© Libro N° 6147.
Dirac - La Antimateria. Juan Antonio Caballero. Emancipación. Junio 22 de 2019.
Título
original: © Dirac - La Antimateria. Juan Antonio Caballero
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Miranda
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DIRAC -
LA ANTIMATERIA
Juan
Antonio Caballero
CONTENIDO
Introducción
Primeros
años
La
mecánica cuántica
El
electrón relativista. La antimateria
La
electrodinámica cuántica
Tras
los grandes hallazgos
Lecturas
recomendadas
Introducción
El
13 de noviembre de 1995 se celebró en la abadía de Westminster un acto in
memoriam de Paul Adrien Maurice Dirac. En el curso del mismo se le dedicó una
sencilla placa, en la que los únicos datos que aparecían eran los años de su
nacimiento y muerte, su nombre, la palabra «físico» y una concisa ecuación, su
ecuación relativista del electrón. Este carácter tan austero de la placa es un
reflejo de la propia personalidad de Dirac, siempre alejado de los focos y la
atención pública Paul Dirac, al contrario de otros prominentes físicos de la
época, nunca cultivó las actividades sociales fuera de los estrictos límites de
su labor académica En sus últimos años, cuando su nombre era un referente
esencial en el mundo de la física, y de la ciencia en general, tampoco escribió
libros generales de divulgación en los que describiese sus ideas filosóficas o
su relación con sus colegas. Su vida fue su obra científica y siempre mantuvo
una privacidad extrema Ejemplo de ello es su primera reacción de no aceptar el
premio Nobel para evitar la publicidad asociada, y posteriormente, su decisión
de aceptarlo tras comentarle Rutherford que la publicidad sería mucho mayor si
lo rechazaba.
La personalidad de Dirac explica que fuese un gran desconocido para el púbico
en general. Su fallecimiento, el 20 de octubre de 1984 en Tallahassee
(Florida), solo fue recogido en una breve nota de prensa en The Times. Sin
embargo, Dirac es considerado por la comunidad científica como uno de los
físicos más brillantes de la historia En el Reino Unido forma parte del trío de
grandes físicos, junto a Newton y Maxwell. Por ello, resulta muy difícil de
entender que hubieran de transcurrir once años desde su muerte para que su país
organizase un acto conmemorativo y se decidiese situar su placa al lado de la
tumba de Isaac Newton. Como afirmó Stephen Hawking en el discurso de apertura
de aquel acto, «Dirac ha hecho más que nadie en este siglo, con la excepción de
Einstein, para hacer avanzar la física y cambiar nuestra imagen del universo.
Sin duda alguna, es merecedor de este acto en la abadía de Westminster. Lo que
resulta escandaloso es que haya transcurrido tanto tiempo».
A finales del siglo XIX la física se sustentaba sobre dos grandes pilares: la
mecánica de Newton y el electromagnetismo de Maxwell. Estas dos grandes teorías
permitían explicar la práctica totalidad de los fenómenos naturales. En este
contexto es fácil entender la impresión general que existía entre los físicos
de aquellos momentos. Básicamente, todo estaba ya construido y lo único que
podía hacer un físico era realizar cálculos específicos para resolver problemas
concretos o llevar a cabo experimentos más y más detallados, todo ello, por
supuesto, dentro del marco general de la mecánica y el electromagnetismo. La
física, de este modo, no parecía un campo muy atractivo para los jóvenes
estudiantes que querían desarrollar una carrera científica. Solo existían en el
horizonte dos «pequeños» problemas a los que lord Kelvin llamó «nubecillas».
¿Quién podía imaginar en aquel momento que esas «nubecillas» traerían consigo
la mayor tormenta jamás vista? Así, de la inconsistencia entre Newton y Maxwell
surgió la teoría de la relatividad, y la radiación del cuerpo negro, problema
conocido desde hacía tiempo, trajo consigo el nacimiento del mundo cuántico. El
siglo XX comienza con estas revolucionarias teorías en la física La teoría de
la relatividad fue obra de una sola persona, Albert Einstein; por el contrario,
la teoría cuántica necesitó el trabajo y la cooperación de los físicos más
brillantes de la época, entre ellos Dirac.
Los primeros años de Dirac coincidieron con estos profundos cambios en la
física El trabajo de Planck sobre la radiación del cuerpo negro, que marcó el
comienzo de la teoría cuántica, apareció en 1900, dos años antes del nacimiento
de Dirac. En 1905 Einstein, entre otros trabaos, publicó la teoría especial de
la relatividad y explicó el efecto fotoeléctrico. Diez años después, cuando
Dirac tenía trece, apareció la teoría de la relatividad general. Dirac vivió
todos estos cambios, especialmente los relacionados con la teoría de la
relatividad, con enorme interés pero completamente aislado. Sin embargo, a
pesar de la capacidad innata de Dirac para las matemáticas, sus estudios de
ingeniería eléctrica no hacían presagiar que pudiese jugar ningún papel
relevante en el mundo de la física. Como suele suceder, cambios inesperados
abren perspectivas nuevas que modifican el devenir de una vida La profunda
crisis económica por la que atravesaba Inglaterra tras el final de la Primera
Guerra Mundial impidió a Dirac conseguir un trabajo en el campo de la
ingeniería Por este motivo, completó sus estudios en matemáticas en la
Universidad de Bristol y, finalmente, se trasladó a Cambridge para comenzar una
vida de estudio en el campo de la física.
Tras su llegada a Cambridge en 1923 se produce un segundo giro en su vida Dirac
se sentía fascinado por la teoría de la relatividad, en especial por la teoría
general, que estudió en profundidad durante sus años en Bristol. Su fascinación
queda patente en el siguiente comentario que realizó muchos años después: «Si
Einstein no hubiese publicado la teoría especial de la relatividad en 1905,
otros lo habrían hecho en un plazo muy breve. Sin embargo, la teoría general
sería distinta. Es probable que sin Einstein todavía seguiríamos esperándola
hoy». Sin embargo, Dirac no pudo cumplir su deseo de seguir profundizando en
dicha teoría El profesor Ebenezer Cunningham, que iba a dirigir su proyecto,
decidió no aceptar ningún estudiante, siéndole asignado como nuevo director
Ralph Fowler, un experto en la incipiente teoría cuántica Dirac comenzó
entonces a adentrarse en el extraño mundo cuántico, mundo sobre el cual, según
sus propias palabras, apenas conocía nada Necesitó dos años de trabajo y
continuo estudio para estar preparado para el gran salto que se avecinaba.
El gran cambio en la vida científica de Dirac se produjo en 1925, tras leer los
trabaos de Werner Heisenberg. Estos marcaron el comienzo en la construcción de
la nueva teoría cuántica, la denominada «mecánica cuántica». El impacto de
Heisenberg en Dirac fue tremendo. Surgió en ese momento el genio creativo de
Dirac, quien empezó a publicar sus trabajos seminales que le convirtieron en
uno de los fundadores de la nueva teoría Desde su aislamiento en Cambridge,
Dirac desarrolló sus trabaos de modo completamente autónomo y casi secreto. Él
mismo comentó cómo se enfrentaba a los problemas: «Gran parte de mi trabajo en
aquellos años consistía en jugar con las ecuaciones y ver adonde me había
llevado el juego». El resultado fue espectacular. Max Born lo expresó de modo
muy gráfico: «Esta fue una de las sorpresas más grandes en mi vida científica.
El nombre de Dirac era completamente desconocido. Parecía corresponder a un
joven cuyo trabajo resultó simplemente perfecto y admirable». Dirac mantuvo
toda su vida este secretismo casi enfermizo. Cuando desarrolló su teoría
relativista del electrón, una de sus contribuciones más importantes, sus
colegas de la Universidad de Cambridge, incluso los más cercanos, solo se
enteraron de ello tras la lectura de la publicación en la biblioteca En ningún
momento, durante los meses de trabajo en el tema, Dirac dejó traslucir ni
realizó el más mínimo comentario sobre su objeto de estudio.
El
período 1925-1933 en la vida de Dirac se conoce como «período heroico». Sus
trabaos le convirtieron en uno de los físicos más importantes de la historia En
solo ocho años pasó de ser un completo desconocido a recibir el premio Nobel A
pesar de la fama, sus hábitos no cambiaron y siguió mostrándose tan lejano e
inaccesible como siempre, tanto para el público en general como para sus
estudiantes y colegas. Aparte de la física y sus dos grandes aficiones —los
viajes y las caminatas por la montaña—, Dirac mostró muy poco interés en otro
tipo de actividades o ramas del conocimiento. La vida de Dirac era su trabajo y
sus publicaciones científicas, y, por tanto, escribir sobre él es básicamente
hablar sobre su obra Este es el objetivo fundamental de este libro. En los
capítulos sucesivos se muestran y explican en detalle sus principales logros
científicos. Sin embargo, ninguna obra puede entenderse totalmente sin conocer
los hechos esenciales de la vida de su creador.
Los
trabajos de Dirac durante el citado «período heroico» modificaron completamente
el panorama de la física existente en su momento y, lo que es más importante,
establecieron las bases «fundacionales» de gran parte del desarrollo posterior
de la física teórica. De hecho, es prácticamente imposible entender la física
actual sin tener en cuenta las contribuciones de Dirac. ¿Cuáles fueron sus
principales logros científicos y por qué se consideran tan importantes? Dirac
es uno de los creadores de la mecánica cuántica De forma independiente a sus
colegas alemanes, elaboró una nueva formulación de la teoría cuántica,
denominada «álgebra cuántica». Dirac proporcionó a la teoría cuántica su marco
matemático más riguroso y general; en palabras de Einstein, la «presentación
más perfecta de la mecánica cuántica». Su teoría de la transformación engloba
las tres formulaciones conocidas de la teoría cuántica: matricial, algebraica y
ondulatoria; proporciona un tratamiento unificado y coherente de las mismas e
incorpora la interpretación física de la función de ondas. De este modo, Dirac
introdujo conceptos y notaciones que forman parte del lenguaje actual de
cualquier texto de mecánica cuántica. Todo estudiante de física se enfrenta a
la teoría cuántica aprendiendo la denominada «notación de Dirac» ket/bra y
estudiando las propiedades de la función δ de Dirac.
El
mayor logro científico de Dirac, el descubrimiento que llenó de asombro a todos
sus colegas, fue el desarrollo de la ecuación cuántica relativista del electrón
y la formulación de la interacción radiación-materia. No es fácil desligar
ambos hechos. La teoría relativista aplicada al mundo cuántico mostró
claramente el precio a pagar el número de partículas no se conserva. El
principio de incertidumbre de Heisenberg, junto a la equivalencia masa-
energía, permite la existencia de procesos en los que se crean y destruyen
continuamente partículas. Este hecho estaba contenido implícitamente en la
ecuación relativista del electrón, pero el propio Dirac necesitó algunos años
para ser consciente de ello. De la ecuación de Dirac surgió el mundo de las
antipartículas, y con ello, la forma de explicar y describir cómo interacciona
la radiación con la materia Hoy día hablamos del modelo estándar como el
«paradigma» actual de la física Pensamos en las teorías cuánticas de campos
como el marco conceptual y matemático que nos permite describir el
comportamiento de la naturaleza a partir de sus constituyentes fundamentales.
El gran logro de Dirac fue poner los cimientos e introducir los conceptos
esenciales que harían posible el posterior desarrollo de las modernas teorías
cuánticas de campos y partículas elementales.
De la combinación de la ecuación cuántica relativista del electrón y la teoría
cuántica de la radiación surgió la electrodinámica cuántica; la teoría que
explica el comportamiento de los electrones y antielectrones y cómo estos
interaccionan con la luz y entre sí. Este fue el primer ejemplo de una teoría
cuántica de campos, y Dirac nos enseñó el camino a seguir. Él fue el primero en
hablar de intercambio de fotones en el proceso de interacción entre partículas;
él fue el primero en mencionar conceptos como masa y carga efectivas y técnicas
de renormalización. Sus trabajos del período heroico constituyen el fundamento
de la teoría cuántica de la radiación y sirvieron de inspiración a otros
físicos de una nueva generación para que desarrollasen, casi veinte años
después, la «nueva» electrodinámica cuántica; la teoría física más precisa que
existe en la actualidad. Este fue el gran legado de Dirac, pero también, su
decepción más profunda.
El
libro Great Physicists, escrito por William H. Cropper, recoge
biografías de algunos de los físicos más importantes de la historia. Antes de
cada biografía, una simple frase intenta sintetizar una cualidad o
característica esencial de cada uno de los personajes analizados. En el caso de
Dirac, la frase se reduce a una sola ecuación, la misma que aparece en la placa
conmemorativa que se colocó en la abadía de Westminster. Pocas veces ha
existido tal grado de identificación entre un físico y una simple ecuación,
quizá con la excepción de Einstein y su famosa relación entre la energía y la
masa La diferencia fundamental es que todo el mundo conoce la fórmula de
Einstein, mientras que la ecuación de Dirac sigue siendo una absoluta
desconocida Tal y como siempre buscó Dirac, se trata de una ecuación
formalmente simple y concisa
Sin
embargo, escondía una verdadera sorpresa y la interpretación de sus soluciones
trajo consigo una auténtica revolución: la antimateria.
|
1902 |
Nace en Bristol (Inglaterra), el 8 de agosto, Paul Adrien
Maurice Dirac, hijo de Charles Adrien L. Dirac, emigrante suizo que era
profesor de francés. |
|
1918 |
Comienza estudios de ingeniería eléctrica en la Universidad de
Bristol, graduándose en 1921. |
|
1921 |
Estudia matemáticas aplicadas en la Universidad de Bristol. |
|
1923 |
Se traslada a Cambridge con una beca del Departamento de
Investigación Científica e Industrial. Comienza a estudiar la teoría cuántica
bajo la supervisión de Ralph Fowler. |
|
1925 |
Su vida da un giro inesperado al leer la obra de Heisenberg.
Comienza a publicar sus trabajos en mecánica cuántica, convirtiéndose en uno
de los «fundadores» de la nueva teoría |
|
1926 |
Presenta su tesis doctoral. Primeros viajes a Copenhague y
Gotinga. Se publican sus primeros trabajos sobre la interacción
radiación-materia |
|
1928 |
Aparece su trabajo Teoría cuántica del electrón, con
la primera ecuación cuántica relativista Su éxito es espectacular, pero su
interpretación conduce a una gran confusión: ¿qué significado tienen las
soluciones de energía negativa? |
|
1929 |
Primer viaje a Estados Unidos y Japón. |
|
1930 |
Es elegido miembro de la Royal Society. Se publica su
libro Principios de la mecánica cuántica, que se convierte
en un texto de referencia en el campo. |
|
1931 |
Postula la existencia del antielectrón y del monopolo
magnético. |
|
1932 |
Dirac ocupa la Cátedra Lucasiana de matemáticas en Cambridge. |
|
1933 |
Premio Nobel de Física compartido con Erwin Schrödinger por el
«descubrimiento de nuevas teorías atómicas». |
|
1937 |
Se casa con Margit Wigner, hermana del famoso físico teórico
Eugene P. Wigner y madre de dos niños, Judith y Gabriel. La pareja tendrá dos
hijas en común, Mary Elizabeth y Florence Monica. |
|
1939 |
Se le concede la medalla real de la Royal Society. En los años
siguientes es nombrado miembro de las principales academias científicas del
mundo. |
|
1969 |
Se retira de la Cátedra Lucasiana de Cambridge y se traslada a
Estados Unidos. |
|
1972 |
Es nombrado profesor en la Universidad de Florida, en
Tallahassee. |
|
1984 |
Fallece en Tallahassee el 20 de octubre y es enterrado en esa
misma ciudad. |
A
finales del siglo XIX se produjo en el ámbito de la física una auténtica
revolución con la aparición de la teoría de la relatividad, con su nueva
concepción del espacio y el tiempo, y el desarrollo de la teoría cuántica, con
sus extrañas y sorprendentes leyes. Los primeros años de Dirac coincidieron con
estos profundos cambios.
Los primeros años en la vida de Paul Dirac coinciden con profundos cambios en
la física El sólido andamiaje de la física clásica (la física hasta finales del
siglo XIX), dominada por la mecánica de Newton y el electromagnetismo de
Maxwell, comenzaba a res- quebrajarse, dando lugar a la denominada «física
moderna», que incorporaba una nueva visión del mundo con nuevos conceptos y
sorprendentes leyes. El cambio que conllevaron las nuevas teorías, la
relatividad y la física cuántica, fue tan profundo que afectó a todas las ramas
del conocimiento.
La biografía de Dirac corre paralela al desarrollo de ambas teorías. Paul
Adrien Maurice Dirac nadó el 8 de agosto de 1902 en Bristol (Inglaterra),
aunque su nombre ya refleja claramente su ascendencia francesa. Su padre,
Charles Adrien L Dirac, nadó en 1866 en Monthey en el cantón, de habla
francesa, de Valais, en Suiza Tras comenzar sus estudios en la Universidad de
Ginebra, Charles abandonó el domicilio familiar y hada 1890 se mudó a la ciudad
de Bristol, donde comenzó a trabajar enseñando francés. En 1896 fue contratado
por el colegio técnico Merchant Venturer’s, y tres años después se casó con
Florence Hannah Holten, natural de Bristol. En 1900 nació el primer hijo de la
pareja, Reginald Charles Félix, y dos años después, Paul. Su tercer hijo,
Beatrice Isabelle Marguerite, nació en 1906. Paul cursaría sus estudios
secundarios en el Merchant Venturer’s, centro que a partir de 1906 formó parte
de la Universidad de Bristol.
La marcha de Charles Dirac del domicilio familiar en Ginebra se prodigo como
consecuencia de la difícil relación con sus padres. Por este motivo, durante
muchos años no mantuvo ninguna relación con su familia en Suiza, a la que ni
siquiera informó de su matrimonio ni del nacimiento de sus dos primeros hijos.
Solo años después, en 1905, Charles visitó a su madre en Ginebra, llevando con
él a su esposa y a sus dos hijos.
Paul Dirac recordaba en su vejez este hecho, señalando que su primer viaje a
Suiza coincidió con la explosión de creatividad de Einstein en Berna, localidad
cercana a Ginebra. Aquel mismo año, 1905, Einstein publicó sus cinco trabajos,
entre ellos, la teoría especial de la relatividad y la explicación del efecto fotoeléctrico
haciendo uso de la incipiente teoría cuántica. Veintitrés años después, Paul
Dirac sería el primero en combinar ambas teorías.
§. Formación y carácter
Charles Dirac nunca renunció a su herencia cultural ginebrina. Mantuvo la
nacionalidad suiza, al igual que sus hijos, hasta 1919, año en el que
adquirieron la nacionalidad británica. Asimismo, que sus hijos hablaran con él
en francés se convirtió en una imposición absoluta. Su fuerte carácter y el
aislamiento que impuso a su familia, que apenas tenía relaciones sociales,
convirtieron el domicilio de los Dirac en una especie de prisión, en la que las
simples conversaciones estaban ausentes. Esto tuvo una profunda influencia en
la vida de sus hijos. Paul Dirac lo expresó en 1962 del siguiente modo:
Durante
mi niñez no tuve ningún tipo de vida social. Mi padre impuso que solo podía
dirigirme a él en francés. Pensaba que sería beneficioso para mi educación. Al
descubrir que era incapaz de expresarme en francés, decidí que era mejor
permanecer en silencio que hablar en inglés. De esta forma me convertí en una
persona muy silenciosa.
Este
comentario expresa con claridad, por ejemplo, la situación durante las comidas
en la casa familiar, en las que padre e hijo se sentaban en silencio en el
comedor, mientras que la madre, incapaz de hablar francés, permanecía en la
cocina con los otros dos hijos. Aunque existen ciertas dudas sobre las razones
reales que se esconden tras una relación tan especial, lo cierto es que la
familia rara vez se reunía durante las comidas (Dirac lo expresó en varias
ocasiones).
«Las
cosas se desarrollaron desde el principio de tal forma que me convertí en una
persona muy introvertida.
Paul
Dirac»
El
profundo carácter introvertido de Paul Dirac y su extrema dificultad para
relacionarse con los demás fue una constante en su vida. Algunos de sus
compañeros en la escuela primaria señalaron su timidez y el escaso contacto que
mantenía con ellos. Prácticamente no hablaba con nadie ni participaba en ningún
juego ni deporte. La ausencia de relaciones sociales le hizo centrarse en su
propio mundo, en el que el estudio de la naturaleza y, en particular, las
matemáticas se convirtieron en el centro de su vida. Es indudable que la
relación con su padre y la infancia vivida convirtieron a Dirac en la persona
que fue. Su retraimiento y timidez hicieron de él una persona muy difícil en el
trato personal, mostrando en ocasiones un aparente desinterés y cierta falta de
tacto en sus relaciones con los demás.
En 1914, coincidiendo con el inicio de la Primera Guerra Mundial, Paul Dirac
comenzó sus estudios secundarios en el colegio Merchant Venturer’s, donde su
padre era profesor de francés. Algunos testimonios de estudiantes de aquella
época señalan el carácter meticuloso y estricto del padre de Dirac, quien hacía
uso frecuente del castigo para mantener la disciplina en las clases. La
educación impartida en el colegio se centraba fundamentalmente en el estudio de
ciencias, lenguas modernas y materias prácticas. En cambio, apenas existían
asignaturas relacionadas con las humanidades.
Desde los primeros meses en el colegio, Paul mostró poseer unas cualidades
innatas para las asignaturas de ciencias, en especial, las matemáticas. También
mostró un especial interés en el dibujo técnico y la representación geométrica
de figuras tridimensionales.
Física
clásica y física moderna
A
finales del siglo XIX la física se consideraba una ciencia perfectamente
estructurada, capaz de describir los fenómenos más dispares. La mecánica
desarrollada por Newton explicaba el movimiento de los cuerpos; la teoría del
electromagnetismo de Maxwell podía describir perfectamente los fenómenos
eléctricos y magnéticos; el desarrollo de la mecánica estadística, junto con su
aplicación a conceptos termodinámicos, y la teoría del átomo habían permitido
un avance enorme en la química (la ciencia del siglo XIX). En este contexto se
entiende la opinión de lord Kelvin: «No existe nada nuevo que descubrir en
física; solo cabe realizar medidas más y más precisas».
Los
nuevos retos
No obstante, los científicos también eran conscientes de dos pequeñas
cuestiones aún sin respuesta. La primera estaba relacionada con cierta
inconsistencia entre la mecánica y el electromagnetismo; la segunda era la
incapacidad de las teorías existentes para explicar la denominada «radiación
del cuerpo negro». La respuesta a la primera cuestión dio origen al nacimiento
de la teoría de la relatividad de Einstein con una nueva concepción del
espacio-tiempo y la equivalencia masa-energía. La segunda cuestión produjo el
nacimiento y desarrollo de la teoría cuántica con sus extrañas leyes en el
corazón de la materia y la pérdida de la intuición. El cambio fue de tal
profundidad que todas las ramas del conocimiento se vieron afectadas. La física
conocida hasta finales del siglo XIX se denomina «física clásica»; con el siglo
XX comenzó la era de la «física moderna».
Muchos
años después, Dirac manifestó que la capacidad de visualizar geométricamente
los problemas fue lo que le permitió desarrollar algunas de sus más importantes
teorías en la física El joven pronto se convirtió en uno de los estudiantes más
brillantes del colegio, completando estudios de matemáticas y química mucho más
avanzados que los que le correspondían por su edad. Tanto su padre como sus
propios profesores percibieron desde el primer momento que Paul poseía una
mente especialmente brillante para las ciencias, así como una enorme capacidad
de trabajo y concentración. Este hecho influyó en el riguroso régimen de
trabajo que Charles Dirac impuso a su hijo durante estos años, lo cual trajo
consigo aún un mayor aislamiento.
La casi exclusiva dedicación de Paul Dirac a la ciencia hizo que mostrase una
considerable falta de interés por otras ramas del conocimiento, como la
literatura o la música Por otra parte, sus éxitos académicos, junto a su
incapacidad para comunicarse y su aparente falta de interés por los problemas o
los sentimientos de los demás, fueron minando paulatinamente la autoestima de
su hermano. De hecho, la relación entre ambos terminó siendo básicamente
inexistente.
En 1918 Paul finalizó sus estudios secundarios con las máximas calificaciones,
pero sin ninguna idea determinada de qué hacer en el futuro. A pesar de su
especial capacidad para las matemáticas, siguió el ejemplo de su hermano mayor,
quien, a pesar de su interés en estudiar medicina, se había visto obligado por
imposición paterna a iniciar estudios de ingeniería en la Universidad de
Bristol.
§. Mecánica versus electromagnetismo
Para comprender la obra científica de Dirac y sus aportaciones es necesario
conocer en qué situación se encontraba la física cuando él era estudiante, ya
que fue entonces cuando se produjo el desarrollo de las nuevas teorías que
modificaron completamente la visión del mundo natural imperante hasta entonces.
Galileo y Newton establecieron las leyes que permitían describir el movimiento
de los cuerpos. Un concepto esencial era el denominado «sistema de referencia»,
respecto al cual se establece la situación en el espacio y tiempo de uno o
varios sucesos. Hasta el siglo XVI se consideraba a la Tierra como un sistema
de referencia especial, que se hallaba en reposo absoluto. Galileo (1564- 1642)
propuso por primera vez que no existía ningún sistema de referencia especial.
Por otra parte, uno de los principios fundamentales de la física era el
denominado «principio de relatividad» de Galileo o Newton, que establece que
todas las leyes de la física (mecánica) son las mismas en todos los sistemas
inerciales, aquellos sistemas de referencia que se mueven a una velocidad
constante entre sí. Las transformaciones que permiten describir las posiciones
de los cuerpos en sistemas inerciales diversos se denominan «transformaciones
de Galileo», y en ellas, el tiempo es absoluto, es decir, es el mismo para
todos los observadores.
A mediados del siglo XIX, el físico británico James Clerk Maxwell (1831-1879)
elaboró su teoría del electromagnetismo formulada a través de cuatro ecuaciones
fundamentales, denominadas «ecuaciones de Maxwell», en las cuales aparece de
forma explícita la velocidad de la luz. La pregunta que surgió inmediatamente
fue: ¿la velocidad de la luz, respecto a qué sistema de referencia? De acuerdo
con el principio de relatividad de Galileo-Newton, la velocidad depende del
sistema de referencia elegido para su determinación. La gran dificultad que se
plantea en el electromagnetismo es que la modificación de la velocidad de la
luz produce a su vez un cambio en las propias ecuaciones de Maxwell. En otras
palabras, las leyes del electromagnetismo sí se modifican frente a las
transformaciones de Galileo. Este resultado conduce a una clara inconsistencia
entre las leyes del electromagnetismo y las de la mecánica.
En el siglo XIX todos los físicos estaban convencidos de que la luz, al igual
que cualquier otro fenómeno ondulatorio, necesitaba un medio material en el que
propagarse. A este medio se le denominó «éter», y se supuso que llenaba todo el
espacio. El propio éter constituiría de esta forma un sistema especial
(absoluto) de referencia, lo cual estaría en contradicción con el principio de
relatividad de Galileo. Resultaba esencial medir la velocidad de la luz respecto
al éter, y este fue el objetivo del experimento de Albert A. Michelson
(1852-1931) y Edgard Morley (1838-1923) realizado en 1887. El resultado que se
obtuvo fue que la velocidad de la luz era exactamente la misma en cualquier
dirección espacial en que se midiese. Esto llevó a explicaciones muy diversas,
todas ellas relacionadas con la posible modificación de las ecuaciones del
electromagnetismo. En un principio, la mayoría de los científicos estaban
convencidos de la validez de las ecuaciones de Newton y de las transformaciones
de Galileo. Finalmente, surgió la teoría especial de la relatividad en la que
el enfoque, y también la solución, del problema eran muy distintos.
§. La teoría de la relatividad
Albert Einstein (1879-1955) consideró que la inconsistencia entre la mecánica y
el electromagnetismo residía en las leyes de Newton. Einstein abandonó la idea
del éter y la posible existencia de un sistema de referencia absoluto. La
teoría de la relatividad se construye así a partir de dos postulados fundamentales:
1. Principio
de relatividad. Todas las leyes de la física son las mismas en todos los
sistemas de referencia inerciales.
2. Principio
de la constancia de la velocidad de la luz. La velocidad de la luz en el vacío
es siempre la misma, independientemente del sistema de referencia inercial
considerado.
El
primer postulado es una generalización del principio de relatividad de
Galileo-Newton y pone de manifiesto la imposibilidad de distinguir entre
sistemas inerciales. El segundo postulado resulta más extraño y está en clara
contradicción con las transformaciones de Galileo, en las que la velocidad de
un objeto depende del sistema de referencia en el que se mida ¿Cómo es posible
que observadores que estén moviéndose unos respecto a otros observen el mismo
destello luminoso que se desplaza para todos ellos a la misma velocidad? La
respuesta a esta pregunta condujo a una nueva percepción de aspectos tan
fundamentales como son los conceptos de espacio y tiempo.
Considérese el concepto de simultaneidad bajo el prisma de la nueva teoría
relativista. En la mecánica de Newton el transcurso del tiempo es absoluto y,
por tanto, es idéntico para todos los observadores. Por el contrario, en el
esquema de Einstein, sucesos simultáneos en un sistema de referencia no lo son,
en general, en otro; en otras palabras, la simultaneidad de sucesos depende del
sistema de referencia. Este resultado sugiere asimismo que el tiempo puede
transcurrir (puede ser medido) de modo diverso en sistemas diferentes.
La conclusión que se obtiene de los postulados de Einstein es que el tiempo
medido se dilata para sistemas inerciales en movimiento; es decir, el tiempo
transcurre más rápidamente cuando lo medimos en el mismo sistema de referencia
en que nos encontramos (que se denomina «sistema propio»). Finalmente, la
longitud de un objeto también depende del sistema en el cual se realiza la
medida, puesto que medir longitudes implica determinar simultáneamente los
extremos del objeto. Einstein hizo un extenso uso de los denominados
«experimentos mentales» para poner de manifiesto los aspectos aquí señalados.
Aunque los efectos relativistas —contracción de la longitud y dilatación del
tiempo— resultan imperceptibles en el mundo cotidiano, en el cual la mecánica
de Newton es suficientemente precisa, resultan esenciales para explicar el
comportamiento del mundo subatómico.
Un nuevo aspecto que surgió de la teoría de la relatividad y que tuvo un
impacto enorme en la teoría cuántica fue el denominado «principio de
equivalencia masa-energía». En la teoría relativista, la masa de un cuerpo
depende del sistema de referencia, y aumenta con la velocidad del mismo,
tendiendo a un valor infinito cuando la velocidad del cuerpo se aproxima a la
velocidad de la luz. La relación entre la masa y la energía total de un cuerpo
viene dada por la famosa ecuación de Einstein:
E =
mc2
Esta
ecuación describe la equivalencia entre masa y energía, y, por tanto, significa
que la radiación o interacción, es decir, la energía, puede transformarse en
masa (en partículas) y, a la inversa, las partículas (masa) pueden destruirse
produciendo energía.
Dirac en una instantánea tomada en el interior del aula.
Este
hecho tuvo implicaciones fundamentales en cómo describir la interacción
radiación-materia en el contexto de la teoría cuántica Dirac fue el primer
científico en incorporar de modo consistente la teoría relativista en el marco
cuántico.
Paul Dirac, el quinto por la derecha, junto a otros científicos en el curso
del séptimo congreso Solvay que se celebró en 1933 y estuvo dedicado a la
estructura del núcleo atómico
La
incorporación de sistemas de referencia no inerciales llevó a Einstein a la
teoría general de la relatividad, publicada en 1916.
Efectos
relativistas en el mundo subatómico
El
tiempo en el que transcurre un evento o la longitud de un objeto dependen del
sistema de referencia inercial en el cual se midan. Estos hechos son una
consecuencia de los postulados de la teoría de la relatividad, y resulta fácil
obtener las relaciones siguientes:
donde
Δt0 y L0 representan el tiempo y
longitud medidos en el sistema de referencia en el que el evento u objeto se
encuentran en reposo. Por el contrario, Δt y L se refieren a
las medidas realizadas en un sistema de referencia en movimiento. El término γ
se denomina «factor de Lorentz», y su expresión es:
En
el mundo cotidiano, las velocidades de los objetos (v) son muy pequeñas en
comparación con la velocidad de la luz (c).
En
dicha situación, el factor de Lorentz es prácticamente 1 y, por tanto, no
existe ninguna diferencia en las longitudes o transcursos temporales medidos
por diversos observadores. Por el contrario, la situación es muy distinta en el
mundo subatómico, en el cual, las velocidades pueden ser comparables a la de la
luz. En dicho caso, el factor γ es considerablemente mayor que 1, dando lugar a
la dilatación del tiempo (Δt >Δt0) y a la contracción de la
longitud (L < L0). Una situación que ilustra este tipo de efectos
se muestra en el caso de los muones. Se trata de partículas elementales que se
producen cuando los rayos cósmicos (procedentes del espacio exterior) inciden
sobre la atmósfera terrestre. Como se muestra en la figura, los muones se crean
a una altitud aproximada de unos 15 km, medida desde la superficie terrestre.
El tiempo promedio que tardan dichas partículas en desintegrarse, medido en su
propio sistema, es aproximadamente 2×10-6 segundos. En la
mecánica de Newton, el muón, desplazándose a una velocidad próxima a la de la
luz, podría recorrer una distancia media de unos 600-700 m antes de
desintegrarse; por consiguiente, no alcanzaría la superficie terrestre en
ningún caso. Sin embargo, los muones llegan en gran número a la superficie de
la Tierra. ¿Cómo es esto posible? La explicación la proporciona la teoría de la
relatividad. En el sistema inercial de la Tierra, la vida media de los muones
es aproximadamente 20 veces superior al valor en su sistema propio. Esto
significa que los muones pueden recorrer una distancia de unos 15 km (medida en
el sistema terrestre), que coincide con el espesor de la atmósfera que deben
atravesar para poder ser detectados en la superficie terrestre. La explicación
es similar considerando la contracción de la longitud. En el sistema en reposo
del muón, el grosor de la atmósfera se reduce considerablemente resultando unos
600-700 m. longitud que coincide con la distancia media recorrida por el muón
durante su vida media medida en su sistema propio.
§.
La teoría cuántica: primeros pasos
La segunda revolución en la física, con implicaciones aún más profundas que las
suscitadas por la teoría relativista, tuvo lugar con el nacimiento del mundo
cuántico. La teoría cuántica surgió para explicar el comportamiento del mundo
subatómico. La aplicación de las leyes de la mecánica y el electromagnetismo a
tales sistemas constituyó un desastre: toda clase de predicciones estaban en
completo desacuerdo con las evidencias experimentales.
Tres
descubrimientos sorprendentes
A
finales del siglo XIX se produjeron tres descubrimientos inesperados y
sorprendentes, que generaron un gran revuelo social y cuya descripción y
comprensión solo fue posible muchos años después, una vez que la teoría
cuántica se hubo desarrollado. Estos descubrimientos marcaron el inicio de una
nueva etapa en la física, que recibirá el nombre de «física moderna». El
primero tuvo lugar en 1895, cuando el alemán Wilhelm Röntgen (1845-1923)
descubrió los rayos X, los cuales tenían la capacidad de atravesar los objetos
y permitir obtener una imagen de los huesos. El descubrimiento creó una
excitación enorme y su uso empezó a popularizarse mucho antes de saber en qué
consistían realmente dichos rayos. Al año siguiente, 1896, el físico francés
Henri Becquerel (1852-1908) descubrió de forma accidental otro tipo, distinto y
desconocido de radiación, la radiactividad, cuya descripción requería conocer
la estructura más interna de la materia.
Primera radiografía realizada por Röntgen, que corresponde a la mano de su
esposa
Por
último, en 1898 el británico Joseph John Thomson (1856-1940) descubrió los
electrones como constituyentes esenciales de la materia y portadores de carga
eléctrica. Estos tres descubrimientos, que se adelantaron en varios años al
trabajo de Max Planck (1858-1947) sobre la radiación del cuerpo negro, formaron
parte del germen de la nueva y revolucionaria teoría cuántica que comenzó a
construirse en los años siguientes.
Se
acepta generalmente como fecha de nacimiento de la teoría cuántica el año 1900,
cuando Max Planck publicó su trabajo sobre la radiación del cuerpo negro. La
teoría clásica de la radiación era incapaz de describir el comportamiento de
las medidas experimentales en el caso de frecuencias altas. Planck consiguió
explicar satisfactoriamente los resultados experimentales con la siguiente
hipótesis:
La
radiación se emite o absorbe en múltiplos enteros de una cierta cantidad
límite, el «cuanto».
Esta
explicación, que el mismo Planck consideró difícil de aceptar, suponía un
cambio radical respecto a todas las teorías preexistentes. Era la primera vez
en la ciencia que se admitía que la radiación, es decir, la energía, solo podía
emitirse o absorberse en forma discreta. Algunos años después, en 1905,
Einstein extendió la hipótesis de Planck a todo tipo de energía y de procesos,
y consiguió explicar el efecto fotoeléctrico. Este fenómeno consiste en que al
incidir radiación sobre ciertos materiales se observa la emisión de electrones.
Sin embargo, dicha emisión —o su ausencia— no depende de la intensidad de la
radiación incidente, como ilustraba la teoría clásica, sino de la frecuencia de
la misma. La hipótesis de Einstein fue considerar que la luz estaba constituida
por partículas de energía dada, denominadas «fotones» (los cuantos de Planck).
Einstein recibió por este trabajo el premio Nobel en 1921.
A pesar de la sencilla explicación de Einstein, su hipótesis significaba de
alguna forma un regreso a la teoría corpuscular de la luz. Esto parecía estar
en contradicción con la teoría ondulatoria, la cual se hallaba perfectamente
asentada ¿Cómo describir la interferencia de la luz con una teoría corpuscular?
La situación existente en aquellos años era muy confusa, y en este contexto
puede entenderse la afirmación del físico americano Robert A. Millikan (1868-
1953) sobre la explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico:
Dediqué
diez años de mi vida a comprobar la teoría de Einstein. Contrariamente a todas
mis expectativas, en 1915 tuve que admitir de modo inequívoco su validez, a
pesar de que parecía ir en contra de todas aquellas propiedades que se conocían
sobre la interferencia de la luz.
El
descubrimiento del electrón por Thomson en 1898 llevó inmediatamente a la
pregunta siguiente: ¿cómo están constituidos los átomos? El hecho de que fuesen
neutros implicaba que debía existir dentro de cada átomo un número igual de
partículas positivas al número de electrones. La respuesta a la estructura
atómica vino de Ernest Rutherford (1871-1937) y sus famosos experimentos de
dispersión realizados en 1911-1912. Dichos experimentos hacían uso del fenómeno
de la radiactividad descubierto algunos años antes por Becquerel.
El análisis de las medidas experimentales llevaba a una conclusión evidente:
prácticamente la totalidad de la masa de los átomos se encontraba concentrada
en un espacio central cuyas dimensiones eran unos cinco órdenes de magnitud
menores que el tamaño atómico. Surgió de esta forma el concepto de núcleo
atómico en el que se hallan contenidas todas las cargas positivas (los
protones). Por su parte, los electrones se encuentran girando en órbitas
determinadas alrededor del núcleo. Este modelo «planetario» presentaba, no
obstante, un problema importante: no podía explicar la estabilidad de los
átomos. Toda partícula cargada en movimiento circular emite energía Por
consiguiente, los electrones en sus órbitas deberían ir acercándose progresivamente
al núcleo hasta colapsar, un hecho absolutamente en desacuerdo con la
naturaleza.
Una primera solución a estos problemas la proporcionó en 1913 el físico danés
Niels Bohr (1885-1962) al desarrollar el primer modelo cuántico del átomo. Este
modelo se basa en los dos postulados siguientes:
1. El
electrón se encuentra en órbitas en las que no emite radiación y, además, su
momento angular está cuan tizado, es decir, solo puede tener valores discretos.
A estas órbitas se las denomina «estados estacionarios».
2. La
energía, al pasar un electrón de un estado estacionario a otro, viene dada por
ΔE=hv, donde h es la denominada constante de
Planck —establecida en 1900—, y v, la frecuencia de la
radiación.
Con
el primer postulado se explica la estabilidad atómica; con el segundo se
entiende qué sucede en el efecto fotoeléctrico. El modelo de Bohr aplicado al
átomo más simple, el de hidrógeno, consiguió explicar y reproducir
perfectamente su espectro energético. Además, el modelo constituyó la primera
aplicación de la incipiente teoría cuántica a la estructura de la materia Su
éxito fue indiscutible aunque también presentaba carencias importantes. Con
Bohr se completó una primera etapa en la teoría cuántica, en la que se habían
presentado postulados esenciales consiguiendo explicar algunos hechos del mundo
atómico. Sin embargo, muchas otras evidencias experimentales de aquellos años
no tenían explicación ni con el modelo de Bohr ni con las posteriores modificaciones
realizadas por el físico alemán Arnold Sommerfeld (1868-1951). La física se
encontraba en una encrucijada, en la que solo los más jóvenes y brillantes
físicos fueron lo suficientemente atrevidos para crear una nueva visión del
mundo natural, una visión completamente distinta y alejada del sentido
común.
§. La universidad de Bristol
Paul Dirac comenzó sus estudios en la Universidad de Bristol como alumno de
ingeniería. Aunque su especial capacidad para las matemáticas parecía indicar
que este sería su camino, su falta de iniciativa y, sobre todo, la imposición
paterna hicieron que siguiese los pasos de su hermano mayor. La formación que
adquirió durante los tres años que permaneció en la universidad como estudiante
de Ingeniería Eléctrica estuvo centrada en materias de ciencias, pero con un
marcado carácter aplicado: análisis de materiales, circuitos y dispositivos
eléctricos, ondas electromagnéticas, etc. Aunque todas estas materias le
permitieron adquirir un conocimiento más profundo de las matemáticas y las
ciencias naturales, los planes de estudio de ingeniería no incluían referencia
alguna a ninguno de los avances más recientes en la ciencia, y en especial, en
la física, tales como la teoría de la relatividad o la incipiente teoría
cuántica.
En 1919, durante el segundo año de Dirac en la universidad, se prodigo un hecho
que tendría una influencia importante en su vida El 7 de noviembre algunos
periódicos se hicieron eco de las medidas llevadas a cabo por una expedición
científica británica a la isla africana de Príncipe que estuvo dirigida por los
astrónomos Frank W. Dyson y Arthur S. Eddington. Durante un eclipse solar,
ambos científicos midieron cuidadosamente el desplazamiento de la posición
relativa de una estrella, comprobando que sus mediciones no concordaban con la
predicción de la mecánica de Newton, pero se ajustaban perfectamente a la de la
teoría general de la relatividad desarrollada por Einstein. Esta teoría
predecía que la luz procedente de la estrella era curvada debido al campo gravitatorio
solar, de modo que la posición aparente de la estrella debía aparecer
desplazada.
La noticia se extendió rápidamente por toda la sociedad convirtiendo a la
teoría de la relatividad y su autor, Albert Einstein, en verdaderas
celebridades. Todo el mundo empezó a hablar sobre esta nueva revolución
científica, pero, ¿en qué consistía realmente? Pocas personas, ni siquiera el
propio Dirac, podían contestar a dicha pregunta. No obstante, Dirac se sintió
fascinado desde el primer momento, y su objetivo fundamental a partir de
entonces fue estudiar y llegar a comprender la nueva teoría No fue fácil. En
aquellos años muy poca gente conocía realmente la teoría de la relatividad y
muy pocos textos contenían material suficiente como para poder profundizar en ella.
Hubieron de transcurrir varios meses antes de que Dirac pudiese encontrarse de
nuevo con la teoría de Einstein.
Durante el curso 1920-1921, el filósofo Charlie Dunbar Broad, que entonces era
profesor de la Universidad de Bristol, impartió un curso sobre relatividad,
tanto especial como general, al que asistió Dirac. Aunque el contenido esencial
del curso se centró en los aspectos filosóficos de la teoría, y no tanto en su
formulación matemática, como hubiese preferido Dirac, la relatividad y la
relación entre las coordenadas espaciales y el tiempo se convirtieron para él
en una obsesión. Durante los meses siguientes, Dirac estudió en profundidad el
texto que Eddington publicó ese mismo año: Espacio, tiempo y
gravitación. En los años siguientes seguiría profundizando en la
teoría hasta dominarla por completo. La relatividad siempre estuvo presente en
la mente de Dirac, y no puede entenderse ni su trayectoria científica ni su
propia obra sin aceptar esta idea.
Dirac se graduó en Ingeniería Eléctrica en 1921 con las máximas calificaciones
en materias teóricas. En cambio, sus resultados en asignaturas tecnológicas y
de carácter más aplicado fueron bastante más bajas.
Su peor informe correspondió a las prácticas de trabajo que realizó en una
fábrica de la ciudad de Rugby en el verano de 1920. En esa misma localidad
vivía su hermano mayor, quien trabajaba como aprendiz en una fábrica. Los
testimonios que algunos compañeros de trabajo de esa época realizaron años
después pusieron de manifiesto el enorme grado de deterioro en la relación
entre ambos hermanos.
La
gran aportación de Hamilton
Sir
William Rowan Hamilton (1805-1865) fue un matemático, físico y astrónomo
irlandés que reformuló las ecuaciones de la mecánica de Newton haciendo uso del
cálculo de variaciones y el principio de mínima acción: en todo fenómeno
natural la cantidad denominada «acción» tiende a ser minimizada; en otras
palabras, si un objeto se desplaza de un punto a otro, la trayectoria seguida
por el mismo es aquella en la que la acción toma un valor estacionario.
Los cuaterniones
Hamilton también introdujo el concepto de «cuaternión»: una tétrada de números
que se representa en la forma q = a + bi +cj + dk. El 16 de
octubre de 1846, mientras paseaba por el Canal Real, en Dublín, encontró la
relación fundamental que permitía definir la regla de multiplicación de
cuaterniones: i2 = j2 = k2 =ijk
= -1. El producto de cuaterniones no satisface la propiedad
conmutativa; es decir, el resultado del producto depende del orden de los
factores. Hamilton estaba convencido de la importancia de los cuaterniones como
herramienta básica tanto en la física como en las matemáticas. Durante el resto
de su vida su trabajo se centró casi de forma exclusiva en la aplicación de los
cuaterniones a la dinámica, la óptica, la astronomía. A pesar de ello, su uso
cayó en el olvido con el desarrollo del análisis vectorial. La formulación de
Heisenberg de la mecánica cuántica con el álgebra no conmutativa de los
operadores parecía estar relacionada directamente con los cuaterniones; sin
embargo, la práctica totalidad de estudios hicieron uso del lenguaje de
matrices (en realidad, ambas representaciones son equivalentes). Dirac
desarrolló su teoría del electrón relativista sin mención alguna al concepto de
cuaternión, aunque conocía perfectamente su existencia desde sus años de
estudiante en la Universidad de Bristol. En cierta ocasión, un estudiante le
preguntó: «Profesor Dirac, ¿alguna vez pensó en el uso de los cuaterniones
cuando estaba desarrollando la ecuación relativista del electrón?». Tras unos
interminables instantes de espera, en los que Dirac parecía estar concentrado
en sus recuerdos, su respuesta fue: «No». Aquí terminó la conversación; Dirac
en estado puro.
Debido
a la profunda crisis económica por la que atravesó Gran Bretaña tras la Primera
Guerra Mundial Dirac no pudo conseguir trabajo como ingeniero. Por ello, en
septiembre de 1921 comenzó los estudios de matemáticas en la Universidad de
Bristol. Durante los dos años siguientes, hasta el verano de 1923, toda su vida
se redujo al estudio y el conocimiento de las ciencias, en particular, las
matemáticas y la física. Sus cualidades innatas y su obsesión por el trabajo le
permitieron completar los estudios en solo dos años. Durante este tiempo
profundizó en la rama de geometría descriptiva y realizó estudios avanzados
sobre la mecánica de Newton y el electromagnetismo de Maxwell. Aprendió también
la nueva formulación de la mecánica clásica introducida por William R.
Hamilton. En los años siguientes, la denominada «formulación hamiltoniana»
sería esencial en su construcción de las leyes fundamentales de la teoría
cuántica. Por último, Dirac completó también varios cursos sobre teoría de la
relatividad y teoría atómica.
En el verano de 1923 finalizó sus estudios en la Universidad de Bristol y
consiguió una beca de investigación en la Universidad de Cambridge. Se inició
así una nueva etapa en su vida, tanto en el plano personal, viviendo por
primera vez fuera del domicilio familiar y lejos de la influencia de su padre,
como en el profesional, comenzando a desarrollar su carrera como
científico.
§. La universidad de Cambridge
Nada más conocer su admisión en la Universidad de Cambridge, Dirac solicitó
trabajar bajo la supervisión del profesor Ebenezer Cunningham (1881-1977), un
experto en teoría electromagnética y relatividad. Dirac persistía en su idea
original de seguir profundizando en la teoría de Einstein. Sin embargo,
Cunningham no aceptó ningún estudiante aquel año, de modo que a Dirac se le
asignó un nuevo director, el profesor Ralph Fowler (1889-1944). Este cambio
tuvo una influencia enorme en la vida de Dirac y en el propio desarrollo de la
física durante los años siguientes. Cunningham era un profesor de la vieja
escuela, mientras que Fowler, hijo político de Rutherford, era el principal
exponente de la física teórica en Cambridge y el único que mantenía contacto
frecuente con los principales centros de investigación de Alemania y Dinamarca,
especialmente el círculo de Niels Bohr, donde había surgido y seguía
desarrollándose la teoría cuántica.
Al contrario de Bristol, Cambridge era un lugar con una gran tradición
científica, donde trabajaban investigadores y profesores de gran renombre:
Larmor, Thomson, Rutherford, Eddington, Fowler... Dirac, además, coincidió con
jóvenes estudiantes que alcanzarían un gran reconocimiento en los años
siguientes: Chadwick, Blackett, Hartree, Kapitsa, Lennard-Jones, Thomas,
Slater, Lemaître... De este modo, la Universidad de Cambridge era en aquellos
momentos un centro muy estimulante. Existían numerosos clubs que desarrollaban
una importante actividad científica: organizaban reuniones para discutir nuevos
descubrimientos, invitaban a reconocidos investigadores para dar charlas, realizaban
visitas a laboratorios donde teman lugar experimentos importantes. Entre todos
estos clubs, Dirac participó con cierta asiduidad en dos. El primero, conocido
como ∇ 2V,
estaba centrado en física matemática; el segundo fue fundado por el joven
físico ruso Piotr Kapitsa (1894-1984), estudiante de Rutherford. Con los años,
Kapitsa se convertiría en una de las personas más cercanas a Dirac, quizá, uno
de los pocos amigos que tuvo.
El profesor Fowler no era muy apreciado en Cambridge como supervisor, ya que
siempre se encontraba viajando y sus estudiantes se quejaban de lo difícil que
resultaba poder trabajar con él. Esto no fue en absoluto un problema para
Dirac, quien estaba acostumbrado a trabajar siempre en solitario. De hecho,
Dirac apreció desde el primer momento poder trabajar a su aire en los problemas
que se le planteaban. Muy de vez en cuando discutía con Fowler sus progresos;
en otras ocasiones, simplemente le informaba de que había finalizado el trabajo
en cuestión.
En cualquier caso, bajo la supervisión de Fowler, Dirac comenzó a adentrarse en
la nueva teoría cuántica sobre la cual solo tenía conocimientos muy
superficiales. Estudió los modelos atómicos desarrollados algunos años antes
por Bohr y Sommerfeld. Al mismo tiempo, siguió profundizando en sus
conocimientos de matemáticas a través de Dinámica analítica, texto
de Edmund T. Whittaker (1873-1956) que se convirtió en una referencia básica
para él. Durante estos primeros años en Cambridge, también asistió a los cursos
impartidos por Eddington sobre relatividad general y cálculo tensorial, así
como a los de Cunningham sobre electromagnetismo y relatividad especial. Aunque
el tema básico de sus estudios era la teoría cuántica, seguía fascinado con la
relatividad.
El estimulante ambiente de Cambridge y su participación en algunas actividades
hicieron de Dirac una persona algo menos tímida e introvertida, aunque siguió
teniendo un carácter muy reservado y manteniendo escaso contacto con otros
estudiantes. Uno de sus compañeros en Cambridge, Thomas, dijo sobre él:
Era
un hombre de pocas palabras. Si le preguntabas algo, podría decir... «Oh, es
muy difícil». Una semana después aparecía con la respuesta completamente
elaborada.
La
vida de Dirac se reducía al trabajo y el estudio, pasando la mayor parte del
tiempo, de lunes a sábado, en la biblioteca Los domingos los dedicaba a dar
largos paseos por el campo, siempre solo, para, según sus propias palabras,
renovarse y volver a estar preparado el lunes por la mañana para una nueva
semana de estudio. En realidad, algunas de sus ideas más brillantes surgieron
durante estas caminatas dominicales.
El esfuerzo de Dirac comenzó a dar frutos muy pronto. A los seis meses de su
llegada a Cambridge publicó su primer trabajo en la revista Proceedings
of the Cambridge Phylosophical Society.
En los dos años siguientes publicó seis artículos más sobre temas diversos.
«Elegía
un problema general que contuviese la física expresada en forma no relativista,
e intentaba transcribirlo siguiendo los principios de la relatividad. Era como
un juego. En ocasiones, el resultado parecía suficientemente interesante para
publicarlo.»
Paul
Dirac.
Aunque
el impacto internacional de estos trabajos fue bastante escaso, el nombre de
Dirac comenzó a ser conocido en el ámbito de la reducida comunidad de físicos
teóricos británicos. También desarrolló durante estos años un estilo y una
forma de trabajo que mantuvo durante el resto de su vida Sus publicaciones, la
mayor parte de ellas elaboradas en solitario y firmadas únicamente por él, se
caracterizan por un estilo muy conciso y directo, donde los aspectos esenciales
son la claridad conceptual, la precisión técnica y la presentación lógica Dirac
comentó en alguna ocasión que solo empezaba a escribir una vez que tuviese en
su mente un esquema general y completo de todo el trabajo.
Esta forma de trabajar, muy distinta a la de otros grandes científicos de la
época, explica que apenas hiciese correcciones a sus escritos. El físico ruso
Igor Tam (1895-1971), uno de los colegas más cercanos a Dirac, comentó en
cierta ocasión la siguiente conversación que tuvo lugar cuando Bohr leyó las
pruebas de uno de los escritos de Dirac.
El físico danés le preguntó a Dirac: «¿Por qué solo has corregido unos pocos
errores y no has añadido nada nuevo al texto? Ha pasado ya mucho tiempo desde
que lo escribiste. ¿Es que no has tenido nuevas ideas desde entonces?», a lo
que Dirac respondió: «Mi madre solía decir primero piensa, después escribe».
En estos dos primeros años en Cambridge, Dirac se convirtió en un prometedor
científico, demostrando su capacidad para resolver problemas físicos de forma
brillante. Por otra parte, la teoría cuántica se encontraba en una difícil
situación. El modelo de Bohr y Sommerfeld solo proporcionaba resultados
consistentes para el átomo de hidrógeno, siendo incapaz de explicar los
numerosos datos experimentales y las medidas espectroscópicas que se estaban
obteniendo en aquellos momentos. Al mismo tiempo, seguía persistiendo la
aparente incompatibilidad entre el comportamiento corpuscular de la luz,
necesario para explicar el efecto fotoeléctrico, y el ondulatorio, que permitía
describir los fenómenos de interferencia ¿Cómo aunar ambos comportamientos? La
revolucionaria explicación la proporcionó en 1924 el físico francés Louis de
Broglie (1892-1987):
Al
igual que los fotones presentan propiedades ondulatorias y corpusculares, quizá
toda forma de materia presenta ambas características.
Esta
propiedad se conoce como «dualidad onda-corpúsculo» y establece que ambos
comportamientos no son incompatibles, sino complementarios. La hipótesis de
Louis de Broglie implica que partículas tales como los electrones deben
presentar ambos tipos de efectos, corpusculares y ondulatorios. El espectro de
interferencia, considerado como efecto claramente ondulatorio, también debe
presentarse con electrones. Hubieron de transcurrir algunos años para que los
hechos experimentales así lo mostrasen. La teoría cuántica, y la física en
general, estaban a punto de experimentar la mayor revolución nunca vista, con
implicaciones filosóficas entonces difíciles de aceptar.
El año 1925 fue muy especial para Dirac. Fue el año en el que surgió la nueva
teoría cuántica y Dirac comenzó a aplicar todo su genio creativo y enorme poder
de concentración a problemas fundamentales. Al mismo tiempo, fue el año en el
que se produjo la mayor tragedia en la vida familiar de Dirac, el suicidio de
su hermano.
Capítulo 2
La mecánica cuántica
La
mecánica cuántica, con sus extraños conceptos, tan alejados de la física
clásica, empezó a construirse a partir de 1925 como una teoría perfectamente
coherente y capaz de explicar los más variados fenómenos del mundo atómico.
Dirac, junto a otros, fue uno de los artífices de esta construcción. Siempre
con una mirada distinta y original, intentó dar una sólida base matemática a la
teoría.
En mayo de 1925 Niels Bohr visitó Cambridge e impartió varios seminarios sobre
los problemas de la teoría cuántica El científico danés era entonces, sin duda
alguna, la figura más importante en el ámbito de la física cuántica; una fuente
inagotable de ideas e inspiración para todos los jóvenes investigadores que
deseaban formarse en ese campo. Bohr habló sobre los problemas que aquejaban a
la teoría cuántica, y su impotencia para resolverlos. Comentó la profunda
insatisfacción que le producía el hecho de que en determinadas ocasiones
hubiese de considerarse la luz como constituida por partículas, y en otras, por
el contrario, como un fenómeno puramente ondulatorio. Bohr estaba convencido de
que se necesitaba un nuevo enfoque, radicalmente distinto, y que este solo
podía venir de mentes jóvenes y brillantes.
Entre los asistentes a los seminarios de Bohr estuvo Dirac, quien se sintió
impresionado por la personalidad del físico danés y por la fuerza y seguridad
que transmitía en sus razonamientos; era un torbellino de ideas que resultaban
difíciles de digerir. Sin embargo, Dirac también se mostró bastante crítico con
la forma de hacer física de Bohr. Nunca acabó de agradarle su principio de
correspondencia al no formularse matemáticamente de modo claro. También mostró
ciertas reticencias ante las argumentaciones de Bohr, al considerar que estaban
excesivamente centradas en razonamientos de tipo filosófico, sin una sólida
base matemática.
Dos meses después, a finales de julio de 1925, Werner Heisenberg, un joven
físico alemán solo ocho meses mayor que Dirac, visitó Cambridge, donde impartió
un seminario sobre espectroscopia atómica dentro del esquema general de la
teoría cuántica conocida hasta ese momento (la teoría de Bohr-Sommerfeld).
Nadie sabía en Cambridge que Heisenberg había desarrollado una nueva
formulación de la teoría cuántica. El trabajo aún no se había publicado, y el
físico alemán no hizo mención alguna al mismo, aunque se lo comunicó en una
conversación privada a Fowler, quien le pidió que le enviase una copia tan
pronto como se publicase. El texto llegó a las manos de Fowler a finales de
agosto, quien se lo pasó inmediatamente a Dirac con una nota escrita: «¿Qué
opinas de esto? Espero tus comentarios».
«Aunque
Bohr me impresionó mucho, todos sus argumentos eran de tipo cualitativo. Lo que
yo deseaba eran argumentos que pudiesen expresarse en términos de ecuaciones, y
el trabajo de Bohr raras veces se formulaba de este modo.»
Paul
Dirac.
A
partir de ese momento, la física dio un vuelco espectacular, al igual que la
propia vida científica de Dirac, ya que por fin pudo dedicar toda su atención a
problemas «fundamentales». En ese momento empezó una verdadera competición
entre las mentes jóvenes más brillantes de la física para construir y asentar
una nueva visión del mundo natural, una visión que explicase el comportamiento
del mundo a escala microscópica, escala en la cual la intuición dejó de ser
buena consejera. La competencia entre los grupos e investigadores era tal que
los mismos resultados se obtenían de forma completamente independiente con una
diferencia de meses o semanas.
Entre 1925 y 1927 surgieron tres formulaciones aparentemente diferentes de la
nueva teoría cuántica, elaboradas en tres centros distintos: en Gotinga
(Alemania), Heisenberg, Born y Jordán desarrollaron la denominada «mecánica
matricial»; en Zúrich (Suiza), Schrödinger creó la «mecánica ondulatoria», y en
Cambridge (Inglaterra), Dirac desarrolló su propia visión de la nueva teoría A
estos cinco físicos, junto con Pauli, se les suele considerar como los
fundadores de la mecánica cuántica Realmente, fueron muchos más los que
trabajaron y contribuyeron al desarrollo de la nueva teoría, pero los seis
mencionados fueron los primeros en poner los cimientos de todo el
edificio.
§. Heisenberg: el nacimiento de la mecánica cuántica
Dirac no apreció en un primer momento la importancia del trabajo de Heisenberg.
Por el contrario, le pareció excesivamente complicado y algo artificial. Solo
tras leerlo con más detalle se dio cuenta del cambio revolucionario que estaba
proponiendo el físico alemán. Dirac comenzó a estudiar en profundidad el
trabajo de Heisenberg, intentando no solo comprenderlo, sino también mejorarlo
y superarlo.
De hecho, la nueva teoría desarrollada por Heisenberg no era consistente con el
principio de relatividad; por consiguiente, el primer objetivo de Dirac fue
extender la nueva teoría, incorporando la relatividad en su seno. Sin embargo,
el objetivo era demasiado ambicioso en aquel momento, incluso para el propio
Dirac. Poco después surgió en su mente la idea fundamental que le permitió
reformular la teoría de Heisenberg, idea directamente relacionada con uno de
los aspectos que el propio físico alemán consideraba más cuestionable de su
propia formulación: la no conmutatividad del producto.
¿En qué consistía la nueva teoría desarrollada por Heisenberg, y por qué se
consideró desde un principio revolucionaria? La respuesta estaba escrita
implícitamente en la propia introducción del trabajo del físico alemán:
[Se
trata de] establecer una base para la mecánica cuántica, basándose
exclusivamente en relaciones entre cantidades que en principio sean
observables.
En
la teoría clásica, la trayectoria de una partícula es un concepto perfectamente
definido que, además, se puede determinar. La propia imagen del átomo de Bohr
consiste en electrones moviéndose en trayectorias definidas alrededor del
núcleo: las órbitas electrónicas.
Heisenberg
y el principio de incertidumbre
Werner
Heisenberg (1901-1976) desarrolló en 1925 el trabajo seminal que marcó el
nacimiento de la mecánica cuántica. Posteriormente, en colaboración con Max
Born y Pascual Jordán, elaboró la denominada mecánica cuántica matricial.
En
la teoría cuántica, este principio implica la existencia de una limitación
fundamental en la precisión con la cual pares de variables —tales como la
posición y el momento— pueden ser determinadas. El principio de incertidumbre,
que dio origen a la denominada «interpretación de Copenhague» de la teoría
cuántica, es uno de los principios fundamentales de la física moderna. En él se
halla implícito cómo explicar la interacción entre partículas. El principio de
Heisenberg no significa una limitación experimental que pudiera ser debida a
los errores inherentes en toda medida; al contrario, es una consecuencia
esencial que surge de la propia teoría cuántica. Incluso en el caso de un
experimento ideal, el principio de incertidumbre seguiría persistiendo. Heisenberg
recibió el premio Nobel en 1932 por «la creación de la mecánica cuántica». El
físico alemán realizó trabajos sobre la teoría cuántica de la radiación y fue
el primero en introducir el concepto de «isospín» en el contexto de la
interacción nuclear. A pesar de los problemas que tuvo en la época del nazismo,
decidió seguir en Alemania durante la Segunda Guerra Mundial, viéndose obligado
a participar en el desarrollo del programa nuclear alemán. Esta fue la época
más controvertida de su vida. Durante los años siguientes, su mayor esfuerzo se
centró en impulsar la ciencia en Alemania con continuas conferencias, libros,
memorias. Al igual que había sucedido con Einstein, y sucedería después con
otros físicos, los últimos años los dedicó a intentar encontrar una formulación
unificada de las interacciones fundamentales.
La
propuesta de Heisenberg suponía una modificación radical de la propuesta de
Bohr. La posición, la velocidad y la trayectoria no son magnitudes que puedan
medirse directamente y, por tanto, deben reemplazarse por otras que tengan una
interpretación cuántica más satisfactoria, tales como los niveles de energía y
amplitudes de transición. Con esta idea fundamental, y considerando una
situación especialmente simple, la de un oscilador armónico unidimensional
(como un péndulo o un muelle oscilando alrededor de su posición de equilibrio),
Heisenberg demostró que la descripción de propiedades dinámicas, tales como la
posición o la velocidad de una partícula, requería la introducción de
operadores que dependían de dos números enteros (números cuánticos) relacionados
con la transición entre dos estados cuánticos definidos.
Esta dependencia en dos índices significaba que las magnitudes previas venían
descritas como un tablero cuadrado de números con filas y columnas; además,
ello trajo consigo una propiedad ciertamente extraña: el producto no satisfacía
la propiedad conmutativa En otras palabras, el resultado final dependía del
orden de los operadores en el producto. En un principio, Heisenberg consideró
este resultado como un posible fallo o error de la teoría que tendría que ser
resuelto. Sin embargo, fue lo suficientemente atrevido para enviar su trabajo a
su director, Max Born, quien decidió publicarlo inmediatamente.
§. Dirac entra en escena
El punto más débil de la nueva teoría según el propio Heisenberg fue considerado
por Dirac como la idea más importante. Dirac había estudiado en detalle la
mecánica clásica con el formalismo de Hamilton y conocía perfectamente la
existencia de variables y magnitudes que no cumplían la ley conmutativa Ahora
bien, ¿existía alguna analogía entre las nuevas magnitudes cuánticas de
Heisenberg y las variables de la teoría clásica? Parece ser que la respuesta a
esta cuestión surgió de repente en la mente de Dirac, cuando pensó en los
denominados «corchetes de Poisson». Dirac expresó claramente cómo llegó a
establecer tal relación:
Fue
durante uno de mis paseos dominicales por el campo en octubre de 1925. La
combinación de variables cuánticas xy-yx estaba siempre en mi mente, y de
pronto recordé una construcción denominada «corchetes de Poisson», que se usaba
con cierta frecuencia en la mecánica clásica. Al regresar a mi habitación
revisé todas mis notas y los libros que tenía pero no pude salir de dudas.
Apenas pude dormir en toda la noche, y a la mañana siguiente, a primera hora,
me dirigí a la biblioteca Allí encontré lo que buscaba en el texto de
Whittaker, Dinámica analítica, que tanto había estudiado en el pasado.
Tras
unas semanas de intenso estudio, Dirac encontró finalmente la relación que
buscaba:
Esta
expresión relacionaba directamente las magnitudes u operadores cuánticos de
Heisenberg con las variables clásicas introducidas a través de los corchetes de
Poisson, [x, y]. La relación venía expresada a través de la
constante de Planck h,el factor 2π y la unidad imaginaria i =
√-1. Se denomina «constante de Planck reducida» a la magnitud
Esta
notación fue introducida por Dirac en 1930.
A pesar de la reticencia que Dirac había mostrado sobre el principio de
correspondencia de Bohr, aquí surgía dicho principio como motor básico de la
teoría. La correspondencia entre las variables cuánticas y las clásicas, y la
formulación de Hamilton de la mecánica clásica, llevaron rápidamente a Dirac a
su nueva teoría del mundo cuántico. Todo cobraba sentido, y resultados y
principios fundamentales —como la conservación de la energía y las frecuencias
de Bohr— se explicaban de forma natural.
Los
corchetes de Poisson
Los
corchetes de Poisson fueron introducidos en 1809 por el físico y matemático
francés Siméon Denis Poisson (1781- 1840).
Las
relaciones entre las variables canónicas vienen dadas por [qj,qj]
= [pj,pj] = 0; [qj,p j] = δi,j,
donde δi,j es la función delta de Kronecker, es decir, δ i,j =
0 para i ≠ j y δi,j = 1 para i = j. En
el caso particular en que se considere la función hamiltoniana H (q j,pj,t), es
decir, la función que determina la energía del sistema, los corchetes de
Poisson permiten obtener las siguientes ecuaciones básicas del movimiento:
La
formulación con los corchetes de Poisson permite identificar las constantes del
sistema, es decir, aquellas magnitudes que se conservan. Cualquier función cuyo
corchete de Poisson con el hamiltoniano sea nulo corresponde a una constante
del movimiento. Análogamente, el corchete de Poisson de cualquier constante de
movimiento con la función hamiltoniana debe ser cero.
Dirac
completó su trabajo en noviembre de 1925 con el sugerente título de «Las
ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica» y se lo envió a Fowler, quien
se percató de forma inmediata de la importancia y profundidad del trabajo de su
estudiante. En el breve plazo de tres semanas, el artículo fue publicado en la
revista Proceedings of the Royal Society.
En aquellos momentos Dirac era un gran desconocido en la comunidad científica
internacional; de ahí el revuelo que causó su trabajo entre los principales
físicos cuánticos de la época. Born expresó su estupor por el «trabajo
admirable» de un joven desconocido. Heisenberg, nada más recibir el manuscrito,
envió una carta a Dirac felicitándole efusivamente por su extraordinario
trabajo.
Era indudable que Dirac había dado un gran paso en su carrera científica,
situándose en la vanguardia de la nueva teoría cuántica y entrando a formar
parte del selecto grupo de sus fundadores. En aquellos años, la competición
entre los físicos por ser los primeros en formular resultados básicos de la
nueva teoría fue enorme, lo que trajo consigo una gran frustración para algunos
de ellos. Así, se entiende el exquisito cuidado que mostró Heisenberg en su
carta a Dirac tras felicitarle por su trabajo:
Espero
que no se sienta deprimido al saber que una parte importante de su reciente
trabajo ha sido ya encontrada aquí hace algún tiempo y publicada recientemente
por Born y Jordán. Esto no quita ningún mérito a su trabajo, cuya formulación
es, en algún sentido, superior a la conseguida aquí.
Es
cierto que Born, Jordán y Heisenberg desarrollaron lo que se denominó a partir
de entonces «formalismo matricial» de la mecánica cuántica. En esos trabajos,
completados algún tiempo antes que el de Dirac, obtuvieron resultados análogos
a los de Dirac aunque sin hacer uso de los corchetes de Poisson.
A pesar de saber que no fue el primero en encontrar las ecuaciones
fundamentales de la mecánica cuántica (no sería la única vez que se diera tal
situación), Dirac no sintió ninguna frustración. Al contrario, le sirvió para
reafirmarse en su convicción de que su teoría era correcta y apropiada, quizá
incluso superior en algunos aspectos a la formulación desarrollada por sus
colegas alemanes.
Max
Born y Pascual Jordan
Born
y Jordán fueron los creadores, junto a Heisenberg, del esquema matricial de la
mecánica cuántica.
Max Born (1882-1970) se formó en distintos centros (Cambridge, Berlín,
Frankfurt),
Una base matemática para la mecánica cuántica.
Tras el pionero trabajo de Heisenberg en 1925, Born y Jordán (y posteriormente
en colaboración con el propio Heisenberg) desarrollaron el formalismo general
de la mecánica cuántica con el uso del cálculo matricial. En 1926 Born
introdujo la interpretación probabilística de la función de onda,
proporcionando significado físico a la misma. Este resultado, que dio origen a
continuas discusiones sobre la fundamentación de la mecánica cuántica,
constituye un aspecto esencial de la denominada «interpretación de Copenhague».
En 1933 Born emigró a Gran Bretaña, donde fue profesor en la Universidad de
Edimburgo desde 1936. Se le concedió el premio Nobel de Física en 1954. Por su
parte, Jordán realizó trabajos proporcionando una consistencia matemática
sólida a la mecánica cuántica e introdujo, junto a Dirac, las ideas pioneras en
el desarrollo de la teoría cuántica de campos. En 1933 se alistó en el partido
nazi, lo cual parece justificar que no se le concediese el premio Nobel.
Durante sus últimos años fue profesor en la Universidad de Hamburgo, dedicando
gran parte de su actividad a estudios de geología y biología.
Siguiendo
la sugerencia del físico americano John H. van Vleck («estoy deseando ver si
alguna de las teorías desarrolladas puede reproducir los niveles energéticos
del viejo modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno»), la siguiente
contribución de Dirac fue precisamente comprobar que su modelo era capaz de
reproducir dichos niveles energéticos. Un resultado similar había sido obtenido
unos meses antes por Pauli.
§. El álgebra de números-q
Dirac desarrolló su formulación de la mecánica cuántica de forma independiente
a la de sus colegas en Gotinga, e introdujo la denominada «notación de
números-q» para referirse a las variables cuánticas. Estableció así una
distinción clara entre números-q, donde la letra «q» se refiere a quantum, (cuántico)
o queer(raro, extraño), y los números-c, donde la «c» indica classics (clásico)
o commuting (conmutativo). De esta forma expresaba claramente
la diferenciación entre el mundo cuántico y el clásico. Aunque durante algún
tiempo Dirac estuvo convencido de que su esquema de la teoría cuántica era
superior a la mecánica matricial de Heisenberg, Born y Jordán, pronto comprobó
que ambas formulaciones eran equivalentes:
Necesité
algún tiempo para convencerme de que mis números-q no eran en realidad más
generales que las matrices y, de hecho, presentaban las mismas limitaciones que
se podían probar matemáticamente en el caso de las matrices.
En
el verano de 1926 Dirac elaboró una nueva versión de su teoría cuántica,
denominada «álgebra de números-q». Este trabajo, presentado como una teoría
puramente matemática, sin referencia alguna a problemas específicos de física,
tuvo un impacto escaso en la comunidad física. Sólo algunos físicos
especialmente interesados en los aspectos matemáticos de la mecánica cuántica,
como Jordán, mostraron algún interés. Jordán lo expresó del siguiente modo:
«Encuentro la publicación de Dirac muy interesante; para mí, las matemáticas
son tan interesantes como la propia física». Dirac introdujo en su trabajo la
definición general de diferenciación de variables cuánticas (números-q), y a
partir de ella, obtuvo las relaciones básicas de conmutación entre los
operadores de posición (q), momento (p) y momento angular
orbital (L), relaciones que previamente habían sido obtenidas en la formulación
matricial de Born, Jordán y Heisenberg. Estos resultados constituyen hoy día el
punto de partida de cualquier texto de mecánica cuántica.
El álgebra de números-q surgió así como una formulación alternativa a la
mecánica matricial de Born, Jordán y Heisenberg. Desde la aparición del primer
trabajo de Heisenberg, Dirac se centró, casi de forma exclusiva, en el
desarrollo de su esquema demostrando que a partir del mismo podían explicarse
los principales resultados del mundo subatómico. Sin embargo, su trabajo fue
tan intenso que no pudo prestar atención a las nuevas formulaciones de la
mecánica cuántica Los trabaos de Dirac de este primer período fueron muy
respetados entre la comunidad física, pero tuvieron menos influencia que los de
Heisenberg, Born y Jordán. No resultaba fácil entender a Dirac, cuyo estilo y
razonamientos llegaban a resultar crípticos para muchos de sus colegas. El
físico John Slater expresó claramente su frustración con los escritos de Dirac:
Existen
dos tipos de físicos teóricos. El primero consiste en gente como yo, prosaica y
pragmática, que siempre intentan escribir o hablar de la forma más comprensible
posible. El segundo está formado por «magos» que mueven sus manos como si
estuviesen sacando un conejo de la chistera (como Dirac) ,
y que no se encuentran satisfechos a no ser que lleguen a revestir sus escritos
y explicaciones con un marcado carácter místico.
A
partir de la primavera de 1926 el máximo interés en la teoría cuántica se
desplazó de forma inesperada a la Universidad de Zurich. Allí, un desconocido
físico, que hasta entonces no había tenido ninguna participación en la
elaboración de la teoría cuántica, Erwin Schrödinger (1887-1961), desarrolló un
nuevo esquema de la mecánica cuántica Una descripción que resultó para la
mayoría de los físicos de la época mucho más clara conceptualmente que el
complicado lenguaje matricial y algebraico desarrollado hasta ese
momento.
§. La mecánica ondulatoria de Schrödinger
Se cree que la primera noticia que recibió Dirac sobre la nueva teoría de
Schrödinger se produjo cuando Sommerfeld visitó Cambridge en marzo de 1926, el
mismo mes en el que se publicó el primer trabajo de Schrödinger. Sin embargo,
en aquellos momentos Dirac estaba demasiado ocupado con el desarrollo de su
propio esquema de la teoría cuántica como para prestar especial atención a
nuevos lenguajes. Además, no se sintió impresionado por la formulación
ondulatoria de Schrödinger, que, de hecho, consideró en un primer momento una
simple vuelta a la teoría, ya desfasada, de Louis de Broglie.
La
ecuación de Schrödinger
En
la teoría de Schrödinger, el estado de un sistema cuántico viene definido
El
operador H es la función hamiltoniana, que incorpora toda la
información sobre la energía total, cinética y potencial, del sistema. La
energía cinética (debida al movimiento) está definida a través del término
donde
M es la masa del sistema y ∇2 el
operador laplaciano:
Por
último, el término V(r,t) representa la energía potencial. En el caso en que el
hamiltoniano no dependa del tiempo, la ecuación de Schrödinger puede resolverse
dando lugar a los denominados «estados estacionarios.» La ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo permite determinar la función de onda
dependiente de las variables espaciales:
En
esta situación (estado estacionario), el operador hamiltoniano actuando sobre
la función de ondas da lugar a la energía total del sistema. En otras palabras,
la energía E es el valor propio (autovalor) de la función
hamiltoniana. La ecuación de Schrödinger no es compatible con la teoría de la
relatividad. Obsérvese que la forma en que se incorporan en la ecuación las
variables espaciales y temporales es distinta. Mientras que el tiempo aparece
como una derivada de primer orden, las coordenadas espaciales surgen en
derivadas de segundo orden. Este aspecto también está en contradicción con el
principio inherente en la teoría relativista: el tratamiento simétrico de las
cuatro componentes, tres espaciales y la temporal, que dan lugar al denominado
«cuadrivector espacio-tiempo».
Dirac
lo expresó del siguiente modo:
Al
principio sentí cierta hostilidad hacia la teoría de Schrödinger. ¿Por qué
tendríamos que volver a un estado previo a Heisenberg, cuando no existía la
mecánica cuántica? Realmente, me molestaba esta posibilidad de tener que volver
atrás y quizá abandonar todo el progreso que se había conseguido con la nueva
teoría cuántica. Definitivamente, sentía hostilidad hacia las ideas de
Schrödinger, sentimiento que persistió durante algún tiempo.
De
este modo, Dirac no hizo ninguna mención a la nueva formulación de Schrödinger
en su tesis doctoral, presentada en mayo de 1926.
A pesar de las reticencias de Dirac, la mecánica ondulatoria tuvo un éxito
espectacular, y una gran mayoría de los físicos de la época estuvieron
«encantados» de abandonar el complejo y oscuro lenguaje de operadores
matriciales y números-q frente a la simplicidad de la ecuación diferencial de
Schrödinger. Este, en una serie de trabajos publicados durante la primavera y
el verano de 1926, introdujo los fundamentos de su nueva teoría, proporcionando
una descripción de los niveles energéticos del átomo de hidrógeno. En el
esquema de Schrödinger, toda la información sobre el sistema se hallaba
contenida en la denominada «función de onda», función matemática compleja cuyo
significado aún no estaba claro.
Por otra parte, el lenguaje de Schrödinger resultaba muy diferente al que
habían desarrollado Heisenberg, Born y Jordán por una parte, y Dirac, por otra
Esta discrepancia en teorías que explicaban y reproducían los mismos fenómenos
naturales era muy difícil de aceptar para Dirac, quien siempre había intentado
encontrar una descripción consistente y unificada del mundo subatómico. La
interpretación física de la función de onda fue proporcionada por Born durante
el verano de 1926, y se conoce hoy día como «interpretación probabilística». En
ella se establece que la «densidad de probabilidad de encontrar una partícula
viene dada por el módulo al cuadrado de la función de onda». En cuanto a la
relación entre ambas teorías, la mecánica ondulatoria y la matricial, el propio
Schrödinger demostró la equivalencia matemática entre las mismas en su tercer
trabajo. Parece que Pauli demostró tal equivalencia algún tiempo antes, aunque
no publicó ningún trabajo al respecto.
§. Dirac y la mecánica ondulatoria
La demostración de la equivalencia matemática entre el lenguaje de ondas y el
álgebra de matrices o números-q hizo que Dirac abandonase toda reticencia hacia
la nueva formulación. Dirac mantuvo a partir de aquel momento una postura muy
pragmática, y aceptó que la nueva mecánica ondulatoria resultaba
considerablemente más fácil de usar para resolver determinados problemas.
Así, en muy poco tiempo, Dirac publicó un nuevo trabajo titulado: Sobre
la teoría de la mecánica cuántica, en el que hacía uso por primera vez
de la teoría ondulatoria aplicándola a sistemas de partículas idénticas.
¿Qué se entiende por partículas idénticas en el contexto de la teoría cuántica,
y en qué consistió exactamente la nueva aportación de Dirac? Para responder a
esta cuestión debemos regresar un momento al año anterior, a 1925, y formular
una nueva pregunta: ¿por qué los elementos químicos pueden clasificarse en
determinados grupos que muestran propiedades químicas similares? Pauli explicó
que las propiedades químicas eran una consecuencia de la forma en la que los
electrones se disponían en sus respectivas órbitas electrónicas. Cada electrón
venía descrito por una serie de números cuánticos que caracterizaban la función
de ondas. Estos números cuánticos definían la energía del electrón, su momento
angular orbital y una nueva propiedad que hubo de introducirse para explicar
los datos experimentales: el «espín» (cuestión descrita en detalle en el
siguiente capítulo). Pauli enunció su principio de exclusión:
Dos
electrones no pueden ocupar el mismo estado cuántico, es decir, no pueden tener
el mismo conjunto de números cuánticos.
Este
principio permitía explicar por qué los electrones atómicos se iban disponiendo
en diferentes órbitas electrónicas según se iban ocupando otras. De hecho, el
principio de Pauli permite entender por qué la materia es tal como la
conocemos.
Otra propiedad esencial del mundo cuántico es que las partículas idénticas son
indistinguibles. En la física clásica la posición de una partícula y su estado
de movimiento están perfectamente determinados, de modo que, aun teniendo
varias partículas idénticas, se podría conocer en qué posición se encuentra
cada una de ellas. Por el contrario, en el mundo cuántico la posición no está
claramente definida, y por consiguiente, si tenemos dos electrones (llamémosles
o, b) y dos estados cuánticos determinados (m, n),
no podemos conocer en qué estado concreto se encuentra cada electrón. De hecho,
la situación correspondiente al electrón o en el estado m (lo
denotamos como am ) y el electrón b en el
estado n (bn) es igualmente probable a la combinación
inversa: abm. Usando una terminología algo más
técnica, ambas combinaciones representan el mismo estado cuántico y por tanto,
deben ser proporcionales, siendo la constante de proporcionalidad +1 o -1.
Nótese que si permutamos dos veces seguidas la posición de ambos electrones, la
combinación resultante debe ser idéntica a la inicial.
Dirac concluyó que la descripción más general del estado cuántico de los dos
electrones debía ser una combinación lineal de ambas posibilidades: ambn ±
ambm. Obsérvese que si se considera el signo + e
intercambiamos los estados my n o los electrones a y b, se
obtiene exactamente el mismo resultado. Esta propiedad se denomina «combinación
simétrica». Por el contrario, el signo - corresponde a una combinación
antisimétrica, es decir, el intercambio de los estados o los electrones trae
consigo un cambio de signo global.
El comportamiento de ambas soluciones es, por tanto, muy diferente, pero, ¿cuál
de ellas es consistente con el principio de exclusión de Pauli? Dirac concluyó
que la única respuesta posible correspondía a la combinación antisimétrica En
tal situación, si los dos electrones se situaban en el mismo estado, es
decir, m = n, la combinación resultante es idénticamente nula,
y ello significa que tal estado no puede existir.
Dirac generalizó su estudio a un gas de moléculas suponiendo, erróneamente, que
su descripción era similar al caso de los electrones, es decir, con funciones
de onda antisimétricas. Haciendo uso de métodos estadísticos obtuvo finalmente
la distribución energética de las moléculas. También mostró que los cuantos de
luz, los fotones, podían describirse a partir de combinaciones simétricas. Al
contrario de los electrones, el principio de exclusión de Pauli no era
aplicable a la radiación, es decir, los fotones manifestaban un comportamiento
claramente gregario; tendían a ocupar todos el mismo estado. La descripción de
este tipo de partículas como combinaciones simétricas condujo a Dirac a la
denominada estadística de Bose-Einstein introducida unos años antes.
Dirac
y el efecto Compton
En
1916 Einstein introdujo el concepto de «cuantos» luminosos, llamados «fotones»,
con energía y momento determinados.
El análisis de Dirac
Dirac conocía los experimentos de Compton y decidió aplicar su formulación de
la mecánica cuántica a dicho proceso. No solo fue capaz de reproducir el cambio
en la longitud de onda de la radiación dispersada, sino que también obtuvo la
intensidad de dicha radiación, comprobando que su resultado era ligeramente
diferente al proporcionado por Compton en 1923. Su trabajo, publicado a finales
de abril de 1926, recibió una gran acogida en la comunidad física. Sin embargo,
su estilo de escritura, demasiado conciso y con un lenguaje matemático difícil
de seguir, convertía sus trabajos en mensajes casi indescifrables para muchos
de sus colegas. Cuando Dirac comprobó que sus predicciones no coincidían con
los datos de Compton, señaló que dicha discrepancia «sugería que la magnitud
absoluta de los valores de Compton era aproximadamente un 25% demasiado
pequeña». Al poco tiempo de publicar el trabajo, Compton escribió a Dirac
mencionándole que las nuevas medidas realizadas en la Universidad de Chicago
confirmaban completamente su teoría.
§.
La estadística de Fermi-Dirac
Dirac publicó su trabajo en agosto de 1926, poco tiempo después de que
Heisenberg completase un estudio similar sobre el átomo de helio. Al poco
tiempo de aparecer su publicación, Dirac recibió una carta del físico italiano
Enrico Fermi en los siguientes términos:
En
su reciente trabajo ha desarrollado una teoría del gas ideal basándose en el
principio de exclusión de Pauli. Quisiera llamar su atención sobre un trabajo
similar que publiqué a comienzos de 1926.
La
situación resultó algo embarazosa para Dirac, quien inmediatamente se disculpó
ante Fermi, reconociendo que había visto su trabajo, pero sin prestarle
especial atención en ese momento:
Cuando
leí el trabajo de Fermi no pude apreciar su importancia en ninguno de los
problemas básicos de la mecánica cuántica en los que estaba interesado. Cuando
escribí mi propio trabajo sobre las funciones de onda antisimétricas,
simplemente había olvidado toda referencia al mismo.
Una
vez más, otros físicos se adelantaron a Dirac en la resolución del problema Sin
embargo, como ya había sucedido en ocasiones anteriores, ello no supuso ninguna
frustración para Dirac, cuyo trabajo recibió una gran acogida entre la
comunidad científica. A partir de entonces, el análisis estadístico de
partículas como los electrones comenzó a conocerse como «estadística de
Fermi-Dirac». Años después, en 1947, el propio Dirac introdujo los nombres de
«fermiones» y «bosones» para hacer referencia a las partículas que satisfacían
las estadísticas de Fermi-Dirac y Bose- Einstein, respectivamente (véase la
figura de la página anterior).
La figura ilustra el comportamiento de bosones (izquierda) y fermiones
(derecha). Todos los bosones (espín entero) tienden a ocupar el estado de
mínima energía. Los fermiones (espín semientero) están sometidos al principio
de exclusión de Pauli y no pueden ocupar estados con ios mismos números
cuánticos.
Aunque
el trabajo de Dirac fue acogido con gran interés, muchos físicos lo
consideraron extremadamente difícil de comprender, algo que ya había sucedido
en ocasiones previas y que seguiría repitiéndose en el futuro. Schrödinger se
lo comentó a Bohr con resignación, pero sin dejar de lado cierto sentido del
humor:
Encontré
el trabajo de Dirac muy valioso, aunque aún hay muchas cuestiones que no
entiendo. [...] Dirac tiene un método único y original de pensar, el cual
—precisamente por dicha razón— le conducirá a los resultados más valiosos e
inesperados, aunque sigan ocultos para el resto de nosotros. Dirac no tiene
idea de lo difícil que resultan sus trabajos para los seres humanos normales.
§.
Primer viaje: Copenhague
En septiembre de 1926 Dirac decidió completar su formación científica
realizando una estancia de un año en el centro donde había surgido la mecánica
cuántica: la Universidad de Gotinga. Sin embargo, siguiendo el consejo de
Fowler, decidió finalmente dividir su estancia entre Copenhague, donde estarían
los cinco primeros meses, y Gotinga En la capital danesa Dirac se encontró con
los más brillantes físicos de la época- Bohr, Heisenberg, Klein, Ehrenfest,
Pauli... Aunque Bohr no tenía ya un papel tan destacado en el desarrollo de la
teoría cuántica, su personalidad seguía dominando el mundo de la física
cuántica Su instituto en Copenhague era en aquellos momentos un centro de
referencia de la nueva teoría cuántica, donde, en un ambiente de gran
familiaridad, sus visitantes mantenían continuas discusiones y colaboraciones.
Esta era la forma de trabajar de Bohr, para quien las discusiones y
argumentaciones nunca teman fin, llevando a sus colegas y colaboradores a la
extenuación, tal y como le sucedió a Schrödinger unas semanas antes de la
llegada de Dirac. Es indudable que este nuevo ambiente, tan diferente al rígido
sistema en Cambridge, tuvo alguna influencia en Dirac. Él mismo dijo algunos
años después:
Bohr
parecía ser el pensador más profundo con el que jamás me encontré. [... ]
Durante aquel período realizamos grandes paseos juntos charlando sin parar,
aunque debo reconocer que era Bohr quien hablaba todo el tiempo.
A
pesar del ambiente tan dinámico de Copenhague, Dirac no modificó sus hábitos,
trabajando en solitario y manteniéndose al margen de las continuas discusiones
que tenían lugar en el instituto. Su rutina consistía en trabajar de limes a
sábado en la biblioteca y los domingos realizar sus habituales caminatas por el
campo. Algunos testimonios de los estudiantes presentes en aquella época nos
muestran claramente su trabajo y carácter.
Dirac
siempre nos pareció misterioso. Frecuentemente se sentaba solo en el rincón más
apartado de la biblioteca, en la posición más incómoda posible, completamente
absorto en sus pensamientos. (...) Podía estar todo el día en la misma
posición, escribiendo sin parar un artículo completo, y sin levantar la vista
del papel ni una sola vez.
Respecto
a la posible colaboración de Dirac con otros colegas, en particular con el
propio Bohr, desde el primer momento quedó claro que Dirac no estaba
especialmente interesado en llevar a cabo el esfuerzo que requería cualquier
trabajo en común. Aunque asistía a los seminarios y reuniones que se
organizaban en el instituto, su participación siempre se reducía a ser un mero
oyente. Las discusiones en aquellos meses sobre los problemas de fundamentación
de la mecánica cuántica y el debate epistemológico consiguiente no eran de
especial relevancia para Dirac, quien consideraba mucho más importante la
formulación de la teoría a través de las matemáticas. Su forma de hacer física
no podía ser más distinta a la de Bohr. Para Dirac, Bohr estaba excesivamente
preocupado por cuestiones que no podían formularse de una forma clara y
precisa, y esto le conducía a dar siempre vueltas y vueltas sobre el mismo
tema, sin llegar a ninguna conclusión determinada Dirac consideraba que la
formulación matemática era la única forma posible para definir con precisión
los conceptos físicos.
Retratos de Paul Dirac (izquierda) y Niels Bohr. Dirac coincidió
con este último durante su estancia en Copenhague.
Existe
una anécdota famosa donde se muestra la absoluta disparidad entre los
caracteres de Bohr y Dirac. La anécdota también refleja, por si hubiese alguna
duda, que toda colaboración científica entre ambos era un sueño imposible. Una
vez que se completaba un trabajo, Bohr tema la práctica habitual de dictárselo
a sus jóvenes colaboradores. Este ejercicio se convertía en una verdadera
pesadilla, puesto que Bohr cambiaba continuamente de argumentaciones, sin estar
nunca satisfecho de la forma en que expresaba el contenido.
Paul Dirac (a la izquierda) retratado junto a los físicos Wolfgang Pauli (en
el centro) y Rudolf Peierls en la Universidad de Birmingham.
En
cierta ocasión, al poco tiempo de la llegada de Dirac a Copenhague, este tuvo
el «honor» de ser llamado a la presencia del gran Bohr para colaborar en el
nuevo trabajo que estaba desarrollando. A los pocos minutos de comenzar el
dictado, Dirac decidió que tema cosas más interesantes que hacer que estar todo
el tiempo reescribiendo una frase hasta que Bohr decidiese que la prosa era
suficientemente clara En estas circunstancias, el único comentario, breve y
preciso, de Dirac fue: «En la escuela siempre me enseñaron que no debería
comenzar una frase hasta que no supiese cómo terminarla». Aquel debió de ser el
modo de Dirac de informar a Bohr que debía buscarse un nuevo colaborador.
§. La teoría de la transformación
La llegada de Dirac a Copenhague coincidió con un período de continuas
discusiones sobre la interpretación probabilística de la función de onda de
Schrödinger. Un mes antes, Born había desarrollado dicha interpretación
haciendo uso del módulo al cuadrado de la función de onda Sin embargo, ni el
mismo Schrödinger admitía dicha interpretación, la cual también era rechazada
por otros físicos insignes como Einstein. Por el contrario, la interpretación
probabilística era aceptada plenamente por Bohr y la mayoría de sus
colaboradores. Aunque Schrödinger había demostrado la equivalencia matemática
entre el esquema ondulatorio y el matricial, la mayoría de los físicos pensaban
que era necesario desarrollar un esquema general que aunase las distintas
formulaciones de la mecánica cuántica, incorporando la interpretación
probabilística de la función de onda y su relación con los operadores
matriciales. Este esquema fue elaborado de forma independiente por Dirac y
Jordán. En el caso de Dirac, su estudio fue publicado en enero de 1927 con el
título de La interpretación física de la dinámica cuántica. Este
trabajo está considerado como uno de los más importantes y completos de Dirac.
En el mismo se presentaba la formulación matemática más rigurosa y general de
la mecánica cuántica.
Dirac la denominó «teoría de la transformación», y siempre se sintió
especialmente orgulloso de ella, una teoría que, en sus propias palabras, fue
construyendo paso a paso sirviéndose exclusivamente del razonamiento lógico.
Así, afirmó que «este trabajo me proporcionó más placer que cualquier otro
anterior o posterior». Sus colegas reconocieron el carácter extraordinario del
mismo y se sintieron impresionados por su generalidad y rigor lógico. Lo
calificaron como «extraordinario avance». Sin embargo, el estilo de Dirac no
había cambiado, y físicos de la talla de Oskar Klein no pudieron evitar
comentar.
Nos
llevó algún tiempo entender sus argumentos, porque en sus seminarios, a pesar
de escribir cuidadosamente en la pizarra todas sus fórmulas y dibujar sus
gráficas, apenas comentaba nada de ellas. Así que resultaba realmente
complicado seguirle.
La
mecánica matricial o álgebra de números-q y la mecánica ondulatoria eran
teorías muy distintas que describían los mismos fenómenos naturales. Era
imprescindible encontrar una relación unívoca entre ellas, comprobando que
ambos lenguajes eran completamente equivalentes. Dirac planteó su trabajo en
los siguientes términos:
Se
presenta un esquema general en el que se formulan cuestiones que la teoría
cuántica puede responder sin ambigüedad. Se muestra toda la información física
que puede obtenerse de la dinámica cuántica y el método para llegar a tal fin.
Veamos
brevemente algunos aspectos básicos de la nueva teoría de Dirac. En el contexto
de la mecánica matricial de Heisenberg, Born y Jordán, el uso de
transformaciones canónicas estaba bien establecido. Se denomina «transformación
canónica» a toda transformación que preserva la relación fundamental de
cuantización. Consideremos, por ejemplo, el caso de los dos operadores
cuánticos relacionados con la posición (q) y momento (p), los
cuales satisfacen pq - qp = iħI, donde I es
el operador matricial identidad. La transformación canónica consiste en
determinar el operador de transformación que nos permita construir dos nuevas
variables dinámicas cuánticas (P, Q), tales que sigan satisfaciendo la relación
de cuantización PQ - QP = iħI,. La relación
entre las variables originales y las nuevas se expresa en la forma:
P = TpT-1, Q = TqT-1
donde T es
el operador de transformación, y T-1, su inverso, es
decir, TT-1 = T-1T = I. El
uso de las transformaciones canónicas había demostrado tener un gran interés en
el proceso de diagonalización del operador hamiltoniano, lo cual permitía
determinar las energías de un sistema.
El objetivo básico de Dirac era determinar el significado «real» del operador
de transformación y su relación con la función de onda de Schrödinger. Dirac
concluyó que las funciones propias de la ecuación de ondas de Schrödinger
correspondían simplemente a los operadores de transformación que permitían
obtener la representación diagonal del hamiltoniano. De esta forma, Dirac
englobaba en un solo marco general tanto el formalismo de operadores cuánticos
de Heisenberg, Born y Jordán, con sus reglas de cuantización, como la imagen de
Schrödinger, con su ecuación diferencial de evolución y su función de onda La
teoría de la transformación incorpora así las propiedades y principios que
Dirac consideraba esenciales en toda teoría cuántica El físico construyó gran
parte de su trabajo posterior tomando como punto de partida dichas propiedades.
«La
grandeza de una idea científica reside en su capacidad de estimular el
pensamiento y abrir nuevas líneas de investigación.»
Paul
Dirac.
Durante
el desarrollo de su teoría de la transformación, Dirac introdujo una importante
innovación formal que con el tiempo se ha convertido en una herramienta
esencial en el desarrollo de la física moderna: la función δ. Es imposible
entender el lenguaje actual de la física sin hacer uso de esta función. Todo
texto actual sobre teoría cuántica incorpora apéndices especiales sobre la
función de Dirac y sus propiedades esenciales, y la resolución de cualquier
problema concreto en el mundo subatómico requiere manipulación y trabajo con la
misma En su artículo «La interpretación física de la dinámica cuántica» Dirac
justificó la introducción de la función 8 en los siguientes términos:
No
se puede ir más allá en el desarrollo de la teoría de matrices con rangos
continuos de filas y columnas a no ser que se introduzca una notación para
aquella función de un número-c, denominado x, que sea igual a cero excepto
cuando x es muy pequeño, y cuya integral a lo largo del rango de valores que
contiene el punto x = 0 es igual a la unidad.
Dirac
introdujo la función δ en la forma:
para
a continuación afirmar
Por
supuesto, δ(r) no es estrictamente una función propia de x, pero puede
considerarse como el límite de una secuencia de funciones. En todo caso, uno
puede usar ó(x) como si fuese una función propia a efectos prácticos para
resolver cualquier problema de la teoría cuántica sin obtener en ningún caso
resultados erróneos.
Una
vez más, el trabajo de Dirac resultó admirable para sus colegas, pero no fue el
único en desarrollarlo. Jordán estudió el mismo problema elaborando su propia
teoría de las transformaciones. Aunque el procedimiento seguido por ambos
físicos fue muy diferente, las conclusiones eran completamente equivalentes.
Dos meses después de la publicación de los trabajos de Dirac y Jordán,
Heisenberg introdujo su famoso principio de incertidumbre, cuya formulación
matemática estaba basada en gran medida en la teoría de Dirac-Jordan.
La
función δ de Dirac
Dirac
no fue el primero en usar la función δ, aunque sí generalizó su uso,
convirtiéndola en una herramienta esencial en el desarrollo de la teoría
cuántica. La función δ(x) no es una función matemática en el sentido habitual,
es decir, no es una función que posea valores definidos en cada uno de los
puntos de su dominio (la región donde está definida). Por el contrario, toma el
valor cero en todo el rango de valores de x, excepto en x = 0, donde se hace
infinita. Dirac la denominó función «impropia» para justificar su diferencia
con las funciones «usuales», señalando que su uso debía restringirse a ciertos
tipos de problemas donde no surgiesen inconsistencias. En concreto, señaló que,
aunque la función impropia 8(x) no tenga un valor bien definido, cuando aparece
como parte de un integrando el resultado de la integral presenta un valor
perfectamente definido. El análisis riguroso de la función 5(x) se enmarca
dentro de la teoría general de distribuciones desarrollada en 1945 por el
matemático Laurent Schwartz (1915-2002). Puede ilustrarse el comportamiento de
la función 8(x) a través de la función representada en la figura 1, en la cual
se observa que es cero en todo el rango de valores de x excepto en un pequeño
dominio de extensión e alrededor del origen. Dentro de este dominio la altura
de la función viene dada por 1/ε. Por consiguiente, el área subtendida por la
función es 1. La función δ(x) surge como el límite de la función representada
en la figura cuando se hace tender el valor del parámetro ε a 0 (ε→0).
Otras
muchas funciones permiten generar la función ó(x). Por ejemplo, el caso de la
conocida función gaussiana que se representa gráficamente en la figura 2.
La
anchura de la misma viene determinada por el coeficiente σ. Al reducir el valor
de este parámetro, la función se hace cada vez más estrecha, aumentando
considerablemente su valor máximo. En el límite en que la anchura se aproxima a
cero, el valor máximo tiende a infinito. Se expresa matemáticamente del
siguiente modo:
La
propiedad más importante de la función δ de Dirac se expresa a través del
siguiente resultado:
donde f(x)
es cualquier función continua y a cualquier número real. Así pues, el proceso
de multiplicar una función de x por δ(x - a) e integrar sobre
todo x se reduce a evaluar la función f en el
punto x = a. El rango de integración no necesita extenderse
desde -∞ a +∞, sino en cualquier dominio que contenga al punto crítico en el
cual la función δ no se anula. La función δ de Dirac constituye hoy día una
herramienta esencial en cualquier campo de la física.
De
hecho, Dirac llegó a escribir en su trabajo una idea próxima al principio de
incertidumbre de Heisenberg:
No
puede contestarse ninguna cuestión en la teoría cuántica que haga referencia a
valores numéricos de ambas variables cuánticas, p y q (posición y momento
iniciales).
§.
Gotinga y el amanecer de la electrodinámica cuántica
A principios de febrero de 1927 Dirac se desplazó a Gotinga, donde permaneció
los cinco meses siguientes. Allí coincidió con los fundadores de la mecánica
matricial: Born, Jordán y Heisenberg. La Universidad de Gotinga era uno de los
centros de investigación más prestigiosos del mundo, no solo como cuna de
nacimiento de la nueva teoría cuántica, sino por su tradición de excelencia en
el campo de las matemáticas. Profesores de Gotinga habían sido Gauss, Riemann,
Dirichlet, Klein... En 1927 David Hilbert (1862- 1943), la figura más
influyente y universal en las matemáticas, también se encontraba en Gotinga.
Algunos de sus alumnos más brillantes, como John von Neumann (1903-1957) y
Hermann Weyl (1885-1955), tendrían un papel muy destacado en la formulación de
la teoría cuántica.
Dirac aprovechó su estancia en Gotinga para afianzar y adquirir nuevos
conocimientos en diversas ramas de las matemáticas. Por esta razón asistió al
curso que Weyl impartía sobre teoría de grupos. Esta constituía una rama de las
matemáticas que se había desarrollado durante el siglo XIX, pero que, gracias
al trabajo del propio Weyl y de Eugene P. Wigner (1902-1995), se había
convertido en una parte importante de la física teórica Durante los años
siguientes, Weyl y Wigner harían amplio uso de las técnicas de la teoría de
grupos en el marco de la mecánica cuántica A pesar de ello, Dirac no se sintió
especialmente interesado por esta teoría que consideró «innecesaria» para la
resolución de problemas físicos.
La intuición de Dirac no anduvo fina en este caso; la teoría de grupos se
convertiría en piedra angular en el desarrollo de la física moderna Dirac, sin
embargo, apreció de forma muy especial el trabajo de Weyl. Cuando un periodista
le preguntó años después: «Profesor Dirac, ¿alguna vez se ha encontrado con
alguien a quien no pueda entender?», la respuesta fue: «Sí, Weyl». Quizá para
algunos de los colegas de Dirac, que siempre se quejaron de la extrema
dificultad en seguir sus argumentaciones y entender sus trabajos, fue toda una
revelación, y también una gran tranquilidad, saber que existía alguien a quien
Dirac no podía seguir en sus razonamientos.
Desde el punto de vista científico, la estancia de Dirac en Gotinga coincidió
con la publicación de dos trabajos en los que desarrolló el fundamento de la
teoría cuántica de la radiación. De hecho, se considera a Dirac el fundador de
la electrodinámica cuántica En el capítulo 4 se presentará una descripción
detallada de los dos trabajos mencionados. Dirac fue el primer físico en
desarrollar una teoría cuántica de la interacción radiación-materia La
recompensa fue grande, pero quizá aún mayor el desengaño.
§. Regreso a Cambridge
A finales de junio de 1927 Dirac puso fin a su estancia en Gotinga Durante su
viaje de vuelta a Cambridge, pasó varios días en la Universidad de Leiden
(Holanda) invitado por Paul Ehrenfest (1880- 1933), con quien discutió sus
últimos trabaos sobre la teoría de la radiación. Ehrenfest estaba obsesionado
por entender completamente todos los aspectos emergentes de la nueva teoría
cuántica Era bien conocido que su presencia en los seminarios los convertía en
verdaderos interrogatorios para el conferenciante. Su obsesión enfermiza le
hacía caer en profundas depresiones cuando se veía incapaz de seguir el
desarrollo de los nuevos descubrimientos. Ehrenfest admiraba el trabajo de
Dirac, que consideraba de gran originalidad pero muy difícil de entender.
Hemos
estado horas y horas estudiando unas pocas páginas de su trabajo, y aún existen
puntos tan oscuros como una noche sin luna
También
Hendrik A. Lorentz (1853-1928), profesor en Leiden y decano de los físicos
holandeses, admiraba el trabajo de Dirac y por ello le ofreció un puesto por
dos años en la Universidad de Leiden, oferta que Dirac rechazó amablemente al
serle concedida una nueva beca en Cambridge. En julio de 1927, tras diez meses
en el continente, Dirac se reincorporó a la Universidad de Cambridge.
En solo dos años, Dirac se había convertido en uno de los físicos más
renombrados a nivel internacional. Sus trabajos habían recibido un
reconocimiento general considerándose de una gran originalidad y profundidad,
aunque también de extrema dificultad. Por dicha razón, aun cuando toda la
comunidad admiraba sus trabaos, su influencia era apreciablemente menor que la
que tenían Heisenberg, Born y Jordán por una parte, y Schrödinger por otra.
Esta situación empezó a cambiar a finales del año 1927 con la aparición de sus
dos primeros trabaos sobre la interacción radiación-materia Sin embargo, lo más
espectacular estaba aún por llegar. A principios de 1928 Dirac llenó de asombro
a todos sus colegas. La relatividad y la cuántica se daban la mano en una
ecuación cuyas soluciones escondían asombrosas sorpresas, y también, problemas
inesperados.
Capítulo 3
El electrón relativista…La antimateria
La
teoría cuántica del electrón es probablemente la mayor contribución de Dirac,
quien consiguió unir en una ecuación los aspectos esenciales de las dos grandes
teorías del siglo XX, la relatividad y la cuántica. La ecuación de Dirac
incorporaba de forma natural la propiedad del espín y explicaba perfectamente
el momento magnético del electrón. Sin embargo, también escondía hechos
completamente inesperados: valores negativos de la energía; apareció así por
primera vez el concepto de antimateria.
En
octubre de 1927 tuvo lugar en Bruselas una nueva edición de las famosas
conferencias Solvay y Dirac fue invitado, lo que muestra el grado de
reconocimiento de su trabajo en aquellos momentos. El congreso de 1927 se ha
hecho famoso por las acaloradas discusiones entre Bohr y Einstein sobre la
fundamentación de la mecánica cuántica y el principio de incertidumbre de
Heisenberg. Dirac asistió a dichas sesiones, donde conoció personalmente a
Einstein, pero mantuvo una postura bastante pasiva. Él mismo escribió:
Escuchaba
las argumentaciones pero no participaba directamente en la discusión, porque no
estaba muy interesado en el tema. [...] Creo que el trabajo fundamental de un
físico matemático es obtener las ecuaciones correctas; la interpretación de
dichas ecuaciones es de importancia menor.
En
cierto momento del congreso, Dirac mencionó a Bohr que estaba trabajando en una
ecuación relativista del electrón, ante lo cual el físico danés señaló que el
problema ya había sido resuelto por Klein. La respuesta de Bohr causó una
fuerte sorpresa en Dirac, quien no podía entender que tantos físicos estuviesen
satisfechos con una teoría, la de Klein, que no satisfacía algunos de los
principios fundamentales de la mecánica cuántica En poco más de dos meses, el
mundo de la física se vería sorprendido por la propuesta de Dirac, y Bohr sería
plenamente consciente del tremendo error que había cometido en su comentario.
§. Primeros intentos: La ecuación de Klein-Gordon
La fascinación que la teoría de la relatividad ejercía sobre Dirac hizo que
este siempre tuviese en mente la incorporación de la misma al mundo cuántico.
Lo intentó por primera vez tras la publicación del trabajo seminal de
Heisenberg, aunque sin éxito. Algunos meses después, cuando estudió el efecto
Compton y la formulación ondulatoria, Dirac hizo uso de una versión relativista
de la ecuación de ondas; versión sobre la que ya habían trabajado varios
físicos y que años después recibió el nombre de ecuación de Klein-Gordon (se
denota como ecuación KG), la cual debe su nombre a los físicos Oskar Klein
(1894-1977) y Walter Gordon (1893-1939). En aquellos momentos, Dirac no prestó
especial atención a dicha ecuación, que consideró simplemente como «una
herramienta matemática útil para el cálculo de los elementos de matriz, que
podrían entonces interpretarse dentro del contexto de la mecánica matricial de
operadores». Más aún, tras la formulación de su teoría de la transformación,
Dirac concluyó que la ecuación KG era claramente inconsistente al no satisfacer
propiedades básicas de la mecánica cuántica.¿En qué consistía la ecuación
cuántica relativista de Klein- Gordon, y por qué resultó inaceptable para
Dirac? Para contestar a estas cuestiones y entender las reticencias de Dirac,
debemos volver a comienzos de 1926, cuando Schrödinger estaba elaborando la formulación
ondulatoria de la mecánica cuántica Al igual que Dirac, el físico austríaco
también era consciente de la importancia de incluir consideraciones
relativistas en su formulación. De hecho, la primera ecuación cuántica de ondas
que obtuvo incorporaba efectos relativistas y era consistente con la expresión
clásica de la energía relativista. Sin embargo, Schrödinger nunca publicó dicha
ecuación al comprobar que no podía reproducir el resultado de Sommerfeld para
la constante de estructura fina.
Formulación
matemática de la ecuación de Klein-Gordon
En
la mecánica relativista la masa depende del sistema de referencia inercial.
Denominemos m a la masa propia de una partícula; es decir, la
masa de la partícula en su propio sistema de referencia. Supongamos que dicha
partícula se mueve con una velocidad v. Por simplicidad,
consideraremos el caso de una partícula libre, es decir, sin ningún tipo de
interacción. En esta situación, la energía total y el momento cinético vienen
dados por
donde
se ha introducido el denominado factor de Lorentz y (descrito en el capítulo
1). Combinando las expresiones de la energía y el momento, se obtiene la
siguiente relación:
Obsérvese
que para partículas en reposo la energía total es E=mc2,
y para partículas sin masa (el caso de los fotones) la energía viene dada
por E = cp. Es posible construir la ecuación cuántica de ondas
a partir de la expresión previa de la energía sustituyendo las variables
clásicas por los correspondientes operadores cuánticos (principio de
correspondencia):
Haciendo
uso de este principio, se obtiene la siguiente ecuación cuántica relativista:
Esta
es la denominada ecuación de Klein-Gordon, que suele expresarse en una forma
más concisa introduciendo el denominado operador de D'Alembert:
La
expresión previa se denomina forma «covariante» de la ecuación KG. El operador
es claramente invariante bajo transformaciones de Lorentz, lo cual implica que
la propia función de onda Ф(r,t) debe ser independiente del sistema de
referencia inercial.
Este
resultado, obtenido por Sommerfeld en 1915 haciendo uso de la teoría atómica de
Bohr, reproducía perfectamente los niveles energéticos del átomo de hidrógeno,
y por consiguiente, era un «test» esencial para cualquier teoría cuántica. En
marzo de 1926 Schrödinger publicó su nueva ecuación, la que actualmente lleva
su nombre, que no solo fue capaz de reproducir la fórmula de Sommerfeld, sino
que modificó completamente la imagen de la mecánica cuántica, convirtiéndose
con el paso del tiempo en la ecuación más famosa de la física —al mismo nivel
que la equivalencia masa-energía de Einstein—. Sin embargo, la ecuación de
Schrödinger no incorporaba la teoría relativista; al contrario, era consistente
con las expresiones clásicas de la mecánica de Newton.
«Es
una regla general que el creador de una nueva idea no es la persona más
apropiada para su desarrollo. Su temor a que algo pudiese no funcionar es
demasiado fuerte, impidiéndole en ocasiones tener el temple suficiente para
llevar la teoría o idea hasta sus últimas consecuencias.»
Paul
Dirac.
En
la primavera de 1926 Oskar Klein, trabajando de forma independiente a
Schrödinger, obtuvo y publicó la primera ecuación cuántica relativista,
ecuación que coincidía con la que previamente había obtenido el físico
austríaco. En los meses siguientes, varios físicos —Vladímir Fock, Gordon, De
Broglie, el mismo Schrödinger— trabajaron sobre dicha ecuación, analizando e
interpretando sus soluciones. El hecho de que Schrödinger no se atreviese a
publicar su ecuación relativista al ser incapaz de reproducir los datos
experimentales, fue comentado por Dirac en los siguientes términos:
Fue
un ejemplo de un investigador que, encontrándose en el camino correcto, decidió
no seguir adelante por su gran temor a equivocarse.
Según
Dirac, Schrödinger no debería haberse preocupado tanto por el desacuerdo con el
experimento.
La ecuación de Klein-Gordon es una ecuación diferencial en las variables
espaciales y temporal, cuya solución viene dada por la función de ondas, en la
cual se halla contenida toda la información física sobre el sistema que se está
analizando. Al contrario de la ecuación de Schrödinger, la ecuación KG es
consistente con la expresión relativista de la energía Además, satisface las
propiedades requeridas por la teoría de la relatividad; es decir, no se
modifica frente a transformaciones de Lorentz. En otras palabras, la ecuación
es válida independientemente del sistema de referencia inercial que se
considere. La ecuación KG es una ecuación diferencial de segundo orden no solo
en las variables espaciales —al igual que la de Schrödinger—, sino también en
la variable temporal. Este hecho, que está relacionado directamente con la
expresión relativista de la energía, fue el origen de continuos problemas en la
interpretación de los resultados de la ecuación KG, llevando finalmente a su
abandono durante algunos años.
La formulación de la mecánica ondulatoria con su ecuación de ondas permite no
solo resolver dicha ecuación determinando la función de ondas, sino también
introducir una densidad de probabilidad y una densidad de corriente que deben
satisfacer la denominada «ecuación de continuidad» o «de conservación». Este es
el caso de la ecuación KG, en la que se define una densidad de corriente que
verifica las propiedades generales de la teoría relativista. Sin embargo, el
problema fundamental de la ecuación KG surge con la interpretación de la
densidad de probabilidad. En el caso de la ecuación de Schrödinger, la densidad
de probabilidad, de acuerdo con la interpretación de Born, viene dada por el
módulo al cuadrado de la función de ondas; es decir, es definida positiva Por
el contrario, la ecuación KG conduce a una densidad de probabilidad que puede
ser positiva, negativa o nula Este resultado era consecuencia de la forma
singular de la ecuación KG con la presencia de una derivada de segundo orden en
el tiempo. Esto significa que para conocer la función de ondas en un instante
determinado es necesario no solo conocer la función de ondas en un instante
anterior, sino también su derivada en dicho instante previo. En otras palabras,
el hecho de que la ecuación KG sea de segundo orden en el tiempo implica que
son necesarias dos condiciones independientes para determinar completamente la
función de ondas. Una consecuencia de este resultado es que la densidad de
probabilidad puede ser negativa Pero, ¿cómo explicar que la probabilidad de
encontrar una partícula en un determinado lugar pueda ser negativa? Para Dirac
este resultado no era más que el reflejo de la inconsistencia de la ecuación de
Klein-Gordon, que no satisfacía propiedades básicas de la teoría cuántica tal y
como él las había formulado en su teoría de la transformación.
A Anales de 1926 la mayoría de los físicos eran conscientes de los problemas
que aquejaban a la ecuación KG. No solo era difícil aceptar la existencia de
densidades de probabilidad negativas, sino que tampoco parecía posible incluir
en la ecuación la nueva propiedad cuántica del espín, propiedad que parecía
estar íntimamente relacionada con la relatividad. Numerosos físicos estudiaron
el problema intentando encontrar una versión «mejorada» de la ecuación KG e
incluir los efectos del espín en el marco de la teoría de Schrödinger. Fue
Dirac quien consiguió plantear el problema de una forma mucho más original; a
partir de principios fundamentales desarrolló una ecuación en la que el espín
surgía como consecuencia natural de la propia teoría relativista.
Es importante señalar que la ecuación de Klein-Gordon fue recuperada en 1934
por Pauli y Weisskopf, reinterpretando sus soluciones y la densidad de
probabilidad como una densidad de carga De esta forma, la ecuación KG se conoce
hoy día como «ecuación cuántica relativista de espín cero», y se usa para
describir el comportamiento de partículas sin espín, como es el caso de los
piones. Estos existen en tres estados de carga eléctrica distinta piones
positivos, negativos y neutros, un reflejo del valor que puede adoptar la
densidad de carga definida a partir de la propia ecuación.
§. El espín del electrón
La propiedad de espín se introdujo como consecuencia de ciertas evidencias
experimentales que no podían explicarse con las teorías existentes: el efecto
Zeeman anómalo y el experimento de Stern-Gerlach. En ambos casos fue necesario
introducir un nuevo número cuántico que permitiese caracterizar cómo se
disponían los electrones en los átomos. En 1924 Pauli introdujo cuatro números
cuánticos para describir los estados electrónicos; los tres primeros
determinaban la posición espacial (n, l, m l),
y el cuarto, al que se denotó ms y cuyo significado
físico aún se desconocía, solo podía tomar dos valores. Al año siguiente, Pauli
introdujo su famoso principio de exclusión, el cual permitía entender cómo se
distribuían los electrones en los distintos átomos (su configuración electrónica).
Unos meses después, dos jóvenes estudiantes de la Universidad de Leiden
(Holanda), Samuel A. Goudsmit (1902-1978) y George E. Uhlenbeck (1900-1988),
asociaron el nuevo número cuántico con el momento angular correspondiente al
movimiento de rotación del electrón sobre sí mismo. La explicación de Goudsmit
y Uhlenbeck fue rápidamente cuestionada por las implicaciones que traía
consigo. En primer lugar, el electrón debía tener tamaño finito, de modo que la
propiedad de rotación sobre su propio eje tuviese sentido; es decir, el
electrón no podía ser una partícula elemental o puntual. Por otra parte, los
cálculos realizados por Lorentz mostraron que la velocidad angular en la
superficie del electrón debía ser considerablemente mayor que la velocidad de
la luz, en clara contradicción con la teoría de la relatividad. Estos
resultados parecían claramente absurdos y, por consiguiente, Goudsmit y
Uhlenbeck pidieron a su supervisor, Ehrenfest, que no enviase el trabajo para
su publicación. La respuesta de Ehrenfest forma parte de la historia de la
teoría cuántica;
Hace
ya tiempo que envié su trabajo. No se preocupen, ambos son lo suficientemente
jóvenes como para permitirse algunas tonterías.
El
espín es una propiedad fundamental que permite entender el comportamiento del
mundo subatómico. Es un concepto que no tiene analogía en el mundo clásico;
aparece como propiedad puramente cuántica Por dicha razón, no puede
interpretarse como una rotación de la partícula sobre su propio eje en el
espacio de coordenadas; el espín no depende de los grados de libertad
espaciales, es decir, no depende de las coordenadas ni de los momentos.
La ecuación de Schrödinger está definida exclusivamente en el espacio de
coordenadas y, por consiguiente, la función de ondas depende únicamente de las
coordenadas espaciales y temporal: El espín debe añadirse ad hoc como un nuevo
grado de libertad. Solo de esta forma es posible explicar el desdoblamiento de
las líneas espectrales en el átomo de hidrógeno observado en el efecto Zeeman
anómalo, o los resultados del experimento de Stern-Gerlach con la división del
haz en dos partes simétricamente distribuidas (véase la figura).
A mediados de 1926 la mayoría de los físicos consideraban que la presencia del
espín era una consecuencia directa de la teoría de la relatividad aplicada al
mundo cuántico. Esto explicaba que la ecuación de Schrödinger (consistente con
la teoría no relativista) no contuviese ninguna información sobre el espín. El
problema, sin embargo, era doble:
1. ¿Cómo
incorporar el espín en la ecuación de Schrödinger?
2. Si
el espín es un efecto asociado a la relatividad, ¿por qué no está presente en
la ecuación KG, que sí es consistente con la expresión relativista de la
energía?
La
respuesta a la primera pregunta la proporcionó Pauli en mayo de 1927 cuando
desarrolló su teoría del espín y la incorporó a la ecuación de Schrödinger.
Experimento de Stern-Gerlach. El haz de átomos emitido por la fuente se
desdobla en dos componentes discretas al atravesar un campo magnético no
homogéneo. Este resultado pone de manifiesto la cuantización del momento
magnético del espín.
Surgió
de esta forma la denominada «ecuación de Pauli». La segunda cuestión solo pudo
resolverse tras la aparición de la ecuación cuántica relativista del electrón:
la ecuación de Dirac.
§. La ecuación de Pauli
La teoría de Pauli se conoce hoy día como «teoría no relativista del espín».
Para Pauli el espín del electrón debía interpretarse como un momento angular
intrínseco. Así pues, introdujo tres operadores, definidos para las tres
componentes espaciales, que satisfacían las relaciones generales de conmutación
de los operadores cuánticos. La formulación era formalmente análoga a la
correspondiente a los operadores asociados al movimiento del electrón en sus
órbitas: momento angular cinético. Por otra parte, el hecho de que el número
cuántico ms asociado al espín solo pudiese tomar
dos valores fue incorporado por Pauli a la teoría de Schrödinger proponiendo
una función de ondas con dos componentes, cada una de ellas relacionada con uno
de los dos posibles valores de m. Así pues, los operadores
cuánticos de espín debían venir descritos como matrices 2×2. Pauli introdujo la
notación siguiente:
donde
el índice i se refiere a cualquiera de las tres
componentes: x, y, z; y el término σi representa
las denominadas «matrices de Pauli»:
Los
dos posibles valores de ms eran ± ħ/2.
Una vez definidos los operadores de espín, el siguiente paso de Pauli fue
relativamente sencillo. Al igual que el electrón en una órbita posee un momento
cinético orbital, también tiene un momento intrínseco asociado al espín.
Este momento intrínseco puede acoplarse con cualquier campo magnético externo.
Pauli aplicó su modelo al átomo de hidrógeno, comprobando que la presencia del
espín en el hamiltoniano daba lugar a un término de interacción con el propio
momento angular orbital del electrón.
Wolfgang
E. Pauli
Wolfgang
Ernst Pauli (1900-1958) nació en Viena, pero en 1918 se trasladó a la
Universidad de Múnich (Alemania), donde fue estudiante de Sommerfeld.
Física cuántica y rigor
Tras la aparición del trabajo seminal de Heisenberg sobre la mecánica cuántica,
Pauli tuvo una participación muy activa en la construcción de la nueva teoría:
describió el espectro del átomo de hidrógeno, desarrolló su propia versión de
la teoría cuántica del campo electromagnético e introdujo la primera
descripción del espín. En 1928 Pauli fue nombrado profesor de Física Teórica en
el Instituto Tecnológico de Zúrich (Suiza), donde permaneció el resto de su
vida, con la excepción del periodo 1940-1945, época en la que se trasladó a
Estados Unidos como profesor del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton.
En 1930 Pauli postuló la existencia de una nueva partícula, el neutrino, aunque
tuvieron que transcurrir más de veinte años para que se detectase. Pauli fue
famoso entre sus colegas por su carácter «hipercrítico». Toda nueva idea era
sometida al implacable juicio de Pauli, que podía resultar, en ocasiones,
«devastador» para el creador de la misma. Uno de sus típicos comentarios sobre
los trabajos que consideraba de escasa relevancia era: «Ni siquiera es
erróneo». Pauli siempre estuvo obsesionado por los aspectos de fundamentación
de la teoría cuántica. Su excesivo sentido crítico, también aplicado a sí
mismo, junto a su profundo conocimiento de la física, fueron en cierta medida
obstáculos que le impidieron desarrollar trabajos de mayor originalidad.
Es
incuestionable que la teoría de Pauli tuvo un gran éxito, puesto que explicaba
diversos hechos, entre ellos, el efecto Zeeman anómalo y el experimento de
Stern-Gerlach. Sin embargo, el mismo Pauli era consciente de los límites de su
teoría. Pauli incluyó el espín en la ecuación original de Schrödinger como una
simple corrección relativista. De hecho, la teoría de Pauli solo podía
reproducir la expresión aproximada (de primer orden) de la constante de
estructura fina de Sommerfeld. Además, la ecuación de Pauli no era consistente
con el principio de relatividad. El mismo Pauli reconoció que «uno debe
requerir de la teoría final que se formule en una forma invariante relativista
y que además permita realizar cálculos de orden superior». Este fue el camino emprendido
por Dirac: formular la ecuación a partir de los principios fundamentales de
ambas teorías, la relatividad y la cuántica.
§. La ecuación de Dirac
El 2 de enero de 1928 se recibió en la revista Proceedings of the Royal
Society el artículo titulado: «La teoría cuántica del electrón»,
enviado por Fowler y firmado por Dirac. En el mismo, Dirac escribió:
En
este trabajo se muestra que la falta de completitud de las teorías previas
[ecuación KG y teoría de Pauli del espín] se debe a que no son consistentes con
la relatividad o, alternativamente, con la teoría general de la transformación
de la mecánica cuántica Parece que el hamiltoniano más simple para un electrón
puntual que satisfaga los principios básicos tanto de la relatividad como de la
teoría de la transformación permite explicar todas las evidencias
experimentales sin necesidad de realizar ninguna suposición adicional.
En
este párrafo se muestra el camino que emprendió Dirac para construir su
ecuación cuántica relativista Por una parte, la ecuación debía respetar los
principios básicos de la teoría cuántica tal y como estaban formulados en la
teoría de la transformación: «El estado inicial de un sistema determina
totalmente el estado del mismo en un instante posterior». Esto significaba que
la ecuación de ondas debía ser una ecuación diferencial de primer orden en el
tiempo. De esta forma, la función de ondas en cualquier instante determinaba la
función de ondas en un instante posterior. Esta formulación —que es consistente
con la ecuación de Schrödinger, pero se aleja de la ecuación KG— conducía a una
densidad de probabilidad definida positiva Este resultado también estaba
relacionado con otro de los aspectos fundamentales de la teoría de la
transformación de Dirac: el operador hamiltoniano del sistema debía ser
hermítico. Esta propiedad aseguraba que los valores propios de dicho operador,
es decir, las energías del sistema, fuesen reales.
El segundo principio básico que guía la formulación de Dirac es el principio de
relatividad. La ecuación cuántica relativista debe ser válida en cualquier
sistema de referencia inercial. Sin embargo, ¿cómo introducir este aspecto en
la construcción de la ecuación? El procedimiento de Dirac, por su belleza y
simplicidad, es una muestra de su enorme genio creativo. Por una parte, en el
contexto de la teoría relativista, el tiempo y las coordenadas espaciales son
componentes del denominado «cuadrivector espacio-tiempo». Dirac concluyó
entonces que no existía ninguna razón para tratar ambos tipos de variables de
forma distinta en la ecuación cuántica de ondas. Por el contrario, si la
ecuación de ondas debía ser de primer orden en la derivada temporal —por
consistencia con la teoría cuántica—, la teoría relativista implicaba que las
variables espaciales debían asimismo introducirse a través de sus primeras
derivadas. Este tratamiento simétrico del tiempo y del espacio estaba en
consonancia con la formulación relativista, pero se alejaba de la ecuación no
relativista de Schrödinger, en la cual, las variables de tiempo y espacio
aparecen de forma distinta: derivada de primer orden en el tiempo y de segundo
orden en el espacio. Para Dirac, la simetría era una condición básica de la
teoría relativista, que a su vez, debía resultar consistente con la expresión
relativista de la energía:
En
resumen, la búsqueda emprendida por Dirac de una nueva ecuación cuántica
relativista para el electrón puede establecerse en los siguientes términos:
1. Debe
ser una ecuación diferencial de primer orden en el tiempo que incorpore las
variables espaciales en forma simétrica, es decir, también con derivadas de
primer orden.
2. El
operador hamiltoniano debe ser hermítico, de modo que la densidad de
probabilidad sea definida positiva y las energías reales.
3. Debe
reproducir la energía relativista y ser válida en cualquier sistema de
referencia inercial.
Operadores
hermíticos y matrices de Pauli
Los
operadores hermíticos son esenciales en la teoría cuántica puesto que los
valores propios asociados a los mismos son reales. En el caso del operador
hamiltoniano, la propiedad de «hermiticidad» nos asegura que la energía del
sistema que se está estudiando es real. Se dice que un operador es hermítico
cuando coincide con su adjunto. Consideremos el caso general de un operador
cuántico representado en forma matricial por una matriz 2×2:
El
operador adjunto viene dado por la matriz construida a partir de la original
cambiando filas por columnas y tomando para cada una de sus componentes sus
respectivos valores complejos conjugados. Se denomina matriz adjunta:
Si
ambas matrices coinciden, es decir, Ô = Ô↑ se dice que la
matriz Ô es hermítica, y puede demostrarse que sus valores propios son reales.
Las tres matrices de Pauli, σx, σy, σz son
hermíticas y «anticonmutan» entre sí, es decir, satisfacen las relaciones
generales impuestas por la ecuación de Dirac. Sin embargo, puede demostrarse
que cualquier matriz de dimensión 2×2 puede escribirse siempre como una
combinación lineal de las tres matrices de Pauli más la matriz identidad. Esto
significa que resulta imposible encontrar una cuarta matriz que «anticonmute»
con cada una de las tres matrices de Pauli. En otras palabras, la ecuación de
Dirac exige que la dimensión de los cuatro coeficientes matriciales que deben
determinarse sea superior a 2×2. Por otra parte, de las relaciones generales de
«anticonmutación» que deben verificar las matrices de Dirac se concluye que la
traza de las mismas debe ser cero. Se denomina «traza de una matriz» a la suma
de los elementos de la diagonal. Obsérvese que la traza de las matrices de
Pauli es nula. En el caso en que el número de filas y columnas de las matrices
fuese impar, sería imposible satisfacer las condiciones generales impuestas por
la ecuación de Dirac.
Dirac
propuso la siguiente ecuación general:
Obsérvese
que ambos tipos de variables —tiempo y espacio— se incluyen de forma similar.
Asimismo, existe un término adicional, βmc2 que está
relacionado con la masa propia del electrón, es decir, con la masa del mismo en
el sistema en que se encuentra en reposo. La ecuación previa depende de cuatro
coeficientes desconocidos: αx, αy, αz,
β. La cuestión es: ¿cómo determinarlos? Para ello, Dirac debía demostrar la
consistencia entre su ecuación y la expresión relativista de la energía.
Dirac era consciente de la «equivalencia» entre los operadores cuánticos y las
correspondientes magnitudes clásicas. De hecho, esta correspondencia había
permitido explicar la forma de la ecuación de Schrödinger y la ecuación de
Klein-Gordon. Haciendo uso de dicha analogía entre el mundo cuántico y el
clásico, la ecuación cuántica que Dirac estaba proponiendo conducía a la
siguiente ecuación clásica para la energía:
E =
c(αxpx + αypy +
αzpz) + βmc2.
¿Cómo
relacionar esta ecuación lineal en las tres componentes del momento cinético
con la complicada expresión relativista de la energía en la que aparece la raíz
cuadrada? Dirac estaba intentando encontrar un método que le permitiese
«linealizar» la ecuación relativista de la energía, determinando los cuatro
coeficientes desconocidos. El primer gran logro de Dirac fue descubrir que su
ecuación cuántica solo podía ser consistente con la expresión relativista de la
energía si los coeficientes que había introducido no conmutaban entre sí y,
además, sus cuadrados se reducían a la identidad. Matemáticamente se expresa en
la forma:
αiαj =
-αjαi (i≠j)
αiβ
= -βαi
αi2 =
β2 = 1
Los
índices i, j se refieren a cualquiera de las tres componentes
espaciales: x, y, z. Así pues, los coeficientes no podían ser
números-c, y Dirac los interpretó como matrices, lo cual requería a su vez que
la función de ondas, Ψ, además de la dependencia en las variables espaciales y
temporal, tuviese varias componentes. Este resultado no era novedoso. El año
previo, 1927, Pauli había introducido ya sus funciones de onda con dos
componentes relacionadas con los dos posibles valores del espín.
Sin embargo, el problema aún no estaba resuelto. El carácter hermítico del
hamiltoniano implicaba que las cuatro matrices debían ser a su vez hermíticas.
Dirac pensó en un primer momento en las matrices de Pauli, las cuales
satisfacían todas las condiciones requeridas. Sin embargo, las matrices de
Pauli eran solo tres, y Dirac necesitaba encontrar cuatro para construir su
ecuación. Tras algún tiempo de estudio, Dirac llegó a la conclusión de que
resultaba imposible añadir una cuarta matriz a las tres de Pauli. De hecho,
este resultado era ya conocido en aquellos años por los matemáticos que habían
demostrado que para matrices cuadradas de dimensión N×N, el
número máximo de matrices hermíticas independientes, y que «anticonmutasen»
entre sí, venía dado por N2-1. Por consiguiente, la única
posibilidad que tenía Dirac era aumentar la dimensión de las matrices. Tras
demostrar que la dimensión de las mismas debía ser necesariamente par, Dirac
introdujo finalmente cuatro matrices hermíticas independientes de dimensión
4×4. Esta era la mínima dimensión que resultaba consistente con las propiedades
generales de su ecuación. Dirac señaló:
Necesité
varias semanas para darme cuenta de que no era necesario hacer uso de variables
con solo dos filas y dos columnas. ¿Por qué no considerar cuatro filas y cuatro
columnas?
Matrices
y forma covariante de la ecuación de Dirac
La
ecuación de Dirac aparece grabada en la placa conmemorativa que se encuentra en
la abadía de Westminster. Sin embargo, la forma en la que aparece escrita
corresponde a la denominada «formulación covariante». Con ello, se expresa que
la forma de la ecuación es la misma en cualquier sistema de referencia
inercial, un resultado básico en relatividad. Para simplificar la forma de
escribir las ecuaciones, en la teoría cuántica relativista es habitual
considerar tanto la constante reducida de Planck, ħ, como la
velocidad de la luz c, iguales a la unidad. Ello se denomina «sistema natural
de unidades». La ecuación de Dirac se expresa entonces en la forma:
donde
se ha introducido el denominado operador nabla, ∇, y se ha hecho uso de la expresión:
Las
matrices de Dirac se pueden expresar directamente en función de las matrices de
Pauli, σk, en la forma siguiente:
Introduciendo
la notación: γº ≡ 0; γk ≡ βα k y
multiplicando la ecuación de Dirac previa a la izquierda por la matriz β puede
expresarse finalmente:
La
ecuación de la derecha coincide con la expresión grabada en Westminster. A
pesar de su aparente simplicidad, nótese que en realidad son cuatro ecuaciones
diferenciales acopladas. Se conoce como «forma covariante de la ecuación de
Dirac para electrones libres», e incorpora el operador:
El
valor de la ecuación
Dirac no solo introdujo esta forma de su ecuación en su trabajo original de
1928, sino que, además, demostró que satisfacía la propiedad de invariancia
bajo transformaciones de Lorentz. De este modo, la ecuación de Dirac
constituía, sin ninguna duda, una descripción satisfactoria del comportamiento
cuántico de las partículas subatómicas: proporcionaba la relación momento-
energía relativista, daba lugar a una densidad de probabilidad definida
positiva con valores reales de la energía, y por último, era consistente con el
principio de relatividad de Einstein.
Muchos
años después, Dirac recordaba: «Mirando hacia atrás, me resulta extraño que me
costase tanto tiempo resolver un aspecto tan elemental». Dirac llevó las
matemáticas a sus últimas consecuencias, y la necesidad de introducir
dimensiones adicionales le forzó a aceptar funciones de onda descritas por
cuatro componentes cuyo significado físico, aparte de los dos posibles estados
del espín, traería de cabeza a los físicos durante los años siguientes. La
teoría de Dirac del electrón es un ejemplo de lo que Wigner denominó «la
irracional eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales».
§. Éxitos asombrosos, problemas inesperados
La ecuación de Dirac llenó de asombro a todos sus colegas. Algunos de ellos
llevaban meses trabajando arduamente en la construcción de una ecuación
cuántica relativista, y el descubrimiento del trabajo de Dirac les dejó
perplejos y con una gran sensación de frustración. Jordán señaló: «No puedo
perdonarme el no haber sido capaz de ver que el punto esencial era encontrar
una expresión lineal». A pesar de ello, Jordán reconoció la grandeza del
trabajo de Dirac: «Hubiese preferido haber encontrado yo la ecuación, pero la
formulación de Dirac es tan maravillosa y la ecuación tan concisa, que todos
debemos sentimos felices de tenerla». Esta opinión era compartida por la
práctica totalidad de físicos. Heisenberg manifestó: «Tengo en la más alta
consideración su último trabajo sobre el espín», y Ehrenfest: «Encuentro el
último trabajo de Dirac sobre el espín del electrón simplemente espléndido».
«La
deducción del espín fue considerada como un milagro.
El sentimiento general era que Dirac había conseguido más de lo que merecía.
Nadie antes había hecho física en esa forma. Definitivamente, la ecuación de
Dirac fue considerada como la solución; una absoluta maravilla.»
Léon Rosenfeld, físico belga colaborador de Born En Gotinga.
El
entusiasmo que generó la ecuación de Dirac no solo fue debido a la forma en la
que surgió de la mente de Dirac, con la supremacía de los principios básicos de
la física sobre cualquier método empírico, sino también a las soluciones que
proporcionó. La propiedad de espín surgía como una consecuencia natural de la
propia estructura de la ecuación, que a su vez era resultado inevitable de los
principios básicos de las dos grandes teorías de la física: relatividad y
cuántica La ecuación proporcionaba el momento magnético del electrón y era
capaz de reproducir la expresión exacta de la constante de estructura fina.
El término de interacción entre el espín del electrón y su momento angular
orbital en el átomo de hidrógeno también surgía de forma automática,
incorporando además el factor de Thomas. Este era un efecto puramente
relativista relacionado con la transformación entre los sistemas de referencia
asociados al electrón y al protón (núcleo), y que era necesario introducir «a
mano» en la ecuación de Pauli. Por último, la ecuación de Dirac se reducía a la
de Schrödinger o a la de Pauli en el límite de energías cinéticas pequeñas
comparadas con la energía propia del electrón. La ecuación de Dirac fue, sin
duda alguna, uno de los logros más impactantes de la física en el siglo XX. Sin
embargo, la ecuación trajo consigo también una enorme confusión. Heisenberg
recordaba muchos años después:
Hasta
principios de 1928 tenía la impresión que, en la teoría cuántica, habíamos
conseguido arribar a un puerto seguro. El trabajo de Dirac nos lanzó a todos de
nuevo al mar.
Las
dificultades asociadas con la ecuación de Dirac estaban implícitas en la propia
estructura de la ecuación. Si para describir el espín solo se necesitaban dos
componentes, ¿qué sentido teman las dos dimensiones adicionales que aparecían
en la ecuación de Dirac? Hubieron de transcurrir varios años para entender
claramente el significado físico contenido en las soluciones de la ecuación de
Dirac. Sin embargo, la estructura matemática de la ecuación no dejaba lugar a
dudas: las soluciones correspondían no solo a electrones ordinarios con energía
positiva, sino también a electrones con energía negativa.
Dirac fue consciente de esta dificultad desde el primer momento. De hecho,
señaló que la presencia de ambos tipos de soluciones, energías positivas y
negativas, resultaba inevitable en cualquier teoría cuántica relativista En su
trabajo seminal sobre el electrón, Dirac menciona las dos grandes dificultades
que aquejaban la teoría previa de Klein-Gordon:
1. No
ser una ecuación lineal en la energía, o análogamente, en la derivada temporal.
2. Validez
de la ecuación tanto para electrones con carga +e, como para
electrones con carga -e.
Dirac
escribió en su trabajo:
Algunas
de las soluciones de la ecuación de onda son paquetes de onda describiendo una
partícula de carga -e, mientras que otras corresponden a una partícula de carga
+e. Para esta segunda clase de soluciones la energía E tiene un valor negativo.
Nótese
que Dirac estaba asociando las soluciones de energía negativa con partículas
cuya carga era opuesta a la del electrón. La ecuación de Dirac resolvió la
primera dificultad pero no dio respuesta a la segunda Por dicha razón, Dirac
consideró en un primer momento que su teoría era una simple aproximación al
problema, y señaló:
La
verdadera ecuación relativista de onda debe ser tal que sus soluciones se
dividan en dos conjuntos independientes, cada uno de ellos correspondiendo a
partículas de carga -e y +e, respectivamente.
Además,
Dirac mencionaba en su trabajo que todas esas soluciones asociadas a electrones
de carga +e debían eliminarse; sin embargo, al mismo tiempo
era consciente de las diferencias esenciales que existían entre la teoría
clásica y la teoría cuántica y sus posibles implicaciones respecto al nuevo
tipo de soluciones:
En
la teoría clásica uno elimina la dificultad excluyendo arbitrariamente todas
aquellas soluciones que corresponden a una energía negativa. En la teoría
cuántica no puede hacerse esto, puesto que en general cualquier perturbación
puede producir transiciones de estados con energía positiva a estados con
energía negativa. Este tipo de transiciones corresponderían experimentalmente a
un proceso en el que un electrón modifica súbitamente su carga de un valor -e a
+e. Este fenómeno aún no ha sido observado.
Los
párrafos previos ponen claramente de manifiesto la gran dificultad conceptual
que originó la ecuación de Dirac y la interpretación física de sus soluciones.
Obsérvese que el propio Dirac expresó argumentaciones contradictorias en su
trabajo. En los meses siguientes a la aparición de la ecuación, el problema de
las soluciones de energía positiva/negativa se convirtió en uno de los mayores
quebraderos de cabeza para toda la comunidad de física cuántica. Heisenberg
llegó a escribir en una carta dirigida a Pauli: «El capítulo más penoso de la
física moderna es la teoría de Dirac».
§. Años de viajes y confusión
Un mes después de la aparición de la ecuación relativista del electrón, Dirac
publicó un segundo trabajo en el que aplicó su teoría a determinados problemas
concretos: las reglas de selección en transiciones atómicas y el efecto Zeeman.
Sin embargo, la situación sobre la ecuación de Dirac y la interpretación de sus
soluciones de energía negativa seguía siendo de confusión total. Coincidiendo
con este período, Dirac realizó una serie de viajes a diversos centros, donde
impartió seminarios sobre su nueva teoría. Durante la primavera y verano de
1928 visitó Copenhague, Leiden, Leipzig y Gotinga. En Leipzig coincidió con
Heisenberg, que acababa de ser nombrado profesor en dicha universidad y con
quien mantuvo numerosas discusiones. Heisenberg mostró en diversos escritos la
gran frustración que le producía la ecuación de Dirac. En una carta dirigida a
Jordán señaló:
Dirac
ha estado aquí y ha impartido varios seminarios sobre su nueva teoría; sin
embargo, ha sido incapaz de resolver las dificultades presentes.
Durante
los meses siguientes los sentimientos de frustración y confusión en Heisenberg
aumentaron aún más. En una carta dirigida a Bohr afirmó:
Tras
un estudio más cuidadoso de la teoría de Dirac, encuentro las dificultades
mucho más serias de lo que me habían parecido al principio. [...] La situación
presente es bastante absurda, y casi desesperante. (...) He decidido cambiar de
campo de estudio, los próximos meses me dedicaré al ferromagnetismo.
Un
sentimiento similar invadía a Dirac, aunque este nunca lo reconociese de forma
tan explícita En julio de 1928, admitió ante Klein que «hasta el momento todos
mis intentos para resolver la dificultad de las soluciones positivas/negativas
han fracasado».
Tras finalizar su estancia en Gotinga, Dirac decidió visitar la Unión Soviética
En los años sucesivos, incluso en períodos de grandes dificultades, Dirac
visitó con frecuencia este país, siendo uno de los físicos que mantuvo un
contacto más directo con sus colegas rusos. Con algunos de ellos, como Kapitsa
y Tam, estableció lazos de amistad que perduraron toda su vida.
La
paradoja de Klein
Uno
de los problemas típicos que cualquier estudiante de física debe resolver en un
curso de física cuántica es el de un electrón aproximándose a una barrera de
potencial de altura determinada (véase la figura). El problema se plantea
describiendo el electrón mediante la ecuación de Schrödinger. y se analiza el
comportamiento de la función de onda en presencia de la barrera de potencial.
De esta forma se pueden calcular los coeficientes de transmisión y reflexión,
es decir, la probabilidad de que la función de onda del electrón se transmita a
través de la barrera, y la cantidad de flujo reflejado. Los resultados
obtenidos ponen de manifiesto algunas propiedades puramente cuánticas. Así, se
puede comprobar que, aunque el electrón incidente tenga una energía algo menor
que la altura de la barrera de potencial, existe una cierta probabilidad no
nula de transmisión de la función de onda. Clásicamente, en esta situación, el
electrón no podría atravesar la barrera en ningún caso. ¿Cómo aparece la
paradoja? La denominada «paradoja de Klein» surge cuando el estudio se realiza
haciendo uso de la ecuación de Dirac. Klein analizó este problema y comprobó
que los resultados que obtenía en determinadas situaciones eran completamente
distintos a los que surgían de la ecuación de Schrödinger; resultados muy
difíciles de entender y aparentemente absurdos.
Así,
comprobó que para un potencial suficientemente intenso, mayor que la energía
total (energía cinética más energía propia) del electrón, la función de onda
transmitida no presentaba un comportamiento exponencial decreciente, como
sucede con la ecuación de Schrödinger, sino que mantenía su forma oscilatoria
con energías negativas. Análogamente, el estudio de las probabilidades de
transmisión y reflexión de la función de onda incidente a través de la barrera
muestra que existe más flujo reflejado que el existente inicialmente. Este
incomprensible resultado va íntimamente ligado al hecho de que exista también
transmisión de flujo asociado a una carga opuesta a la del electrón incidente:
en otras palabras, la onda transmitida está ligada a soluciones de energía
negativa. Los resultados de la paradoja de Klein aparecen también cuando el
análisis se realiza con la ecuación de Klein-Gordon; es decir, son una
consecuencia natural del uso de una ecuación cuántica relativista. La paradoja
de Klein pone de manifiesto la imposibilidad de mantener una descripción
cuántica relativista de una sola partícula subatómica en presencia de
potenciales de interacción; en otras palabras, la presencia de interacción
permite la creación de partículas en consonancia con el principio de
equivalencia masa-energía de Einstein. La paradoja de Klein nos muestra que la
interacción inevitablemente produce el acoplamiento o transición entre los dos
tipos de solución de la ecuación de Dirac: energía positiva y negativa.
Recuérdese que el número de partículas no se conserva en la teoría cuántica
relativista, una diferencia esencial con la teoría no relativista y la ecuación
de Schrödinger.
Dirac
regresó a Cambridge en otoño de 1928 y permaneció allí los seis meses
siguientes, durante los cuales comenzó a trabajar en lo que unos años después
sería su libro sobre la teoría cuántica Paralelamente, surgieron nuevos
estudios de la ecuación de Dirac que arrojaron aún más confusión sobre la misma
Por una parte, Klein analizó el problema de un electrón relativista moviéndose
contra una barrera de potencial. Los resultados en algunas situaciones parecían
absurdos. Este problema se denomina «paradoja de Klein».
Unos meses después, el propio Klein y el físico japonés Yoshio Nishima
(1890-1951) desarrollaron, haciendo uso de la ecuación de Dirac, una teoría
para describir la dispersión de fotones por electrones libres. Los resultados
obtenidos solo estaban de acuerdo con los datos experimentales si se incluía la
contribución de las componentes de energía negativa ¿Cómo era posible que la
misma teoría condujese a resultados aparentemente absurdos en algunas
situaciones y, sin embargo, fuese capaz de describir el comportamiento de la
naturaleza solo cuando todas sus componentes se tenían en cuenta?
Durante la mayor parte del año 1929 Dirac mantuvo una positura expectante ante
las dificultades que parecían ir surgiendo cada día sobre su ecuación. Seguía
manteniendo una confianza absoluta en la corrección y consistencia de su
teoría, pero no sabía cómo resolver las cuestiones que continuamente planteaban
sus colegas. Dirac decidió hacer un paréntesis y se trasladó durante varios
meses a la Universidad de Wisconsin en Madison (Estados Unidos). Este fue su
primer viaje al continente americano. Allí se encontró con Heisenberg, invitado
a su vez por la Universidad de Chicago.
Durante esta primera etapa americana de Dirac surgieron numerosas anécdotas que
se han hecho muy conocidas. Para apreciar aún mejor el extraño carácter del
físico, mencionemos a modo de ejemplo una de ellas. En cierta ocasión, tras
finalizar Dirac un seminario, el moderador preguntó a los asistentes si alguien
tenía alguna pregunta o duda. Alguien en la audiencia se puso en pie y dijo:
«Profesor Dirac, no entiendo la ecuación que usted ha escrito en la pizarra».
Dirac permaneció completamente en silencio, ante lo cual la situación empezó a
resultar bastante incómoda. Finalmente, el moderador se vio obligado a
intervenir pidiendo a Dirac que diese alguna respuesta. Dirac señaló: «No fue
una pregunta, fue un simple comentario». Está claro que Dirac no era capaz de
entender entre líneas, y ello le llevaba en ocasiones a que no supiese tratar
con tacto a sus semejantes.
Heisenberg y Dirac decidieron viajar juntos desde Estados Unidos a Japón, donde
ambos habían sido invitados a impartir varias conferencias en las universidades
de Tokio y Kioto. Se ha especulado mucho sobre si durante dicho viaje ambos
físicos discutieron acerca de la problemática asociada a la ecuación de Dirac.
En palabras de Dirac:
En
1929 Heisenberg y yo cruzamos el Pacífico y estuvimos un tiempo en Japón. Sin
embargo, no mantuvimos ninguna discusión sobre aspectos técnicos. Ambos
queríamos disfrutar de unas vacaciones y alejamos de la física. Las únicas
discusiones que mantuvimos sobre física fueron durante los seminarios que ambos
impartimos en Japón.
Dirac
regresó a Cambridge en octubre de 1929 e inmediatamente empezó a trabajar en
una nueva idea que, en su opinión, proporcionaría una respuesta a todas las
dificultades asociadas a las soluciones positivas/negativas. El nuevo trabajo
de Dirac tomaba como punto de partida la sugerencia realizada por Weyl en la
primavera de 1929:
Parece
plausible pensar que de los dos pares de soluciones de la ecuación de Dirac,
uno de ellos corresponde al electrón y el otro al protón.
Una
vez más, dos años después de la aparición de la ecuación relativista del
electrón, Dirac volvió a dejar perplejos a la mayoría de sus colegas con una
idea que fue recibida con entusiasmo por muy pocos físicos. La posición
dominante fue de gran escepticismo, incluso de rechazo. Sin embargo, para
resolver una gran dificultad conceptual, Dirac se vio obligado a introducir una
idea aún más atrevida, que a su vez trajo consigo nuevos problemas asociados.
En dicha idea también se hallaba contenido el germen de la solución final y,
además, una sorpresa imposible de imaginar en aquellos momentos: las
antipartículas.
§. La teoría de agujeros. Electrones y protones
Las componentes de energía negativa eran una consecuencia de la propia ecuación
relativista que no podían ignorarse; sin embargo, Dirac señaló que tales
estados no podían identificarse directamente con partículas físicas, como había
propuesto Weyl, sin caer en paradojas y situaciones absurdas. La nueva
interpretación de Dirac de los estados de energía negativa fue presentada en un
trabajo titulado: «Una teoría de electrones y protones», enviado para su
publicación a primeros de diciembre de 1929. Al contrario de la mayoría de
trabajos previos de Dirac, el nuevo estudio apenas contenía ecuaciones y su lectura
resultaba bastante más fácil.
Antes de que su trabajo apareciese publicado, Dirac mantuvo correspondencia con
Bohr mencionando en varias cartas las ideas esenciales de su nueva teoría Bohr
se mostró muy escéptico con la interpretación de Dirac, considerando incluso
algunos aspectos de la misma claramente absurdos. No fue el único. El mismo mes
de diciembre de 1929, Heisenberg escribía a Bohr en los siguientes términos:
Dirac
ha escrito un nuevo trabajo sobre el problema ±e\ {...] soy muy escéptico
porque las masas del protón y electrón deberían ser iguales.
Heisenberg
envió sus objeciones al propio Dirac:
Creo
que su nueva teoría se aleja demasiado de cualquier correspondencia con las
leyes clásicas, y también con las evidencias experimentales.
¿En
qué consistía la nueva teoría de Dirac para recibir críticas tan severas? ¿Por
qué Dirac no podía aceptar la propuesta original de Weyl? Dirac señaló que la
identificación directa de las soluciones de energía negativa con protones traía
consigo paradojas que no podían aceptarse. Por ejemplo, mencionó que una
transición de un electrón desde un estado de energía positiva a otro de energía
negativa sería interpretada como un cambio de electrón a protón. Este hecho
estaría en contradicción con la conservación de la carga eléctrica. Asimismo,
un electrón de energía negativa tendría menos energía cuanto más rápidamente se
desplazase, situación incomprensible. Dirac señaló en su trabajo que la única
forma de superar estas dificultades era reinterpretar las soluciones
correspondientes a electrones con energía negativa y su relación con partículas
físicas.
La hipótesis que Dirac realiza es la siguiente: «Todos los estados de energía
negativa están ocupados por electrones». Con esta suposición ningún electrón
con energía positiva puede decaer en un estado de energía negativa, puesto que
dicho estado está ya ocupado, y el principio de exclusión de Pauli impide que
dos electrones puedan ocupar el mismo estado cuántico. Dirac resuelve de esta
forma el problema de las transiciones, pero a costa de introducir un número
infinito de electrones en estados de energía negativa A pesar de las objeciones
indicadas por Bohr —los electrones producirían una densidad de carga negativa
infinita—, Dirac señaló que dicha distribución sería totalmente uniforme y, por
consiguiente, no tendría ningún efecto observable. Solo pequeñas alteraciones
de esta situación de homogeneidad, por ejemplo, a través de un reducido número
de estados de energía negativa desocupados, producirían efectos que podrían
detectarse.
Dirac introdujo por primera vez en la física una imagen del estado del vacío
cuántico. Este estaba constituido por una infinidad de electrones ocupando
estados de energía negativa. Esta situación correspondería al estado de máxima
estabilidad y se conoce hoy día como «mar de Dirac». Aunque la idea era
ingeniosa y le permitió «resolver» las paradojas antes mencionadas, no es
extraño que la mayoría de los físicos mostrasen un gran escepticismo, cuando no
absoluto rechazo, a la nueva interpretación. No era fácil aceptar que el estado
de vacío cuántico viniese descrito por un número infinito de electrones.
En todo caso, Dirac señaló que solo los estados de energía negativa que no
estuviesen ocupados por electrones producirían efectos físicos. Un estado
vacante o hueco en el mar de Dirac, es decir, la ausencia de un electrón, se
comportaría a todos los efectos como un estado de energía positiva y carga
también positiva Dirac concluyó:
Por
consiguiente, llegamos a la conclusión de que los agujeros en la distribución
de estados correspondientes a electrones de energía negativa son los protones.
La
identificación de los huecos directamente con los protones permitió a Dirac
señalar:
De
esta forma podemos resolver las dificultades y situaciones paradójicas
mencionadas al comienzo, y solo se requiere postular un tipo de partícula
fundamental, en lugar de dos, electrón y protón, como ha sido necesario hasta
el momento.
En
otras palabras, la nueva teoría de Dirac proporcionaba una explicación unitaria
de ambas partículas, electrón y protón, que podían considerarse como dos
manifestaciones de un único estado fundamental.
La teoría de agujeros de Dirac, con la identificación de los huecos con los
protones, traía consigo dos dificultades añadidas. En primer lugar, la
presencia de un hueco —o existencia de un protón— implicaba que un electrón con
energía positiva podía caer en dicho hueco. Esto era equivalente al proceso de
aniquilación de un electrón y un protón. Análogamente, un electrón en el mar de
Dirac podría absorber radiación, siendo excitado a un estado de energía
positiva. En otras palabras, se crearían un electrón y un protón. Ambos tipos
de procesos, creación y aniquilación de partículas, eran consistentes con el
principio de equivalencia masa-energía de la relatividad. Sin embargo, ninguno
de los procesos había sido observado nunca.
Cuatro de los premiados con el Nobel en 1933; de izquierda a derecha, el
escritor Iván Bunin y los físicos Schrödinger, Dirac y Heisenberg.
La
segunda dificultad en la teoría de Dirac estaba relacionada con la enorme
diferencia de masa entre el electrón y el protón. Recuérdese que el protón es
aproximadamente dos mil veces más pesado que el electrón. Dirac era plenamente
consciente de este problema y así lo señaló en su trabajo:
¿Puede
la teoría presente explicar la gran asimetría existente entre electrones y
protones? [...] Es evidente que la teoría de agujeros es consistente con un
tratamiento simétrico de ambas partículas. [...] Sin embargo, dicha simetría no
es matemáticamente perfecta cuando se tiene en cuenta la interacción entre los
electrones y los protones. [...] Las consecuencias de esta asimetría no son
fáciles de calcular en el contexto relativista, pero esperamos que sea posible
encontrar una explicación de las diferentes masas del protón y electrón.
¿Por
qué Dirac se empeñó en identificar los huecos de su teoría con los protones a
pesar de ser consciente de las grandes dificultades que esta interpretación
implicaba?
Una de las fotografías más famosas de la historia de la ciencia: los
participantes en la conferencia Solvay de 1927. Dirac está justo en el centro.
La
explicación la proporcionó él mismo en una reunión de la Asociación Británica
para el Desarrollo de la Ciencia que tuvo lugar en Bristol en septiembre de
1930:
Siempre
ha sido el sueño de los filósofos poder construir toda la materia a partir de
una partícula fundamental; por lo tanto, no resulta completamente satisfactorio
tener dos partículas, electrón y protón, en nuestra teoría. Existen, sin
embargo, razones poderosas para pensar que electrones y protones no son
entidades independientes, sino manifestaciones de un solo tipo de partícula
Esta conexión viene forzada por consideraciones de simetría de la carga
eléctrica.
Creación
y aniquilación de pares en la teoría de Dirac
El
espectro energético resultante de la ecuación de Dirac se muestra en la figura
1. En la misma se observa un continuo de estados de energías positivas por
encima de la energía propia del electrón, mc2.
Estos
estados corresponden a electrones físicos con distintas energías cinéticas. Por
otra parte, la ecuación de Dirac lleva implícito también el continuo de
soluciones de energía negativa menores que -mc2.Este
continuo de estados es el denominado «mar de Dirac». El concepto de «vacío
cuántico» corresponde a todos estos estados ocupados por electrones. De esta
forma, Dirac explica la estabilidad de la materia haciendo uso del principio de
exclusión de Pauli: no es posible ninguna transición de un estado físico con
energía positiva a otro de energía negativa al ·estar ya ocupado. El mar de
Dirac corresponde a una situación completamente homogénea, sin ningún tipo de
efecto observable a no ser que se produjese alguna alteración de dicha
situación, por ejemplo, a través de la ausencia de alguno de los electrones en
dicho mar (figura 2).
La
imagen de Dirac trae consigo la posibilidad de creación y aniquilación de
partículas. ¿cómo se interpretan dichos procesos en el contexto de la teoría de
agujeros de Dirac? La presencia de un estado desocupado en el mar de Dirac
permitiría que un electrón con energía positiva pudiese caer en el hueco
desprendiéndose de la diferencia de energía a través de la emisión de radiación
electromagnética. Identificando el hueco en el mar de Dirac como una partícula,
el proceso se interpretaría como la aniquilación de un electrón y una partícula
positiva dando lugar a radiación (panel derecho de la figura 3). Cuando Dirac
identificó los huecos como antielectrones, el proceso señalado correspondía a
la aniquilación de un par electrón/antielectrón. Por otra parte, también sería
posible excitar el estado de vacío cuántico. A sí, la presencia de radiación
electromagnética podría arrancar un electrón del mar de Dirac y llevarlo a un
estado en el continuo de energías positivas (panel izquierdo de la figura 3).
Para ello, la energía proporcionada debe ser igual o superior a 2mc 2,
la anchura mínima de la zona prohibida que el electrón debe superar. En esta
situación, el proceso daría lugar en el estado final a la creación de un hueco
en el mar de Dirac, es decir, una partícula positiva: el antielectrón de Dirac,
y un electrón. Ello se denomina «creación de pares partícula/antipartícula».
§.
El antielectrón. El mundo de las antipartículas
En 1930 Dirac consideraba esencial disponer de una teoría física unitaria para
el electrón y el protón, lo que se denominó «el sueño de los filósofos». Esta
idea hizo que se empeñase en mantener a flote su teoría a pesar de las
evidencias y los resultados, algunos desarrollados por él mismo, que mostraban
claramente la inconsistencia de su interpretación de los protones. En febrero
de 1930 el físico estadounidense Robert Oppenheimer (1904-1967) publicó un breve
trabajo en el que mostraba que la vida media de un electrón atómico antes de
desintegrarse con un protón, tal y como establecía la teoría de Dirac, era
aproximadamente 10 ° segundos, lo cual era a todas luces absurdo, puesto que
significaría que la materia no es estable. Oppenheimer concluyó que la teoría
de Dirac necesitaba ser modificada; protones y electrones debían ser partículas
diferentes.
Al mes siguiente, el propio Dirac envió a publicar el trabajo titulado: «Sobre
la aniquilación de electrones y protones». En el mismo reconocía una vez más
que la gran diferencia entre las masas de los electrones y protones constituía
una seria dificultad. Dirac obtuvo una expresión para la probabilidad de
aniquilación electrón-protón, mencionando:
No
podemos dar una interpretación numérica precisa de nuestro resultado puesto que
no sabemos si la masa que aparece en la expresión se refiere a la del electrón
o protón. En todo caso, el resultado obtenido es demasiado grande como para
poder explicar la estabilidad de los electrones y protones.
Sin
embargo, Dirac no dio su brazo a torcer, y concluía el trabajo con las
siguientes palabras:
Hemos
de suponer que la interacción entre el electrón y el protón debe reducir muy
apreciablemente el área de colisión. [...] Posiblemente para energías muy altas
el resultado de este trabajo será preciso cuando la masa tenga el valor
apropiado.
El
físico ruso Igor Tam llegó a la misma conclusión: la vida media de electrones y
protones en los átomos en la teoría de Dirac era completamente inconsistente
con la realidad. Al igual que Dirac y Oppenheimer, Tam pensaba que la inclusión
de los efectos de interacción entre electrones y protones mejoraría los
resultados. Tanto Oppenheimer como Tam fueron de los pocos físicos que
aceptaron la teoría de huecos de Dirac. De ahí su empeño en mantener dicha
teoría a pesar de los resultados absurdos que traía consigo.
Dirac persistió durante algunos meses en su interpretación del protón como un
hueco en el mar de electrones de energía negativa Sin embargo, también sabía
perfectamente que muy pocos físicos compartían su opinión. El hipercrítico
Pauli formuló lo que llegó a conocerse en los círculos internos de la física
cuántica como el «segundo principio de Pauli»:
En
el momento en que un físico proponga una teoría, debe inmediatamente aplicarse
al propio autor así pues, Dirac debería ser aniquilado.
Durante
el otoño de 1930 aparecieron nuevos trabajos que volvieron a cuestionar
seriamente la interpretación de Dirac. Por una parte, Tam informó a Dirac:
Pauli
nos ha comentado que ha comprobado de forma rigurosa que, en el contexto de la
teoría de huecos, la interacción entre los electrones y protones no puede
destruir la igualdad entre las masas de los mismos.
Poco
tiempo después, en noviembre de 1930, Weyl demostró con argumentos de simetría
que el hueco en la teoría de Dirac debía tener necesariamente la misma masa que
el electrón. El resultado de Weyl comenzó a minar la confianza de Dirac en su
imagen del protón y su idea de una teoría unitaria Dirac apreció especialmente
las objeciones de Weyl porque consideraba que su forma de aproximarse a la
física, a través del uso de las matemáticas, coincidía con su propia forma de
trabajar. Refiriéndose a Weyl, Dirac escribió:
Weyl
era un matemático, no un físico. Él analizaba las consecuencias matemáticas de
una idea, desarrollando todo aquello que surgía de las diversas simetrías. De
esta forma, Weyl llegó a la conclusión que los huecos debían tener exactamente
la misma masa que los electrones. Weyl no realizó ningún comentario sobre las
implicaciones físicas de tal resultado; quizá ni siquiera estuvo interesado en
dichas implicaciones.
«Los teóricos deben concentrarse mucho más en los fundamentos matemáticos de su
tema de investigación y mucho menos en las noticias de los laboratorios.»
Paul
Dirac.
A
principios de 1931 Dirac aceptó la idea de Weyl y decidió abandonar su teoría
unitaria del electrón y protón, aunque seguía manteniendo una confianza plena
en la validez de la teoría general de agujeros y la existencia del mar de
Dirac. En mayo de 1931 publicó un nuevo trabajo en el que presentó una versión
diferente de su teoría de huecos con una hipótesis aún más atrevida; los huecos
en el mar de electrones de energía negativa correspondían a unas partículas
nuevas que aún no se habían detectado. El trabajo de Dirac de 1931 lleva por
título «Singularidades cuantizadas en el campo electromagnético». En el mismo,
Dirac escribió:
Podemos
suponer que en el mundo que conocemos todos los estados de energía negativa
están ocupados por electrones. Un hueco, en el caso de existir, sería un nuevo
tipo de partícula, desconocida para la física experimental, y que tendría la
misma masa que el electrón pero carga opuesta. Podemos llamar a tal partícula
antielectrón. No debemos esperar encontrarlos en la naturaleza debido a su
rápida recombinación con los electrones; sin embargo, si pudiesen ser
producidos experimentalmente en un estado de alto vacío, serían bastante
estables y se podrían observar. Un encuentro entre dos rayos gamma de alta
energía podría conducir a la creación de un par electrón antielectrón. La
probabilidad de este tipo de proceso, con las intensidades actuales de rayos
gamma, es despreciable.
«Los
principios de la mecánica cuántica»
En
el verano de 1930 apareció la primera edición del libro de Dirac Los principios
de la mecánica cuántica, que curiosamente fue publicado por la editorial Oxford
University Press.
En
este trabajo Dirac no solo postuló la existencia del antielectrón, sino que fue
más allá y generalizó su argumento a otro tipo de partículas:
Presumiblemente
los protones tendrán también sus propios estados de energía negativa, todos
ellos normalmente ocupados. Un hueco daría lugar a la aparición de un
antiprotón.
En
un par de párrafos, Dirac había propuesto la existencia de las antipartículas.
Ahora bien, ¿era una simple conjetura desesperada de Dirac para mantener su
teoría de huecos, o terna algún viso de realidad?
§. Descubrimiento del positrón
Los rayos cósmicos (partículas cargadas) procedentes del espacio exterior se
habían convertido en un interesante campo de estudio. De este modo, era uno de
los principales proyectos de investigación de Robert A. Millikan y sus
colaboradores en el Instituto Tecnológico de California (Caltech). En noviembre
de 1931 Millikan impartió varios seminarios en el laboratorio Cavendish, en
Cambridge, y mostró varias fotografías tomadas por Cari D. Anderson
(1905-1991), antiguo estudiante suyo de doctorado, en las que se observaban las
trayectorias dejadas en una cámara de niebla por electrones y ciertas
partículas positivas.
El físico Patrick M.S. Blackett (1897-1974) se sintió inmediatamente fascinado
por los resultados de Anderson y comenzó un proyecto de investigación sobre los
rayos cósmicos en el laboratorio Cavendish. Sin embargo, los meses siguientes
todo el protagonismo en Cambridge se lo llevó James Chadwick (1891-1974) y su
descubrimiento del neutrón. Finalmente, tras doce años desde que Rutherford
postulara su existencia, el neutrón se «observaba» en febrero de 1932.
En el verano de 1932 Anderson consiguió fotografiar la trayectoria de
partículas que parecían corresponder, por un lado, a electrones, y por otro, a
otras partículas de carga positiva que sufrían una deflexión similar a la de
los electrones.
La fotografía del positrón realizada por Carl D. Anderson con la cámara de
niebla, un dispositivo lleno de gas y sometido a un campo magnético en el cual
las partículas cargadas, al ionizar los átomos del gas, dejan señal de su
trayectoria.
Anderson
publicó sus resultados en la revista Science mostrando una
gran prudencia en la interpretación de los mismos. El artículo concluía con la
siguiente frase: «Parece necesario considerar una partícula cargada
positivamente y con una masa comparable a la del electrón». Sin embargo, el
trabajo de Anderson pasó bastante desapercibido; además, en el mismo no se
estableció ninguna relación con el hipotético antielectrón de Dirac.
Por su parte, en Cambridge, Blackett y Giuseppe Occhialini (1907-1993) también
obtuvieron resultados que corroboraron los de Anderson y que, además,
identificaron directamente con los antielectrones de Dirac. En el trabajo que
publicaron concluyeron:
Parece
no existir ninguna evidencia en contra de la validez de la teoría de Dirac; por
el contrario, esta teoría predice un tiempo de vida para el electrón positivo
suficientemente grande como para poder ser observado en la cámara de niebla, y
al mismo tiempo, suficientemente corto como para explicar por qué no ha podido
ser detectado por otros medios.
El
nombre de «positrón» fue introducido por primera vez en un segundo trabajo de
Anderson publicado en 1933. El descubrimiento experimental del positrón fue
considerado como un gran triunfo para la teoría de Dirac. No obstante, muchos
físicos siguieron manteniendo una posición muy crítica respecto a la imagen del
mar de Dirac y la interpretación de una partícula como un hueco en dicho mar.
Bohr escribió: «Incluso si todo este tema relacionado con el positrón resulta
cierto, de algo estoy seguro: no tiene nada que ver con la teoría de huecos de
Dirac». Pauli también mantuvo una clara diferenciación entre la partícula
detectada por Anderson y el antielectrón de Dirac. En mayo de 1933, Pauli
escribió a Dirac: «No creo en su percepción de los agujeros, incluso si la
existencia del antielectrón es probada».
El escepticismo de Pauli y otros muchos físicos sobre la teoría de agujeros
persistió durante algún tiempo. No era fácil aceptar la idea de un vacío
formado por un infinito número de electrones de energía negativa Sin embargo,
al mismo tiempo, era indudable que algunas consecuencias de dicha teoría —la
existencia del antielectrón y su identificación con el electrón positivo
observado por Anderson—se convirtieron en hechos incuestionables. Hubo de
transcurrir algún tiempo para que la existencia de las antipartículas y los
procesos de creación y aniquilación de pares partícula-antipartícula pudiesen
explicarse sin necesidad de introducir el mar de Dirac.
§. Honores merecidos
La publicación de la teoría relativista del electrón convirtió a Dirac en uno
de los físicos más renombrados del mundo. Su presencia en reuniones y congresos
se hizo muy habitual, dado el gran interés que había suscitado su teoría En los
años siguientes este interés no hizo más que aumentar con la aparición de su
teoría de agujeros y sus estudios sobre la interacción entre los fotones y los
electrones. Sus viajes y estancias en diversos centros fueron muy frecuentes.
Aparte de las principales instituciones de investigación en Europa (Copenhague,
Gotinga, Leipzig, Leiden, etc.), visitó frecuentemente Estados Unidos y la
Unión Soviética En febrero de 1931 fue elegido miembro «externo» de la Academia
de Ciencias de la URSS, siendo considerado oficialmente un «gran amigo» de la
Unión Soviética De hecho, fue uno de los pocos científicos occidentales a los
que se permitió viajar a la URSS después de 1934-1935.
Dirac también recibió ofertas como profesor de prestigiosas universidades. En
1928, varios meses después de presentar su teoría del electrón, la Universidad
de Mánchester le ofreció un puesto de profesor. Poco tiempo después, el físico
americano Arthur Compton le pidió que ocupase una cátedra en la Universidad de
Chicago. En los años siguientes, la oferta se extendió a muchos otros centros:
Toronto, Princeton, Madison, etc. A pesar de la indudable mejora en las
condiciones económicas asociadas a dichos puestos, Dirac decidió continuar en
la Universidad de Cambridge. En febrero de 1930 fue elegido Fellow of
the Royal Society, una de las distinciones científicas de mayor
prestigio en Gran Bretaña El proceso de elección de miembros de la Royal
Society generalmente implicaba varias nominaciones previas. La elección de
Dirac fue extraordinaria era la primera vez que su candidatura recibía una
nominación y, además, fue elegido con solo veintisiete años, una edad mucho
menor que la edad media de elección de la mayoría de miembros de la sociedad.
En julio de 1932 las autoridades de la Universidad de Cambridge anunciaron que
Dirac sería el sucesor de Joseph Larmor en la Cátedra Lucasiana. El
nombramiento de Dirac no constituyó sorpresa alguna para ninguno de sus
colegas. Dirac era considerado uno de los físicos más brillantes del momento y,
sin duda alguna, el más brillante de Gran Bretaña. Por dicha razón, se
consideró natural que ocupase la cátedra más importante del país, y una de las
más prestigiosas del mundo. La Cátedra Lucasiana había sido ocupada en el siglo
XVII por el gran Isaac Newton durante más de treinta años. Dirac la ocuparía
durante treinta y siete años. Otra analogía entre ambos físicos es que el
nombramiento de Dirac tuvo lugar con treinta años recién cumplidos, solo unos
meses más de la edad que terna Newton cuando ocupó la cátedra En la actualidad,
el profesor en la cátedra es Stephen Hawking.
La mayor recompensa en ciencia, el premio Nobel, le fue concedido en 1933.
Cuando en noviembre de 1933 se hizo público el nombre de los tres premiados,
Dirac se sorprendió de estar entre ellos, no así, de los otros dos: Heisenberg,
que recibió en solitario el premio Nobel correspondiente a 1932, y Schrödinger
que compartió el de 1933 con el propio Dirac. Dirac consiguió el premio Nobel
con treinta y un años recién cumplidos, convirtiéndose en el físico teórico más
joven en la historia en conseguir tal recompensa Tiempo después, cuando las
nominaciones recibidas por cada uno de los premiados se hicieron públicas, se
pudo apreciar que Dirac fue muy afortunado en conseguir el premio Nobel en
1933. Solo había recibido dos nominaciones, en contraste por ejemplo con las
once que había recibido Schrödinger. El premio Nobel le fue concedido a Dirac
por «su descubrimiento de nuevas y fértiles formas de la teoría atómica y sus
aplicaciones».
El memorándum sobre Dirac para el comité de los premios Nobel fue escrito por
el físico Cari Wilhelm Oseen, amigo personal de Niels Bohr. En el mismo, Oseen
se mostró muy crítico con el trabajo de Dirac y, aun reconociendo su valía y
originalidad, lo consideró claramente menos fundamental que el desarrollado por
otros físicos, como Heisenberg, Einstein, Planck o el mismo Bohr. Sin lugar a
dudas, Oseen fue incapaz de apreciar en aquellos momentos el carácter
revolucionario de las teorías de Dirac. Ningún otro investigador tendría más
influencia en el desarrollo de la física durante las décadas siguientes.
El discurso de Dirac en la gala de los premios Nobel versó sobre «La teoría de
electrones y positrones». Habló de sus antielectrones y también de los
antiprotones, y concluyó con las siguientes palabras:
Debemos
considerar un accidente que la Tierra (y presumiblemente todo el sistema solar)
esté formado básicamente por electrones negativos y protones positivos. Es
bastante posible que para algunas estrellas la situación sea la inversa, es
decir, estén constituidas por positrones y antiprotones. De hecho, debe existir
la mitad de estrellas de cada tipo. Las dos clases de estrellas tienen
exactamente el mismo espectro, y no hay forma de distinguirlas a través de los
métodos astronómicos actuales.
Dirac
puso delante de nuestros ojos un universo donde materia y antimateria eran
parte esencial del mismo. ¿Realidad o ficción?
Capítulo 4
La electrodinámica cuántica
Desde
el mismo nacimiento de la mecánica cuántica numerosos científicos, Dirac entre
ellos, intentaron describir el campo electromagnético y la interacción entre
partículas en el marco de la nueva teoría. Con el paso de los años, la
electrodinámica cuántica se convirtió en la teoría física más precisa. Dirac
está considerado como su «fundador», pero para él también constituyó el mayor
desengaño de su vida científica, ya que nunca pudo aceptar la forma en la que
se eliminaban los resultados infinitos que surgían de la teoría.
Existe
una famosa fotografía en la que aparecen Dirac y el físico estadounidense
Richard Feynman (1918- 1988) enfrascados en una discusión. En realidad, lo que
muestra la fotografía es a Feynman gesticulando frente a Dirac. No sabemos qué
le está diciendo; quizá está intentando convencerle de algún último
descubrimiento en el mundo subatómico. La fotografía es ilustrativa del
carácter de ambos personajes; Feynman, extrovertido y hablador; Dirac, por el
contrario, muy reservado y de pocas palabras. Podemos imaginar la historia de
la fotografía como sigue: Feynman está utilizando sus conocimientos y su
capacidad de persuasión para convencer a Dirac de la consistencia de la
electrodinámica cuántica, la joya de la física en palabras del propio Feynman.
Dirac, por el contrario, mantiene una postura de aparente indiferencia y
desinterés, convencido de que lo mejor que le podía suceder a la física es que
desapareciese la electrodinámica cuántica tal y como estaba formulada Años
antes había escrito:
La
única parte importante de la física teórica que hemos de abandonar es la
electrodinámica cuántica. (...) Debemos dejarla sin ningún tipo de objeción.
(...) De hecho, debido a su extrema complejidad, muchos físicos estarán
encantados de ver el final de esta teoría.
¿Cómo
es posible que Dirac, a quien se considera fundador de la electrodinámica
cuántica y, con seguridad, el físico que mayor influencia tuvo en la posterior
formulación de la teoría tal y como ahora se conoce, llegase a tal
conclusión?
§. Los trabajos pioneros
En los años previos a 1925 numerosos físicos eran ya conscientes de la
necesidad de desarrollar una descripción cuántica de la radiación
electromagnética y de explicar cómo esta radiación interaccionaba con la
materia Se sabía que los átomos emitían y absorbían radiación; es decir, los
fotones se producían y desaparecían continuamente. ¿Cómo describir estos
procesos? Einstein introdujo en 1917 los coeficientes de probabilidad asociados
a procesos de emisión y absorción de radiación, y encontró una relación
sencilla entre los mismos, pero fue incapaz de calcularlos a partir de la
teoría cuántica existente en aquellos momentos. En sus propias palabras: «Ello
requeriría una teoría exacta de la electrodinámica y la mecánica», teoría que
aún no se había desarrollado.
La irrupción de la mecánica cuántica con el trabajo seminal de Heisenberg marca
el punto de partida para intentar resolver el problema planteado por Einstein.
El primero en trabajar intensamente en la búsqueda de una teoría cuántica del
campo electromagnético fue Pascual Jordán quien consiguió explicar algunos
resultados previos obtenidos por Einstein, pero fue incapaz de describir los
coeficientes de absorción y emisión. Para ello, era imprescindible disponer de
una teoría de la interacción entre la radiación y la materia Dicha teoría fue
desarrollada por Dirac en febrero de 1927, considerándose desde entonces el
trabajo fundacional de la electrodinámica cuántica (conocida como QED por sus
siglas en inglés: Quantum ElectroDynamics). La electrodinámica
cuántica es la teoría cuántica que describe el comportamiento e interacción de
los electrones y/o positrones entre sí, y de estos con los fotones.
El trabajo de Dirac llevó por título «La teoría cuántica de la emisión y
absorción de radiación», y fue completado durante su primera estancia en
Copenhague (1927). Muchos años después, Dirac mencionó:
El
origen de ese trabajo fue simplemente el juego con las ecuaciones. En aquellos
momentos pretendía desarrollar una teoría de la radiación, y comencé a jugar
con la ecuación de Schrödinger. Se me ocurrió la idea de aplicar las reglas de
cuantización a la propia función de onda como si fuese un número-q. Encontré
que se obtenía la estadística de Bose-Einstein.
En
la introducción de su trabajo, Dirac planteaba claramente el problema:
La
nueva teoría cuántica puede tratar matemáticamente el problema de cualquier
sistema dinámico formado por un número dado de partículas con fuerzas
instantáneas actuando entre ellas. [...] Por el contrario, nada se conoce hasta
el momento sobre el correcto tratamiento de un sistema en el que las fuerzas se
propaguen con la velocidad de la luz, ni sobre el campo electromagnético
producido por un electrón en movimiento, ni sobre la reacción que este campo
produce sobre el propio electrón. [...] Sin embargo, parece posible construir
una teoría satisfactoria para la emisión de radiación y el efecto de esta sobre
el propio sistema.
¿Qué
camino siguió Dirac para construir dicha teoría? El procedimiento fue
«cuantizar» el campo electromagnético y estudiar la interacción de este (los
fotones) con los electrones. Dirac presentó el problema desde una doble
perspectiva: corpuscular y ondulatoria En el primer caso, la radiación se
describía como un conjunto de partículas moviéndose a la velocidad de la luz
que no interaccionaban entre sí y que satisfacían la estadística de Bose-
Einstein. La segunda aproximación consistió en describir la radiación
electromagnética haciendo uso de un potencial de tipo vector y desarrollando la
función de onda en sus componentes de Fourier. Ambas aproximaciones
proporcionaban idénticos resultados. El trabajo de Dirac tuvo un gran impacto
en los físicos de su época Por primera vez se desarrollaba una descripción
consistente de los «cuantos» de luz a partir de los principios básicos de la
recién descubierta mecánica cuántica
El
estado cero
En
la formulación original de su trabajo «La teoría cuántica de la emisión y
absorción de radiación» Dirac introdujo un estado vacío, llamado «estado cero»,
constituido por una infinidad de fotones de energía y momento nulos (sin ningún
efecto observable). De esta forma, los operadores de creación y destrucción
producirían la creación o aniquilación de fotones reales que podrían detectarse
en un caso, o desaparecerían en el estado cero en otro. Con esta imagen, Dirac
construyó el hamiltoniano que describía la interacción entre un fotón y el
átomo, y pudo calcular las probabilidades de emisión y absorción: «Cuando un
cuanto de luz es absorbido puede considerarse que ha realizado un salto al
estado cero, y cuando es emitido puede interpretarse como una transición del
estado cero a un estado físico, es decir, parece como si hubiese sido creado.
No existe limitación en el número de cuantos que pueden crearse o destruirse,
puesto que podemos suponer que existe un número infinito de fotones en el
estado cero». Es interesante mencionar que esta interpretación del estado cero
de fotones es conceptualmente similar a la imagen de la teoría de agujeros que
Dirac introdujo algunos años más tarde en relación a la ecuación relativista
del electrón (véase el capítulo 3).
El
trabajo de Dirac constituyó la primera teoría cuántica del campo
electromagnético y, además, explicaba los procesos de emisión y absorción de
luz por la materia Dirac desarrolló todo un formalismo matemático preciso para
describir los procesos mencionados, introduciendo conceptos como «segunda
cuantización» y «operadores de creación y destrucción». Estos conceptos hoy día
resultan imprescindibles en la propia construcción de la teoría cuántica de la
radiación.
§. Las llamadas «correcciones radiativas»
Dirac pudo describir con su teoría los procesos de emisión y absorción de
radiación electromagnética por la materia; sin embargo, también señaló:
Procesos
radiativos de tipo más general, en los cuales varios cuantos de luz intervienen
simultáneamente, no están permitidos por la teoría.
Realmente,
la teoría de Dirac sí permitía tales procesos, pero era necesario incluir en el
cálculo términos de orden superior. Es importante señalar que en la mayoría de
problemas, en particular, en el caso de la interacción radiación-materia, no es
posible resolver exactamente la ecuación de Schrödinger, por el contrario, hay
que hacer uso de métodos aproximados, como el denominado «método de
perturbaciones». Este consiste en considerar que la intensidad de la
interacción entre la radiación y el átomo es mucho menor que las energías
propias del sistema considerado (el átomo); de este modo, la interacción
radiación-materia puede considerarse como una pequeña perturbación del sistema
bajo estudio.
El método de perturbaciones, que puede considerarse similar al procedimiento en
matemáticas en el que una función se desarrolla en potencias sucesivas de un
pequeño parámetro, permite resolver de forma práctica infinidad de problemas,
pero el precio a pagar es que el resultado es siempre aproximado, tanto mejor
cuantos más términos se consideran en el desarrollo y cuanto menor sea el valor
del parámetro en el que se realiza el desarrollo. En el caso de la interacción
electromagnética, el parámetro que define el cálculo perturbativo, es decir,
las contribuciones que van apareciendo en los distintos órdenes del desarrollo,
es la constante de estructura fina:
Dirac
incluyó términos de segundo orden en su teoría de la interacción
radiación-materia y completó el trabajo titulado «Teoría cuántica de la
dispersión» durante su estancia en Gotinga. En el mismo, Dirac introdujo
conceptos que tendrían una gran importancia en el posterior desarrollo de la
teoría cuántica de la radiación. Así, escribió:
La
radiación que ha sido dispersada puede aparecer a través de un proceso doble en
el cual un tercer estado, llamémosle n, con una energía propia diferente al
estado inicial m' y final, m, interviene. [...] La radiación dispersada surge
como resultado de dos procesos: m' → n, n → m, uno de ellos corresponde a un
proceso de absorción, y el otro, a uno de emisión, en ninguno de los cuales la
energía total propia es conservada
En
las líneas citadas aparece lo que posteriormente recibiría el nombre de
«partículas virtuales», concepto esencial para explicar y entender cómo
interaccionan las partículas entre sí, y cuya existencia está permitida por el
principio de incertidumbre de Heisenberg. El segundo aspecto inesperado con el
que Dirac se encontró fue la aparición de integrales divergentes que producían
resultados infinitos.
Los participantes en el congreso Solvay de 1933. Dirac está de pie y es el
noveno empezando por la izquierda.
Dirac
mantuvo en aquel momento una postura bastante pragmática, indicando que tal
«dificultad no se debía a ningún error fundamental en la teoría, sino a las
aproximaciones consideradas». El hecho de que los resultados infinitos
apareciesen solo en el cálculo de términos de orden superior, y no en primer
orden, indicaba que las aproximaciones consideradas en la descripción del
sistema físico no eran razonables.
Dirac, en el centro, junto a los físicos Robert Oppenheimer, a la izquierda,
y Abraham Pais.
Dirac
estaba convencido de que una teoría más precisa traería consigo resultados
finitos. Como se verá más adelante, la dificultad de los infinitos persistió
durante muchos años, y constituyó para Dirac el mayor desengaño de su vida
científica.
§. La visión «alemana» y las críticas de Dirac
Dirac consideraba la discontinuidad de la materia como una propiedad primaria
y, por consiguiente, creía que las partículas constituían las entidades
fundamentales en la teoría cuántica Por el contrario, para Jordán y sus colegas
alemanes el concepto primario era el de campo; de esta manera, las partículas
conocidas surgían a partir de un proceso de «cuantización» de los
correspondientes campos clásicos. Jordán y sus colaboradores extendieron el
procedimiento de «segunda cuantización» aplicándolo no solo al campo
electromagnético (como había hecho el propio Dirac), sino a todo tipo de
partículas y campos.
Estos trabajos, que Jordán llegó a considerar como su contribución más
importante a la física teórica, establecieron las bases de lo que unos años
después se denominaría «teoría cuántica de campos».
Jordán, Klein y Wigner publicaron varios trabajos aplicando el método de
segunda cuantización a partículas de espín semienten), como los electrones y
protones. Estos trabajos fueron criticados por Dirac, considerando que:
La
teoría de Jordán era bastante artificial, y, con el fin de conseguir el
resultado deseado, se hacía uso de un método muy peculiar para la cuantización
del campo.
El
siguiente paso importante en la teoría cuántica de la radiación se produjo en
1929-1930 con la publicación de dos trabajos realizados por Heisenberg y Pauli.
El punto de partida de los mismos fue la teoría desarrollada por Jordán, y el
objetivo planteado no podía ser más ambicioso: «Una formulación invariante
relativista general de la interacción electrodinámica de las partículas». La
teoría de Heisenberg y Pauli incorporaba una descripción unitaria del campo
electromagnético y de los campos asociados al electrón y el protón, haciendo
uso, además, de la recién descubierta ecuación de Dirac.
Sin embargo, la nueva teoría seguía conteniendo divergencias que aparecían al
calcular la autoenergía de las partículas cargadas (la energía adquirida por
las partículas debido a la interacción con el campo eléctrico que ellas mismas
producían). Jordán criticó el trabajo de Heisenberg y Pauli afirmando que
aportaba pocas novedades respecto a sus trabajos previos, y mostró una visión
muy pesimista respecto al problema de los resultados infinitos de la teoría:
La
autoenergía del electrón es una cantidad infinita y, por consiguiente,
representa tal dificultad que resulta imposible seguir avanzando en las
aplicaciones prácticas.
Richard
Feynman y el formalismo «lagrangiano» de Dirac
En
1933 Dirac aplicó el formalismo «lagranglano», ampliamente usado en la mecánica
clásica, al mundo cuántico. Dirac justificó su estudio señalando que el método
del lagrangiano resultaba en algunos aspectos más fundamental que el análisis
basado en el uso del hamiltoniano. Las ecuaciones de movimiento se obtienen
directamente a partir del principio de mínima acción; por otra parte, el
lagrangiano puede expresarse fácilmente en forma relativista.
El trabajo de Dirac, titulado «El lagrangiano en mecánica cuántica», apareció
publicado en una revista soviética y pasó completamente desapercibido durante
muchos años, hasta que Richard Feynman, trabajando en su tesis doctoral, lo
redescubrió a mediados de 1941.
Richard Feynman (a la derecha) conversando
El
trabajo de Dirac fue toda una revelación para el físico estadounidense. A
partir del mismo, Feynman desarrolló una nueva formulación de la mecánica
cuántica; la denominada «formulación de integrales de camino». Feynman
consideraba a Dirac como uno de los físicos más brillantes y agudos, y siempre
sintió una especial admiración por él, incluso cuando la visión de Dirac sobre
la electrodinámica cuántica era absolutamente negativa. Refiriéndose a ambos
físicos, Wigner admitió que podía considerarse a Feynman como «un segundo
Dirac, pero esta vez humano».
Jordán
no pudo superar esta sensación de frustración y al poco tiempo decidió
abandonar el estudio de la interacción radiación-materia. Algunos años después
abandonaría incluso la física. Dirac también criticó severamente el trabajo de
Heisenberg y Pauli señalando que:
Se
realizaban tantas aproximaciones que todos los aspectos procedentes de la
relatividad especial desaparecían, de modo que los resultados mostrados en el
trabajo podían obtenerse por medio de una teoría no relativista mucho más
simple.
En
1932 Dirac publicó dos trabajos en los que expresaba más claramente sus
objeciones a la teoría de Heisenberg y Pauli. El primero, escrito en solitario,
tiene el título general de «Mecánica cuántica relativista». En él, Dirac
critica el procedimiento metodológico seguido por Heisenberg y Pauli, y señala:
Si
uno desea realizar una observación de un sistema de partículas en interacción,
el único procedimiento efectivo es someter dichas partículas a un campo de
radiación electromagnética y ver cómo reaccionan. Así pues, el papel del campo
es proporcionar un medio para realizar observaciones. La verdadera naturaleza
de una observación requiere una estrecha relación entre el campo y las
partículas. Por consiguiente, no podemos considerar al campo como un sistema
dinámico similar al de las partículas, tal y como se adopta en el trabajo de
Heisenberg y Pauli.
En
el segundo trabajo, realizado en colaboración con Vladimir Fock (1898-1974) y
Boris Podolski (1896-1966), y titulado «Sobre la electrodinámica cuántica», los
autores extendieron la teoría previa y presentaron una formulación invariante
relativista de las ecuaciones fundamentales de la electrodinámica cuántica
Además, mostraron la equivalencia entre esta teoría y la previa desarrollada
por Heisenberg y Pauli; resultado ya obtenido unos meses antes por Léon
Rosenfeld (1904-1974).
El primer trabajo de Dirac recibió críticas muy duras por parte de los físicos
alemanes. Los comentarios de Pauli fueron demoledores:
Su
nuevo trabajo, por decirlo gentilmente, no es ninguna obra maestra. Tras una
muy confusa y desordenada introducción llena de frases que solo resultan medio
entendibles, termina con un ejemplo unidimensional excesivamente simple, cuyos
resultados son idénticos a los obtenidos con la teoría desarrollada por
Heisenberg y yo mismo hace unos años.
Por
el contrario, el segundo trabajo (en colaboración con Fock y Podolski) fue bien
recibido por Pauli que destacó «la elegancia matemática desarrollada por los
autores en la formulación invariante relativista de la teoría».
El impacto real de los dos trabaos de Dirac solo se puso de manifiesto años
después, en la década de 1940, cuando sirvieron de inspiración para el trabajo
desarrollado por dos de los fundadores de la moderna electrodinámica cuántica:
el físico japonés Sin-Itoro Tomonaga (1906-1979), que refiriéndose al primer
trabajo de Dirac señaló: «Atrajo mi interés por la novedad de su filosofía y la
belleza de su forma»; y el físico estadounidense Julián Schwinger (1918-1994),
que se sintió atraído, desde muy joven, por los resultados y la formulación del
trabajo de Dirac, Fock y Podolski. La influencia de Dirac también se dejó
sentir sobre el tercer fundador de la moderna electrodinámica cuántica, el
físico estadounidense Richard Feynman.
§. La teoría del positrón
La formulación de la teoría de agujeros de Dirac con el postulado de los
antielectrones, y el posterior descubrimiento del positrón, fueron momentos
decisivos en el desarrollo de la electrodinámica cuántica El proceso de
creación/aniquilación de pares de partícula/antipartícula se convirtió en la
forma natural de explicar la interacción de los fotones con la materia El
principio de equivalencia masa-energía y el principio de incertidumbre de
Heisenberg proporcionaban el marco adecuado en el cual la energía asociada a un
campo electromagnético podía transformarse en materia, y a la inversa.
Resulta natural, pues, que el físico que había postulado la existencia de la
antimateria realizase un nuevo intento de formular la teoría cuántica de la
radiación. Dirac presentó su nuevo trabajo, titulado «Teoría del positrón», en
el contexto del congreso Solvay que tuvo lugar en Bruselas en octubre de 1933.
Poco después de la celebración de esta conferencia científica, elaboró con más
profundidad su teoría con una formulación matemática detallada. Este nuevo
trabajo fue publicado a principios de 1934 con el título «Discusión de la
distribución infinita de electrones en la teoría de los positrones».
Dirac era muy consciente de las grandes dificultades de la electrodinámica
cuántica, con los resultados infinitos asociados al cálculo de la energía
propia del electrón. La incorporación del positrón en la teoría cuántica de la
radiación no resolvió el problema del valor infinito para la autoenergía.
Además, surgieron nuevos e inesperados efectos, como la polarización del vacío,
que trajeron consigo nuevas dificultades. Dirac concluía su informe al congreso
Solvay con la siguiente afirmación:
Como
resultado de los cálculos realizados, parece que las cargas eléctricas que uno
observa ordinariamente para los electrones, protones y otras partículas no son
las cargas reales que estas partículas poseen (las que aparecen en las
ecuaciones fundamentales), sino que son ligeramente menores.
El
significado físico de estos nuevos conceptos puede apreciarse mejor en la carta
que Dirac envió a Bohr semanas antes de que empezase el congreso Solvay:
En
los últimos meses, Peierls y yo hemos estado trabajando en la posible
modificación producida por un campo eléctrico estático sobre la distribución de
electrones de energía negativa Hemos observado que esta distribución produce
una neutralización parcial de la carga que origina el campo. [...] Si
despreciamos la perturbación que el campo produce sobre el mar de electrones de
energía negativa con energías menores que -137mc 2 ,
la neutralización de la carga es pequeña, del orden de 1/137. Así pues, concluimos
que todas las partículas cargadas de la física, electrones, protones, núcleos
atómicos, etc., tienen cargas efectivas ligeramente menores que sus caigas
reales. [... ] La carga efectiva es lo que realmente se mide en cualquier
experimento a baja energía; [... ] el valor real es ligeramente superior. [...
] Así pues, debemos esperar pequeñas alteraciones en la fórmula de dispersión
de Rutherford, en la fórmula de Klein-Nishima, en la expresión de Sommerfeld de
la constante de estructura fina, etcétera.
En
el texto citado, Dirac introduce conceptos que forman parte del lenguaje actual
de las «teorías cuánticas de campos». La carga efectiva de Dirac es la
denominada hoy «carga física»; la carga real se denota como «carga desnuda», y
la perturbación que el campo produce en el mar de electrones de energía
negativa corresponde al proceso conocido como «polarización del vacío».
«El
único objetivo de la física teórica es calcular resultados que se puedan
comparar con la experiencia, [...] Es totalmente innecesario que deba darse una
descripción satisfactoria del curso completo de los fenómenos.»
Paul
Dirac.
Dirac
realizó un primer cálculo de la modificación de la carga debido a la presencia
del mar de Dirac. Una vez más, aparecían integrales divergentes. Dirac hizo
frente a este problema introduciendo diversas técnicas matemáticas que le
permitían eliminar las divergencias. Este tipo de procedimiento constituye la
base de lo que años después, a finales de la década de 1940, se denominarían
«técnicas de renormalización» —que en el siguiente apartado son explicadas con
mayor detalle— y permitirían la reformulación de la electrodinámica cuántica,
convirtiéndola en la teoría física más precisa.
La nueva teoría de Dirac fue acogida con grandes reservas y sometida a fuertes
críticas por sus colegas. Pauli consideró las ideas de Dirac «artificiales,
matemáticamente muy complicadas, y sin sentido físico». El normalmente comedido
Heisenberg fue en este caso incluso más severo que Pauli, calificando la teoría
de absurda A pesar de ello, el concepto que introdujo Dirac sobre la
polarización del vacío se mantuvo y, muy pronto, otros físicos comenzaron a
estudiar este nuevo efecto.
El estado general de ánimo de la comunidad científica era de perplejidad, y
sobre todo, de una enorme frustración. El propio Dirac se mostraba cada vez más
escéptico y, en el fondo, su opinión no era tan diferente a la mostrada por
Heisenberg y Pauli. Había intentado resolver el problema de los infinitos
haciendo uso de complicadas y «artificiales» técnicas matemáticas, algo que iba
en contra de lo que empezaba a convertirse en uno de sus principios más
arraigados: «La belleza matemática en la física». En los años siguientes su
desencanto sería tal que llegaría más lejos que ninguno de sus colegas en la
crítica de la nueva electrodinámica cuántica.
§. El problema de los «infinitos» y la «renormalización»
La dificultad de resultados infinitos o integrales divergentes surgió ya en el
siglo XIX en el contexto de la teoría electromagnética de Maxwell. Una
partícula cargada eléctricamente produce un campo alrededor de sí misma. Este
campo produce a su vez una energía electromagnética que modifica la propia masa
de la partícula (se denomina «energía propia» o «autoenergía»). Dicha energía
es inversamente proporcional a la distancia entre la posición de la partícula
cargada y la posición donde se evalúa el campo. La dificultad surge ante la
siguiente pregunta: ¿qué energía produce el campo eléctrico generado por la
partícula en su propia posición? La distancia sería cero y el resultado
infinito. Desde el punto de vista clásico, la dificultad se resuelve considerando
que la partícula tiene una cierta estructura y una extensión finita estando la
carga distribuida sobre su superficie. De esta forma, la energía producida por
el campo sería inversamente proporcional al radio que determina la extensión de
la partícula.
En la teoría cuántica la imagen de un electrón con extensión espacial es
insostenible; al contrario, el electrón es una partícula elemental, sin
estructura interna La descripción cuántica del campo eléctrico generado por el
electrón viene dada como la posibilidad de emisión y absorción de fotones
virtuales, cuya existencia está permitida por el principio de incertidumbre de
Heisenberg. Este proceso se representa en la figura 1. Estos tipos de gráficos
se denominan «diagramas de Feynman». En un instante dado, el electrón, que es
representado por la línea continua, emite un fotón que después es reabsorbido
por el propio electrón (representado como un bucle con línea ondulada). La
evaluación de este proceso, el denominado «problema de la autoenergía del electrón»,
conduce a integrales divergentes. Nótese que el proceso previo corresponde al
caso más simple, con la emisión y reabsorción de un solo fotón. Se pueden
considerar procesos mucho más complicados aumentando el número de fotones
virtuales involucrados.
La
combinación del principio de incertidumbre y el principio de equivalencia
masa-energía es esencial para entender el concepto de vacío cuántico. En el
mismo, se producen continuamente fluctuaciones cuánticas que pueden dar lugar a
producción de pares partícula/antipartícula virtuales. El concepto de
polarización del vacío, introducido por Dirac, está relacionado directamente
con estos pares virtuales. Considérese de nuevo el caso de un electrón que
emite y reabsorbe continuamente fotones virtuales, los cuales a su vez pueden
crear pares virtuales electrón/positrón. Los positrones tenderán a aproximarse
al electrón físico, mientras que los electrones virtuales tenderán a alejarse
(tal y como muestra la figura 2).
De nuevo, existe una infinidad de diagramas compatibles con este proceso, y el
resultado del mismo es que la carga del electrón se ve parcialmente
neutralizada por la «nube» de positrones virtuales situados a su alrededor
(figura 3).
La
contribución de los diagramas mostrados en las figuras previas puede calcularse
produciendo resultados infinitos cuando la distancia tiende a cero. Es
importante mencionar que el análisis de distancias cada vez menores es
equivalente a considerar energías cada vez mayores y, por tanto, una infinidad
de procesos más y más complejos pueden contribuir de modo significativo tanto
en la energía como en la masa del electrón.
La solución al problema de los resultados infinitos comenzó a vislumbrarse a
finales de la década de 1930 con los trabajos de Hendrik A. Kramers
(1894-1952). La idea fundamental es la siguiente: en la teoría cuántica solo
las cantidades que pueden medirse tienen sentido; en otras palabras, las
cantidades que no pueden medirse no tienen por qué estar bien definidas, es
decir, pueden ser indeterminadas. Así pues, la masa y la carga de un electrón
observadas en el laboratorio son aquellas que corresponden a un electrón real,
es decir, un electrón emitiendo y reabsorbiendo fotones virtuales, y polarizando
continuamente el vacío. Por el contrario, las magnitudes que aparecen en las
ecuaciones de la electrodinámica cuántica son las correspondientes a la masa y
carga de electrones «que no sienten interacción» (se denominan habitualmente
electrones «ideales» o «desnudos»). El problema es que estas magnitudes de
electrones «ideales» (m0, pueden ser indeterminadas
(infinitas), puesto que corresponden a una situación no física Un electrón real
nunca está libre de interacción; incluso si se encuentra aislado interacciona
consigo mismo emitiendo y reabsorbiendo fotones.
A finales de la década de 1940 Feynman, Schwinger y Tomonaga desarrollaron
técnicas matemáticas para poder obtener resultados no ambiguos. Estas técnicas
se conocen como «procedimientos de renormalización», y en ellas se establece
una relación entre los valores medidos en el laboratorio para la masa y carga
del electrón y los «posibles» valores correspondientes al electrón «desnudo».
Esta relación viene dada a través de las denominadas «constantes de
renormalización».
¿Cómo determinar estas constantes para que los resultados físicos resulten no
ambiguos? El procedimiento desarrollado por Richard Feynman (que no es el único
que se ha elaborado) fue introducir una cierta distancia mínima de corte en la
resolución de las diversas integrales, de manera que el resultado de las mismas
y, por consiguiente, los valores del electrón «desnudo» fuesen finitos. El
problema es que dichos valores dependen apreciablemente del valor específico
elegido para la distancia de corte. En otras palabras, las propiedades del
electrón «desnudo» siguen siendo indeterminadas.
Lo realmente interesante del proceso fue comprobar que dichos valores
«desnudos», totalmente dependientes de la distancia de corte usada, conducían
siempre a resultados físicos coherentes para diversas propiedades del electrón,
siempre y cuando el cálculo de dichas propiedades físicas incluyese todas las
contribuciones que se habían considerado previamente en la determinación de los
valores «desnudos». En otras palabras, la distancia de corte solo influía en la
determinación de los valores «desnudos»: números teóricos que no pueden ser
directamente observados. En todo caso, a pesar de los éxitos indiscutibles de
la electrodinámica cuántica, el propio Feynman se refirió al procedimiento de
renormalización como «un proceso chiflado».
§. Años de desencanto y desengaño
En 1934, el mismo año en que Dirac publicó su trabajo sobre la teoría del
positrón, Oppenheimer y otros físicos desarrollaron una nueva versión de la
teoría de electrones y positrones en la que no hacía falta realizar ninguna
mención al mar de Dirac. Pauli, el mayor crítico de la teoría de agujeros de
Dirac, y su estudiante Viki Weisskopf (1908-2002) desarrollaron ese mismo año
el proceso de cuantización del campo de Klein-Gordon. Su trabajo mostró que la
existencia de pares partícula-antipartícula se producía también en el caso de
bosones (partículas de espín entero). Pauli denominó su trabajo como la «teoría
anti-Dirac».
Sin embargo, la presencia de resultados infinitos seguía siendo una constante
en todas las teorías. Ante esta situación, algunos físicos decidieron cambiar
de campo de trabajo; unos pocos, incluso, abandonaron totalmente la física
Dirac no fue ajeno a esta situación. Al igual que algunos de sus colegas,
estaba convencido de que era necesario un cambio radicad en la teoría
existente. Durante el resto de su vida estuvo intentando encontrar dicho
cambio, sin conseguirlo. Quizá, por haber sido el «artífice» en poner las
primeras piedras de la electrodinámica cuántica, la sensación de frustración
fue para él aún mayor que la sufrida por muchos de sus colegas. Recuérdese que
el otro fundador de la teoría cuántica de la radiación, Jordán, llegó a
abandonar la física En el caso de Dirac, su percepción de la electrodinámica
cuántica se transformó completamente en muy poco tiempo. A principios de 1935,
un año después de su teoría del positrón, mostraba una posición ambivalente,
manteniendo aún una cierta confianza en la teoría.
La electrodinámica cuántica no puede considerarse realmente una teoría
satisfactoria sin embargo, aún mantiene algunas propiedades dignas de mención:
es una teoría invariante relativista, un resultado muy sorprendente.
Menos de un año después, su confianza había desaparecido por completo, y ello
le llevó a convertirse en el mayor crítico de la teoría En su afán por atacar
la teoría existente llegó a contradecirse a sí mismo en muchos aspectos que
habían contribuido, sin lugar a dudas, en convertirlo en una de las figuras
prominentes de la física.
En 1936 Dirac escribió las palabras que están reproducidas al comienzo del
presente capítulo, en las cuales abogó por el abandono, sin pesar alguno, de la
electrodinámica cuántica El origen de estas palabras se encuentra en el
experimento realizado a finales de 1935 por el físico americano Robert S.
Shankland (1908- 1982). Los resultados de este experimento, que parecían poner
en duda el principio de conservación de la energía en los procesos atómicos,
fueron usados por Dirac para lanzar un demoledor ataque sobre la teoría
cuántica de la radiación. En palabras del propio Dirac, el experimento de
Shankland implicaba «el abandono de la electrodinámica cuántica y de los
neutrinos». Su concepción sobre el neutrino, la hipotética partícula cuya
existencia fue postulada por Pauli en 1930 para explicar el proceso de desintegración
beta, también cambió radicalmente en dos años.
El experimento de Shankland supuso un profundo cambio, no solo en las ideas de
Dirac, sino también en su forma de hacer física Por primera vez, Dirac aceptó
sin reserva alguna los resultados de un experimento sin contrastar, porque ello
le permitía justificar sus ideas y conclusiones preconcebidas. Dirac decidió
tomar una senda radical, un camino por el que ningún otro físico le acompañaría
A pesar de conocer que el experimento de Shankland, en el caso de confirmarse
sus resultados, significaría la invalidación no solo de la electrodinámica
cuántica, sino también del principio de incertidumbre de Heisenberg y,
consecuentemente, de la propia mecánica cuántica no relativista, Dirac siguió
adelante y decidió publicar sus ideas en un nuevo trabajo que tituló «¿Se
conserva la energía en procesos atómicos?».
Muchos colegas criticaron severamente su trabajo y, sobre todo, su actitud, que
consideraron totalmente incoherente con su trayectoria previa Heisenberg
calificó el trabajo de Dirac como «inmensa estupidez», y Bohr señaló las
terribles implicaciones que traería consigo la no conservación de la energía Es
interesante comprobar cómo las posiciones de Bohr y Dirac en 1936 eran la
imagen especular de las que habían mantenido unos cinco años antes, cuando
Bohr, en un acto de desesperación, llegó a poner en duda el principio de
conservación de la energía para poder explicar el proceso de decaimiento beta,
mientras que Dirac prefería incluso abandonar la imagen discontinua de la
materia antes que la propiedad de conservación de la energía.
Durante los siguientes años, Dirac atacó el problema de los resultados
infinitos desde muy distintas perspectivas; intentó encontrar una nueva
formulación de la teoría clásica de la radiación que pudiese extenderse después
al mundo cuántico, desarrolló nuevas técnicas matemáticas con el fin de hacer
desaparecer las integrales divergentes, y llegó incluso a construir una nueva
teoría introduciendo la idea de un «hipotético mundo». Pauli, el gran crítico
de las teorías de Dirac, expresó claramente sus objeciones en la conferencia
que impartió cuando le concedieron el premio Nobel:
Una
teoría correcta no debe conducir a energías o cargas infinitas, no debe hacer
uso de trucos matemáticos para sustraer infinitos o singularidades, no debe
inventar un mundo hipotético, que es solo una ficción matemática, antes de ser
capaz de formular una interpretación correcta del mundo de la física
Todo
un ataque a la situación de la electrodinámica cuántica, que Dirac aceptaría
sin reservas, pero también una severa crítica al camino emprendido por el
propio Dirac.
§. Dirac y la «nueva» electrodinámica cuántica
A finales de la década de 1940 la situación de la electrodinámica cuántica
cambió significativamente con los trabajos de Feynman, Schwinger y Tomonaga. En
ellos se elaboró el programa de renormalización, procedimiento que permitía
sustraer los resultados infinitos proporcionando respuestas no ambiguas que
podían compararse con las evidencias experimentales. La nueva electrodinámica
cuántica fue desarrollada de forma independiente por los tres físicos con un
procedimiento bastante conservador, la teoría cuántica relativista seguía
siendo el marco general de la nueva teoría y el método de perturbaciones era el
procedimiento adecuado para obtener resultados. No era el cambio revolucionario
que Dirac y algunos otros físicos propugnaban. En 1948 Freeman Dyson (n. 1923)
demostró que las tres nuevas formulaciones de la electrodinámica cuántica eran
equivalentes.
Es interesante mencionar que la filosofía de la nueva electrodinámica cuántica
seguía de cerca las ideas desarrolladas por Dirac algunos años antes. Así lo
expresó Schwinger:
La
interacción entre la materia y la radiación produce una renormalización de la
carga y masa del electrón, estando todas las divergencias contenidas en los
factores de renormalización.
Feynman,
por su parte, manifestó:
A
través del método de renormalización de la carga y masa disponemos de una
electrodinámica consistente que nos permite el cálculo de todos los posibles
procesos en los que se hallan implicados fotones, electrones y positrones.
A
finales de la década de 1940, Weisskopf pudo declarar con gran satisfacción:
«La guerra contra los infinitos ha terminado por fin», opinión compartida por
la mayoría de los físicos, pero no por todos.
Dirac, aun siendo consciente de los espectaculares éxitos de la nueva teoría,
nunca pudo aceptar la forma en la que se eliminaban los infinitos. Esta
posición la mantuvo durante toda su vida En la década de 1950 señaló que los
problemas de la electrodinámica cuántica no habían sido resueltos por la nueva
teoría de renormalización. En su opinión, lo que realmente se necesitaba era
«un cambio en los conceptos fundamentales, al igual que sucedió en 1925 con la
irrupción de la mecánica cuántica». A mediados de la década de 1970, escribió:
Muchos
físicos se encuentran muy satisfechos con la electrodinámica cuántica Por el
contrario, para mí es una situación muy insatisfactoria. La nueva teoría
elimina resultados infinitos de una forma totalmente arbitraría. Las
matemáticas nos enseñan que debemos eliminar una cantidad cuando es pequeña, no
cuando es infinitamente grande y no deseamos mantenerla.
Incluso,
cuando le preguntaron cómo podía mantener esa total oposición a la nueva
teoría, a pesar de la increíble precisión con la que describía propiedades
básicas del electrón, su respuesta fue:
El
precio que uno tenía que pagar por tal éxito era abandonar la deducción lógica
y reemplazarla por una serie de reglas operativas.
La
«inhumana» precisión de la electrodinámica cuántica
Esta
es la expresión que introdujo John Horgan en su libro The End of
Science para referirse a la comparación entre determinadas evidencias
experimentales y los resultados teóricos proporcionados por la electrodinámica
cuántica (QED). El acuerdo era en algunos casos del orden de una parte en
10 9 o incluso 1012. Señalemos a continuación
algunas magnitudes físicas que han podido ser medidas con una precisión enorme
y comparemos estas evidencias con los resultados de la electrodinámica
cuántica. Consideremos el momento magnético del electrón (magnitud relacionada
directamente con la propiedad de espín). El valor experimental (en ciertas
unidades) es μexp(e) = 1,0011596521884. El resultado que
proporciona la ecuación de Dirac es μDirac(e) = 1, es decir,
reproduce el valor experimental con una precisión del 1% (una parte en 102).
Sin embargo, el electrón emite fotones virtuales que se reabsorben o polarizan
el vacío. Este tipo de procesos, denominados «correcciones radiativas», no
están incluidos en la ecuación de Dirac, pero pueden calcularse a través de la
QED. El valor teórico que proporciona es μQED(e) =
1,001159652140. Obsérvese que la diferencia entre la medida experimental y el
valor teórico aparece en la undécima cifra decimal. Un acuerdo similar se
obtiene para otras partículas elementales como el muón. Consideremos a
continuación una propiedad relacionada con el átomo de hidrógeno. Se trata de
la diferencia de energía entre dos estados determinados.
Haciendo
uso de la ecuación de Dirac, los estados mencionados son degenerados en
energía, es decir, tienen exactamente la misma energía. Sin embargo, las
medidas experimentales muestran una pequeña diferencia, denominada «efecto
Lamb» (véase la figura) que viene dada (en ciertas unidades) por: ΔEexp =
1057851. El valor proporcionado por la QED es: Δ EQED=1057862.
La diferencia se muestra en el sexto dígito, pero es importante mencionar que
estos valores para la diferencia energética entre niveles son aproximadamente
una parte en un millón en comparación con las energías de los propios niveles
energéticos. Así pues, en relación a ellos, la precisión de la QED sería de una
parte en 10 12. Para hacerse una idea de esta precisión, es
interesante considerar situaciones más directamente relacionadas con nuestra
vida cotidiana. Considérese, por ejemplo, la distancia existente entre Madrid y
Nueva York, unos 6000 km aproximadamente. La precisión de los cálculos de la
QED nos muestra que dicha distancia la podríamos estimar hasta el límite de la
centésima o milésima del milímetro, es decir, menos que el grosor del cabello
humano.
Un precio demasiado alto, y ningún físico debería sentirse satisfecho de
pagarlo.
El
último artículo escrito por Dirac apareció como parte del libro que se publicó
en su memoria en 1987, tres años después de su fallecimiento. El título del
tratado es «Las deficiencias de la teoría cuántica de campos», toda una
declaración de principios. Su última valoración sobre la electrodinámica
cuántica fue la siguiente:
Estas
reglas de renormalización producen un acuerdo sorprendente, excesivamente
bueno, con los experimentos. Muchos físicos consideran que estas reglas
operativas son por tanto correctas. En mi opinión, esta no es una razón
adecuada El hecho de que los resultados estén de acuerdo con los experimentos
no prueba que la teoría sea correcta [...] Deseo señalar una vez más que muchas
de estas modernas teorías cuánticas de campos no son hables, y esto es así,
aunque mucha gente trabaje con ellas y obtengan en algunas ocasiones resultados
precisos.
Regresemos
a la fotografía mencionada al comienzo de este capítulo, que nos muestra a
Dirac escuchando, con aparente indiferencia, lo que Feynman le está diciendo.
En el fondo, Feynman compartía algunas de las preocupaciones de Dirac sobre el
tratamiento de los resultados infinitos, y así lo expresó él mismo:
Sospecho
que la renormalización no es una técnica matemática legítima. Aún no disponemos
de un buen procedimiento matemático para describir la teoría de la
electrodinámica cuántica
Sin
embargo, aquí termina el acuerdo entre los dos físicos en su percepción de la
nueva teoría Para Feynman, esta era «nuestra posesión más preciada», y señaló:
La
cuestión no es que la teoría sea agradable filosóficamente, o fácil de
entender, o perfectamente razonable desde el punto de vista del sentido común.
Lo realmente importante es que las predicciones de la teoría estén en acuerdo
con el experimento. [...] La descripción de la naturaleza que proporciona la
electrodinámica cuántica es aparentemente absurda, pero está en perfecto
acuerdo con el experimento. Así pues, espero que puedan aceptar la naturaleza
tal como es —absurda—.
Dirac
nunca pudo aceptar estas conclusiones y, por ello, siempre intentó encontrar
una nueva formulación. A pesar de estas diferencias, la admiración entre ambos
físicos fue recíproca, y Feynman siempre consideró a Dirac como su «héroe» más
especial en física, tal y como señaló en la conferencia que impartió en 1986 en
homenaje a Paul Dirac.
Capítulo 5
Tras los grandes hallazgos
El
monopolo magnético fue introducido por Dirac en 1931, aunque se consideró un
trabajo menor en su producción científica. En los años siguientes, y al igual
que sucedería con muchos de los físicos de su generación, el impacto de sus
trabajos ya fue muy limitado. Sin embargo, Dirac mantuvo una actividad de
investigación continua, publicando artículos periódicamente hasta poco antes de
su fallecimiento.
Después
de 1934 ninguna publicación de Dirac tuvo el impacto ni alcanzó la originalidad
de sus trabajos previos. No obstante, siguió publicando artículos de
investigación de forma regular durante toda su vida. Aparte de sus continuos
intentos por encontrar una formulación alternativa a la electrodinámica
cuántica, exploró otros campos, como el de la cosmología. También colaboró
puntualmente en algunos trabajos experimentales (con su gran amigo Kapitsa) y
participó, durante los años de guerra, en proyectos con un marcado carácter
militar. En este capítulo solo describimos brevemente su teoría del monopolo
magnético y sus ideas sobre cosmología.
Desde un punto de vista más personal, los cincuenta años que comprende el
período 1934-1984 trajeron consigo importantes cambios en la vida de Dirac: la
muerte de su padre en 1936, que consideró como una «liberación»; su matrimonio
en 1937 y sus hijos, su traslado a Florida. Dirac siguió centrándose en su
trabajo científico, pero tuvo que aprender a compaginarlo con sus nuevas
responsabilidades familiares. La relación con sus colegas, especialmente los
alemanes y rusos, también se vio afectada por los terribles años de la Segunda
Guerra Mundial y el difícil período de la Guerra Fría. Fueron los años en los
que Dirac comenzó con sus continuas alusiones al «principio de la belleza
matemática», lema que Dirac terminó considerando su credo máximo, el principió
generador de todos sus descubrimientos científicos. ¿Sucedió realmente así?
Dirac es uno de los más grandes físicos de la historia y, sin embargo, continúa
siendo un gran desconocido. Su trabajo fue el punto de partida de la
construcción de la física presente. Su legado de la antimateria trascendió su
propia figura; ¿quién no se ha entretenido leyendo libros de ciencia ficción o
viendo películas donde la antimateria es el personaje principal? Y sobre todo,
¿quién podía imaginar que las antipartículas harían posible el desarrollo de
nuevas técnicas médicas que tanta trascendencia tienen para la sociedad?
§. El monopolo magnético
En la escuela se nos enseña que un imán siempre tiene dos polos. Si un imán se
divide en dos o más fragmentos, cada uno de ellos sigue teniendo los dos polos.
Así pues, parece concluirse que no existen imanes con un solo polo magnético.
Sin embargo, ¿es concluyente esta afirmación? Al igual que existe el electrón,
partícula portadora de la carga eléctrica elemental, podría introducirse el
monopolo magnético como la partícula portadora de una carga magnética aislada,
es decir, podría considerarse como un imán con un solo polo. Dirac desarrolló
su teoría del monopolo magnético en su trabajo de mayo de 1931, el mismo en el
que introdujo la idea del antielectrón.
Representación sus dos polos magnéticos y las magnético
La
idea del monopolo magnético no fue original de Dirac. Muchos años antes, en el
siglo XIX, algunos físicos consideraron su posible existencia, aun siendo
conscientes de que ello implicaba una clara contradicción con las ecuaciones
fundamentales del electromagnetismo clásico. Las ecuaciones de Maxwell muestran
una clara asimetría entre el campo eléctrico, relacionado con una densidad de
carga y corriente eléctricas, y el campo magnético, para el cual no están
definidas tales magnitudes. Este hecho, además, es consistente con la
introducción de un potencial de tipo vector para describir el campo magnético,
procedimiento que se extendió a la teoría cuántica a través de los trabaos de
Jordán, Heisenberg y Pauli. Esto explica que las cargas magnéticas nunca fuesen
consideradas en el contexto de la teoría cuántica antes del trabajo
desarrollado por Dirac en 1931.
El objetivo que se planteó Dirac no fue probar la existencia del monopolo, sino
encontrar una explicación de la «cuantización» de la carga eléctrica, y justificar
el valor de la constante de estructura fina. Él mismo lo expresó: «Este trabajo
trata fundamentalmente de la existencia de una carga eléctrica mínima». Dirac
introdujo una densidad de carga magnética y una densidad de corriente
magnética, por similitud con las correspondientes magnitudes eléctricas, y
mostró que la teoría cuántica «no excluía la existencia de polos magnéticos
aislados».
Más aún, Dirac obtuvo una relación muy sencilla entre el valor de la carga
eléctrica y la magnética Esta relación involucraba la constante de Planck y
ponía de manifiesto que la existencia del monopolo magnético implicaba la
condición de cuantización para la carga eléctrica A pesar de esta sencilla
relación, Dirac consideró el resultado «bastante decepcionante». Lo que él
buscaba era una condición cuántica que le hubiese permitido determinar
directamente la carga elemental. Sin embargo, usando sus propias palabras:
No
es posible modificar la teoría, puesto que no contiene ningún aspecto
arbitrario. La explicación del valor de la carga eléctrica elemental requerirá
alguna idea totalmente novedosa
Dirac
finalizó su trabajo preguntándose por qué no se habían observado polos
magnéticos aislados.
La
evolución del monopolo magnético
El
trabajo de Dirac sobre los monopolos magnéticos recibió alguna mención en la
prensa, pero, en general, fue ignorado por la comunidad científica. El propio
Dirac solo volvió a considerar el tema bastantes años después, en 1948.
Posteriormente, mantuvo una posición muy distante, incluso cuando comenzaron a
surgir noticias sobre la detección experimental de los monopolos y, ya en las
décadas de 1970-1980, las denominadas «teorías de gran unificación»
introdujeron de nuevo la idea del polo magnético aislado. La mayoría de los
experimentos resultaron fallidos. Sin embargo, en 1982, el físico español Blas
Cabrera, profesor en la Universidad de Stanford (California), sorprendió a la
comunidad científica notificando que había detectado una evidencia clara relacionada
con la existencia del monopolo magnético. Su resultado no pudo refutarse, pero
tampoco confirmarse. Por consiguiente, la existencia de la «hipotética» nueva
partícula no fue aceptada. Hasta el día de hoy, puede afirmarse que no existe
evidencia experimental clara de la existencia de los monopolos magnéticos.
La
relación entre la carga eléctrica y la magnética que había encontrado le
permitió estimar el valor mínimo de la carga magnética a partir de la carga del
electrón. El resultado que obtuvo fue:
Mmin =
137e/2
es
decir, la carga magnética era aproximadamente setenta veces superior a la carga
eléctrica elemental. Dirac interpretó este valor como resultado de la presencia
de una fuerza atractiva muy intensa entre polos magnéticos de distinto signo,
lo que explicaba la gran dificultad en separarlos y, consecuentemente, el hecho
de que no se hubiesen detectado.
§. Las constantes cosmológicas
Dirac seguramente conocía los trabajos previos realizados en el ámbito de la
cosmología, pero no mostró ningún interés especial en este campo hasta 1937,
año en que publicó un pequeño trabajo en la revista Nature con
el título «Las constantes cosmológicas». El trabajo de Dirac tomó como punto de
partida la hipótesis de Lemaître: «El universo se originó en un pasado remoto y
se encontraba en fase de expansión». La idea fundamenta] de Dirac fue explorar
la posibilidad de que las constantes fundamentales de la naturaleza no fuesen
realmente constantes, sino que dependiesen del tiempo en una escala cosmológica
Para ello, Dirac introdujo ciertas «cantidades» enormes correspondientes a
diversas magnitudes relacionadas con la descripción del universo a gran escala,
y sugirió que debía existir una relación sencilla entre las mismas. Los
«números» con los que trabajó Dirac fueron los siguientes:
1. La
edad del universo en relación a la unidad atómica de tiempo (tiempo que la luz
tarda en recorrer el diámetro del electrón clásico): ~2 × 10 39
2. La
relación entre la fuerza eléctrica y gravitatoria existentes entre un electrón
y un protón: ~1039
3. El
número total de protones más neutrones en el universo: ~10 78
Dirac
estaba convencido de que la relación entre estos enormes números no era
fortuita y, además, consideró que tales cantidades dependían de la historia del
universo:
Los
grandes números mencionados deben considerarse no como constantes, sino como
simples funciones de nuestra época presente. Es un principio general que estos
grandes números que describen la teoría física deben ser iguales a potencias
sucesivas del tiempo expresado en unidades atómicas.
Dirac
llamó a este principio «la hipótesis de los grandes números». La idea básica
contenida en la misma era que para dos números grandes cualesquiera en la
naturaleza, siempre existía una relación matemática simple entre ellos, en la
cual los coeficientes eran del orden de la unidad.
Dirac llevó hasta las últimas consecuencias su hipótesis y concluyó su trabajo
señalando que la constante general de gravitación presentaba una dependencia
con el inverso del tiempo.
Pioneros
de la cosmología física
En
la década de 1930 la cosmología se encontraba en plena revolución. En 1929 el
físico estadounidense Edwin Hubble (1889-1953), tras analizar cuidadosamente
una ingente cantidad de datos observacionales, concluyó que el universo estaba
en expansión.
Además,
el número total de nucleones (protones y neutrones) en el universo aumentaba
con el cuadrado del tiempo, y por último, la edad del universo y la constante
de Hubble satisfacían la siguiente relación:
t =
1/(3H)
El
trabajo de Dirac, que estaba en conflicto con la teoría de Einstein (la
constante cosmológica no depende del tiempo), recibió muy poco interés por
parte de la comunidad. Para muchos físicos del campo de la cosmología se
trataba básicamente de numerología Sus colegas «cuánticos» mostraron la más
absoluta indiferencia.
Dirac escribió un segundo trabajo más extenso en 1938, para luego abandonar el
tema hasta 1972. A partir de ese año comenzó a publicar de forma periódica
sobre el mismo hasta poco antes de su fallecimiento. En todos estos trabajos
siguió desarrollando su hipótesis de los grandes números, intentando compaginar
sus predicciones con las nuevas evidencias experimentales que se habían
descubierto, por ejemplo, la medición de la radiación de fondo universal, una
señal inequívoca del Big Bang.
«Las
matemáticas me han conducido por caminos inesperados, que ofrecen nuevas vistas
y conducen a un nuevo territorio, donde se puede establecer una base de
operaciones desde donde estudiar el entorno y el progreso del plan futuro.»
Paul
Dirac
Mención
especial merecen los trabaos que desarrolló Dirac durante la década de 1950, en
los que intentó extender la formulación hamiltoniana a la teoría general de la
relatividad. El objetivo esencial era encontrar una teoría cuántica para la
gravitación. Aunque Dirac no tuvo éxito en el empeño (aún hoy los físicos
trabajan arduamente intentando encontrar tal formulación), es interesante
mencionar que el nombre de «gravitón», el cuanto para la interacción
gravitatoria (similar al fotón en el caso de la interacción electromagnética),
fue introducido por Dirac en la reunión de la American Physical Society que
tuvo lugar en Nueva York en 1959.
§. Trabajos y viajes
A partir de 1934 la vida de Dirac siguió básicamente el mismo patrón que los
años anteriores: trabajo y viajes continuos. En los años previos a la Segunda
Guerra Mundial, entre otros países, visitó en varias ocasiones Estados Unidos y
la Unión Soviética En el primer caso, realizó varias estancias en el Instituto
de Estudios Avanzados de Princeton. Allí conoció a Margit Wigner, hermana del
físico húngaro Eugene P. Wigner, con quien se casó a comienzos de 1937.
Respecto a la Unión Soviética, la relación de Dirac con algunos físicos de ese
país fue muy especial. Mantuvo colaboraciones científicas muy estrechas con
Tam, Fock y Kapitsa, a quienes visitó en tres ocasiones durante el período
1934-1937, en la segunda de las cuales (que tuvo lugar el verano de 1936) se
produjo la muerte de su padre. Sin embargo, Dirac no pudo volver a la URSS
hasta el año 1955, una vez hubo desaparecido Stalin.
Durante los años de guerra, Dirac participó en algunos proyectos militares,
aunque su grado de implicación fue, en general, bastante menor que el de
algunos de sus colegas. Realizó diversos estudios y cálculos relacionados con
la separación de isótopos radiactivos, pero rehusó participar directamente en
el Proyecto Manhattan cuando este comenzó a desarrollarse en Estados Unidos. En
Cambridge, Dirac continuó con sus investigaciones en física teórica, mientras
muchos de sus colegas trabajaban directamente en proyectos militares. La
mayoría de ellos (procedentes de muy distintos países de Europa) decidieron
quedarse en Estados Unidos tras el final de la guerra.
Los años posteriores vieron el comienzo de la Guerra Fría (a partir de 1948) y
el denominado período del «macarthismo» (1950-1956) en Estados Unidos. Por una
parte, la relación de Dirac con sus colegas soviéticos básicamente desapareció
durante algunos años; por otra, sus frecuentes contactos y visitas a la Unión
Soviética durante la década de 1930 le acarrearon diversos problemas con las
autoridades estadounidenses. Así se explica que le fuese denegado el visado
para visitar Estados Unidos en 1954. Para algunos de sus colegas europeos, e
incluso americanos, los problemas fueron mucho más dramáticos: Robert
Oppenheimer fue directamente acusado y sometido ajuicio.
Dirac reanudó sus viajes por todo el mundo a partir de 1955, con estancias
prolongadas en Estados Unidos. Durante todos estos años participó muy
activamente en congresos científicos, reuniones, conferencias, etc., pero
manteniéndose siempre alejado de la atención pública. En 1969, después de
ocupar la Cátedra Lucasiana en Cambridge durante treinta y siete años, decidió
retirarse.
Kapitsa
y los Dirac
Sin
ninguna duda, el físico con quien Dirac tuvo una relación personal más intensa
fue Piotr Kapitsa. Desde que se conocieron en Cambridge, en la década de 1920,
ambos congeniaron hasta el extremo de que Dirac aceptó colaborar con Kapitsa en
un trabajo experimental.
Ese
mismo año se trasladó a Estados Unidos donde estuvo contratado en varias
universidades. Finalmente, en 1971 aceptó una cátedra en la Universidad Estatal
de Florida, en Tallahassee, puesto donde permaneció hasta su fallecimiento en
1984.
Durante los años en Florida, Dirac mantuvo una actividad continuada de
investigación, publicando periódicamente artículos científicos. Al contrario de
sus años en Cambridge, donde solo iba a la universidad para las clases y
seminarios, realizando la mayor parte de su trabajo en casa, en Florida Dirac
se involucró mucho más directamente en las actividades académicas. No solo
trabajaba la mayor parte del día en su despacho, sino que también mantuvo una
relación con otros profesores y colegas mucho más fluida de lo que había sido
la norma general durante toda su vida.
§. El principio de la belleza matemática
En 1956, durante una visita a la Universidad de Moscú, se le pidió a Dirac, al
igual que ya se había hecho con otros insignes visitantes, que escribiese en la
pizarra una frase representativa de su trabajo, frase que se mantendría para la
posteridad. Dirac escribió: «Una ley física debe poseer belleza matemática».
Esta inscripción recoge la principal línea de pensamiento de Dirac a partir de
mediados de la década de 1930. Este lema, al cual Dirac hizo referencia toda su
vida, se transformó en lo que hoy se conoce como el «principio de la belleza
matemática en la física». Este es el principio que llevó a Dirac a rechazar
durante toda su vida los avances de la electrodinámica cuántica a pesar de ser
capaz de describir las evidencias experimentales con una precisión nunca antes
alcanzada. Es también el principio que le hizo mantener su teoría de las
constantes cosmológicas aun cuando estaba en clara contradicción con los datos
experimentales.
Paul Dirac fotografiado en 1962 en el curso de una conferencia en la
Universidad Yeshiva de Nueva York.
El
principio de la belleza matemática llegó a convertirse para Dirac en el lema,
en el credo esencial de todo su pensamiento científico. De hecho, la obsesión
de Dirac por este principio le impidió desarrollar teorías de mayor
originalidad. La dificultad principal con el nuevo «credo» de Dirac, como con
cualquier otro principio de tipo estético, es su carácter subjetivo y, por
consiguiente, la imposibilidad de usarlo como guía básica en el desarrollo de
la ciencia Dirac nunca pudo definir su concepto de la belleza matemática en una
forma satisfactoria.
Cuando se le preguntó si belleza y simplicidad podían considerarse
equivalentes, manifestó que la relación entre las matemáticas y la física era
algo más profundo que el propio principio de simplicidad y puso como ejemplo
las teorías de Newton y Einstein:
La
teoría de Newton es mucho más simple que la teoría de la gravitación de
Einstein. Sin embargo, la teoría de Einstein es mejor, más profunda y más
general. La belleza matemática, y no la simplicidad, es lo que caracteriza la
teoría de la relatividad, y este es el concepto fundamental en la relación
existente entre la física y la matemática.
Se
ha comentado que el principio de la belleza matemática fue el «motor» de los
trabajos científicos de Dirac, la «fuerza generatriz» de su gran innovación y
de sus sorprendentes descubrimientos en física fundamental.
Pero, en realidad, no fue así. Es incuestionable que para Dirac la forma de
hacer física fue a través del uso de la matemática. Este era el lenguaje de la
física y, por tanto, el camino que un investigador debía seguir para descubrir
los secretos de la naturaleza. El juego con las ecuaciones es la forma en la
que Dirac se enfrentó a los problemas, un método que llenó de perplejidad a
muchos de sus colegas, no acostumbrados a tal forma de proceder.
Recuérdese que Dirac siempre criticó la forma de hacer física de Bohr, entre
otros, por no tener suficiente base y soporte matemático.
Todos los trabajos de Dirac seguían el mismo patrón: claridad y precisión
conceptual, términos concisos y una poderosa y sólida base matemática
«La
belleza matemática es una cualidad que no puede definirse, de la misma forma
que sucede en el arte, pero que la gente que estudia matemáticas no tiene
ninguna dificultad en apreciar.»
Paul
Dirac.
El
período de máxima creatividad y originalidad de Dirac (su período heroico) no
contiene ninguna alusión al principio de la belleza matemática.
Dos viejos conocidos del mundo de la física: Werner Heisenberg, a la
derecha, conversa con Paul Dirac en la 18ª convención anual de premios Nobel
celebrada en la ciudad alemana de Lindau en 1968.
En
aquellos años, lo esencial para Dirac era describir los problemas físicos de
forma precisa, lo cual significaba disponer de una formulación matemática
sólida y consistente. Este era el único camino para encontrar las respuestas.
En aquel período, una formulación matemática consistente no era contradictoria
con el uso de métodos aproximados. Dirac, quizá por su formación en ingeniería,
valoraba este tipo de procedimientos y los consideraba completamente válidos
como forma de resolver problemas concretos.
Las primeras alusiones al concepto de belleza matemática surgieron a partir de
1934; se trataba de una clara respuesta a la frustración y profundo desengaño
que Dirac sintió por la electrodinámica cuántica. En los años siguientes, este
principio se convirtió en una obsesión, una forma de creencia religiosa (en sus
propias palabras), algo que le impidió valorar otros descubrimientos de la
física y que llegó a convertirse en un verdadero obstáculo para su propia
creatividad.
La idea de belleza matemática llegó a dominar todo su pensamiento, y esta idea
preconcebida modificó su forma de analizar los problemas físicos. El método
solo tenía sentido si se ajustaba a su idea de «belleza», y los resultados solo
eran válidos si se habían obtenido siguiendo dicho principio «religioso». Una
actitud poco abierta que tiende a alejarse del famoso método científico. No
resulta irrelevante señalar que los trabajos de Dirac comenzaron a perder
impacto y originalidad a partir del momento en el que el principio de la belleza
matemática se convirtió en el credo de su pensamiento científico.
§. El legado de Dirac
De todos los grandes físicos, Dirac fue probablemente el menos filosófico.
Nunca escribió ningún texto en el que expusiese sus ideas sobre la filosofía de
la ciencia, o el método científico, o la relación de la ciencia con la
sociedad. Siempre mantuvo una privacidad extrema y rehuyó continuamente el
contacto social y, sobre todo, el estar bajo los focos de la atención pública
Esto explica el gran desconocimiento sobre su figura. Su nombre sigue siendo
desconocido para una inmensa mayoría de personas. Seguramente, esto es lo que
siempre quiso el propio Dirac. Aunque su figura no sea conocida a nivel social,
su obra ha modificado completamente el panorama de la física. Las teorías más
actuales tienen su origen en sus trabaos. No es equivocado afirmar que muy
pocos investigadores han tenido mayor influencia en la construcción de la
física fundamental presente. Él contribuyó, con muchos otros colegas, a la
construcción de la mecánica cuántica, pero fue el primero en poner los
cimientos de la teoría cuántica que describe la interacción entre la radiación
y la materia.
Dirac fue conocido como «el teórico de los teóricos», y algunos de sus
descubrimientos llenaron de asombro a todos sus colegas. Con el paso del
tiempo, su obra alcanzaría tal fama que hasta el propio nombre del autor
quedaría ensombrecido frente a su creación. Esto fue lo que sucedió con el
descubrimiento de la antimateria, hallazgo que Heisenberg consideró como «quizá
el salto más grande de todos los grandes saltos de la física de nuestro siglo».
Antimateria: concepto que prodigo una «explosión» en la literatura de ciencia
ficción, y cuyas aplicaciones eran difíciles de prever.
Seguramente habrán oído hablar de universos y antiuniversos, de partículas y
antipartículas que se aniquilan produciendo una enorme cantidad de energía;
habrán leído sobre la producción de antiátomos y sobre la creación, por la
secta de los Illuminati, del arma más mortífera jamás creada; habrán visto en
la televisión o en el cine naves interestelares, como el Enterprise de
la serie Star Trek, desplazándose a la velocidad de la luz
gracias a sus propulsores de antimateria; serán conscientes, quizá incluso por
propia experiencia, de la existencia de ciertas técnicas médicas como el PET
(Tomografía de Emisión de Positrones). Cuando piensen en todo ello, sea
realidad o ficción, acuérdense de un «desconocido» físico inglés llamado Paul
Dirac. Él fue quien dio comienzo a todo.
·
Baselga, S., Dirac.
La belleza matemática, Madrid, Nivola, 2008.
·
Gamow, G. ,
Biografía de la física, Madrid, Alianza, 2007.
·
Gribbin J .,
En busca del gato de Schrödinger, Barcelona, Salvat, 1994. —: Historia de la
ciencia, 1543-2001, Barcelona, Crítica, 2003.
·
Hooft, G.,
Partículas elementales, Barcelona, Drakontos, 2008.
·
Kragh, H.S.,
Generaciones cuánticas: una historia de la física en el siglo XX, Madrid, Akal,
2007.
·
Penrose, R., El
camino a la realidad, Madrid, Debate, 2006.
·
Rosenblum B. y Kuttner F.,
El enigma cuántico, Barcelona, Tusquets, 2012.
·
Sánchez, J. L. y Cassinello A.,
La realidad cuántica, Barcelona, Crítica, 2012.
·
Sánchez, J.M.,
Historia de la física cuántica, Barcelona, Crítica, 2001.
·
Teresi D. y Lederman L., La
partícula divina, Barcelona, Drakontos, 2007.
·
Ynduráin, F.J., Electrones,
neutrinos y quarks, Barcelona, Crítica, 2011. —: Teorías unificadas y
constituyentes fundamentales de la materia, Madrid, Espasa Calpe, 1988.
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