Libro N° 11977. La Lira Desafinada De Pitágoras. Castro, Almudena Martín.

 

© Libro N° 11977. La Lira Desafinada De Pitágoras. Castro, Almudena Martín. Emancipación. Diciembre 16 de 2023

 

Título original: © La Lira Desafinada De Pitágoras. Almudena Martín Castro

 

Versión Original: ©  La Lira Desafinada De Pitágoras. Almudena Martín Castro

 

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LA LIRA DESAFINADA DE PITÁGORAS

Almudena Martín Castro

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La Lira Desafinada De Pitágoras

Almudena Martín Castro

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONTENIDO

Preludio

1. El nacimiento de la armonía

2. Las matemáticas de la voz

3. La belleza de los pequeños números

4. El descubrimiento de la disonancia

5. La música interminable

6. La melodía que movió el mundo

7. El arcoíris de Newton

8. La física en busca de armonía

Coda

Agradecimientos

Bibliografía

 

 

 

 

A mi familia, por regalarme un mundo lleno de música.

Preludio

Los modelos del matemático, como los del pintor o el poeta, deben ser «hermosos»; las ideas, como los colores o las palabras, deben encajar de manera armónica. La belleza es la primera señal. No existe un lugar duradero en el mundo para las ideas matemáticas feas.

Godfrey Harold Hardy,

Apología de un matemático^[1]

§. Cinco sigmas alrededor de 0,2
Un tipo se acerca caminando a un chalet por un camino rodeado de plantas. Aparte de un coche aparcado a lo lejos, la calle parece vacía. Se trata, a todas luces, de un barrio acomodado para gente que tiene más interés por las casas amplias que por el contacto con sus vecinos, de esos que abundan en Estados Unidos. El caminante, sin embargo, probablemente no vive allí. Lleva una mochila chillona y el típico jersey anticuado de rombos granates. Se diría que es bastante joven, aunque siempre es más difícil estimar la edad de unos rasgos asiáticos.

Al llegar al umbral se detiene, llama al timbre y una pareja entrada en años le abre la puerta. Por su reacción —ese tipo de sonrisa cándida que hace entrecerrar los ojillos—, resulta evidente que le conocen, probablemente le tengan hasta cariño. Pero también está claro que su llegada no había sido anunciada. La pareja viste de manera informal, algo a mitad de camino entre un pijama y la ropa que uno se pondría para ir a comprar el pan. Él está visiblemente despeinado, ella le acompaña con su flequillo desdentado. Ninguno de los dos parece saber qué hace el visitante frente a la puerta de su casa.

—Tengo una sorpresa para vosotros —les aclara entonces—. Es cinco sigmas alrededor de 0,2.

En una fracción de segundo el rostro de los dos ancianos se transforma, apenas pueden contener la emoción. Con un breve suspiro —«¿Descubrimiento?»—, ella se lanza a abrazar al recién llegado —«Sí», le confirma él—. El anciano pide una y otra vez que le repitan el mensaje, cauto primero, visiblemente emocionado después. Parece a punto de echarse a llorar. Ambos son profesores de Física en la Universidad de Stanford y el visitante inesperado, compañero suyo, acaba de anunciarles una noticia largamente esperada: su teoría física, el trabajo de toda una vida, acaba de ser confirmada experimentalmente.

Esta escena no es una ficción ni un diálogo imaginado. Fue grabada por las cámaras de la Universidad de Stanford y recorrió Internet como la pólvora a comienzos de 2014^[2]. Se convirtió en el más improbable de los vídeos virales. En él no aparecen gatitos ni bebés ni ningún listado de consejos cotidianos —«El cuarto te sorprenderá»—. Tampoco hay celebrities ni escándalos. Son tres físicos a quienes nadie conoce, diciéndose algo que casi nadie entiende: «cinco sigmas alrededor de 0,2». Y aun así, en solo un par de días, acumuló más de dos millones de visitas, sin contar todos los medios que lo replicaron en sus propias plataformas digitales.

Aún hoy el contador sigue creciendo. Gracias a esta grabación de apenas dos minutos y medio de duración, podemos ver la primera reacción de Andrei Linde al conocer los resultados obtenidos por BICEP2^[3], un telescopio superavanzado situado en el polo sur de la Tierra. Junto a él se encuentra su esposa, Renata Kallosh, y quien les trae las buenas noticias es Chao-Lin Kuo, líder del equipo que acababa de publicar los resultados tras una larga investigación. Los tres son cosmólogos, científicos de élite en algunos de los grupos de investigación más punteros del mundo, tres sabios contemporáneos que se dedican a rascar los límites del conocimiento humano entre fórmulas matemáticas imposibles y la tecnología más precisa de nuestra era.

Pero no hace falta saber nada de física teórica para entender de qué va el vídeo de la Universidad de Stanford. Más allá del experimento y de los aciertos de la teoría de Linde, más allá del significado de sigma o lo que sea que mida ese 0,2, este es un vídeo sobre emociones humanas. Tras décadas de especulación, un equipo de astrofísicos parece haber encontrado en el cielo las huellas de una idea que nació primero en la cabeza ya canosa del protagonista que abre la puerta. Y el momento de recibir la noticia es, por puro contagio, emocionante:

—No esperábamos a nadie —bromea Linde en el vídeo—. Renata pensó que probablemente sería algún tipo de envío y me preguntó si había pedido algo. «Sí —le dije—. Lo pedí hace treinta años, y por fin ha llegado».

Por otra parte, la escena no podría ser más cercana. Linde y su esposa se nos presentan a cámara no como los héroes invencibles que suelen pintar las películas —científicos omniscientes y eternos a salvo de toda duda—. Todo lo contrario: son dos seres humanos en el umbral de su domicilio, haciendo cosas de humanos, como esperar al mensajero un domingo o vestir ropa cómoda para estar en casa. Son como tú y como yo, vulnerables. Y es esa vulnerabilidad la que nos permite empatizar con su alegría, pero también con sus dudas.

Al final del vídeo, un Linde todavía emocionado se pregunta:

—Si esto es verdad, este es un momento de conocimiento de la naturaleza de tal magnitud que es abrumador. Esperemos que no sea solo un engaño. Siempre vivo con esa sensación. ¿Y si me estoy engañando? ¿Y si creo en esto solo porque es bello?

§. ¡Qué bonito!
A muchos quizás les sorprenda el interrogante de Linde. Un físico hablando de belleza, invocando un ideal que no podría estar más alejado de su propia disciplina, en apariencia. La pintura, la escultura, el cine… las por algo llamadas «bellas» artes parecen más adecuadas para abordar estos temas. Y sin embargo, en mi experiencia personal, durante mi paso por las facultades de Ciencias y de Bellas Artes escuché muchas más veces exclamar «¡qué bonito!» a los profesores de física que a los de dibujo o escultura.

Es una paradoja que suelo contar en mis charlas de divulgación. Pero revela una realidad que va mucho más allá de la anécdota graciosa. Vivimos un tiempo en que la academia del Arte —así, con mayúscula, que es cosa seria— ha dado la espalda progresivamente al placer de los sentidos como criterio de valoración estética. El discurso contemporáneo suele priorizar otras formas de apreciación artística más abstractas e intelectualizadas. Ante una obra de Arte, el connoisseur ya no dice «qué bonito», sino «qué interesante». Después frunce ligeramente el ceño, cuestiona su lugar en el mundo y emite algún lamento filosófico sobre la naturaleza de la creación artística. Para cuando se termina la copa de vino, acaba sufriendo, en el mejor de los casos, una profunda crisis existencial.

Paralelamente, la física ha reclamado para sí el placer estético, no solo como fuente de disfrute y de belleza, sino también como posible criterio de verdad. Algunos científicos célebres, como Paul Dirac, parecen haber hecho suyos los versos del poeta John Keats^[4]:

La belleza es verdad y la verdad belleza —nada más se sabe en esta tierra, y nada más hace falta.

No se trata de una belleza puramente visual, eso sí, sino de una especie de sencillez conceptual acompañada de un gran poder explicativo. Las teorías o fórmulas más bellas son aquellas que, de repente, consiguen que distintas piezas «encajen» y resulten extrañamente satisfactorias, como meter el USB a la primera o encontrar un mueble con las medidas exactas del hueco que te queda en el salón. Es una belleza abstracta, sin duda, perceptible solo para aquellos que pueden aferrarse a conceptos matemáticos no siempre evidentes. Pero es también una belleza que tiene mucho que ver con los sonidos musicales y con su manera de «encajar» —de armonizar— entre sí.

Fue una de las hoy consideradas «bellas» artes la que contagió a la física su expectativa de belleza. Gracias a la música, los griegos pudieron comprobar que las cuerdas relacionadas por proporciones numéricas sencillas daban lugar a combinaciones sonoras agradables para el oído o «consonantes». Es un fenómeno que, como veremos, tiene su explicación última en la física y en cómo funciona nuestro sistema auditivo. Pero casi tan interesantes e inesperadas fueron sus consecuencias para la historia de la física y de la música: estudiando el sonido de una cuerda, los griegos concluyeron que la belleza misma debía emanar de la perfección de los números. Por ese motivo, los científicos y matemáticos no solo debían perseguir la verdad, sino también que sus ecuaciones fuesen «bellas» —o, en honor a una larga tradición, «armónicas»—.

La música, a su vez, fue considerada una rama de las matemáticas y formó parte de la educación de las élites durante toda la Edad Media en Europa. Esto significa que gran parte de los grandes pensadores, protocientíficos y filósofos occidentales estudiaron de manera conjunta astronomía, matemáticas, geometría y música. Hoy conocemos a Ptolomeo como astrónomo, a Leonhard Euler como matemático, a Johannes Kepler como físico. Pero hay algo que tienen en común, ¡y es que todos escribieron sobre música! La huella de esta tradición llega hasta el siglo XX, con físicos como Max Planck o el mismo Einstein, que decía obtener una de las mayores alegrías de su vida de su violín. Incluso hoy, cuando la música ha sido relegada a un segundo plano en la búsqueda de conocimiento científico, mencionar la belleza matemática o la «armonía» de las ecuaciones, parece casi un requisito en el discurso de agradecimiento al Premio Nobel de Física.

Esa «belleza» que a menudo señalan físicos y matemáticos no es una metáfora ni una campaña de marketing para engañar a los niños y convencerles de que estudien disciplinas con fama de ser especialmente arduas. La emoción que sienten estos científicos es muy similar a la que experimentan los amantes del arte al pasear por un museo, o un melómano cuando escucha su composición preferida. El parecido resulta evidente para todos los que en algún momento nos hemos entusiasmado con algún problema de matemáticas. Pero, además, hace algunos años, un grupo de investigadores de Reino Unido consiguió demostrar el paralelismo entre estas experiencias utilizando herramientas de la neurociencia.

En 2014, el equipo liderado por Semir Zeki se dedicó a estudiar los cerebros de quince matemáticos^[5], de esos a los que les da por exclamar «¡qué bonito!» ante un frío montón de signos abstractos. Para ello, les pidieron que evaluasen estéticamente un total de sesenta ecuaciones mientras registraban su actividad cerebral. El resultado sorprendió a todos… excepto, probablemente, a los matemáticos del estudio. Cuando veían una ecuación que consideraban bella, su cerebro tenía una respuesta similar a la provocada por otros estímulos placenteros, como una imagen bonita o un sonido agradable. En su mente se activaba la misma región situada justo detrás de los ojos, en la llamada corteza orbitofrontal media, donde se integran las experiencias sensoriales, la toma de decisiones y también las emociones.

Los datos concuerdan con la experiencia subjetiva que reportaron los participantes en el estudio. Todos ellos afirmaron haber sentido placer, felicidad y satisfacción al observar las ecuaciones que habían calificado como bellas. Todos experimentaron, además, algún tipo de respuesta emocional. En el caso más extremo, las ecuaciones provocaron escalofríos a uno de los participantes —se le pusieron los pelos de punta, según aseguró—. Otro utilizó la palabra «visceral» para describir su experiencia, mientras que un tercero afirmó sentir «la misma sensación que al escuchar una pieza de música hermosa o ver un cuadro especialmente llamativo». A pesar de su fama de frías y abstractas, el cerebro de estos matemáticos se emocionaba con sus ecuaciones preferidas como el de cualquier esteta, o como el de cualquier ser humano sensible a la belleza que le proporcionan sus sentidos.

Por otra parte, la investigación reveló que comprender esas ecuaciones era necesario, pero no suficiente, para considerarlas bellas. Si bien todos los participantes comprendían las ecuaciones que se les habían presentado, no todas eran igual de bonitas a su juicio, no todas encendían en su mente las mismas lucecitas. Lo cual plantea un delicado dilema, porque todas esas ecuaciones eran igualmente «verdaderas». Quizás entonces, como temía Linde, ¿su belleza podría resultar engañosa?

Zeki, neurocirujano y autor principal del estudio, plantea esta misma pregunta en las conclusiones de otro estudio^[6]. «La cuestión de si la belleza, incluso en un ámbito tan abstracto como las matemáticas, es una brújula que señala hacia lo que es verdad en la naturaleza, tanto dentro de nosotros como en el mundo en el que hemos evolucionado». Y más tarde, él mismo insinúa su propia respuesta:

Creemos que lo que «tiene sentido» para nosotros está basado en el funcionamiento de nuestro propio cerebro que ha evolucionado en un entorno físico […]. Este trabajo subraya hasta qué punto las futuras formulaciones matemáticas, basándose en criterios de belleza, pueden revelar algo sobre nuestro cerebro, por un lado, y sobre el grado en que la organización de nuestro cerebro revela algo sobre el universo, por otro.

Revela algo, revela algo… El autor no aclara el qué, exactamente. Y si bien en su estudio habla mucho de cerebros y de datos fisiológicos, con argumentos muy científicos y racionales, uno no puede sacudirse la sensación de que esas conclusiones son, sobre todo, una expresión de deseos, más que de hechos. Zeki quiere creer que la belleza apunta hacia la verdad y que las verdades que aún nos aguardan en los secretos de la naturaleza serán matemáticamente —estéticamente— bellas. Pero su argumento no se sostiene: si bien es posible que nuestro cerebro evolucionara en un entorno físico, nada de ese entorno podía hacer intuir los caprichos del mundo subatómico o los extremos de la cosmología que hoy intentan desentrañar los físicos. Ninguna noción sobre los quarks salvó la vida de los humanos de la sabana, nunca jamás.

A fin de cuentas, no existe la belleza desinteresada. Allí donde algo nos da placer, a menudo se esconde la biología, matizada por capas y capas de cultura. Sus incentivos nos han ayudado a sobrevivir en el pasado y a menudo nos permiten desenvolvernos mejor en nuestro día a día. Pero también dan forma a nuestros sesgos perceptivos y cognitivos: atajos emocionales para problemas complejos de nuestro entorno, que no tienen por qué ayudarnos a comprender mejor los entresijos de la física teórica. Durante siglos, los físicos han perseguido las ecuaciones más sencillas, las explicaciones más parsimoniosas y armónicas, a menudo inspiradas directamente en conceptos musicales. Esta búsqueda ha dado lugar a algunas de las ideas más asombrosas, «bellas» y memorables de la historia del conocimiento. Pero también ha sembrado el camino de muchos equívocos, en ocasiones mantenidos durante siglos. Cabe preguntarse, entonces, si la belleza es un criterio razonable cuando uno intenta analizar las capas más profundas de la realidad.

Hoy en día, los físicos teóricos son creadores de mundos cada vez más asombrosos y cada vez más remotos, mundos que a menudo preceden en varias décadas al experimento que los verifica y los vuelve reales. Solo durante el siglo XX, sus teorías y modelos nos descubrieron docenas de nuevas partículas fundamentales, tres veces más dimensiones de las que cualquier humano puede percibir, un espacio que no deja de expandirse, sin importar que su actual tamaño exceda ya por mucho la capacidad humana para imaginar. También supera nuestra capacidad para el lenguaje: grande, enorme, gigantesco, colosal, tochísimo… nada es suficiente para abarcar la masa de un agujero negro, por ejemplo; o peor, la posibilidad de que toda esa masa más todo lo demás —todos los planetas, todas las galaxias, todos los autobuses de la EMT y también el tráfico de Madrid de un lunes por la mañana—, TODO estuviera concentrado hace 13.800 millones de años en un punto mucho más pequeño que un grano de sal. ¿Cuánto más pequeño? Nuevamente, no tenemos palabras.

La única palabra posible es la que decía temer Andrei Linde al ver confirmada su teoría. Porque todos estos mundos son, indudablemente, bellos. Sobre todo, a ojos de un físico o un matemático, proceden de teorías especialmente armoniosas. Pero si la belleza es quizás un sesgo, ¿debería usarse entonces como criterio de verdad?

* * * *

A pesar de la alegría inicial, tan pronto como el equipo de Chao-Lin Kuo publicó sus resultados empezaron a surgir voces críticas dentro de la comunidad científica: muchos físicos ponían en duda las conclusiones del experimento. La cautela de Linde, de hecho, estaba justificada. Especialmente porque este es el modus operandi de la ciencia: nada se da por bueno hasta ser validado por otros; toda verdad es provisional, un delicado equilibrio basado en el consenso, también provisional, de toda una comunidad dedicada a analizar los mejores datos de cada momento. Ante resultados especialmente novedosos y rompedores, como los que parecían avalar tan rotundamente la teoría de Linde, la reacción lógica era la sospecha.

El problema resultó ser que el telescopio BICEP2 no cubría todo el cielo, sino solo una pequeña región atravesada por la Vía Láctea. Para analizar sus resultados, los físicos del proyecto habían aprendido a «restar» la enorme cantidad de luz y radiación procedente de este reguero de estrellas. Pero siempre queda algo, una especie de contaminación por polvo galáctico que enturbia las mediciones y cuya magnitud es muy difícil de acotar^[7].

Apenas un año después de su primera publicación, BICEP2 pudo refinar sus resultados, apoyado por los datos y las técnicas combinadas de otros telescopios y otros equipos de investigación —Keck y Planck^[8]—. El famoso «0,2» resultó no ser 0,2, sino más bien 0,05. Pues menuda catástrofe, pensarás. Y no te falta razón. La cuestión es que el 0,05 está mucho más cerca del cero y, justo en esa delicada frontera, empieza a ser compatible con otro tipo de teorías.

El nuevo valor tampoco descarta el modelo cosmológico de Linde. El protagonista de nuestra historia aún podría ganar un Premio Nobel si un nuevo experimento alcanzase la precisión suficiente en las próximas décadas. De hecho, su propuesta teórica sobre el origen del universo, conocida como «inflación cósmica», es la que mejor encaja con todos los datos y observaciones realizadas hasta la fecha, así que se suele dar por válida en general. Pero, por culpa de un triste decimal, aún queda espacio para la duda: concretamente, un 8 %, que es la probabilidad de que esos resultados mayores que cero se hayan producido por puro azar —por culpa de ese polvo galáctico que los físicos tienen que descartar—. Para bien o para mal, un 92 % de acierto no es suficiente para el estándar que los científicos se suelen exigir en estos casos.

Tan cerca… y tan lejos. Treinta años después de que la formulase por primera vez, la teoría de Andrei Linde sigue siendo indudablemente bella. Pero aún es pronto para asegurar si es cierta.

Capítulo 1
El nacimiento de la armonía

Ninmah creó con arcilla a un hombre ciego, con los ojos siempre abiertos. Enki le asignó un destino. Le atribuyó el arte de la música y le situó en un lugar de honor junto al rey, como gran músico.

Mito sumerio de la creación de los hombres y los músicos.

Tablilla de arcilla de Mesopotamia.^[9]

§. La primera partitura de la historia
Anne Kilmer nunca pensó que terminaría dedicándose al estudio de la música sumeria. Ciertamente, no es algo a lo que uno suela aspirar; probablemente, no está en el «top diez» de respuestas a «qué quieres ser de mayor» en ninguna guardería del mundo. Pero además, en los años cincuenta, cuando ella estudiaba en la Universidad de Pensilvania, la música sumeria ni siquiera existía como disciplina.

Es decir, los historiadores sabían, sin lugar a dudas, que en la antigua Mesopotamia tenía que haber sonado algún tipo de música. Existen multitud de imágenes de la época que retratan la actividad de profesionales de diferentes instrumentos. También se conservan documentos escritos que describen todo tipo de himnos, lamentos, canciones de amor y de celebración, a veces acompañadas por instrumentos o simplemente cantadas, tocadas en grupo o por un solista. Pero nadie podía imaginar de manera precisa cómo podía haber sonado aquella música.

Para la historia, la música de la antigua Mesopotamia era una intrigante película muda. Podía explicar quiénes la tocaban, en qué contextos y por qué motivos. Podía incluso listar y describir los instrumentos musicales que se solían utilizar. Pero si uno intentaba acercar la oreja, todo lo que se encontraba era silencio.

El principal problema es que las canciones no dejan esqueletos cuando dejan de sonar. O al menos, no lo hacían hasta que se inventaron los vinilos. Los investigadores solo pueden recurrir a algún tipo de escritura musical, y esto en las culturas donde esa escritura llega a desarrollarse, que tampoco son muchas. Sin embargo, a principios del siglo XX, las tablillas babilónicas que supuestamente contenían canciones de la Antigüedad resultaban completamente indescifrables. El caso más paradigmático fue el del etnomusicólogo Curt Sachs, que en 1924 intentó transcribir una «partitura» babilónica basándose en la frecuencia de repetición de ciertas sílabas en una tablilla de arcilla. Años después descubrió que su transcripción no solo sonaba fatal sino que, además, aquellas sílabas no tenían nada que ver con ningún tema musical: eran un listado de nombres propios^[10]. Imagina que dentro de cincuenta mil años, los arqueólogos del futuro se encontrasen con una papeleta electoral y la confundiesen con un tema de reguetón, ¡sería un completo desastre!

En 1957, aparecieron las primeras piezas del puzle que daría un vuelco a esta situación. Ese año, Anne Kilmer empezó a descifrar unas tablillas cuneiformes que, aparentemente, estaban llenas de símbolos matemáticos y problemas de cálculo. Habían llegado a sus manos gracias a Benno Landsberger, el líder de su grupo de investigación y uno de los mayores expertos del mundo en culturas mesopotámicas. Al parecer, Landsberger era un poco torpe con los números. Por eso, cuando vio aquellos documentos cubiertos de signos matemáticos, le encargó a Kilmer que los analizara^[11]. «Landsberger tenía la falsa impresión de que a mí se me daban bien las matemáticas», relataría ella años más tarde^[12]. «Esto no era cierto pero, al parecer, por lo menos se me daban mejor que a él».

Lo que Benno Landsberger no podía adivinar es que acababa de introducir a la futura profesora Kilmer en el fascinante mundo de la música y las matemáticas de la Antigüedad. Aquellas tablillas de más de tres mil años repletas de números contenían las bases de la teoría musical más antigua de la historia. Una piedra de Rosetta que permitiría, dos décadas más tarde, devolverle su banda sonora a las ruinas de Mesopotamia.

Hoy quizás puede resultar sorprendente que un texto de teoría musical se encontrase, como un polizón, agazapado en un documento sobre matemáticas. En nuestra cabeza del siglo XXI, la música es parte de «el Arte», y las matemáticas son una rama de «la Ciencia», e imaginamos estas dos categorías, como el agua y el aceite, claramente diferenciadas y bien definidas a lo largo de la historia. Pero, como veremos, la música ha sido una de las bellas artes solo desde tiempos muy recientes, desde el siglo XVIII concretamente. Durante la mayor parte de su historia, fue algo mucho más parecido a lo que hoy entendemos como ciencias. A fin de cuentas, las dos tablillas analizadas por Kilmer contenían listados de números. Y desde sus orígenes, fueron números lo que se utilizó para definir y comparar los sonidos del lenguaje musical.

Entre operaciones geométricas, coeficientes, constantes matemáticas como π y procedimientos astronómicos, uno de los textos que analizó Kilmer contenía una sección entera dedicada a describir las cuerdas de un instrumento. Constaba de una serie de términos, hasta entonces desconocidos, acompañados por parejas de números. Pero su significado preciso no estaba nada claro.

Para descifrar aquel mensaje fueron necesarias más tablillas cuneiformes y la colaboración de otros investigadores. Los términos misteriosos que había encontrado la profesora Kilmer empezaron a repetirse en otros tipos de documentos, asociados casi siempre a canciones o como categorías musicales. Poco a poco pudo establecerse que hacían referencia a las escalas de notas de la música sumeria. Las parejas de números, que abarcaban las cifras del 1 al 7, parecían indicar distancias sonoras entre notas, lo que en música se conoce como intervalos. Y estos intervalos, a su vez, se clasificaban como «puros» o «impuros», según desvelaban las investigaciones.

Por fin, todo aquel rompecabezas empezaba a cobrar sentido, y lo que revelaban sus piezas era fascinante: a pesar de las enormes diferencias culturales, a pesar del paso de los siglos y el colapso de civilizaciones enteras, hace más de tres milenios los sumerios ya utilizaban un sistema musical muy similar al nuestro; con escalas de siete notas, intervalos consonantes —puros— y disonantes —impuros—, con modos musicales asociados al carácter de cada pieza… y con números.

En 1970, una nueva tablilla llamó la atención de Anne Kilmer y otros investigadores: el Himno del culto hurrita, conocido técnicamente como h.6. Se trataba de la única tablilla casi completa en una colección de más de treinta himnos encontrados en el Palacio Real de Ugarit, junto a la costa mediterránea de Siria. Habían sido descubiertos durante una excavación de los años cincuenta, pero nunca habían sido descifrados. La tablilla h.6, en concreto, contenía una canción dedicada a Nikkal, la diosa de los huertos, la fruta y la fertilidad, y tenía 3400 años de antigüedad. Pero la clave se encontraba bajo la letra del himno. Allí, separados por una doble línea, podían leerse los mismos términos musicales y las parejas de números con los que Kilmer ya estaba familiarizada. Aquello era una partitura, ¡la primera de la historia!

Las noticias sobre asiriología no suelen copar los medios de comunicación. Pero en 1974, casi veinte años después de que Landsberger se topara con aquellos misteriosos documentos matemáticos, las tablillas cuneiformes saltaron a la prensa de medio mundo: una profesora de la Universidad de Berkeley había logrado devolver la música a las piedras de Mesopotamia.

Tras meses de trabajo en colaboración con el Departamento de Música de su universidad, Kilmer había conseguido transcribir aquellos signos cuneiformes a notación actual y, por fin, el misterio parecía resuelto^[13].

Pero para presentar los resultados, no bastaba una conferencia académica convencional. Aquello era música, la más antigua jamás escrita. Si quería explicarla y darla a conocer, debía organizar un concierto. Para ello, Kilmer decidió reclutar a otros dos profesores, Richard Crocker y Richard Brown. El primero era un experto en música antigua y había colaborado con Kilmer en su investigación. Pero, además, era un magnífico cantante capaz de tocar varios instrumentos de cuerda. Brown, por su parte, era físico y aficionado a construir instrumentos. Basándose en la documentación histórica disponible, decidió reconstruir dos liras similares a las que probablemente se habían usado hace 3400 años para componer el Himno del culto hurrita.

Por fin llegó la demostración que toda la comunidad universitaria y la prensa habían estado esperando. Crocker subió al escenario y empezó a tocar. Punteaba las notas de su lira mientras cantaba la letra del himno en su lengua original —o eso intentaba él, que tampoco había hurritas entre el público para confirmarlo—. Una vez liberados del pentagrama, los símbolos cuneiformes empezaron a dibujar una melodía suave, sencilla, similar a la de una canción popular. Después de un silencio de tres mil años, los sonidos de Mesopotamia despertaban de su letargo y parecían hablar un idioma sorprendentemente familiar. Más tarde, Anne Kilmer rememoraría aquel momento durante una entrevista: «El auditorio permaneció en completo silencio durante la representación […]. El aplauso fue algo abrumador, pero muy gratificante para los tres^[14]».

Desgraciadamente, no podemos saber con certeza si la música mesopotámica sonaba exactamente como propuso Kilmer. Además de su transcripción, otros historiadores han propuesto hipótesis alternativas, bastante diferentes entre sí^[15][16][17]. A fin de cuentas, todos los símbolos mueren cuando no queda nadie que recuerde su significado. Cualquier forma de escritura es un frágil talismán, que pierde su poder cuando desaparecen sus últimos fieles.

Hoy, la tablilla hurrita h.6 permanece callada en una esquina del Museo Nacional de Damasco. Para la mayoría de los visitantes, no es más que otro pedrusco muy viejo en un edificio ya repleto de reliquias. Y este ni siquiera es de los más vistosos, por fuera parece un triste trozo de barro agrietado. Casi nadie se detiene ante sus notas, casi nadie sabe escuchar sus sonidos milenarios. Pero incluso el visitante informado tiene buenos motivos para dudar de las transcripciones contemporáneas. No hay manera cierta de invocar las melodías de Mesopotamia. Lo mejor que nos ofrecen los historiadores son relatos creíbles, hipótesis razonablemente informadas.

Lo que sí sabemos es que la primera notación musical de la historia se confundió con un texto sobre matemáticas. Y este hecho, que podría parecer un accidente tonto, una de tantas serendipias que han dado impulso e interés narrativo al progreso de la ciencia, es lo más revelador de toda esta historia. Para empezar, porque esos números nos permiten desvelar propiedades de la música sumeria sorprendentemente comunes y sorprendentemente similares a las de nuestra música actual. Hace más de tres mil años años ya se usaban, con toda probabilidad, escalas de siete notas y un sistema de afinación basado en lo que actualmente consideramos «consonancias»; es decir, sonidos que resultan agradables al oído al combinarse entre sí.

Hoy en día, parece difícil encontrar dos personas que se pongan de acuerdo en si escuchar tecno, rap, ópera o reguetón. Y sin embargo, en la base de todos estos estilos tan distintos, desde los orígenes más remotos del sistema musical occidental, podemos encontrar algo tan subjetivo a priori como sonidos «agradables» al oído: las consonancias que describieron los sumerios y que se han seguido considerando como tales durante, al menos, treinta siglos.

Pero, además, esas «consonancias» parecen guardar una relación muy especial con los números. Es esa relación la que ha dado lugar al coqueteo de la música con las matemáticas y la física durante toda su historia. La música de las esferas, la serie armónica, la interminable saga de músicos físicos y viceversa… Todas esas historias nacieron hace tres milenios, en la misma cuna que vio nacer la escritura. Tan pronto como la humanidad aprendió a escribir, empezó a reflexionar sobre la música y, para hacerlo, se valió de números.

Hasta los años setenta, sin embargo, antes de que la profesora Anne Kilmer reescribiese los orígenes de la música occidental, la asociación entre música y matemáticas se había atribuido a una figura más de mil años posterior en el tiempo pero mucho más influyente en la historia de Occidente.

§. Pitágoras, ese gran desconocido

Se diría que el filósofo empírico es esclavo de su materia, pero el matemático puro, como el músico, es creador libre de su mundo de belleza ordenada.

Bertrand Russell, Historia de la filosofía occidental^[18]

Pitágoras es uno de los personajes más interesantes, enigmáticos y difíciles de clasificar de la historia. Bertrand Russell lo describió como una mezcla de Einstein y beata con poderes místicos, «uno de los hombres más importantes intelectualmente que han existido jamás, tanto cuando era sabio como cuando no lo era^[19]».

Curiosamente, sus méritos y cualidades difieren bastante de los que hoy, popularmente, se le atribuyen. Para empezar, no puede decirse que fuese un matemático; o no como lo entenderíamos hoy, al menos. Tampoco fue un filósofo muy común, ni siquiera el descubridor del famoso teorema de Pitágoras. Todo lo que sabemos de él, hoy por hoy, procede de algunos fragmentos inconexos escritos en el siglo posterior a su muerte, o de documentos más completos pero también mucho más tardíos basados en los dimes y diretes que sobrevivieron al paso de los siglos. Todos ellos narran la vida de un místico al que se atribuyen todo tipo de obras y milagros, el líder espiritual y fundador de la escuela de los pitagóricos.

Los historiadores no se ponen de acuerdo en el grado de leyenda que empapa todas esas historias. Tampoco resulta fácil desanudar sus contradicciones. Pero si nos quedamos con la versión más probable de los hechos, parece que Pitágoras nació en una isla del mar Egeo —probablemente Samos— hacia el año 570 a. C. Cuatro décadas más tarde, se asentó en Crotona, al sur de Italia, que entonces era parte de la Magna Grecia. Allí tuvo una gran influencia como maestro y líder espiritual. Durante treinta años se dedicó a divulgar la teoría de la reencarnación y a reflexionar sobre el mundo, acompañado por algunos de sus seguidores. También le dio por tocar la lira y, como Pitágoras era mucho de pensar, en el proceso empezó a preguntarse por qué algunas cuerdas, al combinarse, producían sonidos bellos —agradables, consonantes— y otras no. Así es como descubrió un hecho que hoy sabemos cierto: que existen números sorprendentemente sencillos en la base de la armonía musical^[20]. Y estos números son los mismos, desde la antigua Babilonia hasta el reguetón. Precisamente gracias a ellos, hoy podemos devolverle su voz a las notas de una partitura escrita hace más de tres mil años.

Esta revelación llevó a los pitagóricos a la convicción de que el universo era un lugar racional, de que debía existir un orden escondido en todos los fenómenos de la naturaleza que podía ser expresado en el lenguaje de las matemáticas. Este orden resultaba bello, armonioso y esto era la prueba definitiva de que los humanos estamos conectados con el orden del cosmos. Te gusta oír números porque tú también eres número. Es más, «todo es número», dijo Pitágoras. Y en un arrebato de misticismo, sus seguidores cayeron de rodillas y empezaron a buscar números por todas partes: en la música, en los triángulos, debajo de la alfombra, entre los planetas… y también, en lugares donde difícilmente podía haber números, como en el alma humana y su destino. Así siguieron, por los siglos de los siglos, y su influencia ha llegado hasta nuestros días. Amén.

Puede parecer que ventilarse la vida entera de uno de los filósofos más influyentes de toda la historia occidental en apenas un par de párrafos constituye un resumen más bien grosero. Pero en realidad, esto es todo lo que sabemos con relativa certeza. En gran parte, debido al enorme secretismo que mantuvieron los propios pitagóricos quienes, de acuerdo con sus propios preceptos, debían guardar para sí las enseñanzas del grupo y evitar hablar de «lo sagrado» en público. Pitágoras no escribió ningún libro y sus seguidores no nos dejaron testimonios directos de la vida del filósofo, ni textos, ni documentos, ni un triste resto arqueológico donde podamos estudiar de primera mano el precioso conocimiento que debieron de atesorar. Como dice la escritora y divulgadora científica Kitty Ferguson^[21], «ningún otro grupo ha hecho tantos esfuerzos por mantenerse en secreto con tanto éxito como los pitagóricos, y pese a ello ha logrado hacerse tan célebre e influyente durante un periodo tan asombrosamente largo de tiempo». Más allá de algunas pinceladas, no hay nada de la vida o enseñanzas de Pitágoras que podamos afirmar con certeza.

Suele darse por supuesto, por ejemplo, que antes de llegar a Crotona, Pitágoras pasó algún tiempo estudiando en Egipto. Y es probable que fuera así, pero más allá de este punto, el relato se vuelve, como poco, dudoso. Hacia el siglo IV a. C., uno de sus primeros biógrafos, llamado Antífono, implica al mismísimo faraón Amasis II en la formación del filósofo —faraón de día, mentor de estudiantes Erasmus por la noche, se entiende—. Seis siglos más tarde, Porfirio cita esta fuente en su propia biografía de Pitágoras^[22], pero envía al filósofo a Tebas para completar su cursillo de sabiduría egipcia. Otro biógrafo, llamado Plutarco, atribuye las lecciones al sacerdote Enufis de Heliópolis^[23], y un tercero, Clemente de Alejandría, invoca directamente al gran profeta Soches como maestro de Pitágoras^[24]. Estudiar en Egipto era algo así como el Cambridge del siglo VI a. C., una forma sonora y elitista de decir: «este tipo sabe lo que se hace». De hecho, es probable que Pitágoras viajase al reino de los faraones durante su juventud, pero dónde se formó realmente o lo que pudo aprender allí será para siempre un misterio.

De un modo u otro, es indudable que existen elementos de procedencia egipcia en el pensamiento de Pitágoras, y también algunas ideas que recuerdan poderosamente a las de los babilonios. En concreto, gran parte del conocimiento matemático de los pitagóricos —entre otras cosas, el famoso teorema que hoy lleva el nombre de su fundador— podría haber viajado en la mochila de Pitágoras después de recorrer esas regiones.

Otras de sus ideas, en cambio, tienen más que ver con el orfismo, una corriente religiosa procedente de Creta, de la que Pitágoras extrae su lado más místico. Los seguidores del orfismo creían en la transmigración de las almas, una especie de reencarnación. Aspiraban a hacerse puros, siguiendo distintos rituales y también evitando ciertos tipos de «contaminación». Para ello, practicaban preceptos como el de no comer carne ni derramar sangre animal o vestir tejidos de lino. Curiosamente, también defendían cierto tipo de feminismo —su versión posible hace 2600 años— que, en algunos casos, llegó a reclamar la completa igualdad política para las mujeres.

Todos estos ingredientes de tipo religioso están muy presentes en el pensamiento del filósofo. Cuando Pitágoras se trasladó a Crotona —con cuarenta años, más o menos—, fundó una sociedad de discípulos basada en algunos de los preceptos órficos… y, dependiendo de la fuente, también muchos otros. Por supuesto, nunca sabremos cuáles exactamente y, desde la muerte de Pitágoras hasta su reaparición en los documentos históricos, hubo bastante tiempo para inventarse unos cuantos. Pero si tomamos como referencia, por ejemplo, la recolección que hace Bertrand Russell en su Historia de la filosofía occidental, estos debieron de incluir^[25]:

1.     Abstenerse de tocar o comer alubias.

2.     No recoger lo que se ha caído.

3.     No tocar un gallo blanco.

4.     No partir el pan.

5.     No pasar sobre un travesaño.

6.     No remover el fuego con hierro.

7.     No comer de una hogaza de pan entera.

8.     No arrancar una guirnalda.

9.     No sentarse en una medida de a cuarto.

10. No comer corazón.

11. No caminar por las carreteras.

12. No dejar que las golondrinas aniden en el tejado de la propia casa.

13. Cuando se retira una cacerola del fuego, no dejar su marca en la ceniza, sino removerla en un montón.

14. No mirar un espejo al lado de una luz.

15. Al levantarse de las sábanas, enrollarlas y hacer desaparecer la huella que haya dejado el cuerpo.

Ahora probablemente te estarás preguntando qué tendría Pitágoras en contra de las alubias. Y por supuesto, tampoco lo sabemos con certeza. Pero, por trivial que parezca, este detalle podría haber jugado un papel importante en la muerte del filósofo. La explicación más cómica vincula su rechazo a esta humilde legumbre con sus flagrantes —y fragantes— consecuencias digestivas: si el alma, como creían los griegos, estaba hecha de aire… comer habas no podía ser nada bueno. Quizás los gases eran la prueba de que las plantas mismas tenían algún tipo de «esencia» inmortal, o quizás eran capaces de provocar «fugas» en quien osaba comerlas. Diógenes Laercio, uno de los biógrafos de Pitágoras, afirmó en el siglo III d. C. que evitar las alubias podría haber sido necesario para tener un buen sueño «libre de agitaciones^[26]». Otra hipótesis es que las «alubias», por la forma de esta legumbre, eran para Pitágoras un eufemismo de testículos^[27], lo cual situaría en boca del primer filósofo de nuestra historia el sabio consejo de «abstenerse de tocar los cojones».

De un modo u otro, se cuenta que al final de su vida, y mientras huía de sus enemigos, Pitágoras se encontró con un campo de judías. Para evitar atravesarlo, tuvo que dar un rodeo, y fue esto lo que llevó a su captura y posterior ejecución^[28]. Por supuesto, este relato no es único ni verificable de ninguna manera. Según otra versión, Pitágoras logró escapar pero, entristecido por la muerte de sus compañeros caídos, acabó suicidándose. Un tercer relato lo sitúa refugiado en Metaponto durante otros veinte años más… La vida de Pitágoras es el «elija su propia aventura» de la historia de la filosofía. Lo que esta aventura parece indicar, en el mejor de los casos, es que el filósofo se tomaba muy en serio sus manías gastronómicas.

Más allá de su peculiar dieta, los seguidores de Pitágoras juraban vivir en comunidad y completo ascetismo. Entre sus discípulos fueron admitidos tanto hombres como mujeres en iguales condiciones: el componente feminista del orfismo se conservó en el pensamiento pitagórico y, a través, de él, en el de Platón. Ocho siglos más tarde, la célebre matemática Hipatia sería hija de esta larga tradición —o tatara-tatara… nieta, más bien—. Además, dentro de las sociedades pitagóricas, la propiedad se consideraba común, tenían prohibido hablar de lo sagrado en público, debían vestir de blanco y mantener una pureza sexual. Probablemente, la palabra «secta» describe mucho mejor lo que hoy pensaríamos de los seguidores de Pitágoras^[29]. Poco a poco, fueron ganando influencia hasta tomar el control del estado en Crotona y otras ciudades. Pero antes o después, los ciudadanos se acabaron rebelando —ansiosos quizás por volver a probar la fabada—.

El mismo Pitágoras se atribuía a sí mismo un carácter semidivino. Decía poder recordar sus vidas pasadas y ser más sabio que los demás hombres gracias a ello. Como algunas de estas reencarnaciones le habían llevado a habitar cuerpos de animales y de plantas, también se le adjudicaba el poder de charlar con todo tipo de seres vivos. Jenófanes cuenta que Pitágoras salvó a un perro de ser apaleado por su dueño porque, al escuchar sus gritos, reconoció la voz de un viejo amigo fallecido. Otras fuentes afirman que tenía un muslo dorado, o incluso que todo él resplandecía. Con semejantes atributos, Pitágoras no podía ser sino el hijo del mismísimo Apolo, o eso creyeron en tiempos de la Roma imperial, hacia el siglo I d. C. Se lo había revelado el propio filósofo griego en persona o, según los más escépticos, un popular hechicero itinerante que afirmaba ser su reencarnación.

§. La religión de los números
Hasta aquí el lado místico y religioso de Pitágoras; su lado «bruja Lola», para que nos entendamos. ¿Qué hay del lado «Einstein»? ¿Cómo se relaciona todo esto con las matemáticas y con la música?

Pues, mayormente, a través de la pereza. La ética de los griegos ensalzaba y promovía un modo de vida contemplativo. Para Pitágoras, sudar o trabajar, en general, era una cosa muy poco deseable. Hasta aquí, yo creo que todos estamos de acuerdo. Pero, en su pensamiento, esta idea tenía además un puntito esnob: trabajar, cansarse o hacer cosas útiles y productivas con las manos en general era cosa de esclavos, como poco. Pasaba algo parecido en la antigua China, donde los mandarines se dejaban crecer las uñas —la de un dedo, al menos— hasta que les resultaba imposible sujetar o manejar nada con las manos. Así, solo con verles, quedaba claro cuál era su estatus social, el de gente tan fina que podía vivir sin mover un dedo, literalmente.

Desde entonces, nuestros valores han cambiado considerablemente. Las películas de Hollywood reivindican al emprendedor, al currante, al que ha llegado donde está gracias a su propio esfuerzo, ¡el héroe del sueño americano! Quizás por eso, como explica Russell^[30], idealizamos y cubrimos de oro a futbolistas y otros héroes musculosos en pantalón corto que corren esforzadamente detrás de un balón. Pero, en el esquema mental pitagórico, los verdaderos triunfadores de la historia eran los tipos de la grada, gente ociosa con suficientes recursos como para pagar una entrada y hacer que otros suden y se cansen solo para entretenerles.

En ese sentido, para Pitágoras, nada purificaba el alma como las matemáticas, una actividad idónea para no moverse del sofá. Ejemplificaban a la perfección la elección de un espectador que, lejos de involucrarse en los asuntos mundanos o distraerse con cuestiones utilitaristas, decide buscar la perfección en una cosa tan irreal como son los números, sin otro motivo que el amor al conocimiento. Por eso mismo, las matemáticas que cultivaron los pitagóricos fueron puramente teóricas, inútiles en el mejor de los sentidos. Fueron el equivalente al «arte por el arte» del siglo XIX, una ocupación aristocrática sin propósito ni utilidad, sin referente posible en un mundo lleno de contingencias, que solo la gente con suficiente dinero y tiempo libre podía cultivar en busca de su propia elevación espiritual.

Este era el ideal que daba sentido a la palabra «filosofía» —del griego φιλοσοφία, compuesta por phylos, ‘amor’, y sophia, ‘sabiduría’— que, según la tradición, el mismo Pitágoras acuñó. Aunque quizás sea más correcto decir que ayudó a darle un nuevo significado. El objetivo de la «filosofía» —y, como parte fundamental de ella, la matemática— no era únicamente obtener conocimiento, o amarlo, sino que iba más allá: era la única vía para purificar el alma y unirla con lo divino, para escapar así de la eterna rueda de la reencarnación. Como explica William Jordan^[31]:

El propósito de fondo de las pruebas matemáticas de los pitagóricos parece haber sido más teológico que científico. Aquellos que se adhirieron a su visión del mundo meditaron sobre estas pruebas para desarrollar la conciencia espiritual. Las pruebas estaban diseñadas para demostrar que el alma era racional, en virtud de su capacidad para reconocer la coherencia de las proporciones numéricas.

También la palabra «teoría» tiene connotaciones místicas que enraízan en esta tradición. Hoy esta palabra es inseparable del uso que se le da en el ámbito de la ciencia: la teoría de la evolución, la teoría de la relatividad general, la teoría atómica… son modelos que explican distintos fenómenos del mundo natural y que pueden ser corroborados siguiendo distintas estrategias científicas. En ese sentido, no debe confundirse una teoría científica con el uso que se le da a esta palabra de manera popular. Como, por ejemplo, «tengo la teoría de que mi lavadora se alimenta de calcetines» o «en teoría, en Murcia se habla castellano». En estos casos, la palabra que debería utilizarse es «hipótesis».

Por su parte, los pitagóricos atribuían cualidades más bien místicas a sus «teorías». La palabra procede del griego θεωρία, theoria, que significa ‘contemplación’ o ‘meditación’. «Teatro», por ejemplo, tiene la misma raíz etimológica derivada de thea, ‘vista’. De nuevo nos situamos en el mundo de los espectadores privilegiados, donde las teorías matemáticas tendrían el carácter de una revelación o «visión» mística para los pitagóricos.

Puede que «cateto al cuadrado más cateto al cuadrado igual a hipotenusa al cuadrado» no parezca una revelación especialmente conmovedora. Como manifestación espiritual del mismísimo Dios, resulta quizás más decepcionante que los anuncios del futuro de la señora de la lejía. Pero cualquiera que haya vivido el momento de «entender» por primera vez algún concepto matemático quizás pueda empatizar con el misticismo que le atribuía Pitágoras a sus «teorías». Y sin necesidad de saber matemáticas, podemos intentar imaginar la emoción del primero o la primera en descubrir un teorema cualquiera: cómo fue el día en que, después de cientos de folios tachados quizás, un nuevo espacio se abrió en su cabeza, un lugar inaccesible hasta ese momento al resto de la humanidad y a la vez tan inevitable, tan perfecto… como solo los conceptos matemáticos pueden serlo.

No es de extrañar que Pitágoras vinculase las matemáticas a lo divino. Y tampoco me parece una locura que, situando al matemático en la figura de un espectador pasivo, le diese un sentido místico a ese momento de aparente revelación. Durante siglos, generaciones de nuevos científicos se han visto embriagados por una emoción similar. A Pitágoras le dio por exclamar «¡oh, Dios mío!», Arquímedes se hizo célebre por su famoso «¡eureka!». Hoy es mucho más común oír decir, simplemente, «¡qué bonito!».

Con todo este misticismo, está claro que el uso de las matemáticas que pudieron hacer Pitágoras y sus seguidores no fue, en muchos casos, el más científico. Hoy, cuando marcamos una clara frontera entre astronomía y astrología, entre química y alquimia, a menudo olvidamos que hace siglos fueron las mismas disciplinas. De la misma manera, las matemáticas de Pitágoras estaban empapadas en numerología y aún hoy se le considera el padre de esta peculiar pseudociencia. Los números pitagóricos tenían significados que iban mucho más allá de su uso aritmético: el 2 era el número femenino; el 3, el masculino; el 4 simbolizaba la justicia; el 5, el matrimonio, etcétera. Se ordenaban en una figura triangular, el tetraktys, que era un símbolo místico de adoración relacionado también con la música y con el orden del cosmos.

Es fascinante cómo lo racional y lo irracional se superponen en una sola figura, como versiones con lira del doctor Jekyll y el señor Hyde. El hecho es que, pese a todas sus chifladuras, Pitágoras, el mismo que decía ser hijo de un dios, el mismo que presumía de sus muchas reencarnaciones y de poder hablar con plantas y animales, el maniático de la dieta sin alubias y el pan sin partir, fue también el fundador de una escuela de matemáticos cuya influencia se extiende hasta la era moderna. Como afirma Russell, «se puede decir que la matemática como argumento deductivo y demostrativo comienza con él». Hasta ese momento, los números se habían usado para contar, para medir y para realizar todo tipo de operaciones. Los babilonios se atrevieron incluso a hacer operaciones imposibles, con números tan elevados que difícilmente habrían podido tener una aplicación práctica. Pero Pitágoras va más allá: él utiliza la matemática para pensar, la emplea como argumento, como un modo de razonar, más allá del conteo de habichuelas —o lo que sea que contaran los pitagóricos—. En palabras de Kitty Ferguson:

Imagina a un carpintero mirando el martillo y el cincel, dos herramientas que siempre ha dado por sentadas como un elemento útil de su trabajo diario, y en un golpe de iluminación, atónito, se da cuenta de que tiene entre sus manos las llaves para abrir la puerta a todo un mundo de conocimiento oculto. En eso se convirtieron los números para los pitagóricos y, a través de ellos, para el futuro. Con esta nueva apreciación —veneración, en realidad— sobre el poder de los números, Pitágoras y sus seguidores hicieron uno de los descubrimientos más profundos y significativos en la historia del pensamiento humano. Se pararon ante ese tipo de umbral que la humanidad ha cruzado solo unas pocas veces. Esta puerta en particular no volvería a cerrarse^[32].

El teorema de Pitágoras ejemplifica a la perfección el cambio que se produjo en el pensamiento matemático. Existen multitud de tablillas procedentes de la antigua Mesopotamia que prueban que, más de mil años antes de que Pitágoras hubiera nacido siquiera, los babilonios ya sabían que los lados de un triángulo rectángulo podían relacionarse por medio de la archifamosa ecuación a² + b² = c² —la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa—. Es posible que Pitágoras aprendiese su teorema al viajar allí o quizás lo averiguase de manera independiente al volver a Grecia. Sobre este punto, como tantos otros, los historiadores no se ponen de acuerdo. Pero si bien Pitágoras no fue el primero en «descubrir» el teorema de Pitágoras, en cambio sí debió de ser el primero en «demostrarlo»; es decir, el primero en presentar motivos lógicos por los que esta ecuación se verifica siempre.

La misma idea de que los principios matemáticos podían tener un carácter general, de que un teorema podía ser eterno —más que cualquier diamante, más que cualquier galaxia, eterno como solo los conceptos matemáticos pueden serlo— era un tipo de planteamiento desconocido antes de la era de Pitágoras, y fue quizás una de sus grandes aportaciones a la matemática.

Lamentablemente, ni siquiera esto podemos afirmarlo con certeza. Debido al secreto obsesivo que guardaron los primeros pitagóricos, no queda rastro documental de la supuesta demostración. Si esta existió, hacia finales de la Edad Antigua ya se había perdido. Algunos historiadores sugieren que podría haberse tratado de algún tipo de prueba visual, como la de la figura, por resultar bastante evidente —evidente si uno se ha pasado la vida pensando en triángulos, entiéndase—. Pero no podemos estar seguros sobre este punto. Y tampoco podemos averiguar quién fue su verdadero autor. Incluso de haber quedado constancia de la demostración, hubiese sido difícil atribuírsela directamente a Pitágoras. La propiedad comunal que imperaba entre sus seguidores afectaba también a las creaciones científicas y matemáticas. Todos los descubrimientos pitagóricos eran considerados colectivos, y más tarde fueron atribuidos a Pitágoras de manera mística, a veces incluso décadas después de su muerte —o siglos: el mismo Newton cayó en esta extraña clase de plagio invertido—.

Aunque en nuestro tiempo tendemos a valorar la investigación, las ideas disruptivas y la innovación como elementos esenciales para el progreso —o eso dicen los programas de los partidos políticos, al menos—, tiempo atrás, un conocimiento se consideraba más fiable cuanto más antiguo era y cuanto más renombre tenía su creador, hasta el punto de que llamar «nueva» u «original» a una idea podía considerarse degradante. Así, «pitagórico» —o «de Pitágoras»— se convirtió casi en un calificativo equivalente a sabio o virtuoso, y muchos pensadores se lo aplicaron a algunas de sus mejores ideas, convencidos de que el nombre del filósofo les ayudaría a que se difundieran.

Este «modo de pensar» a través de las matemáticas tuvo también una gran influencia en el ámbito de la filosofía. Para lo bueno y para lo malo. Todo el idealismo que tradicionalmente se atribuye a Platón hunde sus raíces más allá, en su interpretación de las ideas de Pitágoras. A fin de cuentas, las matemáticas son el ejemplo más claro de un mundo perfecto y eterno que se nos revela solo a través del intelecto y no de los sentidos. Los puntos, las circunferencias, los triángulos equiláteros… son ideas cuya realización siempre resulta imperfecta. Porque, por muy bien que manejemos el compás, por mucho que afilemos el lápiz y entornemos los ojillos, nuestros dibujos siempre tienen grosor, grafito, rebabas; el ligero palpitar de la línea sobre la rugosidad del papel.

Esta es la paradoja: cualquiera puede imaginar una circunferencia —puntos sin dimensión en un plano que equidistan de otro llamado centro—. Pero nunca nadie en ninguna parte ha «visto» una. De ahí a afirmar que ningún conocimiento puede obtenerse a través de los sentidos y que, por tanto, hacer experimentos es inútil, va un solo paso. La caverna de Platón estaba llena de sombras matemáticas. Siglos y siglos de especulación idealista antes de la aparición de la ciencia moderna fueron fruto de ello.

§. La primera ley de la física
El lema de Pitágoras —o su esperanza, más bien— fue que, en este mundo, «todo es número». Todo en la naturaleza, en el alma humana y en el universo obedece a un orden lógico que puede ser desvelado a través de la razón y las matemáticas. Tenemos en nuestra mente las mismas ideas que parecen regir el movimiento de los astros y las órbitas de los planetas. Esta fue la gran revelación de los pitagóricos, la idea que los hizo caer de rodillas y dedicar el resto de sus vidas al estudio de la naturaleza y la reflexión filosófica: somos un universo que se mira a sí mismo, solo así se explica que podamos entenderlo.

Sin embargo, ese orden matemático rara vez se manifiesta a primera vista. Como decíamos, el mundo está lleno de rebabas: los números nunca se pasean desnudos ante nuestros ojos, siempre llevan consigo una finísima capa de error. Esta frontera insalvable llevó a Platón a desconfiar por completo de los sentidos y a aislarse en su reino de ideas puras. Pero los pitagóricos nunca renunciaron a estudiar la realidad. Mientras Platón abrió una brecha entre lo terrenal y lo abstracto, los pitagóricos creían que existía un camino que conectaba ambos mundos. Y existían dominios donde esa conexión se hacía más evidente.

La música era el ejemplo más claro, la conexión perfecta entre la percepción sensorial y la perfección matemática. Gracias al oído, podemos percibir de manera inmediata cuándo dos sonidos son armónicos o disonantes, agradables o desagradables. Gracias a las matemáticas podemos establecer que estas sensaciones ¡están regidas por números! Fue así como Pitágoras asentó las bases de la armonía musical occidental. Y también las bases de la física: la primera ley natural formulada de manera matemática fue la que establecía la relación entre un tono musical y la longitud de la cuerda que lo produce. Esa ley fue descubierta por los primeros pitagóricos y, probablemente, por el propio Pitágoras.

El relato de su hallazgo, en cambio, es seguramente falso. Cuenta más o menos lo siguiente: un día, guiado por la divinidad, Pitágoras pasó por delante de una herrería. Sorprendido por los sonidos musicales que de ella brotaban, decidió acercarse a observar. Para su sorpresa, esas notas eran producidas por los martillos que golpeaban los yunques, y al combinarse a veces resultaban consonantes —agradables— y, otras veces, disonantes —desagradables o tensas para el oído—. Pitágoras decidió examinarlos y se dio cuenta de que su sonido dependía de su tamaño: eran cuatro martillos de 6, 8, 9 y 12 libras. Solo los sonidos procedentes de martillos relacionados por fracciones sencillas producían consonancias al sonar a la vez, como por ejemplo, los martillos de 12 y 6 libras, con una relación de pesos de 2:1. En cambio, los martillos que se encontraban en una relación más compleja —como los de 8 y 9 libras— resultaban mucho más disonantes.

La leyenda, como decía, es falsa y lo sabemos por un motivo muy sencillo: los martillos, simplemente, no suenan así. Si uno hace el experimento —hoy o hace treinta siglos— y golpea un yunque con distintos martillos, lo que descubre es que su sonido no se relaciona de manera directa con su peso. No obstante, es posible que el relato de los herreros no sea completamente accidental: en la tradición antigua, los dáctilos del monte Ida eran magos e inventores de la herrería y de la música. Dentro de la tradición pitagórica, también se decía que el sonido del bronce al ser golpeado invocaba la voz de un daimon, una especie de divinidad o espíritu guía. De alguna manera, el relato de la herrería vincula a Pitágoras con los secretos de la música dentro de la tradición mitológica.

Más allá del mito, es probable que Pitágoras descubriese realmente la relación entre los sonidos, la consonancia y los números. Pero, para hacerlo, debió de utilizar las cuerdas de un instrumento musical como la lira. Sucede lo siguiente: si uno toma una cuerda que mide, pongamos, 20 cm y otra que mide 10 —esto es, cuerdas cuyas longitudes guardan una relación de 2:1— y las hace sonar a la vez, sus sonidos se combinan, encajan entre sí y producen un tipo de sonoridad característica, muy estable y coherente, que define la consonancia. Sucede algo parecido si las cuerdas miden 15 y 10 cm —proporción de 3:2— o, incluso, 20 y 15 —proporción 4:3—. La consonancia no es una cuestión de blanco o negro, forma una escala de grises: cuanto más aumentamos las cifras que definen estas relaciones entre cuerdas, menos reconocible resulta, pero para pequeños números enteros (1, 2, 3, 4…) es un fenómeno fácil de percibir. En cambio, si uno cambia ligeramente estas proporciones, si las cuerdas ya no miden 20 y 10 cm, sino un poquito más o un poquito menos, digamos 20,01 y 10,47 cm o, peor aún, si su proporción viene dada por un número irracional con infinitos decimales como π/3, entonces la consonancia se rompe y obtenemos sonidos que chirrían entre sí, que suenan inestables o rugosos para el oído: es el reverso oscuro de la consonancia, también conocido como disonancia.

Observando este fenómeno, Pitágoras llegó a una asombrosa conclusión: la belleza de la música emanaba de los propios números. Y por las mismas, era necesario encontrar las matemáticas que ordenaban el resto del cosmos. ¡Seguro que eran una preciosidad!

Fue esta relación tan armónica —por definición— la que llevó a los pitagóricos a situar la música en el centro de las matemáticas. Para Arquitas de Tarento, los estudiantes de esta disciplina eran unos tipos de lo más avispados. «De hecho», según explica en un tratado titulado Armónicos^[33], «nos han transmitido su agudo discernimiento sobre las velocidades de las estrellas, sus movimientos y posiciones en el cielo, sobre la geometría, la aritmética, la astronomía y, ante todo, sobre la música. Estas parecen ser ciencias hermanas, ya que se refieren a las dos primeras formas fundamentales del ser». Las cuatro disciplinas que menciona, música, aritmética, geometría y astronomía, pasarían a conocerse más adelante como el quadrivium —el camino cuádruple—. Las dos formas del ser podían referirse al número —que estudia la aritmética— y la magnitud —propia de la geometría—, o tal vez a lo audible —música— y lo visible —astronomía—.

Las disciplinas del quadrivium se complementaron con la enseñanza la gramática, la retórica y la lógica, que constituían la base de la lengua y el discurso. Esta triple enseñanza recibiría el nombre de trivium —el triple camino—. En conjunto, las siete disciplinas del trivium y el quadrivium terminaron siendo conocidas como «las siete artes liberales» y sirvieron para definir el plan de estudios de las élites desde la Antigüedad. Lo de «liberales» se debía, precisamente, a que solo eran cultivadas por los hombres libres, aquellos que no tenían que trabajar con las manos —como hemos comentado antes, a Pitágoras y a sus seguidores lo de sudar les parecía muy mala idea en general—. Este esquema se transmitió al mundo romano, y su influencia se extendió a toda la Edad Media a través de la obra de Boecio. La Iglesia católica lo adaptó para formar a sus clérigos y, a medida que su poder aumentó, lo terminó usando también para educar a los gobernantes y a la nobleza de toda Europa.

Las «siete bellas artes» que manejamos en la actualidad, en cambio, no se inventaron hasta la era moderna^[34]. El primer libro que explora este concepto fue escrito en 1746 por un filósofo francés llamado Charles Batteux, y desde entonces ha servido para agrupar disciplinas que un griego difícilmente habría relacionado entre sí. El número de artes también ha variado bastante desde el siglo XVIII, pero el hecho de que hayan terminado confluyendo precisamente en siete difícilmente puede ser una casualidad: el viejo molde sirvió para legitimar el nuevo concepto de arte que estaba tomando forma precisamente en aquella época. Solo este molde puede explicar que hoy agrupemos disciplinas tan distintas como la poesía, la arquitectura o el cine, pero dejemos fuera del olimpo de las artes a otras experiencias claramente estéticas, como la gastronomía, la fotografía o los videojuegos.

Gracias al trivium y al quadrivium existe una línea de aprendizaje ininterrumpida que conecta a Platón con la era moderna. Durante cientos de años, las élites de cada época, los principales pensadores e intelectuales, estuvieron expuestos a un mismo ideal educativo que vinculaba la música con la aritmética, la astronomía y la geometría. Se trataba de una forma de música teórica, eso sí. Nada de torturar a los vecinos con la flauta. La música que conocían los estudiantes del quadrivium estaba escrita en tratados armónicos, abundaba en reflexiones numéricas y era más bien parca en melodías. Pero, gracias a su conexión con otras disciplinas matemáticas, incluso en la época de Isaac Newton, cualquier universitario tenía una base de teoría musical que hoy solo se puede encontrar en los conservatorios. Por desgracia, otros aspectos de la utopía platónica no resultaron tan influyentes. Su defensa de la educación de las mujeres y su crítica de la esclavitud cayeron en saco roto, también durante dos mil años.

Esta música teórica tuvo una fuerte influencia en el pensamiento estético griego. Para Pitágoras, los números podían desvelar la verdad oculta tras los fenómenos naturales, que era necesariamente una verdad ordenada, bella. El concepto de «armonía» vinculaba estas ideas. Pero la clave aquí es que ese «sonar bien» que hallaron los griegos no es un capricho subjetivo, ni un accidente cultural o una moda cambiante con el paso de los siglos. Los sonidos armónicos de hace 2600 años, o de hace 3400, siguen siendo los mismos que hoy rigen nuestra música, porque vienen determinados por el funcionamiento de nuestro oído. Los sonidos armónicos no pueden sino relacionarse a través de proporciones numéricas porque nacen de las propiedades físicas de una cuerda. Y por estos motivos, los mismos armónicos han terminado apareciendo allí donde los humanos han hecho música. La belleza sonora es una belleza numérica. Para entender por qué, debemos mirar una cuerda un poco más de cerca.

Capítulo 2
Las matemáticas de la voz

El mundo de donde uno viene se extinguió hace muchos años, pero lo que le queda de él es la apetencia de las voces, la avaricia de oírlas y de reconocerlas en el silencio de los libros […] y, sobre todo

el deseo de que las palabras que uno escribe adquieran en el alma y en la imaginación de quien las lea el sonido cálido e indudable de una voz.

Antonio Muñoz Molina, «El reino de las voces», recopilado en su libro Las apariencias^[35]

§. El despertar de la momia
«Una momia vuelve a “hablar” tres mil años después de su muerte». Parece la premisa de una novela de terror o, mejor, el comienzo de una peli de Indiana Jones. Pero, una vez más, resulta que la realidad se anticipa a la ficción. Este es el titular de una noticia que saltó a los medios a comienzos de 2020^[36]. Según un estudio publicado en Scientific Reports, unos investigadores de la Universidad de Londres habían logrado arrancar nuevos sonidos a la garganta reconstruida de una de las momias del Museo de Leeds^[37]. La momia elegida se llamaba Nesiamón. En vida había sido un importante sacerdote egipcio, la mayor autoridad religiosa durante el reinado de Ramsés XI (1106-1077 a. C.), y una de las personas más importantes de su corte. Sus funciones habían consistido probablemente en cantar y declamar salmos de adoración a Amón en el templo de Karnak de Tebas. Cuando murió, fue momificado de manera ritual y encerrado en un sarcófago con las palabras Maa kheru junto a su nombre, una frase que podría traducirse como ‘el de voz íntegra’ o ‘aquel cuya palabra es verdad’. Otras inscripciones similares revelaban su deseo de poder hablar después de la muerte, para poder dirigirse a los dioses como había hecho en vida. Quizás eso explica que fuese embalsamado con la boca abierta, como a punto de decir algo.

Esta circunstancia y el buen estado de conservación de su momia fue en parte lo que animó a los investigadores a intentar restaurar su voz. El viejo sacerdote llevaba doscientos años en el Museo de Leeds, y durante su estancia había participado ya en varios estudios científicos sin protestar. Gracias a estos trabajos previos, sabemos que Nesiamón era de origen nubio, un poco prognato, que sufría periodontitis y que murió con cincuenta y pico años, probablemente debido a una fuerte reacción alérgica. En 1941, la Luftwaffe nazi atacó la ciudad, dejando un reguero de bombas a su paso que destruyó casi toda la colección de antigüedades egipcias del museo. Su momia fue la única que sobrevivió —o lo que sea que hagan las momias— y ochenta años más tarde iba a ser la primera en poder contarlo. «Dado el deseo explícito de Nesiamón de ser oído en el más allá y vivir eternamente, el poder hacer realidad sus creencias mediante la síntesis de su función vocal nos permite entrar en contacto con el antiguo Egipto», aseguraron los investigadores de la Universidad de Londres^[38].

Dudo mucho que Nesiamón imaginase a unos científicos ingleses con rayos X e impresoras 3D cuando expresó sus anhelos sobre el más allá. En cualquier caso, su momia, como casi todos los cadáveres en la no-ficción, había permanecido en riguroso silencio durante tres milenios. Y no parecía que fuese a cambiar de idea hasta hace bien poco. En septiembre de 2016, el equipo de David Howard y John Schofield la sacó de su reposo en el museo para hacerle una tomografía de alta resolución. Escanearon su tracto vocal, desde la faringe hasta la boca, y utilizaron una impresora 3D para crear una copia idéntica. Después conectaron esa réplica a un sintetizador capaz de emitir vibraciones similares a las de las cuerdas vocales humanas. Por fin, la momia empezó a hablar, y dijo:

—Eeeeeeeeeh.

El resultado de la investigación fue una sola vocal, entre la a y la e, de un segundo de duración, con un tono descendente. Su sonido era parecido al balido de una oveja o a un bostezo con faringitis. Ojalá los guionistas se den prisa y podamos ver pronto a Nesiamón dando miedito en alguna superproducción de Hollywood. Quizás entonces empiece a proferir verdaderas maldiciones, nos desvele el lugar secreto donde yacen Marco Antonio y Cleopatra, o nos cuente si alguna vez tuvo espinillas la bellísima Nefertiti. Por ahora, tenemos que conformarnos con esa especie de «meeeh» resacoso y nasal, a medio camino entre el asco y la protesta. A Nesiamón le acababan de despertar de su larguísima siesta y parecía francamente disgustado.

Por fascinantes que sean los titulares de prensa, conviene ser cautos si queremos referirnos a la voz de la momia. Muchos científicos han manifestado su escepticismo ante el estudio de Howard y Schofield. La voz, eso que identificamos en cada persona como su sonido característico, es un fenómeno muy complejo que abarca desde aspectos puramente acústicos a otros más sutiles, como el modo en que cada cual usa y articula los sonidos de las letras de su propio idioma. Como explica Piero Cosi, especialista en habla en la Universidad de Padua^[39], «sin conocer una infinidad de otros factores […] como la capacidad pulmonar, la densidad y la rigidez de las cuerdas vocales y del resto de músculos involucrados, la absorción de los tejidos y un largo etcétera, nunca se podría llegar a una reconstrucción precisa». En ese sentido, los autores del estudio son razonablemente cautos en su artículo: tienen solo una vocal procedente de un tracto al que le falta el paladar blando. La lengua tampoco está completa, se encogió con el tiempo, probablemente por deshidratación. La laringe se encuentra en una postura bastante forzada —perfecta para embalsamamientos, no tanto para dar discursos—. Por todo ello, más que de voz hablan de la «salida acústica» del tracto vocal de la momia, sabiendo además que este tracto tiene ya poco que ver con la garganta flexible y húmeda del sacerdote que fue.

Vaya, si Nesiamón mañana despertara y, ansioso por adaptarse a las nuevas tecnologías, nos mandase una notita de audio por Whatsapp, seguiríamos sin poder reconocerle. Su famosa «eeeeh» nos daría, en el mejor de los casos, una idea aproximada. Pero incluso teniendo en cuenta estas limitaciones, resulta sorprendente que podamos obtener tanta información de la simple réplica de una garganta.

«Las dimensiones precisas del tracto vocal de un individuo dan lugar a un sonido único y característico», explican los autores del estudio^[40]. Esto es así, de hecho. Como el cuerpo de un violín, el tracto vocal de cada persona recoge los sonidos de sus cuerdas vocales y atenúa algunas frecuencias, mientras que potencia otras. Cada vez que abrimos la boca para decir algo, el sonido viaja por nuestro cuello y rebota en sus paredes, en nuestra cabeza y en nuestro cuerpo. Todos estos elementos actúan conjuntamente como si fuesen un ecualizador de alta precisión y dejan su huella distintiva en eso que llamamos «nuestra voz».

Lo interesante es que esa misma lógica aplica, no solo a los sonidos de la voz, sino a cualquier objeto que vibra dentro de nuestra atmósfera. La forma de un cuerpo —bien sea un violín, un mosquito o la garganta de un león— determina sus movimientos posibles, que a su vez definen su sonido. Los objetos grandes y masivos vibran siempre más despacio —emiten sonidos graves— mientras que los más pequeños y rígidos se pueden mover más rápido —emiten sonidos agudos—. Sumergidos en esta inmensa red de moléculas que cubre la Tierra, cada vibración que llega a nuestros oídos nos informa sobre las características físicas de aquello que la produjo: su tamaño, su forma, su rigidez, su volumen… Toda esta información se transmite a través del aire en forma de ondas de presión y, como veremos en este capítulo, nuestro oído es un experto en interpretarla.

§. El sonido de una cuerda
Decía el compositor Murray Schafer^[41], autor de El paisaje sonoro, que «escuchar es una forma de tocar a la distancia». No solo se trata de una preciosa evocación. Como las mejores metáforas, también nos permite intuir un trocito de la realidad.

Cada vez que algo vibra, su movimiento se transmite a nuestro oído a través del aire en forma de ondas de presión. Esto no tiene ningún misterio: significa que, cuando algo las empuja, las moléculas del aire se aprietan entre sí o se separan ligeramente y ese empujón se va transmitiendo de unas a otras.

Sucedería lo mismo si un 31 de diciembre en la Puerta del Sol, con todo el barullo de gente, un turista borracho y bailón le diese un empujón a la persona que tiene al lado. Sin querer, esta persona pierde el equilibro y empuja a la siguiente, que se desplaza en la misma dirección encontrando todavía más gente, que a su vez empujan a otros, etcétera. De este modo tan simple, el empujón se propaga cada vez más lejos del turista borracho. Dada la loca afluencia de gente, la ola humana sigue su camino imparable desde el centro de Madrid hasta las afueras de Cuenca donde, sin haber hecho nada para merecerlo, un pobre peatón acaba recibiendo el empujón a distancia de un guiri en la Puerta del Sol. El ejemplo puede parecer una exageración, pero lo cierto es que si ampliásemos el movimiento de las moléculas del aire a escala humana, cada metro recorrido por una onda sonora equivaldría a unos diez mil kilómetros de distancia: la separación que hay entre Madrid y Seúl, más o menos.

Así, de manera bastante literal, los objetos vibrantes tocan nuestro oído. Es la misma idea que evocaba Neruda, en un famoso verso de su «Poema XX»: «Mi voz buscaba el viento para tocar su oído». Después de todo, resulta que era una descripción sorprendentemente ajustada a la realidad.

Si la vibración de un objeto es repetitiva o periódica —pongamos que el turista, además de bailón es un poco cansino y se dedica a empujar una y otra vez, rítmicamente, a los que tiene al lado—, en el aire aparecerán una serie de olas separadas a una distancia regular conocida como longitud de onda. La frecuencia, medida en hercios, es el número de olas que se suceden en un punto del espacio por segundo, es decir, el número de empujones que llegan a nuestro oído en ese tiempo. Cuanto mayor es la frecuencia, más agudo resulta el sonido. En cambio, el volumen de un sonido depende principalmente de la amplitud de la onda, esto es, de la intensidad del empujón, que hará que las moléculas se aprieten más o menos entre sí cada vez que pase una nueva ola. Al final de la cadena de empujones se encuentra la membrana de nuestro tímpano, un barómetro de altísima precisión, capaz de detectar cualquier cambio de presión con una resolución de miles de empujones por segundo.

La cuestión es que la forma precisa de esa onda, el ritmo y la intensidad de los empujones que llegan a nuestro oído, nos aporta muchísima información sobre el objeto que lo produjo. Podemos adivinar si el turista era flaco, gordo, alto o musculoso, gracias únicamente a los ritmos de su baile. De este modo, y de manera figurada, el sonido nos permite palpar los objetos que se mueven en la distancia. Como si tuviésemos manos telescópicas, podemos adivinar la forma de aquello que suena sin verlo, porque la estructura y la geometría de cada objeto determina cómo puede vibrar, a qué frecuencias, con qué amplitud.

El ejemplo más sencillo de cómo la física de un objeto define su sonido es el de una cuerda. Pongamos que tenemos una guitarra y la pulsamos con el dedo. Al soltarla, la cuerda empezará a oscilar rápidamente, de forma aparentemente desordenada. Pero solo aparentemente. En realidad, su movimiento está perfectamente definido por sus condiciones físicas —o, dicho técnicamente, por sus «condiciones de contorno»—. La cuerda no se puede mover de ninguna manera que implique mover sus extremos, por ejemplo, ya que estos están firmemente atados al instrumento. Tampoco se puede mover de maneras irregulares o asimétricas. Esto implicaría saltos bruscos en la tensión y la velocidad, y a la física no le gustan las discontinuidades. Incluso si atacamos la cuerda con una púa afilada o la pellizcamos cruelmente por uno de sus extremos, los esfuerzos tienden a repartirse rápidamente. Al cabo de un rato, la tensión se iguala, las esquinas desaparecen. El movimiento se estabiliza y se convierte en una combinación de los llamados «modos normales», las formas de vibrar «cómodas» para una cuerda, los movimientos que respetan sus simetrías.

En la ilustración se puede ver la pinta que tienen esos modos de vibración. Todos son suaves, simétricos, con dos puntos fijos en los extremos. Todos se parecen entre sí, salvo por un factor de escala, como si cada uno tuviese una vuelta más que el anterior. Por eso, a menudo se dice que la cuerda vibra por mitades, por tercios, por cuartos, etcétera. Es una manera de explicar que, en cada modo, el movimiento de la cuerda se repite igual, solo que en un espacio más pequeño.

¿Qué tiene todo esto que ver con el sonido? Pues bien, lo crucial es que, debido a su tamaño reducido, cada uno de esos modos tiene una frecuencia característica diferente, un ritmo que le es propio. Como la onda viaja siempre a la misma velocidad, cuanto más pequeñas son las oscilaciones —esos ojales del dibujo en los que parece dividirse la cuerda—, más rápido es su camino de ida y vuelta. O dicho en físico: la frecuencia del sonido es inversamente proporcional a su longitud de onda. Por este motivo, cuando la cuerda vibra por mitades, tercios, cuartos, etcétera, la frecuencia que produce es el doble, el triple y el cuádruple que la de la cuerda entera.

El primer modo, correspondiente al movimiento de la cuerda sin divisiones, oscilando como una comba, se denomina modo fundamental. Su frecuencia es la más grave de todas, la que más se oye y la que determina la nota de la cuerda tal y como la percibe nuestro oído. Los demás modos forman lo que se conoce como su serie armónica —la palabra preferida de Pitágoras, otra vez—.

Aunque resulte difícil percibirlo a simple vista, cuando una cuerda suena, todos estos movimientos se producen a la vez. La vibración es tan rápida que puede parecer algo desordenada. Pero en realidad se trata de una coreografía numérica donde se combinan multitud de modos normales, hermosamente simétricos. El sonido de la cuerda, a su vez, aglutina las frecuencias que producen dichos modos, combinadas en el aire en distintas proporciones. Las relaciones numéricas entre los sucesivos armónicos del sonido, por tanto, no son fruto de la casualidad ni el capricho estético de algún dios matemático: son resultado de las simetrías de la cuerda y sus formas posibles de vibrar. Cada nota de un violín, de una guitarra o de un arpa, está formada por la suma de un montón de frecuencias. Pero todas ellas tienen una propiedad muy especial: están relacionadas por números enteros.

Este es el fenómeno que descubrió Pitágoras y que le llevó a rendir culto a las matemáticas durante el resto de su vida. Claro que él no lo habría expresado así. Nunca describió con tanto detalle el movimiento de una cuerda, y difícilmente podría haber sabido que su sonido era una suma de muchas frecuencias distintas. La misma noción de «frecuencia» es al menos dos mil años posterior a su muerte.

En cambio, los hallazgos de Pitágoras se basaron en sus experimentos con el monocordio, un instrumento que le permitía variar la longitud de una cuerda mediante una serie de cuñas o puentes móviles. Midiendo distintas proporciones, pudo establecer lo que ya sabemos, que las cuerdas relacionadas por números enteros producen sonidos consonantes, sonidos que «encajan» entre sí. Ahora, además, podemos explicar por qué: cuando se da esta relación numérica, las frecuencias parciales de las dos cuerdas coinciden en gran medida, sus series armónicas —los sonidos más agudos que son múltiplos de la fundamental— en gran parte se solapan.

Para entenderlo en detalle, volvamos al ejemplo del primer capítulo, con las dos cuerdas de 20 y de 10 cm. Supongamos que la primera produce frecuencias que son múltiplos de 1 kilohercio (kHz), su sonido fundamental. Sus armónicos serán 2 kHz, 3 kHz, 4 kHz, etcétera. La segunda cuerda, al ser más corta, sonará más aguda. ¿Cuánto más aguda? Exactamente el doble, puesto que es la mitad de larga. En este caso, sus frecuencias serán 2 kHz, 4 kHz, 6 kHz, etcétera. Pero todas estas frecuencias ¡ya estaban sonando en la primera cuerda! De alguna manera, la segunda cuerda solo las refuerza, los sonidos de ambas «encajan» —consuenan— porque en el fondo están hechos con los mismos ingredientes. Tanto es así que, si hacemos sonar una de las cuerdas en presencia de la otra, la segunda se pondrá a vibrar por simpatía ¡sin que nadie la pulse! El sonido es un movimiento que se contagia. Por eso dos objetos pueden bailar a distancia sin tocarse, siempre que lo hagan siguiendo el mismo ritmo.

§. El físico ambulante y los sonidos de arena
La cuerda es el modelo más sencillo de un objeto que produce una vibración armónica. No es el único. Nuestra voz, el canto de las aves y los instrumentos de viento son otros ejemplos de sonidos armónicos. A ojos de un físico, de hecho, una flauta no es muy diferente a un violín. La flauta consiste en un tubo alargado y el violín suena gracias a sus cuerdas, que también son alargadas. Ambos son objetos unidimensionales, parecidos a una línea más o menos y, como tales, comparten las mismas simetrías. Por eso sus modos normales —sus formas «cómodas» de moverse— son también muy parecidos.

Desde este punto de vista, la mayoría de los instrumentos de una orquesta podrían considerarse «cosas alargadas». Los violonchelos, las arpas, el piano —cosas alargadas en una caja—, los saxofones —cosa alargada con cono al final—, las trompas —cosas alargadas enrolladas—, el órgano incluso —cosas alargadas por todas partes, llenando una catedral—… Cabe recordar aquí que los físicos son los célebres inventores de las vacas esféricas en el vacío, otro objeto muy simétrico. Así que, según para qué, tampoco hay que hacerles demasiado caso. En cualquier caso, este inventario acústico de espaguetis se detiene cuando uno llega a la zona de la percusión. Aquí aparecen objetos que confunden un poco más a los físicos. El gong, las campanas, los timbales o incluso unas maracas, son objetos multidimensionales, con simetrías y movimientos en varios ejes y direcciones. Sus modos normales y, por tanto, su sonido, tienen características muy diferentes a las de sus compañeros de orquesta.

A finales del siglo XVIII, Ernst Chladni se dedicó a estudiar este tipo de objetos. Este científico alemán, hijo de un abogado, abandonó la carrera de derecho en cuanto falleció su padre para dedicarse «al estudio de la naturaleza, que siempre fue», según sus palabras, su «segunda y, por tanto, más querida ocupación^[42]». Como tantos otros físicos, Chladni era además un gran aficionado a la música, y este vicio le llevó a convertirse en el padre de la acústica moderna. Entre otras aportaciones, estudió las vibraciones de los cuerpos elásticos y midió la velocidad del sonido a través de distintos gases. Curiosamente, también se le considera el padre de la meteorítica, la ciencia que estudia los meteoritos, por atreverse a sugerir que aquellos extraños pedruscos chamuscados procedían probablemente del espacio^[43]. Hoy, un cráter de la Luna lleva su nombre en reconocimiento a esta aportación.

En 1785, Chladni emprendió una serie de experimentos en los que hacía vibrar distintas planchas de cristal y de metal. Esperaba poder comprender su sonido partiendo del modelo ya conocido de una cuerda. Utilizó una lámina de latón y consiguió obtener frecuencias que eran múltiplos, no ya de números enteros como en el caso de la cuerda (1, 2, 3, 4…), sino de esos mismos números elevados al cuadrado (1, 4, 9, 16…). Sin embargo, encontró también otras frecuencias extrañas (1,59, 2,14, 2,30…), con relaciones numéricas mucho más difíciles de explicar.

Chladni decidió que para entender de dónde salían aquellos sonidos, necesitaba describir el movimiento básico de las superficies que los producían, necesitaba poder «ver» lo que estaba pasando y, para ello, ideó un ingenioso experimento. Cubrió una de sus planchas de metal con arena y empezó a frotarla por uno de sus lados con ayuda de un arco de violín. La lámina empezó a sonar y su vibración hacía que la arena saltase violentamente sobre su sitio. Pero lo sorprendente es que, al alcanzar ciertas frecuencias, todas sus partículas se reordenaban como por arte de magia y en un instante dibujaban patrones hermosamente simétricos sobre la lámina. «Imagina mi asombro al ver este fenómeno que nunca nadie había visto antes^[44]» escribiría el físico casi veinte años después.

Chladni, 1802, Die Akustic. Wellcome Collection.

En realidad es probable que Chladni no fuese el primero en observar este fenómeno. Leonardo da Vinci lo describió antes que él en sus libros de notas^[45]. Le llamó la atención al golpear una mesa cubierta de polvo. A causa de la vibración, las partículas de suciedad se reordenaron repentinamente y formaron un patrón extrañamente geométrico. También Galileo Galilei describió un suceso parecido en un pasaje de su Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, el famoso libro prohibido donde defiende que la Tierra se mueve alrededor del Sol. En cualquier caso, Chladni fue el primero en analizar sistemáticamente este fenómeno y en describirlo de manera precisa a finales del siglo XVIII. Por eso, las llamadas «figuras de Chladni» están bautizadas en su honor.

Los preciosos dibujos de arena que descubrió el físico alemán nos desvelan los patrones de vibración de una superficie plana en función de su forma; sea cuadrada, circular o algo más compleja, como la del cuerpo de un violín. Cada vez que una lámina consigue vibrar de manera estable en uno de sus modos normales —de nuevo, sus formas cómodas de moverse—, las partículas de arena se acumulan en los puntos de la superficie donde la vibración es menor, también conocidos como nodos. La localización de estos nodos no es arbitraria: trazan líneas que dividen a la lámina de manera que su tensión sea homogénea. Son similares a los puntos que dividían a la cuerda en mitades, tercios, cuartos, etcétera, solo que distribuidos en dos dimensiones. Por eso, sus dibujos resultan siempre tan simétricos, tan perfectamente geométricos, tan bonitos.

Si tienes una pantalla con conexión a Internet cerca, te recomiendo encarecidamente buscar estas figuras en YouTube. Y si te vienes muy arriba y otro día te da por replicar el experimento, te lo aconsejo, ¡no hay nada como verlo en directo! Hace un par de veranos, unos amigos y yo asaltamos una tienda de bricolaje para montar nuestra propia fábrica de figuras de Chladni. Tardamos un par de tardes en dar forma al dispositivo perfecto pero, como primera prueba de concepto, bastó con anclar una lámina de aluminio sobre una varilla de metal y espolvorear un poco de sal por encima. Para desgracia de mis vecinos, se me ocurrió probar a cantar distintas frecuencias apuntando hacia la lámina, con mi voz de soprano gallinácea. Hasta que, de repente, sucedió. Al llegar a una nota determinada, la sal empezó a saltar sobre su sitio, como el agua de una olla que hubiese empezado a hervir, y en un instante vimos aparecer una serie de patrones, de líneas y curvas, un poco desdibujadas. Por un momento, me convertí en una poderosa hechicera, moviendo cosas en la distancia sin tocarlas, dibujando extrañas figuras geométricas solo con el poder de mi voz.

Desde su descubrimiento, Chladni se dedicó a compartir esta extraña visión con sus contemporáneos. Tras abandonar su carrera legal, se había convertido en un erudito autónomo, sin una universidad que lo acogiera ni un sueldo al que atenerse. Por ello, pensó que podría vivir dando charlas como «un artista que, sabiendo hacerse publicidad, está menos ligado a un lugar específico y tiene más oportunidades de ser bien recibido y ganarse la vida en casi todas partes^[46]». Acompañado por sus placas y algunos instrumentos musicales de su invención, Chladni se convirtió en una prematura estrella de rock, siempre a la conquista de nuevos escenarios. Viajó por toda Europa haciendo demostraciones y dando conferencias sobre acústica ante todo tipo de públicos. Un verdadero físico ambulante.

Entre gira y gira, el físico alemán publicó Die Akustik, un tratado donde recogió sus descubrimientos. La edición francesa de 1809 está dedicada a «Napoleón el Grande, quien se ha dignado a aceptarla tras ver los experimentos fundamentales». Un año antes, Chladni había estado en París, presentado sus hallazgos ante la Academia de Ciencias de Francia. Aquel espectáculo de sonidos visibles y visiones sonoras tuvo tal acogida que el mismísimo emperador lo hizo llamar a sus apartamentos en las Tullerías. «Napoleón mostró mucho interés en mis experimentos y me pidió, como un experto en cuestiones matemáticas, que explicase todo en detalle^[47]».

Bonaparte era, de hecho, un tipo bastante friki en cuestiones científicas, incluso para el estándar progresista e ilustrado de su tiempo. En 1796, cuando aún era un joven general de la República y sus tropas saquearon Pavía, dio orden de salvaguardar las casas de los profesores universitarios —entre ellos Alessandro Volta, el inventor de las pilas que da nombre a su voltaje—. En esta ocasión, declaró que la investigación de Chladni le interesaba personalmente, y ordenó pagar seis mil francos para que tradujera su obra al francés. Traite d’acoustique se convertiría en un libro de referencia que dio lugar a toda una rama de la física. Resulta poético pensar que la acústica nació sobre un escenario, el de las charlas de Chladni, que le ganaron el favor del público y la generosa propina de un emperador.

Además del pago personal a Chladni, Napoleón ofreció un premio de tres mil francos a quien consiguiera formular una teoría matemática de aquellos patrones de sonido. Si bien Chladni había conseguido estudiar el fenómeno desde un punto de vista experimental, la parte teórica se le había resistido. Todo lo que había encontrado era una fórmula aproximada que permitía calcular las frecuencias de una lámina circular. Pero sus predicciones no eran exactas, ni se podían generalizar a otro tipo de superficies.

En 1816, el premio de la Academia de Ciencias fue otorgado a Sophie Germain por un ensayo sobre la teoría de las superficies elásticas. Germain era matemática y esto, en el siglo XIX, además de constituir una rara excepción, implicaba que su formación había sido autodidacta. Cuando tenía trece años, estalló la Revolución francesa y ella se vio obligada a refugiarse por largo tiempo en su casa. Fue así como descubrió los libros de matemáticas de la librería de su padre. Mientras Francia cortaba cabezas al otro lado de la ventana, Germain devoraba uno a uno aquellos tratados llenos de fórmulas y números, hasta que llegó un punto en que tuvo que aprender también latín y griego para terminar de entender los que le faltaban.

Cuando cumplió dieciocho años y se inauguró en París la Escuela Politécnica, le fue denegado el acceso por ser mujer. Sin embargo, el nuevo sistema educativo hacía accesible los apuntes de las conferencias «a cualquiera que los solicitara». También requería que los alumnos enviaran comentarios después de las lecciones. Fue así como Germain se puso en contacto con Joseph-Louis Lagrange, uno de los físicos más destacados de la época. Empezó a dirigirle sus trabajos bajo la firma de Antoine Auguste Le Blanc para evitar —explicaría ella años más tarde— «el ridículo asociado a una mujer científica^[48]». Pero cuando Lagrange se percató de la inteligencia de aquel misterioso alumno, solicitó conocerle en persona y la tapadera de Germain quedó al descubierto. Por suerte, Lagrange no cambió de idea respecto a su talento y desde entonces se convirtió en su tutor.

Nadie le dio permiso, ni sus padres ni la universidad. Pero, con el tiempo, Germain terminó convirtiéndose en una importante matemática. Hizo contribuciones a la teoría de números e intercambió correspondencia con algunos de los principales científicos de su tiempo. El premio de la academia de 1816 avaló una larga carrera de esfuerzos. Germain tenía entonces cuarenta años y nunca había podido ejercer su profesión debido al machismo de la época. Sin embargo, su teoría de las membranas no estaba completa, en parte porque adolecía de la falta de formalidad de su educación. La matemática había conseguido establecer las ecuaciones que definían el problema y había hecho importantes avances hacia su resolución. Pero también había cometido algunos errores por el camino. Después de aquel intento, pasarían más de tres décadas antes de que se obtuviera una solución completa del problema, y solo para el caso más sencillo de una membrana circular.

La vibración de una superficie resultó ser mucho más compleja de lo que entonces cabía esperar. Como la cuerda, una lámina también tiene modos normales y un sonido compuesto por multitud de frecuencias. Pero estas ya no son armónicas, ya no tienen una relación de números enteros sencillos (1, 2, 3, 4…), sino otras más raras, con infinitos decimales, de las que no le gustaban a Pitágoras. Si tomamos, por ejemplo, una membrana circular con un sonido fundamental de 1 kHz, las frecuencias de sus modos serán, aproximadamente: 1,59 kHz, 2,14 kHz, 2,30 kHz, 2,65 kHz, 2,92 kHz, 3,16 kHz… Números sin una relación evidente, que no parecen seguir ningún tipo de patrón. Números «feos», en definitiva. Y, en correspondencia, su sonido combinado es muy distinto al de una cuerda, más ruidoso, menos definido. Se diría —Pitágoras, sin duda, lo diría— que nuestro oído tiene una afición especial por los números sencillos y las ondas bien ordenadas.

De hecho, si uno piensa en los distintos instrumentos musicales, es posible que observe una curiosa brecha. Las flautas, los violines, los pianos, las guitarras, los saxofones… las «cosas alargadas» se utilizan siempre para dibujar melodías. Son instrumentos, se dice, de «tono bien definido». En cambio, los instrumentos con otro tipo de formas, como el gong, los platillos, el bombo, las maracas…, se emplean generalmente para marcar el ritmo, son los reyes de la percusión.

El tono es uno de los ingredientes fundamentales de la música porque es la materia prima de las melodías. Aunque pueda parecer una definición un tanto circular, el tono es la propiedad de los sonidos que podemos cantar. Imagina que escuchas Cumpleaños feliz tocado por un violín, o por un piano, y alguien te pide que imites la melodía con tu voz. Más allá del talento musical de cada cual, es probable que la tarea no te plantee demasiados problemas. Imagina, en cambio, que alguien da unos golpes en una puerta y te pide que los cantes. Puedes intentar chasquear la lengua, carraspear, darte golpes en la cabeza o decir «toc, toc», pero, realmente, no puedes «entonar» el sonido de la puerta con tu voz porque ese sonido, simplemente, no tiene «tono». Del mismo modo, si intentas cantar el Cumpleaños feliz golpeando una puerta, solo lograrás hacerte daño en los nudillos. La diferencia entre el sonido de la puerta y el de tu voz es una de las claves que permiten dotar de emoción a la música y guarda una estrecha relación con los números sencillos que se encuentran en el sonido de una cuerda, pero no en el de una membrana.

§. Helmholtz y el ruido
A mediados del siglo XIX, Hermann von Helmholtz se dedicó a estudiar en detalle cómo es que percibimos la diferencia entre estos dos tipos de sonidos, los tonos y los ruidos. Es el tema con que abre su libro maestro, Sobre las sensaciones de tono como base fisiológica para la teoría de la música —un título terriblemente largo que da aún más miedo en su idioma original^[49]—:

Un tono musical llega al oído como un sonido perfectamente imperturbable y uniforme que permanece inalterado mientras dura, y cuyos componentes no cambian. A esto corresponde un tipo de sensación simple y regular, mientras que en un ruido se mezclan irregularmente varias sensaciones sonoras de manera confusa.

Helmholtz argumentó que la percepción del tono se relaciona con la periodicidad de una onda sonora. Cuando las variaciones en la presión del aire se repiten a intervalos regulares de tiempo —centenares de veces por segundo—, nuestro oído es capaz de discernir una nota. Si las repeticiones son más rápidas, más agudo resulta ese tono. Pero, además, esa periodicidad es consecuencia de que los componentes del sonido sean armónicos. Todos los modos de una cuerda tienen frecuencias que son múltiplos de una fundamental. Por eso, al sumarse, todos acaban coincidiendo cada cierto tiempo. Son como piezas de Lego basadas en el mismo patrón —1 cuadradito, 2 cuadraditos, 3, 4…—: al juntarlas, todas encajan. Si esas mismas piezas fuesen proporcionales a las frecuencias de la lámina circular —1 cuadradito; 1,59 cuadraditos; 2,14 o 2,30, etcétera, con sus infinitos decimales— no habría manera de unirlas entre sí, nunca podrían coincidir sin dejar huecos.

En el extremo opuesto, los ruidos, tal y como los describió Helmholtz, son sonidos compuestos por multitud de frecuencias sin ninguna relación entre sí, o con relaciones numéricas «feas». Resultan cambiantes, rugosos, impredecibles, como el rumor del tráfico o el flashazo de un platillo. No hay ningún tono que percibir porque no producen ningún patrón repetitivo en el aire, ni lento ni rápido. Y luego existen casos intermedios, sonidos que son periódicos, salvo por alguna pequeña imperfección: coinciden con la serie armónica solo aproximadamente o tienen alguna frecuencia aislada que se desvía del patrón. Este sería el caso de una nota tocada por un xilófono o por una campana, por ejemplo. Ambos tienen un tono reconocible, una nota bien definida que nos permite tocar Cumpleaños feliz o cualquier otra melodía con ellos. Sin embargo, la textura de su sonido, a veces puede resultar un poco áspera, menos homogénea o dulce que la de una flauta, por ejemplo.

Como la mayoría de los personajes de este libro, Helmholtz era un melómano empedernido. Había tocado el piano desde su infancia y había crecido en una casa, un país y una época donde la música jugaba un papel protagonista. Sus padres pensaban que tocar un instrumento era una parte importante de su formación. Por eso, cuando fue a estudiar a la universidad, el joven Hermann se llevó su piano consigo, y su padre le advirtió de que no permitiese que «su gusto por la sólida inspiración de la música alemana y clásica» se viera viciado «por el brillo y el toque de las nuevas extravagancias italianas^[50]». La versión siglo XIX de «hijo mío, ¡cuidado con el perreo!», solo que entonces la ópera italiana debía de ser el equivalente al reguetón. Tampoco parece que Helmholtz fuese especialmente manipulable en ese sentido. Sabemos, por las muchas cartas escritas a su familia y amigos a lo largo de toda su vida que, para él, la música era un placer íntimo y personal, casi tierno. Según sus propias palabras, disfrutaba de la música más que nunca cuando la tocaba solo para sí mismo^[51].

Más allá de sus gustos musicales, Helmholtz fue uno de esos tipos a los que la palabra «multidisciplinar» se les queda corta. El saber enciclopédico lo clasifica como —coge aire— físico, musicólogo, psicólogo, investigador en oftalmología, óptica y meteorología, fisiólogo, anatomista, filósofo, profesor de universidad y naturalista, entre otras cosas. Aunque estuvo interesado desde muy joven en la física, sus circunstancias familiares hicieron que se formase primero como cirujano militar. Más tarde, su interés por la belleza, por las artes y por la música le llevó a investigar cuestiones muchísimo más amplias, desde la fisiología del oído y los ojos, hasta la física de la luz y del sonido. Por el camino, revolucionó la oftalmología gracias a la invención del oftalmoscopio, midió la velocidad de transmisión de los impulsos nerviosos —unos noventa kilómetros por hora—, sentó las bases experimentales de la psicología de la percepción y consolidó la ley de la conservación de la energía, que aún hoy se considera uno de los pilares de la física. También le sobró un rato para escribir sobre electromagnetismo, sobre mecánica de fluidos, sobre el metabolismo de los músculos, para investigar el origen del sistema solar y la edad de la Tierra y para hacer diversas aportaciones en filosofía de la ciencia y en estética. Helmholtz, queda claro, no tenía Twitter. Su trayectoria vital y su excelencia en todos los campos que se atrevió a indagar fueron legendarias, ya en su tiempo. Hoy, la mayor asociación de centros de investigación de Alemania lleva su nombre.

Lo curioso de Sobre las sensaciones del tono es que se presenta en su introducción como un libro de estética y teoría de la música^[52]:

En el presente trabajo, se hará un intento por conectar las fronteras de dos ciencias que, aunque unidas por muchas afinidades naturales, han permanecido hasta ahora separadas. Me refiero a las fronteras de la acústica física y fisiológica, por un lado, y la ciencia de la música y la estética por otro.

Toda la tercera parte de este tocho de seiscientas páginas está dedicada por completo a hablar de armonía, de estilos musicales, de escalas y acordes, de etnomusicología, con un detalle y un nivel de conocimientos que puede resultar sorprendente en una época donde prima la especialización del talento. No en vano, su libro tuvo un impacto enorme entre todos los músicos de la época^[53].

A pesar de semejante despliegue, en las conclusiones, Helmholtz se define humildemente como un mero amateur en materia musical, y circunscribe su aportación al ámbito de la ciencia. A fin de cuentas, lo que él quería dilucidar era el motivo por el que algunos sonidos nos suenan bien y otros no tanto. «¿Qué tienen que ver las consonancias con los números?» —escribe en su libro— o ¿por qué, como decía Thelonious Monk, parece que todos los músicos son, en su subconsciente, matemáticos?

El mismo fenómeno que fascinó a Pitágoras y le llevó poco menos que a fundar una religión seguía moviendo a este científico veinticinco siglos más tarde. Con una diferencia importante: Helmholtz era un tipo de su tiempo, y las coincidencias numéricas o los caprichos de dioses matemáticos ya no le bastaban. Él necesitaba averiguar de manera precisa cómo somos capaces de reconocer esos números, de dónde proviene su supuesta belleza. Para ello, estaba dispuesto a hurgar hasta el fondo de nuestros oídos^[54]:

La relación de los números enteros con las consonancias musicales ha sido considerada desde siempre como un misterio maravilloso, lleno de profundo significado. Los mismos pitagóricos lo utilizaron en sus especulaciones sobre la armonía de las esferas. Desde entonces, ha sido a veces el objetivo y a veces el punto de partida de las reflexiones más extrañas e intrépidas, fantásticas o filosóficas. Hasta que, en tiempos modernos, la mayoría de los investigadores adoptaron la teoría, aceptada por el propio Euler, de que la mente humana obtiene un placer peculiar en las proporciones simples porque puede entenderlas mejor. Pero no se investigó cómo es que la mente de un oyente no versado en física, que ni siquiera es consciente de que los tonos musicales dependen de vibraciones periódicas, consigue reconocer y comparar las proporciones de los números presentes en esos tonos. Mostrar los procesos que tienen lugar en el oído, hacer sensible la diferencia entre consonancia y disonancia, será uno de los principales objetivos en la segunda parte de este trabajo.

En ese sentido, el libro no presenta grandes descubrimientos, ni innovaciones demasiado rompedoras. El mismo Helmholtz así lo reconoce en la introducción. Su aportación radica en una capacidad extraordinaria para tender puentes entre disciplinas con conocimientos tan distintos —hoy casi diríamos que opuestos—. Sobre las sensaciones de tono respira ese saber universal que tan a menudo se echa de menos hoy en día. «Los horizontes de la física, la filosofía y el arte han estado demasiado separados en los últimos tiempos», argumenta su autor, que salta con total libertad de cuestiones científicas y matemáticas a problemas estéticos de composición. Tan pronto te disecciona un oído como inventa un resonador acústico, o se entretiene explicando los fundamentos teóricos de una escala musical árabe. Hacía falta un médico, físico, pianista, inventor, filósofo, para escribir algo así.

Volviendo a la cuestión que plantea Helmholtz, ¿cómo es que nuestro oído consigue reconocer las frecuencias presentes en los sonidos? ¿Cómo es posible que seamos sensibles, sin saberlo, a las relaciones numéricas que existen entre las frecuencias de una cuerda? La respuesta está en un caracol que vive en nuestro oído: la cóclea.

De hecho, casi todos los sonidos que escuchamos en nuestro día a día son los que denominamos sonidos complejos. Esto significa que están compuestos por varias frecuencias sumadas en distintas proporciones. Probablemente te suene haber oído que la luz blanca del sol contiene todos los colores del arcoíris, o que los píxeles de la pantalla de tu móvil están formados por pequeñas luces de color rojo, verde y azul que se iluminan con distinta intensidad para dar lugar a los demás colores. Pues bien, con el sonido pasa lo mismo: casi todas las ondas que llegan a nuestro tímpano pueden descomponerse en otras más simples, con una frecuencia única, conocidas como ondas «sinusoidales». Es el tipo de vibración más sencilla que puede haber, similar al movimiento de un péndulo o al de un columpio.

No es que los sonidos compuestos, en sí, sean más complicados que otros. En realidad, el movimiento de las partículas del aire es siempre igual de sencillo: solo se aprietan o se separan, más despacio o más rápido, con más o menos intensidad. Su estado se puede describir con un simple listado de números —los valores de la presión en el tiempo—, o con una línea arrugada, como la que muestran algunos programas de audio cuando reproduces una canción. El surco de los discos de vinilo presenta esos mismos valores numéricos, grabados a distinta profundidad, para que la aguja del tocadiscos pueda recorrerlos. Como explica Helmholtz, «cuando llamamos “compuestas” a las vibraciones producidas por un instrumento musical, esa “composición” no existe más allá de nuestra percepción auditiva, o más allá de la teoría matemática». Pero el hecho es que, siempre que una vibración llega a nuestro oído, este se empeña en descomponerla en una suma de frecuencias puras.

Ese proceso de descomposición es lo que en matemáticas se conoce como un análisis de Fourier o análisis armónico. Es lo que hacen los «analizadores de espectros», y puedes verlo en tu propio móvil bajándote una aplicación, o en Internet, buscando Chrome Music Lab —un laboratorio virtual de Google que te permite explorar distintas propiedades del sonido de manera interactiva—. Los espectros, en este caso, no tienen nada fantasmagórico. Es simplemente el nombre técnico que se le da a la composición en frecuencias de una onda, algo así como la receta de un sonido. Si quisiésemos fabricar sintéticamente la sonoridad de una vocal o de un clarinete, por ejemplo, podríamos tomar esta receta e ir sumando frecuencias puras con distinta intensidad hasta obtener un resultado parecido.

Estas frecuencias se convierten así en los componentes básicos de cualquier sonido tal y como lo percibe nuestro oído. Son los «sonidos primarios», como los colores verde, azul y rojo que forman los píxeles de tu pantalla, pero con muchos más colores distintos donde elegir. Sin embargo, es muy difícil encontrarlos de manera aislada en la naturaleza. Los tonos puros son una rareza, una creación de laboratorio equivalente a la luz de un láser o el agua destilada. Hasta el siglo XVIII, probablemente, ningún ser humano había escuchado uno. Entonces, en 1711, un trompetista llamado John Shore inventó el diapasón, ese objeto metálico en forma de U que los músicos utilizan a menudo para afinar. El diapasón es una herramienta única por su capacidad de producir uno de los sonidos más puros y estables que existen. O lo fue hasta la invención de los sonidos electrónicos y, más tarde, digitales. Hoy ya no es tan raro oír tonos puros. Si alguna vez has ido al médico para que te revisen la audición, es probable que te hayas tenido que esforzar por percibir más de uno, y todos ellos agudísimos.

¿Cómo es posible entonces que nuestro oído sea sensible a este tipo de frecuencias? ¿Cómo funciona el espectrógrafo que todos tenemos en las orejas? Pues bien, es un proceso bastante complejo, pero la magia sucede principalmente en un órgano llamado «cóclea», que actúa como el gran clasificador de frecuencias de nuestro oído.

Cada vez que un sonido se encuentra con tu oreja, la presión del aire hace vibrar el tímpano y este, a su vez, empuja una serie de huesecillos que transmiten su movimiento al oído interno^[55]. Al final de esta cadena se encuentra la cóclea, una cavidad enrollada sobre sí misma con forma de espiral. De ahí viene su nombre, precisamente: κοχλίας o kokhlias significa ‘caracol’ en griego. La cóclea está recorrida por una membrana, que es más rígida en un extremo que en el otro. Gracias a esta peculiaridad, puede vibrar con distintas frecuencias en distintos puntos de su recorrido. Las zonas más rígidas, a la entrada de la cavidad del caracol, resuenan con frecuencias más agudas. Mientras que la zona final de la cóclea vibra por simpatía cuando detecta frecuencias más graves. Así, cada trocito de la membrana basilar funciona como una cuerda resonante, capaz de vibrar sin que nadie la pulse, con solo percibir su propia frecuencia. Sobre su superficie, una serie de células con forma de pelillos convierten su movimiento en impulsos nerviosos. Finalmente, estos impulsos viajan hasta nuestro córtex auditivo, et voilà, ¡oímos!

Esta, evidentemente, es una versión simplificada. Helmholtz, en su libro, le dedica más de veinte páginas a este mismo tema. También compara la cóclea con su instrumento predilecto^[56]:

Supongamos que pudiéramos conectar cada cuerda de un piano con una fibra nerviosa, de tal manera que esta fibra se excitara y experimentara una sensación cada vez que la cuerda vibrara. […] De esta manera, cada tono parcial sería percibido exactamente de la misma manera en que lo percibe nuestro oído.

De alguna manera, la cóclea funciona así. Es un instrumento sutil y poderoso, con miles de células con las yemas levantadas, dispuestas a atrapar cualquier vibración que les pase por encima y les haga cosquillas. Gracias a ella, podemos desenredar sin ningún esfuerzo todas esas frecuencias puras que hay en nuestro ambiente, analizar en qué proporción se encuentran, cuál es su amplitud, si se mantienen o pierden intensidad, cómo cambian en el tiempo, si son más graves o más agudas…, aunque en realidad, en el aire, todas estas frecuencias formen parte de una única señal —una línea arrugada, como decíamos—. Solo después de siglos de investigación y mucho esfuerzo colectivo, nuestras matemáticas han conseguido, de manera torpe y aproximada, hacer algo parecido. El análisis de Fourier que mencionábamos al hablar de los espectrógrafos es una herramienta del siglo XIX.

Esta capacidad para descomponer sonidos es fundamental para nuestro oído. Si dos sonidos de frecuencias distintas llegan a la cóclea, podemos oírlos y procesarlos de forma separada, aunque en el aire, en realidad, sus frecuencias se encuentran «sumadas». Gracias a la cóclea, podemos hablar en entornos ruidosos, por ejemplo. Lo único importante es que el ruido no tenga una frecuencia parecida a la de nuestra voz. Y cuando la tiene, tendemos a cambiar inconscientemente nuestro propio tono en busca de un rango diferente, como quien busca una emisora de radio libre.

Pero la magia no acaba ahí. Porque lo que nosotros percibimos no es un listado de frecuencias e intensidades —«400 Hz a 3 decibelios, 650 Hz a 5 decibelios»—. No, no funciona así. Para que esa información sea realmente útil, nuestro cerebro debe volver a agrupar las frecuencias e intentar pintar un paisaje con ellas. Para ello, sigue distintas estrategias. Hay ciertas frecuencias que suelen sonar siempre juntas —como, por ejemplo, las frecuencias armónicas, que componen la voz humana—. Puede que, en un momento dado, algunas frecuencias procedan de puntos cercanos en el espacio. Gracias a la separación existente entre las dos orejas, nuestro oído puede calcular el desfase de tiempo en la señal y averiguar la procedencia de distintos sonidos. Quizás algunas frecuencias evolucionan de forma parecida, o se mueven en la misma dirección…, todas estas son pistas que nos permiten identificar posibles fuentes sonoras, volver a coser todas esas frecuencias que desenredó la cóclea e intentar formar un nuevo tapiz con ellas.

Nuestro oído es un experto en repintar paisajes sonoros a partir de números, hasta el punto de que podemos estar en un restaurante escuchando el hilo musical de fondo —con todos sus instrumentos— mientras en la mesa de al lado alguien se ríe, fuera los coches gruñen, el camarero atiende a una llamada y los comensales estrellan los cubiertos contra sus platos. Y sin embargo, nosotros somos capaces de seguir el hilo de la conversación que está teniendo lugar en nuestra mesa, como decíamos, porque todo ese procesamiento, toda esa magia, insisto, la hace de manera inconsciente nuestro oído, una verdadera máquina de convertir ondas de presión —un listado de números, una línea arrugada— en significado.

Recapitulando, casi todos los objetos físicos de este mundo vibran con varias frecuencias simultáneamente. Estas frecuencias dependen de la forma y las propiedades físicas del objeto y, en general, son más agudas cuanto más pequeño es. Todas esas vibraciones se suman en el aire, como los colores del arcoíris que forman la luz blanca. De manera consciente, nosotros no percibimos esas frecuencias separadas, pero nuestro oído es capaz de detectarlas y separarlas automáticamente en distintas señales nerviosas. Estas señales llegan a nuestro cerebro, que las utiliza para recomponer el entorno sonoro que nos rodea, identificando esos objetos vibrantes que causaron todo este lío en primer lugar.

Lo asombroso es que, en su búsqueda de significados, nuestro sistema auditivo se ha especializado en identificar armónicos, frecuencias que son múltiplos de una fundamental. Nuestro oído las agrupa en una misma sensación, el «tono», que puede resultar más grave o más agudo dependiendo de la frecuencia fundamental —la más grave, que sirve de factor común para todas las demás—. Pero no es un capricho numérico de los dioses, ni tampoco una casualidad. Tiene sentido que seamos sensibles a estos patrones porque son, precisamente, los que forman nuestra voz. Reconocerlos es tan importante que hasta nuestras neuronas reaccionan a ellos de manera peculiar. Como cuenta el neurocientífico Daniel J. Levitin en Tu cerebro y la música^[57], «hay pruebas de que el cerebro reacciona a los sonidos armónicos con activaciones neuronales sincrónicas». Las neuronas que procesan el sonido se activan rítmicamente, a la misma velocidad, cuando escuchamos este tipo de armonías. La consonancia consigue que hasta nuestro cerebro, con todas sus luces, se ponga de repente a bailar.

§. Oímos fantasmas
Estamos tan sintonizados con la serie armónica que, si detectamos una onda de este tipo en la que falta la frecuencia fundamental, nuestro oído, sencillamente, ¡se la inventa! Volvamos a la cuerda pitagórica con frecuencias de 1 kHz, 2 kHz, 3 kHz, etcétera. Imagina que ahora usamos un sintetizador para producir artificialmente un sonido compuesto por 2 kHz, 3 kHz, 4 kHz, etcétera, esto es, la misma serie armónica pero sin la frecuencia más grave de todas. Nuestro oído reconocerá automáticamente la relación entre estos números, buscará el factor común a todos ellos y nos hará percibir un tono de 1 kHz, ¡aunque esa frecuencia en concreto no esté sonando en ningún momento!

Este fenómeno, llamado fundamental ausente o fundamental fantasma, es una ilusión tan conocida en el mundo de la música que se ha utilizado desde hace siglos en la construcción de órganos. Varios tubos pequeños pueden sustituir a uno más grande y caro de fabricar, siempre que produzcan las frecuencias correspondientes a la serie armónica del más grave: el tono percibido será el mismo. Este es también es el origen del sonido típicamente grave de los timbales. Debido a su forma, estos instrumentos producen frecuencias que no son perfectamente armónicas. De hecho, un timbal es probablemente la cosa menos alargada que uno se puede encontrar en una orquesta, se parece más bien a una media naranja. En concreto, su membrana circular produce un espectro bastante feo según los estándares pitagóricos, como bien descubrieron Chladni y Germain. Sin embargo, el cuerpo del instrumento refuerza solo algunas de esas frecuencias y, por su parte, el intérprete golpea el parche del timbal siempre en un punto determinado, de manera que se anulan otras. El resultado es una colección de frecuencias «casi» armónicas, pongamos 200 Hz, 302 Hz, 400 Hz, 498 Hz, y algún otro tono un poco más áspero que se sale del patrón —348 Hz, 449 Hz…—. El tono fundamental de 100 Hz se lo inventa solito nuestro oído.

Además de sonar en órganos y timbales, la fundamental fantasma saltó a la fama por aparecerse en uno de los hits más célebres de comienzos del siglo XXI. Lady Marmalade fue lanzado oficialmente el 27 de febrero de 2001. Era una versión del mismo tema interpretado en los años setenta por Patti LaBelle, pero esta vez la voz cantante la llevaban Christina Aguilera, Lil’ Kim, Mýa y Pink, y formaba parte de la banda sonora de la película Moulin Rouge. Si te tocó tener uso de razón en aquel momento, probablemente tú también cantaste su pegajosísimo estribillo en bucle, Voulez-vous coucher avec moi —ce soir—? El productor de la canción quería conseguir un sonido rotundo a pesar de las posibles limitaciones de los altavoces en los que luego se fuera a reproducir. Para ello se basó en una tecnología conocida como MaxxBass, que potencia los graves gracias a los armónicos inmediatamente superiores. Este plugin filtra las frecuencias demasiado bajas para evitar dañar los sistemas de reproducción. ¿Cómo es posible que un sistema que elimina sonidos graves sirva para potenciar los graves de una canción? La clave, de nuevo, está en nuestro oído y su gusto por los números enteros sencillos.

Esta curiosa ilusión sonora está también muy presente cada vez que hablamos por teléfono. En nuestra atmósfera, los objetos pequeños no pueden producir sonidos demasiado graves. El motivo es puramente físico: los sonidos graves tienen grandes longitudes de onda —de decenas de metros incluso—. Ningún objeto pequeño es capaz de generar semejante perturbación. Es posible llegar a esta conclusión estudiando la dinámica de las vibraciones, pero la idea resulta bastante intuitiva: un langostino nadando no puede provocar un tsunami. Para producir sonidos grandes —esto es, graves— necesitamos objetos grandes. Sin embargo, en un mercado que demanda teléfonos cada vez más ligeros, los componentes están más y más miniaturizados. Los altavoces de muchos móviles no pueden reproducir frecuencias inferiores a 300 Hz. En cambio, la media de las voces masculinas ronda los 150 Hz, un piano llega a los 27,5 Hz y nuestro oído es capaz de percibir hasta 20 Hz. Todo el rango que falta, de 20 a 300 Hz, sencillamente, nos lo inventamos. No hace falta que te alarmes, pero parte de esas voces que escuchas por el móvil están únicamente en tu cabeza.

Por otra parte, no somos los únicos animales que oímos fantasmas. Levitin habla en su libro sobre un experimento del biólogo Petr Janata^[58], que le colocó electrodos a una lechuza mientras le hacía escuchar la melodía del Danubio azul. Lo peculiar es que en su versión del vals de Strauss, todas las frecuencias fundamentales habían sido eliminadas. Su hipótesis era que, si esas frecuencias se restauraban al inicio del proceso auditivo —si era el propio oído de la lechuza el que reconstruía la fundamental nada más detectar su serie armónica—, las neuronas se activarían imitando la frecuencia ausente. Eso fue exactamente lo que sucedió:

Petr envió las señales de esos electrodos a un pequeño amplificador y repitió el sonido de las neuronas de la lechuza a través de un altavoz. Lo que oyó era asombroso; la melodía del vals de El Danubio azul cantada claramente a través de los altavoces^[59].

Se han hecho experimentos similares con gatos^[60], primates, estorninos y otras especies de pájaros^[61]. Parece que la fundamental ausente es algo bastante común entre las aves y en algunos mamíferos, y su detección podría estar basada, precisamente, en la periodicidad del tono que argumentaba Helmholtz.

§. Los timbres de la voz
Puede resultar sorprendente que nuestro oído y el de otras especies sean sensibles a semejante capricho matemático: frecuencias relacionadas por números enteros, ni más ni menos. No es que tengamos calculadoras en las orejas. Nuestro sistema auditivo ha evolucionado de manera que podamos reconocer objetos en el océano de frecuencias que nos rodea. Separar distintas fuentes sonoras a partir de una única señal donde todo está mezclado no es nada sencillo. Por eso, tiene sentido que nuestro oído tenga estrategias para agrupar sonidos que en nuestro entorno se suelen dar a la par.

Esas frecuencias armónicas, múltiplos de una fundamental, son precisamente las que conforman nuestra voz. Por eso somos sensibles a ellas. Si no las interpretásemos como un todo, si no fuésemos capaces de reconocerlas como algo especial e integrado, no podríamos reconocer la voz de nuestros seres queridos ni escuchar las sinuosas melodías que producen cuando hablan ni saber cuándo están tristes o contentos. Toda esta información está codificada en el tono de la voz, y nuestro oído es un verdadero experto en procesarla.

A fin de cuentas, nuestros sentidos evolucionaron por un proceso puramente utilitario. Su función no es conocer «la Realidad» ni describir fielmente la física del mundo que nos rodea, no; todo eso son inventos posteriores. Nuestros oídos están ahí y funcionan como funcionan porque, en algún momento, eso nos ayudó a sobrevivir. No es de extrañar que parte de ese éxito dependiera de reconocer los sonidos que emiten los otros monos de nuestra especie y extraer la máxima información de ellos. Luego, con el tiempo y un poco de prueba y error, es posible que inventásemos instrumentos musicales que imitan las propiedades sonoras de nuestras cuerdas vocales. Eso explicaría por qué las orquestas y las bandas de rock están llenas de cosas alargadas. Toda música es, con perspectiva, la sofisticación de algún tipo de canto. La base de nuestra percepción sonora, de la armonía y la música, se encuentra en las propiedades de nuestra propia voz.

Asimismo, el uso del lenguaje depende crucialmente de esa habilidad que tenemos para descomponer un sonido en números. Todas las vocales de un idioma son tonos, sonidos periódicos. La diferencia entre unas y otras depende de la amplitud relativa con que suenan sus armónicos. En cambio, la mayoría de las consonantes son ruidos, sonidos irregulares transitorios que producimos al ocluir los labios, la lengua y los dientes —intenta cantar Cumpleaños feliz con al letra p, por ejemplo—.

Nuestro oído, en comparación con el de otros primates, es un verdadero experto en reconocer la composición interna de los sonidos, de manera que, incluso si le presentan dos tonos con la misma frecuencia y la misma intensidad —una nota do cantada por un clarinete o por un arpa—, él es capaz de diferenciarlos simplemente por sus espectros, su «receta de frecuencias» y cómo varía en el tiempo. Esto es lo que reconocemos como el timbre de un sonido. O, como Helmholtz lo llamaba, «el carácter» o «la cualidad» del tono^[62]:

Cuando escuchamos notas con la misma fuerza y el mismo tono, tocadas sucesivamente por un piano, un violín, clarinete, oboe o trompeta, o por la voz humana, el carácter del tono musical es tan diferente, que gracias a él reconocemos los instrumentos utilizados con toda facilidad […]. La variedad de cualidades posibles parece infinita. No solo reconocemos una larga lista de instrumentos musicales cuando tocan la misma nota, también distintos ejemplares de un instrumento en particular y las voces de diferentes cantantes suenan con matices propios que nuestro oído es capaz de distinguir. Pero además, las mismas notas pueden sonar con caracteres distintos cuando las toca un mismo instrumento. En este sentido, los instrumentos de cuerda frotada —esto es, de la familia del violín— destacan por encima de todos los demás. Pero la voz humana es aún más rica, y el habla humana utiliza todas estas variedades cualitativas de tono para producir las diferentes letras. Las vocales, a saber, pertenecen a la clase de tonos bien definidos que se suelen utilizar en música, mientras que el carácter de las consonantes depende principalmente de ruidos breves y transitorios.

Todas las letras de un idioma se diferencian por su timbre. Todo nuestro lenguaje es un juego de orquestación, infinitamente variado y dinámico. Cuando nacemos —puede que desde un poco antes, incluso—, nuestro oído empieza a entrenarse en los timbres propios del idioma de nuestro entorno, y antes de que haya transcurrido un año es ya todo un experto. Esta especialización es necesaria para aprender a hablar pero tiene también un efecto colateral, y es que poco a poco perdemos la capacidad de reconocer otros timbres, propios de otros idiomas. Por eso resulta tan difícil conseguir tener una pronunciación perfecta, por mucho que uno estudie una lengua extranjera después de cierta edad. Nuestro oído se ha especializado en reconocer y reproducir una colección de timbres en concreto, y a cambio ha perdido la finura para identificar todos los demás. Es como si tuviésemos un tipo de agrupación musical instalada en nuestra cabeza con la que interpretamos y producimos todo nuestro lenguaje desde los seis meses de edad. Cuando intentamos aproximarnos con ella a otro tipo de idioma, con otros timbres diferentes —otros instrumentos, en nuestra analogía—, hay matices que simplemente se nos escapan porque no forman parte de nuestra librería de sonidos. Podríamos intentar tocar reguetón con un cuarteto de cuerda. Pero aunque hagamos sonar las mismas notas, el resultado nunca será el mismo.

Siguiendo con el lenguaje y las metáforas musicales, nosotros mismos somos un instrumento de cuerda, de viento y de percusión, simultáneamente. Cada vez que hablamos, nuestras cuerdas vocales se ponen en funcionamiento como si fuesen la lengüeta de un instrumento de viento. Estas «cuerdas» se parecen a una membrana tensa más que a fibra alargada, pero su vibración es periódica y podemos controlar la frecuencia tensándolas más o menos. Para producir las distintas vocales, por otra parte, es necesario cambiar la forma de nuestro tracto vocal, es decir, el hueco existente desde nuestro cuello hasta la boca y la cara incluida, que actúa como una caja de resonancia; como el cuerpo de un violín, solo que más flexible.

Las figuras tridimensionales, como las cajas de los instrumentos o nuestra propia garganta, también tienen sus propios modos normales. Son formas y frecuencias en las que les resulta más cómodo moverse, similares a las de las cuerdas y las membranas. Estas frecuencias dependen de la forma de la caja: en general, cuanto mayor es el hueco, mayor será la longitud de onda que quepa dentro y más grave será el sonido. De esta manera, cuando un tono atraviesa nuestra garganta, algunos de los armónicos del sonido se ven reforzados y otros atenuados. Aunque el tracto vocal no emite sonido en sí mismo, actúa como un filtro, un molde que da forma a la onda de sonido. Por eso también se habla a menudo de los «formantes» de los sonidos del habla. Y por esto, también, la réplica tridimensional de la garganta de Nesiamón nos puede ayudar a descubrir cómo sonaba la voz de la momia.

Igual parece una perogrullada, pero los formantes son el motivo por el que movemos la boca al hablar. Si los sonidos de las distintas letras se generasen en las mismas cuerdas vocales, la ventriloquía no tendría ningún mérito. Para hacer a o u, sería nuestro cuello el que cambiaría la vibración. En cambio, para hablar necesitamos cambiar la postura de nuestra lengua, labios, dientes y demás, porque de esta manera modificamos la forma de la caja donde resuena nuestra voz y solo así conseguimos que algunos de sus armónicos suenen más que otros. Es parecido a cambiar un sonido con un ecualizador o ajustar el brillo y el contraste de una fotografía. Tenemos una serie de frecuencias primarias —los armónicos que generan las cuerdas vocales—, y nuestro tracto vocal se encarga de decidir en qué proporción deben sonar para producir las distintas letras.

Así, hace tres mil años, la garganta de Nesiamón, su cara y su boca sirvieron para potenciar algunos de sus tonos y atenuar otros, le otorgaron ese timbre característico y único que los científicos de la actualidad intentan reconstruir. Hoy su momia ya no puede mover la boca que, para colmo, se le quedó abierta, con la lengua medio fuera. Todo lo que nos puede decir en estas condiciones es «eeeeh» —prueba a imitar su postura, a ver qué dices tú—. Pero incluso para obtener el timbre de una simple letra es necesario entender que la materia prima de una voz son los armónicos, números, los mismos que emiten las cuerdas de una guitarra y las cuerdas vocales de todos los seres humanos.

§. Voces de laboratorio y perros que hablan
El descubrimiento de que todo sonido está compuesto por frecuencias más simples y elementales llevó por primera vez a los científicos a crear una voz de laboratorio. Nesiamón no fue el primer ser inanimado al que intentamos hacer hablar.

En 1778, la Academia de Ciencias de Rusia lanzó un concurso dirigido a la comunidad científica. Su objetivo era entender la mecánica de las vocales humanas. Aunque pronunciar una vocal pueda parecer cosa fácil, en aquella época no estaba nada claro qué es lo que hace estos sonidos «especiales», en qué se distinguen del canto de un pájaro o del de un violín. Dos años más tarde, el profesor Christian Kratzenstein dio con la respuesta y fue anunciado como ganador. No solo había logrado explicar por primera vez las diferencias acústicas entre los sonidos A E I O U, sino que, además, fabricó una máquina capaz de producirlos artificialmente.

Kratzenstein era otro de esos tipos multitalentosos que abundaban en la época de la Ilustración. Médico, físico e ingeniero, se inspiró en el tracto vocal humano y en las ideas de Leonhard Euler sobre la física del sonido para construir su propio instrumento parlante. En él, una serie de tubos vibraban al ser accionados por el viento. Después, su sonido era filtrado por cajas de distintas formas que actuaban como resonadores acústicos. El sistema era similar al que ya existía en algunos tubos de órganos de la época, pero con dos diferencias importantes: en primer lugar, el sonido de la máquina de Kratzenstein era producido por lengüetas libres vibrantes, similares a las de una armónica contemporánea —un sistema bastante innovador en aquella época—. Por otro lado, la forma de las cajas era bastante peculiar, caprichosa incluso. Cada una había sido cuidadosamente tallada para producir un sonido diferente. Y aquí es donde residía la magia. Aquellos resonadores servían para modificar la composición del sonido producido por la lengüeta, de manera que igualase el espectro de una vocal —su receta de frecuencias— de manera lo bastante inteligible.

Aunque el invento de Kratzenstein estaba limitado a solo cinco sonidos, su diseño nos ayudó a comprender mejor nuestro propio lenguaje. Como explicábamos antes, las cuerdas vocales producen un sonido que luego es filtrado por el tracto vocal. Es la forma de la boca, el «resonador», lo que distingue una a de una o. Poco después de su descubrimiento, otro inventor de origen húngaro presentó en Viena su propia máquina parlante acústico-mecánica, capaz de pronunciar diferentes letras aisladas, tanto vocales como consonantes, y también de articularlas en sílabas y palabras. Era el invento de Wolfgang von Kempelen, que había estado trabajando en este proyecto durante varias décadas —desde antes incluso de que Kratzenstein presentase sus cajas de vocales—. Su creación le había llevado a estudiar en gran detalle la fisiología humana y todo lo relacionado con la producción del habla^[63]:

Para avanzar en mi propósito era necesario, ante todo, que tuviese un perfecto conocimiento de aquello que quería imitar. Tuve que hacer un estudio sistemático del habla y consultar constantemente el modelo natural mientras hacía mis experimentos. De este modo, mi máquina parlante y mi teoría sobre el habla avanzaban siempre en paralelo, ya que uno servía de guía para el otro.

Tras varios intentos fallidos, el diseño de Kempelen terminó siendo una réplica inquietantemente fiel de la anatomía humana. Contaba con un fuelle a modo de pulmones, una lengüeta vibrante en el lugar de las cuerdas vocales y una boca simulada hecha de caucho natural que Kempelen manipulaba con sus manos. Entre el fuelle y la salida del aire, había un tubo de piel a modo de garganta, conectado a una cavidad con dos orificios, como la nariz, que permitían articular las consonantes nasales —como la m y la n—. La máquina contaba asimismo con diversas palancas, tubos y varillas, destinados a pronunciar las demás consonantes. Una de las versiones del diseño incluía también una caja de madera, con dos membranas regulables a modo de labios y una pieza articulada de madera controlada mediante cuerdas, la lengua. Finalmente, Kempelen descartó esta complejidad añadida porque se dio cuenta de que sus oyentes estaban dispuestos a aceptar muchos de los errores de pronunciación de su máquina siempre que por contexto pudiesen deducir lo que decía.

Más allá de lo fascinante que debió de ser ver a un cacharro con fuelles y palancas hablar por primera vez en la historia, es posible que la tolerancia de los oyentes con la mala pronunciación del invento tuviese una explicación mucho más humana. Debido a la frecuencia aguda de su lengüeta, la máquina parlante de Kempelen tenía voz de niño. Gracias a los mecanismos que la animaban, una de las primeras palabras que aprendió a pronunciar fue «mamá».

En 1791, Kempelen publicó un libro^[64] en el que recopilaba veinte años de investigación sobre los «mecanismos» del habla humana, junto con una descripción de su máquina parlante. Sus estudios llevaron a la conclusión de que el centro del habla es el tracto vocal; esto es, la boca y no la laringe. Aunque hoy pueda parecer algo obvio, hasta entonces se pensaba que las mismas cuerdas vocales eran las responsables de producir los sonidos de un idioma. Pero en realidad, como hemos explicado, casi todos los timbres de nuestro idioma se deben a las resonancias de nuestra boca y a los ruidos que hacemos con la lengua, garganta, dientes y labios. Las cuerdas vocales, con su tensión variable, son las responsables de la entonación, esos giros sutiles, hacia el agudo o hacia el grave, que hacemos a veces cuando hablamos, como la melodía ascendente con la que marcamos el final de una pregunta.

Gracias a todas sus palancas y engranajes, la máquina de Kempelen podía producir timbres diferentes, similares a los que emitimos con nuestra boca. Sin embargo, es probable que su voz sonase demasiado homogénea, plana. Como la de un niño, sí… pero un niño robótico, una especie de Pinocho apático. Al tener una única lengüeta, capaz de producir un único tono, la máquina parlante no podía cambiar su entonación. Es esa entonación, las diferentes notas que emiten nuestras cuerdas vocales, lo que nos permite expresar nuestras emociones al comunicarnos. Son melodías sutiles que nos hacen sonar más humanos.

Una de las pruebas de que la producción del habla no se encuentra en la laringe es que, de hecho, somos capaces de hablar susurrando. Cuando hacemos esto «apagamos» nuestras cuerdas vocales y emitimos únicamente aire ruidoso, sin un tono bien definido. Ese ruido es filtrado luego por el tracto vocal y el filtro es suficiente para que reconozcamos las distintas letras. Lo que no podemos hacer susurrando, en cambio, es cantar —intenta entonar Cumpleaños feliz, ya verás—. Para producir las distintas notas de una melodía es imprescindible la acción de las cuerdas vocales.

Todos los idiomas del mundo tienen algún tipo de entonación, alguna melodía que marca la estructura de las frases y su intención. Es en parte lo que distingue a un gallego o a uno de Vitoria hablando castellano, por ejemplo. Pero en cierto tipo de lenguas, conocidas como lenguas tonales, el tono de la voz se utiliza además para cambiar el significado de las palabras, de manera que las mismas letras pueden referirse a cosas distintas si se dicen con la voz más grave o más aguda. Esto hace que susurrar en estas lenguas se vuelva especialmente complicado.

Existen culturas, de hecho, donde la gente simplemente no susurra. Es el caso de los pirahãs, una tribu de Brasil en la selva del Amazonas. El lingüista Daniel Everett convivió con ellos durante veinte años para poder aprender su idioma. Descubrió que es uno de los más sencillos del mundo desde un punto de vista fonológico. Apenas utilizan tres vocales —i, a, o— y ocho consonantes —p, t, k, s, h, b, g, y una oclusiva glotal, x—. Esta aparente falta de variedad tímbrica se compensa en cambio con una fuerte dependencia de la entonación a la hora de distinguir las palabras. Para los pirahãs una misma serie de letras puede significar cosas distintas dependiendo de si se pronuncian sobre una nota más grave o más aguda. Por eso no pueden susurrar porque, al perder la melodía, su idioma se vuelve sencillamente incomprensible. Cuando quieren hablar de manera íntima o secreta, tienden a tararear discretamente una especie de murmullo melódico pronunciado con la boca cerrada, que les basta para entenderse a cortas distancias.

Otra lengua típicamente tonal es el chino. Los chinos sí susurran, por si alguna vez te lo habías preguntado. Hay bastantes científicos y lingüistas que sí lo han hecho y, al indagar sobre el asunto, han descubierto que susurrar en chino no es precisamente trivial. Para compensar la falta de tono de las palabras al susurrar, los hablantes deben exagerar los ritmos de la pronunciación. De manera inconsciente, refuerzan los cambios de intensidad y de velocidad que todos hacemos, sin darnos cuenta, al apoyar nuestra voz en las sucesivas sílabas de una frase^[65][66]. No es tan fácil entenderse así cuando tu lengua es tonal. Por eso resulta especialmente poético que el famoso juego del teléfono escacharrado se conozca en inglés como chinese whispers, susurros chinos. En este juego, un montón personas se colocan en fila y se pasan un mensaje susurrando de oído a oído. Solo desvelan la frase original al llegar al final de la fila, normalmente para comprobar que su significado se ha perdido por completo.

Kempelen fue el creador de la primera máquina parlante de la historia, capaz de hacerse entender en un idioma no tonal, eso sí. Hoy, sin embargo, es principalmente recordado por otro de sus inventos, mucho más popular en su día. Se trata del Turco, un supuesto autómata capaz de jugar al ajedrez. Durante más de ochenta años recorrió toda Europa y Estados Unidos venciendo a casi todas sus oponentes, entre los que se incluyeron personajes como Benjamin Franklin y Napoleón. La máquina constaba de un maniquí vestido con túnica y turbante, y una caja de madera con un complicado mecanismo de relojería. Y, evidentemente, el Turco tenía truco. Aunque quedó destruido en un incendio de 1854, hoy sabemos que el secreto de su éxito consistía en ocultar hábilmente a un maestro de ajedrez de carne y hueso en su interior. Quizás por eso, Kempelen despreció en vida la popularidad de este invento, refiriéndose a él como una mera «bagatela». Tras su muerte, otro científico inglés llamado Charles Wheatstone retomó el que había sido su verdadero proyecto vital, la idea a la que Kempelen había dedicado más esfuerzos: su máquina parlante. El resultado de este esfuerzo conjunto inspiraría al mismísimo inventor que patentó el teléfono.

Cuando Alexander Graham Bell tenía dieciséis años, su padre lo llevó a ver un curioso autómata capaz de imitar la voz humana. Bell se quedó fascinado por aquel hombre mecánico y, probablemente, así se inició su interés por el sonido. Hubo otros factores que marcaron también el camino. La progresiva sordera de su madre fue, sin duda, uno de ellos. Bell dedicaría gran parte de su vida a ayudar a las personas con problemas auditivos y a investigar maneras de enseñarles a pronunciar los sonidos del lenguaje. Pero el propio Alexander lo atribuía a algo más: «tiendo a pensar que mi temprana pasión por la música tuvo mucho que ver en mi preparación para el estudio científico del sonido^[67]», escribiría décadas más tarde en su autobiografía.

Alexander era el pianista de la familia y tenía un excelente oído. A menudo tocaba canciones para su madre mientras ella apoyaba una trompetilla en la tabla de resonancia del instrumento. Además, desde niño había tenido una curiosidad creativa y traviesa, que le animaba a explorar todo lo que tenía a su alcance, ya fueran los sonidos de su piano u otro tipo de inventos. Después de que su padre les llevara a ver al autómata creado por Wheatstone, él y su hermano decidieron construir su propia máquina parlante, basándose en los descubrimientos de Kempelen. Con el apoyo de su familia, consiguieron construir una cabeza capaz de pronunciar algunas palabras, para gran sorpresa de los vecinos que fueron a validar el invento.

Tras aquel primer éxito, Alexander se propuso un reto todavía más difícil: enseñar a su perro Trouve a hablar. Primero le entrenó para que pudiese producir un solo tono sostenido en el tiempo, en lugar de ladridos. Después, llegó la parte cuestionable del experimento: Bell colocaba al perro entre sus piernas y, mientras este aullaba, él se dedicaba a apretar la garganta y el hocico del pobre bicho, intentando producir sonidos parecidos a los del habla humana. Gracias a su experiencia previa con la máquina parlante, sabía exactamente cómo colocar la boca del terrier de manera que sonase «ma, ma, ma». Con el tiempo —y bastantes galletitas de premio—, Trouve fue añadiendo nuevas sílabas a su vocabulario. Al final, era capaz de pronunciar algo parecido a «ow ah oo, ga, ma-ma», que con buena voluntad y un poquito de sugestión, se podía interpretar como How are you, grandmama? —¿cómo estás, abuela?—. El terrier, sin embargo, nunca fue capaz de emitir estos sonidos por sí mismo. «Hice muchos intentos, sin éxito, para que produjese estos efectos sin manipulación^[68]». Pero Trouve siempre necesitó a Bell para que moldease las palabras en su hocico. Lo cual no evitó, por supuesto, que pronto corriese la voz sobre el increíble caso del perro que hablaba.

El siguiente paso para Bell consistió en generar una voz desde cero. Sin referencias anatómicas, sin lengüetas, sin fuelles ni gargantas de cuero. Una voz cien por cien sintética, generada a partir de sus componentes básicos, las frecuencias puras que emiten diapasones. Y lo consiguió. A fin de cuentas, la voz y los diapasones están hechos de la misma materia prima. Su sonido son solo ondas sinusoidales, las más sencillas posibles, que se transmiten y se suman en el aire en distintas proporciones. Teniendo estos ingredientes básicos, para construir una voz solo hay que ir mezclando frecuencias hasta dar con la receta exacta.

En 1866, cuando tenía diecinueve años, Bell recopiló todo su trabajo y se lo envió al fisiólogo Alexander Ellis. Sorprendido por el talento y la inquietud creativa de aquel joven, Ellis le respondió de inmediato diciendo… que todo eso ya estaba inventado. Lo había publicado tres años antes, ni más ni menos, Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz en su célebre libro Sobre las sensaciones del tono. En su detallado estudio del sonido, tras explicar las diferencias entre tonos y ruidos, el físico alemán pasa a analizar su uso en el lenguaje. Pero Helmholtz no se había contentado con una explicación teórica. Para entender las diferencias entre las distintas vocales, había logrado sintetizarlas a partir de las frecuencias emitidas por simples diapasones, que hacía sonar mediante electricidad.

Desanimado al descubrir que alguien se le había adelantado, Bell se sumergió en la lectura del libro de Helmholtz, porque hay actitudes inteligentes hasta para afrontar un pequeño fracaso. Gracias a una mala traducción del francés, Bell dedujo un hecho que marcaría el resto de su carrera. «Sin saber mucho del tema, me pareció que, si los sonidos de las vocales podían ser producidos mediante electricidad, las consonantes también, de modo que era posible articular el habla». Bell pensó que Helmholtz había hecho precisamente esto, producir el sonido de las distintas letras a partir de corrientes eléctricas. En realidad, Helmholtz nunca había dado tal salto. Si bien sus diapasones se accionaban mediante electricidad, su vibración seguía siendo puramente mecánica. No obstante, el feliz malentendido impulsaría a Bell en sus pesquisas: «Si hubiese entendido alemán en aquella época, quizás nunca hubiese comenzado con mis experimentos^[69]».

La idea de convertir las frecuencias sonoras en una corriente eléctrica fue la base del funcionamiento del teléfono y, más tarde, de nuestros móviles, esos cacharros que orbitan día a día a menos de medio metro de nuestra mano. También fue el origen de las guitarras eléctricas, de los sintetizadores, de todos esos sonidos que continuamente nos tocan desde distancias cada vez más remotas. Para que todo esto fuese posible, primero fue necesario aprender a descomponer los sonidos en sus piezas más básicas, entender que nuestra voz también está formada por números, descubrir que en el fondo todos somos matemáticos de oído.

Capítulo 3
La belleza de los pequeños números

Lo que es bello es armonioso y bien proporcionado, lo que es armonioso y bien proporcionado es verdadero; y lo que es a la vez bello y verdadero es naturalmente agradable y bueno.

León Tolstói atribuye la cita al filósofo Shaftesbury en ¿Qué es el arte?

§. Armonía visual
Muy cerca de la principal estación de trenes de Florencia se encuentra la plaza de Santa Maria Novella, uno de los lugares más emblemáticos de la ciudad. Presidida por la basílica que le da su nombre, aún recuerda en su trazado las carreras de carros y carrozas que ayudaron a darle forma durante el Renacimiento. Hoy, gracias a la amplitud de sus terrazas y sus jardines, se ha convertido en un lugar de encuentro para los florentinos y para turistas de todas las nacionalidades.

La basílica, a su vez, está considerada uno de los monumentos más bellos de la ciudad. Fue edificada sobre una pequeña iglesia del siglo IX, asignada a los monjes dominicos alrededor del año 1200. En 1279 decidieron ampliarla, pero su fachada no se completó hasta dos siglos más tarde. Es, sin duda, el elemento más característico del edificio y fue diseñada por Leon Battista Alberti, uno de los principales arquitectos —entre otras muchas cosas— del periodo renacentista. Austera y geométrica como un mosaico de op art, se vale del contraste entre dos tipos de mármol, verde oscuro y blanco, típicos de la arquitectura florentina, para atrapar al ojo en su riguroso dibujo. Y quizás sea esto lo más llamativo del edificio. Santa Maria Novella se presenta ante el espectador como una enorme cuadrícula, un mundo plano perfectamente ordenado, sin una sola mancha de pintura ni una curva que no se pueda justificar. A excepción de las dos volutas —como dos orejas— que flanquean su cabecera, nada de su rica ornamentación parece escapar a la tiranía de la escuadra y el cartabón. Ni a la de los números.

No es fácil medirlo a ojo, pero la fachada de Santa Maria Novella se inscribe dentro de un cuadrado perfecto de proporciones 1:1. El cuadrado está dividido por la mitad y da lugar a dos pisos rectangulares exactamente iguales de proporciones 2:1. El piso superior destaca por su módulo central que se inscribe, a su vez, en un cuadrado 1:1. Está coronado por un frontón triangular que secciona una vez más el espacio, creando dos regiones desiguales. Si uno intenta localizar la línea que las separa descubre que se relacionan, concretamente, mediante una proporción de 3:2. Esa misma proporción define también las dimensiones del portón principal de la iglesia, de forma rectangular. Las volutas de los laterales, por su parte, constituyen probablemente el elemento más caprichoso y llamativo de la fachada. Nacen justo a mitad del edificio y llegan hasta los 3:4 de su altura.

Dicho de otra manera: si Pitágoras hubiese visto esta fachada, habría lamido las paredes como poco.

La aparición de unos números tan «armónicos» no es en absoluto casual. Alberti fue, ante todo, un artista teórico. Durante toda su vida, intentó destilar la fórmula racional de la belleza a través de numerosos tratados sobre arquitectura, pintura, geometría, escultura, óptica y matemáticas. Como buen artista del Renacimiento, a menudo se inspiró en las ideas de los clásicos y, en concreto, en los textos de un célebre arquitecto romano llamado Marco Vitruvio Polión.

En último término, Vitruvio fue el responsable de contagiar las ideas estéticas pitagóricas a la Europa moderna. En el siglo I a. C., publicó una revisión de la arquitectura de su época que 1500 años después se convertiría en un referente del arte clásico para todos los creadores del Renacimiento. De architectura, como se titula, está dividido en diez tomos —una cifra muy pitagórica— y recomienda a sus lectores utilizar circunferencias y cuadrados, o proporciones sencillas en cualquier caso, para diseñar los espacios de los edificios. En concreto, defendía que los artistas debían utilizar como referencia los mismos números pitagóricos que daban lugar a la armonía también en el ámbito de la música. Para Vitruvio, este tipo de conocimiento era imprescindible en el desempeño profesional de los arquitectos y de cualquier ingeniero, que «no sería capaz de construir motores hidráulicos ni de otro tipo si ignorara la música^[70]».

Así, a pesar de los siglos que los separan, tanto Vitruvio como Alberti y otros artistas renacentistas acabaron confiando en el poder de los pequeños números pitagóricos como principio de ordenación estético. La clave de la belleza, según creían, residía en sus proporciones. Y no valía con cualquier proporción: lo que perseguían era esa armonía de origen musical que resulta tan evidente para nuestro oído.

Pocas imágenes evocan esta búsqueda de la proporción de manera tan icónica como El hombre de Vitruvio. Se trata de una de las ilustraciones más populares de Leonardo da Vinci, inspirada en las enseñanzas estéticas y numéricas del antiguo arquitecto romano. Vitruvio había argumentado que «el cuerpo humano está diseñado por la naturaleza» de acuerdo con proporciones exactas:

La cara, desde el mentón hasta la parte superior de la frente y las raíces más bajas del cabello, es una décima parte de la altura total; la mano abierta desde la muñeca hasta la punta del dedo medio es igual; la cabeza desde el mentón hasta la coronilla es un octavo, y con el cuello y el hombro desde la parte superior del pecho hasta las raíces inferiores del cabello es un sexto; desde la mitad del pecho hasta la cima de la corona hay un cuarto…

Da Vinci solo perfeccionó estos principios estéticos gracias a su habilidad para el dibujo y sus conocimientos sobre anatomía moderna. Su ilustración se convirtió en un verdadero icono de la belleza y la perfección renacentistas. Pero quizás lo más bonito de esta imagen es saber que, detrás de sus cuidadas líneas se encuentran las mismas teorías numéricas y musicales que utilizaban los griegos para afinar sus liras, y que ayudaron a ordenar la fachada de Santa Maria Novella.

Alberti, por su parte, fue el paradigma de eso que hoy llamamos «un pensador del Renacimiento». Polivalente, curioso y humanista, es otro de esos personajes difíciles de catalogar: arquitecto, matemático, pintor, escultor, teórico del arte, filósofo, lingüista, poeta, dramaturgo y organista, entre otras cosas. De entre toda esta colección de saberes, su legado arquitectónico es el que más ha trascendido, no solo por los muchos edificios que aún susurran su nombre por toda Italia —incluida la numérica fachada de Santa Maria Novella—. Además, su tratado De re aedificatoria fue leído y estudiado por todos los artistas del Renacimiento. En el noveno de sus diez tomos, Alberti escribe^[71]:

Cada día estoy más y más convencido de la verdad del dicho de Pitágoras […]. De donde concluyo que los números que provocan la concordancia de sonidos y deleitan a nuestros oídos son los mismos que complacen a nuestros ojos y a nuestra mente. Por tanto, debemos tomar prestadas nuestras reglas para definir proporciones de los músicos, que son los mayores maestros en este tipo de números, y de aquellos ámbitos donde la naturaleza se muestra más excelente y completa.

Estas ideas inspiraron a muchos de los contemporáneos y sucesores de Alberti. Entre ellos, Andrea Palladio terminó por convertirse en el arquitecto más influyente, probablemente, de todos los tiempos. Su estilo, más tarde conocido como palladianismo, cubrió toda Inglaterra y el norte de Europa con edificios neoclásicos hermosamente proporcionados. También viajó hasta Estados Unidos, donde tuvo en Thomas Jefferson a uno de sus mejores discípulos —no todo el mundo sabe que Jefferson, además de presidente y modelo para la estampación de billetes, fue filósofo y arquitecto—. Hoy, la mismísima Casa Blanca está adornada con ventanas alargadas de inspiración palladiana y reminiscencias pitagóricas.

En Europa, la misma estética de origen musical tuvo su propio eco en el ámbito científico. En el siglo XV, el astrónomo Tycho Brahe se inspiró en las ideas de Vitruvio para construir el mayor observatorio de su tiempo. Uraniborg, como se llamó el edificio, fue diseñado de modo que cada habitación, cada altura y cada torre guardaran una proporción numérica sencilla con el resto del conjunto^[72]. Tycho estaba convencido de que este tipo de armonía haría del observatorio y sus jardines un lugar apacible para la vista y para el alma, capaz de inspirar a cualquier persona sensible para realizar un trabajo inteligente y profundo. Recuperaba, de este modo, uno de los sueños de los pensadores griegos: la idea de que un cosmos ordenado debía resonar con el alma humana, el anhelo de una belleza que se manifiesta a través de las matemáticas.

§. El falso mito del número áureo
Aunque se suele asociar la belleza clásica y su obsesión con las proporciones al famosísimo número áureo, los números bonitos de los griegos eran muchísimo más sencillos: 1, 2, 3, 4… números pequeños y racionales procedentes de las consonancias de una cuerda musical. El número áureo, en comparación, resulta mucho más farragoso, es un número con infinitos decimales que rehúyen cualquier tipo de repetición: 1,618 033 988 749 894…

Su valor exacto se puede calcular sumando uno a la raíz cuadrada de cinco y dividiendo el resultado entre dos^[73], o también geométricamente, comparando la diagonal de un pentágono con uno de sus lados.

Los filósofos griegos conocían esta proporción, así como muchas de sus interesantes propiedades, al menos desde la época de Euclides —siglo III a. C.—. Pero, fuera del mundo de las matemáticas, su popularidad no se impuso en Europa hasta la era moderna. En el siglo XVI, Luca Pacioli escribió un libro titulado La divina proporción (1509), que contribuyó enormemente a su fama. En él, comparaba las propiedades de este número con las del mismísimo Dios. Entre otras cosas, afirmaba que^[74]:

Así como no es posible definir a Dios con precisión, ni entenderlo con palabras, esta nuestra proporción no puede determinarse jamás con un número inteligible ni expresarse con cantidad racional alguna sino que su valor siempre es oculto y secreto, y los matemáticos lo llaman irracional.

Leonardo da Vinci, 1509, en Divina proportione de Pacioli. Archive.org.

Como veremos más adelante, el concepto de «número» que manejaba Pacioli todavía no abarcaba las cantidades irracionales. No es que no las conociese, sino que no las consideraba «números» propiamente dichos, y por eso su valor le parece imposible de expresar.

No obstante, la admiración que sentía el matemático por esta proporción resulta evidente. Pacioli alaba su sencillez, su autosemejanza y su utilidad a la hora de construir figuras geométricas como el icosaedro o el dodecaedro. Para ilustrar estos poliedros, el matemático contó con la colaboración de Leonardo da Vinci, y probablemente por eso, su libro ayudó a asociar el número áureo con el mundo de las artes plásticas. Sin embargo, se trata de un malentendido. Al contrario de lo que se suele afirmar, Pacioli nunca dijo que su admirada proporción tuviese un papel especialmente relevante en las obras de arte^[75]. Más bien al contrario^[76]: en la segunda parte de su libro, donde aborda cuestiones sobre diseño y arquitectura, el matemático toma como modelo el sistema de Vitruvio, basado en la belleza de las proporciones consonantes y los números pequeños. De manera específica, recomienda a los arquitectos utilizar fracciones racionales siempre que sea posible^[77]:

Si no podéis hacer todo con la forma del cuadrado o el círculo, tomaréis de ellos siempre alguna parte —o partes— conocida, como la mitad, un tercio, tres cuartos, dos tercios, etc. […], proporcionándolos siempre que podáis, en partes que puedan expresarse con un número.

Gracias al tratado de Pacioli y las ilustraciones de Da Vinci, la popularidad del número áureo no paró de crecer. Su mote metálico aparece por primera vez en los documentos históricos en la primera mitad del siglo XIX. Un siglo más tarde, el matemático Mark Barr empezó a usar la letra griega φ (fi), en honor a Fidias, para representarlo —sin que el escultor del Partenón pudiese hacer nada para confirmar ni desmentir semejante asociación—. Fue a partir de ese momento, y retrospectivamente, cuando los fieles forofos de fiempezaron a buscar sus huellas en toda la historia del arte^[78]. Fascinados por el relato y creyendo imitar a sus antecesores, los artistas contemporáneos, como Dalí y Le Corbusier, se convirtieron probablemente en los primeros en utilizar esta proporción de manera intencional en sus creaciones —que tengamos constancia, al menos—.

Lo malo de enamorarse demasiado de un número es que si alguien lo busca con suficiente ahínco, corre el peligro de encontrarlo en todas partes. No es algo exclusivo del número áureo. En la película El número 23, Jim Carrey se vuelve loco por culpa de las constantes apariciones de esta cifra en concreto. Para los supersticiosos pueden ser el 13 o, peor, el 666, los que se manifiestan en sitios insospechados, como una canción maligna reproducida al revés o una marca de nacimiento sospechosa. Yo prefiero la versión irónica de Douglas Adams que, en La guía del autoestopista galáctico, aclara que «el sentido de la vida, el universo y todo lo demás» es 42. Da un poco igual cuál sea tu cifra mágica preferida. El caso es que para encontrar coincidencias numéricas en estatuas, cuadros, construcciones o partituras, basta con trazar líneas lo bastante gruesas, inventarse puntos arbitrarios desde donde medir o encadenar suficientes operaciones algebraicas.

En muchos sitios de Internet donde se relaciona el número áureo con distintas creaciones artísticas de la Antigüedad y el Renacimiento, es fácil detectar este tipo de trampas: imágenes distorsionadas por la perspectiva, líneas de referencia caprichosas o aproximaciones de φ que hacen difícil justificar su uso. Es común, por ejemplo, encontrar fotografías del Partenón con una espiral áurea superpuesta. Pero si uno afina la mirada, enseguida se da cuenta de que la altura del templo se ha empezado a medir desde el segundo escalón de la plataforma sobre la que se apoya —¿por qué el segundo, por qué no desde la base, o descartando completamente la escalinata?—, que a veces la espiral no llega hasta arriba del frontón o se pasa de largo ligeramente, que su cara interna no coincide con nada…

Otros buscadores de oro numérico prefieren utilizar las dimensiones medidas del Partenón para torturar a los números directamente y obtener con ellos el valor de φ «aproximadamente». En esos casos, se suelen tomar como referencia las medidas publicadas por Francis Cranmer Penrose en 1888^[79]. El principal problema de esta aproximación es que cualquier número se parece a cualquier otro dentro de un «aproximadamente» lo bastante generoso. Yo gano «aproximadamente» lo mismo que Messi… si nos comparan con Jeff Bezos, por ejemplo —y oye, el que no se consuela es porque no quiere—. Así, algunos textos afirman que los 30,89 metros de ancho y 18,02 de altura del templo griego —una proporción de 1,71— se parecen aproximadamente a un rectángulo proporcionado por φ (1,618…), pero no explican por qué descartan otras proporciones posibles, como 1,75 (1 + 3:4) o 1,67 (1 + 2:3), por ejemplo, que se acercan todavía más a la división exacta, ni tampoco indican los errores de las medidas de Penrose, lo cual hace imposible validar la afirmación^[80].

Mario Livio analiza brillantemente esta cuestión en su libro sobre La proporción áurea^[81]:

El juego de tratar de encontrar la proporción áurea en las dimensiones de los objetos es engañoso […]. Cada vez que alguien mide las dimensiones de alguna estructura relativamente compleja […], tiene a su disposición una colección completa de longitudes donde elegir. Siempre que pueda ignorar convenientemente algunas partes del objeto en consideración, si tiene paciencia para hacer malabares y manipular los números de varias maneras, seguramente encontrará algunas proporciones que sean interesantes.

Por ese motivo, para afirmar que cierta imagen o edificio se inspira en una determinada proporción numérica, no debería bastarnos con una mera coincidencia «aproximada». Necesitamos algún indicio documental, algún texto escrito que nos ayude a descubrir lo que sus creadores tenían realmente en mente. Si no, corremos el riesgo de encontrar los números que ya estábamos buscando.

Aunque algunos investigadores del siglo XX han intentado rastrear la presencia del número áureo en distintas obras de la Antigüedad de forma un poco más seria, la evidencia histórica actual no parece respaldar estas hipótesis^[82]. En concreto^[83], no hay ninguna prueba documental de que los arquitectos del Partenón se inspiraran en dicha proporción para trazar sus planos. Tampoco los arquitectos egipcios, ni los romanos, ni los renacentistas. Ni siquiera El hombre de Vitruvio de Da Vinci, que tantas veces se ha asociado a las «proporciones perfectas», guarda rastro de esta cantidad, por muchas espirales que Internet le pinte encima. La altura del dibujo de Da Vinci guarda una proporción respecto al ombligo de 1,65 que se parece a φ como un huevo a una castaña —o como mi sueldo al de Messi, ya puestos—. Pero nuevamente, el principal problema es que, en el texto que acompaña a esta ilustración, Leonardo no hace ni una sola mención a este ratio, ni dice nada que sugiera que podría haberse inspirado en él. Todo lo contrario, El hombre de Vitruvio es un homenaje a las teorías estéticas de Marco Vitruvio —tampoco se rompieron la cabeza con el título—. Y como ya hemos comentado, el arquitecto romano abogaba por el uso de proporciones sencillas, basadas en los pequeños números enteros de la armonía musical que había descubierto Pitágoras.

Todo esto no significa que φ no sea un número precioso en muchos sentidos. Sus propiedades geométricas resultan fascinantes para cualquier aficionado a las matemáticas y explican, además, por qué esta proporción se repite en tantos patrones de la naturaleza, como las conchas de ciertos moluscos o el crecimiento espiral de las semillas y las hojas de algunas plantas. Existen varios libros que desarrollan este tema y no es mi intención repetir sus argumentos aquí^[84]. Sin embargo, desde un punto de vista perceptivo, no hay pruebas de que el número áureo dé lugar a creaciones más «bellas^[85]»^[86], ni existen motivos para pensar que los griegos lo reverenciaban especialmente a nivel estético o filosófico. Más bien al contrario: φ es un número de tipo irracional y, como veremos más adelante, difícilmente habría encajado en el concepto de «belleza» que manejaban los filósofos antiguos —ni el de número, ya puestos—. En cambio, es más probable que el Partenón, al igual que Santa Maria Novella y las ventanas de la Casa Blanca, esté basado en unas proporciones mucho más armónicas, en el sentido pitagórico de la palabra.

Desde hace algunas décadas, varios investigadores han apuntado que los ratios basados en los números enteros 2 y 3 se repiten sistemáticamente en el plano y la fachada del antiguo templo griego^[87]. En los años ochenta, el arqueólogo Ernst Berger determinó, mediante análisis por ordenador, que la medida de 858 mm se repetía, más que ninguna otra, en muchas de las dimensiones del Partenón como si fuese un factor común, la pieza básica del Lego que articulaba todas las demás^[88]. Más tarde, la investigadora Anne Bulckens descubrió que este módulo era un múltiplo del dáctilo^[89], una unidad de la época que podría haber servido para definir las medidas principales del Partenón utilizando números enteros. Siguiendo este análisis, Bulckens determinó que muchos de los elementos del edificio siguen la proporción 9:4 —el cuadrado de 3:2; 9:4 = 3:2 × 3:2—. Aunque el arquitecto del Partenón sigue sin estar aquí para preguntarle y, lamentablemente, no tenemos fuentes documentales directas que nos aclaren cuál pudo ser su intención, estos «números bonitos» cuadran mucho mejor con lo que sabemos de la filosofía y la estética de los griegos. A fin de cuentas, estos son los números de la armonía, procedentes de la misma tradición pitagórica en la que se inspiraron Marco Vitruvio y, tras él, Leon Battista Alberti.

§. Los números de la armonía
Pitágoras era aficionado a buscar números en todas partes y a otorgarles significados estéticos y espirituales a lo loco. Solo que entre sus talismanes no se encontraba φ. Él era más de coleccionar números enteros, redondos y sencillos. En su universo espiritual, para empezar, el diez era un número perfecto, divino, no solo porque fuese el número de dedos de nuestras manos o la base del sistema de numeración griego, sino porque, además, el diez era la suma de los cuatro primeros números naturales: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Cuando estos números se ordenaban en una pirámide, daban lugar a un triángulo equilátero lleno de simbolismo para su religión. El tetraktys era algo así como la «Santísima Cuatridad», representaba el orden numérico y musical que Pitágoras atribuía a todo el universo. Cuando los seguidores de la hermandad tomaban su juramento lo hacían en nombre de «aquel que transmitió a nuestra alma el tetraktys». Su poder mágico aún puede rastrearse entre las recetas de otros hechiceros contemporáneos, como los expertos en tarot o los intérpretes de la cábala. Dos mil años más tarde, todo esto sigue sin tener sentido, claro.

Además de conformar el tetraktys, los cuatro primeros números estaban cargados de múltiples significaciones místicas y matemáticas. En el plano puramente simbólico, el 1 representaba la unidad, el principio del que surgen todas las cosas. El 2, la díada, simbolizaba el comienzo de la multiplicidad y de la contienda, pero también la posibilidad del logos —la palabra o la razón— que permite establecer relaciones entre las cosas. Con el 3 llegaba la armonía que media entre dos extremos, mientras que el 4 encapsulaba la naturaleza del cosmos^[90].

Para Filolao, considerado por muchos como el sucesor de Pitágoras, estos números representaban las posibles ordenaciones del espacio: el 1 era el punto; el 2, la línea —definida por dos puntos—; la superficie era el 3 —los puntos que definen un plano—, el 4 correspondía a un volumen —es el número mínimo de puntos que pueden formar un sólido, como un tetraedro—. A través de las teorías de Empédocles, las mismas cifras se asociaron a los cuatro elementos clásicos, fuego, agua, tierra y aire. Y es posible seguir este rastro hasta llegar a la tradición judeocristiana. Para Filón de Alejandría, el tetraktys pitagórico estaba escondido en el libro del Génesis de la Biblia. Allí, Yaveh crea el Sol, la Luna y las estrellas en el día número cuatro, precisamente el número que los pitagóricos asociaban con el cosmos. ¿Casualidad? Muy probablemente, pero está claro que Filón no lo creía así^[91].

Con el paso de los siglos, las cifras del tetraktys se relacionaron con todo tipo de significados místicos, mágicos y religiosos. Pero entre toda esta colección de asociaciones, los pequeños números tenían un vínculo mucho más importante con la música. Para los pitagóricos, estos eran los números de la armonía. Cuando, armados con su monocordio, medían cuerdas proporcionadas por los números 2:1, 3:2, 4:3 y las hacían vibrar a la vez, lo que obtenían era un tipo de sonoridades especialmente agradables al oído que, desde ese mismo momento, se convirtieron en el centro de su religión y, de paso, en la piedra fundacional de toda la teoría de la música occidental. Los números del tetraktys dieron forma a la armonía desde sus orígenes hasta la Edad Moderna, llegando a limitar incluso los sonidos que los compositores podían utilizar.

Todavía hoy estas sonoridades tienen una función muy especial en nuestra música, son las que se consideran más estables y consonantes. El sonido que resulta cuando uno pulsa dos cuerdas proporcionadas por los números 2:1 —una cuerda de 20 cm y otra de 10, por ejemplo— se conoce como octava. Si la proporción es de 3:2, el resultado se llama quinta. La cuarta es la sonoridad de dos cuerdas cuyas longitudes son proporcionales a 4:3. Estos nombres tienen su origen en la escala musical: la octava abarca ocho notas de una escala —de do a do—, la quinta abarca cinco notas —de do a sol—, y la cuarta, cuatro —de do a fa—. Pero todo esto cobrará más sentido cuando hablemos de ellos en el séptimo capítulo.

De momento, lo importante es entender que cada una de estas fracciones (2:1, 3:2, 4:3) define una sonoridad de forma unívoca, lo que en música se conoce como un intervalo. Como, además, la frecuencia de una cuerda es inversamente proporcional a su longitud, estas mismas proporciones son las que relacionan las frecuencias de los sonidos que forman el intervalo^[92]. Si tenemos un tono de 1 kHz, por ejemplo, su octava se formará con otro tono de 2 kHz —proporción 2:1—, su quinta vendrá dada por un tono de 1,5 kHz (3:2), su cuarta por 1,3 kHz (4:3), etcétera. Y lo mismo sucedería con un tono de 100 Hz, de 400 Hz o de 798 Hz. Para encontrar cómo suena su octava, su quinta o su cuarta, tendríamos que multiplicar esta frecuencia por una fracción.

Los intervalos, como explicamos en el primer capítulo, son «distancias» sonoras que nuestro oído es un experto en reconocer. La «distancia» entre un do y un re, por ejemplo, es un intervalo. Es la misma distancia que existe entre un re y un mi, o entre un sol y un la —técnicamente, un intervalo de tono, o 9:8, aproximadamente—. La distancia entre las dos primeras notas de tu canción preferida también viene dada por cierto intervalo, que estará definido por su propia fracción. Da igual que suenen en un registro más grave o más agudo. Podrías cantar tu canción preferida en otro tono, podrías oírla interpretada por Tom Waits —más grave— o por Mariah Carey —más aguda—. Sus voces son muy distintas, así que en rigor todas las frecuencias de la melodía de tu canción habrían cambiado. Pero los intervalos que la forman, ese dibujo de notas que suben y bajan en el aire, seguirían siendo los mismos. Es ese patrón el que tu oído se empeña en reconocer y está formado por fracciones entre frecuencias sucesivas.

Desde un punto de vista físico, esto implica que las cuerdas proporcionales a una misma fracción producen la misma sonoridad, o el mismo intervalo, para ser más precisos. Da igual la longitud exacta, solo importa la proporción entre sus tamaños. Dos cuerdas de 20 y 10 cm producirán el mismo intervalo que otras dos de 60 y 30 cm, o de 130 y 65 cm. Aunque cada par de cuerdas suene más grave que el anterior, la «distancia» que separa sus sonidos es la misma para tu oído, porque 20:10 es igual que 60:30 o que 130:65. En todos los casos el resultado es 2:1, una octava.

Nuestro oído es un experto en identificar estos intervalos, como decíamos, es una capacidad que conocemos como oído relativo y es única en el reino animal^[93]. Para nosotros, existe la misma distancia sonora entre dos tonos de 100 Hz y 200 Hz, que entre 1000 Hz y 2000 Hz^[94]. Aunque la diferencia en hercios sea muy distinta en cada caso, la proporción entre las frecuencias es la misma (2:1) y, por eso, tu oído relativo lo identifica como el mismo intervalo. Casi todas las demás especies perciben la frecuencia absoluta de los tonos principalmente. En cambio, los humanos recordamos mucho más fácilmente las relaciones que hay entre ellos, las fracciones imaginarias que forman en el aire. Tu oído sabe que 1316:987 es igual que 4:3 mucho antes de que a ti te haya dado tiempo a sacar una calculadora. De alguna manera, es como si tuviésemos una hoja de Excel en nuestras orejas, donde constantemente apuntamos las divisiones que se forman con los sonidos que nos rodean.

En concreto, las fracciones definidas por los números del tetraktys, las octavas 2:1, las quintas 3:2 y las cuartas 4:3, se han considerado especialmente consonantes desde tiempos de los griegos. Cuando los pitagóricos hacían sonar dos cuerdas relacionadas por estas proporciones, lo que escuchaban era la relación existente entre sus armónicos de la que hablamos en el capítulo anterior. Esto explica, en parte, por qué se enamoraron de los números del tetraktys. Cuanto más pequeños son los números que definen un intervalo musical (2:1, 3:2, 4:3…) más frecuencias armónicas comparten sus respectivas notas.

Para entenderlo, regresemos por un momento al ejemplo del capítulo anterior, pero con algo más de detalle. Imagina que tienes un tono de 1 kHz. Su serie armónica estará formada por frecuencias de 2 kHz, 3 kHz, 4 kHz, etcétera. Si ahora haces otro tono de 2 kHz a la vez —es decir, su octava 2:1—, sus armónicos serán 4 kHz, 6 kHz, 8 kHz, etcétera. Pero, como vimos, ¡todas estas frecuencias ya formaban parte del primer tono de 1 kHz! De forma bastante literal, los dos sonidos «encajan» perfectamente porque uno está contenido dentro del otro. En cambio, si haces sonar la quinta —un tono de 1,5 kHz, en este caso, o lo que es lo mismo, 3:2 de 1 kHz—, habrá algunas frecuencias de la nueva serie armónica que no coincidan con las del primer tono. En, concreto, los armónicos impares (1,5 kHz; 4,5 kHz; 7,5 Hz…) aportarán nueva información sonora, mientras que los armónicos pares (1 kHz, 3 kHz, 600 Hz…) reforzarán la serie ya existente. La cuarta (4:3) resultará más diferente todavía. Su serie armónica coincide solo en una de cada tres frecuencias con la del tono original. Y así sucesivamente. Cuanto mayores sean los números que definen el intervalo, menos frecuencias compartirán sus espectros, de manera que «número pequeño», en música, significa en gran medida «número armónico».

Se trata, en cualquier caso, de una cuestión gradual. Aunque en teoría musical se suele hablar de la consonancia y la disonancia como si fuesen conceptos perfectamente excluyentes —agradable o desagradable, blanco o negro—, la realidad es bastante más compleja. La consonancia de los sucesivos intervalos forma más bien una escala de grises; donde la octava 2:1 resulta algo más consonante que la quinta 3:2, que encaja un poco mejor que la cuarta 4:3, y esta a su vez tiene prioridad sobre 5:4, 6:5, etcétera. Y encima de todo esto, se encuentra la cultura, el modo en que se utilizan estos sonidos dentro de un lenguaje musical, que afecta también a la forma en que los percibimos.

Los griegos, sin embargo, definieron la consonancia de manera inflexible para que abarcase fracciones solo hasta el número 4. A través de esta tradición teórica, los números del tetraktys terminaron por definir toda la música religiosa en Europa durante la Edad Media. Gracias al fenómeno físico y perceptivo de la consonancia y a su elocuente simplicidad matemática, los pitagóricos concluyeron que debían existir patrones ocultos en la música, leyes que podían entender, pero que ellos no habían inventado y que tampoco podían cambiar. La belleza de la música, esa emoción sin referente que nos sobrecoge y nos atrapa sin que podamos explicar el porqué, era el resultado de relaciones numéricas exactas.

§. Un, dos, tres… ¡catorce!

A simple vista, no hay diferencia entre el cerebro de Einstein y el del maestro que, en el periodo magdaleniense del paleolítico superior, pintó las cuevas de Lascaux.

Stanislas Dehaene, El cerebro matemático^[95]

Gracias a arquitectos como Vitruvio y Alberti, los pequeños números de la música y el ideal de belleza que representaban acabaron resonando en los planos de los edificios de medio mundo, desde Florencia hasta Washington D. C. El talento de Leonardo da Vinci como ilustrador capturó esas mismas «armonías» en una de las imágenes más icónicas del Renacimiento, que hoy se repite en miles de pósteres y hasta en algún meme de Internet. Lo bonito es pensar que, detrás de todo este relato de influencias estéticas, se encuentra la ecuación que define el movimiento de una cuerda ¡la primera ley física jamás descrita! A través de la música, Pitágoras consiguió contagiar su pasión por los pequeños números también al mundo de las artes plásticas.

Sin embargo, cabe preguntarse, ¿por qué los griegos decidieron pararse ahí? 1, 2, 3 y 4 son solo los primeros armónicos de una cuerda, no los únicos. La física no se detiene bruscamente en este punto, las cuerdas tienen tantos modos normales como uno quiera contar, así que 5:4, 6:5 o 513:512 podrían considerarse intervalos de la serie armónica, si se quiere. Al menos en teoría. En la práctica, los armónicos más agudos se vuelven cada vez más tenues y a partir de cierto punto se salen de nuestro rango auditivo, por lo que dejamos de oírlos. Pero, matemáticamente —y las matemáticas eran lo único que le importaban a Pitágoras—, los números grandes también forman parte del espectro armónico de los sonidos musicales. Y, sin embargo, los griegos decidieron excluirlos de su tetraktys sagrado.

Es imposible conocer los motivos que les llevaron a esta superstición. Podríamos intentar preguntarle a alguna de las reencarnaciones de Pitágoras, pero, claro, el casting para encontrarlas podría salir un poco mal. Lo mejor que podemos hacer es especular sobre lo que los pitagóricos tenían en la cabeza y, en este punto, la psicología es la disciplina que más nos puede ayudar. Si bien no hay ningún fenómeno acústico que justifique la contundencia con que los pitagóricos descartaron las cifras mayores que cuatro, existen posibles sesgos cognitivos que explican esta preferencia.

De hecho, para nuestro cerebro no todos los números son iguales. Para comprobarlo, te propongo un pequeño experimento. Si yo, por ejemplo, ahora escribo:

Imagina la cantidad dos
Es probable que las neuronas de tu cabeza desfilen rápidamente para intentar visualizar dos de algo: dos puntos, dos peras, dos velas de cumpleaños. Probablemente, el reto no te haya planteado ningún problema. Sin embargo, si te propongo:

Imagina la cantidad diecisiete
¿Qué tal ahora? O tienes una mente de androide o, esta vez en tu cabeza, han salido «un montón» de cosas. Pero ¿ese montón eran exactamente diecisiete? Difícilmente puedes saberlo.

Vamos con otra prueba. Esta vez, intenta contestar de un vistazo muy rápido, sin hacer trampas. ¿Estás preparado? ¡Ya!

¿En cuál de estas imágenes hay más puntos?

Fácil, ¿no? Basta mirar para darse cuenta de que la de la izquierda está más densamente poblada. En cambio, si te pregunto cuántos puntos había exactamente en cada imagen, probablemente te cueste bastante más averiguarlo. Más tiempo —el que te lleve contarlos—, y más esfuerzo mental también. Ya no vale con un simple vistazo.

¿Cuántos años tienes?, ¿cuánto cobras?, ¿cuántos libros has leído este año?, ¿cuántos kilómetros has recorrido en coche? Aunque usamos números para comunicarnos constantemente en nuestro día a día, lo cierto es que nuestro cerebro no se hizo precisamente a su medida. Somos mucho más ágiles comparando montones que manejando cifras exactas. Nos perdemos con los grandes números —a menudo, ni siquiera tan grandes— y chapoteamos torpemente entre cantidades aproximadas. Una pizca, un poco, una «mijilla», bastante, un montón, una «pechá».

Tiene sentido que sea así. A pesar de los anhelos de Pitágoras y de los siglos de historia de la ciencia que nos han traído hasta aquí, dentro de nuestro cráneo seguimos siendo solo monos medio listos; iguales esencialmente a los Homo sapiens de hace cien mil años, pero con una buena biblioteca. Por eso tu cerebro —o el del mismísimo Einstein, como apunta Stanislas Dehaene— no es muy distinto al de los humanos que pintaron las cuevas de Altamira. Y en Altamira nadie hacía exámenes de matemáticas, así que los números exactos, más allá del cuatro o el cinco, no servían de gran cosa.

Comparar cantidades groseramente, en cambio, sí pudo resultar bastante útil para sobrevivir hace decenas de miles de años: elegir el árbol con más frutos —sin importar que fuesen cuarenta y ocho o cincuenta—, evitar un grupo de depredadores demasiado numeroso, estimar si son más abundantes los machos o las hembras esta noche en el bar —o donde ligasen los homínidos de Altamira—… son habilidades que no solo manejamos con soltura, sino que compartimos con muchas otras especies animales. Desde el siglo pasado, se ha comprobado que varios tipos de aves y mamíferos son capaces de distinguir cantidades numéricas sin necesidad de un entrenamiento especial. Eso sí, solo son razonablemente precisos cuando se trata de identificar cantidades muy pequeñas, como uno, dos, tres. A partir de cuatro o cinco sus estimaciones se vuelven aproximadas y, en todos los casos, la precisión disminuye cuanto mayores son los números. Lo mismo sucede con los humanos, si se ponen restricciones que les impidan «contar». Cuando se les enseña una imagen durante poco tiempo, o se les hace escuchar secuencias muy rápidas de sonidos, aciertan únicamente con los números más pequeños.

Esta habilidad para reconocer cantidades de un vistazo es lo que se conoce en psicología como subitización —por lo súbitamente que sucede— y, de acuerdo con Stanislas Dehaene, estaría limitada por nuestra memoria de trabajo. Es como si nuestra cabeza tuviese solo unos pocos bolsillos donde podemos colocar hasta tres o cuatro elementos a la vez sin necesidad de pensar demasiado. A partir del quinto empezamos a liarnos. Aunque no se trata de un límite totalmente rígido, desde cantidades sorprendentemente pequeñas tenemos que ir punto por punto, asignando un pensamiento nuevo a cada elemento y liberándolo antes de poder pasar a otro. Este es el motivo por el que nos resulta más fácil interpretar imágenes con pocos elementos —como un anuncio donde se nos muestran tres opciones, en lugar de diecisiete— o por el que nunca conseguimos seguir al camarero cuando nos recita la interminable carta de postres y siempre acabamos pidiendo café. Tenemos tres o cuatro bolsillos en la cabeza para guardar información y procesarla en el momento. Todo lo que se salga de ahí, es abusar.

La subitización pudo tener mucho que ver con la preferencia de Pitágoras por su tetraktys. Pero además, ha influido poderosamente en la historia de los números que el filósofo tanto idolatró^[96]. En muchos sistemas de escritura numérica, los tres o cuatro primeros signos son, sencillamente, la repetición del número 1. El ejemplo más cercano lo encontramos en los números romanos. Los primeros son solo I, II, III, probablemente porque distinguir un palito de dos o tres es algo que podemos hacer sin pensar, literalmente. Imagina ahora que los romanos hubiesen decidido seguir con la misma lógica hasta el infinito. Solo en el reloj de la cocina tendríamos números completamente ilegibles como IIIIIIIII o IIIIIIIIIIII, un verdadero dolor de cabeza. Evidentemente, añadir rayitas para representar cantidades es una estrategia de alcance bastante corto y el límite lo marca, precisamente, nuestra capacidad para distinguir cantidades a ojo de manera precisa. Cuando llegaron al cuatro, los romanos decidieron que los palitos empezaban a marearles y optaron por agruparlos visualmente bajo una nueva lógica. Así nació el cinco (V), como los dedos de una mano, y el cuatro (IV), que es cinco menos uno. Esta referencia a las manos es también el motivo por el que nuestro sistema de numeración tiene base decimal y por el que el tetraktys, después de todo, encajaba tan bien en la cabeza de los griegos.

Con todo, los romanos no eran precisamente unos maestros en cuestiones de legibilidad. Si alguna vez has visto una fecha escrita con su sistema numérico, sabrás a qué me refiero. Se tarda un rato en comprobar que Colón llegó a América en MCDXCII o si la Revolución francesa estalló en MDCCLXXXIX —¿o fue en MDCCCLXXIX? Siempre me lío—. La numeración arábiga, en cambio, es mucho más compacta y sistemática en su escritura. Y también, mucho más usable: facilita enormemente el resolver ciertos cálculos con lápiz y papel. Prueba si no a hacer una multiplicación de dos cifras en números romanos —como XIII por XXVIII— y verás a qué me refiero. Por eso, probablemente, la numeración arábiga no tardó en reemplazar a las aparatosas letras romanas. Sin embargo, los signos que utiliza, 1, 2, 3, tienen una historia parecida a la del I, II y el III, aunque hoy su forma no nos dé tantas pistas al respecto. Solo el 1 se sigue pareciendo al palito que fue. El 2 probablemente nació como dos líneas horizontales que se fueron fusionando para ganar agilidad en su escritura, y lo mismo le sucedió a los tres tristes trazos del 3. El 4, sin embargo, constituía de nuevo un punto de ruptura. En numeración brahmi, tenía forma de cruz, probablemente porque cuatro palitos empezaban a resultar difíciles de discernir. Estos símbolos nacieron en la India hace más de dos mil años, llegaron a Occidente a través de los árabes en la Edad Media y hoy llevan el nombre del mensajero. Los números arábigos hoy se utilizan en todo el mundo a excepción, valga la ironía, de algunas partes del mundo árabe.

Nuestra capacidad para «no contar» solo hasta tres se encuentran también en otra facultad característicamente humana, tan universal como el lenguaje: nuestro sentido del ritmo. Si bien existen formas musicales enormemente complejas en este dominio, en la mayoría de tradiciones predominan las métricas binarias y ternarias, esto es, grupos de dos o tres duraciones iguales —pulsos— que agrupan y estructuran la música. El vals sería un compás ternario, por ejemplo —pum-chin-chin, pum-chin-chin—. La música pop, por su parte, suele utilizar compases binarios. El más común es el conocido como cuatro por cuatro (4/4), un compás de cuatro partes —oh, sorpresa— que a su vez se organizan de dos en dos —una especie de pum-chin-pin-chin—. Cada pulso, a su vez, se subdivide en mitades, en cuartos, etcétera. Todo un fractal de dualidades.

Hay excepciones, por supuesto, culturas que han empujado los límites de la complejidad rítmica hasta cotas verdaderamente sorprendentes. En la India, los talas son patrones cíclicos que pueden llegar a encadenar hasta veintinueve pulsos. Dentro de nuestra propia tradición encontramos compases como el cinco por cuatro (5/4) que da nombre a Take Five, un estándar de jazz de Paul Desmond, y casos todavía más extremos y experimentales dentro del repertorio contemporáneo que hacen que el concepto mismo de métrica se vuelva difícil de aplicar. Pero esto no es lo más habitual y, cuando se dan estos casos, a menudo pueden interpretarse como una amalgama de métricas más pequeñas. Un compás de cinco partes, por ejemplo, puede pensarse como la unión de uno de tres partes y otro de dos —o viceversa—, que es como lo marcan habitualmente los directores de orquesta. El hecho es que, a partir del cuatro o el cinco, nuestras estimaciones numéricas se vuelven cada vez más aproximadas y torpes. Cualquier cifra más alta nos obliga a estar pensando, y eso es malísimo para bailar.

Así, los pequeños números de la armonía tienen un encaje en nuestra forma de pensar que va mucho más allá de la estética musical. Gracias a la teoría musical griega, acabaron inspirando a los artistas y arquitectos del Renacimiento. Y, como veremos, ayudaron a definir también nuestro concepto mismo de número.

Capítulo 4
El descubrimiento de la disonancia

§. Diabolus in musica
Siempre se ha sospechado que muchas estrellas de rock deben de ser buenas amigas del diablo. Es un estereotipo que tiene su origen, probablemente, en la historia de Robert Johnson, un cantante, guitarrista y compositor de blues de Misisipi que saltó repentinamente a la fama a comienzos del siglo XX. Cuenta la leyenda que Johnson se encontró con el mismísimo Satanás en un cruce de caminos, a medianoche —estas cosas nunca suceden a las nueve de la mañana—, y que decidió venderle su alma a cambio de talento musical. El diablo simplemente cogió su guitarra, tocó algunas canciones y se la devolvió afinada. Pero, después de este toque mágico, Johnson pasó de ser un músico itinerante mediocre a uno de los mejores guitarristas de todos los tiempos, ganador de varios premios Grammy en el siglo XXI. Su misteriosa muerte a la edad de veintisiete años —algunos especulan que por asesinato— solo ayudó a reforzar el relato.

Cuando el blues se convirtió en rock and roll a mitad de siglo, este mito fundacional pasó a formar parte de su propia narrativa. Los predicadores lo denunciaron desde sus púlpitos y advirtieron a sus seguidores sobre estos orígenes demoníacos. Algunos artistas como John Lennon, Katy Perry o Bon Jovi han bromeado en prensa sobre la posibilidad de compartir el pacto mágico de Johnson. Otros han construido una autopista al infierno —Highway to Hell— con su guitarra, han lanzados discos a Petición de sus majestades satánicas —Their Satanic Majesties Request de los Rolling— o le han dedicado una canción a El día de la bestia porque, según cantaba Robe Iniesta, en el infierno se aburría. Desde los años setenta se puso incluso de moda la idea de que, si reproducías ciertas canciones rock hacia atrás, era posible escuchar mensajes satánicos. Pero no fue hasta que el rock dio paso al heavy metal cuando Satán saltó al escenario por su propio pie, como protagonista y articulador de toda una estética sonora y visual.

Se considera que Black Sabbath fue el grupo culpable de esta invocación definitiva. En 1970 publicaron su primer disco, Black Sabbath, y la primera canción, titulada también Black Sabbath —no se rompieron mucho la cabeza—, deja pocas dudas acerca de su inspiración. La letra habla de una figura oscura con ojos de fuego, que señala con el dedo y le dice a la gente sus deseos. Es Satanás que sonríe, sentado, mientras observa las llamas en ascenso a su alrededor. La gente huye despavorida, pero el cantante se lamenta: no tiene escapatoria, él es el elegido.

Según cuenta la propia banda, este extraño relato se basa en una experiencia real que tuvieron dos de sus integrantes. El bajista, Geezer Butler, estaba obsesionado con el ocultismo en aquella época. Había pintado todo su apartamento de negro, después de añadir crucifijos invertidos e imágenes del anticristo como decoración. Por eso, el cantante Ozzy Osbourne le había regalado un libro de brujería. Sin embargo, y de acuerdo con el testimonio de Butler, este desapareció de su estantería tras la visita de una figura… oscura. Inspirado por el suceso, Osbourne escribió la famosa canción.

Toda la estética del álbum acompaña esta narrativa. En la portada, una figura oscura se mezcla con el paisaje tétrico, frente a una casa que tampoco da muy buen rollo. Los primeros sonidos nos sitúan en medio de la lluvia, cerca de una iglesia de tañido fúnebre, sorprendidos por el eco de algún trueno ocasional. Todo mal, vaya. Pero la nota diabólica definitiva la pone la propia música. Black Sabbath empieza con un riff característico —un patrón melódico repetitivo— de solo tres notas: sol - sol - do#. La distancia sonora que las separa se conoce hoy en día como el diabolus in musica y su elección, por supuesto, no podría ser casual. Este intervalo, en concreto, también conocido como tritono —un tridente, solo que formado por tonos—, o como cuarta aumentada o quinta disminuida, ha sido considerado tradicionalmente como uno de los más tensos e inquietantes de toda la teoría de la música occidental, una de sus principales disonancias —la hermanastra malvada de la consonancia, el reverso oscuro de la fuerza—. Cuando sus frecuencias se suman, en lugar de «encajar» entre sí, se rozan, interfieren unas con otras y provocan cierta aspereza en nuestro oído que se suele considerar desagradable.

Esta sonoridad ha sido la causante de las connotaciones oscuras que han acompañado al tritono desde la Antigüedad, si bien su asociación con Satanás, específicamente, parece ser mucho más reciente de lo que se suele dar a entender. El intervalo ya era conocido al menos desde tiempos de los griegos y su aspereza sonora creó todo un cisma en sus matemáticas, como veremos más adelante. Durante la Edad Media, los teóricos musicales y compositores preferían evitarlo en sus partituras, porque resultaba especialmente difícil de cantar. Como la música religiosa era principalmente vocal, era previsible que algún monje acabara desafinando en el coro, y de esta manera se ahorraban disgustos. Algunos tratados musicales como Musica enchiriadis en el siglo IX, formularon distintas normas que tenían por objetivo desterrar el tritono de las partituras de las iglesias^[97] y, con el paso de los siglos, este intervalo acabó siendo conocido como el diabolus in musica. Esas «normas» eran puramente musicales, eso sí. No hay ningún indicio de que la Inquisición lo prohibiera o de que la Iglesia afirmase que ese era el sonido de Belcebú, ni nada por el estilo. A pesar de las muchas referencias a este mito que hay por Internet, ni siquiera está muy claro si su nombre diabólico se utilizaba ya en la Edad Media o si se trata de un apodo posterior. En rigor, la primera aparición documentada del nombre diabolus in musica se encuentra en un tratado de 1725 publicado por el compositor Johann Fux. Su Gradus ad Parnassum fue leído y estudiado por todos los compositores del siglo XVIII y del Romanticismo y, con el paso del tiempo, más y más compositores empezaron a usar el tritono para evocar al diablo de manera simbólica.

Fue así cómo un apodo casual se convirtió en la semilla de todos los males. Liszt lo hace sonar para recrear el infierno en su sonata Dante para piano. Prokofiev lo convirtió en el protagonista de una Sugestión diabólica, también para piano. Saint-Saëns abre su Danza macabra con su ataque estridente arañando las cuerdas de un violín. Wagner, Berlioz, Debussy, Britten… decenas de compositores, especialmente desde el Romanticismo, se han sumado al mal de este demonio sonoro.

Y el siglo XX no se ha quedado atrás. Puedes oír un tritono en los primeros acordes, agresivos, estridentes, de Purple Haze de Jimi Hendrix —el bajo toca un mi, la guitarra un si bemol—. Tocadas simultáneamente, las notas del tritono provocan extrañeza, son duras como una mueca, o como una pregunta poco cortés. Tocadas de forma consecutiva, como en el riff de Black Sabbath, quizás no llaman tanto la atención. Pero aun así generan cierta tensión que tiende a dirigir la música hacia el siguiente sonido. Las dos primeras notas del tema de Los Simpson —The-Simp…—, por ejemplo, forman precisamente un tritono. También el comienzo del estribillo de Maria —Ma-ri…—, la canción de Bernstein para el musical West Side Story. Lo interesante de estas dos melodías es que no es posible dejarlas suspendidas en la segunda nota: el tritono es un lugar de paso, resulta incómodo detenerse sobre él. En cambio, tanto en The Simpsons como en Ma-ri-a, la última nota sirve como punto de apoyo, como lugar de llegada. Es solo un poquito más aguda que la anterior y, precisamente por eso, suena a alivio y a reposo. Cualquier otro sonido no quedaría igual de bien ahí. En música se suele decir que la disonancia «resuelve» hacia arriba, en este caso. La tensión creada por el tritono anticipa y hace desear la nota final.

El riff que se repite en Black Sabbath, por su parte, no tiene la menor intención de «resolver» nada. Por eso se queda apoyado en el tritono, de manera contundente y obstinada. Para colmo de males —satánicos males—, la guitarra añade un trino sobre el último sonido —el do#— que flirtea con la posible resolución —el re, un pelín más agudo—. La melodía alterna rápidamente entre los dos sonidos —la nota tensa, do#, y su resolución, re—, pero nunca deja que la estabilidad triunfe del todo. Porque no hay nada más diabólico que pasar sed en el desierto y que te enseñen una botella de agua, sin poder llegar a catarla.

Tras la publicación de Black Sabbath, muchas otras bandas se sumaron a su estética y su nueva sonoridad. Acababa de nacer el heavy metal, y con él el Príncipe de las Tinieblas saltó a los medios convencionales convertido en todo un icono pop, símbolo de subversión y rebeldía dispuesto a conquistar el mundo desde las cámaras de la MTV. No es de extrañar que, en los sectores más puritanos de Estados Unidos, todo esto despertase las alarmas de los ciudadanos bienpensantes. Padres cristianos preocupados acusaban a este género musical de arrastrar a los jóvenes hacia la delincuencia, la autodestrucción, las drogas y el Mal, así en general. La polémica acabó en los tribunales, donde los jueces obligaron a las discográficas a colocar un sello de advertencia en los discos con mensajes oscuros de cualquier tipo. La pegatina de Parental Advisory. Explicit Content —«Aviso parental. Contenido explícito»— hoy mancha la portada de casi cualquier disco que se publique en el país norteamericano.

Ninguna advertencia podría acabar con el heavy metal, eso sí. Hoy, decenas de discos repiten las mismas claves estéticas: portadas en letras góticas, pentagramas, referencias a lo oculto, oscuridad, violencia… y disonancias, claro. Muchos otros intérpretes después de Black Sabbath, incluidos Metallica, Slayer, Marilyn Manson y Slipknot, han seguido confiando en el poder del tritono para teñir de oscuridad y extrañeza su propia música. Algunos han hecho referencia a este intervalo de manera explícita y, probablemente por eso, si hoy uno hace una rápida búsqueda de diabolus in musica en el buscador de imágenes Google, los resultados le devuelven decenas de discos, temas y grupos… donde todos los integrantes van vestidos de negro.

Pero de entre todos los males que ha causado este misterioso demonio sonoro, ninguno es comparable a la crisis que provocó entre los matemáticos pitagóricos. Su sonoridad áspera y estridente les llevó a cuestionar la base de toda su religión numérica y definió la estructura misma de sus estudios matemáticos en el quadrivium. Como veremos, esa terrible disonancia vino acompañada por un hallazgo que no se esperaban: el descubrimiento de los números irracionales.

§. El nacimiento de los números
Antes de hablar de las matemáticas de los griegos y sus problemas con la disonancia, volvamos por un momento al tema de la subitización, esa habilidad para contar a ojo que mencionamos en el capítulo anterior. Si por naturaleza no somos capaces de identificar cantidades mayores que cuatro, ¿cómo es posible que hoy manejemos cifras mucho más altas para pagar la cuenta del restaurante, seguir una receta de bizcocho o hasta para calcular la masa de los átomos o de un cúmulo estelar? Si los números no vienen «de serie» en nuestro cerebro de simio, ¿de dónde han salido?

La respuesta a esta cuestión se encuentra en otra capacidad característicamente humana, la misma que dio lugar al lenguaje y a la música hace decenas de miles de años: nuestro pensamiento simbólico.

Son los símbolos los que nos permiten inventar unidades discretas, siempre iguales entre sí y usarlas como referencia para medir el mundo. Contar es inventarse algo abstracto e inmutable llamado «uno» —un plátano, una fruta, una noche, un kilo, un 1—, hacerlo encajar sobre la realidad borrosa y cambiante que nos rodea, y asignarle algún tipo de representación a las sucesivas coincidencias —uno, 2, III, four,—. Es esa representación, los números propiamente dichos, la que fija de manera precisa cada cantidad y nos permite realmente «contar» más allá de las cantidades que nuestros sentidos reconocen de manera inmediata.

De acuerdo con esta idea, el primer número de la historia del que tenemos constancia —esto es, la primera representación simbólica de una cantidad— fue, probablemente, el 29. Ni más ni menos. Esa es la cantidad de marcas que figuran en un hueso de babuino de más de cuarenta mil años de antigüedad, encontrado en una cueva de Suazilandia a principios de los años setenta^[98]. El hueso de Lebombo, como se llama, ha llevado a algunos arqueólogos a pensar que aquellos humanos primitivos estaban representando las noches de un ciclo lunar. A fin de cuentas, las fases de la Luna, con su periodo de 29 días, 12 horas y 44 minutos, es uno de los fenómenos más regulares y fáciles de observar de nuestro entorno cotidiano —después de la salida diaria del sol, quizás—. Otros investigadores, en cambio, argumentan que el hueso parece estar roto por uno de sus extremos. En tal caso, el número total de marcas podría ser mayor, 33, 54, 107, y la hipótesis de la Luna dejaría de tener sentido —personalmente, preferiría que en total sumasen 42, e imaginar que los primeros humanos ya tenían en sus manos el sentido del universo, la vida y todo lo demás—.

Poco a poco, las marcas del hueso de Lebombo dieron paso a otras representaciones más sofisticadas, como los nudos de los quipus incas o las cuentas del ábaco. La palabra «cálculo» proviene de un sistema parecido. Para aprender a contar, los niños romanos utilizaban unas piedrecillas llamadas calculus, y por ese motivo hoy podemos albergar en el riñón una asignatura entera de las matemáticas. Los números arábigos y el sistema decimal llegaron algo después. Son un reflejo de los dedos de nuestras manos, otro de los símbolos que desde un primer momento utilizamos para poder cuantificar el mundo que nos rodea.

Gracias a esa capacidad única que nos permite relacionar las marcas de un hueso con la luna —o ponerle voz a unas manchas de tinta sobre las páginas de un libro—, los humanos inventamos los números naturales. Pero estos fueron solo el principio de una larga historia. Precisamente porque los números son símbolos, la forma en que pensamos sobre ellos ha cambiado enormemente a lo largo de la historia. Hoy tenemos números irracionales, trascendentes, números nulos como el cero, negativos o incluso imaginarios. No siempre fue así. Cada una de estas categorías ha ido surgiendo en respuesta a distintos problemas planteados por la propia evolución cultural de las matemáticas o incluso de la música, como veremos. Pero ninguno de estos cambios sucedió sin oponer cierta resistencia.

Para los griegos, por ejemplo, el cero no era claramente un número. No es que no concibiesen la ausencia de cosas. En algún momento se beberían un vaso entero de vino y echarían de menos su contenido. Pero ¿cómo iba a ser «nada» un «algo»? Si yo voy y digo que tengo «cero plátanos», ¿por qué menciono siquiera el plátano? También tengo cero yates y cero gamusinos y, sin embargo, no hago referencia a ellos. ¿Qué sentido tiene contar lo que no hay? Por este motivo, los matemáticos griegos no crearon ningún símbolo que representase el cero —tenían 0 símbolos para representar el cero, concretamente, aunque ellos nunca lo hubiesen expresado así—. Esto explica en parte que su sistema de notación numérica fuese farragoso y complejo y que no haya perdurado hasta nuestros días. Pasó algo parecido con los números romanos, que ahora solo sirven para marcar el paso de los siglos y dar la hora en algunos relojes refinados.

El cero, como signo escrito, apareció por primera vez en unas tablillas de arcilla de los babilonios, hacia el siglo III a. C. Aunque entonces todavía no podía considerarse un número como tal. Más bien se trataba de «un hueco», un signo de puntuación que les ayudaba a diferenciar mejor algunas cantidades como 1·1 (1 cien más 1 uno) o 2··3 (2 miles más 3 unos). Los matemáticos indios fueron los primeros en desarrollar el concepto del cero como hoy lo entendemos, hacia el siglo V d. C., así como la notación numérica que usamos en la actualidad (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0). Sus aportaciones fueron recogidas por los árabes, y desde al-Ándalus viajaron al resto de Europa.

Un poco más allá de la nada, los primeros matemáticos de la Antigüedad se encontraron con otra limitación adicional. Para ellos, una resta como «1-3» carecía por completo de sentido. Si te quedas sin nada, ¿cómo te van a quitar más cosas? Podría parecer una objeción bastante ingenua, en un tiempo en el que todos parecemos condenados a negociar una hipoteca con el banco. Pero la rareza de los números negativos irritó, incluso, a algunos científicos de la modernidad. El matemático Michael Stifel se refirió a ellos como «números absurdos» a mediados del siglo XVI, e incluso un siglo entero más tarde, el célebre Blaise Pascal se negaba a aceptar una resta con resultado negativo. En sus Pensamientos^[99], publicados en 1670, afirma indignado: «Conozco a algunos incapaces de entender que cuando le restas cuatro a cero, lo que te queda es cero». El padre de Pascal era recaudador de impuestos, quizás tuviera algo que ver con su aversión a esta especie de números morosos. La primera aparición de este concepto se encuentra al otro lado del mundo, en un libro titulado Los nueve capítulos sobre arte matemático —Jiŭzhāng Suànshù—. Se trata de una obra anónima, una recolección del saber matemático atesorado durante la dinastía Han hace poco más de dos mil años. En él, el color negro se utiliza para distinguir los números fu —‘falsos’ o negativos— de los colorados zheng —los números ‘verdaderos’—. Este color se asocia al éxito y la fortuna en la cultura oriental, quizás por eso aquí se invierte nuestra idea convencional sobre los «números rojos».

Los últimos en llegar a esta fiesta fueron los números complejos, inventados en Europa en el siglo XVI, y su aparición tampoco estuvo exenta de polémica. El apodo de «imaginarios» se lo debemos a Descartes, de hecho, quien los llamaba así despectivamente para manifestar su oposición —como si hubiese algún tipo de número que no fuese «imaginario»—. Ya en el siglo XIX, el matemático Augustus De Morgan los calificó como «vacíos de significado, contradictorios y absurdos». Pero no debemos ser demasiado duros con los matemáticos del pasado, ni con nosotros mismos cuando nos cuesta entender cualquier concepto numérico novedoso. Como explica el neurocientífico Stanislas Dehaene^[100]:

Estas entidades matemáticas son tan difíciles de asimilar para nosotros, y desafían nuestra intuición, porque no se corresponden con ninguna categoría preexistente en nuestro cerebro. Los números enteros y positivos encuentran naturalmente un eco en nuestra representación mental innata de las cantidades. Por ello, un niño de cuatro años puede entenderlos. Sin embargo, otros tipos de números no tienen ningún análogo directo en el cerebro. Para comprenderlos realmente, uno debe construir un modelo mental que le proporcione una comprensión intuitiva.

Algo parecido les debió de suceder a los matemáticos griegos. En su época, el concepto de número se parecía mucho a la primera versión intuitiva y directa de las cantidades que los humanos aprendimos a manejar en primer lugar. No abarcaba más allá de lo que hoy entendemos como números racionales estrictamente positivos; es decir, los números naturales —1, 2, 3, 4, 5… cualquier cifra que se pueda apuntar como marcas en un hueso de babuino— y fracciones que se pueden expresar como la relación entre dos números naturales (1:2, 3:2, 4:3, 514:345…). Sin embargo, en tiempos de Pitágoras tuvo lugar un descubrimiento que cambiaría necesariamente este concepto. Los hoy llamados números irracionales aparecieron, como un dulce envenenado, en el mismo teorema por el que recordamos principalmente al filósofo griego, y provocaron una brecha en la historia de las matemáticas que no superaríamos hasta la Edad Moderna.

Su rechazo por este tipo de cantidades obedecía a cuestiones filosóficas y matemáticas, pero también, de manera muy relevante, a argumentos musicales y estéticos. Los irracionales son números extraños, con infinitos decimales eternamente cambiantes, que no se pueden expresar como una simple fracción entre dos enteros. Pero además, cuando los griegos tocaban con su lira cuerdas de distintas longitudes proporcionadas por cantidades de este tipo, el resultado eran sonoridades ásperas y desagradables, como el comienzo de la canción de Black Sabbath. Sus indagaciones matemáticas y musicales les llevaron a descubrir, ni más ni menos, el diabolus in musica. Su disonancia les sirvió para confirmar que ciertas cantidades debían ser excluidas del mundo de los números y provocó un cisma entre sus seguidores que, según la leyenda, terminó en asesinato.

§. El demonio infinito
Nos encontramos en el mar Egeo, en el siglo V a. C. Un barco se pelea con las olas durante la tormenta cuando, de repente, un hombre sale despedido por la borda. Ha sido arrojado por sus compañeros con el objetivo de que muera ahogado. Y no es para menos: el muy malnacido acaba de demostrar que la raíz cuadrada de dos (√2) es un número irracional.

Esta es la leyenda que rodea el final de uno de los matemáticos más destacados de la escuela pitagórica temprana, el célebre Hípaso de Metaponto. Como todo lo que rodea la vida de Pitágoras y sus seguidores, la historia es altamente dudosa, está escasamente documentada y tiene su propia colección de versiones posibles. En algunas se indica que Hípaso simplemente murió en un naufragio, sin especial ayuda de nadie —o quizás ayudado por los dioses, debido a su impiedad—. En otras, es Pitágoras quien lo lanza con sus propias manos al mar. Otras niegan este último punto. Aclaran que los pitagóricos nunca ahogaron a Hípaso, ¡menuda exageración! Tan solo lo desterraron, lo declararon hereje y construyeron una tumba con su nombre para demostrar que, a sus ojos, el matemático había muerto^[101]. Lo que está claro es que el temita de los irracionales les sentó peor que fatal, y desde ese momento, al igual que «pitagórico» se convirtió en sinónimo de virtud, todo lo malo se empezó a atribuir al malvado Hípaso.

Pero ¿a qué se debió tanto revuelo? ¿De verdad una simple prueba matemática podía causar tanto mal?

Está claro que los pitagóricos así lo creían. La cuestión es que, para ellos, Hípaso no solo había descubierto un nuevo tipo de cantidades. Su hallazgo ponía en duda todo el concepto de «número» sobre el que se construía su pensamiento filosófico y su religión. La idea de que «todo es número» hacía referencia, específicamente, a los números racionales y articulaba su idea de un cosmos ordenado y armónico, regido por las mismas proporciones que hacían agradables los sonidos de una lira^[102].

De hecho, aunque el concepto de los griegos no abarcaba más que los números racionales, esto no significa que fuese en absoluto simple o carente de sutileza. En sus matemáticas había mucha filosofía involucrada y, como veremos, también mucha música. Para Platón, contar era mucho más que recitar «uno, dos, tres, cuatro…». Era la base del pensamiento abstracto y simbólico, porque implicaba primero definir la unidad, esto es, la «idea», y reconocerla en la multitud —sus manifestaciones—. Ante una lechuga, un tomate y un atún, un filósofo puede describir tres seres vivos, dos tipos de verduras o una rica ensalada. Para ello, necesita distinguir algunos elementos según ciertas propiedades u olvidar sus diferencias respecto a otras, para unirlos en categorías más amplias^[103]. Necesita saber conceptualizar y cambiar de concepto según el contexto, necesita reconocer la «idea», que era lo único realmente importante en el pensamiento de Platón.

Este tipo de conocimiento de la diferencia, profundo y abstracto, era el que emparentaba la filosofía con las matemáticas y, en concreto, con la aritmética. Dentro del quadrivium, esta era la disciplina que se dedicaba al estudio de los números y de las operaciones elementales que se pueden hacer con ellos. Es decir, trataba sobre las cosas que se pueden contar —plátanos, yates, gamusinos…— y sobre las distintas maneras de formar grupos con ellas —sumas, restas, multiplicaciones y divisiones— y, por tanto, dependía crucialmente de esa distinción entre el uno y el varios a la que Platón daba tanta importancia. Los arithmos, en griego, eran los números enteros y servían para designar las sucesivas repeticiones de la unidad —la multitud o plēthos—. Su nombre tiene un interesante parentesco musical. El «ritmo» —que comparte la misma raíz indoeuropea— hace referencia a un patrón repetitivo de duraciones de tiempo, que para los griegos se manifestaba a través del movimiento. Tanto en la aritmética como en el ritmo de la música, hay unidades de distintos tamaños que encajan entre sí, se fusionan o se dividen en partes iguales: se relacionan mediante números exclusivamente racionales.

De manera totalmente opuesta, la geometría trataba sobre el estudio del espacio, y el espacio es una magnitud —megathos—. En él no existen «porciones» por defecto ni hay una unidad predefinida. El espacio, en principio, no se puede «contar» como los plátanos, los yates y los gamusinos. Y lo mismo sucede con el tiempo, la temperatura, la frecuencia, la masa… casi todo lo que estudian los físicos son magnitudes. Para poder cuantificarlas es necesario «medirlas», que consiste en comparar la magnitud en cuestión con alguna unidad inventada: el metro, el kelvin, el hercio, la candela, el culombio, el gramo… Ninguna de estas unidades existe a priori, nadie va por ahí y se encuentra un amperio colgando de la rama de un árbol. Son solo referencias convenientes, puntos arbitrarios definidos porque sí, dentro de un continuo infinitamente divisible.

En el fondo, la esperanza de los griegos era que el mundo de la geometría también pudiese describirse con «números», una vez definidas las unidades necesarias. Dados dos números racionales, siempre es posible encontrar otro número racional que se encuentre a medio camino entre los dos, por lo que parecería lógico esperar que cualquier magnitud se pudiese medir de forma exacta utilizando únicamente este tipo de relaciones, por muy grandes y tortuosas que se volviesen las fracciones. Sin embargo, esto no es así. A diferencia de las multitudes, las magnitudes no siempre se pueden relacionar mediante números enteros, ni siquiera mediante números racionales. En el mundo de la geometría es habitual encontrar líneas y superficies que nunca encajan perfectamente entre sí. Por más que se repitan en el espacio, por más que uno las mida con más y más precisión, no es posible encontrar dos números enteros que definan su proporción.

Este es el caso de π, por ejemplo. Si uno toma el diámetro de un círculo y su perímetro y los compara, no es posible determinar cuántas veces cabe el primero en el segundo usando solo números racionales. Como mucho, se pueden buscar buenas aproximaciones, que es lo que han hecho los matemáticos desde que descubrieron las cosas redondas. A los babilonios les bastaba con saber que el diámetro cabe unas tres veces en la circunferencia, grosso modo. Puede parecer una barbaridad, pero conviene recordar que, en 1897, la Asamblea General de Indiana, en Estados Unidos, estuvo a punto de aprobar por medio de una ley que la cuadratura del círculo es posible dado que π = 3,2 ¡y punto! Por desgracia, la ley no se aprobó, habría simplificado mucho las cosas y resuelto un problema milenario de las matemáticas. En el año 250 a. C., Arquímedes estimó correctamente que 223 diámetros caben en 71 perímetros, pero 22 sobresalen respecto a 7 —es decir, 223:71 es un poco menor que π y 22:7 es un poco mayor—. En China, en el siglo V, Zu Chongzhi encontró una aproximación todavía mejor, 355:113, que coincide hasta su sexto decimal con π. Lo bonito de estos números es que son, además, especialmente fáciles de recordar. Basta con recitar los impares repetidos de dos en dos: 113,355.

Sin embargo, ninguna de estas operaciones da el valor exacto de π y tampoco es fácil demostrar que este camino de sucesivas aproximaciones es, en realidad, infinito. Puesto que existen infinitos números racionales, con tantos decimales y tanta precisión como uno quiera añadir, lo razonable —nunca mejor dicho— sería que el diámetro de un círculo y su perímetro se relacionasen mediante alguna proporción exacta, por muy «feos» que fueran los números finales, por tortuosa que resultase la última fracción. Este fue, desde luego, el anhelo pitagórico, su idea de que «todo es número». Lo que querían decir, en realidad, es que al final «todo encaja». Y, sin embargo, no es así. Existen lugares en la recta de los números que no se pueden expresar como fracciones, que no marcan ningún ritmo, que no encajan ni pueden encajar con los números naturales, por mucho que se repitan o se subdividan. Este es el universo de los números irracionales.

Fueron los pitagóricos, para su desdicha, quienes descubrieron este hecho matemático. Estaba esperándoles a traición en el mismo teorema que hoy lleva el nombre de su fundador; concretamente, en la esquina de un cuadrado regular. Resulta que si uno compara la longitud de uno de sus lados con la diagonal, descubre que no es posible hacerlos encajar jamás, por mucho que los multiplique o divida sus dimensiones mediante números enteros. Su proporción, hoy lo sabemos, es √2, un número con infinitos decimales.

Se suele atribuir a Hípaso de Metaponto la prueba matemática de que esta relación geométrica es necesariamente irracional. Se hace por reducción al absurdo y parte de las propiedades del teorema de Pitágoras para demostrar que, en caso de existir una proporción racional entre la diagonal de un cuadrado y su lado, este lado no podría ser ni par ni impar, ¡un absurdo! Es bastante elegante, así que la dejo en una nota aparte, por si a algún lector le picase la curiosidad^[104]. Pitágoras, el hombre que dedicó su vida entera a proclamar que «todo es número», hoy es principalmente recordado por la primera ecuación geométrica que demuestra que algunas magnitudes no lo son, ni pueden serlo.

Hoy π, √2, φ y otras magnitudes similares forman parte de nuestro concepto de «número». Pero este cambio no se dio en Europa hasta muchos siglos más tarde y fue gracias a la música en gran medida, como veremos más adelante. A un pitagórico, el mismo nombre le habría parecido un sinsentido. Bajo su definición, los números «irracionales» son números «no numéricos», una contradicción ridícula, como el agua seca o la luz sombría. Y hasta cierto punto, no les faltaba razón. Ni siquiera en nuestro tiempo podemos representar estas cantidades mediante signos numéricos, estrictamente hablando. Cada vez que cogemos el boli para anotar garabatos como π, √2 o φ, usamos un atajo —un símbolo— que nos permite hacer referencia a una relación geométrica. Pero si prescindimos de ese truco, si quisiéramos expresar π, rigurosamente, como un valor numérico sobre la recta de los reales, nos veríamos obligados a utilizar infinitos signos, sin llegar a encontrar nunca un patrón que dictase su forma. Toda la tinta del planeta sería insuficiente, agotaríamos todos los bolis, todos los lápices y todo el papel de cada árbol de cada bosque de cada rincón del mundo. Nos marchitaríamos sobre toneladas de folios sin haber completado la tarea y el tiempo de nuestros hijos, sus nietos y todas las generaciones venideras hasta que el Sol se apague y devore la Tierra, seguiría siendo insuficiente. Ese es el abismo al que nos enfrenta el infinito de lo irracional. No es de extrañar que los pitagóricos quisiesen desterrarlo de su armonioso mundo de pequeños números y, por eso mismo, resulta especialmente improbable que ningún arquitecto o escultor griego quisiese utilizar el número áureo en sus creaciones con el objetivo de producir «belleza».

Por otra parte, y más allá de este problema de notación, los pitagóricos tenían otros motivos estéticos para separar tajantemente la geometría —con sus magnitudes irracionales— de la aritmética —con sus multitudes—. Y es que resulta que ¡la raíz cuadrada de dos les sonaba fatal!

Existen buenos motivos para ello. Los encontramos nuevamente en la física de una cuerda que vibra y en la habilidad que tiene nuestro oído para reconocer la serie armónica e integrar sus frecuencias en un único tono. En los intervalos consonantes, producidos por cuerdas relacionadas mediante números enteros y sencillos (2:1, 3:2, 4:3…), las frecuencias de cada nota coinciden en gran medida. Al sumarse, originan una onda periódica, que según explicó Helmholtz, es la marca característica de un tono musical. Pero si la relación numérica es más complicada o directamente irracional, ¡no hay manera de que nada coincida con nada! Los espectros se rozan sin que nuestro oído pueda llegar a separarlos, y sin que puedan encajar tampoco. Es la tensión propia de la disonancia.

El caso de √2, el primero de los irracionales que los griegos descubrieron gracias a —o por culpa de— Hípaso, era especialmente doloroso. Cuando los pitagóricos pulsaban dos cuerdas de longitudes proporcionales al lado y la diagonal de un cuadrado —es decir, proporcionales a √2:1— no solo generaban una disonancia. Lo que obtenían era un sonido especialmente tenso, irreverente e inquietante: ¡el mismísimo diabolus in musica!

El resto de la historia ya la hemos contado. Después de romperle el corazón a los pitagóricos, el tritono se pasó toda la Edad Media arruinando coros de monjes, saltó al Romanticismo con un tridente en la mano y poseyó a las estrellas del rock para que inventasen el heavy metal a comienzos de los años setenta. Decenas de músicos y compositores, desde hace al menos dos siglos, se han sumado al mal de este demonio infinito, cabalgando sobre el primero de los números irracionales. Al final, puede que los pitagóricos hiciesen bien en tirar a Hípaso por la borda. Después de todo, quizás solo se tratase de un exorcismo.

§. La simetría irracional de la música
Los griegos descubrieron el concepto de lo irracional. Sin embargo, la fealdad de sus decimales infinitos y su falta de armonía los llevó a levantar un muro entre la aritmética y la geometría que, durante siglos, nadie se atrevería a franquear. Para ellos, las multitudes y las magnitudes, los números racionales e irracionales formaban mundos excluyentes. Esta brecha prevaleció durante la Edad Media, cristalizada en la estructura del quadrivium, con sus cuatro disciplinas matemáticas perfectamente separadas.

A partir del siglo XVI, sin embargo, el desarrollo de las matemáticas empezó a encontrarse problemas asociados a este antiguo divorcio. Los matemáticos modernos necesitaban nuevas formas de trabajar con las cantidades irracionales que los griegos habían desterrado al mundo de la geometría. Necesitaban formular un nuevo concepto de número que abarcase también los inconmensurables, y la música se convirtió en una pieza fundamental para conseguirlo. Desde la Antigüedad, los sonidos de sus cuerdas habían originado el conflicto entre la aritmética y la geometría. Pero también fueron ellas, dos mil años más tarde, las que facilitaron una reconciliación.

La primera mención explícita y plenamente consecuente a los «números irracionales» —numerici irrationales—, en tanto que «números», se la debemos a un matemático alemán del siglo XVI^[105]. En su libro Arithmetica integra, de 1544, Michael Stifel introduce también el término «exponente» y usa los símbolos +, – y √ que hoy nos resultan familiares. Lo curioso es que su novedoso concepto aparece en un contexto puramente musical, ¡un problema de afinación, ni más ni menos! En su tratado, Stiefel utiliza las longitudes de una cuerda para definir diferentes intervalos musicales, como ya habían hecho los pitagóricos antes que él. Pero, a partir de las notas así definidas, el matemático se pregunta cómo dividir un intervalo de un tono —proporción 9:8— en dos mitades «musicalmente» iguales. Dicho de otra manera, Stiefel busca el sonido intermedio entre un do y un re, eso que hoy llamamos do sostenido.

Aunque este problema no era precisamente nuevo en el mundo de la música, es en el Renacimiento cuando empieza a cobrar más importancia. Al mismo tiempo que los matemáticos intentaban liberarse del concepto griego de número, los músicos estaban intentando ampliar el concepto pitagórico de consonancia. Durante siglos, los músicos teóricos solo habían aceptado como intervalos perfectos aquellos definidos por los armónicos hasta el número cuatro (2:1, 3:2, 4:3), según la definición convencional que había establecido Pitágoras y su amado tetraktys. Sin embargo, gracias a la práctica musical de los siglos XV y XVI, menos pendiente de los números y más atenta a los sonidos percibidos y a las emociones de los oyentes, ciertas sonoridades no tan pitagóricas empezaron a ser aceptadas. Fue entonces cuando la música abandonó su ideal matemático para volverse una disciplina mucho más humana.

Como parte de este cambio, los compositores empezaron a utilizar habitualmente un tipo de intervalos conocidos como terceras y sextas, con relaciones de frecuencias que llegan a incluir los armónicos hasta el número 5 y el 6 —las terceras, en concreto, se corresponden con las fracciones 5:4 y 6:5—. En 1640, el musicólogo Giovanni Battista Doni señala estos intervalos como las principales fuentes de afectividad y emoción musical, «porque las consonancias menores son tristes y llorosas y dan este carácter a los acordes y lo contrario es cierto de las mayores, que son alegres y enérgicas^[106]».

Esta asociación aún perdura en la actualidad. Las terceras y sextas son los intervalos que caracterizan los acordes mayores y menores, utilizados habitualmente para expresar alegría o tristeza en música. Es una asociación que admite muchos matices, por supuesto —la música no es algo sencillo y las emociones humanas, todavía menos—, pero como pauta general, vale para hacerse una idea. Fue precisamente en el Renacimiento cuando nació esta asociación y cuando los músicos comenzaron a teorizar sobre cómo combinar distintos modos y escalas musicales con el fin de obtener distintos efectos emocionales. Para ello se inspiraron en la teoría musical de los griegos, pero hablaremos más sobre estos modos y sus modulaciones cuando entre en escena Galileo.

Hoy estos intervalos y escalas están completamente aceptados en la teoría musical. Todo lo que oímos en la radio, de Il Divo a Rosalía, pasando por cualquier tema de rock, pop, trap o reguetón, está formado por los mismos elementos: octavas, quintas y terceras. Constituyen las piezas básicas de eso que conocemos como «acordes», los pilares verticales de la música, las partículas que le dan su color. El acorde de do mayor —formado por las notas do-mi-sol—, por poner el ejemplo más sencillo, combina una tercera mayor —de do a mi, 5:4— con una quinta —entre do y sol, 3:2—. Son sonoridades procedentes de los armónicos de una cuerda y refuerzan, de alguna manera, los ingredientes que ya están presentes en un tono musical y que nuestro oído está acostumbrado a integrar.

En el Renacimiento, por otra parte, toda la flexibilidad expresiva aportada por las nuevas sonoridades y los cambios de escala tuvo un coste inesperado para los músicos y los lutieres de la época. Al utilizar más tipos de sonoridades y consonancias, la afinación de sus instrumentos se volvió mucho más complicada. Hoy aún es posible encontrar en los museos clavecines de esta época con diecisiete, diecinueve ¡o hasta treinta y seis teclas en cada escala! Son los llamados teclados enarmónicos —los pianos contemporáneos tienen doce teclas en cada octava, por comparación—.

El motivo para semejante despliegue de teclas y sonidos es algo técnico pero, básicamente, lo que nos vienen a decir la armonía y las matemáticas en este caso es que, en cuestiones de afinación, todo no se puede tener. Si en una guitarra o un laúd uno afina perfectamente las quintas, se le estropean las terceras y viceversa. Hasta ese momento, no había habido gran problema, porque casi todos los músicos habían jugado al mismo palo, a quintas —o, dicho de otra manera, solo habían utilizado las consonancias pitagóricas 2:1, 3:2, 4:3 para afinar—. Pero en esta época empiezan a cobrar importancia otros sistemas de afinación alternativos, en un intento por conseguir que las terceras y las sextas sonasen un poco mejor.

De esta manera, los músicos del Renacimiento empezaron a añadir nuevas notas a sus escalas y a sus instrumentos. Desde un punto de vista matemático, su esfuerzo no era muy distinto al de los geómetras que buscaban aproximaciones cada vez más precisas de π. Pero, al igual que sucede con el perímetro de un círculo y su radio, no existe un encaje posible entre las distintas consonancias dentro de una escala, y el motivo es exactamente el mismo. Por muchas vueltas que le dé uno a la escala, por muchas teclas que añada a su clavecín, las terceras, quintas y octavas nos arrojan una y otra vez al mundo de los infinitos irracionales. No hay encaje posible, es una incompatibilidad matemática. En cuestiones de afinación, todo no se puede tener, y de hecho, en la perfecta lira de Pitágoras, no todos los intervalos sonaban bien.

Pero como sucede habitualmente con los problemas irresolubles, la diplomacia terminó siendo el camino hacia la paz. Por suerte, en el Renacimiento, los músicos habían empezado a sacudirse el idealismo pitagórico que los había obligado a componer con las orejas tapadas y la vista puesta en los números. Poco a poco, empezaron a inventar otros sistemas de afinación conciliadores y generosos en ñapas, sistemas que desafinaban un poco todas las notas para que ningún intervalo sonase demasiado mal —aunque ninguno sonase perfectamente bien tampoco—. Son los llamados «temperamentos» que, en este caso, no tienen nada que ver con el carácter de una persona. La palabra hace referencia al acto de «templar las cuerdas», medirlas con cuidado para modificar ligeramente su afinación, en busca de un sonido que se acomodase mejor a la práctica musical. Y podría parecer, quizás, un problema poco trascendente. Un pasatiempo artesanal, interesante solo para contables minuciosos o para afinadores de pianos con trastorno obsesivo compulsivo. Sin embargo, las discusiones sobre afinación ocuparon a científicos como Galileo, Christiaan Huygens, Leonhard Euler, Isaac Newton, Thomas Young, Helmholtz o Max Planck. Todos ellos escribieron sobre posibles temperamentos en alguno de sus tratados, probablemente porque les intrigaba la posibilidad de resolver un problema estético utilizando números.

Probablemente, el más conocido de todos estos sistemas de afinación fue el «buen temperamento» que Johann Sebastian Bach ilustró con sus libros de preludios y fugas. A pesar de lo que se suele leer por Internet, Bach no inventó el sistema de afinación actual —el temperamento igual— y ni siquiera parece que llegase a usarlo en absoluto. Lo más probable es que su famoso Clave bien temperado se basara en un sistema de afinación ligeramente irregular, construido a base de apaños y pequeños retales de sonidos. Este «buen» temperamento tampoco lo había ideado el compositor, por otra parte, si bien fue bastante utilizado en su época. La idea de Bach, más bien, era que si tocabas sus veinticuatro preludios y fugas en todas las tonalidades posibles y ninguna sonaba del todo mal, entonces tu clave estaba «bien» temperado. Sin duda, un esfuerzo un pelín exagerado como ejercicio de afinación, pero Bach era un tío aplicado y prolífico en todos los aspectos de su vida. El «temperamento igual» que utilizamos en la actualidad es ligeramente diferente. Es un sistema mucho más simétrico y matemáticamente preciso. Pero, para poder formularlo, los matemáticos tuvieron que dejar de lado las ñapas de los afinadores y aprender a partir los intervalos musicales en varios trozos iguales de manera precisa. Necesitaban calcular el «punto intermedio» entre varias notas.

Este era precisamente el problema que ocupaba a Michael Stifel en su libro Arithmetica integra. El matemático buscaba la forma de dividir el tono en dos mitades iguales de manera exacta. Lo complicado del asunto radicaba en que, para nuestro oído, las distancias sonoras son en realidad fracciones, intervalos, como ya hemos visto. En el mundo de los tonos musicales, existe la misma separación entre 100 Hz y 200 Hz que entre 1000 Hz y 2000 Hz. Por eso, los puntos intermedios entre dos notas deben calcularse mediante multiplicaciones y divisiones, en lugar de sumas y restas, lo que se conoce como hallar una media geométrica. Por poner un ejemplo sencillo: la media aritmética entre 2 y 8 es 5, porque para ir de 2 a 5 o de 5 a 8 hay que sumar siempre la misma cantidad (+ 3); la media geométrica entre 2 y 8 es 4, porque para pasar de 2 a 4 y de 4 a 8, uno debe multiplicar siempre por el mismo factor (× 2). Para nuestro oído, este es el verdadero punto intermedio, el que divide el espacio —la cuerda o el sonido— en «proporciones» iguales.

Stifel se dio cuenta de que la única solución a su problema pasaba por utilizar cantidades irracionales, e incluso ideó un concepto muy parecido al de los logaritmos que formalizaría Napier medio siglo después^[107]. En concreto, se ve obligado a introducir una raíz cuadrada, ¡como la que había condenado a Hípaso de Metaponto dos mil años antes! La distancia de do a do sostenido que buscaba el matemático alemán era √⁹/₈, un número con infinitos decimales que habría puesto los pelos de punta a cualquier matemático griego.

Consciente quizás de este pequeño agravio, Stifel discute las propiedades de estos nuevos números en su libro. Se pregunta si son «verdaderos o ficticios», si realmente pueden considerarse números. Por un lado, los encuentra demasiado útiles como para prescindir de ellos. Entre otras cosas, afirma que «los músicos hablan de estas proporciones irracionales», como dando a entender que si el concepto estaba presente en la práctica musical, debía de ser válido también matemáticamente. Sin embargo, el carácter infinito, inasible de estas cantidades sigue dándole demasiado vértigo. La estética matemática se impone, y Stiefel termina dudando de sus «números» irracionales^[108]:

Cuando intentamos someterlos a numeración y hacerlos proporcionales a los números racionales, encontramos que huyen perpetuamente, de modo que ninguno de ellos puede ser aprehendido con precisión […] Del mismo modo que un número infinito no es un número, un número irracional no es un número verdadero, ya que está oculto bajo una especie de nube de infinito.

El sistema de afinación que usamos en la actualidad, conocido como temperamento igual, está construido usando este tipo de «nubes de infinito». Todas las notas que escuchamos se definen mediante cantidades irracionales. El resultado es mucho menos «perfecto» —armónicamente hablando— que el que había prescrito Pitágoras. Pero en otros sentidos, resulta mucho más simétrico y «sencillo», más fácil de trasladar y de sistematizar. Hoy usamos doce semitonos exactamente iguales para dividir una octava, definidos por la proporción 12√2. Esta es la distancia que separa un do y un do sostenido en nuestros teclados, guitarras y sintetizadores —o cualquier par de notas contiguas, en realidad—. De este modo, todos los sonidos de nuestras escalas están «a mitad de camino», exactamente, entre los dos que lo acompañan, todos contienen un poco de disonancia en su interior, todos están ligerísimamente desafinados para que ninguno suene demasiado mal. El error, en cualquier caso, es inapreciable para nuestro oído, así que el mal del diablo infinito, se convierte, en este caso, en un pecado venial.

Tras varios siglos de discusiones entre músicos, lutieres y matemáticos, la búsqueda de sencillez y de un estándar de afinación común para todos los músicos acabó imponiéndose a la perfección armónica que habían prescrito los pitagóricos. En su lugar, surgió un orden mucho más simétrico y regular. Pero para encontrarlo fue necesario crear un concepto matemático capaz de absorber y sintetizar toda esa complejidad: los números irracionales. Poco a poco, las matemáticas y la práctica musical nos ayudaron a encontrar un equilibrio en el infinito de lo inconmensurable.

Capítulo 5
La música interminable

En algún lugar, sobre la oscurecida curva del mundo, el sol y la luna tiraban de la membrana de agua del planeta terrestre, levemente hinchada en uno de sus lados, sosteniéndola mientras la sólida bola giraba. Siguió avanzando la gran ola de la marea a lo largo de la isla, y el agua se elevó.

William Golding, El señor de las moscas^[109]

§. La versión coreana del milagro de Moisés
Cada año, cientos de coreanos y turistas acuden al sur de la península asiática para observar un curioso milagro. Durante una hora, siempre en primavera, el mar Amarillo se divide en dos y deja a la vista un camino estrecho y serpenteante de tres kilómetros de longitud que une las islas Modo y Jindo. Esta breve ventana de tiempo ofrece la oportunidad a los habitantes de ambos extremos de cruzar el mar a pie y juntarse a medio camino entre las dos islas. El fenómeno se repite durante cuatro días consecutivos, mientras a su alrededor se celebra un festival que atrae a curiosos de todo el mundo. Cada vez que el mar se retira, los humanos se abalanzan sobre el camino, como un largo reguero de hormigas, dispuestos a hacer suyo el terreno recién robado a los peces. Algunos bailan, otros se hacen selfies. Los más avispados aprovechan para recoger almejas y algas marinas, repentinamente desprotegidas sin su húmedo manto de olas.

Fue en 1975 cuando Pierre Landy, el embajador de Francia en Corea del Sur, llamó la atención del mundo sobre este fenómeno. Gracias a un artículo suyo en un periódico francés —y a las agencias de viajes que lo citaron después—, hoy el evento se conoce en todo Occidente como «la versión coreana del milagro de Moisés». En la isla, sin embargo, este camino efímero tiene su propio relato mágico. Según se cuenta, los tigres eran abundantes hace tiempo en la isla Jindo. Un día, empezaron a invadir las aldeas locales y sus habitantes tuvieron que huir a la isla Modo, pero una pobre anciana se quedó abandonada en Jindo por error. Durante días rezó al dios del mar, Yongwang, para que la ayudara a pasar. Este, al final, se apiadó y respondió a sus plegarias en un sueño. Al día siguiente, crearía un arcoíris para que su familia pasase a recogerla. ¡Y así sucedió! Hoy ya no quedan tigres en Jindo, y los turistas que invaden la isla no parecen demasiado fieros. Pero el dios Yongwang sigue fiel a su promesa, y cada año parte el mar en dos para regocijo de los isleños. Parece que los dioses son muy de dividir mares para dejar huir a la gente que les cae bien. Me pregunto qué tendrán en contra de los barcos.

Los físicos tienen su propia versión de los hechos, claro. En realidad, no son los dioses sino las mareas las que causan la división del mar Amarillo. Como sabemos desde hace tiempo, la Luna tira de la piel líquida de nuestro planeta, deformándola levemente mientras la Tierra gira. Esto provoca que el nivel del agua cambie regularmente cerca de las costas. En cada playa se dan dos mareas altas cada día: siempre que ese punto está más cerca de la Luna, o justo en el extremo opuesto. A medida que avanza el día, el abultamiento del agua se desplaza hacia nuevas costas, persiguiendo a nuestro satélite como un romántico hula hoop. Mientras tanto, en la playa, las olas parecen alejarse cada vez más de nuestros pies. Su propia huella, lisa y oscura, es la única que ya no pueden borrar.

Durante una marea especialmente baja, el mar de Jindo se retrae tanto que deja al descubierto un estrecho camino de arena acumulado sobre el lecho marino entre las dos islas. El mar no se divide en dos. Simplemente, se agacha. En Corea del Sur se queda con el ombligo al aire, mientras estira sus espumosos rizos para alcanzar a la Luna desde Estambul.

La cuestión, entonces, es por qué el mar no se divide en Jindo todos los días, sino solo en primavera, un par de veces al año o tres como mucho, siempre a distinta hora y en una fecha distinta. ¿No gira la Tierra cada veinticuatro horas?, ¿no nos rodea la Luna una vez al mes? La respuesta se encuentra en un fenómeno conocido como armónicos de la marea, y no podría tener un nombre más bonito.

En realidad, no todas las mareas son iguales. Si alguna vez decides acampar en la playa, te recomiendo que lo tengas en cuenta. Yo lo aprendí por las malas una noche a las cuatro de la madrugada, a orillas del océano Atlántico. Una amiga y yo habíamos colocado nuestro campamento la tarde anterior cuidadosamente alejado de la última huella de la marea, pero por la noche el mar nos despertó con sus fríos lametones para intentar robarnos la tienda. Pasamos el resto de las vacaciones oliendo a algas y a sal. Pero a cambio aprendimos algo de física y de geología. El nivel del mar no sigue una oscilación perfectamente periódica, ni sube siempre hasta la misma altura.

El motivo es que las mareas no solo se ven afectadas por la Luna y la rotación de la Tierra. También el Sol atrae a las masas de agua. Tanto su fuerza gravitatoria, como la de la Luna, dependen de su distancia de la Tierra, que varía a lo largo de cada traslación. Y todas las órbitas que participan en este ballet sufren a su vez pequeñas variaciones, precesiones, nutaciones, bamboleos varios que afectan en mayor o menor medida al juego de fuerzas que tiran del mar. Aunque, por simplificar, hablemos de mareas altas y bajas, en realidad existen decenas de efectos de diversa magnitud y frecuencia que las modelan, dando lugar a mareas enanas, enormes, medianas y de todas las tallas que uno quiera buscar.

Si representamos el nivel del agua cerca de la costa, en lugar de obtener una curva perfectamente regular, de hecho, lo que encontramos es un garabato más bien difícil de predecir. En él se puede ver cómo el nivel del mar sube y baja dos veces cada día, aproximadamente, de acuerdo con los ritmos de la Luna y la rotación terrestre. Pero, claramente, debe de haber otros factores involucrados que hacen que el dibujo sea mucho más enrevesado. Existen varios fenómenos que van moldeando la forma de la onda a lo largo del mes, y modifican la amplitud de las oscilaciones más rápidas. Para identificarlos y poder predecir el nivel del mar de manera precisa, es necesario descomponer la onda en sus múltiples frecuencias, igual que hace nuestro oído con los sonidos compuestos. Por este motivo, estas «frecuencias» marinas se conocen como armónicos de marea. La partitura a dúo del Sol y la Luna está escrita sobre la superficie del mar. El proceso necesario para separar sus voces es un análisis de Fourier, el mismo que aplica la caracola de nuestro oído para identificar los tonos musicales.

Sin embargo, los componentes de la marea no son precisamente «armónicos», al menos no en el sentido musical y pitagórico del término. La Luna orbita a la Tierra cada 27,321662 días. La Tierra tarda 86.164,098903691 segundos en girar sobre sí misma; le cuesta 365,256363 días dar una vuelta alrededor del Sol. Desde hace siglos, los físicos se esfuerzan por añadir más y más decimales a estos números, en busca de los valores exactos de cada ciclo. Y estas son solo las frecuencias principales que interactúan con las mareas. En total, se requieren hasta sesenta componentes para describir fielmente su oscilación diaria.

Tomados en conjunto, los números que sincronizan esta compleja maquinaria espacial no podrían ser más feos, ¡nada encaja con nada! Son frecuencias inconmensurables que, al combinarse, dan lugar a una onda irregular, cambiante, similar a los ruidos que analizó Helmholtz o al sonido de las láminas bidimensionales que tanto fascinó a Chladni y a Sophie Germain. Por eso en Jindo, el mar se divide solo un par de veces o tres cada año, y siempre en una fecha distinta. Hace falta que muchas frecuencias orbitales coincidan en su punto más bajo para que el nivel del mar descienda lo suficiente, y esto no se da tan a menudo, ni con una periodicidad regular. Lo cierto es que no existen dos mareas iguales. El ir y venir del mar junto a las islas jamás se repite exactamente de la misma manera.

§. La música de las esferas

«¿Qué sonido es este tan fuerte y tan suave a la vez, que llena mis oídos?». «Este es», dijo, «aquel que resulta del impulso y del movimiento de las esferas mismas, en intervalos desiguales pero en proporciones determinadas, y que, combinando los tonos agudos con los más graves, produce acordes variados pero armónicos; pues no puede hacerse en silencio movimiento tan grande, y la naturaleza hace que las esferas extremas emitan de una parte sonidos más graves, y de otra parte sonidos agudos».

Cicerón, «El sueño de Escipión», De re publica (55 a. C.).

Hoy los físicos buscan relaciones en los periodos del Sol, la Luna y la Tierra para poder entender y predecir las mareas de forma precisa. Aunque el análisis de Fourier, como buena herramienta matemática, se pueda aplicar a este y a otros fenómenos de lo más variado, el símil sonoro no es más que una metáfora útil. Las frecuencias que se combinan y dan lugar a la complejidad de las mareas no representan ningún tipo de sonido, únicamente movimientos periódicos, como el de la Luna, el Sol y la Tierra girando sobre sus órbitas. Incluso si esos movimientos produjeran algún tipo de ruido —que no lo hacen—, o si sus frecuencias estuvieran dentro del rango que los humanos podemos percibir —y no lo están—, en el vacío, a falta de aire, esas supuestas ondas sonoras nunca podrían viajar. Como rezaba el cartel de la película Alien, «en el espacio, nadie puede oírte gritar». Todas las demás sagas de ciencia ficción que sobrecogen a los espectadores con estupendas explosiones en el espacio mienten como bellacas. No hay sonidos de ningún tipo en el espacio. Es una imposibilidad física. ¡Ni siquiera el Big Bang fue bang!

Durante siglos, sin embargo, se creyó que estos movimientos planetarios daban lugar de verdad a toda una sinfonía cósmica. Así lo explica Aristóteles en el siglo IV a. C.^[110]:

Hay quienes creen que unos cuerpos tan grandes deben producir necesariamente sonido con su movimiento. También los cuerpos sobre la Tierra lo hacen, aunque no sean tan voluminosos, ni se muevan tan rápido, ni sean tantos en número.

Aunque el filósofo rechazaba esta idea, la expone en su tratado Sobre el cielo para explicar el origen de la llamada «música de las esferas». Según este mito pitagórico, no solo el Sol y la Luna, sino también los planetas y las estrellas, debían emitir su propia frecuencia sonora. En conjunto, producían una especie de música celestial y la clave para desentrañarla consistía en averiguar las proporciones racionales o irracionales que relacionaban sus órbitas. A fin de cuentas, Pitágoras había descubierto que la naturaleza estaba ordenada por números, y la belleza de esos números se manifestaba de manera sensible a través de nuestros oídos. Un universo bello y armónico debía ser, necesariamente, un universo sonoro. Así, en el quadrivium, la música no solo estaba íntimamente ligada a la aritmética, sino también a la astronomía. Las dos eran disciplinas hermanas, capaces de hacer perceptible a través de nuestros sentidos el abstracto mundo de las matemáticas. «Podemos decir que, del mismo modo que nuestros ojos están hechos para la astronomía, nuestros oídos están hechos para percibir la armonía», afirmó Platón en la República.

La unión de música y astronomía daba sentido a otro concepto de profundas implicaciones en el pensamiento griego: el cosmos. Aunque hoy usamos esta palabra como sinónimo de mundo o universo, en su origen tenía muchas más connotaciones. El kósmos —κόσμος— era lo opuesto al kháos —χάος—, implicaba cierto orden y armonía. Se trataba de un todo bien estructurado, regido por números y, por tanto, bello. Esta acepción es la que se esconde en una palabra como «cosmética», por ejemplo. Para un griego, maquillarse —usar «cosméticos»— sería algo así como organizarse la cara, colocar sus elementos en busca de proporciones numéricas; una posibilidad mucho más realista para Mister Potato que para cualquier ser humano con la nariz clavada a mitad de camino entre las orejas, en el mejor de los casos.

La cuestión es, por supuesto, que a pesar de jugar con liras y vestir túnicas blancas, en la antigua Atenas tampoco caía música del cielo. Y los griegos podían ser algo ingenuos pero, desde luego, no eran sordos —o no todos, al menos—. Así que los pitagóricos tuvieron que presentar buenos motivos para explicar el contradictorio silencio cotidiano de los astros. Algunos lo achacaron a la imperfección humana. Según la versión de Porfirio, filósofo neoplatónico e historiador del siglo III d. C., solo Pitágoras era lo bastante puro como para percibir la música celestial^[111]:

Podía escuchar la armonía del universo, entendía la música de las esferas y las estrellas que se mueven en concierto con ellas, la misma que nosotros no podemos escuchar debido a las limitaciones de nuestra naturaleza débil^[112].

Otros filósofos aludieron a una especie de sordera aprendida. Su idea era la siguiente: si el sonido de los planetas nos acompaña desde nuestro nacimiento, es posible que nuestros oídos hayan aprendido a omitirlo. Como un olor que se diluye cuando nos acostumbramos a él, la música celestial no aporta ningún contraste que pueda llamarnos la atención. Cicerón, por su parte, pensaba que la limitación se encontraba en nuestros sentidos: «Los oídos de los mortales están llenos de este sonido, pero son incapaces de oírlo… uno puede también intentar mirar directamente al Sol, cuyos rayos son demasiado intensos para nuestros ojos». Arquitas, en cambio, apuntó a las propiedades de esas vibraciones cósmicas: «muchos sonidos no pueden ser reconocidos por nuestra naturaleza, algunos por la debilidad del impacto, otros por encontrarse a una gran distancia de nosotros, y otros porque su magnitud excede lo que puede entrar por nuestros oídos, como cuando uno vierte demasiado en una vasija con el cuello demasiado estrecho y nada entra». De pura chiripa, la explicación de Arquitas tenía algo de sentido: existen sonidos demasiado graves que no «caben» en nuestro oído; debido a su gran longitud de onda no pueden excitar nuestro tímpano. Si los planetas produjeran algún tipo de sonidos de acuerdo con la frecuencia de sus órbitas, serían de este tipo, profundos infrasonidos. Pero no lo hacen, ya lo hemos dicho: en el espacio nadie puede oírte gritar.

A través de Arquitas, la música de las esferas llegó a oídos de Platón y este la ilustró con algo más de detalle. Al final de la República, cuenta la historia del soldado Er, que es resucitado por los dioses para contar a los vivos su experiencia después de la muerte. Poco antes de elegir un nuevo destino en el que reencarnarse, las almas tienen acceso a una visión del universo en su conjunto. El mito de Er desemboca así en una descripción de la máquina del cosmos, que resulta ser una especie de gramola gigante. En ella, el huso de la Necesidad impulsa el movimiento de los astros. Conectados a él, hay ocho círculos que giran suavemente a distintas velocidades: el del zodíaco, con su laberinto de estrellas, es el más alejado de todos. Contiene las órbitas de los cinco planetas entonces conocidos —Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno—, la Luna y el Sol. La Tierra, en cambio, se sitúa en el centro del universo, completamente estática. A su alrededor, las órbitas de los demás astros forman esferas perfectas, y en cada una hay «una sirena, transportada en su movimiento, cantando el sonido de una sola nota, de modo que las ocho dan lugar a las concordancias de una escala».

La escena es lo bastante psicodélica como para esperar que nadie se la tomase demasiado en serio. Sin embargo, durante siglos, decenas de sabios intentaron averiguar cómo sonaba exactamente aquella música cantada por sirenas espaciales. En el siglo I a. C., en Roma, Cicerón propuso un cosmos de ocho voces, una por esfera, con Mercurio y Venus cantando la misma nota. De este modo, su cosmos cantaba siete notas distintas en total, como en una escala musical o en las cuerdas de una lira. Poco después, Plinio el Viejo determinó exactamente qué nota correspondía a cada planeta e incluyó a la Tierra en la base de todo el coro. Nicómaco de Gerasa, otro pitagórico, revisó la partitura un siglo más tarde, y en su versión decidió silenciar nuevamente a la Tierra, que para algo estaba quieta. Pero, probablemente, ninguno le dio tantas vueltas a su armonía cósmica como Ptolomeo. El astrónomo más conocido de la Antigüedad, creador del sistema «ptolemaico» que clavó la Tierra al centro del universo durante toda la Edad Media, fue también el autor de uno de los tratados de teoría musical más célebres de su tiempo titulado, para variar, Armónicos. Nueve de sus capítulos están dedicados a analizar la armonía de las esferas. Como cuenta Kitty Ferguson en La música de Pitágoras:

Cuando Ptolomeo desarrolló su propio sistema, lo consideró un logro tan significativo que lo hizo grabar en una losa de piedra en Canopo, cerca de Alejandría. Sintió que había hecho una conexión con el conocimiento antiguo, acercando de nuevo el concepto de la música de las esferas a su versión original pitagórica. Venus y Mercurio compartían una nota; las estrellas formaban el coro, cantando la nota más alta; los cuatro elementos hacían sonar las dos notas más graves^[113].

La inscripción que dejó Ptolomeo en Canopo es tan críptica que nadie puede estar seguro acerca de su significado. Pero, de acuerdo con la interpretación de Bruce Stephenson^[114], su partitura celestial abarcaba varias escalas e incidía repetidamente sobre las notas re, sol, do. Estas mismas notas pueden utilizarse como la base de tres acordes que forman una cadencia bastante común, y que en armonía tonal se representan como II - V - I. Es solo una especulación, basada en una de las muchas interpretaciones que quisieron hacer audible lo que no es más que un mito antiguo y algo chiflado. Pero me encanta imaginar que el cosmos de los griegos, con sus sirenas giratorias, sus liras celestiales y su gran gramola, pudo sonar como una de las secuencias de acordes más típicas de la música jazz.

§. Oresme, el moderno
Aunque la mayor parte del tratado de Ptolomeo se perdió antes de la Edad Media, otros escritos antiguos legaron el mito pitagórico a la nueva Europa. En la segunda mitad del siglo XIV, fue retomado por Nicolás de Oresme. Filósofo y matemático francés, hoy se le recuerda como uno de los pensadores más originales de su tiempo. Escribió numerosos tratados sobre economía, matemáticas, física y teología, y ejerció como consejero del rey Carlos V de Francia. Fue, además, el primero en demostrar que la conocida como «serie armónica» en matemáticas —esto es, la suma de 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +…— es divergente o, dicho de otra manera, su resultado es infinito. El nombre de esta serie, cómo no, se debe a su origen musical: estas fracciones definen las proporciones de una cuerda que producen los sonidos armónicos de una frecuencia fundamental.

No fue el único trato de Oresme con la armonía o con el infinito, ya puestos. También intentó dilucidar, a lo largo de varios escritos, cómo sonaría esa supuesta sinfonía celestial de la que hablaban los filósofos antiguos. La clave del asunto era determinar si el deejay del cosmos era la aritmética o la geometría —esto es, si las órbitas celestes estaban regidas por números racionales o irracionales—, porque la diferencia entre una y otra podía llevar a una mezcla disonante interminable, o a otra consonante pero mortalmente repetitiva. En la tercera parte de su Tratado sobre la conmensurabilidad o inconmensurabilidad de los movimientos celestiales, Oresme prefiere dejar que sean personificaciones de estas disciplinas matemáticas las que discutan sus aportaciones a la música celestial, mientras Apolo ejerce como moderador del debate y él escucha anonadado.

Inicialmente, parece que Aritmética tiene todas las de ganar. La tradición pitagórica y el ideal científico que aspira a describir la naturaleza matemáticamente la respaldan. Según ella misma argumenta, Dios reveló la primacía de los números enteros al «ordenar todas las cosas agradablemente, es decir, armónicamente^[115]». Sin embargo, si las proporciones entre las órbitas de los planetas estaban gobernadas por la aritmética, entonces, la música del universo acabaría por repetirse tarde o temprano. Si, por ejemplo, un planeta diera dos vueltas exactas en el tiempo preciso en que otro da tres —lo que equivaldría a un intervalo musical consonante de quinta 2:3—, ambos volverían a encontrarse en el mismo punto de partida al cabo de cierto tiempo, siempre el mismo, y repetirán exactamente el recorrido inicial sin ninguna alteración. La misma periodicidad que caracteriza a los tonos musicales que tanto placen a nuestro oído, daría lugar a un cosmos totalmente cíclico. Ya en tiempos de Oresme se sabía que esto no sucedía así. Las conjunciones de los planetas rara vez suceden en los mismos puntos del cielo, por lo que su danza conjunta difícilmente puede describirse como periódica. Pero, más allá de los hechos observables, que en la Edad Media rara vez eran el centro del debate, el argumento principal de DJ Aritmética parece ser la belleza: el hecho conocido de que las proporciones no conmensurables suenan fatal y, por tanto, no pueden permitirse en un cosmos armonioso. Lo irracional «parece más apropiado para las lamentaciones salvajes del infierno miserable que para los movimientos celestiales que unen, con un maravilloso control, las melodías musicales que apaciguan el gran mundo».

Geometría, por su parte, no intenta negar este punto. Ciertamente, los sonidos racionales son más agradables que los que ella misma es capaz de producir. Más bien, considera que el mero placer perceptivo como motivación artística resulta insuficiente para apreciar la complejidad de la música celestial. Es un criterio estético simplista y está pasado de moda. Sin duda, un cosmos compuesto por Aritmética sería muy armónico, perfectamente ordenado y periódico. ¡Tanto que dormiría hasta a las ovejas! Y «¿qué canción agradaría que se repitiese una y otra vez?», argumenta Geometría, «¿no produciría hastío tanta uniformidad? Sin duda lo haría, ya que la novedad es más deleitable». Para colmo, un universo ambientado con semejante tostón estaría condenado a repetir su historia eternamente, de forma cíclica. Y, según la concepción de Oresme, el cosmos debía ser irreversible, lineal, con un principio y un fin, capaz de generar música rompedora por los siglos de los siglos.

La cuestión, por supuesto, es que Nicolás era un moderno, un hípster con levita a la vanguardia de las tendencias del siglo XIV, y a él lo que le gustaba era la «música nueva» de su tiempo. Sus argumentos científicos son también un reflejo de sus gustos musicales. Un cosmos movido por Geometría podría resultar menos armonioso, sin duda. Pero, por el mismo motivo, su melodía nunca se repetiría exactamente igual. Como las mareas eternamente cambiantes del mar de Jindo, las órbitas inconmensurables serían capaces de generar armonías siempre diferentes. En este tratado, sin embargo, Oresme no se atreve a dar por zanjada la cuestión. Como en el final de una serie de televisión cutre, el filósofo abre los ojos justo antes de que acabe el debate, y en pantalla salen los títulos de crédito. ¡Resulta que todo había sido un sueño! Ya despierto, Oresme recula y afirma «que no está en manos de los hombres descubrir semejantes cosas». Sin embargo, por los ojitos que le pone, está claro quién es su diosa matemática preferida, y el nombre no empieza por A.

En otra obra posterior, El libro del cielo y del mundo, de 1377, Oresme encuentra aún más argumentos a favor de la reina de lo irracional. El matemático demuestra que las proporciones inconmensurables entre las órbitas son más probables que las armónicas. Este razonamiento le lleva a criticar la astrología, entonces considerada parte indisoluble de la astronomía. La infinita variabilidad de los movimientos celestiales haría imposible la recurrencia sobre la que se basan sus predicciones. Nunca habría dos Piscis iguales, dicho de otra manera, da igual cuánto detalle añada uno en su carta astral. En pleno siglo XXI, esto es casi una obviedad. El poder predictivo de los horóscopos se basa en la vaguedad de sus afirmaciones y el deseo de creer en ellas. Si busco el mío en Internet, por ejemplo, y abro una página al azar, el texto me asegura que «Libra se enfrentará a un nuevo reto». Siete palabras que sirven para describir un ascenso a la cumbre del Everest o el hecho heroico de atragantarse con una miga de pan y sobrevivir al desayuno. Siempre es posible encontrar algún evento que encaje con una predicción lo bastante ambigua, así que la eficacia de los horóscopos solo depende de la creatividad de sus seguidores. En tiempos de Oresme, sin embargo, la astrología era el compás que guiaba las decisiones de muchos monarcas de Europa, y les animaba a pagar el sueldo de los astrónomos y matemáticos de su corte como consejeros. No era tan fácil desdeñarla.

No fue la única idea original de Oresme, el moderno. En El libro del cielo y del mundo, llega incluso a plantear la posibilidad de que la Tierra estuviese en movimiento. Esta configuración resultaba especialmente convincente desde un punto de vista musical: en el sistema geocéntrico, las estrellas debían emitir un sonido extremadamente agudo debido a su gran velocidad, puesto que daban una vuelta completa al universo cada día. Claro, la imagen de estos astros dando gritos estridentes y haciendo derrapes a las afueras del cosmos no era precisamente elegante. En cambio, al dejarlas quietas como un póster clavado en el fondo del cosmos, era posible que estuviesen en silencio, una actitud mucho más coherente con su majestuosidad. No obstante, Oresme no termina de decantarse claramente por este modelo, quizás porque era demasiado contraintuitivo o porque temía tener que defenderlo. Aún hoy resulta difícil asimilar el hecho de que la Tierra está en perpetuo movimiento, por mucha física que uno sepa. Piénsalo, ahora que me lees sentado en el sofá, en un parque tranquilo o tumbado en la cama quizás. Debes saber que en este preciso momento te estás moviendo a casi treinta kilómetros por segundo alrededor del Sol, unos 107.208 kilómetros por hora. Ciento. Siete mil. Kilómetros. Cada. Hora. Como cuando vas en coche, no: mil veces más rápido, y sin despeinarte.

El relato popular atribuye la originalidad del modelo heliocéntrico a Nicolás Copérnico. Lo cierto es que, mucho antes que él, en el siglo III a. C., Aristarco de Samos ya había propuesto un sistema planetario centrado en el Sol, inspirándose en las ideas de los pitagóricos. Para ellos, era obvio que si el cosmos ejemplificaba la belleza matemática, los astros debían moverse en círculos perfectos, lo que solo era posible si todos los planetas, incluida la Tierra, giraban alrededor del Sol. Filolao, el sucesor de Pitágoras, creía además en la existencia de un fuego invisible en el centro del universo que provocaba el movimiento de todo lo demás a su alrededor —incluido también el Sol—. En total, su sistema constaba de diez cuerpos celestes: los cinco planetas entonces conocidos, la Luna y el Sol, la bóveda celeste, el fuego central y una contratierra, para rellenar. La elección del número 10, evidentemente, no era casualidad. Lo llamativo, más bien, es que su fe en el modelo teórico y en la belleza de ciertos números le llevase a postular no solo el movimiento de la Tierra —un hecho ciertamente contraintuitivo, contrario a la experiencia cotidiana—, sino también la existencia de objetos celestes imposibles de observar. Si hacía falta una contratierra para sumar diez cuerpos celestes, se añadía sin más. La perfección de los números bonitos, la búsqueda de conexiones y de un sistema «redondo» era más importante que ceñirse estrictamente a la realidad. Quizás por eso Platón llegó a afirmar que mirar al cielo para estudiar astronomía era una pérdida de tiempo. La verdad residía en el mundo de las ideas, así que solo el razonamiento puro podía conducir a ella. Hoy tenemos mejores datos, modelos más completos y un criterio científico mucho más maduro. Pero, quizás, la inspiración de los pitagóricos no era tan distinta a la de muchos físicos teóricos contemporáneos, que se apoyan en la simetría y la simplicidad matemática de ciertos modelos —su belleza— para proponer la existencia de nuevas fuerzas y partículas elementales. A menudo, estas ideas solo pueden ser validadas experimentalmente varias décadas después.

Dos milenios después de Aristarco —seis siglos antes de que se tuviese noticia de las partículas subatómicas—, las motivaciones de Oresme parecen tener también un fuerte trasfondo estético. Su preferencia por esa «música nueva» que solo la geometría podía generar iba más allá de la metáfora. Desde finales del siglo XIII se había librado en Europa la lucha entre dos corrientes musicales, correspondientes a dos épocas distintas. Ars nova fue el nombre que Philippe de Vitry, otro moderno del siglo XIV, le dio a su propia forma de componer. Con este término buscaba distanciarse de la música del periodo anterior, que desde entonces pasó a conocerse como ars antiqua. La diferencia clave estaba en el ritmo. Junto con músicos de la época, De Vitry había logrado liberar a la música de ciertos patrones rítmicos del pasado, especialmente repetitivos, gracias a nuevas formas de notación musical. Sus aportaciones a la música escrita hicieron posible una diversidad y una sofisticación inusitadas hasta la fecha. Con el paso del tiempo, esta tendencia dio lugar a una tercera corriente musical, el ars subtilior, caracterizada por la riqueza visual de sus partituras y todo tipo de «sutilezas» intelectuales, solo accesibles a un público culto capaz de analizar la escritura musical. Fue otra forma de música teórica, pensada para degustarse con los ojos y con la mente, y no solo para los oídos.

De Vitry fue uno de los teóricos musicales más influyentes e innovadores de su tiempo. Estuvo en contacto con muchos intelectuales de la época, entre ellos Oresme. Los dos debieron de llevarse bastante bien, porque este último dedicó uno de sus libros de matemáticas al compositor: Algorismus proportionum, sobre fracciones racionales e irracionales, precisamente. Como un verdadero fan, Oresme colma de halagos a Vitry y afirma efusivamente que le «llamaría Pitágoras si fuese posible creer en la reencarnación de las almas». También sugiere que cualquier corrección del compositor a su libro supondría una mejora, y bastaría para hacerlo invulnerable a cualquier crítica. El equivalente contemporáneo sería leer una dedicatoria de Stephen Hawking a Luis Fonsi pidiéndole sus valiosísimas aportaciones a una nueva teoría sobre agujeros negros: «¿Crees que más allá del horizonte de sucesos el tiempo transcurre… despacito?». La cuestión es que, hace siete siglos, Oresme y Vitry no se dedicaban a disciplinas tan distintas, en realidad. Solo eran ramas hermanas dentro del quadrivium que ambos habían estudiado. Los tratados musicales de Vitry estaban llenos de argumentos matemáticos. Los tratados matemáticos y astronómicos de Oresme sonaban con el ritmo de la música de su tiempo.

Baude Cordier, «Tout par compas suy composés», canon circular, siglo XIV. En el Códice de Chantilly, IMSLP.

§. El astrónomo miope

Siéntate, Jessica. Mira la bóveda celeste tachonada de astros de oro. Hasta el más pequeño que contemples al girar en su esfera como un ángel canta uniendo su voz al coro de los querubines. Tal es la armonía de las almas inmortales, pero mientras este perecedero traje de barro burdamente las cubra, no podemos oírla…

William Shakespeare, El mercader de Venecia (1600)

Con el paso de los siglos, la música de las esferas fue perdiendo interés como hipótesis cosmológica, y su sonido se diluyó en el eco de otros mitos del pasado. El último pensador que intentó escucharla seriamente fue también uno de los primeros referentes de la ciencia moderna. Al igual que Pitágoras y sus seguidores, Kepler estaba convencido de que los números podían revelar la verdad de la naturaleza, más allá de las apariencias. Pero, mientras que los primeros apenas intuyeron la superficie de una ley física que entendieron mal y que de inmediato convirtieron en el centro de su religión, casi dos mil años más tarde los descubrimientos del físico alemán cambiarían para siempre el pensamiento de Occidente.

Su talento matemático y su minucioso tratamiento de los datos fueron clave para ello. Kepler fue el primer matemático en desarrollar un método riguroso para predecir eclipses, el primer astrofísico propiamente dicho, al plantear la existencia de fuerzas que mueven los cuerpos celestes en elipses calculables, el primero en trascender una astronomía puramente descriptiva para hablar de causas que la ligan a la realidad. Todo eso con una mano. Mientras, con la otra se dedicaba a dibujar horóscopos, proponía la aparición espontánea de nuevas especies animales en los pantanos, describía la Tierra como un organismo vivo con cuerpo y alma y sugería la existencia de vida inteligente en Júpiter y el Sol. Se le considera, incluso, uno de los primeros escritores de ciencia ficción. Su novela Somnium —«El sueño»— describe el viaje de un joven astrónomo a la Luna. Se trata de un alegato a favor de la visión heliocentrista del sistema solar: una vez se encuentra en nuestro satélite, el protagonista descubre que sus habitantes creen que la Tierra gira a su alrededor —al igual que los terrícolas percibimos el movimiento aparente del Sol—.

Por otra parte, podría decirse que buena parte de la ciencia de Kepler se distingue más bien poco de la ficción, incluida su propia versión de la música de las esferas. Para él, el sistema solar era una especie de coro giratorio sostenido por poliedros de cristal y cantando un motete polifónico compuesto por el mismísimo Dios. ¡Ríete ahora de las sirenas espaciales! No se trataba de una inocente alegoría: en su tratado más célebre, Harmonices Mundi, Kepler incluye una transcripción de la partitura celestial con sus pentagramas, su análisis armónico y hasta las distintas voces corales que correspondían a cada planeta. La Tierra era contralto, Marte era un tenor. Irónicamente, tras su legado, el concepto de la música de las esferas quedó relegado para siempre al mundo de la poesía. Y sin embargo, puede decirse que fue precisamente su trabajo el que dio sentido por primera vez al ideal que aquella música representaba, el sueño de un universo ordenado, racional y comprensible por el intelecto humano, descrito por hermosas leyes matemáticas.

Kepler se crio en el seno de una familia luterana de Baden-Wurtemberg. Poco antes de cumplir los seis años, su madre le llevó a una colina para ver el cometa de 1577, lo que probablemente despertó su interés por la astronomía. Tampoco sabemos si el pequeño Johannes «vio» gran cosa. Dos años antes había padecido viruela, y la enfermedad había dañado su vista considerablemente. Quedó convertido para siempre en un astrónomo miope, incapaz de observar por sí mismo esos astros que tanto se esmeraría en ordenar. Por lo demás, debió de ser un niño bastante espabilado, y sus esfuerzos académicos le llevaron a estudiar en la Universidad de Tubinga. Allí, Kepler demostró ser un excelente matemático y se granjeó una gran fama también como astrólogo, gracias a los horóscopos que inventaba para otros estudiantes. En ese sentido, Kepler era un escéptico muy pragmático: para él, todos los astrólogos eran unos charlatanes y estafadores, pero hacía una excepción para sus propias predicciones, que siempre le parecían bastante acertadas —quizás había cierta armonía entre el cosmos, el destino y la economía personal, ¡quién sabe!—.

En Tubinga tuvo también la oportunidad de conocer las ideas pecaminosas de Copérnico, que empujaban al Sol hacia el centro del universo desde hacía casi medio siglo. Aunque este modelo no formaba parte del programa oficial de la universidad —la teoría más aceptada en el mundo académico y religioso seguía siendo la de Ptolomeo—, el profesor Michael Maestlin lo reservaba para sus alumnos más aventajados, como Kepler. Maestlin fue uno de los astrónomos más destacados de su tiempo y uno de los primeros en aceptar —y enseñar con disimulo— que la Tierra realmente gira alrededor del Sol. Tuvo una influencia notable sobre el joven Johannes y terminó ejerciendo como su mentor durante el resto de su vida. Años después de su paso por la universidad, en una de las muchas cartas dirigidas a su antiguo profesor, Kepler se refiere a Pitágoras como «el abuelo de todos los copernicanos». Esto demuestra que los dos debían de conocer la obra de los pensadores griegos que habían defendido este modelo en la Antigüedad.

Más allá de las enseñanzas de Maestlin, para Kepler, la teoría heliocéntrica tenía un profundo sentido religioso. En un cosmos creado a imagen y semejanza de Dios, resultaba coherente que el Sol, el más brillante y espléndido de todos los objetos celestes, se situase en el centro de todas las cosas, en representación de su Creador. Este mismo enfoque simbólico y espiritual empapaba toda su cosmología. «Es absolutamente necesario que del Creador más perfecto surja una obra de la máxima belleza^[116]», argumenta en su primer libro. El orden, la armonía, la simplicidad y la simetría del cosmos no eran simples atributos estéticos. Para Kepler, revelaban la firma del Creador. Su pensamiento matemático, como el de Pitágoras, estaba íntimamente ligado a su religión.

De hecho, mientras estudiaba en Tubinga, el propósito de Kepler no era ser astrónomo, sino convertirse en pastor luterano. Seguía este camino con esmero cuando su propia universidad le obligó a tomar un desvío, justo antes de acabar los estudios. La escuela luterana de la vecina Graz había solicitado un profesor de matemáticas y astronomía, y Kepler era el candidato perfecto para cubrir la plaza. A sus veintitrés años, aceptó su destino con resignación religiosa, pero sin ninguna ilusión. Su vocación era decididamente espiritual. Así que pronto empezó a pensar en cómo poner su talento matemático al servicio de su fe, y la respuesta no tardó en aparecer.

El 19 de julio de 1595, mientras dibujaba un diagrama para sus alumnos en la pizarra, Kepler tuvo una revelación divina, o eso debió de parecerle. Sabemos la fecha exacta porque él mismo la anotó, convencido de su importancia, para detallarla más tarde en su primer libro, Mysterium Cosmographicum. «El placer que me proporcionó mi descubrimiento, nunca conseguiré describirlo con palabras^[117]» escribió. En su pizarra, Kepler había empezado a dibujar las conjunciones de Júpiter y Saturno, es decir, los lugares del cielo donde los dos planetas parecen alinearse. Para su sorpresa, estos puntos parecían dibujar una serie de triángulos equiláteros sobre el fondo de estrellas. Solo una pequeña diferencia hacía que la figura rotase ligeramente en cada vuelta, pero, por lo demás, aquel dibujo geométrico parecía perfecto. ¡Quién sino Dios podría haberlo dibujado! La idea le inspiró para buscar otras figuras en el sistema solar y, tras descartar varios polígonos que no se ajustaban a sus datos, se le ocurrió que en un universo tridimensional lo más adecuado sería utilizar formas con volumen.

«Pasé días y noches calculando», cuenta en su libro, «para ver si esta idea encajaría con las órbitas copernicanas, o si mi felicidad se la llevaría el viento^[118]». Kepler estaba convencido de que las órbitas de los planetas estaban definidas por los llamados sólidos platónicos, un tipo de poliedros regulares caracterizados por el hecho de que todas sus caras, ángulos y aristas son iguales: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro. Reciben su apodo en honor al filósofo griego Platón, a quien se atribuye su descubrimiento. Lo interesante es que solo existen cinco de ellos y no es posible formar ninguno más, es una imposibilidad matemática. Esto fue lo que terminó de convencer a Kepler. Cada uno de esos cinco sólidos podía utilizarse como separador entre las órbitas de dos planetas. ¡Esta debía de ser la razón por la que Dios había decidido crear, precisamente, seis cuerpos celestes alrededor del Sol! De un solo plumazo, con un solo argumento, el físico alemán creía poder explicar el número de planetas y, además, las distancias que los separan.

Es cierto que Kepler se esforzó en comprobar si su corazonada era cierta. Después de todo, demostró ser un tipo muy metódico y un excelente matemático. Solo el hecho de que intentase ajustarse a los datos ya demuestra el cambio de mentalidad que comenzó a operar precisamente en aquella época. Sin embargo, la mera coincidencia numérica parece ser la motivación más importante para este físico teórico algo desnortado. Cinco poliedros regulares, ¿casualidad? Por supuesto. Pero Kepler no lo creía. Existía un motivo por el que Dios había elegido crear exactamente seis planetas, no tres, ni dos ni trece. Había orden en las esferas, había números, ¡había armonía y belleza! Desde ese momento, Kepler decidió que su objetivo como académico sería buscar en el cielo el plan de su Creador, que «también quiere ser conocido a través del Libro de la Naturaleza». Como el dios de los pitagóricos, el suyo parecía tener una peculiar afición por las matemáticas.

Pequeño spoiler: la teoría de los poliedros de Kepler no tenía ningún sentido. No hay figuras geométricas transparentes entre los planetas, y sus distancias no pueden calcularse usando solo escuadra y cartabón. Para colmo, resulta que nuestro sistema solar tiene más de seis planetas. Son ocho en total, además de tres planetas enanos entre los que se encuentra el pobre Plutón, recientemente degradado. Algunos astrofísicos contemporáneos proponen incluso la existencia de un noveno planeta que todavía no ha sido observado. Su detección colmaría de felicidad a los pitagóricos, habitantes al fin de un sistema con diez cuerpos celestes —los nueve planetas y el Sol—.

Por otra parte, hoy sabemos que existen innumerables sistemas en todo el universo con distinto número de planetas orbitando alrededor de una estrella. Ni el número seis ni el ocho ni el diez tienen nada de particular en ese sentido, solo son fruto del azar, así que la pregunta de Kepler —«¿por qué seis planetas?»—, tan inocente en apariencia, simplemente no tenía sentido. Y sin embargo, resulta especialmente reveladora. Para Kepler, su trabajo como astrofísico no se limitaba a describir la trayectoria de los astros sobre el cielo, como un simple escriba, minucioso pero pasivo. Él estaba interesado en averiguar las causas de esos movimientos, en explicar «el sistema», de manera que sus infinitas peculiaridades surgiesen naturalmente de una razón más elemental, más básica y comprensible. Para ello, tuvo que inventar la noción de fuerza física. «La máquina celestial», escribió en su Mysterium Cosmographicum, «es algo parecido al mecanismo de un reloj, donde un solo peso impulsa todos los engranajes». En él, «la totalidad de los movimientos complejos se basa en una sola fuerza magnética». Esa supuesta fuerza resultó no ser magnética, sino gravitatoria, según describiría más tarde Newton. Y a los planetas les salieron otro par de compañeros con el paso de los siglos. Pero fue Kepler quien intentó plantear un modelo dinámico en primer lugar, en su afán por simplificar y reducir los movimientos del sistema a una causa más fundamental.

Este tipo de planteamiento sentó un precedente para toda la ciencia moderna, donde la simetría, la armonía y cierta simplicidad lógica y perceptiva son atributos importantes de toda buena teoría. Los modelos más potentes de la física —también los considerados más bellos— son aquellos capaces de explicar más con menos, de conectar puntos aparentemente dispersos, hasta formar con ellos una figura compacta que nos cabe mejor en la cabeza, incluso si para ello es necesario desarrollar aparatos matemáticos cada vez más complejos. Ese largo camino conceptual que, ya en el siglo XX, ha llevado a muchos físicos a intentar unificar todas las fuerzas conocidas del universo, fue un camino iniciado por Kepler. Como dice el historiador Owen Gingerich^[119], «rara vez en la historia un libro tan erróneo ha sido tan fundamental para dirigir el futuro camino de la ciencia».

El propio Kepler terminó dándose cuenta de que su hermosa teoría no se ajustaba con precisión a las observaciones astronómicas disponibles en aquella época. No obstante, el libro donde dio a conocer sus poliedros cósmicos hizo resonar su nombre por toda Europa. Llegó a oídos de Galileo, que le escribió una carta confesando en secreto su propio apoyo a las ideas de Copérnico. También acabó en manos de Tycho Brahe, quien supo reconocer enseguida el talento del joven físico, pese a no compartir su visión heliocentrista. Brahe era entonces el astrónomo más destacado de toda Europa, matemático imperial en la corte de Rodolfo II y guardián de los mejores instrumentos y las observaciones más precisas realizadas hasta la fecha. Fue necesario que sus caminos se cruzaran para que Kepler pudiese completar su trabajo. Y, una vez descartada la teoría poliédrica, el físico alemán apostó por otra no menos fantástica: la teoría armónica de los planetas.

§. Kepler y el coro de los planetas

El movimiento celeste no es otra cosa que una continua canción para varias voces, para ser percibida por el intelecto, no por el oído; una música que, a través de sus discordantes tensiones, a través de sus síncopas y cadencias, progresa hacia cierta predesignada cadencia para seis voces, y mientras tanto deja sus marcas en el inmensurable flujo del tiempo.

Kepler, Harmonices Mundi

Kepler solo menciona la música una vez en su Mysterium Cosmigraphicum. Lo hace para subrayar la coincidencia entre los cinco sólidos platónicos con los cinco armónicos que ya eran admitidos para formar intervalos consonantes en su época. Afortunadamente, el repertorio armónico se había ampliado un poco desde tiempos de Pitágoras, que solo admitía los intervalos 2:1, 3:2, 4:3, para incorporar las relaciones de terceras y de sextas como 5:4 y 5:3. Se trataba, por supuesto, de una casualidad y, para colmo, estaba basada en datos incorrectos: ni hay seis planetas ni las consonancias llegan hasta el armónico cinco, de manera tan tajante. Pero Kepler quiso ver en este número una señal divina, la enésima, y desde ese momento se dedicó a perseguir la armonía en las órbitas de su cosmos. Fue el último cazador de la música de las esferas. Desenterró las ideas de los clásicos y se dedicó a traducir Armónicos de Ptolomeo; llegó a recrear por su cuenta, incluso, algunos de sus pasajes perdidos. Decidió también actualizar sus conocimientos sobre teoría musical estudiando los escritos de sus contemporáneos, y para ello leyó, entre otros, la obra de Vincenzo Galilei, laudista y compositor, uno de los pensadores musicales más destacados de su tiempo. Hoy, sin embargo, Vincenzo es mucho más recordado por haber criado a un niño llamado Galileo.

El 4 de febrero de 1600, Kepler viajó a Praga invitado por el eminente Tycho Brahe, el astrónomo más importante de Europa en aquel momento, que andaba en busca de nuevos talentos matemáticos con los que trabajar. Kepler esperaba poder usar sus datos para poder terminar de afinar sus teorías. Sin embargo, la colaboración no fue todo lo fluida que cabría esperar. Brahe recelaba del físico alemán, en parte por su propio carácter insidioso y conspiranoico. Pero, además, temía que las ideas heliocéntricas del alemán diesen al traste con su propia teoría tychoniana. Tycho defendía personalmente que todos los planetas giraban alrededor del Sol, con una conveniente excepción: la Tierra. El Sol y su corte planetaria al completo se dedicaban a dar vueltas alrededor de nuestro planeta. Era una teoría que reunía todas las ventajas del sistema copernicano, más las ventajas de no tener que enfrentarse a la Iglesia católica. ¡Lo tenía todo! Excepto por un pequeño detalle: que no era correcta, claro. Tycho temía que Kepler fuese el hombre capaz de demostrarlo, y por eso tardó meses en filtrarle con cuentagotas algunos de sus preciosos datos. Solo después de muerto le dejó trabajar en paz —lo que no tardaría mucho en suceder, por otra parte—.

En octubre de 1601, el astrónomo imperial volvió a su casa con molestias en la vejiga después de un largo banquete, y murió a los pocos días entre delirios y terribles dolores. La causa de la muerte no termina de estar clara, aunque su cuerpo ha sido exhumado ya dos veces desde comienzos del siglo XX. Pero, de acuerdo con el diagnóstico más probable, Brahe podría haber fallecido a causa de una uremia; esto es, acumulación de urea en la sangre debida a una ruptura de la vejiga. Al parecer, la etiqueta en los banquetes de la época imponía esperar a que el anfitrión se levantara para moverse de la mesa y Brahe, que era un tío elegante, se había aguantado demasiado las ganas de mear durante la cena. Según un relato probablemente apócrifo, en sus últimos días de agonía, el desdichado aún tuvo fuerzas para proponer su propio epitafio: «Vivió como un sabio y murió como un idiota». No le debieron de tomar demasiado en serio porque hoy en su tumba solo se lee una inscripción en latín. Non fasces nec opes, Sola Artis sceptra perennant. Ni los honores ni la riqueza: solo la perfección de la obra sobrevivirá.

Una vez Brahe estuvo fuera de escena, Kepler le sucedió en la corte de Rodolfo II como matemático imperial y custodio de los mejores datos astronómicos de la época. Con todo este conocimiento por fin a su alcance, se dedicó a revisar sus propias teorías astronómicas, y la primera idea que tuvo que descartar fue la de las «esferas». Desde Platón se había creído que esta figura definía los movimientos astronómicos, por ser la más perfecta. El propio Copérnico había defendido la veracidad de sus teorías basándose en la belleza de las circunferencias que trazaban los planetas. En concreto, su modelo permitía librarse de los dichosos epiciclos: círculos montados sobre otros círculos, que era necesario encadenar para describir el movimiento de los planetas observado desde un centro irreal —desde la Tierra—. Copérnico fue capaz de simplificar todo ese jaleo de engranajes, tirabuzones y chapuzas, al sustituirlo por un sencillo juego de elegantes circunferencias. Sin embargo, estudiando la órbita de Marte, Kepler se dio cuenta de que los datos simplemente no encajaban con este ideal. «Hice cálculos y reconsideré los datos hasta casi volverme loco, pero no podía entender por qué el planeta […] había de seguir una trayectoria elíptica, según mostraban las ecuaciones. ¡Oh, ridículo de mí!»^[120] —Kepler era muy de giros dramáticos y epifanías en sus tratados de física—. De repente, «como en una revelación», vio que la respuesta a todos sus problemas se encontraba precisamente en esa figura geométrica.

Por fin, en 1609, publicó Astronomia Nova, un libro que recoge las dos primeras leyes por las que hoy se le recuerda principalmente. A saber:

1. Las órbitas no tienen forma de circunferencia sino de elipse, con el Sol situado en uno de los focos.

2. Los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales. Esto significa que no circulan siempre a la misma velocidad: van más rápido cuanto más cerca están del Sol.

La tercera ley de Kepler tardó aún otros diez años en llegar. Pero fue la que logró conectar por primera vez los movimientos planetarios con esos números que tanto anhelaban los astrónomos desde la Antigüedad:

3. El periodo de un planeta elevado al cuadrado es directamente proporcional al semieje mayor de su elipse elevado al cubo.

Esta ley aparece descrita por primera vez en Harmonices Mundi, un libro publicado en 1619. El texto deja clara la importancia que le otorga el propio Kepler, que señala la fecha exacta del descubrimiento y hasta añade un poco de redoble de tambor antes de enunciarla: «una parte de mi Misterio cósmico, puesto en suspenso hace veintidós años […], se completará aquí y se introducirá en este punto». Cuenta también que, tras dos décadas revisando los datos de Tycho Brahe, el hallazgo de este modelo fue tan revelador que creyó «estar soñando». Ante sus ojos tenía la primera ley física capaz de relacionar los movimientos de todos los astros del cielo, la primera fórmula matemática que permitía describir el cosmos mediante números, como siempre habían deseado los pitagóricos.

La parte menos conocida de esta historia es que, en el mismo libro, Kepler propone que Mercurio suena como una soprano, Júpiter produce la melodía característica de un bajo y que los seis planetas forman un coro cuyas propiedades se parecen, sospechosamente, a la música polifónica de la época de Kepler. También habla un poquito de astrología y otro poco de la sexualidad de los planetas. Tenía teorías para todo. Pero, digresiones aparte, Harmonices Mundi es, principalmente, un tratado de teoría musical. Al menos tres cuartas partes de sus páginas están dedicadas a explicar las causas de la consonancia perceptiva, las posibles maneras de dividir una cuerda, los tipos de modos musicales y su relación con las facultades del alma humana. La tercera ley de Kepler aparece agazapada hacia el final de este inmenso tratado, como parte de un «resumen de teoría astronómica, necesario para el estudio de las armonías celestiales». E incluso ahí se enuncia en términos musicales: según explica su autor, los periodos orbitales y las distancias al Sol guardan una proporción de 3:2, solo que estos números tan pitagóricos no se encuentran en forma de factores, sino como potencias de dichas magnitudes. No en vano, la llamó «la ley armónica».

Más adelante, Kepler transcribe en pentagramas las notas exactas de cada planeta, en función de su velocidad orbital, y encuentra que el resultado es especialmente musical. Mercurio, el planeta más cercano al Sol, y, por tanto, el que más rápido se mueve —la voz más aguda—, es también el planeta con una órbita más achatada, menos circular. Esto implica, de acuerdo con las leyes que el propio Kepler formuló, que tiene una velocidad especialmente cambiante en comparación con la de los demás planetas. En términos sonoros, el físico alemán hace corresponder a cada velocidad una nota distinta, dando lugar a un rango de sonidos especialmente amplio. Así, Mercurio resulta ser el planeta con mayores posibilidades melódicas. Pero es que su voz es precisamente la de soprano, ¡la más aguda del coro!, y como buena soprano, razona Kepler, es lógico que pueda hacer más gorgoritos. Todo encaja, claramente aquí hay un plan.

Johannes Kepler, 1619, Harmonices Mundi. Archive.org.

El siguiente planeta con más notas disponibles es Marte, que «como tenor es libre, aunque procede de forma moderada». Su voz es la más aguda de entre las masculinas del coro, y por eso las melodías de los tenores también suelen ocupar un papel protagonista, con más saltos y más variedad. Il Divo, Los Tres Tenores y hasta los Backstreet Boys —y todas las boybands del mundo, en realidad— están formadas mayoritariamente por este tipo de voces masculinas agudas. Por el contrario, las melodías de los bajos, como Júpiter y Saturno, suelen ser menos floridas. Sus órbitas son mucho más circulares y por eso, en el universo de Kepler, estos planetas se limitan a cantar tres tristes notas, muy apropiadas eso sí como base armónica —lo que suelen cantar los bajos—. No obstante, la suya ni siquiera es la partitura más aburrida. Las pobres contraltos se mueren de asco durante toda la obra: Venus canta una sola nota —su órbita, de hecho, es casi una circunferencia—, y la Tierra se pasa la eternidad cantando mi-fa-mi-fa… Para Kepler, la elección de estas notas por parte del Creador no era en absoluto casual: «la Tierra canta mi fa mi y de estas sílabas se infiere, que en nuestro hogar la miseria y la fame [el hambre] prevalecen». Yo prefiero destacar que, si el modelo kepleriano se hiciese realidad, la Tierra entonaría las notas del famoso tema de Tiburón, la bestia amenazante y sigilosa de la película de Spielberg.

Ahora bien, en el espacio no hay ni gritos, como decía Alien, ni ninguna banda sonora posible. El propio Kepler aclara que su propuesta consiste en algún tipo de música teórica, no en un sonido real y perceptible. Los movimientos planetarios forman una composición conceptual que debe ser degustada con la mente y no con el oído. El mejor lugar desde donde apreciarla es el mismísimo Sol, y aquí Kepler elucubra que quizás nuestra estrella esté habitada por seres sensibles a su belleza. Si no, ¡menudo desperdicio! Según su teoría, la música silenciosa del cosmos estaría formada por seis melodías distintas unidas en un complejo entramado de contrapunto, ¡justo como la música que le gustaba a Kepler! De hecho, de acuerdo con el físico y pianista Peter Pesic, es probable que el físico alemán se inspirase en una composición en concreto al escribir sus teorías: In me transierunt, de Orlando di Lasso^[121], una especie de balada religiosa tristísima compuesta hacia 1562. Del mismo modo que Oresme fue un admirador declarado de Philippe de Vitry, Kepler tenía su propio referente. Esas partituras dejaron su huella para siempre en la historia de la física.

Una vez asignadas las voces y sus tesituras, solo había un pequeño problema. De acuerdo con su propia teoría, aquella música cósmica sonaba bastante mal. Por un lado, la velocidad de los planetas varía de manera continua. Todos aceleran y deceleran suavemente, como un coche sin marchas. Esto implica, según la segunda ley de Kepler, que su sonido nunca está fijo; se desliza entre frecuencias como «una nota continuamente cambiante», lo que en términos musicales se conoce como un glissando. Cuando se suman seis voces con estas características, el resultado sonoro es un complejo entramado de llantos perezosos, como una piscina de bebés, o un atasco de ambulancias haciendo sonar sus sirenas cada una a distinta velocidad.

Por otra parte, es una música que jamás se repite. Kepler llega a la misma conclusión que Oresme —y que los organizadores del festival de Jindo—. Los planetas nunca repiten su danza exactamente igual. «Sus movimientos se relacionan mediante proporciones irracionales y, por tanto, nunca regresan al mismo punto de partida, incluso si perdurasen durante un tiempo infinito», había escrito ya en su Mysterium Cosmographicum. Tras años de estudio, su tercera ley y los exponentes que la caracterizan, le reafirman en su conclusión. Para Kepler, esta ausencia total de repeticiones tenía además, consecuencias cosmológicas.

En un universo orquestado por la geometría, para empezar, es prácticamente imposible que todos los planetas se alineen para emitir sonoridades consonantes entre sí. Para llegar a esta conclusión, Kepler analiza en detalle las posibles combinaciones. Las armonías entre dos y tres planetas suceden relativamente a menudo. Las de «cuatro planetas empiezan a dispersarse a lo largo de varios siglos y las de cinco, a lo largo de miles de años. Sin embargo, el acuerdo entre los seis está separado por brechas inmensas entre edades históricas, y ni siquiera sé si es imposible que ocurra más de una vez en la historia. Más bien, constituye la prueba de que hubo un comienzo de los tiempos del que descienden todas las eras del mundo». Ese comienzo de los tiempos, el Big Bang según Kepler, fue un big acorde consonante de do mayor en segunda inversión, entonado por todos los planetas a la vez. Quizás el único sonido completamente estable y armonioso de la historia del universo. Su armonía abarcaba más de siete octavas, desde los sonidos más graves a los más agudos que puede percibir el oído humano. Hoy no se podría tocar en un piano, de hecho, haría falta un órgano para poder imaginarlo. Para Kepler, su eco podía usarse para calcular el momento exacto de la creación y recuerda las palabras de Dios a Job: «¿Dónde estabas tú cuando yo fundaba la Tierra? […] y todas las estrellas del alba cantaban a la vez».

La idea de que semejante evento era del todo irrepetible llevó a Kepler a pensar que el cosmos no podía tener un final. Era una noción especialmente arriesgada en una época marcada por el cisma del cristianismo y las guerras religiosas, donde la herejía era duramente perseguida. Un universo sin final era un universo sin Apocalipsis, en contra de lo que decían las sagradas escrituras. Y aunque Kepler era un hombre profundamente religioso, también tenía fuertes convicciones propias —le acabaron granjeando la excomunión entre los protestantes, además de la persecución de los católicos—, y simplemente no podía concebir una música celestial que acabara mal. ¿Cómo iba el Creador a rematar su coral en medio de sonidos indefinidos y disonantes, sin una cadencia, sin un ¡chimpón! rotundo que resolviese milenios de disonancias y tensiones de manera satisfactoria? «Así, los movimientos del cielo no son más que una armonía perenne —en pensamiento, no en sonido— a través de afinaciones disonantes». Kepler prefería imaginar una música interminable antes de aceptar un final antimusical. Sus esferas recorrerán el universo indefinidamente en busca de la sonoridad perfecta que los vio nacer, pero que nunca jamás volverán a encontrar.

§. Planetas resonantes
Durante toda la historia, los humanos hemos mirado al cielo y hemos imaginado su movimiento como un ciclo perfecto e inmutable. Kepler comparó el cosmos con un mecanismo de reloj. Platón lo retrató como una enorme gramola cabalgada por sirenas. Pero la idea subyacente a ambas metáforas es la misma: los planetas y las estrellas ocupan su lugar en el cielo porque ahí los puso algún dios, y ahí seguirán hasta que el mismo dios decida quitarlos.

La realidad es muy diferente. El universo está en constante transformación, aunque sus cambios no siempre resulten apreciables en la escala temporal humana. El mismo Kepler fue testigo de un raro evento que cambió fugazmente el cielo nocturno de su época. En 1604, una nueva luz se encendió en la Vía Láctea, en la constelación de Ofiuco. Se trataba de una supernova, una inmensa explosión estelar que ocurre una vez cada varios cientos de años. Era más brillante que cualquier otra estrella del cielo, y se podía observar a simple vista. El astrónomo miope tardó más de una semana en percatarse de su aparición, pero el estudio que realizó a continuación fue tan detallado y preciso, que su nombre quedó ligado para siempre a aquel evento. La supernova SN 1604 aún es conocida habitualmente como la estrella de Kepler.

De manera más general, hoy sabemos que el cosmos es un lugar lleno de violencia y de cambio, donde las estrellas y los planetas nacen, crecen, colapsan y, a veces, también mueren. Aunque puedan pasar miles de millones de años entre cada uno de estos eventos, la gravedad sigue su guion lento pero implacable, cambiando cada noche el cielo que cubre nuestras cabezas, sin que apenas nos demos cuenta.

En concreto, desde finales del siglo pasado, hemos empezado a descubrir multitud de sistemas planetarios, que nos permiten entender mejor cómo es su proceso de transformación. Según el Catálogo interactivo de planetas extrasolares^[122], a día 25 de julio de 2020 se ha confirmado la existencia de 4301 exoplanetas —planetas fuera de nuestro sistema solar— pertenecientes a 3176 sistemas diferentes. La mayoría de ellos han sido descubiertos por Kepler, el nombre de un telescopio espacial de la NASA que orbita alrededor del Sol desde el 6 de marzo de 2009. Y la cuenta no para de crecer. Cada mes se detectan decenas de nuevos exoplanetas en distintas regiones del cielo.

Con toda esta información, existen motivos para pensar que los sistemas planetarios son mucho más dinámicos de lo que se creía. Se han observado planetas con órbitas muy extrañas, mundos imposibles, desplazados respecto a su sistema, o situados en regiones donde difícilmente podrían haberse formado. Se han detectado incluso planetas interestelares, huérfanos de estrella. A menudo se los conoce como planetas errantes o vagabundos, porque flotan en el espacio sin ningún cobijo tras haber sido expulsados, aparentemente, de su propio sistema planetario. Todos estos fenómenos nos dan pistas sobre un pasado que ya no es, que necesariamente tuvo que cambiar para dar lugar al escenario actual. Son escenas de una película que hemos empezado a ver desde el final y que ahora intentamos dilucidar.

Sin embargo, entre tanta volatilidad, también se han observado casos que ejemplifican justo el caso contrario. Allá donde Kepler mira, encuentra extrañas islas de estabilidad, aparentemente inmunes al cambio, sistemas que han conseguido alcanzar un equilibrio duradero por los siglos de los siglos. Estos planetas tuvieron una infancia tranquila, de jóvenes encontraron su lugar en el cosmos y no se han movido de ahí desde entonces. Les falta pedirle una hipoteca al banco. Hoy se piensa que su apacible historia se debe en parte a un fenómeno conocido como resonancia orbital.

Para entender este fenómeno, volvamos al problema que ocupó a Oresme y a Kepler. Aunque el movimiento de los planetas que orbitan alrededor del Sol parezca perfectamente periódico, cuando se considera el sistema en su conjunto resulta que sus posiciones nunca se repiten exactamente igual. Puede resultar algo contraintuitivo, pero para visualizarlo, te propongo que imagines el sistema como una especie de reloj. Si un momento determinado, por ejemplo, Mercurio se sitúa sobre las doce, Venus a la una, la Tierra a las dos… resulta que esa combinación de agujas, en concreto, nunca se vuelve a repetir igual en miles de millones de años.

Esto se debe a que la relación entre las órbitas de los distintos planetas es bastante compleja. Si todos diesen una vuelta al Sol en el mismo lapso de tiempo —si todos tuviesen el mismo periodo orbital—, su danza conjunta se repetiría todos los años igual, como si se tratase de un tiovivo. Sucedería algo parecido si la relación entre sus órbitas fuese armónica, aunque en ese caso, el movimiento solo se repetiría después de cierto número de vueltas. Sin embargo, cuando observamos los periodos orbitales de los planetas en nuestro sistema solar, resulta que sus números distan mucho de ser «bonitos». Mercurio completa una vuelta alrededor del Sol en 0,24 años terrestres —87,97 días—. Venus tarda 0,61 años —224,7 días—. El año marciano dura 1,88 años terrestres —686,98 días— y el de Júpiter, 11,86 —4332,82 días—. Todos son números extraños, con un montón de decimales. ¡Nada encaja con nada!

Esta falta de armonía entre las órbitas de los planetas no tiene por qué suponer un problema a priori, no necesariamente. Sin embargo, en ocasiones, las pequeñas diferencias de una vuelta a la siguiente pueden acumularse y acabar desencadenando cambios mucho más bruscos dentro de un sistema planetario. Por poner el ejemplo más sencillo, imagina dos planetas cuyas órbitas se cruzan en algún punto. Es posible que den mil millones de vueltas sin encontrarse —ancha es Castilla, y el cosmos, todavía más—. Pero si sus periodos están relacionados por algo parecido a un número irracional, están condenados a encontrarse antes o después. Esa relación numérica «fea» los obligará a recorrer todas las combinaciones posibles de sus posiciones en órbita, incluida aquella en la que chocan irremediablemente. Es como si tuvieses dos relojes, uno con la hora de Nueva York y otro con la de Madrid, pero uno de ellos tendiese a retrasarse ligeramente. Tarde o temprano, ese pequeño desfase provocará que ambos acaben dando la misma hora —o se choquen, en el caso de los planetas—.

La única manera de evitar el fatal accidente sería que, fortuitamente, los dos planetas hubiesen conseguido sincronizar sus periodos. Si ambos orbitan con la misma frecuencia, o si sus periodos se relacionan mediante algún número racional, pueden ponerse de acuerdo para no pasar por el punto conflictivo a la vez. Quizás el primero atraviese ese lugar dos veces en cierto intervalo de tiempo —en diciembre y en junio, por poner un ejemplo cercano—, mientras que el segundo lo hace tres veces —en enero, en mayo y en septiembre—. Una vez hayan dado una primera vuelta entera sin tropezarse, pueden estar seguros de no encontrarse jamás, porque ambos comparten un patrón común, sus tiempos «encajan» dentro de un periodo mayor. Como dos bailarines expertos moviéndose juntos para no tocarse, los dos seguirán el ritmo silencioso de una melodía compartida.

La resonancia orbital permite, además, que la propia dinámica del sistema refuerce su estabilidad. Cada planeta tira de los demás rítmicamente y modifica ligeramente sus órbitas hasta que todas encajan, se acoplan entre sí. Una vez se ha alcanzado este equilibrio, cualquier perturbación lo bastante pequeña es anulada por el resto de fuerzas. Los cuerpos del sistema están enganchados en una especie de bloqueo gravitacional. Entre todos forman una caja de ritmos que se crece en su propia monotonía. Como la peor de las canciones pegadizas, cada nueva vuelta refuerza y desencadena la siguiente repetición —ya lo advertía Oresme, las órbitas armónicas son también las más aburridas—.

El nombre del fenómeno, por supuesto, no es casual. Aunque estos planetas sean igual de silenciosos que el resto del universo, sus órbitas «resuenan» y se refuerzan de manera parecida a como lo hacen los cuerpos sumergidos en la atmósfera de la Tierra. El ejemplo más típico que se suele usar para explicar este fenómeno es el de un niño en un columpio, impulsado por un adulto. Siempre que lo empujen con una fuerza parecida y al ritmo correcto —idealmente, cuando llega al punto más alto de su vaivén—, el movimiento del niño tenderá a ser estable y los empujones, si acaso, ayudarán a que vuele un poco más alto en cada oscilación. Si el adulto fuese lo bastante torpe y se dedicase a empujar en distintos puntos de la trayectoria, o con ritmos cambiantes, aparte de parecer un idiota, podría acabar sufriendo algún tipo de accidente. Seguramente terminaría chocando contra el columpio o tirando al niño al suelo. Es necesario que las frecuencias coincidan —la del columpio y la del adulto, en este caso— para que el movimiento sea reforzado.

El fenómeno se llama resonancia porque, a menudo, estos empujones rítmicos pueden transmitirse a través del aire, y dos objetos que no están en contacto acaban moviéndose a la vez gracias a un sonido compartido. Es lo que sucede con las cuerdas que vibran «por simpatía» cuando escuchan alguna frecuencia de su propia serie armónica —algún ritmo al que les resulta cómodo moverse—. Pero es un fenómeno común a todo tipo de objetos. Si alguna vez, estando en casa, te has puesto a escuchar música y has notado una especie de zumbido en la habitación, es probable que algún objeto esté resonando por simpatía. La música, o alguna de sus notas, lo ha empujado al ritmo correcto, y por eso ha empezado a vibrar. De esta manera, como contábamos en el segundo capítulo, dos objetos pueden bailar en la distancia sin tocarse, gracias al sonido que los conecta a través del aire.

En el caso de los sistemas resonantes, es la gravedad la que conecta a los planetas a través del espacio. Basta con que sus frecuencias orbitales sean «armónicas». Siempre que estén relacionadas por números enteros y sencillos —y que, por tanto, compartan algún ritmo más fundamental—, sus movimientos tenderán a estabilizarse. No es un fenómeno excepcional ni se debe solo a la casualidad. En muchas ocasiones, ese ritmo fundamental es el que ha permitido que sus órbitas sean compatibles en primer lugar.

De hecho, la sincronía es probablemente el motivo por el que Plutón todavía sobrevive a las afueras del sistema solar. Su órbita se cruza con la de Neptuno en dos puntos, pero los planetas nunca chocan porque se encuentran en resonancia. Neptuno da tres vueltas al Sol en el tiempo en que Plutón completa dos —relación 3:2—. Gracias a esta armonía, los planetas nunca pasan por los puntos conflictivos al mismo tiempo. Pero lo mejor de todo es saber que, como no se chocaron durante su formación, ¡ahora es imposible que puedan hacerlo! Tenemos planeta enano para rato.

Es una pena que Kepler nunca llegase a descubrir este intervalo de quinta perfecta en pleno sistema solar. Neptuno no fue descubierto hasta 1846, gracias a una predicción teórica. Los astrónomos Adams y Le Verrier echaban en falta una masa que hiciese encajar las órbitas de Urano, Saturno y Júpiter con sus bonitos números, y en menos de un mes su hipótesis se materializó como una gran bola de gas azul ante el telescopio de Johann Gottfried Galle. Fue una de esas veces en las que una bella teoría precede al experimento. Plutón, por su parte, saludó por primera vez a la humanidad en 1930. Algunos fotones rebotaron en su superficie para estamparse varias horas más tarde contra las placas fotográficas de un observatorio en Arizona. Cuando los astrónomos vieron la mancha casi invisible que habían dejado, decidieron que aquello debía ser un planeta diminuto.

Si, después de una vida buscándolas, Kepler hubiese sabido que había órbitas armónicas en el sistema solar que tanto se esforzó por explicar, creo que habría llorado de la emoción. O puede que de frustración: quizás le habría amargado descubrir que el número total de planetas no coincide con los cinco sólidos platónicos; pero habría llorado, eso seguro. Curiosamente, estuvo muy cerca de descubrir este tipo de órbitas resonantes, pero no gracias a Neptuno y Plutón; ambos quedaban muy lejos de su tiempo. Cuando, en 1610, el físico alemán usó un telescopio por primera vez, lo hizo para apuntar a las lunas de Júpiter, recién descubiertas por Galileo. Entre ellas, Ío da dos vueltas al planeta en el tiempo en que Europa completa una; y esta, a su vez, es el doble de rápida que Ganímedes, 1:2:4. Es lo que se conoce como resonancia de Laplace. Si las lunas de Júpiter sonasen, formarían la base rítmica de una canción pop.

También se encuentran armónicos en los satélites de Saturno. Aunque, vistos desde la Tierra, sus anillos parecen formar un enorme disco compacto, en realidad están constituidos por millones de piedrecillas que reflejan la luz solar. Las franjas más oscuras corresponden a huecos vacíos, regiones libres de escombros situadas a cierta distancia del planeta. Las piedrecillas que solían habitar en estas zonas fueron derribadas debido a que existía una relación armónica entre su órbita y la órbita de una de las lunas del planeta. La resonancia orbital, en este caso, tuvo un efecto desestabilizador. Como un sonido capaz de romper una copa a base de empujarla siempre a la misma frecuencia, las lunas Mimas, Pan y Dafne fueron derribando rítmicamente las rocas que orbitan Saturno a cierta velocidad —o lo que es lo mismo, las rocas situadas a cierta distancia del planeta—. El resultado son franjas oscuras, notas ausentes en la colección de brazaletes grises que custodian el planeta.

Cassini-Huygens, 2005. NASA / Jet Propulsion Lab.

Sucede algo parecido con el cinturón de asteroides de nuestro sistema. Es una de sus características más extrañas. Aunque las distancias astronómicas resulten a menudo impensables para nosotros, pequeños simios acostumbrados a vivir en pisos de cincuenta metros cuadrados, resulta especialmente extraño que Júpiter se encuentre tan rematadamente lejos del Sol, en comparación con los llamados planetas interiores. Mientras que Mercurio, Venus, Tierra y Marte orbitan a una distancia inferior a catorce minutos luz de nuestra estrella —unos 250 millones de kilómetros, que se dice pronto—, para que sus rayos alcancen al gigantesco Júpiter tienen que pasar cuarenta y cinco minutos, ¡más del triple de distancia! ¿A qué viene tanto hueco?, ¿de dónde sale esa disparidad? Es cierto que todo ese espacio no está vacío del todo. Entre la órbita de Júpiter y la de Marte hay millones de pedruscos de distinto tamaño conocidos como el cinturón de asteroides. Pero, aun así, la región está mucho más despoblada de lo que cabría esperar. La masa de todos esos pedruscos, sumada, apenas iguala la de nuestra Luna.

Durante más de un siglo, los astrónomos han sabido que existen huecos extraños en el cinturón; agujeros, por así decirlo. Fueron descubiertos en 1857 por Daniel Kirkwood, un astrónomo aficionado y matemático que se dedicó a buscar coincidencias numéricas en esta región del espacio. Partiendo de todos los datos que pudo encontrar, se dio cuenta de que los agujeros del cinturón de asteroides no estaban repartidos homogéneamente a lo largo de la órbita. Para entender mejor su distribución, Kirkwood decidió utilizar la tercera ley de Kepler y calculó su periodo orbital. La pregunta que se planteaba era la siguiente: si en lugar de agujero hubiese asteroides, ¿cuánto tardarían en completar una vuelta alrededor del Sol? Una vez hechos los cálculos, empezaron a aparecer patrones sorprendentes. Los periodos de algunos de esos «agujeros» coincidían sospechosamente con el de Júpiter —doce años terrestres— o con alguno de sus armónicos. Uno de los huecos, por ejemplo, tenía un periodo orbital de cuatro años: daba tres vueltas por cada ciclo del gigante gaseoso, 3:1. Otro daba cinco vueltas al Sol en veinticuatro años —armónico 5:2—. Como cuenta el físico Steven Strogatz en su libro Sync^[123], «de hecho, todos los huecos obedecían la misma y hermosa regla: sus periodos orbitales estaban siempre relacionados con el de Júpiter por una fracción de números enteros y sencillos, como 3:1, 5:2, 7:3 o 2:1».

Más cerca aún de casa, encontramos la resonancia de nuestra querida Luna. Este satélite díscolo, con su periodo de incontables decimales que originan la belleza irrepetible de cada marea, completa una vuelta sobre sí mismo en el mismo tiempo en que orbita alrededor de la Tierra (1:1). A Mercurio le sucede algo parecido con el Sol, salvo que él da tres vueltas mientras rodea dos veces al Sol (3:2). Esto se debe a un tipo especial de resonancia llamada resonancia órbita-espín. La órbita es el movimiento de un cuerpo alrededor de otro. El espín, en este caso, hace referencia a las vueltas de ese cuerpo sobre sí mismo. Son las fuerzas de marea las que tienden a sincronizar los dos tipos de movimientos. Del mismo modo que la Luna tira de nuestros océanos, la Tierra provoca una ligerísima deformación en ella, como si fuese un globo apuntando siempre en la dirección de la cuerda que lo ata a nosotros. Esa forma alargada tiende a frenar la rotación del satélite, porque la gravedad intenta colocarlo siempre en la misma posición, mirando hacia nosotros. Las mismas fuerzas de marea que dibujan el deambular caprichoso de las olas en la Tierra hacen que la Luna siempre nos muestre la misma cara en el cielo.

Por otra parte, desde que Kepler —el telescopio— recorre el universo en busca de planetas similares al nuestro, la resonancia orbital ha dejado de ser una rareza. Se han encontrado sistemas enteros moviéndose de manera armónica, cadenas de cinco e incluso siete planetas que han terminado sincronizando sus movimientos mediante números enteros y sencillos. Se calcula que alrededor de un tercio de los exoplanetas observados presentan algún tipo de resonancia con otro cuerpo, y algunas simulaciones numéricas sugieren que este tipo de cadenas armónicas podrían ser especialmente frecuentes durante su formación. La idea es que los sistemas planetarios no son lugares inmutables. Hasta alcanzar su forma estable, algunos planetas migran y, al hacerlo, pueden ser atrapados por resonancias que los fijan sobre cierta órbita. Como una vez encasillados en esta dinámica es difícil que escapen a ella, las órbitas resonantes terminan prevaleciendo sobre todas las demás.

La cuestión es, entonces, por qué la armonía no es la característica más común de todos los sistemas planetarios, y la respuesta no termina de estar del todo clara. Pero podríamos entender este tipo de resonancia como un síntoma: la huella de un pasado suave y tranquilo que culminó en una danza especialmente estable. Cualquier accidente puede romper ese equilibrio, a veces con consecuencias catastróficas. Pero los sistemas que sobreviven nos cuentan su historia a través de los números feos, como la cicatriz que rompe la simetría de una cara.

Después de siglos persiguiendo los números en el cosmos, parece que existen buenos motivos por los que este tipo de armonías se repiten una y otra vez, allí donde apuntamos nuestros telescopios. Pero no nos engañemos. Tampoco en estos nuevos mundos suena la música de las esferas, ni cantan los planetas a coro, ni hay sirenas espaciales. El espacio es igual de silencioso, incluso entre los planetas que «resuenan». La única diferencia, probablemente, es que, en sus playas, las mareas son iguales todos los días.

Capítulo 6
La melodía que movió el mundo

§. La modulación del camionero
Cinco años después de dar la vuelta al mundo con Thriller, Michael Jackson lanzó su nuevo álbum, el séptimo. Llevaba trabajando en él casi un año junto con su productor Quincy Jones, experimentando con nuevos timbres, sintetizadores y cajas de ritmos, en busca de un nuevo sonido. Pero la espera mereció la pena. En 1987, Bad salió a la luz y se colocó directamente en el primer puesto de todas las listas de éxitos musicales. Vendió más de dos millones de copias durante su primera semana solo en Estados Unidos, y en poco tiempo alcanzó también el éxito internacional, con récords de ventas en al menos otros veinticuatro países. Nueve de sus diez canciones fueron publicadas adicionalmente como sencillos, y cinco consiguieron colocarse nuevamente en la cima del Billboard Hot 100 —algo así como los «100 principales» en versión estadounidense—. Jackson se convirtió en el primer artista de la historia del pop en batir semejante récord. Hacia 1991, Bad ya se había consagrado como el segundo disco más vendido de todos los tiempos, con 25 millones de copias en todo el mundo. Solo lo superaba Thriller, que aún hoy se mantiene en el primer puesto. Su contador supera los 66 millones.

Entre semejante colección de grandes éxitos, se encuentra una de las canciones más emblemáticas y comprometidas del Rey del Pop y, según se dice, una de las que más le gustaban a él, personalmente, dentro de su propia discografía. Man in the Mirror fue compuesta por Deborah Siedah Garrett en colaboración con Glen Ballard y a través de su letra propone que, para cambiar el mundo, uno debe empezar por uno mismo, por «el hombre del espejo». Si quieres mejorar el mundo, mírate y transforma tu manera de actuar. Haz un «cambio» (change!).

Se pueden decir muchas cosas sobre esta letra. No deja de ser un mensaje rabiosamente individualista flotando sobre los problemas de un sistema que ni siquiera se atreve a mencionar. El videoclip abunda en ese carácter cursi, bienintencionado pero sin foco, y alterna entre imágenes de niños famélicos y llorosos, la muerte de Kennedy, grabaciones de Hitler y la madre Teresa de Calcuta. ¡Quién da más!

No obstante, desde un punto de vista musical y comunicativo, la canción resulta especialmente ilustrativa. Desde el tono intimista de la introducción, a la euforia resolutiva del estribillo —¡con coro de góspel y todo!—, todo está pensado para reforzar el mensaje de la letra. En el estribillo, por ejemplo, la melodía empieza por todo lo alto. La palabra inicial es «yo», y suena acentuada sobre la nota más aguda que se ha escuchado hasta ese momento en toda la canción —¿decíamos que el mensaje era individualista?—. Después desciende abruptamente en la siguiente nota, de manera que el verbo «empiezo» —con el hombre del espejo—, se convierte, de hecho, en una especie de arranque, un camino ascendente hacia la conclusión triunfal. Cuando por fin llega el final del estribillo, la letra es casi una orden y todo suena mucho más rítmico y contundente, como si quisiera presentarnos la solución mas-ti-ca-di-ta, como si fuese un eslogan escrito en una pancarta: si quieres mejorar el mundo, mírate al espejo, guapo.

Podríamos seguir desmenuzando la canción, pero la idea general es que cada nota se adapta a la letra como un guante hecho a medida. Es casi música figurativa. En ese sentido, Man in the Mirror se suele utilizar como ejemplo debido a un giro musical que aparece hacia la segunda mitad de la canción —diez segundos antes del minuto tres—. Tras repetir dos veces el estribillo sin casi ninguna variación, Jackson aprovecha la tercera vuelta para subir de intensidad. De repente, todo el coro se une con los brazos alzados y la misma música brilla como si la oyésemos por primera vez. Es un giro sorprendente, estimulante y gozoso como solo la música puede serlo. Pero además, resulta especialmente ingenioso por cómo se compagina con la letra de la canción. Todo esto sucede sobre una palabra en concreto del estribillo. Hay una levísima pausa —la de un vagón en una montaña rusa a punto de caer— y, justo cuando suena la palabra change —‘cambio’—, la música entera se transforma.

Existen diversos recursos compositivos que contribuyen a que percibamos este «cambio» musical, tan intencional y tan simbólico. La intensidad de la música aumenta en parte porque aumenta su densidad sonora, aparecen nuevas voces y el coro contesta a cada frase del estribillo con oh, yeah! jubilosos. Pero, sin duda, la transformación más llamativa se debe a lo que en música se conoce como una modulación o cambio de tonalidad en la canción. Si uno escucha con atención, puede notar que, a partir de ese preciso momento, todas las notas suenan un poco más agudas que en la repetición anterior. La melodía es exactamente la misma, pero se encuentra de alguna manera desplazada. En consecuencia, el estribillo resulta más enérgico, más luminoso que antes, como nuevo.

Para entender por qué esta modulación es tan efectiva, debemos presentar algunos conceptos de teoría musical. Pero será indoloro, lo prometo. La clave es entender qué es y para qué sirve una escala de notas, uno de los ingredientes más universales y característicos de la musicalidad humana.

Las canciones que escuchamos cotidianamente, de hecho, suelen estar escritas usando como base una sola de esas escalas. Aunque no seas un experto en música, es posible que hayas oído hablar de ellas, incluso sin saberlo: do mayor, mi menor, re dórico, fa mixolidio… son solo algunos de sus nombres. Cuando se dice que una canción está escrita en do mayor, por ejemplo, lo que significa es que el compositor ha utilizado principalmente una colección de sonidos determinada para componerla —los sonidos de la escala de do mayor, ni más ni menos, do re mi fa sol la si do—. Y no deja de ser un fenómeno curioso porque, si lo piensas, existen infinitos tonos posibles dentro del rango sonoro. Sin embargo, cuando hacemos música, los humanos decidimos ceñirnos a solo unos pocos.

De hecho, las posibles frecuencias de un sonido forman un continuo, una rampa lisa y sin fisuras, como el llanto resbaladizo de una ambulancia. Existen sonidos audibles para todas las frecuencias comprendidas entre 20 y 20.000 Hz, tonos, por ejemplo, de 440 Hz o 441 Hz. Pero también existen infinitos tonos cuyas frecuencias se pueden definir entre estas dos: 440,1 Hz, 440,2 Hz, 440,000000314159 Hz… Y, sin embargo, los músicos se empeñan en tallar todo tipo de «escaleras» sobre esta rampa sonora imaginaria —de ahí viene la palabra «escala», de hecho—. Es como si un pintor, con todo un mundo de colores a su disposición, decidiese tirar la paleta de óleos a la basura para quedarse con la típica caja de doce rotuladores planos que todos tuvimos en el colegio. ¿Por qué un artista querría autolimitarse de semejante manera?

Puede resultar desconcertante, pero es un fenómeno que se da en todas las culturas musicales conocidas. Cada vez que hacemos música, los seres humanos dividimos las frecuencias del sonido en un número limitado de alturas o notas —no más de cinco o siete, normalmente—, que luego se repiten cíclicamente. Ocasionalmente, y en ciertos contextos, los músicos pueden curvar levemente algunas frecuencias, o unirlas con un solo trazo continuo, eso que hemos denominado glissando. Pero, en general, siempre acaban volviendo a sus estables escaleras, las rampas y las curvas son solo lugares de paso. Se trata de una de las propiedades más características y universales de la música.

También es una de las propiedades que nos ayudan a distinguirla más fácilmente del lenguaje humano. Al hablar, lo normal es que nuestra voz se deslice de un sonido a otro, oscilando entre frecuencias más agudas o más graves de manera continua. Estos cambios de tono suaves y fluctuantes nos ayudan a comunicar nuestras emociones en todo lo que decimos. Cuando queremos imitar un tono de voz robótico, en cambio, lo que hacemos es limitar el rango de frecuencias de lo que decimos, precisamente: colocamos cada sílaba sobre una sola nota, de manera fija. El resultado suena ciertamente inhumano, artificial; una voz sin melodía es una voz sin alma, sin intención, la carcasa fría de un texto generado por ordenador. Por su parte, la música utiliza varios tonos distintos, no solo uno. Sus escalas nos permiten tejer todo tipo de melodías —gracias al cielo—. Pero en comparación con el lenguaje, las notas musicales son mucho más nítidas, más estables y rígidas que los sonidos de la voz hablada.

Una de las hipótesis que barajan los musicólogos para explicar esta paradójica restricción se basa en el carácter colectivo de la música. Las notas de la escala serían una limitación necesaria de los sonidos posibles para conseguir que todos nos pongamos de acuerdo en qué cantar. En esa misma línea, el ritmo podría entenderse como una limitación de los «cuándos» posibles^[124]. Quizás ambas restricciones sean simplificaciones necesarias para poder hacer música de forma coordinada con otros seres humanos, y para poder recordar las melodías resultantes después. El ritmo y las escalas formarían una especie de matriz de frecuencias y momentos, como si fuese la cuadrícula de un papel pautado, que nos sirve de plantilla a la hora de crear y recrear distintas canciones. Si los sonidos musicales y los instantes fuesen infinitos, la probabilidad de cantar las mismas frecuencias, al mismo tiempo, con otras personas, sería despreciable. Tan difícil, o más, que reunir a un grupo numeroso de personas, pedirles que digan algo a la vez y conseguir que se les entienda. Sin notas y sin ritmo, todas las melodías se emborronarían en torno a alguna frecuencia siempre variable y mal definida. Todos los coros disonarían, los auditorios del mundo se llenarían de desconciertos…

Por otra parte, el hecho de limitar los sonidos posibles de la música a una colección reducida de tonos es fundamental para dirigir las expectativas de los oyentes. Siempre que escuchamos música, estamos constantemente intentando adivinar lo que viene a continuación. A menudo es el hecho de acertar, el hecho de «sabernos» la canción y poder oírlo todo por anticipado en nuestra cabeza, lo que nos hace disfrutarla todavía más. Nuestro cerebro se siente listo y libera galletitas de dopamina como premio a todas nuestras profecías autocumplidas. Otras veces, en cambio, el disfrute proviene de la sorpresa. Los compositores introducen pequeños cambios sobre aquello que habíamos anticipado o lo retrasan sensiblemente, haciéndonos desearlo todavía más.

La música es un juego de adivinanzas, sorpresas y predicción que, como las mejores historias de Sherlock Holmes, nos invita a escuchar constantemente en el futuro, intentando anticipar el siguiente desenlace, el próximo giro de guion. Cada acorde contiene la semilla del siguiente, cada frase es solo una pista, apenas el preludio de las que vendrán. Y cuando la historia es perfecta, cuando incluso las notas más sorprendentes terminan pareciéndonos inevitables, la música nos mueve con ella, nos obliga a habitarla por completo. Por eso, solo en música pasamos tanto tiempo escuchando canciones que ya habíamos oído previamente y, por eso también, algunas de esas canciones se quedan atrapadas en nuestra cabeza en forma de melodías pegadizas.

Las expectativas son el motivo por el que la música está llena de patrones y estructuras, a todos los niveles. Como explica Douglas R. Hofstadter, autor de Gödel, Escher, Bach: «La música no es una mera secuencia lineal de notas; nuestra mente percibe la música en un nivel mucho más elevado que ese. A las notas las articulamos en frases, a las frases en melodías, a las melodías en movimientos y a los movimientos en composiciones^[125]». Cada uno de estos niveles contiene su propia lógica y su propio sistema de relaciones, de forma parecida a lo que sucede en la gramática de un idioma. Hay estudios que sugieren que el procesamiento de la música y su estructura tonal involucra los mismos mecanismos cognitivos que se ocupan del procesamiento de la sintaxis en el lenguaje hablado^[126]. Dicho^[127] de otra manera, en nuestro cerebro, se encienden las mismas lucecitas cuando escuchamos una buena armonía o una frase bien construida. En ese sentido, la música podría entenderse como un lenguaje sin referente, sin significados externos a sí misma, donde la pura forma es el contenido.

Por tanto, las escalas y sus correspondientes modos musicales no son «solo» una colección de sonidos. Son una colección de sonidos con todo un sistema de relaciones. Son uno de los ingredientes que utilizamos inconscientemente para interpretar una pieza musical. Su sonoridad define el molde sobre el que se construye cada canción y esto, a su vez, nos permite generar ciertas predicciones. Bastan unos pocos compases para hacernos una idea de qué notas vamos a escuchar, en qué orden, con qué frecuencia… durante el resto de la canción. Estas expectativas pueden cumplirse o no, lo que a su vez nos mantiene involucrados en la escucha, en un constante devenir de sorpresas, sospechas y deseos cumplidos.

Quizás nunca hayas pensado que las notas pudiesen tener una sintaxis o que se relacionen entre sí de forma especial. Pero, hasta cierto punto, esa es la idea que subyace al concepto de tonalidad y a los modos musicales. Cuando decimos que algo está en do mayor, por ejemplo, significa que la nota do va a tener un papel protagonista: funcionará como punto de partida y de reposo, el lugar sonoro hacia el que se dirige toda la música. Cuando yo estudiaba Armonía, solía imaginarlo como el sujeto de una frase —lo que en armonía funcional se conoce como tónica—. Las otras notas de la escala serán sus compañeras, sus primas lejanas, antagonistas, complementos o «predicados»: capaces de crear una tensión que nos hace desear la vuelta al do, la vuelta a casa. Y lo mejor de todo es que, para oír todo esto, no es necesario saber nada de teoría musical, ni haber estudiado en el conservatorio, ni siquiera prestar demasiada atención.

Cuando escuchamos música, incluso la persona que no sabe qué es una clave de sol, «sabe» intuitivamente qué escala se está utilizando desde los primeros compases de una canción. Por eso puede reconocer que ha habido un error cuando un músico se equivoca de nota, como si fuese una palabra mal dicha dentro de una frase en su propio idioma. Puede que no sepa explicar exactamente en qué consiste el error, claro, pero sí que ha sonado algo raro. La música de nuestra cultura, de hecho, está escrita en un lenguaje que todos aprendemos desde muy pequeños y en paralelo a nuestra lengua materna. Y, del mismo modo que se puede hablar castellano sin ser filólogo, casi todo el mundo habla música, entiende música, aunque no haya pisado un conservatorio en su vida.

La manera en que aprendemos este lenguaje es a base de repetición. Cuando escuchamos una canción en do mayor, inferimos automáticamente la tonalidad y sus muchas implicaciones, gracias a los mil millones de canciones en modo mayor que hemos escuchado previamente. Nuestra mente es una máquina de resolver puzles y encontrar patrones. Sabe que si una canción empieza con cierta sonoridad, algunas notas se repiten más veces que las demás, y ciertos acordes se suceden en el mismo orden, entonces puede aplicar el modelo mental de «canciones en modo mayor» y usarlo para adivinar qué es lo que viene a continuación.

Retomando el símil con el lenguaje, esto es algo parecido a lo que sucede con otro tipo de estructuras narrativas. Si uno se acostumbra a leer muchas historias de detectives, por ejemplo, acaba adivinando quién es el malo, simplemente por intuición. En la música, las expectativas no suelen ser tan explícitas, no es como si conscientemente pensáramos «¡el asesino es un fa sostenido!». Lo que sucede cuando nuestros modelos mentales se cumplen es que la canción simplemente nos suena bien, nos resulta familiar, fluye como tantas otras que hemos escuchado previamente —o como cuando escuchamos una frase gramaticalmente correcta en nuestro idioma materno—. A un nivel superior, podemos manejar incluso varios modelos distintos y cambiar de uno a otro según el contexto: jazz, reguetón, country, nana, marcha fúnebre, rock… son algunos de esos modelos. Los reconocemos al instante, sin necesidad de analizarlos o de ver la partitura, y notamos cuándo algo se sale de lo corriente. Todos somos expertos en música, aunque no todos manejemos el lenguaje técnico necesario para describirla.

Pero volvamos al tema del cambio de tonalidad que resulta tan llamativo en Man in the Mirror. Decíamos que gran parte de la música pop que escuchamos cotidianamente suele estar escrita con una sola escala musical, o en una sola tonalidad. Como esquema de composición, esta es una opción muy práctica. Desde que empieza a sonar, los oyentes conocen todas las notas de la canción, los «personajes» que van a aparecer en su historia, y esto les permite imaginar cómo van a interactuar entre sí. Sin embargo, en ocasiones, los compositores pueden decidir cambiar de tonalidad. El efecto es parecido al de un flashback, o una historia secundaria que se abre en mitad de la trama de una película. De repente un personaje empieza a cobrar importancia, y el guionista decide contarnos una anécdota de su infancia que nos permita entender mejor su personalidad. Esa anécdota en concreto tiene sus propios personajes y su propio desarrollo, no tiene por qué interferir con la trama principal. Es posible que venga marcada por un cambio en la fotografía, con sus propios «tonos» y su propia estética visual. El cambio consigue que durante un rato viajemos a otro mundo, otro contexto, que tarde o temprano nos termina devolviendo al punto de partida, la trama principal. Otras veces, hay varias historias secundarias que nos llevan de vuelta al inicio a través de un viaje circular. O se encadenan, como en Las mil y una noches, de manera que cada mundo sirve de punto de partida al siguiente, recursivamente, y solo es posible volver al inicio deshaciendo el camino andado. No es solo una metáfora: los estudios que analizan la relación entre nuestro procesamiento de la sintaxis y la música sugieren que ciertos tipos de modulaciones equivalen a estructuras recursivas del lenguaje. Historias dentro de historias, castillos de sonidos colgantes.

Mientras que en el cine la fotografía es fundamental para crear distintos ambientes, en el caso de la música los viajes a otros mundos se consiguen a través de cambios de escala. A mitad de canción, el compositor puede decidir usar otra colección de sonidos distinta a la inicial, con otras notas distintas y su propio sistema de relaciones, de manera que nuestro oído se ve forzado a cambiar de contexto. La nueva escala puede parecerse más o menos a la actual, puede requerir un viaje más corto o más largo pero, en todos los casos, es bastante habitual que el compositor nos ayude a prepararlo: introduciendo sonidos de la nueva tonalidad poco a poco, usando sonoridades ambiguas, o haciendo algún tipo de pausa —una cadencia, un fundido a negro— que nos permita limpiar nuestros oídos antes de entrar en la nueva sección.

La modulación de Man in the Mirror es completamente diferente. En esta canción no viajamos, nos teletransportamos abruptamente en un silencio de nanosegundo. Y ni siquiera podemos decir que lleguemos a un nuevo mundo, porque el estribillo suena exactamente igual que antes del change, solo que un pelín más agudo. No es un viaje: es un terremoto. El suelo mismo de la música se ha movido abruptamente a un nuevo lugar donde todo suena más luminoso, más enérgico y brillante. No existe ninguna necesidad de volver donde estábamos, a la tonalidad inicial, porque, como reza el estribillo, es el propio mundo el que «ha cambiado».

Es fácil entender por qué este tipo de modulación, en esta canción en concreto, resulta especialmente ingeniosa. La clave está en el contexto, en dónde y cómo suena. Por lo demás, no se trata de un recurso precisamente original. Cientos de canciones pop lo utilizan, aunque sea de forma quizás no tan intencional. Quizás el ejemplo más conocido es Livin’ on a Prayer, de Bon Jovi —minuto 03:23 de la canción—. Pero también, típicamente I Will Always Love you cantada por Whitney Houston, cuando culmina el último estribillo —and aaaiaaaiaaai…—; When a Man Loves a Woman, de Michael Bolton, después de un silencio dramático apuntalado por la batería; Love Story, de Taylor Swift; Strong Enough, de Cher; My Generation, de The Who; I Want it that Way —y otras mil canciones—, de los Backstreet Boys…

El cambio de marras se deja oír en La vida de Brian: cuando un campo de crucificados empieza a cantar Always Look on the Bright Side al unísono, los Monty Python deciden exagerar aún más el sarcasmo iluminando la melodía con esta eufórica modulación. Y desde luego, no debemos olvidar su aparición estelar en el La, la, la de Massiel. Justo antes de terminar, a partir del minuto 01:50 de la canción, el estribillo se repite cuatro veces seguidas —son setenta «las», que los he contado—. A la tercera, Massiel abre los brazos y eleva repentinamente el tono de voz para acabar triunfalmente su actuación. Es un efecto especialmente apropiado para un momento así. ¡Euforia, optimismo, energía! Nada dice Europe’s Living a Celebration! —«Europa está de celebración»— como una modulación repentina hacia un tono más agudo. Porque, sí, por supuesto, Rosa también echó mano de la popular modulación. De hecho, este recurso es tan típico en las canciones del festival, que en algunos foros, especialmente a partir de los años noventa, se empezó a conocer como «la modulación de Eurovisión».

Más allá de su éxito eurovisivo, parece que en algún momento este terremoto musical se puso de moda, y hoy constituye casi un cliché de la música pop. Es esa popularidad, excesiva quizás, lo que exaspera a sus críticos. Algunos lo consideran la salida de emergencia, fácil y poco imaginativa, a cualquier canción que se está quedando pocha. En el año 2003, el humorista y escritor Robert Anwood —bajo el pseudónimo de Siegfried Baboon— decidió evidenciar este abuso a través de gearchange.org^[128], una página web en la que fue recopilando todas las canciones que recurrían a esta modulación. Su objetivo era crear una especie de muro de la vergüenza musical. Así nació el concepto de «modulación del camionero que cambia de marcha» o truck driver’s gear change, como se suele encontrar hoy en la web. En palabras de Anwood:

Muchos compositores y arreglistas sienten que cuando su canción corre el peligro de agotarse, se le puede insuflar nueva vida alterando todas las notas en un tono […]. Es posible que hayas escuchado hablar de esta técnica referida informalmente como una «modulación», pero el término etnomusicológico correcto para referirse a este fenómeno es «cambio de marchas del conductor del camión». Este concepto refleja la naturaleza completamente predecible y trabajosa de la transición, evocando a un camionero cansado y con exceso de trabajo que coloca la palanca de cambios en la nueva posición con su puño.

Hoy en día, la modulación del camionero es un recurso tan común, que se ha ganado el menosprecio de los más sibaritas. En su web, Anwood afirma sarcásticamente que es la manera en que los músicos confiesan que se han quedado sin ideas y no tienen otra forma de alargar su canción. No obstante, su uso se ha generalizado hasta tal punto que, en algunos contextos, se utiliza casi como sinónimo de «modulación». Y esta equivalencia es engañosa, ya que existen muchos otros tipos de cambios de tonalidad, que la enriquecen y estructuran la música a todos los niveles, incluso dentro del contexto de la música pop.

Desde un punto de vista histórico, de hecho, las modulaciones han jugado un papel fundamental en la evolución de la música occidental desde, al menos, la época del Renacimiento. En realidad, no sabemos en qué momento exacto los compositores, trovadores y hacedores de música en general empezaron a alternar entre distintas paletas de sonidos para hacernos viajar a otros mundos. La mayor parte de la música de nuestra historia no nos ha dejado esqueletos de papel. Pero fue en el Renacimiento cuando los teóricos musicales empezaron a pensar y escribir sistemáticamente sobre este fenómeno. Su música acabó por «cambiar el mundo» en un sentido muy literal. La idea de un contexto musical cambiante encontró un claro paralelismo en la Tierra móvil de las nuevas teorías heliocentristas, y aquellas primeras modulaciones acabaron contribuyendo a que el suelo de la humanidad temblase bajo sus pies. Pero para ello, fueron necesarias las teorías de un célebre pensador italiano de apellido Galilei.

§. Galilei, Vincenzo Galilei
No se suele mencionar muy a menudo, pero lo cierto es que Galileo Galilei nació y se crio entre corcheas, en el seno de una familia y de una época que consideraba la música como una parte indispensable de la formación de cualquier persona culta. Tanto su padre Vincenzo como su hermano Michelangelo fueron virtuosos del laúd y se dedicaron profesionalmente a la composición. El primero, además, jugó un papel protagonista en la revolución musical que tuvo lugar durante la época del Renacimiento en Italia.

También Galileo fue aficionado a tocar el laúd. Lo hacía «con tal suavidad», según relata su primer biógrafo, que «superaba en gracia y belleza a su padre^[129]». Fue Vincenzo quien le enseñó la técnica del instrumento de pequeño, así como toda la teoría matemática y numerológica que lo rodeaba. Hoy aún se conservan los apuntes del pequeño Galileo; análisis matemáticos de los tonos musicales, anotados en los márgenes de un tutorial dedicado por su padre. Sin embargo, cuando Vincenzo notó que a su hijo mayor le gustaba «demasiado» este lado silencioso de la música —su lado numérico y pitagórico—, intentó convencerle de que estudiara Medicina^[130]. Solo con el tiempo terminó aceptando que se decantara por la física, las matemáticas y la astronomía. El lado «sonoro» de la música tampoco le abandonó del todo. El laúd acompañaría a Galileo durante toda su vida. Por sus cartas sabemos que esta afición constituyó una gran fuente de placer y consuelo para él, especialmente durante sus últimos años, cuando la ceguera se sumó a los muchos otros conflictos de su vida.

Además de compositor, Vincenzo Galilei fue un gran pedagogo y quizás el teórico musical más destacado del siglo XVI. En aquella época, el redescubrimiento de la cultura clásica había cambiado por completo el pensamiento de Europa, y la música, por supuesto, no podía ser una excepción. Pero en este ámbito, los creadores no contaban con modelos históricos, como los edificios y las esculturas que inspiraron a sus coetáneos en el campo de las artes visuales. Nada en las ruinas arqueológicas podía guiar a los compositores en su búsqueda de los sonidos del pasado.

Sin embargo, aquellos que leían la literatura clásica se preguntaban por qué la música de su tiempo no los conmovía y emocionaba como aseguraban los textos de la Antigüedad. «La música de los antiguos fue la más espléndida de todas las artes» escribió el obispo de Loreto, Bernardino Cirillo, en una carta de 1549^[131]:

Con ella, crearon efectos cargados de fuerza que nosotros, en la actualidad, no somos capaces de producir bien, ni con la retórica ni con la oratoria, a la hora de conmover las pasiones y los afectos del alma. Con el poder del canto era fácil para ellos desviar cualquier mente sabia desde el uso de la razón hacia la ira y la cólera. Con la eficacia del canto, el perezoso laxo se convertiría en agresivo y rápido; el furioso en pacífico; el disoluto en moderado; el afligido en consolado; el alegre en triste…

Su opinión era compartida por muchos músicos de la época. La música, que hasta ese momento había sido valorada por su refinamiento y erudición, debía recuperar urgentemente la capacidad de conmover a sus oyentes. Y para ello, la clave debía estar en los modos musicales que utilizaron los antiguos.

Los griegos, de hecho, habían atribuido todo tipo de poderes mágicos a la música. Algunos creían que podía curar enfermedades, purificar el cuerpo y la mente y obrar todo tipo de milagros. Poderes similares se le atribuyen en otros mitos y culturas. Quizás por eso, aún hoy es común decir que la música amansa a las fieras. En el Antiguo Testamento, sin ir más lejos, David sana de la locura a Saúl con el tañido de su arpa, y el sonido de trompetas primitivas sirve para derribar las murallas de Jericó. De manera más específica, los escritores griegos creyeron que la música poseía cualidades morales, y que podía afectar al carácter y al comportamiento. A fin de cuentas, en las cuerdas de una lira era posible encontrar las mismas leyes que regían el universo entero. No era de extrañar que el alma humana también armonizase con ellas.

Por este motivo, tanto Platón como Aristóteles insistieron en la importancia de la música en la educación de las élites. Para Aristóteles, su poder transformador radicaba en su capacidad para imitar los estados del alma: la ira, la dulzura, el valor, la templanza… Cada vez que una persona escucha música, es invadida por estos estados. Pero el contagio puede tener terribles consecuencias. Si alguien escucha durante demasiado tiempo el tipo de música que despierta pasiones innobles, se vuelve permanentemente una persona innoble. Y viceversa: la música idónea podía llevar a los hombres a la virtud. Por ese motivo, para Platón, la clave para construir una sociedad ideal era un sistema educativo basado en la gimnasia y la música —para formar el cuerpo y la mente de los ciudadanos— y, por supuesto, regular qué música debían escuchar. No todas resultaban convenientes. En concreto, el tipo de música vinculado a ciertos ritos orgiásticos de la antigua Grecia probablemente escandalizase a los filósofos finos como Aristóteles y Platón.

Así, la música estuvo regulada en las primeras constituciones, tanto de Atenas como de Esparta. Puede parecer una noción inimaginable en nuestro tiempo:

La Nación española, deseando establecer la justicia, la libertad y la seguridad y promover el bien de cuantos la integran, en uso de su soberanía, proclama su voluntad de:

— Desterrar a Ramoncín.

Y, sin embargo, a lo largo de la historia ha habido multitud de ejemplos y situaciones en los que ciertos tipos de música han sido prohibidos «por el bien social». Las dictaduras del siglo XX son solo el ejemplo más reciente. Los nazis persiguieron activamente la «música degenerada», que incluía en gran medida el jazz, con sus «tempos excesivos propios de los negros^[132]», y la música compuesta por artistas judíos, cómo no. En la URSS, durante la Guerra Fría, el peligro era que la gente escuchara rock and roll; los jóvenes, a partir de los años sesenta, empezaron a traficar con vinilos como el más puro acto de rebeldía. Algunos historiadores plantean que su afición musical tuvo mucho que ver con un cambio en la percepción de Occidente y con la posterior caída de la URSS. Aquello fue música capaz de «cambiar» el mundo en un sentido muy literal.

Platón fue mucho más moderado en comparación: para él, el problema radicaba en ciertos modos musicales o escalas de notas. Por eso, solo quería abolir cinco de las siete escalas que se empleaban en la antigua Grecia. Las canciones en modo dórico y modo frigio, en cambio, podían seguir escuchándose sin problema, pues promovían el valor y la templanza. No fue el único en pensar de manera parecida. Para los griegos, las escalas musicales —los modos— condensaban todo el poder emocional de la música^[133]. Podían cambiar el carácter de los individuos, corromperlos o salvarlos. La leyenda cuenta que Pitágoras fue capaz de calmar a un joven nervioso y con inclinaciones violentas, haciendo que un flautista entonase una simple modulación. Según otro mito antiguo, Alejandro Magno abandonó un banquete de pronto y se armó para la lucha cuando escuchó una melodía frigia^[134].

La asociación de los modos musicales con ciertas emociones ha perdurado hasta nuestros días. De nuevo, no hace falta ser un experto en música. Si alguna vez has oído hablar de «el modo menor», probablemente haya sido en relación a su poder para evocar tristeza. En cambio, su luminoso hermano, «el modo mayor», suele llegar anunciando la alegría. La euforia del estribillo de Man in the Mirror, por ejemplo, se puede atribuir en parte a sus acordes mayores —aunque el coro de góspel seguro que también ayuda—.

El reinado de estos dos modos, mayor y menor, se impuso en la época de Vincenzo Galilei, hacia finales del Renacimiento, precisamente. En realidad, se utilizaban ya desde tiempos de los griegos, pero, como ya hemos mencionado, la paleta de escalas era mucho más amplia entonces: existían siete modos en total, designados con nombres de lo más rimbombante. Lo que hoy entendemos como «modo mayor», por ejemplo, entonces se llamaba modo lidio, y el «modo menor» era hipodórico o locrio. Pero los griegos también utilizaban los modos frigio, hipofrigio, dórico, hipolidio y mixolidio. Todos ellos tenían siete notas y se asociaban a distintos contextos y emociones. Su uso fue heredado por los romanos y llegaron hasta la Edad Media convertidos en modos eclesiásticos o gregorianos. Pero con el paso de los siglos, la teoría se había ido perdiendo de transcripción en transcripción y los nombres de cada escala habían ido rotando en una especie de teléfono escacharrado histórico. Hoy, esos mismos modos se utilizan en música moderna, en contextos como la música jazz, pero los nombres están completamente cambiados.

Si nos alejamos un poco de la tradición europea, el abanico de paletas sonoras se amplía todavía más. Encontramos incluso escalas con distinto número de notas, como las escalas pentatónicas —de cinco tonos—, las octatónicas —de ocho—, escalas con microtonos —un tipo de peldaños sonoros especialmente pequeños— o escalas que dividen el rango sonoro en escalones iguales, como la escala cromática de doce notas —esta escala se utiliza como la base de nuestro sistema musical actual, como veremos—.

Solo hay una cosa común dentro de toda esta diversidad: allá donde uno vaya, los sistemas musicales utilizan escalas. Y allá donde se utilizan escalas, estas suelen asociarse a distintas emociones. Se podría decir que la escala es a la música lo que la paleta de color es a un cuadro o a la fotografía de una película. Sirve para crear un ambiente, para dar contexto y coherencia a la música, nos sitúa en cierto lugar. De hecho, raga, la palabra que designa los modos melódicos de la música india, significa eso literalmente, ‘lo que colorea la mente’.

Desde el siglo XV, en su afán por recuperar las emociones que la música había perdido entre malabarismos teóricos y partituras «sutiles» de infinita erudición, los compositores volvieron a jugar y alternar entre los distintos modos griegos. O eso creyeron. En realidad, es posible que la afinación no fuese la misma que se utilizaba en la Antigüedad y parece que también se liaron con los nombres de las escalas, como hemos comentado. Sin embargo, gracias a sus pesquisas y su búsqueda de un nuevo sonido más humano, más emocional, los músicos del Renacimiento terminaron formalizando lo que hoy conocemos como lenguaje tonal, la «sintaxis sonora», por así decirlo, que aún hoy se encuentra en la base del pop, del rock, del reguetón, de la jota aragonesa y hasta de las óperas de Verdi —salvo raras excepciones, si lo has escuchado en la radio, es que era música tonal—. Es ese lenguaje el que nos permite crear historias detectivescas con la música, hacer flashbacks, cambiar de contexto —modular— o crear terremotos sonoros como el de Man in the Mirror. Es el lenguaje de nuestras expectativas.

Por otra parte, estos músicos dieron paso a un debate mucho más inesperado y de implicaciones cósmicas. Las modulaciones de su música ayudaron a cambiar el mundo, literalmente esta vez: lo pusieron en órbita alrededor del Sol.

Durante toda la Edad Media, los distintos modos se habían asociado a los planetas dentro del mito de la música de las esferas. De acuerdo con esa misma analogía, la posibilidad de mover el centro tonal de una pieza —la casa de la música, su base—, la posibilidad de hacer modulaciones, en definitiva, llevó a muchos a plantearse si otro tipo de «suelo» podía ponerse en movimiento. Como explica Peter Pesic, autor de Music and the Making of Modern Science:

La música y la astronomía retomaron la cuestión de si un centro aparentemente inmóvil podía ser movido. Ese centro podía ser la Tierra o el modo de una composición musical, que generalmente se asumían como inalterables. Dado que cada esfera celestial se asociaba a un modo, un cambio de modo sugería movimiento entre las esferas. A medida que las composiciones musicales más innovadoras fueron utilizando cambios de modo más insólitos, el centro inamovible de la música se empezó a desplazar. En las siguientes décadas, la nueva astronomía presentó la teoría de la Tierra en movimiento.

En 1543, Copérnico publicó De revolutionibus orbium coelestium, un libro sobre giros celestes que revolucionó nuestro concepto del mundo. Desde que sus páginas salieron de la imprenta, la Tierra dejó de ser el centro del universo y, poco a poco, su suelo empezó a girar bajo nuestros pies. Dentro del debate que siguió a la publicación de Revolutionibus, muchos de los argumentos a favor y en contra de la nueva teoría se basaron, cómo no, en cuestiones musicales y estéticas. Algunos alababan su simetría. A otros les convencía su simplicidad —nada tan rocambolesco y feo como el sistema ptolemaico podía ser cierto—. Y también hubo quienes analizaron las consonancias de los planetas sobre sus nuevas órbitas.

El mismo Copérnico se apoyó en este tipo de razonamientos. Como explica Kitty Ferguson^[135], «ningún descubrimiento astronómico ni ninguna observación mejor o más precisa del cielo llevó a Copérnico a descartar la astronomía ptolemaica centrada en la Tierra y sustituirla por un sistema con el Sol en el centro». Si bien es cierto que la astronomía ptolemaica, con sus muchos epiciclos, excepciones y apaños, carecía de precisión a la hora de predecir las posiciones de los astros, ningún instrumento de observación en tiempos de Copérnico habría podido revelarle este error. El telescopio aún tardaría más de medio siglo en llegar —fue patentado en 1608—, y tampoco es que la astronomía copernicana, tal y como él la concibió, basada en circunferencias perfectas y órbitas regulares, fuese mucho más precisa.

La preferencia de Copérnico por el sistema heliocéntrico no se basaba en argumentos científicos. Era, en el fondo, una preferencia estética. Y como tal, estaba vinculada a la tradición pitagórica y musical que inspiró en sus pesquisas a tantos otros físicos y matemáticos. Solo así pueden entenderse sus referencias a la «armonía» del modelo heliocéntrico y a su capacidad para explicar el «baile» de los planetas —siderum chorea—. Incluso para nombrar su propio sistema eligió esta inspiración: inicialmente, Copérnico se refirió a sus hallazgos como «astronomía pitagórica» o «astronomía filolaica». Se habría sumado así a una larga tradición de la hermandad pitagórica, que atribuía todos sus descubrimientos a su primer fundador.

Entre todo el ruido que siguió a la publicación de Revolutionibus, sus ecos más insospechados se encuentran en un tratado musical firmado por un importante teórico italiano. Dialogo della musica antica, et della moderna fue publicado en 1581. En sus páginas, Vincenzo Galilei afirma:

Como líneas trazadas desde el centro de un círculo a la circunferencia, que se reflejan en el centro, cada intervalo musical se mira a sí mismo en la octava como en un espejo, como los planetas lo hacen en el sol.

Así, como de pasada, como quien pide el bote de sal a la hora de la cena, Vincenzo deja clara su posición en uno de los debates más candentes y arriesgados de su tiempo, el mismo que provocaría el conflicto de su hijo con la Iglesia católica treinta años después: «Do, re, mi, fa, el Sol está en el centro del universo, la, si, do».

El Diálogo de la música antigua y la moderna de Vincenzo fue uno de los tratados musicales más influyentes del siglo XVI. Sus ideas encontraron lectores mucho más allá del ámbito musical. En 1617, cuando Kepler viajó a Wurtemberg para salvar a su madre de un juicio por brujería —el crimen por excelencia de las mujeres con inquietudes en aquella época—, el Diálogo de Galilei le acompañó en el trayecto. El astrónomo alemán estaba trabajando entonces en sus teorías de armonía planetaria y, probablemente, este tratado le ayudó a profundizar en sus conocimientos de teoría musical —de hecho, se convirtió en su referencia más citada a partir de ese momento en cuestiones de armonía—. Me pregunto si Kepler repararía en la sutil confesión copernicana del músico italiano. Me gusta imaginar que, aunque nunca se conocieran y apenas coincidieran en el tiempo —Kepler nació en 1571 y Vincenzo falleció en 1591—, solo esa pequeña frase, la certeza de pertenecer a una minoría absoluta en un momento tan adverso, sirvió para establecer algún tipo de complicidad remota entre los dos.

Por lo demás, Vincenzo nunca menciona explícitamente la obra de Copérnico en su Diálogo, pero parece que pudo leer y estudiar De revolutionibus gracias a su mentor y maestro Gioseffo Zarlino, que poseía una copia de la primera edición. Zarlino era probablemente el teórico musical más importante de ese momento en Italia. Vincenzo venía del lado práctico de la música y quería adquirir una base más conceptual para progresar en su carrera, así que, a partir de 1563, empezó a desplazarse a Venecia para poder estudiar con él. De acuerdo con Peter Pesic^[136], esto lo habría situado en un lugar excepcional para conocer y estudiar las ideas de Copérnico en una época en que los libros eran escasos y, sobre todo, muy caros. También hace probable que fuese el mismo Vincenzo quien se las presentase y explicase por primera vez a su hijo Galileo.

Las teorías copernicanas pudieron contribuir al conflicto que acabó distanciando a Vincenzo de su profesor. Zarlino fue un teórico de lo más innovador en muchos sentidos. Sus ideas fueron fundamentales para el desarrollo de la música tonal —el tipo de música que escuchamos hoy, principalmente—. En otros sentidos, sin embargo, seguía siendo un músico del pasado, un músico principalmente teórico, de acuerdo con la tradición pitagórica. Su obra se caracterizó por las aportaciones que hizo al desarrollo del contrapunto, una técnica de composición estilizada, relativamente compleja, donde varias voces se mezclan en una textura de enredadera. Muchos compositores de la época empezaron a criticar este tipo de creaciones por parecerles demasiado cerebrales, demasiado crípticas. Pero Zarlino era muy de pensar y poco de sentir y experimentar. Era, todavía, un músico teórico. También era un convencido geocentrista.

Vincenzo, por el contrario, se convirtió en el símbolo de la nueva música en una nueva era. La suya era una música más directa, anclada en los sentidos y las experiencias. Los compositores del Renacimiento habían puesto su foco en recuperar las emociones de los oyentes, en manipular sus pasiones, y para Vincenzo la clave estaba en recuperar la sencillez de la música antigua. Era necesario limpiar las partituras de distracciones, utilizar una única línea melódica que se adaptase al significado del texto para poder comunicarlo mejor. Del mismo modo que en Man in the Mirror, como vimos, las notas de la melodía «dibujan» el contenido de la letra, Vincenzo quería que sus composiciones fuesen un molde hecho a medida del lenguaje. Defendía que la música no era sino una forma de retórica, la extensión de la poesía. Su consejo para otros compositores consistía en estudiar la voz de los actores: el canto solo tenía que imitar este tipo de habla expresiva y emocional.

Curiosamente, hoy algunos investigadores en psicología y cognición musical piensan que el poder emotivo de las escalas y los modos musicales procede, precisamente, de su capacidad para evocar una voz humana y sus distintos estados de ánimo. De acuerdo con el investigador David Huron^[137], las canciones en modo menor sonarían, en general, más tristes que sus hermanas mayores, debido a que la distribución de sus sonidos es comparativamente más grave, más oscura. De forma similar, cuando un humano está triste, se comporta como si se hubiese quedado sin pilas y esto afecta a su tono de voz. Es común que el humano triste hable bajito, sin cambiar mucho la frecuencia de su entonación, balbuceando a menudo. Particularmente, el humano triste tiende a producir sonidos más graves de lo habitual. Por ese motivo, según Huron, la escala menor con sus notas comparativamente más graves, recordaría a su tono de voz.

A Vincenzo Galilei, sin duda, le habrían fascinado los estudios en psicología de la música de nuestra era. Su interés por renovar la música de su época le llevó a participar en la llamada Camerata Florentina, un grupo de poetas, músicos e intelectuales, que se reunían bajo el patrocinio del conde Giovanni de Bardi para discutir sobre el estado de las artes de la época, y especialmente de la música y el drama. Su objetivo era crear un nuevo estilo de música humanista, capaz de adaptarse a sus oyentes, de imitar sus pasiones y de evocar el sonido de sus propias voces.

Como buenos renacentistas, los miembros de la Camerata tomaron como referencia la práctica de los autores antiguos y, en concreto, la tradición teatral griega donde se fusionaban música, poesía y drama. Sus esfuerzos culminaron, a finales de siglo, con la aparición de todo un nuevo género musical: la ópera. Hoy encontramos esa misma inspiración en todas las canciones con letra que nos conmueven, en todas las historias del cine con bandas sonoras capaces de ponernos los pelos de punta, ¡incluso en los esfuerzos de Man in the Mirror por representar con música cada detalle de la letra! Y también, cómo no, en las verdaderas óperas del siglo XX y XXI, más conocidas como musicales: de West Side Story a Hamilton, pasando por Grease y La La Land, todo comenzó con un grupo de músicos renacentistas, el padre de un célebre astrónomo y su empeño por mover el mundo con todas las emociones humanas a cuestas.

§. De la música a la física experimental
Es difícil saber si fue Vincenzo quien le habló a su hijo sobre las ideas de Copérnico, o si quizás el contagio de ideas se dio al revés. Cuando Vincenzo publicó su Diálogo, Galileo apenas tenía diecisiete años. Justo un año antes, en 1580, acababa de matricularse en la Universidad de Pisa para estudiar Medicina. Resulta tentador imaginar a un adolescente Galileo intentando convencer a su padre de que la Tierra se mueve a más de cien mil kilómetros por hora alrededor del Sol, y a un Vincenzo preocupado por el acceso a hierbas «medicinales» en la facultad de su primogénito. Parece más probable que el influjo se diese al revés, pero ¡quién sabe!

De lo que no cabe duda es de la influencia que tuvo Vincenzo, en un sentido mucho más amplio, sobre la obra y el pensamiento de Galileo. Galilei padre no fue solo un músico de los sentidos. También fue un pionero de la acústica física y de la investigación estética y perceptiva, y en ambos campos su enfoque fue rompedoramente empírico. Frente a una tradición medieval donde las teorías se sostenían sobre más teorías e interminables argumentos de autoridad, Vincenzo parte siempre de su propia experiencia, puesta a prueba de manera sistemática.

En sus tratados aparecen descritos algunos de sus experimentos. El Diálogo incluye un estudio sobre el tono de los tubos de un órgano en función de su tamaño, y una discusión estética sobre distintos sistemas de afinación. En su segundo libro, el Discorso de 1589, el compositor va más allá y afirma que el experimento es «el maestro de todas las cosas».

Aunque hoy lo recordamos sobre todo por sus teorías, Vincenzo Galilei fue un músico práctico antes que teórico, su laúd fue su laboratorio, sus oídos le sirvieron de guía. En el sótano de su casa de Florencia colgaban cuerdas de diferentes longitudes, espesores y mezcla de materiales, con diferentes pesos para probar y medir sistemáticamente sus propiedades. Así se convirtió en la primera persona en descubrir la relación entre el tono de una cuerda y su tensión, ¡la primera ley de la física no lineal de la historia!

En un experimento que muchos otros hemos validado después —yo misma, en las prácticas de la universidad—, Galilei colgó diferentes pesos a una cuerda para estudiar cómo se relacionaba su tensión con su tono. Descubrió que las masas que producían los armónicos pitagóricos ya no dependían de números enteros sencillos (1, 2, 3, 4), sino de esos mismos números elevados al cuadrado (1, 4, 9, 16). O, dicho en físico: la tensión de una cuerda guarda una relación cuadrática con la frecuencia. Esto es lo que significa que fuese una ley «no lineal». Para hallar la relación entre las dos magnitudes —entre la tensión y el tono—, Galilei tuvo que utilizar operaciones algo más sofisticadas que simples sumas y multiplicaciones.

No obstante, su experimento era tremendamente sencillo. Por eso resulta aún más sorprendente que, desde tiempos de Pitágoras hasta finales del siglo XVI, a nadie se le hubiese ocurrido hacerlo. En más de dos mil años, a ningún sabio se le había pasado por la cabeza colgar distintos pesos de una cuerda y ver qué pasaba realmente con su sonido. Preferían leerse cincuenta sesudos tratados en latín antes que usar sus propias manos. El mismo Zarlino, maestro de Vincenzo, creía que la relación entre tensión y frecuencia era lineal, como decían los antiguos —es decir, que dependía solo de números sin exponentes 1, 2, 3…—. El conflicto que lo enfrentó públicamente con su alumno ejemplifica también la lucha entre dos mundos: el del saber antiguo y teórico, contra la nueva ciencia experimental.

El historiador Stillman Drake argumenta que en la época en que Vincenzo realizó todos estos experimentos con cuerdas, alrededor de 1588, su hijo mayor se alojaba en su casa. En aquella época, Galileo daba clases particulares de matemáticas a estudiantes locales^[138]. Drake cree probable que el joven astrónomo ejerciese como ayudante de laboratorio para su padre, un hecho que habría tenido una influencia decisiva en algunos de sus descubrimientos posteriores.

Uno de esos experimentos fue el del péndulo. Galileo fue el primer físico en describir el movimiento periódico de una masa colgada de una cuerda tensa. Su primer biógrafo relata que la inspiración para estudiar este fenómeno surgió al observar los candelabros colgantes de la catedral de Pisa, mientras estudiaba en la universidad en 1582. Sin embargo, las primeras anotaciones de Galileo sobre este fenómeno datan de 1588, ¡precisamente cuando acompañaba a su padre en Florencia! Para Drake, es probable que el joven astrónomo observase directamente las masas suspendidas de cuerdas que Vincenzo utilizaba para afinar y experimentar. De este modo, Galileo descubrió que la frecuencia de un péndulo es independiente de la amplitud de su movimiento y de su masa, lo cual lo convierte en una herramienta ideal para medir el tiempo. Al final de su vida, sugirió incluso un modelo de reloj primitivo que, desgraciadamente, nunca llegó a construirse. Inspirándose en sus ideas, otro físico, músico, e hijo de músicos llamado Christiaan Huygens patentó el primer reloj de péndulo funcional en 1656.

La música tuvo otro papel importante en la medida del tiempo para Galileo. Hacia 1604, el físico italiano estaba estudiando el movimiento de los cuerpos acelerados por la gravedad. Para comparar su avance, necesitaba algún recurso que le permitiese medir lapsos de tiempo iguales pero, en aquella época, no existían los cronómetros ni nada parecido a un reloj de precisión. Para realizar sus medidas, Galileo recurrió a los pulsos de una canción^[139]. Y no le valía una cualquiera: si quería ser lo bastante preciso, necesitaba un ritmo contundente, bien definido, como el de un buen tema pop. Después, de acuerdo con sus notas de laboratorio, colocó una serie de trastes sobre un plano inclinado, parecidos quizás a los de su propio laúd, y dejó rodar una pelota sobre su pendiente. Al pasar sobre los trastes, la pelota emitía un pequeño ruido, así que Galileo solo tenía que mover estas marcas sonoras hasta sincronizarlas con los pulsos regulares de su propia canción. Tras completar este proceso de ajuste, los trastes revelaban un claro patrón. Las distancias recorridas por la pelota sobre la rampa eran proporcionales al tiempo transcurrido —el pulso enésimo de la canción— elevado al cuadrado. Podemos afirmar que Galileo descubrió la matemática de los cuerpos acelerados por la gravedad mientras cantaba una canción popular. En mi cabeza era algo parecido a Shakira, aunque probablemente los historiadores no estarán muy de acuerdo conmigo en esto. Lo sorprendente es que, a pesar de lo rudimentario de su método, ¡sus medidas alcanzaron una precisión de 1/64 de segundo! Los humanos somos increíblemente precisos detectando el ritmo de una canción. Junto con las escalas de notas, esta «cuadrícula temporal» es otra de las características más universales y reconocibles de la música.

Como tantos otros físicos, Galileo se interesó también por el problema de la consonancia y la disonancia. Intuyó que los sonidos armónicos eran más regulares, y que esta regularidad emanaba directamente de los números: «los pulsos producidos por dos tonos, al mismo tiempo, deben ser conmensurables en número, para que no mantengan al tímpano en un estado de tormento perpetuo, doblándose en direcciones distintas para ceder a impulsos siempre discordantes». Su principal discusión sobre este tema se encuentra en su último libro, Discursos sobre dos nuevas ciencias. En sus páginas, Galileo promete «deducir las razones de los maravillosos accidentes de los sonidos» usando como punto de partida «algunos experimentos sencillos y sensatos^[140]». Este libro, sin embargo, es mucho más conocido por su trascendencia para la física y para el desarrollo de la ciencia, en general. En él establece los fundamentos de la mecánica en tanto que ciencia, incluye gran parte de su trabajo realizado durante las tres décadas anteriores y pone fin a la corriente de pensamiento que había dominado durante toda la Edad Media.

De manera más general, la influencia de Vincenzo sobre Galileo tuvo más que ver con el hecho de experimentar en sí, antes que con ningún experimento en concreto. Hoy se considera a Galileo como «el padre de la física moderna», el primer impulsor de la revolución científica que sacó a los científicos de sus laberintos de papel y los arrastró hasta el laboratorio, a mancharse las manos y a cantar música pop. En el camino, se atrevió incluso a salpicar la cara de la Luna con los cráteres que observó a través de su telescopio, porque para él ni siquiera el cielo podía ser «ideal». Es probable que encontrase la inspiración para todo este proceso en el taller de su padre y, en ese sentido, Galileo es un científico mucho más moderno que Kepler. Mientras que la deuda de Kepler con la música de su tiempo proviene de su vertiente teórica y pitagórica, Galileo es hijo —nunca mejor dicho— de la «práctica» musical de su época, mucho más experimental y artesana.

Las ciencias naturales, de hecho, requieren tanto teoría y matemáticas como experimentos y observaciones para poder generar conocimiento. En eso radica su éxito y su fascinante poder descriptivo. Pero, hasta la época de Galilei, esas dos piezas del puzle habían permanecido separadas por una barrera social. En parte por culpa de la tradición griega y el desprecio a «trabajar con las manos» que también compartía Pitágoras. Como explica el historiador y filósofo de la ciencia Edgar Zilsel^[141]:

La formación lógica estaba reservada para los estudiosos de la clase alta; la experimentación, el interés causal y el método cuantitativo se dejaron en manos de artesanos más o menos plebeyos. La ciencia nació cuando, con el progreso de la tecnología, el método experimental finalmente superó el prejuicio social contra el trabajo manual y fue adoptado por estudiosos con formación racional.

Fue la unión de teoría y práctica durante el Renacimiento la que elevó a los artesanos a la categoría de artistas y convirtió a los filósofos en científicos.

Vincenzo, de hecho, provenía del lado práctico de la música, la música mundana, la de afinar cuerdas y romper laúdes, la que aún hoy se toca «de oído». La teoría, para él, vino después. En ese sentido, tenía poco miedo a mancharse las manos y, gracias a ello, se convirtió en uno de los primeros científicos experimentales de la historia. Llegó a afirmar que «hay pocas cosas que no puedan ser pesadas, numeradas, o medidas^[142]». Pero su método no se limitó al ámbito de la acústica. Ese empeño por observar la realidad y poner a prueba sus propias ideas moldeó también su pensamiento estético. La música no solo debía ser «teóricamente hermosa», no bastaba con una idea brillante o un discurso al pie de la partitura que demostrase la inteligencia suprema de su creador. Vincenzo se habría rebelado contra los museos y las sesiones de «música culta» contemporánea, donde el libreto explicativo resulta más conmovedor que la obra en sí. Para él, la música no era solo pensamiento. Era, antes que nada, sonido. Y sin oyentes, sin comprobar el efecto que provocaba esa música sobre el público al que iba destinada, sus teorías no valían de nada. Como explica el musicólogo Howard Mayer Brown^[143], «uno de los mayores logros de Galileo Galilei fue haber ido más allá del aristotelismo para verificar hechos y confirmar teorías mediante experimentos empíricos. Eso, por supuesto, es precisamente lo que hizo su padre Vincenzo al tratar de revivir el poder afectivo de la música griega antigua». En ese sentido, su música fue mucho más científica que la de cualquier época anterior, más experimental y humanista. Al mismo tiempo, sin embargo, la nueva tendencia emocional y expresiva de la música terminó expulsándola para siempre de su lugar en el quadrivium, junto a la aritmética, la geometría y la astronomía. El experimento puso fin a dos mil años de música teórica. A cambio, le hizo un nuevo hueco en el reino de las artes.

Capítulo 7
El arcoíris de Newton

§. Las siete notas del arcoíris
Cuenta Harold Arlen que la compuso en un golpe de inspiración^[144]. «No estaba pensando en el trabajo. No era consciente de estar pensando en el trabajo. Solo quería relajarme». Llevaba ya tiempo trabajando en la banda sonora de El mago de Oz y la última canción aún se le resistía. Así que le propuso a su esposa que le llevara a comer a un restaurante chino. Pero a mitad de camino tuvieron que detenerse: «Para el coche, por favor». Arlen acababa de imaginar una de las canciones más populares del siglo XX y necesitaba apuntarla inmediatamente. En su cabeza acababan de sonar los primeros compases de Over the Rainbow.

Si tienes orejas y no has vivido en un búnker durante los últimos ochenta años, es simplemente imposible que no la hayas oído alguna vez. La canción es tan conocida por su preciosa melodía como por su letra, añadida por Yip Harburg después. Curiosamente, estuvo a punto de ser excluida de la película porque a algunos gerifaltes de la productora Metro-Goldwyn-Mayer les parecía demasiado lenta y triste y no entendían que la niña se pusiese a cantar una balada en medio de un corral. Por fortuna —o por la insistencia del productor Arthur Freed, más bien—, Over the Rainbow sobrevivió a las tijeras de la edición y hoy constituye uno de los momentos más icónicos de la famosa película. A los cinco minutos de empezar, Dorothy, la protagonista de zapatos rojos interpretada por Judy Garland, es despachada por su tía Em, que tiene cosas mejores que hacer que escuchar sus movidas. «¡Ayúdanos y quédate en algún lugar donde no te metas en problemas!», le suelta. La niña —que por lo que se ve es un poco literal—, empieza a imaginar entonces «un lugar sin problemas», alejado de la árida Kansas, al que no se puede llegar ni en barco ni en tren, un lugar al otro lado del arcoíris… y, como suele suceder en los musicales, de repente rompe a cantar: «Soooome-wheeere over the rainbow…».

Tras el estreno de El mago de Oz en 1939, Over the Rainbow ganó el Óscar a la mejor canción original. En 2001, fue elegida por votación como la número uno de las «Canciones del siglo», de acuerdo con un ranking elaborado por la Asociación de la Industria Discográfica (RIAA) y el Fondo Nacional de las Artes (NEA) de Estados Unidos. También el Instituto Americano de Cine (AFI) la proclamó la mejor canción en cien años. En marzo de 2017, la grabación cantada por Judy Garland pasó a formar parte del Registro Nacional de Grabaciones de la Biblioteca del Congreso de Estados Unidos, cuyo objetivo es preservar música «cultural, histórica o estéticamente relevante»^[145].

A lo largo de ochenta años, la balada ha ido mutando y creciendo también gracias a los muchos artistas que la han replicado con sus voces e instrumentos. Además de Judy Garland, Aretha Franklin, Ella Fitzgerald, Art Tatum, Elvis, Queen, Pink Floyd, Tori Amos, David Bowie, Louis Armstrong, Frank Sinatra, Eric Clapton, Ariana Grande… la lista es verdaderamente interminable —a fecha de escribir estas líneas, la Wikipedia en español recoge 169 versiones—. No obstante, hoy la interpretación más conocida es probablemente la de Israel Kamakawiwo’ole, que intercala pasajes de What a Wonderful World. Kamakawiwo’ole la grabó en una sola toma de quince minutos acompañado por su ukelele y, desde entonces, su voz ha dado la vuelta al mundo. Por mi parte, os recomiendo buscar la interpretación de Beyoncé en 2007 para una gala conocida como Movies Rock. En primer lugar, porque ver cantar a Beyoncé es aprender a lidiar con la propia mortalidad en presencia de la absoluta perfección divina. Pero, además, en el minuto 01:45 podrás reconocer una modulación del camionero especialmente audaz que pone a cualquiera los pelos de punta —la voz de la Diosa sube una tercera mayor, un intervalo mucho más amplio de lo común—.

Over the Rainbow ha roto, en definitiva, todos los récords habidos y por haber en cuanto a difusión, reconocimiento y popularidad. Es posible que parte de su éxito se debiese a la acogida que tuvo la propia película, una de las más vistas de la historia según la Biblioteca del Congreso de Estados Unidos. O, quizás, la clave fuese el momento de su publicación. En 1939, Europa acababa de empezar una terrible guerra mundial que arrastraría más tarde a su aliado yanqui. Puede que la balada, con su mensaje de optimismo, sus ganas de encontrar un lugar mejor al otro lado del arcoíris resonase especialmente con una audiencia que vivía un momento histórico doloroso y confuso.

De lo que no cabe ninguna duda, más allá del éxito de El mago de Oz u otras coincidencias históricas, es de que la melodía de Over the Rainbow es una auténtica maravilla. Simple y llanamente. Una miniatura musical, delicada y sensible, emotiva y hermosa. Y, aunque algunos poetas quizás me acusen de querer «destejer el arcoíris», podríamos analizar algunas claves por las que esta balada funciona tan bien.

Empecemos por el principio. Probablemente, el rasgo más reconocible de la melodía es su salto inicial. De Some a where hay exactamente un intervalo de octava. Suena algo técnico, pero solo es el término que usan los músicos para designar esta distancia sonora en particular: un salto amplio, muy reconocible. De hecho, un salto quizás «demasiado» amplio para tratarse de una canción popular. Como explica el compositor Rob Kapilow^[146], «los productores estaban preocupados de que nadie comprase la canción porque fuese demasiado difícil de cantar». Es probable que una cantante profesional tenga que cambiar de registro para poder entonar las dos notas correctamente. A los demás no nos queda más remedio que desafinar bochornosamente.

Este mismo intervalo se encuentra también en otra canción popular, una de las pocas aún más conocidas que Over the Rainbow. Me refiero al Cumpleaños feliz. Desde su composición en 1893 por las hermanas Mildred y Patty Smith Hill, no se ha cantado afinado ni una sola vez. Yo lo sufro todos los años. Toca el momento de soplar las velas, rodeada por aquellos que más dicen quererme, y encojo el cuello, me agazapo, cierro fuerte los ojos, porque millones de años de evolución no nos han concedido la bendición de unas orejas con párpados. Cuando llega el «te de-sé-a-mos to-dos», la sílaba tildada debería sonar una octava más aguda que la anterior, pero nadie es capaz de cantarla bien afinada. Por suerte, en Over the Rainbow, Judy Garland no tiene esta limitación. En su voz, el salto de octava resulta especialmente expresivo. Suena a anhelos y a inocencia. Es un salto al lugar soñado.

Este es solo el primer paso del viaje, no obstante. Over the Rainbow presenta una línea melódica especialmente larga. Parece que todo su estribillo está dibujado con un solo trazo de principio a fin, y no descansa hasta el octavo compás. Por eso, cuando suena, la última nota resulta especialmente satisfactoria, como si nuestro oído la hubiese estado buscando desde el principio de la canción. Es imposible destilar todos los ingredientes que contribuyen a esta magia. Pero podemos intentar hacer un ejercicio de abstracción para simplificar la melodía en busca de sus puntos de apoyo, su «esqueleto sonoro», por así decirlo. Lo que sobresale entonces es un dibujo especialmente sencillo y familiar que, probablemente, es el que dirige las expectativas de los oyentes. La melodía de Over the Rainbow es, como decía, un viaje; uno de ida y vuelta, concretamente. Todo comienza con el salto de octava ascendente (la♭ - la♭), un salto más allá del arcoíris. Desde ahí, en cada compás, la melodía desciende una única nota, paso a paso, por peldaños. Al llegar al octavo compás, hemos completado la escala entera. Hemos recorrido el arcoíris cuesta abajo y, sin darnos casi cuenta, volvemos a encontrarnos donde todo comenzó. Como Dorothy, después de visitar Oz, volvemos a estar en casa.

Nota para escépticos: con esto no quiero decir que Harold Arlen hiciese todo este análisis en su cabeza cuando compuso la canción. Bastante tenía con repasar mentalmente el menú del restaurante chino y hacer de copiloto para su señora esposa. Simplemente tuvo una idea musical brillante, una idea que funciona muy bien. Uno de los motivos por los que probablemente funciona tan bien es que se asienta sobre expectativas musicales compartidas por los oyentes, como una escala musical descendente en este caso. Pero esta es una explicación que solo puede darse a posteriori. Cualquier acto creativo hace suya la maldición del Titanic: una vez hundido, todo el mundo sabe cómo salvarlo. Lo difícil es ser capitán de barco cuando los icebergs aún no figuran en el mapa. Del mismo modo, componer es siempre mucho más complicado que analizar: solo las intuiciones de los mejores músicos —que a menudo sintetizan y anticipan las expectativas de los oyentes—, pueden orientarles en su proceso creativo.

Por otra parte, y aunque probablemente solo fuera un accidente —al menos en un primer momento—, es precioso pensar que la primera y más icónica canción de El mago de Oz recoge en su estructura melódica toda la narración posterior. Al comienzo de la película, un tornado se lleva a Dorothy volando hasta un lugar colorido «más allá del arcoíris». La imagen misma cambia de sepia a tecnicolor en ese preciso momento. Pero ese salto repentino (la♭ - la♭) solo sirve para hacerle añorar su hogar. El resto de la narración trata sobre el largo camino de regreso a casa, a lo largo de un camino de baldosas amarillas (sol fa mi♭ re♭ do si♭… la♭). En la película, como en la melodía, una tensión inicial nos lleva paso a paso hasta el punto de partida, y solo allí descansamos. Como dice Dorothy, «se está mejor en casa que en ningún sitio».

En ese sentido, el salto inicial de Over the Rainbow resulta especialmente sugerente. Algunos críticos han querido ver en él el mismo arcoíris del que habla la canción. La octava es, de hecho, el intervalo que separa las notas de una escala y la siguiente, es decir: la distancia sonora que hay entre un do y el siguiente do —o entre un la bemol y el siguiente, en este caso— pasando por encima de las siete notas del arcoíris… digo, de la escala. El nombre viene precisamente de ahí. Después de do re mi fa sol la si, la siguiente nota, el siguiente do más agudo, es «la octava».

Existe un segundo paralelismo aún más sutil. Se basa en el hecho de que Dorothy, en realidad, nunca abandona su casa. Al final de la película, se despierta acompañada por sus seres queridos, convaleciente tras sufrir un golpe en la cabeza debido al caos ocasionado por el tornado —el golpe que, sin duda, la llevó a alucinar en colores—. El viaje de la melodía, por su parte, se produce entre un la♭ y otro la♭, una nota idéntica a la primera, y al mismo tiempo mucho más brillante. Para Rob Kapilow^[147], «es el salto entre dos mundos distintos y dos zonas de la voz». La nota más grave «representa la realidad problemática de Dorothy, la aridez de Kansas, sin flores. Es el comienzo en blanco y negro de la película. […] La nota aguda es más etérea, es el lugar al que ella quiere escapar. Es Oz».

Dorothy necesitaba saltar por encima de las siete notas del arcoíris para llegar a la octava. Allí se encontró con un mundo mucho más luminoso y, a la vez, idéntico a este. Como veremos, su viaje de siete notas se lo debemos, en parte, a la física que armoniza las distintas notas de una escala musical.

§. Sonidos siameses
Over the Rainbow es una canción brillante en muchos sentidos. Pero la metáfora de la octava, el paralelismo entre Kansas y Oz, nos revela una cuestión especialmente interesante desde un punto de vista perceptivo. Me refiero a esos dos sonidos al comienzo de la canción (la♭ - la♭). Están separados por un salto tan grande que resultan incluso difíciles de cantar. ¿Por qué reciben entonces el mismo nombre?, ¿qué es lo que tienen en común?

De alguna manera, parece que en nuestro oído las notas se organizan en círculos, siguiendo una especie de bucle. Todos conocemos aquella famosa canción de Sonrisas y lágrimas. María le enseña las notas de la escala a los siete hijos del capitán Von Trapp, y resulta que después del si «otra vez ya viene el do, uoh, uoh, uoh». En música, cada siete notas, se repite la misma escala. En el piano, puede verse el mismo patrón de teclas negras y blancas replicado una y otra vez, aunque sus sonidos se hagan cada vez más agudos. Podríamos representar todas las notas en una especie de espiral o una escalera de caracol. Las frecuencias crecen y se alejan cada vez más de la base, mientras que en cada vuelta encontramos las mismas notas, separadas por los mismos ángulos.

Pero ¿a qué se debe este enrollamiento?, ¿qué provoca las vueltas de la espiral? La respuesta a esta pregunta no se encuentra en las notas mismas, sino en nuestro sistema auditivo y su asombrosa capacidad para identificar los sonidos de la serie armónica.

La octava, como ya sabemos, no es un intervalo fortuito. Esta es la relación que existe entre un sonido y su primer armónico, es decir, la relación entre dos sonidos cuyas frecuencias se encuentran en proporción 2:1. Estos sonidos, como vimos, tienen espectros que coinciden casi por completo, sus recetas de frecuencias comparten los mismos ingredientes, de hecho. Si uno toca en el piano dos teclas separadas por una octava, pongamos un sol de unos 100 Hz y el siguiente sol de 200 Hz, todos los armónicos de la nota más aguda —200 Hz, 400 Hz, 600 Hz…— coinciden exactamente con algunos de los armónicos de la nota más grave —sus armónicos pares, concretamente: 100 Hz, 200 Hz, 300 Hz, 400 Hz, 500 Hz, 600 Hz…—. Nuestro cerebro simplemente agrupa estas frecuencias, las identifica como componentes de una única fuente sonora. Por este motivo probablemente, cada vez que una nota duplica su frecuencia —da igual que sea de 50 Hz a 100 Hz, o de 300 Hz a 600 Hz— nosotros la percibimos como si fuese la misma. Volvemos a ponerle el mismo nombre, aunque objetivamente sea mucho más aguda.

Este hecho se conoce en psicología como equivalencia de octava. Se trata de una ilusión perceptiva y, como tal, tiene un sentido adaptativo. Nuestro oído reconoce la serie armónica y agrupa sus frecuencias, porque esta estrategia le permite identificar la voz de otros seres humanos. Todos los tonos de la música, todas las palabras que nos conmueven esconden en su receta sonora la firma numérica de la armonía. Por el mismo motivo, un do y el siguiente do tienen el mismo nombre, nos parecen «lo mismo» porque, de hecho, sus frecuencias suelen formar parte de «los mismos» sonidos. Salvo que estemos en el médico intentando oír pitidos o que usemos un diapasón, jamás escuchamos un tono sin su doble —en todos los sentidos—, así que nuestro oído los trata como sonidos gemelos o, mejor aún: siameses idénticos.

Se piensa que esta equivalencia podría jugar un papel importante para los bebés durante la adquisición del lenguaje^[148][149]. Los miembros más jóvenes de nuestra especie aprenden a hablar imitando los sonidos que hacen los adultos de su entorno: tanto su timbre —las letras, los fonemas de un idioma—, como la prosodia —las entonaciones, ritmos y melodías del habla—. Todos esos agugu, tata, bubu-bú y ma-ma-má que producen los bebés son pruebas de au-dio; ejercicios de autoexploración que les van acercando poco a poco a las sofisticadas vocalizaciones de los adultos. Sin embargo, sus cuerdas vocales son mucho más pequeñas que las nuestras. Es imposible que produzcan «los mismos» sonidos. Para que puedan jugar con esta información, es necesario que su oído la transporte a la octava correcta: la que encaja con su propio rango vocal. Esto es posible, en general, gracias a nuestro oído relativo, una habilidad única que nos permite reconocer una melodía aunque nos la canten en distintos tonos, o a distintas alturas. De manera más específica, se ha comprobado que los niños tienden a imitar las voces de los adultos intentando igualar el tono, y al hacerlo, sin saberlo, multiplican la frecuencia del sonido por dos^[150].

Este es también el motivo por el que hombres y mujeres podemos cantar juntos. Es bien conocido que los hombres, en general, tienen la voz más grave que las mujeres: al hablar, ellos se mueven entre los 85 y los 180 Hz, mientras que las mujeres usamos un rango entre 165 y 255 Hz A priori, es difícil que todos podamos entonar con comodidad las mismas notas. Cuando nos presentan una melodía, espontáneamente, las mujeres cantamos al doble de frecuencia que los hombres —esto es, una octava más arriba—, o viceversa: los hombres dividen la frecuencia por la mitad. Y lo hacemos sin ningún entrenamiento, sin darnos siquiera cuenta, porque para nosotros todas las notas separadas por un factor 2 son iguales.

Esto ha llevado a los psicólogos a distinguir dos cualidades distintas relacionadas con la percepción del tono. Por un lado, los humanos percibimos la «altura» de los sonidos: podemos distinguir si son más graves o más agudos dependiendo de su frecuencia fundamental. Pero, además, somos sensibles a cierta propiedad denominada «color» —o pitch chroma, como se encuentra en la literatura científica—: la cualidad que hace que todas las notas que se llaman do nos suenen parecidas y que nos ayuda a distinguirlas de aquellas que se llaman re o sol. Después de todo, resulta que sí hay algo de arcoíris en las escalas musicales, al menos para los psicólogos de la música.

En El mago de Oz es la equivalencia de octava lo que nos permite establecer un paralelismo entre Kansas y el mundo colorido de los sueños de Dorothy. Otras veces, su poder igualador se ha utilizado de manera aún más explícita en el cine. Hans Zimmer, uno de los compositores de bandas sonoras más aclamados de la actualidad, se aprovechó de este fenómeno para hacer crecer hasta el infinito la tensión de la película Dunkerque. Lo cuenta Christopher Nolan, el director, en una entrevista para Business Insider^[151]:

Hay una ilusión sonora en música llamada «tonos de Shepard» […] en la que un tono asciende continuamente. Es un efecto sacacorchos. Siempre se mueve hacia arriba, pero nunca cambia de rango.

La magia de los tonos de Shepard se basa en sus armónicos. Son tonos sintéticos, compuestos únicamente por frecuencias relacionadas mediante intervalos de octava (2:1). Un tono de Shepard con una frecuencia fundamental de 100 Hz, por ejemplo, tendría un espectro formado por 200 Hz, 400 Hz, 800 Hz… todo números relacionados mediante potencias de dos. Como, para nuestro oído, todas estas frecuencias son siamesas idénticas, es posible darle el cambiazo sin que ni siquiera se dé cuenta, lo cual puede llevar a paradojas de lo más sorprendentes. Imagina, por ejemplo, que cogemos uno de estos tonos y empezamos a aumentar poco a poco su frecuencia, 100 Hz, 101 Hz, 102 Hz, etcétera. Nuestro oído tendrá la sensación de que el sonido va subiendo continuamente, poco a poco. A medida que esa frecuencia fundamental aumenta podemos hacer que su intensidad disminuya y, simultáneamente, muy sutilmente, hacer que aparezca otra frecuencia más grave, con intensidad creciente, exactamente una octava por debajo de la primera. Llegará un momento en el que la segunda frecuencia grave se oiga más que la primera y nuestro oído salte automáticamente a ella, sin que nos demos cuenta siquiera. Como en las escaleras infinitas de los grabados de Escher, o en esas espirales giratorias que decoran las puertas de las barberías, nuestro oído tendrá la sensación de subir en todo momento, hacia sonidos infinitamente crecientes, cada vez más tensos, más insostenibles… y, a pesar de ello, inmutables.

Parece un recurso especialmente adecuado para una película como Dunkerque, que mantiene a los espectadores en tensión de principio a fin. Cuando yo la vi en el cine, con el estómago permanentemente encogido sobre la butaca, pensé que ese sonido representaba como ninguno el horror creciente, incesante y sin salida de la guerra. Una tensión sin melodía, como un enemigo sin rostro, que aplasta a los personajes con el peso de un azar indiferente e implacable. A pesar de sus esfuerzos por salir a flote, a pesar del camuflaje, la puntería y las pequeñas victorias, octava tras octava, todo sigue igual y nadie sabe dónde caerá la próxima bomba. El paralelismo es todavía mayor porque Hans Zimmer no solo utiliza los tonos Shepard para crear tensión, utiliza tres escalas de este tipo simultáneamente, siguiendo tres escalas temporales distintas. ¡Exactamente igual que las historias de la película! Según confesó el mismo Nolan, el uso de los tonos Shepard fue buscado por este motivo^[152]: «Yo escribí el guion de acuerdo con esa idea. Entrelacé tres líneas de tiempo, de manera que hubiese una sensación continua de intensidad creciente. Quería construir la música sobre un principio matemático así».

Más allá de su uso en el cine, la equivalencia de octava se considera un fenómeno prácticamente universal, con la posible excepción de algunos sistemas musicales primitivos^[153]. Da igual donde vaya uno o lo extraña que suene allí la música. Podrá encontrar ritmos complejísimos, sonidos estridentes, paletas de cinco sonidos, de doce o de siete. Pero después de recorrerlos todos, la música volverá a repetir «los mismos» sonidos; esto es, sonidos separados de los primeros por un intervalo de octava.

§. Instrucciones para construir una escalera

Al igual que la octava, otras consonancias juegan también un papel importante en los sistemas musicales de diferentes culturas, aunque quizás no de forma tan evidente. El intervalo conocido como «quinta», en concreto, suele utilizarse en la construcción de escalas. Como ya hemos contado, para hacer música los humanos tenemos la manía de trocear el sonido. Dado un espectro continuo e infinito de frecuencias posibles, nosotros siempre decidimos quedarnos con solo unas pocas. La cuestión de cómo se eligen esas frecuencias no es en absoluto trivial. ¿En qué se basan los músicos para crear sus paletas de sonidos?, ¿tiran un dado, le preguntan a una gallina, miran al cielo en busca de inspiración…? ¿Es una elección puramente aleatoria, o existe algún tipo de patrón? La respuesta a estas preguntas se encuentra nuevamente en las consonancias del sonido y en las limitaciones de nuestra memoria y de nuestro sistema auditivo.

La quinta es el sonido que producen dos cuerdas de longitudes proporcionadas por los números 3:2, como vimos, otra relación muy pitagórica. El origen de su nombre se encuentra en la escala musical, al igual que sucedía con la octava. Esta es la distancia sonora que existe entre un do y un sol, que es la «quinta» nota empezando desde el do. Para reconocer su sonoridad, puedes pensar en el tema de Supermán —las dos primeras notas forman una quinta— o buscar en YouTube un tipo de música medieval conocido como «organum paralelo». Comprobarás que suena MUY medieval. Hace poco más de mil años, a los monjes católicos les flipaban las quintas porque Pitágoras había dicho que eran divinas y, básicamente, no cantaban otra cosa. Luego la Edad Media pasó, y en el Renacimiento empezaron a cuestionar las manías de los pitagóricos. Para celebrarlo, se dieron un festín de fabada asturiana y empezaron a componer música pop. Pero, a cambio, decidieron prohibir las quintas paralelas porque ahora les sonaban demasiado divinas, demasiado «medievales». Los ecos de aquella manía estilística han llegado hasta nuestros días, y aún hoy los estudiantes de armonía de los conservatorios deben aprender a evitar que este intervalo se produzca de manera consecutiva entre las distintas voces de una composición: las temidas quintas paralelas. Yo misma me pasé años resolviendo partituras como si fuesen algún tipo de sudoku. No creo que aquello me ayudase a componer mejor, pero por lo menos me entretenía un rato.

En teoría musical, la quinta es el intervalo más consonante —el que mejor encaja, para nuestro oído— después de la octava. Juega un papel especialmente importante porque, de alguna manera, aporta más información que esta última. Si solo usásemos sonidos relacionados por octavas, todas las notas tendrían el mismo color, no habría melodías, cada canción sería el salmo interminable de un grillo machacón. La quinta, en cambio, nos permite generar nuevos colores sonoros, constituye una nueva pieza con la que jugar. Cuando dos notas relacionadas por este intervalo suenan a la vez, aunque sus espectros coinciden en gran medida, contienen también algunas frecuencias diferentes que aportan nueva información. En palabras de Galileo Galilei^[154]:

En la octava, los pulsos de la nota más grave siempre son acompañados por los de la más aguda […] Esta armonía es demasiado sosa, carece de fuego. La quinta, sin embargo, se caracteriza por sus batidos desplazados. […] Así, el efecto de la quinta es producir un cosquilleo en el tímpano de modo que, aliviando la dulzura con una mezcla de acidez, produce la impresión de un beso suave y un mordisco al mismo tiempo.

Este cosquilleo, a mitad de camino entre el beso y el mordisco, como dice Galileo —¡qué bonito!—, ha convertido a la quinta en una pieza insustituible dentro de la música de muchas culturas. Los sumerios que escribieron la primera partitura de la historia usaban quintas, además de octavas, para afinar sus instrumentos. Gracias a eso, aún podemos entender sus partituras 3400 años más tarde. Los violinistas de las orquestas contemporáneas siguen confiando en este mismo intervalo para encontrar el sonido de sus cuerdas. En la India, las vinas, una familia de instrumentos de cuerda, imitan esas mismas consonancias. Los guitarristas, por su parte, utilizan cuartas, el intervalo correspondiente a la proporción de frecuencias 4:3. En terminología musical, se dice que son intervalos complementarios porque entre los dos suman una octava: si la quinta es la distancia que hay entre un do y sol, la cuarta es la distancia que hay desde ese sol al siguiente do más agudo —de ahí su nombre, de nuevo: do es la «cuarta» nota contando desde el sol—.

Nuestra propia escala de siete notas y la famosa escala pentatónica surgen como resultado de utilizar quintas y octavas para afinar^[155]. También la llamada escala cromática: sus doce semitonos, la cuadrícula sobre la que se construye toda la música occidental, están definidos en último término por quintas. Puedes reconocer estas escalas fácilmente en el piano, con sus siete teclas blancas —escala heptatónica—, más las cinco negras —pentatónica—, que en conjunto dan lugar a doce sonidos. Lo fascinante —lo bonito— es que el número de notas de cada una de estas escalas, cinco, siete, doce, no es en absoluto casual, ni un capricho accesorio. Existe toda una teoría matemática —la teoría de las escalas bien formadas^[156][157]— que da sentido a estas cifras de manera precisa. Pero no es necesario bajar al detalle numérico para entenderlo^[158].

La idea, a grandes rasgos, es la siguiente: imagina que estamos en el gran rascacielos imaginario de la música y, en lugar de ascensor, el idiota del arquitecto nos ha plantado un tobogán, una inmensa rampa espiral y continua de sonidos que nadie sabe muy bien cómo trepar. Como músicos, lo que queremos es tallar una serie de escalones sobre ella, para que los habitantes del rascacielos puedan subir y bajar cómodamente de un piso a otro. La altura de los pisos ya está definida, son las octavas del sonido. Son iguales aquí, en los Andes y en Pekín. La cuestión es cómo elegir la altura de los peldaños intermedios, y aquí decenas de culturas de todo el mundo han coincidido en su elección: han decidido utilizar el intervalo de quinta como vara de medir. Usando esta distancia sonora, nos aseguramos de que los sonidos musicales del sistema encajan bien entre sí, son consonantes y podemos empezar a tallar escalones. La única condición es que, siempre que dibujemos un nuevo escalón en un punto de la rampa, este debe figurar a la misma altura en todos los pisos del rascacielos —en todas las octavas—. Llevándolo a un ejemplo concreto: imagina que tuviésemos pisos de 5 metros y una vara de medir de 3. Al utilizar la vara dos veces seguidas nos encontraríamos a una altura de 6 metros (ya que 3 + 3 = 6). Pero en ese punto, además, habríamos cambiado de piso. Nos encontraríamos sobre la segunda planta, a 1 metro de altura sobre el suelo (puesto que 6 - 5 = 1). Por tanto, tendríamos que tallar un escalón a 1 metro de altura en todas las plantas del rascacielos.

Hasta aquí el proceso es fácil. Pero cuando llevamos unos cuantos escalones, nos encontramos con un grave problema. Resulta que la quinta nunca encaja exactamente con la octava. Por mucho que multipliquemos una frecuencia por 3:2 —esto es, por mucho que subamos de quinta en quinta por la rampa sonora, usando nuestra vara de medir—, nunca volvemos a la nota original —a la misma frecuencia multiplicada por alguna potencia de 2, que son los «pisos» u octavas superiores—. Por eso, la lira de Pitágoras, con toda su perfección numérica, solo podía estar desafinada.

Como sucede con los números irracionales y sus infinitos decimales, en el mundo de los intervalos sonoros es imposible encontrar dos números enteros que definan la relación exacta entre estas consonancias^[159]. Podríamos estar tallando nuevos escalones para siempre, cada vez más pequeños y más apretados entre sí, sin llegar jamás a encontrarnos sobre la base de un piso concreto. Pero este proceso infinito daría como resultado el tobogán del que partimos. ¡No tendría ningún sentido! Todas las culturas del mundo han decidido detenerse, antes de llegar a ese extremo, en puntos de la construcción donde los escalones tienen un tamaño «cómodo» para nuestro oído, ni demasiado grande ni demasiado pequeño.

En términos musicales, esta «comodidad» se traduce en escalas donde las notas están lo bastante separadas entre sí, son fáciles de distinguir y de recordar pero, al mismo tiempo, aportan suficiente variedad a la paleta de colores del conjunto y resultan fáciles de cantar —no tienes que dar saltos demasiado grandes con la voz—. Los músicos suelen optar, además, por escaleras relativamente simétricas, con solo dos tamaños de escalón diferentes. Teniendo en cuenta todas estas condiciones, lo más común es que las escalas resultantes tengan cinco o siete notas. En sistemas musicales más complejos, además, el doce permite dividir el espectro sonoro de forma regular, aunque también existen paletas de sonidos más complejas, con diecisiete, veintidós o hasta veinticuatro notas llamadas microtonales. En estos casos, lo habitual es que no se utilicen nunca todos los sonidos disponibles. Se trata más bien de escaleras teóricas con taburetes auxiliares, diseñadas para que la altura de algunos sonidos musicales puedan variar sutilmente según la ocasión. Pero sus sonidos nunca se presentan seguidos, ni en los mismos contextos, pertenecen más bien al mundo de la metamúsica^[160].

La escala pentatónica, en concreto, se podría considerar prácticamente universal^[161]. Ha surgido de manera independiente en tradiciones musicales de todos los continentes, desde la cumbia peruana a la música de Sudán, pasando por el blues y el jazz, las danzas celtas, los cantos de los bereberes, la música escocesa o las melodías populares de China, Japón, Tailandia y Vietnam. No hay lugar del planeta donde no se canten sus cinco armónicas notas. Incluso en Encuentros en la tercera fase, la famosa película de Spielberg, cuando los alienígenas llegan a la Tierra, parece haber una sola manera de comunicarse con ellos. A pesar de una distancia de millones de galaxias y otros tantos años luz, la misteriosa civilización extraterrestre nos saluda con unos sonidos sorprendentemente familiares: cinco notas sacadas de una escala pentatónica. Si tienes un piano a mano y quieres ver cómo suena esta paleta de sonidos, prueba a jugar con las teclas negras. Es posible que el resultado te suene a chino. Literalmente: se ha usado tanto en la música oriental que para nuestros oídos su sonido representa el mundo por donde sale el sol.

Las escalas de siete notas, por su parte, son relativamente comunes también. Las encontramos en la India, en la música árabe y en China, con distintos tipos de afinación. Y, por supuesto, también en la música occidental: desde la época de los babilonios hasta la actualidad, 7 ha sido el número que ha dado color a nuestra música. Con el paso del tiempo, esta escala se amplió para hacerla encajar sobre una matriz perfectamente regular de doce semitonos iguales. En el sistema de afinación actual, conocido como temperamento igual, la mayoría de las consonancias —a excepción de la octava— están un pelín desafinadas para que todos los intervalos encajen mejor entre sí y obtener una colección de sonidos más simétrica. Ese pelín es inapreciable para nuestro oído —un error de 0,1 % en el caso de las quintas—, pero se puede calcular matemáticamente de manera precisa.

Para alcanzar este equilibrio tuvieron que pasar varios siglos y descartar muchos otros sistemas de afinación por el camino. Como ya hemos contado, en el Renacimiento y el Barroco, no era raro encontrar teclados con más de doce notas por octava. Algunos de estos instrumentos intentaban reconciliar no solo las consonancias de octava (2:1) y de quinta (3:2), sino también las terceras (5:4). Un lío. El temperamento igual de doce notas es mucho más práctico a la hora de construir instrumentos de afinación fija, como los pianos, y también es más simétrico, lo que facilita modular entre tonalidades lejanas —cambiar el contexto de la música o mover su «suelo» sobre la marcha, como hacía Michael Jackson en Man in the Mirror—. Como todas las escalas se construyen sobre la misma matriz de doce sonidos, es posible cambiar de una y otra, sin tener que desmontar el piano y reafinar todas las cuerdas a mitad de concierto. No obstante, en cualquier canción pop normalmente solo se utilizan siete de esas doce notas en un momento dado. Es como si tuviésemos una paleta de muchos colores regularmente espaciados, pero por cuestiones estilísticas nunca quisiésemos usarlos todos a la vez. En lugar de eso, creamos paletas más sencillas, con menos colores y una identidad propia, que nos permiten crear distintos ambientes y movernos de uno a otro con fines narrativos y emocionales.

Las mismas consonancias, definidas mediante números, determinadas por la física y seleccionadas por nuestro oído, se han utilizado para crear las paletas de sonidos musicales de culturas de todo el mundo. Gracias a estos intervalos armónicos, aún hoy podemos entender los números de unas tablillas escritas hace más de tres milenios, recrear las liras que sonaban en la antigua Babilonia o reconocer una escala de cinco notas procedente del otro lado de nuestro planeta. Existe un buen motivo por el que Dorothy tenía que bajar exactamente siete peldaños sonoros para viajar desde Oz hasta Kansas. Cada nota de nuestra escala está definida por una relación numérica, seleccionada culturalmente y determinada por las propiedades físicas del sonido y de nuestro sistema auditivo.

Lo curioso es que este mismo fenómeno sonoro acabó definiendo también el número de colores del arcoíris del que habla la canción de Harold Arlen. En este caso, nuestros oídos no tuvieron nada que ver. La culpa la tuvo uno de los mejores físicos de nuestra historia: el mismísimo Isaac Newton.

§. Y todo fue luz
Entre los años 1665 y 1666, un brote de peste bubónica asoló Inglaterra y obligó a cerrar la Universidad de Cambridge. Newton, que entonces tenía veintidós años y acababa de graduarse, tuvo que refugiarse en la casa de campo de su familia, en Woolsthorpe, donde permaneció recluido una larga temporada.

Debemos a este confinamiento uno de los frenesís creativos más intensos de la historia de la ciencia. A falta de PlayStation, Newton empezó a trabajar en las tres grandes teorías físicas por las que hoy es principalmente conocido: profundizó en las matemáticas que le llevaron a desarrollar el cálculo infinitesimal, asentó las bases de la gravitación universal y de la mecánica y comenzó a interesarse también por la óptica. ¡Ojalá la pandemia de 2020 me hubiese cundido a mí tanto!

Este periodo es ahora conocido como el año maravilloso —annus mirabilis— de Newton, aunque parece que el nombre no refleja la duración que debió de tener en realidad^[162]. Por sus cuadernos de notas, sabemos que el joven Isaac estuvo trabajando en estos temas durante un periodo de al menos seis años y, de hecho, ninguna de sus teorías fue publicada hasta mucho tiempo después —décadas incluso—.

El propio Newton habría contribuido a exagerar lo «maravilloso» de su productividad durante el confinamiento. Al final de su vida, dijo haber hecho todos sus descubrimientos en un solo año, ¡recién salido de la universidad! Quizás, debido a su avanzada edad, sus recuerdos habían empezado a deteriorarse y solo idealizaba sus años de juventud. Pero parece que pudo haber un objetivo un tanto más oscuro detrás de esta exageración: con su relato, Newton reivindicaba la autoría temprana sobre todas estas ideas y se defendía contra las diversas disputas que lo enfrentaban a Gottfried Wilhelm Leibniz —el descubridor del cálculo, de manera independiente a Newton—, a Christiaan Huygens —pionero de la óptica— y a Robert Hooke —genio multitalentoso que estudió, entre otros muchos fenómenos, la gravedad—. La estrategia del físico inglés era establecer una narrativa que le permitiese adelantarse en el tiempo a todos sus competidores. Y debió de funcionar bastante bien: hoy se le atribuyen todas estas teorías y el mito ha condensado en un único año aquel periodo de descubrimiento, sin duda, «maravilloso».

Por otra parte, no hace falta condensar esta hazaña en doce meses para que a uno le estalle la cabeza de pura admiración: las aportaciones que realizó Newton en esta época no tienen igual en toda la historia de la ciencia. En apenas unos años de estudio, un solo ser humano consiguió cambiar para siempre nuestro concepto de la física, inventó toda una nueva rama de las matemáticas y revolucionó, de paso, nuestro entendimiento de la luz. En opinión de Isaac Asimov, «Newton fue el talento científico más grande que jamás haya visto el mundo^[163]». Tras su muerte, el poeta inglés Alexander Pope le dedicó el siguiente epitafio: «La naturaleza y sus leyes permanecían ocultas en la noche. Dijo Dios: ¡Sea Newton! Y todo fue luz».

Sin embargo, hay una parte de la producción de Newton durante el confinamiento que no suele salir a relucir en los compendios sobre su año maravilloso. En sus cuadernos de notas, entre reflexiones sobre lunas flotantes, esquemas de órbitas celestes y sumas infinitesimales, se encuentra también un curioso manuscrito. Su título es Of Musick —sobre la música—. En él, Newton teoriza sobre los intervalos musicales y su belleza, sobre los modos y las escalas, con un detalle y una minuciosidad casi obsesivos.

Puede decirse que Newton, al contrario que Galileo, fue un músico puramente teórico —o un músico solo en teoría, más bien—. No tocaba ningún instrumento y tampoco era muy aficionado a ir a conciertos ni otros eventos parecidos. Se cuenta que, a lo largo de toda su vida, solo asistió a una ópera, el espectáculo musical por excelencia de su época. Según uno de sus primeros biógrafos, «el primer acto lo escuchó con placer, el segundo agotó su paciencia y en el tercero huyó^[164]». No obstante, Newton había estudiado música dentro de su formación universitaria, como una de las cuatro disciplinas matemáticas que conformaban el quadrivium.

Por este motivo, su aproximación a las escalas y a los sonidos era esencialmente numérica. Su objetivo en Of Musick era encontrar la manera más perfecta de afinar una escala desde un punto de vista objetivo, utilizando las herramientas de las matemáticas. Se enfrentaba así al problema de la construcción de escalas que describíamos antes y que ha provocado tantas jaquecas a los músicos desde el principio de los tiempos: cómo conseguir que las siete notas, con sus consonancias irreconciliables, encajen lo mejor posible entre sí, cómo tallar los peldaños de una escalera sonora. En su escrito, Newton intenta relacionar la «dulzura», el «encanto» o lo «desagradable» y «tedioso» de ciertos intervalos con esos mismos números que guiaban su razonamiento también en el ámbito de la investigación científica^[165]. Newton quería cuantificar una experiencia estética, en definitiva.

Aunque este trabajo de juventud no tuvo mayor continuidad, la influencia de la música y el pensamiento pitagórico sobre la obra de Newton salió a relucir más tarde en algunas de sus teorías físicas más conocidas. El caso más sorprendente fue el de las leyes de la gravedad. Resulta que en Principia Mathematica, el físico inglés atribuye su descubrimiento ¡al mismísimo Pitágoras! El libro fue publicado en 1687 y constituye, sin duda, su obra más emblemática. En un comentario a la Proposición VIII, relaciona la gravedad con el mito griego de la música de las esferas y las cuerdas de la lira de Apolo. Pero la anotación va más allá de una simple mención cortés. Como cuentan los historiadores James E. McGuire y Piyo M. Rattansi, aquí Newton afirma que la fórmula matemática que describe la fuerza gravitatoria —la fórmula que él mismo había desarrollado— había sido descrita en primer lugar por el filósofo griego, de manera un tanto más críptica, eso sí. Sin embargo^[166], «este conocimiento verdadero, expresado esotéricamente, se perdió debido a la incomprensión de generaciones posteriores».

Esta atribución no puede entenderse como una muestra de modestia por su parte. Newton era de todo menos un tipo humilde. Si no, no se habría enfrentado a todos los científicos de su tiempo por la propiedad de lo que consideraba sus ideas. Ante ellos no quiso ceder ni una pizca de mérito. A Pitágoras, en cambio, ¡parece que se lo regala! Pero no podemos entender este gesto como una concesión gratuita sino, más bien, como una manera de elevar sus propios descubrimientos, poniéndolos a la altura de la «sabiduría ancestral». Su planteamiento no era muy distinto al de ciertas películas de Indiana Jones, donde las mejores reliquias arqueológicas esconden siempre alguna verdad trascendente, profunda, preferiblemente de origen mágico o extraterrestre, que toda la ciencia de la era moderna no ha sabido desvelar.

Las reminiscencias musicales son todavía más claras en el caso de su teoría óptica. En los años posteriores a su provechoso confinamiento, Newton trabajó en varios experimentos que le ayudaron a comprender la naturaleza de la luz y del color. Fue así cómo descubrió lo que hoy sabemos bien, que todos los colores del espectro luminoso están presentes en la luz aparentemente blanca del sol. Pero, en este caso, la influencia del pensamiento musical le llevó nuevamente a intentar cuantificar este fenómeno. Guiado por su conocimiento de las escalas musicales y su construcción matemática, Newton se convirtió en el autor insospechado de uno de los memes culturales más populares de nuestro tiempo: la idea de que el arcoíris tiene siete colores.

§. La invención del color añil

¿Sabes quién explicó por primera vez el verdadero origen del arcoíris? —pregunté.

—Fue Descartes —dijo.

Después de un momento, Feynman me miró a los ojos.

—¿Y cuál crees que fue la característica más llamativa del arcoíris que inspiró el análisis matemático de Descartes? —preguntó.

[…]

—Me rindo. ¿Qué dirías que inspiró su teoría?

—Diría que su inspiración fue que los arcoíris le parecían hermosos.

Conversación entre Richard Feynman

y Leonard Mlodinow, narrada por este último

en El arcoíris de Feynman^[167]

Todos lo hemos visto en más de una ocasión. Un rayo de luz se tropieza con la esquina de alguna ventana y dispara un haz de colores a su alrededor. Parece pura magia, pero este bonito fenómeno tiene una explicación física bien conocida. Cuando la luz atraviesa un vidrio, su velocidad se reduce por culpa de las moléculas del material, que entorpecen su camino. Si este frenazo se produce de medio lado, el cristal la hará derrapar y la obligará a cambiar ligeramente su rumbo, como un camión que se saliese de la carretera con una rueda primero. Lo importante, en este caso, es que el frenazo no es igual para los distintos colores que forman la luz blanca del sol, o dicho en físico: el índice de refracción del cristal —la medida en que el material es capaz de frenar a la luz— depende de la longitud de onda —depende del color—, lo que provoca que cada color termine siguiendo una dirección distinta a la salida del prisma. El resultado es un abanico de tonalidades luminosas, las mismas que componen el dibujo del arcoíris y que han intrigado a los científicos desde hace siglos.

El filósofo y matemático René Descartes fue el primero en describir este fenómeno meteorológico de forma precisa en el siglo XVII. Según explicó, las gotas de agua de la lluvia se comportan como miles de prismas diminutos cayendo en una cascada. Cuando los rayos del sol los alcanzan, ellos dejan pasar una parte de la luz y reflejan el resto, dispersando y destejiendo los colores que contiene. La reflexión se da en muchas direcciones distintas pero, debido a la forma aproximadamente esférica de las gotas, presenta un máximo alrededor de los 42º. El índice de refracción del agua hace que este ángulo sea ligeramente más amplio para los tonos rojizos y más pequeño para los azules. Por eso nosotros los vemos separados, formando un gradiente de color.

Así, cuando llueve y hace sol, lo que vemos no es un «arco» propiamente dicho. No hay nada pintado de rojo, amarillo, verde o azul en el cielo. No hay ningún cofre de oro protegido por duendes en su base, porque no existe tal base. Lo que vemos es el reflejo de innumerables espejos suspendidos en el aire, explotando de color en todas las direcciones a la vez. Son nuestros ojos los que seleccionan solo algunos de esos rayos de colores y nos sitúan en el centro de un cono imaginario: el formado por todas las gotas que se sitúan a 42º respecto a la dirección de los rayos del sol, apuntando desde nuestros ojos. Por este motivo, solo podemos ver el arcoíris a ciertas horas del día y siempre que nos situemos entre el sol y la lluvia. En concreto, el sol debe situarse por debajo de los 42º sobre el horizonte, de manera que el cono de colores de su luz reflejada sobresalga del suelo. Desde un avión, no tendríamos ese problema y, de hecho, se puede llegar a ver un arcoíris completo, perfectamente circular, estando en vuelo. Desde tierra, en cambio, cuanto más inclinado esté el sol, más alto se refleja en el cielo y mayor es el arcoíris resultante. Probablemente no te habías fijado hasta ahora, pero nunca has visto un arcoíris sin la compañía de tu propia sombra, una alfombra oscura y alargada tendida justo delante de tus pies. La próxima vez que vayas por la calle y veas una fuente, o un aspersor, puedes usar este recuerdo para forzar la aparición de un pequeño arcoíris. Simplemente tendrás que colocarte entre las gotas de agua y el sol.

La teoría óptica de Newton fue fundamental para terminar de comprender este fenómeno meteorológico. Aunque él no fue el primero en dividir la luz con ayuda de un prisma, sí fue pionero al demostrar que los colores no provenían del cristal —o de las gotas de agua— como algunos pensaban, sino que estaban ya presentes en la propia luz solar, a pesar de su apariencia blanca. Para ello, ideó un par de experimentos. En el primero, separó los distintos colores de la luz y los hizo pasar por un segundo prisma. Si el cristal fuese el responsable de «teñir» la luz del sol, todos los colores deberían haber vuelto a aparecer en cada ocasión. Sin embargo, tras atravesar el segundo prisma, cada color permanecía inalterado, sin adquirir tonalidades distintas a la suya original. En un segundo experimento, Newton consiguió volver a juntar todos estos rayos en un solo haz, utilizando diversas lentes y prismas. El resultado de la suma de todos los colores era un solo rayo luminoso de color blanco, idéntico al original.

En Destejiendo el arcoíris, el biólogo y escritor Richard Dawkins cuenta que, en los siglos posteriores a Newton, algunos artistas y escritores del Romanticismo le acusaron de destruir la poesía del arcoíris al convertirlo en el producto frío y mecánico de las leyes de la óptica^[168]. Newton había arruinado el arcoíris al explicarlo. El título del libro de Dawkins es una referencia a un poema de 1820 escrito por John Keats titulado Lamia, que incluye los siguientes versos:

¿Acaso no vuelan todos los encantos

Al mero toque de la fría filosofía?

Una vez había en el cielo un arcoíris tremendo;

Conocemos su trama, su textura; está indicada

En el insulso catálogo de las cosas comunes.

La filosofía cercenará las alas de un Ángel,

Conquistará todos los misterios con la regla y la línea,

Vaciará el aire de fantasmas, y la mina de gnomos,

Destejerá un arcoíris…

Tres años después, en una cena con otros escritores y pintores, Keats les propuso un brindis: «¡A la salud de Newton, y por la confusión de las matemáticas!». Parece que el conocimiento más profundo y científico sobre este fenómeno lo hubiese privado de belleza para algunos artistas.

Sin embargo, se me ocurren pocas imágenes que pueden resultar tan poéticas, tan bonitas y evocadoras, como la del arcoíris líquido que ayudaron a construir Descartes y Newton. El arcoíris no es un decorado pintado en el cielo. No es obra de los duendes ni de seres mágicos haciéndonos trampas con la meteorología y los mapas del tesoro. Lo cierto es que hay tantos arcoíris como ojos que los miran, y cada uno nace y muere en un solo parpadeo. Y si eso no es bonito, «si no les pone los pelos de punta…», como decía uno de mis profesores de mecánica teórica en la facultad, «yo no sé de qué están hechos». Después de todo, el relato científico no despoja al arcoíris de sus colores, no lo hace menos brillante. Solo aporta nuevas capas a la realidad, plagadas a su vez de metáforas emocionantes. Como dice Richard Feynman^[169], uno de los físicos más brillantes del siglo XX —el que abría este apartado convencido de que Descartes estudió el arcoíris motivado por su belleza—:

Los poetas dicen que la ciencia despoja de belleza a las estrellas, meros montones de átomos de gas. Nada es «mero». También yo puedo ver las estrellas en una noche clara, y sentirlas. Pero ¿veo menos o veo más? La inmensidad de los cielos extiende mi imaginación: atado a este carrusel, mi ojo puede captar luz de hace un millón de años. […] Al misterio no le perjudica que se sepa algo sobre él. ¡Pues la verdad es mucho más maravillosa que lo que cualquier artista del pasado pudo imaginar!

Por otra parte, cabe señalar que la investigación de Newton tampoco permaneció ajena a sus propias ideas estéticas. En este caso, eran ideas procedentes del mundo de la música, que le llevaron a establecer una analogía entre este mismo arcoíris y las notas de una escala musical. Es la misma metáfora que utilizó Harold Arlen para componer Over the Rainbow, solo que Newton fue el primero que se la inventó.

Pero vayamos por partes. No sé si alguna vez habrás tenido ocasión de jugar con un prisma, o si recuerdas haber visto un arcoíris recientemente. Si no es así, te recomiendo refrescar su recuerdo con ayuda de la Wikipedia. Observarás que, en realidad, los colores de la luz forman un continuo, sin fronteras definidas. Es imposible saber dónde empieza y dónde acaba el naranja, por ejemplo, o cuál es la frontera entre el verde y el azul. Por eso mismo, no resulta fácil determinar cuántos colores hay ahí. Y, a pesar de eso, diferentes filósofos a lo largo de la historia han decidido apostar por algún número en particular.

Aristóteles pensaba que el arcoíris tenía solo tres colores: el rojo, el verde y el azul. Según explica en su libro Meteorologica, el color amarillo, en cambio, «se debe al contraste de otros dos ya que el rojo, en contraste con el verde, parece claro. —Y el color amarillo se encuentra entre el rojo y el verde en el arcoíris—»^[170]. Aunque de pura chiripa, Aristóteles acertó bastante en cierto sentido. Al menos desde un punto de vista perceptivo, nuestros ojos solo distinguen la luz roja, verde o azul gracias a unas células fotorreceptoras llamadas conos. Cada cono es sensible a una longitud de onda distinta, y los humanos solo tenemos de tres tipos —por eso se dice que somos tricromáticos—. Todos los demás colores son una inferencia que hace nuestro cerebro a partir de una mezcla de estos tres. Por eso mismo, las pantallas de nuestros móviles y ordenadores pueden reproducir cualquier imagen con solo tres tipos de luces distintas, y cada píxel de una foto digital puede expresarse como un valor de RGB —red, green, blue, sus siglas en inglés—.

Otras especies animales cuentan con más tipos de células sensibles al color, o con menos. Los delfines, por ejemplo, son monocrómatas: por lo que sabemos, su visión del mundo submarino es una película en blanco y negro. Los perros, en cambio, son dicrómatas: su percepción es equivalente a la de un humano que padeciese un daltonismo especialmente grave. Algunas especies de pájaros, mariposas y otros insectos cuentan con cuatro o hasta cinco receptores de color distintos, que les permiten captar también la gama del ultravioleta y distinguir mejor algunas flores. Pero la palma, sin duda, se la lleva la langosta mantis, con al menos doce pigmentos sensibles al color de la luz. Para ella, nuestra visión del arcoíris debe de ser triste como un día de niebla, la versión apagada y desteñida de su propia realidad.

Aristóteles, por supuesto, no tenía ni idea de todo esto. No podía haber imaginado nada ni de conos, ni de fotorreceptores, ni de langostas con visión psicodélica. Probablemente eligió el número tres porque le parecía bonito, conscientemente o no. Otros escritores posteriores propusieron una división del arcoíris en cuatro colores. Para ello se basaron en las ideas de Empédocles que, en el siglo V a. C., había definido cuatro tonalidades básicas asociadas a los cuatro elementos clásicos —agua, fuego, aire y tierra— que, a su vez, eran herederos del tetraktys pitagórico. Séneca, por su parte, afinó un poco más la vista, y en el siglo I d. C. consiguió distinguir hasta cinco tonalidades dentro del arco celeste. Sus colores no coincidían del todo con los que hoy conocemos, por otra parte —eran el morado, violeta, verde, naranja y rojo—, pero esto es otra cuestión.

No fue hasta el siglo XVII, gracias a los experimentos ópticos de Isaac Newton, cuando la idea de los siete colores empezó a calar. Antes que él, Ptolomeo en el siglo I d. C. y Dante en su Divina comedia (1320), ya habían coqueteado con esa misma cifra. Pero Newton fue pionero en intentar darle algo parecido a una justificación científica. En su segunda carta sobre la luz y los colores para la Royal Society, presentada en 1675, el físico inglés argumenta que la luz excita el nervio óptico, del mismo modo que las vibraciones en el aire generan distintos tonos de sonido^[171]:

Es más, así como la armonía y la disonancia de los sonidos proceden de las proporciones de las vibraciones del aire, la armonía de algunos colores, como el dorado y el azul, y la discordancia de otros, como el rojo y el azul, puede proceder de las proporciones del éter. Y posiblemente el color puede distinguirse en sus tonos principales, rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil y violeta intenso, siguiendo los mismos principios por los que el sonido de una octava se gradúa en tonos.

Para validar su escala, Newton dividió un haz de luz blanca con ayuda de un prisma. A continuación, midió cuidadosamente las distancias entre los colores que creía poder identificar, tal y como salían proyectados a través del cristal. En un intento por objetivar sus observaciones y evitar el sesgo al que podían llevarle sus propias hipótesis, el físico recurrió a otro par de ojos para que le ayudasen en la tarea. Según explica, le pidió a un amigo que marcase con un lápiz el punto exacto donde veía de forma más clara cada color. Aunque Newton reconoce que los límites de los colores son difíciles de asignar debido a su gradación continua, también argumenta que el proceso de medición fue repetido varias veces, obteniendo resultados parecidos. Usando como referencia la media de estas observaciones, Newton se dispuso a medir las distancias que separaban los colores del arcoíris. Así es como determinó que el espectro luminoso estaba dividido «en las mismas proporciones que una cuerda aproximadamente […] para producir los tonos de una escala^[172]».

En realidad, el arcoíris no tiene escalones predefinidos. Como sucede con la rampa imaginaria de las frecuencias sonoras, existen tantos tonos de color distintos como uno quiera contar, aunque quizás nuestro ojo no sea capaz de diferenciarlos todos —habría que preguntarle a la langosta mantis—. Y Newton era un poco obstinado pero no estaba ciego, así que tenía que saber que el espectro que observaba era continuo. De hecho, en varios puntos de sus textos y sus conferencias sobre óptica admite la dificultad de identificar los colores más representativos. Sin embargo, decidió confiar en sus conocimientos de teoría musical para convertir el arcoíris en una escala musical.

Solo así se explica que aún hoy contemos el naranja y el añil como componentes intrínsecos del arcoíris, cuando en realidad son tonos francamente difíciles de observar. El naranja, en concreto, se considera un color terciario en pintura, definido por la mezcla del rojo y el amarillo, y con mucha menos entidad que estos dos. Y el añil, si os digo mi opinión, directamente no existe. Es un nombre inventado para confundir a los niños en el colegio. Por lo menos a mí, de pequeña, me parecía un timo: entre mis lápices de colores estaba siempre el azul, claro u oscuro, pero azul. En el cielo, el mar y las flores, nunca tuve problemas para reconocer este color. Pero jamás me topé con el «añil» por ningún lado… más que en el inventario del arcoíris. Ahora, de adulta, y tras pasar por la Facultad de Bellas Artes, tengo más pruebas para respaldar mi acusación. He aquí los datos: de los siete colores del arcoíris, el añil es el único que no figura en la bandera del Orgullo. Es el único que no sale en la mítica portada de The Dark Side of The Moon, de Pink Floyd, el único que no impulsa la estela del gato-tostada, Nyan Cat. El añil, en definitiva, no existe: es un invento de Newton, colocado ad hoc entre el azul y el violeta, porque le faltaba una nota para completar su escala de luces musical.

De hecho, Newton hace corresponder los dos semitonos de su escala precisamente sobre el naranja y el añil. El semitono es el intervalo sonoro más pequeño que se usa en nuestro sistema musical. Es la distancia que separa a las dos primeras notas de la melodía de Para Elisa de Beethoven, o los sonidos que anuncian al tiburón en la película de Spielberg. Es un intervalo francamente pequeño, difícil de cantar incluso, por lo que tiene sentido que el físico los hiciese corresponder con colores ambiguos o especialmente cercanos a sus vecinos como el naranja y el añil, los colores más difíciles de distinguir dentro de su colección. Teniendo en cuenta estos detalles, la luz de Newton formaba una escala dórica, la única escala musical de siete notas perfectamente simétrica —en un piano, es la escala que va desde un re, entre las dos teclas negras, hasta el siguiente re—. Si quieres escuchar cómo suena, te animo a que busques Happy, de Pharrell Williams, en YouTube. No solo aprenderás algo sobre el modo dórico, sino que, además, seguirás leyendo este capítulo de mucho mejor humor.

Newton, 1704, Opticks. Archive.org.

El añil no fue la única invención de Newton. Después de definir los siete colores del arcoíris, su analogía musical le llevó a colocarlos en un círculo, similar al que forman las notas musicales debido a la equivalencia de octava. Para Newton, después del violeta, la luz volvía otra vez al rojo, del mismo modo que en Sonrisas y lágrimas, después del si «otra vez ya viene el do». Según afirma en un manuscrito^[173] de 1672, «las vibraciones que causan el escarlata más profundo guardan una relación de dos a uno con aquellas que generan el violeta […] y la razón por la cual estos extremos se parecen entre sí sería la misma que causa que las octavas suenen con la misma nota en cierta medida».

Sin embargo, desde un punto de vista puramente físico, esta idea no tiene demasiado sentido. Los colores rojo y violeta, situados en los extremos opuestos del arcoíris, no tienen nada particular en común. Lo que sucede es que nuestro ojo ha creado todo un mundo de tonalidades cálidas que se sitúa aparentemente a medio camino entre estos dos. Cuando las ondas azules y rojas impactan simultáneamente nuestra retina, nuestra mente «las suma» y genera una sensación específica que es lo que luego identificamos con el nombre de un color. Por eso los púrpuras, rosas y morados parecen situarse entre los extremos del espectro, cerrando la octava imaginaria de Newton: tienen algo de rojo y algo de azul, al mismo tiempo. Sin embargo, sus tonos son necesariamente un collage, no forman parte del espectro luminoso, no hay ninguna frecuencia de luz, en concreto, que pueda producir por sí misma el rosa o el morado. Los físicos los llaman colores extra-espectrales, que es una forma muy fina de decir que no se encuentran en el arcoíris. Yo prefiero pensar en ellos como colores psicodélicos, ninguno de ellos existe más allá de nuestros ojos.

A pesar de la analogía de Newton, el rango luminoso no está enrollado sobre sí mismo, ni podemos percibir varias octavas, como sí sucede con el del sonido. Antes del rojo, no hay nada parecido al violeta; se encuentran las frecuencias del espectro infrarrojo, que dan paso a las microondas y a las ondas de radio. Más allá del violeta, se sitúa el espectro ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma. Todos estos rayos invisibles son esencialmente lo mismo que la luz, ondas electromagnéticas —o radiación electromagnética— y fueron descritos por Maxwell en el siglo XIX. Curiosamente, una analogía sonora había llevado al matemático Leonhard Euler a proponer su existencia décadas antes de que sus rayos invisibles fuesen detectados experimentalmente. Para él, las ondas ultravioleta eran equivalentes a sobretonos de los sonidos musicales, los armónicos de la luz visible. No por casualidad, Euler era un melómano empedernido y un matemático profundamente interesado por cuestiones estéticas —quizás por ello, se convirtió también en el autor de una de las ecuaciones más bellas de la historia de las matemáticas, hoy conocida como identidad de Euler, que relaciona π con la unidad imaginaria i y el número de Euler e—. Según Nikolai Fuss, su alumno, yerno y secretario^[174], «su principal relajación era la música, pero incluso aquí su espíritu matemático permanecía activo. Cediendo a la agradable sensación de la consonancia, se sumergía en la búsqueda de su causa, y durante las actuaciones musicales calculaba la proporción de los tonos».

Dentro de todo este rango de radiación, desde las ondas de radio hasta los rayos gamma, la luz visible abarca una fracción minúscula del espectro. Guiado por su analogía musical, Newton había supuesto que el rango luminoso debía abarcar las proporciones de una octava, 2:1, pero ni siquiera llega a eso. Hoy sabemos que el espectro de la luz visible abarca desde los 400 nm hasta los 700 nm aproximadamente, que es «casi» una octava, pero no del todo —700:400 es un poquito menos que 2:1—. Por comparación, mientras que nuestro oído es capaz de percibir casi diez octavas de sonido —como el teclado de un piano más otro medio, más o menos—, nuestra percepción de la luz apenas rellenaría seis teclas blancas. No nos valdría ni para tocar el Cumpleaños feliz ni, por supuesto, Over the Rainbow.

En su libro Opticks, publicado en 1704, Newton se dio cuenta de este error. Afirmó entonces que los colores del espectro^[175] «se relacionan de forma parecida a las seis longitudes de un acorde que se encuentran en las notas de una sexta mayor». Una sexta es la distancia que hay de do a la, es decir, seis notas. ¡Newton estuvo a tiempo de rectificar! Podría habernos librado de la ficción del añil. Hoy viviríamos en un mundo más sensato, sin traumas infantiles, con gradientes de seis colores fáciles de identificar. Sin embargo, la idea del arcoíris heptatónico y su paralelismo con la escala musical era tan potente, tan bonita, que fue esa primera analogía la que finalmente se popularizó.

Así, sin buscarlo ni quererlo, Newton acabó siendo el autor de este trocito del saber popular. Por otro lado, su búsqueda de armonía le dio sentido a una de las canciones más escuchadas y celebradas de todo el siglo XX. Las siete notas del arcoíris de Oz también forman parte de su legado cultural.

§. Afinadores de estrellas
Se puede decir que el canto de las sirenas estéticas desvió a Newton de su camino en más de una ocasión. Al final resultó que los colores de la luz no son siete, ni se organizan en círculos ni abarcan un intervalo de octava. ¡Ni siquiera era cierto que Pitágoras descubriese las leyes de la gravedad! —oh, sorpresa—.

Sin embargo y casi sin quererlo, justo en la base de su analogía musical, acertó: el color es a la luz lo que las distintas notas son al sonido, el modo en que percibimos las frecuencias de una onda. Newton nunca lo habría expresado de este modo, eso sí. Él defendía que la luz estaba formada por partículas, así que difícilmente habría hablado de «frecuencia». La teoría ondulatoria tuvo que enfrentarse al peso de su nombre para imponerse durante el siglo XIX y, cuando lo hizo, el paralelismo entre la luz y la música volvió a inspirar a los científicos, proporcionando un modelo ya conocido para fenómenos que hasta entonces habían resultado escurridizos.

Un ejemplo clave fue el de Thomas Young. Su famoso experimento de la doble rendija se inspira directamente en el fenómeno de la disonancia musical. Con él, demostró un hecho que aún hoy resulta sorprendente para la mayoría: que dos rayos de luz sumados ¡pueden dar lugar a regiones de oscuridad! Este fenómeno se conoce en física como interferencia. En el caso del sonido, se manifiesta en forma de batidos, una serie de variaciones en la amplitud del sonido que generalmente resultan desagradables para el oído —por eso se asocian con la disonancia musical—. Se producen cuando la cresta de una onda coincide con el valle de otra distinta; ambas se superponen y se anulan entre sí, dando lugar a franjas intermitentes de silencio, o de oscuridad en el caso de la luz.

La música inspiró también el trabajo de otros científicos como Euler, Faraday y Wheatstone, que se valieron de sus ondas para entender mejor la luz y la electricidad. Pero de entre todas las sinestesias que guiaron el progreso de la física durante estos años, la más fértil fue, sin duda, la que llevó a los científicos a analizar los «timbres» de la luz. El espectro de colores que Newton había ayudado a desenredar con ayuda de un prisma reapareció en la luz de las estrellas y, más tarde, en los átomos que componen la materia. Sus pistas de colores terminaron dando lugar al nacimiento de la física cuántica a comienzos del siglo XX.

Pero contemos esta historia desde el principio. Un siglo después de que Isaac Newton nos enseñara a destejer el arcoíris, otro paisano suyo llevó su labor costurera un paso más allá. En 1802, William Wollaston modificó ligeramente el montaje experimental original para afinar los rayos de luz al máximo y observar su abanico de colores con mucha más precisión.

Fue entonces cuando el arcoíris finalmente se rompió.

Sobre sus tonos aparecieron una serie de líneas oscuras nunca antes vistas, pequeñas franjas sin luz que dibujaban una frontera aparente entre distintas regiones de color. Wollaston pensó que aquellas debían de ser las líneas que separaban las notas del arcoíris según la definición que había hecho Newton, ¡al fin una prueba experimental, medible y objetiva de la existencia del añil! Pero no tenía nada que ver con eso. Wollaston ni siquiera podía imaginar la importancia del fenómeno que acababa de encontrar.

Apenas una década más tarde, estas mismas líneas fueron redescubiertas de manera independiente por otro físico alemán, Joseph von Fraunhofer, que se dedicó a medirlas y clasificarlas de manera sistemática. Su recién inventado espectroscopio le permitía estudiar la composición en frecuencias de la luz —su distribución interna de colores— con una precisión sin precedentes. Mientras tanto, al otro lado del mar Báltico, en Suecia, Anders Jonas Ångström realizaba sus propios estudios espectroscópicos. Desde mediados de siglo, se dedicó a calentar distintos gases, hasta hacerlos brillar, para analizar la luz procedente de cada uno de ellos. Mientras observaba una muestra de hidrógeno incandescente, descubrió una serie de líneas muy parecidas a las que habían descrito Wollaston y Fraunhofer, solo que invertidas. En lugar de franjas oscuras, ¡estas eran brillantes! Lucían los mismos colores presentes en el arcoíris, solo que separados en el espacio y definidos como franjas nítidas sobre un fondo oscuro.

Ångström dedujo correctamente que aquellas líneas debían de estar relacionadas con las que había catalogado Fraunhofer. Su modelo conceptual era el de la resonancia acústica: del mismo modo en que una cuerda puede «absorber» su propia frecuencia natural y vibrar con ella, argumentó^[176], «un mismo gas, al ser calentado hasta hacerse luminoso, debe emitir los mismos rayos que absorbe a una temperatura ordinaria». Gracias a este símil sonoro, Ångström concluyó que las líneas luminosas que acababa de descubrir eran las mismas que dejaban su huella oscura sobre el espectro de la luz del Sol y que, por tanto, los mismos elementos gaseosos que él estaba catalogando en la Tierra, ¡se encontraban también a 148 millones de kilómetros de distancia sobre la superficie ardiente de nuestra estrella! De este modo, consiguió lo que hasta entonces se creía imposible: averiguar de qué materia están hechas las estrellas. Se convirtió en el primer químico cósmico, capaz de atrapar todo el cielo nocturno en una probeta de laboratorio.

Aunque las herramientas que utilizan los científicos contemporáneos son mucho más precisas y sofisticadas que el prisma de cristal que utilizó Newton, la base de la espectroscopía moderna sigue siendo la misma. Hoy podemos viajar por todo el cielo y deducir la composición y la temperatura de algunos de los cuerpos celestes más grandes y remotos del universo gracias a un arcoíris roto. Al mismo tiempo, sus colores iluminaron el camino para describir los objetos más pequeños y cercanos de nuestro cosmos: los átomos que componen la materia.

Desde finales del siglo XIX, los físicos intentaron averiguar cuál era la razón de ser de todas estas líneas misteriosas de luz y de color. ¿Qué las originaba? ¿A qué se debían sus distancias? ¿Podían expresarse de alguna manera matemática? Notaron entonces que la composición en frecuencias de la luz era sorprendentemente parecida a las de otros fenómenos ondulatorios que conocían mucho mejor: los timbres de los instrumentos musicales y de la voz humana que había analizado Hermann von Helmholtz en esa misma época, ¡su composición en armónicos!

Nuevamente, una metáfora musical fue la clave para avanzar. De hecho, todas las luces que nos rodean —al igual que los sonidos de nuestro entorno— son la suma de muchas frecuencias distintas, una mezcla de colores en distintas proporciones que podemos destejer con ayuda de un cristal triangular. En el mundo del sonido, esta composición es lo que da lugar a los distintos timbres que reconoce nuestro oído. Gracias a ellos podemos distinguir una a de una i, el canto de una trompeta del de un violín o la voz de nuestra madre. Por otra parte, la forma y propiedades dinámicas de los objetos, como una cuerda o una lámina, determinan los sonidos que pueden llegar a producir, así que esos timbres están directamente relacionados con ciertas propiedades físicas en su origen. Por eso, podemos reconocer cada objeto por la huella única de su voz, o incluso rescatar la voz de una momia milenaria simplemente estudiando la forma de su garganta. Con la luz sucede algo parecido. Por eso, los físicos del siglo XIX pensaron que las líneas de Fraunhofer debían de representar algo parecido a sus «armónicos», sus modos característicos de moverse internamente, aunque aún no estuviera muy claro qué o cómo podía estar generando exactamente esa vibración.

En 1871, el físico Johnstone Stoney argumentó^[177] que «un movimiento periódico de las moléculas del gas incandescente puede dar lugar a toda una serie de líneas en el espectro de la luz». Inspirándose en el trabajo de Helmholtz, denominó a estas líneas «sobretonos» e intentó ajustar las longitudes de onda del espectro del hidrógeno a la serie armónica (1, 1:2, 1:3, 1:4…), como si cada molécula fuese una cuerda musical. Concluyó que tres de las líneas espectrales principales de este gas —en el rango de la luz visible— correspondían a los armónicos 20, 27 y 32 de una frecuencia fundamental muchísimo más grave —más allá del espectro visible—. Sin embargo, para su contemporáneo Johann Balmer, estos números resultaban demasiado caprichosos, demasiado feos para resultar aceptables, eran «unos números tan altos que no aportan ninguna aclaración^[178]». Por eso se esforzó en encontrar una expresión más sencilla que le permitiese calcular la frecuencia fundamental del espectro del hidrógeno, la nota característica de su «cuerda», que le permitiría deducir todos los demás armónicos.

Balmer era un matemático suizo, profesor en un colegio de Basilea, y tenía sesenta años cuando se interesó por este tema. En 1885, publicó su primer artículo científico con la fórmula que hoy lleva su nombre. Partiendo de la hipótesis de que cada línea representaba un armónico del átomo de hidrógeno, y aprovechando sus conocimientos sobre música y acústica, encontró la frecuencia fundamental del gas que buscaba, la constante que le permitía calcular todas las líneas de su espectro mediante solo una pareja de números naturales. Así, usando una fórmula sorprendentemente sencilla —sorprendentemente bonita—, Balmer pudo deducir la posición de las líneas oscuras que rompían el arcoíris de Newton y predecir algunas que todavía no se habían encontrado. Quizás no era exactamente la serie armónica, tal y como la había descrito Pitágoras —en la fórmula de Balmer, los números enteros están elevados al cuadrado—, pero desde luego se le parecía bastante. Y el mismo Balmer destacó, como argumento en su favor, que «las relaciones entre estas longitudes de onda pueden ser expresadas con sorprendente precisión mediante números pequeños».

Los físicos ya tenían una expresión matemática y las medidas experimentales que la validaban, pero seguían sin tener un modelo completo, aún no entendían qué estaba rompiendo el arcoíris. La explicación no sería posible hasta varias décadas más tarde, gracias al nacimiento de la física cuántica. Y, como tantos otros descubrimientos de la historia, este llegó empapado de metáforas musicales.

El padre de la cuántica fue de hecho un célebre melómano y talentoso pianista que en ocasiones se reunía con Albert Einstein para ensayar. Se cuenta sobre Max Planck que su oído era tan fino que a menudo le costaba disfrutar de los conciertos, cuando los músicos no eran lo bastante precisos con su afinación. Él fue el primero en proponer que quizás la energía de la luz no era una rampa continua, como hasta entonces se creía, sino que podían existir peldaños —cuantos— que la subdividían. De acuerdo con Peter Pesic^[179], esta idea se inspiraba probablemente en sus propios experimentos con la escala musical, que le habían llevado a cuantizar el sonido en doce semitonos iguales a pesar de sus prejuicios estéticos —a Planck no le gustaba el sistema de afinación temperado que utilizamos en la actualidad—.

Fue Erwin Schrödinger, sin embargo, quien consiguió relacionar estos paquetes de energía, que hoy conocemos como fotones, con los gases y los arcoíris rotos que habían analizado los físicos desde el siglo XIX. En busca de un modelo matemático que explicase las líneas de Fraunhofer, Ångström y compañía, este físico austriaco se dispuso a deducir la ecuación que debía gobernar la estructura interna de los átomos. Su idea era que los electrones —no las moléculas, como creía Stoney— liberaban luz de diferentes colores al saltar entre distintos «modos» u orbitales, como veremos más adelante. Y aunque Schrödinger, al contrario que Planck, no era muy aficionado a la música, en su búsqueda de nuevas formulaciones matemáticas se inspiró directamente en el mundo de la física acústica. De hecho, las soluciones a su famosa ecuación son funciones de onda ¡muy similares a las que describen el sonido! Así, como cuenta Frank Wilczek^[180]:

En los primeros días de la teoría cuántica moderna, todavía no existía un libro de texto. Los investigadores, ansiosos por utilizar la nueva teoría atómica, recurrieron a un libro de texto sobre un tema diferente, la Teoría del sonido de Lord Rayleigh. Allí encontraron las matemáticas necesarias para describir cómo funcionan los átomos. ¡Se había desarrollado antes para describir cómo funcionan los instrumentos musicales!

Lo bueno de esta analogía es que, del mismo modo que Schrödinger se apoyó en ella para entender la estructura de los átomos, al resto de los mortales nos puede servir para entender a Schrödinger, que tampoco es cosa fácil. Basta con recurrir a lo que ya sabemos sobre acústica.

La idea básica es la siguiente: los electrones, al igual que las cuerdas de una guitarra, están restringidos a vibrar de ciertas maneras, sus modos normales, sus formas «cómodas» de moverse dentro del átomo. Así de fácil. Esos «modos», en el caso de la guitarra, se corresponden con ciertas frecuencias, los armónicos, que le dan al instrumento su timbre característico. Y en el átomo sucede lo mismo: existen fuerzas internas que determinan en qué modos se encuentra cómodo un electrón. Cada uno de esos modos representa un estado estable y cada uno tiene asociado cierto nivel de energía. Son pisos u «orbitales» en los que el electrón puede habitar, su «hogar, dulce hogar». El electrón puede saltar de un nivel a otro, viajar de su piso en Madrid a la casa de la playa. Pero para hacerlo debe robar o liberar la energía sobrante en forma de fotón, esto es, emitiendo luz de cierto color.

Así, las líneas espectrales características de cada gas representan la diferencia de energías que hay entre sus orbitales. La luz azul corresponde a saltos energéticos más grandes; la más roja, a saltos más pequeñitos. Lo que llega a nosotros, las líneas de colores que forman el arcoíris roto propio de un gas, son los fotones que salen disparados del átomo cuando uno de sus electrones salta de un orbital a otro. El espectro es la sombra de una escalera, el molde por el que deducimos la estructura interna de la materia.

Cuando se calienta lo suficiente un gas, los electrones excitados tienden a trepar a niveles de energía superiores y liberan luz cuando regresan a su estado original. Obtenemos entonces un espectro de emisión, las líneas de colores sobre fondo oscuro que encontró Ångström en su laboratorio. En los espectros de absorción —las líneas oscuras que encontraron Wollaston y Fraunhofer—, el fenómeno es el mismo pero a la inversa. Alrededor de las estrellas existen gases de distintos elementos, que absorben parte de su radiación. Cuando la luz los atraviesa, los electrones de los átomos le roban fotones para dar un salto y colocarse en algún orbital superior. Pero son bastante exquisitos, los gases, no les vale con cualquier fotón. Solo se quedan con aquellos que tienen exactamente la energía correspondiente a su propio «salto de nivel», solo los de cierto color. Por eso, cuando la luz del Sol llega a nosotros, podemos leer en su espectro la historia de todos esos pequeños robos: las líneas oscuras que descubrió Fraunhofer son fotones que quedaron atrapados en la atmósfera del Sol.

Al igual que sucede con el sonido y los instrumentos musicales, todas estas líneas —la composición en frecuencias de la luz— nos informan sobre las características físicas del átomo que la originó. Cada elemento tiene su propia escalera, un timbre característico que nos permite identificarlo por su luz. Como dice Arnold Sommerfeld, en un libro que es ya referente para la ciencia de la espectroscopía^[181]:

Lo que hoy oímos en el lenguaje de los espectros es una verdadera «música de las esferas» dentro del átomo, acordes relacionados por números enteros, un orden y una armonía que se vuelve cada vez más perfecta.

Después de todo, parece que el arcoíris que destejió Newton sí estaba formado por notas, aunque no las siete de la escala que él había imaginado, sino las de los instrumentos diminutos que componen la materia.

Capítulo 8
La física en busca de armonía

¿Conque quieres saber qué es lo que mantiene unido al mundo, cómo se hizo el universo y qué reglas obedece nuestra existencia? Lo más cerca que estarás de alcanzar una respuesta es siguiendo el rastro de los hechos hasta el sótano de la ciencia. Síguelo hasta que los hechos se vuelvan escasos y el camino esté bloqueado por teóricos discutiendo cuál es la teoría más bella. Ahí es cuando sabes que has llegado a los cimientos.

Sabine Hossenfelder, Perdidos en las matemáticas^[182]

§. Después de la música
Johann Balmer logró explicar los armónicos del átomo de hidrógeno gracias a las metáforas musicales que han inspirado a los físicos de todas las épocas desde la Antigüedad. Lo sabemos porque así lo explica él mismo en su primer artículo científico, publicado en una revista de su ciudad. Sin embargo, cuando el físico suizo quiso dar a conocer estos resultados en una publicación más internacional, omitió todo el hilo de asociaciones musicales que le habían llevado a su descubrimiento. En Annalen der Physik, la fórmula de Balmer aparece aislada, sin contexto, «como arrancada del éter por pura especulación matemática» —en palabras de Peter Pesic^[183].

El de Balmer no es un caso aislado. A medida que las publicaciones científicas se fueron estandarizando, se volvió común comunicar sus resultados de manera más directa, omitiendo el proceso de búsqueda previo o las posibles asociaciones que lo habían guiado. Poco a poco, la música fue quedándose atrapada en los auriculares de los investigadores, sin llegar nunca a manchar el papel de sus artículos científicos. En el mejor de los casos, siguió ejerciendo como una motivación —personalmente, preguntarme por qué ciertos sonidos nos emocionan me llevó a estudiar Física—, o como un elemento de ocio y de evasión necesario en todo proceso creativo. Es bien conocida la afición de Einstein por su violín. En una entrevista de 1929^[184], el físico de la lengua fotogénica llegó a afirmar incluso que, de no haberse dedicado a la física, habría sido músico: «Pienso a menudo en música. Vivo mis ensoñaciones en música. Veo mi vida en clave musical. […] La mayor alegría de mi vida es mi violín». Sin embargo, ya no es posible establecer una conexión entre sus teorías, como la relatividad general, y lo que fue, en el mejor de los casos, una bonita afición.

La música ha dejado de guiar el camino de la física. Y sin embargo, su expectativa de belleza sigue muy presente. Si hubiese que elegir una sola palabra, un solo hilo conductor que ha tejido el diálogo entre estas dos disciplinas a través de los siglos, sin duda esa palabra sería «armonía». Este concepto, empapado de connotaciones filosóficas y musicales, contagió a la física su eterna búsqueda de simplicidad, de unidad, de cierto equilibrio que es simultáneamente estético y matemático.

La armonía inspiró a Oresme para buscar melodías eternamente novedosas en el sistema solar y persuadió a Kepler de que, sin un último acorde consonante, su danza nunca podría acabar. Copérnico se atrevió a decir que los planetas giraban alrededor del Sol gracias nuevamente a la armonía y a la belleza de sus órbitas circulares. Cuando Kepler rompió la simetría de ese sistema, tuvo que recurrir a poliedros perfectos y a patrones numéricos para inventar un nuevo tipo de belleza. Sus hallazgos fueron retomados por Newton y con ellos formuló las leyes de la gravitación universal, el motor del cosmos mecánico que inspiró a tantos científicos en la era de la Ilustración y que él mismo relacionó con la tradición pitagórica. Newton fue también el primero en ponerle notas musicales a la luz solar. Su disección del arcoíris y el poder de esta metáfora sonora permitieron demostrar las propiedades ondulatorias de la luz, analizar la materia de que están hechas las estrellas y describir la estructura interna de los átomos, como si fuesen diminutos instrumentos musicales. Fue así como la música se abrió paso también en la física del siglo XX, iluminando con sus timbres los entresijos de la mecánica cuántica.

Para encontrar los orígenes de este relato, sin embargo, debemos remontarnos hasta los tiempos de Pitágoras. Más allá de sus extravagancias, sus manías culinarias y su sectarismo, el legado más profundo del filósofo griego es la intuición de que el mundo físico debe obedecer a conceptos hermosos. No se trataba de una belleza siempre perceptible para los sentidos, eso sí. Aunque Pitágoras y sus seguidores encontraron la confirmación a sus teorías estéticas en los armónicos de una cuerda, su ordenado cosmos no era necesariamente agradable a la vista ni al olfato, ni siquiera al oído. La suya era la belleza de los números, de la simetría y de la regularidad matemática, que se manifiesta a través de patrones repetitivos y de cierta sencillez conceptual y aglutinadora. Esta fue la fe de Pitágoras, su anhelo, su religión: todo en el cosmos es número, todo es comprensible, todo es reducible a algún esquema mental satisfactorio.

Platón llevó esta idea más allá —«demasiado» más allá, de hecho—. Para él, la belleza ordenada de las ideas era más importante que la realidad que supuestamente representaban. Los filósofos debían cerrar sus ojos, hacer música en el vacío, aprender astronomía de espaldas al cielo, si querían alcanzar la forma más perfecta de conocimiento. Por ese motivo, si una teoría era hermosa pero no encajaba con las observaciones, pues bien, ¡mucho peor para las observaciones! Estas eran, en el mejor de los casos, el reflejo imperfecto de la idea, nada que tomarse demasiado en serio.

Este tipo de idealismo que lastró el conocimiento europeo durante siglos es hoy, por suerte, una reliquia, una actitud superada gracias al método empírico y la revolución científica que se inició en la Edad Moderna. Y sin embargo, cabe recordar que el mismo Einstein afirmó algo parecido cuando se confirmó experimentalmente su teoría de la relatividad general. En 1919, sir Arthur Eddington organizó una expedición a la isla Príncipe, cerca de África, para observar un eclipse solar que tuvo lugar el 29 de mayo. El astrónomo quería aprovechar la sombra de la Luna para medir la posición aparente de las estrellas alrededor del Sol y calcular así la trayectoria de sus rayos luminosos. Si la teoría de Einstein era correcta, la luz se curvaría debido a la atracción del Sol, y las estrellas aparecerían ligerísimamente desplazadas en el cielo. ¡Y fue esto precisamente lo que pasó! Ante los telescopios de los expedicionarios, el espacio mismo se deformaba alrededor de nuestra estrella según los cálculos del bigotudo pensador alemán. Debió de ser un momento emocionante, y sin embargo, se cuenta que Einstein reaccionó sin sorpresa ante la noticia^[185]. Cuando un estudiante le preguntó qué habría pensado si el experimento de Eddington no hubiese confirmado sus teorías, él contestó: «Entonces, lo hubiese sentido mucho por el buen lord, ya que la teoría es correcta^[186]».

Einstein probablemente exageraba. O, por lo menos, podemos estar seguros de que tras dos milenios intentando fugarse de la caverna de Platón, la comunidad científica no habría apoyado su obstinación en contra de los hechos experimentales. Si la expedición de Eddington no la hubiese confirmado, la teoría de la relatividad general no habría sido correcta, y simplemente se habría descartado, como tantas otras que hoy no figuran en los libros de texto. Pero lo que deja traslucir esta anécdota es que, para Einstein, su solución era tan elegante, describía de manera tan compacta y satisfactoria tantos fenómenos complejos… que le habría costado enormemente renunciar a ella. ¿Cómo podría ser erróneo algo tan hermoso?

Paul Dirac resumió el mismo anhelo tomando prestados versos de John Keats —el mismo poeta que acusaba a Newton de destejer el arcoíris—. Defendía que, en cuestiones de física teórica, «belleza es verdad, y verdad es belleza^[187]». Por eso mismo, «quien trabaja en investigación, en sus esfuerzos por expresar las leyes más fundamentales de la naturaleza, debe perseguir ante todo la belleza matemática^[188]». Dirac fue uno de los principales impulsores de la física cuántica del siglo XX, ganador del Premio Nobel junto con Erwin Schrödinger en 1933. Entre otras aportaciones, formuló una expresión especialmente compacta —los físicos dirían «bonita»— que describe el comportamiento de unas partículas llamadas fermiones, como el electrón. La hoy conocida como ecuación de Dirac permitió predecir la existencia de la antimateria, que se detectaría experimentalmente algunos años después. Por eso, da igual que uno no la entienda, que no tenga ni idea de mecánica cuántica o que no sienta ningún cariño por los fermiones en general: resulta fascinante que unos pocos símbolos en un papel puedan describir toda la complejidad de la materia y hacer predicciones sobre el mundo real, incluso a niveles inaccesibles para nuestros sentidos. Son matemáticas que construyen mundos, que amplían con su breve dibujo el tejido mismo de la realidad.

Dirac ha sido caracterizado a menudo como un físico teórico puro. «Sus descubrimientos eran como estatuas exquisitamente talladas que caían del cielo una tras otra», dijo sobre él el matemático Freeman Dyson^[189]. «Parecía ser capaz de conjurar leyes de la naturaleza a partir del pensamiento puro». Dirac mismo anteponía la lógica y la consistencia matemática a las observaciones que típicamente preocupan a otros físicos, e incluso se negaba a dar explicaciones sobre sus teorías, afirmando que la cuántica se construye «a partir de conceptos físicos que no pueden explicarse con palabras^[190]». También decía guiarse, principalmente, por criterios estéticos en su investigación^[191]: «Reviste mayor importancia obtener la belleza en una ecuación que conseguir que se ajuste a la observación experimental». Según argumentaba, este tipo de planteamiento le permitía avanzar más rápido en sus teorías puesto que, de existir un acuerdo imperfecto entre los resultados experimentales y el modelo, un refinamiento posterior de la teoría podía resolver las posibles discrepancias.

* * * *

Werner Heisenberg, otro de los fundadores de la mecánica cuántica —y ganador del Premio Nobel en 1932—, defendía también que la belleza era un síntoma de verdad^[192]. Creía que la sencillez era una propiedad objetiva de las leyes de la física, y, por ese motivo, «si la naturaleza nos lleva a formas matemáticas de gran simplicidad y belleza, no podemos evitar pensar que son “verdaderas”». Heisenberg hoy es conocido, principalmente, por formular el principio de incertidumbre. Para él, la influencia de la filosofía idealista en su propio trabajo era transparente: «La física moderna se ha decantado definitivamente en favor de Platón. De hecho, las unidades más pequeñas de la materia no son objetos físicos en un sentido ordinario: son formas, ideas, que pueden ser expresadas de manera inequívoca en el lenguaje de las matemáticas^[193]».

Más cerca de nuestro tiempo, muchos investigadores han expresado ideas parecidas. De hecho, si la gala de los premios de la Academia Sueca tuviese una banda sonora, el discurso de los físicos podría acompañarlo Pau Donés —todos les parece bonito…—. Uno de los ejemplos más recientes es el de Frank Wilczek, ganador del Premio Nobel en 2004 por sus aportaciones al estudio de la llamada interacción fuerte. Ha dedicado varios libros a explorar la búsqueda de la belleza en el estudio de la física. En su libro El mundo como obra de arte afirma^[194]:

Habiendo saboreado la belleza en el corazón del mundo, anhelamos más. En esta búsqueda, creo yo, no hay guía más prometedora que la belleza misma. […] Cuando busco conjeturas, la belleza es mi inspiración. Me ha funcionado bien en muchas ocasiones.

En la misma línea se pronunció Murray Gell-Mann, Premio Nobel de Física en 1969 por sus descubrimientos sobre partículas elementales, quien aseguró que en física fundamental, una teoría bonita o elegante tiene más probabilidades de ser correcta que una no elegante^[195]. Y también Leon Max Lederman, Premio Nobel en 1988 por su investigación sobre los neutrinos, creía^[196] «que la naturaleza se describe mejor mediante ecuaciones que son simples, hermosas y compactas, y tan universales como sea posible». Incluso Rosalind Franklin, que contribuyó a descubrir la estructura del ADN pero no ganó un Nobel, por lo que sea, estaba convencida de que la forma de doble hélice de esta molécula era la correcta porque era algo «demasiado hermoso para no ser cierto». Pero la lista continúa: Gerard’t Hooft, Melvin Schwartz, Hermann Weyl^[197], Fabiola Gianotti… son solo algunos de los físicos y matemáticos contemporáneos que han querido intuir la verdad a través de la belleza y la belleza en aquello que creían verdad.

Este afán estético, sin embargo, no está exento de polémica. Para la física Sabine Hossenfelder^[198], «en la búsqueda de nuevas ideas, la belleza desempeña muchos papeles. Es una guía, una recompensa, una motivación. También es un sesgo sistemático». Hossenfelder es física teórica e investiga temas relacionados con la gravedad cuántica. En su libro más reciente, se pregunta hasta qué punto estos principios estéticos son, en realidad, vicios adquiridos, prejuicios sin fundamento sobre cómo deben ser las leyes de la física, modas que buscan sin quererlo el consenso con las teorías ya establecidas, o simple y llanamente numerología, como la que en tantas ocasiones embriagó a Pitágoras y a otros científicos no tan antiguos. Sobre la belleza que dicen experimentar muchos físicos contemporáneos, Hossenfelder afirma: «No es que no sepa a qué se refieren; es que no sé por qué debería importar. Dudo que mi sentido de la belleza sea una guía fiable para descubrir las leyes fundamentales de la naturaleza, leyes que dictan el comportamiento de entidades sobre las que no tengo ninguna experiencia sensorial directa, nunca la he tenido y nunca la tendré».

Para esta investigadora, el énfasis creciente en este tipo de criterios estéticos desde el siglo XX no es precisamente una «bonita» noticia, sino todo lo contrario. Se trata de un síntoma poco deseable de la escasez de datos, debido al enorme esfuerzo que implica obtenerlos. Vivimos en una época en que la experimentación en física fundamental es cada vez más complicada, larga y costosa. No hay más que pensar en la inversión que requiere construir un acelerador de partículas o el lanzamiento de un telescopio espacial como el Hubble, por poner solo un par de ejemplos. Esto ha generado una brecha de tiempo que se interpone inevitablemente entre las nuevas teorías físicas y su confirmación experimental. Cuando Einstein formuló su teoría general de la relatividad en 1915, pasaron solo cuatro años hasta que un eclipse permitió confirmarla. Su nueva concepción del espacio y el tiempo era muy bonita, qué duda cabe. Pero, de haberse descartado, el desengaño habría dado fin a un flechazo de apenas unos pocos años. En cambio, desde la formulación del bosón de Higgs en su forma matemática hasta su detección en el CERN en 2013, transcurrieron cuarenta y nueve años. Las teorías sobre la inflación cósmica de Andrei Linde, con quien arrancamos este libro, fueron formuladas a finales de los años setenta. Todavía no hemos podido confirmar hasta qué punto son correctas. Como dice Hossenfelder^[199]:

Hoy en día, el tiempo que requiere testar una nueva teoría fundamental de la naturaleza puede ser más largo que la carrera entera de un científico. Esto fuerza a los teóricos a basarse en criterios al margen de la adecuación empírica para decidir qué líneas de investigación perseguir. El atractivo estético es una de ellas.

El problema es que ese atractivo se convierta en el criterio principal, o el único, a la hora de decidir qué líneas de investigación se potencian y cuáles no, a falta de otras referencias más sólidas en las que apoyarse. La belleza ha dejado de ser un complemento ventajoso para convertirse en un requisito indispensable, y esto resulta peligroso. Algunas hipótesis de la física teórica contemporánea han rehuido cualquier intento de verificación experimental hasta la fecha. Es el caso de la supersimetría, una hipótesis preciosa de la física de partículas —su propio nombre lo dice— que muchos consideran uno de los ingredientes clave de la teoría de cuerdas. Sin embargo, ninguna de las partículas que predice se ha asomado hasta ahora por un acelerador.

La teoría de cuerdas, por su parte, es también un bellezón, ¡qué duda cabe! No solo ofrece una explicación cuántica de la gravedad —el gran reto de la física de nuestro tiempo—, también es capaz de simplificar todo el zoo de partículas conocidas hasta el momento, presentando sus muy dispares y aparentemente caprichosas propiedades como variaciones de un mismo elemento: vibraciones de una cuerda. En serio, es pura poesía, ¡cuerdas en la misma tela que compone el universo! El elemento que nos desveló la primera ley de la física como solución para la última, la teoría final, la teoría del todo. A Pitágoras se le caerían las lágrimas de la emoción con esto. Salvo por un pequeño detalle, y es que esas cuerdas son completamente indetectables.

Este es el principal problema de la teoría de cuerdas, el debate filosófico que plantea: es muy difícil de validar experimentalmente. Su misma formulación matemática —que requiere la existencia de once dimensiones, aunque quizás eso sea lo de menos— da cabida a universos muy diferentes, y los físicos de cuerdas aún no tienen muy claro con cuál quedarse. Y no es un detalle menor. Según la configuración de partida, es posible obtener ¡hasta 10¹⁰⁰ universos diferentes! Esto impide la formulación de hipótesis que se puedan validar en este —el único que conocemos—. Todo lo que pueda suceder es compatible e incompatible con la teoría de cuerdas, según la versión que uno elija ese día. Por otra parte, y como explica Brian Greene^[200], las cuerdas mismas que dan sustento a la teoría son tan minúsculas que, «utilizando la tecnología actual, necesitaríamos un acelerador del tamaño de la galaxia para ver las cuerdas de una en una». Quizás aún queda trabajo por hacer y sea solo cuestión de tiempo que aparezca una versión más madura de la teoría, con respuestas a todas estas objeciones, pero hasta entonces es imposible decidir qué preguntas será capaz de resolver realmente, por muy bonita que nos parezca.

Por otra parte, la estética no ha demostrado ser siempre el más fiable de los criterios científicos. Los físicos —sobre todo después de ganar un Nobel— tienden a ponerse románticos, rememorando junto a la hoguera todas las ocasiones en las que la belleza se proclamó vencedora de alguna batalla. Pero, con demasiada frecuencia, se olvidan de sus muchas derrotas, historias donde el sentido estético —o cualquier tipo de intuición sobre la forma que debería tener una solución— no solo no ayudó a los científicos, sino que los apartó de un posible descubrimiento.

Tycho Brahe, por ejemplo, descartó el modelo heliocéntrico debido a que, según sus propias observaciones, este sistema implicaría un universo con distancias enormes. «Es necesario preservar en estas materias alguna proporción decente», afirmó, «no sea que alcancen el infinito y se abandone la justa simetría de las criaturas y las cosas visibles en cuanto a tamaño y a distancia: es necesario preservar esta simetría porque Dios, el autor del universo, ama el orden apropiado, no la confusión y el desorden^[201]». Copérnico no tuvo inconveniente en asumir esta proporción «indecente». En cambio, defendió la validez de su modelo, destacando la belleza de las circunferencias perfectas que había utilizado para darle forma. Unas pocas décadas después, Kepler las tuvo que sustituir por elipses algo menos perfectas, pero se consoló con el hecho de que los planetas fuesen precisamente cinco, igual que los sólidos platónicos, ¡qué bonito! Salvo porque no eran cinco, claro.

Newton, por su parte, se empeñó en buscarle las siete notas al arcoíris y aún hoy seguimos sin saber qué narices es el añil. Su legado estético fue indudable también en otro sentido: el genio inglés convenció al mundo de que el universo era una especie de mecanismo de relojería, al más puro estilo steampunk. Cuando Maxwell analizó sus propias teorías bajo esta estética mecanicista, le parecieron feas en comparación. Argumentaba que solo «cuando un fenómeno físico puede describirse completamente como un cambio en la configuración y el movimiento de un sistema material, se dice que la explicación dinámica de ese fenómeno es completa^[202]», y se pasó años intentando explicar los campos eléctricos bajo un enfoque más newtoniano. En cambio, fue uno de los muchos fans de la teoría de los átomos de vórtice propuesta por William Thomson —más conocido como Lord Kelvin—, alabada a menudo por su belleza. Era una teoría tan bonita, según escribió Oliver Lodge, que «casi merecía ser cierta». Hoy nadie la recuerda, claro está, porque la teoría de los vórtices no describía la realidad.

La teoría cuántica, en cambio, tuvo que enfrentarse a la aversión estética de muchos científicos durante el siglo XX, entre otros, la de su propio fundador. Cuando Max Planck propuso la idea de que la energía podía estar paquetizada en cuantos, lo hizo con una pinza colocada en la nariz. Él despreciaba esta hipótesis y las herramientas matemáticas que involucraba, pero la adoptó como última alternativa para escapar del callejón al que le había conducido su investigación. Después de publicarla, se pasó años intentando enmendar su propia teoría, convencido de que no era más que un apaño provisional, a la espera de encontrar una explicación más «bonita». Spoiler: nunca la encontró porque su primera explicación ya era correcta.

Otros físicos después de Planck le han fruncido el cejo a la teoría cuántica. Sus descripciones a menudo resultan extrañas, contraintuitivas —se ha llegado a decir que si crees que entiendes la física cuántica es porque no la entiendes—. Entre otros, y de forma muy destacada, Albert Einstein recelaba de sus resultados solo ciertos en forma de probabilidad. En una de sus citas más celebres, extraída de una carta a Max Born de 1926, afirma^[203]:

La mecánica cuántica es muy impresionante. Pero una voz interior me dice que aún no es real. La teoría predice mucho, pero apenas nos acerca al secreto del Viejo. En todo caso, estoy convencido de que Él no juega a los dados.

Sin embargo, y a pesar de cualquier juicio estético o del desasosiego espiritual que a cada cual le pueda causar, el hecho es que la cuántica funciona: sus cálculos predicen los resultados de los experimentos a la perfección, y lo llevan haciendo desde hace más de cien años.

No fue la última vez que Albert Einstein perdió el rumbo, presa del canto de las sirenas estetas. Aunque el físico alemán vinculó sus teorías más reconocidas a la búsqueda de belleza, también le podría haber atribuido «la mayor metedura de pata» de su carrera, tal y como él mismo la calificó^[204]. En 1917, se dio cuenta de que su recién formulada teoría de la relatividad describía un universo en expansión. Pero esta idea le parecía «abominable», según confesaría a Lemaître años más tarde^[205], así que introdujo un nuevo término en sus ecuaciones —la llamada «constante cosmológica»—, cuyo objetivo era producir un modelo estático del universo de acuerdo con las teorías cosmológicas más aceptadas en aquel momento. Poco después, otros físicos como Friedman empezaron a disentir de esta visión, que suponía un equilibrio inestable y, en 1931, Hubble demostró mediante su estudio de las galaxias cercanas que el universo, de hecho, se está expandiendo. Fue entonces cuando Einstein se dio cuenta de su error. «Solo» habían pasado catorce años desde su planteamiento de un universo estático hasta que los datos experimentales le ayudaron a descartar una bonita idea. ¿Cuántos años tendremos que esperar para olvidarnos —o no— de la teoría de cuerdas?

§. Menos es más

En realidad, no debería sorprender que los científicos persigamos la belleza porque, al fin y al cabo, la belleza es seguramente un atributo de los proyectos en que nos embarcamos, de los ideales en los que creemos, de las causas en las que militamos

Juan Ignacio Pérez^[206]

El saber popular argumenta que la belleza es algo subjetivo —que me lo digan a mí, casada con el hombre más guapo del universo ¡y a ver quién demuestra lo contrario!—. Sin embargo, en todas las frases célebres de ganadores del Nobel de Física, algunos ingredientes se repiten con sospechosa frecuencia. Si hubiese que formular la receta de la belleza física y matemática, probablemente sería algo así:

— Cien gramos de simplicidad.

— Tres cucharadas de armonía (o elegancia, según lo que tengas en la nevera).

— Medio kilo de simetrías.

— Mezclar todo en un recipiente redondo que le dé unidad y universalidad al resultado.

— Aderezar con un buen puñado de metáforas para aumentar su poder explicativo.

— Buscar aplicaciones en ámbitos insospechados. Ganará adeptos si establece conexiones entre conceptos que se creían no relacionados.

* * * *

Et voilà, ¡aquí tiene usted una teoría bien bonita!

La cuestión es que, bien mirados, todos estos ingredientes son esencialmente el mismo: la simplicidad invocada con distintos nombres, pero simplicidad al fin y al cabo. Todos estos puntos describen teorías que permiten predecir mucho con el menor esfuerzo mental posible.

Incluso el concepto de simetría se puede analizar bajo esta perspectiva. Aunque primero hay que puntualizar que, para los físicos, «simetría» no significa exactamente lo mismo que para el común de los mortales. Con este concepto señalan algún tipo de no-cambio dentro del cambio. Siempre que hay algo que permanece invariable mientras todo se transforma a su alrededor, ese algo esconde una simetría. Algo así como Jordi Hurtado en la programación de la televisión. Si coges la figura de un cubo, por ejemplo, y la rotas 90º en cualquier dirección, volverás a encontrarte con un cubo idéntico al original, por eso se dice que es simétrico ante este tipo de rotaciones. La cara de una persona es simétrica si, cuando la miramos a través de un espejo —la rotamos e invertimos en el espacio—, sigue pareciendo la misma.

Las simetrías de la física no suelen ser únicamente visuales. Generalmente implican otro tipo de transformaciones más profundas. La idea general es que si tú coges un sistema —cualquier cosa, dicho en físico— y lo giras, mueves, tuerces, le cambias el espín, lo trasladas en el tiempo o lo torturas de cualquier otra manera… siempre que exista alguna propiedad que se conserve, siempre que el sistema permanezca «igual» en algún sentido posible de la palabra, entonces existe una simetría. Fue Emmy Noether, probablemente la matemática más importante del siglo XX, quien encontró esta reveladora relación. La presentó en un artículo de 1918 titulado «Problemas de variaciones invariantes» —que parece una poesía, pero trataba sobre matemáticas—. El teorema de Noether explica la conexión entre las simetrías de la naturaleza y las leyes de conservación, y muchos físicos lo consideran —lo consideramos— uno de los teoremas más bellos de esta disciplina.

Desde un punto de vista estético, lo importante es que las simetrías en física permiten identificar patrones, detectar cosas que se repiten en diferentes sistemas o fenómenos. De esta manera se convierten en un elemento de orden que nos ayuda a construir modelos físicos más simples, libres de duplicidades innecesarias. Por eso mismo, como explica Anthony Zee, «dadas dos teorías, los físicos sienten que la más simétrica, en general, es la más hermosa. Cuando el espectador es un físico, la belleza significa simetría^[207]».

Sencillez, armonía, simetría, conseguir que las piezas «encajen»… son ingredientes que caracterizan a las teorías más «bonitas», capaces de explicar lo máximo posible pensando lo mínimo posible. Pensar es malísimo, hasta los físicos teóricos lo saben, especialmente si implica sobrecargar nuestra memoria de trabajo. En nuestra vida cotidiana hacemos grandes esfuerzos por pensar lo menos posible, desde evitar leer las instrucciones de la lavadora —es mucho más divertido probar a pulsar botones y ver qué pasa—, hasta aceptar todas las cookies sin rechistar. La física no es una excepción. Ante dos modelos, los físicos optarán siempre por el más sencillo, el más parsimonioso, sin ninguna pieza que sobre o que sea superflua. Y es lógico que sea así, ¿por qué iban a añadir elementos de más a una teoría, pudiendo explicar lo mismo con menos? Si una fórmula tiene tres términos en lugar de cinco, perfecto, ¡más fácil de recordar! Si un mismo modelo es aplicable a varios fenómenos, ¡tenemos un dos por uno! Así, como explica el astrofísico Amedeo Balbi^[208]:

Una de las consecuencias de cualquier nueva teoría científica es la de simplificar la descripción de fenómenos que antes parecían terriblemente complejos. Newton, por ejemplo, revolucionó el conocimiento científico de su época al descubrir que eventos aparentemente no relacionados —la caída de cuerpos en la Tierra y las órbitas planetarias—, en realidad se explicaban por una sola ley de gravitación.

A menudo, para conseguir este tipo de «rebajas», es necesario desarrollar nuevas herramientas matemáticas —como el cálculo en el caso de Newton—, máquinas conceptuales más sofisticadas que permiten detectar patrones menos evidentes y establecer conexiones a niveles cada vez más elevados. Pero los humanos somos mucho más hábiles relacionando conceptos que cargando datos en nuestra memoria de trabajo. Esa es la gracia de las matemáticas y la potencia de su lenguaje simbólico: en física, como en matemáticas, preferimos inventar nuevas formas de pensar, nuevos modelos, siempre que eso implique pensar menos a la larga.

Otros matemáticos, físicos y filósofos han entendido así la estética de sus ecuaciones. La belleza no es una propiedad de la naturaleza, ni de los fenómenos del universo que habitamos. La belleza es un requisito de nuestra mente, la virtud de ciertos modelos que hace que nos resulte más fácil pensarlos, aprenderlos y compartirlos con otros seres humanos. Así lo entendió Ernst Mach, para quien el objetivo de la física debía ser «la expresión abstracta de los hechos más simple y económica^[209]». Mach fue un físico y filósofo a quien hoy recordamos habitualmente por dar nombre a las velocidades supersónicas —el famoso número de Mach—. Lo menos conocido es que su investigación en acústica estaba íntimamente ligada a cuestiones estéticas. Como Helmholtz, Mach investigó todo tipo de cuestiones relacionadas con la psicofísica y la percepción sensorial. Le preocupaba entender cómo ciertos estímulos daban lugar a nuestras sensaciones, y entendió la estética como una cuestión adaptativa, también en el caso de la ciencia. Para Mach, las leyes científicas eran compendios de hechos experimentales, construidos con el propósito de hacer comprensibles datos complejos. Afirmó que las teorías más simples y compactas economizaban la memoria y el esfuerzo, al usar conceptos y leyes abstractos en lugar de perderse en los detalles de cada experimento individual^[210]. Esta «economía del pensamiento», como la llamó, contribuía a que el conocimiento fuese más fácil de comunicar, y constituía el objetivo principal de la ciencia, que bajo su punto de vista no era más que «experiencia ordenada económicamente^[211]».

Este concepto fue desarrollado también por el matemático Henri Poincaré, quien consideraba la economía del pensamiento como «una fuente de belleza y una ventaja práctica^[212]». Para él, la armonía de una buena teoría era «a la vez una satisfacción de nuestros requisitos estéticos y una ayuda a la mente a la que apoya y guía», de modo que «el cuidado por lo bello nos lleva a la misma selección que el cuidado por lo útil». Poincaré era lo que hoy se conoce como un matemático intuicionista. Esta corriente de la filosofía considera que los objetos matemáticos son una construcción de la mente humana, más que entes abstractos con una existencia propia. Los matemáticos no «descubren» las matemáticas; más bien, su trabajo consiste en ir formalizando ciertas intuiciones numéricas y lógicas de nuestra mente en forma de teoremas y fórmulas, para luego compartirlos con el resto de la comunidad. Por tanto, las matemáticas y la física no serían disciplinas perfectamente neutras, hijas inmaculadas de la abstracción pura que nos conecta con el mismísimo Dios, como a Pitágoras y a Platón les hubiese gustado creer. Son el resultado de nuestros procesos cerebrales y de nuestra forma de procesar la información.

En ese sentido, el largo idilio de la física con la música pudo ser de todo menos un accidente. Según algunas teorías estéticas, nuestra percepción de la belleza tiene mucho que ver con lo fácil o difícil que nos resulta percibir y procesar ciertos estímulos, lo que los psicólogos han llamado fluidez de procesamiento^[213] —processing fluency—. Esta facilidad es moldeable mediante la cultura y el aprendizaje —por eso, hay gente a la que le gustan formas de arte más complejas o textos más complicados— y tiene mucho que ver, también, con el llamado efecto de mera percepción, el hecho de que nos guste más aquello que nos resulta familiar —al haberlo experimentado antes, también es más fácil de procesar—. Lo curioso es que este fenómeno afecta a nuestro disfrute de todo tipo de estímulos, desde sonidos e imágenes, a conceptos matemáticos o teorías científicas. La belleza, así en la música como en la física, es un producto de nuestra mente. Por eso no debería extrañarnos que algunos principios estéticos —las cosas que le dan gusto a esa mente— coincidan en gran parte a través de distintas disciplinas. Bajo esta perspectiva, Pitágoras encontró belleza numérica en la música y la convirtió en el centro de su religión, no porque la música «le descubriese» la belleza de los números, sino porque esa armonía ejemplificaba la misma sencillez perceptiva y conceptual que ya le resultaba atractiva en otros ámbitos del pensamiento.

Quizás el ejemplo más evidente de esto lo encontramos en su culto al tetraktys. Los pitagóricos comprobaron la consonancia de los pequeños números (1, 2, 3, 4) midiendo las longitudes de las cuerdas de una lira. Pero sería absurdo pensar que se dedicaron a venerarlos únicamente por ese motivo. Si las leyes de la física hubiesen dado lugar a cuerdas más complicadas, con armónicos relacionados por números caprichosos —(4, 8, 15, 16, 23, 42…)—, números demasiado elevados, con decimales aleatorios o difíciles de memorizar, probablemente el fenómeno nunca habría llamado su atención y se habrían dedicado a idolatrar cualquier otra cosa, los garbanzos, el punto de cruz, vete tú a saber. Los pequeños números capturaron su imaginación porque tienen un encaje especialmente dulce en nuestra forma de pensar y conceptualizar el mundo.

De hecho, como ya hemos comentado, los armónicos del sonido no se detienen bruscamente en el número 4. La consonancia es un fenómeno gradual y moldeable culturalmente, como la historia de la música se ha empeñado en demostrar. Hoy manejamos una definición mucho más amplia que la de Pitágoras y, en concreto, el armónico 5 —la tercera—, forma parte integral de nuestra música, incluso el armónico 7 —la séptima— es muy habitual. En cambio, es mucho más probable que Pitágoras marcase una frontera rígida en la base de su tetraktys debido a sus propios sesgos perceptivos. Su capacidad de reconocer más fácilmente cantidades pequeñas le llevó a preferir estas cifras sobre todas las demás.

En El cerebro matemático, un fascinante libro sobre las habilidades numéricas del ser humano, el neurocientífico Stanislas Dehaene analiza cómo esta preferencia por los pequeños números afecta sistemáticamente a la manera en que interpretamos la realidad que nos rodea. De hecho, no todas las cantidades son iguales para nuestro cerebro. Como unidades de procesamiento simiescas que somos, tenemos una memoria de trabajo francamente pobre, y esto ha hecho que solo podamos reconocer de manera precisa y manejar con soltura cantidades sorprendentemente pequeñas. En palabras de Dehaene^[214]:

Prestamos atención a las regularidades numéricas de la naturaleza solo en la medida en que encajan con nuestro bagaje cognitivo, y sesgamos a favor de las numerosidades pequeñas o redondas.

Esto ha tenido consecuencias tanto para la música como para la historia de la física y las matemáticas. Los signos numéricos que manejamos, por ejemplo, siguieron en muchas culturas un desarrollo similar: desde la acumulación de palitos que aún podemos ver en los primeros números romanos (I, II, III), los humanos tuvieron que inventar otras formas de representar cantidades a partir del cuatro o el cinco, porque IIII palitos empezaban a ser difíciles de desentrañar. Hoy usamos puntos para agrupar de tres en tres las cifras de los millones, o espacios cuando queremos hacer que nuestro número de teléfono sea más fácil de leer. Por su parte, la mayoría de la música que escuchamos subdivide el tiempo de manera binaria —en dos o cuatro partes— o ternaria —en tres—.

Los pequeños números son también más comunes en nuestro lenguaje. En 1992, Dehaene y otro investigador, Jacques Mehler, publicaron un estudio^[215] donde analizaban la frecuencia con que se utilizan distintas palabras relacionadas con números en siete idiomas diferentes. Descubrieron que, sin saberlo ni intentarlo, los hablantes usamos los pequeños números con mucha más frecuencia que todos los demás y, de forma más general, el uso de cualquier cifra disminuye con su magnitud —la palabra «tres» se usa con menos frecuencia que «dos» y esta aún menos que «uno»—. Según su explicación, esta tendencia no sería necesariamente un reflejo del mundo que nos rodea. No es que en nuestro entorno haya más unidades, parejas o tríos de cosas. Se trata de un sesgo impuesto por nuestros sistemas perceptivo y cognitivo, que tienden a agrupar elementos en cantidades que manejamos con mayor facilidad. Probablemente por eso Star Wars se lanzó en trilogías —a pesar de que la saga cuenta ya con más de diez películas—, y las películas de Terminator y de Rambo dejaron de numerarse a partir de la cuarta.

Podría pensarse que la física, con sus sesudos premios Nobel y sus muy refinadas matemáticas, está a salvo de este tipo de preferencias. Pero probablemente estos mismos principios perceptivos tengan mucho que ver con el hecho de que sus leyes tiendan a agruparse de tres en tres —como las leyes de Kepler, las de Newton, las de la termodinámica…—, o con que las ecuaciones más bellas en todos los concursos de Miss Matemáticas sean siempre sorprendentemente compactas, sencillas, con pocos términos fáciles de memorizar.

El ejemplo más paradigmático en este sentido es, sin duda, el de las leyes de Maxwell. Todo físico que se precie guarda un rinconcito en su corazón para esta obra de arte de la física: cuatro ecuaciones capaces de describir la relación entre la electricidad y el magnetismo y que explican, al mismo tiempo, las ondas electromagnéticas, como la luz. Para derretirse. El hecho menos conocido es que las leyes de Maxwell, en la forma en que las conocemos hoy —la forma que llena camisetas, pósteres y memes por doquier— ¡fueron escritas por Oliver Heaviside! Maxwell publicó su Tratado sobre electricidad y magnetismo en 1873, pero su formulación era tan farragosa y difícil de leer, que en los años posteriores a su publicación apenas tuvo acogida. Sus famosas ecuaciones se encontraban desperdigadas en al menos veinte expresiones y por eso mismo, como explica Heaviside, era «imposible adherirse estrictamente a la teoría de Maxwell tal como la dio a conocer al mundo, aunque solo sea por su inconveniente forma^[216]». Para conseguir entenderla mejor, Heaviside se arremangó y decidió reescribirla, como quien se hace un esquema con los apuntes de la universidad. «Fue solo cambiando su forma de presentación que pude verlo todo con claridad y evitar las inconsistencias», relataría años más tarde. Hoy recordamos a Maxwell como el autor de la teoría electromagnética, pero deberíamos honrar también a Heaviside como el arquitecto que la hizo hermosa, el que nos permitió realmente entenderla.

El atractivo de los pequeños números y las leyes trinas de la física es solo una de las formas que toman los principios estéticos que inspiran y motivan a muchos científicos. Pero ejemplifica la manera en que el conocimiento se adapta, en lo posible, a nuestra forma de pensar y de procesar la información. Por eso mismo, la tan reivindicada «belleza» de la física no está exenta de ciertos peligros. Según varios estudios psicológicos, percibimos como más cierto aquello que nos parece más atractivo y que nos resulta más fácil de procesar^[217]. Esto puede incluir estímulos que nos resultan familiares, imágenes más claras o simétricas y también, incluso, textos más fáciles de leer y entender. Probablemente por eso, la publicidad —esa fábrica contemporánea de persuasión— se empeña en mostrarnos mensajes repetitivos, pronunciados por caras bonitas y famosas, en fotografías bien contrastadas y con frases cortas o que riman.

El efecto se extiende a detalles tan aparentemente nimios como la tipografía de un texto^[218]. En un estudio, se pidió a varios voluntarios evaluar la veracidad de frases como «Osorno está en Chile» o «Lima está en Perú». Cuando estaban escritas con una letra más clara y un color más contrastante, más fácil de leer, los voluntarios tendían a estar de acuerdo con su contenido, independientemente de si era correcto o no. En otra ocasión, se les presentaron varias operaciones aritméticas de manera visual, como sumas representadas mediante puntos. En algunos casos, la disposición de estos puntos era simétrica y en otros, no tanto. La versión más simétrica y ordenada tendía a ser interpretada como más agradable y, también, como más correcta —independientemente de la exactitud de las operaciones en sí—. Curiosamente, los participantes de ambos estudios eran capaces de revertir su sesgo si se les hacía conscientes de aquello que lo estaba causando. Cuando se daban cuenta de que un texto era más legible que el otro, o de que una de las sumas estaba presentada de manera más bonita, eran más conscientes de sus propios razonamientos, el espejismo de la belleza se rompía para ellos y solo entonces empezaban a evaluar correctamente los problemas a los que se enfrentaban.

La cuestión, entonces, es si los físicos contemporáneos deberían hacer esto mismo, permanecer alerta. La facilidad con que procesamos la información aumenta su veracidad aparente, lo cual explica por qué tantos científicos han buscado belleza en sus teorías. Cuando un modelo ha sido contrastado experimentalmente, una formulación más sencilla puede hacer que sea más de aplicar y de comunicar —como sucedió con las leyes de Maxwell—. Pero, a falta de otro tipo de validaciones, la belleza también puede inducir a error. Por eso, resulta preocupante que tantos premios Nobel insistan en destacarla como un valor que acerca sus ecuaciones a la verdad. Todo lo contrario, quizás deberían vigilar sus preferencias estéticas, sospechar sistemáticamente de ese gustito que dan en el cerebro las cosas que encajan con demasiada facilidad. Podría tratarse de un sesgo que eclipse otro tipo de soluciones, quizás más correctas. La estética debe ser siempre un añadido en ciencia, no un criterio de verdad.

En una charla sobre percepción y usabilidad suelo repetir, a modo de provocación, que pensar da cáncer. Espero que no, sinceramente, o este libro habrá acortado peligrosamente mi esperanza de vida. Pero, de algún modo, creo que este afán de simplicidad explica la eterna búsqueda estética de la física: el objetivo de cualquier teoría es siempre entender más con menos, unificar, encontrar puntos de encuentro entre fenómenos aparentemente distantes que nos permitan formar modelos más compactos, más sencillos, más «económicos» en términos cognitivos. Y tiene sentido que sea así. Conocer no es crear un modelo en el vacío. Es adaptar ciertos datos a la forma de nuestra cabeza simiesca para que podamos manejarlos, entenderlos, recordarlos y compartirlos mejor con otras cabezas. Ahora que la computación y la inteligencia artificial se utilizan con cada vez mayor frecuencia para encontrar patrones y nuevas soluciones a problemas, cabe preguntarse cómo serán las leyes de la física que descubramos gracias a estas técnicas. ¿Seguirán formando tríos? ¿Podremos entenderlas? y, sobre todo, ¿seguirán pareciéndonos bellas?

CODA

A pesar de su sugerente nombre, el Big Bang se produjo en el más absoluto silencio. Y ni siquiera fue muy grande, a decir verdad. Hace 13 800 millones de años, toda la energía del universo se encontraba concentrada en un punto infinitesimal conocido como singularidad. Su temperatura era extrema y su densidad, inimaginable, tanto que nuestros modelos físicos se rompen cuando intentan aproximarse a ella. Cuando de repente…

—!

Nada. Ni un ruido. Cero.

La violencia del momento, en cambio, debió de ser ensordecedora. En un instante o, para ser más precisos, entre 10^-37 y 10^-32 segundos después de la singularidad —o, lo que es lo mismo, en menos de 0,00000000000000000000000000000001 segundos—, el universo empezó a expandirse a lo loco. Su temperatura se redujo en un factor de cien mil y su volumen se multiplicó por 10⁷⁸. Esto es un uno seguido por setenta y ocho ceros, o lo que técnicamente se denomina «una auténtica salvajada».

Lo más habitual es imaginar este momento como una gran explosión. El nombre de Big Bang no ayuda a evitarlo, está claro. Se lo debemos al astrónomo Fred Hoyle, que lo usaba despectivamente para burlarse de la teoría propuesta por su contemporáneo, Georges Lemaître. El mismo Hoyle reconocía que tenía un «sesgo estético en contra del Big Bang^[219]», e incluso en 1992, cuando los resultados experimentales confirmaron que el universo no podía ser estático, él se negó a aceptarlo.

El apodo que este astrónomo nos legó contribuyó probablemente a la popularidad actual de la teoría del Big Bang, pero evoca una imagen explosiva que resulta engañosa. No se trata de que el universo «estallase» y empezase a invadir el espacio a su alrededor. Fue el Big Bang lo que dio lugar al propio espacio —y al tiempo, y a cualquier marco de referencia que podamos imaginar—. Lo hizo a una velocidad inimaginable, literalmente. Puesto que era el propio espacio lo que se expandía, su crecimiento no se veía limitado por la velocidad de la luz como sucede con el resto de fenómenos de la naturaleza. Una explosión habría sido necesariamente más lenta. Por eso, es más correcto pensar en el Big Bang como algo que sucedió de manera repentina y en todas partes a la vez —también en el sofá de tu casa, mucho antes de que sus partículas se ordenasen en forma de sofá—. Más que a una explosión, se podría parecer a una animación de los Looney Tunes, algo como el correcaminos sacándose un universo ACME de debajo del ala, aunque es difícil que ninguna imagen nos ayude a visualizar lo que pudo suceder en realidad.

Durante todo este proceso de expansión exponencial, conocido como inflación cósmica, el Big Bang no pudo hacer ningún tipo de ruido, por el simple motivo de que no existía ningún espacio «alrededor» del universo donde el sonido pudiese transmitirse^[220]. Pero tampoco parece probable que las ondas sonoras recorriesen su interior. Todo estaba tan comprimido que ningún tipo de información podía viajar a través del espacio. Cada punto estaba completamente aislado de los demás. Era una nada densa, oscura y sigilosa, creciendo en todas las direcciones a la vez a una velocidad vertiginosa.

Aquel terrible silencio no duró mucho, por suerte. Después de 10^-37 segundos, el universo siguió expandiéndose, pero a un ritmo mucho más moderado. Para hacerse una idea del cambio de marcha que se produjo ahí, basta pensar que en toda la historia posterior del universo no se ha vuelto a igualar aquella expansión inicial, aunque hayan pasado miles de millones de años desde entonces. Como un castillo autohinchable, el universo primitivo apareció de golpe y se frenó en seco. Solo unos minutos después del Big Bang, ya tenía la forma de una gran masa ardiente y uniforme de plasma, con temperaturas superiores a los mil millones de grados. A los diez días, la temperatura había descendido hasta igualar la que se encuentra típicamente en el interior de nuestro Sol, unos diez millones de grados.

El plasma que llenaba el universo en aquel momento puede entenderse como un estado físico en el que los átomos están derretidos. La energía es tan alta que rompe la atracción entre los núcleos —con carga eléctrica positiva— y sus electrones —con carga negativa—, y lo que obtenemos es un gas de cargas sueltas no ligadas, también conocido como gas ionizado. Los iones hacen referencia a esas cargas positivas y negativas, núcleos y electrones, que forman los átomos.

En nuestro entorno, no es habitual encontrar energía suficiente para mantener la materia en este estado. Los rayos, por ejemplo, serían una excepción. Cuando atraviesan el cielo rompen los átomos del aire que encuentran a su paso, los ionizan. Pero, en el universo primitivo, las energías eran tan altas que sucedía justo lo contrario: ningún átomo podía sobrevivir en su forma neutra, con todos sus electrones a cuestas. Aunque las cargas opuestas tendían a atraerse, los fotones eran tan energéticos que rompían en pedazos cualquier intento de unión. Aquello era una rave interminable de partículas chocando sin descanso, un universo cegador, inhóspito y abrasador. Por el lado bueno, era una cosa muy fácil de estudiar para un físico. Este universo primitivo era muy similar al interior de una estrella —si una estrella ocupase el universo entero, claro—. Esto nos permite relacionar su temperatura y su radiación —el color de la luz que emitía— de manera muy precisa.

Paradójicamente, en este ajetreado océano de luz, la luz no podía llegar demasiado lejos. Al igual que sucede en el interior de una estrella, los fotones interactuaban constantemente con los electrones del plasma, avanzando a trompicones de un lado para otro, como una abeja hiperactiva o una pelota de pinball. Por eso las estrellas son opacas: los fotones de su interior están sumergidos en una piscina de bolas olímpica y tienen la estabilidad mental de un cachorro de chihuahua. No exagero; un fotón de nuestro Sol tarda unos cien mil años en llegar de su núcleo a su superficie —una distancia de menos de un millón de kilómetros—. En cambio, cuando por fin sale al espacio, llega a la Tierra en tan solo ocho minutos —después de recorrer 147 millones de kilómetros—.

Además de romper átomos constantemente, los fotones en el interior de una estrella se dedican a empujar la materia hacia el exterior, a expandirla. Es el efecto de lo que se conoce como presión de radiación. En cambio, la gravedad intenta siempre comprimir la materia agrupando sus partículas. Esta batalla entre fuerzas opuestas se dio también en el cosmos después del Big Bang. Debido a ciertas fluctuaciones cuánticas, aleatorias, que se expandieron durante el proceso de inflación, el universo primitivo no era perfectamente homogéneo, sino que tenía algunos grumos —muy leves, eso sí—. En estos grumos, las partículas se encontraban más apretadas, lo que hacía que interactuasen más entre sí y emitiesen más radiación. Esto causaba un aumento de la presión de la luz, lo que a su vez tendía a descomprimir la materia. El grumo se volvía entonces menos denso, lo que provocaba que la radiación disminuyese y la gravedad pudiese actuar de nuevo, comprimiendo la materia y reiniciando otra vez todo el ciclo. En definitiva, gracias al tira y afloja de la radiación y la gravedad, surgieron vibraciones periódicas en el plasma primordial, pequeñas variaciones de la densidad que recorrían el universo con una pulsación rítmica, debatiéndose entre la luz y la materia, la expansión y la compresión.

Pero llamémoslo por su nombre. Existe un término para las «variaciones de la densidad» que a todos nos resulta mucho más familiar: aquello eran vibraciones de sonido.

No es una metáfora, ni un símil explicativo. Los mismos cosmólogos las denominan «oscilaciones acústicas de bariones» —este último es el nombre fino de los protones y los neutrones—. Lo fascinante es que aquel primer sonido cósmico no fue un ruido blanco, ni un murmullo de fondo que podamos ignorar. Del mismo modo que, en una cuerda, el tono y sus armónicos dependen de su longitud y su tensión, el universo cantaba con un perfil de frecuencias determinado que hoy nos informa sobre sus características físicas. Como explica Amedeo Balbi^[221]:

Las ondas acústicas viajaron a través del espacio en el universo temprano. […] Así como cualquier instrumento musical produce un espectro característico de frecuencias, los parámetros físicos que definen la naturaleza de nuestro universo se manifiestan a través del timbre específico de esas ondas acústicas primordiales. La búsqueda de esta «música» del Big Bang mantuvo ocupados a los cosmólogos durante décadas.

Por supuesto, hace 13 800 millones de años no había nadie en el bosque para oír esos bariones caer. Y si algún viajero en el tiempo —convenientemente protegido contra el plasma ardiente— hubiese puesto la oreja, tampoco habría podido oír nada. Las primeras notas de aquella música de las esferas eran mucho más graves que las que cualquier humano podría percibir. Y es lógico que así fuera: del mismo modo que, en una orquesta, los instrumentos más grandes producen sonidos más graves, las vibraciones acústicas del universo primitivo tenían una longitud de onda inmensa, acorde con su propio tamaño. Consecuentemente, a medida que el espacio se siguió expandiendo, esa frecuencia se iba volviendo cada vez más grave, un glissando siempre descendente a un volumen de unos 110 decibelios^[222] —comparable a un concierto de rock en directo o a la bocina de un coche escuchada de cerca—.

La danza de la luz y la materia continuó ininterrumpida hasta el llamado periodo de recombinación. 380 000 años después del Big Bang, la temperatura del universo descendió lo suficiente —hasta unos 3000 kelvin— como para que se formase la primera materia eléctricamente neutra. Los núcleos atómicos se reconciliaron con sus electrones —de ahí, lo de «recombinación»— y aparecieron los primeros átomos de hidrógeno estables. La cifra en años puede parecer una eternidad, pero en términos cosmológicos es un suspiro. Si hoy el universo fuese una abuela centenaria, en aquel momento habría cumplido un día de edad, como un bebé recién nacido.

Debido a la expansión del espacio, la radiación también había ido perdiendo energía^[223]. Los fotones dejaron de interactuar tan frecuentemente con la materia, y el universo se hizo transparente. Como una estrella diluida en la niebla, la luz escapó al fin de su prisión. Aquel primer fogonazo de luz universal es lo que hoy conocemos como fondo cósmico de microondas —o CMB, por sus siglas en inglés—.

ESA and the Planck Collaboration.

Y, entonces, el universo nuevamente enmudeció.

Cuando los fotones y la materia se desacoplaron, el duelo de fuerzas del plasma primordial cesó. Como si tomase una última foto antes de despedirse, la luz que escapó en aquel momento capturó la forma de la vibración final. Sus fotones fueron entonces lanzados al espacio en todas las direcciones posibles y miles de millones de años después aún siguen viajando, aunque ligeramente cambiados.

Desde la época de la recombinación, el universo se ha seguido expandiendo, por lo que la longitud de onda de aquella luz primitiva se ha alargado enormemente y ha acabado convertida en microondas; es decir, radiación electromagnética —lo mismo que la luz—, pero de muy baja frecuencia —con muy poca energía—. Hoy, nuestros telescopios en la Tierra deben ser extremadamente sensibles para capturar estos fotones, que llegan agotados tras su larguísimo viaje de 13 800 millones de años. Resulta fascinante pensar que cada uno de ellos ha recorrido el espacio libremente sin interactuar con nada durante todo este tiempo hasta que, de repente, ¡clonc! se la pegan contra una antena humana. El relato es aún más anticlimático si tenemos en cuenta que la primera vez que los físicos detectaron estos fotones confundieron su señal con cagadas de paloma que, según creían, estaban ensuciando las antenas y añadiendo ruido en sus mediciones. Solo con el tiempo supieron reconocer lo que tenían realmente entre manos: la luz más antigua del universo, la prueba definitiva de que todo empezó con un —mal llamado— Big Bang.

En el fondo cósmico de microondas, hoy podemos ver regiones donde la radiación es más energética y otras donde lo es menos. Las distinguimos porque la frecuencia de esa radiación —su color, por así decirlo, solo que en el rango de las microondas— varía muy sutilmente. Con esa información es posible calcular la temperatura a la que se encontraba cada punto del cielo, que a su vez está directamente relacionada con la densidad que tenía el plasma 380 000 años después del Big Bang. Debido a la expansión del universo, hoy la temperatura media del CMB es de unos 3 kelvin —muy cerca del cero absoluto, a unos 270°C bajo cero—, pero sabemos que en su día rondaba los 3000 kelvin. Dado que esa temperatura está relacionada con la densidad del plasma primordial, las pequeñas variaciones de la luz del CMB hoy nos susurran los sonidos que recorrieron el cosmos primitivo. Como una figura de Chladni que desvelase los patrones de vibración de la membrana que la produjo, podemos aprender a oír el sonido del universo primigenio a partir de una fotografía.

Esto es tan bonito que, la primera vez que lo descubrí, se me pusieron los pelos de punta. A Pitágoras le hubiese dado un pasmo religioso, directamente. El espectro sonoro del CMB presenta varios picos acústicos. Pues bien, resulta que estos picos se corresponden con una frecuencia fundamental, y sus armónicos ¡están relacionados por números enteros y sencillos! Existe un buen motivo para esta armonía y tiene que ver con el hecho de que todas esas frecuencias empezaron a oscilar a la vez, justo tras la inflación^[224]. Pero lo realmente interesante es que esos picos contienen información de gran valor para los cosmólogos. Son como el timbre de un instrumento musical que nos informa sobre sus características físicas. A partir del análisis de los picos acústicos y otros datos astronómicos, los investigadores pueden calcular con precisión algunos parámetros que de otro modo parecerían imposibles de medir, como el peso de todo el universo, su edad, la velocidad a la que se expande y también las proporciones de materia oscura, radiación y materia ordinaria que lo caracterizan —así sabemos, por ejemplo, que el 85 % de la materia del universo es materia oscura, aunque no podamos detectarla de manera directa—. Todo esto está escrito en el espectro sonoro que nos llega a través del CMB. En palabras de Balbi^[225]:

Exactamente igual que podemos distinguir dos instrumentos musicales mediante un análisis armónico de su sonido, el espectro de fluctuación CMB se puede utilizar para evaluar la naturaleza del universo. Tanto las posiciones como las amplitudes de los picos en el espectro dependen muy sensiblemente de las condiciones físicas que existen en el plasma primordial. Variando los parámetros cosmológicos usados en los modelos teóricos, se predicen espectros muy diferentes. Cada universo tiene su propio «timbre» específico.

Una vez la luz escapó del plasma, la gravedad pudo comenzar su lento trabajo escultórico con la materia. Su acción es la que nos ha traído hasta aquí, la que ha dado lugar a los planetas, las galaxias y las estrellas. Pero para que comenzase fueron imprescindibles aquellas ondas acústicas que aún nos canta el CMB. Si el plasma inicial hubiese sido completamente homogéneo —suave como meter la mano en un bote de harina—, la gravedad no habría tenido nada a lo que agarrarse. La materia habría seguido expandiéndose por el espacio, en todas las direcciones por igual. No se habría visto atraída por nada, ni se habría acumulado en ningún lugar en particular. Hoy el universo sería más aburrido que un acuario de berberechos: un átomo de hidrógeno aquí, otro de helio por allá…, todos perfectamente equidistantes, tristes y muertos de frío.

Sin embargo, gracias a las ondas que lo recorrían, el plasma primigenio sí tenía cierta —sutil— rugosidad. Su materia se concentraba en algunas regiones más densamente que en otras, separadas por cierta longitud característica —una distancia que hoy conocemos con el precioso nombre de escala del BAO—. Tras 380.000 años recorriendo el universo, aquellas olas sonoras se convirtieron en la primera excusa, una semilla, un tropiezo que la gravedad aprovechó para construir espuma alrededor. Galaxias, nebulosas, estrellas, planetas… todo lo que conocemos, todo lo que vemos en el cielo por las noches, es la cicatriz luminosa de un sonido ya pasado, esculturas que crecieron sobre el recuerdo de una vibración.

Fuera de esos cúmulos de materia, en cambio, el vacío terminó por conquistarlo todo. Aún hoy, ese vacío se sigue expandiendo de manera acelerada, aumentando el abismo que nos separa de cualquier otro punto del cielo. Pascal decía temer ese «silencio eterno de los espacios infinitos^[226]». Por eso prefería el mundo del pensamiento: «por el espacio, el universo me envuelve y me traga como un átomo; por el pensamiento, yo comprendo el mundo^[227]». Antonio Vega describió una emoción parecida en una de sus canciones más emblemáticas. A él le daba miedo «la enormidad», donde nadie podía oír su voz. No mucha gente sabe que Lucha de gigantes está dedicada a una de sus grandes pasiones: la astrofísica^[228].

Hubo que esperar otros trescientos millones de años hasta que la gravedad consiguió formar las primeras estrellas. Con el tiempo, su luz fue salpicando poco a poco el universo. Crecieron, se multiplicaron, formaron galaxias y murieron violentamente, dando lugar, con sus terribles explosiones, a todos los elementos químicos que hoy conocemos. Otras generaciones de estrellas las sucedieron, y a algunas les salieron planetas alrededor. Atrapado en sus atmósferas, el sonido volvió a recorrer el universo.

Hasta donde sabemos, durante diez mil millones de años, no hubo nada que pudiese detectar ese sonido. Después, en un planeta cubierto de agua llamado Tierra —otro mal nombre— empezó a burbujear un nuevo invento llamado vida. Solo ayer, como quien dice, aparecieron los primeros homínidos en la foto. Se cree que nuestra especie tiene apenas trescientos mil años —menos de lo que duró el plasma primigenio, ni un día de vida para nuestra abuela centenaria— y no dominó el lenguaje hasta pasados, como mínimo, otros doscientos mil. Aquellos Homo sapiens aprendieron a dominar su voz por primera vez para hacer música y para comunicarse con sus semejantes. Pero los símbolos que crearon con ese sonido, como las palabras y los números, les permitieron describir todo el universo que tenían alrededor.

Hoy, algunos de esos homínidos dedican la mayor parte de su tiempo a seguir juntando símbolos, con la esperanza de entender mejor cómo hemos llegado hasta aquí, después de un viaje tan largo. Unos pocos han aprendido a interpretar el brillo de las ondas sonoras que aún nos llega desde el plasma primordial. En sus manchas, buscan las pruebas experimentales que confirmarían la fascinante teoría de un tipo de pelo canoso llamado Andrei Linde. Hasta que las encuentren, su modelo de la inflación cósmica seguirá siendo muy bonito. Ojalá pronto podamos confirmar si además es cierto.

Agradecimientos

Llega el momento de escribir los agradecimientos y en mi cabeza se pasea aquel proverbio popular: para criar a un niño, hace falta una tribu entera. Y para escribir un ensayo durante un periodo de casi dos años, supongo que sucede algo parecido.

La tribu que ha visto crecer a este texto ha sido amplia y generosa, por fortuna. Aunque esto también la hace más difícil de enumerar. Me atreveré a intentar hacerlo en orden cronológico, empezando por el momento en que el libro no era más que un texto imaginado. Sin mi editor, Miguel Ángel Delgado, y sin la confianza del equipo de HarperCollins Ibérica estas páginas de papel, simplemente, no existirían. Miguel Ángel me convenció de que yo llevaba un libro en la cabeza, en primer lugar, y después me enseñó a escribirlo página a página. Por ese motivo le estoy especialmente agradecida.

Debo hacer también una mención especial al profesor Pedro Miguel Echenique. Ha sido un honor poder compartir con él este ensayo y escuchar sus reflexiones. Sigo abrumada por su inmensa generosidad, su sentido del humor y sus ganas de enseñar. Pero me asombra todavía más la inmensa cantidad de conocimientos que puede caber en una sola cabeza humana.

Jaime Altozano es otro de los amigos que me han apoyado en esta aventura y con el que he tenido la inmensa fortuna de charlar y colaborar a raíz de la escritura de este ensayo. Jaime es un maestro de la comunicación de nuestro tiempo y solo espero poder seguir aprendiendo de él en cada nuevo proyecto.

Me gustaría mencionar también a todos los amigos y familiares que en algún momento me han regalado un trocito de su tiempo para enviarme comentarios y sugerencias. Gracias a Nieves García, a Samuel Dorado, a Pablo Rodríguez, a Carolina Pellicer y a Alicia Pérez, por su mirada fresca y sincera al texto, en un momento en que todavía estaba madurando. Gracias especialmente a Rosana Martín, la lectora atenta que toda escritora novata querría tener a su lado, y a Otilia Castro, por sus consejos críticos y rigurosos.

Asimismo, ha sido una fortuna poder contar durante todo este tiempo con el apoyo incondicional de Lucas Sánchez y de Borja Robert. Su curiosidad infinita es mi forma preferida de sabiduría.

Y, por último, gracias a Iñaki Úcar. Por todo.

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Notas:

^[1] Hardy, 1940.

^[2] Stanford Report, 2014.

^[3] Ade et al., 2014.

^[4] Keats, 1819, p. 639.

^[5] Zeki et al., 2014.

^[6] Zeki et al., 2018.

^[7] Un par de buenos artículos de divulgación que analizan los resultados y las causas del error: Borja, Cuentos cuánticos, 2015, y Villatoro, La ciencia de la mula Francis, 2014.

^[8] BICEP2/Keck, Planck Collaborations, 2015.

^[9] Black et al., 1988, líneas 62-65, traducido aquí libremente. Tablilla del periodo amorrita, c. 1800 a. C.

^[10] Kilmer, 1965.

^[11] Kilmer, 1960.

^[12] Smith, 2011, p. 1.

^[13] Kilmer, 1974.

^[14] Smith, 2011, p. 3.

^[15] Duchesne-Guillemin, 1984.

^[16] Dumbrill, 2017.

^[17] West, 1994.

^[18] Russell, 2004/1946, cap. 3, p. 42.

^[19] Russell, 2004/1946, cap. 3, p. 38.

^[20] Tramo et al., 2001.

^[21] Ferguson, 2008, cap. 0.

^[22] Porfirio, 1987/siglo III d. C., p. 124.

^[23] Plutarco, 1936/c. 100 d. C., pp. 25-29.

^[24] Clemente de Alejandría, 1885, cap. 15.

^[25] Russell, 2004/1946, cap. 3, p. 40.

^[26] Ferguson, 2008, cap. 4.

^[27] Gellius 1893/160 d. C., libro IV, cap. XI, p. 177.

^[28] Laertius, 1972/siglo III d. C.

^[29] De hecho, siglos más tarde, se convirtieron en el modelo perfecto para otras sociedades secretas con afición por los rituales, como la francmasonería o los illuminati.

^[30] Russell, 2004/1946, cap. 3, p. 42.

^[31] Jordan, 1992, p. 130.

^[32] Ferguson, 2008, cap. 0.

^[33] Ferguson, 2008, cap.8, cita a Platón, 375 a. C., República.

^[34] Kristeller, 1951. Un artículo muy recomendable que explica la evolución del sistema de las artes.

^[35] Muñoz Molina, 2008.

^[36] Ansede, 2020.

^[37] Howard et al., 2020.

^[38] Howard et al., 2020.

^[39] Ansede, 2020.

^[40] Howard et al., 2020.

^[41] Schafer, 1997/1977, p. 11.

^[42] Chladni, 2015/1802, p. XXVIII.

^[43] Chladni argumentó esta idea por primera vez en un libro con un título verdaderamente aterrador: Über den Ursprung der von Pallas gefundenen und anderer ihr ähnlicher Eisenmassen und über einige damit in Verbindung stehende Naturerscheinungen —«Sobre el origen del Hierro de Pallas y otros similares, y algunos fenómenos naturales asociados»—. A pesar de la densidad de la portada, los científicos de la época no se lo tomaron demasiado en serio y el asunto atrajo algunas burlas hacia su autor —entonces se pensaba que los meteoritos eran de origen volcánico—. Sin embargo, la idea prendió una chispa de curiosidad que llevó a otros a investigar sobre el asunto. Finalmente, Chladni resultó estar en lo cierto. Como temían Astérix y Obélix, a veces el cielo sí cae sobre nuestras cabezas —en trozos no demasiado grandes desde la era de los dinosaurios, por suerte para nosotros—.

^[44] Chladni, 2015/1802, p. XXIX.

^[45] Stöckmann, 2007, p. 16.

^[46] Stöckmann, 2007, pp. 16-17, cita a Chladni, 1802, Die Akustik.

^[47] Stöckmann, 2007, p. 19, cita a F. Melde, 1888, Chladnis’s Leben und Wirken.

^[48] Mackinnon, 1990, pp. 348-349.

^[49] Helmholtz, 1895/1863, cap. 1, pp. 7-8.

^[50] Hui, 2012, cap. 3, p. 59, cita una carta del padre de Helmholtz datada el 2 de noviembre de 1838.

^[51] Hui, 2012, cap. 3, p. 56.

^[52] Helmholtz, 1895/1863, «Introduction», p. 1.

^[53] Hiebert y Hiebert, 1994.

^[54] Helmholtz, 1895/1863, cap. 1, p. 15.

^[55] El martillo, el yunque y el estribo son los huesos más pequeños del cuerpo humano, y es de justicia poética que los tres tengan nombres tan sonoros.

^[56] Helmholtz, 1895, cap. 6, p. 129.

^[57] Levitin, 2008/2006, p. 50.

^[58] Janata, 1996.

^[59] Levitin, 2008/2006, p. 50.

^[60] Heffner y Whitfield, 1976.

^[61] Hoeschele et al., 2018, sec. «Pitch».

^[62] Helmholtz, 1895/1863, cap. 1, p. 19.

^[63] Kempelen, 2017/1791, cap. 5, p. 485.

^[64] Kempelen, 1791.

^[65] Meyer-Eppler, 1956.

^[66] Gao, 1999.

^[67] Surtees, 2003.

^[68] Bell, 1910.

^[69] Shulman, 2008, cap. 4.

^[70] Ferguson, 2008, cita a Marco Vitruvio Polión, De architectura.

^[71] Alberti, 1986/1485, libro IX, p. 196.

^[72] Ferguson, 2013, cap. 7.

^[73] El número áureo es un tipo de proporción entre dos magnitudes —pongamos, dos segmentos de una recta, a y b—, tal que el menor de ellos (b) guarda una relación con el mayor (a) igual a la del mayor respecto a la suma de los dos (a+b). Es decir: b/a = a/(a+b). Se puede calcular de manera precisa resolviendo esta ecuación y su valor es φ = (1+√5)/2.

^[74] Pacioli, 2005/1509, primera parte, cap. V.

^[75] Livio, 2002, cap. 6.

^[76] Pacioli, 2013/1509.

^[77] Pacioli, 2013/1509, segunda parte, cap. XIX.

^[78] Markowsky, 1992.

^[79] Penrose, 1888.

^[80] El error declarado es menor a 1 cm, en cualquier caso, así que tampoco sería compatible con φ.

^[81] Livio, 2002, cap. 3.

^[82] Markowsky, 1992.

^[83] Para leer un análisis detallado, recomiendo el libro de Livio, 2002.

^[84] Recomiendo, especialmente, el libro de Livio, 2002, por su exhausti-vidad y Stewart, 1998, que explica muy bien el empaquetamiento de semillas basado en la proporción áurea.

^[85] Markowsky, 1992.

^[86] Höge, 1997

^[87] Kappraff y McClain, 2005.

^[88] Kappraff, 2002.

^[89] Bulckens, 1999.

^[90] Fideler, 1987, pp. 21-22.

^[91] Ferguson, 2008, cap. 12.

^[92] Si una cuerda de 20 cm produce un sonido de 100 Hz, pongamos, la cuerda de 10 cm producirá un sonido de 200 Hz —el doble—. El intervalo sigue siendo el mismo, 2:1, solo que invertido —20 cm entre 10 cm es 2:1, o bien, 200 Hz entre 100 Hz—.

^[93] Honing, 2019.

^[94] Técnicamente, se dice que nuestra percepción de la frecuencia sonora es logarítmica. Percibimos como distancias lo que en realidad son proporciones entre frecuencias. El oído relativo nos permite calcular logaritmos de oído. Es una habilidad esencial para la música y, también, para identificar las emociones en la voz de alguien que nos habla.

^[95] Dehaene, 2011, «Introduction».

^[96] Ifrah, 1994/1981.

^[97] Grout y Palisca, 2001/1960, cap. 3, pp. 111-112.

^[98] Bellos, 2010, cap. 1.

^[99] Pascal, 2003/1669, sección 1, XV.

^[100] Dehaene, 2011, cap. 3, sec. «Intuitions of Number».

^[101] Livio, 2002, cita a Iamblichus, 300 a. C., Vida pitagórica.

^[102] Pesic, 2014, cap. 1, pp. 9-20.

^[103] Por eso, en el famoso relato de Borges, Funes el memorioso no podía pensar. El hombre de memoria infinita era incapaz de obviar las diferen-cias entre cada hoja de cada rama de cada árbol. Cada una era algo único e irrepetible dentro de su mente, por lo que el concepto mismo de «hoja» le resultaba impensable, literalmente.

^[104] Supongamos que sí existe un número racional que relaciona estas dimensiones. Entonces los lados del cuadrado vendrán dados por un número entero que tendrá que ser par o impar, llamémoslo a. Sucederá lo mismo con la diagonal, c. Como solo nos interesa la proporción entre sus longitudes —es decir, c/a—, debemos buscar números que no tengan factores en común. Si c y a son pares, en concreto, su relación se puede expresar mediante dos números más sencillos. Por tanto, o bien a, o c, o ambos, deben ser impares. Como los dos lados del cuadrado son iguales, el teorema de Pitágoras nos dice que 2 a² = c². Ahora bien, el lado izquierdo de la ecuación es divisible entre dos, por lo que la diagonal, c, tiene que ser par. Esto hace que el lado derecho de la ecuación sea múltiplo de 4. Si a es impar, la ecuación no se verifica. Pero, como c es par, a no puede serlo, o existiría una solución más sencilla a la ecuación. Hemos llegado a un absurdo. De hecho, c/a no es un número racional. Hoy conocemos la solución a este problema y es, sencillamente, √2.

^[105] Pesic, 2014, cap. 4, p. 56.

^[106] Walker, 2000, cita a Giovanni Battista Doni. «Annotazioni Sopra il Compendio de’ Generi, e de’ Modi della Musica».

^[107] El hecho de que nuestro oído perciba «multiplicaciones» como distancias es equiparable a lo que sucede en una escala logarítmica. En este tipo de escala existe la misma distancia entre cualquier par de números relacionados por la misma proporción, por ejemplo, entre el 1 y el 10 o entre el 10 y el 100.

^[108] Pesic, 2014, cap. 4, p. 56.

^[109] Golding, 2010/1954.

^[110] Aristóteles, 1922/350 a. C., libro II, parte 9.

^[111] Algunos investigadores contemporáneos sugieren que lo que tenía Pi-tágoras era tinnitus, esa especie de pitidito desagradable que nos da a todos en el oído después de escuchar música a un volumen demasiado alto.

^[112] Porfirio, 1987/siglo III d. C., p. 129.

^[113] Ferguson, 2008, cap. 12.

^[114] Stephenson, 1994.

^[115] Pesic, 2014, cap. 2, p. 29, cita a Oresme, Tractatus de commensurabilitate vel incommensurabilitate motuum celi.

^[116] Hossenfelder, 2018, cap. 2, sec. «Where We Come From».

^[117] Ferguson, 2013, cita a Kepler, 1596, Mysterium Cosmographicum.

^[118] Sobel, 2011, cap. 10.

^[119] Ferguson, 2008, cap.16.

^[120] Kepler, 1992/1609.

^[121] Pesic, 2014, cap. 5, pp. 73-88.

^[122] Exoplanet.eu.

^[123] Strogatz, cap. 4, 2012.

^[124] Savage et al., 2015.

^[125] Hofstadter, 2009/1979, cap. XVI, p. 584.

^[126] Maess et al., 2001.

^[127] Koelsch et al., 2002.

^[128] Baboon, 2003. La página ya no está disponible en su dominio original, pero puede encontrarse en Internet Archive.

^[129] Fabris, 2011, cita a Viviani, 1654, Racconto istorico della vita del Sig.r Galileo Galilei di Vincenzio Viviani.

^[130] Lundberg, 1992, p. 211.

^[131] Grout y Palisca, 2001/1960, cap. 6, p. 211.

^[132] Škvorecký, 2013/1967.

^[133] Palisca, 2000, p. 296.

^[134] Grout y Palisca, 2001/1960, cap. 6, p. 212.

^[135] Ferguson, 2008, cap. 15.

^[136] Pesic, 2014, cap. 3, pp. 49-53.

^[137] Huron, 2008.

^[138] Drake, 1992.

^[139] Drake, 1992.

^[140] Butts, 1992, cita a Galileo Galilei, 1638, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze.

^[141] Zilsel, 1942, p. 544.

^[142] Palisca, 1992, p. 149, cita a Vincenzo Galilei, Discorso particolare intorno alla diversità delle forme del diapason.

^[143] Brown, 1992.

^[144] Alonso, 2012, p. 106.

^[145] Library of Congress, 2017.

^[146] PBS NewsHour, 2015.

^[147] PBS NewsHour, 2015.

^[148] Sacks, 2007.

^[149] Saffran y Griepentrog, 2001.

^[150] Peter et al., 2008.

^[151] Guerrasio, 2017.

^[152] Guerrasio, 2017.

^[153] Burns, 1999, p. 217.

^[154] Galilei, 1730/1638, p. 155.

^[155] Burns, 1999, p. 249.

^[156] Carey y Clampitt, 1989.

^[157] Castrillón y Domínguez, 2013.

^[158] Si por curiosidad —o por vicio— el lector sí quisiera entretenerse con el detalle numérico, hace tiempo escribí varios artículos de divulgación sobre el tema en mi blog, Enchufa2. La serie se titulaba «Música y matemáticas». Ver Martín Castro y Úcar, 2009.

^[159] El motivo, como contamos al hablar de los números bonitos, es que nuestra percepción del sonido es logarítmica. Percibimos como distancias, lo que en realidad son multiplicaciones y divisiones de frecuencias. Aunque suene a matemática avanzada, el hecho es que todos, constantemente, estamos calculando logaritmos con el oído para poder reconocer una simple melodía o para detectar las emociones en la voz de los demás, y en el mundo de los logaritmos, los intervalos 2:1 y 3:2 se vuelven inconmensurables.

^[160] Burns, 1999, pp. 217-218.

^[161] Khe, 1977.

^[162] Westfall, 1980.

^[163] Asimov, 2010/1973.

^[164] Gouk, 1988, p. 101, cita a William Stukeley, Diary, entrada del 18 de abril de 1720.

^[165] Pesic, 2014, cap. 8, p. 123.

^[166] McGuire y Rattansi, 1966.

^[167] Mlodinow, 2003, cap. XV.

^[168] Dawkins, 2000, cap. 3.

^[169] Feynman, 2017, cap. 3, nota al pie 2.

^[170] Wolf, 2007, p. 55, cita a Aristóteles, Meteorologica.

^[171] Pesic, 2014, cap. 8, p. 124.

^[172] Pesic, 2014, cap. 8, p. 125.

^[173] Pesic, 2014, cap. 8, p. 127, cita a Newton, 1665.

^[174] Pesic, 2014, cap. 9, p. 133, cita a Yushkevich et al., 2007, «Euler and the history of a certain musical-mathematical idea».

^[175] Pesic, 2014, cap. 8, p. 127, cita a Newton, 1704, Opticks.

^[176] Ångström, 1885, p. 329.

^[177] Stoney, 1871, p. 291.

^[178] Pesic, 2014, cap. 16, p. 250.

^[179] Pesic, 2014, cap. 17, pp. 255-269.

^[180] Wilczek, 2015, «Quantum Beauty I: Music of the Spheres».

^[181] Sommerfeld, 1923.

^[182] Hossenfelder, 2018, cap. 1, sec. «Failure».

^[183] Pesic, 2014, cap. 16, p. 251.

^[184] Viereck, 1929.

^[185] Clark, 1984, p. 287.

^[186] Greene, 1999, cap. 7.

^[187] Lost in Math», p. 23.

^[188] Dirac, 1940, p. 124.

^[189] Farmelo, 2009, cap. 31.

^[190] Farmelo, 2009, cap. 11.

^[191] Farmelo, 2009, cap. 27.

^[192] Heisenberg, 1971, cap. 5, p. 68.

^[193] Heisenberg, 1970, p. 32.

^[194] Wilczek, 2015, «The Question».

^[195] Gell-Mann, 2007.

^[196] Lederman, 2007.

^[197] Dyson, 1956.

^[198] Hossenfelder, 2018, cap. 1, sec. «Physics Envy».

^[199] Hossenfelder, 2018, cap. 1, sec. «Physics Envy».

^[200] Greene, 1999, cap. 9, sec. «The Road to Experiment».

^[201] Hossenfelder, 2018, cap. 4, sec. «Where the Numbers Have No Name», cita a Brahe, 1602, Astronomiae instauratae progymnasmata.

^[202] Hossenfelder, 2018, cap. 2, sec. «Where Beauty Lies».

^[203] Einstein, 2005/1926.

^[204] O’Raifeartaigh y Mitton, 2018, citan las memorias de George Ga-mow.

^[205] Lemaître, 1958.

^[206] Pérez, 2014.

^[207] Hossenfelder, 2018, cap. 2, sec. «What We Are Made Of».

^[208] Balbi, 2008, cap.1, p. 20.

^[209] Hiebert, 1970, p. 201.

^[210] Banks, 2004.

^[211] Hui, 2012, cap. 4, p. 108 cita a Mach, 1882.

^[212] Poincaré, 2001/1914, primera parte, cap. 1.

^[213] Reber et al., 1998.

^[214] Dehaene, 2011, cap. 4, sec. «Why Are Some Numerals More Frequent Than Others?».

^[215] Dehaene y Mehler, 1992.

^[216] Heaviside, 1893, p. VII.

^[217] Schwarz et al., 2009.

^[218] Song y Schwarz, 2010.

^[219] Hossenfelder, 2018, cap. 2, sec. «Where Beauty Lies» cita el obituario de Hoyle publicado por Telegraph el 22 de agosto de 2001.

^[220] Goldsmith, 2012.

^[221] Balbi, 2008, «Preface», p. X.

^[222] Goldsmith, 2012.

^[223] Es un fenómeno conocido como corrimiento hacia el rojo: al expandirse el espacio, la longitud de onda de la luz aumenta y disminuye la energía de sus fotones.

^[224] Del mismo modo que, en una cuerda, el hecho de que sus extremos estén inmóviles causa la aparición de frecuencias que son múltiplos de una fundamental, en el universo primitivo, el contorno temporal en el que viajaron estas ondas —todas empezaron a propagarse, simultáneamente, tras el proceso de inflación—, hizo que ciertas frecuencias alcanzasen un máximo justo en el periodo de recombinación. Es decir, no es que el universo «sonase» con un tono bien definido; más bien, el espectro del CMB nos descubre la fase que tenían las distintas ondas cuando, de repente, su movimiento se congeló. Todas las frecuencias que son múltiplos de una fundamental alcanzaron un máximo a la vez, porque todas ellas habían empezado a vibrar al mismo tiempo y sus periodos «encajaban» entre sí.

^[225] Balbi, 2008, cap. 4, p. 98.

^[226] Pascal, 2003/1669, sec. 1, XV.

^[227] Pascal, 2003/1669, sec. 1, VI.

^[228] Navas, 2019.