© Libro N° 12976. Los Grandes Problemas
Matemáticos. Stewart, Ian. Emancipación.
Septiembre 21 de 2024
Título original: ©
Los Grandes Problemas Matemáticos. Ian Stewart
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Original: © Los Grandes
Problemas Matemáticos. Ian Stewart
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© Edición,
reedición y Colección Biblioteca
Emancipación:
Guillermo Molina Miranda
LOS GRANDES PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Ian Stewart
Los
Grandes Problemas Matemáticos
Ian
Stewart
CONTENIDO
Prefacio
1.
Grandes problemas
2.
Territorio primo
3. El
rompecabezas de pi
4.
Cartografiando misterios
5.
Simetría esférica
6. Nuevas
soluciones para lo viejo
7.
Márgenes estrechos
8. Caos
orbital
9. Pautas
en los primos
10. ¿Qué
forma tiene una esfera?
11. No
todos pueden ser fáciles
12.
Pensamiento fluido
13.
Enigma cuántico
14.
Sueños diofánticos
15.
Ciclos complejos
16. ¿Qué
viene ahora?
17. Doce
para el futuro
Glosario
Lecturas
adicionales
Debemos saber, sabremos.
David Hilbert
Conferencia sobre problemas matemáticos con ocasión de su nombramiento como
ciudadano honorario de Königsberg, en 1930[1]
Prefacio
El
dominio de las matemáticas es inmenso, y está en continuo crecimiento y en
continuo cambio. De entre las innumerables preguntas que plantean los
matemáticos, y en su mayoría responden, algunas destacan como cimas imponentes
que se alzan entre modestas estribaciones. Estas son las preguntas realmente
grandes, los problemas difíciles y desafiantes que cualquier matemático daría
su brazo derecho por resolver. Algunos permanecieron sin respuesta durante
décadas, otros durante siglos, unos pocos durante milenios. Algunos aún tienen
que ser vencidos. El último teorema de Fermat fue un enigma durante 350 años
hasta que Andrew Wiles lo resolvió tras siete años de duro trabajo. La
conjetura de Poincaré permaneció abierta durante más de cien años hasta que fue
resuelta por el genio excéntrico Grigori Perelman, quien rechazó todos los
honores académicos y un premio de un millón de dólares por su trabajo. La
hipótesis de Riemann continúa desconcertando a matemáticos de todo el mundo,
tan impenetrable como siempre después de 150 años.
Los
grandes problemas matemáticos contiene una selección de
las preguntas más grandes que han impulsado la empresa matemática en
direcciones radicalmente nuevas. Describe sus orígenes, explica por qué son
importantes y los sitúa en el contexto de las matemáticas y la ciencia en general.
Incluye problemas, tanto resueltos como no resueltos, que cubren más de dos mil
años de desarrollo matemático, pero su foco se centra en cuestiones que o bien
siguen hoy abiertas o bien han sido resueltas en los cincuenta últimos años.
Un
objetivo básico de las matemáticas es revelar la simplicidad que subyace en
preguntas aparentemente complicadas. Quizá esto no sea siempre evidente porque
la idea que tiene el matemático de lo que es «simple» está basada en muchos
conceptos técnicos y difíciles. Un aspecto importante de este libro es resaltar
las profundas simplicidades, y evitar —o cuando menos explicar en términos
sencillos— las complejidades.
* * * *
Las
matemáticas son más novedosas, y más diversas, que lo que la mayoría de
nosotros imaginamos. En una cruda estimación, el número de matemáticos que
investigan en todo el mundo es de unos cien mil, y ellos producen más de dos
millones de páginas de matemáticas nuevas cada año. No «números
nuevos», que no es de lo que realmente trata la empresa. No «sumas nuevas» como
las existentes, sino más grandes, aunque calculamos alguna sumas muy grandes.
Un reciente trabajo de álgebra, realizado por un equipo de unos veinticinco
matemáticos, fue descrito como «un cálculo del tamaño de Manhattan».[i]
* * * *
Esto no
era totalmente cierto; más bien pecaba de conservador. Lo que era del tamaño de
Manhattan era la respuesta; el cálculo era mucho mayor. Esto es
impresionante, pero lo que importa es la calidad, no la cantidad. El cálculo
del tamaño de Manhattan es destacable en ambos aspectos, porque proporciona una
información básica y muy valiosa sobre un grupo de simetría que parece ser
importante en física cuántica, y es decididamente importante en matemáticas.
Las matemáticas brillantes pueden ocupar una línea o pueden ocupar una
enciclopedia, lo que el problema demande.
Cuando
pensamos en matemáticas, lo que viene a la mente son páginas interminables
llenas de fórmulas y símbolos. Sin embargo, esos dos millones de páginas
contienen en general más palabras que símbolos. Las palabras están allí para
explicar los antecedentes del problema, el curso del argumento, el significado
de los cálculos y cómo todo encaja en el siempre creciente edificio de las
matemáticas. Como comentaba el gran Carl Friedrich Gauss hacia 1800, la esencia
de las matemáticas es «nociones, no notaciones». Ideas, no símbolos. Aun así,
el lenguaje habitual para expresar ideas matemáticas es un lenguaje simbólico.
Muchos artículos de investigación publicados contienen más símbolos que
palabras. Las fórmulas tienen una precisión que no siempre las palabras pueden
igualar.
Sin
embargo, es a veces posible explicar las ideas aun prescindiendo de muchos de
los símbolos. Este es el principio que guía Los grandes problemas
matemáticos. Ilustra lo que hacen los matemáticos, cómo piensan y por qué
su tema de estudio es interesante e importante. De forma significativa, muestra
cómo los matemáticos de hoy están abordando los retos que dejaron sus
predecesores, a medida que uno a uno los grandes enigmas del pasado se rinden a
las poderosas técnicas del presente, que cambian las matemáticas y la ciencia
del futuro. Las matemáticas figuran entre los más grandes logros de la
humanidad, y sus grandes problemas —resueltos y no resueltos— han guiado y
estimulado su sorprendente poder durante milenios, tanto pasados como por
venir.
Coventry,
junio de 2012
Capítulo 1
Grandes problemas
Los
programas de televisión que tratan de matemáticas son raros, y los buenos son
aún más raros. Uno de los mejores, tanto por la implicación e interés de la
audiencia como por sus contenidos, trataba del último teorema de Fermat. El
programa fue producido en 1996 por John Lynch para Horizon, la
serie bandera de divulgación científica de la British Broadcasting Corporation.
Simon Singh, quien también estuvo implicado en la realización, convirtió la
historia en un libro que fue un éxito de ventas espectacular[2]. En una
página web, Simon Singh señalaba que el impresionante éxito del programa fue
una verdadera sorpresa:
Fueron
cincuenta minutos de matemáticos hablando de matemáticas, que no es
precisamente una receta obvia para un éxito televisivo, pero el resultado fue
un programa que captó la imaginación del público y fue aclamado por la crítica.
El programa ganó el BAFTA al mejor documental, un premio Italia, otros premios
internacionales y una nominación a los Emmy. Esto prueba que las matemáticas
pueden ser tan excitantes y apasionantes como cualquier otra materia sobre el
planeta.
Creo que
hay varias razones para el éxito tanto del programa de televisión como del
libro, y tienen implicaciones para las historias que quiero contar aquí. Para
centrar la discusión, me concentraré en el documental de la televisión.
El último
teorema de Fermat es uno de los problemas matemáticos verdaderamente grandes.
Surge de un comentario en apariencia inocuo que uno de los matemáticos más
importantes del siglo XVII escribió en el margen de un libro de texto clásico.
El problema se hizo tristemente famoso porque nadie pudo demostrar lo que
afirmaba la nota que Pierre de Fermat escribió en el margen, y así estuvieron
las cosas durante más de trescientos años pese a los enormes esfuerzos de
personas extraordinariamente inteligentes. Por ello, cuando el matemático
británico Andrew Wiles resolvió al fin el problema en 1995, la magnitud de su
hazaña era obvia para cualquiera. Ni siquiera hacía falta saber cuál era el
problema, y mucho menos cómo lo había resuelto. Era el equivalente matemático a
la primera ascensión al Everest.
Además de
su importancia para las matemáticas, la solución de Wiles también envolvía una
historia de gran interés humano. Cuando tenía diez años, Wiles había quedado
tan intrigado por el problema que decidió hacerse matemático y resolverlo.
Llevó a cabo la primera parte del plan, y llegó tan lejos como especializarse
en teoría de números, el área general a la que pertenece el último teorema de
Fermat. Pero cuanto más aprendía sobre matemáticas, más imposible parecía la
empresa. El último teorema de Fermat era una curiosidad desconcertante, una
cuestión aislada del tipo que a cualquier teórico de números se le podría
ocurrir sin la más mínima evidencia convincente. No encajaba en ningún corpus
de técnica poderoso. En una carta a Heinrich Olbers, el gran Gauss lo había
menospreciado, diciendo que el problema tenía «poco interés para mí, puesto que
es fácil formular un montón de proposiciones semejantes, que no se pueden
demostrar ni refutar»[3]. Wiles
decidió que su sueño de la infancia había sido poco realista y puso a Fermat en
el trastero. Pero entonces, milagrosamente, otros matemáticos hicieron un
avance fundamental que vinculaba el problema con un tema nuclear en la teoría
de números en el que Wiles ya era un experto. Gauss, de forma inhabitual en él,
había subestimado la importancia del problema y no había sido consciente de que
podía vincularse con una profunda, aunque aparentemente no relacionada, área de
las matemáticas.
Establecido
este vínculo, Wiles podía ahora trabajar en el enigma de Fermat y hacer al
mismo tiempo investigación respetable en la moderna teoría de números. Mejor
aún, si Fermat no lo resolvió, cualquier cosa importante que él descubriera
mientras trataba de demostrarlo sería publicable por sí misma. De modo que
Fermat salió del trastero y Wiles empezó a pensar en serio en el problema. Tras
siete años de investigación obsesiva, realizada en privado y en secreto —una
precaución inusual en matemáticas— llegó a estar convencido de que había
encontrado una solución. Presentó una serie de seminarios en una prestigiosa
conferencia sobre teoría de números, bajo un oscuro título que no engañaba a
nadie[4]. Así
estalló la excitante noticia, tanto en los medios de comunicación como en los
círculos académicos: el último teorema de Fermat había sido demostrado.
La
demostración era impresionante y elegante, estaba llena de buenas ideas. Por
desgracia, los expertos descubrieron pronto una seria laguna en su
argumentación. Esta circunstancia es tristemente común en los intentos de
demoler grandes problemas no resueltos de las matemáticas, y casi siempre se
prueba fatal. Sin embargo, por una vez los hados fueron amables. Con la ayuda
de su antiguo estudiante Richard Taylor, Wiles consiguió salvar la laguna,
corregir la demostración y completar su solución. La carga emocional implicada
se hizo clara de forma muy gráfica en el programa de televisión: debe haber
sido la única ocasión en que un matemático ha roto en lágrimas en pantalla, con
solo recordar los traumáticos sucesos y el triunfo final.
Quizá
haya usted advertido que yo no le he contado cuál es el último
teorema de Fermat. Lo he hecho adrede; el teorema se tratará en el lugar
apropiado. Por lo que respecta al programa de televisión, no importa realmente.
De hecho, a los matemáticos nunca les ha preocupado gran cosa si el teorema que
Fermat garabateó en su margen es verdadero o falso, porque no hay nada de gran
relevancia que dependa de la respuesta. Así que ¿por qué todo ese revuelo?
Porque mucho depende de la incapacidad de la comunidad matemática para encontrar la
respuesta. No es solo un golpe a nuestra autoestima: significa que a las
teorías matemáticas existentes les falta algo vital. Además, el teorema es muy
fácil de enunciar y esto se suma a su aire de misterio. ¿Cómo algo que parece
tan simple resulta ser tan difícil?
Aunque a
los matemáticos no les preocupara en realidad la respuesta, sí les preocupaba
profundamente no saber cuál era. Y aún más les preocupaba encontrar un método
que pudiera darla, porque ello arrojaría luz no solo sobre la pregunta de
Fermat, sino sobre muchas otras. Esto suele suceder con los grandes problemas
matemáticos: son los métodos utilizados para resolverlos, antes que los propios
resultados, lo que más cuenta. Por supuesto, a veces también importa el
resultado real: depende de cuáles sean sus consecuencias.
La
solución de Weil es demasiado complicada y técnica para la televisión; de
hecho, los detalles solo son accesibles para los especialistas[5]. La
demostración implica una bonita historia matemática, como veremos en su
momento, pero cualquier intento por explicarla en televisión habría perdido de
inmediato a la mayoría de la audiencia. En su lugar, el programa se concentró
de modo razonable en una pregunta más personal: ¿cómo se aborda un problema
matemático notoriamente difícil que lleva un enorme bagaje histórico? A los
espectadores se les mostraba que, diseminado a lo largo del globo, existía un
grupo, pequeño pero entregado, de matemáticos con una profunda preocupación por
su área de investigación, que se comunicaban, tomaban nota del trabajo de los
demás y dedicaban gran parte de su vida a hacer avanzar el conocimiento
matemático. Su inversión emocional y su interacción social quedaban claramente
de manifiesto. No eran autómatas inteligentes, sino personas reales,
comprometidas con su tema de estudio. Ese era el mensaje.
Esas son
tres grandes razones por las que el programa tuvo tanto éxito: un problema
importante, un héroe con una maravillosa historia humana y unos actores
secundarios implicados emocionalmente. Pero sospecho que había una cuarta
razón, no tan encomiable. La mayoría de los ajenos a las matemáticas apenas
oyen hablar de nuevos desarrollos en la disciplina, y ello por una variedad de
razones más que comprensibles: no están tremendamente interesados; los
periódicos apenas mencionan algo que tenga que ver con las matemáticas; cuando
lo hacen, suele ser jocoso o trivial; y no muchas cosas en la vida diaria
parecen estar afectadas por lo que estén haciendo los matemáticos entre
bastidores. Demasiado a menudo las matemáticas escolares se presentan como un
libro cerrado en donde toda pregunta tiene una respuesta. Los estudiantes
fácilmente pueden llegar a imaginar que matemáticas nuevas son tan raras como
dientes de gallina.
Desde
este punto de vista, la gran noticia no era que se hubiera demostrado el último
teorema de Fermat. Era que al final alguien había hecho unas
matemáticas nuevas. Puesto que los matemáticos han necesitado más de
trescientos años para encontrar una solución, muchos espectadores concluyeron
subconscientemente que este gran avance era las primeras nuevas matemáticas
descubiertas en los últimos trescientos años. No estoy sugiriendo que lo
creyeran explícitamente. Deja de ser una posición sostenible en
cuanto se hacen algunas preguntas obvias, tales como «¿por qué el gobierno
gasta dinero en los departamentos de matemáticas en la universidad?». Pero
subconscientemente era una hipótesis común por defecto, no cuestionada ni
examinada. Hacía aún mayor la magnitud del logro de Wiles.
Uno de
los objetivos de este libro es mostrar que la investigación matemática es
floreciente y que de continuo se hacen nuevos descubrimientos. No se oye hablar
mucho de esta actividad porque la mayor parte es demasiado técnica para los no
especialistas, porque la mayoría de los medios de comunicación recelan de
cualquier cosa intelectualmente más desafiante que Factor X, y
porque las aplicaciones de las matemáticas se ocultan de forma deliberada para
no causar alarma: «¿Qué? ¿Mi iPhone depende de matemáticas avanzadas? ¿Cómo voy
a entrar en Facebook si me suspendieron en matemáticas?».
La
historia muestra que nuevas matemáticas suelen aparecer a partir de
descubrimientos en otras áreas. Cuando Isaac Newton estableció sus leyes del
movimiento y su ley de la gravedad, que juntas describen el movimiento de los
planetas, no dio fin al problema de entender el Sistema Solar. Por el
contrario, los matemáticos tuvieron que tratar con todo un nuevo rango de
preguntas: sí, conocemos las leyes, pero ¿qué implican? Newton inventó el
cálculo infinitesimal para responder a esa pregunta, pero su nuevo método
también tiene limitaciones. A menudo reformula la pregunta en lugar de ofrecer
la respuesta. Convierte el problema en una expresión de un tipo especial,
llamada ecuación diferencial, cuya solución es la respuesta.
Pero aún hay que resolver la ecuación. No obstante, el cálculo infinitesimal
era un comienzo brillante. Nos mostraba que las respuestas eran posibles, y
proporcionaba una forma efectiva para buscarlas, que sigue proporcionando ideas
importantes más de trescientos años después.
A medida
que crecía el conocimiento matemático de la humanidad, una segunda fuente de
inspiración empezó a desempeñar un papel cada vez mayor en la creación de nuevo
conocimiento: las demandas internas de las propias matemáticas. Si, por
ejemplo, uno sabe cómo resolver ecuaciones algebraicas de primero, segundo,
tercero y cuarto grado, entonces no se necesita mucha imaginación para
preguntarse por el quinto grado. (El grado es básicamente una medida de
complejidad, pero ni siquiera se necesita saber lo que es para plantear la
pregunta obvia). Si una solución se muestra evasiva, como sucedía en este caso,
ese hecho por sí solo hace a los matemáticos aún más
determinados a encontrar una respuesta, independientemente de que el resultado
tenga o no aplicaciones útiles.
No estoy
sugiriendo que las aplicaciones no importan. Pero si una parte muy especial de
las matemáticas sigue apareciendo en preguntas sobre la física de las ondas
—ondas oceánicas, vibraciones, sonido, luz—, entonces sin duda tiene sentido
investigar esa herramienta por sí misma. No hace falta saber por adelantado
cómo se va a utilizar exactamente una nueva idea: las ondas son comunes a
tantas áreas de interés que las nuevas ideas están abocadas a ser útiles para
algo. En este caso, ese algo incluía a la radio, la televisión y el radar[6]. Si
alguien piensa en una nueva forma de entender el flujo de calor, y da con una
nueva y brillante técnica que lamentablemente carece de apoyo matemático
adecuado, entonces tiene sentido clasificar el conjunto como una parte
de las matemáticas. Incluso si a uno le importa un bledo cómo fluye el
calor, el resultado podría ser perfectamente aplicable en otro lugar. El
análisis de Fourier, que surgió de esta línea de investigación concreta, es
presumiblemente la idea matemática más útil que se haya encontrado. Está en la
base de las modernas telecomunicaciones, hace posibles las cámaras digitales,
ayuda a limpiar viejas películas y grabaciones, y una extensión moderna es
utilizada por el FBI para almacenar registros de huellas dactilares[7].
Después
de miles de años de este tipo de intercambio entre los usos externos de las
matemáticas y su estructura interna, estos dos aspectos de la disciplina han
llegado a estar tan densamente entretejidos que separarlos es casi imposible.
No obstante, las actitudes mentales implicadas son más fácilmente
distinguibles, lo que lleva a una clasificación general de las matemáticas en
dos tipos: puras y aplicadas. Esto se puede defender como una tosca manera de
situar las ideas matemáticas en el paisaje intelectual, pero no es una
descripción muy precisa de la propia disciplina. En el mejor de los casos
distingue dos extremos de un espectro continuo de estilos matemáticos. En el
peor, da una imagen falsa de qué partes de la disciplina son útiles y de dónde
proceden las ideas. Como sucede con todas las ramas de la ciencia, lo que da a
las matemáticas su poder es la combinación de razonamiento
abstracto e inspiración procedente del mundo exterior, que se realimentan de
modo mutuo. Separar los dos aspectos no solo es imposible sino que es absurdo.
La
mayoría de los problemas matemáticos realmente importantes, los grandes
problemas de los que trata este libro, han surgido dentro de la disciplina
gracias a un tipo de ensimismamiento intelectual. La razón es sencilla: son
problemas matemáticos. Las matemáticas se presentan a menudo como
un conjunto de áreas aisladas, cada una de ellas con sus propias técnicas
especiales: álgebra, geometría, trigonometría, análisis, combinatoria,
probabilidad. Suele enseñarse así, por una buena razón: situar cada tema separado
en una única área bien definida ayuda a los estudiantes a organizar la materia
en su mente. Es una razonable primera aproximación a la estructura de las
matemáticas, especialmente las matemáticas ya bien establecidas. Sin embargo,
esta rígida delimitación deja de ser válida en las fronteras de la
investigación. No es solo que se difuminen las fronteras entre las áreas
principales de las matemáticas. Es que realmente no existen.
Todo
matemático investigador es consciente de que, en cualquier momento, de forma
súbita e impredecible, puede resultar que el problema en el que está trabajando
requiera ideas procedentes de un área aparentemente no relacionada. De hecho, a
menudo la nueva investigación combina áreas. Por ejemplo, mi propia
investigación se centra sobre todo en formación de patrones en sistemas
dinámicos, sistemas que cambian con el tiempo de acuerdo con reglas
específicas. Un ejemplo típico es la forma en que se mueven los animales. Un
caballo al trote repite la misma secuencia de movimientos de las patas una y
otra vez, y hay una pauta clara: las patas que están relacionadas en diagonal
tocan el suelo al mismo tiempo. Es decir, primero tocan las patas delantera
izquierda y trasera derecha, y luego las otras dos. ¿Es este un problema sobre
pautas, en cuyo caso los métodos adecuados proceden de la teoría de grupos, el
álgebra de la simetría? ¿O es un problema de dinámica, en cuyo caso el área
apropiada son las ecuaciones diferenciales al estilo newtoniano?
La
respuesta es que, por definición, tiene que ser ambas cosas. No es su
intersección, que sería el material que tienen en común —básicamente, nada—. En
su lugar es una nueva «área», a caballo entre dos de las tradicionales
divisiones de las matemáticas. Es como un puente a través de un río que separa
dos países: une los dos, pero no pertenece a ninguno de ellos. Pero este puente
no es una estrecha franja de carretera; su tamaño es comprable al de cada uno
de los países. Y lo que es aún más esencial, los métodos implicados no se
limitan a los de las dos áreas. De hecho, prácticamente todos los cursos de
matemáticas que yo he estudiado han tenido un papel en alguna parte de mi
investigación. La asignatura que cursé sobre teoría de Galois cuando yo era
estudiante en Cambridge trataba de cómo resolver (más exactamente, por qué no
podemos resolver) una ecuación algebraica de quinto grado. El curso de teoría
de grafos trataba de redes, puntos unidos por líneas. Nunca hice un curso de
sistemas dinámicos, porque mi doctorado era en álgebra, pero con los años reuní
las ideas básicas, desde los estados estacionarios al caos. Teoría de Galois,
teoría de grafos, sistemas dinámicos: tres áreas independientes. O así lo
suponía hasta 2011, cuando trataba de entender cómo detectar dinámica caótica
en una red de sistemas dinámicos y un paso crucial dependía de cosas que había
aprendido cuarenta y cinco años antes en mi curso sobre teoría de Galois.
Así pues,
las matemáticas no son como un mapa político del mundo, con cada especialidad
claramente rodeada de una frontera nítida, cada país claramente distinguido de
sus vecinos por estar coloreado de rosa, verde o azul claro. Son más parecidas
a un paisaje natural, donde nunca se puede decir con precisión dónde termina el
valle y empieza la montaña, dónde el bosque se funde con la maleza y llanuras
con hierba, dónde los lagos insertan regiones de agua en otros tipos de
terreno, dónde los ríos unen las pendientes nevadas de las montañas con los
distantes océanos. Pero este paisaje matemático en cambio continuo no consiste
en rocas, agua y plantas sino en ideas; está ligado no por la geografía sino
por la lógica. Y es un paisaje dinámico, que varía a medida que se descubren o
inventan nuevas ideas o métodos. Los conceptos importantes con amplias
implicaciones son como cimas montañosas; las técnicas con muchos usos son como
ríos caudalosos que llevan a los viajeros a través de llanuras fértiles. Cuanto
más claramente definido está el paisaje, más fácil es detectar picos vírgenes o
terreno inexplorado que crea obstáculos indeseados. Con el tiempo, algunos de
los picos y obstáculos adquieren un estatus de icono. Estos son los grandes
problemas.
¿Qué es
lo que hace grande a un gran problema matemático? Es la profundidad
intelectual, combinada con simplicidad y elegancia. Más aún: tiene que
ser difícil. Cualquiera puede escalar una loma; el Everest es otra
cosa muy diferente. Un gran problema es normalmente fácil de enunciar, aunque
los términos requeridos pueden ser elementales o pueden ser muy técnicos. Los
enunciados del último teorema de Fermat y del problema de los cuatro colores
tienen sentido inmediato para cualquiera que esté familiarizado con las
matemáticas de la escuela. Por el contrario, es imposible enunciar siquiera la
conjetura de Hodge o la hipótesis del hueco de masas sin invocar conceptos
profundos en las fronteras de la investigación —después de todo, la última
procede de la teoría cuántica de campos—. Sin embargo, para los versados en
tales áreas, el enunciado de la cuestión concernida es simple y natural, no
implica páginas y páginas de texto denso e impenetrable. En medio hay problemas
que requieren algo al nivel de matemáticas universitarias si se quieren
entender con todo detalle. Una idea más general de la esencia del problema —de
dónde procede, por qué es importante, qué se podría hacer si se dispusiera de
una solución— es normalmente accesible para cualquier persona interesada, y eso
es lo que estoy tratando de ofrecer. Admito que la conjetura de Hodge es un
hueso difícil de roer a este respecto, porque es muy técnica y muy abstracta.
Sin embargo, es uno de los siete problemas matemáticos del milenio del
Instituto Clay, con un premio asociado de un millón de dólares, y
necesariamente debe ser incluido.
Los
grandes problemas son creativos: ayudan al nacimiento de nuevas matemáticas. En
1900 David Hilbert pronunció una conferencia en el Congreso Internacional de
Matemáticos en París, en la que hizo una lista de 23 de los problemas más
importantes en matemáticas. No incluía el último teorema de Fermat pero lo
mencionaba en su introducción. Cuando un matemático distinguido hace una lista
de los que él piensa que son algunos de los grandes problemas, otros
matemáticos prestan atención. Los problemas no estarían en la lista a menos que
fueran importantes y difíciles. Es natural plantearse el desafío y tratar de
responderlos. Desde entonces, resolver uno de los problemas de Hilbert ha sido
una buena manera de ganarse los galones matemáticos. Muchos de estos problemas
son demasiado técnicos para incluirlos aquí, muchos son programas abiertos
antes que problemas específicos, y varios aparecen más tarde por derecho
propio. Pero merecen ser mencionados, por lo que he puesto un breve resumen en
las notas.[8]
Eso es lo
que hace grande a un gran problema matemático. Raras veces lo que lo hace
problemático es decidir cuál debería ser la respuesta. Para prácticamente todos
los grandes problemas, los matemáticos tienen una idea muy clara de cuál
debería ser la respuesta —o la tenían, si ahora se conoce una solución—. De
hecho, el enunciado del problema incluye a veces la respuesta esperada. Eso es
lo que sucede con una conjetura: una hipótesis plausible, basada en una amplia
evidencia. Muchas conjeturas bien estudiadas resultan ser finalmente correctas,
aunque no todas. Términos más antiguos como hipótesis tienen el mismo
significado, y en el caso de Fermat la palabra «teorema» es (más exactamente,
era) un abuso de lenguaje: un teorema requiere una demostración, pero eso era
precisamente lo que faltaba hasta que llegó Wiles.
La
demostración es, de hecho, el requisito que hace problemáticos los grandes
problemas. Cualquiera moderadamente competente puede realizar algunos cálculos,
detectar una pauta aparente y destilar su esencia en un conciso enunciado. Los
matemáticos exigen más pruebas que eso: insisten en una demostración completa,
lógicamente impecable. O, si la respuesta resulta ser negativa, una refutación.
En realidad, no es posible apreciar el encanto seductor de un gran problema sin
apreciar el papel vital de la demostración en la empresa matemática. Cualquiera
puede hacer una conjetura razonada. Lo difícil es demostrar que es correcta. O
que es falsa.
El
concepto de demostración matemática ha cambiado en el curso de la historia, y
los requisitos lógicos se han hecho generalmente más estrictos. Ha habido
muchas sesudas discusiones filosóficas sobre la naturaleza de la demostración
que han planteado algunas cuestiones importantes. Se han propuesto y puesto en
práctica definiciones lógicas precisas de «demostración». La que enseñamos a
los estudiantes en la universidad es que una demostración empieza con una
colección de hipótesis explícitas llamadas axiomas. Los axiomas son, por así
decir, las reglas del juego. Otros axiomas son posibles, pero llevan a juegos
diferentes. Fue Euclides, el antiguo geómetra griego, quien introdujo este
enfoque de las matemáticas, que sigue siendo válido hoy. Acordados los axiomas,
una demostración de un enunciado es una serie de pasos, cada uno de los cuales
es una consecuencia lógica de alguno de los axiomas, o de enunciados
previamente demostrados, o de ambos. En efecto, el matemático está explorando
un laberinto lógico cuyos cruces son enunciados y cuyos pasillos son
deducciones válidas. Una demostración es un camino a través del laberinto,
partiendo de los axiomas. Lo que demuestra es el enunciado en el que acaba.
No
obstante, este rígido concepto de demostración no es toda la historia. Ni
siquiera es la parte más importante de la historia. Es como decir que una
sinfonía es una secuencia de tonos musicales, sujetos a las reglas de la
armonía. Carece de creatividad. No nos dice cómo encontrar demostraciones, ni
siquiera cómo validar las demostraciones de otras personas. No nos dice qué
lugares del laberinto son importantes. No nos dice qué caminos son elegantes y
cuáles son feos, cuáles son importantes y cuáles irrelevantes. Es una
descripción formal y mecánica de un proceso que tiene muchos otros aspectos, en
especial una dimensión humana. Las demostraciones son descubiertas por
personas, y la investigación en matemáticas no es solo una cuestión de lógica
paso a paso.
Tomar al
pie de la letra la definición formal de demostración puede llevar a
demostraciones que son prácticamente ilegibles, porque la mayor parte del
tiempo se pasa poniendo puntos lógicos sobre las íes y cruces lógicos en las
tes en circunstancias en las que el resultado ya se tiene delante. Por ello los
matemáticos en activo toman atajos y dejan fuera lo que es rutinario u obvio.
Dejan claro que hay una laguna utilizando frases tópicas como «es fácil
verificar que» o «cálculos rutinarios implican». Lo que no hacen, al menos no
de modo consciente, es introducir una dificultad lógica y simular que no
existe. De hecho, un matemático competente se apartará de su camino para
señalar con exactitud aquellas partes del argumento que son lógicamente
frágiles, y dedicará la mayor parte de su tiempo a explicar cómo hacerlas
suficientemente robustas. El resultado es que una demostración, en la práctica,
es una historia matemática con su propio flujo narrativo. Tiene un comienzo, un
desarrollo y un final. A menudo tiene subargumentos, que nacen del argumento
principal, cada uno con su propia resolución. El matemático británico
Christopher Zeeman comentó en una ocasión que un teorema es un punto de reposo
intelectual. Uno puede detenerse, recuperar aliento y sentir que ha llegado a
un lugar definido. Los subargumentos atan un cabo suelto en la historia
principal. Las demostraciones se parecen a narraciones en otros aspectos: a
menudo tienen uno o más protagonistas —ideas en lugar de personas, por
supuesto— cuyas interacciones complejas llevan a la revelación final.
Como
indica la definición que se da a los estudiantes, una demostración parte de una
hipótesis claramente enunciada, deduce consecuencias lógicas de una manera
coherente y estructurada, y termina en lo que sea que se quiere demostrar. Pero
una demostración no es solamente una lista de deducciones, y la lógica no es el
único criterio. Una demostración es una historia contada y diseccionada por
personas que han pasado buena parte de su vida aprendiendo a leer historias y a
encontrar errores o inconsistencias: personas cuyo principal objetivo es
demostrar que el narrador está equivocado, y que poseen el
asombroso don de detectar debilidades y corregirlas hasta que se deshacen en
una nube de polvo. Si algún matemático pretende haber resuelto un problema
importante, ya sea uno grande o algo digno aunque menos excelso, el reflejo
profesional no es gritar ¡hurra! y descorchar una botella de champán, sino
tratar de rebatirlo.
Esto
puede sonar negativo, pero la demostración es la única herramienta fiable que
tienen los matemáticos para asegurar que lo que dicen es correcto. Anticipando
este tipo de respuesta, los investigadores dedican muchos esfuerzos a tratar de
rebatir sus propias ideas y demostraciones. Así es menos embarazoso. Cuando la
historia ha sobrevivido a este tipo de escrutinio crítico, el consenso pronto
se convierte en un acuerdo de que es correcto, y en ese momento el inventor de
la demostración recibe la alabanza, crédito y recompensa adecuados. En
cualquier caso, eso es lo que sucede normalmente, aunque no siempre puede
parecerlo así para las personas implicadas. Si uno está próximo a la acción, su
imagen de lo que está sucediendo puede ser diferente de la de un observador más
distanciado.
* * * *
¿Cómo
resuelven problemas los matemáticos? Ha habido pocos estudios científicos
rigurosos sobre esta cuestión. La moderna investigación en educación, basada en
la ciencia cognitiva, se centra sobre todo en la educación hasta el nivel del
instituto. Algunos estudios abordan la enseñanza de las matemáticas en la
universidad, pero son relativamente escasos. Hay diferencias importantes entre
aprender y enseñar las matemáticas ya existentes y crear nuevas matemáticas.
Muchos de nosotros podemos tocar un instrumento musical, pero muchos menos
podemos componer un concierto o siquiera escribir una canción pop.
Cuando se
llega a la creatividad en los niveles más altos, mucho de lo que sabemos —o
pensamos que sabemos— procede de la introspección. Pedimos a los matemáticos
que expliquen sus procesos mentales y buscamos principios generales. Uno de los
primeros intentos serios de descubrir cómo piensan los matemáticos fue The
Psychology of Invention in the Mathematical Field de Jacques Hadamard,
publicado por primera vez en 1945[9].
Hadamard entrevistó a destacados matemáticos y científicos de su tiempo y les
pidió que describieran cómo pensaban cuando trabajaban en problemas difíciles.
Lo que emergió, con mucha fuerza, era el papel vital de lo que a falta de un
término mejor debe describirse como intuición. Alguna propiedad de la mente
subconsciente guiaba sus pensamientos. Sus ideas más creativas no surgieron
mediante una lógica paso a paso, sino por repentinos saltos incontrolados.
Una de
las descripciones más detalladas de este enfoque aparentemente ilógico de las
cuestiones lógicas la proporcionó el matemático francés Henri Poincaré, una de
las figuras destacadas de finales del siglo XIX y principios del siglo XX.
Poincaré recorrió buena parte de las matemáticas fundando varias áreas nuevas y
cambiando radicalmente muchas otras. Desempeña un papel destacado en varios
capítulos posteriores. También escribió libros de divulgación científica, y
esta amplia experiencia puede haberle ayudado a obtener una comprensión más
profunda de sus propios procesos mentales. En cualquier caso, Poincaré insistía
en que la lógica consciente era solo una parte del proceso creativo. Sí, había
momentos en que era indispensable decidir cuál era en realidad el problema,
verificar de modo sistemático la respuesta. Pero en medio, Poincaré sentía que
su cerebro estaba trabajando a menudo en el problema sin decírselo, de maneras
que él sencillamente no podía imaginar.
Su esbozo
del proceso creativo distinguía tres etapas: preparación, incubación e
iluminación. La preparación consiste en esfuerzos lógicos conscientes para
fijar el problema, hacerlo preciso y atacarlo por métodos convencionales.
Poincaré consideraba esencial esta fase: pone en marcha el subconsciente y le
proporciona materia prima para que trabaje con ella. La incubación tiene lugar
cuando uno deja de pensar en el problema y hace alguna otra cosa. Ahora el
subconsciente empieza a combinar ideas, a menudo ideas descabelladas, hasta que
empieza a verse la luz. Con suerte, esto lleva a la iluminación: su
subconsciente le da palmadas en el hombro y en su cerebro se enciende la
proverbial bombilla.
Este tipo
de creatividad es como andar sobre una cuerda tensa. Por una parte, uno no
quiere resolver un problema difícil a menos que esté familiarizado con el área
a la que parece pertenecer —y con muchas otras áreas, que pueden estar
relacionadas o no, por si acaso lo están—. Por otra parte, si todo lo que uno
hace es quedarse atrapado en modos de pensamiento estándar, que otros ya han
ensayado infructuosamente, entonces quedará atascado en una rutina mental y no
descubrirá nada nuevo. De modo que el truco es saber muchas cosas, integrarlas
de modo consciente, poner en marcha el cerebro durante semanas… y luego dejar
de lado la cuestión. La parte intuitiva de su mente empieza a trabajar, frota
unas ideas con otras para ver si salta la chispa y le notifica cuando ha
encontrado algo. Esto puede suceder en cualquier momento: Poincaré vio de
pronto cómo resolver un problema que le había estado preocupando durante meses
al subir a un autobús. A Srinivasa Ramanujan, un matemático indio autodidacta
con talento para fórmulas extraordinarias, las ideas le llegaban a veces en
sueños. Arquímedes es famoso por haber descubierto la forma de probar si un
metal era oro cuando se estaba bañando.
Poincaré
puso especial cuidado en señalar que sin el período inicial de preparación, el
progreso es poco probable. El subconsciente, insistía, necesita que se le dé
mucho en qué pensar, o de lo contrario no se pueden formar las fortuitas
combinaciones de ideas que finalmente lleven a una solución. La preparación
genera inspiración. Él también debe haber sabido —puesto que cualquier
matemático creativo lo sabe— que este sencillo proceso de tres etapas
difícilmente ocurre solo una vez. Resolver un problema requiere a manudo más de
un avance fundamental. La etapa de incubación para una idea puede ser
interrumpida por un proceso subsidiario de preparación, incubación e
iluminación de algo que es necesario para que funcione la primera idea. La
solución a cualquier problema que se precie de tal, sea grande o no, implica
por lo general muchas de tales secuencias, anidadas unas dentro de otras como
uno de los intrincados fractales de Benoit Mandelbrot. Uno resuelve un problema
dividiéndolo en subproblemas. Uno se convence de que si puede resolver estos
subproblemas, podrá reunir los resultados para resolver el conjunto. Entonces
elabora los subproblemas. A veces resuelve uno; a veces fracasa y es necesario
un replanteamiento. A veces un subproblema se divide en más piezas. Tan solo
seguir la pista del plan puede ser una gran tarea.
He
descrito el funcionamiento del subconsciente como «intuición». Esta es una de
esas palabras seductoras como «instinto», que es ampliamente utilizada incluso
si carece de significado real. Es un nombre para algo cuya presencia
reconocemos, pero que no entendemos. La intuición matemática es la capacidad de
la mente para sentir forma y estructura, para detectar pautas que no podemos
percibir de forma consciente. La intuición carece de la claridad cristalina de
la lógica consciente, pero lo compensa con dirigir la atención a cosas que
nunca habríamos considerado de forma consciente. Los neurocientíficos apenas
están empezando a entender cómo el cerebro realiza tareas mucho más simples.
Pero como quiera que trabaje la intuición, debe ser una consecuencia de la
estructura del cerebro y de cómo interacciona con el mundo exterior.
A menudo
la contribución clave de la intuición es hacernos conscientes de los puntos
débiles de un problema, lugares en donde puede ser vulnerable a un ataque. Una
demostración matemática es como una batalla, o si usted prefiere una metáfora
menos bélica, como un juego de ajedrez. Una vez que se ha identificado un punto
débil, puede explotarse gracias al dominio técnico que tiene el matemático de
la maquinaria de las matemáticas. Como Arquímedes, que quería un punto de apoyo
firme para poder mover la Tierra, el matemático investigador necesita alguna
manera de ejercer palanca sobre el problema. Una idea clave puede abrirlo y
hacerlo vulnerable a métodos estándar. Después de eso, es solo cuestión de
técnica.
Mi
ejemplo favorito de este tipo de palanca es un rompecabezas que no tiene una
importancia matemática intrínseca, pero lleva un mensaje importante. Suponga
que usted tiene un tablero de ajedrez, con 64 casillas, y un suministro de
fichas de dominó del tamaño preciso para cubrir dos casillas adyacentes del
tablero. Entonces es fácil cubrir todo el tablero con 32 fichas. Pero
supongamos ahora que se han eliminado dos esquinas diagonalmente opuestas del
tablero, como en la Figura 1. ¿Pueden cubrirse las 62 casillas restantes
utilizando 31 fichas? Si uno experimenta, nada parece funcionar. Por otra
parte, es difícil ver una razón obvia para que la tarea sea imposible. Hasta
que uno se da cuenta de que, cualquiera que sea la forma en que se dispongan
las fichas, cada una de ellas debe cubrir una casilla negra y una casilla
blanca. Esta es su palanca; todo lo que tiene que hacer ahora es manejarla.
Implica que cada región cubierta por fichas contiene el mismo número de
casillas negras que de casillas blancas. Pero las casillas diagonalmente
opuestas tienen el mismo color, de modo que eliminar dos de ellas (aquí
blancas) lleva a una figura con dos casillas negras más que casillas blancas.
Figura 1. ¿Se puede cubrir el tablero de ajedrez recortado con fichas de
dominó, cada una de las cuales cubre dos casillas (parte superior derecha)? Si
se colorea la ficha de dominó (parte inferior derecha) y se cuenta cuántas
casillas blancas y negras hay, la respuesta es clara.
Así que
esta figura no puede cubrirse. La observación sobre la combinación de colores
que cubre cualquier ficha es el punto débil del rompecabezas.
Le da un lugar donde apoyar su palanca lógica y presionar. Si usted fuera un
señor medieval asaltando un castillo, este sería el punto débil del muro, el
lugar en donde debería concentrar la potencia de fuego de sus catapultas o
cavar un túnel para minarlo.
La
investigación en matemáticas difiere de una batalla en un aspecto importante.
Cualquier territorio que uno ocupa una vez, permanece en su poder para siempre.
Usted puede decidir concentrar sus esfuerzos en algún otro lugar, pero una vez
que un teorema está demostrado, ya no desaparece. Así es como los matemáticos
avanzan en un problema, incluso cuando no consiguen resolverlo. Ellos
establecen un nuevo hecho, que queda entonces a disposición de cualquier otro y
en cualquier contexto. A menudo la lanzadera para un nuevo asalto a un viejo
problema surge de una joya previamente inadvertida semienterrada en un montón
informe de hechos revueltos. Y esa es una razón por la que nuevas matemáticas
pueden ser importantes por sí mismas, incluso si sus usos no son evidentes a
primera vista. Es una parte más de territorio ocupado, un arma más en el
arsenal. Su momento puede estar aún por llegar; pero ciertamente no lo hará si
se estima «inútil» y se olvida, o si nunca se le permite nacer porque nadie
puede ver para qué sirve.
Capítulo
2
Territorio primo. La conjetura de Goldbach
Algunos
de los grandes problemas se manifiestan muy pronto en nuestra educación
matemática, aunque quizá no lo advirtamos. En cuanto se nos enseña la
multiplicación, tropezamos con la idea de número primo. Algunos números pueden
obtenerse multiplicando entre sí dos números más pequeños; por ejemplo, 6 =
2×3. Otros, tales como 5, no pueden descomponerse de esta manera; lo mejor que
podemos hacer es 5 = 1×5, que no incluye dos números más pequeños.
De los números que pueden descomponerse se dice que son compuestos; los que no
pueden son primos. Los números primos parecen cosas muy simples. En cuanto uno
puede multiplicar números enteros, puede entender lo que es un número primo.
Los primos son los bloques constituyentes básicos de los números naturales y
aparecen por todas las matemáticas. Son también muy misteriosos, y parecen
distribuirse prácticamente al azar. No hay duda: los primos son un enigma.
Quizá esto es una consecuencia de su definición: no tanto lo que son como lo
que no son. Por otra parte, son fundamentales para las matemáticas, de modo que
no podemos simplemente levantar las manos con horror y rendirnos. Necesitamos
entender los primos y desentrañar sus más íntimos secretos.
Unas
pocas propiedades son obvias. Con excepción del primo más pequeño, 2, todos los
primos son impares. Con la excepción de 3, la suma de sus dígitos no puede ser
múltiplo de 3. Con la excepción de 5, no pueden terminar en 5. Aparte de estas
reglas, y unas pocas más sutiles, uno no puede echar una mirada a un número y
detectar de inmediato si es primo. Existen fórmulas para los primos, pero en su
mayor parte son tramposas: no proporcionan nueva información útil sobre los
primos; simplemente son maneras más ingeniosas de codificar la definición de
«primo» en una fórmula. Los primos son como las personas: son individuales y no
se atienen a reglas estándar.
Durante
milenios, los matemáticos han mejorado poco a poco su comprensión de los
números primos, y de vez en cuando se resuelve otro gran problema sobre ellos.
Sin embargo, todavía quedan muchas preguntas sin resolver. Algunas son básicas
y fáciles de enunciar, otras son más esotéricas. Este capítulo discute lo que
sabemos y lo que no sabemos sobre estos números exasperantes pero
fundamentales. Empieza estableciendo algunos de los conceptos básicos, en
particular la factorización en primos: cómo expresar un número dado como un
producto de primos. Incluso este proceso familiar lleva a aguas profundas en
cuanto empezamos a buscar métodos auténticamente efectivos para encontrar los
factores primos de un número. Una sorpresa es que parece relativamente fácil poner
a prueba un número para determinar si es primo; pero si es compuesto, encontrar
sus factores primos suele ser mucho más difícil.
Habiendo
expuesto las ideas básicas, pasaremos al más famoso problema no resuelto sobre
los primos, la conjetura de Goldbach, con 250 años de antigüedad. Los progresos
recientes sobre esta cuestión han sido espectaculares, pero todavía no
decisivos. Algunos otros problemas proporcionan una breve muestra de lo que aún
está por descubrir sobre esta rica pero rebelde área de las matemáticas.
Los
números primos y la factorización son familiares desde la aritmética escolar,
pero la mayoría de las propiedades interesantes de los primos apenas se enseñan
en ese nivel, y de hecho no se demuestra nada. Hay buenas razones para ello:
las demostraciones, incluso las de propiedades en apariencia obvias, son
sorprendentemente difíciles. En su lugar, a los alumnos se les enseñan algunos
métodos simples para trabajar con primos, y se pone el énfasis en cálculos con
números relativamente pequeños. Como resultado, nuestra experiencia temprana
con los primos es algo equívoca.
Los
antiguos griegos conocían algunas de las propiedades básicas de los primos y
sabían cómo demostrarlas. Primos y factores son el tema principal del libro VII
de los Elementos de Euclides, el gran clásico de la geometría.
Este libro en concreto contiene una presentación geométrica de la división y la
multiplicación en aritmética. Los griegos preferían trabajar con longitudes de
líneas, antes que con números como tales, pero es fácil reformular sus
resultados en el lenguaje de los números. Euclides se ocupa en demostrar
enunciados que pueden parecer obvios: por ejemplo, la proposición 16 del libro
VII demuestra que cuando se multiplican dos números, el resultado es
independiente del orden en que se toman. Es decir ab = ba,
una ley básica del álgebra.
En la
aritmética de la escuela, los factores primos se utilizan para encontrar el
máximo común divisor (o factor común más alto) de dos números. Por ejemplo,
para encontrar el máximo común divisor de 135 y 630, los factorizamos en
primos:
135 = 33×5
630 = 2×32×5×7
Luego,
por cada primo, tomamos la potencia mayor que aparece en ambas factorizaciones,
con lo que se obtiene 3 2×5. Esta multiplicación da 45: este es
el máximo común divisor. Este procedimiento da la impresión de que la
factorización en primos es necesaria para encontrar máximos comunes divisores.
En realidad, la relación lógica es al revés. El libro VII, proposición 2, de
los Elementos presenta un método para encontrar el máximo
común divisor de dos números enteros sin factorizarlos. Funciona restando repetidamente
el número menor del mayor, y luego aplicando un proceso similar al resto
resultante y el número menor, y continuando así hasta que no hay resto. Para
135 y 630, un ejemplo típico que utiliza números no muy grandes, el proceso va
así. Restamos repetidamente 135 de 630.
630 - 135
= 495
495 - 135
= 360
360 - 135
= 225
225 - 135
= 90
Puesto
que 90 es menor que 135, intercambiamos los dos números 90 y 135:
135 - 90
= 45
Puesto
que 45 es menor que 90, intercambiamos 45 y 90:
90 - 45 =
45
45 - 45 =
0
Por lo
tanto, el máximo común divisor de 135 y 630 es 45.
Este
procedimiento funciona porque en cada paso reemplaza el par de números original
por un par más sencillo (uno de los números es más pequeño) que tiene el mismo
máximo común divisor. Por último, uno de los números divide al otro
exactamente, y en esa etapa nos detenemos. El término actual para un método
computacional explícito que garantiza encontrar una respuesta a un problema
dado es «algoritmo». De modo que el procedimiento de Euclides se denomina ahora
el algoritmo de Euclides. Es lógicamente anterior a la factorización en primos.
De hecho, Euclides utiliza su algoritmo para demostrar propiedades básicas de
los factores primos, y así se hace hoy en los cursos de matemáticas en la
universidad.
La
proposición 30 de Euclides es vital para la empresa. En términos modernos
afirma que si un primo divide al producto de dos números —lo que se obtiene
multiplicándolos— entonces debe dividir a uno de ellos. La proposición 32
afirma que o bien un número es primo o bien tiene un factor primo. Juntándolas
es fácil deducir que todo número es un producto de factores primos, y que esta
expresión es única salvo el orden en que se escriben los factores. Por ejemplo:
60 =
2×2×3×5 = 2×3×2×5 = 5×3×2×2
y así
sucesivamente, pero la única manera de obtener 60 es reordenar la primera
factorización. No hay factorización, por ejemplo, que se parezca a 60 = 7×algo.
La existencia de la factorización procede de la proposición 32. Si el número es
primo, stop. Si no lo es, encontramos un factor primo, dividimos
para obtener un número más pequeño, y repetimos. La unicidad procede de la
proposición 30. Por ejemplo, si hubiera una factorización 60 = 7×algo,
entonces 7 debe dividir a uno de los números 2, 3 o 5, pero no lo hace.
Aquí
tengo que aclarar un punto menor pero importante: el estatus excepcional del
número 1. De acuerdo con la definición que hemos dado hasta ahora, 1 es
claramente primo: si tratamos de descomponerlo, lo más que podemos hacer es 1 =
1×1, que no incluye números más pequeños. Sin embargo, esta interpretación
causa problemas más tarde en la teoría, y por ello en el último o los dos
últimos siglos los matemáticos han añadido una restricción extra. El número 1
es tan especial que no debería considerarse como primo ni como compuesto. Es
otra cosa, una unidad. Una razón para tratar 1 como un caso especial, más que
como un auténtico primo, es que si llamamos primo a 1, la unicidad falla. De
hecho, 1×1 = 1 ya muestra este fallo, y 1×1×1×1×1×1×1×1 = 1 se nos restriega en
las narices. Podríamos modificar la unicidad para decir «único excepto 1s
extra», pero eso es simplemente otra manera de admitir que 1 es especial.
Mucho más
tarde, en la proposición 20 del libro IX, Euclides demuestra otro hecho clave:
«Los números primos son más que cualquier multitud definida de números primos».
Es decir, el número de primos es infinito. Es un teorema maravilloso con una
demostración ingeniosa, pero abría una enorme caja de Pandora. Si los primos no
acaban nunca, pero no parecen tener una pauta, ¿cómo podemos describir a qué se
parecen?
Tenemos
que enfrentarnos a esta pregunta porque no podemos ignorar los primos. Son
accidentes esenciales del paisaje matemático. Son particularmente habituales, y
útiles, en la teoría de números. Esta área de las matemáticas estudia las
propiedades de los números naturales. Puede sonar algo elemental, pero en
realidad la teoría de números es una de las más profundas y más difíciles áreas
de las matemáticas. Más tarde veremos muchas pruebas de esto. En 1801, Gauss,
el más destacado teórico de números de su época —presumiblemente uno de los
mejores matemáticos de todos los tiempos— escribió un libro de texto avanzado
sobre teoría de números, las Disquisitiones arithmeticae («Investigaciones
en aritmética»). Entre los temas de más alto nivel, él señalaba que no
deberíamos perder de vista dos cuestiones muy básicas: «Es sabido que el
problema de distinguir los números primos de los números compuestos y resolver
los últimos en sus factores primos es uno de los problemas más importantes y
útiles en aritmética».
En la
escuela se suele enseñar concretamente una manera de encontrar los factores
primos de un número: ensayar uno tras otro todos los factores posibles hasta
que se encuentre algo que vale. Si no se ha encontrado un factor para cuando se
ha llegado a la raíz cuadrada del número original —más preciso, al mayor número
natural que es menor o igual que la raíz cuadrada—, entonces el número es
primo. Si, por el contrario, se encuentra un factor, se divide por este y se
repite. Es más eficaz ensayar precisamente factores primos, lo que requiere
disponer de una lista de primos. Uno se detiene en la raíz cuadrada porque el
factor más pequeño de cualquier número compuesto no es mayor que su raíz
cuadrada. Sin embargo, este procedimiento es desesperantemente ineficaz cuando
se trata con números grandes. Por ejemplo, si el número es:
1.080.813.321.843.836.712.253
entonces
su factorización en primos es:
13.929.010.429×77.594.408.257
y habría
que ensayar los primeros 624.401.249 primos uno tras otro para encontrar el
menor de los dos factores. Por supuesto, con un ordenador esto es relativamente
fácil, pero si empezamos con un número de cien dígitos que resulta ser el
producto de dos números de cincuenta dígitos, y hacemos una búsqueda
sistemática a través de primos sucesivos, el universo llegará a su fin antes de
que el ordenador encuentre la respuesta.
De hecho,
los ordenadores actuales pueden factorizar generalmente números de cien
dígitos. Mi ordenador necesita menos de un segundo para encontrar los factores
primos de 1099 + 1, que se parece a 1000… 001 con 98 ceros. Es
un producto de 13 primos (uno de ellos aparece dos veces), de los que el menor
es 7 y el mayor es:
141.122.524.877.866.182.282.233.539.317.796.144.938.305.111.168.717
Pero si
yo pido al ordenador que factorice 10199 + 1, con doscientos
dígitos, seguirá funcionando durante tiempo y tiempo y no llegará a ninguna
parte. Pese a todo, el cálculo con cien dígitos es impresionante. ¿Cuál es el
secreto? Encontrar métodos más eficaces que ensayar todos los potenciales factores
primos uno detrás de otro.
Ahora
sabemos mucho más que Gauss sobre el primero de sus problemas (comprobar
primos) y mucho menos de lo que nos gustaría sobre el segundo (la
factorización). La opinión convencional es que la comprobación del carácter
primo es mucho más sencilla que la factorización. Esto suele ser una sorpresa
para los legos en matemáticas, a quienes se les enseñó en la escuela a
comprobar si un número es primo por el mismo método que se utiliza para la
factorización: ensayar todos los divisores posibles. El caso es que hay maneras
ingeniosas para probar que un número es primo sin hacer eso. También nos
permite demostrar que un número es compuesto sin encontrar ninguno de sus
factores. Sencillamente mostrar que no supera un test de primalidad.
El
bisabuelo de todos los tests modernos de primalidad es el teorema de Fermat,
que no hay que confundir con el famoso último teorema de Fermat (véase capítulo
7). Este teorema se basa en la aritmética modular, a veces conocida como
«aritmética de reloj» porque los números se enrollan como los de una esfera de
reloj. Escogemos un número —para el caso análogo a un reloj de 12 horas es 12—
y le llamamos el módulo. Ahora, en cualquier cálculo aritmético con números
naturales se permite reemplazar cualquier múltiplo de 12 por cero. Por ejemplo,
5×5 = 25, pero 24 es dos veces 12, de modo que restando 24 obtenemos 5×5 = 1
módulo 12. La aritmética modular es muy bonita porque casi todas las reglas
habituales de la aritmética siguen siendo válidas. La diferencia principal es
que no siempre se puede dividir un número por otro, incluso si no es cero. La
aritmética modular es también útil, porque proporciona una manera rigurosa de
tratar cuestiones de divisibilidad: ¿qué números son divisibles por el módulo
escogido, y cuál es el resto cuando no lo son? Gauss introdujo la aritmética
modular en sus Disquisitiones arithmeticae, y hoy es ampliamente
utilizada en la ciencia de la computación, la física y la ingeniería, tanto
como en las matemáticas.
El
teorema de Fermat afirma que si escogemos un módulo primo p, y
tomamos cualquier número a que no es un múltiplo de p,
entonces la potencia (p - 1)-ésima de a es igual a
1 en aritmética módulo p. Supongamos, por ejemplo, que p =
17 y a = 3. Entonces el teorema predice que cuando dividimos 316 por
17, el resto es 1. Como comprobación
316 =
43.046.721 = 2.532.160×17 + 1
Nadie en
su sano juicio querría hacer las sumas de esta manera para primos de, digamos,
cien dígitos. Afortunadamente, hay una manera más ingeniosa y rápida de
realizar un cálculo de este tipo. Lo importante es que si la respuesta no es
igual a 1, entonces el módulo con el que empezamos es compuesto. Por lo tanto,
el teorema de Fermat constituye la base de un test eficaz que proporciona una
condición necesaria para que un número sea primo.
Por
desgracia, el test no es suficiente. Muchos números compuestos, conocidos como
números de Carmichael, superan el test. El menor es 561, y en 2003 Red Alford,
Andrew Granville y Carl Pomerance demostraron, para sorpresa general, que hay
infinitos. Lo que era una sorpresa es que encontraron una demostración; el
resultado real era menos sorprendente. De hecho, ellos demostraron que hay al
menos χ2/7 números de Carmichael menores o iguales
que χ si χ es suficientemente grande.
Sin
embargo, variantes más sofisticadas del teorema de Fermat pueden convertirse en
auténticos testes de primalidad, tales como el publicado en 1976 por Gary
Miller. Por desgracia, la prueba de validez del test de Miller depende de un
gran problema no resuelto, la hipótesis de Riemann generalizada (véase capítulo
9). En 1980 Michael Rabin convirtió el test de Miller en un test probabilista,
un test que en ocasiones podría dar la respuesta incorrecta. Las excepciones,
si existen, son muy raras, pero no pueden descartarse por completo. El test
determinista (es decir, que está garantizado que es correcto) más eficaz hasta
ahora es el test de Adleman-Pomerance-Rumely, que debe su nombre a Leonard
Adleman, Carl Pomerance y Robert Rumely. Utiliza ideas de la teoría de números
que son más sofisticadas que el teorema de Fermat, pero con un espíritu
similar.
Recuerdo
muy bien una carta de un aficionado ilusionado que proponía una variante de una
prueba de división. Ensayar todos los divisores posibles, pero empezando en la
raíz cuadrada e ir descendiendo. Este método permite a veces llegar
a la respuesta con más rapidez que haciendo las cosas en el orden habitual,
pero cuando los números se hacen muy grandes tropieza con problemas similares a
los del método habitual. Si lo ensayamos con mi ejemplo anterior, el número de
22 dígitos 1.080.813.321.843.836.712.253, entonces la raíz cuadrada es
aproximadamente 32.875.725.419. Hay que ensayar 794.582.971 divisores primos
antes de encontrar uno que sea válido. Esto es peor que buscar
en la dirección habitual.
En 1956
el famoso lógico Kurt Gödel, en un escrito a John von Neumann, se hacía eco de
la petición de Gauss. Él preguntaba si la prueba de división podía mejorarse, y
si es así, cuánto. Von Neumann no insistió en la cuestión, pero en el curso de
los años otros respondieron a Gödel descubriendo métodos prácticos para
encontrar primos de hasta cien dígitos, y a veces más. Estos métodos, de los
que el más conocido es la llamada criba cuadrática, se han conocido desde
aproximadamente 1980. Sin embargo, casi todos ellos son o bien probabilistas o
bien son ineficaces en el sentido siguiente.
¿Cómo
crece el tiempo de ejecución de un algoritmo computacional a medida que aumenta
el tamaño del input? En el caso del test de primalidad, el tamaño
del input no es el número en cuestión, sino cuántos dígitos
tiene. La distinción esencial en tales cuestiones es la distinción entre dos
clases de algoritmos llamados P y no-P. Si el tiempo de ejecución crece como
alguna potencia dada del tamaño del input, entonces el algoritmo es
de clase P; de lo contrario es no-P. En un sentido muy general, los algoritmos
de clase P son útiles, mientras que los algoritmos no-P son poco prácticos,
pero hay una tierra de nadie entre ambos donde entran en juego otras
consideraciones. Aquí P representa «tiempo polinómico», una manera elegante de
hablar de potencias, y volvemos al tema de los algoritmos eficaces en el
capítulo 11.
Para la
clase P estándar, la prueba por división funciona muy mal. Está bien en el
aula, donde los números que aparecen tienen dos o tres dígitos, pero es del
todo intratable para números de cien dígitos. La prueba por división está
decididamente en la clase no-P. De hecho, el tiempo de ejecución se aproxima a
10 n/2 para un número de n dígitos, que crece con
más rapidez que cualquier potencia de n. Un crecimiento de este
tipo, llamado exponencial, es realmente malo, está en otro
mundo computacional.
Hasta los
años ochenta del siglo pasado todos los algoritmos conocidos para poner a
prueba la primalidad, excluyendo los probabilistas o aquellos cuya validez no
estaba demostrada, tenían un ritmo de crecimiento exponencial. Sin embargo, en
1983 se encontró un algoritmo que se halla tentadoramente en la tierra de nadie
contigua al territorio P: al antes citado test de Adleman-Pomerance-Rumely. Una
versión mejorada de Henri Cohen y Hendrik Lenstra tiene un tiempo de ejecución
que va como n elevado a la potencia log log n,
donde log denota el logaritmo. Técnicamente, log log n puede
ser tan grande como queramos, de modo que este algoritmo no está en la clase P.
Pero eso no le impide ser práctico: si n es un gúgolplex, un 1
seguido de 10100 ceros, entonces log log n es
aproximadamente 230. Un viejo chiste dice: «Se ha demostrado que log log n tiende
a infinito, pero nunca se ha observado que lo haga».
El primer
test de primalidad de clase P fue descubierto en 2002 por Manindra Agrawal y
sus estudiantes Neeraj Kayal y Nitin Saxena, quienes en aquella época todavía
no se habían graduado. Doy algunos detalles en la nota[10]. Ellos
demostraron que su algoritmo tenía un tiempo de ejecución proporcional a lo
sumo a n12; esto fue mejorado rápidamente hasta n7,5.
Sin embargo, incluso si su algoritmo es de clase P, y por ello clasificado como
«eficaz», sus ventajas no se ponen de manifiesto hasta que el número n se
hace muy grande. Debería superar al test de Adleman-Pomerance-Rumely cuando el
número de dígitos en n es aproximadamente
10 1000. No hay espacio en una memoria de ordenador o, de
hecho, en todo el universo conocido, para incluir un número tan grande. Sin
embargo, ahora que sabemos que existe un algoritmo de clase P
para comprobar la primalidad, vale la pena buscar otros mejores. Lenstra y
Pomerance redujeron el exponente de 7,5 a 6. Si son ciertas algunas otras
conjeturas sobre los primos, entonces la potencia puede reducirse a 3, lo que
empieza a parecer práctico.
Sin
embargo, el aspecto más excitante del algoritmo de Agrawal-Kayal-Saxena no es
el resultado sino el método. Es sencillo —para los matemáticos, al menos— y
novedoso. La idea subyacente es una variante del teorema de Fermat, pero en
lugar de trabajar con números, el equipo de Agrawal utilizó un polinomio. Este
es una combinación de potencias de una variable χ, tal como 5 χ3 +
4 χ - 1. Se pueden sumar, restar y multiplicar polinomios, y
las reglas algebraicas usuales siguen siendo válidas. El capítulo 3 explica los
polinomios con más detalle.
Esta es
una idea realmente hermosa: extender el dominio del discurso y trasladar el
problema a un nuevo ámbito de pensamiento. Es una de esas ideas que son tan
simples que hay que ser un genio para descubrirlas. Deriva de un artículo de
1999 de Agrawal y su director de tesis Somenath Biswas, que daba un test de
primalidad probabilista basado en un análogo del teorema de Fermat en el mundo
de los polinomios. Agrawal estaba convencido de que el elemento probabilista
podía eliminarse. En 2001 sus estudiantes dieron con una observación crucial y
bastante técnica. Seguir esa idea llevó al equipo a aguas profundas en teoría
de números, pero finalmente todo se redujo a un único obstáculo, la existencia
de un primo p tal que p - 1 tiene un divisor
primo suficientemente grande. Algunas consultas y búsquedas en internet
llevaron a un teorema demostrado por Etienne Fouvry en 1985 utilizando métodos
profundos y técnicos. Esto era exactamente lo que necesitaban para demostrar
que su algoritmo funcionaba, y la pieza final del rompecabezas encajó
limpiamente en su lugar.
En los
días en que la teoría de números estaba encerrada dentro de su propia torre de
marfil, nada de esto habría importado al resto del mundo. Pero durante los
últimos veinte años, los números primos se han hecho importantes en
criptografía, la ciencia de los códigos secretos. Los códigos no solo son
importantes para uso militar, también las empresas comerciales tienen secretos.
En esta era de internet, todos nosotros los tenemos: no queremos que los
criminales tengan acceso a nuestras cuentas bancarias, números de tarjetas de
crédito o, con el aumento de robos de identidad, el nombre de nuestro gato.
Pero internet es una forma tan conveniente de pagar facturas, asegurar
automóviles y contratar vacaciones, que tenemos que aceptar cierto riesgo de
que nuestra información privada y sensible pueda caer en manos equivocadas.
Los
fabricantes de ordenadores y los proveedores de internet tratan de reducir el
riesgo haciendo disponibles varios sistemas de encriptación. La implicación de
los ordenadores ha transformado la criptografía y el criptoanálisis, el oscuro
arte de romper códigos. Se han ideado muchos códigos novedosos, y uno de los
más famosos, inventado por Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman en 1978,
utiliza números primos. Números grandes, de unos cien dígitos. El sistema
Rivest-Shamir-Adleman se utiliza en los principales protocolos para
comunicación segura en internet, y es ampliamente utilizado por gobiernos,
corporaciones y universidades. Eso no significa que todo resultado nuevo sobre
primos sea importante para la seguridad de su cuenta bancaria en internet, pero
añade cierta excitación a cualquier descubrimiento que relacione los primos con
la computación. El test de Agrawal-Kayal-Saxena es un ejemplo al respecto.
Matemáticamente es elegante e importante, pero no tiene trascendencia práctica
directa.
Sin
embargo, arroja una nueva y ligeramente perturbadora luz sobre la cuestión
general de la criptografía de Rivest-Shamir-Adleman. Todavía no hay ningún
algoritmo de clase P para resolver el segundo problema de Gauss, la
factorización. La mayoría de los expertos piensan que no existe nada de ese
tipo, pero no están tan seguros como solían estarlo. Puesto que nuevos
descubrimientos como el test de Agrawal-Kayal-Saxena pueden aguardar escondidos
en cualquier rincón, basados en ideas tan simples como las versiones
polinómicas del teorema de Fermat, los criptosistemas basados en la
factorización en primos podrían no ser tan seguros como orgullosamente
imaginamos. No revele todavía el nombre de su gato en internet.
Incluso
las matemáticas básicas de los números primos llevan rápidamente a conceptos
más avanzados. El misterio se hace aún más profundo cuando planteamos preguntas
más sutiles. Euclides demostró que los primos no tienen fin, de modo que no
podemos hacer una lista de ellos y detenernos. Ni tampoco podemos dar una
fórmula algebraica simple y útil para primos sucesivos, de forma similar a
como χ2 especifica cuadrados. (Existen fórmulas
simples, pero «hacen trampa» al incorporar en la fórmula a los primos disfrazados,
y no nos dicen nada nuevo.[11]) Para
captar la naturaleza de estos números elusivos y erráticos, podemos realizar
experimentos, buscar indicios de estructura y tratar de demostrar que estas
pautas aparentes persisten por muy grandes que se hagan los primos. Por
ejemplo, podemos preguntar cómo se distribuyen los primos entre los números
naturales. Las tablas de números primos sugieren con fuerza que ellos tienden a
hacerse más raros a medida que se hacen más grandes. La Tabla 1 muestra cuántos
primos hay en varios intervalos de 1000 números consecutivos.
TABLA 1.
Número de primos en intervalos sucesivos de 1000 números.
Los
números en la segunda columna decrecen en general a medida que descendemos por
la tabla, aunque a veces hay breves períodos en que varían en sentido
contrario: por ejemplo, 114 va seguido por 117. Esto es un síntoma de la
irregularidad de los primos, pero a pesar de eso hay una clara tendencia
general de los primos a hacerse más raros a medida que su tamaño aumenta. La
razón no es difícil de ver: cuanto mayor se hace un número, más factores
potenciales existen. Los primos tienen que evitar todos estos factores. Es como
pescar no primos con una red: cuanto más fina se hace la red, menos primos se
escapan de ella.
La «red»
incluso tiene un nombre: la criba de Eratóstenes. Eratóstenes de Cirene fue un
matemático griego que vivió alrededor de 250 a. C. Fue también un atleta con
intereses en poesía, geografía, astronomía y música. Hizo la primera estimación
razonable del tamaño de la Tierra observando la posición del Sol al mediodía en
dos lugares diferentes, Alejandría y Siena (la actual Asuán). Al mediodía el
Sol estaba exactamente en la vertical de Siena, pero a unos 7 grados de la
vertical en Alejandría. Puesto que este ángulo es una cincuentava parte de un
círculo, la circunferencia de la Tierra debe ser cincuenta veces la distancia
entre Alejandría y Siena. Eratóstenes no podía medir esta distancia
directamente, de modo que preguntó a los mercaderes cuánto tiempo tardaban en
hacer el viaje en camello y estimó cuánto recorría típicamente un camello en un
día. Dio una cifra explícita en una unidad conocida como stadium,
pero no sabemos cuánto valía dicha unidad.
Figura 2. La criba de Eratóstenes.
Los
historiadores piensan por lo general que la estimación de Eratóstenes era
razonablemente aproximada.
Su criba
es un algoritmo para encontrar todos los primos eliminando de modo sucesivo
todos los múltiplos de números que ya se sabe que son primos. La Figura 2
ilustra el método sobre los números hasta 102, dispuestos para hacer el proceso
de eliminación fácil de seguir. Para ver cómo procede, le sugiero que construya
el diagrama usted mismo. Empiece solo con la malla, omitiendo las líneas que
cruzan los números. Luego puede añadir dichas líneas una a una. Omita 1 porque
es una unidad. El siguiente número es 2, de modo que es primo. Cruce todos los
múltiplos de 2: estos se encuentran en las líneas horizontales que parten de 4,
6 y 8. El siguiente número no cruzado es 3, de modo que es primo. Cruce todos
los múltiplos de 3: se encuentran en las líneas horizontales que parten de 6,
ya cruzados, y 9. El siguiente número no cruzado es 5, de modo que es primo.
Cruce todos los múltiplos de 5: se encuentran en las líneas diagonales
inclinadas hacia arriba y la derecha, partiendo de 10. El siguiente número no
cruzado es 7, de modo que es primo. Cruce todos los múltiplos de 7: se
encuentran en las líneas diagonales inclinadas hacia abajo y la derecha,
partiendo de 14. El siguiente número no cruzado es 11, de modo que es primo. El
primer múltiplo de 11 que no ha sido ya cruzado porque tiene un divisor más
pequeño es 121, que está fuera de la imagen, de modo que nos detenemos. Los
números que quedan sombreados, son los primos.
La criba
de Eratóstenes no es solo una curiosidad histórica; sigue siendo uno de los
métodos más efectivos que se conoce para hacer listas extensas de primos. Y
métodos relacionados han llevado a progresos importantes sobre lo que
probablemente es el más famoso problema no resuelto sobre los primos: la
conjetura de Goldbach. El matemático aficionado alemán Christian Goldbach
mantenía correspondencia con muchas de las figuras famosas de su época. En 1742
enunció varias curiosas conjeturas sobre primos en una carta a Leonhard Euler.
Los historiadores advirtieron más tarde que René Descartes había dicho
prácticamente lo mismo algunos años antes. El primero de los enunciados de
Goldbach era: «Todo número entero que puede escribirse como suma de dos primos,
puede escribirse también como suma de tantos primos como se quiera, hasta que
todos los términos sean unidades». El segundo, añadido en el margen de su
carta, era: «Todo entero mayor que 2 puede escribirse como suma de tres
primos». Con la definición actual de «primo» hay excepciones obvias a estos
enunciados. Por ejemplo, 4 no es suma de tres primos, porque el primo más
pequeño es 2, de modo que la suma de tres primos debe ser al menos 6. Pero en
los días de Goldbach el número 1 se consideraba primo. Es sencillo reenunciar
sus conjeturas utilizando el convenio moderno.
En su
respuesta, Euler recordaba una conversación anterior con Goldbach, cuando este
había señalado que su primera conjetura se seguía de una más sencilla, su
tercera conjetura: «Todo número par es suma de dos primos». Con el convenio
imperante de que 1 es primo, este enunciado implica también la segunda
conjetura, porque cualquier número puede escribirse como n + 1
o como n + 2 donde n es par. Si n es
la suma de dos primos, el número original es suma de tres primos. La opinión de
Euler acerca de la tercera conjetura era inequívoca: «La considero como un
teorema absolutamente cierto, aunque no puedo demostrarlo». Esto resume a la
perfección su estatus actual.
El
convenio moderno, en el que 1 no es primo, separa las conjeturas de Goldbach en
dos diferentes. La conjetura de Goldbach par afirma:
Todo
entero par mayor que dos es suma de dos primos.
La
conjetura de Goldbach impar es:
Todo
número impar mayor que 5 es suma de tres primos.
La
conjetura par implica la impar, pero no a la inversa[12]. Es útil
considerar ambas conjeturas por separado porque aún no sabemos si alguna de
ellas es cierta. La conjetura impar parece ser ligeramente más fácil que la
par, en el sentido de que se han hecho más progresos.
Algunos
cálculos rápidos verifican la conjetura de Goldbach par para números pequeños.
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 5 + 3
10 = 7 +
3 = 5 + 5
12 = 7 +
5
14 = 11 +
3 = 7 + 7
16 = 13 +
3 = 11 + 5
18 = 13 +
5 = 11 + 7
20 = 17 +
3 = 13 + 7
Es fácil
continuar a mano hasta, digamos, 1000 o más si uno es persistente. Por ejemplo
1000 = 3 + 997, y 1.000.000 = 17 + 999.993. En 1938 Nils Pipping verificó la
conjetura de Goldbach par para todos los números pares hasta 100.000.
También
se hizo evidente que a medida que el número en cuestión se hace más grande,
tiende a haber cada vez más maneras de escribirlo como suma de primos. Esto
tiene sentido. Si se toma un número par grande, y se siguen restando primos uno
tras otro, ¿qué probabilidad hay de que todos los resultados
sean compuestos? Basta con que aparezca un primo entre la lista de diferencias
resultante para que la conjetura quede verificada para dicho número. Utilizando
las propiedades estadísticas de los primos, podemos evaluar la probabilidad de
un resultado semejante. Los analistas Godfrey Harold Hardy y John Littlewood
realizaron un cálculo semejante en 1923, y derivaron una fórmula plausible
aunque no rigurosa para el número de maneras diferentes de expresar un número
par dado n como suma de dos primos: hay aproximadamente n/[2(log n)2 ]
maneras. Este número aumenta a medida que n se hace más
grande, y también está de acuerdo con la evidencia numérica. Pero incluso si
este cálculo pudiera hacerse riguroso, podría ser solamente una rara y
ocasional excepción, así que no es de gran ayuda.
El
principal obstáculo para una demostración de la conjetura de Goldbach es que
combina dos propiedades muy diferentes. Los primos están definidos en términos
de multiplicación, pero las conjeturas se refieren a la suma. Por eso es
extraordinariamente difícil relacionar la conclusión deseada con cualesquiera
propiedades razonables de los primos. Parece que no hay ningún lugar para
apoyar una palanca. Debe haber sido música para los oídos de la editorial Faber
& Faber en 2000, cuando ofreció un premio de un millón de dólares por una
demostración de la conjetura para promocionar la novela El tío Petros y
la conjetura de Goldbach de Apostolos Doxiadis. El plazo era rígido:
había que presentar una solución antes de abril de 2002. Nadie reclamó el
premio, lo que apenas sorprende dado que el problema ha permanecido sin
resolver durante más de 250 años.
La
conjetura de Goldbach suele reformularse como una cuestión acerca de sumar
conjuntos de números enteros. La conjetura de Goldbach par es el ejemplo más
simple de esta particular forma de pensar, porque sumamos precisamente dos conjuntos
de enteros. Para hacerlo, tomamos cualquier número del primer conjunto, le
sumamos cualquier número del segundo conjunto, y luego tomamos el conjunto de
todas estas sumas. Por ejemplo, la suma de {1, 2, 3} y {4, 5} contiene 1 + 4, 2
+ 4, 3 + 4, 1 + 5, 2 + 5, 3 + 5, que es {5, 6, 7, 8}. Algunos números aparecen
más de una vez, por ejemplo 6 = 2 + 4 = 1 + 5. Llamaré «solapamiento» a este
tipo de repetición.
La
conjetura de Goldbach par puede reenunciarse ahora: si sumamos el conjunto de
primos consigo mismo, el resultado contiene todo número par mayor que 2. Esta
reformulación puede sonar un poco trillada —y lo es— pero introduce el problema
en un área donde existen algunos potentes teoremas generales. El número 2 es
una pequeña molestia, pero podemos prescindir de él con facilidad. Es el único
primo par, y si lo sumamos a cualquier otro primo el resultado es impar. De
modo que por lo que respecta a la conjetura de Goldbach par podemos olvidarnos
del 2. Sin embargo, necesitamos 2 + 2 para representar 4, por lo que también
debemos restringir la atención a números pares que sean al menos 6.
A modo de
experimento sencillo consideremos los números pares hasta 30, incluido. Hay
nueve primos impares en este rango: {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. Sumarlos
da la Figura 3: he marcado en negrita las sumas que son menores o iguales que
30 (un rango de números pares que incluye todos los primos hasta 29). Aparecen
dos pautas simples. La tabla entera es simétrica respecto a su diagonal
principal puesto que a + b = b + a. Los números en negrita ocupan
aproximadamente la mitad superior izquierda de la tabla, sobre la línea
(diagonal) gruesa. Si acaso, tienden a rebasarla en el centro. Esto sucede
porque, en conjunto, los primos más grandes son más raros que los pequeños. La
región extra que la rebasa compensa con creces los dos 32 arriba a la derecha y
abajo a la izquierda.
Figura 3. Sumas de pares de primos hasta 30. En negrita: sumas que son 30 o
menor. Línea gruesa: diagonal. Región sombreada: se eliminan pares
simétricamente relacionados. La región sombreada ocupa algo más de una cuarta
parte del cuadrado.
Ahora
hacemos algunas crudas estimaciones. Podría ser más preciso, pero estas son
suficientemente buenas. El número de casillas en la tabla es 9×9 = 81.
Alrededor de la mitad de los números en dichas casillas están en el triángulo
superior izquierdo. Debido a la simetría aparecen en pares excepto a lo largo
de la diagonal, de modo que el número de casillas no emparentadas es más o
menos 81/4, aproximadamente 20. El número de enteros pares en el rango de 6 a
30 es 13. Así que las 20 (y más) sumas en negrita tienen que dar solo 13
números pares. Hay más sumas potenciales de dos primos en el rango correcto que
números pares. Es como arrojar 20 bolas a 13 cocos en la feria. Uno tiene una
probabilidad razonable de dar en un montón de ellos. Incluso así, uno podría
dejar de dar en algunos cocos. Algunos números pares podrían seguir faltando.
En este
caso no lo hacen, pero este tipo de argumento de recuento no puede eliminar esa
posibilidad. Sin embargo, nos dice que debe haber bastante más de un
solapamiento, donde el mismo número en negrita aparece varias veces en el
cuadrante relevante de la tabla. ¿Por qué? Porque 20 sumas tienen que encajar
en un conjunto con solo 13 miembros. Así que en promedio cada número en negrita
aparece aproximadamente 1,5 veces. (El número real de sumas es 27, de modo que
una mejor estimación muestra que cada número en negrita aparece dos veces). Si
faltan algunos números pares, el solapamiento debe ser aún mayor.
Podemos
jugar a lo mismo con un límite superior más grande —digamos un millón—. Una
fórmula llamada el teorema de los números primos (véase capítulo 9),
proporciona una simple estimación del número de primos hasta cualquier
tamaño χ dado. La fórmula es χ/log χ.
En este caso, la estimación es de aproximadamente 72.380. (La cifra exacta es
78.497). La región sombreada correspondiente ocupa aproximadamente un cuarto de
la tabla, de modo que proporciona alrededor de n2/4 =
250.000 millones de números en negrita: sumas de dos primos en este rango. Esto
es inmensamente mayor que el número de números pares en el rango, que es de
medio millón. Ahora la cantidad de solapamiento tiene que ser gigantesca, con
cada suma apareciendo en promedio quinientas mil veces. De modo que la
probabilidad de que se escape cualquier número par concreto se reduce
enormemente.
Con más
esfuerzo podemos convertir esta aproximación en una estimación de la
probabilidad de que algún número par en un rango dado no sea la suma de dos
primos, suponiendo que los primos estén distribuidos al azar y con frecuencias
dadas por el teorema de los números primos, es decir, en torno a χ/log χ primos
menores que cualquier χ dado. Esto es lo que hicieron Hardy y
Littlewood. Ellos sabían que su aproximación no era rigurosa, porque los primos
se definen por un proceso específico y no son realmente aleatorios. No
obstante, es razonable esperar que los resultados reales sean consistentes con
este modelo probabilista, porque la propiedad definitoria de los primos parece
tener muy poca relación con lo que sucede cuando sumamos dos de ellos.
Varios
métodos estándar en esta área adoptan un punto de vista similar, aunque
poniendo un cuidado extra para hacer el argumento riguroso. Ejemplos de ellos
son los métodos de criba, que se basan en la criba de Eratóstenes. Los teoremas
generales sobre la densidad de números en sumas de dos conjuntos —la proporción
de números que aparecen a medida que los conjuntos se hacen muy grandes—
suministran otras herramientas útiles.
Cuando
finalmente una conjetura matemática resulta ser correcta, su historia suele
seguir una pauta estándar. Durante un período de tiempo varias personas
demuestran que la conjetura es correcta siempre que se apliquen restricciones
especiales. Cada uno de estos resultados mejora los anteriores al relajar
algunas restricciones, pero con el tiempo este proceso pierde fuelle. Por
último, una idea nueva y mucho más ingeniosa completa la demostración.
Por
ejemplo, una conjetura en teoría de números puede afirmar que todo entero
positivo puede representarse de cierta manera utilizando, digamos, seis números
especiales (primos, cuadrados, cubos, lo que sea). Aquí las características
clave son todo entero positivo y seis números
especiales. Avances iniciales llevan a resultados mucho más débiles, pero
sucesivas etapas en el proceso los mejoran lentamente.
El primer
paso suele ser una demostración que sigue estas líneas: todo entero positivo
que no es divisible por 3 o por 11, excepto un número finito de ellos, puede
representarse en términos de un número gigantesco de números especiales,
digamos 10666. Normalmente el teorema no especifica cuántas
excepciones hay, de modo que el resultado no puede aplicarse directamente a un
entero concreto. El siguiente paso es hacer la cota efectiva: es decir,
demostrar que todo entero mayor que 101042 puede representarse
así. Luego se elimina la restricción a la divisibilidad por 3, seguida por un
avance similar para 11. Después de eso, sucesivos autores reducen uno de los
números 10666 o 101042, a veces ambos. Una típica
mejora podría ser que todo entero mayor que 5,8×1017 puede
representarse utilizando como máximo 4298 números especiales, por ejemplo.
Mientras,
otros investigadores están trabajando de abajo arriba partiendo de números
pequeños, a menudo con ayuda de un ordenador, demostrando que, digamos, todo
número menor o igual que 10 12 puede representarse
utilizando a lo sumo seis números especiales. En menos de un año, 1012 ha
sido mejorado en cinco etapas, por diferentes investigadores o grupos, hasta
11,0337×10 29. Estas mejoras no son rutinarias ni fáciles, pero
la forma en que se consiguen incluye complicados métodos especiales que no
proporcionan ningún indicio de una aproximación más general, y cada
contribución sucesiva es más complicada y más larga. Después de algunos años de
este tipo de pequeñas mejoras, aplicando las mismas ideas generales pero con
ordenadores más potentes y nuevos pequeños retoques, este número se ha elevado
hasta 10 43. Pero ahora los métodos están en un punto muerto, y
todo el mundo está de acuerdo en que por muchos retoques que se hagan nunca se
llegará a la conjetura completa.
En este
momento la conjetura desaparece de la vista porque nadie está trabajando ya en
ella. A veces, el progreso se para en seco. Otras veces pasan veinte años sin
nada nuevo… y luego, aparentemente de la nada, Cheesburger y Fries anuncian que
reformulando la conjetura en términos de cuasicúmulos metaergódicos complejos y
aplicando teoría colaboracionista bizantina, han obtenido una demostración
completa. Tras varios años discutiendo sobre detalles lógicos, y llenar unas
pocas lagunas, la comunidad matemática acepta que la demostración es correcta,
e inmediatamente pregunta si hay un modo mejor de obtener el mismo resultado o
llevarlo aún más lejos.
En
capítulos posteriores veremos cómo esta misma pauta se repite muchas veces.
Puesto que tales exposiciones se hacen tediosas, por muy orgullosos que estén
Buggins y Krumm de su más reciente mejora del exponente en la conjetura de
Jekyll-Hyde de 1,773 a 1,771 + ε para cualquier ε positivo, yo describiré unas
pocas contribuciones representativas y dejaré fuera las demás. Esto no es negar
la importancia del trabajo de Buggins y Krumm. Incluso es posible que haya
preparado el camino para el logro trascendental de Cheesburger-Fries. Pero es
probable que solo los expertos, que siguen el desarrollo de la historia,
esperen la próxima mejora minúscula conteniendo la respiración.
En el
futuro proporcionaré menos detalles, pero veamos cómo es en el caso de
Goldbach.
Se han
establecido teoremas que recorren algún camino hacia la demostración de la
conjetura de Goldbach. El primer gran avance llegó en 1923, cuando Hardy y
Littlewood utilizaron sus técnicas analíticas para demostrar la conjetura de
Goldbach impar para todos los números impares suficientemente grandes. Sin
embargo, su demostración se basaba en otra gran conjetura, la hipótesis de
Riemann generalizada, que se discute en el capítulo 9. Este problema sigue
abierto, de modo que su aproximación tenía una laguna importante. En 1930 Lev
Schnirelmann salvó la laguna utilizando una versión imaginativa del
razonamiento de aquellos, basada en métodos de criba. Él demostró que una
proporción no nula de todos los números puede representarse como una suma de
dos primos. Combinando este resultado con algunas generalidades sobre sumas de
secuencias, demostró que hay un número C tal que todo entero mayor que 1 es una
suma de como máximo C números primos. Este número llegó a conocerse como
constante de Schnirelmann. Ivan Matveyevich Vinogradov obtuvo resultados
similares en 1937, pero su método tampoco especificaba cómo de grande es
«significativamente grande». En 1939 K. Borozdin demostró que no es mayor que
3 14.348.907. Para 2002 Liu Ming-Chit y Wang Tian-Ze habían
reducido esta «cota superior» a e3100, que es
aproximadamente 2×101346. Esto es mucho más pequeño, pero sigue
siendo demasiado grande para que los números intermedios sean comprobados por
ordenador.
En 1969
N. I. Klimov obtuvo la primera estimación específica para la constante de
Schnirelmann: es a lo sumo seis mil millones. Otros matemáticos redujeron ese
número considerablemente, y para 1982 Hans Riesel y Robert Vaughan lo habían
reducido a 19. Aunque 19 es mucho mejor que seis mil millones, la evidencia
apuntaba a que la constante de Schnirelmann era un simple 3. En 1995 Leszek
Kaniecki redujo la cota superior a 6, con cinco primos para cualquier número
impar, pero tuvo que suponer que la hipótesis de Riemann es verdadera. Sus
resultados, combinados con la verificación numérica que hizo J. Richstein de la
hipótesis de Riemann hasta 4×1014, demostrarían que la constante de
Schnirelmann es a lo sumo 4, suponiendo de nuevo la hipótesis de Riemann. En
1997 Jean-Marc Deshouillers, Gove Effinger, Herman te Riele y Dimitrii Zinoviev
demostraron que la hipótesis de Riemann generalizada (véase capítulo 9) implica
la conjetura de Riemann impar. Es decir, todo número impar excepto 1, 3 y 5 es
la suma de tres primos.
Puesto
que la hipótesis de Riemann no está demostrada actualmente, vale la pena tratar
de remover esta hipótesis. En 1995 el matemático francés Olivier Ramaré redujo
la estimación superior para representar números impares hasta 7, sin utilizar
la hipótesis de Riemann. De hecho, él demostró algo más fuerte: todo número par
es una suma de a lo sumo seis números primos. (Para tratar con números impares,
restar 3: el resultado es par, de modo que es una suma de seis o menos primos.
El número original es esta suma más el primo 3, lo que requiere siete o menos
primos). El avance principal fue mejorar las estimaciones existentes para la
proporción de números, en un rango especificado, que son suma de dos primos. El
resultado clave de Ramaré es que para cualquier número n mayor
que e67 (aproximadamente 1,25×1029), al
menos una quinta parte de los números entre n y 2 n son
suma de dos primos. Utilizando métodos de cribas, junto con un teorema de
Hans-Heinrich Ostmann sobre sumas de secuencias, refinado por Deshouillers,
esto lleva a una demostración de que todo número par mayor que 10 30 es
una suma de a lo sumo seis primos.
El
obstáculo que queda es tratar el hueco entre 4×1014, donde Jörg
Richstein había comprobado el teorema por ordenador, y 1030. Como es
habitual, los números son demasiado grandes para una búsqueda directa por
ordenador, de modo que Ramaré demostró una serie de teoremas especializados
sobre el número de primos en intervalos pequeños. Estos teoremas dependen de la
verdad de la hipótesis de Riemann hasta límites específicos, que puede ser
verificada por ordenador. Por ello, la prueba consiste principalmente en
deducciones conceptuales de papel y lápiz, con ayuda de ordenador en este
aspecto concreto. Ramaré terminaba su artículo señalando que en principio una
aproximación similar podría reducir el número de primos de siete a cinco. Sin
embargo, había enormes obstáculos prácticos, y escribió que una demostración
semejante «no puede alcanzarse con los ordenadores actuales».
En 2012
Terence Tao superó estas dificultades con algunas ideas nuevas y muy
diferentes. Él colocó un artículo en internet, que en el momento en que yo
escribo está bajo revisión para su publicación. Su teorema principal es: todo
número impar es una suma de a lo sumo cinco primos. Esto reduce la constante de
Schnirelmann a 6. Tao es reputado por su capacidad para resolver problemas
difíciles en muchas áreas de las matemáticas. Su demostración introduce varias
técnicas potentes en el problema y requiere ayuda del ordenador. Si el número 5
en el teorema de Tao pudiera reducirse a 3, la conjetura de Goldbach impar
estaría demostrada, y la cota sobre la constante de Schnirelmann se reduciría a
4. Tao sospecha que sería posible hacerlo, aunque se necesitarán más nuevas
ideas.
La
conjetura de Goldbach par parece aún más difícil. En 1998 Deshouillers, Saouter
y Te Riele la verificaron para todos los números pares hasta 1014.
Para 2007, Tomás Oliveira e Silva lo había mejorado hasta 1018, y
sus computaciones continúan. Sabemos que todo entero par es la suma de a lo
sumo seis primos —demostrado por Ramaré en 1995—. En 1973 Chen Jing-Run
demostró que todo entero par suficientemente grande es la suma de un primo y un
semiprimo (o bien un primo o un producto de dos primos). Esto se acerca, pero
todavía no hay premio. Tao ha afirmado que la conjetura de Goldbach par está
más allá del alcance de sus métodos. Sumar tres primos crea mucho más
solapamiento en los números resultantes —en el sentido discutido en relación
con la Figura 3— que los dos primos necesarios para la conjetura de Goldbach
par, y los métodos de Tao y Ramaré explotan repetidamente esta propiedad.
Quizá,
entonces, en pocos años tengamos una demostración completa de la conjetura de
Goldbach impar, que implica en particular que todo número impar es la suma de a
lo sumo cuatro primos. Pero la conjetura de Goldbach par seguirá siendo
probablemente tan desconcertante como lo fue para Euler y Goldbach.
En los
2300 años transcurridos desde que Euclides demostró varios teoremas básicos
sobre los primos hemos aprendido mucho sobre estos números evasivos aunque de
vital importancia. Pero lo que ahora sabemos da una cruda perspectiva de la
larga lista de lo que no sabemos.
Sabemos,
por ejemplo, que hay infinitos primos de la forma 4 k + 1 y
4 k + 3; con más generalidad, que cualquier secuencia
aritmética[13]ak + b para a y b dados
contiene infinitos primos siempre que a y b no
tengan ningún factor común. Por ejemplo, supongamos que a =
18. Entonces b = 1, 5, 7, 11, 13 o 17. Por consiguiente,
existen infinitos primos de cada una de las formas 18 k + 1,
18 k + 5, 18 k + 7, 18 k +
11, 18 k + 13 o 18 k + 17. Esto no es cierto
para, digamos, 18 k + 6, porque esto es un múltiplo de 6.
Ninguna secuencia aritmética puede contener primos solamente, pero
un reciente avance importante, el teorema de Green-Tao, muestra que el conjunto
de primos contiene secuencias aritméticas arbitrariamente largas. La
demostración, obtenida en 2004 por Ben Green y Terence Tao, es profunda y
difícil. Nos da esperanzas: difíciles cuestiones abiertas, por impenetrables
que puedan parecer, pueden a veces ser respondidas.
Poniéndonos
el sombrero de algebristas nos preguntamos inmediatamente por fórmulas más
complicadas que incluyen k. No hay primos de la forma k2,
y ninguno salvo 3 de la forma k2 - 1, porque estas
expresiones factorizan. Sin embargo, la expresión k2 +
1 no tiene factores obvios, y aquí podemos encontrar muchos primos:
2 = 12 +
15 = 22 + 117 = 42 + 137 = 62 +
1
y así
sucesivamente. Un ejemplo mayor sin significado especial es:
18.672.907.718.657
= (4.321.216)2 + 1
Se
conjetura que existen infinitos de tales primos, pero todavía no se ha
demostrado ninguna afirmación semejante para ningún polinomio específico en el
que aparezca k elevado a una potencia superior a la primera.
Una conjetura muy plausible es la propuesta por V. Bouniakowsky en 1857:
cualquier polinomio en k que no tenga divisores obvios
representa infinitos primos. Las excepciones a esto incluyen no solo polinomios
reducibles, sino polinomios como k2 + k +
2 que siempre es divisible por 2, pese a no tener factores algebraicos.
Algunos
polinomios parecen tener propiedades especiales. El caso clásico es k2 + k +
41, que es primo para k = 0, 1, 2…, 40, y de hecho también
para k = -1, -2…, -40. Largas ristras de primos para valores
consecutivos de k son raras, y se tienen algunos conocimientos
sobre ellas. Pero el área general es muy misteriosa.
Casi tan
famosa como la conjetura de Goldbach, y aparentemente tan difícil como esta, es
la conjetura de los primos gemelos: hay infinitos pares de primos que difieren
en 2. Ejemplos de ellos son:
3, 5; 5,
7; 11,13; 17, 19
Los
mayores primos gemelos conocidos (hasta enero de 2012) son:
3.756.801.695.685×2666.669 ±
1
que
tienen 200.700 cifras decimales. Fueron encontrados en 2011 por el proyecto de
computación distribuida PrimeGrid. En 1915, Viggo Brun utilizó una variante de
la criba de Eratóstenes para demostrar que la suma de los recíprocos de todos
los primos gemelos converge, a diferencia de la suma de los recíprocos de todos
los primos. De modo que, en este sentido, los primos gemelos son relativamente
raros. Él también demostró, utilizando métodos similares, que existen infinitos
enteros n tales que n y n +
2 tienen a lo sumo nueve factores primos. Hardy y Littlewood utilizaron sus
métodos heurísticos para argumentar que el número de pares de primos gemelos
menores que x debería tender asintóticamente a:
donde a es
una constante cuyo valor es aproximadamente 0,660161. La idea subyacente es que
para este fin puede suponerse que los primos se dan al azar, a un ritmo que
hace que el número de primos hasta χ es aproximadamente igual
a χ/log χ. Hay muchas conjeturas y fórmulas heurísticas
similares pero, una vez más, no hay demostraciones rigurosas.
De hecho,
hay cientos de cuestiones abiertas sobre los primos. Algunas son tan solo
curiosas, otras son profundas e importantes. Encontraremos algunas de las
últimas en el capítulo 9. Pese a todos los avances que los matemáticos han
hecho durante los últimos 2500 años, los humildes primos no han perdido nada de
su atractivo ni nada de su misterio.
Capítulo
3
El rompecabezas de pi.
La cuadratura del círculo
Los
primos son una idea vieja, pero los círculos son todavía más dos mil años en
resolverse. Es uno de varios problemas geométricos relacionados que nos han
llegado de la Antigüedad. El personaje central en la historia es el número π
(el «pi» griego) que encontramos en la escuela en relación con los círculos y
las esferas. Su valor numérico es 3,14159 y un poco más; a veces se utiliza la
aproximación 22/7. Las cifras decimales de π no se acaban nunca, y nunca
repiten la misma secuencia una y otra vez. El récord actual de cifras
calculados de π lo ostentan Alexander Yee y Chigeru Kondo que calcularon un
billón de cifras en octubre de 2011[14]. Este
tipo de computaciones es importante como manera de poner a prueba ordenadores
rápidos, o para inspirar y probar nuevos métodos de cálculo de π, pero muy poco
depende de los resultados numéricos. La razón para interesarnos en π no es
calcular la longitud de una circunferencia. El mismo número extraño aparece por
todas partes en matemáticas, no solo en fórmulas relacionadas con círculos y
esferas, y de hecho lleva a aguas muy profundas. Incluso así, las fórmulas de
la escuela son importantes y reflejan los orígenes de π en la geometría griega.
Allí, uno
de los grandes problemas era la tarea no resuelta de cuadrar el círculo. Esta
expresión se suele utilizar coloquialmente para indicar una manera errónea de
abordar algo, como tratar de encajar una clavija cuadrada en un agujero
redondo. Como muchas expresiones comunes extraídas de la ciencia, el
significado de esta ha cambiado con el tiempo[15]. En los
tiempos de Grecia, tratar de cuadrar el círculo era una idea del todo
razonable. La diferencia entre las dos formas —recta o curva— es totalmente
irrelevante: problemas similares tienen soluciones válidas[16]. Sin
embargo, con el tiempo resultó que este problema concreto no puede resolverse
utilizando los métodos especificados. La demostración es ingeniosa y técnica,
pero su naturaleza general es comprensible.
En
matemáticas, cuadrar el círculo significa construir un cuadrado cuya área sea
la misma que la de un círculo dado, utilizando los métodos tradicionales de
Euclides. En realidad la geometría griega permite otros métodos, de modo que un
aspecto del problema es precisar qué métodos hay que utilizar. La imposibilidad
de resolver el problema es entonces una afirmación sobre las limitaciones de
tales métodos; no implica que no podamos calcular el área de un círculo.
Simplemente tenemos que encontrar otro enfoque. La demostración de la
imposibilidad explica por qué los geómetras griegos y sus sucesores no
consiguieron encontrar una construcción del tipo requerido: no existe ninguna.
Visto en retrospectiva, esto explica por qué tuvieron que introducir métodos más
esotéricos. De modo que la solución, pese a ser negativa, aclara lo que de otro
modo sería un gran rompecabezas histórico. También evita que la gente pierda el
tiempo en una búsqueda continua de una construcción que no existe, excepto para
algunos espíritus contumaces que lamentablemente parecen incapaces de entender
este mensaje, por muy detalladamente que se explique[17].
En
los Elementos de Euclides los métodos tradicionales para
construir figuras geométricas son versiones idealizadas de dos instrumentos
matemáticos: la regla y el compás. Siendo pedantes, los compases, —por la misma
razón que uno corta el papel con tijeras, y no con una tijera—; pero yo seguiré
el habla común y evitaré el plural. Estos instrumentos se utilizan para
«dibujar» diagramas en una hoja de papel ideal, el plano euclídeo.
Su forma
determina lo que pueden dibujar. Un compás consta de dos varillas rígidas,
articuladas. Una tiene una punta aguda, la otra contiene un lápiz fino. El
instrumento se utiliza para dibujar un círculo, o una parte del mismo, con un
centro y un radio concretos. Una regla es más sencilla: tiene un borde recto y
se utiliza para trazar una línea recta. A diferencia de las reglas que uno
compra en una papelería, las reglas de Euclides no tienen marcas, y esta es una
restricción importante para el análisis matemático de lo que se puede crear con
ellas.
La regla
y el compás del geómetra son idealizaciones en un sentido muy simple: se supone
que trazan líneas infinitamente delgadas. Más aún, las líneas rectas son
exactamente rectas y los círculos son absolutamente redondos. El papel es
perfectamente plano y uniforme. El otro ingrediente clave de la geometría de
Euclides es la noción de punto, otro ideal. Un punto es una mota en el papel,
pero es una imposibilidad física: no tiene tamaño. «Un punto —decía Euclides,
en la primera frase de los Elementos —, es lo que no tiene
partes». Esto suena un poco como un átomo, o si usted está al corriente de la
física moderna, una partícula subatómica, pero comparados con un punto
geométrico, aquellos son gigantescos. Sin embargo, desde una perspectiva humana
cotidiana un punto ideal de Euclides, un átomo y una mota de lápiz en una hoja
de papel son suficientemente parecidos para los fines de la geometría.
Estos
ideales no son alcanzables en el mundo real, por muy cuidadosamente que se
construyan los instrumentos y se afile el lápiz, y por muy liso que se haga el
papel. Pero el idealismo puede ser una virtud porque estos requisitos hacen las
matemáticas mucho más sencillas. Por ejemplo, dos líneas de lápiz se cruzan en
una pequeña región difusa con forma de paralelogramo, pero las líneas
matemáticas se cortan en un solo punto. Las intuiciones que se ganan con
círculos y líneas ideales pueden transferirse a menudo a las líneas y círculos
reales e imperfectos. Así es como las matemáticas hacen su magia.
Dos
puntos determinan una línea (recta), la única que pasa por ellos. Para
construir la línea se coloca la regla ideal de modo que pase por los dos puntos
y se desliza a lo largo de ella el lápiz ideal. Dos puntos determinan también
un círculo: se escoge uno como centro y se coloca allí la punta del compás;
luego se ajusta de modo que la punta del lápiz caiga sobre el otro punto. Luego
se gira el lápiz en un arco, manteniendo fijo el punto central. Dos líneas
rectas determinan un único punto, en el que se cruzan, a menos que sean
paralelas, en cuyo caso no se cruzan, pero eso abre una caja de Pandora de
cuestiones lógicas. Una recta y un círculo determinan dos puntos, si se cruzan;
determinan un solo punto si la recta es tangente al círculo; y nada en absoluto
si el círculo es demasiado pequeño para tocar a la línea. Del mismo modo, dos
círculos se encuentran en dos puntos, uno o ninguno.
La
distancia es un concepto fundamental en el tratamiento moderno de la geometría
euclídea. La distancia entre dos puntos cualesquiera se mide a lo largo de la
recta que los une. Euclides se las arregló para hacer que su geometría
funcionara sin un concepto de distancia explícito; encontró una manera de decir
que dos segmentos de recta tienen la misma longitud sin
definir la propia longitud. De hecho, esto es fácil: basta con extender un
compás entre los extremos de un segmento, transferirlo al segundo segmento y
ver si coincide. Si lo hace, las longitudes son iguales; si no, no lo son. En
ningún momento se mide una longitud real.
Con estos
ingredientes básicos los geómetras pueden construir formas y configuraciones
más interesantes. Tres puntos determinan un triángulo a menos que estén sobre
la misma recta. Cuando dos rectas se cortan, forman un ángulo. Un ángulo recto
es especialmente importante; una recta corresponde a dos ángulos rectos unidos.
Y así sucesivamente, una y otra vez. Los Elementos de Euclides
constan de trece libros, que ahondan cada vez más en las consecuencias de estos
sencillos comienzos.
El grueso
de los Elementos consiste en teoremas, propiedades válidas de
la geometría. Pero Euclides también explica cómo resolver problemas
geométricos, utilizando «construcciones» basadas en regla y compás. Dados dos
puntos unidos por un segmento de recta, construir su punto medio. O trisecar el
segmento: construir un punto a exactamente un tercio de camino a lo largo del
mismo. Dado un ángulo, construir uno que lo biseca —tiene la mitad de tamaño—.
Pero algunas construcciones sencillas se mostraron evasivas. Dado un ángulo,
construir uno que lo triseca —tiene un tercio del tamaño—. Puede hacerse para
segmentos de recta, pero nadie pudo encontrar un método para ángulos.
Aproximaciones tan contiguas como se quiera, sí. Construcciones exactas
utilizando solamente una regla sin marcas y un compás, no. Sin embargo, nadie
necesita en realidad trisecar ángulos exactamente, de modo que esta cuestión
particular no causaba muchos problemas.
Más
complicada era una construcción que no podía ser ignorada: dado un círculo,
construir un cuadrado que tenga la misma área. Este es el problema de cuadrar
el círculo. Desde el punto de vista griego, si uno no pudiera resolverlo no
estaría capacitado para afirmar que un círculo tenía un área.
Y eso a pesar de que visiblemente encierra un espacio bien definido y la noción
intuitiva de área es cuánto espacio. Euclides y sus sucesores, en
particular Arquímedes, convinieron una solución pragmática: suponer que los
círculos tienen áreas, pero no esperar que seamos capaces de construir
cuadrados con la misma área. Aun así, se pueden decir muchas cosas; por
ejemplo, se puede demostrar, con todo rigor lógico, que el área de un círculo
es proporcional al cuadrado de su diámetro. Lo que no se puede hacer, sin
cuadrar el círculo, es construir una recta cuya longitud es la constante de
proporcionalidad.
Los
griegos no podían cuadrar el círculo utilizando regla y compás, de modo que
establecieron otros métodos. Uno de ellos utilizaba una curva llamada una
cuadratriz[18]. La
importancia que daban a utilizar solo regla y compás fue exagerada por algunos
comentaristas posteriores, y ni siquiera está claro que los griegos
consideraran que cuadrar el círculo fuera una cuestión vital. Para el siglo
XIX, sin embargo, el problema se estaba convirtiendo en una molestia
importante. Unas matemáticas incapaces de responder a una cuestión tan simple
eran como un cocinero con tres estrellas que no supiera cómo hervir un huevo.
Cuadrar
el círculo suena a problema de geometría. Lo hace porque es un problema de
geometría. Pero sucedió que su solución no estaba en la geometría en absoluto,
sino en el álgebra. A veces, la clave para la solución de un gran problema está
en establecer conexiones inesperadas entre áreas de las matemáticas en
apariencia inconexas. Aquí, la conexión no carecía por completo de precedentes,
pero su vínculo con la cuadratura del círculo no fue apreciado inicialmente.
Incluso cuando lo fue, había una dificultad técnica, y tratarla requería aún
otra área de las matemáticas: el análisis, la versión rigurosa del cálculo
infinitesimal. Irónicamente, el primer avance importante vino de una cuarta
área: la teoría de números. Y resolvía un problema geométrico para el que los
griegos en el mejor de sus sueños nunca habían creído tener una solución, y en
el que, hasta donde podemos decir, nunca pensaron: cómo construir, con regla y
compás, un polígono regular con 17 lados.
Suena
loco, sobre todo si añado que no existen construcciones semejantes para
polígonos regulares con 7, 9, 11, 13 o 14 lados, pero sí existen para 3, 4, 5,
6, 8, 10 y 12. Sin embargo, hay un método detrás de la locura, y es el método
que enriqueció las matemáticas.
Primero:
¿qué es un polígono regular? Un polígono es una figura acotada por líneas
rectas. Es regular si dichas rectas tienen la misma longitud y se cortan a
ángulos iguales. El ejemplo más familiar es el cuadrado: los cuatro lados
tienen la misma longitud y los cuatro ángulos son ángulos rectos. Hay otras
formas con cuatro lados iguales o cuatro ángulos iguales: el rombo y el
rectángulo, respectivamente. Solo un cuadrado tiene ambas propiedades. Un
polígono regular de 3 lados es un triángulo equilátero, un polígono regular de
5 lados es un pentágono regular, y así sucesivamente (véase Figura 4). Euclides
proporciona construcciones con regla y compás para polígonos regulares con 3, 4
y 5 lados. Los griegos también sabían cómo duplicar repetidamente el número de
lados, lo que da 6, 8, 10, 12, 16, 20, y así sucesivamente. Combinando las
construcciones para polígonos regulares de 3 y 5 lados pudieron obtener uno de
15 lados. Pero hasta aquí llegaba su conocimiento. Y así quedó durante unos dos
mil años. Nadie imaginaba que fueran factibles otros números. Ni siquiera se lo
preguntaban, simplemente parecía obvio que no podía hacerse nada más.
Figura 4. Los primeros polígonos regulares. De izquierda a derecha:
triángulo equilátero, cuadrado, pentágono, hexágono, heptágono, octógono.
Se
necesitó uno de los más grandes matemáticos que han existido nunca para pensar
lo impensable, preguntar lo impreguntable y descubrir una respuesta
verdaderamente sorprendente. A saber, Carl Friedrich Gauss. Gauss nació en una
familia humilde de clase obrera en la ciudad de Braunschweig (Brunswick) en
Alemania. Su madre Dorotea no sabía leer ni escribir, y no pudo escribir la
fecha de nacimiento de su hijo, pero recordaba que fue un miércoles, ocho días
antes de la festividad de la Ascensión, en 1777. Más tarde Gauss calculó la
fecha exacta a partir de una fórmula matemática que ideó para la fecha de la
Pascua. Su padre Gebhard procedía de una familia de granjeros, pero se ganaba
la vida con una serie de trabajos de bajo nivel: jardinero, peón, carnicero
callejero, contable de funeraria. Su hijo fue un niño prodigio del que se dice
que corregía la aritmética de su padre cuando tenía tres años, y sus aptitudes,
que se extendían a las lenguas tanto como a las matemáticas, llevaron al duque
de Braunschweig a financiar sus estudios universitarios en el Collegium
Carolinum. Siendo todavía estudiante, Gauss redescubrió independientemente
varios teoremas matemáticos importantes que habían sido demostrados por
personas ilustres tales como Euler. Pero su teorema sobre el polígono regular
de 17 lados llegó como un relámpago.
Para
entonces hacía 140 años que se entendía el estrecho vínculo entre geometría y
álgebra. En un apéndice al Discours de la Méthode («Discurso
del método») René Descartes formalizó una idea que había estado flotando en
forma rudimentaria durante algún tiempo: la idea de un sistema de coordenadas.
En efecto, este toma el plano desnudo de Euclides, una hoja de papel en blanco,
y lo convierte en un papel cuadriculado, lo que los ingenieros y los
científicos llaman papel de gráficos. Se dibujan dos líneas rectas en el papel,
una horizontal y otra vertical: se les llama ejes. Ahora se puede fijar la
localización de cualquier punto del plano preguntando a qué distancia está a lo
largo del eje horizontal, y a qué distancia a lo largo del eje vertical (véase
Figura 5, izquierda). Estos dos números, que pueden ser positivos o
negativos, proporcionan una descripción completa del punto, y se denominan sus
coordenadas.
Todas las
propiedades geométricas de puntos, rectas, círculos y demás pueden traducirse
en proposiciones algebraicas sobre las correspondientes coordenadas. Es muy
difícil hablar significativamente sobre estas conexiones sin utilizar álgebra
real —igual que es difícil hablar razonablemente sobre fútbol sin mencionar la
palabra «gol»—. Así que algunas de las páginas que siguen incluirán algunas
fórmulas.
Figura 5. Izquierda: Coordenadas en el plano. Derecha: Cómo obtener la
ecuación para el círculo unidad.
Están
allí para asegurar que los protagonistas del drama tienen nombres y que la
relación entre ellos está clara. «Romeo» es mucho más fácil de seguir que «el
hijo de un patriarca italiano que se enamora de la hermosa hija del enemigo
jurado de su padre». Nuestro Romeo llevará el prosaico nombre χ, y
su Julieta será y.
A modo de
ejemplo de cómo la geometría se convierte en álgebra, la Figura 5 (derecha)
muestra cómo encontrar la ecuación de un círculo de radio unidad centrado en el
origen, donde se cortan los dos ejes. El punto marcado tiene coordenadas (x,
y), de modo que el triángulo rectángulo en la figura tiene un lado
horizontal de longitud χ y un lado vertical de longitud y.
El lado más largo del triángulo es el radio del círculo, que es 1. El teorema
de Pitágoras nos dice ahora que la suma de los cuadrados de las coordenadas es
1. En símbolos, un punto de coordenadas χ e y se
encuentra en el círculo si (y solo si) satisface la condición χ2 + y2 =
1. Esta caracterización simbólica del círculo es breve y precisa, y muestra que
realmente estamos hablando de álgebra. De modo recíproco, cualquier propiedad
algebraica de pares de números, cualquier ecuación que incluye a χ e y,
puede reinterpretarse como una proposición geométrica sobre puntos, rectas,
círculos o curvas más elaborados[19].
Las
ecuaciones básicas del álgebra incluyen polinomios, combinaciones de potencias
de una incógnita χ, donde cada potencia está multiplicada por algún
número, llamado coeficiente. La máxima potencia de χ que
aparece es el grado del polinomio. Por ejemplo, la ecuación
χ4 - 3χ3 -
3χ2 + 15χ - 10 = 0
incluye
un polinomio que empieza por χ4, de modo que su grado es
4. Los coeficientes son 1, -3, -3, 15 y -10. Hay cuatro soluciones
distintas: χ = 1, 2, √5 y -√5. Para estos valores el primer
miembro de la ecuación es igual a cero, el segundo miembro. De los polinomios
de grado 1, como 7χ + 2, se dice que son lineales, y solo incluyen
la primera potencia de la incógnita. Las ecuaciones de grado 2, como χ2 -
3χ + 2, se llaman ecuaciones cuadráticas, e incluyen la segunda
potencia, el cuadrado. La ecuación para un círculo incluye una segunda
variable, y. Sin embargo, si conocemos una segunda ecuación que
relaciona χ e y, por ejemplo la ecuación que
define una línea recta, entonces podemos escribir y en
términos de χ y reducir la ecuación de un círculo a una que
solo incluye a χ. Esta nueva ecuación nos dice dónde la recta corta
al círculo. En este caso la nueva ecuación es cuadrática, con dos soluciones;
así es como el álgebra refleja la geometría, en la que una recta corta al
círculo en dos puntos distintos.
Esta
propiedad del álgebra tiene una consecuencia importante para construcciones de
regla y compás. Una construcción semejante, por complicada que sea, se
descompone en una secuencia de pasos sencillos. Cada paso produce nuevos puntos
en lugares donde se cortan dos rectas, dos círculos o una recta y un círculo.
Estas líneas y círculos están determinados por puntos previamente construidos.
Traduciendo la geometría en álgebra puede demostrarse que la ecuación
algebraica que corresponde a la intersección de dos rectas es siempre lineal,
mientras que en el caso de una recta y un círculo, o dos círculos, es
cuadrática. En definitiva esto sucede porque la ecuación para un círculo
incluye χ2 pero no potencias superiores de χ.
De modo que cada paso individual en una construcción corresponde a resolver una
ecuación de grado 1 o grado 2 solamente.
Las
construcciones más complejas son secuencias de estas operaciones básicas, y un
poco de técnica algebraica nos permite deducir que cada coordenada de un punto
que puede construirse por regla y compás es una solución de una ecuación
polinómica, con coeficientes enteros, cuyo grado es una potencia de 2. Es
decir, el grado tiene que ser uno de los números 1, 2, 4, 8, 16, y así
sucesivamente[20]. Esta
condición es necesaria para que exista una construcción, pero puede reforzarse
para dar una caracterización precisa de qué polígonos regulares son
construibles. De repente, de una condición geométrica confusa y complicada
emerge una rígida condición algebraica —que se aplica a cualquier
construcción—. Ni siquiera se necesita saber cuál es la construcción:
simplemente que solo utiliza regla y compás.
Gauss era
consciente de esta idea elegante. También sabía (de hecho, cualquier matemático
competente se habría dado cuenta de inmediato) que la cuestión de qué polígonos
regulares pueden construirse mediante regla y compás se reduce a un caso
especial cuando el polígono tiene un número primo de lados. Para ver por qué,
pensemos en un número compuesto como 15, que es 3×5. Cualquier construcción
hipotética de un polígono regular de 15 lados da automáticamente uno de 3 lados
(nos quedamos con un vértice de cada cinco) y uno de 5 lados (nos quedamos con
un vértice de cada 3), véase Figura 6. Con algún esfuerzo más se pueden
combinar construcciones para un 3-gono y un 5-gono para obtener un 15-gono[21]. Los
números 3 y 5 son primos, y la misma idea se aplica en general. Así que Gauss
se centró en polígonos con un número primo de lados, y se preguntó a qué se
parecía la ecuación relevante. La respuesta era sorprendentemente limpia.
Construir un polígono regular de 5 lados, por ejemplo, es equivalente a
resolver la ecuación χ5 - 1 = 0. Reemplacemos 5 por
cualquier otro primo y la proposición correspondiente es verdadera.
Figura 6. Construcción de un triángulo equilátero y un pentágono regular a
partir de un 15-gono regular. Para la inversa, observemos que A y B son puntos
consecutivos del 15-gono regular.
El grado
de este polinomio es 5, que no es una de las potencias de 2 que yo he listado;
incluso así, existe una construcción. Gauss descubrió rápidamente por qué: la
ecuación se separa en dos partes, una de grado 1 y otra de grado 4. Tanto 1
como 4 son potencias de 2, y resulta que la ecuación de grado 4 es la crucial.
Para ver por qué, tenemos que conectar la ecuación con la geometría. Esto
implica un nuevo tipo de número, uno que es generalmente olvidado en las
matemáticas escolares pero que es indispensable para cualquier cosa que va más
allá. Se llaman números complejos y su característica definitoria es que en el
sistema de números complejos -1 tiene una raíz cuadrada.[22]
Un número
«real» ordinario es positivo o negativo, y en uno u otro caso su cuadrado es
positivo, de modo que -1 no puede ser el cuadrado de ningún número real. Esto
es tan molesto que los matemáticos inventaron un tipo nuevo de número
«imaginario» cuyo cuadrado es -1. Necesitaban un nuevo símbolo para el mismo,
así que lo llamaron «i» (por «imaginario»). Las operaciones habituales del
álgebra —sumar, restar, multiplicar, dividir— llevan a combinaciones de números
reales e imaginarios tales como 3 + 2i. Se dice que son complejos, lo que no
quiere decir «complicados» sino que indica que tienen dos partes: 3 y 2i. Los
números reales se encuentran sobre la famosa recta real, como los números en
una regla. Los números complejos yacen en un plano de números, en el que se
coloca una regla imaginaria perpendicular a una real, y las dos forman un
sistema de coordenadas (véase Figura 7, izquierda).
Durante
los últimos doscientos años los matemáticos han considerado que los números
complejos son fundamentales para su disciplina. Ahora reconocemos que
lógicamente están en pie de igualdad con los más familiares números «reales»
—que, como todas las estructuras matemáticas, son conceptos abstractos, no
objetos físicos reales—. Los números complejos se utilizaban ampliamente antes
de Gauss, pero su estatus era todavía misterioso hasta que Gauss y algunos
otros los desmitificaron. La fuente de su atractivo era paradójica: pese al
misterio que rodeaba a su significado, los números complejos se comportaban
mucho mejor que los números reales. Suministraban un ingrediente del que
carecían los números reales. Proporcionaban un conjunto completo de soluciones
para una ecuación algebraica.
Figura 7. Izquierda: El plano complejo. Derecha: Las raíces quintas
complejas de la unidad.
Las
ecuaciones cuadráticas son el ejemplo más sencillo. Algunas cuadráticas tienen
dos soluciones reales, mientras que otras no tienen ninguna. Por ejemplo χ2 -
1 = 0 tiene las soluciones 1 y -1, pero χ2 + 1 = 0
no tiene soluciones. En medio está χ2 = 0, cuya
única solución es 0, pero en cierto sentido esta es la misma solución «repetida
dos veces[23]». Sin
embargo, si admitimos soluciones complejas, entonces χ2 +
1 = 0 tiene también dos soluciones: i y -i. Gauss no tenía reparos en utilizar
números complejos; de hecho, su tesis doctoral proporcionó la primera
demostración lógicamente correcta del teorema fundamental del álgebra: el
número de soluciones complejas para cualquier ecuación polinómica (con
multiplicidades contadas correctamente) es igual al grado de la ecuación. De
modo que las cuadráticas (grado 2) siempre tienen dos soluciones complejas, las
cúbicas (grado 3) siempre tienen tres soluciones complejas, y así
sucesivamente.
La
ecuación χ5 - 1 = 0, que afirmé que define un
pentágono regular, tiene grado 5. Por consiguiente tiene cinco soluciones
complejas. Hay solamente una solución real: χ = 1. ¿Qué pasa
con las otras cuatro? Proporcionan cuatro vértices de un pentágono regular
perfecto en el plano complejo, siendo χ = 1 la quinta (véase
Figura 7, derecha). Esta correspondencia es un ejemplo de belleza
matemática: una forma geométrica elegante se convierte en una ecuación
elegante.
Ahora
bien, la ecuación cuyas soluciones son estos cinco puntos tiene grado 5, que no
es una potencia de 2. Pero, como se ha mencionado antes, la ecuación de grado 5
se divide en dos partes con grados 1 y 4, llamadas sus factores irreducibles:
χ5 - 1
= (χ - 1) (χ4 + χ3 + χ2 + χ +
1)
(«Irreducible»
significa que no existen más factores, como sucede con los números primos). El
primer factor da la solución real χ = 1. El otro factor da las
cuatro soluciones complejas y los otros cuatro vértices del pentágono. De modo
que todo cobra mucho más sentido, y es mucho más elegante, cuando utilizamos
números complejos.
Suele ser
difícil reconstruir cómo llegaron los matemáticos del pasado a nuevos
descubrimientos, porque ellos tenían la costumbre de presentar solamente el
resultado final de sus deliberaciones y no los muchos pasos en falso que dieron
en el camino. Este problema suele ser complicado, porque las pautas de
pensamiento naturales en épocas pasadas eran diferentes de las actuales. Gauss
en particular es lamentablemente famoso por esconder sus huellas y publicar
solo su análisis final y muy depurado. Pero cuando se trata de la investigación
de Gauss sobre el polígono de 17 lados estamos en terreno seguro; el análisis
final que publicó proporciona varias claves útiles.
Su punto
de partida no era nuevo. Varios matemáticos anteriores eran perfectamente
conscientes de que el análisis anterior de los pentágonos regulares funcionaba
con toda generalidad. Construir un polígono con cualquier número n de
lados es equivalente a resolver la ecuación xn - 1
= 0 en números complejos. Además, este polinomio factoriza como
(χ -
1) (χ n - 1 + χ n -
2 + … + χ2 + χ + 1)
De nuevo
el primer factor da la solución real χ = 1 y las n -
1 soluciones restantes proceden del segundo factor. Cuando n es
impar, estas son todas complejas; cuando n es par, una de
ellas es una segunda solución real χ = -1.
Lo que
Gauss advirtió, y todos los demás habían pasado por alto, es que a veces el
segundo factor puede expresarse utilizando una serie de ecuaciones cuadráticas.
No representándolo como un producto de factores más simples, porque eso no es
posible, sino utilizando ecuaciones cuyos coeficientes resuelven otras
ecuaciones. El hecho clave aquí —el punto débil del problema— es una propiedad
elegante de las ecuaciones algebraicas, que surge cuando resolvemos varias de
ellas de una en una de esta manera. El cálculo es siempre equivalente a
resolver una sola ecuación, pero en general el grado se hace mayor. Por lo
tanto, el precio que pagamos por tener menos ecuaciones es un incremento en el
grado. Puede ser confuso, pero hay una propiedad que podemos predecir: cuán
grande se hace el grado. Simplemente se multiplican los grados de los
polinomios sucesivos.
Si todos
son cuadráticos, el resultado es 2×2 ×…×2, una potencia de 2. De modo que n -
1 debe ser una potencia de 2 si existe una construcción. Sin embargo, esta
condición no siempre es suficiente. Cuando n = 9, n -
1 = 8, que es una potencia de 2. Pero Gauss descubrió que no existe ninguna
construcción para el 9-gono regular. La razón es que 9 no es primo[24]. ¿Qué
pasa con el caso siguiente, en el que resolvemos una serie de cuatro ecuaciones
cuadráticas? Ahora el grado n - 1 de la única ecuación
correspondiente es 2×2×2×2 = 16. De modo que n = 17, y este sí
es primo.
En este
momento Gauss debe haber sabido que estaba sobre algo, pero hay otro punto
técnico, posiblemente fatal. Gauss se había convencido de que para que exista
la construcción de un pentágono regular con un número primo de lados, ese primo
debe ser una potencia de 2, más 1. De modo que esta condición es necesaria para
que exista una construcción: si falla, no hay tal construcción. Sin embargo, la
condición podría no ser suficiente: de hecho hay muchas ecuaciones de grado 16
que no se reducen a una serie de cuatro cuadráticas.
No
obstante, había una razón para ser optimista: las construcciones griegas. ¿Qué
primos aparecían allí? Solo tres: 2, 3 y 5. Todos son una potencia de 2 más 1,
a saber, 20 + 1, 21 + 1 y 22 +
1. El álgebra asociada con el pentágono proporciona otras claves. Pensando en
esto, Gauss demostró que el polinomio de grado 16 asociado con el polígono de
17 lados puede reducirse a una serie de polinomios cuadráticos. Por
consiguiente debe existir una construcción mediante regla y compás. Un método
similar demostraba que lo mismo es cierto cuando el número de lados es un primo
que es alguna potencia de 2 más 1. Las ideas son un tributo a la capacidad de
Gauss para entender pautas matemáticas. En su núcleo hay algunos teoremas
generales de la teoría de números, en los que no voy a entrar. Lo importante es
que nada de esto era accidental. Había sólidas razones estructurales para que
funcionara. Solo había que ser un Gauss para advertirlas.
Gauss no
proporcionó una construcción explícita, pero dio una fórmula para las
soluciones de la ecuación de grado 16 que puede transformarse en una
construcción semejante si realmente se quiere una[25]. Cuando
desarrolló sus ideas en las Disquisitiones arithmeticae omitió
algunos detalles, pero afirmó que poseía demostraciones completas. Su
descubrimiento épico le convenció de que debía dedicar su vida a las
matemáticas antes que a las lenguas. El duque continuó apoyando financieramente
a Gauss, pero Gauss quería algo más permanente y fiable. Cuando el astrónomo
Giuseppe Piazzi descubrió el primer asteroide, Ceres, solo pudieron hacerse
unas pocas observaciones antes de que este nuevo mundo se hiciera invisible
contra el brillo del Sol. A los astrónomos les preocupaba que no fueran capaces
de encontrarlo de nuevo. En un tour de force que incluía
nuevas técnicas para calcular órbitas, Gauss predijo dónde iba a reaparecer… y
tenía razón. Esto le llevó a ser nombrado profesor de astronomía y director del
Observatorio de Gotinga. Continuó ocupando este puesto durante el resto de su
vida.
El caso
es que 17 no es el único nuevo número de este tipo. Se conocen dos más: 28 +
1 = 257 y 216 + 1 = 65.537. (Un poco de álgebra muestra que la
potencia de 2 que ocurre debe ser ella misma una potencia de 2; si no lo es,
entonces el número no puede ser primo). Sin embargo, la pauta se detiene en
este punto, porque 232 + 1 = 4.294.967.297 es igual a
641×6.700.417, luego no es primo. Se sabe que los denominados números de Fermat
22n + 1 no son primos para n = 5, 6,
7…, hasta 32. También se sabe que muchos números de Fermat más grandes no son
primos. No se han encontrado otros números de Fermat primos, pero su existencia
no es en absoluto imposible[26]. Se
conoce una construcción para el polígono de 257 lados. Un matemático dedicó
muchos años al polígono de 65.537 lados, una tarea algo absurda, y en cualquier
caso sus resultados contienen errores[27].
El
resultado del análisis de Gauss es que se puede construir un polígono regular
con regla y compás si y solo si el número de lados es un producto de una
potencia de 2 y distintos números primos de Fermat impares. En
particular, un polígono regular de 9 lados no puede construirse de esta manera.
Esto implica inmediatamente que al menos un ángulo no puede trisecarse, porque
el ángulo en un triángulo equilátero tiene 60 °, y un tercio de esto es 20 °.
Dado este ángulo, es fácil construir un polígono regular de 9 lados. Puesto que
eso es imposible, no hay una construcción general de regla y compás para
trisecar un ángulo.
Gauss
omitió muchos detalles de las demostraciones cuando escribió sus resultados, y
los matemáticos no podían aceptar su palabra sin más. En 1837 el matemático
francés Pierre Wantzel publicó una demostración completa de la caracterización
de Gauss de polígonos regulares construibles, y dedujo la imposibilidad de
trisecar un ángulo general mediante construcción por regla y compás. También
demostró que es imposible construir un cubo cuyo volumen es el doble del de un
cubo dado, otro antiguo problema griego conocido como «la duplicación del
cubo».
Tanto la
trisección del ángulo como la duplicación del cubo resultan ser imposibles
porque las longitudes implicadas satisfacen ecuaciones cúbicas irreducibles —de
grado 3—. Puesto que 3 no es una potencia de 2, esto excluye directamente la
cuestión. Sin embargo, este método no parecía funcionar para el problema de
cuadrar el círculo, y ello por razones interesantes. Un círculo de radio unidad
tiene área π, y un cuadrado de dicha área tiene lado √π. Existen construcciones
geométricas para raíces cuadradas, y también construcciones para cuadrados, de
modo que cuadrar el círculo se reduce a partir de una recta de longitud 1 y
construir una de longitud π. Si resultara que π satisface una ecuación cúbica
irreducible —o cualquier ecuación irreducible cuyo grado no es una potencia de
2— entonces los métodos de Wantzel probarían que es imposible cuadrar el
círculo.
Sin
embargo, nadie conocía ninguna ecuación algebraica que fuera satisfecha
exactamente por π, y mucho menos una cuyo grado no es una potencia de 2. El
valor de la escuela 22/7 satisface 7χ - 22 = 0, pero eso es solo
una aproximación a π, ligeramente mayor, de modo que no sirve. Si pudiera
probarse que no existe tal ecuación —y muchos lo sospechaban basados en que si
existiera habría sido encontrada— se seguiría de ello la imposibilidad de
cuadrar el círculo. Por desgracia, nadie pudo demostrar que no hay tal
ecuación. El estatus algebraico de π estaba en el limbo. La solución final
utilizaba métodos que no solo iban más allá de la geometría, sino que también
iban más allá del álgebra.
Para
apreciar cuál es aquí la cuestión más importante tenemos que empezar con una
idea más simple. Hay una distinción importante en matemáticas entre números que
pueden expresarse como fracciones exactas p/q, donde p y q son
números enteros, y los que no pueden expresarse de esa manera. De los primeros
se dice que son racionales (son razones de números enteros), y los segundos son
irracionales. Por ejemplo, la aproximación 22/7 a π es racional. Hay
aproximaciones mejores; una famosa es 355/113, correcta hasta seis cifras
decimales. Sin embargo, se sabe que ninguna fracción puede representar a π
exactamente: es irracional. Esta propiedad sospechada durante largo tiempo fue
demostrada por primera vez por el matemático suizo Johann Heinrich Lambert en
1768. Su demostración se basa en una ingeniosa fórmula para la función tangente
en trigonometría, que él expresaba como una fracción continua: una pila
infinita de fracciones ordinarias[28]. En 1873
Charles Hermite encontró una demostración más simple, basada en fórmulas del
cálculo infinitesimal, que iba más allá: demostraba que π2 es
irracional. Por consiguiente π tampoco es la raíz cuadrada de un número
racional.
Lambert
sospechaba algo mucho más fuerte. En el artículo en que demostraba que π es
irracional, conjeturaba que π es trascendente; es decir, π no satisface ninguna
ecuación polinómica con coeficientes enteros. Trasciende la expresión
algebraica. Descubrimientos posteriores probaron que tenía razón. El avance
fundamental llegó en dos etapas. El nuevo método de Hermite para demostrar la
irracionalidad fijaba el escenario al sugerir que el cálculo infinitesimal —más
exactamente, su versión rigurosa, el análisis— podría ser una estrategia útil.
Desarrollando esta idea, Hermite encontró una demostración maravillosa de que
el otro famoso y curioso número en matemáticas, la base e de los logaritmos
naturales, es trascendente. El valor numérico de e es aproximadamente 2,71828,
y si acaso es incluso más importante que π. La demostración de trascendencia de
Hermite es magia, un conejo extraído con una floritura de la chistera del
análisis. El conejo es una fórmula complicada relacionada con una hipotética
ecuación algebraica que se supone que es satisfecha por e. Utilizando álgebra,
Hermite demuestra que esta fórmula es igual a algún entero no nulo. Utilizando
análisis, él demuestra que debe estar entre -1/2 y ½. Puesto que el único
entero en este rango es cero, estos resultados son contradictorios. Por
consiguiente, la hipótesis de que e satisface una ecuación algebraica debe ser
falsa, luego e es trascendente.
En 1882
Ferdinad Lindemann añadió algunos elementos al método de Hermite, y demostró
que si un número distinto de cero satisface una ecuación algebraica, entonces e
elevado a la potencia de ese número no satisface una ecuación algebraica. Luego
aprovechó una relación que era conocida para Euler que incluye a π, e y el
número imaginario i: la famosa fórmula eiπ =
-1. Supongamos que π satisface alguna ecuación algebraica. Entonces también lo
hace iπ, y el teorema de Lindemann implica que -1 no satisface una ecuación
algebraica. Sin embargo, es evidente que lo hace: es la solución de χ +
1 = 0. La única salida a esta contradicción lógica es que π no satisfaga una
ecuación algebraica; es decir, es trascendente. Y eso significa que no se puede
cuadrar el círculo.
Fue un
viaje largo e indirecto desde la geometría de Euclides hasta la demostración de
Lindemann, y necesitó más de doscientos años, pero los matemáticos finalmente
llegaron allí. La historia no solo nos dice que no se puede cuadrar el círculo.
Es una lección de cómo llegan a resolverse grandes problemas matemáticos. Se
requería que los matemáticos formularan cuidadosamente lo que entendían por
«construcción geométrica». Tenían que fijar propiedades generales de tales
construcciones que pudieran poner límites a lo que podían conseguir. Encontrar
esas propiedades requería establecer conexiones con otra área de las
matemáticas: el álgebra. Resolver el problema algebraico, incluso en casos más
simples tales como la construcción de polígonos regulares, también implicaba la
teoría de números. Tratar con el caso difícil de π requirió más innovaciones, y
el problema aún tenía que ser trasladado a otra área de las matemáticas: el
análisis.
Ninguno
de estos pasos era simple u obvio. Se necesitó casi un siglo para completar la
demostración, incluso cuándo se tenían las ideas principales. Los matemáticos
involucrados eran de los mejores de su tiempo, y al menos uno era de los
mejores de todos los tiempos. Resolver grandes problemas requiere un
conocimiento profundo de las matemáticas, más constancia e ingenio. Puede
exigir años de esfuerzo concentrado, buena parte del cual es aparentemente
infructuoso. Pero imaginemos lo que debe sentirse cuando la constancia da fruto
y se abre una grieta en algo que ha desconcertado al resto de la humanidad
durante siglos. Como dijo el presidente John F. Kennedy en 1962 cuando anunció
el proyecto de ir a la Luna: «Nosotros decidimos… hacer [estas]… cosas, no porque
sean fáciles, sino porque son difíciles».
Pocas
historias tienen fin en matemáticas, y π no es una excepción. De vez en cuando
aparecen nuevos descubrimientos asombrosos sobre π. En 1997 Fabrice Bellard
anunció que la cifra decimal que ocupa el lugar un billón de π, en notación
binaria, es 1.[29] Lo
que hacía notable este resultado no era la respuesta. La propiedad asombrosa
era que él no calculó ninguno de los dígitos anteriores. Simplemente sacó del
aire un dígito concreto.
Lo que
hizo posible el cálculo era una curiosa fórmula para π descubierta por David
Bailey, Peter Borwein y Simon Plouffe en 1996. Puede parecer un poco
complicada, pero echémosle una ojeada de todas formas:
La ∑
grande significa «suma» sobre el rango especificado. Aquí n va
de 0 a infinito (∞). Bellard utilizó en realidad una fórmula que había derivado
utilizando métodos similares, que es algo más rápida para hacer cálculos.
El punto
clave es que muchos de los números que aparecen aquí —1, 4, 32, 64, 256 y
también 24n y 210n— son potencias de
2, que por supuesto son muy simples en el sistema binario que se utiliza en los
ordenadores. Este descubrimiento estimuló un diluvio de nuevas fórmulas para π,
y para varios otros números interesantes. El récord para encontrar un simple
dígito binario de π se bate regularmente: en 2010 Nicholas Sze de Yahoo calculó
el dígito binario número dos trillones de π, que resulta ser 0.
Las
mismas fórmulas pueden utilizarse para encontrar dígitos aislados de π en
aritméticas con base 4, 8 y 16. Nada de este tipo se conoce para ninguna otra
base; en particular, no podemos computar dígitos decimales aislados. ¿Existen
tales fórmulas? Hasta que se encontró la fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe,
nadie imaginaba que pudiera hacerse en sistema binario.
Capítulo
4
Cartografiando misterios
El teorema de los cuatro colores
Muchos de
los grandes problemas matemáticos derivan de preguntas difíciles y profundas en
áreas de la disciplina bien establecidas. Son los grandes desafíos que surgen
cuando un área importante ha sido explorada exhaustivamente. Suelen ser
bastante técnicos, y todos los que trabajan en el área saben que son difíciles
de responder porque muchos expertos lo han intentado y han fracasado. El área
en cuestión ya poseerá muchas técnicas poderosas, grandes máquinas matemáticas
cuyas manivelas pueden manejarse si uno ha hecho su tarea. Pero si el problema
sigue abierto es que todas las maneras plausibles de utilizar dichas técnicas
ya han sido ensayadas y no han funcionado. Así que o bien hay una
manera menos evidente de utilizar las técnicas del área
ensayadas-y-comprobadas, o es necesario utilizar nuevas técnicas.
Se han
dado ambos casos.
Otros
grandes problemas son muy diferentes. Aparecen de la nada: unas rayas en la
arena, un garabato en un margen, un capricho pasajero… Sus enunciados son
simples, pero debido a que no tienen muchos antecedentes matemáticos, no hay
métodos establecidos para pensar en ellos. Pueden pasar muchos años antes de
que su dificultad se haga evidente: alguien podría descubrir un truco ingenioso
aunque simple que los resolviera en media página. El problema de los cuatro
colores es de este segundo tipo. Pasaron décadas antes de que los matemáticos
empezaran a entender cuán difícil era la pregunta, y durante una buena parte de
este tiempo pensaban que había sido resuelto en unas pocas
páginas. Parecía ser una cuestión marginal, y por ello muy pocos se molestaron
en tomarla en serio. Cuando lo hicieron, la presunta solución resultó ser
errónea. La solución final corrigió los fallos, pero para entonces el argumento
se había hecho tan complicado que fue necesario recurrir a la ayuda intensiva
de un ordenador.
A largo
plazo, ambos tipos de problemas convergen, pese a sus diferentes fundamentos,
porque resolverlos requiere nuevas maneras de pensar. Los problemas del primer
tipo pueden estar encuadrados en un área bien entendida, pero los métodos
tradicionales en dicha área son inadecuados. Los problemas del segundo tipo no
pertenecen a ninguna área establecida —de hecho, motivan la creación de áreas
nuevas— de modo que no hay métodos tradicionales que puedan utilizarse. En
ambos casos, resolver el problema exige inventar nuevos métodos y forjar nuevos
vínculos con el corpus de matemáticas existente.
Sabemos
exactamente cuál fue el origen del problema de los cuatro colores, y no estaba
en las matemáticas. En 1852 Francis Guthrie, un joven matemático y botánico
surafricano que se preparaba para conseguir un grado en derecho, estaba
intentando colorear los condados en un mapa de Inglaterra. Quería estar seguro
de que a dos condados adyacentes cualesquiera se les asignaran colores
distintos para que las fronteras se vieran con nitidez. Guthrie descubrió que
solo necesitaba cuatro colores para completar la tarea, y después de
experimentar algún tiempo se convenció de que esto sería cierto para cualquier
mapa. Por «adyacentes» él entendía que los condados concernidos compartían una
frontera de longitud no nula: si dos países se tocaban en un punto, o en varios
puntos aislados, podían tener el mismo color si fuera necesario. Sin esta
salvedad, no hay límite para el número de colores, porque cualquier número de
regiones pueden tocarse en un punto (véase Figura 8, izquierda).
Figura 8. Izquierda : Cualquier número de regiones pueden tocarse en un
punto. Derecha : Son necesarios al menos cuatro colores.
Preguntándose
si esta proposición era un teorema matemático conocido, se lo planteó a su
hermano Frederick, quien estaba estudiando matemáticas con el distinguido pero
excéntrico Augustus de Morgan en el University College en Londres. De Morgan no
lo sabía, así que escribió a un matemático aún más distinguido, el
irlandés sir William Rowan Hamilton:
Uno de
mis estudiantes [más tarde identificado como Frederick Guthrie] me ha pedido
hoy que le diera una razón para un hecho que yo no sabía que era un hecho —y
sigo sin saberlo—. Él dice que si se divide una figura y los compartimentos se
colorean con diferentes colores de modo que figuras con una porción de frontera
común tengan colores diferentes, pueden necesitarse cuatro colores pero no más…
La pregunta es si puede inventarse algo que necesite cinco o más… ¿Qué dice
usted? Y, si es cierto, ¿ha sido advertido?
Frederick
se refirió más tarde a una «demostración» que había sugerido su hermano, pero
también dijo que la idea clave era un dibujo equivalente a la Figura 8, que
solo prueba que no bastará con menos de cuatro colores.
La
respuesta de Hamilton fue breve y de poca ayuda. «Es poco probable que pueda
intentar muy pronto su “cuaternión” de colores», escribió. En esa época él
estaba trabajando en un sistema de álgebra que se convirtió en una obsesión
para toda la vida; un sistema análogo a los números complejos pero que incluía
cuatro tipos de números en lugar de los dos (reales e imaginarios) de los
números complejos. Los llamó «cuaterniones». El sistema sigue siendo importante
en matemáticas; de hecho, es sin duda más importante ahora que lo fue en
tiempos de Hamilton. Pero nunca ha alcanzado realmente las alturas que esperaba
Hamilton. Hamilton solo estaba haciendo una broma académica cuando utilizó la
palabra, y durante mucho tiempo no pareció haber un vínculo entre los cuaterniones
y el problema de los cuatro colores. Sin embargo, hay una reformulación del
problema que puede verse como una proposición sobre cuaterniones, de modo que
la broma de Hamilton tiene un aguijón en la cola[30].
Siendo
incapaz de encontrar una demostración, De Morgan mencionó el problema a sus
amigos matemáticos con la esperanza de que alguno de ellos pudiera dar con una
idea. A finales de la década de 1860, el lógico, matemático y filósofo
norteamericano Charles Sanders Peirce afirmó que había resuelto el problema de
los cuatro colores, junto con otras cuestiones similares sobre mapas en
superficies más complicadas. Su presunta demostración nunca fue publicada, y es
dudoso que los métodos de los que disponía hubieran sido adecuados.
Aunque el
problema de los cuatro colores trata ostensiblemente de mapas, no tiene
aplicaciones útiles en cartografía. Los criterios prácticos que se utilizan
para colorear mapas reflejan sobre todo diferencias políticas, y si eso
significa que regiones adyacentes deben tener el mismo color, así sea. El
interés del problema está por completo dentro de las matemáticas puras, en una
nueva área que empezaba a desarrollarse: la topología. Esta es
«geometría-de-la-lámina-elástica» en la que las figuras pueden deformarse de
cualquier manera continua. Pero incluso aquí, el problema de los cuatro colores
no pertenecía a la corriente principal. Parecía ser tan solo una curiosidad
menor.
Figura 9. La banda de Möbius tiene solo un lado.
Uno de
los pioneros de la topología fue August Möbius, hoy famoso por su banda de un
lado (véase Figura 9). Es fácil hacer un modelo tomando una cinta de papel,
curvándola en forma de anillo como un cilindro corto y grueso, girando 180 ° un
extremo y pegándolo al otro. Un amigo de Möbius, el lingüista Benjamin Weiske,
le planteó un rompecabezas: ¿podía un rey indio con cinco hijos, todos ellos
príncipes, dividir su reino de modo que la región perteneciente a cada príncipe
compartiera una frontera de longitud no nula con las regiones pertenecientes a
los otros cuatro príncipes? Möbius pasó el rompecabezas a sus estudiantes como
un ejercicio. Pero en la lección siguiente él se disculpó por haberles pedido
realizar lo imposible. Con esto quería decir que él podía demostrar que
era imposible[31].
Es
difícil abordar este rompecabezas de forma geométrica, porque las formas de las
regiones y cómo están dispuestas podría en principio ser muy complicada. El
progreso depende de una gran simplificación: todo lo que realmente importa es
qué regiones son adyacentes a cuales y cómo están dispuestas las fronteras
comunes con relación a cada una de ellas. Esto es información topológica,
independiente de las formas exactas. Puede representarse de una manera clara y
simple conocida como un grafo, o, en nuestros días, una red, que es un término
más evocador.
Una red
es un concepto de una simplicidad abrumadora: un conjunto de vértices,
representados por puntos, algunos de los cuales están conectados por aristas,
dibujadas como líneas. Tomemos un mapa cualquiera, tal como el de la Figura 10
(izquierda). Para convertirlo en una red colocamos un punto dentro de
cada región, Figura 10 (centro). Cuando quiera que dos regiones tienen
un segmento de frontera común, dibujamos una línea entre los correspondientes
puntos, que atraviesa dicho segmento. Si hay varios segmentos fronterizos
comunes independientes, cada uno tiene su propia línea. Hagamos esto para todas
las regiones y todos los segmentos fronterizos comunes, de tal modo que las
líneas no se corten unas a otras, o a sí mismas, y solo se encuentren en los
puntos. Luego prescindimos del mapa original y retenemos solo los puntos y las
líneas. Estas forman la red dual del mapa, Figura 10 (derecha[32]).
Figura 10. Izquierda: Un mapa. Centro: Se coloca un punto en cada región.
Derecha: Se conectan puntos a través de las fronteras para formar la red dual
(solo las líneas negras y los puntos).
Se
utiliza la palabra «dual» porque el procedimiento toma regiones, líneas y
puntos (uniones entre regiones del mapa) y los convierte en puntos, líneas y
regiones. Una región en el mapa corresponde a un punto en la red dual. Un
segmento fronterizo en el mapa corresponde a una línea en la red dual; no la
misma línea, sino una que cruza la frontera y une los puntos correspondientes.
Un punto en el mapa donde se juntan tres o más regiones corresponde a una
región en la red dual acotada por un lazo cerrado de líneas. De modo que la
propia red dual es un mapa, porque las líneas encierran regiones, y resulta que
el dual del dual es el mapa original, salvo algunas cuestiones técnicas que
excluyen puntos y líneas innecesarias.
El
problema de los cinco príncipes puede reinterpretarse utilizando la red dual:
¿es posible unir cinco puntos del plano por líneas, sin cruces? La respuesta es
«no», y la clave es la fórmula de Euler, que afirma que si un mapa en el plano
consta de C caras (regiones), A aristas
(líneas) y V vértices (puntos), entonces C + V - A =
2. Aquí contamos el resto del plano, fuera de la red, como una gran región.
Esta fórmula era uno de los primeros indicios de que consideraciones
topológicas podían ser dignas de investigar, y reaparecerá en el capítulo 10.
La
demostración de que el rompecabezas de los príncipes indios es imposible
empieza suponiendo que existe una solución, y de ello deduce una contradicción.
Cualquier solución tendrá V = 5, el número de puntos. Puesto
que cada par de puntos está unido por una línea, y hay 10 pares, A =
10. El teorema de Euler implica que C = A - V +
2 = 7. Las regiones de la red dual están rodeadas por lazos cerrados de líneas,
y solo una línea une cualquier par de puntos; por consiguiente estos lazos
deben contener al menos 3 líneas. Puesto que hay 7 regiones, eso hace al menos
21 líneas… excepto que toda línea está siendo contada dos veces porque separa
dos regiones. De modo que hay al menos 10½ líneas. El número de líneas es un
entero, de modo que de hecho debe haber al menos 11 líneas. Sin embargo, ya
sabemos que hay 10 líneas. Esto es una contradicción lógica, y demuestra que no
existe una red semejante. El rey no puede dividir su tierra de la forma
prescrita.
El
aspecto alentador de este argumento es que métodos topológicos elegantes nos
permiten demostrar algo específico e interesante sobre mapas. Sin embargo,
contrariamente a un malentendido común, que De Morgan parece haber compartido,
la imposibilidad de resolver el rompecabezas de los cinco príncipes indios no
demuestra el teorema de los cuatro colores. Una demostración puede ser falsa
incluso si su conclusión es correcta, o no se sabe que sea incorrecta. Si en
algún lugar de una presunta demostración yo encuentro un triángulo con cuatro
lados, puedo dejar de leer, porque la demostración es errónea. No importa lo
que suceda después de eso o cuál sea la conclusión. Nuestra respuesta al
rompecabezas de los príncipes indios muestra que una manera concreta de refutar
el teorema de los cuatro colores no funciona. Sin embargo, eso no implica que
no pueda funcionar ninguna otra manera de refutarlo. Potencialmente podría
haber muchos obstáculos a 4-colorear un mapa (de ahora en adelante utilizaré
este término en lugar del farragoso «colorear el mapa con cuatro colores»). La
existencia de cinco regiones todas ellas adyacentes es simplemente uno de estos
obstáculos. Por lo que sabemos, podría haber un mapa muy complicado con 703
regiones, tal que por más que se 4-coloreen 702 de ellas, la región final
siempre necesita un quinto color. Esa región tendría que colindar al menos con
otras cuatro, pero eso es perfectamente factible y no requiere una ordenación
de príncipe indio. Si existiera un mapa así, demostraría que cuatro colores no
son suficientes. Cualquier demostración tiene que descartar ese tipo de
obstáculos. Y ese enunciado es válido incluso si yo no le muestro —no puedo
mostrarle— un ejemplo explícito de tal obstáculo.
Durante
un tiempo el teorema de los cuatro colores parecía haberse hundido sin dejar
rastro, pero volvió a salir a la superficie en 1878 cuando Arthur Cayley lo
mencionó en una reunión de la Sociedad Matemática de Londres. Pese a su nombre,
esta organización representaba al conjunto de las matemáticas británicas (o al
menos inglesas) y su fundador era De Morgan. Cayley preguntó si alguien había
obtenido una solución. Su pregunta fue publicada poco después en la revista
científica Nature. Un año más tarde él escribió un artículo más
extenso para los Proceedings of the Royal Geographical Society[33].
Presumiblemente parecía un lugar lógico donde colocar el artículo, porque el
problema trata ostensiblemente de mapas. Quizá incluso se le pidió que lo
enviara. Pero en realidad no era una elección razonable, porque ningún
cartógrafo iba a tener una razón para querer saber la respuesta, aparte de la
curiosidad ociosa. Lamentablemente, la elección de revista significó que pocos
matemáticos fueran conscientes de la existencia del artículo. Fue una lástima,
porque Cayley explicaba por qué el problema podría ser difícil.
En el
capítulo 1 dije que una demostración se parece un poco a una batalla. Los
militares reconocen una diferencia entre táctica y estrategia. La táctica es
como se ganan las escaramuzas locales; la estrategia establece la estructura
general de la campaña. La táctica incluye movimientos detallados de tropas; la
estrategia incluye planes generales, con lugar para muchas decisiones tácticas
diferentes en cualquier etapa. El artículo de Cayley era escaso en táctica,
pero un vago indicio de una estrategia que, con el tiempo, abrió de par en par
el problema de los cuatro colores. Él observaba que añadir regiones de una en
una no funcionaba si se seguía la línea obvia de razonamiento. Pero quizá
funcionaría si se encuentra una línea de razonamiento menos obvia.
Supongamos
que se toma un mapa y se elimina una región —digamos que fusionándola con una
vecina, o contrayéndola hasta un punto—. Supongamos que el mapa resultante
puede ser 4-coloreado. Ahora recuperamos la región original. Si tenemos suerte,
sus vecinos podrían utilizar solo tres colores. Entonces todo lo que hay que hacer
es colorearla utilizando el cuarto. El punto de Cayley era que este
procedimiento podría no funcionar, porque los vecinos de la región final
podrían utilizar cuatro colores distintos. Pero eso no significa que estemos
atascados. Hay dos maneras de burlar este obstáculo: quizá hemos escogido la
región equivocada, o quizá hemos escogido la manera equivocada de colorear el
mapa más pequeño.
Siguiendo
con hipótesis no demostradas (esta es una manera muy efectiva de obtener ideas
en investigación, aunque en algún momento hay que confirmarlas), supongamos que
siempre se puede hacer un arreglo parecido. Eso nos dice que un mapa siempre
puede ser 4-coloreado con tal de que algún mapa más pequeño pueda ser
4-coloreado. Quizá esto no parezca un avance: ¿cómo sabemos que el mapa más
pequeño puede ser 4-coloreado? La respuesta es que el mismo procedimiento se
aplica al mapa más pequeño, lo que lleva a un mapa aún más pequeño… y así
sucesivamente. Por último se llega a un mapa tan pequeño que solo tiene cuatro
regiones, y entonces se sabe que puede ser 4-coloreado. Invirtamos ahora los
pasos, coloreando mapas ligeramente más grandes en cada etapa… y finalmente
regresamos al mapa original.
Esta
línea de razonamiento se denomina «demostración por inducción matemática». Es
un método estándar con una formulación más técnica, y la lógica que hay tras
ello puede hacerse rigurosa. La estrategia de demostración propuesta por Cayley
se hace más transparente si el método se reformula utilizando un concepto
lógicamente equivalente: el de un criminal mínimo. En este contexto, un
criminal es cualquier mapa hipotético que no puede ser 4-coloreado. Un mapa tal
es mínimo si cualquier mapa con un número menor de países puede ser
4-coloreado. Si existe un criminal, debe ser un criminal mínimo: simplemente
escogemos un criminal con el mínimo número de regiones posible. Por
consiguiente, si no existe un criminal mínimo, entonces no existen criminales.
Y si no hay criminales, el teorema de los cuatro colores debe ser cierto.
El
procedimiento de inducción se reduce a esto. Supongamos que podemos demostrar
que 4-colorear un criminal mínimo es siempre posible, con tal de que pueda
4-colorearse un mapa relacionado más pequeño. Entonces el criminal mínimo no
puede ser realmente un criminal. Puesto que el mapa es mínimo, todos los
mapas más pequeños pueden ser 4-coloreados, y dado lo que hemos supuesto que
puede demostrarse, lo mismo es cierto para el mapa original. Por consiguiente
no hay criminales mínimos, luego no hay criminales. Esta idea desplaza el foco
del problema desde todos los mapas a solo los hipotéticos criminales mínimos y
a especificar un procedimiento de reducción, esto es, una manera sistemática de
convertir un 4-coloreado de un mapa relacionado más pequeño en un 4-coloreado
del mapa original.
¿Por qué
molestarnos con criminales mínimos y no con simples criminales? Es una cuestión
de técnica. Incluso si inicialmente no sabemos que existen criminales, una de
las características paradójicas pero útiles de esta estrategia es que podemos
decir muchas cosas sobre qué aspecto tendrían los criminales mínimos si
existieran.
Esto
requiere la capacidad de pensar lógicamente sobre proposiciones hipotéticas,
una habilidad vital para cualquier matemático. Para dar una idea del proceso,
demostraré el teorema de los seis colores. Para hacerlo,
tomamos prestado un truco del rompecabezas de los cinco príncipes y
reformulamos todo en términos de la red dual, en la que las regiones se
convierten en puntos. El problema de los cuatro colores equivale entonces a una
pregunta diferente: dada una red en el plano cuyas líneas no se cruzan, ¿es
posible 4-colorear los puntos de modo que dos puntos unidos
por una línea tengan siempre colores diferentes? La misma reformulación se
aplica a cualquier número de colores.
Para
ilustrar la potencia de los criminales mínimos, voy a utilizarlos para
demostrar que cualquier red plana puede ser 6-coloreada. Una vez más, la
principal herramienta técnica es la fórmula de Euler. Dado un punto en la red
dual, definimos sus vecinos como aquellos puntos que están unidos a él por una
línea. Un punto puede tener muchos vecinos o solo unos pocos. Puede demostrarse
que la fórmula de Euler implica que algunos puntos deben tener pocos vecinos.
Más exactamente, en una red plana es imposible que todos los puntos tengan seis
o más vecinos. He introducido una demostración de esto en las notas para no
interrumpir el flujo de ideas[34]. Este
hecho proporciona la palanca necesaria para empezar a desmontar el problema.
Consideremos un hipotético criminal mínimo para el teorema de seis colores.
Este es una red que no puede ser 6-coloreada pero toda red más pequeña sí puede
ser 6-coloreada. Ahora demuestro que este mapa no puede existir. Por la
consecuencia anterior de la fórmula de Euler, contiene al menos un punto con
cinco o menos vecinos. Borramos temporalmente este punto y las líneas que lo
unen a sus vecinos. La red resultante tiene menos puntos, de modo que por
minimalidad puede ser 6-coloreada. (Aquí es donde nos quedamos atascados a
menos que nuestro hipotético criminal sea mínimo). Ahora recuperamos el punto y
las líneas eliminadas. Ese punto tiene a lo sumo cinco vecinos, de modo que
siempre hay un sexto color. Lo utilizamos para colorear el punto que habíamos
eliminado. Ahora hemos 6-coloreado con éxito nuestro criminal mínimo… pero eso
contradice su criminalidad. Así que no existen criminales mínimos en el teorema
de los seis colores, y eso implica que el teorema de los seis colores es
cierto.
Esto es
alentador. Hasta ahora, por lo que sabemos, algunos mapas podrían necesitar 20
colores, o 703, o millones. Ahora sabemos que mapas como ese no son más reales
que el puchero lleno de monedas de oro en el extremo del arco iris. Un número
concreto y limitado de colores funciona decididamente para cualquier mapa.
Este es un triunfo genuino para criminales mínimos, y animó a los matemáticos a
reforzar el argumento con la esperanza de reemplazar seis colores por cinco o,
si uno fuera realmente ingenioso, cuatro.
Todos los
criminales necesitan abogados. Un abogado de los tribunales llamado Alfred
Kempe estaba en la reunión en la que Cayley mencionó el problema de los cuatro
colores. Él había estudiado matemáticas con Cayley en Cambridge y su interés
por ellas seguía intacto. En menos de un año Kempe se convenció de que había
resuelto el problema y publicó su solución en 1879 en el recientemente
fundado American Journal of Mathematics. Un año más tarde publicó
una demostración simplificada, que corregía algunos errores de la primera. Él
señalaba que
una
alteración muy pequeña en una parte de un mapa puede hacer necesario
recolorearlo por completo. Tras una ardua investigación, he conseguido… dar con
el punto débil, que resultó fácil de atacar.
Reinterpretaré
las ideas de Kempe en términos de la red dual. Una vez más, él partió de la
fórmula de Euler y la consecuente existencia de un punto con tres, cuatro o
cinco vecinos. (Un punto con dos vecinos se encuentra en la mitad de una línea,
y no aporta nada a la red o el mapa: puede omitirse sin problemas).
Si hay un
punto con tres vecinos, el procedimiento que utilicé para demostrar el teorema
de los seis colores se aplica cuando solo hay cuatro colores. Eliminamos el
punto y las líneas que se encuentran en él, 4-coloreamos el resultado,
recuperamos el punto y las líneas, utilizamos un color de reserva para el
punto. Por consiguiente podemos suponer que ningún punto tiene tres vecinos.
Si hay un
punto con cuatro vecinos la táctica anterior falla, porque podría no haber
disponible un color de reserva. Kempe ideó una manera ingeniosa de tratar este
obstáculo. Borrar ese punto en cualquier caso pero, después de hacerlo, cambiar
el coloreado del mapa más pequeño resultante de modo que dos de los cuatro
vecinos tengan el mismo color. Tras este cambio, los vecinos del punto borrado
utilizan a lo sumo tres colores, lo que deja uno de reserva para el punto
eliminado. La idea básica del esquema de recoloreado de Kempe es que dos de los
puntos vecinos deben tener colores diferentes —digamos rojo y azul, siendo los
otros colores verde y amarillo—. Si ambos son verdes o ambos son amarillos, el
otro color queda disponible para el punto eliminado. Así que podemos suponer
que uno es verde y el otro amarillo. Ahora encontramos todos los puntos que
pueden ser conectados con el azul por una secuencia de líneas, utilizando
solamente puntos azules y rojos. Llamamos a esto una cadena de Kempe azul-roja[35].
Llamamos a esto una cadena de Kempe azul-r. Por definición, cualquier punto que
no está en la cadena de Kempe, pero es vecino de un punto en la cadena, es o
verde o amarillo, porque un vecino azul o rojo ya estaría en la cadena.
Habiendo encontrado dicha cadena, observamos que intercambiar los dos colores
azul y rojo para todos los puntos dentro de la cadena produce otro coloreado de
la red, que sigue satisfaciendo la condición clave de que puntos adyacentes
tienen colores diferentes (véase Figura 11).
Figura 11. Intercambio de colores en una cadena de Kempe (líneas negras
gruesas) con un punto de grado 4 (blanco) que tiene vecinos de los cuatro
colores. Izquierda: Colores originales. Derecha: Con los colores
intercambiados, el azul está disponible para el punto blanco.
Si el
vecino rojo de nuestro punto original no está en esta cadena azul-roja, hagamos
dicho cambio. El vecino azul de los puntos originales se vuelve rojo; el vecino
rojo sigue siendo rojo. Ahora los vecinos del punto original utilizan a lo sumo
tres colores diferentes: rojo, verde y amarillo. Esto deja el azul para el
punto original, y ya está hecho. Sin embargo, la cadena azul-roja podría
enrollarse y unirse con el vecino azul. Si es así, dejamos sola la cadena azul
y roja, y en su lugar utilizamos el mismo truco para los vecinos amarillo y
verde del punto original. Empezamos con el verde y formamos una cadena de Kempe
verde-amarilla. Esta cadena no puede unirse con el vecino
amarillo, porque la cadena azul-roja anterior se interpone en el camino.
Intercambiamos amarillo y verde, y está hecho.
Eso deja
un último caso, cuando no hay puntos con tres o cuatro vecinos pero uno al
menos tiene cinco vecinos. Kempe propuso una regla de recoloreado similar
aunque más complicada, que parecía resolver también ese caso. Conclusión: el
teorema de los cuatro colores es verdadero, y Kempe lo había demostrado.
Incluso llegó a los medios de comunicación: The Nation, una revista
norteamericana, mencionó la solución en su sección de recensiones.
Parecía
que la demostración de Kempe había enterrado el problema. Para la mayoría de
los matemáticos era cosa hecha. Peter Guthrie Tait continuó publicando
artículos sobre el problema, buscando una demostración más sencilla; esto le
llevó a algunos descubrimientos útiles, pero la demostración más sencilla le
eludía.
Entra en
acción Percy Heawood, un profesor de matemáticas en la Universidad de Durham
conocido por el apodo «Pussy» gracias a su magnífico bigote. Cuando era
estudiante en Oxford había sabido del problema de los cuatro colores por Henry
Smith, el catedrático de Geometría. Smith le dijo que el teorema, aunque
posiblemente cierto, no estaba demostrado, así que Heawood tenía una meta. En
el camino dio con el artículo de Kempe, y trató de entenderlo. Publicó el
resultado en 1889 como el «Teorema de colorear mapas», lamentando que el
propósito de su artículo era «más destructivo que constructivo, pues se
mostrará que hay un defecto en la demostración ahora aparentemente admitida».
Kempe había cometido un error.
Era un
error sutil: ocurría en el método de recoloreado cuando el punto que se borraba
tenía cinco vecinos. El esquema de Kempe podía en ocasiones cambiar el color de
algún punto como repercusión de cambios posteriores. Pero Kempe había supuesto
que una vez que se había cambiado el color de un punto, no volvía a cambiar.
Heawood encontró una red para la que el esquema de recoloreado de Kempe no
funcionaba, de modo que su demostración era defectuosa. Kempe reconoció
rápidamente el error y añadió que él «no había conseguido remediar el defecto».
El teorema de los cuatro colores estaba de nuevo abierto.
Heawood
sacó de la debacle algo de consuelo para Kempe: su método demostraba
satisfactoriamente el teorema de los cinco colores. Heawood también desarrolló
dos generalizaciones del problema: los imperios, en los que las regiones pueden
constar de varias piezas inconexas, todas las cuales requieren el mismo color;
y mapas en superficies más complicadas. La pregunta análoga en una esfera tiene
la misma respuesta que para el plano. Imaginemos un mapa en una esfera y lo
rotamos hasta que el polo norte está en alguna parte dentro de una región. Si
se borra el polo norte se puede abrir la esfera punteada para obtener un
espacio que es topológicamente equivalente al plano infinito. La región que
contiene al polo se convierte en la región infinitamente grande que rodea al
resto del mapa. Pero hay otras superficies más interesantes. Entre ellas está
el toro, que tiene la forma de un donut con un agujero (véase Figura 12, izquierda).
Figura 12. Cortando un toro abierto y desplegándolo para formar un cuadrado.
Hay una
forma útil de visualizar el toro, que a menudo hace la vida más sencilla. Si
cortamos el toro a lo largo de dos curvas cerradas (Figura 12, centro),
podemos desplegarlo en un cuadrado (Figura 12, derecha). Esta
transformación cambia la topología del toro, pero podemos sortearlo
«identificando» lados opuestos del cuadrado. En efecto (y una definición
rigurosa hace esta idea precisa), acordamos tratar puntos correspondientes en
estos lados como si fueran idénticos. Para ver cómo va esto, invirtamos la
secuencia de imágenes. El cuadrado se enrolla, y los lados opuestos realmente
se empalman. Ahora llega la parte más ingeniosa. En realidad no se necesita
enrollar el cuadrado y unir los lados correspondientes. Simplemente podemos
trabajar con el cuadrado plano, siempre que tengamos en mente la regla para
identificar los lados. Todo lo que hagamos con el toro, como dibujar curvas en
el mismo, tiene una correspondiente construcción precisa en el cuadrado.
Heawood
demostró que siete colores son necesarios y suficientes para colorear cualquier
mapa en un toro. La Figura 13 (izquierda) muestra que siete son
necesarios, utilizando un cuadrado para representar el toro como se acaba de
describir. Observemos cómo se unen las regiones en lados opuestos. Hay
superficies como un toro, pero con más agujeros (véase Figura 13, derecha).
El número de agujeros se denomina el género y se denota por la letra g.
Heawood conjeturó una fórmula para el número de colores requerido en un toro
con g agujeros cuando g ≥ 1: es el mínimo
número entero menor o igual que
Cuando g va
de 1 a 10, está fórmula da los números:
7 8 9 10
11 12 12 13 13 14
El número
de colores especificado por la fórmula crece más lentamente que el género, y a
menudo no supone ninguna diferencia si se añade un agujero extra al toro. Esto
es una sorpresa, porque todo agujero extra proporciona más libertad para
inventar mapas complicados.
Heawood
no sacó esta fórmula del aire. Surgió al generalizar la manera en que he
demostrado el teorema de seis colores en el plano. Él pudo demostrar que este
número de colores siempre es suficiente. La gran pregunta, durante muchos años,
era si este número puede hacerse más pequeño. Ejemplos para valores pequeños
del género sugerían que la estimación de Heawood es la mejor posible. En 1968,
después de una larga investigación, Gerhard Ringel y John W. T. (Ted) Youngs
completaron los detalles finales en una demostración de que esto es correcto,
basados en su propio trabajo y en el de otros. Sus métodos son combinatorios,
basados en tipos de redes especiales, y suficientemente complicados para llenar
todo un libro [36].
Figura 13. Izquierda: Mapa de siete colores en un toro. El toro está
representado como un cuadrado cuyos lados opuestos están «enrollados»
idealmente de modo que se juntan. Se requiere que las regiones del mapa encajen
a través de los bordes correspondientes. Derecha: Toros con dos y tres agujero.
Cuando g =
0, es decir, para mapas en una esfera, la fórmula de Heawood da cuatro colores,
pero su demostración de suficiencia no funciona en una esfera. Pese a avances
impresionantes para superficies con al menos un agujero, el problema de cuatro
colores original estaba aún abierto para cualquiera. Los pocos matemáticos que
estaban dispuestos a dedicar serios esfuerzos a la cuestión se prepararon para
lo que, en términos bélicos, iba a ser sin duda un largo asedio. El problema
era un castillo fuertemente defendido. Ellos esperaban construir máquinas de
asedio cada vez más poderosas y seguir abriendo brechas hasta que cayeran los
muros del castillo. Y así lo hicieron, pero el castillo no cayó. Sin embargo,
los atacantes acumularon lentamente una gran cantidad de información sobre cómo
no resolver el problema y sobre los tipos de obstáculos que parecían
inevitables. A partir de estos fallos empezó a surgir una ambiciosa estrategia.
Era una ampliación natural de los métodos de Kempe y de Heawood, y llegó en tres
partes. Las enunciaré utilizando la red dual, el punto de vista estándar en
nuestros días:
1.
Considerar un criminal mínimo.
2.
Encontrar una lista de configuraciones inevitables: redes más pequeñas con la
propiedad de que cualquier criminal mínimo debe contener algo que está en la
lista.
3.
Demostrar que cada una de las configuraciones inevitables es reducible. Es
decir: si una red más pequeña, obtenida eliminando la configuración inevitable,
puede ser 4-coloreada, entonces estos colores pueden redistribuirse de modo que
cuando se recupera la configuración inevitable, el 4-coloreado de la red más
pequeña se extiende a la red entera.
Juntando
estos tres pasos podemos demostrar que no existe un criminal mínimo. Si
existiera, contendría una configuración inevitable. Pero el resto de la red es
más pequeño, de modo que la minimalidad implica que puede ser 4-coloreado. La
reducibilidad implica ahora que la red original puede ser 4-coloreada. Esto es
una contradicción.
En estos
términos, Kempe había encontrado correctamente una lista de configuraciones
inevitables: un punto en el que se juntan tres líneas, uno en el que se juntan
cuatro y uno en el que se juntan cinco (veáse Figura 14). Él también había
demostrado correctamente que las dos primeras son reducibles. Su error estaba
en su demostración de que la tercera configuración es reducible. No lo es.
Propuesta: reemplazar esta mala configuración por una lista más larga,
asegurando que la lista sigue siendo inevitable. Hacerlo de tal manera que cada
configuración en la nueva lista es reducible. Es decir: buscar una lista
inevitable de configuraciones reducibles. Si se consigue, se ha demostrado el
teorema de los cuatro colores.
Figura 14. Lista de Kempe de configuraciones inevitables.
Podría no
haber tal lista pero esta estrategia bien vale un intento, y nadie tenía ideas
mejores. Tiene una delicada tensión interna, no obstante. Por una parte, cuanto
más larga es la lista, más probabilidades tiene de ser inevitable, lo que es
bueno. Por otra parte, cuanto más larga es la lista, menos probable es que toda
configuración en ella sea reducible. Basta con que una sola no lo sea para que
la demostración entera colapse, y este peligro se hace más agudo a medida que
la lista crece, lo que es malo. Por una tercera parte… una lista más larga
proporciona más oportunidades para escoger configuraciones reducibles, lo que
es bueno. Por una cuarta parte, aumenta el trabajo necesario para demostrar la
reducibilidad, lo que es malo. Y por una quinta parte, en cualquier caso no
había nuevos métodos para hacerlo, lo que era peor.
Son cosas
de este tipo las que hacen grande un gran problema.
Así que
durante un tiempo la parte singular del castillo fue cediendo ocasionalmente,
pero su pérdida no suponía la más mínima diferencia para la solidez de la
fortaleza. Mientras tanto las matemáticas de la corriente principal bostezaban,
si es que prestaban alguna atención. Pero alguien estaba construyendo un ariete
mejor, y su nombre era Heinrich Heesch. Su gran aportación fue una manera
sistemática de demostrar que una configuración es reducible. Él la llamaba
«descargar», y era algo parecido a imaginar que los puntos en la red llevan
carga eléctrica y permitir que la electricidad fluya de un punto a otro.
Incluso
con este método, encontrar a mano un conjunto inevitable de configuraciones
reducibles sería una tarea abrumadora. Las configuraciones individuales serían
probablemente bastante pequeñas, pero tendría que haber muchas de ellas. Heesch
insistió, y en 1948 dio una serie de conferencias sugiriendo que serían
necesarias unas diez mil configuraciones. Para entonces ya había demostrado que
quinientos candidatos eran reducibles. Entre la audiencia había un joven
llamado Wolfgang Haken, quien más tarde dijo que en realidad no había entendido
mucho de las lecciones de Heesch en esa época, aunque se le habían quedado en
la cabeza algunos de los puntos principales. Haken pasó a estudiar topología e
hizo un avance importante en la teoría de nudos. Esto le animó a trabajar en la
conjetura de Poincaré (véase capítulo 10). Para una línea de ataque particular,
clasificó las posibilidades en doscientos casos, resolvió 198 de ellos y
especuló con los dos restantes durante trece años. En ese momento lo dejó, y en
su lugar empezó a trabajar en el problema de los cuatro colores. Es evidente
que a Haken le gustaban los problemas difíciles, pero le preocupaba que algo
similar pudiera haber sucedido con las diez mil configuraciones de Heesch.
Imaginemos que tratamos acertadamente 9998 y nos quedamos atascados en las dos
últimas. Por ello, en 1967 Haken invitó a Heesch a visitar la Universidad de
Illinois, donde él trabajaba, para pedirle consejo.
En
aquellos días los ordenadores empezaban a hacerse útiles para las matemáticas
reales, pero eran máquinas enormes situadas en algún edificio central, no
objetos que descansaban en la mesa o dentro de un maletín. Haken se preguntaba
si podrían ser de ayuda. Heesch ya había tenido la misma idea e hizo una
estimación aproximada de la complejidad del problema. Esta indicaba que el
mejor ordenador del que podía disponer no estaba a la altura de la tarea.
Illinois tenía un ordenador mucho más potente, un ILLIAC-IV, de modo que Haken
solicitó tiempo. Pero el superordenador no estaba listo, y por ello se le dijo
que lo intentase en el Cray 600 del Laboratorio de Brookhaven en Long Island.
El director del centro de computación del laboratorio era Yoshio Shimamoto, que
llevaba mucho tiempo fascinado con el problema de los cuatro colores; esto fue
un golpe de suerte que dio a Heesch y Haken acceso a la máquina.
El
ordenador respondió a las expectativas, pero Haken empezó a preguntarse si
podía utilizarse de forma más eficiente. Ellos estaban generando montones de
configuraciones reducibles y esperaban reunir una lista inevitable, pero esa
estrategia gastaba mucho tiempo en configuraciones potenciales que resultaron
no ser reducibles. ¿Por qué no hacerlo al revés: hacer de la inevitabilidad el
objetivo principal y comprobar más tarde la reducibilidad? Por supuesto, habría
que utilizar configuraciones que tuvieran una alta probabilidad de ser
reducibles, pero parecía una mejor manera de avanzar. Para entonces, sin
embargo, el Cray de Brookhaven estaba siendo utilizado en cosas más
importantes. Peor aún, varios expertos dijeron a Haken que los métodos que él
quería utilizar no podían traducirse en programas de ordenador. Él los creyó, y
dio una conferencia diciendo que el problema no podía resolverse sin
ordenadores pero ahora parecía que tampoco podía resolverse con ordenadores.
Había decidido abandonar.
Entre la
audiencia había un experto programador, Kenneth Appel, quien dijo a Haken que
probablemente los presuntos expertos solo estaban tratando de disuadirle porque
el programa requeriría mucho trabajo y el resultado era muy incierto. En
opinión de Appel no había ningún problema matemático que no pudiera ser
programado. La cuestión crucial era si el programa llegaría a alguna parte en
un tiempo razonable. Ambos unieron sus fuerzas. La estrategia evolucionó a
medida que mejoras en el método de descarga provocaban cambios en el programa y
las mejoras en el programa provocaban cambios en el método de descarga. Esto
les llevó a un nuevo concepto: configuraciones «geográficamente buenas», que no
contenían ciertas configuraciones molestas que impedían la reducibilidad. La
probabilidad de que una configuración semejante fuera reducible estaba muy
mejorada, y la propiedad definitoria era fácil de comprobar. Appel y Haken
decidieron demostrar con la teoría, en lugar de mediante ordenador, que había
una lista inevitable de configuraciones geográficamente buenas. En 1974 lo
habían conseguido.
Esto era
alentador, pero ellos sabían lo que sin duda iba a suceder. Algunas de sus
configuraciones geográficamente buenas resultarían no ser reducibles, de modo
que tendrían que eliminarlas y reemplazarlas por una lista más larga y más
complicada. El cálculo se estaba persiguiendo la cola y solo tendría éxito si
la atrapaba. En lugar de perder años en una búsqueda infructuosa, hicieron
algunas crudas estimaciones de cuánto tiempo podría llevar el proceso. Los
resultados fueron moderadamente alentadores, de modo que el trabajo continuó.
Teoría y computación se alimentaban y cambiaban una a otra. A veces, el
ordenador parecía tener una mente propia, «descubriendo» propiedades útiles de
las configuraciones. En ese momento la administración de la universidad compró
para su propio uso un nuevo ordenador muy potente; más potente, de hecho, que
los que estaban disponibles para los científicos de la universidad. Después de
algunas protestas y preguntas mordaces, la mitad del tiempo de la máquina se
puso a disposición de los científicos. La lista siempre cambiante de
configuraciones inevitables de Appel y Haken se estabilizó en unas dos mil de
ellas. En junio de 1976 el ordenador realizó su última comprobación de
reducibilidad, y la demostración estaba completa. La historia llegó a los
medios de comunicación, empezando por The Times, y rápidamente se
difundió por todo el mundo.
Aún
tenían que asegurar que no había errores estúpidos, y para entonces otros
equipos les pisaban los talones. En julio, Appel y Haken confiaban en que su
método funcionaba y anunciaron oficialmente su demostración a la comunidad
matemática. Para ello hicieron circular una prepublicación —una versión
preliminar y de fácil distribución de un artículo del que se pretende una
publicación posterior—. En esa época, lo normal era que pasaran entre uno y dos
años antes de tener un artículo matemático en prensa. Para evitar un atasco en
el progreso la profesión tenía que encontrar una forma más rápida para
comunicar resultados importantes a la comunidad, y las prepublicaciones eran la
forma de hacerlo. En nuestros días, las prepublicaciones se colocan en la web.
Las prepublicaciones son siempre provisionales; la publicación definitiva
requiere revisión por pares. Las prepublicaciones ayudan en este proceso porque
cualquiera puede leerlos, buscar errores o mejoras, y decírselo a los autores.
De hecho, la versión publicada suele diferir de modo notable de la
prepublicación, precisamente por esta razón.
La
demostración final necesitó mil horas de tiempo del ordenador e incluía 487
reglas de descarga; los resultados se publicaron en forma de dos artículos con
un suplemento de 450 páginas que mostraba 1482 configuraciones. En esa época
fue un tour de force.
Sin
embargo, la reacción principal de la comunidad matemática más amplia fue de
vago malestar. No por el resultado; no por el notable logro computacional. Lo
que producía malestar era el método. En los años setenta las demostraciones
matemáticas eran cosas que se hacían a mano y se comprobaban a mano. Como dije
en el capítulo 1, una demostración es una historia cuyo argumento convence de
que el enunciado es verdadero. Pero esta historia no tenía un argumento. O si
lo tenía, había un gran agujero en el centro:
Había una
vez una bella conjetura. Su madre le dijo que nunca debía entrar en el bosque
oscuro y peligroso. Pero un día la Pequeña Conjetura de los Cuatro Colores se
escapó y se adentró en el bosque inevitable. Ella sabía que si cada
configuración en el bosque fuera reducible, tendría una demostración, se
convertiría en el Pequeño Teorema de los Cuatro Colores y sería publicada en
una revista dirigida por el Príncipe Tom. Ella llegó a un ordenador cubierto de
caramelo, en lo profundo del bosque, y dentro había un Lobo disfrazado de
programador. Y el Lobo dijo: «Sí, todas son reducibles», y todos fueron
felices.
No, no
funciona. Estoy frivolizando, pero el agujero en este cuento de hadas es el
mismo agujero que hay en la demostración de Appel-Haken, o, al menos, lo que
muchos matemáticos consideraban que era el agujero en la demostración. ¿Cómo
sabemos que el Lobo está en lo cierto?
Ejecutamos
nuestro propio programa de ordenador y vemos si coincide. Pero por muchas veces
que lo hagamos, no tiene la misma aureola de autenticidad que, por ejemplo, mi
demostración de que no se puede cubrir con fichas de dominó un tablero de
ajedrez recortado. No se puede captar en conjunto. Nadie podría comprobar a
mano todos los cálculos aunque viviese mil millones de años. Peor aún, si se
pudiera, nadie creería la respuesta. Los seres humanos cometen errores. En mil
millones de años, cometen un montón de errores.
Los
ordenadores, en general, no los cometen. Si un ordenador y un ser humano hacen
un cálculo aritmético realmente complicado y discrepan, lo inteligente es
apostar a favor del ordenador. Pero eso no es seguro. Un ordenador que está
funcionado exactamente como se ha planeado puede cometer un error; por ejemplo,
un rayo cósmico puede atravesar su memoria y cambiar un 0 por un 1. Eso puede
precaverse haciendo de nuevo el cálculo; pero, lo que es más serio, los
diseñadores pueden cometer errores. El chip Intel P5 Pentium tenía un error en
sus rutinas de aritmética de punto flotante: si se le pedía que dividiera
4.195.835 por 3.145.727, respondía con 1,33373, cuando la respuesta correcta es
1,33382. Al parecer, se habían omitido cuatro entradas en una tabla[37]. Otras
cosas que pueden fallar incluyen el sistema operativo del ordenador y errores
en el programa del usuario.
Se ha
dedicado mucha palabrería filosófica a la proposición de que la demostración
asistida por ordenador de Appel-Haken cambió la naturaleza de la
«demostración». Yo puedo ver lo que los filósofos pretenden, pero el concepto
de demostración que utilizan quienes trabajan en matemáticas no es el que
enseñamos a los estudiantes universitarios en las clases de lógica matemática.
E incluso cuando se aplica ese concepto más formal, nada exige que la lógica de
cada paso sea comprobada por un ser humano. Durante siglos los matemáticos han
utilizado máquinas para la aritmética rutinaria. E incluso si un ser humano
revisa una demostración línea por línea, sin encontrar errores, ¿cómo sabemos
que no ha pasado por alto uno? La lógica perfecta e incuestionable es un ideal
al que aspiramos. Los seres humanos imperfectos hacen lo mejor que pueden, pero
nunca pueden eliminar todo elemento de incertidumbre.
En Four
Colours Suffice, Robin Wilson pone el dedo en un aspecto sociológico clave
de la reacción de la comunidad:
La
audiencia se dividía en dos grupos: a los de más de cuarenta años no se les
podía convencer de que una demostración por ordenador era correcta, mientras
que a los de menos de cuarenta años no se les podía convencer de que una
demostración que contiene setecientas páginas de cálculos a mano podía ser
correcta.
Si
nuestras máquinas nos superan en algunas cosas, tiene sentido utilizar
máquinas. Las técnicas de demostración pueden cambiar, pero lo
hacen continuamente; eso se llama «investigación». El concepto de demostración
no se altera radicalmente si algunos pasos los hace un ordenador. Una
demostración es una historia; una demostración asistida por ordenador es una
historia que es demasiado larga para ser contada con todo detalle, de modo que
hay que hacer un resumen ejecutivo y un enorme apéndice automatizado.
Desde el
trabajo pionero de Appel y Haken, los matemáticos se han acostumbrado a la
ayuda del ordenador. Siguen prefiriendo las demostraciones que
se basan solamente en la potencia del cerebro humano, pero la mayoría de ellos
no hacen de ello un requisito. En los años noventa, sin embargo, había todavía
un cierto malestar justificable ante la demostración de Appel-Haken. Por ello,
en lugar de volver a comprobar el trabajo, algunos matemáticos decidieron
rehacer toda la demostración, sacando ventaja de los nuevos avances teóricos y
los ordenadores muy mejorados. En 1994 Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul
Seymour y Robin Thomas prescindieron de todo lo que había en el artículo de
Appel y Haken excepto la estrategia básica. En menos de un año habían encontrado
un conjunto inevitable de 633 configuraciones, de cada una de las cuales podía
demostrase que era reducible utilizando solamente 32 reglas de descarga. Esto
era mucho más sencillo que las 1482 configuraciones y 487 reglas de descarga.
Los ordenadores actuales son tan rápidos que ahora la demostración completa
puede verificarse en un ordenador casero en unas pocas horas.
Todo esto
está muy bien, pero el ordenador sigue siendo el rey. ¿Podemos prescindir de
él? Hay una sensación creciente de que en este caso concreto quizá no sea
totalmente inconcebible una historia que los seres humanos pueden captar en su
totalidad. Quizá nuevas ideas en el problema de los cuatro colores llevarán al
fin a una demostración más sencilla, con poca o ninguna ayuda del ordenador, de
modo que los matemáticos puedan leerla, reflexionar sobre ella y decir «¡Sí!».
Aún no conocemos esa demostración, y quizá no exista, pero hay una sensación en
el aire…
Los
matemáticos están aprendiendo mucho sobre redes. Topólogos y geómetras están
encontrando profundas relaciones entre redes y áreas de las matemáticas
completamente diferentes, incluidas algunas que se aplican a la física
matemática. Uno de los conceptos que aparecen, de vez en cuando, es el de
curvatura. El nombre es adecuado: la curvatura de un espacio nos dice cómo se
deforma. Si es liso como el plano, su curvatura es cero. Si se curva en la
misma dirección, de la misma manera que una colina se curva hacia abajo en
todas partes, tiene curvatura positiva. Si es como un paso entre montañas, que
se curva hacia arriba en unas direcciones pero hacia abajo en otras, tiene
curvatura negativa. Hay teoremas geométricos, descendientes de la fórmula de
Euler, que relacionan redes dibujadas en un espacio con la propia curvatura del
espacio. A eso se refiere la fórmula de Heawood para un todo g-agujereado.
Una esfera tiene curvatura positiva; un toro representado como un cuadrado con
los lados opuestos identificados (véase Figura 12, derecha), tiene
curvatura cero; y un toro con dos o más agujeros tiene curvatura negativa. De
modo que hay cierto tipo de vínculo entre curvatura y coloreado de mapa.
Detrás de
este vínculo hay una propiedad útil de la curvatura: es difícil deshacerse de
ella. Es como un gato bajo una alfombra. Si la alfombra es plana, no hay gato,
pero si se ve un bulto, hay un gato debajo. Se puede perseguir al gato por la
alfombra, pero todo lo que se consigue es mover el bulto de un lugar a otro.
Del mismo modo, la curvatura puede moverse, pero no eliminarse. A menos que el
gato llegue al borde de la alfombra, en cuyo caso puede escapar llevándose con
él su curvatura. Las reglas de descarga de Heesch son un poco como la
curvatura. Desplazan la carga eléctrica, pero no la destruyen. ¿Podría existir
algún concepto de curvatura para una red, y algunas astutas reglas de descarga
que, en efecto, desplacen la curvatura?
Si así
fuera, uno podría ser capaz de persuadir a una red para colorearse de modo
automático. Asignamos curvatura a sus puntos (y quizá líneas); luego dejamos
que la red redistribuya la curvatura más uniformemente. Aquí «uniformemente»
implica quizá que bastan cuatro colores si establecemos todo de forma correcta.
Es solo una idea, no es mía, y no la he explicado con bastante detalle para que
tenga mucho sentido. Pero refleja la intuición de algunos matemáticos, y ofrece
esperanzas de que aún pueda encontrarse una demostración más conceptual del
teorema de los cuatro colores —una historia entretenida antes que un resumen
con mil millones de listines telefónicos como apéndice—. En el capítulo 10
encontraremos una idea similar, en un contexto mucho más sofisticado, que
resolvió un problema aún mayor en topología.
Capítulo
5
Simetría esférica
La conjetura de Kepler
Todo
empezó con un copo de nieve.
La nieve
tiene una extraña belleza. Cae del cielo en suaves copos blancos, vuela en el
viento para crear blandos montículos que cubren el paisaje, forma
espontáneamente extrañas figuras. Es fría. Podemos esquiar sobre ella, viajar
en un trineo, hacer bolas de nieve y muñecos de nieve con ella… y si no tenemos
suerte, podemos quedar enterrados por miles de toneladas de ella. Cuando
desaparece no vuelve directamente al cielo en forma de copos blancos. Se
convierte en agua ordinaria. Puede evaporarse y volver al cielo, por supuesto,
pero puede viajar por ríos hasta llegar al mar, y pasa mucho tiempo en los
océanos. La nieve es una forma de hielo, y el hielo es agua congelada.
Esto no
es nada nuevo. Quizá ya era obvio para los neandertales.
Los copos
de nieve no son en absoluto grumos informes. Cuando son prístinos, antes de que
empiecen a fundirse, muchos de ellos son estrellas minúsculas e intrincadas:
planas, de seis lados y simétricas. Otros son simples hexágonos. Algunos tienen
menos simetría, otros tienen una tercera dimensión apreciable, pero los copos
de nieve con simetría séxtuple son icónicos y están muy extendidos. Los copos
de nieve son cristales de hielo. Esto tampoco es nuevo: solo tenemos que
reconocer un cristal cuando vemos uno. Pero no son cristales ordinarios, con
caras planas y poligonales. Su característica más enigmática añade un toque de
caos: pese a tener la misma simetría, la estructura detallada difiere de un
copo de nieve al siguiente. No hay dos copos de nieve iguales, dicen algunos.
Siempre me he preguntado cómo lo saben, pero los números favorecen esa idea si
se es suficientemente pedante sobre lo que cuenta como iguales.
¿Por qué
los copos de nieve tienen seis lados? Hace cuatrocientos años, uno de los
grandes matemáticos y astrónomos del siglo XVII se planteó esta pregunta, y
sugirió una respuesta. Resultó ser una respuesta sorprendentemente buena, y más
teniendo en cuenta que no hizo ningún experimento especial. Tan solo combinó
algunas ideas simples que eran conocidas para todos. Por ejemplo, la forma en
que las semillas de granada están empaquetadas dentro del fruto.
Su nombre
era Johannes Kepler, y tenía una muy buena razón para pensar en los copos de
nieve. Su sustento dependía de un rico mecenas, John Wacker de Wakenfels. En
esa época Kepler era matemático de la corte de Rodolfo II, emperador del Sacro
Imperio Romano, y Wacker, un diplomático, era consejero del emperador. Kepler
quería dar a su mecenas un regalo de Año Nuevo. En principio, debería ser
barato, inusual y estimulante. Wacker debería hacerse una idea de los notables
descubrimientos que su dinero estaba haciendo posibles. De modo que Kepler
reunió sus ideas sobre los copos de nieve en un librito, y ese fue el regalo.
Su título era De nive sexangula («Sobre el copo de nieve de
seis puntas»). Fue en 1611. Escondido en su interior, uno de los pasos
importantes en el pensamiento de Kepler, había un breve comentario: un enigma
matemático que iba a tardar 387 años en resolverse.
Kepler
era un empedernido buscador de pautas. Su trabajo científico más influyente fue
el descubrimiento de tres leyes básicas del movimiento planetario, la primera y
más conocida de las cuales es que la órbita es una elipse. También era un
místico, totalmente imbuido de la idea platónica de que el universo se basa en
números, pautas y formas matemáticas. Hacía astrología tanto como astronomía:
en esa época los matemáticos solían hacer chapuzas como astrólogos, porque
realmente podían hacer las cuentas para calcular cuando el ascendiente estaba
en Acuario. Los patronos ricos, incluso la realeza, les pagaban por hacer
horóscopos.
En su
libro Kepler señalaba que la nieve empieza como vapor de agua, que es informe,
pero de algún modo el vapor se convierte en copos sólidos de seis lados. Algún
agente debía causar esa transición, insistía Kepler:
¿Imprime
[este agente] la forma de seis puntas en la materia exigido por la materia, o
lo hace por su propia naturaleza, una naturaleza, por ejemplo, en la que está
innata bien la idea de la belleza inherente en el hexágono o bien el
conocimiento del propósito que dicha forma favorece?
En busca
de la respuesta, él consideró otros ejemplos de formas hexagonales en la
naturaleza. En seguida vienen a la mente los panales de miel en las colmenas.
Están hechos de dos capas de celdas hexagonales, adosadas, y sus extremos
comunes están formados por tres rombos (paralelogramos con todos los lados
iguales). Esta forma le recordaba a Kepler la de un sólido llamado dodecaedro
rómbico (véase Figura 15). No es uno de los cinco poliedros regulares que los
pitagóricos conocían y Euclides clasificó, pero tiene una propiedad distintiva:
pueden empaquetarse copias idénticas para llenar exactamente el espacio, sin
dejar huecos. La misma forma se da en las granadas, donde pequeñas semillas
redondas crecen, se aprietan y por consiguiente se ven forzadas a crear un
empaquetamiento eficiente.
Figura 15. El dodecaedro rómbico, un sólido con 12 caras rómbicas.
Figura 16. Izquierda: Empaquetamiento en red cuadrada. Derecha:
Empaquetamiento en red triangular (también llamada hexagonal).
Como
cualquier matemático razonable, Kepler empieza por el caso más simple en el que
las esferas forman una única capa plana. Esto es equivalente a empaquetar
círculos idénticos en el plano. Aquí encuentra solo dos disposiciones
regulares. En una, las esferas se disponen en cuadrados (véase Figura 16, izquierda);
en la otra se disponen en triángulos equiláteros (véase Figura 16, derecha).
Estas disposiciones, repetidas a lo largo del plano infinito, son la red
cuadrada y la red triangular. La palabra «red» hace referencia a esta pauta
espacialmente periódica que se repite en dos direcciones independientes. Las
figuras necesariamente muestran una porción finita de la pauta, así que
deberíamos olvidarnos de los bordes. Lo mismo sucede con las Figuras 17-20 más
abajo. La Figura 16, izquierda y derecha, muestran cinco filas de esferas, y en
cada fila las esferas tocan a sus vecinas. Sin embargo, la red triangular está
ligeramente comprimida: sus filas están más juntas. Por ello las esferas en la
red triangular están más estrechamente empaquetadas que las de la red cuadrada.
A
continuación, Kepler se pregunta cómo pueden colocarse capas sucesivas de este
tipo unas encima de otras, y considera cuatro casos. En los dos primeros, todas
las capas son redes cuadradas. Una forma de apilar las capas es colocar las
esferas de cada capa directamente encima de las que están debajo. Entonces cada
esfera tendrá seis primeras vecinas: cuatro dentro de su capa, una encima y una
debajo. Este empaquetamiento es como un tablero de ajedrez tridimensional hecho
de cubos, y en eso se convertiría si se inflaran las esferas hasta que ya no
pudieran expandirse más. Pero esto, dice Kepler, «no será el empaquetamiento
más apretado». Puede apretarse más deslizando lateralmente la segunda capa, de
modo que sus esferas encajen limpiamente en las hendiduras entre las esferas de
la capa inferior (véase Figura 17, izquierda). Repitamos este
proceso, capa a capa (Figura 17, derecha). Ahora cada esfera tiene
doce vecinas: cuatro en su propia capa, cuatro arriba y cuatro abajo. Si las
inflamos el espacio se llenará con dodecaedros rómbicos.
En los
otros dos casos, las capas son redes triangulares. Si están apiladas de modo
que las esferas de cada capa caen directamente sobre las que están debajo,
entonces cada esfera tiene ocho vecinas: seis en su propia capa, una encima y
una debajo. Alternativamente, las esferas en la capa siguiente pueden estar de
nuevo encajadas en las hendiduras de la capa inferior. Ahora cada esfera tiene
doce vecinas: seis en su propia capa, tres encima y tres debajo. Este es el
mismo número de vecinas que las esferas en la segunda disposición de capas
cuadradas, y Kepler ofrece un cuidadoso análisis de la geometría para mostrar
que esta cuarta disposición es en realidad la misma que la segunda. La única
diferencia es que las capas cuadradas ya no son horizontales sino que están
inclinadas un ángulo. Él escribe: «Así pues, el empaquetamiento más apretado en
tres dimensiones, la pauta triangular, no puede existir sin la cuadrada, y
viceversa». Volveré a esto: es importante.
Tras
exponer la geometría básica del empaquetamiento de esferas, Kepler vuelve al
copo de nieve y la simetría séxtuple. Recuerda el empaquetamiento en red
triangular de esferas en un plano, en el que cada esfera está rodeada por otras
seis, que forman un hexágono perfecto. Esta, decide él, debe ser la causa de
que los copos de nieve tengan seis lados.
Figura 17. Izquierda: Añadiendo una segunda capa de esferas (círculos
abiertos) sobre la primera capa (gris). Derecha: Repitiendo esta construcción.
Este
capítulo no trata principalmente de copos de nieve, pero la explicación de
Kepler de su simetría es muy similar a la que daríamos hoy, de modo que sería
una lástima detenernos aquí. ¿Por qué son —cómo pueden ser— tan variados, y
pese a todo simétricos? Cuando el agua cristaliza para formar hielo los átomos
de hidrógeno y oxígeno que forman las moléculas de agua se empaquetan en una
estructura simétrica, la red cristalina. Esta red es más complicada que
cualquiera de las disposiciones de esferas de Kepler, pero su simetría
dominante es séxtuple. Un copo de nieve crece a partir de una minúscula
«semilla» de solo unos pocos átomos dispuestos como un pequeño fragmento de
red. Esta semilla tiene la misma simetría séxtuple y fija el escenario para el
crecimiento del cristal de hielo cuando los vientos lo zarandean de aquí para
allá dentro de una nube de tormenta.
La gran
variedad de pautas de copos de nieve es una consecuencia de las condiciones
variables en la nube. Dependiendo de cuáles sean la temperatura y la humedad,
el crecimiento cristalino puede ser uniforme o puede ser dendrítico. En el
primer caso, los átomos se van añadiendo al mismo ritmo a lo largo de todo el
contorno, lo que lleva a hexágonos de lados rectos. En el segundo, el ritmo de
crecimiento varía de un lugar a otro, lo que da lugar a estructuras
arborescentes. Conforme el copo en crecimiento es movido arriba y abajo a
través de la nube, estas condiciones siguen cambiando, aleatoriamente. Pero el
copo es tan minúsculo que en cualquier momento dado las condiciones son en
esencia las mismas en las seis puntas, de modo que todas hacen lo mismo. Todo
copo de nieve lleva trazas de su historia. En la práctica, la simetría séxtuple
nunca es exacta, pero suele estar muy próxima. El hielo es una materia extraña,
y también son posibles otras formas: puntas, placas planas, prismas
hexagonales, prismas con placas en sus extremos. La historia completa es muy
complicada, pero todo se basa en cómo están dispuestos los átomos en los
cristales de hielo[38]. En los
días de Kepler la teoría atómica era, como mucho, una vaga sugerencia de
algunos antiguos griegos; es sorprendente hasta dónde llegó sobre la base de
observaciones rústicas, experimentos mentales y una sensibilidad por las
pautas.
La
conjetura de Kepler no se refiere a los copos de nieve como tales. La conjetura
es su comentario displicente de que apilar capas de esferas estrechamente
empaquetadas, de modo que capas sucesivas encajen en las hendiduras que quedan
entre las de la capa anterior, lleva «al empaquetamiento más apretado en tres
dimensiones». La conjetura puede resumirse de manera informal: si se quiere
empaquetar muchas naranjas en una caja grande, ocupando el máximo espacio
posible, habría que empaquetarlas como lo haría cualquier frutero.
La
dificultad no está en encontrar la respuesta. Kepler nos la dio. Lo
difícil es demostrar que tenía razón. Durante siglos se acumularon muchas
pruebas indirectas. Nadie pudo dar con un empaquetamiento más estrecho. La
misma disposición de átomos es común en cristales, donde el empaquetamiento
eficiente corresponde presumiblemente a minimizar la energía, un principio
estándar que gobierna muchas formas naturales. Este tipo de pruebas eran
bastante buenas para satisfacer a la mayoría de los físicos. Por otra parte,
nadie podía dar con una demostración de que no había nada
mejor. Cuestiones más sencillas del mismo tipo, tales como empaquetar círculos
en el plano, resultaron tener profundidades ocultas. El área entera era difícil
y estaba llena de sorpresas. Todo esto preocupaba a los matemáticos, incluso si
la mayoría de ellos pensaba que Kepler tenía la respuesta correcta. En 1958 C.
Ambrose Rogers describió la conjetura de Kepler como algo que «muchos
matemáticos creen, y todos los físicos saben[39]». Este
capítulo describe cómo los matemáticos convirtieron esta creencia en certeza.
Para
entender lo que hicieron tenemos que echar una mirada más cercana a la
disposición de esferas de Kepler, que es conocida como la red cúbica de caras
centradas. Cuando lo hacemos empiezan a manifestarse las sutilezas del
problema. La primera cuestión que viene a la mente es por qué utilizamos redes
cuadradas. Después de todo, el empaquetamiento más apretado en una única capa
se da para la red triangular. La respuesta es que también podemos obtener la
red cúbica de caras centradas utilizando capas triangulares; esta es la esencia
del comentario de Kepler de que «la pauta triangular no puede existir sin la
cuadrada». Sin embargo, es más fácil describir la red cúbica de caras centradas
utilizando capas cuadradas. Como premio añadido vemos que la conjetura de
Kepler no es tan sencilla como el empaquetamiento de naranjas por los fruteros.
Supongamos
que empezamos con una capa plana de esferas dispuestas en triángulos (véase
Figura 16, derecha). Entre las esferas hay huecos triangulares
curvos, y otra capa de esferas puede encajar en estos. Cuando empezábamos con
una red cuadrada éramos capaces de utilizar todos los huecos, de modo que la
posición de la segunda capa, y las que seguían, estaba unívocamente
determinada. Este ya no es el caso si empezamos con una disposición triangular.
No podemos utilizar todos los huecos porque están demasiado juntos. Solo
podemos utilizar la mitad. Una elección se muestra en la Figura 18 (izquierda),
utilizando pequeños puntos grises por claridad, y la Figura 18 (derecha)
muestra cómo debería colocarse la siguiente capa de esferas. La segunda manera
de encajar una nueva capa en los huecos de la capa 1 se muestra en la Figura 19
(izquierda) utilizando puntos más oscuros. Estos puntos coinciden con
huecos en la capa 2, de modo que añadimos la capa 3 en las posiciones
correspondientes: el resultado es la Figura 19 (derecha).
Figura 18. Encajando una red triangular en un conjunto de huecos en la cara
inferior.
La
distinción entre estas elecciones no supone en realidad ninguna diferencia
cuando solo tenemos estas dos capas. Si rotamos 60 ° la segunda disposición,
obtenemos la primera. Son iguales «salvo simetría». Pero una vez que han sido
colocadas las dos primeras capas, hay dos elecciones genuinamente diferentes
para la tercera. Cada nueva capa tiene dos sistemas de huecos, mostrados por
los puntos claros y oscuros en la Figura 19 (izquierda). Un sistema
coincide con los centros de la capa inmediata de debajo, visibles como pequeños
triángulos gris claro en la Figura 19 (derecha). El otro coincide con
los huecos en la capa por debajo de esta, visibles como triángulos que
contienen un minúsculo hexágono blanco en la Figura 19 (derecha). Para
obtener la red cúbica de caras centradas debemos utilizar las posiciones gris
oscuro para la tercera capa, y luego continuar la misma pauta indefinidamente.
Figura 19. Apilar unas redes triangulares unas encima de otras.
No es del
todo obvio que el resultado sea la red cúbica centrada en las caras. ¿Dónde
están los cuadrados? La respuesta es que están presentes, pero inclinados
cierto ángulo. La Figura 20 muestra seis capas triangulares sucesivas, con
algunas esferas eliminadas. Las flechas indican las filas y columnas de una red
cuadrada, oculta en el interior. Capas paralelas a esta son también redes
cuadradas, y encajan exactamente en la manera en que he construido la red
cúbica de caras centradas.
Figura 20. Ocultas dentro de las capas triangulares hay capas cuadradas, con
una inclinación.
¿Cuán
«estrecho» es este empaquetamiento? Medimos la estrechez (eficiencia,
proximidad) de un empaquetamiento por su densidad: la proporción de espacio
ocupada por las esferas[40]. Cuanto
mayor es la densidad, más estrecho es el empaquetamiento. Los cubos se
empaquetan con densidad 1, llenando todo el espacio. Como es obvio, las esferas
tienen que dejar huecos, de modo que la densidad es menor que 1. En el caso de
la red cúbica de caras centradas la densidad es π/√18, que es aproximadamente
0,7405. De modo que en este empaquetamiento las esferas llenan algo menos que
las tres cuartas partes del espacio. La conjetura de Kepler afirma que ningún
empaquetamiento de esferas puede tener una densidad mayor que esta.
Lo he
afirmado con mucho cuidado. No he dicho «el empaquetamiento cúbico de caras
centradas tiene una densidad mayor que cualquier otro». Eso es falso,
espectacularmente falso. Para ver por qué, volvamos a la construcción de la red
cúbica de caras centradas utilizando capas triangulares. Dije que una vez que
se han colocado las dos primeras capas, hay dos elecciones para la tercera
capa. La red cúbica de caras centradas aparece si utilizamos la segunda, los
puntos gris oscuro. ¿Qué sucede si utilizamos la otra, los puntos gris claro?
Ahora la capa 3 se sitúa exactamente sobre la capa 1. Si continuamos así,
colocando cada nueva capa de modo inmediato sobre la capa dos etapas por
debajo, obtenemos una segunda red de empaquetamiento: la red hexagonal. Es por completo
diferente del empaquetamiento cúbico de caras centradas, pero tiene la misma
densidad. Esto es obvio porque las dos maneras diferentes de colocar la tercera
capa están relacionadas por una simetría rotacional, de modo que su encaje con
la capa anterior es igualmente estrecho de las dos maneras.
Estos son
los dos únicos empaquetamientos en red que se pueden obtener a
partir de sucesivas capas triangulares, pero en 1883 el geólogo y cristalógrafo
William Barlow señaló que podemos escoger al azar entre las dos posibilidades
la localización de cada capa sucesiva. Puesto que una u otra posición dan la
misma contribución a la densidad, todos estos empaquetamientos tienen densidad
π/√18. Hay infinitas secuencias aleatorias, lo que lleva a infinitos
empaquetamientos diferentes, todos con la misma densidad.
En
resumen, no hay tal cosa como «el» empaquetamiento de esferas más denso. Más
bien, hay infinitos de ellos, todos igual de densos. Esta falta de unicidad es
una advertencia de que esto no es un problema simple. La densidad óptima
es única, si Kepler tenía razón, pero existen infinitas disposiciones
diferentes con esa misma densidad. De modo que una demostración de que esta
densidad realmente es óptima no es solo cuestión de encajar sucesivamente cada
nueva esfera tan prieta como sea posible. Hay elecciones.
Por
impresionante que pueda ser la experiencia de los fruteros —y la red cúbica de
caras centradas estaba sin duda presente en los mercados del Egipto
predinástico— no es ni mucho menos concluyente. De hecho, que el método del
frutero dé una buena respuesta es algo accidental. El problema al que se
enfrentan los fruteros no es empaquetar naranjas tan estrechamente como se
pueda en el espacio, donde cualquier disposición es posible en principio. Su
problema es apilar naranjas de modo estable, en un mundo donde el suelo es
plano y la gravedad actúa hacia abajo. Los fruteros empiezan, como es natural,
formando una capa; luego añaden otra capa, y así sucesivamente. Sin duda hacen
con la primera capa una red cuadrada si están colocando las naranjas dentro de
una caja rectangular. Si las naranjas no están confinadas, entonces una red
cuadrada o una red triangular es lo natural. En la práctica, ambas dan la misma
red cúbica centrada en las caras (al menos, si las capas se colocan de modo
adecuado en el caso triangular). La red cuadrada parece realmente una pobre
elección, porque no es la forma más densa de empaquetar una capa. Por suerte,
más que por buen juicio, resulta que eso no importa.
Los
físicos no están interesados en las naranjas. Lo que ellos quieren empaquetar
son átomos. Un cristal es una disposición de átomos regular y espacialmente
periódica. La conjetura de Kepler explica la periodicidad como una consecuencia
natural de que los átomos se empaquetan del modo más estrecho posible. Para los
físicos, la existencia de cristales es prueba suficiente, así que la conjetura
es evidentemente cierta. Sin embargo, acabamos de ver que hay infinitas maneras
de empaquetar esferas tan densamente como lo hacen la red cúbica de caras
centradas y la red hexagonal, pero ninguna ellas es espacialmente periódica.
Entonces, ¿por qué la naturaleza utiliza pautas periódicas para los cristales?
Una posible respuesta es que no deberíamos modelar los átomos como esferas.
Tampoco
los matemáticos están interesados en las naranjas. Como Kepler, ellos prefieren
trabajar con esferas perfectas e idénticas. No encuentran convincente el
argumento de los físicos. Si no debiéramos modelar los átomos como esferas, la
existencia de cristales deja de ser una prueba a favor de la conjetura de
Kepler. No podemos tenerla de las dos maneras. Incluso si se argumenta que la
conjetura explica en parte la red cristalina y la red cristalina muestra en
parte que la conjetura es correcta… hay una laguna lógica. Los matemáticos
quieren una demostración.
Kepler no
llamó conjetura a su afirmación: simplemente la puso en su libro. No está nada
claro si él pretendía que se interpretara de una manera tan amplia. ¿Estaba
afirmando que la red cúbica de caras centradas era el «empaquetamiento más
estrecho en tres dimensiones» entre todas las maneras concebibles de empaquetar
esferas? ¿O simplemente quería decir que era el empaquetamiento más estrecho de
los tres que había considerado? No podemos retroceder al pasado y preguntar.
Cualquiera que sea la realidad histórica, la interpretación de interés para los
matemáticos y físicos era la amplia, la ambiciosa. La que pedía contemplar toda
manera posible de empaquetar infinitas esferas en un espacio infinito, y
mostrar que ninguna de ellas tiene densidad mayor que la red cúbica de caras
centradas.
Es muy
fácil subestimar la dificultad de la conjetura de Kepler. Sin duda, la forma de
obtener el empaquetamiento más apretado es añadir esferas una a una, haciendo
que cada una toque a tantas otras como sea posible. Esto lleva inevitablemente
a la pauta de Kepler. Y así sucede si se añaden las esferas en el orden
correcto, colocándolas en las posiciones correctas cuando hay alternativas. Sin
embargo, no hay garantía de que este proceso paso a paso, añadiendo esferas de
una en una, no puede ser superado por algo de mayor alcance. Cualquiera que
haya colocado el equipaje de vacaciones en el maletero de un automóvil aprende
que encajar los bultos de uno en uno puede dejar huecos en los que nada encaja,
pero volviendo a empezar y teniendo más cuidado, a veces cabe más. Por
supuesto, parte del problema de empaquetar el equipaje de vacaciones está en
las diferentes formas y tamaños de los objetos que se trata de encajar, pero el
punto lógico es bastante claro: asegurar la disposición más apretada en una
región pequeña podría tener repercusiones y no llevar a la disposición más
apretada en una región más grande.
Las
disposiciones que considera Kepler son muy especiales. Es concebible que una
disposición por completo diferente pudiera empaquetar esferas idénticas más
apretadamente. Quizá capas con baches fueran más eficientes. Quizá «capas» es
la idea equivocada. E incluso si uno está absolutamente seguro de que es la
idea correcta, aún hay que demostrarlo.
¿No está
convencido? ¿Sigue pensando que es obvio? ¿Tan obvio que no necesita
demostración? Permítame destruir su confianza en su intuición sobre el
empaquetamiento de esferas. He aquí una pregunta mucho más sencilla
concerniente a círculos en el plano. Suponga que yo le doy 49 círculos
idénticos, cada uno de diámetro unidad. ¿Cuál es el tamaño del cuadrado más
pequeño que los contiene, si están empaquetados sin solaparse? La
Figura 21 (izquierda) muestra la respuesta obvia: empaquetarlos como
botellas de leche en una caja. El lado de la caja es exactamente 7 unidades.
Para probar que esto es lo mejor, observe que cada círculo es mantenido fijo en
su lugar por todos los demás, así que no hay modo de crear espacio extra. La
Figura 21 (derecha) muestra que esta respuesta es errónea.
Empaquetémoslos de la manera irregular mostrada y encajarán en una caja
cuadrada cuyo lado es ligeramente menor que 6,98 unidades[41]. De modo
que la demostración también es errónea. Ser riguroso no es garantía de que no
se puede hacer mejor.
Figura 21. Izquierda: 49 círculos en un cuadrado de 7×7. Derecha: Cómo
encajar 49 círculos en un cuadrado ligeramente menor.
De hecho,
es fácil ver que el razonamiento que lleva a la respuesta «7» no puede ser
correcto. Tan solo consideremos cuadrados más grandes. Utilizando una red
cuadrada, n2 círculos de diámetro 1 se empaquetan
en un cuadrado de lado n. No hay manera de mejorar la densidad
moviendo estos círculos de forma continua, porque el empaquetamiento es rígido.
Pero debe haber empaquetamientos más densos para n suficientemente
grande, porque una red triangular es más eficiente que una red cuadrada. Si
tomamos un cuadrado realmente grande, y encajamos tantos círculos en él como
podamos utilizando una red triangular, la ventaja que esto tiene sobre la red
cuadrada hará que al final gane, pese a «efectos de borde» en el contorno donde
hay que dejar huecos. El tamaño del contorno es 4n, que se hace
arbitrariamente pequeño comparado con n2. Resulta que el
punto exacto en el que domina la red triangular es cuando n =
7. Esto no es obvio y se necesita mucho trabajo detallado para establecerlo,
pero algún n tiene que funcionar. La rigidez no es suficiente.
En
realidad hay dos versiones de la conjetura de Kepler. Una considera solo el
empaquetamientos en red, donde los centros de las esferas forman una pauta
espacialmente periódica que se repite de modo indefinido en tres direcciones
independientes como una especie de papel de pared sólido. Incluso así, el
problema es difícil, porque hay muchas redes diferentes en el espacio. Los
cristalógrafos reconocen catorce tipos, clasificados por sus simetrías, y
algunos de estos tipos están determinados por números que pueden ajustarse a
infinitos valores diferentes. Pero las dificultades se agravan cuando
consideramos la segunda versión del problema, que permite todos los
empaquetamientos posibles. Cada esfera se cierne en el espacio, no hay gravedad
y no hay obligación de formar capas u otras disposiciones simétricas.
Cuando un
problema parece demasiado difícil, los matemáticos lo dejan en segundo plano y
buscan versiones más sencillas. Las ideas de Kepler sobre capas planas de
esferas sugieren empezar con empaquetamientos de círculos en un plano. Es
decir, dado un suministro infinito de círculos idénticos, empaquetarlos lo más
estrechamente posible. Ahora la densidad es la proporción de área que cubren
los círculos. En 1773, Joseph Louis Lagrange demostró que el empaquetamiento en
red más denso de círculos en un plano es la red triangular, con densidad π/√12
= 0,9069. En 1831 Gauss estaba revisando un libro de Ludwig Seeber, quien había
generalizado algunos de los resultados de Gauss en teoría de números a
ecuaciones en tres variables. Gauss comentó que los resultados de Seeber
demuestran que las redes hexagonal y cúbica de caras centradas proporcionan el
empaquetamiento más denso en el espacio tridimensional. Mucho se sabe ahora
sobre redes de empaquetamiento en espacios de dimensión más alta —4, 5, 6 y así
sucesivamente—. El caso 24-dimensional está especialmente bien entendido. (Así
son las cosas). Pese a su aire de imposibilidad práctica, esta área tiene en
realidad implicaciones para la teoría de la información y los códigos de
computación.
Los
empaquetamientos no reticulares son otra cuestión completamente diferente.
Existen infinitos, y no tienen ninguna bonita estructura regular. Entonces ¿por
qué no ir al otro extremo y ensayar empaquetamientos aleatorios? En su Vegetable
Staticks de 1727, Stephen Hales informaba de experimentos en los que
«comprimía varios lotes frescos de guisantes en el mismo puchero» y encontraba
que, cuando todos se presionaban, formaban «bonitos dodecaedros regulares».
Parece que quería decir que los dodecaedros regulares eran bellos, no que los
dodecaedros fueran muy regulares, pero la segunda interpretación es mejor
porque los dodecaedros regulares no pueden llenar el espacio. Lo que él vio
eran sin duda dodecaedros rómbicos, que ya hemos visto que están asociados con
el empaquetamiento cúbico de caras centradas. G. David Scott puso montones de
bolas de cojinete en un recipiente y lo agitó violentamente, y observó que la
densidad más alta era 0,6366. En 2008 Chaoming Song, Ping Wang y Hernán Makse
dedujeron está cifra analíticamente[42]. Sin
embargo, su resultado no implica que Kepler tuviera razón, aunque solo sea
porque, tal como está establecido, implicaría que la red cúbica de caras
centradas, con densidad 0,74, no puede existir. La manera más sencilla de
explicar esta discrepancia es que su resultado ignora excepciones
extremadamente raras. La red cúbica de caras centradas, la red hexagonal y
todas las disposiciones de capas triangulares arbitrariamente escogidas son
excepciones de este tipo. Por la misma razón, podrían existir algunas otras
disposiciones con una densidad aún mayor. No puede ser una red, pero una
búsqueda aleatoria nunca la encontrará porque su probabilidad es cero. De modo
que el estudio de empaquetamientos aleatorios, aunque relevante para muchas
cuestiones en física, no nos dice mucho sobre la conjetura de Kepler.
El primer
gran avance real llegó en 1892, cuando Axel Thue dio una conferencia en el
Congreso Escandinavo de Ciencia Natural en la que esbozó una demostración de
que ningún empaquetamiento de círculos en un plano puede ser más denso que la
red triangular. Su conferencia fue publicada, pero los detalles son demasiado
vagos para reconstruir la demostración que tenía en mente. Dio una nueva
demostración en 1910, que parecía convincente salvo por unos pocos puntos
técnicos que él sencillamente supuso que podían resolverse. En lugar de llenar
estas lagunas, László Fejes Tóth obtuvo una demostración completa por otros
métodos en 1940. Poco después, Beniamino Segre y Kurt Mahler encontraron
demostraciones alternativas. En 2010 Hai-Chau Chang y Lih-Chung Wang pusieron
en la web una demostración más sencilla[43].
Encontrar
la máxima densidad para empaquetamientos de círculos o esferas, bajo
condiciones especificadas, cae en una clase general de cuestiones matemáticas
conocida como problemas de optimización. Un problema semejante busca el máximo
o el mínimo valor de cierta función. Una función es una regla matemática para
calcular una cantidad que depende de una forma específica de cierto conjunto de
variables. La regla suele estar especificada por una fórmula, pero esto no es
esencial. Por ejemplo, el problema de la caja de leche, con 49 círculos, puede
formularse de esta manera. Las variables son las coordenadas de los centros de
los 49 círculos; puesto que cada círculo necesita dos coordenadas, hay 98
variables. La función es el tamaño del cuadrado más pequeño, con lados
paralelos a los ejes de coordenadas, que contiene un conjunto dado de círculos
que no se solapan El problema de la caja de leche es equivalente a encontrar el
valor mínimo que puede alcanzar esta función cuando las variables recorren
todos los empaquetamientos.
Figura 22. Picos y valles de una función.
Una
función puede considerarse como un paisaje multidimensional. Cada punto en el
paisaje corresponde a una elección de las variables, y la altura en dicho punto
es el correspondiente valor de la función. El máximo de la función es la altura
del pico más alto, y el mínimo es la profundidad del valle más profundo. En
principio, los problemas de optimización pueden resolverse mediante el cálculo
infinitesimal: la función debe ser horizontal en un pico o un valle (véase
Figura 22), y el cálculo infinitesimal expresa esta condición como una
ecuación. Para resolver el problema de la caja de leche por este método
tendríamos que resolver un sistema de 98 ecuaciones con 98 variables.
Una
dificultad con los problemas de optimización es que ecuaciones como estas
suelen tener muchas soluciones. Un paisaje puede tener muchos picos locales, y
solo uno de ellos es el más alto. Pensemos en el Himalaya: casi todo son
picos, pero solo el Everest tiene el récord de altura. Los
métodos para encontrar picos, de los que el más obvio es «ir cuesta arriba si
se puede», quedan a menudo atrapados en un pico local. Otra dificultad es que a
medida que crece el número de variables, también lo hace el número probable de
picos locales. No obstante, este método funciona a veces. Incluso resultados
parciales pueden ser útiles: si se encuentra un pico local, el máximo debe ser
al menos de esa altura. Así es como se encontró la disposición mejorada de
círculos en el problema de la caja de leche.
Para
empaquetamientos en red, la función cuyo máximo se busca depende solo de un
número finito de variables, las direcciones y longitudes a lo largo de las que
se repite la red. Para empaquetamientos no reticulares, la función depende de
infinitas variables: los centros de todos los círculos o esferas. En tales
casos la utilización directa del cálculo infinitesimal u otras técnicas de
optimización es imposible. La demostración de Tóth utilizaba una idea ingeniosa
para reformular el problema del empaquetamiento no reticular de círculos como
un problema de optimización en un conjunto de variables finito. Más tarde, en
1953, él se dio cuenta de que el mismo truco podía aplicarse en principio a la
conjetura de Kepler. Por desgracia, la función resultante depende de unas
ciento cincuenta variables, demasiadas para un cálculo a mano. Pero Tóth
preveía una posible salida: «Teniendo en cuenta el rápido desarrollo de
nuestros ordenadores, es imaginable que pueda determinarse el mínimo con gran
exactitud».
En ese
momento la computación estaba en su infancia y no existía ninguna máquina con
la potencia suficiente. Por ello, los progresos posteriores en la conjetura de
Kepler siguieron caminos diferentes. Varios matemáticos pusieron cotas —límites
superiores— a cuán denso podía ser un empaquetamiento de esferas. Por ejemplo,
en 1958 Rogers demostró que como máximo es 0,7797: no había ninguna excepción,
esta cota se aplicaba a todos los empaquetamientos de esferas. En 1986, J. H.
Lindsey mejoró la cota a 0,77844, y Douglas Muder la redujo un poco más en 1988
para obtener una cota de 0,77836[44]. Estos
resultados muestran que no se puede hacer mucho mejor que el
valor 0,7405 de la red cúbica centrada en las caras. Pero todavía quedaba una
laguna, y pocas perspectivas de deshacerse de ella.
En 1990
Wu-Yi Hsiang, un matemático norteamericano, anunció una demostración de la
conjetura de Kepler. Sin embargo, cuando se hicieron públicos los detalles no
tardaron en surgir dudas. Cuando Tóth revisó el artículo en Mathematical
Reviews, escribió: «Si se me pregunta [si el artículo proporciona] una
demostración de la conjetura de Kepler, mi respuesta es no. Confío en que
Hsiang llenará los detalles, pero creo que la mayor parte del trabajo está aún
por hacer».
Thomas
Hales, quien había estado trabajando en la conjetura durante muchos años,
también dudaba de que el método de Hsiang pudiera ser reparado. En su lugar, él
decidió que era el momento de tomar en serio la aproximación de Tóth. Había
crecido una nueva generación de matemáticos para quienes recurrir a un
ordenador era más natural que recurrir a una tabla de logaritmos. En 1996 Hales
esbozó una estrategia de demostración basada en la idea de Tóth. Requería
identificar todas las maneras posibles de disponer varias esferas en la
inmediata vecindad de una dada. Un empaquetamiento de esferas está determinado
por los centros de las esferas; para esferas unidad, estos deben estar alejados
al menos 2 unidades. Digamos que dos esferas son vecinas si
sus centros están alejados a lo sumo 2,51 unidades. Este valor es cuestión de
juicio: hagámoslo demasiado pequeño y no hay espacio suficiente para reordenar
vecinos para mejorar la densidad; hagámoslo demasiado grande y el número de
maneras de reordenar los vecinos se hace gigantesco. Hales encontró que 2,51
era un compromiso efectivo. Ahora podemos representar cómo se disponen los
vecinos formando una red infinita en el espacio. Sus puntos son los centros de
las esferas, y dos puntos están unidos por una línea si son vecinos. Esta red
es una especie de esqueleto del empaquetamiento y contiene información vital
sobre la vecindad de cada esfera.
Dada una
esfera cualquiera, podemos examinar sus vecinos inmediatos en la red y
considerar solo las líneas entre estos vecinos, omitiendo la esfera original.
El resultado es una especie de jaula que rodea al punto en el centro de la
esfera original. La Figura 23 (par izquierdo) muestra los vecinos de una esfera
en la red cúbica de caras centradas y la jaula asociada. La Figura 23 (par
derecho) hace lo mismo para una disposición de esferas especial, el prisma
pentagonal, que resultó ser un actor clave en la demostración. Aquí hay dos
bandas de pentágonos paralelos al «ecuador» de la esfera central, más una única
esfera en cada polo.
Figura 23. De izquierda a derecha: Vecindad de una esfera en la red cúbica
de caras centradas; la jaula formada por sus vecinos; vecindad de una esfera de
tipo prisma pentagonal; la jaula formada por sus vecinos.
Las
jaulas forman un sólido con caras planas, y la geometría de este sólido
controla la densidad de empaquetamiento cerca de la esfera central[45]. La idea
clave consiste en asociar a cada jaula un número, conocido como su puntuación,
que puede considerarse como una manera de estimar la densidad con la que están
empaquetados los vecinos de la esfera. La puntuación no es la densidad
propiamente dicha sino una cantidad que se comporta mejor y es más fácil de
calcular. En particular, se puede encontrar la puntuación de la jaula sumando
puntuaciones relacionadas con sus caras, lo que no funciona para la densidad.
En general muchas nociones diferentes de puntuación satisfacen esta condición,
pero todas coinciden en una cosa: para las redes hexagonal y cúbica de caras
centradas la puntuación es siempre 8 «puntos», independientemente de qué
elecciones se hagan en su definición. Aquí un punto es un número específico:
Así pues,
8 puntos es realmente 0,4429888. Este curioso número procede de la geometría
especial de la red cúbica de caras centradas. La observación clave de Hales
relaciona la conjetura de Kepler con este número: si toda jaula tiene una
puntuación de 8 puntos o menos, entonces la conjetura de Kepler es cierta. De
modo que el foco se desplaza a las jaulas y puntuaciones.
Las
jaulas pueden clasificarse por su topología: cuántas caras tienen con un número
dado de lados y cómo se unen estas caras. Sin embargo, para una topología dada
los lados pueden tener muchas longitudes diferentes. Las longitudes afectan a
la puntuación, pero la topología agrupa montones de jaulas diferentes y estas
pueden tratarse de la misma forma general. En su demostración final, Hales
consideró unos cinco mil tipos de jaula, pero los cálculos principales se
centraban en unos pocos centenares. En 1992, él propuso un programa de cinco
etapas:
1. Demostrar
el resultado deseado cuando todas las caras de la jaula son triángulos.
2. Mostrar
que los empaquetamientos hexagonal y cúbico de caras centradas tienen una
puntuación mayor que cualquier jaula con la misma topología.
3. Tratar el
caso cuando todas las caras de la jaula son triángulos y cuadriláteros, con la
excepción del prisma pentagonal, que es más difícil.
4. Tratar
cualquier jaula que tenga una cara con más de cuatro lados.
5. Resolver
el único caso restante, cuando la jaula es un prisma pentagonal.
La parte
1 fue resuelta en 1994, y la parte 2 en 1995. A medida que el programa se
desarrollaba, Hales modificó la definición de una jaula para simplificar el
argumento (él la llamaba «estrella en descomposición»). La nueva definición no
altera las dos jaulas ilustradas, y no tenía ningún efecto serio en aquellas
partes de la demostración que ya se habían obtenido. En 1998, utilizando el
nuevo concepto, se habían completado las cinco etapas. Un estudiante de Hales,
Samuel Ferguson, resolvió la parte 5, el caso difícil de un prisma pentagonal.
El
análisis incluía un uso intensivo de un ordenador en todas las etapas. El truco
está en elegir, para cada red local, una noción de puntuación que haga el
cálculo relativamente fácil. Desde el punto de vista geométrico, reemplazar la
densidad por la puntuación es como poner una especie de tejado sobre la parte
superior del suave paisaje cuya cima se está buscando. El tejado está hecho de
muchas piezas planas (véase Figura 24). Formas como esta son más fáciles de
tratar que superficies lisas, porque los máximos deben ocurrir en las esquinas
y Máximo del tejado estas pueden encontrarse resolviendo ecuaciones mucho más
sencillas. Hay métodos eficientes para hacerlo, conocidos como programación
lineal. Si el tejado ha sido astutamente construido de modo que su cima
coincida con la cima de la superficie lisa, entonces este cálculo más sencillo
localiza la cima de la superficie lisa.
Figura 24. Encajar un tejado sobre la parte superior de una función.
Hay un
precio que pagar por esta aproximación: hay que resolver unos cien mil
problemas de programación lineal. Los cálculos son muy largos, pero están
dentro de las capacidades de los ordenadores actuales. Cuando Hales y Ferguson
prepararon su trabajo para su publicación ocupaban unas doscientas cincuenta
páginas de matemáticas, más tres gigabytes de archivos de
ordenador.
En 1999
Hales envió la demostración a Annals of Mathematics, y la revista
escogió un panel de doce evaluadores expertos. Para 2003 el panel se declaró
«un 99 por 100 seguro» de que la demostración era correcta. La incertidumbre
restante concernía a los cálculos por ordenador; los miembros del panel habían
repetido muchos de ellos, y en otros casos habían comprobado la forma en que la
demostración estaba organizada y programada, pero fueron incapaces de verificar
algunos puntos. Con alguna demora, la revista publicó el artículo. Hales
reconocía que era probable que esta aproximación a la demostración nunca fuera
certificada como correcta al cien por cien, y en 2003 anunció que estaba
iniciando un proyecto para reformular la demostración de una manera que pudiera
verificarse mediante un ordenador utilizando software estándar
automatizado para comprobar demostraciones.
Esto
puede sonar como salir de la sartén para caer en el fuego, pero en realidad
tiene perfecto sentido. Las demostraciones que publican los matemáticos en las
revistas pretenden convencer a los seres humanos. Como dije en el capítulo 1,
este tipo de demostración es una especie de historia. Los ordenadores no son
buenos contando historias, pero son excelentes en algo que nosotros somos
inútiles: realizar cálculos largos y tediosos sin cometer errores. Los
ordenadores son ideales para el concepto formal de demostración en los libros
de texto: una serie de pasos lógicos, cada uno de los cuales se sigue de los
anteriores.
Los
científicos de la computación han explotado esta capacidad. Para comprobar una
demostración, hacemos que un ordenador verifique cada paso lógico. Debería ser
fácil, pero las demostraciones en las revistas no están escritas así. Dejan
fuera cualquier cosa rutinaria u obvia. Es fácil detectar frases consabidas:
«Es fácil verificar que…», «Utilizando los métodos de Cheesburguer y Fries,
modificados para tener en cuenta singularidades aisladas, vemos que…», «Un
breve cálculo establece…». Los ordenadores no pueden (aún) manejar cosas de
este tipo. Pero los seres humanos pueden reescribir las demostraciones llenando
todos estas lagunas, y los ordenadores pueden entonces verificar cada paso.
La razón
de que no estemos saltando sobre brasas es simple: el software que
hace la verificación tiene que comprobarse solo una vez. Es software de
propósito general, aplicable a todas las demostraciones escritas en el formato
correcto. Todas las preocupaciones sobre las demostraciones por ordenador se
centran en ese elemento de software. Verificado ese, puede ser
utilizado para verificar todo lo demás. Incluso se puede hacer el proceso
autoconsistente escribiendo el software de verificación de
demostraciones en un lenguaje que pueda comprobarse mediante un software de
verificación de demostraciones mucho más simple.
En años
recientes se han verificado de esta manera las demostraciones de muchos
teoremas matemáticos clave. A menudo las demostraciones tienen que presentarse
en un estilo que es más apropiado para el tratamiento mediante ordenador. Uno
de los éxitos actuales es una demostración verificada del teorema de la curva
de Jordan: toda curva cerrada en el plano que no se cruza consigo misma divide
al plano en dos regiones conexas diferentes. Esto puede sonar obvio, pero los
pioneros de la topología tuvieron problemas para encontrar una demostración
rigurosa. Camille Jordan lo consiguió finalmente en 1887 con una demostración
de más de ochenta páginas, pero más tarde fue criticado por hacer hipótesis
injustificadas. En su lugar, el crédito se lo llevó Oswald Veblen, quien dio
una demostración más detallada en 1905, donde decía que «la demostración [de
Jordan]… es insatisfactoria para muchos matemáticos. Supone el teorema sin
demostración en el caso especial importante de un simple polígono, y a partir
de ese punto uno debe admitir al menos que no se dan todos los detalles del
argumento». Más tarde los matemáticos aceptaron la crítica de Veblen sin poner
reparos, pero recientemente Hales volvió sobre la demostración de Jordan y no
encontró «nada objetable» en ella. El comentario de Veblen sobre un polígono es
extraño: el teorema es sencillo para un polígono, y en cualquier caso la
demostración de Jordan no se basa en esta versión[46]. Las
demostraciones narrativas tienen sus propios peligros. Siempre vale la pena
comprobar si la versión popular de la historia es la misma que la original.
Como
calentamiento para la conjetura de Kepler, Hales dio en 2007 una demostración
formal verificada por ordenador del teorema de la curva de Jordan, que
utilizaba sesenta mil líneas de programa informático. Poco después, un equipo
de matemáticos dio otra demostración formal utilizando un software diferente.
La verificación por ordenador no está por completo a salvo de fallos, pero
tampoco lo están las demostraciones tradicionales. De hecho, es probable que
muchos artículos de investigación en matemáticas contengan un error técnico en
alguna parte. Estos errores se manifiestan ocasionalmente, y la mayoría de
ellos resultan ser inocuos. Los errores graves son detectados por lo general
porque introducen inconsistencias tales que hay algo que visiblemente no tiene
sentido. Esta es otra desventaja de la aproximación narrativa: el precio que
pagamos por hacer que una demostración sea comprensible por los seres humanos
es que una historia entretenida puede a veces ser muy convincente incluso si es
falsa.
Hales
llama a su aproximación Proyecto FlysPecK —las F, P y K
significan «prueba formal de Kepler»—. Inicialmente él estimó que le llevaría
unos veinte años completar la tarea[47]. Cuando
el proyecto llevaba nueve años ya se habían hecho avances considerables. Quizá
acabe pronto.
Capítulo
6
Nuevas soluciones para lo viejo
La conjetura de Mordell
Ahora
volvemos a entrar en los dominios de la teoría de números, teniendo como
objetivo el último teorema de Fermat. Para preparar el terreno empezaré con un
problema menos familiar pero presumiblemente aún más importante. En 2002 Andrew
Granville y Thomas Tucker lo presentaban así[48]:
En [1922]
Mordell escribió uno de los más grandes artículos en la historia de las
matemáticas… En el comienzo del artículo Mordell planteaba cinco preguntas que
fueron instrumentales para motivar buena parte de la investigación importante
en aritmética diofántica en el siglo XX. La más importante y difícil de estas
preguntas fue respondida por Faltings en 1983 inventando algunas de las ideas
más profundas y poderosas en la historia de las matemáticas.
Mordell
es el teórico de números británico Louis Mordell, quien había nacido en Estados
Unidos dentro de una familia judía de origen lituano, y Faltings es el
matemático alemán Gerd Faltings. La pregunta mencionada llegó a conocerse como
conjetura de Mordell, y la cita da su estatus actual: demostrada,
brillantemente, por Faltings.
La
conjetura de Mordell pertenece a un área principal de la teoría de números: las
ecuaciones diofánticas. Se llaman así por Diofanto de Alejandría, quien
escribió un libro famoso, Arithmetica, alrededor de 250 d. C. Se
cree que originalmente la Arithmetica contenía trece libros,
pero solo seis han sobrevivido, todos ellos en copias posteriores. Este no era
un texto de aritmética en el sentido de sumas y multiplicaciones. Fue el primer
texto de álgebra y recogía casi todo lo que los griegos sabían sobre la forma
de resolver ecuaciones. Incluso contenía una forma rudimentaria de notación
algebraica, que se cree que utilizaba una variante σ de la letra griega sigma
para la incógnita (nuestra χ), ΔY para su cuadrado
(nuestra χ2) y KY para su cubo
(nuestra χ3). La suma se denotaba colocando unos
símbolos a continuación de otros, la resta tenía su propio símbolo especial, el
recíproco de la incógnita (nuestro 1/χ) era σχ,
y había otras notaciones de este tipo. Los símbolos han sido reconstruidos a
partir de copias y traducciones posteriores, y quizá no sean completamente
exactos.
En el
espíritu de las matemáticas griegas clásicas, se exigía que las soluciones de
las ecuaciones que buscaba la Arithmetica fueran números
racionales, es decir, fracciones tales como 22/7 formadas con números enteros.
A menudo se exigía que las propias soluciones fueran números
enteros. Todos los números implicados eran positivos; los números negativos
fueron introducidos varios siglos más tarde en China y la India. Ahora llamamos
a estos problemas ecuaciones diofánticas. El libro incluye algunos resultados
notablemente profundos. En particular, parece que Diofanto es consciente de que
todo número entero puede expresarse como suma de cuatro cuadrados perfectos
(incluido el cero). Lagrange dio la primera demostración en 1700. El resultado
que aquí nos interesa es una fórmula para todas las tripletas pitagóricas, en
donde dos cuadrados perfectos se suman para dar otro cuadrado perfecto. El
nombre procede del teorema de Pitágoras: esta relación es válida para los lados
de un triángulo rectángulo. El ejemplo más conocido es el famoso triángulo 3 -
4- 5: 32 + 42 = 52. Otro es 52 +
122 = 132. Hay infinitas tripletas pitagóricas, y
hay una receta para encontrarlas en dos lemas (proposiciones auxiliares) que
preceden a las proposiciones 29 y 30 del libro X de los Elementos de
Euclides.
El
procedimiento de Euclides da infinitas tripletas pitagóricas. Mordell conocía
otras ecuaciones diofánticas para las que existe una fórmula que da infinitas
soluciones. También conocía otro tipo de ecuación diofántica con infinitas
soluciones, no prescritas por una fórmula. Estas se denominan curvas elípticas
—un nombre bastante estúpido puesto que prácticamente no tienen nada que ver
con elipses— y la infinidad de soluciones aparece porque dos soluciones
cualesquiera pueden combinarse para dar otra solución. El propio Mordell
demostró una de las propiedades básicas de estas ecuaciones: solo se necesita
un número finito de soluciones para generar todas las demás mediante este
proceso.
Aparte de
estos dos tipos de ecuaciones, cualquier otra ecuación diofántica en la que
Mordell podía pensar caía en una de dos categorías. O bien se sabía que tenía
solo un número finito de soluciones, incluida ninguna, o bien nadie sabía si el
número de soluciones era finito o infinito. Esto por sí solo no era noticia,
pero Mordell pensó que podía detectar una pauta que nadie más había advertido.
No era una pauta de teoría de números; procedía de la topología. Lo que
importaba era cuántos agujeros tenía la ecuación. Y para dar sentido a esto,
había que considerar sus soluciones en números complejos, no números racionales
o enteros. Lo que de algún modo parecía contrario al espíritu mismo de las
ecuaciones diofánticas.
Vale la
pena exponer aquí algunos detalles que serán de ayuda más tarde. No se asuste
por el álgebra; está aquí básicamente para darme algo concreto a lo que
referirme. Concentrémonos en la historia que hay detrás del álgebra.
Las
tripletas pitagóricas son soluciones, en números enteros, de la ecuación
pitagórica
χ2 + y2 = z2
Dividiendo
por z2 da
(x/z)2 +
(y/z)2 = 1
Según el
capítulo 3, esto nos dice que el par de números racionales (χ/z, y/z)
se encuentra sobre el círculo unidad en el plano. Ahora bien, la ecuación
pitagórica tenía su origen en la geometría, y su interpretación es que el
triángulo asociado tiene un ángulo recto. La fórmula que acabo de obtener
proporciona una interpretación geométrica algo diferente, no solo de una
tripleta pitagórica sino de todas ellas. Las soluciones de la ecuación
pitagórica corresponden directa y naturalmente a todos los puntos racionales
sobre el círculo unidad. Aquí se dice que un punto es racional siempre que lo
sean sus dos coordenadas.
Pueden
deducirse muchos hechos interesantes a partir de esta relación. Con un poco de
trigonometría, o por álgebra directa, puede descubrirse que para cualquier
número t el punto
se
encuentra sobre el círculo unidad. Además, si t es racional,
también lo es este punto. Todos los puntos racionales surgen de esta manera, de
modo que tenemos una fórmula completa para todas las soluciones de la ecuación
pitagórica. Es equivalente a la fórmula de Euclides, que es la misma que la de
Diofanto. Como ejemplo, si t = 22/7 entonces la fórmula da
y es
fácil comprobar que 3082 + 4352 = 5332.
Para nosotros, la fórmula exacta no es terriblemente importante; lo que importa
es que existe una.
Esta no
es la única ecuación diofántica para la que una fórmula da todas las
soluciones, pero son relativamente raras. Otras incluyen las denominadas
ecuaciones de Pell, tales como χ2 = 2y2 +
1. Esta tiene infinitas soluciones, tales como 32 = 2×22 +
1, 172 = 2×122 + 1, y existe una fórmula
general. Sin embargo, las tripletas pitagóricas tienen más estructura que eso,
derivada también de la geometría. Supongamos que tenemos dos tripletas
pitagóricas. Entonces hay dos soluciones correspondientes de la ecuación
pitagórica —puntos racionales en el círculo—. La geometría ofrece una forma
natural de «sumar» dichos puntos. Partimos del punto (1,0) en el que el círculo
corta al eje horizontal, y encontramos los ángulos entre este punto y las dos
soluciones. Sumamos los dos ángulos (véase Figura 25), y constatamos qué punto
resulta. Ciertamente se encuentra sobre el círculo. Un breve cálculo muestra
que es racional. De modo que a partir de dos soluciones cualesquiera podemos
obtener una tercera. Los matemáticos ya habían advertido muchos hechos como
este. La mayoría tienen sentido inmediato si se piensa en los puntos racionales
sobre un círculo.
Figura 25. Combinando dos soluciones racionales A y B de la ecuación
pitagórica para obtener una tercera, A + B.
El «breve
cálculo» que he mencionado hace uso de la trigonometría. Las funciones
trigonométricas clásicas tales como el seno y el coseno están íntimamente
relacionadas con la geometría de un círculo. El cálculo aludido utiliza
fórmulas estándar bastante elegantes para el seno y el coseno de la suma de dos
ángulos en términos de los senos y cosenos de los propios ángulos. Hay muchas
maneras de construir senos y cosenos, y una bastante clara procede del cálculo
integral. Si se integra la función algebraica 1/√1χ2, el
resultado puede expresarse en términos de la función seno. En realidad, lo que
necesitamos es la función inversa del seno: el ángulo cuyo seno es el número en
el que estamos pensando[49].
La
integral aparece cuando tratamos de derivar una fórmula para la longitud de un
arco de círculo utilizando el cálculo infinitesimal, y la geometría del círculo
tiene una implicación sencilla pero muy importante para el resultado. La
circunferencia del círculo unidad es 2π, de modo que yendo alrededor del
círculo una distancia 2π volvemos exactamente al mismo punto. Lo mismo sucede
con cualquier múltiplo entero de 2π: por el convenio matemático estándar, los
enteros positivos corresponden al sentido contrario a las agujas del reloj, y
los negativos al sentido de las agujas del reloj. De ello se sigue que el seno
y el coseno de un número permanecen invariables si a dicho número se le suma un
múltiplo entero de 2π. Decimos que la función es periódica, con período 2π.
Los
analistas de los siglos XVIII y XIX descubrieron una amplia generalización de
esta integral, junto con muchas nuevas funciones interesantes análogas a las
familiares funciones trigonométricas. Estas nuevas funciones eran intrigantes:
eran periódicas, como el seno y el coseno, pero de un modo más sofisticado. En
lugar de tener un período, como 2π (y sus múltiplos enteros), tenían dos
períodos independientes. Si tratamos de hacer esto con funciones reales, todo
lo que obtenemos son constantes, pero en el caso de funciones complejas las
posibilidades son mucho más ricas.
El área
fue iniciada por el matemático italiano Giulio di Fagnano y el prolífico Euler.
Fagnano estaba tratando de encontrar la longitud del arco de una elipse
utilizando el cálculo infinitesimal, pero no pudo encontrar una fórmula
explícita —lo que ya no sorprende puesto que ahora sabemos que no existe—. Sin
embargo, advirtió una relación entre las longitudes de varios arcos especiales
y la publicó en 1750. Euler advirtió la misma relación en el mismo contexto y
la presentó como una relación formal entre integrales. Son similares a la
asociada con la función seno, pero la expresión cuadrática 1 - χ2 bajo
la raíz cuadrada está reemplazada por un polinomio cúbico o cuártico, por
ejemplo el polinomio cuártico (1 - χ2) (1 - 4χ2).
En 1811
Adrien-Marie Legendre publicó el primer libro de un voluminoso tratado en tres
volúmenes sobre estas integrales, que se conocen como integrales elípticas
debido a su conexión con la longitud de arco de un segmento de elipse. Sin
embargo, él pasó por alto la propiedad más importante de estas integrales: la
existencia de nuevas funciones, análogas a las funciones seno y coseno, cuyas
funciones inversas expresan el valor de la integral de una
manera sencilla[50]. Gauss,
Niels Henrik Abel y Carl Jacobi rápidamente detectaron el descuido. Gauss, como
era habitual en él, se guardó el descubrimiento para sí mismo. Abel envió un
artículo a la Academia Francesa en 1826, pero Cauchy, el presidente, extravió
el manuscrito y no fue publicado hasta 1841, doce años después de la temprana y
trágica muerte de Abel por tuberculosis. Sin embargo, otro artículo de Abel
sobre el mismo tema se publicó en 1827. Jacobi hizo de estas nuevas «funciones
elípticas» la base en un enorme volumen, publicado en 1829, que impulsó el
análisis complejo en una trayectoria completamente nueva.
Lo que
emergió fue un bello paquete de propiedades interrelacionadas, análogas a las
de las funciones trigonométricas. La relación advertida por Fagnano y Euler
podía reinterpretarse como una simple lista de fórmulas que relacionan
funciones elípticas de la suma de dos números con funciones elípticas de los
propios números. La propiedad más maravillosa de las funciones elípticas supera
a las funciones trigonométricas de una forma espectacular. Las funciones
elípticas no solo son periódicas: son doblemente periódicas. Una línea es
unidimensional, de modo que solo pueden repetirse pautas en una dirección, a lo
largo de la línea. El plano complejo es bidimensional, de modo que las pautas
pueden repetirse como en el papel de pared: a lo largo del rollo de papel y
también a lo largo de la pared en franjas de papel adyacentes. Asociados con
cada función elíptica hay dos números complejos independientes, sus períodos, y
sumar cualquiera de ellos a la variable no cambia el valor de la función.
Repitiendo
este proceso concluimos que el valor de la función no cambia si sumamos a la
variable cualquier combinación entera de los dos períodos. Estas combinaciones
tienen una interpretación geométrica: determinan una red en el plano complejo.
La red especifica una teselación del plano por paralelogramos, y cualquier cosa
que suceda en un paralelogramo tiene una copia en todos los demás (véase Figura
26). Si consideramos solo un paralelogramo, la forma en que se une a copias
adyacentes significa que tenemos que identificar lados opuestos, de la misma
forma que un toro se define identificando lados opuestos de un cuadrado (véase
Figura 12). Un paralelogramo con lados opuestos identificados es también un
toro topológico. Así como el seno y el coseno están relacionados con el
círculo, las funciones elípticas están relacionadas con un toro.
Figura 26. Red en el plano complejo. Las flechas apuntan a los dos períodos,
mostrados como puntos blancos. El valor de la función en el paralelogramo
sombreado la determina en cualquier otro paralelogramo.
También
hay un vínculo con la teoría de números. Dije que la función inversa del seno
se obtiene integrando una fórmula que incluye a la raíz cuadrada de un
polinomio cuadrático. Las funciones elípticas son similares, pero el polinomio
cuadrático está reemplazado por un polinomio cúbico o cuártico. El caso
cuártico ha sido mencionado antes de pasada, porque históricamente llegó
primero, pero ahora vamos a centrarnos en el caso cúbico. Si denotamos la raíz
cuadrada por y, y el polinomio por ax3 + bx2 + cx + d donde a,
b, c, d son coeficientes numéricos, entonces χ e y satisfacen
la ecuación
y2 = ax3 + bx2 + cx + d
Esta
ecuación puede considerarse en varios contextos diferentes, dependiendo de qué
restricciones se impongan sobre las variables y los coeficientes. Si son
reales, la ecuación define una curva en el plano. Si son complejos, los
geómetras algebraicos siguen llamando al conjunto de soluciones una curva, por
analogía. Pero ahora es una curva en el espacio de pares de números complejos,
que es tetradimensional en coordenadas reales. Y desde este punto de vista de
números reales, la curva es en realidad una superficie.
La Figura
27 muestra las curvas elípticas reales y2 = 4χ3 -
3χ + 2 e y2 = 4χ3 -
3χ, que son típicas. Puesto que y aparece elevado al
cuadrado, la curva es simétrica respecto al eje horizontal. Dependiendo de los
coeficientes, es o bien una única curva sinuosa o tiene un componente oval
separado. Sobre los números complejos, la curva es siempre una pieza conexa.
Figura 27. Curvas elípticas reales típicas. Izquierda: y2 =
4χ3 - 3χ + 2. Derecha: y2 = 4χ3 -
3χ.
La teoría
de números entra en juego cuando exigimos que variables y coeficientes sean
racionales. Ahora estamos examinando una ecuación diofántica. Debido al vínculo
con las funciones elípticas, recibe el nombre bastante equívoco de curva
elíptica, pese a que no se parece en nada a una elipse. Es como llamar círculo
a una curva triangular debido al vínculo con la trigonometría. Por desgracia,
el nombre está ahora grabado en tablas de piedra, de modo que tenemos que vivir
con ello.
Puesto
que las funciones elípticas tienen una teoría rica y profunda, los teóricos de
números han descubierto muchas bellas propiedades de las curvas elípticas. Una
es estrechamente análoga a la forma en que podemos combinar dos soluciones de
la ecuación pitagórica sumando los ángulos asociados. Dos puntos en una curva
elíptica pueden combinarse trazando una línea recta que pasa por ellos y viendo
donde corta a la curva por tercera vez (véase Figura 28). (Siempre existe este
tercer punto, porque la ecuación es una cúbica. Sin embargo, podría estar «en
el infinito», o podría coincidir con uno de los dos primeros puntos si la recta
es tangente a la curva). Si los dos puntos son P y Q,
denotamos el tercero por P*Q.
Figura 28. Combinación de los puntos P, Q para obtener el punto P*Q.
Un
cálculo muestra que si P y Q son puntos
racionales, entonces también lo es P*Q. La operación * da al
conjunto de números racionales una estructura algebraica, pero resulta útil
considerar una operación relacionada. Escojamos cualquier punto racional O en
la curva y definamos
P + Q = (P
* Q) * O
Esta
nueva operación obedece a algunas leyes básicas del álgebra ordinaria,
con O comportándose como cero, y convierte el conjunto de
todos los puntos racionales en lo que los algebristas llaman un grupo (véase
capítulo 10). El punto esencial es que, como las tripletas pitagóricas, se
pueden «sumar» dos soluciones cualesquiera para obtener una tercera. Que se dé
esta «ley de grupo» en los puntos racionales es sorprendente, y en particular
significa que una vez que hemos encontrado dos soluciones racionales de la
ecuación diofántica, automáticamente obtenemos muchas más.
Alrededor
de 1908 Poincaré se preguntó si existe un número finito de soluciones a partir
de las cuales pueden obtenerse todas las demás soluciones
aplicando la operación de grupo una y otra vez. Este resultado es importante
porque implica que todas las soluciones racionales pueden ser caracterizadas
escribiendo una lista finita. En su espectacular artículo de 1922 Mordell
demostró que la respuesta a la pregunta de Poincaré es «sí». Ahora las curvas
elípticas adquieren una importancia fundamental en la teoría de números, porque
no era habitual tener ese tipo de control sobre cualquier ecuación diofántica.
Tanto la
ecuación pitagórica como las curvas elípticas tienen entonces infinitas
soluciones racionales. Por el contrario, muchas ecuaciones diofánticas tienen
solo un número finito de soluciones, y a veces ninguna. Voy a hacer una pequeña
digresión para discutir toda una familia de tales ecuaciones y la reciente y
notable demostración de que las soluciones obvias son las únicas que existen.
Los
pitagóricos estaban interesados en su ecuación porque creían que el universo
está basado en números. En apoyo de esta filosofía, ellos descubrieron que
razones numéricas simples rigen la armonía musical. Lo observaron de manera
experimental utilizando una cuerda tensa. Una cuerda de la misma tensión que
tiene la mitad de su longitud emite una nota una octava más alta. Esta es la
combinación más armoniosa de dos notas: tan armoniosa que suena un poco
insulso. En la música occidental las siguientes armonías más importantes son la
cuarta, donde una cuerda tiene 3/4 de la longitud de la otra, y la quinta,
donde una cuerda tiene 2/3 de la longitud de la otra[51].
Partiendo
de 1 y multiplicándolo repetidamente por 2 o 3 se obtienen los números 2, 3, 4,
6, 8, 9, 12 y así sucesivamente: números de la forma 2a3b. Debido
a la conexión musical estos llegaron a conocerse como números armónicos. En el
siglo XIII un escritor judío que vivía en Francia escribió Sha’ar
ha-Shamayim («La puerta del cielo»), una enciclopedia basada en
fuentes árabes y griegas. La dividió en tres partes: física, astronomía y
metafísica. Su nombre era Gerson ben Solomon Catalan. En 1343 el obispo de
Meaux convenció al hijo de Gerson (bueno, los historiadores piensan que
probablemente era su hijo) Levi ben Gerson para escribir un libro
matemático, The Harmony of Numbers. Incluía un problema planteado
por el compositor y teórico de la música Philippe de Vitry: ¿cuándo pueden dos
números armónicos diferir en 1? Es fácil encontrar pares semejantes: De Vitry
conocía cuatro, a saber, (1,2), (2,3), (3,4) y (8,9). Ben Gerson demostró que
estas son las únicas soluciones posibles.
Entre los
pares de números armónicos de De Vitry, el más interesante es (8, 9). El
primero es un cubo, 23; el segundo es un cuadrado, 32.
Los matemáticos empezaron a preguntarse si otros cuadrados y cubos podrían
diferir en 1, y Euler demostró que no podían hacerlo, aparte del caso trivial
(0, 1), y también (–1, 0) si se admiten números negativos. En 1844 el segundo
Catalan en la historia decidió llevar a la prensa una afirmación más radical,
que muchos matemáticos debían haber pensado pero no se habían molestado en
hacer explícita. Era el matemático belga Eugène Charles Catalan, y en 1844
escribió a una de las revistas matemáticas destacadas de la época, el Journal
für die Reine und Argewandte Mathematik («Revista de matemáticas puras
y aplicadas»):
Le ruego,
señor, haga el favor de anunciar en su revista el siguiente teorema que creo
cierto aunque aún no he conseguido demostrarlo por completo; quizá otros tengan
más éxito. Dos números naturales consecutivos, aparte de 8 y 9, no pueden ser
potencias consecutivas; dicho de otra manera, la ecuación χm -
yn = 1 en la que las incógnitas son enteros positivos solamente
admite una única solución.
Esta
proposición llegó a conocerse como la conjetura de Catalan. Los
exponentes m y n son enteros mayores que 1.
Pese a
progresos parciales, la conjetura de Catalan se negaba con obstinación a
rendirse, hasta que fue espectacularmente demostrada en 2002 por Preda
Mihăilescu. Nacido en Rumanía en 1955, se había establecido en Suiza en 1973 y
acababa de completar su doctorado. El título de su tesis era «Ciclotomía de
anillos y comprobación de primalidad», y aplicaba la teoría de números a la
comprobación de la primalidad (véase capítulo 2). Este problema no tenía
ninguna relación especial con la conjetura de Catalan, pero Mihăilescu llegó a
advertir que casi con certeza sus métodos sí la tenían. Se derivaban de las
ideas que mencioné en el capítulo 3: la construcción de Gauss del 17-gono
regular y las ecuaciones algebraicas asociadas, cuyas soluciones se denominan
números ciclotómicos. La demostración era muy técnica y causó impresión en la
comunidad matemática. Nos dice que cualesquiera que sean los valores que
escojamos para las dos potencias, el número de soluciones es finito; y salvo
las soluciones obvias que utilizan 0 y 1, la única interesante es 32 -
23 = 1.
Los
ejemplos anteriores muestran que algunas ecuaciones diofánticas tienen
infinitas soluciones, y otras no. ¡Perfecto!: estas alternativas lo cubren
todo. No obstante, si empezamos a preguntar qué ecuaciones son de cada tipo la
cosa se hace más interesante. Mordell, un experto en ecuaciones diofánticas,
estaba escribiendo un libro de texto seminal. En su época el área se parecía a
la biología primitiva: mucho coleccionismo de mariposas y muy poca
clasificación sistemática. Un Pitagórico Pintado aquí, una Gran Elíptica Azul
allá, y en los arbustos orugas del Pelliano Moteado. El campo estaba
prácticamente tal como lo había dejado Diofanto: una lista desestructurada de
trucos separados, uno por cada tipo de ecuación. Este es un pobre material para
un libro de texto, y pedía a gritos una organización. Eso es justamente lo que
se propuso hacer Mordell.
En algún
momento él debió advertir que todas las ecuaciones de las que se sabe que
tienen infinitas soluciones racionales —tales como la ecuación pitagórica y las
curvas elípticas— tenían una característica común. Él se centró en una clase de
ecuaciones, aquellas que (después de ser convertidas en ecuaciones en números
racionales, como yo hice en el caso de Pitágoras) incluyen solo dos variables.
Hay dos casos en los que sabemos cómo encontrar infinitas soluciones. Uno está
ejemplificado por la ecuación pitagórica en la forma equivalente χ2 + y2 =
1. Aquí hay una fórmula para las soluciones. Introduzcamos cualquier número
racional en la fórmula y obtenemos una solución racional, y así aparecen todas
las soluciones. La otra está ejemplificada por las curvas elípticas: existe
un proceso que genera nuevas soluciones a partir de las
viejas, y hay una garantía de que si se empieza con un conjunto finito
apropiado de soluciones, este proceso las genera todas.
La
conjetura de Mordell afirma que cuando quiera que haya infinitas soluciones
racionales, debe aplicarse una de estas dos propiedades. O bien hay una fórmula
general, o bien hay un proceso que genera todas las soluciones a partir de un
apropiado conjunto finito de ellas. En todos los demás casos, el número de
soluciones racionales es finito, por ejemplo las ecuaciones χ m - y n =
1 que intervienen en la conjetura de Catalan. En cierto sentido, las soluciones
son entonces meras coincidencias, sin ninguna estructura subyacente.
Mordell
llegó a esta observación de una manera algo diferente. Él advirtió que toda
ecuación con infinitas soluciones racionales tiene una sorprendente propiedad
topológica. Tiene género 0 o 1. Recordemos del capítulo 4 que el género es un
concepto de la topología de superficies y cuenta cuántos agujeros tiene la
superficie. Una esfera tiene género 0, un toro género 1, un toro con dos
agujeros tiene género 2, y así sucesivamente. ¿Cómo entran las superficies en
un problema de teoría de números? A partir de la geometría de coordenadas.
Vimos que la ecuación pitagórica, interpretada en términos de números
racionales y ampliada para admitir números reales como soluciones, determina un
círculo. Mordell fue un paso más lejos y admitió números complejos como soluciones.
Cualquier ecuación con dos variables complejas determina lo que los geómetras
algebraicos llaman una curva compleja. Sin embargo, desde el punto de vista de
los números reales y del sistema visual humano, todo número complejo es
bidimensional: tiene dos componentes reales, su parte real y su parte
imaginaria. De modo que a ojos complejos una «curva» es una superficie para
usted y para mí. Siendo una superficie, tiene un género: ahí lo tiene.
En el
caso de las curvas de las que se sabía que solo tienen soluciones finitas, su
género era al menos 2. Ecuaciones importantes cuyo estatus era desconocido
también tenían género al menos 2. En un salto aventurado y valiente basado en
lo que entonces parecía evidencia muy endeble, Mordell conjeturó que cualquier
ecuación diofántica con género 2 o mayor solamente tiene un número finito de
soluciones racionales. De golpe, las mariposas diofánticas estaban limpiamente
dispuestas en familias emparentadas; de forma adecuada, por género.
Había
solo una minúscula pega en la conjetura de Mordell. Relacionaba dos cosas muy
diferentes: soluciones racionales y topología. En esa época, cualquier vínculo
plausible era extremadamente tenue. Si existía una conexión, nadie sabía cómo
encontrarla. De modo que la conjetura era una especulación aventurada e
injustificada, pero el beneficio potencial era enorme.
En 1983
Faltings publicó una espectacular demostración de que la especulación
aventurada de Mordell estaba en lo cierto. Su demostración utilizaba métodos
profundos de geometría algebraica. Una demostración muy diferente, basada en
aproximar números reales por números racionales, fue pronto encontrada por Paul
Votja, y Enrico Bombieri publicó una demostración simplificada siguiendo las
mismas líneas en 1990. Hay una aplicación del teorema de Faltings al último
teorema de Fermat, un problema que trataremos ampliamente en el capítulo 7.
Esta afirma que para cualquier entero n mayor o igual que 3,
la ecuación χ n + y n =
1 tiene solo un número finito de soluciones enteras. El género de la curva
asociada es (n - 1) (n - 2)/2, y esto es al menos 3
si n es 4 o mayor. El teorema de Faltings implica
inmediatamente que para cualquier n ≥ 4, la ecuación de Fermat
tiene como máximo un número finito de soluciones racionales. Fermat afirmaba
que no tenía ninguna excepto cuando χ o y es
cero, de modo que esto fue un gran avance. En el próximo capítulo abordaremos
la historia del último teorema de Fermat y veremos cómo la afirmación de Fermat
fue completamente vindicada.
Capítulo
7
Márgenes estrechos
El último teorema de Fermat
Encontramos
por primera vez a Fermat en el capítulo 2, donde su elegante teorema sobre
potencias de números proporcionaba un método para comprobar si un número es
primo. Este capítulo trata una afirmación mucho más difícil: el último teorema
de Fermat. Suena muy misterioso. «Teorema» parece claro, pero ¿quién era Fermat
y por qué este era su último teorema? ¿Es el nombre de una
astuta estrategia de marketing? No lo es: el nombre quedó asociado
al problema en el siglo XVIII, cuando solo unos pocos matemáticos destacados
habían oído hablar del mismo o se preocupaban por ello. Pero el último teorema
de Fermat es realmente misterioso.
Pierre
Fermat nació en Francia en 1601, según algunas fuentes, y en 1607-1608, según
otras. La discrepancia quizá sea debida a una confusión con un primo del mismo
nombre. Su padre era un rico mercader de cuero y ocupaba un alto cargo en el
gobierno local, y su madre procedía de una familia de abogados del Parlamento.
Él fue a la Universidad de Toulouse, se trasladó a Burdeos a finales de la
década de 1620 y allí mostró signos prometedores de talento matemático. Hablaba
varios idiomas, y preparó una recuperación de una obra perdida de las
matemáticas griegas debida a Apolonio. Compartió sus muchos descubrimientos con
destacados matemáticos de la época.
En 1631,
tras graduarse en derecho en la Universidad de Orléans, fue nombrado consejero
del Alto Tribunal de la Judicatura en Toulouse. Esto le autorizaba a cambiar su
apellido por «de Fermat», y siguió siendo consejero por el resto de su vida. Su
pasión, sin embargo, eran las matemáticas. Publicó poco, y prefería escribir
cartas esbozando sus descubrimientos, por lo habitual sin demostración. Su
trabajo era debidamente reconocido por los profesionales, con muchos de los
cuales tenía estrechas relaciones, aunque conservaba su estatus amateur.
Pero Fermat tenía tanto talento que era, de hecho, un profesional; solo que no
ocupaba una posición oficial en las matemáticas.
Algunas
de sus demostraciones han sobrevivido en cartas y artículos, y es evidente que
Fermat sabía en qué consistía una genuina demostración. Después de su muerte,
muchos de sus más profundos teoremas seguían sin estar demostrados, y los
profesionales empezaron a trabajar sobre ellos. En menos de unas décadas se
habían demostrado todos los enunciados de Fermat salvo uno, de modo que fue
algo natural que este llegara a conocerse como su último teorema. A diferencia
de los demás, se resistió a sucumbir, y pronto se hizo tristemente famoso por
el contraste entre la simplicidad de su enunciado y la evidente dificultad de
encontrar una demostración.
Parece
que Fermat conjeturó su teorema alrededor de 1630. No se conoce la fecha
exacta, pero fue cuando Fermat empezó a leer una edición recientemente
publicada de la Arithmetica de Diofanto. Y es de ahí de donde
sacó la idea. El último teorema vio la imprenta por primera vez en 1670, cinco
años después de la muerte de Fermat, cuando su hijo Samuel publicó una edición
de la Arithmetica. Esta edición tenía una característica novedosa.
Incorporaba las notas que Pierre había escrito en los márgenes de su copia
personal de la traducción latina de Claude Gaspard Bacher de Méziriac de 1621.
El último teorema está enunciado como una nota añadida a la cuestión VII del
libro II de Diofanto (véase Figura 29).
El
problema allí resuelto consiste en escribir un cuadrado perfecto como suma de
dos cuadrados perfectos. En el capítulo 6 vimos que existe un número infinito
de estas tripletas pitagóricas. Diofanto plantea una pregunta relacionada pero
más difícil: cómo encontrar los dos lados más pequeños de un triángulo, dado el
más largo. Un cuadrado específico debe ser «dividido» en dos cuadrados, es
decir, debe ser expresado como su suma. Él muestra cómo resolver este problema
cuando el lado mayor del triángulo es 4, y obtiene la respuesta
42 =
(16/5)2 + (12/5)2
en
números racionales. Multiplicando ambos miembros por 25 obtenemos 202 =
162 + 122, y dividiendo por 16 obtenemos la familiar
32 + 42 = 52. Normalmente Diofanto
ilustraba los métodos generales con ejemplos concretos, una tradición que se
remonta a la antigua Babilonia, y no daba demostraciones.
Figura 29. Nota al margen de Fermat, publicada en la edición que hizo su
hijo de la Arithmetica de Diofanto.
No se ha
conservado la copia personal de Fermat de la Arithmetica, pero él
debe haber escrito en ella su nota al margen porque así lo dice Samuel. Es poco
probable que Fermat haya dejado semejante tesoro sin abrir durante mucho
tiempo, y su conjetura es tan natural que con toda probabilidad se le ocurrió
en cuanto leyó la cuestión VIII del libro II. Evidentemente se preguntaría si
podía conseguirse algo similar utilizando cubos en lugar de cuadrados, una
pregunta natural para que se plantee un matemático. No encontró ningún ejemplo
—podemos estar seguros de eso puesto que no existe ninguno— y tampoco tuvo
éxito cuando ensayó potencias superiores, por ejemplo potencias cuartas.
Decidió que estas preguntas no tenían solución. Su nota al margen lo dice; se
traduce así:
Es
imposible dividir un cubo en dos cubos, o una potencia cuarta en dos potencias
cuartas, o en general, cualquier potencia superior a la segunda en dos
potencias similares. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa
de esto, que no cabe en este estrecho margen.
En
lenguaje algebraico, Fermat pretendía haber demostrado que la ecuación
diofántica
xn + yn = zn
no tiene
soluciones en números naturales si n es cualquier entero mayor
o igual que 3. Es obvio que estaba ignorando soluciones triviales en las
que χ o y es cero. Para no repetir la fórmula
continuamente, me referiré a ella como la ecuación de Fermat.
Si Fermat
en realidad tenía una demostración, nadie la ha encontrado. Al final se
demostró que el teorema era cierto en 1995, más de tres siglos y medio después
de que él lo enunciara por primera vez, pero los métodos van más allá de lo que
estaba disponible en su época o de lo que él pudiera haber inventado. La
búsqueda de una demostración tuvo una enorme influencia en el desarrollo de las
matemáticas. Prácticamente dio lugar a la creación de la teoría de números
algebraica, que floreció en el siglo XIX debido a un intento fallido de
demostrar el teorema y una idea brillante que lo salvó en parte. En los siglos
XX y XXI desencadenó una revolución.
Quienes
primero trabajaron en el último teorema de Fermat trataron de descartar
potencias una por una. La demostración general de Fermat, a la que se aludía en
su margen, puede haber existido o no, pero sí sabemos cómo demostró el teorema
para potencias cuartas. La herramienta principal es la receta de Euclides para
las tripletas pitagóricas. La potencia cuarta de cualquier número es el
cuadrado del cuadrado de dicho número, de modo que cualquier solución de la
ecuación de Fermat para potencias cuartas es una tripleta pitagórica en la que
los tres números son asimismo cuadrados. Esta condición extra puede
introducirse en la receta de Euclides y, después de algunas maniobras
ingeniosas, lo que emerge es otra solución de la ecuación de
Fermat para potencias cuartas[52]. Tras
una página de álgebra, el problema se reduce al mismo problema, lo que no
parece un avance. Sin embargo, hay una reducción real: los números en la
segunda solución son menores que los de la primera, e hipotética, solución. De
forma crucial, si la primera solución no es trivial —si χ e y son
distintos de cero— entonces lo mismo es cierto de la segunda solución. Fermat
señaló que repetir este procedimiento llevaría a una secuencia de soluciones en
la que los números se harían continuamente más pequeños. Sin embargo, cualquier
secuencia decreciente de números naturales debe tener un final. Esto es una
contradicción lógica, de modo que la hipotética solución no existe. Él llamó a
este método «descenso infinito». Ahora lo reconocemos como una demostración por
inducción matemática, mencionada en el capítulo 4, y puede parafrasearse en
términos de criminales mínimos. O, en este caso, modelos mínimos de virtud.
Supongamos que existe un ciudadano virtuoso, una solución no trivial de la
ecuación. Entonces existe un ciudadano virtuoso mínimo, una solución no trivial
de la ecuación. Pero entonces el argumento de Fermat implica la existencia de
un ciudadano mínimo aún menor: contradicción. Por consiguiente, no puede haber
ciudadanos virtuosos. Desde entonces han estado apareciendo diferentes
demostraciones para potencias cuartas, y ahora se conocen unas treinta.
Fermat
explotó el simple hecho de que una potencia cuarta es un tipo especial de
cuadrado. La misma idea muestra que para demostrar el último teorema de Fermat
puede suponerse que la potencia n es 4 o un primo impar.
Cualquier número n mayor que dos es divisible por 4 o por un
primo impar p, de modo que toda potencia n-ésima es o
una potencia cuarta o una potencia p-ésima. Durante los dos siglos
siguientes, el último teorema de Fermat fue demostrado para exactamente tres
primos impares: 3, 5 y 7. Euler trató con cubos en 1770; aunque hay una laguna
en la demostración publicada, puede llenarse utilizando un resultado que Euler
publicó en otro lugar. Legendre y Peter Lejeune-Dirichlet trataron con
potencias quintas en torno a 1825. Gabriel Lamé demostró el último teorema de
Fermat para potencias séptimas en 1839. Muchas demostraciones diferentes se
encontraron más tarde para estos casos. En el camino, varios matemáticos
desarrollaron demostraciones cuando la potencia es 6, 10 y 14, pero estas
fueron superadas por las demostraciones para 3, 5 y 7.
Cada
demostración hace amplio uso de propiedades algebraicas que son especiales para
la potencia concernida. No había ningún indicio de ninguna estructura general
que pudiera demostrar el teorema para todas las potencias, o incluso para un
número importante de potencias diferentes. Conforme las potencias se hacían más
grandes, las demostraciones se hacían cada vez más complicadas. Se necesitaban
ideas nuevas y había que abrir terreno nuevo. Sophie Germain, una de las
grandes mujeres matemáticas, dividió el último teorema de Fermat para una
potencia prima p en dos subcasos. En el primer caso, ninguno
de los números x, y, z es divisible por p. En el
segundo caso, uno de ellos lo es. Considerando primos «auxiliares» especiales
relacionados con p, ella demostró que el primer caso del último
teorema de Fermat no tiene soluciones para potencia prima impar menor que 100.
Sin embargo, era difícil demostrar muchas cosas sobre primos auxiliares en
general.
Germain
mantenía correspondencia con Gauss, al principio utilizando un pseudónimo
masculino, y él estaba muy impresionado por su originalidad. Cuando ella le
reveló que era una mujer, él quedó aún más impresionado, y así lo dijo. A
diferencia de muchos de sus contemporáneos, Gauss no suponía que las mujeres
fueran incapaces de altos logros intelectuales, en particular de hacer
investigación matemática. Más tarde Germain hizo un intento infructuoso de
demostrar el primer caso del último teorema de Fermat para todas las potencias
pares, donde de nuevo es posible explotar la caracterización de Euclides de las
tripletas pitagóricas. Guy Terjanian despachó finalmente las potencias pares en
1977. El segundo caso parecía un hueso mucho más difícil de roer, y nadie llegó
muy lejos con él.
En 1847
Lamé, siguiendo su demostración para las potencias séptimas, tuvo una idea
maravillosa. Requería la introducción de números complejos, pero en esa época
ya todos se sentían cómodos con ellos. El ingrediente vital era el mismo que
Gauss había explotado para construir un polígono regular de 17 lados (véase
capítulo 3). Todo teórico de números lo conocía, pero hasta que llegó Lamé
nadie se había preguntado en serio si podría ser precisamente la clave para
demostrar el último teorema de Fermat.
En el
sistema de los números reales, 1 tiene exactamente una raíz p-ésima
(cuando p es impar), a saber, el propio 1. Pero en los números
complejos, 1 tiene muchas raíces p-ésimas; de hecho,
exactamente p de ellas. Esto es una consecuencia del teorema
fundamental del álgebra, porque dichas raíces satisfacen la ecuación χp -
1 = 0, que tiene grado p. Hay una bonita fórmula para estás
raíces p-ésimas complejas de la unidad, como son llamadas, y
muestra que son las potencias 1, ζ, ζ2, ζ3…,
ζp - 1 de un número complejo concreto ζ[53]. La
propiedad definitoria de estos números implica que xp + yp se
desdobla en p factores:
xp + yp =
(χ + y) (χ + ζy) (χ + ζ2y)
… (χ + ζp-1y)
Por la
ecuación de Fermat, esta expresión es también igual a zp,
que es la potencia p-ésima de un entero. Ahora bien, es fácil ver
que si un producto de números que no tienen ningún factor común es una
potencia p-ésima, entonces cada número es por sí mismo una
potencia p-ésima. Así, con unas pocas operaciones técnicas, Lamé
pudo escribir cada factor como una potencia p-ésima. De esto él
dedujo una contradicción.
Lamé
anunció la demostración resultante del último teorema de Fermat a la Academia
de París en marzo de 1847, dando el crédito de la idea básica a Joseph
Liouville. Este se lo agradeció a Lamé, pero señaló un punto dudoso. No se
puede dar por hecho el enunciado crucial que implica que cada factor es una
potencia p-ésima. Depende de la unicidad de la factorización prima,
no solo para enteros ordinarios, donde la propiedad es cierta, sino para los
nuevos tipos de número que Lamé había introducido. Estas combinaciones de
potencias de ζ se llaman enteros ciclotómicos. La palabra significa «que cortan
el círculo», y se refiere a la conexión que Gauss había explotado. No es solo
que la propiedad de factorización en primos única no estaba demostrada para
enteros ciclotómicos, decía Liouville; es que incluso podría ser falsa.
Otros ya
tenían dudas. Tres años antes, en una carta, Gotthold Eisenstein escribió:
Si
tuviéramos un teorema que establece que el producto de dos números complejos
solo puede ser divisible por un número primo cuando lo es uno de los factores
—lo que parece completamente obvio— entonces tendríamos la teoría completa [de
los números algebraicos] de una vez por todas; pero este teorema es totalmente
falso.
El
teorema al que alude es el paso importante necesario para una demostración de
la unicidad de la factorización prima. Eisenstein no solo se estaba refiriendo
a los números que necesitaba Lamé, sino también a números similares que
aparecen en otras ecuaciones. Se denominan números algebraicos. Un número
algebraico es un número complejo que satisface una ecuación polinómica con
coeficientes enteros, siempre que el coeficiente que multiplica a la potencia
más alta de χ sea 1. Para cada uno de tales polinomios,
obtenemos un campo de números algebraicos asociados (lo que significa que se
pueden sumar, restar, multiplicar y dividir tales números para obtener números
del mismo tipo) y su anillo (similar pero omitiendo la división) de enteros
algebraicos. Estos son los objetos básicos que se estudian en la teoría de
números algebraicos.
Si, por
ejemplo, el polinomio es χ2 - 2, entonces tiene
solución √2. El campo consiste en todos los números a+ b √2
con a, b racionales; el anillo de enteros consiste en los
números de esta forma con a, b enteros. Una vez más pueden
definirse factores primos, y son únicos. Hay algunas sorpresas: el
polinomio χ2 + χ - 1 tiene una
solución (√5 - 1)/2, de modo que a pesar de la fracción, este es un entero
algebraico.
En la
teoría de números algebraicos la dificultad no está en definir factores. Por
ejemplo, un entero ciclotómico es un factor de (es decir, divide a) otro si el
segundo es igual al primero multiplicado por algún entero ciclotómico. La
dificultad tampoco está en definir primos: un entero ciclotómico es primo si no
tiene factores, aparte de «unidades» triviales, que son los enteros
ciclotómicos que dividen a 1. No hay problema en resolver un entero
ciclotómico, o cualquier otro número algebraico, en factores primos.
Simplemente hay que seguir factorizandolo hasta que se agotan los factores. Hay
una manera sencilla de demostrar que el procedimiento se detiene, y cuando lo
hace cada factor debe ser primo. Entonces, ¿cuál es la dificultad? La unicidad.
Si se ejecuta de nuevo el procedimiento, haciendo elecciones diferentes en el
camino, se podría acabar con una lista diferente de factores primos.
A primera
vista es difícil ver cómo puede suceder esto. Los factores primos son las
piezas más pequeñas posibles en que puede dividirse el número. Es como tomar un
juguete Lego y separarlo en los cubos que lo componen. Si hubiera otra manera
de hacerlo, terminaría separando uno de dichos cubos en dos o más piezas. Pero
entonces no sería un cubo. Por desgracia, la analogía con Lego es engañosa. Los
números algebraicos no son así. Son más parecidos a cubos con enlaces móviles,
capaces de acoplarse de maneras diferentes. Rompamos un cubo de una manera y
las piezas resultantes encajan y ya no pueden separarse más. Rompámoslo de una
manera diferente, y de nuevo las piezas resultantes encajan. Pero ahora son
diferentes.
Le daré
dos ejemplos. El primero utiliza solo enteros ordinarios; es fácil de entender
pero tiene algunas características poco representativas. Luego le mostraré un
ejemplo genuino.
Supongamos
que viviéramos en un universo donde los únicos números que existían fueran 1,
5, 9, 13, 17, 21, 25 y así sucesivamente, números que en nuestro universo real
tienen la forma 4k + 1. Si se multiplican dos de estos números se
obtiene otro número del mismo tipo. Definamos un número tal como primo si no es
el producto de dos números más pequeños de ese tipo. Por ejemplo,
25 no es primo porque es 5×5, y 5 es un número de la lista. Pero 21 es primo,
en este nuevo sentido, porque sus factores ordinarios 3 y 7 no están en la
lista. Son de la forma 4k + 3, no 4k + 1. Es fácil ver
que todo número del tipo especificado es un producto de primos en el nuevo
sentido. La razón es que los factores, si existen, deben ser menores.
Finalmente, el proceso de factorización tiene que detenerse. Cuando lo hace,
los factores concernidos son primos.
Sin
embargo, este tipo de factorización en primos no es único. Consideremos el
número 4389, que es 4×1097 + 1, de modo que es de la forma requerida. He aquí
tres factorizaciones distintas en números de la forma requerida:
4389 =
21×209 = 33×133 = 57×77
Yo afirmo
que, con nuestra definición actual, todos estos factores son primos. Por
ejemplo, 57 es primo, porque sus factores habituales 3 y 19 no son de la forma
requerida. Lo mismo sucede con 21, 33, 77, 133 y 209. Ahora podemos explicar la
falta de unicidad. En enteros ordinarios
4389 =
3×7×11×19
y todos
estos factores tienen la forma «errónea» 4k + 3. Las tres
factorizaciones en primos diferentes, en el nuevo sentido, aparecen agrupando
estos números en pares:
(3×7)×(11×19)
(3×11)×(7×19) (3×19)×(7×11)
Necesitamos
utilizar pares porque dos números de la forma 4k + 3, multiplicados
entre sí, dan un número de la forma 4k + 1.
Este
ejemplo muestra que el argumento «los factores deben ser únicos porque son las
piezas más pequeñas» no funciona. Es cierto que hay piezas más pequeñas (21
= 3×7, por ejemplo) pero dichas piezas no están en el sistema concernido. La
razón principal por la que este ejemplo no es muy representativo es que aunque
multiplicar entre sí números de la forma 4k + 1 da números de la
misma forma, eso no es cierto para la suma. Por ejemplo, 5 + 5 = 10 no es de la
forma requerida. Por eso, en la jerga del álgebra abstracta, no estamos
trabajando en un anillo.
El
segundo ejemplo no tiene este defecto, pero en compensación es algo más difícil
de analizar. Es el anillo de los enteros algebraicos para el polinomio χ2 -
15. Este anillo consiste en todos los números a + b√15,
donde a y b son enteros. En este, el número
10 tiene dos factorizaciones distintas:
10 = 2×5
= (5 + √15)×(5 - √15)
Puede
demostrarse que los cuatro factores 2, 5, 5 + √15, 5 - √15 son primos[54].
Todo esto
es mucho más claro ahora que lo era en 1847, pero no llevó mucho tiempo
demostrar que las dudas de Liouville estaban justificadas. Dos semanas después
de qué él las expresara, Wantzel informó a la academia de que la unicidad era
cierta para algunos valores pequeños de p, pero su método de
demostración fallaba para la potencia 23. Poco después, Liouville dijo a la
academia que la factorización en primos única es falsa para
enteros ciclotómicos correspondientes a p = 23. Ernst Kummer
lo había descubierto tres años antes, pero no se lo había dicho a nadie porque
estaba trabajando en un método para evitar el obstáculo. La demostración de
Lamé funcionaba para valores menores de p, incluidos algunos
nuevos: 11, 13, 17, 19. Pero para el caso general, la demostración estaba hecha
jirones. Era una lección para no suponer que enunciados matemáticos plausibles
son obvios. Puede que ni siquiera sean verdaderos.
Kummer
había estado pensando en el último teorema de Fermat, siguiendo líneas
similares a la de Lamé. Él advirtió el obstáculo potencial, lo tomó en serio,
lo investigó y descubrió que destruía esa aproximación. Encontró un ejemplo
explícito de factorización en primos no única para enteros ciclotómicos basados
en raíces 23 de la unidad. Pero Kummer no era alguien que abandonara con
facilidad, y encontró una manera de evitar el obstáculo o, al menos, mitigar
sus peores efectos. Su idea es especialmente transparente en el caso de los
números de la forma 4k + 1. La manera de recuperar la factorización
única es incluir algunos números nuevos, que no están en el sistema
en el que estamos interesados. Para ese ejemplo, lo que necesitamos son los
números 4k + 3 ausentes. O podemos llegar hasta el final e incluir
también los enteros pares; entonces obtenemos los enteros, que son cerrados
bajo la suma y la multiplicación. Es decir, si se suman o se multiplican dos
enteros, el resultado es un entero.
Kummer
dio con una versión de la misma idea. Por ejemplo, podemos recuperar la
factorización en primos única en el anillo de todos los números a + b√15
incluyendo un nuevo número, a saber √15. Para obtener un anillo, resulta que
también debemos incluir √3. Ahora
2 = (√5 +
√3)×(√5 - √3) 5 =
√5×√3
y
5 + √15 =
√5×(√5 + √3) 5 - √15
= √5 ×(√5 - √3)
De modo
que las dos factorizaciones aparecen al agrupar los cuatro números √5, √5, √5 +
√3, √5 - √3 de dos maneras diferentes.
Kummer
llamó a estos nuevos factores números ideales, porque en su formulación general
no eran exactamente números. Eran símbolos que se comportaban de forma muy
parecida a números. Él demostró que todo entero ciclotómico puede factorizarse
unívocamente en números primos ideales. El truco era sutil: ni los enteros
ciclotómicos ni los números ideales tenían factorización en primos única. Pero
si se utilizaran los números ideales como ingredientes para factorización en
primos de enteros ciclotómicos, el resultado era único.
Más tarde
Richard Dedekind encontró una interpretación más refinada del procedimiento de
Kummer, y esta es la que utilizamos ahora. A cada número ideal fuera del anillo
concernido asoció un conjunto de números dentro del anillo.
Llamó a dicho conjunto un ideal. Todo número en el anillo define un ideal:
consiste en todos los múltiplos de dicho número. Si la factorización en primos
es única, todo ideal es así. Cuando no lo es, hay ideales extra. Podemos
definir el producto y la suma de ideales, e ideales primos, y Dedekind demostró
que la factorización de ideales es única para todos los
anillos de enteros algebraicos. Esto sugiere que para la mayoría de los
problemas habría que trabajar con ideales, y no con los propios números
algebraicos. Por supuesto, eso introduce nuevas complejidades, pero la
alternativa es normalmente quedarse atascado.
Kummer
fue capaz de trabajar con sus números ideales, y lo hizo suficientemente bien
para demostrar una versión del último teorema de Fermat con algunas hipótesis
extra. Pero otros mortales encontraban los números ideales bastante difíciles,
si no un poco místicos. Sin embargo, una vez vistos a la manera de Dedekind,
los números ideales tenían perfecto sentido y con ellos despegó la teoría de
números algebraicos. Una idea importante que salió de ella era una manera de
cuantificar en qué medida falla la factorización única en un anillo de enteros
algebraicos. A cada uno de tales anillos corresponde un número entero llamado
su número de clase. Si el número de clase es 1, la factorización en
primos es única; en los demás casos no lo es. Cuanto mayor es el número de
clase, «menos única» es la factorización en primos, en un sentido
significativo.
Ser capaz
de cuantificar la falta de unicidad fue un gran paso adelante, y con esfuerzo
extra salvó la estrategia de Lamé… a veces. En 1850 Kummer anunció que podía
demostrar el último teorema de Fermat para muchos primos grandes, los que él
llamaba regulares. Entre los primos menores que 100, solo 37, 59 y 67 son
irregulares. Para todos los demás primos hasta dicho límite, y muchos por
encima de él, sus métodos demostraban el último teorema de Fermat. La
definición de un primo regular requiere el número de clase: un primo es regular
si no divide el número de clase del anillo correspondiente de enteros
ciclotómicos. Así que para un primo regular, aunque la factorización en primos
no sea única, la forma en que deje de serlo no implica al primo concernido de
una manera esencial.
Kummer
afirmaba que existen infinitos primos regulares, pero esta afirmación sigue sin
estar demostrada. Irónicamente, en 1915, K. L. Jensen demostró que existen
infinitos primos irregulares. Un extraño criterio para que un primo sea regular
emergía de conexiones con el análisis. Incluye una secuencia de números
descubiertos independientemente por el matemático japonés Seki Takazu (o Kōwa)
y el matemático suizo Jacob Bernoulli, llamados números de Bernoulli. Este
criterio muestra que los diez primeros primos irregulares son 37, 59, 67, 101,
103, 131, 149, 157, 233 y 257. Profundizando más en la estructura de los
números ciclotómicos, Dmitri Mirimanoff despachó el primer primo irregular, 37,
en 1893. Para 1905 él había demostrado el último teorema de Fermat hasta p =
257. Harry Vandiver desarrolló algoritmos para ordenador que ampliaron ese
límite. Utilizando estos métodos, John Selfridge y Barry Pollack demostraron el
teorema hasta la potencia 25.000 en 1967, y S. Wagstaff lo aumentó hasta
100.000 en 1976.
Las
pruebas a favor de la verdad del último teorema de Fermat se estaban
acumulando, pero la consecuencia más importante era que si el teorema fuera
falso, entonces un contraejemplo —un ejemplo que mostrara su falsedad— sería
tan gigantesco que nadie sería nunca capaz de encontrarlo. Otra consecuencia
era que métodos como los de Kummer estaban tropezando con los mismos problemas
que afectaban al trabajo de los primeros pioneros: potencias más altas
requerían un tratamiento especial y más complicado. De modo que esta línea de
ataque llegó lentamente a un alto.
Cuando
uno se queda atascado en un problema matemático, el consejo de Poincaré es
claro: dejarlo y hacer otra cosa. Con suerte y viento favorable, ya surgirá una
nueva idea. Los teóricos de números no siguieron de modo consciente su consejo,
pero en cualquier caso hicieron lo que él había recomendado. Tal como predecía
Poincaré, la táctica funcionó. Algunos teóricos de números dirigieron su
atención a las curvas elípticas (véase capítulo 6). Irónicamente, esta área
resultó tener un vínculo sorprendente e inesperado con el último teorema de
Fermat, lo que llevó a la demostración de Wiles. Para describir este vínculo se
requiere otro concepto adicional: el de una función modular. La discusión va a
hacerse un poco técnica, pero hay una historia razonable detrás de las ideas y
todo lo que vamos a necesitar es un esbozo general. Siga conmigo.
En el
capítulo 6 vimos que la teoría de funciones elípticas tuvo un efecto profundo
sobre el análisis complejo. En la década de 1830 Joseph Liouville descubrió que
la variedad de funciones elípticas es bastante limitada. Dados los dos
períodos, existe una función elíptica especial, la función de Weierstrass, y
cualquier otra función elíptica con esos dos períodos es una simple variante.
Esto implica que las únicas funciones doblemente periódicas que es necesario
entender son las funciones de Weierstrass, una por cada par de períodos.
Desde el
punto de vista geométrico, la estructura doblemente periódica de una función
elíptica puede reformularse en términos de un retículo en el plano complejo:
todas las combinaciones enteras mu + nv de los dos
períodos u y v, con enteros m y n (véase
Figura 30). Si tomamos un número complejo z y le sumamos uno
de estos puntos del retículo, la función elíptica en este nuevo punto tiene el
mismo valor que tenía en el punto original. En otras palabras, la función
elíptica tiene la misma simetría que el retículo.
Figura 30. El retículo se forma a partir de todas las combinaciones enteras
de los dos períodos.
Los
analistas habían descubierto una fuente mucho más rica de simetrías del plano
complejo, conocida como transformaciones de Möbius. Estas cambian z en
(az + b)/(cz + d), para constantes complejas a, b, c, d.
Las simetrías del retículo son tipos especiales de transformaciones de Möbius,
pero hay otras. Conjuntos de puntos análogos al retículo siguen existiendo en
este escenario más general. Un retículo define una pauta de teselación en el
plano euclídeo: utilizar un paralelogramo como tesela y colocar sus vértices en
los puntos del retículo (véanse Figuras 26 y 30). Utilizando transformaciones
de Möbius, podemos construir pautas de teselación en una geometría no euclídea
apropiada, el plano hiperbólico. Podemos identificar esta geometría con una
región del plano complejo en la que las líneas rectas se reemplazan por arcos
de círculo.
Existen
pautas de teselación altamente simétricas en la geometría hiperbólica. Para
cada una de ellas podemos construir funciones complejas que repiten los mismos
valores en cada tesela. Se conocen como funciones modulares y son
generalizaciones naturales de las funciones elípticas. La geometría hiperbólica
es una disciplina muy rica, y el abanico de pautas de teselación es mucho más
amplio que en el plano euclídeo. Por ello, el análisis complejo empezó
reflexionando seriamente sobre la geometría no euclídea. Entonces apareció un
vínculo profundo entre análisis y teoría de números. Las funciones modulares
son a las curvas elípticas lo que las funciones trigonométricas son al círculo.
Recordemos
que el círculo unidad consiste en los puntos (x, y) tales que χ2 + y2 =
1. Supongamos que A es un número real, y hagamos χ =
cos A y = sen A
Entonces
la definición de seno y coseno nos dice que este punto se encuentra sobre el
círculo unidad. Más aún, todo punto en el círculo unidad es de esta forma. En
la jerga matemática, las funciones trigonométricas parametrizan el
círculo. Algo muy parecido sucede en el caso de las funciones modulares. Si
definimos χ e y utilizando funciones
modulares adecuadas de un parámetro A, el punto correspondiente se
encuentra en una curva elíptica —la misma curva elíptica, cualquiera que sea el
valor que tome A—. Hay más formas abstractas de hacer preciso este
enunciado, y quienes trabajan en el área las utilizan porque son más
convenientes, pero esta versión resalta la analogía con la trigonometría y el
círculo. Esta conexión genera una curva elíptica para cada función modular, y
la variedad de funciones modulares es enorme: todas las teselaciones simétricas
del plano hiperbólico. De modo que un tremendo número de curvas elípticas
pueden relacionarse con funciones modulares. ¿Qué curvas elípticas pueden
obtenerse de esta manera? Ese resultó ser el corazón de la materia.
Este
«eslabón perdido» adquirió importancia por primera vez en 1975, cuando Yves
Hellegouarch advirtió una curiosa conexión entre el último teorema de Fermat y
las curvas elípticas. Gerhard Frey desarrolló más la idea en dos artículos
publicados en 1982 y 1986. Supongamos, como siempre, que p es
un primo impar. Supongamos también, con la esperanza de llegar a una
contradicción, que existen enteros a, b y c distintos
de cero que satisfacen la ecuación de Fermat, de modo que ap + bp = cp.
Ahora sacamos el conejo de la chistera con un gesto teatral: consideramos la
curva elíptica
y2 =
x (x - ap)(x - bp)
Esta se
denomina curva elíptica de Frey. Frey aplicó a esta la maquinaria de las curvas
elípticas y lo que emergió era una cadena de coincidencias aún más extrañas. Su
hipotética curva elíptica es en verdad muy extraña. Parece que no tiene
sentido. Frey demostró que tiene tan poco sentido que no puede existir. Y eso,
por supuesto, demuestra el último teorema de Fermat al proporcionar la
contradicción requerida.
Sin
embargo, había una laguna, y Frey era perfectamente consciente de ello. Para
probar que esta hipotética curva elíptica no existe hay que demostrar que si
existiera sería modular, es decir, sería una de las curvas que surgen a partir
de funciones modulares. Acabamos de ver que tales curvas son habituales, y en
esa época nadie había encontrado nunca una curva elíptica que no fuera
modular. Parecía probable que la curva de Frey debía ser modular, pero era una
curva hipotética, los números a, b, c no eran conocidos, y si
la curva fuera modular, entonces no existiría siquiera. Sin
embargo, había una manera de tratar todos estos puntos: demostrar que toda curva
elíptica es modular. Entonces la curva de Frey, hipotética o no, tendría que
ser modular si existiera. Y si no existía, la demostración era completa en
cualquier caso.
La
afirmación de que toda curva elíptica es modular se denomina conjetura de
Taniyama-Shimura. Recibe este nombre por dos matemáticos japoneses, Yutaka
Taniyama y Goro Shimura. Ambos se conocieron de un modo casual, al tratar de
sacar prestado el mismo libro de la biblioteca al mismo tiempo y por la misma
razón. Esto desencadenó una larga colaboración. En 1955 Taniyama estaba en una
conferencia de matemáticas en Tokio y los participantes más jóvenes fueron
invitados a confeccionar una lista de preguntas abiertas. Taniyama aportó
cuatro, todas las cuales incidían en una relación entre funciones modulares y
curvas elípticas. Él había calculado algunos números asociados con una función
modular concreta y advirtió que los mismos números exactamente aparecían en
conexión con una curva elíptica concreta. Una coincidencia así suele ser signo
de que no es en realidad una coincidencia, de que debe haber una explicación
razonable para ello. Ahora se sabe que la igualdad de estos números equivale a
que la curva elíptica sea modular; de hecho, esa es la definición preferida en
la literatura de investigación. En cualquier caso, Taniyama estaba tan
intrigado que calculó los números para otras pocas funciones modulares y
encontró que también estas corresponden a curvas elípticas específicas.
Empezó a
preguntarse si algo similar sería válido para toda curva elíptica. La mayoría
de quienes trabajan en el campo consideraban esto demasiado bueno para ser
cierto, una quimera para la que la evidencia era escasa. Shimura fue uno de los
pocos que pensaba que la conjetura era digna de estudio. Pero Shimura pasó el
curso 1957-1958 como profesor visitante en Princeton, y mientras él estaba en
el extranjero Taniyama se suicidó. Dejó una nota que decía, en parte: «En
cuanto a la causa de mi suicidio, yo mismo no la entiendo muy bien, pero no es
el resultado de un incidente concreto, ni de una materia específica. Solo puedo
decir que me encuentro en un estado mental en que he perdido confianza en mi
futuro». En esa época había pensado en contraer matrimonio, y su prometida,
Misako Suzuki, se suicidó un mes después. Su nota de suicidio incluía: «Ahora
que se ha ido, yo debo hacerlo también para unirme con él».
Shimura
continuó trabajando en la conjetura, y a medida que acumulaba pruebas a su
favor empezó a pensar que realmente podía ser cierta. La mayoría de los que
trabajaban en el área discrepaban. Simon Singh[55] menciona
una entrevista con Shimura en la que este recordaba cómo trataba de explicarla
a uno de sus colegas:
El
profesor dijo: «He oído que usted propone que algunas ecuaciones elípticas
pueden estar relacionadas con formas modulares».
«¡No,
usted no lo entiende! —respondió Shimura—. No se trata solamente de algunas
ecuaciones elípticas; ¡son todas las ecuaciones elípticas!».
Pese a
este escepticismo, Shimura perseveró, y al cabo de muchos años la propuesta se
había hecho suficientemente respetable para ser conocida como la conjetura de
Taniyama-Shimura. Entonces André Weil, uno de los grandes teóricos de números
del siglo XX, encontró otras muchas pruebas a favor de la conjetura, las
publicó y expresó la creencia de que muy bien podría ser cierta. Se hizo
conocida como la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. No hay un nombre
definitivo: se han utilizado todo tipo de permutaciones de subconjuntos de los
tres matemáticos. Yo me atendré a «conjetura de Taniyama-Shimura».
En los
años sesenta del siglo pasado otro peso pesado, Robert Langlands, se dio cuenta
de que la conjetura de Taniyama-Shimura podía verse como un elemento en un
programa mucho más amplio y ambicioso que unificaría las teorías de números
algebraica y analítica. Formuló todo un paquete de conjeturas relacionadas con
esta idea, ahora conocidas como el programa de Langlands. Era incluso más
especulativo que la conjetura de Taniyama-Shimura, pero tenía una elegancia
irresistible; era el tipo de matemáticas que deberían ser verdaderas por su
belleza. A lo largo de los años setenta el mundo matemático se fue
acostumbrando a la belleza salvaje del programa de Langlands, que empezó a ser
aceptado como uno de los objetivos centrales de la teoría de números algebraica.
El programa de Langlands parecía ser el camino correcto para avanzar, solo con
que alguien pudiera dar el primer paso.
En este
momento Frey advirtió que la aplicación de la conjetura de Taniyama-Shimura a
su curva elíptica demostraría el último teorema de Fermat. Sin embargo, por
entonces había surgido otro problema con la idea de Frey. Cuando él dio una
charla sobre la misma en 1984, la audiencia detectó una laguna en su argumento
clave: la curva es tan extraña que no puede ser modular. Jean-Pierre Serre, una
de las figuras destacadas en el área, llenó rápidamente la laguna, pero tuvo
que invocar otro resultado que también carecía de demostración, la conjetura de
reducción de nivel especial. No obstante, esta conjetura fue demostrada por Ken
Ribet en 1986. Ahora el único obstáculo para una demostración del último
teorema de Fermat era la conjetura de Taniyama-Shimura, y el consenso empezó a
cambiar. Serre predijo que el último teorema de Fermat sin duda sería resuelto
en menos de una década. Cómo lo sería exactamente era otra cuestión, pero una
sensación general flotaba en el ambiente: las técnicas relacionadas con funciones
modulares se estaban haciendo tan potentes que pronto alguien haría que
funcionase la aproximación de Frey.
Ese
alguien fue Andrew Wiles. En un programa de televisión dedicado a su
demostración, dijo:
Yo tenía
diez años y… encontré un libro de matemáticas que contaba la historia de este
problema [último teorema de Fermat]; que alguien había [planteado] este
problema hace trescientos años pero nadie había visto una demostración, nadie
sabía si había una demostración, y desde entonces se ha buscado la
demostración. Y había un problema que yo, con diez años, podía entender, pero
ninguno de los grandes matemáticos del pasado había sido capaz de resolver. Y
desde ese momento, por supuesto, yo mismo traté de resolverlo. Tanto era el
reto y tan bello era el problema.
En 1971
Wiles obtuvo un grado en matemáticas en Oxford y se trasladó a Cambridge para
hacer su doctorado. Su tutor, John Coates, le advirtió (correctamente) que el
último teorema de Fermat era demasiado difícil para una tesis. Así que en lugar
de ello, Wiles se puso a trabajar en funciones elípticas, entonces considerada
un área de investigación mucho más prometedora. En 1985-1986 estaba en París en
el Institut des Hautes Études Scientifiques (Instituto de Estudios Científicos
Avanzados), uno de los más importantes institutos de investigación matemática
del mundo. Muchos de los mejores investigadores pasan por allí en algún
momento; si uno es un matemático, es un gran lugar para pasar un tiempo. Entre
los visitantes estaba Ribet, y su demostración de la conjetura de reducción del
nivel especial electrizó a Wiles. Ahora él podía hacer una investigación
completamente respetable en curvas elípticas, tratando de demostrar la
conjetura de Taniyama-Shimura, y al mismo tiempo podía tratar de cumplir el
sueño de su infancia de demostrar el último teorema de Fermat.
Puesto
que todo el mundo en el área conocía la conexión, había un motivo de
preocupación. Supongamos que Wiles consiguiera juntar una demostración casi
completa, con algunas pequeñas lagunas que necesitaran trabajo extra.
Supongamos que algún otro lo supiera y llenara la laguna. Entonces, desde el
punto de vista técnico, esta persona sería la que había demostrado el último
teorema de Fermat. En general los matemáticos no se comportan así, pero cuando
el premio es tan grande es prudente tomar precauciones. Por eso Wiles llevó a
cabo su investigación en secreto, algo que los matemáticos no suelen hacer. No
es que él no confiara en sus colegas. Es simplemente que no podía correr el más
mínimo riesgo de ser adelantado en la línea de llegada.
Trabajó
durante siete años, encerrado en el ático de su casa donde había un despacho.
Solo su mujer y el director de su departamento sabían en qué estaba trabajando.
En paz y reclusión atacó el problema con todas las técnicas que pudo aprender,
hasta que los muros del castillo empezaron a temblar bajo el asalto. En 1991
Coates le pasó algunos nuevos resultados demostrados por Mattheus Flach. La
grieta en el muro empezó a ensancharse cada vez más deprisa a medida que
continuaba el asedio.
En 1993
la demostración estaba completa. Ahora había que revelarla al mundo. Aún cauto,
Wiles no quería arriesgarse a hacer pública su solución por si salía a la
superficie algún error, algo que le sucedió a Yoichi Miyaoka en 1988, cuya
pretensión de una demostración salió en los medios de comunicación solo para
que se encontrara un error fatal. Por ello Wiles decidió impartir una serie de
tres conferencias en el Instituto Isaac Newton en Cambridge, un centro de
investigación internacional de matemáticas recientemente fundado. El título era
técnico e inocuo: «Formas modulares, curvas elípticas y teoría de Galois». No
engañó a muchos: todos sabían que Wiles iba tras algo grande.
En la
tercera conferencia, Wiles esbozó una demostración de un caso especial de la
conjetura de Taniyama-Shimura. Había descubierto que también funcionaría algo
menos ambicioso: demostrar que la curva de Frey, si existe, debe pertenecer a
una clase especial de curvas elípticas, las «semiestables», y demostrar
asimismo que todas las curvas en dicha clase deben ser modulares. Wiles
demostró entonces ambos resultados. Al final de la conferencia escribió en la
pizarra un corolario —un teorema complementario que se sigue directamente de lo
que se acaba de demostrar—. El corolario era el último teorema de Fermat.
Cuando
Shimura supo del anuncio de Wiles, su comentario fue breve y directo: «Yo lo
dije».
Aquí
podría haber acabado todo. Pero aguardaba un giro del destino. La demostración
aún tenía que ser evaluada por expertos, y, como suele suceder, ese proceso
puso de manifiesto algunos puntos que necesitaban más explicación. Wiles
respondió a la mayor parte de estos comentarios, pero uno de ellos necesitaba
un replanteamiento. Avanzado 1993 comunicó que retiraba su pretensión hasta que
pudiera llenar una laguna lógica que había surgido. Pero ahora estaba obligado
a actuar a plena luz pública, exactamente lo que había intentado evitar.
En marzo
de 1994 no había aparecido ninguna demostración corregida, y Faltings expresó
una opinión ampliamente extendida en la comunidad matemática: «Si [reparar la
demostración] fuera fácil, él ya lo hubiera resuelto. Estrictamente hablando,
no era una demostración cuando fue anunciada». Weil comentó: «Creo que él tiene
algunas buenas ideas… pero la demostración no existe… lo que demuestra que el
último teorema de Fermat es como escalar el Everest. Si un hombre quiere
escalar el Everest y se queda a cien metros de la cima, no ha escalado el
Everest». Todos podían conjeturar cómo iba a terminar. Lo habían visto antes.
La demostración se había venido abajo, tendría que ser retirada y el último
teorema de Fermat seguiría vivo y coleando.
Wiles se
negó a conceder la derrota, y su antiguo estudiante Richard Taylor se unió a la
búsqueda. Ahora estaba clara la raíz de la dificultad: los resultados de Flach
no eran muy adecuados para la tarea. Ellos trataron de modificar los métodos de
Flach, pero nada parecía funcionar. Luego, en un destello de inspiración, Wiles
comprendió de repente cuál era el obstáculo. «Vi que lo que había impedido que
[el método de Flach] funcionara era algo que haría que funcionara otro método
que yo había ensayado previamente». Era como si los soldados que asediaban el
castillo se hubieran dado cuenta de que su ariete nunca funcionaría porque los
defensores seguían arrojando piedras sobre el mismo, pero esas mismas piedras
podían ser cargadas en una catapulta y utilizadas para romper la puerta.
Para
abril de 1995 la nueva demostración estaba acabada, y esta vez no había lagunas
ni errores. Rápidamente siguió la publicación, dos artículos en los
ultraprestigiosos Annals of Mathematics. Wiles se convirtió en una
celebridad internacional, recibió varios premios importantes, fue nombrado
caballero… y volvió a su investigación, con la misma pasión que antes.
Lo
realmente importante de la solución de Wiles no es, ni mucho menos, el último
teorema de Fermat. Como he dicho, nada vital depende de la respuesta. Si
alguien hubiera encontrado tres números de cien dígitos y un primo de
doscientos cincuenta dígitos que proporcionaran un contraejemplo a la
afirmación de Fermat, entonces el teorema habría sido falso, pero ninguna área
crucial de las matemáticas se hubiera visto reducida. Por supuesto, un ataque
directo por ordenador no sería capaz de buscar en números tan grandes, de modo
que habría que ser sorprendentemente inteligente para establecer algo
semejante, pero un resultado negativo no habría causado ningún infarto.
La
importancia real de la solución reside en la demostración del caso semiestable
de la conjetura de Taniyama-Shimura. En menos de seis años Christophe Breuil,
Brian Conrad, Fred Diamond y Taylor ampliaron los métodos de Wiles para tratar
no solo el caso semiestable sino todas las curvas elípticas. Ellos demostraron
la conjetura de Taniyama-Shimura completa, y la teoría de números ya nunca
sería la misma. A partir de entonces, cuando quiera que alguien encontrara una
curva elíptica, estaba garantizado que era modular, de modo que se abriría un
montón de métodos analíticos. Dichos métodos ya se han utilizado para resolver
otros problemas en la teoría de números, y más se mostrarán en el futuro.
Capítulo
8
Caos orbital
El problema de los tres cuerpos
Un viejo
chiste afirma que se puede decir hasta qué punto es avanzada una teoría física
por el número de cuerpos interactuantes que no puede manejar. La ley de la
gravedad de Newton entra en problemas con tres cuerpos. La relatividad general
tiene dificultades al tratar con dos cuerpos. La teoría cuántica se queda corta
para un cuerpo, y la teoría cuántica de campos entra en problemas cuando no
hay ningún cuerpo, en el vacío. Como muchos chistes, este
contiene un grano de verdad[56]. En
particular, la interacción gravitatoria de tan solo tres cuerpos, que se
supone, obedecen a la ley de la inversa del cuadrado de Newton, confundió al
mundo matemático durante siglos. Aún lo hace, si lo que uno quiere es una
bonita fórmula para las órbitas de dichos cuerpos. De hecho, ahora sabemos que
la dinámica de tres cuerpos es caótica: tan irregular que tiene elementos de
aleatoriedad.
Todo esto
está en tremendo contraste con el sorprendente éxito de la teoría gravitatoria
newtoniana, que explicaba, entre muchas otras cosas, la órbita de un planeta
alrededor del Sol. La respuesta es la que Kepler ya había deducido
empíricamente a partir de las observaciones astronómicas de Marte: una elipse.
Aquí solo hay dos cuerpos: Sol y planeta. El siguiente paso obvio es utilizar
la ley de la gravedad de Newton para escribir la ecuación para las órbitas de
tres cuerpos, y resolverla. Pero no hay ninguna caracterización geométrica
clara de las órbitas de tres cuerpos, ni siquiera una fórmula en geometría de
coordenadas. Hasta finales del siglo XIX muy poco se sabía sobre el movimiento
de tres cuerpos celestes, incluso si uno de ellos fuera tan minúsculo que su
masa podía ignorarse.
Nuestro
conocimiento de la dinámica de tres (o más) cuerpos ha aumentado
espectacularmente desde entonces. Una gran parte de ese progreso ha sido una
comprensión cada vez mayor de lo difícil que es la pregunta, y por qué. Eso
puede parecer un paso atrás, pero a veces la mejor manera de avanzar es hacer
una retirada estratégica y ensayar alguna otra cosa. En el caso del problema de
los tres cuerpos este plan de campaña ha conseguido algunos éxitos reales,
cuando un ataque frontal se hubiera empantanado sin remedio.
Los
primeros seres humanos no pueden haber dejado de advertir que la Luna se mueve
lentamente a través del cielo nocturno con respecto al fondo estrellado. Las
estrellas también parecen moverse, pero lo hacen como un todo, como minúsculos
alfileres de luz en una enorme bóveda giratoria. La Luna es claramente especial
en otro aspecto: es un gran disco brillante que cambia de forma desde luna
nueva hasta luna llena y vuelta a empezar. No es un alfiler de luz como una
estrella.
Algunos
de estos alfileres de luz también desobedecen las reglas. Se pasean. No cambian
de posición con respecto a las estrellas tan rápidamente como la Luna pero,
incluso así, no hace falta observar el cielo durante muchas noches para ver que
algunos se están moviendo. Cinco de estas estrellas errantes son visibles a
simple vista; los griegos las llamaban planētēs («vagabundos»).
Son, por supuesto, los planetas, y los cinco que han sido reconocidos desde
tiempos antiguos son los que ahora llamamos Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y
Saturno —todos nombres de dioses romanos—. Con la ayuda de telescopios ahora
conocemos dos más: Urano y Neptuno. Más nuestra propia Tierra, por supuesto.
Plutón ya no cuenta como planeta, gracias a una controvertida decisión sobre
terminología que tomó la Unión Astronómica Internacional en 2006.
Conforme
los antiguos filósofos, astrónomos y matemáticos estudiaban los cielos, se
dieron cuenta de que los planetas no vagan al azar. Siguen órbitas enrevesadas
pero bastante predecibles, y vuelven prácticamente a la misma posición en el
cielo nocturno a intervalos de tiempo muy regulares. Ahora explicamos estas
pautas como movimiento periódico en una órbita cerrada, con una pequeña
contribución del propio movimiento orbital de la Tierra. También reconocemos
que la periodicidad no es exacta aunque está muy próxima a ello. Mercurio tarda
casi ochenta y ocho días en dar una vuelta alrededor del Sol, mientras que
Júpiter tarda casi doce años. Cuanto más lejos del Sol está el planeta, más
tiempo tarda en completar una órbita.
El primer
modelo cuantitativamente preciso del movimiento de los planetas fue el sistema
de Ptolomeo, que debe su nombre a Claudio Ptolomeo, quien lo describió en
su Almagesto («El [tratado] máximo») aproximadamente en 150 d.
C. Es un modelo geocéntrico (centrado en la Tierra) en el que todos los cuerpos
celestes orbitan en torno a la Tierra. Se mueven como si estuvieran engarzados
en una serie de esferas gigantescas, cada una de las cuales rota a una
velocidad fija alrededor de un eje que a su vez puede estar engarzado en otra
esfera. Se necesitaban combinaciones de muchas esferas rotatorias para
representar el complejo movimiento de los planetas en términos del ideal
cósmico de rotación uniforme en un círculo, el ecuador de la esfera. Con
suficientes esferas y las elecciones correctas de sus ejes y velocidades, el
modelo se corresponde muy estrechamente con la realidad.
Nicolás
Copérnico modificó el esquema de Ptolomeo en varios aspectos. El más radical
fue hacer que todos los cuerpos, salvo la Luna, den vueltas alrededor del Sol,
lo que simplificaba de modo considerable la descripción. Era un modelo
heliocéntrico. Esta propuesta contradecía a la iglesia Católica, pero
finalmente la visión científica prevaleció y las personas instruidas aceptaron
que la Tierra daba vueltas alrededor del Sol. En 1596 Kepler defendía el
sistema copernicano en su Mysterium cosmographicum («El
misterio cosmográfico»), cuyo punto culminante era su descubrimiento de una
relación matemática entre la distancia de un planeta al Sol y su período
orbital. Según esta, si nos movemos hacia fuera a partir del Sol la razón del
incremento en período de un planeta al siguiente es dos veces la diferencia de
los radios orbitales. Más tarde decidió que esta relación era demasiado
imprecisa para ser correcta, pero sembró las semillas de una relación más
exacta en su trabajo futuro. Kepler también explicó el espaciado de los
planetas en términos de los cinco sólidos regulares, limpiamente anidados unos
dentro de otros, separados por las esferas que los sostenían. Cinco sólidos
explicaban por qué había cinco planetas, pero ahora reconocemos ocho, de modo
que esta propiedad ya no es una ventaja. Hay 120 maneras diferentes de ordenar
cinco sólidos, y es probable que una de estas se aproxime a las proporciones
celestes dadas por las órbitas planetarias. De modo que es simplemente una
aproximación accidental, que encaja con calzador en la naturaleza una pauta sin
significado.
En 1600
el astrónomo Tycho Brahe contrató a Kepler para que le ayudara a analizar sus
observaciones, pero se interpusieron problemas políticos. Tras la muerte de
Brahe, Kepler fue nombrado matemático imperial por Rodolfo II. En su tiempo
libre trabajaba en las observaciones de Marte que había hecho Brahe. Un
resultado fue Astronomia nova («Una nueva astronomía») de
1609, donde presentaba otras dos leyes del movimiento planetario. La primera
ley de Kepler afirma que los planetas se mueven en elipses. Él lo había
establecido para Marte, y parecía probable que lo mismo fuera cierto para los
otros planetas. Al principio supuso que una forma ovalada ajustaría los datos,
pero eso no funcionó, de modo que probó con una elipse. Tampoco esto le pareció
aceptable y buscó una descripción matemática diferente para la forma de la
órbita. Finalmente se dio cuenta de que esta era en realidad solo otra manera
de definir una elipse[57]:
Dejé
aparte [la nueva definición], y volví a las elipses, creyendo que esta era una
hipótesis muy diferente, mientras que las dos, como demostraré en el próximo
capítulo, son una y la misma… ¡Ah, qué insensato he sido!
La
segunda ley de Kepler afirma que el planeta barre áreas iguales en tiempos
iguales. En 1619, en su Harmonices mundi («Armonías del
mundo»), Kepler completó sus tres leyes con una relación mucho más precisa
entre distancias y períodos: el cubo de la distancia (la mitad del eje mayor de
la elipse) es proporcional al cuadrado del período.
El
escenario estaba ahora preparado para Isaac Newton. En sus Philosophiae
naturalis principia mathematica («Principios matemáticos de la
filosofía natural») de 1687, Newton demostró que las tres leyes de Kepler son
equivalentes a una única ley de la gravitación: dos cuerpos se atraen
mutuamente con una fuerza que es proporcional a sus masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. La ley de Newton tenía
una gran ventaja: se aplicaba a cualquier sistema de cuerpos, por muchos que
pudieran ser. El precio que había que pagar era la manera en que la ley
determinaba las órbitas: no como formas geométricas, sino como soluciones de
una ecuación diferencial que incluía las aceleraciones de los planetas. No está
claro en absoluto cómo encontrar las formas de las órbitas planetarias, o las
posiciones de los planetas en un instante dado, a partir de esta ecuación. Para
ser franco, no está nada claro cómo encontrar sus aceleraciones. De todas
formas, la ecuación proporcionaba implícitamente dicha
información. El problema estaba en hacerla explícita. Kepler ya lo había hecho
para dos cuerpos, y la respuesta era órbitas elípticas con velocidades que
barren áreas a un ritmo constante.
¿Y qué
pasa con tres cuerpos?
Era una
buena pregunta. De acuerdo con la ley de Newton todos los cuerpos en el Sistema
Solar se influyen gravitatoriamente unos a otros. De hecho, todos los cuerpos
en el universo entero se influyen gravitatoriamente unos a otros. Pero nadie en
su sano juicio trataría de escribir ecuaciones diferenciales para todos los
cuerpos en el universo. Como siempre, la manera de avanzar era simplificar el
problema… pero no demasiado. Las estrellas están tan alejadas que su influencia
gravitatoria sobre el Sistema Solar es despreciable a menos que se quiera
describir como se mueve el Sol a medida que rota la galaxia. El movimiento de
la Luna está influenciado sobre todo por otros dos cuerpos, la Tierra y el Sol,
aparte de algunos efectos sutiles que implican a otros planetas. A principios
del siglo XVIII esta cuestión escapó de los dominios de la astronomía y
adquirió importancia práctica, cuando se entendió que el movimiento de la Luna
podía ser útil en la navegación. (No había GPS en aquellos días; ni siquiera había
cronómetros para medir la longitud geográfica). Pero este método requería
predicciones más precisas que las que podían proporcionar las teorías
existentes. El lugar obvio donde empezar era desarrollar las implicaciones de
la ley de Newton para tres cuerpos, que para este fin podían tratarse como
masas puntuales porque los planetas son extraordinariamente pequeños comparados
con las distancias entre ellos. Entonces se resolvían las ecuaciones
diferenciales resultantes. Sin embargo, los trucos que llevaban desde dos
cuerpos a las elipses fallaban cuando un cuerpo extra entraba en la mezcla.
Algunos pasos preliminares funcionaban, pero luego el cálculo quedaba
bloqueado. En 1747 Jean D'Alembert y Alexis Clairaut, amargos rivales,
compitieron por un premio de la Academia de Ciencias de París sobre el
«problema de los tres cuerpos», que ambos abordaron a través de una
aproximación numérica. El problema de los tres cuerpos había adquirido su
nombre, y pronto llegó a ser uno de los grandes enigmas de las matemáticas.
Algunos
casos especiales podían resolverse. En 1767 Euler descubrió soluciones en las
que los tres cuerpos se encontraban en una línea recta en rotación. En 1772
Lagrange encontró soluciones similares en donde los cuerpos forman un triángulo
equilátero en rotación, que se expande y contrae. Ambas soluciones eran
periódicas: los cuerpos repetían la misma secuencia de movimientos
indefinidamente. Sin embargo, incluso con simplificaciones drásticas no se
llegaba a producir algo más general. Se podía suponer que uno de los cuerpos
tenía una masa despreciable, se podía suponer que los otros dos se movían en
círculos perfectos en torno a su centro de masas, una versión conocida como el
problema de los tres cuerpos «restringido»… y aún así no se
podían resolver las ecuaciones exactamente.
En 1860 y
1867 el astrónomo y matemáticos Charles-Eugène Delaunay atacó el caso
específico del sistema Sol-Tierra-Luna utilizando teoría de perturbaciones, que
considera el efecto de la gravedad del Sol sobre la Luna como un cambio pequeño
superpuesto al efecto de la Tierra, y derivó fórmulas aproximadas en forma de
series: muchos términos sucesivos sumados. Publicó sus resultados en 1860 y
1867; cada volumen tenía novecientas páginas y consistía básicamente en
fórmulas. A finales de los años setenta del siglo pasado sus cálculos fueron
comprobados utilizando programas de álgebra simbólica, y solo se encontraron
dos errores pequeños y poco importantes.
Fue un
cálculo heroico, pero la serie se aproximaba a su valor límite demasiado
lentamente para tener uso práctico. Sin embargo, animó a otros a buscar
soluciones en forma de series que convergieran con mayor rapidez. También
destapó un gran obstáculo técnico para todas las aproximaciones de este tipo,
conocido como el problema de los denominadores pequeños. Algunos términos de
las series son fracciones, y los denominadores (la parte inferior) se hacen muy
pequeños si los cuerpos están casi en resonancia: un estado periódico en el que
sus períodos son múltiplos racionales uno de otro. Por ejemplo, las tres lunas
más interiores de Júpiter, a saber Io, Europa y Ganímedes, tienen períodos de
revolución en torno al planeta de 1,77 días, 3,55 días y 7,15 días, en razones
1: 2: 4 casi exactas. Las resonancias seculares, relaciones racionales entre
las velocidades a las que giran los ejes de dos órbitas casi elípticas, son una
molestia especial, porque el error probable al evaluar una fracción se hace muy
grande cuando su denominador es pequeño.
Si el
problema de los tres cuerpos era difícil, el problema de n-cuerpos
—cualquier número de masas puntuales que se mueven bajo la acción de la
gravedad newtoniana— era sin duda más difícil. Pero la naturaleza nos presenta
un ejemplo importante: el Sistema Solar entero. Este contiene ocho planetas,
varios planetas enanos como Plutón y miles de asteroides, muchos de ellos
bastante grandes. Por no mencionar los satélites, algunos de los cuales —Titán,
por ejemplo— son más grandes que el planeta Mercurio. De modo que el Sistema
Solar es un problema de diez cuerpos, o un problema de veinte cuerpos, o un
problema de diez mil cuerpos, dependiendo de cuántos detalles se quieran
incluir.
Para
predicciones a corto plazo las aproximaciones numéricas son efectivas, y en
astronomía mil años es poco tiempo. Entender cómo evolucionará el Sistema Solar
durante cientos de millones de años es otra cosa muy diferente. Y una gran
pregunta depende de ese tipo de visión a largo plazo: la estabilidad del
Sistema Solar. Los planetas parecen moverse en órbitas casi elípticas y
relativamente estables. Estas órbitas cambian un poco cuando otros planetas las
perturban, por lo que el período podría cambiar en una fracción de segundo o el
tamaño de la elipse podría no ser exactamente constante. ¿Podemos estar seguros
de que estos suaves empujones es todo lo que va a suceder en el futuro? ¿Es
representativo de lo que sucedió en el pasado, sobre todo en las primeras fases
del Sistema Solar? ¿Permanecerá estable el Sistema Solar o colisionarán dos
planetas? ¿Podría un planeta escapar a los confines distantes del universo?
El año
1889 se celebraba el sexagésimo cumpleaños de Oscar II, rey de Noruega y
Suecia. Como parte de las celebraciones, el matemático noruego Gösta
Mittag-Leffler convenció al rey para que convocara un premio por la solución
del problema de n cuerpos. Esta se obtendría no por una
fórmula exacta —para entonces estaba claro que esto era mucho pedir—, sino por
algún tipo de serie convergente. Poincaré se interesó y decidió empezar por una
versión muy simple: el problema de los tres cuerpos restringido, en el que uno
de los cuerpos tiene una masa despreciable, como una minúscula partícula de
polvo. Si se aplica la ley de Newton ingenuamente a dicha partícula, la fuerza ejercida
sobre ella es el producto de las masas dividido por el cuadrado de la
distancia, pero una de las masas es cero, de modo que el producto es cero. Esto
no ayuda mucho, porque la partícula de polvo simplemente sigue su propio
camino, desacoplada de los otros dos cuerpos. En su lugar, se establece el
modelo de modo que la partícula de polvo siente el efecto de los otros dos
cuerpos pero estos la ignoran por completo. De modo que las órbitas de los dos
cuerpos masivos son circulares y se mueven a una velocidad fija. Toda la
complejidad del movimiento se invierte en la partícula de polvo.
Poincaré
no resolvió el problema que planteaba el rey Oscar. Eso era demasiado
ambicioso. Pero sus métodos eran tan innovadores, y él hizo tantos progresos,
que pese a todo se le concedió el premio. Su investigación ganadora del premio
fue publicada en 1890 y sugería que incluso el problema de los tres cuerpos
restringido podría no tener el tipo de respuesta que se había estipulado.
Poincaré dividió su análisis en varios casos diferentes, dependiendo de las
características generales del movimiento. En la mayoría de ellos podían
obtenerse perfectamente soluciones en forma de serie. Pero había un caso en el
que la órbita de la partícula de polvo era en extremo complicada.
Poincaré
dedujo esta complejidad inevitable a partir de algunas otras ideas que había
desarrollado, lo que hacía posible describir soluciones de las ecuaciones
diferenciales sin resolverlas realmente. Esta «teoría cualitativa de ecuaciones
diferenciales» fue la semilla a partir de la que ha crecido la moderna dinámica
no lineal. La idea básica era explorar la geometría de las soluciones; más en
concreto su topología, un tema en el que Poincaré estaba también profundamente
interesado (véase capítulo 10). En esta interpretación, las posiciones y
velocidades de los cuerpos son coordenadas en un espacio multidimensional.
Conforme pasa el tiempo cualquier estado inicial sigue una trayectoria curva a
través de este espacio. La topología de esta trayectoria, o el sistema entero
de todas las trayectorias posibles, nos dice muchas cosas útiles sobre las
soluciones.
Una
solución periódica, por ejemplo, es una trayectoria que se cierra sobre sí
misma para formar un lazo. Conforme pasa el tiempo, el estado recorre el lazo
una y otra vez, repitiendo el mismo comportamiento en un proceso sin fin. El
sistema es entonces periódico. Poincaré sugería que una buena manera de
detectar tales lazos es colocar una superficie multidimensional de modo que sea
atravesada por el lazo. Ahora la llamamos sección de Poincaré. Soluciones que
parten de puntos en esta superficie pueden volver con el tiempo a la
superficie; el propio lazo vuelve exactamente al mismo punto, y soluciones que
pasan por puntos vecinos vuelven siempre a la sección al cabo de
aproximadamente un período. De modo que una solución periódica puede ser
interpretada como un punto fijo de la «aplicación de primer retorno», que nos
dice lo que les sucede a puntos de la superficie cuando vuelven a ella por
primera vez, si es que lo hacen. Puede que esto no parezca un gran avance, pero
reduce la dimensión del espacio, el número de variables en el problema. Esto es
casi siempre una buena cosa.
La gran
idea de Poincaré empieza a mostrar su verdadero valor cuando pasamos al
siguiente tipo más complicado de solución, una combinación de varios
movimientos periódicos. A modo de ejemplo sencillo, la Tierra da una vuelta
alrededor del Sol cada 365 días aproximadamente y la Luna da una vuelta
alrededor de la Tierra cada 28 días poco más o menos. De modo que el movimiento
de la Luna combina estos dos diferentes períodos. Por supuesto, la idea general
del problema de los tres cuerpos es que esta descripción no es totalmente
exacta, pero soluciones «cuasiperiódicas» de este tipo son muy habituales en
problemas de muchos cuerpos. La sección de Poincaré detecta soluciones
cuasiperiódicas: cuando vuelven a la superficie no inciden exactamente en el
mismo punto sino que inciden en un punto que se mueve en una curva
cerrada sobre la superficie, en pequeños pasos.
Poincaré
se dio cuenta de que si todas las soluciones eran así, él sería capaz de
construir series apropiadas para modelarlas cuantitativamente. Pero cuando
analizó la topología de la primera aplicación de retorno, advirtió que podía
ser más complicada. Dos curvas particulares, relacionadas por la dinámica,
podrían cruzarse. Esto no era demasiado malo en sí mismo, pero cuando se
prolongaban las curvas hasta que incidían de nuevo en la superficie, las curvas
resultantes seguían teniendo que cruzarse… pero en un lugar diferente.
Prolonguémoslas de nuevo, y se vuelven a cruzar. No solo eso: estas nuevas
curvas que aparecen al prolongar las originales no eran realmente nuevas. Eran
partes de las curvas originales. Ordenar la topología necesitó alguna lúcida reflexión,
porque nadie había tomado parte antes en un juego de este tipo. Lo que emerge
es una imagen muy compleja, como una red loca, en la que curvas zigzaguean
repetidamente, se cruzan, y los propios zigzags zigzaguean, y así de modo
sucesivo en cualquier nivel de complejidad. De hecho, el propio Poincaré se
declaró sorprendido:
Cuando
uno trata de representar la figura formada por estas dos curvas y su infinidad
de intersecciones, cada una de las cuales corresponde a una solución doblemente
asintótica, estas intersecciones forman una especie de red, madeja o malla
infinitamente fina… Uno queda perplejo ante la complejidad de esta figura que
ni siquiera intentaré dibujar.
Ahora
llamamos a esta imagen una maraña («autoconexa») homoclina (véase Figura 31).
Gracias a nuevas ideas topológicas introducidas en los años sesenta del siglo
pasado por Stephen Smale, ahora reconocemos en esta estructura a una vieja
amiga. Su implicación más importante es que la dinámica es caótica. Aunque las
ecuaciones no tienen un elemento de aleatoriedad explícito, sus soluciones son
muy complicadas e irregulares, compartiendo ciertas propiedades de procesos
genuinamente aleatorios. Por ejemplo, existen órbitas —la mayoría de ellas, de
hecho— para las que el movimiento imita con total exactitud el repetido
lanzamiento aleatorio de una moneda. El descubrimiento de que un sistema
determinista —un sistema cuyo futuro entero está de modo unívoco determinado
por su estado presente— puede sin embargo tener propiedades aleatorias es
extraordinario y ha cambiado muchas áreas de la ciencia. Ya no suponemos
automáticamente que reglas simples dan lugar a un comportamiento simple. Esto
es lo que en lenguaje coloquial se conoce como teoría del caos, y todo se
remonta a Poincaré y su premio Oscar.
Figura 31. Parte de una maraña homoclina. Una imagen completa sería
infinitamente complicada. © http://random.mostlymaths.net.
Bueno,
casi todo. Durante muchos años así contaban la historia los historiadores de
las matemáticas. Pero alrededor de 1990 June Barrow-Green encontró una copia
impresa de la memoria de Poincaré en las profundidades del Instituto
Mittag-Leffler en Estocolmo, la hojeó y se dio cuenta de que era diferente de
la versión que podía encontrarse en innumerables bibliotecas matemáticas en
todo el mundo. Era, de hecho, la impresión oficial de la memoria de Poincaré
ganadora del premio, y había en ella un notable error. Cuando Poincaré presentó
su trabajo para el premio había pasado por alto las soluciones caóticas. Él
detectó el error antes de que la memoria fuera publicada, desarrolló lo que
debería haber deducido —a saber, caos— y pagó (más de lo que le había reportado
el premio) para que se destruyera la versión original y se imprimiera una
versión corregida. Por alguna razón los archivos del Instituto Mittag-Leffler
conservaron una copia de la defectuosa versión original, pero esta quedó
olvidada hasta que Barrow-Green la desenterró al publicar su descubrimiento en
1994.
Al
parecer Poincaré pensaba que estas soluciones caóticas eran incompatibles con
desarrollos en serie, pero eso también resultó ser falso. Era una hipótesis
fácil de hacer: las series parecen demasiado regulares para representar caos;
solo la topología puede hacerlo. El caos es comportamiento complicado causado
por reglas simples, de modo que la inferencia no es irrefutable, pero la
estructura del problema de los tres cuerpos impide definitivamente soluciones
simples del tipo que derivó Newton para dos cuerpos. El problema de dos cuerpos
es «integrable», lo que significa que las ecuaciones tienen suficientes
cantidades conservadas, tales como energía, momento y momento angular, para
determinar las órbitas. «Conservadas» significa que estas cantidades no cambian
cuando los cuerpos siguen sus órbitas. Pero es sabido que el problema de los
tres cuerpos no es integrable.
Pese a
todo, existen soluciones en serie, pero no son universalmente válidas. Fallan
para estados iniciales con momento angular cero —el momento angular es una
medida de la rotación total— que son infinitamente raros porque cero es un
único número entre la infinidad de los números reales. Además, no son series en
la variable temporal como tal: son series en su raíz cúbica. El matemático
finlandés Kart Fritiof Sundman descubrió todo esto en 1912. Algo similar es
válido para el problema de n cuerpos, una vez más con raras
excepciones, un resultado obtenido en 1991 por Qiudong Wang. Pero para cuatro o
más cuerpos no tenemos una clasificación de las circunstancias precisas en las
que las series dejan de converger. Sabemos que tal clasificación debe ser muy
complicada, porque existen soluciones en las que todos los cuerpos escapan al
infinito, u oscilan con infinita rapidez, al cabo de un tiempo finito (véase
capítulo 12). Desde el punto de vista físico estas soluciones son artificios de
la hipótesis de que los cuerpos son simples puntos (masivos). Desde el punto de
vista matemático, nos dicen dónde buscar comportamiento incontrolado.
Se han
hecho progresos espectaculares en el problema de n cuerpos
cuando todos los cuerpos tienen la misma masa. Esto difícilmente es una
hipótesis realista en mecánica celeste, pero es razonable para algunos modelos
no cuánticos de partículas elementales. El interés principal es matemático. En
1993 Christopher Moore encontró una solución del problema de los tres cuerpos
en la que los tres cuerpos juegan al juego de seguir-a-mi-líder a lo largo de
la misma órbita. Más sorprendente todavía es la forma de la órbita: una forma
de ocho, mostrada en la Figura 32. Aunque esta órbita se cruza a sí misma, los
cuerpos nunca colisionan.
Figura 32. La coreografía en figura de ocho.
El
cálculo de Moore era numérico, en un ordenador. Su solución fue redescubierta
de manera independiente en 2001 por Alain Chenciner y Richard Montgomery,
quienes combinaban un principio tradicional de la mecánica clásica, conocido
como «mínima acción», con una topología realmente sofisticada para dar una
demostración rigurosa de que tal solución existe. Las órbitas son periódicas en
el tiempo: al cabo de un intervalo de tiempo dado todos los cuerpos vuelven a
sus posiciones y velocidades iniciales, y después se repiten los mismos
movimientos indefinidamente. Para una masa común dada hay al menos una solución
de este tipo para cualquier período.
En 2000
Carles Simó realizó un análisis numérico que indicaba que la figura de ocho es
estable, excepto quizá por una lenta deriva a muy largo plazo conocida como
difusión de Arnold, relacionada con la geometría detallada de la aplicación de
retorno de Poincaré. Para este tipo de estabilidad casi todas
las perturbaciones llevan a una órbita muy próxima a la concernida, y conforme
la perturbación se hace más pequeña, la proporción de tales perturbaciones se
acerca al cien por cien. Para la pequeña proporción de perturbaciones que no se
comportan de esta manera estable, la órbita se aparta muy lentamente de su
localización original. El resultado de Simó fue una sorpresa, porque las
órbitas estables son raras en el problema de los tres cuerpos con masas iguales.
Los cálculos numéricos muestran que la estabilidad persiste incluso cuando las
tres masas son ligeramente diferentes. De modo que es posible que en algún
lugar en el universo tres estrellas con masas casi idénticas se estén
persiguiendo unas a otras en una figura de ocho. En 2000 Douglas Heggie estimó
que el número de tales estrellas triples se encuentra entre una por galaxia y
una por universo.
La figura
de ocho tiene una simetría interesante. Empecemos con tres cuerpos A, B y C.
Sigámoslos durante un tercio del período orbital. Entonces encontraremos tres
cuerpos con las mismas posiciones y velocidades que tenían al principio, aunque
ahora los cuerpos correspondientes son B, C y A. Al cabo de dos tercios del
período lo mismo sucede para C, A y B. Un período completo restaura las
etiquetas originales de los cuerpos. Una solución de este tipo se conoce como
una coreografía: una danza planetaria en la que todos intercambian posiciones
cada cierto tiempo. La evidencia numérica revela la existencia de coreografías
para más de tres cuerpos: la Figura 33 muestra algunos ejemplos. Simó en
particular ha encontrado un número enorme de coreografías[58].
Incluso
aquí, muchas preguntas siguen sin respuesta. Carecemos de demostraciones
rigurosas de la existencia de tales coreografías. Para más de tres cuerpos
todas parecen ser inestables; muy probablemente esto es correcto, pero está por
demostrar. La órbita con figura de ocho para tres cuerpos de masa dada y
período dado parece ser única, pero tampoco se conoce ninguna demostración,
aunque en 2003 Tomasz Kapela y Piotr Zglicynski proporcionaron una demostración
asistida por ordenador de que es localmente única: ninguna órbita próxima
funciona. Las coreografías podrían ser otro gran problema en ciernes.
Entonces,
¿es estable el Sistema Solar?
Quizá sí,
quizá no.
Siguiendo
la gran intuición de Poincaré, la posibilidad de caos, ahora entendemos mucho
más claramente las cuestiones teóricas implicadas en establecer la estabilidad.
Resultan ser sutiles y complejas; y, lo que resulta irónico, no están
relacionadas de ninguna manera útil con la existencia de soluciones en forma de
series. Trabajos de Jürgen Moser y Vladimir Arnold han llevado a demostraciones
de que varios modelos simplificados del Sistema Solar son estables para casi
todos los estados iniciales, excepto quizá por el efecto de la difusión de
Arnold, que impide tipos más fuertes de estabilidad en casi todos los problemas
de este tipo. En 1961 Arnold demostró que un modelo idealizado de Sistema Solar
es estable en este sentido, pero solo bajo la hipótesis de que los planetas
tienen masas muy pequeñas comparadas con la estrella central y las órbitas son
muy próximas a círculos y están muy próximas a un plano común. Por lo que
respecta a una demostración rigurosa, «muy próximo» aquí significa «que difiere
en un factor menor que 10-43», e incluso entonces el enunciado
completo es que la probabilidad de ser inestable es cero. En un argumento de
perturbación de este tipo, los resultados suelen ser válidos para discrepancias
mucho mayores que cualquier cosa que pueda demostrarse rigurosamente, de modo
que la inferencia es que los sistemas planetarios razonablemente próximos a
este ideal son con toda probabilidad estables. Sin embargo, en nuestro Sistema
Solar los números relevantes son aproximadamente 10-3 para las
masas y 10-2 para la circularidad y la inclinación. Estos
números superan con mucho a 10-43. De modo que la aplicabilidad del
resultado de Arnold era discutible. Fue en cualquier caso alentador que algo pudiera
decirse con certeza.
Figura 33. Ejemplos de coreografías. © Carles Simó. Del «Congreso europeo de
Matemáticas», Budapest 1996, Progress in Mathematics n.º 168, Birkhäuser,
Basel.
Las
cuestiones prácticas en tales problemas también se han aclarado gracias al
desarrollo de potentes métodos numéricos para obtener soluciones aproximadas de
las ecuaciones mediante ordenador. Esta es una materia delicada porque el caos
tiene una consecuencia importante: errores pequeños pueden crecer muy
rápidamente y arruinar las respuestas. Nuestra comprensión teórica del caos, y
de ecuaciones como las del Sistema Solar donde no hay fricción, ha llevado al
desarrollo de métodos numéricos que son inmunes a muchas de las propiedades más
molestas del caos. Se denominan integradores simplécticos. Utilizándolos,
resulta que la órbita de Plutón es caótica. Sin embargo, eso no implica que
Plutón se precipité contra el Sistema Solar provocando una catástrofe. Significa
que durante un período de doscientos millones de años Plutón seguirá estando en
algún lugar próximo a su órbita actual, pero no tenemos ninguna pista de en qué
parte de dicha órbita estará.
En 1982
el Proyecto Lonstop de Archie Roy modeló los planetas exteriores (de Júpiter
hacia fuera) en un superordenador y no encontró inestabilidad a gran escala,
aunque algunos de los planetas ganaban energía a expensas de otros de maneras
extrañas. Desde entonces dos grupos de investigación, en particular, han
desarrollado estos métodos computacionales y los han aplicado a muchos
problemas diferentes acerca de nuestro Sistema Solar. Están dirigidos por Jack
Wisdom y Jacques Laskar. En 1984 el grupo de Wisdom predijo que Hiperión, un
satélite de Saturno, debería bambolearse caóticamente en lugar de girar
regularmente, y observaciones posteriores lo confirmaron. En 1988, en
colaboración con Gerry Sussman, el grupo construyó su propio ordenador, hecho a
la medida para las ecuaciones de la mecánica celeste: el orrery, un
planetario digital. Un orrery es un aparato mecánico con
bielas y engranajes que simula el movimiento de los planetas, que aquí son
pequeñas bolas metálicas sobre varillas[59]. La
computación original siguió los próximos 845 millones de años del Sistema Solar
y reveló la naturaleza caótica de Plutón. Con las siguientes, el grupo de
Wisdom ha explorado la dinámica del Sistema Solar durante los siguientes miles
de millones de años.
El grupo
de Laskar publicó sus primeros resultados sobre el comportamiento a largo plazo
del Sistema Solar en 1989, utilizando una forma promediada de las ecuaciones
que se remonta a Lagrange. Aquí algo del detalle fino se difumina y se ignora.
Los cálculos del grupo demostraron que la posición de la Tierra en su órbita es
caótica, muy similar a lo que sucede con Plutón: si medimos dónde está la
Tierra hoy y nos equivocamos en quince metros, entonces su posición en la
órbita dentro de cien millones de años no puede predecirse con ninguna certeza.
Una
manera de mitigar los efectos del caos es realizar muchas simulaciones, con
datos iniciales ligeramente diferentes, y obtener una imagen del abanico de
futuros posibles y cuan probable es cada uno de ellos. En 2009 Laskar y Mickaël
Gastineau aplicaron esta técnica al Sistema Solar, con dos mil quinientos
escenarios diferentes. Las diferencias son extraordinariamente pequeñas: mover
Mercurio 1 metro, por ejemplo. En aproximadamente un 1 por 100 de estos
futuros, Mercurio se hace inestable: colisiona con Venus, se precipita contra
el Sol, o sale despedido al espacio.
En 1999
Norman Murray y Matthew Holman investigaron la inconsistencia entre resultados
como los de Arnold, que indican estabilidad, y simulaciones, que indican
inestabilidad. «¿Son incorrectos los resultados numéricos, o simplemente los
cálculos clásicos son inaplicables?», se preguntaron. Utilizando métodos
analíticos, no numéricos, demostraron que los cálculos clásicos no son
aplicables. Las perturbaciones necesarias para simular la realidad son
demasiado grandes. La fuente principal de caos en el Sistema Solar es una
cuasiresonancia entre Júpiter, Saturno y Urano, además de una menos importante
que implica a Saturno, Urano y Neptuno. También utilizaron métodos numéricos
para comprobar esta propuesta, que demostraron que el horizonte de predicción
—una medida del tiempo que tardan los pequeños errores en hacerse
suficientemente grandes para tener un efecto importante— es de unos diez
millones de años[60]. Sus
simulaciones muestran que Urano experimenta ocasionales encuentros cercanos con
Saturno, cuando la excentricidad de su órbita cambia de forma caótica, y hay
una posibilidad de que eventualmente sea expulsado por completo del Sistema
Solar. Sin embargo, el tiempo probable es de unos 1018 años. El
Sol se expandirá como una gigante roja mucho antes, unos cinco mil millones de
años a partir de ahora, y esto afectará a todos los planetas porque el Sol
perderá el 30 por 100 de su masa. La Tierra se moverá hacia fuera, y podría
escapar de ser engullida por el Sol enormemente expandido. Sin embargo, ahora
se piensa que las interacciones de marea empujarán hipotéticamente a la Tierra
hacia el Sol. Los océanos de la Tierra habrán hervido mucho antes. Pero puesto
que la vida media típica de una especie, en términos evolutivos, no es más de
unos cinco millones de años, en realidad no necesitamos preocuparnos por
ninguna de estas catástrofes potenciales. Antes nos ocurrirá alguna otra cosa.
Los
mismos métodos pueden utilizarse para investigar el pasado del Sistema Solar:
utilizar las mismas ecuaciones y correr el tiempo hacia atrás, un simple truco
matemático. Hasta hace poco los astrónomos tendían a suponer que los planetas
siempre han estado próximos a sus órbitas actuales, desde que se condensaron a
partir de un nube de gas y polvo alrededor del Sol naciente. De hecho, sus
órbitas y composición habían sido utilizadas para inferir el tamaño y
composición de dicha nube de polvo primordial. Ahora parece que los planetas no
empezaron en sus órbitas actuales. Cuando la nube de polvo se rompió en grumos
bajo sus propias fuerzas gravitatorias, Júpiter —el planeta más masivo— empezó
a organizar las posiciones de los otros cuerpos, y estos a su vez se influyeron
mutuamente. Esta posibilidad fue propuesta en 1984 por Julio Fernández y
Wing-Huen Ip, pero durante un tiempo su trabajo fue visto como una curiosidad
menor. En 1993 Renu Malhotra empezó a considerar seriamente cómo podían influir
los cambios en la órbita de Neptuno en los otros planetas gigantes, otros
asumieron la historia y emergió una imagen de un primitivo Sistema Solar muy
dinámico.
A medida
que los planetas seguían agregándose, llegó un tiempo en el que Júpiter,
Saturno, Urano y Neptuno estaban casi completos, pero entre ellos circulaban
números enormes de planetesimales rocosos y helados, pequeños cuerpos de unos
diez kilómetros de tamaño. De entonces en adelante, el Sistema Solar evolucionó
mediante la migración y colisión de planetesimales. Muchos fueron expulsados,
lo que redujo la energía y el momento angular de los cuatro planetas gigantes.
Puesto que estos mundos tenían masas diferentes y estaban a dispares distancias
del Sol, reaccionaron de formas distintas. Neptuno fue uno de los ganadores en
las apuestas de energía orbital y migró hacia fuera. También lo hicieron, en
menor grado, Urano y Saturno. Júpiter fue el gran perdedor y se movió hacia
dentro. Pero era tan masivo que no se movió muy lejos.
Los otros
cuerpos, más pequeños, del Sistema Solar también se vieron afectados por estos
cambios. El esquema actual, aparentemente estable, de nuestro Sistema Solar
surgió gracias a una intrincada danza de los gigantes, en la que los cuerpos
más pequeños se vieron lanzados unos contra otros en un motín caótico.
Entonces, ¿es estable el Sistema Solar? Probablemente no, pero no será fácil
averiguarlo.
Capítulo
9
Pautas en los primos
La hipótesis de Riemann
En el
capítulo 2 vimos las propiedades de los números primos como individuos, y yo
las comparé con el comportamiento frecuentemente errático e impredecible de los
seres humanos. Los seres humanos tienen libre albedrío; pueden tomar sus
propias decisiones por sus propias razones. Los primos tienen que hacer lo que
les imponga la lógica de la aritmética, pero a menudo parecen tener también una
voluntad propia. Su comportamiento está gobernado por extrañas coincidencias y
con frecuencia carecen de cualquier estructura razonable.
De todas
formas, el mundo de los primos no se rige por la anarquía. En 1835 Adolphe
Quetelet sorprendió a sus contemporáneos al encontrar genuinas regularidades
matemáticas en eventos sociales que dependían de decisiones humanas conscientes
o de la intervención del destino: nacimientos, matrimonios, muertes, suicidios.
Las pautas eran estadísticas: no se referían a individuos, sino al
comportamiento promedio de un gran número de personas. Así es como los
estadísticos extraen orden a partir del libre albedrío de los individuos. Casi
al mismo tiempo, los matemáticos empezaron a darse cuenta de que el mismo truco
funciona con los primos. Aunque cada uno de ellos es un rudo individualista,
colectivamente se atienen al imperio de la ley. Existen pautas ocultas.
Las
pautas estadísticas aparecen cuando pensamos en primos comprendidos dentro de
grandes intervalos. Por ejemplo, ¿cuántos primos hay hasta algún límite
especificado? Esta es una pregunta muy difícil de responder exactamente, pero
hay excelentes aproximaciones, y cuanto mayor es el límite, mejores se hacen
estas aproximaciones. A veces la diferencia entre la aproximación y la
respuesta exacta puede hacerse muy pequeña, pero habitualmente eso es demasiado
pedir. La mayoría de las aproximaciones en esta área son asintóticas, lo que
significa que la razón de la aproximación a la respuesta exacta puede hacerse
muy próxima a 1. El error absoluto en la aproximación puede alcanzar cualquier
tamaño, incluso si el error porcentual se contrae hacia cero.
Si usted
se está preguntando cómo es esto posible, suponga que para alguna abstrusa
propiedad de los primos la secuencia aproximada de números es la constituida
por las potencias de 10:
|
100 |
10.000 |
1.000.000 |
100.000.000 |
pero los
números exactos son:
|
101 |
10.010 |
1.000.100 |
100.001.000 |
donde el
1 extra se mueve un lugar hacia la izquierda en cada etapa. Entonces las
razones de los números correspondientes se hacen cada vez más próximas a 1,
pero las diferencias son:
|
1 |
10 |
100 |
1000 |
que se
hacen tan grandes como queramos. Este tipo de comportamiento se da si los
errores —las diferencias entre la aproximación y la respuesta exacta— crecen
sin límite pero aumentan más lentamente que los propios números.
La
búsqueda de fórmulas asintóticas relacionadas con los primos inspiró nuevos
métodos en teoría de números, basados no en los números naturales sino en el
análisis complejo. El análisis es la formulación rigurosa del cálculo
infinitesimal, que tiene dos aspectos claves. Uno, el cálculo diferencial,
trata del ritmo al que una cantidad, llamada una función, cambia con respecto a
otra cantidad. Por ejemplo, la posición de un cuerpo depende —es una función—
del tiempo, y el ritmo al que dicha posición cambia a medida que pasa el tiempo
es la velocidad instantánea del cuerpo. El otro aspecto, el cálculo integral,
trata de calcular áreas, volúmenes y similares sumando muchísimas piezas muy
pequeñas, un proceso llamado integración. Es notable que la integración resulta
ser la inversa de la diferenciación. La formulación original del cálculo
infinitesimal por parte de Newton y Gottfried Leibniz requería algunas
maniobras con cantidades infinitamente pequeñas, lo que planteaba cuestiones
sobre la validez lógica de la teoría. Con el tiempo estas cuestiones
conceptuales se resolvieron definiendo la noción de límite, un valor al que una
función puede aproximarse tanto como sea requerido pero que no es necesario que
se alcance realmente. Cuando se presenta de esta forma más rigurosa, la
disciplina se denomina análisis.
En la
época de Newton y Leibniz las cantidades de interés eran números reales, y la
disciplina que nació era el análisis real. Cuando los números complejos
llegaron a ser ampliamente aceptados entre los matemáticos, fue natural
extender el análisis a cantidades complejas. Esta disciplina es el análisis
complejo. Resultó ser extraordinariamente bello y potente. En lo que respecta
al análisis, las funciones complejas se comportan mucho mejor que las reales.
Tienen sus peculiaridades, desde luego, pero las ventajas de trabajar con
funciones complejas compensan con creces sus desventajas.
Fue una
gran sorpresa cuando los matemáticos descubrieron que las propiedades
aritméticas de los números naturales podían reformulares con provecho en
términos de funciones complejas. Previamente, estos dos sistemas de números
habían planteado preguntas muy diferentes y utilizado métodos muy diferentes.
Pero ahora, el análisis complejo, un cuerpo de técnicas en extremo potentes,
podía utilizarse para descubrir propiedades especiales de funciones en teoría
de números; de estas podían extraerse fórmulas asintóticas y muchas otras
cosas.
En 1859
un matemático alemán, Bernhard Riemann, retomó una vieja idea de Euler y la
desarrolló de una forma nueva y espectacular, al definir la denominada función
zeta. Una de las consecuencias era una fórmula exacta para el
número de primos hasta un límite dado. Era una suma infinita, pero los
analistas estaban acostumbrados a esto. No era tan solo un truco inteligente
pero inútil; proporcionaba nuevas y genuinas ideas sobre los primos. Solo tenía
una pega. Aunque Riemann pudo demostrar que su fórmula era exacta, sus
consecuencias potenciales más importantes dependían de una simple proposición
sobre la función zeta, y Riemann no pudo demostrar dicha proposición. Siglo y
medio más tarde, seguimos sin poder hacerlo. Se denomina la hipótesis de
Riemann, y es el Santo Grial de las matemáticas puras.
En el
capítulo 2 vimos que los primos tienden a hacerse más escasos a medida que se
hacen más grandes. Puesto que obtener resultados exactos sobre su distribución
parecía imposible, ¿por qué no buscar en su lugar pautas estadísticas? En
1797-1798 Legendre contó cuántos primos hay hasta varios límites, utilizando
tablas de primos que recientemente habían proporcionado Jurij Vega y Anton
Felkel. Parece que a Vega le gustaban los cálculos largos; construyó tablas de
logaritmos y en 1789 tenía el récord mundial de cálculo de π, hasta 140 cifras
decimales (126 correctas). A Felkel solo le gustaba calcular primos. Su trabajo
más importante es Tafel aller Einfachen Factoren der durch 2, 3, 5
nicht theilbaren Zahlen von 1 bis 10 000 000 («Tabla de todos los
factores primos de números hasta diez millones, excepto los divisibles por 2, 3
o 5») de 1776. Hay maneras fáciles de comprobar factores 2, 3 y 5, mencionadas
en el capítulo 2, y por ello ahorró mucho espacio omitiendo dichos números.
Legendre descubrió una aproximación empírica para el número de primos menores
que un número dado χ, que se denota por π(χ). Si usted solo
ha visto π como un símbolo para el número 3,14159, le costará un poco
acostumbrarse, pero no es difícil entender lo que se pretende, incluso si no se
advierte que utilizan tipos de letra diferentes. El texto de Legendre de 1808
sobre teoría de números afirmaba que π(χ) parece estar muy próximo
a x/(log χ - 1,08366).
En una
carta de 1849 al astrónomo Johann Encke, Gauss decía que cuando tenía quince
años escribió una nota en sus tablas de logaritmos donde afirmaba que el número
de primos menores o iguales que χ es χ/log χ para χ grande.
Como sucede con muchos de sus descubrimientos, Gauss no publicó esta
aproximación, quizá porque no tenía ninguna demostración de la misma. En 1838
Dirichlet informó a Gauss de una aproximación similar que él había descubierto,
que se reduce a la función integral logarítmica[61]:
La razón
de Li(χ) a χ/log χ tiende a 1 cuando χ se
hace grande, lo que implica que si una es asintótica a π(χ) también lo
es la otra, pero la Figura 34 sugiere (correctamente) que Li(χ) es una
mejor aproximación que χ/log χ. La precisión de Li(χ)
es impresionante; por ejemplo:
π
(1.000.000.000) = 50.847.534
Li
(1.000.000.000) = 50.849.234,9
La
de χ/log χ es peor: en este caso es 48.254.942,4.
La
fórmula de aproximación —ya sea utilizando Li(χ) o χ/log χ—
llegó a conocerse como el teorema de los números primos, donde «teorema» se
utilizaba en el sentido de «conjetura». La búsqueda de una demostración de que
estas fórmulas eran asintóticas a π(x) se convirtió en uno de los problemas
clave abiertos en la teoría de números. Muchos matemáticos lo atacaron
utilizando métodos tradicionales del área, y algunos llegaron cerca; sin
embargo, siempre parecía haber alguna hipótesis engañosa que esquivaba la demostración.
Se necesitaban nuevos métodos. Estos llegaron de una curiosa reformulación de
dos de los antiguos teoremas de Euclides sobre los primos.
Figura 34. En esta escala π(χ) y Li(χ) (gris) son indistinguibles. Sin
embargo, χ/log χ (negro) es visiblemente menor. Aquí χ se representa en el eje
horizontal y el valor de la función en el eje vertical.
El
teorema de los números primos era una respuesta al teorema de Euclides que dice
que los primos no terminan nunca. Otro teorema euclidiano básico es la unicidad
de la factorización en primos: todo entero positivo es un producto de números
primos exactamente de una manera. En 1737 Euler se dio cuenta de
que el primer teorema puede reenunciarse como una fórmula muy sorprendente en
el análisis real, y el segundo enunciado se convierte en una simple
consecuencia de dicha fórmula. Empezaré presentando la fórmula, y luego trataré
de darle sentido. Es esta:
Aquí p recorre
todos los primos y s es constante. Euler estaba interesado
sobre todo en el caso en que s es un número natural, pero su
fórmula funciona también para números reales con tal de que s sea
mayor que 1. Esta condición es necesaria para hacer que la serie del segundo
miembro converja: que tenga un valor significativo cuando se prolonga
indefinidamente.
Esta es
una fórmula extraordinaria. En el primer miembro multiplicamos infinitas
expresiones que solo dependen de los primos. En el segundo miembro sumamos
infinitas expresiones que dependen de todos los números enteros positivos. La
fórmula expresa, en lenguaje analítico, cierta relación entre números naturales
y números primos. La relación más importante de este tipo es la unicidad de la
factorización en primos, y esta es la que justifica la fórmula.
Voy a
esbozar el paso principal para mostrar que hay una idea razonable detrás de
todo esto. Utilizando el álgebra de la escuela podemos desarrollar en serie la
expresión en p, de forma parecida al segundo miembro de la fórmula
pero incluyendo solo potencias de p. En concreto:
Cuando
multiplicamos todas estas series, sobre todos los primos p, y
«desarrollamos» para obtener una suma de términos simples, obtenemos toda
combinación de potencias primas; es decir, todo número natural. Cada uno
aparece como el recíproco (1 dividido por) de su s-ésima potencia,
y cada uno aparece exactamente una vez por la unicidad de la factorización en
primos. Así obtenemos la serie de la derecha.
Nadie ha
encontrado nunca una fórmula algebraica sencilla para esta serie, aunque hay
muchas que utilizan integrales. Por eso le damos un símbolo especial, la letra
griega zeta (ζ), y definimos una nueva función:
Euler no
utilizó realmente el símbolo ζ, y solo consideró valores enteros positivos
de s, pero yo llamaré a la serie anterior la función zeta de Euler.
Utilizando su fórmula, Euler dedujo que existen infinitos primos permitiendo
que s estuviera muy próximo a 1. Si hay un número finito de
primos, el primer miembro de la fórmula tiene un valor finito, pero el segundo
miembro se hace infinito. Esto es una contradicción, de modo que debe haber
infinitos primos. El objetivo principal de Euler era obtener fórmulas como ζ(2)
= π2/ 6, que da la suma de la serie para enteros pares s.
Él no llevó esta idea revolucionaria mucho más lejos.
Otros
matemáticos detectaron lo que Euler había pasado por alto y consideraron
valores de s que no son enteros. En dos artículos de 1848 y
1850, el matemático ruso Pafnuty Chebyshev tuvo una idea brillante: tratar de
demostrar el teorema de los números primos utilizando el análisis[62]. Partió
del vínculo entre los números primos y el análisis que proporcionaba la función
zeta de Euler. No tuvo mucho éxito, porque supuso que s era
real y las técnicas analíticas disponibles en el análisis real eran demasiado
limitadas. Pero consiguió demostrar que cuando χ es grande, la
razón de π(χ) a χ/log χ está comprendida
entre dos constantes: una ligeramente mayor que 1 y otra ligeramente menor.
Tuvo una auténtica recompensa, incluso con su resultado más débil, porque le
permitió demostrar el teorema de Bertrand, conjeturado en 1845: si se toma un entero
y se duplica, existe un primo entre los dos.
El
escenario estaba ahora preparado para Riemann. Él también reconoció que la
función zeta tiene la clave para el misterio del teorema de los números primos,
pero para hacer esta aproximación tenía que proponer una ambiciosa ampliación:
definir la función zeta no solo para variable real, sino también para una
variable compleja. La serie de Euler es un buen lugar donde empezar. Converge
para todo s real mayor que 1, y si se utiliza exactamente la
misma fórmula para s complejo, entonces la serie converge siempre
que la parte real de s sea mayor que 1. Sin embargo, Riemann
descubrió que podía hacer algo mucho mejor. Utilizando un procedimiento llamado
prolongación analítica extendió la definición de ζ(s) a todos los
números complejos distintos de 1. Dicho valor de s está
excluido porque la función zeta se hace infinita cuando s = 1.[63]
En 1859
Riemann reunió sus ideas sobre la función zeta en un artículo cuyo título se
traduce como «Sobre el número de primos menores que una cantidad dada[64]». En él
daba una fórmula explícita y exacta para π(x[65]). Yo voy
a describir una fórmula más simple, equivalente a la de Riemann, para mostrar
cómo aparecen los ceros de la función zeta. La idea es contar cuántos primos y
potencias de primos hay hasta cualquier límite escogido. Sin embargo, en lugar
de contar cada uno de ellos una vez, que es lo que hace π(x) en el caso de los
primos, a los primos más grandes se les da un peso extra. De hecho, cualquier
potencia de un primo se cuenta de acuerdo con el logaritmo de dicho primo. Por
ejemplo, hasta un límite de 12 las potencias de primos son:
2, 3, 4 =
22, 5, 7, 8 = 23, 9 = 32, 11
de modo
que la cuenta ponderada es
log 2 +
log 3 + log 2 + log 5 + log 7 + log 2 + log 3 + log 11
que es
aproximadamente 10,23.
Utilizando
análisis, la información sobre esta forma más sofisticada de contar primos
puede convertirse en información sobre la forma habitual. Sin embargo, esta
forma lleva a fórmulas más sencillas, un pequeño precio que hay que pagar por
la utilización del logaritmo. En estos términos, la fórmula exacta de Riemann
afirma que esta cuenta ponderada hasta un límite χ es igual a:
donde ∑
indica una suma sobre todos los números ρ para los que ζ(ρ) es cero, excluidos
los enteros pares negativos. Los primeros se denominan ceros no triviales de la
función zeta. Los ceros triviales son los enteros pares negativos -2, -4, -6…
La función zeta es cero en estos valores debido a la fórmula utilizada en la
definición de la prolongación analítica, pero estos ceros no son importantes
para la fórmula de Riemann, ni para muchas otras cosas.
Por si la
fórmula asusta un poco, déjeme señalar el punto principal: una manera
sofisticada de contar primos hasta un límite χ, que puede
convertirse en la manera habitual con unos pocos trucos analíticos, es exactamente igual
a una suma extendida a todos los ceros no triviales de la función zeta de la
simple expresión xρ/ρ más una función sencilla de x. Si
usted es un analista complejo, vera inmediatamente que el teorema del número
primo es equivalente a demostrar que la cuenta ponderada hasta el límite χ es
asintótica a χ. Utilizando análisis complejo, esto será cierto si
todos los ceros no triviales de la función zeta tienen partes reales entre 0 y
1. Chebyshev no pudo demostrarlo, pero llegó bastante cerca para obtener
información útil.
¿Por qué
son tan importantes los ceros de la función zeta? Un teorema básico en el
análisis complejo establece que, sujeta a ciertas condiciones técnicas, una
función de una variable compleja está completamente determinada por los valores
de la variable para los que dicha función es cero o infinito, junto con alguna
otra información sobre su comportamiento en dichos puntos. Estos lugares
especiales son conocidos como los ceros y los polos de la función. Este teorema
no funciona en el análisis real; esta es una de las muchas razones por las que
el análisis complejo se convirtió en el escenario preferido, pese a requerir la
raíz cuadrada de menos uno. La función zeta tiene un polo, en s =
1, de modo que todo lo relativo a ella está determinado por sus ceros siempre
que tengamos en mente este único polo.
Por
conveniencia, Riemann trabajó sobre todo con una función relacionada, la
función xi ξ(x), que está íntimamente relacionada con la función zeta y surge
del método de prolongación analítica. Él comentó que
es muy
probable que todos [los ceros de la función xi] sean reales. Pero a uno le
gustaría tener una demostración rigurosa de ello; sin embargo, después de
algunos intentos fugaces y fútiles, yo he dejado de lado provisionalmente la
investigación de la misma, pues parece innecesaria para el próximo objetivo de
mi investigación.
Esta
afirmación sobre la función xi es equivalente a otra sobre la función zeta
relacionada. A saber: todos los ceros no triviales de la función zeta son
números complejos de la forma ½ + it, es decir, se encuentran en
la recta crítica «parte real igual ½» (véase Figura 35). Esta
versión de su comentario es la famosa hipótesis de Riemann.
El
comentario de Riemann es más bien informal, como si la hipótesis de Riemann no
fuera sumamente importante. No lo era para su programa de demostrar el teorema
de los números primos. Pero para muchas otras preguntas, su importancia era
crucial. De hecho, la hipótesis de Riemann es por lo general considerada como
la más importante pregunta no respondida en matemáticas.
Para
entender por qué, debemos seguir un poco más lejos el pensamiento de Riemann.
Él tenía la vista puesta en el teorema de los números primos. Su fórmula exacta
sugería un modo de conseguirlo: entender los ceros de la función zeta, o lo que
es equivalente, de la función xi. No se necesita la hipótesis de Riemann plena;
solo hay que demostrar que todos los ceros no triviales de la función zeta
tienen partes reales entre 0 y 1. Es decir, se encuentran a menos de una
distancia ½ de la recta crítica de Riemann, en la denominada banda crítica.
Esta propiedad de los ceros implica que la suma sobre todos los ceros de la
función zeta, en la fórmula exacta anterior, es una constante finita.
Asintóticamente, para χ grande, podría también no existir.
Entre los términos de la fórmula, el único que sigue siendo importante
cuando χ se hace muy grande es χ. Todas las cosas
complicadas desaparecen asintóticamente en comparación con χ. Por
consiguiente, la cuenta ponderada es asintótica a χ, y eso
demuestra el teorema de los números primos. Así pues, irónicamente, el papel de
los ceros de la función zeta es demostrar que la contribución de los ceros de
la función zeta a la fórmula exacta no es importante.
Figura 35. Ceros, recta crítica y banda crítica de la función zeta.
Riemann
nunca llevó este programa hasta una conclusión. De hecho, ya no volvió a
escribir sobre el tema. Pero otros dos matemáticos asumieron el reto y
demostraron que la corazonada de Riemann era correcta. En 1896 Jacques Hadamard
e, independientemente, Charles Jean de la Vallée Poussin dedujeron el teorema
de los números primos al demostrar que todos los ceros no triviales de la
función zeta se encuentran en la banda crítica. Sus demostraciones eran muy
complicadas y técnicas; en cualquier caso, funcionaban. Nació una nueva y
potente área de las matemáticas: la teoría de números analítica. Tenía
aplicaciones en toda la teoría de números al resolver viejos problemas y
revelar nuevas pautas. Otros matemáticos encontraron demostraciones analíticas
más sencillas del teorema de los números primos, y Atle Selberg y Paul Erdős
descubrieron una demostración muy complicada que no requería en absoluto el
análisis complejo. Pero para entonces la idea de Riemann había sido utilizada
para demostrar muchos teoremas importantes, incluidas aproximaciones a muchas
funciones de teoría de números. Así, su nueva demostración añadía una irónica
nota a pie de página, pero por lo demás tuvo poco efecto. En 1980 Donald Newman
encontró una demostración mucho más simple, que utilizaba solamente uno de los
resultados más básicos del análisis complejo, conocido como teorema de Cauchy.
Aunque
Riemann declaró que su hipótesis era innecesaria para sus objetivos inmediatos,
resultó ser vital para muchas otras preguntas en teoría de números. Antes de
discutir la hipótesis de Riemann, vale la pena echar una mirada a algunos de
los teoremas que se seguirían si pudiera demostrarse que la hipótesis es
cierta.
Una de
las implicaciones más importantes es el tamaño del error en el teorema de los
números primos. El teorema afirma que para χ grande, la razón
de π(χ) a Li (χ) se hace cada vez más próxima a 1. Es decir, el
tamaño de la diferencia entre estas dos funciones se contrae a cero, con
relación al tamaño de x. Sin embargo, la diferencia real puede hacerse (y
se hace) cada vez mayor. Sencillamente lo hace a un ritmo más lento que la
propia χ[66].
Experimentos por ordenador sugieren que el tamaño del error es casi
proporcional a √χ log χ. Si la hipótesis de Riemann es
cierta, esta afirmación puede demostrarse. En 1901 Helge von Koch demostró que
la hipótesis de Riemann es lógicamente equivalente a la estimación:
para todo
x ≥ 2657. Aquí las barras verticales | | indican el valor absoluto: la
diferencia multiplicada por ±1 para hacerla positiva. Esta fórmula proporciona
la mejor cota posible a la diferencia entre π(x) y Li(x).
La
hipótesis de Riemann implica muchas estimaciones para otras funciones en teoría
de números. Por ejemplo, es equivalente a que la suma de los divisores de n es
menor que
eγn log
log n
para
todo n ≥ 5040, donde γ = 0,57721… es la constante de Euler[67]. Estos
hechos pueden parecer simples curiosidades, pero buenas estimaciones para
funciones importantes son vitales para muchas aplicaciones, y muchos teóricos
de números darían su brazo derecho por demostrar cualquiera de ellas.
La
hipótesis de Riemann nos dice también cuán grandes pueden ser los intervalos
entre números primos consecutivos. Podemos deducir el tamaño típico de este
intervalo a partir del teorema de los números primos: en promedio, el intervalo
entre un primo p y el siguiente es comparable a log p.
Algunos espaciados son menores, otros son mayores, y la vida de los matemáticos
sería más fácil si conocieran qué tamaño podrían llegar a tener los espaciados
más grandes. Harald Cramér demostró en 1936 que si la hipótesis de Riemann es
cierta, el espaciado en el primo p no es mayor que una
constante multiplicada por √p log p.
La
verdadera importancia de la hipótesis de Riemann es mucho más profunda. Hay
generalizaciones de gran alcance, y un fuerte presentimiento de que quien pueda
demostrar la hipótesis de Riemann, probablemente podrá demostrar la
correspondiente hipótesis de Riemann generalizada. Lo que a su vez daría a los
matemáticos mucho control sobre áreas muy amplias de la teoría de números.
La
hipótesis de Riemann generalizada surge de una descripción más fina de los
números primos. Todos los primos distintos de 2 son impares, y vimos en el
capítulo 2 que los impares pueden clasificarse en dos tipos: los que superan en
1 a un múltiplo de 4, y los que superan en 3 a un múltiplo de 4. Se dice que
son de la forma 4k + 1 o 4k + 3, donde k es
lo que se multiplica por 4 para obtenerlos. He aquí una corta lista de los
primeros primos de cada tipo, junto con los correspondientes múltiplos de 4:
El punto
indica que el número concernido no es primo.
¿Cuántos
primos de cada tipo hay? ¿Cómo están distribuidos entre los primos, o entre
todos los enteros? La demostración de Euclides de que hay infinitos primos
puede modificarse sin mucho esfuerzo para demostrar que existen infinitos
primos de la forma 4k + 3. Es mucho más difícil demostrar que hay
infinitos primos de la forma 4k + 1; puede hacerse, pero solamente
utilizando algunos teoremas nada sencillos. La diferencia se debe a que
cualquier número de la forma 4k + 3 tiene algún factor de dicha
forma; lo mismo no es siempre cierto para los números 4k + 1.
No hay
aquí nada sagrado sobre los números. Aparte de 2 y 3, todos los primos son o
bien de la forma 6k + 1 o de la forma 6k + 5, y podemos
plantear preguntas similares. Para lo que importa, todos los primos excepto 5
toman una de las formas 5k +1, 5k + 2, 5k +
3, 5k + 4. Dejamos fuera 5k porque estos son múltiplos
de 5, de modo que ninguno de ellos salvo 5 es primo.
No es
difícil dar con una conjetura razonable para todas las cuestiones de este tipo
—primos en una secuencia aritmética—. El caso 5k es típico. El
experimento sugiere rápidamente que los cuatro tipos enumerados tienen la misma
probabilidad de ser primos. He aquí una tabla similar:
De modo
que debería haber infinitos primos de cada tipo individual, y en promedio
alrededor de una cuarta parte de los primos, hasta algún límite dado, debería
ser de cualquier forma específica.
Demostraciones
sencillas muestran que algunas formas llevan a infinitos primos, demostraciones
más complicadas funcionan para otras formas, pero hasta mediados del siglo XIX
nadie pudo demostrar que hay infinitos primos de cada forma posible, y mucho
menos que las proporciones son aproximadamente iguales. Lagrange lo supuso sin
demostración en su trabajo sobre la ley de reciprocidad cuadrática —una
profunda propiedad de los cuadrados respecto a un módulo primo— en 1785.
Evidentemente los resultados tenían consecuencias útiles, y era el momento
justo para que alguien los demostrara. En 1837 Dirichlet probó cómo adaptar las
ideas de Riemann sobre el teorema de los números primos para demostrar ambas
proposiciones. El primer paso consistía en definir funciones análogas a la
función zeta para estos tipos de primos. Las funciones resultantes se denominan
L-funciones de Dirichlet. Un ejemplo, que aparece en el caso 4k +
1/4k + 3, es:
L(s,χ)
= 1 - 3-s + 5-s - 7-s +
9-s …
donde los
coeficientes son +1 para números de la forma 4k + 1, -1 para
números 4k + 3, y 0 para los demás. La letra griega χ se denomina
un carácter de Dirichlet, y nos recuerda que utilicemos estos signos.
En el
caso de la función zeta de Riemann lo que importa no es solo la serie sino
también su prolongación analítica, que da a la función un significado para
todos los números complejos. Lo mismo sucede con la L-función, y Dirichlet
definió una prolongación analítica adecuada. Adaptando las ideas utilizadas
para demostrar el teorema de los números primos, él fue capaz de demostrar un
teorema análogo para primos de formas específicas. Por ejemplo, el número de
primos de la forma 5k + 1 menores o iguales que χ es
asintótico a Li(χ)/4, y lo mismo sucede para los otros tres casos 5k +
2, 5k + 3, 5k + 4. En particular, hay infinitos primos
de cada forma.
La
función zeta de Riemann es un caso especial de una L-función de Dirichlet para
primos de la forma 1k + 0, es decir, todos los primos. La hipótesis
de Riemann generalizada es la generalización obvia de la hipótesis de Riemann
original: los ceros de cualquier L-función de Dirichlet o bien tienen parte
real 1/2 o bien son «ceros triviales» con parte real o bien negativa o bien
mayor que 1.
Si la
hipótesis de Riemann generalizada es cierta, entonces también lo es la
hipótesis de Riemann. Muchas de las consecuencias de la hipótesis de Riemann
generalizada son análogas a las de la hipótesis de Riemann. Por ejemplo, pueden
demostrarse cotas de error similares para las versiones análogas del teorema de
los números primos, aplicado a primos de cualquier forma específica. Sin
embargo, la hipótesis de Riemann generalizada implica muchas cosas que son muy
diferentes de cualquier cosa que podamos derivar utilizando la hipótesis de
Riemann ordinaria. Así, en 1917 Godfrey Harold Hardy y John Edensor Littlewood
demostraron que la hipótesis de Riemann generalizada implica una conjetura de
Chebyshev, que afirma que (en un sentido preciso) los primos de la forma 4k +
3 son más abundantes que los de la forma 4k + 1. Ambos tipos son
igualmente probables, a la larga, por el teorema de Dirichlet, pero eso no
impide que los primos 4k + 3 superen a los primos 4k +
1 si se fija el juego correcto.
La
hipótesis de Riemann generalizada también tiene importantes implicaciones para
los testes de primalidad, tales como el test de Miller de 1976 mencionado en el
capítulo 2. Si la hipótesis de Riemann generalizada es cierta, entonces el test
de Miller proporciona un algoritmo eficiente. Las estimaciones de la eficiencia
de tests más recientes también dependen de la hipótesis de Riemann
generalizada. También hay aplicaciones importantes a la teoría de números
algebraica. Recordemos del capítulo 7 que la reformulación de Dedekind de los
números ideales de Kummer llevó a un concepto nuevo y fundamental, los ideales.
Existe la factorización en primos en anillos de enteros algebraicos, pero quizá
no sea única. La factorización en primos de ideales es mucho más rígida:
existencia y unicidad son ambas válidas. Por ello tiene sentido reinterpretar
todas las preguntas sobre factores en términos de ideales. En particular,
existe una noción de un «primo ideal», un análogo razonable y tratable de un
número primo.
Sabiendo
esto, es natural preguntar si el vínculo de Euler entre primos ordinarios y la
función zeta tiene un análogo para los primos ideales. Si es así, toda la
poderosa maquinaria de la teoría de números analítica se hace disponible para
los números algebraicos. El caso es que puede hacerse, con implicaciones
profundas y vitales. El resultado es la función zeta de Dedekind: una función
semejante para cada sistema de números algebraicos. Hay un vínculo profundo
entre las propiedades analíticas complejas de la función zeta de Dedekind y la
aritmética de los números primos para los enteros algebraicos correspondientes.
Y, por supuesto, existe un análogo de la hipótesis de Riemann: todos los ceros
no triviales de la función zeta de Dedekind se encuentran en la recta crítica.
Ahora la expresión «hipótesis de Riemann generalizada» incluye también esta
conjetura.
Ni
siquiera esta generalización es el final de la historia de la función zeta. Ha
inspirado la definición de funciones análogas en otras diversas áreas de las
matemáticas, desde el álgebra abstracta a la teoría de sistemas dinámicos. En
todas estas áreas existen proposiciones análogas a la hipótesis de Riemann de
alcance aún mayor. De algunas de ellas se ha demostrado que son ciertas. En
1974 Pierre Deligne demostró una proposición análoga semejante para variedades
sobre campos finitos. Generalizaciones conocidas como funciones zeta de Selberg
satisfacen una proposición análoga a la hipótesis de Riemann. Lo mismo sucede
con la función zeta de Goss. Sin embargo, existen otras generalizaciones, las
funciones zeta de Epstein, para las que el análogo adecuado de la hipótesis de
Riemann es falso. Aquí infinitos ceros no triviales yacen en la recta crítica,
pero algunos no lo hacen, como demostró Edward Titchmarsh en 1986. Por otra
parte, estas funciones zeta no tienen una fórmula de tipo producto como la de
Euler, de modo que deja de parecerse a la función zeta de Riemann en lo que muy
bien puede ser un aspecto crucial.
Las
pruebas circunstanciales a favor de la verdad de la hipótesis de Riemann —ya
sea la original o sus generalizaciones— son numerosas. Muchas cosas hermosas se
seguirían de la verdad de la hipótesis. Ninguna de estas cosas ha sido
refutada: hacerlo sería refutar la hipótesis de Riemann, pero no se conoce
demostración ni refutación. Hay una sensación ampliamente extendida de que una
demostración de la hipótesis de Riemann original también abriría el camino a
una demostración de sus generalizaciones. De hecho, podría ser mejor atacar la
hipótesis de Riemann generalizada en todo su esplendor, explotando la riqueza
de métodos ahora disponibles, y luego deducir la hipótesis de Riemann original
como un caso especial.
Hay
también una enorme cantidad de pruebas experimentales a favor de la verdad de
la hipótesis de Riemann, o lo que ciertamente parece una enorme cantidad hasta
que alguien arroje agua fría sobre dicha afirmación. Según Carl Ludwig Siegel,
Riemann calculó los primeros pocos ceros de su función zeta numéricamente pero
no publicó los resultados: están localizados en:
Los ceros
no triviales se dan siempre en pares ± como este. He escrito aquí 1/2 en lugar
de 0,5 porque la parte real se conoce exactamente en estos
casos, explotando resultados generales en análisis complejo y propiedades
conocidas de la función zeta. Lo mismo sucede con los cálculos por ordenador
citados más abajo. No solo muestran que los ceros están muy cerca de la recta
crítica; en realidad, están sobre ella.
En 1903
Jorgen Gram demostró numéricamente que los diez primeros (pares ± de) ceros se
encuentran en la recta crítica. Para 1935 Titchmarsh había aumentado el número
hasta 195. En 1936 Titchmarsh y Leslie Comrie demostraron que los primeros 1041
pares de ceros están en la recta crítica; fue la última vez que alguien hizo
cálculos de este tipo a mano. Alan Turing es más conocido por su trabajo en
tiempo de guerra en Bletchley Park, donde ayudó a descifrar el código alemán
Enigma, y por su trabajo sobre los fundamentos de la computación y de la
inteligencia artificial. Pero también se interesó en la teoría de números
analítica. En 1953 descubrió un método más eficiente para calcular ceros de la
función zeta, y utilizó un ordenador para deducir que los primeros 1104 pares
de ceros están sobre la recta crítica. Se acumularon las pruebas de que todos
los ceros hasta un límite estaban sobre la recta crítica; el récord actual,
obtenido por Yannick Saouter y Patrick Demichel en 2004, es diez billones (1013).
Varios matemáticos y científicos de la computación han comprobado también otros
rangos de ceros. Hasta la fecha, todo cero no trivial que ha sido computado se
encuentra sobre la recta crítica.
Esto
podría parecer concluyente, pero los matemáticos son ambivalentes sobre este
tipo de evidencias, por buenas razones. Números como diez billones pueden sonar
grandes, pero en teoría de números lo que suele importar es el logaritmo del
número, que es proporcional al número de dígitos. El logaritmo de diez billones
está por debajo de 30. De hecho, muchos problemas dependen del logaritmo del
logaritmo, o incluso el logaritmo del logaritmo del logaritmo. En dichos
términos, diez billones es minúsculo, de modo que la evidencia
numérica hasta diez billones apenas tiene peso.
Hay
también alguna evidencia analítica general, que no está sujeta a esta objeción.
Hardy y Littlewood demostraron que infinitos ceros se encuentran sobre la recta
crítica. Selberg demostró que una proporción no nula de ceros se hallan sobre
la recta crítica. Norman Levinson demostró que esta proporción es al menos un
tercio, una cifra ahora mejorada hasta al menos el 40 por 100. Todos estos
resultados sugieren que si la hipótesis de Riemann es falsa, los ceros que no
se encuentran sobre la recta crítica son muy grandes, y muy raros. Por
desgracia, la implicación más importante es que si tales excepciones existen,
hallarlas será extraordinariamente difícil.
¿Por qué
molestarse? ¿No debería esta evidencia numérica satisfacer a cualquier persona
razonable? Por desgracia, no. No satisface a los matemáticos, y en este caso no
se trata solo de pedantería: realmente están actuando como personas razonables.
En matemáticas en general, y sobre todo en teoría de números, la evidencia
«experimental» aparentemente amplia suele tener mucho menos peso que el que
cabría imaginar.
Una
lección la proporciona la conjetura de Pólya, enunciada en 1919 por el
matemático húngaro George Pólya. Él sugirió que al menos la mitad de todos los
números naturales hasta cualquier valor concreto tienen un número impar de
factores primos. Aquí los factores repetidos se cuentan por separado, y
empezamos en 2. Por ejemplo, hasta 20 el número de factores primos se parece a
la Tabla 2, donde la columna «porcentaje» da el porcentaje de números hasta
este tamaño con un número impar de factores primos.
TABLA 2.
Porcentajes de números, hasta un tamaño dado, que tienen un número impar de
factores primos.
Todos los
porcentajes en la última columna son mayores que el 50 por 100, y cálculos más
extensos hacen razonable conjeturar que esto es siempre cierto. En 1919, sin
disponer de ordenadores, los experimentos no pudieron encontrar números que
refutaran la conjetura. Pero en 1958 Brian Haselgrove utilizó la teoría de
números analítica para demostrar que la conjetura es falsa para algún número
—menor que 1,845×10361—, para ser exactos. Una vez que los
ordenadores entraron en escena, Sherman Lehman demostró que la conjetura es
falsa para 906.180.359. En 1980 Minoru Tanaka demostró que el menor de tales
ejemplos es 906.150.257. De modo que pese a que la conjetura es falsa, podría
haberse acumulado evidencia experimental a su favor para casi todos los números
hasta mil millones.
Además,
es bueno saber que el número 906.150.257 es inusualmente interesante.
Por
supuesto, los ordenadores actuales refutarían la conjetura en pocos segundos si
se programaran de modo adecuado. Pero a veces ni siquiera los ordenadores
sirven de ayuda. Un ejemplo clásico es el número de Skewes, donde aparentemente
enormes cantidades de pruebas numéricas sugerían en principio que una famosa
conjetura debería ser cierta, pese a que de hecho es falsa. Este número
gigantesco aparecía en un problema íntimamente relacionado con la hipótesis de
Riemann: la aproximación de π(x) por Li(χ). Como acabamos de ver, el
teorema de los números primos afirma que la razón de estas dos cantidades
tiende a 1 cuando χ se hace grande. Los cálculos numéricos
parecen indicar algo más fuerte: la razón es siempre menor que 1; es decir,
π(x) es menor que Li(χ). En 2008 las computaciones numéricas de Tadej
Kotnik demostraron que esto es cierto siempre que χ sea menor
que 1014. Para 2012 Douglas Stoll y Demichel habían mejorado esta
cota hasta 1018, una cifra obtenida independientemente por Andry
Kulsha. Resultados de Tomás Oliveira e Silva sugieren que puede aumentarse
hasta 1020.
Esto
podría sonar definitivo. Es más fuerte que los mejores resultados numéricos que
tenemos a favor de la hipótesis de Riemann. Pero en 1914 Littlewood demostró
que esta conjetura es falsa, y lo es de forma espectacular. Conforme χ recorre
los números reales positivos, la diferencia π(x) - Li(χ) cambia de signo
(de negativo a positivo o al revés) infinitamente a menudo. En
particular, π(χ) es mayor que Li(χ) para algunos
valores de χ suficientemente grandes. Sin embargo, la
demostración de Littlewood no daba ninguna indicación del tamaño de dicho
valor.
En 1933
su estudiante, el matemático surafricano Stanley Skewes, estimó cuán grande
debe ser χ: no mayor que 10∧10∧10∧34, donde ∧ indica «elevado a la
potencia». Ese número es tan gigantesco que si todos sus dígitos se imprimieran
en un libro —un libro bastante aburrido, consistente en un 1 seguido por una
ristra interminable de 0— el universo no sería lo bastante grande para
contenerlo, incluso si cada dígito fuera del tamaño de una partícula
subatómica. Además, Skewes tuvo que suponer la verdad de la hipótesis de
Riemann para que su demostración funcionase. Para 1955 había encontrado una
manera de evitar la hipótesis de Riemann, pero a un precio: su estimación
aumentó a 10∧10∧10∧963.
Estos
números son demasiado grandes incluso para el adjetivo «astronómico», pero
investigación adicional los redujo a algo que podía calificarse de cosmológico.
En 1966 Lehman reemplazó los números de Skewes por 101165. Te Riele
lo redujo a 7×10370 en 1987, y en 2000 Carter Bays y Richard
Hudson lo redujeron a 1,39822×10316. Kuok Fai Chow y Roger Plymen
rasparon un poco más, y redujeron el número a 1,39801×10316. Esto
puede parecer una mejora despreciable, pero es alrededor de 2×10313 veces
menor. Saouter y Demichel hicieron una mejora adicional hasta 1,3971667×10316.
Mientras, en 1941 Aurel Wintner había demostrado que una proporción pequeña
pero no nula de enteros satisfacen π(x) > Li(χ). En 2011 Stoll y
Demichel computaron los primeros doscientos mil millones de ceros de la función
zeta, que controlan π(x) cuando χ es algo hasta 1010.000.000.000.000,
y encontraron evidencia de que si χ es menor que 3,17×10114 entonces
π(x) es menor que Li(χ[68]). De
modo que para este problema particular, la evidencia hasta al menos 1018,
y muy posiblemente hasta 10114 o más, es completamente
engañosa. Los veleidosos dioses de la teoría de números están divirtiéndose a
costa de los seres humanos.
Durante
años se han hecho muchos intentos para demostrar o refutar la hipótesis de
Riemann. La página web de Matthew Watkins, «Demostraciones propuestas de la
hipótesis de Riemann», da una lista de unas cincuenta de ellas desde 2000[69]. Se han
encontrado errores en muchos de estos intentos, y ninguna ha sido aceptada como
correcta por expertos cualificados.
Uno de
los esfuerzos más ampliamente publicitados en años recientes fue el de Louis de
Branges en 2002. Hizo circular un extenso manuscrito en donde pretendía deducir
la hipótesis de Riemann aplicando una rama del análisis que trataba con
operadores en espacios de dimensión infinita, conocida como análisis funcional.
Había razones para tomar en serio a De Branges. Previamente había hecho
circular una demostración de la conjetura de Bieberbach sobre desarrollos en
serie de funciones complejas. Aunque su demostración original tenía errores, al
final quedó establecido que la idea subyacente funcionaba. Sin embargo, ahora
parece haber buenas razones para pensar que el método propuesto por De Branges
para demostrar la hipótesis de Riemann no tiene posibilidad de conseguirlo.
Algunos obstáculos aparentemente fatales han sido señalados por Brian Conrey y
Xian-Jin Li[70].
Quizá la
mayor esperanza de una demostración proceda de modos nuevos o radicalmente
diferentes de considerar el problema. Como hemos visto de modo reiterado, los
avances importantes en grandes problemas surgen a menudo cuando alguien los
vincula con alguna área de las matemáticas totalmente diferente. El último
teorema de Fermat es un claro ejemplo: una vez que fue reinterpretado como una
cuestión sobre curvas elípticas, el progreso fue rápido.
La
táctica de De Branges parece ahora cuestionable, pero su enfoque es
estratégicamente válido. Tiene sus raíces en una sugerencia verbal hecha
alrededor de 1912 por David Hilbert, e independientemente por George Pólya. El
físico Edmund Landau preguntó a Pólya si había una razón física por la que la
hipótesis de Riemann debiera ser cierta. Pólya contó en 1982 que había dado con
una respuesta: los ceros de la función zeta deberían estar relacionados con los
valores propios de un denominado operador autoadjunto. Estos son números
característicos asociados con tipos de transformaciones especiales. En física
cuántica, donde tienen aplicaciones importantes, estos números determinan los
niveles energéticos del sistema en cuestión, y un sencillo teorema estándar afirma
que los valores propios de este tipo de operador son siempre reales. Como hemos
visto, la hipótesis de Riemann puede reformularse como la afirmación de que
todos los ceros de la función xi son reales. Si algún operador autoadjunto
tuviera valores propios que fueran los mismos que los ceros de la función xi,
la hipótesis de Riemann sería una fácil consecuencia. Pólya no publicó esta
idea; él no pudo encontrar tal operador, y hasta que alguien pudiera hacerlo
era un castillo en el aire. Pero en 1950 Selberg demostró su «fórmula de la
traza», que relaciona la geometría de una superficie con los valores propios de
un operador asociado. Esto hacía la idea algo más plausible.
En 1972
Hugh Montgomery estaba visitando el Instituto de Estudio Avanzado en Princeton.
Había advertido algunas sorprendentes propiedades estadísticas de los ceros no
triviales de la función zeta. Se las mencionó al físico Freeman Dyson, quien
inmediatamente detectó una similitud con las propiedades estadísticas de
matrices hermíticas aleatorias, otro tipo especial de operador utilizado para
describir sistemas cuánticos tales como núcleos atómicos. En 1999 Alain Connes
dio con una fórmula de la traza, similar a la de Selberg, cuya validez
implicaría la verdad de la hipótesis de Riemann generalizada. Y en 1999 los
físicos Michael Berry y Jon Keating sugirieron que el operador requerido podría
surgir al cuantizar un concepto bien conocido de la física clásica relacionado
con el momento lineal. La conjetura de Berry resultante puede verse como una
versión más específica de la conjetura de Hilbert-Pólya.
Estas
ideas, que relacionan la hipótesis de Riemann con áreas nucleares de la física
matemática, son notables. Muestran que el progreso puede venir, tal vez, de
áreas de las matemáticas aparentemente no relacionadas, y despierta esperanzas
de que la hipótesis de Riemann pueda resolverse algún día. Sin embargo, aún no
han llevado a ningún avance trascendental y definitivo que nos anime a pensar
que la solución está a la vuelta de la esquina. La hipótesis de Riemann sigue
siendo uno de los enigmas más desconcertantes e irritantes en el conjunto de
las matemáticas.
Hoy hay
una nueva razón para tratar de demostrar la hipótesis de Riemann: un premio
sustancial.
No hay un
premio Nobel en matemáticas. El premio más distinguido en matemáticas es la
medalla Fields, o mejor dicho la Medalla Internacional para Descubrimientos
Sobresalientes en Matemáticas. Debe su nombre al matemático canadiense John
Fields, que dotó el premio en su testamento. Cada cuatro años, en el Congreso
Internacional de Matemáticos, hasta cuatro de los más destacados matemáticos
jóvenes (menores de cuarenta años) del mundo reciben una medalla de oro y un
premio en metálico, actualmente quince mil dólares. Por lo que respecta a los
matemáticos, la medalla Fields es equivalente en prestigio a un premio Nobel.
Muchos
matemáticos consideran que la falta de un Nobel en su disciplina es una buena
cosa. En la actualidad un premio Nobel asciende a algo más de un millón de
dólares, una cantidad que fácilmente podría distorsionar los objetivos de la
investigación y llevar a discusiones sobre prioridad. Sin embargo, la ausencia
de un premio matemático importante también puede haber distorsionado la
percepción que tiene el público del valor y la utilidad de las matemáticas. Es
fácil imaginar que si nadie está dispuesto a pagar por ello, no puede ser de
mucho valor.
Recientemente
han nacido dos nuevas recompensas matemáticas de gran prestigio. Una es el
premio Abel, concedido anualmente por la Academia Noruega de Ciencias y Letras,
y así llamado en honor del gran matemático noruego Niels Henrik Abel. El otro
nuevo galardón consiste en los siete premios del milenio del Instituto Clay de
Matemáticas. El Instituto Clay fue fundado por Landon Clay y su esposa Lavinia.
Landon Clay es un hombre de negocios norteamericano que opera con fondos de
pensiones, y que tiene amor, y respeto, por las matemáticas. En 1999 creó una
nueva fundación para las matemáticas en Cambridge, Massachusetts, que convoca
reuniones, concede becas de investigación, organiza conferencias públicas y
administra un premio de investigación anual.
En
2000 sir Michael Atiyah y John Tate, destacados matemáticos en
Gran Bretaña y Estados Unidos, anunciaron que el Instituto Clay de Matemáticas
había establecido un nuevo premio con el objetivo de animar a la solución de
siete de los más importantes problemas abiertos en matemáticas. Serían
conocidos como los problemas del milenio, y una solución adecuadamente
publicada y evaluada de cualquiera de ellos valdría un millón de dólares. En
conjunto, estos problemas dirigían la atención a algunas de las cuestiones
centrales sin respuesta en matemáticas, cuidadosamente seleccionadas por
algunos de los matemáticos de más prestigio del mundo. El premio sustancial
transmite un mensaje muy claro al público: las matemáticas son valiosas. Todos
los implicados son conscientes de que su valor intelectual puede ser más
profundo que el mero dinero, pero un premio en metálico ayuda a concentrar la
mente. El problema del milenio más conocido, y uno de los que se remonta más
atrás en la historia, es la hipótesis de Riemann. Es la única cuestión que
aparece tanto en la lista de Hilbert de 1900 como en la lista de problemas del
milenio. Los otros seis problemas del milenio se discuten en los capítulos
10-15. Los matemáticos no están especialmente obsesionados por los premios, y
trabajarían en la hipótesis de Riemann aunque no hubiera uno. Una idea nueva y
prometedora sería toda la motivación que necesitaran.
Vale la
pena recordar que las conjeturas, por consagradas que estén, pueden no ser
ciertas. Hoy día la mayoría de los matemáticos parecen pensar que finalmente se
encontrará una demostración de la hipótesis de Riemann, No obstante, algunos
piensan que puede ser falsa: en algún lugar en las tierras vírgenes de los
números muy grandes puede esconderse un cero que no se sitúa en la recta
crítica. Si existe un «contraejemplo» semejante es probable que sea muy, muy
grande.
Sin
embargo, las opiniones cuentan poco en las fronteras de las matemáticas. La
intuición experta suele ser muy buena, pero ha habido muchas ocasiones en que
resultó errónea. La sabiduría convencional puede ser convencional y sabia, sin
ser verdadera. Littlewood, uno de los grandes expertos en análisis complejo,
era inequívoco: en 1962 dijo que estaba seguro de que la hipótesis de Riemann
era falsa, y añadía que no había ninguna razón imaginable para que fuera
cierta. ¿Quién tiene razón? Solo nos queda esperar y ver.
Capítulo
10
¿Qué forma tiene una esfera?
La conjetura de Poincaré
Henri
Poincaré fue uno de los más grandes matemáticos de finales del siglo XIX, un
tipo algo excéntrico pero muy sagaz. Llegó a ser miembro del Bureau des
Longitudes de Francia, cuyo objetivo era mejorar la navegación, la medida del
tiempo y la medida de la Tierra y los planetas. Este puesto le llevó a proponer
el establecimiento de zonas horarias internacionales; también le inspiró ideas
sobre la física del tiempo, anticipando algunos de los descubrimientos de
Einstein en relatividad especial. Poincaré dejó su marca en todo el paisaje
matemático, desde la teoría de números hasta la física matemática.
En
particular, fue uno de los fundadores de la topología, las matemáticas de las
transformaciones continuas. Aquí, en 1904, él tropezó con una pregunta sencilla
en apariencia tras darse cuenta tardíamente de que había dado por supuesta la
respuesta en un trabajo anterior, pero no pudo encontrar una demostración.
«Esta pregunta nos llevaría por un camino equivocado», escribió. Más bien
evitaba la cuestión real; no le estaba llevando a ninguna parte.
Aunque él lo planteaba como una pregunta, el problema llegó a conocerse como la
conjetura de Poincaré porque todo el mundo esperaba que la respuesta fuera
«sí». Es otro de los siete problemas del milenio del premio Clay, y lo es con
razón, porque resultó ser uno de los problemas más desconcertantes en el
conjunto de la topología. La pregunta de Poincaré fue finalmente respondida en
2002 por un joven ruso, Grigori Perelman. La solución introdujo un montón de
nuevas ideas y métodos, tantos que la comunidad matemática necesitó algunos
años para digerir la demostración y aceptar que era correcta.
Por su
éxito Perelman fue galardonado con una medalla Fields, el premio matemático más
prestigioso, pero lo rechazó. No quería publicidad. Se le ofreció el premio
Clay de un millón de dólares por demostrar la conjetura de Poincaré, y renunció
al mismo. Tampoco quería dinero. Lo que él quería era que su trabajo fuera
aceptado por la comunidad matemática. Finalmente lo fue, pero por desgracia, y
por razones comprensibles, eso tomó un tiempo. Siempre fue poco realista
esperar aceptación sin publicidad o sin la oferta de premios. Pero estas
consecuencias inevitables del éxito no se adaptaban al carácter en ocasiones
huraño de Perelman.
Ya
encontramos la topología en relación con el teorema de los cuatro colores, y
entonces recurrí al cliché «geometría de la lámina elástica». La geometría de
Euclides trata con líneas rectas, círculos, longitudes y ángulos. Tiene lugar
en un plano, o en un espacio de tres dimensiones cuando se hace más avanzada.
Un plano es como una hoja de papel infinita y comparte una propiedad del papel:
no se estira, ni se contrae, ni se dobla. Se puede enrollar el papel en un
tubo, y se puede estirar o contraer un poco, especialmente si le cae café
encima. Pero no se puede deformar una hoja de papel y hacerla redonda como una
esfera sin crear grietas. Desde el punto de vista matemático, el plano euclídeo
es rígido. En la geometría de Euclides dos objetos —triángulos, cuadrados,
círculos— son iguales si se puede transformar uno de ellos en el otro mediante
un movimiento rígido. Y «rígido» significa que las distancias no cambian.
¿Qué pasa
si se utiliza en una lámina elástica su lugar de papel? La lámina se estira, se
dobla, y con poco esfuerzo puede comprimirse. Longitudes y ángulos no tienen
significado fijo en una lámina elástica. De hecho, si es suficientemente
elástica, tampoco lo tienen triángulos, cuadrados o círculos. Se puede deformar
un triángulo en una lámina elástica para darle una esquina extra. Incluso se le
puede convertir en un círculo (véase Figura 36). Cualesquiera que sean los
conceptos de la geometría de la lámina elástica, no incluyen los conceptos
euclídeos tradicionales.
Figura 36. Deformación topológica de un triángulo hasta un círculo.
Podría
parecer que la geometría en una lámina elástica sería tan flexible que nada
tendría un significado fijo, en cuyo caso pocas cosas sustanciales podrían
demostrarse. No es así. Dibujemos un triángulo y situemos un punto en su
interior. Si se estira y deforma la lámina hasta que el triángulo se convierte
en un círculo, hay una propiedad del diagrama que no cambia: el punto sigue
estando dentro. Cierto es que ahora está dentro de un círculo, y no de un
triángulo, pero no está fuera. Para desplazar el punto al exterior
tendríamos que rasgar la lámina, lo que rompe las reglas de este juego
concreto.
Hay otra
propiedad que también sobrevive a la distorsión. Un triángulo es una curva
cerrada simple. Es una línea que se une a sí misma de modo que no hay extremos
libres y no se cruza a sí misma. Una figura de ocho es una curva cerrada pero
no es simple, pues se cruza a sí misma. Cuando se deforma la lámina elástica el
triángulo puede cambiar de forma, pero siempre seguirá siendo una curva
cerrada. No hay manera de convertirlo en una figura de ocho, por ejemplo, sin
rasgar la lámina.
En
topología tridimensional, la totalidad del espacio se hace elástica. No como un
bloque de goma, que recupera su forma original si se deja suelto, sino como un
gel que puede deformarse sin ofrecer ninguna resistencia. Un espacio topológico
es infinitamente deformable; se puede tomar una región del tamaño de un grano
de arroz y ampliarla hasta el tamaño del Sol. Se pueden estirar tentáculos
hasta que la región tenga la forma de un pulpo. Lo único que no está permitido
hacer es introducir algún tipo de discontinuidad. No se debe rasgar el espacio,
ni realizar ningún tipo de distorsión que aísle puntos vecinos.
¿Qué
propiedades de una forma en el espacio sobreviven a todas las deformaciones
continuas? No la longitud, ni el área, ni el volumen. Pero estar anudado sí lo
hace. Si se hace un nudo en una curva y se unen los extremos para formar un
lazo, entonces el nudo no puede escapar. Por mucho que deformemos el espacio,
la curva sigue anudada. Así que estamos trabajando con un nuevo tipo de
geometría en la que los conceptos importantes y significativos parecen bastante
difusos: «interior», «cerrado», «simple», «anudado». Esta nueva geometría tiene
un nombre respetable: topología. Puede parecer más bien esotérico, quizá
incluso absurdo, pero ha resultado ser una de las áreas importantes de las
matemáticas del siglo XX, y sigue siendo igualmente vital en las del siglo XXI.
Y una de las personas principales a quien se lo tenemos que agradecer es a
Poincaré.
La
historia de la topología empezó a despegar casi un siglo antes de Poincaré, en
1813. Simon Antoine Jean L’Huillier, un matemático suizo, no incendió ni mucho
menos el mundo de las matemáticas durante su vida, pese a que rechazó una gran
suma de dinero que un pariente había prometido pagarle si entraba en la
Iglesia. L’Huillier prefirió hacer una carrera en las matemáticas. Se
especializó en un remanso matemático: el teorema de Euler sobre los poliedros.
En el capítulo 4 encontramos este resultado curioso y aparentemente aislado: si
un poliedro tiene C caras, V vértices y A aristas,
entonces C - A + V = 2.
L’Huillier dedicó buena parte de su carrera a investigar variantes de esta
fórmula, y visto en retrospectiva dio un paso vital en la dirección de la
topología cuando descubrió que la fórmula de Euler es a veces falsa. Su validez
depende de la forma cualitativa del poliedro.
La
fórmula es correcta para poliedros sin agujeros, que pueden dibujarse sobre la
superficie de una esfera o deformarse continuamente en una forma de ese tipo.
Pero cuando el poliedro tiene agujeros, la fórmula falla. Por ejemplo, un
portafotos hecho de madera con una sección rectangular tiene 16 caras, 32
aristas y 16 vértices; aquí C - A + V =
0. L’Huillier modificó la fórmula de Euler para cubrir estos poliedros más
exóticos: si hay g agujeros, entonces C - A + V =
2 - 2g. Este fue el primer descubrimiento de un importante invariante
topológico: una cantidad asociada con un espacio que no cambia cuando el
espacio es deformado de forma continua. El invariante de L’Huillier proporciona
una manera rigurosa de contar cuántos agujeros tiene una superficie sin
necesidad de definir «agujero». Esto es útil, porque el concepto de un agujero
es delicado. Un agujero no es parte de la superficie, ni es la región fuera de
la superficie. Parece ser una propiedad de cómo se sitúa la superficie en su
espacio circundante. Pero el descubrimiento de L’Huillier muestra que lo que
interpretamos como el número de agujeros es una propiedad
intrínseca, independiente de cualquier espacio circundante. No es necesario
definir agujeros y luego contarlos; de hecho, es mejor no hacerlo.
Después
de L’Huillier, la siguiente figura clave en la prehistoria de la topología es
Gauss. Él encontró otros varios invariantes topológicos cuando trabajaba en
diversas áreas nucleares de las matemáticas. Su trabajo en análisis complejo,
especialmente la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos
una solución en números complejos le llevó a considerar el índice de una curva
en el plano: cuántas veces gira alrededor de un punto dado. Problemas en
electricidad y magnetismo llevaron al número de enlaces de dos curvas cerradas:
cuántas veces una de ellas atraviesa a la otra. Estos y otros ejemplos llevaron
a Gauss a preguntarse si podría existir alguna rama de las matemáticas aún no
descubierta que proporcionara una forma sistemática de entender propiedades
cualitativas de figuras geométricas. No publicó nada sobre el tema, pero lo
mencionó en cartas y manuscritos.
También
pasó la idea a su estudiante Johann Listing y a su ayudante August Möbius. He
mencionado la banda de Möbius, una superficie con un solo lado y también un
solo borde, que él publicó en 1865, y puede encontrarse en la Figura 9 del
capítulo 4. Möbius señaló que «tener un solo lado», aunque intuitivamente
claro, es difícil de describir de forma precisa, y propuso una propiedad
relacionada que podía definirse con todo rigor. Esta propiedad era la
orientabilidad. Una superficie es orientable si se puede recubrir con una red
de triángulos, con flechas que circulan alrededor de cada triángulo, de modo
que cuando quiera que dos triángulos tengan un lado común las flechas apunten
en direcciones opuestas. Esto es lo que sucede, por ejemplo, si se dibuja una red
en un plano y se hace que todas las flechas corran en sentido de las agujas del
reloj. En una banda de Möbius no existe tal red.
La
primera publicación de Listing en topología llegó antes, en 1847. Su título
era Vorstudien zur Topologie («Lecciones de topología»), y fue
el primer texto en emplear dicha palabra. Él había estado utilizando el término
de manera informal durante aproximadamente una década. Otro término utilizado
en esa época es la expresión latina analysis situs, «análisis de
posición», pero con el tiempo perdió favor. El libro de Listing contiene pocas
cosas importantes, pero establece una noción básica: cubrir una superficie con
una red de triángulos. En 1861, cuatro años después de Möbius, él describió la
banda de Möbius y estudió la conectividad, esto es, si un espacio puede
dividirse en dos o más partes inconexas. Desarrollando el trabajo de Listing,
varios matemáticos, entre ellos Walther von Dyck, reunieron una completa
clasificación topológica de superficies, suponiéndolas cerradas (sin borde) y
compactas (de extensión finita). La respuesta es que toda superficie orientable
es topológicamente equivalente a una esfera, a la que se le han añadido un
número finito g de asas (véase Figura 11, izquierda y derecha,
en capítulo 4). El número g se llama el género de la
superficie, y es el que determina el invariante de L’Huillier. Si g =
0 tenemos la esfera, y si g > 0 obtenemos un toro con g agujeros.
Una secuencia de superficies similar, que empieza con la más simple superficie
no orientable, el plano proyectivo, clasifica todas las superficies no
orientables. El método se extendió para permitir también superficies con bordes.
Cada borde es un lazo cerrado, y la única información extra necesaria es
cuántos de estos lazos se dan.
La
conjetura de Poincaré tendrá más sentido si primero echamos una mirada a una de
las técnicas básicas empleadas en la clasificación de superficies. Antes
describí la topología en términos de deformar una forma hecha de goma o de gel,
y resalté la necesidad de utilizar transformaciones continuas.
Irónicamente, una de las técnicas centrales en topología incluye lo que a
primera vista parece ser una transformación discontinua: cortar la forma en
piezas. Sin embargo, la continuidad se recupera mediante una serie de reglas
que describen qué pieza se une con qué otras y de qué manera. Un ejemplo es la
forma en que definimos un toro identificando lados opuestos de un cuadrado
(véase Figura 12 del capítulo 4).
Identificar
puntos que parecen ser distintos nos permite representar espacios topológicos
complicados utilizando ingredientes más simples. Un cuadrado es un cuadrado,
pero un cuadrado con reglas de identificación puede ser un toro, una botella de
Klein, un cilindro, una banda de Möbius o un plano proyectivo, dependiendo de
la elección de reglas (véase Figura 37). Así que cuando expliqué una
transformación continua en términos de estirar y doblar una lámina elástica,
pedí más de lo que en rigor es necesario. También se nos permite cortar la
lámina, en una etapa intermedia, siempre que al final unamos los bordes de
nuevo exactamente como estaban al principio, o bien especificamos reglas que
tienen el mismo efecto. Por lo que respecta a la topología, establecer una
regla para pegar bordes es lo mismo que implementar realmente la regla. Siempre
que no olvidemos la regla en cualquier otra cosa que hagamos luego.
Figura 37. Cinco espacios topológicos diferentes obtenidos identificando
bordes opuestos de un cuadrado de diversas maneras.
El método
tradicional para clasificar superficies empieza dibujando una red de triángulos
en la superficie. Luego cortamos las aristas suficientes para aplanar los
triángulos y formar un polígono. Reglas de unión, derivadas de cómo hicimos los
cortes, especifican cómo identificar varias aristas del polígono, lo que
reconstruye la superficie original. En este punto, toda la topología
interesante está implícita en las reglas de unión. La clasificación se
demuestra manipulando las reglas algebraicamente y transformándolas en reglas
que definen un toro de g agujeros o una de las superficies no orientables
análogas. La topología moderna tiene otras maneras de conseguir el mismo
resultado, pero a menudo utiliza este tipo de construcción de «corta y pega».
El método se generaliza sin dificultad a espacios de cualquier dimensión, pero
es demasiado restringido para llevar a una clasificación de espacios
topológicos de dimensiones más altas sin ayuda adicional.
Alrededor
de 1900, Poincaré estaba desarrollando el trabajo anterior sobre la topología
de superficies para conseguir una técnica mucho más general que se aplicara a
espacios con cualquier número de dimensiones. El motivo principal de su
investigación era descubrir invariantes topológicos: números de fórmulas
algebraicas asociadas con espacios, que permanecen sin cambios cuando el
espacio se deforma de modo continuo. Si dos espacios tienen diferentes
invariantes, entonces uno no puede deformarse para dar el otro, de modo que son
distintos topológicamente.
Él partió
de la generalización que hizo en 1870 el matemático italiano Enrico Betti del
invariante topológico de L’Huillier C - A + V (que
es ahora conocido de manera bastante injusta como la característica de Euler) a
espacios de más altas dimensiones. Betti había advertido que el máximo número
de curvas cerradas que pueden dibujarse en una superficie de género g,
sin dividirla en piezas inconexas, es g - 1. Esta es otra
manera de caracterizar topológicamente la superficie. Él generalizó esta idea a
«números de conectividad» de cualquier dimensión, que Poincaré llamó números de
Betti, un término aún en uso actualmente. El número de Betti k-dimensional
cuenta el número de agujeros k-dimensionales en el espacio.
Poincaré
desarrolló los números de conectividad de Betti en un invariante más sensible
llamado homología, que tiene mucha más estructura algebraica. Discutiremos la
homología con más detalle en el capítulo 15. Baste decir que examina
colecciones de «caras» multidimensionales en este tipo de red y pregunta cuáles
de ellas forman la frontera de un disco topológico. Un disco no tiene agujeros,
a diferencia de un toro, de modo que podemos estar seguros de que dentro de
cualquier colección de caras que constituye una frontera no hay agujeros.
Recíprocamente, podemos detectar agujeros confrontando colecciones de caras que
no forman fronteras con colecciones que sí lo hacen. De esta manera podemos
construir una serie de invariantes de un espacio, conocidos como sus grupos de
homología. «Grupo» aquí es un término del álgebra abstracta; significa que dos
objetos cualesquiera en el grupo pueden combinarse para dar alguna otra cosa en
el mismo grupo, de una manera que está sometida a varias bonitas reglas
algebraicas. Diré algo más adelante cuando necesitemos esta idea. Existe uno de
estos grupos para cada dimensión de 0 a n, y para cada espacio
obtenemos una serie de invariantes topológicos con todo tipo de fascinantes
propiedades algebraicas.
Listing
había clasificado todas las superficies topológicas: espacios de dimensión 2.
El siguiente caso obvio era examinar la dimensión 3. Y el espacio más simple
para empezar era una esfera. En el lenguaje cotidiano la palabra «esfera» tiene
dos significados diferentes: puede ser una bola redonda maciza, o solo la
superficie de la bola. Cuando se trabaja en topología de superficies la palabra
«esfera» se interpreta siempre en el segundo sentido: la superficie
infinitamente delgada de una bola. Además, el interior de la esfera no se
considera parte de ella: es solo una consecuencia de la forma usual en que
insertamos una superficie esférica en el espacio. Intrínsecamente, todo lo que
tenemos es una superficie, topológicamente equivalente a la superficie de una
bola. Se puede considerar la esfera como una bola hueca con una piel
infinitamente fina.
El
análogo tridimensional «correcto» de una esfera, llamado una 3-esfera, no es
una bola maciza. Una bola maciza es 3-dimensional, pero tiene una frontera: su
superficie, la esfera. Una esfera no tiene una frontera, y tampoco debería
tenerla su análogo 3-dimensional. La manera más simple de definir una 3-esfera
es imitar la geometría de coordenadas de una esfera ordinaria. Esto lleva a un
espacio que es un poco difícil de visualizar: yo no puedo mostrarle un modelo
en tres dimensiones porque la 3-esfera —incluso si solo tiene tres dimensiones—
no está insertada en el espacio 3-dimensional ordinario. En su lugar, está
inserta en el espacio 4-dimensional.
La esfera
unidad usual, en el espacio 3-dimensional, consiste en todos los puntos que
están a distancia 1 de un punto dado: el centro. Análogamente, la 3-esfera
unidad en el espacio 4-dimensional consiste en todos los puntos que están a
distancia unidad del centro. En coordenadas podemos escribir una fórmula para
este conjunto utilizando una generalización del teorema de Pitágoras para
definir la distancia[71]. De
manera más general, una 3-esfera es cualquier espacio que es
topológicamente equivalente a la 3-esfera unidad, igual que todo tipo de
versiones deformadas de una 2-esfera unidad son 2-esferas topológicas, y por
supuesto lo mismo sucede en dimensiones más altas.
Si usted
no queda satisfecho con esto y quiere una imagen más geométrica, ensaye esta.
Una 3-esfera puede representarse como una bola maciza cuya superficie entera se
identifica como un solo punto. Este es otro ejemplo de una regla de unión, y en
este caso es análoga a una manera de convertir un disco circular en una
2-esfera. Si rodeamos con una cuerda el borde de un disco de tela y tiramos de
ella, como para cerrar una bolsa, el resultado es topológicamente igual que una
2-esfera. Realicemos ahora la operación análoga en una bola maciza, pero como
es usual, no tratemos de visualizar el resultado: tan solo pensemos en una bola
maciza e implementemos conceptualmente las reglas de unión.
En
cualquier caso, Poincaré estaba muy interesado en la 3-esfera porque era
presumiblemente el espacio topológico 3-dimensional más simple que no tenía
frontera y era de extensión finita. En 1900 publicó un artículo en el que
afirmaba que los grupos de homología eran un invariante lo bastante potente
para caracterizar topológicamente la 3-esfera. En concreto, si un espacio
topológico 3-dimensional tiene los mismos grupos de homología que una 3-esfera,
entonces es topológicamente equivalente (puede ser deformado de forma continua)
a una 3-esfera. Para 1904, sin embargo, había descubierto que esta afirmación
es falsa. Existe al menos un espacio 3-dimensional que no es una 3-esfera pero
tiene los mismos grupos de homología que una 3-esfera. El espacio era un triunfo
para la filosofía de las reglas de unión, y la demostración de que no era una
3-esfera incluía la creación de un nuevo invariante, necesariamente más potente
que la homología.
Primero,
el espacio. Se llama espacio dodecaédrico de Poincaré, porque una construcción
moderna utiliza un dodecaedro macizo. Poincaré no era consciente de esta
relación con un dodecaedro: él unió dos toros macizos de una manera muy oscura.
La interpretación como dodecaedro fue publicada en 1933, unos veintiún años
después de la muerte de Poincaré, por Herbert Seifert y Constantin Weber, y es
mucho más fácil de comprender. La analogía que hay que tener en mente es la
construcción de un toro uniendo lados opuestos de un cuadrado. Como siempre, no
trate de hacer la unión; solamente recuerde que puntos
correspondientes son considerados el mismo. Ahora hagamos lo mismo, pero
utilizando caras opuestas de un dodecaedro (véase Figura 38).
Figura 38. Para hacer el espacio dodecaédrico de Poincaré, se toma un
dodecaedro y se unen todos los pares de caras opuestas (tales como el par
sombreado), con un giro para que ajusten.
Los
pitagóricos conocían los dodecaedros, hace 2500 años. La frontera de un
dodecaedro consiste en doce pentágonos regulares, unidos para hacer una jaula
aproximadamente esférica con tres pentágonos juntándose en cada vértice. Unamos
ahora cada cara del dodecaedro con la cara opuesta… salvo que haya un giro.
Literalmente. Cada cara tiene que rotarse un ángulo apropiado antes de unirla a
la opuesta. El ángulo es el más pequeño que alinea las caras correspondientes,
que es de 36 °. Podemos considerar esta regla como una versión elaborada de la
regla de la banda de Möbius: girar un lado 180 ° y luego unirlo con el lado
opuesto.
Ese es el
espacio. Examinemos ahora el invariante. No me estoy yendo por las ramas:
necesitamos todo esto para entender la conjetura de Poincaré.
Poincaré
llamó a su nuevo invariante el grupo fundamental. Hoy seguimos utilizando ese
nombre, pero también lo conocemos como el (primer) grupo de homotopía. La
homotopía es una construcción geométrica que puede realizarse enteramente
dentro del espacio, y proporciona información sobre el tipo topológico de dicho
espacio. Lo hace utilizando una estructura algebraica abstracta conocida como
un grupo. Un grupo es una colección de objetos matemáticos tal que dos
cualesquiera de ellos pueden combinarse para dar otro objeto del grupo. Esta
ley de composición —a menudo llamada multiplicación o suma, aunque no es la
habitual operación aritmética con dicho nombre— debe satisfacer unas pocas
condiciones simples y naturales. Si llamamos suma a esta operación, las condiciones
principales son:
·
El grupo contiene un elemento que se comporta como
cero: si se suma a cualquier objeto del grupo, el resultado es el mismo objeto.
·
Todo miembro del grupo tiene un negativo en el
grupo: la suma de los dos da cero.
·
Si se suman tres miembros del grupo, no importa qué
dos se suman primero. Es decir, (a + b) + c = a +
(b + c). Esto se llama ley asociativa.
La ley
algebraica que no se impone (aunque a veces también se cumple)
es la ley conmutativa a + b = b + a[72].
El grupo
fundamental de Poincaré es una especie de esqueleto simplificado del espacio.
Es un invariante topológico: espacios topológicamente equivalentes tienen el
mismo grupo fundamental. Para hacernos una idea útil, y muy posiblemente
reconstruir parte de la motivación de Poincaré, veamos cómo funciona en el caso
de un círculo, tomando prestada una imagen que se remonta a Gauss. Imaginemos
una hormiga cuyo universo entero es el círculo. ¿Cómo puede descubrir qué forma
tiene su universo? ¿Puede distinguir el círculo de, pongamos por caso, una
recta? Tengamos en cuenta que a la hormiga no se le permite salir fuera de su
universo, mirarlo y ver que es circular. Todo lo que puede hacer es caminar
dentro de su universo, cualquiera que pueda ser. En particular, la hormiga no
se da cuenta de que su universo es curvo, porque su versión de un rayo de luz
también está confinada en el círculo. Ignoremos cuestiones prácticas tales como
que los objetos tengan que pasar unos a través de otros; esta va a ser una
analogía muy vaga.
La
hormiga tiene varias maneras de descubrir la forma de su universo. Me centraré
en un método que se generaliza a cualquier espacio topológico. Para los fines
de esta discusión, la hormiga es un punto. Vive en una parada de autobús que
también es un punto. Cada día sale de su casa, toma el autobús (que, por
supuesto, es un punto) y termina volviendo a casa. El trayecto más sencillo es
el del autobús número 0, que simplemente se sitúa en la parada y no va a
ninguna parte. Para una excursión más interesante, la hormiga toma el autobús
número 1, que da la vuelta al universo exactamente una vez en sentido contrario
a las agujas del reloj y se detiene cuando vuelve a casa. El autobús número 2
da dos vueltas, el número 3 da tres vueltas y así sucesivamente: un autobús en
sentido contrario a las agujas del reloj por cada entero positivo. También hay
autobuses negativos, que van en sentido contrario. El autobús número -1 da una
vuelta en sentido de las agujas del reloj, el número -2 da dos vueltas en
sentido de las agujas, y así sucesivamente.
La
hormiga advierte pronto que dos viajes sucesivos en el autobús número 1 son, en
esencia, lo mismo que un único viaje en el autobús número 2, y tres viajes en
el autobús número 1 son esencialmente lo mismo que un único viaje en al autobús
número 3. De modo similar, un viaje en el autobús número 5 seguido de un viaje
en el autobús número 8 es esencialmente lo mismo que un viaje en el autobús
número 13. De hecho, dados dos números positivos cualesquiera, un viaje en el
autobús con el primer número seguido de un viaje en el autobús con el segundo
número se reduce a un viaje en el autobús cuyo número es la suma de ambos.
El
siguiente paso es más sutil. La misma relación es casi válida
para autobuses cuyos números son negativos o cero. Un viaje en el autobús
número 0, seguido de un viaje en el autobús número 1, es muy similar a un viaje
en el autobús número 1. Sin embargo, hay una pequeña diferencia. En el viaje 0
+ 1, el autobús 0 espera un tiempo en la salida, lo que no sucede en un único
viaje en el autobús 1. Así que introducimos una noción con el imponente nombre
de homotopía («el mismo lugar» en griego). Dos lazos son homotópicos si uno
puede ser deformado de forma continua hasta dar el otro. Si permitimos que los
itinerarios de los autobuses se cambien por homotopías, podemos contraer poco a
poco el tiempo que pasa la hormiga sentada en la parada del autobús número 0,
hasta que el período estacionario desaparece. Ahora la diferencia entre el
viaje 0 + 1 y el viaje 1 ha desaparecido, de modo que «salvo homotopía» el
resultado es precisamente un viaje en el autobús número 1. Es decir, la
ecuación 0 + 1 = 1 para números de autobús sigue siendo válida, no para viajes
sino para clases de homotopía de viajes.
¿Qué pasa
con un viaje en el autobús número 1 seguido de un viaje en el autobús número
-1? Nos gustaría que esto fuera un viaje en el autobús número 0, pero no lo es.
Recorre el trayecto en sentido contrario a las agujas del reloj, y luego vuelve
a recorrerlo en sentido de las agujas. Esto es claramente diferente de pasar
todo el viaje sentada en la parada del autobús número 0. De modo que 1 + (-1),
es decir, 1 - 1 no es igual a 0. Pero una vez más la homotopía viene al
rescate: la combinación de autobuses 1 y -1 es homotópica al mismo viaje total
que el autobús 0. Para ver por qué, supongamos que la hormiga sigue en
automóvil la ruta combinada de los autobuses 1 y -1, pero poco antes de
completar todo el camino hasta la parada del autobús, invierte la dirección y
vuelve a casa. Este viaje es muy parecido al doble viaje en autobús: solo
difiere en una minúscula parte del recorrido. Así que el doble viaje en autobús
original se ha «contraído» de forma continua a un viaje en automóvil
ligeramente más corto. Ahora la hormiga puede contraer el viaje otra vez,
volviendo atrás un poco antes. Puede seguir contrayendo el recorrido, volviendo
atrás un poco antes cada vez, hasta que finalmente todo lo que hace es sentarse
en un automóvil aparcado en la parada de autobús, sin ir a ninguna parte. Este
proceso de contracción es también una homotopía, y muestra que un viaje en el
autobús número 1 seguido de un viaje en el autobús número -1 es homotópico a un
viaje en el autobús número 0. Es decir, 1 + (-1) = 0 para clases de homotopía
de viajes.
Es ahora
sencillo, para un algebrista, demostrar que un viaje en cualquier autobús,
seguido de un viaje en un segundo autobús, es homotópico a un viaje en el
autobús que se obtiene sumando los dos números de autobús. Esto es cierto para
autobuses positivos, autobuses negativos y el autobús 0. De modo que si sumamos
viajes —bueno, clases se homotopía de viajes de autobús— obtenemos un grupo. De
hecho, es un grupo muy familiar. Sus elementos son los enteros (números de
autobús) y su operación es la suma. Su símbolo convencional es ℤ, del
alemán Zahl («entero»).
Un
trabajo mucho más difícil demuestra que en un universo circular, cualquier viaje
en automóvil —incluso si incluye muchos retrocesos o idas y venidas sobre el
mismo tramo de carretera— es homotópico a uno de los viajes en autobús
estándar. Además, los viajes en autobús con números diferentes no son
homotópicos. La demostración requiere cierta técnica; la idea básica es el
índice de Gauss. Este cuenta el número total de veces que el recorrido gira
alrededor del círculo en el sentido contrario a las agujas del reloj[73]. Dice a
qué ruta de autobús es homotópico el viaje.
Una vez
que se rellenan los detalles, esta descripción demuestra que el grupo
fundamental de un círculo es el mismo que el grupo
Como
dije, existen otros métodos, pero así es como la hormiga puede hacerlo
utilizando el grupo fundamental de Poincaré.
Ahora
subimos la apuesta. Supongamos que la hormiga vive en una superficie. De nuevo,
ese es su universo entero; no puede salir de él y echar una mirada para ver en
qué tipo de superficie habita. ¿Puede calcular la topología de su universo? En
particular, ¿puede distinguir la diferencia entre una esfera y un toro? De
nuevo la respuesta es «sí», y el método es el mismo que para un universo
circular: subir a un autobús y hacer viajes que empiezan y acaban en casa. Para
sumar viajes, se realizan uno detrás de otro. El viaje cero es «quedarse en
casa», el inverso de un viaje es el mismo viaje en sentido contrario, y
obtenemos un grupo con tal de que trabajemos con clases de homotopía de viajes.
Este es el grupo fundamental de la superficie. Comparado con un universo
circular hay más libertad para crear viajes y para deformarlos de forma
continua en otros viajes, pero funciona la misma idea básica.
El grupo
fundamental es de nuevo un invariante topológico, y la hormiga puede utilizarlo
para descubrir si vive en una esfera o en un toro. Si su universo es una
esfera, entonces, sea cual sea el viaje que haga la hormiga, puede deformarse
poco a poco hasta el viaje cero: quedarse en casa. Esto no sucede si el
universo es un toro. Algunos viajes pueden deformarse hasta cero, pero un viaje
que da una vuelta a través del agujero central, como en la Figura 39 (izquierda),
no puede deformarse así. Esta afirmación necesita demostración, pero puede
darse. Hay viajes en autobús estándar en el toro, pero ahora los números de
autobús son pares de enteros (m, n). El primer número m especifica
cuántas vueltas da el viaje alrededor del agujero central; el segundo
número n especifica cuántas vueltas da el viaje alrededor del
toro. La Figura 39 (derecha) muestra el viaje (5, 2), que da cinco
vueltas a través del agujero y dos vueltas alrededor del toro. Para sumar
viajes, se suman los números correspondientes; por ejemplo, (3, 6) + (2, 4) =
(5, 10). El grupo fundamental del toro es el grupo ℤ2 de pares de
enteros.
Figura 39. Izquierda: Viajes en autobús (1, 0) y (0, 1) en el toro. Derecha:
Viaje en autobús (5, 2). Las líneas grises están en la parte trasera.
Cualquier
espacio topológico tiene un grupo fundamental, definido exactamente de la misma
forma utilizando viajes —conocidos con más propiedad como lazos— que empiezan y
terminan en el mismo punto. Poincaré ideó el grupo fundamental para demostrar
que su espacio dodecaédrico no es una 3-esfera, pese a tener exactamente los
mismos invariantes topológicos. Su fórmula original se adapta muy bien al
cálculo de su grupo fundamental. La receta más moderna «girar y pegar» se
adapta todavía mejor. La respuesta resulta ser un grupo con 120 elementos
relacionados con el dodecaedro. En contraste, el grupo fundamental de una
3-esfera tiene un solo elemento: el lazo cero. De modo que el espacio
dodecaédrico no es topológicamente equivalente a una esfera, pese a tener la
misma homología, y Poincaré había demostrado que su afirmación de 1900 era
errónea.
Él pasó a
especular sobre su nuevo invariante: ¿era el ingrediente que faltaba en una
caracterización topológica de la 3-esfera? ¿Quizá cualquier espacio
3-dimensional con el mismo grupo fundamental que una 3-esfera —es decir, el
grupo trivial— debe ser realmente una 3-esfera? Parafraseó
esta sugerencia en forma negativa como una pregunta: «Consideremos una variedad
[espacio topológico] 3-dimensional compacta V sin frontera.
¿Es posible que el grupo fundamental de V sea trivial, incluso
si V no es [topológicamente] equivalente a la esfera
3-dimensional?». Él dejó la pregunta abierta, pero la creencia muy plausible de
que la respuesta es la obvia —«no», cuando la pregunta se plantea de esta
manera— llegó rápidamente a conocerse como la conjetura de Poincaré. Y con la
misma rapidez llegó a ser una de las más enojosas preguntas abierta en
topología.
«Grupo
fundamental trivial» es otra manera de decir «todo lazo puede ser deformado de
forma continua hasta un punto». No solo una 3-esfera posee esta propiedad;
también posee una n-esfera análoga para cualquier dimensión n.
Por ello podemos hacer la misma conjetura para una esfera de cualquier
dimensión. Esta afirmación es la conjetura de Poincaré n-dimensional.
Es verdadera cuando n = 2, por el teorema de clasificación
para superficies. Y durante más de cincuenta años, eso fue lo más lejos que se
pudo llegar.
En 1961
Stephen Smale tomó prestado un truco de la clasificación de superficies y lo
aplicó en dimensiones más altas. Una manera de pensar en un toro g-agujereado
es empezar con una esfera y añadir g asas —igual que el asa de
una taza o un jarra—. Smale generalizó esta construcción a cualquier número de
dimensiones, y llamó al proceso descomposición en asas. Analizó cuántas asas
podían modificarse sin cambiar la topología del espacio, y dedujo la conjetura
de Poincaré en todas las dimensiones mayores o iguales que 7. Su demostración
no era válida para dimensiones menores, pero otros matemáticos encontraron una
manera de repararlo: John Stallings para dimensión 6 y Christopher Zeeman para
dimensión 5. Sin embargo, un paso vital, conocido como truco de Whitney,
fallaba para dimensiones 3 y 4 porque en estos espacios no hay lugar suficiente
para realizar las maniobras requeridas, y nadie pudo encontrar sustitutos
efectivos. Cundió una sensación general de que la topología para espacios de
estas dos dimensiones podría ser inusual.
Esta
opinión convencional sufrió una sacudida en 1982 cuando Michael Freedman
descubrió una demostración para la conjetura de Poincaré 4-dimensional que no
requería el truco de Whitney. Era extremadamente complicada, pero funcionaba.
Así, después de cincuenta años de pequeños progresos y veinte años de actividad
frenética, los topólogos habían despachado la conjetura de Poincaré en
cualquier dimensión salvo en aquella por la que Poincaré había preguntado
originalmente. Los éxitos eran impresionantes, pero los métodos utilizados para
obtenerlos proporcionaban muy pocas intuiciones sobre el caso 3-dimensional. Se
necesitaba una manera de pensar diferente.
Lo que
finalmente rompió el punto muerto fue algo parecido a la lista tradicional de
regalos de boda: algo viejo, algo nuevo, algo prestado… y, alterando un
detalle, algo azul. La idea vieja era revisitar un área de la topología de la
que se pensaba que, tras haber sido campo de una frenética actividad en
espacios de dimensiones más altas, estaba agotada: la topología de superficies.
La idea nueva era replantear la clasificación de superficies desde un punto de
vista que al principio parecía completamente ajeno: la geometría clásica. La
idea prestada era el flujo de Ricci, que tomó su motivación del formalismo
matemático de la teoría de la relatividad general de Einstein. Y la idea azul
era especulación «caída del cielo»: algunas sugerencias de gran alcance basadas
en un toque de intuición y mucho de esperanza.
Recordemos
que puede hacerse una lista de las superficies orientables sin frontera: cada
una de ellas es topológicamente equivalente a un toro con cierto número de
agujeros. Este número es el género de la superficie, y cuando es cero, la
superficie es una esfera sin asas, es decir, una esfera. La propia palabra nos
recuerda que entre todas las esferas topológicas hay una superficie que
representa a todas las demás como arquetipo; a saber, la esfera unidad en el
espacio euclídeo. Olvidemos, por un segundo, todo eso de la lámina elástica.
Volveremos a ponerlo en un momento. Concentrémonos en el viejo espacio
euclídeo. Tiene todo tipo de propiedades matemáticas extra, derivadas de la
rigidez de la geometría euclídea. Primordial entre estas propiedades es la curvatura.
La curvatura puede cuantificarse; en cada punto en una geometría euclídea hay
un número que mide cuán curvada está la superficie cerca de dicho punto. La
esfera es la única superficie cerrada en el espacio euclídeo cuya curvatura es
la misma en todo punto, y es positiva.
Esto es
extraño, porque curvatura constante no es una propiedad topológica. Más extraño
todavía: la esfera no está sola. También hay una superficie geométrica estándar
que destaca como el toro arquetípico: se empieza con un cuadrado en el plano y
se identifican lados opuestos (véase la Figura 12 del capítulo 4). Cuando
dibujamos el resultado en el espacio 3-dimensional, enrollando el cuadrado para
hacer que sus lados de encuentren, el resultado parece curvado. Pero desde un
punto de vista intrínseco, podemos trabajar con el cuadrado más las reglas de
unión. Un cuadrado tiene una estructura geométrica natural: es una región en el
plano euclídeo. El plano tiene también curvatura constante, pero ahora la
constante es cero. Un toro con esta geometría particular tiene
también curvatura cero, por lo que es llamado el toro plano. El
nombre puede parecer una contradicción en los términos, pero para una hormiga
que viva en un toro plano, que lleva una regla y un transportador para medir
longitudes y ángulos, la geometría local sería idéntica a la del plano.
Los
geómetras del siglo XVIII, que trataban de entender el axioma de Euclides sobre
la existencia de paralelas, se propusieron deducir dicho axioma a partir de las
demás hipótesis básicas de Euclides. No lo consiguieron por más que lo
intentaran y terminaron dándose cuenta de que tal deducción no es posible. Hay
tres tipos de geometría diferentes, cada uno de los cuales satisface todas las
condiciones que requiere Euclides salvo el axioma de las paralelas. Dichas
geometrías se llaman euclídea (la plana, donde el axioma de las paralelas es
válido), elíptica (geometría en la superficie de una esfera, con unos pocos
elementos accesorios, donde dos rectas cualesquiera se encuentran y las
paralelas no existen), e hiperbólica (donde algunas rectas no se encuentran, y
las paralelas no son únicas). Además, los matemáticos clásicos interpretaron
estas geometrías como la geometría de espacios curvos. La geometría euclídea
corresponde a curvatura cero, la geometría elíptica/esférica corresponde a
curvatura positiva constante, y la geometría hiperbólica corresponde a
curvatura negativa constante.
Figura 40. Construcción de un toro 2-agujereado a partir de un octógono
identificando lados en pares (AA, BB, CC, DD).
Acabamos
de ver cómo se obtienen las dos primeras de estas geometrías: se dan en la
esfera y en el toro plano. En términos del teorema de clasificación, son toros
g-agujereados para g = 0 y 1. La única que falta es la
geometría hiperbólica. ¿Tiene todo toro g-agujereado una estructura geométrica
natural, basada en tomar un polígono en el espacio hiperbólico e identificar
algunos de sus lados? La respuesta es sorprendente: es «sí» para cualquier valor
de g mayor o igual que 2. La Figura 40 muestra un ejemplo
para g = 2 basado en un octógono. Saltaré la geometría
hiperbólica y la identificación de esta superficie como un 2-toro, pero pueden
explicarse. Aparecen diferentes valores de g si tomamos
polígonos diferentes, pero se dan todos los g. En la jerga, un toro
con dos o más agujeros tiene una estructura hiperbólica natural. De modo que
ahora podemos reinterpretar la lista de superficies estándar:
·
Esfera, g = 0: geometría elíptica.
·
Toro, g = 1: geometría euclídea.
·
Toro g-agujereado, g = 2, 3, 4,…:
geometría hiperbólica.
Puede
parecer que hemos tirado al niño con el agua de bañarlo, porque se supone que
la topología trata de la geometría de la lámina elástica, no la geometría
rígida. La geometría rígida se utiliza aquí solamente para definir las
superficies estándar. Proporciona descripciones simples, que resultan tener
estructura rígida extra. Relajemos ahora la rigidez y permitamos que el espacio
se haga algo parecido a goma. Deformémoslo de maneras que prohíbe la rigidez.
Ahora obtenemos superficies que son topológicamente equivalentes a las
estándar, pero no son equivalentes por movimientos rígidos. El teorema de
clasificación nos dice que toda superficie topológica puede obtenerse de esta
manera.
Los
topólogos eran conscientes de este vínculo entre geometría y el teorema de
clasificación de superficies, pero parecía una divertida coincidencia, sin duda
una consecuencia de las posibilidades bastante limitadas en dos dimensiones.
Todos sabían que el caso 3-dimensional era mucho más rico, y en particular que
los espacios de curvatura constante no agotaban las posibilidades. Fue
necesario que uno de los mejores geómetras del mundo, William Thurston, se
diera cuenta de que la geometría rígida también podría ser relevante para la
topología 3-dimensional. Había ya algunos indicios: la 3-esfera de Poincaré
tiene una geometría elíptica/esférica natural, que procede de su definición.
Aunque un dodecaedro estándar vive en el espacio euclídeo, el ángulo entre caras
adyacentes es menor de 120 °, de modo que tres de estos ángulos no cubren
un círculo completo. Para remediarlo, tenemos que inflar el dodecaedro de modo
que sus caras se abomben ligeramente: esto hace natural la geometría esférica,
no la euclídea. De modo análogo, los triángulos en una esfera también se
abomban. El 3-toro, obtenido identificando caras opuestas de un cubo, tiene una
geometría plana —es decir, euclídea— igual que su análogo 2-dimensional. Max
Dehn y otros habían descubierto algunos espacios topológicos 3-dimensionales
con geometrías hiperbólicas naturales.
Thurston
empezó a ver indicios de una teoría general, pero se necesitaban dos
innovaciones para hacerla siquiera remotamente plausible. Primera: había que
ampliar el rango de geometrías 3-dimensionales. Thurston estableció condiciones
razonables y demostró que las satisfacían exactamente ocho geometrías. Tres de
ellas son las clásicas: geometría esférica, euclídea e hiperbólica. Dos más son
como cilindros: plana en una dirección, curva en las otras dos direcciones. La
parte curvada está o bien curvada positivamente, la 2-esfera, o bien curvada
negativamente, el plano hiperbólico. Finalmente, hay otras tres geometrías
bastante técnicas.
Segunda:
algunos espacios 3-dimensionales no soportaban ninguna de las ocho geometrías.
La respuesta estaba en cortar el espacio en piezas. Una pieza podría tener una
estructura geométrica esférica, otra podría tener una estructura hiperbólica, y
así de modo sucesivo. Para ser útil, el corte tenía que hacerse de una manera
muy fuertemente restringida, de modo que el reensamblaje de las piezas llevara
información útil. Las buenas noticias eran que en muchos ejemplos esto resultó
ser posible. En 1982, en un gran salto de imaginación, Thurston enunció su
conjetura de geometrización: todo espacio 3-dimensional puede
cortarse en piezas, de manera esencialmente única, cada una de las cuales tiene
una estructura geométrica natural correspondiente a una de las ocho geometrías
posibles. También demostró que si su conjetura de geometrización fuera cierta,
entonces la conjetura de Poincaré sería una simple consecuencia.
Mientras
tanto estaba emergiendo una segunda línea de ataque, también geométrica,
asimismo basada en la curvatura, pero procedente de un área muy diferente: la
física matemática. Gauss, Riemann y una escuela de geómetras italianos habían
desarrollado una teoría general de espacios curvos, llamados variedades, con un
concepto de distancia que ampliaba enormemente la geometría euclídea y la
geometría no euclídea clásica. La curvatura ya no tenía que ser constante:
podía variar suavemente de un punto a otro. Una forma como la de un hueso de
perro, por ejemplo, está curvada en sentido positivo en cada extremo pero
curvada en sentido negativo en medio, y la cantidad de curvatura varía
suavemente de una región a la próxima. La curvatura se cuantifica utilizando artefactos
matemáticos conocidos como tensores. Alrededor de 1915 Albert Einstein se dio
cuenta de que los tensores de curvatura eran exactamente lo que necesitaba para
ampliar su teoría de la relatividad especial, que trataba del espacio y el
tiempo, hasta la relatividad general, que también incluía la gravedad. En esta
teoría el campo gravitatorio es representado como la curvatura del espacio, y
las ecuaciones de campo de Einstein describen cómo cambia la medida de
curvatura asociada, el tensor de curvatura, en respuesta a la distribución de
materia. En efecto, la curvatura del espacio fluye con el paso
del tiempo; el universo o alguna parte del mismo cambian su forma
espontáneamente.
Richard
Hamilton, un especialista en geometría riemanniana, comprendió que el mismo
truco podría aplicarse de manera más general, y eso podría llevar a una
demostración de la conjetura de Poincaré. La idea era trabajar con una de las
medidas de curvatura más simples, llamada curvatura de Ricci en referencia al
geómetra italiano Gregorio Ricci-Curbastro. Hamilton escribió una ecuación que
especificaba cómo debería cambiar la curvatura de Ricci con el tiempo: el flujo
de Ricci. La ecuación estaba establecida de modo que la curvatura debería
redistribuirse gradualmente de una manera lo más uniforme posible. Esto es un
poco como el gato bajo una alfombra en el capítulo 4, pero ahora, incluso si el
gato no puede escapar, puede extenderse en una capa uniforme. (Aquí hay, en
esencia, un gato topológico).
Por
ejemplo, en el caso 2-dimensional partimos de una superficie en forma de pera
(véase Figura 41). Esta tiene una región en un extremo que está fuertemente y
en sentido positivo curvada; una región en el otro extremo, más grueso, que
está también curvada en sentido positivo, aunque no tan fuertemente; y una zona
en medio donde la curvatura es negativa. El flujo de Ricci transporta en efecto
curvatura desde el extremo fuertemente curvado (y en menor medida desde el otro
extremo) a la zona curvada en sentido negativo, hasta que toda la curvatura
negativa ha sido absorbida. En esa etapa el resultado es una superficie
abombada con curvatura positiva en todo lugar. El flujo de Ricci continúa
redistribuyendo curvatura, llevándosela de las regiones altamente curvadas y
pasándola a las regiones menos curvadas. Conforme crece el tiempo, la
superficie se acerca cada vez más a una que tiene curvatura positiva constante,
es decir, una esfera euclídea. La topología sigue siendo la misma, incluso si
cambia la forma detallada, de modo que podemos demostrar que la superficie
original con forma de pera es topológicamente equivalente a una esfera
siguiendo el flujo de Ricci.
Figura 41. Cómo el flujo de Ricci convierte una pera en una esfera.
En este
ejemplo el tipo topológico de la superficie era obvio de entrada, pero la misma
estrategia general funciona para cualquier variedad. Partamos de una forma
complicada y sigamos el flujo de Ricci. Conforme pasa el tiempo la curvatura se
redistribuye de manera más uniforme y la forma se hace más simple. Finalmente,
uno debería terminar con la forma más simple que tiene la misma topología que
la variedad original, cualquiera que pueda ser. En 1981 Hamilton demostró que
esta estrategia funciona en dos dimensiones, lo que proporcionaba una nueva
demostración del teorema de clasificación para superficies.
Él hizo
también progresos importantes sobre la estrategia análoga para variedades
3-dimensionales, pero ahora había un serio obstáculo. En dos dimensiones toda
superficie se simplifica de forma automática siguiendo el flujo de Ricci. Lo
mismo es cierto en tres dimensiones si la variedad inicial tiene curvatura
estrictamente positiva en todo punto: nunca curvatura cero o negativa. Por
desgracia, si hay puntos en los que la curvatura es cero, y a menudo los hay,
el espacio puede entrelazarse consigo mismo a medida que fluye. Esto crea
singularidades: lugares donde la variedad deja de ser suave. En dichos puntos
la ecuación para el flujo de Ricci deja de ser válida y la redistribución de
curvatura tiene que detenerse. La forma natural de evitar este obstáculo es
entender a qué se parecen las singularidades y rediseñar la variedad —quizá
cortándola en piezas— de modo que se pueda dar una nueva salida al flujo de
Ricci. Siempre que se tenga suficiente control sobre cómo se relaciona la
topología de la variedad remodelada con la de la original, esta estrategia
modificada puede ser acertada. Por desgracia, Hamilton advirtió también que en
el caso de espacios 3-dimensionales las singularidades en el flujo de Ricci
pueden ser muy complicadas, demasiado complicadas, al parecer, para utilizar un
truco de ese tipo. El flujo de Ricci se convirtió rápidamente en una técnica
estándar en geometría, pero estaba lejos de demostrar la conjetura de Poincaré.
En 2000
los matemáticos todavía no habían resuelto la conjetura, y su importancia tuvo
un reconocimiento mucho mayor cuando se hizo de ella uno de los siete problemas
del milenio. Para entonces también había quedado claro que si de algún modo
pudiera hacerse que la idea de Hamilton funcionase con suficiente generalidad,
no solo implicaría la conjetura de Poincaré sino que también demostraría la
conjetura de geometrización de Thurston. El premio era rutilante, pero
permanecía tentadoramente fuera del alcance.
Las
matemáticas son como las demás ramas de la ciencia: para que la investigación
sea aceptada como correcta tiene que estar publicada, y para que eso suceda
tiene que superar la evaluación por los pares. Expertos en el campo tienen que
leer el artículo cuidadosamente, comprobar que los razonamientos son correctos
y asegurarse de que no hay errores en los cálculos. Este proceso puede llevar
mucho tiempo en el caso de un trabajo matemático importante y complicado. Como
se mencionó en el capítulo 1, el remedio solía ser una prepublicación, pero en
nuestros días hay una página web estándar, los arXiv («archivos»), donde pueden
colocarse prepublicaciones en formato electrónico, sometidos a un proceso de
revisión parcial y un procedimiento de aceptación para evitar disparates. Hoy,
la mayoría de los investigadores encuentran por primera vez nuevos resultados
en los arXiv o en la propia página web del autor.
En 2002
Grigori Perelman colocó en los arXiv una prepublicación sobre el flujo de
Ricci. Hacía una afirmación extraordinaria: el flujo es de tipo gradiente. Es
decir, hay una dirección «descendente» bien definida, una simple cantidad
numérica asociada con la forma de la variedad, y la variedad fluye pendiente
abajo en el sentido de que esta cantidad siempre decrece conforme pasa el
tiempo. Es análoga a la altura en un paisaje, y proporciona una medida
cuantitativa de lo que significa «simplificar» una variedad. Los flujos de tipo
gradiente son bastante restringidos: pueden dar vueltas y vueltas en círculo o
comportarse de forma caótica. Nadie parece haber sospechado que el flujo de
Ricci fuera tan dócil. Pero Perelman no solo hacía la afirmación: él la
demostraba. Terminaba esbozando un argumento que corroboraría la conjetura de
geometrización de Thurston —que implica la conjetura de Poincaré pero va mucho
más lejos— y prometía más detalles en una posterior aportación en los arXiv.
Durante los ocho meses siguientes colocó otros dos artículos que continuaban el
trabajo y contenían muchos de los detalles prometidos.
El
primero causó un revuelo. Perelman estaba afirmando que había llevado a cabo el
programa de Hamilton completo, utilizando el flujo de Ricci para simplificar
una variedad 3-dimensional y demostrar que el resultado era exactamente el que
Thurston había predicho. Los otros dos añadían más peso a la sensación de que
Perelman sabía de lo que estaba hablando, y que sus ideas iban mucho más allá
de esbozar una estrategia plausible con la consabida laguna lógica o una
hipótesis no demostrada. El escepticismo habitual de la comunidad matemática respecto
a las pretensiones de haber resuelto un gran problema cambió; la impresión
general era que muy bien él podría haberlo conseguido.
Sin
embargo, el diablo está en los detalles, y en matemáticas los detalles pueden
ser realmente infernales. El trabajo tenía que ser comprobado, en extensión y
en profundidad, por personas entendidas en las áreas implicadas y que fueran
conscientes de las trampas potenciales. Y eso no era sencillo, porque Perelman
había combinado al menos cuatro áreas muy diferentes de las matemáticas y la
física matemática, y pocas personas entendían más de una o dos de ellas.
Decidir si su demostración era correcta requeriría mucho trabajo en equipo y
mucho esfuerzo. Además, las prepublicaciones en los arXiv no incluían todos los
detalles con el nivel que es habitual en un artículo impreso. Estaban escritos
de forma muy clara para lo que son las prepublicaciones, pero no siempre
estaban los puntos sobre las íes. Por ello los expertos tenían que reconstruir
parte del pensamiento de Perelman —y él había estado profundamente inmerso en
el trabajo durante años.
Todo ello
llevó tiempo. Perelman dio conferencias sobre su demostración y respondió a
correos electrónicos que cuestionaban varios pasos. Cada vez que alguien
encontraba lo que parecía una laguna, él respondía al momento con más
explicaciones y la llenaba. Los signos eran alentadores. Pero nadie iba a
arriesgar su reputación afirmando en público que Perelman había demostrado la
conjetura de Poincaré, y mucho menos la difícil conjetura de geometrización,
hasta que estuvieran seguros de que no había errores en la demostración. De
modo que pese a la opinión general favorable sobre el trabajo de Perelman, la
aceptación pública fue inicialmente aplazada. Esto era inevitable, pero también
desafortunado, porque conforme aumentaba la espera, la irritación de Perelman
crecía frente a lo que le parecía pasividad. Él sabía que su demostración era
correcta. La entendía tan bien que no podía ver por qué otros estaban teniendo
dificultades. Declinó exponer el trabajo con más detalle o enviarlo a una
revista. Por lo que a él concernía, era cosa hecha, y las prepublicaciones en
los arXiv contenían todo lo que se requería. Dejó de responder a preguntas
sobre los detalles que presuntamente faltaban. Para él, no faltaban. Vamos
muchachos, podéis imaginarlo sin más ayuda por mi parte. No es tan difícil.
Algunos
informes han sugerido que a este respecto la comunidad matemática fue injusta
con Perelman. Pero esto malinterpreta cómo funciona la comunidad matemática
cuando supuestamente se ha resuelto un gran problema. Hubiera sido
irresponsable darle palmadas en la espalda, decir «¡bien hecho!» e ignorar los
pasos que faltaban en sus prepublicaciones. Era perfectamente lógico, de hecho
inevitable, pedirle que preparara tratamientos más extensos, adecuados para
publicación. En un problema de esta importancia, un trabajo apresurado es
peligroso e inaceptable. Los expertos dejaban su trabajo para dedicar mucho
tiempo a la demostración de Perelman, y mantenían a raya su escepticismo
natural en una medida inusual. Su tratamiento fue en cualquier caso más favorable
que el habitual. Y finalmente, cuando se completó este proceso, su trabajo fue
aceptado como correcto.
Para
entonces, no obstante, Perelman había perdido la paciencia. Tal vez no ayudó el
hecho de que él hubiera resuelto un problema tan importante que no había otro
que se le pareciese. Era como un montañero que había escalado el Everest solo
sin oxígeno. No quedaban desafíos comparables. La publicidad en los medios de
comunicación le repelía: él buscaba la aceptación de sus pares, no de
presentadores de televisión. Por ello no puede sorprender mucho que cuando sus
pares acordaron finalmente que él estaba en lo cierto, y le ofrecieron una
medalla Fields y el premio Clay, él no quiso saber nada.
La
demostración de Perelman es profunda y elegante, y abre un nuevo mundo a la
topología. Implementa el programa de flujo de Ricci de Hamilton al encontrar
maneras más inteligentes para evitar la aparición de singularidades. Una es
cambiar las escalas de espacio y tiempo para deshacerse de las singularidades.
Cuando esta aproximación falla, se dice que la singularidad colapsa. En tales
casos, él analiza en detalle la geometría del flujo de Ricci, clasificando cómo
puede ocurrir un colapso. En efecto, el espacio saca tentáculos cada vez más
finos, quizá en profusión, como las ramas de un árbol. Cada vez que un
tentáculo está próximo a colapsar, puede ser cortado, y el extremo puntiagudo
fuertemente curvado puede ser seccionado y reemplazado por un capuchón suave.
Para algunos de estos tentáculos el flujo de Ricci llega a detenerse: si lo
hace, se le deja solo. Si no, el flujo de Ricci puede ser reiniciado. De modo
que algunos tentáculos terminan en capuchones suaves, y otros son temporalmente
interrumpidos, pero siguen fluyendo.
Este
procedimiento corta-y-pega de capuchones divide el espacio de forma muy
parecida a la disección de Thurston en piezas, cada una de ellas con una de sus
ocho geometrías, y los dos procedimientos dan resultados más o menos idénticos.
Un punto técnico es vital: las operaciones de colocar capuchones no se acumulan
a un ritmo cada vez mayor que haga que infinitas de ellas ocurran en un tiempo
finito. Esta es una de las partes más complicadas de la demostración.
Algunos
comentaristas han criticado a la comunidad matemática por tratar injustamente a
Perelman. Nadie debería ser inmune a las críticas, y hubo algunos incidentes
que muy bien podrían ser clasificados como injustos o poco considerados en
otros aspectos, pero la comunidad matemática reaccionó rápida y positivamente
al trabajo de Perelman. También reaccionó con cautela, lo que es absolutamente
estándar en matemáticas y ciencia, por excelentes razones. El inevitable foco
de la publicidad, aumentado por el premio del millón de dólares, tuvo un
impacto sobre todo el mundo, incluido Perelman.
Desde el
primer envío de Perelman a los arXiv en noviembre de 2002 hasta el anuncio en
marzo de 2010 de que se le había concedido el premio Clay pasaron ocho años.
Eso suena como un largo retraso, un retraso quizá irrazonable. Sin embargo, el
primer envío trataba solo parte del problema. Casi todo lo demás fue enviado en
marzo de 2003. Para septiembre de 2004, dieciocho meses después de su segundo
envío, las comunidades del flujo de Ricci y de la topología ya habían revisado
la demostración —un proceso que había empezado pocos días después del primer
envío— y los principales expertos anunciaron que «entendían la demostración».
Habían encontrado errores, habían encontrado lagunas, pero estaban convencidos
de que todas podían corregirse. Dieciocho meses es realmente muy rápido cuando
está en juego algo tan importante.
Luego, en
2005, la Unión Matemática Internacional se dirigió a Perelman y le ofreció una
medalla Fields, el máximo honor de la disciplina, que sería concedida en el
Congreso Internacional de Matemáticos de 2006[ii]. El ICM
se celebra cada cuatro años, así que esta era la primera oportunidad de
reconocer su trabajo de esta manera. Puesto que quedaban algunas dudas sobre la
demostración completa de la conjetura de Poincaré —seguían apareciendo
errores—, la medalla fue oficialmente concedida por avances en la comprensión
del flujo de Ricci, la parte de las prepublicaciones de Perelman que entonces
se consideraba libre de errores.
Las
condiciones para la concesión del premio están establecidas en la página web
del Instituto Clay. En particular, una solución propuesta tiene que estar
publicada en una revista con revisión por pares y además ser aceptada por la
comunidad matemática dos años después. Después de eso, un comité asesor
especial examina la materia y recomienda si conceder o no el premio. Perelman
no había satisfecho la primera condición, y no parece probable que lo hiciera
alguna vez. En su opinión, las prepublicaciones en arXiv bastaban. Sin embargo,
el Instituto Clay soslayó ese requisito e inició la espera estatutaria de dos
años para ver si aparecían otros errores u otras cuestiones. Ese plazo terminó
en 2008, después de lo cual tenían que seguirse los protocolos del Instituto,
cuidadosamente estructurados para evitar la concesión prematura del premio.
Es cierto
que algunos expertos fueron lentos en expresar su creencia de que la
demostración era correcta. La razón es sencilla: de hecho, estaban inseguros.
No es una gran exageración decir que la única persona capaz de captar
rápidamente la demostración de Perelman era otro Perelman. No se puede leer una
demostración matemática como un músico lee a primera vista una partitura. Uno
tiene que convencerse de que todo tiene sentido. Cada vez que el argumento se
hace muy complicado, uno sabe que hay una seria posibilidad de error. Lo mismo
sucede cuando las ideas son demasiado simples; más de una presunta demostración
ha sido víctima de una afirmación tan evidente que no parecía necesaria ninguna
demostración. Hasta que los expertos no estuvieran por completo seguros de que
la demostración era básicamente correcta —momento en el cual dieron a Perelman
todo el crédito pese a las lagunas y errores que quedaban—,
era razonable suspender el juicio. Pensemos en todo el revuelo que causó el
finalmente desacreditado trabajo sobre la fusión fría. La cautela es la
respuesta profesional correcta, y aquí se aplica el cliché: afirmaciones
extraordinarias requieren pruebas extraordinarias.
¿Por qué
rechazó Perelman la medalla Fields y declinó el premio Clay? Solo él lo sabe,
pero no estaba interesado en ese tipo de reconocimiento y así lo dijo de modo
reiterado. Ya había rechazado premios menores. Dejó claro de entrada que no
quería publicidad prematura; irónicamente, esta es la misma razón por la que
los expertos eran comprensiblemente reacios a pronunciarse demasiado pronto.
Para ser realistas, no había la más mínima posibilidad de que los medios de
comunicación no advirtieran este trabajo. Durante años la
comunidad matemática ha estado haciendo un gran esfuerzo para que los
periódicos, la radio y la televisión se interesen en la materia. No tiene mucho
sentido quejarse cuando este esfuerzo tiene éxito, o esperar que los medios
ignoren la historia matemática más candente desde el último teorema de Fermat.
Pero Perelman no lo veía así y se encerró en su concha. Hay una oferta sobre la
mesa para que el dinero del premio se dedique a fines educativos u otros si él
está de acuerdo. Hasta ahora, no ha habido ninguna respuesta por su parte.
Capítulo
11
No todos pueden ser fáciles
El problema P/NP
Hoy día
los matemáticos utilizan los ordenadores de manera rutinaria para resolver
problemas, incluso grandes problemas. Los ordenadores son buenos para hacer
aritmética, pero las matemáticas van mucho más allá de las meras «cuentas», de
modo que poner un problema en un ordenador no es nada sencillo. A menudo la
parte más difícil del trabajo es convertir el problema en otro problema que un
cálculo por ordenador pueda resolver, e incluso entonces el ordenador puede
tener dificultades. Muchos de los grandes problemas que han sido resueltos
recientemente incluyen poco o ningún trabajo con un ordenador. El último
teorema de Fermat y la conjetura de Poincaré son ejemplos.
Cuando
los ordenadores han sido utilizados para resolver grandes problemas, como el
teorema de los cuatro colores o la conjetura de Kepler, el ordenador desempeña
efectivamente el papel de sirviente. Pero a veces los papeles se invierten y
son las matemáticas las que actúan como sirvientes de la ciencia de la
computación. La mayor parte de los trabajos iniciales sobre el diseño de
ordenadores hacían buen uso de intuiciones matemáticas, por ejemplo la conexión
entre el álgebra booleana —una formulación algebraica de la lógica— y los
circuitos con interruptores, desarrollados en particular por el ingeniero
Claude Shannon, el inventor de la teoría de la información. Hoy, aspectos tanto
prácticos como teóricos de los ordenadores se basan en el uso extensivo de
matemáticas de áreas muy diferentes.
Uno de
los problemas Clay del milenio se sitúa en la frontera entre las matemáticas y
la ciencia de la computación. Puede verse de ambas maneras: la ciencia de la
computación como sirviente de las matemáticas y las matemáticas como sirvientes
de la ciencia de la computación. Lo que ello requiere, y está ayudando a
conseguir, es más equilibrado: una asociación. El problema trata de los
algoritmos de computación, los esqueletos matemáticos de los que están hechos
los programas para computación. El concepto crucial aquí es cuán eficiente es
el algoritmo: cuántos pasos computacionales necesita para obtener una respuesta
para una cantidad dada de datos de entrada. En términos prácticos, esto nos
dice cuánto tardará el ordenador en resolver un problema de un tamaño dado.
La
palabra algoritmo se remonta a la Edad Media, cuando Muhammad ibn Mūsā
al-Kwārizmī escribió uno de los primeros libros de álgebra. Previamente,
Diofanto había introducido un elemento que asociamos con el álgebra: los
símbolos. Sin embargo, él utilizaba los símbolos como abreviaturas, y sus
métodos para resolver ecuaciones se presentaban mediante ejemplos concretos,
aunque típicos. Donde ahora escribiríamos algo como «x + a = y,
luego x = y - a», Diofanto escribiría «supongamos χ +
3 = 10, entonces χ = 10 - 3 = 7» y esperaría que sus lectores
entendieran que la misma idea funcionaría si 3 y 10 fueran reemplazados por
cualesquiera otros números. Él explicaría su ejemplo ilustrativo utilizando
símbolos, pero no manipularía los símbolos como tales. Al-Kwārizmī hacía
explícita la receta general. Lo hacía utilizando palabras, no símbolos, pero
tenía la idea básica, y generalmente es considerado como el padre del álgebra.
De hecho, el nombre procede del título de su libro: Al-Kitāb
al-Mukhtasar fī Hisāb al-Jabr wa’Muqābala («Compendio sobre cálculo
por compleción y comparación»). Al-Jabr se transformó en
«álgebra». La palabra «algoritmo» procede de una versión medieval de su nombre,
Algorismus, y ahora se utiliza con el significado de un proceso matemático
específico para resolver un problema, un proceso que garantiza que se encontrará
una solución siempre que se espere el tiempo suficiente.
Tradicionalmente
los matemáticos consideraban que un problema estaba resuelto si, en principio,
podían escribir un algoritmo que llevara a una respuesta. Apenas utilizaban esa
palabra, y preferían presentar, digamos, una fórmula para la solución, que es un
tipo particular de algoritmo en lenguaje simbólico. Que fuera posible aplicar
la fórmula en la práctica no era muy importante: la fórmula era la solución.
Pero el uso de ordenadores cambió esa visión, porque fórmulas que habían sido
demasiado complicadas para calcularse a mano podían hacerse prácticas con la
ayuda de un ordenador. Sin embargo, era un poco desagradable encontrar, como
sucedía a veces, que la fórmula seguía siendo demasiado complicada: aunque el
ordenador podía tratar de ejecutar el algoritmo, era demasiado lento para
alcanzar la respuesta. Por ello la atención se desplazó a encontrar algoritmos
eficientes. Tanto matemáticos como científicos de la computación tenían un
especial interés en desarrollar algoritmos que realmente dieran respuestas en
un período de tiempo razonable.
Dado un
algoritmo, es relativamente sencillo calcular cuánto tiempo necesitará (medido
por el número de pasos computacionales necesarios) para resolver un problema
con una entrada de tamaño dado. Eso puede requerir cierta dosis de técnica,
pero uno sabe qué proceso está implicado y sabe mucho sobre lo que se está
haciendo. Mucho más difícil es concebir un algoritmo más eficiente si el
algoritmo del que se parte resulta ser ineficiente. Y todavía más difícil es
decidir cuán bueno o malo pueda ser el algoritmo más eficiente en el caso de un
problema dado, porque eso supone contemplar todos los algoritmos posibles, y no
se sabe cuáles son.
El
trabajo inicial sobre tales cuestiones llevó a una dicotomía tosca pero
conveniente entre algoritmos que eran ineficientes, en un sentido simple aunque
primario, y los que no lo eran. Si la longitud de la computación crece de forma
relativamente lenta cuando aumenta el tamaño del input, el
algoritmo es eficiente y el problema es fácil. Si la longitud de la computación
crece cada vez más deprisa cuando aumenta el tamaño del input, el
algoritmo es ineficiente y el problema es difícil. La experiencia nos dice que
aunque algunos problemas son fáciles en este sentido, la mayoría parecen ser
difíciles. De hecho, si todos los problemas matemáticos fueran fáciles, los
matemáticos perderían su empleo. El problema del premio del milenio pide una
demostración rigurosa de que existe al menos un problema difícil; o de que,
contrariamente a la experiencia, todos los problemas son fáciles. Se conoce
como el problema P/NP, y nadie tiene una clave acerca de cómo resolverlo.
Ya hemos
encontramos una medida muy tosca de la eficiencia en el capítulo 2. Un
algoritmo es de clase P si tiene un tiempo de ejecución polinómico. En otras
palabras, el número de pasos que necesita para llegar a la respuesta es
proporcional a alguna potencia fija, tal como el cuadrado o el cubo, del tamaño
de los datos de entrada. Tales algoritmos son eficientes, hablando en términos
muy generales. Si el input es un número, dicho tamaño es
cuántos dígitos tiene, no el número propiamente dicho. La razón es que la
cantidad de información necesaria para especificar el número es el espacio que
ocupa en la memoria del ordenador, que es (proporcional a) el número de
dígitos. Un problema es de clase P si existe un algoritmo de clase P que lo
resuelve.
Cualquier
otro algoritmo o problema pertenece a la clase no-P, y la mayoría de estos son
ineficientes. Entre ellos están aquellos para los que el tiempo de ejecución es
exponencial en los datos de entrada: aproximadamente igual a cierto número fijo
elevado a la potencia del tamaño de la entrada. Estos son de clase E, y son
decididamente ineficientes.
Algunos
algoritmos son tan eficientes que necesitan un tiempo de ejecución mucho menor
que polinómico. Por ejemplo, para determinar si un número es par o impar
examinamos su último dígito. Si (en notación decimal) este es 0, 2, 4, 6 u 8,
el número es par; de lo contrario es impar. El algoritmo consta como máximo de
seis pasos:
1. ¿Es el
último dígito 0? Si sí, entonces STOP. El número es par.
2. ¿Es el
último dígito 2? Si sí, entonces STOP. El número es par.
3. ¿Es el
último dígito 4? Si sí, entonces STOP. El número es par.
4. ¿Es el
último dígito 6? Si sí, entonces STOP. El número es par.
5. ¿Es el
último dígito 8? Si sí, entonces STOP. El número es par.
6. STOP. El
número es impar.
Así que
el tiempo de ejecución es como máximo 6, independientemente del tamaño
del input. Pertenece a la clase «tiempo constante».
Ordenar
una lista de palabras en orden alfabético es un problema de clase P. Una forma
sencilla de realizar esta tarea es el ordenamiento de burbuja, así llamado
porque las palabras ascienden en la lista como burbujas en un vaso de bebida
gaseosa si están en la lista por debajo de otras palabras que deberían ir
detrás de ellas en orden alfabético. El algoritmo recorre repetidamente la
lista, compara palabras adyacentes y las intercambia si están en el orden
incorrecto. Por ejemplo, supongamos que la lista empieza como
PIG DOG CAT APE
En el
primer recorrido esto se convierte en
DOG PIG CAT APE
DOG CAT PIG APE
DOG CAT APE PIG
donde las
palabras en negrita son las que acaban de ser comparadas.
En la
segunda ejecución esto se convierte en
CAT DOG APE PIG
CAT APE DOG PIG
CAT APE DOG PIG
La
tercera ejecución da
APE CAT DOG PIG
APE CAT DOG PIG
APE CAT DOG PIG
En la
cuarta ejecución nada cambia y por eso sabemos que hemos terminado. Nótese cómo
APE sube como una burbuja paso a paso hasta la parte superior (es decir, al
frente).
Con
cuatro palabras, el algoritmo recorre tres comparaciones en cada etapa, y hay
cuatro etapas. Con n palabras, hay n - 1
comparaciones por etapa y n etapas, un total de n(n -
1) pasos. Esto es algo menos que n2, de modo que el
tiempo de ejecución es polinómico, de hecho cuadrático. El algoritmo puede
acabar antes, pero en el peor de los casos, cuando las palabras están
exactamente en orden inverso, necesita n(n - 1) pasos.
El ordenamiento de burbuja es obvio y de clase P, pero en modo alguno está
cerca del algoritmo de ordenación más eficiente. La ordenación por comparación
más rápida, que se establece de una manera más inteligente, se ejecuta en n log n pasos.
Un
algoritmo simple con tiempo de ejecución exponencial, de clase E, es «imprimir
una lista de todos los números binarios con n dígitos». Hay 2n números
en la lista, e imprimir cada uno de ellos (y calcularlos) necesita
aproximadamente n pasos, de modo que el tiempo de ejecución es
aproximadamente 2nn, que es mayor que 2n pero
menor que 3n cuando n es
suficientemente grande. Sin embargo, este ejemplo es un poco tonto porque lo
que lo hace tan lento es el tamaño de la salida, no la complejidad del cálculo,
y esta observación resultará crucial más adelante.
Un
algoritmo de clase E más típico resuelve el problema del viajante. Un viajante
tiene que visitar varias ciudades. Puede hacerlo en cualquier orden. ¿Qué ruta
pasa por todas ellas recorriendo la distancia total más corta? La manera
ingenua de resolverlo es hacer una lista de todas las rutas posibles, calcular
la distancia total en cada una y encontrar la más corta. Con n ciudades
hay
n! = n×(n -
1)×(n - 2)×…×3×2×1
rutas
(léase «n factorial»). Esto crece más rápidamente que cualquier
exponencial[74]. Un
método más eficiente, llamado programación dinámica, resuelve el problema del
viajante en tiempo exponencial. El primero de estos métodos, al algoritmo de
Held-Karp, encuentra el recorrido más corto en 2n n2 pasos,
que de nuevo está entre 2n y 3n cuando n es
suficientemente grande.
Pese a
que estos algoritmos son «ineficientes», pueden utilizarse trucos especiales
para acortar la computación cuando el número de ciudades es grande para los
estándares humanos, pero no demasiado grande para que los trucos dejen de ser
efectivos. En 2006 D. L. Applegate, R. M. Bixby, V. Chvátal y W. J. Cook
resolvieron el problema del viajante para 85.900 ciudades, y este todavía era
el récord a mediados de 2012[75].
Estos
ejemplos de algoritmos no solo ilustran el concepto de eficiencia. También
transmiten la idea que quiero exponer sobre la dificultad de encontrar uno que
sea lo más eficiente posible. Todos los algoritmos conocidos para el problema
del viajante son de clase E, tiempo exponencial, pero eso no implica que no
exista ningún algoritmo eficiente. Solo muestra que todavía no hemos encontrado
uno. Hay dos posibilidades: no hemos encontrado un algoritmo mejor porque no
somos lo bastante inteligentes, o no hemos encontrado un algoritmo mejor porque
no existe.
El
capítulo 2 hace al caso. Hasta que el equipo de Agrawal encontró su algoritmo
de clase P para comprobar la primalidad, el algoritmo más conocido era no P.
Era aún bastante bueno, con un tiempo de ejecución n log n para
números de n dígitos, que realmente es mejor que el algoritmo
de Agrawal-Kayal-Saxena hasta que llegamos a números con diez mil dígitos.
Antes de que se descubriera su algoritmo, la opinión sobre el estatus de la
comprobación de primalidad estaba dividida. Algunos expertos sospechaban que era
de clase P y se encontraría un algoritmo adecuado; otros pensaban que no lo
era. El nuevo algoritmo salió de la nada, una de los miles de ideas que alguien
podría haber ensayado; resultó que esta funcionaba. Aquí el precedente no es
muy alentador: no sabemos, no podemos distinguir, y la mejor conjetura de los
expertos puede ser buena o no serlo.
El gran
problema que aquí nos interesa busca la respuesta a una pregunta más
fundamental. ¿Existen problemas difíciles? ¿Podrían ser fáciles todos los
problemas si fuéramos suficientemente inteligentes? El enunciado real es más
sutil, porque ya hemos visto un caso de un problema que es sin lugar a dudas
difícil: imprimir una lista de todos los números binarios con n dígitos.
Como he comentado, esto es un poco tonto: la dificultad no reside en el
cálculo, sino en la tarea tremendamente aburrida de imprimir una respuesta muy
larga. Sabemos que no hay atajo porque la respuesta tiene esa longitud por
definición. Si fuera más corta, no sería la respuesta.
Para
plantear una pregunta razonable, ejemplos triviales como este deben ser
eliminados. La manera de hacerlo es introducir otra clase de algoritmo, la
clase NP. Esta no es la clase no-P; es la clase de algoritmos que se ejecutan
en tiempo polinómico no determinista. La jerga significa que, por mucho tiempo
que tarde el algoritmo en dar con su respuesta, podemos comprobar que
la respuesta es correcta en tiempo polinómico. Encontrar la respuesta
puede ser difícil, pero, una vez encontrada, hay una comprobación fácil de su
validez.
La
expresión «no determinista» se utiliza aquí porque es posible resolver un
problema NP haciendo una conjetura inspirada. Una vez hecha, es posible
confirmar si realmente es correcta (o que no lo es). Por ejemplo, si el
problema es factorizar el número 11.111.111.111, se podría conjeturar que un
factor es el número primo 21.649. Tal como está, eso es tan solo una conjetura
aventurada. Pero es fácil de comprobar: simplemente dividimos por dicho número
y vemos lo que se obtiene. El resultado es 513.239, exactamente, sin resto. De
modo que la conjetura era correcta. Si en su lugar hubiéramos conjeturado
21.647, que también es primo, entonces la división llevaría al resultado
513.286 más un resto de 9069. De modo que dicha conjetura habría sido errónea.
Hacer una
conjetura correcta aquí es básicamente un milagro, o de lo contrario hay un
truco (yo calculé los factores de 11.111.111.111 antes de «conjeturar»). Pero
eso es, de hecho, lo que buscamos. Si no fuera milagroso, se podría convertir
un algoritmo de clase NP en un algoritmo de clase P con solo hacer montones y
montones de conjeturas hasta que una resulte ser correcta. Mi ejemplo sugiere
por qué esto no funciona: hay que hacer demasiadas conjeturas. De hecho, todo
lo que estamos haciendo aquí es «ensayar la división» por todos los primos
posibles hasta que uno funcione. Sabemos del capítulo 2 que esto es una manera
desesperada de encontrar factores.
La clase
NP descarta ejemplos estúpidos como mi larga lista. Si alguien conjetura una
lista de todos los dígitos binarios de longitud n, entonces no solo
se necesita un tiempo exponencial para imprimir la lista. También se necesita
un tiempo exponencial para leerla, de modo que se tarda un tiempo aún mayor en
comprobar si es correcta. Sería una tarea realmente horrible de lectura de pruebas.
La clase P está definitivamente contenida en la clase NP. Si se puede encontrar
la respuesta en tiempo polinómico, con una garantía de que es correcta,
entonces ya se ha comprobado. De modo que la comprobación no requiere nada peor
que tiempo polinómico. Si alguien nos presentara la respuesta supuesta,
podríamos simplemente ejecutar de nuevo el algoritmo completo. Esa es la
comprobación.
Ahora
podemos enunciar el problema del milenio. ¿Es NP más grande que P, o son
iguales? Más brevemente: ¿es P igual a NP?
Si la
respuesta es «sí», entonces sería posible encontrar algoritmos rápidos y
eficientes para programar los vuelos de las líneas aéreas, optimizar la
producción de las fábricas o realizar millones de otras importantes tareas
prácticas. Si la respuesta es «no», tendremos una garantía férrea de que todos
los problemas que parecen difíciles son realmente difíciles, y así podremos
dejar de perder tiempo tratando de encontrar algoritmos rápidos para ellos. En
uno u otro caso, algo ganamos. Lo que es una molestia es no saber cuál es el
caso.
La vida
de los matemáticos sería mucho más sencilla si la respuesta fuera «sí», pero el
pesimista que hay en todo ser humano sospecha que la vida no va a ser tan
sencilla, y que probablemente la respuesta sea «no». De lo contrario todos
tenemos barra libre, lo que no merecemos ni nos hemos ganado. Sospecho que la
mayoría de los matemáticos preferirían que la respuesta sea «no», porque eso
les mantendría ocupados hasta el fin de la civilización. Los matemáticos se
prueban a sí mismos resolviendo problemas difíciles. Sea cual sea la razón, la
mayoría de los matemáticos y científicos de la computación esperan que la
respuesta a la pregunta «¿es P igual a NP?» sea «no». Casi nadie espera que sea
«sí».
Existen
otras dos posibilidades. Quizá fuera posible demostrar que P es igual a NP sin
encontrar realmente un algoritmo de tiempo polinómico para cualquier problema
NP concreto. Las matemáticas tienen costumbre de ofrecer demostraciones de
existencia que no son constructivas; demuestran que algo existe pero no nos
dicen cómo es. Ejemplos de ello son los testes de primalidad que nos informan
alegremente de que un número no es primo sin darnos ningún factor concreto, o
teoremas de la teoría de números que aseveran que las soluciones de cierta
ecuación diofántica son acotadas —menores que un cierto valor límite— sin dar
ninguna cota concreta. Un algoritmo de tiempo polinómico podría ser tan
complicado que fuera imposible desarrollarlo. Entonces el pesimismo natural
sobre las barras libres estaría justificado incluso si la respuesta resultara
ser afirmativa.
De manera
más drástica, algunos investigadores especulan con que la pregunta pueda ser
indecidible dentro del marco actual de la lógica formal para las matemáticas.
Si es así, ni «sí» ni «no» pueden demostrarse. No porque seamos demasiado
estúpidos para encontrar la demostración, sino porque no la hay. Esta opción se
hizo patente en 1931 cuando Kurt Gödel dejó suelto el gato de la indecibilidad
entre las palomas filosóficas que infestaban los fundamentos de las
matemáticas, al demostrar que algunas proposiciones en aritmética son
indecidibles. En 1936 Alan Turing encontró un problema indecidible más simple,
el problema de la parada para máquinas de Turing. Dado un algoritmo, ¿hay
siempre una demostración de que se para, o una demostración de que debe continuar
indefinidamente? La sorprendente respuesta de Turing fue «no». Para algunos
algoritmos no existe demostración ni en un sentido ni en el otro. Tal vez el
problema P/NP pudiera ser así. Eso explicaría por qué nadie puede demostrarlo
ni refutarlo. Pero tampoco nadie puede demostrar ni refutar que el problema
P/NP sea indecidible. Quizá su indecibilidad sea indecidible…
La forma
más directa de acercarse al problema P/NP sería seleccionar alguna pregunta que
se sabe que es de clase NP, suponer que existe un algoritmo de tiempo
polinómico para resolverla, y de algún modo derivar una contradicción. Durante
un tiempo se ensayó está técnica con varios problemas, pero en 1971 Stephen
Cook se dio cuenta de que la elección del problema no suele suponer ninguna
diferencia. Hay un sentido en el que todos estos problemas —con más o menos
tecnicismos— se resisten o caen juntos. Cook introdujo la noción de un problema
NP completo. Este es un problema NP específico con la propiedad de que si
existe un algoritmo de clase P para resolverlo, entonces cualquier problema
NP puede resolverse utilizando un algoritmo de clase P.
Cook
encontró varios problemas NP completos, incluido SAT, el problema de la
satisfacibilidad booleana. Este pregunta si una expresión lógica dada puede
hacerse verdadera escogiendo la verdad o falsedad de sus variables de una
manera apropiada. También obtuvo un resultado más profundo: un problema más
restrictivo, 3-SAT, es también NP-completo. Aquí la fórmula lógica es una que
puede escribirse de la forma «A o B o C o
… o Z», donde cada uno de los A, B, C…, Z es
una fórmula lógica que implica solo tres variables. No necesariamente los tres
mismas variables cada vez, me apresuro a añadir. La mayoría de las
demostraciones de que un problema dado es NP-completo se remontan al teorema de
Cook sobre 3-SAT.
La
definición de Cook implica que todos los problemas NP-completos están en pie de
igualdad. Demostrar que uno de ellos es de clase P demostraría que todos ellos
son de clase P. Este resultado deja abierta una posibilidad táctica: algunos
problemas NP-completos podrían ser más fáciles de tratar que otros. Pero desde
el punto de vista estratégico sugiere que también se puede escoger un problema
NP-completo y trabajar con él. Todos los problemas NP-completos se resisten o
caen juntos porque un problema NP-completo puede simular cualquier problema NP.
Cualquier problema NP puede convertirse en un caso especial de problema
NP-completo «codificándolo», utilizando un código que puede implementarse en
tiempo polinómico.
Para dar
una idea de este procedimiento, consideremos un típico problema NP-completo:
encontrar un ciclo hamiltoniano en una red. Es decir, especifiquemos un camino
cerrado a lo largo de las aristas de la red que visita cada vértice (punto)
exactamente una vez. Cerrado significa que el camino vuelve a su punto de
partida. El tamaño de los datos de entrada es aquí el número de aristas, que es
menor o igual que el cuadrado del número de puntos puesto que cada arista une
dos puntos. (Suponemos que como mucho hay una arista uniendo un par dado). No
se conoce ningún algoritmo de clase P para resolver este problema, pero
supongamos, hipotéticamente, que hubiera uno. Ahora escojamos algún otro
problema y llamémosle problema X. Supongamos que el problema X puede reformularse
en términos de encontrar un camino semejante en una red asociada al problema X.
Si el método para traducir los datos del problema X en datos sobre la red, y
recíprocamente, puede realizarse en tiempo polinómico, entonces obtenemos
automáticamente un algoritmo de clase P para el problema X, como este:
1. Traducir
el problema X en la búsqueda de un ciclo hamiltoniano en la red relacionada, lo
que puede hacerse en tiempo polinómico.
2. Encontrar
dicho ciclo en tiempo polinómico utilizando el algoritmo hipotético para el
problema de la red.
3. Traducir
el ciclo hamiltoniano resultante en una solución del problema X, lo que de
nuevo puede hacerse en tiempo polinómico.
Puesto
que tres pasos de tiempo polinómico combinados se ejecutan en tiempo
polinómico, este algoritmo es de clase P.
Para
mostrar cómo trabaja esto voy a considerar una versión menos ambiciosa del
problema del ciclo hamiltoniano en la que no se exige que el camino sea
cerrado. Esto se denomina el problema del camino hamiltoniano. Una red puede
poseer un camino hamiltoniano sin poseer un ciclo: la Figura 42 (izquierda) es
un ejemplo. Por ello es posible que una solución del problema del ciclo
hamiltoniano no resuelva el problema del camino hamiltoniano. Sin embargo,
podemos convertir el problema del camino hamiltoniano en un problema de ciclo
hamiltoniano en una red relacionada aunque diferente. Esto se consigue
añadiendo un punto extra, unido a cada punto en la red original como en la
Figura 42 (derecha). Cualquier ciclo hamiltoniano en la nueva red puede
convertirse en un camino hamiltoniano en la red original: basta con omitir el
nuevo vértice y las dos aristas del ciclo que se encuentran en él.
Recíprocamente, cualquier camino hamiltoniano en la red original da un ciclo
hamiltoniano en la nueva red: basta con unir los dos extremos del camino
hamiltoniano al nuevo punto. Esta «codificación» del problema del camino como
un problema de ciclo introduce solo un punto nuevo y una arista nueva por punto
en el original. Por lo tanto, este procedimiento, y su inverso, se ejecutan en
tiempo polinómico.
Figura 42. Izquierda: Red con un camino hamiltoniano (línea sólida) pero sin
ciclo hamiltoniano. Derecha: Añadir un punto extra (gris) y cuatro líneas más
para convertir el camino hamiltoniano en un ciclo hamiltoniano (línea sólida).
Las dos aristas grises no están en el ciclo pero son necesarias para la
construcción de la red más grande.
Por
supuesto, todo lo que he hecho aquí es codificar un problema específico como un
problema de ciclo hamiltoniano. Para demostrar que el problema del ciclo
hamiltoniano es NP-completo tenemos que hacer lo mismo para cualquier problema
NP. Esto puede hacerse: la primera demostración fue encontrada por Richard Karp
en 1972, en un famoso artículo que demostraba que 21 problemas diferentes eran
NP-completos[76].
El
problema del viajante es «casi» NP-completo, pero hay una cuestión técnica: no
se sabe que sea NP. Se conocen más de trescientos problemas NP-completos en
áreas de las matemáticas que incluyen la lógica, las redes, la combinatoria y
la optimización. Demostrar que cualquiera de ellos puede o no puede resolverse
en tiempo polinómico demostraría lo mismo para cualquiera de ellos. Pese a que
hay mucho donde elegir, el problema P/NP sigue totalmente abierto. No sería
para mí una sorpresa que lo siga estando dentro de cien años.
Capítulo
12
Pensamiento fluido
La ecuación de Navier-Stokes
Cinco de
los problemas del milenio, incluidos los tres discutidos hasta ahora, proceden
de las matemáticas puras, aunque el problema P/NP es también fundamental para
las ciencias de la computación. Los otros dos proceden de las matemáticas
aplicadas clásicas y de la moderna física matemática. El problema de las
matemáticas aplicadas surge de una ecuación estándar para el flujo de un
fluido, la ecuación de Navier-Stokes, que debe su nombre al ingeniero y físico
francés Claude-Louis Navier y el matemático y físico irlandés Georges Stokes.
Su ecuación es una ecuación en derivadas parciales, lo que significa que
incluye el ritmo de cambio del flujo en el espacio y en el tiempo. La mayoría
de las grandes ecuaciones de las matemáticas aplicadas y de la física son
también ecuaciones en derivadas parciales; acabamos de encontrar una, la de
Laplace. Y las que no son de este tipo, son ecuaciones diferenciales
ordinarias, que solo implican el ritmo de cambio con respecto al tiempo.
En el
capítulo 8 vimos cómo el movimiento del Sistema Solar está determinado por las
leyes de Newton de la gravedad y el movimiento. Estas relacionan las
aceleraciones del Sol, la Luna y los planetas con las fuerzas gravitatorias que
están actuando. La aceleración es el ritmo de cambio de la velocidad con
respecto al tiempo, y la velocidad es el ritmo de cambio de la posición con
respecto al tiempo. Por lo tanto, esta es una ecuación diferencial ordinaria.
Como vimos, resolver tales ecuaciones puede ser muy difícil. Resolver
ecuaciones en derivadas parciales es en general mucho más difícil.
Para
fines prácticos, las ecuaciones para el Sistema Solar pueden resolverse
numéricamente utilizando ordenadores. Esto sigue siendo difícil, pero ahora
existen buenos métodos. Lo mismo es cierto para las aplicaciones prácticas de
las ecuaciones de Navier-Stokes. Las técnicas utilizadas se conocen como
dinámica de fluidos computacional, y tienen un amplio espectro de importantes
aplicaciones: diseño de aviones, aerodinámica de automóviles, incluso problemas
médicos como el flujo sanguíneo en el cuerpo humano.
El
problema del premio del milenio no pide a los matemáticos que encuentren
soluciones explícitas a la ecuación de Navier-Stokes, ya que esto es
esencialmente imposible. Ni trata de métodos numéricos para resolver las
ecuaciones, por importantes que sean estos. Lo que pide, en su lugar, es una
demostración de una propiedad teórica básica: la existencia de
soluciones. Dado el estado de un fluido en algún instante de tiempo —su patrón
de movimiento—, ¿existe una solución de la ecuación de Navier-Stokes válida
para cualquier instante futuro, a partir del estado en cuestión? La intuición
física sugiere que la respuesta debe ser sin duda «sí», porque la ecuación es
un modelo muy preciso de la física de los fluidos reales. Sin embargo, la
cuestión matemática de la existencia no está tan clara, y esta propiedad básica
de la ecuación nunca ha sido demostrada. Incluso podría no ser cierta.
La
ecuación de Navier-Stokes describe cómo cambia con el tiempo la pauta de
velocidades del fluido, en circunstancias dadas. A menudo se hace referencia a
la ecuación utilizando el plural, ecuaciones de Navier-Stokes, pero es lo
mismo. El plural refleja la visión clásica: en el espacio tridimensional la
velocidad tiene tres componentes, y clásicamente cada componente aporta una
ecuación, lo que hace tres en total. En la visión moderna hay una ecuación para
el vector velocidad (una magnitud con tamaño y dirección),
pero esta ecuación puede aplicarse a cada una de las tres componentes de la
velocidad. La página web del Instituto Clay utiliza la terminología clásica,
pero yo seguiré aquí la práctica moderna. Lo menciono para evitar posibles
confusiones.
La
ecuación data de 1822, cuando Navier escribió una ecuación en derivadas
parciales para el flujo de un fluido viscoso (pegajoso). Las contribuciones de
Stokes son de 1842 y 1843. Euler había escrito una ecuación en derivadas
parciales para un fluido con viscosidad nula (no pegajoso) en 1757. Aunque esta
ecuación sigue siendo útil, la mayoría de los fluidos reales, agua y aire
incluidos, son viscosos, de modo que Navier y Stokes modificaron la ecuación de
Euler para tener en cuenta la viscosidad. Ambos científicos derivaron, de forma
independiente, esencialmente la misma ecuación, por lo que esta lleva el nombre
de ambos. Navier cometió algunos errores matemáticos, pero terminó con la
respuesta correcta; Stokes hizo bien las matemáticas, y por eso sabemos que la
respuesta de Navier es correcta pese a su error. En su forma más general, la
ecuación se aplica a fluidos compresibles como el aire. Sin embargo, hay un
caso especial importante en el que se supone que el fluido es incompresible.
Este modelo se aplica a fluidos como el agua, que se comprime cuando se somete
a fuerzas enormes, aunque muy ligeramente.
Hay dos
maneras de describir matemáticamente el flujo de un fluido: se puede describir
la trayectoria que sigue cada partícula del fluido con el paso del tiempo, o se
puede describir la velocidad del flujo en cada punto del espacio y en cada
instante de tiempo. Las dos descripciones están relacionadas: dada una, se
puede —con algún esfuerzo— deducir la otra. Euler, Navier y Stokes utilizaron
el segundo punto de vista porque lleva a una ecuación que es mucho más tratable
matemáticamente. Por eso sus ecuaciones se refieren al campo de velocidades del
fluido. En cada instante de tiempo, el campo de velocidades especifica la
velocidad y dirección de cada partícula del fluido. Conforme pasa el tiempo,
esta descripción puede cambiar. Por esto es por lo que en la ecuación aparecen
los ritmos de cambio en el espacio y en el tiempo.
La
ecuación de Navier-Stokes tiene un excelente pedigrí físico. Se basa en las
leyes de movimiento de Newton aplicadas a cada minúscula partícula (pequeña
región) de fluido, y expresa, en dicho contexto, la ley de conservación del
momento lineal. Cada partícula se mueve porque sobre ella actúan fuerzas y la
ley de movimiento de Newton afirma que la aceleración de la partícula es
proporcional a la fuerza. Las fuerzas principales son la fricción, debida a la
viscosidad, y la presión. También hay fuerzas generadas por la aceleración de
la partícula. La ecuación sigue la práctica clásica y trata el fluido como un
continuo infinitamente divisible. En particular, ignora la estructura atómica
discreta del fluido en escalas muy pequeñas.
Las
ecuaciones por sí solas son de poco valor: hay que ser capaces de resolverlas.
En el caso de la ecuación de Navier-Stokes esto significa calcular el campo de
velocidades: la velocidad y dirección del fluido en cada punto del espacio y en
cada instante en el tiempo. La ecuación proporciona ligaduras sobre estas
cantidades, pero no las prescribe directamente. En su lugar, tenemos que
aplicar la ecuación para relacionar las velocidades futuras con las actuales.
Las ecuaciones en derivadas parciales como las de Navier-Stokes tienen muchas
soluciones diferentes; de hecho, infinitas soluciones. Esto no es una sorpresa:
los fluidos pueden fluir de muchas maneras diferentes; el flujo sobre la
superficie de un automóvil difiere del flujo sobre las alas de un avión. Hay
dos maneras principales de seleccionar un flujo particular de entre esta
multitud de posibilidades: por las condiciones iniciales y por las condiciones
de contorno.
Las
condiciones iniciales especifican el campo de velocidades en un tiempo de
referencia particular, que normalmente se toma como tiempo cero. La idea física
es que una vez que se sabe el campo de velocidades en ese instante, la ecuación
de Navier-Stokes determina de modo unívoco el campo muy poco tiempo después. Si
se empieza dando al fluido un empujón, sigue en marcha aunque obedeciendo las
leyes de la física. Las condiciones de contorno son más útiles en la mayoría de
las aplicaciones, porque es difícil establecer condiciones iniciales en un
fluido real, y en cualquier caso estas no son por completo apropiadas para
aplicaciones como el diseño de automóviles. Lo que importa aquí es la forma del
automóvil. El fluido viscoso se adhiere a las superficies. Matemáticamente,
esta propiedad se modela especificando la velocidad en estas superficies, que
forman el contorno de la región ocupada por el fluido donde la ecuación es
válida. Por ejemplo, podríamos exigir que la velocidad sea cero en el contorno,
o cualquier otra condición que mejor modele la realidad.
Incluso
cuando se especifican condiciones iniciales o condiciones de contorno, es muy
inusual poder escribir una fórmula explícita para el campo de velocidades,
porque la ecuación de Navier-Stokes es no lineal. La suma de dos soluciones no
es normalmente una solución. Esta es una razón por la que el problema de los
tres cuerpos del capítulo 8 es tan difícil, aunque no la única razón pues el
problema de dos cuerpos también es no lineal pero tiene una solución explícita.
Para
fines prácticos podemos resolver la ecuación de NavierStokes en un ordenador y
representar el campo de velocidades como una lista de números. Esta lista puede
convertirse en gráficos elegantes y utilizarse para calcular cantidades de
interés para los ingenieros, tales como las tensiones en las alas de un avión.
Puesto que los ordenadores no pueden procesar listas infinitas de números, ni
pueden procesar números con precisión infinita, tenemos que reemplazar el flujo
real por una aproximación discreta, es decir, una lista de números que es una
muestra del flujo en un número finito de lugares e instantes. La gran cuestión
está en asegurar que la aproximación es suficientemente buena.
El
enfoque usual consiste en dividir el espacio en un gran número de regiones
pequeñas para formar una malla computacional. La velocidad se calcula solo para
los puntos en los nodos de la malla. La malla podría ser simplemente un
conjunto de cuadrados (o de cubos en tres dimensiones), como un tablero de
ajedrez, pero en el caso de automóviles y aviones tiene que ser más complicada,
con regiones más pequeñas cerca del contorno para captar los detalles más finos
del flujo. La malla puede ser dinámica, cambiando de forma con el paso del
tiempo. En general se supone que el tiempo avanza en pasos, que pueden ser
todos del mismo tamaño o pueden cambiar de tamaño según el estado imperante del
cálculo.
La base
de la mayoría de los métodos numéricos es la forma en que se define «ritmo de
cambio» en el cálculo infinitesimal. Supongamos que un objeto se mueve de un
lugar a otro en un período de tiempo muy corto. Entonces el ritmo de cambio de
la posición —la velocidad— es el cambio en la posición dividido por el tiempo
que ha tardado, con un pequeño error que disminuye a medida que el intervalo de
tiempo se hace cada vez menor. Así que podemos aproximar el ritmo de cambio,
que es lo que entra en la ecuación de Navier-Stokes, por esta razón entre el
cambio espacial y el cambio temporal. En efecto, la ecuación nos dice ahora
cómo llevar un estado inicial conocido —una lista de velocidades especificada—
un paso de tiempo hacia el futuro. Luego tenemos que repetir el cálculo muchas
veces para ver qué sucede en un futuro cada vez más lejano. Hay una manera
similar de aproximar soluciones cuando la que buscamos está determinada por
condiciones de contorno. También existen muchas maneras sofisticadas de llegar
al mismo resultado con más precisión.
Cuanto
más fina es la malla computacional, y más cortos son los intervalos de tiempo,
más precisa se hace la aproximación. Sin embargo, la computación también
necesita más tiempo. Por ello hay un compromiso entre precisión y velocidad.
Hablando en general, es probable que una respuesta aproximada obtenida por
computación sea aceptable siempre que el flujo no tenga características
importantes que sean menores que el tamaño de la malla. Existen dos tipos
principales de flujo fluido: laminar y turbulento. En el flujo laminar, la
pauta del movimiento es suave y las capas de fluido deslizan limpiamente unas
al lado de otras. Aquí debería ser apropiada una malla pequeña. El flujo
turbulento es más violento y espumoso, y el fluido se mezcla de maneras muy
complejas. En tales circunstancias, una malla discreta, por fina que sea,
podría causar problemas.
Una de
las características de la turbulencia es la aparición de vórtices, como
pequeños torbellinos, y estos pueden ser realmente minúsculos. Una imagen
estándar de la turbulencia consiste en una cascada de vórtices cada vez más
pequeños. La mayor parte del detalle fino es más pequeño que cualquier malla
práctica. Para evitar esta dificultad los ingenieros suelen recurrir a modelos
estadísticos cuando se trata del flujo turbulento. Otra preocupación es que el
modelo físico de un continuo podría ser inadecuado para el flujo turbulento,
porque los vórtices pueden contraerse hasta tamaños atómicos. Sin embargo,
comparaciones entre cálculos numéricos y experimentos muestran que la ecuación
de Navier-Stokes es un modelo muy realista y aproximado; un modelo tan bueno
que muchas aplicaciones en ingeniería actuales se basan solamente en dinámica
de fluidos computacional, que es barata, más que en experimentos con modelos a
escala en túneles de viento, que son caros. Sin embargo, las comprobaciones
experimentales como estas siguen siendo utilizadas cuando la seguridad humana
es vital, por ejemplo en el diseño de aviones.
De hecho,
la ecuación de Navier-Stokes es tan precisa que incluso parece aplicarse cuando
la física sugiere que debería haber una probabilidad razonable de fallar: en el
flujo turbulento. Al menos, este es el caso si puede resolverse con suficiente
precisión. El problema principal es un problema práctico: los métodos numéricos
para resolver la ecuación necesitan mucho tiempo de computación cuando el flujo
se hace turbulento. Y siempre dejan fuera alguna estructura a pequeña escala.
Los
matemáticos se sienten siempre incómodos cuando la información principal de que
disponen para tratar un problema se basa en algún tipo de aproximación. El
premio del milenio para la ecuación de Navier-Stokes aborda una de las
cuestiones teóricas clave. Su solución reforzaría la sensación visceral de que
normalmente los métodos numéricos funcionan muy bien. Hay una sutil distinción
entre las aproximaciones utilizadas por el ordenador, que hacen pequeños
cambios en la ecuación, y la exactitud de la respuesta, que se refiere a
pequeños cambios en la solución. ¿Es una respuesta exacta a una pregunta
aproximada lo mismo que una respuesta aproximada a una pregunta exacta? A veces
la respuesta es «no». Por ejemplo, el flujo exacto para un fluido con una viscosidad
muy pequeña suele diferir de un flujo aproximado para un fluido con viscosidad
cero.
Un paso
hacia la comprensión de estas cuestiones es tan sencillo que fácilmente puede
pasarse por alto: demostrar que existe una solución exacta. Tiene que haber
algo a lo que los cálculos por ordenador son aproximaciones. Esta observación
motiva el premio del milenio para la ecuación de Navier-Stokes. Su descripción
oficial en la página web del Instituto Clay consiste en cuatro problemas.
Resolver cualquiera de ellos es suficiente para ganar el premio. En los cuatro,
el fluido se supone incompresible. Son:
1. Existencia
y suavidad de soluciones en tres dimensiones. Aquí se supone que el fluido
llena todo el espacio infinito. Dado cualquier campo de velocidades suave,
demostrar que una solución suave de la ecuación existe para cualquier instante
positivo, coincidente con el campo inicial especificado.
2. Existencia
y suavidad de soluciones en el toro plano tridimensional. La
misma pregunta, pero ahora suponiendo que el espacio es un toro plano —una caja
rectangular con caras opuestas identificadas—. Esta versión evita posibles
problemas causados por el dominio infinito supuesto en la primera versión, que
no encaja con la realidad y podría provocar mal comportamiento por tontas
razones.
3. Inexistencia
de soluciones en tres dimensiones. Demostrar que (1) es falso. Es
decir, encontrar un campo inicial para el que no existe una solución suave para
cualquier instante positivo, y demostrar dicha afirmación. 4. Inexistencia
de soluciones en el toro plano tridimensional. Demostrar que (2) es falso.
Los
mismos problemas siguen abiertos para la ecuación de Euler, que es la misma que
la ecuación de Navier-Stokes pero supone que no hay viscosidad. Sin embargo, no
se ofrece ningún premio para la ecuación de Euler.
La gran
dificultad aquí es que el flujo bajo consideración es tridimensional. Hay una
ecuación análoga para el fluido que fluye en un plano. Físicamente, esto
representa o bien una capa delgada de fluido entre dos placas planas, que se
supone que no causan fricción, o una pauta de flujo en tres dimensiones en la
que el fluido se mueve exactamente de la misma manera a lo largo de un sistema
de planos paralelos. En 1969 la matemática rusa Olga Alexandrovna Ladyzhenskaya
demostró que (1) y (2) son verdaderos, mientras que (3) y (4) son falsos, para
la ecuación de Navier-Stokes bidimensional y la ecuación de Euler
bidimensional.
Puede
parecer sorprendente que la demostración sea más difícil para la ecuación de
Euler, incluso si dicha solución es más sencilla que la ecuación de
Navier-Stokes pues omite los términos que implican viscosidad. La razón es
instructiva. La viscosidad «amortigua» el mal comportamiento en la solución,
que potencialmente podría llevar a algún tipo de singularidad que impida que la
solución exista en cualquier instante. Si el término con viscosidad está
ausente no puede ocurrir tal amortiguamiento, y esto se manifiesta como
cuestiones matemáticas en la demostración de existencia.
Ladyzhenskaya
hizo otras contribuciones vitales a nuestra comprensión de la ecuación de
Navier-Stokes, al demostrar no solo que esas soluciones existen sino también
que ciertos esquemas de dinámica de fluidos computacional se aproximan a ellas
tanto como queramos.
El premio
del milenio se refiere al flujo incompresible porque es bien sabido que los
flujos compresibles tienen un mal comportamiento. Las ecuaciones para un avión,
por ejemplo, tropiezan con todo tipo de problemas si el avión va a una
velocidad superior a la del sonido. Esta es la famosa «barrera del sonido» que
preocupaba a los ingenieros que trataban de diseñar aviones de reacción
supersónicos, y el problema está relacionado con la compresibilidad del aire.
Si un cuerpo se mueve a través de un fluido incompresible, aparta a las
partículas del fluido de su camino, como cuando se hace un túnel a través de
una caja llena de bolas de cojinete. Si las partículas se amontonan, frenan al
cuerpo. Pero en un fluido compresible, donde hay un límite a la velocidad a la
que pueden viajar las ondas (la velocidad del sonido) eso no sucede. A
velocidades supersónicas, en lugar de ser apartado, el aire se comprime por
delante del avión y su densidad aumenta sin límite. El resultado es una onda de
choque. Matemáticamente, esto es una discontinuidad en la presión del aire, que
de repente salta de un valor a otro valor diferente a través de la onda de
choque. Físicamente, el resultado es un boom sónico: un
sonoro bang. Si no se entiende y se tiene en cuenta, una onda de
choque puede dañar al avión, de modo que los ingenieros tenían razones para
preocuparse. Pero la velocidad del sonido no es realmente una barrera, sino
solo un obstáculo. La presencia de ondas de choque implica que las ecuaciones
de Navier-Stokes compresibles no tienen por qué tener soluciones suaves todo el
tiempo, ni siquiera en dos dimensiones. Así que la respuesta ya es conocida en
este caso, y es negativa.
Las
matemáticas de las ondas de choque son un área sustancial dentro de las
ecuaciones en derivadas parciales, pese a esta inexistencia de soluciones.
Aunque la ecuación de Navier-Stokes por sí sola no es un buen modelo físico
para fluidos compresibles, es posible modificar el modelo matemático añadiendo
condiciones extra a las ecuaciones que tienen en cuenta discontinuidades de
ondas de choque. Pero las ondas de choque no se dan en el flujo de un fluido
incompresible, de modo que es al menos concebible que en dicho contexto
deberían existir soluciones en todo tiempo, por muy complicado que pudiera ser
el flujo inicial, siempre que sea suave.
Se
conocen algunos resultados posibles para la ecuación de Navier-Stokes
tridimensional. Si la pauta de flujo inicial implica velocidades
suficientemente pequeñas, de modo que el flujo es muy lento, entonces (1) y (2)
son verdaderos. Incluso si las velocidades son grandes, (1) y (2) son
verdaderos para un intervalo de tiempo no nulo. Puede no existir una solución
válida para todo tiempo futuro, pero hay un intervalo de tiempo definido
durante el que existe una solución. Podría parecer que podemos repetir este
proceso, avanzando una solución en el tiempo en pequeñas cantidades y luego
utilizar el resultado final como una nueva condición inicial. El problema con
esta línea de razonamiento es que los intervalos de tiempo pueden contraerse
tan rápidamente que un número infinito de tales pasos tardan un tiempo finito.
Por ejemplo, si cada paso sucesivo tarda la mitad de tiempo del anterior, y el
primer paso tarda, digamos, 1 minuto, entonces el proceso total termina en un
tiempo 1 + ½ + ¼ + ⅛ + …, que es igual a 2. Si la solución deja de existir —una
suposición puramente hipotética por el momento, pero que cabe contemplar—
entonces se dice que la solución en cuestión explota. El tiempo que
tarda en que esto suceda es el tiempo de explosión.
Así que
las cuatro cuestiones preguntan si las soluciones pueden explotar. Si no
pueden, (1) y (2) son verdaderos; si pueden, (3) y (4) lo son. Quizá las
soluciones pueden explotar en un dominio infinito, pero no en uno finito. De
paso, si la respuesta a (1) es «sí», entonces también lo es la respuesta a (2),
porque podemos interpretar cualquier pauta de flujo en un toro plano como una
pauta de flujo espacialmente periódica en la totalidad del espacio infinito. La
idea es llenar el espacio con copias de la caja rectangular implicada y copiar
la misma pauta de flujo en cada una de ellas. Las reglas de unión para un toro
aseguran que el flujo sigue siendo suave cuando cruza estas interfaces planas.
De modo análogo, si la respuesta a (4) es «sí», entonces también lo es la
respuesta a (3), por la misma razón. Tan solo debemos hacer el estado inicial
espacialmente periódico. Pero por todo lo que sabemos hoy día, la respuesta a
(2) podría ser «sí» pero la respuesta a (1) podría ser «no».
Sabemos
un hecho sorprendente sobre las explosiones. Si hay una solución con un tiempo
de explosión finito, entonces la máxima velocidad del fluido, en todos los
puntos del espacio, debe hacerse arbitrariamente grande. Esto podría ocurrir,
por ejemplo, si se forma un chorro de fluido y la velocidad del chorro aumenta
tan rápidamente que diverge a infinito una vez que haya pasado una cantidad de
tiempo finita.
Estas
objeciones no son puramente hipotéticas. Hay precedentes de este tipo de
comportamiento singular en otras ecuaciones de la física matemática clásica. Un
ejemplo notable se da en la mecánica celeste. En 1988 Zhihong Xia demostró que
existe una configuración inicial de cinco masas puntuales en el espacio
tridimensional, que obedece a la ley de la gravedad de Newton, para la que
cuatro partículas desaparecen en el infinito tras un período de tiempo finito
—una forma de explosión— y la quinta sufre oscilaciones cada vez más violentas.
Previamente, Joseph Gerver había indicado que los cinco cuerpos en un plano
podrían desaparecer en el infinito en un tiempo finito, pero no pudo completar
la demostración en el escenario que él imaginaba. En 1989 demostró que este
tipo de escape podía ocurrir de hecho en un plano si el número de cuerpos es
suficientemente grande.
Es
notable que este comportamiento sea posible, dado que tales sistemas obedecen
la ley de conservación de la energía. ¿No debería aumentar la energía cinética
total si todos los cuerpos se mueven con rapidez arbitraria? La respuesta es
que también hay una disminución de la energía potencial, y para una partícula
puntual la energía potencial gravitatoria total es infinita. Los cuerpos
también deben conservar el momento angular, pero pueden hacerlo con tal de que
algunos de ellos se muevan cada vez más rápidos en círculos siempre
decrecientes.
El punto
físico importante aquí implicado es el famoso efecto honda, que se utiliza
rutinariamente para lanzar sondas espaciales a mundos distantes en el Sistema
Solar. Un buen ejemplo es la sonda Galileo de la NASA, cuya
misión era viajar a Júpiter para estudiar el planeta gigante y sus muchos
satélites. Fue lanzada en 1989 y llegó a Júpiter en 1995. Una de las razones de
que tardara tanto tiempo es que su ruta fue indirecta. Aunque la órbita de Júpiter
está fuera de la de la Tierra, Galileo empezó dirigiéndose al
interior, hacia Venus. Pasó cerca de Venus, volvió hacia la Tierra y se dirigió
hacia el espacio exterior para examinar el asteroide 951 Gaspra. Luego volvió
de nuevo hacia la Tierra, rodeó otra vez nuestro planeta
hogar, y finalmente se dirigió hacia Júpiter. En el camino se acercó a otro
asteroide, Ida, y descubrió que tenía su propia luna minúscula, un nuevo
asteroide llamado Dactyl.
¿Por qué
una trayectoria tan complicada? Galileo ganaba energía, y con
ello velocidad, en cada uno de estos encuentros. Imaginemos una sonda espacial
que se dirige hacia un planeta, no en curso de colisión, y que se acerca mucho
a la superficie del planeta, lo rodea y sale despedida al espacio. Cuando la
sonda pasa por detrás del planeta ambos se atraen mutuamente. De hecho, se han
estado atrayendo todo el tiempo, pero es en esta etapa cuando la fuerza de
atracción alcanza su máximo y por ello tiene el mayor efecto. La gravedad del
planeta da a la sonda un impulso. La energía debe conservarse, de modo que en
compensación la sonda frena al planeta muy ligeramente en su órbita en torno al
Sol. Puesto que la masa de la sonda es muy pequeña y la del planeta es muy
grande, el efecto sobre el planeta es despreciable. El efecto sobre la sonda no
lo es: puede acelerarse de forma espectacular.
Galileo llegó
a menos de 16.000 kilómetros de la superficie de Venus y ganó 2,23 kilómetros
por segundo en velocidad. Luego pasó a menos de 960 kilómetros de la Tierra, y
otra vez a menos de 300 kilómetros, sumando otros 3,7 kilómetros por segundo.
Estas maniobras eran esenciales para llegar a Júpiter, porque sus cohetes no
eran lo bastante potentes para llevarle allí directamente. El plan original
consistía en hacer precisamente eso, utilizando el impulsor Centauro-G alimentado
por hidrógeno líquido. Pero el desastre de la explosión de la lanzadera Challenger inmediatamente
después del despegue hizo que este plan se abandonara, porque el Centauro-G fue
prohibido. Por ello Galileo tuvo que utilizar un impulsor más
débil de combustible sólido. La misión fue un éxito enorme, y el beneficio
científico incluyó la observación de la colisión entre el cometa Shoemaker-Levy
9 y Júpiter en 1994, mientras la sonda estaba aún en ruta hacia
Júpiter.
El
escenario de Xia también hace uso del efecto honda. Cuatro planetas de la misma
masa forman dos pares próximos, y los miembros de cada par giran en torno a su
centro de masas común en dos planos paralelos[77]. Estas
raquetas de dos cuerpos juegan al tenis celeste con un quinto cuerpo, más
ligero, que va y viene de una a otra en dirección perpendicular a dichos
planos. El sistema está establecido de modo que cada vez que esta «pelota de
tenis» pasa por un par de planetas, el efecto honda acelera la pelota y empuja
el par de planetas hacia fuera a lo largo de la línea que une los dos pares, de
modo que la pista de tenis se alarga y los jugadores se separan. Energía y
momento se mantienen en equilibrio porque los dos planetas del par concernido
se acercan ligeramente, y giran cada vez más rápidos en torno a su centro de
masas. Con el montaje inicial correcto, los pares de planetas se separan cada
vez con mayor rapidez, y su velocidad aumenta con tanta celeridad que llegan al
infinito al cabo de un intervalo de tiempo finito. Mientras, la pelota de tenis
oscila entre ellos cada vez más rápida. Los escenarios de escape de Gerver
también utilizan el efecto honda.
¿Es este
acto de desaparición relevante para los cuerpos celestes reales? No, si se toma
literalmente. Se basa en que los cuerpos son masas puntuales. Esta es una
aproximación razonable para muchos problemas en mecánica celeste, pero no lo es
si los cuerpos se aproximan de modo arbitrario. Si así lo hicieran, cuerpos de
tamaño finito, eventualmente colisionarían. Efectos relativistas impedirían que
los cuerpos se movieran a velocidad mayor que la de la luz, y cambiarían la ley
de la gravedad. En cualquier caso, las condiciones iniciales, y las
suposiciones de que algunas masas son idénticas, serían demasiado raras para
que se den en la práctica. Sin embargo, estos ejemplos curiosos muestran que
incluso si las ecuaciones de la mecánica celeste modelan muy bien la realidad
en la mayoría de las circunstancias, pueden tener singularidades complicadas
que impiden que existan soluciones para todo instante. También recientemente se
ha comprendido que efectos honda en sistemas de estrellas triples, en los que
tres estrellas orbitan unas en torno a otras en trayectorias complicadas,
pueden expulsar a una de las estrellas a gran velocidad. De modo que muchas
estrellas huérfanas, expulsadas de sus sistemas por sus parientes, pueden estar
recorriendo la galaxia —o incluso el espacio intergaláctico— frías, solitarias,
indeseadas e inadvertidas.
Cuando
una ecuación diferencial se comporta de forma tan extraña que sus soluciones
dejan de tener sentido al cabo de un período de tiempo finito, decimos que hay
una singularidad. El trabajo anterior sobre el problema de muchos cuerpos trata
realmente de varios tipos de singularidad. El problema del premio del milenio
sobre la ecuación de Navier-Stokes pregunta si pueden ocurrir singularidades en
problemas de valor inicial para un fluido que ocupa la totalidad del espacio o
un toro plano. Si puede formarse una singularidad en un tiempo finito, es
probable que el resultado sea una explosión, a menos que la propia singularidad
se deshaga de alguna manera más tarde, lo que parece poco probable.
Hay dos
maneras principales de acercarse a estas cuestiones. Podemos tratar de
demostrar que nunca aparecen singularidades, o podemos tratar de encontrar una
escogiendo condiciones iniciales adecuadas. Las soluciones numéricas pueden
ayudar en los dos casos: pueden sugerir propiedades generales útiles de los
flujos, y pueden proporcionar serios esperanzadores indicios sobre la posible
naturaleza de las singularidades potenciales. Sin embargo, la potencial falta
de exactitud en las soluciones numéricas significa que cualquiera de tales
indicios debe ser tratado con cautela y justificado con más rigor.
Los
intentos de demostrar la regularidad (la ausencia de singularidades) emplean
una variedad de métodos para tener control sobre el flujo. Estos incluyen
complicadas estimaciones de cuán grandes o pequeñas pueden hacerse ciertas
variables, o técnicas más abstractas. Una aproximación popular es por vía de
las denominadas soluciones débiles, que no son exactamente flujos sino
estructuras matemáticas más generales con algunas de las propiedades de los
flujos. Es sabido, por ejemplo, que el conjunto de singularidades de una
solución débil de las ecuaciones de Navier-Stokes tridimensionales es siempre
pequeño, en un sentido técnico concreto.
Se han
investigado muchos escenarios diferentes que podrían llevar a singularidades.
El modelo estándar de la turbulencia como una cascada de vórtices cada vez más
pequeños se remonta a Andrei Kolmogorov en 1941, y él sugirió que en escalas
muy pequeñas todas las formas de turbulencia tienen un aspecto muy similar. Las
proporciones de vórtices de un tamaño dado, por ejemplo, siguen una ley
universal. Ahora se sabe que a medida que los vórtices se hacen más pequeños,
cambian de aspecto y se hacen más largos y más finos, formando filamentos. La
ley de conservación del momento angular implica que la vorticidad —con qué
velocidad están girando los vórtices— debe aumentar.
Figura 43. Zooms en un flujo turbulento, simulado con el sistema
computacional VAPOR © Pablo Mininni.
Esto se
llama estiramiento de vórtices, y es el tipo de comportamiento que podría dar
lugar a una singularidad; por ejemplo, si los vórtices muy pequeños pudieran
hacerse infinitamente largos en tiempo finito y la vorticidad pudiera hacerse
infinita en algunos puntos.
La Figura
43 muestra un zoom en escalas muy pequeñas de un flujo
turbulento, simulado por Pablo Mininni y colegas utilizando VAPOR, la
Visualization and Analysis Platform for Ocean, Atmosphere, and Solar Research
(Plataforma de Visualización y Análisis para la Investigación del Océano, la
Atmósfera y el Sol). Las imágenes muestran la intensidad de la vorticidad: con
qué rapidez está girando el fluido. Ilustran la formación de vórtices
filamentosos, las finas y delgadas estructuras en las figuras, y muestran que
pueden acumularse para formar pautas a gran escala. Su programa puede realizar
simulaciones en mallas cúbicas con más de tres mil millones de puntos en la
malla.
En su
artículo sobre este problema en la página web del Instituto Clay[78],
Charles Fefferman escribe:
Existen
muchos problemas y conjeturas fascinantes sobre el comportamiento de las
soluciones de las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes… Puesto que ni
siquiera sabemos si estas soluciones existen, nuestro conocimiento está en un
nivel muy primitivo. Los métodos estándar [ecuaciones en derivadas parciales]
parecen inadecuados para dirimir el problema. Es probable que, en su lugar,
necesitemos algunas ideas nuevas y profundas.
La
complejidad del flujo en imágenes como las de la Figura 43 explica claramente
las dificultades que es probable que encontremos cuando busquemos dichas ideas.
Impertérritos, los matemáticos siguen adelante, buscando principios simples
dentro de las aparentes complejidades.
Capítulo
13
Enigma cuántico
La hipótesis del hueco de masas
A pocos
kilómetros al norte de Ginebra hay un recodo en la frontera entre Suiza y
Francia. En la superficie, todo lo que se ve son caminos y pequeños pueblos.
Pero en el subsuelo, a una profundidad de entre 50 y 175 metros, está el mayor
instrumento científico del planeta. Es un gigantesco túnel circular, de más de
ocho kilómetros de diámetro, unido a un segundo túnel circular de
aproximadamente un cuarto del tamaño del primero. La mayor parte del mismo está
bajo Francia pero dos secciones están en Suiza. Dentro de los túneles corren
pares de tubos, que se cruzan en cuatro puntos.
Es el
Gran Colisionador de Hadrones, cuesta 7500 millones de euros y está explorando
las fronteras de la física de partículas. El objetivo principal de los diez mil
científicos de los más de cien países que colaboraron en el mismo era encontrar
el bosón de Higgs, o no encontrarlo, si es así como se deshizo el continuo. Lo
están buscando para completar el Modelo Estándar de la física de partículas,
según el cual todo lo que hay en el universo esta hecho de 17 partículas
fundamentales diferentes. Según la teoría, el bosón de Higgs es lo que da masa
a todas las partículas.
En
diciembre de 2011 ATLAS y CMS, dos divisiones experimentales del Gran
Colisionador de Hadrones, encontraron independientemente evidencia provisional
de un bosón de Higgs con una masa de unos 125 GeV (gigaelectronvoltios,
unidades utilizadas en física de partículas de forma intercambiable para masa y
energía, puesto que ambas son equivalentes). El 4 de julio de 2012, el CERN, el
laboratorio europeo para física de partículas que controla el Gran Colisionador
de Hadrones, anunció, a una abarrotada audiencia de científicos y periodistas
científicos, que el continuo se había resuelto a favor del Higgs. Ambos grupos
habían recogido grandes cantidades de datos adicionales, y la probabilidad de
que sus datos mostraran una fluctuación aleatoria, y no una nueva partícula con
propiedades tipo Higgs, había caído por debajo de 1 en 2 millones. Este es el
grado de confianza que tradicionalmente se requiere en física de partículas
antes de descorchar el champán.
Serán
necesarios más experimentos para estar seguros de que la nueva partícula tiene
todas las propiedades que debería poseer un bosón de Higgs teórico. Por
ejemplo, la teoría predice que el bosón de Higgs debería tener espín 0; en el
momento del anuncio, las observaciones mostraban que era o 0 o 2. Hay también
una posibilidad de que «el» bosón de Higgs pueda estar compuesto de otras
partículas más pequeñas, o que sea tan solo la primera de una nueva familia de
partículas tipo Higgs. Así que o bien el modelo actual de las partículas
fundamentales quedará reforzado, o bien tendremos nueva información que
eventualmente llevará a una teoría mejor.
El último
de los siete problemas del premio del milenio está íntimamente relacionado con
el Modelo Estándar y el bosón de Higgs. Es una cuestión central en la teoría
cuántica de campos, el marco matemático en el que se estudia la física de
partículas. Se llama la hipótesis del hueco de masas, y pone un límite inferior
a la masa posible de una partícula fundamental. Es un problema representativo
escogido entre una serie de grandes preguntas sin responder en esta profunda y
muy nueva área de la física matemática. Tiene conexiones que van desde las
fronteras de las matemáticas puras a la largo tiempo buscada unificación de las
dos principales teorías físicas, la relatividad general y la teoría cuántica de
campos.
En la
mecánica newtoniana clásica, las magnitudes físicas básicas son espacio, tiempo
y masa. El espacio se supone tridimensional euclídeo, el tiempo es una magnitud
unidimensional independiente del espacio, y masa significa la presencia de
materia. Las masas cambian su posición en el espacio bajo la influencia de
fuerzas, y el ritmo con el que cambia su posición se mide con respecto al
tiempo. La ley de movimiento de Newton describe cómo está relacionada la
aceleración de un cuerpo (el ritmo de cambio de la velocidad, que a su vez es
el ritmo de cambio de la posición) con la masa del cuerpo y la fuerza aplicada.
Las
teorías clásicas del espacio, el tiempo y la materia alcanzaron su punto
culminante en las ecuaciones de James Clerk Maxwell para el electromagnetismo[79]. Este
elegante sistema de ecuaciones unificaba dos de las fuerzas de la naturaleza,
que previamente se consideraban distintas. En lugar de electricidad y
magnetismo, había un único campo electromagnético. Un campo llena la totalidad
del espacio, como si el universo estuviera lleno de cierto tipo de fluido
invisible. En cada punto del espacio podemos medir la intensidad y dirección
del campo, como si dicho fluido estuviera fluyendo con pautas matemáticas. Para
algunos fines el campo electromagnético puede separarse en dos componentes, el
campo eléctrico y el campo magnético. Pero un campo magnético en movimiento
crea un campo eléctrico, y recíprocamente, de modo que cuando se llega a la
dinámica, ambos campos deben combinarse en un único campo más complejo.
Esta
confortable imagen del mundo físico, en la que los conceptos científicos
fundamentales guardan un estrecho parecido con cosas que perciben nuestros
sentidos, cambió drásticamente en los primeros años del siglo XX. En ese
momento los físicos empezaron a darse cuenta de que en escalas muy pequeñas,
demasiado pequeñas para ser observadas con cualquier microscopio entonces
disponible, la materia es muy diferente de lo que todos habían imaginado.
Físicos y químicos empezaron a tomar en serio una teoría muy especulativa que
se retrotraía más de dos milenios hasta las elucubraciones filosóficas de
Demócrito en la antigua Grecia y otros estudiosos en la India. Era la idea de
que aunque el mundo parece estar hecho de incontables materiales diferentes,
toda la materia está formada de partículas minúsculas: los átomos. La palabra
procede del término griego que designa «indivisible».
Los
químicos del siglo XIX encontraron evidencia indirecta a favor de los átomos:
los elementos que se combinan para formar moléculas más complejas lo hacen en
proporciones muy específicas, a menudo próximas a números enteros. John Dalton
formuló estas observaciones en su ley de las proporciones múltiples, y propuso
los átomos como una explicación. Si cada compuesto químico consistía de números
fijos de átomos de varios tipos, una proporción de este tipo aparecería de
forma automática. Por ejemplo, ahora sabemos que cada molécula de dióxido de
carbono consiste en dos átomos de oxígeno y un átomo de carbono, de modo que
los números de átomos estarán en razón de dos a uno. Sin embargo, hay
complicaciones: átomos diferentes tienen masas diferentes, y muchos elementos
se presentan como moléculas formadas por varios átomos. Por ejemplo, la
molécula de oxígeno está compuesta de dos átomos de oxígeno. Si no nos damos
cuenta de lo que está pasando, pensaríamos que un átomo de oxígeno es de una
masa doble de la que tiene en realidad. Y algunos elementos aparentes son en
realidad mezclas de diferentes «isótopos» (estructuras atómicas). Por ejemplo,
el cloro se da en la naturaleza como una mezcla de dos formas estables, ahora
llamadas cloro 35 y cloro 37, en proporciones de alrededor de un 76 por 100 y
un 24 por 100, respectivamente. Por eso, el «peso atómico» observado es 35,45,
que en las etapas iniciales de la teoría atómica se interpretaba en el sentido
de que «el átomo de cloro está compuesto de treinta y cinco y medio átomos de
hidrógeno». Y eso significa que un átomo no es indivisible. Cuando se iniciaba
el siglo XX la mayoría de los científicos seguían pensando que el salto a la
teoría atómica era demasiado grande, y la evidencia numérica era demasiado
débil para justificarlo.
Algunos
científicos, en especial Maxwell y Ludwig Boltzmann, fueron más allá,
convencidos de que los gases son colecciones de moléculas tenuemente
distribuidas y que las moléculas están hechas por ensamblaje de átomos. Lo que,
al parecer, convenció a sus colegas fue la explicación que dio Albert Einstein
para el movimiento browniano, los erráticos movimientos de minúsculas
partículas suspendidas en un fluido que eran visibles al microscopio. Einstein
decidió que estos movimientos debían estar causados por colisiones con
moléculas del fluido que se movían de modo aleatorio y realizó algunos cálculos
cuantitativos para apoyar esa idea. Jean Perrin confirmó experimentalmente
estas predicciones en 1908. Ser capaces de ver el efecto de las supuestas
partículas indivisibles de materia, y de hacer predicciones cuantitativas,
aportaba más convicción que las elucubraciones filosóficas y la numerología
curiosa. En 1911 ya había un consenso científico en la existencia de los
átomos.
Mientras
pasaba esto, unos pocos científicos empezaron a darse cuenta de que los átomos
no son indivisibles. Tienen algún tipo de estructura, y es posible separar
pequeños fragmentos de ellos. En 1897 Joseph John Thomson estaba experimentando
con los denominados rayos catódicos y descubrió que podía hacerse que los
átomos emitieran partículas todavía más minúsculas, los electrones. No solo
eso: átomos de elementos diferentes emitían las mismas partículas. Aplicando un
campo magnético, Thomson demostró que los electrones llevan una carga eléctrica
negativa. Puesto que un átomo es eléctricamente neutro, debe haber también una
parte de los átomos con una carga positiva, lo que llevó a Thomson a proponer
el modelo del pudin de pasas: un átomo es como un pudín cargado positivamente
salpicado con pasas cargadas negativamente. Pero en 1909 uno de los
ex-estudiantes de Thomson, Ernest Rutherford, realizó experimentos que
mostraban que la mayor parte de la masa de un átomo está concentrada cerca de
su centro. Los pudines no son así.
¿Cómo
pueden los experimentos explorar regiones tan minúsculas del espacio?
Imaginemos una parcela de tierra, que puede tener o no edificios u otras
estructuras. No se nos permite entrar en el área, que además está oscura de
modo que no podemos ver lo que hay allí. Sin embargo, tenemos un rifle y muchas
cajas de munición. Podemos disparar balas aleatoriamente a la parcela y
observar en qué dirección salen. Si la parcela es como un pudin de pasas, la
mayoría de las balas la atravesarán directamente. Si en ocasiones tenemos que
agacharnos cuando una bala rebota hacia nosotros, es que hay algo muy sólido en
alguna parte. Observando con qué frecuencia la bala sale a un ángulo dado,
podemos estimar el tamaño del objeto sólido.
Las balas
de Rutherford eran partículas alfa, núcleos de átomos de helio, y su parcela de
tierra era una fina hoja de oro. El trabajo de Thomson había mostrado que las
pasas-electrones tenían una masa muy pequeña, de modo que casi toda la masa de
un átomo debería encontrarse en el pudin. Si el pudin no tenía grumos, la
mayoría de las partículas alfa deberían atravesarlo directamente, y muy pocas
serían desviadas y no mucho. En lugar de ello, una proporción pequeña pero
significativa experimentaba grandes desviaciones. Así que la imagen del pudin
de pasas no funcionaba. Rutherford sugirió una metáfora diferente, una metáfora
que todavía utilizamos hoy de manera informal pese a que ha sido superada por
imágenes más modernas: el modelo planetario. Un átomo es como un sistema solar;
tiene un enorme núcleo central, su sol, alrededor del cual orbitan los
electrones como planetas. Así pues, como el Sistema Solar, el interior de un
átomo es básicamente espacio vacío.
Rutherford
llegó a encontrar pruebas de que el núcleo está compuesto de dos tipos
diferentes de partículas: protones, con carga positiva; y neutrones, con carga
cero. Los dos tienen masas muy parecidas, y ambos son unas mil ochocientas
veces más masivos que un electrón. Los átomos, lejos de ser indivisibles, están
hechos de partículas subatómicas aún más pequeñas. Esta teoría explica la
numerología en enteros de los elementos químicos: lo que se está contando son
los números de protones y neutrones. También explica los isótopos: sumar o
restar algunos neutrones cambia la masa, pero mantiene la carga total cero y
deja invariable el número de electrones, que es igual al número de protones.
Las propiedades químicas de un átomo están básicamente controladas por sus
electrones. Por ejemplo, el cloro 35 tiene 17 protones, 17 electrones y 18
neutrones; el cloro 37 tiene 17 protones, 17 electrones y 20 neutrones. La
cifra 35,45 aparece porque el cloro natural es una mezcla de estos dos
isótopos.
A
comienzos del siglo XX había una nueva teoría en juego, aplicable a la materia
en las escalas de las partículas subatómicas. Era la mecánica cuántica, y una
vez que estuvo disponible, la física ya no volvería a ser la misma. La mecánica
cuántica predecía una gran cantidad de fenómenos nuevos, muchos de los cuales
fueron en seguida observados en el laboratorio. Explicaba muchas observaciones
extrañas y que previamente resultaban desconcertantes. Predecía la existencia
de nuevas partículas fundamentales. Y nos decía que la imagen clásica del
universo en que vivimos, y que hasta entonces había tenido un excelente acuerdo
con las observaciones, es falsa. Nuestras percepciones a escala humana son
pobres modelos de la realidad en su nivel más fundamental.
En física
clásica la materia está hecha de partículas y la luz es una onda. En mecánica
cuántica la luz es también una partícula: el fotón. De modo recíproco, la
materia, por ejemplo los electrones, puede comportarse a veces como una onda.
La previamente nítida divisoria entre ondas y partículas no solo se difuminaba
sino que desaparecía por completo, reemplazada por la dualidad onda/partícula.
El modelo planetario del átomo no funcionaba muy bien si se tomaba al pie de la
letra, de modo que apareció una nueva imagen. En lugar de orbitar en torno al
núcleo como planetas, los electrones forman una nube difusa centrada en el
núcleo, una nube no de materia sino de probabilidad. La densidad de la nube
corresponde a la probabilidad de encontrar un electrón en dicha localización.
Además de
protones, neutrones y electrones, los físicos conocían otra partícula
subatómica, el fotón. Pronto aparecieren otras. Un fallo aparente de la ley de
conservación de la energía llevó a Wolfgang Pauli a proponer un arreglo
provisional que postulaba la existencia del neutrino, una nueva partícula
invisible y prácticamente indetectable que proporcionaría la energía que
faltaba. Era lo bastante detectable para que se confirmara su existencia en
1956. Y eso abrió las compuertas. Pronto había piones, muones y kaones, los
últimos descubiertos al observar rayos cósmicos. Había nacido la física de
partículas, que siguió utilizando el método de Rutherford para explorar las
increíblemente minúsculas escalas espaciales implicadas: para descubrir lo que
hay en el interior de algo, se arroja un montón de materia contra ello y se
observa lo que rebota. Se construyeron y pusieron en operación aceleradores de
partículas cada vez más grandes, las pistolas que disparaban las balas. El
acelerador lineal de Stanford tenía tres kilómetros de longitud. Para no tener
que construir aceleradores cuyas longitudes abarcaran continentes, se curvaron
en círculo, de modo que las partículas pudiesen dar muchísimas vueltas a
velocidades enormes. Eso complicaba la tecnología, porque las partículas que se
mueven en círculos radian energía, pero había remedios.
El primer
fruto de estos trabajos fue un cada vez mayor catálogo de partículas
supuestamente fundamentales. Enrico Fermi expresaba así su frustración: «Si
pudiera recordar los nombres de todas estas partículas, sería un botánico».
Pero de cuando en cuando nuevas ideas procedentes de la teoría cuántica
reducían la lista, y se proponían nuevos tipos de partículas cada vez más
pequeñas para unificar las estructuras ya observadas.
La
mecánica cuántica primitiva se aplicaba a objetos individuales tipo onda o tipo
partícula. Pero inicialmente nadie podía describir un buen análogo
mecano-cuántico de un campo. Era imposible ignorar esta laguna porque las
partículas (descriptibles por la mecánica cuántica) podían interaccionar y lo
hacían con campos (no descriptibles por la mecánica cuántica). Era como querer
descubrir cómo se mueven los planetas del Sistema Solar si se conocieran las
leyes de movimiento de Newton (cómo se mueven las masas cuando se aplican
fuerzas), pero no se conociera su ley de la gravedad (cuáles son dichas
fuerzas).
Había
otra razón para querer modelar los campos y no solo las partículas. Gracias a
la dualidad onda/partícula, están íntimamente relacionadas. Una partícula es,
en esencia, un grumo en un campo. Un campo es un mar repleto de partículas. Los
dos conceptos son inseparables. Por desgracia, los métodos desarrollados hasta
esa fecha se basaban en que las partículas son como puntos minúsculos, y no se
extendían a los campos de ninguna manera razonable. No se podían pegar montones
de partículas y llamar campo al resultado, porque las partículas interaccionan unas
con otras.
Imaginemos
una multitud en… bueno, un campo. Quizá están en un concierto de rock.
Vista desde un helicóptero, la multitud se parece a un fluido, chapoteando por
el campo —a menudo literalmente, por ejemplo en el Festival Glastonbury,
reputado por convertirse en un mar de lodo—. Desde el suelo se hace claro que
el fluido es en realidad una masa agitada de partículas individuales: personas.
O quizá densos racimos de personas, como algunos amigos que pasean juntos,
formando una unidad indivisible, o como un grupo de extraños que llega con un
propósito común, tal como ir al bar. Pero no se puede modelar adecuadamente la
multitud sumando lo que harían las personas si cada una fuera a lo suyo. Cuando
un grupo se dirige al bar, bloquea el camino de otro grupo. Los dos grupos
colisionan y se agolpan. Establecer una teoría cuántica de campos efectiva es
como hacer esto cuando las personas son funciones de onda cuánticas
localizadas.
A finales
de los años veinte del siglo pasado, razonamientos de este tipo habían
convencido a los físicos de que, por difícil que pudiera ser la tarea, la
mecánica cuántica tenía que ser ampliada para tener en cuenta a los campos
tanto como a las partículas. El lugar natural para empezar era el campo
electromagnético. De algún modo los componentes eléctrico y magnético de este
campo tenían que ser cuantificados: reescritos en el formalismo de la mecánica
cuántica. Matemáticamente, este formalismo era poco familiar y no muy físico.
Los observables —cosas que se podían medir— ya no se representaban utilizando
los viejos números. En su lugar, correspondían a operadores en un espacio de
Hilbert: reglas matemáticas para manipular ondas. Estos operadores violaban las
hipótesis habituales de la mecánica clásica. Si se multiplican dos números, el
resultado es el mismo sea cual sea el primero. Por ejemplo, 2×3 y 3×2 dan lo
mismo. Esta propiedad, llamada conmutatividad, falla para muchos pares de
operadores, igual que ponerse primero los calcetines y luego los zapatos no
tiene el mismo efecto que ponerse primero los zapatos y luego los calcetines.
Los números son criaturas pasivas, los operadores son activos. Qué acción se
realiza primero fija el escenario para la otra.
La
conmutatividad es una propiedad matemática muy agradable. Su ausencia es algo
molesta, y esta es precisamente una de las razones por las que cuantizar un
campo resulta ser complicado. No obstante, a veces puede hacerse. El campo
electromagnético fue cuantizado en una serie de etapas, empezando con la teoría
del electrón de Dirac en 1928, y completadas por Sin-Itiro Tomonaga, Julian
Schwinger, Richard Feynman y Freeman Dyson a finales de los años cuarenta y
principios de los cincuenta. La teoría resultante se conoce como
electrodinámica cuántica.
El punto
de vista que se utilizaba allí se basaba en un método que podría trabajar de
forma más general. La idea subyacente se remontaba directamente hasta Newton.
Cuando los matemáticos intentaron resolver las ecuaciones que proporcionaba la
ley de Newton descubrieron algunos trucos generales y útiles, conocidos como
leyes de conservación. Cuando se mueve un sistema de masas, algunas magnitudes
permanecen constantes. La más familiar es la energía, que viene en dos sabores,
cinética y potencial. La energía cinética está relacionada con la velocidad con
que se mueve un cuerpo, y la energía potencial es el trabajo hecho por las
fuerzas. Cuando se deja caer una piedra desde el borde de un acantilado
intercambia energía potencial, debida a la gravedad, por energía cinética;
dicho en lenguaje ordinario, cae y se acelera. Otras magnitudes conservadas son
el momento lineal, que es el producto de la masa por la velocidad, y el momento
angular, que está relacionado con el ritmo de giro de un cuerpo. Estas magnitudes
conservadas relacionan las diferentes variables utilizadas para describir el
sistema, y por consiguiente reducen su número. Eso ayuda cuando se trata de
resolver las ecuaciones, como vimos en el caso del problema de dos cuerpos en
el capítulo 8.
En el
siglo XX se había descubierto la fuente de estas leyes de conservación. Emmy
Noether demostró que toda magnitud conservada corresponde a un grupo continuo
de simetrías de las ecuaciones. Una simetría es una transformación matemática
que deja las ecuaciones invariables, y todas las simetrías forman un grupo,
para el que la operación de composición es «hacer una transformación y luego la
otra». Un grupo continuo es un grupo de simetrías definidas por un único número
real. Por ejemplo, la rotación en torno a un eje dado es una simetría, y el
ángulo de rotación puede ser cualquier número real, de modo que las rotaciones
—de cualquier ángulo— en torno a un eje dado forman una familia continua. Aquí
la magnitud conservada asociada es el momento angular. Análogamente, el momento
lineal es la magnitud conservada asociada a la familia de traslaciones en una
dirección dada. ¿Qué pasa con la energía? Esta es la magnitud conservada que
corresponde a las simetrías temporales; las ecuaciones son las mismas en cualquier
instante de tiempo.
Cuando
los físicos trataron de unificar las fuerzas básicas de la naturaleza, llegaron
a convencerse de que las simetrías eran la clave. La primera de estas
unificaciones fue la de Maxwell, que combinaba electricidad y magnetismo en un
único campo electromagnético. Maxwell consiguió esta unificación sin considerar
la simetría, pero pronto se hizo claro que sus ecuaciones poseen un notable
tipo de simetría que no había sido advertida previamente: la simetría gauge. Y
eso parecía una palanca estratégica que podría abrir teorías cuánticas de
campos más generales.
Rotaciones
y traslaciones son simetrías globales: se aplican uniformemente a lo largo de
todo el espacio y el tiempo. Una rotación en torno a un eje rota todo punto del
espacio el mismo ángulo. Las simetrías gauge son diferentes: son simetrías
locales, que pueden variar de un punto a otro en el espacio. En el caso del
electromagnetismo, estas simetrías locales son cambios de fase. Una oscilación
local del campo electromagnético tiene una amplitud (qué tamaño tiene) y una
fase (el momento en que alcanza su máximo). Si tomamos una solución de las
ecuaciones de campo de Maxwell y cambiamos la fase en cada punto, obtenemos
otra solución, siempre que hagamos un cambio compensatorio en la descripción
del campo incorporando una carga electromagnética local.
Las
simetrías gauge fueron introducidas por Hermann Weyl en un intento infructuoso
por conseguir otra unificación, la del electromagnetismo y la relatividad
general; es decir, las fuerzas electromagnéticas y gravitatorias. El nombre
vino de un equívoco: él pensaba que las simetrías locales correctas deberían
ser cambios de escala espacial, o «gauge[iii]». Esta
idea no funcionó, pero el formalismo de la mecánica cuántica llevó a Vladimir
Fock y Fritz London a introducir un tipo diferente de simetría local. La
mecánica cuántica se formula utilizando números complejos, no solo números
reales, y toda función de onda cuántica tiene una fase compleja. Las simetrías
locales relevantes rotan la fase cualquier ángulo en el plano complejo. En
abstracto, este grupo de simetrías consiste en todas las rotaciones, pero en
coordenadas complejas estas son «transformaciones unitarias» (U) en un espacio
con una dimensión compleja (1), de modo que el grupo formado por estas
simetrías se denota por U(1). Aquí el formalismo no es solo un juego matemático
abstracto: permite a los físicos escribir, y luego resolver, las ecuaciones
para partículas cuánticas cargadas que se mueven en un campo electromagnético.
En las manos de Tomonaga, Schwinger, Feynman y Dyson este punto de vista llevó
a la primera teoría cuántica de campos relativista del electromagnetismo: la
electrodinámica cuántica. La simetría bajo el grupo gauge U(1) fue fundamental
para su trabajo.
El
siguiente paso, que unifica la electrodinámica cuántica con la fuerza nuclear
débil, fue conseguido por Abdus Salam, Sheldon Glashow, Steven Weinberg y otros
en los años sesenta del siglo pasado. Junto al campo electromagnético con su
simetría gauge U(1), introdujeron campos asociados con cuatro partículas
fundamentales, los denominados bosones W+, W0, W- y
B0. Las simetrías gauge de este campo, que en efecto rotan
combinaciones de estas partículas para producir otras combinaciones, forman
otro grupo, llamado SU(2) —transformaciones unitarias (U) en un espacio
complejo bidimensional (2) que son también especiales (S), una condición
técnica sencilla—. Por lo tanto el grupo gauge combinado es U(1)×SU(2), donde
el×indica que los dos grupos actúan independientemente sobre los dos campos. El
resultado, llamado teoría electrodébil, requería una difícil innovación
matemática. El grupo U(1) para la electrodinámica cuántica es conmutativo:
aplicar sucesivamente dos transformaciones de simetría da el mismo resultado,
cualquiera que sea el orden en que se aplican. Esta agradable propiedad
simplifica mucho las matemáticas, pero no es válida para SU(2). Esta fue la
primera aplicación de una teoría gauge no conmutativa.
La fuerza
nuclear fuerte entra en juego cuando consideramos la estructura interna de
partículas como protones y neutrones. El gran avance en esta área fue motivado
por una curiosa pauta matemática en una clase concreta de partículas, llamadas
hadrones. La pauta era conocida como el óctuple camino. Inspiró la teoría de la
cromodinámica cuántica, que postulaba la existencia de partículas ocultas
llamadas quarks y las utilizaba como componentes básicos para
el gran zoo de hadrones.
En el
modelo estándar, todo lo que hay en el universo depende de dieciséis partículas
genuinamente fundamentales, cuya existencia ha sido confirmada por experimentos
en aceleradores. Más una decimoséptima, que actualmente está buscando el Gran
Colisionador de Hadrones. De las partículas conocidas para Rutherford, solo dos
siguen siendo fundamentales: el electrón y el fotón. El protón y el neutrón,
por el contrario, están hechos de quarks. El nombre fue acuñado por
Murray Gell-Mann, que pretendía que rimara con «cork». Él dio con un pasaje
del Finnegans Wake de James Joyce:
Three
quarks for Muster Mark!
Sure he
has not got much of a bark
And sure
any he has it’s all beside the mark.
Esto
parecería apuntar a una pronunciación que rima con «mark», pero Gell-Mann
encontró una manera de justificar su intención. Ambas pronunciaciones son ahora
habituales.
El Modelo
Estándar considera seis quarks, dispuestos en pares. Tienen nombres
curiosos: up/down, charmed/strange, y top/bottom.
Hay seis leptones, también en pares: el electrón, el muón y el tauón (hoy
llamado simplemente tau) y sus neutrinos asociados. Estas doce partículas son
colectivamente llamadas fermiones, en referencia a Fermi. Las partículas se
mantienen unidas gracias a fuerzas, que son de cuatro tipos: gravedad,
electromagnetismo, la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil. Dejando
aparte la gravedad, que todavía no ha sido plenamente reconciliada con la
imagen cuántica, esto da tres fuerzas. En física de partículas, las fuerzas se
producen por un intercambio de partículas, que son «portadoras» o «mediadoras»
de la fuerzas. La analogía habitual es con dos jugadores de tenis que se
mantienen unidos por su mutua atención a la bola. El fotón es el portador de la
fuerza electromagnética, los bosones Z y W son portadores de la fuerza nuclear
débil, y los gluones son portadores de la fuerza nuclear fuerte. Mejor dicho,
los gluones son técnicamente los portadores de la fuerza de color que mantiene
unidos a los quarks, y la fuerza fuerte es lo que observamos como
resultado.
Figura 44. Izquierda: Las 17 partículas del Modelo Estándar. Derecha: Cómo
hacer un protón y un neutrón a partir de quarks. Derecha, arriba: Protón = dos
quarks up + un quark down. Derecha, abajo: Neutrón = un quark up + dos quarks
down.
El protón
consiste en dos quarks up más un quark down; el
neutrón consta de un quark up más dos quarks down.
En cada una de estas partículas los quarks se mantienen unidos
por los gluones. Estos cuatro portadores de fuerzas se conocen colectivamente
como bosones, en referencia a Chandra Bose. La distinción entre fermiones y
bosones es importante: tienen diferentes propiedades estadísticas. La Figura 44
(izquierda) muestra el catálogo resultante de partículas que se
conjeturan fundamentales. La Figura 44 (derecha) muestra cómo hacer un
protón y un neutrón a partir de quarks.
El bosón
de Higgs completa esta imagen al explicar por qué las otras 16 partículas del
Modelo Estándar tienen masas no nulas. Recibe su nombre de Peter Higgs, uno de
los físicos que sugirieron la idea. Otros físicos involucrados son Philip
Anderson, François Englert, Robert Brout, Gerald Guralnik, Carl Hagen y Thomas
Kibble. El bosón de Higgs es la encarnación en forma de partícula de un
hipotético campo cuántico, el campo de Higgs, con una propiedad inusual pero
vital: en un vacío, el campo es distinto de cero. Las otras 16 partículas están
influidas por el campo de Higgs, que hace que se comporten como si tuvieran
masa.
En 1993
David Miller, en respuesta a un reto del ministro de Ciencia británico William
Waldegrave, presentó una analogía sorprendente: una fiesta. Los asistentes
están repartidos uniformemente por la habitación cuando entra el invitado de
honor (una ex primera ministra). Al instante, todos se agrupan a su alrededor.
A medida que ella se mueve por el salón, unas personas se unen al grupo y otras
lo dejan, y el grupo en movimiento le da a ella una masa extra, que hace más
difícil que ella se detenga. Este es el mecanismo de Higgs. Imaginemos ahora
que circula un rumor por el salón y la gente se agolpa para oír la noticia.
Este grupo es el bosón de Higgs. Miller añadía: «Podría haber un mecanismo de
Higgs, y un campo de Higgs que llenase nuestro universo, sin que haya un bosón
de Higgs. La próxima generación de colisionadores lo resolverá». Parece que
ahora se ha resuelto el bosón de Higgs, pero el campo de Higgs aún necesita más
trabajo.
La
cromodinámica cuántica es otra teoría gauge, esta vez con grupo gauge SU(3).
Como sugiere la notación, la transformación actúa ahora sobre el espacio
complejo tridimensional. Luego siguió la unificación del electromagnetismo, la
fuerza débil y la fuerza fuerte. Supone la existencia de tres campos cuánticos,
uno por cada fuerza, con grupos gauge U(1), SU(2) y SU(3) respectivamente. La
combinación de los tres da el Modelo Estándar, con grupo gauge
U(1)×SU(2)×SU(3). Siendo rigurosos, las simetrías SU(2) y SU(3) son
aproximadas; se cree que se hacen exactas a energías muy altas. Por eso su
efecto sobre las partículas que forman nuestro mundo corresponde a simetrías
«rotas», las trazas de estructura que permanecen cuando el sistema ideal
perfectamente simétrico está sujeto a una pequeña perturbación.
Los tres
grupos contienen familias continuas de simetrías: una familia para U(1), tres
para SU(2) y ocho para SU(3). Asociadas a ellas hay varias magnitudes
conservadas. Las simetrías de la mecánica newtoniana proporcionan de nuevo
energía, momento lineal y momento angular. Las magnitudes conservadas para las
simetrías gauge U(1)×SU(2)×SU(3) son varios «números cuánticos» que
caracterizan las partículas. Son análogas a magnitudes tales como espín y
carga, pero se aplican a los quarks; tienen nombres como carga de
color, isospín e hipercarga. Finalmente, hay algunas magnitudes conservadas
adicionales para U(1): números cuánticos para los seis leptones, tales como
número electrónico, número muónico y número tauónico. El resultado es que las
simetrías de las ecuaciones del Modelo Estándar, vía teorema de Noether,
explican las variables físicas nucleares de las partículas fundamentales.
El
mensaje importante para nuestra historia es la estrategia y el resultado
general. Para unificar las teorías físicas hay que encontrar sus simetrías y
unificarlas. Luego hay que idear una teoría adecuada con dicho grupo de
simetrías combinado. No estoy sugiriendo que el proceso sea directo; de hecho
es técnicamente muy complejo. Pero así es como se ha desarrollado la teoría
cuántica de campos hasta ahora, y solo una de las cuatro fuerzas de la
naturaleza cae hoy día fuera de su alcance: la gravedad.
El
teorema de Noether no solo explica las principales variables físicas asociadas
con partículas fundamentales: fue así como se encontraron muchas de las
simetrías subyacentes. Los físicos trabajaron hacia atrás, a partir de los
números cuánticos observados e inferidos, para deducir qué simetrías debería
tener el modelo. Luego escribieron ecuaciones adecuadas con dichas simetrías y
confirmaron que dichas ecuaciones encajaban muy estrechamente la realidad. De
momento, este paso final requiere escoger los valores de 19 parámetros, números
que deben ser introducidos en las ecuaciones para dar resultados cuantitativos.
Nueve de estos son masas de partículas concretas: los seis quarks y
el electrón, el muón y el tau. Los demás son más técnicos, cosas como ángulos
de mezcla y acoplamientos de fase. Diecisiete de estos parámetros son conocidos
gracias a los experimentos, pero dos no lo son; describen el todavía
hipotético campo de Higgs. Pero ahora hay buenas perspectivas
de medirlos, porque los físicos saben dónde mirar.
Las
ecuaciones utilizadas en estas teorías pertenecen a una clase general de
teorías de campos gauge, conocidas como teorías de Yang-Mills. En 1954
Chen-Ning Yang y Robert Mills intentaron desarrollar teorías gauge para
explicar la fuerza fuerte y las partículas asociadas a ella. Sus primeros
intentos tropezaban con dificultades cuando se cuantizaba el campo, porque esto
exigía que las partículas tuvieran masa cero. En 1960 Jeffrey Goldstone,
Yoichiro Nambu y Giovanni Jona-Lasinio encontraron una manera de evitar este
problema: empezar con una teoría que predecía partículas sin masa, pero luego
modificarla rompiendo alguna de las simetrías. Es decir, cambiar un poco las
ecuaciones introduciendo nuevos términos asimétricos. Cuando se utilizó esta
idea para modificar la teoría de Yang-Mills, las ecuaciones resultantes
funcionaban muy bien, tanto en la teoría electrodébil como en cromodinámica
cuántica.
Yang y
Mills suponían que el grupo gauge era un grupo unitario especial. Para las
aplicaciones a partículas este era el SU(2) o el SU(3), el grupo unitario
especial para dos o tres dimensiones complejas, pero el formalismo funcionaba
en cualquier número de dimensiones. Su teoría aborda en línea directa una
difícil pero inevitable dificultad matemática. El campo electromagnético es
engañosamente simple en un aspecto: sus simetrías gauge conmutan. A diferencia
de la mayoría de los operadores cuánticos, el orden en que se cambian las fases
no afecta a las ecuaciones. Pero ahora los físicos tenían puesto los ojos en
una teoría cuántica de campos para partículas subatómicas. Aquí, el grupo gauge
era no conmutativo, lo que hacía muy difícil cuantizar las ecuaciones.
Yang y
Mills lo consiguieron utilizando una representación diagramática de
interacciones de partículas introducida por Richard Feynman. Cualquier estado
cuántico puede considerarse como una superposición de innumerables
interacciones de partículas. Por ejemplo, incluso un vacío incluye pares de
partículas y antipartículas que en cada instante nacen e inmediatamente
desaparecen. Una simple colisión entre dos partículas se divide en una danza
desconcertante de apariciones y desapariciones de partículas intermediarias,
yendo y viniendo, dividiéndose y combinándose. Lo que salva la situación es una
combinación de dos cosas. Las ecuaciones de campo pueden cuantizarse para cada
diagrama de Feynman concreto y todas estas contribuciones pueden sumarse para
representar el efecto global de la interacción. Además, los diagramas más
complicados rara vez aparecen, de modo que su contribución a la suma no es muy
grande. Incluso así, hay un serio problema. La suma, interpretada directamente,
es infinita. Yang y Mills encontraron una manera de «renormalizar» el cálculo
de modo que se eliminaba una infinidad de términos que no deberían contar de
hecho. Lo que quedaba era una suma finita, y su valor encajaba muy bien con la
realidad. Esta técnica era completamente misteriosa cuando se ideó por primera
vez, pero ahora tiene sentido.
En los
años setenta entraron en escena los matemáticos, y Michael Atiyah generalizó la
teoría de Yang-Mills a una amplia clase de grupos gauge. Matemáticas y física
empezaron a realimentarse mutuamente, y el trabajo de Edward Witten y Nathan
Seiberg sobre teorías cuánticas de campos topológicas llevó al concepto de
supersimetría, en donde todas las partículas conocidas tienen nuevas
contrapartidas «supersimétricas»: electrones y selectrones, quarks y squarks.
Esto simplificaba las matemáticas y llevaba a predicciones físicas. Sin
embargo, estas nuevas partículas todavía no han sido observadas, y es probable
que algunas deberían manifestarse ahora en los experimentos realizados
utilizando el Gran Colisionador de Hadrones. El valor matemático de estas ideas
está bien establecido, pero su relevancia directa para la física no lo está.
Sin embargo, arrojan luz útil sobre la teoría de Yang-Mills.
La teoría
cuántica de campos es una de las fronteras en más rápido movimiento de la
física matemática, y por ello el Instituto Clay quería incluir algo relativo a
este tema como uno de los premios del milenio. La hipótesis del hueco de masas
se sitúa en el centro de esta rica área y aborda una importante cuestión
matemática vinculada con la física de partículas. La aplicación de los campos
de Yang-Mills para describir las partículas fundamentales en términos de la
fuerza nuclear fuerte depende de una característica específica de la teoría
cuántica conocida como un hueco de masas. En relatividad, una partícula que
viaja a la velocidad de la luz adquiere una masa infinita, a menos que su masa
en reposo sea nula. El hueco de masas permite que las partículas cuánticas
tengan masas no nulas finitas, incluso si las ondas clásicas asociadas viajan a
la velocidad de la luz. Cuando existe un hueco de masas, cualquier estado que
no sea el vacío tiene una energía que supera a la del vacío en al menos una
cantidad fija. Es decir, hay un límite inferior no nulo para la masa de una
partícula.
Los
experimentos confirman la existencia de un hueco de masas, y las simulaciones
por ordenador de las ecuaciones apoyan la hipótesis del hueco de masas. Sin
embargo, no podemos suponer que un modelo encaja con la realidad y luego
utilizar la realidad para verificar propiedades matemáticas del modelo, porque
caeríamos en un círculo vicioso. Por eso es necesaria una comprensión teórica.
Un paso clave sería una demostración rigurosa de que existen versiones
cuánticas de la teoría de Yang-Mills. La versión clásica (no cuántica) está hoy
bastante bien entendida, pero la análoga cuántica está viciada, afectada por el
problema de la renormalización, esos molestos infinitos que tienen que ser
neutralizados mediante malabarismos matemáticos.
Un
enfoque atractivo empieza por convertir el espacio continuo en una red discreta
y escribir un análogo en la red a la ecuación de Yang-Mills. Entonces la
cuestión principal es mostrar que a medida que la red se hace cada vez más
fina, y se aproxima a un continuo, este análogo converge a un objeto matemático
bien definido. Algunas propiedades necesarias de las matemáticas pueden
inferirse por intuición física, y si estas propiedades pudieran establecerse
rigurosamente sería posible demostrar que existe una adecuada teoría de
Yang-Mills cuántica. La hipótesis del hueco de masas implica una comprensión
más detallada de cómo las teorías reticulares se aproximan a esta hipotética
teoría de Yang-Mills. Por lo tanto, la existencia de la teoría, y la hipótesis
del hueco de masas, están estrechamente entretejidas.
En eso es
en donde todos están atascados. En 2004 Michael Douglas escribió un informe
sobre el estatus del problema, y dijo: «Hasta donde yo sé, no se ha hecho
ningún avance importante sobre este problema en los últimos años. En
particular, aunque se han hecho progresos en teorías de campos en dimensiones
menores, no conozco ningún progreso importante hacia una construcción
matemáticamente rigurosa de la teoría de Yang-Mills cuántica». Esta evaluación
sigue pareciendo correcta.
Sin
embargo, se han hecho progresos más impresionantes en algunos problemas
relacionados que pueden arrojar luz útil. Teorías cuánticas de campos
especiales, conocidas como modelos sigma bidimensionales, son más tratables, y
la hipótesis del hueco de masas ha sido establecida para uno de estos modelos.
Las teorías cuánticas de campos supersimétricas, que incluyen hipotéticas
supercompañeras de las partículas fundamentales habituales, tienen propiedades
matemáticas agradables que, en efecto, eliminan la necesidad de
renormalización. Físicos como Edward Witten han estado haciendo progresos hacia
la solución de cuestiones relacionadas en el caso supersimétrico. Hay
esperanzas de que algunos de los métodos que surgen de este trabajo pudieran
sugerir nuevas maneras de abordar el problema original. Pero cualesquiera que
puedan ser las implicaciones físicas, y cualquiera que sea el estatus final de
la hipótesis del hueco de masas, muchos de estos desarrollos ya han enriquecido
las matemáticas con nuevos conceptos y nuevas herramientas importantes.
Capítulo
14
Sueños diofánticos
La conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer
En el
capítulo 7 encontramos la Arithmetica de Diofanto, y comenté
que seis de sus trece libros sobreviven como copias en griego. Alrededor de 400
d. C., cuando la antigua civilización griega entró en declive, Arabia, China y
la India tomaron de Europa la antorcha de la innovación matemática. Los
estudiosos árabes tradujeron muchas de las obras griegas clásicas, y estas
traducciones suelen ser nuestra principal fuente histórica para sus contenidos.
El mundo árabe conocía la Arithmetica, y la desarrolló. Cuatro
manuscritos árabes descubiertos en 1968 pueden ser traducciones de otros libros
«perdidos» de la Arithmetica.
En algún
momento próximo al final del siglo X el matemático persa al-Karaji planteó una
pregunta que muy bien podría habérsele ocurrido a Diofanto. ¿Qué enteros pueden
darse como diferencia común entre tres cuadrados racionales que forman una
secuencia aritmética? Por ejemplo, los cuadrados enteros 1, 25 y 49 tienen una
diferencia común 24. Es decir, 1 + 24 = 25 y 25 + 24 = 49. Al-Karaji vivió
entre 953 y 1029 d. C. aproximadamente, de modo que quizá tuviera acceso a una
copia de la Arithmetica, pero la primera traducción conocida fue
hecha por Abu’l-Wafā en 998. Leonard Dickson, que escribió un resumen en tres
volúmenes de la historia de la teoría de números, sugirió que el problema
podría tener su origen en algún momento antes de 972 en un manuscrito árabe
anónimo.
En
lenguaje algebraico el problema es: ¿para qué enteros d existe
un número racional χ tal que x - d, χ y x
+ d son cuadrados perfectos? Puede reenunciarse en una forma que es
equivalente, aunque no sea obvia: ¿qué números enteros pueden ser el área de un
triángulo rectángulo con lados racionales? Es decir: si a, b y c son
racionales y a2 + b2 = c2,
¿cuáles son los posibles valores enteros para ab/2? Los enteros que
satisfacen estas condiciones equivalentes se llaman números congruentes. El
término no está relacionado con otros usos de la palabra «congruente» en
matemáticas, y eso lo hace algo confuso para un lector moderno. Sus orígenes se
explican más adelante.
Algunos
números no son congruentes: por ejemplo, puede demostrarse que 1, 2, 3 y 4 no
son congruentes. Otros, tales como 5, 6 y 7 son congruentes. De hecho, el
triángulo 3-4-5 tiene área 3×4/2 = 6, lo que prueba que 6 es congruente. Para
demostrar que 7 es congruente, observemos que (24/5)2, (35/12)2 y
(337/60)2 tienen una diferencia común 7. Volveré a 5 en un
momento. Procediendo caso por caso de esta manera se obtiene una larga lista de
números congruentes, pero eso arroja poca luz sobre su naturaleza. Por muchos
ejemplos que construyamos caso por caso, no podremos demostrar que un número
entero concreto no es congruente. Durante siglos nadie sabía
si 1 es congruente.
Ahora
sabemos que el problema va mucho más allá de cualquier cosa que Diofanto
pudiera haber resuelto. De hecho, esta pregunta engañosamente simple todavía no
ha sido respondida por completo. A lo más que hemos llegado es a una
caracterización de números congruentes, descubierta por Jerrold Tunnell en
1983. La idea de Tunnell proporciona un algoritmo para decidir si un entero
dado puede ocurrir o no contando sus representaciones como dos diferentes
combinaciones de cuadrados. Con algo de ingenio este cálculo es factible para
enteros muy grandes. La caracterización solo tiene un serio inconveniente:
nunca se ha demostrado que sea correcta. Su validez depende de la solución de
uno de los problemas del milenio, la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer. Esta
conjetura proporciona un criterio para que una curva elíptica tenga solo un
número finito de puntos racionales. Encontramos estas ecuaciones diofánticas en
el capítulo 6 sobre la conjetura de Mordell y en el capítulo 7 sobre el último
teorema de Fermat. Aquí vemos otra prueba de su papel prominente en las
fronteras de la teoría de números.
La
primera obra europea que hace referencia a estas cuestiones fue escrita por
Leonardo de Pisa. Leonardo es más conocido por una secuencia de números
extraños que él parece haber inventado, que aparecía en un problema aritmético
sobre la progenie de algunos conejos muy poco realistas. Estos son los números
de Fibonacci:
0 1 1 2 3
5 8 13 21 34 55 89…
en donde
cada número, tras los dos primeros, es la suma de los dos anteriores. El padre
de Leonardo era un oficial de aduanas llamado Bonaccio, y el famoso sobrenombre
significa «hijo de Bonaccio». No hay pruebas de que fuera utilizado durante la
vida de Leonardo, y se cree que fue una invención del matemático francés
Guillaume Libri en el siglo XIX[80]. Fuera
como fuera, los números de Fibonacci tienen muchas propiedades fascinantes y
son ampliamente conocidos. Incluso aparecen en la novela
cripto-conspirativa El código Da Vinci, de Dan Brown.
Leonardo
introdujo los números de Fibonacci en un libro de texto de aritmética, el Liber
abbaci («Libro de cálculo») de 1202, cuyos objetivos principales eran
llamar la atención europea sobre la nueva notación aritmética de los árabes,
basada en los diez dígitos 0-9, y demostrar su utilidad. La idea ya había
llegado a Europa a través del texto de al-Khwārizmī de 825 en su traducción
latina Algoritmi de numero indorum («Sobre el cálculo con
numerales hindúes»), pero el libro de Leonardo fue el primero escrito con la
intención concreta de promover la adopción de la notación decimal en Europa.
Buena parte del libro está dedicada a la aritmética práctica, especialmente al
cambio de divisas. Pero Leonardo escribió otro libro, no tan bien conocido, que
en muchos aspectos fue un sucesor europeo de la Arithmetica de
Diofanto: su Liber quadratorum («Libro de cuadrados»).
Como
Diofanto, él presentaba técnicas generales utilizando ejemplos especiales. Uno
surgía de una pregunta de al-Karaji. En 1225 el emperador Federico II visitó
Pisa. Él conocía la reputación matemática de Leonardo y parece haber decidido
que sería divertido ponerle a prueba en un torneo matemático. Estos concursos
públicos eran habituales en esa época. Los contendientes se planteaban
preguntas unos a otros. El equipo del emperador estaba compuesto por Juan de
Palermo y el maestro Teodoro. El equipo de Leonardo estaba compuesto por
Leonardo. El equipo del emperador retó a Leonardo a encontrar un cuadrado que
siga siendo un cuadrado cuando se le suma o se le resta 5. Como es habitual,
los números deberían ser racionales. En otras palabras, ellos trataban de
demostrar que 5 es un número congruente encontrando un racional concreto χ para
el que x - 5, χ y χ + 5 son
cuadrados.
Esto no
es en absoluto trivial; la solución más pequeña es:
en cuyo
caso
Leonardo
encontró una solución y la incluyó en el Liber quadratorum. Obtuvo
la respuesta utilizando una fórmula general relacionada con la fórmula de
Euclides/Diofanto para las tripletas pitagóricas. A partir de ella obtuvo tres
cuadrados enteros con diferencia común 720, a saber, 312, 412 y
492. Luego dividió por 122 = 144 para obtener tres
cuadrados con diferencia común 720/144, que es 5.[81] En
términos de tripletas pitagóricas, tomamos el triángulo 9, 40, 41 con área 180
y dividimos por 36 para obtener un triángulo con lados 20/3, 3/2, 41/6.
Entonces su área es 5.
TABLA 3.
Los diez primeros números congruentes y las correspondientes tripletas
pitagóricas.
Es en
Leonardo donde encontramos la palabra latina congruum para un
conjunto de tres cuadrados en secuencia aritmética. Más tarde Euler utilizó la
palabra congruere, «venir juntos». En la Tabla 3 se da una lista de
los diez primeros números congruentes y las correspondientes tripletas
pitagóricas más sencillas. No hay pautas sencillas aparentes.
Muchos de
los primeros progresos sobre esta cuestión fueron hechos por matemáticos
islámicos, quienes demostraron que los números 5, 6, 14, 15, 21, 30, 34, 65,
70, 110, 154 y 190 son congruentes, junto con 18 números más grandes. A estos,
Leonardo, Angelo Genocchi (1855) y André Gérardin (1915) añadieron 7, 22, 41,
69, 77 y otros 43 números menores que 1000. Leonardo afirmó en 1225 que 1 no es
congruente, pero no dio ninguna demostración. En 1569 Fermat dio una. Para 1915
se habían determinado todos los números congruentes menores que 100, pero el
problema encalló lentamente, y para 1980 el estatus de muchos números menores
que 1000 seguía sin estar resuelto. La dificultad puede juzgarse por el
descubrimiento de L. Bastien de que 101 es congruente. Los lados del
correspondiente triángulo rectángulo son:
Él
encontró estos números en 1914, a mano. Para 1986, ahora con ordenadores en
escena, G. Kramarz había encontrado todos los números congruentes menores que
2000.
En algún
momento se advirtió que una ecuación diferente pero relacionada
y2 = χ3 - d2χ
tiene
soluciones χ, y en números naturales si y solo si d es
congruente[82]. Esta
observación es obvia en una dirección: el segundo miembro es el producto
de x, x - d y x + d, y si los tres son cuadrados,
también lo es su producto. El recíproco también es bastante sencillo. Esta
reformulación del problema lo coloca en el centro de un área rica y floreciente
de la teoría de números. Para cualquier d dado esta ecuación
hace y2 igual a un polinomio cúbico en χ,
y por consiguiente define una curva elíptica. De modo que el problema de los
números congruentes es un caso especial de una pregunta que los teóricos de
números desearían responder: ¿cuándo una curva elíptica tiene al menos un punto
racional? Esta pregunta no es ni mucho menos sencilla, ni siquiera para el tipo
especial de curva elíptica recién mencionado. Por ejemplo, 157 es un número
congruente, pero el triángulo rectángulo más simple con dicha
área tiene una hipotenusa
Antes de
continuar tomaremos prestado el truco de Leonardo, el que le llevó de 720 a 5,
y lo aplicaremos con toda generalidad. Si multiplicamos cualquier número
congruente d por el cuadrado n2 de
un entero n, obtenemos también un número congruente. Simplemente
tomamos una tripleta pitagórica racional correspondiente a un triángulo con
área d y multiplicamos los números por n. Entonces
el área del triángulo se multiplica por n2. Lo mismo es
cierto si dividimos los números por n; ahora el área se divide
por n2. Este proceso da un entero solo cuando el área
tiene un factor cuadrado, de modo que cuando se buscan números congruentes es
suficiente con trabajar con números que no tienen ningún factor cuadrado. Los
primeros números sin factores cuadrados son:
1 2 3 5 6
7 10 11 13 14 15 17 19
Ahora
podemos enunciar el criterio de Tunnell. Un número impar sin factores
cuadrados d es congruente si y solo si el número de soluciones
enteras x, y, z (positivas o negativas) de la ecuación
2χ2 + y2 +
8z2 = d
es
exactamente el doble del número de soluciones de la ecuación
2χ2 + y2 +
32z2 = d
Un número
par sin factores cuadrados d es congruente si y solo si el
número de soluciones enteras x, y, z de la ecuación
8χ2 +
2y2 + 16z2 = d
es
exactamente el doble del número de soluciones de la ecuación
8χ2 +
2y2 + 64z2 = d
Estos
resultados son más útiles de lo que podría parecer a primera vista. Puesto que
todos los coeficientes son positivos, los tamaños de x, y, z no
pueden superar a ciertos múltiplos de la raíz cuadrada de d. Por lo
tanto, el número de soluciones es finito y pueden encontrarse mediante una
búsqueda sistemática, con algunos atajos útiles. Estos son los cálculos
completos para algunos ejemplos con d pequeño:
·
Si d = 1 entonces las únicas
soluciones de la primera ecuación son χ = 0, y =
±1, z = 0. Lo mismo vale para la segunda ecuación. Por lo
tanto, ambas ecuaciones tienen dos soluciones, y el criterio no es válido.
·
Si d = 2 entonces las únicas
soluciones de la primera ecuación son χ = ±1, y =
0, z = 0. Lo mismo vale para la segunda ecuación. Por lo
tanto, ambas ecuaciones tienen dos soluciones, y el criterio no es válido.
·
Si d = 3 entonces las únicas
soluciones de la primera ecuación son χ = ±1, y =
±1, z = 0. Lo mismo vale para la segunda ecuación. Por lo
tanto ambas ecuaciones tienen cuatro soluciones, y el criterio no es válido.
·
Si d = 5 o 7 entonces la primera
ecuación no tiene soluciones. Lo mismo vale para la segunda ecuación. Puesto
que el doble de cero es cero, el criterio se satisface.
·
Si d = 6 tenemos que utilizar el
criterio para números pares. De nuevo ambas ecuaciones no tienen soluciones, y
el criterio se satisface.
Estos
cálculos sencillos muestran que 1, 2, 3, 4 (= 22×1) no son
congruentes, pero 5, 6 y 7 sí lo son. El análisis puede ampliarse fácilmente, y
en 2009 un equipo de matemáticos aplicó el test de Tunnell al primer billón de
números y encontró exactamente 3.148.379.694 números congruentes. Los
investigadores verificaron sus resultados realizando los cálculos dos veces, en
diferentes ordenadores y utilizando diferentes algoritmos escritos por dos
grupos independientes. Bill Hart y Gonzalo Tornaria utilizaron el ordenador
Selmer en la Universidad de Warwick. Mark Watkins, David Harvey y Robert
Bradshaw utilizaron el ordenador Sage en la Universidad de Washington.
Sin
embargo, hay una laguna en todos esos cálculos. Tunnell demostró que si un
número d es congruente, entonces debe satisfacer su criterio.
Por consiguiente, si el criterio falla, el número no es congruente. Esto
implica, por ejemplo, que 1, 2, 3 y 4 no son congruentes. Sin embargo, él no
pudo demostrar la inversa: si un número satisface su criterio, entonces debe
ser congruente. Esto es lo que necesitamos para concluir que 5, 6 y 7 son
congruentes. En estos casos particulares podemos encontrar tripletas pitagóricas
apropiadas, pero eso no servirá en el caso general. Tunnell sí demostró que
esta recíproca se sigue de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer, pero esta
sigue sin demostrar.
Como
varios de los problemas del milenio, la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer es
difícil incluso de enunciar. (¿Piensa usted que puede ganar un millón de
dólares por hacer algo fácil? Puedo venderle un bonito puente, tirado de
precio…). Sin embargo, la perseverancia recompensa, porque en el camino
empezamos a apreciar las profundidades, y las largas tradiciones históricas, de
la teoría de números. Si usted examina cuidadosamente el nombre de la conjetura
verá que un guión es más largo que el otro. No es algo conjeturado por
matemáticos llamados Birch, Swinnerton y Dyer, sino por Brian Birch y Peter
Swinnerton-Dyer. Su enunciado completo es técnico, pero trata de una cuestión
básica en las ecuaciones diofánticas, es decir, ecuaciones algebraicas para las
que buscamos soluciones en números naturales o racionales. La pregunta es
simple: ¿cuándo tienen soluciones?
En el
capítulo 6 sobre la conjetura de Mordell y en el capítulo 7 sobre el último
teorema de Fermat encontramos algunos de los objetos más maravillosos en todas
las matemáticas, las curvas elípticas. Mordell hizo lo que en ese momento era
básicamente una conjetura aventurada, y supuso que el número de soluciones
racionales de una ecuación algebraica en dos variables depende de la topología
de la curva compleja asociada. Si el género es 0 —la curva es topológicamente
una esfera— entonces las soluciones vienen dadas por una fórmula. Si el género
es 1 —la curva es topológicamente un toro, que es equivalente a que sea una
curva elíptica—, entonces todas las soluciones racionales pueden construirse a
partir de una lista finita adecuada aplicando una estructura de grupo natural.
Si el género es 2 o más —la curva es topológicamente un toro g-agujereado
con g ≥ 2—, entonces el número de soluciones es finito. Como
vimos, Faltings demostró este notable teorema en 1983.
La
propiedad más sorprendente de las soluciones racionales de ecuaciones de curva
elíptica es que dichas soluciones forman un grupo, gracias a la construcción
geométrica en la Figura 28 del capítulo 6. La estructura resultante se llama el
grupo de Mordell-Weil de la curva, y a los teóricos de números les gustaría ser
capaces de calcularlo. Eso incluye encontrar un sistema de generadores:
soluciones racionales a partir de las cuales pueden deducirse todas las demás
utilizando repetidamente la operación del grupo. Si eso falla, nos gustaría al
menos calcular algunas de las características básicas del grupo, tales como su
tamaño. Aquí hay muchos detalles que aún no se comprenden. A veces el grupo es
infinito, de modo que lleva a infinitas soluciones racionales; otras veces no
lo es, y el número de soluciones racionales es finito. Sería útil poder decir
cuál es cuál. De hecho, lo que realmente nos gustaría saber es la estructura
abstracta del grupo.
La
demostración de Mordell de que una lista finita genera todas las soluciones nos
dice que el grupo debe estar construido a partir de un grupo finito y un grupo
reticular. Un grupo reticular consiste en todas las listas de enteros de una
longitud finita fija. Si la longitud es tres, por ejemplo, entonces el grupo
consiste en todas las listas (m1, m2, m3)
de enteros, y las listas se suman de la manera obvia:
(m1, m2, m3)
+ (n1, n2, n3)
= (m1 + n1, m2 + n2, m3 + n3)
La
longitud de la lista se llama el rango del grupo (y geométricamente es la
dimensión del retículo). Si el rango es 0, el grupo es finito. Si el rango es
distinto de 0, el grupo es infinito. Así que para decidir cuántas soluciones
hay no necesitamos la estructura completa del grupo. Todo lo que necesitamos es
su rango. Y de eso es de lo que trata la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer.
En los
años sesenta del siglo pasado, cuanto estaban naciendo los ordenadores, la
Universidad de Cambridge tenía uno de los primeros, llamado EDSAC. Estas son
las iniciales de Electronic Delay Storage Automatic Calculator (Calculator
Automático de Almacenamiento Electrónico Diferido), y muestra lo orgullosos que
estaban sus inventores por su sistema de memoria, que enviaba ondas sonoras a
lo largo de tubos de mercurio y las redirigía de vuelta al principio. Tenía el
tamaño de un camión grande, y recuerdo vívidamente cuando fue mostrado en 1963.
Sus circuitos se basaban en miles de válvulas o tubos de vacío. Había enormes
estantes a lo largo de las paredes con recambios para ser insertados cuando
explotaba un tubo en la máquina, lo que sucedía muy a menudo.
Peter
Swinnerton-Dyer estaba interesado en el lado diofántico de las curvas
elípticas, y en particular quería entender cuántas soluciones habría si se
reemplazara la curva por su análoga en un campo finito con un número
primo p de elementos. Es decir, él quería estudiar el truco de
Gauss de trabajar «módulo p». Utilizó el ordenador para calcular
estos números para montones de primos y buscó pautas interesantes.
He aquí
lo que él empezó a sospechar. Su supervisor, John William Scout («Ian»)
Cassels, era muy escéptico al principio, pero a medida que llegaban más y más
datos empezó a creer en que podría haber algo en la idea. Lo que los
experimentos en ordenador de Swinnerton-Dyer sugerían era esto. Los teóricos de
números tienen un método estándar que reinterpreta cualquier ecuación en
enteros ordinarios en términos de enteros con algún módulo —recordemos la
«aritmética de reloj» con módulo 12 en el capítulo 2—. Puesto que las reglas
del álgebra se aplican en esta versión de la aritmética, cualquier solución de
la ecuación original se convierte en una solución de la ecuación «reducida» con
ese módulo. Puesto que los números implicados forman una lista finita —solo doce
números en el caso de la aritmética de reloj, por ejemplo— se pueden encontrar
todas las soluciones por ensayo y error. En particular, se pueden contar
cuántas soluciones hay para cualquier módulo dado. Las soluciones con cualquier
módulo también imponen condiciones sobre las soluciones enteras originales, y a
veces pueden incluso demostrar que existen tales soluciones. Por eso, entre los
teóricos de números existe el reflejo de reducir ecuaciones utilizando varios
módulos, y los primos son una elección especialmente útil.
Por ello,
para descubrir algo sobre una curva elíptica se pueden considerar todos los
primos hasta un límite específico. Para cada primo se puede encontrar cuántos
puntos se encuentran sobre la curva, módulo dicho primo. Birch advirtió que los
experimentos en ordenador de Swinnerton-Dyer producen una pauta interesante si
se divide el número de tales puntos por el primo en cuestión. Luego se
multiplican todos estos factores, para todos los primos menores o iguales que
uno dado, y se representan los resultados frente a primos sucesivos en papel
logarítmico. Todos los datos parecen estar próximos a una línea recta cuya
pendiente es el rango de la curva elíptica. Esto llevó a una fórmula
conjeturada para el número de soluciones asociadas a cualquier módulo primo[83].
No
obstante, la fórmula no procede de la teoría de números: implica análisis
complejo, el preferido del siglo XIX, que por algún milagro es mucho más
elegante que el ya anticuado análisis real. En el capítulo 9 sobre la hipótesis
de Riemann vimos cómo el análisis saca tentáculos en todas direcciones, que en
particular tienen conexiones sorprendentes y poderosas con la teoría de
números. La fórmula de Swinnerton-Dyer llevó a una conjetura más detallada
sobre un tipo de función compleja que mencioné en el capítulo 9, llamada
L-función de Dirichlet. Esta función es análoga, para las curvas elípticas, a
la famosa función zeta de Riemann. Decididamente los dos matemáticos estaban
tirando la casa por la ventana, porque en esa época no se sabía con seguridad
que todas las curvas elípticas tuvieran L-funciones de
Dirichlet. Era una conjetura aventurada con muy pocas pruebas a su favor. Pero
conforme crecía el conocimiento del área, llegó a parecer cada vez más
inspirada. No era un salto aventurado a lo desconocido: era un golpe de
intuición matemática maravillosamente acertado y de gran alcance. En lugar de
ponerse a hombros de gigantes, Birch y Swinnerton-Dyer se habían puesto sobre
sus propios hombros —gigantes que podían cernirse en medio del aire.
Una
herramienta básica en análisis complejo es expresar una función utilizando una
serie de potencias, similar a un polinomio pero con infinitos términos, que
utiliza potencias cada vez mayores de la variable, que en esta área es
tradicional llamarla s. Para descubrir lo que hace una función
cerca de un punto concreto, digamos 1, se utilizan potencias de (s -
1). La conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer afirma que si el desarrollo en serie
de potencias cerca de 1 de una L-función de Dirichlet se parece a
L(C, s)
= c(s - 1)r + términos de orden
superior
donde c es
una constante distinta de cero, entonces el rango de la curva es r,
y al revés. En el lenguaje del análisis complejo, esta afirmación toma la forma
«L(C, s) tiene un cero de orden r en s =
1».
El punto
crucial aquí no es la expresión precisa requerida: es que dada cualquier curva
elíptica, existe un cálculo analítico, que utiliza una función compleja
relacionada, que nos dice de forma precisa cuántas soluciones racionales
independientes tenemos que encontrar para especificarlas a todas.
Quizá la
manera más sencilla de demostrar que la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer
tiene contenido genuino es observar que el mayor rango conocido es 28. Es
decir, existe una curva elíptica que tiene un conjunto de 28 soluciones
racionales a partir de las cuales pueden deducirse todas las soluciones
racionales. Además, ningún conjunto menor de soluciones racionales lo hace.
Aunque se sabe que existen curvas de este rango, no se ha encontrado ningún
ejemplo explícito. El mayor rango conocido para un ejemplo explícito es 18. La
curva, encontrada por Noam Elkies en 2006 es.
Tal como
está no es de la forma estándar «y2 = cúbica en χ»,
pero puede ponerse en dicha forma a expensas de hacer los números aún mayores.
Se cree que el rango puede ser arbitrariamente grande, pero no se ha
demostrado. Por lo que sabemos, el rango nunca puede superar un tamaño fijado.
Buena
parte de lo que podemos demostrar concierne a curvas de rango 0 o 1. Cuando el
rango es 0, hay un número finito de soluciones racionales. Cuando es 1,
entonces una solución concreta lleva a casi todas las demás, con quizá un
número finito de excepciones. Estos dos casos incluyen todas las curvas
elípticas de la forma y2 = χ3 + px cuando p es
un primo de la forma 8k + 5 (tal como 13, 29, 37, y así
sucesivamente). Se ha conjeturado que en estos casos el rango es siempre 1, lo
que implica que hay infinitas soluciones racionales. Andrew Bremner y Cassels
han demostrado que esto es cierto para todos estos primos hasta 100. Puede ser
complicado encontrar soluciones que lleven a casi todas las demás, incluso
cuando el rango es conocido y pequeño. Ellos encuentran que cuando p =
877 la solución más simple de este tipo es el número racional
Se han
demostrado muchos teoremas relacionados con la conjetura de
Birch-Swinnerton-Dyer, por lo general con hipótesis muy técnicas, pero los
avances hacia una solución han sido relativamente escasos. En 1976 Coates y
Wiles encontraron el primer indicio de que la conjetura podría ser cierta.
Demostraron que un tipo especial de curva elíptica tiene rango 0 si la
L-función de Dirichlet no se anula en 1. Para una curva elíptica semejante, el
número de soluciones racionales de la ecuación diofántica es finito, quizá
cero, y eso se puede deducir de la correspondiente L-función. Desde entonces ha
habido algunos avances técnicos, aunque básicamente limitados a rangos 0 y 1.
En 1990 Victor Kolyvagin demostró que la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer es
cierta para rangos 0 y 1.
Conjeturas
más detalladas, con mucho apoyo de ordenador, relacionan la constante c en
la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer con varios conceptos en teoría de
números. Hay análogos —igualmente enigmáticos— para campos de números
algebraicos. También se sabe, en un sentido preciso, que la mayoría de las
curvas elípticas tienen rango 0 o 1. En 2010 Manjul Bhargava y Arul Shankar
anunciaron que habían demostrado que el rango promedio de una curva elíptica es
a lo sumo 7/6. Si este y unos pocos más teoremas recientemente anunciados
superan el escrutinio, la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer es cierta para una
proporción no nula de todas las curvas elípticas. Sin embargo, son las más
simples y no representan en realidad a las curvas con una estructura más rica:
rango 2 o más. Estas son un misterio casi total.
Capítulo
15
Ciclos complejos
La conjetura de Hodge
Algunas
áreas de las matemáticas pueden estar relacionadas, de forma bastante directa,
con sucesos e intereses cotidianos. No encontramos la ecuación de Navier-Stokes
en nuestra cocina, pero todos entendemos lo que son los fluidos y tenemos una
idea de cómo fluyen. Otras áreas pueden estar relacionadas con cuestiones
esotéricas en la frontera de la ciencia: puede necesitarse un doctorado en
física matemática para entender la teoría cuántica de campos, pero las
analogías con la electricidad y el magnetismo, o imágenes intuitivas como «onda
de probabilidad», llegan muy lejos. Algunas ideas pueden explicarse utilizando
imágenes: la conjetura de Poincaré es un buen ejemplo. Pero otras desafían
todos estos métodos de hacer accesibles conceptos abstractos difíciles.
La
conjetura de Hodge, enunciada por el geómetra escocés William Hodge en 1950, es
una de ellas. No es la demostración lo que plantea problemas, porque no la hay.
Lo que causa problemas es el enunciado. He aquí el que figura en la página web
del Instituto Clay, en una forma ligeramente modificada:
Sobre
cualquier variedad algebraica compleja proyectiva y no singular, cualquier
clase de Hodge es una combinación lineal racional de clases de ciclos
algebraicos.
Evidentemente
tenemos trabajo por hacer. Las únicas palabras que tienen un sentido inmediato
son «sobre, cualquiera, es, una» y «de». Otras son familiares: «variedad,
clase, racional, ciclo». Pero las imágenes que evocan —elección en el
supermercado, un aula con niños en la escuela, pensamiento no visceral, un
dispositivo con ruedas y manillar— no son obviamente los significados que el
Instituto Clay tiene en mente. El resto es, sin duda, propio de una jerga. Pero
no es una jerga gratuita, con nombres complicados para cosas sencillas. Son
nombres sencillos para cosas complicadas. No hay nombres ya disponibles para
tales conceptos en el lenguaje ordinario, de modo que tomamos prestados algunos
e inventamos otros.
Mirando
el lado positivo, tenemos aquí una oportunidad real (como en «muchacho, tenemos
oportunidades»). La conjetura de Hodge es presumiblemente más representativa de
las matemáticas reales, las que hacen los matemáticos de los siglos XX y XXI,
que cualquier otro tema en este libro. Enfocándola de la manera correcta
obtenemos ideas valiosas sobre lo conceptualmente avanzada que es en realidad
la frontera de las matemáticas. Comparada con las matemáticas de la escuela, es
como el monte Everest frente a un grano de arena.
Entonces,
¿es simplemente un absurdo vano y pretencioso que se lleva a cabo en torres de
marfil? Si ninguna persona ordinaria puede entender de qué se trata, ¿por qué
alguien debería dedicar dinero de los impuestos a emplear a las personas que
piensan en estas cosas? Permítame darle la vuelta. Supongamos que cualquier
persona pudiera entender todo en lo que piensan los
matemáticos. ¿Sería usted feliz entonces pagando impuestos? ¿Hay que pagarles
por sus conocimientos? Si todo fuera tan fácil y comprensible que tuviera un
sentido inmediato para cualquier persona a la que preguntáramos al azar en la
calle, ¿para qué tener matemáticos? Si todo el mundo supiera cómo manejar un
soplete y soldar una juntura, ¿para qué tener fontaneros?
Yo no
puedo mostrarle ninguna aplicación espectacular que se base en la conjetura de
Hodge, pero puedo explicar su importancia dentro de las matemáticas. Las
matemáticas modernas son un todo unificado, de modo que cualquier avance
importante, en cualquier área nuclear, mostrará con el tiempo su valor en
términos de euros y céntimos. Quizá no la encontremos hoy en nuestra cocina,
pero mañana ¿quién sabe? Conceptos matemáticos íntimamente relacionados ya
están mostrando su valor en varias áreas de la ciencia, que van desde la física
cuántica y la teoría de cuerdas hasta los robots.
A veces
las aplicaciones prácticas de nuevas matemáticas aparecen casi al instante.
Otras veces tardan siglos. En este último caso, podría parecer más rentable
esperar hasta que surja la necesidad de tales resultados y luego instaurar un
programa de choque para desarrollarlos. Todos los problemas matemáticos que no
tienen usos obvios e inmediatos deberían ser relegados a segundo plano hasta
que los tengan. Sin embargo, si así lo hiciéramos iríamos siempre a remolque,
pues las matemáticas pasaron algunos cientos de años persiguiendo las
necesidades de la ciencia aplicada. Y podría no estar nada claro qué idea
necesitamos. ¿Estaría usted contento si nadie empezara a pensar en cómo hacer
ladrillos hasta que usted contratara a un constructor para empezar a trabajar
en una casa? Cuanto más original es un concepto matemático, menos probable es
que saliera de un programa de choque.
Una mejor
estrategia es dejar que algunas partes de las matemáticas se desarrollen según
sus propias líneas y no esperar un rendimiento inmediato. No tratemos de
seleccionar; permitamos que el edificio matemático crezca de forma orgánica.
Los matemáticos son baratos: no necesitan un equipamiento costoso como los
físicos de partículas (Gran Colisionador de Hadrones: 7500 millones de euros y
contando). Se ganan la vida enseñando a estudiantes. Permitir que algunos de
ellos dediquen parte de su tiempo a la conjetura de Hodge, si eso es lo que les
gusta, es bastante razonable.
Voy a
desmenuzar el enunciado de la conjetura de Hodge, palabra por palabra. El
concepto más fácil es «variedad algebraica». Una consecuencia natural del uso
de coordenadas por parte de Descartes es vincular la geometría y el álgebra
(véase capítulo 3). Con su ayuda, el minúsculo juego de herramientas
introducido por Euclides y sus sucesores —línea recta, círculo, elipse,
parábola, hipérbola— se convirtió en un baúl sin fondo. Una línea recta, la
base de la geometría euclídea, es el conjunto de puntos que satisfacen una
ecuación algebraica apropiada, por ejemplo y = 3χ +
1. Cambiemos 3 y 1 por otros números, y obtenemos otras rectas. Los círculos
necesitan ecuaciones cuadráticas, como lo hacen las elipses, parábolas e
hipérbolas. En principio, cualquier cosa que se pueda enunciar geométricamente
puede reformularse de manera algebraica, y al revés. Entonces, ¿las coordenadas
hacen obsoleta la geometría? ¿Por qué utilizar dos herramientas cuando cada una
de ellas hace el mismo trabajo que la otra?
En mi
caja de herramientas en el garaje tengo un martillo y unas tenazas grandes. El
trabajo del martillo es clavar clavos en la madera, el trabajo de las tenazas
es volverlos a sacar. En principio, sin embargo, yo podría golpear los clavos
utilizando las tenazas, y el martillo tiene una garra específicamente diseñada
para extraer clavos. Entonces, ¿para que necesito las dos herramientas? Porque
el martillo es mejor para algunas cosas y las tenazas son mejores para otras.
Lo mismo pasa con la geometría y el álgebra: algunas maneras de pensar son más
naturales utilizando la geometría, otras son más naturales utilizando el
álgebra. Es el vínculo entre ellas lo que importa. Si el pensamiento geométrico
se atasca, se pasa al álgebra. Si el pensamiento algebraico se atasca, se pasa
a la geometría.
La
geometría de coordenadas proporciona una nueva libertad para inventar curvas.
Simplemente se escribe una ecuación y se miran sus soluciones. A menos que
hayamos escogido una ecuación estúpida como x = x, deberíamos
obtener una curva. (La ecuación x = x tiene todo el plano como
solución). Por ejemplo, yo podría escribir χ3 + y3 =
3xy, cuyas soluciones están dibujadas en la Figura 45. Esta curva es el
folio de Descartes, y no la encontraremos en Euclides. El abanico de nuevas
curvas que cualquiera puede inventar es literalmente infinito.
Figura 45. El folio de Descartes.
Un
comportamiento reflejo entre matemáticos es generalizar. Una vez que alguien ha
encontrado una idea interesante, podemos preguntar si sucede algo similar en un
contexto más general. La idea de Descartes tiene al menos tres generalizaciones
o modificaciones importantes, todas las cuales son necesarias para dar sentido
a la conjetura de Hodge.
Primero,
¿qué sucede si trabajamos con espacios distintos del plano? El espacio euclídeo
tridimensional tiene tres coordenadas (x, y, z) en lugar de dos. En el
espacio, una ecuación define normalmente una superficie. Dos ecuaciones definen
una curva, en donde se cruzan las correspondientes superficies. Tres ecuaciones
determinan normalmente un punto. (Por «normalmente» quiero decir que a veces
puede haber excepciones, pero estas son muy poco habituales y satisfacen
condiciones especiales. Vimos algo similar en el plano con la tonta
ecuación x = x).
Una vez
más, podemos definir nuevas superficies o curvas, que no se encuentran en
Euclides, escribiendo nuevas ecuaciones. En el siglo XIX se puso de moda hacer
eso. Uno podía hacer pública una nueva superficie si decía algo verdaderamente
interesante sobre ella. Un ejemplo típico es el de una superficie introducida
por Kummer en 1864, con la ecuación
χ4 + y4 + z4 - y2z2 - z2χ2 - χ2y2 - χ2 - y2 - z2 +
1 = 0
La Figura
46 muestra una imagen. Las propiedades de mayor interés son los 16 «puntos
dobles» en donde la forma es como dos conos unidos punta con punta. Este es el
máximo número posible para una superficie cuártica, cuya ecuación es de grado
4, y eso era suficientemente interesante para merecer su publicación.
Figura 46. Superficie cuártica de Kummer con sus 16 puntos dobles. ©
University College, Cork, Irlanda.
Para el
siglo XIX los matemáticos habían experimentado los embriagadores deleites de
los espacios de dimensiones más altas. No hay necesidad de pararse en tres
coordenadas; ¿por qué no ensayar cuatro, cinco, seis…, un millón? Esto no es
especulación ociosa. Es el álgebra de montones de ecuaciones en montones de
variables, y esas se manifiestan en todo el paisaje matemático; por ejemplo, en
el capítulo 5 sobre la conjetura de Kepler, y en el capítulo 8 sobre mecánica
celeste. Tampoco era generalización ociosa: ser capaces de pensar estas cosas
geométricamente, tanto como algebraicamente, es una herramienta poderosa que no
debería estar restringida a espacios de dos o tres dimensiones, solo porque es
en ellos donde se pueden dibujar imágenes y hacer modelos.
La
palabra «dimensión» puede sonar impresionante y mística, pero en este contexto
tiene un significado directo: cuántas coordenadas se necesitan. Por ejemplo, el
espacio 4-dimensional tiene cuatro coordenadas (x, y, z, w), y por lo
que concierne a las matemáticas, eso lo define. En cuatro dimensiones una sola
ecuación define normalmente una «hipersuperficie» tridimensional, dos
ecuaciones definen una superficie (dos dimensiones), tres ecuaciones definen
una curva (una dimensión) y cuatro ecuaciones definen un punto (cero
dimensiones). Cada nueva ecuación elimina una dimensión (una variable). Por eso
podemos predecir que en el espacio de 17 dimensiones, once ecuaciones definen
un objeto 6-dimensional, excepto en los raros (y detectables) casos en donde
algunas de las ecuaciones son superfluas.
Un objeto
definido de esta manera se llama variedad algebraica. La palabra «variedad»
aparece en lenguas como el francés y el español, y tiene un significado similar
a «manifold» en inglés: básicamente, la palabra «many» (muchos). Por razones
perdidas en las nieblas de la historia, «manifold» se asoció con la topología y
la geometría diferencial —topología combinada con cálculo infinitesimal—
mientras que «variedad» quedó asociada a la geometría algebraica[84].
Utilizar nombres diferentes evita la confusión, de modo que ambos cuajaron. Una
variedad algebraica podría haberse llamado un «espacio multidimensional
definido por un sistema de ecuaciones algebraicas», pero es fácil ver por qué
nadie lo hizo[iv].
Una
segunda manera atractiva de generalizar las nociones de geometría de
coordenadas es permitir que las coordenadas sean números complejos. Recordemos
que el sistema de los números complejos incluye un nuevo tipo de número, i,
cuyo cuadrado es -1. ¿Por qué complicarlo todo de esa manera? Porque las
ecuaciones algebraicas se comportan mucho mejor en el campo complejo. En el
campo real una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones o ninguna.
(También puede tener solo una, pero en cierto sentido es la misma solución que
aparece dos veces). En el campo complejo una ecuación cuadrática tiene siempre
dos soluciones (de nuevo contando las multiplicidades correctamente). Para
algunos fines, esta es una propiedad mucho más agradable. Podemos decir
«resolver la ecuación para la séptima variable» y tener la seguridad de que tal
solución existe realmente.
Por
agradable que pueda ser a este respecto, la geometría algebraica compleja tiene
características que hacen necesario un tiempo para habituarse a ella. Con
variables reales, una recta puede cortar a un círculo, o ser tangente al mismo,
o no cortarlo en absoluto. Con variables complejas, la tercera opción
desaparece. No obstante, una vez que uno se ha acostumbrado a estos cambios,
las variedades algebraicas complejas se comportan mucho mejor que las reales. A
veces las variables reales son esenciales, pero para la mayoría de los fines el
campo complejo es una mejor elección. En cualquier caso, ahora sabemos qué es
una variedad algebraica compleja.
¿Qué pasa
con «proyectiva»? Esta es la tercera generalización y requiere una noción de
espacio ligeramente diferente. La geometría proyectiva surgió del interés en la
perspectiva por parte de los pintores del Renacimiento y elimina el
comportamiento excepcional de las rectas paralelas. En la geometría de Euclides
dos rectas o bien se cortan o bien son paralelas: no se encuentran por mucho
que se prolonguen. Imagínese ahora situado en un plano infinito, pincel en
mano, caballete montado, caja de pinturas preparada, con un par de rectas
paralelas que apuntan hacia la lejana puesta de sol como vías de tren
infinitamente largas. ¿Qué es lo que usted ve, y qué dibujaría? No dos líneas
que no se encuentran. En su lugar, las líneas parecen converger para encontrarse
en el horizonte.
¿A qué
parte del plano corresponde el horizonte? Es la parte en donde se encuentran
las paralelas. Pero no hay tal cosa. El horizonte es la frontera, en su cuadro,
de la imagen del plano. Si todo va bien, eso debería ser sin duda la imagen de
la frontera del plano. Pero un plano no tiene frontera; continúa
indefinidamente. Todo esto es un poco lioso. Es como si faltara una parte del
plano euclídeo. Si se «proyecta» un plano (el plano con las vías de tren) sobre
otro plano (el lienzo en el caballete) se obtiene una línea en la imagen, el
horizonte, que no es la proyección de ninguna línea en el plano.
Hay una
manera de deshacerse de esta intrigante anomalía: añadir al plano euclídeo una
denominada recta en el infinito que representa el horizonte que falta. Ahora
todo se hace mucho más sencillo. Dos líneas siempre se cortan en un punto; la
vieja noción de líneas paralelas corresponde al caso en que las dos líneas se
encuentran en el infinito. Esta idea, adecuadamente interpretada, puede
convertirse en matemáticas perfectamente razonables. El resultado se llama
geometría proyectiva. Es una disciplina muy elegante, y los matemáticos de los
siglos XVIII y XIX la amaban. Con el tiempo agotó lo que tenía que decir, hasta
que los matemáticos del siglo XX decidieron generalizar la geometría algebraica
a espacios multidimensionales y utilizar números complejos. En ese momento se
hizo claro que también podríamos tirar la casa por la ventana y estudiar
soluciones complejas de ecuaciones algebraicas en el espacio proyectivo antes
que soluciones reales en el espacio euclídeo.
Permítame
resumir. Una variedad algebraica compleja proyectiva es como una curva,
definida por una ecuación algebraica, pero:
·
El número de ecuaciones y variables puede ser
cualquiera que queramos (variedad algebraica).
·
Las variables pueden ser complejas en lugar de
reales (compleja).
·
Las variables pueden tomar valores infinitos en una
forma razonable (proyectiva).
Para
concluir con esto, hay otro término con el que se puede tratar fácilmente: no
singular. Significa que la variedad es suave, sin cordilleras abruptas o
lugares donde la forma es más complicada que una región suave de espacio. La
superficie de Kummer es singular en esos 16 puntos dobles. Por supuesto,
tenemos que explicar qué significa «suave» cuando las variables son complejas y
algunas pueden valer infinito, pero eso es una técnica rutinaria.
Estamos
casi a mitad de camino en el enunciado de la conjetura de Hodge. Sabemos de qué
estamos hablando, pero no sabemos cómo pensaba Hodge que debía de comportarse.
Ahora tenemos que abordar los aspectos más profundos y más técnicos: ciclos
algebraicos, clases, y (especialmente) clases de Hodge. Sin embargo, puedo
revelar su esencia en pocas palabras. Son artificios técnicos que proporcionan
una respuesta parcial a una pregunta muy básica sobre nuestra superficie
generalizada: ¿qué forma tiene? Los únicos términos restantes,
«combinación lineal racional», proporcionan lo que todo el mundo espera que sea
la respuesta correcta a esa pregunta.
Veamos
hasta dónde hemos llegado. Ya entendemos qué tipo de enunciado es la conjetura
de Hodge. Nos dice que dada una superficie generalizada definida por ciertas
ecuaciones, se puede calcular qué forma tiene haciendo algo de álgebra con
cosas llamadas ciclos. Yo podría haberlo dicho en la primera página de este
capítulo, pero en esa etapa no habría tenido más sentido que el enunciado
formal. Ahora que sabemos lo que es una variedad, todo empieza a encajar.
También
empieza a sonar a topología. «Encontrar la forma haciendo cálculos algebraicos»
recuerda sorprendentemente las ideas de Poincaré sobre invariantes algebraicos
para espacios topológicos. Así que el último paso requiere una discusión de la
topología algebraica. Entre los descubrimientos de Poincaré había tres tipos
importantes de invariantes, definidos en términos de tres conceptos: homotopía,
homología y cohomología. El que nos interesa es la cohomología, que, por
supuesto, por si no lo supiera, es el más difícil de explicar.
Pienso
que simplemente tenemos que saltarlo.
En el
espacio tridimensional con coordenadas reales, una esfera y un plano se cortan
(si es que lo hacen) en un círculo. La esfera es una variedad (omitiré el
adjetivo «algebraica» cuando hablemos de variedades), el círculo es una
variedad, y el círculo está contenido en la esfera. Le llamamos una subvariedad.
Con más generalidad, si tomamos las ecuaciones (muchas variables, complejas,
proyectivas) que definen una variedad, y añadimos otras ecuaciones, entonces
normalmente perdemos algunas de las soluciones: aquellas que no satisfacen las
nuevas ecuaciones. Cuantas más ecuaciones tengamos, menor se hace la variedad.
El sistema de ecuaciones ampliado define alguna parte de la variedad original,
y esta parte es una variedad por sí misma: una subvariedad.
Cuando
contamos el número de soluciones de una ecuación polinómica puede ser
conveniente contar el mismo punto más de una vez. Desde esta perspectiva, el
conjunto de soluciones consiste en un número de puntos a cada uno de los cuales
«asociamos» un número, su multiplicidad. Podríamos, por ejemplo, tener las
soluciones 0, 1 y 2 con multiplicidades 3, 7 y 4, respectivamente. El polinomio
sería entonces χ3(x - 1)7 (x -
2)4, si quiere saberlo. Cada uno de los tres puntos χ =
0, 1 o 2 es una subvariedad (bastante trivial) de los números complejos. De
modo que las soluciones de este polinomio pueden describirse como una lista de
tres subvariedades, con un número entero asociado a cada una como una etiqueta.
Un ciclo
algebraico es similar. En lugar de puntos simples utilizamos cualquier lista
finita de subvariedades. A cada una de ellas podemos asignar una etiqueta
numérica que no tiene por qué ser un número natural. Podría ser un entero
negativo, podría ser un número racional, podría ser real e incluso un número
complejo. Por varias razones, la conjetura de Hodge utiliza números racionales
como etiquetas. A esto es a lo que se refiere «combinación lineal racional».
Así, por ejemplo, nuestra variedad original podría ser la esfera unidad en un
espacio 11-dimensional, y esta lista podría tener este aspecto:
Una
hiperesfera 7-dimensional (con ecuaciones tales y cuales) con etiqueta 22/7.
Un toro
(con ecuaciones tales y cuales) con etiqueta -4/5.
Una curva
(con ecuaciones tales y cuales) con etiqueta 413/6.
No trate
de representarlo, o si lo hace, piense como un dibujante de comics: tres globos
garabateados con pequeñas etiquetas. Cada uno de estos dibujos, cada lista,
constituye un ciclo algebraico.
¿Por qué
tanto revuelo y molestia para inventar algo tan abstracto? Porque capta
aspectos esenciales de la variedad algebraica original. Los geómetras
algebraicos están tomando prestado un truco de los topólogos.
En el
capítulo 10 sobre la conjetura de Poincaré consideramos una hormiga cuyo
universo es una superficie. ¿Cómo puede la hormiga calcular qué forma tiene su
universo cuando no puede salir fuera y echar una mirada? En particular, ¿cómo
puede distinguir una esfera de un toro? La solución presentada allí implicaba
lazos cerrados, trayectos de autobús topológicos. La hormiga sigue estos lazos,
descubre lo que sucede cuando se unen y calcula un invariante algebraico del
espacio llamado grupo fundamental. «Invariante» significa que espacios
topológicamente equivalentes tienen el mismo grupo fundamental. Si los grupos
son diferentes, también lo son los espacios. Este es el invariante que llevó a
Poincaré a su conjetura. Sin embargo, no es fácil para la pobre hormiga
examinar todos los lazos posibles en su universo, y este comentario refleja
genuinas sutilezas matemáticas en el cálculo del grupo fundamental. Existe un
invariante más práctico, y Poincaré también lo investigó. Deambular por lazos
se llama homotopía. Esta alternativa tiene un nombre parecido: homología.
Voy a
mostrarle la versión más simple y más concreta de homología. Los topólogos
mejoraron rápidamente esta versión, la agilizaron, la generalizaron y la
transformaron en una enorme máquina matemática llamada álgebra homológica. Esta
versión simple da una idea más escueta de cómo es el tema, pero es todo lo que
necesitamos.
La
hormiga empieza inspeccionando su universo para hacer un mapa. Como un
topógrafo humano, cubre su universo con una red de triángulos. La condición
crucial es que ningún triángulo debería rodear a un agujero en la superficie, y
la manera de asegurarlo es crear los triángulos pegando parches de goma en la
superficie, como alguien que repara un pinchazo en una rueda de bicicleta.
Entonces cada triángulo tiene un interior bien definido que es topológicamente
igual al interior de un triángulo ordinario en el plano. Los topólogos llaman a
un parche semejante un disco topológico, porque también es equivalente a un
círculo y su interior. Para ver por qué, examinemos la Figura 36 del capítulo
10, donde un triángulo es deformado de forma continua hasta que se hace un
círculo. No es posible ajustar un parche de este tipo a un triángulo que rodea
a un agujero, porque el agujero crea un túnel que enlaza el interior del
triángulo con su exterior. El parche tendría que dejar la superficie, y a la
hormiga no se le permite hacer eso.
Ahora la
hormiga ha creado una triangulación de su universo. La
condición sobre los parches asegura que la topología de la superficie —su
forma, en el sentido de equivalencia topológica— puede reconstruirse si todo lo
que se conoce es la lista de triángulos, junto con qué triángulos son adyacentes
a cuáles otros. Si fuéramos a Ikea y compráramos un Universo de Hormiga
ensamblable con triángulos adecuadamente etiquetados y luego uniéramos el borde
A con el borde AA, el borde B con el borde BB, y así sucesivamente, podríamos
construir la superficie. La hormiga está confinada en la superficie, de modo
que no puede hacer un modelo, pero puede estar segura de que en principio su
mapa contiene la información que necesita. Para extraer dicha información tiene
que realizar un cálculo. Cuando lo hace, la hormiga ya no tiene que contemplar
la infinitud de todos los lazos posibles, pero tiene que contemplar una gran
cantidad de ellos: todos los lazos cerrados que recorren los bordes de su red
elegida.
En
homotopía preguntamos si un lazo dado puede contraerse de forma continua hasta
un punto. En homología hacemos una pregunta diferente: ¿forma el lazo la
frontera de un disco topológico? Es decir, ¿se pueden ajustar uno o más parches
triangulares de modo que el resultado sea una región sin agujeros y la frontera
de dicha región sea el lazo concernido?
La Figura
47 (izquierda) muestra parte de una triangulación de una esfera, un lazo
cerrado y el disco topológico del cual es frontera. Con las técnicas correctas
puede demostrarse que cualquier lazo en una triangulación de
una esfera es una frontera: los parches triangulares y, más en general, los
discos topológicos, son detectores de agujeros, e intuitivamente una esfera no
tiene agujeros. Sin embargo, un toro sí tiene un agujero, y de hecho algunos
lazos en un toro no son fronteras. La Figura 47 (derecha) muestra un
lazo semejante, que atraviesa el agujero central. En otras palabras:
recorriendo una lista de lazos y descubriendo cuáles de ellos son fronteras, la
hormiga puede distinguir un universo esférico de un universo toroidal.
Si la
hormiga es tan inteligente como Poincaré y los demás topólogos de su tiempo,
puede transformar esta idea en un elegante invariante topológico, el grupo de
homología de su superficie. La idea básica es «sumar» dos lazos dibujando
ambos. Sin embargo, eso no es un lazo, de modo que tenemos que volver al
principio y empezar de nuevo. Al mismo principio, de hecho; vuelta a los días
en que nos introdujimos por primera vez en el álgebra. Mi profesor de
matemáticas empezaba señalando que se puede sumar un número de manzanas a un
número de manzanas y obtener un número total de manzanas. Pero no se pueden
sumar manzanas y naranjas a menos que se cuente todo como una fruta.
Figura 47. Izquierda: Parte de una triangulación de una esfera, un lazo
cerrado (líneas negras), y el disco del que es frontera (sombreado oscuro).
Derecha: Lazo en un toro que no es la frontera de un disco (la parte más clara
está detrás).
Esto es
cierto en aritmética, incluso si allí hay que tener cuidado en no utilizar la
misma manzana dos veces, pero no es cierto en álgebra. Allí se pueden sumar
manzanas con naranjas, aunque se mantengan distintas. De hecho, en matemáticas
avanzadas es un tópico sumar cosas que cabría pensar que nadie en su sano
juicio hubiera inventado, y mucho menos quisiera sumar. La libertad para hacer
cosas de este tipo resulta ser sorprendentemente útil e importante, y los
matemáticos que lo hacían no estaban locos después de todo; al menos, no en ese
aspecto.
Para
entender algunas de las ideas que reúne la conjetura de Hodge tenemos que poder
sumar manzanas y naranjas sin amontonarlas como simples frutas. La manera de
sumarlas no es realmente muy difícil. Lo que es difícil es aceptar que hay un
sentido en hacerlo. Muchos de nosotros ya hemos encontrado una versión de este
potencial obstáculo conceptual. Mi profesor contaba a la clase que las letras
representaban números desconocidos, con diferentes letras para diferentes
incógnitas. Si tuviéramos a manzanas y otras a manzanas,
el número total de manzanas sería a + a = 2a. Y eso
funcionaba cualquiera que pudiera ser el número de manzanas. Si tuviéramos 3a manzanas
y sumáramos 2a manzanas, el resultado sería 5a, cualquiera
que pudiera ser el número de manzanas. El símbolo, y lo que representaba, no
importaba: si tuviéramos 3b naranjas y sumáramos 2b naranjas,
el resultado sería 5b[85]. Pero
¿qué sucedía cuando teníamos 3a manzanas y 2b naranjas?
¿Qué era 3a + 2b?
3a +
2b
Eso era.
No podíamos simplificar la suma y hacerla 5 algos —al menos no sin algunas
manipulaciones que incluían una nueva categoría, fruta, y algunas nuevas
ecuaciones. Eso era lo más que podíamos hacer: vivir con ello. Sin embargo, una
vez que se daba ese paso, se podían hacer sumas como:
(3a +
2b) + (5a - b) = 8a + 4b
sin
introducir ninguna idea nueva. O nuevos tipos de fruta.
Había
algunas reservas. Ya he advertido que si se suma una manzana a una manzana,
solo obtenemos dos manzanas si la segunda manzana es diferente de la primera.
Lo mismo sucede con combinaciones más complicadas de manzanas y naranjas. El
álgebra supone que con el fin de hacer las sumas, todas las manzanas implicadas
son diferentes. De hecho, suele ser razonable hacer esta hipótesis, incluso en
casos donde dos manzanas —o cualquier otra cosa que estemos sumando— podrían
ser en realidad la misma. Una manzana más la misma manzana es una manzana con
multiplicidad dos.
Una vez
que nos acostumbramos a esta idea, podemos utilizarla para cualquier cosa. Un
cerdo más el mismo cerdo es ese cerdo con multiplicidad dos: cerdo + cerdo = 2
cerdo, cualquier cosa que sea cerdo. Un cerdo más una vaca es cerdo + vaca. Un
triángulo más tres círculos es triángulo + 3 círculo. Una superduperesfera más
tres quasimontones hiperelípticos es
superduperesfera
+ 3 cuasimontonhiperelíptico
cualquier
cosa que esa jerga signifique (que, aquí, es nada).
Incluso
podemos permitir números negativos y hablar de tres cerdos menos once vacas: 3
cerdo - 11 vaca. No tengo la menor idea de lo que sean menos once vacas, pero
puedo confiar en que si a eso le sumo seis vacas, he obtenido -5 vacas[86]. Es un
juego formal que se juega con símbolos, y no se necesita ninguna interpretación
más realista, útil o —a menudo— posible. Podríamos admitir números reales: π
cerdos menos √2 vacas. O números complejos. O cualquier tipo de número
fantástico que haya inventado o invente en el futuro cualquier matemático. La
idea puede hacerse algo más respetable si consideramos los números como etiquetas unidas
a los cerdos y las vacas. Ahora π cerdos menos √2 vacas pueden considerarse
como un cerdo etiquetado π junto con una vaca etiquetada √-2. La aritmética se
aplica a las etiquetas, no a los animales.
La
conjetura de Hodge implica una construcción de este tipo, con algunos detalles
extra. En lugar de animales, utiliza curvas, superficies y sus análogas en más
altas dimensiones. Por extraño que pueda parecer, el resultado no es un absurdo
abstracto sino una conexión profunda entre topología, álgebra, geometría y
análisis.
Para
establecer el formalismo de homología queremos sumar lazos, pero no de la
manera en que lo hicimos en el caso del grupo fundamental. En su lugar, lo
hacemos de la manera que me contaba mi profesor. Simplemente escribimos los
lazos y ponemos un signo + entre ellos. Para darle sentido trabajamos no con
lazos únicos sino con conjuntos finitos de ellos. Etiquetamos cada lazo con un
entero que cuenta cuántas veces ocurre. Llamamos un ciclo a
dicho conjunto etiquetado. Ahora la hormiga puede sumar dos ciclos cualesquiera
agrupándolos y sumando las etiquetas correspondientes, y el resultado es otro
ciclo. Quizá debería haber utilizado bicicletas, no autobuses, en mi imagen
para los viajes de la hormiga en el capítulo 10.
Cuando
estábamos construyendo el grupo fundamental, donde la «suma» une lazos extremo
con extremo, había una pega técnica. Sumar el lazo trivial a un lazo no
daba exactamente el mismo lazo, de modo que el lazo cero se
comportaba mal. Sumar un lazo a su inverso no daba exactamente el lazo trivial,
de modo que los inversos no se comportaban correctamente. La vía de escape era
considerar que los lazos son el mismo si uno pudiera deformarse hasta el otro.
En el
caso de la homología, este no es el problema. Hay un ciclo cero (todas las
etiquetas cero), y todo ciclo tiene un inverso (convierte toda etiqueta en su
negativo), de modo que obtenemos un grupo. El problema es que se trata del
grupo equivocado. No nos dice nada sobre la topología del espacio. Para
solucionarlo utilizamos un truco similar, y adoptamos una visión más laxa sobre
qué ciclos deberían contar como cero. La hormiga divide el espacio en parches
triangulares, y la frontera de cada parche es topológicamente bastante trivial:
podemos contraerla hasta un punto empujándola hacia el centro de su parche. De
modo que exigimos que estos ciclos frontera sean equivalentes al ciclo cero. Es
un poco como convertir números ordinarios en aritmética de reloj fingiendo que
el número 12 es irrelevante, de modo que puede hacerse cero. Aquí convertimos
ciclos en homología fingiendo que cualquier ciclo frontera es irrelevante.
Las
consecuencias de este fingimiento son espectaculares. Ahora el álgebra de
ciclos está afectada por la topología del espacio. El grupo de ciclos módulo
fronteras es un útil invariante topológico, el grupo de homología de la
superficie. A primera vista depende de qué triangulación escoja la hormiga,
pero como en el caso de la característica de Euler, diferentes triangulaciones
de la misma superficie llevan al mismo grupo de homología. Así que la hormiga
ha inventado un invariante algebraico que puede distinguir superficies
diferentes. Es un poco enrevesado, pero nunca se obtienen buenos invariantes
sin hacer un trabajo duro en alguna parte del camino. Este es tan efectivo que
puede distinguir no solo la esfera del toro sino también un toro 2-agujereado de
un toro de 5-agujereado, y lo mismo para cualquier otro número de agujeros.
La
homología puede parecer un trabalenguas, pero abrió una rica vena de
invariantes topológicos y se basa en simples ideas geométricas: lazos,
fronteras, agrupar conjuntos, hacer aritmética con etiquetas. Considerando que
la pobre hormiga está confinada en su superficie, es sorprendente que la
criatura pueda descubrir algo importante sobre la forma de su universo solo con
pegar parches triangulares, hacer un mapa y utilizar un poco de álgebra.
Hay una
manera natural de extender la homología a dimensiones más altas. El análogo
3-dimensional de un triángulo es un tetraedro; tiene 4 vértices, 6 aristas, 4
caras triangulares y una única «cara» 3-dimensional, su interior. En general,
en n dimensiones podemos definir un n-simplex
con n + 1 vértices, unidos en pares por todas las aristas
posibles, que a su vez forman triángulos que se ensamblan para crear
tetraedros, y así sucesivamente. Ahora es fácil definir ciclos, fronteras y
homología, y de nuevo podemos construir un grupo sumando (clases de homología
de) ciclos. De hecho, ahora obtenemos toda una serie de grupos: uno para ciclos
0-dimensionales (puntos), otro para ciclos 1-dimensionales (líneas), otro para
ciclos 2-dimensionales (triángulos), y así sucesivamente, hasta la dimensión
del propio espacio. Estos son el 0-ésimo, primero, segundo, y así
sucesivamente, grupos de homología del espacio. Hablando en términos generales,
hacen precisa la noción de agujeros, de varias dimensiones, en el espacio: ¿existen,
cuántos hay y cómo se relacionan entre sí?
Eso,
entonces, es la homología, y es casi lo que necesitamos para entender lo
que dice la conjetura de Hodge. Sin embargo, lo que
necesitamos en realidad es un concepto íntimamente relacionado llamado cohomología.
En 1893 Poincaré advirtió una curiosa coincidencia en la homología de cualquier
variedad: la lista de grupos de homología se lee igual al revés. Para una
variedad de dimensión 5, pongamos por caso, el 0-ésimo grupo de homología es el
mismo que el 5.º, el 1.er grupo de homología es el mismo que el
4.º, y el 2.º grupo de homología es el mismo que el 3.º. Él se dio cuenta de
que esto no podía ser solo una coincidencia y la explicó en términos del dual
de una triangulación, que encontramos en el capítulo 4 en conexión con los
mapas. Este es una segunda triangulación en la que cada triángulo se reemplaza
por un vértice, cada arista entre dos triángulos por una arista que enlaza los
correspondientes nuevos vértices, y cada punto por un triángulo, como en la
Figura 9 del capítulo 4. Nótese cómo la dimensión aparece en orden inverso:
triángulos 2-dimensionales se convierten en puntos 0-dimensionales, y
recíprocamente; aristas 1-dimensionales siguen siendo aristas 1-dimensionales
porque 1 está en el centro.
Resulta
útil distinguir las dos listas, incluso si dan los mismos invariantes. Cuando
se generaliza el sistema entero y se formula en términos abstractos, las
triangulaciones desaparecen y la triangulación dual ya no tiene sentido. Lo que
sobrevive son dos series de invariantes topológicos, llamados grupos de
homología y grupos de cohomología. Todo concepto en homología tiene un dual,
cuyo nombre se forma normalmente añadiendo «co» delante. Así, en lugar de
ciclos tenemos cociclos, y en lugar de que dos ciclos sean homólogos tenemos
dos cociclos que son cohomólogos. Las clases mencionadas en la conjetura de
Hodge son clases de cohomología, y estas son colecciones de cociclos que son
cohomólogos entre sí.
Homología
y cohomología no nos dicen todo lo que nos gustaría saber sobre la forma de un
espacio topológico —distintos espacios pueden tener la misma homología y
cohomología— pero proporcionan mucha información útil y un marco sistemático en
el que calcularla y utilizarla.
Una
variedad algebraica, ya sea real, compleja, proyectiva o no, es un espacio
topológico. Por consiguiente tiene una forma. Para descubrir cosas útiles sobre
la forma, pensamos como topólogos y calculamos los grupos de homología y
cohomología. Pero los ingredientes naturales en geometría algebraica no son
objetos geométricos como triangulaciones y ciclos. Son los objetos que más
fácilmente podemos describir por ecuaciones algebraicas. Volvamos atrás y
examinemos la ecuación para la superficie de Kummer. ¿Cómo se relacionaría con
una triangulación? No hay nada en la fórmula que sugiera triángulos.
Quizá
necesitemos empezar de nuevo. En lugar de triángulos deberíamos utilizar los
bloques constituyentes básicos de las variedades, que son subvariedades
definidas imponiendo ecuaciones extra. Ahora tenemos que redefinir los ciclos:
en lugar de conjuntos de triángulos con etiquetas enteras, utilizamos conjuntos
de subvariedades con cualesquiera etiquetas que mejor sirvan. Por diversas
razones —sobre todo porque la conjetura de Hodge es falsa si utilizamos
etiquetas enteras— los números racionales son la elección razonable. La
pregunta de Hodge se reduce a esto: ¿recoge esta nueva definición de homología
y cohomología todo lo que recoge la definición topológica? Si su conjetura es
cierta, entonces la herramienta del ciclo algebraico es suficientemente aguda
para igualar al cincel cohomológico de la topología. Si es falsa, entonces el
ciclo algebraico es un instrumento romo.
Excepto…
lo siento, he puesto demasiados huevos en el pudin. La conjetura dice que basta
con utilizar un tipo particular de ciclo algebraico, uno que
vive en una clase de Hodge. Para explicarlo necesitamos otro ingrediente en una
ya rica mezcla: el análisis. Uno de los conceptos más importantes en el
análisis es el de una ecuación diferencial, que es una condición sobre los
ritmos a que cambian las variables (véase capítulo 8). Casi toda la física
matemática de los siglos XVIII, XIX y XX modela la naturaleza utilizando
ecuaciones diferenciales, e incluso en el siglo XXI la mayor parte lo hace. En
la década de 1930 esta idea llevó a Hodge a un nuevo cuerpo de técnica, ahora
llamado teoría de Hodge. Se relaciona de forma natural con muchos otros métodos
potentes en el área general del análisis y la topología.
La idea
de Hodge era utilizar una ecuación diferencial para organizar las clases de
cohomología en tipos característicos. Cada pieza tiene estructura extra, que
puede utilizarse con ventaja en problemas topológicos. Las piezas se definen
utilizando una ecuación diferencial que apareció a finales del siglo XVIII, en
especial en el trabajo de Pierre-Simon de Laplace. En consecuencia, se le llama
ecuación de Laplace. La investigación más importante de Laplace era en mecánica
celeste, el movimiento y la forma de los planetas, lunas, cometas y estrellas.
En 1783 estaba trabajando sobre la forma detallada de la Tierra. Para entonces
se sabía que la Tierra no es una esfera perfecta sino que está achatada por los
polos para formar un esferoide oblato, como un balón de playa en el que alguien
está sentado. Pero incluso esa descripción deja escapar algo del detalle fino.
Laplace encontró un método para calcular la forma con cualquier precisión
requerida basado en una magnitud física que representa el campo gravitatorio de
la Tierra: no el campo propiamente dicho sino su potencial gravitatorio. Este
es una medida de la energía contenida en la gravitación, una magnitud numérica
definida en cada punto del espacio. La fuerza de la gravedad actúa en la
dirección que hace que el potencial disminuya al ritmo más rápido, y la
magnitud de la fuerza es el ritmo de disminución.
El
potencial satisface la ecuación de Laplace: a grandes rasgos, esto dice que en
ausencia de materia —es decir, en el vacío— el valor medio del potencial sobre
una esfera muy pequeña es igual a su valor en el centro de la esfera. Es una
especie de democracia: el valor de uno es el promedio de los valores de sus
vecinos. Cualquier solución de la ecuación de Laplace se llama una función
armónica. Tipos especiales de Hodge de clases de cohomología son aquellos que
guardan una relación particular con las funciones armónicas. La teoría de
Hodge, el estudio de estos tipos, abrió una profunda y maravillosa área de las
matemáticas: relaciones entre la topología de un espacio y una ecuación
diferencial especial en dicho espacio.
Así que
ahora lo tenemos. La conjetura de Hodge postula una conexión profunda y
poderosa entre tres de los pilares de las modernas matemáticas: álgebra,
topología y análisis. Tomar cualquier variedad. Para entender su forma
(topología, que lleva a clases de Hodge por vía de ecuaciones diferenciales)
escoger ejemplos especiales de estas (análisis, que lleva a clases de Hodge por
vía de ecuaciones diferenciales). Estos tipos especiales de clases de
cohomología pueden realizarse utilizando subvariedades (álgebra: introducir
algunas ecuaciones extra y examinar ciclos algebraicos). Es decir, para
resolver el problema de topología «¿qué forma tiene esto?» para una variedad,
se convierte la pregunta en análisis y luego se resuelve utilizando álgebra.
¿Por qué
eso es importante? La conjetura de Hodge es una propuesta de añadir dos nuevas
herramientas a la caja de herramientas de la geometría algebraica: invariantes
topológicos y ecuación de Laplace. No es en realidad una conjetura sobre un
teorema matemático: es una conjetura sobre nuevos tipos de herramientas. Si la
conjetura es cierta, esas herramientas adquieren al momento nueva importancia y
potencialmente pueden ser utilizadas para responder a una cadena sin fin de
preguntas. Por supuesto, podría resultar que sea falsa. Eso sería desagradable,
pero es mejor entender las limitaciones de una herramienta que seguir dándose
en los dedos con ella.
Ahora que
apreciamos la naturaleza de la conjetura de Hodge, podemos examinar las pruebas
a su favor. ¿Qué sabemos? Bien poco.
En 1924,
antes de que Hodge hiciera su conjetura, Solomon Lefschetz demostró un teorema
que se reduce a la conjetura de Hodge para la cohomología en dimensión 2 de
cualquier variedad. Con algo de topología algebraica rutinaria esto implica la
conjetura de Hodge para variedades de dimensión 1, 2 y 3. Para variedades de
dimensiones más altas solo se conocen unos pocos casos especiales de la
conjetura de Hodge.
Hodge
enunció originalmente su conjetura en términos de etiquetas enteras. En 1961
Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch demostraron que en dimensiones más altas
esta versión de su conjetura es falsa. Por eso hoy interpretamos la conjetura
de Hodge utilizando etiquetas racionales. A favor de esta versión hay alguna
evidencia alentadora. La prueba más fuerte a su favor es que, sin dar
por hecha la conjetura, se ha demostrado una de sus consecuencias más
profundas, un teorema todavía más técnico conocido como «algebraicidad de
lugares geométricos de Hodge». Eduardo Cattani, Pierre Deligne y Aroldo Kaplan
encontraron dicha demostración en 1995.
Para
finalizar, hay una conjetura atractiva en teoría de números que es análoga a la
conjetura de Hodge. Se denomina conjetura de Tate, por John Tate, y vincula la
geometría algebraica con la teoría de Galois, el círculo de ideas que
demostraban que no hay fórmula algebraica para resolver ecuaciones polinómicas
de grado 5. Su formulación es técnica, e incluye otra versión más de
cohomología. Hay razones independientes para esperar que la conjetura de Tate
pueda ser cierta, pero su estatus está abierto por el momento. Pero al menos
hay un pariente razonable de la conjetura de Hodge, incluso si de momento
parece igualmente intratable.
La
conjetura de Hodge es una de esas enojosas afirmaciones matemáticas para las
que las pruebas a favor o en contra no son muy amplias ni especialmente
convincentes. Sin duda, hay peligro de que la conjetura pueda ser falsa. Quizá
haya una variedad con un millón de dimensiones que refute la conjetura de
Hodge, por razones que se reducen a series de cálculos desestructurados, tan
complicados que nadie podría realizarlos jamás. Si es así, la conjetura de
Hodge podría ser falsa por razones que en realidad carecen de interés
—sencillamente resulta no ser cierta— pero que en la práctica resultan
imposibles de refutar. Conozco a algunos geómetras algebraicos que lo
sospechan. Si es así, ese millón de dólares estará a salvo en un futuro
previsible.
Capítulo
16
¿Qué viene ahora?
Hacer
predicciones es muy difícil, especialmente sobre el futuro[87], como se
supone que han dicho el físico Niels Bohr, ganador del premio Nobel, y el
jugador de béisbol y director de equipo Yogi Berra[88]. Tenga
en cuenta que Berra también dijo: «Nunca dije la mayoría de las cosas que
dije». Supuestamente. Arthur C. Clarke, famoso por su ciencia ficción y por la
película 2001: Una odisea del espacio y sus secuelas, también
era un futurólogo: escribió libros que predecían el futuro de la tecnología y
de la sociedad. Entre las muchas predicciones en su Perfiles del futuro de
1962, figuran:
Comprensión
de los lenguajes de ballenas y delfines para 1970.
Generación
de energía por fusión para 1990.
Detección
de ondas de gravedad para 1990.
Colonización
de planetas para 2000.
Ninguna
de estas ha sucedido todavía. Por otra parte, él sí tuvo algunos aciertos:
Aterrizajes
en planetas para 1980 (aunque quizá él se refiriera a aterrizajes de seres
humanos).
Máquinas
de traducir para 1970 (un poco prematuro, pero ahora existen en Google).
Radio
personal para 1990 (los teléfonos móviles funcionan así).
También
predijo que habría una biblioteca mundial para 2000, y esto puede estar más
cerca de lo que pensábamos hace unos años, porque esta es una de las muchas
funciones de internet. Con la llegada de la computación en la nube, podemos
terminar utilizando todos el mismo ordenador gigante.
Él erró
sobre algunas de las tendencias más importantes, tales como la aparición del
ordenador y la ingeniería genética, aunque lo predijo para 2030. Con este
desigual registro de Clarke como advertencia, sería temerario predecir en
detalle el futuro de los grandes problemas matemáticos. Sin embargo, puedo
hacer algunas conjeturas fundamentadas, con la casi certeza de que la mayoría
de ellas resultarán erróneas.
En la
introducción mencioné la lista de Hilbert en 1900 de 23 grandes problemas. La
mayoría están ahora resueltos, y su valiente grito de guerra «Debemos saber,
sabremos» puede parecer reivindicado. Sin embargo, él dijo también que «en
matemáticas no hay ignorabimus [ignoraremos]» y Kurt Gödel
asestó el golpe de gracia a esta idea con su teorema de incompletitud: algunos
problemas matemáticos pueden no tener solución dentro del marco lógico habitual
de las matemáticas. No es solo que sean imposibles, como cuadrar el círculo:
pueden ser indecidibles, lo que significa que no existe demostración ni existe
refutación. Este podría ser el destino de algunos de los grandes problemas
actualmente no resueltos. Yo me sorprendería si la hipótesis de Riemann fuera
uno de estos, y me asombraría si alguien pudiera demostrar que es indecidible
incluso si lo fuera. Por el contrario, el problema P/NP muy bien podría
resultar indecidible, o satisfacer alguna otra variación técnica sobre el tema
de «no puede hacerse». Tiene ese tipo de… bueno, aroma.
Yo
sospecho que para finales del siglo XXI tendremos demostraciones de la
hipótesis de Riemann, la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer y la hipótesis del
hueco de masa, junto con refutaciones de la conjetura de Hodge y de la
regularidad de las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes en tres
dimensiones. Y espero que P/NP siga sin estar resuelto en 2100, pero sucumba en
algún momento del siglo XXII. Así que seguramente alguien refutará mañana la
hipótesis de Riemann y demostrará que P es diferente de NP la próxima semana.
Estoy en
terreno más seguro con observaciones generales, porque podemos aprender de la
historia. Por eso estoy razonablemente confiado en que para cuando se hayan
resuelto los siete problemas del milenio, muchos de ellos se verán como
curiosidades históricas menores. «Oh, ellos solían pensar que eran importantes,
¿no es verdad?». Esto es lo que sucedió con alguno de los problemas de la lista
de Hilbert. También puedo estar seguro de que en menos de cincuenta años habrán
nacido varias áreas importantes de las matemáticas que no existen hoy. Entonces
se verá que unos pocos ejemplos básicos y algunos teoremas rudimentarios en
dichas áreas existían mucho antes, pero nadie se dio cuenta de que estos
fragmentos aislados eran claves de nuevas áreas profundas e importantes. Esto
es lo que sucedió con la teoría de grupos, el álgebra matricial, los fractales
y el caos. No dudo de que volverá a suceder, porque es una de las maneras
estándar en que se desarrollan las matemáticas.
Estas
nuevas áreas surgirán gracias a dos factores principales. Emergerán de la
estructura interna de las propias matemáticas o serán respuestas a nuevas
preguntas sobre el mundo exterior —a menudo ambos combinados—. Como el proceso
en tres pasos de Poincaré para la solución de problemas —preparación,
incubación e iluminación—, la relación entre las matemáticas y sus aplicaciones
no es una única transición: la ciencia plantea un problema, las matemáticas lo
resuelven, hecho. En su lugar, encontramos una intrincada red de intercambios
de preguntas e ideas a medida que nuevas matemáticas desencadenan más
experimentos u observaciones o teorías, que a su vez motivan nuevas
matemáticas. Y cada nodo de esta red resulta ser, en un examen más cercano, una
red más pequeña del mismo tipo.
Hay más
mundo exterior que lo que solía haber. Hasta tiempos recientes la principal
fuente externa de inspiración para las matemáticas eran las ciencias físicas.
Algunas otras áreas tuvieron su papel: biología y sociología influyeron en el
desarrollo de la probabilidad y la estadística, y la filosofía tuvo un gran
efecto en la lógica matemática. En el futuro veremos crecer las contribuciones
de la biología, la medicina, la computación, las finanzas, la economía, la
sociología y muy posiblemente la política, la industria cinematográfica y el
deporte. Sospecho que algunos de los primeros nuevos grandes problemas vendrán
de la biología, porque ese vínculo está ahora firmemente establecido. Una
tendencia es una explosión en nuestra capacidad de reunir datos biológicos y
bioquímicos; genomas pequeños pueden ahora secuenciarse utilizando un aparato
del tamaño de un lápiz de memoria, basado en tecnología de nanoporos, por
ejemplo. Rápidamente seguirán los grandes genomas utilizando esta tecnología u
otra diferente, mucha de la cual ya existe.
Estos
desarrollos son factores de cambio potenciales, pero necesitamos tener métodos
mejores para entender lo que implican los datos. La biología no trata en
realidad de los datos como tales. Trata de procesos. La evolución es un
proceso, y también lo son la división celular, el crecimiento de un embrión, la
aparición del cáncer, el movimiento de una multitud, el funcionamiento del
cerebro y la dinámica del ecosistema global. La mejor manera que conocemos hoy
día de tomar los ingredientes básicos de un proceso y deducir cómo actúa es las
matemáticas. Por eso habrá grandes problemas de nuevos tipos: cómo se
manifiesta la dinámica en presencia de información organizativa compleja pero
específica (secuencias de ADN); cómo los cambios genéticos conspiran con el
ambiente para guiar la evolución; cómo las reglas para el crecimiento,
división, movilidad, adhesividad y muerte de las células dan su forma a los
organismos en desarrollo; cómo el flujo de electrones y sustancias químicas en
una red de células nerviosas determina lo que puede percibir o cómo actuará.
La
computación es otra fuente de nuevas matemáticas que ya tiene un historial.
Normalmente se considera como una herramienta para hacer matemáticas, pero las
matemáticas son asimismo una herramienta para entender y estructurar las
computaciones. Este intercambio en dos direcciones se está haciendo cada vez
más importante para la salud y desarrollo de ambas áreas, que incluso pueden
fusionarse en algún momento en el futuro. Algunos matemáticos piensan que nunca
se debería haber permitido que se separaran. Entre las muchas tendencias
visibles aquí, la cuestión de enormes conjuntos de datos viene de nuevo a la
mente. No solo se relaciona con el ejemplo del ADN antes mencionado sino
también con la predicción de terremotos, la evolución, el clima global, el mercado
de valores, las finanzas internacionales y las nuevas tecnologías. El problema
está en utilizar grandes cantidades de datos para poner a prueba y refinar los
modelos matemáticos del mundo real, de modo que nos dan un control genuino
sobre sistemas muy complejos.
La
predicción en la que tengo más confianza es en algunos aspectos negativa, pero
es también una afirmación de la continua creatividad de la comunidad
matemática. Todos los matemáticos que investigan piensan, en ocasiones, que su
disciplina tiene una mente propia. Los problemas trabajan de la forma en que
los quieren las matemáticas, y no cómo los quieren los matemáticos. Podemos
escoger qué preguntas plantear, pero no podemos escoger qué respuestas
obtenemos. Esta sensación se relaciona con dos escuelas principales de
pensamiento sobre la naturaleza de las matemáticas. Los platónicos piensan que
las «formas ideales» de las matemáticas tienen algún tipo de existencia
independiente «ahí fuera», en algún reino distinto del mundo físico. (Hay
formas más sutiles de decirlo y que probablemente suenan más razonables, pero
esa es la esencia). Otros ven las matemáticas como una construcción humana
compartida. Pero a diferencia de la mayoría de tales cosas —el sistema legal,
el dinero, la ética, la moralidad— las matemáticas son una construcción con un
fuerte esqueleto lógico. Hay varias restricciones severas sobre qué
afirmaciones pueden o no compartirse con cualquier otro. Son estas
restricciones las que dan la impresión de que las matemáticas tienen su propia
agenda y crean la sensación en la mente de los matemáticos de que las propias
matemáticas existen fuera del dominio de la actividad humana.
El platonismo, pienso yo, no es una descripción de lo que son las matemáticas.
Es una descripción de lo que las matemáticas parecen cuando uno las está
haciendo. Es como la vívida sensación de «rojo» que experimentamos cuando vemos
una rosa, sangre o un semáforo. Los filósofos llaman qualia (singular: quale)
a estas sensaciones, y algunos piensan que nuestra sensación de libre albedrío
es en realidad un quale de la manera del cerebro de tomar decisiones. Cuando
decidimos entre alternativas tenemos la sensación de que hacemos una elección
genuina, sea o no realmente determinista en algún sentido la dinámica del
cerebro. De modo análogo, el platonismo es un quale de tomar
parte en una construcción humana compartida dentro de un rígido marco de
deducción lógica.
Por ello
puede parecer que las matemáticas tienen una mente propia, incluso si son
creadas por un conjunto de mentes humanas. La historia nos dice que la mente
matemática es, en este sentido, más innovadora y sorprendente que lo que
cualquier mente humana individual pueda predecir. Todo lo cual es una manera
complicada de llegar a mi punto principal: una cosa que podemos predecir con
seguridad sobre el futuro de las matemáticas es que serán impredecibles. Las
preguntas matemáticas más importantes del próximo siglo emergerán como
consecuencias naturales, quizá incluso inevitables, de nuestra creciente
comprensión de lo que actualmente creemos que son los grandes problemas de las
matemáticas. Sin embargo, casi con seguridad serán preguntas que hoy día no podemos
concebir. Esto es justo y adecuado, y deberíamos celebrarlo.
Capítulo
17
Doce para el futuro
No quiero
dejarle con la impresión de que la mayoría de los problemas matemáticos han
sido resueltos, aparte de los singularmente difíciles. Investigar en
matemáticas es como explorar un nuevo continente. A medida que se expande el
área que conocemos, la frontera que rodea lo desconocido se hace más grande. No
estoy sugiriendo que cuantas más matemáticas descubrimos menos sabemos; estoy
diciendo que cuantas más matemáticas descubrimos, más nos damos cuenta de lo
que no sabemos. Pero lo que no sabemos cambia con el paso del tiempo: algunos
viejos problemas desaparecen mientras se añaden otros nuevos. Por el contrario,
lo que sabemos se hace más grande, salvo el ocasional documento perdido.
Para
darle un minúsculo indicio de lo que actualmente no sabemos,
además de los grandes problemas ya discutidos, he aquí doce problemas no
resueltos que llevan desconcertando bastante tiempo a los matemáticos de todo
el mundo. Los he escogido de modo que las preguntas sean fáciles de entender.
Como ha sido ampliamente demostrado, eso no tiene consecuencias sobre lo fácil
que pueda ser encontrar las respuestas. Algunos de estos problemas pueden
resultar grandes: ello dependerá sobre todo de los métodos que se ingenien para
resolverlos y de adónde lleven, y no de la respuesta como tal.
El
problema de Brocard
Para
cualquier número natural n, su factorial n! es el
producto
n×(n -
1)×(n - 2)×…×3×2×1
Este es
el número de formas diferentes de ordenar n objetos. Por
ejemplo, el alfabeto inglés con 26 letras puede ordenarse de
26! =
403.291.461.126.605.635.584.000.000
maneras
diferentes[v]. En
artículos escritos de 1876 y 1888, Henri Brocard advirtió que
4! + 1 =
24 + 1 = 25 = 52
5! + 1 =
120 + 1 = 121 = 112
7! + 1 =
5040 + 1 = 5041 = 712
son todos
cuadrados perfectos. No encontró otros factoriales que dieran cuadrados
perfectos cuando se les sumaba 1, y preguntó si existía alguno. El genio indio
autodidacta Srinivasa Ramanujan planteó independientemente la misma pregunta en
1913. Bruce Berndt y William Galway utilizaron un ordenador en 2000 para mostrar
que no existen más soluciones para factoriales de números hasta 1000 millones.
Números
perfectos impares
Un número
es perfecto si es igual a la suma de todos sus divisores propios (es decir,
números que lo dividen exactamente, excluido el propio número). Ejemplos son:
6 = 1 + 2
+ 3
28 = 1 +
2 + 4 + 7 + 14
Euclides
demostró que si 2n - 1 es primo, entonces 2n - 1(2n
- 1) es perfecto. Los ejemplos anteriores corresponden a n =
2, 3. Los primos de esta forma se llaman primos de Mersenne, y se conocen 47 de
ellos, de los que el mayor hasta la fecha es 243.112.609 - 1,
que es también el mayor primo conocido[89]. Euler
demostró que todos los números perfectos pares deben ser de esta forma, pero
nadie ha encontrado nunca un número perfecto impar, ni demostrado que no pueden
existir. Pomerance ha concebido un argumento no riguroso que indica que no
existen. Cualquier número perfecto impar debe satisfacer varias condiciones
restrictivas. Debe ser al menos 10300, debe tener un factor primo
mayor que 108, su segundo mayor factor primo debe ser al menos 104,
y debe tener al menos 75 factores primos y al menos 12 factores primos
distintos.
La
conjetura de Collatz
Tomemos
un número entero. Si es par, dividámoslo por 2. Si es impar, multipliquémoslo
por 3 y sumemos 1. Repitámoslo indefinidamente. ¿Qué sucede?
Por
ejemplo, empecemos con 12. Los números sucesivos son:
12 → 6 →
3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
después
de lo cual la secuencia
4 → 2 → 1
→ 4 → 2 → 1
se repite
indefinidamente. La conjetura de Collatz afirma que el mismo resultado final se
obtiene cualquiera que sea el número del que partimos. El nombre se debe a
Lothar Collatz quien dio con ella en 1937, pero tiene muchos otros nombres:
conjetura 3n + 1, problema de granizo, conjetura de Ulam, problema
de Kakutani, conjetura de Thwaites, algoritmo de Hasse y problema de Syracuse.
Lo que
hace el problema difícil es que a menudo los números pueden explotar. Por
ejemplo, si partimos de 27 entonces la secuencia crece hasta 9232; incluso así,
finalmente se reduce a 1 después de 111 pasos. Las simulaciones mediante
ordenador verifican la conjetura para todos los números iniciales hasta
5,764×1018. Se ha demostrado que no existen ciclos distintos de 4 →
2 → 1 que incluyan menos de 35.400 números. La posibilidad de que algún número
inicial lleve a una secuencia que contenga números cada vez mayores, separados
por números más pequeños, no ha sido descartada. Ilia Krasikov y Jeffrey
Lagarias han demostrado que para valores iniciales hasta n, al
menos una constante multiplicada por n0,84 de ellos
llega finalmente a 1. Por lo tanto, las excepciones, si existen, son raras[90].
Existencia
de cuboides perfectos
Esto toma
como punto de partida la existencia de, y la fórmula para, tripletas
pitagóricas, y traslada el problema a la tercera dimensión. Un ladrillo de
Euler es un cuboide —un bloque con forma de ladrillo— con lados enteros, todas
cuyas caras tienen diagonales enteras. El ladrillo de Euler más pequeño fue
descubierto en 1719 por Paul Halcke. Sus aristas son 240, 117 y 4; las
diagonales de las caras son 267, 244 y 125. Euler encontró fórmulas para tales
ladrillos, análogas a la fórmula para las tripletas pitagóricas, pero estas no
dan todas las soluciones.
No se
sabe si existe un cuboide perfecto: es decir, si existe un ladrillo cuya
diagonal principal, que atraviesa el interior del ladrillo desde una esquina a
la opuesta, también tiene longitud entera. (Hay cuatro de estas diagonales pero
todas tienen la misma longitud). Se sabe que las fórmulas de Euler no pueden
proporcionar un ejemplo. Un ladrillo semejante, si existe, debe satisfacer
varias condiciones; por ejemplo, al menos una arista debe ser un múltiplo de 5,
otra debe ser un múltiplo de 7, otra debe ser un múltiplo de 11 y otra debe ser
un múltiplo de 19. Las búsquedas por ordenador han mostrado que uno de los
lados debe ser al menos un billón.
Hay
algunas aproximaciones casi exactas. El ladrillo con lados 672, 153 y 104 tiene
una diagonal principal entera y dos de las tres longitudes para las diagonales
de las caras son también enteras. En 2004 Jorge Sawyer y Clifford Reiter
demostraron que existen paralelepípedos perfectos[91]. Un
paralelepípedo es como un cuboide pero sus caras son paralelogramos. Por eso
está inclinado. Las aristas tienen longitudes 271, 106 y 103; las diagonales de
la cara menor tienen longitudes 101, 266 y 255; las diagonales de la cara mayor
tienen longitudes 183, 312 y 323; y las diagonales del cuerpo tienen longitudes
374, 300, 278 y 272.
La
conjetura del corredor solitario
Esta
procede de una abstrusa área de las matemáticas conocida como teoría de
aproximación diofántica, y fue formulada por Jörg Wills en 1967. Luis Goddyn
acuñó el nombre en 1998. Supongamos que n corredores recorren
un trayecto circular de longitud unidad con velocidad uniforme. ¿Estará cada
corredor solitario —es decir, estará a más de una distancia 1/n de
todos los demás corredores— en algún instante? Diferentes instantes para
diferentes corredores, por supuesto. La conjetura es que la respuesta es siempre
«sí», y se ha demostrado cuando n = 4, 5, 6 y 7.
Figura 48. Ejemplo de un thrackle.
La
conjetura del thrackle de Conway
Un thrackle es
una red trazada en el plano de modo que cada dos aristas se encuentran
exactamente una vez (véase Figura 48). Pueden encontrarse en un punto común
(nodo, vértice) o pueden cruzarse en puntos interiores, pero no ambas cosas. Si
se cruzan, deben hacerlo transversalmente; es decir, tampoco pueden permanecer
una siempre en el mismo lado de la otra (lo que podría suceder si, por ejemplo,
son tangentes). En un trabajo no publicado, John Horton Conway conjeturó que en
cualquier thrackle el número de líneas es menor o igual que el
número de puntos. En 2011 Radoslav Fulek y János Pach demostraron que
todo thrackle con n puntos tiene como máximo
1,428n líneas[92].
Irracionalidad
de la constante de Euler
No se
conoce ninguna fórmula en «forma cerrada» para la suma de la serie armónica
y
probablemente no existe tal fórmula. Sin embargo, hay una aproximación
excelente: cuando n aumenta, Hn se aproxima cada
vez más a log n + γ. Aquí γ es la constante de Euler, con un
valor numérico de aproximadamente 0,5772156649. Euler estableció esta fórmula
en 1734, y Lorenzo Mascheroni estudió la constante en 1790. Ninguno de ellos
utilizó el símbolo γ.
La
constante de Euler es uno de esos números extraños que surgen a veces en
matemáticas, como π y e, que salen por todas partes, pero parecen ser criaturas
autónomas, no expresables de ninguna manera clara en términos de números más
sencillos. Vimos en el capítulo 3 que tanto π como e son trascendentes: no son
soluciones de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros. En
particular, son irracionales: no son fracciones exactas. Es generalmente
admitido que la constante de Euler es trascendente, pero ni siquiera sabemos
con certeza que sea irracional. Si γ = p/q para
enteros p y q, entonces q es al
menos 10242.080.
La
constante de Euler es importante en muchas áreas de las matemáticas, que van
desde la función zeta de Riemann a la teoría cuántica de campos. Aparece en
muchos contextos y se manifiesta en muchas fórmulas. Es escandaloso que no
podamos decidir si es racional.
Campos de
números cuadráticos reales
En el
capítulo 7 vimos que algunos campos de números algebraicos tienen factorización
en primos única y otros no la tienen. Los campos de números algebraicos mejor
entendidos son los cuadráticos, obtenidos tomando la raíz cuadrada de un
número d que no es un cuadrado perfecto; de hecho, no tiene
factores primos cuadrados. El correspondiente anillo de enteros algebraicos
consiste entonces en todos los números de la forma a + b√d,
donde a y b son enteros si d no
es de la forma 4k + 1, y son o bien enteros o son ambos enteros
impares divididos por 2, si d es de esa forma.
Cuando d es
negativo, es sabido que la factorización en primos es única para exactamente
nueve valores:
-1, -2,
-3, -7, -11, -19, -43, -67 y -163.
Demostrar
la unicidad en estos casos es relativamente sencillo, pero encontrar si hay
otros es mucho más difícil. En 1934 Hans Heilbronn y Edward Linfoot mostraron
que a lo sumo puede añadirse a la lista un entero negativo más. Kurt Heegner
dio una demostración de que la lista es completa en 1952, pero se pensaba que
había una laguna. En 1967 Harold Stark dio una demostración completa,
observando que no difería de forma significativa de la de Heegner, es decir, la
laguna no era importante. Prácticamente al mismo tiempo, Alan Baker encontró
una demostración diferente.
El caso
cuando d es positivo es muy diferente. La factorización es
única para muchos más valores de d. Hasta 50, dichos valores son 2,
3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 29, 31, 33, 37, 38, 41, 43, 46 y
47, y cálculos por ordenador revelan muchos más. Por todo lo que sabemos, puede
haber infinitos d positivos para los que el correspondiente
campo de números cuadráticos tiene factorización única. Un análisis heurístico
de Cohen y Lenstra sugiere que aproximadamente tres cuartos de todos los d positivos
definen campos de números con factorización única. Los resultados obtenidos por
ordenador coinciden con esta estimación. El problema está en demostrar que
estas observaciones son correctas.
La
hormiga de Langton
A medida
que transcurre el siglo XXI se ha hecho cada vez más evidente que algunas de
las técnicas tradicionales de la modelización matemática son incapaces de
tratar las complejidades de los problemas a que se enfrenta la humanidad, tales
como el sistema financiero mundial, la dinámica de los ecosistemas y el papel
de los genes en el crecimiento de los organismos vivos. Muchos de estos
sistemas incluyen grandes números de agentes —personas, compañías, organismos,
genes— que interaccionan entre sí. Estas interacciones pueden modelarse a
menudo con mucha exactitud utilizando reglas simples. Durante los últimos
treinta años ha aparecido un nuevo tipo de modelo que trata de abordar
frontalmente el comportamiento de sistemas con muchos agentes. Para entender cómo
se moverán cien mil personas en un estadio, por ejemplo, no se las promedia
para crear una especie de fluido humano y preguntar cómo fluye. En su lugar, se
construye un modelo para ordenador con cien mil agentes individuales, se
imponen reglas apropiadas y se realiza una simulación para ver qué hace esta
multitud de ordenador. Este tipo de modelo se denomina sistema complejo.
Para
darle una idea de esta nueva y fascinante área de las matemáticas voy a
describir uno de los más simples sistemas complejos y explicar por qué no lo
entendemos plenamente. Se denomina la hormiga de Langton. Christopher Langton
fue uno de los miembros iniciales del Instituto de Santa Fe, fundado en 1984
por los científicos George Cowan, Murray Gell-Mann y otros para promover la
teoría y aplicaciones de los sistemas complejos. Langton inventó su hormiga en
1986. Técnicamente es un autómata celular, un sistema de celdas en una malla
cuadrada cuyos estados se muestran mediante colores. En cada paso de tiempo el
color de una celda cambia de una forma que depende de los colores de sus
vecinas.
Las
reglas son absurdamente simples. La hormiga vive en una malla cuadrada infinita
de celdas, que al principio son todas blancas. Lleva un inagotable bote de
pintura negra de secado rápido y otro inagotable bote de pintura blanca de
secado rápido. Puede poner cara al norte, el este, el sur o el oeste; por
simetría podemos suponer que empieza de cara al norte. En cada instante mira el
color del cuadrado que ocupa y lo cambia de blanco a negro, o de negro a
blanco, utilizando sus botes de pintura. Si su cuadrado era blanco, entonces
gira 90 ° a la derecha y da un paso adelante. Si su cuadrado era negro,
entonces gira 90 ° a la izquierda y da un paso adelante. Luego repite este
comportamiento indefinidamente.
Si
simulamos la hormiga[93], empieza
pintando dibujos sencillos y bastante simétricos de cuadrados negros y blancos.
De cuando en cuando vuelve a un cuadrado que ya ha visitado, pero su recorrido
no se cierra en un lazo porque el color en dicho cuadrado ha cambiado, de modo
que cuando repite la visita gira en el otro sentido. Conforme continúa la
simulación, el dibujo de la hormiga se hace caótico y aleatorio. No hay una
pauta discernible: básicamente es solo una mezcolanza. En esa etapa es
razonable imaginar que este comportamiento caótico continúa de modo indefinido.
Después de todo, cuando la hormiga revisita una región caótica hará una serie
caótica de giros y repinturas. Si siguiéramos adelante con la simulación, los
siguientes diez mil pasos parecerían justificar esa conclusión. Sin embargo, si
se continúa aparece una pauta. La hormiga entra en un ciclo repetitivo de 104
pasos, al cabo de los cuales se ha movido tres cuadrados en diagonal. Entonces
pinta una ancha banda diagonal de celdas negras y blancas, llamada una autopista,
que continúa indefinidamente (véase Figura 49).
Figura 49. Autopista de la hormiga de Langton.
Todo lo
descrito hasta ahora puede demostrarse con todo rigor, simplemente dando la
lista de pasos que da la hormiga. La demostración sería muy larga —una lista de
cien mil pasos—, aunque seguiría siendo una demostración. Pero las matemáticas
se hacen más interesantes si planteamos una pregunta algo más general.
Supongamos que antes de que empiece la hormiga, pintamos de negro un número
finito de cuadrados. Podemos escoger estos cuadrados de la manera que queramos:
puntos al azar, un rectángulo sólido, la Mona Lisa. Podemos utilizar un millón
de ellos, o mil millones, pero no infinitos. ¿Qué sucede?
Las
excursiones iniciales de la hormiga cambian de forma espectacular cada vez que
encuentra uno de nuestros nuevos cuadrados negros. Puede moverse por todas
partes, trazando formas intrincadas o redibujándolas… Pero en todas las
simulaciones realizadas, independientemente de cuál pudiera ser la
configuración inicial, la hormiga al fin se dispone a construir su autopista,
utilizando el mismo ciclo de 104 pasos. ¿Siempre sucede esto? ¿Es la autopista
el único «atractor» para la dinámica de la hormiga? Nadie lo sabe. Es uno de
los problemas básicos no resueltos de la teoría de la complejidad. Lo más que
sabemos es que cualquiera que pueda ser la configuración inicial de celdas
negras, la hormiga no puede permanecer para siempre dentro de una región
acotada de la malla.
Figura 50. Matrices de Hadamard de tamaño 2, 4, 8, 12, 16, 20, 24 y 28. ©
Wolfram MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HadamardMatrix.html.
La
conjetura de la matriz de Hadamard
Una
matriz de Hadamard, así llamada por Jacques Hadamard, es una formación cuadrada
de ceros y unos tal que cualesquiera dos filas o columnas distintas coinciden
en la mitad de sus entradas y se diferencian en la otra mitad. Utilizando negro
y blanco para indicar 1 y 0, la Figura 50 muestra matrices de Hadamard de
tamaño 2, 4, 8, 12, 16, 20, 24 y 28. Estas matrices aparecen en muchos
problemas matemáticos, y en ciencia de la computación, especialmente en la
teoría de la codificación. (En algunas aplicaciones, entre ellas la motivación
original de Hadamard, los cuadrados blancos corresponden a -1, no a 0.)
Hadamard
demostró que tales matrices existen solo cuando n = 2 o n es
un múltiplo de 4. El teorema de Paley de 1933 demuestra que una matriz de
Hadamard existe siempre si el tamaño es un múltiplo de 4 e igual a 2a(pb +
1) donde p es un primo impar. Múltiplos de 4 no cubiertos por
este teorema son 92, 116, 156, 172, 184, 188, 232, 236, 260, 268 y otros
valores más grandes. La conjetura afirma que una matriz de Hadamard existe
cuando quiera que el tamaño es un múltiplo de 4. En 1985 K. Sawade encontró una
de tamaño 268; los otros números no cubiertos por el teorema de Paley ya habían
sido tratados. En 2004 Hadi Kharaghani y Behruz Tayfeh-Rezaie encontraron una
matriz de Hadamard de tamaño 428, y el tamaño más pequeño para el que no se
conoce la respuesta es ahora 668.
La
ecuación de Fermat-Catalan
Esta es
la ecuación diofántica xa + yb = zc donde
los exponentes a, b y c son enteros
positivos. La llamaré ecuación de Fermat-Catalan porque sus soluciones están
relacionadas con el último teorema de Fermat (véase el capítulo 7), y con la
conjetura de Catalan (véase capítulo 6). Si a, b y c son
pequeños, las soluciones enteras no nulas no son especialmente sorprendentes.
Por ejemplo, si todos son 2, entonces tenemos la ecuación pitagórica, que desde
el tiempo de Euclides se sabe que tiene infinitas soluciones. De modo que el
mayor interés está en los casos en que estos exponentes son grandes. La
definición técnica de «grande» es que s = 1/a + 1/b +
1/c es menor que 1. Solo se conocen diez soluciones grandes de la
ecuación de Fermat-Catalan:
La
primera de estas se considera grande porque 1 = 1a para
cualquier a, y a = 7 satisface la definición. La
conjetura de Fermat-Catalan afirma que la ecuación de Fermat-Catalan tiene
solamente un número finito de soluciones enteras, sin un factor común,
cuando s es grande. El resultado más importante fue demostrado
en 1997 por Henri Darmon y Loïc Merel: no existen soluciones en las que c =
3 y a y b son iguales y mayores que 3. Poco
más se sabe. Progresos adicionales dependen de una nueva y fascinante conjetura
que viene a continuación.
La
conjetura ABC
En 1983
Richard Mason advirtió que se había ignorado un caso del último teorema de
Fermat: potencias primeras. Es decir, consideremos la ecuación a + b =
c.
A primera
vista esta idea es completamente absurda. No hay que saber mucha álgebra para
resolver esta ecuación para cualquiera de las tres variables en términos de las
otras dos. Por ejemplo a = c - b. Lo que cambia todo el juego, sin
embargo, es el contexto. Mason se dio cuenta de que todo se hacía mucho más
profundo si planteamos las preguntas correctas sobre a, b y c.
El resultado de esta idea extraordinaria fue una nueva conjetura en teoría de
números con consecuencias de largo alcance. Podría resolver muchos problemas
actualmente no resueltos y llevar a demostraciones mejores y más sencillas de
algunos de los más grandes teoremas en teoría de números. Esta es la conjetura
ABC, y tiene muchas pruebas numéricas a su favor. Se basa en una vaga analogía
entre enteros y polinomios.
Euclides
y Diofanto conocían una receta para tripletas pitagóricas, que ahora escribimos
como una fórmula (véase capítulo 6). ¿Puede repetirse este truco con otras
ecuaciones? En 1851 Joseph Liouville demostró que no existe tal fórmula para la
ecuación de Fermat cuando la potencia es 3 o mayor. Mason aplicó un
razonamiento similar a la ecuación más simple
a(χ)
+ b(χ) = c(χ)
para tres
polinomios. Es una idea escandalosa porque todas las soluciones pueden
encontrarse utilizando álgebra elemental. El resultado principal, sin embargo,
es elegante y nada obvio: si cada polinomio tiene un factor que es un cuadrado,
un cubo o una potencia superior, la ecuación no tiene soluciones.
Los
teoremas sobre polinomios suelen tener análogos sobre enteros. En particular,
polinomios irreducibles corresponden a números primos. El análogo natural en
enteros del teorema de Mason sobre polinomios es como sigue. Supongamos a
+ b = c donde a, b y c son
enteros sin ningún factor común; entonces el número de factores primos de cada
uno de los a, b y c es menor que el número de
factores primos distintos de abc. Por desgracia,
ejemplos sencillos muestran que esto es falso. En 1985 David Masser y Joseph Oesterlé
modificaron el enunciado y propusieron una versión de esta conjetura que no
estaba en conflicto con ningún ejemplo conocido. Su conjetura ABC muy bien
puede ser la mayor pregunta abierta en teoría de números en el momento presente[94]. Si
alguien demostrara mañana la conjetura ABC, muchos teoremas profundos y
difíciles, comprobados en las últimas décadas con enorme intuición y esfuerzo,
tendrían demostraciones nuevas y sencillas. Otra consecuencia sería la
conjetura de Marshall Hall: la diferencia entre cualquier cubo perfecto y
cualquier cuadrado perfecto tiene que ser bastante grande. Otra potencial
aplicación de la conjetura ABC es al problema de Brocard, el primero de este
capítulo. En 1993 Marius Overholt demostró que si la conjetura ABC es cierta,
hay solo un número finito de soluciones a la ecuación de Brocard.
Una de
las consecuencias más interesantes de la conjetura ABC está relacionada con la
conjetura de Mordell. Faltings la ha demostrado utilizando métodos
sofisticados, pero su resultado sería aún más poderoso si conociéramos alguna
información extra: una cota sobre el tamaño de las soluciones. Entonces
existiría un algoritmo para encontrarlas todas. En 1991 Noam Elkies mostró que
una versión específica de la conjetura ABC, en la que varias constantes que
aparecen están acotadas, implica esta mejora sobre el teorema de Faltings.
Laurent Moret-Bailly demostró que la recíproca es cierta, en un sentido muy
fuerte. Cotas suficientemente fuertes sobre el tamaño de las soluciones
de tan solo una ecuación diofántica, y2 = χ5 - χ,
implican la conjetura ABC plena. Aunque no sea tan bien conocida como muchas
otras conjeturas no resueltas, la conjetura ABC es indudablemente uno de los
grandes problemas de las matemáticas. Según Grainville y Thomas Tucker,
disponer de ella tendría «un extraordinario impacto sobre nuestra comprensión
de la teoría de números. Demostrarla o refutarla sería asombroso[95]».
Glosario
Algoritmo. Un
procedimiento especifico para resolver un problema, con garantía de que se
detiene con una respuesta.
Análisis
complejo. Análisis —cálculo infinitesimal con rigor lógico— realizado con
funciones de valor complejo de una variable compleja.
Aritmética
modular. Un sistema de aritmética en el que todos los múltiplos de cierto
número específico, llamado el módulo, se tratan como si fueran
cero.
Asintótico. Dos
cantidades definidas en términos de una variable son asintóticas si su razón se
hace cada vez más próxima a 1 a medida que la variable se hace arbitrariamente
grande.
Autovalor
(valor propio). Uno de un conjunto de números especiales asociado
a un operador. Si el operador aplicado a un vector da un múltiplo de dicho
vector, el múltiplo en cuestión es un autovalor.
Bola. Una
esfera maciza; es decir, una esfera y su interior.
Bosón de
Higgs. Una partícula fundamental cuya existencia explica por qué todas las
partículas tienen masa. Su descubrimiento en el Gran Colisionador de Hadrones
se anunció en julio de 2012.
Campo de
velocidades. Una función que especifica una velocidad en cada
punto del espacio. Por ejemplo, cuando fluye un fluido, su velocidad puede
especificarse en cada punto, y normalmente difiere en puntos diferentes.
Campo
electromagnético. Una función que especifica las intensidades y
direcciones de los campos eléctrico y magnético en cualquier punto del espacio.
Caos.
Comportamiento aparentemente aleatorio en un sistema determinista.
Característica
de Euler. C - A - V, donde C es
el número de caras en una triangulación de un espacio, A es el
número de aristas y V es el número de vértices. Para un toro
con g agujeros es igual a 2 - 2 g, cualquiera que
pueda ser la triangulación.
Cero (de
una función). Si f es una función,
entonces x es un cero de f si f (x)
= 0.
Ciclo. En
topología: una combinación formal de lazos en una triangulación con etiquetas
numéricas asociadas. En geometría algebraica: una combinación formal de
subvariedades con etiquetas numéricas asociadas.
Clase de
Hodge. Una clase de cohomología de ciclos sobre una variedad algebraica con
propiedades analíticas especiales.
Clase E. Un
algoritmo cuyo tiempo de ejecución, para una entrada de tamaño n,
va con la n -ésima potencia de una constante.
Clase no
P. No de
clase P.
Clase NP. Un
problema para el que una solución propuesta puede comprobarse (pero no
necesariamente encontrarse) mediante un algoritmo de clase P.
Clase P. Un
algoritmo cuyo tiempo de ejecución va como una potencia fija del tamaño de la
entrada.
Coeficiente. En un
polinomio tal como 6 x3 - 5 x2 +
4 x - 7, los coeficientes son los números 6, -5, 4, -7 que
multiplican a las diversas potencias de x.
Configuración
inevitable. Un miembro de una lista de redes, de los que al menos uno debe ocurrir
en cualquier red en el plano.
Configuración
reducible. Una parte de una red con la siguiente propiedad: si la red obtenida al
eliminarla puede ser coloreada con cuatro colores, también puede serlo la red
original.
Conjunto. Una
colección de objetos (matemáticos). Por ejemplo, el conjunto de todos los
números naturales.
Construcción
por regla y compás. Cualquier construcción geométrica que puede
realizarse utilizando una regla sin marcas y un compás (estrictamente: un par
de compases).
Contraejemplo. Un
ejemplo que refuta una afirmación. Así, 9 es un contraejemplo de la afirmación
«todos los números impares son primos».
Constante
de Euler. Un número especial denotado por γ, aproximadamente igual a 0,57721.
(Véase nota 67).
Coordenada. Un
número en una lista que determina la posición de un punto en un plano o en el
espacio.
Coseno. Una
función trigonométrica de un ángulo, definida por cos A = a/c en
la Figura 51.
Figura
51. El coseno (a/c), seno (b/c) y tangente (a/b)
de un ángulo A.
Cota
superior. Un número específico del que se sabe con certeza que es mayor que
cierta cantidad cuyo tamaño se está buscando.
Criminal
mínimo. Un objeto matemático que no posee una propiedad deseada, y en cierto
sentido es el más pequeño posible de tales objetos. Por ejemplo, un mapa que no
puede colorearse con cuatro colores y que también tiene el menor número de
regiones para las que esto puede ocurrir. Los criminales mínimos suelen ser
hipotéticos, y el objetivo es demostrar que no pueden existir.
Cuadrado. Un
número multiplicado por sí mismo. Por ejemplo, el cuadrado de 7 es 7×7 = 49,
simbolizado por 7 2.
Cubo. Un
número multiplicado por sí mismo y luego vuelto a multiplicar por sí mismo. Por
ejemplo, el cubo de 7 es 7×7×7 =343. Normalmente se escribe como 7 3.
Curva
elíptica. Una curva en el plano cuya ecuación tiene la forma y2 = ax3 + bx2 + cx + d en
donde normalmente se supone que las constantes a, b, c, d, son
racionales. (Véase Figura 27).
Curvatura. Una
medida de cuánto se curva el espacio cerca de un punto dado. Una esfera tiene
curvatura positiva, un plano tiene curvatura cero, y un espacio con forma de
silla de montar tiene curvatura negativa.
Dimensión. El
número de coordenadas requerido para especificar la posición de un punto en un
espacio dado. Por ejemplo el plano tiene dimensión 2 y el espacio en el que
vivimos (tal como lo modela la geometría de Euclides) tiene dimensión 3.
Disco
(topológico). Una región en una superficie que puede ser
deformada continuamente para dar un círculo más su interior.
Dodecaedro. Un
sólido cuyas caras son 12 pentágonos regulares. (Véase Figura 38).
Dodecaedro
rómbico. Un sólido cuya frontera se compone de 12 rombos idénticos -
paralelogramos con todos los lados iguales. (Véase Figura 15).
Ecuación
cuadrática. Cualquier ecuación ax2 + bx + c =
0 donde x es una incógnita y a, b, c son
constantes.
Ecuación
cúbica. Cualquier ecuación ax3 + bx2 + cx + d =
0 donde x es una incógnita y a, b, c son
constantes.
Ecuación
diferencial. Una ecuación que relaciona una función con su
ritmo de cambio.
Ecuación
diofántica. Una ecuación para la que se exige que las soluciones sean números
racionales.
Ecuación
en derivadas parciales. Una ecuación diferencial que incluye los ritmos
de cambio de una función con respecto a dos o más variables diferentes (a
menudo espacio y tiempo).
Eje de
rotación. Una recta fija alrededor de la cual rota un objeto.
Empaquetamiento. Una
colección de formas dispuestas en el espacio de modo que no se solapan.
Empaquetamiento
reticular. Una colección de círculos o esferas idénticos cuyos centros forman un
retículo.
Entero.
Cualquiera de los números…, -3, -3, -1, 0, 1, 2, 3…
Entero
algebraico: Un número complejo que satisface una ecuación polinómica con
coeficientes enteros y máximo coeficiente 1. Por ejemplo i √2,
que satisface la ecuación x2 + 2 = 0.
Entero/número
ciclotómico. Una suma de potencias de una raíz compleja de la
unidad con coeficientes enteros/racionales.
Esfera. El
conjunto de todos los puntos del espacio a una distancia dada de un punto fijo,
el centro. Es redonda, como una bola, pero el término «esfera» se refiere solo
a los puntos de la superficie de la bola, no al interior.
3-esfera. Análogo
tridimensional de una esfera: el conjunto de todos los puntos en un espacio
tetradimensional a una distancia dada de un punto fijo, el centro.
Espacio
topológico. Una forma que se considera que es «la misma» si se somete a cualquier
transformación continua.
Estable. Un
estado de un sistema dinámico al que el sistema vuelve si es sometido a una
pequeña perturbación.
Exponente. En una
potencia de una variable x, el exponente es la potencia en
cuestión. Por ejemplo, en x7 el exponente es 7.
Factorización. El
proceso que escribe un número en términos de sus divisores primos. Por ejemplo,
la factorización de 60 en primos es 2 2×3×5.
Factorización
en primos única. La propiedad de que cualquier número puede
escribirse como un producto de números primos de una sola manera, exceptuando
el cambio del orden en que se escriben los factores. Esta propiedad es válida
para enteros, pero puede no serlo en sistemas algebraicos más generales.
Fase. Un
número complejo sobre el círculo unidad, utilizado para multiplicar una función
de onda cuántica.
Flujo de
Ricci. Una ecuación que prescribe cómo cambia en el tiempo la curvatura de un
espacio.
Frontera. El
contorno de una región especificada.
Función. Una
regla f que, cuando se aplica a un número x,
produce otro número f (x). Por ejemplo, si f (x)
= log x entonces f es la función logarítmica.
La variable x puede ser real o compleja (en cuyo caso suele
escribirse como z). Con más generalidad, x y f (x)
pueden ser miembros de conjuntos específicos; en particular, el plano o el
espacio.
Función
de onda cuántica. Una función matemática que determina las
propiedades de un sistema cuántico.
Función
elíptica. Una función compleja que permanece invariable cuando dos números
complejos independientes se suman a su variable. Es decir, f (z)
= f (z+u) = f (z+v) donde v no
es un múltiplo real de u. (Véase Figura 30).
Función
zeta. Una
función compleja introducida por Riemann que representa analíticamente los
números primos. Está definida por la serie:
que
converge cuando la parte real de s es mayor que 1. Esta
definición puede extenderse a todo complejo s, excepto 1, mediante
un proceso llamado prolongación analítica.
Género. El
número de agujeros en una superficie.
Geometría
no euclídea. Una alternativa a la geometría de Euclides en la
que siguen siendo válidas todas las propiedades habituales de puntos y líneas,
excepto la existencia de una única recta paralela a una recta dada y que pasa
por un punto dado. Hay dos tipos: elíptica e hiperbólica.
Geometría
proyectiva. Un tipo de geometría en la que no existen rectas paralelas: dos rectas
cualesquiera se juntan en un único punto. Se obtiene a partir de la geometría
euclídea añadiendo una nueva «recta en el infinito».
Grado. La
máxima potencia de la variable que aparece en un polinomio. Por ejemplo el
grado de 6 x3 - 5 x2 +
4 x - 7 es 3.
Grupo. Una
estructura algebraica abstracta que comprende un conjunto y una regla para
combinar dos elementos cualesquiera del conjunto, sujeta a tres condiciones: la
ley asociativa, la existencia de un elemento identidad y la existencia de
inversos.
Grupo de
cohomología. Una estructura algebraica abstracta asociada con
un espacio topológico, análoga pero «dual» del grupo de homología.
Grupo
fundamental. El grupo formado por clases de homotopía de lazos
en un espacio topológico, bajo la operación «viajar a lo largo del primer lazo
y luego a lo largo del segundo».
Grupo
trivial. Un grupo que consiste solo en un único elemento, la identidad.
Homología
(grupo). Un invariante topológico de un espacio, definido por lazos cerrados.
Dos de tales lazos son homólogos si su diferencia es la frontera de un disco
topológico.
Homotopía
(grupo). Un invariante topológico de un espacio, definido por lazos cerrados.
Dos de tales lazos son homotópicos si cada uno de ellos puede ser deformado de
forma continua hasta dar el otro.
Ideal
(número). Un número que no está contenido en un sistema dado de números
algebraicos, pero está relacionado con dicho sistema de una manera que recupera
la factorización en primos única en casos en que la propiedad no se cumple.
Reemplazado en el álgebra moderna por un ideal, que es un tipo especial de
subconjunto del sistema concernido.
Ideal
primo. Un análogo de un número primo para sistemas de números algebraicos.
Índice. El
número de veces que una curva gira en sentido contrario a las agujas del reloj
en torno a un punto escogido.
Inducción. Un
método general para demostrar teoremas sobre números enteros. Si una propiedad
es válida para 0, y su validez para cualquier número entero n implica
su validez para n + 1, entonces la propiedad es válida para
todos los números enteros.
Inestable. Un
estado de un sistema dinámico al que el sistema no puede volver si es sometido
a una pequeña perturbación.
Integral. Una
operación del cálculo infinitesimal, que en efecto suma muchas pequeñas
contribuciones. La integral de una función es el área contenida bajo su
gráfica.
Integral
logarítmica. La función Li(x) =
Lazo. Una
curva cerrada en un espacio topológico.
L-función
de Dirichlet. Una generalización de la función zeta de Riemann.
Logaritmo. El
logaritmo (natural) de x, escrito log x, es la potencia
a la que hay que elevar e (= 2,71828…) para obtener x. Es decir,
e log x = x.
Máximo. El
valor más grande de algo.
Mínimo. El
valor más pequeño de algo.
Modelo
Estándar. Un modelo mecano cuántico que da cuenta de todas las partículas
fundamentales conocidas.
Momento
lineal. Masa multiplicada por velocidad.
Momento
angular. Una medida de la cantidad de rotación que tiene un cuerpo.
NP-completo. Un
problema específico de clase NP, con la propiedad de que si existe un algoritmo
de clase P para resolverlo, entonces cualquier problema NP puede resolverse
utilizando un algoritmo de clase P.
Número
algebraico. Un número complejo que satisface una ecuación polinómica con
coeficientes enteros, o equivalentemente coeficientes racionales. Por
ejemplo i √2/3, que satisface la ecuación x2 +
2/9 = 0, o equivalentemente 9 x2 + 2 = 0.
Número
complejo. Un número de la forma a + b i donde
i es √-1 y a, b son números reales.
Número
compuesto. Un número entero que puede obtenerse multiplicando dos números enteros
más pequeños.
Número
congruente. Un número que puede ser la diferencia común de una secuencia de tres
cuadrados de números racionales.
Número de
Fermat. Un número de la forma 2 2k + 1 donde k es
un número natural. Si este número es primo entonces se denomina primo
de Fermat.
Número
irracional. Un número real que no es racional; es decir, no es de la forma p/q donde p y q son
enteros y q ≠ 0. Ejemplos son √2 y π.
Número
natural. Cualquiera de los números 0, 1, 2, 3…
Número
primo. Un número entero mayor que 1 que no puede obtenerse multiplicando dos
números enteros más pequeños. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11,
13.
Número
racional. Un número real de la forma p/q donde p y q son
enteros y q ≠ 0. Un ejemplo es 22/7.
Número
real.
Cualquier número que puede expresarse en forma decimal, que posiblemente
continúa de forma indefinida; por ejemplo, π = 3,1415926535897932385…
Número
trascendente. Un número que no satisface ninguna ecuación
algebraica con coeficientes racionales. Ejemplos son π y e.
Onda. Una
perturbación que se propaga a través de un medio tal como un sólido, un líquido
o un gas, sin producir un cambio permanente en el medio.
Operador. Un tipo
especial de función A, que cuando se aplica a un vector v da
otro vector Av. Debe satisfacer las condiciones de linealidad A (v
+ w) = Av + Aw y A (av) = aA (v)
para cualquier constante a.
Optimización.
Encontrar el máximo o el mínimo de una función.
Partícula. Una
masa concentrada en un punto.
Pentágono. Un
polígono de cinco lados.
Periódico. Algo
que repite el mismo comportamiento indefinidamente.
Poliedro. Un
sólido cuya frontera consiste en un número finito de polígonos.
Polígono. Una
forma plana cuya frontera consiste en un número finito de líneas rectas.
Polígono
regular. Un polígono cuyos lados tienen todos la misma longitud, y cuyos
ángulos son todos iguales. (Véase Figura 4.)
Polinomio. Una
expresión algebraica como 6 x3 - 5 x2 +
4 x - 7, en la que potencias de una variable x están
multiplicadas por constantes y sumadas.
Polinomio
irreducible. Un polinomio que no puede obtenerse multiplicando
dos polinomios de grado menor.
Potencia. Un
número multiplicado por sí mismo un número especificado de veces. Por ejemplo,
la potencia cuarta de 3 es 3×3×3×3 = 81, simbolizada como 3 4.
Raíz de
la unidad. Un número complejo ζ para el que alguna potencia ζ k es
1. (Véase Figura 7 y nota 53).
Rango. El
máximo número de soluciones racionales independientes de la ecuación que define
una curva elíptica. «Independientes» significa que no pueden deducirse de otras
soluciones utilizando una construcción geométrica estándar que combine dos
soluciones cualesquiera para dar una tercera. (Véase Figura 25).
Razón. La
razón de dos números a y b es a/b.
Red. Un
conjunto de puntos (nodos) unidos por líneas (aristas).
Red
cúbica de caras centradas. Un conjunto de puntos que se repiten en el
espacio, obtenidos apilando cubos como un tablero de ajedrez tridimensional, y
luego tomando las esquinas de los cubos y los centros de sus seis caras
cuadradas. (Veánse Figuras 17, 19).
Red dual. Una red
obtenida a partir de una red dada asociando un punto con cada región y uniendo
puntos por aristas si las regiones correspondientes son adyacentes. (Véase
Figura 10).
Relatividad
general. Teoría de la gravitación de Einstein, en la que la fuerza de la
gravedad se interpreta como la curvatura del espaciotiempo.
Retículo. En el
plano: un conjunto de puntos que repite su forma a lo largo de dos direcciones
independientes, como pautas de papel de pared (véase Figura 26). En el espacio:
un conjunto de puntos que repite su forma a lo largo de tres direcciones
independientes, como los átomos en un cristal.
Rotación. En el
plano: una transformación en la que todos los puntos se mueven un mismo ángulo
alrededor de un centro dado. En el espacio: una transformación en la que todos
los puntos se mueven un mismo ángulo alrededor de una recta dada, el eje.
Secuencia. Una
lista de números dispuestos en orden. Por ejemplo, la secuencia 1, 2, 4, 8, 16…
de potencias de 2.
Secuencia
aritmética. Una secuencia de números en la que cada número sucesivo es el anterior
más una cantidad fija, la diferencia común. Por ejemplo, 2, 5, 8, 11, 14… con
diferencia común 3. El término más antiguo es «progresión aritmética».
Serie. Una
expresión en la que se suman muchas cantidades, a menudo infinitas.
Serie de
potencias. Como un polinomio salvo que pueden ocurrir infinitas potencias de la
variable; por ejemplo, 1 + 2 x + 3 x2 +
4 x3 + … En circunstancias apropiadas a esta suma
infinita se le puede asignar un valor bien definido, y se dice que la serie
converge.
Seno. Una
función trigonométrica de un ángulo, definida por seno A = b/c en
la Figura 51.
Simetría. Una
transformación de un objeto que deja invariable su forma global. Por ejemplo,
rotar un cuadrado un ángulo recto.
Simetría
gauge. Un grupo de simetrías locales de un sistema de ecuaciones:
transformaciones de las variables que pueden variar de un punto a otro en el
espacio, con la propiedad de que cualquier solución de las ecuaciones sigue
siendo solución con tal de que en las ecuaciones se haga un cambio
compensatorio con una interpretación física razonable.
Singularidad. Un
punto en el que sucede algo desagradable, tal como que una función se haga
infinita o deje de existir una solución de una ecuación.
Sistema
dinámico. Cualquier sistema que cambia con el tiempo de acuerdo con reglas
específicas. Por ejemplo, el movimiento de los planetas en el Sistema Solar.
Sólido
regular. Un sólido cuya frontera está compuesta de polígonos regulares
idénticos, dispuestos de la misma manera en cada vértice. Euclides demostró que
existen exactamente cinco sólidos regulares.
Superficie. Una
forma en el espacio obtenida uniendo regiones que son topológicamente
equivalentes al interior de un círculo. Ejemplos son la esfera y el toro.
Tangente. Una
función trigonométrica de un ángulo, definida por tan A = b/a en
la Figura 51.
Teoría
cuántica de campos. Una teoría mecanocuántica de una cantidad que
llena el espacio y puede (y normalmente lo hace) tener valores diferentes en
localizaciones diferentes.
Teoría
gauge. Una teoría cuántica de campos con un grupo de simetrías gauge.
Tiempo de
explosión. El tiempo más allá del cual deja de existir una solución de una
ecuación diferencial.
Topología. El
estudio de espacios topológicos.
Toro. Una
superficie como la de un donut con un agujero. (Véase Figura 12).
Toro
plano. Un toro obtenido identificando lados opuestos de un cuadrado, cuya
geometría natural tiene curvatura cero. (Véase Figura 12).
Transformación. Otra
palabra para «función», comúnmente utilizada cuando las variables implicadas
son puntos en un espacio. Por ejemplo, «rotar alrededor del centro un ángulo
recto» es una transformación de un cuadrado.
Transformación
continua. Una transformación de un espacio con la propiedad de que puntos que
están muy próximos no se separan mucho.
Traslación. Una
transformación del espacio en la que todos los puntos se desplazan la misma
distancia y en la misma dirección.
Triangulación.
División de una superficie en una red de triángulos, o su análogo
multidimensional.
Tripleta
pitagórica. Tres números enteros, a, b, c tales que a2 + b2 = c2.
Por ejemplo, a = 3, b = 4, c =
5. Por el teorema de Pitágoras, números de este tipo forman los lados de un
triángulo rectángulo.
Trisección. Dividir
en tres partes iguales, especialmente en relación con ángulos.
Variable. Una
cantidad que puede tomar cualquier valor en cierto rango.
Variedad. Una
forma en el espacio definida por un sistema de ecuaciones polinómicas.
Variedad. Un
análogo multidimensional de una superficie suave.
Variedad
algebraica. Un espacio multidimensional definido por un conjunto de ecuaciones
algebraicas.
Vector. En
mecánica, una cantidad con magnitud y dirección. En álgebra y análisis, una
generalización de esta idea.
Velocidad. El
ritmo al que cambia la posición con respecto al tiempo. La velocidad tiene una
magnitud y una dirección.
Vórtice. Fluido
que fluye dando vueltas como un remolino. Puede tener cualquier tamaño, incluso
muy pequeño.
Lecturas
adicionales
Los
libros marcados "*" son técnicos.
* Adams,
Colin C., The Know Book, W. H. Freeman, 1994.
*
Browder, Felix (ed.), « Mathematical Developments Arising from Hilbert
Problems » (2 vols.), en Proceedings of Symposia in Pure
Mathematicas 28, American Mathematical Society, 1976.
* Cao,
Tian Yu, Conceptual Developments of 20th Century Field Theories,
Cambridge University Press, 1997.
Cook,
William J., In Pursuit of the Travelling Salesman, Princeton
University Press, 2012.
Devlin,
Keith, The Millennium Problems, Granta, 2004.
Diacu,
Florin y Philip Holmes, Celestial Encounters, Princeton University
Press, 1999.
Dudley,
Underwood, A Budget of Trisections, Springer, 1987.
—, Mathematical
Cranks, Mathematical Association of America, 1992.
Du
Sautoy, Marcus, The Music of the Primes, Harper Perennial, 2004.
[Hay traducción en castellano: La música de los números primos,
Acantilado, Barcelona, 2013].
Gessen,
Masha, Perfect Rigour, Houghton Mifflin, 2009.
*
Goldman, Jay R., The Queen of Mathematics, A. K. Peters, 1998.
Hadamard,
Jacques, The Psychology of Invention in the Mathematical Field,
Dover, 1954.
*
Hancock, Harris, Lectures on the Theory of Elliptic Functions,
Dover, 1958.
Kaku,
Michio, Hyperspace, Oxford University Press, 1994. [Hay traducción
en castellano: Hiperespacio, Crítica, Barcelona, 2007].
Lagarias,
Jeffrey C., The Ultimate Challenge: The 3x + 1 Problem, American
Mathematical Society, 2011.
Livingston,
Charles, « Knot Theory », Carus Mathematical Monographs, n.º
24, Mathematical Association of America, 1993.
Livio,
Mario, The Equation That Coludn’t Be Solved, Simon and Schuster,
2005. [Hay traducción en castellano: La ecuación jamás resuelta,
Ariel, Barcelona, 2007].
McKean,
Henry y Victor Moll, Elliptic Curves, Cambridge University Press,
1997.
O’Shea,
Donald, The Poincaré Conjecture, Walker, 2007. [Hay traducción en
castellano: La conjetura de Poincaré, Tusquets, Barcelona, 2008].
Randall,
Lisa, Warped Passages, Allen Lane, 2005. [Hay traducción en
castellano: Universos ocultos, Acantilado, Barcelona, 2013].
Ringel,
Gerhard, Map Color Theorem, Springer, 1974.
Rogers,
C. Ambrose, Packing and Covering, Cambridge Tracts in Mathematics
and Mathematical Physics, n.º 54, Cambridge University Press, 1964.
Sabbagh,
Karl, Dr Riemann’s Zeros, Atlantic Books, 2002.
Sample,
Ian, Massive, Basic Books, 2010.
Schoof,
René, Catalan’s Conjecture, Springer, 2008.
Singh,
Simon, Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate, 1997. [Hay traducción
en castellano: El enigma de Fermat, Editorial Planeta, Barcelona,
2003].
Stewart,
Ian, From Here to Infinity, Oxford University Press, 1996. [Hay
traducción en castellano: De aquí al infinito, Crítica, Barcelona,
2004].
—, Why
Beauty is Truth, Basic Books, 2007. [Hay traducción en castellano: Belleza
y verdad, Crítica, Barcelona, 2008].
—, Seventeen
Equations that Changed the World, Profile, 2012. [Hay traducción en
castellano: 17 ecuaciones que cambiaron el mundo, Crítica,
Barcelona, 2013].
Szpiro,
George, Kepler’s Conjecture, Wiley, 2003.
Tignol,
Jean-Pierre, Galois’ Theory of Algebraic Equations, Longman
Scientific and Technical, 1980.
Watkins,
Matthew, The Mystery of the Prime Numbers, Inamorata Press, 2010.
Wilson,
Robin, Four Colours Suffice, Allen Lane, 2002.
Yandell,
Benjamin, The Honors Class, A. K. Peters, 2002.
Notas al
pie de página
[1] El
original alemán es: «Wir müssen wissen. Wir werden wissen». Se encuentra en una
charla que grabó Hilbert para la radio. Ver Constante Reid, Hilbert,
Springer, Berlín, 1970, p. 196
[2] Simon
Singh, Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate, 1997.
[3] Gauss,
carta a Heinrich Olbers, 21 de marzo de 1816.
[4] El
título de Wiles era «Curvas modulares, formas elípticas y representaciones de
Galois».
[5] Andrew
Wiles, «Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem», Annals of
Mathematics, n.º 141 (1995), pp. 443-551.
[6] Ian
Stewart, Seventeen Equations that Changed the World, Profile, 2012,
capítulo 11.
[7]Ibid,
capítulo 9.
[8] Los
problemas de Hilbert, y su estatus actual, tal como figuran con ligeros cambios
en Profesor Stewart’s Hoard of Mathematical Treasures, Profile,
2009 (Hay traducción en castellano: Baúl de tesoros matemáticos,
Crítica, Barcelona, 2010.), son los siguientes:
1. Hipótesis del continuo: ¿Hay un número cardinal infinito
estrictamente comprendido entre las cardinalidades de los enteros y de los
números reales? Resuelto por Paul Cohen en 1963: la respuesta depende de los
axiomas que se utilicen para la teoría de conjuntos.
2. Consistencia lógica de la aritmética: Demostrar que los axiomas
estándar de la aritmética no pueden llevar a una contradicción. Resuelto por
Kurt Gödel en 1931: imposible con los axiomas habituales para la teoría de
conjuntos.
3. Igualdad de volúmenes de tetraedros: Si dos tetraedros tienen el
mismo volumen, ¿es siempre posible dividir uno de ellos en un número finito de
fragmentos poligonales y reensamblarlos para formar el otro? Resuelto en 1901
por Max Dehn, en sentido negativo.
4. La línea recta como la distancia más corta entre dos puntos:
Formular axiomas para la geometría en términos de la definición anterior de
«línea recta» e investigar las implicaciones. Demasiado general para tener una solución
definitiva, pero se ha trabajado mucho en ello.
5. Grupos de Lie sin suponer diferenciabilidad: Cuestión técnica en
la teoría de grupos de transformaciones. En una interpretación, resuelto por
Andrew Gleason en los años cincuenta del siglo pasado. En otra interpretación,
resuelto por Hidehiko Yamabe.
6. Axiomas para la física: Desarrollar un sistema de axiomas
riguroso para las áreas matemáticas de la física, tales como la probabilidad y
la mecánica. Andrei Kolmogorov axiomatizó la probabilidad en 1933.
7. Números irracionales y trascendentes: Demostrar que ciertos
números son irracionales o trascendentes. Resuelto por Aleksandr Gelfond y
Theodor Schneider en 1934.
8. Hipótesis de Riemann: Demostrar que todos los ceros no triviales
de la función zeta de Riemann yacen en la recta crítica. Ver capítulo 9.
9. Leyes de reciprocidad en campos de números: Generalizar la ley
clásica de reciprocidad cuadrática, sobre cuadrados respecto a un módulo, a
potencias más altas. Parcialmente resuelto.
10. Determinar cuándo una ecuación diofántica tiene solución:
Encontrar un algoritmo que, cuando se aplica a una ecuación polinómica con
varias variables, determina si existe una solución en números enteros.
Demostrado imposible por Yuri Matiyasevich en 1970.
11. Formas cuadráticas con números algebraicos como coeficientes:
Cuestiones técnicas sobre la solución de ecuaciones diofánticas con varias
variables. Parcialmente resuelto.
12. Teorema de Kronecker sobre campos abelianos: Cuestiones
técnicas que generalizan un teorema de Kronecker. Aún no resuelto.
13. Resolver ecuaciones de séptimo grado utilizando funciones
especiales: Demostrar que la ecuación general de séptimo grado no puede
resolverse utilizando funciones de dos variables. Una interpretación refutada
por Andrei Kolmogorov y Vladimir Arnold.
14. Finitud de sistemas completos de funciones: Extender un teorema
de Hilbert sobre invariantes algebraicos a todos los grupos de
transformaciones. Demostrado falso por Masayoshi Nagata en 1959.
15. Cálculo enumerativo de Schubert: Hermann Schubert encontró un
método no riguroso para contar varias configuraciones geométricas. Hacer el
método riguroso. Todavía no hay una solución completa.
16. Topología de curvas y superficies: ¿Cuántas componentes conexas
puede tener una curva algebraica de un grado dado? ¿Cuántos ciclos periódicos
distintos puede tener una ecuación diferencial algebraica de un grado dado?
Progresos limitados.
17. Expresar formas definidas por cuadrados: Si una función
racional toma siempre valores no negativos, ¿debe ser una suma de cuadrados?
Resuelto por Emil Artin, D. W. Dubois y Albrecht Pfister. Verdadero sobre los
números reales, falso en algunos otros sistemas de números.
18. Teselar el espacio con poliedros: Cuestiones generales sobre
llenar el espacio con poliedros congruentes. También menciona la conjetura de
Kepler, ahora demostrada; véase el capítulo 5.
19. Analiticidad de soluciones en el cálculo de variaciones: El
cálculo de variaciones responde a preguntas como: «Encontrar la curva más corta
con las siguientes propiedades». Si un problema semejante está definido por
funciones simples, ¿debe ser también simple la solución? Demostrado por Ennio
de Giorgi en 1957, y por John Nash.
20. Problemas de valores de contorno: Entender las soluciones de
las ecuaciones diferenciales de la física, dentro de una región del espacio,
cuando están prescritas las propiedades de la solución en la frontera de dicha
región. Esencialmente resuelto, por numerosos matemáticos.
21. Existencia de ecuaciones diferenciales con monodromía dada: Un
tipo especial de ecuación diferencial compleja puede entenderse en términos de
sus puntos singulares y su grupo de monodromía. Demostrar que cualquier
combinación de estos datos puede ocurrir. Respondida sí o no, dependiendo de la
interpretación.
22. Uniformización utilizando funciones automorfas: Cuestión
técnica sobre simplificación de ecuaciones. Resuelto por Paul Koebe poco
después de 1900.
23. Desarrollo del cálculo de variaciones: Hilbert pedía nuevas
ideas en el cálculo de variaciones. Se ha hecho mucho trabajo; cuestión
demasiado vaga para considerarse resuelta.
[9] Reimpreso
como: Jacques Hadamard, The Psychology of Invention in the Mathematical
Field, Dover, 1954.
[10] El
algoritmo de Agrawal-Kayal-Saxena es como sigue:Input: entero n1.
Si n es una potencia exacta de cualquier número más pequeño,
resultado COMPUESTO y stop.2. Encontrar el r más
pequeño tal que la potencia más pequeña de r que sea igual a 1
módulo n es al menos (log n)2.3. Si
cualquier número menor o igual que r tiene un factor en común
con n, resultado COMPUESTO y stop.4. Si n es
menor o igual que r, resultado PRIMO y stop.5. Para
todos los números naturales a desde 1 hasta un límite
especificado, comprobar si el polinomio (x + a)n es
igual a xn + a, módulo n y
módulo xr - 1. Si la igualdad se cumple en algún
caso, resultado COMPUESTO y stop.6. Resultado PRIMO.
[11] Un
ejemplo de lo que tengo en mente es la fórmula [A3n],
donde los corchetes denotan el máximo entero menor o igual que su contenido. En
1947 W. H. Mills demostró que existe una constante real A tal
que esta fórmula da un primo para cualquier n. Suponiendo la
hipótesis de Riemann, el mínimo valor de A que funciona es
aproximadamente 1,306. Sin embargo, la constante está definida utilizando una
secuencia apropiada de primos, y la fórmula es tan solo una forma simbólica de
reproducir esta secuencia. Para más de estas fórmulas, incluidas algunas que
representan a todos los primos, véase
http://mathworld.wolfram.com/PrimeFormulas.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes.
[12] Si n es
impar entonces n - 3 es par, y si n es mayor
que 5 entonces n - 3 es mayor que 2. Por la primera
conjetura, n - 3 = p + q, de modo que n =
p + q + 3.
[13] Prefiero
este término al antiguo, pero quizá más familiar, «progresión aritmética».
Nadie habla ya de progresiones, excepto en los casos de la aritmética y la
geométrica.
[14] http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html.
[15] Lo
que menos me gusta en este contexto es «salto cuántico». En el habla coloquial
indica algún paso adelante gigantesco, o un cambio enorme, como el
descubrimiento de América por los europeos. Sin embargo, en la teoría cuántica
un salto cuántico es tan minúsculo que ningún instrumento conocido puede
observarlo directamente, un cambio cuyo tamaño es aproximadamente 0,000 … 01
con unos cuarenta ceros.
[16] Encontrar
una disección finita de un cuadrado en un círculo se denomina el problema de
cuadrar el círculo de Tarski. Miklós Laczovich lo resolvió en 1990. Su método
no es constructivo y hace uso del axioma de elección. El número de piezas
requerido es enorme, del orden de 1050.
[17] Las
estrafalarias afirmaciones de los cuadradores del círculo y trisectores del
ángulo se exploran en profundidad en Underwood Dudley, A Budget of
Trisections, Springer, 1987, y Mathematical Cranks,
Mathematical Association of America, 1992. El fenómeno no es nuevo: véase
Augustus De Morgan, A Budget of Paradoxes, Longmans, 1872;
reimpreso por Books For Libraries Press, 1915.
[18] La
cuadratriz de Hippias es la curva que traza el punto de intersección de una
recta vertical que se mueve uniformemente a través de un rectángulo y una recta
que rota uniformemente en torno al punto central del lado inferior del
rectángulo (véase Figura 52). Esta relación convierte cualquier pregunta sobre
división de ángulos en la correspondiente sobre división de rectas. Por
ejemplo, para trisecar un ángulo simplemente se triseca la recta
correspondiente. Véase:http://www.geom.uiuc.edu/~huberty/math5337/groupe/quadratrix.html
Figura 52. La cuadratriz de Hippias (curva inferior).
[19] He
aquí un ejemplo explícito. Desde el punto de vista geométrico, si una línea
corta a un círculo y no es tangente al mismo, entonces corta al círculo en
exactamente dos puntos. Consideremos una línea que es paralela al eje
horizontal, a distancia ½ por encima del mismo (véase Figura 53). La ecuación
de esta línea es muy sencilla: y = ½. (Cualquiera que sea el
valor de χ, siempre obtenemos el mismo valor para y).
Cuando y = ½, la ecuación χ2 + y2 =
1 se hace χ2 + ¼ = 1. Por lo tanto χ2 =
3/4, de modo que x = √3/2 o x = -√3/2. Así,
el álgebra nos dice que el círculo unidad corta a nuestra recta escogida
exactamente en dos puntos, cuyas coordenadas son (√3/2, ½) y -(√3/2, ½). Esto
es consistente con la Figura 53 y con un razonamiento puramente geométrico.
Figura 53. Una recta horizontal que corta al círculo en dos puntos.
[20] Estrictamente
hablando, el polinomio en cuestión debe tener coeficientes enteros y ser
irreducible: no es producto de dos polinomios de grado menor con coeficientes
enteros. Tener un grado que es una potencia de 2 no siempre es suficiente para
que exista una construcción con regla y compás, pero siempre es necesario. Si
el grado no es una potencia de 2, no puede existir una construcción. Si es una
potencia de 2, se necesita más análisis para decidir si existe una
construcción.
[21] La
recíproca también es cierta: dadas construcciones para 3-gonos y 5-gonos
regulares, puede derivarse una para un 15-gono. La idea subyacente es que 2/5 -
1/3 = 1/15. Un punto sutil concierne a las potencias primas. El argumento no
proporciona una construcción para, digamos, un 9-gono dada una para sus
factores primos; a saber, un 3-gono. Gauss demostró que no es posible una
construcción para potencias primas impares mayores que la primera.
[22] Véase
Ian Stewart, Seventeen Equations that Changed the World, Profile,
2012, capítulo 5.
[23] Para
dar sentido a esta afirmación, resolvemos la cuadrática en factores lineales.
Entonces χ2 - 1 = (χ + 1) (χ -
1) que es cero si uno de los factores es cero, de modo que χ =
1 o -1. El mismo razonamiento puede aplicarse a χ2 = xx:
esto es cero si o bien el primer factor χ = 0 o bien el
segundo χ = 0. Sucede así que estas dos soluciones dan el
mismo χ, pero la presencia de dos factores χ distingue
esta situación de algo como χ (χ - 1) donde solo
hay un factor χ. Al contar cuantas soluciones tiene una ecuación
algebraica, la respuesta es generalmente mucho más rigurosa si se tienen en
cuenta estas «multiplicidades».
[24] Cuando n =
9, el segundo factor es χ8 + χ7 + x6 + x5 + x4 + x3 + 3 + x +
1 Pero esto tiene factores: es igual a (χ2 + x +
1) (x6 + 3 + 1). La caracterización
de Gauss de números construibles requiere que cada factor irreducible tenga un
grado que sea una potencia de 2. Pero el segundo factor tiene grado 6, que no
es una potencia de 2.
[25] Gauss
demostró que el 17-gono puede construirse siempre que se pueda construir una
recta cuya longitud sea
Puesto
que siempre se pueden construir raíces cuadradas, esto resuelve efectivamente
el problema. Otros matemáticos encontraron construcciones explícitas. Ulrico
von Huguenin publicó la primera en 1803, y H. W. Richmond encontró una más
sencilla en 1893. En la Figura 54, tomar dos radios perpendiculares AOP 0 y
BOC de un círculo. Hacer OJ = 1/4OB y ángulo OJE = 1/4OJP 0.
Encontrar F tal que el ángulo EJF es 45 °. Trazar un círculo con FP 0 como
diámetro, que corta a OB en K. Trazar el círculo con centro E que pasa por K,
que corta a AP 0 en G y H. Trazar HP 3 y
GP 5 perpendicular a AP 0. Entonces,
P 0, P 3, P 5 son
respectivamente los vértices 0-ésimo, tercero y quinto de un 17-gono regular, y
los otros vértices se construyen ahora fácilmente.
Figura 54. Cómo construir un 17-gono regular.
[26] Para
los últimos descubrimientos, véase Wilfrid Keller, «Factores primos de números
de Fermat y estatus completo de factorización»
http://www.prothsearch.net/fermat.html.
[27] E.
J. Richelot publicó una construcción para el 257-gono regular en 1832. J.
Hermes de la Lingen University dedicó diez años al polígono de 65.537 lados. Su
trabajo no publicado puede encontrarse en la Universidad de Gotinga, pero se
cree que contiene errores.
[28] Una
típica fracción continua tiene este aspecto:
Esta
fracción continua concreta es el comienzo de la que representa π.
[29] http://bellar4d.org/pi-challenge/announce220997.html.
[30] Louis
H. Kauffman, «Map coloring end the vector cross product, Journal of
Combinatorial Theory», B 48, (1990), pp. 145-154. Louis H. Kauffman,
«Reformulating the map color theoreme», Discrete Mathematics, n.º
302 (2005), pp. 145-172.
[31] Si
se permite que las fronteras sean muy complicadas, no como en un mapa sino
mucho más sinuosas, entonces tantos países como uno quiera pueden compartir una
«frontera» común. Una construcción llamada los Lagos de Wada demuestra este
resultado contraintuitivo. Véase:http://en.wikipedia.org/wiki/Lakes_of_Wada
[32] El
término técnico es «grafo dual», porque tradicionalmente se utilizaba «grafo»
en lugar de «red». Pero «red» se está haciendo habitual, es más evocador y
evita la confusión con otros usos de la palabra «grafo».
[33] Hasta
hace poco se pensaba que la nota en Nature era la última
referencia en prensa al problema durante casi un siglo, pero el historiador de
las matemáticas Robin Wilson localizó este artículo posterior de Cayley.
[34] Trabajando
en la red dual, sea C el número de caras (incluida una gran
cara que rodea la red entera), A el número de aristas y V el
número de vértices. Podemos suponer que cada cara en la red dual tiene al menos
tres aristas; si tiene una cara con solo dos aristas entonces corresponde a un
vértice «superfluo» de la red original en donde se encuentran solo dos aristas.
Este vértice puede eliminarse y las dos aristas se unen. Cada arista limita dos
caras, y cada cara tiene al menos tres aristas, de modo que A ≥
3C/2, o lo que es equivalente 2A/3 ≥ C. Por el teorema de
Euler C + V - A = 2, de modo
que 2A/3 + V - A ≥ 2, lo que implica
que
12 + 2A ≤
6V
Supongamos
que Am es el número de vértices con m vecinos.
Entonces A2, A3, A4 y A5 son
cero. Por lo tanto
A = A6
+ A7 + A8 + …
Puesto
que cara arista une dos vértices,
2A =
6V6 + 7V7 + 8V8 + …
Sustituyendo
esto en la desigualdad obtenemos
12 + 6V6
+ 7V7 + 8V8 + … ≤ 6V6 + 6V7 + 6V8 + …
de
modo que
12
+ V7 + 2V8 + … ≤ 0
que
es imposible.
[35] «Cadena»
es equívoco, puesto que sugiere una secuencia lineal. Una cadena de Kempe puede
contener lazos y puede ramificarse.
[36] La
demostración completa se da en Gerhard Ringel, Map Color Theorem,
Springer, 1974. Se divide en doce casos, dependiendo de si el género es de la
forma 12k, 12k + 1…, 12k + 11. Llamemos a estos
casos 0-11. Con un número finito de excepciones, los casos se
resolvieron como sigue:Caso 5: Ringel, 1954Casos 3, 7 y 10: Ringel en
1961.Casos 0 y 4: C. M. Ferry, Lloyd Welch y Youngs en 1963.Caso 1: W. Gustin y
Youngs en 1964.Caso 9: Gustin en 1965.Caso 6: Youngs en 1966.Casos 2, 8 y 11:
Ringel y Youngs en 1967.Las excepciones eran los géneros 18, 20, 23 (resuelto
por Yves Mayer en 1967) y 30, 35, 47, 659 (resuelto por Ringel y Youngs en
1968). Ellos también trataron el problema análogo para superficies de una cara
(como la banda de Möbius pero sin bordes), que también había abordado Heawood.
[37] La
notable historia de cómo se descubrió el error, y qué sucedió entonces, puede
encontrarse en: http://en.wikipedia.org/wiki/Pentium_FDIV_bug
[38] Una
página excelente para información sobre la física de los copos de nieve es
http://www.its.caltech.edu/-atomic/snowcrystals/.
[39] C.
A. Rogers, «The packing of equal spheres», Proceedings of the London
Mathematical Society, n.º 8 (1958), pp. 609-620.
[40] Puesto
que el espacio es infinito, hay infinitas esferas, de modo que el espacio y las
esferas tienen un volumen total infinito. No podemos definir la densidad como
∞/∞, porque eso no tiene un valor numérico bien definido. En su lugar
consideramos regiones de espacio cada vez más grandes y tomamos el valor límite
de la fracción de dichas regiones que llenan las esferas.
[41] http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/csq/csq49.html.
[42] C.
Song, P. Wang y H. A. Makse, A phase diagram for jammed matter, Nature,
n.º 453 (29 de mayo de 2008), pp. 629-632.
[43] Hai-Chau
Chang y Lih-Chung Wang, «A simple proof of Thue’s theoreme on circle packing»,
arXiv:1009.4322v1 (2010).
[44] J.
H. Lindsey, «Sphere packing in R3», Mathematika, n.º 33
(1986), pp. 137-147.
[45] Hales
utilizó varias nociones diferentes para lo que yo estoy llamando un jaula. La
última es «estrella en descomposición». Mi descripción omite algunas
distinciones cruciales para hacer comprensible la idea básica.
[46] Supongamos
que la región es un polígono, como en la Figura 55. Dado cualquier punto que no
está en el polígono, existe una línea recta desde dicho punto que sale fuera de
un gran círculo que contiene al polígono y no pasa por ningún vértice del polígono.
(Existe un número finito de vértices pero infinitas líneas rectas para
escoger). Esta línea corta al polígono un número finito de veces, y este número
es par o impar. Definimos el interior como lo que consiste en todos los puntos
para los cuales el número es impar, y el exterior como lo que consiste en todos
los puntos para los que es par. Es entonces sencillo demostrar que cada una de
estas regiones es conexa y el polígono las separa.
Figura
55. Demostrando el teorema de la curva de Jordan para un polígono. Un número
impar de intersecciones ocurre para puntos en la región sombreada (interior), y
un número par de intersecciones ocurre para puntos en la región blanca
(exterior). (036.jpg)
[47] http://code.google.com/p/flyspeck/.
[48] Andrew
Granville y Thomas Tucker, «It’s as easy as abc», Notices of the
American Mathematical Society, n.º 49 (2002), pp. 1224-1231.
[49] Para
desarrollar este críptico comentario: la fórmula es
donde
arcsen (a menudo escrito sen-1) es la función inversa del seno. Es
decir, si y = sen χ, entonces χ =
arcsen y.
[50] Por
ejemplo, sea k un número complejo cualquiera y consideremos la
integral
Esta es
la función inversa de una función elíptica denotada por sn. Existe una función
semejante para cada valor de k. La situación es como la de la nota
49, pero más elaborada.
[51] Véase
Ian Stewart, Seventeen Equations that Changad the World, Profile,
2012, capítulo 8.
[52] La
demostración puede encontrase en muchos textos sobre teoría de números, por
ejemplo Gareth A. Jones y J. Mary Jones, Elementary Number Theory,
Springer, 1998, p. 227. En la web, véase
http://en.wikipedia.org/wiki/infinite_descentXNon-solvability_og_r2_.2B_s4_.3D_t4.
[53] Una
raíz p-ésima de la unidad es el número complejo
ζ = cos
2π/p + i sen 2π/p
y las
otras son sus potencias ζ2, ζ3… ζp -
1. Para ver por qué, recordemos que las funciones trigonométricas seno y
coseno se definen utilizando un triángulo rectángulo (véase Figura 56, izquierda).
Para el ángulo A, utilizando las tradicionales a, b, c para
los tres lados, definimos el seno (sen) y el coseno (cos) de A por
sen A = a/c cos A = b/c
Si
hacemos c = 1 y situamos el triángulo en el plano complejo,
como en la Figura 56 (derecha), el vértice en el que se encuentran c y a es
el punto
cos A +
i sen A
Figura 56. Izquierda: Definiendo el seno y el coseno. Derecha:
Interpretación en el plano complejo.
Es ahora
sencillo demostrar que para cualesquiera ángulos A y B,
(cos A +
i sen A) (cos B + i sen B) = cos (A + B)
+ i sen (A + B)
y esto
lleva directamente a la fórmula de De Moivre
(cos A +
i sen A)n = (cos nA + i sen nA)
para
cualquier entero positivo n. Por lo tanto
ζp =
(cos 2π/p + i sen 2π/p)p = cos 2π + i
sen 2π = 1
de
modo que cada potencia 1, ζ, ζ2, ζ3…, ζp
- 1 es una raíz p-ésima de la unidad. Nos detenemos
aquí porque ζp = 1, de modo que no aparecen números
nuevos si tomamos potencias más altas.
[54] Introduzcamos
la norma
N(a + b√15)
= a2 - 15b2
que tiene
la bonita propiedad
N(xy)
= N(χ)N(y)
Entonces
N(2) = 4
N(5) = 25 N(5 + √15) = 10 N(5 - √15) = 10
Cualquier
divisor propio de uno de estos cuatro números debe tener norma 2 o 5 (los
divisores propios de sus normas). Pero las ecuaciones a2 -
15b2 = 2 y a2 - 15b2 =
5 no tienen soluciones enteras.
Por
consiguiente, no existen divisores propios.
[55] Simon
Singh, Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate, 1997.
[56] O
quizá no. Vladimir Krivchenkov ha señalado que la energía del estado
fundamental y los primeros estados excitados para el problema de los tres
cuerpos cuántico pueden calcularse a mano. Pero en mecánica clásica, el
problema análogo es menos tratable debido al caos.
[57] Citado
en Arthur Koestler, The Sleepwalkers, Penguin Books, 1990, p. 338.
[58] Puede
encontrarse una animación y más información en:
http://www.scholarpedia.org/article/N-body_choreographies
[59] Debe
su nombre al Barón de Orrey, a quien se le regaló uno en 1704.
[60] Más
formalmente, esto se denomina tiempo de Liapunov.
[61] Existe
una variante que integra 1/log t de 2 a χ, y no de
0 a χ. Esto evita una dificultad técnica en t = 0,
donde log t no está definido. A veces se utiliza la notación
Li(χ) para esta variante, y a la función definida en el texto se le
llama li(χ).
[62] El
nombre «Pafnuty» no es habitual. Llevó a Philip Davis a escribir un libro
peculiar pero absorbente: The Thread: a Mathematical Yarn,
Harvester Press, 1983.
[63] Esto
se sigue de la curiosa formula de Riemann:
donde Γ(s)
es una función clásica llamada función gamma, definida para todo complejo s.
El segundo miembro está definido cuando la parte real de s es
mayor que 1.
[64] Bernhard
Riemann, «Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse», Monatsberichte
der Königlich Preußischen Akademie der Wissenchaften zu Berlin, noviembre
1859.
[65] Riemann
definió una función íntimamente relacionada.
que
cuenta potencias primas en lugar de primos. A partir de esta podemos recuperar
π(χ). Luego demostró una fórmula exacta para esta función modificada en
términos de integrales logarítmicas y una integral relacionada:
Aquí
∑ indica una suma sobre todos los números ρ para los que ζ(ρ) es
cero, excluidos los enteros pares negativos.
[66] Por
ejemplo, χ + √χ es asintótica a χ: la
razón es
(χ +
√χ) / χ = 1 + 1/√χ
Cuando χ aumenta,
también lo hace √χ, de modo que 1/√χ tiende a 0 y la razón
tiende a 1. Pero la diferencia es √χ, y eso se hace cada vez mayor a
medida que χ aumenta. Por ejemplo, cuando χ es
1 billón, √χ es 1 millón.
[67] La
constante de Euler es el límite, cuando n tiende a infinito,
de
[68] Douglas
A. Stoll y Patrick Demichel, «The impact of ζ(s) complex
zeros on π(χ) for x < 1010^13», Mathematics
of Computation, n.º 276 (2011), pp. 2381-2394.
[69] http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mnwatkin/zeta/RHproofs.htm.
[70] J.
Brian Conrey y Xian-Jin Li, «A note on some positivity conditions related to
zeta- and L-functions»: http://arxiv.org/abs/math.NT/9812166
[71] La
3-esfera unidad comprende todos los puntos con coordenadas (x, y, z, w)
tales que χ2 + y2 + z2 + w2 =
1. Hay varias maneras de hacer la 3-esfera más intuitiva. Todas pueden
entenderse por analogía con una 2-esfera y comprobarse utilizando geometría de
coordenadas. Una descripción semejante («bola sólida con todos los puntos de la
superficie identificados») se da en el texto, y la Figura 57 muestra otra. Para
establecer la analogía, observemos que si cortamos una 2-esfera a lo largo de
su ecuador obtenemos dos semiesferas. Cada una de ellas se aplana hasta dar un
disco, y esto es una deformación continua. Para reconstruir la 2-esfera,
simplemente identificamos puntos correspondientes en las fronteras de estos dos
discos. En cierto sentido hemos hecho un mapa de la 2-esfera utilizando dos
discos planos, de forma parecida a como los cartógrafos crean una proyección
plana de nuestro planeta redondo. Podemos construir una 3-esfera utilizando un
procedimiento análogo. Tomamos dos bolas sólidas e identificamos puntos
correspondientes en sus superficies. Ahora ambos tienen la misma superficie
(porque identificamos las dos superficies), y es una 2-esfera. Forma el
«ecuador» de la 3-esfera.
Figura 57. Cómo hacer una 3-esfera. Izquierda: Cortar una 2-esfera en
semiesferas. Centro : Reconstruir la 2-esfera a partir de las dos mitades
uniendo los bordes. Derecha: Por analogía, unir idealmente las superficies de
dos bolas de modo que puntos correspondientes se consideran idénticos. Esto da
una 3-esfera.
[72] El
convenio usual es hablar de suma y utilizar la notación a + b cuando
la ley de conmutación es válida, pero hablar de multiplicación y utilizar la
notación ab cuando podría no serlo. He ignorado aquí este
convenio porque no es un libro de texto sobre teoría de grupos, y «suma» parece
más natural.
[73] Empecemos
la cuenta en cero. Cada vez que pasamos por la parada del autobús en sentido
contrario a las agujas del reloj, incrementamos la cuenta en 1; cada vez que
pasamos en el sentido de las agujas, disminuimos la cuenta en 1. Al final del
viaje sumamos 1 si llegamos en sentido contrario a las agujas, y restamos 1 si
llegamos en el sentido de las agujas. La cuenta final es el número total de
veces que dimos vueltas al círculo, medidas en el sentido contrario a las
agujas del reloj.
[74] La
fórmula de Stirling afirma que n! es aproximadamente
[75] William
J. Cook, In Pursuit of the Travelling Salesman, Princeton
University Press, Princeton, 2012. Para información actual, véase http://
www.tsp.gatech.edu/index.html.
[76] Richard
M. Karp, «Reducibility among combinatorial problems», en R. F. Miller y J. W.
Thatcher (eds.), Complexity of Computer Computations, Plenum, 1972,
pp. 8-103.
[77] Z.
Xia, «The existence of noncollision singularities in Newtonian systems», Annals
of Mathematics, n.º 135 (1992), pp. 411-468.
[78] http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/.
[79] Véase
Ian Stewart, Seventeen Equations that Changed the World, Profile,
2012, capítulo 14.
[80] Leonardo
Pisano Fibonacci, The Book of Squares, anotado y traducido por L.
E. Sigler, Academia Press, 1987.
[81] Leonardo
encontró una familia de soluciones.
donde m y n son
impares. El papel de d lo desarrolla aquí el número mn(m2 - n2),
y χ es (m2 + n2)/2.
Escogiendo m = 5, n = 4 se llega a mn(m2 - n2)
= 180. Además, 720 = 5 × 62. Dividiendo χ por 6 se
obtiene la respuesta.
[82] Si x
- n, x y x + n son cuadrados, entonces también lo es
su producto, que es x3 - n2χ. Por
consiguiente la ecuación y2 = χ3 - n2χ tiene
una solución racional. Además, y no es cero, de lo
contrario χ = n de modo que χ y
2χ son cuadrados, lo que es imposible puesto que √2 es irracional.
Recíprocamente, si χ e y satisfacen la
ecuación cúbica e y no es 0, entonces a = (χ2 - n2)/y,
b = 2nx/y, y c = (χ2 + n2)/y satisfacen
las ecuaciones a2 + b2 = c2 y ab/2
= n.
[83] Esto
es,
donde r es
el rango, C es una constante y ≈ significa que la razón de los
dos miembros tiende a 1 cuando χ tiende a infinito.
[84] La
razón más probable es que estas son las traducciones naturales de las lenguas
utilizadas por los matemáticos más importantes en las dos áreas.
[85] No
estoy seguro de por qué b no era el número de bananas. ¿Quizá
porque en la Gran Bretaña de la posguerra las bananas eran artículos exóticos
que apenas se veían en las tiendas?
[86] Este
es un chiste matemático estándar: un biólogo, un estadístico y un matemático
están sentados en la terraza de un café observando a la gente que pasa. Un
hombre y una mujer entran en un edificio al otro lado de la calle. Diez minutos
más tarde salen acompañados de un niño. «Ellos se han reproducido», dice el
biólogo. «No —dice el estadístico—, es un error observacional. En promedio, dos
personas y media fueron en cada dirección». «No, no, no —dice el matemático—.
Es perfectamente obvio. Si alguien entra ahora, el edificio estará vacío».
[87] Bohr
puede haber puesto el dedo en la llaga. Las teorías científicas se ponen a
prueba por sus predicciones, pero pocas de estas predicen el futuro. La mayoría
son enunciados si/entonces: si se hace pasar luz a través de un prisma, se
descompondrá en colores. La «predicción» no dice cuándo sucederá esto. Por
ello, paradójicamente, podemos hacer predicciones sobre el tiempo sin predecir
el tiempo. «Si el aire caliente procedente de un ciclón se junta con aire frío,
entonces nevará» es una predicción científica, pero no un pronóstico.
[88] La
cita o una variante parecida ha sido atribuida a unas treinta fuentes
diferentes, incluidos Sam Goldwyn, Woody Allen, Winston Churchill y Confucio.
Véase http://www.larry.denenberg.com/predictions.html.
[89] Para
la información más reciente, véase «The Prime Pages»: http:// primes.utm.edu.
[90] Ilia
Krasikov y Jeffrey C. Lagarias, «Bounds for the 3x + 1 problemas using
difference inequalities», Acta Arithmetica, n.º 109 (2003), pp.
237-258.
[91] Jorge
F. Sawyer y Clifford A. Reiter, «Perfect parallelepipeds exist».
arXiv:0907.0220 (2009).
[92] R.
Fulek y J. Pach, «A computational approach to Conway’s thrackle
conjecture», Computational Geometry, n.º 44 (2011), pp. 345-355.
[93] http://en.wikipedia.org/wiki/Langton9627_ant.
[94] La
conjetura abc afirma: Para cualquier ε > 0 existe una constante kε
> 0 tal que si a, b y c son enteros
positivos que no tienen ningún factor común mayor que 1, y a + b =c,
entonces c ≤ kεP1 + ε,
done P es el producto de todos los primos distintos que
dividen abc.
[95] Andrew
Granville y Thomas J. Tucker, «It’s as easy as abc», Notices of the
American Mathematical Society, n.º 49 (2002), pp. 1224-1231. En septiembre
de 2012 Shinichi Mochizuki anunció que había demostrado la conjetura ABC
utilizando una aproximación radicalmente nueva a los fundamentos de la
geometría algebraica. Los expertos están ahora comprobando su demostración de
quinientas páginas, pero esto puede llevar mucho tiempo.
Notas al
fin del libro
[i] Se
trataba del cálculo de la estructura del grupo de Lie E8». (N.
del t.).
[ii] Este
congreso tuvo lugar en Madrid. (N. del t.).
[iii] A
veces se traduce «gauge» por calibre o aforo. Un término castellano similar es
galga. No obstante, el término «gauge» ya está asentado en el lenguaje
científico. (N. del t).
[iv] En
castellano no existe esta distinción. La misma palabra «variedad» traduce los
términos ingleses «variety» y «manifold». (N. del t.)
[v] En
el caso del alfabeto español, de 27 letras, el número de maneras es:
27!
=293.999.475.161.295.508.340.736.000.000
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