© Libro N° 10949. La Filosofía Matemática De Karl Marx En Los Manuscritos De 1881.
Un Esbozo. Flores, Fernando y Natiello, Mario. Emancipación. Febrero 25 de 2023
Título original: © La
Filosofía Matemática De Karl Marx En Los Manuscritos De 1881. Un Esbozo. Fernando
Flores y Mario Natiello
Versión Original: © La Filosofía Matemática
De Karl Marx En Los Manuscritos De 1881. Un Esbozo. Fernando Flores y Mario
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SIN PEREZA Y SOMETAMOS A CRÍTICA TODA LA CULTURA
LA FILOSOFÍA MATEMÁTICA DE KARL MARX EN LOS
MANUSCRITOS DE 1881
Un Esbozo
Fernando Flores y Mario Natiello
La Filosofía Matemática De Karl Marx En Los Manuscritos De 1881.
Un Esbozo
Fernando Flores y Mario Natiello
LA FILOSOFÍA
MATEMÁTICA DE KARL MARX EN LOS MANUSCRITOS DE 1881. UN ESBOZO
Fernando Flores¹ y Mario Natiello²
Karl Marx escribió una serie de manuscritos acerca de
cuestiones matemáticas. Aunque algunas traducciones parciales al ruso de esos
manuscritos ya habían aparecido en el año 1933, la primera publicación completa
de los mismos data del año 1968. Fue entonces cuando los manuscritos
matemáticos fueron publicados en forma completa bajo la dirección de la
matemática S. A. Yanovskaya. Una traducción parcial al inglés de la
publicación en ruso de Nauka Press, 1968, apareció en el año 1983 bajo el
título «The Mathematical Manuscripts of Karl Marx» (primera edición en
inglés del material, de la New Park Publications Ltd, London). Es interesante
notar que hay publicaciones de estos manuscritos de Marx en
alemán (1974) e italiano (1975) anteriores a la versión en inglés.
Algunos de los manuscritos están bastante
completos, mientras otros parecen ser notas 0 apuntes más o menos
fragmentarios. La parte más completa trata del concepto de diferencial y de la
derivada de una función de una variable. Aparentemente, la intención de Marx era
escribir una «Historia del Cálculo Diferencial«, iniciando con Newton y Leibnitz,
pasando por D’Alembert y terminando con Lagrange. 3
1. Introducción
La publicación de 1983 aparece acompañada de un
prefacio escrito por la profesora Yanovskaya y contiene además
un estudio del matemático E.Kolman, colaborador por otra parte
de Yanovskaya en un estudio de la filosofía de las matemáticas
de Hegel. Estos y otros textos interpretativos de la obra
matemática de Marx se caracterizan por una visión a la que
llamaríamos “soviética” de la obra de Marx. En ellos domina
la exaltación a los méritos de Marx y otros “héroes”
del marxismo, alternada con las referencias a los “errores» de Kant y Hegel,
y siguen en general una visión positivista del desarrollo histórico. De más
está decir que estas y otras interpretaciones similares nos parecen hoy
anticuadas por lo cual no podemos sino recomendar la realización de nuevas
lecturas de la filosofía matemática de Marx, lecturas liberadas de
la carga del marxismo escolástico y en la cual la obra de Marx pueda
estudiarse en relación a otras fuentes que las tradicionales.
Mientras que Hegel en su Lógica nos
deja una filosofía de las matemáticas completa y madura, y Engels en
el Anti—Dúhring y Dialéctica de la naturaleza nos
deja un filosofía de las ciencias (e indirectamente de las matemáticas)
bastante desarrollada y sin duda clara en sus objetivos y fines, Marx,
por el contrario, deja sólo esbozos difíciles de precisar en su alcance.Las
dudas que conciernen a la filosofía matemática de Marx, atañen
también a toda su concepción de la “dialéctica materialista» que opone a
la dialéctica hegeliana y que como veremos se distingue de la noción que Engels profesaba.
Se puede decir en general, que el lugar del pensamiento filosófico de Marx en
la evolución filosófica general de Occidente es todavía una gran incógnita. Sin
duda su pensamiento es la consecuencia de la herenciahegeliana, pero su
conexiones con Kant y en especial con el desarrollo de la
filosofía matemática posterior no ha sido estudiada.
2. Antecedentes filosóficos
2.1. La filosofía matemática de Hegel
Para Hegel las nociones
matemáticas son el producto de la lógica del devenir del pensamiento absoluto o
Idea absoluta. La noción de infinitud y por ende su análisis del calculo
infinitesimal reflejan esta posición según la cuál lo finito no puede ser
concebido sin lo infinito, lo estático sin lo dinámico, etc. El tratamiento más
completo de su filosofía de las matemáticas lo encontramos en la Ciencia
de la Lógica (escrito entre 1812 y 1816). Hegel distingue
entre un infinito “malo» o metafísico, de origen filosófico y uno “bueno»
o instrumental surgido en la exitosa aplicación de la noción de infinitésimo en
matemáticas. En este sentido, Hegel ve en las matemáticas un
campo independiente del saber, con su propias leyes. En el cálculo
infinitesimal, las matemáticas encuentran
“…la contradicción capital insita en el mismo
método propio particular,sobre el cuál reposa como ciencia en general. Pues el
cálculo infinitesimal permite y exige procedimientos que la matemática, en las operaciones
con magnitudes finitas, debe absolutamente rechazar; y al mismo tiempo trata
magnitudes infinitas como cuantos finitos y quiere aplicar a aquéllas los
mismos procedimientos que vale a éstos. Es un aspecto capital del
perfeccionamiento de esta ciencia el haber alcanzado para las determinaciones
transcendentes y el tratamiento de éstas, las formas del cálculo habitual.”4
Veremos que Marx retoma de Hegel esta
visión de las matemáticas como discurso independiente y autosuficiente. Engels por
el contrario, rompe con Hegel para concebir las matemáticas
como el producto más o menos abstracto del pensamiento naturalista. Que Marx y Engels sigan
caminos filosóficos diferentes es algo que en la historia del marxismo no ha
sido suficientemente considerado.
2.2. La filosofía científica de Engels
Para Engels, las matemáticas son la
consecuencia de la abstracción de procesos reales de cambio. “Realidad”
para Engels es sinónimo de “natural”. El cálculo
infinitesimal entonces es para Engels el producto abstracto de
la comprensión de los cambios en la naturaleza. De alguna manera se anticipa
aquí la idea engeliana de dialéctica, una versión simplificada y, si se quiere,
superficial de la dialéctica hegeliana. Con Engels la
dialéctica pasa a ser la «ciencia de las leyes más generales del cambio y
del movimiento“, sin embargo tampoco a Engels se le escapa
la dificultad filosófica que supone el trabajo con la noción de “infinito«:
En tanto las matemáticas calculan magnitudes
reales, pueden utilizarlas nociones de infinitud sin vacilaciones. Para la
mecánica terrestre la masa de la tierra es vista como infinitamente grande, del
mismo modo que en astronomía la masa terrestre y la de los meteoritos
correspondientes son vistos como infinitamente pequeños. […] Pero tan pronto
como los matemáticos se mudan en sus impugnables fortalezas abstractas, también
llamadas “matemáticas puras», todas estas analogías son olvidadas y la
infinitud se transforma en algo totalmente misterioso, y la forma en las
operaciones [que] son llevadas a cabo se hace totalmente incomprensible,
contradiciendo toda experiencia y toda razón. Las estupideces y absurdos
comentarios con los que los matemáticos han excusado más que explicado su forma
de operar, una forma de operar que curiosamente conduce siempre a resultados
correctos, supera las más disparatadas fantasías de la filosofía de la
naturaleza de Hegel. 5
Subrayamos entonces que la filosofía matemática
en Engels está subordinada a su materialismo naturalista y a
un cierto tipo de reduccionismo pro el cual la matemática se comprenden como
una ciencia de apoyo a las ciencias del mundo “real”.
2.3. La filosofía matemática de Marx
A diferencia de Engels, las matemáticas
tienen para Marx una existencia propia, él concibe a las matemáticas
como producto del pensamiento materialista pero sólo en tanto cálculo. En este
sentido hay una diferencia muy clara entre las ideas de Marx y
las de Engels. Digamos que todo parece indicar que ni Marx ni Engels comprendieron
la naturaleza de estas diferencias, quizás debido a que Marx nunca
llevó sus estudios al nivel de una formulación acabada y definitiva. Para Marx -como
para Hegel– las matemáticas son un instrumento que no puede
reducirse a su objeto de aplicación. Para Marx es ésta una
ciencia en sí misma y como tal es autosuficiente e independiente de sus
aplicaciones. Pero para Marx —a diferencia de Hegel—
es además un ciencia del cálculo, del álgebra y como tal se resiste a toda
reflexión metafísica. La obra del filósofo materialista siguiendo a Marx podría
resumirse como el trabajo de limpieza de resabios metafísicos (es decir
esencialistas) en matemáticas. Este «positivismo» de Marx,
tan propio de su tiempo, se distingue a pesar de todo del reduccionismo
positivista de Engels, según el cual las matemáticas solo tienen
sentido en tanto ciencias de apoyo a las ciencias naturales. Veremos que
en Marx la noción de “cálculo” es la dominante y con
ella la idea de que el cálculo es una praxis social teórica a la que se opone
una filosofía esencialista estática. La idea de que la práctica matemática es
una forma de la acción es por lo demás completamente ajena a Engels cuya
idea de “acción” es mucho más simplista.
2.4. La noción de materialismo en Marx
Para poder comprender la filosofía matemática
de Marx, se hace necesario considerar su comprensión del
materialismo y de los problemas históricos heredados por Marx de
la filosofía anterior. Los problemas centrales con los que Marx se
enfrenta son el nominalismo con sus problema inherentes, el problema del status
de las ideas en un mundo material y el del desarrollo de métodos que permitan
elucidar la verdad de la falsedad en historia y ciencias sociales.
Como es sabido, más allá de algunos lugares comunes
que poco nos dicen sobre la misma, la filosofía de Marx no es
una filosofía explícita. La misma debe buscarse en textos que por lo general en
lugar de explicarnos la realidad, nos demuestran “la” forma de entender
el mundo. Los textos de Marx son en este sentido una praxis
teórica. Ya en este sentido difieren Marx y Engels,
en tanto para este último, todo parece ser explicable verbalmente. Los pocos
textos explícitos de Marx deben buscarse en su
correspondencia, en su obra inédita o en sus obras más tempranas. En los textos
de juventud que culminan con las Tesis sobre Feuerbach, Marx usa
todavía una terminología filosófica tradicional y se expresa en términos
filosóficos comparables a los de su predecesores. Entre estos textos se
encuentra La Sagrada Familia, 6 un texto en el
cual Marx y Engels se dedican a la crítica
del grupo de jóvenes hegelianos. Según Bruno Bauer y otros
jóvenes hegelianos, el materialismo de la Ilustración es un desarrollo de la
idea de Spinoza sobre sustancia. 7 Contra
esta noción reacciona Marx para quién el materialismo es una
combinación del mecanicismo de Descartes y el empirismo
de Bacon y Locke: «Hablando propiamente hay dos
tendencias en el materialismo francés, una tiene su origen en Descartes, la
otra en Locke.” 8
Marx encuentra en el nominalismo inglés las formas materialistas más
antiguas de la era moderna. Este materialismo es la consecuencia de la pregunta
acerca de cómo es posible que la «materia piense«:
El materialismo es el hijo natural de la Gran
Bretaña. Ya el escolástico británico Duns Scotus se preguntaba: “¿Es posible
que la materia piense?» En orden de conseguir esto se refugió en la
omnipotencia divina convirtiendo a la teología en un abogado del materialismo.
En cualquier caso Duns Scotus fue un nominalista y el nominalismo, la primera
forma del materialismo, es dominante entre los escolásticos ingleses.9
El desarrollo continua según Marx de
los nominalistas a Bacon, el fundador de la filosofía científica
moderna: “El verdadero progenitor de materialismo inglés y de toda la
ciencia experimental moderna es Bacon”; 10 …para luego
concretarse en la obra de Hobbes, aunque con este se transforma
según Marx en una teoría misantrópica: “En su evolución
posterior el materialismo termina siendo unilateral. Hobbes es quién
sistematiza el materialismo de Bacon. El movimiento físico es subordinado al
movimiento mecánico o matemático y la geometría es proclamada la reina de las
ciencias. El materialismo se hace misantrópico.” 11
A partir de aquí la filosofía materialista
desarrolla problemas más o menos insalvables resumidos por Sidney Hook en
el libro From Hegel to Marx. En esta obra Hook constata
que el materialismo filosófico fue incapaz de desarrollar una epistemología
propia: “El materialismo no fue capaz de desarrollar una teoría de la
verdad. La sola existencia de ideas constituyó unproblema insalvable al que se
trató de resolver entendiéndolas como formastenues de la materia.«12 Para
resolver parcialmente este problema es que Marx y Engels convierten
la epistemología materialista en una teoría de la acción, en la cuál las
consecuencias de la misma pasan a ser el elemento que garantiza la verdad
resultante y las ideas aparecen entendidas como inseparables de esta acción
constituyente. 13 La solución encontrada por Marx y Engels sin
lograr resolver el problema del status ontológico de las ideas permitió
resolver por lo menos el problema práctico de la elucidación de la verdad en
situaciones concretas. De allí que sea perfectamente comprensibleque Marx redujera
el materialismo filosófico en matemáticas al impulso del álgebra, entendida
como praxis en las matemáticas. Veremos a continuaciónque esta posición tiene
una historia anterior a Marx.
2.5. La dialéctica “materialista” de Marx
En Das Kapital Marx presenta
la lógica del intercambio (comercial) de mercaderías de acuerdo a dos criterios
fundamentales, el valor de uso y el valor de cambio de las mismas. El valor de
cambio se establece de acuerdo a una equivalencia lógica entre términos basada
en una identidad numérica oculta. Así, x metros de lienzo
podrán ser cambiados por y alimentos. La relación entre x e y es
lógica hasta que en el momento del cambio se transforma en una identidad
numérica (z=z) en tanto x metros de lienzo son la
expresión de 2 horas de trabajo social abstracto y en tanto y alimentos son
también la expresión de 2 horas de trabajo social abstracto.La dialéctica
materialista de Marx en Das Kapital reduce
relaciones lógicas de equivalencia a relaciones numéricas creando de esta
manera un “cálculo” (elemental) de las relaciones de intercambio
económico.
En su filosofía matemática Marx actúa
de una forma similar, convirtiendo procesos mentales complejos en relaciones
mecánicas de cálculo.
2.6. La axiomática y el cálculo en la historia de
las matemáticas y la lógica
La historia de la lógica y las matemáticas muestra
dos tendencias muchas veces antagónicas: por una parte el ideal axiomática
deductivo y por la otra, el cálculo. Como modelo típico de la primera de éstas
tendencias se suele presentar la geometría euclídea, mientras que cómo ejemplo
histórico típico de la segunda se suele presentar el álgebra. La historia de
las ideas de las matemáticas y la lógica podría reducirse al seguimiento de dos
tendencias manifiestas: la que maneja el ideal axiomático como un fin en sí
mismo y la que ve en éstas la posibilidad de un instrumento de cálculo. Se
podría afirmarque el modelo axiomático está de alguna manera naturalmente
relacionado con una filosofía metafísica en la cuál las ideas matemáticas
poseen una existencia ideal. Esta idealidad no impide su realidad sino que por
el contrario la reafirma a través del idealismo filosófico. Por el contrario,
el cálculo seasocia naturalmente a la filosofía árabe, al nominalismo medieval
cristiano y más modernamente a las ideas de Wittgenstein y Lakatos.
Creemos que la filosofía matemática de Marx puede asociarse a
esta segunda tradición filosófica.
2.7. El ideal axiomática en matemáticas
El modelo axiomático trabaja buscando crear un
sistema de verdades construido en dos niveles: el nivel de los axiomas y el
nivel de los teoremas. Los axiomas constituyen las bases del sistema, verdades
a las cuales se considera ”primitivas«, imposibles de reducir a otras.
Hasta principios del siglo XIX se consideraba a los axiomas verdades evidentes
y por lo tanto incuestionables, hoy son considerados como puntos de partida de
la reflexión: Por un lado se considera que el pensador los puede elegir más o
menos “a gusto» 14, mientras que por otro lado la actividad
del pensador tiene una finalidad (la ciencia no es un pasatiempo de salón) y
así se nos ofrece una posibilidad de evaluar si un sistema de axiomas es más o
menos adecuado que otro.
Por ejemplo la identidad «A = A» es un
axioma lógico clásico construido sobre la evidencia de que todo ”ser» es
idéntico a si mismo. Durante mucho tiempo se creyó que la evidencia era una
forma “segura” de la verdad. Esta idea debió ser abandonada cuando el
célebre axioma de las paralelas de Euclides (según el cual por
un punto exterior a una recta R, pasa una y solamente una recta R’ paralela a
R) fue cuestionado. Se inició así el desarrollo de las geometrías
no-euclídeanas, las cuales mostraron que era perfectamente posible construir
sistemas axiomáticos modificando substancialmente el mencionado axioma de las
paralelas.
Con el nombre de ”teorema” se denomina a
toda conclusión obtenida a partir de los axiomas según ciertas reglas
deductivas específicas consideradas válidas. Aún cuando las reglas de deducción
pueden ser vistas como una forma de cálculo, éstas aparecen subordinadas al
ideal axiomático en el modelo geométrico inspirado en Euclides. El
trabajo productivo de las matemáticas consistiría entonces en la búsqueda de
nuevos teoremas a los cuales se habrá de «demostrar» conectando a éstos
con los axiomas 15. Por «demostración» se entiende entonces,
el proceso lógico válido mediante el cual se conecta un teorema con los axiomas
de un sistema. Una vez «puesta en evidencia» la conexión, se acepta al
teorema como ”verdadero” siendo la demostración la garantía que la
subjetividad exige para considerar al teorema como una nueva etapa del
conocimiento. El valor de la demostración es doble: por una parte pone en
evidencia aspectos de la realidad matemática que no siempre son evidentes y por
otra parte, pone en evidencia la existencia de un «algoritmo» que
relaciona al teorema con el axioma. La existencia de tal «algoritmo» es
fundamental para confirmar el ”control” que nuestra subjetividad ejerce
sobre el problema. El modelo axiomático de conocimiento apunta entonces a la
fundación del saber en las sensaciones subjetivas de ”seguridad«, ”certeza»
y ”control”. Todo el valor del saber descansará entonces en la eficacia
con la que estos estados de la subjetividad sean provocados.
2.8. Las matemáticas como práxis
Uno de los hechos más notables de la ciencia
contemporánea es que hasta el siglo XIX, el desarrollo de las matemáticas y de
la lógica ha sido posible prácticamente sin cuestionar estos factores
subjetivos: eran simplemente entendidos como no problemáticos. La culminación
de este ideal puede decirse que se alcanzó con el programa de fundamentación de
las matemáticas de Bertrand Russell. Este programa fue criticado «internamente»
por Gódel, quien mostró que se debe renunciar a la búsqueda de
certeza absoluta en un sistema de axiomas como el de las matemáticas, y «externamente»
por Wittgenstein quien intentó la desmistificación de la
axiomática à la Russell en las ciencias matemáticas.
Escribe Wittgenstein en Remarks of the Philosophy of
Mathematics: «Los axiomas en un sistema matemático de axiomas se
suponen ‘autosuficientes’. ¿Pero autosuficientes en qué sentido? Debería
decirse: en el sentido de lo que nos es más fácil de imaginar.” 16
Lo que cuenta para Wittgenstein entonces
no es el valor epistémico del axioma en tanto verdad «generadora”, sino
el ”papel” generador que a éste se asigna en un sistema. Wittgenstein antepone
el carácter operativo de las matemáticas al ideal axiomático.
El análisis más acabado del proceso creativo en las
matemáticas, resaltando su carácter de actividad humana, los límites de la
certeza logico—matematica, la manera particular que tienen las matemáticas de
identificar y rectificar errores y de aumentar la precisión y eficacia de sus
afirmaciones fue presentado por Lakatos 17 en un diálogo
imaginario acerca de una conjetura de Euler. Otros escritos
de Lakatos resaltan también la naturaleza operativa de la
ciencia. No obstante, la ciencia no se practica como un juego intrascendente
sino persiguiendo un fin que podríamos simbolizar como la adaptación de la
especie humana alas condiciones naturales.
3. Historia del cálculo diferencial
La historia del cálculo diferencial está muy bien
documentada y no necesita una especial atención de nuestra parte. Además de
varios libros (véase las referencias) sobre historia de la matemática, hay en
Internet literalmente miles de artículos ricos en información. Haremos aquí una
breve presentación del tema.
El cálculo diferencial fue inventado por Newton y Leibnitz,
aunque el concepto geométrico de derivada era conocido antes de estos autores
(en estos términos, la derivada de una función en un punto dado es la
inclinación de la recta tangente al gráfico de la función en ese punto, siempre
que esta construcción sea posible y la recta resultante no sea vertical). El
gran trabajo de Newton y Leibnitz fue el de
organizar, estructurar y desarrollar el conocimiento alrededor del tema
formulando una nueva teoría de alcances mucho mayores.
El razonamiento mediante el cual se introdujo el
cálculo diferencial era -en términos modernos— vago e impreciso y si se quiere
incorrecto. No obstante, hay frases y pasajes de Newton y Leibnitz que
sugieren que ellos eran conscientes de las eventuales imprecisiones 18.
Por otro lado, el cuerpo monumental de la literatura matemática después
de Newton y Leibnitz y hasta principios del
800 cae invariablemente en la imprecisión de usar, sin una definición más o
menos libre de ambigüedades, el concepto de límite y unos objetos «evanescentes»
llamados diferenciales y también infinitésimos (de aquí el nombre de cálculo
infinitesimal), que a veces tenían las propiedades de objetos matemáticos
tradicionales (digamos de números, lisa y llanamente) y a veces no. Para
obtener el resultado deseado había que introducir reglas ad hoc para quitar de
en medio los «diferenciales al cuadrado” y otros términos que
constituyen un “obstáculo”. Justamente, el cálculo diferencial describe
cómo operar con estos objetos de manera de obtener resultados correctos, útiles
y consistentes.
Unas décadas más tarde, D’Alembert reformula
las ideas de Leibnitz en forma más algebraica pero usando
también el concepto de límite en manera vaga. La vaguedad de los fundamentos
del cálculo diferencial preocupó a más de un pensador de la época. El
mismo D’Alembert en 1743 19 dijo acerca de
las matemáticas algo que podemos traducir libremente como
”Hasta el presente…se le ha dado más interés a
agrandar el edificio que a iluminar la entrada, a levantarlo más alto que a
darle un sostén adecuado a los fundamentos.”
Un siglo después de Newton, Lagrange consiguió
presentar la derivada en términos completamente algebraicos (sin usar
diferenciales ni paso al límite) para el caso de (lo que hoy llamaríamos)
funciones analíticas. El uso de límites en realidad no se puede evitar, pero se
puede «esconder debajo de la alfombra» para un tipo especial de
funciones (las funciones analíticas, digamos “aquellas donde la propuesta de
Lagrange funciona bien«). Otras funciones derivables pero no analíticas
requieren un tratamiento más atento. El método de Lagrange fue
acogido primero con exagerado entusiasmo (a raíz de sus éxitos) y más tarde con
una igualmente exagerada indiferencia (a raíz de sus limitaciones).
La formulación organizada del concepto de derivada,
que sirva para cualquier función derivable sea analítica o no, necesita el
concepto de límite. Estas ideas fueron progresando gradualmente a partir
de Newton y Leibnitz, culminando con Cauchy, Bolzano y Weierstrass (más
tarde Cantor profundizó el concepto de infinito). El tratado
de Lacroix de 1819 (ver bibliografía) ya avanzaba en esta
dirección.
La contribución de Cauchy en 1821
fue fundamental. Es el primer intento deestablecer el cálculo sobre bases
sólidas. A través del concepto de límite, la idea de derivada se puede expresar
sin recetas ambiguas y el cálculo operacional con infinitésimos se puede
justificar en términos racionales.
Cauchy no resolvió todos los problemas inherentes al cálculo. En términos
modernos, no advirtió la diferencia entre convergencia puntual y convergencia
uniforme. Este hecho trae consigo dificultades ya que uno delos teoremas
de Cauchy entra en contradicción con los (previamente
conocidos) resultados de Fourier sobre convergencia de series
trigonométricas. En esa época se hablaba de excepciones al teorema de Cauchy (Abel,
1826). Cauchy quedó tan preocupado por este problema que nunca
escribió el segundo volumen de su Curso de Análisis, ni permitió
reeditar el primero, a tal punto que cuando la presión para producir un nuevo
libro resultó muy alta, consintió en que el abate Moigno publicara
los apuntes de sus clases 20.
El libro de Moigno 21 (escrito
para para difundir y popularizar las ideas de su maestro y amigo Cauchy),
tiene también una versión moderna del concepto de límite (aún algo
incompleta, faltan algunos teoremas útiles), una versión moderna del
concepto de derivada (apoyada en el concepto de límite) y una presentación
a posteriori del concepto de diferencial.
La cuestión de la convergencia uniforme fue
resuelta en 1847 por Seidel, quien inició así un mecanismo
fructífero de perfeccionamiento de las matemáticas. Cuando un teorema
tiene aparentes “contraejemplos”, hay que analizar cuál es la
hipótesis o premisa defectuosa para a través de ese análisis refinar la
formulación 21. Otras consecuencias de las dificultades con la
convergencia uniforme no fueron advertidas antes de 1875.
3.1. La versión de los libros de texto
contemporáneos
La version contemporánea del concepto de derivada,
organizada hacia 1856 con Weierstrass, se puede formular más o
menos como sigue: Dada una función f(x) de una variable, consideremos la
siguiente expresión para un punto cualquiera:
F(x+h) – f(x) = g(x)+B(x,)
h
Exigiendo propiedades específicas para las funciones
que aparecen en el miembro derecho, una igualdad de este tipo no siempre
será válida para una f(x) arbitraria en el miembro izquierdo. Cuando las
funciones son tales que el miembro derecho se puede descomponer en la suma
de un término g(x) que no depende de h y otro término B(x,h) tal que para
cada x fijo B(x,h) tiende a cero con h , entonces decimos que f(x) es
derivable en el punto x y su derivada viene dada por g(x) . Una discusión
similar se puede hacer usando la diferencia Af 0 sea multiplicando toda la
igualdad por 11 :
h :=f (x+h)− f (x)=g(x)+B(x,h)
h
El diferencial df se define luego como la parte
lineal en 11 de la diferencia, o sea df=g(x)h que también se puede
escribir como df=g(x)dx. El cálculo con diferenciales iniciado por Newton y Leibnitz se
puede explicar completamente (y si se quiere se puede evitar
completamente) a partir de esta definición de derivada.
3.1. Una curiosidad
En los años 60, Robinson presenta
el Non—standard analysis, a partir de ideas ya avanzadas hacia
1930 y que resalen atrás en el tiempo hasta Hilbert.
Este análisis introduce unos nuevos números (non standard), además de
los números reales tradicionales y nuevas reglas de cálculo que extienden
las reglas tradicionales. Este análisis tiene la ventaja de simplificar
algunas demostraciones del análisis clásico. Con el análisis non-standard
la fraseología de los diferenciales inventada hace 300 años se puede
reusar textualmente o casi. Por supuesto, los eventuales errores o
vaguedades de Lakatos 21, Proofs and Refutations,
p. 131. los matemáticos de aquella época siguen siendo tales, ya que en el
1700 nadie conocía ni tenía la posibilidad de conocer el análisis
non—standard. Esta corriente de pensamiento hasta el día de hoy no ha
trascendido demasiado ni a la matemática en general ni a otras ciencias.
Por ejemplo, las voces “non-standard analysis” conference
mathematics dan (juntas) menos de 600 entradas en Google, mientras que el
grupo analysis conference mathematics da unos 4.9 millones de entradas.
4. La matemática de los manuscritos de Karl
Marx
Los manuscritos más organizados presentes en la
edición inglesa contienen:
(a) Una derivación lo más algebraica posible del
concepto de derivada. Hay un uso del límite digamos “escondido«, si
bien hecho en manera matemáticamente correcta en el contexto del
manuscrito. Esto incluye una reconsideracion del concepto de diferencial.
(b) Una crítica del concepto de diferencial del
tipo Newton-Leibnitz y una presentación histórica del
cálculo diferencial via Newton/Leibnitz, D’Alembert y Lagrange.
Marx trabaja casi absolutamente con ejemplos. Las funciones que
considera son las que hoy en día se llaman funciones elementales o sea
sumas, productos y cocientes de potencias, raíces, exponenciales,
logaritmos y funciones trigonométricas. Esto era de uso corriente en
muchos libros accesibles en la segunda mitad del siglo XIX (p. ej. el
tratado de Lacroix), aunque la investigación de “frontera”
ya había llegado más lejos para ese entonces.
4.1. El concepto de derivada
Consideremos la función f(x)=x2 (que describe una
curva llamada parábola). La diferencia de los valores de la función en dos
puntos x y x1=x+h se puede escribir como f(x+h)—f(x)=2xh+h2 . El cociente
entre la diferencia de la función y la diferencia entre los valores del
argumento (xl—x=h) resulta entonces:
f(x+h) – f(x)=2xh+h2
h
La función 2x está ligada a xº por razones
geométricas. Marx observa que desde antes de Newton se sabía que se trata
de la inclinación de la recta tangente a la parábola en el punto x .
Lagrange dio a esta función tangente el nombre de derivada. El problema
era hacer «desaparecer» ese 11 en exceso presente en el miembro derecho de
la igualdad. Para eso, Newton y Leibnitz inventan los diferenciales. Para
que la invención sea útil, o sea para poder obtener 2x a partir de xº y en
general para obtener la función tangente correspondiente a partir de
cualquier otra función f(x), los diferenciales necesitan un tratamiento excepcional,
distinto de los números tradicionales. La “regla” es que para expresar el
diferencial de f(x) en términos del diferencial de x hay que reemplazar
las diferencias por diferenciales y donde un diferencial aparece
multiplicado por otro, hay que poner ese producto igual a cero. Veamos:
aplicando la regla a la diferencia f(x+h)—f(x) , el término cuadrático en
h desaparece, y luego al dividir por h lo que queda de esta diferencia, en
el miembro derecho aparece sólo la derivada.
Marx critica este proceso como metafísico. Lo cual tiene mucho sentido
ya que para los números tradicionales, si a y b son distintos de cero,
entonces su producto a-b también es distinto de cero. Un velo místico
esconde el hecho que uno ya sabía adonde quería llegar 23.
Las primeras 70 páginas del manuscrito tratan de
una propuesta alternativa, que coincide con el enfoque moderno de Cauchy.
La derivada se define haciendo el paso al límite (concepto previamente
formalizado por Cauchy), en el cociente de las diferencias (en
el ejemplo de más arriba, el límite del miembro derecho cuando 11 tiende a
cero). Luego se definen los diferenciales a posteriori, como la parte
lineal en 11 de la diferencia (está así también en el tratado de Lacroix,
pág 5). Esta propuesta viene llamada racional por Marx justamente
porque desmitifica el proceso de diferenciación.
Marx prosigue en el análisis mostrando las ideas bajo diversos puntos
de vista y con distintos ejemplos, notando que una vez definidos
los diferenciales, éstos representan una operación bien precisa y se
pueden usar como símbolos operacionales. De esta manera, todas las reglas
de diferenciación establecidas a partir de Newton y Leibnitz siguen
siendo válidas como cálculo operacional, pero ahora tienen un fundamento
racional.
4.2. La historia del cálculo diferencial
El resto de la versión inglesa de los manuscritos
trata de unos apuntes de historia del cálculo diferencial. Marx vio
en la evolución Newton/Leibnitz, D’Alembert, Lagrange de
las ideas matemáticas, a partir de su inicio místico hasta su culminación
en una presentación racional, un proceso filosófico interesante que valía
la pena resaltar. El trabajo nunca fue terminado pero los lineamientos de
la obra están claros.
La profesora Yanovskaya resume el
estudio sobre el cálculo diferencial de Marx como el estudio
del proceso de algebraización 24 de las ideas
que condujeron al descubrimiento y formulación del cálculo infinitesimal.
Este proceso tendría tres etapas: El cálculo diferencial “místico»
de Leibnitz y Newton; el cálculo diferencial “racional”
de Euler y D’Alembert; y finalmente
el cálculo “algebraico puro» de Lagrange. 25 Frente
a este proceso la figura de Marx no permanece neutral. Por el
contrario, Marx se considera partícipe en el proceso de “limpieza»
de los elementos metafísicos que en el cálculo diferencial oscurecen el
álgebra subyacente.
5. Discusión
La crítica de Marx al concepto de límite y diferencial
coincide con la visión moderna del tema y está anticipada en los libros
de Lacroix y Moigno que el mismo Marx menciona.
El diferencial y la diferenciación se definen en esos libros a
posteriori (una vez entendido el concepto de derivada) de la manera
que proponía Marx. A partir de los manuscritos da la impresión
que Marx supiera que Lacroix había hecho
contribuciones al tema (se trata sólo de una mención en pág. 68), pero no hay
ninguna indicación acerca de la relación concreta entre Marx y
el libro Leçons de calcul différentiel et de calcul intégral (F.
Moigno, 1840), sólo mencionado en una lista de textos en p. 75.
No vale la pena discutir si Marx fue un innovador también en
matemáticas.
No lo fue. Nunca publicó sus textos, ni siquiera los terminó, no hay
ningún teorema “nuevo” (en realidad expone sus ideas en forma narrativa
y usando casos particulares, en lugar de adoptar la estructura del teorema).
Algunas de sus ideas estaban anticipadas en libros que él mismo utilizó. Por
otro lado, es moneda corriente que el rigor matemático en la Inglaterra del
1800 estaba atrasado respecto del continente. Así que en el contexto en el
que Marx trabajaba, su intención era innovadora. Como textos
de matemática no eran “de frontera”, ya que los primeros textos datan de
unos 20 años después del tratado de Cauchy.
El valor indiscutido de estos textos reside en la visión filosófica y
aún pedagógica de la evolución del pensamiento científico, o sea en haber
advertido un proceso de perfeccionamiento del conocimiento matemático.
Vistos como textos de historia de las ideas (matemáticas), los
manuscritos identifican agudamente un grave problema de las matemáticas de los
siglos XVII y XVIII, que ya D’Alembert había notado y que
comenzó su resolución a partir de Cauchy.
En ese sentido, el trabajo de Marx continúa y supera
exitosamente a Hegel.
La crítica de Hegel a los diferenciales mencionada más
arriba, fue presentada en un momento histórico en el que los matemáticos
reconocían el hecho como un problema y aún no habían encontrado una solución, o
sea que es históricamente válida. La crítica posterior de Marx intuye
el proceso evolutivo hasta su solución. Por el contrario, la cita de Engels más
arriba lo pone por detrás de Marx en la evolución de las ideas
y llega con un atraso de más o menos 60 años. Era razonable pensar así en la
época de Hegel, pero era falta de información hacerlo en 1883.
Igualmente hay que reconocer que el acceso a la información 125 años atrás (aún
para Engels) no se puede medir con los parámetros del día de hoy.
El análisis y descripción de este proceso de perfeccionamiento del
conocimiento matemático, con la identificación de “contraejemplos” y su
uso subsecuente para refinar el conocimiento, tuvo que esperar un siglo todavía
hasta cristalizarse en la detallada descripción de Lakatos en The
Logic of Mathematical Discovery (ver más arriba). Queda
a Marx el mérito de haber sido un precursor de esta manera de
pensar.
Por supuesto, la visión filosófica de Marx acerca de la
evolución histórica de las ideas, las relaciones sociales, etc., está
presentada en manera más detallada en sus textos más conocidos. En nuestra
opinión, Marx encontró interesante, o quizás divertido el
hecho que la evolución del concepto de derivada encajara tan bien en su modelo
de evolución histórica.
El estilo encendido, a veces irónico y soberbio de Marx se
reconoce también en estos manuscritos.
5.1. Marx y el signo “=”
Cuando Marx usa la igualdad como definición, llama al
lado izquierdo de una igualdad el «lado simbólico» (pensando al caso en
que uno escribe sea A=e³x+2, leído como: Usemos el símbolo A para
representar el miembro derecho de la igualdad) o el «lado de la iniciativa«.
Cuando Marx se encuentra con igualdades donde hay símbolos de
ambos lados, se siente en la necesidad de explicar por qué la igualdad tiene
sentido. Los matemáticos en general no distinguen con «nombres» los
lados de una igualdad (salvo para indicar de cuál de los dos están hablando),
pero por razones de fluidez narrativa, las igualdades se suelen escribir de una
cierta manera según el discurso en el que aparecen.
El signo igual en matemáticas tiene otras funciones aparte de la de
definición, como por ejemplo indicar una identidad como a²−b²=(a+b)
(a–b) (el miembro izquierdo y el derecho son la misma cosa para
cualquier par de números) o una ecuación como x²=9 (aquí la
igualdad expresa que la afirmación es válida sólo para ciertos valores de x).
Marx resalta una función de la igualdad que tiene importancia para su
concepción dialéctica del mundo. Los objetos que están a ambos lados de una
igualdad son por cierto equivalentes, digamos: «la misma cosa«, en las
condiciones en que la igualdad es válida. En muchas ocasiones esa «misma
cosa» esta parcialmente escondida de un lado del signo igual. Por ejemplo,
no es inmediatamente evidente mirando solamente el miembro izquierdo de
f (x+h) – f (x) = g (x) + p (x) h + q (x) h²
h
que ese cociente se pueda escribir como una serie de potencias en h cuyos
coeficientes son funciones de x con ciertas propiedades
específicas. El lado derecho de la igualdad revela o desarrolla una información
que estaba por así decirlo “escondida” en el miembro izquierdo. Marx subraya
este uso de la igualdad para expresar procesos de evolución intelectual. Por
ejemplo, hay algunas consideraciones filosóficas o pedagógicas acerca de si
conviene usar la diferencia o el incremento (que son dos caras de una misma
moneda).
Notas
1 Departamento de Historia de las Ideas, Universidad de Lund, Suecia.
2 Centro para las Ciencias Matemáticas, Universidad de Lund, Suecia
3 Una línea en la pág. 75 sugiere que en lugar de terminar con Lagrange,
Marx consideró incluir las ideas de Cauchy, en la versión del abate Moigno. Ver
más adelante.
4 Hegel, G.W.F. Ciencia de la Lógica. Tomo I. Solar, Hachette. 1968,
página 212.
5 Engels, F. Dialectics of Nature. Progress Publishers, Moscow. Página
271. Traducción propia.
6 Karl Marx y Friedrich Engels. The Holy Family or Critique of Critical
Criticism. Against Bruno Bauer and Company, 1844. Chapter VI. “d) Critical
Battle Against French Materialism”. Traducción propia. http://www.marxists.org/archive/marx/works/1845/holy-family/index.htm
7 Marx y Engels, Sagrada familia. Traducción propia.
8 Marx y Engels, Sagrada familia.
9 Marx y Engels, Sagrada familia.
10 Marx y Engels, Sagrada familia.
11 Marx y Engels, Sagrada familia.
12 Hook, Sidney. From Hegel to Marx. Studies in the Intellectual
Development of Karl Marx. 1976. p.282.
13 Hook. Sid. 294.
14 P-O. Löwdin: “Axioms are by choice” Clases magistrales 1968-1982,
Universidad de Uppsala.
15 A esto debe agregarse que las matemáticas no son puramente lúdicas,
sino que además, el pensador con su trabajo persigue algún fin.
16 Wittgenstein L. Remarks on the foundation of Mathematics. Basil
Blackwell. Oxford, 1956. III-1, s. 113e. Traducción propia.
17 Lakatos, Imre. Proofs and Refutations. The Logic of Mathematical
Discovery. Cambridge University Press, London, 1976.
18Semën Samsonovich Kutateladze, Excursus into the history of calculus.
Ver bibliografía.
19Morris Kline, pág. 619. Ver bibliografía
20 Lakatos, Proofs and refutations.
21 Leçons de calcul différentiel et de calcul intégral (F. Moigno,
1840). La persona de Moigno es interesante en sí. Sería bueno escribir algo al
respecto
22 Lakatos, Proofs and Refutations, p. 131.
23 Errores como éste cometemos todos (tanto
los matemáticos como los no matemáticos). Cometer errores no es tan grave, lo
que es grave es negarse a corregirlos después de haberlos advertido.
24 Marx, Manuscritos Matematicos. Preface. Pág.
XXVIII.
25 Marx, Manuscritos Matematicos. Preface. Pág.
XXIV.
Bibliografía
Apps, Philip, What is nonstandard analysis?, http://members.tripod.com/PhilipApps/nonstandard.html
Hegel, G. W. F. Ciencia de la Lógica. Solar,
Hachette. 1968.
Kutateladze, Semen Samsonovich, Excursus into the
history of calculus, http://www.math.nsc.ru/LBRT/q2/enqlish/ssk/historv.pdf, véase también http://www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/cv.htm1
Lacroix, Sylvestre Francois, Traité du calcul
différentiel et du calcul integrel, Paris, 1819.
Kline, Morris, Mathematical thought from ancient to
modern times, N. York, 1972.
Katz, Victor, A history of Mathematics, Reading,
1998.
Lakatos, Imre, Proofs and rerutations, The logic of
mathematical discovery. Cambridge University Press, Cambridge (UK)
1976.
Marx, Karl, The Mathematical Manuscripts of Karl
Marx, London, 1983.
Moigno, Abbe F., Lecons de calcul différentiel et
de calcul intégral, París, 1840.
Reinke, Luke, A Survey of the History of
Calculus, http://www.duke.edu/Nltr/
Wittgenstein L. Flemarks on the foundation of
Mathematics. Basil Blackwell. Oxford, 1956.
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