© Libro N° 11979.
El Teorema De Godel. Nagel,
Ernest Y Newman, James R. Emancipación. Diciembre 16 de 2023
Título original: ©
El Teorema De Godel. Ernest Nagel Y James R. Newman
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Emancipación:
Guillermo Molina Miranda
Ernest Nagel
Y
James R. Newman
El
Teorema De Godel
Ernest
Nagel Y James R. Newman
CONTENIDO
I.
Introducción
II. El
problema de la consistencia
III.
Pruebas absolutas de consistencia
IV. La
codificación sistemática de la lógica formal
V. Un
ejemplo de prueba absoluta de consistencia
VI. La
idea de representación y su empleo en las matemáticas
VII. Las
pruebas de Gödel
VIII.
Reflexiones finales Bibliografía
A
Bertrand Russell
Capítulo
I
Introducción
En 1931
apareció en una publicación científica alemana un trabajo, relativamente corto,
que llevaba el impresionante título de «Sobre las proposiciones formalmente
indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas conexos».
Su autor era Kurt Gödel, a la sazón un joven matemático de veinticinco años de
la Universidad de Viena y, desde 1938, miembro permanente del Instituto de
Estudios Avanzados de Princeton. Dicho trabajo constituye una piedra miliaria
en la historia de la lógica y las matemáticas. Cuando la Universidad de Harvard
le invistió como doctor honoris causa en 1952, la mención
describió la obra como uno de los más importantes avances que en el campo de la
lógica se han realizado en los tiempos modernos.
En la
época de su publicación, sin embargo, ni el título del trabajo de Gödel ni su
contenido eran inteligibles para la mayoría de los matemáticos. Los Principia
Mathematica mencionados en el título son el monumental tratado en tres
volúmenes debido a Alfred North Whitehead y Bertrand Russell sobre la lógica
matemática y los fundamentos de las matemáticas, y el conocimiento de esa obra
no es un requisito indispensable para la realización de una fructuosa
investigación en la mayoría de las ramas de la ciencia matemática. Además, el
trabajo de Gödel versa sobre una serie de cuestiones que nunca han atraído más
que a un grupo relativamente reducido de estudiosos. El razonamiento del
teorema era tan nuevo en el momento de su publicación, que solo quienes se hallaban
pertrechados con un profundo conocimiento de la literatura técnica sumamente
especializada podían seguir y comprender plenamente la línea argumentativa del
mismo. Actualmente, sin embargo, las conclusiones establecidas por Gödel son
por todos reconocidas como verdaderamente revolucionarias por su honda
significación filosófica. La finalidad del presente ensayo es hacer accesibles
a los no especialistas el núcleo esencial de los hallazgos de Gödel y las
líneas generales de su teorema.
El famoso
trabajo de Gödel se centró sobre un importante problema radicado en el
fundamento mismo de las matemáticas. Antes de entrar de lleno en su exposición,
será conveniente dar una breve explicación del terreno en que se desenvuelve
dicho problema. Todo el que haya estudiado geometría elemental recordara, sin
duda, que esta es enseñada como una disciplina deductiva. No se la
presenta como una ciencia experimental, cuyos teoremas deban ser aceptados por
hallarse de acuerdo con lo que enseña la observación. Esta idea de que una
proposición puede ser establecida como conclusión de una prueba lógica explícita
se remonta a los antiguos griegos, los cuales descubrieron lo que se conoce con
el nombre de «método axiomático» y lo utilizaron para obtener un desarrollo
sistemático de la geometría. El método axiomático consiste en aceptar sin prueba
ciertas proposiciones como axiomas o postulados (por ejemplo, el axioma de que
entre dos puntos sólo puede trazarse una línea recta), y en derivar luego de
esos axiomas todas las demás proposiciones del sistema, en calidad ya de
teoremas. Los axiomas constituyen los «cimientos» del sistema; los teoremas son
la «superestructura», y se obtienen a partir de los axiomas sirviéndose,
exclusivamente, de los principios de la lógica.
El
desarrollo axiomático de la geometría produjo una poderosa impresión en los
pensadores de todos los tiempos, ya que el relativamente pequeño número de
axiomas soporta el peso de las infinitamente numerosas proposiciones que de
ellos podían derivarse. Además, si puede demostrarse de alguna manera la verdad
de los axiomas —y, en efecto, durante cerca de dos mil años la mayoría de los
estudiosos han creído sin discusión que son absolutamente ciertos—, quedan
automáticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia mutua de
todos los teoremas. Por estas razones la forma axiomática de la geometría se
presentó a muchas generaciones de destacados pensadores como el más excelente
modelo de conocimiento científico. Era natural preguntar, por tanto, si era
posible asentar sobre un sólido cimiento axiomático otras ramas de pensamiento
además de la geometría. No obstante, aunque en la antigüedad se dio una
formulación axiomática a ciertas partes de la física (por Arquímedes), hasta
los tiempos modernos la geometría era la única rama de las matemáticas dotada
de lo que la mayoría de los estudiosos consideraban una adecuada base
axiomática.
Pero
durante los dos últimos siglos el método axiomático ha ido adquiriendo fuerza y
vigor crecientes. Nuevas y viejas ramas de las matemáticas, incluyendo la
familiar aritmética de los números cardinales (o «enteros»), fueron provistas
de lo que parecían ser unos adecuados conjuntos de axiomas. Nació así un estado
de opinión en el que se admitía tácitamente que todos los sectores del
pensamiento matemático podían ser dotados de unos conjuntos de axiomas
susceptibles de desarrollar sistemáticamente la infinita totalidad de
proposiciones verdaderas suscitadas en el campo sujeto a investigación.
El
trabajo de Gödel demostró que esta suposición es insostenible. Puso frente a
los matemáticos la asombrosa y melancólica conclusión de que el método
axiomático posee ciertas limitaciones intrínsecas que excluyen la posibilidad
de que ni siquiera la aritmética ordinaria de los números enteros pueda llegar
a ser plenamente axiomatizada. Y aún más, demostró que es imposible establecer
la consistencia lógica interna de una amplia clase de sistemas deductivos —la
aritmética elemental, por ejemplo—, a menos que se adopten principios tan
complejos de razonamiento que su consistencia interna quede tan sujeta a la
duda como la de los propios sistemas. A la luz de estas conclusiones, resulta
inalcanzable una completa sistematización final de muchas y muy importantes
zonas de las matemáticas y no puede darse ninguna garantía absolutamente
impecable de que muchas de las más significativas ramas del pensamiento
matemático se hallen enteramente libres de toda contradicción interna.
Los
descubrimientos de Gödel socavaron, así, prejuicios profundamente arraigados y
demolieron las antiguas esperanzas que estaban siendo nuevamente alimentadas
por la investigación en torno a los fundamentos de las matemáticas. Pero su
estudio no era totalmente negativo. Introdujo en el examen de las cuestiones
planteadas en torno al fundamento de las matemáticas una nueva técnica de
análisis, comparable por su naturaleza y su fecundidad al método algebraico que
René Descartes introdujo en la geometría. Esta técnica sugería y planteaba
nuevos problemas para la investigación lógica y matemática. Provoco una nueva
valoración, todavía en trance de desarrollo, de una extendida filosofía de la
matemática y de la filosofía del conocimiento en general.
Sin una
considerable formación matemática es demasiado difícil seguir los detalles de
las demostraciones dadas por Gödel en su ya histórico trabajo. Pero la
estructura básica de sus razonamientos y el aspecto esencial de sus
conclusiones pueden ser hechos accesibles a los lectores que se hallen dotados
de una limitada preparación lógica y matemática. Para lograr esta comprensión
puede que le sea útil al lector una breve exposición de ciertos progresos
relevantes realizados en la historia de las matemáticas y de la moderna lógica
formal. Los cuatro capítulos siguientes de este ensayo se hallan consagrados a
dicha exposición.
Capítulo
II
El problema de la consistencia
El siglo
XIX presenció una prodigiosa expansión e intensificación de la investigación
matemática. Fueron resueltos muchos problemas fundamentales que durante largo
tiempo habían resistido a los esfuerzos de los pensadores anteriores: se
crearon nuevos sectores de estudio matemático y se establecieron nuevos
cimientos en diversas ramas de la disciplina o se reformaron por completo los
antiguos con la ayuda de técnicas analíticas más precisas. Sirva de ejemplo lo
siguiente. Los griegos habían propuesto tres problemas de geometría elemental:
con regla y compás, dividir en tres partes iguales un ángulo cualquiera,
construir un cubo de doble volumen que el volumen de un cubo dado y construir
un cuadrado de área igual a la de un círculo dado. Durante más de dos mil años
se hicieron infructuosos esfuerzos por resolver estos problemas. Y, finalmente,
en el siglo XIX, se demostró que tales construcciones son lógicamente
imposibles. Se obtuvo, además, un valioso resultado secundario de esos
trabajos. Puesto que las soluciones dependen esencialmente de determinar la
clase de raíces que satisfacen a ciertas ecuaciones, el interés suscitado por
los famosos ejercicios planteados en la antigüedad estimula la realización de
profundas investigaciones acerca de la naturaleza de los números y sobre la
estructura del continuo numérico. Los números negativos, complejos e
irracionales fueron definidos con rigurosa precisión; se construyó una base
lógica para el sistema de números reales y se fundó una nueva rama de las
matemáticas: la teoría de los números transfinitos.
Pero el
progreso más importante por sus repercusiones sobre la subsiguiente evolución
de la ciencia matemática fue, quizá, la solución de otro problema que los
griegos habían planteado sin darle una respuesta. Uno de los axiomas que
Euclides utilizó para sistematizar la geometría se refiere a las paralelas. El
axioma que adopto es lógicamente equivalente (aunque no idéntico) a la
hipótesis de que por un punto exterior a una línea dada solamente puede
trazarse una paralela a esa línea. Por varias razones, este axioma no pareció
«evidente por sí mismo» a los antiguos. Trataron, por tanto, de deducirlo de
otros axiomas euclidianos que consideraban claramente autoevidentes[1]. ¿Puede
hallarse una demostración del axioma de las paralelas? Generaciones enteras de
matemáticos forcejearon sin resultado con esta cuestión. Pero el reiterado
fracaso en el intento de construir una prueba no significa que no pueda ser
encontrada ninguna en absoluto, del mismo modo que el reiterado fracaso en el
intento de hallar un remedio para el resfriado común no demuestra de forma
indudable que la Humanidad haya de sufrir eternamente sus molestias. Fue
solamente en el siglo XIX, principalmente por la obra de Gauss, Bolyai,
Lobachevski y Riemann, cuando se demostró la imposibilidad de
deducir de los otros axiomas el axioma de las paralelas. Este resultado tuvo
una importancia intelectual extraordinaria. En primer lugar, llamó
clamorosamente la atención hacia el hecho de que puede demostrarse la imposibilidad
de demostrar ciertas proposiciones dentro de un determinado sistema.
Como veremos, el trabajo de Gödel es una demostración de la imposibilidad de
demostrar ciertas proposiciones importantes de la aritmética. En segundo lugar,
la resolución de la cuestión planteada por el axioma de las paralelas obligó a
admitir que Euclides no había dicho la última palabra acerca de la geometría,
ya que pueden construirse nuevos sistemas de geometría utilizando cierto número
de axiomas distintos de los adoptados por Euclides e incompatibles con ellos.
En particular, como es bien sabido, se obtienen resultados extraordinariamente
interesantes y fructíferos cuando se sustituye el axioma de las paralelas de
Euclides por la hipótesis de que, por un punto dado, puede trazarse más de una
paralela a una línea determinada, o, alternativamente, por la hipótesis de que
no puede trazarse ninguna paralela. La creencia tradicional de que los axiomas
de la geometría (o, lo que es lo mismo, los axiomas de cualquier disciplina)
pueden ser establecidos como tales por su aparente autoevidencia fue así
destruida en su misma base. Además, fue haciéndose cada vez más claro que la
tarea propia del matemático puro es deducir teoremas a partir de
hipótesis postuladas, y que, en cuanto tal matemático, no le atañe la
cuestión de decidir si los axiomas que acepta son realmente verdaderos. Y,
finalmente, estas modificaciones de la geometría ortodoxa estimularon la
revisión y perfección de las bases axiomáticas de otros muchos sistemas
matemáticos. Se dio un fundamento axiomático a campos de investigación que
hasta entonces habían sido cultivados de una forma más o menos intuitiva[2].
La
conclusión dominante desprendida de estos estudios críticos de los fundamentos
de las matemáticas es que la antigua concepción de las matemáticas como
«ciencia de la cantidad» es equivocada, además de engañosa. Pues se hizo
evidente que la matemática es, simplemente, la disciplina por excelencia que
extrae las conclusiones lógicamente implicadas en cualquier conjunto dado de
axiomas o postulados. Llegó, de hecho, a reconocerse que la validez de una
deducción matemática no depende en absoluto de ningún significado especial que
pueda estar asociado con los términos o expresiones contenidos en los
postulados. Se admitió así que las matemáticas eran algo mucho más abstracto y
formal de lo que tradicionalmente se había supuesto; más abstracto, porque las
afirmaciones matemáticas pueden ser hechas en principio sobre cualquier objeto,
sin estar esencialmente circunscritas a un determinado conjunto de objetos o de
propiedades de objeto, y más formal, porque la validez de las demostraciones
matemáticas se asienta en la estructura de las afirmaciones más que en la
naturaleza especial de su contenido. Los postulados de cualquier rama de la
matemática demostrativa nunca versan intrínsecamente sobre el espacio, la
cantidad, manzanas, ángulos o presupuestos financieros; y ningún significado
especial que pueda asociarse con los términos (o «predicados descriptivos»)
contenidos en los postulados desempeña papel esencial alguno en el proceso de
deducir teoremas. Repetimos que la única cuestión a la que se enfrenta el matemático
puro (en cuanto diferente del científico que hace uso de las matemáticas en la
investigación de un determinado objeto de estudio) no es si los postulados de
que parte o las conclusiones que de ellos deduce son verdaderos, sino si las
conclusiones obtenidas son realmente las consecuencias lógicas
necesarias de las hipótesis iniciales.
Consideremos
un ejemplo. Entre los términos no definidos (o «primitivos») empleados por el
destacado matemático alemán David Hilbert en su famosa axiomatización de la
geometría (publicada en 1899) se hallan «punto», «línea», «estar situado en» y
«entre». Podemos admitir que los significados habituales relacionados con estas
expresiones desempeñan un papel en el proceso de descubrir y aprender teoremas.
Puesto que los significados nos son familiares nos damos cuenta de que
comprendemos sus diversas relaciones mutuas y ellos también motivan la
formulación y selección de axiomas; además, sugieren y facilitan la formulación
de las afirmaciones que esperamos demostrar como teoremas. Sin embargo, como
paladinamente declara Hilbert, mientras estemos interesados en la fundamental
labor matemática de explorar las relaciones estrictamente lógicas de
dependencia entre afirmaciones debemos prescindir de las connotaciones
familiares de los términos primitivos, y los únicos «significados» que se deben
asociar con ellos son los que se hallan determinados por los axiomas en que
están contenidos[3]. A esto
es a lo que se refiere el famoso epigrama de Russell: la matemática
pura es la ciencia en la que no sabemos de qué estamos hablando ni si lo que
estamos diciendo es verdadero.
No es
fácil, desde luego, adentrarse en un terreno de rigurosa abstracción, carente
de toda clase de mojones señaladores. Pero ofrece compensaciones importantes en
forma de una nueva libertad de movimientos y de renovadas perspectivas. La
acentuada formalización de las matemáticas emancipó la mente de los hombres de
las restricciones que la habitual interpretación de las expresiones establecía
para la construcción de nuevos sistemas de postulados. Surgieron nuevas
especies de álgebras y de geometrías que señalaron importantes desviaciones
respecto de las matemáticas tradicionales. Al hacerse más generales los
significados de ciertos términos se hizo más amplia su utilización y menos
limitadas las deducciones que podían extraerse de ellos. La formalización condujo
a una gran variedad de sistemas de considerable interés matemático y de un
valor extraordinario. Preciso es admitir que algunos de estos sistemas no se
prestaban a interpretaciones tan evidentemente intuitivas (esto es, conformes
al sentido común) como las de la geometría euclídea o de la aritmética, pero
este hecho no causo ninguna alarma. La intuición, en realidad, es una facultad
elástica; nuestros hijos no encontraran, probablemente, dificultad alguna en
aceptar como intuitivamente evidentes las paradojas de la relatividad, del
mismo modo que nosotros no retrocedemos ante ideas que eran consideradas
completamente no intuitivas hace un par de generaciones. Además, como todos
sabemos, la intuición no es una guía segura: no puede ser utilizada adecuadamente
como criterio de verdad ni de fecundidad en las exploraciones científicas.
La
creciente abstracción de las matemáticas planteó, empero, un problema más
serio. Suscitó la cuestión de si un determinado conjunto de postulados erigidos
como bases de un sistema es internamente consistente, de tal modo que no puedan
deducirse teoremas mutuamente contradictorios a partir de esos postulados. El
problema no parece apremiante cuando se considera un conjunto de axiomas que
versan sobre una especie concreta y conocida de objetos, ya que entonces no
solo es significativo preguntar, sino que puede ser posible asegurarse de ello,
si los axiomas son verdaderos referidos a tales objetos. Como quiera que se
daba generalmente por supuesto que los axiomas euclidianos eran afirmaciones
verdaderas respecto al espacio (o a los objetos en el espacio), ningún
matemático anterior al siglo XIX se detuvo siquiera a considerar la cuestión de
si podría deducirse algún día de tales axiomas un par de teoremas
contradictorios. El fundamento de esta confianza en la consistencia de la
geometría euclidiana es el recto principio de que no pueden ser simultáneamente
verdaderas afirmaciones lógicamente incompatibles; por consiguiente, si es
verdadero un conjunto de afirmaciones (que es lo que se daba por supuesto
respecto de los axiomas euclidianos), esas afirmaciones son mutuamente
consistentes.
Las
geometrías no euclidianas pertenecían a una categoría diferente. Sus axiomas
fueron considerados inicialmente como siendo claramente falsos respecto del
espacio y, por este motivo, dudosamente verdaderos respecto de cualquier otra
cosa; por ello fue considerado notablemente arduo, a la par que decisivo, el
problema de establecer la consistencia interna de los sistemas no euclidianos.
En la geometría riemanniana, por ejemplo, el postulado de las paralelas de
Euclides es sustituido por la hipótesis de que por un punto dado exterior a una
línea no puede trazarse ninguna paralela a ella. Planteémonos
ahora la cuestión de si es consistente el conjunto riemanniano de postulados.
Aparentemente, los postulados no son verdaderos referidos al espacio de la
experiencia ordinaria. ¿Cómo puede entonces mostrarse su consistencia? ¿Cómo
puede demostrarse que no conducirán a teoremas contradictorios? Evidentemente,
la cuestión no queda resuelta por el hecho de que los teoremas ya deducidos no
se contradicen entre sí, toda vez que subsiste la posibilidad de que el próximo
teorema que se deduzca introduzca la discordia en el sistema. Pero hasta que se
resuelva esa cuestión no puede haber certeza de que la geometría riemanniana
constituya una verdadera alternativa al sistema euclidiano, esto es, que sea
igualmente válida matemáticamente. La posibilidad misma de la existencia de
geometrías no euclidianas paso así a depender de la resolución de este
problema.
Se ideó
un método general para su resolución. La idea básica consiste en encontrar un
«modelo» (o «interpretación») para los postulados abstractos de un sistema, de
tal modo que cada postulado se convierta en una afirmación verdadera respecto
del modelo. En el caso de la geometría euclidiana, como hemos visto, el modelo
era el espacio ordinario. Se utilizó el método para encontrar otros modelos
cuyos elementos pudiesen servir de puntos de apoyo para determinar la
consistencia de postulados abstractos. El procedimiento viene a ser el
siguiente. Designemos con la palabra «clase» un conjunto o colección de
elementos distintos, cada uno de los cuales recibe la denominación de miembro
de la clase. Así, la clase de números primos menores de 10 es el conjunto cuyos
miembros son 2, 3, 5 y 7. Consideremos la siguiente serie de postulados
concernientes a dos clases, K y L, cuya naturaleza
concreta se deja indeterminada excepto en lo que resulta «implícitamente»
definido por los postulados:
1.
Dos miembros cualesquiera de K se
hallan contenidos en un solo miembro de L.
2.
Ningún miembro de K se halla
contenido en más de dos miembros de L.
3.
No todos los miembros de K se
hallan contenidos en un único miembro de L.
4.
4. Dos miembros cualesquiera de L contienen
a un solo miembro de K.
5.
Ningún miembro de L contiene a más
de dos miembros de K.
De este
pequeño conjunto podemos derivar, aplicando las reglas corrientes de deducción,
cierto número de teoremas. Puede demostrarse, por ejemplo, que K contiene
tres miembros solamente. Pero ¿se halla dotado este conjunto de consistencia,
hasta el punto de que nunca puedan deducirse de él teoremas mutuamente
contradictorios? Puede responderse prontamente a la cuestión con ayuda del
modelo siguiente:
Sea K la
clase de puntos que componen los vértices de un triángulo, y L la
clase de líneas que forman sus lados. Entendamos la frase «un miembro de K se
halla contenido en un miembro de L» en el sentido de que un punto
que es un vértice está situado en una línea que es un lado. Cada uno de los
cinco postulados abstractos se convierte entonces en una afirmación verdadera.
Por ejemplo, el primer postulado afirma que dos puntos cualesquiera que sean
vértices del triángulo radican solamente en una misma línea que sea un lado
(fig. 1). De esta forma queda demostrada la consistencia del conjunto de
postulados.
Figura 1. El modelo para un grupo de postulados acerca de dos clases K y L,
es un triángulo cuyos vértices son miembros de K y cuyos lados son miembros de
L. El modelo geométrico muestra que los postulados son consistentes.
La
consistencia de la geometría plana riemanniana puede también demostrarse
ostensiblemente mediante un modelo en que encarnen los postulados. Podemos
interpretar la expresión «plano» de los axiomas riemannianos como
(significativa de) una esfera euclidiana, la expresión «punto» como un punto de
esta superficie, la expresión «línea recta» como el arco de un círculo máximo
de esta superficie, es decir, de la esfera, y así sucesivamente. Cada postulado
riemanniano se traduce entonces por un teorema de Euclides. Así, por ejemplo,
según esta interpretación el postulado riemanniano de las paralelas presenta el
siguiente enunciado: por un punto de la superficie de una esfera no puede
trazarse ningún arco de círculo máximo paralelo a un arco dado de círculo máximo
(fig. 2).
Figura 2. La geometría no-euclidiana de Bernhard Riemann puede ser
representada con un modelo euclidiano. El plano riemanniano se convierte en la
superficie de una esfera euclidiana, los puntos en el plano se convierten en
círculos máximos. Así, una porción del plano riemanniano limitada por segmentos
de líneas rectas queda representada por una porción de una esfera limitada por
partes de círculos máximos (centro). Dos segmentos lineales en el plano
riemanniano son dos segmentos de un círculo máximo en la esfera euclidiana
(abajo), y estos se intersecan si se prolongan, contradiciendo de esta manera
el postulado.
A primera
vista puede parecer concluyente esta prueba de la consistencia de la geometría
riemanniana. Pero si se examina más atentamente surge el desconcierto, pues se
descubriría entonces que el problema no ha sido resuelto, sino simplemente
desplazado a otro terreno. Se intenta demostrar la consistencia de la geometría
riemanniana apelando a la consistencia de la geometría euclidiana. Lo que se
desprende entonces es solamente que la geometría riemanniana es consistente si
es consistente la geometría euclidiana. Resulta así que se invoca la autoridad
de Euclides para demostrar la consistencia de un sistema que discute la validez
exclusiva de Euclides. La insoslayable cuestión es: ¿son consistentes por sí
mismos los axiomas del sistema euclidiano?
Una
respuesta a esta cuestión, consagrada, como hemos visto, por una larga
tradición, es que los axiomas euclidianos son verdaderos y, por tanto,
consistentes. Esta respuesta no se consideraba ya aceptable. Volveremos luego
sobre ella y explicaremos por qué no es satisfactoria. Otra contestación es que
los axiomas están de acuerdo con nuestra actual, aunque limitada, experiencia
del espacio y que se halla perfectamente justificado hacer una extrapolación de
lo particular a lo universal. Pero, por muchas pruebas inductivas que puedan
aducirse en apoyo de esta postura, nuestra mejor demostración sería lógicamente
incompleta, pues aun cuando todos los hechos observados mantengan su
concordancia con los axiomas, subsiste la posibilidad de que un hecho hasta ahora
inobservado pueda contradecirlos y destruir así su pretensión de universalidad.
Lo más que pueden mostrar las consideraciones inductivas es que los axiomas son
plausibles, o probablemente verdaderos.
Hilbert
hizo un ensayo en otra dirección. La idea básica del mismo se apoya en la
geometría de coordenadas cartesianas. En su interpretación, los axiomas de
Euclides se transformaban simplemente en verdades algebraicas. Así, por
ejemplo, tomando los axiomas de la geometría plana, hace que la expresión
«punto» signifique un par de números, la expresión «línea recta» la relación
(lineal) entre números expresada por una ecuación de primer grado con dos
incógnitas, la expresión «círculo» la relación entre números expresada por una
ecuación de segundo grado de cierta forma, y así sucesivamente. La afirmación
geométrica de que dos puntos distintos determinan solamente una línea recta se
transforma entonces en la verdad algebraica de que dos pares distintos de números
determinan solamente una relación lineal; el teorema geométrico de que una
línea recta corta a un círculo en dos puntos como máximo, en el teorema
algebraico de que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (una de las
cuales es lineal y la otra de segundo grado de cierto tipo) determinan dos
pares de números reales como máximo, y así sucesivamente. En resumen, la
consistencia de los postulados euclidianos se demuestra haciendo ver que
satisfacen a un modelo algebraico. Este método de demostrar la consistencia es
válido y eficaz. Sin embargo, es también vulnerable a la objeción ya expuesta,
pues también aquí se resuelve el problema planteado en un terreno desplazándolo
a otro. La argumentación de Hilbert en favor de la consistencia de sus postulados
geométricos demuestra que si el álgebra es consistente también lo es su sistema
geométrico. La prueba se halla en una clara dependencia de la supuesta
consistencia de otro sistema y no es una prueba «absoluta».
En los
diversos intentos realizados para resolver el problema de la consistencia late
siempre una permanente fuente de dificultad, la cual radica en el hecho de que
los axiomas son interpretados por modelos compuestos de un número infinito de
elementos. Esto hace imposible encerrar los modelos en un número finito de
observaciones; de ahí que la verdad de los axiomas sea objeto de duda. En la
argumentación inductiva en favor de la verdad de la geometría euclidiana un
número finito de hechos observados acerca del espacio se hallan presumiblemente
de acuerdo con los axiomas. Pero la conclusión que se trata de demostrar
implica una extrapolación de una serie finita de datos a otra infinita. ¿Cómo
podemos justificar este salto? Por otra parte, la dificultad queda minimizada,
si no completamente eliminada, allá donde pueda idearse un modelo que contenga
solamente un número limitado de elementos. El triángulo modelo utilizado para
demostrar la consistencia de los cinco postulados abstractos referidos a las
clases K y L es finito; y es relativamente
sencillo determinar por medio de una inspección si todos los elementos del
modelo satisfacen realmente los postulados y, por consiguiente, si son
verdaderos (y, por tanto, consistentes). Por ejemplo: examinando sucesivamente
todos los vértices del triángulo modelo puede verse si se cumple el enunciado
de que dos cualesquiera de ellos radican únicamente en un solo lado, con lo que
queda demostrado como verdadero el primer postulado. Puesto que todos los
elementos del modelo, así como las relaciones relevantes existentes entre
ellos, se prestan a una directa y exhaustiva inspección, y puesto que es
prácticamente nula la probabilidad de que se produzcan errores al
inspeccionarlos, la consistencia de los postulados no suscita en este caso duda
alguna.
Desafortunadamente,
la mayoría de los sistemas de postulados que constituyen los fundamentos de
numerosas e importantes ramas de las matemáticas no pueden ser reflejados en
modelos finitos. Considérese el postulado de la aritmética elemental que afirma
que todo número entero tiene un inmediato sucesor, distinto de todo otro número
anterior. Resulta evidente que el modelo necesario para comprobar el conjunto a
que pertenece este postulado no puede ser finito, sino que debe contener una
infinidad de elementos. De ello se desprende que la verdad (y, por tanto, la
consistencia) del conjunto no puede demostrarse mediante una inspección
exhaustiva de un número limitado de elementos. Hemos llegado, al parecer, a un
callejón sin salida. Los modelos finitos bastan, en principio, para demostrar
la consistencia de ciertos conjuntos de postulados, pero éstos tienen una muy
escasa importancia matemática. Los modelos no finitos, necesarios para la
interpretación de la mayoría de los sistemas de postulados matemáticamente importantes,
solo pueden ser descritos en términos generales; y no podemos dar por sentado
que las descripciones se hallen exentas de ocultas contradicciones.
Al llegar
a este punto se siente uno tentado a sugerir que podemos estar seguros de la
consistencia de las formulaciones en que se describen los modelos no finitos si
las nociones básicas empleadas son transparentemente «claras» y «distintas».
Pero la historia del pensamiento no ha solido admitir la doctrina de las ideas
claras y distintas ni la teoría del conocimiento intuitivo implícita en la
sugerencia. En ciertas zonas de la investigación matemática en que las
hipótesis acerca de los conjuntos infinitos desempeñan un importante papel han
surgido contradicciones radicales, pese a la intuitiva claridad de las nociones
implicadas en las hipótesis y pese al carácter aparentemente consistente de las
construcciones intelectuales realizadas. Contradicciones de estas (denominadas
técnicamente «antinomias») han aparecido en la teoría de los números
transfinitos, desarrollada por Georg Cantor en el siglo XIX; y la presencia de
estas contradicciones ha hecho evidente que la aparente claridad de ni siquiera
una noción tan elemental como la de clase (o conjunto)
garantiza la consistencia de cualquier sistema concreto que se edifique sobre
ella. Puesto que la teoría matemática de las clases, que versa sobre las
propiedades y relaciones de los agregados o colecciones de elementos, es
frecuentemente adoptada como fundamento para otras ramas de las matemáticas, y,
en particular, para la aritmética elemental, es oportuno plantearse la cuestión
de si no se hallaran afectadas las formulaciones de otras partes de las
matemáticas de contradicciones similares a las encontradas en la teoría de las
clases infinitas.
A este
respecto, Bertrand Russell construyó una contradicción dentro del sistema mismo
de la lógica elemental, que es precisamente análoga a la contradicción
primeramente desarrollada en la teoría cantoriana de las clases infinitas. La
antinomia de Russell puede ser enunciada del modo siguiente. Las clases parecen
ser de dos tipos: las que no se contienen a sí mismas como miembros y las que
sí se contienen. Una clase será llamada «normal» si, y solamente si, no se
contiene a sí misma como miembro; en otro caso se la llamara «no normal». Un
ejemplo de clase normal es la clase de los matemáticos, ya que, evidentemente,
la clase misma no es un matemático y, por tanto, no es un miembro de sí misma.
Un ejemplo de clase no normal es la clase de todas las cosas pensables, ya que
la clase de todas las cosas pensables es, a su vez, pensable y, por
consiguiente, un miembro de sí misma. Sea «N», por definición, la
clase de todas las clases normales. Preguntamos si N mismo
es una clase normal. Si N es normal, es un miembro de sí misma
(pues, por definición, N contiene a todas las clases
normales); pero, en ese caso, N es no normal, porque, por
definición, una clase que se contiene a sí misma es no normal. Por otra parte,
si N es no normal, es un miembro de sí misma (por la
definición de no normal); pero, en ese caso, N es normal,
porque, por definición, los miembros de N son las clases
normales. En resumen, N es normal si, y solamente si, N es
no normal. De lo que se desprende que la afirmación «N es normal»
es verdadera y falsa a la vez. Esta fatal contradicción se produce como
consecuencia de utilizar sin espíritu crítico una noción aparentemente diáfana
de clase. Posteriormente fueron encontrándose otras paradojas, construidas
todas por medio de familiares y aparentemente convincentes modos de
razonamiento. Los matemáticos acabaron comprendiendo que, en la tarea de
desarrollar sistemas consistentes, la familiaridad y la claridad intuitiva son
soportes harto débiles en que apoyarse.
Hemos
visto la importancia del problema de la consistencia y hemos trabado
conocimiento con el método clásico de resolverlo con ayuda de modelos. Se ha
mostrado que, en la mayoría de los casos, el problema requiere el uso de un
modelo no finito, cuya descripción puede contener ella misma inconsistencias.
Debemos concluir que, si bien el método del modelo constituye una valiosa
herramienta matemática, no suministra una respuesta definitiva al problema que
trataba de resolver.
Capítulo
III
Pruebas absolutas de consistencia
Las
limitaciones inherentes a la utilización de modelos para demostrar la
consistencia y la creciente aprensión de que las formulaciones clásicas de
muchos sistemas matemáticos pudiesen albergar contradicciones internas
condujeron a nuevas formas de abordar el problema. Hilbert propuso una
alternativa a las pruebas relativas de consistencia. Trato de construir pruebas
«absolutas» con las que pudiera demostrarse la consistencia de los sistemas sin
necesidad de dar por supuesta la consistencia de algún otro sistema.
Explicaremos brevemente este método con el fin de que pueda comprenderse mejor
la realización de Gödel.
El primer
paso en la construcción de una prueba absoluta, tal como concibió Hilbert la
cuestión, es la completa formalización de un sistema
deductivo. Esto implica la extracción de todo significado de las expresiones
existentes dentro del sistema: se las debe considerar, simplemente, como signos
vacíos. La forma en que se deben manipular y combinar estos signos ha de ser plasmada
en un conjunto de reglas enunciadas con toda precisión. La finalidad de este
procedimiento estriba en construir un sistema de signos (llamado un «cálculo»)
que no oculte nada y que solamente contenga lo que expresamente se haya puesto
en él. Los postulados y los teoremas de un sistema completamente formalizado
son «hileras» (o sucesiones de longitud finita) de signos carentes de significado
construidas conforme a las reglas establecidas para combinar los signos
elementales del sistema hasta formar conjuntos más amplios. Además, cuando un
sistema ha sido completamente formalizado, la derivación de teoremas a partir
de los postulados se limita, simplemente, a la transformación (siguiendo las
reglas) de un conjunto de estas «hileras» en otro conjunto de «hileras». De
esta manera se elimina el peligro de utilizar cualesquiera reglas no declaradas
de razonamiento. La formalización es difícil y exige un buen número de tretas,
pero sirve a una valiosa finalidad. Revela con desnuda claridad la estructura y
la función, del mismo modo que el nítido modelo de una máquina. Cuando ha sido
formalizado un sistema, quedan a la vista las relaciones lógicas existentes
entre las proposiciones matemáticas; pueden verse los módulos estructurales de
las diversas «hileras» de signos «carentes de significado», como permanecen
unidas, como se combinan, como se alojan una en otra, etcétera.
Una
página entera cubierta con los signos «carentes de significado» de este tipo de
matemáticas formalizadas no afirma nada; es, simplemente, el
diseño abstracto de un mosaico que posee una determinada estructura. Sin
embargo, es perfectamente posible describir las configuraciones de un sistema
así y formular declaraciones acerca de las configuraciones y de sus diversas
relaciones mutuas. Puede uno decir que una «hilera» es bonita, o que se parece
a otra «hilera», o que una «hilera» parece estar hecha de otras tres distintas,
etcétera. Estas declaraciones poseen, evidentemente, significado y pueden
suministrar información importante acerca del sistema formal. Es preciso
observar, no obstante, que tales declaraciones significativas acerca de un
sistema matemático carente de significado (o formalizado) no pertenecen
plenamente a dicho sistema. Pertenecen a lo que Hilbert denominó
«metamatemáticas», al lenguaje que se formula acerca de las
matemáticas. Las declaraciones metamatemáticas son declaraciones acerca de los
signos existentes dentro de un sistema matemático formalizado (es decir, un
cálculo), acerca de las especies y disposición de tales signos cuando se
combinan para formar hileras más largas de signos llamadas «fórmulas», o acerca
de las relaciones entre fórmulas que pueden obtenerse como consecuencia de las
reglas de manipulación establecidas para ellas.
Unos
cuantos ejemplos ayudaran a comprender la distinción de Hilbert entre
matemáticas (es decir, un sistema de signos carentes de significado) y
metamatemáticas (declaraciones significativas acerca de las matemáticas, los
signos introducidos en el cálculo, su ordenación y sus relaciones).
Consideremos la expresión:
2 + 3 = 5
Esta
expresión pertenece a las matemáticas (aritmética) y está formada
exclusivamente de signos aritméticos elementales. Por otra parte, la proposición
‘2 + 3 =
5’
es una
fórmula aritmética, afirma algo acerca de la expresión indicada. La proposición
no expresa un hecho aritmético ni pertenece al lenguaje formal de la
aritmética; pertenece a la metamatemática porque caracteriza como fórmula a una
determinada hilera de signos aritméticos. Pertenece también a la metamatemática
la siguiente proposición:
Si se usa
el signo ‘=’ en una fórmula aritmética, el signo debe hallarse flanqueado a
derecha e izquierda por expresiones numéricas.
Esta
proposición establece una condición necesaria para utilizar un determinado
signo aritmético en fórmulas aritméticas: la estructura que debe poseer una
fórmula aritmética si ha de incluir dicho signo.
Consideremos
ahora las tres fórmulas siguientes:
x = x
0 = 0
0 ≠ 0
Cada una
de estas fórmulas pertenece a las matemáticas (aritmética), porque cada una de
ellas está formada exclusivamente de signos aritméticos. Pero la afirmación
‘x’
es una variable
pertenece
a las metamatemáticas, toda vez que caracteriza a un determinado signo
aritmético como perteneciente a una clase específica de signos (esto es, a la
clase de las variables). Igualmente pertenece a las metamatemáticas la
siguiente afirmación:
La
fórmula ‘0 = 0’ puede derivarse de la fórmula ‘x = x’ sustituyendo por la cifra
‘0’ la variable ‘x’.
Aquí se
especifica de qué modo puede obtenerse una fórmula aritmética a partir de otra
fórmula, con lo que se describe la forma en que se encuentran relacionadas
entre sí dos fórmulas. De modo semejante, la afirmación
‘0 ≠ 0’
no es un teorema
pertenece
a las metamatemáticas, ya que dice que cierta fórmula no es derivable de los
axiomas de la aritmética y afirma, por tanto, que no existe una determinada
relación entre las dos fórmulas indicadas del sistema. Finalmente, la siguiente
afirmación pertenece a las metamatemáticas:
La
aritmética es consistente
(esto es,
no es posible derivar de los axiomas de la aritmética dos fórmulas formalmente
contradictorias, como, por ejemplo, las fórmulas ‘0 = 0’ y ‘0 ≠ 0’). Esto se
halla referido a la aritmética, y afirma que pares de fórmulas de cierto tipo
no se hallan en una específica relación con las fórmulas que constituyen los
axiomas de la aritmética[4].
Puede que
el lector encuentre intimidante la palabra «metamatemáticas» y un tanto confuso
su concepto. No vamos a decir que la palabra sea bonita, pero la idea en sí no
resultaría oscura para nadie si hacemos notar que se utiliza en relación a un
caso concreto de una conocida distinción, la que hace referencia a la
diferencia existente entre un objeto determinado que constituye materia de
estudio y un raciocinio acerca de dicho objeto. La afirmación «entre los
falaropos son los machos los que incuban los huevos» concierne al objeto
investigado por los zoólogos y pertenece a la zoología; pero si decimos que
esta afirmación acerca de los falaropos demuestra que la zoología es
irracional, nuestra declaración no se refiere a los falaropos, sino a la
afirmación enunciada y a la disciplina en que tiene lugar, y es ya
metazoología. Si decimos que el id es más poderoso que
el ego, nuestras palabras pertenecen al psicoanálisis ortodoxo;
pero si criticamos esa declaración como absurda e indemostrable, nuestra
crítica pertenece al metapsicoanálisis. Y lo mismo ocurre en el caso de la
matemática y la metamatemática. Los sistemas formales que construyen los
matemáticos pertenecen al grupo denominado «matemáticas»; la descripción,
discusión y teorización realizadas en torno a los sistemas pertenecen al grupo
que lleva el epígrafe de «metamatemáticas».
Nunca se
recalcará bastante la importancia que para el objeto que nos ocupa tiene el que
se llegue a apreciar la distinción entre matemáticas y metamatemáticas. El
fracaso en este sentido ha dado lugar a numerosas paradojas y a una
extraordinaria confusión. La comprensión de su significado ha hecho posible
mostrar con toda claridad la estructura lógica del razonamiento matemático. El
valor de la distinción radica en que da origen a una minuciosa codificación de
los diversos signos que entran en la composición de un cálculo formal, libre de
engañosas suposiciones y de irrelevantes asociaciones de ideas. Exige, además,
disponer de definiciones exactas de las operaciones y de las reglas lógicas de
la construcción y la deducción matemática, muchas de las cuales habían estado
siendo aplicadas por los matemáticos sin que estos se hallaran plenamente
conscientes de que era lo que estaban utilizando.
Hilbert
capto el núcleo de la cuestión y baso su intento de construir pruebas
«absolutas» de consistencia en la distinción entre un cálculo formal y su
descripción. Concretamente, trato de desarrollar un método que produjera
demostraciones de consistencia tan ajenas a una autentica duda lógica como el
uso de modelos finitos para demostrar la consistencia de ciertos conjuntos de
postulados, y ello mediante el análisis de un número finito de características
estructurales de las expresiones contenidas en cálculos completamente
formalizados. El análisis consiste en anotar los diversos tipos de signos que
se dan en un cálculo, indicar como combinarlos en fórmulas, prescribir como
pueden obtenerse nuevas fórmulas a partir de otras y determinar si fórmulas de
una determinada clase pueden derivarse de otras mediante reglas operativas
explícitamente enunciadas. Hilbert creía posible presentar cualquier cálculo
matemático como una especie de esquema «geométrico» de fórmulas, en el que las
fórmulas se relacionaran mutuamente en número finito de relaciones
estructurales. Esperaba, por consiguiente, demostrar, examinando
exhaustivamente estas propiedades estructurales de las expresiones encerradas
en un sistema, que no pueden obtenerse fórmulas formalmente contradictorias a
partir de los axiomas de cálculos dados. Requisito esencial del programa de
Hilbert en su primitiva concepción era que las demostraciones de consistencia
implicaran únicamente procedimientos que no hicieran referencia ni a un número
infinito de propiedades estructurales de fórmulas ni a un número infinito de
operaciones con fórmulas. Tales procedimientos son denominados «finitistas», y
una prueba de consistencia que se halle en adecuación a dicho requisito recibe
el nombre de «absoluta». Una prueba «absoluta» logra sus objetivos utilizando
un mínimo de principios de deducción y no presupone la consistencia de ningún
otro conjunto de axiomas. Una prueba absoluta de la consistencia de la
aritmética, si pudiera construirse alguna, demostraría, pues, mediante un
procedimiento metamatemático finitista, que dos fórmulas contradictorias, tales
como ‘0 = 0’ y su negación formal ‘¬(0 = 0)’ —en la que el signo ‘¬’ significa
«no»—, no pueden derivarse de los axiomas (o fórmulas iniciales) mediante
reglas explícitamente enunciadas[5].
Puede
resultar útil, por vía de ejemplo, comparar las metamatemáticas como teoría de
la demostración con la teoría del ajedrez. El ajedrez se juega con 32 piezas de
una forma determinada sobre un tablero cuadrado que contiene 64 subdivisiones
cuadradas, en el que se pueden mover las piezas conforme a unas reglas
establecidas. Evidentemente, el juego puede desarrollarse sin atribuir ninguna
«interpretación» a las piezas ni a sus diversas posiciones sobre el tablero, si
bien podría introducirse tal interpretación si así se deseara. Podemos
estipular, por ejemplo, que un determinado peón representa a cierto regimiento
de un ejército, que un escaque determinado figura ser una cierta región
geográfica, etc. Pero semejantes estipulaciones (o interpretaciones) no son
habituales, y ni las piezas, ni los escaques, ni las posiciones de las piezas
sobre el tablero significan nada ajeno al juego. En este
sentido, las piezas y su configuración sobre el tablero son «carentes de
significado». El juego es, pues, análogo a un cálculo matemático formalizado.
Las piezas y los cuadrados del tablero corresponden a los signos elementales
del cálculo; las posiciones permitidas de las piezas sobre el tablero, a las
fórmulas del cálculo; las posiciones iniciales de las piezas sobre el tablero,
a los axiomas, o fórmulas iniciales, del cálculo; las subsiguientes posiciones
de las piezas sobre el tablero, a las fórmulas derivadas de los axiomas (esto
es, a los teoremas), y las reglas del juego, a las reglas de deducción (o
derivación) establecidas para el cálculo. El paralelismo continúa. Aunque las
respectivas situaciones de las piezas en el tablero, como las fórmulas del
cálculo, sean «carentes de significado», las declaraciones acerca de estas
situaciones, como las declaraciones metamatemáticas acerca de las fórmulas, se
hallan plenamente dotadas de significado. Una declaración «metaajedrecística»
puede afirmar que hay veinte movimientos posibles de apertura para las piezas
blancas, o que, dada una determinada configuración de las piezas sobre el
tablero, y correspondiéndoles mover a las blancas, estas dan mate a las negras
en tres jugadas. Además, pueden establecerse teoremas «metaajedrecísticos»
generales cuya demostración requiere solamente un número finito de
configuraciones permisibles sobre el tablero. De este modo puede establecerse
el teorema «metaajedrecístico» acerca del número de posibles movimientos de
apertura de que disponen las blancas; y también el teorema metaajedrecístico de
que si las blancas tienen solo dos caballos y el rey, y las negras solo su rey,
a aquellas les es totalmente imposible dar mate a éstas. Éstos y otros teoremas
«metaajedrecísticos» pueden, en otras palabras, ser demostrados mediante
métodos finitistas de razonamiento, esto es, examinando sucesivamente cada una
de las configuraciones que, en número finito, pueden darse bajo las condiciones
previstas. De modo análogo, el propósito de la teoría de prueba de Hilbert era
demostrar con esos métodos finitistas la imposibilidad de derivar ciertas
fórmulas contradictorias en un cálculo matemático dado.
Capítulo
IV
La codificación sistemática de la lógica formal
Quedan
dos puentes más por cruzar antes de llegar al teorema de Gödel propiamente
dicho. Debemos indicar como y por qué surgieron a la luz los Principia
Mathematica de Whitehead y Russell; y debemos presentar una breve
ilustración de la formalización de un sistema deductivo —tomaremos un fragmento
de los Principia— y explicar cómo puede demostrarse su absoluta
consistencia.
Corrientemente,
aun cuando las demostraciones matemáticas se hallen conformes con los niveles
admitidos de rigor profesional, adolecen de una importante omisión. Incorporan
principios (o reglas) de deducción no formulados explícitamente que,
frecuentemente, pasan inadvertidos a los matemáticos. Tomemos el teorema de
Euclides de que no existe ningún número que sea el número primo mayor de todos
los posibles (un número es primo si no es divisible sin resto más que por sí
mismo y por 1). La argumentación, desarrollada en la forma de una reductio
ad absurdum, es la siguiente:
Supongamos,
en contradicción con lo que el teorema trata de demostrar, que existe un número
primo máximo. Lo llamamos ‘x’. Entonces:
1.
x es el número primo máximo.
2.
Fórmese el producto de todos los números primos
menores o iguales que x y añádase 1 al producto. Esto da un
nuevo número, y, donde
y = (2 ·
3 · 5 · 7 · … · x) + 1
3.
Si y es primo, entonces x no
es el mayor número primo, ya que y es evidentemente mayor
que x.
4.
Si y es compuesto (es decir, no
primo), entonces tampoco x es el mayor número primo. Porque
si y es compuesto, tiene que haber un divisor primo z,
y z tiene que ser distinto de cada uno de los números primos
2, 3, 5, 7,…, x, menores o igual a x; por
consiguiente, z tiene que ser un número primo mayor que x.
5.
Pero y, o es primo o es compuesto.
6.
Por consiguiente, x no es el mayor
número primo.
7.
No existe ningún número primo que sea el mayor de
todos.
Hemos
manifestado solamente los eslabones principales de la demostración. Puede
hacerse ver, no obstante, que para forjar la cadena completa se requiere un
gran número de reglas de deducción tácitamente aceptadas, así como teoremas de
la lógica. Algunas de ellas pertenecen a la parte más elemental de la lógica
formal, otras a ramas más avanzadas; por ejemplo, se incorporan reglas y
teoremas que pertenecen a la «teoría de la cuantificación». Ésta hace
referencia a las relaciones entre proposiciones que contienen partículas
«cuantificadoras» tales como «todos», «algunos» y sus sinónimos. Mostraremos un
teorema elemental de la lógica y una regla de deducción, cada uno de los cuales
es partícipe necesario pero silencioso en la demostración.
Obsérvese
el punto número 5 de la argumentación. ¿De dónde procede? La respuesta es: del
teorema lógico (o verdad necesaria), «o p o no p»,
en el que se denomina ‘p’ a una variable proposicional. Pero ¿cómo
obtenemos el punto número 5 de este teorema? La respuesta es: utilizando la
regla de deducción conocida como «Regla de sustitución para variables
proposicionales», según la cual una proposición puede derivarse de cualquiera
otra que contenga variables de ese tipo, sustituyendo por cualquier proposición
(en este caso, ‘y es primo’) cada presentación de una variable
distinta (en este caso, la variable ‘p’). El uso de estas reglas y de
estos teoremas lógicos es frecuentemente, como hemos dicho, una acción casi por
completo inconsciente. Y el análisis que los revela, aun en demostraciones tan
relativamente sencillas como la de Euclides, se apoya en los progresos hechos
en la teoría lógica durante los últimos cien años[6]. Como el
señor Jourdain, de Molière, que hablaba en prosa sin saberlo, los matemáticos
han estado razonando durante dos milenios por lo menos sin darse cuenta de
todos los principios que subyacían bajo lo que estaban haciendo. Solo en
tiempos recientes se ha hecho evidente la naturaleza de las herramientas de su
oficio.
Durante
casi dos mil años la codificación de Aristóteles de las formas válidas de
deducción fue universalmente considerada como completa e incapaz de mejora
esencial. En 1787, el filósofo alemán Emmanuel Kant pudo decir que desde
Aristóteles la lógica formal «no ha sido capaz de avanzar un solo paso, y,
según todas las apariencias, es un cuerpo de doctrina cerrado y completo». Lo
cierto es que la lógica tradicional es gravemente incompleta e incluso deja de
dar una explicación a muchos principios de deducción empleados en razonamientos
matemáticos totalmente elementales[7]. Con la
publicación en 1847 de The Mathematical Analysis of Logic, de
George Boole, comenzó en los tiempos modernos un renacimiento de los estudios
lógicos. El objetivo primordial de Boole y de sus sucesores inmediatos era
desarrollar un álgebra de la lógica que suministrase una notación precisa para
manejar tipos más generales y variados de deducción que los abarcados por los
principios lógicos tradicionales. Supóngase que se observa que en una
determinada escuela quienes obtienen mención honorífica en su examen de grado
son precisamente los muchachos que destacan en matemáticas y las muchachas que
no destacan en esta materia. ¿Cómo se forma la clase de destacados en
matemáticas en relación a las otras clases de estudiantes? La respuesta no
surge pronta si uno se sirve únicamente de la lógica tradicional. Pero con
ayuda del álgebra de Boole puede demostrarse fácilmente que la clase de los
destacados en matemáticas se compone exactamente de muchachos graduados con
mención honorífica y de muchachas graduadas sin tal mención.
|
Todos los caballeros son educados. |
La lógica
simbólica fue inventada a mediados del siglo XIX por el matemático ingles
George Boole. En este ejemplo se traduce un silogismo por su notación de dos
maneras distintas. En el grupo superior de fórmulas el símbolo ‘⊂’ significa ‘está contenido en’. Así, ‘c ⊂ e’ quiere decir que la clase de los caballeros
está incluida en la clase de las personas educadas. En el grupo inferior de
fórmulas dos letras juntas significan la clase de las cosas que poseen ambas
características. Por ejemplo ‘be’ significa la clase de individuos que son
banqueros y educados; y la ecuación ‘be = 0’ indica que esta clase no tiene
ningún miembro. Una línea colocada sobre una letra significa ‘no’ (‘ē ’, por
ejemplo, significa ineducado).
Otra
línea de investigación, estrechamente relacionada con los trabajos de los
matemáticos del siglo XIX sobre los fundamentos del análisis, vino más tarde a
asociarse al programa de Boole. Este nuevo desarrollo trato de mostrar la
matemática pura como un capítulo de la lógica formal, y quedo encarnado en
los Principia Mathematica de Whitehead y Russell en 1910. Los
matemáticos del siglo XIX consiguieron «aritmetizar» el álgebra y lo que solía
llamarse el «cálculo infinitesimal», demostrando que las diversas nociones
empleadas en el análisis matemático son definibles en términos exclusivamente
aritméticos (esto es, con números enteros y con operaciones aritméticas
realizadas con ellos). Por ejemplo, en vez de aceptar el número imaginario √−1
como una «entidad» un tanto misteriosa fue definido como un par ordenado de
números enteros (0,1) sobre el que se realizan ciertas operaciones de «adición»
y «multiplicación». Análogamente, el número irracional √2 fue definido como una
cierta clase de números racionales, la clase de números racionales cuyo
cuadrado es menor de 2. Lo que Russell (y, antes que él, el matemático alemán
Gottlob Frege) trataba de demostrar era que todas las nociones
aritméticas pueden ser definidas en ideas estrictamente lógicas y que
todos los axiomas de la aritmética pueden ser deducidos de un pequeño número de
proposiciones básicas certificables como verdades estrictamente lógicas.
Así, por
ejemplo, la noción de clase pertenece a la lógica general. Dos
clases son definidas como «semejantes» si existe una correspondencia biunívoca
entre sus miembros, pudiéndose explicar la noción de tal correspondencia
acudiendo a otras ideas lógicas. De una clase que tiene un solo miembro se dice
que es una «clase unidad» (la clase de satélites del planeta Tierra); y el
número cardinal 1 puede ser definido como la clase de todas las clases
semejantes a una clase unidad. Definiciones análogas pueden darse de los otros
números cardinales, y las diversas operaciones aritméticas, tales como la
adición y la multiplicación, pueden ser definidas en términos de la lógica
formal. Una proposición aritmética, como ‘1 + 1 = 2’, puede entonces ser
mostrada como la transcripción condensada de una proposición que contenga
expresiones pertenecientes únicamente a la lógica general; y puede demostrarse
que tales proposiciones estrictamente lógicas pueden ser deducidas de ciertos
axiomas lógicos.
Principia
Mathematica pareció así adelantar la solución final del
problema de la consistencia de los sistemas matemáticos, y en particular de la
aritmética, mediante el expediente de reducir el problema al de la consistencia
de la lógica formal misma. Porque, si los axiomas de la aritmética son simples
transcripciones de teoremas de la lógica, la cuestión de si dichos axiomas son
consistentes es equivalente a la cuestión de si son consistentes los axiomas
fundamentales de la lógica.
La tesis
Frege-Russell de que las matemáticas son únicamente un capítulo de la lógica no
ha obtenido, por diversas razones de detalle, aceptación universal por parte de
los matemáticos. Por otra parte, como ya hemos hecho notar, las antinomias de
la teoría cantoriana de los números transfinitos pueden resultar reproducidas
dentro de la lógica misma, a no ser que se tomen especiales precauciones para
impedir tal resultado. Pero ¿son adecuadas para excluir todas las
formas de construcciones autocontradictorias las medidas adoptadas en Principia
Mathematica para soslayar las antinomias No puede asegurarse
concluyentemente. Por eso la reducción de la aritmética a la lógica practicada
por Frege y Russell no proporciona una respuesta final al problema de la
consistencia; en realidad, el problema surge simplemente en una forma más
general. Mas, prescindiendo de la validez de la tesis Frege-Russell, existen
en Principia dos elementos que poseen un valor inestimable
para el ulterior estudio de la cuestión de la consistencia. Principia suministra
un sistema notablemente comprensivo de notación, con ayuda del cual se pueden
codificar todas las proposiciones de la matemática pura (y en particular de la
aritmética), al tiempo que revela de un modo explícito la mayoría de las reglas
de deducción formal utilizadas en las demostraciones matemáticas (reglas que,
finalmente, fueron completadas y dotadas de una mayor precisión). Principia,
en suma, creó el instrumento esencial para investigar todo el sistema de la
aritmética como un cálculo no interpretado, esto es, como un sistema de signos
carentes de significado, cuyas fórmulas (o «hileras») se combinan y transforman
de acuerdo con reglas operativas expresas.
Capítulo
V
Un ejemplo de prueba absoluta de consistencia
Debemos
abordar ahora la segunda tarea mencionada al principio del capítulo anterior y
familiarizarnos con un importante aunque fácilmente comprensible ejemplo de una
prueba absoluta de consistencia. Una vez conocida la prueba, el lector se
encontraría en condiciones de apreciar la significación del trabajo realizado
por Gödel en 1931.
Pondremos
de relieve cómo puede ser formalizada una pequeña porción de los Principia:
la lógica elemental de las proposiciones. Esto supone la conversión del sistema
fragmentario en un cálculo de signos no interpretados. Desarrollaremos entonces
una prueba absoluta de consistencia.
La
formalización se lleva a cabo en cuatro fases. Primero se prepara un catálogo
completo de los signos que se han de usar en el cálculo. Son su vocabulario. En
segundo lugar se establecen las «reglas de formación». Éstas declaran qué
combinaciones de los signos del vocabulario pueden ser aceptadas como
«fórmulas» (en realidad, como proposiciones). Las reglas pueden ser
consideradas como constitutivas de la gramática del sistema. En tercer lugar se
expresan las «reglas de transformación», que describen la estructura precisa de
las fórmulas de las cuales pueden derivarse otras fórmulas de estructura
determinada. Estas reglas son, en efecto, las reglas de deducción. Finalmente
se seleccionan ciertas fórmulas como axiomas (o «fórmulas primitivas»). Éstas
sirven de fundamento a todo el sistema. Emplearemos la expresión «teorema del
sistema» para designar cualquier fórmula que pueda ser derivada de los axiomas
aplicando sucesivamente las reglas de transformación. Por «prueba» (o
«demostración») formal designaremos una serie finita de fórmulas, cada una de
las cuales o es un axioma o puede ser derivada de otras fórmulas anteriores de
la serie mediante las reglas de transformación[8].
Para la
lógica de las proposiciones (frecuentemente llamada el cálculo sentencial), el
vocabulario (o lista de «signos elementales») es extremadamente sencillo. Se
compone de variables y de signos constantes. Las variables pueden ser
sustituidas por sentencias y reciben por ello el nombre de «variables
sentenciales». Son las letras
p, q, r,…
Los
signos constantes son o «enlaces sentenciales» o signos de puntuación. Los
enlaces sentenciales son:
·
‘¬’ que quiere decir ‘no’ (y se llama la «tilde»).
·
‘∨’ que
quiere decir ‘o’.
·
‘→’ que quiere decir ‘si… entonces…’.
·
‘∧’ que
quiere decir ‘y’.
Los
signos de puntuación son los paréntesis de apertura y de cierre, ‘(’ y ‘)’,
respectivamente.
Las
reglas de formación están diseñadas de modo que las combinaciones de signos
elementales, que normalmente tendrían forma de proposiciones, se llamen
fórmulas. Igualmente, cada variable sentencial vale como una fórmula. Además,
si la letra S representa una fórmula, su negación formal, es
decir, ¬(S), es también una fórmula. Análogamente, si S1, S2 son
fórmulas, también lo son (S1 ∧ S2), (S1 → S2)
y (S1 ∨ S2).
Cada una de las siguientes expresiones es una fórmula: ‘p’, ‘¬(p)’,
‘(p → q)’, ‘((q ∨ r) → p)’. Pero ni ‘(p)(¬q)’
ni ‘((p) → (q)) ∧’ son una
fórmula; no lo es la primera expresión porque si bien ‘p’ y ‘¬(p)’
son fórmulas, no existe ningún enlace sentencial entre ellas; y no lo es la
segunda porque el enlace ‘∧’ no está
flanqueado a derecha e izquierda por una fórmula, como exigen las reglas[9].
Se
adoptan dos reglas de transformación. Una de ellas, la regla de
sustitución (para variables sentenciales), dice que de una fórmula que
contenga variables sentenciales puede siempre derivarse otra fórmula
sustituyendo uniformemente con fórmulas las variables. Queda entendido que
cuando se sustituye una variable en una fórmula debe hacerse la misma
sustitución en todos los lugares en que este presente dicha variable. Por
ejemplo, suponiendo que ha quedado establecido ya que ‘p → p’,
podemos sustituir la variable ‘p’ con la fórmula ‘q’ para obtener
‘q → q’; o podemos sustituirla con la fórmula ‘p ∧ q’ para obtener ‘(p ∧ q) → (p ∧ q)’. O bien, si sustituimos ‘p’
por frases reales podemos obtener cualquiera de las siguientes expresiones a
partir de ‘p → p’: ‘las ranas son ruidosas → las ranas
son ruidosas’; ‘(los murciélagos son ciegos y los murciélagos comen ratones) →
(los murciélagos son ciegos y los murciélagos comen ratones)’[10]. La
segunda regla de transformación es la regla de separación (o modus
ponens). Esta regla dice que de dos fórmulas que tengan la forma S1 y S1 → S2 se
puede derivar siempre la fórmula S2. Por ejemplo, de las
dos fórmulas ‘p ∨ (¬p)’
y ‘(p ∨ (¬p))
→ (p → p)’ podemos derivar ‘p → p’.
Finalmente,
los axiomas del cálculo (esencialmente los de Principia) son las
cuatro fórmulas siguientes:
|
(p ∨ p)
→ p |
Si (Enrique VIII era un patán o Enrique VIII era un patán) entonces
Enrique VIII era un patán |
|
p → (p ∨ q) |
Si el psicoanálisis está
de moda, entonces (o el psicoanálisis está de moda o los polvos para el dolor
de cabeza son baratos). |
|
(p ∨ q)
→ (q ∨ p) |
Si (o Emmanuel Kant era puntual o Hollywood es pecaminoso), entonces
(o Hollywood es pecaminoso o Emmanuel Kant era puntual) |
|
(p → q)
→ ((r ∨ p)
→ (r ∨ q)) |
Si (si los patos anadean
entonces 5 es un número primo), entonces (si (o Churchill bebe coñac o los
patos anadean) entonces (o Churchill bebe coñac o 5 es un número primo)). |
En la
columna de la izquierda hemos expresado los axiomas con su correspondiente
traducción. En la columna de la derecha hemos dado un ejemplo para cada axioma.
La tosquedad de las traducciones, especialmente en el caso del último axioma,
ayudara tal vez al lector a comprender las ventajas de utilizar un simbolismo
especial en la lógica formal. Es importante también observar que las
disparatadas ilustraciones utilizadas como ejemplos de sustitución de los
axiomas y el hecho de que los consiguientes no guarden relación con los
antecedentes en manera alguna afectan a la validez de las conexiones lógicas
establecidas en los ejemplos.
Cada uno
de estos axiomas puede parecer «evidente» y trivial. Sin embargo, con ayuda de
las reglas de transformación expresadas es posible derivar de ellos una clase
infinitamente grande de teoremas que están lejos de ser evidentes o triviales.
Por ejemplo, la fórmula
((p → q)
→ ((r → s) → t)) → ((u → ((r → s)
→ t)) → ((p → u) → (s → t)))
puede ser
derivada como teorema. No nos interesa, empero, por el momento derivar teoremas
de los axiomas. Nuestro propósito es demostrar que este conjunto de axiomas no
es contradictorio, es decir, demostrar «absolutamente» que, utilizando las
reglas de transformación, es imposible derivar de los axiomas
una fórmula S juntamente con su negación formal ¬(S).
Ahora
bien, ocurre que ‘p → (¬(p) → q)’ (en palabras:
‘si p, entonces si no p entonces q’)
es un teorema del cálculo. (Aceptaremos esto como un hecho sin exponer la
derivación.) Supongamos ahora que pudiera deducirse de los axiomas alguna
fórmula S juntamente con su contradictoria ¬(S).
Sustituyendo la variable ‘p’ por S en el teorema (como
lo permite la regla de sustitución) y aplicando por dos veces la regla de
separación, sería deducible la fórmula ‘q’. Pero si la fórmula que se
compone de la variable[11] ‘q’
es demostrable, se sigue inmediatamente que, sustituyendo ‘q’ por una
fórmula cualquiera, cualquier fórmula es deducible de los axiomas. Resulta
así claro que, si tanto una fórmula S como su contradictoria
¬(S) fuesen deducibles de los axiomas, sería también deducible cualquier
fórmula. En resumen, si el cálculo no es consistente, toda fórmula es un
teorema, lo que equivale a decir que de un conjunto contradictorio de axiomas
puede ser derivada cualquier fórmula. Pero esto tiene una contrapartida: si no
toda fórmula es un teorema (es decir, si existe por lo menos una fórmula que no
sea derivable de los axiomas), entonces el cálculo es consistente. Lo
que hace falta, por consiguiente, es demostrar que existe por lo menos una
fórmula que no puede ser derivada de los axiomas.
La forma
de hacerlo es emplear un razonamiento metamatemático sobre el sistema que
tenemos delante. El procedimiento no carece de elegancia. Consiste en encontrar
una característica o propiedad estructural de las fórmulas que satisfaga las
tres condiciones siguientes:
1.
La propiedad debe ser común a todos los axiomas.
(Una propiedad de este tipo es la de no contener más de 25 signos elementales;
esta propiedad, sin embargo, no satisface la condición siguiente.)
2.
La propiedad debe ser «hereditaria», según las
reglas de transformación, esto es, si todos los axiomas poseen la propiedad,
cualquier fórmula adecuadamente derivada de ellos mediante las reglas de
transformación debe poseerla también. Puesto que cualquier fórmula así derivada
es por definición un teorema, esta condición estipula en esencia que todo
teorema debe poseer esa propiedad.
3.
La propiedad no debe pertenecer a toda fórmula que
pueda construirse de acuerdo con las reglas de formación del sistema; esto es,
debemos tratar de mostrar una fórmula por lo menos que no posea esa propiedad.
Si
logramos éxito en esta triple tarea habremos conseguido una prueba absoluta de
consistencia. El razonamiento viene a ser el siguiente: la propiedad
hereditaria se transmite desde los axiomas a todos los teoremas; pero si puede
encontrarse un conjunto de signos que sea adecuado a las exigencias de ser una
fórmula del sistema y que, sin embargo, no posea esa determinada propiedad
hereditaria, tal fórmula no puede ser un teorema. (Lo que es lo mismo, si un
hijo dudoso [fórmula] carece de un rasgo invariablemente hereditario de los
antepasados [axioma], no puede ser realmente su descendiente [teorema].) Pero
si descubrimos una fórmula que no es un teorema, hemos demostrado la
consistencia del sistema, ya que, como hemos hecho notar hace un momento, si el
sistema no fuese consistente todas las
fórmulas podrían ser derivadas de los axiomas (esto es, toda fórmula sería un
teorema). En resumen, lo que se necesita es mostrar una sola fórmula que
carezca de la propiedad hereditaria.
Identifiquemos
una propiedad de la clase requerida. La que elegimos es la propiedad de ser una
«tautología». En el lenguaje corriente, se dice que una expresión es
tautológica si contiene una redundancia y manifiesta dos veces la misma cosa
con diferentes palabras, como, por ejemplo, «Juan es el padre de Carlos, y
Carlos es hijo de Juan». Pero en lógica se define la tautología como una
proposición que no excluye ninguna posibilidad lógica, por ejemplo, «o está
lloviendo o no está lloviendo». Otra forma de expresar esto mismo es decir que
una tautología es «verdadera en todos los mundos posibles». Nadie dudaría que,
independientemente del estado real del tiempo (esto es, prescindiendo de si la
afirmación de que está lloviendo es verdadera o falsa), la proposición «o está
lloviendo o no está lloviendo» es necesariamente verdadera.
Hacemos
aplicación de esta idea para definir una tautología en nuestro sistema.
Obsérvese primero que toda fórmula se halla construida de componentes
elementales, ‘p’, ‘q’, ‘r’, etc. Una fórmula es una
tautología si es invariablemente verdadera, independientemente de que sus
componentes elementales sean verdaderos o falsos. Así, en el primer axioma, ‘(p ∧ p) → p’, el único
componente elemental es ‘p’; pero no importa en absoluto que se suponga
que ‘p’ es verdadero o que se suponga que es falso; el primer axioma es
verdadero en cualquiera de ambos casos. Puede darse una mayor evidencia a esto
si sustituimos ‘p’ por la proposición ‘el monte Rainier tiene veinte mil
pies de altura’; de este modo obtenemos como ejemplo del primer axioma la
proposición ‘si el monte Rainier tiene veinte mil pies de altura o el monte
Rainier tiene veinte mil pies de altura, entonces el monte Rainier tiene veinte
mil pies de altura’. El lector no encontrara ninguna dificultad para admitir
que esta declaración es verdadera, aun cuando ignore si lo es la proposición
constitutiva ‘el monte Rainier tiene veinte mil pies de altura’. Evidentemente,
pues, el primer axioma es una tautología, es decir, «verdadero en todos los
mundos posibles». Puede demostrarse fácilmente que cada uno de los demás
axiomas son también una tautología.
Después,
es posible demostrar que la propiedad de ser una tautología es hereditaria por
las reglas de transformación, aunque no nos detendremos a dar la demostración[12]. De aquí
se desprende que toda fórmula correctamente derivada de los axiomas (esto es,
todo teorema) debe ser una tautología.
Se ha
demostrado ya que la propiedad de ser tautología satisface dos de las tres
condiciones anteriormente mencionadas, con lo que estamos ya en situación de
dar el tercer paso. Debemos buscar una fórmula que pertenezca al sistema (esto
es, que se halle formada con los signos mencionados en el vocabulario, de
conformidad con las reglas de formación) y que, no obstante, por no poseer la
propiedad de ser una tautología, no pueda ser un teorema (es decir, que no
pueda ser derivada de los axiomas). No se necesita buscar mucho; es fácil
mostrar una fórmula de esta clase. Por ejemplo, ‘p ∨ q’ se ajusta a los requisitos. ‘Quiere
ser ansarón, pero no pasa de pato’ no pertenece a la familia; es una fórmula,
pero no es un teorema. Evidentemente, no es una tautología.
Cualquier ejemplo de sustitución (o interpretación) lo demuestra en seguida.
Sustituyendo las variables de ‘p ∨ q’
podemos obtener la proposición ‘Napoleón murió de cáncer o a Bismarck le
gustaba el café’. Esto no es una verdad de la lógica, ya que sería falsa si
fuesen falsas las dos cláusulas presentes en ella; y, aun cuando se tratase de
una proposición verdadera, no lo es independientemente de la verdad o falsedad
de sus proposiciones constitutivas.
Hemos
alcanzado nuestro objetivo. Hemos encontrado una fórmula por lo menos que no es
un teorema. Tal fórmula no podría existir si los axiomas fuesen
contradictorios. Por consiguiente, no es posible derivar de los axiomas del
cálculo sentencial tanto una fórmula como su negación. En resumidas cuentas,
hemos mostrado una prueba absoluta de la consistencia del sistema[13].
Antes de
abandonar el cálculo sentencial debemos mencionar una última cuestión. Puesto
que todo teorema de este cálculo es una tautología, una verdad de la lógica, es
natural preguntar si, inversamente, toda verdad lógica susceptible de ser
expresada en el vocabulario del cálculo (es decir, toda tautología) es también
un teorema (esto es, derivable de los axiomas). La respuesta es afirmativa,
aunque su demostración es demasiado larga para presentarla aquí. La cuestión
que aquí nos interesa, sin embargo, no depende del conocimiento de la demostración.
La cuestión es que, a la luz de esta conclusión, los axiomas son suficientes
para engendrar todas las fórmulas tautológicas, todas las
verdades lógicas susceptibles de ser expresadas en el sistema. De tales axiomas
se dice que son «completos».
Ahora
bien, frecuentemente ofrece un interés extraordinario determinar si un sistema
axiomatizado es completo. En efecto, un poderoso motivo para la axiomatización
de diversas ramas de las matemáticas ha sido el deseo de establecer un conjunto
de presunciones iniciales, a partir de las cuales puedan deducirse todas las
declaraciones verdaderas de algún campo de investigación. Cuando Euclides
axiomatizó la geometría elemental, seleccionó, aparentemente, sus axiomas de
modo que fuese posible derivar de ellos todas las verdades geométricas; esto
es, las que ya habían sido establecidas, así como cualesquiera otras que
pudieran descubrirse en el futuro[14]. Hasta
tiempos muy recientes se admitía como algo incontrovertiblemente cierta la
posibilidad de reunir un conjunto completo de axiomas para cualquier rama de
las matemáticas. Los matemáticos creían en particular que el conjunto propuesto
en el pasado para la aritmética era realmente completo, o, en todo caso, podía
completarse mediante el sencillo expediente de agregar un número finito de
axiomas a la lista original. El descubrimiento de que esto no surtiría efecto
es uno de los más importantes logros de Gödel.
Capítulo
VI
La idea de representación y su empleo en las matemáticas
El
cálculo proposicional constituye un ejemplo de un sistema matemático en el que
se alcanzan plenamente los objetivos de la teoría de la demostración de
Hilbert. Ciertamente, este cálculo codifica solamente un fragmento de la lógica
formal, y su vocabulario y su aparato formal no son suficientes para
desarrollar ni siquiera la aritmética elemental, pero el programa de Hilbert no
es tan limitado. Puede ser aplicado con éxito a sistemas más amplios, cuyo
carácter, a la vez consistente y completo, puede ser demostrado mediante un
razonamiento metamatemático. Una prueba absoluta de consistencia, por ejemplo,
se ha logrado para un sistema de aritmética que permita la adición de
números cardinales, aunque no la multiplicación. Pero ¿es el método finitista
de Hilbert lo suficientemente potente como para demostrar la consistencia de un
sistema como Principia, cuyo vocabulario y cuyo aparato lógico son
adecuados para expresar toda la aritmética y no simplemente un fragmento de
ella? Los repetidos intentos de construir una prueba de este tipo resultaron
infructuosos; y la publicación en 1931 del trabajo de Gödel demostró finalmente
que no podían por menos de fracasar todos los esfuerzos que se desenvolvieran
dentro de los estrictos límites del primitivo programa de Hilbert.
¿Qué es
lo que estableció Gödel y cómo demostró sus resultados? Sus principales
conclusiones son dos. En primer lugar (aunque no sea este el puesto que ocupa
en el razonamiento de Gödel) demostró que es imposible presentar una prueba
metamatemática de la consistencia de un sistema lo bastante comprensivo como
para contener toda la aritmética, a menos que se empleen en la prueba reglas de
deducción que difieran en ciertos aspectos esenciales de las reglas de
transformación utilizadas para derivar teoremas dentro del sistema.
Indudablemente, una prueba así posee gran valor e importancia. Sin embargo, si
el razonamiento se basa en reglas de deducción mucho más potentes que las
reglas del cálculo aritmético, de tal modo que la consistencia de las hipótesis
contenidas en el razonamiento esté tan sujeta a la duda como lo está la
consistencia de la aritmética, la prueba no produciría sino un especioso
triunfo; sería matar un dragón solamente para crear otro. En cualquier caso, si
la prueba no es finitista, no cubre los objetivos del programa original de
Hilbert; y la argumentación de Gödel hace que sea improbable el que pueda darse
una prueba finitista de la consistencia de la aritmética.
La
segunda importante conclusión de Gödel es aún más sorprendente y
revolucionaria, porque demuestra la existencia de una fundamental limitación en
la potencia del método axiomático. Gödel demostró que los Principia,
o cualquier otro sistema dentro del cual pueda desarrollarse la aritmética,
es esencialmente incompleto. En otras palabras: dado cualquier conjunto
consistente de axiomas aritméticos, existen proposiciones aritméticas
verdaderas que no pueden ser derivadas de dicho conjunto. Este decisivo punto
merece ser ilustrado con un ejemplo. Las matemáticas abundan en proposiciones
generales a las que no se ha encontrado ninguna excepción que hasta ahora haya
frustrado todo intento de prueba. Un ejemplo clásico es el conocido como
«teorema de Goldbach», el cual afirma que todo número par es la suma de dos
números primos. Jamás se ha encontrado ningún número par que no sea la suma dos
números primos; sin embargo, nadie ha logrado encontrar una prueba de que la
conjetura de Goldbach se aplique sin excepción a todos los números pares.
Tenemos, pues, aquí un ejemplo de una proposición aritmética que puede ser
verdadera, pero que puede no ser derivable de los axiomas de la aritmética.
Supongamos ahora que la conjetura de Goldbach fuese, en efecto, universalmente
verdadera, aunque no derivable de los axiomas. ¿Qué decir ante la sugerencia de
que, en este caso, los axiomas podrían ser modificados o aumentados hasta hacer
que las proposiciones hasta el momento indemostrables (tal como la de Goldbach
en nuestra hipótesis) fuesen derivables en el sistema ampliado? Los resultados
obtenidos por Gödel demuestran que, aunque la hipótesis fuese correcta, la
sugerencia no suministraría remedio definitivo a la dificultad. Es decir, que
aun cuando los axiomas de la aritmética sean ampliados con un número indefinido
de otros axiomas verdaderos, siempre quedaran verdades aritméticas que no son
formalmente derivables del conjunto ampliado[15].
¿Cómo
demostró Gödel estas conclusiones? Hasta cierto punto, la estructura de su
argumentación está moldeada, como el mismo hizo notar, sobre el razonamiento
implicado en una de las antinomias lógicas conocida como la «paradoja
richardiana», propuesta por el matemático francés Jules Richard en 1905.
Explicaremos en que consiste esta paradoja.
Considérese
un lenguaje (por ejemplo, el español) en el que se puedan formular y definir
las propiedades puramente aritméticas de los números cardinales. Examinemos las
definiciones que pueden ser expresadas en dicho lenguaje. Resulta claro que, so
pena de caer en círculo vicioso o regreso al infinito, no pueden definirse
explícitamente algunos términos que hacen referencia a propiedades aritméticas
—ya que no podemos definirlo todo y debemos empezar en alguna parte—, aunque,
presumiblemente, pueden ser comprendidos de alguna otra manera. Para el objeto
que nos ocupa, es indiferente cuáles sean los términos no definidos o
«primitivos»; podemos, por ejemplo, dar por supuesto que comprendemos lo que se
quiere decir con «un número entero es divisible por otro», etc. La propiedad de
ser un número primo puede ser definida como «no divisible por ningún otro
número entero más que por sí mismo y la unidad»; la propiedad de ser un
cuadrado perfecto puede ser definida como «ser el producto de algún número
entero por sí mismo», etc.
Fácilmente
podemos ver que cada una de tales definiciones contendrá solamente un número
finito de palabras y, por consiguiente, solo un número finito de letras del
alfabeto. Siendo esto así, las definiciones pueden ser ordenadas en una serie:
una definición precederá a otra si el número de letras de la primera es menor
que el número de letras de la segunda; y si dos definiciones tienen el mismo
número de letras, una de ellas precederá a la otra atendiendo al orden
alfabético de las letras contenidas en cada una. Sobre la base de este orden, a
cada definición corresponderá un único número entero, que representará el lugar
que ocupa la definición en la serie. De este modo, la definición que menos
letras tenga corresponderá al número 1, la siguiente definición de la serie
corresponderá al 2, y así sucesivamente.
Dado que
cada definición está asociada a un único número entero, puede ocurrir en
algunos casos que un número entero posea la misma propiedad expresada por la
definición con la cual está asociado[16].
Supongamos, por ejemplo, que la expresión definidora «no divisible por ningún
número entero más que por sí mismo y por la unidad» se halla en correlación con
el número de orden 17; evidentemente, el 17 tiene la propiedad designada por
esa expresión. Por otra parte, supongamos que la expresión definidora «ser el
producto de algún número entero por sí mismo» se halla en correlación con el
número de orden 15; esta claro que 15 no posee la propiedad designada por la
expresión. Describiremos la situación existente en el segundo ejemplo diciendo
que el número 15 tiene la propiedad de ser richardiano, y la del
primer ejemplo, diciendo que el número 17 no tiene la propiedad de ser richardiano.
Hablando en términos más generales, definimos «x es richardiano»
como una forma abreviada de declarar «x no tiene la propiedad
designada por la expresión definidora con la que se halla relacionado en la
serie ordenada de definiciones».
Llegamos
ahora a un punto curioso, pero característico, de la proposición en qué
consiste la paradoja richardiana. La expresión definidora de la propiedad de
ser richardiano describe ostensiblemente una propiedad numérica de los enteros.
La expresión misma pertenece, por tanto, a la serie de definiciones ya
enunciadas antes. De aquí se desprende que la expresión está relacionada con un
número entero determinador de su posición. Supongamos que este número es n.
Y ahora planteamos la cuestión, con ciertas reminiscencias de la antinomia de
Russell: ¿Es n richardiano? El lector puede, sin duda alguna,
anticipar la fatal contradicción que amenaza ahora. Porque n es
richardiano si, y solamente si, n carece de la propiedad
designada por la expresión (definidora) con la que está relacionado (esto es,
si carece de la propiedad de ser richardiano). En resumen, n es
richardiano si, y solamente si, n no es richardiano; de modo
que la declaración «n es richardiano» es verdadera y falsa a la
vez.
Debemos
hacer notar ahora que la contradicción es, en cierto sentido, una consecuencia
derivada de no jugar del todo limpio. Se ha deslizado, por ser útil, una
esencial pero tácita hipótesis subyacente bajo la ordenación sucesiva de las
definiciones. Se había acordado considerar las definiciones de las
propiedades estrictamente aritméticas de los números enteros,
es decir, propiedades que pueden formularse con ayuda de nociones tales como
las de adición aritmética, multiplicación, etc. Pero entonces, sin previo
aviso, se nos invita a que metamos dentro de la serie una definición que se
refiere a la notación utilizada para formular las propiedades
aritméticas. Más concretamente, la definición de la propiedad de ser
richardiano no pertenece a la serie inicialmente proyectada, porque esta
definición implica nociones metamatemáticas tales como el número de letras (o
signos) que se dan en las expresiones. Podemos soslayar la paradoja de Richard
distinguiendo cuidadosamente entre las proposiciones que se producen dentro de
la aritmética (que no hacen ninguna referencia a sistema alguno de notación) y
las proposiciones acerca de algún sistema de notación en el que se codifica la
aritmética.
Existe
una evidente falacia en el razonamiento empleado para la construcción de la
paradoja de Richard. La construcción sugiere, no obstante, la idea de que cabe
la posibilidad de «representar» o «reflejar» declaraciones metamatemáticas
acerca de un sistema formal suficientemente amplio dentro del sistema mismo. La
idea de la «representación» es sobradamente conocida y desempeña un papel
fundamental en muchas ramas de las matemáticas. Se utiliza para la construcción
de los mapas ordinarios, en la que las formas existentes en la superficie de
una esfera se proyectan sobre un plano, de tal modo que las relaciones entre
las figuras del plano reflejan las relaciones entre las figuras de la
superficie esférica. Se utiliza en la geometría de coordenadas, que traduce la
geometría al álgebra de modo que las relaciones geométricas quedan
representadas por otras algebraicas. (El lector recordara la exposición
realizada en el capítulo segundo, en el que se explicaba cómo empleó Hilbert el
álgebra para demostrar la consistencia de sus axiomas aplicados a la geometría.
Lo que en realidad hizo Hilbert fue representar la geometría en el álgebra.) La
representación desempeña también un importante papel en la física matemática,
donde, por ejemplo, las relaciones entre las propiedades de las corrientes
eléctricas se plasman en el lenguaje de la hidrodinámica. Y existe también
representación cuando se construye una maqueta antes de abordar la realización
de la máquina a su tamaño natural, cuando se somete a observación una pequeña
superficie del ala de un avión en un túnel de viento con objeto de apreciar sus
propiedades aerodinámicas, o cuando se utiliza un equipo de laboratorio hecho
de circuitos eléctricos para estudiar las relaciones entre masas de gran tamaño
en movimiento. Presentamos un sugestivo ejemplo visual en la figura 3, que
ilustra una especie de proyección, que se efectúa en una rama de las
matemáticas conocida como geometría proyectiva.
Figura 3. La figura 3(a) ilustra el teorema de Pappus: Si A, B, C son tres
puntos distintos cualesquiera de una línea I, y A’, B’, C’ tres puntos
cualesquiera de otra línea II, los tres puntos R, S, T determinados por los
pares de líneas AB’ y A’B, BC’ y B’C, CA’ y C’A, respectivamente, son
colineales (esto es, están en la línea III).
La figura
3(b) ilustra el «duplicado» del teorema anterior: Si A, B, C son tres líneas
distintas cualesquiera en un punto I, y A’, B’, C’ tres líneas distintas
cualesquiera en otro punto II, las tres líneas R, S, T determinadas por los
pares de puntos AB’ y A’B, BC’ y B’C, CA’ y C’A, respectivamente, son
copuntuales (esto es, tienen el punto III).
Las dos
figuras tienen la misma estructura abstracta, aunque sean en apariencia
notablemente distintas. La figura 3(a) está referida a la figura 3(b) de tal
modo que los puntos de la primera corresponden a líneas de la segunda, mientras
que la líneas de la primera corresponden a líneas de la segunda. De hecho, (b)
es una proyección de (a): un punto de (b) representa (o es la " imagen
reflejo" de) una línea de (a), mientras que una línea de (b) representa un
punto de (a).
La
característica fundamental de la representación es que puede demostrarse que
una estructura abstracta de relaciones existente en un campo de «objetos»
existe también entre «objetos» (generalmente de un tipo distinto que los del
primer grupo) pertenecientes a otro campo diferente. Esta característica es lo
que impulsó a Gödel a construir sus pruebas. Si, como él esperaba, unas
complicadas proposiciones metamatemáticas acerca de un sistema formalizado de
aritmética pudiesen ser traducidas a (o reflejadas por) proposiciones
aritméticas contenidas dentro del propio sistema, se habrá dado un gran paso en
el camino de facilitar las demostraciones metamatemáticas. Porque, así como es
más fácil manejar las fórmulas algebraicas que representan (o reflejan) intrincadas
relaciones geométricas entre curvas y superficies en el espacio que manejar las
propias relaciones geométricas, del mismo modo manejar las contrapartidas
aritméticas (o «imágenes reflejadas») de complejas relaciones lógicas es más
fácil que manejar las relaciones lógicas mismas.
La
explotación de la idea de la representación es la clave de la argumentación del
famoso trabajo de Gödel. Siguiendo el estilo de la paradoja richardiana, pero
evitando cuidadosamente la falacia involucrada en su construcción, Gödel
demostró que las proposiciones metamatemáticas acerca de un
cálculo aritmético formalizado pueden efectivamente ser representadas por
fórmulas aritméticas dentro del cálculo. Como con más detalle
explicaremos en el capítulo siguiente, ideó un método de representación tal,
que ni la fórmula aritmética correspondiente a una determinada proposición
metamatemática verdadera acerca de la fórmula ni la fórmula aritmética
correspondiente a la negación de la proposición son demostrables dentro del
cálculo. Como quiera que una de estas fórmulas aritméticas debe codificar una
verdad aritmética, ninguna de las cuales es, sin embargo, derivable de los
axiomas, los axiomas son incompletos. El método de representación de Gödel le
permitió también construir una fórmula aritmética correspondiente a la
proposición metamatemática «el cálculo es consistente» y demostrar que esta
fórmula no es demostrable dentro del cálculo. De ahí se desprende que la
proposición metamatemática no puede ser demostrada a no ser que se utilicen
reglas de deducción que no puedan ser representadas dentro del cálculo, de tal
modo que, al demostrar la proposición, se deben emplear reglas cuya propia
consistencia pueda ser tan discutible como la consistencia de la misma
aritmética. Gödel demostró y estableció estas importantes conclusiones
utilizando una forma sumamente ingeniosa de representación.
Capítulo
VII
Las pruebas de Gödel
El
estudio realizado por Gödel es sumamente complejo. Antes de llegar a los
resultados principales es necesario comprender y dominar perfectamente cuarenta
y seis definiciones preliminares, juntamente con varios e importantes teoremas
preliminares. Nosotros seguiremos un camino mucho más fácil; en él, sin
embargo, podrá el lector tener varios atisbos del ascenso y de la estructura
final de la cumbre.
La
numeración de Gödel.
Gödel
describió un cálculo formalizado dentro del cual pueden expresarse todas las
acostumbradas notaciones aritméticas y establecer las relaciones aritméticas ya
conocidas[17]. Las
fórmulas del cálculo están construidas con una clase de signos elementales que
constituyen el vocabulario fundamental. Los cimientos están formados por un
conjunto de fórmulas primitivas (o axiomas), y los teoremas del cálculo son
fórmulas que pueden derivarse de los axiomas con ayuda de una serie de reglas
de transformación (o reglas de deducción) cuidadosamente especificadas.
Gödel
demostró en primer lugar que es posible asignar un único número a
cada signo elemental, a cada fórmula (o sucesión de signos) y a cada prueba (o
sucesión finita de fórmulas). Este número, que sirve de rótulo distintivo,
recibe el nombre de «número Gödel» del signo, fórmula o prueba[18].
Los
signos elementales pertenecientes al vocabulario fundamental son de dos clases:
los signos constantes y las variables. Supondremos que hay exactamente diez
signos constantes[19], a los
que se asocian, como números Gödel, los números enteros que van del 1 al 10. La
mayoría de estos signos son ya conocidos del lector: ‘¬’(que quiere decir
‘no’); ‘∨’ (que quiere decir ‘o’); ‘→’ (que quiere decir
‘si… entonces…’); ‘=’ (que quiere decir ‘igual a’); ‘0’ (el numeral para el
número cero); y tres signos de puntuación, el paréntesis de apertura, ‘(’, el
paréntesis de cierre ‘)’, y la coma, ‘,’. Se utilizarán además otros dos
signos: la letra invertida ‘∃’, que
puede leerse como ‘existe’ y que se da en los «cuantificadores existenciales»,
y la minúscula ‘s’, que se agrega a las expresiones numéricas para
designar el inmediato sucesor de un número. Por ejemplo, la fórmula ‘(∃x)(x = s0)’
puede leerse ‘existe un x tal que x es el
sucesor inmediato de 0’. La tabla que insertamos a continuación muestra los
diez signos constantes, expresa el número Gödel asociado con cada uno de ellos
e indica los significados usuales de los signos.
|
Signos constantes |
Número Gödel |
Significado |
|
¬ |
1 |
no |
|
∨ |
2 |
o |
|
→ |
3 |
si… entonces… |
|
∃ |
4 |
existe un… |
|
= |
5 |
igual |
|
0 |
6 |
cero |
|
s |
7 |
sucesor |
|
( |
8 |
signo de puntuación |
|
) |
9 |
signo de puntuación |
|
, |
10 |
signo de puntuación |
Además de
los signos elementales constantes, aparecen tres clases de variables en el
vocabulario fundamental del cálculo: las variables numéricas, ‘x’,
‘y’, ‘z’, etc., con las que se puede sustituir a los numerales y
expresiones numéricas; las variables sentenciales, ‘p’, ‘q’,
‘r’, etc., con las que se puede sustituir a las fórmulas (sentencias), y
las variables predicativas, ‘P’, ‘Q’, ‘R’,
etc., con las que se pueden sustituir los predicados tales como ‘primo’ o
‘mayor que’. A las variables se asignan números Gödel de acuerdo con las
siguientes reglas:
1.
Asociar a cada variable numérica un número primo distinto mayor de 10.
2.
A cada variable sentencial el cuadrado de un número primo mayor de 10.
3.
A cada variable predicativa el cubo de un número primo mayor de 10.
Consideremos
ahora una fórmula del sistema, por ejemplo, ‘(∃x)(x = sy)’.
(Traducida literalmente, dice: ‘Existe un x tal que x es
el sucesor inmediato de y’, lo que quiere decir, en realidad, que
todo número tiene un sucesor inmediato.) Los números asociados a sus diez
signos elementales constitutivos son, respectivamente, 8, 4, 11, 9, 8, 11, 5,
7, 13, 9. A continuación mostramos esto mismo esquemáticamente:
|
( |
∃ |
x |
) |
( |
x |
= |
s |
y |
) |
|
↓ |
↓ |
↓ |
↓ |
↓ |
↓ |
↓ |
↓ |
↓ |
↓ |
|
8 |
4 |
11 |
9 |
8 |
11 |
5 |
7 |
13 |
9 |
Es
deseable, sin embargo, asignar a la fórmula un solo número en vez de un
conjunto de números. Esto puede hacerse fácilmente. Convenimos en asociar a la
fórmula el único número que es el producto de los diez primeros números primos
en orden de magnitud, estando cada uno de ellos elevado a una potencia igual al
número Gödel del correspondiente signo elemental. De acuerdo con esto, la
fórmula anterior queda asociada con el número
28 ·
34 · 511 · 79 · 118 ·
1311 · 175 · 197 · 2313 ·
299
Llamemos m a
este número. De manera similar, se puede asignar a toda sucesión finita de
signos elementales y, en particular, a toda fórmula, un único número, el
producto de tantos números primos como signos haya (estando elevado cada número
primo a una potencia igual al número Gödel del signo correspondiente)[20].
Consideremos,
finalmente, una sucesión de fórmulas tal como puede presentarse en alguna
demostración. Así, por ejemplo,
(∃x)(x = sy)
(∃x)(x = s0)
La
segunda fórmula, una vez traducida, dice: ‘0 tiene un sucesor inmediato’; es
derivable de la primera sustituyendo la variable numérica ‘y’ por el
numeral ‘0’[21]. Ya
hemos determinado el número Gödel de la primera fórmula; es m; y
supongamos que n es el número Gödel de la segunda fórmula.
Igual que antes, es conveniente disponer de un solo número que sirva de rótulo
a la sucesión. Convenimos, por tanto, en asociarla con el número que es el
producto de los dos primeros números primos en orden de magnitud (esto es, los
números primos 2 y 3), estando elevado cada uno de los números primos a una
potencia igual al número Gödel de la fórmula correspondiente. Si llamamos k a
este número podemos escribir k = 2m · 3n.
Por este procedimiento de condensación podemos obtener un número para cada
serie de fórmulas. En resumen, toda expresión contenida en el sistema, sea un
signo elemental, una sucesión de signos o una sucesión de sucesiones, puede
llevar asignado un único número Gödel.
Lo que se
ha hecho hasta aquí es establecer un método para «aritmetizar» completamente el
cálculo formal. El método consiste esencialmente en un conjunto de reglas para
establecer una correspondencia biunívoca entre las expresiones del cálculo y
una cierta subclase de los números enteros[22]. Dada
una expresión, puede calcularse unívocamente el número Gödel que corresponde a
ella. Pero esto es sólo la mitad de la historia. Dado un número, podemos
determinar si es un número Gödel, y, si lo es, la expresión que representa
puede ser exactamente analizada o «restablecida». Si un número dado es igual o
menor que 10, es el número Gödel de un signo constante elemental. El signo
puede ser identificado. Si el número es mayor de 10, puede ser descompuesto en
sus factores primos de una manera precisa (como sabemos por un famoso teorema
de la aritmética)[23]. Si es
un número primo mayor de 10, o la segunda o tercera potencia de un número primo
que reúna esa cualidad, es el número Gödel de una variable identificable. Si es
el producto de números primos sucesivos, elevados cada uno de ellos a alguna
potencia, puede ser el número Gödel o de una fórmula o de una sucesión de
fórmulas. En tal caso, puede determinarse exactamente la expresión a que
corresponde. Siguiendo este método podemos desmontar cualquier número dado como
si fuese una máquina, descubrir cómo está construido y averiguar qué elementos
lo integran; y, puesto que cada uno de sus elementos corresponde a un elemento
de la expresión que representa, podemos reconstituir la expresión, analizar su
estructura, etc. La siguiente tabla muestra como podemos averiguar, en relación
a un número determinado, si es un número Gödel y, en caso afirmativo, cuál es
la expresión que simboliza.
|
A |
243000000 |
|
|
|
B |
64 · 243 · 15625 |
|
|
|
C |
26 · 35 · 56 |
|
|
|
D |
6 |
5 |
6 |
|
↓ |
↓ |
↓ |
|
|
0 |
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
E |
0 = 0 |
|
|
La
fórmula aritmética ‘cero igual a cero’ tiene el número Gödel 243000000. Leyendo
en sentido descendente desde A hasta E, la ilustración muestra como se
transforma el número en la expresión que representa; haciéndolo en sentido
inverso, como se obtiene el número correspondiente a la fórmula.
La
aritmetización de la metamatemática.
El paso
siguiente de Gödel es una ingeniosa aplicación de la idea de la representación.
Demostró que todas las proposiciones metamatemáticas acerca de las propiedades
estructurales de las expresiones contenidas en el cálculo pueden ser
adecuadamente reflejadas dentro del cálculo mismo. La idea
básica subyacente en su procedimiento es la siguiente: puesto que toda
expresión del cálculo está asociada a un número (Gödel), puede construirse una
proposición metamatemática acerca de las expresiones y de sus recíprocas
relaciones como una proposición acerca de los correspondientes números (Gödel)
y de sus recíprocas relaciones aritméticas. De esta manera queda completamente
«aritmetizada» la metamatemática. Valga como analogía el siguiente ejemplo: En
un supermercado muy concurrido se suele dar a los clientes, en el momento de
entrar, unas fichas numeradas, cuyo orden determina el orden en que habrán de
ser atendidos los clientes. Observando los números es fácil decir cuántas
personas han sido servidas, cuántas están esperando, quién precede a quién y
por cuántos clientes, etc. Si, por ejemplo, la señora Smith tiene el número 37
y la señora Brown el número 53, en vez de explicar a la señora Brown que tiene
que aguardar su turno después de la señora Smith, basta con indicarle que 37 es
menor que 53.
Lo mismo
que en el supermercado ocurre en la metamatemática. Cada proposición
metamatemática se halla representada por una única fórmula dentro de la
aritmética; y las relaciones de dependencia lógica entre las proposiciones
metamatemáticas se reflejan plenamente en las relaciones numéricas de
dependencia entre sus correspondientes fórmulas aritméticas. Una vez más, la
representación facilita una investigación de la estructura. La exploración de
las cuestiones metamatemáticas puede ser desarrollada investigando las
propiedades aritméticas y las relaciones de ciertos números enteros.
Ilustraremos
estas observaciones generales con un ejemplo elemental. Consideremos el primer
axioma del cálculo proposicional, que es, además, un axioma del sistema formal
sujeto a examen: ‘(p ∨ p)
→ p’. Su número Gödel es 28 · 3112 ·
52 · 7112 · 119 · 133 ·
17112, que designaremos con la letra ‘a’. Consideremos
también la fórmula ‘(p ∨ p)’
cuyo número Gödel es 28 · 3112 · 52 ·
7112 · 119; la designaremos con la letra ‘b’.
Enunciamos ahora la proposición metamatemática de que la fórmula ‘p ∨ p’ es una parte inicial del axioma. ¿A
qué fórmula aritmética del sistema formal corresponde esta proposición? Es
evidente que la fórmula más pequeña ‘(p ∨ p)’ puede ser una parte inicial de la
fórmula mayor, que es el axioma, si, y solamente si, el número ‘b’, que
representa a la primera, es un factor del número ‘a’, que representa a
la segunda. Supuesto que la expresión ‘factor de’ esté convencionalmente
definida en el sistema aritmético formalizado, la única fórmula aritmética que
corresponde a la declaración metamatemática antes enunciada es: ‘b es un factor
de a’. Además, si esta fórmula es verdadera, esto es, si ‘b’ es un
factor de ‘a’, entonces es cierto que ‘(p ∨ p)’ es una parte inicial de ‘(p ∨ p) → p’.
Fijemos
nuestra atención en la proposición metamatemática: «La sucesión de fórmulas con
número Gödel x es una prueba de la fórmula con número
Gödel z.» Esta declaración está representada (reflejada) por una
fórmula definida del cálculo aritmético que expresa una relación
estrictamente aritmética entre x y z.
(Podemos hacernos cierta idea de la complejidad de esta relación recordando el
ejemplo empleado anteriormente, en el cual se asignaba el número Gödel k =
2m · 3n a la (fragmento de)
prueba cuya conclusión tiene el número Gödel n. Una pequeña
reflexión hace ver que existe aquí una relación aritmética definida, aunque en
manera alguna sencilla, entre k, el número Gödel de la prueba,
y n, el número Gödel de la conclusión). Escribimos esta relación
entre x y z con la fórmula ‘Dem(x,
z)’, para tener presente la proposición metamatemática a que corresponde
(esto es, la proposición metamatemática ‘La sucesión de fórmulas con número
Gödel x es una prueba (o demostración) de la fórmula con
número Gödel z’)[24]. Rogamos
ahora al lector que observe que una proposición metamatemática que dice que una
cierta sucesión de fórmulas constituye una prueba de una fórmula dada es
verdadera si, y solamente si, el número Gödel de la pretendida prueba esta con
el número Gödel de la conclusión en la relación aritmética aquí designada como
‘Dem’. Por consiguiente, para establecer la verdad o la falsedad de la
proposición metamatemática sujeta a examen solo nos interesa la cuestión de si
la relación ‘Dem’ se mantiene entre dos números. Inversamente, podemos
establecer que la relación aritmética se cumple entre un par de números
demostrando que es verdadera la declaración metamatemática reflejada por dicha
relación entre dos números. Análogamente, la proposición metamatemática: ‘La
sucesión de fórmulas con el número Gödel x no es una prueba
para la fórmula con número Gödel z’ se representa en el sistema
aritmético formalizado con una fórmula definida. Tal fórmula es la
contradictoria formal de ‘Dem(x, z)’, o sea, ‘¬Dem(x, z)’.
Es
necesario agregar un poco más de esta notación especial para exponer el punto
clave del argumento de Gödel. Comencemos por un ejemplo. La fórmula ‘(∃x)(x = sy)’
tiene como número Gödel m, mientras que el número Gödel de la
variable ‘y’ es 13. En dicha fórmula sustitúyase la variable de número
Gödel 13 (o sea, ‘y’) por el numeral de m. El resultado es
la fórmula ‘(∃x)(x = sm)’,
que dice literalmente que existe un número x tal que x es
el sucesor inmediato de m. Esta última fórmula tiene también un
número Gödel, que puede calcularse muy fácilmente. Pero, en vez de hacer el
cálculo, podemos identificar el número mediante una inequívoca caracterización
metamatemática: es el número Gödel de la fórmula que se obtiene a partir de la
fórmula de número Gödel m, sustituyendo la variable de número Gödel
13 por el numeral de m. Esta caracterización metamatemática
determina unívocamente un número definido, que es una cierta función aritmética
de los números m y 13, en la que puede ser expresada la
función misma dentro del sistema formalizado[25]. El
número puede, por consiguiente, ser designado dentro del cálculo. Esta
designación será escrita como ‘sust(m, 13, m)’ siendo
la finalidad de esta forma recordar la caracterización metamatemática que
representa, es decir, ‘el número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la
fórmula de número Gödel m, sustituyendo la variable de número Gödel
13 por el numeral de m’. Podemos ahora dejar a un lado el ejemplo y
generalizar. El lector se dará cuenta en seguida de que la expresión ‘sust(y,
13, y)’ es la imagen reflejada dentro del cálculo
aritmético formalizado de la caracterización metamatemática ‘el número Gödel de
la fórmula que se obtiene a partir de la fórmula de número Gödel y,
sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el numeral de y’.
Se observará también que cuando se sustituye ‘y’ por un numeral definido
en ‘sust(y, 13, y)’ —por ejemplo, el numeral de m o
el numeral de doscientos cuarenta y tres millones— la expresión resultante
designa un número entero definido, que es el número Gödel de una determinada
fórmula[26].
El núcleo
de la argumentación de Gödel.
Nos
encontramos preparados, por fin, para seguir en líneas generales la
argumentación principal de Gödel. Comenzaremos enumerando de forma genérica los
pasos fundamentales para que el lector pueda captar una vista panorámica de la
secuencia del argumento.
Gödel
mostró (i) cómo construir una fórmula aritmética G que
represente la declaración metamatemática ‘La fórmula G no es
demostrable’. Esta fórmula G dice, así, ostensiblemente de
sí misma que no es demostrable. Hasta cierto punto, G está
construida de forma análoga a la paradoja de Richard. En esa paradoja la
expresión ‘richardiano’ se asocia a cierto número n, y queda
construida la oración ‘n es richardiano’. En la argumentación de
Gödel, la fórmula G se asocia también a un cierto número h y
está construida de modo que corresponda a la declaración ‘la fórmula que tiene
el número asociado h no es demostrable’. Pero (ii) Gödel
mostró también que G es demostrable si, y solamente si, es
demostrable su negación formal ¬G. Este paso de la argumentación es
también análogo al paso de la paradoja de Richard en el que se demostró
que n es richardiano si, y solamente si, n no
es richardiano. De cualquier modo, si una fórmula y su negación son ambas
formalmente demostrables, el cálculo aritmético no es consistente. Por
consiguiente, si el cálculo es consistente, ni G ni ¬G son
formalmente derivables de los axiomas de la aritmética. Por tanto, si la
aritmética es consistente, G es una fórmula formalmente
indecidible. Gödel demostró luego (iii) que, aunque G no sea
formalmente demostrable, es, sin embargo, una fórmula aritmética verdadera.
Es verdadera en el sentido de que afirma que todo número entero posee una
cierta propiedad aritmética que puede ser exactamente definida y presentada en
cualquier número entero que se examine. (iv) Puesto que G es
al mismo tiempo verdadera y formalmente indecidible, los axiomas de la
aritmética son incompletos. En otras palabras: no podemos deducir
todas las verdades aritméticas de los axiomas. Gödel demostró además que la
aritmética es esencialmente incompleta: aun cuando se
admitiesen nuevos axiomas, de tal modo que la fórmula verdadera G pudiera
ser formalmente derivada de la incrementada serie de los mismos, todavía podría
construirse otra fórmula verdadera pero formalmente indecidible. (v) Gödel
describió después como construir una fórmula aritmética A que
represente a la proposición metamatemática ‘la aritmética es consistente’, y
demostró que la fórmula ‘A → G’ es formalmente
demostrable. Y, finalmente, demostró que la fórmula A no es
demostrable. De aquí se desprende que la consistencia de la aritmética no puede
ser establecida por un argumento que pueda hallarse representado en el cálculo
aritmético formal.
Exponemos
a continuación detalladamente la sustancia de la argumentación:
I. Ya
ha sido identificada la fórmula ‘Dem(x, z)’. Representa, dentro
de la aritmética formalizada, la proposición metamatemática ‘la sucesión de
fórmulas con número Gödel x no es una prueba de la fórmula con
número Gödel z’. Ahora se introduce el prefijo ‘(x)’ en la
fórmula Dem. Este prefijo realiza en el sistema formalizado la
misma función que la frase ‘para todo x’. Anteponiendo este prefijo
obtenemos una nueva fórmula, ‘(x)¬Dem(x, z)’, que
representa, dentro de la aritmética, a la proposición metamatemática ‘para
todo x, la sucesión de fórmulas con número Gödel x no
es una prueba de la fórmula con número Gödel z’. La nueva fórmula
es, por tanto, la paráfrasis formal (estrictamente hablando, es la única
representativa), dentro del cálculo, de la proposición metamatemática ‘la
fórmula con número Gödel z no es demostrable’, o, por decirlo
de otra manera, ‘no puede aducirse ninguna prueba para la fórmula con número
Gödel z’.
Lo que
Gödel demostró es que un determinado caso especial de esta fórmula no es
formalmente demostrable. Para construir este caso especial empecemos con la
fórmula señalada como línea (1):
(x)¬Dem(x, sust(y,
13, y)) (1)
Esta
fórmula pertenece al cálculo aritmético, pero representa una proposición
metamatemática. La cuestión es: ¿cuál? El lector debe recordar ante todo que la
expresión ‘sust(y, 13, y)’ designa un número. Este
número es el número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de
número Gödel y, sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el
numeral[27] de y.
Resulta entonces evidente que la fórmula de la línea (1) representa a la
proposición metamatemática ‘la fórmula de número Gödel sust(y,
13, y) no es demostrable’[28].
Pero,
dado que la fórmula de la línea (1) pertenece al cálculo aritmético, tiene un
número Gödel que puede ser efectivamente calculado. Supongamos que el número
es n. Sustituimos ahora la variable de número Gödel 13 (esto es, la
variable ‘y’) de la fórmula de la línea (1) por el numeral de n.
Se obtiene así una nueva fórmula, que llamaremos ‘G’ (de Gödel),
rotulándola con esa letra:
(x)¬Dem(x, sust(n,
13, n)) (G)
La
fórmula G es el caso especial que habíamos prometido
construir.
Ahora
bien: esta fórmula se produce dentro del cálculo aritmético y debe, por
consiguiente, tener un número Gödel. ¿Cuál es el número? Una breve reflexión
nos hace ver que es sust(n, 13, n). Para
comprenderlo debemos recordar que sust(n, 13, n)
es el número Gödel de la fórmula que se obtiene a partir de la fórmula de
número Gödel n, sustituyendo la variable de número Gödel 13 (o sea,
la variable ‘y’) por el numeral de n. Pero la fórmula G ha
sido obtenida a partir de la fórmula de número Gödel n (o sea,
de la fórmula de la línea (1)), sustituyendo la variable ‘y’ existente
en ella por el numeral de n. En consecuencia, el número Gödel
de G es, en efecto, sust(n, 13, n).
Pero
debemos recordar también que la fórmula G es la imagen
reflejada dentro del cálculo aritmético de la proposición
metamatemática: ‘La fórmula de número Gödel sust(n,
13, n) no es demostrable’. De donde se sigue que la fórmula
aritmética ‘(x)¬Dem(x, sust(n,
13, n))’ representa en el cálculo la proposición
metamatemática: ‘La fórmula ‘(x)¬Dem(x, sust(n,
13, n))’ no es demostrable’. En cierto sentido, por tanto, esta
fórmula aritmética G puede ser construida como afirmando de sí
misma que no es demostrable.
II. Llegamos
ahora al paso siguiente: la prueba de que G no es formalmente
demostrable. La demostración de Gödel se asemeja al desarrollo de la paradoja
de Richard, pero se mantiene libre de su falaz razonamiento[29]. La
argumentación es relativamente sencilla. Se desenvuelve haciendo ver que si la
fórmula G fuese demostrable, entonces su contradictoria formal
[a saber: la fórmula ‘¬(x)¬Dem(x, sust(n,
13, n))’] también sería demostrable; e, inversamente, que si la
contradictoria formal de G fuese demostrable, entonces también
la propia G sería demostrable. Tenemos, pues, G es
demostrable si, y solo si, ¬G es demostrable[30]. Pero,
como hemos hecho notar anteriormente, si de un conjunto de axiomas pueden ser
derivadas tanto una fórmula como su negación formal, esos axiomas no son
consistentes. De lo que se deduce que si los axiomas del sistema formalizado de
la aritmética son consistentes, ni la fórmula G ni su negación
son demostrables. En resumen, si los axiomas son consistentes, G es
formalmente indecidible, en el preciso sentido técnico de que ni G ni
su contradictoria pueden ser formalmente deducidas de los axiomas.
III. Puede
que a primera vista esta conclusión no parezca de capital importancia. ¿Por qué
es tan digno de mención, podría preguntarse, que pueda construirse dentro de la
aritmética una fórmula que sea indecidible? Queda por revelar algo que ilumina
las hondas implicaciones de este resultado. Porque, aunque la fórmula G es
indecidible, si los axiomas del sistema son consistentes, puede, no obstante,
demostrarse mediante un razonamiento metamatemático que G es
verdadera. Es decir, puede demostrarse que G formula una
compleja pero definida propiedad numérica que se da necesariamente en todos los
números enteros, del mismo modo que la fórmula ‘(x)¬(x + 3 =
2)’ (que, interpretada en la forma habitual dice que ningún número cardinal al
que se añada 3 da una suma igual a 2) expresa otra propiedad igualmente
necesaria (aunque mucho más sencilla) de todos los números enteros. El
razonamiento que da validez a la verdad de la fórmula indecidible G es
impecable. Primero, bajo la hipótesis de que la aritmética es consistente se ha
demostrado la verdad de la proposición metamatemática ‘La fórmula ‘(x)¬Dem(x, sust(n,
13, n))’ no es demostrable’. Segundo, esta proposición se halla
representada dentro de la aritmética por la misma fórmula mencionada en la
proposición. Tercero, recordemos que las proposiciones metamatemáticas han sido
representadas en el formalismo aritmético de tal modo que las proposiciones
metamatemáticas verdaderas correspondan a fórmulas aritméticas verdaderas. (En
realidad, el establecimiento de tal correspondencia es la raison d’étre de
la representación; al igual que ocurre, por ejemplo, en la geometría analítica,
en la que, por virtud de este proceso, las proposiciones geométricas verdaderas
corresponden siempre a proposiciones algebraicas verdaderas.) De ahí se
desprende que la fórmula G, que corresponde a una proposición
metamatemática verdadera, debe ser también verdadera. Ha de hacerse notar, no
obstante, que hemos establecido una verdad aritmética, no deduciéndola
formalmente de los axiomas de la aritmética, sino por un argumento
metamatemático.
IV.
Recordamos ahora al lector la noción de la «completitud» introducida en la
exposición del cálculo proposicional. Se explicó allí que los axiomas de un
sistema deductivo son «completos» si todas las proposiciones verdaderas que
pueden expresarse en el sistema son formalmente deducibles de los axiomas. Si
no es este el caso, es decir, si no toda proposición expresable en el sistema
es deducible, los axiomas son «incompletos». Pero, dado que acabamos de
demostrar que G es una fórmula verdadera de la aritmética no
deducible formalmente dentro de ella, se deduce que los axiomas de la
aritmética son incompletos, sobre la hipótesis, naturalmente, de que sean
consistentes. Son, además, esencialmente incompletos; aun
cuando fuera introducida G como un nuevo axioma, el conjunto
así aumentado sería todavía insuficiente para producir todas las verdades
aritméticas. Porque, si los axiomas iniciales fuesen ampliados de la manera
indicada, aún podría construirse otra fórmula aritmética verdadera, pero
indecidible dentro del sistema ensanchado; tal fórmula podría ser construida
limitándose a repetir en el nuevo sistema el procedimiento empleado
originariamente para hallar una fórmula verdadera, pero indecidible en el
sistema inicial. Esta importante conclusión se mantiene con independencia de
las veces que se amplía el sistema inicial. Nos vemos, pues, obligados a
admitir una fundamental limitación en la eficacia del método axiomático. En
contra de previas suposiciones, el vasto continente de la verdad aritmética no
puede ser reducido a un orden sistemático sentando de una vez para siempre un
conjunto de axiomas del que pueda derivarse formalmente toda proposición
aritmética verdadera.
V. Y
llegamos a la coda de la asombrosa sinfonía intelectual de Gödel. Hemos seguido
los pasos por los que él llegó a establecer la proposición metamatemática: «Si
la aritmética es consistente, es incompleta.» Pero puede demostrarse también
que esta proposición condicional, tomada como un todo, está
representada por una fórmula demostrable dentro de la
aritmética formalizada.
Esta
fórmula crucial puede ser fácilmente construida. Como ya hemos explicado en el
capítulo quinto, la proposición metamatemática ‘la aritmética es consistente’
es equivalente a la proposición ‘existe por lo menos una fórmula de la
aritmética que no es demostrable’. En el cálculo formal se representa a esta
con la siguiente fórmula, que denominaremos ‘A’:
(∃y)(x)¬Dem(x,
y) (A)
Traducida,
dice: ‘Existe por lo menos un número y tal que, para todo
número x, x no se mantiene en la relación Dem a y’.
Interpretada metamatemáticamente, la fórmula afirma: ‘Existe por lo menos una
fórmula de la aritmética para la cual ninguna sucesión de fórmulas constituye
una prueba’. La fórmula A, por tanto, representa la cláusula
antecedente de la proposición metamatemática ‘si la aritmética es consistente,
es incompleta’. Por otra parte, la cláusula consiguiente de esta proposición
—es decir, ‘(la aritmética) es incompleta’— procede directamente de ‘existe una
proposición aritmética verdadera que no es formalmente demostrable en la
aritmética’; y ésta, como advertirá el lector, se halla representada en el
cálculo aritmético por una vieja conocida, la fórmula G. En
consecuencia, la proposición metamatemática condicional ‘si la aritmética es
consistente, es incompleta’ está representada por la fórmula
(∃y)(x)¬Dem(x,
y) → (x)¬Dem(x, sust(n, 13, n)
que, en
aras de la brevedad, simbolizaremos por ‘A → G’. (Puede
probarse que esta fórmula es formalmente demostrable, pero prescindiremos de
hacerlo en estas páginas.)
Vamos a
demostrar ahora que la fórmula A no es demostrable. Supongamos
que lo fuese. Entonces, puesto que A → G es
demostrable, aplicando la regla de separación sería demostrable la
fórmula G. Pero, salvo que el cálculo sea inconsistente, G es
formalmente indecidible, esto es, no demostrable. Por consiguiente, si la
aritmética es consistente, la fórmula A no es demostrable.
¿Qué
significa esto? La fórmula A representa la proposición
metamatemática ‘la aritmética es consistente’. Si, por consiguiente, esta
proposición pudiera ser demostrada con una argumentación susceptible de ser
plasmada en una sucesión de fórmulas, que constituye una prueba en el cálculo
aritmético, sería demostrable la propia fórmula A. Pero, como hemos
visto, esto es imposible si la aritmética es consistente. Y el gran paso final
está ya ante nosotros: debemos concluir que si la aritmética es consistente, su
consistencia no puede ser demostrada por ningún razonamiento metamatemático
susceptible de ser representado dentro del formalismo de la aritmética.
Es
preciso evitar una errónea interpretación de este importante resultado del
análisis de Gödel: no excluye una prueba metamatemática de la consistencia de
la aritmética. Lo que excluye es la posibilidad de que una prueba de
consistencia sea reflejada sobre las deducciones formales de la aritmética[31]. De
hecho, se han construido pruebas metamatemáticas de la consistencia de la
aritmética, en particular por Gerhard Gentzen, miembro de la escuela de
Hilbert, en 1936, y por otros estudiosos posteriores[32]. Estas
pruebas poseen una gran importancia lógica, entre otras razones porque proponen
nuevas formas de construcciones metamatemáticas y porque, en consecuencia,
iluminan la cuestión de cómo es preciso ampliar la clase de reglas de deducción
para demostrar la consistencia de la aritmética. Pero estas pruebas no pueden
ser representadas dentro del cálculo aritmético; y, como no son finitistas, no
alcanzan los anunciados objetivos del primitivo programa de Hilbert.
Capítulo
VIII
Reflexiones finales
La
importancia de las conclusiones de Gödel es de una trascendencia que todavía no
ha sido plenamente explorada. Estas conclusiones señalan que la perspectiva de
encontrar para todo sistema deductivo (y, en particular, para un sistema en que
pueda expresarse toda la aritmética) una prueba absoluta de consistencia que
satisfaga los requisitos finitistas propuestos en el programa de Hilbert es,
aunque no lógicamente imposible, sumamente improbable[33]. Señalan
también que existe un número infinito de proposiciones aritméticas verdaderas
que no pueden ser deducidas formalmente de ningún conjunto dado de axiomas
mediante un conjunto cerrado de reglas de deducción. De donde resulta que un
tratamiento axiomático de la teoría de los números, por ejemplo, no puede
agotar el campo de la verdad aritmética. Resulta también que lo que entendemos
por proceso de la prueba matemática no coincide con la explotación de un método
axiomático formalizado. Un procedimiento axiomático formalizado se basa en un
conjunto, inicialmente fijo y determinado, de axiomas y de reglas de
transformación. Como la propia argumentación de Gödel señala, no es posible
trazar ningún límite previo a la inventiva de los matemáticos en la ideación de
nuevas reglas de prueba. Por consiguiente, no puede darse ninguna descripción
definitiva de la forma lógica precisa de las demostraciones matemáticas
válidas. Teniendo en cuenta estas circunstancias, la cuestión de si puede
enunciarse una omnicomprensiva definición de la verdad lógica o matemática, y
si, como el propio Gödel parece creer, solo un absoluto «realismo» filosófico
del viejo tipo platónico puede suministrar una definición adecuada, constituye
un conjunto de problemas aún no resueltos y demasiado complejos para
examinarlos aquí[34].
Las
conclusiones de Gödel conducen a la cuestión de si podría construirse una
máquina calculadora que llegara a equipararse en inteligencia matemática al
cerebro humano. Las calculadoras actuales poseen en su interior un conjunto de
directivas o instrucciones; estas instrucciones corresponden a las reglas fijas
de deducción del procedimiento axiomático formalizado. Las máquinas contestan,
pues, a los problemas operando por pasos medidos, cada uno de los cuales se
halla controlado por las directivas introducidas en ellas. Pero, como demostró
Gödel en su teorema de la ausencia de completitud, existen muchos problemas de
la teoría elemental de los números que caen fuera del ámbito de un método
axiomático fijo y que tales máquinas son incapaces de resolver por intrincados
e ingeniosos que puedan ser sus mecanismos y por rápidas que sean sus
operaciones. Dado un determinado problema, podría construirse una máquina de
este tipo que lo resolviese; pero no puede construirse una máquina que resuelva
todos los problemas. El cerebro humano puede, indudablemente, hallarse afectado
de limitaciones inherentes al mismo, y pueden darse problemas matemáticos que
sea incapaz de resolver. Pero, aun así, el cerebro parece incorporar una
estructura de reglas de operación mucho más poderosa que la estructura de las
máquinas artificiales. No hay nada que permita suponer una próxima sustitución
de la mente humana por robots.
No debe
considerarse el teorema de Gödel como una invitación a la desesperanza ni como
una excusa para la alusión al misterio. El descubrimiento de que existen
verdades aritméticas que no pueden ser demostradas formalmente no significa que
existan verdades que hayan de permanecer en una eterna imposibilidad de ser
conocidas ni que una intuición «mística» (de especie y autoridad radicalmente
distintas de la habitualmente operativa en los progresos intelectuales) deba
reemplazar a la prueba convincente. No significa, como ha pretendido
recientemente un autor, que existan «limites ineluctables a la razón humana».
Significa que los recursos del intelecto humano no han sido, ni pueden ser,
plenamente formalizados, y que subsiste la posibilidad de descubrir nuevos
principios de demostración. Hemos visto que las proposiciones matemáticas que
no pueden ser demostradas por deducción formal a partir de un conjunto dado de
axiomas pueden, sin embargo, ser demostradas mediante un razonamiento
metamatemático «informal». Sería irresponsable pretender que estas verdades
formalmente indemostrables establecidas por argumentos metamatemáticos no se
basan en nada más que en la pura intuición.
Y las
inherentes limitaciones de las máquinas calculadoras tampoco implican que no
podamos esperar llegar a una explicación de la materia viva y de la razón
humana en términos físicos y químicos. La posibilidad de tales explicaciones no
se halla excluida ni afirmada por el teorema de incompletitud de Gödel. El
teorema indica que la estructura y la potencia de la mente humana son mucho más
complejas y sutiles que cualquier máquina inerte existente hasta el momento. La
misma obra de Gödel constituye un notable ejemplo de esa sutileza y
complejidad. Es un motivo no para el desaliento, sino para una renovada
apreciación de los poderes de la razón creadora.
Bibliografía
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Carnap, Rudolf: Logical Syntax of Language,
Nueva York, 1937.
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and Natural Science, Princeton, 1949.
·
Wilder, R. L.: Introduction to the
Foundations of Mathematics, Nueva York, 1952.
Notas:
[1] La
razón principal de esta supuesta falta de autoevidencia parece haber sido el
hecho de que el axioma de las paralelas formula una afirmación acerca de
regiones infinitamente remotas del espacio. Euclides define
las líneas paralelas como líneas rectas situadas en un plano que «prolongándose
indefinidamente en ambas direcciones» no se encuentran. Por consiguiente, decir
que dos líneas son paralelas es sentar la afirmación de que esas dos líneas no
se encontraran ni siquiera «en el infinito». Pero los antiguos conocían líneas
que, aunque no se cortan en ninguna región finita del plano, se encuentran «en
el infinito». De tales líneas se dice que son «asintóticas». Así, una hipérbola
es asintótica respecto a sus ejes. A los geómetras antiguos no les resultaba
intuitivamente evidente, por tanto, que desde un punto exterior a una línea
recta dada solamente pudiera trazarse una línea recta que no se encontrara con
aquella ni siquiera en el infinito.
[2] La
aritmética de los números cardinales no fue axiomatizada hasta 1899 por el
matemático italiano Guiseppe Peano. Sus axiomas son cinco. Se formulan con
ayuda de tres términos no definidos, el conocimiento del último de los cuales
se da por supuesto. Los términos son: ‘número’, ‘cero’ y ‘sucesor
inmediato de’. Los axiomas de Peano pueden expresarse del modo siguiente:
1.
Cero es un número.
2.
El sucesor inmediato de un número es un número.
3.
Cero no es el sucesor inmediato de un número.
4.
No hay dos números que tengan el mismo sucesor
inmediato.
5.
Cualquier propiedad que pertenezca a cero y también
al sucesor inmediato de todo número que tenga esa propiedad pertenece a todos
los números.
El último
axioma formula lo que suele denominarse el «principio de inducción matemática».
[3] Dicho
en un lenguaje más técnico, los términos primitivos quedan «implícitamente»
definidos por los axiomas, y todo lo que no se halla comprendido por las
definiciones implícitas es irrelevante para la demostración de los teoremas.
[4] Debe
hacerse notar que las proposiciones metamatemáticas presentadas en el texto no
contienen como partes constitutivas ninguno de los signos y fórmulas
matemáticos que aparecen en los ejemplos. A primera vista esta
afirmación parece palpablemente falsa, ya que son claramente visibles los
signos y las fórmulas. Pero, si se analizan las proposiciones con espíritu
analítico, veremos que lo dicho es cierto. Las proposiciones metamatemáticas
contienen los nombres de ciertas expresiones aritméticas, pero
no las expresiones aritméticas mismas. La distinción es sutil, pero válida e
importante. Proviene de la circunstancia de que las reglas de la gramática
exigen que ninguna oración contenga literalmente el objeto a que pueda
referirse la misma, sino solamente los nombres de tales
objetos. Evidentemente, cuando hablamos de una ciudad no introducimos la ciudad
misma en una oración, sino solamente el nombre de la ciudad; y, análogamente,
si queremos decir algo acerca de una palabra (u otro signo lingüístico) no es
la palabra misma (o el signo) lo que puede aparecer en la oración, sino
solamente el nombre de la palabra (o signo). De acuerdo con una convención
establecida, construimos un nombre para una expresión lingüística colocándola
entre comillas. Nuestro texto se adhiere a esta convención. Es correcto
escribir:
Chicago
es una ciudad populosa.
Pero es
incorrecto escribir:
Chicago
es trisílaba.
Para
expresar lo que se quiere decir con esta oración, se debe escribir:
‘Chicago’
es trisílaba.
Igualmente,
es incorrecto escribir:
x = 5
es una ecuación.
En vez de
ello, debemos formular nuestra idea escribiendo:
‘x =
5’ es una ecuación.
[5] Hilbert
no dio una explicación precisa de qué procedimientos metamatemáticos deben
considerarse finitistas. En la versión original de su programa, los requisitos
para una prueba absoluta de congruencia eran más estrictos que en las
posteriores exposiciones del programa llevadas a cabo por los miembros de su
escuela.
[6] Es
muy posible que le interese al lector disponer de una explicación más completa
que la suministrada en el texto en torno a los teoremas lógicos y reglas de
deducción tácitamente empleados incluso en demostraciones matemáticas
elementales. Analizaremos primeramente el razonamiento que da lugar a la línea
6 del teorema de Euclides a partir de las líneas 3, 4 y 5.
Designamos
como «variables proposicionales» a las letras ‘p’, ‘q’ y ‘r’
porque pueden ser sustituidas por las proposiciones o sentencias. Asimismo,
para economizar espacio, escribimos las proposiciones condicionales del tipo de
‘si p entonces q’ como ‘p → q’;
y denominamos a la expresión situada a la izquierda del signo con forma → el
«antecedente» y a la expresión situada a la derecha el «consecuente».
Análogamente escribimos ‘p ∨ q’
como abreviatura de la forma alternativa ‘o p o q’.
Existe un
teorema de la lógica elemental que dice:
(p → r)
→ [(q → r) → ((p ∨ q) → r)]
Puede
demostrarse que este teorema formula una verdad necesaria. El
lector advertirá que esta fórmula declara más brevemente lo mismo que la
siguiente proposición, mucho más larga:
Si
(si p entonces r), entonces [si (si q entonces r)
entonces (si o p o q) entonces r)]
Tal como
se ha indicado en el texto, existe en la lógica una regla de deducción llamada
la regla de sustitución de variables proposicionales. De conformidad con esta
regla, una proposición S2, procede lógicamente de una
proposición S1, que contiene variables proposicionales,
si la primera se obtiene a partir de la segunda sustituyendo uniformemente las
variables por proposiciones. Si aplicamos esta regla al teorema que acabamos de
mencionar, sustituyendo ‘y es primo’ en lugar de ‘p’, ‘y es
compuesto’ en lugar de ‘q’ e ‘y no es el mayor número primo’
en lugar de ‘r’, obtenemos lo siguiente:
(y es
primo → y no es el mayor número primo) → [(y es
compuesto → x no es el mayor número primo) → ((y es
primo ∨ y es compuesto) → y no
es el mayor número primo)]
El lector
se daría cuenta en seguida de que la proposición condicional incluida dentro
del primer par de paréntesis (presente en la primera línea de este ejemplo del
teorema) se limita a repetir la línea 3 de la prueba de Euclides. Igualmente,
la proposición condicional incluida dentro del primer par de paréntesis
comprendidos entre los corchetes (segunda línea del ejemplo del teorema) repite
la línea 4 de la prueba. También la proposición alternativa que está dentro de
los corchetes repite la línea 5 de la prueba.
Utilizamos
ahora otra regla de deducción, conocida como regla de separación (o modus
ponens). Esta regla nos permite deducir una proposición S2 a
partir de otras dos proposiciones, una de las cuales es S1 y
la otra S1 → S2. Aplicamos
tres veces esta regla: primero, utilizando la línea 3 de la prueba de Euclides
y el ejemplo anterior del teorema lógico; después, el resultado obtenido
mediante esta aplicación y la línea 4 de la demostración; y, finalmente, este
último resultado de la aplicación y la línea 5 de la demostración. El resultado
es la línea 6 de la demostración.
La
derivación de la línea 6 a partir de las líneas 3, 4 y 5 implica, por tanto, el
uso tácito de dos reglas de deducción y de un teorema de la lógica. El teorema
y las reglas pertenecen a la parte elemental de la teoría lógica: el cálculo
proposicional. Éste versa sobre las relaciones lógicas existentes entre
proposiciones formadas de otras proposiciones mediante la ayuda de enlaces
proposicionales, ejemplo de los cuales son ‘→’ y ‘∨’. Otro enlace de este tipo es la conjunción ‘y’,
que se representa por ∧; la
proposición copulativa ‘p y q’ se escribe, pues, ‘p ∧ q’. El signo ‘¬’ representa la
partícula negativa ‘no’; así, ‘no p’ se escribe ‘¬p’.
Examinemos
la transición que en la demostración de Euclides se verifica de la línea 6 a la
7. Este paso no puede ser analizado con la sola ayuda del cálculo
proposicional. Se necesita una regla de deducción que pertenece a una parte más
avanzada de la teoría lógica, la que tiene en cuenta la complejidad interna de
las proposiciones que contienen expresiones tales como ‘todo’, ‘cada uno’,
‘alguno’ y sus sinónimos. Reciben tradicionalmente el nombre de cuantificadores,
y la rama de la teoría lógica que estudia la función que realizan es la teoría
de la cuantificación.
Como
preliminar al análisis de la transición que nos ocupa es necesario explicar,
siquiera sea sumariamente, la notación empleada en este sector más avanzado de
la lógica. Además de las variables proposicionales, en lugar de las cuales
pueden ser colocadas las proposiciones, debemos considerar la categoría de las
«variables individuales», tales como ‘x’, ‘y’, ‘z’, etc.,
en lugar de las cuales pueden ser colocados los nombres de los individuos.
Utilizando estas variables, la proposición universal ‘todos los números primos
mayores de 2 son impares’ puede ser traducida como ‘para todo x,
si x es un número primo mayor de 2, entonces x es
impar’. La expresión ‘para todo x’ recibe el nombre de cuantificador
universal y en la acostumbrada notación lógica se representa
abreviadamente con el signo ‘(x)’. Dicha proposición universal puede,
por consiguiente, escribirse:
(x)(x es
un número primo mayor de 2 → x es impar)
Por otra
parte, la proposición «particular» (o «existencial») ‘algunos números enteros
son compuestos’ puede ser traducida por ‘existe por lo menos un x tal
que x es un número entero y x es compuesto’.
La expresión ‘existe por lo menos un x’ recibe el nombre de cuantificador
existencial y suele representarse abreviadamente por la notación ‘(∃x)’. La
proposición existencial mencionada puede, pues, transcribirse:
(∃x)(x es
un número entero ∧ x es
compuesto)
Debe
hacerse notar que muchas proposiciones utilizan implícitamente más de un
cuantificador, de modo que al mostrarse su verdadera estructura tienen que
aparecer varios cuantificadores. Antes de ilustrar este punto adoptemos ciertas
abreviaturas, para las que suelen denominarse expresiones predicadas o, más
sencillamente, predicados. Emplearemos ‘Pr(x)’ para designar ‘x es
un número primo’, y ‘Gr(x, z)’ para designar ‘x es
mayor que z’. Consideremos la proposición: ‘x es el
mayor número primo’; su significado puede ser hecho más explícito por medio de
la frase siguiente: ‘x es un número primo y para todo z que
es un número primo pero diferente de x, x es mayor
que z’. Recurriendo a nuestras diversas abreviaturas, la
proposición ‘x es el mayor número primo’ puede escribirse:
Pr(x)
∧ (z)[(Pr(z) ∧ ¬(x = z)) → Gr(x,
z)]
Literalmente,
esto dice: ‘x es un número primo, y para todo z,
si z es un número primo y z no es igual
a x, entonces x es mayor que z’. En
esta secuencia simbólica advertimos una versión formal y laboriosamente
explícita de la línea 1 de la demostración de Euclides.
Consideremos
ahora la cuestión de cómo expresar en nuestra notación la proposición ‘x no
es el mayor número primo’ que aparece en la línea 6 de la demostración. Puede
transcribirse así:
Pr(x)
∧ (∃z)[Pr(z)
∧ Gr(z, x)]
Literalmente,
dice: ‘x es un número primo y existe por lo menos un z tal
que z es un número primo y z es mayor
que x’.
Finalmente,
la conclusión de la demostración de Euclides, línea 7, que afirma que no existe
ningún número primo que sea el mayor de todos, se transcribe simbólicamente por
(x)[Pr(x)
→ (∃z)(Pr(z)
∧ Gr(z, x))]
que dice:
‘para todo x, si x es un número primo, existe por
lo menos un z tal que z es un número primo
y z es mayor que x’. El lector observara que la
conclusión de Euclides implica implícitamente el uso de más de un
cuantificador.
Y estamos
ya preparados para examinar el paso de la línea 6 de Euclides a la 7. Existe un
teorema de la lógica que dice:
(p ∧ q) → (p → q)
o, una
vez traducido, ‘si a la vez p y q, entonces
(si p entonces q)’. Utilizando la regla de
sustitución y sustituyendo ‘p’ por ‘Pr(x)’ y ‘q’
por ‘(∃z)[Pr(z)
∧ Gr(z, x)]’, obtenemos:
(Pr(x)
∧ (∃z)[Pr(z)
∧ Gr(z, x)]) → (Pr(x)
→ (∃z)[Pr(z)
∧ Gr(z, x)])
El
antecedente (primera línea) de este ejemplo del teorema se limita a repetir la
línea 6 de la demostración de Euclides; si aplicamos la regla de separación
obtenemos:
(Pr(x)
→ (∃z)[Pr(z)
∧ Gr(z, x)])
Conforme
a la regla de deducción de la teoría lógica de la cuantificación, una
proposición S2 que tenga la forma ‘(x)( …x…
)’ puede siempre deducirse de una proposición S1 que
tenga la forma ‘( …x… )’. En otras palabras: la proposición que tenga
como prefijo el cuantificador ‘(x)’ puede ser derivada de la proposición
que no contenga ese prefijo pero que sea semejante a ella en otros aspectos.
Aplicando esta regla a la última proposición mostrada, tenemos la línea 7 de la
demostración de Euclides.
La
lección que se extrae de todo esto es que la demostración del teorema de
Euclides implica tácitamente el uso no sólo de teoremas y reglas de deducción
que pertenecen al cálculo proposicional, sino también de una regla de deducción
de la teoría de la cuantificación.
[7] Así,
por ejemplo, de los principios implicados en la deducción: 5 es mayor que 3;
por consiguiente, el cuadrado de 5 es mayor que el cuadrado de 3.
[8] De
donde se sigue inmediatamente que los axiomas deben ser contados entre los
teoremas.
[9] Donde
no haya posibilidad de confusión puede prescindirse de los signos de puntuación
(esto es, de los paréntesis). Así, en vez de escribir ‘¬(p)’ es
suficiente escribir ‘¬p’, y en vez de escribir ‘(p → q)’,
simplemente ‘p → q’.
[10] Supongamos,
por otra parte, que se ha establecido ya la fórmula ‘(p → q)
→ (¬q → ¬p)’ y que decidimos sustituir la variable ‘p’
por ‘r’ y la variable ‘q’ por ‘p ∨ r’. Mediante esta sustitución no
podemos obtener la fórmula ‘(r → (p ∨ r)) → (¬q → ¬r)’,
porque no hemos realizado la misma sustitución a cada presencia de la variable
‘q’. La sustitución correcta es ‘(r → (p ∨ r)) → (¬(p ∨ r) → ¬r)’.
[11] Sustituyendo
‘p’ por S obtenemos en primer lugar S →
(¬S → q). A partir de aquí, juntamente con S,
que se supone es demostrable, obtenemos por la regla de separación ¬S → q.
Finalmente, puesto que se supone que también ¬S es demostrable, y
utilizando una vez más la regla de separación, obtenemos q.
[12] Cabe
que el lector minucioso presente objeciones en este punto. Sus reservas pueden
ser algo parecido a lo siguiente. La propiedad de ser una tautología ha sido
definida en ideas de verdad y falsedad. Sin embargo, estas ideas implican
evidentemente una referencia a algo exterior al cálculo
formal. Por consiguiente, el procedimiento mencionado en el texto ofrece en
realidad una interpretación del cálculo, suministrando un
modelo para el sistema. Siendo esto así, los autores no han cumplido lo que
habían prometido, a saber: definir una propiedad de las fórmulas atendiendo a
las características estrictamente estructurales de las fórmulas mismas. Parece
que, después de todo, no se ha logrado salvar la dificultad apuntada en el
capítulo segundo del texto de que las pruebas de consistencia que se basan en
modelos y discurren desde la verdad de los axiomas hasta su consistencia no
hacen sino desplazar la localización del problema. ¿Por qué, entonces, llamar a
la prueba «absoluta» en vez de relativa?
La
objeción está justificada si va dirigida contra la exposición seguida en el
texto. Pero hemos adoptado esta forma para no abrumar al lector poco
acostumbrado a una presentación sumamente abstracta que descansa en una prueba
intuitivamente incomprensible. Como puede haber lectores más arriesgados que
deseen enfrentarse con las cosas tal cual son para ver una definición sin
adornos que no se halle sujeta a las críticas expuestas, la presentaremos.
Recuérdese
que una fórmula del cálculo es o una de las letras utilizadas como variables
proposicionales (a las de este tipo las denominaremos fórmulas elementales), o
una combinación de estas letras, de los signos empleados como enlaces
proposicionales y de los paréntesis. Convenimos en colocar cada fórmula
elemental en una de dos clases, mutuamente excluyentes y exhaustivas, K1 y K2.
Las fórmulas que no son elementales se colocan en estas clases siguiendo las
siguientes convenciones:
1.
La fórmula que tenga la forma S1 ∨ S2 va colocada en la
clase K2 si tanto S1 como S2 están
en K2; en otro caso, se la coloca en K1.
2.
La fórmula que tenga la forma S1 → S2 va
colocada en K2 si S1 está
en K1 y S2 está
en K2; en otro caso, se la coloca en K1.
3.
La fórmula que tenga la forma S1 ∧ S2 va colocada
en K1 si tanto S1 como S2 están
en K1; en otro caso, se la coloca en K2.
4.
La fórmula que tenga la forma ¬S va
colocada en K2 si S está en K1;
en otro caso, se la coloca en K2.
Definimos
ahora la propiedad de ser tautológica: Una fórmula es una tautología si, y
solamente si, encaja en la clase K1 independientemente
de cuál de las dos clases sea aquella en la que estén situados sus
constituyentes elementales. Es evidente que la propiedad de ser una tautología
ha sido definida ahora sin utilizar ningún modelo de interpretación del
sistema. Podemos averiguar si una fórmula es o no una tautología comprobando,
simplemente, su estructura conforme a las convenciones indicadas.
Un examen
de este tipo hace ver que cada uno de los cuatro axiomas es una tautología. Es
un procedimiento conveniente el de construir una tabla que contenga todas las
formas posibles en que los constituyentes elementales de una fórmula dada
pueden ser colocados en las dos clases. Valiéndonos de esta lista, podemos
determinar, para cada posibilidad, a qué clase pertenecen las fórmulas
componentes no elementales de la fórmula dada y a que clase pertenece la
fórmula completa. Tomemos el primer axioma. Su tabla consta de tres columnas,
cada una de las cuales se halla encabezada por una de las fórmulas componentes
elementales o no elementales del axioma, así como por el axioma mismo. Debajo
de cada cabecera se indica la clase a que pertenece el concepto de que se trate
para cada una de las posibles asignaciones de los constituyentes elementales a
las dos clases. La tabla reviste la forma siguiente:
|
p |
p ∨ p |
(p ∨ p)
→ p |
|
K1 |
K1 |
K1 |
|
K2 |
K2 |
K1 |
La
primera columna menciona las formas posibles de clasificar el único
constituyente elemental del axioma. La segunda columna asigna el indicado
componente no elemental a una clase sobre la base de la convención (1). La
última columna asigna el axioma mismo a una clase sobre la base de la
convención (2). La columna final muestra que el axioma encaja en la clase K1;
prescindiendo de la clase en que va situado su único constituyente elemental.
El axioma, por tanto, es una tautología.
Para el
segundo axioma, la tabla es:
|
p |
q |
(p ∨ q) |
p → (p ∨ q) |
|
K1 |
K1 |
K1 |
K1 |
|
K1 |
K2 |
K1 |
K1 |
|
K2 |
K1 |
K1 |
K1 |
|
K2 |
K2 |
K2 |
K1 |
Las dos
primeras columnas contienen las cuatro formas posibles de clasificar los dos
constituyentes elementales del axioma. La tercera columna asigna el componente
no elemental a una clase sobre la base de la convención (1). La última columna
hace lo mismo para el axioma sobre la base de la convención (2). La columna
final muestra también que el axioma encaja en la clase K1 para
cada una de las cuatro formas posibles en que pueden ser clasificados los
constituyentes elementales. El axioma, por tanto, es una tautología. De manera
análoga puede demostrarse que los dos axiomas restantes son también
tautologías.
Vamos a
demostrar también que la propiedad de ser una tautología es hereditaria bajo la
regla de separación. (Dejaremos al lector la tarea de demostrar que es
hereditaria bajo la regla de sustitución.) Supongamos que son tautologías dos
fórmulas cualesquiera S1 y S1 → S2;
debemos demostrar que en tal caso S2 es una
tautología. Supongamos que S2 no fuese una tautología.
Entonces, por una clasificación al menos de sus constituyentes
elementales, S2 encajara en K2.
Pero, por hipótesis, S1 es una tautología, de modo
que encajara en K1 para todas las clasificaciones
de sus constituyentes elementales, y, en particular, para la clasificación que
exige la colocación de S2 en K2.
Consiguientemente, para esta última clasificación, S1 → S2 debe
encajar en K2 debido a la segunda convención. Esto
contradice, sin embargo, la hipótesis de que S1 → S2 es
una tautología. En consecuencia, S2 tiene que ser
una tautología, so pena de permitir esta contradicción. La propiedad de ser una
tautología se ve así transferida por la regla de separación desde las premisas
hasta la conclusión derivable de ellas por esta regla.
Un
comentario final a la definición de tautología dada en el texto. Las dos
clases K1 y K2 utilizadas
en la presente explicación pueden ser construidas como las clases de las
proposiciones verdaderas y falsas, respectivamente. Pero la explicación no
depende en manera alguna, como acabamos de ver, de una tal interpretación, si
bien se comprende mucho más fácilmente la exposición cuando se entiende de esa
manera a las clases.
[13] El
lector puede encontrar de utilidad la siguiente recapitulación del camino
seguido hasta aquí:
1.
Todo axioma del sistema es una tautología.
2.
El ser tautología es una propiedad hereditaria.
3.
Toda fórmula correctamente derivada de los axiomas
(esto es, todo teorema) es también una tautología.
4.
Por ello, cualquier fórmula que no sea una
tautología no es un teorema.
5.
Se ha encontrado una fórmula (p ∨ q) que no es una tautología.
6.
Esta fórmula, por tanto, no es un teorema.
7.
Pero si los axiomas fuesen inconsistentes, toda
fórmula sería un teorema.
Por
consiguiente, los axiomas son consistentes.
[14] Euclides
demostró una notable perspicacia al tratar su famoso axioma de las paralelas
como una hipótesis lógicamente independiente de sus demás axiomas. Porque, como
se probó posteriormente, este axioma no puede ser derivado de las otras
hipótesis, de modo que sin él sería incompleto el grupo de axiomas.
[15] Como
veremos, tales verdades pueden ser demostradas mediante alguna forma de
razonamiento metamatemático acerca de un sistema aritmético. Pero este
procedimiento no se ajusta al requisito de que el cálculo debe ser, por así
decirlo, autosuficiente y de que las verdades de que se trata deben ser
mostradas como las consecuencias formales de los axiomas especificados dentro
del sistema. Existe, pues, una limitación intrínseca en el
método axiomático considerado como un medio de sistematizar todo el conjunto de
la aritmética.
[16] Es
lo mismo que ocurriría si apareciese la palabra ‘corta’ en una lista de
palabras y caracterizáramos cada palabra de la lista con los rótulos
descriptivos ‘corta’ o ‘larga’. La palabra ‘corta’ ostentaría entonces el
rútulo ‘corta’.
[17] Utilizó
una adaptación del sistema desarrollado en Principia Mathematica.
Pero cualquier cálculo dentro del que pudiera construirse el sistema de los
números cardinales habría servido a su finalidad.
[18] Hay
muchas formas diferentes de asignar números Gödel, y es indiferente para el
nudo de la argumentación cuál de ellas se adopte. Damos un ejemplo concreto de
cómo pueden asignarse los números para ayudar al lector a seguir la exposición.
El método de numeración utilizado en el texto fue empleado por Gödel en su
estudio de 1931.
[19] El
número de signos constantes depende de cómo se construya el cálculo formal.
Gödel utilizó en su estudio solamente siete signos constantes. El texto utiliza
diez para evitar ciertas complejidades en la exposición.
[20] Se
pueden presentar en el cálculo signos que no aparezcan en el vocabulario
fundamental; estos son introducidos definiéndolos con ayuda de los signos del
vocabulario. Por ejemplo, el signo ‘∧’, el
enlace proposicional utilizado como abreviatura de ‘y’, puede ser definido en
el contexto del modo siguiente: ‘p ∧ q’
equivale a ‘¬(¬p ∨ ¬q)’
¿Qué número Gödel se asigna a un signo definido? La respuesta es evidente si
observamos que las expresiones que contienen signos definidos pueden ser
eliminadas a favor de sus equivalentes definidores; y está claro que un número
Gödel puede ser determinado para la expresión transformada. Por consiguiente,
el número Gödel de la fórmula ‘p ∧ q’
es el número Gödel de la fórmula ‘¬(¬p ∨ ¬q)’. Análogamente, los diversos numerales
pueden ser introducidos por definición del modo siguiente: ‘1’ abreviatura de ‘s0’,
‘2’ abreviatura de ‘ss0’, ‘3’ abreviatura de ‘sss0’, y así
sucesivamente. Para obtener el número Gödel de la fórmula ‘¬(2 = 3)’,
eliminamos los signos definidos, obteniendo así la fórmula ‘¬(ss0
= sss0)’, y obtenemos su número Gödel siguiendo las reglas
expresadas en el texto.
[21] Recordará
el lector que hemos definido una prueba como una sucesión finita de fórmulas,
cada una de las cuales o es un axioma o puede ser derivada de las fórmulas
anteriores de la sucesión con ayuda de las reglas de transformación. Con esta
definición, la sucesión antes indicada no es una prueba, ya que la primera
fórmula no es un axioma ni se demuestra su derivación de los axiomas: la
sucesión es solamente un fragmento de una prueba. Llevaría demasiado tiempo
exponer un ejemplo completo de prueba, y para los fines ilustrativos que se
pretenden es suficiente la sucesión expresada.
[22] No
todo número entero es un número Gödel. Consideremos, por ejemplo, el número
100; 100 es mayor que 10, y, por consiguiente, no puede ser el número Gödel de
un signo constante elemental; y puesto que no es un número primo mayor de 10 ni
el cuadrado ni el cubo de un número primo que reúna esa circunstancia, no puede
ser el número Gödel de una variable. Al descomponer 100 en sus factores primos,
encontramos que es igual a 22 · 52; y el número
primo 3 no aparece como factor de la descomposición, sino que queda omitido. De
acuerdo con las reglas establecidas, sin embargo, el número Gödel de una
fórmula (o de una sucesión de fórmulas) debe ser el producto de varios números
primos sucesivos, elevado cada uno de ellos a alguna potencia. El
número 100 no satisface esta condición. Es decir, que 100 no puede ser asignado
a signos constantes, variables o fórmulas; por consiguiente, no es un número
Gödel.
[23] Este
teorema es conocido como el teorema fundamental de la aritmética. Dice que si
un número entero es compuesto (o sea, que no es primo), tiene una sola
descomposición en factores primos.
[24] El
lector debe tener presente con toda claridad que, aunque ‘Dem(x, z)’
representa la proposición metamatemática, la fórmula misma pertenece al cálculo
aritmético. La fórmula podría ser escrita con una notación más habitual como ‘f(x,
z) = 0’, donde la letra ‘f’ denota una compleja serie de operaciones
aritméticas realizadas con números. Pero esta notación más corriente no sugiere
inmediatamente la interpretación metamatemática de la fórmula.
[25] Esta
función es sumamente compleja. Su complejidad resulta evidente si tratamos de
formularla con más detalle. Intentémoslo, sin llevarlo a sus últimos extremos.
En la página 37 se demostró que m, el número Gödel de ‘(∃x)(x = sy)’,
es:
28 ·
34 · 511 · 79 · 118 ·
1311 · 175 · 197 · 2313 ·
299
Para
hallar el número Gödel de ‘(∃x)(x = sm)’
(la fórmula obtenida sustituyendo en la anterior la variable ‘y’ por el
numeral de m) procedemos del modo siguiente: Esta fórmula contiene
el numeral ‘m’, que es un signo definido, y, de conformidad
con el contenido de una nota anterior, m debe ser reemplazado
por su equivalente definidor. Una vez hecho esto, obtenemos la fórmula:
(∃x)(x = ssssss…s0)
donde la
letra ‘s’ se da m + 1 veces. Esta fórmula contiene
solamente los signos elementales pertenecientes al vocabulario elemental, con
lo que puede calcularse su número Gödel. Para ello, obtenemos primeramente la
serie de números Gödel asociados con los signos elementales de la fórmula:
8, 4, 11,
9, 8, 11, 5, 7, 7, 7,…, 7, 6, 9
en la que
el número 7 aparece m + 1 veces. Tomamos luego el producto de
los primeros m + 10 números primos por orden de magnitud,
elevado cada uno de ellos a una potencia igual al número Gödel del
correspondiente signo elemental. Llamemos r a este número, con
lo que
r = 28 ·
34 · 511 · 79 · 118 ·
1311 · 175 · 197 · 2313 ·
299 · 317 · … · p9m + 10
donde pm +
10 es el número primo que hace el (m + 10)-ésimo en el
orden de magnitud.
Comparemos
ahora los dos números Gödel m y r; m contiene
un factor primo elevado a la potencia 13; r contiene
todos los factores primos de m y otros muchos más, pero ninguno
de ellos está elevado a la potencia 13. Del número m puede
así obtenerse el número r, reemplazando al factor primo de m que
está elevado a la potencia 13 con otros números primos elevados a potencias
distintas de 13. No es posible manifestar exactamente y con todo detalle como
se relaciona r con m sin introducir un
aparato notativo adicional considerablemente complejo; se halla expresado en el
trabajo original de Gödel. Pero se ha dicho lo suficiente para indicar que el
número r es una función aritmética definida de m y 13.
[26] Cabe
la posibilidad de que se le ocurran al lector varias cuestiones que es
necesario contestar. Puede preguntarse por qué, en la caracterización
metamatemática recién mencionada, decimos que es «el numeral de y»
el que sustituye a cierta variable, en vez de «el número y». La
contestación depende de la distinción, ya examinada, entre matemática y
metamatemática, y exige una breve aclaración de la diferencia entre números y
numerales (o cifras). Un numeral es un signo, una
expresión lingüística, algo que se puede escribir, borrar, etc. Un número,
en cambio, es algo que viene nombrado o designado por
un numeral y que no puede, literalmente, ser escrito, borrado, copiado, etc.
Así, decimos que 10 es el número de dedos que tenemos en las
manos, y, al hacer esta declaración, estamos atribuyendo una cierta «propiedad»
a la clase de nuestros dedos; pero sería evidentemente absurdo afirmar que esta
propiedad es un numeral. Asimismo, el número 10 viene designado por el numeral
arábigo ‘10’, al igual que por la letra romana ‘x’; estas designaciones son
distintas aunque designan al mismo número. Es decir, que cuando sustituimos una
variable numérica (que es una letra o un signo), estamos poniendo un signo en
lugar de otro signo. No podemos sustituir literalmente un signo por un número,
porque un número es una propiedad de las clases (y a veces se dice que es un
concepto), no algo que podamos poner sobre el papel. De donde se deduce que al
sustituir una variable numérica sólo podemos hacerlo con un numeral (o alguna otra
expresión numérica, tal como ‘s0’ o ‘7 + 5’) y no con un número. Esto
explica por qué en la caracterización metamatemática mencionada declaramos que
sustituimos la variable por el numeral de (el número) y,
en vez de por el propio número y.
Quizá se
pregunte el lector que número se designa por ‘sust(y, 13, y)’
si da la casualidad que la fórmula cuyo número Gödel es y no
contiene la variable de número Gödel 13 —esto es, si la fórmula no contiene a
la variable ‘y’—. Así, sust(243 000 000, 13, 243 000 000) es
el número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödel
243 000 000, sustituyendo la variable ‘y’ por el numeral ‘243 000 000’.
Pero si el lector consulta la tabla de la página 38, hallara que 243 000 000 es
el número Gödel de la fórmula ‘0 = 0’, que no contiene a la variable ‘y’.
¿Cuál es entonces la fórmula que se obtiene de ‘0 = 0’ sustituyendo la variable
‘y’ por el numeral del número 243 000 000? La respuesta, bien sencilla,
es que, puesto que ‘0 = 0’ no contiene a esta variable, no puede hacerse
ninguna sustitución, o, lo que es lo mismo, que la fórmula obtenida de ‘0 = 0’
es esta misma fórmula. En consecuencia, el número designado por ‘sust(243
000 000, 13, 243 000 000)’ es 243 000 000.
Puede
también que el lector se sienta asaltado por la duda de si ‘sust(y,
13, y)’ es una fórmula dentro del sistema
aritmético en el sentido que son fórmulas, por ejemplo, ‘(∃x)(x = sy)’,
‘0 = 0’ y ‘Dem(x, z)’. La respuesta es negativa por la razón
siguiente. La expresión ‘0 = 0’ recibe la denominación de fórmula porque afirma
una relación entre dos números y es, por tanto, susceptible de que se le
atribuya significativamente la cualidad de verdad o falsedad. Análogamente,
cuando las variables de ‘Dem(x, z)’ son sustituidas
por numerales definidos, esta expresión formula una relación entre dos números,
con lo que se convierte en una proposición que o es verdadera o es falsa. Lo
mismo puede decirse para ‘(∃x)(x = sy)’.
Por otra parte, aun cuando se sustituya ‘y’ por un numeral definido en ‘sust(y,
13, y)’, la expresión resultante no afirma nada y
no puede, por tanto, ser verdadera ni falsa. Simplemente, denomina o designa un
número describiéndolo como una determinada función de otros números. La
diferencia entre una fórmula (que es en realidad una proposición acerca de
números y, por ende, verdadera o falsa) y una función-nombre (que
es un nombre que identifica a un número y, por ende, ni es verdadera ni falsa)
quedara más clara si añadimos algunos ejemplos: ‘5 = 3’ es una fórmula que,
aunque falsa, declara que los números 5 y 3 son iguales; ‘52 =
42 + 32’es también una fórmula que afirma la
existencia de una definida relación entre los números 5, 4 y 3; y, en un
sentido más general, ‘y = f(x)’ es una fórmula
que afirma la existencia de una determinada relación entre los números no
especificados x e y. Por otra parte, ‘2 + 3’
expresa una función de los números 2 y 3 y, por tanto, denomina a un cierto
número (de hecho, el número 5); no es una fórmula, ya que sería evidentemente
absurdo preguntar si ‘2 + 3’ es verdadero o falso. ‘(7 · 5) + 8’ expresa otra
función de los tres números 5, 7 y 8 y designa al número 43. Y, en términos más
generales, ‘f(x)’ expresa una función de x e
identifica a cierto número cuando se sustituye ‘x’ por un numeral
definido y cuando se atribuye un definido significado al signo de función ‘f’.
Resumiendo, mientras que ‘Dem(x, z)’ es una fórmula porque tiene
la forma de una proposición acerca de números, ‘sust(y,
13, y)’ no es una fórmula porque solo tiene la forma de un
nombre para los números.
[27] Es
de suma importancia advertir que ‘sust(y, 13, y)’,
aunque es una expresión de la aritmética formalizada, no es una fórmula, sino
más bien una función-nombre para la identificación de un número. El
número así identificado, sin embargo, es el número Gödel de una fórmula, de la
fórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödel y, sustituyendo la
variable ‘y’ por el numeral de y.
[28] Esta
proposición puede ser expresada más extensamente del modo siguiente: ‘La
fórmula (cuyo número Gödel es el número de la fórmula) obtenida a partir de la
fórmula de número Gödel y, sustituyendo la variable de número Gödel
13 por el numeral de y, no es demostrable.’
Puede que el lector se sienta perplejo ante el hecho de que en la proposición
metamatemática ‘La fórmula de número Gödel sust(y, 13, y)
no es demostrable’ no aparezca entrecomillada la expresión ‘sust(y,
13, y)’, no obstante haberse afirmado repetidamente en el texto que
‘sust(y, 13, y)’ es una expresión. Es
esta una cuestión que depende una vez más de la distinción entre utilizar una
expresión para hablar acerca de lo que la expresión designa (en cuyo caso la
expresión no va entrecomillada) y hablar acerca de la expresión misma (en cuyo
caso debemos utilizar un nombre para la expresión y, de acuerdo con la
convención establecida para construir tales nombres, debemos entrecomillar la
expresión). Un ejemplo servirá para comprenderlo mejor: ‘7 + 5’ es una
expresión que designa a un número; por otra parte, 7 + 5 es un número y no una
expresión. Igualmente, ‘sust(243 000 000, 13, 243 000 000)’ es una
expresión que designa el número Gödel de una fórmula (véase la tabla de la
página 38), pero sust(243 000 000, 13, 243 000 000) es el número
Gödel de una fórmula y no es una expresión.
[29] Quizá
sea conveniente explicar la semejanza, así como la desemejanza, de esta
argumentación con la empleada en la paradoja de Richard. La cuestión principal
a observar es que la fórmula G no es idéntica a la proposición
metamatemática con la que está asociada, sino que solamente la representa (o
refleja) dentro del cálculo aritmético. En la paradoja de Richard, el
número n es el número asociado con una determinada
expresión metamatemática. En la construcción de Gödel, el
número n está asociado a una determinada fórmula
aritmética perteneciente al cálculo formal, aunque esta fórmula
aritmética representa en realidad una proposición metamatemática. (La fórmula
representa a esta proposición porque la metamatemática de la aritmética ha sido
proyectada en la aritmética.) Al desarrollar la paradoja de Richard se plantea
la cuestión de si el número n posee la propiedad metamatemática de
ser richardiano. En la construcción de Gödel, la cuestión que surge es la de si
el número sust(n, 13, n) posee una determinada
propiedad aritmética, la propiedad aritmética expresada por la
fórmula ‘(x)¬Dem(x, z)’. En la construcción de Gödel no
existe, por tanto, confusión alguna entre proposiciones dentro de la aritmética
y proposiciones acerca de la aritmética, como ocurre en la
paradoja de Richard.
[30] Esto
no es lo que demostró realmente Gödel, y la declaración del texto, adaptación
de un teorema obtenido en 1936 por J. Barkley Rosser, se emplea aquí a efectos
de una mayor sencillez de exposición. Lo que realmente demostró Gödel es que
si G es demostrable, entonces es demostrable ¬G (con
lo que la aritmética es inconsistente); y si ¬G es demostrable,
entonces la aritmética es ω-inconsistente. ¿Qué es la ω-inconsistencia?
Sea ‘P’ algún predicado aritmético. Entonces la aritmética sería ω-inconsistente
si fuese posible demostrar tanto la fórmula ‘(∃x)P(x)’ (esto es, ‘existe por lo menos un número que tiene
la propiedad P’), como igualmente cada una de la serie infinita de
fórmulas ‘¬P(0)’, ‘¬P(1)’,‘¬P(2)’, etc. (esto es, ‘0 no
tiene la propiedad P’, ‘1 no tiene la propiedad P’, ‘2
no tiene la propiedad P’, y así sucesivamente). Una breve reflexión
basta para hacer ver que si el cálculo es inconsistente, entonces es
también ω-inconsistente; pero lo contrario no es necesariamente
cierto: un sistema puede ser ω-inconsistente sin ser inconsistente.
Porque para que un sistema sea inconsistente deben ser demostrables tanto ‘(∃x)P(x)’
como ‘(x)¬P(x)’. Sin embargo, aunque si un sistema
es ω-inconsistente son demostrables tanto ‘(∃x)P(x)’
como cada una de la serie infinita de fórmulas ‘¬P(0)’, ‘¬P(1)’,
‘¬P(2)’, etc., la fórmula ‘(x)¬P(x)’ puede, no
obstante, no ser demostrable, con lo que el sistema no es inconsistente.
Vamos a esbozar la primera parte de la argumentación de Gödel, cuando afirma
que si G es demostrable entonces es demostrable ¬G.
Supongamos que la fórmula G fuese demostrable. Tendría en tal
caso que haber una sucesión de fórmulas dentro de la aritmética que
constituyese una prueba para G. Sea k el número
Gödel de esta prueba. En consecuencia, la relación aritmética designada por ‘Dem(x,
z)’ debe mantenerse entre k, número Gödel de la prueba, y sust(n,
13, n), número Gödel de G, lo que equivale a decir que
‘Dem(k, sust(n, 13, n))’ tiene que
ser una fórmula aritmética verdadera. Sin embargo, puede demostrarse que esta
relación aritmética es de un tipo tal que, si dicha relación se da entre un par
definido de números, la fórmula que expresa este hecho es demostrable. Por
consiguiente, la fórmula ‘Dem(k, sust(n,
13, n))’ es no solo verdadera, sino también formalmente
demostrable; es decir, la fórmula es un teorema. Pero, sirviéndonos
de las reglas de transformación de la lógica elemental, podemos derivar
inmediatamente de este teorema la fórmula (‘¬(x)¬Dem(x, sust(n,
13, n))’. Hemos demostrado, por tanto, que si la fórmula G es
demostrable, su negación formal es también demostrable. De donde se sigue que
si el sistema formal es consistente, la fórmula G no es
demostrable.
Un razonamiento en cierto modo análogo, aunque más complicado, es necesario
para demostrar que si ¬G es demostrable, entonces también G es
demostrable. Prescindiremos de exponerlo aquí.
[31] Quizá
le sea útil aquí al lector recordar que, igualmente, la prueba de que es
imposible dividir un ángulo en tres partes iguales con regla y compás no
significa que un ángulo no pueda dividirse en tres partes iguales por cualquier
otro medio. Por el contrario, puede dividirse en tres partes iguales a
cualquier ángulo si, por ejemplo, además del empleo de regla y compás, se
permite utilizar una distancia fija marcada sobre la regla.
[32] La
prueba de Gentzen se basa en disponer todas las demostraciones de la aritmética
en un orden lineal según su grado de «simplicidad». La disposición resulta
tener un módulo que es de un cierto tipo «ordinal transfinito». (La teoría de
los números ordinales transfinitos fue creada en el siglo XIX por el matemático
alemán Georg Cantor.) La prueba de consistencia se obtiene aplicando a este
orden lineal una regla de deducción llamada «el principio de inducción
transfinita». El razonamiento de Gentzen no puede ser representado en el
formalismo de la aritmética. Además, aunque la mayoría de los estudiosos no
discuten la fuerza lógica de la prueba, esta no es finitista en el sentido
previsto por las condiciones originales de Hilbert para una prueba absoluta dé
consistencia.
[33] Las
conclusiones de Gödel no excluyen la posibilidad de construir una prueba
absoluta y finitista de consistencia para la aritmética. Gödel demostró que
ninguna prueba de este tipo puede ser representada dentro de la aritmética. Su
argumentación no elimina la posibilidad de pruebas estrictamente finitistas que
no puedan ser representadas dentro de la aritmética. Pero nadie parece tener
hoy día una clara idea de como habría de ser una prueba finitista que no fuese
susceptible de formulación dentro de la aritmética.
[34] El
realismo platónico sostiene la idea de que las matemáticas no crean ni inventan
sus «objetos», sino que los descubren como Colón descubrió América. Ahora bien:
si esto es cierto, los objetos deben tener en cierto sentido una «existencia»
anterior a su descubrimiento. Conforme a la doctrina platónica, los objetos de
estudio matemático no se encuentran en el orden espacio-temporal. Son formas
eternas incorpóreas o arquetipos, que moran en un mundo distinto, accesible
solamente al intelecto. De acuerdo con este punto de vista, las formas
triangulares o circulares de los cuerpos físicos perceptibles por los sentidos
no constituyen los objetos verdaderos de las matemáticas. Esas formas son,
simplemente, encarnaciones imperfectas de un indivisible triángulo «perfecto»,
o círculo «perfecto», que es increado, no se halla jamás plenamente manifestado
por las cosas materiales y únicamente puede ser captado por la mente
exploradora del matemático. Gödel parece sostener un punto de vista semejante
cuando dice: «Las clases y los conceptos pueden… ser concebidos como objetos
reales…, existentes con independencia de nuestras definiciones y
construcciones. Yo creo que la hipótesis de tales objetos es tan legítima como
la hipótesis de los cuerpos físicos y que hay las mismas razones para creer en
su existencia» (Kurt Gödel, «Russell’s Mathematical Logic», en The
Philosophy of Bertrand Russell, ed. Paul A. Schilpp, Evanston y Chicago,
1944, pág. 137).
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