© Libro N° 6170.
El Pensamiento Matematico - Parte I. Kline, Morris. Emancipación. Junio 29 de
2019.
Título
original: © El Pensamiento Matematico - Parte I. Morris Kline
Versión Original: © El Pensamiento Matematico - Parte I. Morris Kline
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Miranda
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ANALICEMOS SIN PEREZA Y SOMETAMOS A CRÍTICA TODA LA CULTURA
EL PENSAMIENTO MATEMATICO
Parte III
Morris Kline
El pensamiento matematico Parte I
Morris Kline
A mi esposa, Helen Mann Kline
Prologo
Si queremos prever el futuro de la matemática, el camino
adecuado para conseguirlo es el de estudiar la historia y el estado actual de
esta ciencia.
Henri Poincaré
Este libro trata de los descubrimientos y desarrollos
matemáticos más importantes llevados a cabo desde la Antigüedad hasta las
primeras décadas del siglo XX. El objetivo perseguido es el de presentar las
ideas centrales, poniendo un énfasis especial en aquellas corrientes de
desarrollo que se han mostrado como las más importantes a lo largo de los
principales períodos de la historia de la matemática, y que han ejercido una
influencia destacada orientando y dándole forma a la actividad matemática
posterior. También se ha prestado una gran atención al concepto mismo de
matemática, siguiendo los cambios que ha experimentado este concepto a lo largo
de los diferentes períodos, así como a la idea que han ido teniendo los
matemáticos de su propia actividad.
Este libro debe ser considerado simplemente como un panorama general de la
historia de la matemática. Si uno se para a pensar que las obras de Euler
superan los setenta volúmenes, las de Cauchy tienen veintiséis y las de Gauss
doce, fácilmente puede caer en la cuenta de que una obra como ésta, en un solo
volumen, no puede tener pretensiones de presentar una exposición completa. En
algunos capítulos de este libro presentamos solamente unas pocas muestras de lo
que se creó en los campos correspondientes, aunque confiamos en que estas
muestras sean las más representativas. Por otra parte, al citar teoremas u
otros resultados hemos omitido a menudo condiciones menores que se necesitarían
para ser estrictamente correctos, con el fin de centrar la atención en las ideas
principales. Por restringida que pueda parecer esta obra, creemos haber
conseguido presentar una cierta perspectiva de la historia completa de la
matemática.
El libro está organizado subrayando más bien los temas
matemáticos importantes que los hombres que los desarrollaron. Cierto es que
toda rama de la matemática lleva el sello de sus fundadores, y que los grandes
hombres han jugado papeles decisivos al determinar el curso a seguir por la
matemática, pero son sus ideas lo que queremos presentar; las biografías se
considerarán como totalmente subordinadas. Hemos seguido, a este respecto, el
consejo de Pascal:
«Cuando citemos autores, citaremos sus demostraciones, no sus
nombres.»
Por razones de coherencia, en especial para el período posterior
al 1700, hemos tratado cada desarrollo en el momento en que alcanza su madurez,
se destaca y ejerce su influencia sobre otros campos de la matemática. Así, por
ejemplo, la geometría no euclídea aparece expuesta en el siglo XIX, a pesar de
que la historia de los esfuerzos por demostrar o sustituir el axioma euclídeo
del paralelismo se remonta a la época inmediatamente posterior a Euclides.
Naturalmente, ha habido muchos temas que han aparecido recurrentemente en
distintos períodos.
Con objeto de mantener el material dentro de límites razonables,
hemos tenido que ignorar varias civilizaciones como la china[1], la japonesa y la maya, dado que su obra prácticamente no tuvo
impacto sobre las corrientes centrales del pensamiento matemático. Por otra
parte, a algunas teorías matemáticas como la teoría de probabilidades y el
cálculo de diferencias finitas, que tienen hoy una gran importancia pero que no
jugaron un papel tan importante en el período que aquí consideramos, se les ha
dedicado poca atención. El enorme desarrollo de las últimas décadas nos ha
obligado a incluir únicamente las creaciones del siglo XX que adquirieron su
importancia dentro del período mencionado. Seguir a lo largo del siglo XX el
desarrollo de temas tales como la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias
o el cálculo de variaciones exigiría echar mano de materiales muy
especializados que sólo tienen interés para los investigadores en esos campos
concretos y alargaría excesivamente el libro. Aparte de estas últimas
consideraciones, hay que añadir que resulta muy difícil evaluar objetivamente y
sobre la marcha la importancia de muchos de los desarrollos más recientes.
Precisamente la historia de la matemática nos enseña que muchos temas que
provocaron un enorme entusiasmo y atrajeron la atención de los mejores
matemáticos terminaron cayendo en el olvido. No hay más que recordar la
afirmación de Cayley en el sentido de que la geometría proyectiva es toda la
geometría, o la de Sylvester de que la teoría de invariantes algebraicos resume
todo lo valioso de la matemática. En realidad, una de las preguntas más
interesantes a las que viene a responder la historia es la de qué es lo que
logra sobrevivir en la matemática; la historia hace, ciertamente, su propia y
fundada evaluación.
De los lectores que tengan incluso unos conocimientos básicos de
las docenas de campos más importantes no se puede esperar que conozcan lo
esencial de todos estos desarrollos. Por tanto, y excepto en algunos temas muy
elementales, se explica también el contenido de aquellos cuya historia se está
estudiando, unificando así en cierto modo la exposición con la historia. Estas
explicaciones de las diversas teorías pueden no llegar a clarificarlas
completamente, pero deberían dar al menos una idea de su naturaleza.
Consecuentemente, este libro puede servir en cierto sentido como una
introducción histórica a la matemática; este enfoque constituye ciertamente uno
de los mejores procedimientos para llegar a entender y apreciar correctamente
una teoría.
Esperamos que este libro sea útil tanto para matemáticos profesionales como en
formación. El profesional se ve hoy obligado a dedicar tanto tiempo y energías
a su especialidad, que tiene pocas oportunidades de familiarizarse con su
historia. Y, sin embargo, este marco histórico es muy importante. Las raíces
del presente se hunden profundamente en el pasado, y casi nada de ese pasado
resulta irrelevante para el hombre que trata de entender cómo el presente llegó
a ser lo que es. Por otra parte, la matemática, pese a su proliferación en
cientos de ramas, tiene su unidad propia y sus metas y problemas importantes y,
salvo que los diversos campos contribuyan decididamente al núcleo de la
matemática, corren el peligro de volverse estériles. La manera más segura de
combatir los peligros que amenazan nuestra fragmentada ciencia quizás sea la de
llegar a conocer los logros, tradiciones y objetivos de la matemática en el
pasado, para poder dirigir las investigaciones por vías fructíferas. Como muy
bien dijo Hilbert:
«La matemática es un organismo para cuya fuerza vital es
condición necesaria la unión indisoluble de sus partes.»
Para los estudiantes de matemáticas este libro puede presentar
otro tipo de interés. Los cursos usuales presentan teorías matemáticas que
parecen tener poca relación unas con otras. La historia puede dar la
perspectiva global del tema y relacionar las materias de los cursos no sólo
unas con otras sino también con las líneas centrales del pensamiento
matemático.
Asimismo, dichos cursos también resultan engañosos por otro motivo básico: en
ellos se da una presentación de una teoría organizada lógicamente, que deja la
impresión de que los matemáticos han avanzado de un teorema al siguiente de una
manera casi natural, que pueden superar cualquier dificultad, y que las teorías
están ya completamente trilladas y acabadas. La imponente sucesión de teoremas
hunde en la miseria al alumno, especialmente si está empezando a estudiar la
materia.
La historia, por el contrario, nos enseña que el desarrollo de cualquier rama
de la matemática se ha llevado a cabo de una manera gradual, a base de
resultados que solían provenir de diversas direcciones. También nos enseña que
a menudo se han necesitado décadas, e incluso cientos de años, de esfuerzos
antes de conseguir algún progreso de importancia. Y en lugar de la impresión de
que las teorías están ya completamente trilladas y terminadas, uno se encuentra
con que, a menudo, lo que se ha conseguido es simplemente un punto de partida,
con que hay que rellenar aún muchos huecos, o con que todavía quedan por hacer
las generalizaciones realmente importantes.
Las cuidadas y ordenadas exposiciones que se hacen en los cursos habituales no
muestran en absoluto los conflictos del proceso creativo, las frustraciones, y
el largo y arduo camino que los matemáticos han tenido que recorrer para llegar
a construir una estructura importante. Siendo consciente de esto, el estudiante
no sólo logrará un conocimiento mejor, sino que sacará de ahí el valor
necesario para seguir atacando con tenacidad sus propios problemas, y no se
desanimará por las deficiencias de su propio trabajo. Realmente, el conocimiento
de cómo han avanzado los matemáticos dando traspiés, a veces en la oscuridad
más absoluta, hasta llegar a reunir las piezas individuales de sus resultados,
debería animar a cualquier principiante en la investigación.
Para cubrir el extenso período que pretende describir este libro, hemos tratado
de seleccionar las fuentes más fiables. Para la época anterior al cálculo
infinitesimal, estas fuentes, tales como el libro de T. L. Heath A
History of Greek Mathematics,son obviamente fuentes secundarias, y en esos
casos hemos utilizado varias de ellas y no sólo una. Para los desarrollos
posteriores, casi siempre se ha podido ir directamente a las obras originales,
que afortunadamente pueden encontrarse en las revistas o en las obras completas
de los matemáticos más eminentes. También hemos visto facilitada nuestra labor
por los numerosos informes y resúmenes de investigaciones que se encuentran a
menudo en las ediciones de obras completas. Hemos tratado de dar referencias
concretas de todos los resultados importantes, pero hacerlo así para todos los
teoremas habría supuesto una confusa masa de referencias y un consumo de
espacio que es mejor dedicarlo a la exposición misma.
. Las fuentes utilizadas se indican en las bibliografías de los
finales de capítulo; el lector interesado puede obtener en dichas fuentes mucha
más información de la que hemos extractado aquí. Estas bibliografías incluyen
también muchas referencias que no se podrían considerar como fuentes; sin
embargo, se ha considerado interesante incluirlas bien porque ofrecen
información adicional, porque el nivel de la presentación puede ser útil para
algunos lectores, o porque pueden ser más fácilmente accesibles que las fuentes
originales.
Quiero expresar mi gratitud a mis colegas Martin Burrow, Bruce
Chandler, Martin Davis, Donald Ludwig, Wilhelm Magnus, Carlos Moreno, Harold N.
Shapiro y Marvin Tretkoff, que respondieron a numerosas preguntas, leyeron
muchos capítulos y ejercieron una valiosa crítica. Un agradecimiento muy
especial debo a mi esposa Helen por su crítica del manuscrito, su extensa
comprobación de nombres, fechas y fuentes, así como por su cuidadosa lectura de
las pruebas de imprenta. De gran ayuda resultó la labor de Mrs. Eleanore M.
Gross, que mecanografió todo el texto. Por último, quiero expresar también mi
gratitud a la dirección y equipo de la Oxford University Press por su
escrupulosa edición de este libro.
Morris Kline
Nueva York, Mayo 1972
Capítulo 1
La matemática en Mesopotamia
La lógica puede permitirse ser paciente, puesto que es eterna.
Oliver Heaviside
Contenido:
1. ¿Dónde tuvo su origen la matemática?
2. La historia política de Mesopotamia
3. Los símbolos numéricos
4. Las operaciones aritméticas
5. El álgebra babilónica
6. La geometría babilónica
7. Aplicaciones de la matemática en Babilonia
8. Evaluación global de la matemática babilónica
Bibliografía
1. ¿Dónde tuvo su origen la matemática?
La matemática, entendida como disciplina racional bien
organizada e independiente, no existía antes de que entraran en escena los
griegos de la época clásica, que va más o menos del 600 al 300 a. C. Hubo, sin
embargo, algunas civilizaciones anteriores en las que se desarrollaron los
orígenes o rudimentos primarios de la matemática. Muchas de las civilizaciones
primitivas no llegaron más que a distinguir entre uno, dos y muchos, mientras
que otras consiguieron acceder a números realmente grandes e incluso fueron
capaces de operar con ellos. Otras aún llegaron a reconocer los números como
conceptos abstractos, adoptando palabras especiales como nombres para cada uno
de ellos y símbolos concretos para representarlos, e incluso introdujeron el
uso de una base como el diez, el veinte o el cinco para representar una unidad
de orden superior al ir contando. También nos encontramos con las cuatro
operaciones aritméticas elementales, si bien restringidas a números no muy
grandes, y con la idea de fracción, que solía limitarse, sin embargo, a 1/2,
1/3 y otras análogas, expresadas mediante palabras. Se reconocieron además las
ideas geométricas más sencillas, como la recta, el círculo, los ángulos,
etcétera. No deja de ser interesante hacer notar que el concepto de ángulo
probablemente surgiera de la observación de los distintos ángulos que pueden
formar el muslo y la pierna de una persona, o su brazo y su antebrazo, porque
en muchas lenguas se denomina a un lado de un ángulo con la palabra «brazo» o
«pierna». En español, por ejemplo, se habla a veces de los brazos de un ángulo
recto. Las aplicaciones de la matemática en estas civilizaciones primitivas se
limitaron a cálculos comerciales muy sencillos, al cálculo aproximado de áreas
de campos, a la decoración geométrica de la cerámica, al diseño de dibujos para
reproducirlos repetidamente en los tejidos, y al registro y medida del tiempo.
Hasta que llegamos a la matemática de los babilonios y de los egipcios de hacia
el año 3000 a. C., no encontramos ningún otro progreso matemático. Desde que
los pueblos primitivos decidieron establecerse sedentariamente en una zona
concreta, construyendo viviendas y dedicándose a la agricultura y a la
domesticación de animales hacia el 10000 a. C., podemos ver lo lentamente que
fue dando sus primeros pasos la matemática más elemental. Por otra parte, la
existencia de buen número de civilizaciones sin matemáticas de las que podemos
hablar nos muestra lo diseminado que estuvo antiguamente el cultivo de esta
ciencia.
2. La historia política de Mesopotamia
Los babilonios fueron los primeros de estas dos antiguas
civilizaciones en contribuir al desarrollo de las corrientes centrales de la
matemática. Nuestros conocimientos acerca de las civilizaciones antiguas del
Próximo Oriente, y de Babilonia en particular, son en su mayor parte el
resultado de la investigación arqueológica de los últimos cien años, y por este
motivo dichos conocimientos son bastante incompletos y sujetos a correcciones y
modificaciones según se vayan haciendo nuevos descubrimientos. El adjetivo
«babilónico» se aplica, abusando un tanto del lenguaje, a toda una serie de
pueblos que ocuparon, simultáneamente o de manera sucesiva, la región
comprendida entre los ríos Éufrates y Tigris y sus alrededores, región conocida
como Mesopotamia y que hoy forma parte del Estado moderno de Irak. Estos
pueblos vivieron en una serie de ciudades, a veces incluso políticamente
independientes unas de otras, tales como Babilonia, Ur, Nippur, Susa, Assur,
Uruk, Lagash, Kish y otras. Hacia el 4000 a. C. se instalaron en el sudeste de
Mesopotamia los sumerios, distintos étnicamente de los semitas y de los pueblos
indogermánicos posteriores. Su capital fue Ur, y el territorio que ocuparon se
llamó Sumer. Aunque la cultura que desarrollaron los sumerios alcanzó su apogeo
hacia el 2250 a. C., antes incluso, hacia el 2500 a. C., fueron dominados
políticamente por los acadios, un pueblo semita cuya capital era Accad,
gobernados en esa época por el rey Sargón, y así la brillante cultura sumeria
quedó fusionada con la acadia, que la asimiló. Un período de alto nivel
cultural se produjo durante el reinado del rey Hammurabi (hacia el 1700 a. C.),
bien conocido como autor y promulgador de un famoso código legal.
Hacia el año 1000 a. C., nuevas migraciones y la introducción
del hierro trajeron consigo nuevos cambios, y más tarde, durante el siglo VIII
a. C., la región fue controlada por los asirios, que procedían de la zona
montañosa del alto Tigris. Por lo que sabemos, los asirios no añadieron nada
nuevo a la cultura anterior, y un siglo más tarde vemos el imperio asirio
compartido por los caldeos y los medos, estos últimos muy próximos étnicamente
a los persas, que vivían más al Este. A este período de la historia de
Mesopotamia (siglo VII a. C.) se le suele llamar período caldeo. El Próximo
Oriente cayó en poder de los persas, con el rey Ciro, hacia el 540 a. C., y
algunos matemáticos persas de la época, tales como Nabu-Rimanni (ca. 490 a. C.)
y Kidinu (ca. 480 a. C.) llegaron a ser conocidos por los griegos.
El año 330 a. C., Alejandro Magno, el gran general griego,
conquistó Mesopotamia, y al período que va del 300 a. C. a los comienzos de
nuestra era se le suele llamar período seléucida, del nombre del general griego
que fue el primero en controlar la región a la muerte de Alejandro en el verano
del año 323 a. C. Sin embargo, para entonces ya se había producido el
florecimiento de la matemática griega, y desde la época de Alejandro hasta
mediados del siglo VII d. C., en que entraron en escena los árabes, fue la
influencia griega la que predominó en el Próximo Oriente. En cualquier caso, la
mayor parte de las contribuciones de los babilonios a la matemática son muy
anteriores al período seléucida.
A pesar de los numerosos y frecuentes cambios de gobernantes en
Mesopotamia, en el desarrollo de la matemática se dio una continuidad notable
de conocimientos, tradición y práctica desde los tiempos más antiguos hasta la
época de Alejandro por lo menos.
3. Los símbolos numéricos
La principal fuente de información que tenemos sobre la
civilización y la matemática babilónica, tanto de la antigua como de la más
reciente, la constituyen los textos grabados en tablillas de arcilla. Estos
textos se escribían sobre las tablillas cuando la arcilla aún estaba blanda, y
a continuación se cocían en hornos o simplemente se endurecían al sol. Este
procedimiento ha garantizado la buena conservación de las que no han resultado
destruidas. Estas tablillas datan principalmente de dos períodos: algunas de
hacia el 2000 a. C., y en mayor cantidad del período que va desde el 600 a. C.
al 300 d. C. Las del primer período son las más importantes por lo que se
refiere a la historia de la matemática.
La lengua y la escritura utilizadas en las tablillas del período
más antiguo es el acadio, que se superpuso al tipo de lenguaje y escritura
sumerios, más antiguo aún, como hemos dicho. Las palabras de la lengua acadia
consistían en una o más sílabas, y cada sílaba venía representada por un grupo
de signos que se reducían esencialmente a pequeños segmentos rectilíneos. Los
acadios utilizaban para escribir un prisma de sección triangular, que apoyaban
sobre la tablilla en una posición inclinada, produciendo así unas señales en
forma de «cuña» orientadas en distintas direcciones. Esta escritura recibió más
tarde el nombre de «cuneiforme», de la palabra latina cuneus, que
significa «cuña».
La aritmética alcanzó su más alto grado de desarrollo en la civilización
babilónica durante el período acadio. Los números naturales se escribían de la
manera siguiente:
Las características más sorprendentes del sistema numérico
babilónico son el principio de notación posicional y la base 60.
Al principio, los babilonios no tenían ningún símbolo para
indicar la ausencia de unidades de un orden o posición cualquiera y, por lo
tanto, sus numerales podían resultar ambiguos; así, por ejemplo
Pero los babilonios también utilizaron el principio de notación posicional para
representar las fracciones, lo que constituye sin duda el aspecto más notable y
útil de su invención. Así, por ejemplo,
Algunas de las fracciones más sencillas venían representadas por símbolos
especiales. Así, nos encontramos con
En realidad, los babilonios no utilizaron exclusivamente la base 60. A veces,
sobre todo para representar años, escribían cosas como 2 me 25,
donde la palabra merepresenta 100, es decir, que se trata del año
225. De la misma manera se usó limu para 1.000, generalmente
en textos no matemáticos, aunque a veces aparezca incluso en algunos textos
matemáticos del período seléucida. También se pueden encontrar a veces
mezclados el 10 y el 60, como en 2 me 1, 10, que significa
2 x 100 + 1 x 60 + 10 = 270. Sistemas mixtos, utilizando
una amplia variedad de unidades de diversos órdenes, tales como 60, 24, 12, 10,
6 y 2, se usaron para fechas, áreas, medidas de peso, monedas, etc., más o
menos como nosotros usamos 12 para las horas, 60 para los minutos y los
segundos, 10 para contar, etc. El sistema babilónico, en el fondo lo mismo que
el nuestro, constituía el resultado de diversas costumbres históricas y
regionales. Sin embargo, en los textos matemáticos y astronómicos utilizaron
casi exclusivamente la base 60.
No sabemos con seguridad cómo llegó a generalizarse el uso de esta base 60. Una
de las posibles explicaciones sugiere que pudo venir aconsejada por los
diferentes sistemas de medidas de peso; supongamos que tenemos un sistema de
medidas de peso con valores que están entre sí en las relaciones
1/2, 1/3, 2/3, 1, 10
y supongamos que hay otro sistema con una unidad distinta pero
las mismas relaciones anteriores, y que razones de tipo político o social
aconsejan fusionar los dos sistemas (como si se tratara de metros y pies, por
ejemplo). Si la mayor de las dos unidades fuera 60 veces la menor, entonces
1/2, 1/3 y 2/3 de la mayor serían múltiplos enteros de la menor, y así podría
haberse adoptado la unidad mayor por resultar tan conveniente.
En cuanto a los orígenes de la notación posicional, hay al menos dos
explicaciones posibles. En un sistema antiguo de escritura numérica, 1
multiplicado por 60 venía representado por un símbolo
4. Las operaciones aritméticas
En el sistema babilónico los símbolos para el 1 y para el 10 eran los símbolos
básicos; los números del 1 al 59 se construían combinando más o menos de estos
símbolos, de manera que las operaciones de sumar y restar se reducían a añadir
o quitar símbolos. Para representar la suma los babilonios reunían las dos
expresiones en una sola, como en
También efectuaban los babilonios multiplicaciones de números enteros:
multiplicar por 37, por ejemplo, suponía multiplicar por 30, luego por 7, y
sumar los resultados. El símbolo específico para la multiplicación era
Para dividir un número entero por otro los babilonios procedían de la manera
usual, y dado que dividir por un entero a es lo mismo que
multiplicar por su inverso 1/a, en este punto se presentaban
inevitablemente las fracciones. Los babilonios representaban los inversos como
«decimales» sexagesimales y, salvo en los pocos casos que hemos mencionado más
arriba, no utilizaban símbolos especiales para las fracciones. Para ello se
habían construido tablas que mostraban cómo expresar números del tipo 1/a en
forma sexagesimal finita, donde a = 2α3β5γ.
Sólo en algunas tablillas se dan valores aproximados para 1/7, 1/11, 1/13,
etc., porque estas fracciones conducen a expresiones sexagesimales infinitas
que se repiten periódicamente. Cuando aparecían en los problemas más antiguos
fracciones con denominadores que incluían algún factor primo distinto de 2, 3 ó
5, entonces el mismo factor molesto aparecía también en el numerador y
simplemente se cancelaba uno con otro.
Los babilonios utilizaron sistemáticamente estas tablas de inversos. Dichas
tablas nos muestran textos como el siguiente, por ejemplo:
que significa, obviamente, que 1/2 = 30/60, 1/3 = 20/60, etc. El
significado exacto de las palabras igi y gál-bi nos es
desconocido. Las fracciones sexagesimales, es decir, los números menores que 1
expresados en términos de las sucesivas potencias de 60, 60-1, 60-2,
etc., pero en las que los denominadores simplemente se sobreentendían, se
siguieron usando por los griegos, como Hiparco y Ptolomeo, así como en la
Europa renacentista hasta finales del siglo XVI, en que se vieron desplazados
al fin por los «decimales» en base 10.
Los babilonios disponían también de tablas de cuadrados, raíces cuadradas,
cubos y raíces cúbicas. Cuando la raíz en cuestión era un número entero se daba
su valor exacto, y para las demás el valor sexagesimal correspondiente era sólo
aproximado, desde luego, puesto que los números irracionales no se pueden
expresar con un número finito de cifras decimales ni sexagesimales. Sin
embargo, no hay ninguna evidencia en absoluto de que los babilonios fueran
conscientes de este importantísimo hecho, sino que lo más plausible es que
creyeran que los irracionales también se podían expresar de manera exacta en
forma sexagesimal, prolongando la expresión hasta donde fuera necesario. Una
excelente aproximación babilónica a √2 da como valor √2 = 1,414213... en vez
del correcto 1,414214...
Las raíces aparecen, por ejemplo, al calcular la diagonal d de
un rectángulo de altura h y base w. En un
problema se pide calcular la diagonal de una puerta rectangular de altura y
anchura dadas; la respuesta viene dada sin más explicaciones, y se reduce a
utilizar la fórmula aproximada para la diagonal d,
Esta fórmula da una buena aproximación de d si h
> w. Así, para el caso h > w,como ocurre en un
problema, se puede ver que el resultado es bastante razonable, observando que
Si desarrollamos la última expresión aplicando el teorema
binomial y nos quedamos con los dos primeros términos solamente, obtenemos
exactamente la fórmula anterior. Otros resultados aproximados para problemas de
raíces cuadradas provienen seguramente de tablas numéricas, tan frecuentes en
la matemática babilónica.
5. El álgebra babilónica
Aparte de las tablas, que nos suministran abundante información sobre el
sistema numérico y las operaciones aritméticas babilónicas, hay otras con
textos que contienen problemas algebraicos y geométricos. Un problema típico
del álgebra babilónica más antigua pide hallar un número tal que sumado a su
inverso dé un número dado. En notación moderna podemos escribir que lo que
buscaban los babilonios eran dos números x y x tales que
Estas dos ecuaciones dan como resultante una ecuación cuadrática
en x,
x2 - bx + 1 = 0.
Los babilonios calculaban b/2, luego (b/2)2 y
por último
entonces
son los valores buscados de x y x'. Los
babilonios disponían, en efecto, de la fórmula para resolver ecuaciones
cuadráticas. Otros problemas, como el de hallar dos números, dados su suma y su
producto, se reducían al caso anterior. Dado que los babilonios no conocían los
números negativos, nunca se consideran las posibles raíces negativas de las
ecuaciones de segundo grado. A pesar de que en las tablillas sólo aparecen
ejemplos concretos, la mayoría de ellos sin duda intentaba ilustrar un método
general para las ecuaciones cuadráticas; los casos de problemas algebraicos más
complicados se reducían por medio de transformaciones a otros más sencillos.
Los babilonios llegaron a resolver problemas concretos que conducían a sistemas
de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, e incluso hay un problema, que
aparece en el contexto de una corrección de observaciones astronómicas, que
conduce a un sistema de diez ecuaciones con diez incógnitas, la mayor parte de
ellas lineales. La solución del sistema utiliza un método especial de ir
combinando las ecuaciones hasta llegar a calcular los valores de las
incógnitas.
Los problemas algebraicos aparecen formulados y resueltos de una manera
completamente verbal, sin utilizar símbolos especiales. A menudo aparecen las
palabras us (longitud), sag (anchura) y asa (área)
utilizadas para representar las incógnitas, no porque dichas incógnitas
representen necesariamente tales cantidades geométricas, sino probablemente
porque muchos problemas algebraicos surgieron de situaciones geométricas y la
terminología geométrica acabó por imponerse como terminología corriente. Un
ejemplo de la manera en que se utilizaban estos términos para representar las
incógnitas, así como de la forma en que aparecen formulados los problemas,
puede ser el siguiente:
«He multiplicado la longitud por la anchura y el área es 10. He
multiplicado la longitud por ella misma y he obtenido un área. El exceso de la
longitud sobre la anchura lo he multiplicado por sí mismo y el resultado por 9.
Y esta área es el área obtenida multiplicando la longitud por ella misma.
¿Cuáles son la longitud y la anchura?»
Es evidente que aquí las palabras longitud, anchura y área son
simplemente nombres cómodos para las dos incógnitas y su producto,
respectivamente.[2]
Hoy escribiríamos este problema simplemente como
xy = 10
9(x - y)2= x2
La solución, dicho sea de paso, conduce a una ecuación de cuarto
grado en x, en la que faltan los términos en x3 y
en x, de manera que en realidad es lo que nosotros llamamos una
ecuación bicuadrada, que se puede resolver como una ecuación cuadrática
en x2, y así lo hicieron los antiguos babilonios.
También aparecen problemas que conducen a raíces cúbicas; uno de estos
problemas, formulado en simbolismo moderno, es el siguiente:
donde V es un volumen dado. Aquí, para
calcular x tenemos que extraer una raíz cúbica; para ello los
babilonios calculaban dicha raíz a partir de las tablas de cubos y raíces
cúbicas que hemos mencionado más arriba. Aparecen también problemas de interés
compuesto en los que se pide calcular el valor de una incógnita que figura en
un exponente.
En realidad los babilonios utilizaron a veces símbolos especiales para las
incógnitas, pero este simbolismo pasó inadvertido. En algunos problemas
aparecen dos palabras sumerias especiales (un poco modificadas por
terminaciones acadias) para representar dos incógnitas que son una inversa de
la otra. Además, se utilizaban de hecho los antiguos pictogramas sumerios para
estas palabras, y como ya no se usaban tales pictogramas en el lenguaje usual,
el efecto era el mismo que si se utilizasen símbolos especiales para
representar las incógnitas. Estos símbolos se usaron repetidamente y se pueden
identificar fácilmente, incluso sin saber cómo se pronunciaban en acadio.
En la resolución de los problemas algebraicos solamente se iban explicando las
etapas necesarias para llegar a la solución. Por ejemplo:
«eleva al cuadrado 10, lo que da 100; resta 100 de 1.000, lo que
da 900», etc.
Dado que no aparece razón alguna que justifique cada etapa, lo
único que podemos hacer nosotros es inferir cómo sabían lo que había que hacer.
En algunos problemas concretos sumaban los babilonios progresiones aritméticas
y geométricas; nos encontramos, por ejemplo, en nuestra notación, con la suma
1 + 2 + 4 +... + 29 = 29 + (29 -
1) = 210 - 1.
También aparece la suma de los cuadrados de los números enteros
del 1 al 10, como si se hubiera calculado aplicando la fórmula
Sin embargo, los casos concretos que aparecen en los textos no
vienen acompañados de demostración alguna.
El álgebra babilónica incluía también algo de lo que nosotros llamamos teoría
de números. Así, aparecen calculadas muchas ternas pitagóricas, probablemente
aplicando la regla correcta, es decir, que si
x = p2 - q2
y = 2pq
z = p2 + q2
entonces
x2 + y2 = z2.
Y también resolvieron la ecuación
x2 + y2 = 2z2
para números enteros.
6. La geometría babilónica
El papel de la geometría en Babilonia fue prácticamente
insignificante, no llegando a constituir una rama independiente de la
matemática. Los problemas sobre divisiones de campos o sobre tamaños de
ladrillos necesarios para alguna construcción se convertían inmediatamente en
problemas algebraicos. Algunos cálculos de áreas y volúmenes se daban siguiendo
ciertas reglas o fórmulas; sin embargo, las figuras que ilustran los problemas
geométricos aparecen dibujadas toscamente y las fórmulas utilizadas a menudo son
incorrectas. En los cálculos babilónicos de áreas, por ejemplo, no puede
decirse con seguridad si los triángulos son rectángulos o si los cuadriláteros
son cuadrados y, por lo tanto, si las fórmulas aplicadas son correctas o no
para las figuras en cuestión. Sin embargo, ya se conocían la relación
pitagórica, la semejanza de triángulos y la proporcionalidad de los lados
correspondientes en triángulos semejantes. Al parecer, el área del círculo se
calculaba siguiendo la regla A = c2/12,
donde c es la longitud de la circunferencia; esta regla
equivale, evidentemente, a utilizar 3 como valor de π. Sin embargo, otro de sus
resultados, en el que se da la relación entre el perímetro de un hexágono
regular y su circunferencia circunscrita, supone adoptar un valor de 3 1/8 para
π.
Se sabía calcular, unos, correcta y otros incorrectamente,
algunos volúmenes que se presentaban al resolver problemas físicos concretos.
Aparte de algunos hechos especiales, tales como el cálculo del radio de la
circunferencia circunscrita a un triángulo isósceles dado, la geometría
babilónica venía a reducirse a una colección de reglas para el cálculo de áreas
de figuras planas sencillas, incluyendo los polígonos regulares, y de los
volúmenes de cuerpos sólidos también sencillos. La geometría no se estudió
nunca en sí y por sí misma, sino siempre en conexión con problemas prácticos.
7. Aplicaciones de la matemática en Babilonia
A pesar de su limitada extensión, la matemática entraba en
muchos aspectos de la vida de los babilonios. Babilonia era un cruce de
importantes rutas comerciales, y los babilonios utilizaron sus conocimientos de
aritmética y de álgebra elemental aplicados a longitudes y pesos, a
intercambios de moneda y mercancías, al cálculo de interés simple y compuesto,
de los impuestos y de las porciones de una cosecha a pagar al granjero, al
templo y al Estado, mientras que los problemas de herencias y divisiones de campos
conducían a problemas algebraicos. La mayoría de los textos cuneiformes que
tratan de matemáticas (excluyendo las tablas y textos de ejercicios) se
refieren a problemas económicos. No hay duda, pues, de la influencia de la
economía en el desarrollo de la aritmética del período más antiguo.
La construcción de canales, presas y otros proyectos de riego exigía cálculos,
y el uso de ladrillos planteaba numerosos problemas numéricos y geométricos.
Otros cálculos útiles eran los de volúmenes de graneros y edificios, y los de
áreas de campos. La estrecha relación entre la matemática babilónica y los
problemas prácticos aparece tipificada en lo siguiente: se trata de excavar un
canal de sección trapezoidal y de dimensiones dadas. Se conoce también lo que
puede cavar un hombre en un día, así como la suma del número de hombres
empleados y los días que han de trabajar. El problema consiste en calcular el
número de hombres y el número de días de trabajo.
Dado que la conexión entre matemática y astronomía se hizo esencial desde la
época de los griegos en adelante, es interesante saber qué conocían los
babilonios sobre astronomía. De la astronomía sumeria no sabemos nada, y
durante el período acadio la astronomía fue cualitativa y rudimentaria;
indudablemente el desarrollo de la matemática precedió al desarrollo de
cualquier tipo importante de astronomía. Durante el período asirio (hacia el
700 a. C.), la astronomía comenzó a incluir descripciones matemáticas de los
fenómenos y un registro sistemático de los datos de observación. El uso de la
matemática aumentó sustancialmente durante los tres últimos siglos antes de
nuestra era, dedicándose de manera especial al estudio de los movimientos
lunares y planetarios; de hecho, la mayor parte de los textos astronómicos data
de este período seléucida. Estos textos pueden clasificarse en dos grupos:
efemérides planetarias y tablas de posiciones de los cuerpos celestes en
diversas épocas. Hay indicaciones de cómo calcular las efemérides.
La aritmética que hay detrás de las observaciones lunares y solares muestra que
los babilonios calculaban las diferencias primeras y segundas de los datos
sucesivos, observaban la constancia de esas diferencias primeras o segundas y
extrapolaban o interpolaban para otros datos. Su manera de proceder equivalía a
utilizar el hecho de que los datos pueden ajustarse mediante funciones
polinómicas, lo que les permitía predecir la posición diaria de los planetas.
Conocían con cierta exactitud los períodos de los planetas y utilizaban los
eclipses como base de cálculo. No hubo, sin embargo, ningún esquema geométrico
del movimiento lunar o planetario en la astronomía babilónica.
Los babilonios del período seléucida disponían ya de extensas tablas sobre los
movimientos del Sol y de la Luna, que les daban velocidades y posiciones
variables. También aparecían en las tablas, o se podían obtener fácilmente de
ellas, conjunciones especiales y eclipses del Sol y de la Luna; así pues, los
astrónomos podrían predecir las lunas nuevas y los eclipses dentro de un margen
de pocos minutos. Sus datos indican que conocían la longitud del año solar o
tropical (o año de las estaciones) como 12 + 22/60 + 8/602 meses
(de Luna nueva a Luna nueva), y la longitud del año sidéreo (el tiempo que
emplea el Sol en volver a la misma posición relativa a las estrellas) con menos
de 4 1/2 minutos de margen.
Las constelaciones que dan sus nombres a los doce signos del Zodiaco ya se
conocían antes, pero el Zodiaco mismo aparece por primera vez en un texto del
año 419 a. C. Cada sector del Zodiaco abarcaba un arco de 30 grados y las
posiciones de los planetas en el cielo se fijaban con respecto a las estrellas
y también por su posición en el Zodiaco.
La astronomía servía para fines muy diversos. Para empezar, era necesaria para
hacer el calendario, que venía determinado por las posiciones del Sol, la Luna
y las estrellas. El año, el mes y el día son cantidades astronómicas que hay
que calcular con exactitud para conocer la época de la siembra y las fiestas
religiosas, por ejemplo. En Babilonia, debido en parte a la conexión del
calendario con las fiestas y ceremonias religiosas, y en parte a que los
cuerpos celestes eran considerados como dioses, eran los sacerdotes los
encargados de llevar el calendario.
Este calendario era básicamente lunar; el mes comenzaba con la primera
aparición del cuarto creciente después del oscurecimiento total de la Luna o
Luna nueva, mientras que el día comenzaba por la tarde de la primera aparición
del cuarto creciente y duraba de puesta del Sol a puesta del Sol. El calendario
lunar es difícil de mantener porque, aunque conviene que el mes contenga un
número entero de días, los meses lunares, calculados a base del tiempo entre
dos conjunciones sucesivas del Sol y de la Luna (es decir, de Luna nueva a Luna
nueva), varía de 29 a 30 días. Por lo tanto, se plantea el problema de decidir
qué meses han de tener 29 y cuáles 30. Otro problema, más importante aún, es el
de poner de acuerdo el calendario lunar con las estaciones. La solución es muy
complicada porque depende de las trayectorias y velocidades del Sol y de la
Luna. El calendario lunar contenía meses extra intercalados entre los normales,
de manera que 7 de éstos cada 19 años venían a mantener aproximadamente de
acuerdo el calendario lunar con el año solar, de manera que 235 meses lunares
equivalían a 19 años solares. Se calculaba sistemáticamente el solsticio de
verano, y tanto el solsticio de invierno como los equinoccios se colocaban a
intervalos iguales. Este calendario fue utilizado por los judíos, los griegos y
los romanos hasta el 45 a. C., en que se adoptó el calendario llamado Juliano.
La división del círculo en 360 grados tuvo su origen en la astronomía
babilónica de los últimos siglos anteriores a la era cristiana, y no parece
haber tenido nada que ver con la utilización anterior de la base 60; sin
embargo, la base 60 sí se usó para dividir el grado y el minuto en 60 partes
cada uno, y el astrónomo Ptolomeo (siglo II d. C.) siguió a los babilonios en
esta práctica.
Estrechamente relacionada con la astronomía estuvo la astrología. En Babilonia,
como en tantas civilizaciones antiguas, los cuerpos celestes se consideraron
como dioses y, por lo tanto, se suponía que tenían influencia e incluso control
sobre los asuntos de los hombres. Teniendo en cuenta la importancia del Sol
para la luz, el calor y el crecimiento de las plantas, el terror inspirado por
sus eclipses, y muchos fenómenos estacionales como el apareamiento de los
animales, resulta fácil entender la creencia de que los cuerpos celestes
afectan incluso a los acontecimientos diarios en la vida del hombre.
Los sistemas de predicción seudocientíficos en las antiguas civilizaciones no
siempre tuvieron que ver con la astronomía; los números mismos tenían presuntas
propiedades místicas y podían utilizarse también para hacer predicciones.
Podemos encontrar algunos usos babilónicos en el Libro de Daniel y en los
escritos de los profetas del Antiguo y Nuevo Testamento. La «ciencia» hebrea de
la geometría (una forma de misticismo cabalístico) se basaba
en el hecho de que cada letra del alfabeto tenía un valor numérico determinado,
porque los hebreos usaban las letras para representar números. Si la suma de
los valores numéricos de las letras en dos palabras era la misma, se deducía
una importante conexión entre las dos ideas o personas o sucesos representados
por esas dos palabras. En la profecía de Isaías (21:8), el león proclama la
caída de Babilonia, debido a que las letras en la palabra hebrea para león y
para Babilonia suman lo mismo.
8. Evaluación global de la matemática babilónica
La utilización por parte de los babilonios de términos y
símbolos especiales para las incógnitas, el uso de algunos símbolos operativos
y su solución de algunos tipos de ecuaciones con una o más incógnitas,
especialmente las ecuaciones cuadráticas, constituye el punto de partida del
álgebra. El desarrollo de un método sistemático para escribir números enteros y
fracciones les permitió disponer de una aritmética bastante avanzada y
utilizarla en muchas situaciones prácticas, especialmente en astronomía. Podríamos
decir que alcanzaron un tipo de habilidad numérica y algebraica para resolver
ecuaciones especiales de grado más alto, pero, consideradas globalmente, su
aritmética y su álgebra fueron muy elementales. A pesar de que trabajaban con
números y problemas concretos, mostraron un cierto grado de abstracción
matemática al reconocer que algunos métodos eran propios de determinadas clases
de ecuaciones.
También se plantea la cuestión de hasta qué punto utilizaron los babilonios la
idea de demostración en matemáticas. Efectivamente, resolvieron, mediante
procedimientos sistemáticos correctos, ecuaciones bastante complicadas y, sin
embargo, se limitaban a dar instrucciones verbales de los cálculos a realizar,
sin justificarlos de ninguna manera. Es casi seguro que los procesos
aritméticos y algebraicos y las reglas geométricas que utilizaron fueran el
resultado final de la evidencia física misma, acompañada del método de ensayo y
error; para los babilonios resultaba justificación suficiente para seguir
utilizando dichos procesos el que funcionasen aceptablemente bien. En resumen,
en la matemática babilónica no se encuentra ni el concepto de demostración, ni
la idea de una estructura lógica basada en principios que merecieran aceptación
por un motivo u otro, ni la consideración de cuestiones tales como las de bajo
qué condiciones pueden existir soluciones de los problemas.
Bibliografía
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Development of Mathematics,2.a ed., McGraw-Hill, capítulos
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Van der Waerden, B.
L.: Science Awakening,P. Noordhoff, 1954, caps. 2-3.
Capítulo 2
La matemática egipcia
La ciencia toda, incluida la lógica y la matemática, es función
de la época; la totalidad de la ciencia, tanto en sus ideales como en sus
logros.
E. H. Moore
Contenido:
1. El marco histórico
2. La aritmética
3. Algebra y geometría
4. Aplicaciones de la matemática egipcia
5. Resumen
Bibliografía
1. El marco histórico
Mientras que en Mesopotamia los pueblos que ejercieron el
dominio sociopolítico del país a lo largo de su historia cambiaron con
frecuencia, con el resultado de la aparición de nuevas influencias culturales,
la civilización egipcia se desarrolló sin verse afectada prácticamente por
influencias extranjeras. Desconocemos los orígenes de esta civilización, pero
seguramente existía ya incluso antes del 4000 a. C. Egipto, como decía el
historiador griego Heródoto, es un regalo del Nilo. Una vez al año, este río,
que recoge sus aguas en el lejano sur del África central y de Abisinia, inunda
casi todo el territorio que se extiende a lo largo de sus riberas, y deja
fértiles depósitos de limo al retirarse. La mayor parte de la población vivía
de cultivar estas tierras, y aún hoy lo sigue haciendo; el resto del país es un
desierto.
Al principio hubo dos reinos, uno en el norte y otro en el sur
de lo que es hoy Egipto, hasta que, en algún momento entre el 3500 y el 3000 a.
C., el rey Menes unificó los llamados Alto y Bajo Egipto. A partir de ese
momento, los grandes períodos de la historia egipcia se establecen
cronológicamente en términos de las distintas dinastías reinantes, considerando
a Menes como el fundador de la primera dinastía. La culminación de la cultura
egipcia se produjo en torno a la tercera dinastía (hacia el 2500 a. C.),
durante la cual los faraones hicieron construir las grandes pirámides. La
civilización egipcia siguió sus propios derroteros hasta que Alejandro Magno
conquistó el país el año 332 a. C. En adelante, y hasta poco después del 600 d.
C., tanto su historia como su matemática pertenecen ya a la cultura griega. Así
pues, dejando aparte una invasión menor de los hiksos (1700-1600 a. C.), y
algunos contactos con la civilización babilónica (que se deducen del
descubrimiento en el valle del Nilo de las llamadas tablillas cuneiformes de
Tell al-Amarna, de hacia el 1500 a. C.), la civilización egipcia fue una
creación altamente original del pueblo que vivió durante esos tres milenios en
el valle del Nilo.
Los antiguos egipcios desarrollaron sus propios sistemas de
escritura. Uno de ellos, y el más antiguo, la escritura jeroglífica, era de
tipo pictórico, es decir, que cada símbolo era el dibujo de algún objeto
concreto. La escritura jeroglífica se utilizó mucho en los monumentos hasta
comienzos de nuestra era, pero desde el 2500 a. C., aproximadamente, los
egipcios usaron en la vida diaria, al escribir sobre papiro, la llamada
escritura hierática. Este sistema utilizaba símbolos convencionales que en principio
habían sido meras simplificaciones de los símbolos jeroglíficos por un proceso
de estilización. La escritura hierática es silábica; cada sílaba venía
representada por un ideograma, y una palabra completa por una colección de
ideogramas. El significado de cada palabra no tiene, en general, nada que ver
con el de cada ideograma por separado.
La escritura usual se hacía con tinta negra o roja sobre papiro.
Las hojas de papiro se producían cortando en tiras delgadas el tallo de la
planta del mismo nombre, pegando estas tiras en dos capas cruzadas,
prensándolas y encolándolas. Debido a que el papiro, al secarse excesivamente,
se resquebraja, nos han llegado pocos documentos del antiguo Egipto, dejando
aparte las inscripciones jeroglíficas sobre piedra, abundantes, pero que
transmiten escasa información interesante.
Los documentos matemáticos más importantes que han sobrevivido
son dos papiros bastante extensos: el papiro de Moscú, que se conserva en un
museo de la capital rusa, y el papiro Rhind, descubierto en 1858 por el
anticuario escocés A. Henry Rhind y ahora en el British Museum. El papiro Rhind
también se conoce como papiro de Ahmes, por el nombre de su autor, que comienza
con las siguientes palabras: «Cálculo Exacto para Entrar en Conocimiento de
Todas las Cosas existentes y de Todos los Oscuros Secretos y Misterios.»
Ambos papiros datan de hacia el 1700 a. C. También hay algunos fragmentos de
otros papiros escritos en la misma época y posteriores. Estos papiros de tipo
matemático fueron redactados por escribas que eran funcionarios del Estado
egipcio o administradores de los templos.
Lo que contienen los papiros son problemas y sus soluciones, 85
en el papiro Rhind y 25 en el papiro de Moscú. Es posible que tales problemas
se les presentasen a los escribas en su trabajo, y se esperaba que los supiesen
resolver, pero lo más probable es que los problemas que figuran en los dos
papiros más importantes tuvieran una intención pedagógica, como ejemplos más o
menos artificiales de problemas típicos y sus soluciones. A pesar de que estos
papiros datan, como hemos dicho, de hacia 1770 a. C., las matemáticas que
aparecen en ellos probablemente las conocían ya los egipcios en fecha tan
remota como el 3500 a. C., y poco fue lo que se añadió desde esa época hasta la
conquista griega.
2. La aritmética
Los símbolos numéricos jeroglíficos que utilizaron los egipcios fueron
|
1 |
| |
|
10 |
∩ |
|
100 |
|
|
1.000 |
|
|
10.000 |
|
|
100.000 |
|
|
1.000.000 |
|
Estos símbolos se combinaban para formar números intermedios, siendo la
dirección de la escritura de derecha a izquierda, de manera que
| | | | ∩∩
por ejemplo, representaba 24. Se trata, pues, de un sistema de
escritura numérica que usa la base 10, pero no es posicional, sino aditivo.
En escritura hierática egipcia, los símbolos para los diez primeros números
naturales son los siguientes:
La aritmética egipcia fue esencialmente aditiva; para las sumas
y restas usuales se limitaban a combinar o a cancelar los diferentes símbolos
hasta llegar al resultado concreto. La multiplicación y la división también se
reducían en último término a procesos aditivos, pero el cálculo era un poco más
complicado. Para calcular 12 por 12, por ejemplo, los egipcios hacían lo
siguiente:
|
1 |
12 |
|
2 |
24 |
|
4 |
48 |
|
8 |
96 |
Cada línea se obtiene de la anterior por duplicación, y como 4 + 8 = 12 y 4 x
12 = 48 y 8 x 12 = 96, sumando 48 y 96 se obtiene el valor de 12 por 12. Como
se ve, este proceso es bastante distinto del usual de multiplicar por 10, luego
por 2, y sumar. La multiplicación por 10 se efectuaba a veces sustituyendo los
símbolos de las decenas por símbolos para 100, etc.
Particularmente interesante resulta el método utilizado por los egipcios para
dividir un número por otro. Por ejemplo, para dividir 19 por 8 procedían de la
manera siguiente:
|
1 |
8 |
|
2 |
16 |
|
1/2 |
4 |
|
1/4 |
2 |
|
1/8 |
1 |
y, por lo tanto, la respuesta era 2 + 1/4 + 1/8. La idea consiste simplemente
en tomar el número de ochos y de partes de 8 que sumen 19.
El método de representación de las fracciones en el sistema numérico egipcio
era mucho más complicado que el nuestro. El símbolo
Los egipcios disponían de unos pocos símbolos especiales para
algunas fracciones muy concretas. Así, los jeroglíficos representaban
|
|
1/2 |
|
|
2/3 |
|
|
1/4 |
Aparte de esas pocas especiales, todas las demás fracciones se descomponían en
lo que llamamos fracciones unitarias. Así, por ejemplo, Ahmes escribe 2/5 como
1/3 + 1/15, donde el signo más no aparece pero se sobreentiende. El
papiro Rhind contiene al principio una tabla en la que se expresan las
fracciones de numerador 2 y de denominador impar entre 5 y 101, como sumas de
fracciones unitarias. Por medio de esta tabla una fracción tal como la 7/29,
que para Ahmes significa 7 dividido por 29, podría expresarse como suma de
fracciones unitarias: dado que 7 = 2 + 2 + 2 + 1, Ahmes procede a convertir
cada 2/29 en una suma de fracciones unitarias; combinando estos resultados y
modificándolos un poco llega a una suma de fracciones unitarias, todas de
distinto denominador, que dan la expresión final para 7/29 en la forma
Es fácil comprobar que 7/29 también puede expresarse como
1/5 + 1/29 + 1/145
pero como la tabla de 2/n de Ahmes conduce a la
expresión anterior, es ésta la que se usa. La expresión de una de nuestras
fracciones a/b como suma de fracciones unitarias se
practicó de manera sistemática en Egipto siguiendo métodos y reglas elaborados
a lo largo de siglos desde una remota antigüedad. Los egipcios efectuaban las
cuatro operaciones aritméticas con fracciones utilizando las fracciones
unitarias. Los frecuentes y complicados cálculos con fracciones fueron sin duda
una de las razones de que los egipcios no llegaran a desarrollar nunca una
aritmética ni un álgebra avanzadas.
La naturaleza de los números irracionales tampoco llegó a reconocerse en la
aritmética egipcia, al igual que no lo había sido en la babilónica. Las raíces
cuadradas sencillas que aparecían en los problemas aritméticos o algebraicos se
podían expresar, y se expresaron, en términos de números enteros y de
fracciones.
3. Algebra y geometría
Los papiros que nos han llegado contienen también soluciones de problemas con
una incógnita, que vienen a ser equivalentes a nuestra resolución de ecuaciones
lineales. Sin embargo, los procesos seguidos eran puramente aritméticosy
no constituían, para los egipcios, un tema distinto, como podía ser la
resolución de ecuaciones. Estos problemas aparecen formulados verbalmente, como
todos, con unas someras instrucciones para obtener la solución, sin explicación
alguna de por qué se usan tales procedimientos ni de por qué funcionan bien.
Por ejemplo, el problema 31 del papiro de Ahmes, traducido literalmente, dice:
«Una cantidad; sus 2/3, su 1/2, su 1/7, su totalidad asciende a 33.»
Esto para nosotros significa:
La solución viene dada en este caso en términos de simples
operaciones aritméticas del tipo egipcio, que ya hemos visto.
El problema 63 del mismo papiro dice lo siguiente: «Instrucciones para
dividir 700 hogazas de pan entre 4 personas, 2/3 para el primero, 1/2 para el
segundo, 1/3 para el tercero, 1/4 para el cuarto.». Esto significa para
nosotros resolver la ecuación
La solución dada por Ahmes es la siguiente: «Suma 2/3, 1/2,
1/3, 1/4; esto da 1½¼. Divide 1 por 1½¼ esto da ½ 1/14.
Ahora calcula el ½ 1/14 de 700; esto da 400.»
En algunos casos Ahmes utiliza en su solución la llamada «regula falsi»,
o «regla de la falsa posición». Así, para calcular cinco números en
progresión aritmética, sujetos a una condición extra y tales que su suma sea
100, elige Ahmes la diferencia d de la progresión de manera
que sea igual a 5½ veces el término menor, y toma tal término menor igual a 1,
con lo que obtiene la progresión 1, 6½, 12, 17½ y 23. Pero estos números sólo
suman 60, mientras que lo que debían sumar era 100. Ahmes multiplica entonces
cada uno de los términos por 5/3 = 100/60.
El único tipo de ecuación de segundo grado que aparece es el más
sencillo, ax2 = b; incluso donde aparecen dos
incógnita, el problema es del tipo
de manera que eliminando la y, la ecuación en x se
reduce efectivamente al primer tipo. También nos encontramos en los papiros
algunos problemas concretos en los que aparecen progresiones aritméticas y
geométricas. En todos estos problemas no resulta muy difícil inferir reglas
generales a partir de las soluciones.
Este álgebra egipcia tan restringida no utilizaba prácticamente ningún
simbolismo. En el papiro de Ahmes las operaciones de sumar y restar aparecen
representadas por un dibujo esquemático de las piernas de una persona que se
acerca y que se aleja, respectivamente, es decir
Y ¿qué se puede decir de la geometría egipcia? En realidad, lo primero que hay
que señalar es que los egipcios no establecían ninguna separación entre
aritmética y geometría, y en los papiros nos encontramos con problemas de los
dos tipos mezclados. Al igual que los babilonios, los egipcios consideraban la
geometría como una herramienta práctica. Uno se limitaba a aplicar la
aritmética y el álgebra a problemas de áreas, volúmenes y otras situaciones
geométricas. Heródoto nos dice que la geometría egipcia tuvo su origen en la
necesidad que provocaba la crecida anual del Nilo de volver a trazar las lindes
de los terrenos cultivados por los agricultores. Sin embargo, los babilonios
desarrollaron una geometría parecida sin tal necesidad. Los egipcios disponían
de recetas para el cálculo de áreas de rectángulos, triángulos y trapezoides;
en el caso del área de un triángulo, aunque multiplicaban un número por la
mitad de otro, no podemos estar seguros de que el método sea correcto, porque
no tenemos la seguridad de que las palabras utilizadas representen las
longitudes de la base y la altura o simplemente dos lados. Además, las figuras
están tan mal dibujadas en los papiros que a veces no se puede saber
exactamente qué área o volumen se está calculando. Su cálculo del área del
círculo, sorprendentemente bueno, usa la fórmula A = (8d/9)2 donde d es
el diámetro, lo que supone utilizar 3,1605 como valor de π.
Un ejemplo puede ilustrarnos bien la «exactitud» de las fórmulas egipcias para
áreas. En los muros de un templo de Edfu aparece una lista de campos,
presumiblemente regalos al templo; estos campos solían tener cuatro lados, que
representaremos por a, b, c, d, donde a, b y c,
d son las parejas de lados opuestos. Las inscripciones dan las áreas
de estos campos siguiendo la regla
Pero algunos campos son triangulares y en ese caso se dice
que d es nada y el cálculo se transforma en el de
Incluso para cuadriláteros constituye esta regla una
aproximación muy grosera.
Los egipcios también tenían reglas para el volumen de un cubo, un
paralelepípedo, un cilindro y otras figuras sencillas, algunas de ellas
correctas y otras sólo aproximadas. Los papiros dan como volumen de un tronco
de cono, que representa probablemente una clepsidra (o reloj de agua), el
siguiente:
donde h es la altura y (D + d)/2 es
la circunferencia media. Esta fórmula supone utilizar 3 como valor de n.
La regla más sorprendente quizás de la geometría egipcia es la del volumen de
un tronco de pirámide de base cuadrada que, escrita en notación moderna es
donde h es la altura y a y b las
aristas básicas. La fórmula es sorprendente porque es correcta y porque aparece
expresada de manera simétrica, aunque no, desde luego, en nuestra notación,
sino que viene dada para números concretos solamente. Sin embargo, no sabemos
ni siquiera si la pirámide es de base cuadrada o no por lo defectuoso de la
figura dibujada en el papiro.
Tampoco sabemos si los egipcios reconocieron el teorema de Pitágoras. Sí
sabemos que había agrimensores o «tensadores de la cuerda», pero la
historia de que utilizaban una cuerda anudada a intervalos iguales para dividir
la longitud total en partes de longitudes 3, 4 y 5, que podían usar para formar
un triángulo rectángulo, no aparece confirmada en ningún documento.
Las reglas formuladas no aparecen expresadas en símbolos, naturalmente. Los
egipcios enunciaban los problemas verbalmente, y su procedimiento para
resolverlos era esencialmente lo que nosotros hacemos cuando calculamos
siguiendo una fórmula. Así, por ejemplo, una traducción casi literal del
problema geométrico de calcular el volumen de un tronco de pirámide es la
siguiente: «Si te dicen: una pirámide truncada de 6 como altura vertical por
4 en la base por 2 en el extremo superior. Tienes que cuadrar este 4, resultado
16. Tienes que doblarlo, resultado 8. Tienes que cuadrar 2, resultado 4. Tienes
que sumar el 16, el 8 y el 4, resultado 28. Tienes que tomar un tercio de 6,
resultado 2. Tienes que tomar dos veces el 28, resultado 56. Ves, es 56. Lo has
hecho correctamente.»
¿Conocían los egipcios demostraciones o justificaciones de sus procedimientos y
recetas? Algunos creen que el papiro de Ahmes fue escrito en el estilo de un
libro de texto para estudiantes de la época y que, por lo tanto, aunque Ahmes
no formule ninguna regla o principio general para resolver diferentes tipos de
ecuaciones, es muy probable que las conociera, pero quería que el estudiante
las formulara por sí mismo o bien tuviera cerca un maestro que lo hiciera por
él. Bajo este punto de vista, el papiro de Ahmes resulta un texto de aritmética
bastante avanzado. Otros creen que se trata del cuaderno de notas de un alumno.
En cualquier caso, los papiros registran casi con toda seguridad los tipos de
problemas que debían resolver los escribas en asuntos de negocios y
administrativos, y que los métodos de resolución eran simplemente reglas
prácticas conocidas por experiencia en ese trabajo. Nadie cree seriamente que
los egipcios dispusieran de una estructura deductiva, basada en axiomas, que
justificara la corrección de sus reglas.
4. Aplicaciones de la matemática egipcia
Los egipcios utilizaron la matemática en la administración de
los asuntos del Estado y de los templos, en el cálculo de salarios pagados a
los trabajadores, en el cálculo de volúmenes de graneros y áreas de campos, en
el cobro de impuestos estimados según el área de la tierra, en la conversión de
un sistema de medidas a otro y en el cálculo del número de ladrillos necesario
para la construcción de edificios o rampas. Los papiros contienen también
problemas relativos a la cantidad de grano necesario para producir cantidades
dadas de cerveza, o la cantidad de grano de una calidad necesario para obtener
el mismo resultado que con grano de otra calidad, cuya «fuerza» relativa al
primero fuera conocida.
Como en Babilonia, se hacía un importante uso de la matemática en astronomía,
cosa que data de la primera dinastía. Para los egipcios los conocimientos
astronómicos eran esenciales, por lo siguiente. El Nilo es el elemento esencial
de la vida en Egipto, cuyos habitantes viven de cultivar las tierras que el
Nilo cubre de rico mantillo en su desbordamiento anual. Sin embargo, el egipcio
tenía que estar bien preparado para los aspectos peligrosos de la inundación;
casa, herramientas y ganado tenían que ser retirados temporalmente de la zona y
hacer los preparativos para sembrar inmediatamente después. Por lo tanto, era
necesario predecir la llegada de la inundación, cosa que se hacía por los
fenómenos astronómicos que la precedían.
La astronomía hizo posible también el calendario. Aparte de la necesidad del
calendario para el comercio, estaba la necesidad de establecer las fiestas
religiosas, puesto que se creía esencial, para asegurar la benevolencia de los
dioses, que las fiestas se celebraran en el momento debido. Y, lo mismo que en
Babilonia una vez más, la tarea de llevar el calendario correspondió en gran
parte a los sacerdotes.
Los egipcios llegaron a calcular la longitud del año solar observando la
estrella Sirio. Un día del verano se hacía visible esta estrella en el
horizonte exactamente antes de la salida del sol, mientras que en días
sucesivos permanecía visible durante más tiempo antes de que la luz del sol la
extinguiese. El momento en que era visible justo antes de la salida del sol
recibía el nombre de salida heliacal de Sirio, y el intervalo entre dos de
ellas consecutivas era de, aproximadamente, 365¼ días. Así pues, los egipcios
adoptaron (se supone que el 4241 a. C.) un calendario civil con un año de 365
días. La concentración en Sirio se debió indudablemente al hecho de que las
aguas del Nilo comenzaban a subir aproximadamente ese día, que se eligió como
primer día del año.
El año de 365 días se dividió en 12 meses de 30 días, más cinco días extras al
final. Como los egipcios no intercalaron el día adicional cada cuatro años, el
calendario civil iba retrasándose poco a poco con respecto a las estaciones, y
al cabo de 1460 años volvía a la situación inicial; a este intervalo se le
llama ciclo Sótico, del nombre egipcio para Sirio. No sabemos con seguridad si
los egipcios conocieron este ciclo. Su calendario fue adoptado por Julio César
el 45 a. C., pero transformado en un año de 365 1/4 días por consejo del griego
alejandrino Sosígenes. A pesar de que la determinación del año por los egipcios
y su calendario fueron contribuciones valiosas, esto no condujo a una
astronomía bien desarrollada, sino que fue, de hecho, rudimentaria y muy
inferior a la babilónica.
Los egipcios combinaron sus conocimientos de astronomía y de geometría para
construir sus templos, de manera que en ciertos días del año el sol incidiera
sobre ellos de una manera especial, Por ejemplo, algunos fueron construidos de
manera que el día más largo del año el sol penetraba directamente hasta el
fondo del santuario e iluminaba la efigie del dios sobre el altar. Esta
orientación de los templos la encontramos también a veces en Babilonia y en
Grecia. Las pirámides se orientaban igualmente en direcciones especiales con
respecto al cielo, y la Esfinge mira hacia el Este. Aunque los detalles de la
construcción de estos monumentos no nos interesan ahora, vale la pena observar
que las pirámides representan otra aplicación de la geometría egipcia. Son
tumbas de faraones, como se sabe, y, dado que los egipcios creían en la
inmortalidad, suponían que una tumba bien construida era esencial para la otra
vida; de hecho, en cada pirámide se instalaba una residencia completa para el
rey y la reina, y se ponía especial cuidado en construir sus bases de forma
correcta, y las dimensiones relativas de la base y la altura eran importantes.
Sin embargo, no hay que exagerar la complejidad o profundidad de las ideas
puestas en juego; la matemática egipcia fue simple y rudimentaria, y no incluía
principios profundos, contrariamente a lo que suele afirmarse.
5. Resumen
Revisemos sumariamente la situación de la matemática antes de
que los griegos entren en escena. En las civilizaciones babilónica y egipcia
nos encontramos con una aritmética de números enteros y fracciones, incluida la
notación posicional, los comienzos del álgebra y algunas fórmulas empíricas en
geometría. Casi no hay simbolismo apenas algún pensamiento consciente sobre
abstracciones, ninguna formulación metodológica general y ninguna idea de
demostración o incluso de razonamiento plausible que pudiera convencer a
alguien de la corrección de un procedimiento o fórmula. No hubo, de hecho,
ninguna concepción de ciencia teórica de ningún tipo.
Aparte de algunos resultados ocasionales en Babilonia, en ambas civilizaciones
la matemática no se consideró una disciplina independiente digna de cultivarse
por sí misma. Se trataba de una herramienta en forma de reglas simples y
desconexas que respondían a problemas de la vida diaria, aunque ciertamente
nada se hizo en matemáticas que alterase o afectase la forma de vida. A pesar
de que la matemática babilónica fue más avanzada que la egipcia, casi lo mejor
que se puede decir de ambas es que mostraron cierto vigor, si no rigor, y más
perseverancia que brillantez.
Toda evaluación implica usar algún tipo de criterio. Puede resultar un tanto
injusto, pero es natural comparar las dos civilizaciones con la griega que las
sucedió. Con esta medida, los egipcios y los babilonios se nos presentan como
rudos albañiles, mientras los griegos serían magníficos arquitectos. Pueden
encontrarse descripciones más favorables, incluso elogiosas, de los logros de
egipcios y babilonios, pero suelen estar hechas por especialistas en estas
culturas, que se convierten, inconscientemente quizás, en devotos admiradores
de su propio campo de interés.
Bibliografía
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Capítulo 3
Los orígenes de la matemática clásica griega
Contenido:
1. El marco histórico
2. Las fuentes generales
3. Las escuelas principales del período clásico
4. La escuela jónica
5. Los pitagóricos
6. La escuela eleática
7. Los sofistas
8. La escuela platónica
9. La escuela de Eudoxo
10. Aristóteles y su escuela
Bibliografía
Así es, pues, la matemática: te recuerda la forma invisible del
alma; da vida a sus propios descubrimientos; despierta la mente y purifica el
intelecto; arroja luz sobre nuestras ideas intrínsecas y anula el olvido y la
ignorancia que nos corresponden por nacimiento.
Proclo
1.
El marco histórico
En la historia de la civilización los griegos alcanzaron una
posición preeminente, y en la historia de la matemática su época fue una de las
más brillantes. A pesar de que tomaron muchos elementos prestados de las
civilizaciones vecinas, los griegos edificaron una civilización y una cultura
originales, de las más impresionantes de toda la historia de la humanidad, la
que más ha influido en el desarrollo de la cultura occidental moderna, y que
fue decisiva en la fundamentación de la matemática tal como la entendemos hoy.
Uno de los grandes problemas de la historia de la cultura es el de dar cuenta
de la brillantez y de la creatividad de los antiguos griegos.
Aunque nuestro conocimiento de los orígenes de su historia está sujeto,
evidentemente, a revisiones y clarificaciones según vayan avanzando las
investigaciones arqueológicas, tenemos motivos para creer, sobre la base de
la Ilíada y la Odisea de Homero, del
desciframiento de las antiguas lenguas y escrituras, y de las mismas
excavaciones arqueológicas, que la civilización griega se remonta hacia el 2800
a. C. Los griegos se instalaron en Asia Menor, que pudo haber sido su lugar de
origen, en el territorio continental europeo que constituye la Grecia moderna,
y en el sur de Italia, Sicilia, Creta, Rodas, Délos y el norte de África. Hacia
el 775 a. C., los griegos sustituyeron varios sistemas de escritura jeroglífica
que utilizaban por la escritura alfabética fenicia (que también utilizaban ya
los hebreos). Con la adopción del alfabeto, los griegos se convirtieron en un
pueblo más letrado y mucho más capaz de registrar tanto su historia como sus
ideas.
Con el establecimiento definitivo de los griegos en estos
territorios, entraron en contacto comercial y cultural con los egipcios y los
babilonios. Hay abundantes referencias en los escritos clásicos griegos a los
conocimientos de los egipcios, a los que algunos griegos llegaron a considerar
erróneamente como los fundadores de la ciencia, en particular de la
agrimensura, la astronomía y la aritmética. Muchos griegos viajaron a Egipto
para estudiar y conocer sus gentes, mientras otros visitaban Babilonia, y allí
aprendieron su matemática y otras ciencias.
La influencia de Egipto y de Babilonia seguramente fue muy
sensible en Mileto, una importante ciudad jónica en las costas de Asia Menor,
en la que nacieron la filosofía, la matemática y las demás ciencias griegas.
Mileto fue una importante y rica ciudad comercial del Mediterráneo, a cuyo
puerto llegaban los barcos tanto de la Grecia continental como de Fenicia y
Egipto; Babilonia estaba, en cambio, conectada a Mileto por medio de rutas de
caravanas hacia el Este. Jonia cayó en manos de los persas hacia el 540 a. C.,
aunque Mileto conservó cierto grado de independencia. Una vez aplastado, el 494
a. C., el levantamiento jónico contra Persia, Jonia comenzó a perder su
importancia. Volvió a formar parte de la Grecia propiamente dicha el 479 a. C.,
cuando los griegos derrotaron a los persas, pero para entonces la actividad
cultural se había desplazado ya al territorio de la Grecia continental, con
centro en Atenas.
A pesar de que la civilización griega antigua duró hasta el 600 d. C.,
aproximadamente, desde el punto de vista de la historia de la matemática
conviene distinguir dos períodos: el clásico, que va desde el 600 al 300 a. C.,
y el alejandrino o helenístico, desde el 300 a. C. al 600 d. C. La adopción del
alfabeto, que ya hemos mencionado, y el hecho de que el papiro estuviera
disponible en Grecia durante el siglo VII a. C. quizás puedan explicar el
florecimiento cultural que tuvo lugar hacia el 600 a. C. Indudablemente, el
disponer de este material de escritura ayudó mucho a la difusión de las ideas.
2. Las fuentes generales
Sorprendentemente, las fuentes de las que procede nuestro
conocimiento de la matemática griega son menos directas y fiables que las que
tenemos de las matemáticas egipcia y babilónica, mucho más antiguas, debido a
que no nos ha llegado ningún manuscrito original de los matemáticos griegos
importantes de esa época. Una razón es, sin duda, la de que el papiro es un
material de frágil consistencia; no obstante, los egipcios también utilizaron
el papiro y, por suerte, se salvaron unos pocos de sus documentos matemáticos.
Algunos de los voluminosos escritos griegos también podrían haber llegado hasta
nosotros si no hubieran resultado destruidas sus grandes bibliotecas.
Nuestras fuentes principales para las obras matemáticas griegas son los códices
bizantinos manuscritos en griego, escritos entre 500 y 1500 años después de que
fueran escritas las obras griegas originales. Estos códices no suelen ser
reproducciones literales, sino ediciones críticas, de manera que no podemos
estar seguros de qué tipo de cambios hicieron los editores. También disponemos
a veces de traducciones al árabe de las obras griegas, y de versiones latinas
de estas traducciones al árabe; aquí, una vez más, no sabemos qué cambios
pueden haber realizado los traductores ni hasta qué punto entendían
correctamente los textos originales. Además, incluso los textos griegos
utilizados por los autores árabes y bizantinos pudieron muy bien ser de
autenticidad dudosa. Por ejemplo, aunque no disponemos del manuscrito de Herón,
matemático griego de la época alejandrina, sí sabemos que hizo un cierto número
de modificaciones en los Elementos de Euclides, dando
demostraciones distintas y añadiendo nuevos casos de teoremas y sus recíprocos.
Análogamente, Teón de Alejandría (finales del siglo IV d. C.) nos dice que
modificó algunas secciones de los Elementos en su edición, y
las versiones griegas y árabes que nos han llegado pueden provenir de tales
versiones de los originales. Sin embargo, de una u otra forma, lo cierto es que
disponemos de las obras de Euclides, de Apolonio, de Arquímedes, de Ptolomeo,
de Diofanto y de otros matemáticos griegos. Muchos textos griegos escritos
durante el período clásico y el alejandrino no han llegado hasta nosotros
porque ya incluso en plena época griega se vieron superados por los escritos de
estos autores.
Los griegos escribieron algunas historias de la matemática y de otras ciencias.
Así, por ejemplo, Eudemo (siglo IV a. C.), miembro de la escuela aristotélica,
escribió una historia de la aritmética, otra de la geometría y otra de la
astronomía, historias que, salvo fragmentos citados por escritores posteriores,
se han perdido. La historia de la geometría trataba del período anterior a
Euclides, y evidentemente sería inapreciable disponer de ella. Teofrasto (c.
372-c. 287 a. C.), otro discípulo de Aristóteles, escribió por su parte una
historia de la física, que también se ha perdido, excepto unos cuantos
fragmentos.
Además de los anteriores, tenemos dos importantes comentarios; Pappus (finales
del siglo III d. C.) escribió su Synagoge o Colección
Matemática, de la que conservamos casi su totalidad en una copia del
siglo XII. Se trata de una exposición de la mayor parte de la obra de los
matemáticos griegos clásicos y alejandrinos desde Euclides a Ptolomeo,
complementada por un cierto número de lemas y teoremas que añade Pappus para
facilitar su comprensión. Pappus mismo escribió también otra obra anterior
titulada Tesoro del Análisis, que era una colección formada
por las propias obras griegas. Esta obra se ha perdido, pero en el libro VII de
su Colección Matemática nos resume lo que contenía el Tesoro.
El segundo comentarista importante es Proclo (410-485 d. C.), escritor muy
prolífico. Proclo extrajo su material de los textos originales de los
matemáticos griegos y de otros comentaristas anteriores. De las obras que nos
han llegado, su Comentario, que estudia el libro I de
los Elementos de Euclides, es la más importante. Según todos
los indicios, Proclo trataba de escribir un comentario más extenso de los Elementos, pero
al parecer nunca lo hizo. El Comentariocontiene una de las tres
citas atribuidas tradicionalmente a la historia de la geometría de Eudemo
(véase la sección 10), pero probablemente tomadas de una modificación
posterior. Este resumen concreto, el más largo de los tres, suele conocerse
como el «sumario» de Eudemo. Proclo también nos dice algo sobre la obra de
Pappus, de manera que, aparte de las ediciones y versiones posteriores de los
clásicos griegos mismos, la Colección Matemática de Pappus y
el Comentario de Proclo son las dos fuentes principales para
la historia de la matemática griega.
Por lo que se refiere a las redacciones literales originales (aunque no, desde
luego, los manuscritos), sólo disponemos de un fragmento relativo a la
cuadratura de las lúnulas de Hipócrates, citado por Simplicio (primera mitad
del siglo VI d. C.) y tomado de la Historia de la Geometría perdida
de Eudemo, y un fragmento de Arquitas sobre la duplicación del cubo, y de los
manuscritos originales nos han llegado algunos papiros escritos en la época
alejandrina. Las fuentes no estrictamente matemáticas, pero sí próximas, han
resultado ser también de un enorme valor para la historia de la matemática
griega. Por ejemplo, los filósofos griegos, especialmente Platón y Aristóteles,
tenían mucho que decir sobre la matemática, y sus escritos han sobrevivido como
las obras matemáticas mismas.
La reconstrucción de la historia de la matemática griega, basada en las fuentes
que acabamos de mencionar, ha resultado una tarea gigantesca y complicada. A
pesar de los grandes esfuerzos de los historiadores, todavía quedan lagunas en
nuestros conocimientos y algunas conclusiones son discutibles; sin embargo, los
hechos básicos están razonablemente claros.
3. Las escuelas principales del período clásico
Las contribuciones más importantes del período clásico son los Elementos de
Euclides y las Secciones Cónicas de Apolonio. Para apreciar
correctamente estas obras son necesarios algunos conocimientos de los grandes
cambios experimentados en la naturaleza misma de la matemática y de los problemas
con que se enfrentaron, y resolvieron, los griegos. Por otra parte, estas obras
tan acabadas nos dan muy poca información sobre los trescientos años de
actividad creadora que las precedieron o de las cuestiones que iban a ser
vitales en la historia posterior.
La matemática clásica griega se desarrolló en diversos centros que se sucedían
unos a otros, basándose cada uno en la obra de sus predecesores. En cada uno de
estos centros, un grupo informal de matemáticos realizaba sus actividades
dirigido por uno o más sabios. Este tipo de organización ha seguido funcionando
en la época moderna, y su razón de ser se comprende fácilmente; hoy mismo,
cuando un sabio importante se establece en un lugar concreto —normalmente una
universidad—, otros estudiosos le siguen para aprender del maestro.
La primera de estas escuelas, la escuela jónica, fue fundada por Tales (c.
640-c. 546 a. C.) en Mileto. No sabemos con exactitud si Tales mismo enseñó a
muchos otros, pero sí sabemos que los filósofos Anaximandro (c. 610-c. 547 a.
C.) y Anaxímenes (c. 550-480 a. C.) fueron discípulos suyos. Anaxágoras (c.
500-c. 428 a. C.) perteneció también a esta escuela, y se supone que Pitágoras
mismo (c. 585 c. 500 a. C.) pudo haber aprendido matemáticas de Tales; más
tarde, Pitágoras fundaría su propia e importante escuela al sur de Italia.
Hacia finales del siglo VI, Jenófanes de Colofón, en Jonia, emigró a Sicilia y
fundó a su vez un centro al que pertenecieron los filósofos Parménides (siglo V
a. C.) y Zenón (siglo V a. C.). Estos últimos se establecieron en Elea, en el
sur de Italia, ciudad a la que se trasladó la escuela, y por eso se conoció a
este grupo como la escuela eleática. Los sofistas, que se mostraron activos
desde mediados del siglo V en adelante, se concentraron principalmente en
Atenas, ciudad en la que la escuela más famosa fue la Academia de Platón, de la
que sería discípulo Aristóteles. La Academia tuvo una importancia sin
precedentes para el pensamiento griego, sus discípulos y asociados fueron los
más grandes filósofos, matemáticos y astrónomos de su época; y esta escuela
conservaría su preeminencia en filosofía incluso después de que la capital de
las matemáticas pasara a Alejandría. Eudoxo, que aprendió matemáticas
principalmente de Arquitas de Tarento (Sicilia), fundó su propia escuela en
Cízico, ciudad del norte de Asia Menor. Cuando Aristóteles abandonó la Academia
de Platón, fundó a su vez otra escuela en Atenas, el Liceo; esta escuela ha
recibido tradicionalmente el nombre de Escuela Peripatética. No todos los grandes
matemáticos del período clásico pueden identificarse con una escuela concreta,
pero para mayor claridad y coherencia estudiaremos la obra de cada matemático
en relación con una escuela particular, incluso si su asociación a ella no fue
demasiado estrecha.
4. La escuela jónica
El fundador de esta escuela y su figura más importante fue Tales. Aunque no
sabemos nada con seguridad acerca de su vida y obra, Tales nació y vivió
probablemente en Mileto; viajó mucho y durante algún tiempo vivió en Egipto, donde
desarrolló actividades comerciales y, al parecer, aprendió mucho acerca de la
matemática egipcia. Se supone, además, que fue un astuto comerciante que,
aprovechando una buena cosecha de aceitunas, alquiló todas las almazaras de
Mileto y Chíos para realquilarlas después a un precio más alto. Se dice que
Tales anunció un eclipse de sol el año 585 a. C., pero esto es muy dudoso
teniendo en cuenta los conocimientos astronómicos de la época.
Se le atribuye también el cálculo de las alturas de las pirámides comparando
sus sombras con la de un bastón de altura conocida, en el mismo instante, y
mediante el mismo uso de los triángulos semejantes se supone que calculó la
distancia de un buque a la playa. También se le ha atribuido la transformación
de la matemática en una ciencia abstracta, y haber dado demostraciones
deductivas de algunos teoremas, pero ambas cosas son de nuevo dudosas. Por
último, se le ha atribuido a Tales el descubrimiento del poder de atracción de
los imanes así como de la electricidad estática.
La escuela jónica sólo merece una breve mención por su contribución a la
matemática propiamente dicha, pero su importancia para la filosofía, y la
filosofía de la ciencia en particular, fue enorme (véase cap. 7, sec. 2). Esta
escuela perdió su importancia a partir de la conquista de la región por los
persas.
5. Los pitagóricos
La antorcha fue recogida por los pitagóricos que, habiendo aprendido de Tales,
según se cuenta, fundaron sus propia escuela en Crotona, asentamiento griego en
el sur de Italia. No conocemos ninguna obra escrita por los pitagóricos, y sólo
sabemos de ellos por los escritos de otros, entre los que hay que incluir a
Platón y Heródoto. Concretamente, apenas sabemos nada de la vida personal de
Pitágoras y de sus seguidores, ni podemos tener la seguridad de qué hay que
atribuirle a él personalmente o a sus discípulos. Por lo tanto, cuando se habla
de la obra de los pitagóricos hay que tener en cuenta que en realidad nos
estamos refiriendo a la obra del grupo entre el 585 a. C., presunta fecha de su
nacimiento, y aproximadamente el 400 a. C. Filolao (siglo V a. C.) y Arquitas
(428-347 a. C.) fueron dos miembros destacados de esta escuela.
Pitágoras nació en la isla de Samos, próxima a la costa de Asia Menor, y,
después de algún tiempo estudiando con Tales en Mileto, viajó a otros países,
entre ellos Egipto y Babilonia, donde asimiló su matemática al mismo tiempo que
sus teorías místicas, y finalmente se estableció en Crotona. En esta ciudad
fundó una especie de hermandad de tipo religioso, científico y filosófico. En
realidad, era formalmente una escuela con un número limitado de miembros que
aprendían de sus maestros. Las enseñanzas impartidas al grupo se mantenían en
secreto por parte de los miembros, aunque, por lo que se refiere a la matemática
y a la física, algunos historiadores niegan que existiera tal secreto. Se
supone que los pitagóricos participaron en la política de su ciudad aliándose
con la facción aristocrática y terminaron siendo expulsados violentamente por
el partido democrático o popular. Pitágoras huyó a la cercana Metaponto y allí
murió, al parecer asesinado, hacia el 497 a. C. Sus seguidores se esparcieron
por otras ciudades griegas y continuaron sus enseñanzas.
Una de las grandes contribuciones griegas al concepto mismo de la matemática
fue el reconocimiento consciente y el énfasis puesto en el hecho de que los
objetos matemáticos, números y figuras geométricas, son abstracciones, ideas
producidas por la mente y claramente distintas de los objetos o imágenes
físicas. Es cierto que incluso algunas civilizaciones primitivas, y con
seguridad los egipcios y los babilonios, habían aprendido a pensar en los
números separados de los objetos físicos, y, sin embargo, cabe preguntarse en
qué medida eran conscientes del carácter abstracto de tal pensamiento. Por otra
parte, los conceptos geométricos de todas las civilizaciones prehelénicas
estaban decididamente ligados a la materia. Para los egipcios, por ejemplo, una
recta no era más que una cuerda tensa o el borde de un terreno, y un
rectángulo, su frontera.
El reconocimiento de que la matemática trabaja con abstracciones puede
atribuirse con cierta seguridad a los pitagóricos. Sin embargo, puede que esto
no fuera cierto desde el principio; Aristóteles nos dice, por ejemplo, que los
pitagóricos consideraban a los números como los componentes últimos de los
objetos materiales del mundo real[3]. Así pues, los números no tenían una existencia separada de los
objetos sensibles. Cuando los primeros pitagóricos decían que todos los objetos
estaban compuestos por números (enteros), o que los números eran la esencia del
universo, lo entendían en sentido literal, porque los números eran para ellos
como los átomos para nosotros. Se supone incluso que los pitagóricos de los
siglos VI y V no distinguían realmente los números de los puntos geométricos,
entendidos, naturalmente, como puntos extensos o esferas minúsculas. Sin
embargo, Eudemo, según nos informa Proclo, decía que Pitágoras se remontó a
principios más altos (que los de los egipcios y babilonios) y se ocupó de
problemas abstractos de la inteligencia pura. Eudemo añade que Pitágoras fue el
verdadero creador de la matemática pura, a la que convirtió en un arte liberal.
Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en la arena o
piedrecillas, clasificándolos según las formas de estas distribuciones de
puntos o piedras. Así, los números 1, 3, 6, 10, etc. recibían el nombre de
triangulares porque los puntos correspondientes podían distribuirse en forma de
triángulo equilátero (fig. 3.1). El cuarto número triangular, el 10, ejerció
una fascinación especial sobre los pitagóricos, siendo para ellos una especie
de número sagrado, que tiene cuatro puntos en cada lado; el 4 era otro de sus
números favoritos. Los pitagóricos comprobaron que las sumas 1, 1 + 2, 1 +2 +
3, y así sucesivamente, daban lugar a los números triangulares y que 1 + 2 +...
+ n = n x (n + 1)/2.
Figura 3.1
Los números 1, 4, 9, 16,... recibieron el nombre de números
cuadrados debido a que sus puntos pueden distribuirse formando cuadrados (fig.
3.2). Los números compuestos (o no primos) que no eran cuadrados perfectos
recibían el nombre de oblongos.
Figura 3.2
A partir de las distribuciones geométricas de los puntos
aparecían como evidentes ciertas propiedades de los números enteros: por
ejemplo, trazando la recta que aparece en la tercera ilustración de la figura
3.2 se descubre que la suma de dos números triangulares consecutivos es un
número cuadrado. Esto es verdad en general, como podemos ver en notación
moderna:
Sin embargo, es dudoso que los pitagóricos pudieran demostrar
esta conclusión general.
Para pasar de un número cuadrado al siguiente, los pitagóricos seguían el
esquema que aparece en la figura 3.3; los puntos a la derecha y bajo las rectas
en la figura forman lo que ellos llamaban un gnomon. Simbólicamente, lo que
descubrieron era que
n2 + (2n +
1) = (n + l)2
Además, si partimos del 1 y añadimos el gnomon 3 y después el
gnomon 5, y así sucesivamente, lo que tenemos es, en nuestro simbolismo,
1 + 3 + 5 +... + (2n — 1) = n2.
Figura 3.3
Con respecto a la palabra «gnomon», probablemente significó al
principio, en Babilonia, una varilla vertical cuya sombra marcaba la hora. En
la época de Pitágoras significaba una escuadra de carpintero, y esta es la
forma del gnomon anterior. También significaba lo que queda de un cuadrado al
cortar otro cuadrado más pequeño de una de sus esquinas, y más tarde, con
Euclides, significó lo que queda de un paralelogramo al cortar otro más pequeño
de una de sus esquinas, siempre que éste fuera semejante al primero (fig. 3.4).
Figura 3.4. El área sombreada es el gnomon.
Los pitagóricos estudiaron también los números poligonales,
tales como los pentagonales, hexagonales y otros. Como se ve en la figura 3.5,
donde cada punto representa una unidad, el primer número pentagonal es el 1; el
segundo, cuyos puntos forman los vértices de un pentágono, es el 5; el tercero
es 1 + 4 + 7 = 12, y así sucesivamente.
Figura 3.5. Números pentagonales.
El n-ésimo número pentagonal es, en nuestra
notación, (3n2 - n)/2.
Análogamente, los números hexagonales (fig. 3.6) son 1, 6, 15, 28,..., y en
general 2n2 — n.
Figura 3.6. Números hexagonales.
Se llamó número perfecto a todo aquel que es igual a la suma de
sus divisores, incluido el 1, pero no el propio número; por ejemplo, 6, 28,
496. A los que excedían a la suma de sus divisores se los llamó excesivos, y a
los que eran menores que dicha suma, defectivos. A dos números se los llamó
amigos cuando cada uno de ellos era igual a la suma de los divisores del otro,
por ejemplo, 284 y 220.
Los pitagóricos descubrieron una regla para construir ternas de números enteros
que pudieran ser lados de un triángulo rectángulo, sobre las cuales volveremos
más adelante. Así, descubrieron que si m es impar,
entonces m, (m2 - l)/2 y (m2+
l)/2 constituyen una de estas ternas. Sin embargo, esta regla solamente da
algunas de ellas. Cualquier terna de números enteros que represente los lados
de un triángulo rectángulo recibe el nombre de terna pitagórica.
Los pitagóricos estudiaron los números primos, las progresiones, y ciertos
tipos de razones y proporciones que encerraban para ellos una belleza especial.
Así, s\p y q son dos números, la media
aritmética A es (p + q)/2, la
media geométrica G es √pq, y la media
armónica H, que es el recíproco de la media aritmética de 1/p y
1/q, es 2pq/(p + q). Ahora
bien, como puede comprobarse fácilmente, G es la media
geométrica de A y H. La proporción A/G = G/H recibió
el nombre de proporción perfecta, y la p : (p + q)/2
= 2pq/(p + q) : q el de
proporción musical.
Para los pitagóricos, los números eran únicamente los números enteros y una
razón entre dos números no era una fracción y, por lo tanto, otro tipo de
número como en la época moderna. Las fracciones concretas, utilizadas para
expresar partes de una unidad monetaria o de una medida, se utilizaban
evidentemente en el comercio, pero tales usos comerciales de la aritmética
quedaban fuera del marco de la matemática griega propiamente dicha. Por lo
tanto, los pitagóricos se vieron desagradablemente sorprendidos por el
descubrimiento de que algunas razones, por ejemplo, la razón de la hipotenusa
de un triángulo rectángulo isósceles a un cateto o, lo que es lo mismo, de la
diagonal al lado de un cuadrado, no podían expresarse por medio de números
enteros. Dado que los pitagóricos se habían dedicado a estudiar las ternas de
números enteros que podían ser lados de un triángulo rectángulo, lo más
probable es que descubrieran estas nuevas razones en el mismo contexto.
Llamaron razones conmensurables a las que se podían expresar por medio de
números enteros, lo que significaba que las dos cantidades venían medidas por
una unidad común, y a las que no eran expresables de esa manera, razones
inconmensurables; por lo tanto, lo que nosotros expresamos de la forma √2/2 es
una razón inconmensurable. Una razón entre magnitudes inconmensurables recibió
el nombre de αλογος (alogos oinexpresable), aunque también se
utilizó el término αρρητος (arretos o que no tiene razón). El
descubrimiento de las razones inconmensurables se atribuye a Hipaso de
Metaponto (siglo V a. C.), suponiéndose que los pitagóricos se encontraban
navegando en el mar en esa época y que lanzaron a Hipaso por la borda como castigo
por haber introducido en el universo un elemento que negaba la teoría pitagórica
de que todos los fenómenos del universo se podían reducir a números enteros y
sus razones.
La demostración dada por los pitagóricos de la inconmensurabilidad de √2 con 1
procedía, según Aristóteles, por reductio ad absurdum, es decir,
por el método de demostración indirecta. Concretamente, la demostración
mostraba que si la hipotenusa fuera conmensurable con el cateto, entonces el
mismo número tendría que ser a la vez par e impar, y transcurre de la manera
siguiente: sea la razón de la hipotenusa al cateto en un triángulo rectángulo
isósceles α/β y consideremos expresada esta razón mediante los
números más pequeños posibles. Entonces α2= 2β2 por
el teorema de Pitágoras, y dado que α[4] es par, α debe serlo también, puesto que el cuadrado de
cualquier número impar es impar 2. Ahora bien, la razón α/β
estaba expresada en sus términos mínimos, luego β tiene que ser impar; como α
es par, sea α = 2γ, luego α2 = 4γ2 =
2β2, luego β2 = 2β2, es
decir, β2 par y β también par. Pero β era impar por lo anterior
y hemos llegado a una contradicción.
Esta demostración, que es la misma, desde luego, que la demostración moderna de
la irracionalidad de √2, aparecía incluida en antiguas ediciones de los Elementos de
Euclides como proposición 117 del libro X. Sin embargo lo más probable es que
no apareciera en el texto original de Euclides y, por lo tanto, se suele omitir
en las ediciones modernas.
En la matemática moderna las razones inconmensurables se expresan por medio de
números irracionales, pero los pitagóricos nunca habrían aceptado tales
números. Los babilonios trabajaron, de hecho, con tales números mediante
aproximaciones, aunque probablemente no sabían que tales aproximaciones
sexagesimales fraccionarias nunca podían ser exactas, así como tampoco los
egipcios llegaron a reconocer el carácter distinto de los irracionales. Los
pitagóricos, al menos, reconocieron que las razones inconmensurables son de un
tipo completamente diferente de las conmensurables.
Este descubrimiento planteó un problema central en la matemática griega. Hasta
este momento los pitagóricos habían identificado número y geometría, pero la
existencia de razones inconmensurables destruía esta identificación. No cesaron
de considerar todo tipo de longitudes, áreas y razones en geometría, pero se
restringieron a considerar razones numéricas únicamente para el caso
conmensurable. La teoría de proporciones para razones inconmensurables y para
todo tipo de magnitudes se debe a Eudoxo, cuya obra estudiaremos más adelante.
Hay algunos otros resultados geométricos descubiertos también por los
pitagóricos. El más famoso es, desde luego, el mismísimo teorema de Pitágoras,
un teorema clave para la geometría euclídea, pero también se le atribuyen muchos
de los teoremas que conocemos sobre triángulos, rectas paralelas, polígonos,
círculos, esferas y los poliedros regulares. Concretamente, sabían que la suma
de los ángulos de un triángulo es de 180 grados, y entre otros resultados
conocían una teoría restringida de figuras semejantes y el hecho de que un
plano puede ser recubierto por triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos
regulares.
Los pitagóricos empezaron a estudiar un tipo de problemas conocidos con el
nombre de aplicación de áreas. El más sencillo de ellos era el de construir un
polígono de área igual a uno dado y semejante a otro dado. Otro consistía en
construir una figura concreta con un área que excedía o resultaba defectuosa de
otra en un área dada. La forma más importante del problema de aplicación de
áreas es: dado un segmento, construir sobre una parte de él o sobre él mismo
extendido un paralelogramo igual en área a una figura rectilínea dada y
resultando deficiente (en el primer caso) o excediendo (en el segundo caso) en
un paralelogramo semejante a uno dado. Más adelante discutiremos en detalle
estas aplicaciones de áreas al estudiar la obra de Euclides.
La contribución más esencial de los griegos a la matemática fue su insistencia
en que todos los resultados matemáticos deberían ser establecidos
deductivamente a partir de un sistema explícito de axiomas. Por lo tanto, se
plantea la cuestión de si los pitagóricos demostraban ya sus resultados
geométricos. No podemos dar una respuesta definitiva, pero es muy dudoso que
los pitagóricos del período antiguo o medio exigieran demostraciones
deductivas, explícitas o implícitas, basadas en un sistema de axiomas de
cualquier tipo. Proclo nos asegura que demostraron el teorema de la suma de los
ángulos de un triángulo, pero esto puede ser debido a los pitagóricos tardíos.
La cuestión acerca de si demostraron el teorema de Pitágoras ha sido muy
discutida, y la conclusión generalmente aceptada es la de que probablemente no.
Es relativamente fácil demostrarlo utilizando resultados sobre triángulos
semejantes, pero lo cierto es que los pitagóricos no tenían una teoría completa
de la semejanza. La demostración dada en la proposición 47 del libro I de
los Elementos de Euclides (cap. 4, sec. 4) es difícil porque
no utiliza la teoría de figuras semejantes, y se trata de una demostración que
Proclo atribuye a Euclides mismo. La conclusión más verosímil acerca de la
presencia de demostraciones en la geometría pitagórica es la de que durante la
mayor parte de la vida de la escuela los miembros justificaban sus resultados
sobre la base de casos especiales, análogamente a como hacían en aritmética.
Sin embargo, en la época de los pitagóricos tardíos, es decir, hacia el 400 a.
C., el status de la demostración había cambiado ya debido a
otros desarrollos; así pues, estos miembros tardíos de la hermandad pudieron
haber dado ya demostraciones rigurosas.
6. La escuela eleática
El descubrimiento pitagórico de las razones inconmensurables introdujo en
escena una dificultad que preocupó a los griegos, a saber, la relación entre lo
discreto y lo continuo. Los números enteros representan objetos discretos y una
razón conmensurable representa una relación entre dos colecciones de objetos
discretos o entre dos longitudes que admiten una unidad de medida común, de
manera que cada una de ellas es una colección discreta de unidades. Sin
embargo, las longitudes en general no son colecciones discretas de unidades, y
este es el motivo de que aparezcan las razones de longitudes inconmensurables.
En otras palabras, longitudes, áreas, volúmenes, tiempos y otras cantidades son
continuas. Nosotros diríamos que los segmentos rectilíneos, por ejemplo, pueden
tener longitudes racionales o irracionales en términos de alguna unidad
concreta, pero los griegos no dieron este paso.
El problema de la relación entre lo discreto y lo continuo fue puesto en
evidencia por Zenón, que vivió en la ciudad de Elea, al sur de Italia. Zenón
nació entre el año 495 y el 480 a. C., y era más bien un filósofo que un
matemático, del que, al igual que de su maestro Parménides, se dice que fue
inicialmente un pitagórico. Zenón propuso un cierto número de paradojas, cuatro
de las cuales tratan del movimiento, cuyo objeto no está del todo claro debido
a nuestro conocimiento incompleto de la historia de la filosofía griega. Se
dice que con ellas pretendía defender a Parménides, que había sostenido que el
movimiento o el cambio en general es imposible, y también que trataba de atacar
a los pitagóricos, que creían en unidades extensas pero indivisibles, los
puntos de la geometría. No sabemos exactamente lo que dijo Zenón, sino que nos
vemos obligados a apoyarnos en citas de Aristóteles, que menciona a Zenón con
objeto de criticarlo, y de Simplicio, que vivió en el siglo VI d. C. y que
basaba sus afirmaciones en los escritos de Aristóteles.
Las cuatro paradojas sobre el movimiento son distintas, pero el argumento
importante probablemente consistía en las cuatro consideradas en bloque. En la
época en que vivió Zenón había dos concepciones opuestas del espacio y del
tiempo: una, que el espacio y el tiempo son indefinidamente divisibles, en cuyo
caso el movimiento resultaría continuo y «liso»; y la otra, que el espacio y el
tiempo están formados por pequeños intervalos indivisibles (como en el cine),
en cuyo caso el movimiento consistiría en una sucesión de minúsculos saltos
espasmódicos. Los argumentos de Zenón están dirigidos contra ambas teorías, las
dos primeras paradojas contra la primera, y las otras dos contra la segunda. La
primera paradoja de cada pareja considera el movimiento de un único cuerpo, y
la segunda el movimiento relativo de un cuerpo con respecto a otro.
Aristóteles formula en su Física, la primera paradoja, llamada
de Dicotomía, de la manera siguiente: «La primera afirma la no
existencia del movimiento basándose en que lo que está en movimiento debe
alcanzar la posición a medio camino antes de alcanzar su meta.» Esto
significa que para atravesar AB (fig. 3.7) hay que alcanzar
primero la posición C; para llegar a C hay que
llegar primero a D, y así sucesivamente. En otras palabras,
sobre la hipótesis de que el espacio es indefinidamente divisible y por lo
tanto que una longitud finita contiene un número infinito de puntos, es
imposible cubrir incluso una longitud finita en un tiempo finito.
Figura 3.7
Aristóteles, intentando refutar a Zenón, dice que hay dos
sentidos en los que una cosa puede ser infinita: en extensión o en
divisibilidad. En un tiempo finito se puede establecer contacto con infinitas
cosas. En el sentido de la divisibilidad, ya que en este sentido el tiempo
también es infinito; y así una extensión finita de tiempo puede ser suficiente
para cubrir una longitud finita. Según otros, este argumento de Zenón ha sido
construido para poner de relieve que al atravesar una longitud finita hay que
recorrer un número infinito de puntos y así alcanzar el final de algo que
esencialmente no tiene final.
La segunda paradoja lleva el nombre de Aquiles y la Tortuga, según Aristóteles:
«Afirma que el objeto que se mueve más lentamente no puede ser
alcanzado por el más rápido ya que el perseguidor debe llegar primero al punto
del cual partió el perseguido, de manera que el más lento necesariamente estará
siempre en cabeza. El argumento es análogo al de la Dicotomía, pero la
diferencia radica en que no dividimos en mitades las distancias que se han de
recorrer.»
Aristóteles dice entonces que si el objeto que se mueve
lentamente cubre una distancia finita, puede ser superado por la misma razón
que daba al responder a la primera paradoja.
Las otras dos paradojas están dirigidas contra el movimiento «cinematográfico».
La tercera, llamada de la Flecha, nos la presenta Aristóteles como sigue:
«La tercera paradoja que formuló Zenón es la de que una flecha
moviéndose está en reposo; él llega a esta conclusión a partir de la hipótesis
de que el tiempo está constituido por instantes. Si no fuera por esta hipótesis
no habría tal conclusión.»
Según Aristóteles, lo que dice Zenón es que en cualquier
instante durante su movimiento la flecha ocupa una posición determinada y por
lo tanto está en reposo. Así pues, no puede estar en movimiento. Aristóteles
afirma que esta paradoja falla si no admitimos las unidades de tiempo
indivisibles.
La cuarta paradoja, llamada del Estadio o de las Filas en Movimiento, la
fórmula Aristóteles con estas palabras:
«La cuarta consiste en el argumento acerca de un conjunto de
cuerpos moviéndose en una carrera y cruzándose con otro conjunto de cuerpos en
número igual y moviéndose en dirección opuesta, el primero partiendo del final
y el otro de punto medio y moviéndose ambos con igual velocidad; Zenón concluye
que de esto se sigue que la mitad del tiempo es igual a su doble. El error
consiste en suponer que dos cuerpos moviéndose a velocidades iguales consumen
tiempos iguales en cruzarse, el primero con un cuerpo que está en movimiento y
el segundo con otro de igual tamaño que está en reposo, hipótesis que es
falsa.»
La interpretación más probable de la cuarta paradoja de Zenón
podría formularse de la manera siguiente: supongamos que tenemos tres filas de
soldados A, B y C(fig. 3.8), y que en la mínima unidad de tiempo
toda la fila B se mueve una posición hacia la izquierda,
mientras que en el mismo tiempo la fila C se mueve una posición hacia la
derecha. Entonces, relativamente a B, C se ha movido dos
posiciones, y por lo tanto ha debido haber una unidad de tiempo menor al cabo
de la cual C estaría una posición a la derecha de B, o bien la
mitad de la unidad de tiempo resultaría ser igual a la unidad misma.
Figura 3.8
Es posible que Zenón intentara simplemente señalar que la
velocidad es relativa. La velocidad de C relativa a B no es la
misma que la relativa a A. O bien puede haber querido indicar
que no hay un espacio absoluto al que referir las velocidades. Aristóteles dice
que la falacia de Zenón consiste en suponer que las cosas que se mueven con la
misma velocidad emplean el mismo tiempo en adelantar a un objeto en movimiento
y a un objeto fijo. Ni el argumento de Zenón ni la respuesta de Aristóteles son
claros, pero si suponemos que la paradoja consiste en un ataque a los
intervalos mínimos indivisibles y a los segmentos mínimos indivisibles de
espacio, que es lo que Zenón intentaba atacar, entonces su argumentación tiene
perfecto sentido.
Figura 3.9
Podemos incluir a Demócrito (c. 460-c. 370 a. C.) de Abdera, en
Tracia, entre los eleáticos. Es fama que Demócrito fue un hombre de gran
sabiduría que trabajó en muy diversos campos, incluida la astronomía. Dado que
perteneció a la escuela de Leucipo, y éste fue un discípulo de Zenón, muchas de
las cuestiones matemáticas que estudió Demócrito debieron venir sugeridas por
ideas de Zenón. Escribió obras de geometría, de aritmética y de líneas y
sólidos continuos; concretamente, las obras geométricas pudieron muy bien haber
estado entre los antecedentes de los Elementos de Euclides.
Arquímedes nos dice que fue Demócrito quien descubrió que los volúmenes de un
cono y de una pirámide son iguales a 1/3 de los volúmenes del cilindro y prisma
que tienen la misma base y la misma altura, pero que las demostraciones de
estos dos resultados se deben a Eudoxo. Demócrito consideraba al cono como una
serie de capas muy finas e indivisibles (fig. 3.9), pero se encontró enfrentado
con la dificultad de que si las capas fueran todas iguales darían un cilindro,
mientras que si fueran distintas la superficie del cono no sería lisa.
7. Los sofistas
Después de la derrota final de los persas en Micala el 479 a. C., Atenas se
convirtió en la ciudad más importante de una liga de ciudades griegas, y en un
floreciente centro comercial. La riqueza acumulada en el comercio, que hizo de
Atenas la ciudad más rica de su época, fue utilizada por el famoso gobernante
Pericles para reconstruir y adornar la ciudad. Jónicos, pitagóricos y todo tipo
de intelectuales se vieron atraídos a Atenas, donde se ponía un especial
énfasis en el razonamiento abstracto con el fin de extender el dominio de la
razón tanto a la naturaleza como al hombre mismo.
La primera escuela ateniense, llamada la de los sofistas, incluía eruditos
maestros en gramática, retórica, dialéctica, elocuencia, moral y —lo que más
nos interesa a nosotros— geometría, astronomía y filosofía. Uno de sus
objetivos principales era el de usar la matemática para entender el
funcionamiento del universo.
Muchos de los resultados matemáticos obtenidos fueron subproductos de los
intentos de resolver los tres famosos problemas de construcciones: construir un
cuadrado de área igual a un círculo dado; construir la arista de un cubo de
volumen doble que otro de arista dada; y trisecar un ángulo cualquiera: todo
ello debía ser realizado con regla y compás únicamente.
Se han dado diversas explicaciones sobre el origen de estos famosos problemas
de construcciones. Por ejemplo, una versión del origen del problema de la
duplicación del cubo, encontrada en una obra de Eratóstenes (c. 284-192 a. C.),
nos cuenta que los habitantes de Délos, bajo el azote de una peste, consultaron
al oráculo sobre la manera de librarse de ella, a lo que el oráculo respondió
que debían construir un altar de tamaño doble del que ya existía, de forma
cúbica. Los habitantes de Délos comprobaron que duplicando la arista no se
duplicaba el volumen, y se dirigieron a Platón, quien les dijo que el dios del
oráculo no había contestado así porque quisiera o necesitara un altar doble,
sino para censurar a los griegos por su indiferencia con respecto a la
matemática y su falta de respeto por la geometría. Plutarco también nos cuenta
la misma historia.
En realidad, estos problemas de construcciones eran generalizaciones de otros
problemas ya resueltos por los griegos. Dado que cualquier ángulo podía ser
bisecado, era natural plantearse la trisección. Y dado que la diagonal de un
cuadrado es el lado de un cuadrado de área doble que el original, el problema
correspondiente para el cubo resulta también muy natural. El problema de
cuadrar el círculo es un caso típico de muchos problemas griegos de construir
una figura de forma dada y de área igual a otra figura dada. Otro problema no
tan famoso fue el de la construcción de los polígonos regulares de 7 o más
lados; aquí, de nuevo, la construcción del cuadrado, del pentágono y del
hexágono regulares, sugirieron la etapa siguiente.
Se han dado diversas explicaciones acerca de la restricción a la regla y el
compás como instrumentos. La línea recta y la circunferencia eran, a los ojos
de los griegos, las figuras básicas, traducidas físicamente en la regla y el
compás, y por lo tanto se consideraron preferibles las construcciones con estos
dos instrumentos. También se ha esgrimido la razón de que Platón puso
objeciones a otros instrumentos mecánicos porque hacían intervenir demasiado el
mundo de los sentidos en lugar del mundo de las ideas, que él consideraba como
primario. Es muy probable, sin embargo, que en el siglo V la restricción a la
regla y el compás no fuera tan rígida, pero, como veremos, las construcciones
jugaron un papel vital en la geometría griega, y los axiomas de Euclides las
limitaron a las que se pueden hacer con regla y compás; por lo tanto, desde ese
momento en adelante tal restricción puede haberse tomado con más seriedad.
Pappus, por ejemplo, nos dice que si una construcción puede hacerse con regla y
compás, cualquier otra solución utilizando medios distintos no es
satisfactoria.
El primer intento conocido de resolver uno de los tres famosos problemas se
debió al jonio Anaxágoras, quien se supone trató de resolver la cuadratura del
círculo mientras se encontraba en prisión; no sabemos nada más sobre el caso.
Otro de los intentos más famosos fue el de Hipias de Elis, una ciudad del
Peloponeso. Hipias fue uno de los sofistas más importantes, nacido hacia el 460
a. C. y contemporáneo de Sócrates.
Intentando trisecar el ángulo inventó Hipias una nueva curva, que
desgraciadamente no es constructible con regla y compás. Esta curva se llama la
cuadratriz o trisectriz, y se genera de la manera siguiente: sea AB (fig.
3.10) un segmento d que gira en el sentido de las agujas de un
reloj alrededor de A a una velocidad constante, hasta ocupar
la posición AD. Durante el mismo tiempo BC se
mueve hacia abajo manteniéndose paralela a sí misma y a una velocidad constante
hasta alcanzar la posición AD. Supongamos que AB se
encuentra en la posición AD' al mismo tiempo que BC ocupa
la posición B'C, y sea E' el punto de intersección
de AD' con B'C'. Entonces E' es
un punto genérico de la cuadratriz BE'G. El punto límite G es
el final de la cuadratriz [5].
La ecuación de la cuadratriz en coordenadas cartesianas rectangulares puede
obtenerse de la manera siguiente: supongamos que AD' alcanza AD en
alguna fracción t/T del tiempo total T que
invierte AB en alcanzar AD.
Figura 3.10
Como AD' y B'C' se mueven con velocidades
constantes, B'C' recorre la parte E'Hde BA en
la misma fracción del tiempo total; por tanto,
Si representamos E'H por y y BA por a entonces
o bien
Pero si AH — x, entonces
por lo tanto
o bien
La curva, si fuera constructible, podría ser utilizada para
trisecar cualquier ángulo agudo. En efecto, sea ϕ tal ángulo;
entonces dividamos y en tres partes iguales de manera
que E'H' = 2H'H. Tracemos B"C" por H'
y supongamos que corta a la cuadratriz en L. Si
trazamos AL, entonces Ð LAD = ϕ/3,
puesto que por el razonamiento que nos condujo a (1),
o bien
Pero por (1)
luego
Otro descubrimiento famoso que se obtuvo del estudio de los
problemas de construcciones fue el que hizo Hipócrates de Chíos (siglo V a.
C.), el más famoso matemático de este siglo, al que no hay que confundir con su
contemporáneo Hipócrates de Cos, padre de la medicina griega. Hipócrates
floreció en Atenas durante la segunda mitad del siglo; no se trataba de un
sofista, sino más bien de un pitagórico. Se le atribuye la idea de ordenar los
teoremas de manera que los posteriores se puedan demostrar a partir de los
anteriores, de una manera familiar para nosotros desde Euclides. También se le
atribuye la introducción en matemáticas del método de demostración indirecto.
Al parecer, escribió un texto de geometría titulado Elementos, que
se ha perdido.
Figura 3.11
Hipócrates no resolvió el problema de la cuadratura del círculo,
evidentemente, pero sí resolvió otros relacionados con él. Sea, por
ejemplo, ABC un triángulo rectángulo isósceles (fig. 3.11)
inscrito en la semicircunferencia de centro O. Sea AEB la
semicircunferencia de diámetro AB. Entonces
Por lo tanto, el área OADB será igual al área
del semicírculo AEB; si restamos a ambos el área común ADB entonces
el área de la lúnula (o región sombreada) será igual al área del
triángulo AOB. Así pues, el área de la lúnula, que es una
figura limitada por arcos, es igual al área de una figura rectilínea; dicho con
otras palabras, una figura curvilínea ha quedado reducida a otra rectilínea.
Este resultado es una cuadratura, es decir, se ha calculado de manera efectiva
un área curvilínea porque es igual a un área limitada por líneas rectas, y ésta
puede ser calculada.
En su demostración hace uso Hipócrates del hecho de que dos círculos son entre
sí como los cuadrados construidos sobre sus diámetros. Es muy dudoso que
Hipócrates pudiera dar realmente una demostración de este hecho, puesto que tal
demostración depende del método de exhausción inventado más tarde por Eudoxo.
Hipócrates consiguió cuadrar otras tres lúnulas, trabajo que conocemos a través
de los escritos de Simplicio, y se trata del único fragmento de la
matemática clásica griega que nos ha llegado en su redacción
original.
También demostró Hipócrates que el problema de la duplicación del cubo puede
reducirse a encontrar dos medias proporcionales entre la arista dada y su
doble. En nuestra notación algebraica, sean x e y tales
que
Entonces
Y como y = x2/a, de la segunda
ecuación se obtiene que x3 = 2a3, que
es la respuesta deseada, y que no puede construirse con regla y compás. Desde
luego, Hipócrates debió razonar geométricamente, de una manera que veremos más
clara cuando estudiemos las Secciones Cónicas de Apolonio.
Otra idea muy importante fue la que se les ocurrió a los sofistas Antifón
(siglo V a. C.) y Brisson (c. 450 a. C.). Al intentar cuadrar el
círculo se le ocurrió a Antiphon la idea de aproximarse a dicha figura por
medio de polígonos inscritos de número de lados cada vez mayor.
Brisson incorporó la idea de utilizar polígonos circunscritos. Antifón, por su
parte, vino a sugerir además que el círculo podría ser considerado como un
polígono de un número infinito de lados; más adelante veremos cómo utilizó
Eudoxo estas ideas en su método de exhausción (cap. 4 sec. 9).
8. La escuela platónica
La escuela platónica sucedió a los sofistas a la cabeza de la actividad
matemática. Sus precursores inmediatos, Teodoro de Cirene, en el norte de
África (nacido hacia el 470 a. C.), y Arquitas de Tarento, en el sur de Italia
(428-347 a. C.) fueron pitagóricos y maestros ambos de Platón, de manera que
sus enseñanzas pudieron haber sido las que dieron lugar a la fuerte influencia
pitagórica en toda la escuela de Platón.
A Teodoro se atribuye el haber demostrado que las razones que nosotros
representamos por √3, √5, √7,..., √17 son todas inconmensurables con la unidad.
Arquitas, por su parte, introdujo la idea de considerar una curva como generada
por un punto en movimiento, y una superficie generada por una curva en
movimiento. Usando esta idea resolvió el problema de la duplicación del cubo
hallando dos medias proporcionales entre dos cantidades dadas; estas medias
proporcionales se construyen geométricamente hallando la intersección de tres
superficies: la que genera una circunferencia girando alrededor de una
tangente, un cono y un cilindro. La construcción es bastante complicada, y no
entraremos aquí en los detalles. Arquitas escribió también sobre mecánica
matemática, diseñó máquinas, estudió el sonido y contribuyó a las escalas
musicales mediante ciertos inventos y algo de teoría.
La escuela platónica estuvo encabezada, naturalmente, por Platón, e incluyó
entre sus miembros a Menecmo y su hermano Dinostrato (siglo IV a. C.) y a
Teeteto (c. 415-c. 369 a. C.). A muchos otros miembros los conocemos sólo de
nombre.
Platón (427-347 a. C.) nació en una familia distinguida, y de joven tuvo
ambiciones políticas, pero la suerte de Sócrates le convenció de que no había
lugar en la política para un hombre de conciencia. Viajó a Egipto y visitó a
los pitagóricos en el sur de Italia; la influencia pitagórica pudo producirse a
través de estos contactos. Hacia el 387 a. C. fundó Platón su Academia en
Atenas, la cual se parecía en muchos sentidos a una universidad moderna. La
Academia disponía de terrenos, edificios, estudiantes, y allí daban cursos
formalmente Platón y sus ayudantes. Durante el período clásico se vio
especialmente favorecido el estudio de la filosofía y de la matemática, y
aunque el principal centro matemático se desplazó a Alejandría hacia el 300 a.
C., la Academia siguió manteniendo su preeminencia en filosofía durante todo el
período alejandrino. En total duró casi 900 años hasta su cierre por orden del
emperador cristiano Justiniano el año 529 d. C., porque enseñaba «conocimientos
paganos y perversos».
Platón, que fue uno de los hombres más sabios de su época, no era matemático,
pero su entusiasmo por la materia y la creencia en su importancia para la
filosofía y para el entendimiento del universo hizo que animara a los
matemáticos a cultivarla. Es notable, y así hay que destacarlo, que casi todas
las obras matemáticas importantes del siglo IV se deban a amigos o discípulos
de Platón. Platón mismo parece haber estado más interesado en mejorar y
perfeccionar lo que ya se conocía.
Aunque no podemos estar seguros de en qué medida los conceptos de la matemática
fueron considerados como abstracciones antes de la época de Platón, no cabe
duda de que Platón y sus sucesores los consideraron así. Platón dice que los
números y conceptos geométricos no tienen en sí nada material y son distintos
de los objetos físicos. Así pues, los conceptos de la matemática son
independientes de la experiencia y tienen una realidad propia; se los descubre,
no se los inventa o crea, y esta distinción entre abstracciones y objetos
materiales pudo tener su origen en Sócrates.
Una cita de la República de Platón puede servir para ilustrar
la concepción contemporánea de los objetos matemáticos. Sócrates se dirige a
Glaucón:
Y toda la aritmética y el cálculo tienen que ver con el número.
Si...
Entonces este es un conocimiento del tipo que estamos buscando, que tiene un
doble uso, militar y filosófico; pues el hombre de guerra debe aprender el arte
de los números o no sabrá cómo disponer sus tropas, y el filósofo también,
porque tiene que salir del mar del cambio y buscar el verdadero ser, y por lo
tanto debe de ser un aritmético... Por lo tanto este es un tipo de conocimiento
que la legislación puede prescribir adecuadamente, y debemos intentar persuadir
a los que estén destinados a ser hombres principales de nuestro Estado para que
aprendan aritmética, pero no sólo como aficionados, sino que deben proseguir
ese estudio hasta ver la naturaleza de los números sólo con la mente; y no, una
vez más, como los mercaderes o los tenderos al por menor, con la vista puesta
en comprar o vender, sino por su utilidad militar y para el alma misma, debido
a que éste será el camino más fácil para ella de pasar del cambio a la verdad y
el ser... Entiendo, como estaba diciendo, que la aritmética tiene un gran
efecto de elevación, impulsando al alma a razonar sobre el número abstracto, y
rechazando la introducción de objetos visibles o tangibles en el
razonamiento...[6]
En otro contexto[7], se discuten los conceptos de la geometría. Hablando acerca de
los matemáticos dice Platón:
«Y no sabéis también que aunque hacen uso de las formas visibles
y razonan acerca de ellas, no piensan en éstas, sino en los ideales a que ellas
semejan... Pero están intentando realmente contemplar las cosas mismas, que
sólo pueden ser vistas con los ojos de la mente».
Estas citas dejan claro que Platón y otros griegos para los que
él habla valoraban las ideas abstractas y preferían las ideas matemáticas como
preparación para la filosofía. Las ideas abstractas de las que se ocupa la
matemática son afines a otras, tales como la bondad y la justicia, cuyo
entendimiento es la meta de la filosofía de Platón. Así pues, la matemática es
la preparación para el conocimiento del universo ideal.
¿Por qué preferían y subrayaban los griegos los conceptos abstractos de la
matemática? No podemos contestar a esta pregunta, pero hay que observar que los
primeros matemáticos griegos fueron filósofos y que los filósofos en general
ejercieron una influencia formativa importante en el desarrollo de la
matemática griega. Los filósofos están interesados en las ideas y muestran una
propensión típica por las abstracciones en muchos campos; así, los filósofos
griegos pensaron sobre la verdad, el bien, la caridad y la inteligencia,
especularon sobre la sociedad ideal y el estado perfecto, y tanto los
pitagóricos tardíos como los platónicos distinguieron claramente entre el mundo
de las ideas y el de las cosas. Las relaciones en el mundo material estaban
sujetas a cambios y no representaban por ello la verdad última, pero las
relaciones en el mundo ideal eran inmutables y por lo tanto verdades absolutas;
éstas eran pues el objeto propio del filósofo.
Platón, concretamente, creía que las idealizaciones perfectas de los objetos
físicos son la auténtica realidad; el mundo de las ideas y relaciones entre ellas
es permanente, sin edad, incorruptible y universal, mientras que el mundo
físico es una realización imperfecta del mundo ideal y está sujeto a la
degradación. Por lo tanto, sólo el mundo ideal merece estudio y sólo se puede
obtener un conocimiento infalible de las puras formas inteligibles. Sobre el
mundo físico sólo podemos tener opiniones, y la ciencia física está condenada a
verse hundida en el fango de un mundo de sensaciones.
No sabemos si los platónicos contribuyeron decisivamente a la estructura
deductiva de la matemática, aunque sí sabemos que se interesaron por la
demostración y la metodología del razonamiento. Proclo y Diógenes Laercio
(siglo III d. C.) atribuyeron dos tipos de metodología a los platónicos. El
primero es el método del análisis, en el que lo que se busca se considera como
conocido, y se deducen consecuencias hasta llegar a una verdad conocida o a una
contradicción; si se ha llegado a una contradicción entonces la conclusión
deseada es falsa, mientras que si se ha llegado a una verdad conocida y si las
etapas son reversibles se tiene una demostración. El segundo es el método
de reductio ad absurdum o de demostración indirecta. El primer
método probablemente no fue inventado por Platón, sino que quizás él subrayó su
necesidad para la síntesis subsecuente, mientras que el método indirecto se le
atribuye también a Hipócrates, como ya hemos indicado.
El status de la estructura deductiva en Platón viene expresado
claramente en un pasaje de la República[8] en el que dice:
«Sabes bien que los estudiantes de geometría, aritmética y
ciencias análogas suponen lo impar y lo par y las figuras y tres tipos de
ángulos y todo lo demás en las diversas ramas de la ciencia; éstas son sus
hipótesis, que se supone ellos y todo el mundo conocen, y por lo tanto no se
dignan explicarlas ni a ellos mismos ni a otros, sino que comienzan por ellas y
avanzan hasta que llegan al fin, y de una manera consistente, a su conclusión.»
Si admitimos que este párrafo describe fielmente la matemática
de la época, entonces ya se hacían ciertamente demostraciones, pero la base
axiomática quedaba implícita o podía variar algo de un matemático a otro.
Platón sostenía que era deseable una organización deductiva del conocimiento y
que la tarea de la ciencia era descubrir la estructura de la naturaleza (ideal)
y darle una articulación en forma de sistema deductivo. Platón fue el primero
en sistematizar las reglas de la demostración rigurosa, y se supone que sus
seguidores ordenaron los teoremas en un orden lógico. Sabemos también que en la
Academia de Platón se planteó la cuestión de si un problema dado podría ser
resuelto o no, sobre la base de las verdades conocidas y de las hipótesis dadas
en el mismo. Hayan sido las matemáticas organizadas deductivamente a partir de
axiomas explícitos por los platónicos o no, de lo que no hay duda es de que una
demostración deductiva a partir de algunos principios aceptados se consideró
necesaria al menos desde la época de Platón en adelante. Al insistir en esta
forma de demostración los griegos rechazaban expresamente todas las reglas,
procedimientos y hechos que habían sido aceptados en el «corpus» de la
matemática durante miles de años antes del período griego.
¿Por qué insistieron tanto los griegos en la demostración deductiva? Dado que
la inducción, observación y experimentación son fuentes vitales de
conocimiento, que fueron y aún son utilizadas hoy masiva y provechosamente por
las ciencias, ¿por qué prefirieron los griegos el razonamiento deductivo en
matemáticas con exclusión de todos los demás métodos? Sabemos que a los
griegos, o geómetras filosóficos como se llamaban, les gustaba el razonamiento
y la especulación, como se pone en evidencia por sus grandes contribuciones a
la filosofía, a la lógica y a la ciencia teórica, y además, los filósofos
estaban interesados en alcanzar la verdad. Mientras que la inducción, la
experimentación y las generalizaciones basadas en la experiencia sólo pueden
dar un conocimiento probable, la deducción conduce a resultados absolutamente
seguros si las premisas son correctas. En el mundo griego clásico la matemática
formaba parte del cuerpo de verdades que buscaban los filósofos y así tenía que
ser deductiva.
Otra razón de la preferencia griega por el método deductivo la podemos
encontrar en el rechazo mostrado por la clase cultivada del período clásico
griego por los asuntos prácticos. Aunque Atenas era un importante centro
comercial, los negocios y otras profesiones como la medicina las realizaban los
esclavos. Platón sostenía que la ocupación de los hombres libres en el comercio
debería ser castigada como un crimen, y Aristóteles decía que en el estado
perfecto ningún ciudadano (en oposición a los esclavos) debería practicar
ningún arte mecánica. A los pensadores de tal sociedad tenían que serles
extrañas la experimentación y la observación, y por lo tanto ningún resultado
científico ni matemático podría derivarse de esas fuentes.
Dicho sea de paso, hay evidencia que nos muestra que en los siglos VI y V a. C.
la actitud griega hacia el trabajo, el comercio y las habilidades técnicas era
muy diferente, y que la matemática encontró aplicaciones a las artes prácticas.
Tales usó al parecer su matemática para mejorar la navegación, mientras que
Solón, un gobernante del siglo VI, honró los oficios, y los inventores fueron
muy estimados. Sophia, la palabra griega utilizada normalmente
para expresar sabiduría y pensamiento abstracto, significaba en aquella época
habilidad técnica. Fueron los pitagóricos, nos dice Proclo, los que
«transformaron la matemática en una educación liberal», es decir, en una
educación para hombre libres en lugar de un oficio de esclavos.
En su biografía de Marcelo, mostró Plutarco el cambio de actitud hacia
artilugios tales como los instrumentos mecánicos, de la forma siguiente:
«Eudoxo y Arquitas habían sido los primeros creadores de este
famoso y muy apreciado arte de la mecánica, que empleaban como elegante
ilustración de las verdades geométricas y como medio de sustanciar
experimentalmente, y a satisfacción de los sentidos, conclusiones demasiado
complicadas para demostrarlas por medio de palabras y figuras. Como, por
ejemplo, para resolver el problema, necesario a menudo en las construcciones de
figuras geométricas, de dados los dos extremos, hallar los dos medios de una proporción,
ambos matemáticos recurrían a la ayuda de instrumentos, adaptando a sus fines
ciertas curvas y secciones de rectas. Pero con qué indignación lanzó Platón sus
invectivas contra este método como la simple corrupción y anulación de lo bueno
de la geometría, que volvía así vergonzosamente su espalda a los objetos
incorpóreos de la inteligencia pura para recurrir a la sensación y, buscando
ayuda (obtenida no sin limitaciones y pérdidas) en la materia, vino a ocurrir
que la mecánica se separó de la geometría y, repudiada y despreciada por los
filósofos, ocupó su lugar como arte militar.»
Esto explica el escaso desarrollo de la ciencia experimental y
de la mecánica en el período clásico griego.
Haya aislado o no la investigación histórica los factores relevantes para
explicar la preferencia de los griegos por el razonamiento deductivo, lo que sí
sabemos con exactitud es que fueron los primeros en insistir en el razonamiento
deductivo como único método de demostración en matemáticas.
Esta exigencia ha sido característica de la matemática desde entonces, y la ha
distinguido de todos los demás campos de conocimiento o investigación. Sin
embargo, aún habremos de ver hasta qué punto los matemáticos posteriores
permanecieron fieles a este principio.
Por lo que se refiere al contenido de la matemática, Platón y su escuela
mejoraron las definiciones y se supone que demostraron nuevos teoremas de
geometría plana. Además, dieron un impulso importante a la geometría del
espacio. En el libro VII, sección 528 de la República, dice
Platón que antes de estudiar la astronomía, que trata de sólidos en movimiento,
se necesita una ciencia que estudie tales sólidos. Pero esta ciencia, dice, ha
sido descuidada; y se queja de que los investigadores de las figuras sólidas no
hayan recibido el suficiente apoyo por parte del Estado. En consecuencia,
Platón y sus discípulos procedieron a estudiar la geometría del espacio, y se
supone que demostraron nuevos teoremas; estudiaron las propiedades del prisma,
la pirámide, el cilindro y el cono, y descubrieron que no puede haber más de
cinco poliedros regulares. Los pitagóricos sabían sin duda de la existencia de
tres de estos sólidos con cuatro, ocho y veinte caras triángulos equiláteros,
el cubo con cuadrados y el dodecaedro con doce pentágonos, pero la demostración
de que no puede haber más que cinco se debe probablemente a Teeteto.
El descubrimiento más importante quizás de la escuela platónica fue el de las
secciones cónicas, atribuido por el alejandrino Eratóstenes a Menecmo, un
geómetra y astrónomo que fue discípulo de Eudoxo y miembro de la Academia
platónica. Aunque no sabemos con exactitud qué fue lo que llevó al
descubrimiento de las secciones cónicas, se cree que resultó del estudio de los
famosos problemas de construcciones. Ya hemos dicho que Hipócrates de Chíos
redujo el problema de la duplicación del cubo al de hallar dos segmentos x e y tales
que
a : x = x : y = y : 2a,
pero estas ecuaciones nos dicen que
y por lo tanto, usando geometría analítica podemos ver que x e y son
las coordenadas del punto de intersección de dos parábolas o de una parábola y
una hipérbola. Menecmo trabajó en el problema y descubrió ambas maneras de
resolverlo utilizando geometría pura. Según el historiador de la matemática
Otto Neugebauer, las secciones cónicas podrían haber tenido su origen en el
estudio y construcción de relojes de sol.
Menecmo introdujo las secciones cónicas utilizando tres tipos de conos (fig.
3.12), con ángulos en el vértice recto, agudo y obtuso respectivamente,
cortando cada uno de ellos por un plano perpendicular a una generatriz. Así
pues, en esa época sólo se conocía una rama de la hipérbola.
Figura 3.12
Entre otros estudios matemáticos debidos a los platónicos están
los trabajos de Teeteto sobre los inconmensurables. Anteriormente había
demostrado Teodoro de Cirene que (en nuestra notación) √3, √5, √7 y otras
raíces cuadradas eran irracionales. Teeteto investigó otras de tipos más
complicados y las clasificó; veremos estos tipos con detalle al estudiar el
libro X de los Elementos de Euclides. En este trabajo de
Teeteto vemos cómo el sistema numérico va siendo ampliado a más irracionales,
pero sólo se estudian aquellas razones inconmensurables que surgen como
longitudes en construcciones geométricas. Otro discípulo de Platón, Dinostrato,
mostró cómo utilizar la cuadratriz de Hipias para cuadrar el círculo y, según
nos dice Pappus, Aristeo el Viejo (c. 320 a. C.) habría escrito una obra en
cinco libros titulada Elementos de las Secciones Cónicas.
9. La escuela de Eudoxo
El más grande de todos los matemáticos griegos de la época clásica, superado
seguramente sólo por Arquímedes en la antigüedad, fue Eudoxo, al que
Eratóstenes llamó «divino». Nació en Cnido, en Asia Menor, hacia el 408 a. C.,
estudió con Arquitas en Tarento, viajó a Egipto, donde aprendió astronomía, y
después fundó una escuela en Cyzico en el norte de Asia Menor. Hacia el 368 a.
C. se unió a la escuela de Platón junto con sus discípulos, para regresar
algunos años más tarde a Cnido, donde murió hacia el 355 a. C. Habiendo sido
astrónomo, médico, geómetra, legislador y geógrafo, probablemente sea más
conocido como creador de la primera teoría astronómica de los movimientos
celestes (cap. 7).
Su primera contribución importante a la matemática fue una nueva teoría de
proporciones. El descubrimiento de un número cada vez mayor de irracionales (o
razones inconmensurables) hizo necesario para los griegos hacer frente a estos
números; pero ¿eran realmente números? Aparecían en razonamientos geométricos
mientras que los números enteros y las razones entre números enteros aparecían
tanto en geometría como en el estudio general de la cantidad. Pero ¿cómo se
podrían extender las demostraciones geométricas que se habían hecho para
longitudes, áreas y volúmenes conmensurables a los inconmensurables?
Eudoxo introdujo la idea de magnitud continua (cap. 4, sec. 5). No se trataba
de un número, sino de entidades tales como segmentos rectilíneos, ángulos,
áreas, volúmenes, tiempo, etc., que podían variar, como si dijéramos, de una
manera continua. Las magnitudes se oponían en esto a los números, que saltaban
de un valor a otro, como del cuatro al cinco, mientras que a las magnitudes no
se les asignaba ningún valor cuantitativo. Eudoxo definía entonces una razón de
magnitudes y a partir de ella una proporción, es decir, una igualdad de dos
razones, que cubría los casos de razones conmensurables e inconmensurables. Sin
embargo, una vez más, no se utilizaba número alguno para expresar tales
razones. Los conceptos de razón y proporción estaban ligados así a la
geometría, como veremos al estudiar el libro V de Euclides.
Lo que consiguió así Eudoxo fue evitar los números irracionales en tanto que
números, es decir, evitó darles valores numéricos a las longitudes de
segmentos, tamaños de ángulos y otras magnitudes, así como a las razones de
magnitudes. Mientras la teoría de Eudoxo permitió a los matemáticos griegos
hacer grandes progresos en geometría, suministrándoles los fundamentos lógicos
necesarios para las razones inconmensurables, también tuvo varias consecuencias
desafortunadas.
Por mencionar una, forzó una nítida separación entre número y geometría, dado
que únicamente la geometría podía manejar las razones inconmensurables, pero
también hizo de los matemáticos geómetras, y la geometría iba a convertirse en
la base de casi toda la matemática rigurosa durante los dos mil años
siguientes. Nosotros decimos aún x2, «x cuadrado»
y x3, «x cubo» en lugar de,
digamos, x segunda o x tercera, debido a que
las magnitudes x2, y x3 sólo
tenían un significado geométrico para los griegos.
La solución de Eudoxo al problema de cómo tratar las magnitudes
inconmensurables o los números irracionales invirtió, de hecho, el punto de
vista de la matemática griega anterior. Los pitagóricos primitivos habían
puesto ciertamente el énfasis en el número como concepto fundamental, y
Arquitas de Tarento, maestro de Eudoxo, afirmaba que sólo la aritmética, y no
la geometría, podía dar demostraciones satisfactorias. Sin embargo, al volver a
la geometría para manejar los números irracionales, los griegos abandonaron el
álgebra y los números irracionales como tales. Pero ¿qué es lo que hicieron
para resolver ecuaciones cuadráticas, donde las soluciones son frecuentemente
números irracionales?, y ¿de qué manera trataron el sencillo problema de hallar
el área de un rectángulo de lados inconmensurables? La respuesta a ambas
preguntas es la de que transformaron la mayor parte del álgebra en geometría,
en un proceso que analizaremos en el capítulo siguiente. La representación
geométrica de los irracionales y de las operaciones con ellos no era práctica,
evidentemente. Puede resultar lógicamente satisfactorio pensar en √2×√3 como el
área de un rectángulo, pero si se necesita saber el producto para comprar
moqueta, por ejemplo, no dará resultado.
Aunque los griegos dedicaron sus mayores esfuerzos en matemáticas a la
geometría, no hay que olvidar que los números enteros y las razones entre ellos
siguieron siendo conceptos perfectamente aceptables. Este campo de la
matemática, como veremos, aparece organizado deductivamente en los libros VII,
VIII y IX de los Elementos de Euclides; el material en
cuestión cubre esencialmente lo que llamamos teoría de números o estudio de las
propiedades de los enteros.
La siguiente pregunta se plantea de manera natural: ¿Qué hicieron los griegos
con la necesidad de los números en la investigación científica, así como en el
comercio y otros asuntos prácticos? Por un lado, la ciencia griega clásica fue
cualitativa, como veremos. En cuanto a los usos prácticos de los números, ya
hemos dicho que los intelectuales de la época se limitaron a las actividades
filosóficas y científicas y no se ocuparon del comercio ni de los oficios; el
hombre cultivado no se interesaba por los problemas prácticos. Pero uno puede
pensar en todos los rectángulos de la geometría sin referirse para nada a las
dimensiones concretas de ninguno de ellos. El pensamiento matemático se vio así
separado de las necesidades prácticas, y los matemáticos no encontraron
motivación para mejorar las técnicas aritméticas y algebraicas. Cuando las
barreras ente las clases cultivadas y los esclavos se hicieron menos estrictas
en el período alejandrino (del 300 a. C. al 600 d. C. aproximadamente) y los
hombres cultos se interesaron por los asuntos prácticos, el énfasis se desplazó
al conocimiento cuantitativo y al desarrollo de la aritmética y el álgebra.
Volviendo a las contribuciones de Eudoxo, también se debe a él el poderoso
método griego para hallar áreas y volúmenes de figuras curvilíneas que nosotros
llamamos método de exhausción. Estudiaremos este método y sus aplicaciones, tal
como las presenta Euclides, más adelante. Se trata realmente de la primera
etapa en la historia del cálculo infinitesimal, pero no utiliza una teoría de
límites explícita. Con su ayuda demostró Eudoxo, por ejemplo, que las áreas de
dos círculos son entre sí como los cuadrados de sus radios, que los volúmenes
de dos esferas son entre sí como los cubos de sus radios, que el volumen de una
pirámide es un tercio del volumen del prisma con la misma base y altura, y que
el volumen de un cono es un tercio del cilindro correspondiente.
Siempre puede encontrarse un motivo u otro para atribuir a cualquier escuela,
desde Tales en adelante, el haber introducido la organización deductiva de la
matemática, pero es incuestionable, sin embargo, que la obra de Eudoxo
estableció la organización deductiva sobre la base de unos axiomas
explícitos. La razón para ello fue sin duda la necesidad de entender y
operar con razones inconmensurables. Dado que Eudoxo abordó la tarea de
construir la base lógica precisa para estas razones, es lo más verosímil que
viera la necesidad de formular axiomas y deducir consecuencias una por una de
manera que no se cometieran errores con estas magnitudes extrañas y
conflictivas. Esta necesidad de manejar razones inconmensurables vino también a
reforzar, sin duda, la decisión anterior de apoyarse exclusivamente en el
razonamiento deductivo en las demostraciones.
Como los griegos buscaban verdades y habían decidido utilizar las
demostraciones deductivas, tenían que basarse en axiomas que fueran ellos
mismos verdaderos, y encontraron en efecto afirmaciones cuya veracidad era
evidente para ellos, aunque las justificaciones dadas para aceptar los axiomas
como verdades indiscutibles fueran diversas. Casi todos los griegos creían que
la mente era capaz de reconocer estas verdades y Platón, en particular, aplicó
su teoría de la anamnesis, según la cual hemos tenido ya una
experiencia directa de las verdades en un período de existencia como almas en
otro mundo antes de venir a la tierra, y no tenemos más que recordar esta
experiencia para saber que estas verdades incluyen a los axiomas de la
geometría; no es necesaria ninguna experiencia en la tierra. Algunos
historiadores pretenden ver en las teorías de Platón y Proclo la idea de que
puede haber alguna arbitrariedad en los axiomas, con tal solamente de que sean claros
y verdaderos en la mente del matemático individual. Lo importante es razonar
deductivamente sobre la base de los axiomas elegidos. Aristóteles tenía mucho
que decir sobre los axiomas y pasamos ahora a exponer sus puntos de vista.
10. Aristóteles y su escuela
Aristóteles (384-322 a. C.) nació en Estagira, ciudad de Macedonia. Durante 20
años fue discípulo de Platón y durante otros 3 años, del 343 al 340 a. C., fue
tutor de Alejandro Magno. El año 335 a. C. fundó su propia escuela, el Liceo,
con un jardín, un aula y un altar a las Musas.
Aristóteles escribió sobre mecánica, física, matemáticas, lógica, meteorología,
botánica, psicología, zoología, ética, literatura, metafísica, economía y
muchos otros temas. No hay ningún libro dedicado exclusivamente a la
matemática, pero en diversos lugares aparecen discusiones sobre la materia, que
utiliza como ejemplos en muchos contextos.
Aristóteles consideraba a las ciencias clasificadas en tres tipos: teóricas,
productivas y prácticas. Las teóricas, que son las que buscan la verdad, son la
matemática, la física (óptica, armonía y astronomía), y la metafísica; de ellas
la más exacta es la matemática. Las ciencias productivas son en realidad las
artes, y las prácticas, como por ejemplo la ética y la política, tratan de
regular las acciones humanas. En las ciencias teóricas la lógica es previa a
los diversos temas incluidos en ellas, y el metafísico discute y explica lo que
el matemático y el filósofo natural (o científico) toma como dado, por ejemplo
el ser o realidad de la materia y el tipo de los axiomas.
Aunque Aristóteles no contribuyó con resultados matemáticos nuevos de
importancia (algunos teoremas de Euclides se le atribuyen, sin embargo), sus
teorías sobre la naturaleza de la matemática y sus relaciones con el mundo
físico ejercieron una gran influencia. Mientras Platón creía que había un mundo
independiente y eterno de las ideas, que constituía la realidad del universo y
del que formaban parte los conceptos matemáticos, Aristóteles atribuía este
papel a la materia o substancia concreta. Sin embargo, también llegó a poner
énfasis en las ideas, es decir en las esencias universales de los objetos
físicos, tales como dureza, blandura, gravedad, ligereza, esfericidad, frialdad
y calor. Los números y las formas geométricas eran también propiedades de los
objetos reales; se reconocían por abstracción pero pertenecían en realidad a
los objetos mismos. Así, la matemática trabaja con conceptos abstractos que se
derivan de propiedades de los cuerpos físicos.
Aristóteles discute también el concepto de definición. Su idea de definición es
la moderna y la denomina un nombre para una colección de palabras señalando
también que una definición correcta debe estar expresada en términos de algo
previo a la cosa definida. Así, por ejemplo, critica la definición «un punto es
aquello que no tiene partes», porque las palabras «aquello que» no dicen a qué
se refieren, excepto posiblemente a «punto», y por lo tanto la definición no
sería correcta. Reconoce, evidentemente, la necesidad de términos indefinidos,
puesto que debe haber un punto de partida para la serie de definiciones, pero
los matemáticos posteriores olvidaron esta necesidad hasta finales del siglo
XIX.
Advierte también (como había hecho anteriormente Platón, según Plutarco) que
una definición nos dice lo que es una cosa, pero no que la cosa misma exista.
La existencia de las cosas definidas tiene que demostrarse excepto en el caso
de unas pocas cosas primarias tales como el punto y la recta, cuya existencia
se supone en los primeros principios o axiomas. Podemos definir un cuadrado
pero tal figura puede no existir, es decir, las propiedades exigidas en la
definición pueden ser incompatibles. Leibniz puso el ejemplo de un poliedro
regular de 10 caras; uno puede definir naturalmente tal figura, pero no existe.
Si no se comprueba que esta figura existe, y procedemos a demostrar teoremas
acerca de ella, los resultados no tendrán sentido. El método de demostrar la
existencia que adoptaron Aristóteles y Euclides fue el de la construcción. Los
tres primeros axiomas de los Elementos de Euclides garantizan
la construcción de rectas y circunferencias; todos los conceptos matemáticos
restantes han de ser construidos para establecer su existencia. Así, los
trisectores de ángulos, aunque sean evidentemente definibles, no son
constructibles con rectas y circunferencias y por lo tanto no podían admitirse
en la geometría griega.
Aristóteles se ocupa también de los principios básicos de la matemática,
distinguiendo entre los axiomas o nociones comunes, que son verdades comunes a
todas las ciencias, y los postulados, que son primeros principios aceptables
para una ciencia concreta. Entre los axiomas incluye los principios lógicos,
tales como la ley de contradicción, la ley del tercio excluso, el axioma de que
si se suman o restan cosas iguales de otras iguales los resultados son iguales,
y otros principios análogos. Los postulados no necesitan ser auto-evidentes
sino que su verdad debe venir garantizada por las consecuencias que se derivan
de ellos. La colección de axiomas y postulados ha de ser lo más reducida
posible, con tal de que permitan demostrar todos los resultados. Aunque, como
veremos, Euclides utiliza la distinción de Aristóteles entre nociones comunes y
postulados, todos los matemáticos hasta principios del XIX pasaron por alto
esta distinción y trataron los axiomas y los postulados como igualmente
auto-evidentes. Según Aristóteles, los axiomas se obtienen de la observación de
los objetos físicos, de los que son generalizaciones aprehendidas de modo
inmediato. Tanto él como sus seguidores dieron muchas definiciones y axiomas o
mejoraron otros anteriores y algunas de las versiones aristotélicas las incluye
directamente Euclides.
Aristóteles discute los problemas fundamentales acerca de las relaciones entre
puntos y rectas. Un punto, dice, es indivisible y tiene posición; pero entonces
ninguna acumulación de puntos, por muchos que incluyera, podría darnos algo
divisible, mientras que una recta es desde luego una magnitud divisible. Por lo
tanto los puntos no pueden construir nada continuo como una recta, pues un
punto no puede ser continuo con otro punto. Un punto, añade, es como el ahora
en el tiempo; el ahora es indivisible y no una parte del tiempo. Un punto puede
ser un comienzo, un final o un divisor en un segmento pero no es parte de él ni
de ninguna magnitud. Solamente por movimiento puede un punto
generar una recta y ser así origen de la magnitud. También afirma que, puesto
que un punto no tiene longitud, si una recta estuviera compuesta de puntos
tampoco tendría longitud y, análogamente, si el tiempo estuviera compuesto de
instantes no habría ningún intervalo de tiempo. Su definición de continuidad,
propiedad que posee una recta, es la siguiente: una cosa es continua cuando los
límites en los que se tocan dos partes sucesivas cualesquiera son uno y el
mismo y están, como la palabra misma, continuo, implica, juntos. En realidad
hace diversas afirmaciones sobre las magnitudes continuas que no concuerdan
unas con otras. El núcleo de su teoría, sin embargo, es que los puntos y los
números son cantidades discretas y hay que distinguirlas de las magnitudes
continuas de la geometría; no hay continuo en la aritmética. En cuanto a la
relación entre estos dos campos, considera a la aritmética (es decir, a la
teoría de números) como más exacta, porque los números se prestan más
fácilmente a la abstracción que los conceptos geométricos. También considera a
la aritmética como previa a la geometría, porque el número 3 es necesario para
considerar un triángulo.
Al discutir el infinito hace Aristóteles una distinción, importante aún hoy,
entre el infinito potencial y el infinito actual. La edad de la tierra, si es
que tuvo un comienzo, es potencialmente infinita pero en ningún instante es
actualmente infinita. Según él, sólo existe el infinito potencial. Los enteros
positivos, concede, son potencialmente infinitos porque siempre podemos añadir
1 a cualquier número y obtener otro distinto, pero el conjunto infinito, como
tal, no existe. La mayor parte de las magnitudes, incluso, no pueden ser ni
siquiera potencialmente infinitas, porque si se añadieran de una manera
indefinida podrían exceder los límites del universo. El espacio, sin embargo,
sí es potencialmente infinito en el sentido de que puede ser subdividido
indefinidamente, y el tiempo es potencialmente infinito en los dos sentidos.
Uno de los logros más importantes de Aristóteles fue la fundamentación de la
ciencia de la lógica. Los griegos habían hecho ya el trabajo básico para fundar
la lógica al producir razonamientos matemáticos correctos, pero correspondió a
Aristóteles codificar y sistematizar las leyes que siguen estos razonamientos
en una disciplina separada. Los escritos de Aristóteles dejan muy claro que
derivó la lógica de la matemática. Los principios básicos de su lógica —la ley
de contradicción, que afirma que una proposición no puede ser a la vez
verdadera y falsa, y la ley de tercio excluso, que afirma que una proposición
debe ser verdadera o falsa— están en el centro mismo del método de demostración
indirecto en matemáticas; por otra parte, Aristóteles utiliza abundantes
ejemplos matemáticos tomados de textos contemporáneos para ilustrar sus
principios de razonamiento. Esta lógica aristotélica permaneció insuperada
hasta el siglo XIX.
A pesar de que la lógica se derivó de la matemática, finalmente fue considerada
como independiente de y previa a la matemática, y aplicable a todos los
razonamientos. Incluso Aristóteles, como ya hemos hecho notar, consideró a la
lógica como preliminar a las ciencias y a la filosofía, y concretamente en
matemáticas subrayó la demostración deductiva como la única base para
establecer los hechos. Para Platón, que creía que las verdades matemáticas
preexistían o existían en un mundo independiente del hombre, el razonamiento no
era la garantía de la corrección de los teoremas; el poder de la lógica jugaba
sólo un papel secundario, haciendo explícito, por así decirlo, lo que ya se
sabía que era verdadero.
Un miembro de la escuela aristotélica especialmente digno de mención es Eudemo
de Rodas, que vivió a finales del siglo IV a. C. y fue el autor del «Sumario de
Eudemo» citado por Proclo y por Simplicio. Como ya dijimos, Eudemo escribió
historias de la aritmética, de la geometría y de la astronomía. Se trata pues
del primer historiador de la ciencia que conocemos, pero lo que es más
importante es que los conocimientos ya existentes en su época fueran lo
suficientemente amplios como para merecer ser historiados.
El último de los autores del período clásico que vamos a mencionar aquí es
Autólico de Pitania, astrónomo y geómetra que floreció hacia el 310 a. C. No
fue miembro de la escuela de Platón ni de la de Aristóteles, aunque fue maestro
de uno de los sucesores de Platón. De tres libros que escribió nos han llegado
dos; son los libros griegos más antiguos que conocemos completos, aunque sólo a
través de manuscritos que presumiblemente son copias de las obras de Autólico.
Estos libros, Sobre la Esfera en Movimiento y Sobre
Salidas y Puestas fueron incluidos más tarde en una colección
llamada Pequeña Astronomía (para distinguirla de la
posterior Gran Colección o Almagesto de
Ptolomeo). Sobre la Esfera en Movimiento trata de los círculos
meridianos, de los círculos máximos en general, y de lo que llamaríamos
paralelos de latitud, así como de las áreas visible e invisible producidas por
una fuente luminosa distante sobre una esfera en rotación, tal como el sol
sobre la tierra. El libro presupone teoremas de geometría esférica que debían
conocer, por lo tanto, los griegos de la época. El segundo libro de Autólico
sobre la salida y puesta de estrellas corresponde a la astronomía de
observación.
La forma del libro sobre la esfera en movimiento es importante; los puntos de
las figuras vienen representados por letras y las proposiciones están ordenadas
lógicamente. Primero se formula la proposición en general, después se repite,
pero con referencia explícita a la figura y finalmente se da la demostración.
Este es ya el estilo que usa Euclides.
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Capítulo 4
Euclides y Apolonio
Contenido:
1. Introducción
2. El marco de los Elementos de Euclides
3. Las definiciones y axiomas de los Elementos
4. Los libros I a IV de los Elementos
5. El libro V: La teoría de proporciones
6. El libro VI: Figuras semejantes
7. Los libros VII, VIII y IX: La teoría de números
8. El libro X: La clasificación de los inconmensurables
9. Los libros XI, XII y XIII: Geometría de sólidos y método de exhausción
10. Los métodos y defectos de los Elementos
11. Otras obras matemáticas de Euclides
12. La obra matemática de Apolonio
Bibliografía
Aprendimos de los pioneros en esta ciencia a no atender a meras
imágenes plausibles cuando se trata de los razonamientos que deben presentarse
en nuestra doctrina geométrica.
Proclo
1.
Introducción
Lo más importante de la
obra matemática que realizaron los autores del período clásico ha llegado
afortunadamente hasta nosotros, en los escritos de Euclides y Apolonio.
Cronológicamente, ambos pertenecen al segundo gran período de la historia
griega, el helenístico o alejandrino. Sabemos con certeza, gracias a un párrafo
del Comentario de Proclo, que Euclides vivió y enseñó en Alejandría en torno al
año 300 a. C., aunque probablemente se educara en la Academia de Platón; y esto
es todo cuanto conocemos de su vida. Apolonio murió en el año 190 a. C., de
modo que toda su vida cae claramente dentro del período helenístico. Es
habitual, sin embargo, situar su obra en el período clásico, ya que sus libros
dan cuenta de lo producido en tal época. De hecho, Euclides estructuró los
descubrimientos dispares de los griegos clásicos, como puede comprobarse
comparando el contenido de sus libros con los fragmentos que nos han llegado de
trabajos más antiguos; constituyen así los Elementos tanto una historia
matemática de la época precedente como el desarrollo lógico de una teoría. La
obra de Apolonio se sitúa generalmente en el período alejandrino que le
corresponde, pero el espíritu y el contenido de su principal trabajo, las
Secciones Cónicas, son del período clásico. El mismo Apolonio reconoció que los
cuatro prime ros libros de los ocho que lo forman constituyen una revisión de
los trabajos perdidos de Euclides sobre el mismo tema. Pappus menciona que
Apolonio pasó largo tiempo con los discípulos de Euclides en Alejandría, lo que
explica su familiaridad con la obra de este último. La discusión que haremos
más adelante sobre las características del período alejandrino justificará, a
nuestro parecer, la inclusión de Apolonio en el período clásico.
2. El marco de los Elementos de Euclides
Los Elementos son sin duda la obra más famosa de Euclides. Pese al escaso
conocimiento que poseemos del período clásico, cabe señalar las principales
fuentes del material contenido en ellos: aparte de los discípulos de Platón con
quienes estudió Euclides, y a quienes debe mucho, sin duda, Proclo afirma que
introdujo en sus Elementos muchos de los teoremas de Eudoxo, perfeccionó
teoremas de Teeteto y proporcionó demostraciones irrefutables de muchos
resultados insuficientemente demostrados por sus predecesores.
A Euclides se debe la elección del sistema de axiomas, la ordenación de los
teoremas y la tersura y rigor de las demostraciones, muchas de ellas suyas, sin
duda. Su forma de presentar éstas, sin embargo, había sido ya empleada por Autólico
(ver cap. 3, sec. 9) y seguramente por otros de sus predecesores.
Independientemente de la cuestión de cuánto haya de original en sus Elementos y
cuánto pudo haber recogido de textos anteriores u otras fuentes, Euclides fue
sin duda un gran matemático, como lo prueban sus otros escritos. Proclo señala
que los Elementos eran muy apreciados en Grecia, e indica como prueba el gran
número de comentarios a que habían dado lugar; entre los más importantes cabe
citar los de Herón (c. 100 a. C. - c. 100 d. C.), Porfirio (siglo III) y Pappus
(finales del mismo siglo). Presumiblemente su calidad les permitió reemplazar a
los libros que sobre el mismo asunto se cree que escribieron Hipócrates de
Chíos y los platónicos León y Teudio.
No contamos con manuscritos del propio Euclides, y sus escritos han tenido que
ser reconstruidos a partir de las numerosas recensiones, comentarios y notas de
otros autores. Todas las ediciones en lengua inglesa y en latín de los
Elementos se han realizado a partir de manuscritos griegos; la recensión de
Teón de Alejandría (fines del siglo IV), copias de ésta, versiones escritas de
las lecciones de Teón, y un manuscrito griego del siglo X que François Peyrard
(1760-1822) halló en la Biblioteca Vaticana, y que es una copia de una edición
de Euclides anterior a la de Teón. Los historiadores J. L. Heiberg y Thomas L.
Heath han utilizado principalmente este manuscrito en su estudio sobre
Euclides, comparándolo, claro está, con los restantes manuscritos y comentarios
disponibles. También existen versiones y comentarios árabes, basados al parecer
en manuscritos griegos que se han perdido, y que han servido para precisar qué
había y qué no en los Elementos escritos por Euclides; pero estas versiones
árabes son en cualquier caso inferiores a los manuscritos griegos. Al apoyarse
en tantas fuentes, la reconstrucción de los Elementos deja margen para la duda
sobre algunas cuestiones. En particular, no sabemos con qué propósito fueron
escritos; hay quienes los consideran un tratado para matemáticos formados, y
quienes piensan que se trata de un texto para estudiantes. Proclo parece
inclinarse por esta última opción.
Dadas la longitud y la incomparable importancia histórica de esta obra,
dedicaremos varias secciones del presente capítulo a un repaso y comentario de
su contenido, que quizá nos sorprenda un poco al compararlo con la «geometría
euclídea» aprendida en la enseñanza media o superior. Las versiones más
ampliamente difundidas en nuestro tiempo se basan en la modificación que
Legendre realizó de los trabajos de Euclides, empleando una pizca de álgebra
ajena a los Elementos, sin que por ello, como veremos, se altere el material
geométrico.
3. Las definiciones y axiomas de los Elementos
Los Elementos constan de trece libros. En algunas ediciones se han incluido
otros dos, debidos probablemente a otros autores. El libro I comienza con las
definiciones de los conceptos que se utilizarán en la primera parte de la obra.
Copiaremos aquí sólo las más importantes, numerándolas de acuerdo con la
edición de Heath [9]:
Definiciones
1. Un punto es lo que no tiene partes.
2. Una línea es una longitud sin anchura. La palabra línea significa curva.
3. Los extremos de una línea son puntos. Esta definición establece que una
línea o curva siempre tiene longitud finita; en los Elementos no aparecen
curvas que se extiendan hasta el infinito.
4. Una línea recta es aquella que yace por igual sobre sus puntos. De acuerdo
con la definición 3, la línea recta de Euclides es nuestro segmento. Se cree
que esta definición pudo ser sugerida por el nivel que se usa en albañilería.
5. Una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura.
6. Los extremos de una superficie son líneas. Una superficie, por tanto, es
también una figura acotada.
7. Una superficie plana es la que yace por igual sobre sus líneas rectas.
15. Un círculo es una figura plana rodeada por una línea tal que todas las
rectas que inciden sobre ella desde cierto punto interior a la figura son
iguales entre sí.
16. Ese punto se llama centro del círculo.
17. Un diámetro del círculo es cualquier recta que pasa por el centro y cuyos
extremos están en la circunferencia (no definida explícitamente) del círculo.
Tal recta divide en dos partes iguales al círculo.
23. Rectas paralelas son aquellas que, estando en el mismo plano, no se
encuentran cuando se prolongan indefinidamente en ambas direcciones.
Estas definiciones preliminares vienen cargadas de conceptos no
definidos y no convienen por tanto a ningún propósito lógico. Puede que
Euclides no se apercibiera de que los conceptos iniciales deben quedar sin
definición, lo que le habría llevado a explicar ingenuamente su significado en
términos de conceptos físicos. Algunos comentaristas afirman que, aun siendo
consciente de que las definiciones no eran lógicamente útiles, quiso explicar
lo que sus términos representaban intuitivamente, de manera que sus lectores
quedaran convencidos de que los axiomas y postulados eran aplicables a esos
conceptos.
A continuación presenta cinco postulados y cinco nociones
comunes (a las que Proclo llama axiomas). Asume la distinción ya indicada por
Aristóteles de que las nociones comunes son verdades aplicables a cualquier
ciencia, mientras que los postulados se aplican solamente a la geometría. Como
ya señalamos en su momento, Aristóteles decía que no se precisa la certeza de
que los postulados sean verdaderos, y que su veracidad se contrastaría al
confrontar con la realidad los resultados de ellos deducidos. Proclo incluso
habla del carácter hipotético de toda matemática, que sólo deduce lo que se
sigue de las suposiciones iniciales, sean éstas verdaderas o no. Cabe pensar
que Euclides compartiera el punto de vista de Aristóteles con respecto a la
veracidad de los postulados. No obstante, en el desarrollo ulterior de las
matemáticas, al menos hasta el advenimiento de las geometrías no euclídeas,
tanto los postulados como las nociones comunes fueron aceptados como verdades
incuestionables.
Euclides postula lo siguiente:
Postulados
1. (Es posible) trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro.
2. (Es posible) prolongar continuamente en línea recta una recta dada.
3. (Es posible) trazar un círculo con cualquier centro y distancia (radio).
4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Que si una recta incide sobre otras dos formando del mismo lado ángulos
internos menores que dos rectos, al prolongarlas indefinida mente se
encontrarán por el lado en que los ángulos sean menores que dos rectos.
Nociones comunes
1. Cosas que sean iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
2. Si a cosas iguales se suman cosas iguales, los totales son iguales.
3. Si a cosas iguales se restan cosas iguales, los restos son iguales.
4. Cosas que encajen cada una en la otra son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte.
Euclides no supone ingenuamente que los conceptos definidos
existan o sean consistentes; como había señalado Aristóteles, se puede definir
algo cuyas propiedades sean incompatibles. Los tres primeros postulados, que
declaran la posibilidad de construir rectas y círculos, son asertos de
existencia para esas entidades. A lo largo del libro I, Euclides prueba,
construyéndolas, la existencia de las restantes, exceptuado el plano.
Presupone que la recta del postulado 1 es única; esta suposición está implícita
en la proposición 4 del libro I, aunque habría sido mejor explicitarla. Del
mismo modo, supone que la prolongación del postulado 2 es única, explícitamente
en la proposición 1 del libro XI, e inconscientemente desde el mismo comienzo
del libro I.
El postulado 5 se debe al propio Euclides; es una muestra de su genio haber
reconocido su necesidad. Muchos griegos objetaron este postulado,
considerándolo falto de evidencia, en comparación con los anteriores. Los
intentos de probarlo a partir de los restantes axiomas y postulados, que
comenzaron según Proclo en vida misma de Euclides, fracasaron. La historia
detallada de tales esfuerzos se verá más adelante, en relación con la discusión
sobre geometrías no euclídeas.
En cuanto a las nociones comunes, hay diferentes opiniones sobre cuáles
aparecían realmente en el escrito original de Euclides. La cuarta, que
constituye la base de las pruebas mediante superposición (congruencia) es de
carácter geométrico, y debería ser un postulado. Euclides la utiliza en las
proposiciones 4 y 8 del libro I, aunque diríase que de mala gana; podría haber
hecho uso de ella en la demostración de la proposición 26 (a.l.a. = a.l.a. y
l.a.a. = l.a.a.) y en cambio presenta una prueba más larga. Probablemente
conocía el método por los trabajos de anteriores geómetras, y no supo cómo
evitarlo. Pappus y otros, que encontraron inadecuado el conjunto de axiomas
propuesto por Euclides, añadieron alguno más.
4. Los libros I a IV de los Elementos
Los libros I a IV tratan sobre las propiedades básicas de figuras rectilíneas y
círculos. El libro I contiene los acostumbrados teoremas sobre congruencia,
paralelismo, el teorema de Pitágoras, figuras equivalentes (de igual área) y
paralelogramos. Todas las figuras son rectilíneas, esto es, formadas por
segmentos de recta. De especial interés son los siguientes teoremas (la versión
no es literal):
Proposición 1. Construcción de un triángulo equilátero sobre un
segmento dado.
La demostración es simple. Se construye un círculo tomando A como
centro y ABcomo radio (fig. 4.1), y otro con B como
centro y BA como radio. Sea C el punto de
intersección. Entonces ABC es el triángulo buscado.
Figura 4.1
Proposición 2. Situar en
un punto dado (como extremo) una línea recta igual a otra dada.
Podría pensarse que el postulado 3 permite hacerlo inmediatamente. Pero eso
significaría que el compás mantiene su abertura cuando se lleva al punto que se
quiere tomar como extremo. Euclides, en cambio, supone un compás que sólo
mantiene su rigidez al trazar un círculo determinado, sin levantarlo del papel,
y presenta una demostración más complicada.
Proposición 4. Si dos triángulos tienen cada uno de ellos dos lados
y el ángulo que comprenden iguales a los del otro, entonces son congruentes.
La prueba se hace llevando un triángulo sobre el otro, y mostrando que deben
coincidir.
Proposición 5. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son
iguales.
La demostración es mejor que la que puede encontrarse en muchos textos
elementales, que emplea la bisectriz del ángulo A (fig. 4.2),
cuya existencia se deduce precisamente de esta proposición.
Euclides extiende AB hasta F y AC hasta G,
de manera que BF = CG. Entonces ΔAFC =
ΔAGB, y por tanto FC = GB, -ÐACF =
ÐABG y Ð 3 = Ð 4. De esto se deduce que ΔCBF = ΔBCG y
por tanto Ð 5 = Ð 6, y Ð 1 = Ð 2. Pappus prueba el teorema considerando el
triángulo dado como ΔABC y como ΔACB, lo que le permite utilizar la proposición
4 y deducir que los ángulos de la base son iguales.
Figura 4.2
Proposición 16. Un
ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los dos ángulos
internos opuestos.
Figura 4.3
La prueba (fig. 4.3) requiere una recta indefinidamente
prolongable, ya que en ella se extiende AE una longitud igual
hasta F, y ha de ser posible hacer esto.
Proposición 20. La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo
es mayor que el tercer lado.
Este teorema es lo que más se parece en geometría euclídea al hecho de que la
línea recta es la distancia más corta entre dos puntos.
Proposición 27. Si una recta incide sobre otras dos formando
ángulos alternos iguales, esas dos rectas serán paralelas entre sí.
La prueba aportada consiste en suponer que las rectas se cortan, de lo que se
deriva una contradicción con la proposición sobre el ángulo externo de un
triángulo. El teorema establece la existencia de al menos una recta paralela a
otra dada, pasando por un punto también dado.
Proposición 29. Una recta que incide sobre dos paralelas forma
ángulos alternos iguales entre sí, siendo cada ángulo externo igual al interno
opuesto (los ángulos correspondientes son iguales), y la suma de los ángulos
internos del mismo lado es igual a dos rectos.
Figura 4.4
La demostración (fig. 4.4) supone que Ð1 ≠ Ð2. Si el mayor es
Ð2, sumando Ð4 a ambos, Ð2 + Ð4 > Ð1 + Ð4, lo que implica que Ð1 + Ð4 es
menor que dos rectos. Pero el postulado de las paralelas, que es utilizando
aquí por primera vez, implicaría que las rectas AB y CD,
que por hipótesis son paralelas, se encuentran en algún punto.
Proposición 44. Construir sobre una recta dada, y con un ángulo
rectilíneo dado, un paralelogramo equivalente a un triángulo dado.
Figura 4.5
A partir de un triángulo C, un ángulo D y
un segmento AB (fig. 4.5), la proposición afirma la
posibilidad de construir un paralelogramo que tenga AB como lado, D como
ángulo, y cuya área sea igual a la de C. No expondremos la
demostración de Euclides, que depende de otras proposiciones anteriores. Lo que
importa señalar aquí es que se trata del primero de los problemas de aplicación
de áreas, teoría que Eudemo (según cuenta Proclo) atribuía a los pitagóricos.
En este caso se aplica (exactamente) un área al segmento AB. En
segundo lugar, se trata de un ejemplo de transformación de un área en otra. Por
último, en el caso especial de que D sea un ángulo recto, el
paralelogramo debe ser un rectángulo. Entonces, el área del triángulo dado
y AB pueden considerarse como cantidades dadas, y el otro lado
del rectángulo será el cociente entre el área de C y AB,
habiéndose llevado a cabo la división geométricamente; este teorema es un
ejemplo de álgebra geométrica.
Proposición 47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado
opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que lo
forman.
Tenemos aquí el teorema de Pitágoras. La prueba se lleva a cabo por medio de
áreas, como en muchos textos escolares. Se muestra (fig. 4.6) que ΔABD ≈
ΔFBC, que el rectángulo BL = 2ΔABD, y el
rectángulo GB = 2ΔFBC. En consecuencia, el
rectángulo BL es igual al cuadrado GB, y el
rectángulo CL es igual al cuadrado AK.
El teorema también muestra cómo obtener un cuadrado cuya área sea igual a la
suma de dos cuadrados dados, es decir, cómo hallar un x tal que x2 = a2 + b2,
siendo así otro ejemplo de álgebra geométrica.
Figura 4.6
Proposición 48. Si en
un triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados, el ángulo que éstos forman es recto.
Figura 4.7
Esta proposición es la recíproca del teorema de Pitágoras. La
demostración de Euclides (fig. 4.7) consiste en trazar un segmento AD
perpendicular a AC e igual a AB. Por hipótesis,
AB2 + AC2 — BC2,
y por ser rectángulo el triángulo ADC,
AD2 + AC2 = DC2.
Como AB = AD, tiene que ser BC2 = DC2,
y por tanto BC = DC. De manera que los
triángulos DAC y CAB son congruentes, y el
ángulo CAB, igual al CAD, debe ser recto.
El material más notable del libro II es el relativo al álgebra geométrica. Ya
hemos señalado que los griegos no reconocían la existencia de números
irracionales, lo que les dificultaba el tratamiento numérico de longitudes,
áreas, ángulos y volúmenes. En el libro II todas las cantidades están
representadas geométricamente, evitando así el problema de la asignación de
valores numéricos. Los números se ven sustituidos por segmentos de recta; el
producto de dos números se convierte en el área del rectángulo cuyos lados
tienen como longitudes esos dos números; el producto de tres números es un
volumen; la suma de dos números se traduce en la prolongación de un segmento en
una longitud igual a la del otro, y la resta en recortar de un segmento la
longitud del segundo; la división de un número por otro se indica por la razón
entre los segmentos que los representan, de acuerdo con los principios
introducidos posteriormente en los libros V y VI.
La división de un producto (un área) por un tercer número se realiza hallando
un rectángulo que tenga como lado a este último y cuya área sea igual al
producto dado, siendo entonces el otro lado el cociente buscado. La
construcción utiliza la teoría de aplicación de áreas ya mencionada en la proposición
44 del libro I. La suma y resta de productos se reemplaza por suma y resta de
rectángulos; la extracción de una raíz cuadrada, por la construcción de un
cuadrado cuya área sea igual a la de un rectángulo dado (véase más adelante la
proposición 14).
Las diez primeras proposiciones del libro II tratan geométricamente las
proposiciones algebraicas siguientes, enunciadas con nuestro sistema
notacional:
1.
a(b + c + d + ...)
= ab + ac + ad + ...;
2.
(a + b)a +
(a + b)b — (a + b)2;
3.
(a + b)a = ab + a2;
4.
(a + b)2 =
a2 + 2ab + b2;
5.
ab + (1/2(a + b) — b)2 =
(1/2(a + b))2;
6.
(2a + b)b
+ a2 = (a + b)2.
La primera de ellas está contenida en la
Proposición 1. Si tenemos dos rectas y se divide una de ellas en un
número cualquiera de partes (fig. 4.8), el rectángulo que las tiene como lados
equivale a los rectángulos que tienen como lados la recta no dividida y cada
una de las partes de la otra.
Figura 4.8
Las proposiciones 2 y 3 son en realidad casos particulares de la
proposición 1, que Euclides trata separadamente. El conocido equivalente
geométrico de 4, en palabras de Euclides, es
Proposición 4. Si se divide mediante un punto cualquiera una recta
dada, el cuadrado de la recta entera es igual a los cuadrados de las partes más
el doble del rectángulo que tiene a esas partes como lados.
La demostración explica los evidentes hechos geométricos contenidos en la
figura 4.9.
Figura 4.9
Proposición 11. Dividir
una recta en dos partes de manera que el rectángulo que tiene como lados el
total y una de las partes sea igual al cuadrado de la otra parte.
Figura 4.10
Se trata de hallar un punto H sobre el
segmento AB (fig. 4.10) tal que AB × BH = AH × AH.
Euclides realiza la siguiente construcción: en el cuadrado ABDC,
toma el punto medio E del segmento AC, que une
con B, y prolonga el segmento BAhasta un punto F tal
que EF = EB; a continuación construye el
cuadrado AFGH, y H es el punto buscado, que
satisface
AB × BH = AH × AH.
La demostración se hace mediante áreas, utilizando teoremas
anteriores, incluido el de Pitágoras, entre los que el decisivo es la
proposición 6.
La importancia del teorema reside en que la longitud a del segmento AB queda
dividida en longitudes x y a - x tales
que
(a - x)a = x2
es decir,
x2 + ax = a2,
disponiendo así de un método geométrico para resolver esta
última ecuación cuadrática. AB queda dividido también en media
y extrema razón, ya que de AB× BH = AH × AH se
deduce que AB : AH = AH : BH.
Otras proposiciones del libro II equivalen a la resolución de las ecuaciones
cuadráticas ax - x2 = b2 y ax + x2= b2.
Proposición 14. Construir un cuadrado equivalente a una figura
rectilínea dada.
Esta última podría ser cualquier polígono; pero si es un rectángulo ABEF (fig.
4.11), el método de Euclides equivale a lo siguiente: se prolonga AB hasta C de
manera que BC = BE', se construye el círculo que
tiene como diámetro AC y se alza en B la
perpendicular DB. El cuadrado buscado es el que tiene como
lado DB. Este teorema, que Euclides prueba en términos de áreas,
resuelve la ecuación x2= ab, proporcionando
así la raíz cuadrada de ab. En el libro IV, como veremos, se
resuelven geométricamente ecuaciones cuadráticas más complicadas.
El libro III, que contiene 37 proposiciones, comienza con algunas definiciones
relativas a la geometría de los círculos, y a continuación estudia las
propiedades de cuerdas, tangentes, secantes, ángulos centrales e inscritos,
etc.
Figura 4.11
En la enseñanza media se acostumbra uno a tratar con este tipo
de teoremas. El que sigue es de particular interés:
Proposición 16. La recta perpendicular en el extremo a un diámetro
cae fuera del círculo, y no puede interponerse ninguna otra recta entre esa
perpendicular y la circunferencia; además el ángulo del semicírculo es mayor, y
el restante menor, que cualquier ángulo rectilíneo agudo.
Figura 4.12
Que ese ángulo, que los griegos llamaban «córneo», tuviera o no
una magnitud determinada, fue un asunto controvertido. La proposición 16 afirma
que es menor que cualquier ángulo rectilíneo, pero no dice que su magnitud sea
nula.
Proclo habla de los ángulos córneos como verdaderos ángulos. En la Edad Media y
el Renacimiento[10], Cardano, Peletier, Vieta, Galileo, Wallis y otros volvieron a
debatir la cuestión. Lo que hacía especial mente incómodos a los ángulos
córneos para los comentaristas de Euclides es que se puedan construir círculos
tangentes en A a TA de diámetro cada vez menor, cuyo ángulo córneo parece
intuitivamente que debería incrementar su magnitud, lo que es negado por la
proposición anterior. Por otro lado, si dos ángulos córneos cuales quiera
fuesen nulos y por tanto iguales, deberían poder superponerse. Algunos comentaristas
concluían de esto que los ángulos córneos no son verdaderos ángulos[11].
El libro IV trata en sus 16 proposiciones de figuras tales como triángulos,
cuadrados, pentágonos y hexágonos regulares, inscritos en o circunscritos a
círculos. La última proposición, que muestra cómo inscribir en un círculo dado
un polígono regular de 15 lados, parece haber sido usada en astronomía: hasta
tiempos de Eratóstenes se creía que el ángulo de la eclíptica (el que forman el
plano ecuatorial de la Tierra y el plano de su órbita en torno al Sol) era de
24°, esto es, 1/15 de 360°.
5. El libro V: La teoría de proporciones
El libro V, basado en los trabajos de Eudoxo, está considerado como el mayor
logro de la geometría euclídea; su contenido y significado se han debatido más
extensa e intensamente que cualquier otra porción de los Elementos. Se cree que
los pitagóricos poseían una teoría de la proporción, esto es, de la igualdad
entre dos razones, para magnitudes conmensurables: razones expresables como
cociente en tre dos números enteros. Aunque no conocemos los detalles de tal
teoría, cabe suponer que cubría lo que veremos más tarde en el libro VII, y que
se aplicaba a ciertas proposiciones sobre semejanza de triángulos. Los
matemáticos que utilizaron proporciones antes de Eudoxo no poseían, en general,
una fundamentación rigurosa para el tratamiento de magnitudes inconmensurables.
El libro V, aun evitan do la introducción de números irracionales, extiende la
teoría de las proporciones a razones inconmensurables.
La noción de magnitud que presenta Euclides pretende cubrir cantidades o
entidades que pueden ser conmensurables o inconmensurables entre sí:
longitudes, áreas, volúmenes, ángulos, pesos, tiempo... La longitud y el área
han aparecido ya, por ejemplo, en el libro II. Pero hasta ahora no ha tenido
ocasión Euclides de tratar con otros tipos de magnitudes ni tampoco con sus
razones mutuas o proporciones, por lo que sólo ahora introduce el concepto
general de magnitud, poniendo el énfasis en las proporciones para cualquier
tipo de magnitudes.
Pese a la importancia que las definiciones tienen en este libro, no hay en él
una definición de magnitud como tal. Euclides comienza con la
Definición 1. Una magnitud es parte de otra mayor cuando la mide.
Parte significa aquí submúltiplo, como 2 lo es de 6, mientras que 4 no es
submúltiplo de 6.
Definición 2. Lo mayor es múltiplo de lo menor cuando es medido por
lo menor.
Múltiplo significa por tanto múltiplo entero.
Definición 3. Una razón es una relación entre dos magnitudes del
mismo tipo con respecto a su tamaño.
Es difícil separar la significación de esta tercera definición de la que viene
a continuación:
Definición 4. Se dice que hay razón entre dos magnitudes cuando se
puede multiplicar cada una de ellas de manera que exceda a la otra.
Lo que significa que hay razón entre a y b si
algún múltiplo entero (incluyendo 1) de a es mayor que b y
algún múltiplo entero de b (incluyendo 1) es mayor que a.
Esta definición excluye un concepto que apareció más tarde, el de una cantidad
infinitamente pequeña y no nula, a la que se llamó infinitésimo; no cabe razón
entre dos magnitudes si una de ellas es tan pequeña que ninguno de sus
múltiplos enteros excede a la otra. También excluye magnitudes infinitamente
grandes, a las que no superaría ningún múltiplo entero de la cantidad menor. La
definición clave es la siguiente:
Definición 5. Se dice que ciertas magnitudes están en la misma
razón, la primera con la segunda y la tercera con la cuarta, cuando al tomar
cualquier equimúltiplo de la primera y la tercera, y cualquier equimúltiplo de
la segunda y la cuarta, el múltiplo de la primera es mayor, igual o menor que
el de la segunda según que el de la tercera sea mayor, igual o menor que el de
la cuarta.
La definición establece que
si cuando multiplicamos a y c por
cualquier número entero m, y b y d por
cualquier número entero n, sean cuales fueren tales m y n,
ma < nb implica mc < nd
ma = nb implica mc = nd
y
ma > nb implica mc > nd
Para comprender su alcance, utilicemos números modernos: para
contrastar si
deberíamos, al menos en teoría, probar que para cualesquier números
enteros my n,
m√2 < n implica m√6
< n√3
y
m√2 = n×1
implica m√6 = n√3
y
m√2 > n×1
implica m√6 > n√3
En este ejemplo, claro está, la igualdad m√2 = n×1
no es posible, ya que m y nson números enteros
mientras que √2 es irracional, pero esto sólo significa que la igualdad m√6
= n√3 no tiene por qué darse; la definición establece únicamente
que si alguna de las tres posibilidades de la izquierda es cierta, debe serlo
también el correspondiente aserto de la derecha. Una formulación equivalente de
la definición 5 sería que los enteros m y n para los que ma < nb son
los mismos que los enteros m' y n' para los que m'c < n'd.
Sería conveniente indicar inmediatamente qué partido saca Euclides de esas
definiciones. Cuando se quiere probar que si a/b = c/d entonces
(a + b)/b = (c + d)/d,
se consideran las razones y la proporción como números, incluso si las razones
son inconmensurables, y se utiliza el álgebra para obtener el resultado;
sabemos que las leyes algebraicas permiten operar con irracionales. Pero
Euclides no puede hacerlo, y no lo hace; los griegos no poseían justificación
suficiente para operar con razones de magnitudes inconmensurables. Así pues,
Euclides prueba ese teorema usando las definiciones que ha dado, en particular
la 5.a. De hecho, está sentando las bases para un álgebra de
magnitudes.
Definición 6. Las magnitudes que tienen la misma razón se llaman
proporcionales.
Definición 7. Si entre los múltiplos de unas magnitudes el de la
primera excede al de la segunda pero el de la tercera no excede al de la
cuarta, se dice que la razón entre la primera y la segunda es mayor que la
razón entre la tercera y la cuarta.
Esta definición establece que si para algunos m y n, ma > nb pero mc no
es mayor que nd, entonces a/b> c/d.
Así, dada una razón entre inconmensurables a/b, se la puede
situar entre otras mayores y menores que ella.
Definición 8. Una proporción tiene al menos tres términos.
En ese caso a/b = b/c.
Definición 9. Cuando tres magnitudes son proporcionales, se dice
que la razón entre la primera y la tercera duplica la razón entre la primera y
la segunda.
De modo que si A/B = B/C, razón
entre A y C duplica la razón entre A y B,
es decir, A/C = A2/B2,
ya que A = B2/C y A/C = B2/C2 = A2/B2.
Definición 10. Cuando cuatro magnitudes son continuamente
proporcionales, se dice que la razón entre la primera y la cuarta triplica la
razón entre la primera y la segunda, y así sucesivamente, sea cual fuere la
proporción.
O sea, que si A/B = B/C = C/D,
la razón entre A y D triplica la razón
entre A y B, es decir, A/D = A3/B3,
ya que A = B2/C y A/D = B2/CD =
(B2/C2)(C/D) = A3/B3.
Las definiciones 11 a 18 atañen a magnitudes correspondientes, alternancia,
inversión, composición, separación, conversión, etc., refiriéndose a la
formación de (a + b)/b, (a - b)/b y
otras razones a partir de a/b.
El libro V prosigue con la demostración de veinticinco teoremas sobre
magnitudes y razones entre magnitudes. Las pruebas son verbales y sólo dependen
de las definiciones precedentes y de las nociones comunes o axiomas, tales como
que al restar cosas iguales de cosas iguales se obtienen cosas iguales; no usa
los postulados. Euclides emplea segmentos como ejemplos de magnitudes para
ayudar al lector a comprender el significado de los teoremas y sus pruebas,
pero aquéllos se aplican a toda clase de magnitudes.
Reproduciremos algunas de las proposiciones del libro V en lenguaje algebraico
moderno, utilizando las letras m, n y p para
los enteros y a, b, c para las
magnitudes. No obstante, para hacerse idea del lenguaje de Euclides, veamos su
primera proposición:
Proposición 1. Dado cualquier número de magnitudes, sean cuales
fueren, equimúltiplos de otras magnitudes en igual número, cuales quiera que
fueren las veces que una de ellas sea múltiplo de alguna, ese múltiplo será de
todas.
Lo que significa, en lenguaje algebraico, que ma + mb + mc +
... = m(a + b + c+ ...).
Proposición 4. Si a/b = c/d,
entonces ma/nb = mc/nd.
Proposición 11. Si a/b = c/d y c/d = e/f entonces a/b = e/f.
Obsérvese que la igualdad entre razones depende de la definición de proporción,
y Euclides pone buen cuidado en probar que la igualdad es transitiva.
Proposición 12. Si a/b = c/d = e/f,
entonces a/b = (a + c + e)/(b + d +f).
Proposición 17. Si a/b = c/d,
entonces (a - b)/b = (c - d)/d.
Proposición 18. Si a/b = c/d,
entonces (a + b)/b = (c + d)/d.
Algunas de estas proposiciones parecen duplicar otras del libro II. Recordemos,
sin embargo, que las proposiciones de este último se referían únicamente a
segmentos de recta, mientras que el libro V proporciona la teoría para toda
clase de magnitudes.
El libro V fue crucial para la subsiguiente historia de las matemáticas. Los
griegos clásicos no admitían números irracionales e intenta ron evitarlos
mediante artificios geométricos, como ya hemos indica do en nuestro repaso de
los libros I a IV. Sin embargo, este uso de la geometría no tenía en cuenta las
razones y proporciones de magnitudes inconmensurables de cualquier tipo, y el
libro V, que inició una nueva teoría general de las magnitudes, vino a colmar
esa laguna proporcionando una base firme a todo lo que en la geometría griega
tuviera que ver con ellas. La cuestión clave, no obstante, es si la teoría de
magnitudes servía como fundamento lógico para una teoría de los números reales
que incluyera, naturalmente, a los irracionales.
Está fuera de duda cómo interpretaron a Euclides las sucesivas generaciones de
matemáticos, que consideraron su teoría de las magnitudes aplicable sólo a la
geometría, adoptando así la actitud de que sólo la geometría era rigurosa.
Cuando se reintrodujeron los números irracionales a partir del Renacimiento,
muchos matemáticos objetaron que tales números carecían de cualquier fundamento
lógico.
Un examen crítico del libro V parece darles la razón. Cierto es que las
definiciones y demostraciones que Euclides presenta en el libro V no hacen uso
de la geometría; como ya hemos señalado, utiliza los segmentos de recta al
presentar las proposiciones y pruebas única mente con fines pedagógicos. Aun
así, si Euclides hubiera ofrecido realmente con su teoría de las magnitudes una
teoría de los irracionales, ésta tendría que partir de alguna de las dos
interpretaciones siguientes: o bien las magnitudes mismas, o bien las razones
entre magnitudes, deberían poder ser consideradas como números irracionales.
Supongamos que las magnitudes mismas pudieran ser números irracionales. Dejando
aparte cualquier crítica sobre el rigor de Euclides juzgado con criterios
actuales, subsisten las siguientes dificulta des: Euclides nunca define qué se
entiende por magnitud, ni la igualdad o equivalencia entre magnitudes; además,
él opera con proporciones, y no con las magnitudes mismas: el producto de dos
magnitudes ay b sólo aparece cuando se trata de longitudes, lo que le
posibilita tratarlo como un área. El producto ab no podría entonces ser un
número, ya que no hay un significado general para el producto en Euclides.
Además, en el libro V prueba un cierto número de teoremas sobre proporciones
que podrían fácilmente ser traducidos, como más arriba hicimos, en términos
algebraicos. Pero para probar la proposición 18 tiene que utilizar la cuarta
proporcional a tres magnitudes dadas, lo que sólo sabe hacer para segmentos de
recta (libro VI, proposición 12). Así pues, no sólo su teoría general de las
magnitudes es incompleta (incluso para demostraciones que él mismo expone en el
libro XII), sino que lo que establece para longitudes depende de
argumentaciones geométricas. Más aún, Euclides insiste en la definición 3 en
que una razón puede darse solamente entre magnitudes homogéneas. Si las
magnitudes fueran números esta limitación carecería evidentemente de
significado. Su concepto de magnitud, tal como es usado más tarde, está ligado
a esa definición y por tanto a la geometría. Otra dificultad es que no hay un
sistema de números racionales al que pudiera añadirse una teoría de los
irracionales. Aparecen razones entre números enteros, pero sólo como miembros
de una proporción, e incluso esas razones no son consideradas como fracciones.
Por último, no existe el producto de a/b y c/d incluso
cuando las cuatro cantidades son números enteros, dejando aparte las
magnitudes.
Intentemos ahora interpretar las razones entre magnitudes de Euclides como
números, de modo que las razones entre inconmensurables serían los números
irracionales y las razones entre conmensurables los racionales. Debería ser
entonces posible al menos sumarlas y multiplicarlas. Pero en ningún momento
apunta Euclides qué podría significar (a/b) + (c/d)
cuando a, b, c y d son
magnitudes. Sus razones aparecen únicamente como elementos de una proporción, y
no tienen significado general. Finalmente, como ya hemos dicho, Euclides no
posee el concepto de número racional sobre el que poder construir una teoría de
los irracionales.
Así pues, el curso que siguió la historia de las matemáticas hasta el siglo
XIX, tratando las cantidades continuas únicamente sobre una base geométrica,
era obligado. En lo que atañe a los Elementos de Euclides al menos, no había en
ellos una fundamentación para los números irracionales.
6. El libro VI: Figuras semejantes
El libro VI, que trata de las figuras semejantes y utiliza la teoría de las
proporciones del libro V, comienza con algunas definiciones. Copiaremos unas
pocas[12]:
Definición 1. Figuras rectilíneas semejantes son las que tienen los
correspondientes ángulos iguales, y proporcionales los lados que forman esos
ángulos.
Definición 3. Una recta está dividida en extrema y media razón
cuando el total es a la parte mayor como ésta a la menor.
Definición 4. La altura de cualquier figura es la perpendicular
trazada desde el vértice a la base.
Esta definición es bastante imprecisa, pero Euclides la usa.
En las demostraciones de los teoremas de este libro, tal como Euclides emplea
su teoría de las proporciones, no se ve obligado a tratar separadamente los
casos conmensurable e inconmensurable; esta separación fue introducida por
Legendre, que utilizaba una definición algebraica de proporción limitada a
cantidades conmensurables, y tenía así que tratar los casos inconmensurables
con otra argumentación como la reductio ad absurdum.
Reproduciremos aquí sólo algunos de los treinta y tres teoremas. Encontraremos
de nuevo algunos resultados básicos de álgebra moderna expuestos en lenguaje
geométrico.
Proposición 1. Los triángulos y paralelogramos (es decir, sus
áreas) que están bajo la misma altura (que tienen la misma altitud) son entre
sí como sus bases.
Euclides usa aquí una proporción entre cuatro magnitudes, dos de las cuales son
áreas.
Proposición 4. En los triángulos equiángulos, los lados opuestos a
los ángulos iguales son proporcionales, y también lo son los lados
correspondientes que forman los ángulos iguales.
Proposición 5. Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales,
serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos formados por los
correspondientes lados.
Proposición 12. Hallar la cuarta proporcional a tres rectas dadas.
Proposición 13. Hallar la media proporcional a dos rectas dadas.
Figura 4.13
El método empleado es el corriente (fig. 4.13). Desde un punto
de vista algebraico significa que, dados a y b, se
puede hallar √ab.
Proposición 19. (Las áreas de) los triángulos semejantes son entre
sí como la razón duplicada entre sus correspondientes lados.
Actualmente se expresa este teorema diciendo que la razón entre las áreas de
triángulos semejantes es el cuadrado de la razón entre los correspondientes
lados.
Proposición 27. De todos los paralelogramos aplicados a una misma
recta (construidas sobre parte de esa recta) y deficientes (del construido
sobre la recta entera) en paralelogramos semejantes al (paralelogramo dado)
construido sobre la mitad de esa recta y similarmente dispuestos, el (de) mayor
(área) es el que se aplica sobre la mitad de la recta y es semejante a su
defecto.
El significado de esta proposición es el siguiente: Partiendo de un
paralelogramo dado AD construido sobre AC, que es
la mitad de un segmento dado AB, consideremos paralelogramos AF sobre AK (fig.
4.14), tales que su defecto, el paralelogramo FB, sea semejante
a AD. El teorema de Euclides establece que de todos ellos el que
tiene mayor área es el construido sobre AC.
Figura 4.14
Esta proposición tiene un significado algebraico de gran
importancia: supongamos que el paralelogramo dado AD sea un
rectángulo (fig. 4.15) y que la razón entre sus lados es c/b, siendo b la
longitud de AC; consideremos cualquier otro rectángulo AF que
cumpla la condición de que su defecto, el rectángulo FB, es
semejante a AD.
Figura 4.15
Si denotamos por x la longitud de FK,
la de KB es bx/c, y si a es
la longitud de AB, la de AK es a -
(bx/c), luego el área S de AF es
La proposición 27 afirma que el máximo valor de S se
alcanza cuando AF es AD. Como la longitud de AC es a/2
y la de CD es ac/2b, se tiene
Por otro lado, para que la ecuación (1), considerada como
ecuación cuadrática en x, tenga alguna raíz real, su discriminante
debe ser mayor o igual que 0, esto es,
o bien
Así pues, la proposición no sólo nos dice cuál es el mayor valor
posible de S, sino que para cada posible valor existe un x que
satisface (1), y proporciona geométricamente un lado, KF, del
rectángulo AF, cuya longitud es x. Este resultado se
aplicará en la proposición siguiente.
Pero antes de tomarla en consideración señalemos un caso particular interesante
de la proposición 27. Supongamos que el rectángulo dado AD (fig.
4.15) sea un cuadrado. En tal caso, de todos los rectángulos sobre AB cuya
deficiencia sea un cuadrado, el mayor es el cuadrado sobre AC. Pero
el área del rectángulo AF es AK× KF y
como KF = KB, el perímetro de ese rectángulo es
igual al del cuadrado DBo al del cuadrado AD, cuya área
es mayor que la de AF. Así pues, de todos los rectángulos con igual
perímetro el de mayor área es el cuadrado.
Proposición 28. Aplicar a una recta dada (con parte de ella como
lado) un paralelogramo equivalente a una figura rectilínea dada (S) y
deficiente (del paralelogramo sobre la recta entera) en un paralelogramo
semejante a uno dado (D). Así (por la proposición 27), la figura
rectilínea dada (5) no debe ser mayor que el paralelogramo construido sobre la
mitad de la recta y semejante a su defecto.
Este teorema equivale geométricamente a la resolución de la ecuación cuadrática
ax - (b/c)x2 = S
donde el área S de la figura rectilínea dada
está sometida, para que exista alguna solución real, a la condición S <
(a2c)/(4b).
Figura 4.16
Para comprobarlo, supongamos (porque nos conviene) que los
paralelogramos son rectángulos (fig. 4.16) y sean S la figura
rectilínea dada, D el otro rectángulo dado, con lados c y b,
a la longitud de AB, y x la altura del rectángulo
buscado. Euclides construye un rectángulo AKFG de área igual a
la de S tal que su defecto D' es semejante
a D. Pero AKFG = ABHG - D',
y como D' es semejante a D su área es bx2/c,
de manera que
y la construcción de AKFG equivale a
encontrar AK y x tales que x satisface
la ecuación (2).
Proposición 29. Aplicar a una recta dada un paralelogramo
equivalente a una figura rectilínea dada (S) y excedente en un
paralelogramo semejante a uno dado (D).
En términos algebraicos, este teorema resuelve
dados a, b, c y S,
que ahora no está acotado porque para cualquier S positivo la
ecuación tiene solución real. En lenguaje actual, Euclides muestra en las
proposiciones 28 y 29 cómo resolver cualquier ecuación cuadrática en la que una
o las dos raíces son positivas. Su construcción proporciona las raíces como
longitudes.
Los paralelogramos construidos en las proposiciones 28 y 29 tienen un lado
menor o mayor, respectivamente, que el segmento dado AB, recibiendo
en griego los nombres de Elleipsis e Hyperbolé. El paralelogramo de área
determinada construido sobre el segmento completo como base en la proposición
44 del libro I fue llamado Parabolé. Esos términos se trasladaron a las
secciones cónicas por una razón que se nos hará obvia cuando estudiemos los trabajos
de Apolonio.
Proposición 31. En los triángulos rectángulos, la figura construida
sobre el lado opuesto al ángulo recto es equivalente a las semejantes y
similarmente dispuestas sobre los lados que forman el ángulo recto.
Se trata de una generalización del teorema de Pitágoras.
7. Los libros VII, VIII y IX: La teoría de números
Los libros VII, VIII y IX tratan de la teoría de números, esto es, de las
propiedades de los números enteros y de las razones entre números enteros. Son
los tres únicos libros de los Elementos que tratan de aritmética como tal. En
ellos Euclides representa los números como segmentos de recta y el producto de
dos números como un rectángulo, pero sus argumentaciones no dependen de la
geometría. Los asertos y pruebas son verbales, frente a la forma simbólica
actual.
Muchas de las definiciones y teoremas, en particular los referidos a
proporciones, repiten lo expuesto en el libro V, lo que ha llevado a los
historiadores a preguntarse por qué Euclides vuelve a probar de nuevo
proposiciones sobre números en lugar de aprovechar las ya probadas en el libro
V.
Las respuestas son variadas. Aristóteles había incluido a los números entre las
magnitudes, pero también había enfatizado la oposición entre lo discreto y lo
continuo, y no sabemos si Euclides se vio influido por las opiniones de
Aristóteles sobre este tema. Tampoco se puede decidir, a partir de las vagas
definiciones del libro V, si pretendía que su concepto de magnitud incluyera a
los números enteros. Juzgando por el hecho de que trató a los números separada
mente, parecería deducirse que éstos no figuran entre las magnitudes. Otra
explicación de este estudio separado es que ya existía antes de Eudoxo una
teoría de los números y las razones entre conmensurables y que Euclides respetó
la tradición presentando lo que eran dos desarrollos independientes, la teoría
pre-eudoxiana, en gran parte pitagórica, y la teoría eudoxiana. Pudo también
creer que, dado que la teoría de números puede construirse sobre fundamentos
más simples que la de las magnitudes, era sensato hacerlo. También en las
contribuciones recientes a las matemáticas encuentra uno enfoques alternativos,
entre los que alguno puede ser más simple que otros. Aunque Euclides separa
número y magnitud, expone algunos teoremas que los relacionan. Por ejemplo, la
proposición 5 del libro X establece que la razón entre dos magnitudes
conmensurables es la misma que la existente entre dos números.
En estos tres libros, como en otros, Euclides da por supuestos hechos que no
enuncia explícitamente; por ejemplo, que si A divide
(exactamente) a B y Bdivide a C,
entonces A divide a C; que si A divide
a B y a C, también divide a B + C y
a B - C, etc.
El libro VII comienza con algunas definiciones:
Definición 3. Un número es parte de otro mayor cuando lo mide
(cuando lo divide exactamente).
Definición 5. Un número es múltiplo de otro menor cuando es medido
por éste.
Definición 11. Un número es primo cuando solamente lo mide la
unidad.
Definición 12. Números primos entre sí son los que tienen como
medida común únicamente la unidad.
Definición 13. Un número es compuesto cuando es medido por algún
número (distinto de 1).
Definición 16. Cuando se multiplican dos números, el número así
obtenido se llama plano, y sus lados son los números que se han multiplicado.
Definición 17. Cuando se multiplican tres números, el número así
obtenido se llama sólido, y sus lados son los números que se han multiplicado.
Definición 20. Cuatro números son proporcionales cuando el prime ro
es el mismo múltiplo, la misma parte, o las mismas partes del segundo que el
tercero del cuarto.
Definición 22. Un número es perfecto cuando es igual a (la suma de)
sus propias partes.
Las proposiciones 1 y 2 exponen el proceso mediante el que se obtiene la mayor
medida (divisor) común de dos números. Euclides lo describe diciendo que
si A y B son los números y B < A,
debe restarse B de A el número de veces
necesario para obtener un número C menor que B. A
continuación, restar C de B tantas veces como
sea preciso hasta obtener un número menor que C, y así
sucesivamente. Si A y B son primos entre sí
se llega a 1 como último resto, y 1 es el máximo común divisor. Si A y B no
son primos entre sí se llega en alguna etapa a una división exacta, y el último
divisor será el mayor común. Este proceso se sigue llamando todavía algoritmo
de Euclides.
Vienen a continuación teoremas simples sobre números. Por ejemplo, si a = b/n y c = d/n,
entonces a ± c = (b ± d)/n.
Algunos de ellos no son sino los teoremas sobre proporciones anteriormente
probados para magnitudes, y que ahora se prueban para números. Así, si a/b = c/d,
(a - c)/(b - d) = a/b.
En la definición 15 quedaba establecido que a - b es
el resultado de sumar b consigo mismo a veces,
y Euclides prueba ahora que a × b = b × a.
Proposición 30. Si un número primo mide al producto de dos números,
debe medir al menos a uno de ellos.
Se trata de un resultado fundamental en la teoría moderna de números, cuya
expresión actual se obtiene simplemente sustituyendo las palabras mide y medir
por divide y dividir.
Proposición 31. Todo número compuesto es medido por algún número
primo.
La demostración de Euclides parte de que si A es compuesto,
por definición tiene algún divisor B; si B no es
primo, es compuesto, y tiene algún divisor C que también lo es
de A, etc. Y dice: «Si proseguimos la investigación de esta
forma, se encontrará algún número primo que divide al anterior, que es un
divisor de A. Puesto que, si no, habría una sucesión infinita de divisores de
A, cada uno de ellos menor que el anterior, y esto es imposible para los
números.» Toma así en consideración el hecho de que cualquier conjunto de
números enteros positivos tiene un mínimo.
El libro VIII prosigue con la teoría de números, sin incorporar nuevas
definiciones. Trata sobre todo de progresiones geométricas, que para Euclides
son conjuntos de números en proporción continua, esto es, a/b - b/e = c/d = d/e =
... Tales proporciones continuas satisfacen nuestra definición de progresión
geométrica, ya que en éstas la razón entre cada término y el siguiente es
constante.
El libro IX concluye la tarea sobre teoría de números. Hay en él teoremas sobre
números cuadrados, cúbicos, planos y sólidos, y más teoremas sobre proporciones
continuas. Son de señalar los siguientes:
Proposición 14. Si un número es el menor medido por varios números
primos, no puede ser medido por otros números primos.
Lo que significa que si a es el producto de los primos p, q,...
esa descomposición de a en primos es única.
Proposición 20. Hay más números primos que cualquier multitud dada
de números primos.
En otras palabras, hay infinitos números primos. La demostración de Euclides es
clásica: a partir de los primos p1p2,
..., pn se puede formar el número p1 × p2 ×
... × pn + 1, que es mayor que cualquiera de
esos n primos, y que si es compuesto debe tener algún divisor
primo diferente de todos ellos, ya que la división por p1, p2,
... ó pn deja como resto 1.
La proposición 35 del libro IX proporciona, con una elegante prueba, la suma de
los términos de una progresión geométrica. La proposición 36 es un famoso
teorema sobre números perfectos: si la suma de los términos de la progresión
geométrica
1, 2, 22,..., 2n
es primo, el producto de esa suma por el último término, esto
es,
(1 + 2 +... + 2n)2n ó
(2n+1 - 1)2n
es un número perfecto. Los griegos conocían los cuatro primeros
números perfectos, 6, 28, 496 y 8128, y quizá también el quinto.
8. El libro X: La clasificación de los inconmensurables
El libro X de los Elementos emprende la tarea de clasificar en tipos los
irracionales, es decir, las magnitudes inconmensurables con una magnitud dada.
Augustus De Morgan describió el contenido general de este libro así:
«Euclides investigó cada posible segmento cuya longitud pueda
expresarse (con álgebra moderna) en la forma
siendo a y b las longitudes de dos segmentos conmensurables.»
Claro está que no todos los irracionales pueden representarse
así, y Euclides trata sólo los que surgen en su álgebra geométrica.
La primera proposición del libro X es importante para posteriores apartados de
los Elementos.
Proposición 1. Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se
resta una magnitud mayor que su mitad, y de lo que queda otra magnitud mayor
que su mitad, repitiendo este proceso quedará en algún momento una magnitud
menor que la más pequeña de las dos magnitudes dadas.
Al final de la demostración Euclides afirma que el teorema se puede probar
igualmente si las partes sustraídas son mitades. Al principio utiliza un
axioma, no reconocido como tal por Euclides, que le posibilita sumar consigo
misma un número finito de veces la menor de dos magnitudes hasta obtener una
suma que exceda a la mayor. Su argumentación se apoya en la definición de razón
entre dos magnitudes (definición 4 del libro V), pero esa definición no
justifica el paso en cuestión, ya que si sólo puede hablar de razón entre dos
magnitudes cuando cada una de ellas se puede multiplicar hasta superar a la
otra, Euclides debería probar que entre esas dos magnitudes existe razón, en
lugar de suponerlo implícitamente. Según Arquímedes, tal axioma (aunque bajo
una forma ligeramente diferente) había sido utilizado ya por Eudoxo, que lo
había establecido como lema. Arquí medes lo emplea sin prueba, tomándolo de
hecho por un axioma, que hoy recibe el nombre de ambos: Arquímedes-Eudoxo.
Hay 115 proposiciones en este libro X, aunque en algunas ediciones aparecen
unas proposiciones 116 y 117, la última de las cuales establece la
irracionalidad de √2, con la prueba ya descrita en el capítulo 3.
9. Los libros XI, XII y XIII: Geometría de sólidos y método de exhausción
El libro XI inicia el tratamiento de los volúmenes o sólidos, aunque todavía
aparecerán algunos teoremas de geometría plana. He aquí algunas de sus
definiciones:
Definición 1. Un sólido es lo que tiene longitud, anchura y
profundidad.
Definición 2. Los bordes de un sólido son superficies.
Definición 3. Una recta forma ángulo recto con un plano cuando lo
forma con todas las rectas que la cortan y están en el plano.
Definición 4. Un plano forma ángulo recto con otro plano cuando las
perpendiculares en uno de los planos a la intersección de ambos forman ángulos
rectos con el otro plano.
Definición 6. La inclinación de un plano con respecto a otro es el
ángulo agudo formado por las perpendiculares a la intersección común, en el
mismo punto, en cada uno de los dos planos.
A ese ángulo agudo nosotros lo llamamos diedro.
Hay también definiciones para planos paralelos, figuras sólidas semejantes,
ángulo sólido, pirámide, prisma, esfera, cono, cilindro, cubo, octaedro,
icosaedro y dodecaedro (regulares). La esfera se define por el giro de un
semicírculo en torno al diámetro que lo limita; el cono por el giro de un
triángulo rectángulo en torno a uno de los lados del ángulo recto, siendo
obtusángulo, rectángulo o acutángulo según que ese lado que permanece fijo en
el giro sea menor, igual o mayor que el otro lado del ángulo recto; el
cilindro, por el giro de un rectángulo en torno a uno de sus lados. La
importancia de estas tres últimas definiciones está en que todos los sólidos
considerados, excepto los poliedros regulares, se obtienen a partir del giro de
una figura plana en torno a un eje.
Las definiciones son vagas, poco claras, y con frecuencia suponen teoremas no
explicitados. Por ejemplo, la definición 6 da por supuesto que el ángulo es el
mismo sea cual fuere el punto de la intersección de ambos planos en que se
construya. También tiende Euclides a considerar únicamente sólidos convexos,
sin especificar esto en su definición de poliedro regular.
El libro sólo habla de figuras limitadas por caras planas. De los 39 teoremas
que contiene, los 19 primeros se refieren a propiedades de rectas y planos, por
ejemplo, acerca de rectas paralelas y perpendiculares a planos. Las
demostraciones de esos teoremas en este libro no siempre son adecuadas, y
muchos teoremas generales sobre poliedros sólo se prueban para ciertos casos
particulares.
Proposición 20. Si un ángulo sólido está limitado por tres ángulos
planos, dos cualesquiera de ellos, tomados conjuntamente de cualquier manera,
son mayores que el ángulo restante.
Es decir, que de los tres ángulos planos CAB, CAD y BAD (fig.
4.17) la suma de dos de ellos es mayor que el tercero.
Figura 4.17
Proposición 21. Cualquier
ángulo sólido está limitado por ángulos planos menores (cuya suma es menor) que
cuatro ángulos rectos.
Proposición 31. Los sólidos paralelepipédicos que tienen la misma
altura son entre sí como sus bases.
El libro XII contiene 18 teoremas sobre áreas y volúmenes, en particular sobre
figuras curvilíneas y figuras limitadas por superficies. La idea que en él
domina es la del método de exhausción, que proviene de Eudoxo. Por ejemplo,
para probar que la razón entre las áreas de dos círculos es como la razón entre
los cuadrados de sus diámetros, ese método aproxima ambas áreas con una
precisión creciente inscribiendo en ellas polígonos regulares, y como el
teorema en cuestión es válido para los polígonos, queda así probado para los
círculos. El término «exhausción», que proviene del hecho de que esos polígonos
sucesivamente inscritos van dejando «exhausto», vacío, el círculo, no fue
empleado por los griegos, sino que fue introducido en el siglo XVII. Por sí
mismo, o por la vaga descripción que acabamos de dar de él, el término podría
sugerir que se trata de un método aproximado, que constituye sólo una etapa
hacia el concepto riguroso que se obtendría como límite. Se trata sin embargo,
como vamos a ver, de un método riguroso en sí mismo, que no requiere un proceso
explícito de paso al límite; su validez reside en el método indirecto de
prueba, que evita el empleo de límites. De hecho, el trabajo de Euclides sobre
áreas y volúmenes es más perfecto que el de Newton y Leibniz, quienes
intentaron basarse en el álgebra y el sistema numérico, recurriendo a un
concepto embrionario de límite.
Para una mejor comprensión del método de exhausción, consideremos con cierto
detalle un ejemplo (en el próximo capítulo veremos algunos más tomados de la
obra de Arquímedes). El libro XII se abre con la
Proposición 1. La razón entre los polígonos semejantes inscritos en
círculos es como la razón entre los cuadrados de los diámetros de ambos
círculos.
No reproduciremos la demostración porque no contiene ninguna particularidad especial.
Llegamos ahora a la proposición crucial:
Proposición 2. La razón entre dos círculos es la misma que la que
hay entre los cuadrados de sus diámetros.
Describiremos a continuación lo esencial de la demostración de Euclides: prueba
en primer lugar que puede ir «vaciando» el círculo, mediante polígonos (fig.
4.18).
Figura 4.18.
El área del cuadrado es mayor que la mitad del área del círculo
porque aquélla es la mitad del área de un cuadrado circunscrito, que a su vez
es mayor que el área del círculo. Sea ahora AB cualquiera de
los lados del cuadrado inscrito, C el punto medio del
arco AB, AD y BE perpendiculares
a la tangente al círculo en C. Ð 1 = Ð 2 porque cada uno de ellos
es la mitad del arco CB, de lo que se deduce que DEes
paralela a AB, y ABED es un rectángulo cuya área
es mayor que la del segmento circular ABFCG. Repitiendo el proceso
en cada lado del cuadrado, obtenemos un octógono regular que incluye no sólo al
cuadrado sino más de la mitad de la diferencia entre el área del círculo y la
del cuadrado. En cada lado del octógono podemos construir un triángulo del
mismo modo que se hizo con el ACBsobre AB, obteniendo
un hexadecágono regular que incluye al octógono y más de la mitad de la
diferencia entre el área del círculo y la del octógono. El proceso puede
repetirse cuantas veces se desee. Euclides emplea entonces la proposición 1 del
libro X para afirmar que la diferencia entre el área del círculo y la de un
polígono regular con un número de lados suficientemente grande puede hacerse
menor que cualquier magnitud fijada de antemano.
Sean entonces S y S' las áreas de dos
círculos (fig. 4.19) y sean d y d' sus
diámetros. Euclides desea probar que
S : S' = d2 : d'2 (3)
Supongamos que no se cumple esa igualdad y que en su lugar se
tiene
S : S"
= d2 : d'2 (4)
donde S" es algún área mayor o menor
que S' (se supone aquí y en todo el libro XII la existencia de
la cuarta proporcional como un área). Si S" < S,
podemos construir polígonos regulares con un número cada vez mayor de lados
hasta que lleguemos a uno, digamos P', tal que su área difiera
de S' en menos que S' - S".
Ese polígono puede construirse porque ya se ha probado anteriormente que la
diferencia entre el círculo S' y los polígonos regulares
inscritos en él puede hacerse menor que cualquier magnitud dada, y por tanto
menor que S' - S". Entonces
S' > P' >S" (5)
Inscribamos en S un polígono P semejante
a P'. Por la Proposición 1,
P : P' = d2 : d'2
y por (4) tenemos también que
P : P'
= S : S"
o bien
P : S — P'
: S".
Sin embargo, como P < S,
resultaría
P' < S",
en contradicción con (5).
De manera similar se puede probar que S" no puede ser mayor
que S', luego S" = S', y teniendo en
cuenta (4) queda establecida la proporción (3).
Figura 4.19
Este método se utiliza asimismo para probar teoremas tan
críticos y difíciles como:
Proposición 5. La razón entre dos pirámides que tienen la misma
altura y bases triangulares es igual a la razón entre sus bases.
Proposición 10. Cualquier cono es la tercera parte del cilindro que
tiene la misma base e igual altura.
Proposición 11. La razón entre conos y cilindros de la misma altura
es igual a la razón entre sus bases.
Proposición 12. La razón entre conos y cilindros semejantes es
triple (razón entre los cubos) de la razón entre los diámetros de sus bases.
Proposición 18. La razón entre dos esferas es como la razón
triplica da entre sus respectivos diámetros.
El libro XIII estudia propiedades de los polígonos regulares como tales e
inscritos en círculos, y el problema de cómo inscribir los cinco poliedros
regulares en una esfera. Prueba también que no existen más que esos cinco tipos
de sólidos regulares (poliedros convexos). Este último resultado es un
corolario a la proposición 18, que clausura el libro.
La prueba de que no pueden existir más que cinco tipos de sólidos regulares
depende de un teorema previo, la proposición 21 del libro XI, que establece que
las caras de un ángulo sólido deben sumar menos de 360°. Así, si juntamos
triángulos equiláteros, podemos hacer que concurran tres en cada vértice del
sólido regular para formar un tetraedro, cuatro para formar un octaedro o cinco
para formar un icosaedro. Con seis triángulos equiláteros en un vértice se
obtendría una suma de 360°, lo que descarta esa posibilidad. Podemos juntar
tres cuadrados en cada vértice para obtener un cubo y tres pentágonos en cada
vértice para formar un dodecaedro. No puede usarse ningún otro polígono
regular, porque al unir tres en un punto se formaría un ángulo de 360° o más.
Obsérvese que Euclides supone sólidos regulares convexos. Hay otros sólidos
regulares no convexos.
Los trece libros de los Elementos contienen 467 proposiciones. En algunas
ediciones antiguas se incluían dos libros más, que contenían otros resultados
sobre sólidos regulares, aunque el libro XV es poco claro e impreciso. Ambos
son, sin embargo, posteriores a Euclides. El libro XIV se debe a Hypsicles (c.
150 a. C.) y parte del libro XV se escribió probablemente mucho más tarde, en
torno al siglo VI d. C.
10. Los méritos y defectos de los Elementos
Siendo los Elementos la primera fuente sustancial de conocimiento matemático, y
habiendo sido utilizados por una generación tras otra, influyó como ningún otro
libro en el derrotero de las matemáticas. Fue estudiándolos como se aprendió el
concepto mismo de matemática, la noción de demostración y la ordenación lógica
de los teoremas, y su contenido determinó el curso del pensamiento posterior.
Por eso creemos necesario señalar las características que influyeron tan poderosamente
en el futuro de la matemática.
Aunque, como ya dijimos anteriormente, la forma de presentación de las
proposiciones no tiene su origen en Euclides, sí es suya la forma de
presentación del conjunto de la obra: la exposición de los axiomas al comienzo,
la explícita declaración de cada una de las definiciones y el ordenado
encadenamiento de los teoremas, dispuestos de forma que vayan de lo más simple
a lo más complejo.
Euclides también seleccionó los teoremas que consideraba de mayor importancia.
Así, por ejemplo, no presenta el teorema según el cual las alturas de un
triángulo se cortan en un punto. Hay teoremas en otras obras de Euclides, que
discutiremos brevemente, que no consideró procedente incluir en los Elementos.
Aunque el requerimiento de que antes de incorporar figuras a la estructura
lógica hay que demostrar su existencia es anterior a Euclides, él lo satisface
con habilidad y sofisticación. De acuerdo con los postulados 1, 2 y 3, las
construcciones que lleva a cabo sólo requieren el dibujo de rectas y
circunferencias, con el único empleo de regla y compás. Como no pudo establecer
la existencia de trisectores de un ángulo, no hay en su obra teoremas que se
refieran a ellos.
Pese a algunas omisiones y errores de demostración que mencionaremos enseguida,
la elección de los axiomas es notable. A partir de un pequeño número de éstos
puede probar cientos de teoremas, muchos de ellos profundos. Además, esa
elección fue muy inteligente, en particular en el caso del axioma de las
paralelas. Sin duda sabía que cualquier axioma de ese tipo establece explícita
o implícitamente lo que debe suceder en extensiones infinitas del espacio, y
que cualquier pronunciamiento sobre lo que deba ser cierto en un espacio
infinito es físicamente dudoso, debido a las limitaciones de la experiencia
humana. Y sin embargo, también era consciente de que algún axioma de ese tenor
era indispensable. Eligió por tanto una versión que establece condiciones bajo
las que dos rectas se cortan en un punto a distancia - finita, y probó además
todos los teoremas que pudo antes de recurrir a ese axioma.
Si bien Euclides empleó la superposición de figuras para establecer su
congruencia, método que descansa en la 4.a Noción Común, se
preocupó evidentemente por la validez de tal método, al que pueden presentarse
dos objeciones: en primer lugar, se utiliza el concepto de movimiento, para el
que no hay una base lógica; en segundo, el método de superposición supone que
una figura mantiene todas sus propiedades cuando se la mueve de un lugar a otro.
Puede entonces probarse que la figura desplazada es congruente con una tercera,
pero la primera figura, en su posición original, podría no serlo. Suponer que
el desplazamiento de una figura no cambia sus propiedades es un requerimiento
muy fuerte acerca del espacio físico. De hecho, el propósito mismo de la
geometría euclídea es la comparación de figuras en diferentes posiciones. Puede
constatarse esa preocupación de Euclides por la validez del método en que no lo
utilizara en demostraciones que pudiera efectuar por otros medios, aunque la
superposición le hubiera permitido una prueba más simple.
Aunque los matemáticos generalmente consideraron a Euclides como un modelo de
rigor hasta bien entrado el siglo XIX, hay en él serios defectos que unos pocos
matemáticos detectaron y combatieron. El primero es el empleo de la
superposición. El segundo, la vaguedad de algunas definiciones y las
imprecisiones de otras. Las definiciones iniciales de punto, línea y superficie
no tienen sentido matemático preciso y, como ahora sabemos, no se les puede dar
ninguno porque cualquier desarrollo matemático independiente debe incluir
términos no definidos (vid. sec. 3). En cuanto a la vaguedad de muchas
definiciones, basta remitirse a los comentarios que hicimos sobre el libro V,
por ejemplo. Una objeción adicional a las definiciones es que varias, como la
definición 17 del libro I, presuponen un axioma.
Un estudio crítico de Euclides —con la ventaja, claro está, de los
conocimientos actuales— muestra que utiliza decenas de suposiciones que nunca
explícita y de las que sin duda no era consciente. Algunas ya las hemos
mencionado en nuestra exposición. Lo que Euclides y cientos de los mejores
matemáticos de las generaciones posteriores hicieron fue emplear propiedades
que las figuras sugerían como evidentes, o intuitivamente tan evidentes que no
podían darse cuenta de que las estaban utilizando. En algunos casos las
suposiciones inconscientes pueden obviarse mediante demostraciones basadas en
hipótesis explícitas, pero eso no siempre es posible.
Entre esas suposiciones inconscientes están las que se refieren a la
continuidad de rectas y circunferencias. La demostración de la proposición 1
del libro I supone que las circunferencias tienen un punto en común. Cada una
de ellas es un conjunto de puntos, y podría suceder que aunque ambas se crucen
no hubiera un punto perteneciente a las dos allí donde se produce la supuesta
intersección. La misma crítica puede hacerse al caso de dos rectas, que podrían
cruzarse sin tener un punto común si sólo se tiene en cuenta la base lógica
proporcionada por los Elementos.
También hay defectos en las demostraciones propuestas. Algunos son errores
debidos a Euclides que pueden corregirse, aunque en ciertos casos se requeriría
una nueva demostración. Otro tipo de defecto que recorre todos los Elementos es
la afirmación de un teorema general del que sólo se prueba algún caso especial
o para posiciones especiales de los datos propuestos.
Aunque hemos alabado a Euclides por la organización de conjunto del contenido
de los Elementos, los trece libros no constituyen una unidad, sino una extensa
compilación de otras obras anteriores. Por ejemplo, ya hemos señalado que los
libros VII, VIII y IX repiten para los números enteros muchos de los resultados
anteriormente atribuidos a las magnitudes. La primera parte del libro XIII
repite resultados de los libros II y IV. Los libros X y XIII probablemente
constituían una unidad, debido a Teeteto, antes de que Euclides los separara.
A pesar de estos defectos, muchos de los cuales ya fueron señala dos por otros
comentaristas (vid. cap. 42, sec. 1) y probablemente también por los sucesores
inmediatos de Euclides, los Elementos tuvieron tanto éxito que desplazaron a
todos los textos de geometría anteriores. En el siglo III a. C., cuando aún se
disponía de otros, incluso Apolonio y Arquímedes se remitían a los Elementos
para citar resultados anteriores a ellos.
11. Otras obras matemáticas de Euclides
Euclides escribió otras obras de matemática y física, muchas de ellas
importantes para la historia de las matemáticas. Pospondremos hasta un capítulo
posterior la discusión sobre sus obras de física más importantes, la Óptica y
la Catóptrica.
Pappus incluyó en sus Tesoros del Análisis los Datos de Euclides,
describiéndolos como material geométrico suplementario relacionado con
«problemas algebraicos». Los teoremas que contenía determinaban ciertas
magnitudes a partir de otras dadas. Se trataba de un material de naturaleza
semejante al que aparece en los Elementos, aunque los teoremas específicos
fueran diferentes. Puede que fueran concebidos como un conjunto de ejercicios
de repaso de los Elementos. Su contenido es íntegramente conocido.
De las obras de Euclides, a continuación de los Elementos, fueron las Cónicas
las que desempeñaron un papel más relevante en la historia de las matemáticas.
Según Pappus, el contenido de esta obra desaparecida, que constaba de cuatro
libros, era sustancialmente el mismo que el recogido en los tres primeros
libros de las Secciones Cónicas de Apolonio. Euclides trataba las cónicas como
secciones de los tres diferentes tipos de conos (con ángulo recto, agudo y
obtuso). La elipse se obtenía también como sección de cualquier cono y de un
cilindro circular. Como veremos, Apolonio cambió este enfoque de las secciones
cónicas.
Las Pseudaria de Euclides contenían demostraciones geométricas correctas y
falsas, y se trataba de un libro destinado al aprendizaje de los estudiantes.
La obra se ha perdido.
Sobre las divisiones (de figuras), mencionada por Proclo, trata de la
subdivisión de una figura dada en otras, por ejemplo, de un triángulo en otros
más pequeños o en triángulos y cuadriláteros. Existe una traducción latina,
debida probablemente a Gerardo de Cremona (1114-1187), de una versión árabe
incorrecta e incompleta. En 1851, Franz Woepcke encontró y tradujo otra versión
árabe que parece ser correcta. Existe una traducción al inglés realizada por R.
C. Archibald.
Los Porismas son otra obra perdida, cuyo contenido, y aun naturaleza, se
desconocen en gran medida. Pappus, en su Colección Matemática, dice que
constaba de tres libros. Se cree, basándose en los comentarios de Pappus y
Proclo, que esos Porismas trataban esencialmente acerca de la construcción de
objetos geométricos cuya existencia ya estaba asegurada. Así pues, podían
considerarse como problemas intermedios entre los teoremas puros y las
construcciones mediante las que se establece la existencia de alguna figura,
entre los que podría ser típica la localización del centro de una
circunferencia que cumpliera ciertas condiciones dadas.
La obra Superficies-Lugares, formada por dos libros, mencionada por Pappus en
su Colección, y de la que no quedan restos, trataba probablemente de lugares
geométricos que son superficies.
Los Fenómenos de Euclides, aun siendo un texto sobre astronomía, contienen 18
proposiciones de geometría esférica y otras sobre esferas en rotación uniforme.
La Tierra es tratada como una esfera. Se conservan varias versiones.
12. La obra matemática de Apolonio
El otro gran griego que pertenece al período clásico en los dos sentidos de
resumir y prolongar el tipo de matemática producida en ese período es Apolonio
(c. 262-190 a. C.). Nació en Perga, ciudad situada en el noroeste de Asia
Menor, que durante su vida estaba sujeta al dominio de Pérgamo. Se trasladó a
Alejandría cuando todavía era joven, y aprendió matemáticas con los sucesores
de Euclides. Por lo que sabemos, permaneció en Alejandría colaborando con los
grandes matemáticos que allí trabajaban. Su obra maestra es el tratado sobre
las cónicas, pero también escribió sobre otros temas. Su capacidad matemática
era tan extraordinaria que llegó a ser conocido en vida, y más tarde, como «el
Gran Geómetra». También fue grande su reputación como astrónomo.
Las secciones cónicas, como sabemos, fueron estudiadas mucho antes de Apolonio.
Concretamente, Aristeo el Viejo y Euclides habían escrito obras sobre ellas.
También Arquímedes, sobre el que volveremos más adelante, presentó algunos
resultados sobre este tema. Fue Apolonio, no obstante, quien lo pulió,
despojándolo de irrelevancias y le dio forma sistemática. Además de sus méritos
totalizadores, las Secciones Cónicas contienen material altamente original, y
son ingeniosas, extremadamente hábiles, y están excelente mente organizadas. Se
trata de una realización tan monumental que cerró prácticamente el tema para
los pensadores posteriores, al menos desde el punto de vista puramente
geométrico. Puede considerarse verdaderamente como la culminación de la
geometría griega clásica.
Las Secciones Cónicas constan de ocho libros que contienen 487 proposiciones.
De ellos conservamos los cuatro primeros reproducidos en manuscritos griegos de
los siglos XII y XIII, y los tres siguientes en una traducción al árabe escrita
en 1290. El octavo se ha perdido, aunque en el siglo XVII Halley llevó a cabo
una reconstrucción basándose en las indicaciones de Pappus.
Los predecesores de Euclides, éste mismo, y Arquímedes, trataron las secciones
cónicas en relación con los tres tipos de conos circulares rectos, como habían
sido introducidas por el platónico Menecmo. Tanto Euclides como Arquímedes, sin
embargo, sabían que la elipse también puede obtenerse como sección de los otros
dos tipos de conos circulares rectos, y Arquímedes también sabía que las
secciones de conos circulares oblicuos mediante planos que corten a todas las
generatrices son elipses. Probablemente se dio cuenta de que las otras
secciones cónicas pueden obtenerse a partir de conos circulares oblicuos.
Fue Apolonio, sin embargo, el primero en basar la teoría de las tres cónicas en
secciones de un mismo cono circular, recto u oblicuo, y en dar cuenta de las
dos ramas de la hipérbola. Se aduce como una de las razones para que Menecmo y
otros predecesores de Apolonio utilizaran planos perpendiculares a una de las
generatrices de los tres tipos de cono circular recto, no que no vieran que
pueden obtenerse otras secciones de esos conos, sino que deseaban estudiar el
problema inverso. Dadas ciertas curvas cuyas propiedades geométricas sean las
de las secciones cónicas, la demostración de que esas curvas se pueden obtener
como secciones de un cono es más fácil cuando el plano con el que se corta al
cono es perpendicular a una generatriz.
Consideraremos en primer lugar las definiciones y propiedades básicas de las
cónicas que aparecen en el libro I. Dados un círculo BC y un
punto A (fig. 4.20) situado fuera del plano que contiene al
círculo, una recta que pasa por A y se mueve a lo largo de la
circunferencia engendra un doble cono.
Figura 4.20
Al círculo se le llama base del cono. Su eje es la recta que va
desde A hasta el centro del círculo (no dibujado en la figura). Si esa recta es
perpendicular a la base, el cono es circular recto; si no, es escaleno u
oblicuo. Consideremos la sección del cono por un plano que corte al plano de la
base en una recta DE. Sea BC el diámetro del
círculo base que es perpendicular a DE. Entonces ABC es
un triángulo que contiene en su interior al eje del cono, y se le llama
triángulo axial. Si ese triángulo corta a la cónica en PP' (que no
tiene por qué ser un eje de la sección cónica), PP’M es la
recta determinada por la intersección del plano de corte con el triángulo axial[13]. Sea Q'Q cualquier cuerda de la sección cónica
paralela a DE, que no tiene por qué ser perpendicular a PP'.
Apolonio prueba entonces que PP' corta en el punto medio a Q'Q, de
manera que VQ es la mitad de Q'Q.
Dibujemos ahora la recta PL paralela a PM, hasta
encontrar a BM en, digamos, F. A continuación
dibujemos la recta PL perpendicular a PM en
el plano de la sección. Para la elipse y la hipérbola se elige L de manera que
se satisfaga la condición
y para la parábola de manera que se tenga
En los casos de la elipse y la hipérbola dibujemos ahora los
segmentos P'L y VRparalelo a PL desde V hasta
cortar a P'L en R (en el caso de la
hipérbola P’ está en la otra rama y hay que extender P'L para
conseguir el punto R).
Después de algunas construcciones de menor importancia que no reproduciremos,
Apolonio prueba que para la elipse y la hipérbola
QV2 = PV × VR (6)
Apolonio llama a QV «ordenada» y así el
resultado (6) muestra que el cuadrado de la ordenada equivale a un rectángulo
construido sobre PL, en concreto el que tiene como lados PV y VR.
Además, prueba que en el caso de la elipse el complementario de ese rectángulo
en el rectángulo total PV × PL es el
rectángulo LR, que es semejante al rectángulo de lados PL y PP'.
De ahí el término «elipse» (vid. sec. 6).
En el caso de la hipérbola se sigue cumpliendo (6), pero la construcción
mostraría que VR es más largo que PL, de manera
que el rectángulo PV × VR excede al
rectángulo construido sobre PL, esto es, PL × PV,
en un rectángulo LR que es semejante al rectángulo de
lados PL y PP'. De ahí el término «hipérbola». En
el caso de la parábola, Apolonio muestra que en lugar de (6) se tiene
QV2 = PV × PL, (7)
de manera que el rectángulo que equivale a QV2 es
precisamente el construido sobre PL con anchura PV.
De ahí el término «parábola».
Apolonio introdujo esa terminología para las cónicas en lugar de las secciones
de Menecmo de los conos recto, agudo y obtuso. Cuando las palabras parábola o
elipse aparecen en los trabajos de Arquímedes, como ocurre en su Cuadratura de
la Parábola (vid. cap. 5, sec. 3), se trata de inserciones de transcriptores
posteriores.
Las ecuaciones (6) y (7) son las propiedades básicas de las secciones cónicas.
Una vez obtenidas, Apolonio se olvida del cono y deduce otras propiedades a
partir de esas ecuaciones. De hecho, donde ahora usamos abscisa, ordenada y la
ecuación de una cónica para deducir propiedades, Apolonio emplea PV,
la ordenada o semicuerda QV y una igualdad geométrica, ya sea
(6) o (7). Claro está que en la exposición de Apolonio no aparece nada de
álgebra.
Podemos fácilmente transcribir las propiedades básicas de Apolonio en la
geometría moderna con coordenadas: si denotamos por 2p al
segmento PL, que Apolonio llama parámetro de las ordenadas (latus
rectum en las ediciones latinas), y por d la longitud del
diámetro PP', y si x es la distancia PV medida a
partir de P e y la distancia QV (lo
que significa que estamos utilizando coordenadas oblicuas), se ve
inmediatamente a partir de (7) que la ecuación de la parábola es
y2 = 2px.
Para la elipse, señalemos que de la ecuación (6) que la define
podemos obtener primeramente que
y2 = PV × VR
Pero PV × VR = x(2p - LS).
También, como el rectángulo LR es semejante al determinado
por PL y PP',
Luego LS = 2px/d. Entonces
Para la hipérbola obtenemos
En la construcción de Apolonio d es infinito
para la parábola, y vemos así cómo ésta aparece como caso límite de la elipse o
la hipérbola.
Figura 4.21
Para proseguir con el tratamiento que hace Apolonio de las
cónicas necesitamos algunas definiciones de conceptos que todavía son
importantes en la geometría moderna. Consideremos un conjunto de cuerdas
paralelas en una elipse, digamos el conjunto de paralelas a PQ en
la fig. 4.21.
Apolonio prueba que los centros de esas cuerdas están en un segmento AB,
al que se llama diámetro de la cónica (el segmento PP' de la figura
fundamental 4.20 es un diámetro), y a continuación, que si se dibuja una
recta DE pasando por C, el punto medio de AB,
que sea paralela a la familia original de cuerdas, esa recta corta en el punto
medio a todas las cuerdas paralelas a AB. El segmento DEse
llama diámetro conjugado con AB.
Figura 4.22
En el caso de la hipérbola (fig. 4.22), las cuerdas pueden estar
dentro de una de las ramas, por ej. PQ, y entonces el diámetro es
un segmento que va de una rama a la otra, en la figura, AB. Las
cuerdas paralelas a AB, por ejemplo RH, están entonces
entre ambas ramas, y el diámetro conjugado con AB, digamos DE,
definido como la media proporcional entre AB y el latus
rectum de la hipérbola, no corta a la curva. En la parábola, cualquier
diámetro, esto es, una recta que pase por los puntos medios de una familia de
cuerdas paralelas, es siempre paralela al eje de simetría, y no hay diámetro
conjugado con uno dado, ya que las cuerdas paralelas a éste son de longitud
infinita. Los ejes de una elipse o hipérbola son dos diámetros conjugados
perpendiculares entre sí.
Figura 4.23
Para la parábola (fig. 4.23) el eje es un diámetro cuyas
correspondientes cuerdas le son perpendiculares.
Después de introducir las propiedades básicas de las secciones cónicas,
Apolonio presenta algunos hechos simples acerca de los diámetros conjugados. El
libro I también se ocupa de las tangentes a las cónicas. Apolonio concibe una
tangente como una recta que sólo tiene un punto en común con la cónica,
permaneciendo cualquier otro punto fuera de ésta.
Muestra entonces que si se dibuja una recta pasando por un extremo de un
diámetro (punto P de la figura fundamental 4.20) que sea paralela a las cuerdas
que corresponden a ese diámetro (paralelas a QQ' en esa figura),
caerá fuera de la cónica, sin que pueda haber ninguna otra recta entre ella y
la cónica (vid. Elementos, libro III, proposición 16). Por tanto, la recta
mencionada es la tangente a la cónica en P.
Figura 4.24
Otro teorema sobre tangentes asegura lo siguiente: supongamos
que PP' (fig. 4.24) es un diámetro de una parábola y QV es
una de las cuerdas que corresponden a ese diámetro. Entonces, si se toma en él
un punto T fuera de la curva y tal que TP = PV,
donde V es el pie de la ordenada (cuerda) desde Q hasta
el diámetro PP', la recta TQ será tangente a la
parábola en Q. Hay teoremas análogos para la elipse y la hipérbola.
Apolonio prueba después que si se toma cualquier diámetro de la cónica distinto
de PP' en la figura fundamental 4.20, las propiedades
definitorias de la cónica, las ecuaciones (6) y (7), siguen siendo las mismas;
claro está que QV se refiere entonces a la cuerda de tal
diámetro. Lo que ha hecho equivale en nuestro lenguaje a una transformación de
un sistema de coordenadas oblicuas en otro. En relación con esto, también
prueba que a partir de cualquier diámetro y las ordenadas correspondientes se
puede hacer el cambio a un diámetro (eje) cuyas ordenadas le son
perpendiculares. En nuestro lenguaje, se tendría así un sistema de coordenadas
rectangulares. También muestra Apolonio cómo construir cónicas a partir de
ciertos datos —por ejemplo, un diámetro, el latus rectum, y la
inclinación de las ordenadas con respecto al diámetro—. Lo hace construyendo
primeramente el cono del que la cónica deseada es una sección.
El libro II comienza con la construcción y propiedades de las asíntotas a una
hipérbola. Muestra, por ejemplo, no sólo la existencia de asíntotas, sino
también que la distancia entre un punto de la curva y la asíntota se hace más
pequeña que cualquier longitud dada alejándose lo suficiente a lo largo de la
curva. Después introduce la hipérbola conjugada con una dada, mostrando que
tiene las mismas asíntotas.
Otros teoremas del libro II muestran cómo hallar un diámetro de una cónica, el
centro de una cónica que lo posea, el eje de una parábola, y los ejes de una
cónica con centro.
Figura 4.25
Por ejemplo, si T (fig. 4.25) está fuera de una
cónica dada, TQ y TQ' son tangentes en los
puntos Q y Q' a la cónica, y V es el punto medio
de la cuerda QQ, entonces TV es un diámetro. Otro
método para encontrar un diámetro de una cónica consiste en dibujar cuerdas
paralelas: la recta que une sus puntos medios es un diámetro. El punto de
intersección de dos diámetros cualesquiera es el centro de la cónica (si lo tiene).
El libro concluye con métodos para construir tangentes a cónicas que satisfagan
ciertas condiciones dadas, como, por ejemplo, pasar por un punto dado.
Figura 4.26
El libro III comienza con teoremas sobre áreas de figuras forma
das con tangentes y diámetros. Uno de los principales resultados aquí (fig.
4.26) es que si OP y OQ son tangentes a una
cónica, si RS es cualquier cuerda paralela a OP y R’S'
cualquier cuerda paralela a OQ, y si RS y R'S' se
cortan en/ (interna o externamente), entonces
Se trata de una generalización de un teorema bien conocido de
geometría elemental, el que asegura que si dos cuerdas de un círculo se cortan,
el producto de las longitudes de los segmentos producidos en una de ellas es
igual al de las longitudes de los segmentos producidos en la otra, ya que en
ese caso
OP2/OQ2 = 1.
El libro III trata a continuación las que llamaremos relaciones
armónicas entre polo y polar. Si TP y TQ son
tangentes a una cónica (fig. 4.27)
Figura 4.27
y si TRS es cualquier recta que corte a la
cónica en R y S y a la cuerda PQ en I,
se tiene
Es decir, que T divide a RS externamente
en la misma razón en que lo hace internamente I. La recta PQ se
llama polar del punto T, y se dice que T, R, I y Sformar
una cuaterna armónica de puntos.
Figura 4.28
Por otra parte, si una recta que pase por el punto medio V del
segmento PQ (fig. 4.28) corta a la cónica en R y S, y a la
recta paralela a PQ que pasa por T en O, se tiene
Esa recta que pasa por T es la polar de V,
y O, R, V y S forman
una cuaterna armónica de puntos.
El libro prosigue con el problema de las propiedades focales de las cónicas con
centro; no se menciona aquí el foco de una parábola.
Figura 4.29
Los focos (la palabra no es utilizada por Apolonio) se definen
para la elipse y la hipérbola (fig. 4.29) como los puntos F y F del
eje (mayor) AA' tales que AF × FA'= AF' × F'A' = 2p × AA'/4.
Apolonio prueba para la elipse y la hipérbola que las rectas PF y PF' desde
un punto P de la cónica forman ángulos iguales con la tangente
en P y que la suma (para la elipse) o la diferencia (para la
hipérbola) de las distancias focales PF y PF' es
igual a AA'.
En esta obra no aparece el concepto de directriz, pero el hecho de que una
cónica es el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un punto dado
(foco) y una recta dada (directriz) mantienen una razón constante ya era
conocido por Euclides, y Pappus lo explícito y demostró (vid. cap. 5, sec. 7).
Hay un problema famoso, resuelto parcialmente por Euclides, que consiste en
determinar el lugar geométrico de los puntos para los que las distancias p, q, r y s a
cuatro rectas dadas satisfacen la condición pq = αrs,
donde a es un número dado. Apolonio dice en su prefacio a las Secciones Cónicas
que se puede resolver este problema con las proposiciones del libro III. Cierto
es que así puede hacerse, y también en este caso Pappus sabía que ese lugar
geométrico es una cónica.
Figura 4.30
El libro IV se ocupa de otras propiedades de los polos y
polares. Por ejemplo, una proposición establece un método para dibujar las
tangentes a una cónica desde un punto exterior T (fig. 4.30):
dibujemos TQR y TQ'R'; sea O el
conjugado armónico de T con respecto a Q y R,
es decir, tal que TQ : TR = OQ : OR,
y sea O'el conjugado armónico de T con respecto
a Q' y R’. Dibujemos ahora OO'. Los
puntos de corte P y P' son entonces los
puntos de tangencia.
El resto del libro trata acerca del número de posibles intersecciones de dos
cónicas en varias posiciones. Apolonio prueba que dos cónicas pueden cortarse a
lo más en cuatro puntos.
El libro V es el más notable por su novedad y originalidad. Trata de las
longitudes máxima y mínima de los segmentos que unen los puntos de una cónica
con un punto dado. Apolonio comienza con puntos especiales sobre el eje mayor
de una cónica con centro o sobre el eje de una parábola y encuentra las
distancias máxima y mínima desde tales puntos a la curva. A continuación toma
puntos sobre el eje menor de una elipse y hace lo mismo. Prueba también que
si O es cualquier punto interior a una cónica y OP es
un segmento de longitud máxima o mínima desde O hasta la
cónica, la recta perpendicular en P a OP es
tangente a la cónica en P; y si O' es cualquier punto sobre OP fuera
de la cónica, O’P es una recta mínima (segmento de longitud
mínima) desde O' hasta la cónica. La perpendicular a una
tangente en el punto de tangencia es lo que ahora llamamos una normal, de
manera que las rectas máxima y mínima desde cualquier punto son normales.
Apolonio considera a continuación propiedades de las normales a una cónica. Por
ejemplo, en una parábola o una elipse, la normal en cualquier punto cortará a
la curva en algún otro punto. Muestra entonces cómo se pueden construir las
normales a la cónica desde un punto dado interior o exterior a la cónica.
En el transcurso de su investigación sobre los segmentos de longitud máxima y
mínima (relativa) que pueden trazarse desde un punto a una cónica, Apolonio
determina las posiciones de los puntos desde los que se pueden trazar dos, tres
y cuatro segmentos de ese tipo. Para cada una de las cónicas determina el lugar
geométrico de los puntos que separan las regiones desde las que se puede trazar
uno u otro número de normales. Ese lugar mismo, que Apolonio no analiza, es lo
que ahora llamamos la evoluta de la cónica, lugar geométrico de los puntos de
intersección de normales a la cónica «infinitamente próximas», o envolvente de
la familia de normales a la cónica.
Así, desde cualquier punto dentro de la evoluta de la elipse (fig. 4.31), se
pueden trazar cuatro normales a ésta, mientras que desde los puntos exteriores
sólo pueden trazarse dos. (Hay puntos excepcionales.) En el caso de una
parábola, la evoluta (fig. 4.32) es la curva llamada parábola semicúbica
(estudiada por primera vez por William Neile (1637-1670)). Desde cualquier
punto del plano por encima de la parábola semicúbica se pueden trazar tres
normales a la parábola, y desde un punto que esté por debajo sólo una. Desde un
punto de la propia parábola semicúbica se pueden trazar dos normales.
El libro VI se ocupa de cónicas y segmentos de cónicas congruentes y
semejantes. Los segmentos de cónica son, como en el círculo, las regiones
delimitadas por una cuerda. Apolonio muestra también cómo construir sobre un
cono circular recto dado una sección cónica igual a una dada.
Figuras 4.31 y 4.32
El libro VII no contiene proposiciones sobresalientes. Trata de
propiedades de los diámetros conjugados de una cónica con centro. Apolonio
compara esas propiedades con las correspondientes de los ejes. Así, si a y b son
los ejes y a' y b' son dos diámetros
conjugados de una elipse o hipérbola, a + b < a' + b'.
Además, la suma de los cuadrados de dos diámetros conjugados de una elipse es
igual a la suma de los cuadrados de los ejes. La proposición correspondiente
para la hipérbola se obtiene reemplazando suma por diferencia. También, en una
elipse o una hipérbola, el área del paralelogramo determinado por dos diámetros
conjugados cualesquiera y el ángulo con el que se cortan, es igual al área del
rectángulo determinado por los ejes.
El libro VIII se ha perdido. Probablemente contenía proposiciones sobre cómo
determinar diámetros conjugados de una cónica (con centro) tales que ciertas
funciones de sus longitudes alcancen valores dados.
Pappus menciona otras seis obras matemáticas de Apolonio. Una de ellas, Sobre
Contactos, cuyo contenido fue reconstruido por Vieta, contenía el famoso
«problema de Apolonio»: dados tres puntos, rectas o círculos, o cualquier
combinación de tres de ellos, construir una circunferencia que pase por los
puntos y sea tangente a las rectas y círculos. Muchos matemáticos, incluidos
Vieta y Newton, proporcionaron soluciones a este problema.
La matemática estrictamente deductiva de Euclides y Apolonio ha alentado la
impresión de que los matemáticos crean razonando deductivamente. Nuestro repaso
a los trescientos años de actividad anteriores a Euclides muestra, sin embargo,
que las conjeturas precedieron a las pruebas y el análisis a la síntesis. De
hecho, los griegos no concedían mucho mérito a las proposiciones obtenidas
mediante simple deducción. A los resultados que se derivan fácilmente de un
teorema los llamaron corolarios o porismas. Tales resultados, obtenidos sin
mucho trabajo adicional, fueron considerados por Proclo como frutos caídos del
árbol o propinas.
No hemos agotado las contribuciones del genio griego a la matemática. Lo que
hemos discutido hasta ahora pertenece al período griego clásico; todavía nos
espera la importante época que se extiende desde el año 300 a. C., más o menos,
hasta el 600 d. C. Antes de volver la página insistiremos en que el período
clásico contribuyó con algo más que sus contenidos: creó la matemática misma en
el sentido en que hoy entendemos la palabra. La insistencia en la deducción
como método de demostración y la preferencia por lo abstracto en oposición a lo
concreto determinaron el carácter de las matemáticas, mientras que la selección
del conjuntó de axiomas más fructífero y aceptable, y la intuición y
demostración de cientos de teoremas pusieron en marcha esta ciencia.
Bibliografía
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Ball, W. W. Rouse: A
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Capítulo 5
El periodo greco-alejandrino: geometría y trigonometría
Contenido:
1. La fundación de Alejandría
2. El carácter de la matemática greco-alejandrina
3. Áreas y volúmenes en los trabajos de Arquímedes
4. Áreas y volúmenes en los trabajos de Herón
5. Algunas curvas excepcionales
6. El nacimiento de la trigonometría
7. La actividad geométrica tardía en Alejandría
Bibliografía
Sin los conceptos, métodos y resultados halla dos y
desarrollados por generaciones precedentes desde la antigüedad griega, no
podemos compren der ni los objetivos ni las conclusiones de las matemáticas en
los últimos cincuenta años.
Hermann Weyl
1. La fundación de Alejandría
La evolución de la matemática ha estado fuertemente ligada al curso de la
historia. Las conquistas acometidas por los macedonios, un pueblo griego que
vivía en la parte septentrional de las tierras de Grecia, llevó consigo la
destrucción de la civilización clásica griega y puso las bases de otra
civilización, esencialmente griega pero de carácter completamente diferente.
Las conquistas fueron iniciadas el año 352 a. C. por Filipo II de Macedonia.
Atenas fue derrotada el año 338 a. C. El año 336 a. C. Alejandro Magno, hijo de
Filipo, tomó el mando y conquistó Grecia, Egipto y el Oriente Próximo, llegando
por el este hasta la India y por el sur hasta las cataratas del Nilo. Construyó
nuevas ciudades por todas partes, que eran a la vez fortalezas y centros de
comercio. La más importante de todas, Alejandría, situada en el centro del
imperio de Alejandro y con la intención de ser su capital, fue fundada en
Egipto el año 332 a. C. Alejandro eligió el lugar y dibujó los planos para la construcción
y la colonización de la ciudad, pero el trabajo no fue completado hasta muchos
años después.
Alejandro imaginaba una cultura cosmopolita en su nuevo imperio. Debido a que,
entre las demás, la única civilización importante era la persa, Alejandro
intentó deliberadamente fundir ambas culturas. El año 325 a. C., él mismo se
casó con Statira, hija del príncipe persa Darío, e indujo a cien de sus
generales y a diez mil de sus soldados a casarse con mujeres persas. Incorporó
veinte mil persas a su ejército y los mezcló con los macedonios en las mismas
falanges. Asimismo, llevó colonizadores de todas las naciones a las diferentes
ciudades fundadas por él. Tras su muerte, se encontraron órdenes escritas de
transportar grandes grupos de europeos a Asia y viceversa.
Alejandro murió el año 323 a. C., antes de terminar su capital y cuando estaba
todavía ocupado en sus conquistas. Después de su muerte, sus generales se
enfrentaron entre sí para conseguir el poder. Tras varias décadas de
inestabilidad política, el imperio se descompuso en tres partes independientes.
La parte europea constituyó el imperio Antigónido (del general griego
Antigono); la parte asiática, el imperio Seléucida (por el general Seleuco), y
Egipto, gobernado por la dinastía griega Ptolemaica se convirtió en el tercer
imperio. Antigonia, Grecia y Macedonia fueron cayendo de forma gradual bajo la
dominación romana y su importancia, en lo que concierne al desarrollo de la
matemática, llegó a ser insignificante. La matemática desarrollada en el
imperio Seléucida fue principalmente una continuación de la matemática
babilónica, completamente influida por los acontecimientos que estamos
considerando. Las creaciones más importantes que continuaban el período clásico
griego tuvieron lugar en el imperio Ptolemaico, principalmente en Alejandría.
El hecho de que el imperio Ptolemaico se convirtiera en el heredero matemático
de la Grecia clásica no fue accidental. Los reyes del imperio fueron griegos
sabios y continuaron el plan de Alejandro de construir un centro cultural en
Alejandría. Ptolomeo Soter, que reinó del 323 a. C. al 285 a. C., sus
inmediatos sucesores, Ptolomeo II, llamado Liladelfo, que reinó del 285 a. C.
al 247 a. C., y Ptolomeo Euergetes, que lo hizo del 247 a. C. al 222 a. C.
estaban muy bien enterados de la importancia cultural de las grandes escuelas
griegas tales como las de Pitágoras, Platón y Aristóteles. Estos gobernantes
llevaron a Alejandría estudiosos de todos los centros de cultura existentes y
los mantuvieron mediante ayudas estatales. Alrededor del año 290 a. C.,
Ptolomeo Soter construyó un centro en el cual los sabios estudiarían y
enseñarían. Este edificio, dedicado a las musas, fue conocido como el Museo y
albergó a poetas, filósofos, filólogos, astrónomos, geógrafos, médicos,
historiadores, artistas y la mayoría de los matemáticos famosos de la
civilización greco-alejandrina.
Junto al Museo, Ptolomeo construyó una biblioteca, no sólo para la conservación
de documentos importantes sino también para uso de todo tipo de público. Esta
famosa biblioteca llegó a tener 750.000 volúmenes a un tiempo, e incluía las
bibliotecas personales de Aristóteles y de su sucesor, Teofrasto. Los libros,
casualmente, eran más fáciles de obtener en Alejandría que en la Grecia clásica
debido a que el papiro egipcio estaba más a mano. De hecho, Alejandría se
convirtió en el centro de fabricación de libros del mundo antiguo.
Los Ptolomeos continuaron también el plan de Alejandro de fomentar una fusión
entre los pueblos, por lo que griegos, persas, judíos, etíopes, árabes,
romanos, hindúes y negros se desplazaron a Alejandría sin encontrar obstáculos
y se confundieron libremente en la ciudad. Aristócratas, ciudadanos y esclavos
convivieron entre sí y, de hecho, las distinciones de clase de la vieja civilización
griega desaparecieron. La civilización de Egipto recibió la influencia de los
conocimientos que llevaron los mercaderes y las expediciones especia les
organizadas por los sabios para aprender más cosas acerca de otras partes del
mundo. En consecuencia, los horizontes intelectuales se ensancharon. Los largos
viajes por mar de los alejandrinos necesitaban un mejor conocimiento de la
geografía, de los métodos de medición del tiempo y de las técnicas de
navegación, mientras que la competencia comercial generó el interés por los
materiales, por el rendimiento de la producción y por el perfeccionamiento de
los especialistas. Artes que habían sido despreciadas en el período clásico
renacieron con nuevos bríos y se crearon escuelas de perfecciona miento. La ciencia
pura siguió cultivándose, pero también hizo su aparición la ciencia aplicada.
Los aparatos mecánicos creados por los alejandrinos resultan sorprendentes
incluso para criterios modernos: bombas para elevar agua desde pozos y
cisternas, poleas mecánicas, cuñas, poleas marinas, sistemas de engranajes, y
un cuentamillas en absoluto diferente de los que se pueden encontrar en un
coche moderno se usaban de manera habitual. La fuerza del vapor se empleaba
para conducir un vehículo a lo largo de las calles de la ciudad durante la
procesión religiosa anual. El agua o el aire calentados mediante el fuego en
vasijas ocultas en los altares del templo se utilizaban para fabricar estatuas
móviles. El público observaba atónito cómo los dioses levantaban sus manos para
bendecir a los fieles, dioses derramando lágrimas y estatuas lanzando bocanadas
de agua. La fuerza del agua accionaba un órgano musical y trazaba figuras
automáticamente en una fuente mientras el aire comprimido se usaba para hacer
funcionar un cañón. Con objeto de mejorar las mediciones astronómicas se
inventaron nuevos instrumentos mecánicos, incluido un reloj de sol muy
perfeccionado.
Los alejandrinos tenían un conocimiento avanzado de fenómenos tales como el
sonido y la luz. Conocían la ley de la reflexión y tenían un conocimiento
empírico de la ley de la refracción (cap. 7, sec. 7), conocimientos que
aplicaron a la construcción de espejos y lentes. Durante este período tuvo
lugar la aparición por primera vez de un trabajo de metalurgia, que llevaba consigo
una carga mucho mayor de química que los pocos hechos que conocían los antiguos
sabios egipcios y griegos. Los venenos fueron una especialidad. La medicina
floreció, debido en parte a que la disección del cuerpo humano, prohibida en la
Grecia antigua, estaba permitida ahora, y el arte de la curación alcanzó su
cumbre con la obra de Galeno (129-c. 201), quien, no obstante, vivió
principalmente en Pérgamo y Roma. La Hidrostática, la ciencia del equilibrio de
los cuerpos sumergidos en fluidos fue investigada con intensidad y,
naturalmente, fundamentada de manera sistemática. El mayor de sus logros
científicos fue la primera teoría astronómica verdaderamente cuantitativa (cap.
7, sec. 4).
2. El carácter de la matemática greco-alejandrina
El trabajo de los sabios en el Museo estaba dividido en cuatro secciones:
literatura, matemáticas, astronomía y medicina. Puesto que dos de ellas eran
esencialmente matemáticas y la medicina, a través de la astrología, precisa de
algunas matemáticas, vemos que éstas ocupaban un lugar preponderante en el
mundo alejandrino. Las características de la matemática estuvieron muy
influidas por las nuevas civilización y cultura. Pese a lo que puedan decir los
matemáticos acerca de la pureza de sus temas y su indiferencia en lo que se
refiere a, y una elevación respecto de, su entorno social, la nueva
civilización helenística produjo una matemática de características
completamente diferentes de las del período clásico.
Naturalmente, Euclides y Apolonio fueron alejandrinos; pero, como ya hemos
observado, Euclides organizó el trabajo del período clásico, y Apolonio es
excepcional, ya que también organizó y extendió la matemática griega clásica
—pese a que en su astronomía y sus trabajos sobre los números irracionales (que
presentaremos en posteriores capítulos), estuvo influido a veces por la cultura
alejandrina. Con toda seguridad, los restantes grandes matemáticos
alejandrinos, Arquímedes, Eratóstenes, Hiparco, Nicomedes, Herón, Menelao,
Ptolomeo, Diofanto y Pappus desplegaron el genio griego para la matemática
teórica y abstracta, pero con notables diferencias. La geometría alejandrina se
dedicaba principalmente a la obtención de resultados útiles para el cálculo de
longitudes, áreas y volúmenes. Ciertamente, algunos de estos teoremas aparecen
también en los Elementos de Euclides. Por ejemplo, la
proposición 10 del libro XII señala que todo cono es la tercera parte del
cilindro que tiene su misma base e igual altura. Por tanto, si se conoce el
volumen de un cilindro se puede saber el de un cono. Sin embargo, tales
teoremas son relativamente escasos en Euclides, mientras que ocupan la mayor
parte de la atención de los geómetras alejandrinos. Así, mientras Euclides se
contentaba con probar que la razón de las áreas de dos círculos es igual a la
de los cuadrados de sus diámetros respectivos —lo que nos permite saber que el
área es A = k × d2, pero
sin un valor de k— Arquímedes obtuvo una aproximación muy exacta
del número π, con lo que se podían calcular las áreas circulares.
Además, los griegos clásicos, debido a que no tomaban en consideración los
números irracionales, produjeron una geometría estricta mente cualitativa. Los
alejandrinos, de acuerdo con la práctica de los babilonios, no dudaron en usar
los irracionales y asignar libremente números a longitudes, áreas y volúmenes.
La culminación de estos trabajos fue el desarrollo de la trigonometría.
Incluso más significativo fue el hecho de que los alejandrinos resucitaron y
extendieron la aritmética y el álgebra, que se convirtieron en temas de pleno
derecho. Este desarrollo de la ciencia de los números era, por supuesto,
imprescindible si se pretendía obtener un conocimiento cuantitativo tanto de
los resultados geométricos como del uso directo del álgebra.
Los matemáticos alejandrinos tomaron parte activa en trabajos de mecánica.
Calculaban centros de gravedad de cuerpos de distintas formas; trabajaban con
fuerzas, planos inclinados, poleas y engranajes, y a menudo se convertían en
inventores. Eran también los principales contribuidores de su época en trabajos
sobre la luz, geografía matemática y astronomía.
En el período clásico la matemática abarcaba la aritmética (sólo de los números
enteros), la geometría, la música y la astronomía. El panorama de la matemática
sufrió una gran expansión en el período alejandrino. Proclo, que importó
material procedente de Gémino de Rodas (siglo I a. C.) cita la última división
de las matemáticas (segura mente en la época de Gémino): aritmética (nuestra
teoría de números), geometría, mecánica, astronomía, óptica, geodesia, canon
(ciencia de la armonía musical) y logística (aritmética aplicada). De acuerdo con
Proclo, Gémino dice: «La totalidad de la matemática estaba dividida en dos
grandes apartados con las siguientes distinciones: una parte relativa a los
conceptos intelectuales propios y otra a los conceptos materiales.» La
aritmética y la geometría eran intelectuales. La parte restante era material.
No obstante, esta distinción fue disminuyendo progresivamente, pero a finales
del siglo I a. C. todavía era significativa. Podemos decir, en una
generalización poco rigurosa, que las matemáticas del período alejandrino
cortaron su relación con la filosofía y se aliaron con la ingeniería.
Trataremos en primer lugar de los trabajos alejandrinos sobre geometría y
trigonometría. En el capítulo siguiente discutiremos la aritmética y el
álgebra.
3. Áreas y volúmenes en los trabajos de Arquímedes
No hay ninguna persona cuyos trabajos sinteticen el carácter de la edad
alejandrina tan bien como Arquímedes (287-212 a. C.), el mayor matemático de la
antigüedad. Hijo de un astrónomo, había nacido en Siracusa, un asentamiento
griego en Sicilia. En su juventud fue a Alejandría, donde recibió su educación.
Pese a que regresó a Siracusa y pasó allí el resto de su vida, estuvo en
contacto con Alejandría. Era muy conocido en el mundo griego y fue muy admirado
y respetado por sus contemporáneos.
Arquímedes estaba en posesión de una inteligencia sublime, una gran amplitud de
intereses —tanto prácticos como teóricos— y una excelente habilidad mecánica.
Sus trabajos en matemáticas incluyen el cálculo de áreas y volúmenes por el
método de aproximaciones sucesivas, el cálculo del número π (en el transcurso
del cual aproximó raíces cuadradas de números grandes y pequeños), y un sistema
nuevo para representar números grandes en el lenguaje oral. En mecánica calculó
los centros de gravedad de varias figuras planas y sólidas y dio teoremas sobre
la palanca. La parte de la hidrostática que trata del equilibrio de los cuerpos
que flotan en el agua fue creada por él. También tiene fama de haber sido un
buen astrónomo.
Sus descubrimientos rebasaron en tal medida la técnica de su tiempo que a su
alrededor surgieron un sinfín de historias y leyendas. En realidad, en la
estima popular sus inventos oscurecieron sus matemáticas, pese a que puede
situarse con Newton y Gauss como uno de los tres más grandes en este campo. En
su juventud construyó un planetario, un mecanismo que funcionaba gracias a la
potencia del agua y que reproducía los movimientos del Sol, la Luna y los
planetas. Ideó una bomba (la hélice de Arquímedes) para elevar agua desde un
río; mostró cómo usar la palanca para mover grandes pesos; utilizó poleas
compuestas para botar una galera para el rey Hierón de Siracusa, e inventó
ingenios militares y catapultas para proteger Siracusa cuando fue atacada por
los romanos. Aprovechando las propiedades focales de un espejo en forma de
paraboloide, incendió las naves romanas que sitiaban Siracusa concentrando
sobre ellas los rayos solares.
Seguramente la historia más famosa sobre Arquímedes sea su descubrimiento del
método para determinar la falsificación de una corona de oro. El rey de
Siracusa había encargado la corona. Cuando se la entregaron sospechó que en su
interior no habían colocado metales nobles y la hizo llegar a Arquímedes para
que encontrara algún procedimiento que permitiera determinar su contenido sin
que, por supuesto, hubiera que destruir la pieza. Arquímedes se planteó el
problema; un día, mientras se estaba bañando observó que su cuerpo sufría un
empuje hacia arriba producido por el agua y de repente comprendió el principio
que le iba a permitir dar una solución al problema. Estaba tan excitado por su
descubrimiento que iba dando saltos por la calle gritando «¡Eureka!» («¡lo
he encontrado!»). Había descubierto que un cuerpo sumergido en el agua
sufre un empuje vertical hacia arriba con una fuerza igual al peso del agua
desalojada, y mediante este principio fue capaz de determinar la composición de
la corona (ver cap. 7, sec. 6).
Pese a que Arquímedes era notablemente ingenioso y un inventor de fama,
Plutarco dice que estos inventos no eran más que «la diversión del geómetra».
Según Plutarco, Arquímedes «estaba en posesión de un espíritu tan alto, un alma
tan profunda y una riqueza tal de conocimientos científicos que, a pesar de que
estos inventos le habían proporcionado la celebridad de tener más que sabiduría
humana, no dejaría tras él ningún trabajo escrito sobre tales cuestiones, sino
que, considerando como innobles y viles los trabajos mecánicos y todo tipo de
arte que se puede usar y aprovechar directamente, centró su mayor ambición en
aquellas especulaciones cuya belleza y sutileza no añaden nada a las
necesidades habituales de la vida». Sin embargo, la importancia de Plutarco
como relator de historias es mucho mayor que como historiador. Arquímedes
escribió libros sobre mecánica entre los que tenemos el que se titula Sobre
la flotación de los cuerpos y otro, Sobre el equilibrio de
planos; otros dos, Sobre palancas y Sobre
centros de gravedad se han perdido. Escribió también un trabajo sobre
óptica que ha desaparecido y trataba de sus descubrimientos; aunque el trabajo
se ha perdido se sabe con certeza que escribió Sobre la estructura de
la esfera, que describe un invento que muestra los movimientos del Sol, la
Luna y los cinco planetas alrededor de la Tierra (fija).
La muerte de Arquímedes fue un presagio de lo que iba a suceder en todo el
mundo griego. El año 216 a. C. Siracusa se alió con Cartago en la segunda
guerra Púnica entre esa ciudad y Roma. Los romanos atacaron Siracusa el año 212
a. C. Mientras estaba dibujando figuras matemáticas en la arena, uno de los
soldados romanos que acababan de tomar la ciudad dio el alto a Arquímedes. El
caso es que Arquímedes se sintió confuso aunque se hizo el sordo ante el aviso
del soldado romano. Tras esto, el soldado lo mató, a pesar de la orden del
comandante romano, Marcelo, de que se le respetase la vida. Tenía entonces
setenta y cinco años y estaba todavía en perfecta posesión de todas sus
facultades. A modo de «compensación», los romanos construyeron una tumba muy
historiada sobre la cual inscribieron un famoso teorema arquimediano.
Los escritos de Arquímedes toman la forma de pequeños tratados en vez de
grandes libros. Nuestro conocimiento de estos trabajos viene de los manuscritos
griegos existentes y de los manuscritos latinos traducidos del griego del siglo
XIII en adelante. Alguna de las versiones latinas se hicieron a partir de
manuscritos griegos asequibles a los traductores, pero no para nosotros. En
1543 Tartaglia hizo una traducción al latín de algunos trabajos de Arquímedes.
Los trabajos geométricos de Arquímedes representan el cénit de la matemática
greco-alejandrina. En sus razonamientos matemáticos, Arquímedes usa teoremas de
Euclides y Aristeo, así como otros resultados que él dice que son evidentes, es
decir, pueden probarse fácilmente a partir de resultados conocidos. Sus
demostraciones están perfectamente razonadas pero no resultan fáciles para
nosotros ya que no estamos familiarizados con muchos de los métodos y
resultados de los geómetras griegos.
En su trabajo Sobre la esfera y el cilindro Arquímedes
comienza con definiciones e hipótesis. La primera hipótesis o axioma es que de
entre todas las líneas (curvas) que tienen los mismos extremos la línea recta
es la más corta. Otros axiomas se refieren a longitudes de curvas cóncavas y
superficies. Por ejemplo, ADB (fig. 5.1) se supone que es
menor que ACB.
Figura 5.1
Estos axiomas conducen a Arquímedes a comparar perímetros de
polígonos inscritos y circunscritos con el perímetro del círculo.
Después de algunas proposiciones preliminares, en el libro I prueba:
Proposición 13. La superficie de cualquier cilindro circular recto
sin incluir las bases es igual a [el área de] un círculo cuya base es media
proporcional entre el lado [una generatriz] y el diámetro de su base.
Esto viene seguido de varios teoremas relativos al volumen de conos. De gran
interés son:
Proposición 33. La superficie de cualquier esfera es cuatro veces
el [área de] uno de sus círculos máximos.
Corolario a la proposición 34. Todo cilindro cuya base es un círculo máximo de
una esfera y cuya altura es igual al diámetro de la esfera es 3/2 de [el
volumen de] la esfera, y su superficie junto con sus bases es 3/2 de la
superficie de la esfera.
Es decir, compara el área de la superficie y el volumen de una esfera con un
cilindro circunscrito a la misma. Este es el famoso teorema que, de acuerdo con
los deseos de Arquímedes, se inscribió sobre su lápida.
Prueba después en las proposiciones 42 y 43 que la superficie del segmento
esférico ALMNP es el área de un círculo cuyo radio es AL (fig.
5.2).
Figura 5.2
El segmento puede ser menor o mayor que una semiesfera. El
teorema del área de la superficie y el volumen se prueba por el método de las
aproximaciones sucesivas. Arquímedes utiliza figuras rectilíneas inscritas y
circunscritas para «agotar» el área o el volumen y entonces, igual que
Euclides, usa el método indirecto de demostración para completar el argumento.
Algunos teoremas del segundo libro de Sobre la Esfera y el Cilindro que
se refieren sobre todo a segmentos esféricos son significativos, pues contienen
una nueva álgebra geométrica. Por ejemplo, enuncia:
Proposición 4. Cortar una esfera con un plano de manera que los
volúmenes de los segmentos obtenidos estén en una razón dada.
Este problema lleva algebraicamente a la resolución de la ecuación cúbica:
(a - x) : c = b2 :
x2
y Arquímedes la resuelve geométricamente hallando la
intersección de una parábola y una hipérbola rectangular.
El trabajo Sobre Conoides y Esferoides estudia propiedades de
figuras de revolución generadas por cónicas. El conoide de ángulo recto de
Arquímedes es un paraboloide de revolución. (En tiempos de Arquímedes se
consideraba todavía la parábola como una sección de un cono de ángulo recto.)
El conoide de ángulo obtuso es una rama de un hiperboloide de revolución. Los
esferoides de Arquímedes son lo que llamamos esferoides achatado y oblongo, que
son figuras de revolución generadas por elipses. El objetivo principal del
trabajo es la determinación de volúmenes de segmentos obtenidos al cortar
cuerpos tridimensionales con planos. El libro contiene también algún trabajo de
Arquímedes acerca de las secciones cónicas, ya citado al hablar de Apolonio.
Como en otros trabajos, presupone teoremas que considera probados con facilidad
o que pueden probarse con procedimientos usados con anterioridad. Varias de las
demostraciones utilizan el método de las aproximaciones sucesivas. Algunos
ejemplos de los contenidos pueden hallarse en las siguientes proposiciones:
Proposición 5. Si AA' y BB' son
los ejes mayor y menor de una elipse y si d es el diámetro de
cualquier círculo, el área de la elipse es al área del círculo como AA'
× BB' es a d2.
El teorema dice que si 2a es el eje mayor y 2b, el eje
menor y s y s' son las áreas de la elipse y
el círculo respectivamente, entonces s/s' = Aab/d2, ya
que s' = (π/4)d2, s = πab.
Proposición 7. Dadas una elipse de centro C y una línea CO
perpendicular al plano de la elipse es posible encontrar un cono circular de
vértice O de manera que la elipse es una sección del mismo.
Claramente, Arquímedes da por cierto que algunas, al menos, de las distintas
secciones cónicas pueden obtenerse de un mismo cono, hecho utilizado ya por
Apolonio.
Proposición 11. Si un paraboloide de revolución se corta por un
plano que contiene al eje [de revolución], o es paralelo al mismo, la sección
será una parábola igual a la parábola original que genera el paraboloide... Si
se corta el paraboloide por un plano perpendicular a su eje la sección será un
círculo cuyo centro está en el eje.
Hay resultados análogos para el hiperboloide y el esferoide.
Entre los resultados principales del trabajo está la
Proposición 21. [El volumen de] cualquier segmento de un
paraboloide de revolución es igual a la mitad del cono o segmento de un cono
que tiene la misma base y el mismo eje.
La base es el área (fig. 5.3) de la figura plana, elipse o círculo, que se
obtiene cortando el paraboloide por el plano que determina el segmento.
Figura 5.3
La sección parabólica BAC y BC en
la base son cortes mediante un plano que contiene al eje del paraboloide y es
perpendicular al plano original. EF es la tangente a la
parábola y por tanto, paralela a BC, y A es
el punto de tangencia. AD, dibujado paralelo al eje del
paraboloide, es el eje del segmento. Se puede demostrar que D es
el punto medio de CB. Asimismo, si la base es una elipse,
entonces CB es su eje mayor; si la base es un círculo,
entonces CB es su diámetro. El cono tiene la misma base que el
segmento, vértice A y eje AD.Proposición 24. Si
a partir de un paraboloide de revolución se obtienen dos segmentos al cortar
por dos planos cualesquiera, los volúmenes de los segmentos
estarán en la misma razón que los cuadrados de los ejes respectivos.
Figura 5.4
Para ilustrar el teorema, supongamos que los planos son
perpendiculares al eje del paraboloide (fig. 5.4); entonces los dos volúmenes
son uno al otro como AN2es a AN'2. Hay
teoremas semejantes para segmentos de hiperboloides y esferoides.
Uno de los trabajos más novedosos de Arquímedes es un corto tratado conocido
como El Método, en el cual muestra cómo usó ideas procedentes
de la mecánica para obtener teoremas matemáticos correctos. Este trabajo no fue
descubierto hasta el año 1906 en una biblioteca de Constantinopla. El
manuscrito está escrito durante el siglo X en un pergamino que contiene otros
trabajos de Arquímedes ya conocidos por otros caminos.
Figura 5.5
Arquímedes ilustra su método de descubrimiento con el problema
de encontrar el área de un segmento parabólico CBA (fig. 5.5).
En el argumento, básicamente físico, usa teoremas sobre centros de gravedad ya
establecidos por él.
ABC (fig. 5.5) es un segmento arbitrario de una parábola limitado
por la línea recta AB y el arco ABC. Sean CE, la
tangente a la parábola en C; D, el punto medio de CA, y DBE el
diámetro que contiene a D (línea paralela al eje de la
parábola). Entonces Arquímedes afirma, tomando como referencia las Cónicas de
Euclides, que
EB = BD, (1)
a pesar de que no se conoce la demostración de Euclides de este
hecho. Se traza ahora el segmento AF paralelo a ED y
sea K el punto de intersección de CB con AF. Determinamos
el punto H en CK de manera que CK =
KH y además, sea MNPO un diámetro arbitrario de la
parábola. Se tiene ahora, en virtud de (1) y el uso de triángulos semejantes,
que MN = NO.
Arquímedes compara ahora el área del segmento y el área del triángulo CFA.Contempla
la primera área como la suma de segmentos lineales tales como PO y
el área del triángulo como la reunión de segmentos tales como MO. Prueba
entonces que
HKOP = KN × MO.
Desde el punto de vista físico esto significa que si
consideramos KH y KN como los brazos de una
palanca con el punto de apoyo en K, entonces OP considerado
como un peso situado en H compensaría el peso MO situado
en N. En consecuencia, colocando la suma de todos los
segmentos lineales tales como POen el punto H se
compensará la suma de todos los segmentos lineales tales como MO, concentrado
cada uno de ellos en su punto medio, que es el centro de gravedad de un
segmento lineal. Pero la colección de segmentos MO, situado
cada uno de ellos en su centro de gravedad, es «equivalente» al triángulo CAFsituado
en su centro de gravedad. En su libro Sobre el Equilibrio de Planos,Arquímedes
prueba que este centro es el punto X situado en CK con KX
=(1/3)CK. Por la ley de la palanca, KX × (área
del triángulo CFA) = HK × (área del segmento
parabólico), o bien
Arquímedes deseaba relacionar el área del segmento con la del
triángulo ABC.Concluye que (el área de) este triángulo es igual a
la mitad de la del triángulo CKA puesto que ambos tienen la
misma base CA y la altura de uno es la mitad de la altura del
otro, como puede comprobarse con facilidad. Además, el triángulo CAK tiene
un área igual a la mitad de la del triángulo CFA (ya que KA es
la mitad del segmento FA). Luego el triángulo ABC tiene
área igual a un cuarto del triángulo CFA y, por (2), se
obtiene que el área del segmento ABC es al área del
triángulo ABC como 4 es a 3.
En este método mecánico Arquímedes toma las áreas del segmento parabólico y del
triángulo CFA como sumas de cantidades infinitas de segmentos
lineales. Este método, en su opinión, lo es de descubrimiento, pero no de
demostración geométrica rigurosa. Prueba en este tratado que el uso de este
procedimiento resulta eficaz a la hora de descubrir nuevos teoremas sobre
esferas, cilindros, esferoides y paraboloides de revolución.
En su libro Cuadratura de la Parábola, Arquímedes da dos
métodos para hallar el área de un segmento parabólico. El primero de ellos es
semejante al argumento mecánico que acabamos de examinar y en el que de nuevo
se compensan áreas mediante el principio de la palanca, pero su elección de las
áreas es diferente. Su conclusión, naturalmente, coincide con (2) y se da en la
proposición 16. Ahora, Arquímedes sabe el resultado que quiere probar y se
dispone a hacerlo con rigor matemático a través de una sucesión de teoremas
(proposiciones 18-24).
Figura 5.6
El primer paso es probar que el segmento parabólico puede
«agotarse» mediante una serie de triángulos. Sea QPq (fig. 5.6a)
el segmento parabólico y sea PV el diámetro que corta en dos
partes iguales todas las cuerdas paralelas a la base Qqdel segmento
y de manera que V es el punto medio de Qq. Es
intuitivamente claro, y se demuestra en la proposición 18, que la
tangente en P es paralela a Qq. A
continuación se toman QR y qS paralelos
a PV y entonces el triángulo QPq es la mitad
del paralelogramo QRSq, y así el triángulo QPq es
mayor que la mitad del segmento parabólico.
Como corolario de este resultado, Arquímedes demuestra que el segmento
parabólico se puede aproximar mediante un polígono tan cercano al mismo como se
quiera, pues al construir un triángulo en el segmento limitado por PQ (fig.
5.6b), en el que P1V1 es el
diámetro de ese segmento, se puede probar por métodos elementales de geometría
(proposición 21) que (el área de) el triángulo PP1'q, construido
sobre Pq y que tiene las mismas propiedades que el
triángulo PP1Q, suman juntos 1/4 del
triángulo PQq', además, en virtud del resultado del parágrafo
anterior, los dos triángulos menores cubren más de la mitad de cada uno de los
segmentos parabólicos en los que están situados.
El proceso de construir triángulos sobre las nuevas cuerdas QP1, P1P,
PP1' y P1'qpuede continuarse. Esta
parte de la demostración es completamente análoga a la parte correspondiente en
el teorema de Euclides sobre las áreas de dos círculos.
Así pues, tenemos condiciones suficientes para aplicar la proposición 1 del
libro X de los Elementos de Euclides; es decir, podemos
afirmar que el área de la figura poligonal obtenida al añadir triángulos al
triángulo original PQq, es decir, el área
Δ PQq + (1/4)Δ PQq +
(1/16)Δ PQq + ... (3)
con una cantidad finita de términos se aproxima
al segmento parabólico tanto como se quiera; esto es, la diferencia entre el
área del segmento y la suma finita (3) puede hacerse menor que cualquier
cantidad fijada previamente.
Arquímedes aplica ahora el método indirecto de demostración, que completa la
prueba por el procedimiento de aproximaciones sucesivas. Demuestra en primer
lugar que dados n términos de una progresión geométrica cuya
razón es 1/4, se tiene
A1 + A2 +... + An +
(1/3 )An = 4/3 A1 (4)
Esto puede probarse con facilidad de varias maneras; podemos
hacer lo con nuestra fórmula para la suma de n términos de una
progresión geométrica. En la aplicación de (4), A1 es
el triángulo PQq.
Prueba entonces Arquímedes que el área A del segmento
parabólico no puede ser ni mayor ni menor que (4/3)A1. Su
demostración consiste simplemente en que si el área A es mayor
que (4/3)A1 obtendría un conjunto (finito) de triángulos
cuya suma S diferiría del área del segmento en una cantidad
menor que cualquier magnitud dada, por lo que la suma S sería
mayor que (4/3)A1. Así,
A > S > (4/3)A1
Pero por (4) si S contiene m términos,
entonces
S + (1/3)Am = (4/3 )A1
o bien
S < (4/3)A1
lo que es contradictorio.
Análogamente, supongamos que el área A del segmento parabólico
es menor que (4/3)A1. Entonces (4/3)A1 - A es
un número positivo. Como los triángulos trazados por Arquímedes son cada vez
más pequeños, podemos obtener una sucesión de triángulos inscritos tales que
(4/3)A1 - A > Am (5)
donde Am es el término m-ésimo de la
sucesión y representa geométricamente la suma de 2m-1 triángulos.
Pero como consecuencia de (4):
A1 + A2 +... + Am + 1/3Am = 4/3 A1 (6)
entonces
4/3A1 — (A1 + A2 + ...
+ Am) = 1/3Am
o bien
4/3A1 - (A1 + A2 + ...
+ Am) < Am (7)
Se sigue de (5) y (7) que
A1 + A2 +... + Am > A (8)
Pero toda suma formada por triángulos inscritos es siempre menor
que el área del segmento. Luego (8) es imposible.
Evidentemente, Arquímedes había sumado una progresión geométrica infinita, ya
que cuando n tiene a infinito en (4), An tiende
a cero, y la suma de la progresión infinita es (4/3)A1.
Los trabajos de Arquímedes sobre los métodos mecánico y matemático de cálculo
del área de un segmento parabólico ponen de manifiesto cómo distinguía con
claridad entre los razonamientos físico y matemático. Su rigor es muy superior
al que se puede encontrar en los trabajos de Newton y Leibniz.
Figura 5.7
En el trabajo Sobre Espirales, Arquímedes
define la espiral como sigue: imaginemos que una línea (rayo) gira con
velocidad angular constante alrededor de un extremo permaneciendo siempre en un
mismo plano, y un punto que, comenzando por el extremo fijo, se mueve a lo
largo de la línea con velocidad constante; entonces el punto describirá una
espiral. En nuestras coordenadas polares la ecuación de la espiral es ρ = aθ. Tal
como se ha dibujado la curva en la figura 5.7, ρ se ha tomado en el sentido de
las agujas del reloj. El resultado más profundo del trabajo es la
Proposición 24. El área limitada por la primera vuelta de la
espiral y la línea inicial [el área sombreada en la figura] es igual a un
tercio del primer círculo.
El primer círculo es el círculo de radio OA, que es igual a 2πa, por
lo que el área sombreada es π(2πa)2/3.
La demostración se hace por el método de exhausción. En teoremas precedentes,
en los que se preparan los instrumentos de demostración, el área de una región
limitada por un arco de espiral, el arco BPQRC de la figura
5.8, y por dos radios vectores OB y OC está
contenida entre dos conjuntos de sectores circulares: así Bp', Pq', Qr',...
son arcos de círculos centrados en O y análogamente Pb, Qp,
Rqson también arcos de círculos con centro en O. Los sectores
circulares del conjunto inscrito son OBp', OPq', Oqr',..., y los
sectores circulares del conjunto circunscrito son OPb, OQp, ORq,...
Es decir, los sectores circulares sustituyen a los polígonos inscritos y
circunscritos como figuras aproximadoras en el método de exhausción. (Nosotros
utilizamos tales figuras en el cálculo cuando determinamos áreas en coordenadas
polares.)
Figura 5.8
La novedad de esta aplicación del método de las aproximaciones
sucesivas es que Arquímedes elige sectores cada vez más pequeños de manera que
la diferencia entre el área limitada por el arco de espiral y la suma de las
áreas de la cantidad finita de sectores circulares «inscritos» (y la suma de
las áreas de la cantidad finita de sectores circulares «circunscritos») se
puede hacer menor que cualquier magnitud dada. Esta manera de aproximar el área
no es la misma que «agotando» la misma añadiendo cada vez más figuras lineales.
Sin embargo, en la última parte de la demostración Arquímedes utiliza el método
indirecto de demostración igual que lo hace en el trabajo sobre la parábola y
como lo hace Euclides en sus demostraciones por el método de las aproximaciones
sucesivas. No hay ningún límite explícito en este proceso.
Arquímedes da también el resultado para el área limitada por el arco de espiral
una vez que el radio vector ha dado dos vueltas completas alrededor de O; hay
también otros resultados relacionados con áreas. Casualmente, matemáticos
posteriores usaron la espiral para trisecar un ángulo y de hecho para dividir
un ángulo en cualquier número de partes iguales.
Da la sensación de que, tras un estudio de sus trabajos geométricos, Arquímedes
se dedicó exclusivamente en este campo a la obtención de resultados útiles
sobre áreas y volúmenes. Estos trabajos, y sus trabajos matemáticos en general,
no son espectaculares en cuanto a conclusiones, ni especialmente nuevos en
cuanto a métodos o temas, pero aborda problemas muy difíciles y originales.
Dice a menudo que las sugerencias de los problemas vienen de la lectura de los
trabajos de sus predecesores; por ejemplo, los trabajos de Eudoxo sobre la
pirámide, el cono y el cilindro (que aparecen en los Elementos de
Euclides) sugirieron a Arquímedes su trabajo sobre la esfera y el cilindro, y
la cuestión de la cuadratura del círculo sugirió la cuadratura del segmento
parabólico. El trabajo de Arquímedes sobre hidrostática, no obstante, es
completamente innovador; y sus trabajos sobre mecánica son nuevos en tanto que
da demostraciones matemáticas (cap. 7, sec. 6). Su escritura es elegante,
ordenada, acabada y a punto.
4. Áreas y volúmenes en los trabajos de Herón
Herón, que vivió en algún momento entre los años 100 a. C. y 100 d. C., es de
gran interés no sólo desde el punto de vista de la historia de las matemáticas,
sino también para mostrar las características del período alejandrino. Proclo
se refiere a Herón como mecánico, lo que podría significar un ingeniero mecánico
de hoy y habla de él en conexión con Ctesibio, su maestro. Herón fue también un
gran agrimensor.
Lo que más llama la atención de los trabajos de Herón es su mezcla de rigor
matemático y lo aproximado de los métodos y fórmulas de los egipcios. Por otra
parte, escribió un comentario sobre Euclides, usó los resultados precisos de
Arquímedes (a los que se refiere con frecuencia), y en trabajos originales
probó algunos teoremas nuevos de la geometría euclídea. Por otra parte, se
dedicó a la geometría aplicada y la mecánica y dio todo tipo de resultados
aproximados sin justificación. Uso fórmulas egipcias con libertad y gran parte
de su geometría fue también egipcia en cuanto a su carácter.
En sus Métrica y Geométrica, que han llegado hasta
nosotros solamente a través de un libro que trata sobre su trabajo, Herón da
teoremas y reglas para áreas planas, áreas de superficies y volúmenes de gran
número de figuras. Los teoremas de estos libros no son nuevos. Para figuras con
bordes curvilíneos utiliza los resultados de Arquímedes. Además, escribió Geodesia y Estereométrica(cálculo
de volúmenes de figuras), los cuales se refieren a las mismas cuestiones de los
dos primeros libros. En todos estos trabajos está interesado principalmente en
resultados numéricos.
En su Dioptra (teodolito), un tratado de geodesia, Herón
muestra cómo calcular la distancia entre dos puntos de los que sólo uno es
accesible y entre dos puntos visibles pero no accesibles. Muestra también cómo
trazar una perpendicular desde un punto a una línea que no se puede alcanzar y
cómo hallar el área de un campo sin entrar en él. La fórmula para el área de un
triángulo, atribuida a él pese a ser debida a Arquímedes, es decir
donde a, b y c son los lados y s el
semiperímetro, ilustra las ideas mencionadas con anterioridad. Esta fórmula
aparece en la Geodesia, y la fórmula con una demostración está
tanto en la Dioptra como en la Métrica. En
la Dioptra muestra cómo excavar un túnel recto bajo una
montaña trabajando simultáneamente desde ambos extremos.
Aunque algunas de sus fórmulas están demostradas, Herón da varias sin
demostración y otras son aproximadas. Así, da una fórmula inexacta para el área
de un triángulo junto con la anterior correcta. Un motivo por el que Herón da
varias fórmulas egipcias puede ser que las fórmulas exactas precisan raíces
cuadradas o cúbicas y los agrimensores no ejecutaban tales operaciones. De
hecho se distinguía entre geometría pura y geodesia o métrica. El cálculo de
áreas y volúmenes pertenecía a la geodesia y no formaba parte de una educación
general; estaba reservado a agrimensores, albañiles, carpinteros y otros
técnicos. No hay ninguna duda de que Herón continuó y enriqueció la ciencia
egipcia de la medida de campos; sus escritos sobre geodesia fueron utilizados
durante varios siglos.
Herón aplicó varios de sus teoremas y reglas al diseño de teatros, salas para
banquetes y baños. Sus trabajos de aplicación incluyen Mecánica, La
Construcción de Catapultas, Mediciones, El Diseño de armas, Neumática (la
teoría y uso del aire comprimido), y Sobre el Arte de Construcción de
Autómatas. Dio diseños para relojes de agua, instrumentos de medida,
máquinas automáticas, máquinas elevadoras de pesos e ingenios de guerra.
5. Algunas curvas excepcionales
Pese a que los griegos clásicos introdujeron y estudiaron algunas curvas poco
corrientes, como las cuadratrices, la máxima atención de esa geometría estuvo
dedicada a figuras que podían dibujarse con regla y compás y relegó aquellas
curvas al olvido. Los alejandrinos, sin embargo, se sintieron liberados de tal
restricción; así Arquímedes no dudó en introducir la espiral. Varias curvas más
fueron introducidas durante el período alejandrino.
Figura 5.9
Nicomedes (sobre el 200 a. C.) es conocido por su definición de
la concoide. Comienza con un punto P y una línea AB (fig.
5.9); elige entonces una longitud ay coloca en todos los rayos que
parten de P y cortan AB la longitud a partiendo
del punto de intersección del rayo con AB, en la dirección que
se aleja de P. Los puntos extremos así determinados son los
puntos de la concoide. Así, los P1, P2 y P3 de
la figura son puntos de la concoide.
Si b es la distancia perpendicular de P a AB y
si las longitudes a se miden a lo largo de los rayos que
parten de P, y comenzando en AB pero en la
dirección de P, obtenemos otras tres curvas según sea a
> b, a = b o a < b. Luego hay cuatro tipos de
concoides, todas ellas debidas a Nicomedes. La ecuación polar moderna es
Nicomedes usó la curva para trisecar un ángulo y duplicar el
cubo[14].
Se atribuye a Nicomedes el invento de un mecanismo para construir las
concoides. La naturaleza del mecanismo es de mucho menos interés que el hecho
de que los matemáticos de la época estuvieran interesados en inventarlo. Las
concoides de Nicomedes, junto con la recta y el círculo son las curvas
constructibles más antiguas de las que poseemos una información satisfactoria.
Figura 5.10
Diocles (final del siglo II a. C.), en su libro Sobre
los Espejos Ustorios resuelve el problema de la duplicación del cubo
introduciendo la curva llamada cisoide. La curva se define como sigue: AB
y CD son diámetros perpendiculares de un círculo (fig. 5.10) y EB
y BZ son arcos iguales. Se traza ZH perpendicular
a CD y se traza entonces ED. La intersección
de ZH y ED determina un punto P de la
cisoide. Para Diocles la cisoide es el lugar geométrico de todos los
puntos P determinados por todas las posiciones de E sobre
el arco BC y Z sobre el arco BD con
(arc BE) =(arc BZ). Se demuestra que
CH : HZ = HZ : HD = HD : HP.
Así HZ y HD son dos medias proporcionales
entre CH y HP. Esto resuelve el problema de Délos. La ecuación
de la cisoide en coordenadas rectangulares es
y2(a + x)
= (a - x)3
donde O es el origen; a el
radio del círculo, y OD y OA los ejes de
coordenadas. Esta ecuación incluye las dos ramas de la curva que se muestran en
la figura, las cuales no fueron consideradas por Diocles.
6. El nacimiento de la trigonometría
Completamente nueva en la geometría cuantitativa griega alejandrina fue la
trigonometría, una creación de Hiparco, Menelao y Ptolomeo. Este trabajo estuvo
motivado por el deseo de construir una astronomía cuantitativa, y sería
utilizada para predecir las trayectorias y posiciones de los cuerpos celestes y
para ayudar a medir el tiempo, el cálculo del calendario, la navegación y la
geografía.
La trigonometría de los griegos alejandrinos es lo que llamamos trigonometría
esférica aunque, como veremos, incluye también las ideas básicas de la
trigonometría plana. La trigonometría esférica presupone la geometría esférica,
como por ejemplo las propiedades de los círculos máximos y los triángulos
esféricos, muchas de las cuales ya eran conocidas; había sido investigada al
mismo tiempo que la astronomía se convirtió en matemática, en los triángulos
esféricos, muchas de las cuales ya eran conocidas; había sido investigada al
mismo tiempo que la astronomía se convirtió en matemática, en los tiempos
posteriores a los Pitagóricos. Los Phaenomena, de Euclides,
basados asimismo en un antiguo trabajo, contienen algo de geometría esférica.
Muchos de sus teoremas pretendían tratar sobre el movimiento aparente de las
estrellas. Teodosio (sobre el 20 a. C.) recopiló los conocimientos aprovechables
de entonces en su Sphericae, pero su trabajo no era numérico y
por tanto no sería de utilidad para abordar el problema fundamental de la
astronomía griega, es decir, medir el tiempo durante la noche mediante la
observación de las estrellas.
El fundador de la trigonometría es Hiparco, que vivió en Rodas y Alejandría y
murió alrededor del año 125 a. C. Conocemos muy poco acerca de él. La mayor
parte de lo que conocemos proviene de Ptolomeo, que atribuye a Hiparco muchas
ideas de trigonometría y astronomía. Le debemos a él varias observaciones
astronómicas y descubrimientos, la teoría astronómica con mayor influencia en
la antigüedad (cap. 7, sec. 4), y trabajos sobre geografía. De todos los
trabajos de Hiparco solamente se ha conservado su Comentario sobre los Phaenomena de
Eudoxo y Aratus. Gémino de Rodas escribió una introducción a la
astronomía, que poseemos, y que contiene una descripción del trabajo de Hiparco
sobre el Sol.
El método de Hiparco de aproximarse a la trigonometría, como lo describió y
utilizó Ptolomeo, es el siguiente. La circunferencia de un círculo se divide en
360°, tal como hizo por primera vez Hypsicles de Alejandría (sobre el 150 a.
C.) en su libro Sobre la Salida de los Astros y por los
babilonios de los últimos siglos antes de Jesucristo, y un diámetro se divide
en 120 partes. Cada parte de la circunferencia y del diámetro se divide a su
vez en 60 partes y cada una de ellas en otras 60, conforme al sistema
babilónico de fracciones sexagesimales. Entonces, para un arco dado AB de
un determinado número de grados, Hiparco — en un libro, perdido actualmente,
sobre cuerdas en un círculo— da el número de unidades en la cuerda
correspondiente AB. El método de cálculo de estas unidades
será descrito en la exposición del trabajo de Ptolomeo, que presenta de manera
combinada sus pensamientos y resultados.
El número de unidades de la cuerda correspondiente a un arco de un determinado
número de grados equivale a la función seno moderna.
Figura 5.11
Si 2α es el ángulo central del arco AB (fig.
5.11), para nosotros sen α = AC/OA, mientras que, en vez de
sen α, Hiparco da el número de unidades en 2 × ACcuando el
radio OA contiene 60 unidades. Por ejemplo, si la cuerda
de 2α es de 40 unidades, para nosotros sen α = 20/60, o, con más
generalidad,
La trigonometría griega alcanzó una alta cota con Menelao (sobre
98 d. C.). Su Sphaerica es su obra capital, aunque parece ser
que también escribió Cuerdas en un Círculo en seis libros y un
tratado sobre la situación (o levantamiento) de arcos del Zodiaco. Los árabes
le atribuyen algunas otras obras.
La Sphaerica, existente en versión árabe, está en tres libros.
En el primero, sobre geometría esférica, se encuentra el concepto de triángulo
esférico, es decir, la figura formada por tres arcos de círculos máximos sobre
una esfera, cada uno de ellos menor que una semicircunferencia. El objetivo del
libro es probar teoremas para triángulos esféricos, análogos a los probados por
Euclides para los triángulos planos. Así, la suma de dos lados de un triángulo
esférico es mayor que el tercer lado y la suma de los ángulos de un triángulo
es mayor que dos ángulos rectos. Lados iguales abarcan ángulos iguales.
Entonces Menelao demuestra el teorema, que no tiene análogo en los triángulos
planos, según el cual si los ángulos de un triángulo esférico coinciden con los
de otro, los dos triángulos son congruentes. Da también otros teoremas de
congruencia y teoremas sobre triángulos isósceles.
El segundo libro de la Sphaerica de Menelao trata fundamental
mente de astronomía y sólo indirectamente se refiere a la geometría esférica.
Figura 5.12
El tercer libro contiene algo de trigonometría esférica y bases
para el desarrollo del primer teorema del libro, el cual supone que tenemos un
triángulo esférico ABC (fig. 5.12) y algún círculo máximo que
corta los lados del triángulo (trazado donde convenga). Para establecer el
teorema usaremos nuestra moderna noción de seno, pero para Menelao el seno de
un arco como AB (o el seno del ángulo central correspondiente
en el centro de la esfera) se sustituye por la cuerda del arco doble AB. En
términos de nuestro seno, el teorema de Menelao afirma que
sen P1A × sen P2B ×
sen P3C = sen P1C
× sen P2A × sen P3B.
La demostración de este teorema se apoya sobre el teorema
correspondiente para triángulos planos, llamado también teorema de Menelao.
Para triángulos planos el teorema establece (fig. 5.13) que
P1A × P2B × P3C = P1C × P2A × P3B.
Menelao no demuestra el teorema plano. Se puede concluir que ya
era conocido o tal vez que Menelao lo había probado en un escrito anterior.
Figura 5.13
El segundo teorema del libro III, con la notación de que el
arco a se opone al ángulo A en el
triángulo ABC, dice que si ABC y A'B'C' son dos
triángulos esféricos y si A= A' y C =C' o Ces suplementario
de C', entonces
El teorema 5 del libro III utiliza una propiedad de los arcos
que era presumiblemente conocida en tiempos de Menelao, que es (fig. 5.14): si
cuatro arcos de círculo máximo parten de un punto O y ABCD
y A'B’C'D’ son círculos máximos que cortan a los cuatro, se tiene:
Encontraremos una expresión correspondiente a cada uno de los
dos miembros reformulada bajo el concepto de razón anarmónica o razón doble en
los trabajos de Pappus y en trabajos posteriores de geometría proyectiva.
Figura 5.14
Se deben a Menelao muchos más teoremas sobre trigonometría
esférica.
El desarrollo de la trigonometría griega y sus aplicaciones a la astronomía
tuvieron su culminación en los trabajos del egipcio Claudio Ptolomeo (muerto el
168 a. C.), que era miembro de la familia real de matemáticos aunque no era de
la casa real de Egipto. Ptolomeo vivió en Alejandría y trabajó en el Museo.
En su Sintaxis Matemática o Colección Matemática (el
trabajo fue titulado por los árabes como Megale Syntaxis, Megiste y
finalmente Almagesto), Ptolomeo continúa y completa los
trabajos de Hiparco y Menelao en trigonometría y astronomía. La trigonometría y
la astronomía están mezcladas en los trece libros del Almagesto, si
bien el libro I trata con amplitud sobre trigonometría esférica y los restantes
se dedican principalmente a la astronomía, de la que hablaremos en el capítulo
7.
El Almagesto de Ptolomeo es esencialmente matemático, salvo en
los lugares en que utiliza la física aristotélica para refutar la hipótesis
heliocéntrica, sugerida por Aristarco. Afirma que, debido a que solamente el
conocimiento matemático, abordado interrogativamente, dará a sus practicantes
un conocimiento fiable, había decidido cultivar tanto como le fuera posible
esta disciplina teórica. Ptolomeo dice también que desea fundamentar su
astronomía «sobre los caminos incontrovertibles de la aritmética y la geometría».
En el capítulo IX del libro I Ptolomeo comienza calculando las cuerdas de los
arcos de un círculo, con lo que extendía los trabajos de Hiparco y Menelao.
Como ya hemos observado, la circunferencia se divide en 360 partes o unidades
(no usa la palabra «grado») y el diámetro en 120 unidades; propone entonces,
dado un arco que contenga un determinado número de las 360 unidades, encontrar
la longitud de la cuerda expresada en términos del número de unidades que
contiene todo el diámetro, es decir, 120 unidades.
Figura 5.15
Comienza con el cálculo de las cuerdas de arcos de 36° y 72°. En
la figura 5.15, ADC es un diámetro de un círculo con centro
en D y BD es perpendicular a ADC. Ees
el punto medio de DC y F se elige de manera
que EF = BE. Ptolomeo demuestra geométricamente que FD coincide
con un lado del decágono regular inscrito y BF, con un lado
del pentágono regular inscrito. Pero ED contiene 30 unidades
y BD, 60 unidades. Como
EB2 = ED2 + BD2,
EB2 = 4500
y
EB = 67 4'55"
(lo que representa 67 + 4/60 + 55/602 unidades).
Ahora, EF = EB por lo que podemos
conocer EF. Entonces FD = EF - DE =
67 4'55" - 30 = 37 4'55". Como FD es igual que el
lado del decágono, es la cuerda de un arco de 36°. Luego conocemos la cuerda de
este arco. Utilizando FD y el triángulo rectángulo FDB,podemos
calcular BF: es igual a 70 32'3". Pero BF es
el lado del pentágono, por lo que se tiene la cuerda del arco de 72°.
Naturalmente, para el lado de un hexágono regular, como coincide con el radio,
se tiene evidentemente que la cuerda de longitud 60 pertenece al arco de
longitud 60. Asimismo, como el lado del cuadra do inscrito se puede calcular de
manera inmediata a partir del radio, se tiene la cuerda de 90°, que es 84
51'10". Además, puesto que el lado del triángulo equilátero inscrito puede
calcularse también de manera inmediata a partir del radio, se obtiene que la
cuerda de 120° es 103 55'23".
Figura 5.16
Con el uso del triángulo rectángulo ABC (fig.
5.16) sobre el diámetro AC se puede obtener inmediatamente la
cuerda del arco suplementario AB si se conoce la cuerda del
arco BC. Por tanto, como Ptolomeo conocía la cuerda de 36°
podía calcular la de 144°, que resulta ser 114 7'37".
La relación que se ha establecido aquí es equivalente a sen2A +
cos2A = 1, donde A es un ángulo agudo
arbitrario. Esto puede verse como sigue: Ptolomeo ha probado que si S es
un arco menor de 180° entonces
(cuerda S)2 + [cuerda (180 - S)]2 =
1202,
pero por la relación (9) anterior
(cuerda S)2 = 1202 sen2S/2
Luego se tiene
o bien
es decir
Ahora Ptolomeo demuestra lo que él llama un lema, pero que se
conoce hoy en día como el teorema de Ptolomeo: dado cualquier cuadrilátero
inscrito en un círculo (fig. 5.17), demuestra que AC × BD = AB
× DC + AD × BC.
Figuras 5.17 y 5.18
La demostración es inmediata. Toma entonces el cuadrilátero
especial ABCD en el que AD es un diámetro
(fig. 5.18). Supongamos que conocemos AB y AC.Ptolomeo muestra
ahora cómo calcular BC. El segmento BD es la
cuerda del arco suplementario de AB, y CD es la
cuerda del suplemento del arco AC. Si se aplica el lema, se ve
que cinco de las seis longitudes involucradas en él son conocidas, por lo que
la sexta, que en este caso es BC, se puede calcular. Pero
(arco BC) = (arco AC) — (arco AB). Luego
podemos calcular la cuerda de la diferencia de dos arcos cuando se conoce la
cuerda de cada uno de ellos. Con la terminología moderna esto significa que si
conocemos sen A y sen B podemos calcular
sen (A - B). Ptolomeo apunta que, puesto que
conoce las cuerdas de 72° y 60°, puede calcular la de 12°.
Prueba a continuación cómo, dada una cuerda cualquiera en un círculo, se puede
calcular la cuerda del arco mitad de la cuerda dada. En términos modernos esto
representa calcular sen A/2 a partir de sen A. Este
resultado es potente, como afirma Ptolomeo, ya que podemos comenzar con un arco
cuya cuerda es conocida y calcular las cuerdas de sus sucesivas mitades. Prueba
también que si se conocen las cuerdas de dos arcos AB y BC se puede
calcular la cuerda del arco AC. Esto representa, en nuestro
lenguaje actual, la fórmula de sen (A + B). Como
caso particular, se puede determinar, en términos modernos, sen 2A a
partir de sen A.
Como Ptolomeo puede calcular la cuerda de 3/4° a partir de la cuerda de 12°
mediante divisiones sucesivas en mitades, puede añadir este arco de 3/4° o
restarlo de cualquier arco de cuerda conocida, y en virtud de los teoremas
anteriores, puede calcular la cuerda de la suma o la diferencia de dos arcos.
Por lo tanto, está en disposición de obtener las cuerdas de todos los arcos a
intervalos de 3/4°. Sin embargo, desea obtener las cuerdas de arcos con saltos
de 1/2°, lo que se dispone a hacer recurriendo a razonar con desigualdades. El
resultado aproximado es que la cuerda de 1/2° es 0 31'25".
Está ahora en disposición de construir una tabla de las cuerdas de arcos, para
arcos que difieren entre sí 1/2º, desde 0º hasta 180°. Esta es la primera tabla
trigonométrica.
Pasa entonces Ptolomeo (capítulo XI del libro I) a resolver problemas de
astronomía, comenzando por encontrar arcos de círculos máximos sobre una
esfera. Estos arcos son lados de triángulos esféricos, algunas de cuyas partes
son conocidas bien por observación o mediante cálculos previos. Para determinar
los arcos desconocidos, Ptolomeo prueba relaciones que son teoremas de
trigonometría esférica, algunos de los cuales habían sido probados ya en el
libro III de la Sphaerica de Menelao.
Figura 5.19
El método básico de Ptolomeo consiste en usar el teorema de
Menelao para triángulos esféricos. Así prueba, con nuestra notación, que en el
triángulo esférico con ángulo recto en C (fig. 5.19) y con
arco a que denota el lado opuesto al ángulo A
sen a = sen c sen A
tan a = sen b tan A
cos c = cos a cos b
tan b = tan c cos A.
Por supuesto, para Ptolomeo las distintas funciones
trigonométricas son cuerdas de arcos. Para tratar triángulos oblicuángulos los
descompone en triángulos esféricos rectángulos. No hay ninguna presentación
sistemática de la trigonometría esférica; demuestra únicamente aquellos
teoremas que necesita para resolver problemas astronómicos concretos.
El Almagesto pone la trigonometría en su forma definitiva, que
perdurará alrededor de mil años. Generalmente hablamos de esta trigonometría
como esférica, pero la distinción entre trigonometría plana y esférica es muy
difusa si se observa lo hecho por Ptolomeo. Ciertamente, Ptolomeo trabaja con
triángulos esféricos pero, por haber calculado las cuerdas de arcos, ha puesto
realmente las bases de la trigonometría plana. Pues, conociendo sen A y,
por tanto, cos A para cualquier A comprendido
entre 0º y 90°, se pueden resolver triángulos planos.
Observemos que la trigonometría fue creada para ser usada en astronomía, y como
la trigonometría esférica era de mayor utilidad para este propósito, fue la
primera en ser desarrollada. El uso de la trigonometría plana en mediciones
indirectas y en agrimensura es ajeno a la matemática griega. Esto puede
parecemos extraño, pero es históricamente incuestionable, ya que la astronomía
era el mayor objetivo de los matemáticos griegos. Los agrimensores hacen su
aparición en el período alejandrino; pero un matemático como Herón, que estuvo
interesado en la agrimensura y habría sido capaz de desarrollar la
trigonometría plana, se contentó con aplicar la geometría euclídea. Los
agrimensores incultos no estaban en situación de crear la trigonometría
necesaria.
7. La actividad geométrica tardía en Alejandría
La actividad matemática en general y geométrica en particular declinó en
Alejandría aproximadamente a partir del comienzo de la era cristiana.
Analizaremos las posibles razones del declive en el capítulo 8. Lo que sabemos
acerca de los trabajos de geometría de la primitiva era cristiana viene de los
principales comentaristas Pappus, Teón de Alejandría (fin del siglo IV d. C.) y
Proclo.
En conjunto, muy pocos teoremas originales se descubrieron en este período. Los
geómetras dan la impresión de haberse ocupado principalmente del estudio y
comprensión de los trabajos de los grandes matemáticos que les precedieron.
Completaron demostraciones que los autores originales habían omitido, bien
porque las habían considerado suficientemente sencillas para dejarlas a los
lectores, bien porque fueron dadas en tratados que se habían perdido. Estas
demostraciones recibieron el nombre de lemas, en un antiguo uso de la palabra.
Tanto Teón como Pappus informan acerca de Zenodoro, que vivió en algún momento
entre el 200 a. C. y el 100 d. C. Al parecer, Zenodoro escribió un libro sobre
figuras isoperimétricas, es decir, figuras con el mismo perímetro y en él probó
los teoremas siguientes:
1.
Entre los polígonos de n lados
con el mismo perímetro, el polígono regular es el que tiene mayor área.
2.
Entre los polígonos
regulares con igual perímetro, el que tiene más lados tiene mayor área.
3.
El círculo tiene mayor área
que un polígono regular del mismo perímetro.
4.
De todos los sólidos con la
misma superficie, la esfera tiene el mayor volumen.
El contenido de estos teoremas, que hoy en día llamaríamos
problemas de máximos y mínimos, era novedoso en la matemática griega.
Al final del período alejandrino, las aportaciones de Pappus a la geometría
aparecen como una especie de contrapunto. Los ocho libros de su Colección
Matemática contienen algún material original. El nuevo trabajo de
Pappus no fue de primer orden, pero algo del mismo merece ser tenido en cuenta.
El libro V da las demostraciones, resultados y extensiones de los trabajos de
Zenodoro relativos a las áreas limitadas por curvas con el mismo perímetro.
Pappus añade el teorema por el cual de todos los segmentos de un círculo que
tienen el mismo perímetro, el semicírculo tiene mayor área. Prueba también que
la esfera tiene mayor volumen que cualquier cono, cilindro o poliedro regular
con la misma área de su superficie.
Figura 5.20
La proposición 129 del libro VII es un caso particular del
teorema en el que la razón doble (fig. 5.20)
es la misma para toda sección transversal de cuatro rectas que
parten de O. Pappus exige que las dos líneas transversales pasen por A.
Figura 5.21
La proposición 130 afirma, en nuestro lenguaje, que si cinco de
los puntos en los que los seis lados de un cuadrilátero completo (los cuatro
lados y las dos diagonales) cortan una línea recta son fijos, el sexto también
lo es. Así, si ABCD(fig. 5.21) es un cuadrilátero tal que los seis
puntos en los que sus seis lados cortan a una línea recta arbitraria EK son E,
F, G, H, J y K, si cinco de ellos son fijos, también lo es el sexto.
Pappus observa que estos seis puntos verifican la condición
Esta condición establece que la razón doble determinada
por E, K, J y H coincide con la razón doble
determinada por E, K, G y F. La condición es equivalente a la
que podemos encontrar, introducida por Desargues, que llama a seis puntos como
los indicados, «puntos de una involución».
La proposición 131 del libro VII equivale a la afirmación de que la diagonal de
cualquier cuadrilátero queda cortada armónicamente por la otra diagonal y por
la línea que une los puntos de intersección de los pares de lados opuestos.
Así, ABCD es un cuadrilátero (fig. 5.22); CA es
una diagonal; CA queda cortada por la otra diagonal BD y
por FH, que une la intersección de AD y BC con
la intersección de AB y CD.
Figura 5.22
Entonces, los puntos C, E, A y
G de la figura forman un conjunto armónico; es decir, E divide
internamente a AC con la misma razón que G divide
externamente a AC.
Figura 5.23
La proposición 139 del libro VII enuncia lo que se llama todavía
teorema de Pappus. Si A, B y C son tres
puntos de una recta (fig. 5.23) y A', B' y C' son
tres puntos de otra, entonces AB' y A'B, BC' y B'C, y AC' y A'C se
cortan en tres puntos alineados.
Uno de los últimos lemas, la proposición 238, establece una propiedad
fundamental de las secciones cónicas: el lugar geométrico de todos los puntos
cuyas distancias desde un punto fijo (foco) y desde una línea fija (directriz)
están en razón constante es una sección cónica. Esta propiedad fundamental de
las cónicas no aparece en el libro de Apolonio Secciones Cónicas, pero,
como ya hemos observado en el capítulo precedente, era probablemente conocida
por Euclides.
En la introducción del libro VII, Pappus se apoya en la afirmación de Apolonio
de que su método capacita para hallar el lugar geométrico de los puntos tales
que el producto de sus distancias a dos líneas es igual al producto de sus
distancias a otras dos líneas por una constan te. Pappus sabe —-pero, sin
embargo, no demuestra— que el lugar es una cónica. Apunta también que el
problema se puede generalizar a cinco, seis o más rectas. Hablaremos de nuevo
de esta cuestión en conexión con los trabajos de Descartes.
El libro VIII es de especial importancia puesto que está dedicado esencialmente
a la mecánica, la cual, conforme a los puntos de vista alejandrinos, se
contempla como una parte de la matemática. En efecto, Pappus prologa el libro
planteando esta cuestión. Cita a Arquímedes, Herón y otras figuras menos
conocidas como las figuras de la mecánica matemática. El centro de gravedad de
un cuerpo se define como el punto interior del mismo (no ha de ser
necesariamente interior) tal que si el cuerpo se suspende desde el mismo,
permanece en su posición inicial. Explica entonces procedimientos para la
determinación del punto. Trata también sobre el movimiento de un cuerpo a lo
largo de un plano inclinado y aborda la cuestión de comparar la fuerza
requerida para deslizar un cuerpo por un plano horizontal con la que se
necesita para hacerlo en un plano inclinado.
El libro VII contiene también un famoso teorema llamado a veces teorema de
Pappus y a veces teorema de Guldin, debido a que Paul Guldin (1577-1643) lo
redescubrió de forma independiente. El teorema afirma que el volumen generado
por la rotación completa de una curva cerrada plana totalmente situada a un
lado del eje de rotación es igual al área limitada por la curva multiplicada
por la circunferencia del círculo que pasa por el centro de gravedad. El resultado
es muy general y Pappus era consciente de ello. No da una demostración del
teorema y es muy posible que tanto el teorema como su demostración se
conocieran con anterioridad a su tiempo.
En lo que se refiere a la geometría, el período alejandrino finaliza con los
trabajos de varios comentaristas. Teón de Alejandría escribió un comentario
sobre el Almagesto de Ptolomeo y nuevas ediciones de los Elementos y
la Optica de Euclides. Su hija Elypatia (fallecida el 415),
estudiante de matemáticas, escribió comentarios sobre Diofanto y Apolonio.
Proclo Diadoco, que hemos citado a menudo, escribió un comen tario sobre el
libro I de los Elementos de Euclides. Este comentario es
importante porque Proclo había tenido acceso a trabajos ahora perdidos,
incluyendo la Historia de la Geometría de Eudemo y el libro de
Gémino que probablemente se titulaba la Doctrina o la Teoría
de la Matemática.
Proclo recibió su educación en Alejandría y posteriormente se desplazó a
Atenas, donde se convirtió en la cabeza de la Academia de Platón. Fue un
avanzado neo-platónico y escribió varios libros sobre los trabajos de Platón y
en general sobre filosofía; la poética ocupaba su interés tanto como la
matemática. Igual que Platón, creía que la matemática era sierva de la
filosofía. Es propedéutico, porque quiere limpiar los ojos del alma, eliminando
los obstáculos que colocan los sentidos en el camino de los conocimientos
universales.
Hubo otro lado no matemático de Proclo, que aceptó varios mitos y misterios
religiosos y fue un devoto adorador de las divinidades griegas y orientales.
Rechazó la teoría ptolemaica porque un caldeo «en quien no está permitido no
creer» pensaba de manera distinta. Hay que decir que Proclo tuvo la suerte de
que los oráculos caldeos no contradecían ni negaban a Euclides.
Entre otros comentaristas, citaremos unos pocos. Simplicio, un comentarista de
Aristóteles, estudió en Alejandría y en la Academia de Platón, y se desplazó a
Persia cuando Justiniano cerró la Academia el año 529. Reprodujo material de
la Historia de Eudemo, incluyendo un largo resumen del intento
de Antifón sobre la cuadratura del círculo y sobre la cuadratura de lúnulas de
Hipócrates. Isidoro de Mileto (siglo VI), que al parecer tuvo una escuela en
Constantinopla (que se había convertido en la capital del Imperio Romano
Oriental y el centro de alguna actividad matemática) escribió comentarios y
puede haber escrito una parte del decimoquinto libro de los Elementos de
Euclides. Eutocio (siglo VI d. C.), probablemente discípulo de Isidoro, escribió
un comentario sobre los trabajos de Arquímedes.
Bibliografía
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Van der Waerden, B.
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Capítulo 6
El periodo alejandrino: el resurgir de la aritmética y el algebra
Dondequiera que haya un número está la belleza.
Proclo
Contenido:
1. Los símbolos y operaciones de la aritmética griega
2. Crecimiento independiente de la aritmética y el álgebra
Bibliografía
1. Los símbolos y operaciones de la aritmética griega
Volvamos por un momento a analizar las características de la aritmética en el
período clásico. Los griegos clásicos llamaban logística al arte del cálculo;
reservaban la palabra aritmética a la teoría de números. Los matemáticos
clásicos desdeñaron la logística debido a que se refería a los cálculos
prácticos que se necesitaban en la industria y el comercio. Sin embargo,
nosotros consideraremos tanto la logística como la aritmética para ver lo que
los griegos alejandrinos tenían a su disposición.
El arte clásico griego de escribir y trabajar con números no continúa en el
lugar en que lo dejaron los babilonios. Parece que en logística los griegos se
adaptaron a sus verdaderos orígenes. Los numerales arcaicos griegos encontrados
en Creta anteceden al período clásico en aproximadamente quinientos años. No
hay hechos notables en este esquema, solamente los símbolos concretos de los
números 1, 2, 3, 4, 10, 200, 1000 y así sucesivamente. Muy al principio de la era
clásica los griegos introdujeron otros símbolos especiales para los números y
usaron algún tipo de ábaco para los cálculos. Posteriormente, alrededor del 500
a. C. usaron el sistema ático, del cual la noticia más antigua que se tiene es
una inscripción del año 450 a. C. El sistema ático usa palos para los números
del 1 al 4; Π, la primera letra de penta, para el cinco, y más tarde se usó Г
para designar el 5; Δ, de deka, era el 10; H, de hekaton, representaba el 100;
X, de chilioi, el 1000; y M, de myrioi, representaba el 10.000. Los números
intermedios se representaban mediante combinaciones de estos símbolos
especiales. Así Γ| = 6; ΓΔ = 50; ΓH = 5000; ΔΓ||| = 18.
No obstante, nadie sabe cómo escribían los números los primeros matemáticos
clásicos —por ejemplo, los Pitagóricos—. Podían haber usado piedras para
calcular, pues la palabra «cálculo» significa «piedra». El significado original
en griego de «ábaco» era «arena», lo que sugiere que antes de la introducción
de los ábacos, y probablemente más tarde dibujaban los números como marcas en
la arena. En los trescientos años que van de Tales a Euclides los matemáticos
no prestaron atención al cálculo, y este arte no progresó en absoluto. Es
significativo que los libros no nos hablen de la práctica de la aritmética.
Por alguna razón desconocida, los griegos clásicos cambiaron su forma de
escribir los números por el sistema jónico o el alejandrino, que usan letras
del alfabeto. Este sistema alfabético era el más corriente entre los
matemáticos greco-alejandrinos y se encuentra en particular en el Almagesto de
Ptolomeo. Se usó también en la antigua Siria y en Israel.
Los detalles del sistema griego son como sigue:
Los números intermedios se escribían combinando los símbolos
anteriores. Así ια = 11, ιβ = 12, κα = 21 y ρνγ =153.
Los símbolos para el 6, 90 y 900 y el símbolo M del sistema ático no estaban en
el alfabeto griego corriente de entonces; los tres primeros, llamados ahora
stigma (o digamma), koppa y sampi, pertenecían a un antiguo alfabeto que los
griegos habían tomado de los fenicios (quienes, no obstante, no utilizaban
letras para designar números). El hecho de que se usaran estas letras antiguas
hace pensar que este sistema de escritura de los números data de
aproximadamente el 800 a. C. y probablemente procede de Mileto, en Asia Menor.
Para números mayores de 1000, el alfabeto se repetía, pero se colocaba una coma
antes de la letra para evitar confusiones. Asimismo, se trazaban líneas
horizontales sobre los números para distinguirlos de las palabras. Por ejemplo:
Varios autores griegos usaban pequeñas variaciones del esquema
anterior y de los esquemas dados más abajo.
Los papiros griegos de la primera parte del período alejandrino (los tres
primeros siglos a. C.) contienen símbolos para el cero tales como
El cero del período greco-alejandrino se usaba, igual que el
cero del período seléucida-babilonio, para indicar unidades ausentes. Conforme
a los manuscritos bizantinos, que son todo lo que tenemos de los trabajos de
Ptolomeo, se usa el símbolo 0 para el cero tanto dentro como al final de un
número.
El Arenario de Arquímedes presentaba un esquema para escribir números muy
grandes. Intentaba demostrar que era capaz de escribir un número tan grande
como los granos de arena del universo. Toma el mayor número expresado hasta
entonces en numerales griegos, que es 108, una miríada de miríadas,
y lo usa para comenzar una nueva serie de números que va hasta 108 ×
108 ó 1016. Utiliza entonces 1016 para
iniciar una nueva serie de números de 1016 hasta 1024,
y así sucesivamente. A continuación hace una estimación del número de granos de
arena del universo y demuestra que es menor que el mayor número que se puede
expresar. Lo importante de este trabajo de Arquímedes no es un esquema práctico
para escribir efectivamente cualquier número grande, sino la idea de que se
pueden construir números grandes de manera indefinida. Apolonio tenía un
esquema semejante.
Las operaciones aritméticas con los números enteros escritos y descritos antes
eran semejantes a las nuestras. Así, para sumar, los griegos escribían los
números uno debajo de otro para formar una columna de unidades, una de decenas,
y así sucesivamente, sumando los números de cada columna y pasando de una
columna a la siguiente. Estos métodos representaban un gran paso adelante si se
comparan con los métodos egipcios. El último, sin embargo, fue utilizado
también por los greco-alejandrinos.
Para las fracciones estaba el símbolo especial L" para 1/2. Así,
(a veces con un acento)
Las fracciones pequeñas se designaban escribiendo el numerador
señalado con un acento y el denominador escrito una o dos veces cada una de
ellas con dos acentos. Así,
ιγ' κθ" κθ" = 13/29
Diofanto escribía a menudo el denominador antes que el
numerador.
Se ha encontrado también el esquema egipcio para la escritura de fracciones
cuyo numerador era mayor que 1 como una suma de fracciones unitarias. Así,
Heron escribe 163/224 como
pero da también la expresión
y otras expresiones de este tipo para la misma fracción. Usa
también la forma griega anterior. De la misma forma, Ptolomeo escribe algunas fracciones
como los egipcios, así23/25 como
El signo más fue siempre sobreentendido y, naturalmente, se
usaban las letras del alfabeto griego donde nosotros utilizamos los numerales.
Las fracciones escritas tanto en el sistema griego como en el egipcio eran
demasiado complicadas para los cálculos astronómicos, por lo que los astrónomos
greco-alejandrinos adoptaron las fracciones sexagesimales babilonias. No se
sabe con precisión cuándo comenzó esta práctica, pero se utiliza ya en el
Almagesto de Ptolomeo. Así, cuando Ptolomeo escribe 31 25 quiere expresar
Ptolomeo dice que usa las fracciones sexagesimales para evitar
las dificultades de las fracciones ordinarias. Escribía los números enteros en
base decimal pero no con la notación posicional. Sin embargo, los números
enteros grandes aparecían tan raramente en los cálculos astronómicos que puede
decirse que usaba la notación de posición sexagesimal. El uso del sistema
sexagesimal de valor del lugar para las fracciones y de los numerales
alfabéticos no posicionales para los números enteros parece peculiar e irracional.
Sin embargo, nosotros escribimos todavía 130° 15' 17".5.
Como se deduce de la discusión anterior, los alejandrinos usaron las fracciones
como números en su verdadero sentido, mientras que los matemáticos del período
clásico hablaban solamente de una razón entre números enteros y no como partes
de un todo, y las razones se utilizaban exclusivamente en las proporciones. Sin
embargo, las fracciones genuinas, es decir, fracciones como entes con su
verdadero significado, se usaron en el comercio incluso durante el período
clásico. Durante el período alejandrino, Arquímedes, Herón, Diofanto y otros se
sirvieron de las fracciones con entera libertad y efectuaron operaciones con
ellas. Pese a todo, por lo que se puede saber, no trataron el concepto de fracción,
al parecer debido a que es suficientemente claro desde el punto de vista
intuitivo para que puedan ser aceptadas y utilizadas.
La raíz cuadrada como operación, aunque fue considerada en la Grecia clásica,
pasó realmente desapercibida. Existen indicaciones en los escritos de Platón de
que los pitagóricos aproximaban √2 sustituyendo 2 por 49/25 con lo que obtenían
7/5. Análogamente, Teodoro aproximó probablemente √3 tomando 49/16 en
sustitución de 3, obteniendo 7/4. El número irracional como tal no tenía ningún
lugar en la matemática de la Grecia clásica.
La siguiente información que tenemos acerca del manejo de raíces en Grecia
procede de Arquímedes. En su Medida del Círculo aborda principalmente el
cálculo de una buena aproximación de π, es decir, la razón de la circunferencia
respecto al diámetro del círculo; en el transcurso del trabajo opera con
números enteros grandes y con fracciones, y obtiene asimismo una excelente
aproximación de √3, que es:
pero no da explicaciones acerca de cómo obtuvo este resultado.
Entre las diversas conjeturas que aparecen en la literatura histórica respecto
de su razonamiento la siguiente es muy plausible. Dado un número A,
si lo escribimos como a2 ± b donde a2 es
el cuadrado racional más próximo a A, mayor o menor, y b es
el resto, entonces
El resultado de Arquímedes es obtenido mediante varias
aplicaciones de este procedimiento. Para obtener la aproximación de π,
Arquímedes demuestra en primer lugar que el área del círculo es igual al área
de un triángulo rectángulo cuya base tiene la misma longitud que la
circunferencia del círculo y cuya altura coincide con el radio. Ahora, tiene
que calcular la circunferencia. Esta la aproxima cada vez más usando polígonos
regulares inscritos y circunscritos y calcula los perímetros de los mismos. Su
resultado para π es:
Apolonio también escribió un libro sobre la cuadratura del
círculo cuyo título es Okytokion (Distribución Rápida), en el
que afirma haber mejorado la determinación de Arquímedes de π con métodos
aritméticos más efectivos. Este es el único libro en el que Apolonio se aparta
de los matemáticos griegos clásicos.
Herón aproximaba las raíces cuadradas con frecuencia mediante:
donde a y b tienen el mismo
significado que antes. Obtiene esta aproximación tomando en primer lugar
donde c es algún valor determinado para √A;
si escribimos A como a2 + b y
tomamos c = a entonces α = a + b/2a.
Herón mejora también el valor de α tomando α1 = (α + A/α)/2.
Cuanto más próximo a √A sea α, mejor será la aproximación α1.
La expresión fundamental de Herón para a la usaron también los babilonios.
Al final de la era alejandrina el algoritmo de la raíz cuadrada utiliza, igual
que nosotros, el principio de que (a + b)2 = a2 +
2ab + b2. Las aproximaciones sucesivas se
obtienen por tanteo, teniendo cuidado siempre de que el cuadrado de la
aproximación calculada sea menor que el número cuya raíz cuadrada se desea
calcular. Al explicar el uso por parte de Ptolomeo de este procedimiento, Teón
apunta que se utiliza una figura geométrica para ayudarse en la elección; esta
figura es la que utiliza Euclides en la proposición 4 del libro II de los
Elementos y es el camino geométrico de expresar (a + b)2.
Así, Ptolomeo da
para √3, lo que da el valor 1,7320509, que tiene seis cifras
decimales exactas.
2. Crecimiento independiente de la aritmética y el álgebra
Hemos estado revisando los métodos para hacer aritmética empleados por los
griegos en los dos períodos, pero más especialmente en el período alejandrino
cuando la geometría y la trigonometría se convirtieron en materias de carácter
cuantitativo. Pero el principal asunto a que se dedica este capítulo es el
nacimiento de la aritmética y el álgebra como materias independientes de la
geometría. Los trabajos aritméticos de Arquímedes, Apolonio y Ptolomeo fueron
un paso en esta dirección, aunque usaron la aritmética para calcular cantidades
geométricas. Se puede llegar a la conclusión de que los números estaban
destinados a ello, debido a que representaban magnitudes geométricas y la
lógica de las operaciones estaba garantizada por el álgebra geométrica. Pero no
hay duda de que Herón, Nicómaco (sobre el 100), que fue probablemente un árabe
de Gerasa en Judea, y Diofanto (sobre el 250), un griego de Alejandría,
trataron los problemas aritméticos y algebraicos por sí mismos y no en
dependencia de la geometría, ya sea como motivación, ya como auxiliar de la
lógica.
Más significativo que el trabajo de Herón de calcular raíces cuadradas y
cúbicas es el hecho de que formuló y resolvió problemas algebraicos mediante
procedimientos aritméticos puros. No usaba símbolos especiales; la narración es
verbal. Por ejemplo, trata el siguiente problema: dado un cuadrado tal que la
suma de su área y su perímetro es 896 pies, determinar su lado. El problema,
con nuestra notación, consiste en calcular x de manera que
verifique x2 + 4x = 896. Herón completa
el cuadrado sumando 4 a cada miembro y tomando la raíz cuadrada. No demuestra
nada, sino que simplemente describe las operaciones a realizar. Hay varios
problemas de este tipo en sus trabajos. Evidentemente, éste es el viejo estilo
egipcio y babilonio de presentación, y no hay ninguna duda que Herón recogió
mucho material de los antiguos textos egipcios y babilonios. Allí,
recordémoslo, el álgebra era independiente de la geometría y, como en el caso
de Herón, una prolongación de la aritmética.
En su Geométrica, Herón habla de sumar un área, una circunferencia y un
diámetro. Cuando usa estas palabras quiere decir, por supuesto, que lo que
quiere es sumar sus valores numéricos. Del mismo modo, cuando dice que
multiplica un cuadrado por un cuadrado, quiere expresar que lo que está
calculando es el producto de los valores numéricos respectivos. Herón tradujo
también gran parte del álgebra geométrica de los griegos a procesos aritméticos
y algebraicos.
Este trabajo de Herón (así como el uso que hace de las fórmulas egipcias de
aproximación de áreas y volúmenes) se considera a veces como el principio del
declive de la geometría griega. Es más correcto contemplarlo como una mejora
helénica de las matemáticas babilonias y egipcias. Cuando Herón suma áreas y
segmentos lineales, no está aplicando incorrectamente la geometría clásica
griega sino que simplemente está continuando la práctica de los babilonios para
quienes área y longitud eran exclusivamente palabras para ciertas incógnitas
aritméticas.
Más notable desde el punto de vista del resurgimiento de una aritmética
independiente es el trabajo de Nicómaco, que escribió la Introductio
Arithmeticaen dos tomos. Fue el primer libro de importancia en el que la
aritmética (en el sentido de la teoría de números) estaba tratada con
independencia absoluta de la geometría. Desde el punto de vista histórico, su
importancia para la aritmética es comparable a la de los Elementos de Euclides
para la geometría. Este libro no sólo fue estudiado, tomado como referencia y
copiado por docenas de autores posteriores, sino que se reconoce como
inspirador de varios libros por otros autores del mismo período, con lo que
refleja el interés de la época. Los números representaban cantidades de objetos
y dejaron ya de ser considerados como longitudes de líneas, como en Euclides.
Nicómaco utiliza siempre palabras, mientras que Euclides emplea una letra,
como A, o dos letras tales como BC —refiriéndose
en el segundo caso a un segmento lineal— al hablar de números. Luego el lenguaje
de Nicómaco es más torpe. Considera sólo números enteros y razones de números
enteros.
Nicómaco era un pitagórico, y pese a que la tradición pitagórica no había
muerto, la reanimó. De las cuatro materias destacadas por Platón — aritmética,
geometría, música y astronomía— Nicómaco afirma que la aritmética es la madre
de las demás. Esto es lo que mantiene:
no solamente porque decimos que existía antes que las demás en
la mente del Dios creador como algún plan universal y ejemplar, confiando en
ella como un diseño y arquetipo, el creador del universo puso en orden sus
creaciones materiales y las hizo de acuerdo con sus propios fines; sino también
porque es por su naturaleza anterior en su nacimiento...
La aritmética, continúa, es esencial para las demás ciencias ya
que éstas no existirían sin ella. Sin embargo, si las demás ciencias fueran
abolidas, la aritmética seguiría existiendo.
La esencia de la Introductio está en los trabajos aritméticos
de los primeros pitagóricos. Nicómaco considera números pares e impares,
cuadrados, rectangulares y poligonales. Estudia también números primos y
compuestos y números paralelepipédicos (de la forma n2(n +
1) y define muchos más tipos. Da la tabla de multiplicar para números
comprendidos entre el 1 y el 9 precisamente como la aprendemos nosotros.
Nicómaco repite varios enunciados pitagóricos, como que la suma de dos números
triangulares consecutivos es un cuadrado perfecto y recíprocamente. Va más allá
que los pitagóricos al ver, aunque sin probarlas, relaciones de tipo general.
Así, afirma, el (n - l)-ésimo número triangular sumado con el
número k-gonal n-ésimo da el número (k +
l)-gonal n-ésimo. Por ejemplo, el (n - l)-ésimo número
triangular sumado al número cuadrado n-ésimo da el n-ésimo
número pentagonal. Con nuestra notación
Asimismo, el n-ésimo número triangular, el n-ésimo
número cuadrado, el n-ésimo número pentagonal, y así sucesivamente
forman una progresión aritmética cuya diferencia es el (n -
l)-ésimo número triangular.
Descubrió la siguiente proposición: si escribimos los números impares:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,...
entonces el primero es el cubo de 1; la suma de los dos
siguientes, el cubo de 2; la suma de los tres siguientes, el cubo de 3, y así
sucesivamente. Hay otras proposiciones sobre progresiones.
Nicómaco da cuatro números perfectos, 6, 28, 496 y 8128 y repite la fórmula de
Euclides para los mismos. Clasifica todo tipo de razones, incluidas m +
1 : m, 2m+ n : m + n,
y mn + 1 : n y les da nombre. Estas fueron
muy importantes en música.
Estudia también la proporción, la cual, dice, es muy necesaria para «las ciencias
naturales, la música, la trigonometría esférica y la planimetría, y en especial
para el estudio de la matemática antigua». Da diversos tipos de
proporciones, entre ellas la proporción musical
La Introductio da también la criba de
Eratóstenes (de la que hablaremos en el capítulo 7); es un método para la
obtención de números primos de manera rápida: se escriben todos los números
impares a partir de 3 hasta donde se desee, entonces, se tachan todos los múltiplos
de 3, es decir todos los números terceros mayores que 3. A continuación, se
tachan todos los múltiplos de 5, o todos los números quintos mayores que 5,
contando los que se puedan haber tachado ya. Luego, todos los números séptimos
mayores que 7, y así sucesivamente. Se debe incluir ahora el 2 junto con los
que no se han tachado. Estos son los números primos.
Nicómaco utiliza siempre números concretos para discutir las distintas
categorías y proporciones. Los ejemplos ilustran y explican sus afirmaciones,
pero no hay ningún apoyo tras los ejemplos para las afirmaciones generales. No
utiliza el método deductivo de demostración.
La Introductio tuvo valor porque es una presentación
sistemática, ordenada, clara y amplia de la aritmética de los enteros y las razones
de enteros, liberada de la geometría. No era original en cuanto a las ideas
pero fue una recopilación de gran utilidad. Incorporaba propiedades
especulativas, estéticas, místicas y morales de los números, pero ninguna
aplicación práctica. La Introductio fue el texto habitual de
aritmética durante mil años. En Alejandría, a partir de la época de Nicómaco,
la aritmética se convirtió en el tema de estudio favorito, por encima de la
geometría.
En este tiempo, también el álgebra toma la delantera. Aparecen libros de
problemas resueltos mediante técnicas algebraicas. Algunos de estos problemas
eran exactamente los que aparecían en los textos babilonios del 2000 a. C. o en
el papiro Rhind. Estos trabajos griegos sobre álgebra fueron escritos en forma
literaria y no se usa ningún simbolismo, ni tampoco se da ninguna demostración
de los métodos empleados. A partir de la época de Nicómaco, los problemas que
conducían a ecuaciones tenían la forma común de un rompecabezas. Entre
cincuenta y sesenta de los mismos se conservan en el Códice Palatino de
Epigramas Griegos (siglo X). Treinta de ellos como mínimo se atribuyen a
Metrodoro (sobre el 500 d. C.), pero seguramente son más antiguos. Uno es el
problema del ganado de Arquímedes, según el cual hay que calcular el número de
bueyes y vacas de colores distintos conforme a la información dada. Otro se
debe a Euclides e involucra a una muía y un asno que transportan grano. Otro se
refiere al tiempo que deben emplear unas cañerías para llenar una cisterna.
Había problemas de edades, tal como aparecen en nuestros textos de álgebra.
El punto culminante del álgebra greco-alejandrina se alcanza con Diofanto. No
sabemos casi nada acerca de sus orígenes y de su vida; probablemente fue
griego. Un problema algebraico hallado en una colección griega da los
siguientes hechos acerca de su vida: su infancia duró 1/6 de su vida; su
adolescencia, hasta 1/12 más; se casó tras 1/7 más, y su hijo nació 5 años
después. El hijo vivió la mitad de la edad de su padre y éste murió 4 años
después que el hijo. El problema es determinar cuánto vivió Diofanto. La
respuesta se calcula con facilidad y resulta ser 84. Su trabajo destaca por
encima del de sus contemporáneos; por desgracia, apareció demasiado tarde para
tener una gran influencia en su tiempo, ya que una corriente de destrucción
estaba engullendo toda la civilización.
Diofanto escribió varios libros que se han perdido en su totalidad. Se conoce
parte de un tratado Sobre los Números Poligonales en el que establece y
demuestra teoremas pertenecientes a los libros VII, VIII y IX de los Elementos
con el método deductivo; sin embargo, los teoremas no son muy importantes. Su
gran trabajo es la Arithmetica, la cual, dice Diofanto, comprende
trece libros. Nosotros tenemos seis, procedentes de un manuscrito del siglo
XIII que es una copia griega de otro más antiguo y de versiones posteriores.
La Arithmetica, como el papiro Rhind, es una colección de problemas
independientes. La dedicatoria señala que fue escrito como una serie de
ejercicios para ayudar a uno de sus estudiantes a aprender la materia. Uno de
los hitos más importantes de Diofanto es la introducción del simbolismo en el
álgebra. Debido a que no estamos en posesión del manuscrito escrito por él,
sino de otro muy posterior, no conocemos los símbolos con exactitud. Se cree
que el símbolo que usaba para la indeterminada era ς, que jugaba el papel de
nuestra x. Esta ς puede haber sido la misma letra que la griega σ
escrita al final de una palabra, como en αριτημος (arithmos) y pudo haber sido
elegida a causa de que no representaba ningún número en el sistema griego de
servirse de letras para designar números. Diofanto llamó a la incógnita «el
número del problema». Nuestra x2 la escribe
Diofanto como ΔY, la Δ por ser la primera letra de δύναμις (dynamis,
«potencia»), x3 es KY; la K de κύbος
(cubos). x4 es ΔYΔ; x5 es
ΔKY; x6es KYK. En este sistema KY no
es exactamente el cubo de ς como x3 lo es de x.
Para Diofanto, ςχ = 1/x. Usa también nombres para estas
potencias, por ejemplo número para x, cuadrado para x2,
cubo para x3, cuadrado- cadrado (dynamodynamis)
para x4, cuadrado-cubo para x5 y
cubo- cubo para x6 [15].
La aparición de este simbolismo es evidentemente notable, pero el uso de
potencias superiores a tres es todavía más extraordinario. Los griegos clásicos
no podían ni querían considerar productos de más de tres factores ya que tal
producto no tenía ningún significado geométrico. En una base puramente
aritmética, no obstante, tales productos tienen un significado; y ésta es
precisamente la idea adoptada por Diofanto.
Diofanto indica la adición poniendo los términos uno a continuación de otro.
Así
significa x2 ´ 3 + 12
La Ṁ es un símbolo para la unidad e indica que a continuación va un número puro
que no contiene la indeterminada. De nuevo
significa x2 + x ´
2 + 3.
Para la sustracción emplea el símbolo /|\. Así, para indicar x6 -
5x4 + x2 - 3x -
2 escribe:
poniendo todos los términos negativos detrás de los positivos.
No existen símbolos para la adición, la multiplicación y la división como
operaciones. El símbolo ισ se emplea (al menos en las versiones
existentes de la Arithmetica) para designar la igualdad. Los
coeficientes de las expresiones algebraicas son números concretos; no hay
ningún símbolo para coeficientes generales. A causa del uso de símbolos, el
álgebra de Diofanto recibe el nombre de sincopada, mientras que a la de los
egipcios, los babilonios, Herón y Nicómaco se le llama retórica.
Diofanto redacta sus soluciones en un texto continuo, de la misma manera que
nosotros escribimos prosa. Su ejecución de las operaciones es completamente
aritmética; es decir, no hay ninguna llamada a la geometría para ilustrar o
justificar sus afirmaciones. Así (x - l)(x - 2) se
interpreta algebraicamente, igual que lo hacemos nosotros. Aplica también
identidades algebraicas tales como
a expresiones tales como x + 2 en sustitución
de p y x + 3 por q. Esto es, da
pasos en los que utiliza las identidades pero estas identidades propiamente
dichas no aparecen.
El primer libro de la Arithmetica consiste fundamentalmente en
problemas que conducen a la determinación de ecuaciones de primer grado con una
o más incógnitas. Los cinco libros restantes tratan principalmente de
ecuaciones indeterminadas de segundo grado. Pero esta separación no es
estricta. En el caso de ecuaciones determinadas (es decir, ecuaciones con
solución única) con más de una incógnita, emplea la información dada para
eliminar todas las incógnitas menos una y, al final, termina con ecuaciones
cuadráticas de la forma ax2 = b. Por
ejemplo, el problema 27 del libro I dice: encontrar dos números tales que su
suma sea 20 y su producto 96. Diofanto procede así: sea 20 la suma; 96, el
producto, y 2x, la diferencia entre los números buscados. Luego, los
números son 10 + x, 10 - x. Por tanto, 100 - x2 =
96. Entonces, x = 2 y los números buscados son 12 y 8.
La característica más sorprendente del álgebra de Diofanto es su solución de
las ecuaciones indeterminadas. Tales ecuaciones habían sido consideradas con
anterioridad, como por ejemplo en el trabajo pitagórico para las soluciones
de x2+ y2 = z2,
así como en el problema arquimediano del ganado, que conduce a siete ecuaciones
con ocho incógnitas (más dos condiciones suplementarias), y en otros escritos
curiosos. Diofanto, no obstante, trata las ecuaciones indeterminadas
extensamente y es el creador de esta rama del álgebra llamada en la actualidad,
efectivamente, análisis diofántico.
Resuelve ecuaciones lineales con dos incógnitas, como
x + y -
5 = 0
En estas ecuaciones da un valor a una indeterminada y resuelve
la ecuación para un valor racional positivo de la otra. Reconoce que el valor
asignado a la primera incógnita es estrictamente accidental. (En el análisis
diofántico moderno solamente se calculan soluciones enteras.) Muy poco es lo
hecho con este tipo de ecuación y el trabajo es apenas significativo puesto que
las soluciones racionales positivas se calculan de golpe.
Resuelve entonces ecuaciones cuadráticas, cuya forma más general es (en nuestra
notación)
y2 = Ax2 + Bx +
C (1)
Diofanto no escribe y2 pero dice que
la expresión cuadrática debe ser igual a un número cuadrado (cuadrado de un
número racional). Considera (1) para valores especiales de A, B y C y
estudia estos tipos en casos separados. Por ejemplo, cuando no aparece C toma y = mx/n,
dondem y n son números enteros concretos, obtiene
Ax2 + Bx = (m/n)2x2,
y entonces simplifica x y la resuelve.
Cuando A y C no se anulan pero A = a2,
supone y = ax - m. Si C = c2,
pone y = (mx - c). En todos los
casos m es un número determinado.
Estudia también el caso de ecuaciones cuadráticas simultáneas, como
y2 = Ax2 + Bx + C (2)
z2 = Dx2 + Ex + F (3)
Aquí también considera solamente casos particulares, es decir,
cuando A, B,..., Fson números determinados
o verifican condiciones especiales, y este método consiste en asignar a y y
a z expresiones en términos de x, y a continuación
resolver en x.
De hecho, está resolviendo ecuaciones determinadas en una incógnita. Lo que
ocurre, sin embargo, es que al elegir expresiones para y y z en
(2) y (3) y para yen (1), está dando soluciones totalmente
significativas y los valores asignados a yy z son
arbitrarios.
Tiene también problemas en los que expresiones cúbicas y de mayor grado de x
deben ser iguales a un número cuadrado, por ejemplo:
Ax3 + Bx2 +
Cx + d2 = y2.
Aquí toma y = mx + d y
fija m de manera que se anule el coeficiente de x.
Como el término d2 se simplifica y puede dividir
por x2 toda la ecuación, obtiene una ecuación de
primer grado en x. Hay también casos especiales en que una
expresión cuadrática en x es igual a y3.
Reduce todas estas ecuaciones cuadráticas en x a los tipos
ax2 = bx
ax2 = b
ax2 + bx = c
ax2 + c = bx
ax2 = bx + c
y resuelve cada uno de ellos. Solamente resuelve una ecuación
cúbica en x, de escasa importancia.
Las ecuaciones anteriores muestran los tipos de problemas que resuelve
Diofanto. El lenguaje real de los problemas se ilustra con los ejemplos
siguientes:
Libro I, problema 8. Dividir un número cuadrado dado en dos cuadrados.
Aquí toma el 16 como el número cuadrado dado y obtiene 256/23 y 144/25. Este es
el problema que generalizó Fermat y que da lugar a la afirmación de que la
ecuación xm + ym = zm no
es resoluble para m > 2.
Libro II, problema 9. Dividir un número dado que es la suma de dos cuadrados en
la suma de otros cuadrados distintos de los anteriores. Toma 13 ó 4 + 9 como
número dado y obtiene 324/25 y 1/25.
Libro III, problema 6. Encontrar tres números tales que su suma y la suma de
dos cualesquiera de ellos sea un cuadrado perfecto. Diofanto da los tres
números 80, 320 y 41.
Libro IV, problema 1. Dividir un número dado en dos cubos tales que la suma de
sus lados es un número dado.
Con el número 370 y la suma de los lados igual a 10, encuentra el 43 y el 27.
Los lados son las raíces cúbicas de los cubos.
Libro IV, problema 29. Expresar un número dado como la suma de cuatro cuadrados
más la suma de sus lados.
Dado el número 12, halla 121/100, 49/100, 361/100 y 169/100 como los cuatro
cuadrados; sus lados son las raíces cuadradas de cada cuadrado.
En el libro VI Diofanto resuelve varios problemas que hacen referencia a los
lados (racionales) de un triángulo rectángulo. El uso del lenguaje geométrico
es accidental, incluso cuando aparece el término área. Lo que busca son números
racionales a, b y c tales
que a2 + b2 = c2 y
sujetos a alguna otra condición. Así, el primer problema es hallar un triángulo
rectángulo (de lados racionales) tal que la hipotenusa menos cada uno de los
catetos es un cubo. En este caso llega a obtener la solución entera 40, 96 y
104. Sin embargo, en general obtiene soluciones racionales.
Diofanto da muestras de una gran habilidad para reducir ecuaciones de los
diferentes tipos a formas que pueda manejar. No sabemos cómo llegó a sus
métodos. Como prescinde totalmente de la geometría, no es probable que se
inspirara en los procedimientos empleados por Euclides para resolver ecuaciones
cuadráticas. Además, Euclides no estudia problemas indeterminados, que, como
tales, aparecen con Diofanto. Debido a que carecemos de información acerca de
la continuidad del pensamiento en los finales del período alejandrino, no
podemos hallar indicios de los trabajos de Diofanto en sus predecesores. Dentro
de lo que se puede asegurar, sus trabajos en álgebra pura son notablemente
distintos de trabajos precedentes.
Acepta solamente raíces racionales positivas e ignora cualesquiera otras.
Incluso cuando una ecuación cuadrática tiene dos raíces positivas da solamente
una, la mayor. Cuando al resolver una ecuación observa claramente que va a dar
dos raíces negativas o imaginarias, la rechaza y dice que no es resoluble. En
el caso de raíces irracionales, recompone sus pasos y prueba cómo modificando
la ecuación se puede obtener otra con raíces racionales. Aquí Diofanto se
aparta de Herón y Arquímedes. Herón era un agrimensor y las cantidades
geométricas que buscaba podían ser irracionales, por lo que las aceptaba,
aunque naturalmente las aproximaba para obtener valores útiles. Arquímedes
buscaba también soluciones exactas, y cuando eran irracionales determinaba
desigualdades para acotarlas. Diofanto es un algebrista puro, y como el álgebra
de su tiempo no admitía los números irracionales, ni los negativos, ni los
complejos, rechazaba las ecuaciones que tenían tales soluciones. Es, no
obstante, digno de destacar que las fracciones, para Diofanto, eran números y
no una razón entre dos números enteros.
No tenía ningún método general. Cada uno de los 189 problemas de la Arithmetica está
resuelto por un procedimiento distinto. Hay más de 50 tipos diferentes de
problemas, pero no se hace ningún intento de clasificarlos. Sus métodos son más
cercanos a los de los babilonios que a los de sus antecesores griegos y hay
indicios de influencias babilónicas, puesto que, en efecto, resuelve algunos
problemas como lo hacían los babilonios. Sin embargo, no se ha probado la
existencia de una conexión directa entre los trabajos de Diofanto y el álgebra
babilonia. Sus adelantos en álgebra respecto de los babilonios consisten en la
utilización del simbolismo y la resolución de ecuaciones indeterminadas. En
ecuaciones determinadas no hizo mucho más que ellos, pero su Arithmetica se
parecía a la logística, que Platón, entre otros, había proscrito de la
matemática.
La variedad de métodos de Diofanto para cada uno de los problemas deslumbra más
que deleita. Fue un virtuoso sagaz y clarividente pero en apariencia no
profundizó lo suficiente en sus procedimientos para darles generalidad. (Es
también cierto que el análisis diofántico es un conjunto de problemas
independientes.) Al contrario de un investigador especulativo que busca ideas
generales, Diofanto buscaba solamente soluciones correctas. Hay algunos
resultados que podrían llamarse generales, como que ningún número primo de la
forma 4n + 3 puede ser la suma de dos cuadrados. Euler atribuyó a Diofanto
métodos generales del mismo que no parecían tales debido a que no tenía
coeficientes literales, y otros creyeron que su material pertenecía a una
ciencia abstracta y básica. Pero este punto de vista no fue compartido por
todos. Sin embargo, sus trabajos, contemplados como un todo, son un monumento
algebraico.
Un elemento de la matemática que es de gran importancia hoy en día, y que faltaba
en el álgebra griega, es el uso de letras para representar una clase de números
como, por ejemplo, los coeficientes de las ecuaciones. Aristóteles utilizó
letras del alfabeto griego para indicar un tiempo arbitrario o una distancia
cualquiera y en la discusión del movimiento empleaba frases tales como «la
mitad de B».
Euclides, asimismo, usaba letras para designar clases de números en los libros
VII a IX de los Elementos, una práctica continuada por Pappus. Sin embargo, no
hubo ningún reconocimiento de la enorme contribución que podían aportar las
letras para aumentar la efectividad y la generalidad de la metodología
algebraica.
Otra característica del álgebra alejandrina es la ausencia de una estructura
deductiva explícita. Los diferentes tipos de números —números enteros,
fracciones e irracionales— no estaban realmente definidos. No existía ninguna
base axiomática sobre la que se pudiera levantar una estructura deductiva. Los
trabajos de Herón, Nicómaco y Diofanto, y de Arquímedes en lo que concierne a la
aritmética, siguen la metodología de los textos egipcios y babilonios que dicen
cómo hacer las cosas. Las demostraciones deductivas y ordenadas de Euclides y
Apolonio, y de la geometría de Arquímedes, han sido olvidadas. Los problemas
son inductivos en espíritu ya que muestran métodos para problemas concretos que
presumiblemente pueden ser aplicados a clases generales cuya amplitud no se
especifica. A la vista del hecho de que, como consecuencia de los trabajos de
los matemáticos de la Grecia clásica, se admitían determinados resultados
obtenidos deductivamente a partir de una base axiomática explícita, la
aparición de una aritmética y un álgebra independientes sin ninguna estructura
lógica de su edificio se convirtió en uno de los grandes problemas de la
historia de la matemática. Este acercamiento a la aritmética y el álgebra es el
indicio más claro de las influencias egipcias y babilonias en el mundo
alejandrino. Pese a que los algebristas greco-alejandrinos no parecieron
conscientes de estas deficiencias, veremos que iban a preocupar profundamente a
los matemáticos europeos.
Bibliografía
·
Ball, W. W. R.: A
Short Account of the History of Mathematics, Dover (reimpresión), 1960,
caps. 5 y 7.
·
Cajori, Florian: A
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·
Heath, Thomas L.: Diophantus
of Alexandria, Dover (reimpresión), 1964. —: The Works of
Archimedes, Dover (reimpresión), 1953, caps. 4 y 6 de la introducción, pp.
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D’Ooge, Martin Luther: Nichomachus
of Gerasa, University of Michigan Press, 1938.
·
Van der Waerden, B.
L.: Science Awakening, P. Noordhoff, 1954, pp. 278-86.
Capítulo 7
La racionalización griega de la naturaleza
La matemática es la puerta y la llave de las ciencias.
Roger Bacon
Contenido:
1. La inspiración de la matemática griega
2. Los comienzos de una visión racional de la naturaleza
3. El desarrollo de la creencia en una estructura matemática
4. La astronomía matemática griega
5. La Geografía
6. La Mecánica
7. La Óptica
8. La Astrología
Bibliografía
1. La inspiración de la matemática griega
Desgraciadamente, salvo indicaciones ocasionales, los clásicos griegos, como
los Elementos de Euclides, las Secciones Cónicas de
Apolonio y los trabajos geométricos de Arquímedes, no dan ninguna explicación
de por qué estos autores investigaron sus temas. Dan solamente la matemática
formal y cuidadosamente deductiva. En este sentido, los textos griegos no
presentan diferencias con los modernos manuales y tratados de matemáticas.
Tales libros pretenden exclusivamente organizar y presentar los resultados
matemáticos alcanzados y por ello omiten las motivaciones de la matemática, las
pistas y sugerencias de los teoremas y las aplicaciones del conocimiento
matemático.
Para comprender por qué los griegos crearon una matemática de gran vitalidad,
se deben investigar sus objetivos. Lo que impulsó a los griegos a crear y
apreciar la matemática fue el deseo urgente e irreprimible de comprender el
mundo físico. La matemática era una parte importante de la investigación de la
Naturaleza y la clave para la comprensión del Universo, pues las leyes
matemáticas son la esencia de su diseño.
¿Qué pruebas tenemos de que éste fue el papel de la matemática? Resulta difícil
demostrar que un teorema determinado o un conjunto de teoremas fueran creados
para una finalidad concreta puesto que no tenemos información suficiente acerca
de los matemáticos griegos. La afirmación directa de Ptolomeo de que creó la
trigonometría para la astronomía es una excepción. Sin embargo, cuando se
descubre que Eudoxo fue primordialmente un astrónomo y que Euclides no escribió
solamente los Elementos sino también Phaenomena (un
trabajo sobre la geometría de la esfera aplicado al movimiento de la esfera
celeste), la Optica y Catóptrica, los Elementos de
Música, y pequeños trabajos sobre mecánica, todos ellos matemáticos, no
podemos por menos de concluir que las matemáticas fueron algo más que una
disciplina aislada. Conociendo cómo funciona la mente humana, y conociendo con
gran detalle cómo trabajaban hombres como Euler y Gauss, podemos estar seguros
de que las investigaciones en astronomía, óptica y música sugirieron problemas
matemáticos y es más que probable que la motivación para la matemática fuese su
aplicación a estas otras áreas. Es asimismo relevante que la geometría de la
esfera, conocida en Grecia como «sphaerica» fuera estudiada al mismo tiempo que
la Astronomía se convertía en matemática, lo que ocurrió incluso antes de los
tiempos de Eudoxo. La palabra «sphaerica» significaba «astronomía» para los pitagóricos.
Afortunadamente, las deducciones que podemos hacer a partir de los trabajos de
los matemáticos, pese a ser bastante razonables, se establecen sin duda por la
evidencia abrumadora de los escritos de los filósofos griegos, muchos de los
cuales eran también eminentes matemáticos, y de los científicos griegos. Los
límites de la matemática no eran propiamente matemáticos. En el período
clásico, la matemática comprendía la aritmética, la geometría, la astronomía y
la música, mientras que en el período alejandrino, como ya hemos observado en
el capítulo 5, las secciones de las ciencias matemáticas eran aritmética
(Teoría de Números), geometría, mecánica, astronomía, óptica, geodesia,
canónica (armonía musical) y logística (aritmética aplicada).
2. Los comienzos de una visión racional de la naturaleza
Las civilizaciones que precedieron a la griega o las que eran contemporáneas de
ella contemplaban la naturaleza como algo caótico, misterioso, caprichoso y
terrorífico. Los acontecimientos de la naturaleza estaban manipulados por
dioses. Sacerdotes y magos podían inducir a los dioses a ser bondadosos e
incluso a realizar milagros, pero la vida de los hombres estaba completamente
sometida a su antojo.
A partir de la época en que nuestro conocimiento de la civilización y cultura
griegas comienza a ser razonablemente definido y concreto, es decir, alrededor
del año 600 a. C., encontramos en los intelectuales una actitud completamente
nueva frente a la naturaleza: racional, crítica y laica. La mitología fue
rechazada, al creer que los dioses manipulaban al hombre y al mundo físico de
acuerdo con sus caprichos. La nueva doctrina establece que la naturaleza es
ordenada y funciona invariablemente conforme a un plan. Además, se tiene la
absoluta convicción de que la mente humana es potente e incluso superior; el
hombre no sólo puede aprender los caminos de la naturaleza, sino que incluso
puede predecir los acontecimientos.
Es cierto que la aproximación racional fue asumida solamente por los
intelectuales, un grupo pequeño tanto en el período clásico como en el
alejandrino. Mientras estos hombres eran contrarios a la atribución de los
acontecimientos a dioses y demonios y desafiaban los misterios y terrores de la
naturaleza, el pueblo en general era profundamente religioso y creía que los
dioses dominaban los sucesos. Aceptaban doctrinas místicas y supersticiones
crédulamente igual que lo hacían egipcios y babilonios. De hecho, la mitología
griega fue amplia y altamente desarrollada.
Los jonios comenzaron la tarea de determinar la naturaleza de realidad. No
describiremos las teorías cualitativas de Tales, Anaxágoras y sus compañeros,
cada uno de ellos centrado en una sustancia concreta inmutable a través de
todos los cambios aparentes. La identidad subyacente de esta sustancia primera
se conserva, pero todas las formas de la materia pueden explicarse en términos
de ella. Esta filosofía natural de los jonios dio lugar a una serie de
denodadas especulaciones, audaces conjeturas y brillantes intuiciones más bien
que resultados de amplias y cuidadosas investigaciones científicas. Fueron
quizá excesivamente ambiciosos queriendo ver la escena en su totalidad y dando
el salto ingenuamente para sacar conclusiones. Pero ellos sustituyeron las
viejas historias míticas por explicaciones materiales y objetivas de la
estructura y el diseño del universo. Ofrecieron un acercamiento razonable en
lugar de las narraciones imaginativas e ingenuas de los poetas y defendían sus
afirmaciones con el uso de la razón. Al menos estos hombres se atrevieron a
estudiar el universo con sus mentes y rechazaron la confianza en dioses,
espíritus, fantasmas, demonios, ángeles y demás agentes míticos.
3. El desarrollo de la creencia en una estructura matemática
El paso decisivo para eliminar el misterio, el misticismo y la arbitrariedad de
los trabajos sobre la naturaleza, y reducir la apariencia de caos a un modelo
comprensible y ordenado fue la aplicación de la matemática. El primer grupo
importante que presentó una filosofía racional y matemática de la naturaleza
fue el de los pitagóricos. Sacaron alguna inspiración a partir del aspecto
místico de la religión griega; sus doctrinas religiosas estaban centradas en la
purificación del alma y su redención desde la corrupción y encierro del cuerpo.
Sus componentes vivían con sencillez y estaban dedicados por entero al estudio
de la filosofía, la ciencia y la matemática. Los nuevos miembros debían
prometer el secreto, al menos en las creencias religiosas, y les exigían formar
parte del grupo durante toda la vida. La comunidad estaba abierta tanto a los
hombres como a las mujeres.
El pensamiento religioso de los pitagóricos era indudablemente místico, pero su
filosofía natural era decididamente racional. Estaban sorprendidos por el hecho
de que fenómenos que eran de muy diferente forma desde el punto de vista
cualitativo, presentaban propiedades matemáticas idénticas. Por lo tanto, las
propiedades matemáticas debían ser la esencia de tales fenómenos. Más
concretamente, los pitagóricos basaban esta esencia en el número y en las
relaciones numéricas. El número era su primer principio para la explicación de
la naturaleza. Todos los objetos estaban formados por puntos o «unidades de
existencia» en combinaciones que correspondían a las distintas figuras
geométricas. Como pensaban en los números a la vez como puntos y como
partículas elementales de materia, el número era la materia y la forma del
Universo y la causa de todo fenómeno. De aquí la doctrina pitagórica «todas las
cosas son números». Dice Filolao, un famoso pitagórico del siglo V:
«si no fuera por el número y su naturaleza, nada de lo que
existe estaría claro para nadie, ni en sí mismo ni en su relación con otras
cosas. Podéis observar la potencia del número influyendo no sólo en los
negocios de demonios y dioses, sino también en todos los actos y en el
pensamiento del hombre, en todos los oficios y en la música.»
La reducción de la música, por ejemplo, a una simple relación
entre números fue posible para los pitagóricos cuando descubrieron dos hechos:
primero, que el sonido producido por una cuerda pulsada depende de la longitud
de la cuerda; y segundo, que los sonidos armónicos están dados por cuerdas
igualmente tirantes cuyas longitudes respectivas estén en razón igual a las
razones de números enteros. Por ejemplo, un sonido armónico se produce pulsando
dos cuerdas igualmente tensas si la longitud de una de ellas es igual al doble
de la de la otra. En nuestro lenguaje, el intervalo entre las dos notas es una
octava. Otra combinación armónica está formada por dos cuerdas cuyas longitudes
están en la relación de 3 a 2, en este caso la más corta da una nota llamada la
quinta inferior de la dada por la primera cuerda. De hecho, las longitudes
relativas en toda combinación armónica de cuerdas pulsadas se pueden expresar
como una razón de números enteros. Los pitagóricos desarrollaron también una
famosa escala musical griega. Pese a que no dedicaremos espacio a la música en
el período griego, hagamos notar que varios matemáticos griegos, incluidos
Euclides y Ptolomeo, escribieron sobre el tema, en especial acerca de las
combinaciones armónicas de sonidos y la construcción de escalas.
Los pitagóricos redujeron los movimientos de los planetas a relaciones
numéricas. Creían que los cuerpos, al moverse en el espacio, producían sonidos;
tal vez esto les vino sugerido por el zumbido que se produce al blandir un
objeto sujeto al extremo de una cuerda. Creían, además, que un cuerpo que se
mueve con rapidez da una nota más alta que el que se mueve lentamente. Ahora,
de acuerdo con su astronomía, un planeta se mueve más rápidamente cuanto mayor
es su distancia a la Tierra. Luego los sonidos que producen los planetas, que
no oímos porque estamos acostumbrados a ellos desde el nacimiento, variaban con
su distancia a la Tierra y todos están armonizados. Pero como esta «música de
las esferas», como toda armonía, no se reducía más que a relaciones numéricas,
lo mismo ocurría con los movimientos de los planetas.
Los pitagóricos, y probablemente el propio Pitágoras, buscaban no solamente
observar y describir los movimientos celestes, sino también encontrar alguna
regularidad en ellos. La idea de un movimiento circular uniforme, aparentemente
obvia en el caso de la Luna y el Sol, sugería que todos los movimientos
planetarios fueran explicables en términos de movimientos circulares uniformes.
Los últimos pitagóricos llevaron a cabo una ruptura más que sorprendente con la
tradición; fueron los primeros en creer que la Tierra era esférica.
Además, como el 10 era su número ideal, decidieron que debía haber 10 cuerpos
en movimiento en el cielo. Primero, existía un fuego central alrededor del cual
se movían los cuerpos celestes, incluida la Tierra. Conocían
cinco planetas además de la Tierra. Estos seis cuerpos, el Sol, la Luna y la
esfera a la que estaban sujetas las estrellas daban un total de 9 cuerpos
móviles solamente. En consecuencia, afirmaban la existencia de un décimo
cuerpo, llamado Anti-Tierra, que también giraba alrededor del fuego central.
Nosotros no podemos ver este décimo cuerpo debido a que se mueve exactamente a
la misma velocidad que la Tierra en el lado opuesto del fuego central y también
porque la parte habitada de la Tierra está de espaldas al fuego central. Aquí
tenemos la primera teoría que pone la Tierra en movimiento. Sin embargo, los
pitagóricos no afirmaban la rotación de la esfera; al contrario, la esfera de
estrellas fijas gira alrededor del centro del Universo.
La creencia en que los cuerpos celestes son eternos, divinos, perfectos e
inmutables y que los objetos sublunares, como la Tierra y (de acuerdo con los
griegos) los cometas, están sujetos a cambios, descomposición, decadencia y
muerte, puede haber venido también de los pitagóricos. La doctrina del
movimiento circular uniforme y la distinción entre cuerpos celestes y
sublunares se convirtió en algo inherente al pensamiento griego.
Otros hechos de la naturaleza fueron «reducidos» también a números. Los números
1, 2, 3 y 4, la tetractys, fueron especialmente apreciados
porque su suma es 10. De hecho el juramento de los pitagóricos parece haber
sido: «Yo juro en nombre de la Tetractys que ha sido concedida a nuestra alma.
La fuente y las raíces de todo lo que fluye en la naturaleza están contenidos
en ella.» Los pitagóricos afirmaban que la naturaleza estaba formada de
agrupaciones de cuatro elementos; por ejemplo, punto, línea, superficie y
sólido, y los cuatro elementos, tierra, aire, fuego y agua. Los cuatro
elementos fueron también centrales en la filosofía de la naturaleza de Platón.
Como el 10 era ideal, el 10 representaba el Universo. La idealidad del 10
exigía que la totalidad del Universo se pudiera describir en términos de 10
categorías de opuestos: impar y par, limitado e ilimitado, bueno y malo,
derecho e izquierdo, uno y varios, macho y hembra, recto y curvo, cuadrado y
oblongo, luz y oscuridad, y reposo y movimiento.
Evidentemente, la filosofía pitagórica mezcló pensamientos serios con doctrinas
que podríamos considerar fantasiosas, inútiles y sin base científica. Su
obsesión por la importancia de los números dio como resultado una filosofía
natural que en realidad tenía poca correspondencia con la naturaleza. No
obstante, orientaron la comprensión de la naturaleza no como los jonios, a
través de una sustancia única, sino por medio de la estructura formal de
relaciones numéricas. Además, tanto ellos como los jonios decían que el
verdadero sentido de los datos debía ser un orden armonioso de la naturaleza.
Podemos ver ahora por qué el descubrimiento de cantidades inconmensurables fue
algo desastroso para la filosofía pitagórica: una razón de longitudes
inconmensurables no se podría expresar como una razón de números enteros.
Además, creían que la recta estaba formada por una cantidad finita de puntos
(que identificaban con partículas físicas); pero éste no sería el caso para una
longitud como √2. Su filosofía, basada en la primacía de los números enteros,
habría saltado hecha añicos si hubieran aceptado los irracionales como números.
Puesto que los Pitagóricos «reducían» la astronomía y la música a números,
estas disciplinas quedaron enlazadas a la aritmética y la geometría, y las
cuatro fueron consideradas como las disciplinas matemáticas. Se convirtieron y
permanecieron en parte del currículum escolar incluso en la
Edad Media, cuando recibieron el nombre colectivo de «el quadrivium». Como
ya hemos observado, el interés de los pitagóricos por la aritmética (es decir,
por la teoría de números) no fue debido a los valores puramente estéticos de
dicha disciplina sino a una búsqueda de la explicación de fenómenos naturales
en términos numéricos; y esta valoración puso énfasis en proporciones
especiales y en las formas triangulares, cuadrangulares, pentagonales y de
orden superior en que se pueden ordenar los números. Además, fue la filosofía
natural de los pitagóricos, centrada alrededor del número, la que dio
importancia a esta materia con autores como Nicómaco. De hecho, la ciencia
moderna coincide con el énfasis de los pitagóricos sobre el número —aunque,
como veremos, de una manera mucho más sofisticada— mientras que la teoría
moderna de números, puramente estética, proviene de la aritmética pitagórica
propiamente dicha.
Los filósofos situados cronológicamente entre los pitagóricos y Platón
estudiaron igualmente la naturaleza de la realidad, pero no involucraron en
ella la matemática de una manera directa. Los argumentos y puntos de vista de
hombres como Parménides (siglo V a. C.), Zenón (siglo V a. C.), Empédocles (c.
484-c. 424 a. C.), Leucipo (c. 440 a. C.) y Demócrito (c. 460-c. 370 a. C.)
fueron cualitativos, igual que los de sus predecesores jonios. Hicieron grandes
afirmaciones acerca de la realidad, que eran, en el mejor de los casos,
escasamente sugeridas por la observación. Sin embargo, todos afirmaban que la
naturaleza es inteligible y que la realidad puede entenderse a través del
pensamiento. Cada uno de ellos era un eslabón de la cadena que conducía a la
investigación matemática de la naturaleza. Leucipo y Demócrito fueron notables
porque fueron los más explícitos al afirmar la teoría del atomismo. Su
filosofía común era que el mundo está compuesto de una cantidad infinita de
átomos simples y eternos. Estos difieren en la forma, tamaño, orden y posición,
pero todo objeto es una combinación de tales átomos. Pese a que las magnitudes
geométricas se pueden dividir indefinidamente, los átomos son las últimas
partículas indivisibles (la palabra átomo significa indivisible
en griego). Dureza, forma y tamaño son propiedades físicamente reales de los
átomos. Las restantes propiedades, como el sabor, calor y color no están en los
átomos sino en el perceptor; así el conocimiento sensorial es imprevisible
porque varía con el perceptor. Igual que los Pitagóricos, los atomistas
aseguraban que la realidad que subyace en la constantemente cambiante
diversidad del mundo físico se podía expresar en términos matemáticos y,
además, que los acontecimientos de este mundo estaban estrictamente
determinados por leyes matemáticas.
Platón, el primero de los pitagóricos después de Pitágoras, fue el propagador
con mayor influencia de la doctrina por la que la realidad e inteligibilidad
del mundo físico se pueden abarcar solamente a través de las matemáticas. Para
él no había ninguna duda de que el mundo estaba matemáticamente trazado, ya que
«Dios geometriza eternamente». El mundo percibido por los sentidos es
confuso y engañoso y en cualquier caso imperfecto y perecedero. El conocimiento
físico no es importante, ya que los objetos materiales cambian y decaen; así,
el estudio directo de la naturaleza y las investigaciones estrictamente físicas
son inútiles. No obstante, el mundo físico es una copia imperfecta del mundo
ideal, el único que deben estudiar matemáticos y filósofos. Las leyes
matemáticas, eternas e inmutables, son la esencia de la realidad.
Platón fue más allá que Pitágoras al desear no solamente comprender la
naturaleza a través de la matemática, sino sustituir la propia naturaleza por
ella. Creía que alguna ojeada al mundo físico podría suministrar algunas
verdades básicas, a partir de las cuales la razón podría seguir adelante sin
ayuda. Desde esa óptica no existiría la naturaleza, sino la matemática, que
sustituiría las investigaciones físicas como lo hace en geometría.
La actitud de Platón hacia la astronomía ilustra su postura sobre la búsqueda
del conocimiento. Esta ciencia no se refiere al movimiento de los cuerpos
celestes visibles. La ordenación de las estrellas en el cielo y sus movimientos
aparentes son por supuesto maravillosos y bellos para ser contemplados, pero la
simple observación y explicación de los movimientos se apartan de la verdadera
astronomía. Antes de llegar a esta última «debemos dejar solo al cielo», pues
la verdadera astronomía trata de las leyes del movimiento de las estrellas
verdaderas en un cielo matemático del que el cielo visible no es más que una
expresión imperfecta. Platón anima a una dedicación a una astronomía teórica,
cuyos problemas agradan a la mente y no a los ojos, y cuyos objetos se abarcan
mentalmente y no con la vista. La variedad de figuras que presenta el cielo a
los ojos se utiliza sólo como diagramas para ayudar a la investigación de las
verdades más altas. Los usos de la astronomía en la navegación, cálculo del
calendario y la medida del tiempo fueron ajenos a Platón.
Los puntos de vista de Platón acerca del papel de la matemática son una parte
integral de su filosofía, que afirma que hay una realidad objetiva
universalmente válida constituida de formas e ideas. Estas realidades eran
independientes de los seres humanos y eran inmutables, eternas e intemporales.
Estas ideas han llegado hasta nosotros a través del recuerdo o anamnesis; si
bien están presentes en el alma, deben estimularse para reparar en ellas o
hacerlas surgir desde sus abismos. Estas ideas son la única realidad. Incluidas
en ellas, pero ocupando un rango inferior, están las ideas matemáticas, que se
contemplan como un estado intermedio entre el mundo sensible y las ideas superiores
como la bondad, la verdad, la justicia y la belleza. En esta filosofía general
la matemática jugaba un doble papel; no sólo eran una parte de la realidad sino
que, como ya hemos señalado en el capítulo 3, ayudaban a disciplinar a la mente
para alcanzar las ideas eternas. Como dice Platón en el libro VII de La
República, el estudio de la geometría da una visión más sencilla del
concepto de divinidad:
«La geometría conduce el alma hacia la verdad y crea el espíritu
de la Filosofía...»
Aristóteles, al mismo tiempo que tomaba varias ideas de su
maestro Platón, tenía una idea completamente distinta del estudio del mundo
real y de la relación entre las matemáticas y la realidad. Criticó la visión
del mundo de Platón y su reducción de la ciencia a las matemáticas. Aristóteles
fue un físico; creía en las cosas materiales como sustancia primera y origen de
la realidad. La física y la ciencia en general debe estudiar el mundo físico
para obtener verdades; el verdadero conocimiento se obtiene a partir de la
experiencia sensorial por medio de la intuición y la abstracción. Entonces, la
razón debe aplicarse a los conocimientos así obtenidos.
La materia por sí misma no es importante. Como tal es indeterminada,
simplemente tiene la potencialidad de la forma; la materia se convierte en algo
importante cuando está organizada en formas diversas. La forma y el cambio en
la materia, que dan lugar a nuevas formas, son los hechos interesantes de la
realidad y los que ciertamente conciernen a la ciencia.
Al contrario de lo que creían los antiguos griegos, Aristóteles pensaba que la
materia no estaba formada de una sustancia primitiva. La materia que vemos y
tocamos está compuesta de cuatro elementos básicos: tierra, agua, fuego y aire.
A su vez, cada elemento tiene sus propias cualidades características. La tierra
es fría y seca; el agua, fría y húmeda; el aire, caliente y húmedo, y el fuego,
caliente y seco. Por tanto, las cualidades de un objeto determinado dependen de
las proporciones de los elementos que entran en él; y con esto quedan
determinadas la solidez, la dureza, el grosor y otras propiedades.
Los cuatro elementos tienen otras características. La tierra y el agua tienen
gravedad; el aire y el fuego, ligereza. La gravedad motiva que un elemento
tienda a situarse en el centro de la Tierra; la ligereza da lugar a que busque
el cielo. Así, si se conocen las proporciones de los elementos que forman parte
de un cuerpo dado, se puede conocer también su movimiento.
Aristóteles contempla los sólidos, fluidos y gases como tres tipos distintos de
materia que se distinguen por la posesión de diferentes cualidades intrínsecas.
La transición de sólido a líquido, por ejemplo, representa la pérdida de una
cualidad y su sustitución por otra. Así, el cambio del mercurio en oro rígido
conlleva tomar del mercurio la sustancia que tiene la fluidez y sustituirla por
otra sustancia.
La ciencia había de considerar también las causas del cambio. Para Aristóteles
había cuatro tipos de causas. La primera era la causa material o inmanente;
para una estatua de bronce, el bronce es la causa inmanente. La segunda era la
causa formal; para una estatua era el diseño o la forma. La causa formal de la
armonía es la relación de 2 a 1 en la octava. La tercera causa era la causa
eficiente, el agente o el actor; el artista y su cincel son las causas
efectivas para la estatua. La cuarta era la causa final o el propósito para el
que servía el fenómeno; las estatuas sirven para el goce del pueblo, para
ofrecer belleza. La causa final era la más importante de las cuatro porque daba
la razón última de acontecimientos o fenómenos. Cada cosa tenía una causa
final.
¿Qué lugar tenía la matemática en este esquema de cosas? Las ciencias físicas
eran fundamentales para el estudio de la naturaleza y las matemáticas ayudaban
a describir propiedades formales tales como la forma y la cantidad.
Proporcionaban también explicaciones de hechos observados en fenómenos
materiales. De esta manera, la geometría daba las razones de hechos que se
producían en óptica y astronomía y la aritmética las proporciones que
producirían la armonía. Pero la matemática era definitivamente una abstracción
del mundo real, ya que los objetos matemáticos no son independientes o
anteriores a la experiencia. Existen en la mente humana como una clase de ideas
intermedias entre los objetos sensibles y la esencia de los mismos. Puesto que
se han abstraído del mundo físico, son aplicables a él, pero no tienen ninguna
realidad aparte de las cosas visibles y tangibles. La matemática sola no puede proporcionar
nunca una definición adecuada de la sustancia. Diferencias cualitativas, como
los distintos colores, no pueden ser reducidas a diferencias geométricas. En
consecuencia, en el estudio de las causas, la matemática puede dar, en el mejor
de los casos, algún conocimiento de la causa formal, esto es, una descripción.
Puede describir lo que ocurre en el mundo físico, puede establecer
correlaciones entre variaciones concomitantes, pero no puede decir nada acerca
de las causas finales y efectivas del movimiento o el cambio. Así pues,
Aristóteles distinguía formalmente entre matemática y física, y asignaba un
papel menor a la matemática. No estuvo interesado en la predicción.
A partir de este resumen podemos ver que todos los filósofos griegos que
forjaron y moldearon el mundo intelectual griego pusieron el énfasis en el
estudio de la naturaleza para la comprensión y apreciación de su realidad
subyacente. Desde los tiempos de los pitagóricos prácticamente todos aseguraban
que la naturaleza estaba diseñada matemáticamente. Durante el período clásico,
la teoría del diseño matemático de la naturaleza quedó establecida y la
investigación de las leyes matemáticas, institucionalizada. A pesar de que esta
teoría no motivaba todas la matemática creada después, una vez establecida fue
aceptada y seguida concienzudamente por la mayoría de los grandes matemáticos.
Durante el tiempo en que imperó esta doctrina, que fue hasta finales del siglo
XIX, la investigación del diseño matemático se identificó con la búsqueda de la
verdad. Aunque algunos griegos —por ejemplo, Ptolomeo— sostenían que las
teorías matemáticas eran solamente intentos humanos de proporcionar una
descripción coherente, la creencia de que las leyes matemáticas eran la verdad
en lo que se refiere a la naturaleza, atrajo hacia la matemática a algunos de
los pensadores más nobles y profundos.
Observaremos también, con el fin de apreciar mejor lo que ocurrió en el siglo
XVII, el énfasis griego sobre la potencia de la mente. Puesto que los filósofos
griegos creían que la mente era el agente más poderoso para abarcar la
naturaleza, adoptaron principios básicos que se referían a la mente. Así, la
creencia de que el movimiento circular era el básico, defendida por Aristóteles
sobre la base de que el círculo es completo mientras que una figura lineal,
debido a que está limitada por varias curvas (segmentos lineales), es
incompleta y por tanto de importancia secundaria, recurría a la mente basándose
en principios estéticos. Que los cuerpos celestes se moverían sólo con
velocidad constante o uniforme fue un concepto que agradaba a la mente,
seguramente porque era más sencillo que el movimiento no uniforme. La
combinación de los movimientos circular y uniforme pareció sentar bien a los
cuerpos celestes. Que los cuerpos sublunares fueran diferentes de los planetas,
el Sol y las estrellas también pareció razonable, ya que los cuerpos celestes
presentaban un aspecto permanente mientras que los cambios sobre la Tierra eran
evidentes. Incluso Aristóteles, que daba importancia a las abstracciones
solamente en la medida en que podían servir de ayuda para comprender el mundo
observable, decía que debemos comenzar a partir de principios que son conocidos
y manifiestos a la mente y proceder entonces a analizar las cosas que se encuentran
en la naturaleza. Vamos, dice, de lo universal a lo particular, del hombre a
los hombres, exactamente como los niños llaman padre a todos los hombres y
entonces aprenden a distinguir. Así pues, incluso las abstracciones que vienen
de objetos concretos presuponen algunos principios generales que emanan de la
mente. Esta doctrina, el poder de la mente para producir primeros principios,
fue rechazada el siglo XVII.
4. La astronomía matemática griega
Vamos a examinar ahora la producción griega en lo que se refiere a la
descripción matemática de los fenómenos naturales. Es a partir de los tiempos
de Platón cuando las distintas ciencias creadas por los griegos toman un
contenido y una dirección significativos. Aun cuando nos proponemos analizar la
astronomía griega, lo haremos a través de un aspecto de la geometría euclídea.
Ya hemos observado que la geometría esférica se desarrolló en función de la
astronomía. La geometría era, en efecto, subsidiaria de un campo más general
como es la cosmología. Los principios geométricos, para los griegos, estaban
incorporados a la estructura global del Universo, de la que el espacio era el
principal componente. Por tanto, el estudio del propio espacio y de las figuras
del mismo era de importancia para un fin superior. En otras palabras, la
geometría fue una ciencia: la ciencia del espacio físico.
Fue Platón quien, pese a estar enterado del número impresionante de
observaciones astronómicas hechas por los babilonios y los egipcios, puso
énfasis en la ausencia de una teoría subyacente o unificadora y de una
explicación de los movimientos aparentemente irregulares de los planetas.
Eudoxo, que fue durante un tiempo alumno de la Academia, hizo suyo el problema
de Platón de «salvar las apariencias». Su respuesta es la primera teoría
astronómica razonablemente completa. Escribió cuatro libros sobre
astronomía: Espejo, Acontecimientos, El período de ocho años y Sobre
velocidades, de los que conocemos sólo algunos fragmentos. Por estos
fragmentos y los relatos de otros autores conocemos el espíritu de la teoría de
Eudoxo.
Los movimientos del Sol y la Luna, vistos desde la Tierra, pueden ser descritos
a grandes rasgos como circulares con velocidad constante. Sin embargo, sus
desviaciones de las órbitas circulares son lo suficientemente grandes como para
haber sido observadas y para requerir una explicación. Los movimientos de los
planetas, observados desde la Tierra, son todavía más complejos, pues durante
una revolución cualquiera invierten su recorrido, marchan hacia atrás durante un
tiempo y de nuevo vuelven a moverse hacia adelante. Además, sus velocidades en
estos caminos son variables.
Para demostrar que los movimientos reales, bastante complicados y aparentemente
sin leyes, eran comprensibles en términos de movimientos circulares sencillos,
Eudoxo propuso el esquema siguiente: para cualquier cuerpo celeste existía un
conjunto de tres o cuatro esferas, todas concéntricas y cuyo centro era la
Tierra, girando cada una de ellas alrededor de un eje. La esfera más interior
contenía el cuerpo que se movía a lo largo de lo que se podría llamar el
ecuador de dicha esfera; es decir, el eje de rotación era perpendicular al
camino circular del cuerpo. Sin embargo, mientras giraba sobre su eje, esta
esfera era arrastrada por la rotación de la esfera concéntrica siguiente por
medio del siguiente artificio: imaginemos que el eje de rotación de la primera
esfera se prolonga por cada uno de sus extremos hasta cortar la segunda esfera.
Si ahora la segunda esfera gira alrededor de su propio eje, hará girar también
el eje de la primera al mismo tiempo que esta última da vueltas alrededor del
mismo. El eje de la segunda esfera es a su vez arrastrado por la rotación de la
tercera esfera sobre su eje. Eudoxo encontró que para el Sol y la Luna bastaba
una combinación de tres esferas para reproducir sus movimientos reales
observados desde la Tierra. Para cada planeta se requería una cuarta esfera,
relacionada con la tercera como ya hemos descrito. La esfera más exterior daba
una vuelta cada 24 horas alrededor de un eje que pasaba por los polos de la
esfera celeste. En total, Eudoxo usaba 27 esferas. Sus ejes de rotación,
velocidades de giro y radios estaban determinados de manera que la teoría se
ajustara lo mejor posible a las observaciones disponibles en su tiempo.
El esquema de Eudoxo era matemáticamente elegante y destacable en varios
aspectos. La idea misma de la utilización de combinaciones de esferas era
ingeniosa; y la tarea de elegir los ejes, velocidades y radios para hacer que
el movimiento resultante del cuerpo celeste se ajustara a las observaciones
reales requiere grandes habilidades matemáticas para trabajar con superficies y
curvas (esto es, los caminos de los planetas) en el espacio.
Es especialmente digno de mención que la teoría de Eudoxo es estrictamente
matemática. Sus esferas, excepto la «esfera» de las estrellas fijas, no eran
cuerpos materiales sino construcciones matemáticas. Tampoco intentaba describir
las fuerzas que harían girar las esferas tal como él decía que lo hacían. Su
teoría es completamente moderna en su espíritu, pues hoy en día la finalidad de
la ciencia consiste en dar una descripción matemática de los fenómenos y no una
explicación física de los mismos.
El sistema de Eudoxo tenía serios inconvenientes. No tenía en cuenta la
velocidad variable del Sol y presentaba pequeños errores acerca de su camino
real. Su teoría no acababa de encajar con el movimiento real de Marte y tampoco
era satisfactoria para Venus. Que Eudoxo admitiera tales inconvenientes puede
explicarse por el hecho de que creía que no tenía en su poder el número de
observaciones suficiente. Probablemente había estudiado en Egipto solamente los
hechos más importantes acerca de puntos estacionarios, regresiones y períodos
de revolución de los planetas exteriores (Marte, Júpiter y Saturno). Quizá
también por este motivo sus valores para los tamaños y las distancias de los
cuerpos celestes estaban muy equivocados. Aristarco dice que Eudoxo creía que
el diámetro del Sol era nueve veces el de la Luna.
Aristóteles no valoraba un esquema estrictamente matemático, por lo que no le
satisfizo la solución de Eudoxo. Para inventar un mecanismo real que haga que
una esfera obligue a otra a girar, añadió 29 esferas. Estas estaban
intercaladas entre las de Eudoxo de tal forma que una esfera arrastra a otra a
través de un contacto real y por ello todas transmitían su propia potencia a
partir de la más exterior. En algunos escritos de Aristóteles la esfera de las
estrellas, que era móvil, es el primer motor de las restantes. En otros existe
un motor inmóvil detrás de la esfera de estrellas. Sus 56 esferas complicaron
el sistema de tal manera que fue desacreditado por los científicos, pese a que
fue popular entre seglares en la Europa medieval. Aristóteles también creía que
la Tierra era esférica, por razones de simetría y equilibrio y porque la sombra
de la Tierra sobre la Luna, visible en los eclipses lunares, es circular.
Los escritos sobre astronomía continúan después de Aristóteles sin solución de
continuidad. Después de los trabajos de Autólico (cap. 3, sec. 10) y los Fenómenos de
Euclides (cap. 4, sec. 11) los siguientes grandes trabajos astronómicos son
alejandrinos. Las observaciones de los caldeos, las observaciones hechas por
los babilonios del período seléucida y las mediciones hechas por los propios
alejandrinos incrementaron enormemente el número y la precisión de los datos
asequibles.
El primer gran astrónomo alejandrino fue Aristarco (sobre 310- 230 a. C.) que
estudió geometría, astronomía, música y otras ramas de la ciencia. Su
libro Sobre el Tamaño y las Distancias del Sol y la Luna, del que
existen manuscritos en griego y árabe, es el primer gran intento de medir las
distancias del Sol y la Luna desde la Tierra y los tamaños relativos entre
estos cuerpos. Estos cálculos son, claramente, otro ejemplo del interés de los
alejandrinos respecto de cuestiones de tipo cuantitativo. Aristarco no tenía a
su disposición la trigonometría, ni un buen valor para k (el
trabajo de Arquímedes al respecto apareció más tarde), pero utilizó la
geometría euclídea de forma muy eficaz.
Figura 7.1
Sabía que la luz de la Luna es luz reflejada. Cuando exactamente
la mitad de la Luna está iluminada, el ángulo en M (fig. 7.1)
es un ángulo recto. El observador en O puede medir el ángulo allí y, entonces,
dar una estimación de las distancias relativas OM y OS. La
medición del ángulo de Aristarco fue de 87°; aunque el valor aproximado es de
89°52'. En consecuencia, estimó que el Sol está más de 18 veces y menos de 20
más alejado que la Luna. La relación correcta es 346 veces más distante.
Una vez que conoce las distancias relativas, Aristarco calcula los tamaños
relativos midiendo los tamaños de los discos del Sol y de la Luna visibles
desde la Tierra. Concluyó que el volumen del Sol era 7000 veces mayor que el de
la Luna. Estuvo muy lejos de la verdad: el número correcto es 64.000.000.
Calculó también que la razón entre el radio del Sol y el de la Tierra está
comprendida entre 19/3 y 43/6; no obstante, la razón correcta es alrededor de
107.
Aristarco es igualmente famoso por haber sido el primero que propuso la
hipótesis heliocéntrica —la Tierra y los planetas dan vueltas alrededor del
Sol, que permanece fijo, describiendo círculos—. Las estrellas también están
fijas y su movimiento aparente se debe a la rotación de la Tierra sobre su eje.
La Luna gira alrededor de la Tierra. Pese a que, como sabemos hoy día,
Aristarco estaba en lo cierto, su idea no fue aceptada por varias razones. Por
una parte, la mecánica griega (ver más abajo), que había sido ya bien
desarrollada por Aristóteles, no consideraba objetos situados en una Tierra
móvil. De acuerdo con Aristóteles, los objetos pesados buscaban el centro del
Universo. Este principio daba cuenta de la caída de objetos hacia la Tierra, ya
que ésta era el centro del Universo; pero si estuviera en movimiento los
objetos quedarían detrás de ella. Este argumento fue utilizado por Ptolomeo
contra Aristarco y, de hecho, fue usado también contra Copérnico ya que el
sistema mecánico que seguía prevaleciendo era todavía el de Aristóteles.
Ptolomeo decía también que las nubes se rezagarían detrás de una Tierra en
movimiento. Además, la Mecánica de Aristóteles requería una fuerza para mantener
los objetos terrestres en movimiento y no existía ninguna fuerza evidente. No
conocemos la forma en que Aristarco rebatió estos argumentos.
Otro argumento que se lanzó contra Aristarco era que si la Tierra estuviera en
movimiento su distancia a las estrellas fijas debía variar, pero esto
claramente no era así. Aristarco dio a esto la refutación correcta: decía que
el radio de la esfera de las estrellas fijas es tan grande que la órbita de la
Tierra es demasiado pequeña para apreciar tal variación. La idea heliocéntrica
de Aristarco fue rechazada por muchos por considerarla impía, al identificar la
materia corruptible de la Tierra con la materia incorruptible de los cuerpos
celestes. La hipótesis de que los planetas se mueven alrededor del Sol describiendo
círculos es, naturalmente, insatisfactoria, ya que el movimiento es realmente
más complicado, pero la idea heliocéntrica podía haber sido refinada y
Copérnico lo hizo más tarde. No obstante, fue demasiado radical para el
pensamiento griego.
El creador de la Astronomía matemática cuantitativa es Apolonio. Era llamado
Epsilon debido a que el símbolo e se usaba para designar la
Luna y gran parte de su astronomía estaba dedicada al movimiento de dicho
astro. Antes de considerar su trabajo así como el de Hiparco y Ptolomeo, con
los que está fuertemente relacionado, examinaremos el esquema básico que había
inspirado la astronomía griega entre los tiempos de Eudoxo y Apolonio: el
esquema de epiciclo y deferente.
Figura 7.2
En este esquema un planeta P se mueve con
velocidad constante sobre un círculo (fig. 7.2) de centro 5, mientras que 5 se
mueve a su vez con velocidad constante sobre un círculo centrado en la
Tierra E. El círculo sobre el que se mueve S recibe
el nombre de deferente; el círculo sobre el que se mueve P,
epiciclo. Para algunos planetas, el punto S es el Sol, pero en
otros casos es solamente un punto matemático. El sentido del movimiento
de P puede coincidir o ser opuesto al del movimiento de S. Este
último es el caso del Sol y de la Luna.
Se supone que Apolonio conocía perfectamente el esquema del movimiento
epicíclico y los detalles que permiten la representación de los movimientos de
los planetas, la Luna y el Sol. Ptolomeo atribuye específicamente a Apolonio la
determinación de los puntos en que un planeta permanece estacionario e invierte
el sentido de su movimiento.
El punto culminante de la astronomía griega son los trabajos de Hiparco y
Ptolomeo. El esquema de deferente y epiciclo fue tomado por Hiparco (muerto
sobre el 125 a. C.) y aplicado al movimiento de los cinco planetas conocidos
entonces, la Luna, el Sol y las estrellas. Conocemos los trabajos de Hiparco a
través del Almagesto de Ptolomeo, si bien resulta difícil
distinguir qué es debido a Hiparco y qué a Ptolomeo. Después de realizar
observaciones en Rodas durante treinta y cinco años y utilizar las
observaciones de los babilonios, Hiparco trabajó sobre los detalles de la
teoría epicíclica del movimiento. Seleccionando adecuadamente los radios del
epiciclo y el deferente y las velocidades de un cuerpo sobre su epiciclo así
como el centro de éste sobre el deferente, era capaz de obtener una descripción
mejorada de los movimientos. Tuvo mucho éxito con el Sol y la Luna, pero su
éxito fue solamente parcial con los planetas. Durante el tiempo de Hiparco, un
eclipse de Luna se predecía con un error de una o dos horas, mientras que los
eclipses de Sol se predecían con menor precisión. Esta teoría era válida
también para las estaciones.
La aportación más original de Hiparco es su descubrimiento de la precesión de
los equinoccios. Para comprender este fenómeno supongamos que el eje de
rotación de la Tierra se prolonga hasta las estrellas. El punto en el que corta
la esfera de las estrellas describe un círculo y tarda 2600 años en recorrerlo.
En otras palabras, el eje de la Tierra varía continuamente su dirección
respecto a las estrellas y el movimiento es periódico. La estrella a la que
apunta en cualquier momento recibe el nombre de Estrella Polar. El ángulo
abarcado desde la Tierra por su diámetro del círculo mencionado con
anterioridad es de 45°.
Hiparco tiene varias contribuciones más a la astronomía, como la construcción
de instrumentos para la observación, la determinación del ángulo de la
eclíptica, la medida de irregularidades en el movimiento de la Luna, la mejora
de la determinación de la duración del año solar (que estimó en 365 días, 5
horas, 55 minutos y 12 segundos (aproximadamente 6 1/2 minutos demasiado largo)
y un catálogo de alrededor de mil estrellas. Encontró que la razón entre la
distancia a la Luna y el radio de la Tierra era 67,74; el verdadero valor es
60,4. Calculó que el radio de la Luna es 1/3 del de la Tierra; sabemos en la
actualidad que es 27/100.
Ptolomeo extendió los trabajos de Hiparco con varias mejoras sobre la
descripción matemática de los movimientos de todos los cuerpos celestes. La
teoría geocéntrica generalizada, presentada en el Almagesto, ofrece
una exposición completa de la teoría de deferente y epiciclo, que se conoce hoy
en día como teoría de Ptolomeo.
Con el fin de dar una descripción geométrica de las observaciones realizadas,
Ptolomeo introdujo también una modificación del movimiento epicíclico conocido
como el movimiento ecuante uniforme. En este esquema (fig. 7.3) el planeta se
mueve sobre un epiciclo con centro en Q al tiempo que Q se
mueve sobre un círculo de centro C, que no es la Tierra sino un
punto próximo. Fija la velocidad de Q introduciendo el
punto R tal que EC = CR y de
manera que ÐQRT crece uniformemente. Así Q se
mueve con velocidad angular constante, pero no con velocidad lineal uniforme.
Figura 7.3
El método y conocimientos que alcanzaron los astrónomos griegos
son completamente modernos. Los astrónomos greco- alejandrinos, en especial
Hiparco y Ptolomeo, hicieron sus propias observaciones; de hecho, Hiparco no
confiaba en muchas de las antiguas observaciones egipcias y caldeas y las
repitió de nuevo. Los astrónomos clásicos y los alejandrinos no sólo
construyeron teorías sino que comprobaron completamente que estas teorías no
constituían el verdadero diseño sino descripciones que encajaban con las observaciones.
Ptolomeo dice en el Almagesto[16] que en astronomía era necesario buscar un modelo
matemático lo más sencillo posible. Estos sabios, al contrario que otros
griegos, no buscaban una explicación física de los movimientos. Acerca de esto,
Ptolomeo dice[17]: «Después de todo, hablando con generalidad, la causa de los
primeros principios es o bien nada o bien algo difícil de interpretar en su
naturaleza.» Pero su propio modelo matemático fue tomado más tarde como la
verdad en sentido literal por el mundo cristiano.
La teoría ptolemaica ofreció la primera evidencia razonablemente completa de la
uniformidad e invariabilidad de la Naturaleza y fue la última respuesta griega
al problema de Platón de racionalizar los movimientos aparentes de los cuerpos
celestes. Ninguna otra producción de toda Grecia podía rivalizar con el Almagestodebido
a su profunda influencia sobre las concepciones del Universo y ninguna, salvo
los Elementos de Euclides, logró tan incuestionable autoridad.
Este breve relato de la astronomía griega no ha revelado todo el fondo y
extensión del trabajo realizado incluso por los autores citados aquí, y omite
muchas contribuciones más. Casi todos los matemáticos griegos, incluido
Arquímedes, se dedicaron a esta cuestión. La astronomía griega fue dominante y
globalizadora y utilizó muchas matemáticas.
5. La Geografía
Otra ciencia creada en tiempos de los griegos es la Geografía. Aunque algunos
griegos clásicos como Anaximandro y Hecateo de Mileto (muerto sobre el 475 a.
C.) hicieron algunos mapas de la Tierra tal como era conocida entonces, fueron
los alejandrinos quienes realizaron los grandes avances en geografía. Midieron
o calcularon distancias a lo largo de la Tierra, la altura de las montañas, la
profundidad de los valles y la extensión de los mares. Los alejandrinos estaban
especialmente estimulados a estudiar geografía porque el mundo griego se había
extendido.
El primer gran geógrafo alejandrino fue Eratóstenes de Cirene (c. 284-c. 192 a.
C.), director de la biblioteca de Alejandría, matemático, poeta, filósofo,
historiador, filólogo, cronólogo y con la fama de ser uno de los hombres más
cultos del mundo antiguo. Estudió en Atenas en la escuela de Platón y fue
invitado a Alejandría por Ptolomeo Euergetes. Eratóstenes trabajó en Alejandría
hasta que a su vejez le sobrevino la ceguera; a causa de esta desgracia dejó de
comer hasta morir de ese modo.
Eratóstenes recopiló todo el conocimiento geográfico del momento y realizó
numerosos cálculos de distancias sobre la Tierra entre lugares importantes
(como por ejemplo las ciudades). Uno de sus cálculos más famosos es la longitud
de la circunferencia de la Tierra. Al mediodía del solsticio de verano, observó
que el Sol estaba prácticamente sobre la vertical de Siena, la ciudad llamada
actualmente Asuán (fig. 7.4). (Esto fue confirmado al observar que el Sol
brillaba directamente vertical allí hasta el fondo de un pozo.) Al mismo
tiempo, en Alejandría, que está (con una variación de Io) en el
mismo meridiano, que Siena pero situada más al Norte, observó que el ángulo
entre la vertical (OB en la figura) y la dirección del
Sol (AD en la figura) era de 1/50 de 360°.
Figura 7.4
El Sol está suficientemente alejado de la Tierra, por lo que
podemos considerar que SE y AD son paralelas.
Luego ÐSOA es 1/50 ´ 360°. Esto significa que el arco SA es
1/50 de la circunferencia de la Tierra. Eratóstenes dio una estimación de la
distancia entre Alejandría y Siena usando el hecho de que un convoy de
camellos, que por lo común viajaba 100 estadios diarios, tardaba 50 días en
llegar a Siena. Por lo tanto, esta distancia es de 5000 estadios y la
circunferencia de la Tierra mide 250.000 estadios. Se cree que un estadio
equivalía a 157 metros por lo que el resultado de Eratóstenes es de 24.662
millas. Este resultado era mucho más exacto que todos los resultados
anteriores.
Eratóstenes escribió una Geografía en la que incorporó los
métodos y resultados de sus mediciones y cálculos. Incluye explicaciones acerca
de la naturaleza y las causas de los cambios que han tenido lugar sobre la
superficie de la Tierra. Hizo también un mapa del mundo.
El trazado científico de mapas se convirtió en una parte de la geografía. Está
generalmente admitido que fue Hiparco quien introdujo la latitud y la longitud,
si bien el sistema era conocido con anterioridad. El uso de la latitud y la
longitud permite una descripción precisa de localizaciones sobre la Tierra.
Hiparco inventó la proyección ortográfica, por la cual los «rayos de luz»
procedentes del infinito proyectan la Tierra sobre un plano (fig. 7.5). Nuestra
visión de la Luna es prácticamente ortográfica. Este método le permitió
representar una porción de la Tierra sobre una superficie plana.
Figura 7.5
Ptolomeo en su Planisferio, y probablemente
Hiparco antes que él, empleó el método de la proyección estereográfica.
Figuras 7.6 y 7.7
Una línea que parte de O (fig. 7.6) y pasa por P, situado
sobre superficie de la Tierra, se prolonga hasta que corte el plano del Ecuador
o un plano tangente por el polo opuesto. Hiparco usaba presumiblemente este
último y Ptolomeo el plano ecuatorial. De esta manera los puntos de la esfera
se transfieren a un plano. En este esquema todos los puntos del mapa están en
la verdadera dirección desde el centro del mismo. Asimismo, los ángulos quedan
conservados localmente (transformación conforme), aunque Ptolomeo no menciona
nada de esto. Los meridianos y los paralelos de las latitudes son
perpendiculares. Los círculos de la esfera se convierten en círculos del plano,
pero el área no se conserva. El propio Ptolomeo ideó la proyección cónica, es
decir, la proyección de una región de la Tierra desde el centro de la esfera
sobre un cono tangente (fig. 7.7).
En su Geografía, una obra en ocho tomos, Ptolomeo enseña
métodos de confección de mapas. El capítulo 24 del libro I es el trabajo más
antiguo que existe dedicado por su título y su contenido a aplicar una esfera
sobre un plano. La Geografía completa es el primer atlas y
diccionario geográfico. Da la latitud y la longitud de 8.000 lugares de la
Tierra y fue la referencia típica durante cientos de años.
6. La Mecánica
Los griegos fueron los iniciadores de la ciencia de la Mecánica. En su Física,Aristóteles
incluye una teoría del movimiento que es el punto culminante de la mecánica
griega. Como toda su física, su mecánica está basada en principios racionales,
aparentemente semievidentes, sólo levemente comprobados por la observación y la
experiencia o diseñados a partir de ellas.
Según Aristóteles, hay dos tipos de movimiento, el natural y el violento o
creado por el hombre. Las esferas celestes tienen solamente un movimiento
natural, que es circular. Para los objetos terrestres, él pensaba que poseen un
movimiento natural (en oposición a los movimientos violentos provocados al
arrastrar o empujar un cuerpo de un lugar a otro) debido a que cada cuerpo
tiene un lugar natural en el Universo en el que permanece en equilibrio o en
reposo. Los cuerpos pesados tienen su lugar natural en el centro del Universo,
que coincide con el centro de la Tierra. Los movimientos naturales se producen
cuando un cuerpo busca su lugar natural. En sus movimientos naturales, los
cuerpos terrestres describen trayectorias rectas hacia arriba o hacia abajo. Si
un objeto terrestre no estuviera en su lugar natural, lo buscaría con la mayor
rapidez posible. Los movimientos violentos, es decir, los provocados por el
hombre, están compuestos de partes circulares y de partes rectilíneas. Así, una
piedra lanzada hacia arriba sigue un camino en línea recta hacia arriba y un
camino en línea recta hacia abajo.
Cualquier cuerpo en movimiento está sujeto a una fuerza y a una resistencia, la
fuerza es el peso del cuerpo y la resistencia viene del medio en el que se
mueve dicho cuerpo. En el movimiento violento la fuerza está aplicada por la
mano o por algún mecanismo y la resistencia procede de su peso. Sin fuerza no
habría movimiento; sin resistencia el movimiento quedaría completado en un
instante. La velocidad de cualquier movimiento, entonces, depende de la fuerza
y de la resistencia. Estos principios se pueden resumir de forma moderna por la
fórmula V F/R; esto es, la velocidad es directamente proporcional a
la fuerza e inversamente proporcional a la resistencia.
Como en el movimiento violento la resistencia está provocada por el peso, para
cuerpos ligeros la resistencia, R, es menor. En virtud de la
fórmula anterior, la velocidad debe ser mayor; es decir, los cuerpos más
ligeros se mueven con más rapidez bajo la misma fuerza. En el caso del
movimiento natural, la fuerza es el peso, por lo que cuerpos más pesados caen más
rápidamente. Como en un movimiento natural la resistencia viene dada por el
medio, en el vacío la velocidad debería ser infinita. Por lo tanto el vacío es
imposible.
Aristóteles tenía dificultades para describir algunos fenómenos. Para explicar
las velocidades crecientes en la caída de los cuerpos hacía que la velocidad
del cuerpo aumentara a medida que se iba aproximando a su lugar natural porque
el cuerpo se mueve con más alegría; pero esto no es coherente con que la
velocidad dependa del peso fijo. En el caso de una flecha lanzada desde un
arco, Aristóteles decía que la flecha continuaba el movimiento aunque no
estuviera en contacto con el arco porque la mano o el arquero comunicaba una
potencia de movimiento al aire circundante y este aire a la capa siguiente de
aire y así sucesivamente. Alternativamente, el aire situado frente a la flecha
se comprimía y empujaba alrededor de la parte posterior de la flecha para
prevenir un vacío y así la flecha es empujada hacia adelante. No explicó la
caída de la potencia motriz.
El mayor físico matemático de los tiempos de Grecia es Arquímedes. El, más que
ningún otro autor griego, acercó la geometría a la mecánica y utilizó con gran
ingenio argumentos geométricos para dar sus demostraciones. En mecánica
escribió Sobre el equilibrio de planos o el centro de gravedad de
planos, una obra en dos tomos. Por centro de gravedad de un cuerpo o
una colección de cuerpos enlazados rígidamente entre sí entiende, igual que lo
hacemos nosotros, el punto en el que se debe apoyar el cuerpo o colección de
cuerpos para que esté en equilibrio por la fuerza de la gravedad. Comienza con
postulados sobre la palanca y el centro de gravedad. Por ejemplo (los números
están de acuerdo con los asignados por Arquímedes):
1. Pesos iguales a distancias iguales están en equilibrio y pesos
iguales a distancias distintas no están en equilibrio, pero el peso se inclina
hacia el que está a mayor distancia.
2. Si, cuando pesos situados a determinadas distancias están en
equilibrio, se añade algo a uno de ellos, dejan de estar en equilibrio pero se
inclinan hacia el peso al que se ha hecho la adición.
5. En figuras distintas pero semejantes sus centros de gravedad
estarán situados de manera que guardarán la misma semejanza...
7. En cualquier figura cuyo perímetro es cóncavo en la misma
dirección el centro de gravedad debe estar en el interior de la figura.
A continuación de estos postulados coloca un número determinado de
proposiciones; las demostraciones de algunas de ellas dependen de resultados de
un tratado perdido, Sobre Palancas:
Proposición 4. Si dos pesos iguales no tienen el mismo centro de
gravedad, el centro de gravedad del sistema formado por los dos cuerpos está en
el punto medio del segmento cuyos extremos son los centros de gravedad
respectivos.
Proposiciones 6 y 7. Dos magnitudes tanto conmensurables como
inconmensurables se equilibran en una balanza a distancias inversamente
proporcionales a las magnitudes.
Proposición 10. El centro de gravedad de un paralelogramo es el
punto de intersección de sus diagonales.
Proposición 14. El centro de gravedad de un triángulo está en el
punto de intersección de las líneas trazadas desde dos vértices cualesquiera al
punto medio del lado opuesto respectivo.
El libro II se dedica al centro de gravedad de un segmento parabólico. Entre
los teoremas principales están:
Proposición 4. El centro de gravedad de un segmento parabólico
determinado por una línea está situado sobre el diámetro del segmento.
Figura 7.8
El diámetro es AO (fig. 7.8), donde O es
el punto medio de BD y AO es paralelo al eje
de la parábola. La demostración utiliza resultados obtenidos en su Cuadratura
de la parábola.
Proposición 8. Si A O es el diámetro de un segmento parabólico y G
su centro de gravedad, entonces AG = (3/2)GO.
Trabajos sobre centros de gravedad pueden encontrarse en varios libros del
período greco-alejandrino. Algunos ejemplos son la Mecanica de
Herón y el libro VIII de la Colección Matemática de Pappus
(cap. 5, sec. 7).
La ciencia de la hidrostática —el estudio de la presión de los fluidos en
reposo— fue creada por Arquímedes. En su libro Sobre los cuerpos
flotantes está interesado en la presión ejercida por el agua sobre los
objetos situados en ella. Da dos postulados. El primero de ellos es que el
efecto que produce la presión ejercida por cualquier parte del fluido sobre el
fluido es descendente. El segundo postulado afirma que la presión ejercida por
un fluido sobre un cuerpo situado en él está dirigida hacia arriba en la dirección
de la perpendicular que pasa por el centro de gravedad del cuerpo. Algunos de
los teoremas que demuestra en el libro I son:
Proposición 2. La superficie de un fluido en reposo es la
superficie de una esfera cuyo centro es el centro de la Tierra.
Proposición 3. Los sólidos que, a tamaños iguales, tienen el mismo
peso que un fluido, si se hunden en un fluido quedarán sumergidos de manera que
no emergen por encima de la superficie, pero tampoco se hunden por debajo de
ella.
Proposición 5. Si se sitúa en un fluido un sólido más ligero que el
propio fluido quedará sumergido en él de manera que el peso del sólido en el
aire será igual al peso del fluido desplazado.
Proposición 7. Un sólido más pesado que un fluido desciende hasta
el fondo del mismo cuando se sitúa en él, y el sólido, cuando se pese en el
fluido, será más ligero que su verdadero peso en el peso del fluido desplazado.
Se cree que esta última proposición es una de las empleadas por Arquímedes para
determinar la composición de una famosa corona (cap. 5, sec. 3). Debió razonar
de la manera siguiente: sea W el peso de la corona. Tomemos
una corona de oro puro de peso W y pesémosla en el fluido.
Pesará una cantidad F1 menos, que es el peso del
agua desplazada. Análogamente, un peso W de plata pura
desplazará un peso de agua igual a F2, que puede
calcularse pesando la plata en el agua. Entonces, si la corona original
contiene un peso w1 de oro y un peso w2de
plata, la corona original debe desplazar un peso de agua igual a
Sea F el peso real del agua desplazada por la
corona. Entonces
o
w1F1 + w2F2 = (w1+ w2 )F
o bien
De esta manera Arquímedes fue capaz de determinar la razón entre
las cantidades de oro y de plata que contenía la corona. La narración de
Vitrubio de esta historia relata que Arquímedes usó volúmenes de
agua desplazada en vez de pesos. En este caso, los valores F, F1 y
F2 anteriores son, respectivamente, los volúmenes de agua
desplazada por la corona, un peso W de oro puro y un
peso W de plata pura. Se utilizan las mismas fórmulas, pero
ahora no se debe utilizar la proposición 7. Arquímedes halló que el oro había
sido degradado con plata.
Para apreciar un poco las complejidades matemáticas y físicas de los problemas
tratados por Arquímedes en este trabajo, citaremos una de las proposiciones
sencillas del libro II.
Proposición 2. Si un segmento recto de un paraboloide de revolución
cuyo eje no es mayor que 3p/4 [p es el parámetro principal
o «latus rectum» de la parábola generatriz] y cuya gravedad
específica es menor que la de un fluido, se sumerge en el fluido con su eje
inclinado un determinado ángulo respecto de la vertical, pero de manera que la
base del segmento no toque la superficie del fluido (fig. 7.9), el segmento del
paraboloide no permanecerá en esta posición sino que volverá a la posición en
la que el eje esté vertical.
Figura 7.9
El tema que trata Arquímedes es la estabilidad de cuerpos
situados en el agua. Demuestra bajo qué condiciones un cuerpo situado en el
agua se dará la vuelta o permanecerá en equilibrio. Los problemas son
evidentemente idealizaciones de cómo se comportarían los barcos cuando
estuvieran obligados a tomar diferentes inclinaciones en el agua.
7. La Óptica
Después de la Astronomía, la Óptica ha sido una de las ciencias matemáticas más
cultivadas y de más éxito. Fue creada por los griegos. Casi todos los filósofos
griegos, comenzando por los pitagóricos, especulaban acerca de la naturaleza de
la luz, la visión y el color. Nosotros nos fijaremos, sin embargo, en los
logros matemáticos. El primero de ellos es la afirmación sobre los fundamentos
a priori dada por Empédocles de Agrigento en Sicilia (c. 490 a. C.)
de que la luz viaja con velocidad finita.
Figura 7.10
Los primeros tratamientos sistemáticos que poseemos son la Optica
y la Catóptrica. La Optica se
refiere al problema de la visión y al uso de la misma para la determinación de
los tamaños de los objetos. Euclides comienza con definiciones (que en realidad
son postulados), el primero de los cuales establece (como hacía Platón) que la
visión es posible porque los rayos de luz emitidos por el ojo viajan a lo largo
de líneas rectas e inciden sobre los objetos vistos. La definición 2 afirma que
la figura formada por los rayos visuales es un cono cuyo vértice está situado
en el ojo y su base, en los extremos del objeto. La definición 4 dice que de
dos objetos, aparece como mayor el que determina un mayor ángulo en el vértice.
Luego, en la proposición 8, Euclides demuestra que los tamaños aparentes de dos
objetos iguales y paralelos (AB y CD en la fig. 7.10) no son
proporcionales a sus distancias al ojo. Las proposiciones 23 a 27 prueban que
un ojo que mira una esfera, en realidad ve menos de la mitad de la misma y que
el contorno de lo que ve es un círculo. Las proposiciones 32 a 37 aseguran que
el ojo que mira un círculo verá un círculo solamente si el ojo está situado
sobre la perpendicular al plano del círculo trazada por su centro. Euclides
muestra también cómo calcular los tamaños de objetos vistos a través de un
espejo plano. Hay 58 proposiciones en el libro.
La Catóptrica (teoría de los espejos) describe el
comportamiento de los rayos de luz reflejados sobre espejos planos, cóncavos y
convexos y el efecto de este comportamiento sobre lo que vemos. Igual que en
la Optica, comienza con definiciones que realmente son
postulados. El teorema 1, la ley de la reflexión, es ahora fundamental en lo
que se llama óptica geométrica.
Figura 7.11
Dice que el ángulo A, que es el formado por el
rayo incidente con el espejo (fig. 7.11) es igual al ángulo B, que
es el formado por el rayo reflejado con el espejo. Es más corriente hoy en día
decir que ÐC = ÐZ) y hablar de ÐC como el ángulo de incidencia y como del
ángulo de reflexión. Euclides prueba también la ley para un rayo que incide
sobre un espejo convexo o uno cóncavo sustituyendo el espejo por una tangente
en el punto de incidencia del rayo.
Herón sacó una consecuencia importante de la ley de la reflexión. Si P y
Q (fig. 7.11) son dos puntos cualesquiera situados a un mismo lado de la
recta ST, de todos los caminos que podrían seguirse para ir
del punto P a la línea y de aquí al punto Q, el más corto es
el que pasa por el punto R de manera que las dos líneas PR y QR forman
ángulos iguales con la recta —que es exactamente el camino que sigue un rayo de
luz. Así pues, la luz sigue el camino más corto que va de P a
Q a través del espejo. Aparentemente, la naturaleza conoce muy bien la
geometría y la utiliza a su total conveniencia. Esta proposición aparece en
la Catóptrica de Herón, que trata también de espejos cóncavos
y convexos y combinaciones de espejos.
Se escribió una cantidad enorme de trabajos sobre la reflexión de la luz
mediante espejos de varias formas. Entre ellos están la actualmente
perdida Catóptrica de Arquímedes y los dos trabajos, llamados
ambos Sobre los espejos ustorios, de Diocles y Apolonio. Los
espejos incendiarios eran sin duda espejos cóncavos en forma de esferas,
paraboloides de revolución y elipsoides, este último formado al girar una
elipse alrededor de su eje mayor. Indudablemente, Apolonio conocía que un
espejo en forma de paraboloide reflejaría la luz procedente de un foco a través
de un haz paralelo al eje del espejo. Recíprocamente, los rayos que vienen
paralelos al eje se concentrarán en el foco. Los rayos del Sol así concentrados
producen un calor muy grande en el foco; de ahí el término de espejo
incendiario. Esta es la propiedad del espejo en forma de paraboloide que se
supone utilizó Arquímedes para concentrar los rayos de sol sobre las naves
romanas e incendiarlas. Apolonio conocía también las propiedades de reflexión
de las restantes secciones cónicas, por ejemplo, que todos los rayos que emanan
de un foco de un espejo en forma de elipsoide se reflejan sobre el otro foco.
Da las propiedades más importantes de la elipse y la hipérbola en el libro III
de sus Secciones Cónicas (cap. 4, sec. 12). Griegos
posteriores, en particular Pappus, conocían evidentemente la propiedad focal
del paraboloide.
El fenómeno de la refracción de la luz, es decir, la curvatura de los rayos de
luz cuando ésta pasa por un medio cuyas propiedades cambian constantemente, o
el repentino cambio de dirección de un rayo de luz cuando pasa de un medio a
otro, como por ejemplo del aire al agua, fue estudiado por los griegos
alejandrinos. Ptolomeo observó el efecto de la refracción en la atmósfera sobre
rayos procedentes del Sol y las estrellas e intentó, infructuosamente,
encontrar la ley correcta de la refracción cuando la luz pasa del aire al agua
o del aire al cristal. Su Optica, que trata de los espejos y
la refracción, se ha conservado.
8. La Astrología
Aunque actualmente la Astrología no es aceptada como ciencia, en civilizaciones
antiguas tenía esta consideración. La astrología desarrollada por los griegos
alejandrinos de alrededor del siglo II a. C. era diferente de la astrología
babilonia del período asirio. La última se dedicaba exclusivamente a sacar
conclusiones sobre el rey y asuntos de Estado a partir de observaciones de la
posición de los planetas. No había ningún cálculo y la apariencia del cielo en
el momento del nacimiento no jugaba ningún papel. Sin embargo, la astrología
helénica o la alejandrina eran personales: predecían el futuro y el destino de
personas concretas basándose en las posiciones calculadas del Sol, la Luna y
los cinco Planetas del Zodiaco en el momento del nacimiento. Para evaluar estos
datos se construyó un enorme cuerpo de doctrinas.
Ciertamente, esta ciencia fue tomada en serio por los griegos alejandrinos.
Ptolomeo escribió un trabajo muy conocido sobre la cuestión, el Quatripartite o Tetrabiblos,
o Cuatro Libros Acerca de la Influencia de las Estrellas, en el que da
reglas para las predicciones astrológicas que fueron utilizadas durante un
millar de años.
La importancia de la astrología en la historia de las ciencias radica en que
motivó el estudio de la Astronomía, no sólo en Grecia sino también en la India,
Arabia y en la Europa medieval. La Astrología fomentó la Astronomía en mucho
mayor medida que la Alquimia lo hizo con la Química. Curiosamente, los errores
en las predicciones astrológicas eran atribuidos a errores en Astronomía y no a
lo incierto de las doctrinas astrológicas.
La Grecia alejandrina presentó los comienzos de la aplicación de la matemática
a la medicina, de forma peculiar en gran medida a través de la astrología. Los
doctores, llamados «iatromatemáticos», empleaban signos astrológicos para
decidir los tratamientos. Galeno, el gran médico de los tiempos griegos, era un
firme creyente en la astrología, quizá por ello es disculpable que Ptolomeo, el
astrónomo más renombrado, también lo fuera. Esta conexión entre la matemática y
la medicina se reforzó en la Edad Media.
Nuestra narración de la ciencia griega, en lo que concierne a la matemática, ha
tratado sobre las ciencias matemáticas. Los griegos se dedicaron a otras
investigaciones en áreas en las que la matemática, al menos en aquella época,
no jugaba ningún papel. Además, mejoraron experimentos y llevaron a cabo
observaciones, estas últimas especialmente en Astronomía. Sin embargo, su logro
fundamental es que dieron un gran valor a las matemáticas dentro del contexto
científico. El diálogo Platónico Philebo expresaba en primer
lugar el pensamiento de que cada ciencia es una ciencia solamente en la medida
en que contiene matemáticas; este principio ganó muchos adeptos a partir de los
logros de los griegos. Además, los griegos pusieron claramente en evidencia que
la Naturaleza está diseñada matemáticamente. Fue su visión de la Naturaleza y
su iniciación de la investigación matemática de la Naturaleza lo que inspiró la
creación de la matemática, en la época griega y en todos los siglos sucesivos.
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Capítulo 8
El final del mundo griego
Quien comprenda a Arquímedes y Apolonio admirará menos los
logros de los hombres más ilustres de tiempos posteriores.
G. W. Leibniz
Contenido:
1. Reseña de las realizaciones griegas
2. Las limitaciones de la matemática griega
3. Los problemas legados por los griegos
4. La desaparición de la civilización griega
Bibliografía
1. Reseña de las realizaciones griegas
Aunque la civilización greco-alejandrina perduró hasta el año 640 d. C., en el
que finalmente fue destruida por los mahometanos, es evidente que, a causa de
su productividad decreciente, la civilización había entrado ya en declive
durante los primeros siglos de la era cristiana. Antes de entrar a considerar
las razones de este declive resumiremos las realizaciones y las imperfecciones
de la matemática griega y tomaremos nota de los problemas que ha dejado para
generaciones futuras. Los griegos alcanzaron grandes metas, y la continuación
de la matemática, cuando fue retomada por los europeos tras pequeñas
incursiones a cargo de hindúes y árabes, estuvo tan completamente determinada
por el legado de los griegos que es importante tener claro dónde se sitúa su
matemática.
Los griegos se caracterizaron por hacer matemática abstracta. Esta contribución
principal es de una relevancia y un valor inconmensurables por el hecho de que
un mismo triángulo abstracto o una misma ecuación algebraica se puede aplicar a
cientos de situaciones físicas diferentes, que es donde se ha demostrado que
radica el secreto de la potencia de la matemática.
Los griegos insistieron en las demostraciones deductivas. Este fue sin duda un
avance extraordinario. De los cientos de civilizaciones que habían existido,
algunas habían desarrollado algún tipo rudimentario de aritmética y de
geometría. Sin embargo, ninguna civilización, aparte de los griegos concibió la
idea de establecer conclusiones exclusivamente a través del razonamiento
deductivo. La decisión de exigir demostraciones deductivas está en
contraposición absoluta con los métodos utilizados por el hombre hasta entonces
en los demás campos; es, de hecho, casi irracional, porque casi todo el conocimiento
altamente fiable se adquiría a través de la experiencia, la inducción, el
razonamiento por analogía y la experimentación. Pero los griegos buscaban
verdades y vieron que solamente las obtendrían por los métodos infalibles del
razonamiento deductivo. Comprendieron también que para llegar a verdades
seguras debían partir de verdades y estar seguros de no suponer ningún hecho no
garantizado. Por tanto, establecieron todos sus axiomas de forma explícita y
además adoptaron la práctica de situarlos muy al principio de sus trabajos para
que de esta manera pudieran ser examinados de golpe con sentido crítico.
Después de concebir este plan enormemente importante para asegurar un
conocimiento seguro, los griegos introdujeron una sofisticación que
difícilmente podía esperarse de los innovadores. Su conciencia de que los
conceptos no podían ser contradictorios y de que no se puede construir una
estructura consistente trabajando con figuras no existentes (tales como un
poliedro regular de diez caras) pone de manifiesto una agudeza de pensamiento
casi sobrehumana y ciertamente sin precedentes. Como sabemos ahora, su método
para establecer la existencia de los conceptos, con lo que podían trabajar con
ellos, era demostrar que podían construirse con el uso de regla y compás.
La potencia de los griegos para intuir teoremas y demostraciones queda
atestiguada por el hecho de que los Elementos de Euclides
contienen 467 proposiciones y las Secciones Cónicas de
Apolonio, 487, obtenidas todas ellas a partir de 10 axiomas enunciados en
los Elementos. La coherencia que proporcionan las estructuras
deductivas no ofrece ninguna duda, ni siquiera secundaria en cuanto a su
importancia, ni quizá tampoco secundaria en cuanto a atención. Aún la
posibilidad de obtener los mismos resultados a partir de numerosos conjuntos de
axiomas distintos —si bien igualmente fiables— podría dar una versión del
conocimiento menos manejable y asimilable.
La contribución griega al contenido de la matemática —geometría plana y del
espacio, trigonometría plana y esférica, los comienzos de la teoría de números,
la ampliación de la aritmética y el álgebra de Egipto y Babilonia— es enorme,
especialmente si se tiene en cuenta el reducido número de personas dedicadas a
ellas y los escasos siglos a los que se extendió su actividad. A estas
contribuciones debemos añadir el álgebra geométrica, que esperaba solamente el
reconocimiento de los números irracionales y la instauración del lenguaje
simbólico para convertirse en la base de gran parte del álgebra elemental. Por
otra parte, el estudio de figuras curvilíneas por el método exhaustivo, a pesar
de que formaba parte de su geometría, merece una mención especial ya que
constituye el comienzo del cálculo.
Una contribución igualmente importante y un motivo de inspiración para
generaciones posteriores fue la concepción griega de la naturaleza. Los griegos
identificaban la matemática con la realidad del mundo físico y veían en ella la
verdad última sobre la estructura y el plan del Universo. Encontraron la
alianza entre la matemática y el estudio desinteresado de la naturaleza, lo que
se ha convertido desde entonces en la gran base de la ciencia moderna. Además,
fueron bastante más lejos a la hora de racionalizar la Naturaleza, al
establecer la firme convicción de que el Universo está en efecto trazado
matemáticamente, es controlable, está regido por leyes y es comprensible para
el hombre.
El atractivo estético de la matemática no fue pasado por alto. En la época
griega, las matemáticas eran consideradas también como un arte; la belleza, la
armonía, la sencillez, la claridad y el orden eran reconocidas en ellas. La
aritmética, la geometría y la astronomía se tomaban como el arte de la mente y
la música, el del espíritu. Platón se complacía con la geometría; Aristóteles
no separaría las matemáticas de la estética, pues el orden y la simetría eran
para él elementos importantes de belleza, y éstos los encontraba en las
matemáticas. Evidentemente, los intereses racionales y estéticos, así como los
morales, son difícilmente separables en el pensamiento griego. Leemos una y
otra vez que la esfera es el cuerpo con la forma más bella y es, por tanto,
divina y buena. El círculo participaba junto con la esfera de esta llamada a la
estética; parecía obvio por tanto que el círculo fuera el camino de aquellos
cuerpos que representaban lo inmutable, el orden eterno del cielo, mientras que
el movimiento lineal prevalecía sobre la tierra imperfecta. No hay duda que fue
la estética de las matemáticas lo que dio lugar a que los matemáticos griegos
prosiguieran la exploración de temas concretos una vez utilizados para la
comprensión del mundo físico.
2. Las limitaciones de la matemática griega
Pese a sus logros maravillosos, las matemáticas griegas eran defectuosas. Sus
limitaciones señalan los caminos del progreso al que, sin embargo, todavía no
estaban abiertas.
La primera limitación fue la incapacidad para admitir el concepto de número
irracional. Esto significaba no solamente una restricción de la aritmética y el
álgebra, sino también una vuelta a la geometría y el énfasis en ella, ya que el
pensamiento geométrico evitaba una presentación explícita de lo irracional como
un número. Si los griegos hubieran afrontado el número irracional podrían haber
adelantado el desarrollo de la aritmética y el álgebra; e incluso, si ellos
mismos no lo hubieran hecho, no habrían impedido que lo hicieran generaciones
posteriores, que fueron inducidas a pensar que solamente la geometría ofrecía
un fundamento seguro para el estudio de magnitudes cuyos valores podían incluir
irracionales. Arquímedes, Herón y Ptolomeo comenzaron a trabajar con los
irracionales como números, pero no modificaron el carácter de las matemáticas
griegas ni la impronta subsiguiente del pensamiento griego. El hecho de que los
griegos se concentraran en la geometría nubló la visión de otras generaciones
al enmascarar la correspondencia íntima entre los conceptos geométricos y los
aritméticos y las operaciones. El fracaso a la hora de definir, aceptar y
conceptualizar los irracionales como números forzó una distinción entre número
y magnitud. En consecuencia, el álgebra y la geometría fueron contempladas como
disciplinas sin ninguna relación mutua.
De haber estado menos dedicados a ser lógicos y rigurosos, los griegos podían
haber aceptado (y operado con) los números irracionales, igual que lo hicieron
los babilonios y otras civilizaciones que sucedieron a los griegos. Pero la
base intuitiva de la idealización no estaba clara, y la construcción lógica no
entraba de lleno en sus poderes. La virtud de los griegos de insistir en la
exactitud de los conceptos y las definiciones constituía un defecto en lo que
concierne a las matemáticas creativas.
La restricción del rigor matemático a la geometría (además de a la teoría de
números) dio lugar a otra desventaja importante: el uso de métodos geométricos
condujo a demostraciones cada vez más complicadas a medida que las matemáticas
se iban ampliando, particularmente en el área de la geometría del espacio.
Además, incluso en las demostraciones más sencillas, hay una ausencia de
métodos generales, lo cual es claro para nosotros ahora por estar en posesión
de la geometría analítica y del cálculo. Cuando se consideran las dificultades
que encontró Arquímedes para hallar el área de un segmento parabólico o el área
subtendida por un arco de su espiral, y se compara esto con los métodos
modernos de cálculo, se aprecia la efectividad de estos últimos.
Los griegos no sólo restringieron las matemáticas en gran medida a la
geometría, sino que incluso limitaron esta disciplina a las figuras que se
podían obtener a partir de la línea recta y el círculo. De acuerdo con esto,
las únicas superficies admitidas eran aquellas que se podían obtener haciendo
girar líneas rectas y círculos alrededor de un eje, como por ejemplo el cilindro,
el cono y la esfera, formados por la revolución de un rectángulo, un triángulo
y un círculo, respectivamente, alrededor de una recta; el prisma, que es un
cilindro especial, y la pirámide, que resulta de la descomposición de un
prisma. Las secciones cónicas se introdujeron al cortar conos mediante un
plano. Curvas como la cuadratriz de Hipias, la concoide de Nicomedes y la
cisoide de Diocles quedaron como algo marginal de la geometría; recibieron, en
este caso, el calificativo de mecánicas, más que geométricas.
La clasificación de las curvas a cargo de Pappus es un intento de mantener unos
límites fijos. Los griegos, conforme a los criterios de Pappus, distinguían las
curvas como sigue: los lugares planos o curvas planas eran los que se podían
construir a partir de líneas rectas y círculos; las cónicas recibían el nombre
de lugares sólidos puesto que se originaban a partir del cono; las curvas
lineales, como cuadratrices, concoides, cisoides y espirales formaban la
tercera clase. Análogamente, distinguían entre problemas planos, sólidos y
lineales. Los problemas planos se resolvían mediante rectas y círculos; los
problemas sólidos, a través de una o más secciones cónicas. Los problemas que
no podían resolverse por medio de líneas rectas, círculos o cónicas se llamaban
lineales, debido a que utilizaban líneas (curvas) que tenían un origen más
complicado o menos natural que las anteriores. Pappus destacó la importancia de
resolver problemas mediante lugares planos o sólidos ya que entonces se podía
dar el criterio para una solución efectiva.
¿Por qué los griegos limitaron su geometría a la recta, el círculo y a figuras
directamente derivadas de ellos? Una razón es que de esta manera resolvían el
problema de determinar la existencia de figuras geométricas. Como ya hemos
visto, Aristóteles, en particular, señalaba que debemos estar seguros de que
los conceptos introducidos no son autocontradictorios; es decir, hemos de
demostrar que existen. Para aclarar este punto, los griegos, al menos en un
principio, admitían exclusivamente aquellos conceptos que se podían construir.
La recta y el círculo se admitían como constructibles en los postulados, pero
las demás figuras debían poderse construir con la recta y el círculo.
Sin embargo, el uso de construcciones para determinar su existencia no se
aplicaba a figuras tridimensionales. En este punto, los griegos aceptaban, en
apariencia, lo que era intuitivamente claro, como por ejemplo la existencia de
figuras de revolución tales como la esfera, el cilindro y el cono. Las
secciones planas de estas figuras daban lugar a curvas tales como las secciones
cónicas; así, fueron aceptadas incluso figuras planas cuya existencia no había
sido establecida —aunque con reticencias—. Descartes hace notar esta cuestión
muy al principio del libro II de La Géometrie: «Es cierto
que las secciones cónicas no fueron aceptadas nunca de buena gana en la
geometría antigua...»
Otro motivo para la restricción a la recta, el círculo y otras figuras
derivadas de ellos parte de Platón, ya que de acuerdo con sus ideas tenía que
estar claro lo que era aceptable. Mientras el número entero parecía ser
aceptable como una idea clara en sí misma, pese a que nunca fue explícitamente
definida por los griegos, las figuras geométricas tenían que construirse con
precisión. Rectas y círculos, así como figuras que se derivan de ellos estaban
claros, mientras que las curvas introducidas mediante instrumentos mecánicos
(distintos de la regla y el compás) no lo estaban, por lo que eran
inadmisibles. La restricción a figuras claramente definidas dio lugar a una
geometría simple, ordenada, armoniosa y bella.
Al insistir en una unidad, una completitud y una sencillez para su geometría y
al separar el pensamiento especulativo de la utilidad, la geometría clásica
griega limitó sus logros. Restringió la visión de las gentes y cerró sus mentes
a nuevos pensamientos y métodos. Llevaba en sí misma la semilla de su propia
muerte. La estrechez de su campo de acción, la exclusividad de su punto de
vista y la demanda estética sobre ella pudieron haber detenido su evolución, si
no fuera por las influencias de la civilización alejandrina, que ensanchó las
perspectivas de los matemáticos griegos.
Las doctrinas filosóficas griegas limitaron las matemáticas en otra dirección.
A lo largo de todo el período clásico, creían que el hombre no creaba los
hechos matemáticos: preexistían. El hombre se limitaba a descubrirlos y a
registrarlos. En el Teeteto Platón compara la búsqueda del
conocimiento a un pájaro cautivo encerrado en una jaula. Los pájaros, ya
prisioneros, necesitan solamente ser cogidos con la mano. Esta creencia acerca
de la naturaleza de las matemáticas no prevaleció.
Los griegos no consiguieron comprender lo infinitamente grande, lo
infinitamente pequeño y los procesos infinitos. Ellos «se atemorizaban ante el
silencio de los espacios infinitos». Los pitagóricos asociaron lo bueno y lo
malo con lo limitado y lo ilimitado respectivamente. Aristóteles dice que el
infinito es imperfecto, inacabado y en consecuencia inabordable; no tiene forma
y es confuso. Los objetos tienen una naturaleza únicamente cuando están
delimitados y son distinguibles.
Para evitar cualquier afirmación acerca de la infinitud de la línea recta,
Euclides dice que un segmento lineal (utiliza la palabra «línea» en este
sentido) puede prolongarse todo lo que sea necesario. La reticencia para
incluir lo infinitamente grande puede verse también en el enunciado del axioma
de las paralelas de Euclides. En vez de considerar dos líneas que se prolongan
indefinidamente y dar una condición directa o una hipótesis bajo la cual las
rectas paralelas podrían existir, su axioma de las paralelas da una condición
por la cual dos líneas rectas se cortan en algún punto finito.
El concepto de lo infinitamente pequeño está implícito en la relación existente
entre los puntos de una línea o la relación entre lo discreto y lo continuo;
las paradojas de Zenón pudieron haber sido la causa de que los griegos dejaran
de lado esta cuestión. La relación entre punto y recta abrumaba a los griegos y
llevó a Aristóteles a separar ambos conceptos. Pese a que admite que los puntos
estaban sobre rectas, dice que una recta no puede estar formada de puntos y que
lo continuo no puede construirse a partir de lo discreto (cap. 3, sec. 10).
Esta distinción contribuyó también a la presunta necesidad de separar el número
de la geometría, ya que los números eran discretos, mientras que la geometría
trataba de magnitudes continuas.
Puesto que recelaban de los procesos infinitos, omitieron el proceso de paso al
límite. Al aproximar un círculo mediante un polígono se contentaban con hacer
que la diferencia fuera menor que cualquier cantidad dada previamente, pero se
exigía que fuera siempre estrictamente positiva. De esta manera el proceso
queda claro para la intuición; el paso al límite, por otra parte, habría
llevado consigo la consideración de lo infinitamente pequeño.
3. Los problemas legados por los griegos
Las limitaciones del pensamiento matemático griego conducen de manera casi
automática a los problemas que dejaron para las generaciones futuras. El
fracaso a la hora de aceptar los irracionales como números dejó ciertamente
abierta la cuestión de si se podía asignar un número a razones
inconmensurables, con lo que éstas podrían estudiarse desde el punto de vista
de la aritmética. Con el número irracional, el álgebra se ampliaría también. En
vez de regresar a la geometría para resolver ecuaciones cuadráticas, o de otro
tipo, que podían tener raíces irracionales, estos problemas se podrían abordar
en términos numéricos y el álgebra se desarrollaría a partir de la situación en
que la dejaron los egipcios y los babilonios o donde la dejó Diofanto, que
rechazó la idea de considerar los irracionales como números.
Incluso para los números enteros y las razones de números enteros, los griegos
no tenían ninguna base lógica; la sustituyeron por algunas definiciones
bastante vagas, establecidas por Euclides en los libros VII y IX de los Elementos. La
necesidad de un fundamento lógico del sistema de números se vio acrecentada por
el uso libre de los números, incluidos los irracionales, por parte de los
alejandrinos; a este respecto continuaron estrictamente las tradiciones
empíricas de egipcios y babilonios. Por tanto, los griegos legaron dos ramas de
las matemáticas completamente distintas y desigualmente desarrolladas. Por una
parte estaba la rigurosa, deductiva y sistemática geometría y por otra, la
heurística y empírica aritmética y su extensión al álgebra.
La incapacidad para la construcción de un álgebra deductiva significa que el
rigor matemático quedó confinado a la geometría; de hecho, éste siguió siendo
el caso hasta los siglos XVII y XVIII, cuando el álgebra y el cálculo ya se
habían extendido. Incluso entonces se entendía todavía que las matemáticas
rigurosas se referían a la geometría.
La restricción de la geometría euclídea a conceptos que se pudieran construir
con regla y compás dejó dos tareas a las matemáticas. La primera era
específica: probar la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo y la
duplicación del cubo con la regla y el compás. Estos tres problemas ejercieron
una gran fascinación e incluso hoy en día llaman la atención a la gente, pese a
que, como veremos, estaban resueltos en el siglo XIX.
La segunda tarea era ampliar los criterios para la existencia. La posibilidad
de ser construido como medio- de probar la existencia se convirtió en algo
excesivamente restrictivo para los conceptos con los que iban a trabajar las
matemáticas (y con los que más tarde lo hicieron). Además, como algunas
longitudes no se pueden construir, la recta euclídea es incompleta; es decir,
no contiene, en sentido estricto, las longitudes no constructibles. Para ser
internamente completas y más útiles al estudio del mundo físico, las
matemáticas debían liberarse a sí mismas de una limitación técnica para el
establecimiento de la existencia de los conceptos.
Como vimos, el intento de evitar una afirmación directa acerca de líneas rectas
paralelas infinitas hizo que Euclides enunciara el axioma de la paralelas de
una forma mucho más complicada. Consiguió que, al hablar de esta manera, este
axioma perdiera la autoevidencia de los nueve restantes y hay buenas razones
para pensar que evitó usarlo mientras pudo. Varios griegos intentaron encontrar
axiomas que sustituyeran al de las paralelas, o probarlo en función de los
otros nueve. Ptolomeo escribió acerca de esta cuestión; Proclo, en su
comentario sobre Euclides, da el intento de Ptolomeo de demostrar el postulado
de las paralelas e intenta a su vez probarlo por sí mismo. Simplicio cita otros
dos investigadores y añade que la gente «en la antigüedad» puso objeciones al
uso del axioma de las paralelas.
Estrechamente relacionada con el problema del postulado de las paralelas está
la cuestión de saber si el espacio físico es infinito. Euclides supone en el
postulado 2 que un segmento de línea recta puede extenderse tanto como sea
preciso; usa este hecho, pero solamente para obtener grandes longitudes finitas
—por ejemplo en el libro I, proposiciones 11, 16 y 20—. Herón da nuevas demostraciones
de estos teoremas y evita prolongar las líneas, con el fin de salir al paso de
las objeciones de cuantos negaran que el espacio se podía abarcar por
extensión. Aristóteles había considerado la cuestión de averiguar si el espacio
era infinito y dio seis argumentos de naturaleza no matemática para probar que
es finito; pronosticaba que esta cuestión sería problemática.
Otro problema importante legado a la posteridad fue el cálculo de áreas
limitadas por curvas y volúmenes limitados por superficies. Los griegos,
especialmente Eudoxo y Arquímedes, no solamente habían abordado la cuestión
sino que, como hemos visto, lograron progresos considerables usando el método
de exhausción. Pero el procedimiento presentaba dificultades como mínimo en dos
aspectos: en primer lugar, cada problema requería algún esquema ingenioso para
aproximar el área o el volumen en cuestión; sin embargo, la inventiva humana
simplemente no disponía de suficientes recursos para las áreas y volúmenes que
tenía que calcular después. En segundo lugar, el resultado al que llegaban los
griegos consistía habitualmente en probar la equivalencia del área o volumen
deseados con el área o el volumen de alguna figura más sencilla cuya medida
todavía no era conocida cuantitativamente. Pero es precisamente este
conocimiento cuantitativo el que requieren las aplicaciones.
4. La desaparición de la civilización griega
Comenzando aproximadamente con el principio de la era cristiana, la vitalidad
de la actividad matemática griega declinó rápidamente. Las únicas
contribuciones importantes de la nueva era fueron las de Ptolomeo y Diofanto.
Los grandes comentaristas Pappus y Proclo merecen también la atención, pero en
realidad son los que cierran la nómina. El declive de esta civilización, que
durante cinco o seis siglos aportó contribuciones que sobrepasaban en gran
medida, tanto en extensión como en brillantez, las de cualquier otra, requiere
una explicación.
Desgraciadamente, los matemáticos están sujetos a los designios de la historia,
igual que el último labrador. Basta con familiarizarse con los hechos más
superficiales de la historia política de Alejandría para darse cuenta de que no
sólo las matemáticas, sino cualquier tipo de actividad cultural, estaban
destinadas a sufrir. Mientras la civilización greco-alejandrina estuvo
gobernada por los Ptolomeos, floreció. El primer desastre fue el advenimiento
de los romanos, cuyo único papel en la historia de las matemáticas fue el de
agentes de destrucción.
Antes de discutir su impacto sobre la civilización greco- alejandrina, veamos
algunos hechos acerca de las matemáticas en Roma y la naturaleza de la
civilización romana: las matemáticas romanas apenas si son dignas de mención.
El período durante el cual los romanos figuran en la historia comprende los
años que van desde aproximadamente el 750 a. C. hasta el 476 de nuestra era,
más o menos el mismo tiempo durante el cual floreció la civilización griega.
Además, como veremos, a partir del 200 a. C. los romanos estuvieron en estrecho
contacto con los griegos. Con todo, en los once siglos no hubo ningún
matemático romano; además de otros detalles este hecho habla virtualmente por
sí mismo de toda la historia de las matemáticas en Roma.
Los romanos tenían una aritmética rudimentaria y algunas fórmulas geométricas
aproximadas que posteriormente fueron complementadas por copias de las
greco-alejandrinas. Sus símbolos para los números enteros nos son familiares.
Para calcular con números enteros utilizaban diversos tipos de ábacos. Los
cálculos se hacían también con los dedos y con la ayuda de tablas especialmente
preparadas.
Las fracciones en Roma estaban en base 12. Se usaban símbolos y palabras
especiales para designar 1/12, 2/12,..., 11/12, 1/24, 1/36, 1/48, 1/96,... El
origen de la base 12 puede ser la relación existente entre el mes lunar y el
año. La unidad de peso, por cierto, era el as; un doceavo del
mismo era la uncía, de la que derivan nuestras onza y pulgada.
El principal uso de la aritmética y la geometría en Roma fue la agrimensura,
para determinar las fronteras de las ciudades y para medir terrenos para las
casas y los templos. Los agrimensores calculaban la mayoría de las cantidades
que precisaban usando solamente instrumentos sencillos y triángulos
congruentes.
Debemos a los romanos una mejora del calendario. En los tiempos de Julio César
(100-44 a. C.) el año básico romano tenía 12 meses, que totalizaban 355 días.
En años alternos se añadía un mes intercalado de 22 ó 23 días de manera que el
año promedio tenía 366 días y 1/4. Para mejorar este calendario, César llamó a
Sosígenes, un alejandrino, que aconsejó un año de 365 días con un año bisiesto
cada cuatro años. El calendario Juliano fue adoptado el año 45 a. C.
A partir del año 50 a. C., aproximadamente, los romanos escribieron sus propios
libros técnicos; todo el material de base, sin embargo, se tomó de las fuentes
griegas. El más famoso de estos trabajos técnicos son los diez libros de
Vitrubio sobre arquitectura, que datan del año 14 a. C. Aquí, también, el
material es griego. Es curiosa la afirmación de Vitrubio de que los tres
grandes descubrimientos matemáticos son el triángulo rectángulo 3, 4, 5, la
irracionalidad de la diagonal del cuadrado unidad y la solución de Arquímedes
del problema de la corona. Da otros hechos que implican el uso de matemáticas,
tales como las proporciones de las partes del cuerpo humano ideal, algunas
relaciones aritméticas armónicas y relaciones aritméticas acerca de las
capacidades de las catapultas.
Entre los romanos el término «matemáticas» cayó en desgracia a causa de que los
astrólogos recibían el nombre de mathematicii, y la astrología fue
condenada por los emperadores romanos. El emperador Diocleciano (245-316 de
nuestra era) hacía distinciones entre geometría y matemáticas. La primera se
enseñaba y aplicaba en las escuelas públicas; pero el «arte de las matemáticas»
—esto es, la astrología— fue condenado y prohibido completamente. El «código de
matemáticas y malas artes», la ley romana que prohibía la astrología, se aplicó
también en Europa durante la Edad Media. Sin embargo, los emperadores romanos y
los cristianos empleaban astrólogos en sus cortes por la posibilidad de que
pudiera haber algo de cierto en sus profecías. La distinción entre los términos
«matemático» y «geómetra» duró hasta bien pasado el Renacimiento. Incluso en
los siglos XVII y XVIII, «geómetra» significaba lo que hoy entendemos por
«matemático».
Los romanos eran un pueblo práctico y hacían alarde de su practicismo.
Diseñaron y completaron grandes proyectos de ingeniería —viaductos, magníficas
vías que sobreviven todavía hoy, puentes, edificios públicos y mediciones de
terrenos— pero se negaron a considerar cualquier idea que pudiera haber detrás
de las aplicaciones particulares y concretas que estaban realizando en aquel
momento. La actividad romana acerca de las matemáticas viene dada por Cicerón:
«Los griegos dieron al geómetra el más alto honor; de acuerdo con esto, nada
tenía un progreso más brillante que las matemáticas. Pero nosotros hemos
establecido como límite de este arte su utilidad para medir y contar.»
Los emperadores romanos no dieron apoyo a las matemáticas tal como hicieron los
Ptolomeos en Egipto. Ni los romanos comprendían la ciencia pura. Su incapacidad
para desarrollar las matemáticas es notoria, debido a que gobernaban un ancho
imperio y porque lo que buscaban era la resolución de problemas prácticos. La
lección que se puede aprender de la historia de los romanos es que los pueblos
que desdeñan los trabajos de matemáticos y científicos altamente teóricos y
desacreditan su utilidad ignoran la forma en la que se han presentado
importantes desarrollos prácticos.
Volvamos de nuevo al papel que jugaron los romanos en la historia política y
militar de Grecia. Tras haber asegurado el control del centro y el norte de
Italia, conquistaron las ciudades griegas del sur de Italia y Sicilia.
(Recordemos que Arquímedes contribuyó a la defensa de Siracusa cuando los
romanos atacaron la ciudad y murió a manos de un soldado romano.) Los romanos
conquistaron Grecia propiamente dicha el año 146 a. C. y Mesopotamia el 64 a.
C. Al intervenir en las luchas internas de Egipto entre Cleopatra, la última de
la dinastía Ptolomea, y su hermano, César manipuló para asegurarse un dominio
sobre el país. El año 47 a. C., César prendió fuego a la flota egipcia que
navegaba y estaba anclada en el puerto de Alejandría; el fuego se extendió a la
ciudad e incendió la Biblioteca. Dos siglos y medio de recolección de libros y
medio millón de manuscritos, que representaban el esplendor de la antigua
cultura, fueron borrados. Afortunadamente un excedente de libros que no habían
podido ser colocados en la repleta Biblioteca estaban en aquellos tiempos
almacenados en el templo de Serapis y éstos no fueron incendiados. Asimismo,
Atalo III de Pérgamo, que murió el 133 a. C., había legado a Roma su gran
colección de libros. Marco Antonio regaló esta colección a Cleopatra y se
sumaron a los libros del templo. La colección resultante volvió a ser enorme de
nuevo.
Los romanos regresaron a la muerte de Cleopatra, el año 31 a. C., y a partir de
este momento controlaron Egipto. Su interés en extender su poder político no
incluía la difusión de su cultura. Las áreas subyugadas se convirtieron en
colonias, de las que se extraía una gran riqueza mediante la expropiación y los
impuestos. Como la mayoría de los emperadores romanos eran propietarios,
arruinaban todos los países que controlaban. Cuando se producía algún
levantamiento, como ocurrió, por ejemplo, en Alejandría, los romanos no dudaban
en matar de hambre a la población y, una vez dominada la revuelta, matar a
miles de habitantes.
La historia del final del imperio romano es también relevante. El emperador
Teodosio (gobernó entre el 379 y el 395) dividió su ancho imperio entre sus dos
hijos, Honorio, que fue el que gobernó Italia y Europa occidental, y Arcadio,
que gobernó Grecia, Egipto y el Oriente próximo. La parte occidental fue
conquistada por los godos durante el siglo V y su historia posterior pertenece
ya a la de la Europa medieval. La parte oriental, que incluía Egipto (durante
un tiempo), Grecia y lo que en la actualidad es Turquía, conservó su
independencia hasta que fue conquistada por los turcos el año 1453. Puesto que
el Imperio Romano de Oriente, conocido también como el Imperio Bizantino,
incluía Grecia propiamente dicha, la cultura y las obras griegos fueron
conservados en alguna medida.
Desde el punto de vista de la historia de las matemáticas, la aparición del
cristianismo tuvo consecuencias poco afortunadas. Pese a que los jefes
cristianos adoptaron varios mitos y costumbres griegas y orientales con la
intención de hacer el cristianismo más aceptable a los conversos, se opusieron
a las enseñanzas paganas y ridiculizaron las matemáticas, la astronomía y la
física; se prohibió a los cristianos contaminarse con las enseñanzas griegas. A
pesar de la persecución cruel de que fueron objeto por parte de los romanos, el
cristianismo se difundió y llegó a tener tal importancia que el emperador
Constantino (272-337) se vio obligado a adoptarlo como la religión oficial del
Imperio Romano. Así, los cristianos fueron capaces de llevar a cabo una mayor
destrucción de la cultura griega. El emperador Teodosio proscribió las
religiones paganas y, en 392, dio la orden de que los templos griegos fueran
destruidos. Muchos de ellos fueron convertidos en iglesias, a pesar de que a
menudo estaban adornados todavía con esculturas griegas. Los paganos fueron atacados
y asesinados por todo el Imperio. El destino de Hipatia, una matemática
alejandrina de relevancia, e hija de Teón de Alejandría, simboliza el fin de la
era. Como consecuencia de haberse negado a abandonar la religión griega, los
fanáticos cristianos la apresaron en las calles de Alejandría y la
despedazaron.
Los libros griegos fueron quemados a millares. El año en que Teodosio prohibió
las religiones paganas, los cristianos destruyeron el templo de Serapis, que
todavía albergaba la única gran colección de obras griegas. Se estima que
fueron destruidos 300.000 manuscritos. Muchos más trabajos escritos en
pergamino fueron requisados por los cristianos y usados para sus propios
escritos. El año 529 el emperador romano de Oriente, Justiniano, cerró todas las
escuelas griegas de filosofía, incluida la Academia de Platón. Muchos sabios
griegos abandonaron el país y algunos —por ejemplo, Simplicio— se asentaron en
Persia.
El último suspiro para Alejandría fue la conquista de Egipto por los rebeldes
mahometanos el año 640. Los libros que todavía quedaban fueron destruidos
basándose en la proclama dada por Ornar, el conquistador árabe: «Los libros, o
bien contienen lo que ya está en el Corán, en cuyo caso no tenemos que leerlos,
o bien contienen lo contrario de lo que está en el Corán, en cuyo caso no
debemos leerlos.» Como consecuencia de esto los baños de Alejandría se
calentaron con el fuego de los rollos de pergamino.
Tras la captura de Alejandría por los mahometanos, la mayoría de los sabios
emigraron a Constantinopla, que se había convertido en la capital del Imperio
Romano de Oriente. Pese a que no florecería ninguna actividad respecto de las
líneas del pensamiento griego en la atmósfera cristiana hostil de Bizancio,
este flujo de eruditos y sus trabajos de relativa calidad incrementaron el
tesoro del conocimiento que llegó hasta Europa ochocientos años después.
Resulta quizá fuera de lugar contemplar lo que podía haber sido. Pero no se
puede dejar de considerar que la civilización greco- alejandrina terminó su
activa vida científica en los umbrales de la era moderna. Fue la poco habitual
combinación de intereses teóricos y prácticos que demostró ser fecunda mil años
después. Durante los últimos siglos de su existencia, gozaron de libertad de
pensamiento, que es también esencial para una cultura floreciente y abordaron y
llevaron a cabo avances de gran relevancia en varios campos que fueron los que
se convirtieron en primordiales durante el Renacimiento: geometría cuantitativa
plana y del espacio, trigonometría, álgebra, cálculo y astronomía.
Se dice a menudo que el hombre propone y Dios dispone. Es más acertado decir
que los griegos y Dios propusieron y el hombre dispuso. Los matemáticos griegos
fueron borrados, pero el fruto de su trabajo llegó hasta Europa por el camino
que vamos a relatar.
Bibliografía
·
Cajori, Florian: A
History of Mathematics, Macmillan, 1919, pp. 63-68.
·
Gibbon, Edward: Historia
de la decadencia y ruina del Imperio Romano, Madrid, Turner, 1984.
·
Parsons, Edward
Alexander: The Alexandrian Library, The Elsevier Press,
1952.
Capítulo 9
La matemática de los hindúes y de los árabes
Así como el Sol eclipsa las estrellas por su brillantez, también
el hombre culto eclipsará la fama de otros en asambleas del pueblo si propone
problemas algebraicos y todavía más si los resuelve.
Brahmagupta
Contenido:
1. La primera matemática hindú
2. Aritmética y álgebra indias del período 200-1200
3. Geometría y trigonometría indias durante el período 200-1200
4. Los árabes
5. Aritmética y álgebra árabes
6. La geometría y la trigonometría árabes
7. La matemática alrededor del 1300
Bibliografía
1. La primera matemática hindú
Los sucesores de los griegos en la historia de la matemática fueron los hindúes
de la India. Pese a que las matemáticas indias llegaron a tener relevancia sólo
después de recibir la influencia de los resultados griegos, en un principio
hubo desarrollos autóctonos sin ninguna importancia.
La civilización hindú data como mínimo del 2000 a. C., pero, dentro de lo que
podemos saber, no existía ningún tipo de matemáticas antes del 800 a. C.
Durante el período de Sulvasutra, que va del 800 a. C. al 200 de nuestra era,
los indios produjeron alguna matemática rudimentaria. No existía ningún
documento matemático aislado pero se puede considerar algunos hechos recogidos
de otros escritos, y de monedas e inscripciones.
A partir del siglo III a. C. aproximadamente, aparecen símbolos numéricos, que
variaban considerablemente de un siglo a otro. Son típicos los símbolos de
Brahmi:
Lo que llama la atención en este conjunto es la existencia de un
símbolo individual para cada uno de los números comprendidos entre 1 y 9. Sin
embargo, no existía ningún símbolo para el cero y ningún tipo de notación
posicional. El acierto de usar símbolos independientes no fue previsto
indudablemente por el pueblo matemáticamente ignorante; la práctica pudo haber
surgido a partir de la utilización de las primeras letras de las palabras que
designaban dichos números.
Entre los escritos religiosos había una clase llamada Sulvasutras (reglas de la
cuerda) que contenía instrucciones para la construcción de altares. En uno de
los Sulvasutras del siglo IV o V a. C. se da una aproximación de √2, pero
no hay ninguna indicación de que es precisamente una aproximación. Asimismo, no
se conoce casi nada acerca de la aritmética de ese período.
La geometría de esta antigua época hindú se conoce algo mejor. Las reglas
contenidas en los Salvasutras dan condiciones para las formas y tamaños de los
altares. Las tres formas más comúnmente usadas eran el cuadrado, el círculo y
el semicírculo; y fuera la que fuese la forma utilizada, el área tenía que ser
la misma. Por tanto, los hindúes habían construido círculos que tenían la misma
área que los cuadrados, o dos veces mayor para que se pudiera utilizar el
semicírculo. Otra forma empleada era el trapecio isósceles; aquí se permitió
usar una forma semejante y en consecuencia, aparecieron problemas geométricos
adicionales para construir la figura semejante.
Al diseñar los altares autorizados los hindúes adquirieron algún conocimiento
de los hechos geométricos básicos, como el teorema de Pitágoras, dado en la
forma: «La diagonal de un cuadrilongo (rectángulo) produce por sí mismo las dos
áreas a que dan lugar por separado cada uno de los lados del cuadrilongo. En
general, la geometría de este período consiste en un conjunto inconexo de
reglas verbales aproximadas para el cálculo de áreas y volúmenes. Apastamba
(siglos IV o V a. C.) da una construcción para la obtención de un círculo con
la misma área que un cuadrado, la cual usa, efectivamente, el valor 3,09 para
π, pero él pensaba que la construcción era exacta. En toda la geometría de este
período primitivo no se encuentra ninguna demostración; las reglas eran
empíricas.
2. Aritmética y álgebra indias del período 200-1200
La segunda época de las matemáticas indias, el período alto, se puede datar
groseramente desde el año 200 de nuestra era hasta el 1200. Durante la primera
parte del mismo, la civilización de Alejandría influyó decisivamente en los
indios. Varahamihira (c. 500), un astrónomo, dice: «Los griegos, pese a ser
impuros [cualquiera que tenga una creencia diferente es impuro], deben ser
honrados, puesto que fueron adiestrados en las ciencias y allí sobresalieron
por encima de los demás. ¿Qué se puede decir, pues, de un brahmán si él une a
su pureza la altura de la ciencia?» La geometría de los indios era realmente
griega, pero ellos tenían un don especial para la aritmética. Igual que con el
álgebra, pudieron haber partido de Alejandría y posiblemente de Babilonia, pero
aquí, además, llegaron muy lejos en su desarrollo. La India estaba también un
poco en deuda con China.
Los matemáticos más importantes del segundo período son Aryabhata (nacido el
476), Brahmagupta (nacido el 598), Mahavira (siglo IX) y Bhaskara (nacido el
1114). Muchos de sus trabajos y en general los de los matemáticos indios
estaban motivados por la astronomía y la astrología. En realidad, no hay textos
de matemáticas independientes, el material matemático aparece en capítulos de
libros de astronomía.
Los métodos indios para la escritura de números en el año 600 eran numerosos y
en algunos casos incluían palabras o sílabas para los símbolos numéricos. El
año 600 se volvió otra vez a los antiguos símbolos brahmi, a pesar de que la
forma concreta de los mismos varió a lo largo del período. La notación
posicional en base 10, que había sido de uso limitado durante unos cien años,
se convierte ahora en habitual. También el cero, que los griegos alejandrinos
usaban en los primeros tiempos solamente para designar la ausencia de un
número, fue considerado un número a todos los efectos. Mahavira dice que la
multiplicación de un número por cero da cero y que la sustracción de cero no
disminuye el valor del número. Sin embargo, afirma también que si se divide un
número por cero, su valor permanece invariable. Bhaskara, al hablar de una
fracción cuyo denominador es cero dice que dicha fracción permanece invariable
aunque se añada o sustraiga cualquier cantidad, así como no sufre ningún cambio
la inmutable divinidad cuando se crean y destruyen los mundos. Un número
dividido por cero, añade, se designa como una cantidad infinita.
Para las fracciones en astronomía los indios usaban la notación posicional
sexagesimal. Para otras finalidades empleaban una razón de enteros, pero sin la
barra, como por ejemplo:
Las operaciones aritméticas eran muy parecidas a las nuestras. Por ejemplo,
Mahavira da nuestra regla de división por una fracción: invierte y multiplica.
Los indios introdujeron los números negativos para indicar deudas; en tales
situaciones, los números positivos representaban activos. El primer uso
conocido de tales números se debe a Brahmagupta, hacia 628; él da también las
reglas de las cuatro operaciones para los números negativos. Bhaskara indica
que la raíz cuadrada de un número positivo tiene dos valores, uno positivo y
otro negativo. Evita la dificultad de la raíz cuadrada de un número negativo,
pero afirma que no hay ninguna raíz cuadrada de un número negativo porque estos
números no son un cuadrado. No se da ningún tipo de definiciones, axiomas o
teoremas.
Los indios no aceptaron los números negativos de manera incondicional.
Bhaskara, al dar 50 y —5 como las dos soluciones de un problema, dice: «El
segundo valor no debe ser tenido en cuenta en este caso, ya que es inadecuado;
la gente no acepta las soluciones negativas.» Sin embargo, los números
negativos fueron ganando aceptación lentamente.
Los indios dieron otro gran paso en aritmética al afrontar la cuestión de los
números irracionales; es decir, comenzaron a operar con estos números con
métodos correctos, lo cual, pese a que no fue demostrado generalmente por
ellos, al menos permitió la obtención de conclusiones útiles. Por ejemplo,
Bhaskara dice: «Llamemos la suma de dos irracionales al mayor número
irracional, y dos veces su producto al menor de ellos. La suma y la diferencia
de ellos se efectúa como si fueran números enteros.» Muestra entonces cómo
sumarlos: dados los irracionales √3 y √12,
El principio general en nuestra notación es
Destacaríamos la frase «efectuado como números enteros» en la
fórmula anterior. Los irracionales eran tratados como si tuvieran las mismas
propiedades que los enteros. Así, si tenemos los enteros c y d podríamos
escribir:
Ahora si c = √a y d = √b,
(2) coincide con (1).
Bhaskara da también la regla siguiente para la suma de dos irracionales: «La
raíz del cociente del mayor irracional dividida por el menor, aumentada en una
unidad; la suma elevada al cuadrado y multiplicada por la menor cantidad
irracional es igual a la suma de las dos raíces irracionales.» Esto significa,
por ejemplo
que da 3√3. Da también reglas para la multiplicación, división y
raíz cuadrada de expresiones irracionales.
Los indios eran menos sofisticados que los griegos a la hora de detectar las
dificultades lógicas implícitas en el concepto de número irracional. Su interés
en el cálculo les hizo pasar por encima de consideraciones filosóficas, o
cuestiones que los griegos creían eran fundamentales. No obstante, al aplicar
alegremente a los irracionales métodos semejantes a los usados con los
racionales ayudaron al progreso de las matemáticas. Además, toda su aritmética
fue completamente independiente de su geometría.
Los indios hicieron también algún progreso en álgebra. Usaron abreviaturas de
palabras y algunos símbolos para describir las operaciones. Como en el caso de
Diofanto, no había ningún símbolo para la adición; una tilde sobre el
sustraendo indicaba sustracción; otras operaciones se designaban con palabras
clave o abreviaturas; por ejemplo ka, de la palabra karama, indicaba
la raíz cuadrada. Para las incógnitas, cuando había más de una, tenían palabras
que denotaban colores. La primera se llamaba la incógnita y las restantes,
negro, azul, amarillo y así sucesivamente. Este simbolismo, aunque no era
exhaustivo, era suficiente para que se pueda clasificar el álgebra hindú como
cuasisimbólica, y en realidad lo era más que el álgebra sincopada de Diofanto.
Los problemas y sus soluciones se escribían en este estilo cuasisimbólico. Sólo
se daban los pasos y no iban acompañados de justificaciones ni demostraciones.
Los indios sabían que las ecuaciones cuadráticas tenían dos raíces e incluían
las negativas y las irracionales. Los tres tipos de ecuaciones
cuadráticas ax2 + bx = c, ax2 = bx +
c, ax2 + c = bx con a, b,
c positivos, estudiadas por Diofanto de manera independiente, fueron
tratadas como un solo caso px2 + qx + r = 0,
porque admitían que algunos coeficientes podían ser negativos. Usaban el método
de completar un cuadrado, que por supuesto no era nuevo para ellos. Como no
admitían las raíces cuadradas de los números negativos, no resolvieron todas
las ecuaciones de este tipo. Mahavira resuelve también x/4 + 2√x +
15 = 0, que proviene de un problema enunciado verbalmente.
En las ecuaciones indeterminadas avanzaron más allá de Diofanto. Estas
ecuaciones surgieron en problemas de astronomía; las soluciones mostraban
cuándo ciertas constelaciones aparecerían en el firmamento. Los indios
consideraban todas las soluciones enteras mientras que Diofanto tomaba una
solución racional. El procedimiento para obtener las soluciones enteras
de ax ± by = c donde a, b y c son
números enteros positivos fue introducido por Aryabhata y mejorado por sus
sucesores. Es el mismo que el utilizado en la actualidad. Consideremos ax + by
= c. Si a y b tienen un factor común m que
no divide a c, no existe ninguna solución entera ya que el primer
miembro es divisible por m mientras que el segundo, no.
Si a, b y c tienen un factor común pueden
existir soluciones, y, a la vista de la observación precedente, es suficiente
considerar el caso en que a y b son primos
entre sí. Ahora, el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común
divisor de dos enteros a y b con a
> bcomienza dividiendo a entre b con
lo que a = a1b + r, donde a1 es
el cociente y r, el resto. Por tanto, a/b = a1 +
r/b. Esto puede expresarse como:
El segundo paso en el algoritmo de Euclides consiste en
dividir b por r con lo que b = a2r + r1 o
bien b/r = a2 + r1/r. Si
sustituimos el valor de b/r en (3) podemos escribir
Siguiendo con el algoritmo de Euclides llegamos a lo que se
denomina una fracción continua
que se escribe también como
El proceso se aplica también cuando a < b.En este
caso, a1 es cero y entonces, el proceso se continúa
como antes. Si a y bson enteros, la fracción
continua es finita.
Las fracciones obtenidas al detenerse en el primero, segundo, tercero y en
general n-ésimo cociente, reciben el nombre de primer, segundo,
tercer, n-ésimo convergente, respectivamente. Como en el caso en
que a y bson enteros la fracción continua
finaliza, existe un convergente que precede inmediatamente a la expresión
exacta de a/b. Si p/qes el valor de
este convergente, se puede probar que:
aq - bp = ±1
Consideremos el valor positivo. Volviendo de nuevo a nuestra
ecuación indeterminada original, y como aq - bp = 1 podemos
escribir:
ax + by = c(aq -
bp)
y reordenando los términos, tenemos
Si trepresenta cada una de estas fracciones tenemos:
Podemos asignar ahora valores enteros a t,y como las
restantes cantidades son enteras, obtenemos valores enteros para x e y. En
los casos en que aq - bp = 1 o cuando la ecuación original
es ax - by = c, se dan las pequeñas
modificaciones que deben realizarse. Brahmagupta da la solución (5) si bien,
naturalmente, en función de letras generales a, b, p y q.
Los indios trabajaron también con ecuaciones cuadráticas indeterminadas.
Resolvieron el tipo:
y2 = ax2 + 1
siendo a no cuadrado perfecto y reconocieron
que este tipo era fundamental para estudiar la ecuación
cy2 = ax2 + b.
Los métodos utilizados son excesivamente especializados para ser
objeto de consideración aquí.
Es destacable que encontraron placer en varios problemas matemáticos y los
enunciaron de manera ingeniosa o en verso, o en algún contexto histórico, para
agradar y atraer a la gente. La razón original para actuar así pudo haber sido
un intento de ayudar la memoria, ya que la vieja práctica del brahmán era
confiar en la memoria y escribir las cosas después.
El álgebra se aplicó a los problemas habituales del comercio: cálculo del
interés, descuento, división de los beneficios de un socio y la asignación de
porciones en una herencia; pero la astronomía fue la aplicación más importante.
3. Geometría y trigonometría indias durante el período 200-1200
Durante este período, la geometría no hizo avances notables; consistía en
fórmulas (correctas e incorrectas) para el cálculo de áreas y volúmenes. Muchas
de ellas, como la fórmula de Herón para el área de un triángulo v el teorema de
Ptolomeo, proceden de los griegos alejandrinos. Algunas veces los indios tenían
conciencia de cuándo una fórmula era sólo aproximadamente correcta y otras
veces, no. Sus valores para π eran por lo general incorrectos; utilizaban
corrientemente √10, aunque el valor 3,1416 aparece algunas veces. Para el área
de un cuadrilátero dieron la fórmula
donde s es el semiperímetro y a, b, c y d son
los lados del cuadrilátero, una fórmula que sólo es correcta para cuadriláteros
que pueden inscribirse en un círculo. No presentaron ninguna demostración
geométrica; en general, se preocuparon poco por la geometría.
En trigonometría los indios hicieron algunos avances de poca consideración.
Ptolomeo había usado las cuerdas de arcos, calculadas sobre la base de que el
diámetro de un círculo estaba dividido en 120 unidades. Varahamihira utilizó
120 unidades para el radio. Por tanto, la tabla de cuerdas de Ptolomeo se
convirtió para ellos en una tabla de semicuerdas, pero todavía asociadas a todo
el arco. Aryabhata hizo entonces dos cambios. Primero, asoció la semicuerda con
la mitad del arco de la cuerda completa, este concepto hindú de seno fue usado
por todos los matemáticos posteriores. En segundo lugar, introdujo un radio de
3438 unidades. Este número se obtiene asignando 360 ´ 60 unidades (el número de
minutos) a la circunferencia de un círculo y usando la fórmula C =
2πr, con π aproximado por 3,14. De esta manera, en el esquema de
Aryabhata el «seno de un arco de 30°, es decir, la longitud de la semicuerda
correspondiente a un ángulo de 30°, era 1719. Aunque utilizaban el equivalente
a nuestro coseno, usaban con más frecuencia el seno del arco complementario.
Usaban también la noción de «seno verso» ó 1 -coseno.
Como el radio de un círculo contenía ahora 3438 unidades, los valores de las
cuerdas de Ptolomeo no eran los más adecuados y calcularon de nuevo una tabla
de semicuerdas, partiendo de la base de que la semicuerda que corresponde a un
arco de 90° es 3438 y la semicuerda que corresponde a un arco de 30° es 1719.
Entonces, usando identidades trigonométricas tales como las establecidas por
Ptolomeo, fueron capaces de calcular las semicuerdas a intervalos de 3°45'.
Este ángulo resulta de dividir cada cuadrante de 90° en 24 partes. Es digno de
mención que usaron las identidades en forma algebraica, al contrario de los
argumentos de Ptolomeo, e hicieron cálculos aritméticos sobre las relaciones
algebraicas. Su práctica era, en principio, semejante a la nuestra.
La motivación de la trigonometría fue la Astronomía, de la que la trigonometría
era prácticamente un subproducto. Los trabajos astronómicos típicos incluyen
el Surya Siddhanta (Sistema del Sol, siglo IV) y el Aryabhatiya de
Arabhata (siglo VI). El trabajo más importante fue el Siddhanta
Siromani (Diadema de un sistema astronómico) escrito por Bhaskara en
el 1150. Dos capítulos de este trabajo se titulan Lúavati (Lo
hermoso) y Vijaganita (Extracción de raíces), y estaban
dedicados a la aritmética y el álgebra.
Aunque la astronomía constituyó un interés primordial en el período que sigue
al año 200, los indios no hicieron grandes progresos en este campo. Se fijaron
en la actividad helenística de menor importancia en astronomía aritmética (de
origen babilonio), que predice las posiciones planetarias y lunares por
extrapolación a partir de los datos de las observaciones. Incluso las palabras
hindúes de centro, minuto y otros términos eran exactamente una transliteración
de las correspondientes palabras griegas. Los hindúes se interesaron levemente
en la teoría geométrica de deferente y epiciclo, si bien enseñaban la
esfericidad de la Tierra.
Alrededor del año 1200 declinó la actividad científica en la India y cesó el
progreso matemático. Después de que los británicos conquistaran la India en el
siglo XVIII, algunos sabios de la India viajaron a Inglaterra para estudiar y a
su regreso iniciaron alguna investigación. No obstante, esta actividad moderna
forma parte de las matemáticas europeas.
Como indica nuestro resumen, los hindúes estuvieron interesados y realizaron
aportaciones en actividades aritméticas y computacionales más que en cuestiones
de carácter deductivo. Su nombre para las matemáticas era Ganita, que
significa «la ciencia del cálculo». Evidenciaron métodos muy buenos y grandes
facilidades técnicas, pero no hay ninguna prueba de que consideraran algún tipo
de demostración. Tenían reglas, pero en apariencia, ningún escrúpulo lógico.
Además, no aportaron ningún método general ni ningún punto de vista novedoso en
el área de las matemáticas.
Es rigurosamente cierto que los indios no apreciaban la importancia de sus
propias aportaciones. Las escasas ideas valiosas que tuvieron, tales como
separar los símbolos correspondientes a los números entre 1 y 9, la conversión
a la base 10 y los números negativos fueron introducidos por casualidad sin
tener conciencia de que eran innovaciones notables. No eran sensibles a los
valores de las matemáticas. En el mundo de las ideas, avanzaron, aceptaron e
incorporaron las ideas rudimentarias de egipcios y babilonios. El historiador
persa al-Biruni (973-1048) dice de ellos: «Sólo puedo comparar su literatura
matemática y astronómica... a una mezcla de concha de perla y dátiles verdes o
de perlas y estiércol, o de cristales valiosos y piedras corrientes. Ambos
tipos de cosas son iguales a sus ojos porque no pueden elevarse a los métodos
de una deducción estrictamente científica.»
4. Los árabes
Visto desde la distancia, el papel de los árabes en la historia de las
matemáticas fue el de asestar el último golpe a la civilización alejandrina.
Antes de comenzar sus conquistas habían sido un pueblo nómada que ocupaba la
región de la Arabia moderna. Fueron incitados a la actividad y a la unidad por
Mahoma y menos de un siglo después de su muerte, ocurrida el 632, habían
conquistado tierras que iban de la India hasta España incluyendo el norte de
África y el sur de Italia. El año 755 el imperio árabe se escindió en dos
reinos independientes; la parte oriental tenía su capital en Bagdad y la
occidental, en Córdoba, en España.
Una vez terminadas sus conquistas, los antiguos nómadas pusieron su empeño en
construir una civilización y una cultura. Rápidamente, los árabes se
interesaron por las artes y las ciencias. Las dos capitales atrajeron a
científicos y apoyaron su trabajo, si bien fue Bagdad la que demostró ser la
más importante: allí se construyeron una academia, una biblioteca y un observatorio
astronómico.
Los recursos culturales al alcance de los árabes fueron considerables.
Invitaron a científicos indios a establecerse en Bagdad. Cuando Justiniano
cerró la Academia de Platón el año 529, muchos de sus miembros griegos
marcharon a Persia, y las enseñanzas griegas que florecieron allí se
convirtieron, un siglo más tarde, en parte del mundo árabe. Los árabes
establecieron también contactos con los griegos del Imperio Bizantino; de
hecho, los califas árabes adquirieron manuscritos griegos a los bizantinos.
Egipto, el centro del saber griego durante el período alejandrino, fue
conquistado por los árabes, por lo que la ciencia que sobrevivió allí
contribuyó a la actividad del imperio árabe. Las escuelas sirias de Antioquía,
Emesa y Damasco y la escuela de los cristianos nestorianos de Edesa, que se
habían convertido en los mayores depositarios del Cercano Oriente de los
trabajos griegos después de la destrucción de Alejandría el año 640, y los
monasterios cristianos del Oriente próximo, que también estaban en posesión de
estos trabajos, estaban bajo el gobierno de los árabes. De esta manera, los
árabes tenían el control, o el acceso, de hombres y cultura del Imperio
Bizantino, Egipto, Siria, Persia y las tierras situadas más al Este, incluida
la India.
Se habla de matemáticas árabes, pero en un principio eran matemáticas en lengua
árabe. La mayoría de los sabios eran griegos, cristianos, persas y judíos. Sin
embargo, es cierto que los árabes, tras finalizar el período de sus conquistas,
marcado por el fanatismo religioso, fueron liberales con respecto a otros
pueblos y sectas y los infieles pudieron desarrollar sus actividades con entera
libertad.
Fundamentalmente, lo que poseían los árabes era el conocimiento griego,
adquirido directamente de los manuscritos griegos o de versiones sirias o
hebreas. Todos los trabajos que tenían una gran importancia eran accesibles
para ellos. Los bizantinos les proporcionaron una copia de los Elementos de
Euclides alrededor del año 800 y los tradujeron al árabe. La Sintaxis
Matemática de Ptolomeo fue traducida también al árabe el año 827 y se
convirtió en un libro fundamental, casi divino, para los árabes; era conocido
como el Almagesto, que significa el libro mayor. Tradujeron
también el Tetrabiblos de Ptolomeo y este libro de astrología
fue popular entre ellos. Con el tiempo fueron accesibles en lengua árabe los
trabajos de Aristóteles, Apolonio, Arquímedes, Herón y Diofanto y las obras
indias. Entonces, los árabes mejoraron las traducciones e introdujeron
comentarios. Estas traducciones, algunas de ellas conservadas, pudieron
encontrarse más tarde en Europa, cuando los originales griegos ya se habían
perdido. Hasta el 1300 la civilización árabe fue dinámica y su ciencia se
difundió ampliamente.
5. Aritmética y álgebra árabes
Cuando los árabes eran todavía nómadas tenían palabras para los números, pero
no disponían de ningún símbolo. Tomaron y mejoraron los símbolos numéricos de
los indios y su idea de la notación posicional. Usaban estos símbolos numéricos
para los números enteros y las fracciones corrientes (añadiendo una barra al
esquema hindú) en sus textos matemáticos y numerales alfabéticos árabes, a
partir de la idea griega, para los textos astronómicos. Para la astronomía
usaban las fracciones sexagesimales, igual que Ptolomeo.
Del mismo modo que los indios, los árabes trabajaron libremente con los
irracionales. De hecho, Ornar Khayyam (1048?-1122) y Nasir-Eddin (1201-1274)
afirman claramente que toda razón de magnitudes, tanto conmensurables como
inconmensurables, puede ser considerada como un número, aseveración que Newton
se vio obligado a reafirmar en su Aritmética Universal de
1707. Los árabes consideraron las operaciones con números irracionales que
habían introducido los indios, y transformaciones tales como √a2b = a√b y √ab = √a
√bse convirtieron en habituales.
En aritmética, los árabes dieron un paso atrás: aunque estaban familiarizados
con los números negativos y las reglas de las operaciones con ellos a través de
los trabajos de los indios, los rechazaron.
Al álgebra contribuyeron antes de nada con el nombre. La palabra «álgebra»
viene de un libro escrito el 830 por el astrónomo Mohammed ibn Musa
al-Khowárizmi (sobre el 825), titulado Al-jabr w’al muqábala. La
palabra al-jabr que en este contexto significa «restauración»,
restaura el equilibrio en una ecuación al colocar en un miembro de la misma un
término que ha sido eliminado del otro; por ejemplo, si -7 se suprime de x2 -
7 = 3, el equilibrio se restaura escribiendo x2 = 7
+ 3.
Al muqábala significa «simplificación», en el sentido de que, por
ejemplo, se pueden combinar 3x y 4x y obtener 7x,
o bien suprimir términos iguales en miembros distintos de una ecuación. Al-jabr significa
también «componedor de huesos», es decir, un restaurador de huesos rotos.
Cuando los moros llevaron la palabra a España se convirtió en algebrista
y significaba «componedor de huesos». En algún tiempo no era raro en
España ver un cartel con la inscripción «Algebrista y Sangrador»[18] a la entrada de una barbería, ya que en aquel tiempo, e
incluso en siglos posteriores, los barberos administraban tratamientos médicos
sencillos. En el siglo XVI en Italia, álgebra significaba el arte de componer
huesos rotos. Cuando el libro de al-Khowárizmi fue traducido por primera vez al
latín en el siglo XII, se tituló Ludus algebrae et almucgrabalaeque,aunque
se usaron también otros títulos. El nombre fue finalmente resumido como
álgebra.
El álgebra de al-Khowárizmi está basada en el trabajo de Brahmagupta, pero
muestra también influencias babilonias y griegas. Al- Khowárizmi ejecuta
algunas operaciones exactamente igual que Diofanto. Por ejemplo, en ecuaciones
con varias incógnitas, las reduce a una indeterminada y a continuación las
resuelve. Diofanto coloca una indeterminada a continuación de otra para
escribir s2 y lo mismo hace al-Khowárizmi. Este llama
«potencia» al cuadrado de la incógnita, que es una palabra de Diofanto. Utiliza
también, igual que Diofanto, nombres especiales para las potencias de la
indeterminada. Llama a esta última la «cosa» o la «raíz» (de una planta), y de
ahí procede nuestro término raíz. Al-Karkhi de Bagdad (fallecido sobre el 1029)
que escribió un texto árabe de álgebra superior en los primeros años del siglo
XI, sigue realmente a los griegos y en especial a Diofanto. Sin embargo, los
árabes no usaron ninguna clase de simbolismo; su álgebra es completamente
retórica y a este respecto representa un retroceso si se compara con la de los
indios e incluso con la de Diofanto.
En su Algebra, al-Khowárizmi da el producto de (x ± a) e (y ± b). Muestra
cómo añadir y sustraer términos de expresiones de la forma ax2 + bx + c.
Resuelve ecuaciones lineales y cuadráticas, pero considera las seis formas
distintas, tales como ax2 = bx, ax2 = c, ax2 + c = bx,
ax2 + bx = c y ax2 =
bx + c, con a, b, csiempre positivos. Evita los números
negativos en solitario y la sustracción de cantidades mayores que el minuendo.
En este procedimiento de considerar formas separadas, al-Khowárizmi sigue la
línea de Diofanto. Al- Khowárizmí reconoce que una ecuación cuadrática puede
tener dos raíces, pero da solamente las que son reales y positivas, que pueden
ser irracionales. Algunos autores dan raíces positivas y raíces negativas.
Un ejemplo de un problema cuadrático planteado por al- Khowárizmi es el
siguiente: «Un cuadrado y diez de sus raíces son iguales a treinta y nueve
unidades, es decir, si sumamos diez raíces a un cuadrado, la suma es igual a
treinta y nueve.» Da la solución así: «Tomemos la mitad del número de
raíces, esto es, en este caso, cinco, y multipliquemos esta cantidad por sí
misma y el resultado es veinticinco. Añadámosla a treinta y nueve, lo que da
sesenta y cuatro; tomemos su raíz cuadrada, u ocho, y restémosle la mitad del
número de raíces, precisamente cinco, y queda un resto de tres. Esta es la raíz.»
La solución dada sigue exactamente el proceso llamado «completar un cuadrado».
Pese a que los árabes dan soluciones algebraicas de las ecuaciones cuadráticas,
explican o justifican sus procesos geométricamente. Sin duda, estaban influidos
por la confianza que tenían los griegos en el álgebra geométrica: a la vez que
aritmetizaban el problema, debían pensar que la demostración había que hacerla
con métodos geométricos.
Así, para resolver la ecuación x2 + 10x =
39, al-Khowárizmi da el siguiente razonamiento geométrico: sea AB (fig.
9.1) el segmento que representa el valor de la incógnita x y
construyamos el cuadrado ABCD.
Figura 9.1
Prolonguemos DA hasta H y DC hasta F de
manera que AH = CF = 5, que es la mitad del
coeficiente de x. Completemos el cuadrado sobre DH y DF. Entonces,
las áreas I, II y III son x2, 5x y 5x respectivamente.
La suma de las tres es el primer miembro de la ecuación. Añadimos ahora a ambos
miembros el área IV, que es 25.
Luego, el cuadrado completo tiene área 39 + 25 ó 64 y su lado
debe valer 8. Así pues, AB o AD es 8 - 5 ó 3.
Este es el valor de x. El argumento geométrico se basa en la
proposición 4 del libro II de los Elementos.
Los árabes resolvieron algunas ecuaciones cúbicas algebraicamente y dieron una
justificación geométrica, tal como hemos ilustrado en el caso de las ecuaciones
cuadráticas. Esto es lo que hicieron, por ejemplo, Tábit ibn Qorra (836-901),
un pagano de Bagdad, que fue también físico, filósofo y astrónomo, y el egipcio
al-Hassan ibn al-Haitham, conocido generalmente como Alhazen (sobre 965-1039).
Ornar Khayyam creía que la ecuación cúbica general debería resolverse sólo
geométricamente, usando secciones cónicas. Vamos a ilustrar el método usado en
su Algebra (hacia 1079) para resolver algunos tipos de tales
ecuaciones considerando uno de los casos más sencillos estudiados por él: x3 +
Bx =C, donde B y C son positivos.
Khayyam escribe la ecuación como x3 + b2x = b2c donde b2 = B y b2c = C.
Construye entonces una parábola (fig. 9.2) de parámetro b. Esta
cantidad, por supuesto, fija la parábola, y aunque la curva no puede
construirse con el uso de la regla y el compás, se pueden dibujar cuantos
puntos de la misma se deseen.
Figura 9.2
Traza a continuación el semicírculo de diámetro QR, que
tiene longitud c. La intersección P de la parábola
y el semicírculo determina la perpendicular PS, y QSes
la solución de la ecuación cúbica.
La demostración de Khayyam es estrictamente sintética. A partir de la propiedad
geométrica de la parábola dada por Apolonio (o como podemos ver a partir de la
ecuación x2 = by)
x2 = b ´ PS (6)
o bien
Consideremos ahora el triángulo rectángulo QPR. La
altura PS es media proporcional entre QS y SR.
Por tanto:
De (7) y (8) obtenemos
Pero por (7)
Si sustituimos este valor de PS en (9) vemos
que x satisface la ecuación
x3 + b2x = b2c.
Khayyam resolvió también ecuaciones del tipo x3 + ax2 = c3,
cuyas raíces están determinadas por la intersección de una hipérbola y una
parábola, y del tipo x3 ± ax2 + b2x
- b2c, las raíces de la cual se determinan mediante
la intersección de una elipse y una hipérbola. Resolvió asimismo una ecuación
de cuarto grado: (100 - x2)(10 - x2)
= 8100, cuyas raíces están determinadas por la intersección de una hipérbola y
un círculo. Da solamente raíces positivas.
La resolución de ecuaciones cúbicas con el uso de intersecciones de cónicas es
el mayor avance hecho por los árabes en álgebra. Las matemáticas son del mismo
tipo que el álgebra geométrica de los griegos, aunque utilicen secciones
cónicas. El objetivo sería dar una respuesta aritmética, pero los árabes la
podían obtener solamente midiendo la longitud final que representa x. En
este trabajo la influencia de la geometría griega es evidente.
Los árabes resolvieron también ecuaciones indeterminadas de segundo y tercer
grado. Un par de autores se dedicaron a estudiar la ecuación x3 +
y3 = z3, pero no pudo ser resuelta
completamente. Dieron también las sumas de las potencias primera, segunda,
tercera y cuarta de los n primeros números naturales.
6. La geometría y la trigonometría árabes
La geometría árabe estuvo influida principalmente por Euclides, Arquímedes y
Herón. Los árabes hicieron comentarios críticos a los Elementos de
Euclides, lo que resulta sorprendente, ya que pone de manifiesto unas
apreciaciones de rigor que contrastan con su indiferencia habitual por el mismo
en álgebra. Estos comentarios incluyen trabajos sobre el axioma de las
paralelas, que consideraremos más adelante (cap. 36). Estos comentarios son más
valiosos por la información que suministran acerca de los manuscritos griegos
que los árabes tenían a su disposición desde que habían sido extraviados que
por el hecho de que pudieran ofrecer algún resultado nuevo o alguna
demostración diferente. Un problema nuevo, que se hizo popular en Europa
durante el Renacimiento, fue investigado por el persa Abü’l- Wefá o Albuzjani
(940-998); construcciones con una recta y un círculo fijo (es decir, un compás
con abertura fija).
Los árabes hicieron algún pequeño progreso en trigonometría. La suya, igual que
en el caso de los indios, es más aritmética que geométrica (como en Hiparco y
Ptolomeo). Así, para calcular valores de algún coseno a partir de valores del
seno usaban una identidad como sen2A + cos2A =
1 y transformaciones algebraicas. Igual que los indios, utilizaban senos de
arcos en vez de cuerdas de arcos dobles, pese a que (como en los trabajos
indios) el número de unidades en el seno o semicuerda depende del número de
unidades tomadas en el radio. Tábit ibn Qorra y el astrónomo al-Battání (sobre
858-929) introdujeron este uso de senos entre los árabes.
Los astrónomos árabes introdujeron lo que llamamos tangente y cotangente, pero
como líneas que contenían un número determinado de unidades, exactamente como
el seno de un arco era una longitud que contenía una cantidad dada de unidades.
Estas dos razones se pueden encontrar en el trabajo de al-Battáni. Abü’l-Wefá
introdujo la secante y la cosecante como longitudes en un trabajo de
astronomía. Calculó también tablas de senos y tangentes para intervalos de 10'
de ángulo. Al-Bíruni dio el teorema del seno para triángulos planos y una
demostración del mismo.
La sistematización de la trigonometría plana y esférica en un trabajo
independiente de la astronomía la proporcionó Nasir-Eddin en su Tratado
del Cuadrilátero. Este trabajo contiene seis fórmulas fundamentales
para la resolución de triángulos rectángulos esféricos y muestra cómo resolver
triángulos más generales por el método que denominamos del triángulo polar. Por
desgracia, los europeos no conocieron el trabajo de Nasír hasta aproximadamente
el año 1450; hasta entonces la trigonometría permaneció, tal como había sido
concebida, como un apéndice de la astronomía, tanto en los textos como en las
aplicaciones.
El esfuerzo científico árabe, si bien no fue original, fue amplio; sin embargo,
nosotros no podemos hacer otra cosa que destacar del mismo la continuación de
las líneas propuestas por los griegos, Contrariamente a los indios, los árabes
tomaron como punto de partida la astronomía de Ptolomeo. La astronomía fue
cobrando cada vez más importancia, ya que las horas de las oraciones debían ser
conocidas con absoluta precisión, y porque los árabes debían rezar de cara a La
Meca desde cualquier punto de su vasto imperio. Las tablas astronómicas fueron
aumentadas; los instrumentos, mejorados, y se construyeron y utilizaron
observatorios. Igual que en la India, prácticamente todos los matemáticos eran
principalmente astrónomos. La astrología jugó también un importante papel a la
hora de estimular los trabajos en astronomía y, en consecuencia, en
matemáticas.
Otra ciencia estudiada por los árabes fue la óptica. Alhazen, que fue físico
además de matemático, escribió el gran tratado Kitab al~manazer o Compendio
de Optica, que ejerció una gran influencia. En él se establece la ley
de la reflexión completa, incluyendo el hecho de que el rayo incidente, el
reflejado y la normal a la superficie de reflexión están todos contenidos en un
mismo plano. Pero, igual que Ptolomeo, no tuvo éxito a la hora de hallar la ley
del ángulo de refracción, pese a que dedicó a ello grandes esfuerzos y
experimentaciones. Habló de los espejos esféricos y parabólicos, las lentes, la
cámara oscura y la visión. La óptica fue un tema favorito de los árabes porque
se presta a proyectos ocultos y místicos. Pese a ello, no aportaron ninguna
idea original de importancia.
El uso de las matemáticas por parte de los árabes se centraba en los campos que
hemos indicado anteriormente. La astronomía, la astrología, la óptica y la medicina
(a través de la astrología) las necesitaban, si bien partes del álgebra, como
dijo uno de los matemáticos árabes, eran «más necesarias en cuestiones de
distribución, herencias, sociedades, medidas de tierras...». Los
árabes estudiaron matemáticas para el resto de las pocas ciencias que
cultivaron, y no por sí mismas. No estudiaron las ciencias por su valor
intrínseco. No se interesaron en el objetivo de los griegos de comprender el
plan matemático de la Naturaleza o para entender los caminos de Dios, como en
la Europa medieval. El objetivo árabe, nuevo en la historia de la ciencia, era
dominar la Naturaleza. Ellos pensaban que lograrían este poder a través de la
alquimia, la magia y la astrología, que constituyeron una gran parte de su
esfuerzo científico. Este objetivo fue abandonado más tarde por mentes más
críticas, que distinguirían entre ciencia y pseudociencia y fueron más
profundos en su estudio.
Los árabes no produjeron ningún avance significativo en matemáticas. Lo que
hicieron fue absorber las matemáticas griegas e indias, conservarlas y
finalmente, a través de los acontecimientos que hemos contemplado hasta ahora,
transmitirlas a Europa. La actividad árabe alcanzó su cumbre alrededor del año
1000. Entre los años 1100 y 1300 los ataques cristianos en las Cruzadas
debilitaron a los árabes orientales. Como consecuencia de ello, su territorio
fue invadido y conquistado por los mongoles; después de 1258, el califato de
Bagdad dejó de existir. Destrucciones adicionales a cargo de los tártaros bajo
Tamerlán acabaron de borrar esta civilización árabe, aunque se desarrolló algún
atisbo de actividad matemática después de la invasión tártara. En España, los
árabes fueron constantemente atacados y finalmente derrotados en el año 1492
por los cristianos; esto terminó con la actividad matemática y científica en
ese país.
7. La matemática alrededor del 1300
Si bien la labor matemática de los indios y árabes no fue brillante, produjo
algunos cambios en el contenido y en el carácter de las matemáticas que fueron
importantes para abordar su futuro. La notación posicional en base 10 (que usa
símbolos especiales para los números de 1 a 9 y el cero como número), la
introducción de los números negativos y el libre uso de los irracionales como
números no sólo amplió considerablemente la aritmética sino que allanó el
camino para un álgebra más trascendente, un álgebra en la que las letras y las
operaciones se podrían aplicar a una clase más amplia de números.
Ambos pueblos trabajaron con ecuaciones, determinadas e indeterminadas, con una
base más aritmética que geométrica. Si bien el álgebra, tal como la iniciaron
egipcios y babilonios, estaba fundamentada aritméticamente, los griegos la
habían desvirtuado al requerir una base geométrica. Por lo tanto, los trabajos
indios y árabes no sólo recondujeron el álgebra a sus propios orígenes sino que
incluso la hicieron avanzar por varios caminos. Los indios aumentaron el
simbolismo e hicieron progresos en el campo de las ecuaciones indeterminadas,
mientras que los árabes se aventuraron en el problema de las ecuaciones de
tercer grado, aunque los trabajos de Khayyam todavía estaban vinculados a la
geometría.
La geometría euclídea no hizo ningún avance, pero sí lo hizo la trigonometría.
La introducción del seno o semicuerda demostró ser un avance técnico. La
técnica aritmética o algebraica para el manejo de identidades y para el cálculo
en trigonometría fue un paso definitivo, y la segregación del conocimiento
trigonométrico de la astronomía puso de manifiesto una ciencia más ampliamente
aplicable.
Hubo dos hechos que fueron significativos para el reconocimiento futuro de que
el álgebra podía coexistir con la geometría. La aceptación de los números
irracionales hizo posible asignar valores numéricos a todos los segmentos
lineales y a las figuras de dos o tres dimensiones; es decir, expresar
longitudes, áreas y volúmenes mediante números. Además, la práctica de los
árabes de resolver ecuaciones algebraicas al mismo tiempo que justificaban el
proceso a través de una representación geométrica exhibía el paralelismo entre
las dos materias. El desarrollo más completo de este paralelismo se dejó a la
geometría analítica.
Quizá más interesante sea el concepto autocontradictorio de las matemáticas que
tenían indios y árabes. Ambos trabajaron con entera libertad en aritmética y
álgebra y, sin embargo, no se preocuparon en ninguna medida de la noción de
demostración. No resulta sorprendente que tanto egipcios como babilonios se
contentaran con su escasa aritmética y algunas reglas geométricas de base
empírica; ésta es una base natural para casi todo el conocimiento humano. Pero
los indios y los árabes estaban al tanto del concepto totalmente nuevo de
demostración matemática instaurado por los griegos. El comportamiento hindú
puede tener alguna justificación; pese a que poseían claramente algún
conocimiento de los trabajos de los griegos clásicos, les prestaron muy poca
atención y siguieron fundamentalmente el tratamiento greco-alejandrino de la
aritmética y el álgebra. Incluso su preferencia por un tipo de matemáticas
sobre otras levanta una controversia. Pero los árabes conocían completamente la
geometría griega e incluso hicieron estudios críticos de Euclides y otros
autores griegos. Por otra parte, las condiciones para continuar el estudio de la
ciencia pura eran favorables en un período que duró varios siglos, por lo que
la presión para producir resultados prácticos y útiles no tenía que dar lugar
necesariamente a que los matemáticos sacrificaran la demostración por la
utilidad inmediata. ¿Por qué, pues, los dos pueblos han tratado las dos áreas
de las matemáticas de forma tan distinta a los griegos?
Hay muchas respuestas posibles. Ambas civilizaciones carecieron por completo de
espíritu crítico, a pesar de los comentarios árabes de Euclides. Luego, es
posible que se contentaran con tomar las matemáticas tal como las encontraron;
es decir, la geometría era deductiva, pero la aritmética y el álgebra eran
empíricas o heurísticas. Una segunda posibilidad es que tanto un pueblo como el
otro —más propiamente los árabes— admitieron que los métodos y temas de la
geometría eran completamente diferentes de los de la aritmética y el álgebra
pero no veían la manera de encontrar un fundamento lógico para la aritmética.
Un hecho que parece apoyar esta teoría es que los árabes, al menos, explicaban
su solución de las ecuaciones cuadráticas con argumentos geométricos.
Hay otras explicaciones posibles. Indios y árabes apoyaron la aritmética, el
álgebra y la formulación algebraica de las relaciones trigonométricas, así como
las operaciones con ellas. Esta predisposición puede provocar una mentalidad
distinta o reflejar una respuesta a las necesidades de las civilizaciones. Las
dos que estamos considerando estaban orientadas a la práctica y, como hemos
tenido ya ocasión de observar al hablar de los griegos alejandrinos, las
necesidades prácticas exigían resultados cuantitativos, que eran facilitados
por la aritmética y el álgebra. Una pequeña evidencia que puede favorecer la
tesis de que había una diferencia de mentalidad respecto a los griegos clásicos
es la reacción de los europeos ante una herencia matemática muy parecida a la
que habían recibido indios y árabes. Como veremos, los europeos estuvieron
mucho más preocupados por la situación tan dispar que presentaban la aritmética
y la geometría.
En ausencia de un estudio exhaustivo y definitivo podemos adoptar la postura de
admitir que los indios y árabes eran conscientes de la situación precaria en
que se encontraban la aritmética y el álgebra, pero tuvieron la audacia,
reforzada por necesidades prácticas, de desarrollar estas ramas. Si bien es
indudable que no apreciaban lo que estaban realizando, tomaron el único camino
de innovación matemática posible. Las nuevas ideas pueden llegar solamente a
través de la búsqueda libre y audaz del discernimiento heurístico e intuitivo.
La justificación lógica y las medidas correctoras, que se necesitarían más
tarde, pueden plantearse solamente cuando hay algo que fundamentar lógicamente.
Los indios y árabes tuvieron el atrevimiento de llevar de nuevo la aritmética y
el álgebra al lugar que ocupaban anteriormente y situarlas casi a la misma
altura que la geometría.
Se había llegado así a dos tradiciones o conceptos de matemáticas
independientes entre sí: por una parte, el cuerpo de conocimiento lógico y
deductivo establecido por los griegos, que servía para el ambicioso propósito
de comprender la Naturaleza; y por otra, las fundamentadas empíricamente y
orientadas a la práctica, creadas por los egipcios y babilonios y resucitadas
por los greco-alejandrinos y prolongadas por los indios y árabes. Una favorece
la geometría y la otra, la aritmética y el álgebra. Ambas tradiciones y ambos
objetivos fueron continuados y llevados a cabo.
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Capítulo 10
El periodo medieval en Europa
En la mayoría de las ciencias una generación destruye lo que
otra ha construido y lo que una ha establecido otra lo deshace. Sólo en
matemáticas cada generación añade un piso nuevo a la antigua estructura.
Hermann Hankel
Contenido:
1. Los comienzos de la civilización europea
2. Los elementos disponibles para la cultura
3. El papel de las matemáticas en
4. Europa en la Alta Edad Media
5. El estancamiento en matemáticas
6. El primer renacimiento de las obras griegas
7. El renacimiento del racionalismo y del interés por la naturaleza
8. El progreso específico en matemáticas
9. El progreso en las ciencias físicas
10. Sumario
Bibliografía
1. Los comienzos de la civilización europea
La Europa occidental y central empezó a participar en el desarrollo de las
matemáticas cuando la civilización árabe comenzó a declinar. Sin embargo, para
familiarizarnos con la situación de la Europa medieval, para saber cómo empezó
la civilización europea y para entender las direcciones que tomó, debemos
volver, al menos brevemente, a sus comienzos.
En los tiempos en que florecieron babilonios, egipcios, griegos y romanos, la
zona que ahora se llama Europa (excepto Italia y Grecia) poseía una
civilización primitiva. Las tribus germánicas que vivían en ella no tenían ni
una escritura ni una cultura. El historiador romano Tácito (siglo I d. C.)
describe esas tribus, aproximadamente en tiempos de Cristo, como honestas,
hospitalarias, bebedoras, no amantes de la paz y orgullosas de la lealtad de
sus esposas. La cría de ganado, la caza y el cultivo de grano eran las
principales ocupaciones. Comenzando en el siglo IV de la era cristiana, los
hunos condujeron hacia el Oeste a los godos y a las tribus germánicas que
ocupaban la Europa central. En el siglo V los godos conquistaron el Imperio
Romano de Occidente.
Aunque partes de Francia e Inglaterra habían adquirido alguna cultura durante
la dominación del Imperio Romano, hacia el 500 después de Cristo comenzaron a
actuar en Europa nuevas influencias civilizadoras. Incluso antes de la caída
del Imperio, la Iglesia Católica estaba organizada y era poderosa. La iglesia
convirtió gradualmente a los bárbaros germánicos y godos al cristianismo y
comenzó a fundar escuelas; éstas estaban asociadas a monasterios ya existentes,
que conservaban fragmentos de las culturas griega y romana, y habían estado
enseñando a la gente a leer los servicios de la iglesia y los libros sagrados.
Un poco más tarde, la necesidad de preparar hombres para desempeñar puestos
eclesiásticos motivó el desarrollo de escuelas superiores.
En la última mitad del siglo VIII, algunos dirigentes seglares fundaron más
escuelas. En el imperio de Carlomagno, las escuelas fueron organizadas por
Alcuino de York (730-804), un inglés que vino a Europa por invitación del mismo
Carlomagno. Estas escuelas también estuvieron asociadas a catedrales o
monasterios, y enfatizaban la teología cristiana y la música. En realidad, las
universidades en Europa se desarrollaron a partir de las escuelas
eclesiásticas, con profesores suministrados por las órdenes religiosas, como
los franciscanos y los dominicos. Bolonia, la primera universidad, fue fundada
en 1088. Las universidades de París, Salerno, Oxford y Cambridge fueron
establecidas alrededor de 1200. Por supuesto que, en sus comienzos,
difícilmente podían ser consideradas como universidades en el sentido actual.
Además, aunque formalmente independientes, estaban esencialmente dedicadas a
los intereses de la Iglesia.
2. Los elementos disponibles para la cultura
A medida que la Iglesia extendía su influencia, iba favoreciendo e imponiendo
una determinada cultura. El latín era la lengua oficial de la Iglesia y por
ello el latín se convirtió en la lengua internacional de Europa y en la lengua
de las matemáticas y de la ciencia. Era también la lengua en que se enseñaba en
las escuelas europeas hasta bien entrado el siglo XVIII. Resultó inevitable que
los europeos buscaran el conocimiento sobre todo en libros latinos, esto es,
romanos. Puesto que la matemática romana era insignificante, todo lo que los
europeos aprendieron fue un sistema de números muy primitivo y unos pocos
conocimientos de aritmética. También conocieron un poco de la matemática griega
a través de algunos traductores.
El principal traductor, cuyas obras fueron ampliamente utilizadas hasta el
siglo XII, fue Anicio Manlio Severino Boecio (c. 480-524), descendiente de una
de las más antiguas familias romanas. Utilizando fuentes griegas, compiló
selecciones latinas de tratados elementales sobre aritmética, geometría y
astronomía. De los Elementos, de Euclides, puede haber
traducido lo mismo cinco libros que dos, y éstos constituyeron una parte de
su Geometría. En este tema dio definiciones y teoremas, pero
no demostraciones. También incluyó en este trabajo algún material sobre la
geometría de la medición. Algunos resultados son incorrectos y otros, sólo
aproximaciones. Curiosamente, la Geometría también contenía
material sobre los ábacos y las fracciones, estas últimas como preliminar al
material sobre astronomía (que no tenemos). Boecio también escribió Institutis
arithmetica, una traducción de la Introductio arithmetica de
Nicómaco, aunque omitió algunos de los resultados de éste. Este libro fue la
fuente de toda la aritmética que se enseñó en las escuelas durante casi mil
años. Finalmente, Boecio tradujo algunas obras de Aristóteles, y escribió una
astronomía basada en Ptolomeo y un libro sobre música basado en trabajos de
Euclides, Ptolomeo y Nicómaco. Es muy probable que Boecio no entendiera todo lo
que traducía. Fue él quien introdujo la palabra «quadrivium» para
designar a la aritmética, geometría, música y astronomía. Su obra más conocida,
todavía leída en la actualidad, son las Consolaciones de la Filosofía, que
escribió mientras estaba en prisión por supuesta traición (por la que fue
decapitado al final).
Otros traductores fueron el romano Aurelio Casiodoro (c. 475- 570), quien
expuso unas pocas partes de las obras griegas en matemáticas y astronomía en su
propia pobre versión; Isidoro de Sevilla (c. 560-636), quien escribió las Etimologías, una
obra en veinte libros sobre temas que abarcaban desde las matemáticas hasta la
medicina, y el inglés Beda el Venerable (674-735). Estos hombres fueron los
eslabones principales entre las matemáticas griegas y los primeros tiempos del
mundo medieval.
En todos los problemas que aparecen en los libros escritos por los primeros
matemáticos medievales sólo aparecen las cuatro operaciones con enteros. Puesto
que, en la práctica, los cálculos se hacían en varios tipos de ábacos, las
reglas de estas operaciones estaban especialmente adaptadas para ello. Las
fracciones se utilizaban raras veces, y cuando se hacía se utilizaban
fracciones romanas con nombres específicos más que un simbolismo especial; por
ejemplo, uncía era 1/12, quincunx era
5/12, dodrans era 9/12. Los números irracionales no aparecían
en absoluto. Los buenos calculadores fueron conocidos en la Edad Media como
practicantes de una forma de magia, el «Arte Negro».
En el siglo X, Gerbert (1003...), nativo de Auvernia, y más tarde el Papa
Silvestre II, contribuyeron a mejorar el estudio de las matemáticas. Sus
escritos, sin embargo, se limitaron a la aritmética y geometría elementales.
3. El papel de las matemáticas en Europa en la Alta Edad Media
Aunque los elementos disponibles para la enseñanza de las matemáticas eran
escasos, éstas eran relativamente importantes en el curriculum de
las escuelas medievales, incluso desde muy pronto. El curriculum estaba
dividido en el quadrivium y el trivium. El quadrivium incluía
la aritmética, considerada como la ciencia de los números puros, la música,
vista como una aplicación de los números, la geometría, o el estudio de
magnitudes tales como longitudes, áreas y volúmenes en reposo, y la astronomía,
el estudio de magnitudes en movimiento. El trivium cubría la
retórica, la dialéctica y la gramática.
Incluso el aprendizaje de las pocas matemáticas que hemos descrito servía para
varios propósitos. Después de la época de Gerbert fueron aplicadas para obtener
alturas y distancias, para lo que se utilizaban el astrolabio y el espejo como
instrumentos de campo. Se esperaba de la clerecía que defendiera la teología y
refutara argumentos en contra mediante razonamientos, y las matemáticas eran
consideradas como un buen entrenamiento para el razonamiento teológico, de la
misma manera que Platón las había considerado como un buen entrenamiento para
la filosofía. La Iglesia también abogaba por la enseñanza de las matemáticas
por su aplicación para el cumplimiento del calendario y la predicción de las
fiestas. En cada monasterio había al menos una persona que podía realizar los
cálculos necesarios para ello, y en el curso de este trabajo fueron diseñadas
numerosas mejoras en aritmética y en el método de cálculo del calendario.
Otra motivación para el estudio de algunas matemáticas fue la astrología. Esta
pseudociencia, que había estado algo en boga en Babilonia, en la Grecia
helenística y entre los árabes, era casi universalmente aceptada en la Europa
medieval. La doctrina básica de la astrología era, por supuesto, que los
cuerpos celestes influían y controlaban los cuerpos humanos y su destino. Para
entender las influencias de los cuerpos celestes y para predecir lo que
presagiaban acontecimientos celestes especiales, tales como conjunciones y
eclipses, eran necesarios algunos conocimientos de astronomía, y por tanto eran
indispensables algunas matemáticas.
La astrología fue especialmente importante en la Baja Edad Media. Todas las
cortes tenían astrólogos y las universidades tenían profesores de astrología y
cursos sobre el tema. Los astrólogos aconsejaban a los príncipes y a los reyes
sobre decisiones políticas, campañas militares y asuntos personales. Es curioso
que incluso gobernantes instruidos y vinculados al pensamiento griego confiaran
en los astrólogos. En el último período medieval y en el Renacimiento, la
astrología no sólo se convirtió en una actividad importante, sino que fue
considerada como una rama de las matemáticas.
A través de la astrología, se estableció una relación entre las matemáticas y
la medicina (cap. 7, sec. 8). Aunque la Iglesia menospreciaba el cuerpo físico
como relativamente falto de importancia, los médicos no estaban necesariamente de
acuerdo con ello. Puesto que los cuerpos celestes influían presumiblemente en
la salud, los médicos estudiaban, por una parte, las relaciones entre los
acontecimientos celestes y las constelaciones y, por otra, la salud de los
individuos. Se recogían y conservaban los datos de las constelaciones que
aparecían en los nacimientos, matrimonios, enfermedades y muertes de miles de
personas y se utilizaban para predecir el éxito de los tratamientos médicos.
Para realizar todo esto se requería un conocimiento tan amplio de las
matemáticas que los médicos tenían que ser personas ilustradas en este campo.
De hecho, eran más astrólogos y matemáticos que estudiosos del cuerpo humano.
La aplicación de las matemáticas a la medicina a través de la astrología se
extendió todavía más durante la última parte del período medieval. Bolonia tuvo
una escuela de medicina y de matemáticas en el siglo XII. Cuando el astrónomo
Tycho Brahe acudió a la Universidad de Rostock en 1566, allí no había
astrónomos sino astrólogos, alquimistas, matemáticos y médicos. En muchas
universidades, los profesores de astrología eran más comunes que los profesores
de medicina y de astronomía propiamente dichas. Galileo enseñó astronomía a
estudiantes de medicina, pero por su interés para la astrología.
4. El estancamiento en matemáticas
La Alta Edad Media se extiende aproximadamente desde el 400 hasta el 1100:
setecientos años, durante los cuales la civilización europea podría haber
desarrollado algunas matemáticas. Podría haber encontrado una inmensa ayuda en
los trabajos griegos si hubiera seguido las pocas directrices disponibles hacia
el vasto conocimiento encerrado en ellas. Aunque durante este período las
matemáticas no experimentaron ningún progreso, tampoco se hizo ningún intento
serio por construirlas. Las razones pueden ser de interés para quienes desean
entender bajo qué circunstancias pueden florecer las matemáticas.
La razón primordial del bajo nivel de las matemáticas era la ausencia de
interés por el mundo físico., La Cristiandad, que dominaba Europa, prescribía
sus propios fines, valores y modo de vida. Las preocupaciones importantes eran
espirituales, de tal manera que los interrogantes sobre la naturaleza que
estuvieran estimulados por la curiosidad o por fines prácticos eran considerados
como frívolos o sin valor. La Cristiandad, e incluso los últimos filósofos
griegos, estoicos, epicúreos y neoplatónicos, resaltaron la elevación de la
mente sobre la carne y la materia y la preparación del alma para una vida
futura en el cielo. La realidad última era la vida eterna del alma; y la salud
del alma se reforzaba mediante el aprendizaje de verdades morales espirituales.
Las doctrinas del pecado, del miedo del infierno, de la salvación y del deseo
del cielo eran dominantes. Puesto que el estudio de la naturaleza no contribuía
a alcanzar tales fines o a prepararse para la vida futura, era rechazado como
algo sin valor e incluso herético.
¿De dónde, entonces, sacaron los europeos el conocimiento sobre la naturaleza y
plan del universo y del hombre? La respuesta es que todo ese conocimiento fue
obtenido del estudio de las Escrituras. Los credos y dogmas de los Padres de la
Iglesia, que eran ampliaciones e interpretaciones de las Escrituras, fueron
tomados como la suprema autoridad. San Agustín (354-430), hombre muy instruido,
y muy influyente en la difusión del neoplatonismo, dijo: «Cualquier
conocimiento que el hombre haya adquirido fuera de las Sagradas Escrituras, si
es dañino, allí está condenado; si es saludable, allí está contenido.» Esta cita,
si bien no es representativa de Agustín, sí lo es de la actitud hacia la
naturaleza en la Alta Edad Media.
Este breve esbozo de la civilización en la Alta Edad Media, aunque bastante
unilateral porque nos hemos referido sobre todo a su relación con las
matemáticas, puede, sin embargo, proporcionar alguna idea sobre lo que era
genuino de Europa y lo que Europa, construyendo sobre el exiguo legado de Roma,
produjo bajo la guía de la Iglesia. Hasta 1100, el período medieval no produjo
ninguna cultura grande en las esferas intelectuales. Las características de su
situación intelectual eran las de falta de matización en las ideas, dogmatismo,
misticismo, y confianza en las autoridades, que eran constantemente
consultadas, analizadas y comentadas. Las inclinaciones místicas llevaban a la
gente a elevar a realidades lo que eran vagas ideas, e incluso a aceptarlas
como si fueran verdades religiosas. Lo poco que existía como ciencia teórica
era estático. La Teología encerraba todo el conocimiento, y los Padres de la
Iglesia desarrollaron sistemas de conocimiento universal. Pero no concibieron o
buscaron principios diferentes de los contenidos en las doctrinas cristianas.
La civilización romana no fue productiva en matemáticas porque estaba demasiado
preocupada por la obtención de resultados prácticos e inmediatamente
aplicables. La civilización de la Europa medieval no lo fue tampoco,
precisamente por la razón opuesta. No estaba preocupada en absoluto por el
mundo físico. Los asuntos y problemas mundanos no tenían importancia. La
Cristiandad puso todo el énfasis en la vida después de la muerte y en la
preparación para esa vida.
Aparentemente, las matemáticas no pueden florecer ni en una civilización
demasiado ligada a la tierra ni en una demasiado ligada al cielo: Tendremos
oportunidad de ver que donde se han desarrollado con más éxito ha sido en una
atmósfera intelectual libre que combine un interés por los problemas que
presenta el mundo físico con un deseo de pensar sobre ideas sugeridas por esos
problemas en una forma abstracta que no promete ningún resultado práctico o
inmediato. La Naturaleza es la matriz de la que nacen las ideas. Esas ideas
deben, entonces, estudiarse por ellas mismas. Así, paradójicamente, se obtiene
una nueva visión de la naturaleza, una comprensión más rica, más amplia, más
potente, lo que genera, a su vez, actividades matemáticas más profundas.
5. El primer renacimiento de las obras griegas
Hacia 1100 la civilización de Europa estaba, de alguna manera, estabilizada.
Aunque la sociedad era fundamentalmente feudal, existían ya numerosos
comerciantes independientes, se iniciaban la industria, la agricultura en gran
escala, el manufacturado, la minería, los bancos, la ganadería, y gente libre o
independiente cultivaba el arte y la artesanía. Se había establecido el
comercio exterior, en particular con los árabes y el Oriente Próximo.
Finalmente, tanto los príncipes como los dignatarios de la Iglesia y los
comerciantes habían adquirido la riqueza necesaria para financiar la enseñanza
y el cultivo de las artes. Aunque había ya una sociedad estable, hay pocos
indicios de que, si hubieran seguido su propia forma de vida, los europeos
hubieran abandonado alguna vez su concepto de la vida y el énfasis ya esbozado
con respecto a ella, y se hubieran concentrado en un estudio serio de las
matemáticas. La Europa Occidental era la sucesora de la Roma cristianizada, y
ni Roma ni la Cristiandad se habían inclinado hacia las matemáticas. Pero
alrededor de 1100 nuevas influencias comenzaron a afectar a la atmósfera
intelectual. A través del comercio y de los viajes, los europeos se habían
puesto en contacto con los árabes del área mediterránea y del Oriente Próximo y
con los bizantinos del Imperio Romano de Oriente. Las Cruzadas (c. 1100- c. 1300),
campañas militares para conquistar territorios, llevaron a los europeos a
tierras árabes. Los cruzados eran hombres de acción más que de ilustración;
quizá por ello la importancia de los contactos a través de las Cruzadas ha sido
sobreestimada. De cualquier forma, los europeos comenzaron a conocer los
trabajos griegos gracias a los árabes y a los griegos bizantinos.
La toma de conciencia del conocimiento griego creó una gran conmoción; los
europeos se pusieron a buscar activamente copias de los trabajos griegos, de
sus versiones árabes y textos escritos por árabes. Los príncipes y dignatarios
de la Iglesia respaldaron a muchos eruditos en su búsqueda de esos tesoros.
Estos eruditos fueron a los centros árabes de África, España, sur de Francia,
Sicilia y Oriente Próximo para estudiar los trabajos existentes y llevarse
consigo lo que pudieran comprar. Adelardo de Bath (c. 1090-c. 1150)
fue a Siria, que estaba bajo control árabe, a Córdoba, disfrazado de estudiante
mahometano, y al sur de Italia. Leonardo de Pisa aprendió aritmética en el
norte de África. Las repúblicas del norte de Italia y el Papado enviaron comisiones
y embajadores al Imperio Bizantino y a Sicilia, que era el origen de los
famosos centros griegos y que, hasta el 878, había estado bajo el poder de
Bizancio. En 1085 Toledo cayó en poder de los cristianos y se abrió allí para
los eruditos europeos un centro importantísimo para el estudio de los trabajos
árabes. Sicilia fue conquistada por los cristianos a los árabes en 1091, y los
trabajos allí existentes pudieron ser consultados libremente desde entonces.
Investigaciones realizadas en Roma, que poseía obras griegos de los días del
Imperio, permitieron sacar a la luz más manuscritos.
Al ir obteniendo esas obras, los europeos se propusieron, en forma creciente,
ir traduciéndolos al latín. Las traducciones del griego del siglo XII no
fueron, en general, buenas, porque el griego no se conocía bien. Eran de
verbo ad verbum;pero eran mejores que las traducciones de las obras griegas
que habían pasado a través del árabe, una lengua bastante poco parecida al
griego. Por lo tanto, hasta bien entrado el siglo XVII, hubo una producción
constante de nuevas y mejoradas traducciones.
Europa pudo, pues, conocer los trabajos de Euclides y Ptolomeo, la Aritmética y
el Algebra de al-Kuoárizmí, la Esférica de
Teodosio, muchos trabajos de Aristóteles y Herón, y un par de trabajos de
Arquímedes, en particular su Medida de una circunferencia. (El
resto de sus obras fue traducido al latín en 1544 por Hervagio de Basle.) Ni
Apolonio ni Diofanto fueron traducidos durante los siglos XII y XIII. También
fueron traducidos trabajos de filosofía, medicina, ciencia, teología y
astrología. Como los árabes tenían casi todos los trabajos griegos, los
europeos adquirieron una literatura inmensa. Admiraron tanto estas obras y les
asombraron tanto las nuevas ideas que descubrieron en ellas, que se convirtieron
en discípulos del pensamiento griego, y llegaron a valorar bastante más esos
trabajos que sus propias creaciones.
6. El renacimiento del racionalismo y del interés por la naturaleza
Un enfoque racional de los fenómenos naturales y de su explicación en términos
de causas naturales, en oposición a las explicaciones morales o de intenciones,
comenzó a dar señales de vida casi inmediatamente después de que llegaran a
Europa las primeras traducciones de los trabajos árabes y griegos. Un grupo de
estudiosos en Chartres, Francia, constituido por Gilbert de la Porée (c.
1076-1154), Thierry de Chartres (m.c. 1155), y Bernard Sylvester (c. 1150),
habían comenzado a buscar explicaciones racionales incluso de pasajes de la
Biblia y hablaban, al menos, de la necesidad de utilizar las matemáticas en el
estudio de la naturaleza. Sus doctrinas seguían el Timeo de
Platón, pero eran más racionales que ese diálogo. Sin embargo, sus
pronunciamientos sobre los fenómenos físicos, aunque notables en el pensamiento
medieval, no fueron ni significativos ni lo suficientemente influyentes como
para dedicarles más atención aquí.
Con el influjo de los trabajos griegos se realzó la tendencia a las
explicaciones racionales, al estudio del mundo físico y al interés en el
disfrute del mundo real, a través de la comida, de la vida física y de los
placeres de la naturaleza. Hubo quien incluso llegó a confrontar su propia
razón contra la autoridad de la Iglesia. Así, Adelardo de Bath decía que no
escucharía a quienes están «sujetos por las bridas...; por lo que si quieres
comunicarte conmigo, intercambia razones».
Un hecho bastante sorprendente es que la introducción de algunos de los
trabajos griegos retrasó la consciencia de Europa un par de siglos. Hacia 1200,
los extensos trabajos de Aristóteles eran ya razonablemente conocidos. Los
intelectuales europeos estaban complacidos e impresionados por su vasta
acumulación de hechos, sus agudas distinciones, sus convincentes razonamientos
y su organización lógica del conocimiento. El defecto en las doctrinas de
Aristóteles era su aceptación de todo aquello que interesara a la mente, casi
sin considerar su correspondencia con la experiencia. Ofrecía conceptos,
teorías y explicaciones, como la doctrina de las sustancias básicas, la
distinción entre los cuerpos terrestres y celestes (cap. 7, sec. 3), y el
énfasis en la causa final, que tenían poca base en la realidad, o que no
resultaron fructíferos. Como todas estas doctrinas fueron aceptadas sin
discusión, las nuevas ideas, o no fueron consideradas, o no tuvieron suficiente
audiencia, y se retrasó el posible progreso a que habrían conducido. También
fue quizás un obstáculo el que Aristóteles asignara a las matemáticas un papel
menor, ciertamente subordinado a la explicación física, la cual, para Aristóteles,
era cualitativa.
El trabajo científico del período comprendido aproximadamente entre 1100 y 1450
fue realizado por los escolásticos, quienes se adhirieron a doctrinas basadas
en la autoridad de los Padres Cristianos y de Aristóteles; su trabajo se
resintió en consecuencia. Algunos de los escolásticos se rebelaron en contra
del dogmatismo dominante y de la corrección absoluta de la ciencia de
Aristóteles. Uno de los que sintieron la necesidad de obtener principios
generales a partir de la experimentación, y de las deducciones en las que las
matemáticas jugaran un papel y que pudieran entonces ser contrastadas con los
hechos, fue el filósofo natural Robert Grosseteste (c. 1168-1253), obispo de
Lincoln.
El disidente más elocuente contra la autoridad, que además tenía ideas genuinas
que ofrecer, fue Roger Bacon (1214-1294), el Doctor Mirabilis. Declaró:
«Si tuviera poder sobre los trabajos de Aristóteles, los hubiera quemado todos;
porque es sólo una pérdida de tiempo estudiarlos, y una causa de error, y una
multiplicación de la ignorancia más allá de toda expresión.» Los enormes
conocimientos de Bacon cubrían las ciencias de su tiempo y numerosas lenguas,
incluyendo el árabe. Mucho antes de que resultaran ampliamente conocidos, él
estaba informado de los últimos inventos y avances científicos: la pólvora, la
acción de las lentes, los relojes mecánicos, la construcción del calendario y
la formación del arco iris. Incluso comentó ideas sobre submarinos, aeroplanos
y automóviles. Sus escritos sobre matemáticas, mecánica, óptica, visión,
astronomía, geografía, cronología, química, perspectiva, música, medicina,
gramática, lógica, metafísica, ética y teología fueron profundos.
Lo que es especialmente notable de Bacon es que comprendió cómo se obtiene un
conocimiento fiable. Se preguntó por las causas que producen o impiden el
avance de la ciencia, y especuló sobre la reforma de los métodos de
investigación. Aunque recomendó el estudio de las Escrituras, atribuyó un gran
valor a las matemáticas y a la experimentación, y previo importantes
expectativas que podrían realizarse mediante la ciencia.
Las ideas matemáticas, afirma, son innatas en nosotros e idénticas a cosas
tales como las que se encuentran en la naturaleza, porque la naturaleza está
escrita en el lenguaje de la geometría. Por lo tanto, las matemáticas ofrecen
la verdad. Son anteriores a las otras ciencias, porque permiten el conocimiento
de la cantidad, la cual es aprehendida por la intuición. «Demuestra» en un
capítulo de su Opus Majus que toda ciencia requiere
matemáticas, y sus razonamientos muestran una justa apreciación del papel de
las matemáticas en la ciencia. Aunque realza las matemáticas, también reconoce
completamente el papel y la importancia de la experimentación como medio de
descubrimiento y como comprobación de resultados obtenidos teóricamente, o de
cualquier otra manera.
«El razonamiento resuelve una pregunta; pero no nos hace
sentirnos seguros, o asentir en la contemplación de la verdad, excepto cuando
también se obtiene la verdad que lo es mediante la experiencia.»
La Opus Majus de Bacon trata bastante de la
utilidad de las matemáticas en la geografía, la cronología, la música, la
explicación del arco iris, el cálculo del calendario y la justificación de la
fe. También trata sobre el papel de las matemáticas en la administración del
Estado, meteorología, hidrografía, astrología, perspectiva, óptica y visión.
Sin embargo, incluso Bacon era un producto de su tiempo. Creía en la magia y en
la astrología, y mantenía que la teología era el objetivo de todo aprendizaje.
Fue también una víctima de su tiempo: acabó en prisión, como muchos otros
importantes intelectuales que habían comenzado a afirmar la prioridad e
independencia de la razón humana y la importancia de la observación y de la
experimentación. Su influencia en su tiempo no fue grande.
Guillermo de Ockham (c. 1300-1349) continuó los fuertes ataques a Aristóteles,
criticando los puntos de vista de éste sobre las causas. La causa final, decía,
es una pura metáfora. Todas las causas son inmediatas, y la causa total es el
agregado de todas las antecedentes que bastan para que se realice un suceso.
Este conocimiento de las conexiones tiene una validez universal por la
uniformidad de la naturaleza. La función primaria de la ciencia es establecer
sucesiones de observaciones. Por lo que se refiere a la sustancia, Ockham decía
que conocemos sólo propiedades, no una forma sustancial fundamental.
También atacó la física y la metafísica contemporáneas, diciendo que el
conocimiento obtenido de la experiencia es real, mientras que las
construcciones racionales no lo son; éstas están inventadas sólo para explicar
los hechos observados. Su famoso principio es «la navaja de Ockham» —ya
establecido por Grosseteste y Duns Scoto (1266- 1308)—: es fútil trabajar con
más entidades cuando basten menos. Separó la teología de la filosofía natural
(ciencia), basado en que la teología obtiene conocimientos a partir de
revelaciones, mientras que la filosofía natural debe obtenerlos mediante la
experiencia.
Estos disidentes no sugirieron nuevas ideas científicas. Sin embargo,
presionaron para obtener una mayor libertad de especulación, pensamiento e
investigación, y propiciaron la experiencia como la fuente del conocimiento
científico.
7. El progreso específico en matemáticas
A pesar de los rígidos límites del pensamiento en el período comprendido
aproximadamente entre 1100 y 1450, tuvo lugar alguna actividad matemática. Los
principales centros en los que se desarrolló fueron las universidades de
Oxford, París, Viena (fundada en 1365) y Erfurt (fundada en 1392). El trabajo
inicial fue una respuesta directa a la literatura griega y árabe.
El primer europeo que merece mencionarse es Leonardo de Pisa (c. 1170-1250),
también llamado Fibonacci. Fue educado en África, viajó extensamente por Europa
y Asia Menor, y fue famoso por su soberana posesión de todo el conocimiento
matemático de su generación y de las precedentes. Residió en Pisa, y era bien
conocido de Federico II de Sicilia y de los filósofos de la corte, a quienes
están dedicados muchos de sus trabajos.
En 1202, Leonardo escribió su Líber Abad, muy usado y que hizo
época, y que consistía en una traducción libre de materiales árabes y griegos
al latín. La notación árabe para los números, y los métodos de cálculo hindúes,
ya eran algo conocidos en Europa, pero sólo en los monasterios. La gente
utilizaba en general los numerales romanos, y evitaban el cero porque no lo
entendían. El libro de Leonardo ejerció una gran influencia y cambió el
panorama; enseñó el método hindú de cálculo con enteros y fracciones, raíces
cuadradas y raíces cúbicas. Estos métodos fueron mejorados después por
comerciantes florentinos.
Tanto en el Líber Abad como en un trabajo posterior, el Líber
Quadratorum(1225), Leonardo se ocupó del álgebra. Siguió a los árabes en
usar palabras en lugar de símbolos y basar el álgebra en métodos aritméticos.
Expuso la solución de ecuaciones determinadas e indeterminadas de primero y
segundo grado, así como de algunas ecuaciones cúbicas. Al igual que Khayyam,
creía que las ecuaciones cúbicas no podían ser resueltas algebraicamente.
Referente a la geometría, Leonardo, en su Practica Geometriae (1220),
reprodujo buena parte de los Elementos de Euclides y de la
trigonometría griega. Sus enseñanzas de agrimensura mediante métodos
trigonométricos en lugar de los métodos geométricos romanos, representó un
ligero avance.
La característica nueva más significativa del trabajo de Leonardo es la
observación de que la clasificación de Euclides de los irracionales en el libro
X de los Elementos no incluía todos los irracionales. Leonardo
mostró que las raíces de x3 + 2x2 +
10x = 20 no pueden construirse con regla y compás. Esta fue la
primera indicación de que el sistema de números contenía más de los que
permitía el criterio griego de existencia basado en la construcción mencionada.
Leonardo introdujo también la noción de lo que todavía se llama sucesiones de
Fibonacci, en las que cada término es la suma de los dos precedentes.
Además de la observación de Leonardo sobre los irracionales, había algunas
ideas germinales en el trabajo de Nicolás Oresme (c. 1323-1382), obispo de
Lisieux y profesor en el Colegio Parisino de Navarra. En su trabajo no
publicado Algorismus Proportionum (c. 1360), presentó tanto
una notación como algunos cálculos para exponentes fraccionarios. Su reflexión
fue que, puesto que (en nuestra notación) 43 = 64 y que
(43)1/2 = 8, entonces 43/2 = 8. La
noción de exponentes fraccionarios reapareció en los trabajos de varios
escritores del siglo XVI, pero no fue utilizada ampliamente hasta el XVII.
Otra contribución del trabajo de Oresme fue el estudio del cambio. Recordemos
que Aristóteles distinguía nítidamente entre cualidad y cantidad. La intensidad
del calor era una cualidad. Para cambiar la intensidad, una sustancia, una
especie de calor, debe perderse y otra añadirse. Oresme afirmaba que no había
tipos diferentes de calor sino más o menos cantidad del mismo tipo. Varios
escolásticos del siglo XIV en Oxford y París, incluyendo a Oresme, comenzaron a
pensar sobre el cambio y la velocidad del cambio cuantitativamente. Estos
autores estudiaron el movimiento uniforme (movimiento con velocidad constante),
movimiento diforme (movimiento con velocidad variable) y movimiento
uniformemente diforme (movimiento con aceleración constante).
Esta línea de pensamiento culminó en ese período con la doctrina de Oresme de
la latitud de las formas. Sobre este tema escribió De Uniformitate et
Difformitate Intensionum (c. 1350) y Tractatus Latitudinibus
Formarum. Para estudiar el cambio y la velocidad del cambio, Oresme
siguió la tradición griega afirmando que las cantidades medibles distintas de
números podían representarse mediante puntos, líneas y superficies. Por ello,
para representar el cambio de la velocidad con el tiempo, representa el tiempo
a lo largo de una línea horizontal, que llama la longitud, y las velocidades en
distintos instantes de tiempo mediante líneas verticales, que llamó latitudes.
Para representar una velocidad que decrece uniformemente desde el valor OA (fig.
10.1) en O a cero en B, dibuja una figura
triangular. También apunta que el rectángulo OBDC, determinado
por E, el punto medio de AB, tiene la misma área
que el triángulo OAB y representa un movimiento uniforme a lo
largo del mismo intervalo de tiempo. Oresme asociaba el cambio físico con toda
la figura geométrica. El área completa representaba la variación en cuestión;
no había referencia a valores numéricos.
Figura 10.1
Se dice a menudo que Oresme contribuyó a la formación del
concepto de función, a la representación funcional de las leyes físicas, y a la
clasificación de las funciones. Se le ha acreditado también la creación de la
geometría de coordenadas y la representación gráfica de funciones. En realidad
la latitud de las formas es una idea poco clara, como mucho un tipo de gráfico.
Aunque la representación de Oresme de la intensidad bajo el nombre de latitudines
formarum fue una técnica importante en el objetivo escolástico de
estudiar el cambio físico, y fue aplicada en algunos intentos de revisar la
teoría de Aristóteles sobre el movimiento, su influencia sobre el pensamiento
posterior fue pequeña. Galileo utilizó esta figura, pero con bastante más
claridad y acierto. Como Descartes evitó cuidadosamente toda referencia a sus
predecesores, no sabemos si fue influido por las ideas de Oresme.
8. El progreso en las ciencias físicas
Ya que el progreso de las matemáticas depende vitalmente de la renovación del
interés por la ciencia, anotaremos brevemente los esfuerzos realizados en este
área por el hombre medieval.
En mecánica, incorporaron los muy aceptables trabajos griegos sobre la palanca
y los centros de gravedad, y los trabajos de Arquímedes sobre hidrostática.
Hicieron poco más que comprender la teoría de la palanca, aunque Jordanus
Nemorarius (m. 1237) realizó algunas ligeras aportaciones. La que recibió más
atención fue la teoría del movimiento.
Como la ciencia de Aristóteles había adquirido cierto ascendiente, fue su
teoría la que constituyó el punto de partida para las investigaciones sobre el
movimiento. Como apuntamos en el capítulo 7, había varias dificultades
aparentes en la teoría de Aristóteles. Los primeros científicos medievales
intentaron resolverlas dentro del marco de referencia aristotélico. Por
ejemplo, para interpretar la aceleración de la caída de los cuerpos, varios
estudiosos del siglo XIII interpretaban las vagas nociones de Aristóteles sobre
la gravedad queriendo significar que el peso de un cuerpo aumenta cuando se
aproxima al centro de la Tierra. Entonces, puesto que la fuerza aumenta,
también lo hace la velocidad. Otros cuestionaron la ley fundamental de
Aristóteles de que la velocidad es la fuerza dividida por la resistencia.
A la escuela de Chartres sucedió en el siglo XIV una escuela de París, cuyas
cabezas fueron Oresme y Jean Buridán (c. 1300- c. 1360). Aquí, en la
universidad, las concepciones aristotélicas habían sido dominantes. Para
explicar el movimiento continuo de los objetos lanzados por una fuerza, Buridán
desarrolló una nueva teoría, la teoría del ímpetu. Siguiendo al erudito
cristiano del siglo VI Filopón, Buridán decía que la potencia motriz aplicada a
una flecha o a un proyectil estaba aplicada al objeto mismo y no al aire. Este
ímpetu, más que la acción propulsora del aire, mantendría la velocidad uniforme
del objeto indefinidamente, en ausencia de fuerzas externas. En el caso de los
cuerpos que caen, el ímpetu aumentaría gradualmente por la actuación de la
gravedad natural, que añadiría sucesivos incrementos de ímpetu al que el objeto
ya tenía. En cuerpos ascendentes —por ejemplo, proyectiles— el ímpetu
proporcionado al objeto disminuiría gradualmente por la resistencia del aire y
la gravedad natural. Ímpetu era lo que Dios había dado a las esferas celestes,
que no necesitaban agentes celestiales para mantenerlas en movimiento. Buridán
definió el ímpetu como la cantidad de materia multiplicada por la velocidad; en
consecuencia, en términos modernos, es el momento.
Esta nueva teoría era notable por varias razones. Aplicándola a los movimientos
en el cielo y la tierra, Buridán pudo unirlos en una teoría. Además, la teoría
implicaba que, contrariamente a la ley de Aristóteles, una fuerza podía alterar
el movimiento y no sólo mantenerlo. Tercero, el concepto de ímpetu en sí mismo
era un gran avance; transfería la potencia motriz del medio al objeto móvil y
también hacía posible la consideración de un vacío. Buridán es uno de los
fundadores de la dinámica moderna. Su teoría fue ampliamente aceptada en su
propio siglo y durante los dos siglos siguientes.
Quizá el movimiento de los proyectiles recibió esta atención porque el
armamento mejorado del siglo XIII, como catapultas, ballestas y arcos, podía
lanzar proyectiles a lo largo de trayectorias más largas y más arqueadas; un
siglo más tarde se utilizaban los cañones. Aristóteles había dicho que un
cuerpo sólo puede moverse bajo la acción de un tipo de fuerza en cada momento;
si estuvieran actuando dos, una destruiría a la otra. Por lo tanto, un cuerpo
arrojado hacia arriba y hacia afuera se movería a lo largo de una línea recta
hasta que el movimiento «violento» se consumiera y entonces el cuerpo caería
directamente a la tierra según un movimiento natural. De las diversas
revisiones de esta teoría, la idea de Jordano Nemorario resultó ser la más
útil; mostró que la fuerza bajo la que se mueve un cuerpo arrojado en línea
recta, puede descomponerse en cualquier instante en dos componentes, la
gravedad natural actuando hacia abajo y una fuerza de proyección «violenta»
horizontal. Esta idea fue adoptada por da Vinci, Stevin, Galileo y Descartes.
La escuela parisina de Buridán y Oresme consideró no sólo el movimiento
uniforme sino también el diforme y el uniformemente diforme, y demostró para su
propia satisfacción que la velocidad efectiva en el movimiento uniformemente
diforme era la media de las velocidades inicial y final. Quizá lo más
significativo acerca de los esfuerzos realizados en el desarrollo de la
mecánica en los siglos XIII y XIV fue el intento de introducir consideraciones
cuantitativas y reemplazar razonamientos cualitativos por cuantitativos.
El principal interés de los científicos medievales se centraba en el campo de
la óptica. Una razón para ello es que los griegos habían establecido, en lo que
hoy llamamos óptica geométrica, unos fundamentos más firmes que en cualquier
otro campo de la física, y a finales del período medieval sus numerosos
trabajos en óptica eran conocidos en Europa. Además, los árabes habían obtenido
algunos avances adicionales. Hacia 1200, algunas de las leyes básicas sobre la
luz eran bien conocidas, como la de la propagación en línea recta de la luz en
un medio uniforme, la ley de la reflexión y la incorrecta ley de Ptolomeo sobre
la refracción (creía que el ángulo de refracción era proporcional al ángulo de
incidencia). También habían pasado a Europa de los griegos y los árabes
conocimientos como el de los espejos esféricos y parabólicos, la aberración
esférica, la cámara oscura, los usos de las lentes, el funcionamiento del ojo,
la refracción atmosférica y la posibilidad de ampliación.
Los científicos Grosseteste, Roger Bacon, Vitello (siglo XIII), John Peckham
(m. 1292) y Teodorico de Freiberg (m.c. 1311) aportaron algunos avances en el
estudio de la luz. Habiendo estudiado la refracción de la luz a través de
lentes, determinaron las longitudes focales de algunas lentes, estudiaron
combinaciones de lentes, sugirieron la ampliación de las imágenes mediante
combinaciones de lentes y aportaron mejoras a la teoría del arco iris. Los
espejos de vidrio fueron perfeccionados en el siglo XIII; las gafas se remontan
a 1299. Vitello observó la dispersión de la luz bajo refracción; esto es,
produjo colores haciendo pasar luz blanca a través de un cristal hexagonal. También
hizo pasar la luz a través de un cuenco de agua para estudiar el arco iris,
pues había notado previamente que cuando la luz del sol pasaba a través de un
cuenco de agua los colores del arco iris aparecían en la luz emergente. La
óptica continuó siendo una ciencia importante; encontraremos a Kepler, Galileo,
Descartes, Fermat, Huygens y Newton trabajando en ella.
9. Sumario
En la ciencia, como en otros campos, la Edad Media se concentró en los trabajos
consagrados y contrastados por el tiempo. Las escuelas produjeron adecuadas
selecciones de antiguos manuscritos, resúmenes y comentarios. El espíritu de
los tiempos obligaba a las mentes a seguir caminos rígidos, prescritos,
sólidos. La búsqueda de una filosofía universal que cubriera todos los
fenómenos del hombre, de la naturaleza y de Dios es característica del último
período medieval. Pero las contribuciones adolecieron de una falta de
matización en las ideas, de misticismo, de dogmatismo y de un espíritu de
comentario dirigido al análisis de lo que se consideraba la autoridad.
Sin embargo, a medida que el mundo cambiaba, fue creciendo cada vez con más
fuerza la consciencia de la discrepancia y el conflicto entre las creencias y
los hechos manifiestos, y se hizo más clara la necesidad de una revisión del aprendizaje
y de las creencias. Antes de que Galileo demostrara el valor de la experiencia,
antes de que Descartes enseñara a la gente a mirarse a sí mismos y antes de que
Pascal formulara la idea de progreso, fueron los pensadores no convencionales,
en su mayor parte los escolásticos disidentes, los que intentaron avanzar a lo
largo de nuevas líneas, desafiando perspectivas establecidas y confiando más
fuertemente en la observación de la naturaleza de lo que lo habían hecho los
griegos.
La experimentación, motivada en parte por la búsqueda de poderes mágicos, y el
uso de la inducción para obtener principios generales o leyes científicas,
comenzaron a ser fuentes importantes del conocimiento, a pesar del hecho de que
el principal método científico de la Baja Edad Media era la explicación
racional, presentada en una demostración formal o geométrica basada en
principios a priori.
El valor de las matemáticas en la investigación de la naturaleza también
recibió algún reconocimiento. Aunque, en general, los científicos medievales
siguieron a Aristóteles en su búsqueda de explicaciones materiales o físicas,
éstas eran difíciles de obtener y no fueron demasiado útiles; encontraron
paulatinamente que era más fácil relacionar observaciones y resultados
experimentales matemáticamente y entonces comprobar la ley matemática
relevante. Por ello, en astronomía, los científicos interesados en la teoría
propiamente dicha, en la navegación y en el calendario no utilizaron la
modificación de Aristóteles de la teoría de Eudoxo, sino la teoría de Ptolomeo.
Como consecuencia, las matemáticas comenzaron a jugar un papel mayor que el que
Aristóteles les había asignado.
A pesar de las nuevas tendencias y actividades, es dudoso que la Europa
medieval, si hubiera proseguido un camino sin cambios, hubiera desarrollado
nunca una auténtica ciencia y las matemáticas. La investigación libre no estaba
permitida. Las pocas universidades ya existentes hacia 1400 estaban controladas
por la Iglesia, y los profesores no eran libres para enseñar lo que ellos
estimaban correcto. Si no se condenaron doctrinas en el período medieval fue
sólo porque no se estableció ninguna importante. Cualquier disensión verdadera
del pensamiento cristiano que apareciera en cualquier esfera era suprimida
sumarísima y cruelmente, y con una malicia sin igual en la historia, sobre todo
a través de la Inquisición, iniciada por el Papa Inocencio III en el siglo
XIII.
Otros factores, relativamente menos importantes, retrasaron también los cambios
en Europa. El renacido conocimiento griego alcanzó sólo a los pocos estudiosos
que disponían del ocio y de la oportunidad para estudiarlo. Los manuscritos
eran caros; muchos de los que querían comprarlos no podían. Además Europa, en
el período comprendido entre 1100 y 1500, estaba dividida en numerosos ducados,
principados, ciudades-estado más o menos democráticas u oligárquicas y los
Estados Pontificios, todos ellos independientes. Las guerras entre todas esas
unidades políticas eran continuas y absorbían las energías de la gente. Las Cruzadas,
que empezaron alrededor de 1100, desperdiciaron un enorme número de vidas. La
Peste Negra, en la segunda mitad del siglo XIV, se llevó aproximadamente la
tercera parte de la población de Europa, e hizo retroceder la civilización en
su conjunto. Afortunadamente, fuerzas de tendencia revolucionaria comenzaron a
ejercer su influencia en las escenas social, política e intelectual europeas.
Bibliografía
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Ball, W. W. R.: A
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Capítulo 11
El Renacimiento
Me parece que si alguien quiere avanzar en matemáticas debe
estudiar a los maestros y no a los discípulos.
N. H. Abel
Contenido:
1. Influencias revolucionarias en Europa
2. La nueva perspectiva intelectual
3. La difusión de la instrucción
3. La actividad humanística en las matemáticas
5. El clamor por la reforma de la ciencia
6. El nacimiento de empirismo
Bibliografía
1. Influencias revolucionarias en Europa
En el período comprendido aproximadamente entre 1400 y 1600, que adoptaremos
como el período del Renacimiento (aunque este término se utiliza para describir
diferentes períodos cronológicos por distintos autores), Europa fue sacudida
profundamente por una cantidad de acontecimientos que acabaron por alterar
drásticamente las perspectivas intelectuales, y agitaron la actividad
matemática con magnitud y profundidad sin precedentes.
Las influencias revolucionarias se difundieron ampliamente. Los cambios políticos
que sucedieron a las casi incesantes guerras afectaron a todas las ciudades y
estados de Europa. Italia, la madre del Renacimiento, es un ejemplo importante.
Aunque la historia de los estados italianos en los siglos XV y XVI está plagada
de intrigas constantes, asesinatos en masa, y destrucción provocada por las
guerras, la naturaleza muy fluida de las condiciones políticas y el
establecimiento de algunos gobiernos democráticos favorecieron el desarrollo
del individuo. Las guerras contra el papado, una importante potencia política y
militar en esa época, no sólo liberaron al pueblo de la dominación de la
Iglesia, sino que estimularon también la oposición intelectual.
Italia acumuló una gran riqueza durante el último período de la Edad Media.
Esto se debió principalmente a su situación geográfica. Sus puertos de mar eran
los más favorablemente situados para importar artículos de África y Asia y
enviarlos al resto de Europa. Grandes casas de banca hicieron de Italia el
centro financiero. Esta riqueza era esencial para propiciar el aprendizaje. Y
fue en Italia, el más atormentado de los países, hirviendo en tumultos, donde
primero se concibieron y expresaron los modos de pensar que iban a moldear la
civilización occidental.
Durante el siglo XV llegaron a Europa, en enormes cantidades, las obras
griegas. Durante la primera parte del siglo se hicieron más fuertes las
conexiones entre Roma y el Imperio Bizantino, que poseía la mayor colección de
documentos griegos, pero que había estado muy aislado. Los bizantinos, en
guerra con los turcos, buscaron el apoyo de los estados italianos. Con estas
mejores relaciones, profesores griegos fueron a Italia, e italianos al Imperio
Bizantino para aprender griego. Cuando los turcos conquistaron Constantinopla
en 1453, los estudiosos griegos marcharon a Italia, llevando más manuscritos
con ellos. Por tanto, no sólo hubo más manuscritos griegos disponibles en
Europa, sino que muchos de los recientemente adquiridos eran mucho mejores que
los adquiridos previamente en los siglos XII y XIII. Las traducciones
ulteriores, realizadas al latín directamente del griego, eran más fiables que
las realizadas del árabe.
La invención de Johann Gutenberg, hacia 1450, de la imprenta con tipos
movibles, aceleró la difusión del conocimiento. El papel de lino y algodón, que
los europeos heredaron de los chinos a través de los árabes, sustituyó al
pergamino y al papiro a partir del siglo XII. Desde 1474, los trabajos
matemáticos, astronómicos y astrológicos aparecieron en forma impresa. Por
ejemplo, la primera edición impresa de los Elementos de
Euclides en una traducción latina realizada por Johannes Campanus (siglo XIII),
apareció en Venecia en 1482. A lo largo del siglo siguiente, aparecieron en
ediciones impresas los primeros cuatro libros de las Secciones Cónicas de
Apolonio, los trabajos de Pappus, la Arithmetica de Diofanto,
así como otros tratados.
La utilización de la brújula y de la pólvora tuvo efectos significativos. La
brújula hizo posible la navegación más allá del alcance de la vista desde
tierra. La pólvora, introducida en el siglo XIII en Europa, cambió los métodos
de guerra y el diseño de las fortificaciones, e hizo que resultara importante
el estudio del movimiento de proyectiles.
Se inició una nueva era económica, debido a un crecimiento enorme en el
manufacturado, minería, agricultura en gran escala y una gran variedad de
oficios. Cada una de estas empresas encontró problemas técnicos que fueron
tratados más vigorosamente que en cualquier otra civilización previa. En
contraste con las sociedades esclavas de Egipto, Grecia y Roma, y la
servidumbre de la gleba del feudalismo, la nueva sociedad poseía una clase en
expansión de obreros y artesanos libres. Trabajadores independientes y patronos
con asalariados tenían incentivos para pensar e inventar mecanismos que
ahorraran trabajo. La competitividad de una economía capitalista también
estimuló estudios directos de fenómenos físicos y conexiones causales para
mejorar materiales y métodos de producción. Como la Iglesia había proporcionado
explicaciones de muchos de esos fenómenos, surgieron los conflictos. Podríamos
estar seguros de que siempre que la explicación física se revelaba más útil que
la teológica, ésta era ignorada.
La clase de los comerciantes contribuyó a instaurar un nuevo orden en Europa
promoviendo las exploraciones geográficas de los siglos XV y XVI. Inducidas por
la necesidad de disponer de mejores rutas para el comercio y de proveedores de
mercancías, las exploraciones trajeron a Europa mucho conocimiento de tierras
extrañas, plantas, animales, climas, formas de vida, creencias y costumbres.
Las dudas sobre la solidez de la ciencia y de la cosmología de la Iglesia
suscitadas por la observación directa o por la información filtrada a Europa
por exploradores y mercaderes, las objeciones a la supresión, por parte de la
Iglesia, de la experimentación y la reflexión sobre los problemas creados por
el nuevo orden social, la degeneración de algunos dignatarios de la Iglesia,
las prácticas corruptas de la Iglesia, como la cuestión de las indulgencias y,
finalmente, las serias diferencias doctrinales, culminaron en la Reforma
protestante. Los reformistas fueron apoyados por comerciantes y príncipes,
ansiosos por quebrar el poder de la Iglesia.
La Reforma como tal no liberalizó el pensamiento ni liberó las mentes. Los
dirigentes protestantes sólo querían establecer su propio dogmatismo. Sin
embargo, al suscitar cuestiones referentes a la naturaleza de los sacramentos,
a la autoridad del gobierno de la Iglesia, y al significado de algunos pasajes
de las Escrituras, Lutero, Calvino y Zuinglio involuntariamente estimularon a
mucha gente para pensar y hacer lo que, de otra manera, ni siquiera hubieran
intentado. Se estimuló el pensamiento y se provocó la discusión. Además, para
ganar adeptos, los protestantes afirmaron que el juicio individual, en vez de
la autoridad papal, era la base de las creencias. Se consolidaron, pues,
modificaciones en estas creencias. Muchos, puestos a elegir entre lo que decían
los católicos o los protestantes, se desentendían de ambos y se volvían hacia
las dos fes de la naturaleza, la observación y la experimentación, como fuentes
del conocimiento.
2. La nueva perspectiva intelectual
La Iglesia se basaba en la autoridad, reverenciaba a Aristóteles, y calificaba
la duda de criminal. También desaprobaba las satisfacciones materiales y
propugnaba la salvación del alma para una vida futura. Estos principios
contrastaban profundamente con los valores que los europeos habían aprendido de
los griegos, aunque no se hubieran establecido explícitamente en los trabajos
de Aristóteles: el estudio de la naturaleza, el disfrute del mundo físico, el
perfeccionamiento de la mente y del cuerpo, la libertad de investigación y de
expresión y la confianza en la razón humana. Molestos por la autoridad de la
Iglesia, por las restricciones en la vida material y por la confianza en las
Escrituras como la única fuente de todo conocimiento, los intelectuales se
aferraron ansiosamente a los nuevos valores. En lugar de disputas sin fin y de discusiones
sobre el significado de los pasajes bíblicos para la determinación de la
verdad, los hombres volvieron la vista a la naturaleza misma.
Casi como corolario del Renacimiento y de los valores griegos, sobrevino el
renacimiento del interés por las matemáticas. Especialmente de los trabajos de
Platón, que se conocieron en el siglo XV, los europeos aprendieron que la
naturaleza está diseñada matemáticamente, y que este diseño es armonioso,
estéticamente agradable y la verdad última. La naturaleza es racional, simple y
ordenada, y actúa según leyes inmutables. Las obras platónicas y pitagóricas
realzaban el número como la esencia de la realidad, doctrina que ya había
recibido alguna atención de los escolásticos desviacionistas de los siglos XIII
y XIV. El renacimiento del platonismo clarificó y cristalizó las ideas y
métodos con los que estos hombres habían estado luchando. El énfasis
pitagórico-platónico sobre las relaciones cuantitativas como la esencia de la
realidad se hizo dominante en forma gradual. Copérnico, Kepler, Galileo,
Descartes, Huygens y Newton eran, en este aspecto, pitagóricos y, mediante su
trabajo, establecieron el principio de que el objetivo de la actividad
científica debe ser la obtención de leyes matemáticas cuantitativas.
Las matemáticas atraían a los intelectuales del Renacimiento todavía por otra
razón. El Renacimiento fue un período en el que la civilización y cultura
medievales se iban desacreditando a medida que las nuevas influencias,
información y movimientos revolucionarios recorrían Europa. Estos hombres
buscaban bases nuevas y más firmes para edificar el conocimiento, y las
matemáticas les ofrecían esos cimientos. Las matemáticas permanecieron como el
único cuerpo de verdades aceptado en medio de sistemas filosóficos que se desmoronaban,
de creencias teológicas discutidas y de valores éticos cambiantes. El
conocimiento matemático era cierto, y ofrecía una base segura en un pantano; la
búsqueda de la verdad fue reconducida hacia él.
Los matemáticos y los científicos recibieron alguna inspiración de los
prejuicios teológicos de la Edad Media, que habían inculcado la visión de que
todos los fenómenos de la naturaleza están no sólo interconectados, sino que se
producen de acuerdo con un plan global: todas las acciones de la naturaleza
siguen el plan establecido por una única causa primera. ¿Cómo, pues, se
reconciliaba la visión teológica del universo de Dios con la búsqueda de las
leyes matemáticas de la naturaleza? La respuesta fue una nueva doctrina, según
la cual Dios había diseñado el universo matemáticamente. En otras palabras,
atribuyendo a Dios el carácter de matemático supremo, se hacía posible dotar de
un sentido religioso a la búsqueda de las leyes matemáticas de la naturaleza.
Esta doctrina inspiró el trabajo de los matemáticos de los siglos XVI y XVII, e
incluso de algunos del siglo XVIII. La investigación de las leyes matemáticas
de la naturaleza era un acto de devoción; era el estudio de los caminos y
naturaleza de Dios y de su plan del universo. El científico del Renacimiento
era un teólogo, cuyo tema era la naturaleza en vez de la Biblia. Copérnico,
Brahe, Galileo, Pascal, Descartes, Newton y Leibniz hablan repetidamente de la
armonía que Dios imprimió al universo mediante su diseño matemático. El
conocimiento matemático, como es en sí mismo la verdad acerca del universo, es
tan sacrosanto como cualquier línea de las Escrituras, e incluso superior,
porque es un conocimiento claro e indiscutible. Galileo dijo: «No se descubre
menos admirablemente Dios a nosotros en las acciones de la naturaleza que en
las sagradas afirmaciones de las Escrituras.» A lo que Leibniz añadió: «Cum
Deus calculat, fit mundus» (Como Dios calcula, así está hecho el
mundo). Estos hombres buscaban relaciones matemáticas que revelarían la
magnificencia y gloria del trabajo de Dios. El hombre no podría esperar
comprender el plan divino tan claramente como el mismo Dios lo entendía pero,
con humildad y modestia, podría intentar al menos aproximarse a la mente de
Dios.
Los científicos persistían en la búsqueda de leyes matemáticas que estuvieran
en la base de los fenómenos naturales, porque estaban convencidos de que Dios
había incorporado esas leyes en su construcción del universo. Cada
descubrimiento de una ley de la naturaleza era aclamado más como prueba de la
brillantez de Dios que como prueba de la del investigador. Kepler, en
particular, escribió alabanzas a Dios con ocasión de cada descubrimiento. Las
creencias y actitudes de los matemáticos y científicos ejemplifican el fenómeno
cultural más amplio que recorrió la Europa renacentista. Las obras griegas
incidieron en un mundo cristiano profundamente devoto, y los dirigentes
intelectuales nacidos en uno y atraídos por el otro fusionaron las doctrinas de
ambos.
3. La difusión de la instrucción
Por diversas razones, la difusión de los nuevos valores tuvo lugar lentamente.
Las obras griegas podían encontrarse, al principio, sólo en las cortes de
príncipes seculares o eclesiásticos, y no eran accesibles a la gente en
general. La imprenta contribuyó enormemente a hacer los libros disponibles en
general, pero el efecto fue gradual porque incluso los libros impresos eran
caros. El problema de difundir el conocimiento era también complicado por dos
factores adicionales. En primer lugar, muchos a quienes hubiera gustado
utilizar las matemáticas y la ciencia en la industria, artesanía, navegación,
arquitectura y otros fines, no eran cultos; la escolarización no era en
absoluto común. El segundo factor fue la lengua. A las personas instruidas
—eruditos, profesores y teólogos— les resultaba familiar el latín y, hasta
cierto punto, el griego. Pero los artistas, artesanos e ingenieros conocían
sólo las lenguas vernáculas —francés, alemán, y las diversas lenguas italianas—
y no se beneficiaron de las traducciones latinas de las obras griegas.
A partir del siglo XVI, muchos clásicos griegos fueron traducidos a las lenguas
populares. Los mismos matemáticos participaron en esta actividad. Por ejemplo,
Tartaglia tradujo los Elementos de Euclides del latín al
italiano en 1543. El movimiento de traducción continuó hasta bien entrado el
siglo XVII, pero se realizó lentamente porque muchos estudiosos eran hostiles y
despreciaban al pueblo llano. Preferían el latín, porque creían que el peso de
la tradición asociado a él conferiría autoridad a sus pronunciamientos. Para
oponerse a estos estudiosos, llegar al público, y obtener apoyo para sus ideas,
Galileo escribió deliberadamente en italiano. Descartes escribió en francés por
la misma razón; esperaba que quienes utilizaran su razonamiento natural podrían
ser mejores jueces de sus enseñanzas que los que respetaban servilmente los
escritos antiguos.
Otra medida que se tomó para educar al público, adoptada en algunas ciudades de
Italia, fue el establecimiento de bibliotecas. La familia Medici financió
bibliotecas en Florencia y algunos papas hicieron lo mismo en Roma. En parte
para difundir la educación y en parte para proporcionar un lugar de encuentro
para la comunicación entre los estudiosos, algunos gobernantes liberales
fundaron las academias. La más notable entre éstas fue la Academia Florentina,
fundada por Cosimo I de Medici (1519-1574) en 1563, que se convirtió en un
centro de estudios matemáticos, y la Academia Romana dei Lincei (de los linces)
fundada en 1603. Miembros de estas academias traducían trabajos latinos a
lenguas populares, daban conferencias al público y profundizaban en su propio
conocimiento comunicándose con los demás. Estas academias fueron las
precursoras de las más famosas, fundadas más tarde en Inglaterra, Francia,
Italia y Alemania, y que fueron tan enormemente útiles en la difusión del
conocimiento.
Lamentablemente, las universidades de los siglos XV y XVI casi no jugaron
ningún papel en estos avances. La teología gobernaba las universidades y su
estudio era el propósito del aprendizaje. El conocimiento era considerado
completo y cerrado. Por lo tanto, la experimentación era innecesaria, e
ignorados los nuevos descubrimientos de los de fuera. Lo más que hicieron los
conservadores profesores de la universidad fue aferrarse al conocimiento
medieval tal como había sido formulado por los escolásticos desde el siglo
XIII. Las universidades enseñaban aritmética, geometría, astronomía y música,
pero la astronomía estaba basada en la de Ptolomeo y no era observacional. La
filosofía natural significaba el estudio de la Física de
Aristóteles.
4. La actividad humanística en las matemáticas
Mientras que los escolásticos se adhirieron firmemente a las últimas doctrinas
medievales, un nuevo grupo de humanistas se dedicó a reunir, organizar y
estudiar críticamente el conocimiento griego y romano. Estos hombres realizaron
estudios asiduos y, con una sagacidad cuestionable en su conjunto, se
esforzaron por limpiar los textos de errores y por recuperar material perdido.
Aceptaron servilmente, repitieron e interpretaron sin parar lo que habían
encontrado en manuscritos antiguos y medievales, emprendiendo incluso estudios
filosóficos para precisar los significados. Escribieron también muchos libros
en los que rehicieron muchos trabajos antiguos en una reinterpretación
escolástica. Aunque esta actividad pudo haber despertado algún interés por
aprender, propició, sin embargo, la decepción de que el aprendizaje consistía
en profundizar y confirmar el cuerpo de conocimiento aceptado.
Típico entre los humanistas del siglo XVI fue Gerónimo Cardano (Gerolamo
Cardano), que nació en Pavía en 1501. Su carrera como pícaro y estudioso fue
una de las más fascinantes entre las fantásticas trayectorias de los hombres
del Renacimiento. Proporciona un relato de su vida en su obra De vita
propria (De la propia vida), escrita cuando era ya anciano, en la que
se ensalza y humilla a sí mismo. Dice que sus padres le dotaron sólo de miseria
y desprecio; pasó una infancia miserable y fue tan pobre durante los primeros
cuarenta años de su vida que dejó de considerarse pobre a sí mismo porque,
según decía, no le quedaba nada que perder. Era de gran temperamento, dedicado
a los placeres eróticos, pendenciero, engreído, sin sentido del humor, incapaz
de sentir remordimiento e intencionadamente cruel en su manera de hablar.
Aunque no era un apasionado del juego, jugó a los dados todos los días durante
veinticinco años y al ajedrez durante cuarenta como escape de la pobreza, de
las enfermedades crónicas, de las calumnias y de las injusticias. En su Líber
de ludo aleae (Libro sobre juegos y azar), publicado póstumamente en
1663, dice que se debe jugar para conseguir el premio de la puesta para
compensar el tiempo perdido, y proporciona consejos sobre cómo hacer trampas
para asegurar esa compensación.
Después de dedicar su juventud a las matemáticas, la física y el juego, se
graduó en medicina por la Universidad de Padua. Practicó este arte, enseñó más
tarde en Milán y en Bolonia, y se hizo famoso en toda Europa como médico.
También trabajó como profesor de matemáticas en varias universidades italianas.
En 1570 fue encarcelado por la herejía de realizar el horóscopo de Jesús.
Sorprendentemente, el Papa le contrató más tarde como astrólogo. A los setenta
y cinco años, poco antes de su muerte en 1576, se jactaba de su fama, de su
nieto, de su riqueza, de su conocimiento, de sus amigos poderosos, de su
creencia en Dios y de catorce dientes en buen estado.
Sus escritos incluyeron matemáticas, astronomía, astrología, física, medicina y
una enorme variedad de otros temas, como aforismos morales (para compensar sus
trampas en las cartas). A pesar de su gran preparación en las ciencias, Cardano
era un hombre de su tiempo; creía firmemente en la astrología, en los sueños,
en los hechizos, en la lectura de la mano, en los portentos y en las
supersticiones, y escribió muchos volúmenes sobre estos temas. Es el apologista
racional de estas artes ocultas, que, según sostenía, permiten tanta certeza
como la navegación o la medicina. También escribió tratados enciclopédicos
sobre los habitantes del universo, esto es, sobre los ángeles, demonios y
diversas inteligencias, incluyendo en esos libros material robado, sin la menor
duda, al distinguido amigo de su padre, Leonardo da Vinci. El material
existente ocupa cerca de 7.000 páginas.
La tendencia sincrética, mostrada por los filósofos naturales en sus escritos,
que unificaba toda la realidad en trabajos gigantescos, está representada en
matemáticas por Cardano. Con diligencia exenta de crítica, extrajo de fuentes
antiguas, medievales y contemporáneas todo el conocimiento matemático
disponible y lo reunió en una masa enciclopédica, utilizando fuentes tanto
teóricas como empíricas. A su acariciada teoría de números, mágica y mística,
estaba asociada su predilección por la especulación algebraica, que llevó más
lejos que sus contemporáneos. Además de ser un doctor famoso, Cardano se
distinguió de los demás filósofos naturales ilustrados del siglo XVI por su más
profundo interés en las matemáticas. Pero las matemáticas no eran un método
para él; eran un talento mágico especial y una forma de especulación cargada
emocionalmente.
Uno de los menos conocidos humanistas, Ignacio Danti (1537- 1586), profesor de
matemáticas en Bolonia, escribió un libro de matemáticas para profanos que
reducía toda la matemática pura y aplicada a series de cuadros
sinópticos. Le scienze matematiche ridotte in tavole (Bolonia,
1577) es característica del espíritu clasificador de los tiempos; sirvió para
dirigir el curso de la instrucción matemática en las escuelas al final del
siglo XVI. Danti fue uno de los pocos matemáticos y astrónomos que abogaron por
considerar la matemática aplicada como una rama del conocimiento (como hizo
Galileo más tarde). Los temas cubiertos son significativos porque muestran la
variedad de las matemáticas en aquella época: aritmética, geometría, música,
astrología, goniometría (especialmente la medida de volúmenes), meteorología,
dióptrica, geografía, hidrografía, mecánica, arquitectura, arquitectura
militar, pintura y escultura. Los primeros cuatro temas representaban la
matemática pura; los restantes, la matemática aplicada.
Esfuerzos humanistas característicos son también evidentes en las
investigaciones en mecánica realizadas por prestigiosos matemáticos tales como
Guidobalde del Monte (1545-1607), Bernardino Baldi (1553-1617) y Giovanni
Battista Benedetti (1530-1590). Estos hombres casi no comprendieron los
teoremas de Arquímedes; los trabajos de Pappus tenían más sentido para ellos y
tenían un mayor atractivo, porque Pappus había explicado con más detalle las
demostraciones dadas en anteriores clásicos griegos. Se desviaron poco de los
escolásticos tratando los problemas normales y conocidos, y se limitaron a la
corrección de afirmaciones y teoremas aislados. Aceptaron muchas cosas que eran
falsas y, además, les faltó la habilidad para separar las ideas vivas y vitales
de las agotadas y sin valor. Su formación humanística les inclinó a incorporar
en deducciones euclídeas todo el conocimiento antiguo y nuevo, sin tener en
cuenta cómo ajustaba todo ello con los experimentos. Como consecuencia, sus
facultades de crítica se debilitaron y su propia experiencia perdió valor. Su
experimentación no tenía ingredientes mágicos, y su erudición era sobre todo
humanística pero, en principio y en esencia, eran los últimos de los
medievalistas más que los fundadores de nuevos métodos de pensamiento e
investigación. Debido a su dependencia con respecto a los antiguos modos de
pensamiento, los matemáticos y físicos italianos Francesco Maurolico
(1494-1575), Benedetti, Baldi y del Monte, no aportaron contribuciones
innovadoras o revolucionarias en la formulación o resolución de problemas
matemáticos o físicos. Estos fueron los hombres a quienes más tarde Galileo llamaría
generosamente sus maestros, y quienes, en algunos aspectos, le prepararon el
camino.
5. El clamor por la reforma de la ciencia
Como en los siglos anteriores de su existencia, las matemáticas iban a obtener
sus principales inspiraciones y temas de las ciencias físicas. Sin embargo,
para que la ciencia floreciera era esencial que los europeos rompieran con la
adherencia servil a la autoridad. Ya bastantes se habían dado cuenta de que el
método de la ciencia debía ser cambiado; iniciaron una verdadera ruptura con el
escolasticismo y con la aceptación sin crítica del conocimiento griego.
Uno de los primeros en reclamar un nuevo enfoque del conocimiento fue el famoso
artista del Renacimiento Leonardo da Vinci (1452-1519). Increíblemente dotado
tanto física como mentalmente, alcanzó grandeza como lingüista, botánico,
zoólogo, anatomista, geólogo, músico, escultor, pintor, arquitecto, inventor e
ingeniero. Leonardo se distinguió en primer lugar por su desconfianza del
conocimiento que muchos estudiosos profesaban tan dogmáticamente. Estos
hombres, cuyo conocimiento había sido adquirido sólo en los libros, que él
describió como pavoneándose, hinchados y pomposos, adornándose no de sus
propios trabajos sino de los de otros, trabajos que ellos se limitaban a repetir,
no eran más que los recitadores y trompeteros del conocimiento de otras
personas. También criticó los conceptos, métodos y objetivos de los eruditos
librescos, porque éstos no se relacionaban con el mundo real. Llegó casi a
jactarse de que no era un hombre de letras y de que podía hacer mayores y
mejores cosas aprendiendo mediante la experiencia. Y, de hecho, aprendió por sí
mismo muchos hechos de las matemáticas, algunos principios de la mecánica y las
leyes del equilibrio de la palanca. Realizó observaciones notables sobre el
vuelo de los pájaros, el flujo del agua, la estructura de las rocas y la
estructura del cuerpo humano. Estudió la luz, el color, las plantas y los
animales. Son famosas sus palabras: «Si no te basas en los fundamentos adecuados
de la naturaleza, trabajarás con poco honor y menos provecho.» La experiencia,
decía, nunca decepciona, aunque nuestro juicio sí pueda hacerlo. «En el estudio
de las ciencias que dependen de las matemáticas, los que no consultan a la
naturaleza sino a autores no son los hijos de la naturaleza, sino sólo sus
nietos.»
Leonardo creía en la combinación de la teoría y la práctica. Dice: «Quien ama
la práctica sin la teoría es como el marino que se embarca sin timón ni
brújula, y nunca sabe dónde amarrará.» Por otra parte, decía, la teoría sin la
práctica no puede sobrevivir, y muere tan rápidamente como vive. «La teoría es
el general; los experimentos son los soldados.» Quería utilizar la teoría para
dirigir los experimentos.
Sin embargo, Leonardo no comprendió completamente el verdadero método de la
ciencia. De hecho, no tenía ni metodología ni ninguna filosofía subyacente. Su
trabajo fue el de un investigador práctico de la naturaleza, motivado por
móviles estéticos, pero sin ninguna otra dirección. Estaba interesado en las
relaciones cuantitativas y las buscó, y en este aspecto fue un precursor de la
ciencia moderna. Sin embargo, no era tan conscientemente cuantitativo como
Galileo. Mientras que sus escritos sobre mecánica y ciencia fueron utilizados
por hombres del siglo XVI tales como Cardano, Baldi, Tartaglia y Benedetti, no
constituyeron ningún estímulo para Galileo, Descartes, Stevin y Roberval.
Los puntos de vista de Leonardo sobre las matemáticas y su conocimiento
operativo y utilización del mismo eran peculiares de su tiempo e ilustran su
espíritu y enfoque. Leyendo a Leonardo se encuentran muchas afirmaciones que
sugieren que era un matemático ilustrado y un filósofo profundo que trabajó al
nivel del matemático profesional. Dice, por ejemplo: «El hombre que desacredita
la certeza suprema de las matemáticas está alimentando la confusión, y no puede
silenciar nunca las contradicciones de las ciencias sofistas, que conducen a la
charlatanería inacabable... porque ninguna búsqueda humana puede llamarse ciencia
a menos que prosiga su camino a través de la exposición y demostración
matemática.» Para ir más allá de la observación y de la experiencia sólo había
para él un camino fiable a través de las decepciones y los espejismos —las
matemáticas—. Sólo manteniéndose unida a las matemáticas podía la mente
penetrar con seguridad en el laberinto del pensamiento intangible e
insustancial. La naturaleza actúa mediante leyes matemáticas, y las fuerzas y
las operaciones de la naturaleza deben de ser estudiadas mediante investigaciones
cuantitativas. Estas leyes matemáticas, a las que uno debe acercarse a través
de la experiencia, son el objetivo del estudio de la naturaleza. Sobre la base
de tales pronunciamientos, a Leonardo se le considera a menudo, sin ninguna
duda, como mejor matemático de lo que realmente era. Cuando se examinan las
notas de Leonardo se cae en cuenta de lo poco que sabía de matemáticas, y de
que su enfoque era empírico e intuitivo.
Más influyente instando una reforma en los métodos de la ciencia fue Francis
Bacon (1561-1626). Bacon buscó métodos para obtener verdades en las esferas
intelectual, moral, política y física. Aunque ya estaban produciéndose cambios
en los métodos de las ciencias físicas durante el siglo XVI, el público en
general e incluso muchos hombres de letras no eran conscientes de ello. La
elocuencia sublime de Bacon, su amplia sabiduría, sus visiones globales y
valientes pronunciamientos sobre el futuro hicieron que muchos consideraran con
más atención lo que estaba ocurriendo y prestaran atención a lo que él dibujaba
como la «Gran Instauración». Cuando la gente se dio cuenta finalmente de que la
ciencia estaba comenzando a realizar los avances que Bacon había anunciado, le
aclamaron como el autor y dirigente de la revolución que él había, solamente,
percibido con anticipación. En realidad, comprendió mejor que sus
contemporáneos los cambios que estaban teniendo lugar.
La característica más sobresaliente de su filosofía era el anuncio confiado y
enfático de una nueva era en el progreso de la ciencia. En 1605 publicó su
tratado Advancement of Learning; fue seguido por el Novum
Organum (Nuevo método) de 1620. En este último libro es más explícito.
Señala la debilidad y escasos resultados de los esfuerzos anteriores en el
estudio de la naturaleza. La ciencia, dice, se ha desarrollado sólo en medicina
y matemáticas, o se ha utilizado para la preparación de jóvenes inmaduros. El
progreso está en un cambio del método. Todo conocimiento comienza con la
observación. Entonces proporciona su extraordinaria contribución: una
insistencia en una «inducción graduada y sucesiva» en lugar de una
generalización apresurada. Bacon dice: «Hay dos caminos, y sólo pueden ser dos,
para buscar y encontrar la verdad. Uno de ellos, desde los sentidos y los casos
particulares, vuela a los axiomas más generales, y desde esos principios y sus
verdades, establecidos de una vez por todas, inventa y enjuicia los axiomas
intermedios. El otro método acumula axiomas a partir de los sentidos y de los
casos particulares, ascendiendo en forma continuada y por grados, de modo que,
al final, llega a los axiomas más generales; este último camino es el
verdadero, pero no ha sido intentado hasta ahora.» Por «axiomas» él entiende
proposiciones generales a las que se llega mediante inducción, y adecuados para
servir de punto de partida para un razonamiento deductivo.
Bacon atacó el enfoque escolástico de los fenómenos naturales con estas
palabras: «Los axiomas descubiertos mediante discusiones no pueden avalar el
descubrimiento de nuevas obras; porque la sutileza de la naturaleza es muchas
veces mayor que la sutileza de las discusiones... Los errores radicales en la
primera elaboración del pensamiento no pueden subsanarse por la excelencia de
su funcionamiento o correcciones subsiguientes... Debemos conducir a los
hombres a los casos particulares, mientras que los mismos hombres, por su
parte, deben esforzarse por mantener disponibles sus nociones e ideas y
comenzar a familiarizarse con los hechos.»
Bacon no se dio cuenta de que la ciencia debe medir para obtener leyes
cuantitativas. En otras palabras, no vio qué tipos de investigaciones graduales
se necesitaban y el orden en que debían ser realizadas. Tampoco valoró la
inventiva que todo descubrimiento requiere. De hecho, dice que «no se deja
mucho a la agudeza y poder del ingenio, pero todos los grados de ingenio e
intelecto están al mismo nivel».
Aunque no lo creó, Bacon publicó el manifiesto en favor del método
experimental. Atacó los sistemas filosóficos preconcebidos, las creaciones mentales
y muestras estacionarias del conocimiento. El trabajo científico, dijo, no debe
enredarse en una búsqueda de causas finales, lo cual pertenece a la filosofía.
La lógica y la retórica son útiles sólo para organizar lo que ya sabemos.
Rodeemos y acerquémonos a la naturaleza, y luchemos mano a mano con ella. No
realicemos deshilvanados y fortuitos experimentos; seamos sistemáticos,
directos y dirigidos. La matemática tiene que ser una sirvienta de la física.
En su conjunto, Bacon ofreció un programa fascinante para las futuras
generaciones.
Otra doctrina, y programa, se asocia a Francis Bacon, aunque le antecede. En su
conjunto, los griegos se habían contentado con obtener de su ciencia y
matemáticas una comprensión de los caminos de la naturaleza. Los pocos
científicos del primer período medieval y los escolásticos estudiaron
ampliamente la naturaleza para determinar la causa final o el propósito al que
se orientaban los fenómenos. Sin embargo, los árabes, un pueblo más práctico,
estudiaron la naturaleza para adquirir poder sobre ella. Sus astrólogos,
profetas y alquimistas buscaron el elixir de la vida, la piedra filosofal,
métodos para convertir metales menos útiles en más útiles, y propiedades
mágicas de plantas y animales para prolongar la vida del hombre, curar sus
enfermedades y enriquecerle materialmente. Mientras que estas pseudociencias
continuaban floreciendo en la época medieval, algunos de los escolásticos más
racionales —como, por ejemplo, Robert Grosseteste y Roger Bacon— comenzaron a
considerar el mismo propósito, pero mediante investigaciones más propiamente
científicas. Gracias a los exhortos de Francis Bacon, la dominación de la
naturaleza se convirtió en una doctrina positiva y en una motivación extendida.
Bacon deseaba utilizar el conocimiento. Quería dominar a la naturaleza para que
estuviera al servicio del hombre y para su bienestar, y no para placer y
deleite de los estudiosos. Como decía, la ciencia tiene que remontarse a los
axiomas y desde allí descender a las aplicaciones. En La Nueva
Atlántida Bacon describe una sociedad de estudiosos dotada de espacio
y equipamiento para la adquisición de conocimiento útil. Previo que la ciencia
puede proporcionar al hombre «infinitos recursos», «dotar a la vida humana de
invenciones y satisfacciones, y facilitar la conveniencia y el agrado del
hombre». Estos, decía, son los verdaderos y legítimos fines de la ciencia.
Descartes, en su Discurso del Método, se hizo eco de este
pensamiento: Es posible alcanzar un conocimiento que es muy útil en la vida y,
en lugar de esa filosofía especulativa que se enseña en las escuelas, podemos
encontrar una filosofía práctica mediante la cual, conociendo la fuerza y la
acción del fuego, del agua, del aire, de las estrellas, de los cielos y de
todos los demás cuerpos que nos rodean, tan nítidamente como conocemos el
oficio de nuestros artesanos, podamos de la misma manera utilizarlos en todos
aquellos usos para los que están adaptados y, por tanto, convertirnos en los
dominadores y poseedores de la naturaleza.
El químico Robert Boyle dijo: «Las satisfacciones de la humanidad pueden
aumentar mucho mediante la aportación a las actividades de la misma de la
visión del naturalista.»
El desafío lanzado por Bacon y Descartes fue aceptado rápidamente, y los
científicos se sumergieron optimistamente en la tarea de dominar y entender la
naturaleza. Estas dos motivaciones son todavía las dos principales fuerzas
conductoras y, de hecho, las interconexiones entre la ciencia y la ingeniería
crecieron rápidamente desde el siglo XVII en adelante.
Este programa fue adoptado aún más seriamente por los gobiernos. La Academia
Francesa de Ciencias, fundada por Colbert en 1666, y la Real Sociedad de
Londres, fundada en 1662, se dedicaron al cultivo de «tal conocimiento, en la
medida en que tienda a ser útil» y a hacer ciencia «útil a la vez que
atractiva».
6. El nacimiento de empirismo
Mientras que los reformadores de la ciencia pedían el retorno a la naturaleza y
la necesidad de hechos experimentales, los artesanos de orientación práctica,
los ingenieros y los pintores estaban en realidad encontrándose con los duros
hechos de la experiencia. Utilizando la visión intuitiva natural de los
profanos, y buscando no los significados últimos sino sólo las explicaciones
útiles de los fenómenos que encontraban en su trabajo, estos técnicos
construyeron un conocimiento que desafiaba, en realidad, las distinciones
complicadas, las largas derivaciones etimológicas de los significados, las
complicadas argumentaciones lógicas y las pomposas citas de autoridades griegas
y romanas de que hacían gala los cultos estudiosos, e incluso los humanistas.
Como las realizaciones técnicas de la Europa renacentista fueron superiores y
más numerosas que las obtenidas por cualquier otra civilización, el
conocimiento empírico adquirido en su obtención fue inmenso.
Los artesanos, ingenieros y artistas tenían que resolver problemas procedentes
de ideas mecánicas y propiedades de materiales que tenían que convertir en
reales y practicables. Sin embargo, las nuevas perspectivas físicas obtenidas
de esta manera fueron impresionantes. Fueron los fabricantes de gafas los que,
sin descubrir ninguna ley de la óptica, inventaron el telescopio y el
microscopio. Los técnicos llegaron a las leyes acudiendo a los fenómenos.
Mediante pasos medidos y graduales, que no había sugerido ninguna visión
especulativa del método científico, obtuvieron verdades tan profundas y
globales como ninguna conjetura hubiera osado anticipar. Mientras que los
reformadores teóricos eran audaces, seguros de sí mismos, impulsivos,
ambiciosos, y desdeñosos de la antigüedad, los reformadores prácticos eran
cultos, modestos, lentos y receptivos de todo conocimiento, bien derivado de la
tradición o de la observación. Ellos trabajaban más que especulaban, trataban con
lo particular más que con las generalidades, y aportaban algo a la ciencia, en
lugar de definirla o proponer cómo obtenerla. En física, artes plásticas y, en
general, los campos de la técnica, la experiencia más que la teoría o la
especulación se convirtió en la nueva fuente del conocimiento.
A la vez que el puro empirismo de los artesanos, y en realidad sugerido en
parte por los problemas que ellos presentaban, tuvo lugar el aumento gradual de
la observación y experimentación sistemáticas, llevadas a cabo por un grupo más
culto. Griegos como Aristóteles o Galeno habían observado mucho y tratado de
las inducciones que podrían hacerse sobre la base de las observaciones; pero no
se puede decir que los griegos tuvieran nunca una ciencia experimental. La
actividad del Renacimiento, muy modesta en extensión, señala el comienzo de la
nueva y vasta empresa científica. Los grupos más significativos de los
experimentalistas del Renacimiento fueron los fisiólogos, zoólogos y botánicos
capitaneados por Andrea Vesalio (1514-1564), Ulises Aldrovandi (1522-1605) y
Andre Cesalpino (1519-1603), respectivamente.
En el área de las ciencias físicas, el trabajo experimental de William Gilbert
(1540-1603) sobre el magnetismo fue, con mucho, el más extraordinario. En su
famosa De Magriete (1600), afirma explícitamente que debemos
comenzar a partir de los experimentos. Aunque respetaba a los antiguos porque
provenía de ellos una corriente de sabiduría, desdeñaba a quienes citaban a
otros como autoridades y no experimentaban o verificaban lo que se les había
comunicado. Sus series de sencillos experimentos, cuidadosamente realizados y
detallados, son un clásico del método experimental. Puntualiza,
incidentalmente, que Cardano, en su De Rerum Varietate, había
descrito una máquina de movimiento perpetuo y comenta: «Condenen los dioses
estos trabajos falsos, deshonestos y distorsionados, que no hacen más que
confundir las mentes de los estudiantes.»
Hemos estado señalando los abigarrados intereses prácticos que condujeron a un
vasto desarrollo del estudio de la naturaleza y el impulso consiguiente a la
experimentación sistemática. Junto a este trabajo práctico, con mucha
independencia con respecto a él pero sin olvidarlo, algunos hombres continuaron
esforzándose en el objetivo, más amplio, de la ciencia-la comprensión de la
naturaleza. El trabajo de los últimos escolásticos sobre la caída de los
cuerpos, descrito en el capítulo anterior, fue continuado en el siglo XVI. El
objetivo predominante era el de obtener las leyes básicas del movimiento. El
trabajo sobre el movimiento de proyectiles, a menudo descrito como una
respuesta a necesidades prácticas, fue motivado mucho más por amplios intereses
científicos en mecánica. El trabajo de Copérnico y Kepler en astronomía (cap.
12, sec. 5) estaba motivado ciertamente por el deseo de mejorar la teoría
astronómica. Incluso los artistas del Renacimiento intentaron penetrar en la
esencia de la realidad.
Afortunadamente, los técnicos y científicos comenzaron a reconocer intereses
comunes y a valorar la ayuda que los unos podían obtener de los otros. Los
técnicos de los siglos XV y XVI, los primeros ingenieros que habían confiado en
la destreza manual, ingeniosidad mecánica y pura inventiva y cuidaban menos de
los principios, se hicieron conscientes de la ayuda que podían obtener, para la
práctica, de la teoría. Por su parte, los científicos se percataron de que los
artesanos estaban descubriendo hechos de la naturaleza que una teoría correcta
debía explicar, y que podían encontrar en el trabajo de los artesanos
prometedoras sugerencias para su investigación. En el párrafo de apertura de
su Diálogos referentes a dos nuevas ciencias (las ciencias
eran la resistencia de materiales y la teoría del movimiento), Galileo reconoce
esta inspiración para sus investigaciones. «La constante actividad que
vosotros, venecianos, mostráis en vuestro famoso arsenal sugiere a la mente
estudiosa un amplio campo para la investigación, especialmente esa parte del
trabajo que se relaciona con la mecánica; porque en este departamento todos los
tipos de instrumentos y máquinas están siendo construidos constantemente por
muchos artesanos, entre quienes debe de haber algunos que, en parte por
experiencias heredadas y en parte por su propia observación, han llegado a ser
muy hábiles y expertos en las explicaciones.»
Los intereses prácticos y puramente científicos se fundieron en el siglo XVII.
Cuando los principios generales y los problemas surgieron de las necesidades
empíricas, y el conocimiento matemático de los griegos había llegado a ser
completamente accesible para los científicos, éstos estuvieron más capacitados
para continuar desarrollando la ciencia pura. Sin perder de vista el objetivo
de entender el plan del universo, también intentaron voluntariamente impulsar
la práctica. El resultado fue un desarrollo de la actividad científica en una
escala sin precedentes, además de mejoras técnicas de peso y de gran alcance
que culminaron en la Revolución Industrial.
La gran importancia de los comienzos de la ciencia moderna para nosotros es,
por supuesto, que preparó el camino para los principales desarrollos en
matemáticas. Su efecto inmediato fue su relación con problemas concretos.
Puesto que los matemáticos del Renacimiento trabajaron para las repúblicas y
los príncipes, y colaboraron con los arquitectos y obreros manuales —Maurolico
fue un ingeniero que trabajaba para la ciudad de Messina, Baldi fue un
matemático que trabajaba para el Duque de Urbino, Benedetti fue el ingeniero
jefe del Duque de Saboya, y Galileo fue matemático de corte del Gran Duque de
Toscana— tuvieron en cuenta las observaciones y las experiencias de la gente
práctica. Hasta la época de Galileo, el impacto de los técnicos y de los
arquitectos puede verse ampliamente en el trabajo de Nicolo Tartaglia (1499?-1557),
un genio que fue autodidacta en la ciencia de su tiempo. Tartaglia realizó la
transición del matemático práctico al ilustrado, separando con criterio
problemas y observaciones útiles del conocimiento empírico. Su singularidad
radica en su realización y en su completa independencia de las influencias
mágicas que caracterizan el trabajo de su rival Cardano. La posición de
Tartaglia está a mitad de camino entre Leonardo y Galileo —no sólo
cronológicamente, sino porque su trabajo sobre las matemáticas de problemas
dinámicos elevaron ese tema a la categoría de nueva ciencia e influyó en los
predecesores de Galileo.
El efecto a largo plazo fue que la matemática moderna, guiada por la doctrina
platónica de que es la esencia de la realidad, creció casi enteramente a partir
de los problemas de la ciencia. Bajo la nueva línea directriz de estudiar la
naturaleza y obtener leyes que englobaran observaciones y hechos
experimentales, las matemáticas rompieron con la filosofía y se unieron a las
ciencias físicas. Las consecuencias para las matemáticas fueron una explosión
de actividad y de creación original que fue la más prolífica en su historia.
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Capítulo 12
Las contribuciones matemáticas en el renacimiento
El principal propósito de todas las investigaciones sobre el
mundo exterior debe ser descubrir el orden y la armonía racionales que han sido
impuestos por Dios y que Él nos ha revelado en el lenguaje de las matemáticas.
Johannes Kepler
Contenido:
1. Perspectiva
2. La geometría propiamente dicha
3. Álgebra
4. Trigonometría
5. Los principales progresos científicos del Renacimiento
6. Notas sobre el Renacimiento
Bibliografía
1. Perspectiva
Aunque los hombres del Renacimiento sólo percibieron ligeramente las
perspectivas, valores y objetivos de las obras griegas, dieron algunos pasos
originales en matemáticas y realizaron avances en otros campos, que prepararon
el camino para el extraordinario desarrollo de nuestro tema en el siglo XVII.
Los artistas fueron los primeros en manifestar la renovación del interés en la
naturaleza y en aplicar seriamente la doctrina griega de que las matemáticas
son la esencia de la realidad de la naturaleza. Los artistas eran autodidactas
y aprendían mediante la práctica. Les llegaron filtrados algunos fragmentos del
conocimiento griego pero, en su conjunto, sintieron más que percibieron las
ideas y perspectivas intelectuales griegas. Hasta cierto punto, esto fue una
ventaja porque, careciendo de una escolarización formal, estaban libres de todo
adoctrinamiento. Además, disfrutaron de libertad de expresión, porque su
trabajo se consideraba «innocuo».
Los artistas del Renacimiento eran, por su profesión, hombres universales, esto
es, eran contratados por los príncipes para realizar todo tipo de tareas, desde
la creación de grandes pinturas hasta el diseño de fortificaciones, canales,
puentes, máquinas de guerra, palacios, edificios públicos e iglesias. En
consecuencia, estaban obligados a aprender matemáticas, física, arquitectura,
ingeniería, tallado de las piedras, el trabajo de los metales, anatomía, el
trabajo de la madera, óptica, estática e hidráulica. Realizaron trabajos
manuales, pero también se ocuparon de los problemas más abstractos. En el siglo
XV, al menos, ellos eran los mejores físicos matemáticos.
Para valorar sus contribuciones a la geometría, debemos hacer notar sus nuevos
objetivos en la pintura. En el período medieval, la glorificación de Dios y la
ilustración de los temas bíblicos eran los fines de la pintura. Los fondos
dorados sugerían que las personas y objetos retratados estaban en alguna región
celestial. Además, se pretendía que las figuras fueran simbólicas más que
realistas. Los pintores producían formas planas y sin naturalidad, y no se
desviaban de los cauces establecidos. En el Renacimiento, la descripción del
mundo real se convirtió en el objetivo de la pintura. Por lo tanto, los
artistas emprendieron el estudio de la naturaleza para reproducirla fielmente
en sus lienzos, y se enfrentaron al problema matemático de presentar el mundo
real tridimensional en un lienzo bidimensional.
Filippo Brunelleschi (1377-1446) fue el primer artista que estudió y utilizó
intensivamente las matemáticas. Giorgio Vasari (1511-1574), el artista y
biógrafo italiano, dice que el interés de Brunelleschi en las matemáticas le
llevó a él a estudiar perspectiva, y que empezó a pintar para aplicar la
geometría. Leyó a Euclides, a Hiparco y a Vitello en matemáticas y óptica, y
aprendió matemáticas del matemático florentino Paolo del Pozzo Toscanelli
(1397-1482). Los pintores Paolo Ucello (1397-1475) y Masaccio (1401-1428)
también se interesaron por principios matemáticos para desarrollar un sistema
de perspectiva realista.
El genio teórico en la perspectiva matemática fue Leone Battista Alberti
(1404-1472), quien presentó sus ideas en Della Pittura (1435),
impreso en 1511. Este libro, profundamente matemático en su carácter, también
incluye algo de óptica. Su otro importante trabajo matemático es Ludí
Mathematici (1450), que contiene aplicaciones a la mecánica,
agrimensura, cálculo del tiempo y fuego de artillería. Alberti concibió el
principio que se convertiría en la base del sistema matemático de perspectiva
adoptado y perfeccionado por sus sucesores artistas. Propuso pintar lo que ve
un ojo, aunque era muy consciente de que en la visión normal ambos ojos ven la
misma escena desde posiciones ligeramente distintas, y que sólo a través de la
reconciliación de las dos imágenes en el cerebro se percibe la profundad. Su
plan era obtener la ilusión de la profundidad mediante instrumentos tales como
la luz y la sombra, y la disminución del color con la distancia. Su principio
básico puede explicarse en los siguientes términos. Entre el ojo y la escena
interponía una pantalla de vidrio en posición vertical. Entonces imaginaba
líneas de luz desde el ojo o punto de estación hasta cada punto de la escena
misma. Llamaba a estas líneas una pirámide de rayos o una proyección. Donde
estos rayos atravesaban la pantalla de vidrio (la imagen plana), imaginaba
puntos marcados; a esta colección de puntos la llamaba una sección. El hecho
significativo sobre esto es que creaba la misma impresión sobre el ojo que la
escena misma, porque de la sección provienen las mismas líneas de luz que de la
escena original. En consecuencia, el problema de pintar en forma realista es el
de obtener una sección verdadera sobre la pantalla de vidrio o, en la práctica,
sobre un lienzo. Por supuesto que la sección depende de la posición del ojo y
de la de la pantalla. Esto significa sólo que pueden hacerse diferentes
pinturas de la misma escena.
Como el pintor no mira a través de su lienzo para determinar la sección, debe
disponer de reglas basadas en teoremas matemáticos que le digan cómo dibujarla.
Alberti proporcionó algunas reglas[19] correctas en su Delta Pittura,pero no dio
todos los detalles. Pretendió que su libro fuera como un sumario que se
completara con discusiones con sus compañeros pintores y, de hecho, se disculpa
por su brevedad. Intentó hacer su material concreto, más que formal y riguroso,
y por ello dio teoremas y construcciones sin demostraciones.
Además de presentar los conceptos de proyección y sección, Alberti suscitó una
cuestión muy significativa. Si se interponen dos pantallas de vidrio entre el
ojo y la escena, las secciones en ellas serán diferentes. Además, si el ojo
mira la misma escena desde dos posiciones distintas y, en cada caso, se
interpone una pantalla de vidrio entre el ojo y la escena, otra vez la sección
será diferente. Y, sin embargo, la sección corresponde a la misma figura. Por
lo tanto, deben tener algunas propiedades en común. La cuestión es: ¿cuál es la
relación matemática entre dos cualesquiera de estas secciones o cuáles son las
propiedades matemáticas que tienen en común? Esta cuestión se convirtió en el
punto de partida del desarrollo de la geometría proyectiva.
Aunque bastantes artistas escribieron libros sobre perspectiva matemática y
compartían la filosofía del arte de Alberti, podemos mencionar aquí sólo uno o
dos de los principales. Leonardo creía que la pintura debe ser una reproducción
exacta de la realidad, y que la perspectiva matemática lo permitiría. Era «el
timón e hilo conductor de la pintura» e incluía la óptica aplicada y la
geometría. La pintura, para él, era una ciencia porque revela la realidad en la
naturaleza; por esta razón es superior a la poesía, a la música y a la
arquitectura. Los escritos de Leonardo sobre la perspectiva están contenidos en
su Tratatto dellapittura(1651), compilado por algún autor
desconocido que utilizó lo más valioso de las notas de Leonardo sobre el
asunto.
El pintor que estableció los principios matemáticos de la perspectiva en una
forma bastante completa fue Piero della Francesca (c. 1410-1492). También él
consideraba la perspectiva como la ciencia de la pintura y quiso corregir y
extender el conocimiento empírico a través de las matemáticas. Su trabajo
principal, De prospettiva pingen- di (1482-1487), aportó
algunos avances a las ideas de Alberti de proyección y sección. En general,
suministra procedimientos útiles para los artistas, y sus indicaciones incluyen
el empleo de bandas de papel, madera y cosas análogas. Para ayudar al artista,
le proporciona, como Alberti, definiciones inteligibles intuitivamente.
Entonces le brinda teoremas que «demuestra» mediante construcciones o por un
cálculo aritmético de razones. Fue el pintor matemático y el artista científico
por excelencia, y sus contemporáneos así le consideraron. Fue también el mejor
geómetra de su tiempo.
Sin embargo, de todos los artistas del Renacimiento, el mejor matemático fue el
alemán Albrecht Dürer (Alberto Durero) (1471-1528). Su Underweysung der
Messung mid dem Zyrkel und Rychtscheyd (Instrucción en la medida con
regla y compás, 1525), un libro de geometría, sobre todo, fue realizado para
transmitir a los alemanes el conocimiento que Durero había adquirido en Italia
y, en particular, para ayudar a los artistas con la perspectiva. El libro, más
preocupado por la práctica que por la teoría, fue muy influyente.
La teoría de la perspectiva se enseñaba en las escuelas de pintura desde el
siglo XVI en adelante, de acuerdo con los principios establecidos por los
maestros de los que nos hemos ocupado. Sin embargo, sus tratados sobre
perspectiva habían consistido, en su conjunto, en preceptos, reglas y
procedimientos ad hoc: les había faltado una sólida base
matemática. En el período comprendido entre 1500 y 1600, los artistas y
matemáticos siguientes situaron el tema sobre una base deductiva satisfactoria,
y pasó de ser un arte casi empírico a una verdadera ciencia. Trabajos
definitivos sobre perspectiva fueron escritos mucho más tarde por los
matemáticos del siglo XVIII Brook Taylor y J. H. Lambert.
2. La geometría propiamente dicha
Aparte de la perspectiva, los desarrollos que experimentó la geometría durante
los siglos XV y XVI no fueron muy impresionantes. Uno de los temas de que
trataron Durero, Leonardo y Lúea Pacioli (c. 1445-c. 1514), un monje italiano
alumno de Piero della Francesca y amigo y profesor de Leonardo, fue el de la
inscripción de polígonos regulares en circunferencias. Intentaron tales
construcciones mediante una regla y un compás de apertura fija, una limitación
ya considerada por el árabe Abü’l-Wefá, pero sólo proporcionaron métodos
aproximados.
La construcción del pentágono regular era un problema de gran interés, porque
surgía en el diseño de fortificaciones. En los Elementos (libro
IV, proposición 11), Euclides había dado una construcción no limitada por un
compás de apertura fija. El problema de dar una construcción exacta con esta
limitación fue tratado por Tartaglia, Ferrari, Cardano, del Monte, Benedetti y
muchos otros matemáticos del siglo XVI. Benedetti, entonces, amplió el problema
y se propuso resolver todas las construcciones euclídeas con una regla y un
compás de apertura fija. El problema general fue resuelto por el danés George
Mohr (1640-1697) en su Compendium Euclidis Curiosi (1673).
Mohr demostró también, en su Euclides Danicus (1672), que las
construcciones que podían realizarse con una regla y un compás podían
realizarse también con sólo un compás. Por supuesto que sin la regla no es
posible dibujar la línea recta que une dos puntos, pero dados dos puntos se
pueden construir los puntos de intersección de la recta y la circunferencia, y
dados dos pares de puntos, se puede construir el punto de intersección de las
dos rectas determinadas por los dos pares. El hecho de que sólo un compás baste
para realizar las construcciones euclídeas fue redescubierto por Lorenzo
Mascheroni (1750-1800) y publicado en su La geometría del compasso.
Otro tema de interés para los griegos, el de los centros de gravedad de los
cuerpos, también fue considerado por los geómetras del Renacimiento. Leonardo,
por ejemplo, dio un método correcto y uno incorrecto para obtener el centro de
gravedad de un trapezoide isósceles. Dio después, sin demostración, la
situación del centro de gravedad del tetraedro, a la cuarta parte del segmento
que une el centro de gravedad de la base triangular con el vértice opuesto,
contada desde la base.
Dos ideas geométricas originales aparecen en trabajos menores de Durero. La
primera de ellas es la de considerar curvas en el espacio. Comienza estudiando
curvas del espacio helicoidales y considera la proyección de estas curvas sobre
el plano. Las proyecciones son varios tipos de espirales, y Durero muestra cómo
construirlas. También presenta la epicicloide, que es el lugar geométrico
descrito por un punto determinado de una circunferencia que gira apoyándose en
el exterior de otra circunferencia fija. La segunda idea es la proyección
ortogonal de curvas y de figuras humanas en dos y tres planos mutuamente
perpendiculares. Esta idea, que Durero sólo rozó, fue desarrollada a finales
del siglo XVIII, dentro de la geometría descriptiva, por Gaspard Monge.
El trabajo de Leonardo, Piero, Pacioli y Durero en geometría pura no es,
ciertamente, significativo desde el punto de vista de la obtención de
resultados nuevos. Su valor principal fue el de que difundió ampliamente
algunos conocimientos de geometría, aunque fueran algo bastos comparados con
los que alcanzaron los griegos. La cuarta parte de la obra de Durero Underweysung, junto
con la de Piero De Corporibus Regularibus (1487) y la de
Pacioli De Divina Proportione (1509) renovaron el interés por
la estereometría (medida de figuras sólidas), que floreció en la época de
Kepler.
Otra actividad geométrica, la elaboración de mapas, sirvió para estimular
posteriores investigaciones geométricas. Las exploraciones geográficas habían
revelado la inadecuación de los mapas existentes; al mismo tiempo, se iban
desvelando nuevos conocimientos geográficos. La confección e impresión de mapas
había comenzado en la segunda mitad del siglo XV en centros como Amberes y
Amsterdam.
El problema de la confección de mapas surge del hecho de que una esfera no
puede cortarse, abrirse y extenderse sobre un plano sin distorsionar las
distancias. Además, las direcciones (ángulos) o áreas, o ambos, pueden
distorsionarse también. El método nuevo más significativo de confección de
mapas se debe a Gerard Kremer, conocido también como Mercator (1512-1594),
quien dedicó su vida a la ciencia. En 1569 publicó un mapa utilizando la famosa
proyección de Mercator. En este esquema, las líneas de latitud y de longitud
son rectas. Las líneas de longitud están igualmente espaciadas, pero el
espaciado entre las líneas de latitud se incrementa. El propósito de este
incremento es el de mantener correcto el cociente entre el largo de un minuto
de longitud y el de un minuto de latitud. Sobre la esfera, un cambio de 1' de
latitud corresponde a 6087 pies; pero un cambio de 1' de longitud sólo es igual
a 6087 pies en el ecuador. Por ejemplo, en la latitud 20°, un cambio de 1' en
longitud equivale a 5722 pies, proporcionando el cociente 1' de cambio en
longitud
Para que este cociente se mantenga en el mapa de líneas rectas
de Mercator, en el que las líneas de longitud están igualmente espaciadas y
cada minuto de cambio equivale a 6087 pies, él aumenta los espacios entre las
líneas de latitud mediante el factor 1/cos L, a medida que la
latitud L aumenta. A 20° de latitud en su mapa un cambio de
latitud de 1' equivale a una distancia de 6087 (1/cos L), es decir,
6450 pies. Por tanto, a 20° de latitud
y este cociente es igual al cociente 5722/6087.
El mapa de Mercator tiene varias ventajas. Sólo en esta proyección dos puntos
del mapa están en el rumbo correcto de la brújula uno con respecto a otro. Por
tanto, una curva sobre la esfera cuyo rumbo es la brújula constante, esto es,
una curva llamada loxodroma o línea de rumbo, que corta a todos los meridianos
según un mismo ángulo, se convierte en una línea recta en el mapa. Las
distancias y las áreas no se conservan; de hecho, el mapa distorsiona mucho en los
polos. Sin embargo, como la dirección se conserva, también se conserva el
ángulo de dos direcciones en un punto, y se dice que el mapa es conforme.
Aunque ninguna idea matemática grande surgió de los trabajos de elaboración de
mapas en el siglo XVI, el problema se volvió a considerar más tarde por otros
matemáticos, y eso les llevó a trabajar en geometría diferencial.
3. Algebra
Hasta la aparición de la Ars Magna (1545) de Cardano, de la
que trataremos en el próximo capítulo, no hubo en el Renacimiento desarrollos
trascendentes en álgebra. Sin embargo, vale la pena mencionar el trabajo de
Pacioli. Como muchos otros de su siglo, es el conocimiento sistemático más
amplio y que se puede aplicar a la vida práctica y espiritual de todo el mundo.
También se dio cuenta de las ventajas del conocimiento teórico para realizar el
trabajo práctico. La teoría debe dominar y guiar, dice a los matemáticos y
técnicos. Como Cardano, pertenecía al círculo humanista. La principal
publicación de Pacioli es la Summa de Arithmetica, Geometría,
Proportione et Proportionalita (1494). La Summa era
un compendio del conocimiento disponible, y era representativa de su época
porque vinculaba las matemáticas con una gran cantidad de aplicaciones
prácticas.
El contenido incluía los símbolos numéricos indo-arábigos, que ya se utilizaban
en Europa, la aritmética de los negocios, en particular la contabilidad, el
álgebra creada hasta entonces, un pobre resumen de los Elementos de
Euclides y algo de trigonometría tomada de Ptolomeo. La aplicación del concepto
de proporción para descubrir el plan en todas las fases de la naturaleza y en
el universo mismo era un tema importante. Pacioli llamaba a la proporción
«madre» y «reina» y la aplicaba a los tamaños de las partes del cuerpo humano,
a la perspectiva e incluso a las mezclas de colores. Su álgebra es retórica;
sigue a Leonardo y a los árabes al llamar a la incógnita la «cosa». Al cuadrado
de la incógnita Pacioli le llama census, que a veces abrevia
como ce o Z; el cubo de la incógnita, cuba, se
representa a veces como cu o C. También aparecen
otras abreviaturas para palabras, tales como p para más
y ae para aequalis. Escribiendo ecuaciones,
cuyos coeficientes son siempre numéricos, coloca los términos en el lado que
permita la utilización de coeficientes positivos. Aunque aparezca la
sustracción ocasional de un término, por ejemplo, -3x, no se utilizan
números puramente negativos; sólo se dan las raíces positivas. Utilizó el
álgebra para calcular cantidades geométricas, de la misma manera que nosotros
utilizaríamos una proporción aritmética para relacionar las longitudes de los
lados de dos triángulos semejantes y, quizá, para obtener una longitud
desconocida, aunque la utilización de Pacioli es, a menudo, más complicada.
Termina el libro con la observación de que la solución de
x3 + mx = n
y de
x3 + n = mx
(utilizamos la notación moderna) son tan imposibles como la
cuadratura del círculo.
Aunque no había nada de original en la Summa, este libro y
su De Divina Proportione fueron valiosos porque contenían
mucho más de lo que se enseñaba en las universidades. Pacioli hizo de
intermediario entre lo que existía en los trabajos académicos y el conocimiento
adquirido por artistas y técnicos, a quienes intentó ayudar a aprender y a
utilizar las matemáticas. Sin embargo, un comentario significativo sobre el
desarrollo matemático de la aritmética y el álgebra entre 1200 y 1500 es que
la Summa de Pacioli, que apareció en 1494, no contenía
prácticamente nada más que el Líber Abad de Leonardo de Pisa,
de 1202. De hecho, la aritmética y el álgebra de la Summa estaban
basadas en el libro de Leonardo.
4. Trigonometría
Hasta 1450, la trigonometría era sobre todo trigonometría esférica; la
agrimensura continuaba utilizando los métodos geométricos de los romanos.
Aproximadamente hacia esa fecha, la trigonometría plana comenzó a tener
importancia en agrimensura, aunque Leonardo de Pisa ya había iniciado el método
en su Practica Geometriae (1220).
Los alemanes llevaron a cabo nuevos trabajos en trigonometría a finales del
siglo XV y principios del XVI. Habitualmente, estudiaban en Italia y luego
volvían a sus ciudades de origen. En esa época, Alemania se había hecho
próspera. Alguna de esa riqueza había sido adquirida a través de la Liga
Hanseática del norte de Alemania, que controlaba buena parte del comercio; por
ello algunos comerciantes importantes pudieron apoyar económicamente el trabajo
de muchos de los que mencionaremos más adelante. El trabajo sobre trigonometría
fue motivado por la navegación, el cálculo del calendario y la astronomía, por
la que había crecido el interés con la creación de la teoría heliocéntrica,
sobre la que trataremos más tarde.
George Peurbach (1423-1461), de Viena, comenzó a corregir las traducciones
latinas del Almagesto, que se habían hecho de las versiones
árabes, pero que él propuso hacer del original griego. También comenzó a hacer
tablas trigonométricas más precisas. Sin embargo, Peurbach murió joven, y su
trabajo fue continuado por su discípulo Johannes Müller (1436-1476), conocido
como Regiomontano, quien revitalizó la trigonometría en Europa. Habiendo
estudiado astronomía y trigonometría con Peurbach en Viena, Regiomontano fue a
Roma, estudió griego con el cardenal Bessarion (c. 1400-1472), y reunió los
manuscritos griegos de los eruditos griegos que habían huido de los turcos. En
1471 se estableció en Nüremberg bajo el patronazgo de Bernard Walther.
Regiomontano hizo traducciones de trabajos griegos —las Secciones
Cónicas de Apolonio y partes de Arquímedes y Herón— y fundó su propia
imprenta para imprimirlas.
Siguiendo a Peurbach, adoptó el seno hindú, esto es, la semicuerda del
semiarco, y construyó una tabla de senos basada en un radio de 600.000 unidades
y otra basada en un radio de 10.000.000 de unidades. También calculó una tabla
de tangentes. En la Tabulae Directionum (escrita entre 1464 y
1467), dio tablas de tangentes de cinco cifras y subdivisiones decimales de los
ángulos, un procedimiento muy poco habitual para aquellos tiempos.
Entre los muchos que construyeron tablas en los siglos XV y XVI, puede
mencionarse a George Joachim Rhaeticus (1514-1576), Copérnico, François Vieta
(1540-1603) y Bartolomáus Pitiscus (1561-1613). Una característica de su
trabajo fue la utilización de radios de cada vez mayor número de unidades, de
manera que los valores de las cantidades trigonométricas podían obtenerse en
forma más precisa, sin necesidad de utilizar fracciones o decimales. Por
ejemplo, Rhaeticus calculó una tabla de senos basada en un radio de 1010 unidades
y otra basada en uno de 1015 unidades, y dio valores para cada
10 segundos de arco. Pitiscus en su Thesaurus (1613) corrigió
y publicó la segunda tabla de Rhaeticus. La palabra «trigonometría» es suya.
Más fundamental fue el trabajo sobre la resolución de triángulos planos y
esféricos. Hasta aproximadamente 1450, la trigonometría esférica consistía en
unas reglas sueltas basadas en versiones griegas, hindúes y árabes, la última
de las cuales vino de España. Los trabajos de los árabes orientales Abü’l-Wefá
y Nássir-Eddin no se conocieron en Europa hasta entonces. Regiomontano pudo
aprovechar el trabajo de Nássir-Eddin y, en De Triangulis, escrito
entre 1462 y 1463, reunió en una forma más efectiva el conocimiento disponible
en trigonometría plana, geometría esférica y trigonometría esférica. Obtuvo la
ley de los senos para triángulos esféricos, es decir
y la ley de los cosenos que relaciona los lados, esto es,
cos a = cos b´cos c +
sen b´sen c´cos A.
El De Triangulis no fue publicado hasta 1533;
mientras tanto, Johann Werner (1468-1528) mejoró y publicó las ideas de
Regiomontano en De Triangulis Sphaericis (1514).
Durante muchos años después del trabajo de Regiomontano, la trigonometría
esférica continuó siendo confusa por la necesidad de una multitud de fórmulas,
en parte porque Regiomontano en su De Triangulis, e incluso
Copérnico un siglo después, utilizaron sólo las funciones seno y coseno.
Además, los valores negativos para las funciones coseno y tangente de los
ángulos obtusos no eran considerados números.
Rhaeticus, que era un discípulo de Copérnico, cambio el significado del seno.
En vez de llamar a AB (fig. 12.1) el seno de AD, llamó
a AB el seno del ángulo AOB.
Figura 12.1
Sin embargo, la longitud de AB seguía
expresándose en una cantidad de unidades que dependía de la cantidad de
unidades elegida como longitud del radio. Como consecuencia del cambio de
Rhaeticus, el triángulo OAB se convirtió en la estructura
básica, y la circunferencia de radio O A en algo accesorio.
Rhaeticus utilizó las seis funciones.
Las trigonometrías plana y esférica fueron, más tarde, sistematizadas y
extendidas ligeramente por François Vieta, abogado de profesión, pero valorado
mucho más como el matemático más importante del siglo XVI. Su Canon
Mathematicus (1579) fue el primero de sus muchos trabajos sobre
trigonometría. En él reunió las fórmulas para la resolución de triángulos
planos rectos y oblicuos, e incluyó su propia contribución, la ley de las
tangentes:
Para triángulos esféricos rectos proporcionó el conjunto
completo de fórmulas que se necesitan para calcular cualquier elemento en
términos de otros dos cualesquiera, y la regla para recordar esta colección de
fórmulas, que ahora llamamos la regla de Napier. También aportó la regla de los
cosenos que relaciona los ángulos de un triángulo esférico oblicuo:
cos A = -cos B´cos C +
sen B´sen C´cos a.
Muchas identidades trigonométricas habían sido establecidas por
Ptolomeo; Vieta añadió algunas otras. Por ejemplo, obtuvo la identidad
e identidades para sen nθ y cos nθ en
términos de sen θ y de cos θ. Estas últimas identidades están
contenidas en su Sectiones Angulares, publicación póstuma de
1615[20]. Vieta expresó las identidades y trabajó con ellas en forma
algebraica, aunque la notación no era en absoluto moderna.
Utilizó la fórmula del sen nd para resolver el problema
propuesto por el matemático belga Adrianus Romanus (1561-1615) en su
libro Ideae Mathematicae (1593) como desafío a todos los
franceses. El problema consistía en resolver una ecuación de grado cuarenta y
cinco en x. Enrique IV de Francia llamó a Vieta, quien se dio
cuenta de que el problema equivalía a lo siguiente: dada la cuerda de un arco,
obtener la cuerda de la cuadragésima quinta parte de ese arco. Ello es
equivalente a expresar sen 45 A en términos de sen A y
obtener sen A. Si x = sen A, entonces
la ecuación algebraica es de grado cuarenta y cinco en x. Vieta
sabía que este problema se podía resolver separando la ecuación en una ecuación
de quinto grado y en dos de tercer grado, que podía resolver rápidamente. Dio
las 23 raíces positivas, pero ignoró las negativas. En su Responsum (1595)[21] explicó su método de resolución.
En el siglo XVI, la trigonometría comenzó a separarse de la astronomía y
adquirió el rango de rama de las matemáticas. Siguió siendo importante la
aplicación a la astronomía, pero se desarrollaron otras como, por ejemplo, la
agrimensura, que garantizaron el estudio del tema desde un punto de vista más
independiente.
5. Los principales progresos científicos del Renacimiento
Los matemáticos del Renacimiento prepararon el terreno para el resurgir del
estudio matemático en Europa mediante las traducciones de los trabajos griegos
y árabes y los trabajos enciclopédicos de compilación del conocimiento
existente. Pero las motivaciones y direcciones de las creaciones matemáticas
siguientes de los europeos surgieron principalmente de los problemas
científicos y tecnológicos, aunque hubo algunas excepciones. El crecimiento del
álgebra fue, al menos al comienzo, una continuación de las líneas árabes de
actividad, y algunos de los nuevos trabajos en geometría fueron sugeridos por
problemas propuestos por artistas.
Con mucho, el desarrollo renacentista más significativo en la motivación de las
matemáticas de los dos siglos siguientes fue la revolución en astronomía, que
capitanearon Copérnico y Kepler. Cuando los textos griegos estuvieron
disponibles, después de, aproximadamente, 1200, tanto la teoría astronómica de
Aristóteles (una modificación de la de Eudoxo) como la teoría de Ptolomeo se
difundieron ampliamente y se tendió a considerarlas contrapuestas.
Estrictamente hablando, tanto los árabes como los últimos astrónomos medievales
habían hecho aportaciones para mejorar la precisión de ambos esquemas o para
adaptar el esquema de Aristóteles a la teología cristiana. El esquema de
Ptolomeo, razonamiento preciso para su época, era puramente matemático y
considerado, por tanto, sólo como una hipótesis, y no como una descripción de
estructuras reales. La teoría de Aristóteles era la más generalmente aceptada,
aunque la de Ptolomeo era más útil para las predicciones astronómicas, la
navegación y el cálculo del calendario.
Algunas figuras árabes, del final del Medievo y del Renacimiento, como
al-Biruni (973-1048), Oresme y el cardenal Nicolás de Cusa (1401-1464), quizá
en respuesta a ideas griegas, consideraron seriamente que la Tierra pudiera
estar girando, y que podría ser igualmente posible construir una teoría
astronómica basada en el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, pero
ninguno desarrolló una nueva teoría.
Entre los astrónomos, Nicolás Copérnico apareció de pronto como un coloso. Nacido
en Thorn, Polonia, en 1473, Copérnico estudió matemáticas y ciencia en la
universidad de Cracovia. A la edad de veintitrés años fue a Bolonia para
proseguir sus estudios, y allí se familiarizó con la doctrina pitagórica y
otras doctrinas griegas, en particular con la teoría astronómica. También
estudió medicina y derecho canónico. En 1512 volvió a Polonia y se hizo
canónigo en la Catedral de Frauenberg, donde permaneció hasta su muerte en
1543. Mientras realizaba sus tareas se dedicó a estudios y observaciones
intensivos, que culminaron en una teoría astronómica revolucionaria. Esta
realización en el terreno del pensamiento sobrepasa decisivamente en
significación, valentía y magnificencia a la conquista de los mares.
Es difícil determinar cuál fue la causa de que Copérnico derrocara la teoría de
Ptolomeo, de mil cuatrocientos años de antigüedad. Las indicaciones en el
prefacio de su obra clásica, De Revolutionibus Orbium Coelestium (Sobre
las revoluciones de las esferas celestes, 1543) son incompletas y, en cierta
manera, enigmáticas. Copérnico afirma que estaba motivado por visiones
divergentes sobre la precisión del sistema de Ptolomeo, por la visión de que la
teoría de Ptolomeo era sólo una hipótesis conveniente y por el conflicto entre
los seguidores de las teorías de Aristóteles y de Ptolomeo.
Copérnico conservó algunos principios de la astronomía de Ptolomeo. Utilizó la
circunferencia como la curva básica sobre la cual iba a construirse su
explicación de los movimientos de los cuerpos celestes. Más todavía, como
Ptolomeo, utilizó el hecho de que el movimiento de los planetas debe
construirse mediante una sucesión de movimientos con velocidad constante. Su
razón era que un cambio en la velocidad podía ser motivado sólo por un cambio
en la potencia motora y puesto que Dios, la causa del movimiento, era
constante, el efecto lo tenía que ser también. Asumió el esquema griego del
movimiento epicíclico sobre un deferente. Pero Copérnico rechazó el movimiento
ecuante uniforme utilizado por Ptolomeo porque este movimiento no requiere una
velocidad lineal uniforme.
Utilizando la idea de Aristarco de situar el Sol en lugar de la Tierra en el
centro de cada deferente, Copérnico fue capaz de sustituir los complicados
diagramas que se requerían anteriormente para describir el movimiento de cada
cuerpo celeste por diagramas mucho más simples. En lugar de 77 circunferencias,
necesitó sólo 34 para explicar el movimiento de la Luna y de los seis planetas
conocidos. Más adelante refinó algo este esquema situando al Sol cerca, pero no
exactamente en el centro, del sistema.
La teoría de Copérnico no concordaba mejor con las observaciones que las
modificaciones de entonces de la teoría de Ptolomeo. El mérito de su sistema
fue más bien que hizo que el movimiento de la Tierra alrededor del Sol
explicara las principales irregularidades del movimiento de los planetas sin
utilizar tantos epiciclos. Además, su esquema trataba a todos los planetas de
la misma forma en general, mientras que Ptolomeo había utilizado esquemas algo
diferentes para los planetas interiores, Mercurio y Venus, que para los
exteriores, Marte, Júpiter y Saturno. Por último, el cálculo de las posiciones
de los cuerpos celestes era más sencillo en el esquema de Copérnico, tanto que
incluso en 1542 algunos astrónomos, utilizando su teoría, comenzaron la
preparación de nuevas tablas de las posiciones celestes.
La teoría de Copérnico encontró una oposición tan profunda como llena de
prejuicios. Las discrepancias entre la teoría de Copérnico y las observaciones
hizo que Tycho Brahe (1546-1601) abandonara la teoría y buscara un compromiso.
Vieta, por la misma razón, la rechazó también y volvió a intentar mejorar la
teoría de Ptolomeo. La mayor parte de los intelectuales rechazaron la teoría,
bien porque no llegaron a entenderla o porque no apoyaban ideas
revolucionarias. Las matemáticas de la misma eran ciertamente difíciles de
entender; como dice el mismo Copérnico en el prefacio, el libro estaba dirigido
a matemáticos. La observación de una nueva estrella por Brahe y astrónomos
alemanes en 1572 ayudó algo a la teoría. La súbita aparición y desaparición de
estrellas contradecía el dogma aristotélico y escolástico de la invariabilidad
de los cielos.
El destino de la teoría heliocéntrica hubiera sido muy incierto si no es por el
trabajo de Johannes Kepler (1571-1630). Nació en Weil, una ciudad en el ducado
de Württemberg. Su padre era un borrachín que pasaba de ser un mercenario a
atender una taberna. Se le sacó pronto de la escuela y fue enviado a trabajar
al campo. Cuando era todavía un niño, contrajo la viruela, que le dejó las
manos lisiadas y la vista deteriorada. Sin embargo, se las arregló para obtener
un grado universitario en el Colegio de Maulbronn en 1588; a continuación,
dirigido hacia el ministerio religioso, estudió en la Universidad de Tubinga.
Allí, un cordial profesor de matemáticas y de astronomía, Michael Mástlin
(Móstlin, 1550-1631) le enseñó privadamente la teoría de Copérnico. Los
superiores de Kepler en la universidad consideraron su dedicación y, en 1594,
le ofrecieron un puesto de profesor de matemáticas y moral en la Universidad de
Gratz, en Austria, que Kepler aceptó. Para realizar sus tareas se le exigió
saber astrología; ello le volcó todavía más hacia la astronomía.
Kepler fue expulsado de Gratz cuando la ciudad pasó bajo control católico, y se
convirtió en ayudante de Tycho Brahe en el observatorio de este último en
Praga. Cuando murió, Kepler fue contratado en su lugar. Parte de su trabajo era
elaborar horóscopos para quien le había contratado, el emperador Rodolfo II.
Kepler se consolaba a sí mismo pensando que la astrología permitía vivir a los
astrónomos.
Durante toda su vida Kepler estuvo acosado por todo tipo de dificultades. Su
primera mujer y varios de sus hijos murieron. Como protestante, sufrió de
diversas formas persecución por parte de los católicos. Estuvo con frecuencia
en una situación económica desesperada. Su madre fue acusada de brujería y
Kepler tuvo que defenderla. Sin embargo, a lo largo de todas estas desgracias
continuó su trabajo científico con perseverancia, laboriosidad extraordinaria e
imaginación fértil.
En su enfoque de los problemas científicos, Kepler es una figura de transición.
Como Copérnico y los pensadores medievales, estaba atraído por una teoría bella
y racional. Aceptó la doctrina platónica de que el universo está ordenado de
acuerdo con un plan matemático preestablecido. Pero, a diferencia de sus
predecesores, tenía un gran respeto por los hechos. Su trabajo más maduro
estuvo basado enteramente en hechos, y en él avanzó desde los hechos a las
leyes. En la búsqueda de leyes mostró una gran inventiva en las hipótesis, un
amor por la verdad y una viva fantasía que no obstruía la razón. Aunque imaginó
un gran número de hipótesis, no dudó en rechazarlas cuando no se adaptaban a
los hechos.
Motivado por la belleza y armonía del sistema de Copérnico, decidió dedicarse a
la búsqueda de las armonías geométricas adicionales que pudieran permitir
explicar las observaciones mucho más precisas que había proporcionado Tycho Brahe.
Su búsqueda de las relaciones matemáticas de cuya existencia estaba convencido
le condujo a emplear años de trabajo siguiendo caminos falsos. En el prefacio
de su Mysterium Cosmographicum (1596), dice: «Intento
demostrar que Dios, al crear el universo y regular el orden del cosmos, tenía
en su mente los cinco cuerpos regulares de la geometría tal como se conocen
desde los tiempos de Pitágoras y Platón, y que fijó, de acuerdo con aquellas
dimensiones, el número de cielos, sus proporciones y las relaciones de sus
movimientos.»
Y así postuló que los radios de las órbitas de los seis planetas eran los
radios de las esferas relacionadas con los cinco sólidos regulares de la
siguiente manera. El radio más grande era el de la órbita de Saturno. En una
esfera de este radio suponía inscrito un cubo. En este cubo se inscribía una
esfera cuyo radio sería el de la órbita de Júpiter. En esta esfera suponía
inscrito un tetraedro y en éste, a su vez, otra esfera, cuyo radio era el de la
órbita de Marte, y así sucesivamente con los cinco sólidos regulares. Ello
permitía seis esferas, justo lo suficiente para el número de planetas conocidos
entonces. Sin embargo, las deducciones que se obtenían de esta hipótesis no
estaban de acuerdo con las observaciones y abandonó la idea, pero no antes de
que hubiera hecho extraordinarios esfuerzos para aplicarla, incluso en formas
modificadas.
Aunque el intento de utilizar los cinco sólidos regulares para descubrir los
secretos de la naturaleza no tuvo éxito, Kepler obtuvo un completo triunfo en
sus esfuerzos posteriores para encontrar relaciones matemáticas armoniosas. Sus
resultados más famosos e importantes se conocen hoy como las tres leyes de
Kepler del movimiento planetario. Las dos primeras fueron publicadas en un
libro de 1609 con un título muy largo que a veces se reduce a Astronomía
Nova y a veces a Comentarios sobre el movimiento de Marte.
La primera ley establece que la trayectoria de cada planeta no es la resultante
de la combinación de circunferencias que se mueven, sino que es una elipse con
el Sol en uno de sus focos (fig. 12.2). La segunda ley de Kepler se entiende
mejor mediante un diagrama (fig. 12.3). Los griegos, según vimos, creían que el
movimiento de un planeta debe explicarse en términos de velocidades lineales
constantes. Kepler, como Copérnico, se aferró al principio a la doctrina de las
velocidades constantes. Pero sus observaciones le impulsaron a abandonar
también esta preciada creencia. Su alegría fue grande cuando fue capaz de
sustituirla por algo igualmente atractivo, porque así se confirmaba su
convicción de que la naturaleza sigue leyes matemáticas. Si MM' y NN' son
distancias recorridas por un planeta en intervalos iguales de tiempo, entonces,
de acuerdo con el principio de velocidad constante, MM' y NN' tendrían
que ser distancias iguales.
Figura 12.2
Sin embargo, de acuerdo con la segunda ley de Kepler, MM' y NN' no
son iguales en general, pero las áreas SMM' y SNN' son iguales.
Por tanto Kepler sustituyó distancias iguales por áreas iguales. Arrancar tal
secreto a los planetas era un triunfo, porque la relación mencionada no se
deduce en absoluto tan fácilmente como puede parecer una vez que se describe en
un papel.
Figura 12.3
Kepler realizó esfuerzos todavía más extraordinarios para
obtener la tercera ley del movimiento. Esta ley dice que el cuadrado del
período de revolución de cualquier planeta es igual al cubo de su distancia
media del Sol, con tal que se tomen como unidades de tiempo y de distancia[22] el período de revolución de la Tierra y su distancia al
Sol. Kepler publicó este resultado en La armonía del mundo (1619).
El trabajo de Kepler es bastante más revolucionario que el de Copérnico;
igualmente desafiante al adoptar el heliocentrismo, Kepler rompió radicalmente
con la autoridad y la tradición al utilizar la elipse (oponiéndose a la
composición de movimientos circulares) y velocidades no uniformes. Se mantuvo
firmemente en la posición de que las investigaciones científicas son
independientes de todas las doctrinas filosóficas y teológicas, que sólo las
consideraciones matemáticas deben determinar la validez de cualquier hipótesis
y que las hipótesis y las deducciones que se obtengan de ellas deben de
resistir la confirmación empírica.
El trabajo de Copérnico y Kepler es notable en muchos aspectos, pero vamos a
limitarnos a su importancia en la historia de las matemáticas. En vista de los
muchos y serios argumentos en contra de la teoría heliocéntrica, su trabajo
demostró cuán fuertemente había arraigado en Europa el punto de vista griego de
que las verdades de la naturaleza reposan en leyes matemáticas.
Había objeciones científicas de peso, muchas de las cuales habían sido ya
avanzadas por Ptolomeo, en contra de la sugerencia de Aristarco. ¿Cómo podía un
cuerpo tan pesado como la Tierra ser puesto y mantenido en movimiento? Los
otros planetas estaban en movimiento, incluso de acuerdo con la teoría de
Ptolomeo, pero los griegos y pensadores medievales habían mantenido que éstos
estaban compuestos de alguna sustancia ligera especial. Había otras objeciones.
¿Por qué, si la Tierra gira de Oeste a Este, al tirar un objeto al aire éste no
cae al oeste de su posición original? ¿Por qué la Tierra no se deshace en su
rotación? La respuesta, muy endeble, de Copérnico a la última objeción fue que
la esfera es una forma natural y que se mueve naturalmente, y que por tanto la
Tierra no se destruiría a sí misma. Se le preguntó también por qué los objetos
que están sobre la Tierra, incluso el mismo aire, permanecen en ella si ésta
gira aproximadamente a 3/10 de milla por segundo y se traslada alrededor del
Sol a una velocidad aproximada de 18 millas por segundo. Si, como creían
Ptolomeo y Copérnico, la velocidad de un cuerpo en movimiento natural es
proporcional a* su peso, la Tierra debía dejar detrás de sí objetos de peso
menor. Copérnico replicó que el aire tenía «tendencia a la Tierra» y que, por
lo tanto, permanecería con ella.
Todavía había objeciones científicas adicionales por parte de los astrónomos.
Si la Tierra se movía, ¿por qué no cambiaba la dirección de las estrellas
«fijas»? Un ángulo de paralaje de 2' requería que la distancia de las estrellas
fuera al menos cuatro millones de veces el radio de la Tierra; tal distancia
era inconcebible en esa época. Al no detectar ningún paralaje de las estrellas
(lo que implicaba que tenían que estar incluso más lejos), Copérnico declaró
que «los cielos son inmensos comparados con la Tierra y parecen ser de tamaño
infinito... Los límites del universo son desconocidos e imposibles de conocer».
Entonces, dándose cuenta de lo inadecuado de su respuesta, propuso el problema
a los filósofos y se evadió de él. Nadie midió este paralaje hasta que en 1838
el matemático Bessel midió el correspondiente a una de las estrellas más
próximas, y obtuvo que era de 0,31".
Si Copérnico y Kepler hubieran sido hombres «sensibles», no hubieran desafiado
nunca a sus sentidos. No sentimos ni la rotación ni la revolución de la Tierra,
a pesar de las grandes velocidades a que se realizan. Por otra parte, lo que sí
vemos es el movimiento del Sol.
Copérnico y Kepler eran muy religiosos; sin embargo, ambos negaban una de las
doctrinas centrales del cristianismo, cual es que el hombre, la principal
preocupación de Dios, estaba en el centro del universo, y que todo en el
universo giraba en torno de él. En contraste, la teoría heliocéntrica, al poner
al Sol en el centro del universo, minaba este reconfortante dogma de la
Iglesia, porque hacía aparecer al hombre como sólo uno de una multitud de
peregrinos a la deriva a través de un frío firmamento. Parecía menos probable
que hubiera nacido para vivir gloriosamente y alcanzar el paraíso después de su
muerte. Menos probable, también, era que fuera objeto de los cuidados de Dios.
Por tanto, al desplazar la Tierra, Copérnico y Kepler removieron una piedra
angular de la teología católica y pusieron en peligro su estructura. Copérnico
señaló que el universo es tan inmenso comparado con la Tierra que hablar de un
centro no tiene sentido. Sin embargo, este razonamiento le colocó todavía más
en oposición con la religión.
En contra de todas estas objeciones, Copérnico y Kepler tenían sólo una
respuesta, pero de peso. Cada uno había obtenido una simplificación matemática
y, en verdad, una teoría estéticamente superior y abrumadoramente armoniosa. Si
las relaciones matemáticas eran el objetivo del trabajo científico, y si podía
darse una descripción matemática mejor, entonces este hecho, reforzado con la
creencia de que Dios había diseñado el mundo y habría utilizado, como es
lógico, la teoría superior, bastaría para contrapesar todas las objeciones.
Cada uno de ellos sintió, y estableció con claridad, que su trabajo revelaba la
armonía, simetría y designio del taller divino y la todopoderosa presencia de
Dios. Copérnico no podía contener su júbilo: «Obtenemos, por tanto, bajo esta
disposición ordenada, una maravillosa simetría en el universo y una relación
definida de armonía en el movimiento y magnitud del orbe, de una clase que no
es posible obtener de otra manera.» El mismo título del trabajo de Kepler de
1619, La armonía del mundo, y las interminables alabanzas a
Dios, expresando su satisfacción por la magnificencia del plan matemático de
Dios, atestiguan sobre sus creencias.
No es sorprendente que, al principio, sólo matemáticos apoyaran la teoría
heliocéntrica. Sólo un matemático, y uno convencido de que el universo estaba
trazado matemáticamente, habría tenido la fortaleza mental para desdeñar las
creencias filosóficas, religiosas y físicas que prevalecían entonces. Hasta que
Galileo enfocó su telescopio hacia el firmamento, la evidencia astronómica no
apoyó al razonamiento matemático. Las observaciones de Galileo, realizadas a
principios del siglo XVII, revelaron cuatro lunas alrededor de Júpiter,
mostrando que los planetas podían tener lunas. Se deducía, por tanto, que la
Tierra podía no ser más que un planeta, precisamente porque tenía una luna.
Galileo también observó que la Luna tenía una superficie rugosa y montañas y
valles como la Tierra. En consecuencia, era también posible que la Tierra fuera
sólo un cuerpo celeste más, y no necesariamente el centro del universo.
La teoría heliocéntrica ganó aceptación finalmente porque era más simple para
los cálculos, por su superioridad matemática y porque la apoyaban las
observaciones. Esto significó que la ciencia del movimiento tenía que rehacerse
a la luz de una Tierra con movimiento de rotación y de revolución. En resumen,
se necesitaba una nueva ciencia de la mecánica.
Las investigaciones sobre la luz y la óptica continuaron en una línea sin
fisuras con respecto a lo que ya hemos señalado sobre el período medieval. En
el siglo XVI los astrónomos se interesaron más por estos temas porque el efecto
de refracción del aire sobre la luz cambia la dirección de los rayos de luz
cuando éstos vienen de los planetas y de las estrellas y, por tanto,
proporcionan una información equivocada sobre las direcciones de esos cuerpos.
Hacia el final del siglo XVI fueron inventados el telescopio y el microscopio.
Los usos científicos de esos instrumentos son obvios; abrieron nuevos mundos, y
el interés por la óptica, ya extenso, se intensificó todavía más. Casi todos
los matemáticos del siglo XVII realizaron trabajos sobre la luz y las lentes.
6. Notas sobre el Renacimiento
El Renacimiento no produjo ningún nuevo resultado brillante en matemáticas. Los
pequeños progresos en esta área contrastan con las realizaciones en literatura,
pintura y arquitectura, en las que fueron creadas obras maestras que todavía
forman parte de nuestra cultura, y en la ciencia, en la que la teoría
heliocéntrica eclipsó lo mejor de la astronomía griega y empequeñeció cualquier
contribución árabe o medieval. Para las matemáticas este período fue, sobre
todo, de absorción de los trabajos griegos. No fue tanto un renacimiento como
una recuperación de una cultura más antigua.
Igualmente importante para la salud y crecimiento de las matemáticas fue que
restableció, una vez más, como en los tiempos de Alejandría, sus conexiones
íntimas con la ciencia y la tecnología. En la ciencia, el darse cuenta de que
el objetivo eran las leyes matemáticas, el serlo todo y el fin de todo y, en
tecnología, la valoración de que la formulación matemática de los resultados de
las investigaciones era la más profunda y útil forma de conocimiento y la guía
más segura para el diseño y la construcción, garantizaron el que las
matemáticas fueran a ser una fuerza importante en los tiempos modernos y
sentaron la promesa de nuevos desarrollos.
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Capítulo 13
La aritmética y el álgebra en los siglos XVI y VI
El álgebra es el instrumento intelectual que aclara los aspectos
cuantitativos del mundo.
Alfred North Whitehead
Contenido:
1. Introducción
2. La situación del sistema numérico y la aritmética
3. El simbolismo
4. La solución de las ecuaciones de tercer y cuarto grados
5. La teoría de ecuaciones
6. El teorema binomial y cuestiones afines
7. La teoría de números
8. La relación entre el álgebra y la geometría
Bibliografía
1. Introducción
Los primeros desarrollos matemáticos europeos de importancia tuvieron lugar en
la aritmética y el álgebra. El trabajo de hindúes y árabes había puesto los
cálculos aritméticos prácticos en primera línea matemática y había fundado el
álgebra sobre una base aritmética en vez de geométrica. Este trabajo atrajo
también la atención sobre el problema de la resolución de ecuaciones.
En la primera mitad del siglo XVI apenas hubo cambio alguno con respecto a la
actitud de espíritu de los árabes, sino solamente un incremento en el tipo de
actividad que los europeos habían aprendido de las obras árabes. Para mediados
de siglo, las necesidades prácticas y científicas de la civilización europea
exigían ya más avances en aritmética y álgebra. Las aplicaciones tecnológicas
del trabajo científico y las necesidades prácticas requerían, como ya hemos
apuntado, resultados cuantitativos. Por ejemplo, las lejanas exploraciones
geográficas precisaban un conocimiento astronómico más exacto. Al mismo tiempo,
el interés en conectar la nueva teoría astronómica con las cada vez más
precisas observaciones exigía mejores tablas astronómicas, lo que, a su vez,
significaba disponer de tablas trigonométricas más precisas. El desarrollo de
la actividad bancaria y comercial pedía una mejor aritmética. La respuesta a
estos intereses es evidente en los escritos de Pacioli, Tartaglia y Stevin,
entre otros. La Summade Pacioli y el General trattato de’
numeri e misure (1556) de Tartaglia contienen un número inmenso de
problemas de aritmética mercantil. Finalmente, el trabajo técnico de los
artesanos, especialmente en arquitectura, la fabricación de cañones y el
movimiento de proyectiles necesitaban un nuevo pensamiento cuantitativo. Además
de estas aplicaciones, una utilización totalmente nueva del álgebra, la
representación de curvas, motivó enormes cantidades de trabajo. Bajo la presión
de estas necesidades se aceleró el progreso en álgebra.
Vamos a dividir el análisis de todos estos nuevos desarrollos en cuatro
epígrafes: aritmética, simbolismo, teoría de ecuaciones y teoría de números.
2. La situación del sistema numérico y la aritmética
Hacia el año 1500 se aceptaba el cero como un número y los números irracionales
se usaban con más libertad. Pacioli, el matemático alemán Michael Stifel
(1486?-1567), el ingeniero militar Simón Stevin (1548-1620) y Cardano
utilizaban números irracionales en la tradición de hindúes y árabes,
introduciendo cada vez más tipos. Stifel, por ejemplo, trabajaba con
irracionales de la forma
y Cardano racionalizaba fracciones con raíces cúbicas. La medida
en que se llegaron a utilizar los números irracionales viene ejemplificada por
la expresión de Vieta para π:
Aunque los cálculos con números irracionales se efectuaban con
libertad, el problema de si tales expresiones eran realmente números era aún
fuente de inquietud. En su obra principal, la Arithmetica Integra (1544),
que trata de aritmética, de los irracionales del libro X de Euclides y de
álgebra, Stifel considera la expresabilidad de los irracionales en notación
decimal. Por una parte, argumenta:
Dado que, al analizar figuras geométricas, cuando nos fallan los
números racionales toman su lugar los irracionales y prueban exactamente las
cosas que los números racionales no pudieron probar... nos vemos movidos y
obligados a afirmar que son verdaderamente números; obligados, esto es, por los
resultados que se siguen de su uso, resultados que percibimos como reales,
ciertos y constantes. Por otra parte, otras consideraciones nos obligan a negar
que los números irracionales sean números en absoluto. Esto es, cuando tratamos
de someterlos a numeración [representación decimal]... hallamos que se escapan
continuamente, de forma que ninguno de ellos puede ser aprehendido precisamente
en sí mismo... Y nada de tal naturaleza carente de precisión puede llamarse
número... Por consiguiente, de la misma forma que un número infinito no es un
número, un número irracional no es un número verdadero, sino que yace oculto en
una especie de nube de infinitud.
A continuación, argumenta que los números son enteros o
fraccionarios; obviamente, los irracionales no son ni una cosa ni otra, luego
no son realmente números. Un siglo después, Pascal y Barrow decían que un
número como √3 sólo puede entenderse como una magnitud geométrica; los números
irracionales son meros símbolos que no tienen existencia independiente de- la
magnitud geométrica continua, y la lógica de las operaciones con números
irracionales debe justificarse por el método eudoxiano de las magnitudes. Este
era también el punto de vista de Newton en su Arithmetica
Universalis (publicada en 1707, aunque basada en clases dadas treinta
años antes).
Otros hicieron afirmaciones positivas de que los números irracionales eran
entidades independientes. Stevin consideraba los irracionales como números, y
los aproximaba cada vez más por racionales; John Wallis, en su Algebra (1685),
también aceptaba los irracionales como números en su pleno sentido. Consideraba
el libro V de los Elementos de Euclides como de naturaleza
esencialmente aritmética. También Descartes, en las Reglas para la
dirección del espíritu (hacia 1628), admitía los irracionales como
números abstractos que pueden representar magnitudes continuas.
En cuanto a los números negativos, aunque conocidos en Europa a través de los
textos árabes, no eran aceptados como números por la mayoría de los matemáticos
de los siglos XVI y XVII, o, si lo eran, nunca como raíces de ecuaciones.
Nicolás Chuquet (1445?-1500?) en el siglo XV y Stifel (1553) en el XVI hablaban
de los números negativos como absurdos. Cardano daba números negativos como
raíces de ecuaciones, pero los consideraba soluciones imposibles, meros
símbolos, llamándolos «ficticios», mientras que a las raíces positivas las
llamaba «reales». Vieta descartaba enteramente los números negativos. Descartes
los aceptaba en parte: llamaba «falsas» a las raíces negativas de las
ecuaciones, con el argumento de que pretendían representar números menores que
la nada. Había, sin embargo, mostrado (ver la sección 5) que, dada una
ecuación, es posible obtener otra cuyas raíces son mayores en una cantidad dada
que las de la original, de forma que una ecuación con raíces negativas puede
transformarse en otra con raíces positivas. Dado que podemos convertir raíces
falsas en raíces reales, Descartes estaba dispuesto a aceptar los números
negativos. Pascal consideraba sustraer 4 de 0 completamente absurdo.
Un interesante argumento en contra de los números negativos lo dio Antoine
Arnauld (1612-94), teólogo y matemático, y buen amigo de Pascal. Arnauld
cuestionaba que -1 : 1 = 1 : - 1, ya que, según decía, -1 es menor que +1, y,
por tanto, ¿cómo iba a ser un menor a un mayor como un mayor a un menor? Este
problema fue discutido por muchos. En 1712, Leibniz concedía[25] que la objeción era válida, pero argumentaba que es
posible calcular con tales proporciones pues su forma es correcta, de la misma
forma que es posible calcular con cantidades imaginarias.
Uno de los primeros algebristas que aceptó los números negativos fue Thomas
Harriot (1560-1621), que de vez en cuando ponía un número negativo sólo como
segundo miembro de una ecuación, aunque no aceptaba raíces negativas. Rafael
Bombelli (siglo XVI) dio definiciones claras para los números negativos. Stevin
utilizaba coeficientes positivos y negativos en las ecuaciones, y aceptaba
también raíces negativas. En su L'Invention nouvelle en l'algebre (1629),
Albert Girard (1595-1632) colocaba los números negativos en paridad con los
positivos, y daba las dos raíces de la ecuación de segundo grado, incluso si
ambas eran negativas. Tanto Girard como Harriot usaban el signo «menos» para la
operación de sustracción y para los números negativos.
En términos globales, no muchos matemáticos de los siglos XVI y XVII se sentían
a gusto o aceptaban los números negativos como tales, por no hablar de
reconocerlos como verdaderas raíces de las ecuaciones. Había ciertas creencias
curiosas acerca de ellos. Aunque Wallis se adelantó a su tiempo aceptándolos,
creía que eran mayores que infinito, pero no menores que cero. En su Arithmetica
Infinitorum (1655), razonaba que, dado que la razón a/0,
con a positivo, es infinita, al cambiar el denominador por una
cantidad negativa, como en a/b con bnegativo,
la razón debe ser mayor que infinito.
Aun sin haber vencido completamente sus dificultades con los números
irracionales y negativos, los europeos se buscaron más problemas al toparse con
lo que hoy llamamos números complejos. Obtuvieron dichos números extendiendo la
operación aritmética de la raíz cuadrada a números cualesquiera que apareciesen
al resolver ecuaciones de segundo grado por el método usual de completar el
cuadrado. Así, Cardano, en el capítulo 37 de su Ars Magna (1545),
plantea y resuelve el problema de dividir 10 en dos partes cuyo producto sea
40, cuya ecuación es x(10 — x) = 40. Obtiene las raíces 5 +
√-15 y 5 - √-15, y luego dice: «dejando a un lado las torturas mentales que
ello implica», multipliquemos 5 + √-15 y 5 - √-15; el producto es 25 - (-15),
es decir, 40. Afirma entonces que «así progresa la sutileza aritmética, cuyo
fin es, como se ha dicho, tan refinado como inútil». Como pronto veremos,
Cardano se vio aún más comprometido con los números complejos al resolver la
ecuación de tercer grado (sección 4). También Bombelli consideraba números
complejos en la solución de ecuaciones de tercer grado y formuló en forma
prácticamente moderna las cuatro operaciones con números complejos, aunque
todavía los consideraba como inútiles y «sofísticos». Albert Girard sí
reconocía los números complejos, al menos como soluciones formales de
ecuaciones. En L'Invention nouvelle en l’algebre,dice: «Se puede
decir: ¿Por qué son útiles esas soluciones imposibles [raíces complejas]? A lo
que yo respondo: por tres cosas: por la certeza de las reglas generales, por su
utilidad, y porque no hay otras soluciones.» Sin embargo, los avanzados puntos
de vista de Girard no tuvieron influencia.
También Descartes rechazó las raíces complejas, acuñando para ellas el término
«imaginarias». En La Géometrie dice: «Ni las raíces verdaderas
ni las falsas [negativas] son siempre reales; a veces son imaginarias.»
Razonaba que, mientras que las raíces negativas al menos pueden hacerse
«reales» transformando la ecuación en la que aparecen en otras cuyas raíces
sean positivas, esto no puede hacerse para las raíces complejas. Estas, por
tanto, no son reales sino imaginarias; no son números. Descartes hacía una
distinción más clara que sus predecesores entre raíces reales e imaginarias de
las ecuaciones.
El propio Newton no consideraba las raíces complejas como significativas,
probablemente porque en su tiempo carecían de sentido físico. Dice en Universal
Arithmetic[26]: «Es de razón que las raíces de las ecuaciones sean imposibles
[complejas], no vaya a ser que presenten casos de problemas que son imposibles
como si fuesen posibles.» Es decir, los problemas que no tienen solución física
o geométricamente real deberían tener raíces complejas.
Esta falta de claridad acerca de los números complejos puede ilustrarse por el
muy citado aserto de Leibniz: «El Espíritu Divino halló una sublime expresión
en esa maravilla del análisis, ese portento del mundo ideal, ese anfibio entre
el ser y el no ser que llamamos la raíz imaginaria de la unidad negativa»[27]. Aunque Leibniz trabajaba formalmente con números complejos, no
entendía su naturaleza.
Durante los siglos XVI y XVII, los métodos operativos con números reales fueron
mejorados y extendidos. En Bélgica (a la sazón parte de los Países Bajos)
encontramos a Stevin en La Disme (Aritmética Decimal, 1585)
abogando por el uso de los decimales, en oposición al sistema sexagesimal, para
escribir y operar con fracciones. Otros, como Christoff Rudolff (c. 1550-c.
1545), Vieta y el árabe al-Kashí (m. hacia 1436), los habían utilizado
previamente. Stevin recomendaba la adopción de un sistema decimal de pesos y
medidas, en la idea de ahorrar tiempo y trabajo a los contables (él mismo había
comenzado su carrera como escribiente). Escribía 5,912 como 5 i9 j1 k2 o como 5,
9' 1" 2'". Vieta mejoró y extendió los métodos de
extracción de raíces cuadradas y cúbicas.
El uso de las fracciones continuas en la aritmética constituye otro de los
desarrollos de este período. Recordemos que los hindúes, en particular
Aryabhata, habían utilizado fracciones continuas para resolver ecuaciones
lineales indeterminadas. Bombelli, en su Algebra (1572), fue
el primero en usarlas para aproximar raíces cuadradas. Para aproximar √2
escribe
obteniendo de aquí
Sumando 1 a ambos miembros de (1) y usando (2) se tiene
Por tanto, de nuevo por (1) y (3)
Y, como y está dado por (3)
Por sustitución repetida del valor de y, Bombelli
obtiene
El segundo miembro se escribe también de la forma
Esta fracción continua es simple porque todos los numeradores
son 1, y es periódica porque los denominadores se repiten. Bombelli dio otros
ejemplos de cómo obtener fracciones continuas, pero no consideró la cuestión de
si los desarrollos convergían hacia los números que se suponía representaban.
El matemático inglés John Wallis, en su Arithmetica Infinitorum (1655),
representa 4/π como el producto infinito
En este libro afirma igualmente que Lord William Brouncker
(1620-84), primer presidente de la Real Sociedad (Royal Society), había
transformado este producto en la fracción continua
Brouncker no volvió a utilizar esta forma, pero Wallis prosiguió
el trabajo. En su Opera Mathematica, I (1695), en la que
introdujo el término «fracción continua», dio la regla general para calcular
las convergentes de una fracción continua. Si pn/qn es
la convergente n-sima de la fracción continua
En esta época no se obtuvo ningún resultado definitivo con respecto a la
convergencia de pn/qn hacia el
número representado por la fracción continua.
El mayor avance en la aritmética durante los siglos XVI y XVII fue la invención
de los logaritmos. La idea básica fue indicada por Stifel. En Arithmetica
Integra, observó que los términos de la progresión geométrica
1, r2, r3,...
se corresponden como los términos de la progresión aritmética de
los exponentes
0, 1, 2, 3,...
La multiplicación de dos términos de la progresión geométrica da
como resultado un término cuyo exponente es la suma de los correspondientes
términos de la progresión aritmética, y la división de dos términos de la
progresión geométrica da un término cuyo exponente es la diferencia de los
correspondientes términos de la progresión aritmética. Esta observación la hace
también Chuquet en Le Triparty en la Science des nombres (1484).
Stifel extendió esta relación entre las dos progresiones a los exponentes negativos
y fraccionarios. Así, la división de r2por r3 da r-1,
que corresponde al término -1 en la progresión aritmética extendida. Stifel,
sin embargo, no utilizó esta conexión entre ambas progresiones para introducir
los logaritmos.
John Napier (1550-1617), el escocés que desarrolló los logaritmos hacia 1594,
fue guiado por esta correspondencia entre los términos de una progresión
geométrica y los de la progresión aritmética correspondiente. A Napier le
interesaba facilitar los cálculos de trigonometría esférica que precisaban los
problemas astronómicos. De hecho, envió sus resultados preliminares a Tycho
Brahe para su aprobación.
Napier explicó sus ideas en Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1614)
y en Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (1619),
publicada póstumamente. Como le interesaba la trigonometría esférica, consideró
los logaritmos de senos. Siguiendo a Regiomontano, que utilizaba semicuerdas de
un círculo cuyo radio contenía 107 unidades, Napier empezó con
107 como el mayor número considerado. Representó los valores
del seno de 107 a 0 sobre la línea AZ (ver
fig. 13.1) y supuso que A se mueve hacia 2 con velocidad
proporcional a su distancia de 2.
Figura 13.1
En sentido estricto, la velocidad del punto móvil varía
continuamente con la distancia desde A, y su correcta expresión
precisa del cálculo. Sin embargo, si consideramos un pequeño intervalo de
tiempo t y hacemos que las longitudes AB, BC, CD,...
sean recorridas en ese intervalo, y suponemos que la velocidad durante el
intervalo t es constante e igual a la del punto móvil al
principio del intervalo, entonces las longitudes AZ, BZ, CZ,...
están en progresión geométrica. En efecto, consideremos DZ, y
sea k la constante de proporcionalidad que relaciona la
velocidad y la distancia de Z del punto móvil. Se tiene
DZ= CZ - CD.
Además, la velocidad del punto móvil en C es k(CZ). Entonces,
la distancia CD es igual a k(CZ)t. Por
tanto,
DZ= CZ - k(CZ)t = CZ(
1 - kt).
Así pues, cada longitud de la sucesión AZ, BZ, CZ,...
es 1 - kt multiplicado por la distancia anterior.
A continuación, Napier considera otro punto que parte al mismo tiempo que A y
se mueve a velocidad constante en la recta A’L (fig.
13.1), extendida indefinidamente hacia la derecha, de forma que este punto
alcanza B', C', D'... al mismo tiempo que el primer punto
llega a B, C, D... respectivamente. Las distancias A'B',
A'O, A'D',... están obviamente en progresión aritmética. Estas
distancias A'B', A'C', A'D',... fueron consideradas por Napier como
los logaritmos de BZ, CZ, DZ,... respectivamente. El logaritmo
de AZ ó 107 se tomaba como 0. Por tanto, los
logaritmos crecen en progresión aritmética, mientras que los números (senos)
decrecen en progresión geométrica.
La cantidad aquí denotada como 1 - kt es 1 - 1/107 en
la obra original de Napier, pero la cambió al llevar a cabo el cálculo de los
logaritmos.
Obsérvese que cuanto menor tomemos t menor será el
decrecimiento de los senos desde AZ hasta BZ, CZ, etc.,
y más próximos entre sí estarán los números de la tabla de logaritmos.
Napier tomó las distancias A’B', A'C' como 1, 2, 3,... aunque
no había necesidad de hacerlo. Podrían haber sido 1/2, 1, 1 1/2, 2,... y el
esquema habría funcionado exactamente igual. Además, los números originales
eran significativos en cuanto que eran cantidades, con independencia de que
fuesen senos, de forma que el esquema de Napier proporcionaba realmente
logaritmos de números. El propio Napier aplicó los logaritmos a cálculos de
trigonometría esférica.
La palabra «logaritmo», acuñada por Napier, significa «número de la razón».
«Razón» se refiere a la razón común de la sucesión de números AZ, BZ,
CZ,...También se refería a los logaritmos como «números artificiales».
Henry Briggs (1561-1631), profesor de matemáticas y astronomía, sugirió a
Napier en 1615 que se utilizase 10 como base, y que el logaritmo de un número
fuese el exponente en la potencia de 10 que igualase dicho número. Aquí, en
oposición al esquema de Napier, se elige primero la base. Briggs calculó sus
logaritmos tomando raíces cuadradas sucesivas de 10, es decir, √10, √(√10),
..., hasta alcanzar, tras 54 extracciones de raíces, un número ligeramente
mayor que 1. Es decir, obtuvo el número
Tomó entonces log10A como (1/2)54.
Usando el hecho de que el logaritmo de un producto de números es la suma de sus
logaritmos, construyó una tabla de logaritmos de números muy próximos entre sí.
Las tablas de logaritmos comunes actualmente en uso se derivan de las de
Briggs.
Joost Bürgi (1552-1632), relojero e instrumentista suizo y ayudante de Kepler
en Praga, se interesaba también en facilitar los cálculos astronómicos. Inventó
los logaritmos, independientemente de Napier, hacia 1600, pero no publicó su trabajo, Progress
Tabulen, hasta 1620. También Bürgi fue estimulado por las
observaciones de Stifel de que la multiplicación y división de términos en una
progresión geométrica puede llevarse a cabo sumando y restando los exponentes.
Su obra aritmética fue similar a la de Napier.
Gradualmente fueron introduciéndose variantes de la idea de Napier. Se
obtuvieron muchas y distintas tablas de logaritmos por medios algebraicos. El
cálculo de logaritmos mediante series infinitas lo llevaron a cabo más tarde
James Gregory, Lord Brouncker, Nicholas Mercator (n. Kaufman, 1620-87), Wallis
y Edmond Halley (ver cap. 20, sec. 2).
Aunque la definición de los logaritmos como los exponentes de las potencias que
representan un número en una base fija, según la idea de Briggs, se convirtió
en el método usual, no se llegaron a definir como exponentes al comienzo del
siglo XVII porque los exponentes fraccionarios e irracionales no se utilizaban.
Hacia fin de siglo, una serie de matemáticos cayeron en la cuenta de que los
logaritmos podían definirse de esa manera, pero la primera exposición
sistemática de este enfoque no tuvo lugar hasta 1742, cuando William Jones
(1675-1749) lo presentó en la introducción de la Table of Logarithms de
William Gardiner. Euler había definido ya los logaritmos como exponentes, y en
1728, en un manuscrito no publicado (Opera Posthuma, II,
800-804), introdujo el número e como base de los logaritmos
naturales.
El siguiente desarrollo en la aritmética (cuya realización ulterior ha
resultado decisiva en tiempos recientes) fue la invención de instrumentos
mecánicos y máquinas para acelerar la ejecución de los procesos aritméticos. La
regla de cálculo procede del trabajo de Edmund Gunter (1581-1626), que utilizó
los logaritmos de Napier. William Oughtred (1574-1660) introdujo reglas de
cálculo circulares.
En 1642, Pascal inventó una máquina de calcular que hacía las sumas llevando de
forma automática las cifras de las unidades a las decenas, de las decenas a las
centenas, etc. Leibniz la vio en París e inventó a continuación una máquina de
multiplicar. Mostró su idea a la Real Sociedad de Londres en 1677, y se publicó
una descripción en la Academia de Berlín en 1710. A finales del siglo XVII,
Samuel Morland (1625-95) inventó independientemente una máquina de sumar y
restar, y otra de multiplicar.
No seguiremos con la historia de las máquinas de calcular porque hasta 1940,
por lo menos, eran simplemente instrumentos mecánicos que llevaban a cabo
operaciones aritméticas, y no tuvieron influencia en el curso de las matemáticas.
Observemos, no obstante, que el paso más significativo entre las máquinas ya
descritas y los modernos ordenadores electrónicos fue efectuado por Charles
Babbage (1792- 1871), que introdujo una máquina orientada al cálculo
astronómico y de navegación. Su «máquina analítica» fue diseñada para llevar a
cabo toda una serie de operaciones aritméticas basadas en instrucciones dadas a
la máquina al comienzo, poniéndose luego a trabajar automáticamente mediante la
fuerza del vapor. Con apoyo del gobierno británico, construyó modelos de
demostración. Lamentablemente, la máquina planteaba demandas que eran excesivas
para las posibilidades de la ingeniería de la época.
3. El simbolismo
Hubo un avance en el álgebra que resultó mucho más significativo para su propio
desarrollo y el del análisis que el progreso técnico del siglo XVI, y fue la
introducción de un mejor simbolismo. Ciertamente, este paso hizo posible hacer
una ciencia del álgebra. Antes del siglo XVI, el único matemático que había
introducido conscientemente el simbolismo para hacer más compacto y efectivo el
razonamiento y la escritura algebraica fue Diofanto. Todos los demás cambios de
notación eran esencialmente abreviaturas de palabras normales introducidas de
forma un tanto accidental. En el Renacimiento, el estilo habitual era aún
retórico, con uso de palabras especiales, abreviaturas y, por supuesto, los
símbolos de los números.
En el siglo XVI, la presión en pro de la introducción del simbolismo vino
indudablemente de las crecientes demandas científicas que se ejercían sobre los
matemáticos, de la misma forma que los avances en los métodos de cálculo lo
fueron en respuesta al creciente uso de tales artes. Su progreso fue, sin
embargo, intermitente. Muchos cambios se efectuaron por accidente, y es claro
que los hombres del siglo XVI no llegaron a percibir lo que el simbolismo
podría hacer en favor del álgebra. Ni siquiera los avances importantes en el
simbolismo eran inmediatamente aceptados por los matemáticos.
Probablemente, las primeras abreviaturas, usadas del siglo XV en adelante,
fueron p para «más» y m para «menos», pero en
el Renacimiento, y especialmente en los siglos XVI y XVII, se introdujeron
símbolos especiales. Los símbolos (+) y (-) fueron introducidos por los
alemanes en el siglo XV para denotar excesos y defectos en los pesos de cofres y
arcas, y los matemáticos los adoptaron, apareciendo en los manuscritos ya desde
1481. El símbolo (´) para «por» se debe a Oughtred, aunque Leibniz planteó la
certera objeción de que podría confundirse con la letra x.
El signo (=) fue introducido en 1557 por Robert Recordé (1510-58), de
Cambridge, que escribió el primer tratado de álgebra, The Whetstone of
Witte(1557). Decía que no conocía dos cosas más iguales que dos líneas
paralelas, y por tanto dos líneas de ese tipo deberían denotar la igualdad.
Vieta, que al principio escribía «aequalis», usó después (~) para la igualdad.
Descartes utilizaba oc. Los símbolos (>) y (<) se deben a Thomas Harriot.
Los paréntesis aparecen en 1544, y los corchetes y llaves, introducidos por
Vieta, datan de 1593, aproximadamente. El símbolo de raíz cuadrada, √, era
utilizado por Descartes, quien, sin embargo, escribía para la raíz cúbica √c.
Observemos unos ejemplos de formas de escritura. Usando R para
la raíz cuadrada, p para «más» y m para
«menos», Cardano escribía
como
5p: Rm:15
5m: Rm:15
25m:m:15
qd. est 40.
También escribía
La V indicaba que todo lo que seguía estaba bajo el signo
radical.
El uso de símbolos para las incógnitas y sus potencias tuvo un ascenso
sorprendentemente lento, si se tiene en cuenta la simplicidad y, sin embargo,
extraordinario valor de tal práctica. (Naturalmente, Diofanto había usado tales
símbolos.) Autores de comienzos del XVI, como Pacioli, se referían a la
incógnita como radix («raíz» en latín) o res («cosa»
en latín), cosa («cosa» en italiano) y coss («cosa» en
alemán), razón por la cual el álgebra llegó a ser conocido como el arte
«cósico». En su Ars Magna, Cardano se refería a la incógnita
como rem ignotam. Escribía x2 = 4x +
32 como qdratu aeqtur 4 rebus p:32[28]. El término constante, 32, se llamaba el número. Los
términos y notaciones variaban enormemente. Muchos símbolos se derivaban de
abreviaturas: por ejemplo, un símbolo para la incógnita era R, abreviatura
de res. La segunda potencia, representada por 2 (de zensus)
se llamaba quadratum o censo. C, tomado
de cubus, denotaba x3.
Los exponentes fueron gradualmente introducidos para denotar las potencias
de x. Recordemos que ya Oresme, en el siglo XIV, usaba
exponentes asociados a números. En 1484, Chuquet, en Triparty, escribía
123, 105 y 1208 para indicar 12x3,
10x5 y 120x8. También escribía 12° por
12x° y 1lm por 7x-1. Así, 83,
71migual a 562 significaba 8x3 ´
7x-1 = 56x2.
En su Algebra, Bombelli utilizaba la palabra tanto en
vez de cosa. Para designar x, x2 y x3 escribía
Así, 1 + 3x + 6x2 + x3 es
En 1385, Stevin escribía esta expresión de la forma
1i + 3j + 6k + l
Stevin también usaba exponentes fraccionarios, 1/2 para la raíz
cuadrada, 1/3 para la raíz cúbica, y así sucesivamente.
Claude Bachet de Mézirac (1581-1638) prefería escribir x3 +
13x2 + 5x + 2 como
1C + 13Q + 5N + 2
Vieta usaba la misma notación para las ecuaciones con
coeficientes numéricos.
Descartes hizo un uso bastante sistemático de los exponentes enteros positivos.
Expresaba
1 + 3x + 6x2 + x3 como
1 + 3x + 6xx + x3.
Ocasionalmente, como otros, usaba también x2. Para
potencias superiores empleaba x4, x5,
... pero no xn. Newton usaba exponentes positivos,
negativos, enteros y fraccionarios, como x5/3 y x-3. Cuando
en 1801 Gauss adoptó x2 para xx, la
primera de éstas se convirtió en la usual.
El cambio más significativo en el carácter del álgebra fue introducido por
François Vieta en relación con el simbolismo. Educado como abogado, trabajó
como tal en el parlamento de Bretaña. Más tarde fue consejero privado de
Enrique de Navarra. Cuando, como resultado de problemas políticos, estuvo
alejado de su cargo entre 1584 y 1589, se dedicó enteramente a las matemáticas.
En general, se interesaba por ellas como entretenimiento, e imprimió e hizo
circular su trabajo a sus expensas..., garantía de olvido, como dijo un
escritor.
Vieta era un humanista en espíritu e intención; deseaba ser el conservador,
redescubridor y continuador de la matemática antigua. Para él, innovación era
renovación. Describe su In Artem Analyticam Isagoge[29] como «la obra del análisis matemático restaurado». Para
escribir este libro se inspiró en la Colección Matemática de
Pappus y en la Arithmetica de Diofanto. Creía que los antiguos
habían empleado un tipo algebraico general de cálculo, que él reintrodujo en su
álgebra, reactivando meramente así un arte conocido y aprobado en la
antigüedad.
Durante el hiato en su carrera política, Vieta estudió las obras de Cardano,
Tartaglia, Bombelli, Stevin y Diofanto. De ellas, y particularmente de la de
Diofanto, extrajo la idea de emplear letras. Aunque una serie de matemáticos,
incluyendo Euclides y Aristóteles, habían usado letras en lugar de números
específicos, estos usos eran infrecuentes, esporádicos e incidentales. Vieta
fue el primero en emplear letras sistemáticamente y con un propósito, no sólo
para representar una incógnita o las potencias de una incógnita, sino como
coeficientes generales. Habitualmente usaba consonantes para las cantidades
conocidas y vocales para las desconocidas. Llamaba a su álgebra simbólica logística
speciosa, en oposición a logística numerosa. Vieta
era plenamente consciente de que cuando estudiaba la ecuación general de
segundo grado ax2 + bx + c =
0 (en nuestra notación), estaba estudiando toda una clase de expresiones. Al
hacer la distinción entre logística speciosa y logística numerosa en
su Isagoge, Vieta trazó la línea divisoria entre la
aritmética y el álgebra. El álgebra, la logística
speciosa, dijo, es un método de operar con especies o formas de cosas.
La aritmética, la numerosa, trata de números. Así, en un solo
paso, el álgebra se convirtió en un estudio de tipos generales de formas y ecuaciones,
pues lo que se hace para el caso general cubre una infinidad de casos
particulares. Vieta empleaba coeficientes literales solamente para representar
números positivos.
Vieta trató de establecer las identidades algebraicas ocultas en forma
geométrica en las obras griegas clásicas, pero, a su juicio, claramente
reconocibles en Diofanto. En efecto, como observamos en el capítulo 6, éste había
realizado muchas transformaciones de expresiones algebraicas mediante
identidades que no citaba explícitamente. En sus Zeteticorum Libri
Quinqué, Vieta intentó recobrar tales identidades. Completó el
cuadrado de una expresión cuadrática general y expresó identidades de tipo
general como
a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 =
(a + b)3
aunque él lo escribía así:
|
a cubus + b in a quadr. 3 + a in b quad. 3 + b cubo
aequalia |
|
a + b cubo |
Podría parecer lógico que los sucesores de Vieta se hubiesen impresionado
inmediatamente por la idea de los coeficientes generales. Sin embargo, parece
ser que la introducción de letras para denotar clases de números fue aceptada
como un progreso de poca entidad en el desarrollo del simbolismo. La idea de
los coeficientes literales se deslizó en las matemáticas casi por casualidad.
No obstante, las ideas de Vieta sobre el simbolismo fueron apreciadas y flexibilizadas
por Harriot, Girard y Oughtred.
A Descartes se deben ciertas mejoras en el uso de las letras de Vieta. Empleaba
las primeras letras del alfabeto para las cantidades conocidas, y las últimas
para las incógnitas, como se hace modernamente. Pero Descartes, como Vieta,
sólo utilizaba las letras para representar números positivos, si bien no dudaba
en efectuar restas entre términos con coeficientes literales. Hasta que lo hizo
John Hudde (1633-1704), en 1657, no se empleó una letra para designar números
positivos y negativos. Newton lo hacía con toda libertad.
Es preciso mencionar a Leibniz en la historia del simbolismo, aunque es
posterior a los avances más significativos en el álgebra. Realizó prolongados
estudios de diversas notaciones, experimentó con símbolos, pidió opinión a sus
contemporáneos, y después escogió lo mejor. Encontraremos algo de su simbolismo
en nuestro estudio del cálculo. Apreciaba ciertamente el gran ahorro de
pensamiento que unos buenos símbolos hacen posible.
Así, hacia fines del siglo XVII, el uso deliberado del simbolismo, esto es, no
incidental o accidental, y la consciencia de la potencia y generalidad que
confiere, habían hecho su entrada en la matemática. Desgraciadamente, hubo
demasiados símbolos introducidos a prueba y sin reflexión por parte de personas
que no percibían la importancia del instrumento simbólico. Al observar esto, el
historiador Florian Cajori se vio impulsado a decir que «nuestros símbolos de
hoy son un mosaico de signos individuales de sistemas rechazados».
4. La solución de las ecuaciones de tercer y cuarto grados
La solución de las ecuaciones de segundo grado por el método de completar el
cuadrado era conocida desde la época de los babilonios, y prácticamente el
único progreso en este tema hasta 1500 fue llevado a cabo por los hindúes, que
trataban ecuaciones como x2 + 3x +
2 y x2 — 3x — 2 como un
solo tipo, mientras que sus predecesores, e incluso la mayoría de sus sucesores
renacentistas, preferían tratar la última en la forma x2 = 3x +
2. Cardano, como ya observamos, resolvió de hecho una ecuación de segundo grado
con raíces complejas, pero despreció las soluciones como inútiles. La ecuación
cúbica, excepto en casos aislados, había desafiado a la matemática hasta
entonces; en fecha tan tardía como 1494, Pacioli afirmaba que la solución de
las ecuaciones generales de tercer grado era imposible.
Scipione dal Ferro (1465-1526), profesor de matemáticas en Bolonia, resolvió
hacia 1500 ecuaciones del tipo x3 + mx = n, aunque
no publicó su método porque en los siglos XVI y XVII los descubrimientos solían
mantenerse secretos para desafiar a los rivales a resolver el mismo problema.
No obstante, hacia 1510 confió su método a Antonio María Fior (de la primera
mitad del siglo XVI) y a su yerno y sucesor Annibale della Nave (1500?-58).
No sucedió nada más hasta que Niccoló Fontana de Brescia (1499?-1557) entró en
escena. De niño recibió en la cara un corte de sable de un soldado francés, lo
que le causó una tartamudez, a consecuencia de lo cual fue apodado Tartaglia,
«tartamudo». Educado en la pobreza, se enseñó a sí mismo latín, griego y
matemáticas. Se ganaba la vida dando clases de ciencias en diversas ciudades
italianas. En 1535, Fior desafió a Tartaglia a resolver treinta ecuaciones de
tercer grado. Tartaglia, que decía haber resuelto ya ecuaciones cúbicas de la
forma x3 + mx2 = n, con m y n positivos,
resolvió las treinta, incluyendo las del tipo x3 + mx= n.
Presionado por Cardano a revelar su método, Tartaglia se lo dio en un oscuro
verso, tras haberle prometido Cardano mantenerlo secreto. Esto sucedía en 1539.
En 1542, Cardano, y su alumno Ludovico Ferrari (1522-65), con ocasión de una
visita de della Nave, determinó que el método de dal Ferro era el mismo que el
de Tartaglia. A pesar de su promesa, Cardano publicó su versión del método en
su Ars Magna. En el capítulo 11 dice que «Scipio Ferro de
Bolonia descubrió hace más de treinta años esta fórmula y se la dio a Antonio
María Fior de Venecia, cuyo concurso con Niccoló Tartaglia de Brescia dio a
éste ocasión de descubrirla. Me la dio en respuesta a mis peticiones, aunque
ocultando la demostración. Armado de esta asistencia, busqué su demostración en
[varias] formas. Fue muy difícil. A continuación sigue mi versión».
Tartaglia protestó por la ruptura de la promesa, y en Quesiti ed
invenzioni diverse(1546) presentó su propia versión. Sin embargo, ni en
este libro ni en su General trattato de’ numeri e misure (1556),
que es una buena presentación de los conocimientos aritméticos y geométricos de
la época, ofreció nada más de la propia ecuación de tercer grado. La disputa
sobre quién resolvió primero la ecuación de tercer grado condujo a un conflicto
abierto entre Tartaglia y Ferrari, que se extendió entre salvajes peleas y en
el cual Cardano no tomó parte. El propio Tartaglia no estaba por encima de los
reproches; publicó una traducción de parte de la obra de Arquímedes, que en
realidad había copiado de Guillermo de Moerbecke (m. c. 1281),
y pretendía haber descubierto la ley del movimiento de un objeto en un plano
inclinado... que en realidad era de Jordanus Nemorarius.
Cardano ilustra su método con la ecuación x3+ 6x= 20,
pero nosotros, para comprobar la generalidad del mismo, consideraremos
x3 + mx = n (4)
con m y n positivos. Cardano
introduce dos cantidades t y u, imponiendo que se
verifiquen las dos relaciones siguientes:
t - u = n (5)
y
(tu) = (m/3)3 (6)
Afirma entonces que
Por eliminación en (5) y (6), y resolviendo la ecuación de
segundo grado resultante, obtiene
Como Cardano, hemos tomado la raíz positiva. Una vez
calculados t y u, Cardano toma la raíz cúbica
de cada uno y por (7) obtiene un valor de x. Esta es probablemente
la misma raíz obtenida por Tartaglia.
Este es el método de Cardano. Tenía que probar, sin embargo, que (7) da un
valor correcto de x. Su prueba es geométrica; para Cardano, t y u son
volúmenes de cubos de lados 3√t y 3√u respectivamente,
y el producto 3√t ´ 3√u representa
un rectángulo formado por ambos lados, cuya área es m/3.
Igualmente, cuando nosotros expresamos t - u = n, Cardano
dice que la diferencia de ambos volúmenes es n. A continuación
afirma que la solución x es la diferencia de los lados de los
dos cubos, es decir, x = 3√t - 3√u.
Para demostrar que este valor de x es correcto, enuncia y
prueba el lema geométrico siguiente:
Figura 13.2
Si de un segmento AC (fig. 13.2) se elimina un
segmento BC, entonces el cubo de lado AB es
igual al cubo de lado AC menos el cubo de lado BC menos
el triple del paralelepípedo rectángulo de aristas AC, AB y BC. Este
lema geométrico, evidentemente, no dice más que
Dando por demostrado este lema (que puede comprobarse por la
expresión del cubo de un binomio, pero que Cardano establece citando teoremas
de Euclides), sólo tiene que observar que si
lo que afirma el lema es x3 = n -
mx. Por ello, si elige t y u de
forma que satisfagan las condiciones (5) y (6), el valor de x dado
por (7) en términos de t yu satisface la ecuación
de tercer grado. Da entonces una regla aritmética puramente verbal para
explicar el método, que nos dice que debemos formar el término 3√t - 3√u,
donde t y u vienen dados en (8) en términos de m y n.
Cardano, como Tartaglia, también resuelve ecuaciones particulares de los tipos
x3 = mx + n
x3 + mx + n = 0
x3 + n = mx
Ha de tratar cada uno de dichos casos separadamente, y todos
ellos independientemente de la ecuación (4), ya que, en primer lugar, hasta
esta época las ecuaciones que escribían los europeos sólo contenían términos
con números positivos, y, en segundo lugar, Cardano tenía que dar una
justificación geométrica independiente para cada caso.
Cardano también muestra cómo resolver ecuaciones como x3 + 6x2 =
100. Sabía cómo eliminar el término en x2; como
el coeficiente es 6, sustituye x por y - 2 yobtiene y3 =
12y + 84. También observó que una ecuación como x6 +
6x4 =100 puede tratarse como una cúbica haciendo x2 = y. A
lo largo del libro da raíces positivas y negativas, a pesar de llamar
«ficticios» a los números negativos. No tenía en cuenta, sin embargo, las
raíces complejas. De hecho, en el capítulo 37, llama «falsos» a los problemas
que dan lugar a raíces que no son ni verdaderas ni falsas (ni positivas ni
negativas). El libro es detallista, incluso aburrido para el lector moderno, y
ello porque Cardano trata separadamente toda una multitud de casos, no sólo de
la ecuación de tercer grado, sino también de las ecuaciones cuadráticas
auxiliares que ha de resolver para hallar t y u. En
cada caso, escribe la ecuación en forma tal que los coeficientes de los
términos sean positivos.
Hay una dificultad con la solución de Cardano de la ecuación de tercer grado
que él observó, pero no resolvió. Cuando todas las raíces de la ecuación son
reales y distintas, se puede probar que t y u son
complejos, ya que el radicando en (8) es negativo; y sin embargo,
necesitamos 3√t y 3√u para
obtener x. Esto significa que ciertos números reales pueden
expresarse en términos de raíces cúbicas de números complejos. Sin embargo,
esas tres raíces reales no pueden obtenerse por medios algebraicos, es decir,
por radicales. Tartaglia llamó a este caso «irreducible». Uno pensaría que la
posibilidad de expresar números reales como combinaciones de números complejos
hubiera persuadido a Cardano a considerarlos seriamente, pero no fue así.
Vieta, en De Aequationum Recognitione et Emendatione, escrito
en 1591 y publicado en 1615
Haciendo z = eos A, esta
identidad se transforma en
Supongamos que la ecuación dada es (Vieta trabajó con x3 —
3a2x = a2by con a
> b/2)
y3 + pq + q = 0 (12)
Introduciendo y = nz, donde n está
a nuestra disposición, podemos hacer coincidir los coeficientes de (12) con los
de (11). Sustituyendo y = nz en (12) resulta
Ahora imponemos a n que p/n2 =
-3/4, de forma que
Con esta elección de n, tomamos un valor A tal
que
o bien
Se puede demostrar que si las tres raíces son reales,
entonces p es negativo de tal modo que n es
real. Además, puede verse que |cos A| < 1. Por tanto, puede
hallarse 3A con una tabla.
Cualquiera que sea el valor de A, cos A satisface
(11) por ser una identidad. Ahora bien, se ha elegido A de
forma que (13) sea un caso particular de (11). Para este valor de A, cos A satisface
(13). Pero el valor de A está determinado por (16), lo cual
fija 3A, y para cualquier A que satisfaga (16),
también la satisfacen A + 120° y A + 240°, y
como z = cos A, hay, por tanto, tres valores
que satisfacen (13):
cos A, cos (A + 120°) y cos (A +
240°).
Los tres valores que satisfacen (12) son el producto de n por
estos valores de 2, donde n está dado en (14). Vieta obtuvo
sólo una raíz.
La ecuación de tercer grado tiene, desde luego, tres raíces. Fue Leonhard
Euler, en 1732, el primero en ofrecer una discusión completa de la solución de
Cardano de la ecuación cúbica, insistiendo en que siempre hay tres raíces y
especificando cómo se calculan
Debemos ahora escoger un miembro del primer conjunto y otro del
segundo de forma que el producto sea el número real m/3 (ver la
ecuación (6) en la solución de Cardano). Como w y w3 son
raíces de la unidad, w ´ w3 = w3 = 1
y las opciones válidas para x, a la vista de (7), son
Al éxito en la resolución de la ecuación de tercer grado sucedió
casi inmediatamente la solución de la de cuarto. El método se debe a Ludovico
Ferrari, y fue publicado en el Ars Magna de Cardano. Aquí lo
describiremos en notación moderna y con coeficientes literales para mostrar su
generalidad. La ecuación es
x4 + bx3 + cx2 + dx + e =
0. (18)
Transponiendo obtenemos
x4 + bx3 = -cx2 - dx - e. (19)
Completamos ahora el cuadrado en el primer miembro sumando (1/2(bx))2
Sumemos ahora
a ambos miembros, y obtendremos
Igualando a cero el discriminante de la expresión de segundo
grado en x del segundo miembro, podemos convertir éste en el
cuadrado perfecto de una expresión de primer grado en x. Hacemos,
pues,
Esta es una ecuación de tercer grado en y. Elijamos
una raíz cualquiera de esta ecuación cúbica y sustituyámosla
por y en (21). Usando el hecho de que el primer miembro es
también un cuadrado perfecto, obtenemos una ecuación de segundo grado en x igualando
cualquier par de funciones lineales de x, una opuesta de la otra.
La resolución de estas dos ecuaciones cuadráticas nos da 4 raíces para x. Si
se elige otra raíz de (22) se obtiene otra ecuación distinta en (21), pero las
mismas cuatro raíces.
Para presentar el método de Ferrari, Cardano, en el capítulo 39 de la Ars
Magna, resuelve una multitud de casos especiales, todos con coeficientes
numéricos. Así, resuelve ecuaciones de los tipos
x4 = bx2 + ax + n
x4 = bx2 + cx3 + n
x4 = cx3 + n
x4 = ax + n
Da, como en el caso de la ecuación de tercer grado, una prueba
geométrica de los pasos algebraicos básicos, y después da la regla de solución
en palabras.
A base de resolver numerosos ejemplos de ecuaciones de tercer y cuarto grado,
Cardano, Tartaglia y Ferrari dieron prueba de haber buscado y obtenido métodos
que funcionaban para todos los casos de los grados respectivos. El interés en
la generalidad es una característica nueva. Su trabajo precedió a la
introducción de los coeficientes literales por parte de Vieta, de forma que no
pudieron beneficiarse de tal instrumento. Vieta, que ya había hecho posible la
generalidad en la demostración mediante la introducción de los coeficientes
literales, buscaba ahora otro tipo de generalidad. Observó que los métodos de
resolución de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grados eran muy
diferentes. Buscó, por tanto, un método que fuese válido para las ecuaciones de
cualquier grado. Su primera idea fue eliminar el término de grado
inmediatamente inferior al máximo mediante una sustitución. Tartaglia había
hecho esto para la ecuación cúbica, pero no lo intentó para todas las
ecuaciones.
En el Isagoge, Vieta hace lo siguiente. Para resolver la ecuación
de segundo grado
x2 + 2bx = c
hace
x + b = y.
Entonces
y2 = x2 + 2 bx + b2.
A la vista de la ecuación original,
y = √(c + b2).
Por tanto,
x = y - b =
√(c + b2) - b.
En el caso de la ecuación de tercer grado
x3 + bx2 + cx + d =
0.
Vieta empieza haciendo x = y - b/3. Esta sustitución
da lugar a la cúbica reducida
y3 + py + q =
0 (23)
A continuación introduce una transformación más, que, de hecho,
es la que aún se estudia hoy día. Define
y = z-p/3z (24)
y obtiene
Resuelve entonces la ecuación cuadrática en z3 obteniendo
donde
Aquí, como en el método de Cardano, z3 puede
tener dos valores. Aunque Vieta sólo empleaba la raíz cúbica positiva de z3,
se puede considerar las seis raíces (complejas), y (24) mostraría que resultan
sólo tres valores distintos de y a partir de los seis valores
de z.
Para resolver la ecuación general de cuarto grado
x4 + bx3 + cx2 + dx + e =
0,
Vieta hace x = y - b/4, reduciendo la ecuación a
x4 + px2 + qx + r =
0.
Transpone ahora los tres últimos términos y suma 2x2y2 + y4 a
ambos miembros. Esto convierte al primer miembro en cuadrado perfecto y, como
en el método de Ferrari, eligiendo y adecuadamente consigue
expresar el segundo miembro como un cuadrado perfecto de la forma (Ax + B)2. La
elección apropiada de y se efectúa aplicando la condición del
discriminante a una ecuación de segundo grado, lo cual conduce a una ecuación
de sexto grado en y que, afortunadamente, es de tercer grado
en y2. Este paso y el resto del trabajo son
idénticos a los del método de Ferrari.
Otro método general explorado por Vieta es la descomposición del polinomio en
factores de primer grado, como, por ejemplo, x2 + 5x +
6 = (x + 2)(x + 3). No tuvo éxito en ello, en parte por
rechazar las raíces que no fuesen positivas, y en parte por no poseer una
teoría suficiente, como el teorema del factor, en la cual basar un método
general. Thomas Harriot tuvo la misma idea y fracasó por las mismas razones.
La búsqueda de métodos algebraicos generales se desplazó a continuación hacia
la resolución de ecuaciones de grado mayor que cuatro. James Gregory, que había
proporcionado métodos propios de resolución de la ecuación de tercer y cuarto
grados, trató de emplearlos en la solución de la de quinto. El y Ehrenfried
Walter von Tschirnhausen (1651-1708) probaron transformaciones para reducir las
ecuaciones de orden superior a dos términos, una potencia de x y
una constante. Estos métodos de solución de ecuaciones de grado mayor que
cuatro fracasaron. En posteriores trabajos sobre integración, Gregory dio por
sentado que no era posible resolver algebraicamente la ecuación general de
grado n para n > 4.
5. La teoría de ecuaciones
El trabajo sobre los métodos de resolución de ecuaciones produjo una serie de
teoremas y observaciones que se estudian todavía hoy en la teoría elemental de
ecuaciones. La cuestión del número de raíces que puede tener una ecuación fue
objeto de atención. Cardano había introducido las raíces complejas, y por un
tiempo pensó que una ecuación podía tener cualquier número de raíces, pero
pronto se dio cuenta de que una ecuación de tercer grado tiene 3 raíces, una de
cuarto 4, y así sucesivamente. En L’Invention nouvelle, Albert
Girard infiere y enuncia que una ecuación polinómica de grado n tiene n raíces
si se cuentan las raíces imposibles (es decir, complejas) y si se tienen en
cuenta las repetidas. Girard, sin embargo, no dio prueba alguna. Descartes, en
el tercer libro de La Géometrie, dice que una ecuación puede
tener tantas raíces como el número de dimensiones (el grado) de la incógnita,
usando la expresión «puede tener» por considerar las raíces negativas como
falsas. Más tarde, al incluir las raíces imaginarias y las negativas a efectos
de contar las raíces, concluyó que hay tantas como indica el grado.
La siguiente cuestión importante fue la de averiguar el número de raíces
positivas, negativas y complejas. Cardano observó que las raíces complejas de
una ecuación (con coeficientes reales) se dan por pares. Newton lo demostró en
su Arithmetica Universalis. Descartes, en La
Géometrie, enunció sin demostración la regla de los signos, conocida
como «regla de Descartes», que afirma que el máximo número de raíces positivas
de f(x) = 0, donde f es un polinomio, es el
número de variaciones del signo de los coeficientes, y que el máximo número de
raíces negativas es el número de apariciones de dos signos «+» o dos signos « -
» consecutivamente. En terminología actual, la última parte de la regla afirma
que el número máximo de raíces negativas es el número de variaciones en la
ecuación f(—x) = 0. Esta regla fue demostrada por varios
matemáticos del siglo XVIII. La prueba que se da normalmente en la actualidad
se debe a Abbé Jean-Paul de Gua de Malves (1712-85), que también demostró que
la ausencia de 2m términos consecutivos indica que hay 2m
+2 ó 2m raíces complejas, según que los dos términos
entre los que se halla la deficiencia tengan signos iguales o distintos.
En su Arithmetica Universalis, Newton describió, sin prueba,
otro método para determinar el número máximo de raíces positivas y negativas y,
con ello, el mínimo número de raíces complejas. Su método es más complicado de
aplicar, pero da mejores resultados que la regla de los signos de Descartes.
Fue finalmente demostrado como caso particular de un teorema más general de
Sylvester[32]. Un poco antes, Gauss había demostrado que si el número de
raíces positivas queda por debajo del número de variaciones del signo, tal
diferencia debe ser un número par.
Otra clase de resultados se refiere a las relaciones entre las raíces y los
coeficientes de una ecuación. Cardano descubrió que la suma de las raíces es el
opuesto del coeficiente de xn-1, que la suma
de los productos de dos en dos es el coeficiente de xn-2,
etc. Tanto Cardano como Vieta (en De Aequationum Recognitione et
Emendatione) emplearon la primera de estas relaciones entre raíces y
coeficientes de ecuaciones de grado pequeño para eliminar el término en xn-1 en
las ecuaciones polinómicas de la forma que ya hemos descrito. Newton enunció la
relación entre raíces y coeficientes en su Arithmetica Universalis,
y también James Gregory en una carta a John Collins (1625-83), secretario de la
Royal Society, aunque ninguno de ellos dio ninguna demostración.
Vieta y Descartes construyeron ecuaciones cuyas raíces fuesen mayores o menores
que las de otra ecuación dada previamente. El proceso consiste simplemente en
reemplazar x por y + m. Ambos
utilizaron la transformación y - mx para obtener una ecuación
cuyas raíces fuesen el producto de m por las de la ecuación
dada. Para Descartes, el primero de estos procesos tenía la significación antes
apuntada de que las raíces falsas (negativas) pudiesen hacerse verdaderas
(positivas) y recíprocamente.
Descartes demostró también que si una ecuación de tercer grado con coeficientes
racionales tiene una raíz racional, entonces el polinomio puede expresarse como
producto de factores con coeficientes racionales.
Otro resultado importante es el actualmente conocido como «teorema del factor».
En el tercer libro de La Géometrie, Descartes enuncia
que f(x) es divisible por x - a, con a positivo,
si y sólo si a es una raíz de f(x) = 0, y
por x + a si y sólo si a es
una raíz falsa. Con éste y otros resultados, Descartes establece el método
moderno de hallar las raíces racionales de una ecuación polinómica. Tras
convertir en 1 el coeficiente de mayor grado, hace que todos los coeficientes
sean enteros multiplicando las raíces de la ecuación por el factor preciso,
mediante la regla por él dada de sustituir x por y/m en
la ecuación. Las raíces racionales de la ecuación original deben ser ahora
factores enteros del término constante de la nueva ecuación. Si, a base de
probar, se encuentra una raíz a, por el teorema del factor, y - a es
divisor del nuevo polinomio en y. Descartes observa entonces
que eliminando este factor se reduce el grado de la ecuación y se puede
trabajar con la ecuación reducida.
Newton, en Arithmetica Universalis, y otros anteriormente,
enunciaron resultados de acotación superior de las raíces de una ecuación. Uno
de estos teoremas tiene que ver con el cálculo, y será enunciado en el capítulo
17 (sec. 7). Newton descubrió la relación entre las raíces y el discriminante
de la ecuación, por ejemplo, que ax2 + bx + c = 0
tiene raíces iguales, reales o no reales según que b2 -
4ac sea igual, mayor o menor que 0.
En La Géometrie, Descartes introduce el principio de
coeficientes indeterminados, que puede ilustrarse del siguiente modo: para
descomponer x2 - 1 en dos factores
lineales, se expresa
x2 - 1 = (x + b)(x + d).
Haciendo la multiplicación en el segundo miembro e igualando los
coeficientes de las potencias de x en ambos miembros, se
obtiene
b + d = 0
bd = -1,
de donde se obtienen b y d. Descartes insistió
en la utilidad de este método.
Otro método, el de inducción matemática, hizo su entrada explícitamente en el
álgebra a finales del siglo XVI. Desde luego, el método se halla implícito
incluso en la demostración de Euclides de la infinitud de los números primos.
En ella prueba que si hay n números primos, debe haber n
+ 1, y como hay un primer número primo, el número de ellos debe ser
infinito. El método fue explícitamente reconocido por Maurolico en su Arithmetica de
1575, y lo empleó para probar, por ejemplo, que 1 + 3 + 5 +... + (2n -
1) = n2. Pascal comentó en una carta su
conocimiento de la introducción del método por parte de Maurolico y lo usó en
su Traité du triangle arithmétique (1665), donde presenta lo
que hoy llamamos triángulo de Pascal (sec. 6).
6. El teorema binomial y cuestiones afines
El teorema binomial (o fórmula del binomio) para exponentes enteros positivos,
es decir, el desarrollo de (a + b)n para n entero
positivo, ya era conocido por los árabes del siglo XIII. Hacia 1544, Stifel
introdujo el término «coeficiente binomial» y mostró cómo calcular (1 +
a)n a partir de (1 + a)n-1. El
cuadro de números
en el cual cada número es la suma de los dos que están
inmediatamente sobre él, ya conocido de Tartaglia, Stifel y Stevin, fue
empleado por Pascal (1654) para obtener los coeficientes del desarrollo del
binomio. Por ejemplo, los números de la cuarta fila son los coeficientes del
desarrollo de (a + b)3. A pesar de que este
cuadro numérico era conocido por muchos de sus predecesores, ha terminado por
llamarse «triángulo de Pascal».
En 1665, Newton mostró cómo calcular (1 + a)n directamente,
sin hacer referencia a (1 + a)n-1. Se
convenció entonces de que el desarrollo era válido para valores fraccionarios y
negativos de n (resultando una serie infinita en este
caso), y enunció, aunque nunca demostró, tal generalización.
Sí llegó a verificar que la serie de (1 + x)1/2 multiplicada
por sí misma da 1 + x, pero ni él ni James Gregory (que llegó
al mismo teorema independientemente) creyeron necesaria una demostración. En
dos cartas, del 6 de junio y del 4 de octubre de 1676, a Henry
Oldenburg (c. 1615-77), secretario de la Royal Society, Newton enunció el
resultado más general que conocía en 1669, a saber, el desarrollo de (P
+ PQ)m/n. Lo consideraba un método
útil para extraer raíces, pues si Q es menor que 1 (una vez
sacado P factor común), los términos sucesivos, al ser
potencias de Q, tiene valores cada vez menores.
Con independencia del trabajo sobre el teorema del binomio, las fórmulas para
el número de permutaciones y de combinaciones de n objetos
tomados r a r habían aparecido en las obras
de una serie de matemáticos, entre ellos Bhaskara y el francés Levi ben Gerson
(1321). Pascal observó que la fórmula de las combinaciones, denotada
generalmente por nCro
proporciona también los coeficientes binomiales. Es decir,
para n fijo y r entre 0 y n, la
fórmula da los sucesivos coeficientes. Bernoulli, en su Ars Conjectandi(1713),
extendió la teoría de combinaciones y demostró el teorema binomial en el caso
de n entero positivo mediante las fórmulas de las
combinaciones.
Las investigaciones sobre permutaciones y combinaciones están conectadas con
otro desarrollo, la teoría de la probabilidad, que iba a alcanzar importancia
fundamental en el siglo XIX, pero apenas merece mención en los siglos XVI y
XVII. El problema de la probabilidad de sacar un número concreto al lanzar dos
dados se había planteado ya en la época medieval. Otro problema, el de cómo
dividir las ganancias entre dos jugadores cuando éstas corresponden al primer
jugador que obtenga n puntos, y el juego resulta interrumpido
cuando el primero lleva ganados p puntos y el segundo q, aparece
en la Summa de Pacioli y en libros de Cardano, Tartaglia y
otros. Este problema adquirió cierta importancia cuando, propuesto a Pascal por
Antoine Gombaud, Chevalier de Méré (1610-85), Pascal y Fermat se cartearon al
respecto. El problema y su solución carecen de importancia, pero el trabajo de
ambos marca el comienzo de la teoría de la probabilidad. Los dos aplicaron para
ello la teoría de combinaciones.
El primer libro de significación sobre la probabilidad es el Ars
Conjectandi de Bernoulli. Su aportación más importante, aún llamada
«teorema de Bernoulli», dice que si p es la probabilidad de un
suceso y q es la probabilidad de que éste no se dé, entonces
la probabilidad de que dicho suceso se dé al menos m veces
en nintentos es la suma de los términos del desarrollo de (p + q)n desde pn hasta
el término que contiene pmqm-1.
7. La teoría de números
Mientras que los intereses prácticos fueron el estímulo para el progreso en el
cálculo, el simbolismo y la teoría de ecuaciones, fue la preocupación por
problemas puramente matemáticos la que condujo a una actividad renovada en la
teoría de números. El tema, desde luego, había sido iniciado por los griegos
clásicos, y Diofanto había añadido la parte relativa a las ecuaciones
indeterminadas. Hindúes y árabes evitaron que cayese en el olvido, y aunque
casi todos los algebristas del Renacimiento que hemos mencionado hicieron
conjeturas y observaciones, el primer europeo que hizo extensas e
impresionantes contribuciones a la teoría de números y dio al tema un enorme
impulso fue Pierre de Fermat (1601-65).
Nacido en una familia de comerciantes, se formó como abogado en la ciudad
francesa de Toulouse, ganándose la vida con dicha profesión. Durante cierto
período fue consejero del parlamento de Toulouse. Aunque las matemáticas eran
una afición para Fermat, y sólo podía dedicarles escaso tiempo, contribuyó con
resultados de primera importancia a la teoría de números y al cálculo, fue uno
de los dos creadores de la geometría de coordenadas y, como ya hemos visto,
inició junto a Pascal la investigación sobre la probabilidad. Como todos los
matemáticos de su siglo, trabajó en problemas de las ciencias y dejó una
duradera contribución a la óptica: el «principio del tiempo mínimo de Fermat»
(cap. 24, sec. 3). La mayoría de los resultados de Fermat nos son conocidos a
través de cartas escritas a sus amigos. Publicó sólo unos pocos artículos, y
algunos de sus libros y artículos fueron publicados tras su muerte.
Fermat consideraba que se había descuidado la teoría de números. Se quejó en
una ocasión de que apenas nadie proponía o entendía cuestiones aritméticas y se
preguntó: «¿se debe a que hasta ahora la aritmética ha sido tratada más
geométrica que aritméticamente?» El propio Diofanto, observó, estaba atado en
cierta medida a la geometría. Para Fermat, la aritmética tiene un dominio que
le es propio, la teoría de los números enteros.
La obra de Fermat en teoría de números determinó la dirección del trabajo en el
área hasta las contribuciones de Gauss. El punto de partida de Fermat fue
Diofanto. Muchas traducciones de su Arithme- tica habían sido
realizadas por matemáticos renacentistas. En 1621, Bachet de Méziriac publicó
el texto griego y una traducción latina. Esta fue la edición que manejó Fermat,
anotando la mayoría de sus resultados en los márgenes, y comunicando unos cuantos
a sus amigos por carta. El ejemplar que contiene las notas marginales de Fermat
fue publicado por su hijo en 1670.
Fermat enunció muchos teoremas sobre teoría de números, pero sólo en un caso
dio una demostración, y ésta apenas esbozada. Los mejores matemáticos del siglo
XVIII dedicaron grandes esfuerzos a probar sus resultados (cap. 25, sec. 4).
Todos ellos resultaron ser correctos, excepto un error (del que luego
hablaremos) y un famoso y aún no demostrado «teorema», acerca de cuya certeza
todas las indicaciones son favorables. No hay duda de que poseía una gran
intuición, pero no es probable que tuviese demostraciones de todas sus
afirmaciones.
Un documento descubierto en 1879 entre los manuscritos de Huygens incluye un
famoso método, llamado del «descenso infinito», introducido y empleado por
Fermat. Para comprenderlo, consideremos el teorema enunciado por Fermat en una
carta a Marín Mersenne (1588-1648) del 25 de diciembre de 1640, que afirma que
un número primo de la forma 4n + 1 puede expresarse de una y sólo
una manera como suma de dos cuadrados. Por ejemplo, 17 = 16 + l y 29 = 25 + 4.
El método consiste en probar que si existe un número primo de la forma 4n +
1 que no posee la propiedad en cuestión, tiene que haber un
número primo menor de la forma 4n + 1 que tampoco la posea. Así,
como n es arbitrario, debe haber otro más pequeño aún.
Descendiendo a lo largo de todos los valores enteros positivos de «, debemos
llegar a n = 1, o sea, al número primo 4 ´ 1 + 1, es decir, 5,
que, por tanto, no puede gozar de la mencionada propiedad. Pero 5 sí es expresable
como suma de dos cuadrados de una manera única, de donde concluimos que todo
primo de la forma 4n + 1 también lo es. Fermat envió este esbozo de
demostración a su amigo Pierre de Carcavi (m. 1684) en 1659. Afirmó que había
utilizado el método para probar el teorema recién descrito, pero jamás se ha
hallado su demostración. También dijo haber probado otros teoremas por este
mismo método.
El método del descenso infinito es diferente de la inducción matemática. En
primer lugar, no exige mostrar un caso en el que el teorema en cuestión se
satisfaga, ya que el argumento puede completarse observando que el caso n
= 1 lleva simplemente a una contradicción con algún otro hecho
conocido. Además, aceptada la hipótesis para un valor de n, el
método muestra que existe otro menor, pero no necesariamente el anterior, para
el cual la hipótesis es cierta. Finalmente, el método demuestra la falsedad de
ciertas afirmaciones, siendo, de hecho, más útil para este propósito.
Fermat afirmó también que ningún número primo de la forma 4n + 3
puede expresarse como suma de dos cuadrados. En una nota escrita en su ejemplar
de Diofanto y en la carta a Mersenne, Fermat generaliza la conocida relación
triangular entre 3, 4 y 5 enunciando los siguientes teoremas: un número primo
de la forma 4n + 1 es la hipotenusa de uno y sólo un triángulo
rectángulo de lados enteros. El cuadrado de (4n + 1) es la
hipotenusa de dos y sólo dos de tales triángulos rectángulos; su cubo, de tres;
su bicuadrado, de cuatro, y así sucesivamente, hasta el infinito. Consideremos,
por ejemplo, el caso n = 1. Entonces 4n + l = 5 y
3, 4 y 5 son los lados del único triángulo rectángulo que tiene 5 como
hipotenusa. Sin embargo, 52 es la hipotenusa de dos y sólo dos
triángulos rectángulos, a saber, aquellos cuyos lados miden 15, 20, 25 y 7, 24,
25. Igualmente, 53 es la hipotenusa únicamente de los tres
triángulos rectángulos de lados 75, 100, 125; 35, 120, 125 y 44, 117, 125.
En la carta a Mersenne, Fermat declara que el mismo número primo 4n +
1 y su cuadrado se pueden expresar cada uno de manera única como la suma de dos
cuadrados; su cubo y bicuadrado, de dos formas cada uno; sus potencias quinta y
sexta, de tres, y así sucesivamente. Así, para n = l, 5 = 4+ l
y 52 = 9 +16; 53 = 4 + 121 = 25 + 100, etc.
Continúa la carta: si un número primo que es la suma de dos cuadrados se
multiplica por otro número primo que es también suma de dos cuadrados, el
producto será la suma de dos cuadrados de dos formas distintas. Si el primer
número primo se multiplica por el cuadrado del segundo, el producto será la
suma de dos cuadrados de tres formas; si se multiplica por el cubo del segundo,
el producto será la suma de dos cuadrados de cuatro formas, y así sucesivamente
hasta el infinito.
Fermat enunció muchos teoremas sobre la representación de los números primos en
las formas
x2 + 2y2,
x2 + 3y2, x2 + 5y2,
x2 - 2y2
y otras formas, que son extensiones de la representación como
suma de dos cuadrados. Por ejemplo, todo primo de la forma 6n +
1 puede representarse como x2+ 3y2; todo
primo de la forma 8n + 1 u 8n + 3, como x2 +
2y2. Un número primo impar (todos menos el 2) puede
expresarse de manera única como diferencia de dos cuadrados.
Dos de los teoremas enunciados por Fermat han dado en ser conocidos como el
«pequeño» y el «gran», siendo éste también llamado el «último teorema de
Fermat». El teorema pequeño, comunicado en carta de 18 de octubre de 1640 a su
amigo Bernard Frénicle de Bessy (1605-75), afirma que si p es
un número primo y a es primo con p, entonces ap - a es
divisible por p.
El gran «teorema» de Fermat, que él creía haber probado, afirma que para n
> 2 no hay soluciones enteras de xn + yn = zn.
Este teorema fue enunciado por él en una nota al margen de su libro de
Diofanto, junto al problema (de Diofanto) de dividir un cuadrado dado en (suma
de) dos cuadrados. Fermat añade: «Por otra parte, es imposible separar un cubo
en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, o, en general, una potencia que
no sea un cuadrado en dos potencias con el mismo exponente. He descubierto una
demostración verdaderamente maravillosa de esto, pero el margen no es
suficiente para contenerla.» Desgraciadamente, la prueba de Fermat, si es que
la obtuvo, nunca fue hallada, y cientos de los mejores matemáticos han sido
incapaces de demostrar el teorema. Fermat afirmó en carta a Carvavi que había
empleado el método del descenso infinito para demostrar el caso n =
4, pero no dio detalles. Frénicle, con las pocas indicaciones de Fermat, dio
una demostración para el mencionado caso en su obra de publicación
póstuma Traité des triangles rectangles en nombres (Tratado
sobre propiedades numéricas de los triángulos rectángulos)[33].
Anticipándonos un poco, digamos que Euler demostró el teorema para n = 3
(cap. 25, sec. 4). Como el teorema es cierto para n = 3, es cierto para
cualquier múltiplo de 3, pues si no lo fuese para n = 6, por
ejemplo, habría enteros x, y, ztales que
x6 + y6 = z6
Pero entonces
(x2)3 + (y2)3 =
(z2)3
y el teorema sería falso para n = 3. Por tanto,
sabemos que el teorema de Fermat es cierto para un número infinito de valores
de «, pero no sabemos todavía si lo es para todos. En realidad sólo se necesita
probarlo para n = 4 y para n primo impar. En
efecto, supongamos primero que n no es divisible por un primo
impar; debe ser entonces una potencia de 2, y al ser mayor que 2 tiene que ser
4 o divisible por 4. Sea n = 4m. Entonces la
ecuación xn + yn = zn se
convierte en
(xm)4 + (ym)4 =
(zm)4
Si el teorema no fuese cierto para n, tampoco
lo sería para n = 4. Luego si es cierto para n = 4,
lo es para todo n no divisible por un número primo impar.
Si n= pm, donde p es primo impar,
entonces, si el teorema no fuese cierto para n, tampoco lo sería
para el exponente p. Luego si es cierto para n = p, lo
es para todo n divisible por un número primo impar.
Fermat cometió algunos errores. Creía haber hallado una solución al viejo
problema de construir una fórmula que diese números primos para 'todos los
valores de la variable n. Sin embargo, no es difícil demostrar
que 2m + 1 no puede ser primo a no ser que m sea
una potencia de 2. En muchas cartas, datadas de 1640 en adelante [34], Fermat afirmó el recíproco (es decir, que (2)2+ 1
representa una serie de números primos), aunque admitió no poder probar su
aserto. Más tarde empezó a dudar de que fuese cierto. Hasta ahora, sólo se
conocen los cinco números primos 3, 5, 17, 257 y 65.537 dados por la fórmula
(ver cap. 25, sec. 4).
Fermat enunció y esbozó[35] la demostración por descenso infinito del siguiente
teorema: el área de un triángulo rectángulo cuyos lados sean números racionales
no puede ser un cuadrado perfecto. El esbozo de prueba es el único que diera
jamás, y se sigue como corolario que la resolución de x4 + y4 = z4 en
números enteros es imposible.
Con respecto a los números poligonales, Fermat enunció en su libro de Diofanto
el importante teorema de que todo entero positivo es, o bien triangular, o la
suma de dos o tres números triangulares; todo entero positivo es, o bien un
cuadrado, o la suma de 2, 3 ó 4 cuadrados; todo entero positivo es, o bien
pentagonal, o la suma de 2, 3, 4 ó 5 números pentagonales; y así sucesivamente
para números poligonales de órdenes más elevados. Hizo falta mucho trabajo para
probar estos resultados, que son correctos sólo si se incluyen 0 y 1 como
números poligonales. Fermat afirma haber demostrado estos teoremas por el
método del descenso infinito.
Los números perfectos fueron, como sabemos, estudiados por los griegos, y
Euclides dio el resultado básico de que 2n-1(2n -
1) es perfecto si 2n - 1 es primo. Para n =
2, 3, 5 y 7, los valores de 2n - 1 son primos, de forma
que 6, 28, 496 y 8128 son números perfectos (como ya fue observado por
Nicómaco). Un manuscrito de 1456 da correctamente 33.550.336 como el quinto
número perfecto; corresponde a n = 13. En su Epitome (1536),
Hudalrich Regius da también este quinto número perfecto. Pietro Antonio Cataldi
(1552-1626) observó en 1607 que 2n - 1 es compuesto
si n lo es, y comprobó que 2n - 1 es
primo para n = 13, 17 y 19. En 1644 Marín Mersenne dio otros
valores. Fermat trabajó también en el problema de los números perfectos.
Consideró en qué casos es 2n - 1 primo, y en carta a
Mersenne de junio de 1640 enunció estos teoremas: (a) Si n no
es primo, 2n - 1 no es primo; (b) si n es
primo, 2n - 1, de ser divisible, sólo lo es por números
primos de la forma 2kn + 1. En la actualidad se conocen unos veinte
números perfectos. Es una cuestión abierta si los hay impares.
Redescubriendo una regla enunciada en primer lugar por Tabit ibn Qorra, Fermat
dio en 1636 un segundo par de números amigos, 17.926 y 18.416 (el primero, 220
y 284, ya lo había dado Pitágoras), y Descartes, en una carta a Mersenne, dio
un tercer par, 9.363.548 y 9.437.506.
Fermat volvió a descubrir el problema de resolver x2 - Ay2 =
1, cuando A es entero no cuadrado. El problema tiene una larga
historia entre griegos e hindúes. En una carta de febrero de 1657 a Frénicle,
Fermat enunció el teorema de que x2- Ay2 =
1 tiene un número ilimitado de soluciones cuando A es positivo
y no es un cuadrado perfecto[36]. Euler llamó a ésta «ecuación de Pell», erróneamente, como
ahora sabemos. En la misma carta[37], Fermat desafió a todos los matemáticos a encontrar una
infinidad de soluciones enteras. Lord Brouncker dio algunas soluciones, aunque
no demostró que hubiera infinitas. Wallis sí resolvió completamente el problema
y dio sus soluciones en cartas de 1657 y 1658[38] y en el capítulo 98 de su Algebra. Fermat
también afirmó poder probar cuándo x2 - Ax2 = B, con Ay
B dados, es soluble, y poder resolverla. No sabemos cómo resolvió
Fermat dichas ecuaciones, aunque dijo en una carta de 1658 que había usado el
método del descenso para la primera.
8. La relación entre el álgebra y la geometría
El álgebra, como hemos podido ver, se expandió enormemente durante los siglos
XVI y XVII. Por haber estado tan ligada a la geometría, antes de 1500 las
ecuaciones de grado superior al tercero eran consideradas irreales. Cuando el
estudio de las ecuaciones de grado superior se impuso a los matemáticos (por
ejemplo, por el uso de las identidades trigonométricas como ayuda en el cálculo
de tablas) o fue sugerido como extensión natural de las ecuaciones de tercer
grado, la idea pareció absurda a muchos matemáticos. Así, en su edición
del Coss(Algebra) de Rudolff, Stifel dice: «Ir más allá del cubo
como si hubiese más de tres dimensiones... va contra la naturaleza.»
No obstante, el álgebra se impuso sobre las limitaciones del pensamiento
geométrico, aunque la relación entre álgebra y geometría siguió siendo
complicada. El mayor problema era justificar el razonamiento algebraico, y la
solución, durante el siglo XVI y parte del XVII, fue apoyarse en el significado
geométrico equivalente de cada desarrollo algebraico. Pacioli, Cardano,
Tartaglia, Ferrari y otros dieron pruebas geométricas de las reglas
algebraicas. También Vieta estaba profundamente ligado a la geometría: escribe,
por ejemplo, A3 + 3B2A =
Z3, donde A es la incógnita y B y
Z son constantes, con objeto de que cada término sea de tercer grado y
represente, por tanto, un volumen. Como veremos, sin embargo, la posición de
Vieta con respecto al álgebra era de transición. Barrow y Pascal pusieron de
hecho objeciones al álgebra, y después a los métodos analíticos de la geometría
de coordenadas, así como al cálculo, por carecer el álgebra de justificación.
La dependencia del álgebra de la geometría empezó a invertirse en cierta manera
cuando Vieta, y después Descartes, emplearon el álgebra para resolver problemas
de construcciones geométricas. La motivación de muchos de los desarrollos
algebraicos que aparecen en In Artem Analyticam Isagoge de
Vieta es la resolución de problemas geométricos y la sistematización de
construcciones geométricas. Típico de la aplicación del álgebra a la geometría
en la obra de Vieta es el siguiente problema de sus Zeteticorum Libri
Quinqué: dadas el área de un rectángulo y la razón de sus lados,
hallar los lados del rectángulo. Toma el área como B planum y
la razón del lado mayor al menor como S a R. Sea A el
lado mayor. Entonces RA/S es el lado menor. Por
tanto, B planum es igual a (R/S) (Acuadrado).
Multiplicando por S obtenemos la ecuación final, BS = RA2. Vieta
muestra entonces cómo con esta ecuación se puede construir A con
regla y compás a partir de las cantidades conocidas, B y R/S. La
idea es que, si se deduce que una longitud deseada x satisface
la ecuación ax2 + bx + c =
0, se sabe que
y se puede construir x efectuando con a,
b y c las construcciones geométricas indicadas en la
expresión algebraica del segundo miembro.
El álgebra, para Vieta, significaba un procedimiento especial de
descubrimiento; era análisis en el sentido de Platón, que lo oponía a la
síntesis. Teón de Alejandría, que introdujo el término «análisis», lo definió
como el proceso que comienza con la presunción de lo que se busca y llega por
deducción a una verdad conocida. Esta es la razón por la cual Vieta llamó a su
álgebra «arte analítico», pues llevaba a cabo el proceso de análisis,
particularmente en problemas geométricos. Este fue, de hecho, el punto de
partida del pensamiento de Descartes sobre la geometría analítica, y su trabajo
en la teoría de ecuaciones estuvo motivado por el deseo de emplearlas mejor en
la resolución de problemas geométricos.
La interdependencia entre álgebra y geometría puede verse también en la obra de
Marino Ghetaldi (1566-1627), alumno de Vieta. Hizo un estudio sistemático de la
solución algebraica de determinados problemas geométricos en uno de los libros
de su Apollonius Redivivus (Apolonio redivivo o modernizado,
1607). Recíprocamente, dio pruebas geométricas de reglas algebraicas y
construyó geométricamente las raíces de ecuaciones algebraicas. Un trabajo
completo sobre este tema es su De resolutione et compositione
mathematica (1630), publicado póstumamente.
Hallamos también en los siglos XVI y XVII la conciencia de la necesidad de
desarrollar el álgebra como sustitución de los métodos geométricos introducidos
por los griegos. Vieta vio la posibilidad de utilizar el álgebra para tratar la
igualdad y la proporción de magnitudes, sin importar si tales magnitudes
surgían de problemas geométricos, físicos o comerciales. De aquí que no dudase
en considerar ecuaciones de grado superior y en utilizar el método algebraico,
abrigando la idea de una ciencia deductiva de las magnitudes que emplease el
simbolismo. Mientras que el álgebra era para Vieta principalmente una vía
perfecta hacia la geometría, su visión era lo bastante grandiosa como para
percibir en ella una vida y significado propios. Bombelli dio pruebas
algebraicas aceptables para su tiempo, sin el uso de la geometría. Stevin
afirmaba que lo que se podía hacer en geometría podía hacerse en aritmética y
álgebra. El libro de Harriot Artis Analyticae Praxis (1631)
extendió, sistematizó e hizo emerger algunas de las implicaciones de la obra de
Vieta. El libro es muy parecido a un texto moderno de álgebra. Es más analítico
que ninguna obra anterior de álgebra, y presenta grandes avances en el
simbolismo; fue ampliamente utilizado.
También Descartes empezó a ver grandes potencialidades en el álgebra,
comenzando, según él, donde Vieta terminó. No considera el álgebra como una
ciencia en el sentido de proporcionar conocimiento sobre el mundo físico.
Ciertamente, afirma, tal conocimiento consta de geometría y mecánica. Ve en el
álgebra un poderoso método de guía del razonamiento con cantidades desconocidas
y abstractas, sobre todo. En su visión, el álgebra mecaniza la matemática de
forma que el pensamiento y los procesos se simplifican y no requieren gran
esfuerzo de la mente. La creación matemática podría volverse casi automática.
El álgebra, para Descartes, precede a las demás ramas de la matemática. Es una
extensión de la lógica útil para tratar cantidades, y, en este sentido, incluso
más fundamental que la geometría, es decir, lógicamente anterior a ella. Por
todo ello, buscó un álgebra independiente y sistemática, en vez de una
colección sin plan ni fundamento de símbolos y métodos ligados a la geometría.
Hay un esbozo de tratado de álgebra, conocido como Le Calcul (1638),
escrito por el propio Descartes o bajo su dirección, que considera el álgebra
como una ciencia específica. Este álgebra está desprovista de sentido; es una
técnica de cálculo, y forma parte de su búsqueda general del método.
La visión de Descartes del álgebra como una extensión de la lógica que trata de
la cantidad le sugirió la posibilidad de crear una ciencia algebraica más amplia
que considerase, además de la cantidad, otros conceptos y pudiese utilizarse
para cualquier tipo de problema. Hasta los principios y métodos lógicos podrían
expresarse simbólicamente, y se utilizaría todo el sistema para mecanizar el
razonamiento. Descartes llamó a esta noción «matemática universal». La idea es
vaga en sus realizaciones, y no llegó a investigarla en profundidad. A pesar de
todo, fue el primero en asignar al álgebra un lugar fundamental en el sistema
de conocimiento.
Esta visión del álgebra, considerada en su plenitud en primer lugar por Leibniz
y finalmente desarrollada en la lógica simbólica (cap.51, sec. 4), fue también
la de Barrow, aunque en menor amplitud. Barrow, amigo, profesor y predecesor de
Newton en la cátedra Lucasiana de matemáticas en Cambridge, no consideraba el
álgebra como parte de la matemática propiamente dicha, sino como una
formalización de la lógica. Para él, sólo la geometría era matemática, y la
aritmética y el álgebra trataban de magnitudes geométricas expresadas en
símbolos.
Con independencia de la filosofía del álgebra de Descartes y Barrow y de las
potencialidades que ambos puedan haber visto en ella como ciencia universal del
razonamiento, el efecto práctico del uso creciente de técnicas aritméticas y
algebraicas fue el de establecer el álgebra como rama de las matemáticas
independiente de la geometría. Para la época, Descartes dio un paso importante
al escribir a2 para representar tanto una longitud
como un área, cuando Vieta había insistido en que una segunda potencia debía
representar un área. Descartes llamó la atención sobre su utilización de a2 como
un número, observando explícitamente que se había apartado de sus predecesores.
Dice que x2 es una cantidad tal que x2:x = x:l.
Igualmente, dice en La Géometrie que un producto de líneas
puede ser una línea; pensaba en las cantidades, y no en términos geométricos
como habían hecho los griegos. Le parecía perfectamente claro que el cálculo
algebraico era independiente de la geometría.
John Wallis, influido por Vieta, Descartes, Fermat y Harriot, fue mucho más
lejos que ellos al liberar la aritmética y el álgebra de la representación
geométrica. En su Algebra (1685) dedujo algebraicamente todos
los resultados del libro V de Euclides. Abandonó también la limitación de
homogeneidad en las ecuaciones algebraicas en x e y, concepto
que se había mantenido debido a que dichas ecuaciones se derivaban de problemas
geométricos. Veía en el álgebra brevedad y transparencia.
Aunque a Newton le entusiasmaba la geometría, hallamos por vez primera en
su Arithmetica Universalis una afirmación de la importancia
básica de la aritmética y el álgebra en oposición a la geometría. Descartes y
Barrow todavía favorecían a la geometría como rama fundamental de las
matemáticas. Newton necesitó y utilizó el lenguaje algebraico para el
desarrollo del cálculo, cuya manipulación óptima era la algebraica. Y en lo que
se refiere a la supremacía del álgebra sobre la geometría, las necesidades del
cálculo diferencial e integral iban a ser decisivas.
Así, hacia 1700, el álgebra había alcanzado una situación que le permitía
mantenerse sobre sus propios pies. La única dificultad era que no tenía lugar
donde ponerlos. Desde los tiempos de egipcios y babilonios, la intuición, el
ensayo y error habían proporcionado algunas reglas de cálculo, la
reinterpretación del álgebra geométrica griega había dado otras, y el trabajo
algebraico independiente en los siglos XVI y XVII, guiado en parte por la
interpretación geométrica, había conducido a muchos resultados nuevos. Pero
para el álgebra no había fundamentos lógicos análogos a los que Euclides había
dado a la geometría. Esta despreocupación, aparte de las objeciones de Pascal y
Barrow, resulta sorprendente, ya que, para esta época, había en Europa plena
conciencia de las exigencias de una matemática deductiva rigurosa.
¿Cómo sabían los matemáticos lo que era correcto? Las propiedades de los
enteros positivos y las fracciones se deducen de manera tan inmediata de la
experiencia con colecciones de objetos que parecen evidentes. Hasta Euclides
dejó sin base lógica a los libros de los Elementos que tratan
de la teoría de números. A medida que se fueron añadiendo nuevos tipos de
números al sistema numérico, las reglas de las operaciones ya aceptadas para
los enteros positivos y las fracciones se aplicaron a los nuevos elementos, con
el pensamiento geométrico como útil guía. Las letras, cuando fueron
introducidas, eran simples representaciones de números y podían ser tratadas
como tales. Las técnicas algebraicas más complicadas se justificaban bien por
argumentos geométricos como los de Cardano, bien por pura inducción sobre casos
específicos; pero ninguno de estos procedimientos era lógicamente
satisfactorio. Ni siquiera la invocación a la geometría daba la base lógica
para los números negativos, irracionales o complejos, ni justificaba, por
ejemplo, la argumentación de que si un polinomio es negativo para x = a y
positivo para x = b, debe anularse
entre ay b.
No obstante todo ello, los matemáticos procedieron alegre y confiadamente al
empleo de la nueva álgebra. Wallis, de hecho, afirmaba que los métodos del
álgebra no eran menos legítimos que los de la geometría. Sin darse cuenta, los
matemáticos estaban a punto de entrar en una nueva era en la que inducción,
intuición, ensayo y error y argumentos físicos iban a servir de bases para las
demostraciones. El problema de construir un fundamento lógico para el sistema
numérico y el álgebra era difícil, mucho más de lo que ningún matemático del
siglo XVII podía haber percibido. Y es una suerte que los matemáticos fuesen
crédulos, y hasta ingenuos, y no lógicamente escrupulosos; pues la creación
libre debe preceder a la formalización y la fundamentación lógica, y el más
grande período de creación matemática acababa de comenzar.
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Capítulo 14
Los comienzos de la geometría proyectiva
Confieso francamente que nunca he sentido gusto por el estudio o
la investigación en física o en geometría, a no ser que pudieran servir como
medio de llegar a algún tipo de conocimiento de las causas próximas... para el
bien y la comodidad de la vida, el mantenimiento de la salud, la práctica de
algún arte... pues he observado que una buena parte de las artes se basa en la
geometría, como el de tallar la piedra en arquitectura, el de los relojes de
sol, y el de la perspectiva en particular.
Girard Desargues
Contenido:
1. El renacer de la geometría
2. Problemas planteados por los trabajos sobre la perspectiva
3. La obra de Desargues
4. La obra de Pascal y La Hire
5. La aparición de nuevos principios
Bibliografía
1. El renacer de la geometría
El resurgir de la actividad creadora en geometría anduvo a la zaga del renacer
del álgebra. Aparte de la creación del sistema matemático de perspectiva y de
las incidentales aportaciones geométricas de los artistas de Renacimiento (cap.
12, sec. 2), muy poco de importancia se hizo en geometría desde el tiempo de
Pappus hasta 1600. Provocó cierto interés la aparición de numerosas ediciones
impresas de las Secciones Cónicas de Apolonio, especialmente la notable
traducción latina de Federigo Commandino (1509-75) de los libros I al IV en
1566. Los libros V al VII vieron la luz gracias a otros traductores, y una
serie de matemáticos, entre ellos Vieta, Willebrord Snell (1580-1626) y
Ghetaldi emprendieron la reconstrucción del perdido libro VIII.
Lo que hacía falta para dirigir las mentes de los matemáticos por nuevos
caminos eran problemas nuevos. Uno de ellos había sido ya planteado por
Alberti: ¿qué propiedades geométricas tienen en común dos secciones de la misma
proyección de una figura real? Un gran número de problemas procedía de las
ciencias y las necesidades prácticas. El uso que hizo Kepler de las secciones
cónicas en su obra de 1609 dio un enorme impulso al reexamen de dichas curvas y
a la búsqueda de propiedades que fueran útiles para la astronomía. La óptica,
que venía interesando a los matemáticos desde la época griega, recibió gran
atención tras la invención del telescopio y el microscopio, a principios del
siglo XVII. El diseño de lentes para estos instrumentos se convirtió en un
problema de primera magnitud, que se tradujo en interés por la forma de las
superficies, o la de sus curvas generatrices si aquéllas eran de revolución.
Las exploraciones geográficas habían creado la necesidad de disponer de mapas y
de estudiar las trayectorias de los barcos representados en la esfera y en el
mapa. La introducción de la noción de una Tierra móvil exigía nuevos principios
en la mecánica que dieran cuenta de las trayectorias de los objetivos móviles,
lo que también significaba estudiar curvas. Entre los objetivos móviles, los
proyectiles eran los más importantes, ya que los cañones de la época podían
disparar ya balas a cientos de metros, siendo, pues, vital predecir su
trayectoria y su alcance. El problema práctico de hallar áreas y volúmenes
empezó a atraer mayor atención. La Nova Stereometria Doliorum
Vinariorum (Nueva Ciencia de Medir Volúmenes de Toneles de Vino, 1615)
de Kepler inició un nuevo estallido de actividad en este área.
Otra clase de problemas entró en escena como consecuencia de la asimilación de
las obras griegas. Los matemáticos empezaron a darse cuenta de que a los
métodos griegos de demostración les faltaba generalidad. Hacía falta crear un
método especial casi para cada teorema. Esta observación ya la había hecho
Agrippa von Nettesheim en 1527, así como Maurolico, traductor de obras griegas
y autor de libros sobre secciones cónicas y otras cuestiones matemáticas.
La mayoría de las soluciones dadas a estos nuevos problemas resultaron no ser
más que variaciones menores sobre temas antiguos. La forma de tratar las
secciones cónicas se vio alterada. Tales curvas empezaron a definirse como
lugares geométricos en el plano, en vez de como secciones de un cono, como en
la obra de Apolonio. Guidobaldo del Monte, por ejemplo, definió la elipse en
1579 como el lugar de los puntos cuya suma de distancias a los focos es
constante. No sólo las cónicas, sino otras curvas griegas más antiguas, como la
concoide de Nicomedes, la cisoide de Diocles, la espiral de Arquímedes y la cuadratriz
de Hipias fueron estudiadas de nuevo. Se introdujeron nuevas curvas, muy
especialmente la cicloide (ver cap. 17, sec. 2). Pero aunque todo este trabajo
era útil para difundir las contribuciones de los griegos, nada en él ofrecía
novedades en resultados o en métodos de demostración. La primera innovación
trascendente tuvo lugar como respuesta a los problemas planteados por los
pintores.
2. Problemas planteados por los trabajos sobre la perspectiva
La idea básica del sistema de perspectiva focal creado por los pintores es el
principio de proyección y sección (cap. 12, sec. 1). Una escena real es vista
por el ojo, considerado como un punto. Las líneas de fuga desde varios puntos
de la escena hacia el ojo se dice que constituyen una proyección. Según dicho
principio, la propia pintura debe contener una sección de tal proyección,
formada por lo que aparecería en un plano que pasase a través de la proyección.
Figura 14.1
Supongamos ahora que un ojo situado en O (fig.
14.1) mira hacia el rectángulo horizontal ABCD. Las líneas trazadas
desde O hasta los puntos de los cuatro lados del rectángulo
constituyen una proyección, de la cual OA, OB, OC y OD son
líneas típicas. Si ahora interponemos un plano entre el ojo y el rectángulo,
las líneas de la proyección lo atravesarán y dejarán marcado en él un
cuadrilátero A'B'C'D'. Como la sección, es decir, A'B'C'D',
crea la misma impresión en el ojo que el rectángulo original, es razonable
preguntarse, como Alberti, qué propiedades geométricas tienen en común la
sección y el rectángulo original. Es intuitivamente claro que la figura
original y la sección no son ni congruentes ni semejantes, ni tienen la misma
área. De hecho, la sección no es necesariamente un rectángulo.
Este problema admite una extensión: consideremos dos secciones distintas de
esta misma proyección correspondientes a dos planos distintos que cortan a la
proyección en ángulos cualesquiera. ¿Qué propiedades geométricas tienen en
común ambas secciones?
Figura 14.2
El problema puede extenderse aún más. Supongamos que un
rectángulo ABCD es visto desde dos lugares distintos, O' y O" (fig.
14.2). Hay entonces dos proyecciones, una determinada por O' y
el rectángulo y la otra determinada por O" y el mismo
rectángulo. Si se realiza una sección de cada proyección, visto que cada una de
ellas debería tener ciertas propiedades en común con el rectángulo, también
ellas deberían tener propiedades geométricas comunes entre sí.
Algunos de los geómetras del siglo XVII se propusieron responder a estas
cuestiones. Siempre consideraron los métodos que utilizaban y los resultados
que obtenían como parte de la geometría euclídea, y, sin embargo, esos métodos
y resultados, aun contribuyendo sin duda en gran medida a ese campo, resultaron
ser los comienzos de una nueva rama de la geometría, conocida a partir del
siglo XIX como «geometría proyectiva». Nos referiremos a las investigaciones en
este área con tal nombre, aunque en el siglo XVII no se hacía distinción entre
las geometrías euclídea y proyectiva.
3. La obra de Desargues
Quien primero atacó directamente los problemas arriba mencionados fue el
autodidacta Girard Desargues (1591-1661), que llegó a ser oficial del ejército
y después ingeniero y arquitecto. Desargues conocía la obra de Apolonio y pensó
en la posibilidad de introducir nuevos métodos de demostración de teoremas
sobre cónicas, cosa que hizo, y con plena conciencia de la potencia de tales
métodos. Desargues quería también mejorar la formación y las técnicas de los
artistas, ingenieros y talladores de piedra; la teoría por sí misma le
interesaba poco. Empezó por poner en orden muchos teoremas utilizables,
difundiendo inicialmente sus resultados en cartas y hojas impresas. Dio también
clases gratis en París. Después escribió varios libros, uno de ellos de
enseñanza de canto para niños, y otro de aplicación de la geometría a la
albañilería y al tallado .de piedras.
Su texto principal, precedido en 1636 por un folleto sobre perspectiva,
fue Brouillon project d'une atteinte aux événements des recontres du
cone avec un plan (Borrador de un ensayo de tratado de los
resultados de los encuentros de un cono con un plano, 1939)[39]. Este libro trata de lo que ahora llamaríamos métodos
proyectivos en geometría. Desargues imprimió unos cincuenta ejemplares y los
distribuyó entre sus amigos. Poco después, todos se habían perdido. Una copia
manuscrita de La Hire fue hallada accidentalmente en 1845 por Michel Chasles y
reproducida por N. G. Poudra, quien editó la obra de Desargues en 1864.
Finalmente, Pierre Moisy descubrió hacia 1950 una primera edición de 1639 en la
Biblioteca Nacional de París, que ha sido reproducida. Este ejemplar recién
descubierto contiene también un apéndice y una importante fe de erratas del
propio Desargues. El teorema fundamental de Desargues sobre triángulos y otros
resultados fueron publicados en 1648 en un apéndice de un libro sobre
perspectiva de un amigo suyo, Abraham Bosse (1602-76). En este libro, Maniere
universelle de M. Desargues, pour pratiquer la perspective, Bosse trató de
popularizar los métodos prácticos de Desargues.
Desargues empleaba una curiosa terminología, parte de la cual ya aparecía en la
obra de Alberti. Llamaba «palmas» a las rectas. Cuando ciertos puntos aparecían
señalados en la recta, lo llamaba «tronco». Sin embargo, una recta con tres
pares de puntos en involución (ver más abajo) era un «árbol». La intención de
Desargues al introducir esta nueva terminología era ganar en claridad al evitar
las ambigüedades presentes en los términos más usuales. Pero su lenguaje y sus
extrañas ideas hacían difícil la lectura del libro. Mersenne, Descartes, Pascal
y Fermat lo llamaron loco. Incluso Descartes, al enterarse de que Desargues
había introducido un nuevo método para tratar las cónicas, escribió a Mersenne
que no veía cómo nadie pudiera hacer nada nuevo en cónicas que no fuese con
ayuda del álgebra. Sin embargo, al conocer Descartes los detalles del trabajo
de Desargues, lo respetó profundamente. Fermat consideraba a Desargues el
verdadero fundador de la teoría de las secciones cónicas, y hallaba su libro
rico en ideas, que al parecer poseía. Pero la falta general de aprecio hacia su
obra repugnó a Desargues, que se retiró a su hacienda.
Antes de dar cuenta de los teoremas de Desargues, hemos de introducir un nuevo
convenio sobre paralelas. Alberti había apuntado que dos rectas que son
paralelas en una escena real deben ser dibujadas de forma que se corten en un
punto, a no ser que sean paralelas al lienzo. Así, las líneas A'B' y C'D' de
la figura 14.1 más arriba, que se corresponden con las paralelas AB y CD,
según el principio de proyección y sección deben cortarse en algún punto O'.
De hecho, Oy AB determinan un plano, así
como O y CD. Estos dos planos cortan al cristal
en A'B' y C'D', pero como se cortan en O, esos dos
planos han de tener una recta común; esta recta corta al cristal en cierto
punto O', que es también la intersección de A'B' y C'D'.
El punto O' no corresponde a ningún punto ordinario de AB ni
de CD. De hecho, la recta OO' es horizontal, y por
tanto paralela a AB y CD. El punto O' se
llama punto impropio o de anulación, pues no tiene correspondiente en las
rectas AB y CD, mientras que cualquier otro punto
de A'B'y C'D' se corresponde con un punto definido
de AB y CD, respectivamente.
Para completar la correspondencia entre los puntos de las líneas A'B' y AB,
así como entre los puntos de C'D' y CD, Desargues
introdujo un nuevo punto en AB y CD, llamado punto
del infinito, que se añade a los puntos usuales de ambas líneas y debe
considerarse como su punto común. Además, cualquier paralela a AB o CD debe
contenerlo y cortar a AB y CD en él.
Cualquier conjunto de rectas paralelas con dirección distinta de AB o CD tiene
asimismo un punto del infinito. Como cada conjunto de rectas paralelas tiene un
punto en común y existe un número infinito de conjuntos distintos de paralelas,
el convenio de Desargues introduce una infinidad de nuevos puntos en el plano
euclídeo. Hizo la hipótesis adicional de que éstos yacen en una recta, que
corresponde a la línea del horizonte en la sección. Se añade así una nueva línea
recta a las ya existentes en el plano euclídeo. Se supone que un conjunto de
planos paralelos tiene en común la recta del infinito de cada uno de ellos; es
decir, todos los planos paralelos se cortan en una recta.
La adición de un nuevo punto a cada recta no contradice axioma o teorema alguno
de la geometría euclídea, aunque requiere ciertos cambios de terminología. Las
rectas no paralelas siguen cortándose en puntos ordinarios, mientras que dos
paralelas se cortan en el «punto del infinito» de cada una. Este convenio sobre
los puntos del infinito en geometría euclídea es cómodo, pues evita considerar
casos particulares. Por ejemplo, ahora se puede decir que dos rectas
cualesquiera se cortan exactamente en un punto. Pronto veremos otras ventajas
de este convenio.
También Kepler, en 1604, había añadido un punto del infinito a las rectas
paralelas, pero por razones distintas.
Figura 14.3
Cada recta que pasa por P (fig. 14.3) y corta
a l tiene un punto común, Q, con ésta, Sin
embargo, no corresponde ningún punto a PR, la paralela a l por P.
Al añadir un punto en el infinito común a PR y l,
Kepler podía afirmar que cada recta que pasa por P corta
a l. Además, una vez que Q se ha ido «al infinito»
por la derecha y PQ se ha convertido en PR, el
punto de intersección de PR y l puede
considerarse como un punto en el infinito a la izquierda de P; y a
medida que PRsigue girando alrededor de P, el
punto Q' de intersección de PR y l se
moverá hacia la izquierda. Así, se mantiene la continuidad de la intersección
de PR y l. En otras palabras, Kepler (y Desargues)
consideraba que los dos «extremos» de la recta se cortan «en el infinito»,
de forma que la recta tiene la estructura de un círculo. De hecho, Kepler
pensaba en una recta como un círculo con su centro en el infinito.
Figura 14.4
Una vez introducidos sus puntos y rectas del infinito, Desargues
pudo enunciar un teorema básico, llamado hoy «teorema de Desargues».
Consideremos (fig. 14.4) el punto O y el triángulo ABC .
Las rectas que parten de O hacia los diversos puntos de los
lados del triángulo constituyen, como sabemos, una proyección. Una sección de
esta proyección contendrá, pues, un triángulo A'B'C', donde A'corresponde
a A, B' a B y O a C .
Ambos triángulos, ABC y A'B'C', se dicen
perspectivos desde el punto O. El teorema de Desargues afirma
entonces: los pares de lados homólogos AB y A'B', BC y B'C',
y AC y A'C' (o sus prolongaciones) de dos
triángulos perspectivos desde un punto se cortan en tres puntos alineados.
Recíprocamente, si los tres pares de lados homólogos de dos triángulos se
cortan en tres puntos alineados, entonces las rectas que unen los vértices
homólogos se cortan en un punto. Refiriéndonos específicamente a la figura, el
teorema propiamente dicho afirma que, dado que AA', BB' y CC' se
cortan en un punto O, los lados AC y A'C' se
cortan en un punto P, AB y A'B' se
cortan en un punto Q y BC y B'C' se
cortan en un punto R, y P, Q y R se
hallan sobre una recta.
Aunque el teorema es cierto tanto si los triángulos están en el mismo o en
diferentes planos, la demostración sólo es sencilla en el último caso.
Desargues probó el teorema y su recíproco, tanto para el caso bidimensional
como el tridimensional.
Figura 14.5
En el apéndice de la obra de Bosse de 1648 aparece otro
fundamental resultado de Desargues: la invariancia de la razón doble por
proyecciones. La razón doble de los segmentos formados por cuatro puntos A, B, C y D de
una recta (fig. 14.5) es, por definición BA:BC = DA:DC.
Pappus ya había introducido esta razón (cap. 5, sec. 7) y había probado que es
la misma en las dos rectas AD y A'D'. Menelao
también probó un teorema semejante sobre círculos máximos en la esfera (cap. 5,
sec. 6). Ninguno de ellos, sin embargo, pensaba en términos de proyecciones y
secciones. Desargues sí, y demostró que la razón doble es la misma en cualquier
sección de una proyección.
En su obra fundamental de 1639 trata del concepto de involución, también
introducido por Pappus, y al que Desargues dio nombre.
Figura 14.6
Se dice que dos pares de puntos A, B y A', B' constituyen
una involución si existe un punto especial O, llamado centro de la
involución, sobre la recta que contiene a los cuatro puntos, tal que OA ´ OB = OA' ´ OB' (fig.
14.6). Análogamente, se dice que tres pares de puntos A, B, A', B' y A", B" constituyen
una involución si OA ´ OB = OA’ ´ OB' = OA" ´ OB".
Los puntos A y B, A' y B' y A" y B" se
dice que son conjugados. Si existe un punto E tal que OA ´ OB = OE2, E se
llama punto doble. En tal caso, existe un segundo punto doble F,
y O es el punto medio de EF. El conjugado de O es
el punto del infinito. Desargues empleó el teorema de Menelao sobre la recta
que corta los lados de un triángulo para demostrar que si los cuatro
puntos A, B, A' y B' forman
una involución (fig. 14.7), y si se proyectan desde P en los
puntos A1, B1, A'1 y B'1 de
otra recta, entonces el segundo conjunto de puntos forma también una
involución.
Figura 14.7
Desargues demostró un teorema fundamental sobre involuciones.
Figura 14.8
Para explicarlo, consideremos primero el concepto de
cuadrilátero completo, noción ya tratada en parte por Pappus. Sean B, C, D y E cuatro
puntos cualesquiera de un plano (fig. 14.8), de los cuales no haya tres
alineados. Estos determinan seis rectas, que son los lados del cuadrilátero
completo.
Dos lados son opuestos cuando no tienen en común ninguno de los cuatro puntos,
de forma que BC y DE son opuestos, como CD y BE y
también BD y CE.
Las intersecciones O, F y A de
los tres pares de lados opuestos son los puntos diagonales del cuadrilátero.
Supongamos ahora que los cuatro vértices B, C, D y E están
en un círculo, y supongamos que una recta PM corta a los pares
de lados en P, Q; I, K; y G, H;
y al círculo en el par L, M.
Estos cuatro pares de puntos son pares de una involución.
Supongamos además que la figura completa se proyecta desde un punto exterior al
plano de la figura, y se efectúa una sección de esta proyección. El círculo
dará origen en la sección a una cónica, y cada recta de la figura original dará
lugar a su vez a una recta. En particular, el cuadrilátero inscrito en el
círculo dará lugar a un cuadrilátero inscrito en la cónica. Como una involución
se proyecta sobre una involución, se sigue el siguiente resultado, importante y
general: si un cuadrilátero se halla inscrito en una cónica, cualquier recta
que no pase por un vértice corta a la cónica y a los pares de lados opuestos
del cuadrilátero completo en cuatro pares de puntos de una involución.
Desargues introduce a continuación la noción de cuaterna armónica. Los
puntos A, B, E y F forman
una cuaterna armónica si A y B son un par de
puntos conjugados con respecto a los puntos dobles E y F de
una involución. (La definición actual de que la razón doble de la cuaterna
armónica sea igual a -1 es posterior.) [40] Como una involución se proyecta en una involución, una
cuaterna armónica se proyecta en una cuaterna armónica. Desargues muestra
entonces que si un miembro de una cuaterna armónica es el punto del infinito
(de la recta de los cuatro), el otro punto del par es el punto medio del
segmento que une los otros dos puntos de la cuaterna. Además, si A, B, A' y B' forman
una cuaterna armónica (fig. 14.9), y se considera la proyección desde O,
entonces OA' es perpendicular a OB', OA'es
la bisectriz del ángulo AOB y OB' es la
bisectriz del ángulo suplementario.
Figura 14.9
Con la noción de cuaterna armónica a mano, Desargues sigue con
la teoría de polos y polares, ya introducida por Apolonio. Desargues parte de
un círculo y un punto exterior A (fig. 14.10).
Figura 14.10
Entonces, sobre cada recta por A que corte al
círculo en C y D, por ejemplo, hay un cuarto
armónico B. Para todas esas rectas, el cuarto armónico yace en una
recta, la polar del punto A. Así, la recta BB' es
la polar de A. Supongamos, además, que introducimos un cuadrilátero
completo del cual A sea un punto diagonal, y cuyos vértices
estén en el círculo. Sean C, D, D' y C' estos
vértices. Entonces, la polar de A pasa por los otros dos
puntos diagonales del cuadrilátero completo. (En la figura, R es
uno de los puntos diagonales.) Lo mismo se puede decir cuando el punto A se
halla en el interior del círculo. Si el punto A es exterior al
círculo, la polar de A une los puntos de contacto de las
tangentes desde A al círculo (los puntos P y Q de
la figura).
Tras demostrar los asertos anteriores para el círculo, Desargues usa una vez
más la proyección desde un punto exterior al plano de la figura y una sección
de dicha proyección para probar que los resultados se verifican para una cónica
cualquiera.
Desargues define un diámetro de una cónica como la polar de un punto del
infinito. Vamos a ver que esta definición coincide con la de Apolonio.
Figura 14.11
Consideremos una familia de paralelas que cortan a la cónica
(fig. 14.11). Estas rectas tienen en común un punto del infinito. Si A'B' es
una de ellas, el conjugado armónico con respecto a A' y B' del
punto del infinito de A'B' es el punto medio Bde
la cuerda A'B'. Análogamente, B1, conjugado
armónico del punto del infinito con respecto a A1'
y B1', es el punto medio de la cuerda A1'B1'.
Estos puntos medios de la familia de cuerdas paralelas están en una línea
recta, que es un diámetro según la definición de Apolonio. Desargues prueba
entonces una serie de hechos sobre diámetros, diámetros conjugados y asíntotas
a hipérbolas.
Vemos, pues, que Desargues no sólo introdujo nuevos conceptos, en particular
los elementos del infinito, obteniendo muchos resultados, sino que, sobre todo,
introdujo la proyección y sección como nuevo método de demostración, unificando
así el estudio de los distintos tipos de cónicas, que Apolonio había tratado
por separado. Desargues fue uno de los matemáticos más originales de un siglo
rico en genios.
4. La obra de Pascal y La Hire
La segunda contribución de importancia a la geometría proyectiva fue la de
Blaise Pascal (1623-62). Nacido en Clermont, Francia, fue un niño enfermizo y
tuvo mala salud a lo largo de su corta vida. Su padre, Etienne Pascal, trató de
mantener a su hijo alejado de las matemáticas hasta que tuviese quince o
dieciséis años, por considerar que no se debe iniciar a un niño en una materia
mientras no tenga edad suficiente para absorberla. Sin embargo, a los doce años
de edad, Blaise insistió en saber qué era la geometría, y, una vez que se le
dijo, empezó a trabajar en ella por su cuenta.
La familia se había trasladado a París cuando Pascal tenía ocho años. Incluso
de niño iba con su padre a las reuniones semanales de la «Académie Mersenne»,
que más tarde se convertiría en la Academia Libre y, en 1666, en la Academia de
Ciencias. Entre sus miembros se hallaban el P. Mersenne, Desargues, Roberval
(profesor de matemáticas en el Collége de France), Claude Mydorge (1585-1647) y
Fermat.
Pascal dedicó tiempo y energía considerables a la geometría proyectiva. Fue uno
de los fundadores del cálculo, e influyó sobre Leibniz en esta cuestión. Como
ya hemos visto, también tuvo participación en los comienzos de la investigación
sobre la probabilidad. A los diecinueve años inventó la primera máquina
calculadora para ayudar a su padre en su trabajo como tasador de impuestos. Sus
aportaciones también incluyen la física, con su trabajo experimental en un
original mecanismo para crear el vacío, en el estudio del decrecimiento del
peso del aire con la altura y en la aclaración del concepto de presión en los
líquidos. La originalidad de su trabajo en física ha sido cuestionada; de
hecho, algunos historiadores de la ciencia lo han descrito como divulgativo o
como plagiario, según lo compasivos que quisieran ser.
Pascal fue grande en muchos otros campos. Fue un maestro de la prosa francesa;
sus Pensées y sus Lettres provinciales son
clásicos de la literatura. Fue también polemista famoso en teología. Desde la
infancia trató de reconciliar la fe religiosa con el racionalismo de las
matemáticas y la ciencia, y ambos compitieron por su energía y su tiempo a lo
largo de su vida. Pascal, como Descartes, creía que las verdades de la ciencia
deben apelar claramente a los sentidos o a la razón, o ser consecuencias
lógicas de tales verdades. No hallaba lugar para conjurar misterios en materias
de ciencia y matemáticas. «Nada que tenga que ver con la fe puede ser objeto
de la razón.» En materia de ciencia, en la cual sólo interviene nuestro
pensamiento natural, la autoridad es inútil; la razón por sí misma tiene bases
para tal conocimiento. Sin embargo, los misterios de la fe se ocultan a los
sentidos y a la razón, y deben ser aceptados por la autoridad de la Biblia.
Condena a los que usan la autoridad en la ciencia o la razón en la teología,
considerando, no obstante, el nivel de la fe superior al de la razón.
La religión dominó sus pensamientos a partir de los veinticuatro años, aunque
siguió realizando un trabajo matemático y científico. Creía que el afán por la
ciencia por mero disfrute era incorrecto. Hacer del disfrute el fin principal
de la investigación era corromperla, porque uno llegaba a adquirir «una codicia
o lujuria por aprender, un apetito disoluto por el conocimiento... Un estudio
así de la ciencia surge de un interés principal por uno mismo como el centro de
las cosas, en lugar de preocuparse de buscar fuera, entre todos los fenómenos
naturales que nos rodean, la presencia de Dios y Su gloria».
En su obra matemática fue mayormente intuitivo; anticipó grandes resultados,
hizo soberbias conjeturas y supo ver métodos más directos. En etapas más
avanzadas de su vida llegó a considerar la intuición como la fuente de toda
verdad. Varias de sus frases sobre este tema se han hecho famosas: «El
corazón tiene sus propias razones, que la razón desconoce.» «La razón es
el lento y tortuoso método por el cual los que no conocen la verdad la
descubren.» «Humíllate, razón impotente.»
Si hemos de guiarnos por la carta que escribió a Fermat el 10 de agosto de
1660, Pascal parece haberse vuelto en cierta medida contra las matemáticas
hacia el fin de su vida: «Hablando francamente de las matemáticas, las
encuentro el ejercicio más elevado del espíritu; pero al mismo tiempo sé que es
tan inútil que hago poca distinción entre un hombre que sólo sea matemático y
un artesano común. También la llamo la ocupación más bella del mundo; pero es
sólo una ocupación; he dicho muchas veces que es bueno intentarlo [estudiar
matemáticas], pero sin agotar nuestras fuerzas; así que yo no daría dos pasos
por las matemáticas, y estoy seguro de que usted apoya firmemente mi opinión.»
Pascal era hombre de cualidades muy variadas, aunque contradictorias.
Desargues urgió a Pascal a trabajar en el método de proyección y sección,
sugiriéndole en particular el objetivo de reducir las muchas propiedades de las
secciones cónicas a un pequeño número de proposiciones básicas. Pascal adoptó
estas recomendaciones, y en 1639, a los dieciséis años, escribió un libro sobre
cónicas que empleaba métodos proyectivos, es decir, proyección y sección. Este
trabajo se ha perdido, pero Leibniz lo vio en París en 1676, y se lo describió
al sobrino de Pascal. Un Ensayo sobre las cónicas (1640) de ocho páginas,
conocido de unos pocos contemporáneos de Pascal, se perdió también, hasta 1779,
en que fue recuperado[41]. Descartes, que leyó su ensayo de 1640, lo consideró tan
brillante que no podía creer que lo hubiese escrito alguien tan joven.
El resultado más famoso de Pascal en geometría proyectiva, que aparece en las
dos obras antes citadas, es un teorema que lleva hoy su nombre, y que en
lenguaje moderno afirma lo siguiente: si se tiene un hexágono inscrito en una
cónica, los tres puntos de intersección de los pares de lados opuestos están en
línea recta.
Figura 14.12
Así (fig. 14.12) P, Q y R están
alineados. Si los lados opuestos del hexágono son paralelos, P, Q y R están
en la recta del infinito.
Sólo tenemos indicaciones acerca de cómo probó Pascal este teorema. Afirma que,
al ser cierto para el círculo, por proyección y sección debe ser cierto para
todas las cónicas. Y es claro que si uno efectúa una proyección de dicha figura
desde un punto exterior al plano, seguida de una sección, ésta contendrá una
cónica y un hexágono inscrito en ella. Además, los lados opuestos del hexágono
se cortarán en tres puntos que se hallarán sobre una recta, puntos y recta
homólogos a P, Q, R y la recta PQR de
la figura original. Por cierto, el teorema de Pappus (cap. 5, sec. 7), que se
refiere a tres puntos sobre dos rectas, es un caso particular de este teorema.
Cuando la cónica degenera en dos rectas, como cuando una hipérbola degenera en
sus asíntotas, se obtiene la situación descrita por Pappus.
El recíproco del teorema de Pascal, a saber: «si un hexágono es tal que los
puntos de intersección de sus tres pares de lados opuestos están en línea
recta, entonces sus vértices están sobre una cónica», es también cierto, aunque
Pascal no lo consideró. Hay otros resultados en la obra de Pascal de 1640, pero
no vale la pena analizarlos aquí.
El método de proyección y sección fue continuado por Philippe de La Hire
(1640-1718), que fue pintor en su juventud y después se dedicó a las
matemáticas y la astronomía. Como Pascal, La Hire fue muy influido por
Desargues y llevó a cabo considerable trabajo sobre las secciones cónicas.
Parte de él, aparecido en publicaciones de 1673 y 1679, empleaba la manera
sintética de los griegos, pero con nuevos métodos, como las definiciones
focales de la elipse y la hipérbola, y en algunas cosas utilizó la geometría
analítica de Descartes y Fermat. Su trabajo más importante, sin embargo, es
Sectiones Conicae (1685), y está dedicado a la geometría proyectiva. Como
Desargues y Pascal, La Hire demostraba primero propiedades del círculo,
relativas sobre todo a cuaternas armónicas, y las trasladaba a otras secciones
cónicas por proyección y sección. Podía así trasladar las propiedades del
círculo a cualquier tipo de sección cónica con un solo método de demostración.
Aunque hay algunas omisiones, como el teorema de involución de Desargues y el
teorema de Pascal, hallamos en la obra de La Hire de 1685 prácticamente todas las
propiedades de las cónicas que hoy nos son familiares, demostradas
sintéticamente y establecidas sistemáticamente.
Figura 14.13
De hecho, La Hire demuestra casi todos los 364 teoremas de
Apolonio sobre las cónicas. También prueba las propiedades armónicas de los
cuadriláteros. En total, La Hire demostró unos 300 teoremas. Trató de probar
que los métodos proyectivos eran superiores a los de Apolonio y a los nuevos
métodos analíticos de Descartes y Fermat (cap. 15), que ya habían sido creados.
Globalmente considerados, los resultados de La Hire no van más allá de los de
Desargues y Pascal. Sin embargo, en la teoría de polos y polares obtiene un
resultado nuevo importante: demuestra que si un punto describe una línea recta,
entonces la polar del punto gira alrededor del polo de la recta. Así, si Q (fig.
14.13) se mueve a lo largo de la recta p, la polar de Q gira
alrededor del polo P de la recta p.
5. La aparición de nuevos principios
Por encima de los teoremas concretos de Desargues, Pascal y La Hire surgían
nuevas ideas y perspectivas. La primera es la idea de cambio continuo de una
entidad matemática de un estado a otro; en nuestro caso, la entidad es una
figura geométrica. Fue Kepler, en su Astronomía pars Optica[42] de 1604, el primero que pareció darse cuenta de que la
parábola, la elipse, la hipérbola, el círculo y la cónica degenerada formada
por un par de rectas se pueden derivar continuamente unas de otras. Para llevar
a cabo este proceso de cambio continuo de una figura en otra, por ejemplo, de
elipse a parábola y después a hipérbola, Kepler fija un foco y supone el otro
móvil a lo largo de la recta que los une. Al hacer que el foco móvil se
desplace hasta el infinito (y que la excentricidad se aproxime a 1), la elipse
se convierte en parábola, y si ahora hacemos que el foco móvil reaparezca en la
recta, pero al otro lado del foco estacionario, la parábola se convierte en
hipérbola. Cuando los dos focos de una elipse se juntan, ésta se convierte en
un círculo, y cuando los dos focos de una hipérbola se juntan, ésta degenera en
dos rectas. Para hacer posible que un foco pueda alejarse hasta el infinito y
luego reaparecer al otro lado, Kepler suponía, como ya hemos indicado, que la
línea recta, extendida en ambas direcciones, se corta a sí misma en el infinito
en un punto, de forma que la recta tiene las propiedades de un círculo. Aunque
no es satisfactorio desde el punto de vista intuitivo visualizar así la recta,
la idea es lógicamente sólida, y llegó a ser fundamental en la geometría
proyectiva del siglo XIX. Kepler indicó también que las diversas secciones del
cono pueden obtenerse variando continuamente la inclinación del plano que las
produce.
La noción de cambio continuo en una figura es también empleada por Pascal.
Haciendo converger dos vértices consecutivos de un hexágono, éste se transforma
en pentágono, lo cual le permite razonar sobre propiedades del pentágono a
partir de las correspondientes del hexágono, analizando lo que les sucede ante
cambios continuos. Análogamente se pasa de pentágonos a cuadriláteros.
La segunda idea que surge claramente de la obra de los geómetras «proyectivos»
es la de transformación e invariancia. Proyectar una figura desde un cierto
punto y luego obtener una sección de dicha proyección es transformar la figura
original en otra nueva. Las propiedades de ésta que nos interesan son aquellas
que permanecen invariantes por la transformación. Otros geómetras del siglo
XIX, como Gregorio de St. Vincent (1584-1667) y Newton[43], introdujeron transformaciones distintas de la proyección y
sección.
Estos geómetras proyectivos continuaron además la labor de búsqueda de métodos
generales iniciada por los algebristas, Vieta en particular. En la época
griega, los métodos de demostración habían sido de potencia limitada. Cada
teorema exigía un plan de ataque distinto. Ni Euclides ni Apolonio parecen
haberse preocupado de los métodos generales. Sin embargo, Desargues insistió en
el método de proyección y sección porque veía en él un procedimiento general
para probar teoremas sobre cónicas cualesquiera, una vez demostrados para el
círculo. Además, vio en las nociones de involución y cuaterna armónica
conceptos más generales que los de la geometría euclídea. En efecto, una
cuaterna armónica, cuando uno de sus puntos está en el infinito, se reduce a
tres puntos, uno de los cuales es el punto medio de los otros dos, por lo cual
la noción de cuaterna armónica y los teoremas relativos a ellas son más
generales que la noción de punto bisector de un segmento. Desargues y Pascal
trataban de deducir el máximo número posible de resultados de un solo teorema.
Bosse indica que Desargues dedujo sesenta teoremas de Apolonio a partir de su
teorema de involución, y que Pascal le felicitó por ello. Este, en su búsqueda
de las relaciones entre figuras distintas, como hexágono y pentágono, trató de
hallar una aproximación común a ambas. Se piensa, en efecto, que dedujo unos
400 corolarios de su teorema del hexágono a base de analizar sus consecuencias
para figuras relacionadas con él, aunque no se ha hallado ninguna obra suya en
la que esto aparezca. El interés por el método es evidente en la obra de La
Hire de 1685, cuyo objetivo principal era precisamente probar que el método de
proyección y sección era superior a los de Apolonio, e incluso a los métodos
algebraicos de Descartes. Este afán por la generalidad en resultados y métodos
se convirtió en fuerza poderosa en la matemática posterior.
Mientras los geómetras insistían en la generalidad del método, estaban descubriendo
inconscientemente otro tipo de generalidad. Muchos de los teoremas, como el del
triángulo de Desargues, tratan de intersecciones de rectas, y no de longitudes,
ángulos y áreas, como sucede en la geometría euclídea. La intersección de dos
rectas es lógicamente anterior a cualquier consideración de tamaño, pues el
propio hecho de la intersección determina la formación de una figura. Estaba
naciendo una nueva y fundamental rama de la geometría interesada en las
propiedades de posición e intersección, y no en las métricas o de tamaño. Sin
embargo, los matemáticos del siglo XVII que trabajaron en geometría proyectiva
empleaban la geometría euclídea como base, particularmente los conceptos de
distancia y medida de ángulos. Además, estos geómetras, lejos de pensar en
términos de la nueva geometría, intentaban de hecho mejorar los métodos de la
geometría euclídea. La conciencia de que en su trabajo se hallaba implícita una
nueva rama de la geometría no llegó hasta el siglo XIX.
Si bien la motivación para el estudio de la geometría proyectiva fue
originalmente el deseo de ayudar a los pintores, este objetivo se desvió y se
fundió con el creciente interés por las secciones cónicas. Pero la matemática
pura no resultaba agradable al espíritu del siglo XVII, cuyos matemáticos
estaban mucho más interesados en entender y dominar la naturaleza; es decir, en
los problemas científicos. Los métodos algebraicos resultaron ser más efectivos
en el tratamiento de los problemas matemáticos, y proporcionaban el conocimiento
cuantitativo que ciencia y tecnología buscaban. Los resultados cualitativos
obtenidos por la geometría proyectiva con sus métodos sintéticos no eran, ni
mucho menos, tan útiles. De aquí que fuese abandonada en favor del álgebra, la
geometría analítica y el cálculo, que dieron lugar, independientemente, a
nuevas áreas de central importancia en la matemática moderna. Los resultados de
Desargues, Pascal y La Hire fueron olvidados y hubo de redescubrirse más tarde,
en el siglo XIX sobre todo, época en la cual las creaciones y nuevos puntos de
vista surgidos entre tanto permitieron a los matemáticos sacar el fruto de las
grandes ideas aún latentes en la geometría proyectiva.
Bibliografía
·
Chasles, Michel: Aperqu
historique des méthodes en géometrie, 3 ed., Gauthier-Villars et Fils,
pp. 68-95,118-37 (igual que en la primera edición de 1837).
·
Coolidge, Julián L.: A
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·
Desargues, Girard: Oeuvres, 2
vols., Leiber, 1864.
·
Ivins, W. M., Jr.: «A Note
on Girard Desargues», Scripta Math., 9, 1943, 33-48. —: «A
Note on Desargues’s Theorem», Scripta Math., 13, 1947, 203-10.
·
Mortimer, Ernest: Blaise Pascal: The Life and Work of a Realist, Harper
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·
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·
Smith, David Eugene: A
Source Book in Mathematics, Dover (reimpresión), 1959, vol. 2, pp.
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·
Struik, D. JA Source Book
in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press, 1969, pp. 157-68.
·
Taton, René: L'Oeuvre
mathématique de G. Desargues, Presses Universitai- res de France,
1951.
Capítulo 15
La geometría analítica
He decidido abandonar la geometría abstracta, es decir, la
consideración de cuestiones que sólo sirven para ejercitar la mente, para
estudiar otro tipo de geometría que tiene por objeto la explicación de los
fenómenos de la naturaleza.
René Descartes
Contenido:
1. La motivación de la geometría de coordenadas
2. La geometría analítica de Fermat
3. René Descartes
4. La obra de Descartes en geometría analítica
5. El avance de la geometría analítica
6. El avance de la geometría analítica durante el siglo XVII
7. La importancia de la geometría analítica
Bibliografía
1. La motivación de la geometría de coordenadas
Fermat y Descartes, los dos principales responsables de la gran creación
matemática que siguió a las que hemos estudiado, estaban interesados, como
Desargues y sus seguidores, en hallar métodos generales para el estudio de
curvas. Pero Fermat y Descartes se hallaban inmersos en el trabajo científico,
siendo, por ello, plenamente conscientes de la necesidad de métodos
cuantitativos, y la impresión que causó en ambos la potencia del álgebra hizo
que se volcaran a la aplicación de ésta al estudio de la geometría. La
disciplina que crearon se llama geometría de coordenadas o analítica, y su idea
central es asociar ecuaciones algebraicas a las curvas y superficies. Es ésta
una de las vetas más ricas y fructíferas del pensamiento matemático que jamás
se hayan encontrado.
Está fuera de toda duda que la motivación de Fermat y Descartes se hallaba en
las necesidades de la ciencia y en su interés por la metodología. Las
aportaciones de Fermat al cálculo, la construcción de tangentes y la obtención
de máximos y mínimos fueron motivadas, como veremos más claramente al hablar de
la historia del cálculo, por la resolución de problemas científicos. Hizo,
además, aportaciones de primer orden a la óptica. Su interés por la metodología
puede comprobarse explícitamente en su breve libro Ad Locos Planos et
Solidos Isagoge (Introducción a los lugares planos y sólidos[44]), escrito en 1629, pero publicado en 1679[45], en el que habla de su búsqueda de métodos universales para los
problemas de curvas. Fue, al igual que Descartes, uno de los científicos más
grandes de siglo XVII, y como él, hizo del método un objetivo primario de todo
su trabajo.
2. La geometría analítica de Fermat
En sus trabajos en teoría de números, Fermat partió de la obra de Diofanto.
Para sus investigaciones sobre curvas, partió de la obra de los geómetras
griegos, sobre todo Apolonio, cuyo libro perdido Lugares planos había
reconstruido. Gracias a sus contribuciones al álgebra, estaba en condiciones de
aplicarla al estudio de las curvas, cosa que hizo en Ad Locos,
afirmando su propósito de inaugurar un estudio general de los lugares
geométricos que los griegos no habían llegado a hacer. No conocemos la manera
exacta en que evolucionaron las ideas de Fermat sobre la geometría analítica.
Aunque estaba familiarizado con el uso que daba Vieta al álgebra en la
resolución de problemas geométricos, lo más probable es que tradujese
directamente los resultados de Apolonio a una forma algebraica.
Figura 15.1
Fermat considera una curva cualquiera y un punto genérico J sobre
ella (fig. 15.1). La posición de J viene fijada por una
longitud A, medida desde un punto Osobre una línea
de base a un punto Z, y la longitud E de Z a J.
Fermat emplea así lo que hoy llamamos coordenadas oblicuas, aunque no aparece
explícitamente ningún eje de las y, ni se emplean coordenadas negativas.
Sus A y E son nuestras x e y.
Fermat había enunciado con anterioridad su principio general: «Siempre que
en una ecuación se hallen dos cantidades incógnitas, tenemos un lugar
geométrico, cuyo extremo describe una línea recta o curva.» Así, los
extremos J, J', J''... de Een sus diversas posiciones
describen la «línea». Sus cantidades desconocidas A y E son
en realidad variables, esto es, la ecuación en A y E es
indeterminada. Aquí usa Fermat la idea de Vieta de representar con una letra
toda una clase de números. A continuación, Fermat da varias ecuaciones
algebraicas en A y E y analiza las curvas que describen. Así,
escribe «D in A aequetur B in E» (en nuestra notación, Dx = By),
y afirma que representa una línea recta. Da también la ecuación más
general d(a - x) = by en nuestra notación,
concluyendo que también representa una recta. La ecuación «B quad. - A
quad. aequetur E quad»(en nuestra notación, B2 - x2 =
y2) representa un círculo. Análogamente, a2 -
x2= ky2 representa una elipse, a2 + x2 =
ky2 y xy = a representan hipérbolas, y x2= ay representa
una parábola. Como Fermat no usaba coordenadas negativas, sus ecuaciones no
podían representar las curvas completas que pretendía describir. Era consciente
de la posibilidad de trasladar y girar los ejes, ya que consideró ecuaciones
más complicadas de segundo grado, dando las formas más simples a las que se
pueden reducir. Afirma, de hecho, que una ecuación de primer grado en A y E tiene
como lugar geométrico una recta, y todas las ecuaciones de segundo grado tienen
cónicas como lugares geométricos. En su Methodus ad Disquiriendam
Maximam et Minimam (Método para hallar máximos y mínimos, 1637)[46], introdujo las curvas de y = xn e y = x-n.
2. René Descartes
Descartes fue el primer gran filósofo moderno, uno de los fundadores de la
biología moderna, un físico de primera fila y, sólo incidentalmente,
matemático. Pero cuando un hombre de tal potencia intelectual dedica aunque
sólo sea una parte de su tiempo a un tema, los resultados han de ser
forzosamente importantes.
Nació en La Haye, Turena (Francia), el 31 de marzo de 1596. Su padre, un
abogado moderadamente rico, le envió a los ocho años de edad al colegio de
jesuitas de La Fleche, en Anjou. Por su delicada salud, le era permitido pasar
las mañanas en la cama, tiempo que aprovechaba para estudiar, y conservó esa
costumbre durante toda su vida. A los dieciséis años dejó La Fleche y a los
veinte se licenció en la Universidad de Poitiers con el título de abogado y
marchó a París. Allí encontró a Mydorge y al P. Marín Mersenne y pasó un año
con ellos estudiando matemáticas. Descartes, sin embargo, era muy inquieto y se
enroló en el ejército del príncipe Mauricio de Orange en 1617. Pasó los nueve
años siguientes alternando el servicio en diversos ejércitos con la juerga en
París, aunque siguió estudiando matemáticas en todo este período. Su habilidad
para resolver un problema anunciado en un tablón en Breda (Holanda) le
convenció de su capacidad matemática, y empezó a plantearse seriamente
dedicarse a ello. Volvió a París, y, entusiasmado por la potencia del
telescopio, se recluyó para estudiar la teoría y construcción de instrumentos
ópticos. En 1628 se fue a Holanda en busca de ambiente intelectual más libre y seguro.
Allí vivió veinte años y escribió sus famosas obras. En 1649 fue invitado a la
corte de la reina Cristina de Suecia. Aceptó, tentado por el honor y el
atractivo de la realeza, y allí murió de neumonía en 1650.
Su primera obra, Regulae ad Directionem Ingenii (Reglas para
la dirección del espíritu)[47], fue escrita en 1628 y publicada póstumamente. Su siguiente
obra importante fue Le Monde (Sistema del mundo, 1634), que
contiene una teoría cosmológica de vórtices para explicar cómo se mantienen los
planetas en su movimiento propio y en sus órbitas alrededor del sol. Sin
embargo, no la publicó por miedo a ser perseguido por la Iglesia. En 1637
publicó el Discours de la méthode pour bien conduire la raison, et
chercher la vérité dans les Sciences[48]. Este libro, un clásico de la literatura y la filosofía,
contiene tres famosos apéndices: La Géometrie, La Dioptrique y Les
Méteores. La Géometrie contiene sus ideas sobre la geometría analítica
y el álgebra, y es el único libro de matemáticas escrito por Descartes, aunque
no dejó de comunicar por carta otras muchas ideas matemáticas. El Discours le
trajo gran fama de inmediato, y su entusiasmo y el de su público no dejaron de
crecer con el paso del tiempo. En 1644 publicó Principia Philosopbiae, dedicada
a la ciencia física y en especial a las leyes del movimiento y la teoría de
vórtices. Contiene material de su Sistema,que ahora consideraba más
aceptable para la Iglesia. En 1650 publicó Musicae Compendium.
Las ideas de Descartes dominaron el siglo XVII. Sus enseñanzas y escritos
llegaron a ser conocidos incluso entre personas ajenas a la ciencia, por la
forma tan atractiva en que él las presentaba. Sólo la Iglesia le rechazó. En
realidad, Descartes era persona devota, y feliz de haber establecido (como creía)
la existencia de Dios. Pero había enseñado que la Biblia no era la fuente del
conocimiento científico, que la razón por sí sola bastaba para establecer la
existencia de Dios, y que el hombre sólo debía aceptar aquello que pudiese
entender. La Iglesia reaccionó ante tales enseñanzas incluyendo el libro en
el Índice de libros prohibidos poco después de su muerte, y
prohibiendo las oraciones fúnebres con ocasión de su entierro en París.
Descartes llegó a la matemática por tres vías: la filosofía, el estudio de la
naturaleza y el interés por los usos de la ciencia. Es difícil, y quizá
artificial, tratar de separar estas tres líneas de pensamiento. Vivió la
culminación de la controversia protestante y los primeros logros de la ciencia
en el descubrimiento de leyes de la naturaleza que desafiaban a muchas
doctrinas religiosas. Todo ello hizo que Descartes empezase a dudar de los
conocimientos que había adquirido en la escuela. Al término de sus estudios en
La Fleche, había llegado ya a la conclusión de que su educación no había hecho
más que contribuir a su perplejidad. Se vio asediado por dudas, y se convenció
de que no había más progreso que el reconocimiento de su propia ignorancia.
Pero como había asistido a una de las escuelas más famosas de Europa, y no se
consideraba mal estudiante, se vio justificado para dudar de que hubiera en
alguna parte algún cuerpo de conocimiento seguro. Se planteó así la cuestión:
¿Cómo podemos llegar al conocimiento de algo?
Pronto llegó a la conclusión de que la lógica en sí misma era estéril: «En
cuanto a la Lógica, los silogismos y los demás preceptos son de utilidad para
la comunicación de lo que ya sabemos, o... incluso para hablar sin juicio de
cosas que ignoramos, pero no para investigar lo desconocido.» La lógica, pues, no
nos proporciona las verdades fundamentales.
¿Y dónde hallarlas? Rechazó la filosofía del momento, fundamentalmente
escolástica, que, aunque sugestiva, parecía no disponer de fundamentos claros y
cuyos razonamientos no siempre eran irreprochables. La filosofía, concluyó,
sólo proporciona «los medios para disertar sobre cualquier materia con
apariencia de verdad». La teología apuntaba hacia un cielo al que aspiraba a
llegar tanto como cualquier otro, pero ¿era correcto el camino?
El método para establecer la verdad en cualquier campo se le ocurrió, según él,
en un sueño, el 10 de noviembre de 1619, durante una de sus campañas militares.
Era el método de las matemáticas. Estas le atraían porque las pruebas basadas
en sus axiomas eran irrefutables, y la autoridad no contaba para nada. Las
matemáticas proporcionaban el método para llegar a las verdades y para
demostrarlas efectivamente, y era evidente que dicho método trascendía a su
materia de estudio. Dice: «Es un método de conocimiento más potente que
ningún otro que nos haya sido otorgado por obra humana, y es la fuente de todos
los demás.» Continúa en la misma idea:
...Todas las ciencias que tienen como fin la investigación sobre
el orden y la medida están relacionadas con las matemáticas, y poco importa si
esa medida se busca en los números, formas, estrellas, sonidos o cualquier otro
objeto; por todo ello, debe existir una ciencia general que explique todo lo
que deba ser conocido sobre el orden y la medida, con independencia de su
aplicación a alguna disciplina particular, y es así que esta ciencia tiene su
propio nombre, consagrado por su prolongado uso, y es el de matemáticas. Y una
prueba de que sobrepasa con mucho en facilidad e importancia a las ciencias que
de ella dependen es que abarca a la vez todos los objetos a las que éstas se
dedican, además de muchos otros...
Y así concluye que
«las largas cadenas de razonamientos simples y fáciles a que
están acostumbrados los geómetras para alcanzar las conclusiones de sus más
difíciles demostraciones me han llevado a imaginar que todas las cosas cuyo
conocimiento compete al hombre están mutuamente relacionadas de la misma forma».
De su estudio del método matemático extrajo en las Reglas
para la dirección del espíritu los siguientes principios para asegurar
la exactitud del conocimiento en cualquier campo: no aceptar como verdadero
nada que no esté en la mente de forma tan clara y distinta que excluya
cualquier duda; dividir las dificultades en otras menores; proceder de lo
simple a lo complejo; y, finalmente, enumerar y revisar los pasos del
razonamiento de forma tan completa que nada pueda omitirse.
Con estos elementos esenciales del método, destilados de su práctica
matemática, Descartes esperaba resolver cuestiones de filosofía, física,
anatomía, astronomía, matemáticas y otros campos. Y aunque no tuvo éxito en tan
ambicioso programa, sí hizo contribuciones notables a la filosofía, las
ciencias y las matemáticas. La aprehensión inmediata por la mente de verdades
básicas, claras y distintas, el poder de la intuición y la deducción de
consecuencias son la esencia de su filosofía del conocimiento. Cualquier
pretensión de conocimiento obtenido de otra forma debe rechazarse como
sospechosa de error y peligrosa. El propósito de los tres apéndices del Discours es
mostrar la efectividad de su método, cosa que creyó haber logrado.
Descartes inauguró la filosofía moderna. No podemos aquí seguir hablando de su
sistema, sino sólo de unos pocos aspectos de importancia para las matemáticas.
En filosofía, tomó como axiomas verdades que le pareciesen tan claras como para
aceptarlas de inmediato, adoptando finalmente cuatro:
(a) cogito, ergo sum (pienso, luego existo);
(b) todo fenómeno tiene una causa;
(c) un efecto no puede ser mayor que su causa;
(d) son innatas a la mente las ideas de perfección, espacio, tiempo y
movimiento.
La idea de perfección, de ser perfecto, no puede ser deducida o creada por la
mente imperfecta del hombre, en virtud del axioma (c). Sólo puede obtenerse a
partir de un ser perfecto. Luego Dios existe. Como Dios no puede engañarnos,
podemos estar seguros de que los axiomas de las matemáticas, que son claros
para nuestra intuición, y las deducciones que de ellos hacemos mediante
procesos puramente mentales se aplican realmente al mundo físico y son, pues,
verdades. Se sigue así que Dios tiene que haber establecido la naturaleza según
leyes matemáticas.
En cuanto a las propias matemáticas, creía en las ideas claras y distintas,
como la de triángulo. Estas ideas matemáticas existen y son eternas e
inmutables, y no dependen de que se piense en ellas o no. Las matemáticas,
pues, tienen una existencia externa y objetiva.
La segunda cuestión esencial para Descartes, y para casi todos los pensadores
de su época, era entender la naturaleza. Dedicó muchos años a los problemas
científicos y experimentó intensamente en mecánica, hidrostática, óptica y
biología. Su teoría de los vórtices fue la dominante en cosmología durante todo
el siglo XVII. Fue el fundador de la filosofía mecanicista, según la cual todos
los fenómenos naturales, incluyendo el funcionamiento del cuerpo humano y
excluyendo el alma, se reducen a movimientos que obedecen a las leyes de la
mecánica. La óptica, particularmente el diseño de lentes, tenía gran interés
para él. Parte de La Géometrie está dedicada a la óptica, y lo
mismo sucede con La Dioptrique. Descartes comparte con
Willebrord Snell el honor del descubrimiento de la ley de refracción de la luz.
Como en filosofía, su obra científica fue fundamental y revolucionaria.
De gran importancia en esta obra científica es el interés de Descartes para
poner en uso los frutos de la ciencia (cap. 11, sec. 5), en lo cual se separa
clara y abiertamente de los griegos. Dominar la naturaleza para el bien del
hombre es la motivación de muchos de los problemas científicos a los que se
dedicó. E impresionado por el poder de las matemáticas, se aplicó en
utilizarlas; para él, no era una disciplina contemplativa, sino una ciencia
constructiva y útil. Al contrario que a Fermat, poco le importaba su belleza y
armonía, y menos aún valoraba la matemática pura, llegando a afirmar que el
método matemático aplicado sólo a las matemáticas carece de valor por no ser
parte del estudio de la naturaleza. Aquellos que cultivan las matemáticas por
sí mismas son investigadores ociosos entregados a un juego vano del espíritu.
3. La obra de Descartes en geometría analítica
Convencido de la importancia del método y de la posibilidad de emplear con
provecho las matemáticas en el trabajo científico, Descartes se dedicó a
aplicar dicho método a la geometría. En esa empresa juntaron sus fuerzas su
interés general en el método y su particular conocimiento del álgebra. Le
molestaba que cada demostración de la geometría euclídea exigiese argumentos
nuevos y a menudo ingeniosos. Tildaba explícitamente a la geometría de los
clásicos de abstracta en exceso y tan ligada a las figuras «que sólo puede
ejercitar el entendimiento a condición de fatigar grandemente la imaginación».
El álgebra, que tan extendida halló, fue también objeto de su crítica, por
estar tan completamente sujeta a reglas y fórmulas «que resulta un arte lleno
de confusión y oscuridad e idóneo para estorbar, y no una ciencia útil para el
desarrollo de la mente». Por todo ello, Descartes propone tomar lo mejor del
álgebra y la geometría y corregir los defectos de una con la ayuda de la otra.
Lo que en realidad emprendió fue la aplicación del álgebra a la geometría. Vio
con claridad la potencia del álgebra y su superioridad sobre los métodos
geométricos de los griegos en la creación de una metodología más amplia. Hizo
asimismo notar la generalidad del álgebra y su valor en la mecanización del
proceso del razonamiento y en la reducción del trabajo en la resolución de
problemas, y percibió su potencial como ciencia universal del método. El
producto de esta aplicación del álgebra a la geometría fue La
Géometrie.
Aunque Descartes usó las mejoras en la notación algebraica que ya hemos
indicado en el capítulo 13, su libro no es fácil de leer. Esta oscuridad era en
gran parte deliberada, y Descartes presumía que pocos matemáticos en Europa
podían entender su trabajo. Se limitó a indicar las construcciones y demostraciones,
dejando a otros la labor de completar los detalles. En una carta compara su
manera de escribir con la de un arquitecto que traza los planos y prescribe lo
que ha de hacerse, y deja el trabajo manual a carpinteros y albañiles. Dice
también: «Nada he omitido por descuido, más preveo que ciertas personas que
presumen de saberlo todo no perderían la oportunidad de decir que no he escrito
nada que ellos no conociesen si me expresase de forma suficientemente
inteligible para ellos.» Muchos comentarios explicativos se han escrito para
hacer comprensible el libro de Descartes.
Sus ideas sólo pueden entenderse mediante los ejemplos que da en el libro.
Omite la demostración de la mayor parte de sus enunciados generales alegando
que si uno se molesta en examinar sistemáticamente estos ejemplos, las
demostraciones de los resultados generales resultan claras, y es mejor
aprenderlas de esta manera.
Comienza La Géometrie con la resolución de problemas
geométricos mediante el álgebra, a la manera de Vieta, y sólo de forma gradual
va surgiendo la idea de la ecuación de una curva. Apunta en primer lugar que
las construcciones geométricas requieren sumar, restar, multiplicar y dividir
líneas, así como extraer raíces cuadradas de líneas concretas. Como todas estas
operaciones existen también en el álgebra, pueden expresarse en términos
algebraicos.
Para abordar un problema dado, Descartes dice que debemos suponer conocida la
solución y representar con letras todas las líneas, conocidas y desconocidas,
que sean necesarias para la construcción buscada. Así, al no hacer distinción
entre líneas conocidas y desconocidas, hemos de «desenmarañar» la dificultad
mostrando en qué forma están relacionadas entre sí estas líneas, con la idea de
expresar la misma cantidad de dos formas distintas, lo cual nos da una
ecuación. Hemos de encontrar tantas ecuaciones como líneas desconocidas haya.
Si quedan varias ecuaciones, hay que combinarlas hasta que sólo quede una línea
incógnita expresada en términos de líneas conocidas. A continuación, Descartes
muestra cómo construir la línea desconocida empleando el hecho de que satisface
la ecuación algebraica.
Supongamos, por ejemplo, que un problema geométrico nos lleva a hallar una
longitud desconocida x, y que la formulación algebraica indica
que x debe satisfacer la ecuación x2 =
ax + b2, donde a y b son
longitudes conocidas. Sabemos entonces por álgebra que
(Descartes no tenía en cuenta la segunda raíz, que es negativa.)
Ahora Descartes dice cómo construir x. Construye un triángulo
rectángulo NLM (fig. 15.2) con LM = b y NL
= a/2, y prolonga MN hasta O de
forma que NO = NL = a/2.
Figura 15.2
Entonces, la solución x es la longitud OM. Descartes
no da la prueba de que OMes la longitud correcta, que es inmediata,
pues
Por tanto, la expresión (1) de x, obtenida
resolviendo una ecuación algebraica, indica la construcción apropiada de x.
En la primera mitad del libro I, Descartes resuelve exclusivamente problemas
clásicos con ayuda del álgebra, lo que constituye una aplicación del álgebra a
la geometría, pero no geometría analítica en nuestro sentido actual. Hasta este
punto sólo ha considerado problemas de construcción determinados, que tienen
una única solución. Aborda a continuación problemas indeterminados, en los que
hay muchas longitudes como soluciones posibles. Los extremos de todas estas
longitudes rellenan una curva, y aquí, según Descartes, «se pide también
descubrir y trazar la curva que contiene todos esos puntos».
Esta curva viene descrita por la ecuación indeterminada final que expresa las
longitudes incógnitas y en términos de las longitudes arbitrarias x. Descartes
insiste además en que para cada x, y satisfaga una ecuación
determinada, de forma que pueda construirse. Si la ecuación es de primer o
segundo grado, ypuede construirse por los métodos del libro I, por
medio de rectas y círculos exclusivamente. Para ecuaciones de grado superior,
anuncia que mostrará su construcción en el libro III.
Descartes usa el teorema de Pappus (cap. 5, sec. 7) para ilustrar lo que sucede
cuando un problema da lugar a una ecuación con dos incógnitas. Este problema,
que no había sido resuelto en toda su generalidad, dice lo siguiente: dadas
tres rectas en un plano, hallar la posición (o lugar geométrico) de todos los
puntos desde los que se pueden trazar tres rectas, una para cada una de las
dadas, que formen un ángulo determinado con cada una de ellas (el ángulo puede
variar de una recta a otra), de forma que el rectángulo formado por dos de las
líneas construidas esté en una razón dada con el cuadrado de la tercera línea
construida; si son cuatro las rectas dadas inicialmente, entonces las rectas
construidas formando ángulos dados con las dadas deben ser tales que el
rectángulo formado por dos de ellas debe estar en una razón dada con el formado
por las otras dos; si hay inicialmente cinco rectas, entonces las cinco rectas
construidas formando un ángulo dado con cada una de las anteriores deben ser
tales que el producto de tres de ellas esté en una razón dada con el producto
de las dos restantes. La condición exigida al lugar geométrico cuando se dan
más de cinco líneas es una extensión obvia de la ya mencionada.
Pappus había anunciado que cuando se dan tres o cuatro rectas, el lugar buscado
es una sección cónica. En el libro II, Descartes trata el problema de Pappus
para el caso de cuatro rectas.
Figura 15.3
Estas son (fig. 15.3) AG, GH, EF y AD. Consideremos
un punto C y las cuatro rectas desde C a cada
una de las cuatro rectas dadas y que forman con cada una de ellas un ángulo
prefijado, que puede variar de una recta a otra. Denotemos estas cuatro rectas
por CP, CQ, CR y CS. Se pide hallar el lugar de los
puntos Cque satisfacen la condición CP ´ CR = CS ´ CQ.
Descartes llama x a AP e y a PC. Por
consideraciones geométricas sencillas, obtiene los valores de CR,CQ y CS en
términos de cantidades conocidas. Emplea estos valores en la condición CP ´ CR = CS ´ CQ y
obtiene una ecuación de segundo grado en x e y de
la forma
y2 = Ay + Bxy + Cx + Dx2 (2)
donde A, B, C y D son
expresiones algebraicas sencillas en términos de las cantidades conocidas.
Ahora indica Descartes que si seleccionamos un valor cualquiera de x, tenemos
una ecuación cuadrática en y de la que y puede
despejarse, y, por tanto, construirse con regla y compás, como ya se ha
mostrado en el libro I. Por consiguiente, si se toman infinitos valores
de x se obtienen un número infinito de valores de y, y,
por tanto, un número infinito de puntos C. El lugar de todos estos
puntos C es una curva cuya ecuación es (2).
Lo que ha hecho Descartes es establecer una recta (AG en la
figura anterior) como línea de base con un origen en el punto A. Los
valores x son, pues, longitudes a lo largo de esta recta, y
los valores y son longitudes que comienzan en la línea de base y forman un
ángulo fijo con ella. Este sistema de coordenadas es lo que ahora llamamos un
sistema oblicuo. Las x e y de Descartes sólo
pueden tomar valores positivos; sin embargo, sus ecuaciones cubren porciones de
la curva en zonas distintas de la que hoy llamaríamos primer cuadrante. Se
limita a suponer que el lugar geométrico en consideración se halla en el primer
cuadrante, haciendo referencias de pasada sobre lo que podría suceder en otro
caso. Que existe una longitud para cada número real positivo se da por hecho
inconscientemente.
Una vez que ha llegado a la idea de la ecuación de una curva, Descartes procede
a desarrollarla. Se demuestra fácilmente, afirma, que el grado de una curva es
independiente de la elección del eje de referencia, y aconseja elegir este eje
de forma que la ecuación resultante sea lo más sencilla posible. En otro gran
paso adelante, considera dos curvas distintas, expresa sus ecuaciones con
respecto a los mismos ejes de referencia y halla sus puntos de intersección
resolviendo las ecuaciones simultáneamente.
También en el libro II, Descartes considera críticamente las distinciones que
hacían los griegos entre curvas planas, sólidas y lineales. Estos habían
llamado curvas planas a las constructibles con regla y compás; las curvas
sólidas eran las secciones cónicas, y las curvas lineales eran todas las demás,
como la concoide, la espiral, la cuadratriz y la cisoide. Los griegos también
llamaban a las lineales curvas mecánicas, porque se necesita cierto mecanismo
especial para construirlas. Pero, dice Descartes, incluso la recta y el círculo
requieren algún instrumento. Y, además, no nos puede importar la precisión de
la construcción mecánica, pues lo único que cuenta en matemáticas es el
razonamiento. Posiblemente, prosigue, los antiguos ponían objeciones a estas
curvas por estar definidas de forma insegura. Sobre estas bases rechaza
Descartes la idea de que sólo son legítimas las curvas constructibles con regla
y compás[49], y llega a proponer nuevas curvas engendradas por
construcciones mecánicas. Concluye con la muy significativa afirmación de que
las curvas geométricas son las que pueden expresarse mediante una única
ecuación algebraica (de grado finito) en xe y, con
lo que acepta la concoide y la cisoide, mientras que llama mecánicas a todas
las demás curvas, como la espiral y la cuadratriz.
Esta insistencia de Descartes en que las curvas aceptables son las que admiten
una ecuación algebraica es el principio de la eliminación de la
constructibilidad como criterio de existencia. Leibniz fue más lejos que
Descartes: empleando las palabras «algebraica» y «trascendente» en vez de los
términos de Descartes «geométrica» y «mecánica», protestaba contra el
requerimiento de que una curva hubiese de tener una ecuación algebraica [50]. De hecho, Descartes y
sus contemporáneos hicieron caso omiso de tal restricción y trabajaron con
igual entusiasmo con la cicloide, la curva logarítmica, la espiral logarítmica
(log ρ = aθ), y otras curvas no algebraicas.
Al ampliar el concepto de curva admisible, Descartes dio un paso fundamental.
No sólo admitía curvas anteriormente rechazadas, sino que ensanchaba su
dominio, pues dada cualquier ecuación algebraica en x e y, puede
obtenerse su curva, y generar así curvas totalmente nuevas. En Arithmetica
Universalis,Newton dice (1707): «Pero los modernos geómetras, avanzando
todavía mucho más allá [de las curvas planas, sólidas y lineales de los
griegos], han recibido en la geometría todas las líneas que pueden expresarse
por ecuaciones.»
Descartes prosigue considerando las clases de curvas geométricas. La primera y
más simple es la formada por las de primer y segundo grados en x e y. Descartes
dice en este sentido que las ecuaciones de las secciones cónicas son de segundo
grado, pero no lo demuestra. Las curvas cuyas ecuaciones son de tercer y cuarto
grados constituyen la segunda clase, las de grados quinto y sexto, la tercera,
y así sucesivamente. La razón para agrupar los grados tercero y cuarto, así
como el quinto y el sexto, es que creía que se podía reducir una del grado
superior al inferior, de la misma forma en que las ecuaciones de cuarto grado
pueden resolverse mediante las de tercero. Esta creencia era, por supuesto,
incorrecta.
El tercer libro de La Géometrie vuelve al tema del libro I. Su
objetivo es la resolución de problemas de construcciones geométricas que, al
formularse algebraicamente, dan lugar a ecuaciones determinadas de grado
tercero o superior y que, de acuerdo con el álgebra, precisan de las secciones
cónicas y curvas de grado superior. Considera, por ejemplo, el problema de
construir las dos medias proporcionales entre dos cantidades dadas a y q. El
caso especial q = 2a fue abordado muchas veces por los griegos
clásicos por su importancia en el problema de la duplicación del cubo. Descartes
procede como sigue: sea z una de las medias proporcionales; entonces z2/a tiene
que ser la segunda, ya que se ha de cumplir que
Si ahora hacemos z3/az2 igual
a q, obtenemos la ecuación que ha de satisfacer z.Dados q y a, hemos
de hallar z tal que
z3 = a2q, (3)
es decir, hemos de resolver una ecuación cúbica. Descartes
muestra entonces que z y z2/a pueden
obtenerse por una construcción geométrica que utiliza una parábola y un
círculo.
Tal y como describe Descartes la construcción, no aparecen coordenadas. Sin
embargo, la parábola no se puede construir con regla y compás sino punto a
punto, y se debe, por tanto, utilizar la ecuación para dibujar la curva
exactamente.
Descartes no obtiene z por el procedimiento
de escribir las ecuaciones en x e ydel círculo y
la parábola y hallar las coordenadas del punto de intersección resolviendo el
sistema de ecuaciones. En otras palabras, no resuelve las ecuaciones
gráficamente en el sentido que le damos nosotros. En su lugar, usa
construcciones puramente geométricas (excepto en su suposición de que se puede
dibujar la parábola), el conocimiento de que z satisface una
ecuación y las propiedades geométricas del círculo y la parábola (que se pueden
ver más fácilmente mediante sus ecuaciones). Descartes hace aquí lo mismo que
en el libro I, con la salvedad de que en el problema de construcciones que
resuelve ahora la longitud incógnita satisface una ecuación de tercer grado o
superior, en vez de ser de primer o segundo grados. Su solución de los aspectos
puramente algebraicos del problema y la subsiguiente construcción son
prácticamente las mismas que habían dado los árabes, con la diferencia de que
él podía usar las ecuaciones de las secciones cónicas para deducir sus
propiedades y dibujarlas.
Descartes no sólo deseaba mostrar cómo podían resolverse ciertos problemas
sólidos con la ayuda del álgebra y de las cónicas, sino que le interesaba
clasificar los problemas para poder entender lo que había en cada uno de ellos
y saber cómo proceder para resolverlos. Su clasificación se basa en el grado de
la ecuación a la que se llega al formular algebraicamente el problema de
construcción.
Si dicho grado es uno o dos, la construcción puede efectuarse con rectas y
círculos. Si el grado es tres o cuatro, hay que usar cónicas, y afirma —por
cierto— que todos los problemas cúbicos pueden reducirse a la trisección del
ángulo y la duplicación del cubo, y que ninguno de ellos puede resolverse sin
utilizar curvas más complicadas que el círculo. Si el grado de la ecuación es
superior a cuatro, se precisan curvas más complicadas que las cónicas para
efectuar la construcción.
Descartes también consideraba el grado de una curva como medida de su
simplicidad. Siempre debe usarse la curva más simple, es decir, la de menor
grado, para resolver un problema de construcción. Esta insistencia en el grado
llegó a ser tan intensa que una figura complicada como el folium (u hoja) de
Descartes (fig. 15.4), cuya ecuación es x3 + y3 —
3axy = 0, era considerada más simple que y = x4.
Mucho más importante que la visión cartesiana de los problemas de construcción
y su clasificación es la importancia dada al álgebra. Esta es la clave para
reconocer los problemas típicos de la geometría y unificar problemas cuya forma
geométrica no parece guardar relación alguna.
El álgebra aporta a la geometría los principios más naturales de clasificación
y la jerarquía de método más natural. No sólo pueden discutirse con elegancia,
plenitud y rapidez las cuestiones de resolubilidad y constructibilidad
geométrica gracias al álgebra, sino que sin ella tal discusión es imposible. De
esta forma, el sistema y la estructura fueron transferidos de la geometría al
álgebra.
Figura 15.4
Parte del libro II de La Géometrie y toda La
Dioptrique están dedicadas a la óptica, con la geometría analítica
como auxiliar. A Descartes le interesaba mucho el diseño de lentes para el
telescopio, el microscopio y otros instrumentos ópticos, pues era consciente de
la gran importancia de estos instrumentos en astronomía y biología. En la Dioptrique considera
el fenómeno de la refracción. Antes que él, Kepler y Alhazén habían observado
que la hipótesis usual de proporcionalidad entre el ángulo de refracción y el
de incidencia, con constante dependiente del medio refractor, es incorrecta
para ángulos grandes, aunque no llegaron a descubrir la ley verdadera. Antes de
1626, Willebrord Snell había descubierto, pero no publicado, la relación
correcta:
donde v1 es la velocidad de la luz
en el primer medio (fig. 15.5) y v2 la
correspondiente al segundo, al cual pasa la luz.
Figura 15.5
Descartes dio la misma ley en 1637 en La Dioptrique, y
hay cierta discusión con respecto a si la descubrió independientemente. Su
argumento era incorrecto, e inmediatamente Fermat abordó tanto la propia ley
como su demostración. Surgió entre ambos una controversia que duró diez años.
Fermat no estuvo convencido de la validez de la ley hasta que la dedujo de su
principio de tiempo mínimo (cap. 24, sec. 3).
En La Dioptrique, tras describir el funcionamiento del ojo,
Descartes considera el problema de diseñar lentes para telescopios,
microscopios y gafas. Se sabe desde la antigüedad que una lente esférica no
enfoca en un solo punto los rayos paralelos o divergentes desde una fuente.
Estaba, pues, abierta la cuestión de la forma que habría de tener una lente para
enfocar los rayos incidentes. Kepler había sugerido que alguna cónica podría
tener tal propiedad. Descartes se aplicó al diseño de una lente que enfocase
los rayos perfectamente.
Procedió a resolver el problema general: ¿qué superficie de separación entre
dos medios es tal que los rayos de luz procedentes de un punto del primer medio
que pasen por refracción al segundo convergen en un punto? Descubrió que la
curva generatriz de la superficie de revolución buscada es un óvalo,
actualmente llamado óvalo de Descartes. Esta curva, junto con sus propiedades
de refracción, se discuten en La Dioptrique, y esta discusión
se complementa en el libro II de La Géometrie.
Según la definición moderna, el óvalo es el lugar geométrico de los
puntos M que satisfacen la condición
FM ± nF'M = 2a
donde F y F' son dos puntos
fijos, 2a es un número real mayor que FF' y n es
un número real arbitrario. Si n = 1, la curva es una elipse.
En el caso general, la ecuación del óvalo es de cuarto grado en x e y, y
la figura consta de dos curvas cerradas y distintas, una contenida en la otra y
sin punto común. La curva interior es convexa y la exterior puede serlo también
o tener puntos de inflexión como en la figura 15.6.
Figura 15.6
Vemos, pues, que la visión de Descartes de la geometría de
coordenadas difiere profundamente de la de Fermat. Descartes criticaba la
tradición griega y proponía romper con ella, mientras que Fermat creía en la
continuidad con el pensamiento griego, y consideraba su trabajo en geometría
analítica como una mera reformulación de la obra de Apolonio. El verdadero
descubrimiento, la potencia de los métodos algebraicos, corresponde a
Descartes, que sabía que su método estaba suplantando a los antiguos. Aunque la
idea de asociar ecuaciones a las curvas es más clara en Fermat que en
Descartes, el trabajo de aquél es fundamentalmente un logro técnico que
completa la obra de Apolonio y explota la idea de Vieta de la representación
lineal. El método de Descartes es de aplicación universal y potencialmente
aplicable también a las curvas trascendentes.
A pesar de diferencias tan significativas en cuanto a método y objetivos de la
geometría analítica, Descartes y Fermat se enredaron en una discusión acerca de
la prioridad del descubrimiento. La obra de Fermat no se publicó hasta 1679;
sin embargo, su descubrimiento de las ideas básicas de la geometría analítica,
en 1629, antecede a la publicación de La Géometrie de
Descartes en 1637. En esta época, Descartes conocía plenamente muchos hallazgos
de Fermat, pero siempre negó que sacara sus ideas de él. Las ideas de Descartes
en geometría analítica, según el matemático holandés Isaac Beeckman
(1588-1637), se remontan a 1619. Además, no hay posible discusión acerca de la
originalidad de muchas de sus ideas básicas sobre el tema.
Cuando se publicó La Géometrie, Fermat la criticó por omitir
ideas como las de máximos y mínimos, las tangentes a las curvas y la
construcción de lugares geométricos sólidos, temas que, en su opinión, merecían
la atención de cualquier geómetra. Descartes, por su parte, dijo que Fermat
había hecho muy poca cosa; de hecho, nada a lo que no pudiera llegarse
fácilmente con trabajo o conocimiento previo; mientras que él había necesitado
una profunda experiencia sobre la naturaleza de las ecuaciones, tal y como
aparece en el tercer libro de La Géometrie. Descartes se
refería sarcásticamente a Fermat como vostre Conseiller de Maximis et
Minimis, y afirmaba que estaba en deuda con él. Roberval, Pascal y
otros tomaron el partido de Fermat, y Mydorge y Desargues, el de Descartes. Los
amigos de Fermat escribieron implacables cartas contra Descartes. Con el
tiempo, las actitudes de ambos se suavizaron, y en un trabajo de 1660, Fermat,
mientras apuntaba cierto error en La Géometrie, declaró que
admiraba de tal forma su genio, que, incluso cuando cometía errores, el trabajo
de Descartes era más valioso que el de otros que no cometían ninguno. Descartes
no había sido tan generoso con él.
El acento que la posteridad ha puesto sobre La Géometrie no es
el que interesaba a Descartes. Aunque la idea sobresaliente para el futuro de
las matemáticas era la de asociar ecuación y curva, para Descartes esto no era
más que un medio para un fin, a saber, la resolución de problemas de construcciones
geométricas. El énfasis de Fermat en las ecuaciones de lugares geométricos es,
desde el punto de vista moderno, más oportuno. Las construcciones geométricas
que con tanto ahínco describe Descartes en los libros I y III han ido perdiendo
su importancia, en buena medida porque la construcción ya no se usa, como entre
los griegos, para establecer la existencia del objeto construido.
Hay otra parte del libro III que también ha encontrado un lugar permanente en
la matemática. Dado que Descartes resolvía los problemas de construcciones
geométricas formulándolos primero algebraicamente, resolviendo después las
ecuaciones obtenidas, y efectuando finalmente las construcciones que exigiese
la solución, con el tiempo llegó a reunir, junto con sus propias investigaciones
en la teoría de ecuaciones, otras que habían facilitado la resolución de
algunos de sus problemas. Y dado que las ecuaciones algebraicas siguieron
apareciendo en cientos de contextos distintos que nada tenían que ver con
construcciones geométricas, esta teoría de ecuaciones se ha convertido en parte
básica del álgebra elemental.
5. El avance de la geometría analítica durante el siglo XVII
La idea fundamental de la geometría analítica, el empleo de ecuaciones
algebraicas para representar y estudiar curvas, no fue acogida con entusiasmo
por los matemáticos por varias razones. El libro de Fermat, Ad Locos,
aunque circuló entre sus amigos, no fue publicado hasta 1679. El interés que
puso Descartes en resolver problemas de construcciones geométricas oscureció la
idea principalla de ecuación asociada a una curva. De hecho, muchos de sus contemporáneos
consideraban la geometría analítica como una herramienta para resolver los
problemas de construcción. Leibniz llegó a referirse a la obra de Descartes
como una regresión a los antiguos. El propio Descartes se dio cuenta de que su
aportación iba mucho más allá de contribuir con un nuevo método de resolución
de problemas de construcciones. En la introducción a La Géometriedice:
«Además, lo que he escrito en el segundo libro sobre la naturaleza y
propiedades de las líneas curvas y sobre el método de examinarlas va, a mi
entender, mucho más allá del tratamiento de la geometría ordinaria, como la
retórica de Cicerón va más allá del a, b, c de los niños.» Sin
embargo, los usos alternativos que dio a las ecuaciones de las curvas, como la
resolución del problema de Pappus, la obtención de normales a las curvas o el
estudio de las propiedades de los óvalos, se vieron oscurecidos por la atención
que dedicó a los problemas de construcción. Otra razón de la lenta difusión de
la geometría analítica fue la insistencia de Descartes en hacer su presentación
tan difícil de seguir.
Además de esto, muchos matemáticos ponían objeciones a la idea de confundir
álgebra y geometría, o aritmética y geometría. Estas protestas se venían oyendo
ya desde el siglo XVI, durante el ascenso del álgebra. Tartaglia, por ejemplo,
insistía en la distinción entre las operaciones con objetos geométricos a la
manera griega y las operaciones entre números. Reprochó a un traductor de
Euclides el emplear como sinónimos multiplicare y ducere. La
primera pertenece al número, decía, y la segunda a la magnitud. También Vieta
consideraba las ciencias del número y de la magnitud geométrica, como paralelas
pero distintas. El propio Newton, en su Arithmetica Universalis, no
estaba de acuerdo en confundir álgebra y geometría, aunque hizo ciertas
contribuciones a la geometría analítica y la empleó en el cálculo. Dice:[51]
Las ecuaciones son expresiones de cálculo aritmético y no tienen
propiamente lugar en la geometría, excepto en el sentido de que permitan probar
que cantidades geométricas verdaderas (esto es, líneas, superficies, sólidos y
proporciones) coincidan unas con otras. Multiplicaciones, divisiones y cálculos
de este tipo han sido recientemente introducidos en la geometría de forma poco
aconsejable y contra los principios primeros de dicha ciencia... Por
consiguiente, no deben confundirse ambas ciencias, y el fruto reciente de tal
confusión es la pérdida de esa simplicidad en la que consiste la elegancia
geométrica.
Una interpretación razonable de la postura de Newton es que
quería mantener el álgebra aparte de la geometría elemental, pero la
consideraba útil en el estudio de las cónicas y curvas de grado superior.
Otra razón más de la lentitud de la aceptación de la geometría analítica era la
crítica general a la falta de rigor del álgebra. Ya hemos mencionado la
repugnancia de Barrow a aceptar los números irracionales como algo más que
meros símbolos de magnitudes geométricas continuas (cap. 13, sec. 2). La
aritmética y el álgebra hallaban su justificación lógica en la geometría; por
tanto, el álgebra no podía reemplazar a la geometría o existir como su igual.
El filósofo Thomas Hobbes (1588-1679), figura de pequeña talla en matemáticas,
hablaba, sin embargo, en nombre de muchos cuando criticaba al «rebaño de los
que aplican su álgebra a la geometría». Hobbes decía que esos algebristas
consideraban erróneamente los símbolos como geometría, y describía el libro de
John Wallis sobre cónicas como ruin y como «una costra de símbolos».
A pesar de todos estos obstáculos contra la justa apreciación de las
contribuciones de Descartes y Fermat, un grupo de matemáticos fue
progresivamente adoptando y extendiendo la geometría analítica. La primera
tarea que había que realizar era explicar la idea de Descartes. Una traducción
latina de La Géometrie de Frans van Schooten (1615-60),
publicada por primera vez en 1649 y vuelta a editar muchas veces, no sólo puso
el libro al alcance de todos los estudiosos en una lengua que podían leer, sino
que contenía un comentario explicativo de la concentrada presentación de
Descartes. En la edición de 1659-61, van Schooten daba efectivamente la forma
algebraica de una transformación de coordenadas de una línea de base (eje de
las x) en otra. Tan impresionado estaba del poder del método de
Descartes que pretendía que los geómetras griegos lo habían empleado para
deducir sus resultados. Disponiendo del material algebraico, los griegos, según
van Schooten, vieron cómo obtener los resultados sintéticamente (y mostró cómo
hacerlo) y estos métodos sintéticos, menos transparentes que los algebraicos,
fueron los que publicaron para asombrar al mundo. Van Schooten puede haberse
engañado por la palabra «análisis», que para los griegos significaba analizar
un problema, y el término «geometría analítica», que describe específicamente
el uso del álgebra como método por parte de Descartes.
John Wallis, en De Sectionibus Conicis (1655), dedujo
primeramente las ecuaciones de las cónicas traduciendo las condiciones geométricas
de Apolonio a la forma algebraica (de forma muy parecida a lo que hemos visto
en el cap. 4, sec. 12), con objeto de discutir los resultados de aquél. Definió
después las cónicas como las curvas correspondientes a ecuaciones de segundo
grado en x e y, y probó que éstas eran
efectivamente las secciones cónicas usuales de la geometría. Probablemente fue
el primero en probar propiedades de las cónicas mediante sus ecuaciones. Su
libro ayudó enormemente a difundir la idea de la geometría de coordenadas y a
popularizar el tratamiento de las cónicas como curvas en el plano en vez de
como secciones del cono, aunque esta versión tradicional siguió utilizándose.
Wallis insistía además en la validez del razonamiento algebraico, mientras que
Descartes, al menos en La Géometrie, se apoyaba realmente en la
geometría, considerando el álgebra meramente como una herramienta. Wallis fue
también el primero en introducir conscientemente abscisas y ordenadas
negativas. Es posible que Newton, que hizo lo mismo más tarde, tomara la idea
de Wallis. Podemos contrastar la observación de van Schooten acerca del método
con la de Wallis, para quien Arquímedes y casi todos los clásicos habían
ocultado a la posteridad su método de descubrimiento y análisis de forma tan
completa que a los modernos les había resultado más fácil inventar un nuevo
análisis que recuperar el antiguo.
El libro de Newton The Method of Fluxions and Infinite Series (El
método de fluxiones y series infinitas), escrito hacia 1671, pero publicado por
primera vez en traducción inglesa de John Colson (m. en 1760) con el mencionado
título en 1736, contiene muchos usos de la geometría analítica, sobre todo el
trazado de curvas a partir de sus ecuaciones. Una de las ideas originales que
ofrece es el empleo de nuevos sistemas de coordenadas. Todos los matemáticos
del siglo XVII y muchos del XVIII usaban generalmente un solo eje y trazaban
los valores de yformando un ángulo recto u oblicuo con el eje, lo
que corresponde en esencia a nuestro sistema de coordenadas polares.
Figura 15.7
El libro contiene muchas variantes de esta idea. También
introduce Newton las coordenadas bipolares, en las cuales se sitúa un punto de
acuerdo con sus distancias a dos puntos fijos (fig. 15.7). Como esta obra de
Newton no vio la luz hasta 1736, el mérito del descubrimiento de las
coordenadas polares suele atribuírsele a Jacobo Bernoulli, que publicó un
artículo al respecto en las Acta Eruditorum de 1691.
Se introdujeron muchas curvas nuevas, junto con sus ecuaciones.
En 1694, Bernoulli introdujo la lemniscata[52], que desempeñó un papel de gran importancia en todo el análisis
del siglo XVIII. Se trata de un caso particular de una clase de curvas llamadas
óvalos de Cassini (lemniscatas generales) introducidas por Jean-Dominique
Cassini (1625-1712), aunque no aparecieron impresas hasta que su hijo Jacques
(1677-1756) publicó los Elements d'astronomie en 1749.
Los óvalos de Cassini (fig. 15.8) están definidos por la condición de que el
producto r1 ´r2 de las
distancias de un punto arbitrario de la curva a dos puntos fijos S1 y S2 sea
igual a b2, donde b es una constante.
Sea 2a la distancia S1S2.
Si b > a, obtenemos un óvalo que no se corta a sí mismo;
si b = a, resulta la lemniscata introducida
por Jacobo Bernoulli, y si b < a se tienen dos óvalos
separados. La ecuación en coordenadas rectangulares de los óvalos de Cassini es
de cuarto grado. El propio Descartes introdujo la espiral logarítmica
Figura 15.8
La extensión de la geometría analítica a tres dimensiones
comenzó a elaborarse en el siglo XVII. En el libro II de La Géometrie, Descartes
hace notar que sus ideas pueden aplicarse fácilmente a todas las curvas que
puedan concebirse como engendradas por los movimientos regulares de un punto en
el espacio tridimensional. Para representar algebraicamente una de tales curvas
traza desde cada punto de la misma las perpendiculares a dos planos que se
cortan en ángulo recto (fig. 15.9).
Cada uno de los extremos de estas perpendiculares describe una curva en el
plano respectivo, que puede tratarse por el método ya indicado. Mas al
principio del libro II, Descartes observa que una ecuación en tres incógnitas
que caracterice al punto general C de un lugar geométrico representa un plano,
una esfera o una superficie más complicada. Evidentemente, se dio cuenta de que
su método podía extenderse a curvas y superficies en el espacio tridimensional,
pero no llegó a efectuar por sí mismo tal extensión.
Fermat da, en una carta de 1643, un breve esquema de sus ideas sobre la
geometría analítica tridimensional. Habla de superficies cilíndricas,
paraboloides elípticos, hiperboloides de dos hojas y elipsoides, y afirma que,
para coronar la introducción a las curvas planas, habría que estudiar las
curvas sobre superficies. «Esta teoría es susceptible de tratarse por un
método general que explicaré si tengo tiempo.» En un trabajo de media
página, Novus Secundarum
Figura 15.9
La Hire, en sus Nouveaux éléments des sections coniques (1679),
fue algo más preciso acerca de la geometría analítica tridimensional. Para
representar una superficie, primero representa un punto P en
el espacio mediante tres coordenadas, como se indica en la figura 15.10, y
llega, de hecho, a escribir la ecuación de una superficie.
Figura 15.10
Sin embargo, el desarrollo de la geometría analítica en tres
dimensiones es obra del siglo XVIII, y hablaremos de ello más adelante.
6. La importancia de la geometría analítica
A la luz del considerable progreso que ya había realizado el álgebra antes de
que Fermat y Descartes hicieran su aparición en la escena, la geometría de
coordenadas no tiene la apariencia de un gran triunfo técnico. Para Fermat, se
trataba de parafrasear algebraicamente a Apolonio. En el caso de Descartes,
apareció casi por accidente mientras proseguía el trabajo de Vieta y otros
empeñados en facilitar, mediante la introducción del álgebra, la resolución de
ciertos problemas de construcciones geométricas. Y, sin embargo, la geometría
analítica cambió de hecho la faz de las matemáticas.
Al argumentar que una curva es cualquier lugar geométrico que tiene una
ecuación algebraica, Descartes abrió de un solo golpe el dominio matemático.
Cuando se considera la variedad de curvas que han ido teniendo aceptación y uso
en las matemáticas, y se compara tal conglomerado con lo que aceptaban los
griegos, es fácil ver cuán importante fue el derribo de las barreras de la
geometría griega.
Por medio de la geometría analítica, Descartes intentó dotar de método a la
geometría, y consiguió mucho más de lo que nunca pensó. Es hoy un lugar común
reconocer no sólo cuán fácilmente se puede probar muchas propiedades de las
curvas con ayuda del álgebra, sino también que el método para abordarlas es
casi automático. Más potente aún es el método: cuando Wallis y Newton empezaron
a usar letras para designar tanto números positivos como negativos, llegando
incluso después a referirse a números complejos, fue posible resumir en un solo
tratamiento algebraico muchos casos que la geometría pura tenía que considerar separadamente.
Por ejemplo, para demostrar, en geometría sintética, que las alturas de un
triángulo se cortan en un punto, hace falta considerar por separado si la
intersección tiene lugar en el interior o en el exterior del triángulo. En
geometría analítica, ambos casos se consideran conjuntamente.
La geometría analítica resultó ser una herramienta de doble uso para las
matemáticas. Por una parte, los conceptos geométricos podían formularse
algebraicamente, y los objetivos geométricos podían alcanzarse por medio del
álgebra. Recíprocamente, al interpretar geométricamente los enunciados
algebraicos puede lograrse una visión más intuitiva de su significado, lo cual
puede, a su vez, ser fuente de nuevas conclusiones. Estas virtudes menciona
Lagrange en sus Leçons élémentaires sur les mathématiques[55]: «Mientras álgebra y geometría llevaron caminos separados, su
progreso fue lento y sus aplicaciones limitadas. Pero en cuanto ambas ciencias
juntaron sus fuerzas, sacaron cada una de la otra una vitalidad fresca y desde
entonces desfilaron a paso ligero hacia la perfección.» Ciertamente, la inmensa
potencia que ha desarrollado la matemática desde el siglo XVII en adelante debe
atribuirse, en gran medida, a la geometría analítica.
El mérito más importante de la geometría analítica fue dotar a la ciencia del
utillaje matemático que siempre había necesitado, y que había empezado a exigir
abiertamente en el siglo XVII: herramientas cuantitativas. No hay duda de que
el estudio del mundo físico pide, en una primera etapa, geometría. Los objetos
son básicamente figuras geométricas, y las trayectorias de los objetos móviles
son curvas. El propio Descartes estaba, desde luego, convencido de que toda la
física podía reducirse a geometría. Pero, como ya hemos apuntado, los usos de
la ciencia en geodesia, navegación, cálculos de calendario, predicciones
astronómicas, movimiento de proyectiles e incluso en el diseño de lentes, al
que el mismo Descartes se dedicó, exigen conocimiento cuantitativo. La
geometría analítica posibilitó la expresión de formas y trayectorias en forma
algebraica, de la cual se podía extraer información cuantitativa.
Así pues, el álgebra, que Descartes había considerado como mera herramienta,
más como una extensión de la lógica que como parte de las matemáticas
propiamente dichas, llegó a ser más esencial que la propia geometría. La
geometría analítica allanó de hecho el camino para la más completa inversión de
papeles entre álgebra y geometría. Desde la época de los griegos hasta 1600,
aproximadamente, la geometría dominó las matemáticas y el álgebra estaba
subordinada a ella; a partir de 1600, el álgebra se convirtió en la disciplina
matemática básica, y en esta transformación el cálculo iba a ser el factor
esencial. Los antecedentes del álgebra hicieron más difíciles las cosas por la
causa que ya hemos mencionado: su falta de fundamentación lógica. Nada se haría
al respecto, sin embargo, hasta bien entrado el siglo XIX.
El hecho de que el álgebra se edificase sobre una base empírica ha dado lugar a
una confusión en la terminología matemática. La disciplina creada por Fermat y
Descartes suele llamarse «geometría analítica». La palabra «analítica» no es
apropiada; «geometría de coordenadas» o «geometría algebraica» (que tiene hoy
día otro significado) hubiera sido más adecuado. La palabra «análisis» se ha
venido empleando desde Platón para significar el proceso de remontarse
partiendo de lo que se desea probar hasta llegar a alguna verdad conocida. Es,
en este sentido, opuesto a «síntesis», que describe la presentación deductiva.
Hacia 1590, Vieta rechazó la palabra «álgebra» por carecer de significado en
las lenguas europeas, y propuso el término «análisis» (cap. 13, sec. 8), pero
no se llegó a adoptar esta sugerencia. Sin embargo, para él y para Descartes,
la palabra «análisis» era todavía apropiada para describir la aplicación del
álgebra a la geometría, ya que el álgebra servía para «analizar» el problema de
construcción geométrica considerado: se suponía conocida la longitud buscada,
se hallaba una ecuación satisfecha por esa longitud, se operaba con dicha
ecuación y se concluía con la construcción de la longitud en cuestión. Así,
Jacques Ozanam (1640-1717) dice en su Diccionario (1690) que
los geómetras modernos efectuaban sus análisis por medio del álgebra. En la
famosa Encyclopédie del XVIII, D'Alembert usa «álgebra» y
«análisis» como sinónimos. Gradualmente, «análisis» llegó a significar el
método algebraico, aunque la nueva geometría de coordenadas, hasta el fin del
siglo XVIII, era generalmente descrita como la aplicación del álgebra a la
geometría. Para fines de siglo, el término «geometría analítica» llegó a ser el
usual y a aparecer con frecuencia en los títulos de los textos.
Sin embargo, a medida que el álgebra se convertía en la disciplina dominante,
los matemáticos empezaron a considerar que poseía una función mucho mayor que
la de analizar un problema en el sentido de los griegos. En el siglo XVIII, el
punto de vista de que el álgebra, en su aplicación a la geometría, es algo más
que una herramienta, que la propia álgebra es un método de introducir y
estudiar curvas y superficies (el supuesto punto de vista de Fermat, en
oposición al de Descartes) terminó por triunfar como resultado de la obra de
Euler, Lagrange y Monge. De aquí que el término «geometría analítica» se
refiera tanto a la demostración como al uso del método algebraico, y, en
consecuencia, hablemos hoy de geometría analítica en oposición a geometría
sintética, sin significar que una es un método de invención y la otra de
demostración, pues ambas geometrías son deductivas.
Mientras tenían lugar estas transformaciones, el cálculo y algunas extensiones
suyas, como las series infinitas, entraban en el campo matemático. Tanto Newton
como Leibniz consideraban el cálculo como una extensión del álgebra; se trata
del álgebra del infinito, o del álgebra que trata con cantidades infinitas de
términos, como en las series infinitas. En fecha tan tardía como 1797,
Lagrange, en su Théorie des fonctions analytiques, decía que
el cálculo y sus desarrollos eran sólo generalizaciones del álgebra elemental.
Como álgebra y análisis habían sido sinónimos, el propio cálculo llegó a ser
llamado análisis. En un famoso texto de 1748, Euler usó el término «análisis
infinitesimal» para describir el cálculo. Este término fue empleado hasta
finales del siglo XIX, en que se adoptó la palabra «análisis» para describir el
cálculo y las demás ramas de las matemáticas construidas sobre él. La situación
resultante es, pues, confusa, pues el término «análisis» abarca todos los
desarrollos basados en los límites, mientras que la «geometría analítica» no
contiene procesos de límite.
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Capítulo 16
La matematización de la ciencia
De manera que podemos decir que la puerta está ahora abierta,
por primera vez, a un método nuevo, acompañado por numerosos y maravillosos
resultados que, en años venideros, atraerá la atención de otras mentes.
Galileo Galilei
Contenido:
1. Introducción
2. El concepto de la ciencia de Descartes
3. El enfoque de la ciencia de Galileo
4. El concepto de función
Bibliografía
1. Introducción
Hacia 1600, los científicos europeos estaban indudablemente impresionados por
la importancia de las matemáticas en el estudio de la naturaleza. La prueba más
fuerte de esta convicción era el deseo de Copérnico y Kepler de derrocar las
leyes aceptadas de la astronomía y de la mecánica, y las doctrinas religiosas
al respecto, por una teoría que tenía sólo ventajas matemáticas. Sin embargo,
el éxito sorprendente de la ciencia moderna y el impulso enorme para el trabajo
creativo que las matemáticas encontraron en esta fuente no se hubieran
producido si la ciencia hubiera continuado como en el pasado. Pero en el siglo
XVII, dos hombres, Descartes y Galileo, revolucionaron la misma naturaleza de
la actividad científica. Seleccionaron los conceptos que debía utilizar la
ciencia, redefinieron los objetivos de la actividad científica y alteraron el
método de la ciencia. Su reformulación no sólo suministró una potencia
inesperada y sin precedentes a la ciencia, sino que la ligó indisolublemente a
las matemáticas. Para entender el espíritu que animó a las matemáticas desde el
siglo XVII hasta el XIX, debemos examinar primero las ideas de Descartes y de
Galileo.
2. El concepto de la ciencia de Descartes
Descartes proclamó explícitamente que la esencia de la ciencia eran las
matemáticas. Dice que «ni admite ni espera ningún principio de la física
diferente de los que están en la geometría o en la matemática abstracta, porque
así se explican todos los fenómenos de la naturaleza y pueden darse algunas
demostraciones de ellos». El mundo objetivo es espacio solidificado, o
geometría encarnada. Sus propiedades deben poderse deducir, por tanto, del
primer principio de la geometría.
Descartes explicó con más detalles que el mundo debe ser accesible y reducible
a las matemáticas. Insistió en que las propiedades más fundamentales y fiables
de la materia son forma, extensión y movimiento en el espacio y en el tiempo.
Como la forma es sólo extensión, Descartes afirmaba: «Dadme extensión y
movimiento y construiré el universo.» El movimiento en sí mismo se producía por
la acción de las fuerzas sobre las moléculas. Descartes estaba convencido de
que estas fuerzas obedecían a leyes matemáticas invariables y, puesto que la
extensión y el movimiento eran expresables matemáticamente, todos los fenómenos
podían ser descritos matemáticamente.
La filosofía mecanicista de Descartes se extendía incluso al funcionamiento del
cuerpo humano. Creía que las leyes de la mecánica explicarían la vida del
hombre y de los animales, y en sus trabajos de fisiología utilizó el calor, la
hidráulica, tubos, válvulas y las acciones mecánicas de las palancas para
explicar las acciones del cuerpo. Sin embargo, Dios y el alma estaban exentos
de mecanismos.
Si Descartes consideraba el mundo externo como consistente sólo de materia en
movimiento, ¿cómo explicaba los gustos, olores, colores y las cualidades de los
sonidos? Aquí adoptaba la antigua doctrina griega de las cualidades primarias y
secundarias la cual, según la exponía Demócrito, mantenía que «lo dulce y
amargo, lo frío y caliente, así como los colores, todas estas cosas existen,
pero en la opinión y no en la realidad; lo que realmente existe son partículas
inmutables, átomos, y sus movimientos en el espacio vacío». Las cualidades
primarias, materia y movimiento, existen en el mundo físico; las cualidades
secundarias son sólo efectos que las cualidades primarias inducen en los
órganos de los sentidos de los seres humanos por el impacto de átomos externos
en esos órganos.
Por lo tanto, para Descartes hay dos mundos; uno, una enorme máquina
matemática, armoniosamente diseñada, que existe en el espacio y en el tiempo, y
otro, el mundo de los espíritus pensantes. El efecto de los elementos del
primer mundo en el segundo produce las cualidades no matemáticas o secundarias
de la materia. Descartes afirmaba, además, que las leyes de la naturaleza son
invariables, porque son sólo una parte de un modelo matemático predeterminado,
y que Dios no podía alterar la invariable naturaleza. Aquí Descartes negaba la
extendida creencia de que Dios intervenía continuamente en el funcionamiento
del universo.
Aunque las doctrinas filosóficas y científicas de Descartes subvertían el
aristotelismo y el escolasticismo, él era escolástico en un aspecto
fundamental: extrajo de su propia mente proposiciones acerca de la naturaleza
del ser y de la realidad. Creía que existen verdades a priori y que el
intelecto, por su propio poder, puede llegar a un conocimiento perfecto de
todas las cosas; estableció, por ejemplo, leyes del movimiento sobre la base de
un razonamiento a priori. (En realidad, en sus trabajos biológicos realizó
experimentos, y extrajo de ellos conclusiones vitales.) Sin embargo, aparte de
su confianza en los principios a priori, promulgó una filosofía sistemática y
general que destrozó el soporte del escolasticismo y abrió frescos canales de
pensamiento. Su intento de barrer todas las preconcepciones y los prejuicios
era una clara declaración de revuelta con respecto al pasado. Al reducir los
fenómenos naturales a acontecimientos puramente físicos, hizo mucho por
desembarazar a la ciencia del misticismo y de las fuerzas ocultas. Los escritos
de Descartes fueron altamente influyentes; su filosofía deductiva y sistemática
se extendió en el siglo XVII e impresionó a Newton, especialmente por la
importancia del movimiento en ella. Exposiciones de su filosofía delicadamente
encuadernadas adornaban incluso los tocadores de las damas.
3. El enfoque de la ciencia de Galileo
Aunque la filosofía de la ciencia de Galileo Galilei coincide en gran parte con
la de Descartes, fue Galileo quien formuló los más radicales, efectivos y
concretos métodos de la ciencia moderna y quien, mediante su propio trabajo,
demostró su efectividad.
Galileo (1564-1642) nació en Pisa en la familia de un comerciante en tejidos, e
ingresó en la universidad de Pisa para estudiar medicina. Los cursos estaban
allí todavía, aproximadamente, al nivel del curriculum medieval; Galileo
aprendió sus matemáticas privadamente, de un ingeniero práctico, y a la edad de
diecisiete años cambió de la medicina a las matemáticas. Después de cerca de
ocho años de estudio solicitó una plaza para enseñar en la universidad de
Bolonia, pero fue rechazado por no tener méritos suficientes. Se aseguró una
plaza de profesor en Pisa. Estando allí, comenzó a atacar a la ciencia
aristotélica, y no dudó en expresar sus puntos de vista, aunque sus críticas le
enemistaron con sus colegas. Había empezado también a escribir importantes
trabajos matemáticos que suscitaron celos en los menos competentes. Se intentó,
pues, que no se encontrara a gusto, y en 1592 se marchó y aceptó un puesto como
profesor de matemáticas en la universidad de Padua. Allí escribió un libro
corto, Le mecaniche(1604). Después de dieciocho años en Padua fue
invitado a Florencia por el Gran Duque Cósimo II de Médicis, quien le nombró
Matemático Principal de su corte, le dio casa y un salario considerable, y le
protegió de los jesuitas, quienes dominaban el Papado y ya le habían amenazado
por defender la teoría de Copérnico. Para expresar su gratitud, Galileo llamó a
los satélites de Júpiter, que había descubierto durante el primer año al
servicio de Cósimo, las estrellas Mediceas. En Florencia, Galileo tuvo la
tranquilidad suficiente para proseguir sus estudios y para escribir.
Su defensa de la teoría de Copérnico molestó a la Inquisición romana, y en 1616
fue llamado a Roma. Sus enseñanzas sobre la teoría heliocéntrica fueron
condenadas por la Inquisición; tuvo que prometer no publicar nada más sobre el
tema. En 1630, el Papa Urbano VIII le dio permiso para publicar siempre que
hiciera un libro matemático y no doctrinal. Por tanto, en 1632, publicó su
clásico Dialogo dei massimi sistemi (Diálogo sobre el gran
sistema del mundo). La Inquisición romana le llamó otra vez en 1633 y, bajo
la amenaza de tortura, le obligaron a retractarse de su defensa de la teoría
heliocéntrica. Se le prohibió publicar y se le exigió que viviera prácticamente
bajo arresto domiciliario. Emprendió la tarea de escribir sus reflexiones de
esos años y trabajó sobre los fenómenos del movimiento y sobre la resistencia
de materiales. El manuscrito, titulado Discorsi e dimostrazioni
matematiche intorno a due nuove scienze(Discursos y demostraciones
matemáticas referentes a dos nuevas ciencias, que también se conoce
como Diálogos referentes a dos nuevas ciencias), fue llevado
secretamente a Holanda y publicado allí en 1638. Esta es la obra, clásica, en
la que Galileo ofreció su nuevo método científico. Defendió sus acciones con
las palabras de que nunca había «declinado en piedad y reverencia por la
Iglesia y mi propia conciencia».
Galileo fue un hombre extraordinario en muchos campos. Fue un perspicaz
observador astronómico. Se le llama a menudo el padre de la invención moderna;
aunque no inventó el telescopio o los «vidrios asombrosos», como los llamaba
Ben Jonson, fue capaz inmediatamente de construirlos cuando conoció la idea.
Fue un inventor independiente del microscopio, y diseñó el primer reloj de
péndulo. También diseñó un compás con escalas que proporcionaba automáticamente
los resultados de cálculos numéricos, de modo que el usuario podía leer las
escalas y evitar el tener que hacer los cálculos. Este aparato fue tan
solicitado que produjo muchos para venderlos.
Galileo fue el primer estudioso moderno importante del sonido. Sugirió una
teoría ondulatoria del sonido y comenzó a trabajar sobre el tono, los armónicos
y la vibración de cuerdas. Su trabajo fue continuado por Mersenne y Newton y se
convirtió en una inspiración importante para el trabajo matemático del siglo
XVIII.
Los principales trabajos de Galileo, aunque referidos a temas científicos, se
consideran todavía como obras maestras desde un punto de vista literario.
Su Sidereus Nuncius (Mensajero sideral) de 1610, en el que
anunciaba sus observaciones astronómicas y declaraba su apoyo a la teoría de
Copérnico, fue un éxito inmediato, y fue elegido para la prestigiosa Academia
dei Lincei en Roma. Sus dos más grandes clásicos, Diálogo sobre los máximos
sistemas y los Diálogos sobre dos nuevas ciencias, son claros, directos,
agudos, pero profundos. En ambos, Galileo hace que uno de los personajes
presente los puntos de vista de la época, contra los que otro personaje razona
hábil y tenazmente para mostrar las falacias y puntos débiles de estos esquemas,
y la fuerza de los nuevos.
En su filosofía de la ciencia, Galileo rompió radicalmente con lo especulativo
y lo místico en favor de una visión de la naturaleza mecánica y matemática.
También creía que los problemas científicos no debían enredarse ni oscurecerse
con argumentos teológicos. De hecho, uno de sus logros en la ciencia, aunque
algo apartado del método que examinaremos a continuación, fue el de reconocer
el terreno de la ciencia y separarlo del de las doctrinas religiosas.
Galileo, como Descartes, estaba convencido de que la naturaleza estaba diseñada
matemáticamente. Su afirmación de 1610 es famosa:
La filosofía [naturaleza] está escrita en ese gran libro que
siempre está delante de nuestros ojos —quiero significar el universo— pero que
no podemos entender si no aprendemos primero el lenguaje, y comprendemos los
símbolos, en los que está escrito. El libro está escrito en lenguaje
matemático, y los símbolos son triángulos, circunferencias y otras figuras
geométricas, sin cuya ayuda es imposible comprender ni una palabra de él, sin
lo cual se deambula en vano a través de un oscuro laberinto.[56]
La naturaleza es sencilla y ordenada, y su comportamiento es
regular y necesario. Actúa de acuerdo con leyes matemáticas perfectas e
inmutables. La razón divina es la fuente de lo racional en la naturaleza; Dios
colocó en el universo esa rigurosa necesidad matemática que los hombres
alcanzan sólo laboriosamente. El conocimiento matemático es, en consecuencia,
no sólo verdad absoluta, sino tan sacrosanto como cualquier línea de las
Sagradas Escrituras. De hecho, es superior, porque hay mucho desacuerdo con respecto
a las Escrituras, pero no puede haber ninguna con respecto a las verdades
matemáticas.
Otra doctrina, el atomismo del griego Demócrito, es más clara en Galileo que en
Descartes. El atomismo presuponía un espacio vacío (que Descartes no aceptaba)
y átomos indestructibles e individuales. El cambio consistía en la combinación
y separación de los átomos. Todas las variedades cualitativas de los cuerpos
eran debidas a la variedad cuantitativa en el número, tamaño, forma y
disposición especial de los átomos. Las principales propiedades de los átomos
eran la impenetrabilidad y la indestructibilidad; estas propiedades servían
para explicar los fenómenos físicos y químicos. La adhesión de Galileo al
atomismo le situó en la vanguardia de las doctrinas científicas.
El atomismo condujo a Galileo a la doctrina de las cualidades primarias y
secundarias. Dice:
«Si las orejas, lenguas y narices se suprimieran, soy de la
opinión de que la forma, cantidad (tamaño) y movimiento permanecerían, pero se
terminarían los olores, sabores y sonidos, los cuales, abstraídos de la
criatura viviente, sólo son palabras.»
De un plumazo, pues, tanto Galileo como Descartes simplificaron
mil fenómenos y cualidades para concentrarse en la materia y el movimiento,
propiedades que pueden ser descritas matemáticamente. Quizá no es muy
sorprendente que en el siglo en el que los problemas de movimiento eran los más
prominentes y serios, los científicos encontraran que el movimiento era un
fenómeno físico fundamental.
La concentración en la materia y el movimiento fue sólo el primer paso en el
nuevo enfoque de la naturaleza de Galileo. Su siguiente pensamiento, también
expresado por Descartes, fue que cualquier rama de la ciencia puede ser
configurada sobre el modelo de las matemáticas. Esto implica dos pasos
esenciales. Las matemáticas comienzan con axiomas —verdades claras y autoevidentes—
y a partir de ellos se pasa a establecer nuevas verdades mediante razonamientos
deductivos. Cualquier rama de la ciencia, pues, debe comenzar con axiomas o
principios y continuar deductivamente. Además, se debe extraer de los axiomas
tantas consecuencias como sea posible. Esta forma de pensar se remonta a
Aristóteles, que también buscaba una estructura deductiva para la ciencia, con
el modelo matemático in mente.
Sin embargo, Galileo se separó radicalmente de los griegos, de los científicos
medievales, e incluso de Descartes en su método para obtener primeros
principios. Los pregalileanos y Descartes habían creído que la mente
proporcionaría los principios básicos; no había más que pensar en cualquier
clase de fenómenos y la mente reconocería inmediatamente las verdades
fundamentales. Este poder de la mente se ponía claramente de manifiesto en las
matemáticas. Axiomas como «iguales sumados a iguales proporcionan iguales» o
«dos puntos determinan una recta», sugerían inmediatamente el pensar en números
o figuras geométricas, y eran verdades indudables. Así habían encontrado
también los griegos algunos principios físicos igualmente atrayentes. Era
apropiado el que todos los objetos del universo tengan un sitio natural. El
estado de reposo parecía claramente más natural que el estado de movimiento.
Parecía indudable, también, que tuviera que aplicarse una fuerza para poner y
mantener a los cuerpos en movimiento. Creer que la mente proporciona principios
fundamentales no se opone a que las observaciones pudieran jugar un papel en la
obtención de esos principios. Pero las observaciones sólo evocaban los
principios correctos, de la misma manera que la visión de una cara familiar
puede traer a la mente hechos sobre esa persona.
Los científicos griegos y medievales estaban tan convencidos de que existían
principios fundamentales a priori que cuando observaciones experimentales
ocasionales no concordaban con ellos, inventaban explicaciones especiales para
preservar los principios y explicar, aun así, las anomalías. Estos hombres,
como decía Galileo, primero decidían cómo debía funcionar el mundo y luego
adaptaban lo que veían a sus principios preconcebidos.
Galileo decidió que en física, en contraposición a lo que ocurría en
matemáticas, los primeros principios deben proceder de la experiencia y de la
experimentación. El camino para obtener principios básicos y correctos es
prestar atención a lo que dice la naturaleza más que a lo que prefiere la
mente. La naturaleza, razonaba, no hace primero el cerebro de los hombres y
organiza a continuación el universo de manera que sea aceptable al intelecto
humano. A los pensadores medievales, que continuaban repitiendo a Aristóteles y
debatiendo lo que había querido decir, Galileo les dirigió la crítica de que el
conocimiento proviene de la observación y no de los libros, y que era inútil
debatir sobre Aristóteles. Dice: «Cuando disponemos de los decretos de la
naturaleza, la autoridad no sirve para nada...» Por supuesto, también algunos
pensadores del Renacimiento, y el contemporáneo de Galileo, Francis Bacon,
habían llegado a la conclusión de que la experimentación era necesaria; en este
aspecto particular de su nuevo método Galileo no estaba por delante de los
demás. Sin embargo, el modernista Descartes no vio la sabiduría de la confianza
de Galileo en la experimentación. Los hechos que provienen de los sentidos,
decía Descartes, sólo pueden conducir al engaño, pero la razón penetra a través
de esos engaños. Desde los principios generales innatos que proporciona la
mente podemos deducir fenómenos particulares de la naturaleza y comprenderlos.
Galileo también era consciente de que se podía obtener principios incorrectos
mediante la experimentación y que, como consecuencia, las deducciones que se
basaran en ellos podían ser incorrectas. Por ello propuso el empleo de los
experimentos para comprobar las conclusiones de sus razonamientos así como para
obtener principios básicos.
Galileo era, en realidad, una figura de transición por lo que se refiere a la
experimentación. El, con Isaac Newton cincuenta años más tarde, creía que unos
pocos experimentos claves o críticos podrían proporcionar principios
fundamentales correctos. Además, muchos de los llamados experimentos de Galileo
eran en realidad experimentos mentales, es decir, confiaba en la experiencia
común para imaginar lo que ocurriría si se realizara un experimento. Entonces
él obtenía una conclusión con la misma confianza que si hubiera realizado el
experimento. Cuando en el Diálogo sobre el gran sistema del mundo describe el movimiento
de una bola arrojada desde el mástil de un barco en movimiento, uno de los
personajes, Simplicio, le pregunta si había realizado un experimento, Galileo
le contesta: «No, y no lo necesito, porque sin ninguna experiencia puedo
confirmar que es así, ya que no puede ser de otra manera.» Dice, de hecho, que
experimentaba pocas veces, y sobre todo, en esos casos, para refutar a quienes
no se interesaban por las matemáticas. Aunque Newton realizó algunos famosos e
ingeniosos experimentos, también dice que los utilizaba para hacer sus
resultados físicamente inteligibles y para convencer a la gente.
La verdad del asunto es que Galileo tenía algunas ideas preconcebidas acerca de
la naturaleza, lo que le hacía confiar en que unos pocos experimentos
bastarían. Creía, por ejemplo, que la naturaleza era sencilla. Por tanto,
cuando consideraba cuerpos que caían libremente, los cuales caen con velocidad
creciente, suponían que el aumento de la velocidad es el mismo en cada segundo
de caída. Esta era la «verdad» más sencilla. Creía también que la naturaleza
está diseñada matemáticamente, y, por tanto, cualquier ley matemática que
pareciera estar de acuerdo con ella, aun sobre la base de una experimentación
bastante limitada, le parecía correcta.
Para Galileo, así como para Huygens y Newton, la parte matemática, deductiva,
de la empresa científica tenía una importancia mayor que la experimental.
Galileo no estaba menos orgulloso de la abundancia de teoremas que surgían de
un único principio que del descubrimiento del principio mismo. Los hombres que
forjaron la ciencia moderna —Descartes, Galileo, Huygens y Newton (podemos
también incluir a Copérnico y a Kepler)— enfocaron el estudio de la naturaleza
como matemáticos, en su método general y en sus investigaciones concretas.
Fueron primordialmente pensadores especulativos que esperaban aprehender
principios matemáticos amplios, profundos (pero también sencillos), claros e
inmutables, bien a través de la intuición o mediante observaciones y
experimentos cruciales, y deducir entonces nuevas leyes a partir de estas
verdades fundaméntales, enteramente en la forma en que las propias matemáticas
habían construido su geometría. El grueso de la actividad era la porción
deductiva; así se derivarían sistemas completos de pensamiento.
Lo que los grandes pensadores del siglo XVII consideraban como el método
adecuado de la ciencia se reveló en realidad como el camino provechoso. La
búsqueda racional de las leyes de la naturaleza produjo, en la época de Newton,
resultados extremadamente valiosos sobre la base del conocimiento observacional
y experimental más ligero. Los grandes avances científicos de los siglos XVI y
XVII se hicieron en astronomía, donde la observación ofrecía poca cosa nueva, y
en mecánica, en la que los resultados experimentales no eran muy sorprendentes
y ciertamente no decisivos, mientras que la teoría matemática correspondiente
alcanzaba comprehensión y perfección. Y durante los dos siglos siguientes los
científicos produjeron leyes de la naturaleza, profundas y extensas, apoyados
en muy pocos experimentos y en observaciones casi triviales.
La esperanza de Galileo, Huygens y Newton de que sólo unos pocos experimentos
bastarían para sus propósitos, puede entenderse fácilmente. Como estaban
convencidos de que la naturaleza estaba diseñada matemáticamente, no veían
ninguna razón por lo que no pudieran actuar en asuntos científicos como los
matemáticos actuaban en su campo. Como dice John Hermán Randall en Making
of the Modern Mind:
«La ciencia nació de la fe en la interpretación matemática de
la naturaleza...»
Galileo, sin embargo, obtuvo unos pocos principios a partir de
la experiencia, y en este trabajo también su enfoque fue una ruptura radical
con respecto al de sus predecesores. Pensaba que se debe penetrar en lo que es
fundamental en los fenómenos y comenzar allí. En Dos nuevas ciencias dice que
no es posible tratar la variedad infinita de pesos, formas y velocidades. Había
observado que las velocidades con las que caen objetos disímiles difieren menos
en el aire que en el agua. Por lo tanto, cuanto más ligero sea el medio hay
menos diferencias entre las velocidades de caída de los cuerpos. «Habiendo
observado esto, vino a mí la conclusión de que en un medio totalmente
desprovisto de resistencia todos los cuerpos caerían con la misma velocidad.»
Lo que Galileo estaba haciendo aquí era separar los efectos incidentales o sin
importancia en un esfuerzo por llegar al principal.
Por supuesto que los cuerpos reales caen en un medio resistente. ¿Qué podía
decir Galileo acerca de esos movimientos? Su respuesta fue: «... por tanto,
para manejar este asunto de una forma científica, es necesario prescindir de
estas dificultades (resistencia del aire, fricción, etcétera) y, habiendo
descubierto y demostrado los teoremas en el caso en que no hay resistencia,
utilizarlos y aplicarlos con las limitaciones que nos muestre la experiencia».
Habiendo prescindido de la resistencia del aire y de la fricción, Galileo
buscaba leyes básicas del movimiento en el vacío. Por tanto, no sólo
contradecía a Aristóteles e incluso a Descartes por pensar en cuerpos
moviéndose en un espacio vacío, sino que hacía precisamente lo que hace el
matemático al estudiar figuras reales. El matemático prescinde de la estructura
molecular, del color y del grosor de las líneas, para llegar a algunas propiedades
básicas y concentrarse en ellas. Así se introdujo Galileo en los factores
físicos básicos. El método matemático de la abstracción es, en verdad, un paso
más allá de la realidad pero, paradójicamente, conduce de vuelta a la realidad
con una fuerza mayor que si todos los factores realmente presentes se tienen en
cuenta de una vez.
Hasta entonces, Galileo había formulado unos cuantos principios metodológicos,
muchos de los cuales fueron sugeridos por el camino que las matemáticas habían
utilizado en la geometría. Su siguiente principio fue el de utilizar las
matemáticas mismas, pero en una forma especial. A diferencia de los
aristotélicos y de los últimos científicos medievales, que se habían anclado en
la consideración de cualidades que estimaban fundamentales, y estudiaban la
adquisición y pérdida de éstas, o debatían el significado de las mismas,
Galileo propuso buscar axiomas cuantitativos. Este cambio es muy importante;
veremos todo su significado más adelante, pero puede ser útil ahora considerar
un ejemplo elemental. Los aristotélicos decían que una bola cae porque tiene
peso, que cae hacia la tierra porque todo objeto busca su sitio natural, y que
para los cuerpos pesados el sitio natural es el centro de la tierra. Estos
principios son cualitativos. Incluso la primera ley del movimiento de Kepler,
la de que la trayectoria de cada planeta es una elipse, es una afirmación
cualitativa. En contraste, consideremos la afirmación de que la velocidad (en
pies por segundo) con la que cae una bola es 32 veces el número de segundos que
ha estado cayendo o, en símbolos, v = 32t. Esta es una
afirmación cuantitativa acerca de cómo cae una bola. Galileo pretendía buscar
sus axiomas como tales afirmaciones cuantitativas, y esperaba deducir algunos
nuevos por medios matemáticos. Estas deducciones también proporcionarían un
conocimiento cuantitativo. Además, como hemos visto, las matemáticas iban a ser
su medio esencial.
La decisión de buscar un conocimiento cuantitativo expresado en fórmulas
llevaba consigo otra decisión radical, aunque el primer contacto con ella
difícilmente revela todo su significado. Los aristotélicos creían que una de
las tareas de la ciencia era el explicar por qué sucedían las cosas; esta
explicación significaba desvelar las causas del fenómeno. La explicación de que
un cuerpo cae porque tiene peso proporciona la causa efectiva de la caída, y la
afirmación de que busca su sitio natural expone la causa final. Pero el
planteamiento cuantitativo v = 32t, independientemente
de su valor, no explica por qué cae una bola, dice sólo cómo cambia la
velocidad con el tiempo. En otras palabras, las fórmulas no explican:
describen. El conocimiento de la naturaleza que buscaba Galileo era
descriptivo. Dice en Dos nuevas ciencias: «La causa de la aceleración del movimiento
de los cuerpos que caen no es una parte necesaria de la investigación.» Más en
general, dice que investigará y demostrará algunas de las propiedades del
movimiento sin considerar cuáles pueden ser sus causas. La búsqueda científica
positiva iba a separarse de las cuestiones de motivación última, e iba a
abandonarse la especulación sobre las causas físicas.
Las primeras reacciones a este principio de Galileo posiblemente serían
negativas. La descripción de los fenómenos en términos de fórmulas difícilmente
podía parecer más que un primer paso. Parecería que la verdadera función de la
ciencia, la de explicar por qué sucedían los fenómenos, había sido realmente
comprendida por los aristotélicos. Incluso Descartes había protestado ante la
decisión de Galileo de buscar fórmulas descriptivas. Dijo: «Todo lo que dice
Galileo acerca de los cuerpos que caen en el espacio vacío está construido sin
cimientos: debería haber determinado primero la naturaleza del peso.» Además,
decía Descartes, Galileo debería reflexionar sobre las razones últimas. Pero
veremos claramente después de algunos capítulos que la decisión de Galileo de
buscar la descripción fue la idea más profunda y fructífera que se haya podido
tener sobre el método científico.
Mientras que los aristotélicos habían hablado en términos de cualidades tales
como fluidez, rigidez, esencias, lugares naturales, movimiento natural y
violento y potencialidad, Galileo escogió un conjunto de conceptos enteramente
nuevo, el cual, además, era medible, de modo que sus medidas podían
relacionarse mediante fórmulas. Algunos de ellos son: distancia, tiempo,
velocidad, aceleración, fuerza, masa y peso. Estos conceptos son demasiado
familiares para sorprendernos. Pero en la época de Galileo eran elecciones
radicales, al menos como conceptos fundamentales; y éstos fueron los que se
revelaron como más operativos en la tarea de entender y dominar la naturaleza.
Hemos mostrado las características esenciales del programa de Galileo. Algunas
de sus ideas ya las mantenían otros; algunas otras eran completamente
originales suyas. Pero lo que establece la grandeza de Galileo es que vio con
tanta claridad lo que estaba equivocado o era deficiente en los esfuerzos
científicos de entonces, se liberó completamente de los antiguos modos y
formuló tan claramente los nuevos métodos. Además, al aplicarlos a los
problemas del movimiento no sólo ejemplificó el método, sino que consiguió
obtener resultados brillantes —en otras palabras, demostró que el método
funcionaba—. La unidad de su trabajo, la claridad de sus pensamientos y
expresiones y la fuerza de su argumentación influyó en casi todos sus
contemporáneos y sucesores. Más que cualquier otro, Galileo es el fundador del
método de la ciencia moderna. Era completamente consciente de lo que había
realizado (ver el lema del capítulo), y también lo eran otros. El filósofo
Hobbes dijo de Galileo: «Ha sido el primero en abrirnos la puerta del reino
de la física.»
No podemos continuar la historia del método de la ciencia. Sin embargo, como
las matemáticas se hicieron tan importantes en esta metodología y se
aprovecharon tanto de su adopción, debemos hacer notar hasta qué punto el
programa de Galileo fue aceptado completamente por gigantes como Newton. Este
afirma que se necesitan los experimentos para obtener las leyes básicas.
También es claro para él que la función de la ciencia, después de haber
obtenido algunos principios básicos, es deducir nuevos hechos a partir de esos
principios. En el prefacio de sus Principia, dice:
Puesto que los científicos (como nos dice Pappus) valoraban la
ciencia de la mecánica como de la mayor importancia en la investigación de las
cosas naturales, y los modernos, rechazando las formas sustanciales y las
cualidades ocultas, se han esforzado por someter los fenómenos de la naturaleza
a las leyes de las matemáticas, en este tratado he cultivado las matemáticas
hasta donde se relacionan con la filosofía (ciencia)... y, en consecuencia,
presento este trabajo como los principios matemáticos de la filosofía, porque
la auténtica carga de la filosofía parece consistir en esto —a partir de los
fenómenos del movimiento, investigar las fuerzas de la naturaleza, y entonces,
mediante esas fuerzas, mostrar los otros fenómenos...
Por supuesto, principios matemáticos, para Newton y Galileo,
eran principios cuantitativos. Dice en los Principia que su propósito es
descubrir y establecer la forma exacta en la que «todas las cosas han sido
ordenadas en medida, número y peso». Newton tenía una buena razón para hacer
hincapié en las leyes matemáticas cuantitativas como contrapuestas a la
explicación física, porque el concepto físico central en su mecánica celeste
era la fuerza de la gravitación, cuya acción no podía explicarse en absoluto en
términos físicos. En lugar de una explicación, Newton tenía una formulación
cuantitativa de cómo actuaba la gravedad, que era significativa y utilizable. Y
por ello dice, al comienzo de los Principia: «Porque aquí pretendo sólo dar una
noción matemática de estas fuerzas, sin considerar sus causas físicas y sedes.»
Hacia el final del libro repite este pensamiento:
Pero nuestro propósito es sólo descubrir la cantidad y
propiedades de esta fuerza a partir de los fenómenos, y aplicar lo que
descubrimos en algunos casos sencillos, como principios, mediante los cuales,
de forma matemática, podemos estimar los efectos de ellos en casos más
complicados... Decimos, de forma matemática (itálica en Newton), para evitar
todas las cuestiones sobre la naturaleza y cualidades de esta fuerza, que no
pretenderíamos determinar mediante ninguna hipótesis...
El abandono del procedimiento físico en favor de la descripción
matemática escandalizó incluso a grandes científicos. Huygens consideró la idea
de la gravitación como «absurda», porque su acción a través del espacio vacío
imposibilitaba cualquier acción mecánica. Mostró su sorpresa porque Newton se
hubiera tomado el trabajo de realizar esa cantidad de cálculos laboriosos con
el único fundamento del principio matemático de la gravitación. Leibniz atacó
la gravitación como una potencia incorpórea e inexplicable; Jean Bernoulli
(hermano de Jacques) la denunció como «repugnante a las mentes acostumbradas a
no aceptar ningún principio en física que no fuera incontestable y evidente».
Pero esta confianza en la descripción matemática, aun donde la comprensión física
faltaba completamente, permitió a Newton sorprendentes contribuciones, por no
mencionar los desarrollos siguientes.
Como la ciencia se hizo muy dependiente de las matemáticas, casi subordinada a
ellas, fueron los científicos quienes extendieron el campo y las técnicas de
las matemáticas, y la multiplicidad de problemas que suministró la ciencia
proporcionó a los matemáticos muchas y profundas direcciones de trabajo
creativo.
4. El concepto de función
El primer avance matemático que se obtuvo de las investigaciones científicas
realizadas de acuerdo con el programa de Galileo provino del estudio del
movimiento. Este problema absorbió a los científicos y matemáticos del siglo
XVII. Es fácil ver por qué. Aunque la astronomía de Kepler fue aceptada ya a
principios del siglo XVII, especialmente después de que las observaciones de
Galileo dieran pruebas adicionales de la teoría heliocéntrica, la ley de Kepler
del movimiento elíptico es sólo aproximadamente correcta, si bien sería exacta
si sólo estuvieran en el espacio el Sol y un planeta. Las ideas de que los
otros planetas perturban el movimiento elíptico de cualquier otro planeta y de
que el Sol perturba el movimiento elíptico de la Luna alrededor de la Tierra,
ya habían sido consideradas; de hecho, la noción de una fuerza gravitacional
actuando entre dos cuerpos cualesquiera fue sugerida por Kepler, entre otros.
Por lo tanto, el problema de mejorar el cálculo de las posiciones de los
planetas estaba abierto. Además, Kepler había obtenido sus leyes esencialmente
ajustando curvas a los datos astronómicos, sin ninguna explicación, en términos
de leyes fundamentales del movimiento, de por qué los planetas se movían en
trayectorias elípticas. El problema básico de deducir las leyes de Kepler a
partir de los principios del movimiento constituía un claro desafío.
La mejora de la teoría astronómica también tenía un objetivo práctico. En su
búsqueda de materias primas y comercio, los europeos habían emprendido
navegaciones en gran escala que implicaban el recorrido de grandes distancias
fuera de la vista de tierra. Los marineros necesitaban, por tanto, métodos
precisos para determinar la latitud y la longitud. La determinación de la
latitud puede hacerse mediante observación directa del Sol o de las estrellas,
pero la determinación de la longitud es bastante más difícil. En el siglo XVI,
los métodos para hacerlo eran tan imprecisos que los navegantes cometían
errores de hasta 500 millas. Después de, aproximadamente, 1514, se utilizaba la
dirección de la Luna con relación a las estrellas para determinar la longitud.
Estas direcciones, según se ven desde un mismo lugar de referencia en
diferentes momentos, estaban tabuladas. Un navegante determinaría la dirección
de la Luna, la cual no se vería muy afectada por estar en un lugar distinto, y
determinaría su hora local utilizando, por ejemplo, las direcciones de las
estrellas. Directamente de las tablas, o mediante interpolación, podía obtener
la hora en el lugar de referencia cuando la Luna tenía la dirección medida y
así calcular la diferencia de hora entre su posición y la de referencia. Cada
hora de diferencia significa una diferencia de 15 grados en longitud. Este
método, sin embargo, no era preciso. Como los barcos de aquellos tiempos
estaban constantemente cabeceando, era difícil obtener en forma precisa la
dirección de la Luna; pero como la Luna no se mueve mucho con relación a las
estrellas en pocas horas, la dirección de la Luna tenía que ser determinada con
bastante precisión. Una equivocación de un minuto de ángulo significa un error
de medio grado de longitud; pero incluso el realizar una medida con un error de
menos de un minuto estaba lejos de las posibilidades de la época. Aunque fueron
sugeridos e intentados otros métodos para determinar la longitud, parecía indispensable
un mejor conocimiento de la trayectoria de la Luna para ampliar y mejorar las
tablas, y muchos científicos, incluyendo Newton, trabajaron en el problema.
Incluso en los tiempos de Newton, el conocimiento de la posición de la Luna era
tan impreciso que el uso de las tablas conducía a errores de hasta 100 millas
al determinar la posición en el mar.
Los gobiernos de Europa estaban muy interesados, porque las pérdidas en los
envíos eran considerables. En 1675, el rey Carlos II de Inglaterra fundó el
Royal Observatory en Greenwich para obtener mejores observaciones del
movimiento de la Luna y para que sirviera como estación fija o de referencia
para la determinación de la longitud. En 1672, el gobierno inglés estableció
la Comission for the Discovery of Longitude, y ofreció recompensas
de hasta 20.000 libras por ideas sobre cómo medir la longitud.
Los científicos del siglo XVII también se enfrentaron al problema de explicar
los movimientos terrestres. Bajo la teoría heliocéntrica, la Tierra giraba
sobre sí misma y efectuaba un movimiento de revolución en torno al Sol. ¿Por
qué, entonces, deberían los objetos permanecer en ella? ¿Por qué los objetos
que se tiran deberían caer hacia la Tierra, si ésta ya no era el centro del
universo? Además, todos los movimientos, como el de los proyectiles, por
ejemplo, parecían producirse como si la Tierra estuviera en reposo. Estas
cuestiones atrajeron la atención de muchos, como Cardano, Tartaglia, Galileo y
Newton. Las trayectorias de los proyectiles, sus alcances, la altura a que
podían llegar, el efecto de la velocidad de la boca del arma sobre la altura y
el alcance del proyectil, eran cuestiones básicas, y los príncipes entonces,
como las naciones ahora, gastaron grandes sumas de dinero en sus soluciones. Se
necesitaban nuevos principios del movimiento para tener en cuenta estos
fenómenos terrestres, y los científicos pensaron que, como se creía que el
universo estaba construido de acuerdo con un plan maestro, los mismos
principios que explicaran los movimientos terrestres también lo harían con los
celestes.
Del estudio de los varios problemas del movimiento emergió el más específico de
diseñar métodos más precisos para medir el tiempo. Los relojes mecánicos, que
se habían utilizado desde 1348, no eran muy precisos. El cartógrafo flamenco
Gemma Frisius había sugerido el uso de un reloj para determinar la longitud. Un
barco podría llevar un reloj con la hora de un lugar de longitud conocida; como
la determinación de la hora local, mediante la posición del Sol, por ejemplo,
era relativamente sencilla, el navegante sólo necesitaba anotar la diferencia
de hora y traducir ésta inmediatamente a diferencia de longitudes. Pero,
incluso en 1600, no podía disponerse de relojes durables, precisos y en
condiciones de navegar.
El movimiento de un péndulo parecía proporcionar el mecanismo básico para la
medida del tiempo. Galileo había observado que el tiempo requerido para una
oscilación completa de un reloj era constante, y ostensiblemente independiente
de la amplitud de la oscilación. Preparó el diseño de un reloj de péndulo e
hizo que su hijo construyera uno; pero fueron Robert Hooke y Huygens quienes
realizaron el trabajo básico sobre el péndulo. Aunque el reloj de péndulo no
era adecuado para un barco (se necesitaba una precisión de dos o tres segundos
al día para el objetivo del cálculo de la longitud, y el movimiento del barco
afectaba mucho a los péndulos), se reveló de valor inmenso en el trabajo
científico, así como para la medida del tiempo en las casas y los negocios. Un
reloj apropiado para la navegación fue finalmente diseñado por John Harrison
(1693- 1776) en 1761, y comenzó a utilizarse a fines del siglo XVIII. Como no
fue posible disponer antes de un reloj propiamente dicho, la determinación
precisa del movimiento de la Luna era todavía el principal problema científico
en ese siglo.
Del estudio del movimiento obtuvieron las matemáticas un concepto fundamental,
que fue central en prácticamente todo el trabajo de los siguientes doscientos
años —el concepto de función o relación entre variables—. Se encuentra esta
noción casi a lo largo de todo Dos nuevas ciencias, de Galileo, el
libro en el que fundó la mecánica moderna. Galileo expresó sus relaciones
funcionales en palabras y en el lenguaje de las proporciones. Así, en su
trabajo sobre la resistencia de materiales, tiene ocasión de afirmar: «Las
áreas de dos cilindros de volúmenes iguales, despreciando las bases, están una
con respecto a otra en una razón que es la raíz cuadrada de la razón de sus
longitudes.» En otra parte: «Los volúmenes de cilindros rectos cuyas
superficies curvas son iguales son inversamente proporcionales a sus alturas.»
En su trabajo sobre el movimiento establece, por ejemplo, que «los espacios
descritos por un cuerpo que cae desde el reposo con un movimiento uniformemente
acelerado están, unos con respecto a otros, en la relación de los cuadrados de
los intervalos de tiempo empleados en atravesar esas distancias». «Los tiempos
de descenso a lo largo de planos inclinados de la misma altura, pero de diferentes
pendientes, están unos con respecto a los otros en la relación de las
longitudes de esos planos.» El lenguaje muestra claramente que está tratando
con variables y funciones; no faltaba más que un paso para escribir estas
frases en forma simbólica. Como el simbolismo del álgebra se estaba extendiendo
en ese momento la afirmación de Galileo sobre los espacios descritos por un
cuerpo que cae pronto se escribió como s = kt2 y
su afirmación sobre los tiempos de descenso como t = kl.
Muchas de las funciones introducidas durante el siglo XVII fueron estudiadas en
primer lugar como curvas, antes de que el concepto de función fuera totalmente
identificado. Esto ocurrió, por ejemplo, en el caso de las funciones
trascendentes elementales tales como log x, sen x y ax.
Así, Evangelista Torricelli (1608-1647), discípulo de Galileo, en una carta de
1644, describía sus investigaciones sobre la curva que nosotros
representaríamos mediante y = ae-cx para x ≥
0 (el manuscrito en el que escribió esta investigación no fue editado hasta
1900). La curva le fue sugerida a Torricelli por el trabajo que se desarrollaba
entonces sobre los logaritmos. Descartes encontró la misma curva en 1639, pero
él no mencionó su conexión con los logaritmos. La curva seno apareció en las
matemáticas como la curva asociada a la cicloide, en el trabajo de Roberval
sobre la cicloide (cap. 17, sec. 2) y aparece dibujada a lo largo de dos
períodos en la Mechanica de Wallis (1670). Las tablas de
valores de las funciones trigonométricas y logarítmicas eran conocidas, por
supuesto, en aquella época, con gran precisión.
Es también relevante el que las antiguas y las nuevas curvas fueran
introducidas mediante movimientos. En la época griega, pocas curvas, como la
cuadratriz y la espiral de Arquímedes, estaban definidas en términos de
movimiento, pero en aquellos tiempos tales curvas estaban fuera de los límites
de las matemáticas legítimas. La actitud era completamente diferente en el
siglo XVII. Mersenne, en 1615, definió la cicloide (que era conocida anteriormente)
como el lugar geométrico (que describe) un punto (fijo) de una rueda que gira
sobre el suelo. Galileo, que había demostrado que la trayectoria de un
proyectil disparado en el aire formando un ángulo con respecto al suelo es una
parábola, consideró la curva como el lugar geométrico de un punto móvil.
Con Roberval, Barrow y Newton, el concepto de curva como la trayectoria de un
punto móvil alcanza reconocimiento explícito y aceptación. Dice Newton en
su Quadrature of Curves (escrito en 1676):
«Considero las cantidades matemáticas en este punto no como
constituidas por muy pequeñas partes, sino como descritas por un movimiento
continuado. Las líneas [curvas] están descritas, y así generadas, no por la
yuxtaposición de partes sino por el movimiento continuado de puntos... Esta
génesis tiene lugar realmente en la naturaleza de las cosas, y se ve
diariamente en el movimiento de los cuerpos.»
Los términos y el simbolismo para los distintos tipos de funciones
representadas por estas curvas fueron introduciéndose gradualmente. Había
muchas dificultades sutiles de las que casi no se era consciente. Por ejemplo,
el uso de las funciones de la forma ax, cuando x toma
valores positivos y negativos, enteros y fraccionarios, llegó a ser común en el
siglo XVII. Se suponía (hasta el siglo XIX, cuando se definieron por primera
vez los números irracionales) que la función estaba también definida para valores
irracionales de x, de modo que nadie cuestionaba una expresión de
la forma 2√2. Se entendía implícitamente que un valor así era
intermedio entre los obtenidos para dos exponentes racionales cualesquiera por
encima y por debajo de √2.
La distinción de Descartes entre curvas geométricas y mecánicas (cap. 15, sec.
4) suscitó la distinción entre funciones algebraicas y trascendentes.
Afortunadamente, sus contemporáneos ignoraron su rechazo de lo que él llamó
curvas mecánicas. Mediante cuadraturas, adición de series y otras operaciones
incluidas en el cálculo, surgieron y fueron estudiadas muchas funciones
trascendentes. La distinción entre funciones algebraicas y trascendentes fue
hecha por James Gregory en 1667, cuando intentó demostrar que el área de un
sector circular no podía ser una función algebraica del radio y de la cuerda.
Leibniz demostró que sen x no podía ser una función algebraica
de x e incidentalmente demostró el resultado buscado por
Gregory[57]. La comprensión completa y el uso de las funciones trascendentes
vino gradualmente.
La definición más explícita del concepto de función en el siglo XVII fue dada
por James Gregory en su Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (1667).
Definió una función como una cantidad que se obtiene de otras cantidades
mediante una sucesión de operaciones algebraicas o mediante cualquier otra
operación imaginable. Con la última frase quería decir, según explica, que es
necesario añadir a las cinco operaciones del álgebra una sexta operación, que
él define como el paso al límite. (A Gregory, como veremos en el capítulo 17,
le preocupaban los problemas de cuadraturas.) El concepto de función de Gregory
no se conservó; pero, en cualquier caso, pronto se habría vuelto demasiado
restringido al utilizarse, cada vez más ampliamente, la representación de
funciones mediante series.
Desde el mismo comienzo de su trabajo sobre el cálculo, es decir, desde 1665 en
adelante, Newton utilizó el término «fluent» (fluyente) para representar
cualquier relación entre variables. En un manuscrito de 1673, Leibniz utilizó
la palabra «función» para significar cualquier cantidad que varía de un punto a
otro de una curva —por ejemplo, la longitud de la tangente, de la normal, de la
subtangente y de la ordenada—. La curva misma se decía dada mediante una
ecuación. Leibniz también introdujo las palabras «constante», «variable» y
«parámetro», esta última utilizada en conexión con una familia de curvas[58]. Tratando con funciones, Jean Bernoulli hablaba ya desde 1697
de una cantidad formada, de cualquier manera posible, de variables y constantes[59]; con «cualquier manera» quería decir mediante expresiones
algebraicas y trascendentes. Adoptó la frase de Leibniz «función de x» para
esta cantidad en 1698. En su Historia (1714), Leibniz utilizó la palabra
«función» para significar cantidades que dependen de una variable.
En cuanto a la notación, Jean Bernoulli escribía X ó ξ para
una función general de x, aunque en 1718 cambió a Φx. A
Leibniz le pareció bien esto, pero propuso también x1 y x2 para
funciones de x, utilizando el superíndice cuando se tratara con
varias funciones. La notación f(x) fue introducida por Euler
en 1734[60]. El concepto se convirtió inmediatamente en central en los
trabajos sobre el cálculo. Veremos más adelante cómo fue extendido ese
concepto.
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Capítulo 17
La creación del cálculo
Quien, por un vigor de la mente casi divino, los movimientos y
las figuras de los planetas, las trayectorias de los cometas y las mareas de
los mares primero demostró.
Epitafio de Newton
Contenido:
1. La motivación del cálculo
2. El trabajo sobre el cálculo de principios del siglo XVII
3. La obra de Newton
4. La obra de Leibniz
5. Una comparación de las obras de Newton y Leibniz
6. La controversia sobre la prioridad
7. Algunas adiciones inmediatas al cálculo
8. La solidez del cálculo
Bibliografía
1. La motivación del cálculo
Justamente después de la adopción del concepto de función vino el cálculo, el
cual, junto con la geometría euclídea, es la mayor creación de todas las
matemáticas. Aunque era, hasta cierto punto, la respuesta a problemas ya
manejados por los griegos, el cálculo fue creado sobre todo para tratar los
principales problemas científicos del siglo XVII.
Había cuatro tipos principales de problemas. El primero era el siguiente: dada
la fórmula de la distancia que un cuerpo recorre como función del tiempo,
obtener la velocidad y la aceleración en cualquier instante; y, al revés, dada
la fórmula que describe la aceleración de un cuerpo como función del tiempo,
obtener la velocidad y la distancia recorrida. Este problema surgió directamente
en el estudio del movimiento, y la dificultad que planteaba era que las
velocidades y las aceleraciones que interesaban en el siglo XVII variaban de
instante en instante. Al calcular una velocidad instantánea, por ejemplo, no se
puede dividir la distancia recorrida por el tiempo empleado, como ocurre en el
caso del cálculo de la velocidad media, porque en un instante dado tanto la
distancia recorrida como el tiempo empleado son cero, y 0/0 no tiene sentido.
Sin embargo, era claro desde un punto de vista físico que los objetos móviles
tienen una velocidad en cada instante de su viaje. El problema inverso de
obtener la distancia recorrida, conociendo la fórmula de la velocidad, incluye
la dificultad correspondiente; no se puede multiplicar la velocidad en cualquier
instante por el tiempo utilizado para obtener el espacio recorrido, porque la
velocidad varía de un instante a otro.
El segundo tipo de problemas era obtener la tangente a una curva. El interés
por este problema vino de más de una fuente; era un problema de geometría pura,
y era de gran importancia para las aplicaciones científicas. La óptica, como
sabemos, era uno de los principales objetivos científicos del siglo XVII; el
diseño de las lentes era de interés directo para Fermat, Descartes, Huygens y
Newton. Para estudiar el paso de la luz a través de una lente, se debe conocer
el ángulo bajo el cual el rayo toca a la lente, para aplicar la ley de
refracción.
Figura 17.1
El ángulo significativo es el que forman el rayo y la normal a
la curva (fig. 17.1), donde la normal es la perpendicular a la tangente. Por lo
tanto el problema era obtener o la normal o la tangente. Otro problema
científico que implicaba la tangente a una curva surgía en el estudio del
movimiento. La dirección del movimiento de un cuerpo móvil en cualquier punto
de su trayectoria es la dirección de la tangente a la trayectoria.
En realidad, incluso el mismo significado de «tangente» estaba abierto. Para las
secciones cónicas, la definición de una tangente como una recta que toca a una
curva en sólo un punto y que permanece a un lado de la curva, bastaba; esta
definición era utilizada por los griegos. Pero era inadecuada para las curvas
más complicadas que se utilizaban en el siglo XVII.
El tercer problema era obtener el valor máximo o mínimo de una función. Cuando
una bala se dispara desde un cañón, la distancia que recorrerá horizontalmente
—el recorrido— depende del ángulo de inclinación del cañón con respecto al
suelo. Un problema «práctico» era obtener el ángulo que haría máximo el
recorrido. A principios del siglo XVII Galileo obtuvo que (en el vacío) el
recorrido máximo se obtenía para un ángulo de fuego de 45°; también encontró la
máxima altura alcanzada por proyectiles disparados con distintos ángulos
respecto al suelo. El estudio del movimiento de los planetas también presentaba
problemas de máximos y mínimos, tales como los de obtener la mayor y la menor
distancia de un planeta al Sol.
El cuarto problema era el de obtener longitudes de curvas como, por ejemplo, la
distancia recorrida por un planeta en un período de tiempo dado; las áreas
acotadas por curvas; los volúmenes acotados por superficies; los centros de
gravedad de los cuerpos y la atracción gravitatoria que un cuerpo extenso, un
planeta, por ejemplo, ejerce sobre otro cuerpo. Los griegos habían aplicado el
método exhaustivo para obtener algunas áreas y volúmenes. A pesar del hecho de
que lo aplicaban para áreas y volúmenes relativamente sencillos, tenían que
utilizar mucha ingeniosidad, porque al método le faltaba generalidad, y no
obtuvieron respuestas numéricas muy a menudo. El interés por obtener
longitudes, áreas, volúmenes y centros de gravedad revivió cuando los trabajos
de Arquímedes se hicieron conocidos en Europa. El método exhaustivo se modificó
primero gradualmente, y después radicalmente por la invención del cálculo.
2. El trabajo sobre el cálculo de principios del siglo XVII
Los problemas del cálculo fueron abordados por, al menos, una docena de los
matemáticos más grandes del siglo XVII, y por varias docenas de otros menos
importantes. Todas sus contribuciones fueron coronadas por las realizaciones de
Newton y Leibniz. Aquí podremos señalar sólo las contribuciones principales de
los precursores de estos dos maestros.
El problema del cálculo de la velocidad instantánea a partir del conocimiento
de la distancia recorrida como función del tiempo, y su inverso, se vio pronto
que eran casos particulares del cálculo del cambio relativo instantáneo de una
variable con respecto a otra, y su problema inverso. El primer tratamiento
significativo de los problemas de cambios relativos, en general, se debe a
Newton; lo examinaremos más tarde.
Se propusieron varios métodos para obtener la tangente a una curva. En su Traité des
indivisibles, que data de 1634 (aunque no fue publicado hasta 1693), Giles
Persone de Roberval (1602-1675) generalizó un método que Arquímedes había usado
para obtener la tangente en cualquier punto de su espiral. Como Arquímedes,
Roberval pensó en una curva como lugar geométrico de un punto que se mueve bajo
la acción de dos velocidades.
Figura 17.2
Así, un proyectil disparado desde un cañón experimenta la acción
de una velocidad horizontal, PQ en la figura 17.2, y una
velocidad vertical, PR. La resultante de estas dos velocidades es
la diagonal del rectángulo formado sobre PQ y PR.
Roberval tomó la recta de esta diagonal como la tangente en P. Como
señaló Torricelli, el método de Roberval utilizaba un principio establecido ya
por Galileo, que consiste en que las velocidades horizontal y vertical actúan
independientemente la una de la otra. El mismo Torricelli utilizó el método de
Roberval para obtener las tangentes a las curvas cuyas ecuaciones escribimos en
la actualidad como y = xn.
Aunque la noción de tangente como una recta que tiene la dirección de la
velocidad resultante era más complicada que la definición griega de una recta
que toca a una curva, el nuevo concepto podía aplicarse a muchas curvas en el
que el antiguo fallaba. Era también valioso porque relacionaba la geometría
pura y la dinámica, las cuales, antes de los trabajos de Galileo, habían sido
consideradas como esencialmente distintas. Por otra parte, esta definición de
tangente era objetable en términos matemáticos, porque se basaba en conceptos
físicos. Surgieron muchos casos de curvas en situaciones que no se podían
relacionar con el movimiento y por lo tanto la definición de tangente no se
podía aplicar. Por todo ello fueron ganando aceptación otros métodos para
obtener tangentes.
El método de Fermat, que él había ideado en 1629 y que puede encontrarse en su
manuscrito de 1637 Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam (Métodos
para obtener máximos y mínimos)
Figura 17.3
La longitud TQ se llama subtangente. El plan de
Fermat es obtener la longitud de TQ, de la que se obtiene la
posición de T y entonces trazar TP.
Sea QQ1 un incremento de longitud E de TQ.
Como el triángulo TQP es semejante al triángulo PRT1
TQ : PQ = E : T1R.
Pero, dice Fermat, T1R es
casi P1R, por lo tanto
TQ : PQ = E :
(P1Q1 - QP).
Llamando f(x) a PQ, en nuestra
notación moderna, tenemos
TQ : f(x)
= E:[f(x + E) - f(x)].
Por tanto
Para la f(x) tratada por Fermat era
inmediatamente posible dividir el numerador y el denominador de la fracción
anterior por E. Hace entonces El = 0
(según dice, elimina el término E) y así obtiene TQ.
Fermat aplicó este método de las tangentes a muchos problemas difíciles. El
método tiene la forma del método, ahora habitual, del cálculo diferencial, pero
está suponiendo enteramente la difícil teoría de los límites.
Para Descartes, encontrar la tangente a una curva era importante porque
permitía encontrar propiedades de las curvas —como, por ejemplo, el ángulo de
intersección de dos de ellas—. Dice: «este es el problema más útil, y el más
general, no sólo que conozco, sino de los que deseo conocer en geometría».
Escribió su método en el segundo libro de La Géométrie. Era
puramente algebraico y no incluía ningún concepto de límite, mientras que para
Fermat sí lo implicaba, si se formulaba rigurosamente. Sin embargo, el método
de Descartes sólo era útil para curvas cuyas ecuaciones fueran de la
forma y = f(x), donde f(x)
era un polinomio sencillo. Aunque el método de Fermat era general, Descartes
pensaba que su método era mejor; criticó el de Fermat, del que hay que
reconocer que no resultaba claro en su presentación de entonces, e intentó
interpretarlo en términos de sus propias ideas. Fermat, a su vez, proclamaba
que su método era superior y veía ventajas en su utilización de los pequeños
incrementos E.
Isaac Barrow (1630-1677) también dio un método para obtener tangentes a las
curvas. Barrow era un profesor de matemáticas de la universidad de Cambridge.
Muy versado en griego y árabe, pudo traducir algunos de los trabajos de
Euclides y mejorar algunas otras traducciones de los escritos de Euclides,
Apolonio, Arquímedes y Teodosio. Su trabajo más importante, las Lectiones
Geometricae(1669), es una de las grandes contribuciones al cálculo. En él
utilizaba métodos geométricos, «liberados», según decía, «de las abominables
cargas del cálculo». En 1669, Barrow renunció a su puesto de profesor en favor
de Newton y volvió a los estudios teológicos.
El método geométrico de Barrow es bastante complicado y hace uso de curvas
auxiliares. Sin embargo, vale la pena destacar una característica, porque
ilustra la forma de pensar de la época; y es el uso de lo que se llama el
triángulo diferencial, o característico.
Figura 17.4
Comienza considerando el triángulo PRQ (fig.
17.4), que se obtiene por el incremento PR, y utiliza el hecho de
que este triángulo es semejante al PMN para afirmar que la
pendiente QR/PR de la tangente es igual a PM/MN.
Sin embargo, dice Barrow, cuando el arco PP' es
suficientemente pequeño podemos identificarlo sin gran error con el
segmento PQ de la tangente en P. El
triángulo PRP' (fig. 17.5), en el que PP' puede considerarse
bien como un arco de la curva o como una parte de la tangente, es el triángulo
característico. Había sido utilizado mucho antes por Pascal, en conexión con la
obtención de áreas, y por otros antes que él.
Figura 17.5
En la lección 10 de las Lectiones, Barrow recurre al
cálculo para obtener la tangente a una curva. Aquí el método es esencialmente
el mismo que el de Fermat. Utiliza la ecuación de la curva, por ejemplo y2 = px,
y sustituye x por x + e e y por y + a.
Entonces
y2 + 2 ay + a2 = px + pe.
Resta y2 = px y
obtiene
2 ay + a2 = pe
A continuación desprecia las potencias superiores de a y e (cuando
aparecen), que es lo mismo que sustituir PRP' de la figura
17.4 por PRP' de la figura 17.5, y concluye que
Ahora bien, como a/e = PM/NM,
se tiene
Como PM es y, ha calculado la
subtangente NM, y conoce entonces la posición de N.
El trabajo sobre el tercer tipo de problemas, la obtención de los máximos y
mínimos de una función, puede decirse que comienza con una observación de
Kepler. Estaba interesado en la forma de los toneles de vino; en su Stereometria
Doliorum (1615) demostró que, de todos los paralelepípedos rectos, de
bases cuadradas, inscritos en una esfera, el cubo es el mayor. Su método fue el
de calcular los volúmenes para elecciones particulares de las dimensiones.
Esto, en sí mismo, no era significativo; pero notó que cuando se acercaba al
volumen máximo, el cambio en volumen que correspondía a un cambio fijo en las
dimensiones crecía cada vez menos.
Fermat, en su Methodus ad Disquirendam, describió su método, que
ilustró mediante el siguiente ejemplo: dado un segmento, se desea encontrar un
punto de él tal que el rectángulo formado con los dos segmentos en que queda
dividido sea máximo. Llama B a todo el segmento, y sea A una
parte de él. El área del rectángulo formado por los dos segmentos es AB - A2.
Ahora sustituye A por A + E. La
otra parte es, entonces, B - (A + E),
y el área del rectángulo es ahora (A + E) (B - A - E).
Iguala las dos áreas porque, según razona, en un máximo los dos valores de la
función —es decir, las dos áreas— deben de ser iguales. Por tanto,
AB + EB - A2 -
2AE - E2 = AB - A2.
Restando los términos comunes en los dos miembros y dividiendo
por E, obtiene
B = 2A + E.
Hace entonces E = 0 (él dice que desprecia el
término en E) y obtiene B = 2A. Por lo
tanto, el rectángulo es un cuadrado.
El método, en palabras de Fermat, es bastante general; él lo describe así:
si A es la variable independiente, y si A se
incrementa hasta A + E, entonces cuando Ese
hace indefinidamente pequeño y cuando la función pasa por un máximo o un
mínimo, los dos valores de la función han de ser iguales. Estos valores se
igualan; la ecuación se divide por E, y E se hace
tender a cero, de modo que puede determinarse a partir de la ecuación el valor
de A que hace máxima o mínima a la función. El método es esencialmente el que
utilizaba para obtener la tangente a una curva. Sin embargo, el hecho básico
allí es la semejanza de dos triángulos; aquí es la igualdad de dos valores de
la función. Fermat no vio la necesidad de justificar la introducción de
un E distinto de cero y después, después de dividir por E,
hace E = O[62].
Los trabajos del siglo XVII sobre obtención de áreas, volúmenes, centros de
gravedad y longitudes de curvas comienzan con Kepler, de quien se dice que se
interesó por el problema de los volúmenes porque notó la falta de precisión de
los métodos utilizados por los tratantes en vinos para obtener el volumen de
los barriles. Este trabajo (en Stereometria Doliorum) es tosco para
los niveles actuales. Por ejemplo, el área de un círculo es, para él, el área
de un número infinito de triángulos, cada uno con un vértice en el centro y una
base en la circunferencia. De la fórmula del área de un polígono regular
inscrito en una circunferencia, la mitad del perímetro por el apotema, obtenía
el área del círculo. De forma análoga, consideraba el volumen de una esfera como
la suma de los volúmenes de pequeños conos cuyos vértices están en el centro de
la esfera y cuyas bases están en la superficie de la esfera. Así demostró que
el volumen de la esfera es un tercio del radio por la superficie. Consideró el
cono como una suma de discos circulares muy estrechos y pudo así calcular su
volumen. Estimulado por la obra de Arquímedes Esferoides y Conoides, generó
nuevas figuras mediante rotación de áreas y calculó los volúmenes
correspondientes. Así calculó el volumen de la figura generada por el giro
alrededor de su cuerda de un segmento circular.
La identificación de las áreas y volúmenes curvilíneos con la suma de un número
infinito de elementos infinitesimales es la esencia del método de Kepler. El
que el círculo pudiera considerarse como la suma de un número infinito de
triángulos estaba justificado, para él, por el principio de continuidad (cap.
14, sec. 5). No veía ninguna diferencia de principio entre las dos figuras. Por
la misma razón, una línea y un área infinitesimal eran realmente lo mismo; y de
hecho consideró, en algunos problemas, un área como suma de líneas.
En Dos nuevas ciencias Galileo concibe las áreas en una forma parecida a
Kepler; al tratar el problema del movimiento uniformemente acelerado, presentó
un razonamiento para mostrar que el área encerrada bajo la curva
tiempo-velocidad es la distancia.
Figura 17.6
Supongamos un objeto que se mueve con velocidad variable v =
32t, representado por la línea recta de la figura 17.6; entonces, la
distancia recorrida en el tiempo OA es el área OAB.
Galileo llegó a esta conclusión considerando, por ejemplo, A'B'
como una velocidad típica en un instante y también como la distancia
infinitesimal recorrida (como sería si se multiplicara por un elemento de
tiempo muy pequeño), y razonando entonces que el área OAB, que está
construida con las líneas A'B', debe de ser, por tanto, la
distancia total. Como ABes 32t y OA es t,
el área OAB es 16t2. El razonamiento es, por
supuesto, poco claro. Estaba apoyado en la mente de Galileo por consideraciones
filosóficas que equivalían a considerar el área OAB como
construida con un número infinito de unidades indivisibles como A'W.
Dedicó mucho tiempo al problema de la estructura de magnitudes continuas como
los segmentos de rectas y las áreas, pero no lo resolvió.
Bonaventura Cavalieri (1598-1647), discípulo de Galileo y profesor en un liceo
de Bolonia, fue influido por Kepler y Galileo y fue estimulado por este último
para interesarse por problemas del cálculo. Cavalieri desarrolló las ideas de
Galileo y otros sobre los indivisibles mediante un método geométrico, y publicó
un trabajo sobre el tema, Geometría Indivisibilibus Continuorum Nova
quadam Ratione Promota (Geometría superior mediante un método bastante
desconocido, los indivisibles de los continuos, 1635). Considera un área como
constituida por un número indefinido de rectas paralelas y equidistantes y un
volumen como compuesto por un número indefinido de áreas planas paralelas; a
estos elementos los llama los indivisibles de área y volumen, respectivamente.
Cavalieri es consciente de que el número de indivisibles que constituyen un área
o un volumen debe ser infinitamente grande, pero no trata de profundizar en
esto. En líneas generales, los indivisibilistas mantenían, como expresara
Cavalieri en sus Exercitationes Geometricae Sex (1647), que
una línea está hecha de puntos como una sarta de cuentas; un plano está hecho
de líneas, como un tejido de hebras, y un sólido de áreas planas como un libro
de hojas. Sin embargo, aceptaban un número infinito de elementos constituyentes.
Figura 17.7
El método o principio de Cavalieri puede ilustrarse mediante la
proposición siguiente que, por supuesto, puede demostrarse de otras formas.
Para demostrar que el paralelogramo ABCD (fig. 17.7) tiene
área doble que cualquiera de los triángulos ABD o BCD,
hace notar que cuando GD = BE, se tiene que GH = FE.
Por tanto, los triángulos ABD y BCD están
constituidos por igual número de líneas iguales, tales como GH y EF,
y por tanto tienen que tener áreas iguales.
Este mismo principio está incluido en la proposición que se enseña actualmente
en los libros de geometría de sólidos y que se conoce como teorema de
Cavalieri. El principio establece que si dos sólidos tienen igual altura y si
las secciones por planos paralelos a las bases y a la misma distancia de ellas
siempre están en una razón dada, los volúmenes de los dos sólidos también están
en esa razón. Utilizando esencialmente este principio, Cavalieri demostró que
el volumen de un cono es 1/3 del volumen del cilindro circunscrito. Trató de la
misma forma el área limitada bajo dos curvas, y = f(x)
e y = g(x), en nuestra notación, y
definidas para los mismos valores de x; considerando las áreas como la suma de
las ordenadas, si las ordenadas de una están en una razón constante con
respecto a las de la otra entonces, según Cavalieri, las áreas están en la misma
razón. Demostró mediante sus métodos en Centuria di varii problemi (1639)
que, en nuestra notación,
para valores enteros positivos de n hasta 9.
Sin embargo, su método era enteramente geométrico. Logró obtener resultados
correctos porque aplicó su principio para calcular áreas y volúmenes en los que
la razón de los indivisibles que constituían las respectivas áreas y volúmenes
era constante.
La teoría de los indivisibles de Cavalieri fue criticada por sus
contemporáneos, y Cavalieri intentó responderles, pero no tenía ninguna
justificación rigurosa. A veces pretendía que su método era sólo un instrumento
pragmático para evitar el método exhaustivo. A pesar de las críticas al método,
éste fue utilizado intensamente por muchos matemáticos. Otros, como Fermat,
Pascal y Roberval, utilizaron el método e incluso la nomenclatura, como la suma
de ordenadas, pero consideraban el área como una suma de infinitos rectángulos
pequeños en lugar de una suma de líneas.
En 1634, Roberval, quien dice que había estudiado al «divino Arquímedes»,
utilizó esencialmente el método de los indivisibles para obtener el área
encerrada bajo un arco de cicloide, un problema sobre el que Mersenne había
llamado su atención en 1629.
Figura 17.8
A Roberval se le acredita a veces el descubrimiento
independiente del método de los indivisibles, pero en realidad él creía en la
infinita divisibilidad de las líneas, superficies y volúmenes, de manera que no
habría partes últimas. Llamó a su método el «método de las infinidades», aunque
utilizó como título de su trabajo el de Traité des indivisibles.
El método de Roberval para obtener el área encerrada por la cicloide es
instructivo. Sea OABP (fig. 17.8) el área situada bajo la
mitad de un arco de cicloide. El diámetro de la circunferencia generatriz
es OC y P es un punto cualquiera del arco. Se
toma PQ = DF. El lugar geométrico descrito
por Q se llama curva asociada a la cicloide. (La curva OQB es,
en nuestra notación, y = asen (x/a),
donde a es el radio de la circunferencia generatriz, con tal que el origen esté
en el punto medio de OQB y el eje OX sea
paralelo a OA.) Roberval afirma que la curva OQB divide
al rectángulo OABC en dos partes iguales porque, básicamente,
a cada línea DQ en OQBC le corresponde una
línea igual RS en OABQ. Entonces puede aplicarse
el principio de Cavalieri. El rectángulo OABCtiene su base y altura
iguales, respectivamente, a la semicircunferencia y diámetro de la
circunferencia generatriz; por lo tanto su área es doble de la de la
circunferencia. Entonces OABQ tiene la misma área que la
circunferencia generatriz. Además, el área entre OPB y OQB es
igual al área del semicírculo OFCporque de la misma definición de Q
se tiene que DF = PQ, de modo que estas dos áreas
tienen la misma anchura en todas partes. En consecuencia, el área encerrada
debajo del semiarco es una vez y media el área de la circunferencia generatriz.
Roberval también obtuvo el área encerrada en un arco de la curva seno, el
volumen generado por la revolución del arco alrededor de su base, otros
volúmenes conectados con la cicloide y el centroide de su área.
Figura 17.9
El método nuevo más importante para calcular áreas, volúmenes y
otras cantidades comenzó con modificaciones del método exhaustivo griego.
Consideremos un ejemplo típico. Supongamos que se desea calcular el área
situada debajo de la parábola y = x2 desde x =
0 hasta x = B (fig. 17.9). Mientras que el
método exhaustivo utilizaba diferentes tipos de figuras aproximantes
rectilíneas, dependiendo del área curvilínea en cuestión, algunos adoptaron
en el siglo XVII un procedimiento sistemático utilizando rectángulos, como se
muestra en la figura. A medida que la anchura d de estos
rectángulos se hace más pequeña, la suma de las áreas de los rectángulos se
aproxima al área encerrada bajo la curva. Esta suma, si las bases son todas
ellas de anchura d, y si se utiliza la propiedad característica de
la parábola de que la ordenada es el cuadrado de la abscisa, es
d ´ d2 + d(2d)2 + d(3d)2 +
... + d(nd)2 (1)
o
d3(1 + 22 + 32 + ... + n2).
Ahora bien, la suma de las potencias m-ésimas de los
primeros n números naturales había sido obtenida por Pascal y
Fermat precisamente para su uso en tales problemas; por ello los matemáticos
pudieron sustituir fácilmente la última expresión por
Pero d es la longitud fija OB dividida
por n. Por tanto, (2) resulta ser
Si se considera, como lo hicieron ellos entonces, que los dos
últimos términos se pueden despreciar cuando n es infinito, se
obtiene el resultado correcto. El proceso de paso al límite no había sido
introducido todavía —o era percibido sólo toscamente— y por lo tanto el
despreciar términos tales como los dos últimos no estaba justificado.
Vemos que el método requiere aproximar la figura curvilínea mediante otras
rectilíneas, como en el método exhaustivo. Sin embargo, hay un cambio vital en
el último paso: en lugar de la demostración indirecta utilizada en el método
anterior, aquí el número de rectángulos se hace infinito y se toma el límite de
(3) cuando n se hace infinito aunque pensar en términos de límite no era en
absoluto explícito en esta época. Este nuevo enfoque, utilizado en fecha tan
temprana como 1586 por Stevin en su Statics, fue seguido por muchos
otros, incluyendo a Fermat[63].
Si la curva en cuestión no fuera la parábola, se tendría que sustituir la
propiedad característica de la parábola por la de la curva en cuestión y
obtener así alguna otra serie en lugar de la (1) de antes. Sumar la análoga de
(1) para obtener la análoga de (2) requería ingenio. Por tanto, los resultados
sobre áreas, volúmenes y centros de gravedad fueron limitados. Es claro que el
potente método de calcular el límite de tales sumas invirtiendo la
diferenciación todavía no había sido considerado.
Utilizando esencialmente el tipo de técnica de sumación que
acabamos de ilustrar, Fermat conocía antes de 1636 que (en nuestra notación)
para todo n racional excepto -1[64]. Este resultado también fue obtenido independientemente por
Roberval, Torricelli y Cavalieri, aunque en algunos casos sólo en forma
geométrica y para n más limitado.
Pascal fue uno de los que realizaron la sumación en forma
geométrica. En 1658 consideró algunos problemas sobre la cicloide[65]. Calculó el área de cualquier segmento de la curva cortada por
una recta paralela a la base, el centroide del segmento y los volúmenes de los
sólidos generados por esos segmentos al girar alrededor de sus bases (YZ en
la fig. 17.10) o de una recta vertical (el eje de simetría).
En este trabajo, así como en trabajos previos sobre áreas encerradas bajo
curvas de la familia y = xn, sumó
pequeños rectángulos en la forma descrita en conexión con la (1) de antes,
aunque su trabajo y resultados fueron enunciados geométricamente. Bajo el
seudónimo de Dettonville, proponía los problemas que había resuelto como un
reto para otros matemáticos, publicando a continuación sus propias soluciones
superiores (Lettres de Dettonville, 1659).
Figura 17.10
Antes de Newton y Leibniz, quien más hizo para introducir los
métodos analíticos en el cálculo fue John Wallis (1616-1703). Aunque no comenzó
a aprender matemáticas hasta que tenía aproximadamente veinte años —su
educación universitaria en Cambridge estuvo dedicada a la teología— llegó a ser
profesor de geometría en Oxford y el matemático británico más capaz del siglo,
después de Newton. En su Arithmetica Infinitorum (1655) aplicó
el análisis y el método de los indivisibles para efectuar muchas cuadraturas y
obtener resultados amplios y útiles.
Uno de los notables resultados de Wallis, obtenido en sus esfuerzos por
calcular el área del círculo analíticamente, fue una nueva expresión de π.
Calculó el área acotada por los ejes, la ordenada en x y la
curva para las funciones
y = (1-x2)0
y = (1-x2)1
y = (1-x2)2
y = (1-x2)3
…
y obtuvo las áreas
respectivamente. Cuando x = 1, estas áreas son
1, 2/3, 8/15, 48/105, … (4)
Ahora bien, la circunferencia viene dada por
Por inducción e interpolación, Wallis calculó su área y,
mediante complicados razonamientos posteriores llegó a que
Gregorio de St. Vincent, en su Opus Geometricum (1647),
proporcionó las bases para la importante conexión entre la hipérbola
rectangular y la función logaritmo. Demostró, utilizando el método exhaustivo,
que si para la curva y = 1/x (fig. 17.11)
las xi se eligen de modo que las áreas a, b, c, d,...
son iguales, entonces las yi están en progresión
geométrica.
Esto significa que la suma de las áreas desde x0 hasta xi,
cuya suma forma una progresión geométrica, es proporcional al logaritmo de los
valores de las y{ o, en nuestra notación,
Esto concuerda con nuestro conocido resultado del cálculo,
porque y = 1/x. La observación de que las áreas pueden
interpretarse como logaritmos se deben en realidad a un discípulo de Gregorio,
el jesuita belga Alfons A. de Sarasa (1618-1667), en sus Solutio
Problematis a Mersenno Propositi (1649).
Figura 17.11
Alrededor de 1665 Newton también se dio cuenta de la conexión
entre el área encerrada bajo la hipérbola y los logaritmos, e incluyó esta
relación en su Method of Fluxions. Desarrolló 1/ (1 + x)
por el teorema del binomio e integró término a término obtenido
Nicholas Mercator, utilizando los resultados de Gregorio, obtuvo
la misma serie independientemente (aunque no lo afirmó explícitamente) en
su Logarithmotechnia de 1668. Pronto otros encontraron series
que, como diríamos nosotros, convergían más rápidamente. El trabajo sobre la
cuadratura de la hipérbola y su relación con la función logarítmica fue
realizado por muchos, y la mayor parte se difundió por medio de cartas, por lo
que es difícil detectar el orden de su descubrimiento y atribuir adecuadamente
el mérito de ello.
Hasta, aproximadamente, 1650 nadie creía que la longitud de una curva pudiera
ser igual exactamente a la longitud de una recta. De hecho, en el segundo libro
de La Géometrie, Descartes expone que la relación entre las líneas
curvas y rectas ni se conoce ni se podrá conocer nunca. Pero Roberval encontró
la longitud de un arco de cicloide. El arquitecto Christopher Wren (1632-1723)
rectificó la cicloide mostrando que (fig. 17.12) el arco PA =
2PT
Figura 17.12
William Neile (1637-1670) también obtuvo (1659) la longitud de
un arco y, utilizando una sugerencia de Wallis, rectificó la parábola
semicúbica (y3 = ax2) [67]. Fermat también calculó algunas longitudes de curvas. Todos
utilizaban, habitualmente, un polígono inscrito para aproximar la curva,
hallaban la suma de los segmentos y entonces hacían que el número de segmentos
se hiciera infinito y cada uno de ellos más pequeño. James Gregory (1638-1675),
un profesor de St. Andrews y Edimburgo (cuyo trabajo fue conocido sólo
ligeramente por sus contemporáneos, pero no de forma general hasta que apareció
en 1939 un volumen conmemorativo, editado por H. W. Turnbull), dio un método
para rectificar curvas en su Geometriae Pars Universalis (1668).
Christian Huygens (1629-1695) obtuvo algunos resultados adicionales sobre
rectificación. En particular, encontró la longitud del arco de la cisoide.
También realizó contribuciones al trabajo sobre áreas y volúmenes y fue el
primero en dar resultados sobre áreas de superficies diferentes de la esfera.
Así, obtuvo las áreas de porciones de superficies del paraboloide y del
hiperboloide. Huygens obtuvo todos estos resultados por métodos puramente
geométricos, aunque utilizó la aritmética, como Arquímedes había hecho
ocasionalmente, para obtener respuestas cuantitativas.
La rectificación de la elipse desafiaba a los matemáticos. De hecho, James
Gregory afirmaba que la rectificación de la elipse y de la hipérbola no podría
realizarse en términos de funciones conocidas. Durante algún tiempo, los
matemáticos no se animaron a trabajar más sobre este problema, y no se
obtuvieron resultados nuevos hasta el siglo siguiente.
Hemos estado tratando de las principales contribuciones de los predecesores de
Newton y Leibniz a los cuatro problemas más importantes que motivaron los
trabajos sobre el cálculo. Los cuatro problemas habían sido considerados como
diferentes; sin embargo, se detectaron relaciones entre ellos que, incluso,
llegaron a utilizarse. Por ejemplo, Fermat había usado exactamente el mismo
método para obtener tangentes y para obtener el valor máximo de una función.
También se vio fácilmente que el problema del cambio relativo de una función
con respecto a la variable independiente y el problema de la tangente eran el
mismo. De hecho, el método de Fermat y de Barrow para obtener tangentes no es
más que la contrapartida geométrica de la obtención del cambio relativo. Pero
la característica principal del cálculo, después de los mismísimos conceptos de
derivada y de integral como límite de una suma, es el hecho de que la integral
puede obtenerse invirtiendo el proceso de diferenciación o, como decimos
nosotros, obteniendo la antiderivada. Se habían encontrado muchas
pruebas de esta relación, pero no se había valorado adecuadamente su
significado. Torricelli había observado en casos particulares que el problema
del cambio relativo era esencialmente el inverso del problema del área. Estaba,
de hecho, incluido en el uso que Galileo hacía del hecho de que el área
encerrada bajo la curva tiempo-velocidad proporciona la distancia recorrida
hasta el tiempo correspondiente. Puesto que el cambio relativo de la distancia
debe de ser la velocidad, el cambio relativo del área, considerada como una
«suma», debe de ser la derivada de la función de área.. Pero Torricelli no cayó
en la cuenta de ello en general. También Fermat conocía la relación entre área
y derivada en casos particulares, pero no valoró su generalidad o importancia.
James Gregory, en su Geometriae de 1668, demostró que los
problemas de la tangente y del área son problemas inversos, pero su libro pasó
desapercibido. En las Geometrical Lectures, Barrow exponía la
relación entre obtener la tangente a una curva y el problema del área, pero
estaba dicha en forma geométrica y ni siquiera él mismo se dio cuenta de su
significado.
En realidad se había acumulado una inmensa cantidad de conocimiento sobre el
cálculo antes de que Newton y Leibniz entraran en escena. Una panorámica de tan
sólo el único libro de Barrow muestra un método para obtener tangentes,
teoremas sobre diferenciación del producto y del cociente de dos funciones, la
diferenciación de potencias de x, la rectificación de curvas, el cambio de
variables en una integral definida e incluso la diferenciación de las funciones
implícitas. Aunque en el caso de Barrow la formulación geométrica hacía difícil
el reconocimiento de las ideas generales, en la Arithmetica Infinitorum de
Wallis podían encontrarse resultados comparables en forma aritmética.
Puede uno preguntarse entonces qué quedaba por realizar en la senda de los
principales resultados nuevos. La respuesta es una mayor generalidad del método
y el tomar conciencia de la generalidad de lo que ya había sido establecido en
problemas particulares. Los trabajos sobre el cálculo durante los primeros dos
tercios de siglo se perdieron en los detalles. Además, en sus esfuerzos por
alcanzar rigor a través de la geometría, no se utilizaron ni se exploraron, en
general, las implicaciones de la nueva álgebra ni de la geometría de
coordenadas, y muchos se agotaron en sutiles razonamientos sin salida. Lo que
estimuló, en último extremo, la percepción necesaria y el alcance de la
generalidad fue el trabajo aritmético de Fermat, Gregorio de St. Vincent y
Wallis, aquel a quien Hobbes criticó por sustituir la geometría por símbolos.
James Gregory afirmaba en su prefacio a la Geometriae que la
verdadera división de las matemáticas no era en geometría y aritmética, sino en
lo universal y lo particular. Lo universal fue proporcionado por las dos mentes
universales, Newton y Leibniz.
3. La obra de Newton
Los grandes avances en las matemáticas y en la ciencia se construyen casi
siempre sobre el trabajo de muchos hombres que aportan sus contribuciones, poco
a poco, a lo largo de cientos de años; de vez en cuando un hombre, lo bastante
lúcido como para distinguir las ideas valiosas de sus predecesores de la
confusión de sugerencias y pronunciamientos, lo suficientemente imaginativo
como para encajar las piezas en una nueva explicación, lo bastante audaz como
para construir un plan maestro, da el paso culminante y definitivo. En el caso
del cálculo, éste fue Isaac Newton.
Newton (1642-1727) nació en la aldea de Woolsthorpe, Inglaterra, donde su madre
trabajaba la granja que le había dejado su marido, quien había muerto dos meses
antes de que naciera Isaac. Se educó en escuelas locales, de bajo nivel
educativo, como un joven sin ninguna inclinación especial, excepto su interés
por los aparatos mecánicos. Superó los exámenes de entrada, con deficiencias en
geometría euclídea, en el Trinity College de la Universidad de Cambridge en
1661, y allí estudió tranquilamente y sin obstáculos. En un determinado momento
casi cambió su carrera de filosofía natural (ciencia) a derecho. Según parece,
recibía muy poco estímulo de sus profesores excepto, posiblemente, de Barrow.
Por ello, realizó experiencias por sí mismo y estudió la Géometrie de
Descartes, así como los trabajos de Copérnico, Kepler, Galileo, Wallis y
Barrow.
Justo después de que Newton terminara su trabajo de licenciatura, la
universidad fue cerrada porque la peste se había extendido por toda el área de
Londres. Se fue de Cambridge y pasó los años 1665 y 1666 en la tranquilidad de
la casa familiar en Woolsthorpe. Allí inició su magnífico trabajo en mecánica,
matemática y óptica. En esa época se dio cuenta de que la ley de gravitación
del inverso del cuadrado, un concepto ya anticipado por otros, incluso por
Kepler ya en 1612, era la llave de una ciencia unificadora de la mecánica;
obtuvo un método general para tratar los problemas del cálculo y, mediante
experimentos con la luz, realizó el trascendental descubrimiento de que la luz
blanca, como la del Sol, está compuesta en realidad de todos los colores, desde
el violeta hasta el rojo. «Todo esto», decía Newton más tarde,
«fue en los años de la peste de 1665 y 1666, ya que en
aquellos días yo estaba en lo mejor de mi edad para la invención, y me
interesaban las matemáticas y la filosofía (ciencia) más que en cualquier otra
época desde entonces».
Newton no dijo nada de esos descubrimientos. Volvió a Cambridge
en 1667 para obtener un grado de maestro y fue elegido miembro del Trinity
College. En 1669 Isaac Barrow renunció a su plaza de profesor y Newton fue
contratado en el puesto de Barrow como profesor Lucasiano de matemáticas. Según
parece, no era un buen profesor, porque pocos estudiantes asistían a sus
clases; tampoco sus colegas se dieron cuenta de la originalidad del material
que presentaba. Sólo Barrow y, algo más tarde, el astrónomo Edmund Halley
(1656-1742) valoraron su grandeza y le estimularon.
Al principio Newton no publicó sus descubrimientos. Se dice que tenía un miedo
a la crítica anormal; De Morgan dice que «un miedo mórbido a la oposición de
los demás gobernó toda su vida». Cuando en 1672 publicó su trabajo sobre la
luz, acompañado de su filosofía de la ciencia, fue criticado severamente por la
mayor parte de sus contemporáneos, incluyendo a Robert Hooke y a Huygens,
quienes tenían ideas diferentes sobre la naturaleza de la luz. Newton quedó tan
desconcertado que resolvió no publicar ya en el futuro. Sin embargo, en 1675
publicó otro trabajo sobre la luz que contenía su idea de que la luz era una
corriente de partículas —la teoría corpuscular de la luz—. Otra vez se vio
envuelto en una tormenta de críticas e incluso de pretensiones por parte de
otros de haber descubierto ya esas ideas. Esta vez Newton decidió que sus
resultados serían publicados después de su muerte. No obstante, publicó
trabajos posteriores y varios libros famosos, los Principia,
la Opticks (edición inglesa, 1704, edición italiana, 1706), y
la Arithmetica Universalis (1707).
Desde 1665 en adelante aplicó la ley de la gravitación al movimiento
planetario; en este campo, los trabajos de Hooke y Huygens le influyeron
considerablemente. En 1684, su amigo Halley le instó a publicar sus resultados,
pero, además de su renuncia a publicar, Newton no disponía de una demostración
de que la atracción gravitatoria ejercida por una esfera sólida actúa como si
la masa de la esfera estuviera concentrada en el centro. Dice, en una carta a
Halley del 20 de junio de 1686, que hasta 1685 sospechaba que esto era falso.
En ese año demostró que una esfera cuya densidad varía sólo con la distancia al
centro atrae, de hecho, a una partícula externa como si la masa de la esfera
estuviera concentrada en su centro, y se mostraba de acuerdo en escribir su
trabajo.
Halley, entonces, apoyó editorialmente a Newton y pagó la publicación. En 1687
apareció la primera edición de los Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica(Los principios matemáticos de la filosofía natural). Hubo dos
ediciones posteriores, en 1713 y 1726, y la segunda incluía algunas mejoras.
Aunque el libro le reportó a Newton una gran fama, era muy difícil de entender.
Confesó a un amigo que lo había hecho difícil a propósito «para evitar ser
atacado por pequeños charlatanes en matemáticas». Sin duda esperaba así
evitar las críticas que habían recibido sus trabajos anteriores sobre la luz.
Newton era también un químico importante. Aunque no hay grandes descubrimientos
asociados a su nombre en este campo, se debe tener en cuenta que la química
estaba entonces en su infancia. Tuvo la idea correcta de intentar explicar los
fenómenos químicos en términos de partículas últimas, y poseyó un conocimiento
profundo de la química experimental. En este tema escribió un importante
artículo, «De natura acidorum» (escrito en 1692 y publicado en 1710). En
las Philosophical Transactions of the Royal Society de 1701,
publicó un artículo sobre el calor, que contiene su famosa ley de enfriamiento.
Aunque leía los trabajos de los alquimistas, no aceptaba sus nebulosos y
místicos puntos de vista. Las propiedades químicas y físicas de los cuerpos
podrían, según creía, explicarse en términos del tamaño, forma y movimiento de
las partículas últimas; rechazaba las fuerzas ocultas de los alquimistas, tales
como simpatía, antipatía, armonía y atracción.
Además de su obra sobre mecánica celeste, luz y química, Newton trabajó en
hidrostática e hidrodinámica. A su magnífico trabajo experimental sobre la luz,
añadió su experimentación sobre el rozamiento en el movimiento del péndulo en
distintos medios, la caída de esferas en aire y agua, y el flujo de agua de
surtidores. Como la mayor parte de los científicos de la época, Newton se
construyó su propio equipo. Se construyó dos telescopios reflectantes,
produciendo incluso la aleación para el armazón, fabricando la montura y
puliendo las lentes.
Después de trabajar como profesor durante treinta y nueve años, Newton se deprimió
y sufrió un colapso nervioso. Decidió abandonar la investigación y en 1695
aceptó un contrato como director de la Casa de la Moneda de Londres. Durante
sus veintisiete años en ese puesto no hizo investigación, salvo para trabajar
ocasionalmente en algún problema. Llegó a ser presidente de la Royal Society en
1703, cargo que mantuvo hasta su muerte; fue hecho caballero en 1705.
Es evidente que Newton se interesó mucho más en la ciencia en general que en
las matemáticas, y que participó activamente en los problemas de su época.
Consideró que el principal valor de su trabajo científico era el de que
constituyera un apoyo de la religión revelada y era, de hecho, un teólogo
ilustrado, aunque nunca se ordenó. Pensaba que la investigación científica era
dura y monótona, pero se mantuvo en ella porque proporcionaba pruebas de la
gran obra de Dios. Como su antecesor Barrow, Newton se orientó hacia los
estudios religiosos relativamente tarde. En la obra The Chronology of
Ancient Kingdoms Amended, intentó atribuir fecha precisa a sucesos
descritos en la Biblia y en otros documentos religiosos, relacionándolos con
sucesos astronómicos. Su principal trabajo religioso fue las Observations
Upon the Prophecies of Daniel and the Apocalypse of St. John. La exégesis
bíblica fue una fase del enfoque racional de la religión, que era común en la
Edad de la Razón; Leibniz también intervino en ello.
Al menos por lo que se refiere al cálculo, Newton generalizó las ideas ya
adelantadas por muchos otros, estableció métodos ya maduros y mostró las
interrelaciones entre varios de los importantes problemas descritos
anteriormente. Aunque aprendió mucho como alumno de Barrow, en álgebra y
cálculo estuvo más influido por los trabajos de Wallis. Decía que se vio
conducido a sus descubrimientos en análisis por la Arithmetica
Infinitorum; ciertamente, realizó progresos en su trabajo sobre el cálculo
razonando analíticamente. Sin embargo, incluso Newton pensaba que la geometría
era necesaria para una demostración rigurosa.
En 1669 Newton hizo circular entre sus amigos una monografía titulada De
Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (Sobre el análisis
por medio de ecuaciones con un infinito número de términos); no fue publicado
hasta 1711. Supone que tiene una curva, y que el área z (fig. 17.13) bajo esa
curva viene dada por
z = axm (5)
donde m es entero o fraccionario. A un
incremento infinitesimal de x lo llama momento de x,
y lo representa mediante o, una notación utilizada por James Gregory y que
equivale a la E de Fermat. Al área acotada por la curva, el
eje OX, el eje OY y la ordenada en x + o,
la llama z + oy, donde oy es el
momento del área. Entonces
z + oy = a(x + o)m (6)
Aplica el teorema del binomio al segundo miembro, obteniendo una
serie infinita cuando m es fraccionario, resta (5) de (6),
divide por o, desprecia los términos que contienen todavía o y
obtiene
y = maxm-1
Así, en el lenguaje actual, el cambio relativo del área en
cualquier x es el valor de y de la curva en
ese valor de x. Recíprocamente, si la curva es y = maxm-1,
el área encerrada por ella es z = axm.
En este proceso Newton no sólo dio un método general para obtener el cambio
relativo de una variable con respecto a otra (z con respecto
a x en el ejemplo anterior), sino que mostró que el área puede
obtenerse invirtiendo el proceso de obtener un cambio relativo.
Como las áreas se habían obtenido y expresado también como sumación de áreas
infinitesimales, Newton también mostró que tales sumas pueden obtenerse
mediante la inversión del proceso de obtener un cambio relativo.
Figura 17.13
Este hecho, el de que las sumaciones (más propiamente, los
límites de sumas) puedan obtenerse invirtiendo la diferenciación, es lo que
llamamos ahora el teorema fundamental del cálculo. Aunque era conocido en casos
especiales y confusamente previsto por los predecesores de Newton, él vio que
era general. Aplicó el método para obtener el área encerrada bajo muchas curvas
y para resolver otros problemas que pueden resolverse como sumaciones.
Después de demostrar que la derivada del área es el valor de la y y
afirmar que el recíproco es cierto, Newton estableció la regla de que, si el
valor de y es una suma de términos, entonces el área es la suma de las áreas
que resultan de cada uno de los términos. En expresión moderna, la integral
indefinida de una suma de funciones es la suma de las integrales de las
funciones por separado.
En su siguiente contribución en la monografía citada, desarrolló su utilización
de las series infinitas. Para integrar y = a2/(b + x),
dividió a2 por b + x y
obtuvo
Habiendo obtenido esta serie infinita, calcula la integral
integrando término a término, de forma que el área es
Dice de esta serie infinita que unos pocos de los primeros
términos son suficientemente exactos para cualquier uso, con tal que b sea
igual a x repetido algunas veces.
De la misma manera, para integrar y = 1/(1 + x2)
utiliza el desarrollo del binomio para escribir
y = 1 - x2 + x4 - x6 + x8 -
...
e integra término a término. Hace notar que si, en lugar de
ello, se toma y = 1/(1 + x2), mediante
el desarrollo del binomio se obtendría
y = x-2 - x-4 + x-6 - x-8 +
...
que se puede integrar término a término. Señala entonces que
cuando x es suficientemente pequeño debe utilizarse el primer
desarrollo, pero que cuando xes grande debe usarse el segundo. Por
tanto, de alguna manera era consciente de que lo que llamamos convergencia era
importante, pero no tenía una noción precisa de ello.
Y cualquier cosa que realice el Análisis común mediante
Ecuaciones de un Número de Términos finito (con tal que se pueda hacer) se
puede hacer siempre mediante Ecuaciones infinitas, de modo que no he tenido
ningún reparo en llamar a esto Análisis igualmente. Porque los razonamientos en
este campo no son menos ciertos que en el otro; tampoco las ecuaciones menos
exactas; aunque nosotros Mortales, cuyos poderes de razonamiento están
confinados dentro de límites estrechos, no podemos ni expresar ni tampoco concebir
todos los Términos de estas Ecuaciones, como para conocer exactamente de ellos
las cantidades que queremos.
Hasta entonces, en ese enfoque del cálculo, Newton había
utilizado lo que puede ser descrito como el método de los infinitesimales. Los
momentos son cantidades infinitamente pequeñas, indivisibles o infinitesimales.
La lógica de lo que hizo Newton no está clara, por supuesto. Dice en este
trabajo que su método está «explicado brevemente más que demostrado con
precisión».
Newton proporcionó una segunda, más extensa y más definitiva, exposición de sus
ideas en el libro Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum
En este segundo trabajo Newton establece algo más claramente el problema
fundamental del cálculo: dada una relación entre dos fluyentes, obtener la
relación entre sus fluxiones y recíprocamente. Las dos variables de las que se
da la relación pueden representar cualquier cantidad. Sin embargo, Newton
piensa en ellas como cambiantes con el tiempo porque es una forma de pensar
útil, aunque, como señala, no es necesaria. Por tanto, si o es un «intervalo de
tiempo infinitamente pequeño», entonces x
y entonces procede como en el artículo anterior. Desarrolla el
segundo miembro mediante el teorema del binomio, resta y = xn,
divide por o, desprecia todos los términos que todavía contienen o y obtiene
En notación moderna, este resultado puede escribirse
y como dy
El método de las fluxiones no es esencialmente diferente del utilizado en De
Analysi
Dada una relación entre
El primer tipo es el más fácil y, en notación moderna, corresponde a
resolver dy/dx = f(x). Del segundo tipo, Newton trata
2y2 + (y3/3) = z
Por tanto, si el tercer tipo se considera una ecuación en
derivadas parciales, Newton obtiene sólo una integral particular.
Newton se dio cuenta de que en este trabajo había presentado un método general.
En una carta a John Collins, fechada el 10 de diciembre de 1672, en la que
proporciona los elementos de su método y un ejemplo, dice,
Este es un [caso] particular, o más bien un corolario, de un
método general, que puede aplicarse, sin ningún cálculo complicado, no sólo al
dibujo de las tangentes de cualquier línea curva, tanto geométrica como
mecánica... sino también para resolver otros tipos más abstrusos de problemas
sobre curvaturas, áreas, longitudes, centros de gravedad de curvas, etc.;
tampoco está... limitado a las ecuaciones que no contengan cantidades
irracionales. He entretejido este método con el de las ecuaciones, reduciéndolos
a las series infinitas.
Newton resaltaba el uso de las series infinitas porque mediante
ellas podía tratar funciones tales como (1 + x)3/2,
mientras que sus predecesores habían estado limitados, en su conjunto, a las
funciones algebraicas racionales.
En su Tractatus de Quadratura Curvarum (Tratado sobre la
cuadratura de las curvas), un tercer artículo sobre el cálculo, escrito en 1676
pero publicado en 1704, Newton dice que había abandonado el infinitesimal o
cantidad infinitamente pequeña. Critica ahora el despreciar los términos que
incluyen o porque, según dice
en matemáticas no se debe despreciar ni los errores más
diminutos... Considero las cantidades matemáticas, en este punto, no como
consistentes en pequeñas partes, sino como descritas por un movimiento
continuo. Las líneas están descritas, y por tanto generadas, no por la
yuxtaposición de partes, sino por el movimiento continuo de puntos; las
superficies por el movimiento de líneas; los ángulos por la rotación de los
lados; las porciones de tiempo por un flujo continuo...
Las fluxiones son, hasta la aproximación que queramos, como los incrementos de
las fluyentes generados en tiempos iguales y tan pequeños como sea posible y,
para hablar con precisión, están en la razón primera de los incrementos
emergentes; aunque pueden expresarse mediante líneas cualesquiera que sean
proporcionales a ellos.
El nuevo concepto de Newton, el método de la razón primera y
última, significa lo siguiente. Considera la función y = xn.
Para obtener la fluxión de y o de xn,
se deja a x «fluir» hasta x + o.
Entonces xn se convierte en
Los incrementos de x e y, es decir,
son, uno con respecto al otro (dividiendo ambos por o), como
«Hagamos ahora tender a cero los incrementos, y la última
proporción se convertirá en
1 a nxn-1
Entonces, la fluxión de x es a la fluxión
de xn como 1 a nxn-1 o,
como diríamos en la actualidad, el cambio relativo de y con
respecto a x es nxn-1.
Esta es la razón o cociente primera de los incrementos emergentes. Por supuesto
que la lógica de esta versión no es mejor que la de las dos precedentes; sin
embargo, Newton dice que su método está en armonía con la geometría de los
antiguos y que no es necesario introducir cantidades infinitamente pequeñas.
Newton también dio una interpretación geométrica.
Dados los datos de la fig. 17.14, supongamos que bc se mueve
hasta BC de modo que c coincida con C.
Entonces el triángulo curvilíneo CEc es «en la última forma»
semejante al triángulo CET, y sus lados «evanescentes» serán
proporcionales a CE, ET y CT. Por lo
tanto, las fluxiones de las cantidades AB, BCy AC son,
en la última razón o cociente de sus incrementos evanescentes, proporcionales a
los lados del triángulo CET o del VBC.
Figura 17.14
En el Method of Fluxions Newton incluyó
aplicaciones las fluxiones a la diferenciación de las funciones implícitas y a
la obtención de tangentes a las curvas, máximos y mínimos de las funciones,
curvatura de las curvas y puntos de inflexión de las mismas. También obtuvo áreas
y longitudes de algunas curvas. En conexión con la curvatura, dio la fórmula
correcta del radio de curvatura, es decir,
donde
Newton no publicó sus artículos básicos sobre el cálculo hasta mucho después de
haberlos escrito. El primer informe impreso de su teoría de las fluxiones
apareció en el Algebra de Wallis (segunda edición en latín, 1693), de la que
Newton escribió desde la página 390 hasta la 396. Si la hubiera publicado
entonces de una vez, podría haber evitado la controversia con Leibniz sobre la
prioridad del descubrimiento.
La primera publicación de Newton que incluye su desarrollo del cálculo es la
magnífica obra Mathematical Principies of Natural Philosophy[68]. Por lo que se refiere a la noción básica del cálculo, la
fluxión o, como diríamos nosotros, la derivada, Newton hace varias
afirmaciones. Rechaza los infinitesimales o las cantidades indivisibles últimas
en favor de las «cantidades divisibles evanescentes», cantidades que se puede
hacer disminuir tanto como se quiera. En las ediciones primera y tercera de los
Principia Newton dice: «Cocientes (o razones) últimos en los que las
cantidades se anulan no son, estrictamente hablando, razones de cantidades últimas
sino límites a los que se acercan las razones de esas cantidades, al decrecer
sin límite, las cuales, aunque pueden hacerse más próximos (a sus límites) que
cualquier diferencia dada, no pueden ni sobrepasarlos ni alcanzarlos antes que
las cantidades hayan decrecido indefinidamente»[69]. Esta es la afirmación más clara de todas las que hizo con
respecto a su cociente último. A propósito de la cita anterior, también dice:
«Por velocidad última se entiende aquella con la que se mueve
el cuerpo, ni antes de que llegue a su posición final, cuando cesa el
movimiento, ni después, sino en el mismo instante en el que llega... Y, de la
misma manera, por razón última de cantidades evanescentes debe entenderse la
razón de cantidades, no antes de que se anulen, no después, sino aquella con la
que se anulan.»
En los Principia Newton utilizó métodos de
demostración geométricos. Sin embargo, en lo que se llaman los Portsmouth
Papers (artículos de Portsmouth), que contienen trabajos no
publicados, utilizó métodos analíticos para obtener algunos de los teoremas.
Estos artículos muestran que él también obtenía resultados analíticamente, más
allá de los que podía traducir en términos geométricos. Se cree que una razón
por la cual recurría a la geometría es porque las demostraciones resultaban más
comprensibles para sus contemporáneos. Otra es que admiraba inmensamente el
trabajo geométrico de Huygens y esperaba igualarlo. En estas demostraciones
geométricas Newton utiliza los procesos de paso al límite básicos del cálculo.
Así, el área encerrada bajo una curva se considera esencialmente como la suma
de los rectángulos que la aproximan, tal como se hace en el cálculo
actualmente. Sin embargo, en vez de calcular tales áreas, utiliza este concepto
para comparar áreas encerradas bajo diferentes curvas.
Demuestra que, cuando AR y BR (fig. 17.15)
son las perpendiculares a las tangentes en A y en B al
arco ACB, la razón última, cuando B se aproxima y
llega a coincidir con A, de dos cualesquiera de las cantidades, la
cuerda AB, el arco ACB y AD, es 1.
Por ello, dice en el corolario 3 al lema 2 del libro I:
«Y, en consecuencia, en toda nuestra argumentación sobre
razones últimas, podemos utilizar libremente una de esas líneas en lugar de
otra cualquiera de ellas.»
Figura 17.15
Demuestra entonces que cuando B se acerca y
llega a coincidir con A, la razón de dos triángulos cualesquiera
(de sus áreas), RAB, RACB y RAD es
1. «Y, por tanto, en toda la argumentación sobre razones últimas podemos
utilizar uno de esos triángulos en lugar de otro cualquiera de ellos.»
Además (fig. 17.16), sean BD y CE perpendiculares
a AE (que no es necesariamente tangente al arco ABC en A).
Cuando B y C se aproximan y coinciden
con A, la razón última de las áreas ACE y ABD es
igual a la razón última de AE2 a AD2.
Los Principia contienen una gran riqueza de resultados, de los que señalaremos
algunos. Aunque el libro está dedicado a la mecánica celeste, tiene una enorme
importancia para la historia de las matemáticas, no sólo porque el propio
trabajo de Newton sobre el cálculo estuvo motivado en gran parte por su
constante interés por los problemas allí tratados, sino porque los Principia
presentaban nuevos temas y enfoques de problemas que fueron explorados durante
los cien años siguientes, en el curso de los cuales fue creada una parte enorme
del análisis.
Figura 17.16
Los Principia están divididos en tres libros[70]. En una sección preliminar, Newton define conceptos de mecánica
tales como los de inercia, momento y fuerza, y a continuación establece los
tres famosos axiomas o leyes del movimiento. En sus palabras, son:
Ley I. Todo cuerpo continúa en su estado de reposo, o de
movimiento uniforme en línea recta, a menos que se vea impelido a cambiar ese
estado por fuerzas que actúen sobre él.
Ley II. El cambio [en la cantidad] de movimiento es
proporcional a la potencia motriz actuante; y se realiza en la dirección de la
línea recta en la que se imprime esa fuerza.
Por cantidad de movimiento Newton indica, como había explicado anteriormente,
el producto de la masa por la velocidad. Por tanto, el cambio en el movimiento,
si la masa es constante, es el cambio en velocidad, es decir, la aceleración.
Esta segunda ley se escribe ahora a menudo como F = ma,
cuando la fuerza F está en newtons, la masa m en
kilogramos y la aceleración a en metros por segundo en cada
segundo. La segunda ley de Newton es en realidad un enunciado vectorial; es
decir, si la fuerza tiene componentes en, digamos, tres direcciones mutuamente
perpendiculares, entonces cada componente provoca una aceleración en su propia
dirección. Newton utilizó el carácter vectorial de la fuerza en problemas
particulares, pero todo el significado de la naturaleza vectorial de la ley fue
completamente reconocido por primera vez por Euler. Esta ley incorpora el
cambio clave con respecto a la mecánica de Aristóteles, la cual afirmaba que la
fuerza es la causa de la velocidad. Aristóteles también había afirmado que se
necesita una fuerza para mantener la velocidad. La Ley I lo niega.
Ley III. A toda acción siempre se opone una reacción
igual...
No entraremos en una digresión sobre la historia de la mecánica, excepto para
señalar que las dos primeras leyes son más explícitas y son enunciados, algo
generalizados, de los principios del movimiento descubiertos previamente y
avanzados ya por Galileo y Descartes. La distinción entre masa, esto es, la
resistencia que ofrece un cuerpo a un cambio en su movimiento, y peso, la
acción que la gravedad ejerce sobre la masa de cualquier objeto, también se
debe a ellos; y el carácter vectorial de la fuerza generaliza el principio de
Galileo de que los movimientos horizontales y verticales de un proyectil, por
ejemplo, pueden tratarse independientemente.
El libro I de los Principia comienza con algunos teoremas del cálculo,
incluyendo los que relacionan las razones últimas citadas anteriormente. Trata
a continuación el movimiento bajo fuerzas centrales, es decir, fuerzas que
siempre atraen al objeto móvil hacia un punto (fijo, que resulta ser el Sol, en
la práctica), y demuestra en la Proposición 1 que áreas iguales son barridas en
tiempos iguales (que abarca la ley de las áreas de Kepler). Newton considera a
continuación el movimiento de un cuerpo a lo largo de una sección cónica y
muestra (Props. 11, 12 y 13) que la fuerza debe variar como el inverso del
cuadrado de la distancia a un punto fijo. También prueba el recíproco, que
contiene la primera ley de Kepler. Después de algún tratamiento de la fuerza
centrípeta, deduce la tercera ley de Kepler (Prop. 15). Siguen dos secciones
dedicadas a las propiedades de las secciones cónicas. El problema principal es
la construcción de cónicas que satisfagan cinco condiciones dadas; en la
práctica éstas son, habitualmente, datos de observación. Entonces, dado el
tiempo que un objeto ha estado en movimiento a lo largo de una sección cónica,
determina su velocidad y posición. Estudia el movimiento de las líneas
absidales, es decir, las líneas que unen el centro de atracción (en un foco) a
la distancia máxima o mínima de un cuerpo que se mueve a lo largo de una cónica,
que gira, a su vez, a cierta velocidad alrededor del foco. La Sección 10 está
dedicada al movimiento de cuerpos sobre superficies, con referencia especial al
movimiento del péndulo. Aquí Newton reconoce debidamente el trabajo de Huygens.
En conexión con el efecto acelerador de la gravedad sobre los movimientos,
investiga las propiedades geométricas de las cicloides, epicicloides e
hipocicloides, y proporciona la longitud de la epicicloide (Prop. 49).
En la Sección 11 Newton deduce, a partir de las leyes del movimiento y la ley
de la gravitación, el movimiento de dos cuerpos que se atraen mutuamente con la
fuerza debida a la gravitación. Su movimiento se reduce al movimiento de uno de
ellos alrededor del segundo cuerpo que se toma fijo. El cuerpo que se mueve
recorre una elipse.
Considera a continuación la atracción ejercida por esferas y esferoides, de
densidad uniforme y variable, sobre una partícula. Da una demostración
geométrica (Sec. 12, Prop. 70) de que una fina capa esférica homogénea no
ejerce ninguna fuerza sobre una partícula en su interior. Como su resultado se
verifica para una capa delgada, también lo hace para una suma de tales capas,
esto es, para una capa de espesor finito. (Demuestra más adelante [Prop. 91,
Cor. 3] que se verifica el mismo resultado para una capa elipsoidal homogénea,
es decir, una capa contenida entre dos superficies elipsoidales semejantes,
situadas de forma similar.) La Proposición 71 muestra que la atracción de una
fina capa esférica y homogénea sobre una partícula externa es equivalente a la
atracción que se ejercería si la masa de la capa estuviera concentrada en el
centro, de modo que la capa atrae a la partícula hacia el centro y con una
fuerza que varía como el inverso del cuadrado de la distancia al centro. La Proposición
73 muestra que una esfera sólida homogénea atrae a una partícula interior con
una fuerza proporcional a la distancia de la partícula al centro. Por lo que se
refiere a la atracción que ejerce una esfera sólida y homogénea sobre un punto
externo, la Proposición 74 muestra que es la misma que si la masa de la esfera
estuviera concentrada en el centro. Por lo tanto, si dos esferas se atraen
mutuamente, la primera atrae a todas las partículas de la segunda como si la
masa de la primera estuviera concentrada en su centro. Entonces la primera
esfera se convierte en una partícula atraída por la masa distribuida de la
segunda, por lo que la segunda esfera también puede tratarse como una partícula
cuya masa está concentrada en su centro. Así, ambas esferas pueden tratarse
como partículas cuyas masas están concentradas en sus centros respectivos.
Todos estos resultados, originales de Newton, se extienden a esferas cuyas
densidades son simétricas esféricamente, así como a otras leyes de atracción
además de la del inverso del cuadrado de la distancia.
A continuación Newton considera el movimiento de tres cuerpos, cada uno de los
cuales atrae a los otros dos, y obtiene algunos resultados aproximados. El
problema del movimiento de tres cuerpos ha sido muy importante desde la época
de Newton, y hasta el momento no ha sido resuelto exactamente.
El segundo libro de los Principia está dedicado al movimiento de cuerpos en
medios resistentes tales como el aire o los líquidos. Es el comienzo de la
hidrodinámica. Newton supone, en algunos problemas, que la resistencia del
medio es proporcional a la velocidad y, en otros, al cuadrado de la velocidad
del cuerpo que se mueve. Considera también qué forma debe tener un cuerpo para
encontrar la mínima resistencia (Cap. 24, sec. 1). Asimismo considera el
movimiento de péndulos y proyectiles en el aire y en fluidos. Dedica una
sección a la teoría de ondas en el aire (por ejemplo, ondas de sonido) y
obtiene una fórmula para la velocidad del sonido en el aire. También trata el
movimiento de ondas en el agua. Newton continúa con una descripción de los
experimentos que realizó para determinar la resistencia que los fluidos ofrecen
a los cuerpos que se mueven en su seno. Una conclusión importante es la de que
los planetas se mueven en un vacío. En este libro, Newton abrió un campo
enteramente nuevo; sin embargo, el trabajo definitivo sobre el movimiento de
los fluidos estaba todavía por hacer.
El libro III, titulado On the System of the World (Sobre el
sistema del Mundo), contiene la aplicación de la teoría general desarrollada en
el libro I al sistema solar. Muestra cómo puede calcularse la masa del Sol en
términos de la de la Tierra, y que la masa de cualquier planeta que tenga un
satélite puede obtenerse de la misma manera. Calcula la densidad media de la
Tierra y obtiene que está entre cinco y seis veces la del agua (la cifra actual
está alrededor de 5,5).
Muestra que la Tierra no es una esfera verdadera sino un esferoide oblato y
calcula el aplanamiento; su resultado es que la elipticidad del esferoide
oblato es de 1/230 (la cifra actual es de 1/297). De la observación de esta
forma en cualquier planeta, se puede calcular la longitud de su día. Utilizando
el grado de aplanamiento y la noción de fuerza centrípeta, Newton calcula la
variación de la atracción gravitatoria de la Tierra sobre la superficie y, por
tanto, la variación en el peso de un objeto. Demuestra que la fuerza atractiva
de un esferoide no es la misma que si la masa del esferoide estuviera
concentrada en su centro.
Se ocupa a continuación de la precesión de los equinoccios. La explicación se
basa en el hecho de que la Tierra no es esférica, sino que se abomba a lo largo
del Ecuador. En consecuencia, la atracción gravitatoria de la Luna sobre la
Tierra no actúa en realidad sobre el centro de la Tierra, sino que fuerza un
cambio periódico en la dirección del eje de rotación de la Tierra. Newton
calculó el período de este cambio, y obtuvo que era de 26.000 años, valor
obtenido por Hiparco a partir de las observaciones a su disposición.
Newton explicó las principales características de las mareas (libro I, Prop.
66; libro III, Prop. 36, 37). La Luna es la causa principal; el Sol, la
segunda. Utilizando la masa del Sol calculó la altura de las mareas solares. De
las alturas observadas de las mareas más altas y más bajas (el Sol y la Luna en
plena conjunción o en plena oposición) determinó la marea lunar e hizo una
estimación de la masa de la Luna. Newton también fue capaz de efectuar un
tratamiento aproximado del efecto del Sol sobre el movimiento de la Luna
alrededor de la Tierra. Determinó el movimiento de la Luna en latitud y en
longitud; el movimiento de la línea de los ábsides (la línea que va del centro
de la Tierra al punto de máxima distancia de la Luna); el movimiento de los nodos
(los puntos en los que la trayectoria de la Luna corta al plano de la órbita de
la Tierra; estos puntos efectúan un movimiento de regresión, es decir, se
mueven lentamente en dirección opuesta al movimiento de la Luna misma); la
evección (un cambio periódico de la excentricidad de la órbita de la Luna); la
ecuación anual (el efecto sobre el movimiento de la Luna del cambio diario de
distancia entre la Tierra y el Sol); y el cambio periódico en la inclinación
del plano de la órbita de la Luna con respecto al plano de la órbita de la
Tierra. Había siete irregularidades conocidas en el movimiento de la Luna, y
Newton descubrió dos más, las desigualdades del apogeo (la línea de los
ábsides) y de los nodos. Su aproximación proporcionó sólo la mitad del movimiento
de la línea de los ábsides. Clairaut, en 1752, mejoró el cálculo y obtuvo los 3o de
rotación de la línea de los ábsides; sin embargo, mucho más tarde, John Couch
Adams halló el cálculo correcto en los papeles de Newton. Finalmente, Newton
mostró que los cometas deben moverse bajo la atracción gravitatoria del Sol
porque sus trayectorias, determinadas sobre la base de observaciones, son
secciones cónicas. Newton dedicó una gran cantidad de tiempo al problema del
movimiento de la Luna porque, como observamos en el capítulo anterior, este
conocimiento era necesario para mejorar el método para determinar la longitud.
Trabajó tanto en ello que se quejaba de que le producía dolores de cabeza.
4. La obra de Leibniz
Aunque sus contribuciones fueron bastante diferentes, el hombre que se alinea
con Newton en la construcción del cálculo es Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716). Estudió leyes y, después de defender una tesis sobre lógica,
recibió el grado de licenciado en Filosofía. En 1666 escribió la tesis De Arte Combinatoria
(Sobre el arte de las combinaciones)[71], un trabajo sobre un método universal de razonamiento; esto
completaba su trabajo para un doctorado en filosofía en la universidad de
Altdorf y le cualificaba para una plaza de profesor. Durante los años 1670 y
1671 Leibniz escribió sus primeros artículos sobre mecánica y hacia 1671 había
producido su máquina de calcular. Obtuvo un trabajo como embajador del Elector
de Mainz y en marzo de 1672 marchó a París en una misión política. Esta visita
le puso en contacto con matemáticas y científicos, en particular con Huygens, y
despertó su interés en las matemáticas. Aunque había leído algo sobre el tema y
había escrito el artículo de 1666, él dice que no conocía casi las matemáticas
hasta 1672. En 1673 fue a Londres y conoció a otros científicos y matemáticos,
entre los que se encontraba Henry Oldenburg, en aquel tiempo secretario de la
Royal Society de Londres. Aunque trabajando como diplomático profundizó en las
matemáticas y leyó a Descartes y a Pascal. En 1676 Leibniz fue contratado como
bibliotecario y consejero del Elector de Hannover. Veintidós años más tarde, el
Elector de Branden- burgo invitó a Leibniz a trabajar para él en Berlín. Aunque
envuelto en todo tipo de maniobras políticas, entre ellas la de la sucesión de
Georg Ludwig de Hannover al trono de Inglaterra, Leibniz trabajó en muchos
temas, y sus actividades colaterales cubrieron un campo enorme. Murió
despreciado en 1716.
Además de diplomático, Leibniz fue filósofo, abogado, historiador, filólogo y
geólogo pionero. Realizó un trabajo importante en lógica, mecánica, óptica,
matemáticas, hidrostática, neumática, ciencia náutica y máquinas de calcular.
Aunque su profesión era la jurisprudencia, sus trabajos en matemáticas y
filosofía están entre los mejores que ha producido el mundo. Mantuvo contacto
por carta con gente en sitios tan alejados como China y Ceilán. Intentó
incansablemente reconciliar las iglesias católica y protestante. Fue quien
propuso, en 1669, que se fundara una Academia de Ciencias Alemana; al fin, la
Academia de Berlín fue organizada en 1700. Su recomendación original había sido
la de una sociedad para la realización de inventos en mecánica y
descubrimientos en química y fisiología que pudieran ser útiles a la humanidad;
Leibniz quería que el conocimiento se aplicara. Llamaba a las universidades «monacales»
y las acusaba de que poseían los conocimientos, pero no la facultad de
discernir, y que estaban absortas en cuestiones sin importancia. En lugar de
ello, urgía la búsqueda del conocimiento real —matemáticas, física, geografía,
química, anatomía, botánica, zoología e historia—. Para Leibniz, las
habilidades del artesano y del hombre práctico eran más valiosas que las cultas
sutilezas de los eruditos profesionales. Favoreció la lengua alemana sobre el
latín porque éste era el aliado del pensamiento antiguo e inútil. Los hombres
enmascaran su ignorancia, decía, utilizando la lengua latina para impresionar a
la gente. El alemán, por otra parte, era entendido por la gente de la calle, y
podía desarrollarse para contribuir a la claridad del pensamiento y a la
agudeza del razonamiento.
Leibniz publicó artículos sobre el cálculo desde 1684 en adelante, y diremos
más sobre ellos después. Sin embargo, muchos de sus resultados, así como el
desarrollo de sus ideas, están contenidos en cientos de páginas de notas hechas
desde 1673 en adelante, pero que él nunca publicó. Estas notas, como se podría
esperar, saltan de un tema a otro y contienen cambios de notación a medida que
se desarrollaba el pensamiento de Leibniz. Algunas son ideas sencillas que se
le ocurrían mientras leía libros o artículos de Gregorio de St. Vincent,
Fermat, Pascal, Descartes y Barrow o intentaba moldear los pensamientos de
ellos en su propia forma de enfocar el cálculo. En 1714 Leibniz escribió Historia
et Origo Calculi Differentialis, en donde proporciona una panorámica del
desarrollo de su propio pensamiento. Sin embargo, esta obra fue escrita muchos
años después de que hubiera realizado su trabajo y, en vista de la debilidad de
la memoria humana y de la mayor percepción que había adquirido en aquella
época, su historia puede no ser precisa. Como su propósito era defenderse él
mismo contra una acusación de plagio, podría haber distorsionado
inconscientemente su informe sobre los orígenes de sus ideas.
A pesar del confuso estado de las notas de Leibniz examinaremos algunas, porque
revelan cómo uno de los mayores intelectos luchó para entender y crear. Hacia
1673 era consciente del importante problema directo e inverso de obtener
tangentes a las curvas; también estaba bastante seguro de que el método inverso
era equivalente al de obtener áreas y volúmenes mediante sumaciones. El
desarrollo algo sistemático de sus ideas comienza con notas de 1675. Sin
embargo, parece útil, para comprender su pensamiento, señalar que en su De Arte
Combinatoria había considerado sucesiones de números, primeras diferencias,
segundas diferencias y diferencias de mayor orden. Así, para la sucesión de
cuadrados
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36,
las primeras diferencias son
1, 3, 5, 7, 9, 11
y las segundas diferencias son
2, 2, 2, 2, 2, 2.
Leibniz se dio cuenta de la anulación de las segundas
diferencias para la sucesión de los números naturales, la de las terceras
diferencias para la sucesión de los cuadrados, y así sucesivamente. También
observó, por supuesto, que si la sucesión original comienza por 0, la suma de
las primeras diferencias es el último término de la sucesión.
Para relacionar estos hechos con el cálculo tuvo que pensar en la sucesión de
los números como en los valores y de una función, y en la
diferenciación de dos cualesquiera como la diferencia de dos valores contiguos
de y. Inicialmente pensó que la x representaría el
orden del término en la sucesión e y el valor de este término.
La cantidad dx, que a menudo escribe como a, es
entonces 1 porque es la diferencia de los órdenes de dos términos sucesivos,
y dy es la diferencia real en los valores de dos términos
sucesivos. Entonces, utilizando omn. como la abreviatura del
latín omnia, para significar suma, y utilizando l en
lugar de dy, Leibniz concluye que omn.l = y,
porque omn. 1 es la suma de las primeras diferencias de una
sucesión cuyos términos comienzan por 0 y que, por lo tanto, proporciona el
último término.
Sin embargo, omn. y l presenta un nuevo
problema. Leibniz obtiene el resultado de que omn. yl es y2/2
pensando en términos de la función y = x.
Figura 17.17
Así, como muestra la figura 17.17, el área del triángulo ABC es
la suma de los yl(para / pequeño) y es también y2/2.
Dice Leibniz:
«Las líneas rectas que aumentan de la nada, multiplicada cada
una por su elemento de aumento correspondiente forman un triángulo.»
Estos pocos hechos ya aparecen, entre otros más complicados, en
artículos de 1673.
En el paso siguiente luchó con varias dificultades. Tuvo que efectuar la
transición de una serie discreta de valores al caso en el que dy y dx son
incrementos de una función arbitraria y de x. Como
estaba todavía atado a las sucesiones, donde x es el orden del
término, su a o dx era 1; por ello incluyó u
omitió a libremente. Cuando hizo la transición al dy y dx de
cualquier función, esta a no era ya 1. Sin embargo, como todavía estaba
luchando con la noción de sumación, ignoró este hecho.
Así en un manuscrito del 29 de octubre de 1675, Leibniz comienza con
que se verifica porque ya y es omn. l.
Aquí divide l por a, para conservar las dimensiones. Leibniz
dice que (7) se verifica, cualquiera que sea l. Pero, como vimos en
conexión con la figura 17.17,
Por tanto, de (7) y (8)
En nuestra notación, demostró que
Leibniz dice que este resultado es admirable.
Otro teorema del mismo tipo, que Leibniz obtuvo mediante razonamientos
geométricos, es
donde l es la diferencia en valores de dos
términos sucesivos de una sucesión y xes el número del término.
Para nosotros esta ecuación es
Ahora, hace Leibniz x igual a l en
(10), y obtiene
omn. x2 = x omn. x -omn.omn. x
Pero omn. x, dice, es x2/2
(demostró que omn. yl es y2/2). Por
tanto,
Trasponiendo el último término obtiene
En este manuscrito del 29 de octubre de 1675, Leibniz decidió
escribir ∫ en lugar de omn., de modo que
El símbolo ∫ es una S alargada para indicar «suma».
Leibniz se dio cuenta bastante pronto, probablemente al estudiar los trabajos
de Barrow, de que la diferenciación y la integración como sumación deben de ser
procesos inversos; así, el área, cuando se diferencia, debe proporcionar una
longitud. Por ello, en el mismo manuscrito del 29 de octubre, dice Leibniz:
«Dada l y su relación con x, obtener ∫ l.»
A continuación, dice: «Supóngase que ∫ l = ya.
Sea l = ya/d. [Aquí pone d en
el denominador. Significaría más para nosotros si hubiera escrito l = d(ya).]
Entonces a medida que ∫ aumenta, d disminuye las dimensiones.
Pero ∫ significa una suma y d, una diferencia. De la y dada
podemos siempre obtener y/d o l, es decir,
la diferencia de las y. Por lo tanto, una ecuación puede
transformarse en la otra, como ocurre para la ecuación
de la que podemos obtener la ecuación
En este artículo temprano, Leibniz parece estar explorando las
operaciones de ∫ y d, y ve que son inversas. Se da cuenta al final
de que ∫ no aumenta la dimensión ni d la disminuye, porque es,
en realidad, una sumación de rectángulos, y por lo tanto una suma de áreas. Por
lo tanto, se da cuenta de que, para volver a dydesde y,
debe formar la diferencia de las y o tomar la diferencial
de y. Dice entonces: «Pero ∫ significa una suma y d una
diferencia.» Esto puede haber sido una inserción posterior. Así, un par de
semanas más tarde, para obtener y a partir de dy,
en lugar de dividir por d toma la diferencial de y,
y escribe dy.
Hasta este momento Leibniz había estado pensando en los valores de y como en
los valores de términos de una sucesión y en los de x,
habitualmente, como en el orden de esos términos, pero ahora, en este artículo,
dice: «Todos estos teoremas son ciertos para series en las que las diferencias
de los términos estén, con respecto a los términos mismos, en una razón que sea
menor que cualquier cantidad previamente fijada.» Es decir, que dy/y puede
hacerse menor que toda cantidad cualquiera.
En un manuscrito fechado el 11 de noviembre de 1675, titulado «Ejemplos del
método inverso de las tangentes», Leibniz utiliza ∫ para la suma y x/d para
la diferencia. Dice, entonces, que x/d es dx,
la diferencia de dos valores de xconsecutivos, pero aparentemente
aquí dx es una constante e igual a la unidad.
A partir de razonamientos difícilmente inteligibles, como el anterior, Leibniz
establecía el hecho de que la integración como proceso de sumación es el
inverso de la diferenciación. Esta idea está en los trabajos de Barrow y
Newton, quienes obtuvieron áreas por antidiferenciación, pero Leibniz es el
primero que la expresa como una relación entre sumación y diferenciación. A
pesar de su rotunda afirmación, él no tenía claro en absoluto cómo obtener un
área de lo que se podría escribir vagamente como Σy dx —es decir,
cómo obtener un área encerrada bajo una curva a partir de un conjunto de
rectángulos—. Por otra parte, esta dificultad acosaba a todos los
investigadores del siglo XVII. Sin poseer un concepto claro de límite, ni
siquiera nociones claras sobre el área, Leibniz pensó sobre esta última a veces
como una suma de rectángulos tan pequeños y tan numerosos que la diferencia
entre esta suma y el área verdadera encerrada bajo la curva podía despreciarse,
y otras como una suma de las ordenadas o valores de las y. Este
último concepto de área era común, especialmente entre los indivisibilistas,
quienes pensaban que la unidad de área última y el valor de yeran
lo mismo.
Con respecto a la diferenciación, incluso después de reconocer que dy y dxpueden
ser cantidades arbitrariamente pequeñas, Leibniz tenía que superar todavía la
dificultad fundamental de que la razón dy/dx no es
completamente la derivada en nuestro sentido. Basaba su razonamiento en el
triángulo característico, que también habían utilizado Pascal y Barrow.
Figura 17.18
Este triángulo (fig. 17.18) consiste en dy, dx y
la cuerda PQ, que Leibniz consideró también como la curva
entre P y Q y parte de la tangente en T.
Aunque habla de este triángulo como indefinidamente pequeño, mantiene, sin
embargo, que es semejante a un triángulo definido, el triángulo STU formado
por la subtangente SU, la ordenada en T y la
longitud de la tangente ST. Por lo tanto dyy dx son
elementos últimos, y su cociente tiene un significado definido. De hecho,
utiliza el razonamiento de que, a partir de los triángulos semejantes PRQ y SUT, dy/dx = TU/SU.
En el manuscrito del 11 de noviembre de 1675, Leibniz muestra cómo puede
resolver un problema definido. Busca la curva cuya subnormal es inversamente
proporcional a la ordenada. En la figura 17.18, la normal es TV y
la subnormal pes UV. De la semejanza de los
triángulos PRQ y TUV obtiene
o bien
pdx = ydy
Pero la curva tiene la propiedad dada de que
p = b/y
donde b es la constante de proporcionalidad.
Por tanto,
Entonces
o bien
Leibniz también resolvió otros problemas inversos de tangentes.
En un artículo del 26 de junio de 1676, se da cuenta de que el mejor método
para obtener las tangentes es hallar dy/dx, donde dy y dx son
diferencias y dy/dx es el cociente. Ignora dx´dx y
potencias de orden superior de dx.
En noviembre de 1676 es capaz de dar las reglas generales dxn = nxn-1 para nentero
y fraccionario y ∫xn = xn+1/(n +
1), y dice: «El razonamiento es general, y no depende de cuáles puedan ser las
progresiones de las x.» Aquí x todavía significa
el orden de los términos de una sucesión. En este manuscrito también dice que
para diferenciar
se hace a + bz + cz2 = x,
se diferencia √x, y se multiplica por dx/dz. Esta es
la regla de la cadena.
El 11 de julio de 1677, Leibniz podía dar las reglas correctas para la
diferencial de la suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones y para
las potencias y raíces, pero sin demostraciones. En el manuscrito del 11 de
noviembre de 1675 se había peleado con d(u v) y d(u/v),
y pensó que d(u v) = dudv.
En 1680, dx se había convertido en la diferencia de las
abscisas y dy en la diferencia de las ordenadas. Dice: «...
ahora, estas dx y dy se tomarán como
infinitamente pequeñas, o bien se entiende que los dos puntos de la curva están
separados una distancia que es menor que cualquier longitud dada...». Llama
a dy el «incremento momentáneo» en y cuando
la ordenada se mueve a lo largo del eje de las x.
Pero PQ, en la figura 17.18, se considera todavía como parte de una
línea recta. Es «un elemento de la curva o un lado de un polígono de infinitos
ángulos que se apoya en la curva...». Continúa utilizando la forma diferencial
habitual. Por tanto, si y = a2/x,
entonces
Dice también que las diferencias son lo opuesto de las sumas.
Figura 17.19
Por lo tanto, para obtener el área encerrada bajo una curva
(fig. 17.19), toma la suma de los rectángulos y dice que se puede despreciar
todos los restantes «triángulos, puesto que son infinitamente pequeños
comparados con los rectángulos (anteriores)... por tanto en mi cálculo
representado el área de la figura mediante ∫ y dx...». También
proporciona, para el elemento de arco
y para el volumen de un sólido de revolución obtenido por el
giro de una curva alrededor del eje x
A pesar de algunas afirmaciones previas de que dx y dy son
diferencias pequeñas, Leibniz todavía habla de sucesiones. Dice que «Las
diferencias y sumas son inversas unas de otras, es decir, la suma de las
diferencias de una serie [sucesión] es un término de la serie, y la diferencia
de las sumas de una serie es un término de la serie, y enumero lo primero así,
∫ dx = x, y lo último así, d ∫ x = dx».
De hecho, en un manuscrito escrito después de 1684, Leibniz dice que su método
de los infinitesimales ha llegado a ser ampliamente conocido como el cálculo de
diferencias.
La primera publicación de Leibniz sobre el cálculo está en el Acta
Eruditorum de 1684 [72]. En este artículo, el significado de dy y
de dx no está todavía claro. Define, en este artículo, dx como
una cantidad arbitraria, y dy como (ver la fig. 17.18).
dy : dx = y :
subtangente
Esta definición de dy presupone alguna
expresión para la subtangente; por tanto la definición no es completa. Además,
la definición de Leibniz de la tangente como una recta que une dos puntos
infinitamente próximos no es satisfactoria.
También da en este artículo las reglas que había obtenido en 1677 para la
diferencial de la suma, producto y cociente de dos funciones, y la regla para
obtener d(xn). En este último caso, esboza la
demostración para n entero positivo, pero dice que la regla es
verdadera para todo n; para las otras reglas no da demostraciones.
Hace aplicaciones a la obtención de tangentes, máximos y mínimos y puntos de
inflexión. Este artículo, de seis páginas de largo, es tan poco claro que los
hermanos Bernoulli lo llamaron «un enigma más que una explicación»[73].
En su artículo de 1686
como la ecuación de la cicloide. Desea demostrar que, mediante
sus métodos y notación, algunas curvas pueden expresarse como ecuaciones que no
se pueden obtener de otra manera. Reafirma esto mismo en su Historia, donde
dice que sus dx, ddx (segunda diferencia) y las
sumas que son las inversas de estas diferencias pueden aplicarse a todas las
funciones de x, sin exceptuar a las curvas mecánicas de Vieta y
Descartes, de las cuáles éste había dicho que no tenían ecuación. Leibniz dice
también que puede incluir curvas que Newton no podría manejar ni siquiera con
su método de las series.
En el artículo de 1686 así como en artículos posteriores[75], Leibniz dio las diferenciales de las funciones exponencial y
logarítmica, e identificó las funciones exponenciales como una clase. También
trató la curvatura, el círculo osculador y la teoría de las envolventes (ver el
cap. 23). En una carta de Jean Bernoulli en 1697, diferenciaba bajo el signo
integral con respecto a un parámetro. También tuvo la idea de que muchas
integrales indefinidas podían ser calculadas reduciéndolas a formas conocidas,
y habla de preparar tablas para tales reducciones —en otras palabras, una tabla
de integrales—. Intentó definir las diferenciales de orden superior, tales
como ddy (d2y) y dddy (d3y),
pero las definiciones no fueron satisfactorias. Aunque sin éxito, intentó
obtener un significado para da y donde a es
un número real cualquiera.
Con respecto a la notación, Leibniz trabajó esmeradamente en busca de la más
adecuada. Sus dx, dy y dy/dx se
utilizan todavía. Introdujo la notación log x, dnpara
la diferencial n-ésima, e incluso d-1 y d-n para
∫ y para la iteración n-ésima de la sumación, respectivamente.
En general, el trabajo de Leibniz, aunque rico en sugestiones y profundo, fue
tan incompleto y fragmentario que resultaba difícilmente inteligible.
Afortunadamente los hermanos Bernoulli, Jacques y Jean, se impresionaron y
estimularon inmensamente con las ideas de Leibniz, pulieron sus esquemáticos
trabajos y aportaron una cantidad inmensa de nuevos desarrollos que trataremos
más adelante. Leibniz reconoció que el cálculo era tanto de ellos como suyo.
5. Una comparación de las obras de Newton y Leibniz
Tanto a Newton como a Leibniz se les debe reconocer que vieran el cálculo como
un método nuevo y general, aplicable a muchos tipos de funciones. Después de su
contribución, el cálculo dejó de ser un apéndice y una extensión de la
geometría griega para convertirse en una ciencia independiente capaz de manejar
una cantidad de problemas ampliamente extendida.
También ambos aritmetizaron el cálculo, es decir, construyeron en él con
conceptos algebraicos. La notación y técnicas algebraicas utilizadas por Newton
y Leibniz no sólo les proporcionaron un instrumento más efectivo que la
geometría, sino que también permitieron tratar con la misma técnica muchos
problemas geométricos y físicos diferentes. Un cambio importante que se produjo
del comienzo al fin del siglo XVII fue la algebrización del cálculo. Este
fenómeno es comparable a lo que Vieta había hecho en la teoría de ecuaciones y
Descartes y Fermat en geometría.
La tercera contribución vital que comparten Newton y Leibniz es la reducción a
la antidiferenciación del área, volumen y otros problemas que habían sido
tratados anteriormente como sumaciones. Así, los cuatro problemas principales
—cambio relativo, tangentes, máximos y mínimos, y sumación— quedaron reducidos
todos a diferenciación y antidiferenciación.
La distinción principal entre el trabajo de los dos es que Newton utilizó los
incrementos infinitamente pequeños en x y en y como
medio para determinar la fluxión o derivada. Era esencialmente el límite del
cociente de los incrementos, cuando éstos se hacían cada vez más pequeños. Por
otra parte, Leibniz trató directamente con los incrementos infinitamente
pequeños en x y en y, es decir, con diferenciales,
y determinó las relaciones entre ellos. Esta diferencia refleja la orientación
física de Newton, en la que un concepto como el de velocidad es central, y la
preocupación filosófica de Leibniz por las partículas últimas de la materia,
que llamó mónadas. Como consecuencia, Newton resolvió los problemas de áreas y
volúmenes pensando enteramente en términos de cambio relativo. Para él, la
diferenciación era básica; este proceso y su inverso resolvían todos los
problemas del cálculo y, de hecho, el uso de la sumación para obtener un área,
un volumen o un centro de gravedad aparece raramente en sus trabajos. Leibniz,
en cambio, pensaba primero en términos de sumación aunque, por supuesto, estas
sumaciones se calcularan mediante antidiferenciación.
Una tercera distinción entre las obras de los dos está en la libre utilización,
por parte de Newton, de las series para representar funciones; Leibniz prefería
la forma cerrada. En una carta a Leibniz en 1676, Newton hacía hincapié en el
uso de las series, incluso para resolver ecuaciones diferenciales sencillas.
Aunque Leibniz utilizaba series infinitas, replicó que el objetivo real era el
de obtener los resultados en términos finitos, utilizando las funciones
trigonométricas y logarítmicas cuando no sirvieran las funciones algebraicas.
Recordó a Newton la afirmación de James Gregory de que la rectificación de la
elipse y de la hipérbola no podía reducirse a las funciones circulares y
logarítmica, y retó a Newton para que determinara, mediante el uso de las
series, si Gregory estaba en lo cierto o no. Newton respondió que mediante la
utilización de las series podía decidir si algunas integraciones podían
realizarse en términos finitos, pero no dio ningún criterio. De nuevo, en una
carta a Jean Bernoulli fechada en 1712, Leibniz ponía objeciones al desarrollo
en serie de funciones, y afirmaba que el cálculo debía ocuparse de reducir sus
resultados a cuadraturas (integraciones) y, donde fuera necesario, cuadraturas
que incluyeran funciones trascendentes.
Hay diferencias en sus maneras de trabajar. Newton era empírico, concreto y
circunspecto, mientras que Leibniz era especulativo, dado a las
generalizaciones y osado. Leibniz estaba más preocupado por las fórmulas
operacionales para elaborar un cálculo en sentido amplio; por ejemplo, reglas
para la diferencial de un producto o cociente de funciones, su regla para dn(u
v) (donde u y v son funciones de x)
y una tabla de integrales. Fue Leibniz quien estableció los cánones del
cálculo, el sistema de reglas y fórmulas. Newton no se molestó en formular
reglas, aun cuando pudo haber generalizado fácilmente sus resultados concretos.
Sabía que si z = uv, entonces z = uv + vk,
pero no resaltó este resultado general. Aunque Newton inició muchos métodos, no
hizo hincapié en ellos. Sus grandiosas aplicaciones del cálculo no sólo
demostraron su valor sino que estimularon y casi determinaron enteramente la
dirección del análisis del siglo XVIII, en mucha mayor medida que el trabajo de
Leibniz. Newton y Leibniz difirieron también en su preocupación por la
notación. Newton no daba importancia a este asunto, mientras que Leibniz
dedicaba días enteros a elegir una notación sugestiva.
6. La controversia sobre la prioridad
Nada del trabajo de Newton sobre el cálculo fue publicado antes de 1687, aunque
había comunicado diversos resultados a amigos entre los años 1665 y 1687. En
particular, había enviado su tratado De Analysi en 1669 a
Barrow, quien lo envió a John Collins. Leibniz visitó París en 1672 y Londres
en 1673 y se comunicó con gente que conocía el trabajo de Newton. Sin embargo,
no publicó nada sobre el cálculo hasta 1684. Por tanto, se suscitó la cuestión
de si Leibniz había conocido los detalles de lo que había hecho Newton, y
Leibniz fue acusado de plagio. Sin embargo, investigaciones realizadas mucho
después de la muerte de los dos mostraron que Leibniz descubrió
independientemente ideas importantes sobre el cálculo, aunque Newton realizó la
mayor parte de su trabajo antes que Leibniz. Ambos deben mucho a Barrow, aunque
éste utilizó casi exclusivamente métodos geométricos. El significado de la
controversia no está en la cuestión de quién fue el triunfador sino más bien en
el hecho de que los matemáticos tomaron partido. Los matemáticos continentales,
los hermanos Bernoulli en particular, se pusieron del lado de Leibniz, mientras
que los matemáticos ingleses defendieron a Newton. Los dos grupos se
enemistaron, incluso agriamente, entre sí; Jean Bernoulli llegó a ridiculizar y
lanzar invectivas contra de los ingleses.
El resultado fue que los matemáticos ingleses y continentales cesaron de
intercambiar ideas. Como el trabajo principal de Newton y primera publicación
sobre el cálculo, los Principia, utilizaba métodos geométricos, los ingleses
continuaron utilizando principalmente la geometría durante cerca de cien años
después de su muerte. Los continentales adoptaron los métodos analíticos de Leibniz
y los ampliaron y mejoraron. Estos demostraron ser bastante más efectivos; por
ello, no sólo los matemáticos ingleses se quedaron más atrás, sino que las
matemáticas se vieron privadas de contribuciones que podrían haber realizado
las mentes más capaces.
7. Algunas adiciones inmediatas al cálculo
El cálculo es, por supuesto, el comienzo de la muy importante parte de las
matemáticas que se conoce como análisis. Seguiremos los importantes desarrollos
de este campo en los capítulos siguientes; señalaremos aquí, no obstante,
algunas adiciones que se hicieron inmediatamente después del trabajo básico de
Newton y Leibniz.
En su Arithmetica Universalis (1707) Newton estableció un
teorema sobre la cota superior de las raíces reales de ecuaciones polinómicas.
El teorema dice: un número a es una cota superior de las raíces reales de f(x)
= 0 si, cuando se sustituye x por a se tiene que f(x)
y todas sus derivadas mantienen el mismo signo.
En su De Analysi y su Method of Fluxions, dio un
método general para aproximar las raíces de f(x) =0, que fue
publicado en el Algebra de Wallis de 1685. En su tratado Analysis
Aequationum Universalis (1690), Joseph Raphson (1648-1715) mejoró este
método; aunque lo aplicó sólo a polinomios, es mucho más ampliamente
utilizable. Esta modificación es conocida ahora como el método de Newton o el
método de Newton-Raphson. Consiste en tomar una aproximación a, en
primer lugar, y calcular a continuación a - f(a)/f'(a).
Se llama a esto b y se calcula b - f(b)/f' (b).
Se llama c a este resultado y así sucesivamente. Los
números a, b, c,... son aproximaciones
sucesivas de la raíz. (La notación es moderna.) En realidad, el método no
proporciona necesariamente mejores aproximaciones de la raíz J. Raymond
Mourraille mostró en 1768 que a debe escogerse de manera que la curva y = f(x)
sea convexa hacia el eje de las x en el intervalo entre a y
la raíz. Bastante más tarde Fourier descubrió este hecho independientemente.
En su Démostration d’une méthode pour résoudre les égalitéz de tous les
dégrez(1691), Michel Rolle (1652-1719) incluyó el famoso teorema que lleva
su nombre, es decir, el que establece que si una función es cero en dos valores
de x, a y b, entonces la derivada es
cero en algún valor de x entre a y b.
Rolle enunció el teorema pero no lo demostró.
Después de Newton y Leibniz, los dos fundadores más importantes del cálculo
fueron los hermanos Bernoulli, Jacques y Jean. Jacques Bernoulli (1655-1705)
fue autodidacta en matemáticas y por eso maduró lentamente en ellas. A instancias
de su padre estudió para el sacerdocio, pero finalmente se orientó hacia las
matemáticas y en 1686 se hizo profesor en la Universidad de Basilea. Sus
intereses principales desde entonces fueron las matemáticas y la astronomía.
Cuando, a finales de los 1670, comenzó a trabajar en problemas matemáticos, los
trabajos de Newton y Leibniz eran todavía desconocidos para él. También
aprendió de La Géométrie de Descartes, de la Arithmetica
Infinitorum de Wallis y de las Geometrical Lectures de
Barrow. Aunque tomó muchas cosas de Barrow, las puso en forma analítica. Se
familiarizó gradualmente con el trabajo de Leibniz, pero como había aparecido
tan poco impreso, mucho de lo que hizo Jacques coincidió con los resultados de
Leibniz. En realidad, como ocurrió con otros matemáticos de su tiempo, no
comprendió completamente el trabajo de Leibniz.
La actividad de Jacques está íntimamente relacionada con la de su hermano menor
Jean (1667-1748). A Jean le dedicó su padre a los negocios, pero se orientó
hacia la medicina, mientras aprendía matemáticas de su hermano. Se hizo
profesor de matemáticas en Groningen, Holanda, y después sucedió a su hermano
en Basilea.
Tanto Jacques como Jean mantuvieron correspondencia constante con Leibniz, con
Huygens, con otros matemáticos y entre ellos mismos. Todos trabajaban en muchos
problemas comunes, sugeridos en cartas o propuestos como desafíos. Como también
los resultados, en aquella época, se comunicaban a menudo por carta, con o sin
publicación ulterior, el asunto de la prioridad es complicado. A veces se
reclamaba el mérito de un resultado, que había sido anunciado, pero del que no
se daba la demostración en ese momento. La situación se complicaba más por las
peculiares relaciones que se desarrollaron. Jean estaba extremadamente ansioso
por conseguir la fama y comenzó a competir con su hermano; pronto comenzaron a
desafiarse con problemas. Jean no dudó en utilizar medios poco escrupulosos
para aparecer como el descubridor de resultados que había obtenido de otros,
incluyendo su hermano. Jacques era muy sensible y reaccionó de la misma manera.
Los dos publicaron artículos que debían mucho al otro, sin reconocer el origen
de las ideas. De hecho, Jean se convirtió en un crítico acérrimo de su hermano,
y Leibniz trató de mediar entre ambos. Aunque Jacques había dicho
anteriormente, mientras alababa a Barrow, que el trabajo de Leibniz no debía
ser menospreciado, se hizo cada vez más receloso con respecto a Leibniz. Además
le molestaba la superior percepción de Leibniz y pensaba que éste era muy
arrogante al señalar que había hecho cosas que él pensaba que eran suyas. Llegó
a convencerse de que Leibniz sólo quería minimizar su trabajo y que estaba
favoreciendo a Jean en las disputas entre los hermanos. Cuando Nicolás Fado de
Duillier (1664-1753) le atribuyó a Newton el mérito de la creación del cálculo
y se enzarzó en una controversia con Leibniz, Jacques escribió cartas a Fado
oponiéndose a Leibniz.
Por lo que se refiere al trabajo de los Bernoulli en el cálculo, se puede decir
que ellos también trataron problemas tales como la obtención de curvaturas de
curvas, evolutas (envolventes de las normales a una curva), puntos de
inflexión, rectificación de curvas y otros temas básicos del cálculo. Los
resultados de Newton y Leibniz fueron extendidos a espirales de distintos
tipos, a la catenaria y a la tractriz, que fue definida como la curva (fig.
17.20) para la cual el cociente entre PT y OT es
una constante.
Figura 17.20
Jacques también escribió cinco artículos importantes sobre
series (cap. 20, sec. 4), que ampliaron la utilización de Newton de las series
para integrar funciones algebraicas complicadas y trascendentes. En 1691, tanto
Jacques como Jean dieron la fórmula del radio de curvatura de una curva.
Jacques llamó a este resultado el «teorema áureo» y lo escribió como
z = dxds : ddy = dy ds
: ddx
donde z es el radio de curvatura. Si dividimos
el numerador y el denominador de cada uno de los cocientes por ds2 obtenemos
que son formas más familiares. Jacques también dio el resultado
en coordenadas polares.
Jean produjo un teorema, ahora famoso, para obtener el límite al que se
aproxima una fracción cuyo numerador y denominador se acercan a cero. Este
teorema fue incluido por Guillaume F. A. L'Hôpital (1661-1704), un discípulo de
Jean, en un influyente libro sobre el cálculo, el Analyse des
infiniment petits(1696), y se conoce ahora como regla de L'Hôpital.
8. La solidez del cálculo
Desde el mismo momento de la presentación de los nuevos métodos para obtener
cambios relativos, tangentes, máximos y mínimos, etc., se atacó a las
demostraciones como poco sólidas. El uso de los elementos últimos indivisibles
de Cavalieri y sus razonamientos extrañaron a quienes todavía respetaban el
rigor lógico. A sus críticas, Cavalieri respondía que los geómetras
contemporáneos habían sido más libres con respecto a la lógica que él —por
ejemplo, Kepler, en su Stereometria Doliorum—. Estos geómetras,
continuaba, se habían limitado, en su cálculo de áreas, a imitar el método de
Arquímedes de sumar líneas, pero no habían proporcionado las demostraciones
rigurosas que los prestigiosos griegos habían utilizado para hacer riguroso su
trabajo. Estaban satisfechos con sus cálculos sólo con tal de que los
resultados fueran útiles. Cavalieri se sintió justificado al adoptar el mismo
punto de vista. Decía que sus procedimientos podían conducir a nuevos inventos
y que su método no obligaba en absoluto a considerar una estructura geométrica
como compuesta por un número infinito de secciones; no tenía otro objetivo que
el de establecer razones correctas entre áreas o volúmenes. Esas razones
conservarían su sentido y valor cualquiera que fuera la opinión que se pudiera
tener sobre la composición de un continuo. En cualquier caso, decía Cavalieri,
«el rigor es la preocupación de la filosofía y no de la geometría».
Fermat, Pascal y Barrow se dieron cuenta de la imprecisión de sus trabajos
sobre sumación, pero creían que se podían hacer demostraciones precisas a la
manera de Arquímedes. Pascal, en las Cartas de Dettonville (1659),
afirmaba que la geometría infinitesimal y la geometría clásica griega estaban
en buen acuerdo. Concluía:
«lo que se demuestra mediante las reglas verdaderas de los
indivisibles podría también demostrarse con el rigor y en la forma de los
antiguos».
Además, decía que el método de los indivisibles debe ser
aceptado por cualquier matemático que pretenda contarse entre los geómetras.
Difiere del método de los antiguos sólo en el lenguaje. Sin embargo, también
Pascal tenía sentimientos ambivalentes acerca del rigor. A veces opinaba que el
corazón interviene para asegurarnos la corrección de los pasos matemáticos. El
«discernimiento» adecuado, más que la lógica geométrica, es lo que se necesita
para realizar un trabajo correcto, así como la valoración religiosa de que la
gracia está por encima de la razón. Las paradojas de la geometría, tal como se
utilizan en el cálculo, son como los aparentes absurdos del cristianismo, y el
indivisible en geometría está en la misma relación con lo finito que la
justicia del hombre con la de Dios.
La resistencia que ofrecieron Cavalieri y Pascal se refería a la sumación de
cantidades infinitamente pequeñas. Como con la derivada, los primeros
investigadores como Fermat y Roberval pensaron que se trataba de un proceso
algebraico sencillo que tenía una interpretación geométrica clara y que, por lo
tanto, podía justificarse mediante razonamientos geométricos. En realidad
Fermat tuvo mucho cuidado de no enunciar ningún teorema general cuando
adelantaba alguna idea que no podía justificar por el método exhaustivo. Barrow
razonaba sólo geométricamente y, a pesar de sus ataques a los algebristas por
su falta de rigor, él era menos escrupuloso acerca de la solidez de sus
razonamientos geométricos.
Ni Newton ni Leibniz entendieron claramente, ni definieron rigurosamente, sus
conceptos fundamentales. Hemos observado ya que ambos vacilaron en sus
definiciones de la derivada y de las diferenciales. Newton no creyó en realidad
que había partido de la geometría griega. Aunque utilizó el álgebra y la
geometría de coordenadas, de las que no gustaba mucho, pensó que los métodos
subyacentes no eran más que extensiones naturales de la geometría pura.
Leibniz, sin embargo, era un hombre de visión que pensó en términos amplios,
como Descartes. Vio las implicaciones a largo plazo de las nuevas ideas, y no
dudó en declarar que estaba naciendo una nueva ciencia. Por ello no estaba
demasiado preocupado por la falta de rigor en el cálculo.
En respuesta a la crítica a sus ideas, Leibniz escribió varias réplicas,
insatisfactorias. En una carta de Wallis, de 30 de marzo de 1690[76], dice que
Es útil considerar cantidades infinitamente pequeñas tales que,
cuando se busca su cociente, pueden no considerarse cero, pero que pueden
despreciarse cuando aparecen con cantidades incomparablemente más grandes. Por
lo tanto, si tenemos x + dx, dx puede despreciarse. Pero es diferente si
buscamos la diferencia entre x + dx y x. De la misma manera, no podemos tener a
la vez x dx y dx dx. Por lo tanto, si tenemos que diferenciar xy, escribimos (x
+ dx) (x + dx) - xy = x dy + y dx + dx dy. Pero dx dy puede despreciarse como
incomparablemente menor que x dy + y dx. Así, en cualquier caso particular, el
error es menor que cualquier cantidad finita.
Por lo que se refiere a los significados últimos de dy, dx y dy/dx,
Leibniz fue siempre impreciso. Hablaba de dx como de la
diferencia de los valores de x entre dos puntos infinitamente
próximos y de la tangente como de la recta que une tales puntos. Despreció
diferenciales de orden superior sin ninguna justificación, aunque distinguía
entre los distintos órdenes. Los infinitamente pequeños dx y dyse
describían a veces como tendiendo a cero o como cantidades incipientes, como
opuestas a cantidades ya formadas. Estas cantidades indefinidamente pequeñas no
eran cero, pero eran más pequeñas que cualquier cantidad finita. A veces
recurría a la geometría para decir que un diferencial de orden superior es a
uno de orden inferior como un punto es a una línea[77] o que dx es a x como un
punto a la Tierra o como el radio de ésta al de los cielos. Pensó en el
cociente de dos infinitesimales como en el de inasignables o de cantidades
indefinidamente pequeñas, pero de manera que pudiera, sin embargo, ser
expresado en términos de cantidades definidas tales como el cociente de la
ordenada a la subtangente.
Una tormenta de ataques y refutaciones se inició en libros de 1694 y 1695 por
el físico y geómetra holandés Bernard Nieuwentijdt (1654-1718). Aunque admitía
que los nuevos métodos, en general, conducían a resultados correctos, criticaba
la oscuridad de los mismos y señalaba que a veces conducían a absurdos. Se
quejaba de que no podía entender cómo las cantidades infinitamente pequeñas se
diferenciaban de cero y preguntaba cómo una suma de infinitesimales podía ser
finita. También dudaba del significado y de la existencia de diferenciales de
orden superior y de poder despreciar cantidades infinitamente pequeñas en
partes de los razonamientos.
Leibniz, en un borrador de una respuesta de Nieuwentijdt, escrito probablemente
en 1695, y en un artículo en el Acta Eruditorum de 1695[78], da varias respuestas. Habla de críticas «sobreprecisas» y dice
que un exceso de escrúpulos no debería inducirnos a rechazar los frutos de la
invención. Dice a continuación que sus métodos difieren de los de Arquímedes
sólo en las expresiones utilizadas, pero que los suyos están mejor adaptados al
arte del descubrimiento. Las palabras «infinito» e «infinitesimal» significan
meramente cantidades que se pueden tomar tan grandes o tan pequeñas como se
desee para mostrar que el error en que se incurre es menor que cualquier número
que pueda fijarse de antemano —en otras palabras, que no hay error—. Se puede
utilizar estos entes últimos —esto es, cantidades infinitas e infinitamente
pequeñas— como un instrumento, en la misma forma en que los algebristas utilizaban
las raíces imaginarias con gran provecho.
Los razonamientos de Leibniz hasta entonces consistían en que su cálculo
utilizaba sólo los conceptos matemáticos ordinarios. Pero como no pudo
satisfacer adecuadamente a sus críticos, enunció un principio filosófico
conocido como la ley de continuidad, que era prácticamente el mismo ya
establecido por Kepler. En 1687, en una carta a Pierre Bayle
Figura 17.21
Después de obtener
dy : dx =
(2x + dx) : a
dice: «Ahora, como por nuestro postulado es posible incluir en
el razonamiento general también el caso en el que (fig. 17.21), la
ordenada x2y2 se desplaza
acercándose cada vez más a la x1y1 hasta
que llega a coincidir con ella, es evidente que en este caso dx se
hace cero y debe ser despreciado...» Leibniz no dice qué significado debe
dársele al dx que aparece en el primer miembro de la ecuación.
Por supuesto, dice, que cosas que son absolutamente iguales tienen una
diferencia nula; por lo tanto, una parábola no es una elipse.
Todavía puede imaginarse un estado de transición o de evanescencia en el que
aún no se haya llegado exactamente a la igualdad o al reposo... pero en el que
se esté pasando a un estado tal que la diferencia sea menor que cualquier
cantidad asignable; en ese estado puede todavía quedar una diferencia [con
respecto a la igualdad], alguna velocidad, algún ángulo (distinto de cero),
pero en todo caso algo infinitamente pequeño...
Por el momento, tanto el que un tal estado de transición entre la desigualdad y
la igualdad... pueda sostenerse en un sentido riguroso o metafísico, o que
extensiones infinitas cada vez más grandes o infinitamente pequeñas cada vez
menores sean consideraciones legítimas, es un asunto que considero posiblemente
cuestionable...
Será suficiente si, cuando hablamos de cantidades infinitamente grandes (o, más
estrictamente, ilimitadas) o infinitamente pequeñas (es decir, las menores a
las que alcance nuestro conocimiento), se entiende que significamos cantidades
que son indefinidamente grandes o indefinidamente pequeñas, es decir, tan
grandes o tan pequeñas como se quiera, de modo que el error que se pueda
asignar previamente sea menor que una cantidad establecida de antemano.
En estos supuestos, todas las reglas de nuestros algoritmos, en la forma en que
están establecidas en el Acta Eruditorum de octubre de 1684,
pueden probarse sin demasiada dificultad.
Leibniz vuelve entonces sobre esas reglas. Introduce las cantidades (d)y y
(d)x y lleva a cabo el procedimiento habitual de
diferenciación con ellas. Llama a éstas cantidades asignables o definidas no
evanescentes. Después de obtener el resultado final, dice, podemos sustituir (d)y y
(d)x por las cantidades evanescentes o no asignables dy y dx,
haciendo «la suposición de que el cociente de las cantidades evanescentes dy y dx es
igual al cociente de (d)y y (d)x, porque esta
suposición puede siempre ser reducida a una verdad indudable».
El principio de continuidad de Leibniz no es hoy, ciertamente, un axioma
matemático, pero él le dio importancia, y resultó importante más tarde. Muchos
de sus razonamientos están de acuerdo con este principio. Por ejemplo, en una
carta a Wallis[80], Leibniz defendía su utilización del triángulo característico
como una forma sin magnitud, la forma que quedaba después de que las magnitudes
habían sido reducidas a cero, y preguntaba, desafiante: «¿Quién no
admite una forma sin magnitud?» De la misma manera, en una carta a Guido
Grandi [81], dice que lo infinitamente pequeño no es un cero simple y
absoluto sino un cero relativo, es decir, una cantidad evanescente que mantiene
todavía el carácter de la que está desapareciendo. Sin embargo, dice también
Leibniz, en otras ocasiones, que no cree en magnitudes verdaderamente infinitas
o verdaderamente infinitesimales.
Leibniz, menos preocupado por la justificación última de sus procedimientos que
Newton, sentía que aquélla se apoyaba en la efectividad de éstos. Acentuaba el
valor algorítmico o de procedimiento de lo que había creado. De alguna manera
tenía confianza en que si formulaba claramente las reglas de operación, y si
éstas se aplicaban adecuadamente, se obtendrían resultados razonables y
correctos, aunque pudieran ser dudosos los significados de los símbolos
relacionados.
Parece evidente que ni Newton ni Leibniz lograron clarificar, y mucho menos
precisar, los conceptos básicos del cálculo: la derivada y la integral. No
siendo capaces de dominarlos adecuadamente, confiaron en la coherencia de los
resultados y la fecundidad de los métodos para seguir adelante sin rigor.
Varios ejemplos pueden ilustrar esta falta de claridad, incluso entre los más
grandes sucesores inmediatos de Newton y Leibniz. Jean Bernoulli escribió su
primer texto sobre el cálculo en 1691 y 1692. La parte de cálculo integral fue
publicada en 1742[82]; La parte de cálculo diferencial, Die
Differentialrechnung, no fue publicada hasta 1924. Sin embargo, el Marqués
de L'Hôpital publicó una versión francesa ligeramente modificada (a la que ya
se ha hecho referencia) bajo su propio nombre en 1696. Bernoulli comienza
el Differentialrechnung con tres postulados. El primero dice
así: «Una cantidad que decrece o aumenta en una cantidad infinitamente
pequeña ni se incrementa ni disminuye.» Su segundo postulado es: «Toda
línea curva consta de infinitas líneas rectas, que son infinitamente pequeñas.»
En su razonamiento sigue a Leibniz y utiliza los infinitesimales. Así, para
obtener dy a partir de y = x2,
utiliza e en lugar de dx y obtiene (x + e)2 - x2,
o 2xe + e2, y entonces suprime e2.
Como Leibniz, utilizó vagas analogías para explicar lo que eran las
diferenciales. Así, dice, las cantidades infinitamente grandes son como
distancias astronómicas y las infinitamente pequeñas son como animalillos
descubiertos en el microscopio. En 1698 estableció que los infinitesimales
deben existir[83]. Sólo se tiene que considerar la serie infinita 1, 1/2, 1/4,...
Si se toman 10 términos, entonces 1/10 existe; si se toman 100 términos, 1/100
existe. El infinitesimal corresponde al número infinito de términos.
Unos pocos, Wallis y Jean Bernoulli entre ellos, intentaron definir el
infinitesimal como el recíproco de ∞, porque éste era un número definido para
ellos. Aún otros actuaban como si lo que era incomprensible no necesitara
explicación adicional. Para la mayor parte de los investigadores del siglo XVIII,
el rigor no era motivo de preocupación. Lo que decían, a menudo, que podía
hacerse riguroso mediante el método de Arquímedes, no podría haberlo rigorizado
un Arquímedes; esto es particularmente cierto por lo que se refiere al trabajo
sobre la diferenciación, que no tenía paralelo en la matemática griega.
En realidad, el nuevo cálculo estaba introduciendo conceptos y métodos que
inauguraban una separación radical del trabajo previo. Con el trabajo de Newton
y Leibniz, el cálculo se convirtió en una disciplina totalmente nueva que
requería sus propios cimientos. Aunque no eran totalmente conscientes de ello,
los matemáticos habían vuelto la espalda al pasado.
Gérmenes de los nuevos conceptos correctos pueden encontrarse incluso en la
literatura del siglo XVII. Wallis, en la Aritmética Infinitorum,
avanzó el concepto aritmético de límite de una función como un número al que se
aproxima la función de modo que la diferencia entre este número y la función
puede hacerse menor que cualquier cantidad fijada de antemano y que se anularía
cuando el proceso se continuara hasta el infinito. La forma de decirlo es vaga,
pero contiene la idea correcta.
James Gregory, en su Vera Circuli et Hiperbolae Quadratura (1667),
señalaba explícitamente que los métodos utilizados para obtener áreas,
volúmenes y longitudes de curvas incluían un nuevo proceso, el proceso de paso
al límite. Además, añadía, esta operación era distinta de las cinco operaciones
algebraicas de adición, sustracción, multiplicación, división, y extracción de
raíces. Dio forma algebraica al método exhaustivo y se dio cuenta de que las
aproximaciones sucesivas obtenidas utilizando figuras rectilíneas circunscritas
alrededor de un área o volumen dado y las obtenidas utilizando figuras
rectilíneas inscritas convergían ambas al mismo «último término». Señaló
también que este proceso de paso al límite conduce a irracionales que no se
pueden obtener como raíces de racionales. Pero estas ideas de Wallis y Gregory
fueron ignoradas en su tiempo.
Los fundamentos del cálculo permanecían oscuros. Se añadía a la confusión el
hecho de que los defensores del trabajo de Newton continuaban hablando de
razones primeras y últimas, mientras que los seguidores de Leibniz utilizaban
las cantidades no nulas infinitamente pequeñas. Muchos de los matemáticos
ingleses, quizás porque en lo principal estaban todavía ligados al rigor de la
geometría griega, recelaban de todo el trabajo sobre el cálculo. Así, el siglo
terminaba con el cálculo en un estado de confusión.
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Capítulo 18
Las matemáticas a partir de 1700
Habiendo considerado esas pocas cosas, toda la cuestión se
reduce a la geometría pura, la cual es el objetivo de la física y la mecánica.
G. W. Leibniz
Contenido:
1. La transformación de las matemáticas
2. Las matemáticas y la ciencia
3. La comunicación entre los matemáticos
4. Las perspectivas para el siglo XVII
Bibliografía
1. La transformación de las matemáticas
Al comienzo del siglo XVII, Galileo todavía había experimentado la necesidad de
discutir con el pasado. Al final del siglo, las matemáticas habían
experimentado cambios tan amplios y radicales que nadie hubiera dejado de
percibir la llegada de una nueva era.
Los matemáticos europeos produjeron mucho más entre, aproximadamente, 1550 y
1700 de lo que los griegos habían producido en casi diez siglos. Esto se
explica fácilmente por el hecho de que, mientras las matemáticas en Grecia se
habían cultivado sólo por unos pocos, la difusión de la educación en Europa,
aunque en absoluto universal, promovió el desarrollo de matemáticos en
Inglaterra, Francia, Alemania, Holanda e Italia. La invención de la imprenta
permitió un amplio acceso no sólo a los trabajos griegos, sino a los resultados
de los propios europeos, los cuales, ahora más fácilmente disponibles,
sirvieron para estimular nuevos esfuerzos.
Pero el genio del siglo no se pone en evidencia únicamente por la expansión de
la actividad. La variedad de nuevos campos abiertos en este breve período es
impresionante. El crecimiento del álgebra como ciencia (porque el uso de
coeficientes literales permitió en buena parte la realización de
demostraciones), así como la vasta ampliación de sus métodos y teoría, los
comienzos de la geometría proyectiva y de la teoría de la probabilidad, la
geometría analítica, el concepto de función y, sobre todo, el cálculo, fueron
las principales innovaciones, cada una de ellas destinada a empequeñecer la
realización por excelencia de los griegos —la geometría euclídea.
Además del desarrollo cuantitativo y de los nuevos caminos de exploración se
produjo un intercambio completo de los papeles del álgebra y de la geometría.
Los griegos habían favorecido la geometría porque era el único camino en el que
podían conseguir rigor; incluso en el siglo XVII, los matemáticos se sentían
obligados a justificar los métodos algebraicos con demostraciones geométricas.
Se podría decir que hasta 1600 el cuerpo de las matemáticas era geométrico, con
algunos apéndices algebraicos y trigonométricos. Después del trabajo de
Descartes, Fermat y Wallis el álgebra se convirtió no sólo en un método
efectivo para sus propios fines, sino también en un enfoque superior para la solución
de problemas geométricos. La mayor efectividad de los métodos analíticos en el
cálculo decidió la competición, y el álgebra se convirtió en la sustancia
dominante de las matemáticas.
Fueron Wallis y Newton quienes vieron claramente que el álgebra proporcionaba
un método superior. A diferencia de Descartes, quien consideraba al álgebra
como sólo técnica, Wallis y Newton se dieron cuenta de que se trataba de algo
de vital importancia. El trabajo de Desargues, Pascal y La Hire fue
menospreciado y olvidado, y los métodos geométricos de Cavalieri, Gregorio de
St. Vi- cent, Huygens y Barrow fueron reemplazados. La geometría pura fue
eclipsada durante casi cien años convirtiéndose, como mucho, en una
interpretación del álgebra y en una guía del pensamiento algebraico mediante la
geometría de coordenadas. Es cierto que la excesiva reverencia hacia el trabajo
geométrico de Newton en los Principia, reforzada por la
enemistad contra los matemáticos continentales engendrada por la disputa entre
Newton y Leibniz, provocó que los matemáticos ingleses persistieran en el
desarrollo geométrico del cálculo. Pero sus contribuciones fueron triviales comparadas
con lo que los continentales fueron capaces de obtener utilizando el enfoque
analítico. Lo que era evidente en 1700 fue expresado explícitamente nada menos
que por una autoridad como Euler quien, en su Introductio in Analysi
Infinitorum (1748), alaba al álgebra como muy superior a los métodos
sintéticos de los griegos.
Los matemáticos abandonaron el método geométrico con gran desgana. Según Henry
Pemberton (1694-1771), quien editó la tercera edición de los Principia de
Newton, éste no sólo expresó constantemente una gran admiración por los
geómetras de Grecia, sino que se censuró a sí mismo por no seguirlos más de
cerca de lo que lo hizo. En una carta a David Gregory (1661-1708), un sobrino
de James Gregory, Newton señalaba que «el álgebra es el análisis de los
chapuceros en matemáticas». Pero su propia Arithmetica Universalis de
1707 hizo tanto como cualquier otro trabajo para establecer la supremacía del
álgebra. En esta obra establece la aritmética y el álgebra como la ciencia
básica, admitiendo sólo la geometría allí donde hiciera las demostraciones más
fáciles. Leibniz, también, notó la dominación creciente del álgebra y se sintió
obligado a decir, en un ensayo no publicado[84]: «a menudo, los geómetras pueden demostrar en pocas palabras lo
que es muy largo en el cálculo... el enfoque del álgebra está garantizado, pero
no es mejor.»
Otro cambio, más sutil, en la naturaleza de las matemáticas había sido aceptado
inconscientemente por los maestros. Hasta 1550 los conceptos en matemáticas
eran idealizaciones inmediatas o abstracciones de la experiencia. Por entonces
hicieron su aparición los números irracionales y negativos, y fueron ganando
aceptación gradualmente. Cuando, además, irrumpieron en las matemáticas los
números complejos, una amplia álgebra que utilizaba coeficientes literales y
las nociones de derivada e integral, el campo quedó dominado por conceptos
procedentes de partes recónditas de la mente humana. La noción de un cambio
relativo instantáneo, en particular, aunque teniendo, por supuesto, una base
intuitiva en el fenómeno físico de la velocidad es, sin embargo, bastante más
una construcción intelectual y es también, cualitativamente, una contribución
completamente diferente del triángulo matemático. Además de estas ideas,
entraban en liza las cantidades infinitamente grandes, que los griegos habían
evitado cuidadosamente, y las cantidades infinitamente pequeñas, que los
griegos habían soslayado habilidosamente.
En otras palabras, los matemáticos estaban aportando conceptos, más que
abstrayendo ideas del mundo real. Sin embargo, estos conceptos eran útiles en
las investigaciones físicas (con la excepción de los números complejos, que
todavía tenían que probar su utilidad) porque tenían algunos lazos con la
realidad física. Los europeos se sentían incómodos con los nuevos tipos de
números y las nociones del cálculo, sin percibir realmente la causa de su
preocupación. A medida que esos conceptos se iban revelando más útiles en las
aplicaciones fueron siendo aceptados, primero a regañadientes y luego en forma
pasiva. La familiaridad no produjo menosprecio sino aceptación e incluso
naturalidad. Después de 1700, cada vez más nociones, cada vez más apartadas de
la naturaleza y surgiendo auténticamente de la mente humana, entrarían a formar
parte de las matemáticas con menos reservas. Para la génesis de sus ideas, las
matemáticas se desplazaron de las facultades sensoriales a las intelectuales.
La incorporación del cálculo al cuerpo de las matemáticas introdujo otro cambio
en el concepto mismo de las matemáticas, que subvirtió el ideal propugnado por
los clásicos griegos. Hemos señalado ya que la emergencia del álgebra y del
cálculo había planteado el problema de los fundamentos lógicos de estas partes
de las matemáticas, y que este problema no había sido resuelto. A todo lo largo
del siglo, algunos matemáticos se habían sentido incómodos por el abandono de
la demostración en el sentido deductivo, pero sus protestas se ahogaron en el
uso y satisfacción crecientes con respecto al álgebra y el cálculo; hacia
finales de siglo, los matemáticos habían abandonado virtualmente los
requerimientos de conceptos claramente definidos y demostraciones deductivas.
La construcción axiomática rigurosa dio paso a la inducción a partir de
ejemplos particulares, a ideas intuitivas, a vagas evidencias geométricas y a
razonamientos físicos. Como la demostración deductiva había sido el rasgo
distintivo de las matemáticas, los matemáticos estaban, pues, abandonando el
sello de su campo de actividad.
Retrospectivamente es fácil ver por qué se vieron obligados a ello. Mientras
los matemáticos obtuvieron sus conceptos de la experiencia inmediata, era
posible definir estos conceptos y seleccionar los axiomas necesarios —aunque,
además, las bases lógicas de la teoría de los enteros que presentó Euclides en
los libros VII al IX de los Elementos eran deplorablemente
deficientes—. Pero cuando introdujeron conceptos que ya no idealizaban
experiencias inmediatas, como los números irracionales, negativos, y complejos,
y la derivada y la integral, no valoraron adecuadamente el hecho de que estos
conceptos eran de un carácter diferente y por ello no llegaron a darse cuenta
de que se necesita una base para el desarrollo axiomático que fuera diferente
de las verdades evidentes por sí mismas.
Es cierto, sin embargo, que los nuevos conceptos eran bastante más sutiles que
los antiguos y que, como sabemos ahora, no podría haberse edificado fácilmente
la base axiomática adecuada.
¿Cómo podían los matemáticos críticos, buenos conocedores de las matemáticas
griegas, estar satisfechos actuando sobre una base heurística? Estaban
preocupados por problemas importantes de la ciencia, acuciantes en algunos
casos, y las matemáticas que utilizaban permitían manejar esos problemas. Más
que buscar una comprensión total de las nuevas creaciones o intentar erigir la
estructura deductiva requerida, justificaban su conciencia mediante sus éxitos.
Un recurso ocasional a doctrinas filosóficas, o místicas, bastaba para encubrir
algunas dificultades de manera que éstas dejaran de ser visibles.
Un objetivo nuevo, en particular, caracteriza las matemáticas del siglo XVII y
siguientes —la generalidad de los métodos y de los resultados—. Ya hemos
señalado el valor que se otorgaba a la generalidad del método: Vieta en su
introducción de los coeficientes literales, los geómetras proyectivos, Fermat y
Descartes en la exploración de curvas, y Newton y Leibniz en el tratamiento de
las funciones. Por lo que se refiere a la generalidad de los resultados, los
logros eran limitados. Muchos eran sólo afirmaciones, como la de que toda
ecuación polinómica de grado n tiene n raíces,
o que toda ecuación de segundo grado en x e y es una cónica.
Los métodos matemáticos y la notación eran todavía demasiado limitados para
permitir el establecimiento de resultados generales, pero esto se convirtió en
un objetivo de los esfuerzos matemáticos.
2. Las matemáticas y la ciencia
Desde los tiempos de la Grecia clásica, las matemáticas se habían valorado
sobre todo por su papel en la investigación de la naturaleza. La astronomía y
la música estaban ligadas constantemente a las matemáticas, y la mecánica y la
óptica eran, ciertamente, matemáticas. Sin embargo, la relación de las matemáticas
con la ciencia se alteró de diversas formas debido al trabajo realizado en el
siglo XVII. En primer lugar, porque la ciencia, que se estaba desarrollando
enormemente, había sido dirigida por Galileo hacia la utilización de axiomas
cuantitativos y deducciones matemáticas (cap. 16, sec. 3); la actividad
matemática que estaba inspirada directamente por la ciencia se convirtió en
dominante.
Además, la recomendación de Galileo de buscar la descripción matemática en
lugar de la explicación causal condujo a la aceptación de conceptos tales como
el de fuerza de gravitación. Esta fuerza y las leyes del movimiento fueron la
base completa del sistema de Newton de la mecánica. Como el único conocimiento
seguro sobre la gravitación era matemático, las matemáticas se convirtieron en
la sustancia de las teorías científicas. El rebelde siglo XVII encontró un
mundo cualitativo cuyo estudio se encontraba apoyado por las abstracciones
matemáticas, y legó un mundo cuantitativo, matemático, que incluía bajo sus
leyes matemáticas la concreción del mundo físico.
En tercer lugar, aunque los griegos había utilizado libremente las matemáticas
en su ciencia, mientras bastaran las bases euclídeas para las matemáticas,
existía una distinción profunda entre éstas y aquélla. Tanto Platón Como
Aristóteles distinguieron una de otra (cap. 3, sec. 10 y cap. 7, sec. 3),
aunque de diferentes formas, y Arquímedes es especialmente claro acerca de lo
que se establece matemáticamente y lo que se conoce físicamente. Sin embargo, a
medida que se extendía el campo de las matemáticas, y que los matemáticos no
sólo se basaban en significados físicos para entender sus conceptos, sino que
aceptaban los razonamientos matemáticos porque proporcionaban profundos
resultados físicos, la frontera entre las matemáticas y la ciencia se hizo
borrosa. Paradójicamente, a medida que la ciencia iba basándose cada vez más en
las matemáticas para producir sus conclusiones físicas, las matemáticas fueron
basándose cada vez más en los resultados científicos para justificar sus
propios procedimientos.
El resultado de esta interdependencia fue una virtual fusión de las matemáticas
y de vastas áreas de la ciencia. Lo que constituía la brújula de las
matemáticas, tal como se entendía en el siglo XVII, puede verse en el Cursus
seu Mundus Mathematicus (El Curso o el Mundo de las Matemáticas) de
Claude-François Milliet Deschales (1612-1678), publicado en 1674 y, en una
edición ampliada, en 1690. Además de aritmética, trigonometría y logaritmos,
trata de geometría práctica, mecánica, estática, geografía, magnetismo,
ingeniería civil, carpintería, talla de piedras, construcción militar,
hidrostática, movimiento de fluidos, hidráulica, construcción de barcos,
óptica, perspectiva, música, diseño de armas de fuego y cañones, el astro-
labio, relojes de sol, astronomía, el cálculo del calendario y el horóscopo.
Finalmente, incluye álgebra, la teoría de los indivisibles, la teoría de las
cónicas y curvas especiales como la cuadratriz y la espiral. Esta obra fue
popular y estimada. Aunque en la inclusión de algunos temas refleja los
intereses del Renacimiento, presenta en su conjunto un cuadro razonable del
mundo de las matemáticas del siglo XVII e incluso del XVIII.
Se podría esperar que los matemáticos hubieran estado preocupados por preservar
la identidad de su dominio. Pero además del hecho de que estaban obligados a
depender de significados y resultados físicos para sostener sus razonamientos,
los más grandes entre los que contribuyeron con aportaciones a las matemáticas
en el siglo XVII (y XVIII) fueron, o bien primariamente científicos o al menos
preocupados por igual por los dos campos. Descartes, Huygens y Newton, por
ejemplo, fueron más grandes físicos que matemáticos. Pascal, Fermat y Leibniz
fueron activos en física. De hecho, sería difícil nombrar un matemático
extraordinario de ese siglo que no hubiera estado vivamente interesado por la
ciencia. Como consecuencia, estos hombres no quisieron, ni intentaron, hacer
ninguna distinción entre los dos campos. Descartes dice, en sus Reglas
para la dirección del espíritu, que las matemáticas son la ciencia del
orden y la medida e incluye, además del álgebra y la geometría, la astronomía,
la música, la óptica y la mecánica. Newton dice en sus Principia: «En
matemáticas tenemos que investigar las cantidades de fuerzas, con su proporción
consecuente, con cualesquiera condiciones supuestas; entonces, cuando entramos
en la física, comparamos estas proporciones con los fenómenos de la
naturaleza...» Aquí la física se refiere a la experimentación y a la
observación. Las matemáticas de Newton podrían considerarse como la física
matemática actual.
3. La comunicación entre los matemáticos
Hasta aproximadamente 1550, las matemáticas habían sido creadas por
investigadores aislados o por pequeños grupos encabezados por uno o dos
directores prominentes. Los resultados se comunicaban oralmente o se escribían
ocasionalmente en textos —que, sin embargo, eran manuscritos—. Como las copias
tenían que hacerse también a mano, éstas eran escasas. En el siglo XVII los
libros impresos habían llegado a ser, de alguna manera, corrientes, aunque
tampoco esta mejora difundió el conocimiento tan ampliamente como podría
haberse pensado. Como el mercado para la matemática avanzada era pequeño, los
editores tenían que establecer precios elevados. Los buenos impresores eran
escasos. La publicación era seguí- da, habitualmente, por ataques a los autores
por parte de oponentes no demasiado escrupulosos; no era difícil para tales
críticos encontrar bases para el ataque, especialmente porque el álgebra y el
cálculo no estaban en absoluto fundamentados lógicamente. Los libros, en
cualquier caso, no eran habitualmente el vehículo de las nuevas creaciones,
porque resultados significativos no garantizaban una publicación del tamaño de
un libro.
Como consecuencia, muchos matemáticos se limitaron a escribir cartas a amigos
en las que relataban sus descubrimientos. Temiendo que esas cartas llegaran a
manos de quienes pudieran aprovecharse de tales documentos no oficiales, los
escritores ponían sus resultados a menudo en forma cifrada o mediante
anagramas, los cuales podían ser descifrados en caso necesario.
A medida que se incorporaban a la creación matemática más investigadores, el
deseo de intercambio de información y el estímulo por reunirse con gente con
los mismos intereses intelectuales se concretó en la formación de sociedades
científicas o academias. En 1601 jóvenes nobles fundaron en Roma la Accademia
dei Lincei (de los linces); duró treinta años. Galileo ingresó como miembro en
1611. Otra sociedad italiana, la Accademia del Cimento (Academia de
Experimentos) fue fundada en Florencia en 1657 como una organización formal de
investigadores que se habían estado reuniendo en un laboratorio fundado por dos
miembros de la familia Medici aproximadamente diez años antes. Esta academia
contó entre sus miembros con Vincenzo Viviani (1622-1703) y con Torricelli,
ambos discípulos de Galileo. Desgraciadamente, la sociedad se deshizo en 1667.
En Francia, Desargues, Descartes, Gassendi, Fermat y Pascal, entre otros,
mantuvieron reuniones privadamente, bajo la dirección de Mersenne, desde 1630
en adelante. Este grupo fue distinguido por Luis XIV, fundando con él la
Académie Royale des Sciences en 1666, y proporcionando apoyo a sus miembros.
Paralelamente a lo que había sucedido en Francia, un grupo inglés centrado
alrededor de John Wallis comenzó en 1645 a mantener reuniones en el Gresham
College, en Londres. Estos investigadores se ocuparon sobre todo de matemáticas
y astronomía. A este grupo Carlos II le concedió unos estatutos formales en
1662, adoptando el nombre de Royal Society of London for the Promotion of
Natural Knowledge (Sociedad Real de Londres para la Promoción del Conocimiento
Natural). Esta sociedad se dedicó a hacer útiles las matemáticas y la ciencia,
considerando como temas de interés el teñido, el acuñado, la fabricación de
armas, el refinado de los metales y la estadística de poblaciones. Finalmente,
la Academia de Ciencias de Berlín, por la que Leibniz había abogado durante
algunos años, fue abierta en 1700, con Leibniz como primer presidente. En
Rusia, Pedro el Grande fundó la Academia de Ciencias de San Petersburgo en
1724.
Las academias fueron importantes no sólo por hacer posible el contacto directo
y el intercambio de ideas, sino porque apoyaron la existencia de revistas. La
primera de las revistas científicas, aunque lo fue patrocinada por una
academia, fue el Journal des Sqavans o Journal des
Savants, que comenzó su publicación en 1665. Esta revista y las Philosophical
Transactions of the Roy al Society, que comenzó a publicarse en el
mismo año, fueron las primeras revistas que incluyeron artículos matemáticos y
científicos. La Académie des Sciences francesa comenzó la publicación Histoire
de l’Académie Royale des Sciences avec les Mémoires de Mathématique et
Physique (Historia de la Real Academia de Ciencias con las Memorias de
Matemáticas y Física). También publicó las Mémoires de Mathématique et
de Phisique Présentés a L'Académie Royale des Sciences par Divers Sqavans et
Lus dans ses Assemblées (Memorias de Matemáticas y Física presentadas
a la Real Academia de Ciencias por Diversos Sabios y Leídas en sus Asambleas),
también conocidas como las Mémoires des Savants Etrangers. Otra
de las primeras revistas científicas, la Acta Eruditorum, comenzó
en 1682 y, como estaba publicada en latín, pronto adquirió una difusión
internacional. La Academia de Ciencias de Berlín patrocinó la Histoire
de L'Académie Royale des Sciences et Belles-lettres (cuyo título
durante muchos años fue el de Miscellanea Berolinensia).
Las academias y sus revistas abrieron nuevas puertas a la comunicación
científica; éstas y revistas posteriores se convirtieron en el medio aceptado
para la publicación de las nuevas investigaciones. Las academias propiciaron la
investigación en cuanto que la mayor parte de ellas apoyaron económicamente a
investigadores. Por ejemplo, Euler fue patrocinado por la Academia de Berlín
desde 1741 hasta 1766 y Lagrange desde 1766 hasta 1787. La Academia de San
Petersburgo apoyó a Daniel y a Nicholas Bernoulli en varias ocasiones, y a
Euler desde 1727 hasta 1741, y otra vez desde 1766 hasta su muerte en 1783. La
fundación de las academias por los gobiernos europeos marca también la entrada
oficial de los gobiernos en el área de la ciencia y el apoyo a la misma. La
utilidad de la ciencia había sido reconocida.
Las instituciones de las que cualquiera en la actualidad hubiera esperado que
jugaran el papel más importante en la creación y difusión del conocimiento —las
universidades— fueron ineficaces. Eran conservadoras y dogmáticas, controladas
por las religiones oficiales de los países respectivos y muy lentas
incorporando los conocimientos nuevos. En su conjunto, enseñaban sólo un poco
de aritmética, álgebra y geometría. Aunque había algunos matemáticos en la
universidad de Cambridge en el siglo XVI, desde 1600 hasta 1630 no hubo
ninguno. De hecho, en Inglaterra a principios del siglo XVII las matemáticas no
formaban parte del curriculum. Estaban consideradas como algo
demoníaco. Wallis, que había nacido en 1616, dice de la educación corriente
durante su infancia que «las matemáticas en aquel tiempo se consideraban
raramente entre nosotros como algo académico; más bien se miraban como algo
mecánico —un asunto de comerciantes—». Fue a la universidad de Cambridge y estudió
matemáticas allí, pero aprendió bastante más estudiando independientemente.
Aunque preparado como para ser profesor de matemáticas, se fue a Cambridge
«porque ese estudio había muerto allí, y no se abría ningún porvenir para una
profesor de esa materia».
Las primeras cátedras de matemáticas se fundaron en Oxford en 1619, y más tarde
en Cambridge. Antes de eso, había habido sólo profesores de baja categoría. La
cátedra Lucasiana en Cambridge, que Barrow fue el primero en ocupar, fue
fundada en 1663. El mismo Wallis se hizo catedrático en Oxford en 1649 y
mantuvo la cátedra hasta 1702. Un obstáculo para la contratación de profesores
capaces fue que éstos tenían que tomar las órdenes sagradas, aunque se hicieron
excepciones, como en el caso de Newton. Las universidades británicas (incluidas
las de Londres, Glasgow y Edimburgo) tuvieron, en general, casi la misma
historia: desde, aproximadamente, 1650 hasta 1750, fueron de alguna manera
activas, pero declinaron en su actividad hasta, aproximadamente, 1825.
Las universidades francesas de los siglos XVII y XVIII fueron inactivas en
matemáticas. Hasta finales del siglo XVIII, en que Napoleón fundó escuelas
técnicas de primera categoría, no efectuaron ninguna contribución. También en
las universidades alemanas la actividad matemática en esos dos siglos se
mantuvo en un nivel bajo. Leibniz estuvo aislado y, como señalamos
anteriormente, se lamentaba de las enseñanzas de las universidades. Los centros
universitarios de Ginebra y Basilea, en Suiza, fueron las excepciones en el
período que estamos considerando; se pudieron vanagloriar de los Bernoulli,
Hermann, y otros. Las universidades italianas tuvieron alguna importancia en el
siglo XVII pero perdieron terreno en el XVIII. Cuando se piensa que Pascal,
Fermat, Descartes, Huygens y Leibniz no enseñaron nunca en ninguna universidad
y que Kepler y Galileo, aunque enseñaron durante algún tiempo, fueron
matemáticos de corte la mayor parte de su vida, se cae en la cuenta de lo
relativamente poco importantes que fueron las universidades.
4. Las perspectivas para el siglo XVIII
Los avances enormes del siglo XVII en álgebra, geometría analítica y cálculo;
el fuerte compromiso de las matemáticas con la ciencia, que proporcionó
problemas profundos e interesantes; el entusiasmo producido por los
sorprendentes éxitos de Newton en mecánica celeste y la mejora de las
comunicaciones proporcionada por las academias y revistas apuntaba, todo ello,
a desarrollos adicionales importantes y servía para crear unas expectativas
inmensas sobre el futuro de las matemáticas.
Tenían que superarse algunos obstáculos. Las dudas sobre la solidez del
cálculo, el distanciamiento entre los matemáticos ingleses y continentales, el
bajo nivel de las instituciones educativas existentes y la incertidumbre sobre
el apoyo a la profesión en matemáticas retenían a los jóvenes o futuros
matemáticos. Sin embargo, el entusiasmo de los matemáticos era casi ilimitado.
Tenían visiones de una tierra prometida y estaban ansiosos por presionar hacia
adelante. Además, trabajaban en una atmósfera bastante más adecuada para la
creación que en cualquier otra época, desde que la geometría de la Grecia
clásica del 300 antes de Cristo imponía no sólo restricciones en el campo de
las matemáticas, sino que imprimía un nivel de rigor a la matemática aceptable
que impedía la creatividad. Los hombres del siglo XVII habían roto ambas
ataduras. El progreso en matemáticas casi exige pasar por alto completamente
los escrúpulos lógicos y, afortunadamente, los matemáticos se atrevieron ya a
confiar en intuiciones y consideraciones físicas.
Bibliografía
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Hahn, Roger: The
Anatomy of a Scientific Institution: The París Academy of Sciences,
1666-1803, University of California Press, 1971.
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Revolución científica, 1500-1700, Barcelona, Crítica, 1985.
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Wolf, Abraham: A
History of Science, Technology and Philosophy in the 16th and 17th Centuries,
2.a ed., George Alien and Unwin, 1950, cap. 4.
FIN
Parte I
Notas:
[1] Puede verse una buena exposición de la historia de la
matemática china en el libro de Joseph Needham Science and Civilization in
China, Cambridge Univ. Press, 1959, vol. 3, págs. 1-168.
[2] Pueden verse muchos ejemplos de problemas algebraicos en
el libro de Van der Waerden Science Awakening, Noordhoff, 1954, págs. 65-73.
[3] Metafísica, I, V, 986a y 986a 21, Ed. Gredos, Madrid,
1970.
[4] Todo número impar puede expresarse de la forma 2 n + 1,
para algún n. Entonces se tiene que (2 n + l)2 = 4 n 2 + 4
n + 1, que siempre es impar de nuevo.
[5] El punto G no puede obtenerse directamente a partir de la
definición de la curva, porque AB alcanza la posición AD al mismo tiempo que
BC, y por lo tanto no está determinado el punto de intersección de las dos
rectas. G sólo puede obtenerse como límite de puntos anteriores de la
cuadratriz. Utilizando el cálculo infinitesimal puede demostrarse que AG =
2a/π, donde a = AB.
[6] Libro VII, 525; Platón, Diálogos, vol. IV, Ed. Gredos,
Madrid.
[7] República, libro VI, 510.
[8] Libro VI, 510.
[9] T. L. Heath: The Thirteen Books of Euclid’s Elements,
Dover (reimpresión), 1956, en 3 volúmenes.
[10] Bajo el nombre de «ángulo de contingencia». (N. del T.)
[11] Según la definición usual de ángulo entre dos curvas, el
ángulo córneo es de magnitud nula.
[12] Sólo falta la definición 2: Figuras inversamente
proporcionales son las que tienen sus lados inversamente proporcionales a los
ángulos opuestos iguales, según la traducción del griego de F. Vera, ed.
Aguilar, 1970. (N. del T.)
[13] Apolonio señala que si el cono es escaleno, PM no tiene
por qué ser perpendicular a DE. La perpendicularidad sólo se cumple para conos
circulares rectos o cuando el plano ABC es perpendicular a la base de un cono
escaleno.
[14] El método de trisección viene dado en T. L. Heath: Los
Trece Libros de los Elementos de Euclides . Dover (reprint), 1956, vol. 1, p.
266.
[15] Algunos autores modernos usan δ, κ, y v en vez de Δ, K e Y
[16] Libro XIII, cap. 2, último parágrafo.
[17] Almagesto, Libro IX.
[18] N. T. En español en el original.
[19] Para algunas de estas reglas y pinturas construidas de
acuerdo con ellas, ver la obra del autor, Mathematics in the Western Culture,
Oxford University Press, 1953.
[20] Opera, Leyden, 1646, 287-304.
[21] Opera, 305-324.
[22] Aunque Kepler la estableció de esta manera, la formulación
correcta requiere sustituir distancia media por semieje mayor.
[23] El símbolo π fue usado por primera vez por William Jones
(1706).
[24] Acta Ercud. 1712, 167-69 = Math. Sckriften , 5, 387-89.
[25] Segunda edición, 1728, p. 193.
[26] Acta Erud., 1702 = Math. Schriften, 5, 350-61.
[27] Rem y rebus son formas correspondientes a la declinación
de res.
[28] Introducción al Arte Analítico, 1591 = Opera, 1-12.
[29] De la Revisión y Corrección de Ecuaciones, Opera , 82-162.
[30] Comm. Acad. Sci. Petrop., 6, 1732/33, 217-31, pub. 1738 =
Opera (1), 6, 1-19.
[31] Proc. London Math. Soc., 1, 1865, 1-16 = Math. Papers, 2,
498-513.
[32] Mém. de l’Acad. des Sci., París, 5, 1729, 83-166.
[33] Oeuvres, 2, 206.
[34] Oeuvres, 1, 340; 3, 271
[35] Oeuvres, 2, 333-35.
[36] Oeuvres, 2, 333-35.
[37] Oeuvres, 2, 333-35; 3, 312-13.
[38] Fermat, Oeuvres, 3, 457-80, 490-503.
[39] Oeuvres, 1, 103-230.
[40] Se debe a Möbius: Barycentrysche Calcul (1827), p. 269.
[41] Oeuvres, 1, 1908, 243-60.
[42] Ad Vitellionem Paralipomena, quibus Astronomiae pars
Optica Traditur (Suplemento a Vitello, incluyendo la parte óptica de la
astronomía).
[43] Principia, 3. ed., libro 1, lema 22 y prop. 25.
[44] Fermat utiliza estos términos en el sentido de Pappus. Ver
cap. 8, sec. 2.
[45] Oeuvres, 1, 91-103.
[46] Oeuvres , 1, 133-79; 3, 121-56.
[47] Publicado en holandés en 1692; Oeuvres , 10, 359-469.
[48] Oeuvres, 6, 1-78.
[49] Compárese con la discusión del cap. 8, sec. 2.
[50] Acta Erud, 1684, pp. 470, 587; 1686, p. 292 = Math.
Schriften , 5, 127, 223, 226.
[51] Arithmetica Universalis, 1707, p. 282.
[52] Acta Erud, sept. 1694 = Opera , 608-12.
[53] Carta a Mersenne del 12-IX-1638 = Oeuvres, 2, 360.
[54] Oeuvres > 1, 186-8-7; 3, 161-62.
[55] Oeuvres, 7, 183-287, p. 271 en parte.
[56] Opere, 4. 171.
[57] Math. Schriften, 5, 97-98.
[58] Math. Schriften, 5, 266-269.
[59] Mém. de l’Acad. des Sci., París, 1718, 100 ss. = Opera ,
2, 235-269, p. 241, en particular.
[60] Comm. Acad. Sci. Petrop, 7, 1734/5, 184-200, pub. 1740 =,
Opera, (1), 22, 57-75.
[61] Oeuvres, 1, 133-179; 3, 121-156
[62] Para las ecuaciones que preceden al hacer E = 0, Fermat
utilizó el término adaequalitas, que Cari. B. Boyer en The Concepts of the
Calculas, p. 156, ha traducido adecuadamente como «pseudo-igualdad».
[63] Oeuvres, 1, 255-259; 3, 216-219.
[64] Oeuvres, 1, 255-259; 3, 216-219.
[65] Traité des sinus du quart de cercle, 1659 = Oeuvres, 9,
60-76.
[66] El método fue publicado por Wallis en Tractatus Dúo (1659
= Opera, 1, 550-569). Wren dio sólo el resultado.
[67] El trabajo de Neile fue publicado por Wallis en la
referencia de la nota 6.
[68] La tercera edición fue traducida al inglés por Andrew
Motte en 1729. Esta edición, revisada y editada por Florian Cajori, fue
publicada por la University of California Press en 1946.
[69] Tercera edición, p. 39.
[70] Todas las referencias están hechas con respecto a la
edición mencionada en la nota 8.
[71] Publicado en 1690 = Die philosophiscbe Schriften, 4,
27-102.
[72] Acta Erud., 3, 1684, 467-73 = Math. Schriften, 5, 220-26.
[73] Leibniz: Math. Schriften, 3, Parte 1, 5.
[74] Acta Erud., 5, 1686, 292-300 = Math. Schriften, 5,
226-233.
[75] Acta Erud., 1692, 168-171 = Math. Schriften, 5, 266-269;
Acta Erud., 1694 = Math. Schriften, 5, 301-306.
[76] Leibniz: Math. Schriften, 4, 63.
[77] Math. Schriften, 5, 322 y sig.
[78] Acta Erud., 1695, 310-316 = Math. Schriften, 5, 320-328.
[79] Math. Scbriften, 5, 385 .
[80] Matb. Schriften, 4, 54.
[81] Math. Schriften, 4, 218.
[82] Opera Omnia, 3, 385-558.
[83] Leibniz: Math. Schriften, 3, Parte 2, 563 y sigs.
[84] Couturat, L.: Opuscules et fragments inédits de Leibniz,
1903; reimpreso por Georg Olms, 1961, p. 181.
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