia of Philosophy para obtener información sobre las aportaciones
pitagóricas y su influencia
[39] Fritz
1945
[40] En
este libro no se tratan temas como los números transfinitos ni las obras de
Cantor y Dedekind. Aczel 2000, Barrow 2005, Devlin 2000, Rucker 1995 y Wallace
2003 son excelentes referencias para no expertos
[41] Jámblico
ca. 300 d.C. (Dillon y Hershbell 1991, Taylor 1986)
[42] Véase
comentario en Netz 2005
[43] Whitehead
1929
[44] Los
títulos de los textos acerca de Platón y sus ideas podrían llenar por sí mismos
un volumen entero. Estos son únicamente algunos de los más útiles, a mi juicio.
Sobre Platón en general: Hamilton y Hun-tingdon 1961, Havelock 1963, Gosling
1973, Ross 1951, Kraut 1992. Sobre su matemática: Heath 1921, Cherniss 1951,
Mueller 1991, Fowler 1999, Herz-Fischler 1998
[45] La
alocución se escribió en 362 d.C, pero no daba detalles acerca del contenido de
la inscripción. El texto de la inscripción viene de una nota al margen en un
manuscrito de Elio Arístides. La nota pudo haberla escrito el orador del siglo
IV Sopratos, y dice (según la traducción de Andrew Barker): «En el frontispicio
de la Escuela de Platón una inscripción rezaba "Nadie entre aquí sin saber
geometría" y nada decía acerca de ser injusto o desleal, pues la geometría
persigue la imparcialidad y la justicia». La nota parece implicar que Platón
sustituyó en su inscripción la habitual referencia a la injusticia o la
deslealtad que aparecía en carteles en los lugares sagrados («Nadie entre aquí
si es injusto o desleal») por «sin saber geometría». Esta historia la
repitieron posteriormente al menos cinco filósofos de Alejandría en el siglo
VI, y finalmente llegó a la obra Chiliades del erudito del siglo XII Joannes
Tzetzes (ca. 1110-1180). Véase Fowler 1999 para un comentario detallado acerca
de la obra
[46] Véase
Glucker 1978 para un resumen de los numerosos intentos arqueológicos fallidos
[47] Comentado
en Chemiss 1945, Mekler 1902
[48] Chemiss
1945, Morrow 1970
[49] Platón
(Bloom 1968)
[50] Washington
1788
[51] Stewart
1905 contiene un interesante comentario acerca de la alegoría
[52] Se
pueden hallar interesantes reflexiones acerca del platonismo y su lugar en la
filosofía de la matemática en Tiles 1996, Mueller 1992, White 1992, Russell
1945, Tait 1996, por ejemplo. Son textos excelentes para profanos Davis y Hersh
1981 y Barrow 1992
[53] Véase
un comentario al respecto en Mueller 2005
[54] Los
comentarios de Platón sobre astronomía y movimiento planetario aparecen en la
República (Bloom 1968), en Timeo y en Leyes. Vlos-1975 y Mueller 1992 comentan
las implicaciones de la postura de Platón
[55] Por
Doxiadis 2000
[56] Para
una descripción detallada véase Ribenboim 1994
[57] Comentaré
estas opiniones con amplitud en el capítulo 9
[58] Bell
1940.
[59] Aristóteles
ca. 330 a.C. (Hardy y Gaw, Wickstead y Comford 1960); véase también Koyre 1978.
[60] Galileo
1589-1592 (Drablein y Drake 1960).
[61] En
el capítulo 7 se tratarán exhaustivamente estas y otras construcciones lógicas.
[62] Bell
1937.
[63] Se
menciona en los comentarios de Medición de un círculo del matemático Eutocio
(ca. 480-540 d.C); Heiberg 1910-1915.
[64] Plutarco
ca. 75 d.C. (Dryden 1992).
[65] Su
año de nacimiento se ha determinado a partir del documento histórico denominado
Chiliades, del escritor bizantino del siglo XII Joannes Tzetzes.
[66] En
Dijksterhuis 1957 se comentan las pruebas de ello.
[67] El
arquitecto romano Marco Vitruvio Polio (siglo I a.C.) nos cuenta esta historia
en su tratado De Architectura (véase Vitruvio, siglo I a.C). Explica que
Arquímedes sumergió en agua un trozo de oro y un trozo de plata, ambos del
mismo peso que la corona, y halló que la corona desplazaba más agua que el oro
pero menos que la plata. No es difícil demostrar que, a partir de la diferencia
de volumen desplazado se puede calcular la proporción de pesos del oro y la
plata en la corona. Así, a diferencia de lo que dicen algunas de las
narraciones populares, Arquímedes no tuvo que utilizar las leyes de la
hidrostática para resolver el problema de la corona.
[68] En
una carta de Thomas Jefferson a M. Correa de Serra en 1814, escribía: «la buena
opinión de la humanidad, como la palanca de Arquímedes, mueve el mundo si
cuenta con el punto de apoyo adecuado». Lord Byron menciona la frase de
Arquímedes en Don Juan. John Fitzgerald Kennedy la utilizó en un discurso de su
campaña, citado en el periódico The New York Times el 3 de noviembre de 1960.
Mark Twain la usó en un artículo titulado «Arquímedes» en 1887.
[69] Un
grupo de estudiantes del MIT intentó reproducir la quema de un barco mediante
espejos en octubre de 2005. Algunos de ellos repitieron también el experimento
en el programa de TV Cazadores de mitos. Los resultados no fueron muy
definitivos; aunque los estudiantes lograron producir un área que quemaba y se
mantenía sola, no lograron producir un fuego demasiado grande. Un experimento
similar efectuado en Alemania en septiembre de 2002 logró encender las velas de
un barco mediante el uso de 500 espejos. Véase el sitio web de Michael Lahanas
para un comentario acerca de los espejos incendiarios.
[70] Exactamente
estas palabras se mencionan en Chiliades de Tzetzes; véase Dijksterhuis 1957.
En 75 d.C, Plutarco dice que Arquímedes simplemente se negó a ser conducido
ante Marcelo hasta no haber resuelto el problema que captaba su atención.
[71] Whitehead
1911.
[72] Heath
1897 es un trabajo estupendo acerca de Arquímedes. Otras obras excelentes son
Dijksterhues 1957 y Hawking 2005.
[73] Heath
1897.
[74] Véase
Netz y Noel 2007 para una magnífica descripción del Proyecto Palimpsesto.
[75] Probablemente
en 975 d.C.
[76] Netz
y Noel 2007.
[77] Will
Noel, director del proyecto, organizó una reunión con William
Christensen-Barry, Roger Easton y Keith Knox. Éste fue el equipo que diseñó el
sistema de captación de imágenes de banda estrecha e inventó el algoritmo
utilizado para revelar parte del texto. Los investigadores Anna Tonazzini,
Luigi Bedini y Emanuele Salerno han desarrollado técnicas de proceso de
imágenes adicionales.
[78] Dijksterhuis
1957.
[79] Berlinski
1996 contiene una bella descripción sobre la historia y el significado del
cálculo.
[80] Heath
1921.
[81] Plutarco
ca. 75 d.C. (Dryden 1992)
[82] Cicerón,
siglo I a.C. Para un análisis académico del texto de Cicerón en términos de
estructura, retórica y simbolismo, véase Jaeger 2002.
[83] Una
biografía moderna muy fidedigna es Drake 1978. Una versión más popular es
Reston 1994. Véase también Van Helden y Burr 1995. La obra completa de Galileo
(en italiano) aparece en Favaro 1890-1909.
[84] Bernardini
y Fermi 1965.
[85] Galileo
1589-1592 (Drablein 1960; Drake 1960). Schmitt 1969 sugiere (siguiendo a D. A.
Maklich) que la afirmación de Galileo puede ser consecuencia de que la mano que
sujeta la bola de plomo está más fatigada que la que sujeta la de madera y, por
tanto, la bola de madera se suelta algo antes. Véase McMannus 2006 para una
excelente presentación de las ideas correctas de Galileo sobre la caída de los
cuerpos. Koyre 1978 contiene un soberbio comentario sobre la física de Galileo.
[86] Shea
1972 y Machamer 1998 contienen rigurosos comentarios acerca de los métodos y
los procesos mentales de Galileo.
[87] Galileo
1589-1592. En De Motu Galileo critica con liberalidad a Aristóteles. Véase
Drablein y Drake 1960.
[88] Una
bella narración de la vida de Virginia, llamada posteriormente hermana María
Celeste, se puede hallar en Galileo's Daughter, Dava Sobel 1999.
[89] Galileo
1610 (Drake 1983, Van Helden 1989). Reeves 2008 contiene una excelente
descripción de los trabajos que condujeron al telescopio.
[90] Swerdlow
1998. Para una descripción detallada de los descubrimientos de Galileo mediante
el telescopio véase Shea 1972, Drake 1990.
[91] Panek
1998 realiza una descripción menos erudita pero encantadora de los
descubrimientos de Galileo, así como una historia general del telescopio.
[92] El
copernicanismo de Galileo se trata de forma exhaustiva en Shea 1998 y Swerdlow
1998.
[93] La
carta en sí fue escrita al embajador de Toscana en Praga, pero Galileo incluyó
en ella el anagrama para Kepler.
[94] De
hecho, escribió a Galileo: «Os exhorto a que no prolonguéis durante más tiempo
la duda del significado, pues estáis tratando con verdaderos alemanes. Pensad
por un momento la inquietud que provoca en mí vuestro silencio». Citado en
Caspar 1993.
[95] El
episodio se trata con detalle en Shea 1972.
[96] El
epigrama estaba en latín. Seggett (1570-1627) había sido alumno de Galileo en
Padua. El epigrama aparece en Le Opere de Favaro. Nicolson 1935 trata con gran
belleza el asunto de la poesía relacionada con los telescopios.
[97] Curzon
2004.
[98] Coresio
1612. Citado asimismo en Shea 1972.
[99] Aparece
en Considerazioni de Di Grazia (1612), reimpreso en Opere di Galileo, Vol. 4,
p. 385.
[100] Citado
en Shea 1972.
[101] El
relato completo sobre la controversia acerca de la naturaleza de las manchas
solares se narra a la perfección en Van Helden 1996 y en Swerdlow 1998. Véase
también Shea 1972.
[102] Antonio
Favaro, que editó toda la obra de Galileo, halló que fragmentos significativos
del manuscrito de Guiducci (con los textos de las clases) estaban escritos de
puño y letra por Galileo.
[103] Drake
1960.
[104] Drake
1960.
[105] Drake
1960.
[106] Drake
1974.
[107] Feldberg
1995 y McMullin 1998 comentan estupendamente las opiniones de Galileo sobre la
relación entre la ciencia y las Escrituras.
[108] Aparece
también en Von Gebler 1879.
[109] En
1585, el teólogo Melchor Cano afirmaba que «no sólo las palabras, sino que
hasta la última coma [de las Escrituras] había sido dictada por el Espíritu
Santo». Citado en Vawter 1972.
[110] Redondi
1998 contiene una amplia descripción de ello.
[111] Drake
1967.
[112] De
Santillana 1955.
[113] De
Santillana 1955.
[114] Beltrán
Mari 1994. Véase también comentario en McMannus 2006.
[115] Citado
en Sedgwick y Tyler 1917.
[116] Existen
numerosas biografías de Descartes. La clásica es Baillet 1691, y otras obras
que me han resultado útiles son Vrooman 1970 y la relativamente reciente
Rodis-Lewis 1998. En Bell 1937 se incluye un breve pero bello resumen. También
son de gran interés Finkel 1898, Watson 2002 y Grayling 2005.
[117] Aunque
no parece haber dudas de que Descartes conoció a Beeckman ese día, éste nunca
menciona en su diario nada acerca de un problema en un cartel. Lo que Beeckman
dice es que «Descartes se esforzó cuanto pudo para demostrar que el ángulo no
existía en la realidad»
[118] Para
una descripción véase Gaukroger 2002.
[119] Casi
todos los biógrafos sitúan esa noche en la ciudad de Ulm, en el estado de
Neuburg. El propio Descartes narró la historia en un cuaderno de notas que sus
primeros biógrafos pudieron ver, del que sólo ha llegado hasta nuestros días la
transcripción de algunos párrafos. Descartes repitió sus impresiones en su
Discurso (Adam y Tannery 1897-1910). Véase Grayling 2005 y Cole 1992 para una
descripción bastante exhaustiva de los sueños y de sus posibles
interpretaciones.
[120] Carta
a Pierre Chanut, embajador de Francia ante Suecia, que además era aficionado a
la filosofía. Adam y Tannery 1897-1910.
[121] Su
sepultura original se hallaba en el cementerio de Nord-Malmoe. Cuando sus
restos se trasladaron a Francia, hubo rumores (Adam y Tannery 1897-1910) de que
parte de ellos, el cráneo para ser exactos, permaneció en Suecia. En Francia,
los restos se inhumaron en primer lugar en la abadía de Sainte Genevieve y,
posteriormente, en el convento de los Petits-Augustines. Finalmente, se
trasladaron a la catedral de Saint-Germain-des-Prés, en lo que actualmente es
la capilla de Saint-Benoit. Me costó encontrar el lugar, simplemente porque no
podía creer que Descartes no estuviese enterrado solo. La verdad es que en la
misma capilla están enterrados los benedictinos Mabillon y Montfaucon, y lo
único visible es el busto de Mabillon.
[122] Para
un punto de vista véase Balz 1952.
[123] La
recopilación estándar fidedigna de la obra de Descartes es la de Adam y Tannery
1897-1910. Casi todas mis citas provienen de esa fuente. Hay muchas
traducciones inglesas de algunas obras, como La filosofía de Descartes, de
Veitch 1901, que contiene el Discurso del Método, las Meditaciones y los
Principios de filosofía. Véase también Clarke 1992 en referencia a la filosofía
de la ciencia de Descartes.
[124] Cottingham
1986 contiene una introducción excelente a la filosofía de Descartes en
general. Para un comentario acerca de la duda cartesiana y el subsiguiente
Cogito… véanse, por ejemplo, Wolterstorff 1999, Ricoeur 1996, Sorell 2005,
Curley 1993 y Begssade 1993.
[125] Descartes
1637. Una de las traducciones inglesas del libro completo es Olscamp 1965.
Smith y Latham 1954 es una preciosa traducción de La Geometría, que contiene un
facsímil de la primera edición.
[126] Los
logros matemáticos de Descartes están resumidos con precisión en Rouse Bail
1908. Aczel 2005 es una bella descripción de la vida y la obra de Descartes
para el público en general. El nivel de abstracción que se manifiesta en el
álgebra de Descartes se analiza en Gaukroger 1992.
[127] Descartes
estaba convencido de la existencia de «leyes de la naturaleza», como se puede
deducir de la carta que escribió a Mersenne en mayo de 1632: «… ahora he
adquirido la audacia necesaria para investigar la causa de la posición de todas
las estrellas fijas. Pues, aunque su distribución parezca irregular en diversos
lugares del universo, no me cabe la menor duda de que siguen un orden natural
regular y determinado»
[128] Adam
y Tannery 1897-1910. Véase también Miller y Miller 1983. Garber 1992 contiene
un buen comentario acerca de la física de Descartes. Para una descripción más
general de la filosofía de Descartes véase Keeling 1968.
[129] El
monumento, que se erigió en 1731, fue encargado a William Kent y al escultor
flamenco Michael Rysbrock. Aparte de la figura de Newton, que tiene los codos
apoyados sobre algunas de sus obras, el escultor ha incorporado figuras de
jóvenes con emblemas de los principales descubrimientos de Newton. Tras el
sarcófago hay una pirámide, de cuyo interior se eleva un globo con dibujos de
constelaciones y la ruta de paso del cometa en 1681.
[130] No
es posible saber con seguridad si Newton escribió el artículo como insulto.
Merton 1993 halló que «en los hombros de gigantes» era una frase común en la
época de Newton.
[131] En
una gesta impresionante, la totalidad de la correspondencia de Newton se halla
recogida en Turnbull, Scott, Hall y Tilling 1959-1977.
[132] Se
describe en gran detalle en algunas excelentes biografías de Newton, como
Westfall 1983, Hall 1992 y Gleick 2003.
[133] En
un ensayo publicado en 1674, Hooke escribió acerca de la gravedad que «su poder
de atracción es mucho mayor cuanto más se acerquen entre sí los centros de los
cuerpos». Así, aunque su intuición era correcta, fue incapaz de darle una
descripción matemática.
[134] Existen
diversas traducciones excelentes al inglés actual de los Principia de Newton,
como Motte 1729 y Cohen y Whitman 1999. La más accesible, que incluye notas de
gran utilidad, es la versión de Chandrasekhar editada en 1995. El concepto
general de ley de la gravitación y su historia se comenta exhaustivamente en
Girifalco 2008, Greene 2004, Hawking 2004 y Penrose 2004.
[135] Newton
1730.
[136] Stukeley
1752. Aparte de las biografías completas, se pueden encontrar pequeños textos
en los que se narran determinados episodios de la vida de Newton o de personas
relacionadas con él. Quisiera destacar en concreto De Morgan 1885 y Craig 1946.
[137] En
su biografía de Newton de 1931, David Brewster escribe: «El célebre manzano, la
caída de cuyo fruto se dice que atrajo la atención de Newton hacia el estudio
de la gravedad, fue arrancado por el viento hace unos cuatro años, pero Mr.
Tumor [el propietario de la casa de Newton en Woolsthorpe] lo ha conservado en
forma de silla». Brewster 1831.
[138] En
Hall 1992 se incluye una buena descripción del estudio de las matemáticas por
parte de Newton.
[139] El
informe se halla en la Colección Portsmouth. Otros documentos sugieren también
que Newton concibió la ley del cuadrado inverso durante los años de la plaga.
Véase por ejemplo Whiston 1753.
[140] Para
ver un comentario general de las razones para el retraso en el anuncio de la
ley de la gravitación por parte de Newton véase también Cajon 1928 y Cohen
1982. En la sección siguiente ofrezco un resumen de lo que, en mi opinión, son
los dos puntos más convincentes.
[141] De
Moivre recordaba aquí lo que Newton le había descrito.
[142] Esto
se sugiere, por ejemplo, en Cohen 1982.
[143] Glaisher
1888.
[144] En
Principia dice acerca de Dios: «Es omnipresente, no sólo virtualmente, sino
también en sustancia … Es todo ojos, todo oídos, todo cerebro, todo propósito,
todo fuerza de sentir, de comprender y de actuar.» En un manuscrito de
principios del XVIII, adquirido en Sotheby's en 1936 y expuesto en Jerusalén en
2007, Newton utilizaba el libro bíblico de Daniel para calcular la fecha del
Apocalipsis. Por si se ha quedado preocupado, llegó a la conclusión de que no
veía motivo alguno para que [el mundo] se acabara antes del año 2060.
[145] En
Dennett 2006, Dawkins 2006 y Paulos 2008 hallará excelentes comentarios
recientes sobre la historia de estos argumentos y una evaluación de su solidez
lógica.
[146] Véase
Dennett 2006, Dawkins 2006, Paulos 2008.
[147] Hallará
descripciones extraordinariamente accesibles sobre el cálculo y sus
aplicaciones en Berlinski 1996, Kline 1967, Bell 1951. Kline 1972 es algo más
técnica, pero magnífica
[148] Para
conocer algunos de los logros de esta notable familia véase Maor 1994, Dunham
1994. Véase también la Bernoulli-Edition en la página web de la Universidad de
Basilea.
[149] Descrito
en Hellman 2006.
[150] Bukowski
2008 contiene una excelente descripción del problema y, en concreto, de la
solución de Huygens. Las soluciones de Ber-noulli, Leibniz y Huygens aparecen
en Truesdell 1960.
[151] Citado
en Truesdell 1960.
[152] Laplace
1814 (Truscot y Emory 1902).
[153] Hallará
magníficas descripciones de la vida y obra de Graunt en Hald 1990, Cohen 2006 y
Graunt 1662.
[154] Una
reimpresión del documento se encuentra en Newman 1956.
[155] Citado
en Newman 1956. Su obra está resumida en Todhunter 1865.
[156] Dos
libros excelentes sobre Quetelet y su obra son Hankins 1908 y Lottin 1912.
Stigler 1997, Krüger 1987 y una parte de Cohen 2006 son más breves pero también
informativos.
[157] Quetelet
1828.
[158] Quetelet
escribió en sus memorias acerca de la propensión al crimen: «Si el hombre
promedio estuviera determinado para una nación representaría el tipo de esa
nación; si pudiera determinarse a partir del conjunto de todos los hombres
representaría el tipo de toda la raza humana»
[159] En
Kaplan y Kaplan 2006 se explica de forma divulgativa la obra de Galton y
Pearson.
[160] Entre
las publicaciones de divulgación recientes acerca de la probabilidad, su
historia y sus usos se encuentran Aczel 2004, Kaplan y Kaplan 2006, Connor
2006, Burger y Starbird 2005 y Tabak 2004.
[161] Todhunter
1865, Hald 1990.
[162] Kline
1967 contiene una descripción breve y sencilla de algunos de los principios
fundamentales de la teoría de probabilidades.
[163] Rosenthal
2006 describe con gran exactitud la relevancia de la teoría de probabilidades
en numerosas situaciones del mundo real.
[164] Para
una excelente biografía véase Orel 1996.
[165] Se
puede acceder a una traducción inglesa en la página web creada por R. B.
Blumberg.
[166] Véase,
por ejemplo, Fisher 1936.
[167] Tabak
2004 incluye una descripción breve de una parte de su obra. Fisher escribió un
artículo no técnico y muy original acerca del diseño de experimentos, titulado
«Mathematics of a Lady Tasting Tea»; véase Fisher 1956).
[168] Para
una magnífica traducción inglesa, véase Bernoulli 1713.
[169] Reimpreso
en Newman 1956.
[170] El
artículo «The Vice of Gambling and the Virtue of Insurance» aparece en Newman
1956.
[171] El
panfleto lo escribió George Berkeley en 1734. En Internet se puede encontrar
una versión editada por David Wilkins. Véase Berkeley 1734.
[172] Tofflerl970.
[173] Hume
1748.
[174] Según
Kant, una de las tareas fundamentales de la filosofía es explicar la
posibilidad de un conocimiento sintético a priori de los conceptos matemáticos.
Entre las numerosas referencias, quisiera destacar Hoffe 1994 y Kuehn 2001 para
los conceptos generales. Trudeau 1987 incluye un excelente comentario sobre su
aplicación a la matemática.
[175] Kant
1781.
[176] Véase
Greenberg 1974 para una introducción no demasiado compleja a la geometría
euclidiana y no euclidiana.
[177] En
Trudeau 1987 se trata acerca de los teoremas demostrados sin el Quinto
postulado.
[178] En
Bonola 1955 se puede hallar una magnífica descripción de los esfuerzos que
condujeron finalmente al desarrollo de la geometría no euclidiana.
[179] La
traducción inglesa de George Bruce Halsted 1891 de Estudios geométricos sobre
la teoría del paralelismo de Lobachevsky se incluye en Bono-la 1955.
[180] Véase
Gray 2004 para una biografía y una descripción de su obra. El motivo por el que
no he incluido un retrato de Janos Bolyai es que la autenticidad del retrato
que se suele presentar es dudosa. Al parecer, el único retrato fiable es un
relieve en la fachada del Palacio de Cultura de Marosvásárhely.
[181] Gray
2004 incluye un facsímil del original (en latín) y la traducción al inglés de
George Bruce Halsted.
[182] Véase
Dunnington 1955 para una excelente descripción del episodio desde la
perspectiva de la vida y obra de Gauss. Véase Kline 1972 para un resumen
detallado de las manifestaciones de prioridad por parte de Lobachevsky y
Bolyai. En Ewald 1996 se presenta parte de la correspondencia de Gauss acerca
de la geometría no euclidiana.
[183] Una
traducción inglesa de la conferencia, así como otros documentos fundamentales
sobre geometrías no euclidianas con esclarece-doras notas, se pueden hallar en
Pesic 2007.
[184] Poincaré
1891.
[185] Cardano
1545.
[186] Wallis
1685. Véase Rouse Ball 1908 para un conciso resumen sobre la vida y obra de
Wallis.
[187] Véase
Cajori 1926 para un breve resumen de la historia.
[188] Este
artículo apareció en la Encyclopédie editada por Diderot. Citado en Archibald
1914.
[189] Lagrange
1797.
[190] Petsche
2006 es una excelente biografía y descripción de la obra de Grassmann (en
alemán). Véase O'Connor y Robertson 2005 para un breve y excelente resumen.
[191] Feamly-Sander
1979, 1982 incluye descripciones relativamente accesibles (aunque algo
técnicas) de su trabajo en álgebra lineal.
[192] Sommerville
1929 es un buen texto introductorio.
[193] El
texto aparece en Ewald 1996.
[194] El
texto aparece en Ewald 1996.
[195] La
primera carta de Stieltjes a Hermite tenía fecha de 8 de noviembre de 1882. La
correspondencia entre ambos matemáticos consta de 432 cartas. Hermite 1905
contiene la correspondencia completa. Yo mismo traduje al inglés el texto que
aparece aquí.
[196] La
conferencia se encuentra en O'Connor y Robertson 2007.
[197] La
paradoja del barbero se trata en numerosos textos. Véanse, por ejemplo, Quine
1966, Rescher 2001, Sorensen 2003.
[198] Russell
1919. Se trata de la más célebre de las exposiciones de Russell acerca de sus
ideas sobre lógica.
[199] El
plan intuicionista de Brouwer se resume con precisión en Van Stegt 1998. Véase
Barrow 1992 para una excelente explicación divul-gativa. El debate entre
formalismo e intuicionismo está descrito con sencillez en Hellman 2006.
[200] Dummett
agrega: «Una persona no puede comunicar aquello que no se puede observar que
comunique: si una persona asocia un contenido mental a un símbolo o fórmula
matemática y la asociación no tiene que ver con el uso que efectúe del símbolo
o fórmula, la persona no podrá transmitir ese contenido a través de ese símbolo
o fórmula, porque su público ignoraría la asociación y carecería de medios para
averiguarla». Dummett 1978.
[201] Véase
Bennett 2004 para una introducción extremadamente accesible a la lógica. Quine
1982 es más técnico, aunque brillante. La Encyclopaedia Britannica contiene un
espléndido resumen de la historia de la lógica escrito por Czeslaw Lejewski.
[202] Ewald
1996 incluye una descripción concisa pero perspicaz de su vida y obra.
[203] Boole
1847.
[204] Para
una biografía completa véase MacHale 1985.
[205] Boole
1854.
[206] La
conclusión de Boole fue que, en lo que respecta a la creencia en la existencia
de Dios, los «débiles avances ilógicos y basados en la fe de un entendimiento
de facultades y conocimientos limitados son más provechosos que los ambiciosos
intentos de llegar a una certidumbre inalcanzable en el terreno de la religión
natural»
[207] Frege
1879. Se trata de una de las obras esenciales en la historia de la lógica.
[208] Frege
1893, 1903.
[209] Para
un comentario general sobre las ideas y el formalismo de Frege véanse, por
ejemplo, Resnik 1980, Demopoulos y Clark 2005, Zalta 2005, 2007 y Boolos 1985.
Para un excelente comentario general sobre la lógica matemática véase DeLong
1970.
[210] Frege
1884.
[211] La
paradoja de Russell y sus implicaciones y posibles soluciones se tratan, por
ejemplo, en Boolos 1999, Clark 2002, Sainsburg 1988 e Irvi-ne 2003.
[212] Whitehead
y Russell 1910. Véase Russell 1919 para una descripción sencilla pero
esclarecedora sobre el contenido de los Principia
[213] Para
conocer más acerca de la interacción entre las ideas de Russell y de Frege
véase Beaney 2003. Para más información sobre el logicismo de Russell véase
Shapiro 2000 y Godwyn e Irvine 2003.
[214] Urquhart
2003 contiene un excelente comentario al respecto.
[215] La
teoría de tipos ha perdido predicamento entre la mayoría de los matemáticos.
Sin embargo, una construcción similar ha hallado nuevas aplicaciones en
programación de ordenadores. Véase por ejemplo Mitchell 1990.
[216] Una
descripción de sus contribuciones se puede ver en Ewald 1996.
[217] Véase
Van Heijemoort 1967 para traducciones inglesas de los documentos originales de
Zermelo, Fraenkel y el lógico Thoralf Skolem. Devlin 1993 contiene una
relativamente sencilla introducción a los conjuntos y a los axiomas de
Zermelo-Fraenkel.
[218] En
Moore 1982 se puede hallar un detallado comentario acerca del axioma.
[219] Cantor
ideó un método para comparar la cardinalidad de conjuntos infinitos. En
concreto, demostró que la cardinalidad del conjunto de los números reales es
mayor que la del conjunto de los números enteros. A continuación formuló la
hipótesis del continuo, que afirmaba que no hay ningún conjunto cuya
cardinalidad se halle estrictamente entre la de los números enteros y la de los
números reales. Cuando David Hilbert planteó sus famosos problemas de la
matemática en 1900, el primero fue la cuestión de la verdad o falsedad de la
hipótesis del continuo. Woodin 2001a,b contiene un comentario relativamente
reciente de este problema.
[220] Describió
su trabajo en Cohen 1966.
[221] Una
buena descripción de los planes de Hilbert se puede hallar en Seig 1988. En
Shapiro 2000 se presenta un repaso excelente y actualizado de la filosofía de
la matemática y un resumen de las tensiones entre logicismo, formalismo e
intuicionismo.
[222] Hilbert
pronunció esta conferencia en Leipzig en septiembre de 1922. El texto se
encuentra en Ewald 1996.
[223] Véase
Detlefsen 2005 para un excelente comentario sobre formalismo.
[224] Monk
1990 presenta una magnífica biografía.
[225] En
Waismann 1979.
[226] Véase
Goldstein 2005 para una biografía reciente. La biografía estándar ha sido
Dawson 1997.
[227] Hofstadter
1979, Nogel y Newman 1959 y Franzen 2005 son textos excelentes acerca de los
teoremas de Gödel, su significado y su relación con otras ramas del
conocimiento.
[228] Gödel
1947.
[229] Wang
1996 contiene una descripción exhaustiva de los puntos de vista filosóficos de
Gödel y de cómo relacionaba estas ideas con las bases de la matemática.
[230] Morgenstem
1971.
[231] Se
trata claramente de una simplificación excesiva, sólo admisible en un texto
divulgativo. De hecho, aún en la actualidad prosiguen algunos intentos serios
de dar vida al logicismo. Estos suelen asumir que muchas de las verdades
matemáticas se pueden conocer a priori. Véanse, por ejemplo, Wright 1997,
Tennant 1997.
[232] Un
interesante libro sobre la elaboración de nudos es Ashley 1944.
[233] Vandermonde
1771. Véase Przytycki 1991 para un excelente repaso de la historia de la teoría
de nudos. Adams 1994 es una amena introducción a la teoría en sí. Una versión
divulgativa de la misma se puede hallar en Neuwirth 1979, en Peterson 1988 y en
Menasco y Rudolph 1995.
[234] Sossinsky
2002 y Atiyah 1990 presentan excelentes descripciones.
[235] Tait
1898; Sossinsky 2002. O'Connor y Robertson 2003 incluye una breve y magnífica
biografía de Tait.
[236] Knott
1911
[237] Little
1899.
[238] Véase
Messer y Straffin 2006 para acceder a una introducción elemental, aunque algo
técnica, a la topología.
[239] Perko
1974.
[240] Alexander
1928.
[241] Conway
1970.
[242] Jones
1985.
[243] Por
ejemplo, el matemático Louis Kauffman ha demostrado la relación entre el
polinomio de Jones y la física estadística. Un texto excelente, pero técnico,
sobre las aplicaciones en física es Kauffman 2001.
[244] Véase
Summers 1995 para una excelente descripción sobre teoría de nudos y la acción
de las enzimas. Véase también Wasserman y Coz-zarelli 1986.
[245] En
Greene 1999, Randall 2005, Krauss 2005 y Smolin 2006 se pueden hallar
magníficas explicaciones divulgativas sobre la teoría de cuerdas, sus éxitos y
sus problemas. Para un texto técnico de introducción, véase Zweibach 2004.
[246] Ooguri
y Vafa 2000.
[247] Witten
1989.
[248] Atiyah
1989; véase Atiyah 1990 para una perspectiva más amplia.
[249] Kapner
et al. 2007.
[250] Hay
muchas y buenas explicaciones de las ideas de la relatividad especial y
general. Mencionaré algunas que me han gustado especialmente: Davies 2001,
Deutsch 1997, Ferris 1997, Gott 2001, Greene 2004, Hawking y Penrose 1996, Kaku
2004, Penrose 2004, Rees 1997 y Smolin 2001. Una reciente y soberbia
descripción acerca de la personalidad y las ideas de Einstein es Isaacson 2007.
Otras magníficas descripciones anteriores de Einstein y su mundo son Bodanis
2000, Lightman 1993, Overbye 2000 y Pais 1982. Hawking 2007 incluye una bonita
colección de documentos originales.
[251] Kramer
et al 2006.
[252] Odom
et al 2006.
[253] Weinberg
1993 contiene una excelente descripción.
[254] Davis
y Hersh 1981.
[255] Hardy
1940.
[256] Kasner
y Newman 1989.
[257] Barrow
1992 incluye una de las mejores explicaciones divulgati-vas sobre la naturaleza
de la matemática. Un repaso un poco más técnico, pero accesible, de algunas de
las principales ideas se halla en Kline 1992.
[258] Véase
Barrow 1992 para otro excelente comentario de muchos de los temas de este
libro.
[259] Tegmark
2007a, b.
[260] Changeux
y Connes 1995.
[261] Dehaene
1997.
[262] Dehaene
et al 2006.
[263] Véase
por ejemplo Holden 2006.
[264] Changeux
y Connes 1995.
[265] Lakoff
y Núñez 2000.
[266] Véase
por ejemplo Ramachandran y Biakeslee 1999.
[267] Varley
et al 2005; Klessinger et al 2007.
[268] Atiyah
1995.
[269] Para
una descripción en detalle de la razón áurea, su historia y sus propiedades,
véase Livio 2002 y también Herz-Fischler 1998.
[270] Hersh
2000 contiene un artículo de Yehuda Rav con un comentario acerca de estas
ideas.
[271] White
1947.
[272] Para
una descripción de nivel divulgativo véase Hockett 1960.
[273] Véase
Obler y Gjerlow 1999 para un ameno comentario acerca del lenguaje y el cerebro.
[274] Las
similitudes entre el lenguaje y la matemática se tratan también en Sanukai 2005
y Atiyah 1994.
[275] Chomsky
1957. Para más información sobre lingüística, Aro-noff y Rees-Miller 2001
incluye un excelente resumen. Una interesante perspectiva de nivel divulgativo
es Pinker 1994.
[276] Wolfram
2002.
[277] Para
un excelente comentario sobre este asunto véase Vilenkin 2006.
[278] Tegmark
identificó cuatro tipos distintos de universos paralelos. En el «Nivel I» hay
universos con las mismas leyes de la física pero condiciones iniciales
distintas. En el «Nivel II» hay universos con las mismas ecuaciones físicas
pero quizá con restricciones naturales diferentes. El «Nivel III» utiliza la
interpretación de los «muchos mundos» de la mecánica cuántica, y en el «Nivel
IV» hay estructuras matemáticas distintas. Tegmark 2003.
[279] Putnam
1975.
[280] Hay
otras opiniones que no he comentado. Por ejemplo, Stei-ner (2005) argumenta que
Wigner no prueba que sus ejemplos de la «eficacia inexplicable» tengan relación
alguna con el hecho de que los conceptos sean matemáticos.
[281] Gross
1988. Para un comentario más amplio acerca de la relación entre la matemática y
la física, véase Vafa 2000.
[282] Atiyah
1995, y véase también Atiyah 1993.
[283] Hamming
1980.
[284] Weinberg
1993.
[285] En
Borovik 2006.
[286] Raskin
1998.
[287] Hersh
2000 contiene excelentes artículos escritos por Hersh.
[288] Los
propios libros escritos por Kepler, Kepler 1981 y 1997, son una interesante
lectura para los interesados en la historia de la ciencia. Excelentes
biografías son Caspar 1993 y Gingerich 1973.
[289] Para
una revisión véase, por ejemplo, Lecar et al. 2001.
[290] Raymond
2005 contiene una interesante explicación sobre la utilidad de la matemática.
Certeros puntos de vista sobre el enigma de Wigner se pueden también hallar en
Wilczek 2006, 2007.
[291] Russell
1997.
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