© Libro N° 6125. La Entropía
Desvelada. Ben-Naim, Arieh.
Emancipación. Junio 15 de 2019.
Título
original: © La Entropía Desvelada. Arieh Ben-Naim
Versión Original: © La Entropía Desvelada. Arieh Ben-Naim
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© Edición, reedición y Colección Biblioteca Emancipación: Guillermo Molina
Miranda
LEAMOS SIN RESERVAS,
ANALICEMOS SIN PEREZA Y SOMETAMOS A CRÍTICA TODA LA CULTURA
LA ENTROPÍA DESVELADA
Arieh Ben-Naim
Agradecimientos
Quiero expresar mi
más sincero agradecimiento y aprecio a todos los que se han prestado a leer
partes o la totalidad del manuscrito y me han ofrecido sus comentarios y
críticas. En primer lugar, quiero dar las gracias a mis amigos y colegas Azriel
Levy y Andrés Santos por su meticulosa lectura y examen del manuscrito entero.
Me han ahorrado errores embarazosos que yo no había detectado o no podía
detectar. Gracias también a Shalom Baer, Jacob Bekenstein, Art Henn, Jeffrey
Gordon, Ken Harris, Marco Pretti, Samuel Sattath y Nico van der Vegt, quienes
leyeron partes del manuscrito y me hicieron comentarios valiosos. Por último,
quiero expresar mi sincero agradecimiento a mi compañera Ruby por su paciencia
a la hora de pelearse con mi ilegible
letra y corregir y re corregir el manuscrito. Sin su amable ayuda este libro no
habría visto la luz de la publicación. El proyecto tuvo un largo periodo de
incubación. La redacción del libro comenzó en Burgos y se completó en La Jolla,
California.
Arieh Ben-Naim
Departamento de
Química Física
Universidad Hebrea
de Jerusalén, Israel.
Prefacio
Este libro está
dedicado a Ludwig Boltzmann
Fotografía tomada por el autor en Viena, septiembre de 1978.
Desde que escuché
la palabra «entropía» por primera vez, me fascinó su naturaleza misteriosa.
Recuerdo vívidamente mi primer encuentro con la entropía y con la segunda ley
de la termodinámica. Fue hace más de cuarenta años. Recuerdo el aula, la
profesora, incluso el lugar donde me sentaba: en primera fila, frente a la
tarima donde ella estaba de pie.
Tras explicar el ciclo de Carnot, la eficiencia de los motores térmicos y las
diversas formulaciones de la segunda ley, la profesora introdujo la intrigante
y misteriosa magnitud conocida como Entropía. Me sentí confundido y
desconcertado. Hasta entonces ella había expuesto conceptos con los que
estábamos familiarizados: calor, trabajo, energía y temperatura. Pero ahora, de
pronto, nos presentaba una palabra desconocida, nunca oída antes por nosotros,
y que denotaba un concepto enteramente nuevo. Esperé pacientemente a poder
preguntar algo, aunque no estaba seguro de cuál sería la pregunta. ¿Qué es esa
cosa llamada entropía y por qué aumenta siempre? ¿Es algo que podamos ver,
tocar o percibir con alguno de nuestros sentidos? Al acabar su exposición, la
profesora exclamó: «Si no entienden la segunda ley, no se desanimen. Están en
buena compañía. Por ahora no están capacitados para entenderla, pero lo estarán
cuando estudien termodinámica estadística el próximo curso». Con este
comentario final eludía cualquier demanda de aclaración. La atmósfera quedó
cargada de misterio. Todos permanecimos en silencio, con nuestra ansia de
comprender insatisfecha.
Años más tarde comprobé que la profesora tenía razón al decir que la mecánica
estadística alberga las claves para comprender la entropía, y que sin ella no
hay manera de entender lo que hay detrás del concepto de entropía y de la
segunda ley. Pero en aquel momento todos sospechamos que la profesora había
optado por una elegante escapatoria de preguntas embarazosas que no podía
responder, así que aceptamos su consejo sin convencimiento.
Aquel año nos enseñaron a calcular los cambios de entropía en
numerosos procesos, desde la expansión de un gas ideal hasta la mezcla de
gases, la transferencia de calor de un cuerpo caliente a uno frío, y muchos
otros procesos espontáneos. Nos ejercitamos en el cálculo de
incrementos de entropía, pero de hecho nos quedamos sin captar su esencia.
Hacíamos los cálculos con destreza profesional, tratando la entropía como una
magnitud más, pero en lo más hondo sentíamos que el concepto quedaba envuelto
en un denso aire de misterio.
¿Qué es esa cosa llamada entropía? Sabíamos que se definía sobre la base del
calor transferido (reversiblemente) dividido por la temperatura absoluta, pero
no era ni una cosa ni otra. ¿Por qué aumenta siempre y de qué combustible se
sirve para propulsarse hacia arriba? Estábamos acostumbrados a las leyes de
conservación, que se conciben como más «naturales». La materia y la energía no
pueden generarse de la nada, pero la entropía parece desafiar el sentido común.
¿Cómo puede una magnitud física «producir» inexorablemente más de sí misma sin
ninguna fuente de alimentación aparente?
Recuerdo haber oído en una de las lecciones de química física que la entropía
de la disolución de argón en agua es grande y negativa[1]. La razón ofrecida era que el
argón incrementa la estructura del agua. Un
incremento de estructura equivalía a un incremento de orden, y la entropía se
asociaba vagamente con el desorden, así que se suponía
que eso explicaba el decremento de entropía. En aquella
lección, nuestro profesor nos explicó que la entropía de un sistema puededisminuir
cuando el sistema está acoplado a otro (como un termostato) y que la ley del
aumento incesante de la entropía sólo vale para un sistema aislado (que no
interactúa con su entorno). Este hecho no hacía más que aumentar el misterio.
No sólo no conocemos la fuente que alimenta el incremento de
entropía, sino que, en principio, no hay fuente alguna, ningún mecanismo ni
aporte externo. Además, ¿cómo se ha deslizado la idea de «estructura» u «orden»
en la discusión de la entropía, un concepto definido en relación con calor y temperatura?
Al año siguiente aprendimos mecánica estadística, así como la relación entre la
entropía y el número de estados, la famosa fórmula esculpida en la lápida de
Ludwig Boltzmann en Viena[2]. La relación de Boltzmann
proporcionaba una interpretación de la entropía sobre la base del desorden, y
del aumento de la entropía como el proceder de la naturaleza del orden al
desorden. Ahora bien, ¿por qué debería un sistema pasar del orden al desorden?
Éstos son conceptos intangibles, mientras que la entropía se definía a
partir del calor y la temperatura. El misterio del incremento perpetuo del
desorden no resolvía el misterio de la entropía.
Enseñé termodinámica y mecánica estadística durante muchos años, a lo
largo de los cuales me di cuenta de que el misterio que envuelve la segunda ley
no puede disiparse dentro del marco de la termodinámica clásica (o, mejor, la
formulación no atomista de la segunda ley; véase el capítulo 1). Por otro lado,
al contemplar la segunda ley desde el punto de vista molecular, comprendí que
no había misterio alguno.
Creo que el punto decisivo en mi propia comprensión de la entropía (y, por
ende, mi capacidad de explicar el concepto a mis alumnos) surgió al escribir un
artículo sobre la entropía de mezcla y la entropía de asimilación. Sólo
entonces comprobé que podía ver a través de la neblina que envolvía la entropía
y la segunda ley. Mientras redactaba el artículo, se me revelaron dos rasgos
clave de la teoría atómica de la materia que eran cruciales para dispersar las
últimas brumas que rodeaban la entropía: los grandes (inimaginablemente
grandes) números y la indistinguibilidad de las partículas que constituyen la
materia.
Una vez disipada la niebla, todo resultaba claro, incluso obvio. El
comportamiento de la entropía, antes tan difícil de comprender, quedaba
reducido a una cuestión de simple sentido común.
Es más, de pronto comprendí que no hace falta estudiar
mecánica estadística para comprender la segunda ley. Lo que descubrí es
que todo lo que se necesita de la mecánica estadística es
la formulación atomística de la entropía. Esta constatación
fue una motivación poderosa para escribir este libro, que está dirigido a los
que no saben nada de mecánica estadística.
Mientras lo escribía, me pregunté más de una vez en qué momento exacto decidí
que valía la pena hacerlo. Pienso que hubo tres momentos clave.
El primero fue el reconocimiento de los hechos cruciales e indispensables de
que la materia está constituida por un número gigantesco de partículas y de que
dichas partículas son mutuamente indistinguibles. Estos hechos han sido bien
conocidos y reconocidos desde hace al menos un siglo, pero creo que los autores
que han escrito sobre la segunda ley no los han destacado lo bastante.
El segundo momento fue cuando, al leer los dos libros de Brian Greene[3], me tropecé con estas palabras
referidas a la entropía y la segunda ley[4]:
Entre las
características de la experiencia común que se han resistido a la explicación
completa está una que se enmarca en los misterios sin resolver más profundos de
la física moderna.
No podía creer que
un autor como Greene, capaz de explicar de manera tan brillante y sencilla
tantos conceptos difíciles de la física moderna, hubiera escrito aquello.
El tercer momento tiene que ver más con la estética que con la sustancia.
Después de todo, he estado enseñando termodinámica estadística durante muchos
años, y a menudo he recurrido a juegos de dados para ilustrar lo que ocurre en
un proceso espontáneo. Pero la correspondencia entre las caras cambiantes de
los dados y las partículas que se apresuran a ocupar todo el espacio accesible
durante un proceso de expansión siempre me pareció lógicamente, y quizás
estéticamente, insatisfactoria. Como veremos en el
capítulo 7, se me ocurrió establecer una correspondencia entre dados y
partículas, y entre los resultados de las tiradas de dados y las localizaciones de
las partículas. Esta correspondencia es correcta. Siempre podemos atribuir la
etiqueta «D» a las partículas situadas en el lado derecho y la etiqueta «I» a
las situadas en el lado izquierdo. Pero hasta que no me puse a escribir el
mencionado artículo sobre las entropías de mezcla y de asimilación no
«descubrí» un proceso diferente para el que esta correspondencia puede hacerse
más «natural» y satisfactoria. Es lo que se conoce como desasimilación. Se
trata de un proceso espontáneo donde el cambio de entropía se debe únicamente a
que las partículas adquieren una nueva identidad. Ahora la correspondencia era
entre un dado y una partícula, y entre la identidad del
resultado de la tirada de un dado y la identidad de la
partícula. Esta correspondencia me parecía perfecta y más gratificante
estéticamente, lo que la hacía digna de publicarse.
En este libro he evitado deliberadamente los tecnicismos. En vez de explicar lo
que es la entropía, cómo varía y, lo más importante, por qué sólo lo hace en un
sentido, simplemente guiaré a los lectores para que «descubran» la segunda ley
y obtengan la satisfacción de desvelar por sí mismos el misterio que la rodea.
La mayor parte del tiempo estaremos jugando, o imaginando que jugamos, a los
dados. Partiremos de un dado, luego dos, diez, cien, mil, etcétera, para ir
ejercitando la capacidad de analizar lo que ocurre. Averiguaremos qué es eso
que cambia con el tiempo (o con el número de tiradas) y cómo y por qué cambia.
Para entonces ya seremos capaces de extrapolar lo aprendido con un número
pequeño de dados a sistemas constituidos por un número incontable de elementos.
Tras experimentar la expresión de la segunda ley en el mundo de los dados y
haber comprendido plenamente lo que ocurre, queda un último paso que daremos en
el capítulo 7. Ahí traduciremos lo aprendido con los dados al
mundo experimental real. Una vez que los lectores hayan captado la evolución de
los juegos de dados, estarán en condiciones de entender la segunda ley de la
termodinámica.
He escrito este libro pensando en lectores que no saben nada de ciencia ni de
matemáticas. El único prerrequisito para leer este libro es el mero sentido
común, y la voluntad de aplicarlo.
Una advertencia antes de seguir leyendo: «sentido común» no significa fácil o
elemental.
Hay dos «destrezas» que el lector debe adquirir. La primera es aprender a
pensar números grandes, fantásticamente grandes, inconcebiblemente grandes y
más allá. Nos aplicaremos a esto en el capítulo 2. La segunda es algo más
sutil. Tendremos que aprender a distinguir entre un evento (o configuración, o
estado) específico y un evento (o configuración, o
estado) inespecífico. Aunque suenen técnicos, no hay que dejarse intimidar
por estos términos[5]. Ofreceré ejemplos de sobra para
familiarizarnos con ellos, porque son indispensables para comprender la segunda
ley. Si el lector tiene dudas de su capacidad para entender este libro, le
sugiero un test simple.
Al final del capítulo 2 encontrará dos cuestionarios pensados para evaluar su
comprensión de los conceptos «específico» e «inespecífico».
Si responde correctamente todas las preguntas, puedo asegurarle que entenderá
todo el libro sin problemas.
Si se ve incapaz de contestarlas o da respuestas incorrectas, no se desanime.
Consulte las respuestas que doy. Si le satisfacen aunque no las haya encontrado
por sí mismo, creo que está en condiciones de leer y entender el libro, aunque
le costará un poco más.
Si desconoce las respuestas y sigue perdido aun después de haberlas consultado,
eso no significa que el libro esté más allá de su capacidad. Le sugiero que lea
detenidamente el capítulo 2 y se ejercite en el pensamiento probabilístico.
Si necesita más, le invito a escribirme y prometo ayudarle en lo que pueda.
Una vez más, no hay que dejarse intimidar por el término «probabilístico». Si
al lector no le sorprende que nunca le haya tocado un premio grande de la
lotería, aunque tenga por costumbre comprar décimos, entonces está pensando
«probabilísticamente». Para sentirnos más cómodos con esta formidable palabra,
permítaseme contar una pequeña historia.
Mi padre solía comprar lotería cada fin de semana; lo hizo durante casi sesenta
años. Estaba seguro de que alguien «ahí arriba» le favorecería y haría que le
tocara el premio gordo. Una y otra vez
intenté explicarle que sus posibilidades de conseguir un premio importante eran
reducidas, de hecho menos del 0,01 por ciento. Pero él hacía oídos sordos. Si
acertaba siete u ocho números (de diez) se mofaba de mí por no haber sido capaz
de ver los «signos» claros e inequívocos que había recibido de Él. Estaba
convencido de ir por buen camino. Una semana tras otra, sus esperanzas subían y
bajaban según su número de aciertos o, aún mejor, según los signos que le había
mostrado la Providencia. Poco antes de morir, a la edad de noventa y seis años,
me dijo que estaba muy decepcionado y enfadado porque se sentía traicionado por
la deidad en la que había creído toda su vida. Me entristeció comprobar que
seguía sin querer o poder pensar probabilísticamente.
Quienes nunca hayan oído hablar de la entropía o la segunda ley de la
termodinámica pueden leer la descripción breve y carente de matemáticas de las
diversas formulaciones y manifestaciones de la segunda ley en el capítulo 1. En
el capítulo 2 expongo los elementos básicos de la probabilidad y la teoría de
la información que el lector podría necesitar para expresar sus hallazgos en
términos probabilísticos. Quiero subrayar que los fundamentos tanto de la
teoría de la probabilidad como de la teoría de la información se inspiran sólo
en el mero sentido común. No hace falta saber nada de matemáticas, física o
química. Sólo hay que saber contar (matemáticas), saber que la materia está
hecha de átomos y moléculas (física y química) y que los átomos son indistinguibles
(¡esto sí es física avanzada!). Todo esto se explica en el capítulo 2. En los
capítulos 3-5 nos dedicaremos a jugar con un número variable de dados. Veremos
lo que pasa y sacaremos conclusiones. Tendremos numerosas ocasiones de
«experimentar» la segunda ley con los cinco sentidos, un minúsculo reflejo de
la inmensa variedad de manifestaciones de la segunda ley en el mundo físico
real. En el capítulo 6 recapitularemos nuestros hallazgos de forma fácil de
traducir al lenguaje de un experimento real. El capítulo 7 está dedicado a
describir dos experimentos simples que tienen que ver con el incremento de
entropía; todo lo que hay que hacer es establecer la correspondencia entre el
número de dados y el número de partículas en una caja, entre los diferentes resultados
de la tirada de un dado y los estados de las partículas. Una vez establecida
esta correspondencia, es fácil aplicar lo aprendido a partir de los juegos de
dados para entender la segunda ley en el mundo real.
Después de acabar de leer el capítulo 7, entenderemos lo que es la entropía y
cómo y por qué se comporta como lo hace.
Veremos que no hay ningún misterio en su comportamiento: simplemente es de
sentido común.
Tras haber entendido esos dos procesos concretos, veremos con claridad cómo
funciona la segunda ley. Por supuesto, hay muchos más procesos «gobernados» por
la segunda ley. Poner de manifiesto su intervención en tales procesos no
siempre es algo tan simple y directo. Para ello hay que recurrir a las
matemáticas. Hay muchos más procesos de gran complejidad donde creemos que
interviene la segunda ley, pero hasta ahora no tenemos una demostración
matemática de su papel. Los procesos biológicos son demasiado complejos para
admitir un análisis molecular sistemático. Aunque soy muy consciente de que
muchos autores apelan a la segunda ley en conjunción con diversos aspectos de
la vida, creo que, en la coyuntura actual, esto es muy prematuro. Estoy
completamente de acuerdo con Morowitz[6] cuando
escribió: «El empleo de la termodinámica en biología tiene una larga historia
de confusión».
En el último capítulo he incluido algunas reflexiones y especulaciones
personales. No son opiniones universalmente aceptadas, ni mucho menos, y las
críticas serán bienvenidas (pongo mi dirección de correo electrónico a
disposición de los lectores).
Mi objetivo general al escribir este libro es dar respuesta a dos cuestiones
asociadas a la segunda ley: qué es la entropía y por
qué cambia sólo en un sentido (desafiando en apariencia la simetría
temporal de las otras leyes de la física).
La segunda cuestión es la más importante, y el meollo del misterio asociado a
la segunda ley. Espero convencer al lector de que:
1.
La segunda ley es básicamente una ley de
probabilidad.
2.
Las leyes de probabilidad son básicamente leyes de
sentido común.
3.
De (1) y (2) se sigue que la segunda ley es
básicamente una ley de sentido común, y nada más.
Por supuesto,
admito que las proposiciones (1) y (2) han sido enunciadas muchas veces por
muchos autores. La primera está implícita en la formulación de Boltzmann de la
segunda ley. La segunda fue expresada por Laplace, uno de los padres de la
teoría de la probabilidad. Desde luego, no puedo pretender que soy el primero
en enunciarlas. Pero quizá sí pueda
reclamar la autoría de la idea de que la relación de «basicalidad» que permite
deducir (3) de (1) y (2) es una relación transitiva.
La primera cuestión tiene que ver con el significado de la
entropía. Durante casi una centuria, los científicos han especulado sobre este
asunto. La entropía se ha interpretado como una medida del desorden, la
confusión, la desorganización, el caos, la incertidumbre, la ignorancia, la
información perdida y cosas por el estilo. Hasta donde yo sé, el debate
continúa. Incluso en libros recientes, científicos importantes expresan
opiniones diametralmente opuestas. En el capítulo 8 expongo en detalle mi
propia postura. Aquí me limitaré a adelantar que la entropía puede identificarse,
formal y conceptualmente, con una medida específica de la información. Se trata
de una idea que está lejos de ser universalmente aceptada. La esencia de la
dificultad para admitir esta identidad es que la entropía es una magnitud
físicamente medible que tiene unidades de energía dividida por temperatura y,
por lo tanto, es una magnitud objetiva. La información, en cambio,
se considera una magnitud adimensional y nebulosa que expresa algún atributo
humano del estilo del conocimiento, la ignorancia o la incertidumbre, lo que la
convierte en una magnitud altamente subjetiva[7].
A pesar del carácter a primera vista irreconciliable entre una entidad objetiva
y una entidad subjetiva, sostengo que la entropía es información. Su carácter
objetivo o subjetivo es una cuestión que se adentra en la filosofía o la
metafísica. Mi opinión es que ambas magnitudes son objetivas. Pero si uno
piensa que una es subjetiva, tendrá que admitir que la otra también debe serlo.
La identidad por la que abogo tiene una contrapartida, y es que hay que
redefinir la temperatura a partir de la energía. Ello requerirá el sacrificio
de la constante de Boltzmann, que debería haber sido erradicada del vocabulario
de la física. Esta supresión reportará unos cuantos beneficios. Para los
propósitos de este libro, la ausencia de la constante de Boltzmann convierte la
entropía en una magnitud adimensional e idéntica a una medida
de información. Esto «exorcizará», de una vez por todas, el misterio de la
entropía.
Me atrevo a prometer lo siguiente:
1.
A los lectores que tengan alguna noción de la
entropía y les haya parecido misteriosa, les prometo desmitificarla.
2.
Los que nunca hayan oído hablar de la entropía, les
prometo inmunidad ante cualquier mistificación futura del concepto.
3.
A los lectores que hayan oído hablar de la entropía
pero no la hayan estudiado, les prometo que si después de haber leído este
libro oyen a gente hablar del profundo misterio en torno a la entropía,
deberían sentirse confusos e intrigados, no por la entropía ni la segunda ley,
sino por todo el alboroto sobre el «misterio» de la entropía.
4.
Finalmente, quienes lean este libro de manera
atenta y aplicada y hagan los pequeños deberes repartidos por todo el libro,
experimentarán el gozo de descubrir y entender algo que durante muchos años ha
eludido la comprensión. También deberían sentirse profundamente satisfechos de
entender «uno de los misterios sin resolver más profundos de la física moderna»[8]
Posdata. A quien se
pregunte por el significado de las figuras al final de cada capítulo le diré
que, ya que asumí la responsabilidad de explicarle la segunda ley, decidí hacer
un pequeño seguimiento de su progreso. He colocado estos iconos para que el lector
compare su estado de comprensión con lo que yo esperaría. Si no está de
acuerdo, hágamelo saber y le prestaré toda la ayuda que pueda.
Capítulo 1
Introducción, y una breve historia de la segunda ley de la termodinámica
Contenido:
§ La formulación no
atomista de la segunda ley
§. La formulación atomista de la segunda ley.
En este capítulo
presento algunos hitos importantes en la historia de la segunda ley de la
termodinámica. También presento unas cuantas formulaciones de la segunda ley de
una manera descriptiva. Al hacerlo, necesariamente sacrifico la precisión. Lo
importante aquí no es una discusión formal de la segunda ley, sino ofrecer una
descripción cualitativa de los tipos de fenómenos que llevaron a los
científicos decimonónicos a formularla.
Hay muchas formulaciones de la segunda ley de la termodinámica. Las agrupamos
en dos clases conceptualmente distintas: no atomistas y atomistas.
§. La formulación no atomista de la segunda ley[9]
Tradicionalmente, el nacimiento de la segunda ley se asocia al nombre de Sadi
Carnot (1796-1832). Aunque no fue el propio Carnot quien formuló la segunda ley[10], su obra estableció los cimientos
sobre los que Clausius y Kelvin edificaron la segunda ley unos años más tarde.
Carnot estaba interesado en los motores térmicos, más concretamente en la
eficiencia de los motores térmicos. Permítaseme describir el más simple de
tales motores (figura 1.1). Supongamos que tenemos un recipiente de volumen V
que contiene un fluido, gas o líquido. La parte superior del recipiente está
sellada por un pistón móvil. Este sistema se
denomina motor térmico.
Figura 1.1. Motor térmico.
El recipiente está
inicialmente en el estado 1, térmicamente aislado, y está a una
temperatura T1 digamos 0 °C. En el primer paso del
funcionamiento de este motor (paso I) colocamos un peso sobre el pistón, con lo
que el gas se comprime un tanto y el sistema pasa al estado 2. Luego ponemos el
recipiente en contacto con un reservorio de
calor (paso II), que no es más que un cuerpo muy grande a temperatura
constante, digamos T1 = 100 °C. Se establece así un
flujo de energía térmica del reservorio de calor al motor. Para simplificar,
suponemos que el reservorio de calor es inmenso en comparación con el tamaño
del motor. En la figura 1.1, el reservorio de calor está debajo del motor,
aunque en realidad debería rodearlo por entero. De esta manera nos aseguramos
de que, una vez alcanzado el equilibrio, el sistema estará a la misma
temperatura que el reservorio, T2, y aunque el
reservorio haya «perdido» algo de energía, su temperatura no cambiará
apreciablemente. A medida que el gas (o líquido) del motor se calienta, se
expande, y al hacerlo levanta el pistón móvil. En este paso el motor hace un
trabajo útil: levantar un peso colocado sobre el pistón del nivel 1 al nivel 2.
El sistema se sitúa ahora en el estado 3. Hasta este punto, el motor ha
absorbido cierta cantidad de energía en la forma de calor transferido del
reservorio al gas, lo que le permite realizar un trabajo (en este caso,
levantar un peso, que a su vez podría hacer girar las ruedas de un tren,
producir electricidad, etcétera). Si se retira el peso (paso III) el gas se
expande aún más. Llegamos así al estado 4 final.
Si queremos convertir este dispositivo en un motor que realice un trabajo útil
de manera repetida, como levantar pesos del nivel 1 al nivel 2, tenemos que
completar un ciclo. Para ello tenemos que devolver el sistema a su estado
inicial, esto es, enfriar el motor hasta la temperatura T1 inicial
(paso IV). Esto puede lograrse acoplando el recipiente a un reservorio de calor
o termostato a 0 °C (de nuevo suponemos que el reservorio de calor es mucho mayor que nuestro sistema, por lo que su
temperatura prácticamente no se ve afectada por el calor robado al motor). Una
vez enfriado el motor hasta su temperatura inicial T1,
habremos vuelto al estado inicial y el ciclo puede volver a comenzar.
Esto no es exactamente lo que se conoce como ciclo de Carnot, pero tiene todos
los elementos de un motor térmico que realiza trabajo a base de operar entre
dos temperaturas, T1 y T2.
El efecto neto de los ciclos repetidos es que el calor, o energía térmica, es bombeado
al interior del motor desde un cuerpo a temperatura elevada T2 =
100 °C. Se hace trabajo al levantar un cuerpo, y otra cantidad de energía
térmica es bombeada del motor a un cuerpo a baja temperatura T1 =
0 °C. El auténtico ciclo de Carnot es diferente en algunos aspectos, siendo la
diferencia más importante que todos los procesos se efectúan de manera
sumamente lenta y gradual[11]. Pero estos detalles no nos incumben
aquí.
Carnot estaba interesado en la eficiencia de un motor térmico
en condiciones ideales (pistón de masa nula, fricción nula, sin pérdidas de
calor, etcétera).
Cuando se publicó el trabajo de Carnot en 1824[12], se creía que el calor era una
suerte de fluido, conocido como calórico. El principal interés de
Carnot era el límite de la eficiencia de los motores térmicos. Lo que encontró
es que la eficiencia límite depende sólo de la diferencia de temperaturas, y no
de la sustancia empleada en el motor (el gas o líquido concreto). Más tarde se
demostró que la eficiencia del motor idealizado de Carnot no podía ser superada
por ningún motor real. Esto puso la primera piedra de la formulación de la
segunda ley y preparó el camino para la introducción de un nuevo término:
«entropía».
El primero que formuló la segunda ley de la termodinámica fue William Thomson
(1824-1907), después conocido como Lord Kelvin. Básicamente, la formulación de
Kelvin establece que no puede haber ningún motor cíclico cuyo único efecto
sea bombear energía de un reservorio de calor y convertirla completamente en
trabajo.
Aunque tal motor no incumpliría la primera ley de la termodinámica (la ley de
conservación de la energía total), la segunda ley imponía una limitación sobre
la cantidad de trabajo que puede obtenerse de un motor que opera entre dos
reservorios de calor a diferente temperatura.
En pocas palabras, reconociendo que el calor es una forma de energía, la
segunda ley de la termodinámica establece que es imposible convertir del todo
calor (energía térmica) en trabajo (aunque lo contrario sí es posible: el
trabajo puede convertirse del todo en calor, como cuando se agita un fluido
mediante un agitador magnético o haciendo girar unas palas mecánicamente). Esta
imposibilidad se expresa a veces como la «imposibilidad del movimiento perpetuo
de segunda especie». Si tal «movimiento perpetuo» fuera posible, se podría
recurrir al enorme reservorio de energía térmica de los océanos para impulsar
un barco, dejando sólo una estela de agua ligeramente más fría. Por desgracia,
esto es imposible.
Otra formulación de la segunda ley de la termodinámica fue ofrecida
posteriormente por Rudolf Clausius (1822-1888). Básicamente, la formulación de
Clausius no es más que lo que todos hemos comprobado alguna vez: el calor
siempre fluye de un cuerpo más caliente (que se enfría en el proceso) a un
cuerpo más frío (que se calienta). Nunca observamos que el proceso inverso
tenga lugar de manera espontánea. La formulación de Clausius establece que no
existe ningún proceso espontáneo cuyo efecto neto sea únicamente la
transferencia de calor de un cuerpo frío a un cuerpo caliente. Por supuesto,
podemos conseguir este flujo inverso de calor ejerciendo un trabajo sobre el
fluido (que es como se consigue la refrigeración). Lo que Clausius afirmó es
que el proceso de transferencia de calor de un cuerpo caliente a otro frío
cuando se ponen en contacto, que es un proceso espontáneo, no puede observarse
en sentido contrario. Esto se muestra esquemáticamente en la figura 1.2, donde
dos cuerpos inicialmente aislados se ponen en contacto térmico.
Aunque las formulaciones de Kelvin y de Clausius son distintas, en realidad son
equivalentes. Esto no es evidente de entrada, pero su equivalencia es fácil de
demostrar mediante un argumento simple que puede encontrarse en cualquier textoelemental
de termodinámica.
Hay muchas otras formulaciones o expresiones de la segunda ley de la
termodinámica. Por ejemplo, si se deja que un gas confinado en un volumen V se
expanda, siempre lo hará en una dirección (figura 1.3)[13]. El gas se expandirá hasta llenar
por entero el nuevo volumen, digamos 2V. Nunca veremos una inversión
espontánea de este proceso, de manera que un gas que ocupe un volumen 2Vnunca
convergerá en un volumen menor, digamos V.
Hay otros procesos con los que todos estamos familiarizados, que proceden en un
sentido y nunca en el contrario, como los representados en las figuras 1.2,
1.3, 1.4 y 1.5. El calor fluye de las temperaturas altas a las bajas; los
materiales fluyen de las concentraciones altas a las bajas; dos gases se
mezclan espontáneamente, y una gota de tinta que caiga en un vaso de agua se
difuminará espontáneamente en el líquido hasta
que el agua quede homogéneamente teñida (figura 1.5). Nunca veremos el proceso inverso.
Todos estos procesos tienen algo en común, y es que proceden en un sentido, y
nunca en el contrario de manera espontáneaquien apreció el
principio general común a todos estos procesos. Pero no estaba ni mucho menos
claro que todos obedecieran a una misma ley de la naturaleza. Fue Clausius
quien apreció el principio general común a todos estos procesos.
De arriba abajo, figura 1.2, 1.3 y 1.4.
Recordemos que la
formulación de Clausius de la segunda ley no es más que un enunciado de algo
con lo que todos estamos familiarizados. La grandeza del logro de Clausius
reside en su portentosa intuición de que todos los procesos espontáneos
descritos están gobernados por una misma ley, y de que hay una magnitud que
rige el curso de los hechos, una magnitud que, en los procesos espontáneos,
siempre cambia en el mismo sentido. Esto se ligó a una flecha o vector
orientado en un sentido del eje temporal. Fue Clausius quien introdujo el
término «entropía», cuya elección justificó así[14]:
Prefiero acudir a
las lenguas muertas para los nombres de magnitudes científicas importantes,
para que tengan el mismo significado en todas las lenguas vivas. En
consecuencia, propongo llamar a S la entropía de un cuerpo, que en griego
significa «transformación». He acuñado deliberadamente la palabra entropía por
su similitud con energía, porque ambas magnitudes son tan análogas en su
significado físico que una analogía terminológica me parece útil.
Figura 1.5
En el
Merriam-Webster’s Collegiate Dictionary (2003), el vocablo «entropía» se define
como:
«Cambio, giro
literario, medida de la energía no utilizable en un sistema termodinámico
cerrado… medida del grado de orden del sistema…».
Como discutiremos
en el capítulo 8, el término «entropía» en el sentido de Clausius es
inadecuado. Pero cuando fue acuñado, el significado molecular de la entropía no
se conocía ni entendía. De hecho, como veremos más adelante, la entropía no es
la «transformación» (ni el «cambio» o «giro»): es algo que se transforma o cambia o evoluciona en
el tiempo.
Con la introducción del nuevo concepto de entropía, ya se podía proclamar la
formulación general de la segunda ley. En cualquier proceso espontáneo que
tiene lugar en un sistema aislado, la entropía nunca disminuye. Esta
formulación, que es muy general y abarca multitud de procesos, sembró la
semilla del misterio asociado al concepto de entropía, el misterio de una
magnitud que no se rige por una ley de conservación.
En física estamos acostumbrados a las leyes de conservación, lo cual tiene
sentido[15]: ni la materia se crea de la nada,
ni la energía es gratis. Tendemos a concebir una ley de conservación como algo
«comprensible», algo que «tiene sentido». Ahora bien, ¿cómo puede una magnitud
aumentar indefinidamente, y por qué? ¿Qué es lo que impulsa esa subida
inexorable? No es sorprendente que la segunda ley estuviera cubierta por un
velo de misterio. De hecho, en el contexto de la teoría macroscópica de la
materia, la segunda ley de la termodinámica es inexplicable. Y podría haber
permanecido en el misterio de no ser por el descubrimiento de la teoría atómica
de la materia y su aceptación por parte de la comunidad científica. Así, con la
formulación macroscópica llegamos a un callejón sin salida en nuestra
comprensión de la segunda ley de la termodinámica.
§. La formulación atomista de la segunda ley.
Antes del desarrollo de la teoría cinética del calor (que se basaba en el
reconocimiento de la teoría atómica de la materia), la termodinámica se
aplicaba sin referencia alguna a la composición de la materia, como si ésta
fuera un continuo. En este contexto la entropía no admitía más interpretación.
En sí mismo, esto no es inusual. Cualquier ley física acaba en un callejón sin
salida que debemos aceptar como tal, sin pretender mayor comprensión. Además,
la segunda ley se formuló como una ley absoluta: la entropía siempre aumenta
en cualquier proceso espontáneo en un sistema aislado. Esto no es diferente de
cualquier otra ley; por ejemplo, las leyes de Newton se cumplen siempre,
sin excepción[16].
Un paso de gigante en nuestra comprensión de la entropía y de la segunda ley de
la termodinámica lo dio Boltzmann con su interpretación estadística de la
entropía, la famosa relación entre la entropía y el número total de micro
estados de un sistema caracterizado macroscópicamente por una energía, un
volumen y un número de partículas dados. Ludwig Boltzmann (1844-1906)[17], junto con Maxwell y muchos otros,
construyeron lo que hoy se conoce como la teoría cinética de gases, o la teoría
cinética del calor. Esto no sólo condujo a la identificación de la temperatura,
que podemos percibir con nuestro sentido del tacto, con el movimiento de las
partículas que constituyen la materia, sino también a la interpretación de la
entropía sobre la base del número de estados accesibles al sistema.
Boltzmann introdujo la formulación atomista de la entropía en dos pasos.
Primero definió una magnitud que denotó como H, y demostró que,
como resultado de las colisiones moleculares y unos cuantos supuestos, siempre
disminuye y alcanza un mínimo en el equilibrio. Es lo que Boltzmann llamó
«teorema del mínimo», más adelante conocido como el teorema H de
Boltzmann (publicado en 1872). Además, Boltzmann demostró que un sistema de
partículas con cualquier distribución inicial de velocidades moleculares
alcanzará el equilibrio térmico. En ese punto, H alcanza su
valor mínimo, y la distribución de velocidades resultante será necesariamente
la llamada distribución de Maxwell (véase el capítulo 7).
En aquella época, la teoría atómica de la materia aún no estaba establecida ni
contaba con una aceptación universal. Aunque la idea de «átomo» llevaba más de
dos mil años rondando en la mente de los científicos, no había evidencias
convincentes de su existencia. No obstante, la teoría cinética del calor podía
explicar la presión y la temperatura de un gas. ¿Y la entropía, la magnitud
introducida por Clausius sin ninguna referencia a la composición molecular de
la materia?
Boltzmann advirtió que su magnitud H tenía un comportamiento
similar al de la entropía. Para obtener una magnitud que siempre aumente con
el tiempo y permanezca constante una vez que el sistema haya alcanzado el
equilibrio térmico no hay más que redefinir la entropía como el negativo
de H.
El teorema H de Boltzmann fue criticado no sólo por
científicos como Ernst Mach (1838-1916) y Wilhelm Ostwald (1853-1932), quienes
no creían en la existencia de los átomos, sino también por sus colegas y amigos[18].
La esencia de las críticas (lo que se conoce como objeción o paradoja de la
reversibilidad) es el conflicto aparente entre la simetría temporal[19] de las ecuaciones newtonianas
del movimiento y la asimetría temporal del comportamiento de la H de
Boltzmann. Este conflicto entre la reversibilidad del movimiento molecular y la irreversibilidad de la magnitud H era profundo e irreconciliable. ¿Cómo puede
derivarse una magnitud que diferencia el pasado del futuro (porque siempre
aumenta con el paso del tiempo) de unas ecuaciones del movimiento que no
distinguen en absoluto entre pasado y futuro? Las ecuaciones de Newton
pueden emplearse para predecir la evolución de las partículas tanto hacia atrás
como hacia delante en el tiempo. En el teorema H se
entretejían argumentos tanto mecánicos como probabilísticos. Pero el dominio de
la mecánica es determinista y simétrico, mientras que el de la probabilidad es
estocástico y asimétrico. Este conflicto se tomó como un defecto fatal del
resultado de Boltzmann. Se sospechaba que tenía que haber algún error de
razonamiento, o incluso que el error estaba en admitir la naturaleza atómica de
la materia. Esto supuso un revés para el teorema de Boltzmann, y quizás una
victoria (provisional) para los anti atomistas.
La réplica de Boltzmann a la objeción de la reversibilidad fue que su teorema
se cumplía casi siempre, pero que en algunos casos muy raros podía ocurrir
que Haumentara, o la entropía disminuyera, con el tiempo.
Esto era insostenible. La segunda ley de la termodinámica, como cualquier otra
ley de la física, se concebía y proclamaba como absoluta: no cabían las
excepciones, por infrecuentes que fueran. Nadie había observado nunca una
violación de la segunda ley. Al igual que no hay excepciones de las ecuaciones
newtonianas del movimiento[20], no debería haber excepciones de la
segunda ley, ni siquiera en casos raros. La segunda ley debe ser absoluta e
inviolable. En esta fase había dos visiones aparentemente distintas de la
segunda ley. Por un lado estaba la ley clásica, no atomista y absoluta,
formulada por Clausius y Kelvin, sintetizada en la aserción de que la entropía
nunca disminuye en un sistema aislado. Por otro lado estaba la formulación
atomista de Boltzmann, que afirmaba que la entropía aumenta «casi siempre»,
pero que hay excepciones, aunque son muy raras. Boltzmann proclamaba que la
entropía podía disminuir, que esto no era imposible, sino
sólo improbable[21]. Sin embargo, en vista de que todas
las observaciones aparentemente sustentaban el carácter absoluto de la segunda ley, parecía que Boltzmann
saldría derrotado, y con él la visión atomista de la materia.
A pesar de las críticas, Boltzmann no cedió, sino que reformuló su concepción
de la entropía. En vez del teorema H, que tenía una columna en el
campo de la mecánica y otra en el de la probabilidad, Boltzmann afianzó
firmemente ambas columnas en los cimientos de la probabilidad. Ésta era una
manera de razonar radicalmente nueva y ajena a la física. Por aquel entonces,
la probabilidad no formaba parte de la física (y ni siquiera de las
matemáticas). Boltzmann proclamó que la entropía (en su interpretación atomista) es igual al logaritmo del número
total de configuraciones de un sistema. En esta nueva y osada formulación no
había rastro de las ecuaciones del movimiento de las partículas. Parecía una
definición ad hoc de una magnitud desprovista de física, una
mera cuestión de contar el número de posibilidades, el número de estados o el
número de configuraciones. Ésta entropía atomista entrañaba la previsión de
excepciones, de manera que podía disminuir, si bien con una probabilidad
extremadamente baja. En aquel momento, el que la formulación de Boltzmann dejara
abierta la posibilidad de excepciones parecía debilitar su
validez en comparación con la formulación no atomista, absoluta e inviolable,
de la segunda ley. En el capítulo 8 volveremos sobre este punto y veremos que,
de hecho, la posibilidad intrínseca de excepciones refuerza más que debilita la
formulación atomista.
Las dos visiones irreconciliables de la segunda ley parecían haber conducido a
un estado de estancamiento. La formulación de Boltzmann sólo se impuso después
de que la teoría atómica de la materia contara con una aceptación plena. Por
desgracia para Boltzmann, esto no ocurrió hasta después de su muerte en 1906.
Un año antes, un artículo teórico decisivo de Einstein sobre el movimiento
browniano abrió el camino de la victoria para la visión atomista de la materia.
A primera vista, este asunto no parecía tener nada que ver con la segunda ley.
El movimiento browniano fue descrito por el botánico inglés Robert Brown
(1773-1858). El fenómeno es muy simple: si se observa al microscopio una
suspensión de partículas diminutas, como granos de polen, en agua, se observa
que se mueven de manera aparentemente aleatoria. Inicialmente se pensó que este
movimiento incesante era causado por microorganismos. Pero Brown y otros
mostraron que el mismo fenómeno se daba con partículas inorgánicas dispersas en
el líquido.
Albert Einstein (1879-1955) fue el primero en proponer una teoría del
movimiento browniano[22]. Einstein creía en la constitución
atómica de la materia, y también era un partidario incondicional de Boltzmann[23]. Lo que Einstein propuso es que, si
tenemos un número enorme de átomos o moléculas agitándose aleatoriamente en un
líquido, es de esperar que haya fluctuaciones. Si en el líquido se introducen
partículas minúsculas (a escala macroscópica, pero todavía grandes en
comparación con las dimensiones de las moléculas del líquido), estas sufrirán
un «bombardeo» molecular aleatorio. De vez en cuando se darán asimetrías en
este bombardeo de moléculas de líquido sobre las partículas suspendidas, y el
resultado será un movimiento zigzagueante.
En 1905, Einstein publicó una teoría de este movimiento aleatorio como parte de
su tesis doctoral[24]. En cuanto su teoría fue corroborada
por los experimentadores —en particular Jean Perrin (1870-1942) —, la
aceptación de la visión atomista se hizo inevitable. La termodinámica clásica,
basada en la naturaleza continua de la materia, no deja lugar
a las fluctuaciones. Lo cierto es que en un sistema macroscópico las
fluctuaciones son extremadamente pequeñas. Por eso no las observamos a escala
macroscópica. Pero a la escala de las diminutas partículas brownianas, las
fluctuaciones se magnifican y se hacen observables. La aceptación de la
constitución atómica de la materia conllevó la aceptación de la expresión de
Boltzmann de la entropía. Hay que decir que esta formulación de la entropía se
implantó rápidamente y no quedó afectada ni modificada por las dos grandes
revoluciones de la física a principios del siglo XX: la mecánica cuántica y la
relatividad[25]. La puerta para la comprensión de la
entropía estaba ahora abierta de par en par.
La asociación de la entropía con el número de configuraciones y sus
probabilidades era ahora incuestionable desde el punto de vista de la dinámica
de las partículas. Pero esto no era fácil de comprender y aceptar en una época
en la que la probabilidad aún no formaba parte de la física.
Casi al mismo tiempo que Boltzmann publicaba su interpretación de la segunda
ley, Willard Gibbs (1839-1903) concibió la teoría mecano-estadística de la
materia, aplicando un enfoque puramente probabilístico y estadístico. El éxito
aplastante del enfoque de Gibbs, basado en postulados probabilísticos[26], nos ha dado la seguridad de que un
sistema de una enormidad de partículas, aunque en última instancia esté
gobernado por las leyes del movimiento, se comportará de manera aleatoria y
caótica, y que prevalecerán las leyes probabilísticas.
La relación de la entropía con el número de estados de un sistema no basta para
explicar su comportamiento. Debemos suplementar dicha relación con tres hechos
y supuestos fundamentales. Primero, que el número de partículas, y aún más el
de micro estados, es enorme. Segundo, que todos estos estados son igualmente
probables y, por ende, tienen las mismas posibilidades de ser visitados por el
sistema. Tercero, y principal, que en el
equilibrio el número de micro estados consistentes con
(o pertenecientes a) el macro estado observado es casi igual
al número total de micro estados posibles. Volveremos sobre
estos aspectos de un sistema físico en los capítulos 6 y 7.
Con estos supuestos suplementarios, que cristalizarían en una teoría firme de
la termodinámica estadística, la formulación atomista de la entropía obtuvo una
victoria decisiva. La formulación no atomista de la segunda ley todavía se
enseña y se aplica con éxito. No hay nada erróneo en ella, salvo que no revela,
ni puede revelar, el secreto que esconde el concepto de entropía.
La relación heurística de Boltzmann entre la entropía y el logaritmo del número
total de estados[27]abrió la puerta al desciframiento del
significado de la entropía. Pero aún tenemos que dar unos cuantos pasos más
para atravesar la niebla y disipar el misterio que rodea la entropía.
Podemos llegar a esta meta a través de varias rutas. Expondré las dos
principales. Una se basa en la interpretación de la entropía a partir de la
extensión del desorden en un sistema[28], mientras que la otra tiene que ver
con la interpretación de la entropía a partir de la información perdida en el
sistema[29].
La primera ruta, la más clásica y popular, parte de la propia interpretación de
Boltzmann de la entropía: un gran número de estados concebiblemente implica
gran cantidad de desorden. Esto ha llevado a la lectura corriente de la segunda ley de la termodinámica como que «la
Naturaleza procede del orden al desorden».
En mi opinión, aunque esta interpretación de la entropía según el
orden-desorden resulta intuitivamente clara en muchos casos, no siempre es
válida. Desde un punto de vista cualitativo, puede decimos qué es
lo que cambia en algunos procesos espontáneos (aunque no en todos), pero no da
respuesta a la cuestión de por qué la entropía siempre
aumenta.
La segunda ruta, aunque menos popular entre los científicos, es la que
considero la mejor. En primer lugar, porque la información es
una magnitud mejor definida,
cuantitativa y objetivamente, mientras que el orden y el desorden son conceptos
no tan bien definidos. En segundo lugar, la información, o más bien la
información perdida, puede usarse para dar respuesta a la pregunta de qué es lo
que cambia en cualquier proceso
espontáneo. «Información» es una palabra familiar; como los términos «energía»,
«fuerza» o «trabajo», no suscita ningún misterio. Su medida se define con
precisión en el marco de la teoría de la información. Esta magnitud retiene el
significado básico de información con el que estamos familiarizados. No ocurre
así cuando apelamos al «desorden» para describir lo que cambia. Discutimos esto
en los capítulos 7 y 8. La información en sí misma no da respuesta a la
cuestión de por qué la
entropía cambia como lo hace. Pero, a diferencia del desorden, se define a
partir de probabilidades y, como veremos, ahí está la clave de la respuesta que
buscamos.
Por las razones expuestas, dedicamos el próximo
capítulo a familiarizarnos con unas cuantas nociones básicas de probabilidad e
información. Lo hacemos de manera muy cualitativa, para que todos los lectores,
con formación científica o sin ella, puedan seguir los argumentos. Todo lo que
se requiere es sentido común. Tan pronto como nos hayamos familiarizado con
estos conceptos, el misterio que rodea a la entropía y la segunda ley se
desvanecerá, y estaremos en condiciones de responder ambas preguntas: qué es lo
que cambia y por qué cambia como lo hace.
Fin del capítulo 1
Capítulo 2
Una breve introducción a la teoría de la probabilidad, la teoría de la
información, y todo lo demás
Contenido:
§. La definición
clásica.
§. La definición de frecuencia relativa.
§. Sucesos independientes y probabilidad condicionada.
§. Tres advertencias.
§. Probabilidad condicionada y causa-efecto.
§. Probabilidad condicionada y probabilidad conjunta.
§. Una cucharada de teoría de la información.
§. Una pizca de matemáticas, física y química.
§. Un problema de lotería.
§. Un problema en el orden-desorden.
§. Un desafío.
§. Respuestas a los problemas.
La teoría de la
probabilidad es una rama de las matemáticas. Tiene usos en todos los campos de
la ciencia, desde la física y la química hasta la biología y la sociología, la
economía y la psicología; en resumen, en todos los aspectos de nuestras vidas.
Hacemos «cálculos» probabilísticos de manera consciente o inconsciente en
muchas de las decisiones que tomamos, sea cruzar la calle, tomar un taxi, comer
algo que no hemos probado nunca antes, ir a la guerra, negociar un tratado de
paz, etcétera. En muchas actividades intentamos estimar las posibilidades de
éxito o fracaso.
Sin un pensamiento probabilístico de esta índole, un médico no podría
diagnosticar una enfermedad a partir de los síntomas, ni podría prescribir la
mejor medicación para la enfermedad diagnosticada. Ni las aseguradoras podrían
ajustar el coste del seguro de automóvil a la medida de clientes con perfiles
personales diferentes.
La teoría de la probabilidad se derivó de las cuestiones que los jugadores
plantearon a los matemáticos, quienes
presumiblemente tenían un mejor conocimiento de cómo estimar
las posibilidades de ganar en un juego. Puede que algunos jugadores incluso
creyeran que ciertas personas tenían un don «divino» que les permitía predecir el
resultado de un juego[30].
Básicamente, la probabilidad es una magnitud subjetiva que mide el grado o
extensión de la creencia de que ocurrirá cierto suceso[31]. Por ejemplo, yo puedo estimar que
las posibilidades de que un sospechoso haya cometido el crimen del que se le
acusa son sólo de un 10%, por lo que debería ser absuelto. El juez, en cambio,
puede llegar a la conclusión bien diferente de que el sospechoso es culpable
con una probabilidad elevada. La razón de una discrepancia tan extrema es que
cada uno tiene su propia información sobre las evidencias y evalúa dicha
información a su manera. Aunque dos personas tengan la misma información, cada
una podría procesarla de modo que le condujese a una estimación diferente de
las posibilidades, o la probabilidad de un suceso (o la plausibilidad de cierta
proposición).
De esta noción tan vaga, cualitativa y subjetiva se ha derivado una teoría de
la probabilidad refinada que es cuantitativa y constituye una rama objetiva[32] de las matemáticas. Aunque no
es aplicable a todos los sucesos posibles, se puede aplicar a un cuerpo de
sucesos muy grande, como es el caso de los juegos de azar y muchos «sucesos»
que constituyen resultados de experimentos en física.
Así pues, si uno afirma que la probabilidad de que el Mesías aparezca el
próximo lunes es del 90%, y otro afirma que no pasa del 1%, no hay manera de
decidir quién tiene razón. De hecho, aunque esperemos al próximo lunes y veamos
que no ocurre nada, seguiríamos sin poder decir cuál de las probabilidades
estimadas era la correcta[33]]. No obstante, para algunas clases de
experimentos bien definidos existe una probabilidad «perteneciente» al suceso,
y que es aceptada por todos.
Por ejemplo, si lanzamos una moneda de la que no tenemos por qué sospechar que
está desequilibrada o «trucada», las posibilidades de los resultados «cara» o
«cruz» son 50% y 50% respectivamente. En esencia, no puede demostrarse que
éstas sean las probabilidades «correctas». Podemos aceptar una demostración
práctica basada en lanzar muchas veces una moneda y luego contar las
frecuencias de los resultados. Si lanzamos una moneda mil veces, hay muchas
posibilidades de que alrededor de 500 veces salga cara y otras 500 veces salga
cruz. Pero también puede ocurrir que salgan 590 caras y 410 cruces. De hecho,
podemos obtener cualquier secuencia de cara y cruz. No hay manera de derivar o
extraer las probabilidades de tales experimentos. En éste y otros experimentos
similares con monedas o dados, debemos aceptar su existencia axiomáticamente.
Las posibilidades de 50:50, o mitad y mitad de cara y cruz, deben aceptarse
como algo perteneciente al suceso, igual que la cantidad de masa perteneciente
a una porción de materia. Hoy la probabilidad se considera un concepto
primitivo que no puede definirse a partir de conceptos más primitivos.
Volvamos a la época pre probabilística de los siglos XVI y XVII, cuando el
concepto de probabilidad sólo había comenzado a emerger.
A modo de ejemplo, se dice que a Galileo Galilei (1564-1642) le plantearon el
siguiente problema:
Supongamos que jugamos con tres dados y
apostamos sobre la suma de los resultados de lanzarlos
todos juntos. Intuimos con claridad que no sería juicioso apostar al 3 o al 18.
Nuestra impresión es correcta (en el sentido antes discutido). La razón es que
tanto el 3 como el 18 sólo pueden darse de una manera: que salga 1-1-1 o 6-6-6,
respectivamente, e intuitivamente estimamos que ambas posibilidades son
relativamente raras. Sin duda, es mejor apostar al 7. ¿Por qué? Porque hay
más particiones del número 7 en tres números (entre 1 y 6). En
otras palabras, se puede obtener 7 de cuatro maneras posibles: 1-1-5, 1-2-4,
1-3-3 y 2-2-3. También intuimos que el número de particiones
es mayor cuanto mayor es la suma, hasta cierto punto más o menos a medio camino
entre el mínimo de 3 y el máximo de 18. Ahora bien, ¿cómo decidimos si apostar
al 9 o al 10? Si hacemos cuentas, veremos que ambos resultados tienen el mismo
número de particiones, es decir, el mismo número de combinaciones de enteros
(de 1 a 6) cuya suma es 9 o 10. Éstas son todas
las particiones posibles:
|
Para 9: |
1-2-6 |
1-3-5 |
1-4-4 |
2-2-5 |
2-3-4 |
3-3-3 |
|
Para 10: |
1-3-6 |
1-4-5 |
2-2-6 |
2-3-5 |
2-4-4 |
3-3-4 |
A primera vista, puesto que el 9 y el 10 tienen el mismo número de particiones,
podríamos concluir que también tienen las mismas posibilidades de salir. Pero
nos equivocaríamos. En realidad, 10 es mejor apuesta que 9. La razón es que,
aunque el número de particiones es el mismo en ambos casos, el número total de
resultados de los tres dados que suman 9 es algo menor que el número de
resultados que suman 10. En otras palabras, el número de particiones es el
mismo, pero cada partición tiene un «peso» diferente. Por ejemplo, la partición
1-4-4 puede darse de tres maneras:
1-4-4, 4-1-4, 4-4-1
Esto
se ve fácilmente si usamos tres dados de distintos colores, digamos azul, rojo
y blanco; entonces las tres posibilidades para 1-4-4 son:
azul 1, rojo 4,
blanco 4
azul 4, rojo 1,
blanco 4
azul 4, rojo 4,
blanco 1
Cuando
contamos todas las particiones posibles con sus pesos respectivos, obtenemos
los resultados que se muestran a continuación.
Resultados posibles del lanzamiento de tres
dados para suma = 9:
|
1-2-6 |
1-3-5 |
1-4-4 |
2-2-5 |
2-3-4 |
3-3-3 |
|
|
1-6-2 |
1-5-3 |
4-1-4 |
2-5-2 |
2-4-3 |
|
|
|
2-1-6 |
3-1-5 |
4-4-1 |
5-2-2 |
3-2-4 |
|
|
|
2-6-1 |
3-5-1 |
|
|
3-4-2 |
|
|
|
6-1-2 |
5-1-3 |
|
|
4-2-3 |
|
|
|
6-2-1 |
5-3-1 |
|
|
4-3-2 |
|
|
|
Pesos: |
6 |
6 |
3 |
3 |
6 |
1 |
El número total de resultados para 9 es 25.
Resultados posibles del lanzamiento de tres
dados para suma = 10:
|
1-3-6 |
1-4-5 |
2-2-6 |
2-3-5 |
2-4-4 |
3-3-4 |
|
|
1-6-3 |
1-5-4 |
2-6-2 |
2-5-3 |
4-2-4 |
3-4-3 |
|
|
3-1-6 |
4-1-5 |
6-2-2 |
3-2-5 |
4-4-2 |
4-3-3 |
|
|
3-6-1 |
4-5-1 |
|
3-5-2 |
|
|
|
|
6-1-2 |
5-1-3 |
|
5-2-3 |
|
|
|
|
6-2-1 |
5-3-1 |
|
5-3-2 |
|
|
|
|
Pesos: |
6 |
6 |
3 |
6 |
3 |
3 |
El número total de resultados para 10 es 27.
Hay 25 resultados distinguibles que suman 9, mientras que hay 27 que suman 10.
Por lo tanto, las posibilidades relativas de 9 y de 10 son 25:27, así que es
preferible apostar por el 10, como presumiblemente aconsejaría Galileo.
Pero ¿qué significa que 10 es la «mejor» elección, y que éste es el número
ganador «correcto»? Es evidente que yo podría apostar por el 10 y el lector por
el 3, y yo podría perder y el lector ganar. ¿Garantizan nuestras cuentas que si
apostamos por el 10 siempre ganaremos? Obviamente no. ¿Qué significa, entonces,
la razón 25:27?
La teoría de la probabilidad nos da una respuesta. No es una respuesta precisa
ni plenamente satisfactoria, ni garantiza el triunfo; sólo nos dice que si
jugamos muchas veces, la probabilidad de que salga 9 es 25/216, mientras que la
probabilidad de que salga 10 es algo mayor, 27/216 (donde 216 es el número de
resultados posibles, 63 = 216). ¿Cuántas veces tendremos que
jugar para tener la seguridad de acertar? Sobre este asunto, la teoría
permanece muda. Sólo dice que en el límite de un número infinito de lanzamientos, la frecuencia del 9 debería ser
25/216, y la frecuencia del 10 debería ser 27/216. Pero no podemos lanzar los
dados infinitamente, así que ¿cuál es el sentido de estas probabilidades? Por
el momento, lo único que podemos decir es que la razón 27:25 refleja
nuestra creencia o nuestra confianza en que el 10 tiene mayor
probabilidad de salir que el 9[34].
Dejemos ahora nuestro juego. Más adelante
volveremos sobre éste y otros juegos similares con más dados.
En la discusión anterior hemos empleado la
palabra «probabilidad» sin definirla. De hecho, ha habido varias propuestas
de definición de la
probabilidad. Cada una tiene sus limitaciones. Pero lo más importante es que
cada definición introduce el concepto de probabilidad en la propia definición,
lo que quiere decir que todas las definiciones de probabilidad son circulares.
La versión actual de la teoría matemática de la probabilidad tiene una base
axiomática, igual que la geometría euclídea o cualquier otra rama de las
matemáticas.
El enfoque axiomático es muy simple y no
requiere conocimientos matemáticos. Fue desarrollado principalmente por
Kolmogorov en los años treinta, y consiste en los tres conceptos básicos
siguientes:
1.
El espacio muestral. Es el
conjunto de todos los resultados posibles de un experimento específico bien
definido. Ejemplos: el espacio muestral del lanzamiento de un dado consiste en
seis resultados posibles {1, 2, 3, 4, 5, 6}; el lanzamiento de una moneda tiene
un espacio muestral consistente en dos resultados {cara, cruz}. Estos
resultados se denominan sucesos elementales. Obviamente, no siempre se puede
determinar el espacio muestral de un experimento. En algunos casos el número de
elementos es infinito (como en el lanzamiento de un dardo hacia una diana
circular) y en otros ni siquiera puede describirse. Nos interesan los espacios
simples donde los resultados, o sucesos elementales, son fáciles de contar.
2.
Una colección de sucesos. Un suceso se
define como la unión o suma de sucesos elementales. Ejemplos:
− El resultado de lanzar un dado es «par». Este suceso consiste en los sucesos
elementales {2, 4, 6}, es decir, en si ha salido o saldrá 2, 4 o 6 en el
experimento de lanzar un dado.[35]
− El resultado de lanzar un dado es «mayor o igual que 5». Este suceso consiste
en los sucesos elementales {5, 6}, es decir, en si ha salido 5 o 6.
En términos matemáticos, la colección de sucesos consiste en todos los
subconjuntos del espacio muestral.[36]
3.
Probabilidad. A cada suceso le asignamos un
número que llamaremos la probabilidad de ese suceso, con las siguientes
propiedades:
− La probabilidad de cada suceso es un número entre cero y uno.
− La probabilidad del suceso seguro (es decir, la ocurrencia de cualquier
resultado) es uno.
− La probabilidad del suceso imposible es cero.
− Si dos sucesos son disjuntos o mutuamente excluyentes, entonces la
probabilidad de la suma (o unión) de ambos sucesos no es más que la suma de las
probabilidades de cada suceso.
La
condición (a) simplemente proporciona la escala de la función de probabilidad.
En la vida diaria podríamos usar el rango 0-100% para describir las
posibilidades de, por ejemplo, que llueva mañana. En la teoría de la
probabilidad se emplea el rango (0, 1). La condición (b) simplemente establece
que si llevamos a cabo un experimento, debe darse alguno de los resultados
posibles. A este suceso, denominado suceso seguro, se le asigna la probabilidad
uno. Similarmente, asignamos una probabilidad nula al suceso imposible. La
condición (d) es intuitivamente autoevidente. La exclusión mutua significa que
la ocurrencia de un suceso excluye la posibilidad de la ocurrencia del otro. En
términos matemáticos, decimos que la intersección de ambos sucesos es vacía (esto
es, no contiene sucesos elementales).
Por ejemplo, los sucesos:
A = {el
resultado del lanzamiento de un dado es par}.
B = {el resultado del lanzamiento de un dado es impar}
son
claramente disjuntos, porque la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del
otro. Si definimos el suceso:
C = {el
resultado del lanzamiento de un dado es mayor o igual que 5}
es
evidente que A y C o B y C no
son disjuntos. A y C contienen
el suceso elemental 6, mientras que B y C contienen
el suceso elemental 5.
Los sucesos «mayor o igual que 4» y «menor o
igual que 2» son claramente disjuntos. Adelantándonos a la discusión que sigue,
podemos calcular que la probabilidad del primer suceso {4, 5, 6} es 3/6, y la
probabilidad del segundo suceso {1, 2} es 2/6, de manera que la probabilidad
del suceso combinado (o la unión) {1, 2, 4, 5, 6} es 5/6, que es la suma de 2/6
y 3/6.
Una manera muy útil de ilustrar el concepto de
probabilidad y la regla de la suma es el diagrama de Venn. Imaginemos que, con
los ojos tapados, lanzamos un dardo hacia un tablero rectangular con un área
total S = A × B. Supondremos que el dardo debe incidir obligatoriamente en algún punto del
tablero (figura 2.1).
Figura 2.1
Ahora
tracemos un círculo dentro del tablero, y preguntémonos cuál es la probabilidad
de que el dardo se clave dentro del círculo[37]. Por puro sentido
común, suponemos que la probabilidad del suceso «clavarse dentro del círculo»
es igual a la razón entre el área del círculo y el área total del tablero[38].
Decimos que dos regiones del tablero son
disjuntas si no se superponen (figura 2.2). Sin duda, la probabilidad de que el
dardo se clave en una u otra región es la razón entre el área de ambas regiones
y el área total del tablero.
Figura 2.2
Esto
nos lleva directamente a los axiomas de suma antes enunciados. La probabilidad
de que el dardo se clave en cualquiera de las dos regiones es la suma de las
probabilidades de cada región.
Esta ley de aditividad no se cumple cuando las
regiones se superponen, es decir, cuando hay puntos del tablero que pertenecen
a ambas regiones, tal como se muestra en la figura 2.3.
Figura 2.3
En
este caso resulta evidente que la probabilidad de que el dardo se clave en
alguna de las regiones es la suma de las probabilidades correspondientes a cada
región menos la probabilidad del sector superpuesto. Piénsese simplemente en el
área cubierta por ambas regiones: es la suma de las áreas respectivas menos el
área de la intersección.
El edificio entero de la teoría matemática de la
probabilidad se erige sobre este fundamento axiomático relativamente simple. No
sólo es sumamente útil, sino también una herramienta esencial en todas las
ciencias y más allá. Como el lector habrá notado, los principios básicos de la
teoría son simples, intuitivos y sólo requieren sentido común.
En la estructura axiomática de la teoría de la
probabilidad, se dice que las probabilidades se asignan a cada suceso[39]. Estas
probabilidades deben cumplir las cuatro condiciones a, b, c y d.
La teoría no define la probabilidad, ni proporciona un método para
calcularla o mesurarla[40]. De hecho, no hay
manera de calcular la probabilidad de ningún suceso general. La probabilidad
sigue siendo una medida de nuestra fe en la ocurrencia de ciertos sucesos, y
como tal es una magnitud altamente subjetiva. Sin embargo, para algunos
experimentos simples, como lanzar una moneda o un dado, o encontrar el número
de átomos en cierta región del espacio, disponemos de métodos de cálculo muy
útiles. Aunque tienen sus limitaciones y se aplican a casos «ideales», las
probabilidades así estimadas resultan sumamente útiles. Y lo que es más
importante, puesto que se basan en razonamientos de sentido común, todos deberíamos
convenir en que son las probabilidades «correctas», esto es, que dejan de ser
subjetivas para considerarse objetivas. Describiremos dos «definiciones» muy
útiles que se han sugerido para este concepto.
§. La definición clásica.
Comencemos por la definición clásica, también
conocida como la definición a priori[41]. Sea N(total) el
número total de resultados posibles de un experimento concreto. Por ejemplo,
para el lanzamiento de un dado, N(total) es
seis (los seis resultados, o sucesos elementales, de este experimento).
Denotamos por N(suceso) el número de resultados (sucesos elementales)
incluidos en el suceso que nos interesa. Por ejemplo, el número de sucesos
elementales incluidos en el suceso «par» es 3, esto es, {2, 4, 6}. La
probabilidad del suceso que nos interesa se define como la razón N(suceso)/N(total).
Ya hemos hecho uso de esta definición intuitivamente satisfactoria al calcular
la probabilidad del suceso «mayor o igual que 4». El número total de sucesos
elementales (resultados) del lanzamiento de un dado es N(total) =
6. El número de sucesos elementales incluidos en el suceso «mayor o igual que
4» es N(suceso) = 3. Por lo tanto, la probabilidad del suceso
considerado es 3/6, o 1/2, que para todos es la estimación «correcta».
Sin embargo, al aplicar esta definición de probabilidad hay que actuar con cautela. Para
empezar, no todo suceso puede «descomponerse» en sucesos elementales (como es
el caso del suceso «mañana comenzará a llover a las diez en punto»). Pero lo
más importante es que la fórmula anterior presume que todos los sucesos
elementales tienen las mismas posibilidades de ocurrir. En otras palabras, se
presume que cada suceso elemental tiene la misma probabilidad(1/6 en el caso del dado). Pero ¿cómo podemos
asegurarlo? Hemos ofrecido una fórmula para calcular la probabilidad de un
suceso que se basa en el conocimiento de las probabilidades de los sucesos
elementales. Por eso esta definición clásica no puede tomarse como una
verdadera definición de
probabilidad, ya que es circular. Aun así, se trata de una «definición» (o,
mejor, un método de cálculo) sumamente útil. Se basa en nuestra creencia en que cada suceso elemental tiene la misma
probabilidad, en este caso 1/6. ¿Por qué creemos tal cosa? Lo mejor que podemos
hacer es invocar el argumento de la simetría. Puesto que presumimos que todas
las caras del dado son equivalentes, sus probabilidades deben ser iguales. Esta
conclusión tendría que ser universalmente aceptada, tanto como la aserción
axiomática de que dos líneas rectas se cruzarán como mucho en un único punto.
Así, mientras que la probabilidad del suceso «lloverá mañana» es altamente
subjetiva, que la probabilidad del suceso «par» al arrojar un dado es 1/2 es
algo en lo que todo el mundo que pretenda razonar probabilísticamente debería
estar de acuerdo, igual que cualquiera que pretenda razonar geométricamente
debe aceptar los axiomas de la geometría.
Como en la geometría, todos los resultados y
teoremas derivados de los axiomas se aplican estrictamente a casos ideales: un
dado «equitativo» o una moneda «equitativa». No se define lo que es un dado
equitativo. Es un concepto tan «ideal» como un círculo o cubo platónico[42]. Todos los dados
reales, como todos los cubos o esferas reales, son sólo réplicas aproximadas de
los objetos platónicos ideales. En la práctica, si no tenemos ningún motivo
para sospechar que un dado no es totalmente homogéneo o simétrico, podemos
suponer que es ideal.
Esta limitación no impide que el procedimiento
de cálculo de probabilidades descrito sea muy útil en muchas aplicaciones. Uno
de los postulados básicos de la mecánica estadística es que cada uno de los
microestados que comprende un sistema macroscópico tiene la misma probabilidad.
Una vez más, este postulado no es más «demostrable» que la afirmación de que
cada resultado del lanzamiento de un dado es igualmente probable. Esto nos
lleva a la segunda «definición» o, si se prefiere, el segundo procedimiento de
cálculo de probabilidades.
§. La definición de frecuencia relativa.
Veamos ahora la llamada definición a posteriori o «experimental», ya que se basa en el cómputo
de la frecuencia relativa de la ocurrencia de un suceso. El ejemplo más simple
es el juego de cara o cruz. Hay dos resultados posibles: cara o cruz. Excluimos
posibilidades raras, como que la moneda caiga de canto, o se haga añicos
durante el experimento, o desaparezca de la vista.
Procedemos a lanzar una moneda N veces, y registramos la frecuencia con la que
sale cara. Éste es un experimento bien definido y factible. Sin(H) es el número de caras en N(total) lanzamientos, entonces la frecuencia del suceso
«cara» es n(H)/N(total). La
probabilidad de ocurrencia del suceso «cara» se define como el límite de dicha frecuencia cuando N tiende a infinito[43]. Por supuesto, esta
definición no es nada práctica. Para empezar, no podemos lanzar la moneda
infinitas veces. Y aunque pudiéramos, ¿quién nos garantiza que ese límite
existe? Sólo podemos imaginarlo. Creemos que el mencionado límite existe y que
es único, pero lo cierto es que no podemos demostrarlo.
En la práctica, la definición anterior se aplica
tomando valores de N muy
grandes. ¿Por qué? Porque creemos que si N es lo bastante grande y la moneda no está
trucada, entonces hay una elevada probabilidad de que la frecuencia relativa de «cara» sea 1/2[44]. Una vez más, hemos
introducido el concepto de probabilidad en su propia definición.
Este método puede emplearse para «demostrar» que
la probabilidad de cada resultado posible del lanzamiento de un dado es 1/6.
Sólo hay que repetir el experimento muchas veces y contar las veces que ha
salido 4 (o cualquier otro resultado). La frecuencia relativa puede servir para
«demostrar» la probabilidad de ese suceso. Este razonamiento descansa sobre
la creencia de que
si N es lo bastante
grande, deberíamos obtener la frecuencia de uno de los seis resultados
posibles. Ahora bien, ¿y si hacemos el experimento un millón de veces y
hallamos que la frecuencia relativa de «4» es 0,1665 (en vez de 0,1666…)? ¿Qué
conclusión podríamos sacar? Una podría ser que el dado es «justo», pero que
hacían falta más lanzamientos. Otra conclusión podría ser que el dado está
sesgado y pesa un poco más de un lado que de otro. La tercera conclusión podría
ser que los lanzamientos no eran perfectamente aleatorios. ¿Cómo estimamos la
probabilidad de un suceso, entonces? Lo único que podemos hacer es apelar a
nuestro sentido común.
Recurrimos al sentido común para juzgar que, en virtud de la simetría del dado
(todas las caras son equivalentes), la probabilidad de cada resultado debe ser
la misma. No hay manera de demostrar esto. Todo lo que podemos decir es que, si el dado es ideal (un
dado así no existe en la práctica), entonces creemos que, si lanzamos el dado muchas veces, a largo plazo
el resultado «4» sale en una sexta parte del número total de lanzamientos. Esta
creencia, aunque parezca subjetiva, debe ser compartida por todos nosotros y
contemplada como objetiva.
Uno tiene derecho a no aceptar esta convención, por supuesto, pero si no lo
hace no podrá hacer uso de la teoría de la probabilidad ni encontrar
convincentes los argumentos presentados en el resto de este libro.
Hay que decir, no obstante, que la
identificación de los sucesos elementales no siempre es sencilla o posible.
Veamos un conocido ejemplo. Supongamos que tenemos N partículas (electrones, por ejemplo) y M casillas (niveles de energía). Hay diferentes
maneras de distribuir las N partículas en las M casillas.
Si no tenemos más información, podemos suponer que todas las configuraciones
son equiprobables.
Figura 2.4. Todas las configuraciones posibles.
La
figura 2.4 muestra todas las configuraciones posibles para N =
2 partículas en M = 4 casillas.
Podemos asignar la misma probabilidad a cada una
de las 16 configuraciones. Esta asignación se conoce como «estadística clásica»
(no confundir con la definición «clásica» de probabilidad). Valdría para
monedas o dados repartidos en casillas, pero no para partículas moleculares
distribuidas en niveles de energía.
Resulta que la naturaleza impone ciertas
restricciones sobre las configuraciones que cuentan como sucesos elementales.
La naturaleza también nos dice que hay dos maneras de contabilizar sucesos
elementales, según el tipo de partícula. Para las partículas llamadas bosones
(como los fotones o los átomos de He4) sólo hay diez configuraciones equiprobables, tal como se muestra en la
figura 2.5.
Figura 2.5. Configuraciones de Bose-Einstein.
Para
el segundo grupo de partículas (como los electrones o los protones), conocidas
como fermiones, sólo hay seis configuraciones posibles, tal como se muestra en
la figura 2.6.
Figura 2.6. Configuraciones de Fermi-Dirac.
En
el primer caso (figura 2.5) decimos que las partículas obedecen a la
estadística de Bose-Einstein, y en el segundo caso (figura 2.6) decimos que
obedecen a la estadística de Fermi-Dirac. Pongo este ejemplo sólo para mostrar
que no tenemos una regla universal para enumerar los sucesos elementales.
Sólo podemos proceder por ensayo y error para
seleccionar los sucesos elementales, y luego buscar algún respaldo teórico para
la selección correcta final. De este modo se han descubierto principios físicos
de gran calado[45].
§. Sucesos independientes y probabilidad condicionada.
Los conceptos de dependencia entre sucesos y
probabilidad condicionada están en el núcleo de la teoría de la probabilidad y
tienen multitud de usos en ciencia[46]. En este libro sólo
necesitamos el concepto de independencia entre dos sucesos. Pero el
razonamiento basado en la probabilidad condicionada aparece en numerosas
aplicaciones del cálculo de probabilidades.
Se dice que dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta a la
probabilidad del otro.
Por ejemplo, si dos personas alejadas una de
otra lanzan un dado cada una, los resultados de las dos tiradas son
independientes, en el sentido de que el hecho de que salga, digamos, un 5 en un
dado no influye en absoluto en la probabilidad de que salga un 3 en el otro (el
par de dados de la izquierda en la figura 2.7). Por otro lado, si ambos dados
están conectados mediante un alambre inflexible (el par de la derecha en la
figura 2.7), los resultados de cada uno serán mutuamente dependientes.
Intuitivamente se ve que, siempre que tenemos dos sucesos independientes, la
probabilidad de que ocurran ambos (digamos un 5 en un dado y un 3 en el otro)
es el producto de las
probabilidades respectivas. La razón es muy simple. Al lanzar dos dados
simultáneamente, tenemos 36 sucesos elementales posibles. Cada uno de estos
resultados tiene una probabilidad de 1/36, que también es 1/6 x 1/6, esto es,
el producto de las probabilidades de cada suceso elemental de uno y otro dado.
Un segundo concepto fundamental es el de
probabilidad condicionada, que se define como la probabilidad de que ocurra un
suceso A sabiendo que ha
ocurrido el suceso B.
Figura 2.7
La
denotamos como Pr {A/B} (que se lee: probabilidad de A dado B)[47].
Es evidente que si ambos sucesos son
independientes, entonces la ocurrencia de B no afecta a la probabilidad de A.
Lo denotamos como Pr {A/B} = Pr
{A}. Lo interesante es cuando hay dependencia, es decir, cuando la ocurrencia
de un suceso sí afecta a la probabilidad de que ocurra otro. En la vida diaria
hacemos estimaciones de probabilidades condicionadas a menudo.
A veces la ocurrencia de un suceso incrementa la
probabilidad del segundo, y otras veces la disminuye. Ejemplos:
1) La probabilidad
de que llueva hoy por la tarde sabiendo que al mediodía el cielo está muy
nublado es mayor que la probabilidad de «esta tarde llueve».
2) La probabilidad de que llueva hoy por la tarde sabiendo que al mediodía el
cielo está despejado es menor que la probabilidad de «esta tarde llueve».
3) La probabilidad de que llueva hoy sabiendo que el resultado del lanzamiento
de un dado ha sido «4» es la misma que la probabilidad de «hoy llueve».
Podemos
decir que, en el primer ejemplo, los dos sucesos están correlacionados
positivamente, mientras que en el segundo ejemplo lo están negativamente, y en
el tercer ejemplo no lo están en absoluto[48].
En los tres ejemplos que acabamos de ver apreciamos que los enunciados son correctos. Pero no podemos
cuantificarlos. En este caso, cada cual tendría su propia estimación de la
probabilidad de «esta tarde llueve».
Para hacer las cosas más cuantitativas y
objetivas, consideremos los siguientes sucesos:
A = {El
resultado del lanzamiento de un dado es «4»}.
B = {El resultado del lanzamiento de un dado es «par»} (es decir,
2, 4 o 6)
C = {El resultado del lanzamiento de un dado es «impar»} (es decir,
1, 3 o 5).
Podemos
calcular las dos probabilidades condicionadas siguientes:
Pr {A/B}
= 1/3 > Pr {A} = 1/6.
Pr {A/C} = 0 < Pr {A} = 1/6.
En
el primer caso, el conocimiento de que B ha tenido
lugar incrementa la probabilidad de A.
Sin ese conocimiento la probabilidad de A es 1/6 (una de
seis posibilidades). Dado B, la probabilidad
de A se eleva a 1/3 (una de tres posibilidades).
En cambio, si sabemos que ha ocurrido C, la probabilidad
de A cae a cero y, por ende, es menor que
la probabilidad de A sin dicho
conocimiento.
Es importante distinguir entre sucesos disjuntos (es decir, mutuamente excluyentes) y
sucesos independientes. Dos
sucesos son disjuntos cuando la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del
otro. Ser disjuntos es una propiedad de los propios sucesos (no hay ningún
suceso elemental común a ambos sucesos). La independencia entre sucesos, en
cambio, no se define por sus sucesos elementales, sino por probabilidades. Dos
sucesos disjuntos son altamente dependientes. El ejemplo que sigue ilustra la relación entre
dependencia y superposición.
Consideremos el caso de una ruleta con doce
números
{1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Cada
uno de nosotros elige una secuencia de seis números. Pongamos que yo elijo la
secuencia:
A = {1, 2, 3,
4, 5, 6}
Y
el lector elige la secuencia:
B = {7, 8, 9,
10, 11, 12}
La
bola rueda en círculo. Damos por sentado que la ruleta es «justa», es decir,
que cada resultado tiene la misma probabilidad de 1/12. Si la bola cae en mi
territorio, esto es, si va a parar a cualquiera de los números
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
por
mí elegidos, gano yo. Si la bola cae en el territorio del lector, esto es, si
va a parar a cualquiera de los números
{7, 8, 9, 10, 11,
12},
gana
él.
Por supuesto, cada uno de nosotros tiene la
misma probabilidad, 1/2, de ganar. La bola tiene la misma probabilidad, 1/12,
de pararse en cualquier número, y cada uno de nosotros tiene seis posibilidades
en su territorio, así que los dos tenemos las mismas posibilidades de ganar.
Ahora supongamos que jugamos y al lector le
notifican que he ganado yo. ¿Cuál es la probabilidad de que gane si escogió B?
Obviamente, Pr {B/A} = 0 < 1/2,
es decir, la probabilidad condicionada de B dado A es cero, que es menor que la probabilidad no condicionada Pr {B} = 1/2. A modo de ejercicio simple, propongo que el
lector intente calcular unas cuantas probabilidades condicionadas. En cada
ejemplo, mi elección de la secuencia A = {1,…, 6} es fija. El lector debe calcular las
probabilidades condicionadas de las siguientes elecciones diferentes de su secuencia. (Nótese que, en este juego,
ambos jugadores pueden ganar).
Pr {7, 8, 9, 10,
11, 12/A},
Pr {6, 7, 8, 9, 10,
11/A},
Pr {5, 6, 7, 8, 9,
10/A},
Pr {4, 5, 6, 7, 8,
9/A},
Pr {3, 4, 5, 6, 7,
8/A},
Pr {2, 3, 4, 5, 6,
7/A},
Pr {1, 2, 3, 4, 5,
6/A}
Figura 2.8
Cabe
advertir que las correlaciones pasan de la negatividad extrema (en el primer
ejemplo, la ocurrencia de A excluye la
victoria del lector) a la positividad extrema (en el último ejemplo, la
ocurrencia de A asegura la victoria del lector). En algún punto intermedio,
tiene que haber una elección de secuencia que sea indiferente a la información
«dado A». ¿Cuál es esa elección? Si el lector es capaz de calcular las
probabilidades condicionadas anteriores, entonces es que entiende la diferencia
entre sucesos disjuntos y sucesos independientes. Si no es capaz de hacerlo,
puede consultar las soluciones al final de este capítulo. Es un bonito
ejercicio, aunque no es esencial para comprender la segunda ley.
§. Tres advertencias.
Probabilidad condicionada y probabilidad subjetiva.
Hay una tendencia a decir que la «probabilidad»
es objetiva, mientras que la
probabilidad condicionada es subjetiva. Para empezar, téngase en cuenta que toda
probabilidad es condicionada.
Cuando decimos que la probabilidad de que salga un 4 al lanzar un dado es 1/6,
en realidad nos referimos a la probabilidad condicionada del resultado «4», sabiendo que se ha dado o se dará uno de los resultados
posibles 1, 2, 3, 4, 5, 6, que el dado es insesgado, que lo lanzamos al azar y
cualquier otra información relevante. En nuestra notación solemos suprimir esta
información dada y
hablamos de probabilidad no condicionada, la cual se considera una probabilidad
objetiva[49].
Ahora consideremos los dos pares de ejemplos
detallados a continuación:
O1: La probabilidad
condicionada de «4», sabiendo que Jacob conoce que el resultado ha sido «par», es 1/3.
O2: La probabilidad
condicionada de «4», sabiendo que Abraham conoce que el resultado ha sido «impar», es cero.
S1: La probabilidad
condicionada de que el acusado sea «culpable», dado que la policía lo vio en la
escena del crimen, es 9/10.
S2: La probabilidad
condicionada de que el acusado sea «culpable», dado que fue visto por al menos
cinco personas en otra ciudad a la hora del crimen, es casi nula.
En todos los ejemplos anteriores hay una
tendencia a referirse a la probabilidad condicionada como una probabilidad
subjetiva. La razón es que hemos introducido un conocimiento personal de las
condiciones que juzgamos subjetivo. Pero no es así. Las probabilidades O1 y O2 son probabilidades objetivas.
El hecho de que mencionemos los nombres de las
personas conocedoras de las condiciones no hace que la probabilidad
condicionada sea subjetiva. En O1podríamos cambiar Jacob por Raquel. La probabilidad de
«4» condicionada a que Raquel sabe que el resultado es par sigue siendo 1/3. La
subjetividad de este enunciado es una ilusión derivada de la inclusión
del nombre de la persona
que «conoce» la condición. Una versión mejorada de O1 es: la probabilidad del resultado «4»,
condicionada a que sabemos que el resultado es par, es 1/3. O mejor todavía: la probabilidad del
resultado «4», condicionada a que el resultado es «par», es 1/3.
En los dos últimos enunciados queda claro que la
identidad del conocedor de la condición, sea Jacob, Raquel o cualquiera de
nosotros, no tiene ninguna influencia sobre la probabilidad condicionada. En la
última versión hemos hecho que la condición sea del todo impersonal. Así pues,
podemos concluir que la condición dada no convierte por sí sola una probabilidad
objetiva (no condicionada) en una probabilidad subjetiva.
Considérese el siguiente párrafo de Callen
(1983):
El concepto de
probabilidad tiene dos interpretaciones distintas en el uso corriente. La
«probabilidad objetiva» se refiere a una frecuencia, o una ocurrencia
fraccionaria; la afirmación de que «la probabilidad de que un recién nacido sea
varón es algo menor que una mitad» es un enunciado sobre datos censales. La
«probabilidad subjetiva» es una medida de una expectativa basada en una
información sub-óptima. La evaluación por un médico de la probabilidad
(subjetiva) de que una criatura aún no nacida sea varón depende del
conocimiento que tiene el médico de las historias familiares de los
progenitores, de los datos acumulados sobre niveles hormonales maternos, de la
claridad creciente de las imágenes por ultrasonidos y, finalmente, de una
estimación bien informada, pero que sigue siendo subjetiva.
Aunque
no lo dice explícitamente, lo que el autor quiere significar es que el primer
ejemplo, «la probabilidad de que un recién nacido sea varón es algo menor que
una mitad», es una respuesta a una cuestión de probabilidad no condicionada,
«¿cuál es la probabilidad de que un recién nacido sea varón?», mientras que el
segundo ejemplo es una respuesta a una cuestión de probabilidad condicionada,
«¿cuál es la probabilidad de que un bebé concreto aún no nacido sea
varón?, dada… toda la información que se indica».
No hay duda de que la respuesta a la segunda
pregunta es altamente subjetiva.
Diferentes médicos darán respuestas diferentes a la misma pregunta. Pero lo mismo vale para la
primera pregunta, dada una información diferente. Lo que hace que la segunda
pregunta y su respuesta sean subjetivas no es la condición, el conocimiento específico de este o
aquel médico, sino la insuficiencia del conocimiento. Un conocimiento
insuficiente confiere libertad para dar cualquier respuesta (subjetiva) a la
segunda pregunta. Ahora bien, ocurre igual con la primera pregunta. Si todas
las personas preguntadas tienen el mismo conocimiento, o la misma falta de
información, son libres de dar cualquier respuesta. La primera pregunta no se
refiere «a datos censales», como dice la cita, sino a la probabilidad de que un recién nacido sea varón, dada una información sobre «datos censales». Si no
tenemos ninguna información
no podemos responder esta «cuestión objetiva», pero cualquiera que tenga la
misma información sobre los datos del censo dará necesariamente la misma
respuesta objetiva.
Todo el mundo parece estar de acuerdo en que hay
dos tipos de probabilidad esencialmente distintos. Uno sería la probabilidad
opinable, altamente subjetiva, y el segundo sería la probabilidad física o
científica, considerada objetiva. Ambas pueden ser condicionadas o no
condicionadas. En este libro sólo manejaremos probabilidades científicas y, por
ende, objetivas. En todos los usos científicos de la probabilidad damos por
hecho que las probabilidades vienen dadas de manera explícita o implícita por
una receta de cálculo dada. Pueden ser más o menos fáciles de calcular[50], pero siempre puede
suponerse que «están ahí» en el suceso, como la masa asociada a un pedazo de
materia.
§. Probabilidad condicionada y causa-efecto.
La «condición» en la probabilidad condicionada
de un suceso puede ser la causa del mismo, o puede no serlo. Considérense los dos ejemplos siguientes:
1) La probabilidad
de que un paciente muera de cáncer de pulmón, condicionada a que es un fumador
empedernido, es de 9/10.
2) La probabilidad de que un paciente sea un fumador empedernido, condicionada
a que tiene cáncer de pulmón, es de 9/10.
Es
evidente que la información incluida en la primera condición es la causa (o una
causa altamente probable) de la ocurrencia del cáncer de pulmón. En el segundo
ejemplo, en cambio, la información incluida en la condición de que el paciente
tiene cáncer de pulmón no puede ser la causa de
que sea un fumador empedernido. El paciente podría haber comenzado a fumar a
los veinte años, mucho antes de la aparición del cáncer.
Aunque los dos ejemplos anteriores son claros, a
veces la condición se confunde con la causación. Así como percibimos que las
causas anteceden al efecto, tendemos a pensar que la condición antecede al
suceso en la probabilidad condicionada.
Veamos un ejemplo ilustrativo simple que ha sido
estudiado con gran detalle por Ruma Falk (1979)[51]. Se puede tomar
como un ejercicio sencillo de cálculo de probabilidades condicionadas. Pero
creo que este ejemplo da para más, porque nos hace ver cómo asociamos
intuitivamente la probabilidad condicionada con la flecha del tiempo,
confundiendo la causalidad con el razonamiento probabilístico. Esto puede o no
ser relevante para la asociación entre el sentido del cambio entrópico y la
flecha del tiempo (que discutiremos en el capítulo 8).
El problema es muy simple. Una urna contiene
cuatro bolas, dos blancas y dos negras; las bolas están bien mezcladas y
sacamos una con los ojos tapados.
Primero nos preguntamos cuál es la probabilidad
del suceso «bola blanca
en la primera extracción». La respuesta es inmediata; 1/2. Hay cuatro
resultados posibles, dos de los cuales son compatibles con el suceso «bola
blanca», así que la probabilidad es 2/4 = 1/2.
Luego nos preguntamos cuál es la probabilidad
condicionada de sacar una bola blanca en una segunda extracción, sabiendo que
en la primera extracción hemos sacado una bola blanca (que no ha sido devuelta
a la urna). Denotamos dicha probabilidad como Pr {blanca2/blanca1}. El cálculo es muy simple. Sabemos que la primera
vez se extrajo una bola blanca que no se ha devuelto. Tras la primera
extracción quedan tres bolas, dos negras y una blanca, así que ahora la
probabilidad de extraer una bola blanca es simplemente 1/3.
Esto es bastante obvio. Escribimos:
Pr {blanca2/blanca1}
= 1/3
Ahora otra pregunta
más difícil: ¿cuál es la probabilidad de que hayamos sacadouna bola
blanca en la primera extracción, sabiendo que la segunda bola
es blanca? Simbólicamente, lo que buscamos es:
Pr {blanca1/blanca2}
Es
una pregunta desconcertante. ¿Cómo puede un suceso del «presente» (bola blanca
en la segunda extracción) afectar a la probabilidad de un suceso
del «pasado» (bola blanca en la primera extracción)?
Ambos problemas se plantearon en un aula, y los
estudiantes no tuvieron dificultades para calcular Pr {blanca2/blanca1}, razonando que la extracción de una bola blanca en
primera instancia había causado un cambio en la urna y, por ende, había
afectado a la probabilidad de volver a extraer una bola blanca.
Sin embargo, pedirles que hallaran Pr {blanca1/blanca2} causó bastante revuelo. Algunos adujeron que la
pregunta no tenía sentido, porque los sucesos del presente no pueden afectar a
la probabilidad de un hecho del pasado. Otros respondieron que, puesto que lo
acontecido en el presente no puede afectar al pasado, la probabilidad tenía que
ser 1/2. Se equivocaban, porque la respuesta es 1/3. Un tratamiento más
completo de este problema puede encontrarse en Falk (1979). Aquí quiero llamar
la atención del lector sobre el hecho de que a veces nos equivocamos al asociar
la probabilidad condicionada con la causalidad, debido a que intuitivamente
tendemos a colocar la condición antes del efecto; de ahí la asociación de
la probabilidad condicionada con la flecha del Tiempo.
La distinción entre causación y probabilidad condicionada es importante. Quizá
deberíamos mencionar una característica de la causalidad no compartida por la
probabilidad condicionada. Se trata de la transitividad. La causalidad es
transitiva, lo que significa que si A causa B y B causa C, entonces A causa
C. Un ejemplo simple: si fumar es causa de cáncer, y el cáncer es causa de
muerte, entonces fumar es causa de muerte.
La probabilidad condicionada no tiene por qué
ser transitiva. Ya hemos distinguido entre correlación positiva y correlación
negativa. Si A favorece B, esto es, la probabilidad de B dado A es mayor que la probabilidad de B (Pr {B/A} > Pr {B}), y B favorece C (esto es, Pr {C/B}
> Pr {C}), de esto no
necesariamente se sigue que A favorece C.
Veamos un ejemplo de probabilidad condicionada
no transitiva. Considérense los siguientes tres sucesos en el lanzamiento de un
dado:
A = {1, 2, 3,
4}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5, 6}
Es indudable
que A favorece B (Pr {B/A} =
3/4 > Pr {B} = 2/3) y que B favorece C (Pr
{C/B} = 3/4 > Pr {C} = 2/3), pero A no favorece C (Pr
{C/A} = 1/2 < Pr {C} = 2/3).
§. Probabilidad condicionada y probabilidad conjunta.
La advertencia que sigue puede beneficiar a quienes nunca hayan estudiado
probabilidad.
Tenía un amigo que solía ir en moto. Una noche en que circulaba por una
autopista fue arrollado por un camión y resultó gravemente herido. Cuando lo
visité en el hospital, estaba eufórico. Yo pensé que era por su rápida y
completa recuperación, pero, para mi sorpresa, me dijo que acababa de leer un
artículo sobre estadísticas de accidentes de tráfico, donde se decía que las
posibilidades de tener un percance en la carretera eran de una en un millar.
Así pues, las posibilidades de que uno se vea implicado en dos accidentes a lo
largo de su vida son de una en un millón, de lo que mi amigo concluyó
felizmente: «Ahora que ya he tenido este accidente, puedo confiar en que las
posibilidades de volver a tener otro son ínfimas…». No quise aguarle la fiesta.
Estaba confundiendo la probabilidad de «tener dos accidentes en la vida» con la
probabilidad condicionada de «tener un segundo accidente cuando ya se ha tenido
uno con anterioridad».
No es que su conclusión no pudiera ser correcta, sino que su razonamiento
probabilístico era incorrecto. Si el accidente fue por su culpa, entonces
podría haberse mostrado más cuidadoso en el futuro, evitando circular por
autopistas o por la noche, o cambiando la moto por un vehículo más seguro. Todo
esto reduciría sus posibilidades de verse implicado en un segundo accidente.
Ahora bien, este argumento implica que hay una dependencia entre
ambos sucesos, es decir, que la «condición dada» afecta a la posibilidad de un
segundo accidente. Si no hay dependencia entre ambos sucesos (si el accidente
no fue por su culpa ni podía hacer nada para evitarlo), entonces, por mucho
cuidado que tuviera en el futuro, las posibilidades de sufrir otro accidente no
se reducirían sólo porque ya había tenido uno antes.
Para razonar con más precisión, supongamos que lanzamos una moneda 1000 veces y
en todas las ocasiones sale cara. ¿Cuál es la probabilidad de que, si la
lanzamos una vez más, vuelva a salir cara? La mayoría de los que no tienen
formación matemática diría que las posibilidades de obtener 1001 caras son
ínfimas, lo cual es cierto: las posibilidades son (1/2).1001, un
número extremadamente pequeño. Pero la pregunta concierne a la
probabilidad condicionada de que salga cara sabiendo que en
los 1000 lanzamientos previos han salido 1000 caras. Esta probabilidad es 1/2
(dando por sentado que los sucesos son independientes, es decir, que el
resultado de un lanzamiento es independiente del resultado previo).
La razón psicológica de la confusión es que sabemos que la probabilidad de cada
resultado es 1/2, así que, si lanzamos una moneda mil veces, esperamos obtener
unas 500 caras y unas 500 cruces. Si después de mil lanzamientos aún no ha
salido ninguna cruz, lo cual es posible pero sumamente raro, uno tiende a
pensar que la primera cruz «está al caer». En otras palabras, parecería que,
después de que hayan salido mil caras seguidas, la probabilidad de que salga
cruz debe ser cercana a uno. Pero esto es un error. De hecho, si hemos lanzado
mil veces una moneda y en todas las ocasiones ha salido cara, yo sospecharía
que la moneda está trucada, y concluiría que las posibilidades de que vuelva a
salir cara en el próximo lanzamiento son mayores que 1/2.
En fin, que si nos dan una moneda no trucada y la lanzamos al azar (lo que
equivale a decir que la probabilidad de que salga cara es 1/2), la probabilidad
de obtener mil caras seguidas es muy baja (1/2)1000, pero la
probabilidad condicionada de que salga cara después de una
serie de mil caras seguidas continúa siendo 1/2 (por supuesto, dando por
sentado que los resultados de cada lanzamiento son independientes del
anterior).
§. Una cucharada de teoría de la información.
La teoría de la información nació en 1948[52]. Como ocurre con la probabilidad, el
concepto de información es impreciso y altamente subjetivo. La misma
«información» tendrá diferentes significados, efectos y valores para personas
diferentes.
Si yo acabo de invertir en acciones de IBM y el lector acaba
de vender las suyas, ambos tendremos reacciones muy diferentes al leer la
noticia de que IBM acaba de lanzar un nuevo ordenador muy
avanzado. A un campesino de Mozambique, en cambio, la noticia le dejaría
indiferente, si es que tuviera algún significado para él.
Al igual que la teoría de la probabilidad, la teoría de la información se
desarrolló en un cuerpo matemático cuantitativo, preciso, objetivo y útil a
partir de un concepto subjetivo e impreciso. Para lo que nos interesa en este
libro, la teoría de la información constituye un importante hito en la
comprensión del significado de la entropía[53].
La teoría de la información fue introducida originalmente por Claude Shannon
(1948) en el contexto de la telecomunicación. Luego se demostró muy útil en
mecánica estadística, así como en lingüística, economía, psicología y muchos
otros campos de investigación.
Aquí me limitaré a exponer unas cuantas nociones básicas de teoría de la
información, lo mínimo que hay que conocer para aplicar el término
«información» en conexión con el significado de la entropía y responder a la
pregunta: ¿qué es lo que cambia? En el capítulo 8 argumento que la entropía no
es más que información perdida, tal como la define la teoría de la información.
Comencemos con un juego familiar. Uno elige un objeto o una persona, y los
demás tienen que averiguar qué o quién es a base de preguntas binarias, esto
es, cuya respuesta sea sí o no. Supongamos que uno ha pensado, por ejemplo, en
Einstein, y hay que descubrir al personaje mediante preguntas de sí o no. He
aquí las dos «estrategias» posibles:
|
«Estrategia» burda |
«Estrategia» inteligente |
|
1º ¿Es Nixon? |
1° ¿Es Varón? |
|
2º ¿Es Gandhi? |
2º ¿Está vivo? |
|
3º ¿Soy yo? |
3º ¿Es un político? |
|
4º ¿Es Marilyn Monroe? |
4º ¿Es un científico? |
|
5º ¿Eres tú? |
5º ¿Es muy conocido? |
|
6º ¿Es Mozart? |
6º ¿Es Einstein? |
|
7º ¿Es Niels Bohr? |
|
|
8º |
|
La razón por la que
he calificado de «burda» a la primera estrategia y de «inteligente» a la
segunda es bien simple, y espero que el lector esté de acuerdo conmigo. Si
aplicamos la «estrategia» de la izquierda, podríamos acertar a la primera, cosa
que no nos permite la «estrategia» inteligente. Pero acertar a la primera es
altamente improbable. Es mucho más probable que tuviéramos que seguir
preguntando indefinidamente, sin obtener nunca un sí por respuesta. La razón
para preferir la segunda «estrategia» es que con cada respuesta obtenemos más
información (véase más adelante), es decir, excluimos una inmensidad de
posibilidades (lo ideal sería la mitad de las posibilidades; véase más
adelante). Si la respuesta a la primera pregunta es SÍ, quedan excluidas todas
las mujeres. Si la respuesta a la segunda pregunta es NO, quedan excluidas
todas las personas vivas. Con cada respuesta se estrecha el rango de
posibilidades. La «estrategia» burda, en cambio, sólo permite excluir una
posibilidad cada vez, con lo que el rango de posibilidades desconocidas
prácticamente no cambia. Intuitivamente, es evidente que la «estrategia»
inteligente nos proporciona más información con cada respuesta que la
«estrategia» burda, aunque aún no hayamos definido el término «información».
Parece más sensato tener paciencia y optar por la «estrategia» inteligente que
intentar acertar a la primera.
Todo
lo que acabo de decir es bastante cualitativo, y por eso empleo la palabra
«estrategia» entre comillas. El término «información» tal como lo hemos usado
es impreciso (lo precisaremos en el marco de la teoría de la información). Aun
así, espero que el lector estará de acuerdo conmigo y apreciará intuitivamente
que la primera columna corresponde a una manera de proceder «burda», mientras
que la segunda es más «inteligente». Si no es así, debería probar el juego unas
cuantas veces con ambas estrategias, y estoy seguro de que se convencerá de que
la estrategia inteligente ciertamente es la más inteligente. En breve
precisaremos más el juego y justificaremos por qué una serie de preguntas puede
calificarse de «burda» y la otra de «inteligente». Y lo que es más importante,
el lector no tendrá más remedio que convenir conmigo en que la estrategia
«inteligente» ciertamente es la más inteligente.
Antes de eso, sin embargo, examinemos con más detenimiento este juego tan
simple para intentar comprender por qué no podemos precisar los méritos de
ambas estrategias.
Para empezar, el lector siempre puede razonar
que, sabiendo que yo soy científico y que probablemente pensaré en Einstein,
entonces quizá sería mejor optar por la primera estrategia. Ahora bien, si yo
sé que el lector sabe que soy un científico y se figurará que, por mi condición
de tal, probablemente pensaré en Einstein, podría engañarle eligiendo a Kirk
Douglas; y el lector podría contraatacar teniendo en cuenta que probablemente
yo intentaré engañarle eligiendo a Kirk Douglas en vez de Einstein; y así
sucesivamente. Sin duda, es muy difícil llegar a alguna parte por esta vía.
Hay muchos otros elementos de subjetividad que
podrían entrar en juego. A modo de ilustración, el lector podría haber oído en
el telediario matinal que un asesino en serie buscado por la policía ha sido
por fin capturado, y podría figurarse, o saber, que yo he oído la misma noticia
y, al tenerla fresca en la mente, es probable que piense en esa persona.
Por eso no se puede edificar una teoría
matemática de la información sobre la base de esta clase de juegos. Hay
demasiados elementos cualitativos y subjetivos que se resisten a la
cuantificación. Por fortuna, gracias a la teoría de la información de Shannon,
estos juegos pueden «reducirse» para eliminar cualquier traza de subjetividad.
Permítaseme describir otro juego que es esencialmente el mismo de antes, pero
en una forma destilada, mucho más simple y susceptible de un tratamiento
preciso, cuantitativo y objetivo.
Supongamos que tenemos ocho cajas iguales
(figura 2.9). Un jugador esconde una moneda en una caja y el otro jugador tiene
que averiguar dónde está. Todo lo que sabe es que la moneda debe estar en una de las cajas, y que ninguna tiene
preferencia sobre el resto. Puesto que la caja ha sido escogida al azar, la
probabilidad de encontrar la moneda en una caja cualquiera es 1/8. Para ser
neutral, la caja fue elegida mediante un número entre 1 y 8 generado
aleatoriamente por un ordenador, así que el segundo jugador no puede valerse de
ninguna información relevante sobre cualquier posible preferencia del primero a
la hora de elegir la caja donde ha escondido la moneda.
Conviene advertir que en este juego hemos
eliminado cualquier traza de subjetividad (toda la información que necesitamos
es «dónde está la moneda»). La «ocultación» de la moneda puede hacerse mediante
un ordenador que elige una caja al azar. También podemos plantear preguntas
binarias al ordenador para averiguar la localización de la moneda. El juego no
depende de la información que tengan los jugadores o el ordenador. La
información requerida está dentro del juego mismo, con independencia de la personalidad o el
conocimiento de los jugadores. En breve asignaremos una medida cuantitativa a
dicha información.
Por supuesto, lo que necesitamos es información
relativa a «dónde está la moneda». Para adquirirla, sólo se nos permite
plantear preguntas binarias[54]. En vez de un
número indefinido de personajes como en el juego anterior, aquí tenemos sólo
ocho posibilidades; y lo que es más importante, las ocho posibilidades tienen
la misma probabilidad. 1/8.
De nuevo hay muchas estrategias posibles. Dos
opciones extremas y bien definidas son las siguientes:
En
primer lugar, nótese que esta vez no he entrecomillado la palabra estrategia.
Aquí las estrategias son precisas y están bien definidas, cosa que no ocurría
en el juego anterior. En este juego, la estrategia más burda consiste en
preguntas del tipo ¿Está la moneda en la caja k?,
donde k va de 1 a 8. La estrategia más inteligente,
en cambio, consiste en ir dividiendo el rango de posibilidades por la mitad.
Ahora vemos por qué no podíamos definir la estrategia más inteligente en el
juego anterior. Allí no estaba claro cuáles eran todas las
posibilidades, y menos todavía si podíamos dividirlas por la mitad. Aunque nos
limitáramos a elegir a personas que hubieran trabajado en un campo concreto,
como puede ser la termodinámica, todavía no sabríamos cómo reducir las
posibilidades a la mitad, o siquiera si tal división es posible en principio.
En segundo lugar, nótese que ahora hablo de las
estrategias «más burda» y «más inteligente» (cosa que no podía hacer en el
juego anterior, de ahí que me limitara a calificar la primera de «burda» y la
segunda de «inteligente»). La razón es que se puede demostrar matemáticamente que si uno aplica la estrategia más
inteligente de manera repetida, vencerá a cualquier otra estrategia posible,
incluida la peor de todas, o la «más burda». Ya que no puedo presentar una
demostración matemática, intentaré convencer al lector de que la estrategia
«más inteligente» es mucho mejor que la «más burda» (cosa que también puede
comprobar por sí mismo practicando este juego con un amigo o contra un
ordenador).
En términos cualitativos, si optamos por la
estrategia «más burda», podríamos acertar a la primera, pero la probabilidad de
que esto ocurra es 1/8, y la probabilidad de fallar es 7/8. Si hemos fallado
con la primera pregunta (que es lo más probable, y tanto más cuanto mayor es el
número de cajas), ahora la probabilidad de acertar a la segunda es 1/7 y la de
volver a fallar 6/7. Si fallamos seis veces seguidas, tras la séptima
pregunta conoceremos la
respuesta correcta, esto es, tendremos la información para saber dónde está la
moneda. Por otro lado, si optamos por la estrategia «más inteligente», es
seguro que no acertaremos a la primera, ni a la segunda, pero tenemos la garantía de obtener la información requerida tras la
tercera pregunta. Inténtese repetir este mismo razonamiento para el caso de una
moneda escondida en una de 1000 cajas.
El argumento cualitativo es el mismo del juego
anterior, pero ahora puede hacerse más preciso y cuantitativo. Preguntando «
¿Está la moneda en la caja 1?», podríamos acertar a la primera, pero con una
probabilidad muy baja. Si fallamos, sólo habremos eliminado la primera caja,
con lo que el número de posibilidades se habrá reducido de 8 a 7. Por otro
lado, si adoptamos la estrategia más inteligente, la primera pregunta elimina
la mitad de las
posibilidades, con lo que sólo quedan cuatro. La segunda pregunta elimina otra
mitad, con lo que sólo quedan dos cajas posibles, y con la tercera pregunta
obtenemos la respuesta.
En teoría de la información, la información
desconocida, es decir, la cantidad de información que uno debe adquirir
haciendo preguntas se define a
partir de la distribución de probabilidades[55].
En este ejemplo, las probabilidades son: {1/8,
1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8}. Con la serie de preguntas más inteligentes,
cada respuesta proporciona un máximo de información (lo que se conoce como un
bit). Se puede demostrar que se obtiene la información máxima dividiendo el
espacio de resultados posibles en dos partes igualmente
probables.
Así, si a cada paso de la estrategia más
inteligente obtengo la información máxima, obtendré toda la información que
necesito con un número mínimo de pasos. Vuelvo a subrayar que esto es
cierto por término medio, es
decir, si repetimos el mismo juego muchas veces, la estrategia más inteligente
nos proporciona un método para obtener la información requerida con el mínimo
número de preguntas. La teoría de la información también nos permite calcular
el número medio de preguntas para cada estrategia.
Nótese también que la cantidad de información requerida siempre es la misma,
con independencia de la estrategia adoptada. La elección de la estrategia
afecta al número de preguntas requeridas para obtener la misma información. La
estrategia más inteligente garantiza que, por término medio, tendremos que
hacer menos preguntas que con cualquier otra estrategia.
Figura 2.9
Si
este argumento no convence al lector, le sugiero que intente pensar en el mismo
juego con 16 cajas. Aunque el número de cajas se ha duplicado, el número de
preguntas requeridas por la estrategia más inteligente sólo aumenta en ¡uno! El
número medio de preguntas requeridas por la estrategia más burda es mucho
mayor. La razón es la misma de antes: la estrategia más inteligente reporta el
máximo de información en cada paso, mientras que la estrategia más burda
proporciona muy poca información en los primeros pasos.
En la figura 2.9 se ilustran otros dos casos del
juego con diferentes números de cajas. El número de preguntas correspondiente a
cada caso, calculado a partir de la teoría de la información, se muestra abajo[56].
La cuestión importante en esta fase es que
cuanto mayor sea el número de cajas, mayor será la cantidad de información que
necesitaremos para localizar la moneda y, por ende, mayor el número de
preguntas requeridas para obtenerla. Resulta fácil apreciar esto
intuitivamente. La cantidad de información viene determinada por la distribución (que en nuestro caso es {1/N… 1/N}
para N cajas igualmente
probables).
Para hacer que el juego sea totalmente
impersonal y, por ende, totalmente objetivo, podemos imaginar que jugamos
contra un ordenador. Éste elige una caja y nosotros le hacemos preguntas
binarias. Supongamos que pagamos un céntimo por respuesta. Seguramente
preferiríamos obtener la información buscada (el escondite de la moneda)
pagando lo menos posible. Adoptando la estrategia más inteligente obtendremos
el máximo partido de nuestro dinero. En una definición específica de las
unidades de información, se puede hacer que la cantidad de «información»
sea igual al número de
preguntas requeridas por la estrategia más inteligente.
Resumamos el caso de N cajas y una moneda escondida en una de ellas. Sabemos
que la caja se eligió al azar, esto es, la persona que escondió la moneda no
tenía ninguna «preferencia» por ninguna de las cajas. En otras palabras, cada
caja tenía una probabilidad 1/N de
ser seleccionada. En este caso, es evidente que cuanto mayor sea el número de
cajas, mayor será el número de preguntas requeridas para localizar la moneda
escondida. Podemos decir que cuanto mayor sea el número de cajas, mayor será la
cantidad de información desconocida, y por eso tenemos que hacer más preguntas.
Demos un paso más. Ahora nos dicen que se han
escondido dos monedas
en Ncajas. En aras de la
concreción, supongamos que las monedas se han colocado en cajas diferentes. Una vez más, sabemos que las cajas se han elegido al
azar. En tal caso, la probabilidad de encontrar la primera moneda en una caja
concreta es 1/N, y la probabilidad
de encontrar la otra moneda una vez localizada la primera es 1/(N − 1). Es obvio que en este juego tenemos que
hacer más preguntas para localizar las dos monedas. En general, para un número
dado de cajas N, cuanto mayor
sea el número n de monedas escondidas más preguntas tendremos que hacer para
localizarlas; hasta que n se hace mayor que N/2, momento en que podemos pasar a preguntarnos qué
cajas están vacías[57]. Una vez
localizadas las cajas vacías, sabremos cuáles están ocupadas. Para n = N (igual
que para n = 0) tenemos toda la información ya de
entrada, por lo que no necesitamos hacer ninguna pregunta.
§. Una pizca de matemáticas, física y química.
Como he asegurado en el prefacio, para entender
este libro no se necesita ningún conocimiento matemático avanzado. Si el lector
no sabe absolutamente nada de
matemáticas, le sugiero que se ejercite pensando en grandes números, números de
una inmensidad inimaginable. También es útil estar familiarizado con la
notación exponencial, que no es más que una notación abreviada para números
grandes. Un millón se escribe 106, que quiere decir un uno seguido de seis ceros; o mejor aún, diez
multiplicado seis veces por sí mismo:
106 =
10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10.
Un
millón es un número fácil de escribir tal cual, pero con números como 1023(que
viene a ser el número de átomos contenidos en un centímetro cúbico de gas)
resulta inconveniente o imposible emplear la notación explícita normal. Con
números de la forma 1010 000 tendríamos que
llenar más de una página de ceros, lo cual no es nada práctico. Si tenemos un
número de la forma 10(10/23), podríamos pasamos
la vida escribiendo ceros y no acabaríamos.
Para hacernos una idea de la clase de números de
los que estamos hablando, casi todos podemos escribir el número 1000 (un uno
seguido de tres ceros) en un segundo. El lector quizá sea más rápido y pueda
escribir el número 10 000 en un segundo. Pero supongamos que somos lo bastante
rápidos para escribir el número 1.000.000 (un uno seguido de seis ceros, es
decir, un millón) en un segundo.
6 × 60 × 60 × 24 ×
365 × 100= 18 921 600 000
Pues
bien, al cabo de cien años podríamos escribir un uno seguido de 10 ceros, lo
que viene a ser 1010 ceros.
Un uno seguido de 1010ceros es ciertamente grande. Podemos representarlo
como:
10(10/10) =
10(un 1 seguido de 10 ceros) = 1010 000 000 000
Pues
bien, al cabo de cien años podríamos escribir un uno seguido de 10 ceros, lo
que viene a ser 1010 ceros.
Un uno seguido de 1010ceros es ciertamente grande. Podemos representarlo
como:
10(10/10) =
10(un 1 seguido de 10 ceros) = 1010 000 000 000
Si
pudiéramos continuar escribiendo ceros no ya durante cien años, sino durante
15.000 millones de años (la edad estimada del universo), el número escrito
explícitamente tendría alrededor de 1018 ceros,
es decir
10(10/18) =
10(un 1 seguido de 18 ceros).
Éste
es un número inimaginablemente grande. Como más adelante veremos, la segunda
ley tiene que ver con sucesos tan infrecuentes que sólo «ocurrirían» una vez de
cada 1010/23 experimentos[58]. Estos números
están mucho más allá de lo representable explícitamente, aun cuando pudiéramos
sentarnos a escribir durante 15 000 millones de años.
Pero es la clase de números que nos
encontraremos cuando consideremos la segunda ley de la termodinámica desde el
punto de vista molecular. Ésa es toda la matemática que necesitaremos para
captar y comprender la segunda ley. Si el lector quiere seguir las notas más
detalladas, le será útil familiarizarse con las tres notaciones siguientes:
1) Valor
absoluto. El valor absoluto de un número, denotado como |x|, no es más que
el valor positivo de x. En otras palabras, si x es positivo no cambia nada, y
si es negativo simplemente se suprime el signo «menos». Así, |5| = 5, y |−5| =
5.Esto es bien simple.
2) Logaritmo de un número[59]. Es una notación extremadamente útil
en matemáticas, ya que facilita la escritura de números muy grandes. El
logaritmo de un número x es el número que hay que colocar 10AQUÍpara
obtener x. ¡Muy simple! Lo denotamos como log10x.
Ejemplo: ¿cuál es el número que hay que colocar 10AQUÍpara
obtener 1000? La respuesta es 3, ya que 103 = 1000. Se escribe
log101000 = 3. ¿Cuál es el logaritmo de 10 000? Sólo hay que hacer
10 000 = 104, y tenemos que log10 10 000 = 4. Esto
no es más que el número de veces que se multiplica 10 por sí mismo. Aunque no
necesitaremos considerar el logaritmo de cualquier número arbitrario, es
evidente que log101975 es mayor que 3 y menor que 4. El símbolo log10 se
denomina logaritmo en base 10. Similarmente, el logaritmo en base 2 de x, o log2 x,
es el número que hay que colocar 2AQUÍ para obtener x.
Por ejemplo, el número que hay que poner 2AQUÍ para
obtener 16 es 4, ya que 24 = 16 o, equivalentemente, es
el número de veces que hay que multiplicar 2 por sí mismo para obtener 16. Se
puede definir log2x para cualquier número positivo x, pero por
simplicidad limitaremos esta notación a los números de la forma 2ENTERO.
En teoría de la información, la cantidad de información que necesitamos para
localizar una moneda escondida en una serie de N cajas
igualmente probables se define como log2N.
3) Factoriales. Los matemáticos emplean notaciones abreviadas para
la suma (∑) y el producto (П). Aquí no las necesitaremos, pero hay una notación
muy útil para un producto especial, que se denota como N! Se trata
del producto de todos los números de 1 a N. Así, para N =
5, N! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5. Para N = 100, N!
= 1 × 2 × 3×… × 100.
Hemos
visto todas las matemáticas que necesitaremos.
¿Y la física? Para comprender la segunda ley
tampoco se necesita ningún conocimiento de física, ni de química. Pero hay algo
que el lector debería saber. En las notas de Richard Feynman encontramos lo
siguiente: «Si, en algún cataclismo, todo el conocimiento científico quedara
destruido y sólo un pensamiento pasara a la siguiente generación de criaturas,
¿qué enunciado contendría más información con menos palabras? Yo creo que sería
la hipótesis atómica (o el hecho atómico, o como se le quiera llamar), la idea
de que todas las cosas están hechas de átomos, pequeñas partículas que se
encuentran en perpetuo movimiento, atrayéndose mutuamente cuando se separan un
poco, pero repeliéndose cuando se apretujan unas con otras».
Toda la materia está compuesta de átomos (y
moléculas). Aunque hoy en día este hecho se da por sentado, no siempre fue así.
La estructura atómica de la materia tiene sus raíces en la filosofía de los
antiguos griegos, y se remonta a más de dos mil años atrás. No era un postulado
de la física, sino una especulación filosófica. Durante casi dos milenios no
hubo prueba alguna de la existencia de los átomos. Incluso a las puertas del
siglo pasado, la hipótesis atómica todavía era objeto de vigoroso debate.
Cuando se formuló la segunda ley de la termodinámica, la naturaleza atómica de
la materia estaba lejos de ser un hecho establecido. Boltzmann era uno de sus
defensores y, como ya he señalado, abrió la puerta a la interpretación
molecular de la segunda ley. Tuvo que enfrentarse a poderosos oponentes que
sostenían que la existencia de los átomos no era más que una hipótesis, por lo
que la estructura atómica de la materia era una mera especulación que no tenía
cabida en la física. Pero hoy es un hecho aceptado.
El segundo hecho que el lector debe conocer es
algo más sutil. Se trata de la indistinguibilidad de átomos y moléculas.
Dedicaremos mucho tiempo a jugar con dados o monedas. Dos monedas podrían
diferir en color, tamaño, forma, etcétera (véase la figura 2.10).
Figura 2.10
En
la vida diaria usamos los términos «idéntico» e «indistinguible» como
sinónimos. Las dos monedas de la figura 2.11 son idénticas en cuanto a forma,
tamaño, color y lo que uno quiera.
Diremos que son distinguibles si, cuando se mueven, podemos seguir cada moneda
con la vista y en cualquier momento dado podemos especificar qué moneda procede
de qué punto.
Figura 2.11
Supongamos
que, en la figura 2.11, intercambiamos las dos monedas de la izquierda para
obtener la configuración de la derecha. Si las monedas son idénticas, entonces
no podemos diferenciar entre ambas configuraciones. Pero si seguimos el proceso
de intercambio, podemos especificar de dónde viene cada moneda. En principio,
esto es imposible cuando se trata de moléculas idénticas. En tales casos
preferimos hablar de indistinguibilidad en vez de identidad.
Considérese un sistema de dos compartimentos
(figura 2.12). Inicialmente tenemos 5 monedas en cada compartimento. Las
monedas son idénticas en todos los aspectos. Ahora eliminamos la separación y
agitamos el sistema entero. Después de agitar veremos una nueva configuración,
como la de la derecha.
Figura 2.12
Decimos
que las partículas (en este caso las monedas) son distinguibles, aun cuando
sean idénticas, si en todo momento podemos especificar de qué compartimento
procede cada moneda, simplemente porque podemos seguir las trayectorias de
todas las partículas. Decimos que las partículas son indistinguibles cuando, en
el experimento de antes, no podemos decir cuál es cuál después de eliminar la
separación. No podemos seguir las trayectorias de las partículas. Este hecho
era ajeno a la mecánica clásica. En el dominio clásico siempre pensamos que las
partículas de cualquier tamaño están «etiquetadas» o, al menos en
principio, son «etiquetables». Las ecuaciones del movimiento
de Newton predicen las trayectorias de cada partícula específica del sistema.
Pero en mecánica cuántica esto no es posible en principio[60].
En los dos capítulos que siguen veremos muchos
ejemplos donde partimos de dados distinguibles y voluntariamente ignoramos su distinguibilidad. Este proceso de
«desetiquetado» será esencial para comprender la segunda ley de la
termodinámica.
En cuanto a la química, no hace falta saber nada
más allá del hecho de que la materia está constituida por átomos y moléculas.
Pero si uno quiere entender el ejemplo de la última parte del capítulo 7 (que
es interesante, pero no esencial), tiene que saber que algunas moléculas tienen
un centro asimétrico (o centro quiral), y tales moléculas se presentan en
pares, denotados l y d [61]. Los dos tipos
(llamados enantiómeros) son casi idénticos, pero el uno es la imagen especular
del otro. Todos los aminoácidos (los constituyentes de las proteínas, que a su
vez son los constituyentes de los músculos y muchos otros tejidos corporales)
se presentan en una versión de estos pares. Un ejemplo es la alanina (figura
2.13).
Figura 2.13
La
mayoría de aminoácidos naturales son del tipo l.
Se distinguen por su actividad óptica. Lo único que tenemos que saber es que
estos pares de moléculas son casi iguales en lo que respecta a parámetros
moleculares como la masa, el momento de inercia, el momento dipolar, etcétera.
Las moléculas del mismo tipo son indistinguibles, pero la forma l y
la forma d sí son distinguibles y, en principio,
separables.
Hasta aquí hemos discutido todos los
«prerrequisitos» que se necesitan para comprender el resto del libro. En
realidad, el único prerrequisito para entender los demás prerrequisitos
examinados en este capítulo es el sentido común. A modo de auto test, inténtese
resolver los dos siguientes problemas.
§. Un problema de lotería.
Una lotería estatal ha emitido un millón de
boletos. Cada uno se vendió a 10 dólares, así que se recaudan 10 millones de
dólares. El premio para el número ganador es de 1 millón de dólares. Otros
999.000 números ganan un premio de 1 dólar estadounidense o su equivalente,
pero en distintas monedas, y hay otros 999 premios de 10 dólares, también
en distintas monedas. En
total, la lotería distribuye 2.008.990 dólares en premios, lo que deja una
ganancia neta de 8.000.000 de dólares. Nótese que los premios de uno y de diez
dólares se entregan en monedas diferentes y son, por lo tanto, distinguibles. En otras palabras, dos personas que ganan un premio
por valor de un dólar reciben cantidades diferentes, esto es, diferentes premios con el mismo valor.
Ahí van las preguntas: Respóndase SÍ
o NO a las primeras tres preguntas.
Compro un solo boleto y
1) ¿Es creíble la
afirmación de que he ganado un millón de dólares en la lotería?
2) ¿Es creíble la afirmación, que hice el día anterior, de que he
ganado el equivalente a un dólar en moneda india?
3) ¿Es creíble la afirmación, que hice el día anterior, de que he
ganado el equivalente a diez dólares en moneda china? Ahora estímense las
siguientes probabilidades:
4) ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio de un millón de
dólares?
5) ¿Cuál es la probabilidad de ganar el dólar en moneda india?
6) ¿Cuál es la probabilidad de ganar los diez dólares en moneda
china?
7) ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio por valor de
un dólar?
8) ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio por valor de
diez dólares?
9) Tras haber respondido las preguntas 4-8, ¿revisaría el lector
sus respuestas a las preguntas 1-3?
El
lector encontrará todas las respuestas al final del capítulo.
§. Un problema en el orden-desorden.
Obsérvense los patrones de las dos figuras
insertas al comienzo de este libro. Los he etiquetado como ordenado y
desordenado. Llamémoslos B y A.[62]. Ahora
que ya tenemos nociones elementales de probabilidad, inténtese responder a las
siguientes preguntas. Supongamos que he empleado 200 dados para construir las
figuras A y B.
1) ¿Es creíble la
afirmación de que obtuve las dos configuraciones A y B lanzando
los 200 dados dos veces sobre el tablero?
2) ¿Es creíble la afirmación de que dispuse los dados para componer
la configuración A, y luego obtuve la B tras agitar la mesa durante
unos segundos?
3) ¿Es creíble la afirmación de que compuse la configuración B y
luego obtuve la A tras agitar la mesa durante unos segundos?
Para responder a las preguntas anteriores, sólo hay que hacer una estimación
cuantitativa de la probabilidad de las configuraciones A y B.
Veamos si el lector es capaz de hacerlo. Supongamos que el tablero está
dividido en, digamos, 1000 casillas. Sólo puede haber un dado por casilla. La
orientación del dado no importa, sólo importa la cara superior. Una
configuración es la especificación exacta de la cara superior y la localización
(la casilla) de cada dado. Hay 200 dados en total (en las figuras tanto el
número de dados como el de casillas es diferente). Cada dado puede exhibir uno
de seis números (1, 2… 6) en su cara superior, y puede situarse en cualquiera
de las 1000 casillas (pero no más de un dado por casilla, sin que importe su orientación).
Ahora estímense las probabilidades siguientes:
4) La probabilidad de obtener la configuración A.
5) La probabilidad de obtener la configuración B.
6) La probabilidad de obtener la configuración A, pero
sin considerar el número de puntos de cada dado.
7) La probabilidad de obtener la configuración B, pero
sin considerar el número de puntos de cada dado.
Después de practicar con éstas (minúsculas) probabilidades y presumir que se
han calculado correctamente, he dejado para el final otras dos preguntas (las
más fáciles).
8) ¿Es creíble la afirmación de que volví a lanzar los 200 dados
dos veces y obtuve exactamente las mismas dos configuraciones A y B?
Ahora obsérvese atentamente la configuración A. ¿Hay algún patrón o
letra reconocible? Fijémonos sólo en los dados con un punto en su cara
superior. ¿Reconoce ahora el lector alguna pauta? Si no es así, puede ver la
configuración oculta en la figura del final de este libro (de ahí las
denominaciones A, de Arieh, y B, de Boltzmann). Y ahora
la última pregunta:
9) ¿Revisaría el lector alguna de sus respuestas a las 8 preguntas
anteriores?
Las respuestas correspondientes aparecen al final de este capítulo.
§. Un desafío.
El problema que voy a plantear ahora tiene una
gran significación histórica. Se considera uno de los problemas cuya solución
no sólo contribuyó a consolidar el concepto de probabilidad, sino que
transformó las cábalas de los salones de juego en razonamiento matemático.
Ni el problema ni su solución son relevantes
para la comprensión de la segunda ley. Mi objetivo al contar esta historia es
triple. En primer lugar, dar una idea del tipo de problemas que se planteaban
en la época del nacimiento de la teoría de la probabilidad. En segundo lugar,
dar una idea de las dificultades que surgen a la hora de calcular
probabilidades, incluso en problemas que parecen muy simples de entrada. En
tercer lugar, si al lector le gustan los problemas «tramposos», saboreará la
solución deliciosamente simple que pueden ofrecer los matemáticos a un problema
aparentemente insoluble.
El problema en cuestión le fue planteado a
Blaise Pascal por su amigo el caballero De Meré en 1654[63].
Supongamos que dos jugadores ponen cada uno diez
dólares sobre la mesa. Cada uno apuesta por un número del 1 al 6. Supongamos
que Dan eligió el 4 y Linda eligió el 6. Las reglas del juego son muy simples.
Se tira un dado y se registra la secuencia de resultados. Dan suma un punto
cada vez que sale un 4, y Linda hace lo propio cada vez que sale un 6. El
primero que sume tres puntos gana los 20 dólares apostados. Una posible
secuencia podría ser:
1, 4, 5, 6, 3, 2,
4, 6, 3, 4
Puesto
que el número 4 ha salido tres veces. Dan gana los 20 dólares.
Ahora supongamos que comienza otra partida y, al
cabo de un tiempo, la secuencia de resultados es:
1, 3, 4, 5, 2, 6,
2, 5, 1, 1, 5, 6, 2, 1, 5
En
este punto surge un imprevisto y la partida debe darse por terminada. La
cuestión es cómo deben repartirse los 20 dólares entre los dos jugadores.
Nótese que el problema no se plantearía si las
reglas del juego dispusieran cómo debe repartirse el dinero apostado en caso de
interrupción forzosa de la partida. Pero si no se especifica, no está claro
cómo debe hacerse el reparto.
Parece claro que, puesto que Dan ha sumado un
punto y Linda ha sumado dos, esta última debería llevarse más dinero. Pero
¿cuánto más? Queremos decidir cuál es la manera más justa de dividir el dinero dada la secuencia de
resultados. Ahora bien, ¿qué entendemos por más justo, cuando hablamos de reparto? Dado que Linda ha sumado
el doble de puntos que Dan, ¿debería llevarse el doble de dinero? ¿O quizá
sería más justo simplemente retornar a cada uno los 10 dólares apostados, ya
que el ganador ha quedado sin determinar? ¿O quizás habría que darle todo el
dinero a Linda, porque ha quedado más «cerca» de la victoria que Dan?Durante
varios años, Blaise Pascal y Pierre de Fermat mantuvieron una correspondencia
que fue la semilla de la teoría de la probabilidad. Téngase en cuenta que en el
siglo XVII el concepto de probabilidad todavía tenía un largo camino por
recorrer antes de consolidarse. La dificultad no residía sólo en hallar la
solución matemática, sino también en determinar en qué consistía el problema,
es decir, qué significa encontrar un método justo de repartir una suma.
La respuesta a la última cuestión es la
siguiente:
Puesto que no había una regla específica para
dividir la suma en caso de interrupción del juego, la manera «más justa» sería
dividirla según la razón entre las probabilidades de ganar de uno y otro
jugador caso de que el juego hubiera continuado.
Al plantear el problema en función de las
probabilidades se supera un primer obstáculo. Ahora tenemos un problema bien
formulado. Pero ¿cómo se calculan las probabilidades buscadas? Parece que Linda tiene más posibilidades que
Dan de ganar porque está «más cerca» de reunir tres puntos. Podemos calcular
fácilmente que la probabilidad de que Dan gane en la próxima tirada es cero, mientras que la probabilidad de que gane Linda es
1/6, y la probabilidad de que no gane ninguno de los dos es 5/6. Podemos
calcular las probabilidades después de dos tiradas, de tres tiradas, etcétera.
El cálculo se complica mucho y, en principio, hay que hallar la suma de una
serie infinita, así que la solución matemática del problema por esta vía no es
fácil. Intente el lector calcular la probabilidad de ganar de cada jugador al
cabo de dos tiradas, y luego de tres, y verá lo enrevesado que puede resultar.
Pero si a uno le gustan las matemáticas, le encantará la solución simple,
basada en resolver una ecuación de una incógnita, que se ofrece al final de
este capítulo.
§. Respuestas a los problemas.
Respuestas a los problemas de ruleta.
En todos estos problemas he elegido la misma
secuencia: {1, 2, 3, 4, 5, 6}, cuya probabilidad de ganar es 1/2. Si elegimos
el suceso disjunto {7,
8, 9, 10, 11, 12), entonces la probabilidad condicionada es:
Pr {B/A}
= Pr {7, 8, 9, 10, 11, 12/A} =0
Esto
es así porque la ocurrencia de A excluye la
ocurrencia de B. En el primer ejemplo de secuencia superpuesta
tenemos (véase la figura 2.14).
Pr {B/A}
= Pr{6, 7, 8, 9, 10, 11/A} = 1/6 < 1/2
Aquí
el conocimiento de que ha ocurrido A significa que
sólo podemos haber ganado si la bola se detuvo en el «6». De ahí que la
probabilidad sea 1/6, menor que Pr {B} = 1/2, lo que
quiere decir que hay una correlación negativa.
Similarmente, para B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} tenemos:
Pr {B/A}
= Pr {5, 6, 7, 8, 9, 10/A} = 2/6 < 1/2
Aquí,
«dado A», sólo ganaremos si la bola se detiene en «5» o
«6», por lo que la probabilidad condicionada es 2/6, que sigue siendo menor que
Pr {B} = 1/2.
En el tercer caso, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, de
donde:
Pr {B/A}
=Pr {4, 5, 6, 7, 8, 9/A} =3/6= 1/2
Aquí
la probabilidad condicionada es 1/2, exactamente igual que la probabilidad «no
condicionada». Pr {B} = 1/2, lo que significa que ambos sucesos son
independientes, o no correlacionados.
Para los últimos tres ejemplos tenemos:
Pr {B/A}
= Pr {3, 4, 5, 6, 7, 8/A} = 4/6 > 1/2.
Pr {B/A}
= Pr {2, 3, 4, 5, 6, 7/A} = 5/6 > 1/2.
Pr {B/A}
= Pr {1, 2, 3, 4, 5, 6/A} = 6/6 = 1 > 1/2
Figura 2.14
En
el último ejemplo, saber que ha ocurrido A hace que la
ocurrencia de B sea segura. En estos ejemplos hemos visto que
los sucesos superpuestos pueden estar correlacionados positiva o negativamente,
o no estar correlacionados en absoluto.
Respuesta a «un problema de lotería».
1) La mayoría
probablemente no lo creerá, aunque no es imposible.
2) La mayoría probablemente lo creerá, aunque las posibilidades son
tan reducidas como las de ganar el premio gordo.
3) La mayoría probablemente lo creerá, aunque las posibilidades son
tan reducidas como las de ganar el premio gordo.
4) Las posibilidades son una en un millón (10−6).
5) Las posibilidades son una en un millón (10−6).
6) Las posibilidades son una en un millón (10−6).
7) La probabilidad es 999 000/1 000 000 ≈ 1.
8) La probabilidad es 999/1 000 000 ≈ 1/1000.
9) Si la respuesta a 1 ha sido NO, es bastante correcta.
Las
posibilidades son ciertamente reducidas. Quienes hayan respondido con un SÍ a 2
y 3 probablemente están equivocados, porque las posibilidades son tan escasas
como las de ganar el premio gordo.
Quienes hayan respondido con un SÍ a las
preguntas 2 y 3 probablemente están confundiendo el suceso exacto «ganar un
dólar en una moneda específica» con el suceso inespecífico[64] «ganar un
dólar en cualquier moneda». El primero es altamente improbable, mientras que el
segundo es casi seguro.Respuesta a «un problema de orden-desorden».
1) Probablemente
debería creerse A pero no B Véase más abajo.
2) No debería creerse.
3) Podría ser creíble, si se considera que A es
una configuración obtenida aleatoriamente. Pero no debería creerse si A se
considera una configuración específica.
4) La probabilidad de que un dado muestre una cara específica y
esté en una casilla específica es 1/6 x 1/1000. La probabilidad de que los 200
dados muestren caras específicas y se sitúen en casillas específicas (nótese
que los dados son distinguibles y no se permite más de uno por casilla) es
(1/6).2001/1000 × 999 × 998 ×… × 801. Ésta es una probabilidad
pequeñísima.
5) La misma respuesta que para 4.
6) La probabilidad es 1/1000 × 999 × 998 × … × 801, que sigue
siendo muy pequeña.
7) La probabilidad es la misma de antes.
8) Probablemente no debería creerse. Más de uno podría estar
tentado de presumir que obtuve la configuración A de manera aleatoria, pero la
pregunta se refiere a la configuración exacta.
9) Hay que tener claro que siempre que la pregunta se refiere a una
configuración específica como A o B, la
probabilidad es extremadamente baja. Pero si consideramos que A es
una configuración aleatoria, uno podría estar en lo cierto al asignar una
probabilidad mayor a esta configuración. La razón es que hay muchas
configuraciones que «parecen» la misma que A, de ahí que una
configuración aleatoria tenga una probabilidad mayor. Pero cuando uno comprueba
que A contiene la palabra «Arieh», entonces deja de ser una
configuración aleatoria.
Respuesta
a «un desafío».
La solución al problema es la siguiente.
Denotemos como X la probabilidad de que gane Linda. En la próxima tirada hay
tres posibilidades mutuamente excluyentes:
I: resultado {6}
con probabilidad 1/6.
II: resultado {4} con probabilidad 1/6.
III: resultado {1, 2, 3, 5} con probabilidad 4/6.
Denotemos
el suceso «Linda gana» como LG. Se cumple la siguiente ecuación.
X = Pr(LG) = Pr(I)
Pr(LG/I) + Pr(II) Pr(LG/II) +…
…+ Pr(III)
Pr(LG/III) = 1/6 × 1 + 1/6 × 1/2 + 4/6 × X
Se
trata de una ecuación de una incógnita:
6X = 3/2 + 4X. La
solución es X = 3/4.
Nótese
que los sucesos I, II y III se refieren a resultados posibles en la próxima
tirada. El suceso LG se refiere a la victoria de Linda con independencia del
número de tiradas subsiguientes. La ecuación anterior quiere decir que la
probabilidad de que gane Linda es la suma de las tres probabilidades de los
tres sucesos mutuamente excluyentes. Si ocurre I, entonces ella gana con
probabilidad 1. Si ocurre II, entonces la probabilidad de que gane Linda es
1/2. Si ocurre III, entonces la probabilidad de que gane es X, la misma que
tenía al interrumpirse el juego.
Fin del capítulo 2.
Capítulo 3
Jugando con dados reales
Contenido:
§. Un dado.
§.Dos dados
§.Tres dados
§.Cuatro dados y más
§. Un dado.
Comenzaremos con un juego bastante soso. El
lector elige un número entre 1 y 6, digamos «4», y yo elijo otro número
diferente también entre 1 y 6, digamos «3». Lanzamos el dado. El ganador será
aquel cuyo número salga antes. Este juego no requiere ningún esfuerzo
intelectual. No hay ningún resultado preferente: todos son igualmente
probables, y ambos jugadores tienen las mismas posibilidades de ganar o perder.
Si repetimos el juego muchas veces, es probable que, en promedio, ambos
jugadores acaben empatados (suponiendo, por supuesto, que el dado no esté
sesgado). ¿Cómo lo sabemos? Porque hemos aceptado el hecho de que la
probabilidad de cada resultado es 1/6 y también creemos, por experiencia, que
nadie puede desafiar las leyes de la probabilidad. Pero esto no siempre fue
así. En otros tiempos se creía que algunas personas tenían un poder divino que
les permitía predecir el resultado del lanzamiento de un dado, o que era la
voluntad divina la que determinaba los resultados. Así, si conseguíamos
comunicarnos con «Él», directamente o a través de un mediador, podíamos
anticipar el resultado[65]. Hoy día, sin
embargo, cuando consideramos un juego de dados como el descrito, damos por
sentado que hay seis y sólo seis resultados posibles (figura 3.1) y que todos
tienen la misma probabilidad, 1/6. La siguiente tabla resulta sencilla:
Figura 3.1.
|
Resultado: |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Probabilidad: |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
§. Dos dados.
Jugar con dos dados es un poco más complicado.
Hay diferentes posibilidades. Por ejemplo, podríamos apostar por un resultado
específico, como «dado blanco 6, dado azul 1». Hay 36 resultados específicos
posibles:
|
1.1 |
1.2 |
1.3 |
1.4 |
1.5 |
1.6 |
|
2.1 |
2.2 |
2.3 |
2.4 |
2.5 |
2.6 |
|
3.1 |
3.2 |
3.3 |
3.4 |
3.5 |
3.6 |
|
4.1 |
4.2 |
4.3 |
4.4 |
4.5 |
4.6 |
|
5.1 |
5.2 |
5.3 |
5.4 |
5.5 |
5.6 |
|
6.1 |
6.2 |
6.3 |
6.4 |
6.5 |
6.6 |
Es obvio que todos estos resultados son
igualmente probables. ¿Cómo lo sé? Suponiendo que el dado es insesgado y los
resultados son independientes (no se afectan mutuamente), entonces su
equiprobabilidad es de sentido común. Una respuesta alternativa es que cada
resultado de un dado tiene una probabilidad de 1/6, por lo que cada resultado
específico del lanzamiento de un par de dados es el producto de las
probabilidades de los resultados de cada dado, o 1/6 veces 1/6, que es 1/36.
Este argumento requiere aplicar la ley de que la probabilidad de dos sucesos
independientes es el producto de las probabilidades de cada uno. Pero, en
última instancia, esta ley también se basa en el sentido común.
Como en el caso de un dado, este juego es
aburrido y poco interesante, y tampoco requiere ningún esfuerzo mental. Un
juego algo más atractivo es apostar por la suma de los resultados de dos dados,
con independencia del resultado concreto o el color de cada dado. Los
resultados posibles de este juego son:
Resultado: 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
En
total tenemos once resultados posibles. Nos referiremos a ellos como sucesos
inespecíficos, por las razones que se dan más adelante[66]. Si tuviéramos que
apostar por un resultado, ¿por cuál nos decidiríamos? A diferencia de los dos
juegos anteriores, aquí hay que pensar un poco. No mucho, y desde luego nada
que exceda la capacidad del lector.
No hay duda de que los resultados listados no
son sucesos elementales, ya que no son igualmente probables.
Figura 3.2a
Como
puede verse en la figura 3.2a, o contando uno mismo, cada suceso es la suma (o
unión) de sucesos elementales. En este juego tenemos los mismos sucesos
elementales que en el anterior, cada uno con probabilidad 1/36. Antes de
calcular las probabilidades de los sucesos compuestos (las sumas de las
puntuaciones de dos dados), nótese que en la figura 3.2a los sucesos de igual
suma se alinean a lo largo de la diagonal principal del cuadrado. El mismo
cuadrado girado 45° (en el sentido de las agujas del reloj) se reproduce en la
figura 3.2b. Tras constatar que podemos contar el número de sucesos específicos
(o elementales) contenidos en cada suceso compuesto, podemos calcular su
probabilidad.
Figura 3.2b
Para
facilitar el recuento, hemos «comprimido» la figura 3.2b para obtener la figura
3.2c (donde cada par se ha vuelto a girar en sentido contrario a las agujas del
reloj) y hemos reagrupado los pares de igual suma.
Figura 3.2c
La
tabla de arriba muestra las probabilidades de los sucesos compuestos. La
«multiplicidad» no es más que el número de sucesos específicos que comprende el
suceso inespecífico. ¿Cómo sabemos que éstas son las probabilidades correctas?
Una vez más, apelo al sentido común. El lector debería convencerse de ello, y
si no lo está, puede repetir el juego unos cuantos millones de veces y
registrar la frecuencia de cada resultado. Pero no se lo aconsejo. Debería
confiar en que su sentido común le lleve a las probabilidades correctas o, si
no, efectuar un millón de experimentos mentales y entrever cuántas veces saldrá
cada suma. Una vez se haya convencido, compruebe que la suma de las
probabilidades de todos los resultados posibles da 1, como tiene que ser.
Con este bagaje, procedamos a jugar. ¿Por qué
resultado apostaríamos? Obviamente, descartaríamos el 2 o el 12. ¿Por qué?
Porque estos sucesos sólo incluyen un suceso específico (o elemental). Si nos
fijamos en la figura 3.2b, vemos que la mejor elección es el 7. No hay nada
mágico en este número. Ocurre que, en este juego concreto, la suma 7 comprende
el mayor número de resultados específicos; de ahí que sea el resultado más
probable. Por supuesto, si jugamos una sola vez podríamos apostar por el 2 y
ganar. Pero si el lector apuesta por el 2 y yo por el 7, y jugamos muchas
veces, yo ganaré las más de las veces. Como indica la tabla, las posibilidades
son 6:1. En la figura 3.3 se representa el número de sucesos elementales (o
configuraciones específicas) para las sumas posibles de los juegos con uno y
con dos dados.
Dominado este juego, podemos proceder al
siguiente. Se trata de una variante algo más difícil, pero nos situará en la
vía correcta hacia la comprensión de la segunda ley de la termodinámica.
§. Tres dados.
Este juego es esencialmente el mismo que el
anterior, pero es un poco más difícil y entraña más cálculos. Se juega con tres
dados, y se calcula la suma de los resultados parciales, con independencia de
los puntos o del color de cada dado.
En principio, no hemos añadido nada nuevo,
aparte de que el cálculo de las sumas es más tedioso. De hecho, éste es justo
el tipo de juego a partir del cual evolucionó la teoría de la probabilidad.
¿Cuál es la mejor apuesta? Esta pregunta se trasladó a los matemáticos antes
del establecimiento de la teoría de la probabilidad (véase el capítulo 2).
La lista de resultados posibles es:
3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
En
total hay 16 posibilidades. Listar todos los resultados específicos (por
ejemplo, {azul = 1, rojo = 4, blanco =3}) requeriría mucho espacio. En total
hay 63 = 216 resultados específicos posibles.
Obviamente, no deberíamos apostar al 3 ni al 18, ni tampoco al 4 ni al 17. ¿Por
qué? Por la misma razón por la que hemos desechado las sumas más baja y más
alta en el juego anterior. Ahora bien, ¿cuál es la mejor apuesta? Para
responder esta pregunta, tenemos que contar todos los resultados específicos (o
elementales) posibles que dan lugar a cada una de las sumas de la lista
anterior. Esto requiere cierto esfuerzo, pero no hay implicado ningún principio
nuevo, sólo el sentido común y la voluntad de hacer el recuento. Hoy tenemos la
suerte de disponer de ordenadores que hacen el trabajo por nosotros. Los
resultados se listan en la tabla siguiente:
|
Sucesos compuestos |
Multiplicidad |
Probabilidad |
|
2 |
1 |
1/36 |
|
3 |
2 |
2/36 |
|
4 |
3 |
3/36 |
|
5 |
4 |
4/36 |
|
6 |
5 |
5/36 |
|
7 |
6 |
6/36 |
|
8 |
5 |
5/36 |
|
9 |
4 |
4/36 |
|
10 |
3 |
3/36 |
|
11 |
2 |
2/36 |
|
12 |
1 |
1/36 |
En la segunda fila se lista el número de
posibilidades para cada suma. Las probabilidades se obtienen dividiendo los
valores de la segunda fila por 216.
Así pues, para el caso de un dado la
distribución de probabilidad es uniforme. Para dos dados, encontramos un máximo
en suma = 7 (figura 3.3). Para tres dados, tenemos dos probabilidades máximas,
cuyo valor es 27/216, correspondientes a las sumas 10 y 11.
Figura 3.3
Si
queremos ganar, por lo tanto, es mejor que apostemos por 10 o por 11.
Figura 3.4
En
la figura 3.4 se representa el número de sucesos elementales para cada suma
posible de los tres dados. Dividiendo este número por el número total de
sucesos específicos, 63 = 216,
obtenemos las probabilidades correspondientes (también representadas en la
misma figura).
El lector debería ser capaz de comprobar por sí
mismo unos cuantos de estos números. No se necesitan matemáticas superiores ni
teoría de la probabilidad: sólo hay que contar y aplicar el sentido común. Si
lo hace así, y entiende por qué los valores 10 y 11 tienen una probabilidad
máxima, ya está casi a medio camino de entender la segunda ley.
Procedamos ahora a examinar unos cuantos juegos
más del mismo tipo, pero con un número creciente de dados.
§. Cuatro dados y más.
Si lanzamos cuatro dados, tendremos que elegir
un número entre 4 y 24 (la mínima y la máxima de las sumas posibles). Como
antes, lanzamos los cuatro dados simultáneamente y calculamos la suma de
puntos, con independencia de la identidad (o el color) y del resultado de cada
dado concreto; lo único que cuenta es la suma.
En este caso tenemos 64 = 1296 resultados específicos posibles. La
probabilidad de cada resultado específico es 1/1296. El recuento en este caso
es bastante laborioso, pero tampoco hay ningún principio nuevo. La figura 3.5
muestra las probabilidades (esto es, el número de resultados específicos para
cada suma dividido por el total) en función de la suma. Para cuatro dados, el
rango de sumas posibles va de 4 a 24; para cinco dados, el rango va de 5 a 30;
para seis dados, el rango va de 6 a 36, y para siete dados el rango va de 7 a
42.
En la figura 3.6 se representan las
probabilidades en función de la suma «reducida», que no es más que el valor de
la suma dividido por el máximo. De esta manera se consigue que los diferentes
rangos de 0 a N en la
figura 3.5 queden «comprimidos» en un rango único (de 0 a 1). Esta comprensión
modifica el área bajo la curva. En la figura 3.5, el área bajo cada curva es 1
mientras que en la figura 3.6 está reducida por el factor N. Nótese que la dispersión de las probabilidades en la
figura 3.5 aumenta con N. En
la figura 3.6, en cambio, la dispersión disminuye con N. Cuanto mayor es N, más se estrecha la curva. Si lo que nos interesa son
las desviaciones absolutas del máximo (en N/2), tenemos que mirar la figura 3.5.
Figura 3.5
Pero
si sólo nos interesan las desviaciones relativas del máximo (en 1/2) deberíamos
acudir a las curvas de la figura 3.6. Cuando N se
hace muy grande, la curva de la figura 3.6 se vuelve extremadamente estrecha,
lo que quiere decir que las desviaciones relativas del máximo se hacen
despreciables.
Figura 3.6
Nótese
también que en cada caso hay uno o dos valores cuya probabilidad es máxima.
Obsérvese la forma de la distribución. Recuerda una campana, también conocida
como distribución normal o gaussiana. Ésta es una curva importante en la teoría
de la probabilidad y la estadística, pero no nos incumbe aquí. Nótese también
que, a medida que aumenta el número de dados, la curva de la figura 3.6 se
estrecha y el pico correspondiente a la probabilidad máxima desciende. El
descenso del máximo es el mismo que en la figura 3.5, pero la «dispersión» de
la curva es diferente. Discutiremos más a fondo este importante aspecto de las
probabilidades en el capítulo siguiente. Las figuras 3.7 y 3.8 muestran figuras
similares a las de las figuras 3.5 y 3.6, pero para valores de N más
grandes.
Detengámonos en este punto para ponderar lo que
hemos visto hasta ahora, antes de dar el próximo paso. Deberíamos preguntarnos,
primero, cuál es el número ganador en cada caso y, segundo y más importante,
por qué es un número ganador. No nos preocupemos de los recuentos exactos; sólo
tenemos que fijarnos en que en cada juego hay una o dos sumas máximamente
probables. Esto significa que, si hacemos muchas tiradas, dichas sumas se darán
con más frecuencia que el resto, así que, puestos a jugar, haríamos bien en
apostar por estos números ganadores.
Figura 3.7
Figura 3.8
La
primera pregunta es importante, incluso fundamental, si estamos interesados en
jugar a los dados. Pero si lo que queremos es comprender la segunda ley y poder
seguir los argumentos de los capítulos que siguen, deberíamos concentrarnos en
el «por qué». ¿Por qué hay un número ganador? Tomemos el caso de tres dados.
Pensemos en las razones de la existencia de dicho número. Comencemos con suma =
3. Para esta posibilidad sólo hay un único resultado específico, que es:
azul = 1, rojo = 1,
blanco = 1… suma = 3
Uno
puede imaginar que este resultado específico será un suceso muy raro, igual que
el suceso suma = 18. Como antes, sólo hay un resultado específico para obtener
18, que es:
azul = 6, rojo = 6,
blanco = 6… suma = 18
Para
suma = 4 tenemos tres resultados específicos, que son:
azul = 1, rojo = 1,
blanco = 2… suma = 4
azul = 1, rojo = 2,
blanco = 1… suma = 4
azul = 2, rojo = 1,
blanco = 1… suma = 4
La
partición de suma = 4 en tres enteros es única, 1: 1:2, y si lo único que nos
importa es que los tres dados sumen 4, no distinguiremos entre los tres casos
listados. Cada una de las tres posibilidades particulares es una configuración
específica. Si no diferenciamos entre configuraciones específicas y sólo
atendemos a la suma = 4, hablaremos de configuración inespecífica o suceso
inespecífico.
Para suma = 5 tenemos seis posibilidades
específicas:
azul = 1, rojo = 1,
blanco = 3… suma = 5
azul = 1, rojo = 3,
blanco = 1… suma = 5
azul = 3, rojo = 1,
blanco = 1… suma = 5
azul = 1, rojo = 2,
blanco = 2… suma = 5
azul = 2, rojo = 2,
blanco = 1… suma = 5
azul = 2, rojo = 1,
blanco = 2… suma = 5
Aquí
tenemos dos fuentes de multiplicidad. Primero, hay dos particiones de suma = 5
(1:1:3 y 2:2:1) y, segundo, para cada partición hay tres permutaciones
posibles; en otras palabras, cada partición tiene un peso 3. Diremos que hay
seis configuraciones específicas, pero sólo un suceso inespecífico.
Los conceptos de suceso inespecífico y suceso
específico son importantes para comprender la segunda ley. Como hemos visto,
cada suceso específico tiene la misma probabilidad. En el juego de dos dados,
un suceso específico es una constatación de la contribución de cada dado
concreto a la suma total. En el caso de tres dados, si ignoramos el color de
cada dado y su contribución específica a la suma total, entonces, para suma =
3, tenemos un suceso inespecífico consistente en un único suceso específico,
mientras que para suma = 4 tenemos un suceso inespecífico que comprende tres
sucesos específicos, y para suma = 5 tenemos un suceso inespecífico que
comprende seis sucesos específicos, y así sucesivamente.
En el capítulo siguiente examinaremos un juego
de dados modificado que nos llevará aún más cerca del experimento real que
discutiremos en el capítulo 7. Jugaremos con dados más primitivos, con el
número «0» en tres caras y el número «1» en las otras tres. La simplificación
que conseguimos es doble. Primero, sólo hay dos resultados posibles para cada
dado (cero o uno) y, segundo, cada suma sólo admite una partición, de manera
que el número de resultados específicos comprendidos en el suceso suma = n es
simplemente n, es decir, el número de veces que sale «1».
Fin del Capítulo 3
Capítulo 4
Jugando con dados simplificados, y una apreciación preliminar de la segunda ley
Contenido:
§. Dos dados N = 2
§. Cuatro dados N = 4.
§. Diez dados; N =10.
§. Cien dados N = 100.
§. Mil dados N = 1000.
§. Diez mil dados N = 104 y más allá.
El
nuevo juego es más simple que los anteriores. Consideraremos dados con tres
caras marcadas con un «0» y tres caras marcadas con un «1», o monedas marcadas
con un «0» en una cara y un «1» en la otra. Ya que hemos comenzado jugando con
dados, continuaremos así, pero si el lector lo prefiere puede pensar en
monedas. Lo importante es que hacemos un «experimento» (lanzar un dado o una
moneda) cuyos resultados son «0» o «1», con probabilidades 1/2 y 1/2. En vez de
seis resultados posibles, ahora tenemos sólo dos, lo que constituye una primera
simplificación. La segunda simplificación viene de la elección de «0» y «1»
como resultados posibles, y es que cuando sumamos los resultados de Ndados,
la suma no es más que el número de
unos. Los ceros no cuentan. Por ejemplo, con N =
10 (figura 4.1) podría darse el resultado específico 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0,
0. Aquí la suma es 5, que también es el número de
unos (o el número total de puntos en los dados con tres caras marcadas con un
punto y tres sin marca). Nos fijaremos en la «evolución» del juego más que en
las estrategias ganadoras. Pero, para los que se sientan más cómodos jugando,
las reglas son las que siguen. Jugamos con N dados
insesgados cuyos resultados posibles son sólo «0» y «1». Siempre partimos de la
misma configuración inicial, con todos los dados en cero[67].
Por configuración entendemos la especificación
detallada de la secuencia de ceros y unos (por ejemplo, el primer dado muestra
un «1», el segundo un «0», el tercero un «0», etcétera). Nos referiremos a la
configuración inicial como el paso cero del juego. Para N= 10, la configuración inicial es:
Figura 4.1
0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0
Ahora
escogemos un dado al azar, lo lanzamos y lo devolvemos a su lugar. Podemos
imaginar una máquina que recorre la fila de dados, elige uno al azar y le da un
toque para hacer que salga «0» o «1» con igual probabilidad. También podemos
programar el juego en un ordenador[68].
Con estas reglas simples, seguiremos la
evolución de las configuraciones. Pero una vez más, para los que lo prefieran
así, haremos unas cuantas jugadas. Comencemos por escoger un número entre 0 y
10; digamos que el lector elige el 4 y yo el 6. Partimos de la configuración de
todo ceros y procedemos según las reglas. A cada paso calculamos la suma: si el
resultado es 4, el lector contabiliza un punto; si es 6, el punto es para mí.
¿Qué suma deberíamos elegir? Se podría pensar que una opción obvia es suma = 0, ya que, al conocerse la configuración
inicial, es una apuesta segura en el paso cero. Esto es verdad, pero ¿y si
convenimos de entrada en jugar un millón de pasos?
Pasemos a examinar con detenimiento y paciencia
la evolución de este juego al cabo de muchos pasos. Uno debería entretenerse en
este ejercicio aunque sólo le interesara saber cuál es la mejor apuesta, pero
seguir la evolución del juego es crucial para comprender la segunda ley de la
termodinámica. Hay que estar atento y alerta, y concentrarse en qué ocurre y por qué ocurre. En cuanto al cómo ocurre, ya hemos descrito el «mecanismo».
Recordemos que estamos jugando con reglas
nuevas. Los dados darán sólo dos resultados posibles, «0» y «1». En
consecuencia, la suma de los resultados de Ndados sólo puede variar entre 0 (todo ceros) y N (todo unos). Además, sólo hay una partición de
cada suma, lo que representa una gran simplificación en comparación con el
juego anterior con dados clásicos, donde teníamos que considerar distintos
pesos para las distintas particiones, una tarea que se complica a medida que
aumenta N (véanse los
capítulos 2 y 3). Aquí sólo tenemos que preocuparnos del peso de una partición.
Por ejemplo, para N = 4
y suma = 2, sólo hay una
partición de 2 en dos ceros y dos unos. Las posibilidades son:
0011 0101 0110 1001
1010 1100
Hay
seis configuraciones específicas esto es, seis secuencias ordenadas de ceros y
unos para el suceso inespecífico suma = 2. Por
suceso inespecífico entendemos el número de unos que han salido, con
independencia de sus localizaciones específicas en la secuencia. Para cualquier
suceso inespecífico, que podemos denotar como suma =n,
hay distintas ordenaciones de los ceros y unos, cada una de las cuales
determina una configuración específica, o suceso específico. Antes de proceder
con los nuevos juegos, fijémonos de nuevo en las figuras 3.5 y 3.6 (o 3.7 y
3.8). Estas figuras representan las probabilidades en función de la suma y en
función de la suma reducida (es decir, el
valor de la suma dividido por N). Nótese que todas
las curvas tienen un máximo en N/2 (o en 1/2, en el
caso de la suma reducida). Cuanto mayor es N,
más bajo es el pico del máximo.
§. Dos dados; N = 2.
Como en el caso anterior, el juego con un dado
no tiene nada de interesante, así que comenzaremos analizando el caso de dos
dados.
Recordemos que en el presente juego partimos de
una configuración inicial específica, que en lo sucesivo siempre será la de
todo ceros. Ya sabemos que la opción suma = 0 es una apuesta segura en el paso cero. Pero
supongamos que decidimos apostar por suma = 2, el resultado más alto posible de este
juego. Recordemos que cuando jugábamos con dos dados reales, el mínimo, suma= 2, y el máximo, suma = 12, tenían la misma probabilidad 1/36. Aquí
las reglas del juego son diferentes. Si mi oponente apuesta por suma = 0 y yo apuesto por suma = 2, su probabilidad
de ganar en el paso cero es 1, y la mía es 0, así que suma = 0 es la mejor apuesta en el paso cero. ¿Y en
el paso uno? Ahora mi oponente ganará si al lanzar el dado elegido al azar sale
cero. La probabilidad de que esto ocurra es 1/2. En cuanto a mí, no hay manera
de obtener suma = 2 en
el primer paso, ya que los dos únicos resultados posibles son cero y uno, así
que mi probabilidad de ganar es nula. Así pues, mi oponente ha elegido mejor en
los pasos cero y uno.
Demos un paso más. Es fácil ver que mi oponente
sigue teniendo ventaja. Para que yo gane, la suma debe aumentar de cero a uno
en el primer paso, y de
uno a dos en el segundo. Mi oponente tiene más vías para obtener suma = 0 en el segundo paso: puede ser que vuelva a
salir cero en el primer paso y en el segundo paso, o que salga un uno en el
primer paso y vuelva a salir cero en el segundo paso.
La figura 4.2 muestra dos manos de este juego[69], cada una de cien
pasos. Es evidente que, después de muchos pasos, el número de «visitas» a suma=
0 y suma = 2 será más o menos el mismo, aunque hayamos
partido de suma = 0. Se dice que el juego pierde su «memoria»
de la configuración inicial. El resultado neto es que a mi oponente sólo le va
un poco mejor que a mí en este juego.
¿Y si, en vez de apostar por suma = 2, apuesto por suma = 1, mientras que mi oponente sigue apostando
por suma = 0? Como antes, él
tiene todas las de ganar en el paso cero. En el paso siguiente, ambos tenemos
la misma probabilidad de ganar, 1/2. Pero si observamos la «evolución» del
juego, al cabo de muchos pasos el juego visitará suma = 0 con bastante menos frecuencia que suma 1. Así pues, es evidente que, a la larga, yo
saldré ganando a pesar de la victoria garantizada de mi oponente en el paso cero.
Figura 4.2
Dejemos
de jugar por un momento y fijémonos en la evolución del juego tal como se
muestra en la figura 4.2. Nótese que en ambas manos hemos partido de suma=
0, es decir, de la configuración {0,0}. Vemos que en la primera mano el primer
paso se mantiene en suma = 0, mientras
que en la segunda mano pasamos de cero a uno. A la larga acabaremos habiendo
visitado suma = 0 un 25% de las veces, suma =
2 otro 25% de las veces, y suma=
1 un 50% de las veces. La razón es la misma que en el caso del juego con dos
dados reales del capítulo anterior: hay una configuración específica para suma =
0, una configuración específica para suma =
2, y dos configuraciones específicas para suma =
1, tal como se indica en la tabla de abajo.
|
Configuración |
{0, 0} |
{1, 0}, {0, 1} |
{1, 1} |
|
Peso |
1 |
2 |
1 |
|
Probabilidad |
1/4 |
2/4 |
1/4 |
Esto es fácil de entender y comprobar
experimentando físicamente con dados (o monedas) o mediante una simulación por
ordenador.
En la figura 4.2 podemos ver y contar el número
de visitas a cada nivel. Vemos que la ligera ventaja de la apuesta por suma = 0 acaba disipándose.
Antes de pasar al juego con cuatro dados,
adviértase que nada de lo que hemos aprendido hasta aquí parece relevante para
la comprensión de la segunda ley. Lo hemos presentado sobre todo como
entrenamiento en el análisis (no matemático) de la evolución del juego, y como
preparación para ver cómo y por qué aparecen nuevas propiedades cuando el
número de dados se agranda. Estas nuevas propiedades no sólo son relevantes,
sino que son la esencia misma de la segunda ley de la termodinámica.
Si simulamos muchos juegos como éste en un
ordenador, podríamos encontrar ciertas «estructuras» en algunas manos, como por
ejemplo una secuencia de diez ceros consecutivos, o una alternancia de ceros y
unos, o cualquier otra estructura específica que se nos ocurra. Cada
«estructura» específica (es decir, una secuencia de resultados concreta) es
posible, y si jugamos muchas veces aparecerán de vez en cuando. Por ejemplo, la
probabilidad de observar el suceso suma = 0 en los 100 pasos es simplemente (1 /2)100, es decir, menos de una de cada 1030 manos.
§. Cuatro dados; N = 4.
Procedamos a jugar con cuatro dados. Esta
modalidad tiene características algo diferentes. Una vez más, partimos de una
configuración de todo ceros en el paso cero, elegimos un dado al azar, lo
lanzamos y lo volvemos a colocar en su sitio con el resultado que ha salido. La
figura 4.3 muestra dos manos de este juego. Cada mano consta de 100 pasos. Se
representa la suma en función del número de pasos. El valor mínimo es suma = 0 (todo ceros) y el máximo es suma = 4 (todo unos). Si el lector quiere apostar por
suma = 0 y mantener esta apuesta (como establecen las reglas del juego), ganará
si yo apuesto por el 4. La razón es la misma que antes. Como hemos partido de
la configuración de todo ceros, el juego está ligeramente «sesgado» hacia suma
= 0. Si elijo suma = 2, es seguro que perderé en el paso cero y que mi oponente
ganará. También tendrá ventaja en los pasos sucesivos, pero su ventaja inicial
se disipará a la larga. Podemos ver que, al cabo de 100 pasos, el promedio de
visitas de cada resultado posible es:
Suma 0 en 1/16 de
los pasos
Suma 1 en 4/16 de
los pasos
Suma 2 en 6/16 de
los pasos
Suma 3 en 4/16 de
los pasos
Suma 4 en 1/16 de
los pasos
Estos
promedios son a largo plazo, y pueden calcularse con exactitud. Como puede
verse, la ligera ventaja inicial de la apuesta por suma=
0 se esfuma. Examinemos con más detalle las manos de este juego (figura 4.3) y
comparémoslo con el caso de dos dados (figura 4.2).
Figura 4.3
Una
característica obvia de este juego es que el número total de visitas a la
configuración inicial (suma = 0) es más
bajo que antes. Examinemos todas las configuraciones posibles:
En
total hay 16 configuraciones específicas.
Las hemos clasificado en cinco grupos, cada uno caracterizado únicamente por
la suma de los resultados de cada dado, o el «número
de unos», con independencia de la posición de los «unos» en la secuencia. Así,
hemos pasado de 16 configuraciones específicas (es
decir, donde se especifican las posiciones de todos los ceros y unos) a cinco
configuraciones inespecíficas (donde sólo cuenta el número de «unos»). La
distinción entre configuraciones específicas y configuraciones inespecíficas es
muy importante[70]. Una configuración
inespecífica incluye una o más configuraciones específicas.
Otra característica común a ambos juegos (y a
los que nos quedan en este capítulo) es que, a pesar del leve sesgo inicial
favorable a suma = 0 en
comparación con suma =
4, a la larga (o muy a la larga) veremos que, en promedio, la suma fluctuará en
torno a la línea de puntos que hemos trazado a la altura de suma = 2. Esta tendencia se hará más pronunciada y
clara a medida que aumente N.
Antes de pasar al juego siguiente, el lector
debería «entrenarse» con este juego, bien jugando con dados reales, bien
simulándolo en un PC. Debería recurrir sólo a su sentido común para comprender
por qué el número de visitas a la configuración inicial decrece a medida que
aumenta el número de pasos, y por qué el número de visitas asuma = 2 es el mayor a largo plazo.
§. Diez dados; N = 10.
Con diez dados apreciaremos algo nuevo, que se
hará más evidente a medida que aumentemos el número de dados, hasta que
lleguemos a identificar un comportamiento similar a lo que dicta la segunda
ley.
Comenzaremos como antes, con una configuración
de todo ceros, de manera que la suma de puntos es nula. La figura 4.4 muestra
dos manos de este juego.
En el primer paso podemos quedarnos en suma = 0 o pasar a suma = 1. La probabilidad de ambas posibilidades es
1/2. Esto apenas se aprecia a la escala de la figura 4.4. Pero lo importante es
lo que ocurre a continuación. Como puede verse en las manos representadas en la
figura, la tendencia general en los primeros pasos es ascendente. ¿Por qué? La respuesta es muy simple. Tras el primer
paso, tenemos una de dos configuraciones posibles: o todo ceros, o nueve ceros
y un uno. Ahora elegimos un dado al azar. Obviamente, es mucho más probable que
el dado seleccionado corresponda a un cero. Si es así, podemos subir o
quedarnos como estábamos, pero no bajar. Para que ocurra esto último tenemos
que seleccionar el único dado con un «1» (lo cual es relativamente poco
probable) y convertirlo en «0» (con probabilidad 1/2). Así, un descenso de la
suma en el segundo paso es un suceso raro (y lo será cada vez más a medida que
aumente N). Si examinamos
detenidamente este razonamiento, nos convenceremos de que, al dar el segundo
paso, es mucho más probable subir que bajar. Es importante entender bien este
comportamiento en esta fase, porque luego aumentaremos el número de dados. La
razón por la que nos entretendremos en hacer cálculos con diez dados para luego
extrapolarlos a un número creciente de dados es que el caso de diez dados es
bastante simple. Para un número mayor de dados los cálculos podrían intimidar a
los lectores y hacerles desistir del análisis probabilístico.
Figura 4.4
El
juego con diez dados es muy simple. Como siempre, partimos de una configuración
de todo ceros. Por lo tanto, en el primer paso elegiremos un «0» con
probabilidad 1, y luego podemos ascender (suma=
1) con probabilidad 1/2 o quedarnos como estamos (suma =
0) con la misma probabilidad. No hay descenso posible.
En el segundo paso el razonamiento es algo más
complicado. Si tras el primer paso estamos en suma = 0, entonces las dos posibilidades son las
mismas que antes. Pero si tras el primer paso nos hemos situado en suma = 1, entonces tenemos cuatro posibilidades:
1) Seleccionar al azar
un «1» con probabilidad 1/10 y quedarse como antes con probabilidad 1/2.
2) Seleccionar al azar un «1» con probabilidad 1/10 y bajar con
probabilidad 1/2.
3) Seleccionar al azar un «0» con probabilidad 9/10 y subir con
probabilidad 1/2.
4) Seleccionar al azar un «0» con probabilidad 9/10 y quedarse como
antes con probabilidad 1/2.
Las
probabilidades netas de las cuatro posibilidades son:
1) 1/10 veces 1/2 =
1/20 de quedarse como antes (suma = 1)
2) 1/10 veces 1/2 = 1/20 de bajar (suma = 0)
3) 9/10 veces 1/2 = 9/20 de subir (suma = 2)
4) 9/10 veces 112 = 9/20 de quedarse como antes (suma =
1).
Ni
que decir tiene que quedarse en suma =
1 o subir es mucho más probable que volver a cero. Esto se refleja en la
tendencia general ascendente al principio de ambas manos, tal como se aprecia
en la figura 4.4.
En el tercer paso podemos hacer el mismo
cálculo. La tendencia a subir sigue siendo significativa, aunque no tanto como
antes. ¿Por qué? Porque para subir tenemos que seleccionar un «0» con una
probabilidad máxima de 8/10 (suponiendo que estemos en suma = 2) y subir con probabilidad 1/2. La
probabilidad de subir sigue siendo mayor que la de bajar, pero es algo menor
que en el segundo paso. El razonamiento es el mismo para los pasos cuarto,
quinto, etcétera. A cada paso, la probabilidad de subir disminuye, hasta que
alcanzamos el nivel suma =
5. Aquí volvemos a tener cuatro posibilidades:
1) Seleccionar
al azar un «1» con probabilidad 1/2 y quedarse como antes con probabilidad 1/2.
2) Seleccionar al azar un «1» con probabilidad 1/2 y bajar con
probabilidad 1/2.
3) Seleccionar al azar un «0» con probabilidad 1/2 y subir con
probabilidad 1/2.
4) Seleccionar al azar un «0» con probabilidad 1/2 y quedarse como
antes con probabilidad 1/2.
Las
probabilidades netas de estas cuatro posibilidades son:
1)1/2 veces 1/2 = 1/4
de quedarse como antes (suma = 5)
2)1/2 veces 1/2 = 1/4 de bajar (suma = 4)
3)1/2 veces 1/2 = 1/4 de subir (suma = 6)
4)1/2 veces 1/2 = 1/4 de quedarse como antes (suma = 5).
Lo
importante aquí es que, cuando alcanzamos el nivel suma = 5, tenemos la misma
probabilidad de subir que de bajar, 1/4, y tenemos una probabilidad doble, 1/2,
de quedarnos en suma = 5.
Cuando alcanzamos el nivel suma = 5, las posibilidades de subir y de bajar se
vuelven simétricas. Podemos decir que, en esta fase, el sistema ha «olvidado»
su configuración inicial. Si partimos de cualquier configuración inicial por
debajo de suma = 5, al
principio habrá una tendencia mayor a subir que a bajar. Por otro lado, si
partimos de una configuración situada por encima de suma = 5, la tendencia será descendente. Si partimos
de suma = 5, o llegamos
ahí a lo largo de la mano, lo más probable es seguir en ese nivel. Como
veremos, este argumento es válido en todos los casos, pero se hace más poderoso
cuanto mayor es el número de dados. Por esta razón nos referiremos a dicho
nivel (suma= 5 en el caso
particular de diez dados) como nivel de equilibrio. De hecho, la naturaleza misma de este nivel le lleva
al equilibrio, con pesos iguales
para las probabilidades de subir o bajar, pero mayor probabilidad de quedarse
como antes. En las figuras, el nivel de equilibrio correspondiente se indica
mediante una línea de puntos. Es un equilibrio también en el sentido de que el
sistema tiende a recuperarse de cualquier desviación de la línea, por arriba o
por abajo. Podemos pensar en una «fuerza» imaginaria que devuelve el sistema a
su nivel de equilibrio. Cuanto más nos apartemos de la línea de equilibrio, más
intensa será la «fuerza» restauradora del mismo.
Las dos características antes descritas (la
tendencia inicial a alcanzar un nivel de equilibrio y, una vez alcanzado éste,
la tendencia a mantenerse en él) son las semillas de la segunda ley. En sentido
figurado, podemos imaginar una suerte de fuerza fantasmal que atrae cualquier
configuración específica hacia la línea de equilibrio. Una vez allí, cualquier
desviación de la línea de equilibrio es «forzada» a regresar[71]. Dicho de otra
manera, podemos concebir la línea de equilibrio como un atractor,
siempre tirando de la «suma» hacia él.
Por eso es muy poco probable que observemos
grandes desviaciones de la línea de equilibrio. De ahí que sólo muy raramente
hayamos presenciado una reversión a la configuración original, o que se alcance
el valor máximo suma =
1. (Es fácil calcular que una visita a estos extremos tiene una probabilidad de
1/210, que viene a ser un paso
de cada 1000).
Como en el caso de cuatro dados, podríamos haber
listado todas las configuraciones específicas posibles de los diez dados. En la
tabla de abajo sólo hemos listado unas pocas configuraciones correspondientes a
cada estado inespecífico.
Hemos
agrupado las 210 = 1024 configuraciones específicas en
11 grupos; cada grupo es una configuración inespecífica (o
estado, o suceso, inespecífico). Inespecífico-1 (esto es, todas las
configuraciones que contienen un solo «1») tiene diez configuraciones
específicas, mientras que inespecífico-5 tiene 252 configuraciones específicas.
Aunque el aspecto de juego de apuestas de este
experimento no es lo que más debe interesarnos, puede que el lector haya tomado
nota de que si apuesta por suma =
0 y yo lo hago por suma = 5, es seguro que ganará en el paso cero, mientras que
en el primer paso ganará con probabilidad 1/2, y a partir de ahí su
probabilidad de ganar declina rápidamente. Por otro lado, mi probabilidad de
ganar en los primeros pasos es nula, pero una vez alcanzado el nivel suma = 5, mis posibilidades de ganar son 252:1.
Volvamos a examinar la evolución de los dos
casos siguientes antes de poner plenamente de manifiesto el comportamiento
característico de la entropía. También cambiaremos nuestra nomenclatura. En vez
de hablar del nivel suma =
k, diremos simplemente inespecífico-k. En realidad, la suma no es lo importante. Lo que importa es cuántos
unos, o puntos, hay en cada configuración inespecífica, o suceso inespecífico.
§. Cien dados N = 100.
En la figura 4.5 se muestran dos manos de 1000
pasos, en cada uno de los cuales se lanzaron cien dados. Evidentemente, cuanto
mayor es el número de dados más pasos se requieren para ir de 0 al nivel de
equilibrio, que en este caso es 50. ¿Cuánto tardaremos en alcanzar el nivel de
equilibrio? Si somos inmensamente afortunados y a cada paso nos toca cambiar un
«0» por un «1», entonces necesitaremos un mínimo de 50 pasos para llegar a 50[72]. Pero no siempre
nos tocará lanzar un dado con «0», y cuando así sea, la probabilidad de
convertirlo en «1» es sólo 1/2, de manera que, en la práctica, el ascenso hacia
el nivel de equilibrio será más lento. Lo normal es que se necesiten de 200 a
400 pasos. Como se aprecia en la figura, la ascensión es bastante constante,
con algunos descansos al mismo nivel y pequeños descensos ocasionales, para
luego seguir subiendo.
Cuando hayamos accedido al nivel 50, nos
quedaremos en él o en su vecindad la mayor parte del tiempo. Ocasionalmente nos
desviaremos bastante del nivel de equilibrio. En las manos representadas nunca
se volvió a visitar el nivel inicial 0, pero esto no implica que tal cosa
sea imposible. La
probabilidad de que ocurra es 1/2100, o un paso de cada 1030.
(Éste es un número enorme, aunque no tanto como para no poder escribirlo
explícitamente: 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000. Pero es muy pequeño
en comparación con los números que nos esperan, unos números que nunca
podríamos escribir explícitamente). En otras palabras, las posibilidades de
visitar el nivel 0 (o 100, el máximo posible) no llegan a uno de cada
quintillón de pasos. Este experimento no debe intentarse con dados reales, pues
sería insufriblemente largo, arduo y tedioso. Es más fácil simularlo con un
ordenador.
§. Mil dados N = 1000.
Los resultados de este caso se parecen mucho a
los anteriores, pero, a la escala de la figura 4.6, la curva es menos sinuosa.
Para alcanzar el nivel de equilibrio necesitamos de 3.000 a 4.000 pasos. Una
vez allí, las desviaciones apenas se apartan de la línea de equilibrio. Las
desviaciones mayores son raras (pueden verse como picos y muescas a lo largo de
la línea de equilibrio) y, por supuesto, las desviaciones lo bastante
importantes para alcanzar el nivel cero no se observan «nunca». No es que sea
un suceso imposible, pero sólo se daría a una tasa de uno de cada 10300 pasos (un uno seguido de trescientos ceros).
Aunque ejecutemos el programa de ordenador durante mucho tiempo, lo más
probable es que no lleguemos a observarlo.
Recordemos nuestros cálculos de la probabilidad
de subir, de bajar o de quedarse en el mismo nivel. Aunque los cálculos son los
mismos, es instructivo hacerse una idea de cómo cambian las tendencias con el
número de dados.
Figura 4.5
En
el primer paso tenemos la misma probabilidad de subir que de quedarnos en el
nivel cero. Si subimos al nivel uno, entonces hay cuatro posibilidades para el
segundo paso:
1) Seleccionar al azar
un «1» con probabilidad 1/1000 y quedarse como antes con probabilidad 1/2.
2) Seleccionar al azar un «1» con probabilidad 1/1000 y bajar con
probabilidad 1/2.
3) Seleccionar al azar un «0» con probabilidad 999/1000 y subir con
probabilidad 1/2.
4) Seleccionar al azar un «0» con probabilidad 999/1000 y quedarse
como antes con probabilidad 1/2.
Así
pues, las probabilidades de las tres posibilidades netas para el siguiente paso
son:
1) 1/1000 veces 1/2 +
999/1000 veces 1/2 = 1/2 de quedarse en el mismo nivel
2) 999/1000 veces 1/2 = 999/2000 de subir
3) 1/1000 veces 1/2 = 1/2000 de bajar.
Figura 4.6
Vemos
que la probabilidad de quedarse en el mismo nivel es la más alta (probabilidad:
1/2), aunque es casi igual que la probabilidad de subir (999/2000), mientras
que la probabilidad de bajar es muy pequeña (1/2000).
Es un comportamiento muy notable, y debemos
examinar estas cifras detenidamente. Compárese este caso con el de N = 10, y piénsese en lo que ocurrirá si N aumenta a 104, 105 y
más allá. Comprender este juego es crucial para entender el comportamiento de
la entropía.
Podemos repetir los mismos cálculos para los
pasos tercero, cuarto, etcétera. Cuantos más ceros haya en las configuraciones,
mayor será la probabilidad de subir y menor la de bajar. La «fuerza» de este
argumento se debilita a medida que la suma se acerca al nivel N/2 = 500. Esto se refleja en la forma general de las
curvas de la figura 4.6. La pendiente inicial de la curva es marcada, y luego
se hace cada vez más horizontal a medida que nos acercamos a la línea de
equilibrio. Una vez alcanzado ese nivel, tenemos una probabilidad mayor de
quedarnos en él, e iguales probabilidades de subir y de bajar. Como en los
casos anteriores, siempre que el sistema se desvíe de la línea de equilibrio,
mostrará una tendencia a regresar a esa línea, como si una «fuerza» invisible
tirara de la curva hacia la línea de equilibrio.
§. Diez mil dados N = 104y más allá.
La figura 4.7 muestra una mano con N = 104. No hay necesidad de representar más manos, ya que todas las gráficas
son casi idénticas. Como podemos ver, la curva es muy lisa a esta escala;
incluso las pequeñas irregularidades que observábamos en el caso anterior han
desaparecido. Esto no significa que no haya fluctuaciones, sino que, a la
escala de esta gráfica, no se aprecian. Podemos visualizarlas si amplificamos
la curva en un intervalo corto de pasos, tal como hemos hecho en los dos
paneles de debajo.
Como puede verse, cuando alcanzamos la línea de
equilibrio (lo que ocurre tras un número bastante grande de pasos), nos
quedamos en ella o su vecindad casi permanentemente. La curva de los resultados
de nuestra simulación y la línea de equilibrio se funden. No vemos
fluctuaciones llamativas, y mucho menos que se visite la configuración inicial.
Pero la probabilidad de dicho suceso sigue siendo no nula. Es tan pequeña como
(1/2)10 000, lo que viene a
ser un paso de cada 103000 (un
uno seguido de tres mil ceros; que nadie intente escribirlo explícitamente).
Esto significa que, en la práctica, «nunca» observaremos ninguna visita a la
configuración inicial, y una vez alcancemos la línea de equilibrio nos
quedaremos en su vecindad «siempre». He entrecomillado las palabras «nunca» y
«siempre» para insistir en que éstos no son términos absolutos, y que existe una posibilidad remota de visitar la
configuración inicial «de vez en cuando». Esta posibilidad ya era muy remota
para N = 1000, y como
veremos en el capítulo 7, cuando tratamos con sistemas reales manejamos números
del orden de N = 1023, que es muchos órdenes de magnitud mayor que N = 1000. Para un sistema así, la probabilidad de
volver a visitar la configuración de partida es tan minúscula que de hecho
podemos emplear las palabras «nunca» y «siempre» sin comillas.
Para que el lector se haga una idea de lo que
significa este número, supongamos que practicamos nuestro juego de dados a
razón de mil pasos por segundo. O si el lector cree que puede ir aún más
deprisa, tomemos un millón de pasos por segundo. En la actualidad se estima que
la edad del universo es del orden de 15 000 millones de años. Así pues, si
efectuáramos un millón de pasos por segundo, en ese tiempo completaríamos
106 ×
60 × 60 × 24 × 365 × 15 × 109 = 4 × 1016 pasos
Figura 4.7
Es
decir, desde que existe el universo habríamos dado unos 10 000 000 000 000 000
pasos, lo que significa que no habríamos visitado la configuración inicial ni
una vez. Para observar tal cosa tendríamos que jugar durante un tiempo mil
millones de veces mayor que la edad del universo. Así, aunque hemos admitido
que «nunca» no es un término absoluto, prácticamente lo es. Meditemos por un
momento lo que significa realmente un «nunca» o un «siempre» en sentido
absoluto.
En la vida diaria usamos estos términos sin
pensar. Cuando uno le promete a su mujer que «siempre» le será fiel, no lo dice
en sentido absoluto. Como mucho, está dando a entender que en los próximos cien
años «nunca» la engañará con otra.
¿Y qué hay de la afirmación de que el sol
«siempre» saldrá cada mañana? ¿Podemos estar seguros de que será así «siempre»
en sentido absoluto? Todo lo que sabemos es que en los últimos millones de años
ha venido ocurriendo así, y podemos predecir (o, mejor, adivinar) que el sol
seguirá saliendo por la mañana en los próximos millones, o miles de millones,
de años. Ahora bien, ¿podemos decir «siempre» en sentido absoluto? ¡Desde luego
que no!
¿Y qué podemos decir de las leyes de la
naturaleza? ¿Se puede afirmar que la ley de la gravedad o la velocidad de la
luz permanecerán «siempre» invariantes? Tampoco podemos asegurarlo[73]. Todo lo que
podemos decir es que es probable que así sea durante los próximos 15.000
millones de años.
De ningún aspecto del mundo físico se puede
afirmar que «siempre» será así, o que «nunca» dejará de serlo, en sentido
absoluto. Puede que estos términos puedan aplicarse en el mundo platónico de
las ideas. En ese mundo sí
podemos hacer afirmaciones del estilo de «la razón entre la longitud de la
circunferencia y el radio de un círculo nunca se desviará de 2π».
Hemos entrecomillado los términos «nunca» y
«siempre» para significar que no tienen un sentido absoluto. También hemos
visto que en el mundo físico nuncapodemos estar seguros de poder emplear las palabras «nunca» y «siempre»
en sentido absoluto (el primer «nunca» en la frase anterior es más absoluto que
el segundo). Pero hemos visto que la afirmación de permanecer «siempre» en la
línea de equilibrio o su vecindad, y no regresar «nunca» al estado inicial,
puede hacerse con toda confianza. En el contexto de la segunda ley, podemos
afirmar que, cuando decimos «nunca», es el «más nunca de los nuncas» que
podamos imaginar, y que cuando decimos «siempre» en el equilibrio, es el «más
siempre de los siempres».
Así pues, en adelante mantendremos las comillas
de «nunca» y «siempre» para tener presente que no son términos absolutos,
pero también los pondremos en negrita para remarcar que, en el contexto de la
segunda ley, están todo lo cerca del sentido absoluto que puede estar un
enunciado sobre el mundo físico.
Espero que el lector me haya seguido hasta aquí.
Si no, debería repasar los razonamientos para los casos con un número pequeño
de dados. En todos los juegos de este capítulo debería hacerse tres preguntas:
1) ¿Qué es lo que
cambia a cada paso? Pruebe a darle un nombre que refleje lo registrado en
cualquiera de esos juegos.
2) ¿Cómo tiene lugar el cambio? Ésta es la pregunta más
fácil. Y lo más importante.
3) ¿Por qué el cambio siempre progresa hacia la línea
de equilibrio, y por qué el sistema «nunca» vuelve a la configuración
inicial y se queda «siempre» en la vecindad de la línea de equilibrio?
Si
el lector no tiene dificultades con estas preguntas y considera que puede
darles una respuesta razonada, ya está a medio camino de entender la segunda
ley de la termodinámica.
Todavía nos queda una pregunta más importante
por responder. ¿Qué tienen que ver todos estos juegos de dados con un
experimento físico real, y hasta qué punto lo que hemos visto tiene relevancia
para la segunda ley? Volveremos a esta cuestión en el capítulo 7, pero antes
nos tomaremos un respiro.
Supongo que el lector ha tenido que esforzarse
un tanto para seguirme hasta aquí. Es momento de relajarse y experimentar más
pasivamente la segunda ley (o, mejor, algunas analogías de la segunda ley) con
nuestros sentidos. Lo que haremos en el capítulo siguiente es simplemente
imaginar distintas experiencias que, en principio, podríamos percibir con
nuestros sentidos. Esto debería damos una idea de la variedad de procesos
posibles con las mismas reglas de juego. También nos preparará para apreciar
mejor la inmensidad de procesos gobernados por la segunda ley. No hará falta
hacer ningún cálculo; sólo meditar sobre por qué los procesos que estamos
experimentando ocurren como ocurren. Tras este receso retomaremos un análisis
más profundo, y traduciremos todo lo que hemos aprendido con el lenguaje de los
dados al lenguaje de los sistemas reales constituidos por átomos y moléculas.
En el capítulo 6 intentaremos comprender la segunda ley dentro del mundo de los
dados, y en el capítulo 7 traduciremos este conocimiento al lenguaje de los
experimentos reales.
Fin del Capítulo 4
Capítulo 5
Cómo experimentar la segunda ley con los cinco sentidos
Contenido:
§. Con la Visión
§. Con el Olfato
§. Con el Gusto.
§. Con el Oído.
§. Con el Tacto.
En
este capítulo no aprenderemos nada nuevo de los juegos de dados, ni
adquiriremos ninguna nueva intuición de la naturaleza de la segunda ley de la
termodinámica. En vez de eso, describiremos unos cuantos experimentos
hipotéticos. Tras todos esos procesos subyace un principio básico que, como
veremos, es relevante para la segunda ley. También haremos uso de diversos
sentidos para percibir la segunda ley. Todos los procesos que veremos son
manifestaciones diferentes del mismo principio y representan el inmenso número
de manifestaciones posibles de la segunda ley. Para no aburrir al lector con
repeticiones, modificaremos un poco las reglas del juego. Esto lo hacemos para
mostrar que las reglas no tienen por qué ser rígidas. Por ejemplo, no tenemos
por qué lanzar un solo dado a cada paso, sino que podemos lanzar dos, tres,
cuatro o todos a la vez. También podemos lanzar los dados por orden y no al
azar, o seleccionar un dado al azar pero hacerlo cambiar de manera determinista
(de «0» a «1» o de «1» a «0», por ejemplo). Lo que importa es que cada dado
tenga las mismas oportunidades de cambiar, y que haya un elemento de
aleatoriedad en el proceso. Volveremos a analizar en profundidad el mecanismo
del cambio en el capítulo 7, pero ahora disfrutemos de algunos experimentos
hipotéticos. Están pensados para ser entretenidos y enriquecer nuestra
experiencia y familiaridad con la segunda ley. No hace falta esforzarse en
entender los procesos descritos. Volveremos a ocuparnos de la comprensión en
el capítulo siguiente, y de la relevancia de
estos modelos para el mundo real en el capítulo 7. Por ahora, el lector puede
limitarse a leer y a gozar de la «experiencia».
§. Con la Visión.
Comenzaremos con el caso más simple. No cambian
las reglas dadas en el capítulo 4, ni el número de resultados posibles, ni sus
probabilidades. La única diferencia es que, en vez de contar el número de unos
(o sumar los puntos de todos los dados), vamos a ver cómo cambia el matiz de un sistema con el tiempo, o con el número de
pasos.
Supongamos que tenemos N dados, cada uno con tres caras de color blanco y
tres de color negro. También podríamos pensar en monedas con una cara blanca y
otra negra, pero continuaremos recurriendo a la metáfora de los dados.
Una configuración específica de los N dados será una especificación del color de la
cara superior de cada dado. En este experimento concreto no hay «suma» de
resultados contabilizabas. Aquí los resultados son colores y no números[74]. En el caso de los
dados numerados, hemos definido una configuración inespecífica como el conjunto
de todas las configuraciones específicas con la misma suma o, equivalentemente,
el mismo número de unos. Con dados coloreados, para proceder de la configuración específica a
la inespecífica podemos imaginar que cada dado es un píxel de
una imagen digital. Hay píxeles de dos colores, y tan pequeños que sólo vemos
un color «promedio».
Figura 5.1
En
la figura 5.1 se muestran unos pocos sucesos inespecíficos. En el borde
izquierdo tenemos un 100% de blanco, y vamos añadiendo un 10% de gris a cada
franja sucesiva, hasta llegar a un 100% de negro en el borde derecho.
En todos los ejemplos de este capítulo
emplearemos N = 100
dados. Partiremos de una configuración inicial de todo blanco y modificaremos
los colores de los dados según las mismas reglas de antes: se selecciona un
dado al azar, se lanza y se vuelve a colocar en su sitio. Admito que son reglas
muy artificiales, pero en el capítulo 7 veremos que, en principio, en un
sistema físico real puede conseguirse una evolución cromática similar cuya
«fuerza impulsora» es la segunda ley de la termodinámica.
¿Qué observaremos? Obviamente, aquí no podemos
«representar» sumas de puntos. Podríamos haber asignado un «0» al blanco y un
«1» al negro, y representar la evolución del número de puntos con el tiempo o
el número de pasos. Pero en este experimento sólo queremos verlo que pasa.
Figura 5.2
La
figura 5.2 muestra la evolución del color «promedio» a medida que transcurre el
juego. Si partimos de un blanco cien por cien, la ascensión se mide como
el porcentaje de negro añadido.
Al principio no notaremos nada. Por lo que hemos
visto en el capítulo 4, sabemos que debe haber una pronunciada tendencia
«ascendente» hacia el negro. Pero el efecto de unos pocos píxeles azules será
imperceptible a nuestros ojos. A medida que avance el juego comenzaremos a
notar que el sistema vira lentamente del blanco al gris. Cuando se alcance
cierta tonalidad de verde (un gris compuesto de un 50% de negro y un 50% de
blanco), el color del sistema permanecerá invariable. Difícilmente observaremos
cambios ulteriores. Quizás alguna fluctuación en torno a la «línea verde» de
equilibrio, pero casi nunca «visitaremos» el blanco puro o el negro puro.
Nótese que, incluso para un N tan pequeño como 100, todas las fluctuaciones cromáticas se mantienen en
la gama del gris. Para valores de N muy grandes no observaremos fluctuaciones, y aunque siga habiendo
cambios, el color promedio permanecerá casi constante, con una mezcla a partes
iguales de negro y blanco.
En el capítulo 7 veremos que este experimento
puede llevarse a cabo con partículas reales (dos isómeros de distinto color).
Por el momento, quedémonos con que, partamos de la configuración inicial que
partamos, la aplicación de nuestras reglas nos llevará al mismo color final (de
equilibrio).
§. Con el Olfato.
Ahora describiremos otra pequeña variación sobre
el tema de la segunda ley. Como en el ejemplo anterior, tenemos dados con caras
de dos tipos y la misma probabilidad. Supondremos que cuando un dado muestra
una cara del tipo A, emite
cierto olor, y cuando muestra una cara del tipo B, emite otro. Si tenemos cien
dados, N = 100, con una
configuración arbitraria de olores A y B,
percibiremos un olor promedio de tipo A + B, en proporción a la razón entre caras A y caras B de esa configuración. Nótese que el sentido del
olfato es resultado de la adsorción de moléculas específicas por receptores
específicos[75].
Como veremos en el capítulo 7, se puede llevar a
cabo un experimento análogo con moléculas reales. En principio, podríamos
seguir la evolución del olor de un sistema como nuestro olfato, conforme a la
segunda ley de la termodinámica. Pero aquí nos limitaremos a examinar un
experimento de mentira con dados que emiten dos moléculas de distinto olor.
Una vez más partimos de una configuración de
todo A y comenzamos a
lanzar un dado cada vez como en el capítulo 4. Pero ahora introducimos una
pequeña variación de las reglas: tomaremos dos dados al azar, los lanzaremos y
oleremos la configuración resultante. El lanzamiento de A o B,
con probabilidades 1/2 y 1/2. Por ejemplo, supongamos que las caras A emiten moléculas con olor de hojas verdes, y las
caras B emiten moléculas que huelen a rosas rojas (figura 5.3).
Inicialmente percibimos el olor de tipo A puro. Después de unos cuantos pasos seguimos
oliendo lo mismo, aunque sabemos que es altamente probable que el sistema
«ascienda» hacia una mezcla de A y B. Pero un porcentaje tan pequeño de B no es perceptible ni por los profesionales de la
perfumería o la cosmética. La figura 5.3 muestra la evolución del olor del
sistema con 100 dados.
Figura 5.3
Si
partimos del olor a hojas verdes, al cabo de muchos pasos comenzaremos a notar
la presencia del olor B, todavía muy tenue
en comparación con el olor A dominante. Más adelante llegaremos a un punto en
el que la razón entre los olores A y B será
1:1, en concordancia con la «línea de equilibrio» de las configuraciones de
dados. Una vez que tengamos esa mezcla de olores concreta, ya no notaremos más
cambios. Sabemos que hay fluctuaciones, pero apenas se apartarán del olor de
equilibrio. Si aumentamos el número de dados alcanzaremos un olor de equilibrio
prácticamente constante, sin desviaciones apreciables.
Como he señalado antes, aunque éste es un
proceso muy hipotético, lo cierto es que se puede diseñar un experimento real y seguir la evolución del olor general de una
mezcla de moléculas con distintos olores. Discutiremos esta clase de
experimento en el capítulo 7. De hecho, el experimento real es mucho más fácil
de realizar que el nuestro con dados hipotéticos.
§. Con el Gusto.
Como hemos hecho con los olores, podemos
concebir un experimento donde usemos el sentido del gusto. Aquí volveremos a
cambiar las reglas. Como siempre, jugaremos con cien dados, cada uno de los
cuales tendrá tres caras de sabor dulce (a almíbar, por ejemplo) y otras tres caras de
sabor ácido (a zumo de
limón, por ejemplo). Procedemos a probar el sabor «promedio» del sistema[76]. El sabor que
experimentamos es inespecífico. No distinguimos entre diferentes
configuraciones específicas de los dados; nuestro sentido del gusto sólo puede
percibir la razón entre dulce y ácido.
Partimos de una configuración de sabor ácido al
cien por cien (representada en amarillo en la figura 5.4). En vez de elegir el
dado que vamos a lanzar al azar, los vamos lanzando por orden, de izquierda a
derecha. Tomamos un dado, lo lanzamos, probamos la configuración resultante y
luego pasamos al siguiente dado de la secuencia, y así sucesivamente. Si
tenemos cien dados, comenzaremos por el número uno y acabaremos por el número
cien. Luego repetiremos la secuencia de lanzamientos diez veces, hasta
completar 1000 pasos. La figura 5.4 muestra la evolución del sabor en este
juego.
A pesar del cambio de reglas, la evolución del
juego es a grandes rasgos la misma de antes. Partimos de un sabor puramente
ácido, y al principio no notamos ningún cambio apreciable en el sabor general.
A menos que uno sea un gourmet o tenga un sentido del gusto excepcional, no
diferenciaremos entre un 100% de sabor ácido y una mezcla de un 99% de ácido y
un 1% de dulce. Pero como ya sabemos a partir de nuestro análisis del capítulo
4 (o de la propia experiencia con dados, o de un experimento real como el
descrito en el capítulo 7), el sistema muestra una pronunciada tendencia a
«ascender», en este caso hacia el sabor agridulce. Al cabo de un millar de
pasos notaremos que el sabor es casi mitad ácido y mitad dulce, y una vez
alcanzado este «nivel» no percibiremos más cambios de sabor. Por supuesto, el
mecanismo para cambiar el gusto de cada dado es el mismo que en los
experimentos anteriores. Pero los cambios son tales que el sabor general, como
la suma total de nuestros dados del capítulo 4, no cambia de manera apreciable.
Notaremos el mismo sabor agridulce «siempre». Aunque sabemos que hay
fluctuaciones, nuestra lengua apenas las percibe. El sistema ha alcanzado la
línea de equilibrio agridulce, sin visitar «nunca» ni el ácido inicial ni el dulce
puro.
Figura 5.4
§. Con el Oído.
En este experimento describiremos un proceso
hipotético que nos permitirá experimentar la segunda ley a través del oído. De
nuevo cambiamos un poco las reglas: en vez de dos resultados posibles, ahora
tendremos tres. Recurriendo otra vez al lenguaje de los dados, supondremos que
cada dado tiene dos caras marcadas con la letra A, otras dos con la letra B, y otras dos con la letra C (figura 5.5). También
supondremos que cuando sale A se
emite un tono. Podemos imaginar que las caras de los dados son membranas que
vibran a distintas frecuencias. Nuestro oído percibe las ondas sonoras emitidas
como tonos diferentes[77]. El sonido no tiene
por qué provenir del dado mismo; podemos pensar que cada resultado es una señal
para que un diapasón genere el tono A si sale A,
otro diapasón genere el tono B si sale B,
y un tercer diapasón genere el tono C si sale C.
Una vez más, partimos de una configuración
inicial uniforme, como todo A,
y procedemos con las mismas reglas de antes, salvo que tenemos tres
«resultados» posibles en vez de dos. Se elige un dado al azar y se lanza para
obtener A, B o C.
Haciendo casi el mismo análisis que en el
capítulo 4, podemos seguir la evolución del sistema no a partir de «suma» de
puntos, sino en términos del sonido general que oímos.
Al principio oiremos un tono A puro. Sabemos que
el sistema tiende a «ascender» no a una nueva «suma», sino a una mezcla de
tonos, todavía dominada por A. Si jugamos con N = 100 dados de esta clase, al
principio apenas notaremos algo. Si uno tiene buen oído musical, al cabo de un
rato comenzará a oír una mezcla de tonos (un acorde) que resultará más
agradable de escuchar si A, B y C son notas armoniosas.
Figura 5.5
Con
el tiempo se alcanzará un tono de equilibrio. Escucharemos un acorde armonioso
formado por los tres tonos A. B y C,
todos con el mismo peso. Una vez alcanzado ese nivel, el sistema se mantendrá
allí «siempre». Habrá algunas fluctuaciones en los pesos relativos de los tres
tonos, pero apenas serán audibles ni por los oídos más entrenados musicalmente.
§. Con el Tacto.
En este último ejemplo describiremos una versión
extremadamente hipotética de un experimento real que tiene que ver con la
temperatura.
Percibimos la temperatura de un cuerpo frío o
caliente a través de nuestra piel[78]. Es una sensación
cuyo origen molecular se resistió durante largo tiempo a la comprensión. Hoy
día la teoría molecular del calor está bien establecida, pero al lego todavía
le cuesta aceptar que la temperatura no es más que la velocidad «media» del
movimiento (traslación, rotación y vibración) de los átomos y moléculas que
constituyen la materia. Sentimos que
un bloque de hierro está frío o caliente, pero no sentimos el
movimiento de los átomos de hierro. En la vida diaria contemplamos la temperatura y
el movimiento como nociones muy diferentes correspondientes
a fenómenos no relacionados entre sí. Una bola a gran velocidad puede estar
muy fría, y una bola inmóvil puede estar muy caliente.
Pero uno de los grandes logros de la teoría molecular de la materia es la
identificación de la temperatura (la sensación de caliente o frío) con la
velocidad media de los átomos y moléculas. Esta idea no resultó fácil de
aceptar antes del asentamiento de la teoría atómica de la materia. Pero en la
actualidad esta teoría está bien establecida y cuenta con una aceptación plena.
Este experimento ha sido ideado para hacer uso
de nuestro quinto y último (reconocido) sentido. Los dados de este juego tienen
tres caras calientes (digamos a 100 °C) y tres caras frías (digamos 0 °C)[79]. Cada cara tiene
una temperatura fija[80]. También suponemos
que las caras están perfectamente aisladas entre sí (de otro modo la auténtica segunda
ley de la termodinámica haría que las moléculas que constituyen los propios
dados equilibraran la temperatura de las caras inicialmente frías y calientes,
dando al traste con nuestro experimento). En la figura 5.6, las caras frías se
representan en azul y las calientes en rojo, como suele indicarse en los
grifos.
Jugamos otra vez con cien dados, todos con las
caras frías arriba, de manera que si tocamos el conjunto notaremos una
sensación fría. Se juega como en el capítulo 4, pero con una variante. Aquí
también seleccionamos un dado al azar cada vez, pero el cambio de cara no se consigue
lanzándolo, sino de manera determinista. Si es frío, se cambia a caliente, y si
es caliente, se cambia a frío.
Si los dados son tan pequeños que pueden verse
como «píxeles» a distinta temperatura, cuando toquemos el conjunto de cien
dados sólo sentiremos la temperatura promedio del sistema. No podemos discriminar entre configuraciones específicas (si este o aquel dado está frío o caliente),
sólo se percibe la configuración inespecífica, o la temperatura general (es
decir, sólo la razón de frío a caliente). A medida que progrese el juego,
notaremos un incremento gradual de la temperatura.
Figura 5.6
Al
cabo de un tiempo se alcanzará una temperatura de equilibrio. A partir de ese
momento, la temperatura del conjunto dejará de aumentar, manteniéndose casi
constante a 50 °C, y no volveremos a notar ningún cambio (figura 5.6).
Con este último ejemplo hemos terminado nuestro
ejercicio de percepción sensorial de la segunda ley en un sistema de dados. En
el próximo capítulo desvelaremos el principio subyacente tras todos estos
experimentos, y en el capítulo 7 analizaremos su relevancia para el mundo real
de la segunda ley.
Fin del capítulo 5
Capítulo 6
Por último, apliquemos el sentido común
Tras haber
experimentado diversas manifestaciones de la segunda ley mediante dados, es
hora de que nos detengamos a analizar y racionalizar lo que hemos aprendido.
Recordemos que hemos observado diferentes fenómenos con
diferentes mecanismos. En el capítulo siguiente veremos que algunos de esos
modelos (color, sabor y olor) tienen contrapartidas experimentales reales.
Otros modelos no pueden llevarse a la práctica con partículas (las partículas no
emiten ondas sonoras, y la temperatura que captamos con la punta de los dedos
tiene que ver con la distribución de velocidades moleculares; no se puede
asignar una temperatura propia a cada molécula). Por supuesto, hay muchos otros
ejemplos. La cuestión central que nos interesa en este capítulo es: ¿cuáles son
los rasgos comunes a todos los fenómenos observados en los experimentos
descritos en los capítulos 4 y 5? Los fenómenos que examinaremos en este
capítulo son esencialmente los que ya hemos visto, sólo que con valores
de N muy grandes, mucho más que el mayor de los considerados
hasta ahora.
Las tres preguntas que tenemos que hacernos son:
1) ¿Qué es lo que, en
todos los procesos observados, hemos visto evolucionar hacia algo que hemos
llamado «línea de equilibrio», para luego instalarse allí sin cambios
apreciables?
2) ¿Cómo hemos conseguido dicha evolución? ¿Cuál es el aspecto
esencial del mecanismo que nos lleva del estado inicial al estado final?
3) ¿Por qué el cambio tiene lugar en un solo sentido, y deja de
observarse una vez alcanzada la línea de equilibrio?
Discutiremos
estas cuestiones para los experimentos prototípicos simples con dados de dos
resultados posibles. Nuestras conclusiones serán aplicables a los otros tipos
de dados que hemos manejado en los capítulos precedentes, así como los
experimentos reales que veremos en el próximo capítulo.
Recordemos que nuestro sistema consiste en N dados. El resultado del lanzamiento de cualquier
dado es «0» o «1», cada uno con probabilidad 1/2. Hemos prescrito las reglas
para variar la configuración de los dados. Hemos visto que las reglas pueden
cambiarse. Lo importante es que haya al menos un elemento de azar: o
seleccionamos un dado al azar y lo cambiamos de manera determinista, o
seleccionamos cada dado siguiendo un orden predeterminado y lo lanzamos para
obtener un nuevo resultado al azar, o hacemos ambas cosas al azar.
Hemos definido un suceso específico o configuración específica como la
especificación de los resultados de cada dado individual. La configuración
exacta de los cuatro dados de la figura 6.1 es: el primer dado (rojo) por la
izquierda muestra un «0», el segundo dado (azul) muestra un «1», el tercero
(verde) muestra un «1» y el último (amarillo) muestra un «0». Esta
especificación nos proporciona una descripción completa y detallada del
sistema.
Hemos llamado suceso o estado inespecífico, o
configuración inespecífica, a una descripción menos detallada del sistema. De
un suceso inespecífico sólo se especifica el número de unos (o el de ceros) con
independencia de qué dados portan un «1» y cuáles portan un «0». Así, una
descripción inespecífica del sistema de la figura 6.1 es simplemente 2, o
inespecífico-2.
Cuando pasamos de la configuración específica a
la configuración inespecífica no tenemos en cuenta la identidad de cada dado (nos da igual que sea rojo o azul, o que
sea el primero o el segundo de la fila). Decimos que, en esta descripción, los
dados son indistinguibles. Aquí ignoramos voluntariamente la identidad de los dados, pero en el mundo real
los átomos y moléculas son indistinguibles por su propia naturaleza, y ésa es
una diferencia importante entre dados y átomos, cuya discusión abordaremos en
el capítulo siguiente.
Figura 6.1
Hay
dos características de la configuración inespecífica a las que debemos prestar
especial atención. En primer lugar, para cualquier descripción inespecífica del
tipo «hay n unos en un sistema de N dados»,
el número de descripciones específicas correspondientes
a la descripción inespecífica aumenta con N.
A modo de ejemplo simple, considérese la descripción inespecífica «hay un solo
uno {n = 1} en un sistema de N dados».
Esta descripción inespecífica comprende exactamente N configuraciones
específicas.
En segundo lugar, fijado N, el número de configuraciones específicas
comprendidas por una misma configuración inespecífica crece a medida que naumenta de 0 a N/2 (si N es par hay un máximo, y si es impar hay dos). Ya hemos
observado esta clase de dependencia en el capítulo 4. La figura 6.2 ofrece otro
ejemplo para un sistema de N=
1000 dados, donde n varía
de cero a N.
Es importante tomar nota de estas dos
tendencias. Ello requiere una contabilidad que puede ser tediosa para valores
grandes de N y n, pero no hay ninguna dificultad inherente y no se
requieren matemáticas sofisticadas; lo único que hay que hacer es contar.
Tras haber definido las configuraciones
específica e inespecífica, podemos responder a la primera pregunta planteada al
principio de esta sección: ¿qué es lo que cambia a cada paso en los juegos
descritos en los capítulos 4 y 5, y es común a todos ellos?
Figura 6.2
Está
claro que aquello cuyo cambio hemos observado es
diferente en cada experimento. En un caso vemos un cambio de color, de amarillo
a verde, y en otros casos percibimos cambios de olor, sabor, temperatura,
etcétera. Se trata de manifestaciones diferentes del mismo proceso subyacente.
Lo que nos interesa ahora es lo que cambia en todos los experimentos que hemos
examinado en los dos capítulos anteriores.
Volvamos al juego de «0» o «1» del capítulo 4.
Allí registrábamos la suma de los resultados de cada dado. Obviamente, en los
experimentos del capítulo 5 no podemos registrar ninguna «suma» de resultados.
Pero, así como en el juego del capítulo 4 calculábamos la «suma» a partir del
número de unos, podemos asignar un «1» y un «0» a los dos colores, los dos
gustos o las dos temperaturas y contabilizar el número de unos en cada uno de
los juegos propuestos en el capítulo 5. Esto puede valer, pero no es totalmente
satisfactorio. Tenemos que encontrar un nombre apropiado para referirnos a lo que tienen en
común todos los experimentos, y darle un valor numérico. Este valor debe
aumentar hasta alcanzar una línea de equilibrio. Llamemos
provisionalmente d-entropía (d
de dado), o simplemente dentropía, a esta magnitud. Por el momento, esto no es
más que una denominación carente de significado.
La descripción anterior puede valer para los
juegos de dados que hemos visto. Pero el lector podría plantear dos objeciones.
En primer lugar, sabemos que la entropía (real) siempre aumenta. En los juegos
con dados, la dentropía aumentará si partimos de una configuración de «todo ceros».
Ahora bien, ¿y si partimos de una configuración de «todo unos»? En tal caso la
dentropía disminuirá, lo cual contradice lo que sabemos de la entropía real. La
segunda objeción podría ser ésta: ¿y si hay tres resultados posibles, digamos
«0», «1» y «2», o incluso resultados no numéricos como tres sonidos A,
B y C, o tres colores, o cuatro, o incluso
una gama infinita de colores, velocidades o lo que sea? ¿Qué número deberíamos
registrar?
A estas objeciones se puede responder que
una cosa es lo que observamos
o sentimos en cada juego concreto, y otra cosa es lo que registramos.
En nuestro juego de dados simple, hemos
registrado el número de unos. Este número aumenta sólo si partimos de una
configuración de todo ceros. De haber partido de una configuración de todo
unos, la suma descendería hasta
la línea de equilibrio. A continuación veremos que una transformación simple
nos permite registrar aquello que siempre aumenta hasta que el sistema alcanza
la línea de equilibrio[81]. Para ello
necesitaremos el símbolo del valor absoluto que hemos definido en el capítulo
2.
En vez del número de unos, denotado por n, podemos registrar el número |n − N/2|. Recordemos que N es
el número de dados y n el
número de «unos». Así pues, esta diferencia mide la desviación, o la
«distancia», entre n y
la mitad del número de dados. Tomamos el valor absoluto para que la distancia
entre, por ejemplo, n =
4 y N/2 = 5 sea la misma que
la distancia entre n= 6
y N/2 = 5. Lo que importa es
la separación del
número N/2[82], el cual,
recordemos, marca la línea de equilibrio. Si partimos de una configuración de
todo ceros, tenemos n = 0, de donde
|n −N/2| = N/2.
Si partimos de una configuración de todo unos, tenemos n = N,
y de nuevo |n −N/2| = N/2.
La distancia es la misma en ambos casos. Este número tenderá a variar de N/2
a 0. Tenemos así una cantidad que casi siempre decrece a
partir de cualquier configuración inicial[83]. Una vez que se
alcanza el valor mínimo de |n − N/2| = 0, estamos en
la línea de equilibrio. El lector puede comprobarlo para, digamos, N=
10 y todos los valores posibles de n. Si no le gusta
obtener cifras decrecientes, puede tomar sus valores negativos[84], −|n − N/2|,
con lo que tendrá un incremento constante de −N/2
a cero. Si no le gustan los números negativos, puede tomar N/2
− |n − N/2|. Este número
aumentará continuamente a partir de cualquier configuración inicial hasta un
máximo de N/2 en todos los casos[85]. Como puede verse,
mediante una simple transformación podemos definir una nueva cantidad que «siempre»
aumenta con el tiempo (o el número de pasos). Pero esto no responde a la
segunda objeción. Está bien para juegos con sólo dos resultados posibles, pero
no puede aplicarse al caso más general de dados con tres o más resultados
posibles. Así pues, tenemos que encontrar una cantidad común a todos los
experimentos posibles del estilo de los descritos en los capítulos 4 y 5.
Ahora construiremos una cantidad que siempre
aumentará y valdrá incluso para los casos más generales. Hay muchas
posibilidades, pero nos quedaremos con la que más se acerca a la magnitud
llamada entropía. Para ello necesitamos el concepto de información o, más
exactamente, la medida matemática de la información.
La magnitud elegida para describir la cosa que cambia es la «información perdida». La
denotaremos por IP (por
ahora, IP no es más que
un acrónimo de «información perdida», pero en el próximo capítulo la
identificaremos con el concepto de entropía).
Además de describir cuantitativamente lo que
cambia en el proceso, esta magnitud tiene la ventaja de que se ajusta a lo que
se entiende por información en la vida diaria, y nos proporciona un número que describe lo que cambia desde cualquier
estado inicial hasta el estado final, y para cualquier juego en general. Es un
número siempre positivo, que aumenta tanto en nuestros juegos de dados como en
el mundo real. Y lo que es más importante, es la medida común a todos los
juegos de dados, lo que antes hemos llamado provisionalmente «dentropía».
También será idéntica a la magnitud común a todos los sistemas
físicos, la entropía[86].
La definición cualitativa es ésta: nos dan una
configuración descrita de manera inespecífica, como «hay n unos en el sistema de N dados», de la que no tenemos una información exacta, y nuestra tarea consiste en hallar la
configuración específica dada[87].
Obviamente, a partir de la configuración
inespecífica sin más no podemos inferir la configuración específica;
necesitamos más información.
Esta información que nos falta es lo que llamamos información perdida o IP[88] ¿Cómo la
obtenemos? Planteando preguntas binarias. Podemos definir la información
perdida como el número de preguntas binarias que tenemos que hacernos para
adquirir dicha información, esto es, el conocimiento de la configuración
específica.
En el capítulo 2 hemos visto que la información
perdida se define de manera que sea independiente del procedimiento para
adquirirla. En otras palabras, no importa la estrategia que adoptemos. La
información perdida «está ahí», en el sistema. Pero si aplicamos la estrategia más
inteligente podemos identificar la
información perdida con el número medio de preguntas binarias requeridas. Así, para emplear el
número de cuestiones binarias como medida de la cantidad de información perdida
debemos adoptar la estrategia más inteligente, tal como se describe en el
capítulo 2. Por supuesto, cuanto mayor sea la información perdida, mayor será
el número de preguntas requeridas para recuperarla. Veamos unos cuantos
ejemplos.
Figura 6.3
Dada
la información de que «hay un solo uno en un sistema de 16 dados» (figura 6.3),
¿cuántas preguntas tendremos que hacer para conocer la configuración exacta o
específica?
Es el mismo problema que el de hallar la moneda
escondida en una de 16 cajas igualmente probables (véase la figura 2.9). Para
resolver este problema aplicábamos la estrategia de eliminar la mitad de las
posibilidades a cada paso (véase el capítulo 2). Comenzamos preguntando si la
moneda está en la mitad superior. Si la respuesta es afirmativa, preguntamos si
está en la mitad superior derecha. Si es que no, simplemente nos quedamos con
la otra mitad. Con esta estrategia, encontraremos la moneda después de hacer
sólo tres preguntas. Aquí adoptaremos la misma estrategia. Obviamente, si tenemos
que encontrar un «1» entre un N mayor, como puede ser N =
100 o 1000, la información que debemos obtener será mayor y tendremos que hacer
más preguntas. Inténtese calcular el número de preguntas necesarias si el único
«1» está en alguno de N =
32 y N = 64 dados[89].
Ahora supongamos que nos dicen que hay dos unos
en un sistema de 16 dados (figura 6.4). Para adquirir la información perdida en
este caso tenemos que hacer más preguntas. Primero podemos hacer preguntas para
situar el primer «1», y luego volver a empezar para localizar el segundo «1»
entre los 15 dados restantes.
Parece claro que, fijado N, el número de preguntas requeridas para obtener la
información que queremos aumenta con n.
Figura 6.4
Cuanto
mayor sea n, más preguntas tendremos que hacer para localizar todos los unos (o
todas las monedas escondidas).
El número de preguntas requeridas es fácil de
calcular para cualesquiera n y N. Simplemente comenzamos haciendo preguntas para
determinar la situación del primer «1» entre los N dados, luego hacemos lo propio para determinar
la situación del segundo «1» entre los N − 1 dados restantes, luego determinamos la
situación del tercer «1» en los N − 2 dados restantes, y así sucesivamente hasta tener toda la
información sobre los n dados con un «1». Esto vale para todo valor de n por debajo de N/2.
También debemos ser lo bastante inteligentes no
sólo para adoptar la mejor estrategia, sino también para decidir en cuál de los
resultados posibles nos fijaremos. Si n es mayor que N/2, es mejor preguntarnos por las localizaciones de
los ceros en vez de los unos. Por ejemplo, si nos dicen que hay tres unos en un
sistema de cuatro dados, la información perdida es la misma que si nos dijeran
que hay un solo uno en un sistema de cuatro dados. En este caso será más
inteligente hacer preguntas para situar el único «0». Bastarán dos preguntas
para determinar la configuración exacta.
Así pues, la información perdida aumenta
con n para un N fijo. Para un N fijo, la información perdida aumenta con n desde n = 0 (cuando no hay ningún «1» no necesitamos
hacer ninguna pregunta) hasta n = N/2 o (N +
1)/2 si N es impar y
luego disminuye por encima de n = N/2. Cuando n alcanza su valor máximo N, la información perdida vuelve a ser nula (cuando no
hay ningún «0» tampoco necesitamos hacer ninguna pregunta)[90].
Un procedimiento similar vale para los casos
donde hay más de dos resultados posibles. Es algo más complicado, pero no es
esencial para entender la segunda ley.
Ahora tenemos un número, que hemos llamado información perdida, el cual
describe la cantidad de información necesaria para especificar la configuración
exacta cuando sólo conocemos la configuración inespecífica. Este número puede
calcularse fácilmente para valores de n y N dados[91].
Volvamos a nuestro juego del capítulo 4, donde
llevábamos la cuenta de la sumadel
número de unos en la
evolución del juego. En vez de estos dos números equivalentes, ahora
registraremos la información perdida a cada paso. Ésta es una magnitud más
general (puede aplicarse a cualquier tipo y número de resultados posibles) que
siempre aumenta (con independencia del estado de partida) hasta alcanzar un
máximo en algún punto (en este caso n = N/2). Y, lo
que más nos importa, se puede demostrar que es idéntica a la entropía de un
sistema real.
Hay que subrayar que la información perdida es
la cantidad que hemos elegido para seguir la evolución del juego. Hay muchas
otras opciones posibles (como el número de unos, la suma de puntos, o el
resultado de N/2 − |n − N/2|). Lo que cambia es el estado inespecífico, o la configuración inespecífica, del sistema. El número que hemos
asignado a estos estados no es más que un índice que puede evaluarse y
seguirse. El mismo índice puede aplicarse a cualquiera de los experimentos
descritos en los capítulos 4 y 5, donde los resultados no son números, sino
puntos, colores, sonidos, olores, sabores o temperaturas. Todo esto son manifestaciones diferentes del mismo proceso subyacente, el
cambio desde una configuración inespecífica con un índice bajo (que puede ser
la suma o la información perdida) hasta una configuración inespecífica con un
índice más alto. Sólo nos queda darle a este índice un nombre. Por el momento lo llamaremos «información perdida»,
una denominación que no suscita ningún misterio. En cuanto tenemos un nombre
para el índice que estamos registrando, que además tiene el significado de
información[92], podemos prescindir
del término provisional «dentropía». Más adelante veremos que la información
perdida es esencialmente lo mismo que la entropía del sistema[93].
Pasemos ahora a la segunda pregunta planteada al
principio de este capítulo. ¿Cómo pasamos del estado inicial al estado final?
La respuesta es muy simple en el caso de los
juegos de dados que hemos visto. Hemos prescrito las reglas del juego, las más simples de las cuales
son: seleccionar un dado
al azar, lanzarlo para obtener un nuevo resultado aleatorio, y registrar el nuevo estado
inespecífico. Esto responde a la cuestión
del «cómo».
También hemos visto que tenemos cierta libertad
a la hora de elegir las reglas. Podemos seleccionar cada dado por orden (de
izquierda a derecha, o de derecha a izquierda, o de cualquier otra manera
prescrita), y luego lanzarlo para obtener un resultado aleatorio; o podemos
seleccionar el dado al azar y luego obtener el nuevo resultado de manera
predeterminada (si es «0» se cambia a «1», y si es «1» se cambia a «0», por
ejemplo). Hay muchas otras reglas aplicables, como seleccionar dos (o tres, o
cuatro, o más) dados al azar y luego lanzarlos todos a la vez. La evolución del
juego a cada paso diferirá algo en algunos detalles, pero a grandes rasgos será
la misma que hemos observado en los experimentos del capítulo 5. Lo importante
es que cada dado tenga las mismas oportunidades de cambiar, y que el proceso
contenga un elemento de azar. Dentro de estos límites, hay muchas reglas
posibles para conseguir el cambio.
Hay que decir que es fácil idear alguna regla no
aleatoria que haga que la evolución sea muy diferente. Por ejemplo, si tomamos
cada dado por orden, digamos de derecha a izquierda, y luego conmutamos de
manera predeterminada el «0» por el «1» o el «1» por el «0», a partir de una
configuración de todo ceros el sistema evolucionará hacia una configuración de
todo unos, luego volverá a todo ceros, y así sucesivamente:
{0,0,0,0} →
{1,0,0,0} → {1,1,0,0} → {1,1,1,0} →
{1,1,1,1} →
{0,1,1,1} →{0,0,1,1} → {0,0,0,1} →
{0,0,0,0) →
{1,0,0,0} →…
En
tal caso, la evolución del sistema es totalmente diferente de la que hemos
visto en los capítulos 4 y 5.
También podríamos prescribir reglas que no
induzcan cambio alguno (como tomar un dado al azar y no cambiarlo de cara) o
hagan ir de la configuración de todo ceros a la de todo unos (como cambiar los dados por orden de «0» a «1» y
de «1» a «1»), Estas reglas no nos interesan. Como veremos en el próximo
capítulo, estas reglas no tienen contrapartidas en el mundo físico.
La conclusión es que la respuesta a la pregunta
del «cómo» es muy simple. Todo lo que se requiere es definir las reglas de manera que contengan algún
elemento de aleatoriedad y den a cada dado las mismas posibilidades de cambiar.
Hemos dejado para el final la pregunta más
importante. ¿Por qué el sistema evoluciona en el sentido de un incremento de la
información perdida (o, en los juegos del capítulo 4, por qué la suma del
número de unos tiende a instalarse en una línea de equilibrio)?
La respuesta a esta pregunta reside en el núcleo
mismo de la segunda ley de la termodinámica. Aunque la solución que daremos
ahora al problema es estrictamente pertinente para nuestros juegos de dados
simples, veremos que también se aplica a los procesos físicos reales.
Como en cualquier ley de la física, hay dos
respuestas posibles a nuestro «por qué». Uno puede simplemente decir que «así
son las cosas», ni más ni menos. No hay manera de comprender las leyes del
movimiento de Newton más profundamente. Una bola en movimiento que no se vea
interrumpida por ninguna fuerza continuará desplazándose en línea recta a
velocidad constante para siempre. ¿Por qué? No hay respuesta a esta pregunta.
Así son las cosas. Así funciona la naturaleza. No hay ninguna razón lógica, ni
explicación. De hecho, esta ley parece «antinatural», ya que entra en conflicto
con lo que observamos normalmente en el mundo real. Una persona sin formación
científica que leyó el manuscrito de este libro mostró su sorpresa ante la
citada ley con estas palabras: «Todo el mundo sabe que una bola en movimiento
siempre acabará parándose». Las leyes del movimiento no se basan en, ni son
reducibles a, el sentido común. Es más, las leyes de la mecánica cuántica son
incluso contraintuitivas, y desde luego no nos parecen lógicas ni naturales
(probablemente porque no «vivimos» en el mundo microscópico, por lo que los
efectos cuánticos no forman parte de nuestra experiencia diaria).
La segunda manera de responder consiste en
buscar un principio subyacente más profundo que explique la ley. Esto es lo que
la gente ha intentado hacer con la segunda ley durante décadas. La segunda ley
de la termodinámica es única en el sentido de que podemos dar una respuesta al «por qué» basada en la
lógica y el sentido común (una característica no compartida por ninguna otra
ley de la naturaleza salvo, quizá, la teoría de la evolución de Darwin)[94].
En los capítulos anteriores hemos visto que hay
numerosas manifestaciones diferentes de (esencialmente) el mismo proceso (y
muchos otros en el mundo real). Aunque en los diversos experimentos descritos
hemos registrado distintas manifestaciones (en un juego el número de «unos», en
otro el número de «amarillos», en otro el número de «dulces»), hemos decidido
emplear el mismo índice, la información perdida, para seguir la evolución de
todos esos juegos. Se trata de descripciones diferentes del mismo proceso
subyacente en esencia. «El sistema evoluciona hacia más verdor», «el sistema
evoluciona hacia una suma mayor», «el sistema evoluciona hacia la máxima
información perdida», etcétera[95]. Se trata de
descripciones correctas de lo que pasa, pero ninguna da respuesta al «por qué».
No hay ninguna ley de la naturaleza que obligue a un sistema a evolucionar
hacia más verdor. Esto es obvio. Tampoco hay ninguna ley de la naturaleza que
establezca que un sistema debe evolucionar hacia un aumento del desorden o
de la información perdida.
Si mi respuesta fuera «porque ir del orden al
desorden, o de menos información perdida a más información perdida, es la
manera de actuar de la naturaleza», el lector, justificadamente, podría seguir
haciendo preguntas. ¿Por qué tiene que ser así? ¿Por qué el sistema tiene que
ir de menos a más desorden, o de menos a más información perdida? En efecto, no
hay ninguna ley que obligue a ello. Las cosas que hemos registrado sirven
para describir la
evolución del sistema, pero no para explicar su causa. Tenemos que encontrar una respuesta que no
suscite otro «por qué».
La respuesta que buscamos es muy simple (y vale
no sólo para todos los procesos que hemos visto hasta aquí, sino para todos los
procesos reales). De hecho,
al final se reduce al mero sentido común.
Hemos visto que en cada juego, a partir de
cualquier configuración inicial, el sistema pasa de una configuración
inespecífica que comprende pocas configuraciones específicas a otra
configuración inespecífica con un número mayor de configuraciones específicas.
¿Por qué? Porque cada configuración específica es un suceso
elemental, y como tal tiene la misma
probabilidad que cualquier otro. Por lo tanto, las configuración es inespecíficas que abarquen un número mayor de sucesos
elementales serán más probables. Cuando N es muy grande, la probabilidad de los estados
inespecíficos hacia los que evoluciona
el sistema es muy elevada (¡casi uno!)[96]. Esto equivale a
decir que:
Los sucesos que se
esperan más frecuentes serán más frecuentes. Para valores de N muy
grandes, más frecuente equivale a siempre.
Esto
reduce la respuesta que buscábamos a una mera tautología. Como hemos visto en
el capítulo 2, la probabilidad no es más que sentido común, igual que la
respuesta que hemos dado a nuestro «por qué».
Los cambios que hemos observado en todos los experimentos descritos van de estados
inespecíficos de baja probabilidad a estados inespecíficos de elevada
probabilidad. No hay nada misterioso en este hallazgo. No es más que una
cuestión de sentido común.
También queda claro desde este punto de vista
que el incremento de la información perdida (como el de la entropía) no se
asocia a ningún incremento material o energético.
Si el comportamiento de la entropía es de
sentido común, se estará preguntando el lector, ¿a qué viene todo ese discurso
sobre el profundo misterio de la segunda ley? Intentaré responder a esta
pregunta en el capítulo 8. De momento seguimos en el mundo de los dados. Le
sugiero al lector que elija un valor de N (16, 32 o el que sea) y ejecute el juego
mentalmente o en su ordenador, conforme a las reglas establecidas en los
capítulos 4 y 5, que siga la evolución de las configuraciones y se
pregunte qué es lo que
cambia, cómo cambia
y por quécambia como lo hace.
Las respuestas que encuentre serán relevantes para ese juego de dados, pero,
como veremos en el capítulo siguiente, también serán relevantes para el
comportamiento de la entropía en el mundo real.
Fin del capítulo 6
Capítulo 7
Del mundo de los dados al mundo real
Contenido:
§. La
correspondencia con el proceso de expansión.
§. La correspondencia con el proceso de desasimilación.
§. Resumen de la evolución del sistema hacia el estado de equilibrio.
§. Mezcla de tres componentes.
§. Transferencia de calor de un gas caliente a un gas frío.
§. Test de comprensión de la segunda ley.
En
el capítulo anterior he asegurado que si uno ha entendido la evolución de los
juegos de dados y tiene respuesta para el «qué», el «cómo» y el «por qué», ya
le falta muy poco para comprender la segunda ley; todo lo que queda por
demostrar es que lo que nos han enseñado los dados es relevante para el mundo
real.
En este capítulo traducimos el lenguaje de los
dados al lenguaje de los experimentos reales. Comenzamos con el experimento más
simple y mejor estudiado: la expansión de un gas ideal.
Para facilitar la traducción, redefinamos el
juego de dados del capítulo 4 considerando dados con la letra D en tres de sus caras y la letra I en las otras tres. Así, en vez de «0» y «1», o
amarillo y azul, o dulce y ácido, simplemente tenemos dos letras: I
y D (I de «izquierda» y D de «derecha», pero por el momento las veremos
cómo dos resultados posibles de un dado, o de una moneda). Partiremos de una
configuración de «todo I» y jugaremos conforme a las reglas prescritas en el
capítulo 4. Podemos registrar cuántas veces aparece la «D», o la «I»,
o la información perdida. En este sistema, lo que veremos es que, al cabo de un
tiempo, tanto el número de letras «D» como el número de letras «I» serán más o menos N/2, donde N es el número total de dados. La figura 7.1 muestra tres fases de
este juego con N = 10.
Nótese que el estado inicial (inespecífico-0) es
único. Sólo hay un estado específico perteneciente a este estado inespecífico.
Figura 7.1
Para
el estado intermedio (inespecífico-2 en la figura) tenemos muchos estados
específicos (10 × 9/2 = 45). El último estado (inespecífico-5) abarca aún más
estados específicos posibles (10× 9× 8× 7× 6/5! = 252). Éste es el estado
inespecífico maximal. En la figura 7.1 hemos indicado algunas de las
configuraciones específicas pertenecientes a los estados inespecíficos.
§. La correspondencia con el proceso de expansión
Considérese el sistema experimental representado
en la figura 7.2. Tenemos dos compartimentos separados del mismo volumen, uno
etiquetado como D (el de
la derecha) y otro etiquetado como I (el de la izquierda). El sistema
contiene Nátomos de gas
(argón, por ejemplo) confinados inicialmente en el compartimento de la
izquierda. Mientras no retiremos la separación, nada reseñable ocurrirá. Al
nivel microscópico, las partículas están en un estado de agitación incesante,
cambiando aleatoriamente de posición y velocidad. Pero al nivel macroscópico no
hay ningún cambio detectable. Podemos medir la presión, la temperatura, la
densidad, el color o cualquier otra propiedad, y no apreciaremos ningún cambio
ni en el espacio ni en el tiempo. Diremos que el sistema está inicialmente
contenido en el compartimento I y
en estado de equilibrio[97]. Si retiramos la
separación, pondremos en marcha la segunda ley. Ahora sí observaremos cambios.
Podemos registrar el color, la presión, la densidad, etcétera, y veremos que
estas magnitudes cambian con el tiempo y la posición. Los cambios observados siempre
irán en una dirección: los átomos pasarán del compartimento I al
compartimento D. Supongamos que registramos la densidad o el color
en I. Veremos que la densidad (o la intensidad del
color, si lo tiene) del gas decrece paulatinamente. Al cabo de un tiempo el
sistema alcanzará un nuevo estado de equilibrio y no observaremos más cambios
en los parámetros que hemos estado registrando. Una vez instalado en ese nuevo
estado de equilibrio, el sistema se mantendrá «siempre»
en él, y «nunca» volverá al estado inicial. Este proceso es una
manifestación relativamente simple de la segunda ley.
En este proceso específico, partíamos de un
estado de equilibrio (todos los átomos en I) y progresábamos hacia un nuevo estado de equilibrio
(átomos ocupando todo el volumen de I y D). Repitamos
el experimento, pero con una ligera variación que facilitará la traslación del
juego de dados al mundo real. Supongamos que, en vez de suprimir la separación
como en la figura 7.2, nos limitamos a abrir un agujero lo bastante pequeño
para dejar pasar sólo una molécula, o a lo sumo unas cuantas, de I
a D en cualquier momento dado. Si
abrimos y cerramos esta minúscula abertura a intervalos cortos de tiempo,
procederemos del estado inicial al estado final igual que antes, pero en este
caso a través de una serie de estados de equilibrio intermedios[98]
La figura 7.3 muestra tres fases de este
proceso.
Ahora establezcamos la siguiente correspondencia
entre el mundo de los dados y el mundo real del gas en expansión: cada dado
corresponderá a un átomo específico (un átomo de argón, por ejemplo). Las
caras «I» y «D» de los
dados en el experimento del principio corresponden a la situación de un átomo
específico en el compartimento de la izquierda y en el de la derecha,
respectivamente.
Figura 7.2
Para
concretar más la correspondencia entre ambos «mundos», consideremos el
caso N = 2, representado en la parte superior de la
figura 7.4. Nótese que, en esta correspondencia, hacemos distinciones entre las
partículas (en rojo y en azul). (En la parte inferior de la figura 7.4 se
representa la correspondencia con el proceso de asimilación que describo más
adelante en este capítulo).
Definimos una configuración específica como una
especificación completa de cada partícula en cada compartimento. En contraste
con el mundo de los dados, donde podemos distinguir un dado de otro (aunque no
hemos tenido en cuenta esta información al registrar sólo las cantidades
pertinentes para la configuración inespecífica), aquí las partículas son
indistinguibles de entrada, así que no tenemos que ignorar ninguna información.
La indistinguibilidad es una propiedad de los átomos, algo que la naturaleza
impone a las partículas. Los dados podrían ser idénticos en todos los aspectos,
pero son distinguibles en el sentido de que podemos seguirlos de manera
individual. Si agitamos diez dados idénticos, podemos fijarnos en un dado
concreto y en cualquier momento podemos decir de dónde procede. Al definir la
configuración inespecífica, digamos cinco letras «D» en diez dados, podemos distinguir entre las diferentes
configuraciones específicas.
Podemos indicar los dados que portan una «D» y los que portan una «I», como queda claro en las figuras 7.1 y 7.4. Con los
átomos no podemos hacer lo mismo. Todo lo que podemos conocer o evaluar es el
número de átomos en D, pero
no cuáles están en D y
cuáles en I. Así, en el
sistema representado en la figura 7.4 no podemos distinguir entre los dos
estados específicos «partícula azul en I y partícula roja en D» y «partícula azul en D y partícula roja en I». Ambos estados se
confunden en un estado inespecífico: «una partícula en I y una partícula en D».
Figura 7.3
Figura 7.4
Decimos
que una configuración es inespecífica cuando sólo especificamos el número de
partículas en D (con lo que también se especifica el número
de partículas en I), con independencia de la situación detallada de
cada átomo en I o D. Obviamente, cada
configuración inespecífica incluye numerosas configuraciones específicas
(excepto en los casos extremos de todo D o todo I).
Vuelvo a insistir en que todo lo que podemos medir o registrar es el
número totalde partículas en D o
cualquier magnitud proporcional a dicho número (como la intensidad de color u
olor, la densidad, la presión, etcétera). A diferencia de los juegos de dados,
aquí no podemos «ver» la configuración específica.
En razón de su importancia capital, volveremos a
explicar la diferencia entre la configuración inespecífica y las
configuraciones específicas correspondientes (figura 7.5).
Para ver mejor las distintas configuraciones
específicas hemos asignado colores diferentes a las partículas. En un sistema
de partículas (átomos y moléculas) no hay etiquetas (o colores) que nos
permitan diferenciar una partícula de otra idéntica. Lo único que podemos
observar o medir es la configuración inespecífica (a la izquierda de la figura
7.5). Hay que subrayar, sin embargo, que aunque no podamos distinguir entre
configuraciones específicas, éstas contribuyen a la probabilidad de la configuración inespecífica. Aquí
presuponemos que cada configuración específica es igualmente probable[99]. Por lo tanto, la
probabilidad de cada configuración inespecífica es la suma de las
probabilidades de cada una de las configuraciones específicas correspondientes.
Podemos pensar que los sucesos específicos (a la derecha de la figura 7.5) se
confunden en un único suceso inespecífico (a la izquierda). Las probabilidades
de los cinco sucesos inespecíficos son: 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16.
Ahora estamos en disposición de responder al
«qué», el «cómo» y el «por qué» a propósito del experimento real. Como en el
caso de los juegos de dados, la pregunta « ¿Qué es lo que cambia?» tiene más de
una respuesta. Por ejemplo, podemos observar la evolución de la intensidad de
color durante la expansión. Podemos registrar cómo cambia la densidad, el sabor
o el olor con el tiempo. Incluso podemos calcular el cambio en el número
aproximado de partículas en cada compartimento. Inicialmente partimos de N átomos en el compartimento I, y al abrir la portezuela o suprimir la separación,
el número de átomos, n,
en Idecrece continuamente con
el tiempo hasta que deja de hacerlo.
Figura 7.5
La
respuesta al «qué» es exactamente la misma que
hemos dado en el capítulo anterior, a saber: lo que cambia es la configuración
inespecífica, la cual comporta propiedades que podemos ver, oír, oler, probar o
medir con instrumentos macroscópicos. Así, a la pregunta « ¿Qué es lo que cambia?»
en el presente experimento puede responderse comparándolo con el juego de dados
antes analizado.
La única diferencia es la interpretación del
término «configuración», que aquí hemos definido como partículas repartidas
entre dos compartimentos, I y D, mientras que en el caso de los dados la
configuración se especificaba como dos resultados posibles, I y
D. Una vez establecida la correspondencia
entre el juego de dados y la expansión del gas, podemos dar la misma respuesta
a la pregunta « ¿Qué es lo que cambia?». Más adelante volveremos a la cuestión
de cuál es la mejor variable
que describe aquello que es común a todos los procesos considerados.
Ahora pasamos a la siguiente pregunta: « ¿Cómo
se pasa del estado inicial al estado final?». En el juego de dados prescribíamos
las reglas del cambio, así que la respuesta a la pregunta era directa: los
cambios tienen lugar conforme a las reglas prescritas. En lo que respecta al
experimento real, la respuesta a la misma pregunta es diferente. En principio,
la evolución de las posiciones y velocidades de todas las partículas se rige
por las ecuaciones del movimiento. Pero en un sistema con gran número de
partículas podemos aplicar las leyes de la probabilidad[100]. Podemos afirmar
que si partimos de una descripción exacta de todas las posiciones y velocidades
de todas las partículas, al poco tiempo el sistema perderá esa información.
Debido a las colisiones aleatorias y la rugosidad de las paredes del
recipiente, la evolución del sistema se describe más eficazmente mediante las
leyes de la estadística que mediante las leyes de la mecánica[101].
Así pues, podemos recurrir a argumentos
probabilísticos similares a los aplicados al juego de dados del principio. En
otras palabras, hay un elemento de aleatoriedad que da a cada partícula una «oportunidad» de
pasar de I a D o de Da I. Por lo tanto, la
respuesta al «cómo», aunque no exactamente, es a todos los
efectos la misma que en el caso del
juego de dados. También hemos visto que las reglas concretas del juego de dados
no eran demasiado importantes; lo importante era que cada dado tuviese las
mismas oportunidades de cambiar de manera aleatoria. Este argumento también
vale para el experimento real de expansión de un gas: cada átomo o molécula
debe tener las mismas oportunidades de pasar de I a D o de D a I.
Si suprimimos el elemento de azar, entonces el
sistema no evolucionará conforme a la segunda ley de la termodinámica. En el
capítulo anterior hemos propuesto reglas cuya aplicación se traduce en
una ausencia de cambio,
o en una alternancia entre «todo ceros» y «todo unos». Igualmente, podemos
imaginar un sistema de partículas que no evolucione de acuerdo con la segunda
ley.
Considérense los dos «experimentos mentales»
siguientes. Supongamos que todas las partículas se movieran inicialmente hacia
arriba de manera concertada, tal como se muestra en la figura 7.6a. Si las
paredes del recipiente fueran planos perfectos, sin ninguna irregularidad ni
rugosidad, y exactamente perpendiculares a la dirección del movimiento de los
átomos, entonces lo que veríamos es que las partículas seguirían moviéndose
arriba y abajo para siempre. Incluso después de suprimir la separación, todas
las partículas inicialmente en I permanecerán en ese compartimento. La segunda ley no tiene nada
que hacer en un sistema semejante[102].
Un segundo «experimento mental» se ilustra en la
figura 7.6b.
Supongamos de nuevo que todas las partículas
están inicialmente en I, pero
ahora se mueven en línea recta de izquierda a derecha y de derecha a izquierda.
Todas las partículas se mueven concertadamente y a la misma velocidad. Todas
siguen la misma trayectoria, rebotando en la barrera y volviendo atrás. Si
suprimimos la separación, el haz de partículas se moverá ahora concertadamente
de I a D y de D a I,
indefinidamente. En ninguno de los dos experimentos mentales el sistema
evolucionará según los dictados de la segunda ley. En realidad, un proceso de
ese estilo no es factible en un experimento real. Por eso hemos hablado de
experimento mental.
Es evidente que las paredes de cualquier
recipiente real tendrán imperfecciones, y aunque pudiéramos partir de un
movimiento inicialmente sincronizado de las partículas, muy pronto las leyes
probabilísticas se impondrían y la segunda ley comenzaría a actuar.
Hay que decir que en termodinámica no interesa
la cuestión de cómo pasa el sistema del estado inicial al estado final. Lo
único que cuenta es la diferencia entre el estado inicial y el
estado final. Aquí hemos mirado con lupa los
detalles del movimiento de las partículas individuales para establecer la
correspondencia entre las reglas del juego de dados y las reglas del paso
de I a D o de D a I en la
expansión del gas. Vayamos ahora a la siguiente y más importante cuestión: el
«por qué».
Figura 7.6
Como
he señalado en el capítulo anterior, la respuesta al «por qué» en el caso del
juego de dados también es aplicable a la expansión del gas. El gas pasará de
una configuración inespecífica de baja probabilidad a una configuración
inespecífica de máxima probabilidad. Por configuración específica aquí se
entiende una especificación detallada de cada partícula en cada compartimento.
Una configuración inespecífica (que es lo único que podemos registrar) es «el
número de partículas en el compartimento D». Si se han
entendido los argumentos expuestos en los capítulos 4-6 acerca de la evolución
del sistema del estado inicial al estado de equilibrio, entonces también se
entenderá la evolución del sistema físico descrito en este capítulo. Hemos
visto que con apenas 104 o 105dados
la probabilidad de volver al estado inicial ya es despreciable, y hemos
concluido que, una vez que el sistema llega a la vecindad del estado de
equilibrio, se mantiene allí «siempre»
y «nunca» vuelve al estado inicial. El argumento es válido a fortiori para
un sistema de 1023 dados o partículas.
Como en el caso del juego de dados, hemos
subrayado que no hay ninguna ley de la naturaleza que obligue al sistema a
evolucionar del amarillo al verde, o del orden al desorden, o de menos
información perdida a más información perdida. Todas éstas son manifestaciones
observables o medidas de la evolución del sistema. La razón fundamental de la
evolución observada del sistema es autoevidente: cualquier sistema siempre
pasará más tiempo en estados de elevada probabilidad que en estados de baja
probabilidad. Cuando N es
muy grande, digamos del orden de 1023, la «probabilidad elevada» se convierte en «certeza». Ésta es la
esencia de la segunda ley de la termodinámica. También es una ley básica del
sentido común, nada más.
§. La correspondencia con el proceso de desasimilación.
Al trazar la correspondencia entre la evolución
del juego de dados y del gas en expansión, he completado mi misión: guiar al
lector para llevarle a comprender el funcionamiento de la segunda ley de la
termodinámica. Pero me gustaría trazar otra correspondencia entre el juego de
dados y un experimento físico. Este otro caso no añadirá nada nuevo a nuestra
comprensión de la segunda ley, pero es un ejemplo suplementario de proceso
espontáneo gobernado por la segunda ley de la termodinámica. Mi motivación para
presentarlo aquí es, más que nada, estética. Permítaseme explicar por qué.
Cualquier proceso espontáneo que implique un
incremento de entropía está gobernado por la misma ley de sentido común, a
saber, que los sucesos más probables se darán con más frecuencia. Hemos
examinado uno solo de tales procesos físicos, la expansión espontánea de un
gas. Hay procesos más complicados, por supuesto, como una reacción química, la
mezcla de dos líquidos, el desparramamiento de un huevo al caer al suelo, y
muchos más.
No siempre es fácil definir con precisión los
estados del sistema sobre los que es operativa la segunda ley. En la enseñanza
de la termodinámica es costumbre y resulta muy instructivo clasificar los
procesos según el tipo de estados involucrados. Desde el punto de vista de la
información o, mejor, de la información perdida, los procesos se subclasifican
según el tipo de información que se pierde. En el proceso de expansión, las
partículas estaban inicialmente confinadas en un volumen menor V. Tras la expansión, se distribuían en un volumen
mayor 2V, por lo que resulta más
«difícil» situar cada partícula, o lo que es lo mismo, tenemos menos
información sobre las localizaciones de las partículas. En un proceso de transferencia de calor entre
dos cuerpos a distintas temperaturas, el cambio en la cantidad de información
es más sutil. Antes del proceso, las partículas del cuerpo caliente se
caracterizan por una distribución de energías (velocidades) y las del cuerpo
frío por otra. Tras ponerse en contacto y equilibrarse las temperaturas,
tenemos una única distribución de velocidades para la suma de las partículas de
ambos cuerpos. Volveremos a considerar este proceso más adelante. En procesos
más complicados, como el desparramamiento de un huevo roto, es difícil definir
los tipos de información perdida; puede tratarse de información sobre la
localización, la velocidad, la orientación, entre otras variables. Unos
procesos tan complejos a menudo están más allá de nuestra aptitud descriptiva.
En el juego de dados teníamos N dados idénticos, cada uno de los cuales podía
estar en dos (o más) estados, como «0» y «1», o amarillo y azul, o «I» y «D».
En el proceso de expansión hemos hecho corresponder los dos resultados posibles
del dado con las dos localizaciones posibles de las partículas (digamos átomos
de argón). Esto está bien. Siempre podemos denotar un átomo en el compartimento
de la derecha como un D-átomo,
y un átomo en el compartimento de la izquierda como un I-átomo. Esto es formalmente correcto, pero
estéticamente insatisfactorio, ya que la identidad inherente de los átomos no
cambia en el proceso. En otras palabras, hemos establecido una correspondencia
entre la identidad del
resultado del dado y la localización de la partícula.
Permítaseme presentar un nuevo experimento
gobernado por la segunda ley, pero donde la correspondencia entre el juego de
dados y el proceso físico es más plausible y estéticamente más satisfactoria.
Haremos corresponder la identidaddel resultado del dado con la identidad de la partícula.
El examen de este proceso también nos reporta un
pequeño «plus», y es que nos permite imaginar experimentos reales donde podemos
seguir el cambio de color, olor o sabor a medida que el sistema evoluciona.
Considérese una molécula con dos isómeros,
digamos cis y trans, de una
molécula, representada esquemáticamente en la figura 7.7.
Si partimos del isómero cis puro, el sistema puede pasar mucho tiempo sin
experimentar cambio alguno. Pero si añadimos un catalizador (lo que viene a ser
como suprimir la separación entre compartimentos en el experimento de expansión
de un gas), observamos un cambio espontáneo tal que la forma cispura da paso a una mezcla de los isómeros cis
y trans. La mecánica estadística proporciona
un procedimiento para calcular la razón de las concentraciones de ambos
isómeros en el equilibrio. En esta reacción en particular podemos identificar
dos fuentes de incremento de la entropía o, equivalentemente, dos tipos de
cambio informacional. Uno tiene que ver con la identidad molecular, mientras que el otro tiene que ver
con la redistribución de la energía entre los grados de libertad internos de
ambas especies moleculares.
Hay un caso particular de reacción química donde
sólo cambia la identidad de
las moléculas (los grados de libertad internos son los mismos para ambas
especies moleculares). Se trata de dos enantiómeros (moléculas con actividad
óptica), isómeros que tienen la misma estructura y constitución química, sólo
que uno es la imagen especular del otro. Un ejemplo se ilustra en la figura 7.8.
Figura 7.7
Figura 7.8
Denotemos
estos isómeros como d y l (d por
dextro y l por levo)[103]. Ambos tienen la
misma masa, el mismo momento de inercia, los mismos grados de libertad internos
y los mismos niveles de energía. Así pues, cuando inducimos una «reacción» que
implica la conversión de un isómero en el otro, el único cambio en el sistema
es en el número de partículas indistinguibles. Hagamos el siguiente
experimento: partimos de N moléculas del
isómero d, y añadimos un catalizador que induce la
transformación espontánea de d en l,
o de l en d[104]. Pues bien, se
puede demostrar que, en el equilibrio, encontraremos alrededor de N/2
moléculas de la forma d y N/2
moléculas de la forma l[105]. También se puede
calcular el incremento de entropía en este proceso, y se encuentra que es
exactamente el mismo que en el proceso de expansión de antes. Pero la «fuerza
impulsora» es diferente, y considero que la correspondencia entre el juego de
dados y este proceso es más satisfactoria y más «natural».
Para verlo, tengamos en cuenta que en ambos
experimentos hemos establecido la correspondencia:
Un dado específico
↔una partícula específica
En
el experimento de expansión, también establecíamos la correspondencia:
Una identidad específica
del resultado de un dado
↕
Una
localización específica de la partícula
En
el segundo experimento, lo que se conoce como desasimilación, la
correspondencia es:
Una identidad específica
del resultado de un dado
↕
Una identidad específica
de la partícula
Así,
mientras que en el proceso de expansión la evolución del estado inicial al
estado final implica cambios en la información posicional acerca
de las partículas, en el proceso de desasimilación tenemos un cambio en
la identidad de las partículas[106]. Aquí la pérdida de
información es del mismo tipo que
la registrada en el juego de dados.
La correspondencia entre dados y partículas para
este proceso se representa en la parte inferior de la figura 7.4.
Tanto en el juego de dados como en el proceso de
desasimilación hay una evolución que implica un cambio en la identidad de las partículas. En el primer caso partimos
de N dados, todos a
cero, mientras que en el experimento real partimos del isómero d puro. Al cabo de un tiempo, N/2 de los dados han cambiado a uno, y N/2 moléculas han adquirido una nueva identidad, la
forma l[107]. Esta
correspondencia es menos forzada y más natural que la establecida entre el
juego de dados y el proceso de expansión. La evolución del sistema puede
describirse del mismo modo que en el caso de la expansión del gas. Para
entender la evolución de este otro experimento no hay más que cambiar D e Ipor d y l.
La figura 7.9 (que es una síntesis de las figuras 7.1 y 7.3) muestra las tres
fases del proceso de desasimilación y la correspondencia tanto con el
experimento de expansión del gas como con el juego de dados.
Las respuestas al «qué» y al «por qué» son las
mismas que antes. La respuesta al «cómo», en cambio, es ligeramente distinta[108]. No obstante, como
ya hemos señalado, la cuestión del «cómo» no es importante para comprender la
segunda ley. Lo único que importa es la diferencia de entropía entre los
estados inicial y final.
Figura 7.9
Y
ahora el «plus»: en el capítulo 5 hemos considerado algunos procesos
hipotéticos donde se registraba el cambio de color, sabor u olor en un sistema
de dados. En principio, estos procesos pueden materializarse. Supongamos que
tenemos dos isómeros con estructuras moleculares diferentes que les confieren
colores, olores o sabores diferentes. Poniendo en práctica el experimento de la
isomerización espontánea podríamos registrar el cambio de color de amarillo a
verde (como en el primer ejemplo del capítulo 5), o del olor A a
una mezcla de olores A y B (como
en el segundo ejemplo), o del sabor ácido al agridulce (como en el tercer
ejemplo). Estos cambios pueden registrarse de manera continua en un sistema
homogéneo[109]. Es difícil
encontrar un experimento físico análogo al cambio de tono (el cuarto ejemplo),
ya que las partículas no emiten ondas sonoras por sí solas. En cuanto al último
ejemplo del capítulo 5, es imposible encontrar un análogo factible. La
temperatura es un fenómeno complejo que depende de una distribución continua de
velocidades. Examinaremos un proceso que involucra cambios de temperatura en la
sección 7.5.
A estas alturas debería estar claro qué es lo
que cambia (eso que llamamos entropía) y por qué cambia como lo hace, ya sea en
el juego de dados, en el proceso de expansión o en el proceso de desasimilación
(figura 7.9).
§. Resumen de la evolución del sistema hacia el estado de equilibrio.
Volvamos al experimento simple descrito en la
figura 7.2. Partimos de N =
1023partículas en I. Recordemos que una configuración específica es una lista detallada de qué partículas están
en qué compartimentos. Una configuración inespecífica es una descripción de cuántas partículas hay en I y
cuántas en D. Siempre que se
mantenga la separación, no habrá cambio ni en la configuración específica ni en la
configuración inespecífica[110]. El sistema no
evolucionará en el sentido de ocupar nuevos estados si éstos no son accesibles.
Ahora suprimamos la barrera. El número total de
estados específicos pasa a ser 2N, porque cada partícula puede estar o en I o en D. El número total de estados, W (total), se fija durante el intervalo entero de tiempo que
tarda el sistema en alcanzar el equilibrio.
Obviamente, en cuanto se retira la barrera
tienen lugar cambios observables. Puede ser un cambio de color, sabor, olor o
densidad. Se trata de manifestaciones diferentes del mismo principio
subyacente. Pero hay algo que cambia en todas estas manifestaciones. ¿Qué es?
Lo que cambia es la configuración, o estado, o
suceso inespecífico y
hay diversas maneras de asignar a estos estados un número que podemos
representar gráficamente para seguir su evolución. ¿Por qué cambia? No porque
haya una ley de la naturaleza que diga que los sistemas deben evolucionar del
orden al desorden, o de una información perdida baja a una información perdida
más alta. No es la probabilidad de
los estados inespecíficos lo que cambia (las probabilidades son fijas)[111]. Es el estado
inespecífico mismo el que pasa de tener una probabilidad baja a tener una
probabilidad elevada.
Sigamos la evolución del sistema justo después
de la apertura de la barrera, y supongamos, en aras de la simplicidad, que
abrimos una compuerta lo bastante pequeña para permitir el paso de una sola
partícula en un lapso de tiempo corto. En el momento de abrir la compuerta, el
estado inespecífico consiste en un solo estado específico perteneciente a la condición
inmediatamente posterior a la apertura de la barrera (es decir, cuando hay cero
partículas en D). Obviamente,
cuando el proceso aleatorio se pone en marcha (sea el juego de dados o las
partículas de gas colisionando con las paredes del recipiente y de vez en
cuando atravesando el agujero) la primera partícula que pasa de un
compartimento a otro lo hace de I a D, lo que se traduce en un nuevo estado, que llamaremos inespecífico-1.
Como hemos analizado detalladamente en el capítulo 4, hay una elevada
probabilidad de que el sistema se quede como está o ascienda de nivel, y una
probabilidad muy baja de que el sistema vuelva a un estado inespecífico
inferior. La razón es bien simple. La probabilidad de que cualquiera de
las Npartículas cruce la
frontera es la misma para todas. Llamemos p1 a esa probabilidad (que viene determinada por la
velocidad del movimiento, el tamaño de la compuerta, etcétera). Sea cual fuere
su valor, la probabilidad de pasar de inespecífico-1 a inespecífico-0 es la
probabilidad de que la única partícula en Dpase a I, que no es otra que p1, mientras que la probabilidad de pasar de
inespecífico-1 a inespecífico-2 es (N − 1) veces p1, simplemente porque hay (N −
1) partículas en I, y cada
una tiene una probabilidad p1 de pasar de I a D. El mismo razonamiento vale para justificar por qué será mucho más
probable que el sistema pase de inespecífico-2 a inespecífico-3, de
inespecífico-3 a inespecífico-4, etcétera. Cada estado inespecífico superior
abarca un número mayor de estados específicos y, por ende, es más probable.
Como hemos visto en los capítulos 3 y 4, esta tendencia ascendente, muy
acentuada al principio, se va atenuando a medida que el sistema se acerca a
inespecífico−N/2, que es la línea
de equilibrio. Esta línea marca el estado inespecífico más probable, ya que
abarca el mayor número de estados específicos.
Hay que tener cuidado de no confundir el número
de estados específicos pertenecientes a inespecífico−N/2 con el número total de estados del sistema, que
es W (total). Este último es
el total de estados
específicos incluidos en todos los estados inespecíficos posibles. Por ejemplo,
para N = 10 tenemos[112]
W(total) = W(inespecífico−0)
+ W(inespecífico−1) + W(inespecífico−2) + …
= 1 + 10 + 45 + 120
+ 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 210
Como
hemos visto en los capítulos 2 y 3, la probabilidad de un suceso inespecífico
es la suma de las probabilidades de los sucesos específicos que comprende.
Por ejemplo, para N = 10, inespecífico-1 incluye 10 sucesos
específicos, la probabilidad de cada uno de los cuales es (1/2)10. La probabilidad del suceso inespecífico no es más que diez veces ese número, esto es:
Prob(inespecífico−1)
= 10 × (1/2)10
Para
inespecífico−2 tenemos 10 × 9/2 = 45 sucesos específicos, todos los cuales
tienen la misma probabilidad de (1/2)10. Por lo tanto, la probabilidad de
inespecífico-2 es:
Prob(inespecífico-2)
= 45 × (1 /2)10
En
la tabla siguiente se listan las probabilidades de todos los sucesos
inespecíficos para N = 10. Nótese
una vez más que el valor máximo se sitúa en N/2,
que en este caso es 5.
La
figura 7.10 muestra el número de sucesos específicos pertenecientes a cada
suceso inespecífico para diferentes valores de N (N =
10, N = 100 y N =
1000), y abajo se representan los mismos datos como probabilidades de los
sucesos inespecíficos.
Se puede ver claramente que, a medida que N aumenta, el número de estados específicos pertenecientes a los
estados inespecíficos maximales también se acrecienta. En cambio, la
probabilidad del estado inespecífico maximal decrece con N.
Así, a medida que N aumenta,
la distribución de probabilidad de los sucesos inespecíficos se reparte sobre
un rango mayor de valores. La aparente agudeza de la distribución, tal como se
aprecia en la parte inferior de la figura 7.10, significa que, aunque las
desviaciones del estado inespecífico maximal son mayores en valor absoluto cuanto mayor es N, su valor relativo disminuye a medida que aumenta N.
Por ejemplo, la probabilidad de observar
desviaciones de, digamos, un ±1% del estado inespecífico maximal se hace
minúscula cuando N es
muy grande.
Ahora calculemos la probabilidad de que el
sistema se encuentre en cualquiera de los estados inespecíficos entre,
digamos, N/2 − N/100 y N/2 +N/100, es decir, la
probabilidad de que el sistema se encuentre alrededor del estado inespecífico maximal, con
desviaciones arriba y abajo dentro del 1% de N. Esta probabilidad es ya casi 1 para N = 10 000 (véase la figura 7.11). Para valores
de N del orden de 1023, podemos permitir desviaciones del 0,1% o del 0,001%
y seguir obteniendo una probabilidad cercana a 1 de encontrar el sistema en la
línea de equilibrio o su vecindad.
Lo que hemos averiguado es sumamente importante
y crucial para la comprensión de la segunda ley de la termodinámica. La
probabilidad del estado inespecífico maximal N/2 decrece con N: pero para valores de N muy grandes, del orden de 1023 o más, tenemos una certeza casi absoluta (es
decir, una probabilidad muy cercana a 1) de que el sistema se encuentre en un
estado inespecífico muy próximo al de equilibrio. Cuando N = 1023, podemos permitir desviaciones ínfimas de la línea de equilibrio, pero
el sistema pasará la mayor parte del tiempo en los estados inespecíficos dentro
de este margen estrecho en torno a la línea de equilibrio.
Recordemos una vez más que el número total de estados específicos posibles del sistema es 2N, y que todos tienen la misma probabilidad, de manera que cada uno será
visitado con una frecuencia extremadamente baja, (1/2)N. En cambio, los estados inespecíficos (de los que
hay N + 1) son más o
menos probables en función del número de estados específicos que abarcan.
Figura 7.10
Figura 7.11
Los estados
inespecíficos en o cerca del maximal N/2 tendrán una probabilidad
cercana a uno, es decir, casi la misma probabilidad de estar en cualquiera de
los estados específicos totales[113].
Ya es hora de aclarar la relación entre la línea de equilibrio
y el estado de equilibrio del sistema experimental. En el
equilibrio, un sistema experimental pasa una fracción de tiempo mayor en
la línea de equilibrio (mayor en comparación con los otros
estados inespecíficos). Pero no necesariamente pasa allí todo el
tiempo. El estado de equilibrio experimental o termodinámico
del sistema es el estado para el que todos los W (total) sucesos
específicos son accesibles y tienen igual probabilidad. Pero como no podemos
distinguir entre estados inespecíficos muy cercanos a la línea de equilibrio,
el sistema pasará casi todo el tiempo en la vecindad de
la línea de equilibrio. Aun así, habrá desviaciones. Las hay
de dos tipos. Las desviaciones minúsculas son muy frecuentes, pero son inobservables.
Las desviaciones grandes son observables, pero son tan raras que «nunca»
las vemos. Por lo tanto, el estado de equilibrio del sistema
es (casi) el mismo que el suceso inespecífico de la línea de equilibrio y su
vecindad inmediata.
Dada la importancia de este punto, repetiré el argumento con otras palabras.
Consideremos el siguiente experimento. Tenemos dos compartimentos del mismo
volumen V. Uno contiene N partículas etiquetadas,
1, 2,…,N, y el otro contiene otras N partículas
etiquetadas, N + 1, N + 2, …, 2N.[114] Ahora retiramos la separación
entre los compartimentos. Al cabo de un tiempo nos preguntamos cuál es la
probabilidad de observar exactamente el estado inicial. La
respuesta es: 2−2N. Luego nos preguntamos cuál es la probabilidad de
observar exactamente Npartículas en cada compartimento, etiquetas
aparte. Ésta es una probabilidad mucho mayor[115]. Sin embargo, decrece con N,
como puede verse en la figura 7.10. La probabilidad de observar el estado
inespecífico N, aunque muy alta en comparación con los otros
estados inespecíficos posibles, sigue siendo muy pequeña. Lo que se observa en
la práctica no es el estado maximal exacto, sino un grupo de
estados inespecíficos en la vecindad de la línea de equilibrio. Esta vecindad
incluye todos los estados inespecíficos experimentalmente indiscernibles[116].
¿Y qué podemos decir de otros procesos más complicados? Hemos examinado en
detalle la expansión de un gas, donde elegíamos un único parámetro para
describir la evolución del sistema, a saber, si la partícula estaba en I o
en D. En el experimento de desasimilación también elegíamos un
único parámetro para describir el curso de los hechos, a saber, si la partícula
estaba en la forma lo en la forma d. Todo lo dicho
sobre el proceso de expansión puede trasladarse casi literalmente al
proceso de desasimilación. No hay más que cambiar «estar en I» o
«estar en D» por «estar en la forma l» o
«estar en la formad».
Por supuesto, hay procesos más complicados que involucran muchos más
«parámetros» para describir los hechos: una molécula puede estar aquí o allá,
puede tener esta o aquella velocidad, puede ser uno u otro isómero (o
complementaria de moléculas mayores), etcétera.
Para comprender la segunda ley, basta con entender un proceso, el más simple,
el mejor. Es lo que hemos hecho. El principio es el mismo para todos los
procesos; sólo difieren en los detalles. Unos son fáciles y otros más difíciles
de describir. Algunos procesos son tan complicados que todavía no sabemos cómo
describirlos. A veces ni siquiera sabemos cuántos parámetros están involucrados
en el proceso. Vamos a describir brevemente algunos procesos de complejidad y
dificultad crecientes.
§. Mezcla de tres componentes.
Supongamos que partimos de tres gases diferentes, NA moléculas A en
un volumen VA,NB moléculas B en
un volumen VByNC moléculas C en
un volumen VC(figura 7.12).
Como antes, retiramos las separaciones entre compartimentos y observamos lo que
ocurre. Si las moléculas tienen el mismo color, no veremos ningún cambio, pero
podemos medir las densidades o concentraciones de cada tipo de molécula en cada
punto y registrar los cambios. Si las moléculas tienen distintos colores,
olores o sabores, podemos seguir la evolución del color, olor o sabor de la
mezcla después de retirar las separaciones.
¿Cómo podemos describir con un solo número aquello cuyo cambio estamos
observando? Incluso con esta clase de experimento relativamente simple, la
construcción del «índice» numérico (que necesitamos para registrar la evolución
del sistema) no es un asunto sencillo. Primero tenemos que definir los sucesos
específicos de nuestro sistema. Un suceso específico en este caso podría ser:
«molécula 1 del tipo A en VA, molécula
2 del tipo A en VB,… molécula 1 del
tipo Ben VA, molécula 2 del tipo B en VC,
etcétera». ¡Una descripción ciertamente larga!
Reconocemos que muchos de estos sucesos específicos nos resultan
indistinguibles. Por ejemplo, el suceso «molécula 1 del tipo A en VA,
molécula 2 del tipo A en VB, etcétera»
es indistinguible del suceso específico «molécula 1 del tipo A en VB,
molécula 2 del tipo A en VA, etcétera» (aquí el
«etcétera» da a entender que el resto de la descripción es la misma en ambos
casos).
Figura 7.12
Los
sucesos inespecíficos serán del estilo de «una molécula de A en VA,
15 moléculas de B en VB,
20 moléculas de C en VC, etcétera». Aquí se
ignoran las etiquetas de las moléculas en cada compartimento; lo que importa es
que haya una molécula A cualquiera en VA,
15 moléculas de B cualesquiera enVB y 20 moléculas
de C cualesquiera en VC.
Hecho esto, tenemos que calcular las
probabilidades de todos los sucesos inespecíficos. Esto no es tan fácil en el
caso general. Como en el experimento de expansión, damos por sentado que todos
los sucesos específicos tienen la misma probabilidad, que es 1/W
(total). Por lo tanto, podemos calcular la probabilidad de cada suceso
inespecífico simplemente sumando las probabilidades de los sucesos específicos
que comprende. Pero aquí un suceso inespecífico no viene determinado por un
solo número, como era el caso del proceso de expansión. Para registrar la
evolución de los sucesos inespecíficos necesitamos un número único. Ese número
no es otro que la información perdida, el número de preguntas binarias que
tenemos que hacer para averiguar en qué estado específico se encuentra el
sistema, conocido el estado inespecífico. Ese mismo número, más una constante
que determina las unidades, es la entropía del sistema, que está definida para
cada estado inespecífico[117]. Ya podemos seguir la evolución del
sistema desde la retirada de las separaciones hasta que alcanza el estado de
equilibrio final. Si lo hacemos, deberíamos
comprobar que la información perdida ha aumentado en el proceso.
§. Transferencia de calor de un gas caliente a un gas frío.
En el capítulo 5 hemos descrito un «experimento»
con dados que implicaba cambios de temperatura. Allí decíamos que el
experimento en cuestión era muy poco realista. Aquí examinamos un experimento
real que involucra cambios de temperatura. Este experimento es importante por
varias razones. En primer lugar, es uno de los procesos clásicos donde se
verifica un aumento de entropía. De hecho, fue uno de los procesos más simples
para los que se formuló la segunda ley (véase el capítulo 1). En segundo lugar,
es importante poner de manifiesto que lo que cambia en este proceso es lo mismo
que en los otros procesos que hemos visto: la información perdida. En tercer
lugar, entenderemos por qué no hemos podido concebir una analogía con dados de
este proceso.
Considérese la siguiente experiencia.
Inicialmente tenemos dos compartimentos aislados del mismo volumen y con el
mismo número de partículas de gas, digamos argón, pero a distinta temperatura:
uno a T1 = 50 K y otro a T2 = 400 K(figura 7.13). Si los ponemos en contacto (mediante
una placa conductora del calor entre ambos compartimentos, o simplemente
retirando la separación y dejando que las partículas de gas se mezclen)
observaremos que la temperatura del gas caliente disminuye, mientras que la del
gas frío aumenta. En el equilibrio tendremos una temperatura uniforme T = 225 K en todo el sistema.
Es evidente que se transfiere calor, o energía
térmica, del gas caliente al gas frío. Para entender cómo cambia la entropía en
este proceso necesitamos algo de matemáticas. Aquí intentaré ofrecer una
impresión cualitativa de dicho cambio entrópico.
Figura 7.13
Para
empezar, hay que decir que la temperatura está ligada a la distribución de
velocidades moleculares. En la figura 7.14 se ilustra la distribución de
velocidades de los dos gases en el estado inicial. Como puede verse, la
distribución correspondiente al gas frío es más estrecha, mientras que la del
gas caliente es más ancha. En el equilibrio térmico, la distribución tiene una
anchura intermedia (la curva a trazos en la figura 7.14).
Lo que observamos experimentalmente se
interpreta al nivel molecular como el cambio en la distribución de velocidades
moleculares. Parte de la energía cinética del gas caliente se transfiere al gas
frío, con lo que en el equilibrio final se alcanza una distribución intermedia.
Ahora fijémonos en las dos curvas de la figura
7.15, que muestra las distribuciones de velocidades del sistema entero antes y
después del contacto térmico. ¿Podemos decir cuál de las dos distribuciones es
más ordenada o desordenada?
¿Podemos decir en cuál de las dos distribuciones la dispersión de la energía cinética es más uniforme o abarca
un rango más amplio de valores?[118]Yo diría que la
distribución final (la curva a trazos) parece más ordenada, y que parece tener
una dispersión menor. Obviamente, éste es un juicio altamente subjetivo. Por
ésta y otras razones que discutiremos en el próximo capítulo, no me parece que
la entropía pueda describirse adecuadamente ni como «desorden» ni como
«dispersión de la energía». En cambio, identificarla con la información o la
información perdida sí me parece adecuado. Por desgracia, esto no se puede
probar sin matemáticas. Me limitaré a citar un resultado demostrado por Shannon
en 1948[119]. La distribución
final de velocidades es la que tiene informaciónmínima,
o información perdida máxima. Aunque este resultado no puede intuirse mirando
la curva, puede demostrarse matemáticamente.
Figura 7.14
De
nuevo tenemos un número único relacionado con la entropía, cuya
evolución puede registrarse[120].
Por último, recordemos que en el juego de dados
descrito en el capítulo 5 empleábamos dados con sólo dos estados, caliente y
frío, igualmente probables. Para hacer el experimento más realista, deberíamos
haber imaginado dados con un número infinito de caras (cada una correspondiente a una velocidad
molecular). También tendríamos que haber modificado las reglas del juego para
describir la evolución hacia el equilibrio (no podemos cambiar la velocidad de
las partículas al azar, porque la energía cinética total debe conservarse).
Todo esto es difícil de trasladar al juego de dados, por lo que uno debería
guardarse de tomar ese modelo como algo cercano a un sistema físico real.
En el ejemplo que nos ocupa, hemos seguido
experimentalmente un parámetro, la temperatura. Pero la temperatura viene
determinada por un número infinito de parámetros: todas las velocidades
posibles. Por supuesto, es imposible registrar la velocidad de cada partícula.
Lo que registramos es la temperatura, que es una medida de la velocidad
molecular media.
Figura 7.15
Pero
la cosa que cambia, lo que llamamos entropía, no es
más que la cantidad de información perdida; una cantidad que puede expresarse
como la distribución de velocidades antes y después del contacto entre los dos
gases a diferente temperatura.
La «fuerza impulsora» de este proceso también es
la misma que la del proceso de expansión y el juego de dados: el sistema
procederá de un estado de baja probabilidad a un estado más probable.
Cuantos más parámetros tenemos para describir
los hechos, la contabilidad se hace más difícil. Muy pronto nos encontramos con
procesos (como el que tiene lugar desde que un huevo cae al suelo hasta que
alcanza el equilibrio, suponiendo que el huevo y el suelo están en una caja
aislada del resto del mundo) imposibles de describir. En tales procesos no sólo
cambia la distribución de velocidades de las moléculas, sino sus posiciones y
sus estados internos (vibraciones, rotaciones, etcétera). Es virtualmente
imposible describir estos cambios en detalle, y menos aún calcular las
probabilidades de los sucesos posibles. Pero creemos que los principios que
gobiernan los cambios que tienen lugar son los mismos que en el experimento de
expansión simple. En principio, creemos que existe una magnitud llamada
entropía que se describe mejor como la información perdida que cambia en el
mismo sentido para cualquier proceso espontáneo dentro de un sistema aislado.
En otras palabras, la segunda ley gobierna la multitud de sucesos que se
despliega en tales procesos.
Es tentador incluir los procesos vitales en la misma
categoría de procesos gobernados por la segunda ley. Pero creo que, en esta
fase de nuestra comprensión de la «vida», sería prematuro hacerlo. Es imposible
describir y enumerar todos los «parámetros» que cambian en cualquier proceso
vital. Personalmente pienso que los procesos vitales, como los inanimados,
también están regidos por la segunda ley. Volveré a hablar de los procesos
vitales en el próximo capítulo.
Como hemos visto, el cambio puede describirse a varios «niveles». Al nivel más
fundamental, lo que cambia es el estado específico, o la configuración específica,
del sistema. En los juegos de dados, un dado concreto pasa de 2 a 4, por
ejemplo; en el proceso de expansión, una partícula concreta pasa del
compartimento I al compartimento D. por ejemplo, y
en el proceso de desasimilación, una molécula concreta pasa de la forma l a
la forma d. Lo que podemos registrar es una propiedad del estado
inespecífico. Cada estado inespecífico abarca muchos estados específicos, entre
los cuales no queremos distinguir (como cuando registramos
sólo la suma de los resultados de N dados) o no podemos distinguir en
principio (como cuando una partícula de gas concreta pasa de I a D).
Lo que registramos es algo que podemos medir (temperatura, frecuencia de ondas
electromagnéticas, densidad, etcétera) o percibir con nuestros sentidos (color,
olor, frío o calor, etcétera). Si queremos un número o un índice para registrar
la evolución del sistema, el mejor y más general es la información perdida, o
su equivalente la entropía.
¿Por qué pasa un sistema de un estado
inespecífico a otro? Simplemente porque el nuevo estado inespecífico abarca
muchos más estados específicos, y en consecuencia es más probable. De ahí que
el sistema pase una fracción de tiempo mayor en el estado inespecífico
final.
Por último, ¿por qué cuando un sistema alcanza el estado de equilibrio se queda
ahí «siempre»? Simplemente porque el número de estados específicos
pertenecientes a los estados en la vecindad de la línea de equilibrio es
enorme, y cada uno de ellos contribuye con la misma probabilidad.
Así pues, un sistema siempre procederá de un estado inespecífico de baja
probabilidad a un estado inespecífico altamente probable. Esto equivale a decir
que los sucesos altamente probables ocurrirán con más frecuencia. Esto es de
sentido común. Cuando el número de partículas es enorme, el número de sucesos
elementales comprendidos por el mismo suceso inespecífico es tan grande que la
frecuencia de los estados inespecíficos en la vecindad de la línea de
equilibrio, a lo que nos referimos como estado de equilibrio,
es prácticamente uno. Por lo tanto, cuando se alcanza este estado, el sistema
se mantendrá «siempre» en él. Se trata de la
misma conclusión a la que hemos llegado con el juego de dados descrito en el
capítulo 6.
En este punto, ya hemos adquirido una comprensión plena del porqué de la
evolución de dos procesos: la expansión de un gas ideal y el proceso de
desasimilación.
Si queremos, podemos formular nuestra propia versión de la segunda ley: un
gas ideal que ocupa un volumen inicial Vsiempre se expandirá espontáneamente
para ocupar un volumen mayor, digamos 2V; si el sistema está aislado, nunca
observaremos el proceso inverso. Es fácil probar que esta formulación es
equivalente a las de Clausius y Kelvin (véase el capítulo 1). Para verlo,
supongamos que nuestra formulación de la segunda ley no se cumple; esto es, a
veces un gas que ocupa un volumen 2V se condensa espontáneamente en
un volumen V. Si esto fuera cierto, podríamos recurrir a un truco
simple para levantar pesos: sólo tendríamos que colocar el peso sobre el gas
comprimido y esperar que volviera a expandirse. La contracción espontánea
también podría servir para transferir calor de un cuerpo frío a uno caliente.
El truco es el mismo que el empleado para demostrar la equivalencia de las
formulaciones de Kelvin y de Clausius.
§. Test de comprensión de la segunda ley.
Ahora que hemos entendido la actuación de la segunda ley en los juegos de dados
y hemos traducido el lenguaje de los dados al lenguaje de las partículas reales en un recipiente, es hora de que el lector se
examine con el mismo diseño experimental que se muestra en la figura 7.2.
Supongamos que nunca hemos oído hablar de la segunda ley, pero conocemos y
aceptamos los siguientes supuestos[121]:
1) La materia está
constituida por gran número de átomos o moléculas, del orden de1023.
2) Un sistema de 1023átomos de un gas ideal puede estar
en multitud de estados específicos (o sucesos específicos, o configuraciones
específicas) que se suponen igualmente probables.
3) Todos los sucesos específicos pueden agruparse en sucesos
inespecíficos (como los de la figura 7.5).
4) Cada suceso inespecífico (excepto 0 y N) consiste en
un enorme número de sucesos específicos indiscernibles (como los del lado
derecho de la figura 7.5).
5) La probabilidad de cada suceso inespecífico es la suma de las
probabilidades de todos los sucesos específicos que lo
constituyen. El tiempo relativo que pasa el sistema en cada suceso inespecífico
es proporcional a su probabilidad.
6) Hay un suceso inespecífico que contiene un número máximo de
sucesos específicos. Por lo tanto, el sistema pasa la mayor parte
del tiempo en este estado maximal.
7) No podemos distinguir entre sucesos inespecíficos que difieren
sólo en un número pequeño de partículas (digamos entre inespecífico-1023e
inespecífico-1023± 1000, o entre inespecífico-1023 e
inespecífico-1023±106).
El
supuesto 7º es esencial. En mi opinión, este supuesto (que en realidad es un
hecho) no se destaca lo suficiente en los libros de texto de
termodinámica. Sin él, podríamos seguir toda la construcción de la segunda ley,
pero al final no llegaríamos a la conclusión de que la entropía debe
mantenerse estrictamenteconstante en el equilibrio, y debe cambiar estrictamente en
un solo sentido (ascendente). El hecho de que no observemos ningún
decrecimiento de la entropía en el equilibrio, y sí observemos una
entropía estrictamente creciente en un proceso espontáneo, se debe a dos
razones:
1) Hay pequeñas
fluctuaciones, y ocurren con mucha frecuencia, pero son inobservable se inconmensurables,
porque son demasiado pequeñas para poderse ver o medir.
2) Las fluctuaciones observables y medibles no
son imposibles, pero son tan extremadamente raras que nunca resultan observables ni medibles.
Ahora
formularé preguntas para que el lector las responda y luego compruebe si sus respuestas coinciden
con las mías (entre paréntesis).
Partimos de un sistema de N partículas (con N del
orden de 1023) en un volumen V. En la figura 7.2 se
muestra un sistema simplificado a modo de ilustración. Inicialmente, la
separación entre ambos compartimentos no permite que las partículas crucen de
un lado a otro.
Pregunta: ¿Qué observamos?
Respuesta: (Nada; cualquier magnitud medible tendrá el mismo valor
en cada punto del sistema, y ese valor no cambia con el tiempo).
Luego abrimos una minúscula portezuela entre los compartimentos izquierdo (I)
y derecho (D), lo bastante pequeña para que
sólo una partícula la atraviese cada cierto intervalo corto de tiempo,
digamos t = 10−8 segundos[122]. En este intervalo
de tiempo hay una probabilidad, que denotaremos como p1,
de que una partícula específica atraviese la
portezuela. Puesto que los átomos son idénticos, cualquier partícula tiene la misma
probabilidad p1 de pasar al otro lado.
Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que alguna de
las N partículas atraviese la portezuela dentro del intervalo
de tiempo t?
Respuesta: (Obviamente, dado que hemos supuesto que la portezuela
es lo bastante pequeña para que no puedan cruzarla dos partículas en el
intervalo de tiempo t, la probabilidad de que la partícula l pase
al otro lado es p1, la probabilidad de que la partícula 2 pase al otro lado
es p1… y la probabilidad de que la partícula N pase
al otro lado es p1. Puesto que todos estos sucesos son
disjuntos, la probabilidad de que alguna partícula pase al otro lado es N veces p1,
o N × p1).
Pregunta: Muy bien. ¿Qué ocurrirá en el primer intervalo de tiempo
t?
Respuesta: (O una partícula pasará de I a D,
o no ocurrirá nada). Pregunta: Correcto. Supongamos que tenemos que esperar un
intervalo t, y otro más, hasta que la primera partícula cruza la
portezuela.
Pregunta: ¿Qué partícula será la primera
en cruzar?
Respuesta: (No sabemos cuál de las partículas cruzará la portezuela, pero
sea cual sea, sólo puede pasar de I a D).
Pregunta: ¿Por qué?
Respuesta: (Simplemente porque al principio no hay partículas
en D, por lo que la primera en cruzar debe proceder de I).
Pregunta: Correcto. Ahora esperemos hasta que la siguiente
partícula atraviese la portezuela. ¿Qué ocurrirá?
Respuesta: (Dado que ahora tenemos N − 1
partículas en I y sólo una en D, la probabilidad
de que alguna de las N − 1 partículas que están en I pase
al otro lado es mucho mayor que la probabilidad de que la única partícula
en D vuelva a I. Así pues, es mucho más probable
[las posibilidades son N − 1 a 1] que observemos el paso de
una segunda partícula de I a D).
Pregunta: Correcto. Esperemos de nuevo a que otra partícula cruce
la portezuela.
¿Qué ocurrirá?
Respuesta: (De nuevo, puesto que las posibilidades relativas de que
una partícula pase de I a D y de D a I son N−
2 a 2, es mucho más probable que veamos pasar una tercera partícula de I a D).
Pregunta: En efecto, ¿y en el siguiente paso?
Respuesta: (Lo mismo. Ahora las posibilidades de que alguna partícula pase de Ia D son N − 3 a 3, lo
cual es algo menos que antes, pero, dado que N = 1023,
las posibilidades son abrumadoramente favorables al paso de una partícula
de I a D y no al revés).
Pregunta: ¿Qué ocurrirá en los siguientes millones, o billones, de
pasos?
Respuesta: (La respuesta vuelve a ser la misma cada vez. Si hay n
partículas en D y N −n partículas
en I, y si n es muy pequeño en comparación
con N/2, un millón o incluso un billón sigue siendo un número muy
pequeño en comparación con 1023, así que seguirá siendo más probable
el paso de una partícula de I a Dque en sentido contrario).
Pregunta: ¿Qué pasa cuando n
se hace igual (o casi igual) a N/2?
Respuesta: (Las posibilidades de pasar de I a D son
aproximadamente N − n a n, lo que
para n = N/2 significa N/2: N/2
o, equivalentemente, 1:1).
Pregunta: ¿Y qué ocurrirá?
Respuesta: (Una cosa es lo que ocurrirá y otra lo
que veremos. Lo que ocurriráes que, por término medio, pasarán
tantas partículas de I a D como de D
a I. Lo que veremos es una ausencia de cambio. Si n se
desvía de N/2 en unos cuantos miles o millones de partículas, la
desviación será demasiado pequeña para ser apreciable. Si la desviación es lo
bastante grande, entonces quizá podríamos verla o medirla. Pero una
desviación de esa magnitud es muy improbable, así que nunca la
observaremos).
Pregunta: Entonces, ¿qué veremos o mediremos de ahí en adelante?
Respuesta: (No habrá cambios observables o medibles; el sistema
alcanzará un estado de equilibrio donde el número de partículas en I y
el número de partículas en D serán aproximadamente iguales).
Pregunta: Si las respuestas del lector han sido correctas, ha
pasado el examen. Una pregunta más para ver si ha entendido el proceso de
desasimilación. Supongamos que partimos de N moléculas, todas
de la forma d, e introducimos una pequeña porción de catalizador.
Siempre que una molécula, cualquier r molécula, tropieza con
el catalizador, hay una probabilidad p1, de que pase
de d a l o de l a d.
¿Qué observaremos en este sistema?
Respuesta: (Valen las mismas respuestas de antes, cambiando los
compartimentos I y D por los isómeros l
y d. En vez de una portezuela que permite pasar de I a D y
viceversa, el catalizador permite transformar d en l o l en d.
Con esta traducción del lenguaje de los compartimentos I y D al
lenguaje de los isómeros d y l, las respuestas son idénticas a las anteriores).
Llegados aquí, el lector ha entendido dos
ejemplos del comportamiento de la entropía en un proceso espontáneo. Ha pasado
el examen, y yo he cumplido mi misión. Si tiene interés en compartir algunas de
mis especulaciones personales, le invito a leer el próximo capítulo.
Fin del capítulo 7
Capítulo 8
Reflexiones sobre el estatuto de la segunda ley de la termodinámica como ley
física
Contenido:
§. ¿Cuál es la
fuente del misterio?
§. La asociación de la entropía con el «desorden».
§. La asociación de la entropía con la información perdida.
§. ¿Está íntimamente asociada la segunda ley con la flecha del tiempo?
§. ¿Es la segunda ley de la termodinámica una ley física?
§. ¿Podemos prescindir de la segunda ley?
Si
el lector me ha seguido hasta tan lejos y ha llegado a este último capítulo, ya
debe sentirse cómodo con el concepto de entropía y con la segunda ley de la
termodinámica. Si lanza un par de dados (reales) muchas veces, ya no debería
sorprenderle que el valor suma=
7 aparezca más veces que cualquier otro. Tampoco debería sorprenderle que, si
lanza un centenar de dados simplificados (con «0» y «1» como únicos resultados
posibles), la suma de los resultados de cada dado esté casi siempre en torno a
50. Y si lanza un millón de dados simplificados, ya no le causará perplejidad
que «nunca» obtenga suma =
0 o suma = 1.000.000. Sabemos que ambos resultados
son posibles, pero tan infrecuentes que podemos pasarnos la
vida entera jugando sin observarlos ni una sola vez. Esto ya no nos sorprende
porque el sentido común nos dice que los sucesos altamente probables se
observarán con más frecuencia, mientras que los sucesos con una probabilidad
extremadamente baja «nunca» se observarán.
Si uno nunca ha oído hablar de la constitución
atómica de la materia y observa que un gas coloreado inicialmente contenido en
un compartimento fluye hasta llenar los dos compartimentos de un recipiente,
tal como se muestra en la figura 8.1a; o que dos compartimentos con dos gases
diferentes (uno amarillo y otro azul, por ejemplo) se transforman en un todo de
color (verde) homogéneo, tal como se muestra en la figura 8.1 b; o que un
cuerpo caliente a T2 =
100 °C, tras entrar en contacto con un cuerpo frío a T1 = 0 °C, se enfría hasta una temperatura
intermedia, tal como se muestra en la figura 8.1c, uno deberíasentirse perplejo. ¿Por qué fluye el gas de una cámara
a otra? ¿Por qué dos gases coloreados se transforman en una mezcla monocolor?
¿Por qué las temperaturas del cuerpo caliente y del cuerpo frío se transforman
en una única temperatura intermedia? ¿Cuáles son las fuerzas ocultas que
impulsan todos estos fenómenos, siempre en el mismo sentido y nunca en el
opuesto? De hecho, hasta que no se descubrió y aceptó la naturaleza atómica de
la materia[123], todos estos
fenómenos estuvieron envueltos en el misterio.
«Misterio» quizá no sea la palabra adecuada. La
palabra «desconcierto» puede que describa mejor la situación. La única razón
para sentirnos desconcertados es que no tengamos ninguna comprensión de por qué
los fenómenos descritos proceden en un sentido particular. Pero lo mismo vale
para cualquier ley física. Cuando se acepta la ley como un hecho, nos parece
que es natural y tiene sentido[124]. La segunda ley no
es una excepción: el hecho de que tales procesos sean tan comunes y corrientes
implica que progresivamente se vayan percibiendo como «naturales» y «con
sentido».
Ahora bien, si sabemos que un gas consiste en un
gran número de átomos o moléculas, del orden de 1023, agitándose y colisionando incesantemente millones de
veces por segundo, entonces sabemos que las leyes de la probabilidad deben
imponerse, y se acabó el misterio. No hay más misterio en todos esos procesos
que en el hecho de que no nos toque el gordo en la lotería.
Me gustaría creer que, a estas alturas, incluso
quienes nunca hayan oído hablar de la «entropía» y la «segunda ley» antes de
leer este libro se estarán preguntando por qué la palabra «misterio» se ha
asociado con estos conceptos. Ya no hay motivo para inquietarse al oír la
palabra «entropía» o desconcertarse por la «fuerza» invisible que impulsa al
gas a llenar el compartimento vacío. Tampoco hay necesidad de seguir leyendo
este libro. Mi misión de explicar los «misterios de la segunda ley» se ha
completado en el capítulo anterior, donde hemos alcanzado una comprensión plena
de la segunda ley.
Figura 8.1
En
este capítulo me tomaré la libertad de exponer algunas reflexiones personales
sobre la segunda ley. Algunas de mis ideas no cuentan con un respaldo
universal. Aun así, me he aventurado a expresarlas y arriesgarme a suscitar la
crítica de científicos cuyo parecer puede ser diferente y más correcto que el
mío.
En este capítulo planteo algunas preguntas e
intento contestarlas. Comenzaré con una relativamente inocente: ¿por qué la
segunda ley ha estado rodeada de misterio durante tanto tiempo? ¿Es porque contiene
una semilla de conflicto entre la simetría temporal de las ecuaciones del
movimiento y la irreversibilidad observada de los procesos naturales? Luego
discutiré unas cuantas preguntas más, cuyas respuestas todavía son objeto de
controversia. ¿Es realmente la entropía una medida del «desorden», y qué
significa el orden o desorden de un sistema? ¿Cómo ha invadido la «información»
un «territorio» que solía albergar sólo entidades físicamente medibles? ¿Está
la segunda ley íntimamente asociada con la flecha del tiempo? ¿Cuál es el
«estatuto» de la segunda ley de la termodinámica en comparación con otras leyes
de la naturaleza? ¿Es también posible que algún día la ciencia prescinda de la
segunda ley de la termodinámica al considerarla una redundancia, una reliquia
de la visión pre atomista de la materia que no enriquece nuestro conocimiento
del funcionamiento de la naturaleza?
§. ¿Cuál es la fuente del misterio?
En mi opinión, hay varias razones que dan pie al
misterio que envuelve la segunda ley. La primera, y tal vez la más simple, es
la propia palabra «entropía». Todo el mundo está familiarizado con conceptos
como fuerza, trabajo, energía y demás. Cuando uno estudia física, encuentra las
mismas palabras, aunque a veces con un significado bien diferente del
ordinario. La cantidad de «trabajo» que me ha llevado escribir este libro no se
mide en las mismas unidades de trabajo (o energía) que se usan en física.
Igualmente, la «fuerza» ejercida sobre un político para que impulse un proyecto
de ley no es la clase de fuerza que maneja la física. No obstante, los
conceptos precisos de trabajo y fuerza tal como los define la física retienen
algo del aire cualitativo de su significado cotidiano. Por eso no es difícil
acomodarse al significado nuevo y más preciso conferido por la física a
conceptos familiares como fuerza, energía o trabajo. En cambio, cuando uno
tiene su primer encuentro con un neologismo como «entropía», levanta un aire de
misterio que tiene un efecto extraño e incómodo. Si uno no es estudiante de física
o química y por casualidad oye hablar de «entropía» a los científicos, le
parecerá que ese concepto está más allá de su alcance, y más aún si los propios
científicos se refieren a la entropía como un misterio.
León Cooper (1968), justo después de citar la
explicación de Clausius de sus razones para la elección del término «entropía»,
comenta[125]:
Al hacerlo así, en
vez de extraer un nombre del cuerpo del lenguaje corriente (digamos «calor
perdido»), consiguió acuñar una palabra que significaba lo mismo para todo el
mundo: «nada».
En
líneas generales estoy de acuerdo con este comentario de Cooper, pero tengo dos
objeciones. En primer lugar, la palabra «entropía» es desafortunadamente
engañosa, lo cual no quiere decir que carezca de significado. Abramos un
diccionario y leeremos: «Entropía, del griego antiguo, cambio, giro literario».
Es evidente que el concepto de entropía no se corresponde con «transformación»,
ni «cambio», ni «giro». Como hemos visto, la entropía, tal como se define tanto
en la formulación no atomista como en la formulación atomista de la segunda
ley, es algo que cambia. Pero no es la «transformación» lo que se transforma,
no es el «cambio» lo que cambia, y desde luego no es ningún «giro» lo que
evoluciona.
Mi segunda objeción tiene que ver con la
sugerencia casual de Cooper de que «calor perdido» podría haber sido una
denominación más apropiada. Ciertamente, «calor perdido» tiene más sentido que
«entropía». También concuerda con el significado universal atribuido a la
entropía como «medida de la energía no disponible»[126]. Volveré a este
significado de la entropía en la sección «La asociación de la entropía con la
información perdida».
Hay una segunda razón para la aureola de
misterio de la entropía, aparte de que sea un concepto con el que no estamos
familiarizados. El hecho mismo de que tantos autores digan que la entropía es misteriosa la convierte en misteriosa. Esto se aplica tanto a
divulgadores de la ciencia como a autores de libros de textode termodinámica.
Un ejemplo lo brinda un libro muy reciente para
el gran público brillantemente escrito por Brian Greene, donde podemos leer[127]:
Y entre las
características de la experiencia común que se han resistido a la explicación
completa está una que se adentra en uno de los misterios no resueltos más
profundos de la física moderna, lo que el gran físico británico Sir Arthur
Eddington llamó «la flecha del tiempo».
A
continuación, Greene explica el comportamiento de la entropía recurriendo a las
páginas de Guerra y paz, la novela épica de Tolstoi. Hay muchas maneras de
desordenar las páginas de la citada novela, pero sólo una (o dos) de ponerlas
en el orden correcto.
A mí me parece que la cita anterior contribuye a
perpetuar un misterio que ya no existe. Con unas cuantas frases más, Greene
podría haber explicado fácilmente la «entropía», igual que ha explicado tantos
otros conceptos de la física moderna. Por eso me extraña que diga que es «uno
de los misterios no resueltos más profundos de la física moderna», cuando lo
que debería haber escrito es que el misterio que envolvía la segunda ley ya es
historia. Hay muchos autores que han escrito sobre la segunda ley con la
intención de explicarla, pero
que de hecho han acabado perpetuando el misterio[128].
Un ejemplo clásico es el libro de Atkins, La
segunda ley, que comienza con las siguientes
palabras[129]:
Ninguna otra parte
de la ciencia ha contribuido tanto a la liberación del espíritu humano como la
segunda ley de la termodinámica. Pero, al mismo tiempo, pocos sectores de la
ciencia se han mantenido tan recónditos. La sola mención de la segunda ley suscita
visiones de pesados motores de vapor, matemáticas intrincadas, y una
infinitamente incomprensible entropía.
¿Cómo
debemos interpretar estas tres frases? Por mi parte, no estoy en absoluto de
acuerdo con ninguna de ellas. La primera frase es ambigua. No acabo de entender
qué tiene que ver la segunda ley con «la liberación del espíritu humano». Pero
lo que pretendo aquí no es discutir las opiniones de Atkins sobre la segunda
ley. Si cito las tres frases que abren el libro de Atkins es para mostrar cómo
contribuyen a perpetuar el misterio. La primera suscita grandes expectativas, y
presumiblemente nos anima a leer el libro. Pero estas expectativas se ven en
gran medida frustradas a medida que vamos leyendo. Las otras dos frases son
manifiestamente descorazonadoras (una entropía «infinitamente incomprensible»
no estimula precisamente el apetito a la hora de hincarle el diente). En muchos
libros de texto de termodinámica, los autores dedican mucho
tiempo a examinar diferentes manifestaciones de la segunda ley, pero muy poco a
lo que tienen en común todas esas manifestaciones. En vez de
seleccionar uno o dos ejemplos simples de procesos que constituyen
manifestaciones de la segunda ley, se presenta un cúmulo de ejemplos, algunos
demasiado complicados para que resulten comprensibles. Leyendo todo eso, uno es
incapaz de ver el bosque a través de los árboles[130]
En el capítulo 7 hemos examinado dos ejemplos
relativamente simples que ponen de manifiesto la actuación de la segunda ley.
En ambos casos sólo cambiaba un parámetro. En el primer ejemplo observábamos un
cambio en la información posicional (partículas inicialmente confinadas en un volumen dado se
dispersan y ocupan un volumen mayor). En el segundo ejemplo lo que cambiaba era
la identidad de las
partículas. En el experimento de la transferencia de calor de un cuerpo
caliente a otro frío lo que cambiaba era la distribución de velocidades. Por
supuesto, hay procesos más complicados que implican cambios en numerosos
parámetros (o grados de libertad). A veces es difícil enumerarlos todos. Por
ejemplo, los procesos implicados en la rotura de un huevo al caer al suelo
implican cambios de posición, de identidad, de distribución de velocidades, de
orientaciones y de rotaciones internas de las moléculas. Todo esto complica la
descripción del proceso, pero el principio de la segunda ley es el mismo. Para entenderlo
basta con fijarse en un proceso simple, y cuanto más simple mejor y más fácil
de entender.
El libro de Atkins dedica un capítulo entero a
«ver cómo la segunda ley da cuenta de la emergencia de las formas
intrincadamente ordenadas características de la vida»[131]. En mi opinión,
esta promesa no se cumple. He leído el libro de Atkins de cabo a rabo y no he
conseguido ver «cómo la segunda ley da cuenta de la emergencia de las formas
intrincadamente ordenadas características de la vida».
Las promesas de esta clase contribuyen a la
frustración de los lectores y les disuaden de esforzarse en comprender la
segunda ley.
Los fenómenos de la vida involucran procesos
extremadamente complicados. Todo el mundo, científicos y no científicos, «sabe»
que la vida es un fenómeno complejo, muchos de cuyos aspectos, incluida la
mente y la conciencia, todavía no se comprenden bien. Así pues, hablar de
la vida en un libro que
se supone que explica la
segunda ley deja al lector con la impresión de que la entropía, como la vida,
es descorazonadoramente difícil de entender y muy misteriosa.
Es cierto que muchos científicos creen que todos
los aspectos de la vida, incluida la conciencia, están sometidos en última
instancia a las leyes de la física y la química, y que no hay ninguna entidad
separada, como la mente, que no sucumba a dichas leyes. Personalmente también
pienso así. Pero este argumento está lejos de haber sido probado y comprendido.
Podría ser que algunos aspectos de la vida requieran una extensión de las leyes
de la física y la química hoy conocidas, como ha sido sugerido lúcidamente por
Penrose[132]. En mi opinión, por
lo tanto, es prematuro tratar la vida como cualquier otro ejemplo de proceso
termodinámico, por fascinante que sea, en el contexto de la explicación de la
segunda ley.
El misterio asociado a la entropía obedece
también a otras razones más profundas. Durante más de un siglo, la segunda ley
estuvo formulada en términos puramente termodinámicos, e incluso tras el
advenimiento de la teoría molecular de la materia se siguió enseñando como una
ley termodinámica, en términos macroscópicos. Este enfoque conduce
inevitablemente a un callejón sin salida. De hecho, como proclamó
(correctamente) mi primera profesora de termodinámica (véase el prefacio), no
hay esperanza de comprender la segunda ley dentro del marco de la termodinámica. Para ver la luz,
debemos recorrer los túneles de la termodinámica estadística, esto es, la
formulación de la segunda ley sobre la base de un número inmenso de partículas
indistinguibles. Si examinamos las diferentes formulaciones de la segunda ley
dentro de la termodinámica clásica, se puede demostrar su equivalencia mutua.
Se puede demostrar que la entropía que induce un proceso tal como la expansión
de un gas es la misma que induce otro proceso tal como la mezcla de dos gases
distintos. Algo más difícil es demostrar que también es la misma entropía que
induce una reacción química, o la mezcla de dos líquidos. Y es imposible
demostrar que es la misma entropía responsable del estropicio creado por el
reventón de un huevo (aunque damos por sentado que sí es la misma, y que algún
día, cuando el aparato matemático de la termodinámica estadística sea más
poderoso, seremos capaces de demostrarlo). Pero, con independencia de cuántos
procesos espontáneos desentrañemos y podamos atribuir al inexorable incremento
de entropía, al final nos encontraremos en un callejón sin salida. Nunca
entenderemos cuál es la fuente subyacente de este ascenso irreversible de la
entropía. La termodinámica no nos revela los sucesos moleculares subyacentes.
De no haberse descubierto y aceptado la naturaleza
atómica de la materia[133], nunca habríamos
podido explicar la segunda ley, y ésta habría permanecido para siempre en el
misterio.
Ésa era la situación a finales del siglo XIX y
comienzos del XX. Aunque la teoría cinética del calor había conseguido explicar
la presión, la temperatura e incluso la entropía en términos de los movimientos
de átomos y moléculas, estas explicaciones se consideraban meras hipótesis. Científicos importantes e influyentes como Ostwald y
Mach pensaban que el concepto de átomo, y las teorías basadas en su existencia,
no deberían formar parte de la física. Su argumento era que, dado que nadie
había «visto» los átomos de manera directa ni indirecta, su incorporación a
cualquier teoría de la materia debía considerarse puramente especulativa.
La situación cambió drásticamente a comienzos
del siglo XX. Fue Einstein quien contribuyó decisivamente a la derrota del éter
y preparó el camino para la victoria de los atomistas. La aceptación de la
interpretación molecular de la entropía de Boltzmann se hizo inevitable (véase
el capítulo 1).
Pero el abrazo de la interpretación de Boltzmann
no disipó el misterio. Se había abierto de par en par la puerta hacia una
comprensión plena de la naturaleza de la entropía, a pesar de lo cual el
misterio persistió. ¿Por qué?
No estoy seguro de conocer la respuesta a esta
pregunta. Pero sé, por experiencia propia, por qué el misterio ha estado flotando en el aire
durante tanto tiempo. La razón tiene que ver, creo, con la controversia no
resuelta suscitada por la asociación de la entropía con el «desorden», con la
«información perdida» y con la «flecha del tiempo». Examinaré cada una de estas
cuestiones por separado.
§. La asociación de la entropía con el «desorden».
La asociación de la entropía con el desorden
quizá sea la más antigua de las tres, pues hunde sus raíces en la
interpretación de Boltzmann de la entropía. Los conceptos de orden y desorden
son vagos y altamente subjetivos, y aunque es cierto que en muchos casos se
puede correlacionar el incremento de entropía con un incremento del desorden,
decir que «el proceder de la naturaleza es ir del orden al desorden» es lo
mismo que decir que «el proceder de la naturaleza es ir de una entropía baja a
una entropía elevada». Esto no explica el aumento del desorden en un proceso
espontáneo. No hay ninguna ley de la naturaleza que imponga que los sistemas
tienen que evolucionar del orden al desorden.
De hecho, no es cierto que un sistema evolucione
siempre del orden al desorden. Si rechazo la identificación de la entropía con
el desorden es, más que nada, porque orden y desorden son conceptos mal
definidos y muy borrosos. Son demasiado subjetivos, a veces ambiguos y en
ocasiones totalmente engañosos. Consideremos los siguientes ejemplos:
En la figura 8.2 tenemos tres sistemas. A la
izquierda tenemos N átomos
de gas en un volumen V. En el
centro, una parte de los N átomos
ocupa un volumen 2 V. A la
derecha, los N átomos se
han distribuido uniformemente por todo el volumen 2 V. Fijémonos bien. ¿Alguien puede decir cuál de los
tres sistemas es el más ordenado? Se podría argumentar que el sistema de la
izquierda, donde los Nátomos
están confinados en la mitad del volumen disponible, está más ordenado que el
de la derecha, donde los átomos están dispersos por el volumen entero. Esto es
plausible cuando la entropía se asocia con la información perdida (véase más
adelante) pero, en lo que respecta al orden, personalmente no veo que ninguno
de los sistemas de la figura esté más ordenado o desordenado que el resto.
Ahora consideremos los dos sistemas
representados en la figura 8.3. En el sistema de la izquierda tenemos N
partículas azules en una caja de volumen V, y N partículas rojas en otra caja
del mismo volumen. A la derecha tenemos todos los átomos mezclados dentro del
mismo volumen V. ¿Cuál de los sistemas está más ordenado? A mi juicio, el
sistema de la izquierda está más ordenado, porque las partículas azules y las
rojas están en cajas separadas, mientras que en el sistema de la derecha están
mezcladas. «Mezclado» es, desde luego, un estado desordenado, coloquialmente
hablando. De hecho, el mismo Gibbs describió la entropía como «grado de
mezcla». Pero se puede demostrar que los dos sistemas mencionados tienen igual
entropía. Así pues, la asociación de la mezcla con el incremento del desorden
y, por ende, de entropía no es más que una ilusión. El problema con los
conceptos de orden y desorden es que no están bien definidos (el «orden», como
la «estructura» y la «belleza», está en los ojos del observador).
No conozco ninguna definición precisa de orden y desorden que pueda servir para
validar la interpretación de la entropía como una medida de desorden. Aun así,
Callen (1985), en su conocido libro de termodinámica, escribe (pág. 380):
Figura 8.2
Figura 8.3
De hecho, el marco
conceptual de la «teoría de la información» erigido por Claude Shannon a
finales de los cuarenta proporciona una base para la interpretación de la
entropía en términos de la medida del desorden de Shannon.
Y
en la página siguiente Callen concluye:
Para un sistema
cerrado la entropía se corresponde con la medida cuantitativa de Shannon del
máximo desorden posible en la distribución del sistema entre sus microestados
permisibles.
He
enseñado termodinámica durante muchos años, y a menudo me he basado en el libro
de Callen. Es un texto excelente. Pero, con el debido respeto a
Callen y su libro, debo decir que los pasajes citados confunden al lector. He
leído concienzudamente el artículo de Shannon «The Mathematical Theory of
Communication», palabra por palabra y de cabo a rabo, y en ninguna parte he
visto que Shannon defina o haga referencia al «desorden». Creo que Callen
tergiversa a Shannon en los pasajes citados y en el resto de ese capítulo de su
libro. ¿Para qué? Pues para «legitimizar» el recurso al concepto de desorden en
la interpretación de la entropía. Esto no se corresponde con lo que escribe
Shannon. Lo que Callen dice que es una definición de desorden en
realidad es la definición de información de Shannon. En mi
opinión, la redefinición de la información como desorden por parte de Callen no
contribuye a la comprensión de la entropía. Como hemos visto en los capítulos 2
y 6, la concepción cualitativa y altamente subjetiva de la información se ha
transformado, por obra de Shannon, en una medida cuantitativa y objetiva. Como
también hemos visto, el concepto de información así destilado retiene el
significado ordinario de la palabra «información». No ocurre lo mismo con el
desorden. Por supuesto, uno puede definirlo como hace Callen, recurriendo
precisamente a la definición de información de Shannon. Pero,
por desgracia, esta definición de «desorden» no tiene en general el mismo
significado que tiene en el lenguaje ordinario, como demuestran los ejemplos
anteriores[134].
Para concluir esta sección, yo diría que el
incremento del desorden (o cualquier término equivalente) puede
asociarse a veces, pero no siempre, con el incremento de la entropía. Por otro
lado, la «información» siempre puede asociarse con la
entropía, lo que la hace superior al desorden.
Para concluir esta sección, yo diría que el incremento del desorden (o
cualquier término equivalente) puede asociarse a veces, pero no siempre, con el
incremento de la entropía. Por otro lado, la «información» siempre puede
asociarse con la entropía, lo que la hace superior al desorden.
§. La asociación de la entropía con la información perdida.
Desde que Shannon propuso su definición del concepto
de información, ésta se ha demostrado muy adecuada para la interpretación de la
entropía[135]. En mi opinión, el concepto de
información perdida no sólo ha contribuido a nuestra comprensión de la cosa que
cambia (eso que llamamos entropía), sino que también nos ha acercado más al
paso final de entender el comportamiento de la entropía como algo de sentido
común. Pero esta opinión no es universal.
Sobre esta cuestión, Callen (1983, pág. 384) escribe: «Hay una escuela de
termodinámica que contempla la disciplina como una ciencia de predicción
subjetiva».
En un párrafo ya citado, anterior a los pasajes donde identifica la entropía con el desorden, Callen escribe:
El concepto de
probabilidad tiene dos interpretaciones distintas en el uso corriente. La
«probabilidad objetiva» se refiere a una frecuencia, o una ocurrencia
fraccionaria; la afirmación de que «la probabilidad de que un recién nacido sea
varón es algo menor que una mitad» es un enunciado sobre datos censales. La
«probabilidad subjetiva» es una medida de una expectativa basada en una
información subóptima. La evaluación por parte de un médico de la probabilidad
(subjetiva) de que una criatura aún no nacida sea varón depende del
conocimiento que tiene el médico de las historias familiares de los
progenitores, de los datos acumulados sobre niveles hormonales maternos, de la
claridad creciente de las imágenes por ultrasonidos y, finalmente, de una
estimación bien informada, pero que sigue siendo subjetiva.
Como
he explicado en el capítulo 2 (en la sección «Probabilidad condicionada y probabilidad
subjetiva»), discrepo de Callen en un sentido fundamental. Los dos ejemplos de
Callen pueden ser objetivos o subjetivos según la condición dada o
el conocimiento relevante que se tiene.
He vuelto a citar este párrafo del libro de Callen para mostrar que su
argumento en pro del «desorden» es esencialmente falaz. Creo que Callen ha
aplicado equivocadamente el argumento probabilístico para tachar la información
de «subjetiva» y defender la identificación de la entropía con el desorden, que
para él es «objetivo».
Un visitante extraterrestre que no tenga información sobre el censo de recién
nacidos no tendría ni idea de las probabilidades de ser niño o niña, y su
asignación de dichas probabilidades sería totalmente subjetiva. Por otro lado,
si dispusiera de la misma información y el mismo conocimiento, incluyendo las
frecuencias de niños y niñas, y unas estadísticas hospitalarias fiables, su
asignación de probabilidades sería inevitablemente objetiva.
Es desafortunado, y hasta irónico, que Callen descarte la «información» por
subjetiva, y al mismo tiempo recurra a la definición de Shannon de la
información, pero rebautizándola como «desorden». Al hacer esto sustituye una
magnitud bien definida, cuantitativa y objetiva por el más subjetivo concepto
de desorden. Si Callen no se hubiera servido de la definición de Shannon, el
desorden habría seguido siendo una magnitud mal definida, cualitativa y
altamente subjetiva.
A mi modo de ver, la cuestión no es si la información o el desorden son
conceptos objetivos o subjetivos. Lo que importa es que las nociones de orden y
desorden no son conceptos científicamente bien definidos. La información, en cambio, sí es una magnitud
científicamente bien definida, tanto como un punto o una línea en geometría, o
la masa o la carga de una partícula en física.
En su libro El fin de las
certidumbres, Ilya Prigogine (1997) cita las
siguientes palabras de Murray Gell-Mann(1994):
Entropía e
información están estrechamente relacionadas. De hecho, la entropía puede verse
como una medida de ignorancia. Cuando sólo se sabe que un sistema está en
cierto macroestado, la entropía de dicho macroestado mide el grado de
ignorancia del microestado en el que se encuentra, contando el número de bits
de información adicional que se requieren para especificarlo, con todos los
microestados tratados como igualmente probables.[136]
Estoy
completamente de acuerdo con Gell-Mann, pero Prigogine hace esta crítica:
Creo que este
argumento es insostenible, porque implica que es nuestra propia ignorancia,
nuestra imprecisión, lo que lleva a la segunda ley.
¿Insostenible?
¿Por qué? La razón de que dos premios Nobel tengan visiones diametralmente
opuestas de la entropía reside en una comprensión deficiente del concepto de
información.
En mi opinión, Gell-Mann no sólo tiene razón, sino que se cuida de decir que
«la entropía puede verse como una medida de ignorancia… La
entropía… mide el grado de ignorancia». No
dice nuestra propia ignorancia,
como entiende equivocadamente Prigogine.
En efecto, como hemos visto en el capítulo 2, la información es una medida
que está ahí en el sistema (o en el juego del capítulo 2).
Dentro de la «teoría de la información», la magnitud «información» no tiene
nada de subjetiva. Gell-Mann emplea el término «ignorancia» como sinónimo de
«falta de información». Como tal, la ignorancia también es una magnitud
objetiva que pertenece al sistema, y que no es lo mismo que nuestra
ignorancia, que puede ser objetiva o subjetiva. Este malentendido de la
interpretación informacional de la entropía como concepto subjetivo es bastante corriente. Citaré otro párrafo del prefacio del libro
de Atkins, La segunda ley[137]:
He omitido
deliberadamente cualquier referencia a la relación entre teoría de la
información y entropía. Existe el peligro, me parece a mí, de dar la impresión
de que la entropía requiere la existencia de alguna entidad cognoscitiva capaz
de poseer «información» o de ser «ignorante» en cierto grado. De ahí a la
presunción de que la entropía está en la mente y, por ende, es un aspecto del
observador, sólo hay un pequeño paso.
El rechazo de
Atkins de la interpretación informacional de la entropía sobre la base de que
esta «analogía» conduciría a la «presunción de que la entropía está en la
mente» es irónico. En lugar de hablar de información, emplea los términos
«desorden», «desorganizado» y otros, que a mi juicio están mucho más «en la
mente».
El caso es que entropía e información no sólo son conceptos «análogos», sino
que pueden hacerse idénticos.
Vuelvo a insistir en que la interpretación de la entropía como una medida de
información no puede servir para explicar la segunda ley de la
termodinámica. La afirmación de que la entropía es una magnitud siempre
creciente en cualquier proceso espontáneo (dentro de un sistema aislado) no
se explica diciendo que es «el modo que tiene la naturaleza de
incrementar el desorden» o «el modo que tiene la naturaleza de incrementar la
ignorancia». Éstas son descripciones posibles de la cosa que
cambia en un proceso espontáneo. Como descripción, el término «información» es
aún más apropiado que «entropía» a la hora de denotar lo que cambia.
Antes de acabar esta sección, hay que mencionar un problema persistente que ha
obstaculizado la aceptación de la interpretación informacional de la entropía.
Recordemos que la entropía se definió como calor dividido por
temperatura. Como tal, tiene unidades de energía dividida por temperatura.
Estos dos conceptos son tangibles, medibles y están bien definidos. Entonces,
¿de qué manera la «información», que es una magnitud adimensional[138], un número que no tiene nada que ver
ni con la energía ni con la temperatura, puede asociarse con la entropía, una
magnitud definida sobre la base de la energía y la
temperatura? Creo que ésta es una objeción muy válida que merece un examen más
detenido. De hecho, el mismo Shannon reconoció que su medida de la información
sólo se puede identificar con la entropía si se multiplica por una
constante k (ahora conocida como la constante de Boltzmann)
que tiene unidades de energía dividida por temperatura. Esto en sí mismo no
contribuye demasiado a probar que dos conceptos aparentemente muy distintos son
en realidad idénticos. Pero creo que hay una razón más profunda para la
dificultad de dicha identificación. Me explayaré sobre esta cuestión a dos
niveles.
En primer lugar, nótese que, en el proceso representado en la figura 8.1c, el
cambio de entropía implica una cantidad de calor transferido, además de una
diferencia de temperatura inicial. Pero esto es sólo un ejemplo de proceso
espontáneo. Considérese la expansión de un gas ideal representada en la figura
8.1a, o la mezcla de dos gases ideales representada en la figura 8.1b. La
entropía aumenta en ambos casos. Pero, también en ambos casos, no hay cambio de
energía, ni transferencia de calor, ni la temperatura tiene nada que ver. Si
llevamos a cabo estos dos procesos en condiciones de aislamiento, entonces el
cambio de entropía será independiente de la temperatura, y obviamente no habrá
ninguna transferencia de calor de un cuerpo a otro. Estos ejemplos sugieren que
el cambio de entropía no necesariamente tiene que ver con la
energía y la temperatura.
El segundo punto quizá pertenezca a un nivel más profundo. Las unidades de
entropía (Joule/Kelvin) no sólo son innecesarias, sino que la entropía no
deberíavenir expresada en función de dichas unidades. La inclusión de la
energía y la temperatura en la definición original de la entropía es un
accidente histórico, una reminiscencia de la era pre atomista de la
termodinámica.
Recordemos que la temperatura se definió antes que la entropía y antes que la
teoría cinética del calor. Kelvin introdujo la escala absoluta de temperatura
en 1854, y Maxwell publicó su artículo sobre la distribución de velocidades
moleculares en 1859. Esto condujo a la identificación de la
temperatura con la energía cinética media de los átomos o moléculas del gas de
turno[139]. Una vez confirmada y aceptada esta
identificación de la temperatura como una medida de la energía cinética media
de los átomos, ya no había razón para mantener las viejas unidades de
temperatura. Había que redefinir la temperatura absoluta, denotada provisionalmente
por Ť, como Ť = kT. La nueva temperatura Ť tendría unidades de
energía, así que la constante de Boltzmann k ya no sería
necesaria[140]. La ecuación de la entropía sería
simplemente S= ln W, ¡y la entropía sería una magnitud
adimensional![141]
Si la teoría cinética de los gases hubiera sido anterior a Carnot, Clausius y
Kelvin, el cambio de entropía se habría definido igualmente como energía
dividida por temperatura, pero esta razón habría sido adimensional. Esto no
sólo simplifica la fórmula de la entropía de Boltzmann, sino que facilita
la identificación de la entropía termodinámica con
la información de Shannon.
Como escribió G. N. Lewis (1930): «Una ganancia de entropía siempre significa
una pérdida de información, y nada más».
Esta afirmación casi profética se hizo dieciocho
años antes de que naciera la teoría de la información, y deja bien claro que
Lewis consideraba que entropía e información son conceptualmente idénticas.
Shannon (1948) demostró que la entropía es
formalmente idéntica a la información.
Se dice que John von Neumann aconsejó a Claude Shannon que empleara el
término «entropía» para referirse a la información, porque[142]: «Nadie sabe lo que es la entropía
en realidad, así que en cualquier debate siempre estarás en ventaja».
Sin entrar en la controversia sobre la objetividad o subjetividad de la
información, sea como fuere, creo que la entropía puede identificarse,
conceptual y formalmente, con la información. La
identificación de ambas se consigue redefiniendo la temperatura como unidades
de energía[143]. Esto elimina automáticamente la
constante de Boltzmann del vocabulario de la física, lo que simplifica la
fórmula de Boltzmann para la entropía y nos libera de la pesada losa que ha
dificultado la interpretación de la entropía como información durante más de un
siglo. Ya es tiempo también de cambiar no sólo las unidades de entropía para
convertirla en una magnitud adimensional[144], sino la propia palabra «entropía».
Como ahora se reconoce, entropía no significa «transformación», «cambio» o
«giro». Significa «información». ¿Por qué no prescindir de un término que no
significa «nada», como señaló Cooper, y ni siquiera transmite el significado
que pretendía transmitir Clausius al elegirlo? ¿Por qué no sustituirlo por un
vocablo más simple, familiar, con más sentido y mejor definido como es
«información»? Esto no sólo disiparía buena parte del misterio asociado a la
extraña palabra «entropía», sino que facilitaría la aceptación de la sugerencia
de John Wheeler de «contemplar el mundo físico como hecho de información, con
la energía y la materia como incidentes»[145]. Antes de concluir esta sección,
debo dar una justificación de mi segunda objeción al comentario de Cooper
citado en la página 197.
Estoy de acuerdo en que «calor perdido» sería
preferible a «entropía». Pero tanto la expresión «calor perdido» como la
expresión «energía no disponible» se aplican a TΔS (el producto de la temperatura y el incremento de
entropía) y no al cambio de entropía en sí. La asociación frecuente de la
entropía con el «calor perdido» o la «energía no disponible» se debe a que es
la entropía la que aporta la unidad de energía. Pero si uno define la
temperatura como unidades de energía, entonces la entropía se hace
adimensional. Así pues, al formar el producto ŤΔS, ahora es la temperatura la que aporta la
unidad de energía. Esto facilitaría la interpretación de ŤΔS (y no
el incremento de entropía) como «calor perdido» o «energía no disponible».
También quiero añadir un último comentario sobre nomenclatura. Brillouin (1962)
ha propuesto la palabra «neguentropía» en vez de «información». Pero esto
equivale a cambiar un término simple, familiar e informativo por otro más vago
y esencialmente engañoso. Por mi parte, yo sugeriría sustituir la palabra
entropía por «neguinformación», «información perdida» o «incertidumbre».
Por último, hay que decir que, aunque identifiquemos la entropía con la
información, hay una diferencia muy importante entre la información
termodinámica (la entropía) y la información de Shannon que se emplea en
telecomunicación o cualquier otra rama de la ciencia. Me refiero a la enorme
diferencia de magnitud entre ambas[146].
Como hemos visto, la asociación entre entropía y probabilidad no sólo disipa el
misterio, sino que reduce la segunda ley a una cuestión de mero sentido común.
Quizá sea irónico que la visión atomista de la materia que nos ha llevado a una
comprensión plena de la entropía generara de entrada un nuevo, y aparentemente
más profundo, misterio.
§. ¿Está íntimamente asociada la segunda ley con la flecha del tiempo?
A diario vemos numerosos procesos que aparentemente transcurren en un solo
sentido, desde la mezcla de dos gases hasta la descomposición de un vegetal o
animal muerto. Nunca observamos la inversión de estos fenómenos. Es casi
natural pensar que el sentido en el que tienen lugar estos procesos,
concordante con el transcurso del tiempo, es el correcto. Sobre esta cuestión.
Brian Greene escribe[147]:
Damos por sentado
que hay una dirección en el despliegue de las cosas en el tiempo. Los huevos se
rompen, pero no se recomponen; las velas se funden, pero no se remodelan; las
memorias son del pasado, nunca del futuro; la gente envejece, no rejuvenece.
Pero
Greene añade:
Las leyes aceptadas
de la física no exhiben semejante asimetría; las leyes tratan cada sentido del
tiempo, adelante y atrás, por igual, sin distinción, lo que origina un enorme
rompecabezas.
¡Por
supuesto! Durante casi un siglo, los físicos han estado intrigados por el
conflicto aparente entre la segunda ley de la termodinámica y las leyes de la
dinámica[148]. Como lo expresa Greene, «no sólo
las leyes (de la física) conocidas no nos dicen por qué vemos desplegarse los
acontecimientos en un solo orden, sino que nos dicen que, en teoría, podrían ir
en el orden inverso. La cuestión crucial es por qué nunca vemos tal cosa. Nadie
ha contemplado un huevo reventado des reventándose, y si esas leyes tratan
igualmente el reventarse como el des reventarse, ¿por qué ocurre lo primero y
nunca lo segundo?».
Desde que Waddington asociara la segunda ley de la termodinámica con la flecha
del tiempo, los científicos se han esforzado en resolver esta aparente
paradoja. Las ecuaciones del movimiento son simétricas en cuanto al sentido del
tiempo. Nada en ellas sugiere que un cambio deba ir en una dirección y no en la
opuesta. Por otro lado, muchos procesos que vemos a diario proceden en una
dirección y nunca en la opuesta. Ahora bien, ¿está la segunda ley realmente
asociada a esta flecha del tiempo?
La respuesta clásica a esta pregunta es que si vemos una película al revés,
enseguida nos daremos cuenta de que la acción está yendo hacia atrás, aunque no
nos lo digan. Por ejemplo, si vemos que un huevo reventado en el suelo de
pronto se recompone espontáneamente y salta para aterrizar intacto sobre la
mesa, sonreiremos e invariablemente reconoceremos que la película está
discurriendo al revés. ¿Por qué? Porque sabemos que un proceso de esta clase no
puede retroceder en el tiempo.
Pero ¿y si un día nos sentamos en la cocina, vemos un huevo reventado en el
suelo, y de pronto el huevo revierte a su estado entero y luego salta hasta
lograr situarse encima de la mesa?
Por fantástico que pueda parecer, nuestra asociación del proceso de rotura del
huevo con la flecha del tiempo es tan fuerte que
no creeríamos lo que viesen nuestros ojos, y probablemente miraríamos a nuestro
alrededor para ver si alguien nos está engañando con algún truco. O, si
entendemos la segunda ley, podríamos convencernos de que hemos tenido la inmensa
fortuna de observar un proceso real, en el sentido del tiempo correcto,
que es extremadamente raro pero no imposible.
Se trata de la misma conclusión a la que llega el físico del libro de George
Gamow, Breviario del señor Tompkins en el país de las maravillas[149]. Cuando el personaje de Gamow ve que
el whisky de su vaso comienza a hervir espontáneamente por
arriba, a la vez que se forman cubitos de hielo por debajo, sabe que este
proceso, aunque extremadamente improbable, puede ocurrir de
hecho. Puede que se asombre de observar un suceso tan extraordinario, pero no busca a ningún operador que esté pasando al
revés la «película» de su vida. He aquí ese delicioso pasaje del libro de
Gamow:
El líquido en el
vaso se cubrió de un burbujeo violento, y una tenue nube de vapor comenzó a
ascender lentamente hacia el techo. Pero lo que resultaba particularmente
extraño es que la bebida estuviera hirviendo sólo en una franja
comparativamente pequeña en torno al cubo de hielo. El resto de la bebida
seguía estando bastante fría. « ¡Piensen en ello!», continuó el profesor con
voz temblorosa. «Les estaba hablando de fluctuaciones estadísticas en la ley de
la entropía, ¡y ahora mismo estamos viendo una!». Por un azar increíble,
posiblemente por primera vez desde que la Tierra comenzó a existir, las
moléculas más veloces se han juntado todas accidentalmente en una parte de la
superficie del agua, y el líquido ha comenzado a hervir por sí solo. En los
miles de millones de años que vendrán, probablemente seguiremos siendo las
únicas personas que han tenido la oportunidad de observar un fenómeno tan
extraordinario. El profesor miró la bebida, que ahora se estaba enfriando
lentamente. « ¡Vaya golpe de suerte!», exclamó feliz.
Pero nuestra
asociación de los procesos espontáneos con la flecha del tiempo no es más que
una ilusión. Una ilusión creada por el hecho de que nunca en la vida hemos
visto un proceso que transcurra «en sentido contrario». La asociación de la
ocurrencia natural de los procesos espontáneos con la flecha del tiempo es casi
siempre válida (casi siempre, pero no absolutamente siempre).
En su delicioso libro, George Gamow intentó explicar los resultados difíciles
de aceptar de la teoría de la relatividad y de la mecánica cuántica narrando
las aventuras de un físico, el señor Tompkins, en un mundo donde uno podía ver
y experimentar dichos resultados. Gamow intentó imaginar cómo se vería el mundo
si la velocidad de la luz fuera mucho menor a 300.000.000 metros por segundo, o
cómo vería el mundo alguien que viajara a velocidades próximas a la de la luz.
En ese mundo uno podría contemplar fenómenos que casi nunca se
experimentan en el mundo real.
Similarmente, podemos imaginar un mundo donde la constante de Planck (h)
fuera muy grande, y donde experimentaríamos fenómenos increíbles como, por
ejemplo, atravesar tranquilamente una pared (efecto túnel) y otros fenómenos
por el estilo que nunca experimentamos en el mundo real donde vivimos.
Tomando prestada una de las fantasías de Gamow, podemos imaginar un mundo donde
la gente vive mucho tiempo, mucho más que la edad del universo, digamos 1010/30 años[150].
En un mundo así, al realizar el experimento de la expansión de un gas, o el de
la mezcla de gases, deberíamos ver algo parecido a lo que hemos observado con
el sistema de diez dados. Si comenzamos con todas las partículas en un
compartimento, primero observaremos una expansión hasta que las partículas
ocupen todo el volumen del sistema. Pero «de vez en cuando» también
observaremos visitas al estado original. ¿Cuán a menudo? Si vivimos 1010/30años
y el gas contiene alrededor de 1023 partículas, entonces deberíamos
observar visitas al estado original muchas veces a lo largo de nuestra vida. Si
viéramos una película del gas en expansión, no reconoceríamos si va hacia
delante o hacia atrás. No tendríamos la sensación de que unos fenómenos son más
naturales que otros, por lo que no deberíamos tener un sentido de «flecha del
tiempo» asociado con el incremento (o decremento ocasional) de la entropía. Así
pues, el hecho de que no observemos la restauración espontánea de un huevo roto
o la separación espontánea de dos gases no se debe a que exista un conflicto
entre la segunda ley de la termodinámica y las ecuaciones del movimiento o las
leyes de la dinámica. No hay tal conflicto. Si viviéramos «lo suficiente»,
llegaríamos a ver estos procesos invertidos. La conexión entre la flecha del
tiempo y la segunda ley no es absoluta, sino sólo «temporal», a una escala de
unos pocos miles de millones de años.
Habría que añadir que en el contexto de la asociación de la segunda ley con la
flecha del tiempo, algunos autores invocan la experiencia humana que distingue
el pasado del futuro. Es cierto que recordamos sucesos del pasado, nunca del
futuro. También sabemos que podemos influir en los sucesos futuros, pero nuncaen los pasados. Comparto plenamente estas experiencias. La
única pregunta que me hago es qué tiene que ver esta experiencia humana con la
segunda ley, o con cualquier otra ley de la física.
Esto nos lleva a la sección siguiente.
§. ¿Es la segunda ley de la termodinámica una ley física?
En la mayoría de textos de mecánica estadística se remarca que
la segunda ley no es absoluta. Hay excepciones. Aunque es extremadamente raro
que ocurra, la entropía puede disminuir «de vez en cuando».
A propósito de este aspecto de la segunda ley,
Greene dice que «no es una ley en el sentido convencional». Como cualquier ley de la naturaleza, la
segunda ley de la termodinámica tiene una base experimental. Su formulación en
términos del incremento de entropía recoge, de manera muy sucinta, el rasgo
común de un enorme número de observaciones. En su formulación termodinámica o,
mejor, no atomista, la segunda ley no admite excepciones. Como cualquier otra
ley física, se declara absoluta, sin excepciones. Pero cuando la contemplamos
desde el punto de vista molecular, nos damos cuenta de que admite excepciones.
Aunque sea un suceso raro, extremadamente raro, la entropía puede bajar en vez
de subir. Se reconoce así el carácter no absoluto de la
segunda ley. De ahí el comentario de Greene de que no es una ley «en el sentido
convencional», porque parece ser «menos absoluta» que las otras leyes de la
física.
Ahora bien, ¿qué es una ley en el sentido convencional? ¿Es
absoluta la ley de Newton de la inercia? ¿Es absoluta la constancia de la
velocidad de la luz? ¿Podemos realmente afirmar que una ley física es absoluta?
Sabemos que estas leyes no han dejado de cumplirse en los pocos milenios
durante los cuales se han registrado observaciones. Podemos extrapolarlas a
millones o miles de millones de años examinando el registro geológico o las
radiaciones emitidas desde poco después del «big bang», pero no podemos afirmar
que dichas leyes han sido siempre las mismas, o lo seguirán
siendo en el futuro, sin excepciones. Todo lo que podemos decir es que es improbable que
en los próximos millones o miles de millones de años encontremos alguna
excepción de alguna ley de la física. De hecho,
no hay ninguna razón, ni teórica ni experimental, para creer que las leyes de
la física son absolutas.
Desde este punto de vista, la segunda ley
ciertamente «no es una ley en el sentido convencional», pero esto no la debilita, como sugiere Greene, sino que la fortalece.
El hecho de que admitamos la existencia de excepciones a la segunda ley la hace
más «débil» que otras leyes de la física sólo cuando esas otras leyes se
consideran válidas en un sentido absoluto. Pero el reconocimiento de la extrema rareza de las
excepciones a la segunda ley no sólo la fortalece, sino que la convierte en la
más poderosa de todas las leyes físicas. De cualquier ley física podemos
afirmar que no se esperan excepciones al menos a 1010 años
vista. Pero las excepciones a la segunda ley sólo son esperables una vez cada
1010.000.000.000 o más años.
Así pues, la segunda ley es absoluta y no admite excepciones
cuando se formula en el marco de la termodinámica clásica (no atomista). Pero
cuando se formula como sucesos moleculares, su violación está permitida. Aunque
suene paradójico, la «debilidad» relativa de la formulación atomista convierte
a la segunda ley en la más fuerte de todas las leyes físicas, incluyendo la propia segunda ley en su formulación termodinámica
(no atomista). En otras palabras, el carácter no absoluto que hemos aceptado de la segunda ley en su
versión atomista es de hecho más absoluto que el pretendido carácter absoluto de la segunda ley en su versión no atomista[151].
En el contexto de la cosmología moderna,
la gente especula sobre el sombrío destino del universo, que acabará alcanzando
un estado de equilibrio térmico o «muerte térmica». ¡¿Podría no ser así?!
En el otro extremo de la escala de tiempo, se ha especulado que, si admitimos
que la entropía siempre aumenta, entonces, en el «principio», el universo debe
haber partido de un valor de entropía más bajo.
¡¿Podría no ser así?!Además, esta última especulación entra en conflicto
directo con la Biblia:
1. En el
principio Dios creó el cielo y la tierra.
2. Y la tierra estaba sin formar y vacía.
(Génesis 1, 1-2).
La versión original
hebrea incluye la expresión tohu va bohu, en vez de «sin formar y
vacía». La interpretación tradicional de tohu va bohu es «caos
total», o «desorden total», o si se prefiere, ¡máxima
entropía!
Dicho esto, me aventuraría a proponer la provocativa idea de que la segunda ley
de la termodinámica no es ni más «débil» ni más «fuerte» que las otras leyes de
la física. Simplemente, no es una ley física, sino más bien un enunciado de
puro sentido común.
Esto me lleva a la última cuestión.
§. ¿Podemos prescindir de la segunda ley?
Si la segunda ley de la termodinámica no es más
que un enunciado de sentido común, ¿debemos incluirla entre las leyes de la
física y enseñarla como tal? Parafraseando esta pregunta, supongamos que nadie
hubiera formulado nunca la segunda ley de la termodinámica: ¿podríamos derivarla puramente
por inducción lógica y sentido común? Mi respuesta es que probablemente sí,
siempre que hubiéramos descubierto la naturaleza atómica de la materia y el
inmenso número de partículas indistinguibles que constituyen cada pedazo de
materia. Creo que se puede deducir la segunda ley de abajo arriba[152]. Desde luego podemos hacerlo en el
caso simple de la expansión de un gas o la mezcla de dos gases diferentes (como
hemos hecho al final del capítulo 7). Si desarrolláramos unas matemáticas
altamente sofisticadas, también podríamos predecir el destino más probable de
un huevo que cae al suelo[153]. Pero todas estas predicciones no se
basarían en las leyes de la física, sino en las de la probabilidad, o lo que es
lo mismo, en las leyes del sentido común.
Se puede objetar justificadamente que si yo consiguiera hacer tales
«predicciones» sería porque me he beneficiado de los hallazgos de Carnot,
Clausius, Kelvin, Boltzmann y otros, por lo que «predecir» un resultado que
conocemos de antemano no sería una gran hazaña. Esto probablemente es cierto,
así que reformularé la pregunta anterior. Supongamos que ninguno de los grandes
científicos que fundaron la segunda ley hubiera existido, o que, caso de
existir, nunca hubieran formulado la segunda ley. ¿Llegaría la ciencia a la
segunda ley a través del puro razonamiento lógico, presuponiendo el
conocimiento actualmente disponible de la naturaleza atómica de la materia y el
resto de la física?
La respuesta a esta pregunta quizá sea ¡NO! No porque no se pueda derivar la segunda ley de abajo arriba aunque la
derivación de arriba abajo nunca hubiera existido, sino porque la ciencia
encontrará innecesario formular una ley física basada en la pura deducción
lógica.
Fin del libro
Notas:
[1] Éste fue otro tema fascinante
al que acabé dedicando mi tesis doctoral.
[2] En la página de la dedicatoria
se muestra una imagen.
[3] Greene, B. (1999, 2004).
[4] Greene, B. (2004), pág. 12.
[5] En mecánica estadística estos
términos corresponderían a micro estados y macro estados. En la mayor parte del
libro tratamos con dados, y los dados son objetos macroscópicos. Por eso he
preferido los términos «específico» e «inespecífico» en vez de «micro estado» y
«macro estado».
[6] Morowitz (1992). pág. 69.
[7] Véase Ben-Naim (2007).
[8] Greene. B. (2004).
[9] Por formulación «no atomista»
se entiende la discusión de la segunda ley sin ninguna referencia a la
constitución atómica de la materia. A veces también se dice que las
formulaciones de esta clase contemplan la materia como un continuo. Lo importante
aquí es que tales formulaciones emplean sólo magnitudes macroscópicamente
observables o medibles, sin referencia alguna a la constitución atómica de la
materia. Esto no implica que las formulaciones no atomistas no
valgan para la materia particulada. Como luego veremos, si la materia fuera en
verdad continua y no estuviera constituida por átomos, la segunda ley no
existiría.
[10] Esta es la opinión mayoritaria,
aunque algunos autores citan a Carnot como el «inventor» o «descubridor» de la
segunda ley.
[11] Técnicamente, se dice que los
procesos son cuasi estáticos. A veces también se habla de procesos reversibles,
aunque este término se aplica también a otro tipo de procesos donde la entropía
no cambia. Por eso es más apropiado y preferible hablar de procesos cuasi
estáticos.
[12] «Reflexiones sobre la potencia
motriz del fuego y las máquinas ajustadas para desarrollar esta potencia», por
Sadi Carnot (1824).
[13] La segunda ley también puede
formularse como la expansión espontánea de un gas. Como puede demostrarse, ésta
y otras formulaciones también son equivalentes a las de Clausius y Kelvin.
[14] Citado por Cooper (1968).
[15] Por «tener sentido» se entiende
aquí que se trata de una experiencia corriente, y no
necesariamente una consecuencia lógica.
[16] «Siempre» en el dominio de los
fenómenos que eran objeto de estudio en la época, lo que ahora conocemos como
mecánica clásica.
[17] Para una fascinante mirada a la
biografía de Boltzmann, véase Broda (1983), Lindley (2001) y Cercignani (2003).
[18] Por ejemplo, Loschmidt escribió
en 1876 que la segunda ley no puede ser resultado de un principio puramente
mecánico.
[19] Como ha señalado Greene (2004),
hay que hacer notar que la «simetría temporal» no quiere decir que el tiempo
mismo se invierta o dé marcha atrás, sino que se refiere a si los sucesos que
tienen lugar en el tiempo con un orden temporal particular también pueden
ocurrir en el orden inverso. Una expresión más adecuada podría ser «inversión
de sucesos» o «inversión de procesos».
[20] En el marco de la mecánica
clásica.
[21] Como veremos en los capítulos 7
y 8, el carácter no absoluto que hemos admitido de la formulación atomista de
la segunda ley es de hecho más absoluto que el de la formulación no atomista.
Sobre este asunto, Poincaré comentó: «... para ver la transferencia de calor de
un cuerpo frío a uno caliente, no será necesario tener la visión aguda, la
inteligencia y la destreza del demonio de Maxwell; bastará con un poco de
paciencia» (citado por Leff y Rex, 1990).
[22] Es interesante señalar que los
fundadores de la teoría cinética de los gases, como Maxwell, Clausius y
Boltzmann, nunca publicaron ninguna explicación del movimiento browniano.
[23] Curiosamente, Einstein, quien
elogiaba a Boltzmann por su interpretación probabilística de la entropía, nunca
aceptó la interpretación probabilística de la mecánica cuántica.
[24] Una buena exposición de la
teoría einsteiniana del movimiento browniano puede encontrarse en el libro de
John Ridgen (2005). Una discusión completa y autorizada de la teoría del
movimiento browniano, incluyendo el trasfondo histórico, ha sido publicada por
Robert Mazo (2002).
[25] Quizá cabe mencionar que en el
marco de las últimas teorías de los agujeros negros se habla de la «segunda ley
de la termodinámica generalizada». (Bekenstein, 1980). A mí me parece que esta
generalización no afecta a la fórmula de Boltzmann.
[26] Hoy día, cualquier libro de
física, en particular de mecánica estadística, da por sentada la estructura
atómica de la materia. Es interesante señalar que uno de los primeros supuestos
del libro Statistical Thermodynamics de Fowler y Guggenheim (publicado en 1939
y reimpreso en 1956) era: «Supuesto I: La constitución atómica de la materia».
Los autores añaden el siguiente comentario: «Hoy esto apenas puede considerarse
un supuesto, pero es relevante comenzar recordando que se hace, ya que
cualquier referencia a las constituciones atómicas es ajena a la termodinámica
clásica». Ningún libro actual de mecánica estadística explícita este supuesto,
porque la naturaleza atómica de la materia es un hecho universalmente aceptado.
[27] Para simplificar y concretar,
piénsese en N partículas distribuidas en M casillas.
Una descripción completa del estado del sistema consiste en una especificación
detallada de qué partícula está en qué casilla.
[28] La asociación de la entropía
con el desorden se debe probablemente a Bridgman (1941, 1953). Guggenheim
(1949) sugirió el término «dispersión» para describir la distribución entre
gran número de estados cuánticos posibles. Una discusión exhaustiva de este
aspecto puede encontrarse en Denbigh y Denbigh (1985).
[29] La teoría de la información fue
concebida sin conexión con la termodinámica por Claude Shannon en 1948. Más
adelante se vio que la medida de información de Shannon es idéntica (salvo una
constante que determina las unidades) a la entropía de Boltzmann.
[30] Es interesante señalar que la
palabra «adivinar», derivada del latín adivinare, contiene la raíz
«divino». Cuando decimos que hemos «adivinado» algo no estamos dando a entender
que poseemos la facultad de predecir sucesos, pero originalmente el
término adivinare probablemente sí implicaba un poder divino
para predecir el resultado de una experiencia o un juego. A propósito de esta
creencia, Bennett (1998) escribe: «Los antiguos creían que lo que ocurría
estaba controlado en última instancia por una deidad, no por el azar. El uso de
mecanismos de azar para solicitar la dirección divina se conoce como
adivinación, y el paso adoptado para asegurar la aleatoriedad tenía como único
objetivo eliminar la posibilidad de interferencia humana, para así poder discernir
la voluntad de la deidad».
[31] Hay otro significado de
probabilidad más general, como medida de la plausibilidad de una proposición,
dada cierta información o evidencia (Carnap, 1950, 1953; Jaynes, 2003).
Emplearemos el término «probabilidad» tal como se hace en física. Siempre consideraremos
sucesos, no proposiciones. No entraremos en la cuestión del significado de la
probabilidad, la aleatoriedad, etcétera. Este tema se adentra en la filosofía.
Como veremos en este capítulo, las preguntas sobre probabilidades siempre
atañen a la probabilidad condicional. A veces la condición se formula como un
suceso que ha ocurrido o tiene que ocurrir. Otras veces la condición puede
contener una información o conocimiento acerca del suceso. Sin ningún conocimiento
es imposible responder a ninguna pregunta sobre probabilidades.
[32] Hay que decir que «objetiva»
aquí no implica «probabilidad absoluta». Toda probabilidad es condicionada, o
sea, es relativa a una información o evidencia dada. Sólo es objetiva en el
sentido de que, dada la misma información, todo el mundo estimaría la misma
probabilidad. D’Agostini (2003) prefiere «inter-subjetividad» a «objetividad»,
mientras que otros hablan de probabilidad «menos subjetiva».
[33] Como me comentó uno de los
lectores del borrador de este libro, hay una tendencia a concluir que la
estimación del 1% es más «acertada» que la del 90%. Esto es cierto si empleamos
el término «probabilidad» coloquialmente. Pero aquí nos interesa el significado
científico de la probabilidad. Supongamos que estimo que la probabilidad de
obtener el resultado «4» al lanzar un dado es del 90%, y el lector estima que
la probabilidad es del 1%. Lanzamos el dado y sale «4» (o «2», o cualquier otro
resultado posible). ¿Cuál era la estimación correcta? La respuesta es:
¡ninguna! En este caso conocemos la probabilidad de ese suceso en particular, y
el hecho de que se diera el suceso «sale un 4» en una única tirada no prueba
nada acerca de su probabilidad. En nuestro ejemplo, la ocurrencia o no
ocurrencia del suceso predicho (en este caso la aparición del Mesías el próximo
lunes) no demuestra nada en relación con su probabilidad. De hecho,
no resulta evidente cómo definir la probabilidad de tal suceso o siquiera si
existe una probabilidad «correcta» del mismo.
[34] Nótese que este enunciado suena
altamente subjetivo. Pero cualquiera que tenga sentido común y quiera servirse
de la teoría de la probabilidad debe aceptar esta subjetividad.
[35] El uso del pasado o del futuro
no implica que el tiempo intervenga en la definición de un suceso o de su
probabilidad.
[36] Sólo consideraremos espacios
muestrales finitos. La teoría de la probabilidad también maneja espacios
infinitos o continuos, pero no los necesitamos en este libro.
[37] Excluimos de la presente
discusión la cuestión de que el dardo se clave exactamente en un punto
concreto, o una línea, como puede ser el perímetro del círculo, cuya
probabilidad es despreciable en la práctica y nula en teoría. Emplearemos, los
diagramas de Venn sólo como ilustración. En los cálculos de probabilidades de
los capítulos que siguen siempre manejaremos espacios muestrales finitos.
[38] En realidad, estamos calculando
la probabilidad condicionada de que el dardo se clave dentro del círculo,
sabiendo que se clavará en el tablero.
[39] En matemáticas, la probabilidad
es una medida definida para cada suceso, como la longitud, el
área o el volumen de una región en una, dos o tres dimensiones,
respectivamente. En el ejemplo de los diagramas de Venn, también tomamos
el área de una región como medida de la probabilidad relativa.
[40] De hecho, el propio Kolmogorov
era muy consciente de que eludía la cuestión del significado o la definición de
la probabilidad. Ahora se acepta casi universalmente que la probabilidad es un
concepto primitivo indefinible. Algunos autores de libros sobre probabilidad
incluso se abstienen de definir el vocablo.
[41] Algunos autores se oponen al
uso del término «a priori». Aquí lo usamos sólo en el sentido de que la
evaluación de las probabilidades no depende de un experimento. A algunos
autores tampoco les gusta el calificativo «clásica». D’Agostini (2003) prefiere
llamar «combinatorio» a este método. Hay que decir, no obstante, que la
«combinatoria» es una rama concreta de las matemáticas que trata del número de
modos de hacer ciertas cosas, y que, como tal, no tiene nada que ver con la
probabilidad. Aun así, el método combinatorio se usa para
calcular probabilidades conforme a la definición clásica.
[42] Por supuesto, se supone no sólo
que el dado es equitativo, sino que el método de su lanzamiento es «imparcial»
o insesgado. La definición de un dado «equitativo», o su lanzamiento
«aleatorio», también implica el concepto de probabilidad. También podríamos
añadir que la teoría de la información ofrece una suerte de «justificación»
para la elección de probabilidades iguales. La teoría de la información
proporciona un método para la mejor estimación de las probabilidades basándose
en lo que sabemos, todo lo que sabemos y nada más que lo que sabemos del
experimento.
[43] En notación matemática, la
definición es
Esto puede interpretarse de dos maneras. O se efectúa una secuencia de
experimentos y se estima el límite de la frecuencia relativa cuando el número
de experimentos se hace infinito, o se lanza un número infinito de monedas a la
vez y se cuentan las caras que salen. Uno de los supuestos fundamentales de la
mecánica estadística es que ambos métodos darán el mismo resultado. Esta
hipótesis es la semilla de toda una rama de las matemáticas conocida como
teoría ergódica.
[44] De hecho, creemos que éste es
el resultado correcto aun sin hacer el experimento. Estamos convencidos de que,
mediante un experimento mental, el resultado convergerá hacia la probabilidad
correcta. Si, por ejemplo, hacemos el experimento de lanzar un dado y hallamos
que la frecuencia del suceso «par» se acerca a 1/2, lo que es coherente con el
resultado que hemos calculado aplicando la definición clásica, entonces la
«corrección» de nuestra asignación de probabilidades contará con un respaldo
adicional.
[45] En la figura 2.5 se han
suprimido seis configuraciones (las enmarcadas por el rectángulo de puntos en
la figura 2.4). Esto es así porque, a diferencia de las monedas o los dados,
las partículas son indistinguibles. En la figura 2.6 se han suprimido otras
cuatro configuraciones (las enmarcadas por el rectángulo de puntos y rayas en
la figura 2.4). Esto es así porque la física prohíbe que dos partículas
fermiónicas ocupen la misma casilla (es lo que se conoce como principio de
exclusión de Pauli). Resulta que estas reglas se derivan de ciertos
requerimientos de simetría sobre las funciones de onda del sistema de
partículas. Por lo que sé, la asignación de probabilidades precedió al
descubrimiento de los principios de simetría.
[46] Hay que decir que la
introducción de la probabilidad condicionada y la independencia entre sucesos
es exclusiva de la teoría de la probabilidad, y es lo que la diferencia de la
teoría de conjuntos y la teoría de la medida.
[47] Nótese que la probabilidad
condicionada sólo está definida para una condición cuya probabilidad es no
nula. En el ejemplo anterior, se requiere que el suceso B no sea imposible.
[48] Aquí queremos subrayar el cambio en
el grado de «objetividad» (o subjetividad) al pasar de la probabilidad de un
suceso a la probabilidad condicionada.
[49] Aquí queremos subrayar el
cambio en el grado de «objetividad» (o subjetividad) al pasar de la
probabilidad de un suceso a la probabilidad condicionada.
[50] Por ejemplo, la probabilidad de
sacar tres canicas rojas, cinco canicas azules y dos canicas verdes de una urna
que contiene 100 canicas de cada color, 300 en total, suponiendo que
las canicas son idénticas, que sacamos 10 canicas al azar, etcétera. Éste es un
problema algo más difícil, y puede que el lector no sea capaz de resolverlo,
pero la probabilidad «está ahí» en el suceso mismo. De forma similar, la
probabilidad de encontrar dos átomos separados por cierta distancia en un
líquido a una temperatura y una presión dadas, suponiendo que
conocemos y aceptamos las leyes de la mecánica estadística y que sabemos que
dichas leyes han sido extremadamente útiles para predecir muchas propiedades
medias de propiedades macroscópicas, etcétera, ¡es una probabilidad objetiva!
Aunque no sepamos calcularla, sabemos que «está ahí» en el suceso.
[51] Este ejemplo y el análisis de
su implicación están extraídos de Falk (1979).
[52] Shannon (1948).
[53] Algunos autores prefieren
referirse a la información desconocida como «incertidumbre». Aunque me parece
un término apropiado, personalmente prefiero hablar de «información
desconocida» o «información» a secas. Pienso que en el contexto de la aplicación
de la teoría de la información a la mecánica estadística, desarrollada de
manera persuasiva por Jaynes (1983) y Katz (1967), la palabra «información» es
preferible.
[54] Por supuesto, hay muchas otras
maneras de obtener esa información. Podemos preguntar « ¿Dónde está la
moneda?», o simplemente abrir todas las cajas y mirar dentro. Pero esto no se
ajustaría a las reglas del juego. Hemos convenido en adquirir información sólo
a base de preguntas binarias.
[55] Nótese que la «probabilidad» no
se definió, sino que se introdujo axiomáticamente. La información se define como
probabilidad. La definición general es: el sumatorio de Pr{i}logPr{i}, donde
Pr{i} es la probabilidad del suceso i. Esto tiene la forma de un promedio, pero
se trata de un promedio muy especial.
[56] Si N es el
número de posibilidades igualmente probables, entonces log2N es
el número de preguntas que tenemos que hacer para localizar la moneda; por
ejemplo, para N = 8, log28 = 3; para N =
16, log2 16 = 4; para N = 32, log2 32
= 5; y así sucesivamente.
[57] Nótese que se supone que las
monedas son idénticas. Todo lo que necesitamos saber es qué cajas están
ocupadas o, de forma equivalente, qué cajas están vacías.
[58] La escritura explícita de esta
clase de números no sólo requeriría un tiempo inimaginable, sino que podría ser
que dicho lapso de tiempo no tuviera existencia física en absoluto. De acuerdo
con la cosmología moderna, el tiempo podría haber comenzado con el «big bang»,
hace 15.000 millones de años, y podría terminar con el «big crunch», si tal
cosa sucede en el futuro.
[59] Sólo usaremos logaritmos de
base 10, aunque en teoría de la información es más conveniente emplear
logaritmos de base 2.
[60] Nótese que podemos distinguir
entre partículas diferentes e idénticas. No
podemos discriminar con ninguno de nuestros sentidos entre partículas idénticas e indistinguibles (de
ahí que coloquialmente se consideren sinónimos). Adviértase también que podemos
pasar de partículas diferentes a idénticas de
manera continua, al menos en teoría, pero no podemos pasar de partículas idénticas a indistinguibles.
Las partículas o son distinguibles o son indistinguibles. La indistinguibilidad
no es algo que observemos en la vida diaria, sino que es una propiedad que la
naturaleza impone a las partículas.
[61] Los dos isómeros rotan la luz
polarizada en distintas direcciones: l (de levo) a la
izquierda y d (de dextro) a la derecha.
[62] B por Boltzmann y A por Arieh.
[63] La historia de estos y otros
problemas probabilísticos de la primera época puede encontrarse en David
(1962).
[64] El concepto «suceso
inespecífico» se examinará en los capítulos siguientes.
[65] Véase la nota 30.
[66] Aquí aplicamos el calificativo
«inespecífico» a un suceso; los detalles de los sucesos específicos
comprendidos en él no se tienen en cuenta.
[67] Más adelante partiremos de una
configuración arbitraria. Para comenzar supondremos que la configuración
inicial es la de «todo ceros».
[68] El programa es muy simple.
Primero elige un número de 1 a N, y luego cambia aleatoriamente la
cara del dado situado en esa posición para obtener un nuevo resultado.
[69] Por «mano» entenderemos una
partida entera consistente en un número predeterminado de «pasos».
[70] Como veremos en el capítulo 7,
en la teoría molecular de la segunda ley, las configuraciones específicas e
inespecíficas corresponden a los microestados y macro estados del sistema.
[71] Nótese, sin embargo, que la
línea de equilibrio no caracteriza ninguna configuración específica.
De hecho, se trata de una configuración inespecífica consistente en el máximo
de configuraciones específicas para este juego en particular. El significado de
la línea de equilibrio aquí se relaciona con (pero no es lo mismo que) el estado de
equilibrio de un sistema termodinámico, tal como se discute en el capítulo 7.
[72] En los procesos reales, la
temperatura es el principal determinante de la velocidad del
proceso. Pero ni en este juego ni en los procesos reales nos fijaremos en este
parámetro (véase también el capítulo 7)
[73] Recientemente se ha cuestionado
incluso la constancia de las constantes físicas. En realidad no sabemos si
constantes como la velocidad de la luz cambian o no a una escala de tiempo
cosmológica (véase Barrow y Webb, 2005).
[74] Desde un punto de vista físico,
el resultado es una onda electromagnética de cierta frecuencia. Esta onda
específica penetra en el ojo y es enfocada en los conos retinianos, que envían
un mensaje al cerebro, donde se procesa la información y percibimos esa señal
como un color.
[75] Los resultados físicos son
moléculas que son adsorbidas por receptores específicos estructuralmente
complementarios situados en la superficie interna de la nariz. Desde ahí se
transmite una señal al cerebro, donde es procesada para producir la percepción
de un olor específico.
[76] Como en el caso de los olores,
el sentido del gusto proviene de moléculas estructuralmente específicas
adsorbidas por células sensibles situadas en las papilas gustativas de la
lengua. Desde ahí se envía un mensaje al cerebro, donde es procesado para
producir la sensación del sabor.
[77] Desde un punto de vista físico,
las ondas sonoras que inciden en el tímpano producen vibraciones que se
transmiten al oído interno. Desde ahí se envía un mensaje al cerebro, donde la
información se procesa para producir la sensación de un tono específico.
[78] El sentido del tacto corre a
cargo de células nerviosas situadas bajo la piel que responden a la presión y
la temperatura. Estas células envían mensajes al cerebro, donde se procesan
para producir las sensaciones de presión, temperatura y quizá también dolor.
[79] Este es un experimento
extremadamente hipotético. En un experimento real que veremos en el capítulo 7,
los dados serán reemplazados por partículas atómicas. Podemos imaginar
moléculas de distintos colores, olores o sabores, pero no podemos asignar una
«temperatura» a cada molécula. La temperatura que percibimos es consecuencia de
la distribución de la energía cinética de las moléculas. Para simular algo
parecido a un experimento real, deberíamos emplear dados con un número infinito
de caras, que representarían las velocidades posibles de una molécula.
[80] También debemos presuponer un
mecanismo que mantiene cada cara caliente y cada cara fría a la temperatura
fijada. Aquí resulta bastante difícil impedir la transferencia de calor entre
las distintas caras, así como mantener constante la temperatura de las caras
tras tocarlas con las manos o con un termómetro.
[81] Esto no es realmente necesario,
pero lo hacemos para que el comportamiento de la dentropía sea coherente con el
comportamiento de la entropía real que examinaremos en el capítulo 7.
[82] Una magnitud equivalente sería
el cuadrado de n − N/2, es decir, (n − N/2)2
[83] Recordemos que empleamos los
términos «siempre» y «nunca» en el sentido discutido al final del capítulo 4.
[84] Esto tampoco es esencial.
Recordemos que, en el teorema H de Boltzmann, la
magnitud Htambién decrece hacia el equilibrio (véase el capítulo
1).
[85] Si se quiere, se puede
«normalizar» esta magnitud dividiéndola por N/2 para obtener una
función que varía de cero a uno.
[86] Como sólo nos interesa la
variación de la entropía, basta con determinar la entropía hasta una constante
aditiva, más una constante multiplicativa que determine las unidades de nuestra
medida de la entropía. Véanse los capítulos 7 y 8.
[87] La definición también se aplica
al caso más general donde la descripción inespecífica es «hay nAque
muestran la cara A,nB que muestran la
cara B, etcétera, en un sistema de N dados».
[88] Nótese que podemos hablar de
«información» o de «información perdida». La primera se aplica a la información
que contiene el sistema. Nos referimos a la segunda cuando nos preguntamos
cuánta información necesitaríamos adquirir para conocer el estado específico o
la configuración específica.
[89] Se puede demostrar que este
número es log2N, es decir, el logaritmo en base 2 del número
de dados. Nótese que, en este ejemplo, N es el número de dados
y también el número de configuraciones específicas.
[90] Nótese que la información
perdida de la que hablamos aquí es una función estrictamente creciente de N y
de n (paran < N/2). Al efectuar un
experimento con dados, la información perdida que registramos se comporta como
las gráficas que hemos visto en el capítulo 4 de la suma en función del número
de pasos.
[91] El número de preguntas es log2, W donde W = N!/(N − n)!n!
es el número total de maneras de obtener n «unos» (o caras de una moneda)
en N dados (o N casillas). Nótese que este
número varía simétricamente en torno a n = N/2,
donde W alcanza el valor máximo.
[92] Este aspecto ya fue discutido
por Shannon (1948). Una exposición más detallada de este tema puede encontrarse
en Ben-Naim (2007).
[93] En realidad, la entropía
absoluta del sistema no interesa. Lo que importa, y lo que es medible, es la
diferencia de entropía.
[94] Aquí hablamos de «sentido
común» desde un punto de vista estrictamente lógico. Hasta hace muy poco, la
teoría de la evolución estaba muy lejos de ser «de sentido común». Esto sólo
cambió tras el descubrimiento del ADN y la consiguiente comprensión del
mecanismo de la evolución al nivel molecular.
[95] Un enunciado más corriente es:
«El sistema evoluciona hacia el desorden». Lo comentaremos en el capítulo 8.
[96] Nótese que hablo de los
«sucesos inespecíficos», en plural y no en singular, correspondientes a la
línea de equilibrio. Éstos tienen una probabilidad máxima, ¡pero no son únicos!
Los sucesos inespecíficos a los que me refiero son el correspondiente a la
línea de equilibrio y los de su vecindad inmediata.
[97] Aquí nos referimos al estado
de equilibrio en el sentido termodinámico, que no es exactamente lo
mismo que la línea de equilibrio. Esta distinción quedará clara más adelante.
[98] Esta clase de proceso se conoce
como proceso cuasi estático. Si la compuerta es lo bastante pequeña, no
necesitamos abrirla y cerrarla cada vez que pase un átomo. El estado del
sistema no es de equilibrio, pero las magnitudes medibles, como densidad,
temperatura, color, etcétera, cambiarán tan lentamente que será como si
atravesáramos una secuencia de estados de equilibrio.
[99] Véase, no obstante, lo que
hemos dicho de los fermiones y los bosones en el capítulo 2.
[100] En la mecánica clásica, si
conocemos las posiciones y velocidades exactas de todas las partículas en un
momento dado, en principio podríamos predecir las posiciones y velocidades de
todas las partículas en cualquier momento futuro. Pero listar esta vasta
cantidad de información no está a nuestro alcance, y menos aún resolver 1023 ecuaciones
cinéticas. El notable éxito de la mecánica estadística es una prueba monumental
de la adecuación del tratamiento estadístico para los sistemas constituidos por
un número inmenso de partículas.
[101] La predicción de las
probabilidades a partir de la dinámica de las partículas plantea un problema
profundo y difícil. Todos los intentos, de Boltzmann en adelante, han
fracasado. En principio, no se pueden derivar probabilidades a partir de las
ecuaciones deterministas de los movimientos de las partículas. Por otro lado,
es bien sabido que un sistema con un gran número de partículas moviéndose al
azar exhibe regularidades y comportamientos notablemente predecibles.
[102] Por supuesto, un sistema así no
es factible. La realización de un experimento semejante equivale a conocer
exactamente la posición y velocidad de cada partícula en cualquier momento.
[103] Los dos isómeros rotan el plano
de la luz polarizada a la derecha (dextro) o a la izquierda (levo).
[104] Este proceso se ha llamado
desasimilación, esto es, el inverso del proceso de asimilación, definido como
la pérdida de identidad de las partículas. En algunos libros de texto se
describe erróneamente como un proceso de mezcla. Para más detalles, véase
Ben-Naim (1987, 2006).
[105] Esto resulta intuitivamente
evidente. Puesto que, aparte de ser imágenes especulares uno del otro, ambos
isómeros son idénticos, no hay razón por la cual una forma deba predominar
sobre la otra en el equilibrio. Por las mismas razones que en el caso del
proceso de expansión, habrá más o menos el mismo número de partículas en D y
en L(suponiendo que los volúmenes de ambos compartimentos sean
iguales).
[106] Hay que señalar que en un
sistema de gas ideal sólo hay dos tipos de información: posiciones y
velocidades. Las identidades de las partículas no constituyen una nueva clase
de información. Pero el cambio de identidad sí contribuye a la variación de
información (para más detalles, véase Ben-Naim, 2007).
[107] Siempre que hablamos de N/2
partículas, queremos decir en la vecindad de N/2.
[108] En vez de la probabilidad de
que un átomo atraviese el agujero y pase de D a I,
o de I a D, tenemos la probabilidad de que un
isómero adquiera energía suficiente (a través de las colisiones) para pasar de
la forma d a la forma l, y viceversa, o para
combinarse con el catalizador, que inducirá la transformación de un isómero en
otro.
[109] También podríamos conseguir el
mismo efecto mezclando dos gases diferentes, como en la figura 1.4. En tal
caso, el color (o el olor, o el sabor) se registrará continuamente pero no
homogéneamente, como en el proceso descrito en esta sección.
[110] Aquí hay que hacer una
puntualización sutil. La información de la que estamos hablando es la situación
de las partículas en I o D. Podríamos haber
decidido dividir el sistema en un número mayor de celdillas menores, digamos
cuatro en D y cuatro en I. En tal caso, la información del
estado inicial es diferente, ya que estaremos especificando qué partícula está
en qué celdilla, lo mismo que la información del estado final. Sin
embargo, la diferencia de información (y de entropía) es
independiente de las divisiones internas, siempre que hagamos la misma
subdivisión de ambos compartimentos (para más detalles, véase Ben-Naim, 2006,
2007).
[111] En el libro de Brillouin (1962)
se hace la chocante afirmación de que «la probabilidad tiende a aumentar». Esto
probablemente es un lapsus linguae. Lo que Brillouin seguramente
quería decir es que sucesos de baja probabilidad evolucionan
hacia sucesos de elevada probabilidad. Las probabilidades mismas no cambian.
[112] En general, esta igualdad puede
derivarse de la identidad
[113] Por «cerca» entendemos un
porcentaje muy pequeño de N, digamos del 0,001%. Estos estados son
tan próximos que resultan indistinguibles experimentalmente. Si partimos de un
sistema con exactamente N/2 elementos en cada compartimento, y
luego suprimimos la separación, el número de estados aumenta de N!/(N/2)!(N/2)!
a 2N. Éste es un incremento enorme en el número de estados,
pero, para N ≈ 1023, no apreciaremos ningún cambio
en el sistema. Cada compartimento contendrá cerca de (pero no
exactamente) N/2 partículas.
[114] Aquí nos permitiremos suponer
que las partículas pueden etiquetarse.
[115] Esta probabilidad es (2 N)!/(N!)2 ×
2−2N.
[116] No podemos distinguir entre
estados inespecíficos os muy próximos (como entre N y N +
1, o N+ 1000). Esta indistinguibilidad es diferente de la
indistinguibilidad entre estados específicos pertenecientes al mismo estado
inespecífico. En el primer caso la indistinguibilidad es en la práctica,
mientras que en el segundo la indistinguibilidad es en principio.
[117] Nótese de nuevo que, para
definir la entropía de cada estado inespecífico, tenemos que abrir y cerrar las
compuertas entre los compartimentos en cada punto donde queremos calcular la
entropía. De esta manera permitimos que el sistema proceda a través de una
secuencia de estados de equilibrio.
[118] A veces la entropía se describe
como una medida de la dispersión de la energía. Hay que decir que el término
«dispersión», como «orden», es apropiado a veces, pero no siempre, como
evidencia este ejemplo.
[119] Shannon (1948, sección 20). Una
discusión más detallada de este aspecto de la información perdida puede
encontrarse en Ben-Naim (2007).
[120] Se sobrentiende que el proceso
es cuasi estático, esto es, la transferencia de calor es lo bastante lenta para
que el equilibrio dentro de cada gas prácticamente se mantenga a cada paso.
Podemos imaginar un pequeño agujero que permite el paso de gas de un
compartimento a otro, similar al caso descrito en el proceso de expansión.
También podemos imaginar un material conductor muy estrecho que conecte ambos
sistemas.
[121] Nótese que todo este
conocimiento se supone aportado por la física. Es verdad, no obstante, que
parte de este conocimiento se adquirió tras la formulación y el estudio de la
segunda ley. Pero aquí presumimos que esta información no es dada de antemano.
[122] Este supuesto tan extremo no es
esencial, pero es más fácil pensar que sólo pasa una partícula de un
compartimento a otro cada vez.
[123] Cuando digo «hasta que no se
descubrió y aceptó» quiero decir que aún no se había
descubierto y aceptado. Si la materia no consistiera en átomos y moléculas, no
habría habido misterio, porque no se daría ninguno de los fenómenos descritos.
La segunda ley, tal como se formuló en el marco de la termodinámica clásica, no
habría existido.
[124] «Tener sentido» no debe
entenderse aquí en el sentido lógico, sino en el de la experiencia común y
corriente.
[125] Véase el capítulo 1, página
[31]. Volvemos a citar las palabras de Clausius sobre la elección del término
«entropía». Clausius dice: «Propongo llamar a S la entropía de
un cuerpo, que en griego significa transformación.
[126] Según la definición del
Merriam-Webster’s Collegiate Dictionary (2003).
[127]] Greene (2004).
[128] Una excepción es el libro de
Gamow Un, dos tres, infinito, que abre una sección con el título
«La misteriosa entropía», pero acaba así: «Como puede verse, no hay nada en
ella que deba asustarnos».
[129] Atkins (1984).
[130] Es interesante señalar que
«entropía» y «la segunda ley» figuran en los títulos de cientos de libros
(véase la bibliografía). Hasta donde yo sé, ninguna otra ley de la física ha
tenido el mismo tratamiento.
[131] Atkins (1984).
[132] Penrose (1989, 1994).
[133] Véase la nota 123 precedente.
[134] Además, Shannon construyó la
medida de la información, o la incertidumbre, requiriendo que cumpliera ciertas
condiciones. Estas condiciones son plausibles para la información,
pero no para el desorden. Para leer más sobre este aspecto de la entropía,
véase Ben-Naim (2007).
[135] Para la interpretación de la
entropía sobre la base de la teoría de la información, véase Jaynes (1983).
[136] Los microestados y macroestados
a que nos referimos aquí son lo que hemos llamado estados (o configuraciones, o
sucesos) específicos e inespecíficos.
[137] Atkins (1984).
[138] Por «adimensional» se entiende
carente de unidades.
[139] Esta identidad tiene la forma
(para partículas atómicas de masa m) 3kT/2 = m< v2>/2,
donde Tes la temperatura absoluta, < v2> es el
promedio de los cuadrados de las velocidades atómicas, y k es la misma k que
figura en la tumba de Boltzmann.
[140] Con esto la relación 3kT/2
= m< v2>/2 se simplifica: 3 Ť /2
= m< v2>/2. La constante R en la
ecuación de estado para los gases ideales se transformaría en el número de
Avogadro NAV = 6,022 × 1023, y la
ecuación de estado de un mol de gas ideal sería PV = NAV Ť
en vez de PV = RT
[141] La fórmula de Boltzmann
presupone que conocemos las configuraciones que cuentan en W. Hasta donde yo
sé, esta ecuación no se discute en el marco de la termodinámica no relativista.
En el caso de la entropía de un agujero negro, lo cierto es que no se sabe si
esta relación es válida. Debo este comentario a Jacob Bekenstein.
[142] Tribus y Mclrvine (1971).
[143] Como de hecho se hace en muchos
campos de la física.
[144] Nótese que la entropía seguiría
siendo una magnitud extensiva, esto es, sería proporcional al tamaño del
sistema.
[145] Citado por Jacob Bekenstein
(2003).
[146] Una pregunta binaria
proporciona un bit (una unidad binaria) de información. Un libro típico
contiene alrededor de un millón de bits. Se estima que todo el material impreso
en el mundo contiene unos 1015 bits. En mecánica estadística se
manejan cantidades de información del orden de 1023 y más bits.
Podemos definir la información en dólares o euros. Si comprar un bit de
información costara un céntimo, entonces la información de un libro típico
costaría un millón de céntimos, o 10 000 euros. ¡Todo el dinero del mundo no
nos alcanzaría para comprar la información contenida en un gramo de agua!
[147] Greene (2004, pág. 13).
[148] Aquí nos referimos a las leyes
clásicas (newtonianas) o mecanocuánticas de la dinámica, que tienen simetría
temporal. Hay fenómenos en el mundo de las partículas elementales que no son
reversibles en el tiempo, pero nadie cree que constituyan las raíces de la
segunda ley. Debo este comentario a Jacob Bekenstein.
[149] Gamow (1940, 1999).
[150] Habría que decir que, hasta
donde sabemos, no hay ninguna ley natural que limite la
longevidad de las personas o de cualquier sistema vivo. Podría ser que alguna
simetría fundamental lo excluyera. Pero esto podría valer también para la
velocidad de la luz o la constante de Planck. Si así fuera, entonces ninguna de
las fantasías de Gamow podría realizarse en cualquier «mundo» donde la
velocidad de la luz o la constante de Planck tuviesen valores distintos.
[151] Aunque mis conocimientos de
cosmología son mínimos, creo que lo que he expuesto en esta sección es también
aplicable a la «segunda ley generalizada» que se usa en conexión con la
entropía de un agujero negro (véase Bekenstein, 1980).
[152] Con esto no quiero decir que
uno puede deducir la segunda ley resolviendo las ecuaciones del movimiento de
las partículas, sino a partir del comportamiento estadístico del sistema. Lo
primero es impracticable para números de partículas del orden de 1023.
[153] De nuevo, no pretendo predecir
el comportamiento del huevo que revienta resolviendo las ecuaciones dinámicas
de todas las partículas que lo integran. Pero en principio, conociendo todos
los grados de libertad posibles de todas las moléculas componentes, podríamos
predecir el destino más probable del huevo.
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