© Libro N° 9426. El Encanto De La Matemática. Pappas, Theoni. Emancipación. Enero
1 de 2022.
Título original: © El
Encanto De La Matemática. Theoni Pappas
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© Edición, reedición y Colección Biblioteca Emancipación: Guillermo Molina
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Theoni Pappas
El Encanto De La Matemática
Theoni Pappas
CONTENIDO
Preámbulo
1. Magia matemática del pasado
2. La matemática toca su música
3. La revolución de los ordenadores
4. La matemática y los misterios de la vida
5. Matemática y arquitectura
6. El hechizo de la lógica, la recreación y los
juegos
Nota Bibliográfica
Theoni Pappas
Este libro está dedicado a los matemáticos que han
creado y siguen creando la magia de la matemática.
Preámbulo
En casi todas las ciencias, una generación destruye
lo que otra ha construido, y lo que una ha establecido, otra lo deshace. Sólo
en la matemática cada generación añade un nuevo piso a la vieja estructura.
Hermann Hankel
En esta época de conflicto entre los estudios modernos y los antiguos, sin duda
hay mucho que decir a favor de un estudio que no empezó con Pitágoras y que no
terminará con Einstein, y que es el más antiguo y el más joven de todos.
G. H. Hardy
El descubrimiento de la magia matemática no se
limita a la actualidad. Las historias e ideas del pasado son muy ricas en ella.
Con frecuencia nos preguntamos de qué modo los antiguos usaron ideas tales como
los números irracionales, las demostraciones, las secciones cónicas. Si no
fuera por la curiosidad humana y por el deseo de aprender, ¿hubiera progresado
la matemática hasta el lugar que ocupa en la actualidad? Este capítulo presenta
unas pocas de la multitud de ideas matemáticas que han emergido en el transcurso
de los siglos.
Collage de ideas matemáticas y sus creadores
La historia nos muestra que la creatividad
matemática no es privilegio de ninguna cultura en particular, de ninguna época,
civilización ni género. La cantidad de ideas y contribuciones sorprendentes
producidas con el transcurso de los siglos es verdaderamente increíble, y
resulta muy excitante explorarlas. Esa exploración llevará al lector en un
viaje a través del tiempo y de todos los países del mundo. Y ese viaje revelará
que algunas ideas fueron descubiertas casi simultáneamente en diferentes
países, como ocurrió con la geometría hiperbólica. Sabemos que los números y
alguna forma de sistema numérico son inherentes a todos los pueblos.
Descubrimos que el uso del cero y de la posición del número para representar el
valor fueron desarrollados en muchas partes del mundo... primero por los
babilonios, con su base 60, luego por los mayas con un sistema de base 20
modificada, y por los hindúes cuando desarrollaron una notación posicional para
el sistema de base 10. Descubrimos que ese sistema fue más tarde mejorado y
normalizado por los árabes. Los chinos también tenían un sistema de valor
posicional y usaron el cero con sus numerales varitas, que más tarde
perfeccionaron hasta lograr un sofisticado sistema de numeración decimal usado
especialmente para resolver cálculos. En este capítulo sólo mencionamos a unos
pocos matemáticos y unas pocas ideas de los muchos miles que existen. Los
mencionados de ninguna manera son superiores o más importantes que los que no
aparecen. Insto a los lectores a que usen estas secciones como trampolines y
base para estudios más profundos, y para posibilitar la comprensión de la magia
matemática del pasado. Con ese espíritu se ofrecen las ilustraciones con listas
de matemáticos famosos, el collage de matemáticos y sus ideas, y el diagrama de
los sistemas numéricos. Nos encontramos en medio de muchos descubrimientos
matemáticos nuevos. No es necesario ser matemático para entender la esencia de
estas ideas ni para apreciar su creatividad. Debemos buscar la magia matemática
en el pasado y en el presente.
Lista con algunos famosos matemáticos del pasado
Capítulo 1
Magia matemática del pasado
Contenido:
§. Los babilonios y las raíces cuadradas
§. La escalera que asciende sobre
§. El método chino de apilar cuadrados
§. Los primeros generadores de números aleatorios
§. La multiplicación egipcia
§. El primer laboratorio científico
§. Platón duplica el cuadrado
§. Los romanos y la superficie del círculo
§. Cómo trisecciona un ángulo el gnomon
§. Misterios matemáticos no resueltos
§. El último teorema de Fermat
§. Galileo y la proporción
§. Los recipientes y la matemática
§. Geometrías viejas y nuevas
§. ¿Qué hay en un nombre?
§. La fórmula mágica de Euler F + V – E = 2
§. Los babilonios y las raíces cuadradas
¿Qué hacían con sus precisas aproximaciones de la
raíz cuadrada?
Con frecuencia pensamos en los matemáticos de la
antigüedad simplemente como eso... ¡como antiguos y remotos! Sin embargo, si
miramos atrás, nos sorprenderemos al descubrir que estamos usando una idea,
valor o concepto similar al que usaban las personas hace miles de años. Lo que
sabemos de la matemática de los babilonios procede fundamentalmente de unas
pocas tabletas de cera con texto cuneiforme, producto de las excavaciones
arqueológicas. Esas tabletas datan de entre el año 3000 y el 200 a.C.[1] Revelan que los babilonios manejaban los siguientes conceptos
matemáticos:
· ecuaciones con una incógnita
· sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, tablas
de aproximaciones[2]
· volúmenes y superficies
· cálculo de la superficie de un triángulo y de un
trapezoide
· la aproximación de pi ~3 se usaba para determinar
la superficie del círculo: 3r2
· el volumen de prismas y cilindros, multiplicando la
superficie de la base por su altura
· el teorema de Pitágoras
· aspectos de la teoría numérica, por ejemplo:
1 + 2 + 4 +...+ 29= 29 +
(29 – 1)
La tableta babilonia[3] de la página anterior ilustra una aproximación asombrosamente
precisa de √2. Resulta igualmente sorprendente saber que el sistema numérico
posicional de base sexagesimal desarrollado por los babilonios a partir del
sistema sumerio, se presta a esa clase de precisión.[4] Fue el primer sistema numérico posicional de su época, y como
inicialmente carecía de cero y de punto sexagesimal, se basaba en el contexto
para indicar el valor de cada número. Por ejemplo, este número
Más tarde, los babilonios idearon el símbolo
¿Qué hacían los babilonios con aproximaciones tan
precisas de √2? Si examinamos detenidamente esta tableta cuneiforme, veremos
que la figura es un cuadrado en el que se han dibujado las diagonales. Un lado
del cuadrado tiene el símbolo
Sobre la diagonal horizontal escribieron
l + (24/60) + (51/602) + (10/603)
=
= 1 + (2/5) + (51/3600) + (1/216000) ≈
≈ 1,4142129+
que puede compararse con √2 = 1,414213562.... Para
llegar a esta estimación, los babilonios posiblemente utilizaron un método
repetitivo de aproximación frecuentemente empleado por los griegos.[5]
Este problema aparecía en otra tableta babilonia:
“Una viga (patu) de longitud 0;30 (se apoya contra un muro). El extremo
superior se ha resbalado una distancia de 0;6. ¿Cuánto se ha desplazado el
extremo inferior?” (La notación “;” es la aceptada para indicar el punto
sexagesimal).
Sabemos que los babilonios comprendían el teorema
de Pitágoras. El valor que calculaban para la diagonal vertical de la tableta
es una aproximación precisa de la longitud de la diagonal del cuadrado.
Es decir, los números escritos en diagonal en la
tableta, 42; 25,35, se convierten en 42+(25/60)+(35/3600) ≈ 42,42638889,
mientras que 30√2 ≈ 42,42640687. Además de trabajar con triángulos rectángulos
cuyos lados eran números racionales (por ejemplo {3,4,5}, {5,12,13}), también
usaron el teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos cuyos lados no eran
todos números racionales. Esto explica que emplearan aproximaciones para
números irracionales como √2. [6]
§. La escalera que asciende sobre
Los antiguos griegos descubrieron cómo dibujar
segmentos, cuyas longitudes eran números irracionales, usando el teorema de
Pitágoras. Solían inscribir y circunscribir polígonos regulares, y usaban
también los conceptos de infinito y de límites para estudiar la superficie del
círculo. También desarrollaron un tipo de escalera aritmética usando
proporciones para aproximarse al valor de los números irracionales. He aquí
cómo trabajaron para el caso de √2.
La proporción 1:√2 se obtiene por el cociente de
los números situados en los mismos peldaños de la escalera. Estos cocientes se
aproximan cada vez más a 1/√2; en el límite, el valor es 1/√2.
Nota: Los dos números situados en cada peldaño de la escalera resuelven
la ecuación:
y2 – 2x2 = ±1
Los valores de x son los números
situados del lado izquierdo de la escalera.
1/√2 = 0,707106781....
1/1 = 1
2/3 = 0,666
5/6 = 0,71428571429...
12/17 = 0, 70588235294... 29/41 = 0,70731707317
70/99 = 0,7070...
§. El método chino de apilar cuadrados
Es difícil encontrar expertos capaces de traducir
la antigua escritura china. Encontrar expertos capaces de traducir manuscritos
relacionados con ideas matemáticas es aún más difícil. Esto explica por qué son
escasos los ejemplos chinos de temas matemáticos. Hsuan-thu, el
apilado de cuadrados, era una técnica usada por los matemáticos chinos para
llegar a conclusiones algebraicas utilizando medios geométricos y aritméticos.
La ilustración que aquí presentamos procede de un manuscrito llamado Chou
Pei. Está en disputa la fecha de Chou Pei, y las
estimaciones oscilan entre el año 1200 a.C. y el año 100 d.C. Si la fecha 1200
a.C. es precisa, sería una de las primeras demostraciones conocidas del teorema
de Pitágoras, adelantándose a Pitágoras y a los pitagóricos. El teorema de
Pitágoras ha aparecido en muchas civilizaciones de la historia. En
arquitectura, fue uno de los medios de asegurarse el trazado de un ángulo
recto. En matemática ha sido y sigue siendo una herramienta indispensable, cuya
aplicación se emplea en muchas disciplinas diferentes.
El teorema de Pitágoras establece que en todo
triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa (a2 + b2 = c2).
(Lo inverso también es cierto).
En el diagrama de abajo a la izquierda, la
superficie del cuadrado interior se indica como 5 × 5 o 52 = 25
unidades cuadradas. Ha sido subdividido en 4 triángulos rectángulos, cada uno
de ellos de superficie (½)(3 × 4) y un cuadrado de superficie 1 × 1,
totalizando 25 unidades cuadradas.
En el diagrama de la derecha, el cuadrado está
dividido en dos cuadrados más pequeños que se superponen, uno de 3×3 y el otro
de 4 × 4. La parte en que se superponen tiene la misma superficie que la que
dejan vacía en el cuadrado de 5 × 5, lo cual ilustra que la superficie del
cuadrado más grande (52) es igual a la suma de las superficies de
los dos cuadrados más pequeños, es decir, 32 y 42.
Izquierda: El diagrama explica cómo hallar la superficie del cuadrado
interior sombreado sumando las superficies de los 4 triángulos y del cuadrado
unidad que está en el medio. En general, muestra que: c2 = 4
(½)ab+(a-b)2 = 2ab+(a2–2ab+b)2 = a2+b2.
Derecha: La suma de las superficies de los dos rectángulos sombreados es igual
a la superficie del pequeño cuadrado sombreado (el cuadrado creado por dos
cuadrados superpuestos). Si 5, 4 y 3 representan a las variables c, a y b, se
demuestra que: a2+b2 = c2
§. Uno de los primeros generadores de números
aleatorios
Aunque en la antigua Grecia no se llamara al dado
un “generador de números aleatorios”, de hecho lo era y, según Homero, los
héroes de la Guerra de Troya se entretenían con ellos entre combate y combate
(en el Museo Arqueológico Nacional de Atenas puede verse un antiguo ejemplar).
Los dados han desempeñado muchos roles a lo largo
de los siglos. Han sido usados para predecir la suerte, para determinar los
movimientos de juegos tales como el backgammon y el Monopoly, mientras
que en otros juegos son los elementos principales.
Exekias, Ayax y Aquiles jugando a los dados. Ánfora, siglo IV a.C.
Los matemáticos siempre han estado intrigados por
los dados desde el punto de vista de la probabilidad. De hecho, pueden ser
considerados responsables por haber desviado la atención de Blaise Pascal y de
Pierre de Fermat hacia el tema de la probabilidad.
Mientras Pascal jugaba, un amigo le preguntó cómo
se repartiría el pozo si el juego se interrumpiera antes de terminar. Pascal le
escribió a Fermat sobre el problema. En 1654, los dos hombres elaboraron por
correspondencia su teoría de la probabilidad, y de ese modo iniciaron una nueva
rama de la matemática. En la actualidad los dados y otros generadores de
números aleatorios se emplean para la enseñanza de diversos aspectos de esta
teoría.
§. La multiplicación egipcia
El método de multiplicación egipcio sobrevivió durante siglos, esparciéndose
en muchas civilizaciones. En las escuelas de la antigua Grecia se lo enseñaba
con el nombre de cálculo egipcio. En la Edad Media se enseñaban sus técnicas
bajo el nombre de duplatio para la duplicación y de mediado para la división en
mitades.
He aquí un ejemplo, tomado del papiro Rhind, de
cómo un escriba egipcio hubiera multiplicado 12 × 12. Se empieza con 12.
Después se duplica para que dé 24, que a su vez es duplicado para dar 48, y
otra vez duplicado para dar 96. Se dibujan tildes junto al 4 y al 8, para
indicar que suman 12. Luego se suman sus cifras correspondientes, lo que nos da
la respuesta, 144. El método egipcio de multiplicación eliminaba la necesidad
de memorizar las tablas, ya que se basaba fundamentalmente en la adición.
La división se hacía de manera similar. Para dividir 1120 por 80, hay que
hallar el número que multiplicado por 80 dé 1120. Según cuán grande sea el
número que se divide, el divisor es duplicado o multiplicado por 10, 100, 1000,
etc. Los resultados pueden entonces duplicarse hasta hallar una suma que dé
1120. Si el problema no daba un resultado entero, los egipcios usaban
fracciones, como en el ejemplo de 47/33.
§. El primer laboratorio científico
Con frecuencia los matemáticos y eruditos de la
antigua Grecia son considerados principalmente como teóricos y filósofos. En la
actualidad, nuevas investigaciones[7] han revelado que el primer laboratorio del que queda registro fue
instalado por Pitágoras y los pitagóricos (siglo VI a.C.). No es sorprendente
que no existan registros de los propios pitagóricos que respalden esta
afirmación, ya que constituían un grupo clandestino que trabajaba en secreto.
Pero sí hay evidencias posteriores. La ilustración procede de los escritos del
erudito romano Boecio (siglo V d.C.).
Muestra a Pitágoras experimentando con el sonido,
específicamente con la relación entre las proporciones de un objeto (en este
caso, campanas) y los tonos que produce. Teón de Esmirna (siglo II d.C.), junto
con otros autores antiguos, escribió acerca de experimentos similares
realizados por los pitagóricos y otros griegos. Si se consideran las
invenciones del matemático griego Arquímedes (287-212 a.C.) —las leyes de la
palanca y la polea, los métodos para comparar los volúmenes de los objetos
mediante inmersión en el agua, el tomillo de Arquímedes, la catapulta—
advertimos la existencia e importancia de la experimentación.
§. Platón duplica el cuadrado
ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ
Que nadie que ignore la geometría entre aquí.
Estas palabras estaban inscriptas sobre las puertas
de la Academia de Platón en Atenas. Aunque Platón (428-348 a.C.) no es famoso
por sus contribuciones matemáticas, sí tiene renombre por haber establecido un
centro donde él mismo guiaba, estimulaba e inspiraba el pensamiento matemático.
Este elegante método para duplicar la superficie del cuadrado aparece en el
diálogo platónico Menón. El diagrama ilustra cómo debe
duplicarse un cuadrado y cómo no debe hacérselo.
El área sombreada del cuadrado superior es el doble que el área del cuadrado
blanco. El cuadrado sombreado inferior tiene una superficie de cuatro veces la
del cuadrado blanco. Adviértase que aunque sus lados son del doble de tamaño
que los lados del cuadrado blanco, su superficie es cuatro veces la de éste.
§. Los romanos y la superficie del círculo
Para hallar la superficie de un círculo
determinado, los romanos usaban la superficie de un cuadrado cuya diagonal era
1/4 más larga que el diámetro del círculo.
He aquí la precisión del método.
Supongamos que el diámetro del círculo es d. Entonces,
la diagonal del cuadrado es
d + 0,25d = 1,25d
Aplicando el teorema de Pitágoras, el lado del
cuadrado es
1,25d2/√2
Elevando al cuadrado el lado del cuadrado,
obtenemos la superficie del cuadrado como
1,5625d2/2
Como el radio del círculo es 0,5d, y la
fórmula para la superficie de cualquier círculo es πr2, la
superficie del círculo es:
(0,5d)2π = 0,25d2π
Usando 3,1416 como aproximación de π, tenemos:
Si igualamos 0,78125d2 y
0,25d2π y despejamos π, llegamos a la aproximación que los
romanos tenían de π:
0,78125d2 = 0,25d2π
0,78125d2/0,25d2 = π
3,125 = π
3 + 1/8 = π
§. Cómo trisecciona un ángulo el gnomon
Triseccionar un ángulo era una de los tres famosos
problemas de construcción imposible de la antigüedad que originaron muchos
descubrimientos matemáticos. Aunque un ángulo no puede ser triseccionado usando
solamente regla y compás, sí puede serlo empleando un instrumento al que los
griegos llamaban gnomon (el gnomon era usado para hacer y determinar ángulos
rectos). Los antiguos griegos triseccionaban el ángulo de la manera siguiente:
El gnomon tiene dos marcas, R y S, de tal modo que
|TR| = |TS|
Arriba: Pasos 1 y 2: El gnomon se usa para hacer una línea paralela a un
lado del ángulo. Abajo: Paso 3: El gnomon se coloca como se ve en la
ilustración, con una marca sobre un lado del ángulo, otra sobre la línea
paralela, y la regla pasando por el vértice del ángulo.
Paso 4: Se trazan las líneas de puntos para formar
tres triángulos: ΔPCB ≅ (hipotenusa común, un cateto similar), ΔPCB,
ΔPCD un cateto común, un cateto similar). Así ΔPCB ≅ ΔPCD ≅ ΔPAB, y por lo tanto ∠ 1≅∠ 2 ≅ ∠ 3 queda así triseccionado.
§. Misterios matemáticos no resueltos
Sin duda la matemática presenta una gran abundancia
de problemas. En realidad, la matemática y los problemas son inseparables.
La historia demuestra que las ideas matemáticas han
sido catalizadoras de los problemas matemáticos, y que los problemas
matemáticos han estimulado muchas ideas y descubrimientos matemáticos.
Los tres problemas de construcción imposible de la antigüedad[8], el problema de los puentes de Königsberg[9] y el problema del postulado de las paralelas[10] son ejemplos de problemas que han sido resueltos y que en su
proceso de resolución estimularon ideas, pensamientos y descubrimientos
matemáticos. El planteo y la exploración de problemas y cuestiones matemáticas,
y el escrutinio de las soluciones y las pruebas son fuerzas estimulantes para
los matemáticos.
He aquí algunos pocos famosos problemas matemáticos
“no resueltos”:
Los problemas no resueltos de los números primos
· ¿Hay un número infinito de pares primos? Un par
primo es un par de primos consecutivos cuya diferencia es dos. Por ejemplo, 3 y
5, ya que 5 – 3 = 2. Algunos otros son 5 y 7, 11 y 13, 41 y 43.
· El misterio del número perfecto impar: Un número
perfecto es aquél que es igual a la suma de sus divisores propios (un divisor
propio es un divisor que no es el número mismo). El número 6 es un ejemplo de
un número perfecto par porque 6 = 1 +2 + 3. Otros ejemplos son 28, 496 y 8128.
Alrededor del año 300 a.C., Euclides demostró que si un número de la
forma 2n–1 es primo, entonces 2n–1(2n–
1) es un número perfecto. Luego, en el siglo XVIII, Euler demostró que cualquier
número perfecto par debe tener la forma dada por Euclides. Por
ejemplo, 8128 = 26(27–1). Pero los números perfectos
impares siguen siendo un misterio. Hasta ahora nadie ha encontrado un número
perfecto impar, ni nadie ha probado que todos los números perfectos son pares.
La conjetura de Goldbach
¿Todos los números pares mayores que dos son la
suma de dos números primos?
En 1742, el matemático alemán Christian Goldbach
(1690-1764), le comunicó a Leonhard Euler (1707-1783) la conjetura de que todo
número par, salvo 2, era la suma de dos primos. Ejemplos: 4 = 2 + 2; 6
= 3 + 3; 10 = 5 + 5; 12 = 7 + 5, ... Aunque se considera que la conjetura de
Goldbach es cierta, hasta el momento nadie la ha demostrado. Hasta ahora se han
producido los siguientes avances: en 1931, el matemático soviético L.
Schnirelmann aparentemente probó que cualquier número par puede escribirse como
la suma de no más de 300.000 primos... algo muy alejado de dos primos.
Iván M. Vinogradov (1891-1983) demostró que todos los enteros impares
suficientemente grandes son suma de tres primos. En 1973, Chen Jing-run
demostró que cualquier número par suficientemente grande es la suma de un primo
y de un número que, o bien es primo o bien tiene dos factores primos.
Un margen demasiado estrecho
En el siglo XVII, Pierre de Fermat (1601-1665)
escribió en el margen de uno de sus libros:
Dividir un cubo en dos cubos, una cuarta potencia,
o en general cualquier potencia mayor que la segunda, en dos potencias de la
misma denominación, es imposible, y sin duda he encontrado una maravillosa
prueba de esto, pero el margen es demasiado estrecho para escribirla.
En otras palabras: Si n es un
número natural mayor que 2, no hay números enteros positivos x, y, z de
modo que xn + yn = zn.
La nota de Fermat se convirtió en un desafío.
Durante siglos, la prueba o la negación de este teorema eludió incluso a los
matemáticos más prominentes.
* * * *
El estudio de las ideas matemáticas que no han sido
resueltas resulta tan interesante como investigar aquello que sí conocemos. Lo
que hemos presentado es sólo una pequeña muestra de misterios matemáticos no
resueltos. Aunque algunos de ellos son suficientemente simples como para
explicárselos a personas sin formación matemática, las soluciones resultan
sorprendentemente esquivas.
§. El último teorema de Fermat
No hay números enteros positivos que puedan
resolver xn + yn = zn cuando n
es un número natural mayor que 2.
Cuando el matemático del siglo XVII Pierre de
Fermat garrapateó la nota citada en la página anterior en el margen de una
traducción de la Aritmética de Diofanto, no se imaginaba el
impacto que su comentario ejercería sobre el desarrollo de la matemática
durante los 350 años siguientes. ¿Verdaderamente lo había resuelto? ¿O era tan
sólo una broma? Nadie lo sabrá con seguridad, pero lo que sí sabemos es que se
convirtió en uno de los famosos problemas no resueltos de la historia de la
matemática. Al igual que los tres famosos problemas de construcción de la
antigüedad, que el problema de los puentes de Königsberg, y que el quinto
postulado de Euclides, el último teorema de Fermat ha estimulado las ideas y
descubrimientos matemáticos durante siglos.
La comunidad matemática se muestra muy excitada y
entusiasta con respecto a Curvas elípticas modulares y el último
teorema de Fermat, una obra de 200 páginas de Andrew J. Wiles, profesor de
matemática en la universidad de Princeton. Al presentar su obra en unas
conferencias pronunciadas en Cambridge (en junio de 1993), concluyó su última
charla con el anuncio de que había probado la conjetura de
Shimura-Taniyama-Weil que, en opinión de los matemáticos, era la clave para
probar el último teorema de Fermat. En los círculos matemáticos predomina la
sensación de que la obra de Wiles ha acabado con el problema del último teorema
de Fermat.
Andrew Wiles
A lo largo de los siglos se han producido miles de
“pruebas” del problema de Fermat, pero hasta el momento ninguna ha resistido un
examen profundo. No es que el último teorema de Fermat sea algo tan
extraordinario, pero como Fermat dijo “he descubierto una prueba verdaderamente
maravillosa”, la solución (su prueba) se constituye en la belleza de este
teorema. Su búsqueda ha provocado descubrimientos en teoría numérica,
criptografía y códigos, para nombrar sólo algunas áreas.
Wiles había estado intrigado por el teorema de
Fermat desde su adolescencia. Pero no profundizó en su prueba mientras no vio
medios posibles a su alcance. Wiles considera que su trabajo es una
colaboración de todos los matemáticos que lo precedieron. Entre estos
matemáticos se encuentra Leonhard Euler, del siglo XVIII, quien probó el
teorema para n = 3. El matemático alemán Ernst E. Kummer probó
el teorema para todos los números menores que 100, excepto tres. Pruebas
actuales realizadas mediante ordenador han revelado que no existen soluciones
para los primeros cuatro millones de números naturales. En la década de 1950,
Yuktaka Taniyama enunció su conjetura con respecto a las curvas elípticas y a
sus estructuras en un plano hiperbólico. Tres décadas después, Gerhard Frey
planteó que si la conjetura de Taniyama era cierta en el caso de cierto tipo de
curvas elípticas (llamadas semiestables), entonces se podía probar el teorema
de Fermat. Cuando Kenneth A. Ribet probó la proposición de Frey, Wiles decidió
dedicarse al teorema de Fermat. A partir de ese momento trabajó intensivamente
durante siete años. En mayo de 1993, llegó a manos de Wiles un trabajo de Barry
Mazur, de Harvard. El trabajo describía una técnica numérica que tenía más de
cien años de antigüedad, y que resultó muy importante para la finalización de
su prueba.
§. Galileo y la proporción
Existen muchos conceptos matemáticos que no tienen
restricciones en el dominio de la matemática, pero que están limitados cuando
se los aplica al mundo real. La idea de la proporción es una de esas ideas
útiles para resolver muchos tipos de problemas. Por ejemplo, si tres cajas
idénticas de bolitas pesan 42 libras, ¿cuántas cajas hacen falta para llegar a
un peso de 168 libras? Establecer una proporción es una de las maneras posibles
de resolver este problema:
3 cajas/42 libras = ? cajas/168 libras.
Pero no todos los problemas de proporción tienen
una resolución realista. ¿Es posible cambiar la escala de un árbol y que sea
funcional? ¿Puede existir una persona de cualquier tamaño? La composición de un
objeto, sea un árbol o los huesos de una persona, desempeña un rol vital en la
determinación de los límites máximos y mínimos de su tamaño. Una persona de
cien pies de altura es imposible, porque la estructura y los materiales que
componen el cuerpo humano no están preparados para esa forma gigantesca. Hasta
las secoyas gigantes tienen límites en su altura, dictados por el sistema de
sus raíces y las propiedades de la madera. Uno de los primeros registros del
problema de aumentar o disminuir a escala el tamaño de un objeto figura
en Diálogos acerca de dos nuevas ciencias, obra escrita por Galileo
en 1638.
Allí Galileo afirma:
“... si se quiere mantener en un gigante la misma
proporción que se encuentra en un hombre común, habrá que encontrar materiales
más duros y resistentes para hacer los huesos, o bien habrá que admitir una
disminución de fuerza en comparación con hombres de estatura media; pues si su
altura se aumentara desmesuradamente, el gigante caería y quedaría aplastado
bajo su propio peso. En tanto, si el tamaño del cuerpo se disminuye, la fuerza
de ese cuerpo no disminuye en proporción. Por cierto, cuanto más pequeño es el
cuerpo, tanto más grande es su fuerza relativa”.
§. Los recipientes y la matemática
Con frecuencia resulta sorprendente descubrir cómo
se matematizaban las ideas y los objetos del pasado. Existen numerosos ejemplos
de distintos jarrones, contenedores y recipientes para depósito que han sido
diseñados con muchas formas. Este diseño y dibujo de un cáliz, hecho por Paolo
Uccello, pertenece a la colección en exhibición en la galería Uffizzi de
Florencia, Italia. Aunque fue hecho durante la primera parte del siglo XV, su
precisión y exactitud nos recuerdan el análisis por ordenador, e ilustra la
perspectiva lineal, la constante existente entre las medidas proporcionales, y
el uso de sólidos geométricos.
§. Geometrías... viejas y nuevas
He descubierto cosas tan maravillosas que me
dejaron atónito... de la nada he creado un extraño nuevo universo.
Janos Bolyai, en una carta a su padre, 1823.
Cuando pensamos en la geometría, la mayoría de
nosotros recordamos el curso de geometría de la escuela secundaria... todos
esos teoremas “mortales” que tuvimos que “memorizar”, la excitación que nos
produjo nuestra primera prueba, puntos, líneas, triángulos, cuadriláteros,
círculos, sólidos, superficie, volumen. Lo bello de la geometría es que podemos
visualizar sus elementos. Pero no nos damos cuenta de que una silenciosa
evolución de las ideas se ha producido desde la antigüedad hasta el presente.
Aquellos de nosotros que continuamos el estudio de la matemática aprendimos que
en la geometría había mucho más que la geometría euclidiana. Aprendimos cómo se
relacionaban la geometría y el álgebra por medio del sistema de coordenadas de
René Descartes. Vimos cómo el quinto postulado de Euclides era cuestionado
durante siglos por los matemáticos: muchos pensaban que no era una idea
independiente, sino que podía ser probado a partir de elementos de la geometría
ya existentes. Tal como la historia lo ha demostrado, el quinto postulado era
definitivamente independiente dentro de la geometría euclidiana... pero los
intentos fracasados condujeron a los descubrimientos de las geometrías
no-euclidianas. Es imposible separar verdaderamente un campo de la matemática
del resto, pues cuando los matemáticos conciben ideas lo hacen basándose
en todos sus conocimientos matemáticos. Una línea temporal de
la evolución de las geometrías resulta demasiado interesante como para pasarla
por alto. El espacio limita esta línea temporal a la evolución de los campos de
las geometrías, y no a las ideas específicas dentro de una geometría en
particular. Esperamos que esto sirva como trampolín para sus propias
investigaciones.
· 600 a.C. Tales introduce la geometría deductiva.
Con los años ésta fue desarrollada por matemáticos y filósofos como Pitágoras y
los pitagóricos, Platón y Aristóteles.
· 300 a.C. Euclides compila, organiza y sistematiza
en trece libros, llamados Los elementos, las ideas geométricas
que habían sido descubiertas y probadas.
· 140 a.C. Posedonio reexpresa el quinto postulado de
Euclides.
· Siglo III d.C. Proclo (410-495 d.C.) es uno de los
primeros críticos registrados del quinto postulado de Euclides.
· A lo largo de los siglos se hacen incontables
intentos de probar el quinto postulado de Euclides.
· 1637 René Descartes formula la geometría analítica.
· Girolamo Saccheri (1667-1733) es el primero que
intenta hacer una prueba indirecta del quinto postulado de Euclides.
Desafortunadamente, no acepta los resultados de su trabajo. Antes de su muerte
Saccheri publica un libro, Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclides
absolutamente reivindicado), que llamó la atención de Eugenio Beltrami un siglo
y medio más tarde. Si Saccheri no hubiera rechazado sus descubrimientos,
hubiera acelerado un siglo el descubrimiento de una geometría no-euclideana.
· 1639 Girard Desargues (1591-1661) publica una obra
sobre las cónicas en la que habla de su descubrimiento de la geometría
proyectiva
· 1736 Leonhard Euler (1707-1783). Su estudio y
resolución del problema de los puentes de Königsberg inicia el campo de la
topología.
· 1795 Gaspard Monge (1746-1818) describe estructuras
mediante proyecciones del plano.
· 1822 Jean Víctor Poncelet (1788-1867) revive con su
tratado la geometría proyectiva, y formula el principio de dualidad.
· 1843 Arthur Cayley (1821-1895) empieza el estudio
de los espacios n-dimensionales en geometría analítica.
· Georg Cantor (1845-1918). Su teoría de conjuntos
proporciona una base a la topología, presentada en 1895 por Henri Poincaré
(1854-1912) en su Analysis Situs. Desarrolla el conjunto de
Cantor y los primeros fractales.
· 1871 Christian Félix Klein (1849-1925) realiza
trabajos en geometría proyectiva y topología, y prueba la coherencia de las
geometrías euclidiana, elíptica e hiperbólica.
· Siglo XIX Nicolai Lobachevski (1793-1856), Jonas
Bolyai (1802-1860), y Carl Gauss (1777 -1855) descubren independientemente la
geometría hiperbólica.
· 1854 G. F. Bernhard Riemann (1826-1866) presenta la
geometría elíptica.
· 1858 August Möbius y Johann Listing descubren
independientemente las superficies de una sola cara, como por ejemplo la cinta
de Möbius.
· 1888 Giuseppe Peano (1858-1932) crea la curva de
Peano que llena el espacio (fractal).
· 1904 Helge von Koch (1870-1924) crea la curva copo
de nieve de Koch (fractal).
· 1919 Félix Hausdorff define las dimensiones
fraccionarias en la geometría fractal. A. S. Besicovitch generaliza el trabajo
de Hausdorff.
· 1971 Vladimir Arnold vincula la geometría
algebraica (la geometría analítica n-dimensional) y la topología
· 1951-1975 Benoit Mandelbrot acuña el término
fractal y trabaja casi por sí solo en su desarrollo.
§.¿Qué hay en un nombre?
¿Alguna vez se preguntó de dónde proceden los
nombres de ciertos campos matemáticos? Por ejemplo, consideremos el caso de la
geometría hiperbólica y de la geometría elíptica. En ambos casos, sus creadores
no tuvieron nada que ver con los nombres que se adoptaron finalmente. La
geometría hiperbólica fue descubierta independientemente por Nikolai
Lobachevski (1793-1856) y por Janos Bolyai (1802-1860). El quinto postulado de
la geometría euclidiana afirma que, por un punto P exterior a una línea dada L,
puede pasar una y sólo una línea paralela a la línea L. Los frustrados intentos
de los matemáticos de demostrar que este postulado era comprobable, y por lo
tanto era un teorema, condujeron al descubrimiento de las geometrías no
euclidianas. En la geometría hiperbólica se descubrió que existe más de una
línea que pasa por P y que es paralela a L.
Nikolai Lobachevski fue honrado en un sello ruso en 1958.
El término hiperbólica viene de la palabra
griega hyperbole, que significa excesivo. En este caso, se
aplica al número de líneas paralelas que pasan por P y que son paralelas a L.
Lobachevski se había referido originariamente a su geometría llamándola geometría
imaginaría y pangeometría. Pero el nombre que se le da actualmente
—geometría hiperbólica— fue responsabilidad del famoso geómetra Félix Klein,
creador de la botella de Klein. Por añadidura, Klein también acuñó el término
geometría elíptica para designar la geometría no-euclidiana de Georg Riemann,
en la que no existe ninguna línea paralela a L que pase por el punto P. El
término elíptica procede de la palabra griega elleiptis, que
significa carecer.
§. La fórmula mágica de Euler
Lo especial de las ideas matemáticas es que una vez
que han sido probadas, se cumplen en todos los casos. Por ejemplo, para sumar
los primeros k números naturales, 1 + 2 + 3 +...+ k, todo
lo que debemos hacer es aplicar la fórmula k(k + 1)/2. Esta
fórmula ha sido probada matemáticamente por medio de un método llamado
inducción. Es físicamente imposible probar esta fórmula para cada uno de los
conjuntos posibles de números naturales consecutivos, comenzando por 1; la
belleza de las pruebas matemáticas es que no exigen este tipo de fuerza bruta.
El matemático suizo Leonhard Euler tiene el crédito
de haber realizado muchos descubrimientos matemáticos, especialmente en el
campo de la topología. Su solución al problema de los puentes de Königsberg,
según se dice, inició el estudio de las redes topológicas. La topología estudia
las propiedades de los objetos que no cambian cuando se los distorsiona. Por
ejemplo, estirando o aplastando un cubo se lo puede convertir en un tetraedro,
o viceversa. El tamaño del cubo obviamente cambia, así como el número de sus
caras, vértices y lados. Podríamos preguntamos qué tipo de propiedades
permanecen inalteradas. Una respuesta es que cualquier punto del interior del
cubo sigue siendo un punto interior del tetraedro.
Fuera de la topología, un fascinante teorema que
Euler probó sobre una propiedad invariable de los poliedros, es que si
se suma el número de caras del poliedro al número de sus vértices, y luego se
resta el número de sus lados, el resultado es siempre 2. Escrito en
símbolos, C+V–L = 2. Pruébelo con los sólidos platónicos de
arriba. Si se siente con energía, pruebe con el romboicosidodecaedro.
Solución
Para un romboicosidodecaedro:
F = 62 (30 cuadrados, 20 triángulos y 12 pentágonos); V =
60; E = 120; por lo tanto
F + V – E = 2
Capítulo 2
La matemática toca su música
Contenido:
§. Matemática y música
§. Las escalas musicales y la matemática
§. La matemática y el sonido
La música es el placer que experimenta el alma
humana al contar sin ser consciente de estar contando.
Gottfried Wilhelm Leibniz
Las partituras son la primera área obvia en la que
la matemática revela su influencia sobre la música. En la escritura musical
encontramos tempo (compás de 4 por 4, de 3 por 4, etc.),
pulsos por compás, notas enteras (redondas), medias notas (blancas), cuartos de
notas (negras), octavos de notas (corcheas), y así sucesivamente. Escribir
música para que entre un número x de notas por compás se
asemeja al proceso de encontrar un denominador común: las notas de diferente
longitud deberán sumar un cierto valor en un cierto tiempo. El compositor crea
música que encaja bella y naturalmente en la rígida estructura de una partitura
escrita. Cuando se analiza una obra terminada, cada compás tiene el número
prescripto de pulsos, al que el compositor llega empleando los diversos valores
de las notas.
El descubrimiento de Fourier hizo que fuera posible
representar y diferenciar estas tres propiedades del sonido. El tono o altura
está relacionado con la frecuencia de la curva, la intensidad o sonoridad con
la amplitud, y el timbre con la forma de la función periódica[11].
El diagrama muestra una cuerda vibrando entera y en
secciones. La vibración más larga determina la altura del sonido y las más
pequeñas producen los armónicos.
Sin una buena comprensión de la matemática de la
música, no se hubieran podido emplear ordenadores en la composición musical ni
se hubiera podido mejorar el diseño de los instrumentos. Algunos
descubrimientos matemáticos, como el de las funciones periódicas, fueron
esenciales en el moderno diseño de los instrumentos musicales y de los
ordenadores activados mediante la voz. Muchos fabricantes de instrumentos
comparan los gráficos periódicos de sonido de sus productos con gráficos
ideales de esos mismos instrumentos. La fidelidad de la reproducción musical
electrónica también está estrechamente relacionada con los gráficos periódicos.
Músicos y matemáticos seguirán desempeñando roles igualmente importantes en la
producción y la reproducción de la música.
§. Las escalas musicales y la matemática
La velocidad de la luz c, π,e, φ
y el número de Avogadro son ejemplos de constantes de nuestro universo. Son
números que desempeñan roles vitales en ecuaciones y fórmulas que definen a
diversos objetos de nuestro mundo... ya sean geométricos, físicos, químicos o
comerciales. Entre estas famosas constantes, el concepto de una octava debe ser
incluido como una constante de naturaleza especial. La octava desempeña una
parte de vital importancia en el mundo de la música. Establece la unidad o
distancia de una escala. Del mismo modo que la proporción entre la
circunferencia del círculo y su diámetro siempre es la constante π, la
proporción del número de vibraciones entre dos cuerdas tañidas, una del doble
de la longitud de la otra, es ½. Es decir, la cuerda más corta vibra el doble
de veces por segundo que la cuerda original. Estas notas tienen el mismo
sonido, y constituyen la longitud de una octava[12].
El número deEcuaciones musicales. Esta ilustración
muestra las relaciones existentes entre la redonda (una unidad), la blanca
(media unidad), la negra (cuarto de unidad), la corchea (octavo de unidad) y la
semicorchea (dieciseisavo de unidad). Una nota con puntillo es una manera de
expresar las fracciones, porque siempre es igual a una vez y media su valor.
Existen, además, símbolos para los silencios: en la ilustración se muestran el
silencio de blanca y el de corchea.
Los antiguos griegos usaron letras de su alfabeto
para representar las siete notas de su escala. Estas notas estaban agrupadas en
tetracordios (cuatro notas), que eran situados en grupos llamados modos. Los
modos fueron precursores de las modernas escalas mayores y menores de
Occidente. Los chinos usaban una escala pentatónica (de cinco notas). En la
India, la música era ―y es― improvisada dentro de los límites específicos
definidos por las ragas. Esta octava está dividida en 66
intervalos llamados srutis, a pesar de que en la práctica sólo
hay 22 srutis, a partir de los cuales se forman dos escalas básicas de siete
notas. La escala persa dividía la escala en 17 o en 22 notas.
Un fresco que representa a músicos, procedente de la tumba de Djeserkara, en
Tebas.
Vemos entonces que, aunque la octava era una
constante determinada, a partir de ella evolucionaron diferentes sistemas
musicales. Por añadidura, los instrumentos musicales de una cultura no pueden
necesariamente ser usados para interpretar la música de otra cultura.
Se han hallado restos arqueológicos de
instrumentos, recipientes, estatuas y frescos que representan a músicos vocales
e instrumentales. Hay muchos ejemplos antiguos de música escrita: unas tabletas
de arcilla sumerias encontradas en Irak parecen revelar una escala de ocho
notas (alrededor de 1800 a.C.); fragmentos escritos sobre piedra y papiros
provenientes de la antigua Grecia; libros de texto (alrededor de 100 d.C.) y un
manuscrito con notas representadas mediante letras (alrededor de 300 d.C.), también
griegos, y el manuscrito de un canto arábigo-musulmán de la España del siglo
VIII.
Músico en un vaso griego de alrededor de 400 a.C.
Durante el siglo VI a.C., Pitágoras y los
pitagóricos fueron los primeros en asociar la música con la matemática. Los
pitagóricos creían que los números, de alguna manera, gobernaban a todas las
cosas. Podemos imaginamos su deleite cuando descubrieron la octava de una nota,
la periodicidad de las notas, y la proporción entre las notas de un instrumento
de cuerdas. Por añadidura, creían que los cuerpos celestes producían sonidos y
que cada planeta tenía su propia música. Esta idea llegó a ser conocida como “la
música de las esferas”. Kepler, que descubrió varias de las leyes del
movimiento de los planetas, creía en este concepto, y de hecho escribió música
para cada uno de los planetas conocidos. En la actualidad, los astrónomos han
recibido señales de radio transportadas por los vientos solares. Estos sonidos,
que incluyen silbidos, siseos, gemidos, cuando son sintetizados a velocidad
aumentada, se vuelven más melodiosos. Los científicos también han observado
oscilaciones del sol que, supuestamente, producen vibraciones de diversos
períodos.
¿Las escalas musicales son necesarias para producir
música? Si lo fueran, ¿cómo harían los pájaros para cantar? Sin embargo, casi
todas las versiones de una historia o de una melodía musical cambian
ligeramente con la comunicación oral. Para que una composición pueda
ejecutarse, las escalas son esenciales: son el lenguaje escrito de la música,
del mismo modo que las ecuaciones y los símbolos son el lenguaje escrito de la
matemática.
§. La matemática y el sonido
Las ideas matemáticas han ejercido influencia sobre
la música y las ondas sonoras durante siglos. Una caminata en el interior de la
cúpula de la catedral de San Pedro, en Roma, convencerá a cualquiera de que la
curvatura de las paredes de la cúpula transmite su susurro a otra persona
situada en el lado opuesto. Si se asiste a una tragedia griega en el antiguo
anfiteatro de Epidauro se advierte que sus diseñadores deben haber estudiado y
experimentado con la matemática de la acústica antes de diseñar y construir
este fenomenal teatro al aire libre.
La catedral de San Pedro, en el Vaticano
Un espectador sentado en la última fila puede oír
fácilmente a un actor que dejara caer un alfiler en el centro del escenario. Se
han empleado formas matemáticas específicas para diseñar los reflectores de
sonidos que penden del techo de la sala de conferencias situada en el edificio
del Capitolio de los Estados Unidos.
Esas formas reflejan las conversaciones de
individuos situados en puntos focales de las parábolas: dos individuos pueden
mantener una conversación normal desde los dos puntos focales, ajenos al nivel
de ruido reinante en la sala.
En el caso de dos parábolas situadas tal como se ve
en la ilustración, el sonido originado en un punto focal rebota en el
cielorraso parabólico y se desplaza en forma paralela hasta el cielorraso
opuesto, donde rebota hacia el otro punto focal.
El diagrama de arriba es un esquema del antiguo
anfiteatro de Epidauro, Grecia. La fotografía de abajo es el anfiteatro en la
actualidad. Tanto el diseño como la localización favorecen la acústica.
Como vemos, el hecho de encontrar puntos ideales
para emitir y recibir sonidos no es una cuestión de azar. La acústica y el
sonido están directamente relacionados con ideas y objetos matemáticos. En el
siglo XIX, el matemático Jean Fourier demostró que las ondas sonoras eran
simples funciones periódicas, y que el tono, la intensidad y el timbre del
sonido estaban relacionados respectivamente con la frecuencia, la amplitud y la
forma de las funciones sinusoides.
Más recientemente, Danny Lowe y John Lees,
matemáticos e ingenieros acústicos, han inventado el QSound. El QSound produce
sonidos multidimensionales. A diferencia del sonido estéreo, que produce
diferentes sonidos procedentes de diferentes parlantes, el QSound llega a
nosotros desde todas las direcciones. Literalmente escuchamos el sonido en tres
dimensiones. Para escuchar una cassette o CD que ha sido registrado con QSound
no se requiere más equipo que un estéreo.[15] Con una grabación así, sólo hay que situarse y situar los
parlantes de la manera ilustrada en el diagrama, y dejar que la matemática del
sonido haga todo lo demás.
Los puntos A y C marcan la ubicación de los parlantes. El punto D es la
ubicación del oyente. B es el punto medio del segmento AC. La distancia BD debe
ser mayor o igual que la distancia AB. x es la distancia de los parlantes a las
paredes... un mínimo de 1 metro.
Capítulo 3
La revolución de los ordenadores
El ordenador, el instrumento creativo del siglo XXI
Contenido:
§. Una mirada al pasado: Calculadoras obsoletas
§. La calculadora tablero de ajedrez de Napier
§. Una mirada al presente: Los ordenadores están en nuestros árboles
§. La matemática se convierte en detective
§. ¿Cuál es mi secreto?
§. Recogiendo primos
§. Criptografía, anarquía, ciberpunks y remailers
§. Ordenadores, irrigación y conservación del agua
§. Los ordenadores combaten incendios forestales
§. Una mirada al futuro: §. Ciberespacio / Realidad virtual
§. El hipertexto
§. Pequeño Fermat
§. Ordenadores y A-life
§. Ordenadores ópticos
§. Lógica difusa y ordenadores
Errar es humano, pero para arruinar verdaderamente
las cosas hace falta un ordenador.
Anónimo
Estemos preparados o no, nos guste o no nos guste,
el ordenador es el instrumento del siglo XXI. El ordenador ejerce influencia
sobre todas las facetas de nuestras vidas, tanto en sentido positivo como
negativo. Ha acelerado la producción de cambios. Para los escritores de hoy, el
ordenador es el lápiz, la pluma o la máquina de escribir. Para el contador o el
empleado bancario es la calculadora. Para el artista es el pincel y la paleta,
para el científico es el laboratorio, para el arquitecto es el tablero de
dibujo, para el ingeniero es el instrumento de diseño, para el profesor es su
herramienta de investigación, para el bibliotecario es el catálogo y las fichas
de referencia, para el matemático es una calculadora/ordenador increíblemente
rápida y precisa. Sin embargo, cuando las cosas no marchan exactamente como se
las había planeado, el ordenador se convierte en el chivo expiatorio, y nos
dicen cosas como “perdió su archivo”, “se cayó el sistema”, “parece haber un
virus”. No obstante, como ha afectado casi todos los aspectos de nuestra vida
diaria, ahora dependemos del ordenador.
Algunos lenguajes desarrollados para comunicarse con los ordenadores.
Esta ilustración es una reproducción del antiguo
libro de aritmética inglés The Grounde of Artes, de Robert
Recorde. Además de las líneas que representan los 0, 10, 100, etc., los lugares
entre estas líneas también se usaban para representar los 5, 50, 500 según los
números romanos. La “x” sobre la línea fue inicialmente usada para marcar la
línea de los 1000, pero más tarde fue usada para indicar el punto que separa
los millares al escribir números tales como 23.650. Cuando se acumulaban cinco
contadores en una línea, se los quitaba y se llevaba un
contador al espacio superior. De allí el posible origen de la expresión
“llevarse”. Además de escribir este libro, Robert Recorde (aproximadamente
1510-1558), introdujo el símbolo “=” para representar igualdad, y escribió un
importante texto de álgebra llamado The Whetstone of Witte y
otro de geometría, Pathway to Knowledge.
Estas tablas pertenecen a un libro impreso en 1478
en Treviso, Italia. Muestran cuatro métodos para multiplicar 934×314.
§. La calculadora tablero de ajedrez de Napier
El sistema binario (de base dos) que usa sólo ceros
y unos para representar los números, tiene la clave de comunicación con los
ordenadores electrónicos, ya que 0 y 1 podrían indicar las posiciones “apagado”
y “encendido” de la electricidad.
El famoso matemático escocés John Napier (1550-
1617) utilizó el concepto de base dos antes del advenimiento de la
electricidad. Napier es famoso por haber revolucionado los cálculos gracias a
su invención de los logaritmos. Uno de sus inventos, conocido como varitas o
huesos de Napier, estaba basado en los logaritmos y era usado por los
comerciantes para realizar multiplicaciones y divisiones, aunque también podía
emplearse para hallar raíces cuadradas y cúbicas. Menos conocido es su método
de calcular usando un tablero de ajedrez. Aunque no empleó la notación binaria
para escribir los números, el tablero ilustra la manera en que el matemático
expresaba los números con base dos. Por ejemplo, para sumar 74+99+46, cada
número se escribe en una fila del tablero de ajedrez, colocando marcadores en
los cuadrados apropiados de la fila de tal modo que la suma de los valores de
los marcadores (indicados a lo largo de la fila inferior) totalice el número
que representan. Por ejemplo, el 74 tiene marcadores en el 64, el 8 y el 2, ya
que 64+8+2 = 74. Después de que cada número ha sido expresado de esta manera,
los números se suman juntando los marcadores de una misma columna en la casilla
correspondiente de la fila inferior. Dos marcadores que compartan la misma
casilla equivalen a un solo marcador colocado inmediatamente a su izquierda.
Así, dos marcadores “2” producen un marcador “4”. Trabajando de derecha a
izquierda, los marcadores que comparten el mismo cuadrado son quitados y
reemplazados por un marcador colocado en el cuadrado vecino de la izquierda. Al
finalizar este proceso, ningún cuadrado tendrá más de un marcador. La suma de
los valores de los marcadores restantes representa la suma de los números.
Para multiplicar usando el calculador de tablero de
ajedrez de Napier, los multiplicandos se anotan a lo largo de la fila inferior
y de la columna de la derecha.
Supongamos que queremos multiplicar 15×11. El 15 se
anota con marcadores colocados en la fila inferior, y el 11 con marcadores
colocados en la columna vertical de la derecha. Luego, un nuevo marcador se
coloca en la casilla donde se intersecan una fila y una columna que tienen
marcadores. Después, el proceso de multiplicación se continúa simplemente
deslizando en diagonal los marcadores de las filas hasta la columna de la
derecha. Como en el caso de la suma, siempre que dos marcadores ocupan la misma
casilla, se los quita y se coloca uno en la casilla superior. La columna
resultante representará el producto de 15×11.
§. Una mirada al presente: Los ordenadores están en
nuestros árboles
Es indigno de hombres excelentes perder horas como
esclavos en el trabajo de cálculos que sin duda podría delegarse a otro si se
usaran máquinas.
Gottfried Wilhelm von Leibniz
“Soy un dinosaurio”. “No quiero tener nada que ver
con ellas”. “No entiendo cómo una persona puede pasar tanto tiempo delante de
un ordenador”. “Son muy impersonales”. “Soy analfabeto con los ordenadores”.
¿Cuántas veces usted ha escuchado o hasta pronunciado alguna de estas
afirmaciones? Pero es necesario aceptar, independientemente de lo que puedan
sentir algunas personas, que los ordenadores han llegado para quedarse. Han
hecho nuestra vida más fácil en algunos sentidos, la han complicado en otros, y
han invadido nuestra privacidad. En realidad, resulta difícil imaginar la época
en que los ordenadores no existían. ¡Ahora los ordenadores están hasta en
nuestros árboles!
El crecimiento de los árboles puede esquematizarse
empleando redes matemáticas o puede representarse por medio de fractales. Los
ordenadores pueden usarse para modelar incendios forestales, y a partir de allí
para desarrollar métodos de extinción o para crear incendios controlados. Por
añadidura, actualmente los ordenadores se usan extensamente para preservar
bosques urbanos. Muchas ciudades, en un esfuerzo destinado a preservar y
mantener la salud de sus árboles, recurren a los ordenadores. Washington D.C.
tiene una base de datos de alrededor de 109.000 árboles de la calle, en tanto
París, Francia, tiene registrados 100.000 árboles en sus ordenadores. ¿Qué
clase de información se ingresa? Usualmente, cada ciudad decide cuáles datos
son esenciales para su situación particular. La base de datos de París incluye:
la locación del árbol (cada árbol es numerado consecutivamente en una calle, y
se registra su distancia de los edificios, su posición en la acera y la
distancia que lo separa de los árboles adyacentes), sus estadísticas vitales
(especie, sexo, edad, tamaño del tronco, altura), tipo de poda recibida,
estadísticas ambientales (incluye tipo de suelo, dimensiones del plantero,
riego, drenaje), la salud del árbol (enfermedades detectadas, status), polución
ambiental y sus efectos. El registro inicial de esa información lleva mucho
tiempo, como también lo lleva la tarea de mantener los registros actualizados.
Como los árboles son un invalorable bien de la comunidad, tanto en el aspecto
estético como ambiental, el tiempo invertido y los resultados a largo plazo
hacen que las bases de datos valgan la pena. En San Francisco, California, los
jardineros municipales mantienen el inventario de los árboles de la ciudad
empleando ordenadores portátiles. París siguió el método usado en Washington
D.C., en donde el inventario inicial fue realizado por ingenieros agrónomos
recién graduados, usando también ordenadores portátiles.
Sin ordenadores, esas bases de datos tan
sofisticadas no hubieran sido posibles. El espacio necesario para acumular esos
datos hubiera sido enorme, por no hablar de la necesidad de actualizar, buscar
y seleccionar los datos.
A medida que el ordenador evolucionó, sus funciones
lentamente invadieron diferentes aspectos de nuestras vidas. Hoy nos
encontramos en el mismo punto que los primeros comerciantes y navegantes,
cuando se preguntaban cómo habían podido desempeñarse sin un juego de varitas
de Napier, o como los escribas incas cuando se preguntaban cómo habían podido
hacer un inventario de la población y de los productos del imperio careciendo
del quipu.
Como vemos en el caso de la forestación urbana, los
ordenadores desempeñan un papel fundamental en la acumulación, procesamiento y
selección de datos. En la actualidad, los equipos de recepción de datos son
usados por los restaurantes para procesar los pedidos y los comercios y
empresas emplean el código de barras para sus ventas, sus inventarios y sus
seguimientos.
Código de barras para etiquetar o mantener registro de cosas tales como
árboles, libros o productos alimentarios y envasados.
Los ordenadores son invalorables en las ciencias
para analizar, comparar y computar información, ahorrando muchísimo tiempo, y
haciéndolo con menos errores. La influencia futura que esta herramienta
ejercerá sobre la civilización será tan grande como el impacto que ejerció la
bombilla eléctrica.
§. La matemática se convierte en detective
Una parte de la rueda cifrada de Thomas Jefferson.
Fue hecha con 36 ruedas de madera de la misma dimensión. Cada rueda tenía las
letras del alfabeto impresas en diversas disposiciones. Un mensaje se alineaba
a lo largo del eje horizontal de metal. Luego el que lo enviaba escribía las
letras de cualquier otra línea horizontal, y lo despachaba. El receptor
alineaba esas letras sin sentido sobre el eje horizontal, y buscaba en el
cilindro hasta encontrar una línea de letras que tuviera sentido.
Durante los últimos 20 años, bancos, agencias
gubernamentales y compañías privadas han usado la fórmula de codificación DES
para transmitir información de seguridad. Este método emplea 56 bits de datos,
que teóricamente llevaría 200 años decodificar usando un súper-ordenador. Las
agencias de inteligencia y policiales temen que los métodos actuales no sean
adecuados y que nos les permitan interceptar comunicaciones de criminales,
terroristas y gobiernos extranjeros. En consecuencia, se ha propuesto un sistema
con una nueva fórmula que emplea 80 bits, y que teóricamente llevaría más de un
millón de años decodificar. Este nuevo enfoque emplea un microchip especial que
sería insertado en teléfonos, satélites, máquinas de fax, módems, etc., para
codificar comunicaciones secretas. El chip emplearía fórmulas matemáticas
clasificadas secretas, ideadas por la National Security Agency. Por añadidura,
las claves matemáticas de decodificación de los datos codificados serían
guardadas por el FBI y otras agencias designadas por el Fiscal General de los
Estados Unidos. El proceso de fabricación del chip hace que sea casi imposible
desarmarlo y decodificarlo. Hay personas, como Mitchell Kapor, de la Electronic
Frontier Foundation (un grupo político de Washington D.C.), que opinan que: “Un
sistema basado en tecnología secreta nunca ganará la confianza del público norteamericano”.[18]
El mensaje cifrado por sustitución en El
escarabajo de oro, de Edgar Allan Poe.
La traducción es: Vaya hasta el gran árbol
que se ve desde la silla del diablo. En la séptima rama del lado este hay una
calavera. Deje caer un peso cualquiera suspendido de un hilo a través del ojo
izquierdo del cráneo. Allí está el tesoro.
§. Recogiendo primos
Uno de los primeros métodos de descubrir números
primos fue ideado por el matemático griego Eratóstenes (275-194 a.C.), quien
creó un cedazo numérico que eliminaba los múltiplos de los números hasta algún
número determinado. Desde entonces, los matemáticos han estado inventando
nuevos medios para descubrir e identificar números primos.
En 1640, Pierre de Fermat afirmó que todos los
números de la forma Fn = 22n+2
(para n = 0, 1, 2, 3, ...) eran primos. Esto es cierto para el
caso de los primeros cinco números de Fermat (para n = 0, 1,
2, 3 y 4). Pero en el siglo siguiente Leonhard Euler descompuso el sexto número
de Fermat (F5) como 641×6.700.417. Después, en 1680, el
número de Fermat F6 fue descompuesto en primos como
274.177×67.280.421.310.721. En la actualidad, no se ha encontrado ningún otro
que sea primo, y en 1993 fue demostrado que el vigesimosegundo número de Fermat
(F22) era compuesto.[19] En 1644, el monje francés Marín Mersenne escribió una expresión (2p–1,
siendo p un número primo) que daría como resultado primos.
Pero no todos los números producidos por esta expresión son
primos. En la actualidad se conocen 33 primos de Mersenne. Trabajando con
expresiones (tales como las usadas para los números de Mersenne, los de Fermat,
los de Carmichael, y otros), teoría numérica y técnicas de programación de
ordenadores, los matemáticos, utilizando súper-ordenadores o redes de
ordenadores personales especialmente preparados buscan números primos cada vez
más grandes, mientras investigan características o pautas más estables.
¿Por qué tanto interés por los primos?
Por:
· curiosidad matemática
· establecer nuevos registros
· probar la eficiencia y el hardware de los nuevos
ordenadores
· usar números primos para formar números de muchos
dígitos destinados a la codificación de material confidencial.
Los ordenadores actuales, ayudadas por una
programación ingeniosa para resolver problemas han hecho posible descubrir
números primos literalmente enormes. ¿Cuál es el más grande primo explícito
hasta el momento? 2859.233–1.[20]
§. Criptografía, anarquía, ciberpunks y remailers
¿Nunca se preguntó con irritación por qué recibe
tanta cosa inútil por correo... catálogos que nunca pidió, ofertas de “súper”
compras?
¿Cómo accedieron a su nombre y dirección?
Bienvenido a la era de la electrónica y de la pérdida de privacidad. Existe un
registro considerable de datos electrónicos acerca de la mayoría de los
individuos, registro al que puede acceder un usuario de ordenador/modem para
crear un perfil de usted basado en las cosas que ha comprado, sus pasajes para
viajar, sus registros médicos, sus infracciones de tránsito, préstamos
importantes, etc. Aunque esta pérdida de privacidad fue creada por los métodos
tecnológicos actuales para acumular información y acceder a ella, tal vez
exista la manera de recuperar esa privacidad por medio de los mismos métodos.
Los ciberpunks, como se llaman a sí mismos, han acudido al rescate. Defienden
la privacidad del individuo, y usan sofisticados métodos de criptografía para
codificar la información, obstaculizando así un acceso fácil a ella.
Naturalmente, esta anarquía criptográfica tiene sus pros y sus contras. Algunas
personas creen que los organismos del gobierno tienen derecho a espiar, y que
los nuevos métodos de los ciberpunks obstaculizan esa función. El remailer es
un ejemplo de los nuevos métodos desarrollados empleando criptografía avanzada:
permite enviar información vía modem sin dejar ninguna “huella” que permita
rastrear al que la envía. Muchas personas creen que si los gobiernos pueden
usar métodos y recursos para codificar información importante, los individuos
también tiene derecho a usar métodos similares para defender su vida privada.
§. Ordenadores, irrigación y conservación del agua
Resulta extraño ver plantaciones exuberantes que
crecen en tierras secas, a veces agrietadas. Pero ahora, con el uso de la
irrigación de goteo sub-superficial por ordenador, es posible enviar a las
raíces agua, fertilizantes y ocasionalmente pesticidas. Con la aplicación de
este tipo de irrigación, el viñatero Lee Simpson, de Fresno, California, ha
reducido a la mitad su consumo de agua y ha duplicado la productividad de sus
tierras, reduciendo además a la sexta parte el empleo de plaguicidas. Un proyecto
de prueba del Departamento de Recursos Hídricos de California, realizado en un
campo algodonero de 65 hectáreas de Harris Farms, también en Fresno, produjo
295 kilos de algodón por hectárea, 170 kilos más por hectárea que los años
anteriores, y empleó 7 centímetros menos de agua por hectárea. Claude Phené fue
el promotor de este “nuevo” tipo de cultivo (la irrigación por goteo ha
existido desde hace más de 20 años). Durante años, Phené defendió la
conservación de agua y la mejora de las cosechas que este método producía pero
recién en 1987 algunos granjeros le prestaron atención. Phené probó sus métodos
en la cosecha de tomate en California. Tierras que antes producían 10 toneladas
por hectárea, ahora producían 40 toneladas. Phené señala que no tiene sentido
inundar de agua una habitación para regar una planta en maceta. Sus
estadísticas afirman que la agricultura de California emplea el 85% del
abastecimiento de agua estatal, y que si la irrigación por goteo mediante
ordenador[21] se empleara tan sólo en una cosecha ―por ejemplo, la de algodón―,
los 15 centímetros de agua ahorrados en cada una de las 567.000 hectáreas
serían suficientes para abastecer de agua a Los Ángeles. El método también
reduce el empleo de herbicidas, ya que las malezas no crecen tanto debido a que
las plantas son regadas desde la raíz, no inundadas. Por añadidura, las
cantidades de fertilizantes y plaguicidas empleadas también se reducirían a
menos de la mitad. Las técnicas por ordenador también permitieron que Phené
descubriera la interacción entre los diferentes nutrientes, el momento adecuado
para aplicarlos y sus efectos en el rendimiento de la cosecha, la cantidad
óptima de fertilizante para mejorar la calidad de las plantas, y numerosos
factores más, desde la textura del suelo hasta las características de las
raíces.
§. Los ordenadores combaten los incendios
forestales
En la actualidad, los modelos por ordenador son una
herramienta muy poderosa, que los científicos y profesionales usan en un amplio
espectro de disciplinas. Los economistas pueden usarlos para predecir ciclos
económicos, los médicos para monitorear y predecir la difusión de una
enfermedad contagiosa o, junto con la teoría del caos, para predecir arritmias
cardíacas. Los sociólogos los han empleado, junto con las estadísticas, para
observar una tendencia social. La lista resulta prácticamente interminable.
Hasta hace poco tiempo, las armas para combatir el
fuego eran las ropas protectoras, hachas, picos, cuerdas, sierras, mantas
anti-inflamables, agua, productos químicos. En la actualidad, el equipo de los
que combaten los incendios también incluye ordenadores portátiles, y hasta un
laboratorio de campaña en medio del bosque, con ordenadores personales. Además
de mantener control de las personas y los suministros, los ordenadores también
se utilizan para el análisis de los incendios forestales.
En 1984, mientras trabajaba para el Laboratorio de
Incendios del Servicio Forestal de los Estados Unidos, la matemática Patricia
Andrews desarrolló el programa Behave. La localización del
fuego, la topografía de la zona, las condiciones climáticas (velocidad del
viento y dirección, sequedad, etc.), los tipos de árboles o arbustos
inflamables y mucha información más se ingresa a los ordenadores. El programa
luego predice cuál es la mejor manera de combatir el incendio. Naturalmente, el
programa no puede predecir todas las consecuencias posibles, pero Behave puede
ser modificado constantemente para incluir más situaciones a medida que éstas
se producen, como en el caso de los “fuegos coronados” de Yellowstone, donde
las llamas se extienden en la parte superior de las copas de los árboles. Effects es
un programa compañero del anterior que se usa para ayudar a las autoridades
forestales a tomar decisiones sobre los incendios controlados. Estas armas de
alta tecnología para combatir incendios se aplican actualmente en China, han
sido traducidas al castellano, y países como Italia han solicitado información
sobre ellas.
§. Una mirada al futuro: Ciberespacio / realidad
virtual
Es la perenne juventud de la matemática lo que la
distingue de las otras ciencias con una desconcertante inmortalidad.
Eric Temple Bell
En el siglo XVI, la gente gozó del placer de la
cámara obscura. Escenas móviles de cosas que ocurrían afuera de una habitación
eran proyectadas sobre la pared de un cuarto oscurecido. No se necesitaban
aparatos electrónicos para producir esas escenas dentro de la habitación.
Después, en la segunda mitad del siglo XIX, se despertó el interés por las
ilusiones ópticas. Los físicos y los psicólogos escribían acerca del modo en
que nuestra mente se engañaba por lo que percibía. La estructura física del ojo
y el análisis de la manera en que nuestra mente procesa la información del ojo
se estudiaron concienzudamente, en un esfuerzo por explicar las distorsiones
que engañaban a nuestra mente, haciéndole creer que existían.
Algunos de los descubrimientos fueron:
1. La ubicación de ciertos ángulos y segmentos pueden llevar a nuestros ojos
hacia adentro o hacia afuera, haciendo de ese modo que un objeto aparezca más
corto o más largo.
2. Los objetos horizontales tienen una tendencia a parecer más cortos porque
las retinas de nuestros ojos son curvas.
3. Sobre la retina, la imagen de una región clara invade la imagen de una
región oscura, haciendo que la región oscura parezca más pequeña.
4. Objetos idénticos situados en diferentes ubicaciones en un dibujo en
perspectiva parecen tener tamaño diferente.
5. Si una imagen puede ser interpretada de más de una manera, entonces
nuestra mente hace oscilar la imagen entre las diferentes interpretaciones.
6. Los segmentos diagonales sobre líneas paralelas las hacen parecer no
paralelas.
7. Un espacio vacío y un espacio idéntico pero lleno parecen de tamaño
diferente.
8. Una diagonal cortada por una barra vertical parece no continuarse en la
misma línea.
Ahora, en el siglo XX, los científicos dedicados a
la informática, los matemáticos y los inventores están llevando la óptica, la
tecnología informática y las ilusiones ópticas a nuevas cimas con la creación
de mundos artificiales. Equipado con diferentes recursos, el
observador ya no es simplemente un sujeto pasivo, sino que entra
verdaderamente a mundos creados por el ordenador.
En esos mundos artificiales, uno puede ser
participante. Por ejemplo, se puede elegir ser:
· un corredor “olímpico” que experimenta la
excitación de correr por la medalla de oro.
· un controlador de tráfico aéreo que dirige aviones
que vuelan a su alrededor en tres dimensiones.
· un meteorólogo que vuela por el mundo
experimentando de primera mano las condiciones climáticas que han sido
programadas y procesadas por el ordenador.
· un átomo a punto de unirse con otro y formar una
molécula.
· un arquitecto que ve su diseño más reciente
caminando verdaderamente a través de habitaciones hechas con imágenes de
ordenador.
Aquí una cibernauta entra al campo de paddle del ordenador, y empieza el
juego. Los jugadores sienten verdaderamente que están jugando en el campo de
juego del ordenador. Fotografía cortesía de Autodesk, Inc., Sausalito,
California.
Realidad virtual, ciberespacio y realidad
artificial son algunas de las expresiones acuñadas para describir esta
nueva forma de ilusiones ópticas. En el confinamiento de una pequeña
habitación, uno puede ponerse equipo especial de ordenador,[22] y de pronto encontrarse caminando por la campiña inglesa,
inspeccionando el avance de un proyecto situado a miles de kilómetros de
distancia o, convertido en una abeja, enterarse de cómo se recoge el polen. Las
aplicaciones que puede tener este tipo de tecnología desconciertan la mente. El
ciberespacio está todavía en sus etapas iniciales, y aún falta mucho por
desarrollar y refinar.[23] Es de esperar que su evolución y popularidad no sea un medio de
controlar las mentes, sino más bien de expandirlas. Los científicos en
informática y los matemáticos están abriendo nuevos campos en gráfica de
ordenador, especialmente usando geometría fractal, para crear estos efectos
especiales. Tal vez la holoconsola de Star Trek-La nueva generación no
sea tan imaginaria.
Sala de estar generada por ordenador, esperando una visita a la realidad
virtual. Fotografía cortesía de Autodesk, Irte., Sausalito, California.
§. El hipertexto
Las especulaciones acerca de la cuarta dimensión
aparecieron en el siglo XIX, cuando August Möbius advirtió que la sombra de una
mano derecha podía convertirse en la sombra de una mano izquierda simplemente
si se pasaba la mano a través de la tercera dimensión. Nadie imaginó que el
término hipercubo[24] provocaría la aparición de términos tales como hiperespacio,
hiperser, hypercarcd,[25] y ahora hipertexto. Aunque estos últimos dos
términos no están directamente relacionados con la cuarta dimensión, sí están
relacionados con el ordenador y con su habilidad de pasar de una idea a otra...
el uso interactivo del ordenador. Es algo que puede pensarse de manera análoga
a pasar de una dimensión a otra. Los participantes deciden dónde ir, y el
ordenador los transporta allí. Por ejemplo, la interactividad permite, después
de decidirse lo que se quiere hacer, leer o ver, que el ordenador inmediatamente
presente información sobre ese tópico, información que puede incluir una banda
sonora, gráficos e incluso un vídeo. Supongamos que usted quiere saber algo
sobre el día “D” de la Segunda Guerra Mundial. El ordenador está en condiciones
de ofrecerle información histórica, mapas de la invasión y de cómo se llevó a
cabo, noticieros de ese período, y hasta algunas canciones populares de la
época. Usted elige los tópicos mediante el botón del mouse.[26]
El hipertexto se basa en el uso interactivo del
ordenador, permitiendo así una participación más activa. Un hipertexto no se
lee del principio al fin de manera tradicional. En cambio, el ordenador
funciona como instrumento para explorar otras resoluciones posibles, y a partir
de allí se produce una nueva historia. Con el hipertexto, el lector puede
tramar su propio relato, seleccionando ciertas ideas o palabras (subrayadas o
en otro color sobre el texto) que se encuentran interconectadas en una especie de
red tramada en el programa original. Mientras usted lee el relato en el
ordenador, puede elegir la dirección que desea darle al argumento. Usted no
crea el argumento, sino más bien elige opciones en el trayecto, y después ve
qué ocurre. Un clic con el mouse en una palabra o imagen clave puede llevarlo a
otro lugar, a una nueva idea e incluso a otra línea argumental. El lector puede
ver cómo el autor desarrolla el relato siguiendo los caminos que el lector
eligió. Las reacciones ante la literatura interactiva son dispares. Algunos
creen que es una mera curiosidad mucho más interesante en la teoría que en la
práctica. Se encuentra en sus etapas iniciales, y hasta el momento, una vez que
un relato ha sido “alterado” por el lector, no puede cambiarse.
Por añadidura, también puede resultar difícil al
novicio decir cuándo ha terminado el relato, ya que aún puede disponer de
palabras o frases claves, permitiendo que siga pasando a algo nuevo o que
incluso se mueva en círculos por error. Las historias tramadas así requieren
tiempo y práctica por parte del lector de hipertextos inexperto, que demorará
en orientarse dentro de esta nueva forma de lectura. Las características de los
programas y de las técnicas de escritura deben refinarse hasta lograr un funcionamiento
óptimo que permita al lector absoluta libertad para explorar sus
potencialidades. Tal como lo ha expresado George P. Landow, profesor de inglés
de la Universidad de Brown: “Verdaderamente tiene la potencialidad de ser la
próxima manera de relatar una historia... La pregunta que sigue es: ¿se trata
de un caos y anarquía totales, o es una nueva forma de lectura que convierte al
lector en una especie de creador?”[27]
Hay muchas personas que opinan que el hipertexto es
la introducción de una nueva manera de escribir y lo consideran una forma de
arte. Hasta el momento, el mayor interés se ha concentrado en el lector, que
ayuda a dar forma a la dirección del relato. Pero pensemos en lo que ese relato
implica para el autor. El escritor no desarrolla una sola línea argumental,
sino toda una familia de posibles líneas y sus desenlaces relativos: lo que
llamamos la trama de la red. Como el resto de los procesos interactivos, la red
puede enriquecerse con gráficos, sonido y vídeo. Es demasiado pronto para
arriesgar un juicio sobre la literatura interactiva, especialmente porque los
relatos de hipertexto acaban de aparecer o de ser publicados en los boletines
electrónicos, pero será fascinante seguir los desarrollos. ¿Será una nueva
locura? Una sola cosa es segura: el hipertexto no existiría de no ser por la
existencia del ordenador moderno.
§. Pequeño Fermat
Con frecuencia se tiene la sensación de que las
personas comunes creen que los ordenadores ya han llegado a su último estado de
desarrollo, pero los especialistas saben que no es así. Con el mismo espíritu
que Charles Babbage, M. M. (Monty) Denneau, George V. y David V. Chudnovsky y
Saed G. Younis crearon a Pequeño Fermat, un ordenador diseñado
para resolver gigantescos problemas de cálculo sin los errores numéricos
asociados a los ordenadores convencionales. Usando ideas de la teoría numérica
―específicamente la aritmética modular y los números de Fermat―, el nuevo
ordenador puede llevar a cabo cómputos virtualmente sin errores. Pequeño Fermat
está programada en un lenguaje llamado Younis. Al utilizar los números de
Fermat como divisores en aritmética modular, se puede acelerar cierto tipo de
cálculos y evitar el empleo de números reales. Hasta el momento Pequeño Fermat
es un prototipo único, pero sus creadores creen que es ideal para procesar
señales digitales e imágenes y para la resolución de diversos problemas de
hidrodinámica, química y aerodinámica que requieren de ecuaciones
diferenciales. Lo que es más, esperan que sirva de modelo para mejorar el
desempeño de los súper-ordenadores.
El teclado de perforación para la máquina tabuladora de Herman Hollerith, de
1890, que revolucionó el procedimiento del censo en los Estados Unidos. La
tarjeta perforada que usaba fue antecedente directo de las viejas tarjetas de
ordenador, hoy reemplazadas por medios magnéticos.
§. Ordenadores y A-life
Con los cambios tecnológicos produciéndose a gran
velocidad, y con la cantidad de nuevas ideas y aplicaciones que surgen de un
día para otro, los ordenadores parecen invadir todos los aspectos de nuestra
vida, lo advirtamos o no. Muchos laboratorios científicos son ahora un simple
ordenador, que emplea toda su capacidad en la simulación y la creación de
modelos.
A-life, como suele designársela, es una manera de
simular formas de vida, su conducta, reproducción y evolución. Un ejemplo
reciente de su uso son los murciélagos generados por ordenador en Batman - La
vuelta. ¿Cómo fueron hechos? Utilizando lógica, matemática y
ordenadores, los hábitos de una forma de vida, en este caso los murciélagos,
son analizados en pasos lógicos básicos, que luego se trasladan al ordenador
programándose una simulación que capta los movimientos y los hábitos de la
forma de vida. Las aplicaciones posibles son de gran alcance. Un ejemplo es la
investigación de enfermedades realizada en el Scripp Research Institute. Allí,
Gerald Joyce usa las simulaciones por ordenador para desarrollar un
procedimiento de laboratorio en el que las enzimas evolucionan según su
disposición en el código genético de un virus de SIDA. Por el método del ensayo
y el error, estas enzimas exploran una cura.
Los ordenadores pueden desarrollar sus propios
programas basados en el modo en que resuelven ciertos problemas. Los programas
diseñados según este método incluyen conducir autos, predecir resultados
económicos, y predecir movimientos planetarios. El pionero de la computación
John von Neuman afirmó que las máquinas no sólo podían procesar información,
sino también reproducirse a sí mismas. Algunos defensores de A-life creen que
la esencia de la vida es un conjunto de reglas que dirigen la interacción de células,
átomos, moléculas, etc. Además, se está desarrollando una estrecha relación
entre A- life y la matemática fractal. Por ejemplo, se han desarrollado
simulaciones por ordenador de células de plantas que se dividen según un
conjunto de instrucciones.
El robot usado en el Stanford University Hospital (Stanford, California)
para llevar documentos de un lado a otro. Foto cortesía de Stanford University
Medical Center, Visual Arts Service.
Una de ellas creció en formaciones celulares casi
idénticas a las de un helecho. Gracias al estudio de insectos como las hormigas
se han creado simulaciones de robots en miniatura. Estos robots reciben la
orden de desplazarse y cambiar de dirección solamente cuando se topan con un
obstáculo que no pueden superar. Los nuevos robots superan con mucho el
desempeño de robots tradicionales de mayor tamaño cuando se trata de avanzar
por un camino evitando obstáculos. De hecho, Atitila, un robot especial diseñado
por el Mobot Lab del MIT, pesa sólo 1,6 kilos y será usado para explorar Marte.
§. Ordenadores ópticos
Nuestros ordenadores actuales funcionan por medio
de la electricidad. Pero algunos científicos están trabajando en el desarrollo
de un nuevo tipo compuesto de fibras ópticas, láseres y dispositivos que
procesan datos y llevan a cabo cálculos vía luz[28] en vez de electricidad. A diferencia de los ordenadores
electrónicos en los que datos y programas son acumulados en chips de memoria,
discos rígidos o diskettes, el ordenador óptico hace circular los datos en
forma de pulsos de luz a través de las fibras ópticas. “Por primera vez tenemos
un ordenador en el que los programas y los datos están siempre en movimiento en
forma de luz, eliminando la necesidad de la acumulación estática”, dice Harry
F. Jordán, del Centro de Computación Optoelectrónica de la Universidad de
Colorado, en Boulder, Colorado. Más de cinco kilómetros de fibra óptica actúan
como memoria principal, donde se codifican instrucciones y datos en pulsos de
luz. Jordán y Vincent P. Heuring encabezan la investigación en la Universidad
de Colorado. El ordenador que han desarrollado, hasta el momento “demuestra el
principio de que todos los componentes de una máquina multipropósito pueden
hacerse con medios ópticos”.[29]
§. Lógica difusa y ordenadores
Supongamos que tomo un tronco y lo agrego a los que
arden en mi chimenea. Empieza a arder inmediatamente. ¿En qué momento preciso
el tronco dejará de ser considerado un tronco? Una persona podría decir que
inmediatamente después que empezó a arder. Otra podría decir que cuando se ha
quemado hasta la mitad, y otra podría decir que es un tronco hasta el momento
en que se convierte en brasa. Por más lógicos que deseemos ser al dar esta
respuesta, no hay ninguna respuesta definida. No hay una respuesta correcta ni
equivocada. No hay manera de cuantificar la respuesta. Todo es una cuestión de
grado. Una cita a las cinco de la tarde significa lo mismo para todo el mundo.
Pero una cita fijada para la tarde puede significar las 15:30 para una persona
y las 17:30 para otra. En realidad, hay muchas horas posibles, según a quien se
cite. Y ése es el caso de muchas otras cosas en la vida, porque en la vida y en
el universo hay una naturaleza subjetiva. La lógica del verdadero o
falso, del sí o no, no puede dar cuenta de esas
situaciones ni del estado siempre cambiante de todas las cosas de la tierra y
del universo. Con esas cosas trabaja la lógica difusa.
Capítulo 4
La matemática y los misterios de la vida
Contenido:
§. Matematizando el cuerpo humano
§. Modelos matemáticos y química
§. Matemática e ingeniería genética
§. La música del cuerpo
§. Los secretos del hombre del Renacimiento
§. Nudos en los misterios de la vida
Sería posible imaginar la vida y la belleza como
“estrictamente matemáticas” solamente si nosotros mismos tuviéramos la infinita
capacidad matemática de poder formular sus características matemáticas de una
manera tan extremadamente compleja que todavía no hemos logrado inventarla.
Theodore Andrea Cook (1867 - 1928)
El mundo científico usa constantemente ideas
matemáticas en su intento de develar los misterios de la vida.
De La creación de Adán, de Miguel
Angel. Capilla Sixtina, Vaticano, Roma, Italia.
Este capítulo presenta algunas de las áreas en las
que se emplea la matemática en busca de respuestas a preguntas tales como la
manera en que funcionan nuestros cuerpos o cómo comenzó la vida. Parece un
misterio que una disciplina que se ocupa de objetos inanimados y objetos de
nuestra imaginación pueda tener respuestas para esas preguntas.
§. Matematizando el cuerpo humano
Presión sanguínea: 120/80
Colesterol: 180
Triglicéridos: 189
Glucosa: 80
Temperatura: 36,7°C.
En la medicina actual, nosotros, los pacientes, nos
vemos bombardeados por números y porcentajes que analizan nuestra salud y la
manera en que están funcionando nuestros cuerpos. Los médicos han tratado de
definir los espectros numéricos que son normales. Los números y la matemática
parecen estar en todas partes. En realidad, en nuestros cuerpos las redes de
nuestro sistema cardiovascular, los impulsos eléctricos que nuestros cuerpos
usan para producir movimientos, las maneras en que se comunican las células, el
diseño de nuestros huesos, la misma estructura molecular de los genes... todos
ellos poseen elementos matemáticos. En consecuencia, en un esfuerzo destinado a
cuantificar las funciones del cuerpo humano, la ciencia y la medicina han
recurrido a los números y a otros conceptos de la matemática. Por ejemplo, se
han diseñado instrumentos para traducir los impulsos eléctricos del cuerpo a
curvas sinusoides, haciendo de este modo factible la comparación de resultados.
Los resultados de un electrocardiograma, un electromiograma, un ultrasonido,
muestran la forma, amplitud y cambio de fase de una curva. Todo esto
proporciona información al técnico entrenado. Números, porcentajes y gráficos
son aspectos de la matemática adaptados a nuestros cuerpos. Consideremos ahora
otros conceptos matemáticos y la forma en que se relacionan con el cuerpo.
Theodore A. Cook publicó este análisis de El nacimiento de Venus, de Sandro
Botticelli. En su libro Curvas de la vida, el autor afirma: “la línea que
contiene la figura desde el tope de la cabeza hasta la planta de los pies está
dividida a la altura del ombligo en proporciones exactas dadas por... la
sección áurea (φ).... Tenemos siete términos consecutivos de la sección áurea
en la composición completa”.
Si usted cree que el descifrado de códigos, cifras
y jeroglíficos mayas es un desafío excitante, imagínese lo excitante que es
poder develar los códigos moleculares que el cuerpo usa para comunicarse. La
ciencia ha descubierto ahora que los glóbulos blancos de la sangre están
relacionados con el cerebro.
La mente y el cuerpo se comunican por medio de un
vocabulario de sustancias bioquímicas. El descifrado de estos códigos
intercelulares ejercerá un impacto asombroso sobre la medicina, del mismo modo
que nuestra creciente comprensión de los códigos genéticos está revelando
muchísimas ramificaciones dentro del campo de la salud. El descubrimiento de la
doble hélice del ADN fue otro fenómeno matemático. Pero la hélice no es la
única espiral presente en el cuerpo humano. La espiral equiangular se encuentra
en muchas zonas de crecimiento... posiblemente porque su forma no cambia a
medida que crece. Búsquela en la estructura de crecimiento de su cabello, en
los huesos de su cuerpo, en la cóclea del oído interno, en el cordón umbilical
y tal vez hasta en sus huellas digitales.
Los aspectos físicos y fisiológicos del cuerpo
también nos conducen a otras ideas matemáticas. El cuerpo es simétrico, lo que
le da equilibrio y un centro de gravedad. Además de permitir el equilibrio, las
tres curvas de la columna vertebral son muy importantes para el buen estado
físico y para conferir al cuerpo la capacidad física de sostener su propio peso
y otras cargas. Artistas como Leonardo da Vinci y Alberto Durero trataron de
ilustrar la concordancia del cuerpo con diversas proporciones y medidas, tales
como la sección áurea.
Por sorprendente que pueda parecer, la teoría del
caos también tiene un lugar en el cuerpo humano. Por ejemplo, se está
investigando la teoría del caos en relación con las arritmias. El estudio de
los latidos del corazón y el motivo por el cual el corazón de algunas personas
late irregularmente parece referimos a la teoría del caos. Por añadidura, las
funciones del cerebro y de las ondas cerebrales y el tratamiento de los
desórdenes cerebrales también están relacionados con la teoría del caos.
Si exploramos el cuerpo a nivel molecular, también
encontramos relaciones con la matemática. Hay formas geométricas, como
poliedros y cúpulas geodésicas, presentes en las formas de varios virus
invasores. En el virus del SIDA (HTLV-1) encontramos simetría icosaédrica y una
estructura de cúpula geodésica. Los nudos que aparecen en las configuraciones
del ADN han llevado a los científicos a usar descubrimientos matemáticos de la
teoría de nudos para el estudio de las formas adoptadas por las cadenas de los
ácidos nucleicos. Los hallazgos de la teoría de nudos y las ideas procedentes
de diversas geometrías han probado ser invalorables para el estudio de la
ingeniería genética.
La investigación científica y la matemática son una
combinación esencial para descubrir los misterios del cuerpo humano y para
analizar sus funciones.
§. Modelos matemáticos y química
Los objetos matemáticos están presentes en muchas
sustancias químicas producidas naturalmente. Al estudiar la estructura
molecular, encontramos pentágonos bajo la forma de la desoxirribosa, tetraedros
en las moléculas de silicatos, hélices dobles en el ADN, formas poliédricas en
los cristales y en otras formaciones moleculares. Por eso no resulta una
sorpresa que, al crear nuevas sustancias, los químicos se basen en modelos
matemáticos. Los átomos de carbono son adecuados como bloques de construcción,
a causa de la manera en que pueden unirse para formar cadenas y anillos o
estructuras tridimensionales. Por ejemplo, en 1938, Leo Paquette, un químico de
la Ohio State University, formó una molécula similar a un dodecaedro, que
consiste en 20 átomos de carbono rodeados por 20 átomos de hidrógeno.
Se parecía a una pelota de fútbol y fue
denominado dodecaedrano. Pero los modelos euclidianos no son
los únicos que se utilizan. En junio de 1983, algunos químicos de la University
of Colorado formaron un compuesto al que denominaron tris (tetrahidroximetiletileno),
que adopta la forma de la cinta de Möbius (el descubrimiento realizado en 1848
por August Möbius, que tiene un solo lado y un borde único). El tris está
compuesto por cadenas de átomos de carbono y oxígeno y termina en grupos de
alcoholes, que se prestan a unirse fácilmente cuando se imprime un medio giro a
la cadena.
§. Matemática e ingeniería genética
Jurassic Park ha proporcionado al público una clara
conciencia de las maravillas y de los posibles horrores de la ingeniería
genética. El drama de la vida se despliega dentro de una célula viva. No
importa si esa célula viva es humana, de pez, de planta, de insecto o de
bacteria: toda célula viva es el hogar de una molécula helicoidal de ADN (ácido
desoxirribonucleico). ¿Pero qué hace esta espiral matemática tridimensional en
el interior de una célula? ¿Cuál es su función? ¿Y cómo se relacionan los genes
—los transmisores de las características de las formas de vida— con el ADN? En
este punto entran en juego los conceptos matemáticos de patrón, secuencia,
relación, correspondencia uno a uno, y todos ellos desempeñan un papel en la
develación de los códigos y los misterios de la célula viva. Dentro de la
célula de una planta o de un animal encontramos un núcleo[32] donde residen los cromosomas. El ADN está dividido en cadenas
llamados cromosomas, y los genes se encuentran en las moléculas del ADN. Las
moléculas y proteínas del ARN (ácido ribonucleico) también se encuentran en el
núcleo, junto con cantidades minúsculas de otros materiales y agua. Las
diferentes especies tienen diferentes números de cromosomas. Por ejemplo, los
humanos tienen 46, ciertas especies de flores tienen 4, en tanto el cangrejo
ermitaño tiene 254.[33] Es sorprendente considerar que cada célula viva está compuesta por
los mismos seis elementos: carbono, hidrógeno, oxígeno, fósforo, nitrógeno y
azufre. En la célula, estos átomos se combinan para formar moléculas de agua,
fosfatos y azúcar. Además, forman macromoléculas (moléculas enormes formadas
por miles de átomos unidos) como los lípidos, almidones, celulosa y los aún más
complejos ácidos y proteínas nucleicas. La molécula de ADN con sus genes
proporciona el mapa de la vida de una célula. Aunque los elementos
constitutivos esenciales de todas las células son los mismos, los diferentes
organismos tienen mapas genéticos absolutamente diferentes. Y aunque los genes
usan los mismos “símbolos” (elementos que forman el código de la célula), las
diferentes estructuras de las cosas vivas están formadas por medio de
diferentes combinaciones de secuencias de estos “símbolos”. En cada célula los
códigos son descifrados por el mismo tipo de mecanismo empleado para
reproducirse y para crear proteínas y otras estructuras celulares.
La formación de códigos genéticos se basa en la
comprensión de los ácidos nucleicos. Los ácidos nucleicos se forman a partir de
nucleótidos ―constituidos por un azúcar, un fosfato y una base (hay cinco
clases de bases a las que se indica mediante los símbolos A, C, G, T, U).[34] En el ADN sólo aparecen cuatro bases: A, C, G y T. Cada base sólo
puede aparearse con otra única base complementaria: A con T y C con G. En el
ADN dos cadenas de ácidos nucleicos se reúnen por sus bases y forman la famosa
doble hélice. Es la forma pentagonal de la desoxirribosa lo que da la forma de
espiral, y hacen falta 10 peldaños para completar una vuelta. Por otra parte,
el ARN sólo tiene las bases A, C, G y U, y usualmente forma una cadena simple y
no doble, mucho más corta que la del ADN. El diagrama del ADN ilustra la manera
en que la cadena de bases forma un código específico. Cuando se lleva a cabo la
copia genética (o réplica del ADN), la doble hélice del ADN se desenrolla a una
velocidad de más de 8000 r.p.m., y se separa en las bases formando dos cadenas.
Mientras esto ocurre, los nucleótidos libres (no unidos a la célula) que tienen
el “símbolo” de base correcta, unen sus bases a las bases del ADN en cada una
de las cadenas divididas. De este modo dos hélices dobles idénticas de ADN se
forman dividiendo la original al medio y agregando los nucleótidos libres a
cada mitad. Además de la duplicación del ADN, los genes también se ocupan de
formular proteínas[35] y de otras funciones celulares. Los genes son gatillados a la
acción gracias a varios estímulos (por ejemplo, la exposición a una hormona en
particular). ¿Cómo hace un gen para orquestar sus actividades?
El ADN está formado por dos cadenas helicoidales unidas entre sí para formar
una doble hélice.
Los miles de genes alineados en la molécula de ADN
son análogos a los interruptores de “encendido” y “apagado” de las
instrucciones binarias de un ordenador. Los que están en “apagado” dejan de
transmitir una señal, en tanto los que están en “encendido” empiezan a
transmitir sus propias instrucciones. Todo este proceso se lleva a cabo de
manera simultánea.
En una célula viva hay enormes números de
nucleótidos. Hay cuatro tipos de nucleótidos formados por una base y parte de
la hélice. Adviértase que las moléculas de fosfato de azúcar (parte inferior de
los diagramas) son idénticas, y por lo tanto encajan entre sí en cualquier
orden para formar una cadena de la hélice del ADN.
La ingeniería genética es el proceso de
manipulación de la estructura de las moléculas del ADN. Los ingenieros
genéticos han encontrado maneras de duplicar, alterar, dividir y unir
secuencias de códigos; en otras palabras, han hallado el modo de cambiar el
mapa de una célula. Pueden hacer el denominado ADN recombinante, un ADN que
consiste en una combinación de bases tomadas de organismos totalmente
diferentes, por ejemplo, una célula humana y una célula bacteriana.
Además del estudio de las secuencias, códigos y
hélices, las formas y estructuras matemáticas también tienen importancia para
categorizar la infinita combinación de átomos y moléculas que componen las
células vivas. Como estas estructuras tridimensionales, como las proteínas, no
son rígidas sino que con frecuencia parecen estar anudadas, los matemáticos
dedicados a la teoría de nudos y al modelado mediante ordenador están
desempeñando un papel de importancia cada vez mayor en la ingeniería genética.
La teoría del caos es otro campo de importancia, ya que cambios minúsculos y
simples en los estímulos de los genes pueden tener como consecuencia una enorme
diferencia en el resultado, es decir, una mutación. ¿Y qué ocurre con los
fractales? ¿Acaso la vida de una célula no puede considerarse una creación
similar a los fractales, de enorme sofisticación, donde los objetos dados son
los seis elementos básicos de la vida y su regla el programa genético de la
molécula de ADN?
Un ejemplo de un peldaño de la escalera del ADN
Los dos filamentos de la doble hélice se enrollan
en direcciones opuestas. Por eso los azúcares y los fosfatos se encuentran en
ubicaciones opuestas en ambos.
Como las técnicas de la ingeniería genética se
crean y desarrollan con gran velocidad, las compañías de biotecnología están
compitiendo por usar los últimos resultados científicos para descubrir nuevas
curas y manufacturar drogas milagrosas. Los productores de alimentos también
desean emplear las técnicas genéticas para manipular los genes de diversos
productos[36] con el objeto de mejorar el tiempo de vida, el tamaño, el sabor y
la resistencia a las plagas. La alteración de los códigos genéticos puede
hacerse ahora en una fracción del tiempo que insume la ocurrencia del proceso
de selección natural. Pero las preguntas siguen vigentes. ¿Todos estos cambios
son deseables, son efectivos, son dañinos? ¿El consumidor no informado correrá
el riesgo de consumir alergénicos potenciales ocultos y agregados durante la
manipulación genética? La responsabilidad que deben asumir los ingenieros
genéticos es enorme. ¡Están experimentando con la vida después de que ésta ha
evolucionado durante millones de años!
§. La música del cuerpo
Hemos oído hablar del lenguaje corporal creado por
los mensajes que enviamos de acuerdo con la manera en que movemos nuestro
cuerpo o las posturas que asumimos. Algunos científicos[37] han explorado las estructuras descubiertas en el ADN desde un
punto de vista totalmente diferente... el de la música de los genes. Dos
cadenas helicoidales se unen por sus bases compatibles[38] para formar la estructura de doble hélice del ADN. Las bases
tienen códigos genéticos y junto con el ADN son el mapa de la célula viva. Las
estructuras de estas bases son intensamente estudiadas con la esperanza de
descifrar sus significados. Se ha observado que en el gen recurren secuencias
repetitivas de bases. El vínculo con la música se hace evidente, si uno piensa
que las secuencias recurrentes son las melodías recurrentes de una canción. En
realidad, se ha puesto música a muchas de estas secuencias, tanto en una octava
como en otros intervalos.
Este famoso dibujo de Leonardo da Vinci apareció en
el libro De Divina Proportione, que ilustró para el matemático Luca
Pacioli en 1509. En uno de sus cuadernos, Leonardo escribió una extensa sección
sobre las proporciones del cuerpo humano. Allí determinó medidas y proporciones
para todas las partes del cuerpo, incluyendo la cabeza, los ojos, las orejas,
las manos y los pies, basándose en numerosos estudios, observaciones y
mediciones. Además hizo referencia a los trabajos de Vitruvio, el arquitecto
romano (alrededor de 30 a.C.) que también se ocupó de las proporciones del
cuerpo humano. Leonardo escribe sobre la manera en que Vitruvio ejerció
influencia sobre él:
“Vitruvio, el arquitecto, dice en sus trabajos
sobre arquitectura que las medidas del cuerpo humano han sido distribuidas por
la Naturaleza de la siguiente manera: ...Si se abren las piernas de tal modo de
disminuir la propia estatura en ¼, y se abren y alzan los brazos hasta que los
dedos medios lleguen al nivel de la parte superior de la cabeza, se sabe que el
centro de los miembros extendidos estará en el ombligo, y el espacio entre las
piernas será un triángulo equilátero”.
Y luego agrega Leonardo: “La longitud de los brazos
extendidos de un hombre es igual a su altura”.[39]
§. Nudos en los misterios de la vida
Desde la época en que Alejandro Magno cortó el nudo
gordiano, los nudos y sus varias formas han invadido muchas facetas de nuestra
vida. Magos, artistas y filósofos se han sentido intrigados por nudos tales
como el nudo trébol, que no tiene principio ni fin. En la actualidad los
científicos investigan los nudos porque consideran que es posible que guarden
algunas claves de los misterios de la vida. Estas teorías oscilan entre el
mundo cósmico y el mundo microscópico.
A primera vista, podría pensarse que no hay nada
especial en los nudos, salvo para atar o asegurar cosas como zapatos o aparejos
en una embarcación. Pero en matemática existe todo un campo llamado teoría de
nudos, y permanentemente se producen descubrimientos que vinculan esta teoría
directamente con el mundo físico.
Diseño de nudo celta del Evangelio de San Juan. Libro de Durrow. De Celtic
Design, Ed Sibbett, Jr., Dover Publications, 1979.
La teoría de nudos es un campo muy reciente de la
topología. Sus orígenes pueden relacionarse con el siglo XIX y la idea de Lord
Kelvin de que los átomos eran vórtices anudados que existían en el éter, que,
según se creía, era un fluido invisible que llenaba el espacio. Lord Kelvin
creyó que era posible clasificar estos nudos y obtener una tabla periódica de
elementos químicos. Aunque su teoría no era cierta, el estudio matemático de
los nudos es un tópico corriente en la actualidad.
Lo que diferencia a los nudos matemáticos de los
nudos corrientes, usados en la vida cotidiana, es que no tienen extremos. Son
un tipo de lazo cerrado, que no puede transformarse en un círculo. Lo que los
matemáticos han intentado hacer es clasificar los nudos para poder distinguir
los diferentes tipos existentes. Algunas de las ideas de importancia que han
sido formuladas hasta el momento son:
· un nudo no puede existir en más de tres dimensiones
· el nudo más sencillo posible es el nudo trébol, que
tiene tres entrecruzamientos. Se produce en versiones hacia la izquierda y
hacia la derecha, que forman entre sí imágenes especulares.
· sólo existen dos tipos de nudos con cinco
entrecruzamientos.
· hasta el momento se han identificado más de doce
mil nudos con trece o menos entrecruzamientos, sin contar las imágenes
especulares.
De izquierda a derecha: el primer nudo tiene 4
entrecruzamientos, el segundo, 5, el tercero, 6, y el cuarto y el quinto tienen
7.
· Observe el diagrama siguiente. Estos nudos son
imágenes especulares entre sí. Cualquiera creería que, al ser opuestos, se
desharían mutuamente al juntarse. ¡Pruébelo! (Simplemente pasan uno a través
del otro y permanecen sin cambio).
· Ahora observe el nudo Chefalo o falso nudo. ¿Qué
ocurre al tirar de los extremos? (Los nudos se desarman).
· El estudio de los nudos en el campo de la topología
trata de explicar estas diferentes propiedades. Los ordenadores han entrado en
escena. El Geometry Supercomputer Project[40] está empleando tecnología avanzada de ordenador para estudiar y
producir representaciones visuales tridimensionales de formas y ecuaciones
matemáticas, tales como nudos toroidales y fractales.
Los matemáticos han desarrollado otros métodos para
clasificar y probar nudos.[41] Ahora observan la sombra que arroja y escriben una ecuación que la
describe.[42] Recientemente se han descubierto algunas conexiones interesantes
que vinculan la teoría de nudos con la biología molecular y la física. Los
científicos han usado los descubrimientos matemáticos y aplicado las nuevas
técnicas de la teoría de nudos al estudio de la configuración del ADN: han
descubierto que las cadenas de ADN pueden formar lazos que, a veces, están
anudados. Ahora los científicos pueden aplicar la teoría de nudos para decidir
si la cadena de ADN que están observando ya ha aparecido antes con otra forma
de nudo. También pueden determinar la secuencia de pasos mediante la cual las
cadenas de ADN se transforman para producir una configuración en particular. La
misma técnica les permite predecir configuraciones aún no observadas. Todos
estos descubrimientos pueden resultar de gran utilidad para la ingeniería
genética.
De manera similar, la teoría de nudos resulta muy
útil en física cuando se estudia la interacción de partículas que semejan
nudos. La configuración de un nudo puede emplearse para describir las
diferentes interacciones que pueden producirse. Los físicos que exploran
la Teoría del Todo (TDT), creen que los nudos desempeñaron un
papel vital en la creación del universo. En su incesante investigación de la
TDT, los científicos intentan desarrollar un modelo matemático que unifique las
fuerzas de la naturaleza (electromagnetismo, gravedad, interacción fuerte e
interacción débil). Por cierto, están convencidos que la TDT puede encontrarse.
Algunos han dedicado toda su vida de trabajo a la búsqueda de respuestas. En la
Teoría del Todo más difundida en este momento, algunos físicos creen que la
esencia del universo está ligada a objetos llamados supercuerdas. Una
versión de esta particular teoría afirma que el universo, todas las formas de
materia y de energía, surgieron, desde el instante del Big Bang, a partir de las
acciones e interacciones de estas supercuerdas. La teoría describe al universo
como de 10 dimensiones (9 dimensiones espaciales y una temporal), con sus
elementos constructivos, de materia y energía, formados por cuerdas
infinitesimales. Especula, además, con que en el momento del Big Bang las 9
dimensiones eran iguales. Cuando el universo se expandió, sólo 3 de las
dimensiones espaciales se expandieron con él. Las otras 6 dimensiones
permanecieron sin desplegarse y contenidas en geometrías compactas que miden
tan sólo 10–33 centímetros de extensión (es decir, 1033 dimensiones
colocadas lado a lado miden 1 centímetro). Así, se cree que estas cuerdas
poseen dentro de ellas seis dimensiones. Los científicos ahora intentan
describirlas empleando modelos topológicos de 6 dimensiones. Se cree que estas
supercuerdas pueden ser abiertas o cerradas en un lazo simple, y conforman las
diferentes formas de materia y energía del universo alterando sus vibraciones y
rotaciones. En otras palabras, las supercuerdas se distinguen entre sí por el
modo en que vibran y rotan.
La importancia de la teoría de supercuerdas se
compara con la de la teoría de la relatividad general de Einstein. Es difícil
imaginarse cuatro dimensiones. Einstein planteó que para describir la ubicación
de un objeto en el universo es necesario tener en cuenta la longitud, el ancho,
la altura y el tiempo. Diez dimensiones son imposibles de imaginar. Pero si
pensamos en las dimensiones como números descriptivos que permiten situar la
localización y las características de un objeto dentro del universo, todas
ellas se toman más comprensibles.
Algunos científicos creen que las supercuerdas pueden explicar la estructura
del universo.
Estas ideas de la TDT han estado evolucionando
durante veinte años. La gravedad ha sido el factor de demora, porque los
cálculos (que incluyen la gravedad) necesarios para respaldar las diversas
formas de la teoría producían infinitos matemáticos.[43] El gran avance se produjo en 1974, cuando John Schartz y Joel
Scherks consideraron a la gravedad como un objeto geométrico curvado en la
décima dimensión, de manera similar a cómo Einstein describió la gravedad en la
geometría de la cuarta dimensión.
La matemática empleada para la investigación de la
TDT de supercuerdas es muy potente, y los resultados han sido muy convincentes.
Schwartz y Michael Green fueron dos de los principales pioneros en el tema. Han
estado trabajando en ella durante más de una década, a pesar del escaso
estímulo y respaldo que han recibido de sus colegas, a quienes les resultaba
muy difícil aceptar un mundo de diez dimensiones. El trabajo que ambos
publicaron finalmente logró que los físicos tomaran la idea con seriedad. Algunos
científicos argumentan que los físicos han eludido investigar (“perdiendo” el
tiempo) la idea porque el aspecto matemático es muy dificultoso. La
supersimetría, los modelos topológicos de seis dimensiones, un universo de diez
dimensiones, cuerdas infinitesimales, son algunos de los conceptos necesarios
para describir y dar validez a esta teoría. Como resultado, la teoría ha
convertido a algunos físicos en matemáticos, y viceversa. Estos son tan sólo
los descubrimientos iniciales y las aplicaciones de un campo matemático
emergente: el de la teoría de nudos.
El edificio de oficinas Oracle, Redwood City, California.
Capítulo 5
Matemática y arquitectura
Contenido:
§. Buckminster Fuller, las cúpulas geodésicas y la
“buckyball”
§. La arquitectura del siglo XXI: sólidos que llenan el espacio
§. La matemática del arco curvo
§. Arquitectura y paraboloides hiperbólicos
§. La destrucción de la caja y Frank Lloyd Wright
La mecánica es el paraíso de la ciencia matemática,
porque con ella llegamos a los frutos de la matemática.
Leonardo da Vinci
Templo de Kukulkan, Chichen Itzá, Yucatán.
El tema de la pirámide es empleado en el diseño de este moderno edificio de
oficinas de Foster City, California.
Durante miles de años la matemática ha sido un
instrumento invalorable para el diseño y la construcción. Ha sido un recurso
importante para el diseño arquitectónico, y también el medio por el cual el
arquitecto podía eliminar las técnicas de ensayo y error en una construcción.
Por extensa que parezca la lista que ofrecemos a continuación, sólo anotamos
aquí algunos de los conceptos matemáticos que han sido usados en arquitectura a
lo largo de los siglos:
El diseño de una estructura está influido por su
entorno, por la disponibilidad y el tipo de materiales, y por la imaginación y
los recursos del arquitecto.
Santa Sofía, Estambul, Turquía.
Algunos ejemplos históricos son:
· La tarea de hacer cálculos para dimensión, forma,
número y disposición de las piedras para la construcción de las pirámides de
Egipto, México y el Yucatán, basada en el conocimiento de los triángulos
rectángulos, cuadrados, el teorema de Pitágoras, volumen y estimación.
· La regularidad del diseño de Machu Picchu no habría
sido posible sin planos geométricos.
· La construcción del Partenón se basó en el uso del
rectángulo áureo, ilusiones ópticas, mediciones de precisión y en el
conocimiento de las proporciones, para poder cortar módulos de columnas con
especificaciones exactas (siempre logrando que el diámetro midiera un tercio de
la altura del módulo).
El Coliseo romano, Roma, Italia.
· La exactitud geométrica de la disposición y la
localización del antiguo teatro de Epidauro fue especialmente calculada para
optimizar la acústica y maximizar la visión de la audiencia.
· El uso innovador de círculos, semicírculos,
semiesferas y arcos se convirtió en la principal idea matemática introducida y
perfeccionada por los arquitectos romanos.
· Los arquitectos bizantinos incorporaron con
elegancia los conceptos de cuadrado, círculo, cubo y semiesfera con arcos, como
los utilizados en la iglesia de Santa Sofía en Constantinopla.
· Los arquitectos de las catedrales góticas usaron la
matemática para determinar el centro de gravedad y así dar forma a un diseño
geométrico adaptable, con techos abovedados que se encontraban en un punto que
transmitía el enorme peso de la estructura de piedra al suelo en vez de
producir cargas horizontales.
· Las estructuras de piedra del Renacimiento muestran
un refinamiento de la simetría, basado en juegos de luz y sombra y en sólidos y
vacíos.
Con el descubrimiento de nuevos materiales de
construcción se adaptaron y usaron nuevas ideas matemáticas para maximizar el
potencial de esos materiales. Utilizando el amplio espectro disponible ―piedra,
madera, ladrillo, cemento, hierro, acero, materiales sintéticos como el
plástico, cemento reforzado, hormigón premoldeado― los arquitectos han podido
diseñar virtualmente cualquier forma.
Cada una de las plantas de los tres niveles de esta casa están diseñadas a
partir de la superposición de dos triángulos equiláteros. El motivo del
triángulo se repite en todos los soportes interiores y aberturas.
En la época moderna hemos sido testigos de la
construcción del paraboloide hiperbólico (St. Mary’s Cathedral, San Francisco),
de las estructuras geodésicas de Buckminster Fuller, de los diseños modulares
de Paolo Soleri, de estructuras sólidas sintéticas que imitan las tiendas de
los nómades, de los cables de curva catenaria que sostienen el Palacio de los
Deportes Olímpicos de Tokio, e incluso de una casa octogonal con un cielorraso
abovedado elíptico.
Estas estructuras semejantes a tiendas de nómades ilustran el empleo de
nuevos métodos y materiales de construcción. Fashion Island, Foster City,
California.
La arquitectura es un campo en evolución. Los
arquitectos estudian, refinan, mejoran y vuelven a usar ideas del pasado, y
también crean ideas nuevas. En el análisis final, un arquitecto tiene la
libertad de imaginar cualquier diseño, siempre que existan los materiales y las
ideas matemáticas necesarias para soportar la estructura.
§. Buckminster Fuller, las cúpulas geodésicas y la
“buckyball”
Richard Buckminster Fuller fue inventor, diseñador,
ingeniero y escritor. Fue un arquitecto con ideas, un hombre cuyas visiones con
frecuencia se adelantaban a su época. Entre sus ideas e invenciones encontramos
las siguientes creaciones, que fueron las que le dieron mayor renombre:
· el auto Dymaxion, con motor atrás
y tracción delantera.
· Casas Dymaxion y Wichita, precursoras de las casas prefabricadas para
producción masiva, cuya construcción minimizaba el uso de materiales y
maximizaba el espacio. Estaban diseñadas como unidades de vivienda
absolutamente transportables.
· en el campo de la cartografía creó el Mapa
Energético Mundial de 1940, el Mapa Estratégico Mundial de
1943 para la revista Life, y el Mapa Aéreo y Oceánico
Dymaxion de 1954.
· la cúpula geodésica (una cúpula con una estructura
basada en triángulos).
· la tensegridad.
La cúpula geodésica fue el mayor éxito comercial de
Fuller, y su nombre se volvió sinónimo de su invención. En su solicitud de
patente, él mismo describía su invención de la siguiente manera: “Mi
invención se relaciona con una estructura destinada a encerrar un espacio. Un
buen índice del desempeño de la estructura de cualquier edificio es el peso
estructural requerido para proteger del clima un metro cuadrado de piso. En
diseños convencionales de pared y techo, la cifra es con frecuencia de 2500 kg
por metro cuadrado. He descubierto la manera de hacer el mismo trabajo con
alrededor de 4 kg. por metro cuadrado, construyendo una estructura con una piel
de material plástico”.[44] El logro más importante de Buckminster Fuller fue la conexión que
vio entre los poliedros tradicionales,[45] la esfera y la arquitectura. Esta conexión se materializó en la
cúpula geodésica.
Reconstruyamos ahora un posible escenario de la
evolución de sus cúpulas geodésicas. Empezando por el icosaedro, Fuller
subdividió sus caras en triángulos equiláteros. Después circunscribió al sólido
con una esfera y proyectó los vértices sobre la misma: los triángulos
equiláteros no permanecen congruentes. Supongamos que truncara la superficie de
este nuevo sólido. En ese caso, la forma de la estructura geodésica se aproxima
más a la forma de la esfera, y por lo tanto también a las propiedades de la esfera.
Una esfera tiene la mínima superficie posible para un determinado volumen. En
consecuencia, la cúpula geodésica abarca más espacio con menos gasto de
material que las formas arquitectónicas tradicionales. Además, aparece un nuevo
tipo de estabilidad. Como en el caso de una burbuja de jabón, la tensión
superficial empuja hacia adentro contra el empuje hacia afuera del aire
encerrado y comprimido, consiguiendo el equilibrio entre la tensión y la
compresión. El diseño de la arquitectura tradicional requiere la consideración
del peso y del apoyo. La gravedad desempeña un rol prominente. En la estructura
geodésica, el rol de la gravedad es casi irrelevante. No obstante, había una
desventaja. Las cúpulas geodésicas no eran esferas perfectas, por lo que sus
dimensiones tenían límites. Pero cuando Fuller combinó la idea de las cúpulas
geodésicas con la tensegridad[46] (integridad tensional), el tamaño llegó a ser enorme. Estas
estructuras no se sostienen por medio de columnas, vigas, arcos o
contrafuertes, sino con fuerzas de tensión (la acción de la fuerza de la
carga). La invención y patente que Fuller consiguió para las construcciones
livianas basadas en la tensegridad eliminó prácticamente las limitaciones de
tamaño.
Para ilustrar las posibilidades de estas
megaestructuras, consideremos la cúpula hemisférica propuesta por Fuller, de un
diámetro de 3 kilómetros, que serviría para abarcar una parte de la ciudad de
New York. En 1963, él mismo describió su instalación de la siguiente manera:
“Una flota de dieciséis grandes helicópteros
Sikorsky podrían colocar todos los segmentos en posición hasta armar una cúpula
de 1,6 km. de altura y 3 km de diámetro, en tres meses, con un costo de 200
millones de dólares... una superficie de cincuenta manzanas que incluye toda la
parte alta de Manhattan, donde están los rascacielos. Una cúpula de este tipo
impediría que la nieve y la lluvia cayeran sobre la superficie protegida, y
controlaría los efectos de la luz solar y la calidad del aire...”[47]
La cúpula geodésica de Fuller, sin embargo, sufrió
numerosos reveses, tanto en el aspecto financiero como respecto a su
aceptación.
Aunque su donación de la “patente” de la Casa
Dymaxion al Instituto Norteamericano de Arquitectura fue rechazada en 1928, su
visión filosófica que tendía a proporcionar viviendas económicas fue una fuerza
de importancia.
Durante los cincuenta años siguientes de su
carrera, recibió títulos honorarios de arquitectura, becas, premios y aplausos.
Igualmente importante fue el reconocimiento que se le otorgó por las 300.000
cúpulas geodésicas que se basaron en las patentes de Fuller, entre 1954 y hasta
su muerte, en 1983. Las estructuras geodésicas de Fuller no se limitan al
tamaño de las megaestructuras. También se han encontrado estructuras geodésicas
a nivel molecular. La buckyball, también llamada buckminsterfullereno, es
un poliedro químico sintetizado en la década de 1990. Está formado por 60
átomos de carbono localizados en los vértices de un icosaedro truncado.[48] En la actualidad la buckyball se sintetiza en forma sólida para
usarla como lubricante, catalizador, punta de scanner microscópico, o en nuevas
células de repuesto de baterías. Los científicos también están modificando la
estructura arquitectónica de la buckyball (de manera análoga a cómo Fuller
modificó el poliedro) para producir nuevas moléculas teóricas que serían más
estables, más livianas y más fuertes.[49] El ahorro de materiales, ligereza, estabilidad y fuerza de la
cúpula geodésica son las mismas características que interesan a los
investigadores en estas nuevas formas moleculares.
§. La arquitectura del siglo XXI: sólidos que
llenan el espacio
Planos góticos del maestro arquitecto de Duomo de Milán, Cesar Cesariano.
A lo largo de los siglos el triángulo, el cuadrado
y el rectángulo han desempeñado roles de importancia en el diseño
arquitectónico. La madera y la piedra se contaron entre los primeros materiales
naturales que los constructores emplearon para hacer sus refugios. Como el
triángulo y los ángulos rectos daban la mayor estabilidad que se conocía
entonces, estas formas fueron utilizadas en estructuras como las pirámides de
Egipto y de Yucatán. A medida que el conocimiento, la comprensión y los
materiales fueron evolucionando, se desarrollaron nuevas formas y diseños. Por
ejemplo, al cabo de siglos, el descubrimiento de la dinámica de las curvas y el
arco permitieron que se emplearan la piedra y la madera para introducir esas
características en estructuras tales como los acueductos romanos y las
catedrales góticas. Con la introducción del acero, el hierro, el vidrio, el
cemento y los ladrillos, se hicieron posibles nuevos y audaces diseños. Más
tarde, los plásticos y los materiales sintéticos, junto con las estructuras
tenso-integradas, permitieron a los arquitectos tomar en cuenta toda una nueva
familia de formas. Nuestro conocimiento matemático, junto con los modelos por
ordenador y una cada vez más profunda comprensión de las fuerzas físicas que
actúan sobre una estructura, han contribuido grandemente a la evolución
arquitectónica. Sin embargo, las formas de la arquitectura siguen siendo los
objetos tridimensionales de la matemática. Muchos de ellos proceden de la
geometría euclidiana, como en el caso de los paralelogramos, las pirámides, los
conos, las esferas o los cilindros. Otras formas son más exóticas, y emplean
sólidos curvos, tiendas y geodésicas. Todos estos objetos son usados por los
arquitectos para llenar el espacio y para crear espacios habitables.
Este modelo del proyecto visionario de Paulo Soleri se exhibe en Arcosanti,
Arizona.
¿Qué tipos de estructuras y de espacios habitables
se diseñarán en el siglo XXI? ¿Qué objetos pueden llenar el espacio? Si las
características del diseño involucran prefabricación, adaptabilidad y
expandibilidad, las ideas de teselado del plano y del espacio desempeñan roles
prominentes. Cualquier forma que pueda teselar un plano, como el triángulo, el
cuadrado, el hexágono y otros polígonos, puede adaptarse para formar unidades
espaciales de vivienda. Más tarde, a medida que se presente la necesidad, pueden
agregarse unidades adicionales con paredes comunes. Las posibilidades de diseño
pueden volverse muy interesantes, dejando patios o zonas descubiertas para la
entrada de luz y para proporcionar acceso al exterior. Por otra parte, los
arquitectos tal vez deseen tomar en cuenta sólidos que llenan el espacio, entre
los cuales los más tradicionales son el cubo y el paralelepípedo rectangular.
Algunos diseños modulares pueden incluir el dodecaedro rómbico o el octaedro
truncado.
La cantidad de opciones de que ahora disponen los
arquitectos complican el desafío de decidir cuáles son los sólidos que
funcionan mejor juntos para llenar el espacio para optimizar los diseños, la
estética y la creación de áreas habitables confortables. Los diseños y
proyectos de arquitectos como Paulo Soleri, David Greene, Pier Luigi Nervi,
Arata Isozaki, I. M. Pei y otros, se prestan al empleo de nuevos materiales y
de audaces formas geométricas. Ahora, al igual que en el pasado, la
factibilidad de una estructura está condicionada por las leyes de la matemática
y la física, que actúan como instrumentos y como varas de medición.
Mosaicos de Penrose que llenan el plano y octaedro truncado que llena el
espacio.
La ilustración de la izquierda muestra el modo en
que estos pentágonos, al teselar un plano, pueden adaptarse y convertirse en
prismas pentagonales que se transforman en unidades modulares que llenan el
espacio. A la derecha se ve una estructura formada a partir de la modificación
de un cubo.
§. La matemática del arco curvo
Detrás de las paredes, juegan los dioses; juegan
con números, de los que está hecho el universo.
Le Corbusier (1887-1965)
El arco es un elegante triunfo de la arquitectura.
A lo largo de los siglos ha adoptado la forma de muchas curvas matemáticas
(como el círculo, la elipse, la parábola, la catenaria) para convertirse en:
arco semicircular, ojival, parabólico, elíptico, apuntado o equilátero,
segmental, de pechina, peraltado, transverso, en herradura, trilobulado,
gemelo, de triunfo, de descarga o arbotante, triangular, diafragma, carpanel,
voladizo o falso.
El acueducto romano de Segovia, España, construido con 148 arcos de 27
metros de altura.
En esencia, el arco es un método arquitectónico
para abarcar el espacio. La naturaleza del arco permite que la tensión fluya de
manera más pareja por toda la estructura, evitando de ese modo la concentración
en el centro. Las dovelas (piedras en forma de cuña), también llamados piedras
de arco, forman la curva del arco. En el centro está la clave. Todas las
piedras forman un mecanismo de cerrojo bajo la acción de la gravedad. La fuerza
de gravedad hace que los lados del arco tiendan a abrirse, provocando una
fuerza de empuje que está contrarrestado por la fuerza de las paredes o de los
contrafuertes.
Hasta la invención y el empleo del arco, las
estructuras arquitectónicas se basaban en columnas y vigas, como se ve en la
arquitectura griega, o en piedras escalonadas, como se ve en las pirámides de
Egipto. Los arquitectos romanos fueron los primeros en usar extensivamente y
desarrollar el arco semicircular. Si se le agrega al arco el descubrimiento,
también crédito de ellos, del cemento y el ladrillo, se entiende que hayan
producido una revolución arquitectónica. Con el uso del arco, de bóvedas y cúpulas,
los romanos pudieron eliminar las vigas horizontales y las columnas interiores.
El arco les permitía redistribuir el peso de la estructura, colocándolo sobre
menos soportes, aunque más grandes. En consecuencia, se amplió el espacio
interior. Antes del arco, una estructura debía ser necesariamente sostenida por
columnas interiores y exteriores, y las distancias entre columnas debían
calcularse cuidadosamente para que la viga no se derrumbara por exceso de peso.
Los arcos romanos se basaban en la forma circular.
A lo largo de los siglos, los arquitectos empezaron a desviarse del círculo,
primero hacia el arco elíptico (u oval), después hacia el arco en punta. Como
resultado, las estructuras se hicieron más altas, permitiendo la entrada de más
luz, y abarcando un espacio mayor. La forma del arco determinaba cuáles eran
las partes de la estructura que soportaban el peso. En tanto el arco
semicircular romano desviaba la carga hacia las paredes, el arco gótico, en punta,
hacía que la carga fluyera hacia los contrafuertes del exterior del edificio,
posibilitando de ese modo una mayor altura de los techos.
Catedral de la Gracia, San Francisco, California.
El arco no ha pasado de moda. Como ocurre con todas
las ideas arquitectónicas, su concepto y su uso siguen en evolución. Con la
invención y el uso de nuevos tipos de materiales de construcción, los
arquitectos pueden combinar y usar una multitud de curvas y formas matemáticas
en sus creaciones.
§. Arquitectura y paraboloides hiperbólicos
Algunas estructuras arquitectónicas han sido
diseñadas con formas poco conocidas. Un ejemplo notable es el paraboloide
hiperbólico usado en el diseño de la catedral de St. Mary, en San Francisco. La
catedral fue diseñada por Paul A. Ryan y John Lee, con Pier Luigi Nervi, de
Roma, y Pietro Bellaschi, del M.I.T., como ingenieros consultores.
En la inauguración, cuando le preguntaron a Nervi
qué hubiera pensado Miguel Angel de la catedral, éste respondió: “No hubiera
pensado nada. Este diseño procede de teorías geométricas que en su época aún no
habían sido probadas”.
La parte superior de la estructura es una cúpula
paraboloide hiperbólica de 60,5 m3, con paredes que se elevan 71
metros del suelo, y que están sustentadas por 4 enormes pilares de hormigón que
penetran en la tierra hasta una profundidad de 28 metros. Cada pilar soporta un
peso de 255 toneladas. Las paredes están hechas con 1680 encofrados
premoldeados de hormigón de 128 medidas diferentes. La dimensión del cuadrado
de los cimientos es de 77,7 metros de lado.
Catedral de St. Mary, San Francisco, California.
Un paraboloide hiperbólico combina un paraboloide
(una parábola girada alrededor de su eje de simetría) y una hipérbola
tridimensional.
La ecuación del paraboloide hiperbólico es:
y2/b2 – x2/a2 = z/c2
con a, b > 0; c ≠ 0
§. La destrucción de la caja
La arquitectura de Frank Lloyd Wright y la
liberación del espacio
La obra de Frank Lloyd Wright tiene un estilo
definido, aunque sus estructuras son tan diversas que el estilo no se
manifiesta en las semejanzas entre sus edificios, sino más bien en la filosofía
que sirve de estructura a sus proyectos.
El Centro Cívico de Marín County es uno de sus últimos diseños. Marin
County, California.
En palabras del propio Wright, “la
arquitectura es el arte científico de hacer que la estructura exprese ideas”. Su
arquitectura ha sido llamada arquitectura orgánica porque
integra al paisaje, los materiales, los métodos, la intención y la imaginación
de manera especial.
Los diseños de estructuras de Wright en las que el
espacio exterior y el interior se unen ejercieron un profundo impacto sobre la
arquitectura. Wright diseñó edificios en los que el afuera ingresaba al
interior. El llamó a este fenómeno la destrucción de la caja. Las
construcciones existentes, ya fueran privadas o comerciales, eran consideradas
por Frank Lloyd Wright como un conglomerado de cajas o de cubos. En la
geometría euclidiana, el espacio se define como el conjunto de todos los
puntos. Aunque en la geometría euclidiana con frecuencia se emplea un cubo para
representar el espacio, sabemos que el espacio no tiene límites ni fronteras.
Wright deseaba que su obra diera sensación de espacio... de puntos que fluyeran
del interior al exterior. Procuraba cambiar esa sensación de encierro y de
aislamiento del mundo exterior que caracterizaba a la arquitectura de caja.
Siguiendo esa línea de pensamiento descubrió una manera de eliminar en sus
diseños la caja tradicional. Wright se dio cuenta de que no se había utilizado
el potencial de ciertos materiales de construcción. Estos materiales ―acero y
vidrio―, junto con innovadores cambios de diseño, proporcionaron los medios de
deshacerse de la caja, permitiendo la fusión del espacio exterior y el
interior.
Arquitectura de caja
Los diseños de Wright eliminaron las esquinas de la
caja desplazando los apoyos de los ángulos y colocándolos a lo largo de las
paredes mediante vigas en voladizo. Así, los ojos de los habitantes no se veían
limitados o arrastrados hacia los ángulos, y se permitía que el espacio
fluyera. Al reemplazar las columnas y las vigas con voladizos, las paredes
dejaron de ser confinantes, y empezaron a verse como independientes y
desarticuladas. Cualquiera de estas paredes podía modificarse, acortándose,
ampliándose o redividiéndose.
Wright no se limitó a liberar el plano horizontal,
sino que también actuó sobre el vertical. Prescindió de las comisas y abrió el
techo al cielo. Sus diseños eliminaron el apilamiento y la duplicación de las
cajas. En cambio, usó columnas y las integró al techo, creando así una
continuidad de las formas. Ahora el espacio, dentro y fuera de una estructura,
podía moverse en todas direcciones. La libertad de permitir que el espacio
entre y salga de una estructura es la esencia de la arquitectura orgánica. “Así,
la arquitectura orgánica es una clase de arquitectura en la que uno siente y ve
que todo esto ocurre como una tercera dimensión... el espacio vivo por medio de
la tercera dimensión”[50]
La gente siempre ha practicado juegos y resuelto acertijos. Los libros que
tratan el origen de los juegos dan numerosos ejemplos de juegos antiguos que
todavía se practican en la actualidad. En la ilustración, Ani, un escriba real
de la decimonovena dinastía, juega al senet observado por su esposa. El senet
era uno de los juegos más populares de esa época, y se lo practicaba en todos
los niveles sociales. Desafortunadamente, no existe documentación sobre la
manera exacta en que se jugaba, pero se ha establecido una posible versión
usando los descubrimientos arqueológicos.
Capítulo 6
El hechizo de la lógica, la recreación y los juegos
Los tres mosqueteros matemáticos
Contenido:
§. Cuentos matemáticos de misterio
§. Poner la lógica en acción
§. Los juegos a los que juegan los matemáticos
§. Algunas recreaciones matemáticas
§. Cuadrados mágicos y más recreaciones
§. El problema de los puentes de Königsberg actualizado
§. La manía por el tablero de ajedrez
§. Algunas antigüedades
La lógica es el arte de equivocarse con confianza.
Morris Kline.
Definitivamente la lógica y la matemática van de la
mano. Pero la mayoría de las personas no consideran matemáticos a los juegos.
Sin embargo, los juegos y las recreaciones son parte integral de la matemática.
El desarrollo de muchas ideas fue resultado de la obstinación por resolver
algún acertijo. Ciertas personas parecen empujadas por una fuerza invisible que
los lleva a resolver pasatiempos y problemas. Esas personas forman parte del
grupo que disfruta de la matemática y se sienten fascinadas por ella. Sin darse
cuenta, pueden pasar horas, e incluso días, explorando diferentes
ramificaciones de algo que ostensiblemente empezó como un sencillo pasatiempo.
La historia da testimonio de que a veces los acertijos, juegos y pasatiempos
han conducido a notables descubrimientos, e incluso a la creación de nuevos
campos de la matemática. En realidad, el famoso matemático griego Arquímedes
murió por estar absorto en un problema matemático. Las páginas que siguen
revelarán algunos de los juegos, acertijos y ejercicios de calistenia mental
que son favoritos de los matemáticos.
Hacia 212 a.C., Siracusa cayó ante los romanos. Arquímedes estaba en su casa
trabajando en un problema matemático. Cuando un soldado romano entró y le
ordenó que dejara de trabajar, no le prestó atención. Enfurecido, el soldado lo
mató con su espada.
§. Cuentos matemáticos de misterio
Los misterios matemáticos han existido durante
siglos. Algunos de los trabajos de Lewis Carroll entran dentro de esta
categoría. Desde hace algunos años, estos misterios han accedido al nivel
popular con libros tales como los escritos por Martin Gardner o las colecciones
de Sam Loyd y H. E. Dudeney.
Los problemas lógicos, como se verá a continuación,
también pueden ser embellecidos con relatos.
* * * *
El maestro empezó a leer:
Era una de esas semanas en el circo, en las que
todo parecía andar mal. Primero, uno de los caballos de las bailarinas
acróbatas se mancó. Después, el payaso principal tuvo un ataque porque el hijo
de la mujer gorda se metió con su maquillaje. Después Madre y su esposa
tuvieron una discusión por el trapecista. El golpe final fue cuando Madre fue
encontrado muerto en la carpa grande. Junto a su cuerpo estaba el bastón que el
hombre usaba ocasionalmente. Sobre la mesa se veía un vaso de agua volcado, y
cerca del cadáver se observaba una diminuta pila de aserrín.
El maestro dejó de leer y preguntó: “Bien, ¿qué
creéis que le ocurrió a Madre? ¿Cómo murió? Podéis hacerme cualquier pregunta
para que yo responda ‘sí’ o ‘no’. Así que poneos a pensar, y veamos adonde os
lleva la lógica”. De inmediato, empezaron a verse manos levantadas. Estas
historias lógicas siempre parecían tener éxito, incluso entre los estudiantes
más tímidos. Empezaron las preguntas y el drama de la muerte del circo inició
su desarrollo.
Un estudiante preguntó: “¿Qué hacía Madre en el
circo?”
“Recordad, sólo debéis formular preguntas cuya
respuesta sea sí o no”, les advirtió el maestro.
“¿Madre era el gerente?”, preguntó Carol. “No”.
“¿Había algún signo de violencia?” “No”, repitió el maestro.
“¿Había algo más cerca del vaso?” “Sí, había algo”.
“¿Es importante saber qué era?” “Sí”.
“¿Era un sándwich?”, espetó Bill. “No”.
“¿Era una píldora?, preguntó Tom. “Sí’.
“¿Murió porque no había tomado su medicina?”,
insistió Tom. “No, no exactamente”, dijo el maestro.
“¿Había un sacapuntas sobre la mesa?”, preguntó
Terri. “No”. “Tenemos que descubrir cómo murió”, dijo Terri a sus compañeros.
Los estudiantes empezaron a discutir la situación entre ellos, antes de seguir
adelante con las preguntas.
“Sabemos que estaba enfermo, ya que tenía que tomar
remedios.
Y sabemos que no sufrió una muerte violenta”, dijo
Tom, analizando la escena de la muerte.
“Así es. Debe haber muerto a causa de su
enfermedad”, dijo Gary.
Y en ese punto, formuló otra pregunta al maestro.
“¿Murió de un ataque cardíaco?” “Sí’.
“Bien, esta vez fue fácil resolverlo”, dijo Gary,
con tono jactancioso. Pero Bárbara lo interrumpió: “No hemos terminado, Gary.
No hemos descubierto la causa de su ataque cardíaco”.
“Seguro que sí, no tomó su remedio. ¿No es así,
señor Masón?”, preguntó Gary.
“Estás equivocado, Gary”, respondió el señor Masón.
Los estudiantes volvieron a conferenciar.
“¿Hemos tomado en cuenta todos los hechos iniciales
del caso?”, preguntó Terri a sus colegas.
“No”, dijo Bob, quien rara vez hablaba en clase.
“No hemos tomado en cuenta lo de la pila de aserrín, cuál era su trabajo en el
circo, lo del bastón, y lo de la esposa de Madre y el trapecista”.
“Tienes razón, Bob, tenemos que prestar atención a
todo eso”, dijo Terri con excitación. “El bastón, el aserrín, el ataque
cardíaco y los problemas maritales”, masculló Tom, pensando en voz alta. “¡Ya
lo tengo! El bastón y el aserrín van juntos. Por alguna razón, el bastón fue
cortado con un serrucho, y de allí salió la pila de aserrín”. “Sí”, respondió
el maestro. Tom continuó: “Tal vez Madre se alteró porque alguien arruinó su
bastón”. “NO”.
“¿Tal vez él no sabía que le habían acortado el
bastón?”, preguntó Bob.
“Así es”, replicó el señor Masón.
“Entonces, cuando se puso de pie sosteniendo el
bastón, se alteró mucho... ¿pero por qué?”, se preguntó Bob.
“¡Porque no era de su medida! ¡Él era demasiado
alto para ese bastón!”, gritó Carol.
La excitación de sentir que la solución estaba muy
cerca cundió entre los estudiantes.
“Hasta ahora, muy bien”, dijo el maestro,
incitándolos a continuar.
“¿Pero por qué pensar que había crecido pudo
alterarlo tanto?”, preguntó Gary a sus compañeros.
“Esta vez verdaderamente lo tengo”, exclamó Tom,
agitando una mano en el aire y conteniendo a duras penas su entusiasmo. “¡Madre
era una enano!”
La excitación de los alumnos era contagiosa. El
maestro gritó: “¡SI! ¿Qué más?”
Esta vez fue Terri quien alzó la mano. El maestro
le hizo un gesto de asentimiento, y ella empezó a resumir el relato.
“Madre era un enano. Su esposa y el trapecista le
serrucharon un pedazo del bastón, en un momento en que él no lo estaba usando.
Cuando fue a usarlo, resultaba demasiado corto para él. Madre pensó que estaba
creciendo, y eso agravó su problema cardíaco. No llegó a tomar su remedio a
tiempo. ¿Qué le parece esto, señor Masón?”
“¡Así es! ¡Han hecho un gran trabajo esta vez! Tal
vez no lo consigáis con el que os daré la semana próxima”, respondió el maestro
mientras sonreía.
* * * *
He aquí dos problemitas lógicos para probar con los
amigos.
1. Eric entró a un bar, le pidió al camarero un
vaso de agua. El camarero lo miró por un momento, después extrajo un revólver y
apuntó a Eric. Eric se sobresaltó un instante, luego dijo “muchas
gracias” y se fue del bar sin haber bebido su vaso de agua. ¿Qué es lo
que ocurrió?
2. Cuando Mary llegó a casa fue a la cocina. Soltó
de repente un grito, al descubrir a su esposo muerto en el suelo. Junto a él se
veía el agua de un recipiente que había estado sobre la mesa y que ahora estaba
caído en el piso. La ventana que estaba sobre la mesa de la cocina estaba
entreabierta. ¿Qué había ocurrido?
Soluciones
1. Mientras caminaba por la calle, Eric sufrió un
terrible ataque de hipo. Entró al bar para tomar un vaso de agua y ver si así
podía cortar su acceso. El camarero, al advertir el problema de Eric, pensó que
podría cortarle el hipo con un susto. ¡Y lo logró!
2. El esposo de Mary había muerto muchos años
atrás. Ella guardaba sus cenizas en una urna, sobre la mesa de la cocina.
Además, sobre la mesa había una pecera con un pececito dorado. Mary había
dejado la ventana de la cocina abierta ese día. El gato de su vecina había
entrado y, al tratar de cazar el pez, había hecho caer la pecera y la urna. Las
cenizas de su esposo estaban esparcidas en el piso.
§. La lógica en acción
Ilusión volumétrica rectangular
Nuestros ojos se desorbitan con este acertijo. Hay
que determinar cuántos bloques de 2×1×1 forman esta estructura.
Solución
Hay sesenta y un bloques de 2×1×1 en la estructura.
Lo imposible es posible
¿Cómo es posible quitar el cordón con dos botones
de la trampa de papel sin quitar los botones del cordón, sin cortar el cordón y
sin rasgar el papel?
Solución
El centro del triángulo de Reuleaux es la
intersección de las medianas del triángulo equilátero: puede atravesar ese
centro con un lápiz y usarlo como eje. El triángulo de Reuleaux también puede
ser inscripto en un cuadrado: cuando se lo coloca dentro de uno que lo
circunscribe exactamente, rota mientras los tres vértices tocan los lados del
cuadrado sin dejar intersticios. Esta propiedad es aprovechada en el motor
Wankel, usado en los autos Mazda, en los que el cuadrado es la cámara de
compresión y el triángulo de Reuleaux es el pistón.
Un acertijo puede ser un punto de giro
Simeon Poisson (1781-1840) tenía dificultades para
encontrar una carrera que se adecuara a él. Su familia lo instaba a estudiar
medicina o leyes, pero parecía carecer del talento y del deseo necesarios.
Aparentemente, fue un acertijo el que lo encaminó. Según la historia, mientras
hacía un viaje alguien le dio un acertijo similar al que aquí presentamos, y
que resolvió con facilidad. Así advirtió que tenía aptitud e interés por las
cosas matemáticas, y descubrió que deseaba dedicarse a su estudio. Fue famoso
por sus trabajos en mecánica celeste, electricidad y magnetismo, y por su
descubrimiento sobre aplicaciones de las integrales y de las series de Fourier.
Además, estudió la teoría de la probabilidad y descubrió la distribución de
Poisson.
El lechero tenía dos tarros de leche de diez
cuartos de galón cada uno. Dos clientes quieren en sus recipientes dos cuartos
cada una. Una tiene un recipiente de cinco cuartos y la otra tiene un
recipiente de cuatro cuartos. ¿Cómo hace el lechero para resolver el problema?
Esta versión del problema fue creada por Sam Loyd.
Solución
¿Es posible?
Usando tan sólo una regla en la que pueden estar
indicadas las distancias, ¿es usted capaz de biseccionar el ángulo dado, y
demostrar por qué está biseccionado?
Solución
Marque 4 puntos en los lados del ángulo, como se
indica en la ilustración, y únalos mediante dos segmentos. El punto de
intersección de los segmentos y el vértice del ángulo determinan la línea que
lo bisecciona.
Se prueba que ∠1 ≡ ∠2 demostrando primero que Δ ABC ≡ Δ ADE (dos lados iguales y un ángulo
común) → ∠ B ≡ ∠ D→ Δ BEP ≡ Δ DCP (un lado y dos ángulos iguales) → BP ≡ DP → Δ BPA ≡ Δ
DPA (tres lados iguales) → ∠1 ≡ ∠2.
¿Puede hacer un cuadrado latino?
Si ningún número se repite en una fila o columna de
un cuadrado de 18 fichas de dominó, se lo denomina cuadrado latino.
El cuadrado que aquí presentamos no es un cuadrado
latino, ya que los números se repiten en algunas de las filas o columnas. Por
ejemplo, en la fila superior hay dos 6 y dos 4, y en la columna de la derecha
hay dos blancos y dos 4. Usted debe reacomodar estas fichas para formar un
cuadrado latino.
Solución
§. Los juegos a los que juegan los matemáticos
El juego del caos
1. Dibuje tres puntos en una hoja y márquelos
(1,2); (3,4); (5,6)
2. Elija arbitrariamente un punto de partida.
Arroje un dado.
3. Regla: cubra ½ de la distancia entre el punto de
partida y el punto que tenga el número que ha salido en el dado que arrojó.
4. Repita indefinidamente el paso 3.
No es la primera vez que el azar termina por
conformar algún tipo de orden. El conde Buffon, un naturalista francés del
siglo XVIII, demostró que π está relacionado con la probabilidad. Por ejemplo,
en 1904 R. Chartres determinó que la probabilidad de que dos números escritos
al azar fueran primos, es de 6/π2. Michael Bamsley fue el primero
que imaginó usar al azar como base del modelado de formas naturales. Así,
inventó el juego del caos. Hay muchas maneras de jugar a este juego.
Por ejemplo, se puede emplear una moneda o un dado
para generar un suceso aleatorio. Además, las reglas son flexibles. La versión
que presentamos arriba usa tres puntos fijos, uno al azar y un dado. El diseño
resultante es asombroso. ¡Un proceso caótico produce orden!
Otra variante es elegir al azar la localización de
un punto. Se establece una regla para cuando una moneda caiga cara (por
ejemplo, avanzar dos unidades hacia la derecha) y otra para cuando caiga cruz.
Empiece a tirar la moneda y vea qué ocurre.
Además de descubrir que el límite de un proceso
aleatorio (siguiendo un conjunto de reglas) produce fractales, Bamsley también
usó este método para producir formas: si se eligen las reglas adecuadas, toda
forma puede representarse mediante el juego del caos.
El viejo juego matemático de la ritmomaquia
La ritmomaquia puede ser un juego muy matemático.
Cuando se juega en niveles avanzados, resultan esenciales una buena comprensión
de la teoría de los números, y una poderosa estrategia. El juego de la
ritmomaquia se remonta al siglo XI d.C., y posiblemente tuvo su origen en
Bizancio o en Alejandría. Durante la Edad Media, la ritmomaquia se convirtió en
el juego elegido, y entre los intelectuales era considerado superior al
ajedrez.
Disposición física del juego
El tablero es rectangular, y está compuesto de 8x16
casillas cuadradas. Se emplean piezas con forma de círculos, cuadrados,
triángulos y seudopirámides. Un jugador tiene piezas blancas, llamadas pares, y
el otro tiene piezas negras, llamadas impares. Cada jugador tiene ocho
círculos, ocho triángulos, siete cuadrados y una pirámide. La pirámide blanca
tiene seis caras, cuyos números suman 91, y está compuesta de dos triángulos
(uno con el número 4 y otro con el número 1), dos círculos (con 36 y 25), y dos
cuadrados (con 16 y 9). La pirámide negra tiene cinco caras cuyos números
totalizan 190, y está compuesta por dos triángulos (con los números 36 y 25),
dos cuadrados (con los números 64 y 49) y un círculo con el número 16. La forma
de la pieza indica el número de casillas que una pieza puede desplazarse. Por
ejemplo, el cuadrado puede desplazarse cuatro casillas consecutivas vacías en
cualquier dirección, el triángulo se desplaza tres, el círculo se desplaza uno,
y la pirámide puede moverse como círculo, triángulo o cuadrado según la cara
que esté empleando. Al empezar el juego, las piezas se disponen de la manera
que se ilustra en la página opuesta.
Objetivo del juego
El objetivo del juego es capturar las piezas del
adversario y hacer ciertas combinaciones de números que constituyen una
victoria.
Cómo capturar las piezas del adversario
Las piezas se capturan por medio de movidas
potenciales o de movidas reales. Los métodos de captura son:
1. Captura por asedio. Se realiza
rodeando a la pieza del adversario por los cuatro costados. Entonces esa pieza
se quita del tablero.
2. Captura por encuentro. Si se
mueve una pieza el número correspondiente de casillas y esa pieza cae sobre una
pieza del adversario, se quita la pieza enemiga sin mover en realidad la propia
pieza. Por ejemplo, si el triángulo blanco #25 avanza 3 espacios y cae sobre el
círculo negro #81, se quita el círculo negro #81 sin mover verdaderamente el
triángulo blanco #25.
3. Captura por ataque. Si el valor
numérico de una pieza se multiplica por el número de casillas que debe
desplazarse para caer junto a una pieza enemiga cuyo número es igual a dicho
producto, el jugador captura la pieza del adversario sin hacer el movimiento.
Por ejemplo, un círculo blanco #4 captura el cuadrado negro #28 si hay siete
espacios entre ambas piezas.
4. Emboscada. Si dos piezas de un
jugador pueden moverse hasta quedar a ambos lados de una pieza enemiga, y si la
suma de esas dos piezas es igual al número de la pieza enemiga, entonces el
jugador captura la pieza enemiga. Por ejemplo, si el triángulo negro #12 puede
ser rodeado por los círculos blancos #4 y #8, el triángulo negro #12 es quitado
del tablero sin que las otras dos piezas se muevan verdaderamente.
Es difícil capturar una pirámide, ya que hay que
usar los números 91 y 190, a menos que la captura se realice por asedio o si el
cuadrado base (el #36 o el #64) es capturado cuando es la base. Si una de las
caras de la pirámide está amenazada por medio de algunos de los métodos de
captura, se puede cobrar un rescate bajo la forma de una pieza enemiga que
tenga un valor igual al de la cara amenazada, o cuyo valor sea al menos
aceptable.
Los jugadores deciden antes de iniciar el juego
cuál será la victoria o final del juego. He
aquí algunas maneras posibles de terminar el juego. Algunas son simples, en
tanto otras son bastante complejas.
Maneras posibles de terminar el juego, es decir, de
obtener una victoria.
1. De corpore. Los jugadores
acuerdan el número de piezas a capturar, número que declarará ganador al
jugador que lo obtenga primero.
2. De bonis. Los jugadores
acuerdan un número tope. Si la suma de los valores numéricos de las piezas
capturadas por un jugador iguala o excede el número acordado, ese jugador es el
ganador.
3. De lite. En este caso ganar
depende del total del valor numérico de las piezas y del número total de
dígitos de las piezas. Por ejemplo, si se ha acordado un valor de 160 con sólo
6 dígitos, el jugador que haya capturado las piezas 120, 9 y 30 ganará, mientras
que el jugador que tenga 56, 64, 28 y 15 no ganará (porque esas piezas
totalizan 8 dígitos).
4. De honore. En este caso ganar
depende del número de piezas y de su valor numérico. Por ejemplo, puede
acordarse que 5 piezas que sumen exactamente 160 serán ganadoras. Resulta
evidente que los jugadores deben estar familiarizados con los valores numéricos
de sus piezas y con sus diversas sumas.
5. De honore liteque. Esta manera
de ganar requiere que se satisfagan tres condiciones: un valor numérico
específico, un número específico de piezas, y un número específico de dígitos
de las piezas.
Las victorias que siguen están destinadas a
jugadores expertos, e implican progresiones aritméticas, geométricas y
armónicas. Se pueden usar las piezas de ambos jugadores, pero al menos una debe
ser del adversario.
6. Victoria magna. Hay que
disponer tres piezas capturadas en progresión aritmética, geométrica o
armónica. Por ejemplo, progresión aritmética: 2, 5, 8; progresión geométrica:
36, 49, 64; progresión armónica: 6, 8, 12.
7. Victoria mayor. Requiere
desplegar cuatro piezas que puedan combinarse para formar dos de tres
progresiones posibles. Por ejemplo, las piezas de valor 2, 3, 4 y 8 dan la
progresión aritmética 2, 3, 4 y la progresión geométrica 2, 4, 8. Adviértase
además que 2, 4 y 8 son piezas blancas, en tanto 3 es una pieza negra.
El juego del Hex
El juego del Hex fue inventado en 1942 por Piet
Hein.
El tablero está formado por hexágonos: once en cada
dirección. El primer jugador no puede jugar su pieza en ninguno de los
hexágonos grises de la ilustración. Después del primer movimiento, sí se puede
mover sobre ellos. Los jugadores juegan por turno.
Objetivo: Cada jugador coloca alternativamente una
pieza, tratando de abrirse camino hacia el lado opuesto. El primer jugador que
lo logra es el ganador.
Mosaicos de Penrose convertidos en dominós
Los mosaicos flecha y cometa fueron descubiertos
por el físico-matemático inglés Roger Penrose en 1974. Estos mosaicos pueden
cubrir un plano de manera muy especial ya que producen un número infinito de
teselados no periódicos (no hay ningún diseño básico que se repita de manera
regular, desplazándose hacia arriba o hacia abajo en el plano). Jugar al dominó
con esos mosaicos es un desafío, que además produce algunos diseños muy
interesantes.
Construya los mosaicos de la siguiente manera:
Nota: φ es la proporción áurea, que es igual a (1+√5)/2 = 1.618…
Cada mosaico se divide con una línea en dos
triángulos, que pueden tener uno, dos, tres o ningún punto. Como en los
dominós, sólo los lados con igual cantidad de puntos pueden tocarse.
Ahora intente jugar. Es posible que desee aumentar
el número de puntos y ver cómo se desarrolla el juego.
§. Algunas recreaciones matemáticas
Jugando con polihexas
Los poliominós se forman reuniendo cuadrados
congruentes.
Los polihexas son otro grupo de divertidos objetos
matemáticos, que se forman uniendo hexágonos congruentes.
He aquí las configuraciones de hasta 4 piezas
(tetrahexas)
¿Cuál de las tres formas siguientes puede teselarse
usando uno de cada uno los siete tetrahexas que aparecen en la ilustración
anterior? ¡Que se divierta!
Solución
El triángulo es la única figura que no puede
construirse con los polihexas.
Cómo hacer un hexa-tetraflexágono
Los flexágonos son un maravilloso entretenimiento
matemático que puede divertir a personas de todas las edades. Además, quienes
deseen algo más que un mero entretenimiento pueden profundizar en la matemática
de los flexágonos. He aquí cómo construir un hexa-tetraflexágono, que tiene
seis caras y cuatro lados.
Vista de frente y Vista de atrás
Paso 1. Empezando por el frente, plegar los 3
adyacentes entre sí. Hacer lo mismo con los I adyacentes. La figura resultante
se verá como en la ilustración.
Paso 2. Plegar entre sí los 2 adyacentes. En un lado
aparecerá esta disposición de números.
Paso 3. Doblar por la línea que separa al 4 invertido
del 5 invertido, llevando la parte inferior hacia atrás. Colocar el 4 que se
encontraba en la parte inferior sobre el 4 superior.
La forma resultante es un cuadrado con el número 6
(invertidos) de un lado y el 5 del otro lado. Una el borde externo de los 6 y
los 5 con un pedazo de cinta. Dé vuelta y pliegue el lado de 5 por el centro.
¿Puede encontrar todas las caras con 6?
Disecciones geométricas y el acertijo de los
triángulos de Curry
Los problemas de disección geométrica suelen ser
fascinantes. Algunos, como este conocido acertijo de Sam Loyd, crean una
situación paradójica.
Izquierda: Superficie = 8×8 = 64 cuadrados. Derecha: Superficie = 13×5 = 65
cuadrados
Paul Curry revisó esta paradoja de tal modo que
cortar y reacomodar las partes diera como resultado una figura similar con un
agujero en el interior. Así funciona en el caso del siguiente triángulo.
La superficie del triángulo original es de 60
cuadrados. La del triángulo rearmado es de 58 cuadrados. Sin embargo, sumando
las superficies de cada una de las piezas obtenemos un total de 59 cuadrados.
Por lo tanto, el agujero es de una unidad cuadrada.
Supongamos que un lado del triángulo esté sombreado
y el otro no. Córtelo. Delo vuelta y reacomode las partes sombreadas como se ve
en la ilustración. Supuestamente es un triángulo de la misma medida, pero tiene
un agujero en el centro. ¿Cuál es la explicación?
Solución
Cuando se calculan las otras partes faltantes
empleando triángulos similares, los resultados crean secciones que se
superponen en algunos lugares y dejan brechas en otros.
La transformación del cuadrado
Determine la manera de cortar esta forma en tres
piezas con dos cortes rectos, de modo que las tres piezas puedan reacomodarse
para formar un cuadrado.
Solución
El acertijo de la letra de imprenta mayúscula
Corte estas piezas, o reacomódelas mentalmente.
Algunas de ellas deberán ser rotadas, invertidas o trasladadas. Todas juntas,
forman una letra mayúscula del alfabeto. ¡Buena suerte!
Solución
§. Los cuadrados mágicos y otras recreaciones
Jugando con los cuadrados mágicos
No haré problemas ya que rápidamente todos
aceptarán que el cuadrado de 16 es el más mágicamente mágico de todos los
cuadrados mágicos creados por los magos.
Benjamín Franklin
Imagine la formación de números en un cuadrado con
propiedades especiales. Para muchas personas del pasado estos cuadrados de
números poseían cualidades o poderes mágicos. El registro más antiguo que habla
de un cuadrado mágico apareció en China alrededor del 2200 a.C., cuando un
cuadrado mágico numérico de 3×3, llamado lo-shu, fue visto por
el emperador Yu en la caparazón de una tortuga divina en las riberas del río
Amarillo. En el siglo IX d.C., en Egipto, se echaban manchas de tinta sobre una
bandeja de plata que tenía grabado un cuadrado mágico, y las formas se leían
del mismo modo en que las adivinas leen las hojas de té. En el siglo VIII d.C.,
algunos alquimistas creían que estos cuadrados tenían la clave de la
transmutación de los metales en oro. Los cuadrados mágicos islámicos con
frecuencia tenían significados especiales cuando estaban dispuestos para usar
las letras que representaban números. Los árabes usaron diferentes
disposiciones del cuadrado mágico de 3×3 para representar los signos del fuego,
el agua, la tierra y el aire. Por añadidura, cada planeta tenía un cuadrado
mágico asociado a él, y por ello eran empleados en los trabajos astrológicos.
Estos cuadrados “místicos” se utilizaban de diversas maneras: se los colocaba
sobre el vientre de una mujer en trabajo de parto, se los bordaba en las ropas
de los soldados, se los colocaba en la fachada de un edificio como protección,
y se los usaba como amuletos que traían suerte o como agentes curativos.
El cuadrado mágico anterior es una transformación
para incluir el año en que se escribió este libro (1994) en él. Se empezó a
partir de un cuadrado mágico de 3×3, cuyos números se multiplicaron por 15.
Finalmente, se le sumó 4 a cada número.
A lo largo de los siglos, se han descubierto y
desarrollado muchas propiedades y métodos de construcción.
He aquí algunas propiedades:
1. Cada fila, columna y cada diagonal de esquina a
esquina suman el mismo número. Cada cuadrado mágico tiene una constante mágica
que puede obtenerse de las siguientes maneras:
a. El orden de un cuadrado mágico está dado por el número de filas o
de columnas que posee. Un cuadrado mágico compuesto de números naturales 1, 2,
3, ... n2 tiene una constante mágica de (½)(n(n2+1))
en la que n es el orden del cuadrado. En general, si i es
el término inicial y b la cantidad que crece cada término, la
constante mágica es igual a
i×n + b(n/2)(n2 –
1)
b. Tome cualquier cuadrado mágico y, empezando
desde la esquina superior izquierda, coloque los números en secuencia en cada
fila. La suma de los números de una de las diagonales será la constante mágica.
2. Dos números cualesquiera (de una fila, columna o
diagonal) que sean equidistantes del centro son complementarios (2 números cuya
suma es igual a la suma del número más grande y el número más pequeño del
cuadrado).
3. Hay muchas maneras de transformar un cuadrado
mágico existente en un nuevo cuadrado mágico.
a. Cualquier número puede ser sumado a, o
multiplicado por todos los números de un cuadrado mágico; de ese modo se creará
un nuevo cuadrado mágico.
b. Si se intercambian dos filas o dos columnas
equidistantes del centro, el cuadrado resultante seguirá siendo mágico.
c. Intercambiando cuadrantes (es decir, cuartos de
cuadrado) en un cuadrado mágico de orden par.
d. Intercambiando cuadrantes parciales en un
cuadrado mágico de orden impar.
Hay muchos métodos que se pueden emplear para
construir cuadrados mágicos. Algunos de ellos son:
1. Para cuadrados de orden impar: a. el
método de la escalera (de De la Loubére); b. el método de la
pirámide; c. el método del trayecto del caballo para el caso
de orden impar mayor de 3×3; d. el método del 1705 de Philip
de la Hire.
2. Para cuadrados de orden par: a. el
método de reemplazo de la diagonal para uno de 4×4; b. el
método de la diagonal para 8×8.
3. Para un cuadrado mágico de cualquier orden: Los
métodos que existen son muy complejos y tortuosos. Uno de ellos usa los bordes
y fue desarrollado por B. Frénicle.
Considerando la prolongada historia de los
cuadrados mágicos, no resulta sorprendente que se haya escrito más sobre ellos
que sobre cualquier otra recreación matemática. Algunas personas han pasado
horas, días y hasta meses desarrollando métodos para crear cuadrados mágicos,
descubriendo sus propiedades, desarrollando nuevas ideas, y jugando con su
magia. Entre la vasta lista encontramos: el supercuadrado mágico de 16×16 de
Benjamín Franklin; el mago[51] del cuadrado mágico, que puede crear cualquier cuadrado mágico de
3×3 con cualquier número inicial de manera casi instantánea; las líneas mágicas
(segmentos que conectan los números consecutivos de un cuadrado mágico),
deslumbrantes diseños que también se usan para clasificar los cuadrados en
simétricos y asimétricos; círculos mágicos, cubos, hexágonos, estrellas,
esferas y cuadrados mágicos de dominó, cuadrados mágicos de números primos,
cuadrados mágicos pan-diagonales. Y la lista crece a medida que más personas
quedan atrapadas por la seducción del tema.
Este es el supercuadrado mágico de Benjamín Franklin, de 16×16. Tiene todas
las propiedades del cuadrado mágico corriente, salvo que la suma en diagonal no
totaliza la constante mágica, 2056. Pero tal como lo ilustra el diagrama, la
constante mágica aparece de muchas maneras diferentes, como por ejemplo en las
diagonales interrumpidas en 8, en las filas paralelas quebradas de 8 casillas,
en cualquier cuadrado de 4×4, y tal vez usted pueda descubrir más. En la
publicación de 1952 del Instituto Franklin, Albert Chandler afirma que este
cuadrado mágico no es original de Franklin, sino uno que fue compuesto
incorrectamente por un impresor.
El rol de los cuadrados mágicos ha cambiado de
manera significativa con el transcurso de los siglos. En la actualidad se los
considera una recreación matemática fascinante.
El círculo mágico de Benjamín Franklin
Benjamín Franklin era un apasionado de los
cuadrados mágicos. En realidad, cuando era empleado del Consejo de
Pennsylvania, solía aliviar el tedio de su trabajo haciendo círculos mágicos.
En su círculo mágico, los números situados sobre el radio del círculo más
grande suman todos el mismo número, y también ocurre lo mismo con los números
que caen entre los círculos entrelazados.
Leonhard Euler y el trayecto del caballo
Este maravilloso cuadrado mágico fue creado por
Leonhard Euler en el siglo XVIII. Como en casi todos los cuadrados mágicos, sus
filas, columnas y diagonales suman el mismo número, en este caso 260.
Por añadidura, hay cuatro cuadrados dentro de él,
cuyas filas y columnas suman cada una 130. Pero aún más fascinante es la manera
en que una pieza de ajedrez, el caballo, empezando por el 1, puede recorrer en
orden todos los números del cuadrado, desde 1 a 64, simplemente siguiendo los
movimientos permitidos a esa pieza.
El problema de los puentes de Königsberg
actualizado
La ciudad de Königsberg fue fundada por los
Caballeros Teutones en 1308, y sirvió de avanzada oriental del poder alemán
durante más de 400 años. Después de la Segunda Guerra Mundial se la llamó
Kaliningrado, y se convirtió en la base naval más importante de la U.R.S.S..
Actualmente Königsberg está situada entre Polonia y Lituania.
Uno de los tres puentes originales de Königsberg.
¿Cómo se ven en la actualidad los siete puentes de
Königsberg? ¿La gente todavía intenta descubrir el trayecto imposible? Primero,
recordemos el problema de los puentes de Königsberg...
A lo largo de los siglos, el problema de los
puentes de Königsberg ha proporcionado mucho entretenimiento y ha sido fuente
de interés matemático. El problema se remonta al siglo XVIII. El escenario era
la ciudad de Königsberg, situada junto al río Pregel. Las dos islas que estaban
sobre el río eran parte de la ciudad, y estaban conectadas a ella por medio de
siete puentes. Una deliciosa tradición se había establecido entre los
pobladores: la de hacer una caminata dominical pollas riberas y las islas de la
ciudad, mientras intentaban descubrir un camino que atravesase los siete
puentes sin cruzar dos veces ninguno. Aunque en esa época esta actividad era
considerada un entretenimiento divertido, un matemático suizo descubrió y
desarrolló otro aspecto del pasatiempo. Leonhard Euler (1707-1783) conoció el
problema cuando se encontraba en San Petersburgo, al servicio de Catalina la
Grande de Rusia.
En 1735, Euler presentó un trabajo a la Academia
Rusa que en realidad era mucho más amplio, y tenía una importancia mayor para
la matemática que la simple resolución del problema de los puentes. Con ese
trabajo puso en marcha ideas que desembocaron en la creación del campo de la
topología. A diferencia de la geometría euclidiana, que se ocupa del tamaño, de
la forma y de objetos rígidos, la topología es una clase de geometría que
estudia las propiedades de los objetos que no cambian aunque se distorsionen el
tamaño y la forma. Por ejemplo, si un triángulo se distorsiona hasta
convertirse en un cuadrado o en un círculo, la topología estudia cuáles son las
propiedades de ese objeto que permanecen inalteradas. Con los puentes de
Königsberg, Euler transformó y simplificó un entorno físico en un diseño
matemático (llamado grajo o red) que abarcaba
y simplificaba el problema. A cada parte de la ciudad que llegaban los puentes
le asignó un punto o vértice, e ilustró cada puente con un arco o línea.
Concluyó que el problema de cruzar los siete puentes sin recorrer ninguno dos
veces era comparable a hacer un trazo continuo sobre la red con un lápiz sin
levantar nunca la punta. Euler identificó cada vértice como punto par o impar,
según la cantidad de líneas que concurriesen a él. Advirtió que un punto par se
creaba atravesando el vértice o empezando y terminando el
trayecto en ese punto. Uno impar, por otra parte, se creaba si era punto
inicial o terminal del trayecto. Así, cualquier grafo trazable
sin recorrer dos veces una línea, sólo podía tener cero o dos vértices impares:
0 si todos los puntos eran pares o 2 si uno era punto inicial y el otro punto
terminal. Por añadidura, Euler infirió que si el gráfico tenía un número par de
vértices impares, digamos 10, para trazarlo completo habría que levantar el
lápiz la mitad de ese número, es decir, 5 veces. En su disertación señala que
el problema era de naturaleza geométrica, pero que la geometría euclidiana no
parecía aplicable, ya que no se ocupaba de “magnitudes” ni podía resolverse por
medio de “cálculos cuantitativos”. En cambio, el problema pertenecía a la
“geometría de posición”, como Wilhelm von Leibniz designó inicialmente a la
topología. Así, la solución de Euler del problema de los puentes de Königsberg
actuó como catalizadora e introductoria al campo de la topología.
Los puentes de Königsberg en el siglo XVIII
Tal como se ve en la ilustración, cada uno de los
siete puentes tenía un nombre específico, probablemente relacionado con lo que
había de ese lado del puente. En la actualidad sólo tres de los siete puentes
originales sobreviven: el de Miel, el Alto y el de Madera. Se ha construido un
nuevo puente que conecta las dos orillas, como se ve en la ilustración
inferior, que pasa por encima de la isla de Kneiphof.
Los puentes de Königsberg en la actualidad
Los guías turísticos suelen relatar la historia del
problema. Algunos incluso alegan que no ha sido resuelto. Si se dibuja una red
actualizada de los puentes de Königsberg, el nuevo problema pierde atractivo.
Si el nuevo puente tocara la isla, la red sería más interesante.
Desafortunadamente, los siete puentes de Königsberg son tan sólo historia, pero
el legado que dejó este problema no se destruye con tanta facilidad como los
puentes. La brillante solución de Euler sigue siendo una parte importante del
desarrollo de la topología.
Agradezco especialmente la información actualizada
y las fotografías a Art Cooley, y a Ron Crittenden por señalármelo.
§. Tableromanía
Miles de años atrás, los egipcios se entretenían
con juegos de tableros con escaques. Sin embargo, el moderno juego de damas se
remonta a principios del siglo XII en Europa. Utilizaba el mismo tablero que el
ajedrez, piezas como las del backgammon, y seguía la línea del juego
llamado alquerque en cuanto a movimientos y número de piezas.
El tablero en sí mismo plantea una cantidad de problemas que han sido
desarrollados en el transcurso de los años.
Cubrir el tablero con fichas de dominó
Si se retiran dos casillas situadas en vértices
opuestos de un tablero de ajedrez, ¿es posible cubrir el resto con fichas de
dominó? Supongamos que la ficha de dominó tiene el tamaño de dos casillas
adyacentes del tablero. Los dominós deben colocarse acostados, está prohibido
apilarlos, y no es necesario que dominós vecinos tengan la misma cantidad de
puntos en las caras.
Solución
No es posible cubrir el tablero con fichas de
dominó. Cada ficha debe ocupar un cuadrado negro y uno blanco. Como las
casillas sacadas en ambas esquinas son del mismo color, no queda un número
compatible de cuadrados blancos y cuadrados negros en el tablero.
Dividir el tablero con un solo corte
Empleando su capacidad de visualización y sus
técnicas de plegado, halle la manera de hacer un solo corte recto que permita
dividir el tablero en cuadrados de 2×2, como el que aquí se muestra.
Solución
Los cuadrados de un tablero de ajedrez
Las 8 filas y las 8 columnas de cuadrados blancos y
negros que componen un tablero de ajedrez pueden agruparse en cuadrados de
diferentes tamaños. Estos cuadrados tienen dimensiones que oscilan entre 8×8 y
1×1. ¿Cuántos cuadrados de diferentes medidas pueden encontrarse en un tablero
de ajedrez?
Solución
Hay:
1 cuadrado de tamaño 8×8,
4 cuadrados de tamaño 7×7,
9 cuadrados de tamaño 6×6,
16 cuadrados de tamaño 5×5,
25 cuadrados de tamaño 4×4,
36 cuadrados de tamaño 3×3,
64 cuadrados de tamaño 1×1,
haciendo un total de 204 cuadrados.
Dos acertijos de tablero de ajedrez de Sam Loyd
El especialista Sam Loyd llamó a este
acertijo El acertijo de la señora Pitágoras. Usted debe idear
un método para cortar el material a cuadros en tres piezas que unidas produzcan
un cuadrado de 13×13 que conserve el diseño y la dirección del material.
Solución
Este acertijo de Sam Loyd fue llamado Una
batalla real. Reacomode las 8 piezas de manera que formen un tablero
de 8×8.
Solución
§. Algunas antigüedades
Fuera de la Tierra, de Sam Loyd
Este acertijo de Sam Loyd es uno de los más
populares que jamás existieron. Loyd lo patentó en 1896 y vendió más de 10
millones de ejemplares.
El acertijo estaba hecho con un disco circular
móvil que hacía rotar la tierra. ¿Puede usted descubrir qué le ocurre al
guerrero número 13, que desaparece cuando la esfera es rotada de NE a NW?
La batalla de los cuatro robles, de Sam Loyd
Hay cuatro robles en línea en un campo cuadrado.
Divida el campo en cuatro partes de modo que cada parte tenga el mismo tamaño y
la misma forma y que contenga un roble.
Solución
El peso de un ladrillo, de Sam Loyd
Si un ladrillo se equilibra con tres cuartos de un
ladrillo y tres cuartos de libra, ¿cuánto pesa el ladrillo?
Solución
Una manera de encarar el problema es agregar tres
ladrillos más al platillo de la izquierda. Para balancear los pesos,
multiplique por cuatro las cosas que hay en el platillo derecho. Esto es:
cuatro ladrillos en la izquierda pesan igual que tres ladrillos y tres libras.
De allí se obtiene la ecuación 4L = 3L+3. Otra manera es derivar la ecuación de
la ilustración: B = (¾)B + (¾), y despejar B.
¿Qué queda en las cajas de caramelos?
Por algún motivo las etiquetas de estas cajas de
caramelos se mezclaron de manera que ahora ninguna etiqueta indica
correctamente el contenido.
¿Cuál es el número mínimo de caramelos que usted
debe sacar de la caja o cajas para determinar qué etiqueta corresponde a cada
caja?
Solución
Sólo debe probar un caramelo de la caja con la
etiqueta 2 de chocolate y 1 de crema. Si es de chocolate, sabe
que no puede tener 2 de chocolate y 1 de crema porque las etiquetas están mal
colocadas. Por lo tanto, debe tener 3 de chocolate. Como todas las etiquetas
están equivocadas, esto significa que la caja que dice 3 de chocolate tiene
3 de crema. Si, en cambio, el caramelo que sacó es de crema, sabe que la caja
debe contener 3 de crema, y la caja con la etiqueta 3 de chocolate tiene
2 de chocolate y 1 de crema.
El acertijo de los dos relojes, de Lewis Carroll
¿Cuál es mejor, un reloj que da la hora correcta
una vez por año o un reloj que da la hora correcta dos veces por día?
Solución
¿Cuál es mejor, un reloj que da la hora exacta una
sola vez al día, o uno que la da dos veces? “El último,” responde usted,
“definitivamente”. Bien, ahora preste atención.
Tengo dos relojes: uno no funciona y el otro atrasa un minuto diario. ¿Cuál
preferiría? “El que atrasa,” responde usted, “sin dudas”. Ahora observe: El que
atrasa un minuto diario tiene que perder doce horas, o setecientos veinte
minutos, antes de dar nuevamente la hora exacta. En consecuencia, sólo da la
hora exacta una vez cada dos años, mientras que el otro lo hace siempre que sea
la hora en la que están detenidas las agujas, lo que sucede dos veces al día.
Lewis Carroll
El acertijo de Tartaglia
Niccolo Tartaglia, matemático italiano del siglo
XVI, es famoso por su descubrimiento de la solución de la ecuación cúbica
general (1535). También escribió los tres volúmenes del Trattato
generale di numeri et misure (Tratado general de números y medidas),
1556-1560. Por añadidura, fue el primero en traducir los Elementos de
Euclides a una lengua occidental moderna (1543). He aquí un famoso acertijo
matemático ideado por él:
Tres parejas de recién casados llegan a la orilla
de un río que deben cruzar en un pequeño bote, pero el bote sólo puede embarcar
a dos personas por vez. Cada uno de los tres esposos es celoso y muy protector
de su bella novia. Para resolver la situación, deciden que ninguna mujer
quedará sola con un hombre si su esposo no está presente.
¿Cómo hacen las parejas para cruzar a la otra
orilla del río? ¿Cuál es el número mínimo de viajes?
Solución
Se requieren 11 cruces. Representando a los hombres
por una H y a las mujeres por una M, los
cruces son:
Nota bibliográfica
Los lectores interesados en los temas tratados en
esta obra pueden consultar los siguientes libros publicados en esta colección:
· La Magia de la Matemática, por Theoni Pappas.
Similar en espíritu al presente, este libro contiene secciones dedicadas a los
números, a la matemática de las cosas cotidianas, y a la matemática en el arte
y en la naturaleza.
· El idioma de los Espías, por Martin Gardner. Una
completa descripción de los métodos usados para enviar mensajes cifrados.
· Las Esferas Doradas y Otras Recreaciones
Matemáticas, por Joseph S. Madachy. Contiene capítulos dedicados a los
cuadrados mágicos y a los Hexágonos.
· Círculos Viciosos y Paradojas, por P. Hughes y G.
Brecht. Paradojas lógicas y visuales, incluyendo un análisis de la paradoja de
Russell.
· Los Acertijos de Sam Loyd y Nuevos Acertijos de Sam
Loyd, editados por Martin Gardner. La fuente de donde se extrajeron varios de
los problemas del último capítulo de este libro.
· El Acertijo del Mandarín y Los Gatos del Hechicero,
por Henry E. Dudeney. Junto con Sam Loyd, uno de los creadores clásicos de
acertijos.
El Editor
Notas:
[1] Traducciones de O. Neugebauer, Mathematics
Keilschriftexts, 1935-1937, F. Thureau, Dangin Textes
Mathematiques Babyloniens, 1938, y O. Neugebauer y A. Sachs, Mathematical
Cuneiform Texts. Para acelerar la traducción numérica de las tabletas,
O. Neugebauer desarrolló la notación de comas para separar valores posicionales
y punto y coma para representar la coma sexagesimal. Por ejemplo,
[2] Las tabletas han revelado tablas para aproximarse a varios valores
matemáticos. Por ejemplo, se han encontrado tablas de recíprocos que se usaban
cuando la división arrojaba resto, y tablas de valores de raíces cuadradas y
cúbicas.
[3] Es la tableta YBC7289 de la colección babilónica de Yale.
[4] Los babilonios usaban dos símbolos para escribir sus
números.
[5] Los antiguos griegos usaban el siguiente método de aproximación a
las raíces cuadradas. Supóngase que su primera aproximación a 2 es,
digamos, a = 1. Su próxima estimación era tomar 2/a,
que es igual a 2/1 = 2. El paso siguiente era el promedio de las dos primeras
estimaciones, es decir (1+2)/2 =1,5. La estimación 1,5 podía luego ser
promediada con una nueva aproximación 2/1,5 = 1,333... Para obtener mejores
aproximaciones se continuaba el proceso.
[6] De Science Awaking, por B.L. van der Waerden,
John Wiley & Sons, Inc., New York, 1963.
[7] Estos hallazgos fueron presentados por Andrew D. Dimarogonas, de
la Washington University de St. Louis, en el Journal of Sound &
Vibration, mayo, 1990.
[8] Los tres problemas de construcción imposible de la
antigüedad, que debían ser resueltos usando sólo una regla sin
divisiones y un compás, eran: la trisección del ángulo (dividir
un ángulo en tres ángulos congruentes), la duplicación del cubo (construir
un cubo de volumen doble al de un cubo dado), y la cuadratura del
círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Unos
pocos de los descubrimientos a los que estos problemas dieron origen son la
concoide de Nicomedes, la espiral de Arquímedes y la cuadratriz de Hippías
[9] El problema de los puentes deKönigsberg era
hallar un recorrido que atravesase los siete puentes sin pasar dos veces por el
mismo puente. Euler desarrolló la noción de red mientras resolvía el problema.
[10] El postulado de las paralelas implicaba
determinar si el quinto postulado de Euclides era en realidad un postulado o un
teorema. El intento de demostrarlo llevó al descubrimiento de las geometrías
no-euclidianas.
[11] Una función periódica es aquella cuya forma se repite a intervalos
regulares.
[12] El término octava proviene del hecho de que la escala diatónica
tiene siete notas diferentes desde el do hasta el si. El do más agudo es la
octava nota.
[13] La frecuencia es el número de vibraciones por segundo. Hay una
correspondencia uno a uno entre sonidos y números (su frecuencia), aunque
nuestros oídos no están diseñados para percibir todos los distintos sonidos
posibles.
[14] Una cuerda sujeta en sus extremos produce una cierta nota: por
ejemplo, un do con 264 vibraciones por segundo. Si se sujeta la cuerda a mitad
de su longitud, se obtiene la octava, que vibra a 528 vibraciones por segundo.
[15]La inmaculada colección, de Madonna, y The Soul Cages, de Sting, fueron los
primeros álbumes en Qsound. Desde entonces han aparecido, o están a punto de
hacerlo, álbumes de Janet Jackson, Paula Abdul, Bon Jovi, Europe, Richie
Zambora, Stevie Nicks, Julián Lennon, Freddie Jackson, y Wilson Phillips, entre
otros.
[16] Plutarco describe cómo se intercambiaban mensajes arrollando en
espiral una estrecha banda de pergamino o cuero alrededor de una vara
cilíndrica. Luego se escribía el mensaje, se quitaba la banda y se la enviaba a
un receptor que tenía un cilindro de exactamente el mismo diámetro, alrededor
del cual se la volvía a enrollar.
[17] El griego Polibio (alrededor de 200-118 a.C.) diseñó un cifrado
por sustitución basado en un cuadrado de 5×5, que convertía cada letra del
alfabeto en un número de dos dígitos usando sólo los números del 1 al 5.
[18]Secret Phone Scheme Under Firt, por Don Clark, San Francisco Chronicle, Mayo,
1993.
[19]Projects in Scientific Computation, por Richard E. Crandall, Spinger Verlag,
Santa Clara, CA, 1994.
[20] Hallado por David Slowinski en 1993. Verificado, a pedido suyo,
por Richard Crandall.
[21] Los cultivos se irrigan mediante cañerías subterráneas ubicadas 45
cm. bajo la superficie. Sensores muy precisos detectan el rocío matinal, miden
la cantidad de agua que las plantas absorben y emiten y miden las condiciones
meteorológicas en la superficie. A lo largo del día el ordenador recoge y
analiza los datos y envía pequeñas cantidades de agua y, ocasionalmente,
fertilizantes, herbicidas y plaguicidas. Sin necesidad de poseer un ordenador,
los pequeños productores pueden vigilar sus campos vía modem conectándose al
sistema centralizado local.
[22] El equipamiento para el ordenador puede tener muchas formas,
incluyendo anteojos especiales, “data gloves” (guantes para transmisión de
datos) y “data suits” (trajes para transmisión de datos).
[23] Algunas de las universidades y empresas que desarrollan estos
mundos artificiales son: University of North Carolina; Autodesk, Inc., de
Sausalito, CA; HITL en la University of Washington; VPL Research Co., de
Redwood Coty, CA; Camegie Mellon University. El Museo Estatal de Historia
natural de Connecticut tiene una instalación creada por Myron Krueger
llamada Video Place. En la University of California, en
Berkeley, se puede jugar Dactyl Nightmare, un juego de
realidad virtual.
[24] Hipercubo es un término acuñado para designar al cubo de cuatro
dimensiones.
[25]HyperCard tiene dos significados. Puede ser la marca registrada de un
programa de ordenador que le permite crear y acceder a grupos de fichas con
información de varios tipos (incluyendo gráficos, vídeo, sonido) al seleccionar
un tópico determinado. HyperCard (hipercarta) también puede ser una carta (que
es de dos dimensiones) que fue cortada y doblada en un modelo tridimensional,
similar al libro ilustrado en la pantalla del ordenador. Es difícil para uno
dejar pasar la oportunidad de recrear una hipercarta con una tarjeta de 8×12
cm.
[26] Parece una forma simple de obtener conocimientos. ¿Cuáles son
algunas de las dificultades? Se depende del material almacenado en esa pieza
particular de software. Otras fuentes distintas a aquellas del programa no se
encuentran a mano. Si se está usando el programa para algo más que
conocimientos generales, se debe ser cuidadoso para no transformarlo en única
fuente. Con un poco de optimismo, esta forma de hallar información no reprimirá
la creatividad o el deseo de investigaciones adicionales, sino que las
estimulará.
[27]A New Way to Tell Stories, San Francisco Chronicle, San Francisco, CA, Abril 1993.
[28] El único momento en que no se usa la luz ocurre cuando los
interruptores ópticos son activados y los pulsos de luz se convierten
momentáneamente en corriente eléctrica.
[29] Henry Jordan, citado en Science News, Enero 23, 1993.
[30] Euclides, filósofo griego del siglo IV a.C., consideró cuántos
granos de arena hacen un montículo: en qué momento, si se quita un grano, un
montículo deja de ser un montículo.
[31] La paradoja de Bertrand Russell (1872-1970) trata de la noción de
pertenencia a un conjunto. Un conjunto es un miembro de sí
mismo o no es un miembro de sí mismo. Los conjuntos entre
cuyos miembros no se cuentan ellos mismos son llamados regulares. Por ejemplo,
el conjunto de las personas no se contiene a sí mismo, ya que no es una
persona. Los conjuntos que se contienen a sí mismos como miembros son llamados
irregulares. Un ejemplo es el conjunto de los conjuntos con más de cinco
elementos. El conjunto de todos los conjuntos regulares, ¿es regular o
irregular? Si es regular, no puede contenerse a sí mismo. Pero como es el
conjunto de todos los conjuntos regulares, debe contener a todos los
conjuntos regulares, incluyéndose a sí mismo. Si se contiene a sí mismo, es
irregular. Pero si es irregular, se contiene a sí mismo como miembro, y se
supone que sólo debe contener conjuntos regulares.
[32] Las células protociotes, tales como las bacterias de un organismo,
no tienen núcleo, mientras que las eucariotas, que se encuentran en las plantas
y animales, tienen cada una su núcleo.
[33] La diferencia entre las cantidades está influida por muchos
factores, incluyendo los diferentes estados que las especies experimentan
durante su vida.
[34] A es adenina, C es citosina, G es guanina, T es timina, U es
uracilo.
[35] Como los ácidos nucleicos, las proteínas también son largas
cadenas de unidades menores llamadas aminoácidos (hasta el momento se han
identificado 50 tipos de aminoácidos). Cada proteína está identificada por una
secuencia y cantidad específica de aminoácidos. Las enzimas proteínicas son
responsables de dirigir las reacciones químicas de una célula viva. ¿Dónde
entra en escena el ARN? Cuando el ADN se divide durante el proceso de
reproducción, se construye un ARN mensajero a lo largo de la cadena del ADN, haciendo
coincidir las bases complementarias (este proceso se llama transcripción).
El ARN mensajero lleva este código genético desde el ADN a los traductores del
código genético (llamados moléculas ARN de transferencia). Allí una cadena de
aminoácidos es conectada en la secuencia traducida mediante ARN ribosomal y se
forma la proteína. Aunque aquí se han eliminado muchos pasos por simplicidad,
la maravilla de este proceso que tiene lugar simultáneamente en las células
vivas es deslumbrante.
[36] Estos incluyen: tomates con genes de lenguado para resistir
heladas, no madurar en la planta y no dañarse fácilmente durante el transporte;
patatas con genes del gusano de seda para aumentar la resistencia a las
enfermedades; maíz con genes de luciérnaga para disminuir el daño producido por
los insectos. Los grupos de acción de consumidores, como el Pure Foods
Campaign, de Washington D.C., se han organizado para vigilar la comida
genéticamente alterada.
[37] Dr. Susumo Ohno, del Departamento de Biología Teórica del Beckman
Research Institute of the City of Hope, Duarte, California.
[38] Sólo determinadas bases se aparean con otras. Estas son: la A con
la T, y la G con la C. La manera en que aparecen en la cadena forma el código
genético del ADN.
[39] Richter, Jean Paul, editor. The Notebooks of Leonardo da
Vinci, vol. 1, Dover Publications, 1970, New York.
[40] Un grupo internacional de matemáticos y científicos que trabajaban
en forma conjunta con matemáticos puros a través de redes de comunicación para
resolver difíciles problemas de geometría. Science News, vol. 133,
p. 12, enero 3, 1988.
[41] Un “nudo” que puede ser llevado a no tener retorcimientos ni
cruces, es decir, transformado en un lazo, o es un círculo o está desanudado.
[42] Las primeras ecuaciones de ese tipo fueron hechas por John
Alexander en 1928. En la década de 1980 Vaughan Jones hizo descubrimientos
adicionales en la ecuación de nudos. Science News, vol. 133,
p. 329, mayo 21, 1988.
[43] Los infinitos matemáticos pueden aparecer por operaciones tales
como dividir un número por cero o elevar cero a la potencia cero.
[44] Su patente fue aceptada en junio de 1954 y recibió regalías por
las cúpulas geodésicas construidas a lo largo de los 17 años en que fue
efectiva. De Buckminster Fuller, Martin Pawley, Taplinger
Publishing Co., New York, 1990.
[45] Los poliedros son sólidos geométricos cuyas caras son polígonos.
[46] De Buckminster Fuller, Martin Pawley, Taplinger
Publishing Co., New York, 1990.
[47] Idem.
[48] También se la llama soccerene (fútbolene) por su
parecido a una pelota de fútbol.
[49] La molécula de 168 carbonos llamada buckygym (por
asociación con Junglegym, un juego de construcción para niños
formado por varillas y barras) fue creada por los investigadores del IBM Thomas
J. Watson Research Center en Nueva York.
[50] Frank Lloyd Wright, An American Architecture, Edgar
Kaufman, editor. New York, Bramhall House, 1955.
[51] Cualquiera puede ser mago del cuadrado mágico. Tan sólo hay que
memorizar el cuadrado mágico básico de 3×3. Pídale a alguien que coloque un
número en cualquier lugar de un cuadrado de 3×3. Por ejemplo, aquí se colocó el
número 78 en el lugar en que está situado el 2 del cuadrado mágico básico. De
inmediato uno crea un nuevo cuadrado mágico llenando los blancos, recordando
que una de las propiedades de los cuadrados mágicos es que puede hacerse uno
nuevo agregando una constante a cada número de un cuadrado mágico inicial. En
este caso, agregamos 76 a cada número del cuadrado mágico básico de 3×3.
CONTENIDO
Preámbulo
1. Magia matemática del pasado
2. La matemática toca su música
3. La revolución de los ordenadores
4. La matemática y los misterios de la vida
5. Matemática y arquitectura
6. El hechizo de la lógica, la recreación y los
juegos
Nota Bibliográfica
© 2001
Patricio Barros y Antonio Bravo
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