© Libro N° 8916. János Bolyai El Geómetra Revolucionario. García, Félix. Emancipación. Agosto 7 de 2021.
Título original: ©
El Geómetra Revolucionario. Félix García
Versión Original: © El Geómetra Revolucionario. Félix García
Circulación conocimiento libre, Diseño y edición digital de Versión
original de textos:
http://www.librosmaravillosos.com/elgeometrarevolucionario/index.html
Licencia
Creative Commons:
Emancipación Obrera utiliza
una licencia Creative Commons, puedes copiar, difundir o remezclar nuestro
contenido, con la única condición de citar la fuente.
La Biblioteca
Emancipación Obrera es un medio de difusión cultural sin fronteras, no obstante
los derechos sobre los contenidos publicados pertenecen a sus respectivos
autores y se basa en la circulación del conocimiento libre. Los Diseños y
edición digital en su mayoría corresponden a Versiones originales de textos. El
uso de los mismos son estrictamente educativos y está prohibida su
comercialización.
Autoría-atribución: Respetar la autoría del texto y el nombre de los autores
No comercial: No se
puede utilizar este trabajo con fines comerciales
No derivados: No se
puede alterar, modificar o reconstruir este texto.
Portada E.O. de Imagen original:
http://www.librosmaravillosos.com/elgeometrarevolucionario/imagenes/portada.jpg
© Edición, reedición y Colección Biblioteca Emancipación: Guillermo Molina
Miranda
LEAMOS SIN RESERVAS,
ANALICEMOS SIN PEREZA Y SOMETAMOS A CRÍTICA TODA LA CULTURA
Félix
García
El Geómetra Revolucionario
Félix García
CONTENIDO
Presentación
1. La invención de la geometría
2. Biografía de los Bolyai
3. La evolución de la geometría no euclídea
4. El Appendix y otros trabajos de Bolyai
5. Los modelos de la geometría hiperbólica
Bibliografía
Litton dejó dicho:
"El pasado no ha muerto mientras los libros vivan.
Y yo añado ahora:
"El futuro vivirá aún cuando yo muera. Quedarán mis libros A todos los que
los lean.
Presentación
El geómetra trata siempre de representarse más o menos las figuras que
estudia, pero sus representaciones no son para él más que instrumentos.
Henri Poincaré
Se dice que Euclides triunfó en un punto: en su forma de trabajar con
las rectas paralelas. Y no intentó encubrir por medio de un axioma plausible su
incapacidad para demostrar cierta propiedad de las líneas coplanarias. Dejó sin
demostrar su V postulado, el que conocemos como postulado de las paralelas,
probando realmente su recíproco, exponiéndose al ridículo por ello. Se hicieron
vanos intentos a lo largo de la historia para eliminar este postulado de la
herencia de sus Elementos, primero deduciendo postulados
equivalentes y luego tratando de demostrar éstos. En palabras de Herbert
Westren: “La venganza de Euclides llegó con el descubrimiento de la geometría
no euclídea en el siglo XIX, cuando se hallaron motivos fundamentales de dicho
postulado”.
Gauss fue uno de los interesados por la geometría en general y por la no
euclídea en particular. Y en relación con esta última también debemos agregar a
la lista al inglés Wallis y al italiano Saccheri, entre otros varios. Fueron
todos ellos los precursores de esa nueva geometría que apuntaba a convertirse
en el hallazgo más importante desde los tiempos de los primeros geómetras de
Mesopotamia, Grecia y Egipto. De nuevo, todos ellos se preocuparon por el
aparente misterio que encerraba el postulado de las paralelas: era como un
curioso elemento áspero dentro de la suave y bien armada lógica de los
antiguos, cuya eliminación parecía tan deseable. Gauss fue el primero, aunque
por caminos diferentes y al mismo tiempo que lo hicieron el húngaro Bolyai y el
ruso Lobachevski, en ofrecer una explicación satisfactoria de la anomalía, como
lo demuestra su diario. No obstante, el asunto lo guardó para sí. Temió verse
sometido al ridículo por los seguidores de la filosofía kantiana. La realidad
fue que el interés se extendió naciendo una nueva rama de la geometría que
conocemos como geometría hiperbólica. No fue una simple novedad en las
matemáticas, fue una auténtica revolución. Se opuso, pero de forma muy
práctica, a Euclides y, aún más, a las opiniones de la generación que la vio
nacer. Se abolía así su dictadura y se destruía para siempre la concepción
kantiana del espacio.
Verdaderamente fue éste uno de los casos más notables entre todos los
descubrimientos que ha apuntado la ciencia. En el curso de unos veinte años,
varios hombres, de forma independiente unos de otros, como hemos dicho,
conciben la chocante idea de desechar el V postulado y comenzar a trabajar de
forma no euclídea. Eso no se le había ocurrido antes a nadie, a pesar de los
muchos matemáticos que se habían ocupado precisamente en este problema.
Las geometrías no euclídeas constituyeron la infraestructura para que
otras ciencias y técnicas nos sorprendieran con avances espectaculares. Además,
el promotor de los métodos proyectivos, el inglés Arthur Cayley, mostró que las
geometrías básicas no euclídeas, es decir, las hiperbólicas desarrolladas por
Bolyai y Lobachevski, y la geometría elíptica, creada por Riemann, podían
derivarse también como casos especiales de la geometría proyectiva. No es de
extrañar que Cayley dijera en este sentido que: “La geometría proyectiva es
toda la geometría”.
Los grandes matemáticos a caballo entre el siglo XIX y el XX, como
Poincaré, Klein y Fuchs, idearon modelos que hacían más transparentes las
teorías de la geometría no euclídea, sus propiedades y resultados, con lo que a
partir de ellos emergieron nuevos estudios matemáticos.
Transcurrió mucho tiempo desde su muerte hasta que János Bolyai fuera
reconocido internacionalmente como auténtico descubridor de la geometría
absoluta, tipo de geometría no euclídea que llega más lejos que la hiperbólica
de Lobachevski. Trataremos en esta obra de analizar las causas de este destierro científico
de Bolyai y mostrar su dura y difícil labor a pesar de las discrepancias que
tuvo con su padre y del alejamiento que sufrió, en un principio, por parte de
matemáticos insignes de su época como Gauss.
András Prékopa y Emil Molnár aseguran que “János Bolyai es la figura
más grande en la historia de la matemática húngara”. Y basan esta
afirmación categórica en que supo resolver un viejo problema de la geometría
que tenía más de dos mil años: el problema de las paralelas. Aunque es verdad
que la gloria de su descubrimiento debe ser compartida con Lobachevski. Algunos
historiadores de la ciencia matemática están de acuerdo en asegurar que tal
descubrimiento significa una gran revolución en la geometría. A partir de ahí
ha quedado más claro que geometría y realidad pueden ser cosas diferentes y
que, por tanto, la geometría no pertenece a las ciencias naturales, entre las
que nació en Egipto y Grecia.
Desde hace ya mucho tiempo las geometrías no euclídeas han tenido
entrada en las matemáticas como rama indiscutible de las mismas. Y ha ocurrido
que los matemáticos se han habituado rápidamente a las nuevas ideas
representadas por esas geometrías. En un principio la cosa fue más difícil con
los físicos, pero el profundo y atrevido discurso de Riemann con motivo de la
presentación de su tesis doctoral en 1854, Sobre las hipótesis que
yacen en el fondo de la geometría, abrió la puerta y mostró aquí el camino debido,
aunque éste no fuera frecuentado hasta el siglo XX con los intentos de
encontrar nuevas teorías para la gravitación, para la cosmología y para las
mediciones astronómicas. Y hace algunos años añadía Paul Karlson:
“lo más difícil es, como de costumbre, contentar a los filósofos, pero
esto no es cosa que pueda exigirse ni esperarse, por lo cual la discusión sobre
la posibilidad de un Universo no euclídeo todavía no se ha acallado”.
La geometría de Bolyai-Lobachevski ha permitido el desarrollo de las
teorías de la física ya dentro del siglo XX y ha servido de base para ampliar
muchos campos de las matemáticas y de otras ciencias. El propio Einstein hizo
uso implícito de la geometría hiperbólica en sus teorías sobre la trayectoria
de la luz proveniente de las estrellas lejanas.
No ha resultado fácil encontrar información de base y contrastada para
acometer esta biografía de János Bolyai y completarla con sus trabajos y obras
matemáticas. Hemos recurrido a muchas fuentes que tratan la cuestión de una
forma parcial, algunas de ellas con datos más bien de poca relevancia o que no
profundizan en su vida, hechos y obra. En otros casos hemos podido deducir
información valiosa, sobre todo al examinar textos clásicos o de autores
prestigiosos y especialistas en las matemáticas. He aquí cómo hemos conseguido
adentrarnos en el tema.
Los aniversarios cien, ciento cincuenta y doscientos del nacimiento de
Bolyai siempre se han conmemorado con una serie de conferencias impartidas en
húngaro. El primero fue celebrado en Kolozsvár y los dos últimos en Budapest.
El bicentenario resultó especial, no sólo por el número de años transcurridos
desde 1802, sino también porque la investigación de Bolyai había alcanzado
auténtica carta de naturaleza en el mundo de las matemáticas. En esta ocasión,
la Academia Húngara de Ciencias y otras instituciones de Hungría y de fuera de
ese país organizaron una conferencia internacional, que se celebró del 6 al 12
de junio de 2002 en la sede central de la Academia en Budapest, para tratar
exclusivamente sobre la geometría hiperbólica. Las ponencias fueron recogidas
en un valioso volumen que además de rendir tributo al gran científico ha
servido para exponer todos sus logros de forma contrastada.
Capítulo 1
La invención de la geometría
Deja que el hombre se dedique al arte que conoce. Cicerón, Disputaciones
tusculanas, I, XVIII
§. Los geómetras de la Grecia antigua
“La geometría encarna una forma de racionalidad que se encuentra en
diversos aspectos de la civilización griega antigua, como el urbanismo, las
artes o las teorías políticas. No obstante, es una disciplina relativamente
reciente; no tiene ni dios, ni musa. En este universo, el estudio de las
figuras, de su construcción y de su medida, ha seguido un camino original desde
el siglo V antes de nuestra era. Su evolución no se puede disociar de la ciudad
de Alejandría, cuyas instituciones eruditas, como fueron su Museo y su
Biblioteca, han determinado lo que ha llegado hasta nosotros: algunos tratados
y una tradición de problemas que, por su rigor y riqueza, suscitan aun hoy día
la curiosidad del lector”.
Éstas son algunas de las frases con las que Bernard Vitrac, investigador
francés del CNRS, prologa un extenso capítulo dedicado a la Invención de la
geometría por los griegos y su posterior evolución.
La geometría suministra el primer ejemplo histórico de la presentación
axiomática de una disciplina matemática. Ahora bien, el conjunto clásico de
postulados sobre el que Euclides fundamentó su sistema ha resultado
insuficiente para la deducción de los conocidos teoremas de la llamada
geometría euclídea; por eso, y como veremos más adelante, ha sido revisado y
completado, e incluso cambiado en tiempos recientes, como nos muestran las
geometrías no euclídeas.
Hoy día disponemos de varios sistemas adecuados de postulados tanto para
la geometría euclídea como para las no euclídeas. El más relacionado con el
sistema de Euclides es probablemente el de Hilbert.
Los pueblos antiguos concibieron el espacio pero sin el número. Ha sido
en época más moderna, principalmente con René Descartes, cuando surgió la
relación entre el número y el espacio a través de las coordenadas. Por ello los
antiguos no tuvieron más remedio que partir de propiedades experimentales que
consideraban falsamente como evidentes, para todo aquello que tuviera que ver
con la razón pura, y se esforzaron en agruparlas en proposiciones
coherentes. Filosofía que, incluso hoy día y en ciertos temas, aún
conservamos. No cabe duda de que si se tiene en cuenta que ellos ignoraban el
método adecuado, entonces los resultados que obtuvieron de esa ignorancia resultan
de lo más admirable para la época. Pero esto no debe perpetuar tales hábitos.
No debe confundirse el interés histórico con la formación del ingenio, ya que
ello nos encadenaría, por ejemplo, a Viète en lo relacionado con el álgebra o a
Euclides en lo que se refiere a la geometría. Esos vínculos fueron rotos por
geómetras como Bolyai.
En los orígenes de la geometría se observa, desde nuestra perspectiva
actual, la confirmación del fundamento experimental al que nos hemos referido,
así como el carácter social de la ciencia matemática.
Pitágoras (detalle del cuadro La escuela de Atenas de Rafael).
La geometría nació cuando se tuvo necesidad práctica de ella, por
ejemplo, en el valle del Nilo hace más de cuatro mil años para restablecer el
amojonamiento de las tierras después de una inundación o en China, aunque allí
el nivel de conocimientos no pasó de un simple empirismo. También en
Mesopotamia despiertan esos albores trasladados al resto del mundo por los
fenicios. Pero como advierte Babini:
“entre la época de los papiros egipcios y la época a la que pertenecen
las primeras noticias de un saber griego, transcurre más de un milenio, lapso
en el cual el mar Egeo es teatro de acontecimientos en gran parte todavía
desconocidos”.
Cuando irrumpe en el escenario la Grecia antigua, su ciencia se
construye con ayuda de sacerdotes y escribas egipcios y caldeos y se siente
atraída por los descubrimientos más simples de la geometría. Primero Tales y
después Pitágoras son los personajes a los que es preciso atribuir la gloria de
quienes, a partir de las cosas más simples, han sido capaces de abstraer los
conceptos de línea, ángulo y superficie. Fueron los auténticos inventores de la
prueba deductiva, tanto en geometría como en matemáticas. El teorema de
Pitágoras se presenta como una cosa absolutamente nueva en la historia de la
humanidad, con la que la ciencia parece anunciarse sirviéndose de la geometría,
que, a su vez, se compone de leyes y de teorías.
En opinión de Tobías Dantzing (manifestada en su obra El número,
lenguaje de la ciencia),
“la mentalidad general de los griegos permanece encerrada en una
singular contradicción. Por una parte, su Universo no comprendía más que cosas
inmediatamente accesibles a los sentidos; por otra, su talante de espíritu era
esencialmente aristocrático, ya que tenían por banales y vulgares ocupaciones
tales como la de artesano, por muy ingeniosos y elegantes que fueran los
procedimientos que se emplearan”.
§. Geometría y civilización
En lo que concierne al origen de la geometría, la explicación que tiene
actualmente más adeptos fue propuesta por el historiador griego Heródoto de
Halicarnaso en el siglo V antes de nuestra era. Cuenta las guerras entre
griegos y persas, lo que le sirve para describir las costumbres y las
instituciones de los pueblos. El Libro II, Euterpe, está
consagrado a Egipto y contiene la mención más antigua de la palabra
griega geometría en dialecto jónico, que es el empleado por
Heródoto. Los sacerdotes egipcios le confiaron el siguiente secreto del rey
Sesostris[1]:
“Los sacerdotes también me dijeron que este rey repartió el suelo entre
todos los egipcios, concediendo a cada habitante un lote cuadrangular de
extensión uniforme; y, con arreglo a esta distribución, fijó sus ingresos, al
imponer el pago de un tributo anual. Ahora bien, si el río se le llevara a
alguien parte de su lote, el damnificado acudía al rey y le explicaba lo
sucedido; entonces, el monarca enviaba a algunas personas a inspeccionar y
medir la disminución que había sufrido el terreno para que, en lo sucesivo,
pagara una parte proporcional del tributo impuesto. Y, a mi juicio, para este
menester se inventó la geometría, que pasó luego a Grecia. Pues el polo, el
gnomon y la división del día en doce partes los griegos lo aprendieron de los
babilonios”.
Heródoto añade en otra parte que los griegos, no especifica quién,
importaron ese conocimiento a su país. Proclo, tal vez siguiendo la opinión de
Eudemo de Rodas, afirma que se trató de Tales.
Como hemos visto, Heródoto emplea en su descripción la palabra geometría, 𝛾𝜀𝜔μ𝜀τρια, constituida
por el prefijo griego geo, 𝛾𝜀𝜔, la tierra, y
por el verbo medir, μ𝜀τρ𝜀ω: medición de la
tierra.
Platón (detalle del cuadro La escuela de Atenas de Rafael).
Con ello surge además la idea de que la geometría ha nacido de la
agrimensura. Dado que la ciencia geométrica también parece haberse utilizado en
Egipto para medir la altura de la gran pirámide, surge la tesis de que existe,
en su origen, una relación directa entre la geometría y la determinación
indirecta de distancias inaccesibles. Parece que fue Tales quien midió la
altura de la pirámide en presencia del rey Amasis. Caben otras definiciones,
esta vez ya de los griegos. Aristófanes, célebre poeta cómico ateniense, en su
obra Las nubes dice que la geometría
“es la medida de toda la tierra habitada, no de un pequeño territorio
que se distribuye en partes en una colonia”.
La tradición griega antigua relaciona esta geometría, a
la que también llamó geografía, con otros personajes como
Anaximandro de Mileto (siglo VI antes de nuestra era), y Heródoto se burla de
las primeras cartas jónicas del mundo debido a las numerosas y arbitrarias
simetrías que contenían. A partir de esa época, existen dos formas de
considerar el desarrollo de la geometría: unas veces reseñando su modesto
origen empírico, la agrimensura, otras, su implicación en las investigaciones
más especulativas de la información sobre la naturaleza, como la estructura
geométrica del cosmos, la descripción y carta del mundo habitado. La sombra de
esta doble faceta se ha prolongado hasta nuestros días.
La geometría ha constituido siempre una ciencia que no se contenta con
medir sino que además compara figuras: en cuanto a la forma, estudia la
semejanza; en cuanto a la magnitud, compara longitudes y áreas; en cuanto a la
posición, trata de tangencias, de relaciones, como inscrito o circunscrito. En
los Elementos de Euclides nos volveremos a encontrar con esta
dualidad entre las características geométricas de los objetos
y las relaciones entre objetos.
§. Euclides
Hacia finales del siglo IV a.C. la ciencia matemática emigró de Grecia a
Egipto. Alejandro Magno había conquistado el mundo griego con sus victorias y
concibió la idea de crear un gran imperio.
Euclides (detalle del cuadro La escuela de Atenas de Rafael).
Pero murió joven, a los 33 años. Durante su visita a Egipto fundó la
ciudad de Alejandría, situada en el litoral occidental del delta del Nilo,
ciudad que se convirtió en la más Importante del mundo mediterráneo. Pasó a ser
el centro del nuevo comercio entre Europa, Arabia y la India y geográficamente
era el lugar de reunión adecuado para griegos, judíos y árabes.
Los alejandrinos supieron atraer a su ciudad a los científicos más
destacados de su tiempo. Durante siglos continuó siendo el centro espiritual
del mundo, y en el primer siglo de su existencia vivieron allí los tres
matemáticos más grandes de la Antigüedad: Euclides, Arquímedes y Apolonio.
Euclides fue el primer guía de la escuela alejandrina. Se le describe
como un hombre apacible y mesurado, lleno de buena voluntad con todo aquel que
se propusiera mejorar las matemáticas. Sintió mucho respeto y reconocimiento
por los que le precedieron, de forma que trató de modificar lo menos posible
sus obras. Se dice que era muy retraído hacia todos los trabajos que realizaba
y de los resultados que alcanzaba, de tal forma que sus contemporáneos y
sucesores tenían la inclinación a olvidar al hombre frente a su obra. Así,
cuando hablaban de Euclides pensaban, casi como hacemos hoy día, en sus
trabajos y, ante todo, en sus Elementos, y poco en el propio
sabio. En la Edad Media se llegó a más, negándose casi por completo la propia
existencia del hombre: parecía que Euclides no hubiera vivido.
No siempre los matemáticos son tan modestos ni saben anteponer, de la
manera que lo hizo Euclides, las cosas a sus propios méritos. Así, por ejemplo,
se cuenta de Sturm, especialista francés en álgebra y teoría de números, y del
que procede un importante teorema relativo a las funciones algebraicas conocido
ya durante su vida con el nombre de teorema de Sturm, que en
sus últimos años y durante la docencia de sus lecciones, decía con toda
seriedad: Ahora, señores, llegamos a un bello teorema cuyo nombre tengo
el honor de llevar. De Euclides no se hubiera podido pensar una
manifestación semejante: su modestia, unida a un rigor inflexible y la máxima
veneración por la ciencia, le impedían hablar de otra cosa que no fueran sus
hechos, sus trabajos.
Su obra cumbre se caracterizaba por el rigor de la sistematización. En
los Elementos, según comentario de Proclo
“concluía muchas cosas comenzadas y, además de esto, apoyaba en
demostraciones irrefutables lo que sus antecesores sólo habían demostrado a la
ligera”.
A este mismo respecto, decía Lagrange que
“aprender geometría sin conocer a Euclides sería como querer aprender
latín o griego en los libros modernos escritos en esos idiomas sin consultar
los textos originales”.
No es nuestro objetivo hablar de la obra de Euclides más allá de lo
relacionado con la geometría. Sólo reseñar unas notas sobre el maestro. El
tratado Elementos es uno de los escritos matemáticos antiguos
más voluminosos. Uno de los méritos más notables que como autor tiene Euclides
en la obra fue haber distribuido la materia que contenía de acuerdo con unos
criterios muy determinados, además de haberla dotado de una estructura
deductiva local. Los resultados están agrupados en función de los objetos a los
que se refiere. Se distinguen tres grandes subconjuntos: los libros de la geometría
plana, los libros de la aritmética y los libros de
la estereometría. Todo ello equivale al estudio de la figura
plana, del número y de la figura sólida.
Las proposiciones 5, 6 y 7 del Libro II de los Elementos de Euclides en la
edición de E. Ratdolt (Venecia, 1482).
Esta clasificación en elementos conduce a resaltar las figuras más
simples, como son los triángulos, cuadrados, rectángulos, los paralelogramos y
el trapecio, en los libros I y II; el círculo y los segmentos, en el libro III;
y los polígonos regulares inscritos o circunscritos en un círculo, en el libro
IV. Una distribución semejante emplea para las figuras sólidas.
Pero Euclides triunfó en un punto: en su forma de trabajar con líneas
paralelas. Y nos interesa resaltar esta cuestión puesto que será nuestro punto
de apoyo y arranque para lo que pretendemos describir y desarrollar hasta
llegar a relatar la vida y la obra de János Bolyai. Por ello, es necesario
aclarar que Euclides no intentó encubrir por medio de un axioma plausible su
incapacidad para demostrar cierta propiedad de las líneas paralelas
coplanarias. Muchos de sus otros supuestos, o bases necesarias para sus
argumentos, eran tales que dispondrían razonablemente del asentimiento general.
Pero en el caso de las líneas paralelas comenzó con un supuesto elaborado que
conocemos como el postulado de tas paralelas: si una línea
recta corta a otras dos líneas rectas de manera que los dos ángulos interiores
que se forman en el mismo lado no sumen más de dos ángulos rectos, esas líneas
rectas prolongadas continuamente se cortarán a la larga en el lado en el que los
ángulos son menores que dos rectos.
Dejando esto sin demostrar, y probando en realidad su recíproco,
Euclides se expuso al ridículo y a los ataques. Seguro que sus críticos dirían
que éste no era un supuesto adecuado como los otros suyos, sino más bien
susceptible de demostración. La venganza de Euclides llegó, como se dijo
anteriormente, con el descubrimiento de las geometrías no euclídeas en el siglo
XIX de la mano de Gauss, Bolyai y Lobachevski.
Capítulo 2
Biografía de los Bolyai
Quienes no aspiran a nada, no arriesgan nada y no sirven para nada.
Beaumarchais
§. La familia Bolyai: los orígenes
Según el profesor húngaro, miembro de la Academia Húngara de Ciencias,
Andrés Prékopa, es mucha la información que se tiene de los dos Bolyai, padre e
hijo: “Fue Ferenc Schmidt, un arquitecto de Temesvár (hoy Timisoara) y después
de Budapest, el primero, el más cuidadoso y esforzado investigador de sus obras
y de sus vidas”. Su padre, Antal Schmidt, también arquitecto, coincidió con
János cuando trabajaba como ingeniero militar en Temesvár, entre los años 1823
y 1826.
Hoüel
Guillaume Jules Hoüel nació el 7 de abril de 1823 en Thaon, región de
Calvados, Francia, y falleció el 14 de junio de 1886, en Périers-sur-le-Dan,
Francia. Fue alumno del liceo de Caen y más tarde del colegio Rollin. En 1843
entra en la Escuela Normal Superior donde se gradúa.
Publicó un trabajo sobre geometría en 1863, cuando aún desconocía las
investigaciones sobre geometría no euclídea llevadas a cabo por János Bolyai,
aunque sí estaba al tanto de los trabajos que se desarrollaban en Europa
alrededor de la teoría de las paralelas. Comenzó a interesarse por la geometría
de Bolyai y Lobachevski al conocer el trabajo de ambos, sirviendo de traductor
al francés de los trabajos más importantes tanto de Bolyai como de Beltrami,
Helmholtz y Riemann.
A sugerencia de Hoüel, Ferenc Schmidt reunió cierto material de los trabajos de
Bolyai que más tarde le sirvió para redactar la primera biografía de János.
Hoüel construyó tablas de logaritmos y trabajó sobre las perturbaciones
planetarias.
Además, Ferenc pudo escuchar cosas muy interesantes acerca de János de
la propia boca del padre de éste y no ahorró esfuerzos para reunir toda la
información que le fue posible sobre los Bolyai. Su mejor pasatiempo fueron las
matemáticas y las ciencias naturales. Mantuvo correspondencia con científicos
de distintos países del occidente europeo, solicitándoles cualquier información
sobre libros científicos publicados en sus respectivos países. Los datos
recogidos por Ferenc se encuentran en su obra, publicada en 1868,
titulada: Sobre la vida y los trabajos de los dos matemáticos húngaros
Farkas y János Bolyai de Bolya.
Veamos en primer lugar de quién y de dónde proceden las más importantes
fuentes biográficas de los Bolyai para, de ese modo, fundamentar las relaciones
científicas entre padre e hijo, y las que mantuvieron con otros matemáticos de
su época. Guillaume Jules Hoüel, profesor de historia de las matemáticas en
Burdeos, se convirtió en uno de los primeros descubridores del trabajo de János
Bolyai y fue la conexión francesa de la que se sirvió Ferenc Schmidt. Hoüel
tradujo al francés el Apéndice de János añadiéndole la
biografía preparada por Schmidt. Este último facilitó la mayor parte de la
información recibida a Paul Stäckel, que la recogió en su obra en dos
volúmenes Farkas y János Bolyai. Investigaciones geométricas.
§. Farkas Bolyai
Las vidas de padre e hijo estuvieron siempre ligadas por el lazo común
de la ciencia, especialmente de las matemáticas. Por ello comenzaremos hablando
de Farkas, nombre que significa lobo en húngaro. También se le
cita con frecuencia por la traducción alemana de su nombre: Wolfgang. Durante
su juventud estuvo aquejado de una enfermedad en los ojos, lo que le hizo
desarrollar una memoria prodigiosa. Su dominio de la aritmética y de las lenguas
le convirtió en preceptor del hijo de un noble a la temprana edad de doce años.
Los Bolyai eran húngaros originarios de la Transilvania, provincia
rumana desde el tratado de Trianón de 1920. El padre de János nació el 9 de
febrero de 1775 en Bolya, cerca de Nagyszeben. Provenía de una familia de
Hungría de antiguo linaje. Sus antecesores tomaron posesión del castillo
fortificado de esa ciudad a principios del siglo XIV. Algunos miembros de su
familia fueron valientes soldados pero, en la primera mitad del siglo XVII, un
tal János Bolyai perdió el castillo durante su cautiverio en Turquía. A partir
de ahí, la fortuna de los Bolyai fue poco a poco perdiéndose y Gaspar Bolyai,
padre de Farkas, heredó únicamente una pequeña porción de tierra cerca de
Bolya. A esa finca se le unió posteriormente otra cercana a Domáld, villa
próxima a Marosvásárhely (actualmente la ciudad rumana de Tárgu Mures),
perteneciente a la herencia de Krisztina Pávai Vajna, esposa de Gaspar.
Vásárhely fue el nombre primitivo de Marosvásárhely y era la ciudad más grande
del pueblo szákely, los húngaros del extremo este de Transilvania.
Farkas asistió, entre los 6 y los 13 años, al colegio luterano y
calvinista de Nagyenyed. Además, el barón Simón Kemény pagó a Farkas los
servicios educativos de su hijo, entablándose entre ambos jóvenes una buena
amistad, de manera que a partir de 1790 estudiaron juntos durante cinco años en
la Escuela Calvinista de Kolozsvár. En esa época el talento de Farkas para las
matemáticas fue desarrollándose progresivamente, aunque también mostraba
verdadero interés por la música, en especial por el violín, el dibujo y el
teatro, para el que escribió varias obras además de trabajar como actor. En el
otoño de 1795 Farkas dejó Nagyenyed y se trasladó a Gotinga para proseguir allí
sus estudios. Fue acompañado por su amigo y compañero, Simón Kemény hijo. Pero
cayó enfermo y tuvo que regresar de nuevo a Hungría, aunque por poco tiempo: en
la primavera del año siguiente se reunió de nuevo con Simón. Estuvieron varios
meses en Jena y más tarde, en octubre del mismo año, entró en la Universidad de
Gotinga. El hecho de ser un estudiante becado dentro de la universidad le
aseguró a Farkas la posibilidad de pagar los costes de su mantenimiento y de
seguir estudiando y aprendiendo. Todos los que conocieron a Farkas decían de él
que era un hombre de pensamiento profundo y de carácter bonachón.
Fue precisamente en Gotinga donde Farkas, a sus diecinueve años,
encontró a Gauss, el príncipe de los matemáticos, con el que
hizo una perdurable amistad. Después de la muerte de éste último, la rica y
fructífera correspondencia mantenida entre ambos constituiría una colección de
documentos extremadamente valiosos para la historia de las matemáticas. Farkas
envió en 1855 las cartas que había recibido de Gauss al profesor Wolfgang
Sartorius von Waltershausen, que en aquel entonces estaba trabajando en una biografía
de Gauss. Señalada su amistad con el príncipe de los matemáticos, Farkas
fue el único hombre que supo comprender sus consideraciones metafísicas acerca
de la matemática.
Farkas Bolyai
Después de algunos años transcurridos en Gotinga, Farkas regresó a
Kolozsvár en 1799. Comenzó trabajando como tutor familiar y luego contrajo
matrimonio con Susana Árkosi Benkó, hija de un enfermero y barbero. La pareja
se movió muy pronto de Kolozsvár a Domáld, donde permaneció hasta el otoño de
1802. Poco después regresaron de nuevo a Kolozsvár, en espera del nacimiento de
su primogénito János, nacimiento que ocurrió el 15 de diciembre de ese año.
En enero de 1804 Farkas ya había obtenido una plaza como profesor de
matemática, física y química en el Colegio Calvinista Reformado de
Marosvásárhely, plaza que conservaría durante 47 años hasta su retiro en 1851.
El colegio donde Farkas ejerció su docencia había sido construido a mediados
del siglo XIV, en parte sobre las ruinas de la iglesia de San Nicolás destruida
hacia el 1600. La escuela comenzó a impartir clases en el siglo XV1I1 cuando
los estudiantes calvinistas fueron expulsados de Sárospatak donde habían estado
instalados.
El Colegio Calvinista Reformado de Marosvásárhely donde estudió János Bolyai .
El matrimonio Bolyai tuvo, además de János, una hija que falleció a edad
muy temprana. El matrimonio no fue nada feliz debido, según comentarios del
propio Farkas, a que su suegra era la causante de frecuentes disgustos entre la
pareja, además de que pretendía separarlo de su mujer. Por otra parte Susana
era neurótica, mal que se manifestó ya en los primeros años de casados. El
matrimonio fue a peor desde 1817. Ella falleció en 1821, después de largos
sufrimientos.
Volviendo a la vida de Farkas como profesor, añadir que éste era pagado
por sus clases en trigo, vino, sal, cerdo, cordero y leña. Le concedieron
además una casa con jardín y una paga dineraria.
Farkas se casó por segunda vez en 1824 con Teresa Somorjai Nagy, que era
veintidós años más joven que él. Era hija de un tendero de Marosvásárhely.
Tuvieron dos hijos, Gergely y Berta. Esta última falleció a los pocos años de
su nacimiento. Teresa era también de salud delicada y murió joven, en 1833. En
cualquier caso, fue un matrimonio mucho más tranquilo y relajado que el
primero.
Farkas Bolyai fue un hombre muy inteligente, uno de los matemáticos más
importantes de Hungría y un precursor, como veremos, del descubrimiento de las
geometrías no euclídeas. Se interesó toda su vida por los fundamentos de la
geometría y en especial por el axioma de las paralelas. Después de publicar
varios manuales escolares, entre 1832 y 1833 da a luz su obra didáctica Tentamen, escrita
en latín en dos volúmenes. Su título completo es Tentamen juventutem
studiosam in elementa matheseos purae introducenci (Intento de introducir a la
juventud estudiosa en los elementos de la matemática pura). Estaba
dedicado a los alumnos de las clases superiores de su colegio y en esta obra
prueba a establecer de forma rigurosa y sistemática los fundamentos de la
geometría, de la aritmética, del álgebra y del análisis, es decir, constituía
un resumen de toda la matemática de su tiempo. Gauss comentó positivamente el
alto grado de precisión que se notaba en este trabajo.
Farkas fue elegido miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de
Hungría el 9 de marzo de 1832, pero no en el departamento de matemáticas, sino
en el de ciencias naturales. La base para su elección fue la publicación en
1830 de su libro Elementos de aritmética. Parece que esa
asignación a un departamento que realmente no era el suyo se debió a que la
citada obra de Farkas había sido la única, hasta la fecha, redactada en húngaro
y no en latín, como era el caso del Tentamen. La Academia de
Ciencias era la sucesora reciente de otra sociedad dedicada a promover y
desarrollar la lengua húngara, lo cual podría explicar la actitud del
secretario del tribunal, Gábor Dóbrenti, de no incluirlo en el departamento de
matemáticas, puesto que las anteriores obras de Farkas estaban todas ellas
escritas en latín: contaba, pues, nada más que con una obra meritoria para
obtener la plaza.
Farkas Bolyai no sólo era un talento para las matemáticas, también hay
que resaltar otras cualidades propias de un auténtico genio en otras muchas
labores. Así, por ejemplo, debido a la escritura de obras para el teatro,
consiguió alcanzar un puesto en la historia de la literatura húngara. Por sus
conocimientos de música acostumbraba a impartir clases privadas de ese arte e
incluso dio conferencias sobre teoría de la música. Era un buen conocedor de
lenguas: se desenvolvía con gran soltura en húngaro, alemán, latín y rumano,
además de poseer conocimiento de otras varias. Era el invitado favorito de la
alta sociedad local al haberse convertido en un divertido y gran conversador.
Otro de los pasatiempos favoritos de Farkas fue el diseño de estufas y
hornos. Habiendo oído que la construcción de estufas económicas figuraba en la
agenda de una reunión internacional a celebrar en Viena, puso manos a la obra
con el objetivo de resolver el problema e inventó varios tipos de estufas,
algunas de las cuales construyó él mismo. Como consecuencia, esas estufas
estuvieron de moda en Transilvania durante mucho tiempo.
El axioma de las paralelas
Muchos matemáticos han tratado en todas las épocas de deducir este
postulado de los anteriores establecidos por Euclides. Pero todo ha sido en
vano. Lo único que consiguieron fue elaborar enunciados equivalentes. Tal es el
caso de Proclo, Saccheri, Lambert, Legendre, Lagrange y también Farkas Bolyai
que, en su obra Tentamen, lo enunció así: “tres puntos no alineados pertenecen
a una misma circunferencia"
En su Tratado de geometría métrica, el gran matemático e ingeniero español
Pedro Puig Adam escribe que “la necesidad de un axioma como éste para
fundamentar la teoría del paralelismo fue advertida por Euclides, cuyo
postulado fue enunciado de otra manera”. El enunciado equivalente al de
Euclides que nos da el profesor Puig Adam, y también otros muchos, es como
sigue: “por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela a ella”. Este
postulado permite asegurar la existencia de una paralela r2, y sólo una, por un punto
exterior O a una recta r1.
Como puede apreciarse, este postulado afirma dos cosas: primera, la
existencia de una recta que pasa por el punto exterior a otra dada y que es
paralela a ella y, en segundo lugar, que esa recta es única. Entonces, ese
postulado puede negarse todo él o sólo la segunda parte. Trabajando con la
segunda alternativa, han nacido las geometrías no euclídeas.
En la misma obra citada se nos dice: “la forma poco intuitiva que tiene el
postulado de Euclides, en comparación con los restantes que este geómetra
estableció al comienzo de sus famosos Elementos, motivó, sin duda, que el
propio Euclides hiciera el menor uso posible de él y que los geómetras
posteriores se esforzaran en hallar del mismo una demostración ”. Durante más
de veinte siglos se ha tratado de dar consistencia lógica a las geometrías no
euclídeas, es decir, las que niegan tal postulado.
Otro de sus logros fue la construcción de un asiento con ruedas que se
podía conducir con la ayuda de un volante y mover con los pies. Y también una
casa colocada sobre ruedas y recubierta con techumbre de madera, precursora de
las casas móviles.
En un determinado momento, se publicó una vacante en Transilvania para
inspector general de bosques, plaza a la que se
presentó con el fin de aliviar sus penurias económicas. No fue admitido,
pero debido a la preparación que tuvo que realizar, alcanzó un cierto grado de
experiencia en técnicas forestales y fue capaz de escribir el primer libro
sobre el tema en húngaro.
Farkas Bolyai falleció el 20 de noviembre de 1856. Según Orbán Balázs,
fue su voluntad que no se hiciera ceremonia alguna, sólo el “sonar de
la campana de la escuela. En su tumba no figuran ni epitafios ni
inscripciones, sólo se plantó sobre ella un manzano que tenía en sus tierras,
porque el famoso profesor Bolyai había sido también un especialista en
horticultura. Su hijo János le tuvo en gran estima y consideración, y esa
estima, según veremos más adelante, fue recíproca a pesar de las varias
discusiones que mantuvieron ambos. Después del funeral, János dedicó a su padre
un opúsculo.
§. Los primeros estudios
János Bolyai es una de las figuras más grandes y relevantes de la
matemática húngara y tuvo una carrera fulgurante como matemático; muchos opinan
que es el Copérnico de la geometría. Las obras publicadas de János quedan casi
reducidas a un simple apéndice de veintiséis páginas en las que se pone fin a
veintidós siglos de investigación infructuosa sobre el V postulado de Euclides
o axioma de las paralelas. A János se le debe el
establecimiento de la primera geometría no euclídea. Con este trabajo rompe uno
de los monopolios de la geometría y prepara el camino para que la humanidad
considere el espacio de diferente manera a como lo venía haciendo durante
siglos.
János nació el 15 de diciembre de 1802 en la casa que sus abuelos
maternos tenían en Kolozsvár. Pensaron que en esa ciudad su madre dispondría de
mejores cuidados médicos que en Domáld, donde habían estado residiendo hasta el
momento de acercarse el parto.
Su padre prestó la máxima atención en primer lugar al desarrollo físico
de su hijo y se encargó luego personalmente, como había hecho el padre de
Blaise Pascal, de su formación matemática: primero la salud, luego la ciencia.
Esto escribe Szénássy sobre la infancia de János: “A la edad de cuatro
años podía distinguir ciertas figuras geométricas, conocía la función seno y
era capaz de identificar las principales constelaciones. A los cinco años
aprendió a leer por sí solo. Estuvo muy por encima de la media a la hora de
aprender lenguas, principalmente el alemán, y música, de forma que a los siete
años era capaz de tocar el violín haciendo tales progresos en este instrumento
que muy pronto interpretó difíciles obras de concierto”. János no asistió a la
escuela hasta que cumplió nueve años; hasta entonces recibía clases de los
mejores estudiantes de la escuela de Marosvásárhely, excepto en el caso de las
matemáticas, de cuya enseñanza se encargó su propio padre.
A los catorce años János era ya un maestro en la matemática superior,
como el cálculo diferencial e integral, y en la mecánica. Se había convertido
en un lingüista de excepción, hablando nueve idiomas extranjeros, entre ellos
el chino y el tibetano. Todo esto está documentado en una carta que su padre
dirigió a Gauss en 1816.
Sello postal emitido por Hungría en recuerdo de János Bolyai, parece que el
retrato pudiera no ser el suyo.
Cuando a los doce años se convirtió en un colegial normal, pudo
matricularse directamente en cuarto debido a la formación y conocimientos que
ya había adquirido: los tres primeros cursos le fueron convalidados. Hizo su
examen final en junio de 1817. Había llegado el momento de pensar en la
formación universitaria de János.
Por un artículo de Samu Benkó, titulado “Gotinga, Gauss y Erdély”,
podemos tener una visión de la relación existente entre la Universidad de
Gotinga y los naturales de Transilvania, acercándonos así al problema de la
educación superior en aquella Europa del Este que le tocó vivir a János. Esa
universidad era famosa por la libertad de pensamiento, que encajaba bien con la
libertad religiosa que se vivía en los hogares de Transilvania, lo que animaba
a las familias a enviar a sus hijos a Gotinga. Entre los numerosos alumnos que
asistieron a sus aulas ya nos hemos referido al caso de Farkas Bolyai como uno
de los más conocidos y renombrados. También Gauss estuvo allí. Sin embargo la
educación universitaria era cara, especialmente allí, de tal forma que si una
familia perseguía una educación superior para su hijo, debía ser pudiente o
bien encontrar un protector que ayudara e incluso cubriera los gastos. Los
historiadores también mencionan que en la mayor parte de las universidades se
permitían la bebida y los duelos, y el comportamiento irresponsable estaba de
moda, todo lo cual causaba un cierto recelo en las familias a la hora de enviar
a sus hijos a cualquier universidad. Parece sin embargo que en Gotinga la moral
no estaba tan relajada como en otras universidades debido a que los claustros
ejercían una cierta vigilancia sobre el cumplimiento de las reglas
establecidas. A finales del siglo XVIII la mayor parte de los estados comenzó,
de alguna manera, a regular la vida de las universidades aunque, por otra parte,
no estaba permitido que los gobiernos violasen la autonomía de la vida
académica.
§. A la búsqueda de una universidad
En Transilvania no había universidades, y las de Pest o Viena no
enseñaban matemáticas por carecer de profesores especializados en la materia o,
si había alguno, no eran de la suficiente confianza de Farkas como para poner
bajo su tutela el genio de su joven hijo. La única alternativa era enviar a
János a Gotinga, junto a Gauss. No se sabe con certeza si le fue ofrecida una
beca a Farkas para su hijo János por parte de una familia bien situada
económicamente que le hubiera facilitado suficiente dinero para vivir y
estudiar con desahogo. Pero lo cierto es que Farkas prefirió seguir con sus
planes de enviar a su hijo a la casa de Gauss: la vida en las universidades
alemanas, como hemos dicho, era lo suficientemente disoluta. János tenía quince
años en 1817.
El 10 de abril de 1816, Farkas escribió a su amigo Gauss pidiéndole que
János viviera con él durante tres años para que así recibiera la mejor
formación posible en matemáticas. Incluso le habló de reembolsarle los gastos
que se produjeran. Pero parece que Farkas le exigió demasiado a Gauss, que
rechazó la idea. ¿Cuáles fueron esas exigencias? Preguntarle por la moral de su
hija, para que nunca resultase peligrosa para János, estar satisfecho y no
quejarse por nada, disfrutar de buena salud y tener una esposa excepcional como
mujer y de carácter estable. Por todo lo anterior, Gauss nunca contestó a esa
carta.
§. János comienza los estudios de ingeniero militar
Después de este intento fallido, surgió en Farkas la idea de que János
estudiase en Viena, concretamente en la Academia de Ingenieros Militares. De
hecho, visitó esa academia en uno de los viajes que hizo a Gotinga, quedando
altamente impresionado, tanto que se hubiera matriculado él mismo en ella. El
problema era cómo reunir inmediatamente el dinero necesario para pagarle a su
hijo los estudios en esa institución. Hasta ver cómo solucionaba las cuestiones
presupuestarias tuvo que comenzar matriculando a János en 1817 en la Facultad
de Artes de la Escuela de Marosvásárhely, graduándose el 30 de junio de 1817.
Algo más tarde, el director de la institución, conde Miklós Kemény, junto con
otros benefactores, facilitó el dinero suficiente para que János pudiera
comenzar sus estudios como ingeniero militar. Una vez pasado el correspondiente
examen de admisión en 1818, János seguirá un programa de ocho años en la
Imperial y Real Academia de Ingenieros Militares. Se podía ingresar en el
cuarto curso o en alguno de los anteriores, dependiendo de la formación que
poseyera el aspirante: János siguió la opción avanzada y finalizó cuatro años
después, a pesar de una cierta aversión por la disciplina militar. Ingresó por
tanto como cadete de ingenieros en el ejército austro-húngaro. Ahora bien, tuvo
que hacer frente a otros gastos que no llegaban a cubrirse con la asignación
del conde y de los otros amigos, por lo que recayó en su propio padre esa
financiación extra, tarea nada fácil dada la situación económica por la que
atravesaba Transilvania por culpa de las guerras mantenidas con Francia desde
1792.
János fue un excelente estudiante, clasificado por muchos profesores
como el primero, aunque otros le consideraban el segundo, quizá debido a sus
dificultades con el dibujo, materia que se asegura que le aburría. No olvidó en
ningún momento el deporte, no bebía alcohol ni café, sólo agua, y nunca fumaba.
El violín seguía siendo su mayor pasión, interpretando varios conciertos
durante su estancia en Viena.
§. Graduación en Viena como ingeniero militar
Se graduó el 6 de septiembre de 1822, pero, debido a su alto interés por
las materias y por ser uno de los dos alumnos más aventajados, se le permitió
proseguir estudios un año más. A principios de septiembre de 1823 fue nombrado
subteniente y asignado a la dirección de la fortificación de Temesvár. Se
retirará, como veremos, en 1833 con el grado de capitán.
A principios de 1825 János visitó a su familia en Marosvásárhely, donde
tuvo un gran éxito: la sociedad aristocrática quedó fascinada por su
personalidad y por la elegancia del joven oficial. Su padre estaba feliz por
tener un hijo que se había convertido en un genio de las matemáticas, no sólo
por los conocimientos adquiridos en la escuela de Viena sino también porque
sabía de las investigaciones que, sobre la teoría de las paralelas, venía
haciendo desde 1820, estando ya en la Academia de Ingenieros. En una carta que
Farkas escribe a Pál Bodor el 27 de febrero de 1825 le comenta que János es un
joven elegante, decidido y con una naturaleza muy fuerte. Además, János era un
excelente practicante de esgrima y era famoso en ese arte desde sus años de
estudiante. Se cuenta que una vez, durante su estancia en Arad, trece oficiales
de caballería le retaron a un juego que János aceptó. Las condiciones eran que
cada dos lances ganados por su parte, él podría tocar el violín. Venció en los
trece retos. Si la historia fuera cierta, dado que las espadas empleadas por
los oficiales de caballería eran muy pesadas, significaría que János era de una
complexión física extremadamente fuerte.
En 1826 János fue trasladado a Arad y la suerte quiso que allí se
encontrara con Johann Wolter Eckwehr, que había sido uno de sus profesores de
matemáticas en la academia, y con el que, además, había sostenido una rica
correspondencia. Ahora era su superior inmediato. János le pasó un manuscrito
en alemán con sus investigaciones relativas a la geometría no euclídea. Por
desgracia, este manuscrito se ha perdido. Cinco años más tarde, en 1831, János
fue nuevamente trasladado, esta vez a Lemberg (actual ciudad ucraniana de
Lviv), y en 1832 a Olmütz, (la actual ciudad checa de Olomouc) último destino
en su carrera militar.
Estando en Arad, János padeció de fiebre persistente. Casi con seguridad
cogió la malaria, debido a la extrema humedad de los suburbios de la ciudad.
Más tarde también sufrió de cólera, de manera que su salud se deterioró de
forma significativa. Además, en su traslado de Lemberg a Olmütz tuvo la
desgracia de que el carruaje en el que viajaba sufriera un accidente a causa
del cual se hirió en la cabeza. Comenzaba a no sentir interés por su carrera
militar, estaba aburrido y cansado de la rutina de los escritos, informes y de
la elaboración de planos que debía hacer a diario. Dedicaba su tiempo libre a
resolver problemas de matemáticas. Con el fin de dedicarse de lleno a sus
investigaciones solicitó una baja temporal del servicio por tres años, baja que
le fue denegada. Finalmente, en 1833, fue separado del servicio con una pensión
de capitán de segunda clase. Puede que hubiera una segunda razón para esa
jubilación prematura del servicio. De camino desde Lemberg a Olmütz, János tuvo
una discusión con los aduaneros de frontera por negarse a abrir su equipaje y
los oficiales le denunciaron a las autoridades.
§. De nuevo en la vida civil
János se fue a vivir a la casa que su padre tenía en Marosvásár- hely,
pero sólo por una temporada, ya que un año más tarde, en 1834, se trasladó a
Domáld donde permaneció hasta 1846. La familia había heredado allí una finca de
la madre de Farkas. A partir de 1834 János cohabitó con Rosalía Kibédi Orbán.
Su matrimonio legal no era posible al no poder reunir el dinero de un depósito,
el dinero de un aval, que le fue requerido cuando era oficial
del ejército. Su padre nunca aprobó enteramente esa unión y consideró que su
hijo estaba manchando la buena reputación que siempre tuvo en la comunidad en
la que vivía. Tuvieron dos hijos: Dénes y Amalia. Uno de sus descendientes, su
tataranieto János Bolyai, vive en Edelény (Hungría). Debido a la pensión
insuficiente y quizás también a la mala gestión económica del dinero percibido,
la finca y casa en la que habitaba la pareja con sus hijos se convirtió en una
carga con el paso del tiempo y ellos mismos llegaron a vivir en una auténtica
penuria.
En 1846 János se trasladó de nuevo con su familia a Marosvásárhely para
agradar a su padre, disgustado, y no le faltaba razón, por lo que él
consideraba una mala gestión de la finca de Domáld. La finca sería luego
arrendada.
Durante la guerra de independencia, en 1849, dejó de tener vigencia la
exigencia del aval, por lo que János y Rosalía pudieron casarse legalmente el
18 de mayo de 1849. El ejército nunca reconoció, sin embargo, la legalidad de
ese matrimonio. Pero esa vida en común y legal no durará mucho
tiempo.
La tumba de los Bolyai en Marosvásárhely.
En 1852 János abandona a su familia, pensando quizá que con ello se
congraciaría con su padre, dejando la casa a su esposa, a la vez que una
considerable cantidad de dinero para el mantenimiento de sus hijos. No
obstante, nunca dejó de protegerlos. Su salud comenzó a deteriorarse, por lo
que tuvo que pagar los cuidados de una sirvienta, Julia Szóts. Esa economía
escasa, y el hecho de haber fallecido su padre, le movió a vender sus bienes de
Domáld y repartirse las ganancias con su hermanastro Gergely.
§. Muerte de János Bolyai
El 27 de enero de 1860, Julia Szóts escribió a Gergely comunicándole que
János estaba muy enfermo, por lo que debía venir urgentemente. Habiendo firmado
ya la carta, miró a su patrón. “Mientras escribía esta carta, ha muerto, por lo
que no hay nada más que decir: el capitán se ha ido”. Una neumonía fue la
causa, arrebatándole de este mundo a la edad de 57 años, un mundo que no supo
reconocer en ningún momento ni su sabiduría ni su genio prematuro.
En la celebración del funeral sólo estuvieron tres personas civiles,
además de la obligatoria escolta militar. Por Kiss, un estudioso de la vida y
obra de János Bolyai, sabemos que al final del informe del registro que obra en
la iglesia calvinista de la localidad donde falleció, se añadieron las
siguientes frases: “Fue un famoso matemático de mente preclara. Fue el primero
entre los primeros. Ha sido una pena que su talento fuera sepultado de forma
inusual”.
No ha llegado hasta nosotros retrato alguno de János. Parece haber
existido sólo un cuadro vestido de uniforme, pero él mismo lo cortó en trozos
con su propia espada. Actualmente ha ganado aceptación la opinión de que uno de
los relieves de la parte superior de la fachada del Palacio de Cultura de
Marosvásárhely corresponde a su efigie. Hay seis relieves, con los
correspondientes nombres sobre cinco de ellos; bajo el sexto se inscribió el
nombre de János Bolyai. También podría corresponder a Gyórgy Klapka, general
del ejército revolucionario húngaro. Se sabe que János y Gyórgy eran muy
parecidos. Kinga Széchenyi fabricó en 2002 una placa de János Bolyai para
conmemorar el cien aniversario de su nacimiento.
Relieve de la parte superior de la fachada del Palacio de Cultura de
Marosvásárhely que parece ser una imagen fiel de János Bolyai .
Un cráter recuerda en la Luna el nombre de Bolyai y, justamente al lado
de éste, otro lleva el nombre de otro insigne húngaro, Eötvös, famoso por su
invención del péndulo de torsión en 1891, para medir los cambios de la fuerza
de la gravedad.
§. El trabajo científico de János Bolyai
Desde 1820, estudiando ya en Viena, János retomó el mismo camino que
había apasionado a su padre: el postulado V de Euclides, tratando de reemplazar
el axioma de las paralelas por otro que pudiera deducirse de los anteriores, es
decir, demostrarlo. Efectivamente, llegará a la conclusión cierta de que el
postulado V es independiente de los que le preceden. Con ello comenzó a
desarrollar las ideas básicas de la geometría hiperbólica.
Farkas, no obstante, alertó a su hijo y le indujo a abandonar esa
investigación. En su emotiva carta del 4 de abril de 1820, en la que revela un
patetismo desmesurado, le decía: “No debes intentar ese camino hacia las
paralelas: yo lo conozco hasta su final. He atravesado esa noche sin fondo que
extinguió toda la luz y toda la alegría de mi vida. ¡Por Dios! Te suplico que
abandones las paralelas, aborrécelas como si fuera una pasión indecente, te
pueden privar (como me ha ocurrido a mí) de tu tiempo, de tu salud, de la
tranquilidad de espíritu y de la felicidad de tu vida Yo ya me convertí en un
mártir que deseaba suprimir la imperfección de la geometría y retorné
purificado al mundo. Realicé monstruosos y enormes trabajos, mis creaciones son
mejores que las de otros y no por eso he logrado una completa satisfacción.
Retorné cuando me di cuenta de que ningún hombre ha sido capaz de encontrar el
fondo de esa noche. Y retorné desconsolado y lleno de una gran pena. He viajado
por todos los escollos de este infernal mar Muerto y siempre he vuelto con el
mástil roto y las velas rasgadas [...]. Arriesgué atolondradamente mi vida y mi
felicidad. Aut Caesar aut nihil [0 César o nada, divisa de
César Borgia]”.
Roberto Bonola, en su Geometrías no euclidianas, nos ha
dejado un testimonio que no hemos encontrado en ningún otro informe posterior
relativo a la obra de János. Parece que en el tiempo que estuvo en Viena János
entabló cierta amistad con C. Szász, y esa relación y las conversaciones
científicas que mantuvieron condujeron a Bolyai a crear su Ciencia
absoluta del espacio. Bonola añade, incluso, que se debe a Szász la
idea de considerar la paralela a una recta por un punto exterior a la misma
como la posición límite de la secante a la recta dada que gira alrededor de ese
punto exterior. Por ello, esa secante límite, esa paralela, recibió el nombre
de paralela asintótica o, simplemente, asíntota a
la recta dada. Así termina Bonola, en el libro citado, este pasaje: “Habiendo
Szász abandonado Viena a principios de 1821 para encargarse de la enseñanza del
derecho en el colegio de Nagy-Enyed, János queda solo para proseguir con sus
especulaciones. Hasta el año 1820 estuvo dominado por la idea de encontrar una
demostración al axioma XI, siguiendo un camino análogo al de Saccheri y
Lambert. Bien pronto cree haber conseguido su objeto, como se deduce de la
correspondencia con su padre”. János llamó axioma XI en sus trabajos al V
postulado de Euclides.
El 3 de noviembre de 1823, casi un año después de graduarse en la
escuela militar de Viena, János escribía desde Temesvár a su padre una carta en
la que, quizás un poco prematuramente, le decía cosas como las siguientes:
“¡Mi querido y buen padre! Tengo tanto que escribirle acerca de mis
nuevos hallazgos que, por el momento, no puedo discutirlos aquí en profundidad,
así que se los voy a escribir sólo en una cuartilla. Espero su respuesta a mi
carta de dos folios y tal vez no le hubiera escrito antes de recibir su
respuesta si no deseara mandarle la carta que he escrito a la baronesa, que le
ruego le haga llegar [...]. Estoy decidido a publicar ahora una obra sobre la
teoría de las paralelas, apenas haya ordenado la materia y las circunstancias
me lo permitan. Por el momento no he encontrado aún el camino definitivo, pero
he descubierto cosas tan hermosas que yo mismo me he quedado sorprendido de
ellas [...]. Sería una pérdida eterna si se perdieran. Cuando las veáis, querido
padre, vos mismo las reconoceréis. Ahora no puedo añadiros nada más; sólo esto:
he creado un mundo nuevo y diferente a partir de la nada. Todo lo que os he
dicho hasta ahora no es más que un castillo de naipes comparado con una torre.
Estoy tan persuadido de que esto me dará gloria, como si eso ya hubiera
sucedido”.
Terminaba con la siguiente posdata:
“He osado, padre mío, juzgar estos trabajos de mi espíritu absolutamente
y con convicción antes que tú; no temo de ti ninguna interpretación falsa (que
ciertamente yo no merecería), lo que significa que, desde cierto punto de
vista, te considero un segundo yo.
Como hoy sabemos y reconocemos, ese mundo nuevo y diferente al
que se refiere János en su carta es el mundo mágico de la geometría absoluta,
de la geometría hiperbólica. Evidentemente, Bolyai había creado un mundo
abstracto y había adoptado una aproximación al problema enteramente original
estudiando las consecuencias que podían derivarse de negar el V postulado, es
decir, de suponer que por un punto exterior a una recta pasan infinitas
rectas paralelas a la dada. Quedó perplejo de la coherencia que
lograba en sus deducciones, es decir, de la coherencia contenida en su nueva
geometría.
En la misma carta, y antes de comenzar a contarle sus hallazgos sobre
las paralelas, János también hace alusión al teorema del binomio: “Primero
de todo, voy a responderle sobre el teorema del binomio. Para exponentes
enteros positivos, la prueba es perfecta como usted la ha escrito, pero se
necesita conocer la forma de las series para utilizarla en la prueba”. Sigue
después una discusión sobre el teorema para exponentes no enteros, refiriéndose
a la prueba de su padre y haciendo alusión a las de Lacroix y Vega: “Acerca
de todas estas cosas, seguiremos discutiendo; también lo estudiaremos para
exponentes negativos ”.
Cuando Farkas leyó la carta de su hijo, le surgió el deseo de incluir la
teoría de János en su publicación Tentamen. Se justifica
diciéndole que “las ideas pasan fácilmente de uno a otro y cualquiera puede
anticiparse en publicarlas [...]. Cuando el tiempo ha hecho madurar las cosas,
esas cosas aparecen en distintos lugares, tal como hacen las violetas con la
luz del comienzo de la primavera”. Y termina: “puesto que toda lucha científica
es una gran guerra a la que no se sabe cuando seguirá la paz, se debe, cuando
se pueda, vencer en la lid, puesto que aquí la victoria corresponde al
primero”. En este sentido su padre tenía razón, aun considerando que el lugar
donde aparecerían las teorías de János no sería el mejor para llamar la
atención de la comunidad matemática internacional de aquel tiempo.
Después del envío de esta carta a su padre, János escribió otra en
alemán, dando a conocer los resultados que había descubierto, a su antiguo
profesor Eckwehr de Viena, supervisor suyo más tarde, en 1826, en Arad.
Hechas algunas mejoras a la teoría, visitó a su padre en Marosvásárhely
a principios de 1825, pero se marchó decepcionado por el poco entusiasmo que su
progenitor mostraba hacia sus investigaciones. ¿Había sido Farkas capaz de
comprender la nueva geometría de su hijo?
Las tres geometrías
La geometría, llamémosla clásica, que se basa y admite el axioma de las
paralelas o postulado V de Euclides, recibe el nombre de geometría euclídea.
A principios del siglo XIX, los matemáticos Gauss, Lobachevski y János Bolyai,
por separado, demostraron la posibilidad de construir una geometría coherente
reemplazando la geometría basada en la paralela única de Euclides por otra,
donde era posible trazar un número infinito de paralelas a una recta por un
punto exterior a ella. Esta geometría no euclídea se conoce con el nombre de
geometría de Bolyai-Lobachevski o también geometría hiperbólica Es una
geometría cuya referencia, modelo o espacio podría ser un círculo plano en el
que las rectas son cuerdas de su circunferencia. El primer trabajo de
Lobachevski sobre esta geometría se ha perdido. En 1836 apareció, escrita en
ruso, su obra definitiva Nuevos elementos de geometría con una teoría completa
sobre las paralelas. Sin embargo, el tratado más completo sobre esta teoría se
publicó en ruso y en francés con el título Pangeometría.
La geometría que el matemático alemán Bernhard Riemann, discípulo y continuador
de Gauss, mostró hacia 1860, también no euclídea, es una geometría en la que no
existen las rectas paralelas. Se trata de una geometría basada en la esfera en
la que las líneas rectas son círculos máximos de la misma. Recibe el nombre de
geometría de Riemann o geometría elíptica La teoría de la relatividad de
Einstein se basa en esta última geometría riemanniana.
Siguiendo con la referencia a las cónicas para darles nombres a las geometrías,
la geometría euclídea, la intermedia entre las dos anteriores, también recibe
el nombre de geometría parabólica.
János volvió a visitar a su padre a principios de 1831, cuando viajaba
con destino militar a Lemberg. En aquel momento Farkas ya había tenido tiempo
de comprender el significado de lo que su hijo le había dicho años antes.
Entonces sí, le recomendó escribir lo antes posible un apéndice, el Appendix, a
su Tentamen. El acontecimiento más importante fue la
publicación de ese apéndice, cuya preimpresión se hizo en latín en 1831. El
primer volumen del Tentamen, escrito también en latín, se
encuadernó junto con el apéndice aportado por János y se publicó en 1832. Un
año más tarde aparecía el segundo volumen. Curiosamente, la fecha del Tentamen con
su respectiva licencia, el imprimatur, corresponde al 12 de octubre
de 1829. La extensión del escrito de János no supera las veinticuatro páginas.
El título completo de este opúsculo era: Appendix, scienciam spatii
absolute veram exhibens: a ueritate aut falsitate Axiomatis XI Euclidei (a
priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad casum falsitatis,
quadratura circuli geométrica. Podríamos traducirlo así: Appendix,
la ciencia absoluta del espacio independiente de la uerdad o falsedad del
axioma XI de Euclides (que nunca se podrá establecer a priori); seguido de la
cuadratura geométrica del círculo, en el caso de la falsedad del axioma XI. Y
termina este largo y completo título: Auctore Johanne Bolilla de eadem,
Geometrarum in Exercitu Caesareo Regio Austríaco Castrensium Capitaneo.
Nos advierte Babini en su obra ya citada: “Bolyai da el nombre de
absoluto a sus consideraciones porque se refieren a las propiedades geométricas
independientes del postulado, verdades o teoremas que son válidos tanto para la
geometría ordinaria como para la geometría más general que él ha construido”.
János Bolyai nunca intentó remitir su trabajo a las revistas u otras
publicaciones matemáticas líderes y conocidas de la época, a pesar de las
conexiones y posibilidades que su padre tenía, sobre todo por su amistad con
Gauss. Tal vez influyera en esta decisión el hecho de no haber conseguido, como
veremos más adelante, el total beneplácito de Gauss a sus teorías, al menos en
los primeros momentos.
El Appendix fue publicado varias veces en húngaro y en
otros idiomas, incluso se tradujo al inglés en 1891, obra acometida por George
Bruce Halsted, de Texas, en cuyo prefacio escribe: “Estas son las dos docenas
de páginas más extraordinarias de la historia del pensamiento”. También Bonola
realizó una versión inglesa en 1911a partir de su original en italiano.
Las ideas fundamentales se expresaban en 43 proposiciones, un conjunto
de definiciones sobre rectas paralelas, demostrando que si el postulado V se
cumplía en una región del espacio también se cumpliría en todo él y viceversa.
Da indicaciones concretas para construir las figuras geométricas
correspondientes a su nueva geometría y, en particular, un cuadrado y un
círculo de igual superficie. János llega a esta alternativa: o bien el axioma
de las paralelas es cierto o bien la cuadratura del círculo es posible y ello
casi cincuenta años antes de que Lindemann cierre el problema de la cuadratura
del círculo en la geometría euclídea demostrando la trascendencia del
número n.
§. La comunicación con Gauss
Farkas envió una copia del escrito de su hijo a su amigo Gauss, casi al
mismo tiempo que se publicaba por primera vez en abril de 1831. Le pedía su
opinión sobre el trabajo de János. Esa copia parece haberse perdido, pero sí se
conserva la carta que la acompañaba, fechada el 20 de junio de 1831.
Farkas remitiría una segunda copia del trabajo a Gauss el 16 de enero de
1832. Éste escribió poco después a uno de sus amigos: “considero a este
joven geómetra Bolyai como un genio de primera clase”. En la contestación a
Farkas Bolyai no fue, sin embargo, tan adulador. La carta que envió el 6 de
marzo de 1832, mes y medio después de recibir el envío, es ampliamente
conocida. En una de las partes más devastadora, Gauss escribe:
“Respecto al trabajo de tu hijo comienzo por decirte, aunque te
sorprenderás por un momento, que si yo lo alabara, ello comportaría alabarme a
mí mismo, porque el contenido completo del trabajo, el camino seguido por tu
hijo y las conclusiones a las que llega, coinciden casi exactamente con mis
propias ideas, que han ocupado mi pensamiento durante los pasados treinta o
treinta y cinco años. Esto me ha dejado, en efecto, estupefacto”.
Y luego añade que él también había intentado escribir esas ideas para
que no desaparecieran con su muerte.
¿Por qué esta falta o, al menos, debilidad de reconocimiento de Gauss
hacia el trabajo de János? Desde 1817, Gauss no tenía duda alguna sobre la
coherencia de la geometría no euclídea, que él ya conocía y parece que
dominaba. No publicó nada sobre el tema por el miedo al qué dirán y a que se
burlaran de él, sufriendo las consecuencias e influencia del kantismo, que
consideraba al espacio euclídeo como una necesidad inevitable del pensamiento.
Carta autógrafa de Gauss a Taurinus fechada el 8 de noviembre de 1824.
Por eso, en la carta dirigida a Farkas añade: “Me sorprende en exceso
que me despojen de ese trabajo pero, al mismo tiempo, me siento particularmente
dichoso de saber que la fatiga de una redacción [en alusión a lo que podía
haber sido su propia publicación de la teoría] me ha sido evitada por el hijo
de mi viejo amigo, que me ha adelantado de tan excelente manera”. Por otra
parte, Gauss ya había declarado su conocimiento de estas teorías en una carta
enviada el 8 de noviembre de 1824 al matemático alemán Taurinus, aunque en
otra, escrita al también matemático y astrónomo alemán Christian Ludwig
Gerling, reconocía que sus ideas de 1798 estaban muy lejos de la madurez que se
podía apreciar en las de János. Taurinus es también considerado como un
precursor de Lobachevski y Bolyai en lo que a geometrías no euclídeas se
refiere.
En la carta aludida, Gauss invitaba a János a resolver ciertas
cuestiones en su geometría, como la de encontrar el volumen de un tetraedro o
la obligatoriedad de demostrar la posibilidad de un plano, considerando que la
definición ordinaria del plano estaba poco cuidada.
Aunque de algún modo Gauss había alabado el trabajo de Bolyai, el hecho
de enterarse de que conocía la mayor parte de sus resultados desestabilizó a
János. Lo tomó como un duro palo que lo convirtió en una persona irritable y
poco tratable. Las posteriores alabanzas no aliviaron en modo alguno la pena
que la carta causó al joven Titán, como le llaman sus
compatriotas contemporáneos. Poco a poco su salud, física y psíquica, se fue
deteriorando y ello le indujo a alejarse de su padre. Además, ese deterioro le
hizo abandonar la carrera militar el 16 de junio de 1833, convirtiéndose en un
pensionista en la reserva.
§. Los concursos y los pesares. Aceptación de la nueva geometría
En 1837 ocurrió un hecho significativo en la vida de los Bolyai. La
Sociedad Científica de Leipzig anunció un concurso sobre los fundamentos de la
teoría de los números imaginarios. Los Bolyai tuvieron conocimiento de este
anuncio pocos días antes de su fecha límite, en el mes de noviembre de ese año.
No obstante, padre e hijo presentaron trabajos al concurso. Otro participante
fue Ferenc Kerekes, de la escuela de Debrecen. Los Bolyai no ganaron, mientras
que Kerekes fue merecedor de la mitad del premio establecido. El trabajo de
János, conocido como Responsio, se basaba en los mismos
principios utilizados por Hamilton, fundador de la teoría de los números
complejos. Aunque János presentó este trabajo en 1837, su teoría ya estaba
completa en 1831, mucho antes, por tanto, de que Hamilton hiciera pública su
investigación en la Academia de Dublín. János produjo otros descubrimientos
matemáticos que se han presentado y discutido en “Notas sobre las
investigaciones de János Bolyai relativas a la teoría de números”, un artículo
publicado por Elemér Kiss en la revista Historia Mathematica.
El año 1848 sorprendió a János con la llegada del trabajo de
Lobachevski, aparecido en 1829 y publicado más tarde en alemán en 1840, y cuyo
contenido coincidía en gran parte con su Appendix. Su primera
reacción fue pensar que había sido víctima de un plagio. Más tarde fue capaz de
reflexionar y sacar sus propias conclusiones sobre el trabajo, que fueron
recogidas en 1902 por Stäckel y Kürschák: “Comentarios de János Bolyai sobre
las investigaciones de Nicolás Lobachevski relativas a las paralelas”. Ya se ha
dicho que János concluyó el esquema de su trabajo sobre las paralelas en 1823 y
el texto completo en alemán tres años más tarde. Dado que este último se ha
perdido, y que el primero es sólo un informe del descubrimiento redactado en
una carta, no existen documentos anteriores relativos a su descubrimiento que
no sean su Appendix. Por otra parte, también es cierto que
Lobachevski impartió una conferencia en 1826 sobre un tema relacionado en la
Universidad de Kazán, donde fue profesor y rector. Según Elemér Kiss, si se
analiza el título de la memoria, parece que Lobachevski únicamente intentaba
demostrar el V postulado.
Debemos añadir que la comunidad científica cercana a los Bolyai no se
mostró demasiado interesada por el trabajo de János. Algo parecido le ocurrió a
Lobachevski con alguno de sus escritos, según expresa él mismo en su libro
publicado en 1840. Éstas son algunas frases contenidas en la carta que Farkas
envió a Gauss el 3 de octubre de 1836: “Aquí nadie necesita las matemáticas;
aparte de mis alumnos, sólo algunas personas sienten algo hacia esa ciencia”.
La historia y la propagación del descubrimiento de las teorías de János
acontece, más bien, fuera de su patria. La clasificación de los trabajos de
Gauss hecha después de su muerte en 1855 juega un importante papel en ese
descubrimiento. Entre esos papeles se encontraron los trabajos de Bolyai y de
Lobachevski, así como ciertas cartas escritas y recibidas por Gauss, que fueron
clasificados por Wolfgang Sartorius von Waltershausen, profesor de matemáticas
en Gotinga, a quien Farkas Bolyai había enviado las cartas que Gauss le había
dirigido a él, de forma que también fueron incluidas en esa clasificación. A
partir de ahí, el panorama comenzó a aclararse. Así, las primeras palabras de
aprecio publicadas se debieron a Baltzer, profesor de matemáticas en Dresde.
Fueron incluidas en su trabajo, muy bien conocido en aquella época, Los
elementos de las matemáticas. En el mismo año, Hoüel, profesor en
Burdeos, publicó en francés su versión completa del Appendix junto
con un artículo que contenía una biografía de Bolyai debida a Ferenc Schmidt.
Al profesor Hoüel se debe la siguiente apreciación sobre la negligencia de los
húngaros con su compatriota Bolyai: “Me siento afligido al ver lo poco que
Hungría aprecia los descubrimientos científicos que se producen en su suelo”.
Si lo dicho anteriormente demuestra más bien el interés de la comunidad
científica por la labor de Gauss en la geometría no euclídea, en el año 1868 se
despertó también el interés por las investigaciones de Bolyai. Ese año, un
artículo del italiano Beltrami contiene un modelo de la geometría hiperbólica
de Bolyai-Lobachevski, modelo con el que podía demostrarse que los axiomas de
su geometría estaban exentos de contradicciones.
Aislado del mundo y de otros científicos, y aunque continúa
desarrollando teorías matemáticas por su cuenta mientras vive en Domáld, János
no volverá a publicar ninguno de los resultados de sus investigaciones. Uno de
sus últimos trabajos, comenzado en 1834, se refiere a la axiomatización de
todas las matemáticas, especialmente de la geometría. Al incluir en esos
estudios nociones sobre el invariante topológico, una concepción rigurosa de
los números complejos como pareja de números reales, se estaba anticipando a su
tiempo.
Abandonó las matemáticas y, en una patética búsqueda de la perfección,
se consagró a la elaboración de una lengua universal, lo que hoy llamaríamos un
esperanto, partiendo del magiar, lengua que consideraba un modelo de armonía
vocálica.
Se dice que dejó más de 20.000 páginas manuscritas con material de sus
trabajos sobre matemáticas. Investigaciones actuales, como veremos, totalizan
unas 17.000 páginas. Se encuentran en la biblioteca Bolyai-Teleki de la ciudad
rumana de Tárgu Mures. En 1945 se abrió una universidad en Cluj que llevaba su
nombre. Fue cerrada en 1959 por el gobierno de Ceaucescu.
§. El descubrimiento y la clasificación de la obra de János Bolyai
József Eötvös, político, ministro y literato húngaro, supo comprender la
importancia de la obra científica de Bolyai. Con su apoyo fue posible el
traslado a Pest de todas las cajas que contenían las obras de János. Allí
fueron depositadas en los archivos de la Academia, donde permanecieron un
cuarto de siglo. Un comité se encargó, aunque con escaso éxito, de identificar
los resultados escondidos entre las páginas. Fue durante ese tiempo cuando
Ferenc Schmidt encontró entre la documentación la célebre carta que János
escribió a su padre el 3 de noviembre de 1823 dándole cuenta de que había “encontrado
un mundo nuevo y diferente Más tarde apareció en Marosvásárhely otra
parte de los trabajos con contenido matemático, escritos después del Appendix. Fueron
los siguientes: Responsio, el material enviado al concurso de
la Sociedad Científica Jablonowski de Leipzig, Suplementos al Appendix, el
cálculo del volumen del tetraedro en geometría hiperbólica, Estudios en
ausencia de contradicciones y comentarios sobre la geometría de
Lobachevski.
Eötvös
El barón József Eötvös de Vásárosnamény nació en Buda el 13 de
septiembre de 1813 y falleció en Pest el 2 de febrero de 1871.
A su vuelta a Hungría colaboró con periódicos, como Pesti Hírlap, y escribió
novelas y comedias. Fue considerado como uno de los principales escritores y
políticos en su tierra natal y ostentó el cargo de ministro de educación y
religión pública.
Pasó al exilio en Münich al dimitir el presidente Lajos Batthyány durante la
turbulenta época de la Guerra de la Independencia. Regresó a Hungría en 1851,
no volviendo a participar en la vida política hasta pasados dieciséis años. Se
dedicó a la literatura, siendo elegido presidente de la Academia Húngara en
1866. Más tarde, en 1867, volvió a formar parte del gobierno de Gyula Andrássy,
repitiendo como ministro de educación y religión pública.
El 3 de mayo de 1879 se erigió una estatua en su honor en Pest.
El profesor de historia de Kolozsvár Samu Benkó ordenó los manuscritos
con la ayuda de Gusztáv Abafáy. Emplearon en esa labor dieciséis años
clasificando unas 14.000 páginas. Le sirvió de pauta la utilización de
ciertas palabras clave que Bolyai escribía en la parte
inferior de algunas páginas y que luego repetía en la parte superior de la
página siguiente. Una vez leídos los manuscritos, Benkó publicó en 1968 un
libro titulado Confesiones de Jónos Bolyai, que contiene
textos no matemáticos.
El profesor Elemér Kiss, en 1990, leyó 3.000 páginas de material
matemático manuscrito informando de su contenido en un libro y en varios
artículos en 1999. En el manuscrito, Kiss descubrió nuevos y muy significativos
resultados matemáticos de János, tales como ciertos teoremas relativos a la
teoría de números publicados 38 años después de su muerte. Actualmente, ese
tratado sirve aún como material de texto. En diciembre de 1997, con motivo del
195 aniversario del nacimiento de János Bolyai, Elemér publicó Mathematical
Gems from the Bolyai Chests, cuyo contenido abarca los trabajos de
János sobre teoría de números y álgebra.
János Bolyai escribió algunos de sus manuscritos en papeles que
contenían, además, otra información no relacionada con el propio tema, como,
por ejemplo, carteles de teatro, la parte interior de los sobres o libros de
notas de su hijo. Por lo tanto, a la lectura del material hay que añadirle la
propia interpretación del contenido, todo lo cual ha constituido un trabajo
difícil y duro. Actualmente está en marcha la publicación de todos sus
manuscritos bajo la dirección editorial de Samu Benkó.
Capítulo 3
La evolución de la geometría no euclídea
En la teoría de las paralelas no hemos conseguido llegar hasta ahora más
allá de Euclides. Esta es la parte vergonzosa de la matemática que, tarde o
temprano, habrá de tomar otra forma.
Gauss
§. Los Elementos de Euclides. La teoría de las
paralelas
Recordemos que la geometría práctica comenzó con la agrimensura en
Mesopotamia y Egipto, alcanzando un buen nivel hace más de cuatro mil años.
Más tarde, los griegos elevaron esta técnica al nivel de ciencia y
las leyes de esa ciencia matemática fueron ordenadas por Euclides y
desarrolladas mediante una red metódica de conclusiones lógicas.
Los Elementos de Euclides son una pieza maestra
utilizada como fuente del conocimiento geométrico durante más de dos mil años.
El mayor mérito de ese trabajo lo constituye la uniformidad de su sistema
lógico, basado en unas pocas proposiciones que, a través de un razonamiento
deductivo, conducen a nuevas nociones que se van construyendo una sobre otra;
también contiene definiciones y teoremas. Algunas proposiciones iniciales son
postulados. Dice Poincaré a este respecto: “toda conclusión supone premisas, esas
premisas o son evidentes por sí mismas y no tienen necesidad de demostración o
bien no pueden ser establecidas más que apoyándose en otras proposiciones, y
como no se podría remontar uno así hasta el infinito, toda ciencia deductiva, y
la geometría en particular, debe descansar sobre un cierto número de axiomas
indemostrables".
Euclides define los conceptos de punto y línea recta. Un “punto es lo
que no tiene partes”; una “línea recta es aquella que yace por igual respecto
de los puntos que están en ella”. Demuestra también, enunciándolo
explícitamente, que “la suma de los ángulos de un triángulo es dos rectos”,
pero no lo formula como haríamos nosotros hoy día con la notación α + β + γ = 180°.
Otro ejemplo es el teorema de Pitágoras, que Euclides enuncia sirviéndose de
cuadrados construidos sobre los catetos y la hipotenusa de un triángulo
rectángulo:
“En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el
ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo
recto”.
El insigne profesor Alberto Dou comenta en su sencilla y atractiva
obra Fundamentos de la matemática: “Naturalmente que como toda
obra humana, sujeta a la ley de la historia, la matemática griega y en
particular los Elementos tienen sus insuficiencias”. Y así
señala como defectos más notables los cometidos por razón de las definiciones,
alude a la poca claridad que resulta de la deficiente distribución de los
postulados y axiomas, comenta la insuficiente lista de postulados y señala
también la existencia de algunos errores de razonamiento.
Axiomas, proposiciones y teoremas
Axioma o postulado es una relación que enlaza los conceptos primitivos.
Sólo la experiencia o la intuición son indispensables para plantearlos o
enunciarlos. Empleando la vía deductiva, y con rigor lógico matemático, se
deducen de ellos las proposiciones o relaciones ciertas. Con las proposiciones
se construyen los primeros teoremas y con ellos y sus conclusiones se llega a
establecer una doctrina.
Algunos precisan una cierta diferencia entre postulado y axioma, señalándola de
la manera que sigue. Un postulado es una premisa, un punto de partida
arbitrario cuya verdad o falsedad no se pone en cuestión, es decir, son
proposiciones que no son evidentes, pero que no pueden demostrarse, por
ejemplo: “por un punto exterior a una recta no se puede trazar más que una
paralela a ella”. Un axioma es una proposición obvia por sí misma,
indemostrable y evidente: “el todo es mayor que la parte”.
El conjunto de axiomas que sirven para fundamentar una ciencia recibe el nombre
de sistema de axiomas.
La axiomática es la ciencia que tiene por objeto determinar los sistemas de
axiomas apropiados a una disciplina determinada y concreta. De ella opina
Hilbert: “Esta ciencia no aspira a descubrir proposiciones nuevas o más
generales sobre una verdad matemática, sino que sólo pretende investigar con
toda certeza qué suposiciones primordiales son necesarias y suficientes para el
fundamento de aquella verdad; una exploración sobre el fundamento de las
ciencias particulares”.
Ya nos hemos referido a Euclides y a su V postulado, que volvemos a
enunciar en su forma original:
“Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del
mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente
se encontrarán en el lado en el que están los [ángulos] menores”.
Este célebre postulado ha tenido una vida agitada a lo largo de la
historia de las matemáticas. Algunos llegaron a pensar que no era cierto.
Proclo era de otra opinión: “debe ser borrado por completo de los postulados
porque se trata de un teorema lleno de dificultades, que Ptolomeo se propuso
resolver en un libro, y su demostración requiere varias definiciones y
teoremas”. Más aún: “la proposición recíproca es efectivamente demostrada por
el propio Euclides como un teorema”. Proclo debe aludir, con toda seguridad, a
la proposición 17 de los Elementos, que dice: “En todo
triángulo dos ángulos tomados juntos de cualquier manera son menores que dos
rectos”. Y ello, porque el V postulado equivale a decir que las rectas
convergentes, al llegar a encontrarse por el lado que corresponda a los ángulos
cuya suma sea menor que dos rectos, forman un triángulo (Wallis, Legendre).
Pero Proclo todavía va más lejos o, si se quiere, más cerca de las
geometrías no euclídeas: “En este caso, el hecho de que las rectas convergen
cuando los ángulos son menores que dos rectos, es cierto y necesario. Por el
contrario, la afirmación de que como convergen más y más a medida que se
prolongan llegarán alguna vez a encontrarse es una afirmación verosímil, pero
no es necesaria a falta de un argumento que pruebe que esto es verdad acerca de
las líneas rectas. El hecho de que haya algunas líneas que se aproximen
indefinidamente, pero sin tocarse [asíntotas], por más improbable y paradójico
que parezca, también es cierto y está completamente comprobado en relación con
líneas de otro tipo. ¿Por qué en el caso de las rectas no es posible lo mismo
que ocurre con las líneas mencionadas?”
Este V postulado del que estamos hablando ha adoptado diferentes formas
a lo largo de la historia y dependiendo de los diversos autores, formas todas
ellas equivalentes entre sí y equivalentes al propio postulado. Reproducimos
algunas de ellas. Bonola en 1911 y Stäckel en 1914 han tratado en profundidad
muchas de esas reformulaciones equivalentes del axioma del paralelismo que han
ido apareciendo, así como los intentos de su demostración.
·
Las
rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta
(Thabit ibn Qurra, c. 826-901).
·
Por un
punto exterior a una recta sólo cabe trazar una paralela (Ptolomeo y Alhacén,
c. 905-1041).
·
Todos los
puntos equidistantes de una línea recta, situados a un lado determinado de
ella, constituyen una línea recta (Clavius, 1574).
·
Sobre una
recta finita siempre se puede construir un triángulo semejante a un triángulo
dado (Wallis, 1663, y Legendre, 1824).
·
La suma
de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos (Saccheri,
1733).
·
En todo
cuadrilátero que tenga tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también es recto
(Clairaut, 1741, y Lambert, 1766).
·
Se puede
construir un triángulo cuya área sea mayor que cualquier área dada (Gauss,
1799).
·
Dados
tres puntos no alineados, siempre será posible construir una circunferencia que
pase por todos ellos (Legendre, 1824, y Farkas Bolyai, 1832).
El profesor Dou asegura, y es opinión universal, que: “El quinto
postulado parece un teorema que debería poderse demostrar partiendo de los
postulados explícitos de Euclides y de las veintiocho primeras proposiciones
del libro primero de los Elementos, los cuales son demostrados sin
emplear el quinto postulado: así lo pensaron eminentes matemáticos a lo largo
de todos los siglos, hasta hace poco más de un siglo en que los matemáticos
empezaron a sospechar que el tal postulado era independiente de los demás, y
hace menos de un siglo se dio la primera demostración matemática, o mejor,
metamatemática, de que, efectivamente, era imposible demostrar el quinto
postulado sin suponer algo que fuera equivalente al postulado que quería
demostrarse”.
El sistema axiomático de Hilbert
En 1899 el matemático alemán y profesor en Gotinga David Hilbert
(1862-1945) formuló un sistema axiomático que resulta matemáticamente correcto
y satisface todas las condiciones de exactitud. Se trata de un sistema falto de
contradicción en sí mismo, lógicamente necesario y lo más sencillo posible.
Bolyai, Lobachevski y Gauss no siguieron, sin embargo, esta axiomática; se
movieron dentro del sistema contenido en los Elementos.
Eso no significa que los teoremas descubiertos por los tres matemáticos no sean
ciertos, quiere decir que los viejos teoremas y sus pruebas deben colocarse
bajo una nueva perspectiva y deben mostrarse de diferente manera. En tiempos de
Bolyai era suficiente para la evidencia la sola apreciación visual de una
aserción. Por ejemplo, un punto C está entre los puntos Ay B si los tres están
situados en la misma línea. En el sistema axiomático de Hilbert el concepto de
orden forma parte también del sistema axiomático.
Los axiomas de Hilbert se agrupan en cinco categorías: (1) Axiomas de incidencia.
Coinciden con los contenidos en los Elementos. (2) Axiomas de orden. No se
encuentran en la sistematización de Euclides. (3) Axiomas de congruencia.
También se encuentran en los Elementos. (4) Axioma del paralelismo. Existe uno
sólo y coincide con el V de los Elementos, aunque enunciado de forma diferente.
(5) Axiomas de continuidad. Son dos y están también enunciados en los
Elementos.
El sistema axiomático anterior determina la geometría euclídea y uno de los
modelos que mejor se adapta a este sistema es el plano de Descartes, en el que
los objetos geométricos se crean y representan mediante números. Por ejemplo,
un punto es un par ordenado de números (x,y) y una recta es el conjunto de
pares (x,y) que satisfacen la ecuación y = ax + b.
La geometría euclídea plana es la geometría ordinaria, la que estudiamos en los
años previos a la universidad.
David Hilbert puso el punto y final al difícil conjunto de cuestiones que
planteaba la axiomática. El abandono de la intuición, que en Euclides llegaba
ya hasta el punto de no apoyarse nunca en el sentido común, ni en lo
intuitivamente claro, en Hilbert se lleva a cabo radicalmente, y las reglas de
combinación de la lógica asumen el único papel director.
Este V postulado o axioma de las paralelas difiere de
los cuatro primeros en el sentido de que no es posible comprobar su validez
empíricamente, es decir, no es una verdad geométrica decidible. Hasta los
tiempos de Bolyai, Lobachevski y Gauss, el postulado fue considerado un defecto
de la teoría geométrica, existiendo un sentimiento universal de que podría
deducirse de los cuatro axiomas anteriores.
§. Los precursores de la geometría no euclídea
No existe una opinión unánime en la historia de las matemáticas reciente
sobre quién es considerado precursor o quién fundador de la geometría no
euclídea hiperbólica. Una consideración muy extendida es la de que existen dos
grupos de precursores y uno sólo de descubridores. En el primer grupo de
precursores estarían Saccheri, Lambert, Legendre y Farkas Bolyai; en el
segundo, Schweikart, Taurinus y Gauss. Los descubridores serían Bolyai y
Lobachevski. Stäckel y Engel incluyen, sin embargo, a Gauss en el grupo de los
descubridores. Una tercera opinión es la de Bonola, para el que existen dos
grupos de descubridores: aquel en el que están incluidos Schweikart, Taurinus y
Gauss, y un segundo con Bolyai y Lobachevski.
A continuación vamos a describir muy brevemente algunos de los
resultados de los precursores incluidos en los dos grupos establecidos
anteriormente.
Gerolamo Saccheri (1667-1733) fue un matemático italiano perteneciente a
la orden de los jesuitas, profesor de lógica en Turín y más tarde de
matemáticas en Pavía. Publicó dos estudios: Euclides ab ovni naevo
vindicatus (Euclides redimido de todo error), que versaba sobre la
prueba del V postulado, y otro, anterior en el tiempo, donde planteaba una
geometría no euclídea según la cual, en el plano, por un punto exterior a una
recta no existía paralela alguna. En este trabajo también trató de demostrar el
V postulado de forma indirecta pero, en lugar de llegar a una contradicción, el
trabajo le condujo a sentar los principios de la geometría elíptica.
Portada de la obra de Saccheri.
El punto fundamental de partida fue su cuadrilátero
birrectángulo isósceles, es decir, el cuadrilátero ABCD en
el que sobre los extremos de la base AB se trazan dos lados
iguales, AD y BC, que forman con ella ángulos
rectos, mientras que los ángulos formados con la paralela CD a
la base han de ser iguales obviamente, pero pueden ser rectos, agudos u
obtusos.
El cuadrilátero de Saccheri.
Bajo las hipótesis de ser rectos, agudos u obtusos, Saccheri demuestra
que, de ser cierta cualquiera de ellas en su cuadrilátero, entonces también lo
será en cualquier otro. De ahí también se deduce que si en un triángulo la suma
de sus ángulos es igual, menor o mayor que dos rectos, entonces eso también se
verificará para todos los triángulos. Además, el primer resultado notable es el
siguiente: según que en el cuadrilátero se verifique la hipótesis de ángulos
rectos, agudos u obtusos, se tendrá, respectivamente, que AD = BC, AD
< BC, AD > BC.
Estos resultados constituyen un teorema importante y, a la vez, bello de
la geometría absoluta, en el que no se considera ni niega la
validez del V postulado. Pero al final de su libro, publicado el mismo año de
su muerte, como conclusión de sus trabajos, Saccheri facilita una prueba simple
pero errónea del V postulado. Imre Tóth es de la opinión de que lo hizo así por
miedo a la inquisición.
Johann Heinrich Lambert (1728-1777) fue matemático y filósofo de origen
suizo, aunque vivió la mayor parte de su vida en Berlín. Su trabajo Teoría
de las paralelas fue publicado después de su muerte, en 1786.
A semejanza de Saccheri, Lambert utilizó como figura fundamental
el cuadrilátero, pero esta vez se trataba de un trirrectángulo, es
decir, un rectángulo con tres ángulos rectos y un cuarto que podía ser recto,
obtuso o agudo.
Johann Heinrich Lambert
La primera hipótesis conduce al sistema euclídeo, la segunda conduce a
una contradicción (con lo que Lambert, como ya había hecho Saccheri, la declara
falsa) y con la tercera descubre que la deficiencia o defecto de un
polígono de n lados, es decir, la diferencia entre 2(n -
1) rectos y la suma de los ángulos del polígono, es proporcional a su área.
También descubrió que el área de un triángulo puede obtenerse a través
de la utilización del área del triángulo esférico. Partiendo del área de un
triángulo esférico, Lambert encontró el área del triángulo plano, siempre
suponiendo la hipótesis del ángulo agudo. Si designamos por 𝛼, 𝛽 y 𝛾 los ángulos de un triángulo esférico, entonces su área vale
r2 × (𝛼 + 𝛽 + 𝛾 - π),
siendo r el radio de la esfera. Sustituyendo en la
fórmula anterior r por ir (siendo i la
unidad imaginaria) se obtiene
r2 × (π - 𝛼 - 𝛽 - 𝛾),
es decir, el valor del área de un triángulo plano, siempre según la
tercera hipótesis de ángulo agudo. Es curioso que el propio Lambert considerara
que el resultado que había obtenido era absurdo ya que, como él mismo dejó
escrito, no existen los círculos o las esferas con radio imaginario.
Los objetos de Hilbert
Hilbert admite la existencia de ciertos objetos que pueden describirse
mediante las palabras punto, recta, plano y otras semejantes. Entre esos
objetos se establecen ciertas relaciones mediante un sistema axiomático
correcto donde pueden encontrar uso otros conceptos como estar, entre,
congruente con, etc. Por medio de esas relaciones, y sólo a partir de ellas, se
definen otros objetos como punto y recta. Entonces, todo contenido intuitivo,
como ocurría con Euclides, carece de interés, es decir, desaparece. Se puede,
desde luego, representar bajo dichas palabras lo que siempre, y en la geometría
euclídea también, se ha entendido por punto, recta o plano. Pero de la misma
forma también se pueden entender como puntos las personas, los números o los
colores. Resulta completamente indiferente: sólo será necesario que la
interpretación sea conciliable con el sistema de axiomas establecido.
Con la ayuda de estos axiomas se puede construir ahora una geometría absoluta,
común a todas las geometrías posibles, incluso a la euclídea. Los objetos tales
como el punto o la recta, definidos mediante las relaciones de los axiomas
(definidos por tanto implícitamente), quedan ligados, relacionados. De las
proposiciones así logradas se van extrayendo consecuencias y, paso a paso, se
va edificando un sistema de teoremas. Sólo queda una laguna sin cubrir:
supongamos una recta r1 y un punto P exterior a ella; sea r2 otra recta incidente
con el punto P. Entonces, cabría preguntarse si es posible trazar esta segunda
recta r2 de forma que no corte a la primera. Y también si la
recta r2 será única o existirán varias. Los axiomas admitidos
hasta aquí no se refieren en absoluto a ello y, por lo tanto, en la geometría
absoluta tampoco podremos deducir ningún teorema sobre el particular.
Cabe decidir el camino mediante el establecimiento de un nuevo y último axioma.
Si decimos entonces que por el punto P hay exactamente una recta, es
decir, una y sólo una recta r2 que no corta a la
recta dada, nos habremos decidido por Euclides y, con ello, por la intuición,
ya que esa proposición constituye el axioma de las paralelas y, admitido éste,
nos encontramos con la geometría euclídea ordinaria con sus conocidos teoremas.
Dos rectas paralelas a r1 por P.
Si establecemos como nuevo axioma: existen dos rectas r2 y r3 que pasan por P y no
cortan a r1, habremos vuelto la espalda a Euclides y de la geometría absoluta
habremos ido a la geometría no euclídea o hiperbólica. De igual forma que
antes, también con el nuevo axioma de las dos paralelas se puede construir
consecuentemente una geometría rigurosa que conducirá a una multitud de
curiosos teoremas, muchos de los cuales coincidirán con los euclídeos y otros,
como es natural, serán generalizaciones de nueva índole.
Uno de los hallazgos más importantes de Lambert fue la medida de las
magnitudes geométricas. En la geometría euclídea, longitud, área y volumen son
magnitudes aditivas, es decir, una longitud, por ejemplo, que resulta de la
unión de otras longitudes es la suma de las longitudes individuales. Lo mismo
puede decirse de las áreas y de los volúmenes. Por lo tanto, a la medida
corresponde un significado relativo: depende de la unidad de
medida adoptada. En la geometría basada en el cumplimiento de la tercera hipótesis
de ángulo agudo (que se puede enunciar de la forma equivalente: la suma
de los ángulos de un triángulo es menor que dos rectos) se le puede
conferir un significado absoluto, es decir, existe una única
medida aditiva.
La principal contribución de Adrien-Marie Legendre, matemático y
geómetra, fue su magnífico libro Elementos de geometría, rival
en su época de los Elementos. Es importante advertir que
Legendre también descubrió el teorema de Saccheri, por lo que hoy día se conoce
como el teorema de Saccheri-Legendre.
Farkas Bolyai trató intensamente de probar el V postulado. En su
obra Tentamen elaboró redacciones equivalentes, de las cuales
extraemos dos: “cuatro puntos que no están en un plano están en una
esfera",“tres puntos que no están en una recta están en una
circunferencia.
Abriremos el segundo grupo de precursores con Ferdinand Kart Schweikart
(1780-1859), matemático y jurista alemán, contemporáneo de Gauss, que fue
profesor de leyes en Marburg.
David Hilbert
En 1819, a través de un amigo común, Gerling, matemático también en
Marburg, envió a Gauss un breve manuscrito con las siguientes notas (extraído
de Bonola, Geometrías no euclidianas):
“Existen dos tipos de geometría: una geometría en sentido estricto, la
euclídea, y una geometría astral (astralische Grössenlehre).
Los triángulos, en esta última, tienen la particularidad de que la suma
de sus tres ángulos no es igual a dos ángulos rectos.
Sentado esto, se puede demostrar rigurosamente:
1.
Que la
suma de los tres ángulos de un triángulo es menor que dos ángulos rectos.
2.
Que esta
suma es tanto menor cuanto mayor es el área del triángulo.
3.
Que la
altura de un triángulo rectángulo isósceles, aun creciendo cuando crecen los
lados, sin embargo no puede superar a determinado segmento, que yo llamo
constante.
4.
El
cuadrado, en consecuencia, tiene la forma que se indica en la figura.
El cuadrado astral de Schweikart.
5.
Si esta
constante fuese para nosotros el semieje terrestre (y en consecuencia, toda
línea recta trazada entre estrellas fijas que distan entre sí 90° fuera
tangente a la esfera terrestre) sería infinitamente grande respecto a las
dimensiones que se presentan en la vida cotidiana.
6.
La
geometría euclídea se verifica en la hipótesis de que la constante sea
infinitamente grande. Sólo entonces es verdad que la suma de los tres ángulos
de todo triángulo es igual a dos rectos, y esto se deja demostrar fácilmente
tan sólo si se admite como dato que la constante sea infinitamente grande.”
Según investigadores y comentaristas de nuestros días como András
Prékopa, la respuesta de Gauss no fue en absoluto favorable a lo expuesto por
Schweikart. Bonola, sin embargo, opina que “ensalzó el trabajo de Schweikart y
declaró estar de acuerdo con todo lo que contenía”, además de decir que él
también había desarrollado la geometría astral. Termina la carta exponiendo,
aunque sin prueba alguna, que en esa geometría el área del triángulo
hiperbólico es proporcional al defecto del ángulo (π - 𝛼 - 𝛽 - 𝛾), siendo la cota superior de esa área:
C es la llamada constante universal de Schweikart, constante que
corresponde a un ángulo de paralelismo de 45°, y representa el límite de la
altura de un triángulo rectángulo isósceles cuando la longitud de sus lados
tiende a infinito. Hoy sabemos que esa cota puede alcanzarse cuando todos los
lados son asintóticos entre sí. Esa constante C está relacionada con
otra, k, del propio Gauss. Más adelante veremos la relación
entre ambas.
Para finalizar señalaremos que no sabemos por qué Gauss escribió en la
fórmula anterior log.hip, logaritmo hiperbólico (otro nombre
para logaritmo natural o neperiano) en lugar de simplemente log.
Schweikart no nos ha dejado publicación alguna.
Franz Adolph Taurinus (1794-1874) nació en Bad König, Alemania, y
falleció en Colonia. Era sobrino de Schweikart, quien le influyó para que
trabajara en el problema de las paralelas. En 1825 publicó Teoría de
las paralelas con contenidos no euclídeos. Rechazaba la hipótesis de
ángulo obtuso y se inclinó por la de ángulo agudo, tal como habían hecho
Saccheri y Lambert. Encontró la relación entre la constante C y la
constante k (utilizada por Gauss para expresar la longitud de
la circunferencia), que corresponde al área del triángulo:
Publicó esta fórmula en su libro Geometriae prima elementa en
1826. Taurinus llegó muy lejos en lo que llamó geometría logaritmo-
esférica, basada siempre en la hipótesis de ángulo agudo, obteniendo
muchas fórmulas trigonométricas bajo esa hipótesis. Pero no aceptó la nueva
geometría como una posible geometría del espacio en el sentido físico.
Gauss nunca publicó nada sobre la geometría no euclídea. Sus resultados
se han reconstruido partiendo de su legado, contenido en cartas enviadas a
otras personas. A Barna Szénássy se le debe mucha de esa información, que
publicó entre los años 1977 y 1980.
Es importante mencionar que en la segunda mitad del siglo XIX Bolyai se
vio relegado a un segundo plano en comparación con Lobachevski. El italiano
Beltrami, entre otros, despertó el interés de la comunidad científica por los
descubrimientos de Bolyai y fue a principios del XX cuando el panorama
realmente cambia y comienza a aclararse, al menos en Europa. Sin embargo,
debido a las conferencias y congresos celebrados con motivo del doscientos
aniversario (1977) del nacimiento de Gauss, así como las comunicaciones y
publicaciones producidas a tal efecto, tanto Bolyai como Lobachevski han
quedado de nuevo ensombrecidos. Incluso hoy día existen ciertas corrientes que
aseguran que Gauss es el verdadero descubridor de la geometría no euclídea. En
sentido contrario opina su primer biógrafo, Sartorius von Waltershausen, quien
afirma que Gauss sólo estuvo interesado por la geometría euclídea[2].
En el legado de Gauss se dan 25 ocasiones en las que claramente se
observa su preocupación por los fundamentos de la geometría, tanto euclídea
como no euclídea. Sus notas sobre estas cuestiones completan 12 páginas. Por
otra parte, en su diario se puede leer una nota con la siguiente frase: “Hemos
hecho excelentes progresos en los fundamentos de la geometría”. Gauss fue, tal
vez, el primero en ofrecer una explicación satisfactoria al postulado de las
paralelas, y su diario demuestra que ello aconteció pronto en su carrera
científica. Pero Gauss era un hombre prudente, especialmente cuando trabajaba
con novedades extrañas y desconcertantes. Durante muchos años guardó el asunto
para sí hasta descubrir que otros, como János Bolyai, estaban pensando en las
mismas cosas.
Algunas notas de Gauss parecen atestiguar que conocía completamente el
libro de Lambert Teoría de las paralelas. Puede que lo pidiera
prestado a la biblioteca de la Universidad de Gotinga durante su época de
estudiante. Gauss formuló un concepto de paralelas que, indudablemente, es
similar a los de Bolyai y Lobachevski. Ya hemos dicho que en su carta escrita a
Schweikart evitó la prueba del valor de la cota superior del área del triángulo
hiperbólico. Sí envió a János un esquema de prueba incluido dentro de sus
comentarios sobre el Appendix. En otra carta dirigida a
Schumacher tampoco incluyó la prueba de la longitud de la circunferencia
correspondiente al círculo hiperbólico. Por último, entre los años 1840 y 1846,
Gauss hizo varios comentarios al trabajo de Lobachevski, todos ellos muy
válidos, pero siempre basándose en las ideas ya incluidas en el Appendix. Por
consiguiente, desde antes de la publicación del Appendix, cuya
reimpresión se hizo en 1831, pocos resultados pueden atribuirse a Gauss.
Hemos dicho que Gauss conocía el libro de Lambert. Sin embargo, sabemos
por los escritos de János Bolyai cuáles eran los primeros libros sobre la
teoría de las paralelas que Gauss conocía, y el de Lambert no figura entre
ellos. Así que, o Gauss nunca le mencionó a Farkas Bolyai la existencia del
libro de Lambert, o bien el padre, conociéndolo, no le dijo nada a János.
Parece que esta segunda hipótesis debe excluirse. Resulta más verosímil que la
discusión entre Gauss y Farkas no fuera lo suficientemente profunda y Gauss no
mencionara todo lo que sabía acerca del problema de las paralelas. Es
importante notar esto porque algunos autores alegan que János Bolyai publicó lo
que había oído decir a su padre acerca de Gauss. También existen muchos
argumentos contrarios que refutan esta alegación[3].
§. Los juicios de Kant. Influencia en los geómetras de su tiempo
Esto escribe Gauss acerca de Kant en la carta que envía a su amigo
Schumacher el 1 de noviembre de 1844:
“Se ve el mismo tipo de cosa [incompetencia matemática] en los filósofos
contemporáneos Schelling, Hegel, Nees von Essenbeck y sus seguidores. ¿No te
ponen los pelos de punta con sus definiciones? Lee en la historia de la
filosofía antigua lo que los grandes hombres de aquel tiempo, como Platón y
otros, produjeron en el dominio de las explicaciones. Pero con Kant las cosas
van a menudo mucho mejor. Según mi opinión, su distinción entre proposiciones
analíticas y sintéticas es una de aquellas cosas que, o desembocan en una
trivialidad o son falsas”.
Cuando Gauss escribía esto ya tenía conocimiento de la geometría no
euclídea, que es en sí misma una refutación suficiente de algunas afirmaciones
de Kant sobre espacio y geometría.
Para nuestros propósitos, lo que nos interesa de la filosofía de Kant
son sus ideas sobre el espacio y el tiempo, porque esas ideas, como casi todas
las suyas, tuvieron una gran influencia en los científicos de la época.
Immanuel Kant
La filosofía crítica se propone resolver el problema del conocimiento,
analizando nuestras facultades y sus formas esenciales, para averiguar su valor
en la adquisición de la certeza, y separar el elemento subjetivo, fenómeno, del
elemento objetivo, noúmeno. El hecho de conocer es, para Kant,
innegable, por eso no investiga la posibilidad, preguntando si es
posible, sino el modo, inquiriendo cómo es posible. Entonces,
los conocimientos que adquirimos son de dos clases:
·
Conocimientos
a posteriori: son los que provienen
de la experiencia, tienen como punto de origen la materia, se adquieren por la
sensibilidad y su carácter es contingente (pueden suceder o no) e individual.
·
Conocimientos
a priori: son los que provienen
de la propia facultad cognoscitiva, nacen en el fondo de nuestra alma, preceden
a toda experiencia, su carácter es necesario y universal, y tienen como base
ciertas denominaciones innatas que Kant llama formas a priori, por
ser apriorístico el conocimiento que engendran.
Para explicar debidamente la función del entendimiento, que es la
facultad de juzgar, Kant expone la teoría del juicio, conservando
su manía apriorística y atendiendo para su clasificación a la relación
necesaria o contingente entre el sujeto (del que se afirma o niega algo) y el
predicado (lo que se afirma o niega del sujeto) en una proposición. Incluiremos
aquí sólo tres clases de los juicios de Kant.
·
Juicios
analíticos: son aquellos en los que el predicado está contenido en la esencia
del sujeto, y analizando éste se encuentra aquél. Son necesarios y conocidos
por la razón a priori, es decir, antes de toda experiencia. Por
ejemplo: la circunferencia es redonda es un juicio analítico
porque examinando el sujeto, la circunferencia, encontraremos en él como nota
esencial la redondez.
·
Juicios
sintéticos: son aquellos en los
que el predicado no está incluido en la esencia del sujeto, de cuyo análisis
racional no fluye el concepto atribuido. Estos juicios son contingentes y
conocidos a posteriori por la experiencia. Por
ejemplo: este círculo es de hierro. Aunque la razón examine el
concepto círculo no encontrará la cualidad férrea que se le atribuye, y será
preciso comprobar la afirmación por la experiencia. De acuerdo con Kant, los
juicios matemáticos son todos sintéticos. Hubo quien criticó, como el matemático
y lógico alemán Gottlob Frege, esta distinción, porque lo importante en
matemáticas son las pruebas y no el contenido de las proposiciones.
·
Juicios
sintéticos a
priori: según Kant, son aquellos
juicios en los que el predicado no está incluido esencialmente en el sujeto
(son pues sintéticos), pero al mismo tiempo son universales y
necesarios, y su conocimiento procede de la razón (son inherentes a nuestro
propio espíritu) y no de la experiencia (son pues a priori). Por
ejemplo: siete más cinco igual a doce: la línea recta es la distancia
más corta entre dos puntos.
Otro de los conceptos que define Kant es la intuición. La
sensibilidad es una facultad meramente receptiva. Existen en nosotros multitud
de impresiones o sensaciones visuales, auditivas, etc. La sensibilidad se
representa en esas sensaciones a través de dos formas a priori: el espacio y
el tiempo, verificándose en nosotros el fenómeno de
conocer, sin darnos derecho a afirmar que los objetos son como los
conocemos, sino únicamente a afirmar el hecho subjetivo del conocimiento. Estos
conocimientos de la sensibilidad se llaman intuiciones sensibles.
Espacio y tiempo son dos conceptos universales y necesarios, luego
no provienen de la experiencia, que es particular y contingente. Es
decir, espacio y tiempo son formas a
priori de la sensibilidad, correspondiendo el espacio a la externa y
el tiempo a la interna. En particular, Kant establece que la geometría es un
campo que determina las características del espacio sintéticamente y a
priori, es decir, inherente en nosotros antes de cualquier experiencia
adquirida sobre un objeto, teniendo un papel coordinador en el desarrollo de la
forma de nuestra percepción externa. Dicho de otro modo, el espacio de ninguna
manera va unido a los objetos, sólo existe para el hombre. Conocemos las cosas
no como son en sí mismas (noúmeno), sino como se nos
aparecen (fenómeno).
En su tesis, Kant admite que es posible que la estructura del espacio
pueda ser diferente de la representada por la geometría euclídea. Pero más
tarde abandona ese punto de vista y en la Crítica de la razón pura se
inclina por mantener que la estructura del espacio es euclídea. Puede
encontrarse esta argumentación cuando discute sobre las diferencias entre los
métodos de la filosofía y los de las matemáticas.
Si se tiene en cuenta la opinión de ciertos autores, la geometría de
Bolyai y de Lobachevski supone el criticismo del concepto kantiano del espacio;
para otros es la refutación del concepto. Ésta es su argumentación: si en
nuestra mente existe sitio para las geometrías euclídea e hiperbólica, no es
posible que nuestro concepto del espacio sea a priori en
nuestra mente, independientemente de nuestras experiencias acerca de los
objetos.
Indudablemente, el carácter absoluto que Kant otorga a la geometría
euclídea en su filosofía demuestra ser un callejón sin salida, no tanto por lo
que representa la geometría de Bolyai- Lobachevski, sino por los resultados de
la física obtenidos en el siglo XX. Sin embargo, la visión de Kant de que el
espacio es euclídeo se puede aislar de sus otras visiones relativas al espacio,
que son sutiles y diferentes de la susodicha opinión contraria. Kant no niega
el hecho de que también se pueda formular sobre el espacio más de una teoría
matemática abstracta.
Sin embargo, en la época de Gauss, Bolyai y Lobachevski, la filosofía de
Kant era considerada como el soporte definitivo de la geometría euclídea. Al
contrario que Gauss, que tuvo miedo de publicar sus resultados por los posibles
ataques que podía recibir de los beodos, Bolyai y Lobachevski
fueron unos revolucionarios que revelaron con coraje sus convicciones
científicas al mundo entero.
Capítulo 4
El Appendix y otros trabajos de Bolyai
Verdaderamente, lo que más placer proporciona no es el saber, sino el
estudiar; no la posesión, sino la conquista; no el estar aquí, sino el llegar
allá.
Gauss
§. La ciencia absoluta del espacio
Nos hemos referido en otro lugar a la obra escrita de János Bolyai y a
su inclusión como apéndice en la de su padre, Tentamen. Nos
adentraremos ahora en el contenido de ese trabajo que János tituló La
ciencia absoluta del espacio.
También nos hemos referido ya en el capítulo anterior al concepto de
geometría absoluta. Lo analizaremos de nuevo aquí relacionándolo con la
geometría no euclídea descubierta por Bolyai.
¿Qué nos quiere significar János Bolyai con el nombre de geometría
absoluta? ¿Cuál es el alcance de esta nueva geometría? El concepto de
geometría absoluta fue introducido por Bolyai en el punto §15 de su Appendix:
Considerando §§ 13 y 14, el sistema de geometría que descansa sobre la
hipótesis de la certeza del axioma XI de Euclides se denomina Σ el sistema
apoyado en la hipótesis contraria es S.
Todos los conceptos que no se diga expresamente que pertenezcan a Σ o a S, se
sobreentiende que se enuncian absolutamente, es decir, son considerados ciertos
tanto para Σ como para S.
Guardas escritas por el propio János Bolyai en el ejemplar del Appendix que
se conserva en la Academia de Ciencias Húngara.
Por lo tanto, los teoremas de esta nueva geometría absoluta son aquellos
que no dependen de la hipótesis que se haga al considerar una única paralela
(euclídea) o varias paralelas (no euclídea) a una recta por un punto exterior a
la misma. Como consecuencia, esta geometría se llama así porque es común a
todas las geometrías posibles y, en particular, va más lejos que la geometría
hiperbólica. Y esta es la geometría de János Bolyai.
El Appendix consta de 43 secciones desarrolladas en 29
páginas. Esas secciones se reparten en distintas familias de contenidos. Las
deducciones, así como la metodología seguida, se basan en las matemáticas de
siglos anteriores, sobre todo en la geometría de Descartes y el cálculo
diferencial e integral de Newton y Leibniz.
Portada original de la versión del Appendix de 1897.
Los contenidos del Appendix los podemos distribuir en
las siguientes secciones:
1.
Definición
de las paralelas y de sus propiedades independientes del postulado euclídeo.
2.
Círculo y
esfera de radio infinito. La geometría sobre la esfera de radio infinito es
idéntica a la geometría plana ordinaria.
3.
La
trigonometría esférica es independiente del postulado de Euclides. Demostración
directa de las fórmulas.
4.
Trigonometría
plana en el caso no euclídeo. Aplicaciones al cálculo de las áreas y de los
volúmenes.
5.
Problemas
resolubles elementalmente. Construcción de un cuadrado equivalente a un
círculo, en la hipótesis de ser falso el V postulado.
Vamos a hacer un extracto del Appendix, comentando
únicamente alguno de sus apartados.
Figuras geométricas en el ejemplar del Appendix que se conserva en la
Academia de Ciencias Húngara.
Comienza dando una definición de todos los conceptos básicos que
utilizará más adelante, así como los signos para representarlos, como por
ejemplo recta AB, segmento y rayo (vector), plano,
semiplano, perpendicularidad ⊥, paralelismo ∥, etc.
En primer lugar, al rechazar Bolyai el V postulado debe definir el
paralelismo. Lo hace de la siguiente manera. Consideremos una recta r,
y un punto P fuera de ella. Si, comenzando en P trazamos
una semirrecta r2 que corte a r1 según
un sentido de ésta (izquierda), moviendo esa intersección hacia el infinito,
existirá una posición límite en la que la semirrecta r2 ya
no corte a r1. Podemos hacer lo mismo en el
otro sentido de r1 empleando para ello la
semirrecta r3. Si prolongamos también ambas semirrectas
en los otros sentidos desde P, entonces obtendremos dos
rectas, las cuales serán paralelas a r1. Si estas rectas
son distintas, entonces existirán infinitas rectas entre las dos r2 y r3 que
no cortarán a r1. Además, todas ellas
tendrán una perpendicular común d con r1. La
geometría correspondiente a este caso recibe el nombre de geometría
hiperbólica, con ángulo de paralelismo α.
Las paralelas de Bolyai.
Las rectas r2 y r3reciben
el nombre de paralelas asintóticas o paralelas límite. Todas
las demás situadas entre ellas son las hiperparalelas. La
recta d es la perpendicular a r1 por P.
Es necesario tener en cuenta que el concepto de recta de Bolyai no es el
que estamos acostumbrados a manejar, aunque lo hayamos representado así en la
figura. Las rectas de la geometría de Bolyai-Lobachevski pueden ser cualquier
objeto geométrico que satisfaga los axiomas que se establezcan.
La redacción textual con la que Bolyai define el paralelismo en su
primer apartado del Appendix es la siguiente:
“Si el rayo [semirrecta] AM no es cortado por el rayo BN, situado en el
mismo plano, pero sí es cortado por todo rayo BP comprendido dentro del ángulo
ABN, entonces llamaremos al rayo BN paralelo al rayo AM; y eso se designa por
BN ∥ AM.”
Reproducción de la figura original del Appendix con la definición de
paralela.
Como ya hemos dicho anteriormente, Bolyai desarrolló la geometría
absoluta, que es independiente del V postulado. El siguiente teorema
pertenece a la geometría del plano absoluto: si un punto P dista d de
la recta r y α es el ángulo comprendido entre la recta
incidente con P perpendicular a r y la recta
paralela límite a r, entonces se verifica que:
siendo k una constante universal (cualquiera)
independiente de la elección que se haga para r y P, y
que puede valer incluso infinito, en cuyo caso regresaríamos a la geometría
euclídea. En efecto, basta hacer en la fórmula anterior α = 90° para
obtener k = ∞.
Además, puede observarse que el ángulo de paralelismo depende de la
distancia d del punto P a la recta r.
Bolyai desarrolló también la geometría hiperbólica y la
aplicó a) cálculo de longitudes y áreas. Por ejemplo, la longitud de una
circunferencia de radio r, en la geometría hiperbólica, vale:
siendo k, de nuevo, la constante universal. Realizando
las transformaciones convenientes, esta fórmula equivale al recíproco de la
curvatura del espacio. Si hacemos en ella k → ∞, entonces el
valor de ese límite es 2πr, es decir, la longitud de la
circunferencia en la geometría euclídea.
Uno de los teoremas más bellos de la geometría absoluta de Bolyai,
relativo a los triángulos rectilíneos, es el siguiente: los senos de los
ángulos de un triángulo son proporcionales a las longitudes de las
circunferencias cuyos radios son iguales a los lados opuestos a los respectivos
ángulos, tanto en Σ como en S. Si se designan
por A, B y C los ángulos, por a, b y c los
lados y por Or la longitud de la circunferencia de radio r,
entonces el teorema establece que:
Oa : Ob : Oc = sen A : sen B : sen C
La longitud de una circunferencia de radio r la designa
Bolyai como la periferia del segmento igual a r.
Bolyai define la L-línea, para nosotros horociclo en
el plano, y el concepto análogo de horosfera en el espacio.
Son, respectivamente, las posiciones límite del círculo y de la esfera cuando
el radio es infinito.
Si α, β y γ son los ángulos de un triángulo, entonces su suma en el
plano euclídeo es π, mientras que en la geometría hiperbólica es α
+ β + γ = π. Ya hemos dicho que la diferencia π – (α + β + γ) recibe el nombre
de defecto del triángulo. Bolyai demuestra que el área A del
triángulo vale:
A = k2 (π
– (α + β + γ)))
Ya dijimos que esta fórmula había sido conocida por Lambert, pero fue
Bolyai quien hizo una demostración de la misma en su Appendix.
Por último, otro interesante teorema de Bolyai es el siguiente:
sean a y b dos lados de un triángulo
rectángulo y c su hipotenusa, entonces:
de donde se puede deducir en el límite la fórmula de Pitágoras c2 = a2 + b2,
haciendo en la de Bolyai k → ∞.
Bolyai incluye al final de su obra construcciones pertenecientes a la
geometría hiperbólica. Con estas frases termina el Appendix:
Queda por probar la imposibilidad de decidir (sin usar ninguna suposición)
cuál, entre Σ los varios S, existe: lo cual, sin embargo, se reservará para una
ocasión más idónea.
De acuerdo con el profesor Montesinos, “Bolyai estaba psicológicamente
convencido de la consistencia de los sistemas S y Σ. Se
plantea el problema de probarla, pero lo deja para el futuro.
En esto Bolyai, como Gauss y Lobachevski, se diferencian netamente de
los anteriores cultivadores de la geometría no euclídea; a saber, en que
estaban convencidos de su coherencia interna, mientras que los anteriores
siempre buscaban una contradicción, para establecer una demostración del axioma
de las paralelas”.
§. Investigaciones sobre la teoría de números
El interés de János Bolyai por la teoría de números se remonta a su
juventud, cuando con sólo 13 años, hablando ya latín, leyó un ejemplar de Disquisitiones
arithmeticae de Gauss. Éste envió y dedicó el libro a su amigo de
universidad Farkas Bolyai en 1803. János adquirió un segundo ejemplar en Viena,
glosado por él y que se encuentra actualmente en la biblioteca Teleki-Bolyai de
Marosvásárhely. Además, lo cita con suma frecuencia en sus propios trabajos
sobre números y lo calificó en su día como colosal. Se trataba
de un trabajo de Gauss de gran calidad y, sobre todo, anticipado a su tiempo.
Gauss le comentó a Farkas el 2 de septiembre de 1808 que únicamente seis
matemáticos de aquel entonces habían sido capaces de comprender su contenido.
Para los Bolyai, esta publicación fue su pequeño compañero y un manual de
referencia que estudiaron completamente.
Algunos biógrafos de János Bolyai advierten del poco éxito que logró en
sus trabajos sobre la teoría de números. Sin embargo, sus manuscritos parecen
afirmar lo contrario. En ellos demuestra un gran interés por esa teoría y
además tuvo ideas originales con las que se adelantó a otros matemáticos
posteriores. Veamos algunos ejemplos.
Uno de los primeros teoremas encontrado en el legado de Bolyai es el
siguiente: si p y q son primos y a es
un entero que no es múltiplo ni de p ni de q, y
se cumple que:
entonces se cumple también que:
Líneas manuscritas de Bolyai con la redacción de su teorema.
Éste es el mismo teorema que James Hopwood Jeans (1877-1946), físico,
astrónomo y matemático británico, publicó décadas más tarde, concretamente en
1898. Debería llamarse, por tanto, teorema de János Bolyai.
En algún momento Bolyai pensó que podría encontrar la fórmula de los
números primos apoyándose en las teorías de Fermat; no fue así. Por ello probó
a demostrar su recíproco.
Como resultado, halló la relación (1) escrita anteriormente.
Haciendo en ella α = 1, y con repetidos intentos,
obtuvo los números p = 11 y q = 31,
encontrando así el pseudoprimo más pequeño con respecto a 2, que es 341, y para
el que se verifica que:
James Hopwood Jeans
Con la fórmula (1) y otras operaciones, Bolyai dedujo muchos números
pseudoprimos, como:
Las investigaciones sobre los números pseudoprimos alcanzaron su mayor
desarrollo en el siglo XX y han jugado un papel muy significativo en la
criptografía.
Otro ejemplo de la dedicación de János a esta teoría es el caso del
teorema de los dos cuadrados de Fermat: todo número primo de la forma 4k +
1 (k ∈ N) puede
escribirse como suma de dos cuadrados. El teorema fue planteado por Fermat y
demostrado cien años más tarde por Euler. Farkas tuvo acceso a esta prueba y le
pidió a su hijo que tratara de hallar una demostración más sencilla que la de
Euler. En muy poco tiempo János lo consiguió y envió a su padre una carta con
cuatro demostraciones distintas. Nadie ha conseguido una solución más brillante
al problema de Fermat que János Bolyai.
En 1844, G. Eisenstein demostró también el teorema de Fermat, pero
utilizando números complejos.
Escrito de Bolyai relacionado con el teorema de Fermat.
János también trató con otros problemas de la teoría de números, como la
ecuación de Pell, los números de Fermat (Fn= 2(2)^n +1
, n ∈ N ) o las ecuaciones diofánticas exponenciales. Puede afirmarse que
Bolyai fue uno de los primeros en tratar este tipo de ecuaciones, aunque no
alcanzara conclusiones significativas.
Por último, vale la pena mencionar la construcción por Bolyai del
siguiente cuadrado mágico:
§. La divisibilidad en el campo complejo
En un principio János Bolyai admitió que la teoría de los números
imaginarios no estaba clara para él, que la consideraba como algo inútil, y por
tanto la abandonó. Pero más tarde conoció la expresión
El cuadrado mágico de Bolyai.
No obstante, los trabajos de János relacionados con los números
complejos no se limitan al Responsio. Profundizando en sus
manuscritos nos encontramos también con teorías relativas a la divisibilidad en
este campo. Aunque es notorio que fue Gauss el primero en publicar esta teoría
en los años 1831 y 1832, las notas de Bolyai demuestran que, de forma
independiente, concibió también las propiedades de la divisibilidad en el campo
complejo. Leyendo sus notas, parece que desarrolló sus propias teorías a partir
de 1820.
Ya hemos señalado de alguna manera el interés que Bolyai manifestó por
los números primos. En el caso de los primos complejos, distingue tres
categorías: los primos racionales, como ±2, ±3, ±5,... que él llama números
principales-, los números del anillo K de los enteros complejos, como
1 + i, 1 + 2i, 2 - 3i, 6 - i... que
denomina números primos perfectos-, y los números primos tanto
del anillo de los racionales como del anillo de los complejos, tales como 3, 7,
11, ..., 4m + 3, que denomina números primos absolutos.
Tal como decía Gauss, Bolyai asegura que los números primos complejos
son:
Los números (1 + i), (1 - i), (-1
+ i), (-1 - i).
Los números primos racionales que tienen la forma 4m + 3.
Los factores complejos de los números primos racionales de la forma 4m +
1.
Los manuscritos descubren la demostración de todos los casos.
§. Las investigaciones sobre el álgebra
Pocos conocen la dedicación de János Bolyai a la resolución de problemas
de álgebra. También obtuvo importantes resultados en este campo, como
demuestran varias monografías, principalmente en la resolución de ecuaciones
algebraicas de orden superior.
El estudio de sus manuscritos revela dos etapas en esta investigación.
En la primera, Bolyai, como muchos otros antes que él, elige el camino
equivocado para tratar de resolver las ecuaciones algebraicas de grado quinto.
Incluso llegó a pensar que había descubierto el método para resolver las
ecuaciones de cualquier grado. Después de varios intentos infructuosos, ya en
la segunda etapa de su investigación, abandonó el camino erróneo, llegando por
su cuenta al conocido teorema de Ruffini-Abel, en el que se demuestra la
imposibilidad de encontrar expresiones basadas en radicales para hallar las
soluciones de una ecuación de grado quinto o superior. En uno de sus
manuscritos, refiriéndose a este asunto, dice: “A partir de 1837 me
llamó la atención este problema”. Aunque Bolyai era contemporáneo de
Abel, debido a su aislamiento nunca conoció sus trabajos y teorías a este
respecto, como tampoco las de Galois, que no fueron publicadas hasta 1846 de la
mano de Liouville. Sus dos fuentes de información fueron su padre, con el que
se formó en las matemáticas desde que era un niño, y la biblioteca de
Marosvásárhely, donde encontró varios trabajos que estudió con el máximo
interés. En ese centro fue precisamente donde János leyó el libro de
Gauss Disquisitiones arithmeticae, así como su tesis doctoral
presentada en 1799, donde prueba, por vez primera, el principio del álgebra
clásica. Ahí es donde, con toda probabilidad, comenzó el interés de Bolyai, ya
que Gauss expresaba sus dudas acerca de la resolución de las ecuaciones de
grado superior. En el mismo centro también debió de leer la obra de Ruffini
relativa a su teorema.
Consta que János Bolyai se percató de los fallos cometidos por Ruffini
en sus razonamientos, ya que en sus manuscritos se han encontrado frases como
ésta: “Como la aserción de Ruffini necesita todavía una prueba, trataré
de demostrar la imposibilidad por otro camino”, que parece probar que
estaba en el camino correcto. Su teorema lo enunció así: “Encontrar una
solución algebraica de la ecuación general de grado superior al cuarto, es
decir, al menos de grado cinco, es imposible”.
En nuestros días, los compatriotas de Bolyai dedicados a la
investigación de la matemática y de sus obras advierten, como Elemér Kiss, de
la Universidad Sapientia, que "la historia de la matemática ignora que
hubo un matemático húngaro en el siglo XIX capaz de resolver uno de los
problemas más importantes de la matemática".
Capítulo 5
Los modelos de la geometría hiperbólica
Fórmate tú en vez de esperar a que te formen y modelen. Herbert Spencer
§. Introducción
Hemos visto que Bolyai y Lobachevski fueron los descubridores de la
geometría hiperbólica, primera geometría que se apartaba de la praxis de
Euclides. Sin embargo, ninguno de estos dos grandes personajes de las
matemáticas probó que su nueva geometría estuviera libre de contradicciones.
Esa ausencia de contradicción puede probarse utilizando modelos, es decir,
objetos matemáticos y sus relaciones mutuas, de manera que el conjunto
satisfaga los axiomas establecidos en la geometría hiperbólica. Como dice Alberto
Dou: “ayudará a la comprensión [...] el tener presente modelos de la geometría
del ángulo agudo o hiperbólica.
Este modelo puede realizarse en superficies sumergidas en el espacio
euclídeo de tres dimensiones y dotadas, por tanto, de la métrica subordinada
por el espacio euclídeo tridimensional en las superficies modelo”. La geometría
euclídea está basada en un modelo tan sencillo como es el constituido por una
superficie plana.
Bonola introdujo una serie de conceptos en relación con los modelos, que
vamos a recoger en este texto. Y advierte que para una superficie cualquiera
que no sea plana es necesario comprobar hasta qué punto es posible fundamentar
sobre ella una geometría análoga a la del plano.
“Por dos puntos A y B de la superficie pasa generalmente una línea bien
determinada que le pertenece, la cual marca sobre la superficie la mínima
distancia entre los dos puntos. Tal línea es la geodésica que une los dos
puntos dados. Si se trata, por ejemplo, de una esfera, la geodésica que une dos
puntos (no extremos de un diámetro) es un arco del círculo máximo por ellos
determinado”.
Nos habla después del concepto de igualdad para poder
comparar la geometría del plano con la equivalente sobre la superficie elegida.
Según Bonola, a este concepto de igualdad se puede llegar de una manera
intuitiva admitiendo que la superficie que elijamos para contener el modelo
yazca sobre una hoja flexible e inextensible.
“Parece natural comparar las geodésicas de aquella [la superficie
elegida] midiendo las distancias sobre la superficie con las rectas de éste
[del plano], y también considerar como [geodésicamente] iguales, sobre una
superficie, a dos figuras trazadas en ella que puedan hacerse corresponder
punto a punto, de modo que las distancias geodésicas entre los pares de puntos
correspondientes sean iguales”.
Un ejemplo sencillo es el basado en una superficie cilíndrica,
conseguida arrollando (flexionando sin extender) una cuartilla por los dos
extremos laterales. Si sobre esa superficie tomamos un segmento (una
geodésica), ese segmento puede aplicarse, hacerse
corresponder, punto a punto con otro segmento del plano. Lo mismo para una
recta u otra figura, como un triángulo: en un caso tendremos el triángulo
geodésico y en el otro, el triángulo plano correspondiente.
Es verdad que los dos triángulos no son iguales al considerar el espacio común
en el que residen.
El conjunto de conceptos antes enunciado, aplicable a una superficie
cualquiera, supone el punto de arranque para producir una geometría
sobre la superficie.
“Volviendo a una superficie cualquiera, el sistema de convenciones antes
indicado da origen a una geometría sobre la superficie, que
consideraremos siempre por regiones convenientemente limitadas (regiones
normales). Dos superficies aplicables una sobre otra con una flexión sin
extensión tendrán la misma geometría; así, por ejemplo, sobre una superficie
cualquiera cilíndrica, y en general sobre una superficie cualquiera desarrollable, se
tendrá una geometría semejante a la de una superficie plana”.
La geometría de Riemann, llamada geometría elíptica, es
otro ejemplo de geometría sobre una superficie. En este caso el modelo es la
esfera, en la que todas sus rectas son los círculos máximos de la misma. Pues
bien, Bonola advierte que la geometría de la esfera nos proporciona otro
ejemplo de geometría sobre una superficie distinta de la del plano, siendo
imposible aplicar una porción de esfera sobre una superficie plana.
“Todavía entre la geometría plana y la esférica tenemos, sin embargo,
una notable analogía. Esta analogía halla su fundamento en el hecho de que la
esfera puede moverse libremente sobre sí misma, precisamente como el plano, así
que para las figuras iguales sobre la esfera valen proposiciones en todo
análogas a los postulados de la congruencia sobre el plano”.
Es fundamental para proseguir que introduzcamos un concepto nuevo propio
de las curvas y de las superficies: la curvatura. Intuitivamente,
curvatura de una curva en uno de sus puntos significa el desvío que experimenta
en ese punto respecto de la dirección recta, es decir, de la tangente en ese
punto.
Por ello, una circunferencia tiene una curvatura constante, pero una
elipse, no: es más curvada cerca de los extremos del eje mayor y menos cerca
del eje menor. En cada punto de una curva donde se calcule su curvatura existe
un círculo llamado círculo osculador, círculo distinto de un
punto a otro. Si su radio es R, el valor de la curvatura en
ese punto será 1/R, de donde se deduce que cuanto mayor sea el radio del
círculo osculador, menor será la curvatura.
Si se trata de una superficie, la cosa se complica un poco más.
Supongamos que queremos calcular la curvatura de una superficie en
un punto P. Trazaríamos por P la recta normal
(perpendicular) n a la superficie y por esa normal haríamos
pasar un haz de planos, es decir, un conjunto de planos que se corten todos
ellos en la recta n. Cada plano seccionará a la superficie en
una curva que naturalmente será plana. Entre esas curvas existirán dos que se
cortarán según un ángulo recto, y cada una de ellas tendrá su propia curvatura
en el punto P, curvatura que será máxima o mínima. El producto
de ambas define la curvatura de la superficie en P.
Conocidos someramente estos conceptos, añadamos lo que expresa Bonola
como aplicación de la curvatura:
“A fin de que una superficie convenientemente limitada pueda moverse,
con flexión sin extensión, sobre sí misma como la superficie plana, es preciso
que un cierto número K, invariante respecto a las susodichas flexiones, tenga
un valor constante en todos los puntos de la superficie. Este número ha sido
introducido por Gauss con el nombre de curvatura".
Es posible construir superficies con curvatura constante dependiendo del
valor dado a K.
1.
Si
hacemos K = 0, obtenemos superficies desarrollabas que pueden
aplicarse en el plano. El plano es un ejemplo de superficie de curvatura
constante de valor 0. Su círculo osculador tiene un radio infinito.
2.
Si K >
0, obtendríamos superficies que pueden aplicarse sobre una superficie esférica
de radio √(1/K). La esfera sería un ejemplo.
3.
Si K
< 0, obtendríamos superficies aplicables sobre la pseudoesfera.
Más adelante volveremos sobre la pseudoesfera (y cómo se construye) que,
como hemos dicho, tiene una curvatura constante negativa.
“Entre la geometría sobre una superficie de curvatura constante y la de
una porción de plano, tomadas una y otra con las convenientes limitaciones,
existe una analogía, que podemos poner en evidencia traduciendo las
primeras definiciones y propiedades de una en las de la otra, como se indica
sumariamente en las contraposiciones de frases que se observan en el siguiente
cuadro:
|
a) |
Superficie. |
Región de plano. |
|
b) |
Punto. |
Punto. |
|
c) |
Geodésica. |
Recta. |
|
d) |
Arco de geodésica. |
Segmento rectilíneo. |
|
e) |
Propiedades lineales de la geodésica. |
Postulados relativos a la ordenación de los puntos sobre la recta. |
|
f) |
Dos puntos determinan una
geodésica. |
Dos puntos determinan una
recta. |
|
g) |
Propiedades fundamentales de la igualdad de arcos geodésicos y de
ángulos. |
Postulados de la congruencia segmentaria y angular. |
|
h) |
Si dos triángulos
geodésicos tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido, también los
restantes lados y ángulos son iguales. |
Si dos triángulos
rectilíneos tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido, también los
restantes lados y ángulos son iguales.” |
Antes de describir los modelos correspondientes a la geometría
hiperbólica, transcribimos el siguiente párrafo con el que Bonola finaliza las
cuestiones anteriores, antes de estudiarlas y compararlas con el plano
euclídeo:
“Síguese de aquí que se pueden considerar comunes a la geometría de las
superficies en cuestión todas aquellas propiedades pertenecientes a regiones
limitadas del plano, que en el sistema euclídeo son independientes del
postulado de las paralelas y en cuya demostración no se hace uso del plano
completo (por ejemplo, de la infinidad de la recta)”.
A continuación presentaremos algunos modelos para entender la geometría
hiperbólica.
§. El modelo de Beltrami
Beltrami creó un modelo de geometría hiperbólica. Utilizó para ello el
trabajo desarrollado por el profesor de matemáticas polaco Ferdinand Minding en
1868, en el que estudiaba, entre otras cosas, la geometría diferencial de las
superficies de curvatura constante. El modelo en cuestión está constituido por
la pseudoesfera, que es la superficie de revolución cuya
generatriz es la tractriz.
Pseudoesfera y tractriz.
La tractriz es una curva tal que el segmento de recta tangente
comprendido entre un punto cualquiera de la curva y su eje (asíntota) es
constante, es decir, ese segmento de tangente conserva su longitud. El giro de
la tractriz sobre su eje, tomado como eje de revolución, genera la
pseudoesfera, superficie de curvatura constante negativa. La tractriz fue
descubierta por el arquitecto francés Perrault en el siglo XVII.
Christiaan Huygens denominó a la tractriz (traktorien) curva
del perro: si un perro P1 persigue a
otro P2 que se mueve sobre una recta, estando P1 fuera
de la misma, entonces la distancia P1P2 es
constante y por lo tanto P1 describe una tractriz.
Eugenio Beltrami
Éstas son algunas características de la pseudoesfera. Un punto
hiperbólico es cualquier punto de la pseudoesfera. Un segmento de recta sobre
la pseudo-esfera que pasa por dos puntos de la misma, se caracteriza por ser el
camino más corto entre esos dos puntos y, por lo tanto, es una geodésica. Dos
rectas geodésicas cualesquiera nunca se cortarán en más de un punto. Por un
punto exterior a una recta sobre la pseudoesfera pasan, al menos, dos
paralelas. Por último, los lados de un triángulo sobre la pseudoesfera son
segmentos de geodésica y la suma de sus ángulos, como corresponde a esta
geometría hiperbólica, es menor de 180°.
La geometría construida sobre la superficie de la pseudoesfera cumple
con todos los postulados de Euclides a excepción, naturalmente, del postulado
de las paralelas.
§. El modelo de Klein
Otro modelo adaptado a la geometría hiperbólica se debe a Christian
Félix Klein, aunque actualmente también se conoce con el nombre de modelo de
Beltrami-Cayley-Klein. La geometría Bolyai-Lobachevski puede definirse, por
consiguiente, utilizando este modelo que consiste en un plano formado por todos
los puntos de un círculo, pero excluyendo los correspondientes a la
circunferencia del mismo.
Entonces, punto es cualquier punto interior a la circunferencia, como
el P. Las rectas son las cuerdas de la misma, excluyendo sus
puntos extremos como, por ejemplo, las AB, AC o BD.
Puntos del infinito de ese plano son todos aquellos situados en la
circunferencia.
Christian Félix Klein
Dos rectas serán paralelas si tienen el mismo punto del infinito o, lo
que es igual, si tienen un extremo común. Son paralelas a la AB,
las AC y BD, y ambas pasan por un punto P exterior
a AB.
Así que en esta superficie se cumple que por un punto exterior P a
una recta existen, al menos, dos paralelas, las que cortan a la recta dada en
sus extremos pasando por P. Todas las demás rectas del
haz P son las hiperparalelas a AB.
Modelo de Beltrami-Cayley-Klein
Sobre la superficie utilizada en este modelo también se cumplen todos
los axiomas de Euclides con excepción, de nuevo, del V postulado.
§. Modelo hiperbólico de Poincaré
Los dos modelos de Poincaré, el de disco y el de semiplano, son mucho
más simples que el de Beltrami. Vamos a describir cada uno de ellos.
En el modelo de disco, el plano está constituido por
los puntos interiores a un círculo y, como antes, los puntos de la
circunferencia exterior no pertenecen al plano hiperbólico y se denominan
puntos límite del infinito de ese plano. Las rectas son arcos circulares situados
dentro del círculo que cortan ortogonalmente a la circunferencia de los puntos
límite del infinito. Naturalmente, también son rectas los diámetros. Por lo
tanto, cada recta tiene dos puntos límite.
Henri Poincaré
En cuanto a las distancias, efectivamente, la más corta entre dos puntos
límite es precisamente el arco circular ortogonal a la circunferencia del
modelo en los puntos límite citados.
En el otro modelo, el de semiplano, el plano está
constituido por un semiplano del que la recta origen, AB, es
la de los puntos límite del infinito.
Modelo de disco de Poincaré.
Los puntos son aquellos que pertenecen a la parte superior del
semiplano. Las rectas son semicircunferencias ortogonales a la recta límite que
encuentran a ésta en dos puntos, P¡ y P2, y
que, por consiguiente, tengan su centro en esa recta límite. También será recta
hiperbólica toda recta euclídea perpendicular a la recta límite.
Modelo de semiplano de Poincaré.
El mundo de la geometría hiperbólica ha ejercido, y aún ejerce, una gran
influencia, no sólo entre los científicos sino también entre los artistas. Por
ejemplo, el holandés Maurits Escher dibujó y gravó distintas configuraciones
dentro de un círculo.
Autorretrato de Maurits Cornelis Escher. De la litografía Mano con globo
reflectante (1935).
En algunas de ellas, rellenaba ese círculo con círculos cada vez más
pequeños que se iban aproximando a la periferia. En el entorno inmediato a la
periferia, Escher colocaba minúsculos circulitos y, aun así, no era posible
rellenar totalmente el círculo original de partida.
Modelo circular de Escher (Limite circular III).
Bibliografía
·
Babini,
José, Historia sucinta de la matemática. Colección Austral,
Espasa- Calpe, 1958.
·
Barbarin,
Paul, La géométrie non euclidienne. Gauthier-Villars et Cié,
Éditeurs, tercera edición, 1928, reimpresión de Éditions Jacques Gabay, París.
·
Beltrami,
Eugenio, Opere matematiche. Universidad de Roma, tres
volúmenes, 1902-1910.
·
Beltrami,
Eugenio, “Saggio di interpretazione della geometría non-euclidea”. Giornale
di matematiche VI, 284-312.
·
Benkó,
S., The confessions of Jónos Bolyai. Irodalmi Konyvkiadó,
Bucarest, 1968.
·
Bolyai,
Farkas, Tentamen. Academia Húngara de Ciencias, 2a edición,
Budapest.
·
Bolyai,
János, La Science absolute de l’espace. Traducción del latín
por Hoüel, Burdeos.
·
Bolyai,
János, The Science absolute of space. Traducción del latín de
George Bruce Halsted, 4a edición, Austin, Texas, 1896.
·
Bonola,
Roberto, Geometrías no euclidianas. Espasa-Calpe Argentina,
Buenos Aires-México, segunda edición, 1951.
·
Dou,
Alberto, Fundamentos de la matemática. Editorial Labor, 1970.
·
Euclides, Elementos, Libros
1-IV. Biblioteca Clásica Gredos, Madrid, 2000.
·
Fernández,
Santiago, Lobachevski, un espíritu indomable. Editorial
NIVOLA, Madrid, 2004.
·
Fuchs,
Walter, El libro de la matemática moderna. Omega, Barcelona,
1969.
·
Les
génies de la Science n° 21, noviembre
2004-febrero 2005.
·
Kant,
Emmanuel, Crítica de la razón pura. Clásicos Bergua, Madrid,
1970.
·
Karlson,
Paul, La magia de los números. Editorial Labor, 1960.
·
Kiss,
Elemér, “Notes on János Bolyai’s Researches in Number Theory”. Historia
Mathematica 26, 68-76.
·
Newman,
James R., El mundo de las matemáticas. Grijalbo, Barcelona-
México D.F., 1968.
·
Poincaré,
Henri, La ciencia y la hipótesis. Colección Austral,
Espasa-Calpe, 1963.
·
Prékopa,
A., Molnár, E. (editores), Non-Euclidean Geometries. Springer,
2006.
·
Real
Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Historia de la
matemática en el siglo XIX, Ia Parte. Madrid, 1992.
Notas:
[1] Tomado
de Heródoto, Historia, Libros l-II, Biblioteca Clásica Gredos,
traducción de Carlos Schrader.
[2] C.
F. Gauss, Werke, 1870-1929. Gotinga, Gotha, Leipzig, Berlín.
[3] B.
Szénássy, “Comments on Gauss’s results on non-Euclidean geometry",
1977-1980, Matematikai Lapok, 28, 133-140.
No hay comentarios:
Publicar un comentario