© Libro N° 6179.
El Placer De La X. Strogatz, Steven. Emancipación. Julio 6 de 2019.
Título
original: © El Placer De La X. Steven Strogatz
Versión Original: © El Placer De La X. Steven Strogatz
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© Edición, reedición y Colección Biblioteca Emancipación: Guillermo Molina
Miranda
LEAMOS SIN RESERVAS,
ANALICEMOS SIN PEREZA Y SOMETAMOS A CRÍTICA TODA LA CULTURA
EL PLACER DE LA X
Steven Strogatz
CONTENIDO
Sinopsis
Prefacio
Números
Relaciones
Formas
Cambio
Datos
Fronteras
Agradecimientos
Sinopsis
¿Qué
relación guardan los números con la literatura, el amor o la cultura pop?
¿Cuánto de exacto tiene la vida cotidiana? Un recorrido diferente por el
asombroso mundo de las matemáticas.
Un
matemático de primer nivel y prestigioso divulgador del New York Times nos
invita a una visita guiada por las grandes ideas de las matemáticas y sus
sorprendentes conexiones con la literatura, la filosofía, la medicina o el
arte.
Las matemáticas están en la base de todo lo que hay en el cosmos, incluidos
nosotros mismos, y, sin embargo, muy pocos entienden lo suficiente este idioma
universal como para gozar de su sabiduría, su belleza… y sus placeres. Este
libro lo traduce para convertirlo en algo inteligible y apasionante.
Cada
capítulo ofrece inesperados momentos de revelación: desde la explicación de por
qué los números son tan útiles (y tan eficaces para describir el mundo) hasta
los escondidos encantos del cálculo, las elipses y el teorema de Pitágoras.
Steven Strogatz solo pide a sus lectores curiosidad y sentido común. A
cambio, El placer de la X les ofrecerá explicaciones claras e
ingeniosas de los principios esenciales de esta disciplina y de su
extraordinario poder para responder a muchas de las preguntas de la vida cotidiana.
El autor, premiado y elogiado por sus ensayos y artículos en múltiples medios
de comunicación como The New York Times, New Yorker, Discover o Science,
es reconocido internacionalmente por su manera didáctica de abarcar y exponer
las matemáticas y otras disciplinas relacionadas.
Prefacio
Tengo
un amigo que, a pesar de ser artista, disfruta mucho de la ciencia. Cada vez
que nos reunimos, lo único que quiere hacer es charlar acerca de lo último en
psicología o en mecánica cuántica. Pero en lo que respecta a las matemáticas se
siente perdido, y eso le entristece. Los extraños símbolos le ahuyentan. Dice
no saber siquiera pronunciarlos.
De hecho, su alienación es más profunda. No tiene claro qué hace un matemático
durante todo el día, o a qué se refieren cuando afirman que determinada
demostración es elegante. A veces bromeamos con que debería sentarme con él y
enseñárselo todo, empezando con 1 + 1 = 2 hasta llegar lo más lejos posible.
Por
alocado que parezca, eso es lo que intentaré hacer en este libro. Se trata de
un viaje guiado por los elementos de la matemática, desde preescolar hasta la
universidad, pensado para cualquiera que desee tener una segunda oportunidad
con la materia, esta vez desde una perspectiva adulta. No pretende ser una
clase de recuperación. El objetivo es dar una mejor idea de las matemáticas y
de por qué resultan tan apasionantes para aquellos que las captan.
Descubriremos
cómo los mates de Michael Jordan pueden explicar los fundamentos del cálculo.
Les mostraré una manera simple —y alucinante— de entender ese pilar de la
geometría: el teorema de Pitágoras. Trataremos de llegar al fondo de algunos de
los misterios de la vida, grandes y pequeños: ¿Mató O. J. Simpson a su mujer?
¿Cómo debe voltear el colchón para aprovecharlo al máximo? ¿Con cuántas
personas debe salir antes de sentar la cabeza? Y veremos también por qué
algunos infinitos son mayores que otros.
Las
matemáticas están en todas partes, si sabe dónde mirar. Detectaremos curvas
sinusoidales en las rayas de las cebras, escucharemos ecos de Euclides en la
Declaración de Independencia de Estados Unidos y reconoceremos señales de
números negativos en vísperas de la Primera Guerra Mundial. Y veremos cómo
nuestras vidas hoy son tocadas por nuevos tipos de matemática, mientras
buscamos restaurantes online y tratamos de entender —por no decir sobrevivir a—
los temibles vaivenes de la bolsa.
Por
una casualidad que parece encajar solo en un libro sobre números, este nació el
día que cumplí cincuenta años. David Shipley, responsable entonces de la
sección de Opinión de The New York Times, me había invitado a comer
en el gran día (inconsciente de su significado semicentenario) para preguntarme
si estaría dispuesto a escribir una serie de artículos sobre matemáticas para
sus lectores. Me fascinó la idea de compartir los placeres de la matemática con
un público que fuera más allá de mi inquisitivo amigo el artista.
«Los
elementos de las matemáticas» apareció online a finales de enero de 2010 y duró
quince semanas. En respuesta, llovieron cartas y comentarios por parte de
lectores de todas las edades. Muchos de los que escribieron eran alumnos y
profesores. Otros eran gente curiosa que, por alguna razón, habían descarrilado
en algún momento de su educación matemática, pero sentían que se estaban
perdiendo algo que merecía la pena y querían intentarlo de nuevo. Fueron
especialmente gratificantes los comentarios que recibí por parte de padres
agradeciéndome que les hubiera ayudado a explicar matemáticas a sus hijos y, en
el proceso, a ellos mismos. Incluso mis colegas y compañeros aficionados a las
matemáticas parecían disfrutar las entregas, cuando no sugerían mejoras (o,
quizá, especialmente cuando lo hacían).
En términos generales, la experiencia me convenció de que existe un hambre de
matemáticas, profunda pero poco reconocida, entre el público general. A pesar
de todo lo que oímos acerca de la fobia a las matemáticas, mucha gente quiereentender
la materia algo mejor. Y una vez que lo logra, la encuentran adictiva.
El placer de la X es una introducción a los conceptos más
persuasivos y profundos de las matemáticas. Los capítulos —algunos de la serie
original de The New York Times— son pequeños bocados
independientes, así que siéntase libre de picar allá donde quiera. Si desea
ahondar más en cualquier apartado, las notas al final del libro proporcionan
detalles adicionales y sugerencias bibliográficas.
Para beneficio de los lectores que prefieren un acercamiento paso a paso, he
organizado el material en seis partes principales, siguiendo las líneas del
plan de estudios tradicional.
La primera parte, «Números», comienza nuestro viaje con aritmética de
preescolar y primaria, destacando lo útiles que pueden ser los números y lo
asombrosamente efectivos que resultan para describir el mundo.
La segunda parte, «Relaciones», amplía el trabajar con números a trabajar
con relaciones entre números. Estas son las ideas que laten en
el corazón del álgebra. Lo que las hace tan cruciales es que ofrecen las
primeras herramientas para describir cómo una cosa afecta a otra, a través de
los principios de causa y efecto, oferta y demanda, dosis y respuesta,
etcétera. En otras palabras, los tipos de relación que hacen el mundo complejo
y rico.
La tercera parte, «Formas», cambia de números y símbolos a formas y espacio —el
reino de la geometría y la trigonometría—. Además de caracterizar visualmente
las cosas, estas materias elevan la matemática a nuevos niveles de rigor a
través de la lógica y la demostración.
En la cuarta parte, «Cambio», llegamos al cálculo, la rama más penetrante y
fructífera de las matemáticas. El cálculo hizo posible predecir el movimiento
de los planetas, el ritmo de las mareas y, prácticamente, toda forma de cambio
continuo en el universo y en nosotros mismos. Aprovechando el inmenso poder del
infinito, el cálculo finalmente pudo resolver problemas de larga data que
habían desafiado a los antiguos y condujo a la revolución científica y al mundo
moderno.
La quinta parte, «Datos», se ocupa de la probabilidad, estadística, redes y
minería de datos. Todas ellas materias relativamente jóvenes inspiradas en el
lado desordenado de la vida: azar, suerte, incertidumbre, riesgo, volatilidad,
aleatoriedad, interconexión. Con la matemática correcta, y los datos correctos,
veremos cómo extraer significado del remolino.
Acercándonos al final del viaje, en la sexta parte, «Fronteras», nos
aproximamos al filo del conocimiento matemático, la frontera entre lo que se
conoce y lo que permanece esquivo. La secuencia de capítulos sigue la
estructura familiar que hemos empleado —números, relaciones, formas, cambio e
infinito—, pero cada tema se revisita en mayor profundidad y fiel a su
encarnación moderna.
Espero que todas las ideas que vienen procuren alegría y un buen número de
«¡Ajás!». Pero cualquier viaje necesita comenzar por el principio, así que
empecemos con el simple y mágico acto de contar.
Primera
Parte
Números
Contenido:
§1.
Empezar contando peces y llegar al infinito
§2. Menos da una Piedra
§3. El enemigo de mi enemigo
§4. Conmutando
§5. El malestar en la división
§6. Ubicación, ubicación, ubicación
§1.
Empezar contando peces y llegar al infinito
La mejor introducción a los números que he visto —la explicación más
clarividente y graciosa de lo que son y de por qué los necesitamos— aparece en
un vídeo de Barrio Sésamo llamado 1, 2, 3 cuenta
conmigo[1]. Humphrey,
un tipo afable pero algo mentecato, de pelaje rosa y nariz verde, está
trabajando en el turno de comidas del hotel de los Brazos Peludos, cuando
atiende la llamada de una habitación llena de pingüinos. Humphrey escucha con
atención y grita sus pedidos a la cocina: «Pez, Pez, Pez, Pez, Pez, Pez». Esto
lleva a Epi a ilustrarle acerca de las virtudes del número seis.
«Sesame Workshop»®, «Sesame Street»® y los personajes, marcas y elementos de
diseño asociados son propiedad de y están autorizados por Sesame Workshop. ©
2011 Sesame Workshop. Todos los derechos reservados.
Los
niños aprenden así que los números son fantásticos atajos. En lugar de decir la
palabra «pez» tantas veces como pingüinos haya, Humphrey podría utilizar el
concepto superior que representa «seis».
Como adultos, sin embargo, podemos advertir una desventaja potencial. Claro que
los números nos ahorran tiempo, pero a costa de un alto precio en términos de
abstracción. Seis es más etéreo que seis peces, precisamente porque es más
general. Sirve para seis unidades de cualquier cosa: seis platos, seis pingüinos,
seis expresiones de la palabra «pez». Todos tienen en común la inefabilidad.
Desde esta perspectiva, los números empiezan a resultar un poco misteriosos.
Parecen pertenecer a alguna clase de reino platónico, a un nivel por encima de
la realidad. En ese sentido, se parecen más a conceptos elevados, como los de
verdad o justicia, y menos a los objetos cotidianos. Su estatus filosófico se
vuelve incluso más oscuro en una reflexión más profunda. ¿De dónde vienen
exactamente los números? ¿La humanidad los inventó o los descubrió?
Una sutileza adicional es que los números (de hecho, todas las ideas
matemáticas) tienen vida propia[2]. No
podemos controlarlos. Aunque existen en nuestras cabezas, una vez decidimos qué
expresamos mediante ellos, no podemos intervenir en cómo se comportan. Obedecen
a ciertas reglas y poseen ciertas propiedades, personalidades y maneras de
combinarse unos con otros, y no hay nada que podamos hacer, salvo observar y
tratar de comprender. En ese sentido, son extrañamente evocadores de los átomos
y las estrellas, cosas de este mundo también sujetas a leyes que trascienden
nuestro control, con la salvedad de que esas cosas existen fuera de nuestras
cabezas.
Este aspecto dual de los números —parte Cielo, parte Tierra— es tal vez su
rasgo más paradójico y el rasgo que los hace tan útiles. Es lo que el médico
Eugene Wigner tenía en mente cuando escribió acerca de «la efectividad
irracional de las matemáticas en las ciencias naturales»[3].
Por si no ha quedado claro a qué me refiero al hablar de los números y de su
incontrolable comportamiento, volvamos al hotel de los Brazos Peludos.
Supongamos que antes de que Humphrey haga el pedido de los pingüinos, recibe
repentinamente una llamada de una habitación ocupada por el mismo número de
pingüinos, todos ellos también exigiendo pescado. Tras atender ambas llamadas,
¿qué debería gritar Humphrey a cocina? Si no ha aprendido nada, debería gritar
«pez» una vez por cada pingüino. Si usara los números, pediría seis raciones de
pescado para la primera habitación y seis más para la segunda. Pero lo que
realmente necesita es un nuevo concepto: la suma. Una vez que lo domine, dirá
orgulloso que necesita seis más seis (o, si quiere presumir, doce) peces.
El proceso creativo aquí es el mismo que nos aportó los números. Al igual que
los números son atajos para contar de uno en uno, la suma es un atajo para
contar cualquier cantidad. Así crece la matemática. La abstracción correcta
lleva a una nueva visión y a un nuevo poder.
En poco tiempo, hasta Humphrey se dará cuenta de que puede seguir contando para
siempre.
Sin embargo, a pesar de este panorama infinito, siempre hay límites a nuestra
creatividad. Podemos decidir qué queremos decir con cosas como «6» y «+», pero
una vez lo hagamos, expresiones como 6 + 6 quedarán fuera de nuestro control.
La lógica no nos da elección. En ese sentido, las matemáticas siempre implican
invención y descubrimiento: inventamos los conceptos pero
descubrimos sus consecuencias. Como veremos en los capítulos venideros, nuestra
libertad, dentro de las matemáticas, radica en las preguntas que hacemos —y en
cómo las acechamos—, pero no en las respuestas que nos deparan.
§2. Menos da una piedra
Como todo lo demás, la aritmética tiene su lado serio y su lado lúdico.
El lado serio es lo que todos aprendimos en el colegio: cómo trabajar con
columnas de números, sumando, restando, estrujándolos en las hojas de cálculo
para la declaración de la renta y los informes anuales. Este lado de la aritmética
es importante, práctico y —para muchas personas— carente de toda gracia.
El lado lúdico de la aritmética[4] es
mucho menos familiar, salvo que se tenga formación en matemática avanzada,
aunque no hay nada inherentemente avanzado en él. Es tan natural como la
curiosidad de un niño[5].
En su libro A Mathematician’s Lament [El lamento de un
matemático], Paul Lockhart aboga por un enfoque educativo en el que los números
son tratados de manera más concreta de lo normal: nos pide que los imaginemos
como grupos de piedras. Por ejemplo, el 6 corresponde a un grupo de piedras
como este:
Es
probable que no vea aquí nada llamativo, y eso está bien: salvo que exijamos
más a los números, todos parecen prácticamente iguales. Nuestra ocasión de ser
creativos viene en lo que exigimos a los números.
Por ejemplo, centrémonos en grupos que tienen entre 1 y 10 piedras y
preguntémonos cuáles pueden reorganizarse en patrones cuadrados. Solo dos de
ellos pueden: el grupo de 4 y el grupo de 9. Y esto es porque 4 = 2 × 2 y 9 = 3
× 3; obtenemos estos números elevando al cuadrado otros números (de hecho, haciendo
una forma cuadrada).
Un
reto menos severo es identificar grupos de piedras que puedan organizarse en
rectángulo, exactamente con dos filas que salgan a la par. Esto es posible
mientras que haya 2, 4, 6, 8 o 10 piedras; el número tiene que ser par. Si
intentamos forzar cualquiera de los otros números del 1 al 10 —los impares— a
formar en dos filas, siempre sobresaldrá una pequeña parte.
Aun
así, no todo está perdido para estos números inadaptados. Si sumamos dos de
ellos, sus protuberancias encajan y la suma sale par; impar + impar = par.
Si
aflojamos las normas hasta admitir números mayores a 10 y permitimos patrones
rectangulares con más de dos filas de piedras, algunos números impares muestran
su talento para hacer estos rectángulos más grandes. Por ejemplo, el número 15
puede formar un rectángulo 3 × 5:
Por
lo tanto, el 15, aunque indudablemente impar, al menos tiene el consuelo de ser
un número compuesto —se compone de tres filas de cinco piedras cada una—. Del
mismo modo, cualquier entrada alterna en la tabla de multiplicar produce su
propio grupo rectangular.
Pero lo de algunos números, como el 2, 3, 5 y 7, no tiene remedio. Ninguno de
ellos puede formar rectángulo alguno, más allá de una simple fila de piedras
(una fila única). Estos números, extrañamente inflexibles, son los famosos
números primos.
Vemos, pues, que los números tienen peculiaridades estructurales que les dotan
de personalidad. Pero para ver el pleno alcance de su comportamiento,
necesitamos ir más allá de los números individuales y observar qué les sucede
cuando interactúan.
Por ejemplo, en lugar de sumar solo dos números impares, supongamos que sumamos
todos los números impares consecutivos, empezando por el uno:
1 +
3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Estas
sumas, extraordinariamente, siempre resultan en cuadrados perfectos. (Vimos el
4 y el 9 en los patrones cuadrados anteriores, y 16 = 4 × 4, y 25 = 5 × 5). Una
demostración rápida muestra que esta norma se mantiene en números impares más y
más grandes; aparentemente se sostiene hasta el infinito. Pero ¿qué conexión
puede haber entre los números impares, con sus apéndices desgarbados, y los
números tradicionalmente simétricos que forman cuadrados? Colocando las piedras
de manera adecuada, podemos hacer que esta relación parezca obvia: el sello
distintivo de una demostración elegante[6].
La clave es reconocer que los números impares pueden hacer formas de L, dejando
las protuberancias en una esquina. Y al unir sucesivamente formas de L, se
obtiene un cuadrado.
Este
tipo de ideas aparece en otro libro reciente, aunque por razones literarias
totalmente distintas. En la encantadora novela de Yoko Ogawa La fórmula
preferida del profesor, una inculta pero astuta joven con un hijo de diez
años es contratada para ocuparse de un anciano matemático que ha sufrido una
traumática lesión cerebral. La lesión le limita la memoria a corto plazo a ocho
minutos. A la deriva en el presente y solo en su destartalada casa de campo,
sin más compañía que sus números, el profesor trata de conectar con la criada
de la única manera que sabe: preguntando su talla de calzado o cumpleaños y
teniendo una charla matemática en torno a su estadística. El profesor también
tiene especial simpatía por el hijo de la criada, al que llama «Raíz», puesto
que la parte superior de su cabeza es plana y le recuerda al símbolo de la raíz
cuadrada (√).
Un día el profesor propone a Raíz un pequeño acertijo: le pide que encuentre la
suma de todos los números de 1 a 10. Después de que Raíz haya sumado con atención
los números, vuelve con la respuesta: 55, pero el profesor le pide que
encuentre una manera mejor. ¿Podría dar con la respuesta sin sumar
los números? Raíz patea la silla y grita: «¡Eso no es justo!».
Poco a poco, la criada se ve atraída hacia el mundo de los números, y en
secreto comienza a estudiar el acertijo. «No estoy segura de por qué me
absorbió tanto un problema matemático infantil, sin ninguna utilidad», dice.
«En un principio, era consciente de querer agradar al profesor, pero
gradualmente ese sentimiento se desvaneció y reparé en que se había convertido
en una batalla entre el problema y yo. Cuando me levantaba por la mañana, la
ecuación me estaba esperando:
1 +
2 + 3 +… + 9 + 10 = 55
y me
seguía durante el día, como si se me hubiera grabado en la retina y fuera
imposible ignorarla».
Hay varias maneras de resolver el problema del profesor (a ver cuántas puede
encontrar usted). El propio profesor arguye en torno a lo que hemos
desarrollado anteriormente. Interpreta la suma de 1 a 10 como un triángulo de
piedras, con 1 piedra en la primera fila, 2 en la segunda, y así hasta 10
piedras en la décima fila:
Por
su propia apariencia, este dibujo da un claro sentido de espacio negativo.
Parece estar a medio completar. Y eso sugiere un salto creativo. Si copiamos el
triángulo, le damos la vuelta y lo sumamos como la parte faltante, obtenemos
algo mucho más simple: un rectángulo con 10 filas de 11 piedras cada uno y un
total de 110.
Puesto que el triángulo original es la mitad de este rectángulo, la suma
deseada debe ser la mitad de 110, o sea, 55.
Observar los números como grupos de piedras puede parecer inusual, pero en
realidad es algo tan viejo como la matemática misma. La palabra «calcular»
refleja ese legado, viene de la palabra latina calculus, que se
refiere a un guijarro empleado para contar. Para disfrutar el trabajo con
números no hace falta ser Einstein (en alemán: «una piedra»), pero puede
resultarle útil tener alguna piedra en la cabeza.
§3.
El enemigo de mi enemigo"
Es tradición enseñar a los niños la resta justo después de la suma. Tiene
sentido: ambas se sirven de los mismos hechos numéricos, aunque al revés. Y el
misterioso arte de tomar prestado, tan crucial para una resta exitosa, es solo
un poco más complejo que aquel de aportar (su equivalente para la suma). Si
usted puede hacer frente al cálculo de 23 + 9, muy pronto estará preparado para
23 − 9.
En un nivel más profundo, sin embargo, la resta plantea un asunto mucho más
inquietante que la suma nunca plantea. La resta puede generar números
negativos. Si intento quitarte 6 galletas y solo tienes 2, me será imposible,
salvo en mi cabeza, donde ahora tengo 4 galletas negativas, signifique eso lo
que signifique.
La resta nos fuerza a expandir nuestra concepción de lo que son los números.
Los números negativos son mucho más abstractos que los positivos: no podemos
ver 4 galletas negativas y, por supuesto, no podemos comérnoslas, pero podemos
pensar en ellas, y tenemos que pensar en ellas en todos los
aspectos de la vida diaria, desde las deudas y sobregiros, hasta para combatir
temperaturas heladas y parkings subterráneos.
Aun así, muchos no hemos hecho las paces con los números negativos. Como ha
señalado mi colega Andy Ruina, la gente ha inventado estrategias de todo tipo
para dejar de lado el temido signo negativo. En las declaraciones de fondos
colectivos, las pérdidas (números negativos) se imprimen en rojo o se ubican
entre paréntesis sin signo negativo alguno. Los libros de historia dicen que
Julio César nació en el año 100 a. C., no en el −100. Los niveles subterráneos
en los parkings normalmente se conocen como S1 y S2. La temperatura es una de
las pocas excepciones: la gente sí dice, especialmente aquí en Ithaca, Nueva
York, que fuera hace −5 grados, aunque incluso en este caso muchos prefieren
decir 5 bajo cero. Hay algo en los números negativos que resulta tan
desapacible, tan… negativo.
Quizá lo más perturbador es que negativo multiplicado por negativo sea
positivo. Por lo tanto, permítanme que explique la idea que hay detrás.
¿Cómo debemos definir el valor de una expresión como −1 × 3, donde estamos
multiplicando un número negativo por un número positivo? Bueno, de la misma
manera que 1 × 3 significa 1 + 1 + 1, la definición natural de −1 × 3 es (−1) +
(−1) + (−1), que iguala a −3. Esto resulta obvio en términos de dinero: si
usted me debe 1 dólar a la semana, tres semanas después me deberá 3 dólares.
Partiendo desde aquí, estamos a un pequeño paso de entender por qué negativo
por negativo debe ser positivo. Observe la siguiente cadena de ecuaciones:
−1 ×
3 = −3
−1 × 2 = −2
−1 × 1 = −1
−1 × 0 = 0
−1 × −1 = ?
Ahora
observe los números de la derecha y repare en su progresión: −3, −2, −1, 0,… En
cada paso añadimos 1 al número que lo precede. ¿No está de acuerdo con que el
número siguiente lógicamente debería ser 1?
Esa es una razón de por qué (−1) × (−1) = 1. Lo atractivo de esta definición es
que conserva las reglas de la aritmética ordinaria; lo que funciona para los
números positivos, funciona también para los negativos.
Pero si usted es un pragmático riguroso, se preguntará si estas abstracciones
tienen algún paralelismo con el mundo real. Es cierto que a veces la vida
parece funcionar con reglas distintas: en la moral convencional, dos errores no
hacen un acierto. Del mismo modo, dobles negativos no siempre equivalen a
positivos, incluso pueden hacer los negativos más intensos, como en la frase «I
can’t get no satisfaction» [No puedo obtener ninguna satisfacción]. De hecho,
los idiomas pueden ser engorrosos a este respecto. El eminente filósofo del
lenguaje J. L. Austin de Oxford dio una conferencia en la que afirmaba que
existen muchos idiomas en los que un doble negativo hace un positivo, pero
ninguno en que un doble positivo hiciera un negativo, a lo que el filósofo de
la Universidad de Columbia, Sidney Morgenbesser, sentado entre el público,
contestó: «Sí, sí…»[7].
Sin embargo, hay muchos casos en los que el mundo real refleja las normas de
los números negativos. El disparo de una neurona puede ser inhibido por el
disparo de una segunda neurona. Si esa segunda neurona es inhibida por una
tercera, la primera neurona puede disparar de nuevo. La acción indirecta de la
tercera neurona sobre la primera equivale a la excitación; una cadena de dos
negativos hace un positivo. Efectos similares tienen lugar en la regulación
genética: una proteína podría activar un gen bloqueando otra molécula que
estuviera reprimiendo ese tramo de ADN.
El paralelismo más familiar quizá ocurra en lo social y lo político, como
resume el dicho: «El enemigo de mi enemigo es mi amigo». Esta perogrullada, y
otras parecidas acerca del amigo de mi enemigo, el enemigo de mi amigo,
etcétera, pueden ser representadas en triángulos de relación[8].
Las esquinas simbolizan a las personas, compañías o países y los lados que los
conectan simbolizan sus relaciones, que pueden ser positivas (amistosas:
representadas por líneas continuas) o negativas (hostiles: representadas por
líneas discontinuas).
Los
científicos sociales se refieren a triángulos como el de la izquierda, con
todos los lados positivos, como equilibrados: no hay razón para cambiar cómo se
siente alguien, ya que es razonable que le caigan bien los amigos de sus
amigos. Igualmente, el triángulo de la derecha, con dos lados negativos y uno
positivo, se considera equilibrado porque no provoca disonancias; aunque
permite hostilidad, nada cimienta una relación mejor que odiar a la misma
persona.
Por supuesto que los triángulos pueden ser también desequilibrados. Cuando tres
enemigos íntimos miden la situación, dos de ellos —normalmente los dos con la
menor animosidad entre sí— pueden estar tentados a unir sus fuerzas y conspirar
contra el tercero.
Más desequilibrado está un triángulo con una única relación negativa. Por
ejemplo, supongamos que Carol se lleva bien tanto con Alice como con Bob, pero
Bob y Alice se odian. Quizá en su día fueron pareja, pero sufrieron una
desagradable ruptura y cada uno critica al otro ante la siempre leal Carol. Esto
provoca estrés psicológico en todos los frentes. Para recuperar el equilibrio,
o bien Alice y Bob se reconcilian, o Carol tendrá que decidirse por una de las
partes.
En
todos estos casos, la lógica del equilibrio coincide con la lógica de la
multiplicación. En un triángulo equilibrado, el signo del producto de
cualesquiera dos lados, positivo o negativo, siempre coincide con el signo del
tercero. En triángulos desequilibrados, este patrón se rompe.
Dejando a un lado la verosimilitud del modelo, siempre surgen preguntas
interesantes de cariz puramente matemático. Por ejemplo, en una red muy unida,
donde todo el mundo se conoce, ¿cuál es el estado más estable? Una posibilidad
es un nirvana de buenas intenciones donde todas las relaciones sean positivas y
todos los triángulos de la red estén equilibrados. Pero, sorprendentemente,
existen otros estados igualmente estables. Estos son estados de conflicto
inalterable, con la red escindida en dos facciones hostiles (de tamaño y
composición arbitrarios). Todos los miembros de una facción son amigos entre sí
pero hostiles hacia los pertenecientes a la otra facción. ¿Le suena familiar?
Resulta incluso más sorprendente que estos estados polarizados sean los únicosestados
tan estables como el nirvana[9].
Particularmente, ninguna división tripartita puede tener todos sus triángulos
equilibrados.
Los estudiosos han empleado estas ideas para analizar el periodo previo a la
Primera Guerra Mundial[10]. El
diagrama siguiente muestra las alianzas cambiantes entre Gran Bretaña, Francia,
Rusia, Italia, Alemania y Austria-Hungría entre 1872 y 1907.
Las
primeras cinco configuraciones eran todas desequilibradas, en el sentido de que
cada una contenía al menos un triángulo desequilibrado. La disonancia
resultante tendía a empujar a estas naciones a realinearse, provocando
reverberaciones en otros tramos de la red. En la etapa final, Europa se había
dividido en dos bloques implacablemente opuestos, técnicamente equilibrados,
pero al borde de la guerra.
La cuestión no es que esta teoría sea poderosamente predictiva, no lo es. Es
demasiado simple como para dar cuenta de todas las sutilezas de la dinámica
geopolítica. La cuestión es que mucho de lo que observamos se debe a poco más
que a la primitiva lógica de «el enemigo de mi enemigo», y esa parte
queda perfectamente captada por la multiplicación de números negativos.
Separando lo significativo de lo genérico, la aritmética de los números
negativos puede ayudarnos a ver dónde reside el verdadero enigma.
§4. Conmutando
Más o menos cada década, aparece un nuevo acercamiento a la enseñanza de las
matemáticas, lo que crea una ocasión para que muchos padres se sientan
incompetentes. En la década de 1960, mis padres estaban pasmados ante su
incapacidad para ayudarme con los deberes de segundo de primaria. Nunca habían
oído hablar de la tercera base o de los diagramas de Venn.
Ahora se han vuelto las tornas. «Papá, ¿podrías ayudarme a resolver estas
multiplicaciones?». «Claro», pensé, hasta que empezó el meneo de cabeza. «No,
papá, así no es como hay que hacerlo. Ese método es de la vieja escuela. ¿No
conoces el método lattice? ¿No? Bueno, ¿y los productos
parciales?».
Estas sesiones de humillación me han impulsado a revisitar la multiplicación
desde cero[11]. Y en
realidad es bastante sutil, una vez que comienzas a pensarlo.
Tomemos la terminología. ¿Significa «siete por tres» «siete sumado a sí mismo
tres veces»? ¿O «tres sumado a sí mismo siete veces»?
En algunas culturas el lenguaje es menos ambiguo. Un amigo de Belice solía
recitar las tablas de multiplicar así: «Siete unos son siete, siete doses son
catorce, siete treses son veintiuno», y así sucesivamente. Esta formulación
aclara que el primer número es el multiplicador y el segundo número es aquello
que se multiplica. Es la misma convención que aparece en la inolvidable letra
de Lionel Richie «She’s once, twice, three times a lady» [Ella es una, dos,
tres veces una dama]: «Ella es una vez tres damas» nunca hubiera sido un éxito.
Puede ser que todo este alboroto semántico le parezca absurdo, puesto que el
orden en que se multiplican los números no es importante: 7 × 3 = 3 × 7. Hasta
ahí de acuerdo, pero esto nos conduce a la cuestión en la que me gustaría
profundizar: ¿es la propiedad conmutativa de la multiplicación, a × b = b × a,
realmente tan obvia? Recuerdo sorprenderme con ella siendo niño, quizá a usted
le sucedió lo mismo.
Para recuperar la magia, imagine no saber a qué equivale 7 × 3. Así que intente
contar de siete en siete: 7, 14, 21. Ahora inviértalo y trate de contar de tres
en tres: 3, 6, 9,… ¿Nota cómo aumenta el suspense? Hasta ahora, ninguno de los
números se corresponde con la lista del siete, pero continúe… 12, 15, 18, y
entonces, bingo, ¡21!
La idea es que si contempla la multiplicación como sinónimo de contar repetidas
veces (o, en otras palabras, de suma repetida), la propiedad conmutativa no es
transparente.
Pero se hace más intuitiva si concebimos la multiplicación visualmente.
Piense en 7 × 3 como en el número de puntos en una formación rectangular con
siete filas y tres columnas.
Si
gira la formación, se transforma en tres filas y siete columnas, y como rotar
el dibujo no altera el número de puntos, debe ser cierto que 7 × 3 = 3 × 7.
Sin
embargo, en muchas situaciones reales, especialmente aquellas en las que
interviene el dinero, la gente parece olvidar la propiedad conmutativa, o no se
percata de que es aplicable. Permítame que le dé dos ejemplos:
Suponga que está comprando unos pantalones vaqueros. Tienen una rebaja del 20
por ciento sobre el precio etiquetado: 50 dólares, lo cual suena a ganga, pero
no olvide que también tiene que pagar el 8 por ciento de impuestos. Cuando la
dependienta ha terminado de elogiar lo bien que le quedan, pone en marcha la
compra, pero de pronto se detiene y suspira en tono conspiratorio: «Permítame
que le ahorre algo de dinero. Le deduciré primero el IVA y luego sustraeré el
20 por ciento al total, así le saldrá más rentable, ¿vale?».
Pero hay algo que a usted le suena sospechoso. «No, gracias», dice. «¿Podría
quitarme el 20 por ciento y luego aplicar el IVA? Así, pagaré menos impuestos».
Asumiendo que ambas acciones son legales, ¿qué método le conviene más?
Mucha gente se aproxima a una cuestión así de manera sumatoria.
Calculan el IVA y el descuento en ambos casos y después realizan las sumas o
restas necesarias para dar con el precio correcto. Usted razona que, haciéndolo
como sugiere la dependienta, pagaría 4 dólares de IVA (8 por ciento de los 50
dólares marcados). Esto elevaría el total a 54 dólares. Por otra parte, aplicar
el 20 por ciento a 54 dólares le devuelve 10,80 dólares, así que termina
pagando 54 dólares, menos 10,80 dólares, es decir, 43,20 dólares, mientras que
en su planteamiento el 20 por ciento de descuento se aplicaría con
anterioridad, ahorrándole 10 de los 50 dólares. El IVA de ese precio reducido a
40 dólares sería 3,20 dólares, por lo que pagaría, igualmente, 43,20 dólares.
¡Increíble![12].
Simplemente, estamos ante la propiedad conmutativa en acción. Para ver por qué,
piense de manera multiplicativa, no sumatoria. Aplicar el 8 por
ciento de IVA seguido del descuento del 20 por ciento corresponde a multiplicar
el precio etiquetado por 1,08 y después multiplicar el resultado por 0,80.
Cambiar el orden del IVA y el descuento invierte la multiplicación, pero como
1,08 × 0,80 = 0,80 × 1,08, el precio final es el mismo.
Este tipo de consideraciones emergen también en importantes decisiones
financieras[13]. ¿Es un
Roth 401(k) mejor que un plan de jubilación tradicional? Generalizando, si
usted tiene un montón de dinero para invertir y tiene que pagar impuestos en
algún momento, ¿es mejor hacerlo al principio de la inversión o al final?
Una vez más, la propiedad conmutativa muestra que da lo mismo, siendo el resto
de elementos iguales (algo que, tristemente, no suele suceder). Si, para ambos
casos, su dinero crece en el mismo grado y tributa de la misma manera, no
influye si paga los impuestos antes o después.
Por favor, no confunda estas aclaraciones matemáticas con asesoría financiera.
Cualquiera que se enfrente a estas decisiones en la vida real necesita estar
pendiente de muchas complicaciones que enfangan las aguas; por ejemplo, ¿espera
estar en una categoría impositiva más alta o más baja cuando se jubile?
¿Apurará al máximo sus límites impositivos? ¿Cree que el gobierno cambiará su
política de exención impositiva de las retiradas de capital para cuando decida
sacar su dinero? Dejando de lado estas cuestiones (y no me malinterprete, todo
ello es importante, simplemente estoy tratando de centrarme en un asunto
matemático más sencillo), mi idea principal es que la propiedad conmutativa es
relevante para el análisis de dichas decisiones.
Podrá encontrar debates acalorados sobre este tema en páginas de Internet
dedicadas a personal finance [finanzas personales]: incluso
después de que se haya resaltado la relevancia de la propiedad conmutativa,
algunos blogueros no la aceptan, es contraintuitiva.
Quizá estamos programados para poner en duda la propiedad conmutativa porque en
el día a día suele importar el orden de los factores. No puede comerse el
pastel antes de hacerlo, y, cuando se quita los zapatos y calcetines, tiene que
acertar el orden.
El físico Murray Gell-Mann llegó a una conclusión similar un día que estaba
dándole vueltas a su futuro. Como universitario en Yale, quería
desesperadamente permanecer en las universidades de élite para realizar un
posgrado. Por desgracia, Princeton rechazó su solicitud; Harvard dio el sí,
pero parecía reticente a proporcionarle el apoyo financiero que necesitaba. Su
mejor opción, aunque le parecía deprimente, era el MIT. A los ojos de
Gell-Mann, el MIT era un instituto tecnológico mugriento, muy por debajo de su
refinado gusto. No obstante, aceptó la oferta. Años después explicaría que
había llegado a contemplar el suicidio en aquel momento, pero desistió al darse
cuenta de que entrar en el MIT y suicidarse no conmutaban[14]. Podría ir
al MIT y suicidarse más tarde si lo consideraba oportuno, pero no al revés.
Gell-Mann probablemente se había sensibilizado con la importancia de la no
conmutatividad. Como físico cuántico, habría sido agudamente consciente de que,
en el nivel más profundo, la naturaleza desobedece la propiedad conmutativa. Y
eso es algo bueno, puesto que el fracaso de la conmutatividad es lo que hace
que el mundo sea como es. Es la razón de que la materia sea sólida y de que los
átomos no implosionen.
De hecho, en los inicios del desarrollo de la mecánica cuántica, Werner
Heisenberg y Paul Dirac descubrieron que la naturaleza responde a una lógica
curiosa en la que p × q≠q × p,
donde p y q representan el momento y posición
de una partícula cuántica[15]. Sin esa
ruptura de la propiedad conmutativa, no habría principio de incertidumbre de
Heisenberg, los átomos colapsarían y nada existiría.
Por esta razón es conveniente que preste atención a sus p y a
sus q, y que les diga a sus hijos que hagan lo mismo.
§5. El malestar en la división
Existe un hilo narrativo que recorre la aritmética, pero muchos nos lo perdimos
en la densa niebla de las largas divisiones y los denominadores comunes. Es la
historia de la búsqueda de números aún más versátiles.
Los números naturales, 1, 2, 3, etcétera, bastan si todo lo que queremos hacer
es contar, sumar y multiplicar. Pero en el momento en que nos preguntamos qué
queda cuando todo es sustraído nos vemos en la obligación de crear un nuevo
número —cero—, y, como también pueden producirse deudas, necesitamos números
negativos. Este universo agrandado de números, llamados enteros, es tan
autosuficiente como el de los números naturales, pero mucho más poderoso, ya
que comprende también la resta.
Surge una nueva crisis cuando tratamos de resolver la matemática del compartir.
Dividir un número entero no es siempre posible…, a menos que expandamos de
nuevo el universo, esta vez, inventando las fracciones. Estas son cocientes de
números enteros, de ahí su nombre técnico: números racionales. Por desgracia,
este es el lugar donde muchos estudiantes topan con el muro de las matemáticas.
Existen muchos elementos confusos acerca de la división y sus consecuencias,
pero quizá lo más desesperante sea que haya tantas maneras de describir las
partes de un todo.
Si cortase una tarta de chocolate justo por la mitad, en dos partes iguales,
seguro que diría que cada porción es la mitad de la tarta. O expresaría la
misma idea con la fracción 1⁄2, que significa «1 de
2 trozos iguales». Cuando lo escribe de esta manera, la barra entre el 1 y el 2
es un recordatorio visual de que algo está siendo cortado. Una tercera manera
de explicarlo sería decir que cada porción es un 50 por ciento del total, lo
que significa —literalmente— «50 partes de 100». Por si esto no fuera
suficiente, podría también invocar la notación decimal y describir cada porción
como el 0,5 de la tarta completa.
Esta abundancia de opciones puede, en parte, ser responsable de la confusión
que muchos sentimos al enfrentarnos a las fracciones, porcentajes y decimales.
Un ejemplo claro aparece en la película Mi pie izquierdo, la
historia real del escritor, pintor y poeta irlandés Christy Brown[16]. Nacido en
el seno de una familia numerosa de clase trabajadora, sufrió una parálisis
cerebral que le impedía hablar o controlar cualquiera de sus miembros a
excepción de su pie izquierdo. De niño, solían considerle discapacitado mental,
especialmente su padre, que renegaba de él y le trataba con crueldad.
Una escena clave de la película sucede en torno a la mesa de la cocina. Una de
las hermanas mayores de Christy está haciendo sus deberes de matemáticas en
silencio, sentada junto a su padre. Mientras, Christy, como de costumbre, está
relegado a la esquina, retorcido en su silla. Su hermana rompe el silencio:
«¿Cuánto es el 25 por ciento de un cuarto de dólar?», pregunta. Su padre
reflexiona: «¿25 por ciento de un cuarto de dólar? Ehhh… La pregunta es absurda.
Quiero decir, 25 por ciento es un cuarto. No puedes tener un
cuarto de un cuarto». La hermana responde: «Sí puedes, ¿a que sí, Christy?». El
padre: «¡Ja! ¿Qué va a saber este?».
Retorciéndose, Christy se esfuerza para coger una tiza con su pie izquierdo.
Colocándola sobre una pizarra en el suelo, logra garabatear un 1, luego una
barra, luego algo ilegible. Es el número 16, pero el 6 sale al revés.
Frustrado, borra el 6 con el talón y vuelve a intentarlo, pero esta vez la tiza
va demasiado lejos, atravesando el 6 y volviéndolo indescifrable. «Eso no es
más que un garabato nervioso», dice su padre dándole la espalda. Christy cierra
los ojos y vuelve a reclinarse, agotado.
Más allá de la fuerza dramática de la escena, llama la atención la rigidez
conceptual de su padre. ¿Qué le hace insistir en que no puede darse un cuarto
de un cuarto? Quizá piense que solo puede obtenerse un cuarto de un todo, o de
algo hecho de cuatro partes iguales. Pero no es consciente de que todo está
constituido por cuatro partes iguales. En el caso de un objeto que es ya un
cuarto, sus cuatro partes iguales tienen este aspecto:
Puesto
que el total lo componen 16 de estas finas porciones, cada porción es 1/16 del
total: la respuesta que Christy trataba de escribir.
Una versión —actualizada para la era digital— del mismo tipo de rigidez mental
rondó por Internet hace unos años cuando un cliente frustrado llamado George
Vaccaro grabó y colgó su conversación con dos empleados de atención al cliente
de la compañía telefónica Verizon Wireless[17]. La
reclamación de Vaccaro era que él había firmado una tarifa de datos de 0,002
céntimos por kilobyte, pero sus facturas mostraban que le habían cobrado
0,002 dólares por kilobyte, una tarifa cien veces más cara. La
conversación que siguió entró en el top 50 de los vídeos cómicos de YouTube.
He aquí uno de los momentos destacados que acontece en el ecuador de la
conversación, durante el intercambio entre Vaccaro y Andrea, la gerente de
planta de Verizon:
V:
¿Reconoce que existe una diferencia entre un dólar y un céntimo?
A: Por supuesto.
V: ¿Reconoce que existe una diferencia entre medio dólar y medio céntimo?
A: Por supuesto.
V: Por lo tanto, ¿reconoce que existe una diferencia entre 0,002 dólares y
0,002 céntimos?
A: No.
V: ¿No?
A: Quiero decir… no existe 0,002 dólares.
Algunos
momentos después, Andrea dice: «Evidentemente, un dólar es “uno, decimal, cero,
cero”, ¿no? Entonces, ¿qué aspecto tendría un “cero coma cero cero dos
dólares”?… Nunca he oído hablar de 0,002 dólares… Es que no es un céntimo
entero».
El reto de hacer la conversión entre dólares y céntimos es solo una parte del
problema de Andrea. Su verdadera dificultad es la incapacidad de visualizar una
porción de ninguno de ellos.
Por experiencia personal, puedo decirles cómo es eso de que te desconcierten
los decimales. En octavo curso, la señorita Stanton comenzó a explicarnos cómo
convertir una fracción en decimal. Empleando la división larga, descubrimos que
algunas fracciones dan decimales que terminan en ceros. Por ejemplo, 1/4 =
0,2500…, que puede escribirse 0,25, ya que todos esos ceros no equivalen a
nada. Otras fracciones dan decimales que al final se repiten, como:
5/6
= 0,8333…
Mi
preferida era 1/7, cuyo equivalente decimal se repite cada seis dígitos:
1/7
= 0,142857142857…
El
desconcierto empezó cuando la señorita Stanton señaló que si se triplican ambos
lados de la ecuación simple:
=
0,3333…
nos
vemos obligados a concluir que 1 debe ser igual a 0,9999…[18].
En aquel momento afirmé que no podían ser iguales. No importa cuántos nueves
escribiera, yo podría escribir el mismo número de ceros en 1,000… y más
adelante, si restáramos su número del mío, quedaría una pequeña cantidad
sobrante, algo así como 0,000… 01.
Como el padre de Christy y la responsable de atención al cliente de Verizon, no
podía aceptar algo que acababan de demostrarme. Lo veía, pero me negaba a
creerlo (esto quizá le recuerde a gente que conoce).
Pero la cosa empeora…, o mejora, si lo que le gusta es sentir que sus neuronas
echan chispas. Volviendo a la clase de la señorita Stanton, ¿qué hizo que no
nos fijáramos en decimales que ni terminan ni se repiten periódicamente? Es
fácil sacar alguno de estos nauseabundos decimales. He aquí un ejemplo:
0,12122122212222…
De
manera intencional, los bloques de 2 se agrandan progresivamente según nos
movemos hacia la derecha. No hay modo de expresar este decimal mediante una
fracción. Las fracciones siempre producen decimales que terminan o que al final
se repiten de manera periódica —y puede demostrarse—, y, puesto que este
decimal no cumple ninguna de estas condiciones, no puede corresponder al
cociente de ningún número entero. Por lo tanto, es irracional.
A la vista de lo artificial que resulta este decimal, se podría pensar que la
irracionalidad es poco común; todo lo contrario, es muy habitual. En cierto
sentido eso puede precisarse: casi todos los decimales son irracionales y sus
cifras parecen estadísticamente aleatorias[19].
Una vez aceptados estos sorprendentes hechos, todo se pone patas arriba. Los
números enteros y las fracciones, tan amados y familiares, ahora se muestran
escasos y exóticos. ¿Y esa inofensiva fila de números clavada en el corcho de
tu clase de primaria? Nadie te lo dijo, pero ahí arriba está el caos.
§6. Ubicación, ubicación, ubicación
He pasado cientos de veces frente a la estatua de Ezra Cornell[20] sin
siquiera dirigir la mirada a su verdoso aspecto. Pero un día me paré a
observarla detenidamente.
Ezra
aparece al aire libre y toscamente dignificado con su abrigo largo, su chaleco
y sus botas. Su mano derecha se posa sobre un bastón y sostiene un sombrero de
ala ancha. El monumento es poco pretencioso y desarmadamente directo, como era
él, por otra parte.
Por eso resulta tan discordante que las fechas de Ezra estén inscritas en el
pedestal en pomposos números romanos:
EZRA
CORNELL
MDCCCVII - MDCCCLXXIV
¿Por
qué no escribir simplemente 1807-1874? Los números romanos pueden resultar
impresionantes, pero son difíciles de leer y pesados de utilizar. Ezra hubiera
tenido poca paciencia para eso.
Encontrar un buen modo de representar números ha sido siempre un reto. Desde
los albores de la civilización, el ser humano ha probado varios sistemas para
escribirlos[21] y
para calcular con ellos, así fuera para comerciar, medir la tierra o controlar
el rebaño.
Lo que comparten casi todos estos sistemas es que nuestra biología está
profundamente incrustada en ellos. Tras los caprichos evolutivos, resulta que
tenemos cinco dedos en cada una de nuestras dos manos. Este peculiar dato
anatómico se refleja en el sistema primitivo de recuento; por ejemplo, el
número 17 se escribe:
Aquí,
cada uno de los trazos verticales de cada grupo originariamente debió
simbolizar un dedo. ¿Quizá el trazo diagonal fuera un pulgar, doblado sobre el
resto de los dedos formando un puño?
Los números romanos[22] son
poco más sofisticados que estos recuentos. Puede percibirse la huella del
recuento primitivo en el modo en que los romanos escriben el 2 y el 3: II y
III. Asimismo, la barra diagonal tiene su eco en la forma del símbolo romano
empleado para el 5, V. Pero el 4 es un caso ambiguo. En ocasiones se escribe
como IIII, al estilo primitivo (esto se ve a menudo en relojes de lujo), aunque
normalmente se escribe como IV. Colocar el número pequeño (I) a la izquierda
del número mayor (V) indica que se debe restar I, en lugar de añadirlo, que es
lo que se haría en el caso de estar a la derecha. Por lo tanto, IV significa 4,
mientras que VI significa 6.
Los babilonios[23] no
estaban tan apegados a sus dedos. Su sistema numérico se basaba en el 60, señal
evidente de su impecable gusto, pues el 60 es un número excepcionalmente
agradable. Su belleza es intrínseca y nada tiene que ver con apéndices humanos[24]. Sesenta
es el número más pequeño que puede dividirse entre 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Y eso es
solo el principio (también están el 10, 12, 15, 20 y 30). Debido a su promiscua
divisibilidad, el 60 es mucho más adecuado que el 10 para cualquier tipo de
cálculo o medida que implique cortar en partes iguales. Cuando dividimos una
hora en 60 minutos, o un minuto en 60 segundos, o un círculo completo en 360
grados, estamos canalizando la sabiduría de la vieja Babilonia. Pero el mayor
legado de los babilonios es una idea que hoy resulta tan trivial que pocos
apreciamos lo sutil e ingeniosa que es.
Para ilustrarla, consideremos nuestro propio sistema hindú-arábico, que
incorpora la misma idea en su forma moderna. En lugar de en el 60, este sistema
se basa en diez símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0 (el más brillante de
todos). Se les llama dígitos, debido naturalmente a la palabra latina que
significa «dedo».
La gran innovación es que, a pesar de que el sistema se base en el número 10,
no hay un símbolo concreto reservado para 10. El 10 lo marca una posición —el
lugar del diez— en vez de un símbolo. Lo mismo sucede con 100 o 100 o cualquier
otra potencia de 10. Su distinguido estatus no lo marca un símbolo, sino un
punto de estacionamiento, un pedazo de propiedad inmobiliaria: ubicación,
ubicación, ubicación.
Compare la elegancia de este sistema de valor posicional con la tosca
aproximación empleada por los números romanos. ¿Quiere 10? Tenemos 10. Es X.
También tenemos 100 (C) y 100 (M), y podemos incluir símbolos especiales para
la familia del 5: V, L y D para representar 5, 50 y 500.
La propuesta romana era elevar unos cuantos números predilectos, darles sus
propios símbolos y expresar todos los demás (números de segunda categoría)
mediante combinaciones de estos.
Desgraciadamente, los números romanos chirriaban al enfrentarse a algo superior
a unos pocos miles. En una solución esquiva, que hoy llamaríamos chapuza, los
académicos que empleaban aún los números romanos durante la Edad Media
recurrieron a amontonar barras encima de los números existentes para indicar la
multiplicación por mil. Por ejemplo,
Pero en el sistema hindú-arábico, la representación de cualquier número es
inmediata, independientemente de su tamaño. Todos los números pueden expresarse
con los mismos diez dígitos, simplemente colocándolos en el lugar correcto.
Además, la notación es inherentemente concisa. Por ejemplo, todo número
inferior a un millón puede expresarse en seis símbolos o menos. Trate de hacer
lo mismo con palabras, barras o números romanos.
Lo mejor de todo es que con un sistema de valor posicional, la gente corriente
puede aprender aritmética. Simplemente es necesario dominar algunos datos: las
tablas de multiplicar y su equivalente en la suma. Con eso, no necesitará nada
más. Cualquier cálculo que implique cualquier pareja de números, del tamaño que
sean, puede hacerse empleando los mismos datos una y otra vez de manera
recursiva.
Si suena todo muy mecánico, es porque ese es precisamente el objetivo. Con los
sistemas de valor posicional, puede programar una máquina para hacer
aritmética. Desde los días de las calculadoras mecánicas a los superordenadores
de hoy, la automatización de la aritmética ha sido posible gracias a la
preciosa idea de valor posicional.
Pero el héroe no reconocido en esta historia es el 0. Sin el 0, toda la
propuesta colapsaría. Es el referente que nos permite distinguir entre 1, 10 y
100.
Todos los sistemas de valor posicional están basados en un número, conocido
apropiadamente como «la base». La base de nuestro sistema es 10 o decimal (de
la raíz latina decem, que significa «diez»). Tras el 1, los lugares
consecutivos representan decenas, centenas, millares, etcétera, todas ellas
potencias del 10.
10 =
101
100 = 10 × 10 = 102
1000 = 10 × 10 × 10 = 103
En
base a lo comentado antes acerca de lo biológico en contraposición a lo lógico,
es natural preguntarse: ¿sería otra base más eficiente o más sencilla de
manipular?
Se puede defender seriamente una base 2, el famoso y ahora ubicuo sistema
empleado en ordenadores y todo lo digital, como teléfonos móviles y cámaras. De
todas las bases posibles, exige la menor cantidad de símbolos, solo dos: 0 y 1.
Así, engrana perfectamente con la lógica de los interruptores eléctricos o
cualquier elemento que pueda alternar entre dos estados: encendido o apagado,
abierto o cerrado.
El sistema binario exige costumbre. En lugar de potencias de 10, emplea
potencias de 2. Como el sistema decimal, aún conserva un puesto para el 1, pero
los puestos subsiguientes ahora los representan doses, cuatros y ochos, puesto
que
2 =
21
4 = 2 × 2 = 22
8 = 2 × 2 × 2 = 23
No
escribiríamos el símbolo 2 porque no existe en el sistema binario, de la misma
manera que no existe un número independiente para el 10 en el sistema decimal.
En binario, el 2 se escribe como el 10, es decir un 2 y cero 1. Igualmente, 4
se escribiría como 100 (un 4, cero 2, y cero 1), y 8 sería 100.
Las implicaciones trascienden a la matemática. Nuestro mundo ha cambiado por la
potencia del 2. En las últimas décadas, hemos descubierto que toda la
información —no solo los números, también el lenguaje, las imágenes y el
sonido— puede codificarse en corrientes de ceros y unos.
Lo que nos devuelve a Ezra Cornell.
Resguardado en la parte trasera del monumento, casi oculto del todo,
encontramos un telégrafo, un modesto recordatorio de su papel en la creación de
Western Union y en la comunicación del continente norteamericano.
Mark H. Anbinder
Como
carpintero convertido en empresario, Cornell trabajaba para Samuel Morse, cuyo
nombre vive en el código de puntos y rayas a través del que el idioma inglés se
redujo a los clics de una tecla de telégrafo. Aquellos dos pequeños símbolos
eran precursores tecnológicos de los unos y ceros de hoy.
Morse encomendó a Cornell la construcción de la primera línea de telégrafo del
país, un nexo de Baltimore a Washington, D. C., capital de Estados Unidos.
Desde el principio, parecía intuir lo que sus puntos y rayas traerían. Cuando
la línea se inauguró oficialmente, el 24 de mayo de 1844, Morse envió el primer
mensaje: «Lo que Dios ha creado».
Contenido:
§7.
El placer de la X
§8. Encontrando sus raíces
§9. Mi bañera a rebosar
§10. Machacando las ecuaciones
§11. Herramientas potentes
§7.
El placer de la «X»
Ahora es el momento de dejar la aritmética de primaria y pasar a las
matemáticas de secundaria y bachillerato. A lo largo de los siguientes diez
capítulos revisitaremos el álgebra, la geometría y la trigonometría. No tema
haberse olvidado de las tres, esta vez no habrá exámenes. En lugar de
preocuparnos de los detalles de estas asignaturas, tenemos el lujo de
concentrarnos en sus ideas más bellas, importantes y de mayor alcance.
El álgebra, por ejemplo, quizá le resultó una mareante mezcla de símbolos,
definiciones y procedimientos, pero al final todos se reducen a dos
actividades: desvelar la x y trabajar con fórmulas.
Desvelar la x es un trabajo detectivesco. Usted busca un
número desconocido, x. Se le han entregado unas cuantas pruebas,
bien en forma de ecuación: 2x + 3 = 7, o, lo que es más incómodo,
en una enrevesada descripción verbal (como sucede en esos temibles problemas).
En cualquier caso, el objetivo es identificar la x a través de
la información dada.
Por el contrario, trabajar con fórmulas es una mezcla de arte y ciencia. En
lugar de enfrentarse a una x en particular, se manipulan y
toquetean relaciones que se mantienen aunque los números que las componen
cambien. Estos números cambiantes se llaman variables, y son lo que realmente
distingue el álgebra de la aritmética. Las fórmulas en cuestión pueden expresar
patrones elegantes acerca de los números por sí mismos —aquí es donde se
encuentran el álgebra y el arte—, o bien pueden expresar relaciones entre
números en el mundo real, como hacen en las leyes de la naturaleza para objetos
que caen, órbitas planetarias o frecuencias genéticas en una población. Aquí es
donde el álgebra se encuentra con la ciencia.
La división del álgebra en dos grandes actividades no es estándar (de hecho, me
lo acabo de inventar), pero parece que funciona muy bien. En el próximo
capítulo, tendré más que decir acerca de desvelar la x, así que
centrémonos en las fórmulas comenzando con algunos ejemplos sencillos para
clarificar ideas.
Hace unos años, mi hija Jo se dio cuenta de algo en relación con Leah, su
hermana mayor[25]. Dijo:
«Papá, siempre hay un número entre mi edad y la de Leah. Ahora tengo seis años
y Leah ocho, y el siete está en medio. Pero, incluso cuando seamos mayores,
cuando yo tenga veinte y ella veintidós, todavía habrá un número entre medias».
La observación de Jo puede calificarse de algebraica (aunque nadie, salvo su
orgulloso padre, lo vería así) porque se percataba de una relación entre dos
variables cambiantes: su edad, x, y la edad de Leah, y.
Independientemente de qué edad tenga cada una, Leah siempre será dos años
mayor: y = x + 2.
El álgebra es el lenguaje en que dichos patrones se expresan más fácilmente. Es
difícil dominar el lenguaje del álgebra, porque está lleno de lo que los
franceses llaman faux amis, «falsos amigos»: una pareja de
palabras, cada una de una lengua distinta (en este caso, castellano y álgebra),
que suenan emparentadas y parecen significar lo mismo, pero, de hecho,
significan algo totalmente distinto.
Por ejemplo, supongamos que la longitud de un pasillo es y cuando
se mide en yardas y p cuando se mide en pies. Escriba una
ecuación que relacione y con p.
Mi amigo Grant Wiggins, un consultor del sector educativo, ha planteado este
problema a alumnos y profesores durante años. Afirma que, según su experiencia,
los alumnos yerran más de la mitad de las veces, aunque hayan cursado y
aprobado recientemente un curso de álgebra.
Si piensa que la respuesta es y = 3p, bienvenido al
club.
Parece una traducción directa de la frase «una yarda es igual a tres pies».
Pero en cuanto pruebe algunos números, verá que esta fórmula lo hace todo al
revés. Digamos que el pasillo mide 10 yardas; todo el mundo sabe que eso son 30
pies. Pero cuando insertamos y = 10 y p = 30,
¡la fórmula no funciona!
La fórmula correcta es p = 3y. Aquí, 3 significa «3
pies por yarda». Cuando se multiplica por y en yardas, las
unidades de yardas se anulan y quedan las unidades de pies, como debe ser.
Comprobar que las unidades se anulan correctamente ayuda a evitar este tipo de
meteduras de pata. Por ejemplo, la empleada de atención al cliente de Verizon
(a la que nos referimos en el capítulo 5) se hubiera ahorrado confundir dólares
y céntimos.
Existe otro tipo de fórmula que se conoce como una «identidad». Cuando usted
factorizaba o multiplicaba polinomios en clase de álgebra, estaba manejando
identidades. Puede utilizarlas ahora para impresionar a sus amigos con trucos
numéricos de salón. Este impresionó al físico Richard Feynman, no precisamente
manco en el cálculo mental:
Estando
en Los Álamos descubrí que Hans Bethe era excelente en cálculo. Por ejemplo, un
día estábamos colocando números en una fórmula y llegamos hasta 48 al cuadrado.
Según echaba yo mano de la calculadora, me dijo: «2300». Empecé a pulsar los
botones y añadió: «Si lo quieres exacto, son 2304».
La calculadora marcaba 2304. «¡Vaya! ¡Es impresionante!», dije yo.
«¿No sabes cómo elevar al cuadrado números cercanos a 50?», dijo. «Elevas 50 al
cuadrado —o sea, 2500— y restas 100 veces la diferencia de tu número respecto
al 50 (en este caso, 2), por lo tanto: 2300. Si quieres la máxima corrección,
eleva la diferencia al cuadrado y súmala, eso equivale a 2304»[26].
El
truco de Bethe se basa en la identidad:
(50
+ x)2 = 2500 + 100x + x2
Había
memorizado la ecuación y la estaba aplicando al caso en que x es
−2, que corresponde al número 48 = 50 − 2.
Para obtener una demostración intuitiva de esta fórmula, imagine una porción
cuadrada de una alfombra donde cada lado mide 50 + x.
Luego
su área es (50 + x) al cuadrado, que es lo que estamos buscando.
Pero el diagrama muestra que esta área se compone de un cuadrado de 50 por 50
(esto aporta el 2500 a la fórmula), dos rectángulos de dimensiones 50 por x (cada
uno aporta un área de 50x, por un total de 100x), y, finalmente,
el pequeño cuadrado x por x da un área
de x al cuadrado, el último término en la fórmula de Bethe.
Relaciones como estas no son solo para físicos teóricos. Una identidad similar
a la de Bethe es relevante para cualquiera que tenga dinero invertido en bolsa[27]. Imagine
que su cartera cae catastróficamente un 50 por ciento un año y recobra un 50
por ciento el siguiente. Incluso después de esa brusca recuperación, estaría
perdiendo un 25 por ciento. Para ver por qué, observe que una pérdida del 50
por ciento multiplica su dinero por 0,50, y una ganancia del 50 por ciento lo
multiplica por 1,50, lo que equivale a 0,75 —en otras palabras, pérdidas del 25
por ciento—.
De hecho, nunca se vuelve al importe inicial cuando se pierde
y se gana el mismo porcentaje en años consecutivos. Gracias al álgebra
entendemos por qué. Se deduce de la identidad:
(1
− x)(1 + x) = 1 − x2
En
el año de caída, la cartera encoge por un factor de 1 − x (siendo x =
0,50 en el ejemplo), y un año más tarde crece por un factor de 1 + x.
De esta manera, el cambio neto es factor de:
(1
− x)(1 + x)
Y de
acuerdo con la fórmula dada, esto es igual a:
1
− x2
La
idea es que esta expresión es siempre menos que 1 para
cualquier x que no sea 0. Así que nunca recupera del todo sus
pérdidas.
No hace falta decir que no todas las relaciones entre variables son tan claras
y concisas como las mostradas. Aun así, el aura del álgebra es seductora, y en
manos crédulas genera estupideces tan asombrosas como la fórmula de la
diferencia de edad socialmente aceptable en una relación amorosa[28]. Según
algunas páginas web, si su edad es x, la sociedad desaprobará que
salga con alguien menor que x/2 + 7.
En otras palabras, sería espeluznante que alguien de más de ochenta y dos años
se fijara en mi mujer, de cuarenta y ocho, aunque estuviera disponible.
¿Alguien de ochenta y uno? Sin problema.
¡Argh!
§8. Encontrando sus raíces
Durante más de 2500 años, los matemáticos han tenido obsesión por desvelar
la x. La historia de sus dificultades para encontrar las raíces[29] —las
soluciones— de ecuaciones cada vez más complicadas es una de las grandes
epopeyas de la historia del pensamiento humano.
Uno de los casos más antiguos dejó perplejos a los ciudadanos de Delos, allá
por el año 430 a. C. Desesperados por combatir una plaga, consultaron al
oráculo de Delfos, que les aconsejó que doblaran el volumen del altar de Apolo,
que tenía, por cierto, forma de cubo. Desgraciadamente, resultó que doblar el
volumen de un cubo[30] les
exigía construir la raíz cúbica de 2, una misión que ahora se sabe imposible,
dada su restricción de utilizar nada más que una regla y un compás, las únicas
herramientas de la geometría griega.
Estudios posteriores de problemas similares han revelado otro detallito,
irritante y persistente, que no desaparece: aun cuando las soluciones eran
posibles, solían implicar raíces cuadradas de números negativos[31]. Estas
soluciones fueron ridiculizadas, tachadas de sofistas y ficticias, porque
aparentemente carecían de sentido.
Hasta el siglo XVIII, aproximadamente, los matemáticos creían que las raíces
cuadradas de números negativos, simplemente, no podían existir.
Al final, no podían ser números positivos, dado que positivo por positivo es
siempre positivo y buscamos números cuya raíz cuadrada sea negativa. Tampoco
podían servir los números negativos, ya que negativo por negativo es, de
nuevo, positivo. No había esperanza de encontrar números que,
multiplicados por sí mismos, dieran respuestas negativas.
Ya hemos visto crisis de este estilo. Suceden cuando una operación ya existente
se lleva demasiado lejos, hasta esferas en las que ya no parece razonable. Al
igual que restar a números pequeños números mayores dio origen a los números
negativos (capítulo 3) y que la división creó los decimales y las fracciones
(capítulo 5), el uso libertario de las raíces cuadradas finalmente forzó la
expansión del universo de los números… de nuevo.
En términos históricos, este fue el paso más doloroso de todos. La raíz
cuadrada de −1 todavía se conoce con el degradante término i, de
«imaginario».
Esta nueva clase de número (o, si prefiere ser agnóstico, llámelo símbolo, en
lugar de número) se define por la siguiente propiedad:
i2 =
−1
Es
cierto que i puede encontrarse en cualquier lugar de la fila
numérica. En ese sentido, es mucho más extraño que el cero, los números
negativos, las fracciones e incluso que los números irracionales, pues todos
ellos —a pesar de ser tan extraños— ocupan un lugar concreto en la fila.
Pero con la suficiente imaginación, nuestras mentes también pueden hacer hueco
a i. Vive fuera de la línea numérica, en ángulos rectos respecto a
ella, en su propio eje imaginario. Y cuando se fusionan el eje imaginario y la
línea de los números «reales» ordinarios, se crea un espacio bidimensional —un
plano— donde vive esta nueva especie de números.
Estos
son los números complejos. Aquí, «complejo» no significa «complicado»,
significa que se han unido dos tipos de números, reales e imaginarios, para
formar un número complejo, híbrido, como 2 + 3i.
Los números complejos son magníficos, el pináculo de los sistemas numéricos.
Disfrutan de las mismas propiedades que los números reales —se pueden sumar,
restar, multiplicar y dividir—, pero son mejores que estos
porque siempre tienen raíces. Se puede tomar la raíz cuadrada o cúbica de un
número complejo y el resultado seguiría siendo un número complejo.
Mejor aún, un gran informe llamado el teorema fundamental del álgebra afirma
que las raíces de cualquier polinomio son siempre números complejos. En ese
sentido, son el final de la cruzada, el Santo Grial. El universo de los números
no necesita volver a expandirse. Los números complejos son la culminación del
viaje que comenzó con 1.
Se puede apreciar la utilidad de los números complejos (o hallarla más
plausible) sabiendo cómo visualizarlos. La clave está en entender cómo se
multiplica por i. Imaginemos que multiplicamos por i un
número positivo cualquiera, el 3, por ejemplo. El resultado es el número
imaginario 3i.
Por
lo tanto, multiplicar por i genera una rotación de un cuarto
en sentido opuesto a las agujas del reloj. Toma una flecha de longitud 3 que
apunta al este y la convierte en una nueva flecha, de igual longitud, pero que
ahora apunta hacia el norte.
Los ingenieros eléctricos adoran los números complejos por esta razón. Tener
una manera tan compacta de representar una rotación de 90 grados es muy útil
cuando se trabaja con corrientes y voltajes alternos, o con campos
electromagnéticos, porque todos ellos suelen implicar oscilaciones o curvas que
están desfasadas un cuarto de ciclo (es decir, 90 grados).
De hecho, los números complejos son indispensables para todos los ingenieros.
En ingeniería aeronáutica, facilitaron los primeros cálculos de la elevación
del ala de un avión. Los ingenieros civiles y mecánicos los utilizan
rutinariamente para analizar las vibraciones de pasarelas, rascacielos y coches
que circulan por carreteras con baches.
La propiedad de rotación de 90 grados esclarece el significado de i2 =
−1. Si multiplicamos un número positivo por i2, la
flecha correspondiente rota 180 grados, pasando de este a oeste, porque las dos
rotaciones de 90 grados (una por cada factor de i) se combinan para
dar una rotación de 180 grados.
Pero
multiplicar por −1 provoca el mismo giro de 180 grados. Ese es el sentido en
que i2 = −1.
Los ordenadores han dado vida a los números complejos y al viejo problema de
hallar raíces. Cuando no se usan para navegar por Internet o enviar e-mails,
las máquinas que tenemos sobre la mesa son capaces de revelar cosas que los
antiguos nunca soñaron.
En 1976, John Hubbard, compañero de la Universidad de Cornell, comenzó a
observar la dinámica del método de Newton[32], un
algoritmo potente para encontrar raíces de ecuaciones en el plano complejo. El
método exige un punto de partida (una aproximación a la raíz) y realiza una
computación que la mejora. Haciendo esto repetidas veces, siempre empleando el
punto previo para generar uno mejor, el método tira hacia delante y se dirige a
una raíz.
A Hubbard le interesaban los problemas con múltiples raíces.
En ese caso, ¿qué raíz encontraría el método? Demostró que si solo existían dos
raíces, la más cercana siempre ganaría. Sin embargo, si había tres o más
raíces, se desconcertaba; su demostración no funcionaba.
Así que Hubbard hizo un experimento, un experimento numérico.
Programó un ordenador para que realizara el método de Newton. Luego aplicó
códigos de color a millones de puntos de partida distintos, en función de a qué
raíz se aproximaban y para oscurecerlos de acuerdo con el tiempo que tardaran
en llegar.
Antes de ver los resultados, anticipó que las raíces atraerían más rápido a los
puntos cercanos y, por lo tanto, deberían aparecer como puntos brillantes en
una mancha sólida de color. Pero ¿qué hay de las fronteras entre parches,
aquellas que no podía imaginarse, al menos no en su mente?
La respuesta del ordenador fue sorprendente.
Simon Tatham
Las
tierras fronterizas parecían alucinaciones psicodélicas[33]. Los
colores se entremezclaban con una promiscuidad casi imposible, tocándose entre
sí en infinitos puntos y siempre de tres en tres. En otras palabras, siempre
que se encontraban dos colores, un tercer color se insertaba y se unía a ellos.
Magnificar las fronteras desveló patrones dentro de patrones.
Simon Tatham
La
estructura era un fractal[34], una forma
intrincada cuya estructura interior se repite a escalas cada vez más sutiles.
Además, el caos reinaba cerca de la frontera. Dos puntos pueden comenzar muy
próximos, rebotar de lado a lado durante un rato y luego desviarse a diferentes
raíces. La raíz ganadora era tan imprevisible como el número ganador en la
ruleta. Pequeñas cosas —cambios diminutos e imperceptibles en las condiciones
iniciales— podrían marcar la diferencia.
El trabajo de Hubbard fue una incursión temprana en lo que ahora se llama
dinámica compleja, una fusión vibrante entre la teoría del caos, el análisis
complejo y la geometría fractal. En cierto modo, devolvió a la geometría a sus
raíces. En el 600 a. C. un manual escrito en sánscrito para constructores de
templos en la India daba instrucciones geométricas detalladas para calcular
raíces cuadradas (necesarias para la construcción de altares ceremoniales)[35]. Más de
2500 años después, en 1976, los matemáticos seguían buscando raíces, pero ahora
las instrucciones se escribían en código binario.
Amigos imaginarios para los que nunca te haces mayor.
§9. Mi bañera a rebosar
El tío Irv era el hermano de mi padre y también su socio en una zapatería que
tenían en nuestra ciudad. Él se encargaba de los temas económicos y solía estar
en la oficina del piso de arriba, porque se le daban bien los números, pero no
tanto los clientes.
Cuando yo tenía diez u once años, el tío Irv me planteó mi primer problema
matemático[36]. Todavía
me acuerdo de él, probablemente porque no lo acerté y me dio vergüenza.
Tenía que ver con llenar una bañera[37]. Si el
grifo de agua fría puede llenar la bañera en media hora y el de agua caliente
en una hora, ¿cuánto tardará en llenarse la bañera si ambos están abiertos?
Estoy
bastante seguro de haber dicho cuarenta y cinco minutos, como hubiera hecho
mucha gente. El tío Irv negó con la cabeza y sonrió. Después, con su voz aguda
y nasal, procedió a enseñarme.
«Steven», me dijo, «averigua cuánta agua se vierte en la bañera en un minuto».
El agua fría llena la bañera en treinta minutos, luego en un minuto llena 1/30
de la bañera. Pero el agua caliente es más lenta, tarda sesenta minutos, lo que
significa que llena solo 1/60 de la bañera por minuto. Cuando ambos están en
marcha llenan
1/30
+ 1/60
de
la bañera por minuto.
Para sumar estas fracciones, obsérvese que 60 es el mínimo común denominador.
Por lo tanto, reescribiendo 1/30 como 2/60, obtenemos
1/30
+ 1/60 = 2/60 + 1/60 =
= 3/60 =
= 1/20
Lo
que significa que los dos grifos funcionando a la vez llenan 1/20 de la bañera
por minuto. Así que llenan la bañera entera en veinte minutos.
Desde entonces, a lo largo de los años, he pensado mucho en este dilema de la
bañera, siempre con afecto hacia el tío Irv y hacia el problema mismo, en el
que hay implícitas lecciones más amplias, lecciones sobre cómo resolver
problemas de manera aproximada cuando no pueden resolverse con exactitud, y
cómo resolverlos intuitivamente, por el placer del momento «¡Ajá!».
Considere mi suposición inicial: cuarenta y cinco minutos. Observando un caso
extremo o limitante, vemos que esa respuesta no puede ser correcta. De hecho,
es absurda. Para entender por qué, supongamos que el agua caliente estaba
cerrada. En ese caso, el agua fría —por su cuenta— llenaría la bañera en
treinta minutos. Así que, sea cual sea la respuesta a la pregunta del tío Irv,
sabemos que tiene que ser menor a esa cifra. Después de todo, abrir el grifo
del agua caliente a la vez que el del agua fría solo puede ayudar.
Es cierto que esta conclusión no es tan informativa como la respuesta exacta de
veinte minutos que hallamos a través del método del tío Irv, pero tiene la
ventaja de no exigir cálculo alguno.
Otra manera de simplificar el problema es pretender que los dos grifos corren
al mismo ritmo. Pongamos que cada uno puede llenar la bañera en treinta minutos
(suponiendo que el agua caliente es tan rápida como la fría). En ese caso la
respuesta sería evidente. Debido a la simetría de la situación, los dos grifos,
perfectamente sincronizados, llenarían la bañera en quince minutos, puesto que
cada uno se ocupa de la mitad de la tarea.
Esto nos dice, de manera instantánea, que la situación que plantea el tío Irv
conlleva —necesariamente— más de quince minutos. ¿Por qué? Porque «rápido más
rápido» vence a «lento más rápido». Nuestra situación imaginariamente simétrica
tenía dos grifos igualmente rápidos, mientras que la de Irv tiene uno rápido y
otro lento. Y puesto que quince minutos es la respuesta cuando ambos son
rápidos, la bañera del tío Irv solo puede ser más lenta.
Lo que resulta de todo esto es que, considerando dos casos hipotéticos —uno con
el agua caliente apagada y otro con grifos igualmente rápidos—, hemos concluido
que la respuesta está en algún punto entre quince y treinta minutos. En
problemas mucho más complejos, donde puede ser imposible dar con una respuesta
exacta —no solo en matemáticas, también en otros campos—, este tipo de
información parcial puede ser muy útil.
Aun si tenemos la suerte de dar una respuesta exacta, no es motivo de
complacencia. Puede haber caminos más sencillos o claros para hallar la
solución. Este es un punto en el que las matemáticas permiten creatividad.
Por ejemplo, en lugar de recurrir al método de manual que usa el tío Irv, con
sus fracciones y sus denominadores comunes, he aquí una ruta más lúdica que
conduce al mismo resultado. Me percaté años más tarde, cuando intenté
identificar por qué el problema resulta tan confuso y entendí que es por las
distintas velocidades de los grifos. Provoca dolor de cabeza registrar qué
aporta cada grifo, especialmente si imaginamos las aguas caliente y fría
chapoteando y mezclándose en la bañera.
Así que mantengamos las aguas separadas, por lo menos mentalmente. En lugar de
una bañera única, imagine dos líneas de montaje con varias bañeras cada una y
las dos cintas transportadoras llevando a unas al grifo de agua caliente y a
otras al de agua fría.
Cada grifo está en su sitio y llena sus propias bañeras, mezclar no está
permitido. En cuanto una bañera se llena, sigue adelante, dejando pasar a la
siguiente.
Ahora todo parece más fácil. En una hora, el grifo del agua caliente llena una
bañera, mientras que el de agua fría llena dos (puesto que para cada una tarda
media hora). Eso suma tres bañeras por hora, o bien una cada veinte minutos.
¡Eureka!
Pero
entonces, ¿por qué tanta gente —incluido yo mismo de joven— mete la pata y dice
cuarenta y cinco minutos? ¿Por qué resulta tan tentador repartir la diferencia
entre treinta y sesenta minutos? No estoy seguro, pero parece un caso de
reconocimiento defectuoso de patrones. Quizá el problema de la bañera se está
confundiendo con otros en los que el reparto de la diferencia tiene sentido. Mi
mujer me lo explicó por analogía. Imagine que está ayudando a una ancianita a
cruzar la calle. Sin su ayuda, la mujer tardaría sesenta segundos, mientras que
usted tardaría treinta segundos. Entonces, ¿cuánto tardarían ustedes dos,
agarrados del brazo? Un arreglo de cuarenta y cinco segundos parece razonable;
ella, al agarrase de su brazo, le ralentiza, pero usted la acelera.
En este caso, la diferencia está en que uno afecta a la velocidad del otro,
cosa que no sucede en el caso de los grifos. Son independientes. Parece que
nuestro subconsciente no repara en esta diferencia, por lo menos no cuando se
aventura a una conclusión equivocada.
El consuelo es que incluso las respuestas erróneas pueden ser educativas…
siempre y cuando se percate de que son erróneas. Exponen analogías
desencaminadas y demás imprecisiones conceptuales, y ponen de relieve el quid
de la cuestión con mayor agudeza.
Otros problemas clásicos están ideados para confundir, deliberadamente, a sus
víctimas, desorientándolas, como el juego de manos de un ilusionista. La
verbalización de la pregunta tiende una trampa. Si responde instintivamente,
caerá en ella.
Pruebe con este. Suponga que tres hombres pueden pintar tres vallas en tres
horas. ¿Cuánto tardaría un solo hombre en pintar una valla?
Es tentador decir «una hora». Las propias palabras empujan a ello. La cadencia
de la primera frase —tres hombres, tres vallas, tres horas— llama la atención y
establece un ritmo, así que cuando la siguiente frase repite el patrón con un
hombre, una valla, ______ horas, es difícil resistirse a llenar el hueco con
«una». La construcción en paralelo sugiere una respuesta lingüísticamente
correcta, pero matemáticamente errónea.
La respuesta correcta es tres horas.
Si visualiza el problema —imagine a tres hombres pintando tres
vallas y terminando en tres horas, como dice el enunciado—, la respuesta
correcta es evidente. Para que todas las vallas estén terminadas pasadas tres
horas, cada hombre debe haber invertido tres horas en la suya.
El razonamiento sin distracciones que este problema exige es una de las cosas
más valiosas de los problemas matemáticos. Nos fuerza a detenernos y pensar,
normalmente de maneras poco habituales. Nos obliga a practicar la atención.
Pero
quizá sea más importante el hecho de que con los problemas matemáticos no se
practica solo el pensar en números, sino el pensar en relaciones entre
números —cómo las corrientes de los grifos afectan al tiempo que requiere
llenar la bañera, por ejemplo—. Y ese es el siguiente paso esencial en la
educación matemática de cualquiera. Es comprensible que muchos tengamos
problemas con ello: las relaciones son mucho más abstractas que los números.
Pero también son más poderosas. Expresan la lógica interna del mundo que nos
rodea. Causa y efecto, oferta y demanda, entrada y salida, dosis y respuesta…,
todas estas relaciones implican parejas de números y la relación entre ellos.
Los problemas matemáticos nos inician en esta manera de pensar.
Sin embargo, Keith Devlin lanza una crítica interesante en su ensayo «El
problema de los problemas matemáticos». La cuestión que plantea es que estos
problemas normalmente asumen que se entienden las reglas del juego y se acepta
regirse por ellas, aunque a menudo sean artificiales, a veces de manera
absurda. Por ejemplo, en nuestro problema de tres hombres pintando tres vallas
en tres horas, estaba implícito que (1) todos los hombres pintan a la misma
velocidad y (2) que todos mantienen el ritmo, sin disminuir o aumentar la velocidad.
Ambas asunciones son irreales. Se supone que uno sabe que no debe preocuparse
por eso y debe seguir adelante con la broma, porque, de otra manera, el
problema sería demasiado complicado y no habría información suficiente para
resolverlo. Necesitaría saber cuánto baja el ritmo un pintor a medida que se
cansa, con qué frecuencia se detiene cada uno para comer algo, etcétera.
Quienes enseñamos matemáticas deberíamos convertir esta molestia en una
característica. Deberíamos ser claros acerca del hecho de que los problemas nos
fuerzan a hacer supuestos simplificadores. Esta es una virtud valiosa —se llama
creación de modelos matemáticos—. Los científicos lo hacen constantemente
cuando aplican las matemáticas al mundo real. Pero ellos, a diferencia de los
autores de la mayor parte de problemas, tienen cuidado al expresar
explícitamente sus supuestos.
Así que gracias, tío Irv, por esa primera lección. ¿Humillante? Sí.
¿Inolvidable? También, pero en el buen sentido.
§10. Machacando las ecuaciones
La ecuación de segundo grado (o ecuación cuadrática) es el Rodney Dangerfield
del álgebra: aunque es uno de los mejores cómicos de la historia, no hay dios
que le respete.
Los profesionales no están enamorados de la fórmula cuadrática, eso seguro.
Cuando se pide a matemáticos y físicos que hagan una lista de las diez
ecuaciones más bellas o importantes de todos los tiempos, la ecuación de
segundo grado nunca supera la criba[38]. Por
supuesto, todo el mundo se desmaya con el 1 + 1 = 2, y con E = mc2,
y con el impertinente teorema de Pitágoras, pavoneándose por aquello de a2 + b2 = c2.
¿Las ecuaciones de segundo grado? Ni hablar.
Hay que admitir que es antiestética. Algunos estudiantes prefieren declamarla,
como si fuera un conjuro ritual: «x es igual a b negativa,
más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos
cuatro a c, todo sobre 2a». Otros, hechos de pasta más dura,
miran a la fórmula directamente a los ojos, enfrentándose a la mezcolanza de
letras y símbolos más formidable que han visto en su vida.
Solo
cuando se entiende qué pretende la fórmula cuadrática puede uno empezar a
entender su belleza interna. En este capítulo, espero ofrecerle una muestra de
la inteligencia agrupada en ese puercoespín de símbolos, así como una mejor
comprensión del significado y origen de la fórmula.
Hay muchas situaciones en que nos gustaría descubrir el valor de algún número
desconocido. ¿Qué dosis de radioterapia debe aplicarse para reducir un tumor de
tiroides? ¿Cuánto dinero debe pagar anualmente para cubrir una hipoteca, a
treinta años, de 200 00 dólares a un interés anual fijo del 5 por ciento? ¿A
qué velocidad tiene que ir un cohete para escapar de la gravedad terrestre?
El álgebra es el lugar donde nos curtimos en simples problemas de este tipo. El
tema lo desarrollaron matemáticos islámicos allá por el año 800 d. C.,
apoyándose en trabajos anteriores de académicos egipcios, babilonios, griegos e
indios. El ímpetu pragmático del momento era el reto de calcular herencias en
base a la ley islámica[39].
Por ejemplo, supongamos que una viuda muere y deja su patrimonio de 10 dírhams
a su hija y a sus dos hijos. La ley islámica exige que ambos hijos deben
recibir partes iguales. Es más, cada hijo debe recibir el doble que la hija.
¿Cuántos dírhams recibirá cada uno?
Vamos a utilizar la letra x para denotar la herencia de la
hija. Aunque no sepamos a qué equivale la x, podemos razonar con
ella como si fuera un número ordinario. Sabemos que cada hijo recibe el doble
que la hija, así que cada uno recibe 2x. Es decir, que el total de lo
que reciben es x + 2x + 2x, por un total de
5x, y esto debe ser igual que el valor total del patrimonio, o sea 10
dírhams. Por lo tanto, 5x= 10 dírhams. Si finalmente dividimos ambos
lados de la ecuación por 5, vemos que x = 2 dírhams, la parte
de la hija. Y puesto que los hijos heredan 2x cada uno, ambos
reciben 4 dírhams.
Fíjese que han aparecido dos tipos de números, unos conocidos, como 2, 5 y 10,
y otros desconocidos, como x. Cuando conseguimos derivar una
relación entre lo conocido y lo desconocido (como encapsula la ecuación 5x =
10), logramos ahondar en la ecuación, dividiendo ambos lados entre 5 para
despejar la x. Era como la labor del escultor que trabaja el
mármol, que trata de extraer la estatua de la piedra.
Una táctica algo diferente habría sido necesaria si hubiéramos topado con un
número conocido que se resta a uno desconocido, en una
ecuación tipo x − 2 = 5. En este caso, para liberar la x,
debemos sumar dos a ambos lados de la ecuación. Esto deja una x a
la izquierda y 5 + 2 = 7 a la derecha. Por lo tanto, x= 7, lo que
ya habrá deducido por sentido común.
Aunque hoy esta táctica resulta familiar a todos los alumnos de álgebra, pueden
no ser conscientes de que da nombre a toda una asignatura. A principios del
siglo IX, Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi[40], un
matemático afincado en Bagdad, escribió un influyente manual que resaltaba la
utilidad de restablecer una cantidad restada (como el 2 en el ejemplo anterior)
sumándola al otro lado de la ecuación. Llamó a este proceso al-jabr («restablecer»,
«restituir»), que más adelante se transformó en «álgebra». Más adelante, mucho
después de su muerte, le tocó de nuevo el premio gordo de la etimología: su
propio nombre, al-Jwarizmi, sobrevive en la palabra «algoritmo».
En su libro, antes de zambullirse en las complejidades de calcular herencias,
al-Jwarizmi se ocupó de una clase más compleja de ecuaciones que encarnan
relaciones entre tres tipos de números, no solo dos, como
hemos visto en el ejemplo. Junto con números conocidos y desconocidos (x),
estas ecuaciones también incluían el número desconocido al cuadrado (x2).
Ahora se llaman ecuaciones de segundo grado (o ecuaciones cuadráticas, del
latín quadratus). Los antiguos académicos de Babilonia, Egipto,
Grecia, China e India ya habían abordado estos acertijos —que normalmente
surgían en problemas arquitectónicos o geométricos que implicaban áreas o
proporciones— y habían mostrado cómo resolver algunos de ellos.
Un ejemplo comentado por al-Jwarizmi es:
x2 +
10x = 39
En
su momento, problemas como este se planteaban en palabras, no en símbolos.
Al-Jwarizmi se preguntaba: «¿Cuál es el cuadrado que, cuando es incrementado
por diez de sus propias raíces, asciende a treinta y nueve?». (Aquí, el término
«raíz» se refiere a la desconocida x).
Este problema es mucho más duro que los dos anteriores. ¿Cómo podemos despejar
la x ahora? Los trucos empleados antes son insuficientes,
porque x2 y 10x se pisan mutuamente.
Incluso si conseguimos despejar la x en uno de ellos, el otro
sigue siendo problemático. Por ejemplo, si dividimos ambos lados de la ecuación
por 10, el 10x se simplifica en x, que es lo que
queremos, pero entonces el x2 se convierte en x2/10,
lo cual no nos acerca a descubrir la x. El obstáculo principal, en
pocas palabras, es que tenemos que hacer dos cosas a la vez que parecen casi
incompatibles.
La solución que presenta al-Jwarizmi merece que profundicemos en ella. En
primer lugar porque es muy aguda, y en segundo, porque es muy poderosa: nos
permite resolver todas las ecuaciones de segundo grado de un
solo plumazo. Me refiero a que si cambiásemos los números conocidos del ejemplo
anterior (10 y 39), el método seguiría funcionando.
La idea es interpretar cada uno de los términos de la ecuación de manera
geométrica. Piense en el primero de ellos, x2, como el
área de un cuadrado con dimensión x por x.
De
manera similar, observe el siguiente término, 10x, como el área del
rectángulo de dimensiones 10 por x o, si nos ponemos
ingeniosos, como el área de dos rectángulos iguales, con medidas de 5 por x.
(Dividir el rectángulo en dos sienta la base para la maniobra clave que sigue,
conocida como «completando el cuadrado»).
Una
los dos nuevos rectángulos al cuadrado para crear una forma mellada del
área x2 + 10x:
Desde
esta perspectiva, el puzle de al-Jwarizmi se resume en preguntar: si la forma
mellada ocupa 39 unidades cuadradas del área, ¿qué tamaño debería tener x?
x2 + 10x = 39
La
figura misma sugiere irresistiblemente el siguiente paso. Observe la esquina
que falta. Si se rellenara, la forma mellada se convertiría en el cuadrado
perfecto. Así que cojamos la indirecta y completemos el cuadrado.
(x + 5)2 = 64
Suministrar
el cuadrado de 5 × 5 faltante suma 25 unidades cuadradas al área ya existente
de x2 + 10x, hasta un total de x2 +
10x + 25. De manera equivalente, esa área combinada puede
expresarse más nítidamente como (x + 5)2, ya que cada
lado del cuadrado completo mide x + 5.
El resultado es que x2 y 10x ahora se
mueven con gracia en pareja —en lugar de pisarse mutuamente— dentro de una
única expresión: (x + 5)2. Esto es lo que pronto nos
permitirá resolver la x.
Mientras tanto, puesto que añadimos 25 unidades de área al lado izquierdo de la
ecuación x2 + 10x = 39, debemos también
sumar 25 al lado derecho, para mantener la ecuación equilibrada. Dado que 39 +
25 = 64, nuestra ecuación se convierte en:
(x +
5)2 = 64
Pero
esto es muy sencillo de resolver. Sacar raíces cuadradas de ambos lados resulta
en x + 5 = 8, por lo tanto, x = 3.
Pero hete aquí que el 3 realmente resuelve la ecuación x2 +
10x = 39. Si 3 lo elevamos al cuadrado (obteniendo 9) y luego
sumamos 10 veces 3 (obteniendo 30), la suma da 39, como queríamos.
Solo hay un inconveniente. Si al-Jwarizmi estuviera estudiando álgebra hoy,
esta respuesta no le daría toda la puntuación. No menciona que un número
negativo, x = −13, también funciona. Elevarlo al cuadrado da
169; sumarlo diez veces da −130 y la suma de ambos números también es 39. Pero
esta solución negativa se ignoró en la antigüedad, ya que un cuadrado con un
lado de longitud negativa carece de significado geométrico. Hoy, el álgebra es
menos dependiente de la geometría, y las soluciones positivas y negativas se
consideran igualmente válidas.
En los siglos posteriores a al-Jwarizmi, los académicos llegaron a la
conclusión de que todas las ecuaciones de segundo grado podían
resolverse de la misma manera, completando el cuadrado, siempre que uno
estuviera dispuesto a permitir la entrada a los números negativos (y a sus
desconcertantes raíces cuadradas) que solían aparecer en las respuestas. Esta
línea argumentativa reveló que las soluciones a cualquier ecuación de segundo
grado:
ax2 + bx + c =
0
(donde a,
b y c son números conocidos pero arbitrarios y x es
desconocido) podían expresarse mediante la fórmula cuadrática:
Lo
más destacable de esta fórmula es lo brutalmente explícita e integral que es.
Ahí está la respuesta, justo ahí, independientemente de lo que sean a,
b o c. Teniendo en cuenta que existen infinitas
posibilidades para cada uno de ellos, es mucho manejo para una sola fórmula.
En nuestros tiempos, la fórmula cuadrática se ha convertido en una herramienta
irreemplazable para aplicaciones prácticas. Ingenieros y científicos la
utilizan para analizar la sintonización de una radio, el balanceo de una
pasarela o un rascacielos, el arco de una bola de béisbol o una bala de cañón,
las subidas y bajadas de la población animal e innumerables fenómenos más del
mundo real.
Para una fórmula nacida de la matemática de herencia, es todo un legado.
§11. Herramientas potentes
Si usted era un ávido espectador de televisión en la década de 1980, recordará
una ingeniosa serie llamada Luz de luna. Se hizo popular por sus
diálogos ágiles y la química romántica entre sus protagonistas: Cybill Shepherd
y Bruce Willis, que interpretaban a Maddie Hayes y David Addison, una divertida
pareja de detectives privados.
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Investigando
un caso particularmente difícil, David pregunta al asistente de un juez de
instrucción que lance una conjetura respecto a posibles sospechosos. «Ni idea
—responde el asistente—, pero ¿sabe lo que no entiendo?». David contesta: «¿Los
logaritmos?». Entonces, reaccionando ante la mirada de Maddie, dice: «¿Qué? ¿Tú
los entendías?»[41].
Esto resume bastante bien el sentir de la gente en lo que a logaritmos se
refiere. La peculiaridad de su nombre es solo parte de su problema de imagen.
La mayor parte de la gente no vuelve a utilizarlos una vez terminado el
instituto, al menos no de manera consciente, y suelen ignorar los logaritmos
que se ocultan tras las escenas de su vida diaria.
La misma realidad se da para otras funciones comentadas en Álgebra II y Cálculo[42]. La
función potencia, la función exponencial… ¿cuál era el fin de todas ellas? Mi
objetivo en este capítulo es ayudarle a apreciar la función de todas esas
funciones, aunque nunca llegue a tener ocasión de pulsar sus botones en la
calculadora.
Un matemático necesita funciones por la misma razón que un obrero necesita
martillos y taladros. Las herramientas transforman las cosas. Lo mismo hacen
las funciones. De hecho, los matemáticos suelen referirse a ellas como
«transformaciones». Pero, en lugar de madera y acero, el material que emplean
las funciones son números, formas y, a veces, incluso otras funciones.
Para que me entienda, tracemos el gráfico de la ecuación y = 4
− x2. Quizá recuerde cómo funcionaba este tipo de
actividad: se dibuja el plano xy con el eje de x en
horizontal y el de y en vertical. Luego, por cada x,
se computa la ycorrespondiente y se trazan como un solo punto en el
plano xy. Por ejemplo, cuando x es 1, la ecuación
dice y = 4 − 12, que es 4 − 1, o 3. Así (x,y)
= (1,3) es un punto en el gráfico. Tras calcular y trazar unos cuantos puntos
más, emerge la siguiente imagen:
La
forma arqueada de la curva se debe a la acción de las tenazas matemáticas. En
la ecuación de y, la función que transforma x en x2 se
comporta de manera muy parecida a una máquina que dobla objetos. Cuando se
aplica a cada punto en una parte del eje x (que puede
visualizar como un trozo recto de cable), las tenazas doblan y alargan ese
trozo hasta lograr ese arco curvado hacia abajo que vemos arriba.
¿Y qué papel juega el 4 en la ecuación y = 4 − x2?
Funciona como un clavo sosteniendo un cuadro en la pared. Eleva el arco del
cable doblado 4 unidades. Puesto que eleva todos los puntos la misma cantidad,
se conoce como función constante.
Este ejemplo ilustra la naturaleza dual de las funciones. En primer lugar, son
herramientas: x2 dobla el trozo del eje x y
el 4 lo levanta. Por otra parte, son bloques de construcción: 4 y −x2 pueden
verse como partes componentes de una función más complicada, 4 − x2,
al igual que los cables, pilas y transistores son partes que componen una
radio.
Una vez que empiece a contemplar así las cosas, verá funciones en todas partes.
La curva arqueada del ejemplo —técnicamente conocida como «parábola»— es la
firma de la función cuadrática x2 operando entre
bambalinas. Obsérvela mientras bebe agua de una fuente o al contemplar cómo un
balón de baloncesto traza un arco en el aire cuando se dirige a la canasta. Y
si le sobran unos minutos en una escala en el aeropuerto internacional de Detroit,
asegúrese de que visita la fuente de la terminal Delta para ver en acción
parábolas asombrosas[43].
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Las
parábolas y las constantes se asocian con una clase más amplia de funciones:
las funciones potencia con la forma xn, en las que la
variable x se eleva a una potencia fija n. Para
una parábola, n = 2; para una constante, n =
0.
Cambiar el valor de n nos trae otras herramientas útiles. Por
ejemplo, elevar x a la primera potencia (n = 1) da
una función que actúa como una rampa, una pendiente constante de crecimiento o
decrecimiento. Se llama función lineal porque su gráfico xy es
una línea. Si usted dejara un cubo al aire libre bajo una lluvia constante, el
agua de la parte inferior subiría de forma lineal en el tiempo.
Otra herramienta útil es la función cuadrática inversa, 1/x2,
correspondiente al caso n = −2. (La potencia se convierte en
−2 porque la función es un cuadrado inverso; la x2 aparece
en el denominador). Esta función es buena para describir cómo las ondas y
fuerzas se atenúan a medida que se esparcen en tres dimensiones; por ejemplo,
cómo un sonido se suaviza si se aleja de su fuente.
Funciones potencia como estas son los pilares que utilizan científicos e
ingenieros para describir el crecimiento y caída en sus formas más suaves.
Pero cuando se necesita dinamita matemática, es el momento de desembalar las
funciones exponenciales. Describen todo tipo de crecimiento explosivo, desde
las reacciones nucleares en cadena, hasta la proliferación de las bacterias en
una placa de Petri. El ejemplo más familiar es la función 10x,
en la que el 10 se eleva a la potencia x. Asegúrese de no confundir
estas funciones con las funciones potencia anteriores. Aquí, el exponente (la
potencia x) es variable, y la base (el número 10) es constante,
mientras que en las funciones potencia como x2 es
al revés. Este cambio supone una enorme diferencia: a medida que x se
hace más y más grande, una función exponencial de x al final
crecerá más rápido que cualquier otra función potencia,
independientemente del valor de la potencia. El crecimiento exponencial es casi
inimaginablemente rápido.
Por eso es tan difícil doblar un folio de papel por la mitad más de siete u
ocho veces[44]. Cada
pliegue casi duplica el grosor, provocando un crecimiento exponencial. Mientras
tanto, la longitud del folio se reduce a la mitad y por tanto decrece exponencialmente
rápido. Tomando una hoja de un cuaderno estándar, tras siete pliegues, el folio
queda más grueso que largo, por lo que no puede doblarse de nuevo. No importa
lo fuerte que sea la persona que pretende doblarlo. Para considerar que una
hoja ha sido legítimamente doblada n veces, el fajo resultante
debe tener 2n capas en línea recta; esto no puede darse
si el fajo es más grueso que largo.
Se pensó que el reto era imposible, hasta que Britney Gallivan, por aquel
entonces en el penúltimo año de instituto, lo resolvió en 2002. Comenzó
derivando una fórmula
que
predecía el número máximo de veces, n, que un papel de determinado
grosor T y longitud L podía doblarse en una
dirección. Observe la prohibitiva presencia de la función exponencial 2n en
dos lugares: uno para dar cuenta del duplicado del grosor del papel cada vez
que se dobla y otro para dar cuenta de la disminución de su longitud.
Utilizando su fórmula, Britney llegó a la conclusión de que necesitaría
utilizar un rollo especial de papel higiénico de unos tres cuartos de milla de
largo. Compró el papel, y en enero de 2002 fue a un centro comercial de su
ciudad, Pomona, California, y desenrolló el papel. Siete horas más tarde, con
la ayuda de sus padres, acabó con el récord mundial al doblar el papel por la
mitad ¡doce veces!
En teoría, se supone que el crecimiento exponencial debe también alegrar su
cuenta corriente. Si su dinero crece a una tasa de interés anual de r,
después de un año valdrá (1 + r) veces su depósito original; tras
dos años, (1 + r)2; tras xaños, (1 + r)x veces
el depósito inicial. Así, el milagro del interés compuesto del que tanto oímos
hablar lo causa el crecimiento exponencial en acción.
Lo que nos trae de nuevo a los logaritmos. Los necesitamos porque es útil tener
herramientas que puedan deshacer las acciones de otras herramientas. De la
misma manera que cualquier oficinista necesita una grapadora y un quitagrapas,
todo matemático necesita funciones exponenciales y logaritmos.
Son inversas. Esto significa que si teclea un número x en su
calculadora y luego pulsa el botón «10x» seguido del botón
«log x», volverá al número con el que empezó. Por ejemplo, si x =
2, entonces 10x sería 102, que es igual a
100. Extraer el logaritmo de esa cifra devuelve el resultado a 2; el botón
«log» deshace la acción del botón «10x». De ahí que log (100)
sea igual a 2. Del mismo modo, log (100) = 3 y log (10 00) = 4, porque 100 = 103 y
10 00 = 104.
Reparemos en algo mágico: a medida que los números dentro de los logaritmos
crecen multiplicativamente, aumentando por 10 veces (de 100 a 100 a
10 00…), sus logaritmos crecen aditivamente (2, 3, 4…).
Nuestro cerebro realiza un truco similar cada vez que escuchamos música. Las
frecuencias de las notas en una escala —do, re, mi, fa, sol, la, si, do— nos
suenan como si ascendieran en pasosiguales. Pero objetivamente, sus
frecuencias vibratorias suben en múltiplosiguales. Percibimos el
tono logarítmicamente[45].
Allá donde aparecen, desde la escala de Richter para medir la magnitud de un
terremoto a las medidas de pH, los logaritmos son excelentes compresores. Son
ideales para tomar cantidades que varían con márgenes muy amplios y apretarlas
para que sean más manejables. Por ejemplo, 100 y 100 millones difieren en un
millón por unidad inicial, un abismo que la mayoría de nosotros encontramos
incomprensible. Pero sus logaritmos difieren solo en cuatro (son 2 y 8, porque
100 = 102 y 100 millones = 108). Cuando hablamos,
todos utilizamos una versión burda de taquigrafía logarítmica al referirnos a
cualquier salario entre 100 00 dólares y 999 999 dólares como a salarios de
seis cifras. Ese «seis» es, más o menos, el logaritmo de estos salarios, que de
hecho abarcan el intervalo de cinco a seis.
Por muy impresionantes que puedan resultar estas funciones, la caja de
herramientas de un matemático no da para tanto, razón por la que aún no he
montado mis estanterías de Ikea.
Contenido:
§12.
Una imagen vale más que mil números
§13. Algo de la nada
§14. La conspiración cónica
§15. Sine qua non
§16. Llevar al límite
§12.
Una imagen vale más que mil números
Apuesto a que puedo adivinar cuál era su materia matemática preferida en el
instituto: la geometría.
He conocido mucha gente a lo largo de los años que me ha expresado su cariño
por esa materia. ¿Será porque la geometría se da en el lado derecho del cerebro
y eso atrae a los pensadores visuales que, de otra manera, se estremecerían
ante su fría lógica? Puede ser. Pero hay quien me dice que adoraba la geometría
precisamente porque era tan lógica. El razonamiento paso a
paso, con cada nuevo teorema apoyándose firmemente en aquellos ya establecidos,
esa es la fuente de satisfacción para muchos.
Pero creo acertar al presentir (y, reconozco sin ambages, yo adoro la
geometría) que la gente la disfruta porque casa la lógica con
la intuición. Es un gusto utilizar ambos lados del cerebro.
Para ilustrar los placeres de la geometría, revisitemos el teorema de Pitágoras[46], que usted
recordará como a2 + b2 = c2.
Parte de nuestro objetivo es demostrar por qué es cierto y apreciar por qué
importa. Además de eso, probando el teorema de dos maneras distintas, veremos
cómo una demostración puede ser más elegante que otra, aunque ambas sean
correctas.
El teorema de Pitágoras se refiere a triángulos rectángulos, es decir, aquellos
con un ángulo recto (90 grados) en una de las esquinas. Los triángulos
rectángulos son importantes porque son lo que se obtiene al cortar un
rectángulo por la mitad a lo largo de la diagonal.
Y
puesto que los rectángulos suelen aparecer en todo tipo de escenarios, también
lo hacen los triángulos rectángulos.
Aparecen, por ejemplo, en topografía. Si se está midiendo un campo rectangular,
podría querer averiguarse qué distancia existe de una esquina a la esquina
diagonalmente opuesta. (Por cierto, aquí es donde nació la geometría, en
problemas de medida de tierras, o midiendo la Tierra: geo- =
«Tierra» y -metría= «medida»).
El teorema de Pitágoras nos dice cuánto mide la diagonal en relación con los
lados del rectángulo. Si un lado mide a y el otro b,
el teorema dice que la diagonal tiene longitud c, siendo:
a2 + b2 = c2
Por
alguna razón, la diagonal se conoce tradicionalmente como la hipotenusa[47], aunque
nunca he conocido a nadie que supiera por qué (¿algún experto en griego o latín
por ahí?). Debe tener que ver con que la diagonal subtienda el ángulo recto,
pero en términos de jerga, «subtiende» está al mismo nivel de opacidad que
«hipotenusa».
En cualquier caso, el teorema funciona así. Para que sean números sencillos,
digamos que a = 3 yardas y b = 4 yardas.
Entonces, para averiguar la medida desconocida de c, nos ponemos
las capuchas negras y entonamos que c2 es la suma
de 32 más 42, que es 9 más 16. (No olvide que todas
estas cantidades se miden ahora en yardas al cuadrado, puesto que hemos
cuadrado tanto las yardas como los números mismos). Finalmente, puesto que 9 +
16 = 25, obtenemos c2= 25 yardas cuadradas, luego
calculando las raíces cuadradas de ambos lados obtenemos c = 5
yardas como medida de la hipotenusa.
Este modo de aproximarse al teorema de Pitágoras lo hace parecer una
declaración acerca de longitudes, pero tradicionalmente se veía como una
declaración sobre áreas. Esto se ve de manera más clara al escuchar
cómo solían expresarlo:
El
cuadrado en la hipotenusa es la suma de los cuadrados en los otros dos lados.
Fíjese
en la palabra «en». No estamos hablando del cuadrado de la
hipotenusa, ese es un nuevo concepto algebraico sobre multiplicar un número (la
longitud de la hipotenusa) por sí mismo. No, nos referimos aquí al cuadrado que
literalmente se apoya en la hipotenusa, así:
Llamemos
a este el cuadrado grande, para distinguirlo del pequeño y el mediano que
podemos construir en los otros dos lados.
Luego,
el teorema dice que el cuadrado grande tiene la misma área que los cuadrados
pequeño y mediano unidos.
Durante miles de años, este maravilloso hecho se ha expresado en un diagrama,
una nemotécnica icónica de baile de cuadrados.
Ver
el teorema en términos de áreas lo hace más divertido. Por ejemplo, puede
ponerlo a prueba —y luego comérselo— construyendo los cuadrados con galletas[48]. O puede
tratarlo como un puzle infantil, con piezas de diferentes formas y tamaños.
Reordenando estas piezas del puzle, podemos fácilmente demostrar el teorema de
la siguiente manera.
Volvamos al cuadrado inclinado sobre la hipotenusa.
Instintivamente,
debe inquietarle un tanto esta imagen. El cuadrado parece potencialmente
inestable, como si pudiera caerse o deslizarse por la rampa. Y existe también
una arbitrariedad desagradable en torno a cuál de los cuatro lados del cuadrado
toca el triángulo.
Guiados por estas sensaciones intuitivas, añadamos tres copias más del
triángulo alrededor del cuadrado para que parezca más sólido y simétrico.
Ahora
recuerde lo que intentamos demostrar: que el cuadrado blanco inclinado del
dibujo anterior (que no es más que nuestro cuadrado grande de antes —aún está
sobre la hipotenusa—) tiene la misma área que los cuadrados pequeño y mediano
unidos. Pero ¿dónde están esos cuadrados? Bueno, hay que mover algunos
triángulos para encontrarlos.
Piense que el dibujo anterior representa un puzle, con cuatro piezas
triangulares en las esquinas de un marco rígido.
En
esta interpretación, el cuadrado inclinado es el espacio vacío en mitad del
puzle. El resto del área dentro del marco lo ocupan las piezas del puzle.
Ahora, tratemos de mover las piezas de varias maneras. Por supuesto, nada de lo
que hagamos podría cambiar el espacio vacío total dentro del marco: es siempre
el área que se encuentra más allá de las piezas.
La lluvia de ideas es, por tanto, para reordenar las piezas así:
De
repente, el espacio vacío se ha convertido en las dos formas que buscamos: el
cuadrado pequeño y el cuadrado mediano. Y puesto que el total de espacio vacío
no varía, ¡acabamos de demostrar el teorema de Pitágoras!
Esta demostración hace mucho más que convencer; ilumina. Es lo que
la hace elegante.
Para comparar, he aquí otra demostración[49]. Es
igualmente famosa y quizá la más sencilla de cuantas evitan usar áreas.
Como antes, considere un triángulo cuyos lados tienen longitud a y b e
hipotenusa de longitud c, como se muestra en el dibujo de la
izquierda.
Ahora,
por inspiración divina o por un momento de genialidad, algo nos dice que
dibujemos una línea perpendicular a la hipotenusa que baje hasta la esquina
opuesta, como muestra el triángulo de la derecha.
Esta inteligente construcción crea dos triángulos más pequeños dentro del
original. Es sencillo demostrar que todos estos triángulos son similares, lo
que significa que tienen formas idénticas pero tamaños distintos. Eso implica
que las longitudes de sus partes correspondientes tienen las mismas proporciones,
lo que se traduce en el siguiente conjunto de ecuaciones:
a/f
= b/e = c/b
a/d = b/f = c/a
También
sabemos que
c = d + e
porque
nuestra construcción simplemente dividió la hipotenusa original, de
longitud c, en dos lados menores de longitudes d y e.
En este momento, quizá se encuentre algo perdido, o por lo menos inseguro sobre
el siguiente paso. Tenemos ya una pila de cinco ecuaciones y estamos tratando
de reducirlas para deducir que
a2 + b2 = c2
Inténtelo
durante unos minutos, verá que dos de las ecuaciones son irrelevantes. Eso es
feo; una demostración elegante no debería incluir nada superfluo. Claro
que, a posteriori, pensará que nunca debería haber incluido esas
ecuaciones. Pero ya no vamos a intentar maquillarla para disimular.
Sin embargo, manipulando las tres ecuaciones correctas, podemos hacer que el
teorema se haga evidente[50].
¿Estaría de acuerdo conmigo en que, en términos estéticos, esta demostración es
inferior a la primera? En primer lugar, se arrastra hasta el final. ¿Y quién ha
invitado a la fiesta a tanta álgebra? Se supone que este es un acto de
geometría.
Pero un defecto más serio de la demostración es su lobreguez. Para cuando
termine de arrastrarse por ella, puede que se crea el teorema (a
regañadientes), pero puede que aún no vea que es cierto.
Dejando a un lado la demostración, ¿por qué es importante el teorema de Pitágoras?
Porque revela una verdad fundamental acerca de la naturaleza del espacio.
Implica que el espacio es plano, en lugar de curvo. Para la superficie de una
esfera o un donut, por ejemplo, el teorema tiene que ser modificado. Einstein
se enfrentó a este reto en su teoría general de la relatividad (donde la
gravedad no se ve ya como una fuerza, sino como una manifestación de la
curvatura del espacio), y también lo hizo Bernhard Riemann, y otros antes que
él, cuando se colocaban los cimientos de la geometría no euclídea.
Hay un largo camino de Pitágoras a Einstein, pero al menos es en línea recta…
en su mayor parte.
§13. Algo de la nada
Todo curso de matemáticas contiene al menos un tema notablemente difícil. En
aritmética es la división larga; en álgebra, los problemas, y en geometría son
las demostraciones.
La mayoría de los alumnos que cursan geometría nunca antes han visto una
demostración. La experiencia puede ser un shock, así que tal vez sea pertinente
una señal de advertencia, algo así: Las demostraciones pueden provocar
mareos o excesiva somnolencia. Los efectos secundarios tras una exposición
prolongada podrían incluir: sudores nocturnos, ataques de pánico y, en casos
raros, euforia. Pregunte a su médico si las demostraciones se ajustan a usted.
Por muy desorientadoras que puedan resultar las demostraciones, aprender a
realizarlas se ha creído siempre esencial en una educación liberal —más
esencial que la asignatura en cuestión, dirían algunos—. De acuerdo con esta
visión, la geometría es positiva para la mente; la entrena para pensar con
claridad y lógica. Lo que importa no es el estudio de triángulos, círculos y
líneas paralelas per se. Lo importante es el método axiomático, el
proceso de construir un argumento riguroso, paso a paso, hasta que se establece
la conclusión deseada.
Euclides[51] estableció
este enfoque deductivo en los Elementos (hoy el libro de texto
más editado de la historia) hace 2300 años. Desde entonces, la geometría
euclídea ha sido un modelo para el pensamiento lógico en todos los ámbitos de
la vida, desde la ciencia y el derecho a la filosofía y la política. Por ejemplo,
Isaac Newton canaliza a Euclides en Los principios matemáticos de la
filosofía natural. Utilizando demostraciones geométricas, dedujo las leyes
de Kepler y Galileo acerca de proyectiles y planetas de sus propias leyes de
movimiento y gravedad. La Ética de Spinoza sigue el mismo
patrón; su título completo es Ethica Ordine Geometrico Demonstrata
(Ética demostrada al modo geométrico). Los ecos de Euclides pueden hallarse
hasta en la Declaración de Independencia de Estados Unidos. Cuando Thomas
Jefferson escribió: «Consideramos de por sí evidentes estas verdades», estaba
imitando el estilo de los Elementos[52]. Euclides
había comenzado con definiciones, postulados y verdades evidentes de la
geometría —los axiomas— y desde ellos erigió una estructura de proposiciones y
demostraciones. Una verdad conducía a la siguiente mediante una lógica
irrefutable. Jefferson organizó la Declaración de la misma manera, con el fin
de que su conclusión —que las colonias tenían derecho a gobernarse a sí mismas—
se mostrara tan inevitable como un hecho geométrico.
Si ese legado intelectual parece descabellado, tenga en mente que Jefferson
veneraba a Euclides. El 12 de enero de 1812, unos años después de terminar su
segundo mandato como presidente y de salir de la vida pública, escribió a su
viejo amigo John Adams acerca de los placeres de dejar atrás la política: «He
abandonado los periódicos a cambio de Tácito y Tucídides, de Newton y Euclides,
y me encuentro mucho más feliz».
Pero lo que falta en toda esta adoración de la racionalidad euclídea es una
apreciación de los aspectos más intuitivos de la geometría. Sin inspiración, no
habría demostraciones —o teoremas que demostrar—. Al igual que la composición
musical o la escritura, la geometría requiere sacar algo de la nada. ¿Cómo da
un poeta con las palabras adecuadas o un compositor con una melodía
inolvidable? Este es el misterio de las musas y no es menor misterio en las
matemáticas que en otras artes creativas.
Como ejemplo, considere el problema de construir un triángulo equilátero, esto
es, un triángulo con los tres lados de igual longitud[53]. Las
reglas del juego son las siguientes: se le da un lado del triángulo, el
segmento que aquí aparece:
Su
labor es utilizar ese segmento para construir los otros dos lados y demostrar
que ambos tienen la misma longitud que el original. Las únicas herramientas a
su disposición son una regla y un compás. La regla le permite trazar una línea
recta de cualquier longitud, así como trazarla entre dos puntos cualesquiera.
El compás le permite dibujar un círculo de cualquier radio, centrado en
cualquier punto.
En este caso, la regla no sirve para medir, no tiene ninguna marca para medir
longitudes (concretamente, no puede utilizarla para copiar o medir el segmento
original). El compás tampoco puede utilizarse como transportador de ángulos; lo
único que puede hacer es dibujar círculos, no medir ángulos.
¿Preparado? Comience.
Este es el momento de parálisis, ¿por dónde empezar?
La lógica no le será de ayuda. Los resuelveproblemas cualificados saben que la
mejor manera de enfocarlo es relajarse y jugar con el rompecabezas con la
esperanza de que la idea aparezca. Por ejemplo, quizá ayudaría utilizar la
regla para dibujar líneas inclinadas a través de los bordes del segmento, así:
No
ha habido suerte. Aunque las líneas formen un triángulo, no hay garantía de que
sea un triángulo equilátero.
Podríamos seguir dando palos de ciego dibujando algunos círculos con el compás,
pero ¿dónde? ¿Alrededor de uno de los puntos finales?
¿O
alrededor de un punto dentro del segmento?
La
segunda opción parece poco prometedora, puesto que no hay razón para elegir un
punto interior en lugar de otro.
Así que volvamos a lo de trazar círculos alrededor de los puntos finales.
Desgraciadamente,
aún existe mucha arbitrariedad. ¿Qué tamaño deben tener los círculos? Todavía
no nos asalta ninguna idea.
Tras unos minutos dándole vueltas a esto, la frustración (y un inminente dolor
de cabeza) nos tentará a rendirnos. Pero si no nos rendimos, puede que tengamos
suerte y nos demos cuenta de que solo hay un posible círculo natural. Veamos
qué sucedería si colocamos la punta afilada del compás en uno de los puntos
finales del segmento y el lapicero en el otro y giramos el compás hasta completar
el círculo. Obtendríamos esto:
Claro
que si utilizáramos el otro punto como centro, obtendríamos esto:
¿Y
si dibujamos ambos círculos al mismo tiempo, sin motivo alguno, por improvisar?
¿Acaba
de golpearle? ¿Un escalofrío de lucidez? Vuelva a mirar el diagrama. Hay una
versión curva del triángulo equilátero mirándonos fijamente. Su esquina
superior es el punto donde se cruzan los círculos.
Ahora
convirtámoslo en un triángulo real, con lados rectos, dibujando líneas desde el
punto de intersección hasta los puntos finales del segmento original. El
triángulo resultante, sin duda parece equilátero.
Hemos
permitido que la intuición nos guiara hasta aquí, pero ahora, y solo ahora, es
el momento de que la lógica recoja el testigo y termine la demostración. Para
mayor claridad, veamos de nuevo el diagrama completo y numeremos los puntos de
interés A, B y C.
La
demostración casi se prueba a sí misma. Los lados AC y BC tienen
la misma longitud que el segmento original AB, puesto que así hemos
construido los círculos; utilizamos AB como el radio de ambos.
Puesto que AC y BC son también radios,
también tienen la misma longitud, así que las tres longitudes son iguales, y el
triángulo es equilátero. QED.
Este argumento existe desde hace siglos. De hecho, es el punto de partida de
Euclides —la primera proposición del primer libro de los Elementos—.
Pero la tendencia ha sido siempre presentar el diagrama final con esos
artísticos círculos ya colocados, lo cual priva al alumno del disfrute de
descubrirlos. Ese es un fallo pedagógico. Esta es una prueba que todo el mundo
puede encontrar. Puede ser novedosa para cada generación, si la explicamos
bien.
La clave de esta demostración fue, claramente, la inspirada construcción de los
dos círculos. Otro resultado más famoso dentro de la geometría puede probarse a
través de una construcción igualmente hábil. Es el teorema de que los ángulos
de un triángulo suman 180 grados.
En este caso, la mejor demostración no es la de Euclides, sino una más antigua
atribuida a los pitagóricos. Funciona así: tome cualquier triángulo y llame a
sus ángulos a, b, c.
Dibuje
una línea paralela a la base que pase por la esquina superior.
Ahora
necesitamos hacer una pequeña digresión para recordar una propiedad de las
líneas paralelas: si otra línea atraviesa dos líneas paralelas de la siguiente
manera:
los
ángulos llamados a y b (conocidos en el
mundillo como ángulos alternos internos) son iguales.
Apliquemos este hecho a la construcción anterior, en la que dibujamos una línea
a través de la esquina superior del triángulo en paralelo a su base.
Invocando
la igualdad de los ángulos alternos internos, vemos que el ángulo que queda a
la izquierda de la esquina superior debe ser igual a a. De la misma
manera, el ángulo de la esquina superior derecha es igual a b. Así
que los ángulos a, b y c forman juntos un
ángulo recto —un ángulo de 180 grados—, que es lo que hemos tratado de
demostrar.
Este es uno de los argumentos más vigorosos de la matemática. Surge como un
rayo, con la construcción de una línea paralela. Una vez trazada esa línea, la
demostración prácticamente se eleva de la mesa y camina sola, como la creación
del doctor Frankenstein.
Y quién sabe, si destacamos este otro lado de la geometría —su lado juguetón e
intuitivo, donde una chispa de imaginación puede ser rápidamente convertida en
una demostración—, quizá algún día todos los alumnos la recuerden como la
asignatura en la que aprendieron a ser lógicos y creativos[54].
§14. La conspiración cónica
Las galerías de los susurros son extraordinarios espacios acústicos que se
pueden encontrar bajo ciertas cúpulas, bóvedas o techos curvos. Hay una muy
conocida a la salida del restaurante Oyster Bar en la Estación Grand Central de
Nueva York. Es un lugar divertido para llevar a una cita: se pueden
intercambiar palabras cariñosas a doce metros de distancia y separados por un
pasillo bullicioso. Se escucharían con toda claridad, pero los pasajeros no
oirían ni una palabra.
Garry Jenkins
Para
producir este efecto, ambos deberían colocarse en esquinas diagonalmente
opuestas, de cara a la pared. Eso coloca a cada uno cerca de un foco, un punto
especial desde el que el sonido de la voz converge mientras reflecta del techo
y las paredes curvas del pasillo. Normalmente, las ondas de sonido viajan en
todas direcciones y rebotan en las paredes en momentos y lugares dispares,
embrollándose tanto que resultan inaudibles cuando alcanzan a un oyente a doce
metros de distancia (por esa razón, quienes pasean por ahí no escuchan lo que
dice). Pero cuando lo suspira a un foco, las ondas reflectantes
llegan todas al mismo tiempo al otro foco, reforzándose de
esta manera unas a otras y permitiendo que las palabras se escuchen.
Las elipses muestran un estilo de enfoque similar, aunque de manera más simple.
Si creamos un reflector en forma de elipse, los puntos particulares dentro de
ella (marcados como F1 y F2 en
la figura que sigue) actuarán como focos en el sentido de que todos los rayos
que emanan de una fuente de luz en uno de estos puntos serán reflectados hacia
el otro.
Permítanme
que intente explicarle lo asombroso que es replanteándolo con algunos ejemplos.
Supongamos que a Darth Vader y Luke Skywalker les gusta jugar a laser
tag en un recinto elíptico con paredes llenas de espejos. Ambos han
acordado no dispararse directamente, tienen que aniquilarse con disparos
rebotados. Darth, no muy conocedor de la geometría ni la óptica, sugiere que se
sitúen en un punto de foco. «De acuerdo», dice Luke, «siempre y cuando yo pueda
disparar primero». Bueno, la verdad es que no sería un duelo demasiado
trepidante, puesto que Luke no puede fallar. Independientemente de la torpeza
con la que apunte, siempre dará a Darth. Todo disparo será ganador.
Si su deporte es el billar, imagínese jugando en una tabla elíptica con un
agujero situado en uno de los focos. Para preparar un tiro trucado que tenga la
garantía de no fallar, coloque la bola blanca en el otro foco.
Independientemente de cómo golpee la bola y contra qué parte del tapete rebote,
siempre entrará en el agujero.
Las
curvas y las superficies parabólicas tienen un poder de enfoque impresionante:
cada una puede tomar las ondas paralelas que llegan y enfocarlas a un único punto.
Esta cualidad de su geometría ha sido útil en entornos en los que las ondas de
luz, sonido u otras señales necesitaban ser amplificadas. Por ejemplo, los
micrófonos parabólicos pueden emplearse para recoger conversaciones en tonos
muy bajos, y, por tanto, interesan a vigilantes, espías y policías. También
resultan útiles en la grabación de la naturaleza, para capturar el canto de los
pájaros o el gruñido de los animales, y en el deporte televisado, para escuchar
los insultos de un entrenador a un árbitro. Las antenas parabólicas pueden
amplificar las ondas de radio en la misma medida, por eso los receptores de
televisión y los radiotelescopios gigantes para la astronomía tienen esa forma
curvada característica.
Esta propiedad de enfoque de las parábolas es igualmente útil cuando se
despliega en sentido inverso. Supongamos que quiere provocar un haz de luz
totalmente direccional, como el de los teatros o las luces de los coches. Una
bombilla por sí misma —por muy potente que sea— no será suficiente; desperdicia
demasiada luz al brillar en todas direcciones. Pero ahora coloque la bombilla
en el foco de un reflector parabólico y voilà. La parábola crea un
haz direccional automáticamente. Toma los rayos de la bombilla y,
reflectándolos en el interior plateado de la parábola, los hace paralelos.
Una
vez se repara en las habilidades de enfoque de parábolas y elipses[55], es
imposible no preguntarse si detrás no hay en marcha algo más profundo. ¿Se
relacionan estas curvas de alguna otra manera fundamental?
Los matemáticos y los teóricos de la conspiración tenemos algo en común:
sospechamos de las coincidencias, especialmente de las que resultan
convenientes. No hay accidentes. Las cosas suceden por alguna razón. Aunque
esta forma de pensar pueda tener un toque paranoico si se aplica a la vida
real, es una manera sensata de concebir las matemáticas. En el mundo ideal de
formas y números, las extrañas coincidencias suelen ser prueba
de que algo se nos está escapando. Sugieren la presencia de fuerzas ocultas.
Así que ahondemos en los posibles vínculos entre parábolas y elipses. A primera
vista parecen una pareja improbable. Las parábolas tienen forma arqueada y son
expansivas, se extienden por ambos extremos. Las elipses tienen forma ovalada,
como círculos aplastados, son cerradas y compactas.
Pero
cuando se mira más allá de la apariencia y se explora su anatomía interna,
comienza uno a darse cuenta de lo similares que son. Ambas pertenecen a una
familia real de curvas, una vinculación genética que se hace evidente una vez
que sabemos lo que buscamos.
Para explicar cómo se relacionan, tenemos que recordar qué son, exactamente,
estas curvas.
Una parábola suele definirse como el conjunto de todos los puntos equidistantes
de un punto determinado y una línea determinada que no contiene ese punto. Esta
definición es casi un trabalenguas, pero es sencilla de entender una vez se
traduce a imágenes. Llamemos al punto dado F, de «foco», y a la
línea L.
Ahora,
de acuerdo con la definición, una parábola consiste en todos los puntos que
yacen tan lejos de F como de L. Como, por ejemplo,
el punto P, justo debajo de F, a medio camino de L.
Otros
puntos, P1, P2,… también sirven,
quedando frente a cualquiera de los dos lados, así
Aquí,
el punto P1 queda a la misma distancia —d1—
de la línea que del foco. Lo mismo sucede con el punto P2,
excepto que ahora la distancia compartida es otro número, d2.
Unidos, todos los puntos P con esta propiedad forman la
parábola.
La razón de referirnos al punto F como «foco» se aclara si
pensamos en la parábola como en un espejo curvo. Resulta, aunque no lo
demostraré, que si se dirige un haz de luz directamente contra un espejo curvo[56], todos los
rayos reflectados intersectarán simultáneamente en el punto F,
produciendo un punto de luz intensamente focalizado.
Funciona
de manera similar a esos reflectores bronceadores que frieron las caras de una
generación, en los tiempos en que nadie se preocupaba por el cáncer de piel.
Ahora pasemos a la historia correspondiente a las elipses. Una elipse se define
como un conjunto de puntos, cuyas distancias de dos determinados puntos,
sumadas, es una constante. Cuando se hace en términos más mundanos, esta
descripción proporciona una receta para dibujar una elipse. Coja un lapicero,
un folio, una tabla de corcho, dos chinchetas y un trozo de cuerda. Pose el
folio en el corcho. Clave los extremos de la cuerda al corcho atravesando el
papel, sin apretar demasiado. Ahora tense la cuerda con el lapicero de tal
manera que se forme un ángulo, como se muestra en la figura de abajo. Comience
a dibujar, manteniendo tensa la cuerda. Una vez que el lapicero haya dado la
vuelta a las dos chinchetas y haya vuelto al punto de partida, la curva
resultante es una elipse.
Observe
cómo esta receta implementa la definición anterior, palabra por palabra. Las
chinchetas interpretan el papel de los dos puntos determinados. Y la suma de
las distancias, desde esos dos puntos hasta un punto de la curva, siempre
permanece constante, independientemente de dónde esté el lapicero, puesto que
esas distancias siempre suman la longitud de la cuerda.
¿Dónde están los focos de la elipse en esta construcción? En las chinchetas.
Una vez más no lo demostraré, pero esos son los puntos que permiten que Luke
Skywalker y Darth Vader puedan jugar a laser tag sin
posibilidad de fallar y que dan lugar al acierto perpetuo en el billar.
Parábolas y elipses: ¿por qué ellas, y solo ellas, poseen habilidades tan
fantásticas para el enfoque? ¿Qué secreto comparten?
Ambas son secciones transversales de la superficie de un cono.
¿Un cono? Si siente que esto acaba de aparecer de la nada, ese era precisamente
el objetivo. El papel del cono en todo esto ha estado oculto hasta ahora.
Para ver cómo está implicado, imagínese cortando un cono con un cuchillo de
carnicero, como si cortara salami, en ángulos progresivamente más pronunciados.
Si los cortes son nivelados, la curva de intersección será un círculo.
Si,
de lo contrario, el cono se corta en un suave ángulo, la curva resultante será
una elipse.
A
medida que los cortes se hacen más empinados, la elipse se hace más larga y
delgada en sus proporciones. En un ángulo crítico, cuando la inclinación se
levanta tanto que coincide con la pendiente del propio cono, la elipse se
convierte en una parábola.
Ese
es el secreto: la parábola es una elipse de incógnito, en un sentido
restrictivo. Por eso no sorprende que comparta esa gran capacidad de las
elipses para el enfoque. Se ha transmitido a través de la sangre.
De hecho, los círculos, elipses y parábolas son todos miembros de una familia
más grande y muy unida. Se los conoce colectivamente como secciones cónicas,
esto es, curvas obtenidas cortando la superficie del cono con un plano. Además,
hay un pariente adicional: si el cono se corta verticalmente, en un sesgo mayor
que su propia pendiente, la incisión resultante forma una curva llamada
«hipérbola». A diferencia del resto, viene en dos partes, no en una.
Estos
cuatro tipos de curva se ven aún más emparentados cuando se observan desde
otras perspectivas matemáticas. En álgebra, surgen como gráficos de ecuaciones
de segundo grado:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F =
0
donde
las constantes A, B, C,… determinan si el gráfico es un círculo,
una elipse, una parábola o una hipérbola. En cálculo, se manifiestan como
trayectorias de objetos arrastrados por la fuerza de la gravedad.
Así que no es accidental que los planetas se muevan en órbitas elípticas, con
el Sol en uno de los focos; o que los cometas viajen por el sistema solar en
trayectorias elípticas, parabólicas o hiperbólicas; o que la pelota que lanza
un niño a su padre siga un arco parabólico. Son todo manifestaciones de la
conspiración cónica.
Céntrese en eso la próxima vez que lance una pelota.
§15. «Sine qua non»
Mi padre tenía un amigo, llamado Dave, que se jubiló en Jupiter, Florida. Le
visitamos en unas vacaciones familiares cuando yo tenía unos doce años, y nos
enseñó algo que se me quedó indeleblemente grabado.
A Dave le gustaba hacer tablas de los gloriosos amaneceres y atardeceres que
podía observar durante todo el año desde su terraza[57]. Todos los
días marcaba dos puntos en su tabla y, tras unos cuantos meses, percibió algo
curioso. Las dos curvas parecían ondas opuestas. Una solía alzarse mientras la
otra caía; cuando amanecía más temprano, atardecía más tarde.
Pero
había excepciones. Durante las tres últimas semanas de junio y durante la mayor
parte de diciembre y principios de enero, el amanecer y el atardecer llegaban
ambos más tarde cada día, dando a las ondas una apariencia algo desigual.
De todos modos, el mensaje de las curvas era inequívoco: la brecha oscilante
entre ambos mostraba cómo se alargaban y acortaban los días según el cambio de
estaciones. Restando la curva inferior de la superior, Dave descubrió también
cuánto variaban las horas de sol a lo largo del año. Para su sorpresa, esta curva
no era exactamente desequilibrada, era de una hermosa simetría.
Lo
que estaba observando era una onda sinusoidal casi perfecta. Si usted estudió
trigonometría[58] en el
instituto, puede que haya oído hablar de las ondas sinusoidales, aunque su
profesor quizá hablara más de la función seno, una herramienta fundamental para
cuantificar cómo se relacionan entre sí los lados y ángulos de un triángulo.
Esta era la aplicación original de la trigonometría, de gran utilidad para
astrónomos y topógrafos de la Antigüedad.
Pero la trigonometría, desmintiendo su modesto nombre, trasciende
hoy la medición de triángulos. Cuantificando también círculos, ha
allanado el camino para el análisis de cualquier cosa que se repita, desde las
olas del océano a las ondas cerebrales. Es la clave de la matemática cíclica.
Para ver cómo logra la trigonometría conectar círculos, triángulos y ondas,
imagine una niña pequeña dando vueltas y vueltas en una noria.
Su
madre y ella, ambas con gusto por las matemáticas, han decidido que esta es la
oportunidad perfecta para llevar a cabo un experimento. La niña sube a la noria
con un dispositivo GPS para registrar su altitud, momento a momento, mientras
la rueda la levanta hacia la cima, luego la baja hacia el suelo, luego hacia
arriba de nuevo, y así sucesivamente. Los resultados son los siguientes.
Esta
forma es una onda sinusoidal. Surge cuando se hace seguimiento de las
excursiones horizontales o verticales de algo —o alguien— que se mueve en
círculo.
¿Qué relación tiene esta onda con el seno del que se hablaba en clase de
trigonometría? Bueno, supongamos que examinamos una instantánea de la niña. En
el momento que se capta, ella está en un ángulo, llámelo a,
relativo a la línea de puntos del diagrama.
Por
conveniencia, supongamos que la hipotenusa del triángulo de la derecha —que es
también el radio de la noria— mide 1 unidad. Entonces, sen a(pronunciado
«seno de a») nos dice a qué altura está la niña. Es más, sen a se
define como la altitud de la niña, medida desde el centro de la noria, cuando
está en el ángulo a.
A medida que gire y gire, su ángulo a se incrementará
progresivamente. Al final, superará los 90 grados. Llegados a ese punto, no
podemos percibir a como un ángulo dentro de un triángulo rectángulo.
¿Significa esto que la trigonometría ya no es aplicable?
No. Sin inmutarse, como de costumbre, los matemáticos simplemente agrandan la
definición de la función seno para que admita cualquier ángulo
—no solo aquellos inferiores a 90 grados— y más tarde definen «sen a» como
la altura de la niña por encima o por debajo del centro del círculo. El gráfico
correspondiente de sen a, a medida que a se sigue
incrementando (o incluso se hace negativo si la noria cambia de sentido), es a
lo que nos referimos con onda sinusoidal. Se repite cada vez que a cambia
360 grados, lo que corresponde a un giro completo.
Aunque pase desapercibido, este mismo tipo de conversión de movimiento circular
en ondas sinusoidales es una parte omnipresente de nuestra experiencia diaria.
Crea el zumbido de las luces fluorescentes en nuestras oficinas, un
recordatorio de que en algún lugar de la red eléctrica los generadores están
girando a sesenta ciclos por segundo, convirtiendo su movimiento rotatorio en
corriente alterna: las ondas sinusoidales eléctricas de las que depende la vida
moderna. Cuando usted habla y yo escucho, ambos cuerpos están usando ondas
sinusoidales: las suyas en la vibración de sus cuerdas vocales para producir
sonidos y las mías en el vaivén de las células ciliadas de los oídos para
recibirlos. Si abrimos nuestros corazones a estas ondas sinusoidales y
sintonizamos con su zumbido silencioso, tienen la capacidad de emocionarnos.
Hay algo casi espiritual en ellas.
Cuando se toca la cuerda de una guitarra o cuando los niños saltan a la comba,
la forma que aparece es una onda sinusoidal. Las ondas en un estanque, las
crestas de las dunas de arena, las rayas de una cebra, son todas ellas
manifestaciones del mecanismo más básico de formación de patrones[59] de la
naturaleza: la aparición de una estructura sinusoidal de un fondo uniforme.
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Corbis
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Hay
razones matemáticas profundas que lo explican. Cada vez que un estado de
equilibrio sin rasgos distintivos pierde estabilidad —por la razón o por el
proceso físico, biológico o químico que sea— el patrón que primero aparece es
la onda sinusoidal, o una combinación de ellas.
Las ondas sinusoidales son los átomos de la estructura. Son los pilares de la
naturaleza. Sin ellas, no habría nada, dando un nuevo significado a la locución
«sine qua non».
De hecho, las palabras son literalmente ciertas. La mecánica cuántica describe
a los átomos reales, y por tanto a toda la materia, como paquetes de ondas
sinusoidales. Incluso en la escala cosmológica, las ondas sinusoidales forman
las semillas de todo lo que existe. Los astrónomos han investigado el espectro
(el patrón de ondas sinusoidales) de los antecedentes de las microondas
cósmicas[60] y han
encontrado que sus medidas coinciden con las predicciones de la cosmología
inflacionaria[61], la teoría
más aceptada acerca del nacimiento y crecimiento del universo. Por lo tanto,
parece que de un Big Bang sin atributos emergieron de manera espontánea ondas
sinusoidales primordiales (ondulaciones en la densidad de la materia y la
energía) que dieron lugar a la materia del cosmos.
Estrellas, galaxias y, finalmente, niñas que se montan en la noria.
§16. Llevar al límite
En secundaria, mis amigos y yo disfrutábamos desmenuzando los acertijos
clásicos. ¿Qué sucede cuando una fuerza irresistible se topa con un objeto
inmóvil? Fácil: ambos explotan. La filosofía es trivial cuando tienes trece
años.
Pero uno de estos enigmas nos inquietaba. Si recorremos la distancia que nos
separa de la pared por mitades, ¿lograremos llegar? Había algo profundamente
frustrante en este acertijo: la sensación de estar acercándose poco a poco,
pero no llegar nunca. (Probablemente esto albergue en alguna parte una metáfora
acerca de la angustia adolescente). Otra preocupación era la presencia velada
del infinito. Para alcanzar la pared, necesitarías dar un número infinito de
pasos y, al final, se harían infinitesimalmente pequeños. ¡Vaya!
Estas cuestiones siempre han provocado dolores de cabeza. Sobre el 500 a. C.,
Zenón de Elea[62] propuso
cuatro paradojas acerca del infinito que desconcertaron a sus contemporáneos y
que son, en parte, culpables de que el infinito fuera desterrado de las
matemáticas durante los siglos posteriores. En la geometría euclídea, las
únicas construcciones permitidas eran aquellas que implicaban un número de
pasos finitos. El infinito se consideraba demasiado inefable, demasiado
inabarcable y demasiado difícil para hacerlo riguroso lógicamente.
Pero Arquímedes, el matemático más grande de la Antigüedad, descubrió el poder
del infinito. Se aprovechó de él para resolver problemas de otro modo
intratables y, en el proceso, casi inventa el cálculo unos 200 años antes que
Newton y Leibniz.
En los capítulos siguientes, profundizaremos en las grandes ideas que se
encuentran en el centro del cálculo. Pero, por ahora, me gustaría empezar con
sus primeras bellas señales, visibles en antiguos cálculos sobre círculos y pi[63].
Recordemos a qué nos referimos con «pi». Es una relación de dos distancias. Una
de ellas es el diámetro, la distancia a través del círculo
cruzando su centro. La otra es la circunferencia, la distancia alrededor del
círculo. «Pi» se define como su ratio, la circunferencia dividida por el
diámetro.
Si
es usted un pensador cauto, puede que ya haya algo que le preocupe. ¿Cómo
sabemos que pi es el mismo número para todos los círculos? ¿Podría ser distinto
para números grandes y pequeños? La respuesta es no, pero la demostración no es
trivial. He aquí una respuesta intuitiva.
Imagine que está utilizando una fotocopiadora para reducir la imagen de un
círculo, digamos, el 50 por ciento. En ese caso, todas las
distancias del dibujo —incluyendo la circunferencia y el diámetro— se
encogerían proporcionalmente un 50 por ciento. Así que, cuando dividiera la
nueva circunferencia por el nuevo diámetro, ese 50 por ciento se igualaría,
dejando inalterado el ratio entre ambos. Ese ratio es pi.
Por supuesto, esto no nos dice qué tamaño tiene pi. Experimentos sencillos con
cuerdas y platos bastan para dar con un valor cercano al 3 o, si es usted más
meticuloso, 31⁄7. Pero supongamos que queremos
encontrar pi, exactamente, o al menos de manera más aproximada. ¿Entonces qué?
Este era un problema que confundía a los antiguos.
Antes de ocuparnos de la brillante solución de Arquímedes, deberíamos mencionar
otro lugar en el que aparece pi en conexión con círculos. El área de un círculo
(la cantidad de espacio dentro de él) viene dada por la fórmula
A =
πr2
Aquí, A es
el área, π es la letra griega pi, y r es el radio del círculo,
definido como medio diámetro.
Todos
memorizamos esta fórmula en bachillerato, pero ¿de dónde viene? No suele
demostrarse en las clases de geometría. Si estudió cálculo, seguramente vio la
demostración, pero ¿es necesario el cálculo para obtener algo tan básico?
Sí, lo es.
Lo que hace que el problema sea difícil es que los círculos son redondos. Si
estuvieran hechos de líneas rectas, no habría problema alguno. Dar con el área
de cuadrados y rectángulos es fácil, pero trabajar con formas curvas como los
círculos es complicado.
La clave para pensar matemáticamente acerca de las formas curvadas es imaginar
que están hechas de varios trozos rectos. Algo que no es verdad, pero funciona…
siempre y cuando se lleve al límite y se imaginen infinitamente muchos
trozos, cada uno infinitesimalmente pequeño. Esa es la idea crucial de todo el
cálculo.
Esta es una manera de hallar el área de un círculo. Comience dividiendo el área
en cuatro cuartos iguales, y reorganícelos así:
Esta
extraña figura festoneada tiene la misma área que el círculo, aunque esto puede
parecer poco informativo, puesto que tampoco conocemos el área del círculo.
Pero, por lo menos, conocemos dos datos importantes. En primer lugar, los dos
arcos en la parte inferior tienen una longitud combinada igual a la mitad de la
circunferencia del círculo original (porque la otra mitad de la circunferencia
se explica por los dos arcos en la parte superior). Puesto que la
circunferencia entera es pi por el diámetro, la mitad sería pi por medio diámetro
o, lo que es lo mismo, pi por el radio, r. Por eso el diagrama
anterior muestra πr como la longitud combinada de los arcos
inferiores de la figura festonada. Segundo, los lados rectos de los trozos
tienen una longitud de r, ya que cada uno de ellos era,
originalmente, un radio del círculo.
A continuación, repita el proceso, pero esta vez con ocho trozos, apilados como
antes, alternativamente.
La
figura festonada parece ahora menos extraña. Los arcos de la parte superior e
inferior siguen ahí, pero no son tan pronunciados. Otra mejora es que los lados
derecho e izquierdo de la figura festonada no están tan inclinados como antes.
A pesar de estos cambios, los dos hechos anteriores aún se mantienen: los arcos
de la parte inferior siguen teniendo una medida neta de πr y cada
lado sigue midiendo r. Y, por supuesto, la figura festoneada tiene
la misma área que antes —el área del círculo que buscamos—, ya que es
simplemente una reordenación de los ocho trozos del círculo.
A medida que tomamos más y más trozos, sucede algo maravilloso: la forma
festoneada se acerca a un rectángulo. Los arcos se hacen más planos y los lados
se hacen casi verticales.
En
el límite de infinitamente muchos trozos, la forma es un
rectángulo. Como antes, los dos hechos se mantienen, lo que significa que este
rectángulo tiene una anchura inferior de πr y un lado de
altura r.
Pero
ahora el problema es sencillo. El área del rectángulo es igual a su anchura por
su altura, así que multiplicando πr por r obtenemos
un área de πr2 para el rectángulo. Y como la figura
reordenada siempre tiene la misma área que el círculo, ¡esta es también la
respuesta para el círculo!
Lo que resulta fascinante de este cálculo es la manera en que el infinito llega
al rescate. En cada fase finita, la figura festoneada parece extraña y poco
prometedora. Pero cuando la llevas al límite —cuando logras llegar a la pared—,
se hace simple y bella, y todo se esclarece. Así es como funciona el cálculo en
su mejor momento.
Arquímedes utilizó una estrategia similar para aproximarse a pi[64]. Reemplazó
un círculo por un polígono con muchos lados rectos y siguió doblando el número
de lados para acercarse a la redondez perfecta. Pero, en lugar de conformarse
con una aproximación de exactitud incierta, metódicamente acotó pi intercalando
el círculo entre polígonos inscritos y circunscritos, como se muestra a
continuación para figuras de 6, 12 y 24 lados.
Luego
utilizó el teorema de Pitágoras para descifrar el perímetro de los polígonos
interiores y exteriores, comenzando con el hexágono y subiendo hacia 12, 24, 48
y, finalmente, 96 lados. El resultado de los 96-ágonos le permitió demostrar
que
3
10/71 < π < 3 1/7
En
notación decimal (de la que no disponía Arquímedes), esto significa que pi está
entre 3,1408 y 3,1429.
Esta aproximación se conoce como el «método exhaustivo», o «método por
agotamiento»[65], por la
manera en que atrapa al desconocido número pi entre dos números conocidos que
le aprietan por los lados. Los límites se estrechan con cada duplicación,
agotando el margen de maniobra de pi.
En el límite de infinitamente muchos lados, tanto los límites superiores como
inferiores convergerían a pi. Desgraciadamente, este límite no es tan sencillo
como el anterior, donde la forma festoneada se convertía en rectángulo. Así que
pi se mantiene tan evasivo como siempre[66]. Podemos
descubrir más y más de sus dígitos —el récord actual supera los 2,7 billones de
decimales—, pero nunca lograremos conocerlo del todo.
Además de sembrar el terreno del cálculo, Arquímedes nos enseñó el poder de la
aproximación y la iteración. Mejoró una estimación empleando más y más trozos
rectos para aproximarse a un objeto curvo con creciente precisión.
Más de dos mil años después, esta estrategia maduró hasta convertirse en el
moderno campo de análisis numérico[67]. Cuando
los ingenieros utilizan ordenadores para diseñar coches óptimamente
aerodinámicos, o cuando los biofísicos simulan cómo un nuevo fármaco
quimioterapéutico combate las células cancerígenas, están empleando análisis
numérico.
Los matemáticos e informáticos que inauguraron este campo han creado algoritmos
repetitivos muy eficientes, que funcionan al ritmo de mil millones de veces por
segundo y permiten que las computadoras resuelvan problemas de cualquier campo
de la vida moderna, desde la biotecnología a Wall Street o Internet. En cada
caso, la estrategia es encontrar una serie de aproximaciones que converjan en
la respuesta correcta como límite.
Y no hay límite allá donde nos lleva.
Contenido:
§17.
Cambio en el que podemos confiar
§18. Se trocea, se rebana
§19. e al desnudo
§20. Me quiere, no me quiere
§21. Salir a la luz
§17.
Cambio en el que podemos confiar
Mucho antes de saber lo que era el cálculo, intuí que tenía algo especial. Mi
padre hablaba del cálculo en un tono reverencial. Él no había podido ir a la
universidad, era un niño de la Depresión, pero en algún momento, quizá durante
su estancia en el Pacífico Sur reparando motores de los bombarderos B-24, se
había percatado de las posibilidades del cálculo. Imagine un grupo controlado
de armamento antiaéreo, disparando automáticamente contra un caza enemigo. El
cálculo, supuso mi padre, podría utilizarse para decirle a las armas dónde
apuntar.
Aproximadamente un millón de alumnos estadounidenses cursan cálculo cada año[68]. Pero son
pocos los que verdaderamente comprenden de qué trata la asignatura, o los que
podrían decir por qué razón la aprenden. No es su culpa. Son tantas las
técnicas que dominar y tantas las nuevas ideas que absorber, que es fácil
perderse el marco general.
El cálculo es la matemática del cambio. Lo describe todo, desde la propagación
de epidemias a los zigzags de una bola de béisbol bien tirada. La materia es
gigantesca…, también lo son los manuales. Muchos exceden las mil páginas y
cumplen bien como sujetapuertas.
Pero entre toda esa mole, brillan dos ideas. El resto, como dijo el rabino
Hilel de la regla de oro, son solo comentarios. Esas dos ideas son la derivada
y la integral. Cada una domina su propia mitad de la asignatura: cálculo
diferencial y cálculo integral.
A grandes rasgos, la derivada nos dice a qué velocidad está cambiando algo; la
integral dice cuánto está acumulando. Nacieron en tiempos y lugares diferentes:
las integrales en Grecia, en torno al 250 a. C.; las derivadas en Inglaterra y
Alemania a mediados del siglo XVII. Sin embargo, en un giro propio de una
novela de Dickens, han resultado ser parientes de sangre, aunque se tardó cerca
de dos milenios en percibir el parecido familiar.
El siguiente capítulo explorará esa asombrosa conexión, así como el significado
de las integrales. Pero primero, para sentar las bases, veamos las derivadas.
Las derivadas están a nuestro alrededor, aunque no las reconozcamos. Por
ejemplo, la pendiente de una rampa es una derivada. Como todas las derivadas, mide
una tasa de cambio; en este caso, cuánto sube o baja a cada paso que da. Una
rampa muy empinada tiene una gran derivada. Un rampa de acceso para sillas de
ruedas, con su suave pendiente, tiene una derivada pequeña.
Cada campo tiene su propia versión de derivada. Vaya por retorno marginal, tasa
de crecimiento, velocidad o pendiente, una derivada que responda a cualquier
otro nombre huele igual de dulce. Desgraciadamente, muchos alumnos salen de la
asignatura de cálculo con una idea bastante más limitada, viendo las derivadas
como sinónimos de pendientes de una curva.
Su confusión es comprensible. La provoca nuestra dependencia de los gráficos
para expresar relaciones cuantitativas. Al trazar y en función
de x para visualizar cómo una variable afecta a la otra, todos
los científicos traducen sus problemas al lenguaje común de las matemáticas. La
tasa de cambio que realmente les preocupa —una tasa de crecimiento viral, la
velocidad de un jet o lo que sea— se convierte entonces en algo mucho más
abstracto pero más sencillo de imaginar: una pendiente en un gráfico.
Al igual que las pendientes, las derivadas pueden ser positivas, negativas o
cero, en función de si algo está subiendo, bajando o estabilizándose. Imagine a
Michael Jordan volando por los aires antes de uno de sus estruendosos mates[69].
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Justo
después del despegue, su velocidad vertical (la media a la que cambia su
elevación en el tiempo y, por lo tanto, otra derivada) es positiva, porque está
subiendo. Su elevación incrementa. Al bajar, su derivada es negativa. Y en el
punto más alto del salto, cuando parece estar colgado en el aire, su elevación,
momentáneamente, no cambia, y su derivada es cero. En ese sentido,
verdaderamente está colgando.
En este caso entra en juego un principio más general: las cosas siempre cambian
más despacio arriba y abajo. Se nota especialmente aquí, en Ithaca. Durante las
oscuras profundidades del invierno, los días no solo son despiadadamente
cortos, sino que apenas mejoran de uno a otro, mientras que en primavera los
días se alargan rápidamente. Todo esto tiene sentido. El cambio es más lento en
los extremos, precisamente porque la derivada es cero. Las cosas,
momentáneamente, están quietas.
Esta propiedad de la derivada cero de los picos y valles subraya alguna de las
aplicaciones más prácticas del cálculo. Nos permite utilizar derivadas para
descubrir en qué punto alcanza una función su máximo o mínimo, un tema que
surge cada vez que buscamos la manera mejor, más barata o más rápida de hacer
algo.
Mi profesor de cálculo en el instituto, el señor Joffray[70], tenía un
don para que cobraran vida esas cuestiones de máximos y mínimos. Un día llegó
corriendo a clase y nos contó su caminata por un campo cubierto de nieve. Al
parecer, el viento había esparcido mucha nieve por una parte importante del
terreno, cubriéndola significativamente, lo cual le obligó a caminar a un ritmo
más lento por esa parte. El resto del terreno estaba despejado, lo que le
permitió atravesarlo fácilmente. Se preguntó qué camino debería tomar un
senderista para ir lo más rápido posible desde el punto A al B en una situación
como esta.
Una
idea sería caminar recto a través de la nieve para acortar la parte más lenta
de la caminata. El inconveniente es que el resto del viaje sería más largo de
como habría sido de otra manera.
Otra
estrategia es dirigirse en línea recta de A a B. Esa es ciertamente la
distancia más corta, pero se tardaría más en la parte más ardua del viaje.
Mediante
el cálculo diferencial se puede hallar el mejor camino. Es una solución
intermedia específica entre las dos trayectorias consideradas anteriormente.
El
análisis implica cuatro pasos principales.
En primer lugar, observemos que el tiempo total de viaje —que es lo que
tratamos de minimizar— depende del punto en el que el senderista salga de la
nieve. Podría salir en cualquier lugar, así que consideremos todas las salidas
posibles como una variable. Cada uno de estos lugares puede caracterizarse
sucintamente especificando un único número: la distancia x en
la que el senderista sale de la nieve.
(Implícitamente,
la duración del viaje depende también de la localización de A y B y de la
velocidad del senderista en ambos terrenos, pero esos parámetros vienen dados.
Lo único que está bajo control del senderista es x).
En segundo lugar, dada una posibilidad de x y la localización
del punto de partida A y el punto de destino B, podemos calcular cuánto tiempo
invierte el senderista en caminar a través de las partes lenta y rápida del
terreno. Para cada etapa del viaje, este cálculo requiere el teorema de Pitágoras
y el viejo mantra del álgebra: «Distancia igual a velocidad multiplicada por
tiempo». Sumando los tiempos de ambas etapas se produce una fórmula para el
total del tiempo, T, como función de x.
En tercer lugar, trazamos T en función de x. La
parte inferior de la curva es el punto que buscamos: corresponde al menor
tiempo de viaje y, por tanto, a la opción más rápida.
Cuarto.
Para dar con el punto más bajo, invocamos el principio de la derivada cero
mencionado anteriormente. Calculamos la derivada de T, la igualamos
a cero, y resolvemos la x.
Estos cuatro pasos requieren el dominio de la geometría, el álgebra y varias
fórmulas derivativas de cálculo, habilidades equivalentes a la fluidez en una
lengua extranjera y, por lo tanto, escollos para muchos estudiantes.
Pero la respuesta final merece el esfuerzo. Revela que el camino más rápido
obedece a una relación conocida como la ley de Snell. Lo que asusta es que la
naturaleza también la obedece.
La ley de Snell[71] describe
cómo se doblan los rayos de luz cuando pasan del aire al agua, como sucede
cuando el sol se refleja en una piscina. La luz se mueve más despacio en el
agua, como el senderista en la nieve, y se dobla para minimizar la duración de
su viaje. Igualmente, la luz se dobla cuando viaja del aire al cristal o al
plástico, como cuando se refracta a través de sus gafas.
Lo misterioso es que la luz se comporta como si tuviera en cuenta todos los
caminos posibles[72] y se
decidiera por el mejor. La naturaleza —dando pie al tema de la serie
televisiva En los límites de la realidad—, de alguna manera, sabe
cálculo.
§18. Se trocea, se rebana
Los signos y símbolos matemáticos son a menudo crípticos, pero la mayoría de
ellos dan pistas visuales de su significado. Los símbolos para el cero, el uno
y el infinito logran asemejarse a un agujero vacío, una marca única y un bucle
sin fin: 0, 1, ∞. Y el signo igual, =, se forma con dos líneas paralelas
porque, como escribió su creador —el matemático galés Robert Recorde— en 1557,
«no hay dos cosas más iguales».
El signo más reconocible del cálculo es el de la integral:
∫
Sus
elegantes líneas evocan una clave musical o los agujeros en f de un violín, una
coincidencia acertada, puesto que algunas de las armonías con más encanto de la
matemática se expresan mediante integrales. Pero la razón principal por la que
el matemático Gottfried Leibniz eligió este símbolo es mucho menos poética. Es
simplemente una S de cuello largo (s, de suma).
Lo que se está sumando depende del contexto. En astronomía, la atracción
gravitatoria del Sol sobre la Tierra se describe mediante una integral.
Representa el efecto colectivo de todas las fuerzas minúsculas generadas por
cada átomo solar a distancias variables de la Tierra. En oncología[73], la
creciente masa de un tumor puede ser modelada por una integral. También puede
serlo la cantidad de fármaco administrado durante una sesión de quimioterapia.
Para entender por qué sumas de este tipo requieren cálculo integral y no el
tipo de suma convencional que aprendimos en primaria, veamos a qué tipo de
retos nos enfrentamos al tratar de calcular la atracción gravitatoria del Sol
sobre la Tierra. La primera dificultad es que el Sol no es un punto… y tampoco
lo es la Tierra. Ambos son bolas gigantescas hechas de un número formidable de
átomos. Cada átomo del Sol ejerce una atracción gravitatoria sobre cada átomo
de la Tierra. Evidentemente, puesto que los átomos son muy pequeños, sus
atracciones mutuas son casi infinitesimalmente pequeñas, pero como hay casi
infinitos átomos, en conjunto pueden llegar a ser algo. De alguna manera,
tenemos que sumarlos.
Pero existe una segunda dificultad más seria: esa atracción difiere entre
parejas de átomos. Algunas son más fuertes que otras. ¿Por qué? Porque la fuerza
de la gravedad cambia con la distancia: cuanto más cerca están
dos objetos, con más fuerza se atraen. Los átomos de los lados más alejados del
Sol y la Tierra son los que sienten la menor atracción; los de los lados más
próximos sienten la atracción más fuerte; y los que están en medio sienten
atracciones de fuerza media. El cálculo integral es necesario para sumar todas
esas fuerzas cambiantes. Sorprendentemente, puede hacerse, al menos en el
límite idealizado donde tratamos a la Tierra y al Sol como esferas sólidas
compuestas de infinitos puntos de la materia continua, cada
uno ejerciendo una atracción infinitesimal sobre los demás. Como siempre en
cálculo: ¡infinito y límites al rescate!
Históricamente, las integrales surgieron primero en geometría, en conexión con
el problema de hallar las áreas de superficies curvas. Como vimos en el
capítulo 16, el área de un círculo puede verse como la suma de muchos trozos de
tarta finos. En el límite de infinitos trozos, cada uno de ellos
infinitesimalmente fino, esos trozos podrían ser astutamente reorganizados para
formar un rectángulo cuya área resultara mucho más sencilla de encontrar. Ese
era el típico uso de las integrales. Consisten en tomar algo complicado y
trocearlo para que resulte más sencillo sumarlo.
En una generalización 3-D de este método, Arquímedes (y Eudoxo antes que él, en
torno al 400 a. C.) calculó los volúmenes de varias formas sólidas
imaginándolas como pilas de obleas o discos, como salami cortado fino. Mediante
el cálculo de los volúmenes cambiantes de los distintos trozos e integrándolos
ingeniosamente —sumándolos de nuevo—, pudo deducir el volumen del total
original.
Hoy todavía pedimos a matemáticos y científicos en ciernes que afilen sus
habilidades de integración aplicándolas a este tipo de problemas de geometría
clásica. Son de los ejercicios más difíciles que mandamos, y muchos alumnos los
odian, pero no hay modo más seguro de perfeccionar la familiaridad con las
integrales que exige toda disciplina cuantitativa, desde la física a las finanzas.
Uno de estos alucinantes casos se refiere al volumen del sólido común a dos
cilindros idénticos[74] que
se cruzan en ángulos rectos, como las tuberías de la cocina.
Paul Bourke
Visualizar
esta forma tridimensional requiere un don imaginativo poco común, así que no
hay que avergonzarse por admitir la derrota y buscar una manera de hacerlo más
palpable. Para ello, se puede recurrir a un truco que solía utilizar mi
profesor de cálculo del instituto. Coja una lata de aluminio y corte la parte
superior con unas cizallas para formar una herramienta de hacer cilindros.
Ahora úsela presionando sobre una patata grande o un trozo de espuma de
poliestireno desde dos direcciones perpendiculares entre sí. Inspeccione la
forma resultante en cuanto tenga tiempo.
La infografía[75] permite
que ahora podamos visualizar esta forma más fácilmente.
Paul Bourke
Sorprendentemente,
la figura tiene secciones transversales cuadradas, aunque fuera creada a partir
de cilindros redondos.
Paul Bourke
Es
una pila de capas infinitas, cada una un finísimo cuadrado, que disminuyen, a
partir de un gran cuadrado en el centro, a otros cada vez más pequeños y
finalmente a los puntos de la parte superior e inferior.
De todos modos, imaginar la figura es solo el primer paso. Aún queda determinar
su volumen, mediante el cómputo de los volúmenes de todos los segmentos
separados. Arquímedes logró hacerlo[76], pero solo
en virtud de su asombrosa ingenuidad. Utilizó un método mecánico basado en
palancas y centros de gravedad, prácticamente pesando la figura en su mente,
midiéndola frente a otras que ya comprendía. La parte mala de esta
aproximación, aparte de la exclusiva brillantez que exige, es que solo era
aplicable a unas cuantas formas.
Obstáculos conceptuales como este dejaron perplejos a los mejores matemáticos
durante los diecinueve siglos siguientes, hasta que a mediados del siglo XVII
James Gregory, Isaac Barrow, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron lo
que hoy se conoce como teorema fundamental del cálculo. Forjó una poderosa
unión entre dos tipos de cambio que se estudian en cálculo: el cambio
cumulativo, representado por las integrales, y la tasa local de cambio,
representada por las derivadas (el tema del capítulo 17). Exponiendo esta
conexión, el teorema fundamental expandió el universo de las integrales que
podían resolverse y redujo su cálculo a trabajo pesado. Hoy en día, se pueden programar
los ordenadores para que lo utilicen…, y también a los alumnos. Con la ayuda
del teorema, hasta el problema de los tubos, que en su día fue un reto mundial,
se convierte en un ejercicio al alcance de todos. (Para más detalles sobre el
enfoque de Arquímedes, así como el actual, consulte las referencias de las
notas en el apartado Notas).
Antes de que el cálculo y el teorema fundamental aparecieran, solo las formas
más simples de cambio podían analizarse. Cuando algo cambia de manera estable,
a un ritmo constante, el álgebra funciona maravillosamente. Esta es la
propiedad de «distancia igual a velocidad por tiempo». Por ejemplo, un coche
que circula a una velocidad estable recorrerá 60 millas en la primera hora y
120 millas al final de la segunda hora.
Pero ¿qué hay del cambio que progresa a un ritmo cambiante? Ese
cambio cambiante está en todas partes a nuestro alrededor: en el descenso
acelerado de una moneda lanzada desde un edificio alto, en el ir y venir de las
mareas, en las órbitas elípticas de los planetas, en nuestros ritmos
circadianos. Solo el cálculo puede hacer frente a los efectos acumulativos de
cambios tan poco uniformes como estos.
Casi dos milenios después de Arquímedes, solo existía un método para predecir
el efecto neto del cambio cambiante: sumar los distintos trozos, uno a uno. El
ritmo de cambio debía tratarse como una constante en cada trozo, luego invocar
el análogo de «distancia igual a velocidad por tiempo», llegar al final de ese
trozo y repetir hasta haber terminado con todos los trozos. La mayor parte de
las veces no podía hacerse. Las sumas infinitas eran demasiado complicadas.
El teorema fundamental permitía que muchos de estos problemas se resolvieran
—no todos, pero muchos más que antes—. Solía ser un atajo para resolver
integrales, por lo menos para las funciones elementales (las sumas y productos
de potencias, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas) que
describían muchos de los fenómenos del mundo natural.
He aquí una analogía que espero que arroje un poco de luz sobre lo que dice el
teorema fundamental y por qué es tan útil (la sugirió Charlie Peskin, colega de
la Universidad de Nueva York). Imagine una escalera. El cambio total de altura,
desde arriba hasta abajo, es la suma de la altura de los escalones. Esto es
cierto, independientemente de que algunos escalones sean más altos que otros o
cuántos escalones haya.
El teorema fundamental del cálculo dice algo parecido para las funciones: si
integra la derivada de una función de un punto a otro, obtendrá el cambio neto
en la función entre los dos puntos. En esta analogía, la función es como la
elevación de cada escalón comparada con el nivel del suelo. Las subidas de cada
escalón individual son como la derivada. Integrar la derivada es como sumar las
alturas. Y los dos puntos son la parte superior y la parte inferior.
¿Por qué es tan útil el teorema? Suponga que le entregan una lista enorme de
números para sumar, como ocurre cuando calcula una integral por partes. Si de
alguna manera logra encontrar la escalera correspondiente —en otras palabras,
si logra encontrar una función de elevación para la que esos números sean las
subidas—, entonces calcular la integral es sencillo. Es la parte superior menos
la parte inferior.
El teorema fundamental hace posible este atajo. Y es por lo que torturamos a
todos los alumnos primerizos de cálculo durante meses, tratando de que aprendan
a encontrar funciones de elevación, técnicamente llamadas antiderivadas o
integrales indefinidas. Este avance permitió a los matemáticos pronosticar
acontecimientos en un mundo cambiante con mucha mayor precisión de la que nunca
había sido posible.
Desde esta perspectiva, el legado perdurable del cálculo integral es una
vista thermomix del universo. Newton y sus sucesores
descubrieron que la naturaleza misma se desdobla en trozos. Prácticamente,
todas las leyes de la física halladas en los últimos 300 años resultaron tener
este carácter, ya sea que describan el movimiento de partículas, el flujo de
calor, electricidad, aire o agua. Junto con las leyes que rigen, las
condiciones en cada trozo de tiempo o espacio determinarán qué sucede en trozos
adyacentes.
Las implicaciones eran profundas. Por primera vez en la historia, la predicción
racional era posible… no solo trozo a trozo, sino, con la ayuda del teorema
fundamental, a pasos agigantados.
Así que estamos tardando en actualizar nuestro eslogan para integrales: de «Se
trocea, se rebana» a «Recalculando. Una ruta mejor es posible».
§19. «e» al desnudo
Algunos números son celebridades de tal calibre que tienen nombres artísticos
de una sola letra, algo a lo que no llegan Madonna o Prince. El más famoso es
π, el número anteriormente conocido como 3,14159…
Cerca está i, el número del álgebra, el número imaginario, tan
radical que cambió lo que significaba ser un número. ¿El siguiente de la lista?
Saluden a e. Así apodado por su papel estelar en el crecimiento
exponencial, e es ahora el Zelig de la matemática avanzada.
Surge de cualquier parte, se asoma desde las esquinas del escenario,
haciéndonos reír con su presencia en lugares incongruentes. Por ejemplo, junto
con los puntos de vista que ofrece sobre las reacciones en cadena y los booms poblacionales, e tiene
también algo que decir acerca de con cuántas personas se debe salir antes de
sentar la cabeza.
Pero antes de entrar en eso, ¿qué es, exactamente, e[77]? Su valor
numérico es 2,71828…, pero eso no resulta demasiado esclarecedor. Podría
decirle que e es igual al número limitante al que se acerca la
suma
1 +
1/1 + 1/1 × 2 + 1/1 × 2 × 3 + 1/1 × 2 × 3 × 4 +…
a
medida que vamos añadiendo términos. Pero esto tampoco ayuda demasiado. En
lugar de esto, veamos a e en acción.
Imagine que ha depositado 100 dólares en una cuenta de ahorro en un banco que
le paga un generoso interés del 100 por ciento anual. El año siguiente, en su
cuenta tendría 200 dólares, el depósito inicial de 100 dólares más el 100 por
ciento de interés, es decir, otros 100 dólares.
Puesto que reconoce a un tonto a primera vista, le pide al banco términos
incluso más favorables: ¿qué les parecería ofrecer el interés semestralmente?
Es decir, pagarían solo el 50 por ciento del interés los primeros seis meses y
el 50 por ciento restante los siguientes seis. A usted le resultaría mucho más
favorable (puesto que cobraría intereses de los intereses), pero ¿cuánto más
favorable?
La respuesta es que su suma inicial de 100 crecería en un factor de 1,50 en el
primer semestre del año y de nuevo en un factor de 1,50 en el segundo semestre.
Y puesto que 1,50 por 1,50 es 2,25, después de un año, su dinero ascendería a
2250 dólares, mucho más que los 200 dólares que recibió de la oferta original.
Pero ¿y si insistiera aún más y convenciera al banco de que dividiera el año en
periodos más y más cortos —diario, por segundo, incluso por nanosegundo—?
¿Haría una pequeña fortuna?
Para hacer que los números salgan bien, aquí está el resultado correspondiente
a un año dividido en 100 periodos iguales, por los que cobraría un interés del
1 por ciento (la tasa de 100 por ciento anual, dividida uniformemente en 100
cuotas): su dinero crecería en un factor de 1,01 elevado a la potencia 100.ª,
lo que equivale aproximadamente a 2,70481. En otras palabras, en lugar de 200 o
2250 dólares, tendría 2704,81.
Finalmente, si el interés se capitalizase con frecuencia infinita —esto
se llama capitalización continua— su total tras un año sería algo más grande,
pero no demasiado: 2718,28 dólares. La respuesta correcta es 100 dólares
por e, cuando e se define como el número limitante
que resulta de este proceso:
Este
es un argumento del cálculo por antonomasia. Como vimos en los últimos
capítulos en los que calculamos el área de un círculo o ponderamos la atracción
gravitatoria del Sol sobre la Tierra, lo que distingue al cálculo de partes
anteriores de las matemáticas es su voluntad de confrontar —y aprovechar— el
inmenso poder del infinito. Ya estemos fijándonos en límites, derivadas o
integrales, siempre tenemos que acercarnos sigilosamente al infinito de una u
otra manera.
En el proceso limitante que ha dado lugar a e, imaginamos la
partición de un año en más y más periodos de capitalización, ventanas de tiempo
que se hacían cada vez más y más pequeñas, aproximándose cada vez más a lo que
solo puede describirse como cantidad infinita, ventanas infinitesimalmente estrechas.
Esto puede sonar paradójico, pero no es peor que tratar a un círculo como el
límite de un polígono regular con más y más lados, cada uno de los cuales se
hace más y más pequeño. Lo fascinante es que cuanto más frecuentemente se
capitaliza el interés, menos crece el dinero durante cada periodo. Sin embargo,
todavía asciende a algo sustancial después de un año, ¡porque se ha
multiplicado durante muchos periodos!
Esta es una pista acerca de la ubicuidad de e. Suele mostrarse
cuando algo cambia por el efecto acumulativo de pequeños acontecimientos.
Considere un pedazo de uranio experimentando desintegración radiactiva. Momento
a momento, cada átomo tiene cierta posibilidad de desintegrarse. Si finalmente
lo hace, y cuándo, es completamente impredecible, y cada suceso tiene un efecto
infinitesimal en el total. Sin embargo, en conjunto, estos billones de sucesos,
de manera suave y previsible, producen un decremento exponencial del nivel de
radiactividad.
O piense en la población mundial, que crece aproximadamente de manera
exponencial. En todo el mundo, los niños nacen en momentos y lugares
aleatorios, mientras que otras personas mueren, también en momentos y lugares
aleatorios. Cada suceso tiene un impacto minúsculo, porcentualmente hablando,
en la población total del mundo. Sin embargo, la población total crece
exponencialmente a una tasa muy predecible.
Otra receta para e combina el azar con un gran número de
elecciones. Permítame darle dos ejemplos inspirados en el día a día, aunque
bastante estilizados.
Imagine que en el cine local proyectan una nueva película muy popular. Es una
comedia romántica y cientos de parejas (muchas más de las que el cine puede
acomodar) hacen cola frente a la taquilla, desesperadas por entrar. Cuando una
pareja consigue sus entradas, entra y se pelea por encontrar dos butacas
juntas. Para simplificar las cosas, supongamos que eligen estos asientos al
azar, donde haya sitio. En otras palabras, no les importa sentarse cerca o
lejos de la pantalla, en el pasillo, o en mitad de una fila. Mientras estén
juntos, están felices.
Asumamos también que ninguna pareja se moverá para dejar sitio a otra. Una vez
sentada una pareja, se acabó. No habrá cortesía alguna. Conscientes de esto, la
taquilla deja de vender entradas en cuanto quedan, únicamente, butacas sueltas;
de lo contrario, podría haber peleas.
Al principio, cuando el cine está casi vacío, no hay problema. Toda pareja
puede encontrar dos sitios juntos. Pero después, solo quedan butacas sueltas
—solitarias, espacios inhabitables, muertos, que una pareja no puede usar—. En
la vida real, la gente genera estos parachoques a propósito, ya sea para dejar
sus abrigos o para evitar compartir reposabrazos con un extraño repulsivo. En
este modelo, no obstante, estos espacios muertos se dan por azar.
La pregunta es: cuando no queda sitio para más parejas, ¿qué fracción de los
asientos del cine está desocupada?
La respuesta, en caso de tratarse de un cine con muchas butacas por fila, se
aproxima a
Por
tanto, cerca del 13,5 por ciento de las butacas se desperdician[78].
Aunque los detalles del cálculo son demasiado complejos para mostrarlos aquí,
es sencillo ver que 13,5 por ciento entra dentro de lo razonable cuando lo
comparamos con dos casos extremos. Si las parejas se sentaran unas junto a
otras, enlatadas con perfecta eficiencia como las sardinas, no sobrarían
sitios.
J. R. Eyerman / Getty Images
Sin
embargo, si se posicionaran de la manera más ineficiente posible,
siempre con una butaca vacía entre ellas (y dejando un sitio de pasillo a un
lado u otro de la fila, como muestra el diagrama siguiente), un tercio de los
asientos no se usaría, porque cada pareja ocupa tres asientos: dos para ellos y
otro para el espacio muerto.
Adivinando
que el caso aleatorio caería en algún punto entre la eficiencia perfecta y la
perfecta ineficiencia, y tomando la media de 0 y 1⁄3,
esperaríamos que cerca de 1⁄6, o el 16,7 por ciento,
de los asientos no se usasen. Así que no estamos demasiado lejos de la
respuesta exacta, 13,5 por ciento.
Aquí, el alto número de opciones se da por las muchas formas en que pueden
estar dispuestas las parejas en una sala de cine grande. Nuestro ejemplo final
también tiene que ver con organizar parejas, pero esta vez en el tiempo, no en
el espacio. A lo que me refiero es al molesto problema de con cuántas personas
hay que salir antes de elegir compañero o compañera[79]. La
versión de la vida real es demasiado complicada para las matemáticas, así que
tomaremos un modelo simplificado. A pesar de las suposiciones irreales, logra
capturar alguna de las desgarradoras incertidumbres del amor.
Supongamos que sabe cuántas compañeras potenciales va a conocer durante su
vida. (El número real no es importante mientras sepamos de antemano que no es
demasiado pequeño).
Asumamos también que es posible clasificar a estas personas inequívocamente, si
pudiera verlas a todas a la vez (lo trágico, por supuesto, es que no puede).
Las conoce al mismo tiempo, en un orden aleatorio. De tal manera que no puede
saber si Don o Doña Perfecta —que estaría el número 1 en su lista— es alguien a
quien ya ha conocido y de quien se ha separado, o si está a la vuelta de la
esquina.
Y este juego funciona así: una vez que deja marchar a alguien, se ha ido. No
hay una segunda oportunidad.
Finalmente, asuma que no quiere sentar la cabeza. Si termina con Segunda Mejor,
o con cualquier otra que, en retrospectiva, no habría ocupado el primer puesto
de la lista, considerará su vida amorosa un fracaso.
¿Hay esperanzas de elegir a su único y verdadero amor? Si es así, ¿qué puede
hacer para tener las mejores probabilidades?
Una buena estrategia, aunque no la mejor, es dividir su vida amorosa en dos
mitades iguales. En la primera de ellas, usted se mueve sin compromiso; en la
segunda, está dispuesto a ponerse serio y a agarrar a la primera persona que
conozca que sea mejor que aquellas con las que ha salido hasta ahora.
Con esta estrategia existe, por lo menos, una probabilidad del 25 por ciento de
enganchar a Doña Perfecta. He aquí el porqué: tiene una probabilidad del 50 por
ciento de conocer a Doña Perfecta en la segunda mitad de su vida amorosa, su
fase «seria», y otro 50 por ciento de probabilidad de conocer a Segunda Mejor
en la primera mitad, mientras se movía sin compromiso. Si ambos casos se dan —y
existe una probabilidad del 25 por ciento de que así sea—, usted terminará
junto a su único y verdadero amor.
Esto es porque Segunda Mejor puso el listón muy alto. Nadie a quien conozca
tras haberse puesto serio le tentará, salvo Doña Perfecta. Por eso, aunque
llegado el momento no esté seguro de que Doña Perfecta sea Ella, lo llegará a
ser, puesto que nadie más puede superar el listón marcado por Segunda Mejor.
La estrategia óptima, sin embargo, es ponerse serio un poco antes, transcurrido
1/e, o un 37 por ciento, de su potencial vida amorosa. Eso le concede
una probabilidad de 1/e de acabar con Doña Perfecta.
A menos que Doña Perfecta no esté jugando también al juego de la e.
§20. Me quiere, no me quiere
«En primavera», escribió Tennyson, «la fantasía de un joven suavemente se
convierte en pensamientos de amor». Desgraciadamente, su posible compañera
tiene pensamientos propios, y la interacción entre ambos puede llevar a las
tumultuosas subidas y bajadas que hacen del nuevo amor algo tan emocionante, y
tan doloroso. Muchas almas en pena han buscado en la bebida la respuesta a
estos vaivenes, otros en la poesía. Nosotros consultaremos al cálculo.
El análisis que sigue es irónico, pero toca un punto serio: mientras que las
leyes del corazón pueden eludirnos siempre, las leyes de lo inanimado se
entienden ahora perfectamente. Adoptan la forma de ecuaciones diferenciales,
que describen cómo variables interconectadas cambian de un momento a otro,
dependiendo de sus valores actuales. En cuanto a la relación de estas
ecuaciones con el romanticismo…, bueno, al menos arrojan algo de luz sobre por
qué, en palabras de otro poeta, «el curso del verdadero amor nunca fluyó con
suavidad».
Para ilustrar esta idea, supongamos que Romeo está enamorado de Julieta[80], pero, en
nuestra versión de la historia, Julieta es una amante inconstante. Cuanto más
la quiere Romeo, más ganas tiene ella de huir y esconderse. Pero cuando él
asume la indirecta y se retira, ella empieza a encontrarle extrañamente
atractivo. Él, sin embargo, tiende a reflejarse en ella: se anima cuando ella
le quiere y se enfría cuando le odia.
¿Qué les pasa a nuestros desventurados amantes? ¿Cómo va y viene su amor a lo
largo del tiempo? Aquí es donde aparece el cálculo. Escribiendo ecuaciones que
resuman la manera en que Romeo y Julieta responden a los afectos mutuos y luego
resolviéndolas por medio del cálculo, podemos predecir el curso de su relación.
El pronóstico resultante es, trágicamente, un ciclo interminable de amor y
odio. Por lo menos, logran un amor simultáneo durante un cuarto del tiempo.
Para
alcanzar esta conclusión, he asumido que el comportamiento de Romeo puede
modelarse mediante la siguiente ecuación diferencial:
dR/dt
= aJ,
que
describe cómo su amor (representado por R) cambia en el
instante siguiente (representado por dt). De acuerdo con esta
ecuación, la cantidad de cambio (dR)es solo un múltiplo (a) del
amor actual de Julieta (J). Esto refleja lo que ya sabemos —que el
amor de Romeo incrementa cuando Julieta le quiere—, pero asume algo más serio.
Dice que el amor de Romeo incrementa en proporción lineal directa a cuanto le
quiere Julieta. Esta asunción de linealidad no es emocionalmente realista, pero
hace que la ecuación sea más sencilla de resolver.
El comportamiento de Julieta, contrariamente, puede modelarse por la ecuación:
dJ/dt
= −bR
El
signo negativo frente a la constante b refleja la tendencia de
Julieta a enfriarse cuando Romeo la quiere.
Lo único que nos queda por saber es cómo se sentían inicialmente los amantes (Ry J en
tiempo t = 0). Entonces, todo en su relación está
predeterminado. Podemos utilizar un ordenador para mover lentamente hacia
delante a R y J, cambiando sus valores instante a
instante, tal y como sugieren las ecuaciones diferenciales. De hecho, con la
ayuda del teorema fundamental del cálculo, podemos llegar más lejos. Puesto que
el modelo es muy simple, no tenemos que arrastrarnos poco a poco. El cálculo
ofrece un par de fórmulas generales que nos dicen cuánto se querrán (u odiarán)
Romeo y Julieta en cualquier momento futuro.
Las ecuaciones diferenciales anteriores deben resultar familiares a estudiantes
de física: Romeo y Julieta se comportan como osciladores armónicos simples.
Así, el modelo predice que R(t) y J(t) —las
funciones que describen el curso del tiempo de su relación— serán ondas
sinusoidales, cada una creciente y menguante, pero alcanzando su máximo en
diferentes momentos.
El modelo puede hacerse más realista de varias maneras. Por ejemplo, puede que
Romeo reaccione tanto ante sus propios sentimientos como ante los de Julieta.
Puede ser el tipo de hombre al que le preocupa abalanzarse sobre ella y que,
por tanto, decide ir más despacio mientras su amor continúa creciendo. O puede
que sea un tipo de hombre al que le gusta tanto sentirse enamorado que la ama
aún más por ello.
Añada a esas dos posibilidades las dos maneras en que Romeo puede reaccionar a
los afectos de Julieta —aumentando o disminuyendo sus propios afectos— y verá
que existen cuatro tipos de personalidades, cada una correspondiente a un
estilo distinto de amar. Mis alumnos y los de la clase de Peter Christopher en
el Instituto Politécnico de Worcester han sugerido nombres tan descriptivos
como Ermitaño y Misántropo Malévolo para el tipo de Romeo que sofoca su propio
amor y además retrocede ante el amor de Julieta. Por otra parte, el Romeo que
se infla con su propio ardor pero que se apaga con el de Julieta ha sido
bautizado como Empollón Narcisista, Mejor Latente Que Nunca y Mequetrefe
Coqueteador. (No dude en proponer apodos para estos dos tipos y las otras dos
posibilidades).
Aunque son ejemplos caprichosos, lo que surge a partir ellos tiene mucha
profundidad. Representan la herramienta más poderosa que ha creado la humanidad
para hacer inteligible el mundo material. Sir Isaac Newton empleó las
ecuaciones diferenciales para resolver el antiguo misterio del movimiento
planetario. Haciéndolo, unificó las esferas terrestre y celeste, mostrando que
las mismas leyes de movimiento se aplicaban a ambas.
En los casi 350 años transcurridos desde Newton, la humanidad ha descubierto
que las leyes físicas siempre se expresan mediante ecuaciones diferenciales.
Esto es cierto para las ecuaciones que regulan el flujo del calor, aire y agua;
para las leyes de electricidad y magnetismo; incluso para el desconocido y
contraintuitivo ámbito atómico, donde reina la mecánica cuántica.
En cualquier caso, el negocio de la física teórica se reduce a la búsqueda de
las ecuaciones diferenciales adecuadas y a su resolución. Cuando Newton
descubrió la llave de los secretos del universo, sintió que era tan preciada,
que la publicó únicamente como un anagrama en latín. Libremente traducido, dice
algo así: «Es útil resolver ecuaciones diferenciales»[81].
La absurda idea de que las relaciones amorosas podrían asimismo ser descritas
por ecuaciones diferenciales se me ocurrió cuando me enamoré por primera vez y
trataba de comprender el desconcertante comportamiento de mi novia. Fue un
romance veraniego al final de mi segundo año en la universidad. Me comporté de
manera muy similar al primer Romeo que hemos descrito y ella era todavía más
parecida a la primera Julieta. Los ciclos de nuestra relación me volvían loco,
hasta que me di cuenta de que ambos nos comportábamos de manera mecánica,
siguiendo simples normas de tira y afloja. Pero a finales del verano mis
ecuaciones comenzaron a romperse y estaba más desconcertado que nunca. Sucedió
que había dejado fuera de la ecuación una importante variable: su antiguo novio
quería volver con ella.
En matemáticas esto se conoce como el problema de los tres cuerpos. Resulta
notoriamente intratable, especialmente en un contexto astronómico, donde surgió
por primera vez. Cuando Newton resolvió las ecuaciones diferenciales para el
problema de dos cuerpos (explicando por qué los planetas se mueven en órbitas
elípticas alrededor del Sol), se interesó en el problema de los tres cuerpos:
Tierra, Sol y Luna. No pudo resolverlo él, ni nadie. Resultó que el problema de
los tres cuerpos contenía las semillas del caos[82], lo que
hacía su comportamiento imprevisible a largo plazo.
Newton no sabía nada de la teoría del caos, pero, según su amigo Edmund Halley,
se quejaba de que el problema de los tres cuerpos «le provocaba dolor de cabeza
y le mantenía despierto tan a menudo que dejaría de pensar enél»[83].
Sir Isaac, en eso estoy contigo.
§21. Salir a la luz
El señor DiCurcio fue mi mentor en el instituto. Era desagradable y exigente,
llevaba gafas negras de pasta propias de un empollón y tenía tendencia al
sarcasmo, así que sus encantos pasaban desapercibidos. Sin embargo, su pasión
por la física me resultó irresistible.
Un día le mencioné que estaba leyendo una biografía de Einstein. Según el
libro, Einstein, siendo universitario, había quedado deslumbrado por algo
llamado ecuaciones de Maxwell para la electricidad y el magnetismo, y le dije
al señor DiCurcio que estaba deseando tener suficientes conocimientos de
matemáticas para aprender lo que eran.
Era un colegio interno y estábamos cenando en una mesa grande con muchos otros
alumnos, su mujer y sus dos hijas. El señor DiCurcio estaba sirviendo puré de
patata y al escuchar que mencionaba las ecuaciones de Maxwell soltó la cuchara,
agarró una servilleta de papel y comenzó a escribir símbolos crípticos —puntos
y cruces, triángulos al revés, Es y Bes con flechas
sobre ellas—; de repente pareció estar afectado de glosolalia: «La curv de una
curv es grad div menos del al cuadrado…».
¿Qué era todo eso que estaba murmurando? Me di cuenta de que hablaba en la
lengua del cálculo vectorial[84], la rama
matemática que describe los campos invisibles que nos rodean. Piense en el
campo magnético que orienta la aguja de una brújula hacia el norte, o en el
campo gravitacional que tira de su silla hacia el suelo, o en el campo de
microondas que calientan su cena.
Los grandes logros del cálculo vectorial radican en ese reino crepuscular en
que la matemática se encuentra con la realidad. Por supuesto, la historia de
James Clerk Maxwell y sus ecuaciones ofrece uno de los casos más misteriosos de
la efectividad irracional de las matemáticas. De alguna manera, barajando
algunos símbolos, Maxwell descubrió lo que era la luz[85].
Para dar sentido a lo que Maxwell logró y entender en qué consiste el cálculo
vectorial, comencemos con el término «vector». Proviene de la raíz latina vehere,
«llevar», de la que también surgen palabras como «vehículo». Para un
epidemiólogo, un vector es el portador de un patógeno, como el mosquito que
transporta la malaria a nuestra sangre. Para un matemático, un vector (al menos
en su forma más simple) es un escalón que nos lleva de un lugar a otro.
Piense en uno de esos diagramas para aspirantes a bailarines de salón, repleto
de flechas que indican cómo mover el pie derecho, luego el pie izquierdo, como
cuando se baila la rumba:
Estas
flechas son vectores. Muestran dos tipos de información: una dirección (hacia
dónde mover el pie) y una magnitud (hasta dónde moverlo). Todos los vectores
cumplen esta doble función.
Los vectores pueden sumarse y restarse, como los números, pero su
direccionalidad complica un poco las cosas. Aun así, la forma más correcta de
sumar vectores se aclara si los concibe como lecciones de baile. Por ejemplo,
¿qué obtiene dando un paso al este seguido de uno al norte? Naturalmente, un
vector que apunta hacia el noreste.
Sorprendentemente,
las velocidades y fuerzas funcionan de la misma manera: también se suman como
pasos de baile. Esto resultará familiar a cualquier aficionado al tenis que
haya tratado de imitar a Pete Sampras dando una derecha mientras esprinta hacia
la línea lateral. Si apunta ingenuamente hacia donde quiere que se dirija la
bola, la trayectoria será demasiado amplia, porque olvidó tener en cuenta su
propia carrera. La velocidad de la bola relativa a la pista es la suma de dos vectores:
la velocidad de la bola relativa a usted (un vector apuntando hacia delante,
como se pretende), y su velocidad relativa a la pista (un vector que apunta
hacia un lado, ya que esa es la dirección en la que corre). Para golpear la
bola hacia donde quiere que vaya debe apuntar ligeramente cruzado, para
compensar su propio movimiento lateral.
Más
allá del álgebra vectorial yace el cálculo vectorial, el tipo de matemática que
empleaba el señor DiCurcio. El cálculo, como recordará, es la matemática del
cambio. Por lo tanto, sea lo que sea el cálculo vectorial, debe implicar
vectores cambiantes, ya sea de momento o de lugar. En este último caso, se
habla de «campo vectorial».
Un ejemplo clásico es el campo de fuerza en torno a un imán. Para visualizarlo
coloque un imán en un trozo de papel y esparza limaduras de hierro por todas
partes. Cada limadura actúa como una pequeña aguja de brújula: se alinea con la
dirección del «norte» local, determinado por el campo magnético en ese punto.
Visto en conjunto, estas limaduras revelan un cuadro espectacular de líneas de
campo magnético que conducen de un polo del imán a otro.
Alchemy / Alamy
La
dirección y magnitud de los vectores en un campo magnético varían de un punto a
otro. Como en el cálculo en general, la herramienta clave para cuantificar
dichos cambios es la derivada. En cálculo vectorial, el operador de la derivada
se hace llamar «del», que aunque suena sureño y folclórico alude a la letra
griega Δ (delta), frecuentemente utilizada para denotar un cambio en alguna
variable. Como recordatorio de este parentesco, «del» suele escribirse así: ∇. Este era el misterioso triángulo
invertido que el señor DiCurcio escribía sin parar en la servilleta.
Resulta que existen dos maneras distintas pero igualmente naturales de tomar la
derivada de un campo vectorial aplicándole del. La primera aporta
lo que se conoce como la divergencia del campo (el «div» que el señor DiCurcio
murmuraba). Para tener una aproximación intuitiva de lo que mide la
divergencia, observe el campo vectorial siguiente, que muestra cómo el agua
fluiría desde una fuente situada a la izquierda hacia un sumidero situado a la
derecha.
Para
este ejemplo, en lugar de utilizar limaduras de hierro para localizar el campo
vectorial, imagine varios pequeños corchos o pequeños pedazos de hojas flotando
en la superficie del agua. Los utilizaremos como sondas. Su movimiento nos dirá
cómo se mueve el agua en cada punto. Concretamente, imagine qué sucedería si
colocamos un pequeño círculo de corchos alrededor de la fuente. Obviamente, los
corchos se esparcirían y el círculo crecería, porque el agua sale y se aleja de
la fuente. Aquí diverge. Y cuanto más fuerte sea la divergencia,
más rápido crecerá el área de nuestro círculo de corchos. Esto es lo que mide
la divergencia de un campo vectorial: a qué velocidad crece el área de un
pequeño círculo de corchos.
La imagen siguiente muestra el valor numérico de la divergencia en cada punto
del campo que hemos estado observando, codificado por tonos grises. Tonos más
claros muestran puntos donde el flujo ha tenido divergencia positiva. Los tonos
más oscuros muestran lugares de divergencia negativa, es decir, puntos en los
que el flujo comprime un pequeño círculo de corcho centrado allí.
El
otro tipo de derivada mide la curvatura de un campo vectorial. Hablando
toscamente, indica con qué fuerza está girando el campo en torno a un punto
determinado. (Piense en los mapas del tiempo que ha visto en las noticias que
muestran los patrones de viento rotando alrededor de huracanes o tormentas
tropicales). En el campo vectorial siguiente, las regiones que parecen
huracanes tienen una gran rotación.
Adornando
el campo vectorial con sombreado, podemos mostrar dónde la rotación es más
positiva (regiones más claras) y más negativa (regiones más oscuras). Fíjese
que esto también nos indica si el flujo gira en el sentido de las agujas del
reloj o al revés.
La rotación es tremendamente informativa para aquellos científicos que trabajen
en mecánica de fluidos y aerodinámica. Hace unos años, mi colega Jane Wang
utilizó un ordenador para simular el patrón de flujo de aire alrededor de una
libélula que flotaba quieta en un punto[86].
Calculando la rotación, halló que cuando una libélula bate sus alas crea
parejas de vórtices contrarrotatorios que se comportan como pequeños tornados
bajo sus alas, produciendo suficiente elevación para mantener al insecto en el
aire. En este sentido, el cálculo vectorial ayuda a explicar cómo pueden volar
las libélulas, abejorros y colibríes, algo que durante mucho tiempo había sido
un misterio para la aerodinámica de ala fija convencional.
Con
las nociones de divergencia y rotación a mano, ya podemos revisitar las
ecuaciones de Maxwell. Expresan cuatro leyes fundamentales: una para la
divergencia del campo eléctrico, otra para su rotación y dos más del mismo
tipo, pero ahora para el campo magnético. Las ecuaciones de divergencia
relacionan los campos eléctricos y magnéticos con sus fuentes, las partículas
cargadas y corrientes que las producen en primer término. Las ecuaciones
rotacionales describen cómo interactúan y cambian a lo largo del tiempo los
campos eléctricos y magnéticos. Estas ecuaciones expresan así una bella
simetría: vinculan la tasa de cambio de un campo en el tiempo a
la tasa de cambio del otro campo en el espacio, tal como se
cuantifica por su rotacional.
Con maniobras matemáticas equivalentes al cálculo vectorial —que en su tiempo
se desconocía— Maxwell extrajo las consecuencias lógicas de esas cuatro
ecuaciones. Su mezcla de símbolos le llevó a la conclusión de que los campos
eléctricos y magnéticos podrían propagarse como una onda, como sucede en un
estanque, salvo que estos dos campos se parecían más a organismos simbióticos.
Se sostenían mutuamente. Las ondulaciones del campo eléctrico rehacían el campo
magnético, que a su vez rehacía el campo eléctrico y así sucesivamente, con uno
tirando del otro hacia delante, algo que por separado ninguno podía hacer.
Ese fue el primer avance: la predicción teórica de las ondas electromagnéticas.
Pero lo verdaderamente increíble vino después. Cuando Maxwell calculó la
velocidad de estas ondas hipotéticas, empleando propiedades conocidas de la
electricidad y el magnetismo, sus ecuaciones le dijeron que viajaban a unas 193
00 millas por segundo, la misma que la velocidad de la luz medida por el físico
francés Hyppolyte Fizeau una década antes.
Ojalá hubiera presenciado el momento en que un ser humano, por primera vez,
entendió la verdadera naturaleza de la luz[87].
Identificándola con una onda electromagnética, Maxwell unificó tres antiguos
fenómenos, aparentemente sin relación: electricidad, magnetismo y luz. Aunque
experimentadores como Faraday y Ampère habían encontrado ya piezas clave para
este puzle, fue Maxwell, armado con sus matemáticas, quien los puso todos
juntos.
Hoy estamos inundados por las —en su día hipotéticas— ondas de Maxwell: radio,
televisión, teléfonos móviles, wi-fi; todas ellas, legado de su conjuro con
símbolos[88].
Contenido:
§22.
La nueva normalidad
§23. Es probable
§24. Desenredando la Red
§22.
La nueva normalidad
La estadística se ha puesto repentinamente de moda. Gracias al surgimiento de
Internet, el comercio electrónico, las redes sociales, el Proyecto Genoma
Humano y la cultura digital en general, el mundo está repleto de datos[89]. Los
vendedores examinan nuestros hábitos y gustos. Las agencias de inteligencia
recopilan datos acerca de nuestros paraderos, e-mails y llamadas telefónicas.
Estadísticos deportivos hacen crujir los números[90] para
decidir a qué jugadores fichar, a qué promesas reclutar e incluso a qué lado
lanzar el último penalti de la tanda. Todo el mundo quiere unir los puntos para
dar con la aguja del significado en el pajar de los datos.
Así que no sorprende que se aconseje a los estudiantes de acuerdo con esta
tendencia. «Aprendan estadística», exhortaba Greg Mankiw, un economista de
Harvard, en una columna publicada en 2010 en The New York Times.
«Los planes de estudio de las matemáticas de instituto invierten demasiado tiempo
en temas tradicionales, como la geometría euclídea y la trigonometría. Para una
persona normal, estos son ejercicios intelectuales útiles, pero tienen poca
aplicación a la vida diaria. A los alumnos les iría mejor si aprendieran más
probabilidad y estadística»[91]. David
Brooks lo dijo sin rodeos. En una columna acerca de las asignaturas
universitarias que todo el mundo debería escoger para tener una formación
apropiada, escribió: «Cursad estadística. Lo siento, pero más adelante os
daréis cuenta de que es útil saber lo que es una desviación estándar»[92].
Sí, y aún es más útil saber qué es una distribución. Esta es la primera idea en
la que me gustaría centrarme, puesto que envuelve una de las lecciones clave de
la estadística[93]: cosas que
parecen irremediablemente aleatorias e impredecibles cuando se observan de
manera aislada suelen mostrarse regladas y previsibles cuando se consideran en
conjunto.
Puede que haya visto una demostración de este principio en un museo de ciencias
(si no, hay vídeos online). La muestra estándar consiste en un tinglado llamado
la tabla de Galton[94], que tiene
un aspecto parecido al de una máquina de pinball, salvo que no tiene aletas y
sus paragolpes consisten en una matriz regular de clavijas espaciadas
uniformemente y colocadas en filas.
La
demostración comienza cuando cientos de bolas se vierten a la parte superior de
la tabla. Mientras caen, rebotan aleatoriamente en las clavijas, a veces hacia
la izquierda, a veces hacia la derecha y, finalmente, se distribuyen en los
contenedores, uniformemente espaciados, en la parte inferior. La altura de las
bolas apiladas en cada contenedor muestra lo probable que era que una bola
aterrizase allí. La mayoría de las bolas terminan cerca del centro, con
ligeramente menos bolas a cada lado y aún menos en los extremos. En conjunto,
el patrón es totalmente predecible: siempre tiende a una distribución en forma
de campana, aunque es imposible predecir dónde va ir a parar una bola concreta.
¿Cómo se convierte la aleatoriedad individual en regularidad colectiva?
Sencillo: lo exigen las probabilidades. El contenedor central será,
seguramente, el más poblado porque la mayoría de las bolas rebotarán
aproximadamente el mismo número de veces a izquierda y derecha antes de llegar
abajo. Así que terminarán cerca del centro. Las únicas bolas que llegarán a
cualquiera de los extremos lejanos, los márgenes de la distribución donde viven
los valores atípicos, son aquellas que curiosamente rebotan en la misma
dirección cada vez que chocan contra una clavija. Esto es muy improbable, por
eso hay tan pocas bolas alojadas allí.
Así como la ubicación última de cada bola viene determinada por la suma de
muchas casualidades, muchos fenómenos del mundo son resultado de pequeños
accidentes; también ellos están dominados por formas acampanadas. Las compañías
de seguros cuentan con ello. Saben con precisión cuántos de sus clientes
morirán cada año. Lo que no saben es quiénes serán los desafortunados.
O piense en cuánto mide. Su estatura depende de innumerables casualidades de la
genética, bioquímica, nutrición y entorno. En consecuencia, es posible que las
distintas estaturas de los adultos, vistas en conjunto, tengan también una
forma acampanada[95].
En una publicación de un blog titulada «Las grandes mentiras que dice la gente
en las citas online», el servicio de citas OkCupid[96] mostró
recientemente un gráfico de la altura que tienen sus miembros —o, más bien, la
que dicen tener— y percibieron que las medidas aportadas por ambos sexos siguen
formas acampanadas, como se esperaba. Lo que sorprende, no obstante, es que
ambas medidas aparecen desplazadas unos cinco centímetros hacia la derecha.
Christian Rudder / OkCupid
Por
lo tanto, o bien las personas que se unen a OkCupid son inusualmente altas, o
bien exageran su altura en el momento de describirse online.
Una versión idealizada de estas curvas campana es lo que los matemáticos llaman
distribución normal. Es uno de los conceptos más importantes de la estadística.
Parte de su encanto es teórico. La distribución normal se puede demostrar que
surge cuando se suman un gran número de efectos ligeramente aleatorios, de
tamaño similar y actuando de forma independiente. Y así son muchas cosas.
Pero no todo. Esta es la segunda cuestión que me gustaría destacar. La
distribución normal no es tan ubicua como pareció ser. Durante unos cien años,
y especialmente durante las últimas décadas, los estadísticos y científicos se
han percatado de que muchos fenómenos se desvían de este modelo, pero siguen un
patrón propio. Curiosamente, este tipo de distribuciones rara vez se menciona
en los manuales de estadística elemental, y, cuando se mencionan, los sacan a
relucir como especímenes patológicos. Es indignante, porque, como trataré de
explicar, gran parte de la vida moderna cobra sentido cuando se entienden estas
distribuciones. Son la nueva normalidad.
Tomemos como ejemplo la distribución de las ciudades de Estados Unidos. En
lugar de agruparse en torno a un valor intermedio, en forma acampanada, la gran
mayoría de pueblos y ciudades son pequeños y, por tanto, se apiñan en el lado
izquierdo del gráfico.
M. E. J. Newman
Y
cuanto mayor sea la población de una ciudad, más infrecuente es una ciudad de
ese tamaño. Visto en conjunto, la distribución se parece más a una curva en
forma de L que a una curva campana.
No hay nada sorprendente en esto. Todo el mundo sabe que las grandes ciudades
son más escasas que las pequeñas. Lo que es menos evidente es que el tamaño de
las ciudades sigue una distribución simple…, siempre y cuando se observe desde
lentes logarítmicas.
En otras palabras, suponga que observamos que la diferencia de tamaño entre un
par de ciudades es la misma si sus poblaciones difieren por el mismo factor,
en lugar de por el mismo número absoluto de población (al igual que dos tonos,
a una octava de distancia, siempre se distinguen por un factor constante del
doble de la frecuencia). Y suponga que hacemos lo mismo en el eje vertical.
M. E. J. Newman
Los
datos caen en una curva que es casi una línea recta. De las propiedades de los
logaritmos, deducimos que la curva-L original era una ley de potencia, una
función con la forma
y =
C/xa
donde x es
el tamaño de la ciudad, y es cuántas ciudades tienen ese
tamaño, Ces una constante y el exponente a (la
potencia en la ley de potencia) es el negativo de la pendiente de la recta.
Las distribuciones de la ley de potencias[97] tienen
propiedades contraintuitivas desde la perspectiva de la estadística
tradicional. Por ejemplo, a diferencia de distribuciones normales, sus modas,
medianas y medias no concuerdan debido a las formas torcidas y asimétricas de
sus curvas-L. El presidente Bush hizo uso de esta propiedad cuando dijo que su
bajada de impuestos de 2003[98] había
ahorrado una media de 1586 dólares a cada familia. Aunque el dato es
técnicamente correcto, se estaba refiriendo, convenientemente, a la
rebaja media. La cifra surge del reembolso de cientos de miles de
dólares del que se benefició el 0,1 por ciento más rico de la población. La
cola del extremo derecho de la distribución de ingresos sigue una ley de
potencia y, en situaciones como esta, la media es una estrategia engañosa
porque está lejos de ser la norma. De hecho, la mayoría de las familias recibieron
menos de 650 dólares. La mediana fue muy inferior a la media.
Este ejemplo subraya la característica más importante de la distribución de la
ley de potencias. Sus colas son pesadas (también llamadas anchas o largas), al
menos en comparación con la insignificante cola de la distribución normal.
Valores atípicos tan grandes, aunque sean raros, son mucho más frecuentes en
estas distribuciones que en las curvas campana.
El 19 de octubre de 1987, día que hoy conocemos como Lunes Negro, el promedio
industrial del Dow Jones cayó un 22 por ciento. Comparado con el nivel habitual
de volatilidad en la bolsa, esta era una caída de más de veinte desviaciones
estándar. Este hecho es casi imposible de acuerdo con las estadísticas de la
curva campana; su probabilidad es inferior a 1 en 100 00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00 (10 elevado a la 50.ª potencia). Aun así, sucedió…
porque las fluctuaciones en los precios de acciones[99] no
siguen distribuciones normales. Se describen mejor con distribuciones de larga
cola.
Lo mismo sucede con los terremotos, incendios forestales e inundaciones, lo
cual complica la labor de gestión de riesgos para las aseguradoras. El mismo
patrón matemático se mantiene para el número de muertes provocadas por guerras
y ataques terroristas e incluso para cosas benignas, como la frecuencia de
ciertas palabras en novelas y el número de compañeros sexuales que tiene la
gente.
Aunque los adjetivos empleados para describir sus prominentes colas no se
pensaron para ser halagüeños, dichas distribuciones los llevan con orgullo.
¿Anchas, pesadas y largas?[100]. Sí, así
es. Ahora, dígame, ¿quién es normal?
§23. Es probable
¿Alguna vez ha tenido el angustioso sueño en el que se percata de que aún tiene
pendiente el examen final de un curso al que nunca ha asistido? Para los
profesores, la cosa se invierte: soñamos que estamos dando una clase acerca de
un tema del que no sabemos nada.
Así me siento yo cada vez que enseño teoría de la probabilidad[101]. Nunca
formó parte de mi educación, así que tener que enseñarla ahora me produce miedo
y diversión, como la casa del terror del parque de atracciones.
Quizá el tema que más me acelera el pulso es la probabilidad condicionada, la
probabilidad de que un acontecimiento A venga dado (o condicionado) por otro
acontecimiento B. Es un concepto resbaladizo, fácilmente confundible con la
probabilidad de B dado A. No son iguales, pero exige concentración el ver por
qué. Por ejemplo, considere el siguiente problema.
Antes de empezar unas vacaciones de una semana, le pide a un amigo, algo
despistado, que riegue su planta enferma mientras usted está fuera[102]. Sin agua,
la planta tiene una probabilidad de morir del 90 por ciento. Incluso con el
riego adecuado, tiene un 20 por ciento de probabilidades de morir. Y la
probabilidad de que su amigo se olvide de regarla es del 30 por ciento. (a)
¿Qué probabilidades tiene su planta de sobrevivir la semana? (b) Si la
encuentra muerta al volver, ¿cuál es la probabilidad de que su amigo olvidara
regarla? (c) Si su amigo olvidó regarla, ¿qué probabilidad hay de que al volver
la encuentre muerta? Aunque suenen parecido, (b) y (c) no son iguales. De
hecho, el problema nos dice que la respuesta a (c) es 90 por ciento. Pero ¿cómo
combina todas las probabilidades para obtener (b) o (a)?
Evidentemente, los primeros semestres que enseñé esta asignatura me ceñí al
manual, sin asumir riesgos. Pero, poco a poco, fui notando algo. Muchos de mis
alumnos evitaban utilizar el teorema de Bayes, la fórmula laberíntica que les
estaba enseñando. Resolvían los problemas mediante un método equivalente que
parecía más sencillo.
Estos ingeniosos estudiantes descubrían, año tras año, una manera mejor de
pensar en probabilidad condicional. Su método concuerda con la intuición
humana, en lugar de confundirla. El truco consiste en pensar en términos de
frecuencias naturales —simples recuentos de acontecimientos— en lugar de en
nociones porcentuales o probabilísticas más ambiguas. En cuanto se realiza este
giro mental, la niebla se disipa.
Esta es la lección crucial de Calculated Risks [Riesgos
calculados], un libro fascinante de Gerd Gigerenzer, un psicólogo cognitivo
conductista del Instituto Max Planck para el Desarrollo Humano en Berlín. En
una serie de estudios acerca de asuntos médicos y legales, desde asesoramiento
a enfermos de sida pasando por la interpretación del ADN en huellas dactilares,
Gigerenzer explora cómo las personas fallan al calcular mal el riesgo y la
incertidumbre. Pero en lugar de reprender o lamentar la flaqueza humana, nos
explica cómo hacerlo mejor: recuperar la probabilidad condicional en términos
de frecuencias naturales para evitar que se nuble el juicio. Muy en la línea de
lo que hacían mis alumnos.
En un estudio, Gigerenzer y sus colegas pidieron a doctores de Alemania y
Estados Unidos que estimaran la probabilidad de que una mujer que tiene una
mamografía[103] positiva
tenga, de hecho, cáncer de pecho aunque pertenezca a un grupo de bajo riesgo:
de cuarenta a cincuenta años, sin síntomas ni antecedentes familiares. Para
concretar la pregunta, se dijo a los doctores que asumieran las siguientes
estadísticas —expresadas en términos de porcentajes y probabilidades— acerca de
la frecuencia del cáncer de mama en mujeres de este grupo y acerca de la
sensibilidad de las mamografías y su tasa de falsos positivos.
La
probabilidad de que una de estas mujeres tenga cáncer de mama es del 0,8 por
ciento. Si una mujer tiene cáncer de mama, la probabilidad de que tenga una
mamografía positiva es del 7 por ciento. Imagine una mujer que tiene una
mamografía positiva. ¿Qué probabilidad existe de que realmente tenga cáncer de
mama?
Gigerenzer
describe la reacción del primer doctor, un jefe de departamento de un hospital
universitario con más de treinta años de experiencia profesional.
Estaba
visiblemente nervioso tratando de averiguar qué decirle a la mujer. Tras
reflexionar sobre los números, finalmente estimó que la probabilidad de que la
mujer tuviera cáncer de mama, dada su mamografía positiva, era de un 90 por
ciento. Nervioso, añadió: «Qué tontería, no puedo hacer esto. Debería probar
con mi hija, que estudia medicina». Sabía que su estimación era incorrecta,
pero no sabía razonarlo mejor. A pesar de que se había pasado diez minutos
estrujándose la cabeza en busca de una respuesta, era incapaz de extraer una
conclusión racional de las probabilidades.
Gigerenzer
hizo la misma pregunta a otros veinticuatro doctores alemanes y sus
estimaciones iban desde el 1 al 90 por ciento. Ocho de ellos pensaron que la
probabilidad era del 10 por ciento o menos; otros ocho dijeron el 90 por
ciento; y los ocho restantes dijeron cifras entre el 50 y el 80 por ciento.
Imagine lo indignante que debe ser, como paciente, escuchar opiniones tan
divergentes.
Sin embargo, 95 de 100 médicos estadounidenses estimaron que la probabilidad de
padecer cáncer de mama estaba en torno al 75 por ciento.
La respuesta correcta es 9 por ciento.
¿Cómo puede ser tan baja? Gigerenzer quiere demostrar que el análisis se hace
casi transparente si traducimos la información original de porcentajes y
probabilidades a frecuencias naturales:
Ocho
de cada 100 mujeres tienen cáncer de mama. De estas 8 mujeres, 7 tendrán una
mamografía positiva. De las 992 mujeres que no tienen cáncer de mama, unas 70
tendrán una mamografía positiva. Imagine una muestra de mujeres con mamografías
positivas. ¿Cuántas tienen realmente cáncer de mama?
Puesto
que un total de 7 + 70 = 77 mujeres tienen mamografías positivas y solo 7 de
ellas realmente tienen cáncer de mama, la probabilidad de que una mujer tenga
cáncer de mama tras una mamografía positiva es 7 de 77, es decir, 1 de 11 o un
9 por ciento.
Preste atención a dos simplificaciones en el cálculo anterior. En primer lugar,
hemos redondeado los números decimales. Eso sucedía en algunos puntos, como
cuando dijimos «de estas 8 mujeres con cáncer de mama, 7 tendrán un mamografía
positiva». Así que sacrificamos algo de precisión por mucha claridad.
En segundo lugar, asumimos que todo sucede exactamente con la frecuencia que
sugiere su probabilidad. Por ejemplo, dado que la probabilidad de tener cáncer
de mama es del 0,8 por ciento, asumimos que, exactamente, 8 de cada 100 mujeres
de nuestra hipotética muestra lo padecen. En realidad, esto no es
necesariamente cierto. Los hechos no tienen por qué seguir sus probabilidades;
una moneda lanzada 100 veces no siempre tiene que salir cara 500 veces. Pero
pretender que sí da la respuesta correcta en problemas como este.
Es cierto que la lógica es un poco inestable —por eso los manuales miran por
encima del hombro este enfoque, comparado con el riguroso pero complejo teorema
de Bayes—, pero lo que se gana en claridad es justificación suficiente. Cuando
Gigerenzer puso a prueba a otro grupo de veinticuatro doctores, esta vez
empleando frecuencias naturales, prácticamente todos dieron con la respuesta
correcta o quedaron cerca.
Aunque reformular los datos en términos de frecuencias naturales es una gran
ayuda, los problemas de probabilidad condicional pueden todavía resultar
desconcertantes por otras razones[104]. Es fácil
hacer la pregunta incorrecta o calcular la probabilidad correcta pero engañosa.
Tanto la fiscalía como la defensa fueron culpables de esto en el juicio de O.
J. Simpson celebrado entre 1994 y 1995[105]. Ambos
pidieron al jurado que tuviera en cuenta la probabilidad condicional errónea.
La fiscalía invirtió los primeros diez días del juicio en presentar pruebas de
que Simpson tenía un historial de violencia hacia su exmujer Nicole Brown.
Presuntamente, la había golpeado, lanzado contra paredes y manoseado en público
mientras decía a quienes lo presenciaban: «Esto me pertenece». Pero ¿qué
relación guardan estos hechos con un juicio por asesinato? La fiscalía alegó
que un patrón de abuso reflejaba un motivo para matar. Tal y como dijo uno de
los fiscales: «Un bofetón es preludio de un asesinato».
Alan Dershowitz, por parte de la defensa, contraargumentó que incluso si las
acusaciones de violencia doméstica eran ciertas, eran irrelevantes y deberían
ser inadmisibles[106]. Más
adelante escribió: «Sabíamos que podíamos demostrar, si era necesario, que solo
un porcentaje infinitesimal —ciertamente inferior a 1 de cada 2500— de hombres
que abofetean o golpean a sus compañeras terminan asesinándolas».
En efecto, ambos bandos pedían que se considerase la probabilidad de que un
hombre asesinara a su exmujer, teniendo en cuenta que antes la había
maltratado. Pero, como señala el estadístico I. J. Good, ese no es el número en
el que hay que fijarse.
La cuestión importante es: ¿qué probabilidad existe de que un hombre haya
matado a su exmujer, dado que la maltrataba y que, de hecho, ha sido
asesinada? Esa probabilidad resulta ser mucho mayor a 1 entre 2500.
Para ver por qué, imagine una muestra de 100 00 mujeres maltratadas.
Concediendo el 1 entre 2500 que propone Dershowitz, 40 de estas mujeres morirán
a manos de sus maltratadores en un año determinado (ya que 100 00 dividido por
2500 es igual a 40). También esperamos que 3 mujeres más, de media, sean
asesinadas por otra persona (esta estimación está basada en una estadística
aparecida en un informe policial acerca de mujeres asesinadas en 1992)[107]. Por lo
tanto, de las 43 víctimas de asesinato, 40 de ellas fueron asesinadas por sus
maltratadores. En otras palabras, el maltratador era el asesino el 93 por
ciento de las veces.
No confunda esta cifra con la probabilidad de que Simpson fuera culpable. Esa
probabilidad depende de muchas otras pruebas, a favor y en contra, como las que
presentó la defensa, alegando que la policía incriminó a Simpson, o las que
aportó la fiscalía, alegando que Simpson y el asesino compartían el mismo
estilo de zapatos, guantes y ADN.
¿La probabilidad de que alguno de estos datos cambie su opinión acerca del
veredicto? Cero.
§24. Desenredando la Red
Hace mucho tiempo, en los oscuros días que precedieron al surgimiento de
Google, la búsqueda en Internet era un ejercicio de frustración[108]. Las
páginas sugeridas por los antiguos motores de búsqueda solían ser irrelevantes,
mientras que las interesantes, o estaban sepultadas al fondo de la lista, o ni
siquiera aparecían.
Algoritmos basados en el análisis de enlaces resolvieron el problema con una
idea tan paradójica como un koan zen: un motor de búsqueda debe encontrar las
mejores páginas. ¿Y qué es lo que convierte una página en buena, pequeño
Saltamontes?[109]. Una
página es buena si la enlazan buenas páginas.
Suena a razonamiento circular[110], y lo es,
por eso es tan profundo. Lidiando con este círculo hasta hacerlo beneficioso,
vemos que el análisis de enlaces ofrece una solución jiu-jitsu a las búsquedas
en la Red.
El enfoque se eleva sobre ideas del álgebra lineal[111], el
estudio de vectores y matrices. Tanto si desea detectar patrones en grandes
conjuntos de datos o realizar cálculos gigantescos con millones de variables,
el álgebra lineal tiene las herramientas que necesita[112]. Además de
apuntalar el algoritmo de Google que clasifica las páginas (PageRank)[113], ha
ayudado a que los científicos clasifiquen rostros humanos[114], analicen
los patrones de votación de los magistrados del Tribunal Supremo[115] y
ganen el premio del millón de dólares de Netflix[116](concedido
a la persona o equipo que pueda mejorar, en más de un 10 por ciento, el sistema
de recomendación de películas de Netflix).
Para estudiar un caso de álgebra lineal, veamos cómo funciona PageRank. Y para
extraer su esencia con el mínimo alboroto, imaginemos una Red de juguete que
solo tiene tres páginas, todas conectadas de la siguiente manera:
Las
flechas indican que la página X contiene un enlace a la página Y, pero Y no
devuelve el favor. En lugar de eso, Y enlaza a Z. Mientras tanto, X y Z se
acogen al principio del «hoy por ti mañana por mí» y se enlazan entre sí en un
frenesí digital.
En esta pequeña Red, ¿qué página es la más importante y cuál la menos
importante? Podría pensarse que no hay suficiente información para deducirlo,
puesto que no sabemos nada acerca del contenido de las páginas, pero ese un
pensamiento de la vieja escuela. Preocuparse por el contenido ha resultado ser
un camino poco práctico para la clasificación de páginas web. Los ordenadores
no sabían hacerlo y los jueces humanos nos podían aguantar el ritmo de la
avalancha de miles de páginas agregadas cada día.
El enfoque adoptado por Larry Page y Sergey Brin, los alumnos de posgrado que
fundaron Google, era que las páginas web se clasificaran a sí mismas en función
de sus enlaces. En el ejemplo anterior, las páginas X e Y enlazan a Z, lo que
hace de Z la única página con dos enlaces entrantes, por lo que es la página
más famosa del universo. Eso debería valer para algo; sin embargo, si estos
enlaces vienen de páginas de dudosa calidad, eso jugará en su contra. La
popularidad no significa nada en sí. Lo que importa es tener enlaces de
páginas buenas.
Lo cual nos lleva de nuevo al enigma del círculo: una página es buena si la
enlazan buenas páginas, pero ¿quién decide qué páginas son buenas?
Lo hace la red. Y he aquí cómo[117].
El algoritmo de Google asigna a cada página una puntuación fraccionada entre 0
y 1. Esa puntuación se denomina «PageRank». Mide lo importante que es la página
en relación con las otras, computando la proporción de tiempo que un internauta
le dedica. Siempre que sea posible elegir entre más de un enlace saliente, el
internauta selecciona uno al azar, con probabilidades iguales. Según esta
interpretación, las páginas se consideran más importantes si se visitan con más
frecuencia (por este internauta idealizado, no por el tráfico real de la Red).
Y como los PageRanks se definen como proporciones, tienen que sumar 1 al
sumarse toda la red. Esta norma de conservación sugiere otra manera, quizá más
palpable, de visualizar PageRank. Imagínela como un fluido, una sustancia
acuosa que fluye a través de la red, alejándose de páginas malas y agrupándose
con las buenas. El algoritmo busca determinar cómo se distribuye este fluido, a
largo plazo, a través de la red.
La respuesta surge de un inteligente proceso interactivo. El algoritmo comienza
con una suposición, luego actualiza todos los PageRanks repartiendo el líquido
en partes iguales entre los enlaces salientes y sigue haciéndolo durante una
serie de rondas, hasta que todo se tranquiliza y todas las páginas tienen sus
cuotas legítimas.
Inicialmente, el algoritmo adopta una postura igualitaria. Da a cada página una
porción igual de PageRank. Puesto que en nuestro ejemplo hay tres páginas, cada
página comienza con una puntuación de 1⁄3.
A
continuación, estos resultados se actualizan para reflejar mejor la verdadera
importancia de cada página. La regla es que cada página toma su PageRank de la
última ronda y lo divide en partes iguales entre las páginas que enlaza. Por
tanto, tras una ronda, el valor actualizado de X seguiría igualando 1⁄3,
porque ese es el PageRank que recibe de Z, la única página que la enlaza. Pero
la puntuación de Y cae a un mísero 1⁄6, al recibir
solamente la mitad del PageRank de X de la ronda anterior. La otra mitad llega
a Z, convirtiéndola en la gran triunfadora, ya que además de 1⁄6 que
recibe de X, recibe 1⁄3 entero de Y, sumando un
total de 1⁄2. Por lo tanto, tras una ronda, los
valores de PageRank son los siguientes:
En
las rondas siguientes, la regla de actualización es la misma. Si escribimos (x,
y, z) para las puntuaciones actuales de las páginas X, Y y Z, los
resultados actualizados serían:
x’
= z
y’ = 1 /2 x
z’ = 1/2 x + y
El
símbolo primo en el superíndice indica que ha habido una actualización. Este
tipo de cálculo iterativo es fácil de hacer en una hoja de cálculo (incluso a
mano, para una red tan pequeña como la que estamos estudiando).
Tras diez iteraciones, nos percatamos de que los números no cambian demasiado
de una ronda a la siguiente. Para entonces, X tiene un 40,6 por ciento del
PageRank total, Y tiene un 19,8 por ciento y Z tiene un 39,6 por ciento. Esos
números se parecen sospechosamente al 40, 20 y 40 por ciento, lo que sugiere
que el algoritmo está convergiendo a esos valores.
De hecho, es correcto. Estos valores limitantes son lo que el algoritmo de
Google definiría como los PageRanks para la red.
Esto
implica que X y Z son páginas igualmente importantes, aunque Z tenga el doble
de enlaces entrantes. Esto tiene sentido: X es igual de importante que Z porque
obtiene el respaldo total de Z, pero le retribuye solo la mitad de respaldo. La
otra mitad se la envía a Y. Esto explica también por qué Y solo consigue la
mitad que X y Z.
Sorprendentemente, estas puntuaciones pueden obtenerse de manera directa, sin
pasar por la iteración. Piense en las condiciones que definen el estado
estacionario. Si nada cambia tras una actualización, debemos tener x’
= x, y’ = y, z’ = z.
Así que sustituya las variables primadas en las ecuaciones por las actualizadas
con sus contrapartes no primadas para obtener:
x = z
y = 1 /2 x
z = 1/2 x + y
Y
este sistema de ecuaciones puede ser resuelto de manera simultánea para
obtener x = 2y = z. Finalmente, puesto
que estas puntuaciones deben sumar 1, concluimos que x = 2⁄5, y = 1⁄5,
y z = 2⁄5, de acuerdo con los
porcentajes anteriores.
Demos un paso atrás y veamos cómo encaja todo esto en el amplio contexto del
álgebra lineal. Las ecuaciones de estado estacionario anteriores, así como las
ecuaciones de actualización con los valores primados, son ejemplos típicos de
ecuaciones lineales. Se llaman lineales porque se relacionan con líneas. Las
variables x, y, z aparecen solo elevadas a la primera
potencia, tal y como aparecen en la conocida ecuación de la línea recta, y = mx + b,
un básico de los cursos de álgebra del instituto.
Las ecuaciones lineales, en contraposición a aquellas que contienen términos no
lineales, como x2 o yz o sen x,
son, comparativamente, sencillas de resolver. El reto surge cuando están
implicadas un número enorme de variables, como sucede en la Red real. Una de
las labores principales del álgebra lineal, por tanto, es desarrollar
algoritmos cada vez más rápidos para resolver grandes conjuntos de ecuaciones.
Incluso las pequeñas mejoras tienen ramificaciones para todo, desde la
programación de una aerolínea a la compresión de imágenes.
Pero el triunfo mayor del álgebra lineal, desde el punto de vista del impacto
en el mundo real, es sin duda su solución para el enigma zen de clasificar
páginas web. «Una página es buena en la medida en que la enlacen buenas
páginas». Traducido en símbolos, este criterio se convierte en las ecuaciones
PageRank.
Google ha llegado donde está por resolver las mismas ecuaciones que hemos
tratado aquí —simplemente con unos pocos miles de millones más de variables… y
de beneficios.
Contenido:
§25.
Los números más solitarios
§26. Pensamiento en grupo
§27. Cintas musicales
§28. Piense globalmente
§29. Análisis. Historia de una terapia peligrosa
§30. El hotel infinito de Hilbert
§25.
Los números más solitarios
Según una memorable canción de los sesenta, el uno es el número más solitario[118] y el
dos puede ser tan malo como el uno. Quizá sea cierto, pero los números primos
también lo tienen difícil.
Paolo Giordano explica por qué en su exitosa novela La soledad de los
números primos[119]. Es la
melancólica historia de amor de dos inadaptados, dos números primos, llamados
Mattia y Alice, ambos marcados por tragedias infantiles que les han hecho
incapaces de conectar con otras personas, pero que sienten en el otro un
espíritu afín dañado. Giordano escribe:
Los
números primos solo son divisibles por 1 y por sí mismos. Ocupan su lugar en la
serie infinita de números naturales apretados, como todos los números, entre
otros dos, pero más alejados que el resto. Son números sospechosos, solitarios
y es por lo que Mattia los consideraba maravillosos. Alguna vez pensó que
habían ido a parar a esa secuencia por error, que habían quedado atrapados,
como perlas ensartadas en un collar. Otras veces sospechaba que quizá les
hubiera gustado ser como los otros, simplemente números ordinarios, pero por
alguna razón no podía ser. […]
En
su primer año de universidad, Mattia había aprendido que entre los números
primos existen algunos que son todavía más especiales. Los matemáticos los
llaman números primos gemelos: números primos que están cerca, son casi
vecinos, aunque entre ellos siempre hay un número par que les impide
verdaderamente tocarse. Números como 11 y 13, 17 y 19, 41 y 43. Si tiene la
paciencia de seguir contando, verá que estas parejas son cada vez más escasas.
A medida que incrementan los números, los primos van quedando más aislados,
perdidos en ese espacio medido y silencioso compuesto solo de cifras, y le
invadirá un angustioso presentimiento de que las parejas encontradas hasta
entonces eran accidentales, que la soledad es el verdadero destino. Entonces,
justo cuando está a punto de rendirse, cuando ya no tiene ganas de seguir
contando, se cruza con otros gemelos, agarrándose con fuerza el uno al otro.
Existe una convicción común entre los matemáticos que establece que por muy
lejos que vaya, siempre habrá otros dos, aunque nadie puede decir con exactitud
dónde, hasta que son descubiertos.
Mattia pensó que tanto él como Alice eran así, primos gemelos, solos y
perdidos, pero no lo suficientemente cerca para verdaderamente tocarse.
Me gustaría explorar algunas de las bellas ideas que aparecen en el pasaje
anterior, especialmente en su relación con la soledad de los números primos y
primos gemelos. Estos asuntos son capitales para la teoría de números[120], la
materia que se ocupa del estudio de los números enteros y sus propiedades y que
suele describirse como la parte más pura de las matemáticas.
Antes de ascender adonde falta el aire, permítame que me deshaga de una
pregunta que suele surgirle a las personas de mentalidad práctica: ¿la teoría
de números sirve para algo? Sí. Casi a su pesar, la teoría de números
proporciona la base de los algoritmos encriptados[121] que
se utilizan millones de veces al día para asegurar transacciones con tarjeta de
crédito por Internet y para codificar comunicados militares secretos. Estos
algoritmos dependen de la dificultad de descomponer un número enorme en sus
factores primarios.
Pero esta no es la razón por la que los matemáticos están obsesionados con los
números primos. La verdadera razón es que son fundamentales. Son los átomos de
la aritmética. Tal y como sugiere el origen griego de la palabra «átomo», los
números primos son «a-tómicos», es decir, indivisibles. Y al igual que todo
está compuesto de átomos, cada número está compuesto de primos. Por ejemplo, 60
es igual a 2 × 2 × 3 × 5. Decimos que 60 es un número compuesto con factores
primos de 2 (por partida doble), 3 y 5.
¿Y qué hay del 1? ¿Es primo? No, no lo es, y cuando entienda por qué no lo es
empezará a apreciar por qué el 1 es realmente el número más solitario, incluso
más solitario que los primos.
No merece ser excluido. Dado que 1 es divisible solo por 1 y por sí mismo,
realmente debería ser considerado un número primo, y durante muchos años lo
fue. Pero los matemáticos modernos han decidido excluirlo, simplemente por
conveniencia. Si se permitiera la entrada del 1, estropearía un teorema que nos
gustaría que fuera cierto. En otras palabras, hemos amañado la definición de
número primo para lograr el teorema que queremos.
El teorema deseado dice que cualquier número puede ser factorizado en números
primos de manera única. Pero si el 1 se considerara primo, la
unicidad de la factorización de números primos fallaría. Por ejemplo, 6 sería 2
× 3, pero también sería 1 × 2 × 3 y 1 × 1 × 2 × 3, etcétera, y todas estas
expresiones tendrían que aceptarse como distintas maneras de factorización de
primos. Ridículo, por supuesto, pero es con lo que tendríamos que lidiar si se
permitiera la entrada del 1.
Esta pequeña y sórdida historia es instructiva; nos muestra cómo se desarrolla
a veces la matemática. La visión ingenua es considerar que hacemos nuestras
definiciones, las grabamos en piedra y luego deducimos los teoremas que se
sigan de ellas. No es así. Eso sería demasiado pasivo. Estamos al mando y
podemos alterar las definiciones según nos plazca, especialmente si un leve
pellizco conduce a un teorema más ordenado, como sucede en este caso.
Ahora que el 1 ha sido arrojado a los bajos del autobús, echemos un vistazo al
resto, los números primos de pleno derecho. Lo más importante es saber lo
misteriosos que son, lo extraños e inescrutables. Nadie ha encontrado jamás una
fórmula exacta para los números primos. A diferencia de verdaderos átomos, no
siguen un patrón simple, nada parecido a la tabla periódica de los elementos.
Ya puede ver las señales de peligro en los diez primeros primos: 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19, 23, 29. De buenas a primeras, las cosas empiezan mal con ese 2.
Es un friki, un inadaptado entre inadaptados, el único primo con la vergüenza
de ser par. No sorprende que sea «the loneliest number since the number one»
[el número más solitario desde el número uno], como dice la canción.
Aparte del 2, el resto de primos son todos impares…, pero aun así peculiares.
Observe los huecos entre ellos. A veces están a dos espacios (como 5 y 7),
otras a cuatro (13 y 17) y otras a seis (23 y 29).
Para subrayar aún más lo desordenados que son los números primos, compárelos
con sus parientes, los números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… Los huecos entre
números impares son siempre constantes: dos espacios, estable como un toque de
tambor. Obedecen a una fórmula simple: el número impar n es 2n −
1. Los números primos, por otra parte, marchan al ritmo de su propio tambor, a
un ritmo que nadie más percibe.
Dadas las irregularidades en la ubicación de los primos, los teóricos de los
números han recurrido a mirarlos estadísticamente, como miembros de un
conjunto, en lugar de insistir en su idiosincrasia. Concretamente, preguntemos
cómo se distribuyen entre los números enteros ordinarios. ¿Cuántos números
primos son inferiores o iguales a 10? ¿O a 100? ¿O a un número arbitrario N?Esta
construcción es paralela al concepto estadístico de distribución acumulativa.
Imagine que cuenta los números primos a medida que camina entre ellos, como un
antropólogo que realiza un censo. Imagínelos de pie en el eje de x.
Comienza en el número 1 y empieza a caminar hacia la derecha, haciendo recuento
sobre la marcha. El total acumulado se parece a esto:
Los
valores en el eje de y muestran cuántos primos lleva contados
en el momento que llega a un punto concreto del eje x. Para todos
los valores de x inferiores a 2, la gráfica de y se
queda en 0, puesto que no se ha contado aún ningún primo. El primero aparece
en x = 2. En ese momento, el gráfico pega un salto (¡Tengo
uno!). Luego permanece plano hasta llegar a x = 3, donde da un
nuevo salto. La alternancia de saltos y planicies forma una escalinata extraña
e irregular. Los matemáticos la llaman la función de conteo de los números
primos.
Compare esa imagen con su homóloga de los números impares.
Ahora
la escalera es perfectamente regular, sigue una tendencia cuya pendiente es
1/2. Eso es porque el espacio entre números impares es siempre 2.
¿Hay alguna esperanza de encontrar algo parecido para los números primos, a
pesar de su carácter errático? Milagrosamente, sí. La clave es centrarse en la
tendencia, no en los detalles de la escalera. Si alejamos la imagen, de la
confusión comienza a emerger una curva. He aquí la gráfica de la función
contante para todos los primos hasta el número 100.
Ahora los escalones nos distraen menos. La curva parece incluso más suave si
contamos todos los primos hasta mil millones.
Primera impresión desmentida, esta curva no es realmente una
línea recta. Cae ligeramente a medida que asciende. Sus caídas significan que
los primos, efectivamente, son cada vez menos comunes. Están más
aislados. Esto es a lo que Giordano llamaba «la soledad de los números primos».
Este
declive se hace evidente si nos fijamos en los datos del censo desde otro
ángulo. Recordará que contamos diez primos en los primeros treinta números
enteros. Por lo tanto, al principio de la línea, uno de cada tres números es
primo, es decir, todo un 33 por ciento de la población. Pero entre los primeros
cien, solo veinticinco son primos. Se han reducido a uno de cada cuatro, un
preocupante 25 por ciento. Y entre los primeros mil millones de números, solo
un mero 5 por ciento son primos.
Ese es el mensaje sombrío de la curva que cae. Los números primos son una
especie en extinción. Nunca mueren del todo —sabemos desde tiempos de Euclides
que son infinitos—, pero se desdibujan en el olvido.
Los teóricos han cuantificado lo desolados que realmente están los números
primos hallando funciones que se acercan a esta curva, tal y como lo muestra
una fórmula que expresa el espacio entre ellos. Si N es un
número grande, el espacio medio entre los primos cercanos a N es,
aproximadamente, igual a lnN, el logaritmo natural de N. (El
logaritmo natural se comporta como el logaritmo ordinario que se estudia en
bachillerato, salvo que se basa en el número e, en lugar de en 10.
Es natural en el sentido de que aparece por todas partes en matemáticas
avanzadas, por ser parte del séquito de e. Para más información
acerca de la ubicuidad de e, véase el capítulo 19).
Aunque la fórmula lnN para la expresión del espacio entre primos no
funciona demasiado bien cuando N es pequeño, mejora en el
sentido de que su porcentaje de error llega a cero a medida que N se
acerca al infinito. Para tener una idea de los números involucrados, supongamos
que N = 100. Resulta que hay 168 números primos inferiores a
100, por lo que el espacio medio entre ellos en esta sección de la línea
numérica es 100/68, o aproximadamente 5,9. Por comparación, la fórmula predice
un espacio medio de ln(100) ≈ 6,9, es decir, se excede en un 17 por ciento.
Pero cuando llegamos mucho más lejos, por ejemplo a N = 1 00
00 00, los espacios reales y predichos son 19,7 y 20,7 respectivamente, una
sobreestimación de solo el 5 por ciento.
La validez de la fórmula lnN a medida que N tiende
al infinito se conoce hoy como el teorema de los números primos[122]. Lo
advirtió por primera vez (aunque no se publicó) Carl Friedrich Gauss[123] en
1792, cuando tenía quince años. (¿Ve lo que puede hacer un joven cuando no le
distrae una Xbox?).
Respecto a los otros adolescentes del capítulo, Mattia y Alice, espero que
usted pueda apreciar lo conmovedor que es que los números primos gemelos sigan
existiendo[124] en
los confines de la línea numérica, «ese espacio medido y silencioso compuesto
solo de cifras». Tienen las probabilidades en contra. De acuerdo con el teorema
de los números primos, cualquier primo cercano a N no tiene
derecho a esperar un posible compañero mucho más cerca de N de
lo que dicte lnN, un abismo mucho mayor que 2 cuando N es
grande.
Aun así, muchas parejas vencen a la probabilidad. Los ordenadores han
encontrado primos gemelos en lugares increíblemente remotos de la línea
numérica. La pareja más grande que se conoce la forman dos números con 100 355
decimales cada uno, acurrucados en la oscuridad.
La conjetura de los primos gemelos afirma que siempre aparecerán parejas como
esta.
Pero, en lo que respecta a encontrar una pareja de primos cerca[125] para
una partidito de dobles…, buena suerte.
§26. Pensamiento en grupo
Mi mujer y yo tenemos estilos de dormir distintos, y nuestro colchón es la
prueba. Ella acapara las almohadas, se revuelve durante toda la noche y apenas
hace mella en el colchón. Yo, sin embargo, me tumbo boca arriba, como una
momia, dando forma a una vaguada cavernosa en mi lado de la cama.
Los fabricantes de camas recomiendan dar la vuelta al colchón periódicamente,
probablemente pensando en gente como yo. Pero ¿cuál es el mejor sistema? ¿Cómo
se supone que hay que darle la vuelta para desgastarlo equitativamente?
Brian Hayes explora este problema en el ensayo que da título a su libro Group
Theory in the Bedroom [Teoría de grupos en el dormitorio]. Dejando a
un lado los dobles sentidos, el «grupo» en discusión es un conjunto de acciones
matemáticas: todas las formas posibles de voltear o rotar el colchón de tal
manera que siga encajando perfectamente en la estructura de la cama.
Fijándonos
en las matemáticas de colchón[126] con
cierto detalle, espero poder ofrecer una idea general de la teoría de grupos[127]. Es una de
las partes más versátiles de las matemáticas. Abarca desde la coreografía de un
baile de salón y las leyes fundamentales de la física de partículas a los
mosaicos de la Alhambra y sus caóticas contrapartes[128], como esta
imagen:
Study for Alhambra Stars (200) / Mike Field
Como
indican estos ejemplos, la teoría de grupos une las artes y las ciencias. Se
ocupa de algo que ambas culturas comparten, la fascinación por la simetría.
Pero debido a que abarca una amplia gama de fenómenos, la teoría de grupos es
necesariamente abstracta. Destila simetría en su esencia.
Normalmente pensamos que la simetría es propiedad de una forma. Pero la teoría
de grupos se ocupa más de aquello que se le puede hacer a una
forma —concretamente, todas las maneras en que puede cambiarse dejando otra parte
igual—. Es decir, busca todas las transformaciones que dejan a una forma
inalterada, dadas ciertas restricciones. Estas transformaciones se llaman
simetrías de la forma. Al juntarlas forman un grupo, una colección de
transformaciones cuyas relaciones definen la arquitectura más básica de la
forma.
En el caso de un colchón, las transformaciones alteran su orientación en el
espacio (eso es lo que cambia) mientras que mantienen su rigidez (esa es la
restricción). Y cuando la transformación ha terminado, el colchón debe encajar
cómodamente en la estructura rectangular de la cama (eso es lo que permanece
igual). Asentadas estas reglas, veamos qué transformaciones cumplen los
requisitos para formar parte de este exclusivo grupo. Resulta que solo hay
cuatro.
La primera transformación es la de «no haga nada», una opción perezosa pero muy
común que consiste en dejar el colchón intacto. Ciertamente, cumple con todas
las normas, pero no es de mucha utilidad a la hora de prolongar la vida de su
colchón. Aun así, es importante incluirla en el grupo. Tiene el mismo papel en
la teoría de grupos que el 0 en la suma de números, o que el 1 en la
multiplicación. Los matemáticos lo llaman elemento identitario, así que lo
denotaremos con el símbolo I.
Ahora vienen las tres formas genuinas de voltear un colchón. Para
distinguirlas, es útil numerar las esquinas así:
El
primer tipo de vuelta se representa al comienzo de este capítulo. El apuesto
hombre del pijama de rayas está intentando voltear el colchón de lado a lado,
rotándolo 180 grados alrededor del eje largo, en un movimiento que
llamaremos H, «vuelta horizontal».
Una
forma más imprudente de girar el colchón es en vertical, V. Esta
maniobra intercambia pies y cabeza. Debe poner en pie el colchón, en posición
vertical, de tal manera que casi toque el techo, y tumbarlo. El efecto neto,
además del estruendo, es que el colchón gira 180 grados sobre su eje lateral,
como se muestra a continuación:
La
última posibilidad es girar el colchón mientras se mantiene sobre la cama.
A
diferencia de H y V, esta rotación, R,
mantiene arriba la parte superior del colchón.
Esa diferencia se aprecia si miramos el colchón —imaginando que es translúcido—
desde arriba e inspeccionamos los números de las esquinas tras cada una de las
posibles transformaciones. La vuelta horizontal muestra los números como si se
reflejaran en un espejo. También los permuta: 1 y 2 intercambian el puesto, así
como 3 y 4.
El
giro vertical permuta los números de manera distinta, y además de reflejarlos,
los pone patas arriba.
La
rotación, sin embargo, no genera reflejos. Simplemente pone los números al
revés, intercambiando el 1 por el 4 y el 2 por el 3.
Estos
detalles no son lo principal. Lo que importa es la manera en que se relacionan
entre sí las transformaciones. Sus patrones de interacción codifican la
simetría del colchón.
Para descifrar dichos patrones con un mínimo esfuerzo, es útil dibujar el
diagrama siguiente. (Este tipo de imágenes abunda en un libro magnífico
llamado Visual Group Theory [Teoría de grupos visual], de
Nathan Carter. Es una de las mejores introducciones a la teoría de grupos —o a
cualquier rama de la matemática avanzada— que he leído).
Los
cuatro posibles estados del colchón se muestran en las esquinas del diagrama.
La esquina superior izquierda es el punto de partida. Las flechas indican los
movimientos que llevan el colchón de un estado a otro.
Por ejemplo, la flecha que apunta desde la esquina superior izquierda hacia la
inferior derecha representa la acción de la rotación R. La flecha
tiene también punta en el otro extremo, porque realizar R dos
veces es equivalente a no hacer nada.
Esto no debería sorprendernos. Simplemente significa que dar la vuelta al
colchón y luego realizar el mismo movimiento, lo devuelve a su posición
original. Podemos resumir esta propiedad con la ecuación RR = I,
donde RR significa «haga R dos veces»,
siendo I el elemento identitario («no haga nada»). Las
transformaciones horizontal y vertical también se deshacen a sí mismas: HH = I y VV = I.
El diagrama encarna una gran cantidad de información adicional. Por ejemplo,
muestra que el temerario giro vertical, V, es equivalente a HR,
un giro horizontal seguido de una rotación —un camino mucho más seguro para un
mismo resultado—. Para comprobarlo, comience en la posición inicial por la
esquina superior izquierda, con la cabecera hacia el este, sobre H,
hacia la siguiente posición y desde allí en diagonal, hacia el sureste
sobre R. Debido a que llega a la misma posición a la que hubiera
llegado de seguir V, se demuestra que HR = V[129].
Fíjese en que el orden de esas acciones es irrelevante: HR = RH,
pues ambas conducen a V. Esta indiferencia respecto al orden se da
en cualquier otro par de acciones. Debería pensarlo como una generalización de
la propiedad conmutativa de la suma de números ordinarios, x e y,
según la cual x + y = y + x.
Pero cuidado, el grupo del colchón es especial. Muchos otros grupos incumplen
la propiedad conmutativa. Aquellos que tienen la suerte de cumplirla son
particularmente limpios y simples.
Ahora, la recompensa. El diagrama muestra cómo sacarle el mayor partido a un
colchón. Cualquier estrategia que emplee los cuatro estados periódicamente
funcionará. Por ejemplo, alternar R y H es
conveniente, y, puesto que no pasa por V, no es demasiado
extenuante. Para ayudarle a recordar, algunos fabricantes sugieren la fórmula:
«Gire en primavera, voltee en otoño».
El grupo de colchones también aparece de repente en lugares inesperados: en la
simetría de las moléculas de agua o en la lógica de un par de interruptores
eléctricos. Ese es uno de los encantos de la teoría de grupos. Expone la unidad
oculta de cosas que de otra manera parecerían inconexas… como en aquella
anécdota de cómo el físico Richard Feynman logró aplazar su reclutamiento[130].
El psiquiatra del ejército que le entrevistaba le pidió que le mostrara las
manos para que pudiera examinarlas. Feynman sacó las manos, una con la palma
hacia arriba y la otra hacia abajo. «No, al revés», dijo el psiquiatra. Por lo
que Feynman invirtió ambas manos, dejando, de nuevo, una palma
hacia arriba y la otra hacia abajo.
Feynman no estaba planteando un acertijo, sino proponiendo un poco de humor a
propósito de la teoría de grupos. Si tenemos en cuenta todas las posibilidades
en que puede mostrar sus manos, así como las múltiples transiciones que puede
llevar a cabo, las flechas forman el mismo patrón que el grupo de colchones.
Pero
si todo esto hace que los colchones parezcan demasiado complicados, tal vez la
verdadera lección es una que ya conocía: si algo le inquieta, consúltelo con la
almohada.
§27. Cintas musicales
Nuestra escuela primaria local invita a los padres a acercarse y hablar a las
clases de sus hijos. Esto da a los niños la oportunidad de oír charlar sobre
diferentes trabajos y de aprender cosas a las que, de otra manera, tal vez no
tuvieran acceso.
Cuando llegó mi turno, me presenté en la clase de primero de primaria de mi
hija con una bolsa llena de cintas de Möbius[131]. La noche
anterior, mi mujer y yo habíamos cortado tiras de papel y les habíamos dado una
media vuelta a cada una, así:
Antes
de unir los bordes para formar una cinta de Möbius:
Los
niños de seis años pueden hacer actividades divertidas con estas formas[132], que
requieren nada más que tijeras, rotuladores, papel celo y algo de curiosidad.
Mientras que mi mujer y yo repartíamos las tiras y los materiales, el profesor
preguntó a los alumnos en qué asignatura les parecía que estábamos. Un niño
levantó la mano y dijo: «No estoy seguro, pero sé que no es lengua».
Por supuesto, el profesor esperaba que respondieran «plástica», o, de manera
más precoz, «matemáticas». La mejor respuesta, no obstante, habría sido
«topología»[133]. (En
Ithaca es posible que a un alumno de primero se le ocurriera esa respuesta,
pero ese año el niño topólogo resultó estar en otra clase).
¿Qué es la topología? Es una excitante rama de la matemática moderna, un brote
de la geometría, pero mucho más ligera y relajada. En topología, dos formas se
consideran iguales si se puede doblar, estirar o deformar de otro modo una para
convertirla en la otra de manera continuada, por supuesto sin rasgaduras o
perforaciones. A diferencia de la rigidez de los objetos geométricos, los
objetos de topología se comportan como si fueran infinitamente elásticos, como
si estuvieran hechos de un tipo de goma ideal o Silly Putty.
La topología arroja luz sobre las propiedades más profundas de una forma,
propiedades que permanecen inalteradas tras continuas distorsiones. Por
ejemplo, una goma elástica en forma de cuadrado y otra en forma circular son
topológicamente indiscernibles. No importa que un cuadrado tenga cuatro
esquinas y cuatro lados. Esas propiedades son irrelevantes. Una deformación
puede deshacerse de ellas redondeando las esquinas del cuadrado y doblando sus
lados hasta hacerlos arcos circulares.
Pero
de lo que no puede deshacerse esta deformación es del bucle intrínseco del
círculo y el cuadrado[134]. Ambos son
curvas cerradas. Esa es su esencia topológica compartida.
De la misma manera, la esencia de una tira de Möbius es el peculiar medio giro
que lleva adherido. Ese giro dota a la forma de su seña de identidad. Es bien
conocido que una cinta de Möbius tiene una sola cara y solo un borde. En otras
palabras, sus superficies delantera y trasera son la misma, al igual que sus
bordes superior e inferior. (Para comprobarlo, recorra con su dedo la cinta
hasta que llegue al punto de partida). Lo que ha sucedido es que el giro ha
enganchado lo que eran los bordes superior e inferior del papel creando una
larga curva continua. Igualmente, fusiona las partes delantera y trasera. Una
vez que la cinta se ha cerrado, estas cualidades son permanentes. Puede estirar
y retorcer una cinta de Möbius todo lo que quiera, pero nada cambiará ese medio
giro, ni esa cualidad de tener solo un lado y un borde.
Haciendo que los niños examinaran las extrañas propiedades de la cinta de
Möbius, esperaba enseñarles lo divertidas y asombrosas que pueden ser las
matemáticas.
En primer lugar les pedía que cogieran un rotulador y que con cuidado dibujaran
una línea por toda la cinta. Con el ceño fruncido, comenzaron a trazar algo
parecido a la línea de puntos de la imagen siguiente:
Tras
un circuito, muchos alumnos se detuvieron y adoptaron una pose de perplejidad.
Comenzaron a gritarse unos a otros excitados, puesto que sus líneas no se
habían cerrado, tal y como esperaban. El rotulador no había llegado al punto de
partida; ahora estaba al «otro» lado de la superficie. Esa fue la sorpresa
número uno: hay que recorrer dos veces la cinta de Möbius para
regresar al punto de partida.
De repente, un niño comenzó a perder los estribos. Cuando se percató de que su
rotulador no había vuelto al punto de partida, supuso que había hecho algo mal.
Aunque le aseguramos una y otra vez que eso es lo que tenía que pasar, que lo
estaba haciendo muy bien y que debía recorrer de nuevo la cinta, no hubo forma.
Era demasiado tarde. Estaba en el suelo, llorando desconsoladamente.
Con cierta inquietud, le pedí a la clase que probara la siguiente actividad.
«¿Qué pensáis que sucederá si cogéis las tijeras y comenzáis a cortar
limpiamente, por el medio, a lo largo de toda la cinta?».
«¡Se despedazará!», «¡Se convertirá en dos trozos!», decían. Pero cuando lo
probaron y sucedió algo increíble (la tira se mantuvo de una pieza pero duplicó
su tamaño), hubo incluso más gritos de asombro y alegría. Era como un truco de
magia.
Después de eso, fue difícil que siguieran atentos. Estaban demasiado ocupados
con sus propios experimentos, haciendo nuevos estilos de tiras de Möbius con
dos o tres medios giros y cortándolas a lo largo en mitades, tercios o cuartos,
generando todo tipo de formas retorcidas: collares, cadenas y nudos, mientras
gritaban: «¡Mira lo que he descubierto!». Sin embargo, no he podido superar
haber traumatizado a ese niño. Y parece ser que mi lección no fue la primera
que hizo llorar a un alumno.
Vi Hart[135] estaba
tan frustrada por las aburridas clases de matemáticas de su instituto que
comenzó a garabatear en clase, pintando serpientes y árboles y cadenas
infinitas de elefantes que encogían, en lugar de atender al profesor. Vi, que
se llama a sí misma «matemúsica recreativa a tiempo completo», ha colgado
algunos de sus garabatos en YouTube. Se han visto cientos de miles de veces y,
en el caso de los elefantes, más de un millón. Ella y sus vídeos son
asombrosamente originales.
Dos de mis preferidos subrayan las extrañas propiedades de las cintas de Möbius
a través de un uso creativo de la música y las historias. En el menos
desconcertante de los dos, su «Cajita de música Möbius», toca un tema de una
pieza musical que compuso inspirada en los libros de Harry Potter.
Vi Hart
La
melodía está codificada en una serie de agujeros perforados en una cinta que a
continuación se introduce en una caja de música estándar. Su innovación fue
retorcer los extremos de la cinta y unirlos formando una cinta de Möbius. Al
girar la manivela de la caja de música, Vi va introduciendo la cinta en el
aparato, que reproduce la melodía normalmente. Pero, transcurridos cincuenta
segundos del vídeo, el bucle completa un circuito y, debido a la media vuelta
en la tira de Möbius, la caja de música comienza a reproducir lo que
originalmente estaba en el dorso de la cinta perforada, de
arriba abajo. Por lo tanto, la melodía comienza de nuevo, en este caso con las
notas invertidas. Las notas altas ahora son bajas y viceversa. Siguen sonando
en el mismo orden, pero de arriba abajo, gracias a las volteretas impuestas por
la estructura de Möbius.
Para dar un ejemplo aún más llamativo de las implicaciones de las tiras de
Möbius, Vi cuenta en «Cuento de Möbius: Wind y el señor Ug», una historia
agridulce acerca de un amor imposible. Una simpática triángulo llamada Wind,
dibujada con un rotulador deleble, vive sin saberlo en un mundo plano hecho de
acetato transparente con forma de cinta de Möbius. Se siente sola, pero
esperanzada, ansiosa de conocer al otro único habitante del mundo, un
misterioso caballero llamado señor Ug, que vive una puerta más abajo. Aunque no
le conoce, ella adora los mensajes que le deja y anhela conocerle algún día.
Alerta de spoiler: sáltese el siguiente párrafo si no quiere saber la clave del
cuento.
El señor Ug no existe. Wind es el señor Ug, visto de arriba abajo y en el dorso
de la cinta transparente de Möbius. Debido a la manera inteligente en que Vi
imprime letras y hace girar el mundo girando el acetato, cuando el nombre de
Wind o su casa o sus mensajes dan una vuelta a la cinta de Möbius, se voltean y
parecen pertenecer al señor Ug.
Vi Hart
Mi
explicación no hace justicia al vídeo. Tiene que verlo para descubrir el gran
ingenio que se emplea para combinar una historia de amor con una ilustración
vívida de las propiedades de las cintas de Möbius.
Otros artistas también han obtenido inspiración de las desconcertantes
características de las cintas de Möbius[136]. Escher
las usó en sus dibujos de hormigas atrapadas en un bucle eterno. Escultores y
grabadores, como Max Bill y Keizo Ushio, han incorporado motivos de Möbius en
sus obras.
Quizá, la estructura de Möbius más monumental sea la planeada para la
Biblioteca Nacional de Kazajistán[137]. Su
diseño, obra del estudio de arquitectura danés BIG, son pasillos en espiral que
se enroscan hacia arriba y luego hacia abajo y en que «como una yurta, la pared
se convierte en el techo, que se convierte en suelo, que se convierte de nuevo
en pared».
BIG — Bjarke Ingels Group
Las
propiedades de las cintas de Möbius ofrecen ventajas de diseño también para los
ingenieros. Por ejemplo, un bucle continuo de cinta regrabable, en forma de
cinta de Möbius, duplica el tiempo de reproducción. La compañía B. F. Goodrich
patentó una cinta transportadora a modo de cinta de Möbius, que duraba el doble
que una cinta transportadora convencional, puesto que se desgastaban por igual
«ambos» lados de su superficie (ya saben a qué me refiero). Otras patentes
Möbius[138] incluyen
diseños novedosos de condensadores, retractores abdominales quirúrgicos y
filtros autolimpiadores para máquinas de limpieza en seco.
Pero, tal vez, la aplicación más genial de la topología es una que no tiene que
ver con cintas de Möbius. Es una variante del tema de giros y enlaces, y puede
que le sea útil el próximo domingo que tenga invitados en casa para tomar
el brunch. Es obra de George Hart, el padre de Vi. Es geómetra y
escultor, y antiguo profesor de ciencias de la computación en la Universidad de
Stony Brook y jefe de contenidos del MoMath, el Museo de Matemáticas de la
ciudad de Nueva York. George ha ideado una manera de rebanar un bagel (o un
donut) por la mitad[139], de tal
manera que ambos trozos queden enganchados como eslabones de una cadena.
© George W. Hart
La
ventaja, además de dejar a sus invitados boquiabiertos, es que crea mayor área
de superficie, y por lo tanto, mayor espacio para la crema o la mermelada.
§28. Piense globalmente
Las ideas más familiares de la geometría estaban inspiradas por la antigua idea
de que el mundo era plano[140]. Desde el
teorema de Pitágoras a las líneas paralelas que jamás se encuentran, estas eran
verdades eternas acerca de un mundo imaginario, el paisaje bidimensional de la
geometría plana.
La geometría plana, concebida en India, China, Egipto y Babilonia hace más de
2500 años y codificada y refinada por Euclides y los griegos, es la geometría
principal —a menudo la única— que se enseña en los institutos. Pero las cosas
han cambiado en los últimos milenios.
En una era de globalización, Google Earth y transporte aéreo intercontinental,
todos deberíamos tratar de aprender algo de geometría esférica y su
generalización moderna[141]. Las ideas
básicas no tienen más de 200 años. La geometría diferencial, en la que fueron
pioneros Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann, sustenta estructuras
intelectuales tan imponentes como la teoría general de la relatividad de
Einstein. Sin embargo, en su centro existen hermosos conceptos, inteligibles
para cualquier persona que haya montado en bicicleta, mirado un globo o
estirado una goma elástica. Comprender estos conceptos le ayudará a dar sentido
a algunas curiosidades en las que puede haber reparado en sus viajes.
Por ejemplo, cuando yo era pequeño, mi padre disfrutaba examinándome de
geografía. Me preguntaba: «¿Qué está más al norte, Roma o Nueva York?». La
mayoría de la gente diría Nueva York, pero sorprendentemente están casi a la
misma latitud; de hecho, Roma está ligeramente más al norte. En el mapamundi
más habitual (la engañosa proyección de Mercator, en la que Groenlandia aparece
enorme), parece que uno pudiera ir en línea recta de Nueva York a Roma
dirigiéndose hacia el este.
Sin embargo, los pilotos nunca toman esa ruta. Siempre salen de Nueva York
hacia el noreste, por la costa de Canadá. Yo solía pensar que permanecían cerca
de tierra por razones de seguridad, pero esa no es la razón. Teniendo en cuenta
la curvatura de la Tierra, esa es sencillamente la ruta más directa[142]. El camino
más corto de Nueva York a Roma es ir a través de Nueva Escocia y Terranova,
dirigirse hacia el Atlántico y, finalmente, cruzar el sur de Irlanda y volar a
través de Francia hasta la soleada Italia.
Este
tipo de ruta en el globo se llama arco de un gran círculo. Igual que las líneas
rectas en el espacio ordinario, los grandes círculos en una esfera contienen
los caminos más cortos entre dos puntos cualesquiera. Se les llama «grandes»
porque son los mayores círculos que puede tener una esfera. Ejemplos visibles
son el ecuador y los círculos longitudinales que pasan por los polos norte y
sur.
Otra propiedad que comparten las líneas y los grandes círculos es que son el
camino más recto entre dos puntos. Esto puede sonar raro: todos los
caminos en un globo son curvos, ¿a qué nos referimos con «recto»? Bueno,
algunos caminos son más curvados que otros. Los grandes círculos no realizan
ninguna curvatura adicional más allá de lo que están obligados
a hacer siguiendo la superficie de la esfera.
He aquí una manera de visualizar esto. Imagine que está montando en una pequeña
bicicleta sobre la superficie de un globo y pretende permanecer en una ruta
determinada. Si es parte de un gran círculo, podrá mantener la rueda delantera
apuntando hacia delante en todo momento. Ese es el sentido en que los grandes
círculos son rectos. Por el contrario, si trata de tomar una línea de latitud
cercana a uno de los polos, tendría que mantener el manillar girado.
Pero está claro que, en lo que a superficies se refiere, el plano y la esfera
son absolutamente simples. La superficie del cuerpo humano o una lata, o un
donut, son más curiosas: todas tienen mucha menos simetría, además de varias
clases de agujeros y pasadizos que las hacen confusas de recorrer. En este
contexto más general, dar con el camino más corto entre dos puntos se hace más
complicado. Así que en lugar de profundizar en aspectos técnicos, ciñámonos a
un enfoque intuitivo. Aquí es donde las gomas elásticas nos serán útiles.
Concretamente, imagine una goma resbaladiza que se contrae todo lo posible
mientras está en la superficie de un objeto. Con su ayuda, fácilmente podemos
determinar el camino más corto entre Nueva York y Roma o entre cualesquiera dos
puntos en una superficie. Ate los extremos de la goma a los puntos de salida y
destino y deje que se tense mientras continúa aferrándose a los contornos de la
superficie. Cuando la goma está tan tensa como le permiten las
restricciones, voilà: encuentra el camino más corto.
En superficies algo más complicadas que los planos o las esferas, puede suceder
algo extraño y novedoso: muchos «caminos más cortos» a nivel
local pueden existir entre los mismos dos puntos. Por ejemplo, tomemos por caso
la superficie de una lata de sopa, con un punto situado justo debajo del otro.
El
camino más corto entre ambos es, claramente, un segmento, como se muestra
arriba, y nuestra goma daría con esa solución. Por lo tanto, ¿qué hay de nuevo
en esto? La forma cilíndrica de la lata abre nuevas posibilidades para todo
tipo de contorsiones. Supongamos que exigimos que la goma rodee el cilindro una
vez antes de conectarse al segundo punto. (Restricciones de este tipo se
imponen al ADN cuando se envuelve alrededor de ciertas proteínas en los
cromosomas). Ahora, cuando la goma se tensa, forma una hélice, como las curvas
en los postes de las antiguas barberías.
Esta
trayectoria helicoidal califica como otra solución al problema del camino más
corto, en el sentido de que es el más corto de los caminos candidatos cercanos.
Si mueve ligeramente la cuerda, necesariamente se alargará y después se
contraerá de nuevo. Podríamos decir que es el camino más corto a nivel local,
el campeón regional de todos aquellos que se enredan una vez alrededor del
cilindro. (Por cierto, es por esto por lo que la materia se llama geometría
diferencial: estudia los efectos de pequeñas diferencias locales
en distintos tipos de formas, como la diferencia entre el camino helicoidal y
sus vecinos).
Pero eso no es todo. Hay otro campeón que gira alrededor dos veces, y otro que
gira tres veces y así sucesivamente. ¡Hay infinitos caminos más cortos a nivel
local en un cilindro! Claro que ninguna de estas hélices es globalmente el
camino más corto. El camino en línea recta es más corto que todos ellos.
De igual modo, superficies con agujeros y manillares permiten caminos más
cortos a nivel local, distinguidos por su pauta de ir tejiendo alrededor de
varias partes de la superficie. La foto siguiente es de un vídeo del matemático
Konrad Polthier[143], de la
Universidad Libre de Berlín, e ilustra la no unicidad de estos caminos
localmente más cortos, o geodésicos, en la superficie de un planeta imaginario
con forma de ocho, una figura conocida en el sector como «toroide de 2
agujeros».
Andreas Arnez, Konrad Polthier, Martin Steffens, Christian Teitzel. Imágenes
del DVD Touching Soap Films, Springer, 1995.
Las
tres geodésicas que se observan visitan partes muy distintas del planeta y, por
tanto, ejecutan distintos patrones de bucle. Pero lo que tienen en común es que
son más directas que los caminos cercanos. Y al igual que las líneas rectas en
un plano o los grandes círculos en una esfera, estas geodésicas son las curvas
más directas de la superficie. Se doblan para adaptarse a la superficie, pero
no se doblan dentro de ella. Para aclararlo, Polthier ha elaborado otro vídeo
revelador.
Aquí, una moto sin conductor circula por una autopista geodésica en un toroide
de 2 agujeros, siguiendo la disposición del terreno. Lo más destacable es que
el manillar está fijado hacia delante; no necesita dirigirlo para permanecer en
la autopista. Esto pone de relieve la impresión anterior de que las geodésicas,
como los grandes círculos, son la generalización natural de las líneas rectas.
Andreas Arnez, Konrad Polthier, Martin Steffens, Christian Teitzel. Imágenes
del DVD Touching Soap Films, Springer, 1995.
Con
todos estos vuelos de fantasía, puede que se pregunte si las geodésicas tienen
algo que ver con la realidad; claro que sí. Einstein demostró que los haces de
luz siguen geodésicas cuando navegan por el universo. La famosa curvatura de la
luz estelar que rodea el Sol, detectada en las observaciones del eclipse de
1919, confirmó que la luz viaja en geodésicas a través del espacio-tiempo
curvo, con la curvatura causada por la fuerza de gravedad del Sol.
A un nivel más terrenal, la matemática de hallar rutas más cortas es
fundamental para encaminar el tráfico en Internet. En este caso, sin embargo,
el espacio relevante es un laberinto colosal de direcciones y enlaces, a
diferencia de las superficies lisas consideradas anteriormente, y los asuntos
matemáticos tienen que ver con la velocidad de los algoritmos: ¿cuál es la
manera más eficiente de encontrar la ruta más corta en una red?[144]. Dado el
gran número de rutas potenciales, el problema sería abrumador si no fuera por
el ingenio de los matemáticos y científicos informáticos que lo abordaron.
A veces, cuando la gente dice que la distancia más corta entre dos puntos es la
línea recta, se dice en sentido figurado, ridiculizando los matices y afirmando
el sentido común. En otras palabras: no te compliques, hazlo sencillo. Pero
luchar contra los obstáculos puede dar lugar a una gran belleza, tanto es así,
que en arte y matemáticas a menudo es más fructífero imponer restricciones
sobre nosotros mismos. Piense en un haiku, o en un soneto, o en contar la
historia de su vida en seis palabras[145]. Lo mismo
puede decirse de toda la matemática creada para ayudarle a encontrar el camino
más corto de aquí hasta allí cuando no puede tomar el camino más fácil.
Dos puntos. Muchos caminos. Felicidad matemática.
§29. Análisis. Historia de una terapia peligrosa
Las matemáticas se pavonean con un intimidante aire de seguridad. Son tan
decisivas, inflexibles y firmes como un capo de la mafia. Te darán un argumento
que no podrás rechazar.
Pero, en privado, las matemáticas tienen inseguridades ocasionales. Tienen
dudas. Se cuestionan a sí mismas y no están seguras de tener siempre razón,
especialmente en lo que al infinito se refiere. El infinito puede quitar el
sueño a las matemáticas, hacerles sentir preocupación, inquietud, temor
existencial. Debido a que ha habido momentos en la historia de las matemáticas
en los que desatar al infinito ha traído el caos, se temió que pudiera estallar
la empresa entera. Y eso sería malo para el negocio.
En la serie de HBO Los Soprano, el jefe mafioso Tony Soprano
consulta a una psiquiatra en busca de tratamiento para sus ataques de ansiedad,
tratando de entender por qué su madre lo quiere muerto, esas cosas que pasan…
Bajo una fachada de seguridad y dureza, se encuentra una persona confusa y
asustada.
De la misma manera, el cálculo se echó en el diván justo cuando parecía estar
en su momento más letal. Tras décadas de triunfos, de segar todos los problemas
que se interponían en su camino, empezó a tomar conciencia de que había algo
podrido en su interior. Las mismas cosas que lo habían hecho triunfar —su
habilidad y valentía brutales en la manipulación de los procesos infinitos—
amenazaban ahora con destruirle. Y la terapia que lo ayudó a superar esta
crisis llegó a ser conocida, casualmente, como «análisis»[146].
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He
aquí un ejemplo del tipo de problema que preocupaba a los matemáticos del siglo
XVIII. Considere la serie infinita:
1 −
1 + 1 − 1 + 1 − 1 +…
Es
el equivalente numérico de vacilar eternamente[147], dar un
paso hacia delante, uno hacia atrás, uno hacia delante, otro hacia atrás y así
sucesivamente ad infinítum.
¿Tiene sentido esta serie? Y si lo tiene, ¿a qué equivale?
Desorientado por una expresión infinitamente larga como esta, un optimista
podría esperar que algunas de las viejas reglas —las reglas forjadas a partir
de la experiencia con sumas finitas— fueran todavía aplicables. Por
ejemplo, sabemos que 1 + 2 = 2 + 1; cuando sumamos dos o más números en una
suma finita, siempre podemos cambiarles el orden sin cambiar el
resultado: a + b es igual a b+ a (la
propiedad conmutativa de la suma). Y cuando hay más de dos números, siempre
podemos insertar paréntesis con desenfreno, agrupando los números como nos
apetezca, sin afectar a la respuesta final. Por ejemplo, (1 + 2) + 4 = 1 + (2 +
4); sumar 1 y 2 primero y luego 4, da el mismo resultado que sumar 2 y 4
primero y después 1. Esto se llama propiedad asociativa de la suma. Funciona
incluso si algunos números son restados, siempre que recordemos que restar un
número es igual que sumar su negativo. Por ejemplo, considere una versión de
tres números de la serie anterior, y pregúntese: ¿qué es 1 − 1 + 1? Podríamos
verlo como (1 − 1) + 1, o como 1 + (−1 + 1), donde en ese segundo conjunto de
paréntesis hemos sumado un 1 negativo en lugar de restar 1. En cualquier caso,
la respuesta es 1.
Pero, cuando intentamos extender estas reglas a sumas infinitas,
nos esperan unas cuantas sorpresas. Fíjese en la contradicción que se produce
si se saca a relucir la ley asociativa y se aplica confiadamente a 1 − 1 + 1 −
1 + 1 − 1 +… Por un lado, parece que podemos aniquilar los unos positivos y
negativos emparejándolos así:
1 −
1 + 1 − 1 + 1 − 1 +…
= (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +…
= 0 + 0 + 0 +…
= 0
Por
otra parte, se podría igualmente insertar el paréntesis así y concluir que la
suma es 1:
1 −
1 + 1 − 1 + 1 − 1 +…
= 1 + (− 1 + 1) + (−1 + 1) +…
= 1 + 0 + 0 +…
= 1
Ninguno
de estos argumentos parece más convincente que el otro, así que la suma quizá
sea 0 y 1 al mismo tiempo. Esta tesis suena absurda para nosotros
hoy, pero, en su momento, algunos matemáticos se consolaron con ella por sus
tintes religiosos. Les recordó a la afirmación teológica de que Dios creó el
mundo de la nada. Como escribió el matemático y sacerdote Guido Grandi en 1703:
«Al poner paréntesis en la expresión 1 − 1 + 1 − 1 +… de diferentes maneras,
puedo, si quiero, obtener 0 o 1. Pero entonces, la idea de la creación ex
nihilo es perfectamente plausible».
Sin embargo, parece que Grandi favoreció un tercer valor para la suma, distinto
de 0 y de 1. ¿Puede adivinar qué número pensaba que debería ser? Piense en lo
que diría si estuviera bromeando, pero tratando de sonar académico.
Correcto: Grandi creyó que la verdadera suma era 1⁄2.
Y matemáticos muy superiores, entre ellos Leibniz y Euler, estuvieron de
acuerdo. Existían varías líneas de razonamiento que sustentaban este
razonamiento. La más sencilla era reparar en que 1 − 1 + 1 − 1 +… puede
expresarse en sus propios términos, de la siguiente manera. Usemos la
letra S para denotar la suma. Entonces, por definición
S =
1 − 1 + 1 − 1 +…
Ahora
deje al primer 1 solo a la derecha y observe el resto de los números. Albergan
su propia copia de S, situada a la derecha de ese primer 1 y
restándose de él:
S =
1 − 1 + 1 − 1 +…
= 1 − (1 − 1 + 1 −…)
= 1 − S
Entonces, S =
1 − S y, por lo tanto, S = 1/2.
El debate en torno a la serie 1 − 1 + 1 − 1 +… duró unos 150 años, hasta que
una nueva generación de analistas colocó el cálculo y sus procesos infinitos
(límites, derivadas, integrales, series infinitas) sobre una base firme, de una
vez por todas. La materia se reconstruyó de abajo arriba, con la configuración
de una estructura lógica tan sólida como la geometría de Euclides.
Dos de sus nociones clave son las sumas parciales y la convergencia. En una
suma parcial uno simplemente suma una cantidad finita de términos y después
para. Por ejemplo, si sumamos los primeros tres términos de la serie 1 − 1 + 1
− 1 +…, obtenemos 1 − 1 + 1 = 1. Llamemos a esto S3.
Aquí la letra S quiere decir «suma» y el subíndice 3 indica
que nosotros solo hemos añadido los primeros tres términos.
De igual modo, las primeras sumas parciales de esta serie son
S1 =
1
S2 = 1 − 1 = 0
S3 = 1 − 1 + 1 = 1
S4 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0
Así
vemos que las sumas parciales van y vienen entre 0 y 1, sin tendencia a
establecerse en 0, en 1, o en 1/2, o en cualquier otra cosa. Por esta razón,
los matemáticos de nuestro tiempo dirían que la serie 1 − 1 + 1 − 1 +… no
converge. En otras palabras, sus sumas parciales no se aproximan a ningún valor
limitante a medida que se añaden más y más términos a la suma. Por lo tanto la
suma de la serie infinita carece de sentido.
Así que supongamos que nos ceñimos al buen camino —nada de coquetear con el
lado oscuro— y centramos nuestra atención exclusivamente en aquellas series que
convergen. ¿Nos deshacemos así de las paradojas anteriores?
Aún no. Las pesadillas siguen. Y no está mal que así sea, porque, enfrentándose
a estos nuevos demonios, los analistas del XIX descubrieron secretos más
profundos en el corazón del cálculo y los trajeron a la luz. Las lecciones
aprendidas se han demostrado incalculables, no solo en el mundo matemático,
sino también en la aplicación de las matemáticas en diversos campos, desde la
música a las imágenes médicas.
Considere esta serie, conocida en el sector como la serie armónica alternada:
1
−1/2+1/3−1/4+1/5−1/6+…
En
lugar de un paso adelante, un paso atrás, los pasos ahora se van haciendo
progresivamente más pequeños. Es un paso adelante, pero solo medio paso
atrás, y luego una tercera parte del paso, y la cuarta parte
atrás, y así sucesivamente. Observe el patrón: las fracciones con denominadores
impares tienen delante un signo positivo, mientras que las fracciones pares
tienen signos negativos. Las sumas parciales en este caso son:
S1 =
1
S2 = 1 − 1/2 = 0,500
S3 = 1 − 1/2 + 1/3 = 0,833…
S4 = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 = 0,583…
Y si
llega lo suficientemente lejos, verá que se unen en número cercano a 0,69. De
hecho, se puede demostrar que la serie converge. Su valor limitante es el
logaritmo natural de 2, denotado ln(2) y aproximadamente igual a 0,693147.
Entonces, ¿dónde está la pesadilla? Aparentemente, en ninguna parte. La serie
armónica alternada parece una serie convergente bonita, educada, el tipo de
serie que sus padres aprobarían.
Y que la hace tan peligrosa. Es un camaleón, una estafadora, una psicópata
resbaladiza que será lo que usted quiera que sea. Si suma sus números en
distinto orden, puede hacer que sume cualquier cosa. Literalmente. Puede
reordenarse para converger en cualquier número real: 297,126, o −42π, o
0, o lo que su corazón desee.
Es como si la serie tuviera un desprecio absoluto por la propiedad conmutativa
de la suma. Simplemente añadiendo los términos en un orden diferente, puede
cambiar la respuesta, algo que nunca podría pasar en una suma
finita. Así que, a pesar de que la serie original converge, sigue siendo capaz
de rarezas inimaginables en la aritmética ordinaria.
En lugar de probar este hecho asombroso (un resultado conocido como el teorema
de reordenamiento de Riemann)[148], veamos un
reordenamiento particularmente simple, cuya suma es fácil de calcular.
Supongamos que sumamos dos de los términos negativos en la
serie armónica alternada por cada uno de sus términos
positivos, de esta manera:
1
−1/2−1/4 + 1/3−1/6−1/8 + 1/5−1/10−1/12 +…
A
continuación, simplifique cada una de las expresiones entre corchetes restando
el segundo término al primero, sin tocar el tercer término. La serie se reduce
entonces a
1/2−1/4
+ 1/6−1/8 + 1/10−1/12 +…
Tras
sacar 1/2 de todas las fracciones anteriores, se convierte en:
1/2
1 −1/2+1/3−1/4+1/5−1/6+…
Mire
quién ha vuelto: la bestia de dentro de los corchetes es la mismísima serie
armónica alternada. Reordenándola, la hemos hecho la mitad de
grande de lo que era, ¡aunque contiene los mismos términos! Reordenada en ese
orden, la serie ahora converge en 1/2ln(2) = 0,346…
Extraño, sí. Angustioso, también[149]. Y
sorprendentemente, importa también en la vida real. Como hemos visto a lo largo
de este libro, incluso los conceptos matemáticos más abstrusos y rebuscados a
menudo encuentran aplicación en cosas prácticas. El enlace en el presente caso
es que en muchas partes de la ciencia y la tecnología —desde el procesamiento y
acústica de señales a las finanzas y la medicina— resulta útil para representar
diferentes tipos de curvas, sonidos, señales o imágenes como sumas de curvas,
sonidos, señales o imágenes más simples. Cuando los componentes básicos son
ondas sinusoidales, la técnica se conoce como análisis de Fourier[150], y las
cantidades correspondientes se llaman series de Fourier. Pero cuando la serie
en cuestión tiene algunas de las mismas patologías que la serie armónica
alternada y sus parientes igualmente desquiciados, el comportamiento de
convergencia de las series de Fourier puede ser muy extraño.
Aquí, por ejemplo, está una serie de Fourier directamente inspirada en la serie
armónica alternada:
f(x)
= sen x − 1/2 sen 2x + 1/3 sen 3x −1/4
sen 4x +…
Para
entender qué aspecto tiene esto, vamos a representar gráficamente la suma de
sus diez primeros términos.
Esta
suma parcial (que se muestra como una línea continua) está claramente tratando
de aproximarse a una curva mucho más sencilla, una onda con forma de dientes de
sierra (mostrada por la línea de puntos). Nótese, sin embargo, que algo falla
en los bordes de los dientes. Las ondas sinusoidales dan allí un sobreimpulso a
la marca y producen una extraña franja que no está en la propia onda de dientes
de sierra. Para ver esto con más claridad, he aquí un zoom cerca
de uno de los bordes, en x = π.
Supongamos
que intentamos deshacernos de la franja incluyendo más términos en la suma. No
hay suerte. La franja simplemente se hace más fina y se acerca más al borde,
pero su altura permanece casi igual.
La
culpa podemos dejarla en la puerta de la serie armónica alternada. Sus
patologías anteriormente comentadas contaminan la serie asociada Fourier. Son
las responsables de esa molesta franja de la que no hay manera de librarse.
Este efecto, comúnmente llamado el fenómeno de Gibbs[151], es más
que una curiosidad matemática. Conocido desde el siglo XIX, aparece ahora en
nuestras fotografías digitales y en los escáneres de resonancia magnética[152]. Las
oscilaciones no deseadas causadas por el fenómeno de Gibbs pueden producir
borrosidad, brillo y otros efectos en los bordes afilados de la imagen. En un
contexto médico, estos se pueden confundir con tejido dañado, o pueden ocultar
lesiones realmente presentes.
Afortunadamente, los analistas de hace un siglo identificaron las causas de los
artefactos de Gibbs[153]. Sus ideas
nos han enseñado la manera de superarlos o, al menos, cómo detectarlos cuando
se producen.
La terapia ha sido muy exitosa. Ahora nos pasarán la factura.
§30. El hotel infinito de Hilbert
En febrero de 2010 recibí un e-mail de una mujer llamada Kim Forbes. Su hijo de
seis años, Ben, le había hecho una pregunta de matemáticas que no podía
contestar, y esperaba que yo pudiera ayudarla.
Gracias.
Ben quedó satisfecho con esa respuesta y le gusta la idea de que el infinito es
lo suficientemente grande como para ser a la vez par e impar.
Aunque algo se ha distorsionado en la traducción (el infinito no es
ni par ni impar, ni ambos), Ben está insinuando una verdad mayor. El
infinito puede ser alucinante.
Algunas de sus vertientes más extrañas salieron a la luz a finales del siglo
XIX, con el trabajo pionero de Georg Cantor[154] sobre
la teoría de conjuntos[155].
Cantor
estaba particularmente interesado en los conjuntos infinitos de números y
puntos, como el conjunto {1, 2, 3, 4,…} de números naturales y el conjunto de
puntos de una línea. Definió una manera rigurosa de comparar diferentes
conjuntos infinitos y descubrió que, sorprendentemente, algunos infinitos son
mayores que otros.
En su momento, la teoría de Cantor no solo provocó resistencia, sino escándalo.
Henri Poincaré, uno de los matemáticos principales de la época, lo calificó de
«enfermedad». Sin embargo, otro gigante de la época, David Hilbert[156], lo vio
como una contribución duradera y más tarde proclamó: «Nadie podrá expulsarnos
del paraíso que Cantor ha creado».
Mi objetivo aquí es ofrecerle una idea de este paraíso. Pero en lugar de
trabajar directamente con grupos de números o puntos, permítame seguir un
enfoque introducido por el propio Hilbert. Transmitió vívidamente la extrañeza
y maravilla de la teoría de Cantor a través de una parábola acerca de un gran
hotel, hoy conocida como el hotel infinito de Hilbert[157].
Está siempre lleno, pero siempre hay una habitación libre.
Pues el hotel Hilbert no tiene, simplemente, cientos de habitaciones,
tiene infinitas. Cada vez que llega un nuevo huésped, el gerente
mueve al ocupante de la habitación 1 a la habitación 2, al de la habitación 2 a
la 3, etcétera. Esto libera la habitación 1 para el recién llegado y aloja
también a todos los demás (aunque los moleste con tanto movimiento).
Supongamos ahora que llegan infinitos nuevos huéspedes,
sudorosos y con mal genio. No hay problema. El gerente imperturbable mueve al
ocupante de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6, y así
sucesivamente. Este truco de duplicación libera todas las habitaciones impares
—un número infinito de ellas— para los nuevos huéspedes.
Esa misma noche, un convoy sin fin de autobuses ruge hasta la recepción. Hay
autobuses infinitos y, lo que es peor, cada uno está cargado con una infinidad
de personas malhumoradas exigiendo que el hotel esté a la altura de su lema:
«Siempre hay sitio en el hotel Hilbert».
No es la primera vez que el gerente se enfrenta a este reto, así que se lo toma
con calma.
Primero hace el truco de duplicación, que reasigna a los clientes actuales a
las habitaciones pares y libera todas las impares. Un buen comienzo, porque
ahora tiene un número infinito de habitaciones disponibles.
Pero ¿basta con esto? ¿De verdad hay suficientes habitaciones impares para
alojar a esta horda rebosante de nuevos huéspedes? Parece poco probable, ya que
hay algo así como infinitas personas al cuadrado que claman por estas
habitaciones. (¿Por qué infinito al cuadrado? Porque había un número infinito
de personas en cada uno de los infinitos autobuses, y eso equivale a infinito
por infinito, signifique eso lo que signifique).
Aquí es donde la lógica del infinito se vuelve muy extraña.
Para entender cómo va a resolver el gerente su problema más reciente, ayuda
visualizar a toda la gente a la que tiene que servir.
Por supuesto, no podemos mostrar, literalmente, a todos aquí, ya que el esquema
tendría que ser infinito en ambas direcciones, pero una versión limitada de la
imagen es suficiente. Lo importante es que cualquier pasajero concreto de un
autobús (su tía Inés, por ejemplo, que ha venido de vacaciones desde
Louisville) aparece seguro en alguna parte del diagrama, siempre y cuando se
incluyan suficientes filas y columnas. En ese sentido, todas las personas de
cada autobús se contabilizan. Puede nombrar al pasajero y es seguro que estará
representado a un número finito de pasos al este y al sur de la esquina del
diagrama.
El
desafío del gerente es encontrar un modo de trabajar con esta imagen de manera
sistemática. Tiene que idear un plan para la asignación de las habitaciones, de
tal manera que todo el mundo acabe teniendo una, después de que solo un
número finito de personas hayan sido atendidas.
Por desgracia, el gerente anterior no había entendido esto y sobrevino el caos.
Cuando convoyes similares se presentaron en su turno, se puso tan nervioso al
tratar de atender a toda la gente del primer autobús, que nunca llegó a ningún
otro, dejando a todos esos pasajeros abandonados, gritando y enfurecidos. En el
diagrama siguiente se ilustra esta estrategia miope, que correspondería a un
camino que va eternamente hacia el este, a lo largo de la fila 1.
El
nuevo gerente, sin embargo, tiene todo bajo control. En lugar de atender a un
solo autobús, zigzaguea por el diagrama, yendo en abanico desde la esquina,
como se muestra a continuación:
Comienza
con el pasajero 1 del autobús 1, al que da la primera habitación vacía. La
segunda y tercera habitaciones van para el pasajero 2 del autobús 1 y para el
pasajero 1 del autobús 2, que están ambos representados en la segunda diagonal
desde la esquina del diagrama. Tras atenderlos, el gerente continúa con la
tercera diagonal y entrega un juego de llaves al pasajero 1 del autobús 3, al
pasajero 2 del autobús 2 y al pasajero 3 del autobús 1.
Espero que el procedimiento del gerente —progresando desde una diagonal a otra—
se vea con claridad en la foto anterior, y que esté convencido de que se puede
llegar a cualquier persona en particular en un número finito de pasos.
Así que, tal y como se anunciaba, siempre hay hueco en el hotel Hilbert.
El argumento que acabamos de presentar es famoso en la teoría de conjuntos
infinitos. Cantor lo empleó para demostrar que existen exactamente tantas
fracciones positivas (coeficientes p/q de números
enteros positivos p y q) como números
naturales (1, 2, 3, 4,…). Esa es una afirmación mucho más fuerte que decir que
ambos conjuntos son infinitos. Dice que son infinitos precisamente en la misma
medida, en el sentido de que puede establecerse una correspondencia de uno-a-uno
entre ellos.
Se podría pensar en esta correspondencia como un sistema de compañerismo en el
que se empareja cada número natural con una fracción positiva y viceversa. La
existencia de un un sistema de compañerismo parece contradecir totalmente el
sentido común; es el tipo de sofisma que hizo retroceder a Poincaré, porque
implica que podríamos hacer una lista exhaustiva de todas las fracciones
positivas, a pesar de que ¡no existe la más pequeña!
Y sin embargo existe esa lista. Ya la hemos encontrado. La fracción p/qcorresponde
al pasajero p en el autobús q, y el argumento
anterior demuestra que cada una de estas fracciones puede emparejarse con un
cierto número natural 1, 2, 3…, dado por el número de habitación del pasajero
en el hotel Hilbert.
El golpe de gracia es la demostración de Cantor de que algunos conjuntos
infinitos son mayores que este. Específicamente, el conjunto de números reales
entre 0 y 1 es incontable —no se puede poner en correspondencia con los números
naturales—. Para el sector de la hostelería, esto quiere decir que si todos
estos números reales se presentan en el mostrador de recepción y tocan la
campanita, no habrá habitaciones suficientes para todos, ni siquiera en el
hotel Hilbert.
La demostración es por reducción al absurdo. Supongamos que a cada número real
se le pudiera ofrecer una habitación propia. A continuación, la lista de los
ocupantes, identificados por sus expansiones decimales y listados por número de
habitación, sería algo así:
Habitación
1: 0,6708112345…
Habitación 2: 0,1918676053…
Habitación 3: 0,4372854675…
Habitación 4: 0,2845635480…
Recuerde,
se supone que esto es una lista completa. Todo número real entre 0 y 1 debe
aparecer en alguna parte de la lista, en algún lugar finito.
Cantor demostró que una gran cantidad de números no se encuentran en ninguna de
tales listas, esa es la contradicción. Por ejemplo, para construir uno que no
aparece en ninguna parte de la lista anterior, baje por la diagonal y construya
un nuevo número desde los dígitos subrayados:
Habitación
1: 0,6708112345…
Habitación 2: 0,1918676053…
Habitación 3: 0,4372854675…
Habitación 4: 0,2845635480…
El
decimal generado es 0,6975…
Pero aún no hemos terminado. El siguiente paso es tomar el decimal y cambiar
sus dígitos, reemplazando cada uno de ellos por cualquier otro dígito entre 1 y
8[158]. Por
ejemplo, podríamos cambiar el 6 por el 3, el 9 por el 2, el 7 por el 5,
etcétera.
El nuevo decimal 0,325… es el asesino. Claramente no está en la habitación 1,
puesto que tiene un primer dígito distinto al número que está allí. Tampoco
está en la habitación 2, ya que su segunda cifra no encaja. En general, es
distinto al número n en el puesto decimal n. Así
que no aparece en ninguna parte de la lista.
La conclusión es que el hotel Hilbert no puede alojar a todos los números
reales. Sencillamente, hay demasiados, un infinito más allá del infinito[159].
Y con esta humillante idea, llegamos al final de este libro, que comenzó
también con una escena en un hotel imaginario. Un personaje de Barrio Sésamo
llamado Humphrey, haciendo el turno de comidas del hotel de los Brazos Peludos,
tomó un pedido de una habitación llena de pingüinos hambrientos —«Pez, Pez,
Pez, Pez, Pez, Pez»— y enseguida aprendió el poder de los números.
Ha sido un largo viaje desde los peces hasta el infinito. Gracias por
acompañarme.
Muchos
compañeros y amigos me ayudaron a mejorar este libro, ofreciéndome sus sabios
consejos: matemáticos, estilísticos, históricos y demás. Gracias a Doug Arnold,
Sheldon Axler, Larry Braden, Dan Callahan, Bob Connelly, Tom Gilovich, George
Hart, Vi Hart, Diane Hopkins, Herbert Hui, Cindy Klauss, Michael Lewis, Michael
Mauboussin, Barry Mazur, Eri Noguchi, Charlie Peskin, Steve Pinker, Ravi
Ramakrishna, David Rand, Richard Rand, Peter Renz, Douglas Rogers, John
Smillie, Grant Wiggins, Stephen Yeung y Carl Zimmer.
Otros colegas crearon imágenes para este libro o me dieron permiso para incluir
su trabajo visual. Gracias a Rick Allmendinger, Paul Bourke, Mike Field, Brian
Madsen, Nik Dayman (Teamfresh), Mark Newman, Konrad Polthier, Christian Rudder
de OkCupid, Simon Tatham y Jane Wang.
Estoy inmensamente agradecido a David Shipley por invitarme a escribir la serie
de The New York Times que condujo a este libro, especialmente
por su visión de cómo debía estructurarse la serie. Sencillez, sencillez,
sencillez, pedía Thoreau, y tanto él como Shipley tenían razón. George
Kalogerakis, mi editor en el Times, manejaba su pluma con ligereza,
moviendo comas, pero solo si era necesario, mientras me protegía de desaciertos
más graves. Su confianza fue enormemente tranquilizadora. Katie O’Brien, del
equipo de producción, se aseguró de que lo matemático tuviera buen aspecto y
aguantó los cargantes requisitos tipográficos con gracia y buen humor.
Me siento muy afortunado de haber contado, como agente literaria, con Katinka
Matson. Ella abogó por este libro desde el principio, con un entusiasmo
inspirador.
Paul Ginsparg, Jon Kleinberg, Tim Novikoff y Andy Ruina leyeron borradores de
casi todos los capítulos; su única compensación fue el placer de detectar
estropicios y usaron sus brillantes mentes para el bien en lugar del mal. Suele
ser muy pesado estar rodeado de sabelotodos, pero la realidad es que sí lo
saben todo, y este libro se ha beneficiado de ello. Estoy muy agradecido por su
esfuerzo y estímulo.
Gracias a la ilustradora, Margy Nelson, por su alegría y sensibilidad
científica. La sentía como un socio en este proyecto, con esa habilidad suya
para encontrar maneras originales de transmitir la esencia de un concepto
matemático.
Cualquier escritor estaría bendecido si tuviera como editora a Amanda Cook.
¿Cómo se puede ser, al mismo tiempo, tan amable y sabio y decisivo? Gracias,
Amanda, por creer en este libro y por ayudarme a forjar cada pedazo de él.
Eamon Dolan, otro de los mejores editores del mundo, guio este proyecto (y a mí
mismo) hacia la línea de meta con gran seguridad y un entusiasmo contagioso.
Fue divertido trabajar con los asistentes editoriales, Ashley Gilliam y Ben
Hyman, que cuidaron del libro en cada fase de su desarrollo. Gracias a la
correctora Tracy Roe, aprendí de las aposiciones, de los apóstrofes y de las
palabras como palabras. Pero lo más importante (¡no «importantemente»!) es que
afiló la escritura y los conceptos de estas páginas. Gracias también a la
publicista Michelle Bonanno, a la directora de marketing Ayesha Mirza, la
editora de producción Rebecca Springer, el jefe de producción David Futato y el
equipo entero de Houghton Mifflin Harcourt.
Por último, quisiera añadir mi agradecimiento más sentido a mi familia. Leah y
Jo, lleváis mucho tiempo oyendo hablar de este libro y, lo creáis o no, ha
llegado a su fin. Naturalmente, vuestra próxima tarea es aprenderos todas las
lecciones matemáticas que contiene. Y en lo que respecta a mi fantástica y
paciente esposa, Carole, que sudó tinta con los primeros n borradores
y aprendió así el verdadero significado de la expresión «n tiende
al infinito», permíteme decir, simplemente, te quiero. Encontrarte ha sido el
mejor problema que he resuelto.
Notas:
[1]El vídeo Barrio Sésamo: 1, 2, 3
cuenta conmigo (1997) puede comprarse online tanto en formato VHS como
DVD.
[2] Para una presentación apasionante
de la idea de que los números tienen vida propia y de que las matemáticas
pueden ser percibidas como una forma de arte, véase P. Lockhart, A
Mathematician’s Lament, Nueva York, Bellevue Literary Press, 2009.
[3] El artículo que introdujo esta
frase, ahora famosa, es E. Wigner, «The unreasonable effectiveness of
mathematics in the natural sciences», Communications in Pure and
Applied Mathematics, vol. 13, n.º 1 (febrero de 1960), pp. 1-14. Está
disponible una versión online en
http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html.
Para mayor profundización en estas ideas y en la cuestión de si las matemáticas
fueron inventadas o descubiertas, véase M. Livio, Is God a
Mathematician?, Nueva York, Simon and Schuster, 2009, y R. W. Hamming, «The
unreasonable effectiveness of mathematics», American Mathematical
Monthly, vol. 87, n.º 2 (febrero de 1980), disponible online en
http://www.lmmb.ncifcrf.gov/~toms/Hamming.unreasonable.html.
[4] Como espero dejar claro, este
capítulo debe mucho a dos libros, uno un ensayo, el otro una novela, los dos
brillantes: P. Lockhart, A Mathematician’s Lament, Nueva York,
Bellevue Literary Press, 2009, que inspiró la metáfora de las piedras y otros
ejemplos empleados, y Y. Ogawa, The Housekeeper and the Professor,
Nueva York, Picador, 2009 [trad. cast.: La fórmula preferida del
profesor, Madrid, Funambulista, 2008].
[5] Para los lectores jóvenes que
disfrutan explorando los números y sus patrones, véase H. M.
Enzensberger, The Number Devil, Nueva York, Holt Paperbacks, 200
[trad. cast.: El diablo de los números, Madrid, Siruela, 2008].
[6] Ejemplos estupendos, pero más
avanzados, de visualización en matemáticas se presentan en R. B. Nelsen, Proofs
without Words, Washington, D. C., Mathematical Association of America,
1997.
[7] Para más agudezas de Sidney
Morgenbesser y chistes académicos, véase el muestreo en Language Log (5 de
agosto de 2004), «If P, so why not Q?» online en
http://itre.cis.upenn.edu/%7Emyl/languagelog/archives/001314.html.
[8] La teoría del equilibrio fue
propuesta por primera vez por el psicólogo social Fritz Heider y desde entonces
ha sido desarrollada y aplicada por teóricos de las redes sociales,
politólogos, antropólogos, matemáticos y físicos. Para la formulación original,
véase F. Heider, «Attitudes and cognitive organization», Journal of
Psychology, vol. 21 (1946), pp. 107-112, y F. Heider, The
Psychology of Interpersonal Relations, Hoboken, Nueva Jersey, John Wiley
and Sons, 1958. Para una revisión de la teoría del equilibrio desde la
perspectiva de las redes sociales, véase S. Wasserman y K. Faust, Social
Network Analysis, Nueva York, Cambridge University Press, 1994, cap. 6.
[9] El teorema de que un estado de
equilibrio en una red totalmente conectada debe ser, o bien un nirvana único de
todos los amigos, o dos facciones antagónicas, se demostró por primera vez en
D. Cartwright y F. Harary, «Structural balance: A generalization of Heider’s
theory», Psychological Review, vol. 63 (1956), pp. 277-293. Una
versión muy legible de esta prueba y una pequeña introducción a las matemáticas
de la teoría del equilibrio ha sido ofrecida por dos de mis colegas de Cornell:
D. Easley y J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge,
Cambridge University Press, 2010.
En gran parte de los primeros trabajos sobre la teoría del equilibrio, un
triángulo de tres enemigos mutuos (por lo tanto, tres lados negativos) se
consideraba desequilibrado. Asumí esto implícitamente al citar los resultados
sobre los estados de nirvana y de dos bloques como las únicas configuraciones
de una red totalmente conectada en la que todos los triángulos están
equilibrados. Sin embargo, algunos investigadores han cuestionado esta idea y
han explorado las implicaciones de tratar a un triángulo de tres negativos como
equilibrado. Para más información sobre esta y otras generalizaciones de la
teoría del equilibrio, véanse los libros de Wasserman y Faust y de Easley y Kleinberg
antes citados.
[10] El
ejemplo y la representación gráfica de los cambios de alianzas antes de la
Primera Guerra Mundial son de T. Antal, P. L. Krapivsky y S. Redner, «Social
balance on networks: The dynamics of friendship and enmity», Physica D,
vol. 224 (2006), pp. 130-136, disponible online en
http://arxiv.org/abs/physics/0605183. Este ensayo, escrito por tres físicos
estadísticos, destaca por la refundición de la teoría del equilibrio en un
marco dinámico, por lo que se extiende más allá de sus estáticos enfoques
anteriores. Para conocer los detalles históricos de las alianzas europeas,
véase W. L. Langer, European Alliances and Alignments, 1871-1890, 2.ª
ed., Nueva York, Knopf, 1956, y B. E. Schmitt, Triple Alliance and
Triple Entente, Nueva York, Henry Holt and Company, 1934.
[11] Keith
Devlin ha escrito una serie de ensayos provocativos sobre la naturaleza de la
multiplicación: qué es, qué no es y por qué ciertas maneras de pensar en ella
son más válidas y fiables que otras. Argumenta a favor de pensar la
multiplicación en términos de escalas, no de sumas repetidas, y muestra que los
dos conceptos son muy diferentes en escenarios reales, donde están involucradas
unidades. Véase su publicación en el blog de enero de 2011: «What exactly is
multiplication?», en http://www.maa.org/devlin/devlin_01_11.html, así como sus
publicaciones de 2008: «It ain’t no repeated addition»
(http://www.maa.org/devlin/devlin_06_08.html); «It’s still not repeated
addition» (http://www.maa.org/devlin/devlin_0708_08.html); y «Multiplication
and those pesky British spellings»
(http://www.maa.org/devlin/devlin_09_08.html). Estos artículos generaron mucha
discusión en la blogosfera, especialmente entre profesores de colegio. Si tiene
poco tiempo, le recomiendo que lea primero el de 2011.
[12] Para
el ejemplo de los vaqueros, el orden en que se aplican el IVA y el descuento a
usted puede no importarle —en ambos casos termina pagando 43,20 dólares—, pero
resulta de gran relevancia tanto para la tienda como para el gobierno. En la
situación que plantea la dependienta, que paga impuestos en base al precio
original, usted pagaría 4 dólares de impuestos, mientras que en la situación
que usted plantea pagaría solo 3,20 dólares. ¿Cómo puede el precio final ser el
mismo? Porque en la hipótesis de la dependienta, la tienda se queda con 39,20
dólares, mientras que en la suya se queda con 40 dólares. No estoy seguro de lo
que exige la ley y puede variar de un lugar a otro, pero la idea lógica sería
que el gobierno cobrara los impuestos en base al pago que la tienda, de
facto, recibe. Solo el escenario que usted plantea satisface este criterio.
Para más detalles, véase
http://www.facebook.com/TeachersofMathematics/posts/166897663338316.
[13] Para
acaloradas discusiones online sobre los méritos relativos de un plan Roth
401(k) frente a uno tradicional y si la ley conmutativa tiene algo que ver con
estas cuestiones, véase el Finance Buff, «Commutative law of multiplication»
(http://thefinancebuff.com/commutative-law-of-multiplication.html), y el Simple
Dollar, «The new Roth 401(k) versus the traditional 401(k): Which is the better
route?»
(http://www.thesimpledollar.com/2007/06/20/the-new-roth-401k-versus-the-traditional401k-which-is-the-better-route/).
[14] Esta
historia acerca de Murray Gell-Mann se narra en G. Johnson, Strange
Beauty, Nueva York, Knopf, 1999, p. 55. En las propias palabras de
Gell-Mann, se le ofreció la admisión en el temido MIT, al mismo tiempo que
estaba «pensando en el suicidio, como corresponde a alguien rechazado por la
Ivy League. Se me ocurrió, sin embargo (y es un ejemplo interesante de la no
conmutación de operadores), que podría probar el MIT primero y suicidarme
después, mientras que el orden inverso de los acontecimientos era imposible».
Esta cita aparece en H. Fritzsch, Murray Gell-Mann: Selected Papers,
Singapur, World Scientific, 2009, p. 298.
[15] Para
una descripción de cómo Heisenberg y Dirac descubrieron el rol de las variables
no conmutativas en la mecánica cuántica véase G. Farmelo, The Strangest
Man, Nueva York, Basic Books, 2009, pp. 85-87.
[16] Un
clip de la escena en la que el joven Christy se esfuerza en responder a la
pregunta «¿Cuál es el veinticinco por ciento de un cuarto?» está disponible en
http://www.tcm.com/mediaroom/video/223343/My-Left-Foot-Movie-Clip-25-Percent-of-a-Quarter.html.
[17] El
blog de George Vaccaro (http://verizonmath.blogspot.com/) proporciona los
exasperantes detalles de sus encontronazos con Verizon. La transcripción de su
conversación con el servicio de atención al cliente está disponible en
http://verizonmath.blogspot.com/2006/12/transcription-jt.html. La grabación de
audio está en http://imgs.xkcd.com/verizon_billing.mp3.
[18] Para
aquellos lectores a los que les resulta difícil aceptar que 1 = 0,9999…, el
argumento que finalmente me convenció fue el siguiente: deben ser iguales,
porque no hay hueco para encajar ningún otro decimal entre ellos. (Mientras que
si dos decimales no son iguales, su media está entre ellos, al igual que un
número infinito de otros decimales).
[19] Las
sorprendentes propiedades de los números irracionales se examinan a un nivel
matemático superior en la página de MathWorld «Irrational number»,
http://mathworld.wolfram.com/IrrationalNumber.html. El sentido en el que los
dígitos de los números irracionales son aleatorios se aclara en
http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html.
[20] Para
más información sobre Cornell, incluyendo su papel en Western Union y los
primeros días del telégrafo, véase P. Dorf, The Builder: A Biography of
Ezra Cornell, Londres, Macmillan, 1952; W. P. Marshall, Ezra
Cornell, Whitefish, Montana, Kessinger Publishing, 2006; y una exposición
online en homenaje al 200 cumpleaños de Cornell:
http://rmc.library.cornell.edu/ezra/index.html.
[21] Viejos
sistemas numéricos y los orígenes del sistema de valor posicional se examinan
en V. J. Katz, A History of Mathematics, 2.ª ed., Boston, Addison
Wesley Longman, 1998, y en C. B. Boyer y U. C. Merzbach, A History of
Mathematics, 3.ª ed., Hoboken, Nueva Jersey, Wiley, 2011. Para un relato
más familiar, véase C. Seife, Zero, Nueva York, Viking, 200, cap. 1
[trad. cast.: Cero: la biografía de una idea peligrosa, Castellón,
Ellago ediciones, 2006].
[22] Mark
Chu-Carroll aclara algunas de las características peculiares de los números
romanos y la aritmética en esta entrada en su blog:
http://scienceblogs.com/goodmath/2006/08/roman_numerals_and_arithmetic.php.
[23] Se
hace una interesante exposición de matemática babilónica en N. Wade, «An
exhibition that gets to the (square) root of Sumerian math», The New
York Times (22 de noviembre de 2010), online en
http://www.nytimes.com/2010/11/23/science/23babylon.html, acompañada por una
presentación de diapositivas en
http://www.nytimes.com/slideshow/2010/11/18/science/20101123-babylon.html.
[24] Esto
bien podría ser una exageración. Se puede contar hasta doce con una mano
empleando el dedo pulgar para indicar cada uno de los tres pequeños huesos
(falanges) en los otros cuatro dedos. A continuación, puede utilizar los cinco
dedos de la otra mano para realizar un seguimiento de cuántos conjuntos de doce
ha contado. El sistema de base 60 utilizado por los sumerios puede haberse
originado de esta manera. Para más información sobre esta hipótesis y otras
especulaciones sobre los orígenes del sistema de base 60, véase G. Ifrah, The
Universal History of Numbers, Hoboken, Nueva Jersey, Wiley, 200, cap. 9
[trad. cast.: Historia universal de las cifras, Madrid, Espasa,
2002].
[25] Para
los puristas, Leah es en realidad veintiún meses mayor que Jo. Por lo tanto, la
fórmula de Jo es solo una aproximación. ¡Obviamente!
[26] Feynman
cuenta la historia del truco de Bethe para cuadrar los números cercanos a 50 en
R. P. Feynman, «Surely You’re Joking, Mr. Feynman!», Nueva York, W.
W. Norton and Company, 1985, p. 193.
[27] La
identidad sobre el efecto de la igualdad de cambios porcentuales hacia arriba y
hacia abajo en la bolsa puede demostrarse simbólicamente multiplicando 1
+ x por 1 − x, o geométricamente, dibujando un
diagrama similar al utilizado para explicar el truco de Bethe. Si está usted de
humor, pruebe ambos enfoques como ejercicio.
[28] La
«mitad de su edad más siete», regla de la diferencia de edad aceptable en una
relación amorosa, la llaman la «standard creepiness rule» [regla de repulsión
estándar] en el cómic xkcd:http://xkcd.com/314/.
[29] La
búsqueda de soluciones a ecuaciones cada vez más complicadas, de segundo grado
a quinto grado, se relata con gran detalle en M. Livio, The Equation
That Couldn’t Be Solved, Nueva York, Simon and Schuster, 2005 [trad.
cast.: La ecuación jamás resuelta, Barcelona, Ariel, 2007].
[30] Para
más información sobre el problema clásico de la duplicación del cubo, véase
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Doubling_the_cube.html.
[31] Para
obtener más información sobre números imaginarios y complejos, sus aplicaciones
y su accidentada historia, véase P. J. Nahin, An Imaginary Tale,
Princeton, Princeton University Press, 1998, y B. Mazur, Imagining
Numbers, Nueva York, Farrar, Straus and Giroux, 2003.
[32] Para
una excelente aproximación periodística al trabajo de John Hubbard, véase J.
Gleick, Chaos, Nueva York, Viking, 1987, p. 217 [trad. cast.: Caos:
La creación de una ciencia, Barcelona, Crítica, 2012]. El acercamiento del
propio Hubbard al método de Newton aparece en la sección 2.8 de J. Hubbard y B.
B. Hubbard, Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms,
4.ª ed., Ithaca, Nueva York, Matrix Editions, 2009.
Para los lectores que quieran profundizar en las matemáticas del método de
Newton, una introducción más sofisticada pero de fácil lectura se ofrece en
H.-O. Peitgen y P. H. Richter, The Beauty of Fractals,
Berlín-Heidelberg-Nueva York, Springer, 1986, cap. 6; véase también el artículo
de A. Douady (colaborador de Hubbard) titulado «Julia sets and the Mandelbrot
set» a partir de la p. 161 del mismo libro.
[33] Hubbard
no fue el primer matemático en hacer preguntas sobre el método de Newton en el
plano complejo; Arthur Cayley se había preguntado las mismas cosas en 1879. Él
también observó ambos polinomios, cuadráticos y cúbicos, y se dio cuenta de que
el primer caso era fácil y el segundo difícil. Aunque no podía saber nada de
fractales, que se descubrieron un siglo más tarde, comprendió, claramente, que
algo malo puede suceder cuando hay más de dos raíces. En su artículo de una
página «Desiderata and suggestions: No.3 — the Newton-Fourier imaginary
problem», American Journal of Mathematics, vol. 2, n.º 1 (marzo de
1879), p. 97, disponible online en http://www.jstor.org/pss/2369201, la frase
final de Cayley es una maravilla de la subestimación: «The solution is easy and
elegant in the case of a quadric equation, but the next succeeding case of the
cubic equation appears to present considerable difficulty» [En el caso de una
ecuación cuadrática, la solución es fácil y elegante, pero el caso siguiente,
el de la ecuación cúbica, parece presentar dificultades considerables].
[34] Las
instantáneas mostradas en este capítulo se calculan utilizando el método de
Newton aplicado al polinomio z3 − 1. Las raíces son
las tres raíces cúbicas de 1. Para este caso, el algoritmo de Newton toma un
punto z en el plano complejo y lo asigna a un nuevo punto:
z −
(z3 − 1)/(3z2)
Este
punto se convierte entonces en la siguiente z. Este proceso se
repite hasta que z se acerca lo suficiente a una raíz o, de
manera equivalente, hasta que z3 − 1 se acerca lo
suficiente a cero, donde «se acerca lo suficiente» denota una distancia muy
corta, elegida arbitrariamente por la persona que programó el ordenador. A
todos los puntos iniciales que llevan a una raíz concreta se les asigna el
mismo color. Por lo tanto, el rojo marca todos los puntos que convergen a una
raíz, el verde marca otra y el azul otra tercera.
Las instantáneas de las fractales resultantes de Newton fueron amablemente
proporcionadas por Simon Tatham. Para más información sobre su obra, véase
«Fractals derived from Newton-Raphson iteration», en su página web
http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/newton/.
Teamfresh ha creado animaciones de vídeo del fractal de Newton. En la página
web de Teamfresh, http://www.hd-fractals.com, aparecen sorprendentes y
profundos acercamientos a otros fractales, incluyendo el famoso conjunto Mandelbrot.
[35] Para
una introducción a los antiguos métodos indios para encontrar raíces cuadradas,
véase D. W. Henderson y D. Taimina, Experiencing Geometry, 3.ª ed.
ampliada y revisada, Nueva Jersey, Pearson Prentice Hall, 2005.
[36] Una
gran colección de problemas está disponible en
http://MathNEXUS.wwu.edu/Archive/oldie/list.asp.
[37] En
la película de 1941 Qué verde era mi valle aparece un problema
de bañera más complejo. Para ver un fragmento,
http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/index.html. Y ya que está ahí,
eche un vistazo a este fragmento de la comedia de béisbol Un entrenador
de primera:http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/m4v/league.m4v.
Contiene un problema acerca de pintar casas: «Si yo puedo pintar una casa en
tres horas y tú en cinco, ¿cuánto tiempo nos llevará pintarla juntos?». La
escena muestra a los jugadores de béisbol dando respuestas tontas. «Es
sencillo, cinco por tres, o sea, quince». «No, no, no, mira, son ocho horas:
cinco más tres es ocho». Tras varios errores más, un jugador por fin da en el
clavo: 17/8 horas.
[38] Para
libros acerca de grandes ecuaciones, véase M. Guillen, Five Equations
That Changed the World, Nueva York, Hyperion, 1995 [trad. cast.: Cinco
ecuaciones que cambiaron el mundo, Barcelona, Debate, 2003]; G.
Farmelo, It Must Be Beautiful, Londres, Granta, 2002 [trad.
cast.: Fórmulas elegantes, grandes soluciones de la ciencia moderna,
Barcelona, Tusquets 2004]; y R. P. Crease, The Great Equations,
Nueva York, W. W. Norton and Company, 2009. Hay también varias listas
publicadas online. Les sugiero que empiecen por K. Chang, «What makes an
equation beautiful?», The New York Times (24 de octubre de
2004), http://www.nytimes.com/2004/10/24/weekinreview/24chan.html. Para una de
las pocas listas que incluyen la ecuación cuadrática, véase
http://www4.ncsu.edu/~kaltofen/top10eqs/top10eqs.html.
[39] Se
analizan muchos ejemplos en S. Gandz, «The algebra of inheritance: A
rehabilitation of Al-Khwarizmi», Osiris, vol. 5 (1938), pp.
319-391.
[40] El
enfoque de al-Jwarizmi a la ecuación cuadrática se explica en V. J. Katz, A
History of Mathematics, 2.ª ed., Boston, Addison Wesley Longman, 1998, pp.
244-249.
[41] La
broma acerca de los logaritmos es del episodio «In God We Strongly Suspect». Se
retransmitió por primera vez el 11 de febrero de 1986, durante la segunda
temporada de la serie. Un vídeo está disponible en
http://opinionator.blogs.nytimes.com/2010/03/28/power-tools/.
[42] Para
simplificar, me he referido a expresiones del tipo x2 como
funciones, aunque para ser más precisos debería hablar de «la función que mapea
a x en x2». Espero que este tipo de
abreviaturas no causen confusión, ya que todos las hemos visto en los botones
de la calculadora.
[43] Se
puede ver un vídeo promocional de la fuente en el aeropuerto de Detroit, creada
por WET Design, en http://www.youtube.com/watch?v=VSUKNxVXE4E. Existen también
varios vídeos caseros disponibles en YouTube. Uno de los más vívidos es
«Detroit Airport Water Feature» por PassTravelFool.
Will Hoffman y Paul Derek Boyle han filmado un inquietante vídeo de las
parábolas (junto con sus primas exponenciales, curvas denominadas catenarias,
así llamadas por la forma de cadenas colgantes) que están a nuestro alrededor
en el día a día. Véase «WNYC/NPR’s Radio Lab presents Parabolas (etc.)» online
en http://www.youtube.com/watch?v=rdSgqHuI-mw. Aclaración: los cineastas dicen
que este vídeo se inspiró en una historia que yo conté en un episodio de Radiolab(«Yellow
fluff and other curious encounters»), disponible en
http://www.radiolab.org/2009/jan/12/).
[44] Para
la historia de las aventuras de Britney Gallivan doblando papel, véase B.
Gallivan, «How to fold a paper in half twelve times: An “impossible challenge”
solved and explained», Pomona, CA: Historical Society of Pomona Valley, 2002,
online en http://pomonahistorical.org/12times.htm. Para la perspectiva de un
periodista, dirigida a niños, véase I. Peterson, «Champion paper-folder», Muse(julio/agosto
de 2004), p. 33, disponible online en
http://musemath.blogspot.com/2007/06/champion-paper-folder.html. Los
MythBusters [Revientamitos] han intentado refutar el experimento de Britney en
su programa de televisión.
[45] Para
referencias y mayor análisis de las escalas musicales y nuestra percepción
(aproximadamente) logarítmica del tono, véase J. H. McDermott y A. J. Oxenham,
«Music perception, pitch, and the auditory system», Current Opinion in
Neurobiology, vol. 18 (2008), pp. 1-12;
http://en.wikipedia.org/wiki/Pitch_(music);
http://en.wikipedia.org/wiki/Musical_scale; y
http://en.wikipedia.org/wiki/Piano_key_frequencies.
Como prueba de que nuestro sentido numérico innato también es logarítmico,
véase S. Dehaene, V. Izard, E. Spelke y P. Pica, «Log or linear? Distinct
intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene
cultures», Science, vol. 320 (2008), pp. 1217-1220. Muestras
significativas de este estudio están disponibles en ScienceDaily
(http://www.sciencedaily.com/releases/2008/05/080529141344.htm) y en un
episodio de Radiolabllamado «Numbers»
(http://www.radiolab.org/2009/nov/30/).
[46] Los
antiguos babilonios, indios y chinos parecen haber tenido conocimiento del
contenido del teorema de Pitágoras varios siglos antes de Pitágoras y los
griegos. Para más información sobre la historia y el significado del teorema,
así como un estudio de las muchas e ingeniosas maneras de demostrarlo, véase E.
Maor, The Pythagorean Theorem, Princeton, Princeton University
Press, 2007.
[47] En
la página xiii de su libro, Maor explica que la palabra «hipotenusa» significa
«estirada debajo de» y señala que esto tiene sentido si el triángulo equilátero
se observa con la hipotenusa en la parte inferior, como se representa en
los Elementos de Euclides. También señala que esta
interpretación encaja bien con la palabra china para hipotenusa: «hsien,
a string stretched between two points (as in a lute)» [hsien, una
cuerda estirada entre dos puntos (como en un laúd)].
[48] Los
niños y sus padres disfrutarán de las ilustraciones comestibles del teorema de
Pitágoras sugeridas por George Hart en su publicación para el Museo de
Matemáticas «Pythagorean crackers» [Galletas pitagóricas]:
http://momath.org/home/pythagorean-crackers/.
[49] Si
es de los que disfrutan viendo diferentes demostraciones, una colección de
docenas de ellas, muy bien comentada —con creadores que van desde Euclides a
Leonardo da Vinci o el presidente James Garfield—, está disponible en el blog
de Alexander Bogomolny Cut the Knot. Véase
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml.
[50] Con
un poco de suerte, la primera demostración del capítulo debería haberle
arrancado un «¡ajá!». Pero para que el argumento sea completamente sólido,
también tenemos que demostrar que las imágenes no nos engañan, o, en otras
palabras, que realmente tienen las propiedades que parecen tener. Una prueba
más rigurosa establecería, por ejemplo, que el marco exterior es verdaderamente
un cuadrado y que los cuadrados medianos y pequeños se reúnen en un solo punto,
como se muestra. Comprobar estos detalles es divertido y no demasiado difícil.
Estos son los pasos que faltan en la segunda prueba. Tome esta ecuación:
a/d = c/a
y
reorganícela para obtener:
d = a2/c
Del
mismo modo, masajear otra de las ecuaciones da:
e = b2/c
Finalmente,
sustituyendo las expresiones anteriores para d y e en
la ecuación c = d + e da:
c = a2/c + b2/c
Luego,
multiplicar ambos lados por c da la fórmula deseada:
c2 = a2 + b2
.
[51] Para
los trece libros de los Elementos, en un único volumen con
abundantes diagramas, véase Euclid’s Elements, editado por D.
Densmore, traducido por T. L. Heath, Santa Fe, Nuevo México, Green Lion Press,
2002. Otra excelente opción es un documento PDF de descarga gratuita obra de
Richard Fitzpatrick, que ofrece su traducción moderna al inglés de los Elementos de
Euclides, disponible en http://farside.ph.utexas.edu/euclid.html. [Trad.
cast.: Elementos, 3 vols., Madrid, Gredos, 1991-1996].
[52] Para
más información acerca del respeto de Thomas Jefferson hacia Euclides y Newton
y su uso del enfoque axiomático en la Declaración de la Independencia, véase I.
B. Cohen, Science and the Founding Fathers, Nueva York, W. W.
Norton and Company, 1995, pp. 108-134, así como J. Fauvel, «Jefferson and
mathematics», http://www.math.virginia.edu/Jefferson/jefferson.htm, en especial
la página acerca de la Declaración de Independencia:
http://www.math.virginia.edu/Jefferson/jeff_r(4).htm.
[53] Para
la versión de Euclides de la prueba del triángulo equilátero, en griego, véase
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Euclid-proof.jpg.
[54] He
pasado por alto una serie de sutilezas en las dos pruebas presentadas en este
capítulo. Por ejemplo, en la prueba del triángulo equilátero, implícitamente
asumimos (como hizo Euclides) que los dos círculos se intersectan en alguna
parte; concretamente, en el punto que denominamos C. Pero la
existencia de esa intersección no está garantizada por ninguno de los axiomas
de Euclides, se necesita un axioma adicional acerca de la continuidad de los
círculos. Bertrand Russell, entre otros, señaló esta laguna: B. Russell, «The
Teaching of Euclid», Mathematical Gazette, vol. 2, n.º 33 (1902),
pp. 165-167, disponible online en
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Extras/Russell_Euclid.html.
Otra sutileza consiste en el uso implícito del postulado de las paralelas en la
prueba de que los ángulos de un triángulo suman 180 grados. Ese postulado es lo
que nos permitió construir la línea paralela a la base del triángulo. En otros
tipos de geometría (conocidos como geometrías no euclídeas), puede no
existir ninguna línea paralela a la base, o podrían
existir infinidad de ellas. En estas geometrías, que son tan
lógicas y coherentes como la euclidiana, los ángulos de un triángulo no siempre
suman 180 grados. Por lo tanto, la demostración pitagórica ofrecida aquí no es
solo impresionantemente elegante, sino que revela algo profundo acerca de la
naturaleza del espacio mismo. Para mayor profundización en estas cuestiones,
véase la publicación en el blog de A. Bogomolny «Angles in triangle add to
180°», http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/AnglesInTriangle.shtml, y
el artículo de T. Beardon, «When the angles of a triangle don’t add up to 180
degrees», http://nrich.maths.org/1434.
[55] Para
información sobre las secciones cónicas y referencias a la vasta literatura
sobre ellas, véase http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html y
http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section. Para los lectores con cierta
formación matemática, una gran cantidad de información interesante e inusual ha
sido recogida por James B. Calvert en su página web; véase «Ellipse».
[56] Ganará
en intuición al ver las animaciones online creadas por Lou Talman y analizadas
en su página web «The geometry of the conic sections»,
http://rowdy.mscd.edu/~talmanl/HTML/GeometryOfConicSections.html. En concreto,
consulte http://clem.mscd.edu~talmanl/HTML/ParabolicReflector.html y fíjese en
un único fotón a medida que se aproxima y rebota en el reflector parabólico.
Luego, observe los fotones que se desplazan juntos; no volverá a broncearse la
cara con un reflector de sol. La animación análoga para una elipse se muestra
en http://rowdy.mscd.edu/~talmanl/HTML/EllipticReflector.html.
[57] Los
gráficos que se muestran en el texto corresponden a Júpiter, Florida, con datos
de 2011. Para mayor comodidad, las horas de salida y puesta de sol se han
expresado en relación con Eastern Standard Time (la zona horaria UTC-05:00)
durante todo el año para evitar las rupturas artificiosas provocadas por el
horario de verano. Puede crear gráficos similares de la salida y la puesta del
sol de su propia ubicación en páginas web como
http://ptaff.ca/soleil/?lang=en_CA o http://www.gaisma.com/en/.
Los alumnos parecen sorprenderse con estas gráficas (por ejemplo, algunos
esperan que las curvas tengan aspecto triangular, en lugar de suave y
redondeado), lo que las convierte en actividades instructivas a nivel de
secundaria o bachillerato. Para el estudio de un caso pedagógico, véase: A.
Friedlander y T. Resnick, «Sunrise, sunset», Montana Mathematics
Enthusiast, vol. 3, n.º 2 (2006), pp. 249-255, disponible en
http://www.math.umt.edu/tmme/vol3no2/TMMEvol3no2_Israel_pp249_255.pdf.
Elaborar fórmulas de las horas de salida y puesta del sol es complicado, tanto
en términos matemáticos como físicos. Véase, por ejemplo, la página web de T.
L. Watts «Variation in the time of sunrise», en
http://www.physics.rutgers.edu/~twatts/sunrise/sunrise.html. El análisis de
Watts aclara por qué las horas de salida y puesta del sol no varían en forma de
ondas sinusoidales simples durante todo el año. También incluyen un segundo
armónico (una onda sinusoidal con un periodo de seis meses), debido
principalmente a un sutil efecto de inclinación de la Tierra que provoca una
variación semestral en el mediodía local, la hora del día en la que el sol está
más alto en el cielo. Afortunadamente, este término es el mismo en las fórmulas
para el amanecer y la puesta del sol. Así que, cuando resta una a la otra para
calcular la longitud del día (el número de horas entre la salida y la puesta
del sol), el segundo armónico se anula. Lo que queda es una onda sinusoidal
casi perfecta.
Se puede encontrar más información acerca de este tema en la Red, buscando «la
ecuación del tiempo» (en serio, ¡así se llama!). Un buen punto de partida es la
página web de K. Taylor, «The equation of time: Why sundial time differs from
clock time depending on time of year»,
http://myweb.tiscali.co.uk/moonkmft/Articles/EquationOfTime.html, o la página
de Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Equation_of_time.
[58] El
tema se analiza con cariño en E. Maor, Trigonometric Delights,
Princeton, Princeton University Press, 1998.
[59] Para
una visión general de los patrones en la naturaleza, véase P. Ball, The
Self-Made Tapestry, Nueva York, Oxford University Press, 1999. Los métodos
matemáticos en este campo se presentan a nivel de posgrado en R. Hoyle, Pattern
Formation, Cambridge, Cambridge University Press, 2006. Para los análisis
matemáticos de rayas de cebra, patrones de mariposas y otros ejemplos
biológicos de formación de patrones, véase J. D. Murray, Mathematical
Biology: II. Spatial Models and Biomedical Applications, 3.ª ed.,
Berlín-Heidelberg-Nueva York, Springer, 2003.
[60] Las
conexiones entre la formación de patrones biológicos y la cosmología son uno de
los deleites que se encuentran en el libro de Janna Levin How the
Universe Got Its Spots, Princeton, Princeton University Press, 2002. [trad.
cast.: Cómo le salieron manchas al Universo, Madrid, Lengua de
Trapo, 2002]. Está estructurado como una serie de cartas no enviadas a su madre
y se mueve con gracia por la historia y las ideas de las matemáticas y la
física, entretejiéndolas con el diario íntimo de una joven científica, que se
embarca en su carrera.
[61] Para
una breve introducción a la cosmología y la inflación, véanse dos artículos de
Stephen Battersby: «Introduction: Cosmology», New Scientist (4
de septiembre de 2006), disponible online en
http://www.newscientist.com/article/dn9988-introduction-cosmology.html, y «Best
ever map of the early universe revealed», New Scientist (17 de
marzo de 2006), online en
http://www.newscientist.com/article/dn8862-best-ever-map-of-the-early-universe-revealed.html.
El caso de la inflación sigue siendo controvertido; sin embargo, sus fortalezas
y debilidades se explican en P. J. Steinhardt, «The inflation debate: Is the
theory at the heart of modern cosmology deeply flawed?», Scientific
American (abril de 2011), pp. 18-25.
[62] La
historia y el legado intelectual de las paradojas de Zenón se analizan en J.
Mazur, Zeno’s Paradox, Nueva York, Plume, 2008.
[63] Para
una historia deliciosamente sesgada e ingeniosa de pi, véase P. Beckmann, A
History of Pi, Nueva York, St. Martin’s Press, 1976.
[64]Nova, la
serie de televisión de PBS, emitió un episodio maravilloso sobre Arquímedes, el
infinito y los límites, llamado «Infinite Secrets». Se emitió por primera vez
el 30 de septiembre de 2003. La página web del programa
(http://www.pbs.org/wgbh/nova/archimedes/ ofrece muchos recursos online,
incluyendo la transcripción del programa y demostraciones interactivas.
[65] Para
los lectores deseosos de ver los detalles matemáticos del método por
agotamiento de Arquímedes, Neal Carothers ha utilizado la trigonometría
(equivalente a la gimnástica pitagórica en la que se apoyó Arquímedes) para
obtener los perímetros de los polígonos inscritos y circunscritos entre los que
está atrapado el círculo; véase
http://personal.bgsu.edu/~carother/pi/Pi3a.html. La página web de Peter Alfeld
«Archimedes and the computation of pi» cuenta con un sistema interactivo de
applet de Java, que permite cambiar el número de lados de los polígonos; véase
http://www.math.utah.edu/~alfeld/Archimedes/Archimedes.html. Los pasos
independientes en el argumento original de Arquímedes son de interés histórico
pero es posible que le resulten decepcionantemente oscuros; véase
http://itech.fgcu.edu/faculty/clindsey/mhf4404/archimedes/archimedes.html.
[66] Cualquier
persona a la que resulten curiosos los heroicos cálculos de pi a un inmenso
número de dígitos disfrutará del perfil que Richard Preston realiza de los
hermanos Chudnovsky. Titulada «The mountains of pi», esta pieza cariñosa y
sorprendentemente cómica apareció en la edición del New Yorker del
2 de marzo de 1992, y más recientemente como un capítulo en R. Preston, Panic
in Level Four, Nueva York, Random House, 2008.
[67] Para
una introducción a los conceptos básicos del análisis numérico, véase el manual
de W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling y B. P. Flannery, Numerical
Recipes, 3.ª ed., Nueva York, Cambridge University Press, 2007.
[68] D.
M. Bressoud, «The crisis of calculus», Mathematical Association of America
(abril de 2007), disponible en
http://www.maa.org/columns/launchings/launchings_04_07.html.
[69] Para
clips de vídeo con los mates más espectaculares de Jordan, véase
http://www.youtube.com/watch?v=H8M2NgjvicA.
[70] Para
una colección de problemas de cálculo del señor Joffray, clásicos y originales,
véase S. Strogatz, The Calculus of Friendship, Princeton, Princeton
University Press, 2009.
[71] Diversos
artículos, vídeos y sitios web presentan los detalles de la ley de Snell y su
derivación del principio de Fermat (que establece que la luz toma el camino de
menor tiempo). Por ejemplo, véase M. Golomb, «Elementary proofs for the
equivalence of Fermat’s principle and Snell’s law», American
Mathematical Monthly, vol. 71, n.º 5 (mayo de 1964), pp. 541-543, y
http://en.wikibooks.org/wiki/Optics/Fermat%27s_Principle. Otros proporcionan
enfoques históricos; véase http://en.wikipedia.org/wiki/Snell%27s_law.
El principio de Fermat fue un precursor temprano del principio más general de
acción mínima. Para discusiones entretenidas y profundamente esclarecedoras de
este principio, incluyendo su base en la mecánica cuántica, véase R. P.
Feynman, R. B. Leighton y M. Sands, «The principle of least action», The
Feynman Lectures on Physics, vol. 2, cap. 19, Reading, Massachusetts,
Addison-Wesley, 1964, y R. Feynman, QED, Princeton, Princeton
University Press, 1988.
[72] En
pocas palabras, la sorprendente proposición de Feynman es que la naturaleza
realmente intenta todos los caminos. Sin embargo, casi todas las rutas se
anulan entre sí a través de un análogo cuántico de interferencia destructiva, a
excepción de los que están muy cerca de la ruta clásica, donde se minimiza la
acción (o, más precisamente, se hace estacionaria). Ahí es donde la
interferencia cuántica se convierte en constructiva, aumentando en gran medida
la probabilidad de observar esos caminos. Esta, en el enfoque de Feynman, es la
razón por la que la naturaleza obedece principios mínimos. La clave es que
vivimos en el macroscópico mundo de la existencia diaria, donde las acciones
son colosales en comparación con la constante de Planck. En ese límite clásico,
la interferencia cuántica destructiva se vuelve extremadamente fuerte y
destruye prácticamente todo lo que podría suceder.
[73] Para
más información acerca de las formas en que el cálculo integral se ha utilizado
para ayudar a los investigadores del cáncer, vease D. Mackenzie, «Mathematical
modeling of cancer», SIAM News, vol. 37 (enero/febrero de 2004), y
H. P. Greenspan, «Models for the growth of a solid tumor by diffusion», Studies
in Applied Mathematics (diciembre de 1972), pp. 317-340.
[74] La
región común a dos cilindros idénticos circulares cuyos ejes se cruzan en
ángulo recto se conoce también como sólido de Steinmetz o bicilindro. Para más
información, véase http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html y
http://en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid. La página de Wikipedia también
incluye una animación por ordenador, muy útil, que muestra el sólido de
Steinmetz emergiendo, fantasmal, de los cilindros que se intersectan. Su
volumen se puede calcular de manera directa pero opaca por las técnicas
modernas.
Arquímedes y Zu Chongzhi conocían una solución antigua y más sencilla. No
utiliza nada más que el método de corte y una comparación entre las áreas de un
cuadrado y un círculo. Para una exposición maravillosamente clara, véase la
columna de Martin Gardner «Mathematical games: Some puzzles based on
checkerboards», Scientific American, vol. 207 (noviembre de 1962),
p. 164. Y respecto a Arquímedes y Zu Chongzhi, véase: Arquímedes, The
method, traducción al inglés a cargo de T. L. Heath (1912), reimpreso por
Dover (Nueva York, 1953) [trad. cast.: El método, Madrid, Alianza,
1986], y T. Kiang, «An old Chinese way of finding the volume of a
sphere», Mathematical Gazette, vol. 56 (mayo de 1972), pp. 88-91.
Moreton Moore señala que el bicilindro tiene aplicación en la arquitectura:
«Los romanos y los normandos, en el uso de la bóveda de cañón para cubrir sus
edificios, estaban familiarizados con la geometría de cilindros intersectados,
donde dos bóvedas se cruzaban la una con la otra para formar una bóveda de
crucería». Para esto, así como para aplicaciones a la cristalografía, véase M.
Moore, «Symmetrical intersections of right circular cylinders», Mathematical
Gazette, vol. 58 (octubre de 1974), pp 181-185.
[75] Demostraciones
interactivas del bicilindro y otros problemas de cálculo integral están
disponibles online en Wolfram Demonstrations Project.
Mamikon Mnatsakanian, en Caltech (Instituto Tecnológico de California), ha
producido una serie de animaciones que ilustran el espíritu de Arquímedes y el
poder de cortar. Mi favorito es
http://www.its.caltech.edu/~mamikon/Sphere.html, que retrata una hermosa
relación entre los volúmenes de una esfera, cierto doble cono y un cilindro,
cuya altura y radio encajan con los de la esfera. También muestra lo mismo de
manera más física, drenando un volumen de líquido imaginario del cilindro y
echándolo en las otras dos formas; véase
http://www.its.caltech.edu/~mamikon/SphereWater.html.
Argumentos igualmente mecánicos y elegantes al servicio de las matemáticas se
ofrecen en M. Levi, The Mathematical Mechanic, Princeton, Princeton
University Press, 2009.
[76] Para
revisar cómo Arquímedes aplica su método mecánico al problema de encontrar el
volumen del bicilindro, véase T. L. Heath (ed.), Proposition 15, The
Method of Archimedes, Recently Discovered by Heiberg, Nueva York, Cosimo
Classics, 2007, p. 48.
En la página 13 del mismo volumen, Arquímedes confiesa que ve su método
mecánico más como una manera de descubrir teoremas, que de demostrarlos: «Vi
ciertas cosas con claridad gracias a un método mecánico, aunque después
tuvieran que ser demostradas por la geometría, puesto que su investigación por
el citado método no proporciona una demostración real. Pero es, por supuesto,
más fácil, cuando previamente hemos adquirido, a través del método, algo de
conocimiento de las preguntas, suministrar la prueba, de lo que es encontrarla
sin ningún conocimiento previo».
Para un enfoque popular de la obra de Arquímedes, véase R. Netz y W.
Noel, The Archimedes Codex, Cambridge, Massachusetts, Da Capo
Press, 2009 [trad. cast.: El código de Arquímedes, Madrid, Temas de
Hoy, 2007].
[77] Para
una introducción completa, véase E. Maor, e: The Story of a Number,
Princeton, Princeton University Press, 1994. Los lectores con formación en
cálculo disfrutarán el artículo de B. J. McCartin, ganador del premio
Chauvenet: «e: The master of all», Mathematical Intelligencer,
vol. 28, n.º 2 (2006), pp. 10-21. Una versión en PDF está disponible en
http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Chauvenet/mccartin.pdf.
[78] La
fracción de empaquetamiento esperada para las parejas que se sientan en un cine
al azar se ha estudiado en otros terrenos de la literatura científica. Surgió
primero en química orgánica; véase P. J. Flory, «Intramolecular reaction
between neighboring substituents of vinyl polymers», Journal of the
American Chemical Society, vol. 61 (1939), pp. 1518-1521. El número mágico
1/e2 aparece en la columna superior derecha de la página
1519. Un tratamiento más reciente relaciona esta cuestión con el problema del
estacionamiento al azar, un rompecabezas clásico en la teoría de la
probabilidad y física estadística; véase W. H. Olson, «A Markov chain model for
the kinetics of reactant isolation», Journal of Applied Probability,
vol. 15, n.º 4 (1978), pp. 835-841. Los científicos en computación han abordado
cuestiones similares en sus estudios de algoritmos «de emparejamiento aleatorio
y codicioso» para emparejar nodos cercanos de una red; véase M. Dyer y A.
Frieze, «Randomized greedy matching», Random Structures and Algorithms,
vol. 2 (1991), pp. 29-45.
[79] La
cuestión de cuándo hay que dejar de salir y decidirse por un compañero también
se ha estudiado en varias formas, dando lugar a denominaciones tales como «el
problema del prometido», «el problema del matrimonio», «el problema del molesto
pretendiente» y «el problema de la dote del sultán». Pero la denominación más
común hoy en día es «el problema de la secretaria». La situación a imaginar es
que usted está tratando de contratar a la mejor secretaria entre un grupo
determinado de candidatas. Entrevista a las candidatas de una en una y tiene
que decidir en el acto si contratar a la persona en cuestión o decirle adiós
para siempre. Para una introducción a las matemáticas y la historia de este
maravilloso acertijo, véase http://mathworld.wolfram.com/SultansDowryProblem.html
y http://en.wikipedia.org/wiki/Secretary_problem. Para más información véase T.
S. Ferguson, «Who solved the secretary problem?», Statistical Science,
vol. 4, n.º 3 (1989), pp. 282-289. Una clara exposición de cómo resolver el
problema se ofrece en http://www.math.uah.edu/stat/urn/Secretary.xhtml. Para
una introducción al amplio tema de la teoría de la parada óptima, véase T. P.
Hill, «Knowing when to stop: How to gamble if you must — the mathematics of
optimal stopping», American Scientist, vol. 97 (2009), pp 126-133.
[80] Para
modelos de relaciones amorosas basadas en ecuaciones diferenciales, véase la
sección 5.3 de S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Nueva
York, Perseus, 1994.
[81] Para
el anagrama de Newton, véase página vii en V. I. Arnold, Geometrical
Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations,
Berlín-Heidelberg-Nueva York, Springer, 1994.
[82] Caos
en el problema de los tres cuerpos se analiza en I. Peterson, Newton’s
Clock, Nueva York, W. H. Freeman, 1993 [trad. cast.: El reloj de
Newton: caos en el sistema solar, Madrid, Alianza, 1995].
[83] Para
la cita sobre cómo el problema de los tres cuerpos provocaba dolor de cabeza a
Newton, véase D. Brewster, Memoirs of the Life, Writings, and
Discoveries of Sir Isaac Newton, Edimburgo, Thomas Constable and Company,
1855, vol. 2, p. 158.
[84] Una
gran introducción al cálculo vectorial y a las ecuaciones de Maxwell, y quizá
el mejor manual que he leído nunca, es E. M. Purcell, Electricity and
Magnetism, 2.ª ed., Cambridge, Cambridge University Press, 2011 [trad.
cast.: Electricidad y magnetismo, Barcelona, Ed. Reverté, 2005].
Otro clásico es H. M. Schey, Div, Grad, Curl, and All That, 4.ª
ed., Nueva York, W. W. Norton and Company, 2005.
[85] Estas
palabras las escribo durante el 150 aniversario del ensayo de Maxwell de 1861
«On physical lines of force» [Sobre las líneas físicas de fuerza]. Véase
especialmente la tercera parte, «The theory of molecular vortices applied to
statical electricity» [La teoría de los vórtices moleculares aplicada a la
electricidad estática], Philosophical Magazine (abril y mayo
de 1861), pp. 12-24, disponible en
http://en.wikisource.org/wiki/On_Physical_Lines_of_Force y escaneado del
original en http://www.vacuum-physics.com/Maxwell/maxwell_oplf.pdf.
El ensayo original merece una ojeada. Un punto culminante se produce justo
debajo de la ecuación 137, donde Maxwell —un hombre sobrio no propenso a la
teatralidad— no pudo resistir poner en cursiva la implicación más
revolucionaria de su obra: «La velocidad de las ondulaciones transversales en
nuestro hipotético medio, calculada a partir de los experimentos
electromagnéticos de M. M. Kohlrausch y Weber, coincide de un modo tan exacto
con la velocidad de la luz calculada a partir de los experimentos ópticos de M.
Fizeau que apenas se puede obviar la inferencia de que la luz consiste
en ondulaciones transversales del mismo medio que es la causa de los fenómenos
eléctricos y magnéticos».
[86] Para
el trabajo de Jane Wang sobre el vuelo de la libélula, véase «Two dimensional
mechanism for insect hovering», Physical Review Letters, vol. 85,
n.º 10 (septiembre de 200), pp. 2216-2219, y Z. J. Wang, «Dragonfly
flight», Physics Today, vol. 61, n.º 10 (octubre de 2008), p. 74.
Sus ensayos se pueden también descargar de
http://dragonfly.tam.cornell.edu/insect.html. El vídeo del vuelo de una
libélula está en la parte inferior de
http://ptonline.aip.org/journals/doc/PHTOAD-ft/vol_61/iss_10/74_1.shtml.
[87] Al
parecer, Einstein también deseó ser una mosca en la pared en el estudio de
Maxwell. Tal y como escribió en 1940: «Imagine cómo se sintió Maxwell cuando
las ecuaciones diferenciales que había formulado le demostraron que los campos
electromagnéticos se esparcen en forma de ondas polarizadas y a la velocidad de
la luz. A pocos hombres en el mundo se les ha concedido una experiencia así».
Véase p. 489 en A. Einstein, «Considerations concerning the fundaments of
theoretical physics», Science, vol. 91 (24 de mayo de 1940), pp.
487-492 (disponible online en
http://www.scribd.com/doc/30217690/Albert-Einstein-Considerations-Concerning-the-Fundaments-of-Theoretical-Physics).
[88] Las
ecuaciones de Maxwell son a menudo retratadas como un triunfo de la razón pura,
pero Simon Schaffer, un historiador de la ciencia de Cambridge, ha argumentado
que fueron igualmente motivadas por el reto tecnológico de la época: el
problema de la transmisión de señales a lo largo de los cables telegráficos
submarinos. Véase S. Schaffer, «The laird of physics», Nature, vol.
471 (2011), pp. 289-291.
[89] Para
el nuevo mundo de extracción de datos, véase S. Baker, The numerati,
Boston, Houghton Mifflin Harcourt, 2008 [trad. cast.: Numerati,
Barcelona, Seix Barral, 2011], e I. Ayres, Super Crunchers, Nueva
York, Bantam, 2007.
[90] M.
Lewis, Moneyball, Nueva York, W. W. Norton and Company, 2003.
[91] N.
G. Mankiw, «A course load for the game of life», The New York Times (4
de septiembre de 2010).
[92] D.
Brooks, «Harvard-bound? Chin up», The New York Times (2 de
marzo de 2006).
[93] Para
una introducción ilustrativa a la estadística, amenizada por una historia bien
contada, véase D. Salsburg, The Lady Tasting Tea, Nueva York, W. H.
Freeman, 2001, y L. Mlodinow, The Drunkard’s Walk, Nueva York,
Pantheon, 2008 [trad. cast.: El andar del borracho, Barcelona,
Crítica, 2010].
[94] Si
nunca ha visto una tabla de Galton en acción, consulte las demostraciones
disponibles en YouTube. Uno de los vídeos más espectaculares utiliza arena en
lugar de bolas; véase http://www.youtube.com/watch?v=xDIyAOBa_yU.
[95] Puede
encontrar su lugar en la distribución de alturas utilizando el analizador
online en http://www.shortsupport.org/Research/analyzer.html. Basado en datos
de 1994, muestra qué fracción de la población estadounidense es más baja o más
alta que una altura determinada. Para datos más recientes, véase M. A. McDowell
et ál., «Anthropometric reference data for children and adults: United States,
2003-2006», National Health Statistics Reports, n.º 10 (22 de
octubre de 2008), disponible online en http://www.cdc.gov/nchs/data/nhsr/nhsr010.pdf.
[96] OkCupid
es la página de citas gratuita más grande de Estados Unidos, con siete millones
de miembros activos en el verano de 2011. Sus estadísticos realizan análisis
originales sobre los datos anónimos agregados por los miembros y después
publican sus resultados y perspectivas en su blog OkTrends.
[97] Mark
Newman tiene una gran introducción a este tema en M. E. J. Newman, «Power laws,
Pareto distributions and Zipf’s law», Contemporary Physics, vol.
46, n.º 5 (2005), pp. 323-351 (disponible online en
http://www-personal.umich.edu/~mejn/courses/2006/cmplxsys899/powerlaws.pdf).
Este artículo incluye gráficos de frecuencia de palabras en Moby Dick,
la magnitud de los terremotos en California de 1910 a 1992, el patrimonio de
las 400 personas más ricas de Estados Unidos en 2003 y muchas de las
distribuciones con cola pesada mencionadas en este capítulo. Una visión
anterior aunque igualmente excelente de las leyes de potencia es M.
Schroder, Fractals, Chaos, Power Laws, Nueva York, W. H. Freeman,
1991.
[98] He
tomado prestado el ejemplo de C. Seife, Proofiness, Nueva York,
Viking, 2010. La transcripción del discurso del presidente Bush está disponible
en
http://georgewbush-whitehouse.archives.gov/news/releases/2004/02/print/20040219-4.html.
Las cifras utilizadas en el texto están basadas en el análisis de FactCheck.org
(un proyecto no partidista del Centro Annenberg de Políticas Públicas de la
Universidad de Pensilvania), disponible online en
http://www.factcheck.org/here_we_go_again_bush_exaggerates_tax.html, y en este
análisis publicado por el Centro —no partidista— de Política Tributaria: W. G.
Gale, P. Orszag e I. Shapiro, «Distributional effects of the 2001 and 2003 tax
cuts and their financing»,
http://www.taxpolicycenter.org/publications/url.cfm?ID=411018.
[99] B.
Mandelbrot y R. L. Hudson, The (Mis)Behavior of Markets, Nueva
York, Basic Books, 2004; N. N. Taleb, The Black Swan, Nueva York,
Random House, 2007 [trad. cast.: El cisne negro, Barcelona,
Planeta, 2012].
[100] Estas
tres palabras no siempre se utilizan como sinónimos. Cuando los estadísticos
hablan de una larga cola, se refieren a algo distinto de aquello a lo que se
refieren los que se dedican a los negocios o la tecnología. Por ejemplo, en el
artículo en Wired de Chris Anderson «La larga cola», de
octubre de 2004 (http://www.wired.com/wired/archive/12.10/tail.html) y en su
libro homónimo, se refiere al alto número de películas, libros, canciones y
demás obras ocultas a la mayor parte de la población, pero que sin embargo
tienen un atractivo nicho y así sobreviven online. En otras palabras, para él,
la larga cola son los millones de personitas; para los estadísticos, la larga
cola son las escasas personas grandes: los superricos o los grandes terremotos.
La diferencia es que Anderson cambia los ejes en sus gráficos, que es algo así
como mirar desde la otra parte del telescopio. Su convención es lo opuesto a la
utilizada por los estadísticos en sus gráficos de distribuciones acumulativas,
pero tiene una larga tradición que se remonta a Vilfredo Pareto, un ingeniero y
economista que estudió las distribuciones de renta en los países europeos a
finales del siglo XIX. En resumen, Anderson y Pareto trazan la frecuencia como
una función de rango, mientras que Zipf y los estadísticos trazan el rango como
una función de frecuencia. La misma información se muestra en ambos casos, pero
con los ejes al revés.
Esto conduce a confusión en la literatura científica. Véase
http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking/ranking.html para un tutorial
de Lada Adamic aclarando esto. Mark Newman también clarifica esta cuestión en
su ensayo acerca de leyes potencia antes mencionado.
[101] Un
manual que explica bien la probabilidad condicional y el teorema de Bayes es S.
M. Ross, Introduction to Probability and Statistics for Engineers and
Scientists, 4.ª ed., Waltham, Massachusetts, Academic Press, 2009. Para una
historia del reverendo Bayes y la controversia que rodeó su aproximación a la
inferencia probabilística, vease S. B. McGrayne, The Theory That Would
Not Die, New Haven, Connecticut, Yale University Press, 2011.
[102] La
respuesta a la parte (a) del problema de la planta enferma es 59 por ciento. La
respuesta a la parte (b) es 27/41 o, aproximadamente, 65,85 por ciento. Para
obtener estos resultados, basándose en la información dada, imagine 100 plantas
enfermas y averigüe cuántas de ellas (de media) son o no regadas; luego cuántas
de ellas mueren. Esta pregunta aparece, aunque con palabras y cifras
ligeramente diferentes, como problema 29, en la p. 84 del texto de Ross.
[103] El
estudio de cómo interpretan los doctores los resultados de las mamografías se
describe en G. Gigerenzer, Calculated Risks, Nueva York, Simon and
Schuster, 2002, cap. 4.
[104] Para
anécdotas e impresiones acerca de la probabilidad condicional y sus
aplicaciones en el mundo real, así como para la forma en que se malinterpreta,
véase J. A. Paulos, Innumeracy, Nueva York, Vintage, 1990 [trad.
cast.: El hombre anumérico, Barcelona, Tusquets, 1990], y L.
Mlodinow, The Drunkard’s Walk, Nueva York, Vintage, 2009 [trad.
cast.: El andar del borracho, Barcelona, Crítica, 2010].
[105] Para
ampliar información sobre el caso de O. J. Simpson y el debate sobre mujeres
maltratadas en un contexto más amplio, véase el cap. 8 de Gigerenzer, Calculated
Risks. Las citas relativas al juicio de Simpson y la velocidad a la que las
mujeres maltratadas son asesinadas por sus parejas aparecieron en A.
Dershowitz, Reasonable Doubts, Nueva York, Touchstone, 1997, pp.
101-104.
La teoría de la probabilidad se aplicó por primera vez de manera correcta en el
juicio de Simpson en 1995. El análisis presentado en este capítulo se basa en
el propuesto por I. J. Good en «When batterer turns murderer», Nature,
vol. 375 (1995), p. 541, y refinado con «When batterer becomes murderer», Nature,
vol. 381 (1996), p. 481. Su análisis está bien redactado en términos de
relaciones de probabilidad y teorema de Bayes, en lugar de en el enfoque, más
intuitivo, de frecuencia natural empleado aquí y en el libro de Gigerenzer.
(Dicho sea de paso, Good tuvo una carrera interesante. Además de sus muchas
aportaciones a la teoría de la probabilidad y a las estadísticas bayesianas,
ayudó a romper el código Enigma nazi durante la Segunda Guerra Mundial e
introdujo el concepto futurista ahora conocido como singularidad tecnológica).
Para un análisis independiente que llega, en esencia, a la misma conclusión y
que también se publicó en 1995, véase J. F. Merz y J. P. Caulkins, «Propensity
to abuse — propensity to murder?», Chance, vol. 8, n.º 2 (1995), p.
14. Las ligeras diferencias entre ambos enfoques se revisan en J. B. Garfield y
L. Snell, «Teaching bits: A resource for teachers of statistics», Journal
of Education Statistics, vol. 3, n.º 2 (1995), disponible online en
http://www.amstat.org/publications/jse/v3n2/resource.html.
[106] He
aquí como Dershowitz parece haber calculado que menos de 1 de cada 2500
maltratadores al año asesinan a su compañera. En la p. 104 de su libro Reasonable
Doubts, cita una estimación de que en 1992, entre 2,5 y 4 millones de
mujeres en Estados Unidos fueron maltratadas por sus maridos, novios o
exnovios. Ese mismo año, de acuerdo con los informes del FBI
(http://www.fbi.gov/about-us/cjis/ucr/ucr), 913 mujeres fueron asesinadas por
sus maridos y 519 fueron asesinadas por sus novios o exnovios. Dividiendo el
total de 1432 homicidios por 2,5 millones de maltratos, corresponde a 1
asesinato por cada 1746 maltratos, mientras que empleando el estimado de 4
millones de maltratos al año, la cifra es de 1 asesinato por cada 2793
maltratos. Parece que Dershowitz eligió 2500 como cifra redonda entre ambos
extremos.
Lo que no está claro es qué proporción de las mujeres asesinadas había sido
previamente maltratada por estos hombres. Parece que Dershowitz asumía que casi
todas las víctimas de homicidio habían sido previamente maltratadas. Parece que
la intención de Dershowitz era dejar claro que incluso cuando la tasa se
sobreestima de esta manera, la proporción es todavía «infinitesimal».
Algunos años después de que se dictara el veredicto del caso Simpson,
Dershowitz y el matemático John Allen Paulos se enzarzaron en una acalorada
discusión a través de las cartas al director de The New York Times.
La cuestión era si las pruebas de un historial de violencia conyugal debían ser
consideradas relevantes en un juicio por asesinato, a la luz de argumentos
probabilísticos similares a los descritos aquí. Véase A. Dershowitz, «The
numbers game», The New York Times (30 de mayo de 1999),
archivado en
http://www.nytimes.com/1999/05/30/books/l-the-numbers-game-789356.html, y J. A.
Paulos, «Once upon a number», The New York Times (27 de junio
de 1999),
http://www.nytimes.com/1999/06/27/books/l-once-upon-a-number-224537.html.
[107] De
acuerdo con el informe del FBI, 4936 mujeres fueron asesinadas en 1992. De
estas víctimas, 1432 (aproximadamente un 29 por ciento) fueron asesinadas por
sus maridos o novios. Las 3504 restantes fueron asesinadas por otra persona.
Por lo tanto, teniendo en cuenta que la población total de mujeres en Estados
Unidos, en ese momento, era de 125 millones, la tasa de mujeres asesinadas por
alguien que no era su pareja era de 3504 dividido entre 125 millones, es decir,
1 asesinato por cada 35 673 mujeres al año.
Asumamos que esta tasa de asesinatos de mujeres a manos de no parejas fuera la
misma para todas las mujeres, maltratadas o no. En ese caso, en nuestra muestra
hipotética de 100 00 mujeres maltratadas, esperaríamos alrededor de 100 00
dividido entre 35 673, es decir, 2,8 mujeres asesinadas por alguien que no sea
su pareja. Redondeando el 2,8 a 3, obtenemos el estimado dado en el texto.
[108] Para
una introducción a la búsqueda en Internet y al análisis de enlaces, véase D.
Easley y J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge,
Cambridge University Press, 2010, cap. 14. Su elegante exposición ha inspirado
mi enfoque aquí. Para un relato popular de la historia de la búsqueda en
Internet, incluyendo relatos de los personajes principales y las empresas,
véase J. Battelle, The Search, Nueva York, Portfolio, 2005 [trad.
cast.: Buscar, Barcelona, Tendencias, 2006]. El desarrollo inicial
del análisis de enlaces, para los lectores que se sientan cómodos con el
álgebra lineal, se resume en S. Robinson, «The ongoing search for efficient Web
search algorithms», SIAM News, vol. 37, n.º 9 (2004).
[109] Para
cualquiera desconcertado con mi uso de la palabra «saltamontes», es un apodo
cariñoso para un alumno que tiene mucho que aprender de su maestro zen. En la
serie de televisión Kung Fu, en muchas de las ocasiones en las que
el monje ciego Po imparte sabiduría a su alumno Caine, lo llama saltamontes,
remontándonos a su primera lección, una escena del capítulo piloto de 1972 (que
puede verse online en inglés en http://www.youtube.com/watch?v=WCyJRXvPNRo):
MAESTRO
PO: Cierra los ojos. ¿Qué oyes?
JOVEN CAINE: Oigo el agua. Oigo los pájaros.
PO: ¿Oyes el latido de tu corazón?
CAINE: No.
PO: ¿Oyes el saltamontes que hay a tus pies?
CAINE: Viejo, ¿cómo es que oyes estas cosas?
PO: Joven, ¿cómo es que tú no?
[110] El
reconocimiento del problema de la circularidad para clasificar páginas web y su
solución a través del álgebra lineal surgió a partir de dos líneas de
investigación publicadas en 1998. Una de ellas por mi colega de Cornell Jon
Kleinberg, que trabajaba como científico visitante en el Centro de
investigación IBM Almaden. Para su artículo inaugural sobre el algoritmo de
«centros y autoridades» (una forma alternativa de análisis de enlaces que
apareció poco antes del algoritmo PageRank de Google), véase J. Kleinberg,
«Authoritative sources in a hyperlinked environment», Proceedings of
the Ninth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (1998).
La otra línea de investigación era la de los fundadores de Google: Larry Page y
Sergey Brin. Su método PageRank estuvo originalmente motivado por el
pensamiento acerca de la proporción de tiempo que un internauta aleatorio
pasaría en cada página de la Web, un proceso con una descripción diferente pero
que lleva a la misma forma de resolver la definición circular. El ensayo
fundacional de PageRank es S. Brin y L. Page, «The anatomy of a large-scale
hypertextual Web search engine», Proceedings of the Seventh
International World Wide Web Conference (1998), pp. 107-117.
Como ocurre a menudo en la ciencia, antecedentes sorprendentemente similares de
estas ideas ya se habían descubierto en otros campos. Para esta prehistoria de
PageRank en bibliometría, psicología, sociología y econometría, véase M.
Franceschet, «PageRank: Standing on the shoulders of giants», Communications
of the ACM, vol. 54, n.º 6 (2011), disponible en
http://arxiv.org/abs/1002.2858; y S. Vigna, «Spectral ranking»,
http://arxiv.org/abs/0912.0238.
[111] Para
quien busque una introducción al álgebra lineal y sus aplicaciones, los libros
de Gil Strang y los vídeos online de sus clases son un buen comienzo: G.
Strang, Introduction to Linear Algebra, 4.ª ed., Wellesley,
Massachusetts, Wellesley-Cambridge Press, 2009, y
http://web.mit.edu/18.06/www/videos.html.
[112] Algunas
de las aplicaciones más impresionantes del álgebra lineal se basan en las
técnicas de descomposición de valor singular y análisis de componentes
principales. Véase D. James, M. Lachance y J. Remski, «Singular vectors’ subtle
secrets», College Mathematics Journal, vol. 42, n.º 2 (marzo de
2011), pp. 86-95.
[113] Según
Google, el término «PageRank» se refiere a Larry Page, no a «webpage» [página
web]. Véase
http://web.archive.org/web/20090424093934/http://www.google.com/press/funfacts.html.
[114] La
idea aquí es que cualquier cara humana se puede expresar como una combinación
de un pequeño número de ingredientes faciales fundamentales, o «eigenfaces».
Esta aplicación del álgebra lineal para reconocimiento y clasificación de
rostros fue desarrollada por L. Sirovich y M. Kirby, «Low-dimensional procedure
for the characterization of human faces», Journal of the Optical
Society of America A, vol. 4 (1987), pp. 519-524, y desarrollado por M.
Turk y A. Pentland, «Eigenfaces for recognition», Journal of Cognitive
Neuroscience, vol. 3 (1991), pp. 71-86, también disponible online en
http://cse.seu.edu.cn/people/xgeng/files/under/turk91eigenfaceForRecognition.pdf.
Para obtener una lista completa de artículos académicos en esta área, véase la
página principal de Face Recognition
(http://www.face-rec.org/interesting-papers/).
[115] L.
Sirovich, «A pattern analysis of the second Rehnquist U.S. Supreme
Court», Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 100,
n.º 13 (2003), pp. 7432-7437. Para una mirada periodística de su trabajo, véase
N. Wade, «A mathematician crunches the Supreme Court’s numbers», The
New York Times (24 de junio de 2003). Para una discusión dirigida a
los estudiosos del derecho por un matemático y ahora profesor de derecho, véase
P. H. Edelman, «The dimension of the Supreme Court», Constitutional
Commentary, vol. 20, n.º 3 (2003), pp. 557-570.
[116] Para
la historia del premio Netflix, con divertidos detalles sobre sus primeros
concursantes y la importancia de la película Napoleon Dynamite,
véase C. Thompson, «If you liked this, you’re sure to love that — Winning the
Netflix prize», The New York Times Magazine (23 de noviembre
de 2008). El premio se ganó en septiembre de 2009, tres años después de que
comenzara el concurso; véase S. Lohr, «A $1 million research bargain for
Netflix, and maybe a model for others», The New York Times(22 de
septiembre de 2009). La aplicación de la descomposición de valor singular para
el Premio Netflix se analiza en B. Cipra, «Blockbuster algorithm», SIAM
News, vol. 42, n.º 4 (2009).
[117] Para
mayor simplicidad, solo he presentado la versión más básica del algoritmo de
PageRank. Para gestionar las redes con ciertas características estructurales
comunes, PageRank necesita ser modificado. Por ejemplo, suponga que la red
tiene algunas páginas que apuntan a otras, pero que no tienen ninguna que
apunte de vuelta. Durante el proceso de actualización, esas páginas perderán su
PageRank, como si se tratara de una fuga o una hemorragia. Se lo dan a otros
pero nunca se repone. Así que todos acaban con PageRanks de cero y, por lo
tanto, serán indistinguibles en este respecto.
En el extremo contrario, considere redes en las que algunas páginas, o grupos
de páginas, acumulan PageRank por ser cerradas, nunca enlazando de vuelta con
nadie más. Esas páginas tienden a comportarse como sumideros para PageRank.
Para superar este y otros efectos, Brin y Page modificaron su algoritmo de la
siguiente manera: tras cada paso en el proceso de actualización, todos los
PageRanks actuales se reducen por un factor constante, de modo que el total es
de menos de 1. Lo que sobre, se distribuye equitativamente entre todos los
nodos de la red, como si les cayera del cielo. Es un acto eminentemente
igualitario, repartir el PageRank a los nódulos necesitados. Joe, el fontanero,
no estaría contento.
Para una mirada más profunda a la matemática de PageRank, con exploraciones
interactivas, véase E. Aghapour, T. P. Chartier, A. N. Langville y K. E.
Pedings, «Google PageRank: The mathematics of Google»
(http://www.whydomath.org/node/google/index.html). Un acercamiento, tamaño
libro, completo y a la vez accesible es A. N. Langville y C. D. Meyer, Google’s
PageRank and Beyond, Princeton, Princeton University Press, 2006.
[118] Harry
Nilsson fue el autor de la canción «One». La versión que de ella hicieron Three
Dog Night se convirtió en un éxito y alcanzó el número 5 de la lista Hot 100 de
la revista Billboard. Aimee Mann tiene una versión fabulosa que
puede oírse en la película Magnolia.
[119] P.
Giordano, The Solitude of Prime Numbers, Nueva York, Pamela Dorman
Books/Viking Penguin, 2010 [trad. cast.: La soledad de los números
primos, Barcelona, Salamandra, 2011]. El fragmento aquí citado aparece en
las pp. 111-112.
[120] Para
introducciones populares a la teoría de números, y los misterios de los números
primos en particular, lo más difícil es por dónde empezar. Existen por lo menos
tres libros excelentes. Todos aparecieron, más o menos, a la vez y todos se
centran en la hipótesis de Riemann, ampliamente contemplada como el gran
problema irresuelto de las matemáticas. Para acercarse a algunos de los
detalles matemáticos, junto con la historia inicial de la hipótesis de Riemann,
recomiendo J. Derbyshire, Prime Obsession, Washington, D. C.,
Joseph Henry Press, 2003. Para mayor énfasis en los últimos avances, pero aún a
nivel accesible, véase D. Rockmore, Stalking the Riemann Hypothesis,
Nueva York, Pantheon, 2005, y M. du Sautoy, The Music of the Primes,
Nueva York, HarperCollins, 2003 [trad. cast.: La música de los números
primos, Barcelona, Acantilado, 2010].
[121] Para
el uso de la teoría de números en criptografía, véase M. Gardner, Penrose
Tiles to Trapdoor Ciphers, Washington, D. C., Mathematical Association of
America, 1997, caps. 13 y 14. El primero de estos capítulos reproduce la famosa
columna que Gardner publicó en el número de agosto de 1977 de Scientific
American, en la que hizo pública la naturaleza, prácticamente irrompible,
del criptosistema RSA. En el segundo capítulo se describe el «furor intenso»
que despertó dentro de la Agencia de Seguridad Nacional. Para los desarrollos
más recientes, véase el cap. 10 de Du Sautoy, The Music of the Primes.
[122] Junto
con los libros de Derbyshire, Rockmore y Du Sautoy antes mencionados, existen
muchas fuentes de información online acerca del teorema de los números primos,
como la página de Chris K. Caldwell «How many primes are there?»
(http://primes.utm.edu/howmany.shtml), la página de MathWorld «Prime number
theorem» (http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html) y la página de
Wikipedia «Prime number theorem»
(http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem) [la página en castellano
es: «Teorema de los números primos»
(http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_numeros_primos)].
[123] La
historia de cómo reparó Gauss en el teorema de los números primos a los quince
años se cuenta en las pp. 53-54 del libro de Derbyshire Prime Obsession y,
en mayor detalle, en L. J. Goldstein, «A history of the prime number
theorem», American Mathematical Monthly, vol. 80, n.º 6 (1973), pp.
599-615. Gauss no demostró el teorema, pero lo intuyó estudiando detenidamente
tablas de números primos que había calculado —a mano— por diversión. Las
primeras demostraciones se publicaron en 1896, cerca de un siglo después, por
Jacques Hadamard y Charles de la Vallée Poussin, y ambos habían trabajado en el
problema de manera independiente.
[124] ¿Cómo
pueden existir los números primos gemelos en un gran N, a la luz
del teorema de los números primos? El teorema dice que solo la brecha media es
lnN. Pero hay fluctuaciones alrededor de esta media, y dado que hay
infinitos números primos, algunos de ellos están abocados a tener suerte y
vencer las probabilidades. En otras palabras, aunque la mayoría no encontrará
un número primo a una distancia menor que lnN, algunos de ellos sí lo
harán.
Los lectores que quieran ver a la matemática al mando de «los pequeños huecos
entre números primos» explicado de manera concisa y hermosa, pueden consultar
el artículo de Andrew Granville sobre teoría analítica de números en T.
Gowers, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton,
Princeton University Press, 2008, pp. 332-348, especialmente p. 343.
Existe también un buen artículo online de Terry Tao que ofrece mucha
información acerca de los números primos gemelos —concretamente, cómo se
distribuyen y por qué los matemáticos creen que existen infinidad de ellos— y
luego se sumerge en aguas más profundas para explicar la prueba de su célebre
teorema (con Ben Green) de que los primos contienen progresiones aritméticas
arbitrariamente largas. Véase T. Tao, «Structure and randomness in the prime
numbers», http://terrytao.wordpress.com/2008/01/07/ams-lecture-structure-and-randomness-in-the-prime-numbers/.
Para más detalles e información general acerca de los números primos gemelos,
véase http://en.wikipedia.org/wiki/Twin_prime y
http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimeConjecture.html.
[125] Estoy
bromeando, no tratando de hacer una observación seria sobre la separación entre
pares consecutivos de primos gemelos. Tal vez, en algún lugar, muy abajo en la
línea numérica, dos pares de gemelos resultan ser muy próximos entre sí. Para
una introducción a estas cuestiones, véase I. Peterson, «Prime twins» (4 de
junio de 2001), http://www.maa.org/mathland/mathtrek_6_4_01.html.
En cualquier caso, la metáfora de mostrar las parejas extrañas como números
primos gemelos no se ha perdido en Hollywood. Para un entretenimiento ligero,
puede alquilar la película El amor tiene dos caras, con Barbra
Streisand y Jeff Bridges. Él es un profesor de matemáticas guapo, pero
socialmente torpe. Ella es profesora de literatura inglesa, una mujer valiente,
enérgica, pero familiar (al menos, así es como se supone que debemos verla),
que vive con su madre y su hermosa hermana. Con el tiempo, los dos profesores
logran quedar para una primera cita. Cuando su conversación durante la cena se
desplaza hacia el tema del baile (que le avergüenza), él cambia de tema
abruptamente a los números primos gemelos. Ella capta la idea de inmediato y le
pregunta: «¿Qué sucedería si contaras más allá de un millón? ¿Seguiría habiendo
parejas así?». Él casi se cae de la silla y dice: «¡No puedo creerme que hayas
pensado en eso! Eso es exactamente lo queda por demostrar en la conjetura de
los primos gemelos». Más adelante, cuando empiezan a enamorarse, ella le hace
un regalo de cumpleaños: unos gemelos marcados con números primos.
[126] El
grupo de colchón técnicamente se conoce como el grupo de cuatro de Klein. Es
una de las posibilidades más sencillas dentro de un enorme elenco. Los
matemáticos han analizado grupos y clasificado sus estructuras durante más de
doscientos años. Para una relación de acoplamiento de la teoría de grupos y la
aventura más reciente para clasificar todos los grupos finitos simples, véase
M. du Sautoy, Symmetry, Nueva York, Harper, 2008 [trad.
cast.: Simetría, Barcelona, Acantilado, 2011].
[127] Dos
libros recientes inspiraron este capítulo: N. Carter, Visual Group
Theory, Washington, D. C., Mathematical Association of America, 2009, y B.
Hayes, Group Theory in the Bedroom, Nueva York, Hill and Wang,
2008. Carter introduce las bases de la teoría de grupos de manera amable y
pictórica. También se ocupa de su relación con el cubo de Rubik, los bailes de
salón, los cristales, la química, el arte y la arquitectura. Una versión
anterior del artículo de Hayes sobre voltear los colchones apareció en American
Scientist, vol. 93, n.º 5 (septiembre/octubre de 2005), p. 395, y está
disponible online en
http://www.americanscientist.org/issues/pub/group-theory-in-the-bedroom.
Los lectores interesados en una definición de lo que es un «grupo» deberían
consultar cualquiera de las referencias online autorizadas o manuales estándar
sobre la materia. Un buen sitio para empezar es la página de MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/GroupTheory.html, o la página de Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics) [el enlace a la página en
castellano es: http://es.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_grupos]. El enfoque que
yo le he dado enfatiza los grupos simétricos en lugar de los grupos en un
sentido más general.
[128] Michael
Field y Martin Golubitsky han estudiado la interacción entre la teoría de
grupos y la dinámica no lineal. En el curso de su investigación han generado
impresionantes gráficos de ordenador del caos simétrico; muchos de ellos pueden
verse en la página web de Mike Field:
http://www.math.uh.edu/%7Emike/ag/art.html. Para el arte, la ciencia y las
matemáticas ligadas a este tema, véase M. Field y M. Golubitsky, Symmetry
in Chaos, 2.ª ed., Filadelfia, Society for Industrial and Applied
Mathematics, 2009.
[129] Unas
palabras sobre alguna notación potencialmente confusa utilizada a lo largo de
este capítulo: en ecuaciones como HR = V, la H se
escribe a la izquierda para indicar que su transformación se realiza primero.
Carter utiliza esta notación para la composición funcional en su libro, pero el
lector debe ser consciente de que muchos matemáticos utilizan la convención
opuesta, colocar la H a la derecha.
[130] Para
la anécdota acerca de Feynman y su psiquiatra, véase R. P. Feynman, «Surely
You’re Joking, Mr. Feynman!», Nueva York, W. W. Norton and Company, 1985,
p. 158 [trad. cast.: ¿Está ud. de broma, Sr. Feynman?, Madrid,
Alianza, 2013], y J. Gleick, Genius, Nueva York, Random House,
1993, p. 223.
[131] Arte,
quintillas, patentes, trucos de salón y matemática seria, lo que sea, y si
tiene algo que ver con cintas de Möbius, estará en el alegre libro de Cliff
Pickover The Möbius strip, Nueva York, Basic Books, 2006 [trad.
cast.: La banda de Möbius, Córdoba Almuzara, 2009]. Una generación
anterior aprendió estas maravillas en M. Gardner, «The world of the Möbius
strip: Endless, edgeless, and one-sided», Scientific American, vol.
219, n.º 6 (diciembre de 1968).
[132] Para
instrucciones paso a paso, con fotografías, de algunas de las actividades
descritas en este capítulo, véase «How to explore a Möbius strip» en
http://www.wiki-how.com/Explore-a-Möbius-Strip. Julian Fleron da muchas otras
ideas —guirnaldas, corazones, estrellas de papel— en «Recycling Möbius»,
http://artofmathematics.wsc.ma.edu/sculpture/workinprogress/Mobius1206.pdf.
Para divertirse aún más con modelos de papel, consulte el libro clásico de S.
Barr, Experiments in Topology, Nueva York, Dover, 1964.
[133] Las
bases de la topología se explican en R. Courant y H. Robbins (revisado por I.
Stewart), What Is Mathematics?, 2.ª ed., Nueva York, Oxford
University Press, 1996, cap. 5. Para un estudio divertido, véase M.
Gardner, The Colossal Book of Mathematics, Nueva York, W. W. Norton
and Company, 2001. Analiza botellas de Klein, nudos, donuts enlazados y otras
delicias de la topología recreativa en la quinta parte, caps. 18-20. Un enfoque
contemporáneo muy bueno es el de D. S. Richeson, Euler’s Gem,
Princeton, Princeton University Press, 2008. Richeson presenta una historia y
una celebración de la topología y una introducción a sus conceptos principales,
utilizando la fórmula del poliedro de Euler como pieza central. A un nivel muy
superior, pero aún accesible a personas con bagaje matemático universitario,
están los capítulos sobre topología algebraica y topología diferencial en T.
Gowers, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton,
Princeton University Press, 2008, pp. 383-408.
[134] Teniendo
en cuenta que un círculo y un cuadrado son curvas topológicamente equivalentes,
se puede estar preguntando qué tipo de curvas podrían ser topológicamente
diferentes. El ejemplo más sencillo es el segmento. Para demostrarlo, observe
que si viaja en una dirección alrededor de un círculo, un cuadrado o cualquier
otro tipo de bucle, siempre regresa al punto de partida, pero eso no es cierto
para los viajes sobre un segmento. Puesto que esta propiedad permanece
inalterada por todas las transformaciones que preservan la topología de un
objeto (a saber, las deformaciones continuas cuya inversa también es continua),
y dado que esta propiedad distingue entre bucles y segmentos, podemos concluir
que los bucles y segmentos son topológicamente diferentes.
[135] Los
vídeos de Vi que se analizan en este capítulo, «Möbius music box» y «Möbius
story: Wind and Mr. Ug», se encuentran en YouTube y también en
http://vihart.com/musicbox y http://vihart.com/blog/mobius-story/. Para más
excursiones ingeniosas y divertidas a los mundos de la matemática: comida,
garabatos, globos, abalorios y las cajas de música, véase su página web:
http://vihart.com/everything/. Fue reseñada en K. Chang, «Bending and
stretching classroom lessons to make math inspire», The New York Times (17
de enero de 2011), disponible online en
http://www.nytimes.com/2011/01/18/science/18prof.html.
[136] Para
ver imágenes del «arte de Möbius» en los trabajos de Maurits Escher, Max Bill y
Keizo Ushio, busque en la Red utilizando el nombre del artista y «Möbius» como
términos de búsqueda. Ivars Peterson ha escrito acerca del uso de las cintas de
Möbius en literatura, arte, arquitectura y escultura, con fotografías y
explicaciones en su blog Mathematical Tourist:http://mathtourist.blogspot.com/search/label/Moebius%20Strips.
[137] La
biblioteca se encuentra en construcción. Para profundizar en su concepto de
diseño y ver imágenes intrigantes de cómo será, consulte la página web del
estudio de arquitectura BIG (Bjarke Ingels Group), http://www.big.dk/. Pinche
sobre el icono ANL (Astana National Library); aparece en la columna de 2009 (la
cuarta columna por la derecha) cuando los proyectos se ordenan por orden
cronológico. Esta página contiene cuarenta y una diapositivas de la estructura
interna y externa de la biblioteca, la circulación del museo, la exposición
termal, etcétera, todas ellas poco comunes debido al diseño Möbius del
edificio. Aparece una reseña de Bjarke Ingels y su trayectoria profesional en
G. Williams, «Open source architect: Meet the maestro of “hedonistic sustainability”»,
http://www.wired.co.uk/magazine/archive/2011/07/features/open-source-architect.
[138] Algunas
se tratan en Pickover, The Möbius Strip. Puede encontrar cientos
más mediante la búsqueda de «cinta de Möbius» en Google Patents.
[139] Si
quiere probar a cortar así un donut, George Hart explica la técnica en su
página web http://www.georgehart.com/bagel/bagel.html. O puede ver una
animación por ordenador en http://www.youtube.com/watch?v=hYXnZ8-ux80. Si
prefiere verlo en tiempo real, consulte un vídeo de UltraNurd llamado «Möbius
Bagel» (http://www.youtube.com/watch?v=Zu5z1BCC70s). Pero, estrictamente
hablando, este no debería llamarse un «donut de Möbius», un punto de confusión
entre muchas personas que han escrito sobre, o copiado, el trabajo de George.
La superficie sobre la que se extiende la crema de queso no es equivalente a
una cinta de Möbius, ya que tiene dos medias torsiones, no una, y la superficie
resultante es de dos caras, no de una. Además, un verdadero donut Möbius permanecería
en una pieza tras ser cortado, no en dos. Para una demostración de cómo cortar
un donut de esta genuina forma, véase
http://www.youtube.com/watch?v=l6Vuh16r8o8.
[140] Al
hacer referencia a la geometría plana como la geometría «flatearth» [tierra
plana], podría parecer que estoy menospreciando el tema, pero esa no es mi
intención. La táctica de aproximar localmente una forma curvada a una plana a
menudo ha resultado ser una simplificación útil en muchas partes de las
matemáticas y la física, desde el cálculo a la teoría de la relatividad. La
geometría plana es el primer ejemplo de esta gran idea.
Tampoco estoy sugiriendo que todos los antiguos pensaran que la tierra era plana.
Para un relato atractivo de cómo Eratóstenes midió la distancia alrededor del
mundo, véase N. Nicastro, Circumference, Nueva York, St. Martin’s Press,
2008. Para un enfoque más actual que quizá le apetezca probar, Robert
Vanderbei, de la Universidad de Princeton, hizo una presentación a la clase de
geometría de su hija en la que utilizó la fotografía de una puesta de sol para
demostrar que la Tierra no es plana y para estimar su diámetro. Sus
diapositivas están colgadas en http://orfe.princeton.edu/~rvdb/tex/sunset/34-39.OPN.1108twoup.pdf.
[141] Una
gran introducción a la geometría moderna fue coescrita por David Hilbert, uno
de los grandes matemáticos del siglo XX. Este clásico, originalmente publicado
en 1952, se ha reeditado como D. Hilbert y S. Cohn-Vossen, Geometry and
the Imagination, Washington, D. C., American Mathematical Society, 1999.
Varios manuales y cursos online se citan en la página de Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry. [El enlace a la página en
castellano es: http://es.wikipedia.org/wiki/Geometria_diferencial].
[142] Para
una demostración interactiva online que le permite trazar la ruta más corta
entre dos puntos en la superficie de la Tierra, véase
http://demonstrations.wolfram.com/GreatCirclesOnMercatorsChart/. Tendrá que
descargar el reproductor gratuito Mathematica, que le permitirá entonces
explorar cientos de demostraciones interactivas de todos los campos
matemáticos.
[143] Extractos
de una serie de los fascinantes vídeos educativos de Polthier sobre temas
matemáticos pueden encontrarse online en
http://page.mi.fu-berlin.de/polthier/video/Geodesics/Scenes.html. Videos
premiados de Polthier y sus colegas aparecen en la colección del festival
VideoMath (htt://page.mi.fu-berlin.de/polthier/Events/VideoMath/index.html),
disponible en DVD de Springer-Verlag. Más detalles en G. Glaeser y K.
Polthier, A Mathematical Picture Book, Berlín-Heidelberg-Nueva
York, Springer, 2012. Las imágenes que se muestran en el texto son del
DVD Touching Soap Films, Berlín-Heidelberg-Nueva York, Springer,
1995, de Andreas Arnez, Konrad Polthier, Martin Steffens y Christian Teitzel.
[144] El
algoritmo clásico para los problemas de la ruta más corta en redes fue creado
por Edsger Dijkstra. Para una introducción, véase
http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra’s_algorithm. Steven Skiena ha publicado
una instructiva animación del algoritmo de Dijkstra en
http://www.cs.sunysb.edu/~skiena/combinatorica/animations/dijkstra.html.
La naturaleza puede resolver ciertos problemas de camino-más-corto mediante
procesos descentralizados similares a la computación analógica. Para ondas
químicas que resuelven laberintos, véase O. Steinbock, A. Toth y K. Showalter,
«Navigating complex labyrinths: Optimal paths from chemical waves», Science,
vol. 267 (1995), p. 868. Para no ser menos, los mohos mucilaginosos también
pueden resolverlos: T. Nakagaki, H. Yamada y A. Toth, «Maze-solving by an
amoeboid organism», Nature, vol. 407 (200), p. 470. Este organismo
viscoso puede trazar redes tan eficientes como las del sistema ferroviario de
Tokio: A. Tero et ál., «Rules for biologically inspired adaptive network
design», Science, vol. 327 (2010), p. 439.
[145] Aparecen
ejemplos maravillosos de memorias en seis palabras en
http://www.smithmag.net/sixwords y en
http://en.wikipedia.org/wiki/Six-Word_Memoirs.
[146] El
análisis nació de la necesidad de apuntalar los fundamentos lógicos de cálculo.
William Dunham recorre esta historia a través de las obras de once maestros
—desde Newton hasta Lebesgue— en W. Dunham, The Calculus Gallery,
Princeton, Princeton University Press, 2005. El libro contiene matemática
explícita hecha accesible para lectores con formación universitaria. Un manual
de espíritu similar es D. Bressoud, A Radical Approach to Real Analysis,
2.ª ed., Washington, D. C., Mathematical Association of America, 2006. Para una
aproximación histórica más completa, véase C. B. Boyer, The History of
the Calculus and Its Conceptual Development, Nueva York, Dover, 1959.
[147] La
serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +… se analiza en un artículo de
Wikipedia, con referencias meticulosas, acerca de su historia, con vínculos a
temas adicionales sobre su estatus matemático y su papel en la educación
matemática. A todo esto se puede acceder desde la página principal «Grandi’s
series»: http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi’s_series.
[148] Para
una exposición clara del teorema de reordenamiento de Riemann, véase
Dunham, The Calculus Gallery, pp. 112-115.
[149] La
serie armónica alternada es condicionalmente convergente, lo que significa que
es convergente, pero no absolutamente convergente (la suma de los valores
absolutos de sus términos no convergen). Para una serie como esa, puede
reordenar la suma para obtener cualquier número real. Esta es la implicación
impactante del teorema de reordenamiento de Riemann. Esto demuestra que la suma
convergente puede violar nuestras expectativas intuitivas si no converge absolutamente.
En el caso favorable de una serie absolutamente convergente, todos los
reordenamientos de la serie convergen al mismo valor. Eso es totalmente
conveniente. Significa que una serie absolutamente convergente se comporta como
una suma finita. En particular, obedece a la propiedad conmutativa de la suma.
Puede reorganizar los términos de la forma que desee sin tener que cambiar la
respuesta. Para ampliar la información acerca de la convergencia absoluta,
véase http://mathworld.wolfram.com/AbsoluteConvergence.html y
http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_convergence.
[150] El
extraordinario libro de Tom Körner Fourier Analysis (Nueva
York, Cambridge University Press, 1989) funciona como un escaparate de las
ideas, técnicas, aplicaciones, y la historia del análisis de Fourier. El nivel
de rigor matemático es alto, sin embargo el libro es ingenioso, elegante y
gratamente peculiar. Para una introducción al trabajo de Fourier y su conexión
con la música, véase M. Kline, Mathematics in Western Culture,
Oxford, Oxford University Press, 1974, cap. 19.
[151] El
fenómeno de Gibbs y su tortuosa historia son analizados por E. Hewitt y R. E.
Hewitt, «The Gibbs-Wilbraham phenomenon: An episo de in Fourier
analysis», Archive for the History of Exact Sciences, vol. 21
(1979), pp. 129-160.
[152] El
fenómeno de Gibbs puede afectar a las compresiones MPEG y JPEG de los vídeos
digitales:
http://www.doc.ic.ac.uk/~nd/surprise_96/journal/vol4/sab/report.html. Cuando
aparece en las resonancias magnéticas, el fenómeno de Gibbs se conoce como
truncamiento o zumbido de Gibbs; véase
http://www.mr-tip.com/serv1.php?type=art&sub=Gibbs%20Artifact. Para los
métodos de manejo de estos artefactos véase T. B. Smith y K. S. Nayak, «MRI
artifacts and correction strategies», Imaging Medicine, vol. 2, n.º
4 (2010), pp. 445-457, online en http://mrel.usc.edu/pdf/Smith_IM_2010.pdf.
[153] Los
analistas del siglo XIX identificaron la causa matemática subyacente al
fenómeno de Gibbs. Para las funciones (o, en la actualidad, imágenes) que
muestran bordes filosos u otros tipos leves de discontinuidades de salto, se
demostró que las sumas parciales de las ondas sinusoidales convergían
puntualmente, pero no de manera uniforme, a la función original. Convergencia
puntual significa que en cualquier punto x en particular, las
sumas parciales se acercan arbitrariamente a la función original, a medida que
se agregan más términos. En ese sentido, la serie converge, como era de
esperar. El problema es que algunos puntos son mucho más quisquillosos que
otros. El fenómeno de Gibbs se produce cerca del peor de los puntos: los bordes
de la función original.
Por ejemplo, considere la onda de diente de sierra descrita en este capítulo.
Cuando x se acerca al borde de un diente de sierra, se
necesitan más y más términos de la serie de Fourier para alcanzar un
determinado nivel de aproximación. Eso es lo que queremos decir cuando
afirmamos que la convergencia no es uniforme. Se produce a diferentes
velocidades para diferentes x.
En este caso, la no uniformidad de la convergencia se puede atribuir a las
patologías de la serie armónica alterna, cuyos términos aparecen como
coeficientes de Fourier de la onda de diente de sierra. Como se expuso
anteriormente, la serie armónica alterna converge, pero solo por la cancelación
masiva provocada por su mezcla alterna de términos positivos y negativos. Si
todos sus términos se hicieran positivos tomando su valor absoluto, la serie se
desviaría (la suma se acercaría a infinito). Por eso se dice que la serie
armónica alterna converge de manera condicional, no absoluta.
Esta forma precaria de convergencia luego infecta la serie de Fourier
correspondiente y lo hace de manera no uniforme convergente, lo que conduce al
fenómeno de Gibbs y su dedo burlón alzado cerca del borde.
De lo contrario, en el caso mejor que la serie de coeficientes de Fourier sea
absolutamente convergente, la serie asociada de Fourier converge uniformemente
a la función original. Entonces, el fenómeno de Gibbs no ocurre. Para más
detalles véase http://mathworld.wolfram.com/GibbsPhenomenon.html y
http://en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon.
La conclusión es que los analistas nos enseñaron a desconfiar de series
condicionalmente convergentes. La convergencia es buena, pero no es suficiente.
Para que una serie infinita se comporte como una suma finita en todos los
aspectos, necesita limitaciones mucho más estrictas que las que puede
proporcionar la convergencia condicional. Insistir en la convergencia absoluta
produce el comportamiento que cabría esperar intuitivamente, para la propia
serie y para su serie Fourier asociada.
[154] Para
más información acerca de Cantor, incluyendo las controversias matemáticas,
filosóficas y teológicas que rodean su obra, véase J. W. Dauben, Georg
Cantor, Princeton, Princeton University Press, 1990.
[155] Si
aún no lo ha leído, le recomiendo el sorprendente éxito de ventas Logicomix,
una novela gráfica brillante sobre la teoría de conjuntos, la lógica, el
infinito, la locura y la búsqueda de la verdad matemática: A. Doxiadis y C. H.
Papadimitriou, Logicomix, Londres, Bloomsbury, 2009 [trad.
cast.: Logicomix: una búsqueda épica de la verdad, Madrid, Sins
Entido, 2011]. Está protagonizada por Bertrand Russell, pero Cantor, Hilbert,
Poincaré y muchos otros hacen apariciones memorables.
[156] La
biografía clásica de David Hilbert es un relato conmovedor y no técnico de su
vida, su obra y su época: C. Reid, Hilbert, Berlín-Heidelberg-Nueva
York, Springer, 1996. Las contribuciones de Hilbert a las matemáticas son
demasiado numerosas para mencionarlas aquí, pero tal vez su mayor logro sea su
colección de veintitrés problemas —todos irresueltos cuando los propuso— que él
pensaba que forjarían el rumbo de las matemáticas en el siglo XX. Para
profundizar en la historia en curso y la importancia de estos problemas de
Hilbert, y de las personas que resolvieron algunos de ellos, véase B. H.
Yandell, The Honors Class, Natick, Massachusetts, A K Peters, 2002.
Muchos de los problemas que planteó Hilbert permanecen abiertos.
[157] La
parábola del hotel infinito de Hilbert se menciona en la perenne obra maestra
de George Gamow One Two Three… Infinity, Nueva York, Dover, 1988,
p. 17 [trad. cast.: Un, dos, tres… infinito, Barcelona, RBA, 1993].
Gamow también explica muy bien los conjuntos contables e incontables e ideas
relacionadas con ellos sobre el infinito.
Las posibilidades cómicas y dramáticas del hotel Hilbert han sido a menudo
exploradas por los escritores de ficción matemática. Véase, por ejemplo, S.
Lem, «The extraordinary hotel or the thousand and first journey of Ion the
Quiet», reimpreso en W. Frucht (ed.), Imaginary Numbers, Hoboken,
Nueva Jersey, Wiley, 1999, e I. Stewart, Professor Stewart’s Cabinet of
Mathematical Curiosities, Nueva York, Basic Books, 2009. Un libro infantil
sobre el mismo tema es I. Ekeland, The Cat in Numberland, Chicago,
Cricket Books, 2006.
[158] Una
pequeña sutileza dio pie a que, con el argumento de la incontabilidad de los
números reales, exigiera que los dígitos diagonales se reemplazaran por dígitos
entre 1 y 8. Esto no era esencial, pero yo quería evitar utilizar el 0 y el 9
para eludir cualquier inquietud causada por el hecho de que algunos números
reales tienen dos representaciones decimales. Por ejemplo, 0,20000… es igual a
0.199999… Por tanto, si no hubiéramos excluido el uso de ceros y nueves como
dígitos de reemplazo, es concebible que el argumento diagonal pudiera haber
producido, inadvertidamente, un número que ya está en la lista (y eso habría
arruinado la prueba). Puesto que había prohibido el uso de 0 y 9, no tuvimos
que preocuparnos de esta molestia.
[159] Para
un análisis más matemático, pero muy legible, sobre el infinito (y muchas otras
ideas analizadas en este libro), véase J. C. Stillwell, Yearning for
the Impossible, Natick, Massachusetts, A K Peters, 2006. Los lectores que
quieran profundizar aún más en el infinito, pueden disfrutar de la publicación
en el blog de Terry Tao acerca de objetos contraproducentes,
http://terrytao.wordpress.com/2009/11/05/the-no-self-defeating-object-argument/.
Presenta de manera accesible y aclara muchos argumentos fundamentales acerca
del infinito que se plantean en la teoría de conjuntos, la filosofía, la
física, la informática, la teoría de juegos y la lógica. Para un estudio de las
cuestiones fundamentales planteadas por este tipo de ideas, véase también J. C.
Stillwell, Roads to Infinity, Natick, Massachusetts, A K Peters,
2010.
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