© Libro N° 6216.
Física Y Geometría Del Desorden. Efros, A. Emancipación. Julio 13 de 2019.
Título
original: © Física Y Geometría Del Desorden. A. Efros
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© Edición, reedición y Colección Biblioteca Emancipación: Guillermo Molina
Miranda
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ANALICEMOS SIN PEREZA Y SOMETAMOS A CRÍTICA TODA LA CULTURA
FÍSICA Y GEOMETRÍA DEL DESORDEN
A. Efros
CONTENIDO
Prefacio
Umbral
de percolación
Reglas
fundamentales de cálculo de las probabilidades y variables aleatorias continuas
Racimo
infinito
Solución
del problema de los nudos por el método de Montecarlo, mediante un ordenador
Problemas
en retículos planos
Retículos
tridimensionales y estimaciones aproximadas de los umbrales de percolación
Sustancia
ferromagnética de largo alcance y problema de las esferas
Electroconductibilidad
de los semiconductores extrínsecos y problema de las esferas
Diversas
generalizaciones del problema de las esferas. Figuras entrelazadas de forma
arbitraria
Nivel
de percolación "diluvio universal"
Red
de Bethe**
Estructura
del racimo infinito modelo de Shklovski de Gennes
Electroconductibilidad
a saltos
Conclusión
Literatura
para el estudio detallado de la teoría de percolación
Respuestas
y soluciones
Prefacio
La
ciencia que constituye el objeto de este libro es muy joven. Sus ideas
fundamentales fueron enunciadas solamente en el año 1957 en la obra de S. R.
Broadbent y J. M. Hammersley, científicos ingleses. Dicha obra surgió del modo
siguiente. A mediados de los años cincuenta S. R. Broadbent se dedicaba a la
elaboración de caretas antigás para las minas, según la tarea encomendada por
la Asociación Británica de Investigación del Uso de la Hulla. En el curso de
los trabajos él choco con un problema interesante que llamó la atención del
matemático J. M. Hammersley.
El principal elemento de la careta antigás es el carbón, a través del cual debe
pasar el gas. En el mismo hay poros que se unen unos con otros de manera
extraña, formando una especie de laberinto enredado. El gas puede penetrar en
esos poros adsorbiéndose (sedimentándose) en sus superficies Resultó que si los
poros son bastante anchos y están bien enlazados entre sí, el gas penetra
profundamente en el filtro de carbón. En caso contrario el gas no penetra más
allá de la superficie del carbón. El movimiento del gas por el laberinto es un
proceso de nuevo tipo que difiere considerablemente del fenómeno de difusión
bien conocido en física.
S.R.
Broadbent y J.M. Hammersley llamaron tales fenómenos "procesos de
percolación" (en inglés percolation processes). La palabra
percolación significa infiltración. La teoría que estudia los
fenómenos de tal género adquirió el nombre de teoría de percolación.
En
el transcurso de los 30 años que pasaron desde el primer trabajo de S. R.
Broadbent y J. M. Hammersley se aclaró que la teoría de percolación es
necesaria para comprender un extenso círculo de fenómenos relacionados
principalmente con la física y la química. Es probable que el campo de
aplicación de la teoría de percolación, mejor elaborado actualmente, son las
propiedades eléctricas de los sistemas desordenados, tales como los
semiconductores amorfos y semiconductores cristalinos con impurezas, o bien los
materiales que son una mezcla de dos sustancias diferentes: un material
dieléctrico y un metal.
Los
fenómenos descritos por la teoría de percolación pertenecen a los llamados
fenómenos críticos Estos se caracterizan por el punto crítico en el cual
ciertas propiedades del sistema cambian de manera brusca A los fenómenos
críticos también pertenecen las transiciones de fase de segundo genero (por
ejemplo cuando un metal pasa del estado normal al estado de superconductividad
al bajar la temperatura) La física de todos los fenómenos críticos es muy
peculiar y tiene rasgos comunes El más importante de ellos consiste en que
cerca del punto crítico el sistema parece como si se dividiera en bloques de
propiedades diferentes, además las dimensiones de algunos de esos bloques
crecen ilimitadamente al acercarse al punto crítico Los contornos de los
bloques en este caso son eventuales En ciertos fenómenos toda la configuración
vana caóticamente en función del tiempo a expensas del movimiento térmico, en
otros fenómenos esa con- figuración permanece congelada pero cambia al pasar de
una muestra a otra Los bloques se hallan dispuestos desordenadamente, por lo
cual, al mirar la fotografía instantánea del sistema, es difícil ver algunas
regularidades Sin embargo "por término medio" esta geometría, que
puede ser llamada "geometría del desorden" posee propiedades
absolutamente determinadas.
Las
propiedades físicas siempre están inseparablemente enlazadas con la geometría
Por ejemplo, las propiedades físicas de los cristales se determinan conforme a
la geometría de las redes cristalinas Exactamente igual, una serie de
propiedades del sistema situado cerca del punto crítico, se determinan con
arreglo a la "geometría del desorden" Lo más interesante es que
gracias a los grandes tamaños de los bloques, dicha geometría no depende en
realidad, de la estructura atómica de la sustancia y, por esta razón, posee
propiedades universales idénticas para muchos sistemas completamente diferentes
De aquí deriva la universalidad de las propiedades físicas que se manifiestan
en la periferia de los puntos críticos.
Tal
tipo de enlace entre la física y la geometría puede observarse dentro de los
márgenes de la teoría de percolación, en lo cual precisamente consiste una de
las tareas principales de este libro La referida teoría puede ser enunciada
mediante imágenes geométricas sencillas tales como rejillas de alambre bolas y
redes cristalinas Ella no contiene nociones de temperatura y por eso da la
posibilidad de explicar los fenómenos críticos de tal modo que sean
comprendidos incluso por los lectores no iniciados en la física estadística.
La
teoría de percolación, al igual que toda la teoría de los fenómenos críticos
aun no se transformó en una ciencia exacta desde el punto de vista matemático.
Muchas afirmaciones importantes siguen sin demostrar y algunas cuestiones no
han sido aclaradas En los casos cuando existen demostraciones estrictas pero
que son complicadas en este libro las mismas se han sustituido por
razonamientos que más bien, no demuestran sino que explican el resultado. No
obstante, el autor siempre ha tratado de separar exactamente las afirmaciones
demostradas de las no demostradas.
El libro contiene la exposición detallada de la teoría de percolación así como
de sus diversas aplicaciones. Esa teoría ha sido construida del modo siguiente
La definición de lo que llamamos teoría de percolación y cuáles son los
procesos que ella describe, lo hemos dejado hasta alcanzar la ultima pagina del
libro Dicha definición debe incluir tantos conceptos complejos que no tiene
sentido enunciarla al principio Casi cada capítulo contiene algún problema
concreto cuyo examen conduce al problema de la teoría de percolación Se supone
que después de leer canos capítulos el lector ha de sentir lo que tienen de
común los diversos problemas de la teoría de percolación y qué relación tiene
con eso el título del libro.
Por
regla general, los problemas examinados son importantes campos de aplicación de
la teoría de percolación Pero algunos de ellos (proyecto de un huerto frutal,
en el capítulo 5. y propagación de rumores, en el capítulo 11) tienen carácter
ilustrativo e incluso algo irónico.
En
el libro se ofrece la información necesaria para comprender el material de la
teoría elemental de las probabilidades En el capítulo 1 se dan nociones
generales sobre las probabilidades y las variables aleatorias En el capítulo 2
se exponen las reglas de adición y multiplicación de las probabilidades y se
introduce la función de distribución El libro puede ser leído en una variante
simplificada, al excluir el capítulo 2 y otros capítulos y apartados marcados
con dos asteriscos Claro está que en este caso el lector será privado de la
posibilidad de seguir las deducciones de ciertos resultados cuantitativos
contenidos en esos apartados, así como en muchos ejercicios Pero tal hecho no
obstaculizará la comprensión (posiblemente algo simplificada) de los demás
apartados y capítulos.
Los
ejercicios expuestos en el libro deben desempeñar un papel importante al
asimilar las nuevas ideas Por lo común ellos son muy sencillos y es
recomendable resolverlos sin la consulta previa del apartado "Respuestas y
soluciones" (salvo los casos cuando eso haya sido especialmente
estipulado).
El
autor.
Primera
parte
Problema de los nudos
Capítulo 1
Umbral de percolación
Contenido:
· Dos
sabios tijeretean la rejilla pantalla
· ¿Qué
es una variable aleatoria?
· Valor
medio y varianza
· ¿Para
qué se necesita una rejilla grande?
· Ejercicios
Dos
sabios tijeretean la rejilla pantalla
No
es frecuente et hecho de que en las revistas científicas actuales aparezcan
informes acerca de experimentos cuyo objeto es, por ejemplo, un pedazo de
rejilla pantalla ordinaria comprada, con fines poco comunes [1], en la
ferretería más cercana. Y aunque el artículo de B. P. Watson y P. L. Leath,
físicos norteamericanos, aparecido en la revista "Physical Review"
de 1974. no era, ni mucho menos, el primer trabajo en el campo de la teoría de
percolación, nuestro relato comenzara precisamente por este artículo.
El pedazo de rejilla con el cual trabajaban B. P. Watson y P. L. Leath era de
forma cuadrada y contenía 137 x 137 = 18 769 nudos de 1/ 4 de
pulgada = 6,35 mm de distancia entre los nudos vecinos. Los investigadores
soldaron electrodos de cobre en dos lados opuestos del cuadrado y conectaron la
rejilla al circuito eléctrico (Figura 1,a) para medir su resistencia.
Seguidamente
comenzaron a bloquear cada nudo y a estudiar la resistencia eléctrica conforme
a la cantidad de nudos bloqueados. Como se muestra en la figura 1, b, c, el
bloqueo del nudo consistía solamente en que mediante alicates se cortaban los
cuatro alambres enlazados con ese mismo nudo.
Cada nuevo nudo sometido a bloqueo se elegía arbitrariamente entre los nudos
antes intactos.
En principio, para esto podríamos escribir las coordenadas de cada nudo en
papeles individuales, meter todos esos papeles en una gorra, mezclarlos bien y
sacarlos uno por uno.
Figura 1. Esquema del experimento de B. P. Wat son y P. L. Leath. a) Rejilla
inicial. La cantidad de nudos en la figura está reducida considerablemente, b)
pedazo de la rejilla con nudos bloqueados. Los nudos bloqueados se muestran con
círculos oscuros, mientras que los no bloqueados con círculos claros, c) el
nudo oscuro significa la ruptura del contacto entre los cuatro alambres que
atan el nudo, el nudo claro conserva el contacto. A través de los nudos oscuros
la corriente eléctrica no fluye en ninguna dirección, por los claros la
corriente fluye en cualquier dirección.
Pero
al disponer de gran cantidad de nudos, tal procedimiento (al igual que otros
métodos mecánicos de sorteo) es muy incomodo y por eso los científicos
utilizaban la sucesión aleatoria de las coordenadas de los nudos, establecida
por el ordenador. Más adelante describiremos detalladamente de qué manera
podemos "obligar" al ordenador a que genere números aleatorios, pero
mientras tanto, sin ningún perjuicio para el entendimiento, podemos sustituir
mentalmente ese ordenador por una gorra.
Claro está que a medida que aumentaba el número de nudos bloqueados, disminuía
la electroconductibilidad de la rejilla. (Llámase electroconductibilidad la
magnitud contraria a la resistencia. Esta última se mide en ohmios (Ω),
mientras que la electroconductibilidad se mide en ohmios inversos (Ω-1).)
Además, si designamos por x la relación entre el número de nudos no bloqueados
y el número total de nudos (1372), entonces, con cierto valor de x
que en adelante llamaremos valor de umbral (critico) o umbral de percolación
que designaremos por xc la electroconductibilidad
se reducía a cero. Esto ocurría cuando era cortada la última vía que unía los
electrodos izquierdo y derecho. La determinación de la magnitud era
precisamente uno de los propósitos del experimento. Fue establecido que xc =
0,59.
Es
probable que la primera cuestión que requiere explicación consiste en lo
siguiente ¿es la magnitud xc una variable aleatoria
no reproducible de un experimento a otro o es una magnitud absolutamente
determinada? Supongamos que hemos repetido el experimento utilizando otro
pedazo de rejilla pantalla y aprovechando otra secuencia arbitraria de los nudos
sujetos a bloqueo. El sentido común nos dicta que en vista de que en cada etapa
toda la configuración de los nudos bloqueados y enteros en el segundo experimento
no se parece en nada a lo que tuvo lugar en el primer experimento la ruptura de
la última vía que una los electrodos también ha de ocurrir con otro valor
de x por eso el valor de xcobtenido en
el segundo experimento debe ser diferente. Esto es correcto sin duda alguna.
El
valor de umbral de xc en el experimento examinado
es una variable aleatoria. Como tal tipo de magnitudes figuraran por doquier en
las páginas de este libro es útil aclarar desde el principio.
¿Qué es una variable aleatoria?
En
la matemática, así se llama la variable de la cual se sabe que valores ésta
puede adquirir y con qué frecuencia la misma adopta uno u otro valor, pero que
no se sabe (y no puede saberse dentro de los márgenes de un problema matemático
dado) qué valor precisamente ella adquirirá en cualquier caso concreto.
He
aquí un ejemplo clásico de variable aleatoria; lancemos sobre la mesa un cubo
pequeño (dado) hexaédrico con números en cada una de sus caras. La variable
aleatoria será el numero de la cara que resulte dirigida hacia arriba. Tal
variable llámase discreta, yaque ella solo adopta valores determinados (en este
caso son seis 1 2, 3, 4 5 y 6). Es imposible predecir de antemano qué número
precisamente obtendremos en un experimento concreto (es decir, en un
lanzamiento dado), pero podemos pronosticar la probabilidad de obtener un
número determinado (por ejemplo, 4). Supongamos que se hizo cierto número de
experimentos igual a Q con la particularidad de que el numero 4 tuvo la suerte
en casos Q4. La relación Q4/Q se
denomina frecuencia relativa de aparición de un valor dado de la variable
aleatoria (del numero 4). Si el número total de experimentos no es muy grande
esta relación oscila; si hacemos una serie mas de experimentos Q, en esta nueva
serie la relación Q 4/Q puede ser completamente distinta. Pero
al aumentar el número Q de experimentos, dichas oscilaciones se hacen cada vez
menores. El límite hacia el cual tiende la frecuencia relativa de aparición de
un valor dado de la variable aleatoria, llámase probabilidad de este valor.
Designemos por P(4) la probabilidad de aparición del numero 4. Si el cubo es
honesto, es decir si todas sus caras son iguales, es fácil predecir el valor
P(4). Cualquiera de las seis caras del cubo debe dirigirse hacia arriba por
término medio, igual número de veces, por eso si el numero Q es grande Q 4/Q
= Q3/Q = ... = 1/6.
Así pues las probabilidades de aparición de todos los números son iguales y
equivalen a 1/6.
Por consiguiente con un número muy grande de lanzamientos la eventualidad pasa
a segundo plano cediendo su lugar a la regularidad, es decir, a la simetría de
las caras del cubo.
Valor medio y varianza
Volvamos
al experimento con la rejilla protectora. Fue aclarado que en vista de que en
el experimento se utilizó la sucesión arbitraria de los nudos bloqueados, la
concentración critica xc con la cual se interrumpe la comente
entre los electrodos izquierdo y derecho también es una variable aleatoria y es
imposible pronosticar con anticipación a qué es igual esta en cada experimento
concreto.
El enfoque teórico de esta cuestión puede consistir en estudiar las propiedades
"medias de la variable xc es decir las
propiedades que se revelan en un numero bastante grande de experimentos que se
ejecutan en condiciones idénticas. Dichas condiciones son, en primer lugar el
número completo de nudos de la rejilla (1372) en el experimento
descrito anteriormente), y en segundo lugar, las propiedades del generador de
números aleatorios, el cual prefija la sucesión arbitraria de los nudos sujetos
a bloqueo. El hecho de que las propiedades del generador no deben variar de un
experimento a otro no significa de ninguna manera que las sucesiones de los
nudos sujetos a bloqueo deben ser iguales. (¡Entonces también serian iguales
todos los valores de xc !) Solamente es necesario
que en todos los experimentos se emplee el mismo procedimiento para crear la
sucesión arbitraria de los nudos que han de ser bloqueados (por ejemplo, una
gorra con papeles)
Tras
realizar Q experimentos con una rejilla pantalla de i nudos
obtendremos Q valores de x1, donde i es el numero del
experimento. Por ejemplo x15 significa xc,
que apareció en el decimoquinto experimento. El más importante de los valores
medios es la media aritmética xq, que se obtiene sumando todos los
valores de x¡, y dividiendo esa suma por el número
Q de experimentos:
La
raya sobre la letra, así como el índice Q, significan que han sido promediados
los resultados de Q experimentos. La variable xq sigue siendo
aleatoria. Si efectuamos una serie más de Q experimentos en esas mismas
condiciones y. según sus resultados, calculamos de nuevo el valor de xq,
éste resultará algo diferente. Sin embargo, cuanto mayor sea el número de
experimentos en la serie Q, tanto menos se diferenciarán uno de otro los
valores medios tomados de diversas series. El hecho es que las oscilaciones aleatorias
de las variables x¡ se compensan recíprocamente en total, de
tal modo que al aumentar el número Q, la variable xq tiende a
cierto valor que no depende de Q pero que es función de las condiciones en las
cuales se realizaron los experimentos. Este valor límite se denomina valor
medio de la variable aleatoria. (En la teoría de las probabilidades, dicho
valor límite llámase también esperanza matemática de la variable aleatoria,
pero nosotros no utilizaremos este término.)
Designemos por xc(N)el valor medio del umbral de
percolación de una rejilla protectora compuesta por N nudos.
La variable xc(N) no es aleatoria, sino cierta. Su
dependencia de N es una regularidad sobre la cual debemos
reflexionar.
Una característica importante de la variable aleatoria xc también
es la desviación δi de los valores de x¡ respecto
al valor medio:
Las
propias desviaciones δi varían de un experimento a otro y por
eso debemos elegir la variable que caracterice sus propiedades " por
término medio". En calidad de tal variable no se puede elegir la media
aritmética, ya que en el límite Q → ∞ la misma tiende a cero. Efectivamente,
Pero
cuanto mayor sea el valor de Q, tanto menos se distinguirá el primer término
que integra el segundo miembro de dicha igualdad, de su segundo término, lo
cual precisamente demuestra la afirmación aducida. Tal resultado está
relacionado con el hecho de que las desviaciones del valor medio ocurren
obligatoriamente tanto hacia uno como hacia otro lado y por término medio se
compensan recíprocamente.
Podríamos elegir la media aritmética de la variable no negativa |δi |,
sin embargo, el procedimiento generalmente admitido consiste en el cálculo de
la varianza δ2(N) que es la media aritmética de los cuadrados
de las desviaciones (cuando Q → ∞), los cuales, naturalmente, también son
números no negativos:
La
variable δ(N) = [δ2(N)]1/2 se denomina
desviación cuadrática media de la variable aleatoria. Esta precisamente
caracteriza la desviación típica de las variables xi respecto
a su valor medio xc(N). Es natural que la variable δ(N)
también depende del número total de nudos de la rejilla N.
Hablando con rigor, xc es una variable aleatoria discreta, ya
que resulta de dividir el número de nudos no bloqueados, entre la cantidad
total de nudos N por eso la misma sólo concierne a los valores que se
convierten en números enteros después de multiplicarlos por N. Designemos por xk los
diversos valores posibles de la variable aleatoria x c.
El valor medio de xc(N)puede ser expresado a través de las
probabilidades P(xk) de que la variable aleatoria xc adquiera
el valor de xk. Recordemos que en la fórmula (1) se
suman todos los valores de xi obtenidos como
resultado de Q experimentos. Además, todos esos valores pueden encontrarse
muchas veces. La fórmula (1) se puede escribir de la forma siguiente:
donde
se suman todos los valores diferentes de xk que puede adoptar
la variable xc (¡ningún valor de xk en
esta suma se repite dos veces!). El número Qk indica cuántas
veces se ha encontrado el valor de xk en la serie de Q
experimentos.
La variable Qk/Q es la frecuencia relativa de aparición del valor
de xk. Con valores muy grandes de Q, esa variable se
convierte en la probabilidad P(xk). Por definición, con grandes
valores de Q, el primer miembro de la fórmula (4) se transforma en xc(N).
Por esta razón
es
decir, el valor medio es igual a la suma de todos los valores que puede adoptar
la variable aleatoria, multiplicados por su probabilidad. De modo análogo
En
las fórmulas (5) y (6) se suman todos los valores posibles que puede adoptar la
variable aleatoria xc. con la particularidad de que cada
uno de ellos se encuentra sólo una vez en la suma.
Por definición, Q1 + Q2 + ... = 0, es decir, de
la definición P(xk) se deduce
La
suma de probabilidades de todos los valores que puede adoptar la variable
aleatoria es igual a la unidad.
¿Para qué se necesita una rejilla grande?
En el problema del pequeño cubo "honesto" fue muy fácil calcular la
probabilidad de que la variable aleatoria adopta uno u otro valor. Sin embargo,
las propiedades de la variable aleatoria xc son mucho más
complicadas.
Al final del capítulo siguiente se muestra cómo se resuelve el problema
respecto a una rejilla en forma de cuadrado de 2 x 2 nudos (N = 4). El
resultado consiste en que la variable aleatoria xcsólo
puede adoptar dos valores: 1/2 y 1/4.
Adoptando el primer valor con la probabilidad P (1/2)
= 2/3, el segundo lo adopta con la probabilidad P(1/4)
= 1/ 3. Con arreglo a las fórmulas (5) y (6)
(donde las sumas sólo incluirán dos términos), xc(4)
= 5/ 12, y δ(4) = √2/12
Armándose de paciencia, también es posible resolver el problema de 3 x 3 nudos
(N = 9). La experiencia demuestra que los esfuerzos necesarios crecen
extraordinariamente al aumentar el lado del cuadrado incluso en un nudo. No
obstante, representan interés principalmente las propiedades de las rejillas
que contienen gran número de nudos, por ejemplo, 1015. Tales
rejillas pueden servir de modelo las películas integradas por átomos.
Efectivamente, por reglas general, la distancia entre los átomos en sustancias
condensadas (líquidos y cristales) es del orden de 3 x 10 -8 cm.
Por eso una película de 1 cm2 del área es tan fina que los
átomos ocupan solamente una capa, es decir, consta de 10 15 átomos
aproximadamente.
El problema acerca de la determinación de la probabilidad de que el umbral de
percolación de una rejilla de número muy grande de nudos N adopte uno u otro
valor, es el problema central de la teoría de percolación. En mayor o menor
medida, ese problema se examina en casi todo el libro. Ahora señalemos,
prácticamente sin demostración, la propiedad más importante del referido
problema, que es la clave para comprenderlo en general:
La
desviación cuadrática media δ (N) disminuye
con arreglo a la ley exponencial al crecer el número N de nudos,
tendiendo a cero cuando N → ∞
Esta propiedad se expresa mediante la fórmula
donde
C ≈ 0,54 y ν ≈ 1,3. (La magnitud v llámase índice del radio de correlación. La
misma se examina detalladamente en la tercera parte del libro.)
La fórmula (8) no puede ser el resultado del experimento de B. P. Watson y P.
L. Leath. Para obtenerla fue necesario utilizar rejillas de diversos valores de
N y realizar muchos experimentos con un solo N. Además, la fórmula (8) es el
resultado de las investigaciones teóricas que se analizan en la tercera parte
del libro.
De la fórmula (8) se deduce que cuanto más nudos contenga la rejilla, tanto
menos diferirán entre sí los resultados de los experimentos que utilizan
diversas sucesiones arbitrarias de los nudos bloqueados.
¿Por qué es así? El hecho consiste en que en una rejilla bastante grande se
encuentran numerosas configuraciones de nudos enteros bloqueados. En diversos
experimentos, tales nudos parece como si cambiaran de lugar. Por eso, cuanto
mayor sea N tanto menor importancia tendrá la casualidad. Una rejilla infinita
contiene una cantidad infinita de rejillas grandes, por lo cual, para ella la
casualidad no desempeña ningún papel en general, y la variable xc no
es aleatoria, sino cierta, y equivale a
Precisamente
esta variable límite se denomina, en efecto, umbral de percolación. Y
precisamente para ella realizaron el experimento B. P. Watson y P. L. Leath. De
lo contrario ¿para qué era necesario utilizar una rejilla que contuviera casi
19000 nudos?
¡Podían haber usado una de 2x2!
Enunciemos ahora el resultado más importante de este capítulo:
En
un sistema infinito es justa la noción de umbral de percolación estrictamente
determinado, que no depende de la sucesión arbitraria de los nudos bloqueados,
utilizada en el experimento. En un sistema finito no existe un umbral
estrictamente determinado, sino que hay el llamado campo critico cuyo ancho es
del orden de δ(N) y en el que figuran los valores de xc obtenidos
en la mayoría de los experimentos con diversas sucesiones arbitrarias. Con el
aumento de las dimensiones del sistema, ese campo se reduce a un punto.
Sin embargo es preciso tener en cuenta que la dependencia del tamaño del
sistema sólo es importante si tratamos de simular artificialmente el fenómeno
(por ejemplo, mediante una rejilla pantalla). Por lo general, la teoría de
percolación se aplica a los sistemas cuyos elementos integrantes poseen
dimensiones muy pequeñas. (Por ejemplo, esos elementos pueden ser átomos (véase
el capítulo 3). Como ya fue dicho, ¡1 cm2 de capa monoatómica
contiene N = 1015 elementos, y 1 cm3, N= 1022 elementos!
Tal sistema puede ser considerado, con gran precisión, como infinito, sin
prestar atención a la imprecisión del umbral de percolación, relacionada con su
tamaño.)
El problema que resolvían B. P. Watson y P. L. Leath se denomina problema de
los nudos (debido a que precisamente estos últimos son los elementos
aleatorios). A él se reduce una serie de problemas científicos, uno de los
cuales (sustancia ferromagnética con impurezas) se examina en el capítulo 3.
Aún se desconoce el valor preciso del umbral de percolación para este problema.
La magnitud xc(N) se determina con grandes valores de N,
utilizando un ordenador o mediante los llamados experimentos análogos parecidos
al experimento de B. P. Watson y P. L. Leath. (Su técnica puede ser muy
variada.)
Según el cambio de xc(N) al variar N se puede apreciar en cuánto se
asemeja el resultado obtenido al valor límite buscado. La comparación de los
resultados obtenidos a base de procedimientos diferentes permite suponer que el
número 0,59, según su escritura exacta (dos signos después de la coma), es
preciso (aunque de antemano no se sabe si el número de nudos N = 1372 es
suficiente para eso), pero, por supuesto, que xc puede
precisarse infinitamente a expensas de los signos situados después de la coma.
(Véase el ejercicio 5).
Ejercicios
1. Determinemos la variable aleatoria discreta a como el número de la cara de
un cubo hexaédrico, la cual quedó dirigida hacia arriba después de lanzar el
cubo. Hallar el valor medio de la variable a.
2. Definamos el umbral de percolación como el valor de x con el cual surge la
percolación de arriba abajo, pero no de izquierda a derecha. ¿Variarán en este
caso los resultados de los experimentos, xc(N) y xc?
Considerar que la rejilla es cuadrada.
3. Esa misma pregunta pero a condición de que por umbral de percolación ha sido
elegido el valor mínimo de x con el que existe percolación tanto de izquierda a
derecha como de arriba abajo.
4. Esa misma pregunta pero a condición de que por umbral de percolación ha sido
elegido el valor máximo de x con el que no se observa
percolación tanto de izquierda a derecha como de arriba abajo.
5. Valiéndose de la fórmula (8) calcular la desviación cuadrática media que
corresponde a las condiciones del experimento de B. P. Watson y P. L. Leath (N
= 1372). ¿Con qué precisión se puede contar si sólo se ha realizado
un experimento?
Indicación: En principio, el resultado de un experimento puede diferenciarse
mucho del valor medio de xc(N). Pero utilizando la función de
distribución de los umbrales de percolación, expuesta más abajo (fórmula (6)
del capítulo 2), se puede demostrar: la probabilidad de que el resultado del
experimento arbitrariamente elegido se encuentre en el intervalo desde xc(N)
- δ hasta xc(N) + δ, equivale a 0,7 aproximadamente. Cuanto mayor
sea N, menor será δ y tanto más pequeña será la "desviación típica"
del valor medio.
Capítulo 2**
Reglas fundamentales de cálculo de las probabilidades y variables aleatorias
continuas
Contenido:
· Acontecimientos
y sus probabilidades
· Adición
de las probabilidades
· Multiplicación
de las probabilidades
· Ejercicios
· Umbral
de percolación en una rejilla de 2 x 2
· Ejercicio
· Variable
aleatoria continua
· Ejercicio
· Umbral
de percolación como variable aleatoria continua
· Ejercicio
En
este libro, dedicado a las regularidades de la ley del desorden, los conceptos
de probabilidades y variables aleatorias se utilizan con amplitud.
Parcialmente, los mismos ya fueron introducidos en el capítulo anterior, así
que el lector que no tenga deseo de estudiar a fondo el sentido matemático del
problema, puede limitarse a la asimilación de los referidos conceptos,
omitiendo tanto el capítulo 2 como todos los demás capítulos y apartados
marcados con dos asteriscos. Pero quienes quieran seguir la resolución de una
serie de interesantes problemas matemáticos expuestos en el libro, y tener una
idea más profunda en cuanto a la teoría de percolación, deben conocer las
reglas de adición y multiplicación de las probabilidades examinadas en este
capítulo.
Acontecimientos y sus probabilidades
El concepto de probabilidad se utiliza no sólo cuando se trata de valores
numéricos adoptados por una variable aleatoria. Pueden examinarse cualesquier
experimentos que proporcionaron resultados aleatorios. Los diversos resultados
de los experimentos se denominan acontecimientos o sucesos. Llámase frecuencia
relativa de aparición de un acontecimiento la relación entre el número de
experimentos que condujeron a dicho acontecimiento, y el número total de
experimentos. El límite hacia el cual tiende la frecuencia relativa de
aparición de un acontecimiento al aumentar infinitamente el número de
experimentos, se denomina probabilidad del acontecimiento.
Ejemplo. En un cajón colocaron igual número de bolas rojas, verdes y azules.
Luego las mezclaron y sacaron al azar una de ellas. ¿Cuál es la probabilidad
del acontecimiento que consiste en que la bola sacada sea roja? A diferencia
del experimento con el cubo, en este caso los acontecimientos se distinguen no
cuantitativa, sino cualitativamente (por el color de la bola). Pero debemos
razonar con arreglo al mismo esquema. Como el número de bolas de cada tres
colores es igual, la bola roja será sacada en un tercio de todos los
experimentos. Por eso la probabilidad buscada constituye 1/3.
Las probabilidades de sacar una bola azul y una verde también equivalen a 1/3.
Según la definición, la probabilidad es una magnitud que varía de cero a la
unidad. Por ejemplo, el acontecimiento que consiste en sacar una bola azul de
un cajón en el que sólo hay bolas rojas, posee probabilidad nula. Sin embargo,
la probabilidad de sacar de ese mismo cajón una bola roja, es igual a la
unidad. El acontecimiento cuya probabilidad equivale a la unidad, ya no se
denomina acontecimiento aleatorio, sino que acontecimiento cierto.
El concepto de probabilidad desempeña un papel muy importante al aclarar las
regularidades del mundo de los procesos aleatorios. A menudo la regularidad
resulta realmente enterrada bajo la casualidad. Imagínese que, según la
información proporcionada por una casa de maternidad, Ud. trata de establecer
las regularidades de nacimiento de varones y de hembras. Ante Ud. se halla una
sucesión arbitraria del tipo VHVVVVHVHH ... A veces le parece que los varones
nacen más a menudo, y a veces, al revés. Su amigo le asegura que "ahora
sólo nacen hembras". Esa afirmación puede estar relacionada con el hecho
de que nacieron hembras en tres familias que él conoce.
No obstante, existe cierta regularidad. La probabilidad de nacimiento de un
varón corresponde a la probabilidad de nacimiento de una hembra, como 51,5 a
48,5. En países tan grandes como la URSS y los EE.UU., dicha regularidad se
cumple bastante bien, incluso si se examinan los datos de un solo año.
A diferencia del problema de las bolas de varios colores, la resolución teórica
del problema de nacimiento de hembras y varones es mucho más complejo. Sin
embargo, los datos estadísticos aquí expuestos reflejan las propiedades
absolutamente determinadas y bien estudiadas de la fisiología humana.
Adición de las probabilidades
Los acontecimientos se denominan incompatibles si no pueden ser observados en
un mismo experimento. Por ejemplo, el acontecimiento que consiste en que se ha
sacado una bola roja, es incompatible con el acontecimiento que consiste en que
se ha sacado una bola azul, ya que, según las condiciones del problema, en un
mismo experimento sólo se puede sacar una bola: roja, azul o verde. También son
incompatibles los acontecimientos que consisten en que un lanzamiento del cubo
proporcione el número 5 y el 2.
Demostremos dos importantes propiedades de las probabilidades.
1. regla de adición. La probabilidad de que suceda un
acontecimiento cualquiera (es lo mismo cuál), entre varios acontecimientos
incompatibles, equivale a la suma de las probabilidades de tales
acontecimientos. Supongamos que es necesario hallar la probabilidad de que el
lanzamiento del cubo proporcione el número 3 o el 4. El número de experimentos
en los que surgieron los valores que nos interesan, es igual a la suma del
número de experimentos que proporcionaron el valor 3 más el número de
experimentos que proporcionaron el valor 4. Por definición, para hallar la
probabilidad buscada hay que dividir esa suma entre el número total de
experimentos Q y pasar al límite cuando Q → ∞. Puesto que el límite de cada
término de la suma, dividido entre Q, es igual a la probabilidad de obtener uno
de los números que nos interesan, la probabilidad buscada equivale realmente a
la suma de las probabilidades de obtención de cada uno de los números. Por
consiguiente, la probabilidad de que aparezca un 3 o un 4 equivale a 1/6 + 1/6
= 1/3. La probabilidad de que aparezca un 1, o un 2, o un 3, o un 4 es igual a
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 2/3. Pero la probabilidad de que aparezca un 1, o un 2,
o un 3, o un 4, o un 5, o un 6 equivale a 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 =
1. Este resultado es un caso particular de la segunda propiedad.
2. Llamaremos sistema completo de acontecimientos el conjunto de
acontecimientos incompatibles que agota los posibles resultados de un
experimento dado. Por ejemplo, en el experimento del cubo, al sistema completo
de acontecimientos pertenecen los acontecimientos que consisten en el hecho de
que serán obtenidos los números 1, 2, 3. 4, 5 y 6. La segunda propiedad
consiste en lo siguiente:
La suma de probabilidades de los acontecimientos que forman un sistema completo
es igual a la unidad. De acuerdo con la primera propiedad, esta suma equivale a
la probabilidad de que suceda cualesquiera de los acontecimientos que forman el
sistema completo. Pero según la definición de sistema completo, uno de esos acontecimientos
ocurrirá obligatoriamente. (En el ejemplo del cubo esto significa que cualquier
número de los seis posibles aparecerá obligatoriamente.) El acontecimiento que
sucede sin falta es cierto y su probabilidad equivale a la unidad. Eso es
precisamente lo que demuestra la segunda propiedad. (En el caso del cubo, tal
acontecimiento estipula que la suma de probabilidades de los seis valores
posibles es igual a la unidad.)
Con arreglo a las probabilidades de diversos valores que puede adoptar
cualquier variable aleatoria, dicha propiedad fue enunciada en forma de fórmula
(7) en el capítulo 1.
En ciertos casos la estipulación respecto a la incompatibilidad de los
acontecimientos puede ser considerable al aplicar la regla de adición de las
probabilidades. Examinemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Cinco tiradores disparan al blanco simultáneamente. La calificación de
los tiradores es igual: cada uno de ellos bate el blanco con una probabilidad
de 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los tiradores dé en
el blanco?
Es necesario hallar la probabilidad de que suceda uno de los cinco
acontecimientos (es lo mismo cuál): que dé en el blanco el primer tirador, el
segundo, etc. Surge la idea de aplicar la regla de adición de las
probabilidades. Conforme a esta regla, la probabilidad de que uno de los
tiradores dé en el blanco equivale a la suma de las probabilidades:
P =
1/3 + 1/3 +1/3 +1/3 +1/3 = 5/3
Hemos
obtenido un resultado evidentemente absurdo. La probabilidad resultó mayor que
la unidad, lo cual no tiene absolutamente sentido. ¿Dónde está, pues, el error?
Recordemos que la regla de adición se enuncia solamente para los
acontecimientos incompatibles. ¿Y acaso no pueden dar en el blanco varios
tiradores a la vez? Claro que sí. Eso es un ejemplo típico de acontecimiento
compatible. Precisamente por ello no se puede aplicar la regla de adición.
Para resolver el problema de los tiradores es preciso aplicar la regla de
multiplicación de las probabilidades, la cual será enunciada en el siguiente
apartado.
Multiplicación de las probabilidades
De nuevo lanzamos un cubo (dado) hexaédrico. La pregunta a que ahora debemos
responder consiste en lo siguiente. Lanzamos el cubo dos veces seguidas y
obtenemos dos números. ¿Cuál es la probabilidad de que esos dos números sean 6
y 4, además, que aparezcan precisamente en dicha sucesión: primero 6 y después
4?
El esquema de resolución es ordinario. Se realizan Q experimentos (cada uno de
dos lanzamientos) y se determina el número de experimentos que dieron el
resultado requerido. Al principio elijamos los experimentos en los que el
primer lanzamiento dio 6. y el segundo, no importa qué. Ya conocemos este
problema. En vista de que todas las caras del cubo son iguales, al realizar el
primer lanzamiento, el número 6 (al igual que cualquier otro número de 1 a 6)
apareció en una sexta parte de los experimentos, es decir, en la primera etapa
hemos elegido Q1 = Q6 experimentos. (Se tiene
en cuenta que el número Q es muy grande, por eso las desviaciones aleatorias
del valor de Q1 son pequeñas.) Ahora es necesario elegir los
experimentos en los que el segundo lanzamiento proporcionó el número 4. En el
segundo lanzamiento, la aparición de todos los números también es equiprobable.
Por eso el número 4 apareció en una sexta parte de los experimentos. Así, la
cantidad de experimentos en los que después del número 6 apareció el 4, es
igual a
Q2 = 1/6 x 1/6 x
Q
mientras
que la probabilidad de tal acontecimiento constituye
Q2/Q
= 1/6 x 1/6 = 1/36
Compliquemos
el problema. Supongamos que el experimento consta de tres lanzamientos y hay
que buscar la probabilidad de que el referido experimento ha dado tres números
en una sucesión determinada, por ejemplo, 4, 5 y 1 o bien 6, 6 y 6. Razonando
de tal manera hallaremos que el número de experimentos que proporcionan el
resultado buscado constituye Q3 = 1/6 Q2 = 1/ 6 x 1/6 x 1/6 Q,
mientras que la probabilidad de tal resultado es Q3/Q =1/6 x 1/6 x 1/ 6 = 1/216
Examinemos un ejemplo más. Supongamos que de cada diez mil bicicletas
producidas por una fábrica, una bicicleta tiene defectos en el casquillo
delantero, y dos bicicletas, en el casquillo trasero. Es decir, la probabilidad
de que la bicicleta elegida al azar tenga defectos en el casquillo delantero
constituye 1/10000, y en el trasero, 2/10000.
Supongamos que los casquillos delanteros y traseros se fabrican en distintos
talleres y la presencia de defectos en uno de ellos no aumenta y no disminuye
la probabilidad del defecto de otro. Es necesario hallar la probabilidad de que
la bicicleta elegida al azar tanga defectos en ambos casquillos. Debemos
razonar igual que en los casos anteriores. Entre Q bicicletas elijamos las que
tienen defectos en el casquillo delantero. Su número constituye Q/ 10000.
De éstas elijamos las que también tienen defectos en el casquillo trasero.
Obtendremos (Q/10000) x (2/10000),
La probabilidad buscada es igual a (1/10000)-(2/10000)
= 2 x 10 -8.
En ambos ejemplos fueron dadas las probabilidades de varios acontecimientos y
era necesario hallar la probabilidad de que esos acontecimientos surgieran
conjuntamente, es decir, en un mismo experimento. Los resultados obtenidos
pueden ser enunciados en forma general.
La
probabilidad de que surjan a la vez varios acontecimientos es igual al producto
de las probabilidades de esos acontecimientos.
Esta regla requiere un complemento importante. En todos los ejemplos figuraban
acontecimientos independientes. Dos acontecimientos se llaman independientes si
la realización de uno de ellos no se refleja en la probabilidad de realización
del otro. Por ejemplo, el hecho de que en el primer lanzamiento del cubo
apareció el número 6, no se refleja de ningún modo en la probabilidad de que en
el segundo lanzamiento aparezca el número 4; la existencia de defectos en el
casquillo delantero no se refleja en la probabilidad de que también sea
defectuoso el casquillo trasero.
Es fácil entender que la independencia de los acontecimientos es muy importante
para deducir la regla de multiplicación de las probabilidades.
Examinemos otra vez el ejemplo de las bicicletas y supongamos que la
independencia de los acontecimientos ha sido alterada del siguiente modo. Los
casquillos delanteros y traseros de cada bicicleta se arman simultáneamente,
pero la probabilidad de que se provoquen defectos en ciertos días es mayor que
en otros. En este caso la presencia de defectos en uno de los casquillos
aumenta la probabilidad de que se manifiesten defectos en otro casquillo, ya
que también aumenta la probabilidad de que dicha bicicleta se haya fabricado en
días desafortunados. Por esta razón crece la probabilidad de que ambos
casquillos sean defectuosos.
Para comprender eso mejor, examinemos un caso extremo: supongamos que todos los
defectos se provocan en días determinados. Todas las bicicletas fabricadas en
esos días tienen defectos en el casquillo trasero, además, la mitad de dichas
bicicletas también tienen defectos en el casquillo delantero. Entonces, la
probabilidad de que la bicicleta elegida al azar (entre las bicicletas
fabricadas en un año) tenga defectos en ambos casquillos, equivale a la
probabilidad de que sea defectuoso el casquillo delantero, es decir, constituye
1/10000, y de ningún modo 2 x 10 -8. Así pues, la regla de
multiplicación de las probabilidades sólo es justa para acontecimientos
independientes.
La regla de multiplicación permite resolver con facilidad el problema de los
cinco tiradores enunciado en el apartado anterior. Recordemos la condición:
cinco tiradores disparan al blanco simultáneamente, y la probabilidad de dar en
él constituye 1/3 para cada uno de los
tiradores. Hallar la probabilidad de que dé en el blanco por lo menos uno de
ellos.
El procedimiento más fácil para resolver este problema es hallar la
probabilidad de que ninguno de los tiradores dé en el blanco (designemos esa
probabilidad por P0). Como los impactos en el blanco
proporcionados por distintos tiradores han de considerarse como acontecimientos
independientes, la probabilidad P0 es igual al
producto de las probabilidades de que no dé en el blanco ninguno de los
tiradores. El acontecimiento que consiste en que cierto tirador dé en el
blanco, y el acontecimiento que consiste en que ese tirador no dé en el blanco,
constituyen un sistema completo de acontecimientos. La suma de las
probabilidades de esos dos acontecimientos es igual a la unidad. Si la
probabilidad de que el tirador dé en el blanco es igual a 1/3,
la probabilidad de que él no dé en el blanco equivale a 1 - 1/3 = 2/3.
Por lo tanto, la probabilidad de que los cinco tiradores no den en el blanco
constituye
P0 = 2/3 x 2/3 x 2/3 x 2/3 x 2/3 =
( 2/3)5
El
acontecimiento que consiste en que ninguno de los tiradores dé en el blanco, y
el acontecimiento que consiste en que dé en él por lo menos uno de los
tiradores, constituyen un sistema completo de acontecimientos. Por eso la
probabilidad buscada P satisface la ecuación
P + P0 =
1
de
donde se deduce que
P =
1 - P0 = 1 - (2/3)5 ≈
0,87
Ejercicios
1. En una rejilla que contiene N nudos están bloqueados N' nudos. ¿Cuál es la
probabilidad de que el nudo elegido arbitrariamente resulte bloqueado? ¿No
bloqueado?
2. Hallar la probabilidad de que tres lanzamientos del cubo (dado), realizados
consecutivamente, den tres números, 1, 2 y 3, en cualquier sucesión. Den los
números 1, 2 y 2 en cualquier sucesión.
3. El primer taller fabrica buenas piezas, con una probabilidad de 0.8, y el
segundo, con una probabilidad de 0,9, Elijamos al azar 3 piezas del primer
taller y 4 del segundo. Hallar la probabilidad de que las 7 piezas son buenas.
Umbral de percolación en una rejilla de 2 x 2
Los datos de la teoría de las probabilidades, expuestos más arriba, son
absolutamente suficientes para investigar el problema de percolación en una
rejilla cuadrada integrada por 4 nudos (N = 4).
La Figura 2 ilustra el experimento con una rejilla de 2 x 2. Los números de los
cuatro nudos se han escrito en distintos papeles, los cuales fueron metidos en
una gorra y mezclados. Supongamos que la primera vez se sacó el papel con el
número 1 y resultó bloqueado el primer nudo (Figura 2, b). (El esquema de
razonamientos y los resultados finales no cambian en absoluto si la primera vez
resulta bloqueado un nudo con otro número. El hecho es que en las rejillas de
cuatro nudos todos los nudos ocupan posiciones equitativas.) Si la segunda vez
resulta bloqueado el nudo 2. la corriente no cesará (Figura 2, c), ésta fluirá
por el conductor inferior.
Una vez bloqueado el tercer nudo (el 3 o el 4), la corriente, por supuesto,
cesará y será registrado el hecho de que la parte crítica de los nudos no
bloqueados es igual a 1/4. Pero si la segunda vez
resulta bloqueado el nudo 3 o el 4, la corriente cesará y la parte critica
constituirá 1/2 (Figura 2,d y e). Así pues, el
umbral de percolación xc es una variable aleatoria discreta que
adopta los valores de 1/4 y 1/2.
Calculemos la probabilidad P de que dicha variable adopta cada
uno de los referidos valores: P(1/4) y P( 1/2).
Figura 2. Cálculo de la rejilla 2 x 2 .a) Rejilla inicial; b) está bloqueado
un solo nudo; c. d, e) están bloqueados dos nudos. En el caso c, la corriente
se interrumpe solamente después del bloqueo del tercer nudo, de esta manera x =
1/4. En los casos d y e la corriente se interrumpe después del bloqueo del
segundo nudo, así que xc = 1/4. Los
tres casos c, d y e son equiprobables.
Todo
depende de qué nudo será bloqueado el segundo. Si es el nudo 2, entonces xc = 1/4 y
si es el nudo 3 o el 4, entonces xc= 1/2.
Por lo tanto, la probabilidad P(1/4) es igual
a la probabilidad de que el segundo nudo bloqueado sea el 2, mientras que P(1/2)
equivale a la probabilidad de que el segundo nudo bloqueado resulte el 3 o el
4. Después del bloqueo del nudo 1, los tres nudos restantes tendrán igual
probabilidad de ser bloqueados la siguiente vez. La suma de las tres
probabilidades es igual a la unidad, puesto que esos tres acontecimientos
forman un sistema completo. Por consiguiente, cada una de las probabilidades es
igual a 1/ 3.
Así pues, la probabilidad de que el siguiente nudo bloqueado sea el 2, es igual
a 1/3. Pero si el nudo 2 es el siguiente, entonces xc = 1/4.
Por lo tanto, la probabilidad de que xc = 1/4 constituye1/3,
es decir, P(1/4) = 1/3. Ahora
hay que hallar la probabilidad de que la segunda vez será bloqueado el nudo 3o
el 4. De acuerdo con la regla de adición de las probabilidades, la referida
probabilidad equivale a la suma de las probabilidades: 1/3 + 1/ 3 = 2/3.
Ésta es precisamente la probabilidad de que xc adquiera
el valor de 1/2, por consiguiente, P (1/2)
=2/3. Como sólo son posibles dos valores dexc ha
de cumplirse la igualdad P(1/ 2) + P(1/4)
= 1.
Efectivamente, P(1/2) + P(1/ 4)
= 2/3 + 1/3 =
1.
Es fácil pronosticar el valor medio del umbral de percolación xc (4).
Conforme a la fórmula (5) del capítulo 1,
xc (4)
= 1/2 x P(1/2)
+1/4 x P(1/4) =1/2 x 2/3 + 1/ 4 x 1/3 = 5/12
Este
número difiere considerablemente del valor del umbral de xc
que
como ya se había dicho es igual a ≈ 0,59
Es fácil calcular la varianza del umbral de percolación. Con arreglo a la
fórmula (6) del capítulo 1,
La
desviación cuadrática media
Ejercicio
1. Repitan los razonamientos suponiendo que la primera vez fue bloqueado el
nudo 3.
Variable aleatoria continua
Hasta ahora han sido examinadas las variables aleatorias discretas. Pero
también existen variables aleatorias continuas que pueden adoptar cualquier
valor en cierto segmento del eje numérico.
Supongamos que la variable aleatoria a puede adoptar todos los valores de y que
se encuentran en el campo de A a B (A ≤ y ≤ B),
teniendo en cuenta que ella adopta algunos valores a menudo, y otros, rara vez.
Para describir esto matemáticamente, se introduce la función de
distribución f(y)de la variable aleatoria a.
La propiedad fundamental de la función de distribución consiste en lo
siguiente: si los puntos A1 y B1 se
encuentran dentro del intervalo (A, B), además, si Ax < Bx,
entonces la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria resulte en el
intervalo A1 ≤ y ≤ B1 es
igual a la superficie limitada por el gráfico de la función f(y), el eje de
abscisas y las perpendiculares levantadas en los puntos A1 y
B 1(en la figura 3 esa superficie está sombreada).
Quien conoce el cálculo integral comprenderá que dicha probabilidad
(designémosla por P(A1, B1) puede ser
expresada por la fórmula
Figura
3
Como
todos los valores de la variable aleatoria se encuentran en el intervalo
(A, B) y la misma adopta obligatoriamente alguno de ellos, la
superficie buscada es igual a la unidad. Con otras palabras,
A
veces esta igualdad se denomina condición de normación de la función de
distribución.
La figura cuya superficie se expresa por la integral (1), llámase trapecio
curvilíneo (véase la figura 3). Si el intervalo (A1, B 1)
es tan pequeño que la función de distribución en su interior prácticamente no
puede variar, el trapecio curvilíneo puede ser sustituido por un rectángulo con
altura f(y1) donde y1 es cualquier punto del
intervalo (A1, B1). En este caso
donde
Δ = B1 - A1 es la anchura del intervalo
(A 1, B1).
En la literatura matemática, la función f(y) se llama
densidad de probabilidad. Como se deduce de la fórmula (2), con pequeña anchura
del intervalo (¡sólo en este caso es aplicable dicha fórmula!), la probabilidad
de que la variable aleatoria resulte dentro de él es directamente proporcional
a la anchura del mismo. La función f(y) es la probabilidad dividida entre la
anchura del intervalo, o bien la probabilidad correspondiente a la unidad de
longitud de este último, o, con otras palabras, la densidad de probabilidad.
Pero los físicos prefieren más el término "función de distribución".
Escribamos las fórmulas (5) y (6) del capítulo 1, para el valor medio y la
varianza en el caso de una variable aleatoria continua, de la forma siguiente:
donde
ā es el valor medio de la variable aleatoria a.
Daremos un ejemplo de función de distribución.
Distribución uniforme. La variable aleatoria continua adopta, con
igual probabilidad, todos los valores desde cero hasta la unidad y no puede
adoptar otros. Es evidente que la función f(y) no dependa de y dentro del
intervalo (0, 1), y que la misma sea igual a cero fuera de ese intervalo
(Figura 4).
Figura
4
Su
valor dentro de este último se puede hallar fácilmente a partir de la condición
de normación (1). En este caso A = 0, B = 1, y el trapecio curvilíneo se
transforma en un rectángulo cuya superficie constituye f0 1,
donde f0 es el valor de la función dentro del
intervalo, mientras que la anchura de éste es igual a 1. De la condición de
normación se deduce que f0∙1 = 1, es decir, f0 =
1.
Ejercicio
5. Así pues, la variable aleatoria continua a adopta, con igual probabilidad,
todos los valores desde - 1 hasta + 1. Hallar la probabilidad de que ella se
encuentre en el intervalo de -3/4 a - 1/4
Umbral de percolación como variable aleatoria continua
Hablando en rigor, el umbral de percolación es una variable aleatoria discreta,
ya que todos los valores que la misma puede adoptar se convierten en números
enteros al ser multiplicados por el número total de nudos N. Pero con grandes
valores de N es muy pequeña la diferencia de los próximos valores posibles de
dicha variable aleatoria (ésta es igual a N -1). Por eso en el
caso más importante, cuando el número de nudos sea grande, el umbral de
percolación xc puede ser considerado, con buena
exactitud, como una variable aleatoria continua que adopta todo género de
valores situados dentro de cierto intervalo en el eje numérico. Entonces la
variable xc ha de ser caracterizada por la función
de distribución f(y). En este apartado se describe el aspecto que
adquiere la función f(y) con grandes valores de N.
La función de distribución de los valores de umbral de xc debe
depender del número N de nudos de la rejilla utilizada en los experimentos. Por
eso será más correcto designar por fN( y) la
función de distribución. Por variable y conviene entender no el propio valor de
umbral, sino su desviación del valor medio de x c(N). Entonces
fN(y)Δ será la probabilidad de que el valor de umbral, obtenido en
cierto experimento, difiere del valor medio de xc(N) en
una variable situada en el pequeño intervalo Δ cerca del valor de y.
Según la definición, el valor medio, calculado con ayuda de la función fN(y)
y por medio de la fórmula (3), es igual a cero.
En la figura 5 está representada la función fN(y) para tres valores
distintos de N. Como se deduce de la figura, con el aumento del número N de
nudos, la función de distribución se hace cada vez más aguda. Eso significa que
las desviaciones del valor medio (¡recordemos que éste se considera igual a
cero!) se hacen cada vez menos probables con el aumento de N. De acuerdo con la
fórmula (1) del apartado anterior, las superficies debajo de las tres curvas en
forma de campana deben ser iguales.
Figura
5. Funciones fN(y)El número de nudos N crece con el número de
la curva. La línea de trazos indica la mitad de la altura de la curva 3,
Δ N es la semianchura de esta curva.
Con
el aumento de N crece la altura máxima de las curvas y disminuye su ancho. La
anchura de la curva en forma de campana puede ser definida como la distancia
entre los puntos de intersección de dicha curva con la recta horizontal trazada
a una distancia del eje de abscisas igual a la mitad de la altura máxima de esa
curva (Figura 5). Designemos tal anchura por Δ N la cual
suele llamarse semianchura.
Los valores del umbral de percolación situados fuera de la semianchura de la
curva, tienen por lo menos una probabilidad dos veces menor que el valor más
probable del umbral. Así pues, la semianchura caracteriza la dispersión típica
de los umbrales de percolación, incluidas las desviaciones cuya probabilidad es
dos veces menor que la probabilidad en el máximo de la curva fN(y).
Recordemos que, en esencia, la desviación cuadrática media (capítulo 1)
contiene esa misma información. La misma no determina la desviación cuya
probabilidad es justamente dos veces menor que la desviación máxima, sino que
determina la dispersión típica de los valores de los umbrales de percolación.
Para cualquier curva en forma de campana, los valores de ΔN y δN son
proporcionales entre sí. pero el coeficiente de proporcionalidad depende del
tipo de curva. Los cálculos realizados en ordenadores mostraron que la función
de distribución de los umbrales de percolación es una función de Gauss (así
llamada en honor al gran matemático C. Gauss). Dicha función tiene el siguiente
aspecto:
Donde
exp a ≡ ea ; e ≈ 2,72 es la base del logaritmo natural,
representada en la figura 5 para distintos valores de δ1. Como la
función es simétrica respecto al punto y = 0 en el que ella alcanza el valor
máximo, la semianchura ΔN puede ser hallada de la siguiente relación (véase la
Figura 5):
Utilizando
la fórmula (6) obtenemos
ΔN =
2 (2 ln 2) 1/2 δN
Según
la fórmula (8) del capítulo 1, el valor de δN se reduce a cero
con arreglo a la ley exponencial, si N → ∞. Eso significa que con el aumento
ilimitado del número de nudos, la semianchura de la función de distribución de
los umbrales de percolación tiende a cero, es decir, la propia función se
convierte en un pico evidente. Todos los valores del umbral de percolación,
excepto uno, tienen una probabilidad nula. En relación con esto, repetimos otra
vez la afirmación fundamental del capítulo anterior: cuando N → ∞, el umbral de
percolación, siendo una variable aleatoria, se transforma en una magnitud
cierta.
Ejercicio
6. (¡Para los que dominan el cálculo integral!) Sustituyan la función fN(y)
que se determina mediante la fórmula (6), en las fórmulas (3) y (4) y
demuestren que el valor medio de ā, calculado con ayuda de dicha
función, es igual a cero, y que la varianza δ 2 constituye
δ2N.
Contenido:
· Imán
permanente
· Sustancia
ferromagnética con impurezas
· Aparición
de un racimo infinito
· Ejercicio
· De
nuevo el problema de los nudos
· Imán
permanente
· Racimos
con baja concentración de átomos magnéticos
· Ejercicios
En
este capítulo de nuevo hablaremos del problema de los nudos de la teoría de
percolación, pero esta vez ese problema será enunciado de otro modo, en el
lenguaje de los racimos. Además será examinado otro objeto: en vez de la
rejilla con nudos bloqueados, hablaremos de la sustancia ferromagnética con
átomos de impureza. Es un objeto mucho más complicado, por eso conviene
detenerse en él aunque sea brevemente.
Imán permanente
Seguramente que casi todos saben por qué el níquel, el cobalto y algunos otros
materiales pueden ser imanes permanentes. Dicho fenómeno se explica por el
hecho de que los átomos que integran tales sustancias son, de por sí, imanes
elementales, es decir, poseen momentos magnéticos.
Un sistema bien conocido, dotado de momento magnético, es la aguja de la
brújula. El momento magnético es un vector. La aguja de la brújula tiene polo
sur y polo norte, y su momento magnético se halla dirigido del polo sur al polo
norte, El campo magnético exterior provoca el giro de la aguja de la brújula
hasta que la misma permanezca orientada a lo largo de las líneas magnéticas de
fuerza. Así mismo gira en el campo exterior cualquier momento magnético. La
aguja de la brújula genera un campo magnético exterior, y cualquier momento
magnético genera otro campo magnético absolutamente igual.
Ya a principios del siglo XIX fue aclarado que el manantial de magnetismo es el
movimiento de las cargas eléctricas, es decir, la corriente eléctrica.
Figura 6. Contorno con corriente y su momento magnético. electrónica.
El
momento magnético es generado por esta corriente. Para el contorno plano con
corriente, representado en la figura 6, el momento magnético μ se determina
mediante la fórmula μ =(1/c)IS, donde I es la intensidad de
corriente; S, la superficie del contorno, y c, la velocidad de la luz (en el
sistema de unidades CGS.). El vector está dirigido perpendicularmente al plano
del contorno, además, de tal modo que la corriente fluya de derecha a izquierda
si miramos del lado hacía donde indica la flecha del vector.
Si el sistema se compone de varios contornos con corriente, entonces,
utilizando la regla del paralelogramo, es posible sumar los momentos magnéticos
de los contornos y hallar el momento magnético total del sistema.
¿Cómo surge el momento magnético en los átomos? Según es sabido, el átomo
consta de un núcleo pesado y una capa electrónica.
El magnetismo de los cuerpos sólidos está relacionado precisamente con el
momento de dicha capa (el núcleo del átomo también puede poseer momento
magnético, pero aproximadamente mil veces menor que el momento de la capa).
El momento de ésta se halla relacionado, en primer lugar, con el movimiento de
los electrones en torno al núcleo pesado. A ese movimiento puede oponerse
cierta intensidad de corriente I y la superficie eficaz S.
Además, la mecánica cuántica atribuye a cada electrón un momento magnético
complementario denominado spin. Este último no está relacionado de ningún modo
con el carácter del movimiento del electrón, sino que es su propiedad interior.
Pero el momento de spin genera campo magnético al igual que un momento
ordinario. Lo más a menudo el momento magnético sumario de las capas
electrónicas de los átomos que constituyen el cuerpo sólido, es igual a cero.
Sin embargo, las capas electrónicas de algunas sustancias, tales como el
hierro, níquel, cobalto, etc., poseen momento magnético.
En los cuerpos sólidos, los momentos magnéticos de los átomos inmediatos
interaccionan unos con otros. En principio, tal interacción se parece a la de
las agujas de dos brújulas situadas una al lado de otra. Cada aguja engendra un
campo magnético que actúa sobre la otra aguja. No obstante, el asunto se
complica considerablemente debido a que la interacción no ocurre en el vacío.
Las capas electrónicas exteriores de los átomos influyen mucho sobre el
carácter de esa interacción, cambiando incluso tas direcciones de las fuerzas
activas.
El experimento muestra que en algunas sustancias, la interacción de los
momentos magnéticos es tal que las fuerzas que actúan entre ellos, obligan a esas
fuerzas a orientarse en una dirección. Tales sustancias se llaman
ferromagnéticas (Figura 7).
Figura 7. Fragmento de la red cristalina de una sustancia ferromagnética Con
flechas se indican los sentidos de los momentos magnéticos
Si
los momentos magnéticos de todos los átomos permanecen orientados en una misma
dirección, el momento magnético total M será igual a la suma aritmética de
dichos momentos: M = μN donde N es el número de átomos en el cuerpo solido, y
μ, el momento magnético de un átomo
Al aumentar el tamaño del cuerpo, el momento magnético crece proporcionalmente
a su volumen (el numero de átomos N es proporcional al volumen). La
característica específica de las propiedades magnéticas es decir la magnitud
que no depende del tamaño de los cuerpos y que solo depende de las propiedades
de los átomos que constituyen tales cuerpos, es la llamada imantación
espontanea M. La misma se determina como el momento magnético de la unidad de
volumen o sea, equivale al momento total M dividido entre el volumen del cuerpo
V,
donde v0 =
v/N es el volumen correspondiente a un átomo. La palabra espontanea significa
que la imantación M surge no a causa de la acción del campo magnético exterior,
sino a expensas de las fuerzas internas Un imán permanente es precisamente el
cuerpo en cuyo seno la imantación espontanea difiere de cero. Gracias a la
imantación, en el medio circundante al imán (o en el vacio) se genera un campo
magnético.
La imantación espontanea en el sistema de unidades CGS se mide en gaussios. Por
ejemplo, en el hierro a temperaturas muy bajas, M = 1740 Gs De aquí se puede
hallar el momento magnético μ correspondiente a un átomo Este momento
constituye aproximadamente 2,2 del momento magnético de spin del electrón. El
hecho de que el momento μ sea del orden del momento de spin confirma la
exactitud de nuestras nociones acerca de la naturaleza de la imantación
espontanea.
El movimiento térmico destruye el orden magnético, y por eso existe una
temperatura critica que se denomina punto de Curie por encima de la cual la
imantación espontánea es igual a cero. Por ejemplo, para el hierro, el punto de
Curie constituye 770 C [2]A temperaturas
más altas el hierro no puede ser imán permanente.
Sustancia ferromagnética con impurezas
Examinemos ahora una sustancia que constituye una solución (mezcla) solida de
átomos magnéticos y no magnéticos (desprovistos de momento magnético). Es un
cristal en cuyos nudos se hallan dispuestos átomos magnéticos y no magnéticos,
además su disposición no es ordenada sino absolutamente arbitraria.
Supongamos que la interacción de los momentos magnéticos de los átomos
disminuyen en función de la distancia tan rápidamente que ha de tomarse en
consideración solamente la interacción de los átomos más cercanos Eso significa
que si dos átomos magnéticos se encuentran juntos sus momentos son paralelos
obligatoriamente, pero si entre ellos hay aunque sea un átomo no magnético sus
momentos pueden tener direcciones arbitrarias los mismos ya "no saben
nada" uno del otro
La cuestión que ahora será planteada consiste en si existirá imantación
espontanea al haber átomos no magnéticos y cuantos átomos de este tipo se necesitaran
para destruir tal imantación. Más abajo se demuestra que la respuesta a esa
cuestión se reduce a la resolución del problema de los nudos, enunciado en el
capítulo 1.
Introduzcamos algunas definiciones. Diremos que dos átomos magnéticos se hallan
enlazados entre sí en el caso de que permanezcan uno al lado del otro o bien
cuando estén unidos entre sí por medio de una cadena de átomos magnéticos
situados uno al lado del otro (Figura 8).
Figura 8. Pedazo de retículo plano con átomos magnéticos (claros) y no
magnéticos (oscuros). Los átomos magnéticos forman un racimo de cuatro átomos,
un racimo de dos átomos y cinco racimos de un átomo. Los límites de los racimos
se indican mediante líneas de trazos. Los momentos de los diversos racimos
pueden ser dirigidos en sentidos diferentes.
La
expresión "situados uno al lado del otro" significa que dichos átomos
son los más cercanos. En el retículo cuadrado representado en la figura 8, los
átomos más cercanos son los situados horizontal y verticalmente, pero no los
dispuestos a lo largo de la diagonal. El conjunto de átomos enlazados se
denomina racimo o grupo. El sentido de tal definición consiste en lo siguiente.
Gracias a la interacción magnética, los átomos enlazados orientan sus momentos
magnéticos en un solo sentido. Así pues, cada racimo posee un momento magnético
resultante, el cual es proporcional al número de átomos que integran ese
racimo. Además, hemos acordado que los átomos magnéticos que no son vecinos
próximos no actúan recíprocamente. Por eso tampoco actuarán entre sí los átomos
que pertenezcan a diversos racimos. Por consiguiente, la orientación recíproca
de los momentos magnéticos que pertenecen a distintos racimos resulta
arbitraria (Figura 8).
Designemos por x la porción de átomos magnéticos, es decir, la relación entre
el número de esos átomos y el número total de nudos en el retículo. Según la
definición, el valor de x varia en el intervalo de 0 a 1.
Al principio supongamos que hay muy pocos átomos magnéticos (x «
1). Es natural que en este caso ellos suelen situarse aisladamente (como las
pasas en un panecillo). Un racimo de dos átomos magnéticos constituye un
acontecimiento muy raro, pero aún más raro es el racimo de tres átomos, etc.
Esta afirmación es muy importante para los razonamientos posteriores, y un poco
más abajo la misma será demostrada matemáticamente. Pero por ahora, quienes no
se hayan convencido del todo en su evidencia, que crean en ella "de buena
fe".
Así pues, cuando x « 1, el número de racimos equivale aproximadamente al número
de átomos magnéticos N y, por consiguiente, ese número crece cuando el número
total de nudos aumenta proporcionalmente a N. Pero los momentos magnéticos de
dichos racimos "no saben nada" uno del otro y, por lo tanto, se
hallan orientados caóticamente uno respecto a otro (Figura 8). Para obtener el
momento magnético completo del sistema M, es necesario sumar los momentos de
cada átomo por separado, aplicando la regla del paralelogramo. Estos momentos,
gracias a su dirección arbitraria, se compensan mutuamente de tal modo que la
imantación espontánea resulta igual a cero. Así, hemos establecido que con
pequeñas concentraciones de átomos magnéticos no existe imantación espontánea.
Aparición de un racimo infinito
Ahora examinemos el caso cuando casi todos los átomos son magnéticos. Es evidente
que una pequeña impureza de átomos no magnéticos no anula la imantación
espontánea, sino que sólo tiende a reducirla. Analicemos esta cuestión en el
lenguaje de los racimos. Cuando x = 1 todos N átomos pertenecen a un racimo.
Si x se distingue poco de la unidad, parte de los átomos
desaparecen de dicho racimo. Eso sucede, en primer lugar, porque algunos de
ellos son reemplazados por átomos no magnéticos (los átomos A en la figura 9)
y, en segundo lugar, porque algunos átomos magnéticos forman racimos aislados
(el átomo B en la figura 9) con su dirección del momento magnético.
Figura 9. Fragmento de una red plana con átomos magnéticos (claros) y no
magnéticos (oscuros) en el caso de gran concentración de los primeros. Todos
los átomos magnéticos, salvo el B, pertenecen a un racimo, y sus momentos
magnéticos tienen igual dirección.
No
obstante, con valores de x próximos a la unidad, se mantiene
un racimo único que atraviesa toda la red por muy grande que sea. Este racimo
suele llamarse racimo infinito.
Por supuesto que tal concepto adquiere sentido estricto solamente con arreglo
al sistema infinito. Tomemos una serie grande de muestras con valores
establecidos del número de átomos magnéticos y del número total de átomos, y
elijamos en cada una de ellas un racimo con el máximo número de átomos
magnéticos. Promediemos el número de éstos, pertenecientes al racimo máximo,
utilizando todas las muestras de la serie, y designemos por N máx el
resultado de la promediación. Así pues, Nmáx es el número medio
de átomos en el racimo más grande. La variable N máx depende
de N y de x. La existencia de un racimo infinito se manifiesta en
el hecho de que. con un valor establecido de x, la relación Nmáx/N
al aumentar ilimitadamente N tiende a un límite diferente de cero:
La
porción de átomos P(x) pertenecientes al racimo más grande no depende del
número de átomos N si este número es bastante grande, pero depende de x.
A su vez, el propio valor de Nmáx tiende al infinito al
aumentar infinitamente x. Precisamente por eso se habla de la existencia de un
racimo infinito.
En el sistema puede existir un solo racimo infinito. Supongamos que con valores
establecidos de N y x, ha sido determinado no sólo el número medio de átomos en
el racimo más grande, sino también el número medio de átomos en el siguiente
racimo según su valor. Designemos este último valor por N máx.
Según la definición, N'máx < Nmáx. La afirmación
de que en el sistema puede haber un solo racimo infinito, significa que
para
todos los valores de x. A su vez, esto significa que los dos
racimos que atravesaron todo el sistema, en cierto momento deben enlazarse
inevitablemente uno con el otro, convirtiéndose en un solo racimo. [3]
Así, hemos establecido que con bastante concentración de átomos magnéticos x,
una parte determinada de ellos pertenece a un solo racimo, y sus momentos
magnéticos tienen igual dirección. Esto significa que existe una imantación
espontánea:
Recordemos
ahora que con poca concentración de átomos magnéticos x, sólo
existen racimos pequeños. En este caso, el aumento del número de nudos x,
solamente conduce al incremento del número de pequeños racimos, pero no al
aumento del número de partículas en cada uno de esos racimos. Entonces
es
decir, P(x) = 0. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que existe una
concentración crítica xc con la que surge un racimo infinito,
además, xc satisface ¡as desigualdades 0 < x c <
1. Con esta misma concentración de xc aparece la imantación
espontánea y comienza a diferir de cero la función P(x) (Figura 10).
Figura 10. Gráfico de las funciones P(x) y σ(x)/σ(1). Ambas se reducen a
cero en un punto, pero debido a causas que serán aclaradas en la tercera parte
del libro. La forma de estas funciones cerca del valor crítico xc se
diferencia considerablemente.
Por
consiguiente, sí la porción de átomos no magnéticos resulta mayor de 1 - xc(la
porción de átomos magnéticos es menor de xc ), la sustancia no
puede ser imán permanente.
Ejercicio
1. Hallar el aspecto de la función P(x) para valores de x próximos
a la unidad.
De nuevo el problema de los nudos
Ahora sólo nos queda decir que desde el punto de vista de la concentración
critica xc, el problema de la electroconductibilidad de
una rejilla y el problema de la sustancia ferromagnética con impurezas
constituyen un mismo problema.
El problema de la electroconductibilidad también puede ser enunciado con
facilidad en el lenguaje de los racimos. Sólo es necesario sustituir en todas
las definiciones el concepto de "átomo no magnético" por "nudo
bloqueado".
La figura 8 ilustra cierta configuración de átomos magnéticos (círculos claros)
y no magnéticos (círculos oscuros). Efectuemos para esta configuración la
sustitución anteriormente indicada y pasemos de la sustancia ferromagnética con
impurezas a una rejilla pantalla con nudos cortados. Para este fin hay que
eliminar, en la figura 8, las flechas que indican las direcciones de los
momentos magnéticos y representar los alambres que enlacen los nudos entre sí
(Figura 11).
Figura 11. La misma configuración que en la figura 8, pero los átomos
magnéticos están sustituidos por nudos no bloqueados.
En
la figura 11 se distingue muy bien la propiedad fundamental de los racimos,
conforme al problema de la rejilla. Si a cualquier par de nudos de un solo
racimo le aplicamos la diferencia de potencial, surgirá un circuito cerrado por
el cual fluirá corriente eléctrica. (Claro está que dicha propiedad tiene
sentido solamente para los racimos que contienen no menos de dos nudos.) Al
aplicar diferencia de potencial a cualquier par de nudos pertenecientes a
diversos racimos, el circuito no se cerrará y la corriente eléctrica no fluirá.
Si x < xc, en el sistema sólo habrá racimos con un número finito
de nudos, y por eso, al aumentar las dimensiones del sistema, la corriente
eléctrica a través de los electrodos laterales se interrumpirá inevitablemente
tarde o temprano. Pero si en un sistema muy grande x > xc. en las
caras laterales del mismo siempre habrá nudos pertenecientes a un racimo
infinito. Precisamente ese racimo infinito asegurará la electroconductibilidad
especifica σ(x) distinta de cero y la cual no dependerá de las dimensiones del
sistema.
Volvamos a la figura 10 donde están representadas las funciones P( x)
(porción de nudos pertenecientes a un racimo infinito) y σ(x)/σ(1) (σ(1) es la
electroconductibilidad cuando x = 1, es decir, cuando no hay
nudos bloqueados). Ambas funciones se reducen a cero en un mismo punto, el cual
al principio fue llamado umbral de percolación, y después, punto donde surge un
racimo infinito.
Por lo tanto, todo el tiempo se trataba del problema de la teoría de
percolación, que se llama problema de los nudos. Si nos interesara el valor
de xc para una "sustancia ferromagnética
plana", hubiéramos podido decir, valiéndonos del resultado del experimento
con la rejilla, que éste es igual a 0,59. Sin embargo, las materias
ferromagnéticas reales se cristalizan en redes volumétricas (de tres
dimensiones) y no en planas. Un ejemplo de retículo tridimensional es la red
cúbica sencilla, una célula de la cual fue representada en la figura 7.
Figura
12. Red cúbica sencilla.
El
problema de la electroconductibilidad de una rejilla protectora se generaliza
con facilidad para el caso tridimensional. Imaginémonos un cubo soldado de
alambres y que contiene muchas células, como se muestra en la figura 12. En las
dos caras opuestas de este cubo pueden ser soldadas placas metálicas,
situándolas así como en el circuito eléctrico de la Figura 1, y estudiar la
electroconductibilidad en función del número de nudos bloqueados. Al bloquear
cada nudo se interrumpe el contacto entre los seis alambres que entran en ese
nudo. Al igual que en el caso bidimensional, existe la concentración critica xc de
los nudos no bloqueados, por debajo de la cual la electroconductibilidad es
igual a cero.
El problema de la sustancia ferromagnética con impurezas, así como la idea
acerca del racimo infinito, relacionada con este problema, pertenecían en igual
medida a los retículos planos y tridimensionales. La concentración crítica de
átomos magnéticos xc, con la cual surge un racimo
infinito, es a la vez el umbral de percolación de una cara a otra en un cubo
bastante grande. Hay que tener en cuenta que la propia variable xc depende
en sumo grado del tipo de retículo. Si para una red cuadrada esa variable era
igual a 0,59, para un retículo cúbico sencillo = 0,31. (Véase más
detalladamente el capítulo 6.)
Racimos con baja concentración de átomos magnéticos**
Las conclusiones sacadas en los apartados anteriores se basaban principalmente
en la afirmación de que con poca concentración de átomos magnéticos x, éstos,
por lo general, se sitúan de uno en uno, y los racimos de dos átomos son raros,
de tres, aún más, etc. Demostremos dicha afirmación.
Introduzcamos la función PM(x), es decir, la probabilidad de que el
átomo elegido al azar pertenezca a un racimo integrado por no menos de N
átomos. Esto significa que ese átomo:
1. es magnético,
2. está enlazado con no menos de N - 1 de otros átomos magnéticos.
Calculemos la función PM(x) cuando N = 1 y N = 2.
La función P1(x) es igual a la probabilidad de que el átomo elegido
al azar resulte magnético. Esta probabilidad es igual a x (véase el ejercicio 1
en el capítulo 2, donde es necesario sustituir la palabra "no
bloqueado" por la palabra "magnético", y la palabra
"bloqueado" por la palabra "no magnético"). Así pues,
La
función P2(x) equivale a la probabilidad de que el átomo
elegido al azar sea magnético y de que, en este caso, entre los átomos
inmediatos a él haya, por lo menos, un átomo magnético más. Los dos
acontecimientos indicados son, evidentemente, independientes y por eso la
probabilidad buscada puede representarse en forma del producto de las
probabilidades de tales acontecimientos. Como la primera de ellas (la
probabilidad de que el átomo sea magnético) es igual a x, entonces
donde W(x)
es la probabilidad de que entre los átomos inmediatos a cierto átomo haya, por
lo menos, un átomo magnético. La función W(x) depende del tipo de retículo
sometido a examen. Limitémonos a una red cuadrada en la que cada átomo tiene
cuatro átomos inmediatos (Figura 13). Es preciso hallar la probabilidad de que
por lo menos uno de los átomos 1, 2, 3 y 4 sea magnético.
Figura
13
Este
problema se resuelve fácilmente del modo siguiente. El acontecimiento que
consiste en que todos los cuatro átomos son no magnéticos, y el acontecimiento
que consiste en que por lo menos uno de los cuatro átomos es magnético,
constituyen un sistema completo de acontecimientos. La suma de probabilidades
de ambos acontecimientos equivale a la unidad. Designemos por W0 la
probabilidad del primer acontecimiento, mientras que la probabilidad del
segundo es, precisamente, la variable buscada W. Así, W + W0 = 1.
La probabilidad de que el átomo 1 sea no magnético constituye 1 - x. La
probabilidad de que el átomo 2, o el 3, o el 4 sean no magnéticos también
constituye 1 - x. Los acontecimientos que consisten en que diversos átomos
resultaron no magnéticos, son acontecimientos independientes. Por eso la
probabilidad de que los cuatro átomos sean no magnéticos es igual al producto
de cuatro probabilidades: W0 = (1 - x)4. De aquí se
deduce que W= 1 - W0 = 1 - (1 - x)4. De acuerdo con
la fórmula (2).
Si x
« 1, la expresión para P2(x) puede ser simplificada eliminando los
términos con altas potencias de x. Utilizando la fórmula del
binomio, obtenemos
1 -
(1 - x)4 = 4x - 6x2 + 4x3 -
x 4.
Ahora
notemos que si x « 1, la relación entre cada término ulterior y el término
anterior es pequeña:
Por
eso para x « 1, con buena precisión se puede escribir
de
donde se deduce
Comparando
las fórmulas (1) y (4), vemos que cuando x « 1, la relación
es
decir, la probabilidad de que el átomo elegido al azar pertenezca a un racimo
de dos y más átomos es mucho menor quela probabilidad de que el mismo forme un
racimo de un átomo.
Existe una deducción más sencilla de la fórmula (4) para P2(x),
en la que de inmediato se toma en consideración la condición x «
1. Valiéndose de tal deducción es posible calcular, con relativa facilidad, las
funciones PM(x) para M > 2 (véase el ejercicio 3). La
deducción consiste en lo siguiente: el racimo de más de dos átomos, que
contiene el átomo 0, siempre comprende el átomo 1, o el 2, o el 3, o el 4. La
probabilidad de que los átomos 0 y 1 pertenezcan a un racimo, es igual a la
probabilidad de que ambos sean magnéticos, y equivale al producto de las
probabilidades de que cada uno de ellos sea magnético, es decir, x ∙ x = x2.
Lo mismo se puede decir de la probabilidad de que el racimo sea formado por
átomos 02, 03 ó 04. Todas esas probabilidades son iguales a x2. La
probabilidad de que se realice, por lo menos, uno de dichos acontecimientos
equivale a la suma de tales probabilidades, es decir, a 4x2,
lo cual precisamente conduce a la fórmula (4).
Esta deducción sólo es justa cuando x « 1. Únicamente en este caso puede
utilizarse la regla de adición de las probabilidades. En efecto, la regla de
adición es justa para acontecimientos incompatibles. Pero el acontecimiento que
consiste en que los átomos 0 y 1 resultaron magnéticos, es compatible con el
hecho de que los átomos 0 y 2 también resultaron magnéticos. La coincidencia de
los acontecimientos significa que los tres átomos 0, 1 y 2son magnéticos y, por
consiguiente, forman un racimo de tres átomos. La probabilidad del
acontecimiento coincidente es igual al producto de las probabilidades de que
los tres átomos sean magnéticos, es decir, es igual a x∙x∙x= x3.
Cuando x « 1, esta probabilidad es mucho menor que la probabilidad calculada de
formación de un racimo de dos átomos. Por eso puede ser despreciada la
probabilidad de coincidencia de los acontecimientos y examinarlos como
incompatibles. Precisamente esto justifica la conclusión sacada más arriba, a
condición de que x « 1.
De hecho, eso significa que si x « 1, al calcular P2(x) es posible
despreciar la probabilidad de que se forme un racimo de tres átomos.
Por lo tanto, cuando x « 1. la función P2(x) en realidad
coincide con la probabilidad de que el nudo elegido al azar pertenezca a un
racimo de dos (¡y no más!) átomos. Respectivamente, la función P3(x)
describe un racimo de tres átomos. La misma es proporcional a x3 y
es pequeña en comparación con P2(x). El resultado
general consiste en que la función PM(x) contiene potencias
de x no menores de xM, y cuando x « 1 obtenemos PM(x)
« P M-1(x).
Por consiguiente, si cuando x « 1 el nudo elegido al azar resultó magnético,
éste formará, con máxima probabilidad, un racimo de un átomo. La probabilidad
de que el mismo pertenezca a un racimo de M nudos disminuye bruscamente con el
crecimiento de M.
Ejercicios
2. Hallar P2(x) para la red cúbica sencilla representada en
la figura 12. Para cualquier retículo en el que cada átomo tiene z átomos
inmediatos.
3. Hallar P3(x) para una red cuadrada, valiéndose
de la condición x « 1.
Hallar P3(x) para un retículo cuadrado, sin utilizar la condición x
« 1.
Capítulo 4
Solución del problema de los nudos por el método de Montecarlo, mediante un
ordenador
Contenido:
· ¿Por
qué Montecarlo?
· ¿Qué
es el método de Montecarlo?
· ¿Cómo
inventar un numero aleatorio?
· Método
de centro del cuadrado
· Ejercicios
· Método
congruente lineal
· Ejercicios
· Determinación
del umbral de percolación por el método de Montecarlo mediante un ordenador
· Distribución
de los nudos bloqueados y no bloqueados
· Ejercicio
· Búsqueda
de vías de percolación
· Determinación
del umbral
· Ejercicio
El
método de Montecarlo es el procedimiento más difundido de solución de los
problemas de la teoría de percolación. El objeto de este capítulo es dar una
idea general sobre este método, explicar detalladamente cómo funciona el
elemento principal del método, es decir, el generador de números aleatorios, y
aducir, en conclusión, el programa concreto para un ordenador, que permita
hallar el umbral de percolación del problema de los nudos. Probablemente que la
primera pregunta que surge es la siguiente:
¿Por qué Montecarlo?
- ¿Qué es eso de cero? ¿Has oído que el croupier chato de pelo crespo, el
principal, acaba de anunciar el cero? ¿Y por qué barre todo lo que hay en la
mesa? Se ha llevado un montón de dinero. ¿Qué significa eso?
- El cero, Antonida Vasilievna, quiere decir que la banca ha ganado. Si la
bolita cae en el cero, todo lo de la mesa pertenece a la banca. Es cierto que
puede usted salvar lo apostado: pero la banca no paga nada.
- ¡No digas eso! ¿De modo que no gano nada?
- Nada, babouschka[4]; pero si
hubiese apostado al cero, ganaría treinta y cinco veces su postura.
-¡Qué me dices! ¿Treinta y cinco veces? ¿Y ocurre eso con frecuencia? ¿Por qué
no apuestan al cero los tontos?
-¡Qué tontería! ¡Potápich! ¡Potápich! ¡Aunque, calla! Llevo dinero encima,
- Porque tienen treinta y seis probabilidades contra una.
Sacó del bolsillo un monedero bien repleto y tomó un federico oro.
- Toma. Pon lo en seguida al cero.
- El cero acaba de salir, abuela, y tardará mucho en volver a tocar. Perderla
usted un dineral. Aguarde un poco al menos.
-¡Qué necedades! ¡Ponlo, te digo!
- Como usted quiera; pero a lo mejor no sale hasta la noche y puede perder
miles. No sería la primera vez.
-¡Sandeces, sandeces! Si tienes miedo al lobo no vayas al bosque. ¿Qué? ¡He
perdido? ¡Pon otro![5]
Este fragmento de la novela de Fiodor M. Dostoievski "El
jugador" [6] describe
el juego más frenético del siglo pasado, la ruleta.
La ciudad de Montecarlo, situada en el principado de Mónaco, se ganó la fama de
capital mundial de la ruleta. Precisamente en honor a esta ciudad fue llamado
uno de los métodos matemáticos más potentes de nuestros días.
¿Qué hay de común entre este método y la ruleta? Pues que el elemento principal
del método de Montecarlo es la misma bola giratoria que en numerosas salas de
juego de esa ciudad rige los destinos de la gente, sumiendo a unos y ascendiendo
a otros. Es verdad que los matemáticos perfeccionaron considerablemente ese
método. Ya no es una bola, ni mucho menos, sino que es el programa estándar de
un ordenador, el cual se denomina "generador de números aleatorios".
Pero la esencia del asunto no ha cambiado en absoluto. La bola de la ruleta,
desde el punto de vista matemático también es de por si un generador de números
aleatorios.
¿Qué es el método de Montecarlo?
Por regla general, llámase método de Montecarlo cualquier procedimiento matemático
en el que se utiliza en sumo grado un generador de números aleatorios.
Por lo común, el ordenador moderno tiene un programa estándar que genera los
números aleatorios distribuidos uniformemente en el intervalo de cero a la
unidad, es decir, que "sortea" los valores de la variable aleatoria
infinita que adoptan, con igual probabilidad, todos los valores en el intervalo
(0, 1).
Cada vez que recurramos a este programa, obtenemos un número con cierta
cantidad de cifras después de la coma, que depende de la clase del ordenador.
La aplicación más sencilla del método de Montecarlo consiste, por ejemplo, en
el cálculo de integrales. Supongamos que es necesario calcular el volumen
limitado por una superficie cerrada de forma complicada. Elijamos un cubo que
contiene a ciencia cierta toda esa superficie (Figura 14).
Figura 14. Determinación del volumen de una pera por el método de
Montecarlo.
Con
ayuda del generador de números aleatorios obtenemos un conjunto de puntos
distribuidos uniformemente dentro del cubo. Esto se hace del modo siguiente.
Supongamos que la longitud de la arista del cubo es igual a L y
que las tres coordenadas de los puntos contenidos en él cambian de cero a L
(Figura 14). Recurriendo tres veces al generador de números aleatorios,
obtenemos tres números: y1, y2, y 3 situados
en el intervalo (0, 1). Construyamos con ellos las coordenadas del primer punto
situado dentro del cubo, según las fórmulas X 1 = Ly1,
Y1 = Ly2 , Z1 = Ly3.
Tras realizar tal procedimiento Q veces, obtenemos Q puntos que, por término
medio, llenan el cubo uniformemente. Supongamos que Q1 es el
número de puntos que resultaron dentro de la referida superficie. Como dichos
puntos permanecen uniformemente distribuidos, el número Q1caracterizará
el volumen limitado por tal superficie. Precisamente si el número Q es bastante
grande, el volumen buscado constituirá
L3 Q1/Q
Existe
una teoría que permite decir qué número de puntos Q se necesita para obtener un
resultado de precisión requerida. Este problema puede ser enfocado
empíricamente, repitiendo varias veces el experimento y utilizando otros
conjuntos de números aleatorios y comparando posteriormente los resultados. Si
no cambia nada dentro de los límites de la exactitud establecida, eso
significará que todo está en orden y la solución es correcta. En el caso de
espacios de gran número de mediciones (de integrales múltiples), el método de
Montecarlo tiene ventajas considerables en comparación con los procedimientos
de integración ordinarios.
En una serie de casos el método de Montecarlo es el único posible. Imagínense
que se estudia el comportamiento de un sistema constituido por un número enorme
de partículas, por ejemplo, el comportamiento de un gas. En principio tal
problema debe resolverse mediante los procedimientos de la física estadística,
sin embargo, si la interacción de las partículas es muy fuerte (así sucede en condiciones
de gran densidad y a temperaturas muy bajas), estos procedimientos no son
eficaces. En este caso las propiedades del gas se estudian con ayuda de la
simulación en un ordenador. El número de partículas del gas que participan en
la simulación se determina por el volumen de la memoria del ordenador. En dicha
memoria debe conservarse la información sobre las coordenadas de todas las
partículas. La simulación consiste en que arbitrariamente se elije una de las
partículas que después se desplazará a una distancia aleatoria. (Esto significa
que en la memoria del ordenador cambian las coordenadas de esa partícula).
Luego se elige arbitrariamente otra partícula, etc. La energía potencial de
interacción de las partículas del gas depende de su disposición recíproca. Ésta
se calcula desde el principio y posteriormente se recalcula después de cada
desplazamiento. Las probabilidades de desplazamientos de las partículas a una u
otra distancia se eligen de acuerdo con la energía potencial, de tal modo que
el sistema de simulación "viva" por término medio lo mismo que el
sistema real.
Como resultado, en la memoria del ordenador parece como si se grabaran
"fotografías instantáneas" del gas, reproducidas en momentos de
tiempo consecutivos, Esas fotografías incluyen las coordenadas de todas las
partículas del gas, y a partir de ellas es posible calcular las características
termodinámicas medias, tales como presión, capacidad calorífica, etc.
El propio procedimiento de simulación se asemeja mucho al juego que se realiza
según reglas rigurosamente establecidas, las cuales comprenden el modo de
recurrir a la ruleta, es decir, al generador de números aleatorios. Las mínimas
divergencias de las reglas o el juego a una ruleta "fraudulenta"
conducen al hecho de que unas configuraciones de átomos del gas aparecen más a
menudo que otras. Eso se refleja en los resultados de promediación y contribuye
a la obtención de resultados incorrectos.
El generador de números aleatorios se utiliza no sólo en el método de
Montecarlo, sino también en los llamados experimentos análogos, cuyo ejemplo es
el experimento con la rejilla protectora descrita en el primer capítulo. Como
ya fue dicho, la sucesión arbitraria de los nudos bloqueados, necesaria para
tal experimento, se componía en el ordenador. Para elegir el nudo consecutivo
es preciso recurrir al programa y obtener el número aleatorio y. Este último ha
de multiplicarse por el número total de nudos N y añadir la unidad al producto
obtenido. Luego, de N y+1 hay que tomar la parte entera.
En este caso surgirá un número entero situado en el intervalo requerido de 1 a
N. Por supuesto que tales números pueden repetirse, pero eso no debe asustar.
Si resulta que el nudo con el número obtenido fue bloqueado anteriormente, es
necesario exigir del ordenador un número aleatorio nuevo y convertirlo en
número del nudo.
Más adelante será descrito el programa con cuya ayuda se calculan los umbrales
de percolación por el método de Montecarlo, pero ahora hablaremos del elemento
más importante de este método: del generador de números aleatorios.
¿Cómo inventar un numero aleatorio?
Así, Uds. necesitan números aleatorios distribuidos uniformemente en el
intervalo de cero a la unidad. Pero con esto la tarea aún no ha sido formulada.
Es preciso saber cuántas cifras después de la coma se necesitan en cada número.
Supongamos que se requieren sólo dos cifras. En este caso la receta más
sencilla consiste en lo siguiente. Tomen la guía de teléfonos, ábranla en
cualquier página y copien seguidamente las dos últimas cifras de cada número
telefónico, poniendo delante de ellas "0". Obtendrán una tabla de dos
cifras de números aleatorios. ¿Y qué hacer si se exigen números de diez cifras?
Tal vez en este caso Uds. no puedan prescindir del ordenador.
Si pensamos un poco, la propia idea de que el ordenador puede generar números
aleatorios, parecerá extraña. Pues precisamente los ordenadores funcionan con
arreglo al algoritmo que se les propone, es decir, realizan con exactitud las
acciones que exige de ellos el hombre. ¿Cómo, pues, introducir en estas
acciones el elemento de casualidad?
En realidad no hay ningún elemento de casualidad en el programa del generador
de números aleatorios. El principio de su funcionamiento consiste en lo
siguiente. Al recurrir por primera vez al programa hay que prefijar cierto
número y0. Conayuda de una sucesión de acciones, absolutamente
determinada, este número se transforma en un número nuevo:
donde
Φ es la función o sucesión de operaciones, seleccionada de cierto modo, que
transforma y0 en y1. Precisamente esa función
determina el algoritmo de generación de números aleatorios. A su vez, el número
sirve de base para obtener el número siguiente y2 según
la misma receta:
Por
supuesto que la función Φ está estructurada de tal modo que todos los números y1,
y2 ... yn satisfacen las desigualdades 0
≤ yn ≤ 1. Estas son precisamente los números
aleatorios buscados.
Es fácil cerciorarse de que la sucesión de números obtenida de tal modo no
puede ser infinita. En efecto, el ordenador opera solamente con números que
contienen una cantidad determinada de cifras (órdenes). La cantidad de tales
números es limitada. (Sólo existen 102 números de dos cifras y
10n de n cifras.) Por eso tarde o temprano el número
consecutivo yn coincidirá con el número anterior, por ejemplo,
con yn-L. Después de esto todo comenzará a repetirse: y n+1 coincidirá
con yn-L+1 etc.
Por lo tanto, la sucesión de números. obtenida mediante las fórmulas (1) y (2),
resulta periódica inevitablemente. Por eso tales números no se denominan
números verdaderamente aleatorios, sino que adquirieron el nombre de números
seudoaleatorios (es decir, son algo así como aleatorios o parecidos a ellos).
Sin embargo, los mismos pueden utilizarse como aleatorios si la cantidad de
números necesarios para resolver dicho problema es menor que el periodo de
sucesión L.
A su vez, el periodo L se determina a partir de la cantidad de signos decimales
con los que opera el ordenador (es decir, según la cantidad de células de
memoria concedidas a cada número), así como conforme a la cualidad del
algoritmo (es decir, con arreglo a las propiedades de la función Φ que figura
en las fórmulas (1) y (2)).
La elaboración de un buen generador de números aleatorios es un problema muy
complicado. Los generadores elaborados al azar resultan, por lo general, malos.
Más abajo se examinan algunos generadores concretos.
Método de centro del cuadrado
Históricamente es el primer método de generación de números seudoaleatorios en
un ordenador. El mismo fue propuesto en el año 1946 por el insigne matemático
John von Neumann. Este método permite generar números con cualquier cantidad de
cifras que correspondan a las posibilidades del ordenador. Es un método muy
sencillo. Supongamos que se necesitan números de cuatro cifras. Elegimos
arbitrariamente el primer número X0. Por ejemplo, X0 =
8219. Lo elevamos al cuadrado. Obtenemos el número 67551961 de ocho
cifras. Extraemos las cifras centrales: 5519. El siguiente número de la
sucesión es X1 = 5519. Elevamos al cuadrado 5519 y obtenemos 30459361.
El siguiente número aleatorio es X2 = 4593. Si las primeras
cifras centrales son ceros, obtenemos un número con menor cantidad de cifras.
Por ejemplo,
X22 =
21095649,
X3 =
956
Al
elevarlo al cuadrado es necesario obtener un número de ocho cifras, escribiendo
adelante los ceros, X32 = 009139 36, así
que X4 = 9139, etc.
Los números aleatorios yn, distribuidos uniformemente en
el intervalo de cero a la unidad, se obtienen de los números Xn mediante
la fórmula yn = Xn/104, donde n = 0, 1,
2, 3, ..así que y0 = 0,8219: y1 = 0.5519;
y 2 = 0,4593. etc.
A primera vista el método parece bueno. Pero la investigación minuciosa ha
demostrado que eso no es así ni mucho menos. Su principal defecto consiste en
que con algunos números iniciales, la sucesión "se unifica en el
ciclo". Por ejemplo, se aclaró que en la clase de números de cuatro
cifras, las sucesiones a menudo finalizan en el ciclo 6100, 2100, 4100, 8100 y
6100. El período de ciclo equivale tan sólo a cuatro, lo cual, por supuesto, no
sirve para nada.
Existe un número que inmediatamente se reproduce a sí mismo. Es el número 3792
(37922 = 14379264). También se reproduce a sí mismo el
cero, mientras que muy a menudo las sucesiones obtenidas por el método de
centro del cuadrado se reducen a cero. Por eso en nuestros días, este método
sólo representa interés histórico.
Ejercicios
1. Componer la sucesión de números de cuatro cifras comenzando por 0085, 0067 y
0032. Demostrar que todos ellos son monótono-decrecientes (cada número
siguiente es menor que el anterior) y que muy rápidamente se reducen a cero.
2. Ahora demostrar que eso es un defecto general del método de centro del
cuadrado; si se utilizan números de 2n cifras Xi y
en la sucesión apareció el número b, cuyas cifras mayores n son iguales a cero,
entonces, desde este momento, la sucesión se vuelve monótono-decreciente y, al
fin y al cabo, se reduce a cero.
Método congruente lineal
Actualmente este método de obtención de números aleatorios se estima que es el
mejor. Su esencia consiste en lo siguiente. Se eligen cuatro números positivos
enteros:
·
Factor k;
·
Desplazamiento c;
·
Módulo m:
·
Primer número de la sucesión XQ.
La sucesión de números aleatorios se determina por la fórmula
donde
el índice n recorre los valores 0, 1, 2. ... El símbolo b mód m constituye el
resto de la división del número b por m. Por ejemplo,
|
b |
25 |
6 |
30 |
3 |
147 |
|
m |
10 |
10 |
10 |
12 |
12 |
|
b mód m |
5 |
6 |
0 |
3 |
3 |
Es evidente que b mód m < m. Por esta razón, todos los números de la
sucesión Xn satisfacen la desigualdadXn < m.
La sucesión de números yn, distribuidos uniformemente en
el intervalo de cero a la unidad, se obtiene por medio de la fórmula
Se
entiende que no cualquier elección de cuatro números iniciales conduce a buenos
resultados. Antes que nada señalemos que la sucesión de números X n ha
de ser obligatoriamente periódica, además, el período no puede superar m.
En efecto, como todos Xn son números enteros, además, Xn <
m, la cantidad de números diferentes no puede superar m. Por consiguiente,
empezando al menos por n = m, aparecerá un número con el que ya hemos
tropezado, y todo se repetirá de nuevo.
Pero no es tan fácil obtener una sucesión con el período máximo posible m. Si
elegimos números iniciales sin pensar, por regla general obtendremos sucesiones
de pequeño período.
Ejercicios
3. Escriban la sucesión de números Xn que se desprende de la
fórmula (3), con k = 3, c = 0, X0 = 5, m = 20.
4. Escriban la sucesión de números Xn que se deduce de la
fórmula (3). con k = 3. c=1, X0 = 5, m = 20.
5. Escriban la sucesión de números Xn que se deduce de la
fórmula (3), con k = 3, c = 2, X0 = 5, m = 20. Cerciórense de
que en los tres casos el período de sucesión es mucho inferior a 20. Examinen
otros ejemplos.
Ha sido demostrado el siguiente teorema. Si la sucesión se determina por la
fórmula (3), con c ≠ 0, su periodo es igual a m si, y solamente si, se cumplen
las siguientes condiciones:
a. c y
m son números primos recíprocamente (no tienen divisores comunes, salvo la
unidad):
b. b =
k - 1 es múltiplo de p para cualquier número primo p que es divisor de m:
c. b es
múltiplo de 4 si m es múltiplo de 4.
Desgraciadamente,
la demostración de este teorema es muy complicada para exponerla aquí.
6. Cerciórense de que en todos los ejemplos dados en los ejercicios 3...5, las
condiciones dictadas por el teorema enunciado más arriba no se cumplían.
7. Cerciórense de que el conjunto de números k = 11, c = 3, m = 5 satisfacen
las condiciones del teorema, y que con todos X0 se obtiene un
período L = 5.
Así, para obtener un generador con el periodo máximo posible L, es
necesario adoptar en calidad de m el mayor número con el que pueda operar un
ordenador dado, y elegir los demás números con arreglo al teorema expuesto
anteriormente.
Sin embargo, el período no es el único índice que determina la calidad de la
sucesión aleatoria. Examinemos, por ejemplo, la sucesión correspondiente a k =
c = 1. Esta tiene el aspecto 0, 1, 2, 3, .... m - 1, 0, 1, 2, 3,..., m - 1, 0,
... Su período es igual a m, pero es una sucesión aleatoria que no sirve para
nada.
Ha sido elaborado un sistema complicado de ensayos que permite determinar las
cualidades del generador de números aleatorios. Por eso se recomienda utilizar
sólo generadores comprobados.
Al elegir el generador, las propiedades del ordenador son importantes no sólo
para elegir el periodo máximo posible. De la elección de los números iniciales
también depende la velocidad de generación de números aleatorios. En este caso
resulta que para ordenadores de distintas estructuras son óptimos diversos
generadores.
En los programas que trabajan a base del método de Montecarlo se prevé la frecuente
utilización (decenas y centenas de millones de veces) del generador de números
aleatorios. Por eso la velocidad de acción de éste es una de sus cualidades más
importantes.
Para ordenadores de marca BECM-6 se recomiendan generadores con k =
517, c= 0, m = 240 y valores impares de
X 0. Este conjunto de números no satisface las exigencias del
teorema expuesto más arriba (c = 0), y el periodo de tal generador
es menor que m. Sin embargo, para los generadores con c = 0 ha
sido demostrado otro teorema, de acuerdo con el cual el período del generador
recomendado es igual a 238 ≈ 2,75 x 1011.
Determinación del umbral de percolación por el método de Montecarlo,
mediante un ordenador. Distribución de los nudos bloqueados y no
bloqueados
Ahora será detalladamente descrito el programa según el cual funciona el
ordenador al determinar el umbral de percolación por el método de Montecarlo.
Cabe señalar que este programa no es el único ni mucho menos. A su vez, cada
grupo de investigadores ocupados de estas cuestiones prefiere utilizar su
propio programa que, en mayor o menor grado, difiere de los demás. Esto está
relacionado, en parte, con las singularidades de los diversos ordenadores y, en
parte, simplemente con la experiencia individual de los programadores.
Se trata del problema de los nudos, además, para simplificar se examina
solamente un retículo cuadrado plano. Por lo demás, como será visto en
adelante, la generalización del método para cualquier retículo de cualquier
dimensión no requiere mucho trabajo.
Supongamos que es necesario estudiar la percolación en un cuadrado, uno de
cuyos lados contiene L nudos, por lo cual, el número total de nudos N = L 2.
Consideremos que la distancia entre los nudos es igual a la unidad y
caractericemos estos últimos por las coordenadas X e Y. Por ejemplo, el nudo
con coordenadas X = 9, Y= 25 es el que se encuentra en la novena columna
izquierda y en la vigesimoquinta fila desde abajo.
Para estudiar la percolación es necesario establecer cuál de los nudos está
bloqueado, y cuál no, y tener la posibilidad de cambiar el número de nudos
bloqueados, a fin de que los mismos pasen por el umbral de percolación. Con
este propósito, inicialmente cada nudo será anotado con cierto número V. Como
el nudo se caracteriza por dos coordenadas X e Y, esto equivale al hecho de que
se introduzca la función de dos variables V(X, Y) cuyos argumentos
recorren no todos los valores y sólo pueden ser números enteros en el intervalo
de 1 a L. En la programación, tal función se denomina bloque bidimensional, y
los valores que ella adquiere se llaman elementos de este bloque. Por ejemplo,
el elemento del bloque V(31, 97) es cierto número perteneciente al
nudo con coordenadas X = 31, Y = 97. El bloque sólo tiene L x
L= N elementos, mientras que en la memoria del ordenador es preciso reservar un
lugar necesario para registrar números.
El programa comienza por la elaboración del referido bloque. Sus elementos son
los números aleatorios distribuidos uniformemente de cero a la unidad. El
generador de números aleatorios proporciona el número y, y con éste
se anota el elemento del bloque V(1, 1). Eso significa que dicho
número se escribe en la respectiva célula de la memoria del ordenador y, a
partir de este momento, este último "recordará" que V(1,
1) = y. Con el siguiente número proporcionado por el generador se anota el
elemento V(1, 2), etc. Así se elaboran todos los elementos del
bloque V.
Seguidamente se elabora el segundo bloque bidimensional que será designado por
K. Los elementos de este bloque son ceros y unidades, además, si, por ejemplo,
K (25, 16) = 0, eso significa que el nudo con coordenadas X = 25, Y= 16
permanece bloqueado, y si K (25, 16) = 1, ese nudo no está bloqueado. Para
elaborar el bloque K se utiliza el bloque V y cierto número t situado en el
intervalo de cero a la unidad. Variando el número t es posible modificar el
número de nudos bloqueados.
El bloque K se obtiene según la regla siguiente. Tomemos el nudo con
coordenadas X e Y. Si V(X, Y) ≤ t, entonces K (X, Y)
= 1, y si V(X, Y) > t, entonces K (X, Y) = 0. En el
primer caso, el nudo con coordenadas X e Y se considera no
bloqueado, y en el segundo, bloqueado. Como las variables V se hallan
distribuidas uniformemente en el intervalo de cero a la unidad, y suponiendo
que el número t es próximo a cero, resultará que casi todos
los nudos permanecen bloqueados. Y, al contrario, si el número t es próximo a
la unidad, entonces casi todos los nudos permanecerán no bloqueados. Cuando t
= 1/2, el número de nudos bloqueados y no bloqueados
debe ser igual aproximadamente.
Utilizando la función de distribución de los números aleatorios proporcionados
por el generador, es posible enlazar el número t con la
porción media de nudos no bloqueados x, la cual se obtiene como
resultado del procedimiento descrito anteriormente. Resulta (véase el ejercicio
8) que t = x. Pero esta igualdad es justa cuando el número de
nudos N es muy grande, o cuando son elaborados muchos bloques K con el mismo
número t, promediando posteriormente las porciones de nudos no
bloqueados obtenidos en cada bloque. Para cada bloque concreto, dicha igualdad
puede resultar algo alterada hacia uno u otro lado, con la particularidad de
que cuanto mayor sea N tanto más exactamente ella ha de cumplirse.
Así pues, en la memoria del ordenador ha sido inscrito el bloque V, y de él
puede ser obtenido el bloque K que describe cuál es el nudo bloqueado y cuál es
el no bloqueado. El aspecto del bloque K se regula por medio del número t que
coincide aproximadamente con la porción de nudos no bloqueados obtenidos en
este bloque. Variando suavemente t es posible obtener las
distribuciones de los nudos bloqueados y no bloqueados, con una
concentración x de nudos no bloqueados que cambia
uniformemente.
Ejercicio
8. Demuestren que la porción media x de nudos no bloqueados en
el bloque K es igual a t.
Búsqueda de vías de percolación
Supongamos que ha sido compuesto el bloque V, establecido el número t y hallado
el bloque K que contiene cierta porción de nudos no bloqueados.
Ahora el ordenador sabe exactamente cuál de los nudos está bloqueado, y cuál
no, comenzando la segunda etapa del programa: la búsqueda de vías de
percolación. Supongamos que la percolación se estudia de izquierda a derecha.
Antes que nada, todas las unidades situadas en la columna izquierda extrema (X
= 1) adquieren un nuevo nombre: doses. El cambio de nombre consiste en que en
la célula de la memoria, correspondiente a un elemento dado del bloque K, se
borra la unidad y se escribe un dos.
En la memoria del ordenador se confecciona la lista de las coordenadas de los
nudos llamados ahora doses. Luego el ordenador estudia cada nudo de esa lista y
calcula qué nudos son los más inmediatos al nudo sometido a estudio y exige del
bloque K datos acerca de dichos nudos. Si el nudo inmediato resultó la unidad,
el mismo adquiere el nombre de dos y sus coordenadas se apuntan en la nueva
lista. Tras terminar el estudio de la primera lista, en la memoria del
ordenador resulta la lista de doses de la "segunda generación", es
decir, la lista de unidades que adquirieron el nombre de doses, gracias a que
se encontraban en contacto con los doses de la primera generación.
A fin de ahorrar la memoria del ordenador, en esta etapa se borra la primera
lista que ya no sirve más, y se liberan las respectivas células de la memoria.
La máquina pasa al estudio de la segunda lista y a la formación de la lista de
doses de la tercera generación. Al terminar dicha operación se borra la segunda
lista y se inicia el estudio de la tercera. Esta operación va acompañada de la
formación de la cuarta lista, etc.
En el transcurso del referido proceso aumenta el número de doses en el bloque
K. Los doses son los nudos no bloqueados enlazados, mediante la vía de
percolación, con cualquier nudo no bloqueado de la columna izquierda extrema,
es decir, con los doses se marcan las vías de percolación.
El proceso de búsqueda de vías de percolación cesa en dos casos:
1. En el lado derecho del cuadrado apareció aunque sea un dos. El ordenador
indica que con un valor dado de t existe percolación.
2. En el lado derecho del cuadrado no hay doses y el estudio de la siguiente
lista no condujo a la formación de ningún dos nuevo. Eso significa que se
cortaron todas las vías y que con un valor dado de t no hay percolación.
Determinación del umbral
Supongamos que con un valor dado de t existe percolación. Entonces el ordenador
reduce ese valor de t y, utilizando el mismo bloque V, halla
un nuevo bloque K con menor número de nudos no bloqueados. De nuevo comienza la
búsqueda de vías de percolación. Si ésta se manifiesta otra vez, el número t se
reduce aún más, y así se procede hasta que con cierto valor de t se
aclare que no hay percolación. Entonces el intervalo entre ese valor de t y
su valor mínimo, con el que todavía había percolación, se divide por la mitad y
con este valor intermedio de t se realiza la búsqueda de vías de percolación.
Si ahora resulta que no hay percolación, entonces el intervalo entre este
último valor y el valor mínimo con el que hay percolación, de nuevo se divide
por la mitad. Pero si hay percolación, entonces se divide por la mitad el
intervalo entre el último valor de t y aquel valor con el que no había
percolación.
Figura 15. Cuadro de distribución de los ceros, unidades y doses en el
momento de aparición de la percolación. Se indica la vía por la cual los doses
"penetraron" del lado izquierdo al lado derecho del cuadrado. En este
caso el ordenador no ceso de trabajar al aparecer el primer dos en el lado
derecho del cuadrado, y continuó trabajando hasta que dejaron de aparecer
nuevos doses.
Así
pues, el umbral de percolación se encierra en una especie de
"horquilla" que puede estrecharse tanto como se quiera. Si con el
primer valor elegido de t no ha surgido percolación, en
necesario aumentar t hasta que ésta aparezca, y luego de nuevo hacer una
"horquilla". Tal procedimiento permite hallar el valor de tcorrespondiente
al umbral de percolación, con cualquier grado de precisión. Mediante el
referido valor de t se calcula la porción de nudos no bloqueados xque,
como ya fue dicho, se asemeja al valor de t pero que no es
obligatoriamente igual a éste. Precisamente dicho valor de x,
obtenido en tal experimento, se declara umbral de percolación.
La figura 15 ilustra la primera vía de percolación de izquierda a derecha que
apareció en el cuadrado 30 x 30.
Después se realizan muchos experimentos idénticos que utilizan diversos
conjuntos de números aleatorios en el bloque V.
Esto corresponde al cambio de sucesión aleatoria de los nudos bloqueados en el
experimento por medio de una rejilla pantalla. Los resultados de tales
experimentos permiten hallar el valor medio del umbral de percolación x c(N)
con un número dado de nudos N. (Para esto es necesario simplemente sumar todos
los valores de los umbrales obtenidos y dividirlos entre el número de
experimentos.)
Para hallar el verdadero umbral de percolación
hay
que cambiar el número de nudos en el cuadrado, N y obtener la dependencia xc(N).
Para tal dependencia es preciso elegir la siguiente expresión analítica [7]:
o
sea, es necesario elegir las variables xc(∞), D y
γ de tal modo que la expresión (5) describa de la mejor manera los resultados
obtenidos con ayuda del ordenador. Si esto se realiza de tal modo que γ > 0,
entonces se puede decir que la variable xc(∞) también es
igual al valor limite de xc. Efectivamente, de acuerdo con la
expresión (5),
La
precisión de tal procedimiento será tanto mayor cuanto más abundantes sean los
datos obtenidos para establecer la dependencia xc(N). Esto, a su
vez, depende de la velocidad y el volumen de la memoria del ordenador
disponible.
Ejercicio
9. Examinen con atención la figura 15 y determinen de qué modo aparecía cada
grupo de doses.
Segunda parte
Distintos problemas de la teoría de percolación y su aplicación
Capítulo 5
Problemas en retículos planos
Contenido:
· Plantamos
un huerto frutal (problema de los enlaces)
· Ejercicio
· Desigualdad
que enlaza xerl y xnud
· Ejercicio
· Retículos
recubridores y contenedores
· Percolación
blanca y percolación negra
· Retículos
duales
· Ejercicio
· Resultados
para los retículos planos
· Ejercicio
· Percolación
orientada
Plantamos
un huerto frutal (problema de los enlaces)
Se proyecta un huerto frutal de enormes dimensiones. Los árboles en él deben
crecer no de cualquier manera, sino regularmente. Los mismos serán plantados en
los nudos de cierto retículo (red) periódico trazado en la superficie de la
tierra. Se pueden inventar muchos retículos de este tipo, pero nos limitaremos
a tres: cuadrado, triangular y hexagonal (este último también es conocido con
el nombre de "panal de miel"). Todos ellos están representados en la figura
16.
Claro está que sería deseable plantar los árboles lo más cerca posible uno de
otro, la tierra es cara, pero, por una serie de motivos, eso no se puede hacer.
Una de las causas consiste en que los proyectistas toman en consideración las
enfermedades contagiosas de los árboles.
Figura 16. Retículos planos: a) cuadrado; b) triangular; c) hexagonal
("panales de miel").
Supongamos
que los especialistas, de acuerdo con las enfermedades de los árboles frutales,
comunicaron los siguientes datos [8]:
1. El árbol enfermo sólo puede contagiar a los árboles más inmediatos.
2. Algunos árboles inmediatos se contagian mutuamente siempre que uno de ellos
esté enfermo. En otros casos no ocurre contagio. (Esto puede depender, por
ejemplo, de la distancia entre las ramas de un determinado par de árboles.)
Llamaremos par enlazado a dos árboles inmediatos cuyo contagio mutuo es
inevitable.
3. Los especialistas también pusieron a nuestra disposición el tipo de
función x(a), es decir, la probabilidad de que dos árboles
inmediatos elegidos al azar constituyan un par enlazado. Esta probabilidad
depende de la distancia a entre los árboles inmediatos en un retículo dado.
Naturalmente que la función x(a) aumenta al disminuir el
argumento a: cuanto más cerca crezcan los árboles uno de otro, tanto más
fácilmente ocurrirá su contagio mutuo.
Debemos contestar a la siguiente pregunta: ¿cuántos árboles pueden ser
contagiados por un árbol enfermo? La respuesta sólo puede ser probabilística.
Si dicho árbol forma con cualquiera de sus vecinos un par enlazado, el contagio
es inevitable. Los árboles enfermos, a su vez, contagian a sus vecinos, etc.
Por eso podemos preguntar solamente: ¿cuál es la probabilidad de que el árbol
enfermo contagie a cierta cantidad de árboles en el huerto?
Figura 17. Fragmento de una red cuadrada con los enlaces rotos. Están
representados tres racimos de dos nudos (1, 2 y 3), un racimo de cuatro nudos
(4) un racimo de seis nudos (5) y un racimo de diez nudos (6)
Para
los razonamientos ulteriores es conveniente pasar a la terminología de los
racimos, introducida en el capítulo anterior. Consideraremos que entre dos
nudos inmediatos, en los que se encuentran los árboles que forman un par
enlazado, hay un enlace que representaremos en forma de un alambre que une esos
dos nudos. Si los árboles inmediatos no forman un par enlazado, eso significa
que el enlace entre ellos (el alambre) está roto (Figura 17).
Diremos que dos nudos están enlazados, si entre ellos hay un enlace entero o si
los mismos permanecen unidos mediante una cadena continua de nudos inmediatos
que tienen entre sí enlaces enteros (por ejemplo, están enlazados entre sí los
nudos A y B, así como C y D en la figura 17).
Al conjunto de nudos enlazados lo llamaremos racimo. Con arreglo al problema
sujeto a examen, la propiedad más importante del racimo consiste en que el
árbol enfermo contagia a todos los árboles de su racimo y a ningún otro fuera
de éste.
Según la definición, la porción de enlaces enteros es igual a x. Los
razonamientos ulteriores son los mismos que en el capítulo 3. Con pequeños
valores de x, los enlaces enteros se hallan dispuestos de uno en
uno, casi todos los racimos constan de dos nudos, los de tres son raros y los
de cuatro aún más. Con grandes valores de x existe un racimo
infinito de nudos enlazados. Cuando x = 1, a éste le
pertenecen todos los nudos del sistema. Al disminuir x, parte de
los nudos se desprenden de él y, por último, con cierto valor critico de xc,
el racimo infinito cesa su existencia.
El racimo infinito es precisamente el daño que puede sufrir el huerto frutal y
del cual debemos protegerlo. Supongamos que Pen( x)
es la probabilidad de que un nudo elegido al azar pertenezca a un racimo
infinito. Si x<xc, de tal manera que Pen(x)
= 0, un árbol enfermo sólo puede contagiar a algunos otros árboles. Pero
si x>xc un árbol enfermo es capaz de
contagiar, con una probabilidad Pen( x), a un
número infinito de árboles en un huerto frutal infinito. Por lo tanto, en el
caso de x < xc, el foco de la enfermedad, introducido
por casualidad en el huerto, será localizado cerca del lugar donde fue a parar,
mientras que en el caso de x > xc,
la enfermedad puede difundirse por todo el huerto frutal.
Para dar recomendaciones prácticas es necesario hallar el valor de xc e
igualar a él la función x(a) presentada por los
especialistas. De aquí se determina la distancia ac que es la
solución de la ecuación x( ac) = xc.
El foco de la enfermedad que surgió en el huerto será localizado si la
distancia entre los árboles es superior a ac, y se difundirá por
todo el huerto en caso contrario.
El problema de hallar xc, enunciado anteriormente, se denomina,
en la teoría de percolación, problema de los enlaces, debido a que los
elementos arbitrarios aquí son los enlaces que, con una probabilidad dada,
pueden ser íntegros o estar rotos. A primera vista el problema de los enlaces
se parece al de los nudos que hemos examinado en los capítulos anteriores. Pero
para un retículo dado, tales problemas no se reducen uno a otro y tienen
diversas soluciones.
En éste y los siguientes capítulos será necesario complicar algo las
designaciones. Denotemos por xnud el umbral de
percolación del problema de los nudos, y por xen, el
umbral de percolación del problema de los enlaces. Dichos umbrales dependen del
tipo de retículo. Adoptemos las siguientes designaciones abreviadas para
denominar los retículos planos: C, cuadrado; T,
triangular; H, hexagonal. Entonces xnud(H)
denotará el umbral de percolación del problema de los nudos en un retículo
hexagonal, xen(T), el umbral de percolación del
problema de los enlaces en un retículo triangular, etc. La función Pen(x)
introducida en este apartado para el problema de los enlaces, ha de
distinguirse de la función P(x) determinada anteriormente para el problema de
los nudos.
El problema de los enlaces puede ser enunciado no sólo en el lenguaje de los
racimos, sino también como el problema de percolación desde un lado del
cuadrado hacia otro. Recordemos el experimento de la rejilla pantalla, con el
que hemos iniciado este libro. Es posible que a algunos lectores les haya
surgido la pregunta de por qué fue necesario bloquear los nudos, es decir,
cortar de repente cuatro alambres que entraban en cada nudo, en vez de cortar
de uno en uno los alambres (enlaces elegidos arbitrariamente. Es fácil entender
que, cortando los enlaces, los investigadores determinarían el umbral xen(C)
en vez del umbral xnud(C) que había sido hallado
en el experimento. Ahora se puede explicar por qué fue elegido el problema de
los nudos; como será mostrado más adelante, el problema de los enlaces en un
retículo cuadrado tiene una solución analítica exacta, de la cual se deduce,
quexen(C) = 0,5. Es por eso que para determinar xen(C)
no tenía sentido realizar un experimento tan complejo, mientras que xnud(C)
sólo se determina a partir de cálculos aproximados.
Ejercicio
1. Averigüen la función Pen(x) cuando 1 - x « 1
para los tres retículos representados en la figura 16. Al examinar el problema
de los nudos, en vez de la función P(x) a menudo se
introduce la función Pnud(x) enlazada con P (x)
mediante la relación
Por
definición, P(x) es la probabilidad de que un nudo elegido
al azar pertenezca a un racimo infinito. Esta función puede ser representada
como el producto de las probabilidades de dos acontecimientos independientes.
El primero de ellos, en el lenguaje del problema de la sustancia
ferromagnética, consiste en que el nudo elegido al azar resultó magnético. La
probabilidad de tal acontecimiento es igual a x (véase el
ejercicio 1 del capítulo 1). El segundo acontecimiento consiste en que dicho
nudo está relacionado con un racimo infinito de nudos magnéticos. Por lo tanto,
la función Pnud(x) determinada por la fórmula
(1), es la probabilidad de que el pudo magnético elegido al azar esté
relacionado con el racimo infinito. Con otras palabras. Pnud(x)
es la porción de nudos magnéticos pertenecientes al racimo infinito, es decir,
la relación entre el número de nudos pertenecen al racimo infinito y el número
de nudos magnéticos. Recordemos que P(x) es la relación
entre el número de nudos pertenecientes al racimo infinito y el número total de
nudos. Es natural que la función Pnud(x) crece
monótonamente con el aumento de x, equivale a la unidad
cuando x = 1, y es igual a cero cuando x ≤ xnud.
El matemático inglés J. M. Hammersley, quien fue el primero en hablar de la
teoría de percolación, demostró un teorema según el cual
Ambas
funciones Pnud y Pen crecen
monótonamente al aumentar el argumento x.
Figura
18.
Por
esta razón (Figura 18), de la fórmula (2) se deduce que
es
decir, para cualquier retículo (no plano obligatoriamente), el valor del umbral
para el problema de los enlaces no es mayor que para el problema de los nudos.
Este resultado puede ser escrito en forma de otra desigualdad:
y
puede ser interpretado del modo siguiente. Supongamos que es preciso bloquear
la percolación de corriente eléctrica por una rejilla de conductores, o la
percolación de un líquido por una rejilla de tubos, lo cual se puede hacer
bloqueando los nudos, cortando los enlaces (alambres o tubos) que unen dichos
nudos. La desigualdad (4) significa que cortando los nudos es más fácil
bloquear el sistema que cortando los enlaces. La porción de nudos bloqueados,
con los que se interrumpe la corriente, es menor que la porción de enlaces
rotos. Tal resultado nos parece natural en absoluto, ya que, al ser bloqueado
un nudo, se rompe no sólo un enlace, sino que todos los enlaces que entran en
ese nudo.
Ejercicio
2. Hallen la función Pnud(x) cuando 1 - x «
1 para los tres retículos representados en la figura 16. Compárenla con el
resultado del ejercicio 1 y comprueben la justedad de la desigualdad (2).
Aclaración. En el ejercicio 1 del capítulo 3 habíamos recomendado hallar la
función P(x) para el problema de los nudos cuando 1 - x « 1. Pero aquí
solamente se trataba del principal término de la función, es decir, de P(x)
= x. Si sustituimos esta expresión en la fórmula (1),
obtenemos Pnud = L. Es el
resultado correcto en el sentido de que
Ahora
proponemos al lector hallar los pequeños términos que distinguen la
función Pnud(x) de la unidad. Por supuesto que el límite
de los mismos, cuando x → 1, es igual a cero. Por eso el resultado puede ser
presentado en forma de Pnud(x) = 1 - A (1 - x)n,
donde A y n son los coeficientes numéricos positivos determinados por el tipo
de retículo.
Retículos recubridores y contenedores
El problema de los nudos es más general que el problema de los enlaces. Este
último se reduce al problema de los nudos pero en otro retículo llamado
recubridor. Éste se construye a base del retículo inicial según las siguientes
reglas:
1. En el centro de cada enlace del retículo inicial hay que colocar un nudo del
retículo recubridor,
2. Dos nudos del retículo recubridor han de enlazarse uno con otro en caso y
sólo en caso de que los enlaces del retículo inicial, en los que están
colocados esos dos nudos, converjan en el nudo de este último retículo.
El resultado de tal construcción es un nuevo retículo periódico denominado
retículo recubridor respecto al retículo inicial.
La figura 19 ilustra un retículo recubridor para el caso cuando el retículo
inicial es un retículo cuadrado. Este último está representado con líneas
finas. Los arcos indican los lugares donde el retículo inicial tiene nudos. El
retículo recubridor consta de líneas finas y líneas gruesas, pero en las
intersecciones de las líneas finas ese retículo no tiene nudos. Éstos sólo se
encuentran en las intersecciones de las líneas gruesas, y en la figura están
marcados con puntos.
Cada enlace del retículo inicial se acopla con otros tres enlaces en uno de sus
extremos, y con tres enlaces más en el otro extremo. Por eso cada nudo de ese
retículo debe estar enlazado con otros seis nudos.
Figura
19. Retículo para cubrir la red cuadrada.
Esto
se muestra en la figura 19. Cada nudo está enlazado con otros cuatro nudos
mediante líneas gruesas, y con dos nudos más. mediante líneas finas.
Ahora supongamos que el problema de los enlaces ha sido enunciado con arreglo
al retículo inicial, es decir, cierta porción de enlaces elegidos al azar están
rotos.
Supongamos que si un enlace del retículo inicial está roto, el nudo del
retículo recubridor situado en dicho enlace ha de permanecer bloqueado. Ahora
surgió el problema de los nudos en un retículo recubridor. Los mismos en tal
retículo resultaron bloqueados casualmente, y la porción de ellos equivale a la
porción de enlaces rotos en el retículo inicial.
Cabe señalar que en el problema de los enlaces, la existencia de un racimo
infinito de nudos enlazados uno con otro siempre significa la existencia de un
racimo infinito de enlaces íntegros acoplados uno con otro. Y, por el
contrario, la falta de un racimo infinito de nudos significa la falta de un
racimo de enlaces.
Según la estructura del retículo recubridor, se ve que la existencia de un
racimo infinito de enlaces enteros en el retículo inicial, significa la
existencia de un racimo infinito de nudos no bloqueados en el retículo
recubridor y, por el contrario, la falta de un racimo infinito de enlaces en el
retículo inicial, significa la falta de un racimo infinito de nudos en el
retículo recubridor. De aquí se deduce que el umbral de percolación del
problema de los enlaces en un retículo inicial es igual al umbral de
percolación del problema de los nudos en un retículo recubridor. Si designamos
por L el retículo inicial, y por Lr, el
retículo recubridor, lo dicho puede ser escrito en forma de la fórmula
Una
serie de desigualdades entre los umbrales de percolación para distintos
retículos se puede obtener utilizando el concepto de retículo contenedor.
Supongamos que el retículo L se obtiene del retículo Lcon tachando
cierta cantidad de enlaces. Entonces dicen que el retículo Lcon contiene
el retículo L.
Recurramos, por ejemplo, a un retículo triangular. Si eliminamos en él todos
los enlaces marcados (en la figura 20) con dos rayas, el mismo se transformará
en el retículo mostrado en la parte derecha de la figura. Es fácil notar que,
desde el punto de vista del problema de los nudos o de los enlaces, ese nuevo
retículo es equivalente a un retículo cuadrado.
Figura
20. El retículo triangular contiene el cuadrado.
En
efecto, el hecho de que los ángulos entre los enlaces en el nuevo retículo no
sean iguales a 90º no tiene ninguna importancia si se examina la cuestión del
enlace de varios nudos uno con otro (el nuevo retículo puede ser simplemente
"enderezado" mentalmente). El umbral de percolación del problema de
los enlaces (¡y el de los nudos!) en este retículo equivale exactamente al
umbral de percolación en un retículo cuadrado. Por eso dicen que el retículo
triangular incluye en sí el retículo cuadrado.
Ahora supongamos que cierta porción de enlaces del retículo contenedor están
rotos. Los enlaces de dicho retículo pueden ser divididos en enlaces que son
comunes para este último y para el retículo contenido en él. y los enlaces que
son específicos para el retículo contenedor (estos últimos están marcados con
dos rayitas en la parte izquierda de la figura 20). En vista de que los enlaces
se rompen absolutamente por casualidad, la porción de enlaces rotos en una y
otra categoría de enlaces será idéntica e igual a la cantidad total de enlaces
rotos en todo el retículo. Por esta razón, para obtener el retículo contenido,
con la misma porción de enlaces rotos, es necesario romper complementariamente,
en el retículo contenedor, los enlaces que aún permanecen íntegros, pero que
son específicos para este retículo, es decir, que faltan en absoluto en el
retículo contenido.
De aquí se deduce que el número de enlaces enteros que salen de cada nudo del
retículo contenedor no es menor (mayor o igual) que el número de enlaces enteros
que salen del mismo nudo del retículo contenido. Por eso la probabilidad de que
un nudo elegido al azar pertenezca a un racimo infinito para un retículo
contenedor, no es menor que para un retículo contenido. Así "hemos
obtenido la desigualdad
En
el primer miembro de la desigualdad (6) se encuentra la función Pen(x)
calculada para el retículo contenido, y en el segundo miembro, para el retículo
contenedor. Al igual que de la desigualdad (2) se deduce la desigualdad (3), de
la (6) se deduce que
es
decir, xen es menor en el retículo contenedor que
en el contenido.
Como ya fue dicho, el retículo triangular contiene el retículo cuadrado. Por lo
tanto,
Figura
21. El retículo cuadrado contiene el hexagonal
Ahora
supongamos que del retículo cuadrado han sido tachados ciertos enlaces, así
como se muestra en la figura 21. En este caso obtendremos el retículo
representado en la parte derecha de la figura. Obsérvenlo con atención. Es
equivalente a un retículo hexagonal. Estirémoslo suavemente hacia arriba,
deformando un poco los enlaces, y sus células (Figura 22) se convertirán en una
especie de "panales de miel", como los mostrados en la figura 16. Por
consiguiente, el retículo cuadrado contiene el retículo hexagonal y, por lo
tanto,
De
las desigualdades (8) y (9) se deduce que
Ahora
volvamos al problema de los nudos. Supongamos que en los retículos contenedor y
contenido están bloqueados los mismos nudos (respectivamente la porción de
nudos bloqueados aquí y allá es igual). Admitamos que en el retículo contenido
existe un racimo infinito de nudos enteros. Eso significa que el mismo también
existe en el retículo contenedor, ya que los enlaces adicionales sólo pueden
contribuir a su aparición.
Figura 22. Transformación de la célula representada en la parte derecha de
la figura 21, en "panales de miel".
Pero
si se sabe que el racimo infinito existe con una porción dada de nudos enteros
en el retículo contenedor, de aquí es imposible deducir algo acerca de la
existencia de un racimo infinito en el retículo contenido. La eliminación de
una serie de enlaces entre los nudos al pasar de un retículo contenedor a uno
contenido, puede ser fatal para el racimo infinito. Por lo tanto, el umbral de
percolación del problema de los nudos en un retículo contenido no puede ser
menor que en un retículo contenedor:
De
aquí se deduce una cadena de desigualdades para los retículos cuadrado,
triangular y hexagonal:
exactamente
la misma que para el problema de los enlaces.
Volvamos otra vez a la figura 19. donde se muestra el retículo recubridor de un
retículo cuadrado. Supongamos que los enlaces representados con líneas finas
han sido eliminados. Es fácil entender que como resultado hemos obtenido un
retículo cuadrado solamente que virado a 45°, lo cual, por supuesto, no tiene
completamente importancia para los problemas de la teoría de percolación.
Así pues, el retículo recubridor de un retículo cuadrado incluye en si este
último. De acuerdo con la fórmula (5),
donde
por Lr se entiende el retículo recubridor
representado en la figura 19.
Pero de la desigualdad (11) y del hecho de que ese retículo contiene el
retículo cuadrado, se deduce que
De
las desigualdades (13) y (14) resulta que
Por
consiguiente, hemos obtenido que para un retículo cuadrado, el umbral del
problema de los enlaces es inferior al umbral del problema de los nudos. La
desigualdad (15) es un caso particular del teorema general de J. M. Hammersley,
el cual se expresa por medio de la fórmula (3) y que fue expuesto por nosotros
sin demostración. Al deducir (15) no hemos utilizado este teorema, y por eso
podemos decir que las ideas antes presentadas demuestran el mismo para el caso
de un retículo cuadrado. Enfoquemos ahora el problema de los enlaces desde un
punto de vista algo diferente. Hasta ahora habíamos dicho que existen enlaces
enteros y rotos distribuidos arbitrariamente por el retículo, y que se llamaba
racimo el conjunto de nudos unidos por medio de enlaces enteros.
El problema puede ser enunciado más simétricamente. A los enlaces rotos les
llamaremos "enlaces negros", y los enteros, "enlaces
blancos". Diremos que el conjunto de nudos unidos mediante enlaces blancos
es un racimo blanco, y que el conjunto de nudos unidos mediante enlaces negros
es un racimo negro (según la vieja terminología, por racimo se entendía un
racimo "blanco"). Al igual que antes, por x designaremos
la porción de enlaces blancos, y por q, la porción de enlaces negros. Como cada
enlace es negro o blanco, q = 1 - x.
Con arreglo a tal enunciación también se puede hablar de la percolación por los
enlaces blancos, y de la percolación por los enlaces negros.
Con poca concentración x de enlaces blancos, no existe racimo
blanco infinito, pero sí existe racimo negro infinito, es decir, un racimo
infinito de nudos unidos por medio de enlaces negros. Por el contrario, con
poca concentración q de enlaces negros (es decir, con valores de x próximos
a la unidad) existe un racimo blanco infinito y no hay racimo negro infinito.
Cuando x varía de cero a la unidad, ocurren dos
acontecimientos: desaparece el racimo infinito negro y aparece el blanco o, que
viene a ser lo mismo, desaparece la percolación por los enlaces negros, y
aparece la percolación por los enlaces blancos, Pero, ¿en qué orden suceden
esos acontecimientos?
Los enlaces blancos y negros no difieren en nada uno de otro, salvo sus
nombres. Por eso es evidente que la concentración crítica qen con
la que surge percolación por los enlaces negros, es igual a la
concentración xen con la que surge percolación por
los enlaces blancos.
Por consiguiente, al aumentar x, la percolación por los enlaces
blancos surge cuando x = xen, y la percolación por los
enlaces negros desaparece cuando x = 1 - qen =
1 - xen. La sucesión con que ocurren estos
acontecimientos depende del signo de la diferencia xen -
0,5.
Si para realizar la percolación por los enlaces blancos es necesario que más de
la mitad de los enlaces sean blancos (lo cual significa que en el punto de
percolación debe haber más enlaces blancos que negros), entonces, al
aumentar x, al principio desaparece la percolación por los enlaces
negros, y después aparece la percolación por los enlaces blancos (Figura 23,
a).
Figura
23.
En
la zona I de la figura 23, a existe percolación sólo por los
enlaces negros, en la zona III sólo por los enlaces blancos, y
en la zona II no hay percolación tanto por unos como por otros enlaces.
Si xen < 0,5. al principio aparece percolación
por los enlaces blancos, y sólo después desaparece la percolación por los
enlaces negros. En la zona I de la figura 23, ó existe
percolación por los enlaces negros, en la zona III, por los enlaces blancos, y
en la zona II, tanto por unos como por otros enlaces.
Esa misma enunciación simétrica es aplicable para el problema de los nudos.
Recordemos que en este caso todos los enlaces son enteros, pero los nudos
suelen ser de dos categorías. En el problema del retículo, los enlaces se
llamaban enteros y bloqueados, mientras que en el problema de la sustancia
ferromagnética, los mismos se denominaban magnéticos y no magnéticos. Ahora, al
igual que en el problema de los enlaces, se introduce una designación
universal: los nudos enteros o magnéticos se denominan nudos blancos, y los
nudos bloqueados o no magnéticos se llaman nudos negros. Los nudos blancos se
llaman nudos enlazados cuando son vecinos el uno del otro o cuando permanecen
unidos mediante una cadena de nudos blancos que son vecinos próximos.
Igualmente pueden estar enlazados entre si los nudos negros.
Se puede hablar de la percolación por los nudos blancos y por los nudos negros.
Si xnud > 0,5, existirá un campo de valores de x
en el que no habrá percolación ni por los nudos blancos ni por los negros (1
- xnud < x < xnud).
Si xnud > 0.5, en la zona xnud «
x < 1 - xnud existirá percolación tanto por los
nudos blancos como por los negros.
El enfoque simétrico resulta constructivo, ya que a veces, examinando el
retículo, se logra aclarar que en este no puede haber ni percolación blanca ni
percolación negra, o que en el mismo debe haber sin falta una de esas
percolaciones. Partiendo de ello es fácil sacar ciertas conclusiones acerca del
umbral de percolación.
Examinemos, por ejemplo, el problema de los nudos en un retículo triangular.
Supongamos que hay percolación por los nudos blancos. Es fácil convencerse de
que en este caso no puede haber percolación por los nudos negros. Supongamos
que se estudia la percolación de la corriente eléctrica de izquierda a derecha
en una rejilla de gran tamaño, así como se hacía en el experimento descrito en
las primeras páginas de este libro. Sólo que ahora la rejilla, en vez de ser
cuadrada, está confeccionada en forma de un retículo triangular. Es fácil
comprender que dicho retículo está estructurado de tal modo que la presencia de
una vía de percolación por los nudos blancos de izquierda a derecha excluye la
posibilidad de percolación por los nudos negros de arriba abajo. En efecto, los
nudos negros no pueden "penetrar" a través de la línea quebrada que
atraviesa toda la rejilla de izquierda a derecha y que une los nudos blancos.
Como fue explicado en el capítulo 3, la existencia de un racimo infinito
asegura la percolación en cualquier dirección si el tamaño del sistema es
bastante grande. Por eso es preciso deducir que en un retículo triangular, con
un mismo valor de x, no puede existir racimo infinito tanto de
nudos blancos como de nudos negros, es decir, no puede haber percolación tanto
por los nudos blancos como por los negros. De aquí resulta que xnud (T)
≥ 0,5. Eso mismo se puede deducir con arreglo a un retículo cuadrado: xnud (C)
≥ 0,5.
Para el retículo triangular fue demostrado un teorema según el cual xnud (T)
= 0.5. Aquí no podemos exponer su demostración, pero la esencia del asunto se
puede entender con relativa facilidad utilizando la idea acerca de la
percolación blanca y la percolación negra. Representando distintas
configuraciones de nudos negros y blancos es posible demostrar que la falta de
percolación por los nudos blancos de izquierda a derecha provoca
obligatoriamente la percolación por los nudos negros de arriba abajo (¡el
retículo cuadrado no posee tal propiedad!).
Así pues, en un retículo triangular no puede haber percolación ni por los nudos
blancos ni por los negros simultáneamente, y no puede no haber percolación aunque
sea por una categoría de nudos. De aquí se deduce que la zona II en la figura
23 (en esta figura ahora es preciso sustituir xen por xnud) se
reduce a un punto, es decir, xnud (T) ≥ 0,5.
En el caso del problema de los enlaces es conveniente realizar tal tipo de
investigación utilizando el concepto de retículo dual.
Retículos duales
Duales sólo pueden ser los retículos planos. Por planos se entienden los
retículos que pueden ser ubicados en una superficie, además, de tal modo que
los enlaces del retículo sólo se crucen en los puntos donde se encuentran los
nudos del retículo. Por ejemplo, todos los retículos representados en la figura
16 son planos, mientras que el retículo recubridor en la figura 19 no es plano,
ya que en los lugares marcados con arcos, sus enlaces se cruzan y no hay nudos
en los puntos de intersección. (Los arcos son una especie de puentes que
aseguran la desunión de las vías dirigidas de izquierda a derecha y de arriba
abajo.)
Cada retículo plano divide la superficie en células. El retículo Ld será
dual respecto al retículo L en caso de que cada enlace Ld cruce
uno y solamente uno de los enlaces del retículo L y, viceversa, en caso de que
cada enlace L cruce uno y solamente uno de los enlaces Ld.
Además, en cada célula del retículo L debe encontrarse tan sólo un nudo del
retículo Ld (y viceversa).
Como se deduce de la definición, la propiedad de dualidad es recíproca: si Ld es
dual respecto a L, también L es dual respecto
a Ld.
Figura 24. Estructura que muestra que el retículo cuadrado es dual a si
mismo Las líneas llenas y los círculos oscuros indican los enlaces y los nudos
del retículo inicial, mientras que las líneas de trazos y los círculos claros
indican los enlaces y los nudos del retículo dual.
Las
figuras 24 y 25 ilustran que un retículo cuadrado es dual a sí mismo, y que los
retículos triangular y hexagonal son duales uno respecto a otro.
Volvamos ahora al problema de los enlaces. Supongamos que si cierto enlace en
el retículo inicial es blanco (entero), el enlace que lo corta en el retículo
dual será negro (roto). Por esta razón, si la concentración de enlaces blancos
en el retículo inicial es igual a x, la concentración de enlaces
blancos en el retículo dual q = 1 - x.
Más adelante será necesario hablar del umbral de percolación como del valor de
la concentración de enlaces blancos con el que surge (o desaparece) por primera
vez la conductibilidad de izquierda a derecha en un retículo muy grande con
electrodos soldados a él (véase la Figura 1). Es el mismo planteamiento del
problema examinado al principio del libro, solamente que ahora son alterados no
los nudos del retículo, sino los enlaces.
Admitamos que en el retículo inicial existe una vía de percolación por los
enlaces blancos de izquierda a derecha. Como es fácil de entender, eso
significa la falta de vía de percolación por los enlaces blancos en el retículo
dual de arriba abajo. En efecto, el enlace blanco del retículo inicial, según
la definición, sólo es cortado por el enlace negro del retículo dual. Por
consiguiente, si en el retículo inicial existe una línea quebrada de enlaces
blancos, la cual no se interrumpe en ninguna parte, cruzando todo el retículo
de izquierda a derecha, esto significa que los enlaces blancos del retículo dual
no pueden "abrirse paso" en ningún lugar de dicho retículo para pasar
de arriba abajo.
Sí el retículo es bastante grande, la presencia de una vía dirigida de
izquierda a derecha en el retículo inicial, significa que la porción de enlaces
blancos es mayor que la porción de enlaces de umbral:
Figura 25. Construcción que muestra que el retículo triangular es dual al
hexagonal (y viceversa) Las designaciones son las mismas que en la figura 24
Pero
la falta de una vía dirigida de arriba abajo en los enlaces duales blancos,
significa que la porción de éstos en el retículo dual, q = 1 - x,
es menor que la porción de enlaces de umbral en ese retículo, es decir, 1 - x
< xen (Ld), o bien
De
acuerdo con lo dicho más arriba, todos los valores de x que
satisfagan la desigualdad (16), satisfarán también la desigualdad (17). De aquí
se deduce que xen (L) ≥ 1 - xen ( Ld),
o bien
Para
un retículo cuadrado L = Ld, y de la desigualdad (18) se
deduce que
y si
utilizamos también la desigualdad (15), obtenemos
es
decir, la misma conclusión que en el apartado anterior. Recuerden que el
experimento del retículo cuadrado, descrito en el capítulo 1, proporcionó el
valor de xnud(C) = 0.59, lo cual no contradice la
desigualdad (20).
Para dos retículos, cuadrado y triangular, ha sido estrictamente demostrado que
el signo de desigualdad en la fórmula (18) debe sustituirse por el signo de
igualdad, es decir:
De
aquí seguidamente se obtienen dos nuevos resultados:
y
Aquí
no se expone la demostración estricta de la fórmula (21): la misma requiere la
introducción de una serie de conceptos nuevos que en adelante no serán
necesarios. Pero a esta fórmula se le puede dar una interpretación bastante
clara. Dibujando diversas configuraciones de enlaces blancos y negros, se puede
demostrar que para los retículos cuadrados y triangulares, la falta de
percolación por los enlaces blancos de izquierda a derecha en el retículo
inicial, siempre significa la presencia de percolación de arriba abajo por los
enlaces blancos del retículo dual. Creamos de buena fe en esta afirmación.
Supongamos que la cantidad de enlaces blancos es tal que en el retículo inicial
no hay percolación de izquierda a derecha, para un retículo de tamaño bastante
grande eso significa que
En
este caso, en el retículo dual hay percolación de arriba abajo. La porción de
enlaces blancos en el mismo es igual a 1 - x. Por consiguiente, 1 -
x > xen (Ld), o bien
Conforme
a lo dicho más arriba, todos los valores de x que satisfacen
la desigualdad (24), también deben satisfacer la desigualdad (25). Esto es
posible si 1 - xen(Ld) ≥ xen(L),
o si
De
las desigualdades (18) y (26) se deduce la igualdad (21).
La fórmula (23) no permite hallar por separado xen(T) y xen(H).
No obstante, utilizando la transformación "estrella-triángulo",
conocida en la teoría de los circuitos eléctricos, podemos obtener una relación
más, la cual enlaza los umbrales de percolación del problema de los enlaces en
los retículos triangular y hexagonal. Como resultado, se hace evidente cada uno
de los umbrales:
Ejercicio
3. Observen la figura 57 que ilustra la transformación
"estrella-triángulo". Si Uds. son capaces de comprender cómo se
escribe la relación acerca de la cual acabamos de hablar y obtienen las
fórmulas (27), ¡eso será magnifico! Si no pueden lograrlo, no se disgusten,
pues este problema no es fácil. La deducción de las fórmulas (27), efectuada
por primera vez en el año 1963 por M. F. Sykes y J. W. Essam, matemáticos
ingleses, fue un acontecimiento en la teoría de percolación. Lean con atención
el texto adjunto a dicha figura y Uds. posiblemente experimenten placer por la
brillante aplicación de la teoría de las probabilidades, que condujo a un
resultado tan interesante.
Resultados para los retículos planos.
Sólo nos queda presentar la tabla general de los umbrales de percolación para
los retículos planos (tabla 1).
Tabla
1
|
Tipo de retículo |
xen |
xnud |
|
Triangular |
0,3473 |
0,50 |
|
Cuadrado |
0,500 |
0,59 |
|
Hexagonal |
0,6527 |
0,70 |
Sólo dos números en esta tabla, a saber, xnud(C)
y xnud(H), fueron obtenidos por métodos
aproximados. Todos los demás son los resultados de soluciones exactas. Como
será mostrado en el capítulo siguiente, en cuanto a los retículos
tridimensionales (volumétricos) el asunto es mucho peor. Para éstos no se ha
obtenido ni una sola solución exacta. Y eso no debe parecer extraño. Para la
solución analítica de los problemas de la teoría de percolación no existe
ningún método. Cada solución exacta, de una de ellas ya hemos hablado, produce
el efecto de milagro. Por eso, a nuestro juicio debería parecer más extraño el
hecho de que ya son tantas las soluciones exactas obtenidas.
Ejercicio
4. Volvamos al huerto frutal del que se habló al comenzar este capítulo.
Supongamos que la distancia entre los árboles se elige de la condición de que
la cantidad de pares enlazados es igual al valor de umbral. Admitamos que
conocemos la función a(x), es decir, la distancia entre los árboles
inmediatos según la cantidad de pares enlazados x. Naturalmente que
cuanto mayor sea xtanto menor será la distancia a, ya
que cuanto más cerca crezcan los árboles uno de otro, tanto más fácilmente se
producirá el contagio entre ellos. Si x =xen, la distancia
entre los árboles será igual a x(xen). Hallen la
superficie de terreno que corresponde a cada árbol, con tal elección de la
distancia y para tres retículos diferentes. El retículo con la menor superficie
por árbol es el más conveniente. ¿Es posible decir qué retículo contribuye a la
menor superficie por árbol, basándose tan sólo en el hecho de que la función
a(x) disminuye monótonamente con el aumento de x?
Ahora supongamos que en los nudos de un retículo plano hemos plantado no un
huerto frutal, sino un bosque, y que éste se incendió. Las ramas de algunos
árboles que son vecinos próximos se hallan entrelazadas y transmiten el fuego
de un árbol a otro. Conforme a la terminología general, diremos que los nudos
en los que se encuentran tales árboles permanecen unidos por medio de enlaces
blancos. Otros árboles que también son vecinos próximos no incendian uno a
otro. En este caso diremos que los referidos nudos permanecen unidos por medio
de enlaces negros. Los enlaces blancos y negros se hallan desordenadamente
dispersos por el retículo, además, una parte de los enlaces blancos es igual a
x.
El problema consiste en hallar tal valor crítico de xen,
con el que, cuando x < xen, el foco
del incendio sea localizado, y con el que, cuando x > xen,
el fuego se propague por todo el bosque.
Es fácil entender que eso es simplemente un ejemplo más del problema de los
enlaces. El valor de xen puede ser tomado de la
Tabla 1.
Ahora supongamos que durante el incendio sopla un viento muy fuerte, de tal
modo que el fuego se propaga tan sólo en dirección de éste. Eso conduce a un
nuevo problema interesante denominado problema de percolación orientada o
dirigida).
Consideraremos que el bosque ha sido plantado en los nudos de un retículo
cuadrado, y que el viento sopla en dirección de la diagonal de los cuadrados.
En la figura 26, la dirección del viento se muestra mediante una saeta, y el
retículo está virado a 45° respecto al método corriente de su presentación. Las
condiciones del problema ahora se enuncian del modo siguiente. Cada enlace
blanco se convierte en un vector cuya flecha se halla dispuesta de tal manera
que la proyección de dicho vector sobre la dirección del viento es positiva. Al
igual que antes, los enlaces negros no transmiten el fuego en ninguna
dirección, mientras que los blancos lo transmiten sólo en dirección de la
flecha. Es necesario determinar la porción crítica de enlaces blancos, a partir
de la cual, un árbol en llamas, en un bosque infinitamente grande, puede
provocar un incendio capaz de propagarse a una distancia infinitamente grande.
En la figura 26, mediante líneas gruesas con saetas se indican los enlaces
blancos, y se muestran dos vías de percolación: 1 y 2. La vía 1 puede
representar el movimiento del fuego, mientras que la vía 2 no corresponde a las
condiciones de percolación orientada: en dos lugares indicados con rayitas. el
movimiento es opuesto a la dirección del enlace blanco, o sea, se realiza en
contra de la dirección del viento.
Por lo tanto, si en la percolación no orientada, los enlaces blancos se han
utilizado en ambas direcciones, en la percolación orientada ellos pueden
utilizarse en una sola dirección. De aquí resulta que la porción crítica de
enlaces blancos en la percolación orientada x0en no
puede ser menor que en la percolación ordinaria, es decir, x0en ≥
xen.
Hoy día, para una serie de problemas de percolación orientada se ha obtenido
una solución aproximada. En particular, para el problema de los enlaces en un
retículo cuadrado, el cual fue descrito más arriba, xen =
0,63 o bien 0,64 (los resultados obtenidos por distintos métodos difieren uno
de otro). Recordemos que para el problema no orientado de los enlaces en un
retículo cuadrado, xen = 0,5.
Muchos problemas físicos se reducen a la percolación orientada. Como ejemplo
puede ser nombrado el movimiento del electrón en un intenso campo eléctrico
engendrado en un medio heterogéneo arbitrario. En tal medio, donde las
propiedades cambian arbitrariamente de un punto a otro, en dirección opuesta al
movimiento del electrón surgen obstáculos que éste debe contornear. A su vez,
el campo eléctrico homogéneo desempeña el papel de viento, el cual hace que el
electrón se mueva en una sola dirección.
Figura 26. Los enlaces blancos orientados se señalan mediante líneas gruesas
con saetas, y tos enlaces negros, mediante líneas finas El fuego puede
difundirse de izquierda a derecha por la vía / y no puede difundirse por la 2
Con dos rajas se indican dos tramos de la vía 2 en los que el fuego se vería
obligado a moverse en contra del viento.
La
percolación orientada también surge en el problema de conductibilidad de la
rejilla de alambre (capítulo 1), si admitimos que en cada enlace entre los
nudos de la rejilla ha sido intercalado un diodo (rectificador) que deja pasar
la corriente en una sola dirección. En este caso, la porción de enlaces rotos,
con la cual cesa de fluir la corriente por la rejilla, corresponde al umbral de
percolación orientada. También se ha examinado un problema mixto, cuando los
diodos se intercalan no en todos los enlaces de la rejilla.
Capítulo 6
Retículos tridimensionales y estimaciones aproximadas de los umbrales de
percolación
Como
ya fue mostrado en el capítulo 5, el umbral de percolación depende
considerablemente del tipo de retículo sometido a examen. El objeto del
presente capítulo consiste en aclarar cualitativamente qué propiedades de los
retículos son precisamente las más importantes para los umbrales de
percolación. Comprendiendo esto se puede aprender, sin resolver el problema, a
pronosticar (con una precisión del orden del 10%) los umbrales de percolación.
Como hay gran cantidad de retículos, y el cálculo de un umbral requiere
(¡además de alto nivel profesional!) alrededor de una hora de funcionamiento de
un ordenador de alta clase, la habilidad de predecir enseguida el resultado
(aunque no sea muy exacto) constituye un hecho muy valioso.
Además, los problemas de percolación no se reducen tan sólo a los problemas de
los retículos. Como veremos más adelante, para distintas aplicaciones son
importantes principalmente los problemas no relacionados con los retículos. Por
consiguiente, las ideas acerca de la estimación aproximada, expuestas en este
capítulo, son muy útiles para los llamados problemas no reticulares. A base de
dichas ideas, una serie de umbrales de percolación, para los problemas no
reticulares, fueron pronosticados con gran precisión mucho antes de la resolución
de los referidos problemas con la ayuda de un ordenador.
Para adquirir la experiencia necesaria hay que salir de los márgenes de los
retículos planos examinados en el capítulo anterior y recurrir a los retículos
tridimensionales.
Retículos tridimensionales
Uno de los retículos tridimensionales más simples es el retículo cúbico
sencillo (abreviadamente CS) representado en la figura 12. Como base del mismo
sirve el cubo elemental mostrado en la figura 27. Los vectores a1,a2, a3 se
denominan vectores de traslación. Alargando cada uno de ellos un número entero
de veces (n1, n2, n3) y
sumando después los vectores obtenidos, se puede hallar el vector Rn1,n2,n3 que
sale del origen de coordenadas y se apoya en cualquier nudo del retículo cúbico
sencillo:
Rn1 ,n2,n3 = n1a1 +
n2a2 + n3a3
En
los retículos cúbicos, todos los vectores a1,a2, a3 tienen
la misma longitud a, y por este motivo, los números n1,
n 2, n3 son simplemente tres
coordenadas cartesianas de los nudos del retículo, expresadas en unidades de a.
Se dice que el retículo cúbico sencillo se obtiene a base de traslación
(desplazamiento paralelo) de un cubo elemental en dirección de los vectores
múltiplos a los vectores a1,a2, a3.
La característica más importante de un retículo es el número de nudos
inmediatos (éste también suele llamarse número de coordinación), el cual se
designa por z. Para un retículo cúbico sencillo z = 6.
En forma de retículo cúbico sencillo se cristalizan los compuestos
alcalino-halógenos, tales como NaCl (sal común), KCl (sal gema). LiF, NaI, etc.
Además, los iones del metal alcalino (por ejemplo, Na+) se alternan,
en los nudos del retículo, con los iones del halógeno (por ejemplo, con Cl-).
Retículo cúbico centrado en el espacio o en el cuerpo (abreviadamente CCE).
Este retículo puede ser obtenido de dos retículos cúbicos sencillos trasladados
uno respecto a otro a la distancia que constituye la mitad de la diagonal del
cubo elementa). (Llámase diagonal del cubo la línea que une los ángulos
opuestos de éste y la cual pasa por el centro del mismo.)
Figura
27. Cubo elemental de un retículo cúbico sencillo.
El
retículo CCE está representado en la figura 28, a. Como base de éste sirve el
cubo elemental representado en la figura 28, b. El retículo CCE puede obtenerse
trasladándolo en dirección de los vectoresa1, a2, a3,
pero en este caso, para recorrer todos los nudos del retículo no es
insuficiente situar el vector Rn1,n2,n3en
el origen de coordenadas.
Figura 28. a) Retículo cubico centrado en el espacio: b) cubo elemental de
un retículo cúbico centrado en el espacio.
Es
preciso, además, instalar su origen en el átomo central. Sólo en este caso
serán trasladados ambos retículos cúbicos sencillos que constituyen el retículo
CCE.
Los nudos inmediatos de cada nudo del retículo CCE se hallan dispuestos en
dirección de la diagonal del cubo elemental (Figura 28, b). Cada nudo tiene 8
nudos inmediatos (vecinos), así que z = 8. La distancia hasta
el nudo más próximo constituye la mitad de la diagonal del cubo, es decir,
√(3 a/2), donde la letra a. como siempre, designa la longitud de la
arista del cubo elemental.
En forma de retículo CCE se cristalizan los metales alcalinos monovalentes Li.
Na, K, Rb, Cs, el metal bivalente Ba y una serie de otras sustancias.
Retículo cúbico centrado conforme a sus caras(abreviadamente CCC).El
cubo elemental del retículo CCC se muestra en la figura 29. Éste difiere del
cubo elemental del retículo CS por tener nudos adicionales situados en el
centro de cada arista. Para trasladar este cubo hay que colocar el origen del
vector Rn1,n2,n3 en el origen de
coordenadas y en el centro de las aristas del cubo que no son opuestas una a
otra. Los nudos inmediatos de cada nudo del retículo CCC se hallan dispuestos
en dirección de las diagonales dela arist a del cubo. La
distancia hasta el nudo más próximo es iguala a/√2. En cada uno de tres planos
recíprocamenteperpendiculares, que se cruzan en un nudo dado, hay 4 nudos
inmediatos a este nudo, así que el número de nudos inmediatos z es
igual a 12.
En forma de retículo CCC se cristalizan tales metales como el cobre, la plata,
el oro, el aluminio y el plomo.
Figura 29 Cubo elemental de un retículo cubico centrado con arreglo a las
caras
El
último retículo que se somete a estudio es el retículo del tipo de diamante, el
cual se muestra en la figura 30.a. El mismo puede ser representado en forma de
dos retículos cúbicos centrados con arreglo a las caras desplazadas una
respecto a otra a la distancia de un cuarto de la diagonal del cubo.
Figura 30. a) Retículo del tipo de diamante; b) estructura tetraédrica de
los enlaces en el retículo del tipo de diamante
En
forma de retículo del tipo de diamante se cristalizan los elementos del cuarto
grupo de la tabla de Mendeléiev: el carbono (diamante), así como los elementos
semiconductores más importantes, tales como el germanio y el silicio. Todos
ellos son tetravalentes y sus átomos están enlazados en el retículo por fuerzas
covalentes. Elementalmente podemos suponer que cada átomo tiene cuatro
"manos" que corresponden a cuatro electrones de valencia. Con esas
cuatro manos el átomo coge de la mano a sus cuatro vecinos próximos. El
retículo del tipo de diamante está muy bien adaptado para el enlace de tal
tipo. Cada nudo de dicho retículo se encuentra en el centro de un tetraedro
regular formado por otros nudos (Figura 30, b). El numero de nudos
inmediatos z = 4.
Umbrales de percolación para los retículos tridimensionales
Los problemas de los enlaces y los nudos se plantean para los retículos
tridimensionales exactamente igual que para los retículos planos. Como antes,
se supone que sólo hay enlaces entre los nudos inmediatos.
En la tabla 2 se dan los tipos de umbrales de percolación de los problemas de
los nudos y de los enlaces para los retículos tridimensionales descritos
anteriormente. Como ya fue dicho, en el caso tridimensional no existe ni una
sola solución exacta. Todos los resultados expuestos en la tabla 2 han sido
obtenidos por distintos métodos aproximados que, por regla general, se utilizan
en los ordenadores.
Tabla
2
|
Umbrales de percolación para los retículos tridimensionales |
||
|
Tipo de retículo |
xen |
xnud |
|
Cúbico sencillo (CS) |
0,25 |
0,31 |
|
Cúbico centrado en el espacio (CCE) |
0,18 |
0,25 |
|
Cúbico centrado con arreglo a las caras ICCC) |
0,12 |
0,20 |
|
Del tipo de diamante |
0,39 |
0,43 |
Naturalmente que entre los resultados publicados en la literatura científica
surgen pequeñas contradicciones. A nuestro juicio, en la tabla 2 se han elegido
los resultados más seguros.
Ahora la cuestión consiste en tratar de entender, observando la tabla 2 y la
tabla 1. donde se dan los resultados para los retículos planos, por qué para
unos retículos los umbrales de percolación son relativamente grandes, y para
otros, pequeños. Comencemos por el problema de los enlaces.
¿De qué depende el umbral de percolación del problema de los enlaces?
Si todos los enlaces son íntegros, cada nudo permanecerá enlazado con
otros znudos inmediatos, donde el número de éstos cambiará
considerablemente de un retículo a otro. Con una cantidad determinada de
enlaces íntegros x, cada nudo se hallará enlazado con otros zx
nudos por término medio. Intentemos comprobar la siguiente hipótesis: ¿podrá la
variable zx, que es el número medio de nudos con los que está enlazado cada
nudo, contener la información suficiente para decir si en el retículo hay
percolación o no? ¿Puede ser que no se necesite ninguna otra información sobre
las propiedades del retículo, salvo el número z, y que la
percolación surja en todos los retículos, con el mismo valor de la variable zx?
Está bastante claro el hecho de que tal hipótesis no puede ser precisa. ¿Pero,
quizás sea correcta aproximadamente?
Esto se verifica fácilmente. Hay que calcular el producto zxenpara
todos los retículos con umbrales de percolación conocidos del problema de los
enlaces. Si dicho producto resulta universal, es decir, idéntico para todos los
retículos o. por lo menos, aproximadamente idéntico, entonces esa hipótesis
será correcta o aproximadamente correcta.
Los datos correspondientes se exponen en la tabla 3. Se observa que con un
error menor del 10%, para los retículos planos es justa la fórmula
zxen =
2 (1)
y
para los retículos tridimensionales, la fórmula
zxen =
1,5 (2)
Por
consiguiente, la hipótesis acerca de la universalidad del número medio de
enlaces por nudo, necesario para el surgimiento de la percolación, no es una
hipótesis precisa, pero se cumple aproximadamente.
Tabla
3
Producto zxen para distintos retículos
|
Tipo de retículo |
z |
xen |
zxen |
|
Retículos planos |
|||
|
Cuadrado |
4 |
0,5 |
2,0 |
|
Triangular |
6 |
0,35 |
2,1 |
|
Hexagonal |
3 |
0,65 |
2,0 |
|
Retículos tridimensionales |
|||
|
Cubico sencillo (CS) |
6 |
0,25 |
1,5 |
|
Cubico centrado en el espacio (CCE) |
8 |
0,18 |
1,4 |
|
Cúbico centrado con (CCC) arreglo a las caras |
12 |
0,12 |
1.4 |
|
Del tipo de diamante |
4 |
0,39 |
1,6 |
Si tomamos en consideración el hecho de que tanto en el grupo de los retículos
planos, como en el de los retículos tridimensionales, cada una de las variables
z y xencambia, por lo menos, dos veces, la precisión con
que en cada grupo la variable zxen es constante ha de
reconocerse alta.
Así pues, para apreciar aproximadamente el umbral de percolación del problema
de los enlaces, es suficiente conocer el número de nudos inmediatos y utilizar
la fórmula (1) en el caso de retículos planos, y la fórmula (2), en el caso de
retículos tridimensionales. El umbral de percolación del problema de los
enlaces es muy sensible al número de nudos inmediatos, y poco sensible a todas
las demás propiedades de los retículos (por ejemplo, al número de segundos
nudos inmediatos, es decir, de nudos inmediatos ulteriores según su alejamiento
de un nudo dado).
Por lo tanto, hemos obtenido un método muy sencillo y, al mismo tiempo,
bastante exacto, de apreciación de los umbrales de percolación del problema de
los enlaces, válido para cualquier retículo.
¿Cómo estimar el umbral de percolación del problema de los nudos?
Ahora examinemos el esquema de este mismo tipo para el problema de los nudos.
Es natural que al principio probemos la variante anterior, es decir, miremos
cómo cambia de un retículo a otro la variable zxnud. Es
fácil cerciorarse de que ésta cambia igual que cada una de las variables z y xnud por
separado. No debemos asombrarnos: en el caso del problema de los nudos, el
producto zxentiene un sentido físico evidente, es decir,
constituye el número medio de enlaces enteros correspondientes a un nudo. En el
caso del problema de los nudos, el enlace funciona si el mismo une dos nudos
blancos, y no funciona en todos los demás casos. Por esta razón, el
producto zxnud no tiene ningún sentido particular.
En 1970 los físicos estadounidenses Scher y Zallen propusieron otro método para
estimar el umbral de percolación del problema de los nudos. Su idea consistía
en oponer a cada nudo cierta porción de espacio. Después de esto se decía que
la percolación por los nudos blancos surge cuando la porción de espacio ocupada
por ellos supera cierto valor crítico que depende débilmente del tipo de
retículo.
Imaginémonos que alrededor de cada nudo del retículo hay una bola (o un círculo
en el caso de retículo plano) cuyo radio equivale a la mitad de la distancia
hasta el nudo inmediato. Además, las bolas (círculos) construidas en torno a
los nudos inmediatos rozan una con otra (Figura 31). Supongamos que al nudo
blanco le pertenece la bola blanca, y al negro, la negra. Si dos nudos blancos
están enlazados entre sí, entre ellos habrá una vía que pasará por las bolas
blancas que rozan una con otra (Figura 31). Por eso el surgimiento de
percolación significa la aparición de vías de longitud infinita, a través de
las bolas blancas que rozan entre sí.
Ahora supongamos que la percolación surge cuando la porción de volumen
(superficie) completo, ocupada por las bolas blancas (en el caso plano, por los
círculos) supera cierto valor critico que no depende del tipo de retículo. Para
comprobar esta conjetura hay que calcular las porciones de volumen ocupadas por
las bolas blancas cuando x = xnud, para diversos
retículos con valores conocidos de xnud, y compararlas
una con otra.
Figura 31. Construcción de circunferencias tangentes entre sí en el caso de
un retículo hexagonal. El propio retículo está representado en la figura
16c . El radio de las circunferencias equivale a la mitad de
la distancia hasta la circunferencia vecina más cercana. A los nudos claros les
corresponden las circunferencias blancas, y a los oscuros, las negras. Las vías
de percolación por las circunferencias blancas se señalan con líneas gruesas.
Al
principio es necesario calcular la porción de volumen ocupada por las bolas
blancas cuando x = 1, es decir, en el caso cuando todas las
bolas son blancas. Dicha variable se designa por la letra f y
se llama coeficiente de relleno, el cual equivale a la porción de volumen
ocupada por las bolas construidas en torno a cada nudo del retículo y cuyo
radio es igual a la mitad de la distancia hasta el nudo inmediato. El
coeficiente de relleno depende considerablemente del tipo de retículo, y para
cada uno de éstos ha de calcularse por separado.
Para determinar la porción de volumen ocupada por las bolas blancas cuando x
< 1 es preciso multiplicar el coeficiente de relleno por la cantidad de
bolas blancas, es decir, por x. Así pues, la porción de volumen
ocupada por las bolas blancas es igual a fx. pero en el umbral de percolación,
esa porción constituye fxnud. Si fuera correcta la suposición acerca
de la universalidad de la porción de volumen con la que surge la percolación,
entonces la variable fxnud debería ser, idéntica para todos los
retículos.
Los coeficientes de relleno para distintos retículos se ofrecen en la segunda
columna de la tabla 4. Para imaginarnos cómo éstos fueron obtenidos, se calcula
la variable f para el retículo hexagonal representado en la
figura 31. En el ejercicio 4 del capítulo 5 fue mostrado que a un nudo del
retículo hexagonal le corresponde una superficie de (3√3/4) a2,
donde a es el lado del hexágono. Este resultado tiene el siguiente sentido:
dibujemos en la superficie donde está trazado el retículo, un cuadrado, un
rectángulo, un círculo o cualquier otra figura geométrica, pero que sus
dimensiones sean obligatoriamente muchas veces mayores que las distancias entre
los nudos inmediatos del retículo. Dividamos su superficie por el número de
nudos del retículo que resultaron dentro de esa figura. La superficie
correspondiente a un nudo es el límite de dicha relación al aumentar
infinitamente las dimensiones de la figura.
La porción de superficie ocupada por los círculos es igual al límite de la
relación entre la superficie ocupada por los círculos y la superficie de la
figura grande. La superficie ocupada por los círculos es igual al número de
nudos pertenecientes a la figura grande, multiplicado por la superficie de un
círculo. Con otras palabras, la variable/es igual a la relación entre la
superficie de un círculo y la superficie correspondiente a un nudo.
Tabla
4
Productos fxnud para distintos retículos
|
Tipo de retículo |
f |
xnud |
fxnud |
|
Retículos planos |
|||
|
|
0,79 |
0,59 |
0,47 |
|
Triangular |
0,91 |
0,50 |
0,46 |
|
Hexagonal |
0,61 |
0.70 |
0,43 |
|
Retículos tridimensionales |
|||
|
Cúbico sencillo (CS) |
0,52 |
0,31 |
0,16 |
|
Cúbico centrado en el espacio (CCE) |
0,68 |
0,25 |
0,17 |
|
Cubico centrado con arreglo a las caras (CCC) |
0,74 |
0,20 |
0,15 |
|
Del tipo de diamante |
0,34 |
0,43 |
0,15 |
El radio de los círculos construidos en la figura 31 constituye a/2 y, por
consiguiente, su superficie es igual a πa2/4. De aquí obtenemos
De
manera análoga se calculan los coeficientes de relleno para otros retículos,
con la particularidad de que, como se deduce de la tabla 4, éstos cambian
dentro de amplios límites.
Los productos fxnud se ofrecen en la última columna
de la tabla 4. Se ve que la suposición de que fxnud no
depende del tipo de retículo, no se cumple con exactitud. Sin embargo, tanto en
el grupo de retículos planos como en el de retículos tridimensionales, ese
producto cambia muy poco. De aquí se deduce que con una precisión del orden del
10 al 15% son justas las fórmulas:
fxnud = 0,5(3)
para
los retículos planos, y
fxnud = 0,16(4)
para
los retículos tridimensionales.
Como es relativamente fácil calcular el coeficiente de relleno f, las fórmulas
(3) y (4) dan la posibilidad de estimar el umbral de percolación del problema
de los nudos para cualquier retículo.
Es fácil comprender que la porción crítica del volumen ocupado por bolas
blancas, con la cual surge la percolación, disminuye monótonamente con el
aumento de la dimensión del espacio. En un espacio unidimensional, es decir, en
una cadena lineal de nudos, la percolación por los nudos blancos es imposible
con una concentración muy pequeña de nudos negros. Incluso un solo nudo negro
cierra la vía de percolación, ya que es imposible contornearlo. En el retículo
plano (bidimensional) aparece la posibilidad de contornear los nudos negros,
pero en el retículo tridimensional (volumétrico) esas posibilidades son
mayores, ya que las vías de rodeo no están limitadas por la superficie.
El concepto de volumen crítico resulta fructífero no sólo para los problemas
reticulares. En el capítulo 9 tropezaremos con un problema en el que las bolas
blancas y negras no se encuentran en general en los nudos del retículo, sino
que permanecen como metidas en un tarro desordenadamente. A nosotros nos
interesara la cuestión de la percolación por las bolas blancas que rozan una
con otra. Resulta que dicha percolación también surge cuando el volumen ocupado
por tales bolas constituye alrededor de 0,16 del volumen total. Este resultado
cambia débilmente cuando las bolas se distinguen una de otra con arreglo a su radio.
En el capítulo 10 se examina el problema del espacio que ha sido casualmente
pintado de color blanco y negro. Resulta que la percolación por las zonas de un
color surge, en el caso plano, cuando la porción de superficie pintada de ese
color constituye justamente 0,5, y en el caso tridimensional, cuando la porción
de volumen pintada de ese color constituye aproximadamente 0,16.
Ejercicio
1. Comprueben si han sido correctamente calculados los coeficientes de relleno
f expuestos en la tabla 4.
Capítulo 7
Sustancia ferromagnética de largo alcance y problema de las esferas
En
los problemas de los nudos y los enlaces, que hemos examinado hasta ahora, se
suponía que cada nudo puede estar directamente enlazado sólo con los nudos
inmediatos, y que los enlaces entre los nudos lejanos se establecen según una
cadena de nudos, cada uno de los cuales se halla enlazado con los nudos
inmediatos. En este capítulo, el problema de los nudos se generaliza para el
caso cuando los nudos que no son inmediatos permanecen directamente enlazados
entre sí. Tal problema puede resultar prácticamente importante y, por lo tanto,
es útil saber que el mismo se ha estudiado bastante bien.
Si es grande el número de nudos con los que está enlazado un nudo dado, el
problema de los nudos se convierte en un problema completamente nuevo, llamado
problema de las esferas. Este desempeña en la teoría de percolación un papel
muy importante. Con su ayuda tratan de comprender la transición a la
conductibilidad de tipo metálico que transcurre en los semiconductores a medida
que aumenta la concentración de impurezas. En la solución de este problema se
basa la teoría de la conductibilidad a saltos de los semiconductores, que
constituye un fenómeno muy importante e interesante el cual se desarrolla a
temperaturas muy bajas. Por eso el problema de las esferas fue estudiado por
muchos científicos y para él y otros problemas semejantes se han obtenido
resultados interesantes.
El problema de las esferas también es interesante por el hecho de que
representa el primer problema no reticular con el que tropezamos en este libro.
Los elementos arbitrarios que figuran en él no se dan en los nudos de un
retículo periódico.
Sustancia ferromagnética de largo alcance
Volvamos al problema de las sustancias ferromagnéticas con átomos extrínsecos
no magnéticos, el cual fue examinado en el capítulo 3. En ese capítulo se
consideraba que los átomos no magnéticos orientan sus momentos magnéticos
paralelamente, pero sólo cuando los mismos son vecinos próximos o están
enlazados con una cadena de átomos magnéticos que son inmediatos uno de otro.
Pero si todos los átomos inmediatos al átomo magnético resultaban no
magnéticos, el momento magnético de tal átomo se consideraba orientado
arbitrariamente.
Tal modelo se basaba en el hecho de que la interacción de los momentos
magnéticos, la cual conduce a la orientación paralela, disminuye con la
distancia muy rápidamente, de tal modo que los momentos magnéticos que no son
inmediatos "no saben nada" uno de otro, es decir, no reaccionan entre
sí.
En cristalografía, el grupo de átomos que son inmediatos a cierto átomo suele
llamarse primer grupo de coordinación y el número de átomos inmediatos z,
como ya fue dicho, se denomina número de coordinación. El conjunto de átomos
equitativos, que son segundos átomos inmediatos conforme al grado de su
alejamiento de un átomo dado, se denomina segundo grupo de coordinación, etc.
Examinemos como ejemplo un retículo cúbico sencillo (véase la Figura 12). El
primer grupo de coordinación en este retículo lo integran 6 átomos dispuestos
en las aristas del cubo que salen del átomo inicial. El segundo grupo de
coordinación está formado por 12 átomos situados en las diagonales de las caras
del cubo que pasan por el átomo inicial. Y por último, el tercer grupo de
coordinación lo integran 8 átomos situados en las diagonales del cubo que pasan
por el átomo inicial.
En el capítulo 3 se suponía que la interacción de los momentos magnéticos se
extiende tan sólo al primer grupo de coordinación. El cálculo de la porción
crítica de átomos magnéticos, con la cual aparecía (o desaparecía) la imantación
espontánea, se reducía, en esta suposición, al problema de los nudos con
enlaces sólo entre los nudos inmediatos.
La suposición "acerca de la interacción corta" (o acción corta) no
siempre se justifica, y por eso tiene sentido examinar el problema en el que se
estima que la interacción de los momentos magnéticos se extiende a varios
grupos de coordinación, hallando la porción critica de átomos magnéticos con la
que surge la imantación espontánea.
Este problema se reduce al problema de los nudos en el que se hallan enlazados
no sólo los nudos inmediatos. Su enunciación no contiene en realidad nada
nuevo. Los nudos suelen ser blancos y negros (magnéticos y no magnéticos). Dos
nudos blancos se consideran enlazados entre sí cuando los enlaces se extienden
al grupo de coordinación en el que se encuentra uno de ellos respecto al otro.
Si el nudo A está enlazado con el B, y el
nudo B, con el C, el nudo A también
estará enlazado con el C. El conjunto de nudos enlazados forma un
racimo. Llámase umbral de percolación la porción de nudos blancos con la que
surge un racimo infinito.
Es absolutamente evidente el hecho de que el umbral de percolación xnud debe
disminuir a medida que los enlaces se extiendan a los grupos de coordinación
más lejanos. Cuanto más enlaces salgan de un nudo blanco dado, tanto mayor será
la posibilidad de que por lo menos uno de ellos conduzca a otro nudo blanco y,
respectivamente, tanto menos nudos blancos se necesitarán para asegurar la
percolación.
Claro está que resolver tal problema no es más fácil (¡incluso es más difícil!)
que resolver el problema ordinario de los nudos. Sin embargo, una serie de
problemas de este tipo fue solucionado mediante diversos procedimientos
aproximados, y en la tabla 5 se exponen los resultados de uno de ellos. En la
primera columna de dicha tabla está escrito el tipo de retículo y los números
de los grupos de coordinación a los que se extienden los enlaces. En la segunda
columna figura el número de nudos Z con los que se baila
enlazado cada nudo, es decir, el número total de nudos que se encuentran en los
grupos de coordinación sometidos a estudio. (En el caso de un solo grupo de
coordinación, ese número coincide con el número de coordinación z).
En la última columna de la tabla está escrito el producto Zxnud.
Como ya fue dicho en el apartado anterior, en el caso del problema de los nudos
con enlaces en el primer grupo de coordinación, ese producto depende mucho del
tipo de retículo. Pero como se deduce de la tabla 5. con grandes valores
de Z, el mismo varía cada vez menos a medida que aumenta Z.
Eso se manifiesta con evidencia en el caso de los retículos tridimensionales,
donde se utilizan grandes valores de Z. El producto Zxnud tiende
ostensiblemente a un número del orden de 2,6 ...2,7. el cual no depende del
tipo de retículo.
Tabla
5
Umbrales de percolación del problema de los nudos con enlaces entre los nudos
vecinos alejados[9]
|
Tipo de retículo |
z |
xnud |
Zxnud |
|
Retículos planos |
|||
|
Hexagonal, 1 |
3 |
0,700 |
2,10 |
|
Cuadrado, 1 |
4 |
0,590 |
2,36 |
|
Triangular, 1 |
6 |
0,500 |
3,00 |
|
Cuadrado, 1. 2 |
8 |
0,410 |
3,28 |
|
Triangular, 1. 2 |
12 |
0,295 |
3,54 |
|
Hexagonal, 1, 2. 3 |
12 |
0,300 |
3,60 |
|
Cuadrado 1, 2, 3 |
12 |
0,292 |
3,50 |
|
Triangular 1, 2, 3 |
18 |
0,225 |
4,05 |
|
Retículos tridimensionales |
|||
|
Del tipo de diamante |
4 |
0,425 |
1,70 |
|
CS 1 |
6 |
0,307 |
1,84 |
|
CCE 1 |
8 |
0,243 |
1,94 |
|
CCC 1 |
12 |
0,195 |
2,34 |
|
CCE 1, 2 |
14 |
0,175 |
2,45 |
|
CC 1, 2 |
18 |
0,137 |
2,47 |
|
CCC 1, 2 |
18 |
0,136 |
2,45 |
|
CS 1, 2, 3 |
26 |
0,097 |
2,52 |
|
CCE 1, 2, 3 |
26 |
0,095 |
2,47 |
|
CCC 1, 2, 3 |
42 |
0,061 |
2,56 |
En el caso tridimensional, precisamente el número 2,7 se considera hoy día como
el valor más fidedigno (con una exactitud de ± 0,1) de la variable Bc determinada
como límite Zxnud con grandes valores de Z:
En
los apartados posteriores se explicará por qué tal límite existe y por qué él
no depende del tipo de retículo, sino solamente de la dimensión del espacio, es
decir, de si el retículo examinado es plano o es tridimensional.
Para comprenderlo es necesario tener una idea del problema de las esferas.
1. Indiquen dónde se encuentran los 42 nudos pertenecientes a los tres primeros
grupos de coordinación de un retículo cúbico centrado con arreglo a las caras
(CCC).
Problema de las circunferencias (esferas)
Examinemos ahora otro problema o, mejor dicho, un problema que a primera vista
parece que es otro. Supongamos que en el plano están dibujadas circunferencias
de radio idéntico, igual a R, y cuyos centros se hallan distribuidos en ese
plano caóticamente y, por término medio, de modo uniforme. Esto significa que
ambas coordenadas de los centros de las circunferencias son números aleatorios
uniformemente distribuidos en el intervalo de cero a L, donde L es
una longitud muy grande (en comparación con R), la cual caracteriza
el tamaño del sistema sujeto a examen. El rasgo característico de este problema
es que las circunferencias pueden recubrirse mutuamente tanto como se quiera.
El numero medio de centros de circunferencias correspondientes a la unidad de
área es igual a N. Con otras palabras, N es la
concentración de centros de circunferencias.
Dos circunferencias se consideran enlazadas una con otra si el centro de una de
ellas se encuentra dentro de la otra. Tales circunferencias a veces se
denominan circunferencias entrelazadas. Si la circunferencia A esta
enlazada con la B, y la Bcon la C, entonces la A también
estará enlazada con la C. Por consiguiente, las circunferencias
alejadas una de otra pueden permanecer enlazadas mediante una cadena de
circunferencias entrelazadas (Figura 32).
Figura 32. Las vías de percolación por las circunferencias entrelazadas se
indican con líneas quebradas Los puntos representan los centros de las
circunferencias
El
problema consiste en que para hallar el valor crítico de la concentración N,
con el que surge la percolación por las circunferencias entrelazadas, es decir,
con el que aparecen vías que pasan a través de todo el sistema y que constan de
circunferencias entrelazadas. (Con otras palabras, surge un racimo infinito de
circunferencias enlazadas entre sí.)
En el problema se han introducido dos parámetros: la concentración N y
el radio R. (Tenemos también la dimensión del sistema L,
pero claro que si el sistema es bastante grande, el valor crítico N depende
muy poco de L.) Entre tanto, es fácil convencerse de que la falta o
la presencia de percolación depende no de dos parámetros, sino de uno solo, el
cual es el producto adimensional NR2. (En el caso del
problema plano, la dimensión de la concentración se da en cm -2.)
En calidad de tal parámetro es conveniente elegir el número medio de centros de
circunferencias que se encuentran dentro de una de éstas. El mismo es igual a
B =
πNR2 .
En
que la percolación aparece con cierto valor del parámetro B, y que
ella no depende de los valores de las variables N y R por
separado, es fácil convencerse del siguiente modo. Supongamos que se ha dado un
plano con circunferencias dibujadas en él. Ampliemos dicho cuadro varias veces,
por ejemplo, con ayuda de un proyector. Esto será precisamente la
transformación que modifica N y R, pero que no
modifica B, ya que el número de centros de circunferencias que se
encuentra dentro de una de éstas no cambia después de la ampliación.
También es fácil comprender que esa transformación no se refleja en la
percolación. Si no había percolación en el cuadro inicial, la misma faltará
también en el cuadro ampliado y. viceversa, si en el cuadro inicial había
percolación por las circunferencias entrelazadas, después de la ampliación ésta
no desaparecerá.
Así pues, la transformación que modifica N y R pero
que no modifica B, no se refleja en la percolación. Por lo tanto,
la falta o la presencia de percolación en el sistema sólo depende del valor del
parámetro B. Con grandes valores de dicho parámetro hay
percolación, y con pequeños, no.
Este nuevo problema que acabamos de enunciar se denomina problema de las
circunferencias. Su análogo tridimensional llámase problema de las esferas. El
problema de las esferas se enuncia del modo siguiente. En un espacio
tridimensional, con ayuda de un generador de números aleatorios se establecen
las coordenadas de los centros de las esferas que tienen radio R.
Dos esferas se llaman enlazadas entre sí (o entrelazadas), si el centro de una
se encuentra dentro de otra. Es necesario determinar la concentración crítica
de centros, con la cual surge percolación por las esferas entrelazadas.
Es fácil entender que, al igual que en el caso plano, la presencia de
percolación sólo se determina por el valor del parámetro B, que
es el número medio de centros de esferas que se encuentran dentro de una de
éstas:
donde N es
el número medio de esferas en la unidad de volumen (la concentración
volumétrica se mide en cm-3).
Como ya fue dicho, el problema de las esferas tiene importancia en la teoría de
la electroconductibilidad de los semiconductores a bajas temperaturas. Por eso
el mismo ha sido estudiado por muchos autores mediante diversos procedimientos.
Según los datos actuales, el valor critico de con el cual surge percolación por
las esferas, es igual a 2,7 ± 0,1. El problema de las circunferencias se ha
investigado menos intensamente, por lo cual, los resultados obtenidos por
diversos autores se distinguen considerablemente. Es probable que el valor
de Bc = 4,1 ± 0,4.
El problema de las circunferencias (esferas) es el caso límite del problema
de los nudos
Volvamos al problema de los nudos, en el que se hallan enlazados entre sí no
sólo los nudos inmediatos, y expliquemos por qué existe el límite situado en el
segundo miembro de la fórmula (1), por qué tal limite no depende del tipo de
retículo y. por último, por qué el mismo está designado por la misma
letra Bc que los valores de umbral en los problemas
de las circunferencias y las esferas.
Comencemos por enunciar, de modo algo diferente, el problema de los nudos. Para
concretar hablaremos al principio de los retículos planos. La generalización
con arreglo a los retículos tridimensionales es muy fácil.
Construyamos en torno a cada nudo blanco una circunferencia de radio R elegido
de tal modo que sea mayor que la distancia desde este nudo hasta los nudos del
último grupo de coordinación con el que dicho nudo está enlazado, pero que sea
menor que la distancia hasta los nudos del siguiente grupo de coordinación.
Consideremos que las circunferencias permanecen enlazadas una con otra si
permanecen enlazados los nudos blancos en torno a los cuales éstas han sido
construidas. Eso significa que las circunferencias se hallarán enlazadas en el
caso de que el centro de una de ellas se encuentre dentro de otra, es decir, si
las mismas permanecen entrelazadas.
La aparición de un racimo infinito de nudos blancos enlazados equivale al
surgimiento de percolación por las circunferencias entrelazadas. Por
consiguiente, cuando la cantidad crítica de nudos blancos constituye , aparece
percolación por las circunferencias de radio R construidas en torno a tales
nudos (Figura 33).
Es fácil entender el sentido de la variable Zx. La magnitud Z es
el número de nudos (tanto negros como blancos) que se encuentran dentro de una
circunferencia, mientras que la variable Zx es el numero medio
de centros de circunferencias situados dentro de una de ellas (o el número
medio de nudos blancos situados dentro de una circunferencia). La
variable Zxnud es el número medio de centros de
circunferencias situados dentro de una de ellas y con el cual surge
percolación, es decir, con el que aparecen vías infinitas en las
circunferencias entrelazadas.
De aquí se deduce que el producto Zxnud tiene el
mismo sentido que la variable Bc en el problema de
las esferas. Ahora, por lo visto, es más difícil comprender en qué se distingue
el problema de los nudos del problema de las circunferencias, que entender por
qué se parecen esos problemas. No obstante, existe diferencia, y ella es
considerable.
Figura 33. Vía de percolación por las circunferencias entrelazadas
construidas en un retículo cuadrado La interacción se toma en consideración a
una distancia tres veces mayor que el espacio entre las circunferencias vecinas
más cercanas La vía de percolación se muestra con una línea quebrada
El
hecho consiste en que en el problema de las circunferencias, en calidad de
centros de éstas pueden ser cualesquier puntos en el plano, mientras que en el
problema de los nudos, esos centros sólo pueden ser los nudos del retículo
sujeto a examen (Figura 33). Si no es grande el número de nudos situados dentro
de una circunferencia, la diferencia entre esos dos problemas resultará muy
importante. Naturalmente que en tales condiciones el valor crítico de Zxnuddependerá
del tipo de retículo. El número completo de nudos que se encuentran dentro de
una circunferencia es igual a Z. Como se deduce de la tabla 5, con
valores de Z no muy grandes, los valores de Zxnud para
distintos retículos se diferencian realmente.
Pero cuando el número Z es grande, la diferencia entre ambos
problemas desaparece. Supongamos que hemos comenzado por el problema de las
circunferencias y después hemos desplazado el centro de cada una de ellas hasta
el nudo inmediato del retículo. Esto ya será el problema de los nudos. Si
dentro de cada circunferencia hay muchos nudos del retículo, entonces, con una
probabilidad considerable, tal desplazamiento no contribuirá a que las
circunferencias no enlazadas resulten enlazadas, o viceversa. De aquí se deduce
que cuando Z -> ∞, el problema de los nudos y el problema
de las circunferencias resultan equivalentes. El valor de Bc,
determinado por la fórmula (1). no depende del tipo de retículo y coincide con
la variable Bc determinada en el problema de las
circunferencias.
Estos razonamientos pueden ser transferidos por completo al caso
tridimensional. Para los retículos tridimensionales, la variable determinada
por la fórmula (1), coincide con la variable Bc determinada
en el problema de las esferas.
Así pues, cuando el valor de Z es grande, el problema de los
nudos en cualquier retículo plano se reduce al problema de las circunferencias,
mientras que el problema de los nudos en el retículo tridimensional se reduce
al problema de las esferas. Por consiguiente, el límite en la fórmula (1)
realmente no depende del tipo de retículo, sino que depende de la dimensión del
espacio en el que se encuentra este retículo. (¡Las variables Bc son
diferentes para las circunferencias y las esferas!)
Capítulo 8
Electroconductibilidad de los semiconductores extrínsecos y problema de las
esferas
La
teoría de percolación resultó extraordinariamente útil para el entendimiento de
los procesos que transcurren en los semiconductores con impurezas (éstos se
denominan semiconductores extrínsecos a diferencia de los semiconductores
llamados puros o intrínsecos) Se puede decir que en la actualidad los
semiconductores extrínsecos constituyen uno de los principales campos de
aplicación de la teoría de percolación Acerca de los referidos semiconductores
se habla en vanos capítulos del libro Comenzamos el presente capitulo por el
análisis de las ideas contemporáneas relacionadas con ellos, suspendiendo
temporalmente la exposición de la teoría de percolación.
Semiconductores intrínsecos
Al principio hablaremos de los semiconductores intrínsecos tomando como base
los elementos semiconductores del cuarto grupo de la tabla de Mendeléiev tales
como el germanio y el silicio Estos elementos se cristalizan en un retículo del
tipo de diamante (Figura 30, a y b) En la capa externa de cada átomo hay cuatro
electrones que forman enlaces con cuatro electrones inmediatos El carácter de
movimiento de los electrones exteriores es tal que su densidad no se distribuye
uniformemente en torno al átomo, sino que permanece concentrada en cuatro haces
dirigidos del centro del tetraedro donde se encuentra cada átomo, hacia los
ángulos de ese tetraedro Precisamente estos haces atraen los átomos del
cristal, evitando que este último le desintegre.
Podemos imaginarnos que cada átomo tiene cuatro manos con las que el coge de
las manos a sus cuatro vecinos Además cada electrón se halla fuertemente
enlazado con sus vecinos y si aplicamos al semiconductor un campo eléctrico no
muy fuerte este no engendrara corriente eléctrica el numero de electrones
equivale exactamente al número de estos, necesario para formar enlaces,
mientras que para separar el electrón que realiza el enlace se necesita gran
energía Esta, o mejor dicho, el trabajo mínimo necesario para que el electrón
que se encuentra en estado enlazado pase al estado en el que él pueda moverse
libremente en el cristal, llámase anchura de la rendija de energía (o
simplemente ancho de la rendija) y se designa por Eg.
El ancho de la rendija de energía es la característica más importante del
semiconductor la cual determina en sumo grado todas sus propiedades eléctricas
Examinemos, por ejemplo, la electroconductibilidad En un semiconductor puro
(intrínseco) la electroconductibilidad se realiza a expensas de que cierta
cantidad de enlaces están rotos. Al romperse el enlace surge un electrón capaz
de conducir la corriente eléctrica así como un átomo "mutilado",
"de tres manos" Este "inválido" también es portador de
corriente pero de otro signo, a diferencia del electrón. En efecto bajo la
acción del campo eléctrico, el electrón del átomo inmediato puede pasar al
átomo "de tres manos" casi sin modificar su energía Como resultado el
otro átomo se convertirá en átomo "de tres manos". Este proceso puede
continuar, además, es muy fácil comprender que si los electrones accionados por
el campo, se mueven de izquierda a derecha, el átomo "de tres manos"
a causa de tal proceso, se moverá de derecha a izquierda (Es importante
entender que los propios átomos permanecen inmóviles Simplemente a expensas del
movimiento de los electrones los átomos se convierten en átomos "de tres
manos", ora uno, ora otro átomo) Por esta razón, el átomo "de tres
manos" también puede ser considerado como portador de comente, con la
particularidad de que, a diferencia del electrón a él se le debe atribuir carga
positiva, y no negativa.
En los semiconductores que constan de átomos de otra valencia, el cuadro
microscópico es algo diferente, pero en todos los casos, al romperse el enlace,
surgen dos portadores de corriente que tienen distintos signos. Uno de ellos
(negativo) se llama electrón, y el otro (positivo) hueco. Por lo tanto, el
átomo "de tres manos" es un caso particular del hueco.
La energía necesaria para romper los enlaces se adquiere de la energía del
movimiento térmico de los átomos. En física estadística se demuestra que, a altas
temperaturas, a un átomo que realiza pequeñas oscilaciones cerca de la posición
de equilibrio le corresponde por término medio, la energía de un movimiento
térmico que constituye 3kT, donde T es la temperatura
en grados Kelvin y k, la constante de Boltzmann (k = 1,38 10-16 ergios
K). Por regla general, el ancho de la rendija Eq se mide en
electrón-voltios (eV). Un electrón-voltio es el trabajo que realiza un electrón
al recorrer una trayectoria con una diferencia de potencial de 1 V. 1 eV = 1 6
1019 J = 1,6 1012 ergios. En el germanio Eg =
0,7 eV, y en el silicio, Eg = 1,1 eV. A temperatura ambiente
(300 K), la energía de 3KT constituye tan solo 0,08 eV. Esta energía es mucho
menor que la necesaria para romper el enlace tanto en el germanio como en el
silicio.
Sin embargo, el movimiento térmico tiene carácter desordenado y, en
determinados momentos, la energía del movimiento del átomo puede resultar muy
grande. Con cada uno de los átomos por separado eso ocurre rara vez, pero, en
cambio la cantidad de ellos es enorme. En 1 cm3 hay 10 23 átomos
aproximadamente. (Recordemos que el numero de átomos en un mol equivale al
número de Avogadro, o sea a 6 x 1023).
Por eso la concentración de electrones y huecos que aparecen al romperse los
enlaces, es mucho menor que la concentración de átomos, pero, a pesar de todo,
esa concentración es tan grande, que en cierta región de temperaturas puede
asegurar una electroconductibilidad considerable. El cálculo muestra que en el
germanio, a T = 300 K, la concentración de electrones es del orden de 1013 cm3.
En el silicio, donde la rendija es más ancha, a esa misma temperatura la
concentración es mucho menor (1010 cm3). Al bajar la
temperatura, la concentración de electrones disminuye bruscamente, aumentando
respectivamente la resistencia del semiconductor intrínseco.
Cuanto mayor sea el ancho de la rendija de energía, tanto menor será el número
de portadores de corriente a una temperatura dada. Toda la diferencia entre el
semiconductor y el dieléctrico consiste tan solo en el ancho de la rendija Los
materiales con Eg del orden de 5 eV y mayor, suelen llamarse
dieléctricos a temperatura ambiente, ellos prácticamente no contienen
portadores de corriente.
Si la diferencia entre el dieléctrico y el semiconductor es más bien
cuantitativa que cualitativa, la diferencia entre el metal y el dieléctrico
tiene carácter de principio. En el metal, el ancho de la rendija de energía es
igual a cero, mientras que la concentración de portadores de corriente es
grande incluso cerca del cero absoluto.
Semiconductores extrínsecos
Supongamos que en el germanio o en el silicio se han introducido, en calidad de
impurezas, los elementos del quinto grupo de la tabla de Mendeléiev, tales como
el fosforo, el antimonio y el arsénico. Los átomos de tales elementos tienen
cinco electrones exteriores. Si tal átomo reemplaza, por ejemplo, el átomo de
germanio que se encuentra en el centro del tetraedro, cuatro electrones suyos
formaran enlaces con cuatro electrones inmediatos, y el quinto electrón quedara
de mas. Este último se halla enlazado con su átomo, ya que si el mismo se
separase, el átomo permanecería positivamente cargado y atraería de nuevo su
electrón. Por lo tanto para que el electrón permanezca muy alejado del átomo,
hay que realizar cierto trabajo en contra de las fuerzas de atracción. Ese
trabajo se denomina energía de enlace del electrón con el átomo
Como se mostrará más adelante, la energía de enlace del electrón excedente es
relativamente pequeña, lo cual contribuye a que él se mantenga muy lejos del
átomo extrínseco (en comparación con el periodo de la red cristalina). Por ese
motivo, toda la estructura del átomo extrínseco recuerda la estructura del
átomo más sencillo, es decir, la del hidrógeno. Recordemos que el átomo de
hidrogeno consta de un núcleo pesado con carga positiva, y de un electrón
negativo ligero. Además, las dimensiones del núcleo son ínfimas en comparación
con la distancia del núcleo al electrón.
El átomo extrínseco tiene una estructura análoga. Pero en este caso el papel de
núcleo de hidrogeno lo desempeña no solo el núcleo del átomo extrínseco, sino
también sus electrones interiores y los cuatro que han formado los enlaces. El
tamaño de toda esta formación, como veremos ahora, es pequeño en comparación
con la distancia hasta el electrón excedente, mientras que la carga de la
formación es positiva y, según su valor absoluto, equivale a la carga del
electrón.
Como es sabido, en el átomo de hidrogeno, el electrón está alejado del núcleo a
una distancia del orden del llamado radio de Bohr aB, el
cual se expresa mediante la formula
Aquí h =
1,05 x 10-27 ergios y es la constante de Planck (dividida entre
2π), m = 9,8 x 10-28 g, la masa del electrón,
y e = 4,8 x 10-10 en unidades CGSE, la carga
del electrón.
La constante fundamental h fue introducida por el físico
alemán Max Planck en 1901 al plantear la hipótesis acerca del carácter cuántico
de las ondas electromagnéticas. Esta constante entra en la ecuación cuantomecánica que
describe el movimiento del electrón en torno al núcleo. Además de dicha
constante, en la ecuación solo entran las constantes e y m. El
radio de Bohr aB es el único valor que tiene
dimensión de longitud y que puede ser integrado por e, my h.
La energía de enlace del electrón en el átomo de hidrogeno es igual a
Con
arreglo al orden de magnitud, esta fórmula puede ser interpretada del modo
siguiente. El núcleo positivo, a una distancia r genera un
potencial igual a e/r. A una distancia del orden de aB ese
potencial equivale a e/aB, una distancia infinitamente
grande, el mismo es igual a cero. Por lo tanto el trabajo que es necesario
gastar para que el electrón alejado del núcleo a una distancia del orden
de aB sea trasladado a una distancia infinitamente
grande constituye, según el orden de magnitud, e 2/aB (la
diferencia de potencial multiplicada por la carga del electrón).
Volvamos ahora al átomo extrínseco. Las fórmulas escritas para el átomo de
hidrógeno han de ser modificadas a fin de tomar en consideración el hecho de
que el electrón excedente se mueve no en el vacío, sino en la red cristalina
del semiconductor. En este caso cambia el aspecto de la ley de Coulomb. La
fuerza que actúa sobre el electrón situado a la distancia r del
núcleo, es ahora igual a e2/εr2 y no
a e2/r2 (en unidades CGSE), donde
ε es la constante dieléctrica del cristal. Esta circunstancia puede ser tomada
en consideración al sustituir, en las expresiones paraaB y EB,
la variable e2 por e2/e.
Además, hay que tener en cuenta que la masa que describe el movimiento del
electrón por el cristal, no coincide con la masa del electrón libre m.
El hecho es que en el cristal existe un potencial eléctrico periódico
engendrado por los núcleos de los átomos del semiconductor y por los electrones
interiores. Una de las conclusiones más interesantes de la teoría cuántica del
sólido consiste en que, si ese potencial es exactamente periódico, el electrón
casi no lo notará. Este "casi" consiste en que, omitiendo el
potencial periódico de la ecuación de movimiento del electrón, es preciso
sustituir simultáneamente la masa m de este último por la
masa m* que depende de las propiedades del cristal. La
variable m* se denomina masa eficaz.
El átomo extrínseco genera un potencial no periódico el cuál no puede ser
omitido. Pero describiendo el movimiento del electrón en este potencial es
posible no tomar en consideración el potencial periódico del cristal
sustituyendo m por m*.
Por consiguiente, la ecuación que describe el movimiento del electrón excedente
en el cristal, en torno al átomo extrínseco cargado, se diferencia de la
ecuación del movimiento del electrón en el átomo de hidrógeno, por los
cambios e2 -> e2 /ε
y m -> m*.
Designemos por aB* la distancia
característica, a la cual se halla alejado del átomo extrínseco el electrón
excedente, y por EB*, la energía de enlace de
este electrón. Utilizando las fórmulas (1) y (2). obtenemos
Por
lo general, en los semiconductores, las masas eficaces son mucho menores que la
masa del electrón libre, y la constante dieléctrica es igual a 10 ... 15 (por
ejemplo, en el germanio, m* ≈ 0,1 m y ε = 16). Gracias a esto, la
distancia característica, a la cual se halla alejado el electrón excedente,
constituye, en los semiconductores típicos, desde varias decenas hasta
centenares de angstrom (1 Å = 10-8 cm). Esta magnitud es mucho
mayor que la distancia interatómica. (En el germanio, esa distancia constituye
2,45 Å).
Así pues, hemos obtenido que en el átomo extrínseco, el electrón excedente está
alejado de este último a gran distancia, y que el mismo se mantiene a esa
distancia a expensas de las fuerzas de atracción hacia el núcleo. Partiendo
únicamente de que la distancia aB* es
grande, debe quedar claro el hecho de que la energía de enlace EB* es
pequeña. En efecto, de los datos expuestos se deduce que la energía de enlace
de los semiconductores típicos constituye desde varias centésimas hasta varias
milésimas de electrón-voltio, es decir, esa energía es mucho menor que la
anchura de la rendija de energía Eq (0,7 eV para el germanio).
Esto es natural, ya que es más fácil separar del átomo extrínseco el electrón
excedente, que separar el electrón que realiza el enlace entre los átomos. La
energía térmica kT se compara con 0,01 eV a una temperatura
del orden de 100 K. Por lo común, a tal temperatura la mayoría de los
electrones excedentes se separan de sus átomos extrínsecos y participan en el
transporte de la corriente eléctrica. Por lo tanto, los átomos extrínsecos del
quinto grupo de la tabla de Mendeléiev ceden con relativa facilidad sus
electrones excedentes. Por eso ellos se denominan donadores.
Supongamos ahora que los átomos extrínsecos son los elementos del tercer grupo
de la tabla de Mendeléiev, tales como el boro, el aluminio, el galio, etc. En
la capa exterior de estos átomos se encuentran tres electrones, así que para
formar enlaces con sus cuatro vecinos, a ellos les falta un electrón. Éste se
toma fácilmente de los átomos inmediatos del semiconductor, pero en este caso,
uno de los átomos inmediatos se convierte en átomo "de tres manos" o,
con otras palabras, en los alrededores del átomo extrínseco aparece un hueco.
Tras capturar el cuarto electrón, el átomo extrínseco se carga negativamente.
Por eso el hueco es atraído hacia este átomo por las fuerzas eléctricas, y para
separarlo hay que realizar cierto trabajo, el cual llámase energía de enlace
del hueco con el átomo extrínseco.
El cálculo de la energía de enlace del hueco, de nuevo conduce al problema del
átomo hidrogenoide, sólo que ahora, en torno al núcleo de carga negativa se
mueve un hueco de carga positiva.
El papel de núcleo lo desempeña el átomo extrínseco juntamente con el electrón
complementario capturado. Este último se convierte en un haz que forma el
enlace entre los átomos y, por lo tanto, la zona en que se mueve no supera la
distancia interatómica. Al mismo tiempo, el hueco esta mas débilmente enlazado
con el átomo extrínseco. La distancia hasta el átomo donde se encuentra ese
hueco, así como la energía de enlace, se determinan mediante las formulas (3) y
(4). Solo es necesario tener en cuenta que la masa eficaz del hueco la cual ha
de utilizarse en este caso, hablando en general, se distingue de la masa eficaz
del electrón. Por lo común esta también es mucho menor que la masa del electrón
libre, así que el átomo hidrogenoide de hueco también tiene dimensiones del
orden de decenas de angstrom, mientras que su energía de enlace es del orden de
varias centésimas de electrón-voltio. A la temperatura de alrededor de 100 K el
movimiento térmico separa los huecos de los átomos extrínsecos después de lo
cual aquellos comienzan a "vivir por sí mismos" y, si se aplica un
campo eléctrico, ellos participaran en el transporte de la corriente. Por lo
tanto los átomos extrínsecos de los elementos del tercer grupo son capaces de
aceptar fácilmente un electrón y formar un hueco. Por eso ellos se llaman
aceptadores.
Resumamos todo lo dicho. Los portadores móviles de la corriente se forman en
los semiconductores solamente a expensa de la energía del movimiento térmico.
Pero ellos también pueden formarse a expensas de la rotura de los enlaces del
retículo. Para eso es necesario realizar un trabajo equivalente a la anchura de
la rendija de energía Eq. En este caso aparecen simultáneamente un
electrón y un hueco. Además, los mismos pueden ser generados de uno en uno al
separarse del átomo extrínseco el electrón o el hueco. En vista de que la
energía de enlace del electrón y del hueco con el átomo extrínseco es mucho
menor que la anchura de la rendija de energía, la probabilidad de que el
electrón se saque del átomo extrínseco es mucho mayor que la probabilidad de
que se rompa cualquier enlace. Por otra parte la concentración de átomos
extrínsecos, por lo general es muchos ordenes inferior a la concentración de
átomos fundamentales. Por lo cual, al subir la temperatura, al principio se
separan todos los portadores situados en las impurezas, en tanto que la concentración
de los propios portadores (electrones y huecos que surgen al romperse los
enlaces) es insignificante. Esta zona de temperaturas se denomina zona de
conductibilidad por impurezas. No obstante, con el aumento posterior de la
temperatura, la concentración de los propios portadores se compara con la de
las impurezas y comienza a superarla. Esta zona llamase zona de conducción
intrínseca.
La deducción más importante para la exposición ulterior consiste en que a
temperaturas muy bajas, cuando la energía del movimiento térmico kT es
pequeña en comparación con la energía de enlace de los electrones por
impurezas, en el semiconductor no hay portadores de ningún tipo, ni extrínsecos
ni intrínsecos. Los enlaces se encuentran allí donde deben estar, mientras que
los electrones extrínsecos y los huecos se hallan localizados en torno a sus
átomos. La electroconductibilidad del semiconductor en esta zona se reduce a
cero bruscamente al bajar la temperatura Por eso el semiconductor difiere del
metal, en el que la concentración de portadores móviles se mantiene alta por
mucho que baje la temperatura.
Transición a la electroconductibilidad metálica al aumentar la concentración
de impurezas
Esta principal diferencia entre el semiconductor y el metal desaparece
inesperadamente al aumentar la concentración de impurezas Si dicha
concentración supera cierto valor critico de Nc, por
mucho que baje la temperatura, la electroconductibilidad permanecerá
relativamente alta y dependerá muy poco de la temperatura. La electroconductibilidad
que se comporta de esa manera se denomina metálica. Esto no significa, ni mucho
menos, que, según el orden de magnitud, la electroconductibilidad del
semiconductor es comparable con la de los buenos metales. La
electroconductibilidad de los semiconductores siempre es muchos ordenes
inferior a la de los metales. La denominación refleja solamente el carácter de
comportamiento de la electroconductibilidad a bajas temperaturas. La transición
a la electroconductibilidad metálica que sucede al aumentar la concentración de
impurezas llamase transición dieléctrico-metal o transición de Mott.
Los experimentos han demostrado que la concentración critica de impurezas Nccon
la cual se produce la transición de Mott, cambia considerablemente de un
semiconductor a otro. Una buena estimación de la variable Nc puede
ser obtenida con ayuda de la relación
Por
ejemplo, en el germanio, Nc = 1017, y en
el silicio, Nc = 3 x 1018 cm3.
En el campo de los semiconductores aun no existe una teoría matemática
satisfactoria de transición de Mott. Eso constituye uno de los problemas más
complicados de la física del sólido. Las consideraciones cualitativas consisten
en lo siguiente.
Con arreglo a su estructura, los átomos extrínsecos se parecen a los elementos
monovalentes del primer grupo de la tabla de Mendeléiev (H, Li, Na, K). Al
igual que estos elementos, el átomo extrínseco tiene un solo electrón en la
capa exterior. Cristalizándose, los elementos del primer grupo forman buenos
metales. El hidrogeno forma un cristal molecular y es dieléctrico. Pero hay
todas las razones para suponer que, al someterlo a alta presión, el mismo
también se convierte en metal (Hoy día en este campo se realiza un trabajo tan
intenso, el que podría ser el tema de un libro independiente)
Es absolutamente natural que los átomos extrínsecos hidrogenoides, al
permanecer muy cerca uno de otro dentro del semiconductor, también sean capaces
de formar un sistema metálico.
A primera vista parece extraño que eso pueda tener relación con la transición
de Mott. En efecto la concentración de átomos en el sodio metálico constituye
alrededor de 1022 cm-3 o sea, es
aproximadamente 100 mil veces mayor que la concentración de impurezas en el
germanio con la cual ocurre la transición de Mott. Es evidente que con
concentraciones tan bajas, el sodio no pueda ser metal.
Sm embargo, la metalización del sistema se determina no por la magnitud de la
concentración sino por el grado de recubrimiento de las capas electrónicas de
los átomos inmediatos. Si los átomos se encuentran a una distancia tan grande,
que las zonas del espacio donde se mueven sus electrones exteriores permanecen
muy alejadas una de otra, esos átomos serán simplemente átomos aislados. Pero
si los núcleos de los átomos se hallan tan cerca uno de otro, que las zonas
donde se mueven sus electrones exteriores permanecen recubiertas (sobrepuestas)
esos átomos perderán su individualidad. Sus electrones exteriores "no
pueden saber" a cuál de los núcleos pertenecen. En un sistema constituido
por gran numero de átomos ocurre la llamada socialización o colectivización de
los electrones. Estos forman un sistema independiente capaz de conducir la
comente eléctrica. Tal sustancia es el metal.
Para los átomos hidrogenoides, la magnitud del recubrimiento se determina por
el parámetro adimensional NaB*. (La variable 4/3π NaB*
es el número medio de núcleos de átomos ubicados dentro de una esfera cuyo
radio equivale al radio eficaz de Bohr). Como ya fue dicho gracias a que el
átomo extrínseco se encuentra dentro del semiconductor su radio es anormalmente
grande. Por tal razón, la condición (5) ya se cumple cuando N =
1017 cm3 (para el germanio)
De las consideraciones expuestas es fácil comprender por qué la transición de
Mott en todos los semiconductores ocurre aproximadamente con el mismo valor del
parámetro NaB*3, aunque las concentraciones
críticas de Nc pueden variar mucho (Pues
precisamente este parámetro determina el recubrimiento de los átomos
inmediatos.
Puede ser planteada la pregunta ¿qué concentración de átomos debe poseer un
cristal de hidrogeno para que el recubrimiento de sus átomos sea igual que el
recubrimiento de los átomos extrínsecos que se encuentran en el semiconductor
con una concentración correspondiente a la transición de Mott? El recubrimiento
se determina por la formula (5), pero ahora en ella es natural sustituir el
radio de Bohr obtenido por la formula (1). En este caso obtendremos una
concentración colosal, equivalente a 1023 cm3. Así
pues, el recubrimiento correspondiente a la transición de Mott es muy grande.
Por eso no hay razones para asombrarse de que los átomos extrínsecos con una
concentración superior a Nc formen un sistema
metálico. Este hecho constituye la base de la teoría contemporánea de los
semiconductores con gran concentración de impurezas.
Transición de Mott y problema de las esferas
La teoría de percolación propone una exposición simplificada de la transición
de Mott, la cual toma en consideración el hecho de que las impurezas en el
semiconductor se hallan dispuestas desordenadamente y pueden formar
acumulaciones y enrarecimientos. Supongamos que en cierta zona los átomos
extrínsecos están dispuestos tan cerca uno de otro, que sus capas electrónicas
permanecen muy recubiertas y sus electrones exteriores se socializan. Tal zona
es un pedazo de metal, si a esta le aplicamos diferencia de potencial por ella
fluirá corriente eléctrica. Sin embargo la existencia de tales zonas es
insuficiente para que la muestra maciza se comporte como un metal. Si las zonas
metálicas se encuentran rara vez las mismas no se comunicaran una con otra,
sino que solo constituirán inclusiones metálicas aisladas en la sustancia que,
a bajas temperaturas es un dieléctrico. En general, tal sustancia se comporta
como un dieléctrico. Al aumentar la concentración de impurezas se incrementa el
espacio ocupado por las zonas metálicas y, con cierta concentración
critica Nc, las zonas metálicas formarán un sistema
enlazado de "lagos y canales" que atraviesa todo el cristal del
semiconductor. A partir de tal concentración, la electroconductibilidad de la
muestra maciza adquiere carácter metálico.
Está claro que la enunciación matemática de las ideas antes expuestas debe
estar enlazada con la teoría de percolación, pero el planteamiento de dicho
problema no es fácil. La principal dificultad consiste en que no sabemos con
qué concentración de impurezas una zona dada puede considerarse metálica.
El modelo elemental de transición de Mott, enunciado en los años sesenta,
consiste en lo siguiente. Imaginémonos que cada átomo extrínseco es una bola
metálica con cierto radio r0. Esas bolas pueden penetrar una en otra (Figura
34, a), es decir, las zonas o espacios ocupados por ellas pueden recubrirse.
Las bolas forman cadenas (Figura 34, h) y zonas de una configuración más
complicada, las cuales, según la definición, se consideran metálicas. Es
necesario hallar la concentración de bolas Nc, partiendo
de la cual las zonas metálicas aseguran la electroconductibilidad de la muestra
maciza.
¿A partir de qué razonamientos debemos elegir el radio r0 ?
El átomo extrínseco hidrogenoide no tiene límites evidentes. La probabilidad de
hallar el electrón a una distancia r del núcleo, disminuye al
aumentar r según la ley
donde e =
2,718 es la base del logaritmo natural. La probabilidad de encontrar el
electrón cuando r = aB*/2 es 7 veces
menor que cuando r = 0; cuando r = aB es
7,4 veces menor que cuando r = 0; y cuando r =
1,5 aB es 20 veces menor. Se puede decir con
seguridad, que el radio eficaz del átomo debe ser proporcional a la
longitud aB*
r0 =
qaB * (6)
Ésta
es una afirmación muy importante, la cual significa que el coeficiente
numérico q debe poseer cierta universalidad: éste varía
relativamente poco al pasar de un semiconductor a otro, mientras que la
magnitud aB varía mucho.
Figura 34. a) Esferas recíprocamente recubiertas, que representan átomos con
electrones socializados; b) cadena de esferas recíprocamente recubiertas, que
es un canal metálico por el que puede fluir la corriente eléctrica .
A
base de cualesquiera consideraciones físicas es muy difícil calcular de
antemano la variable q. La vía más fácil consiste en hallar, dentro
de los límites del modelo antes enunciado, la concentración crítica Nc correspondiente
a la transición de Mott. Esta concentración será expresada por el radio de la
bola r0. Después, utilizando la fórmula (6) es necesario
expresar Nc a través de q y aB*.
De acuerdo con los datos experimentales, la variable Nc se
determina mediante la fórmula (5). Comparando teóricamente la expresión con la
fórmula (5) es posible obtener la variable q, es decir, esta última
puede ser determinada a partir de los datos experimentales.
Pasemos a la realización de dicho programa. Hay que resolver el siguiente
problema de la teoría de percolación. En el espacio tridimensional se han
construido bolas de radio r0, cuyos centros se hallan
distribuidos en el espacio desordenadamente y, por término medio, de forma
uniforme. El número medio de centros de bolas, correspondiente a la unidad de
volumen, es igual a N. Dos bolas se consideran enlazadas si ellas
se recubren mutuamente (Figura 34, b). Es preciso hallar el valor crítico de la
concentración Nc que provoca la percolación por las
bolas capaces de recubrirse, es decir, que contribuye a la formación de vías
que atraviesan todo el sistema y que constan de bolas capaces de recubrirse
(Figura 34, b).
Este problema difiere del de las esferas, enunciado en el capítulo anterior,
por el hecho de que en el segundo se consideraban enlazadas no las esferas
capaces de recubrirse, sino las esferas entrelazadas, es decir, aquellas cuyos
centros se encuentran a una distancia inferior a r0 y
no a 2r0. Tal diferencia, no obstante, es poco importante, o
sea. los resultados de un problema pasan fácilmente a otro. En efecto, si con
cierta concentración de centros existe una vía infinita por las esferas
entrelazadas de radio 2r0, también existirá una vía por las
esferas de radio r0 capaces de recubrirse. Esta es
simplemente la misma vía, es decir, la vía que pasa por los mismos centros. En
la figura 35 esa idea se ilustra para el caso del problema plano. (Es fácil
entender qué aspecto debe tener el correspondiente dibujo para el problema
tridimensional.) Si no hay vía por las esferas entrelazadas de radio 2r0,
tampoco la habrá por las esferas de radio r0 capaces
de recubrirse. De aquí se deduce que la concentración crítica correspondiente
al umbral de percolación por las esferas entrelazadas de radio 2r0 es
igual a la concentración crítica correspondiente al umbral de percolación por
las esferas de radio r0 capaces de recubrirse.
De acuerdo con los resultados del capítulo anterior, la concentración crítica
para la percolación por las esferas entrelazadas de radio 2r0 se
determina con arreglo a la condición
Sustituyendo
la expresión (6) en la (7) obtenemos
El
coeficiente q ahora puede ser hallado comparando la expresión
(8) con la (5) obtenida de los datos experimentales. Para que estas expresiones
coincidan es necesario suponer que q = 1,6. Por consiguiente,
el radio eficaz r0 es igual a 1,6aB*.
La probabilidad de hallar el electrón en el punto situado a la distancia r = r0 del
núcleo es 24 veces menor que en el punto r = 0.
Lo más importante en esta descripción de la transición del dieléctrico al
metal, por supuesto no es el cálculo de la variable q que
determina el radio eficaz del átomo, sino el hecho de que la teoría de
percolación permite suponer cómo está estructurado el semiconductor con una
concentración de impurezas próxima a Nc.
Figura 35. Las líneas de trazos muestran una cadena de circunferencias
entrelazadas, de radio 2r0. Los centros de dichas circunferencias
están marcados con cruces. La vía de percolación por los centros se indica con
una línea quebrada Por esos mismos centros pasa la vía de percolación a través
de las circunferencias recíprocamente recubiertas. de radio r0
Si
la descripción propuesta es correcta, en el semiconductor habrá un sistema de
canales metálicos que atraviesa por completo dicho semiconductor. La corriente
eléctrica fluye por esos canales al igual que por cables conductores. Como será
mostrado en la tercera parte del libro, el volumen del semiconductor ocupado
por tales canales es muy pequeño si la concentración de impurezas es próxima
a Nc. Con esto se hallan relacionadas las propiedades
específicas de la electroconductibilidad y otras características importantes
del semiconductor.
Ejercicio
1. El antimoniuro de indio (In Sb) es un semiconductor con una rendija muy
estrecha (0,18 eV a temperatura ambiente). Las masas eficaces de tales
semiconductores también son pequeñas. Considerando que la masa eficaz m*
del electrón es igual a 0,015 m, y que la constante dieléctrica ε = 18,
calculen el radio de Bohr eficaz aB y la
concentración crítica Nc correspondiente a la
transición de Mott: dieléctrico-metal.
Capítulo 9
Diversas generalizaciones del problema de las esferas. Figuras entrelazadas de
forma arbitraria
Como
ya fue dicho, el movimiento del electrón en el cristal se describe por la
llamada masa eficaz m*, la cual puede distinguirse
considerablemente de la masa del electrón libre, es decir, de la masa del
electrón situado en el vacío. Resulta que la masa eficaz puede diferenciarse de
la masa del electrón libre no sólo por su valor. El asunto es que en el cristal
no todas las direcciones son equivalentes. Por ejemplo, el carácter de
movimiento del electrón a lo largo de las aristas del cubo puede distinguirse
del carácter de su movimiento a lo largo de las diagonales de ese cubo y de las
diagonales de sus caras. Por eso la masa eficaz puede ser distinta en
direcciones diferentes. Entonces la zona donde el electrón se mueve en entorno
al átomo donador, ya no tendrá forma de bola. La misma puede ser un elipsoide o
una figura aún más complicada.
Por este motivo, el problema de las esferas fue generalizado para el caso de
figuras de forma arbitraria. El nuevo problema se enuncia así: se dan los nudos
distribuidos en el espacio de modo desordenado pero, por término medio,
uniformemente. La concentración de nudos es igual a N. En torno a
cada uno de ellos se ha construido una misma superficie cerrada de forma
arbitraria.
Las superficies construidas en torno a distintos nudos no sólo son idénticas
por su forma, sino que permanecen igualmente orientadas en el espacio. Si, por
ejemplo, las superficies tienen forma de pez, las colas de todos los peces
deben estar orientadas hacia un mismo lado.
El volumen que se encuentra dentro de una superficie es igual a V.
Dos nudos se consideran enlazados entre sí, si uno de ellos está dentro de la
superficie construida en torno al otro (superficies entrelazadas). Hay que
hallar el valor crítico de la concentración N, con el que surge
percolación por los nudos enlazados.
Al igual que en el problema de las esferas, la presencia o la falta de
percolación sólo se determina por el valor del parámetro B, que es
el producto VN o el número medio de nudos situados en un
volumen limitado por una sola superficie. Ese número no cambia al aumentar o
disminuir las escalas a lo largo de las tres direcciones, es decir, al
multiplicar o dividir las coordenadas de todos los nudos del sistema y de todos
los puntos situados en las superficies, por un mismo número. También está claro
que tal cambio de las escalas no eliminará la percolación, si ésta existe, y no
la generará. Por lo tanto, la percolación "no reacciona" a las
modificaciones de N y V con las que no cambia
la magnitud B. Por eso, al igual que en el problema de las esferas,
es conveniente hablar no de la concentración crítica Nc.
sino del valor crítico del parámetro B:
Bc =
Nc V (1)
Si.
por ejemplo, sin cambiar la forma de la superficie construida en torno a cada
nudo, se procede a aumentar el volumen V limitado por esa
superficie, por ejemplo, dos veces, la concentración críticaNc también
disminuirá dos veces, pero el parámetro Bc no
cambiará. Este último sólo depende de la forma de la superficie
La fórmula (1) generaliza la fórmula
utilizada
anteriormente en el problema de las esferas.
En un caso general, el valor crítico de Bc, con el que
surge percolación, no debe coincidir con el valor de Bc =
2,7 obtenido para el problema de las esferas, La cuestión de los valores
de Bc para distintas figuras, hoy día se estudia
intensamente.
Problema de los elipsoides
Los científicos soviéticos Ya. G. Sinai y B. L Shklovski han demostrado que
algunas superficies diferentes tienen el mismo valor de Bc.
En particular, tales superficies son el elipsoide y la esfera (y en el caso
plano, la elipse y la circunferencia).
Al principio recordemos qué es una elipse y un elipsoide. Llámase elipse la
curva cerrada representada en el plano, que se obtiene de una circunferencia al
estirarla (o comprimirla) a lo largo de uno de sus ejes (Figura 36). Para
realizar el estiramiento o la compresión es preciso transformar cada
punto M situado en la circunferencia y que tiene las
coordenadas x, y en el punto M' con
coordenadas = kx, y' = y, donde k es
el coeficiente de estiramiento (k > 1 corresponde al
estiramiento, y k< 1, a la compresión).
La superficie que se obtiene de una esfera al estirarla (o al comprimirla) a lo
largo de uno de sus ejes, se denomina elipsoide de revolución. Para efectuar el
estiramiento o la compresión a lo largo del eje 2 hay que transformar cada
punto situado en la esfera y que tiene las coordenadasx, y, z,
en un punto con coordenadas x' = x, y'
= y, z' = kz. El cuerpo que así se obtiene
se muestra en la figura 37. El mismo se llama elipsoide de revolución, ya que
pasa a sí mismo al girarlo a cualquier ángulo en torno al eje z (llamado
eje de rotación). Y si lo cortamos con un plano que pase por el eje z,
en el corte obtendremos una elipse. El corte con un plano perpendicular al
eje z, proporcionará una circunferencia.
El elipsoide de forma general se obtiene del elipsoide de revolución
estirándolo (o comprimiéndolo) a lo largo de uno de sus ejes perpendiculares al
eje de revolución. El nuevo coeficiente de estiramiento puede distinguirse
de k. El corte del elipsoide de forma general, con cualquiera de
los planos paralelos a los planos xOy, xOz, yOz.
proporciona una elipse.
Figura 36. Elipse E obtenida de la circunferencia O al estirarla a lo largo
del eje x.
Figura
37 Elipsoide de revolución.
Demostremos
ahora que los valores de Bc para los elipsoides y
las esferas son idénticos. Supongamos que han sido establecidos los nudos
distribuidos desordenadamente en el espacio, con una concentración media igual
a N. En torno a cada nudo se ha construido una esfera de
radio R. Si
entonces
habrá percolación por las esferas y, al cumplirse la desigualdad inversa, no
habrá percolación por las esferas. Aquí Bcesf es
el valor crítico de B para el problema de las esferas (Bcesf =
2,7 ± 0,1)
Realicemos el estiramiento a lo largo de los ejes z y x según
la ley y' = y, x' = k1x, z'
= k2z, de tal modo que a dicha transformación se
sometan tanto las coordenadas de los nudos como las de los puntos situados en
las esferas. (Si se tratara de un problema plano, podríamos suponer que los
nudos y las circunferencias se trazaron sobre una cinta de goma que después fue
estirada en una dirección. De modo análogo podemos imaginamos un "espacio
de goma" tridimensional, dentro del cual están marcados los puntos que
representan los nudos y las superficies de las esferas. Luego ese "espacio
de goma" se estira en dos direcciones.)
Si las coordenadas x de los nudos son números aleatorios
distribuidos uniformemente en el intervalo de 0 a L, donde L es
el tamaño del sistema, las nuevas coordenadas x' obtenidas al multiplicar
por k1 también serán números aleatorios
distribuidos con uniformidad en el intervalo de 0 a k1L.
Las coordenadas z están distribuidas uniformemente en el
intervalo (0, k2L), y las coordenadas y no han
cambiado. La concentración de nudos N' comenzó a distinguirse de la
concentración N.
Todas las esferas se han transformado en elipsoides de volumen V’.
(Se puede mostrar que V' = k1k2 4π
R3/3. Pero para las conclusiones ulteriores eso no tiene
importancia.) Por eso, como resultado, del problema de las esferas se ha
obtenido el problema de los elipsoides. Para este último hay que introducir la
variable B' = N'V' y hallar el valor crítico
de B' con el que surge percolación por los elipsoides. Designemos
ésta por Bcel.
La demostración ulterior se divide en los siguientes puntos:
1. B = B'. Todos los nudos que antes de la
transformación se encontraban dentro de cierta esfera, después de la
transformación resultan dentro del elipsoide obtenido de dicha esfera. En
efecto, si ésta se estira (o se comprime), entonces, en cualquier etapa del
estiramiento, los puntos interiores respecto a ella siguen siendo interiores, y
los exteriores se mantienen exteriores. Por consiguiente, el número medio de
nudos B que antes de la transformación se encontraban dentro
de una esfera, equivale al número medio de nudos B que después
de la transformación permanecen dentro de un elipsoide.
2. Si B > Bcesf,
entonces B > Bcel (3)
3. Si B < Bcesf entonces
B < Bcel (4)
Efectivamente, si antes de la transformación, dos esferas estaban enlazadas, es
decir, si el centro de una de ellas se encontraba dentro de la otra, los dos
elipsoides obtenidos de ellas también permanecerán enlazados, ya que a causa de
la transformación, los puntos interiores seguirán siendo interiores, y los
exteriores, exteriores. Si dos esferas no estaban enlazadas, los elipsoides
obtenidos de ellas tampoco lo estarán. De aquí se deduce que si B > Bcesf es
decir, si existen vías infinitas de percolación por las esferas enlazadas,
también existirán vías infinitas de percolación por los elipsoides enlazados,
lo cual, a su vez, significa que B' es mayor que el valor de
umbral Bcel. Como B' = B,
de aquí obtenemos la condición (3). Si B < Bcesf,
es decir, si no existe percolación por las esferas enlazadas, tampoco existirá
percolación por los elipsoides enlazados, es decir, B' < Bcel.
De aquí se deduce la condición (4).
Como las condiciones (3) y (4) deben cumplirse con cualquier valor deB,
de ellas se deduce que Bcesf = Bcel,
lo cual era necesario demostrar.
Otras superficies
El problema de los elipsoides tiene mucha importancia para la física de los
semiconductores, sin embargo, en una serie de casos ese problema no-es
suficiente. Por eso los físicos querían saber cómo el valor crítico de Bc depende
de la forma de la superficie en los casos cuando no hay relaciones exactas. Con
este fin se realizaron cálculos en un ordenador, según el método de Montecarlo,
los cuales demostraron un hecho extraordinario y muy importante: Bc depende
muy poco de la forma de la superficie.
Se estudiaron las figuras que tenían forma de cubo y de tetraedro. Resultó que,
dentro de los límites de precisión del cálculo ( + 0,1), los valores críticos
de tales figuras no se distinguen/ ni entre sí, m del valor de Bc para
el problema de las esferas. Se trató hallar la figura lo menos
"parecida" a una esfera. En calidad de la misma fue elegida "la
cruz tridimensional", es decir, la figura formada por tres paralelepípedos
extendidos que se cruzan en el origen de coordenadas (Figura 38), Resultó que
para tal superficie, el valor de Bc es tan sólo en
un 20% menor que para la esfera.
Figura
38. "Cruz tridimensional"
Eso
mismo fue aclarado para las figuras planas. Las investigaciones han mostrado
que el valor de Bc para los cuadrados difiere tan
sólo en un 2% del valor de Bcpara las circunferencias.
Así pues, en la clase de figuras de una dimensión (es decir, ora planas, ora
tridimensionales), el valor de Bc es universal con
buena precisión. Puede ser que detrás de esto se oculten ciertas relaciones
semejantes a la demostrada en el apartado anterior, y allí donde los cálculos
en el ordenador revelen poca diferencia, o no revelen diferencia dentro de los
límites de precisión, en realidad tendrán lugar igualdades estrictas. (En
cuanto a las diferencias débiles obtenidas mediante el ordenador, éstas han de
interpretarse de manera crítica, ya que no siempre es fácil apreciar
correctamente la precisión de los resultados.) Por desgracia, salvo lo dicho,
actualmente no se sabe nada más.
Un experimento más en la cocina casera y problema de las esferas
sólidas
En 1974 tres estudiantes de la Universidad de Harvard (EE.UU.) realizaron el
siguiente experimento sencillo. En un recipiente colocaron 5000 pequeñas bolas,
parte de las cuales eran de aluminio, y otras de plástico. Las mismas fueron
minuciosamente mezcladas de antemano. El recipiente se sacudió bien para lograr
la máxima compactación de las bolas. En el fondo del recipiente se encontraba
un electrodo en forma de hoja metálica, encima se instaló otro electrodo y todo
ese sistema fue comprimido mediante una carga de 15 kg.
El aluminio es un buen metal, pero el plástico es un dieléctrico. El objeto de
este experimento consistía en hallar la porción crítica xc de bolas de
aluminio, con la cual surge corriente entre los electrodos, es decir, surgen
vías por las bolas de aluminio que rozan una con otra. Resultó que xc ≈
0,25.
Además, el experimento permitió investigar la electroconductibilidad del
sistema en función de x cuando x > xc.
Se trata de un problema más de percolación, es decir, del problema de las
esferas sólidas. El problema de los nudos quizás sea el más parecido a este
nuevo problema. Recordemos la construcción examinada en el capítulo 6 con
motivo de la estimación aproximada del umbral de percolación del problema de
los nudos. En torno a cada nudo del retículo se construye una esfera de radio
igual a la mitad de la distancia hasta el nudo inmediato. Las esferas
construidas en torno a los nudos blancos se llaman esferas blancas, y las
construidas en torno a los nudos negros, esferas negras. La percolación por los
nudos blancos es equivalente a la existencia de vías por las esferas blancas
que rozan una con otra (véase la Figura 31).
La diferencia entre el problema de los nudos y el problema nuevo consiste en
que en el primero, los centros de las esferas son los nudos del retículo
regular, y en el segundo, los centros de las esferas pueden encontrarse por
doquier. Más adelante se muestra que esa diferencia no es muy importante.
La diferencia entre el problema nuevo y el de las esferas, examinado en los
capítulos anteriores y en los apartados anteriores de este capítulo, consiste
en que las esferas que figuran en el nuevo problema se estima que son sólidas:
éstas no se recubren una con otra. Tal diferencia es muy importante.
En el capítulo 6 se muestra que en el caso del problema de los nudos, la
percolación por los nudos blancos surge cuando una parte del espacio, llena de
bolas construidas en torno a esos nudos, es igual a 0,16 aproximadamente.
Resultó que el referido número casi no depende del tipo de retículo. Es natural
suponer que si el mismo casi no depende del tipo de retículo, entonces ese
número no debe depender mucho de si hay, en general, retículo. Si esto es
correcto, la parte del volumen llena de bolas metálicas, con la cual por dichas
bolas surge percolación, ha de ser igual a 0.16 aproximadamente.
Al igual que en el capítulo 6, designemos por/el coeficiente de relleno, es
decir, la parte del volumen ocupada por todas las bolas de aluminio y de
plástico. Por definición, la variable x es la relación entre el número de bolas
de aluminio y el número total de bolas. Por este motivo, la parte del volumen
ocupada por las bolas de aluminio es igual a fx. Si en el umbral de
percolación esta parte del volumen es igual a 0,16, entonces el valor crítico
de xc puede ser hallado de la condición fxc = 0,16.
El coeficiente de relleno para el sistema de bolas bien compactadas, pero
desordenadamente dispuestas, es bien conocido. Semejante sistema es conocido
por la humanidad desde tiempos antiguos. Cuando era necesario medir cierta
cantidad de trigo o de cualquier otra mercancía anda, ésta se echaba en un
recipiente especial {medida), se sacudía y se compactaba. En la ciencia
contemporánea, ese sistema sirve como modelo de disposición de los átomos en
los metales amorfos. Estos metales, también conocidos con el nombre de vidrios
metálicos, son sustancias dotadas de electroconductibilidad metálica, pero sin
estructura metálica. Resultó que la disposición de los átomos en el metal
amorfo recuerda mucho la disposición de las bolas incompresibles bien
compactadas. Gracias a esto, las propiedades de las bolas dispuestas
desordenadamente y bien compactadas se estudiaban con mucha minuciosidad
(principalmente con ayuda de un ordenador). Se aclaró que la parte del volumen
ocupada por las bolas es igual a f = 0,637.
Volvamos al problema de la percolación por las bolas metálicas Tras
determinar xcpor la fórmula xc =
0,16/ f obtenemos xc = 0,25. lo
cual coincide con el resultado obtenido por los tres estudiantes.
Posteriormente los experimentos para determinar el umbral de percolación se
repetían con mucha frecuencia utilizando una técnica más moderna. Se realizaban
experimentos en los que figuraba una mezcla de bolas de diversos radios. En
esta mezcla también cambiaban, dentro de amplios límites, los radios de las
bolas metálicas y dieléctricas. Resultó que en este caso la parte crítica del
volumen/xc es igual a 0.17 aproximadamente, y no
difiere, dentro de los límites de precisión, del experimento con bolas de un
mismo radio.
Así pues, el umbral de percolación en el problema de las esferas sólidas puede
ser apreciado con relativa facilidad considerando que la parte crítica del
volumen llena de bolas metálicas es igual a 0.16 aproximadamente. Cabe señalar
que en el problema de las esferas que se recubren, ese número es mucho mayor.
El problema de las esferas sólidas resulto muy importante desde el punto de
vista de su aplicación. El mismo es la base de la teoría de los materiales
heterogéneos, que son dieléctricos con pequeñas inclusiones metálicas. En la
actualidad tales materiales se estudian ampliamente. Ellos se fabrican y se
utilizan tamo en forma de películas finas como en forma de muestras
volumétricas (tridimensionales). Cerca del umbral de percolación, dichas
sustancias poseen propiedades eléctricas extraordinarias. Por ejemplo, la
capacidad de un condensador lleno de tal material crece ilimitadamente si la
parte del volumen ocupada por el metal se aproxima al umbral de percolación.
Tal fenómeno está relacionado con la capacidad recíproca anómala de los grandes
racimos metálicos. Hoy día la descripción de las propiedades eléctricas de los
materiales heterogéneos se convierte en un apartado independiente de la teoría
de percolación.
Capítulo 10
Nivel de percolación "diluvio universal"
Seis
días y siete noches reinaba la tormenta
El Diluvio espantoso cubría la Tierra,
Al amanecer del séptimo día, entre la tormenta
y el Diluvio ceso la guerra.
Habíase ya calmado la tempestad de viento y
agua se termino el Diluvio
Abrí el respiradero-la luz me dio en la cara.
Miré al mar-el silencio advino
Y vi que toda la humanidad estaba convertida en limo
Haciéndose un techo plano la llanura
Así
describe el Diluvio Universal el mito sumerio de Guilgamesh, una de las obras
literarias más antiguas, que remonta aproximadamente a la época del segundo
milenio antes de nuestra era (traducción del ruso por Stanislav N. Beloúsov).
Cuando el agua comenzó a menguar, sobre su superficie aparecieron las montañas
más altas de la Tierra. El agua bajaba cada vez más y más hasta alcanzar su
nivel habitual Imagínense un cuadro grandioso: un enorme sistema montañoso, por
ejemplo, el Tian-Shan, que sale poco a poco del agua. Al principio aparecieron,
como islas, las cumbres más altas, después las zonas de prados alpinos y, por
último, el agua descendió hasta el pie de las montañas.
Supongamos que nos interesa la siguiente cuestión: ¿hasta qué nivel debe bajar
el agua para que desaparezca la última vía acuática que atraviesa todo el
Sistema montañoso (Figura 39)? Por supuesto que tal vía existirá hasta que
cierta parte de los puertos montañosos salgan del agua, y después la misma
desaparecerá.
Figura
39. Viaje durante el Diluvio
La
figura 40 ilustra el mapa geográfico de un sistema montañoso en el que,
mediante líneas finas se muestran las curvas de nivel (líneas que unen todos
los puntos que tienen la misma altura en el terreno). Las «líneas gruesas son
las curvas correspondientes al nivel del agua. Ellas separan el agua de la
tierra firme. Los sectores cubiertos de agua, en la figura están rayados. La
figura 40, a ilustra el comienzo del Diluvio: los lagos de agua aun no se
comunican uno con otro. Después el agua subió más, y en la figura 40, b ya han
surgido vías acuáticas que cruzan todo el sistema. En la figura 40. c, del agua
sólo sobresalen algunas cimas montañosas.
El nivel del agua con el que aparece (o desaparece) la vía acuática, se llama
nivel de percolación. Su determinación constituye un problema plano de la
teoría de percolación. El mismo también puede ser enunciado de otra manera.
Supongamos que el plano ha sido pintado caóticamente con pintura blanca y
negra. Admitamos que una parte del área pintada de color blanco es igual
a x.
Con pequeños valores de x, los pedazos blancos forman manchas
aisladas, mientras que con valores de x cercanos a la unidad,
al revés, permanecen aislados los pedazos negros. Hay que hallar el valor
crítico de x con el que desaparece (o aparece) la vía que
atraviesa todo el sistema y que solo pasa por las zonas blancas.
Figura 40. Mapa de un sistema montañoso cubierto de agua Las regiones
inundadas están rayadas.
De
modo análogo también puede ser enunciado el problema volumétrico
(tridimensional), tras llenar un gran volumen con sustancia blanca y negra.
Después es preciso cambiar parte del volumen llenado con una de las sustancias,
hasta que en el mismo surja percolación.
Construcción de una función aleatoria**
El nuevo problema no es reticular. Analicemos su enunciación matemática en un
caso plano. Hay que establecer en todo el plano la función
aleatoriaV(X, Y), donde X e Y son las
coordenadas. En el problema del “Diluvio Universal”, esta función es la altura
sobre el nivel del mar en un punto de la superficie terrestre con coordenadas
determinadas. Limitémonos al caso de las funciones aleatorias
gaussianas (llamadas en honor al gran matemático C. Gauss).
La manera más sencilla para construir una función aleatoria gaussiana consiste
en anotar cada punto del espacio con un numero aleatorio que no esté de ningún
modo enlazado con el número aleatorio inmediato. Tal función aleatoria se
denomina “ruido blanco”. Sus valores en los puntos vecinos se diferencian
considerablemente, o sea, la misma es una función discontinua. Para obtenerla,
el ruido blanco “se suaviza”. Este procedimiento consiste en que a cada punto
del espacio se le atribuye una variable que es el valor medio de los valores
adoptados por la función de “ruido blanco” en cierta zona del espacio
circundante a un punto dado. Precisamente esas variables forman una función
aleatoria continua. Al pasar al punto inmediato, los valores de la función
cambian muy poco, puesto que también cambia muy poco la zona del espacio en la
cual es promediado el ruido blanco. Designemos por r0 la
dimensión de la zona del espacio en la que ocurre tal promediación. Esta
dimensión se llama radio de correlación de la función aleatoria. Su propiedad
principal consiste en que cuando varía el argumento de la función en un valor
pequeño en comparación con r0, el valor de la
propia función cambia muy poco.
Se puede introducir la función de distribución de las variables V.
Designémosla por f(V). Según la definición, la probabilidad
de que en un punto del espacio, elegido al azar, la función V(X, Y) tenga
el valor contenido en el estrecho intervalo desde V1 hasta V1 +
ΔV es igual a f ( V1)ΔV.
La función V(X, Y) siempre puede ser construida de tal modo
que su valor medio, en todos los puntos del plano, sea igual a cero. Para esto,
al construir la función de "ruido blanco", es necesario utilizar los
números aleatorios distribuidos simétricamente respecto a cero. Puede ser
mostrado que la función V(X, Y), obtenida con arreglo a tal función
de "ruido blanco", posee una distribución gaussiana (véase el
capítulo 2) del tipo
Notemos
que la densidad de la relatividad (1) es simétrica respecto a los valores
positivos y negativos de V. En el "lenguaje de las montañas”
eso significa que los picos y las depresiones se encuentran con igual
probabilidad.
Ahora es fácil enunciar el problema de percolación. Las curvas de nivel
expuestas en la figura 40 son determinadas por la condición V(X, Y) =
const. Para establecer el nivel del agua hay que introducir el número t que
varía en el intervalo de -∞ a +∞. Los sectores del plano, en los que V(X,
Y) < 1, serán llamados sectores blancos (cubiertos de agua), y los
sectores donde V(X, Y) > 1, recibirán el nombre de sectores
negros (sobresalientes del agua). Las líneas gruesas en la figura 40 son
determinadas por la condición V(X, Y) = t.
Llámase nivel de percolación el valor crítico tc con
el que las zonas blancas forman vías que atraviesan todo el sistema. También se
puede hablar de la parte crítica del espacio xc, llena
de zonas blancas en el momento de surgimiento de percolación. Esta parte del
espacio equivale a la probabilidad de que la variable aleatoria continua V adopte
cualesquier valores en el intervalo -∞ < V < tc.
Según el sentido de la función de distribución,
La
fórmula (2) enlaza la parte crítica del espacio xc con
el nivel de percolación tc.
Analogía con el problema de los nudos**
Imagínense que en el mapa geográfico mostrado en la figura 40 ha sido trazada
una red plana (no importa cuál) de pequeño periodo. Admitamos que este último
es mucho menor que las dimensiones características de las zonas de la tierra
firme y del agua. Llamemos blancos los nudos de la red ubicados en las zonas
cubiertas de agua, y negros, los nudos situados en la tierra firme. Al igual
que en el problema ordinario de los nudos, consideraremos que los nudos blancos
permanecerán enlazados si ellos son nudos inmediatos. La parte crítica de la
superficie llena de agua equivale a la cantidad crítica de nudos blancos con la
cual surgirá la percolación por esos nudos.
Sin embargo, el nuevo problema no es idéntico al de los nudos. Recordemos el
capítulo 4 donde se describió detalladamente la construcción del sistema de
nudos blancos y negros. (En aquel capítulo los nudos se denominaban bloqueados
y no bloqueados.) Un momento importante en esta construcción era el hecho de
que cada nudo se convertía en blanco o en negro a voluntad del generador de
números aleatorios y sin que tuviera importancia el color de los nudos
inmediatos. Por esta causa los nudos blancos y negros fueron bien mezclados
unos con otros. En el nuevo problema eso no es así ni mucho menos. En vista de
que el período de la red es muy pequeño, los nudos negros y blancos se sitúan
en forma de grandes bloques. El más cercano al nudo blanco será, con máxima
probabilidad, un nudo blanco, y el más cercano al nudo negro será un nudo
negro. (Las dimensiones de los bloques se determinan con arreglo al radio de
correlación r0.)
Se debe comprender que la introducción de una red en el problema del nivel de
percolación es un procedimiento puramente formal. En realidad ese problema no
es reticular y sus soluciones no deben depender ni del período de la red (si el
mismo es bastante pequeño), ni del tipo de ésta. No obstante, tal procedimiento
permite utilizar el aparato bien elaborado de los problemas reticulares.
En el capítulo 4 fue expuesto el algoritmo de solución del problema de los
nudos por el método de Montecarlo, valiéndose de un ordenador. Este algoritmo
se transfiere completamente al problema del nivel de percolación. Mediante ese
mismo procedimiento, descrito en el capítulo 4, con ayuda de la función
aleatoria V(X,Y) se forma el bloque K(X,Y) integrado
por ceros y unidades. A los nudos blancos les corresponden las unidades, y a
los negros, los ceros. Mediante ese mismo procedimiento se realiza la búsqueda
de vías de percolación y se determina la parte crítica del espacio, con la cual
surge percolación.
Niveles de percolación en los problemas plano y tridimensional**
El problema plano tiene solución exacta si las propiedades de la función
aleatoria V(X,Y) son por término medio simétricas al
valor V = 0. En particular, las funciones gaussianas descritas
anteriormente poseen tales propiedades.
Para obtener una solución exacta hay que utilizar la enunciación simétrica del
problema de percolación expuesto en el capítulo 5. Al igual que antes,
llamaremos blancas las zonas donde V(X,Y) < t,
y negras, las zonas donde V(X,Y)> t. Salvo el nivel
de percolación por las zonas blancas tc, puede ser
introducido el nivel de percolación por las zonas negras t'c.
La demostración ulterior se divide en los siguientes puntos:
1. De la simetría de la función V(X,Y) resulta quetc =
- tc. Efectivamente, sustituyamos V por
-V en cada punto del plano. Con ello se obtiene la función V'=
-V que posee, por término medio, las mismas propiedades, así que
los niveles de percolación calculados con su ayuda deben ser los mismos que los
calculados con ayuda de la función inicial. De la desigualdad V < tc resulta
la desigualdad - V> - tc, es decir, V'
> -tc. Cuando t = tc, las
zonas blancas (V <tc) forman, desde el punto
de vista de la función V un racimo infinito. Esas mismas zonas
del espacio serán negras si se examina la función V' y t =
- tc, ya que en ellas, V’ > - tc.
Por consiguiente, para la función V', el valor de t =
- tc también es el nivel de percolación por las
zonas negras. Pero, como ya fue dicho, los niveles de percolación en las
funciones V y V' deben ser iguales. Por lo tanto,
para la función V, el nivel de percolación por las zonas negras
también es t'c = - tc
2. Si tc < 0, entonces, a medida que
aumente t, al principio aparecerá percolación por las zonas blancas
(cuando t =tc < 01, y después
(cuando t = - tc> 0) desaparecerá la
percolación por las zonas negras. En la zona tc < t <
- tcexiste percolación tanto por las zonas blancas como
por las negras. Si tc > 0, primero desaparecerá
la percolación por las zonas negras, y luego, ésta aparecerá por las blancas.
Además, en la zona - tc < t < tc no
habrá ningún tipo de percolación.
3. En el caso del problema plano, la percolación por las zonas negras excluye
la percolación por las blancas y al revés. Efectivamente, si por un sistema
montañoso se puede navegar en un buque del Oeste al Este, eso significa que por
el mismo es imposible viajar del Norte al Sur por tierra firme. Por
consiguiente, se excluye el caso tc < 0. Por
otra parte, la falta de percolación por las zonas blancas significa
obligatoriamente su presencia por las zonas negras del Norte al Sur. (Para
convencerse, de ello es preciso estudiar los cuadros del tipo de la figura 40).
Así pues, también se excluye el caso tc > 0. Por
lo tanto, queda una sola posibilidad: tc = 0,
Precisamente en esto consiste el resultado: el nivel de percolación es
igual a cero.
Con ayuda de la fórmula (2) puede ser calculada la parte crítica del área xc.
De la condición de normalización de la función de distribución (véase la
fórmula (1) en el capítulo 2, se deduce que, cuando tc =
∞, el segundo miembro de la fórmula (2) es igual a la unidad. De la simetría de
la función f(y) resulta que, cuando tc = 0, la
parte del área xc = 0,5.
En el caso tridimensional, la percolación por las zonas blancas del Oeste al
Este no excluye la percolación por las zonas negras del Norte al Sur, ya que
los canales de percolación pueden ser desenlazados con facilidad. (Recuerden
los desenlaces que se hacen a distintos niveles de altura en las carreteras.)
Por esta razón, en el caso tridimensional,tc < 0 y,
de acuerdo con la fórmula (2), xc < 0,5. El
cálculo realizado por el método de Montecarlo, según el esquema indicado
anteriormente para las funciones aleatorias gaussianas, ha mostrado que en el
caso tridimensional xc = 0,16 ±0.01.
Para la estimación aproximada del valor xc se puede
utilizar el método, con ayuda del cual se apreciaron los umbrales de
percolación del problema de los nudos en el capítulo 6. Este método consiste en
que alrededor de cada nudo se construyen bolas (o círculos en el caso plano) de
radio igual a la distancia hasta el nudo inmediato. La bola construida en torno
al nudo blanco se considera blanca, y en torno al nudo negro, negra. Resultó
que la percolación por las bolas blancas que rozan una con otra surge cuando la
parte del espacio rellenado con ellas es aproximadamente igual para todos los
retículos. Es natural suponer que esta parte debe ser próxima al valor de xc que
figura en el problema del nivel de percolación. Según las fórmulas (3) y (4)
del capítulo 6, en el caso plano, la parte de la superficie ocupada por los
círculos blancos es aproximadamente igual a 0,5, mientras que en el caso
tridimensional, la parte del volumen ocupada por las bolas blancas es
aproximadamente igual a 0,16. Así pues, ambas estimaciones coinciden
exactamente con la solución del problema del nivel de percolación. Se puede
esperar que xc = 0,16 también proporcione una buena
estimación de las funciones aleatorias no gaussianas.
Compensación de las impurezas en los semiconductores
El nivel de percolación desempeña un papel muy importante en la teoría de los
semiconductores extrínsecos. Supongamos que en el semiconductor han sido
introducidas, aproximadamente en igual cantidad, tanto impurezas de donador,
como impurezas de aceptor Las primeras tienen un electrón sobrante en la capa
periférica, y a las segundas al revés, les falta un electrón Por eso los
donadores entregan fácilmente sus electrones a los aceptores y se convierten en
donadores de carga positiva. Los aceptores aceptan esos electrones y se cargan
negativamente. (Este fenómeno se denomina compensación de impurezas). En vista
de que las impurezas en los semiconductores se hallan dispuestas
desordenadamente surge un sistema caótico de cargas dispuestas positiva y
negativamente. Cada carga genera en su alrededor un potencial eléctrico igual a
± elεr donde e es el valor
absoluto de la carga del electrón, ε, la constante dieléctrica, y l la
distancia hasta la carga. El signo del potencial se determina por el signo de
la carga .
El potencial de cualquier punto del espacio es la suma de los potenciales
generados por todas las impurezas. Como estas últimas permanecen en el espacio
de manera aleatoria, el potencial también es una función aleatoria .
Si el número de donadores es algo mayor que el numero de aceptores, parte de
los electrones quedaran en los donadores. Si la energía de enlace de los
electrones con los donadores es relativamente pequeña, el movimiento térmico de
los átomos separara con facilidad esos electrones. En principio, estos últimos
pueden participar en el transporte de corriente eléctrica, pero dicho
transporte esta obstaculizado por el hecho de que en el espacio existe el
potencial eléctrico generado por las impurezas cargadas. El potencial eléctrico
multiplicado por la carga electrónica constituye la energía potencial de
interacción del electrón con el campo eléctrico de impurezas La energía
potencial modifica en sumo grado el carácter de movimiento del electrón.
Movimiento de una partícula al haber energía potencial
La energía total de la partícula E consta de la energía
cinética igual a mv2/2 (donde m es la
masa de la partícula, y v, su velocidad) y de la energía
potencial V( r) que depende de las coordenadas
del punto donde se encuentra esa partícula
Aquí r es
el vector trazado del origen de coordenadas hacia el punto donde se encuentra
la partícula.
El movimiento de la partícula se describe mediante la función r(t)
donde t es el tiempo. El principio fundamental de la mecánica
consiste en que durante el movimiento, la energía total de la partícula E no
cambia.
Figura 41. Energía potencial del electrón V, como función de la coordenada X
(línea Llena)
Esto
significa que al variar la coordenada, la velocidad de la partícula cambiará de
tal modo que será compensado el cambio de la función V(r).
La ley de conservación de la energía, así como el hecho de que la energía
cinética mv2/2 debe ser una magnitud positiva, impone
importantes limitaciones al movimiento de la partícula.
Para simplificar supongamos que V solo depende de una
coordenada (deX) y que la velocidad también está dirigida a lo largo del
eje X. Admitamos que V(X) tiene la forma
representada en la figura 41. El carácter de movimiento de la partícula se
determina conforme al valor de su energía total.
Si esta es igual a la energía cinética será positiva solo en la zonaX1 < X < X1'.
Los puntos X 1 y X1' determinan los limites de
movimiento. La velocidad en estos puntos se reduce a cero y, por consiguiente,
ellos se llaman puntos de parada. La partícula de energía E1 será
capturada por el pozo de potencial que se encuentra entre los puntos de parada,
y la misma no podrá salir de la zona de ese pozo La zona de su movimiento está
limitada por dos lados. La partícula de energía E2 no
podrá penetrar mas a la izquierda del punto X2, en
cambio la zona de su movimiento no será limitada por el lado derecho.
Así pues, según la relación entre la energía total y la energía potencial, el
movimiento de la partícula puede ser limitado o ilimitado.
Cabe señalar que la mecánica cuántica admite la penetración de la partícula en
una zona de energía cinética negativa. Pero si la función V(r) es
bastante suave (precisamente así sucede en el caso de los semiconductores con
gran concentración de impurezas compensadas), esa penetración no desempeñara un
papel importante
Movimiento del electrón en el campo de impurezas
La energía potencial del electrón, enlazada con los potenciales de las
impurezas dispuestas caóticamente, es una función aleatoria de las coordenadas.
Si la energía total E del electrón es pequeña, éste sólo podrá
moverse en una zona limitada del espacio, rodeada por todas partes por puntos
de parada. Al disponer de mucha energía, el electrón adquirirá la posibilidad
de moverse por todo el espacio. Solamente en este caso el mismo podrá
participar en el transporte de la corriente eléctrica.
Es preciso comprender la diferencia entre el problema monodimensional,
examinado en el apartado anterior, y el problema bidimensional o tridimensional
(volumétrico). Si la partícula sólo puede moverse a lo largo de cierta recta,
para que su movimiento sea ilimitado en ambas direcciones, la energía de la
partícula debe ser mayor que todos los valores que adquiere en esta recta la
energía potencial. Por lo tanto, debe cumplirse la condición rígida E > Vmáx,
donde Vmáxes el valor máximo de la energía potencial.
En los casos bidimensional o tridimensional no es imprescindible dicha
condición. La partícula puede contornear las zonas donde su movimiento está
prohibido. Tan sólo es necesario que las zonas donde el movimiento está
permitido, formen un sistema ‘‘de lagos y canales” por los cuales la partícula
pueda marcharse a un sistema infinito y alejarse a una distancia infinita.
De aquí se deduce que ha surgido el problema de determinación del nivel de
percolación. Supongamos que V(r) es la función
aleatoria que representa la energía potencial del electrón. Tras fijar la
energía totalE, llamaremos zonas blancas del espacio, aquellas en las
que E > V(r) (la energía cinética
es positiva), y zonas negras, aquellas en las que E < V(r).
Hay que hallar el nivel de percolación, es decir, el valor crítico de Ec con
el que surge percolación por las zonas blancas.
Sólo son libres y participan en el transporte de la corriente eléctrica (esta
energía a veces se llama umbral de movilidad) los electrones cuya energía es
superior a Ec. A bajas temperaturas la energía Ec es
mucho mayor que la energía del movimiento térmico de los átomos kT.
Por eso la probabilidad de que el electrón adquiera la energía Ec es
pequeña. También es respectivamente pequeña la concentración de electrones
capaces de transportar la corriente. Al aumentar la temperatura, dicha
concentración crece bruscamente, debido a lo cual también crece la
electroconductibilidad del sistema. Así pues, el umbral de percolación Ecdetermina
la dependencia térmica de la electroconductibilidad del semiconductor
extrínseco compensado.
A temperaturas muy bajas los electrones se acumulan en los pozos de potencial
más profundos y no participan en el transporte de la corriente. Por este
motivo, a temperaturas bajas el semiconductor extrínseco compensado se
convierte en un dieléctrico.
Como ya fue dicho en el capítulo 8. cuando es bastante grande la concentración
de impurezas de un tipo (por ejemplo, de donadores), el semiconductor adquiere
conductibilidad metálica, la cual depende muy poco de la temperatura incluso
hasta el cero absoluto (transición de Mott). La compensación de impurezas (por
ejemplo, la agregación de aceptores) conduce al incremento de la energía
potencial caótica y a la interrupción de la conductibilidad metálica. Existe
una teoría detallada de tal fenómeno, basada en las nociones acerca del nivel
de percolación.
Tercera parte
Comportamiento crítico de distintas variables cerca del umbral de percolación y
geometría del racimo infinito
En
esta parte se hablará de los aspectos de la teoría de percolación más
interesantes desde el punto de vista de física, es decir, del comportamiento de
distintas variables en las cercanías del umbral de percolación. En las partes
anteriores fue dicho que tales variables físicas como la imantación espontánea
de la sustancia ferromagnética con impurezas, o la electroconductibilidad de
una rejilla con nudos bloqueados, se reducen a cero en el punto de umbral. En
esta parte se examinarán las leyes que describen su comportamiento cerca del
umbral. Para deducir tales leyes es necesario entender las propiedades del
racimo infinito.
En
el capítulo 5 fue mostrado que los umbrales de percolación de algunos problemas
planos pueden ser determinados con exactitud. Pero en ningún lugar se dijo que
también es posible hallar la función P(x), es decir, la
probabilidad de que cierto nudo pertenezca al racimo infinito. En la actualidad
las expresiones exactas de esta función (así como de la electroconductibilidad
de la rejilla) son desconocidas tanto para los problemas planos como para los
tridimensionales. Una exclusión es la llamada red de Bethe, la cual, como será
mostrado más adelante, debe ser clasificada como una red en el espacio, con un
número infinito de dimensiones. Más abajo se expone el planteamiento y la
solución del problema de los nudos en la red de Bethe.
Rumores
“¡Qué pajarotadas corrían por la ciudad! ¿Por qué diantre no podía uno
asomar las narices, sin verse abrumado de historias abracadabrantes? Sin
embargo, cuando tales rumores corrían, no sería sin razón. ¡Sin razón! ¿Qué
razón puede haber en lo de almas muertas? Ninguna. ¡Todo ello no eran más que
pataratas, paparruchas, cuentos de camino!.. ,”
-se indignaba Nicolás Vasilievich Gógol, describiendo cómo el chismorreo
absurdo difundido por dos damas destruyó la aventura muy prometedora de
Chichikov.
“Las dos amigas .... cada una por su parte, se fueron a revolucionar la
ciudad. La empresa les resultó a maravilla. Al cabo de hora y media los
espíritus fermentaban, sin comprender nada del asunto. Su nebulosa relación
admiró a todo el mundo, comenzando por los funcionarios ... Quedáronse con la
boca abierta, dilatados los ojos de carnero” [10].
En efecto, los rumores se propagan con fantástica velocidad. Pero eso deja de
ser asombroso si analizamos el siguiente modelo matemático.
Figura 42. Red de Bethe con q = 3. Los círculos claros son las personas de
categoría Cl, y los oscuros, las de categoría Os.
Ese
modelo está representado en la figura 42, a. Supongamos que cierta “dama
encantadora a todas luces”, designada por el circulo A, comunicó las novedades
a tres de sus conocidos B1, B2 y B3.
Cada uno de ellos las transmitió a tres conocidos suyos más, de manera que “de
segundas manos” han recibido la información nueve personas designadas por los
círculos C. Cada una de estas nueve personas también transmitió la
información a tres conocidos suyos, a consecuencia de lo cual con ésta se
familiarizaron 27 personas más. Es fácil calcular que “de las décimas manos”
recibirán los datos ¡3 10 = 59049 personas! Si suponemos
que para transmitir la información a tres conocidos suyos, cada persona gasta
20 min, obtendremos que todo el asunto ocupará 200 min = 3 h 20 min.
Por supuesto que ese modelo simplifica mucho el proceso que transcurre en las
redes. Se considera que el número de conocidos de toda la gente es el mismo.
Además, se supone que cada persona obtiene la información sólo de una persona.
Esto significa que en cada círculo (Figura 42, a) entra una sola línea. Gracias
a tal propiedad, el modelo recuerda un árbol que se ramifica infinitamente por
todos los lados. Cada uno de los círculos pude considerarse como la base de su
árbol, con la particularidad de que los árboles que nacen, por ejemplo, de los
círculos B2y B3, no tienen entre
si ningún círculo común. Lo mismo se puede decir de los árboles cuyas bases son
los círculos C, etc.
En la literatura científica este modelo se llama así mismo, o sea, árbol. Pero
también es conocido con el nombre de red de Bethe, en honor al famoso físico
Hans A. Bethe. Los círculos mostrados en la figura 42 a, son los nudos de esta
red. El número de líneas salientes de los nudos de la red de Bethe puede ser
arbitrario (pero idéntico para todos los nudos). Designemos ese número
por q. En la figura 42, a se ofrece la red con q =
3.
Ahora recordemos que la mayoría de la gente tiene un punto de vista propio y no
participa en la propagación de rumores. Dividamos a toda la gente en dos
categorías: en la categoría Cl, mostrada en la figura mediante
círculos claros, incluiremos a la gente que transmite la información recibida a
sus conocidos (Figura 42, b). De estos círculos pueden salir q flechas.
Incluyamos en la categoría Os, mostrada mediante círculos oscuros,
a la gente que no participa en la propagación de los rumores. De los círculos
oscuros (Figura 42, b) no sale ni una sola flecha.
La presencia de círculos oscuros se refleja mucho en la propagación acelerada
de los rumores, Examinemos la configuración ofrecida en la figura 42,b. De los
tres círculos B1, B2, B3 sólo
uno resultó claro y transmitió el rumor más adelante. Los círculos C1 C2 y
C3 con mucho gusto chismorrearían, pero B1 y B3 no
les transmitieron nada. De C4, C5 y C6 a
los círculos Cl pertenece sólo C6. Por
lo tanto, de segundas manos, en lugar de 9 personas, los rumores alcanzaron
solamente a tres personas, con la particularidad de que a las manos siguientes
los transmitirá sólo C6.
Supongamos que el sistema sujeto a examen no está limitado y tiene una cantidad
infinita de círculos. Entonces puede ser planteada la siguiente pregunta.
¿Morirá, después de un número finito de transmisiones, el rumor procedente del
punto A, o el mismo alcanzará una distancia infinita a partir
de A, y en el sistema infinito se pondrá al alcance de un número
infinito de personas? Como se deduce de la figura 42, b, eso depende de la
cantidad relativa de círculos claros y oscuros y de las configuraciones que
aparecen en los alrededores del nudo.
En realidad se trata del problema de los nudos de la teoría de percolación,
pero enunciado con arreglo a la red de Bethe. Supongamos que la cantidad de
gente perteneciente a la categoría Cl es igual a x.
Esto significa que la persona elegida al azar, con una probabilidad igual
a x, resultará perteneciente a la categoría Cl, y con
una probabilidad igual a 1 - x, a la categoría Os. El
problema que debemos resolver consiste en lo siguiente. ¿Cuál es la
probabilidad P(x) de que los rumores transmitidos a una
persona elegida al azar se pongan al alcance de un número infinito de personas?
Claro está que con pequeños valores de x, esta probabilidad es
igual a cero, pero, no obstante, la misma comenzará a diferenciarse del cero a
partir de cierto valor mítico de x = xc.
Solución del problema de los nudos en la red de Bethe
En lugar de la función P(x) conviene introducir la
probabilidad de que los rumores transmitidos a una persona elegida al azar no
se pondrán al alcance de un número infinito de personas. Designemos esta
probabilidad por Q(x). Es evidente que
Q(x) =
1 - P(x) (1)
ya
que los acontecimientos examinados forman un sistema completo de
acontecimientos.
Para Q(x) puede ser compuesta una ecuación algebraica. Debemos
razonar del modo siguiente. La transmisión de los rumores puede interrumpirse
por dos causas incompatibles. La primera consiste en que la persona elegida al
azar pertenezca a la categoría Os. La segunda causa consiste en que
aunque la persona pertenezca a la categoría Cl y transmita los
rumores q a la gente, todos los canales procedentes de esa
gente se interrumpirán en distintas etapas. Por lo tanto, la probabilidad Q es
la suma de las probabilidades de dos acontecimientos incompatibles. La
probabilidad de que la persona elegida al azar resulte en la categoría Os es
igual a 1 - x. Si designamos por W' la
probabilidad de que esa persona pertenezca a la categoría Cl, pero
que la transmisión de los rumores se interrumpa en etapas más lejanas, entonces
Q =
1 - x + W'.
Ahora
pasemos a la probabilidad W'. El resultado que ella describe es la
consecuencia de la realización simultánea de dos acontecimientos:
1. la persona elegida al azar resulta en Cl (la probabilidad
de tal acontecimiento es igual a x),
2. todos los q canales que parten de los conocidos de la
persona elegida al azar, se interrumpen en cualquier etapa.
Es evidente que esos dos acontecimientos son independientes. Por esta razón, la
probabilidad W' es igual al producto de las
probabilidades: W' = x! W(x), así que
Q =
1 -x + xW(x), (2)
donde W(x)
es la probabilidad de que todos los q canales se interrumpan
en cualquier etapa (por supuesto que esta etapa puede ser diferente en
distintos canales).
Examinemos uno de los q canales que empiezan en uno de los
conocidos de la persona elegida al azar. El acontecimiento que consiste en que
este canal se interrumpa por doquier, equivale a que los rumores transmitidos a
dicho conocido se pongan al alcance de un número infinito de personas. Según la
definición, la probabilidad de dichos acontecimiento es igual a Q(x).
Para el análisis sucesivo resulta muy importante que los árboles cuyas bases
son los q conocidos de la persona elegida al azar, no tengan
círculos comunes. De aquí se deduce que si un árbol tiene una configuración
determinada de círculos claros y oscuros, eso no se reflejará en la
probabilidad de cualquier configuración de círculos en otros árboles. (Es
evidente que si hubiera círculos comunes, la última afirmación seria injusta.)
Por eso los acontecimientos que consisten en que los rumores se interrumpan en
uno y en otros canales son independientes.
Así pues, la probabilidad de que todos los q canales se interrumpan es igual al
producto de las probabilidades de que se interrumpa cada uno de los q canales
por separado:
W(x)=
[Q(x)]q (3)
Después
de sustituir la fórmula (3) en la (2) obtenemos la ecuación para Q(x):
Q(x) =
1 -x + [Q(x)]q (4)
Notemos
que la circunstancia decisiva que permitió reducir el problema a la ecuación
algebraica (4) ha sido la independencia de los diversos canales. Esta propiedad
es típica exclusivamente de la red de Bethe, y por eso el método antes
utilizado, con arreglo a las redes ordinarias no conduce al éxito, aunque a
menudo se usa para obtener un resultado correcto aproximado.
Pasemos al análisis de la ecuación (4). Esta tiene sentido para cualquier valor
de x en el intervalo. Escribámosla a través de P(x) = 1
- Q(x). Obtenemos
[1
- P(x)]qx + P(x) - x =
0 (5)
Una
de las soluciones de la ecuación (5) es P(x) = 0 para
cualquier valor de x, sin embargo, la ecuación (5). cuando q >
1. no es lineal y tiene otras soluciones. En particular, cuando x =
1, la solución también es P(1) = 1, con la particularidad de que en este caso
tiene sentido físico precisamente la segunda solución, ya que si todos los
círculos son claros, la probabilidad P debe ser igual a la
unidad y no a cero.
La ecuación (5) puede resolverse fácilmente cuando q = 2. En
este caso existen dos soluciones: P(x) = 0 y P(x) =
2 - 1/x . Cuando x > 1/2 tiene sentido físico la segunda
solución. Cuando x < 1/2, el resultado es negativo y no tiene sentido.
Así pues, cuando q = 2 tiene sentido la siguiente solución:
El
umbral de percolación xc en este caso es igual a ½.
Una solución análoga existe con todos q > 1, sin embargo,
el umbral de percolación xc depende de q.
En un caso general es posible hallar xc y el
aspecto de P(x) cuando x es próximo a xc.
suponiendo de antemano que P(x) « 1, lo cual siempre es justo
en el entorno del umbral de percolación. El término (1 - P)q en
la ecuación (5) puede ser descompuesto según la fórmula del binomio
Como P «
1, cada término posterior será mucho menor que el anterior. Por eso sustituimos
la fórmula (7) en la ecuación (5) considerando que en el segundo miembro de la
fórmula (7) hay sólo tres términos escritos. Obtenemos
Suponiendo P ≠
0 dividimos ambos miembros de esta igualdad por P y hallamos
Cuando q =
2, la fórmula (8) coincide con (6). Esta solución se reduce a cero cuando x =
1/q. De aquí resulta quexc = 1/q. La
solución (8) tiene sentido cuandoq > 1, x >
1/q y solamente para valores de x muy próximos a
1/q. Por eso en el denominador de la expresión (8) se puede poner x = 1/q.
Definitivamente obtenemos
La
expresión (9) describe la función P(x) cerca del umbral de
percolación.
Examen de los resultados
Cuando q = 1, la función P(x) = 0 para todos
los valores de x en el intervalo 0 < x <
1, y en ese intervalo la ecuación (5) no tiene ninguna otra solución.
Cuando q= 1 y x = 1, la ecuación (5) se satisface
con cualquier valor de P.
Cuando q = 1,1a red de Bethe se convierte en una cadena lineal
de nudos. En tal cadena, una cantidad muy pequeña de nudos negros interrumpe la
percolación por los nudos blancos. Por eso es natural que para todos los
valores de x en el intervalo 0 ≤ x < 1, la
propagación de los rumores se interrumpa inevitablemente, es decir, P(x) =
0. El valor de xc para una cadena lineal es igual a
la unidad.
Como fue mostrado en el apartado anterior, en un caso general, xc =
1/q. Este resultado podría ser previsto con antelación. En el problema
examinado, cada persona transmite los rumores q a sus
conocidos. El número medio de gente de categoría Cl entre esos
conocidos es igual a qx. Por consiguiente, después de cada
transmisión, en lugar de una fuente de información surgen, por término
medio, qx fuentes. Por lo tanto, la variable qx es
el coeficiente de reproducción. Para que no termine el proceso, es necesario
que el coeficiente de reproducción sea mayor que la unidad. De aquí se deduce
que la concentración crítica xc se obtiene de la
condición qxc = 1, es decir, xc =
1/q.
Recordemos que de modo análogo se determina la condición necesaria para
mantener la reacción en cadena de fisión del uranio. El proceso de propagación
de rumores, en realidad, también es una reacción en cadena y se describe por el
mismo esquema que la explosión nuclear.
Es interesante comparar el valor obtenido de xc con
los resultados de los problemas reticulares en los espacios de gran número de
dimensiones. El cálculo aproximado del umbral de percolación del problema de
los nudos se efectuaba para los llamados hiperretículos (o hiperredes). Son
retículos del mismo tipo que el cuadrado y el cubo sencillo, pero en un espacio
de gran número de dimensiones. El número de coordinación z (número
de nudos inmediatos) para tales retículos se determina mediante la
fórmula z = 2d, donde d es la
dimensión del espacio (cuando d = 2 obtenemos z =
4, y cuando d = 3 obtenemos z = 6). Los
cálculos del umbral de percolación se realizaban cuando d = 4,
5, 6. Fue demostrado que los resultados se describen bien por la fórmula
Con
valores de d bastante grandes puede ser despreciado el segundo
término entre paréntesis, y
Pero
para la red de Bethe, z - 1 = q. Pues en cada nudo
de esta red entra un enlace, y q enlaces salen de él.
De aquí se deduce que el umbral de percolación en la red de Bethe ( xc =
1/q) es igual que en la hiperred de gran número de dimensiones. Por lo
tanto, la red de Bethe corresponde como a un espacio de dimensiones infinitas.
La red de Bethe es el único sistema para el cual se ha conseguido hallar con
precisión el aspecto de P(x) cerca del umbral de percolación.
Resultó (véase la fórmula (9)) que en este caso P(x) se reduce
a cero cuando x -> xc según la ley lineal P ~
( x - xc). Como será visto más
adelante, lo expuesto es una propiedad específica de la red de Bethe, así como
de todas las redes en un espacio de gran número de dimensiones.
Ejercicio
1. Examinen el problema de los enlaces en la red de Bethe. Consideren que todos
los nudos son idénticos y que hay enlaces íntegros y enlaces rotos. Supongan
que la porción de enlaces íntegros es igual a x. Hallen la
función P(x) determinada del mismo modo que antes.
Capítulo 12
Estructura del racimo infinito modelo de Shklovski de Gennes
Examinemos,
para mayor certeza, el problema de los nudos y supongamos que la concentración
de nudos no bloqueados es un poco mayor que la concentración de umbral, por lo
cual existe un racimo infinito. Este último es una especie de cadenas infinitas
de nudos enlazados entre sí. Al unirse todos los nudos enlazados del racimo
infinito, mediante segmentos de rectas, se obtienen conjuntos de líneas
quebradas que se cruzan una con otra (véase la Figura 15, donde se muestra una
de tales líneas).
Llámase estructura del racimo infinito su geometría en escalas mucho más
grandes que el período de la red. En tales escalas, las roturas que tienen
lugar en los nudos de la red no se perciben a simple vista y la cadena se
representa como una línea suavemente curvada.
Figura
43. Fragmento de un racimo infinito con los extremos muertos.
La
figura 43 ilustra un pequeño fragmento de un racimo infinito. En los
extremos A y B ese racimo no finaliza: el
mismo se desvía a la izquierda y a la derecha a una distancia infinita.
Introduzcamos ahora la siguiente clasificación de los puntos y líneas del
racimo infinito. Los sectores del racimo infinito se dividen en el esqueleto y
los extremos muertos.
Se considera que un punto pertenece al esqueleto del racimo infinito si, por lo
menos, dos vías que salen de él a distintos lados, permiten alejarse a una
distancia infinita. Tal punto es, por ejemplo, C en la figura
43. De éste es posible alejarse a una distancia infinita tanto hacia el lado
derecho como hacia el izquierdo. Si a la distancia infinita sólo conduce una
vía que sale de dicho punto, éste pertenecerá al extremo muerto. Por ejemplo,
del punto D en la figura 43 es posible alejarse a una distancia infinita
moviéndose sólo hacia arriba. El movimiento hacia abajo conduce a la vía
muerta. Por eso se estima que el punto D se encuentra en el extremo muerto.
Rechacemos mentalmente todos los extremos muertos y tratemos de imaginarnos qué
estructura tiene el esqueleto del racimo infinito. El modelo elemental del
esqueleto fue propuesto por el físico soviético B.I. Shklovski y por el físico
francés P. De Gennes, independientemente uno de otro. Para el problema plano
este modelo es una especie de red pesquera muy grande, vieja y muy desgastada.
Figura
44. Esqueleto de un racimo infinito.
La
misma ya ha perdido su periodicidad rigurosa, sus cuerdas están flojas, algunos
nudos están rotos y otros se han desplazado de sus lugares, pero, no obstante,
“por término medio” es una red (Figura 44).
La dimensión lineal característica de la malla (célula) de esa red R se llama
radio de correlación del racimo infinito. Dicho radio crece bruscamente al
acercarse al umbral de percolación:
Aquí l es
la longitud que, según el orden de magnitud, equivale al período del retículo,
y v es un número positivo que se denomina índice del radio de
correlación. Por lo tanto, con el acercamiento al umbral de percolación, la red
se hace cada vez más rala.
La existencia de un radio de correlación que se reduce al infinito es una
propiedad general de todos los fenómenos críticos. El hecho de que ese radio se
reduzca al infinito precisamente con arreglo a la ley exponencial (1), no se ha
demostrado con rigor, pero constituye la base de las ideas actuales acerca de
los fenómenos críticos y, por lo visto, ello ha sido bien confirmado por los
datos experimentales.
El radio de correlación también tiene sentido cuando x < xc,
es decir, más abajo del umbral. En dicha zona ese radio describe la dimensión
máxima de los racimos finitos. Si x -> xc del
lado de los valores menores (x < xc), el radio de
correlación también se reducirá al infinito según la ley (1). Eso significa que
los racimos finitos, al acercarse al umbral de percolación por abajo, aumentan
ilimitadamente sus dimensiones y, cuando x = xc,
se juntan en un racimo infinito. Por consiguiente, la dependencia R(x) tiene
el aspecto mostrado esquemáticamente en la figura 45.
En el caso de los problemas volumétricos (tridimensionales), el modelo de
Shklovski-De Gennes tiene un aspecto análogo.
El mismo se parece a la armadura de alambre estropeada de una red
tridimensional, con la particularidad de que la longitud de una malla se
expresa mediante la fórmula (1).
Sólo se debe tener en cuenta que los valores numéricos de los índices del radio
de correlación, para los problemas planos y tridimensionales, son diferentes.
Figura 45. Variación del radio de correlación en función de x. Se muéstrala
anchura de la región crítica á para el cuadrado L x L (véase el siguiente
apartado).
Examinemos
ahora a qué corolarios conduce la noción de la estructura reticular del racimo
infinito.
Importancia de las dimensiones del sistema
En los capítulos 1, 2 y 3 fue subrayado que la noción de umbral de percolación
sólo tiene sentido en un sistema infinito. En tal sistema el umbral de
percolación varía de una muestra a otra, o sea, es una variable aleatoria. Pero
los valores que adquiere esta variable corresponden, con máxima probabilidad, a
cierta zona de anchura δ(N), denominada zona critica. Al aumentar el
número de nudos en el sistema N, la anchura de tal zona disminuye
con arreglo a la ley exponencial (véase la fórmula (8) en el capítulo 1), por
lo cual, cuando N -> ∞, el umbral de percolación adquiere
sentido evidente, y de variable aleatoria se convierte en una magnitud cierta.
En los capítulos iniciales del libro, esos datos fueron comunicados
prácticamente sin sacar ninguna conclusión. El concepto de radio de correlación
permite comprenderlos y obtener la fórmula (8) del capítulo 1.
Para entender mejor la cuestión, analicemos el experimento de una rejilla
pantalla de dimensiones L x L, cuyo esquema se ofrece en la figura 1.
Supongamos que se hicieron muchos experimentos en los que se utilizaron
diversas sucesiones aleatorias de nudos bloqueados, cuyo resultado fue la
obtención de un conjunto de umbrales de percolación. Recordemos que las
configuraciones de los nudos bloqueados, obtenidos en distintos experimentos,
no se parecen nada entre sí.
Un buen modo de razonar consiste en lo siguiente. Imaginémonos una rejilla
pantalla infinita, con una porción establecida x de nudos no
bloqueados. Supongamos que en distintos sectores de tal rejilla se aplica un
cuadrado de dimensiones L x L y se estudia la
percolación del lado izquierdo al lado derecho de ese cuadrado, por los nudos
no bloqueados que se encuentran dentro del mismo (Figura 46). Aplicando el
cuadrado en distintos sectores de la rejilla infinita, es posible examinar los resultados
de varios experimentos en una rejilla finita.
En una rejilla pantalla infinita, la percolación surge exactamente cuando x = xc.
pero, como veremos ahora, eso no significa, ni mucho menos, que cuando x
> xcsiempre hay percolación en el cuadrado L x L.
Cuando x > xc, en el sistema infinito existe un
racimo infinito. Representemos su esqueleto en forma de la red pesquera
mostrada en la figura 44. Para los razonamientos ulteriores es muy importante
la relación entre el radio de correlación y la longitud del cuadrado L.
Al principio supongamos que L supera considerablemente R.
Entonces (Figura 46) dentro del cuadrado se encontrarán muchas mallas de la red
del racimo infinito que asegura la percolación entre los lados del cuadrado.
Figura 46. Cuadrado superpuesto sobre una red infinita para R « L y x > xc
Tales
mallas pueden ser de tamaños diferentes, y la red del racimo infinito puede
tener grandes huecos, pero sí en el cuadrado debe haber, por término medio,
muchas mallas, la probabilidad de que en el racimo haya un hueco cuya dimensión
constituya un cuadrado entero, es infinitamente pequeña. Por eso se saca la
siguiente conclusión:
Si x
> xc, el umbral de percolación del cuadrado no puede encontrarse
en la zona de valores de r que satisfagan la fuerte desigualdad L » R(x). Dicha
zona debe permanecer más arriba del umbral.
De acuerdo con la fórmula (1), cuando x tiende a xc, el
radio de correlación crece ilimitadamente y, con cierto valor de x,
se iguala con L inevitablemente. Ahora no se puede decir nada
determinado de la percolación dentro del cuadrado. Todo depende de la
configuración concreta de los nudos bloqueados dentro de él.
Ahora supongamos que x < xc y que el radio
de correlación es mucho menor que L. Cuando x < xc,
el radio de correlación constituye la longitud máxima de los racimos finitos.
Si R « L, no existirá un racimo tal que pueda
enlazar los lados del cuadrado. Por eso sacamos otra conclusión determinada:
i x
< xc, el umbral de percolación del cuadrado tampoco puede
encontrarse en la zona de valores de x que satisfagan la fuerte desigualdad L»
R(x).
Dicha zona debe permanecer más abajo del umbral.
Si x < xc, pero el valor de x es
muy próximo a xc, el radio de correlación será mayor
que L. En este caso no se puede decir nada determinado de la
percolación en el cuadrado. En un sistema infinito existen racimos infinitos de
tamaño mayor que L, pero dentro de ellos hay huecos de ese mismo
tamaño, y todo depende de la configuración concreta de los nudos bloqueados
dentro del cuadrado.
Ahora se puede estimar el tamaño de la zona crítica en la que pueden
encontrarse los valores del umbral de percolación del cuadrado L x L.
Según las conclusiones (I) y (II), esta zona debe determinarse según la
condición L < R. Como se deduce de la figura
45, cuanto mayor sea L tanto más estrecha será esa zona y
tanto más fuertemente ella permanecerá apretada contra el umbral de percolación
en un sistema infinito. La anchura de la zona δ se determina con arreglo a la
condición R(δ) = L. Utilizando la fórmula (1)
obtenemos l/δv = L, o bien
Dentro
de la zona crítica, es decir, cuando |x - xc|
« δ, los umbrales de percolación de los cuadrados de longitud L están
distribuidos de modo homogéneo (véase la Figura 5. donde se muestra la función
de distribución de los umbrales de percolación). El punto x = xc dentro
de tal zona no se distingue en nada. En efecto, es un punto en el que surge
percolación en un sistema infinito. Pero es imposible determinar si hay o no
hay tal percolación, operando con un cuadrado de dimensión finita. Si L < R,
aplicando el cuadrado en distintos sectores de la rejilla infinita, no se puede
decir si en ésta sólo existen racimos finitos o si éstos ya se han juntado y
forman un racimo infinito. El estudio de la percolación en un cuadrado de
tamaño finito sólo permite determinar la anchura de la zona crítica.
En este apartado solamente se examinaron los problemas planos. Sin embargo,
todo lo dicho puede ser aplicado a los problemas volumétricos. La anchura de la
zona crítica para estos últimos también se determina mediante la fórmula (2).
Surge una pequeña diferencia al expresar la anchura δ por el número íntegro de
nudos N no por el tamaño del sistema L. La
cuestión reside en que N = (L/a)d,
donde a es el período del retículo, y d, la
dimensión del espacio. Por eso, de acuerdo con la fórmula (2),
donde C es
un coeficiente numérico que no puede ser determinado con arreglo a esos
razonamientos tan sencillos. En el caso plano (d = 2), la fórmula
(3) coincide con la fórmula (8) del capítulo 1. Precisamente con ayuda de dicha
fórmula, a consecuencia de la investigación de la función δ(N) hallada
por medio del ordenador, por primera vez fue determinado el índice del radio de
correlación del problema plano. Resultó que v2 =
1,33. (Aquí y más adelante, el número 2 indica que se trata del índice de un
sistema bidimensional.) Para los problemas tridimensionales, el índice v es
distinto: v3 = 0,8...0,9. (El número 3 significa
que el índice pertenece a los problemas tridimensionales.)
Electroconductibilidad cerca del umbral de percolación
Para tener una idea más clara de la materia sometida a estudio examinemos las
rejillas bi o tridimensionales con nudos bloqueados Como fue dicho en los
capítulos iniciales del libro la electroconductibilidad de tales rejillas
difiere de cero cuando x > xc, y se reduce a cero en
el umbral de percolación xc Los datos
experimentales así como los obtenidos mediante los cálculos realizados en un
ordenador, indican que la electroconductibilidad especifica de las rejillas se
reduce a cero con arreglo a la siguiente ley
donde
el factor σ0, según el orden de magnitud, equivale a la
electroconductibilidad especifica de una rejilla sin nudos bloqueados La
variable tse denomina índice critico de electroconductibilidad y es
objeto de un estudio muy minucioso principalmente mediante cálculos en el
ordenador (En uno de los últimos cálculos por ejemplo, se usaba una rejilla
cuadrada que tenía 800 x 800 nudos) Fue establecido que para las rejillas
bidimensionales t2 = 1,3, mientras que para las
tridimensionales t3 = 1,6.
El modelo de rejilla del racimo infinito permite deducir la formula (4) y
enlazar el índice t con el índice del radio de correlación. La
corriente eléctrica solo fluye por el racimo infinito y precisamente por su
esqueleto. En los extremos muertos fijados en el esqueleto solo por un lado, no
hay corriente. Si hacemos que la corriente eléctrica sea bastante intensa, de
manera que brille el alambre por el que ella fluye, el esqueleto del racimo
infinito podrá ser observado a simple vista en la oscuridad los canales
iluminados en un fondo oscuro. A lo lejos del umbral toda la rejilla brilla más
o menos uniformemente, mientras que cerca del umbral, la distancia entre los
canales iluminados aumenta y, por último, en el propio umbral la iluminación
desaparece por completo, es decir, la corriente en el sistema se interrumpe.
Calculemos la electroconductibilidad especifica del esqueleto del racimo
infinito. Se debe tener en cuenta que tal cálculo no puede pretender al
registro correcto de los factores numéricos. El mismo solo permite obtener la
dependencia entre σ y x - xc. Esa
dependencia no varía al sustituir mentalmente la red incorrecta e irregular por
una rejilla ideal de periodo R.
Al principio examinemos el caso plano (véase la Figura 46). La resistividad es
igual a la resistencia de un cuadrado de longitud unitaria. El numero de
alambres que atraviesan tal cuadrado es igual a 1R, donde R es
la distancia entre los alambres, la cual se expresa mediante la fórmula (1)
Designemos por ρ0 la resistencia de un alambre de longitud
unitaria. Todos los alambres están conectados en paralelo, por consiguiente, la
resistividad
mientras
que la electroconductibilidad especifica
Sustituyendo
la formula (1) obtenemos
donde
σ2 = p01l1
En el caso tridimensional es necesario calcular la resistividad de una armadura
de alambres que representa, por ejemplo una red cúbica sencilla de
periodo R (del tipo de red solo depende el coeficiente
numérico). La resistividad es igual a la resistencia de un cubo con una
longitud unitaria de sus aristas. El número de alambres conectados en paralelo
y que atraviesan la cara de tal cubo es igual a 1 R2 Por
esta razón, la resistividad
mientras
que la electroconductibilidad especifica es igual a
donde
σ3 = ρ0 1l2
Para evitar errores debemos prestar atención a que la electroconductibilidad
especifica a en los casos bi y tridimensional tiene distinta dimensión En el
caso bidimensional esta se mide en Ω-1 y en el caso
tridimensional en Ω-1cm-1
Los factores σ2 y σ3 según el orden de
magnitud, son las electroconductibilidades especificas de las rejillas bi y
tridimensionales sin nudos bloqueados En efecto, como se deduce de las formulas
(5) y (8) la electroconductibilidad especifica σ(x) se convierte en σ2,
o bien en σ3, cuando R = l, es decir
cuando la red del racimo infinito coincide con la rejilla inicial en la que se
plantea el problema. Por lo tanto, la variable σ0 en la formula
(4) y en el caso bidimensional constituye σ 2, y en el caso
tridimensional, σ3.
Al comparar las formulas (5) y (6) con la formula (4), obtenemos que en el caso
bidimensional t = v mientras que en el
tridimensionalt = 2v Utilizando v2 =
1,3 y v3 = 0,8...0,9, obtenemos t2 =
1,3 y t3 = 1,6 ... 1,8, cuyos resultados son muy
semejantes a los datos expuestos más arriba. Tal coincidencia atestigua a favor
del modelo de Shklovski-De Gennes.
1. Este modelo del esqueleto del racimo infinito puede ser
generalizado del modo siguiente. Imaginémonos que los alambres que forman el
esqueleto son muy sinuosos (Figura 47). La distancia entre los puntos de su
intersección, como antes, es igual a R(x) y se expresa
mediante la fórmula (1).
Figura 47. Esqueleto de un racimo infinito teniendo en cuenta la
‘'sinuosidad”
Sin
embargo, si se endereza el pedazo de alambre situado entre dos puntos de
intersección, su longitud superará considerablemente R.
Representemos tal longitud L de la forma siguiente:
donde
ζ > v. Cuando x -> xc,
la relación L/R = (x - xc)-(ζ-v) tiende
al infinito.
La longitud L sólo tiene sentido a condición de que L » R, es
decir, de que ζ > v. Pero existe la demostración de que ζ = 1. Por eso la
generalización planteada del modelo de Shklovski-De Gennes (en realidad esta
generalización fue hecha por los propios autores del modelo) sólo es razonable
cuando v < 1. En el caso bidimensional v =
1,3, por eso no puede haber ningún tipo de “sinuosidad”. Pero en el caso
tridimensional v < 1, y hay motivos para pensar que la
“sinuosidad” del esqueleto del racimo infinito existe en realidad.
Expresen el índice crítico de electroconductibilidad t por los
índices ζ y v en el caso tridimensional y utilizando el modelo
generalizado.
Función P(x) cerca del umbral de percolación. Importancia
de los extremos muertos.
Al igual que la electroconductibilidad, la función P(x), que es la
porción de nudos pertenecientes al racimo infinito, se reduce a cero
cuando x = xc. Las investigaciones han
mostrado que cerca del umbral esta función tiene el siguiente aspecto:
donde D es
el coeficiente numérico del orden de la unidad, y β, otro índice crítico. Se ha
establecido que para los problemas bidimensionales β 2 =
0,14, y para los tridimensionales β3 = 0,4. Estos resultados
fueron obtenidos principalmente con ayuda del ordenador.
A la función P(x) contribuyen todos los nudos del racimo
infinito, así como los que pertenecen al esqueleto y a los extremos muertos.
Con ayuda del modelo del racimo infinito es posible determinar cuáles son los
nudos más abundantes. Al principio supongamos que no hay en absoluto extremos
muertos, y calculemos la contribución a P(x) por parte del
esqueleto del racimo infinito.
En el caso bidimensional, a cada célula del racimo infinito le corresponden
aproximadamente R/a nudos pertenecientes al esqueleto,
donde a es el período del retículo (al igual que en el
apartado anterior, aquí se hace una estimación que no pretende establecer los
coeficientes numéricos). El área de la célula es del orden de R2 y,
por consiguiente, el número completo de nudos en ella es del orden de R2/a2.
De aquí resulta que la porción de nudos pertenecientes al esqueleto del racimo
infinito constituye
Aquí
~ significa la igualdad según el orden de magnitud (sin tener en cuenta los
coeficientes numéricos del orden de la unidad).
En el caso tridimensional, a cada célula del racimo infinito también le
corresponden (R/a) nudos pertenecientes al esqueleto, pero la
cantidad total de nudos en la célula es del orden de (R/a) 3.
Por esta razón, en el caso tridimensional
Comparando
las fórmulas (10) y (11) con las (6) y (8). obtenemos que la porción de nudos
pertenecientes al esqueleto del racimo infinito, según el orden de magnitud,
coincide con la función
Comparando
las fórmulas (10) y (11) con la fórmula (9) vemos que
en
el caso bidimensional, en tanto que en el tridimensional
Recordemos
que v2 = 1,3 y v3 ≈
0,9. Por consiguiente. v2 - β2 =
1,2 y 2v3 - β3 ≈ 1,4. Así que. tanto en
el caso bidimensional como en el tridimensional, la relación Pesq(x)/P(x) tiende
rápidamente a cero cuando x -> xc.
Eso significa que los nudos que forman el esqueleto del racimo infinito
constituyen una proporción insignificante del número total de nudos
pertenecientes al racimo infinito. La ‘'masa” fundamental del racimo infinito
está concentrada en ¡os extremos muertos y es inútil en absoluto, desde el
punto de vista de la electroconductibilidad. Por esta razón, en las cercanías
del umbral de percolación σ(x)/σ0 « P(x) (véase
la Figura 10). Sin embargo, los extremos muertos son precisamente los que
determinan la imantación espontánea de la sustancia ferro-magnética con
impurezas en las cercanías del umbral de percolación (véase el capítulo 3).
Universalidad de los índices críticos
Nos hemos familiarizado con tres índices críticos: v, t y
β que describen el comportamiento de distintas variables en las cercanías del
umbral de percolación. Este comportamiento también se llama crítico, ya que las
funciones R(x), σ(x) y P(x) tienen, cuandox = xc,
puntos singulares. Por ejemplo, la función R(x) se reduce al
infinito, y en la función P(x) la primera derivada en el
punto xc tiene discontinuidad. Por el lado
izquierdo la misma es igual a cero, y por el derecho se reduce al infinito. En
la función σ(x) tiene discontinuidad la segunda derivada. En la teoría
de percolación son conocidas muchas otras variables que tienen comportamiento
crítico y, correspondientemente, muchos otros índices críticos.
Para cada uno de los índices críticos antes examinados se daban dos valores:
para los problemas bi y tridimensionales. Pero existe un gran conjunto de
problemas bi y tridimensionales. Por ejemplo, existen los problemas
tridimensionales de los nudos, de los enlaces, de las esferas, el problema de
determinación del nivel de percolación en un potencial aleatorio y muchos
otros. ¿De qué índices, pues, se trataba? Ahora nos acercamos, quizás, al
momento más interesante en la teoría de percolación. De acuerdo con las ideas
actuales, los índices críticos para todos los problemas en el espacio de una misma
dimensión son idénticos. (Entre los problemas mencionados en este libro
constituye una exclusión únicamente el problema de la percolación orientada.)
La afirmación acerca de la universalidad de los índices críticos es más bien
adoptada que demostrada con rigor, Sin embargo, las numerosas verificaciones de
dicha afirmación, ejecutadas con ayuda del ordenador, no pudieron refutarla.
¿En qué consisten los motivos físicos de la universalidad de los índices? Por
lo visto, en que ellos son determinados por la estructura de los racimos en las
cercanías del umbral de percolación. En este caso el papel principal lo
desempeñan las propiedades geométricas de los racimos, que se manifiestan a
grandes distancias (del orden del radio de correlación).
En las cercanías del punto de umbral, tales distancias superan en mucho el
período del retículo (en el caso de los problemas reticulares) o el radio de la
esfera (en el caso del problema de las esferas). Por eso la geometría de los
racimos no depende del retículo en que se plantea el problema. Este último
puede ser, en general, no reticular, sino planteado en los nudos dispuestos
arbitrariamente en el espacio, y eso tampoco se reflejará en la estructura de
los grandes racimos. Pero, por supuesto, la dimensión del espacio se refleja
considerablemente en la geometría de los racimos, ya que, por ejemplo, es mucho
más fácil asegurar el “desenlace” de las líneas en el espacio tridimensional,
que en el bidimensional. Por estas causas los índices críticos no dependen del
tipo de problema, sino de la dimensión del espacio.
Es interesante indicar que el cambio de los índices críticos al aumentar la
dimensión del espacio, ocurre hasta la dimensión 6. A partir del espacio de
seis dimensiones, los índices no cambian al aumentar la dimensión, además, el
índice β = 1. como en la red de Bethe. Cuando d ≥ 6, el
problema de los índices críticos se simplifica considerablemente y admite una
solución exacta.
Así pues, a distinción de los umbrales de percolación que dependen
esencialmente del tipo de problema, los índices críticos poseen cierta
universalidad. De aquí se deduce lo siguiente. Si los resultados del
experimento físico se interpretan con ayuda de la teoría de percolación, y la
estructura microscópica del sistema sujeto a examen no ha sido del todo
aclarada, antes que nada es preciso comparar los índices críticos con la teoría
de percolación, ya que éstos no dependen casi de ningún factor. Precisamente
así se hace al analizar los datos experimentales de la electroconductibilidad
en los materiales heterogéneos (véase el capitulo 9).
La teoría de percolación adoptó la idea de universalidad de los índices
críticos, de la teoría de las transiciones fásicas de segundo género (a las
transiciones fásicas de segundo género, que ocurren al subir la temperatura,
pertenecen, por ejemplo, la transición del metal del estado de superconductor
al estado normal y la transición del material ferro-magnético al estado no
ferro-magnético). En las cercanías del punto de transición fásica de segundo
género, al igual que cerca del umbral de percolación, se forman zonas de gran
tamaño que se distinguen entre sí por sus propiedades. La diferencia consiste
en que los límites de esas zonas no “están congelados”, como en la teoría de
percolación, sino que cambian en función del tiempo gracias al movimiento
térmico. El tamaño de las referidas zonas también se llama radio de correlación
y se expresa por la fórmula (1).
De la teoría de transiciones fásicas también surgió otra idea importante: la
hipótesis de la semejanza. Con arreglo a la teoría de percolación, esta
hipótesis consiste en lo siguiente. Supongamos que han sido tomadas fotografías
de distintos sectores de una rejilla de nudos bloqueados, con dos valores
de xiguales a x1 y x2.
Ambos valores se encuentran por un lado de xc y son
próximos a xc. Supongamos, por ejemplo, que x1 - xc > x2 - xc >
0. Cuando x = x1 el radio de
correlación R1 = l( x1 - xc)
~ v. Según la condición, R1 < R2.
La semejanza consiste en que si las fotografías tomadas cuando x = x1 se
amplían con relación a R2/R1, “por
término medio” ellas no se distinguirán de las fotografías tomadas cuando x = x2.
Además, se supone que esas fotografías son tan “pequeñas” que en ellas no se
ven los nudos y los enlaces, sino que sólo los grandes bloques. Por lo tanto,
la hipótesis consiste en que al acercarse al umbral de percolación, la
geometría de gran escala del sistema se transforma de modo semejante, con la
particularidad de que todas las dimensiones lineales aumentan proporcionalmente
al radio de correlación.
Cabe señalar que el modelo de Shklovski - De Gennes satisface la hipótesis de
la semejanza, pero ésta es mucho más amplia. La misma se refiere no sólo al
esqueleto del racimo infinito y, en general, no supone la división en esqueleto
y en extremos muertos.
La enunciación matemática de la hipótesis de la semejanza permite establecer
relación entre los índices críticos v, β y el tercer índice que
aquí no fue introducido. Los cálculos muestran que dicha relación se cumple
bien.
Las ideas de semejanza, introducidas por primera vez por los físicos soviéticos
A. Z. Patashinski y V. L. Pokrovski, así como por el físico norteamericano L.
Kadanoff, constituyen la base de la actual teoría de las transiciones fásicas y
de la teoría de percolación.
Con las ideas de semejanza se hallan relacionados otros nuevos métodos
matemáticos de cálculo de los índices críticos. Estos métodos se han
desarrollado considerablemente en la última década y alcanzaron cierta
perfección. Hoy día casi todos los índices fundamentales han sido calculados
con la ayuda de dichos métodos. Pero los cálculos son tan complicados que es
muy difícil exponerlos en este libro.
Capítulo 13
Electroconductibilidad a saltos
En
los capítulos anteriores fue detalladamente descrito cómo se emplea la teoría
de percolación para calcular la electroconductibilidad de los sistemas que
constan de elementos dispuestos aleatoriamente. Además, cada elemento era
conductor o no conductor, pero las resistencias de todos los elementos
conductores se estimaban idénticas. A tal tipo de sistemas pertenecen las
rejillas con enlaces rotos o con nudos bloqueados, la mezcla de bolas metálicas
y dieléctricas, etc.
Ahora hablaremos de otra clase de sistemas que también están aleatoriamente
formados por elementos diferentes, pero cuyas resistencias pueden adoptar
cualquier valor situado en un intervalo muy amplio: desde los más mínimos hasta
los más colosales. Resultó que el problema de cálculo de la resistencia de los
sistemas que constan de gran número de tales elementos también puede ser
solucionado por medio de la teoría de percolación. En 1971 fue construida la
teoría de electroconductibilidad a saltos de los semiconductores, basada en las
ideas de percolación. En este capítulo examinaremos el fenómeno de
electroconductibilidad a saltos y daremos su descripción matemática.
Datos experimentales
La figura 48 ilustra la dependencia entre el logaritmo de resistividad y la
temperatura inversa (1/T) para distintas muestras de germanio del
tipo p. La resistividad se mide en Ω cm, y la temperatura inversa,
en grados inversos de Kelvin. En la escala horizontal superior, para facilitar
la exposición, la temperatura inversa ha sido transformada en “simplemente temperatura".
Figura 48 Dependencia entre el logaritmo de resistividad del germanio
compensado de tipo p y la temperatura inversa. Las rayas indican la
continuación del sector de baja temperatura hasta la intersección con el eje de
ordenadas. El punto donde la recta de trazos cruza el eje de ordenadas,
proporciona los valores de ρ0 (N) para una muestra dada. Las
concentraciones de aceptores en las muestras son las siguientes (en cm-3)
En
la figura hay en total 16 curvas correspondientes a las muestras de diversa
concentración de aceptores.
|
1 |
7,5 x 1014 |
5 |
3,6 x 1013 |
9 |
1,4 x 1016 |
13 |
1,0 x 1017 |
|
2 |
1,4 x 1015 |
6 |
4,9 x 1015 |
10 |
2,4 x 1016 |
14 |
1,5 x1017 |
|
3 |
1,5 x 1013 |
7 |
7,2 x 1013 |
11 |
3,5 x 1016 |
15 |
5,3 x 1017 |
|
4 |
2,7 x 1013 |
8 |
9 x 1013 |
12 |
7,3 x 1016 |
16 |
1,35 x 1018 |
Según
los datos de Fritzsche y de Cuevas
Como
fue dicho en el capítulo 8, con concentraciones bastante altas de impurezas, en
los semiconductores ocurre la transición de Mott. Con concentraciones
superiores a las criticas, surge electroconductibilidad de tipo metálico, la
cual depende muy poco de la temperatura. La figura 48 ilustra esa transición,
además, la concentración crítica Nc resulta del
orden de 1017 cm-3. Las muestras 15 y 16 tienen
electroconductibilidad de tipo metálico, la (14) se encuentra “en el límite”, y
las demás muestras se diferencian por una brusca y destacada dependencia entre
la temperatura y la resistencia, típica de los semiconductores.
La dependencia de temperatura de las muestras 1 ... 11 tiene dos sectores
diferentes. En términos generales, para cada muestra, el gráfico consta de dos
rectas que se cruzan. Una de ellas, correspondiente a temperaturas más altas,
tiene una inclinación abrupta, mientras que la inclinación de la segunda es más
suave. (¡Recordemos que la parte derecha del eje de abscisas corresponde a
temperaturas más bajas!) En cada uno de esos sectores la resistencia puede ser
representada en la forma siguiente:
donde
ρ es la resistividad; ρ0, un factor que no depende de la
temperatura; e, la base del logaritmo natural; k,
la constante de Boltzmann: T, la temperatura en grados Kelvin. La
energía ε se denomina energía de activación. Como se deduce de la fórmula (1),
es
decir, la dependencia entre ln(ρ) y T-1 efectivamente
se muestra mediante una recta, con la particularidad de que el ángulo de
inclinación es proporcional a la energía de activación ε. Cada una de las
curvas 1 ... 11 se caracteriza por dos energías de activación: la energía
grande y la energía pequeña.
El origen de la energía de activación grande es relativamente simple: equivale
al trabajo que hay que gastar para separar el hueco del aceptador, o sea. es
igual a la energía de enlace del hueco. La probabilidad de que este último
adquiera tal energía a expensas de las vibraciones térmicas, como se deduce de
la física molecular, es proporcional a e-εkT. Por
eso el número de huecos libres también es proporcional dicho factor. De aquí se
obtiene que la electroconductancia σ también es proporcional a e-ε/kT mientras
que la resistividad ρ=σ-1 es proporcional a
Es
natural que esta energía de activación no depende de la concentración de
aceptores. En efecto, el ángulo de la pendiente de alta temperatura de todas
las curvas en la figura 48 es aproximadamente idéntico. Sin embargo, al bajar
la temperatura, cada curva experimenta una flexión. A bajas temperaturas las
curvas, como antes, se describen mediante la ecuación (1), pero la variable ρ0ahora
depende mucho de la concentración de aceptores. Para subrayar esa circunstancia
designemos por ρ0( N) la variable ρ0 del
sector de bajas temperaturas. La energía de activación en dicho sector es mucho
menor que la energía de enlace del hueco en el aceptor, y depende de N.
Designemos la energía de activación por ε(N). La electroconductibilidad
en el sector de baja temperatura se llama electroconductibilidad a saltos.
Mecanismo de la electroconductibilidad a saltos
En el proceso de estudio de la teoría de electroconductibilidad a saltos
hablaremos del semiconductor del tipo n, en el cual los portadores
de corriente son electrones y no huecos. Tal estudio resulta más evidente,
aunque no existe ninguna diferencia importante entre los semiconductores del
tipo n y del tipo p, así que todo lo dicho también
concierne al experimento con el germanio del tipo p, analizado en
el apartado anterior.
Así pues, examinemos un semiconductor extrínseco que contiene impurezas
donadoras. Consideraremos que la concentración de impurezas es pequeña en
comparación con la concentración critica Nc con la
que ocurre la transición de Mott: metal-dieléctrico (véase el capítulo 8). En
tales condiciones es pequeño el recubrimiento de las capas electrónicas de los
átomos extrínsecos inmediatos. Por eso cada donador puede ser considerado como
un átomo hidrogenoide aislado, cuyo electrón exterior se halla alejado del
átomo a una distancia del orden deaB*y tiene una
energía de enlace del orden de EB* (capitulo
8). Supongamos que la temperatura es tan baja, que la energía térmica de los
átomos oscilantes es insuficiente para que los electrones se separen de los
donadores. ¿Cómo se realizará en este caso la electroconductibilidad ?
Imaginémonos que parte de los donadores no tienen electrón exterior. Eso suele
suceder a consecuencia de la compensación de las impurezas (capítulo 10). Si el
semiconductor contiene no sólo impurezas donadoras, sino también aceptoras,
cada aceptor capturará un electrón del donador. Si hay menos aceptores que
donadores, parte de los donadores conservarán su electrón exterior y otra parte
quedará sin electrón y tendrá carga positiva.
El mecanismo de electroconductibilidad a saltos consiste en que el electrón
“salta” de un donador a otro que hasta el momento no tenía electrón.
Ahora examinemos el caso cuando la energía potencial del electrón donador
exterior depende muy poco de la posición del donador en el espacio, es decir,
de la configuración de las impurezas cargadas que rodean dicho donador. Este
caso corresponde a una concentración pequeña de impurezas. En condiciones
típicas de conductibilidad a saltos, la dispersión de las energías de los
electrones exteriores situados en distintos donadores, constituye alrededor de
1/10 de la energía de enlace EB*.
En tal situación el obstáculo fundamental para el “salto” electrónico entre los
donadores es la atracción del electrón hacia el donador a que él pertenece en
el estado inicial.
Figura 49. La curva de trazos representa La energía potencial del electrón
como función de la coordenada r al haber dos donadores cargados en los puntos 1
y 2. Los trazos horizontales son los niveles de la energía de los electrones en
los donadores. El círculo es el electrón que se encuentra en el donador 1. EB*,
la energía de enlace del electrón; ε, el trabajo que debe ser realizado para
trasladar el electrón al donador 2, La saeta horizontal representa la unión a
efecto de túnel.
Razonando
desde el punto de vista de la mecánica clásica, para que el electrón de la
órbita de un donador pase a la órbita de otro donador es necesario realizar
cierto trabajo en contra de las fuerzas de atracción, ya que el electrón debe
ser alejado a la mitad de la distancia entre los donadores (véase la Figura
49). Después de eso el electrón comenzará a ser atraído por el segundo donador.
Si la disposición de los donadores es rala, dicho trabajo se diferenciará muy
poco del trabajo necesario para alejar al infinito el electrón perteneciente al
donador aislado, es decir, se diferenciará muy poco de la energía de
enlace EB*.
¿En qué consiste, pues, la ventaja de la electroconductibilidad a saltos ante
la electroconductibilidad de los electrones libres? El hecho es que la
electroconductibilidad a saltos es un fenómeno cuántico. La mecánica cuántica
permite al electrón pasar de un donador a otro evitando el estado libre y sin
apropiarse de la energía del movimiento térmico de los átomos. Tal transición
se denomina unión a efecto de túnel (Figura 49). La ley de conservación de la
energía también sigue en vigor para las uniones a efecto de túnel. Dicha ley
requiere que la energía de los electrones en estados inicial y final sea
idéntica. Por eso, si gracias a los potenciales de las impurezas circundantes,
las energías del electrón en el primero y en el segundo donadores son
diferentes, será necesario, a pesar de todo, tomar la energía insuficiente y
entregar la sobrante. Pero esa energía es 10 veces menor que EB*.
Precisamente con ello se explica el hecho de que la energía de activación a
baja temperatura, mostrada en la figura 48, es mucho menor que a alta
temperatura. Por consiguiente, a bajas temperaturas la electroconductibilidad a
saltos aventaja a la electroconductibilidad de electrones libres, ya que la
misma requiere menores gastos energéticos. Pasemos ahora al estudio del factor
ρ 0(N) que no depende de la temperatura, pero que sí
depende de la concentración de impurezas. El mismo puede ser obtenido de la Figura
49, alargando mentalmente la recta de baja temperatura hasta su intersección
con el eje de ordenadas (véase la línea de trazos en la Figura 49). La variable
ρ0(N) es determinada por el punto de intersección. Para
distintas curvas, las resistencias en los puntos de intersección se distinguen
bruscamente una de otra, lo cual precisamente caracteriza la dependencia ρ0(N).
Rejilla de resistencias
La principal causa por la cual la variable ρ0(N) es grande y
depende considerablemente de JV, consiste en que la unión cuántica a efecto de
túnel es un acontecimiento muy poco probable. Como fue dicho en el capítulo 8,
la probabilidad de hallar el electrón exterior del donador a la distancia r del
núcleo donador disminuye a partir de r según la ley e-22/aB*,
donde e ≈ 2,72 es la base del logaritmo natural. Si los donadores 1 y 2 se
encuentran separados uno de otro a la distancia r12, la
probabilidad de hallar el electrón exterior del donador 1 en las cercanías del
núcleo del donador 2 constituye
Precisamente
esta variable contiene la probabilidad de unión a efecto de túnel. Como se
deduce del capítulo 8, si la concentración de donadores es mucho menor que la
concentración Nc correspondiente a la transición
dieléctrico-metal, la distancia media entre los donadores será mucho mayor
que aB* y, por regla general, la
variable
será
muy pequeña.
No obstante, entre los donadores vecinos ocurren de vez en cuando uniones a
efecto de túnel. Si al semiconductor se le aplica un campo eléctrico, resultará
que las transiciones en dirección contraria al campo (en dirección de la fuerza
activa) ocurren más a menudo que las transiciones en éste. Como consecuencia,
surge una corriente eléctrica proporcional al campo eléctrico. Precisamente en
esto consiste el fenómeno que nos interesa.
Para calcular la resistividad del semiconductor se utiliza un modelo llamado
“rejilla de resistencias”. Dicho modelo se enuncia no en el lenguaje de los
átomos y las uniones a efecto de túnel, sino en el lenguaje de las resistencias
electrotécnicas ordinarias. Imaginémonos que entre cada par de donadores ha sido
intercalada una resistencia (Figura 50). Los propios donadores pueden ser
representados en forma de bolas metálicas diminutas, a las cuales están
soldados alambres de muchas resistencias.
Figura 50. Retículo arbitrario de resistencias. Los círculos representan los
donadores que están enlazados entre sí imaginariamente mediante
resistencias .
El
segundo extremo de cada una de esas resistencias permanece soldado a otra bola.
Como resultado, se obtiene una especie de rejilla tridimensional desordenada de
resistencias. Por supuesto que si Uds. realmente quisieran armarla, sería
necesario aumentar mucho las escalas del sistema. Efectivamente, la distancia
media entre los donadores es del orden de 10 -5 cm.
Las resistencias intercaladas entre los donadores deben ser calculadas a partir
de la corriente de unión a efecto de túnel, que fluye entre esos donadores en
un campo eléctrico dado. Ello se reduce a la solución de un problema cuántico
mecánico que aquí no expondremos. Notemos sólo que, de acuerdo con lo dicho más
arriba, cuanto más lejos estén los donadores uno de otro, tanto menos corriente
será transportada por las uniones a efecto de túnel situadas entre dichos
donadores en un mismo campo.
Conforme a lo dicho, la resistencia R que enlaza los donadores situados a la
distancia r uno de otro, puede ser representada de la forma
siguiente:
donde
la variable R0 es idéntica para todas las resistencias (puede
ser del orden de 10). El problema consiste en hallar la resistividad de un
sistema integrado por un número muy grande (1016 ... 10 19)
de donadores aleatoriamente dispersados en el espacio.
Propiedades de la rejilla de resistencias
El principal rasgo del modelo sujeto a examen consiste en que las resistencias
determinadas por la fórmula (3) se distinguen una de otra considerablemente. La
distancia media entre los donadoresrD está enlazada con
la concentración de donadores ND mediante la
relación
que
significa que en una esfera de radio rD hay, por
término medio, un donador. En las condiciones en que suele observarse la
electroconductibilidad a saltos, la variable rD supera aB* 6
... 12 veces.
Supongamos, por ejemplo, que rD = 10B*.
Entonces la resistencia intercalada entre los donadores situados a la distancia
de 1,5 rD se relacionará con la resistencia
intercalada entre los donadores situados a la distancia de rD,
como
Los
donadores con distancias recíprocas de rD se
encuentran tan a menudo como los donadores con distancias de 1,5 rD.
Por lo tanto, el cambio insignificante de la distancia entre los donadores
conduce a un cambio considerable de la resistencia intercalada entre éstos.
En principio, el modelo de la rejilla supone que la resistencia ha sido
intercalada entre cada par de donadores. Pero las resistencias intercaladas
entre los donadores alejados son tan grandes que pueden ser despreciadas sin
duda alguna. Por regla general, esos mismos donadores están enlazados mediante
una cadena de resistencias que pasa por los donadores que son inmediatos uno
respecto a otro. Aunque la longitud de dicha cadena es mayor que la distancia
más corta entre los donadores alejados, la resistencia de tal cadena es mucho
menor que una resistencia intercalada entre los referidos donadores. Tales ya
son las propiedades del exponente: sí x1 » 1
y x2 » 1, entonces
Por
consiguiente, de hecho, en la rejilla sujeta a examen es suficiente dejar las
resistencias que enlazan cada donador con sus 4 ... 5 donadores inmediatos.
De nuevo el problema de las esferas
Pasemos ahora al cálculo de la resistencia. Se supone el siguiente método de
razonamientos. Desconectemos (desoldemos) todas las resistencias situadas entre
las bolas que representan los donadores, y luego conectémoslas en determinado
orden.
Conectemos al principio las resistencias que enlazan los donadores cuyas distancias
de separación entre ellos son menores que cierta longitud r'. Eso
significa que se han conectado las resistencias más pequeñas, cuyos valores
óhmicos son inferiores a
Si
la longitud r' es mucho menor que la distancia media entre los
donadores rD, entonces será necesario conectar
resistencias sólo entre los donadores bastante separados, irregularmente
próximos uno a otro. Por lo general, estas resistencias no se hallan enlazadas
entre sí y no pueden asegurar la percolación de la corriente eléctrica por el
sistema.
Aumentemos poco a poco la longitud r' conectando cada vez
nuevas porciones de resistencias. A partir de cierto valor de r'
= rc las resistencias conectadas formarán un racimo
infinito. Cuando r' > rc el sistema
comenzará a conducir la corriente eléctrica y poseerá una resistividad finita.
El problema de determinación de rc es, de hecho, el
problema de las esferas (capítulo 7). En efecto, construyamos en torno a cada
donador una esfera de radio r'. Entonces las resistencias serán
conectadas sólo entre los donadores, uno de los cuales permanece dentro de la
esfera construida cerca del segundo. De acuerdo con los resultados del capítulo
7, tales donadores formarán por primera vez un racimo infinito, a condición de
que
de
aquí se deduce que
Conexión
de la resistividad
Conforme a lo dicho en el capítulo 12, el esqueleto del racimo infinito puede
ser representado en forma de una rejilla de alambre tridimensional (véase la
Figura 44), con una distancia entre los nudos del orden del radio de
correlación. Para dicho problema debemos considerar que cada alambre consta de
muchas bolas enlazadas por medio de resistencias, la expresión (1) del capítulo
12 ha de ser escrita de la forma siguiente:
La
expresión (5) se convierte en magnitud infinita en el umbral de percolación,
además, de acuerdo con la idea de universalidad, el índice crítico v es
igual que en los demás problemas tridimensionales de la teoría de percolación (v =
0,8 ... 0,9). Lejos del umbral, cuando r' - rc es
del orden de rD el radio de correlación adopta un
valor del orden de rD.
Cuando r' = rc la distancia entre los
nudos de la red del racimo infinito se convierte en magnitud infinita. El
racimo infinito en este punto tiene aún una densidad nula. Pero cuando r'
> rc el mismo forma una especie de canales que
atraviesan todo el sistema y aseguran una resistividad finita.
Continuemos el procedimiento de intercalación de resistencias. Si éstas se
intercalan entre donadores con distancias de rc a rc + gaB*,
donde g es cierto número menor que la unidad (por
ejemplo, g = 0,2). entonces la máxima resistencia intercalada,
prácticamente no cambiará, ya que
Por
otra parte, el racimo infinito representará una red con una distancia entre los
nudos del orden de
En
la teoría de electroconductibilidad a saltos, tal red se llama critica.
Precisamente ella es la responsable del paso de la corriente eléctrica.
En efecto, el aumento ulterior de la variable r', es decir, la
intercalación de las demás resistencias, no conducirá a un cambio considerable
de la resistividad. Como se deduce de la fórmula (3), las resistencias
con r - rc » aB*son
mucho mayores que las resistencias con r = rc.
Por eso, de hecho, a través de dichas resistencias la corriente eléctrica, a
pesar de todo, no pasará, prefiriendo la red crítica cuyas resistencias máximas
son iguales a
Así
pues, nos queda calcular la resistividad de la rejilla crítica. Al igual que
hemos hecho en el capítulo 12, representemos esa rejilla en forma de la
armadura de una red cúbica sencilla (Figura 12) cuyo periodo constituye Rc.
Cada alambre que une dos nudos inmediatos de la red consta de gran número de
resistencias iniciales conectadas en serie, las cuales se determinan mediante
la fórmula (3). Como esas resistencias se distinguen muchísimo una de otra, la
resistencia de un alambre debe considerarse igual a la resistencia máxima de
las resistencias que integran ese alambre, es decir, debe ser igual a Rmax.
El cubo elemental de la red cúbica sencilla (Figura 27) consta de cuatro
alambres conectados en paralelo, además, también cada alambre pertenece a otros
cuatro cubos, así que a cada cubo le corresponde un alambre de resistencia Rmáx.
Para obtener la resistividad es necesario multiplicar la resistencia completa
del cubo Rmáx por el área de su cara (Rc2)
y dividirla entre la longitud de la arista (Rc). Por lo
tanto,
En
este caso obramos con el cubo como si estuviera lleno de una sustancia
homogénea de resistividad ρ. Pero precisamente así procede el experimentador
cuando calcula la resistividad de la muestra a partir de la resistencia
completa medida. El experimentador no piensa en si la corriente eléctrica es
homogénea en su muestra, o si la misma fluye por cualesquier hilos. Si la
muestra tiene forma de cubo, para obtener la resistividad, el experimentador
debe multiplicar la resistencia completa por la longitud de la arista del cubo.
Análisis del resultado obtenido
Al calcular la resistencia que enlaza dos donadores (fórmula (3)) no hemos
tomado en consideración el hecho de que las energías de los electrones en
dichos donadores podrían ser distintas. La diferencia surge, en primer lugar, a
causa de que las impurezas cargadas generan entre los referidos donadores
cierta diferencia de potenciales electroestáticos, la cual tiene signo
aleatorio y valor aleatorio. La ley de conservación de la energía no permite en
este caso la unión a efecto de túnel de un donador a otro, si ésta no va
acompañada del aumento o la disminución de la energía (en el valor necesario) a
expensas de la interacción del electrón con los átomos de la red que realizan
oscilaciones térmicas. Como ya fue dicho, la probabilidad de obtener la energía
e es proporcional a
Por
esta razón, en realidad, la resistencia R(r) depende de la temperatura.
El registro sucesivo de esta dependencia conduce a que la resistividad dependa
de la temperatura según la ley (1), donde la energía de activación ε = ε(N)
depende de la concentración de impurezas, El cálculo que nos ha conducido a la
fórmula (7) fue hecho suponiendo que la temperatura es tan grande que ε(N)/kT «
1. Por lo tanto, la fórmula (7) sólo proporciona la variable ρ0(N)
y no la resistividad completa.
Es necesario tener en cuenta que distintas partes de la fórmula (7) fueron
obtenidas con distinto grado de precisión. El factor R0Rc,
llamado factor preexponencial, se ha obtenido con una precisión de hasta el
coeficiente numérico. Efectivamente, en realidad, por ejemplo, no sabemos el
número g en la expresión (6) para Rc .
Además, la sustitución de la rejilla del racimo infinito por una red periódica
puede conducir a un error en el coeficiente numérico. Cabe señalar que en la
actualidad no existe una teoría que permita determinar con certeza el
coeficiente numérico en el mencionado factor preexponencial.
En cuanto a la variable que figura en el exponente de la fórmula (7), ésta se
conoce con bastante precisión. Según el sentido de la deducción de la fórmula
(7), en el exponente, rc podria sustituirse
por rc + aB*g.
Entonces, en vez de 2rc/aB*g surgiría
la suma
Su
segundo miembro caracteriza, de hecho, la indeterminación con que conocemos el
referido exponente. Como ya fue dicho, con pequeñas concentraciones de
donadores, 2rc/aB* » 1,
por eso el error relativo es pequeño. De hecho, este último refleja la
indeterminación del coeficiente numérico en el factor preexponencial.
Comparación con los datos experimentales
Precisamente por medio del exponente se determina la dependencia entre la
resistividad ρ0 y la concentración de donadores ND.
De acuerdo con las fórmulas (4) y (7),
El
primer miembro del segundo término (8) depende de ND mucho
menos que el segundo miembro, y el mismo puede ser considerado como una
magnitud constante.
Figura
51. Dependencia entre el logaritmo de resistencia ρ0(N) y la
concentración de aceptores en el silicio de tipo p. La línea recta es el
resultado teórico (8), y Δ son los datos experimentales Ray y Fan obtenidos.
La
comparación de la fórmula (8) con los datos experimentales, ejecutada para
muchos semiconductores, ha mostrado que dicha fórmula describe con mucha
precisión la dependencia entre ρ0 y N, lo cual es
un logro importante de la teoría expuesta más arriba. En la figura 51 se ofrece
la resistencia ρ0(N) para un semiconductor bien
estudiado, el silicio. La recta representa el resultado teórico (8), y los
triángulos, el resultado del experimento. Se ve que el acuerdo entre la teoría
y el experimento no deja nada que desear.
El procedimiento descrito en este capítulo también se emplea con éxito para
hallar la dependencia entre la temperatura y la electroconductibilidad a
saltos, así como la variación de esta última en función del campo magnético
exterior y de una serie de otros parámetros. Además, este procedimiento es
aplicable a cualquier sistema heterogéneo cuya resistencia cambia de punto a
punto en amplios límites.
En
este último capítulo analizaremos brevemente algunas aplicaciones de la teoría
de percolación que no entraron en los capítulos anteriores, pero que nos
parecen interesantes, y haremos el resumen de todo lo dicho, tratando de
determinar lo que tienen de común todos los problemas analizados.
Percolación del líquido por un laberinto. Este problema está
estrechamente enlazado con el problema de penetración del gas en una máscara de
carbón, el cual dio comienzo a la teoría de percolación. Imagínense un cuerpo
poroso en el que bajo presión se inyecta líquido. Este último no humedece el
cuerpo, así que las fuerzas capilares obstaculizan su penetración en los poros.
El laberinto de tubos capilares atraviesa todo el cuerpo, pero los diámetros de
esos tubos se diferencian mucho entre sí. En unos lugares los tubos son anchos,
y en otros, estrechos.
Al principio supongamos que el cuerpo sólo tiene un tubo capilar cilíndrico. A
la izquierda del cuerpo 1 hay liquido bajo cierta presión creada por el émbolo
2, y a la derecha del cuerpo hay aire bajo presión atmosférica (Figura 52).
Figura
52
El
cuerpo permanece fijo y no puede moverse. A expensas de la tensión superficial,
el líquido no humectante penetrará en el tubo capilar sólo en el caso de que su
presión supere la presión atmosférica en 2σ/R, donde R es
el radio del tubo capilar, y σ, el coeficiente de presión superficial. A
menores presiones el líquido forma un menisco convexo, pero no pasa por el tubo
capilar.
Ahora supongamos que en el cuerpo existen tubos capilares de distintos radios.
Con un valor dado de la presión del líquido, algunos de esos tubos (los más
anchos) dejan pasar el líquido, mientras que otros (los más estrechos) no lo
dejan pasar. Con el incremento de la presión aumenta el número de tubos
capilares que dejan pasar el líquido. A pequeñas presiones, cuando sólo dejan pasar
el líquido los tubos capilares más gruesos, el líquido no puede penetrar en el
cuerpo más allá de la capa superficial. Pero bajo cierta presión crítica los
tubos capilares permeables forman un sistema que atraviesa todo el sólido. A
partir de dicha presión el líquido se infiltra en el sólido.
El cálculo de tal presión, así como de una serie de otras características del
proceso, constituye una aplicación muy importante de la teoría de percolación
desde el punto de vista de las necesidades prácticas.
Formación de geles poliméricos. El polímero es una
micromolécula que consta de un gran número de unidades elementales (monómeros).
Los monómeros que se encuentran en la solución pueden enlazarse entre sí
formando una rejilla tridimensional compuesta, la cual atraviesa todo el
sistema. Como resultado se forma un gel, es decir, un medio
consistente que recuerda la gelatina o la jalea.
Existe un modelo que describe satisfactoriamente la formación del gel. El mismo
se reduce a la teoría de percolación donde los nudos blancos son moléculas
monómeras, y los nudos negros, moléculas del disolvente. Los enlaces entre los
nudos blancos se realizan con una probabilidad que depende de la temperatura.
La formación de un racimo infinito de nudos blancos enlazados corresponde a la
aparición del gel.
Tal problema de la teoría de percolación se denomina problema mixto, ya que
tanto los nudos como los enlaces son elementos aleatorios. Supongamos que la
probabilidad de que cierto nudo sea blanco es igual a x1 (esa
probabilidad equivale a la concentración de moléculas del monómero), en tanto
que la probabilidad de que un enlace dado no esté roto es igual a x2-
Hay que hallar la zona de los valores de x1 yx2 en
la que existe un racimo infinito de nudos blancos enlazados uno con otro.
Según la definición, x1 yx2 cambian
en el intervalo de cero a la unidad.
Si x2 = 1, es decir, si todos los enlaces son
íntegros, el racimo infinito existirá para todos valores de x1 en
la zona de xnud ≤ x1 ≤
1, donde xnud es el umbral de percolación del
problema de los nudos. Si x1 = 1, es decir, si
todos los nudos son blancos, para , la existencia de un racimo infinito será
necesaria la condición xen≤ x2 ≤
1, donde xen es el umbral de percolación del
problema de los enlaces.
El cuadrado en la figura 53 incluye toda la zona de cambio de las
variables x1 y x2.
Figura
53.
La
curva continua representa el gráfico de la función xmín (x2)
que describe el límite de la zona de existencia de un racimo infinito. Con cada
valor de x2 en el intervalo de xen < x2 <
1, la función xmín(x2 )
proporciona el valor mínimo de x1con el que existe un
racimo infinito. Es fácil comprender que xmín (1)
= xnud y xmin(en) = 1. La
propia zona de existencia del racimo infinito en la figura 53 está rayada.
Si la probabilidad de x2 ha sido establecida para
todos los valores de la temperatura, entonces, valiéndose de la función xmín (x2),
puede ser hallada la zona de temperaturas y de concentraciones del monómero, en
la que se forma el gel.
¿Qué es, pues, la teoría de percolación?
En ninguna parte de este libro ha figurado la definición de lo que es teoría de
percolación. No es fácil expresar tal definición. No obstante, intentemos
ahora, en la última página del libro, formular lo que tienen de común todos los
problemas aquí examinados, y cuál es, en realidad, el objeto de la teoría de
percolación.
La teoría de percolación estudia las relaciones entre un gran número
(macroscópico) de elementos, a condición de que el enlace de cada uno de ellos
con sus vecinos tenga carácter aleatorio, pero que sea establecido con arreglo
a un procedimiento absolutamente determinado (por ejemplo, mediante un
generador de números aleatorios dotado de propiedades concretas).
Los diversos problemas de la teoría de percolación pueden ser agrupados por el
hecho de que los elementos enlazados en las cercanías del umbral de percolación
tienen igual geometría. Para notarla es necesario distraer la atención de la
estructura a pequeña escala, determinada por el carácter de enlaces y las
propiedades de los elementos, prestando atención tan sólo a los enlaces de los
grandes bloques. La geometría universal a gran escala, dicta las propiedades
universales de las variables físicas que dependen de la estructura de los
grandes racimos. Precisamente esto agrupa los problemas de la teoría de percolación
que difieren tanto uno de otro.
Literatura para el estudio detallado de la teoría de percolación
1.
D. Stauffer. Scaling theory of percolation clusters. Phys. Reports v. 54 p. 1,
1979.
2. Disordered systems and localization ed. by C. Castellani, C. Di Castro and
L. Petiti. Lecture Notes in Phvsics, v. 149 Springer-Verlag. 1982,
3. Percolation Structures and Processes ed. by G. Deutschei. R. Zallen, J.
Adler. Annals of the Israel Physical Society v, 5.
4. B. I. Shklovski, A. L. Efrós. Electronic properties of doped semiconductor
s. Springer-Verlag 1984, chapter 5.
Capítulo
1
1. Con arreglo a la regla general, para hallar el valor medio hay que
multiplicar cada valor posible de la variable aleatoria, por la probabilidad de
este valor, y después sumar todos los productos La probabilidad de que
cualquiera de las caras del cubo permanezca dirigida hacia arriba es
igual a1/6. Por consiguiente,
a =
(1/6) 1 + (1/6) 2 + (1/6) 3 +(1/6) 4 + (1/6) 5 + (1/6) 6 = 21/6
2.
Los resultados de los experimentos cambian, pero el valor medio de x c(N)
calculado a base de muchos experimentos, no varía, ya que el movimiento de
izquierda a derecha se realiza por término medio, con la misma probabilidad que
de arriba abajo. Respectivamente, tampoco cambia
3.
Designemos por x1 y x'1 los
valores de umbral obtenidos en el experimento anotado con el numero 1, teniendo
en cuenta que x1' corresponde a la nueva
definición del umbral, y x1, a la definición vieja (de
izquierda a derecha). Si a medida que disminuye x, al principio
desaparece la percolación de izquierda a derecha y luego de arriba abajo,
entonces x1 = x'1.
Pero si eso sucede al revés, entonces x1 > x' 1.
El valor medio del umbral según la nueva definición es igual a
mientras
que según la definición vieja
En
ambas formulas el número completo de experimentos Q se
considera muy grande. Pero con gran numero de experimentos, las situaciones
cuando x' 1 > x1, surgirán
inevitablemente. Por esta razón, xc(N) > x(N). Sin
embargo,
El
hecho es que el umbral de percolación en un sistema infinito no es una variable
aleatoria, sino una magnitud cierta la cual no cambia de un experimento a otro.
Al mismo tiempo, la diferencia de los umbrales de percolación en distintas
direcciones es un fenómeno aleatorio. Por término medio desde el punto de vista
de la percolación, todas las direcciones son equivalentes. Por eso no depende
de la dirección.
4. La solución es análoga a la anterior.
Designemos por x1 y x'1, los
valores de umbral obtenidos en el experimento anotado con el numero 1, teniendo
en cuenta que x1 corresponde a la nueva definición
del umbral, y x'1, a la definición vieja Es fácil
demostrar que x'1 ≤ x1.Razonando
como en el problema anterior, obtenemos
pero
El
cálculo según la fórmula (8) da δ = 0,01. Esto significa que las desviaciones
"típicas" del valor medio son iguales a ± 0,01. De aquí se desprende
que el ultimo signo en el numero 0,59 obtenido por B. P. Watson ) P. L. Leath
con bastante probabilidad, pudo resultar erróneo. Con una probabilidad mucho
menor también pudo resultar erróneo el primer signo. Puesto que solo se hizo un
experimento, los propios autores solo pudieron apreciar el error con el que
ellos determinaron el umbral de percolación utilizando la sucesión de los nudos
bloqueados (Esa sucesión constituyo ± 0,005). Sin embargo, los autores nada
pudieron decir de cómo cambiará el resultado al repetir el experimento con otra
sucesión aleatoria. Las investigaciones ulteriores en cuyo programa entraron
muchos experimentos con un solo valor de N así como
experimentos con grandes valores de N, condujeron a la deducción de
la formula (8). Esos experimentos también han mostrado que, por lo visto, el
número 0,59 es correcto incluso en su último signo lo que en sumo grado debe
considerarse como un hecho de suerte.
Capitulo 2
1. La porción de nudos bloqueados equivale a 1 - x = N ' /Nmientras
que la porción de nudos no bloqueados equivale a x = (N - N') N. Si
elegimos aleatoriamente Q nudos entre ellos resultaran Qx nudos
no bloqueados y Q(1 - x) bloqueados (cuanto mayor sea
el numero Q tanto más exactamente se cumplirá esta relación).
Por eso la probabilidad de que el nudo elegido aleatoriamente resulte bloqueado
es igual a Q(1 - x)', Q = 1 - x y la
probabilidad de que ese nudo resulte no bloqueado equivale a Qx Q = x.
Puesto que el nudo puede ser ora bloqueado ora no bloqueado, la suma de las
probabilidades es igual a la unidad 1 - x + x = 1
2. La probabilidad de cualquiera sucesión de los tres números fijados equivale
a 1/6 x 1/6 x 1/6 = 1/216.
El numero de distintas sucesiones que satisfagan las condiciones planteadas
para los números 1, 2 y 3 es igual a 6 (123, 213, 321,231,132 y 312), y para
los números 1, 2 y 2 es igual a 3 (122, 212 y 221). La probabilidad de que se
realice una de las posibles sucesiones, equivale a la suma de probabilidades.
Por consiguiente, en el primer caso la probabilidad buscada constituye 6 x
1/216 = 1/36 y en segundo caso, 3 x 1/216 = 1/72
3. (0,8)3 (0,9)4 = 0,336
4. La solución no se expone
5. La función de distribución de la variable aleatoria a es una constante en el
intervalo (- 1, 1) y equivale a cero fuera de este intervalo (Figura 54). Como
el área completa de un rectángulo, limitada por la curva f (y)
(en este caso, por una recta horizontal), el eje de abscisas y las
perpendiculares levantadas en los puntos - 1 y 1, debe equivaler a la
unidad, f(y) = 1 /2 cuando - 1 < y <
1.
Figura
54
Por
regla general, la probabilidad buscada equivale al área del rectángulo,
limitada por la recta f(y), el eje de abscisas y las
perpendiculares levantadas en los puntos y = -3/4 e y =
-1/4. (En la Figura 54 ese rectángulo está rayado.) La probabilidad es igual a
[-1/4 - (-3/4] x 1/ 2 = 1/4
6. La variable y recorre cualesquier valores de -∞ a ∞. Por esta razón, en las
fórmulas (3) y (4) hay que poner A = -∞ y B = ∞. De acuerdo con la fórmula (3),
Sustituyendo
la fórmula (6) obtenemos
Bajo
el signo de integral se encuentra una función impar. Tras sustituir la
variable y = -t y comparar el resultado con la
fórmula inicial, notamos que a= -a. De aquí se
deduce que a = 0.
De acuerdo con la fórmula (4), la varianza
Sustituyamos
la variable: y = √2 δNt. En este caso
La
integral respecto a t equivale a √π/2. Por eso obtenemos
δ 2 = δ2N.
Capítulo 3
1. Según la definición, P(1) = 1. Cuando los valores de x son
próximos a la unidad, los nudos pueden no pertenecer al racimo infinito por dos
motivos:
a. En ellos puede haber átomos no magnéticos. La porción de tales nudos
constituye 1 - x.
b. Los átomos magnéticos pueden permanecer aislados del racimo infinito como,
por ejemplo, el átomo B en la Figura 9. Pero para valores
de x próximos a la unidad, cuando hay pocos átomos no
magnéticos, esta causa es menos importante, puesto que para tal aislamiento es
preciso que varios átomos no magnéticos (4 en el caso de la red plana mostrada
en la Figura 9} se reúnan en torno a un átomo. Con un número pequeño de átomos
no magnéticos, la probabilidad de tal acontecimiento también es pequeña.
Por eso la segunda causa puede ser omitida, considerando que la porción de
átomos pertenecientes al racimo infinito equivale simplemente a la porción de
átomos magnéticos. Así pues, a condición de que 1 - x « 1,
tenemos P(x) = x.
2. En una red cúbica sencilla, cada átomo tiene 6 átomos inmediatos situados,
respecto a ese átomo, en dirección de las aristas del cubo (Figura 12). La
probabilidad W0 de que todos los átomos inmediatos
a cierto átomo sean átomos no magnéticos, equivale al producto de seis
probabilidades: W0 = (1 - x)6. La
probabilidad W de que por lo menos uno de esos átomos sea
magnético equivale a
W(x) =
1 - W0= 1 - (1 - x)6.
De
acuerdo con la fórmula (2) del capítulo 3,
P2 (x)
= xW(x) = x[1 - (1 - x)6].
Cuando x «
1
P2(x) ≈
6x2.
Es
fácil darse cuenta que para cualquier red en la que cada átomo tiene z átomos
inmediatos,
P2 (x)
= x[1 - (1 - x)z]
y
cuando x « 1
P2(x) = zx2.
En
la Figura 55 se muestran 12 átomos situados en la periferia del átomo 0. Todos
ellos pueden participar en la formación de un racimo de tres átomos.
Figura
55
Tal
racimo puede ser formado, por ejemplo por los átomos 1, 0 y 2, si los tres son
magnéticos. La probabilidad de tal acontecimiento equivale al producto de tres
probabilidades x ∙ x ∙ x = x3. La probabilidad de que el
racimo sea formado por los átomos 0, 4 y 12 o por cualesquier otros tres
átomos, también equivale a x3
Antes que nada es necesario saber cuántos grupos de tres átomos existen en
realidad. Al principio contaremos la cantidad de esos grupos que contienen los
átomos 0 y 1. Estos contienen 6 grupos de tres átomos 015, 018, 019, 103, 102 y
104
Ahora pasemos a los grupos de tres átomos que incluyen los átomos 0 y 3 pero
que no incluyen el átomo 1. Esos grupos son cinco 036, 03 11, 037, 203 y 304.
Análogamente hay cuatro grupos de tres átomos que incluyen los átomos 0 y 2,
pero que no incluyen los átomos 1 y 3: 025, 026, 02 10, 204, así como tres
grupos de tres átomos que incluyen los átomos 0 y 4, pero que no incluyen los
átomos 1, 2 y 3. Esos grupos son 047, 048 y 04 12
Así pues, existen 6 + 5 + 4 + 3 = 18 grupos de tres átomos además, la
probabilidad de cada uno de ellos equivale a x3 Es
necesario hallar la probabilidad de que surja por lo menos uno de esos grupos.
Cuando x «1, los acontecimientos que consisten en el
surgimiento de uno de los grupos de tres átomos, pueden ser considerados como
acontecimientos incompatibles. En efecto la probabilidad de que se formen
simultáneamente los grupos 102 y 015 de tres átomos equivale a la probabilidad
de que los cuatro átomos 0125 sean magnéticos, es decir, de que se forme un
racimo de cuatro átomos. La probabilidad de este acontecimiento equivale
a x4 = x3 ∙ x « x3.Por
consiguiente, cuando x « 1, los grupos de tres átomos pueden
ser considerados como incompatibles. Entonces la probabilidad de que se forme
por lo menos uno de ellos es igual a la suma de las probabilidades, y
P3 =
18x3
4.
La probabilidad de que el átomo elegido al azar pertenezca a un racimo
integrado por no menos de dos átomos, puede ser representada en forma de la
suma de las probabilidades de los acontecimientos incompatibles
P2 (x)
= P3(x) + P2(x )
(1)
donde P2(x)
es la probabilidad de que el átomo pertenezca a un racimo de dos átomos De aquí
se deduce
P3 (x)
= P2(x) - P2(x )
(2)
La
función P2(x) se determina mediante la fórmula
(3) del capítulo 3 y, por consiguiente, solo es preciso calcular P2(x).
El átomo 0 (Figura 55) puede formar un racimo de dos átomos con los átomos 1, 2
3, o con el átomo 4. La probabilidad de que el racimo sea formado por los
átomos 0 y 1 equivale a la probabilidad de que esos dos átomos sean magnéticos,
multiplicada por la probabilidad de que los átomos 2, 3, 4, 8, 9 y 5 no sean
magnéticos, es decir, equivale a x2 (1 - x)6.
Esas mismas probabilidades son típicas de los acontecimientos que consisten en
que el racimo de dos átomos está formado por los átomos 0 y 2 o por los átomos
0 y 3 o por los átomos 0 y 4. Todos esos acontecimientos son incompatibles y,
por lo tanto la probabilidad P2(x) es igual a la
suma de cuatro probabilidades
P2 (x)
= 4 x2 (1 - x)6 (3)
Sustituyendo
la formula (3) en la (2), obtenemos
P3 (x)
= x[1 - (1 - x)4] - 4x2(1
- x)6 (4)
lo
cual precisamente contribuye a la resolución del problema planteado.
Valiéndose de la fórmula del binomio es fácil mostrar que la expresión (4) no
contiene términos cuya potencia x sería inferior a la tercera
potencia. Si x « 1, entonces P3(x)
≈ 18 x3, lo cual coincide con el resultado del ejercicio
anterior.
Capitulo 4
1.
|
0,0085 |
0,0072 |
0,0051 |
0,0026 |
0,0006 |
|
0,0000 |
0,0000 |
0,0067 |
0,0044 |
0,0019 |
|
0,0003 |
0,0000 |
00000 |
0,0032 |
0,001 |
|
0,0001 |
0,0000 |
00000 |
2. El numero b consta, en efecto, de n signos.
Por esob < 10n. Para obtener el siguiente
numerob' es necesario hallar b2 y dividirlo
entre 10n y tomar la parte integra. Por lo tanto, b <b2 10n.
Pero b2 10 n = (b 10n).
Como (b 10n) < 1, por lo tanto, (b2 10n)
< b. De aquí se deduce que b < b, lo cual
precisamente era necesario demostrar
3. 5 15, 5, 15, 5, 15
4. 5 16, 9, 8, 5, 16, 9 8 5
5. 5 17 13 1, 5, 17, 13, 1, 5
6. Por doquier no se cumple la condición b. En el ejercicio
3, c = 0, en el ejercicio 5 tampoco se cumple la
condición a, etc.
7. Supongamos que X0 = 0. En este caso obtenemos 0,
3 1, 4, 2 0 3, 1, 4 2 Con cualquier valor de X0 el
numero X1 coincide con uno de los números de esta
sucesión.
8. En la figura 4 se ofrece la función de distribución de los números
aleatorios que proporciona el generador. El juego V se compone
de esos números. La porción de nudos no bloqueados en el juego V equivale
a la porción de números aleatorios en dicho juego, que satisfacen la
desigualdad V < t. Por consiguiente, la porción
media de nudos no bloqueados es igual a la probabilidad de que el numero
aleatorio resulte menor que t. Según la definición de la función de
distribución, esta probabilidad es igual a la superficie limitada por la
curva f(V), el eje de abscisas y las perpendiculares
levantadas de los puntos 0 y t. En este caso esa superficie es
el área del rectángulo, igual a∙t Por consiguiente la porción
media de nudos no bloqueados x equivale a∙t.
Capitulo 5
1. Con valores de x próximos a la unidad, casi todos los nudos
pertenecen al racimo infinito. A este no pertenecen tan solo los nudos que
tienen rotos todos los enlaces que unían esos nudos con el sistema restante. La
probabilidad de que esté roto un enlace determinado, es igual a 1 - x.
En el caso de una red cuadrada para que un nudo resulte aislado del sistema es
necesario que estén rotos cuatro enlaces que salen de ese nudo (Figura 56, a).
Figura 56 a) Un nudo aislado; b) dos nudos aislados. El enlace completo se
muestra con una línea llena y los enlaces rotos, con líneas de trazos
La
probabilidad de tal acontecimiento equivale al producto de las probabilidades
es decir equivale a (1 - x)4. Para que dos nudos
permanezcan aislados del sistema es preciso que estén rotos seis enlaces
(Figura 56, b).
La probabilidad de tal acontecimiento equivale a (1 - x)6
Cuando 1 - x « 1 esta probabilidad es mucho menor que la
probabilidad de que permanezca aislado un nudo. Por lo tanto, en el caso limite
que nos interesa, es posible considerar que todos los nudos aislados se hallan
dispuestos de uno en uno, y la probabilidad de que el nudo elegido al azar esté
aislado, equivale a (1 - x)4. La probabilidad de que el
nudo elegido al azar no esté aislado es igual a 1 - (1 - x)4 es
decir para una red cuadrada,
Pen(x) =
1 -(1 - x)4
Razonando
del mismo modo obtenemos que para una red triangular
Pen(x) =
1 - (1 - x)6
mientras
que para una red hexagonal
Pen(x) =
1 - (1 - x)4
Estos
resultados son justos cuando (1 - x) « 1
2. El problema se resuelve del mismo modo que el problema anterior. Cuando 1 -
x « 1, casi todos los nudos pertenecen al racimo infinito. El nudo elegido al
azar permanecerá aislado del racimo infinito, en caso de que todos los nudos
inmediatos a los contengan átomos no magnéticos (para evidenciar utilizamos la
terminología del problema de la sustancia ferromagnética). Al igual que en el
problema anterior, es insignificante la probabilidad de que uno de los nudos
inmediatos al nudo sometido a examen sea el átomo magnético pero aislado del
racimo infinito. Por eso solo es suficiente calcular la probabilidad de que
todos los nudos inmediatos a dicho nudo sean átomos no magnéticos. La
probabilidad de que en cierto nudo se encuentre un átomo no magnético equivale
a 1 - x. El número de nudos inmediatos es igual al número de
enlaces que salen de dicho nudo. Por eso se obtienen los mismos resultados que
en el ejercicio anterior
·
para un retículo cuadrado Pnud(x) =
1 - (1 - x) 4
·
para un retículo triangular Pnud(x) =
1 - (1 - x) 6
·
para un retículo hexagonal Pnud(x) =
1 - (1 - x) 3
Por lo tanto, con valores de x próximos a la unidad, Pnud(x) = Pen(x),
lo cual no contradice la formula (2).
3. Examinemos el retículo hexagonal cuya porción de enlaces blancos
constituye x, y el retículo triangular cuya porción de enlaces
blancos constituye y(Recordemos que el término "enlace
blanco" es sinónimo del término "enlace integro”, y que "enlace
negro" significa “enlace roto”. El termino nudo “esta enlazado” con otro
nudo si eso no fue estipulado especialmente ha de entenderse de tal modo que dicho
nudo se halla enlazado por medio de enlaces no rotos, es decir mediante enlaces
blancos). Apliquemos los retículos uno sobre otro, así como se muestra en la
figura 57.
Figura 57. Transformación de una estrella en un triangulo. Con líneas de
trazos se muestra el retículo hexagonal, y con líneas llenas el retículo
triangular
En
este caso los nudos de los tipos A, B y C son
comunes para ambos retículos, mientras que los nudos del tipo D pertenecen
solo al retículo hexagonal. La idea de los razonamientos posteriores consiste
en que el problema de percolación en un retículo hexagonal puede ser reducido
al correspondiente problema en un retículo triangular.
Las probabilidades de que los nudos A, B y C estén
enlazados entre sí han de ser expresadas a través de la variable x,
es decir a través de la porción de enlaces blancos en el retículo hexagonal. En
este caso es necesario utilizar la geometría y las propiedades estadísticas de
los enlaces que salen de los nudos del tipo D. Después de esto es
posible examinar tan solo el retículo triangular representado en la figura 57
con líneas llenas olvidando que dentro de cada triangulo hay líneas de trazos y
nudos del tipo D.
Este procedimiento se utiliza ampliamente en el cálculo de circuitos eléctricos
y se denomina “transformación de una estrella en un triángulo".
Realmente serán necesarias las siguientes magnitudes:
1. W--, la probabilidad de que el nudo A no
esté enlazado ni con el nudo B ni con el C. Tal
probabilidad equivale a la suma de las probabilidades de dos acontecimientos
incompatibles El primer acontecimiento consiste en que el enlace AD es
negro, mientras que los enlaces BD y DC son
cualesquiera. Su probabilidad es igual a 1 - x. El segundo
acontecimiento consiste en que el enlace AD es blanco, y ambos
enlaces BD y BC son negros. La probabilidad
de este acontecimiento equivale al producto de tres probabilidades x(1
- x)(1 - x). Como resultado
W-- (x)
= 1 - x + x(1 - x)2 (1)
2. W+-,
la probabilidad de que el nudo A este enlazado con el B pero
no con el C. Esta probabilidad equivale a la probabilidad de que
los enlaces AD y DB sean blancos, y el
enlace DC, negro, y se calcula como el producto de las
probabilidades de tres acontecimientos
W+- = x2(1
- x) (2)
3. W-+,
la probabilidad de que el nudo A este enlazado con el
nudo C, pero no con el B. Es fácil convencerse de que
esta probabilidad equivale a W+-
4. W++, la probabilidad de que el nudo A este
enlazado tanto con el nudo B como con el C. Dicha
probabilidad equivale a la probabilidad de que los tres enlaces AD, DB y DC sean
blancos, y se calcula como el producto de las probabilidades
W++ (x)
= x3 (3)
Conociendo
esas cuatro probabilidades es posible no volver más al retículo hexagonal y
resolver el problema de percolación en un retículo triangular. Si fuera
resuelto, sería hallado el valor critico de xen( H)
para el retículo hexagonal.
Claro está que tal forma de resolver el problema no es más fácil ni mucho
menos. Pero esas mismas probabilidades W pueden ser expresadas
por la variable y que es la porción de enlaces blancos en el retículo
triangular. En el umbral de percolación estas probabilidades tienen un valor
absolutamente determinado, el cual por ahora se desconoce, pero, tras igualar las
probabilidades expresadas a través de x a las probabilidades
expresadas a través de y, se puede obtener la relación que enlaza
los umbrales de los retículos hexagonal (xen(H)) y
triangular (xen( T))
Así pues, el siguiente problema consiste en expresar las cuatro probabilidades
a través de y
1. El nudo A no estará enlazado ni con B m
con C, si los enlaces AB y AC son
negros y el enlace BC es cualquiera. La probabilidad de tal
acontecimiento equivale al producto de las probabilidades
W-- (x)
= (1 - y)2 (4)
2. W+-. El
nudo A estará enlazado con el B pero no con
el C si el enlace AB es blanco, y ambos
enlaces BC y AC son negros
W+- (x)
= y(1 - y)2 (5)
(Si,
por ejemplo el enlace BC fuera blanco el nudo A permanecería
enlazado con el nudo C por la vía ABC)
3. W-+ = W+- al igual
que en el caso anterior
4. W++. La probabilidad de que el nudo A este
enlazado con el B y con el Cequivale a la suma de
las probabilidades de los cuatro acontecimientos incompatibles. El primer
acontecimiento consiste en que los tres enlaces AB, BC y AC son
blancos Su probabilidad equivale a y3. Los otros tres
acontecimientos consisten en que solo un enlace de tres es negro. Por ejemplo
si el enlace negro es AB el nudo 4 estará enlazado con
el C a través del enlace blanco AC, y con el Bpor
la vía ACB. La probabilidad de cada uno de los tres acontecimientos
equivale a y2(1 - y). Como resultado
obtenemos que
W++ (y)
= > y3 + 3y2(1 - y) (6)
En
el umbral de percolación todas las variables W(x) deben ser
iguales a W(y). Por esta razón, surge el siguiente sistema
de ecuaciones
Estas
ecuaciones deben satisfacerse al sustituir x = xen(H)
e y = xen(T ). Además, los
umbrales de percolación satisfacen la relación (23) del capítulo 5. De esta
relación se deduce que xen(H) = 1 - xen(T)
Sustituyamos en las ecuaciones (7) (8) y (9),
y = xen(T)
y x = xen( H)
En
este caso la ecuación (8) se convierte en la identidad
(1
- xen(T))2 xen(T)
= xen(T) (1 - xen( T))2
en
tanto que las ecuaciones (7) y (9) se reducen a esa misma ecuación cubica
xen (T)
- 3xen(T) + 1 = 0
En
el intervalo 0 ≤ xen(T) ≤ 1 esta ecuación tiene
una sola raíz
xen (T)
- 2 sen (π/18) ≈ 0,347296
Respectivamente,
xen (H)
= 1 - xen(T) = 1 - 2 sen (π/18) ≈ 0,652704
4.
Antes que nada hay que hallar el área correspondiente a un nudo en cada uno de
los tres retículos mostrados en la figura 16, a condición de que la distancia
entre los nudos inmediatos sea igual a a.
Retículo cuadrado . A cada cuadrado le pertenecen 4 nudos, pero
cada uno de esos nudos pertenece a cuatro cuadrados diferentes. Por
consiguiente, a cada cuadrado le queda un nudo o, con otras palabras, a cada
nudo le pertenece el área de un cuadrado, es decir, S(C)
= a2.
Retículo triangular . A cada triángulo le pertenecen 3 nudos, pero
cada uno de esos nudos es la propiedad de seis triángulos distintos. Por lo
tanto, a un triángulo le corresponde la mitad de un nudo, y a un nudo le
corresponde el área equivalente a dos aéreas del triángulo. El área de un triángulo
equilátero, de lado a es igual a √3∙a2/4. Por consiguiente, a un
nudo le pertenece el área
S (T)
= √3∙a2/2
Retículo
hexagonal. A cada hexágono le pertenecen 6 nudos, pero cada uno de
esos nudos pertenece a tres distintos hexágonos Por lo tanto, a un hexágono le
corresponden dos nudos El área del hexágono equivale al área de seis triángulos
equiláteros, de lado a, es decir, equivale a 3 √3∙ a2/2.
Por consiguiente, a cada nudo le corresponde el área 3 √3∙a2/4.
Para cada uno de los retículos, la variable a se determina por medio de la
función establecida a(x), además, en calidad de x es
preciso utilizar el umbral de percolación xen para
el correspondiente retículo. Como resultado obtenemos
Está
claro que la función a(x) disminuye con el aumento de x. (Si
los pares contagian mejor unos a otros, la distancia entre ellos disminuirá).
Es fácil notar, sin embargo, que esta afirmación es insuficiente para obtener
aunque sea una desigualdad entre las áreas escritas más arriba. En efecto, la
longitud a del retículo hexagonal es mínima, pero, en cambio,
el coeficiente numérico en la expresión para el área es máximo, y en el
retículo triangular eso es al revés. Por esta razón, para calcular un retículo
de área mínima hay que conocer la función a(x) más
detalladamente.
Capítulo 6
1. Los coeficientes de relleno de las redes planas se calculan fácilmente
valiéndose de los resultados del ejercicio 4 dado en el capítulo 5. Eso fue
demostrado en el texto en el ejemplo de una red hexagonal. Por eso aquí nos
limitaremos únicamente a las redes volumétricas (tridimensionales), además,
sólo a dos, dejando al lector que resuelva por su cuenta todo lo demás.
Red cúbica sencilla . A cada cubo elemental (Figura 12) le
pertenecen 8 nudos, pero cada uno de esos nudos es propiedad de 8 diferentes
cubos elementales. Por consiguiente, a cada cubo le pertenece un nudo, mientras
que el volumen correspondiente a cada nudo equivale al volumen del cubo
elemental, es decir, a a3. El radio de las esferas
circunscritas en entorno a los nudos constituye a/2, y el volumen,
4πa3/24. La porción de volumen ocupada por las esferas es
igual a la relación entre el volumen de una esfera y el volumen correspondiente
a un nudo. Por consiguiente, para la red CS,
f (CS)
= 4π/24 ≈ 0,52.
Red
cúbica centrada en el espacio . A cada cubo
elemental (Figura 28, b) le pertenecen 9 nudos, de los cuales 8 se encuentran
en los ángulos, y uno en el centro. El nudo situado en el centro pertenece sólo
a un cubo, y cada uno de los nudos angulares pertenece a 8 cubos diferentes.
Por lo tanto, a un cubo elemental le corresponden dos nudos, en tanto que el
volumen correspondiente a un nudo equivale a la mitad del volumen del cubo, es
decir, a a3 /2. El nudo inmediato a cada nudo
permanece alejado de este último a una distancia equivalente a la mitad de la
diagonal del cubo, es decir, a la distancia de √3∙a/2. El radio de la
esfera circunscrita en torno a cada nudo equivalga √3∙a/4. y el volumen
de la esfera equivale a
El
coeficiente de relleno es igual a la relación entre el volumen de la esfera y
el volumen correspondiente a un nudo. Por lo tanto,
f(CCE)
= π√8/8 ≈ 0,68
Capítulo
7
1. Al primer grupo de coordinación del nudo 0 pertenecen 12 nudos del tipo 1
(Figura 58), al segundo grupo, 6 nudos del tipo 2, y al tercer grupo, 24 nudos
del tipo 3 (en la figura no aparecen todos los nudos); 12 + 6 + 24 = 42.
Figura 58. Nudos inmediatos del nudo 0 en un retículo cúbico centrado con
arreglo a las caras.
Capítulo
8
1. Utilizando las fórmulas (3) y (5) obtenemos aB* =
636 x 10-8 cm = 636 Å, Nc= 7,8 x 1013 cm-3.
Esto constituye una baja concentración crítica única. La transición a la
conductibilidad metálica ocurre cuando un átomo extrínseco corresponde a ¡108 átomos
del semiconductor! Para obtener un semiconductor con tal concentración de
impurezas se requiere una técnica muy complicada de depuración del cristal.
Capítulo 11
1. Introduzcamos la función Q(x), es decir, la probabilidad
de que la información acerca del nudo elegido al azar alcance tan sólo un
número finito de otros nudos. Al igual que antes, P(x) = 1
- Q. De cada nudo salen q canales independientes,
por los cuales se difunde la información. Hallemos la probabilidad de que uno
de esos canales se interrumpa en cierta etapa. Eso puede ser el resultado de
uno de dos acontecimientos incompatibles:
a. primer enlace de este canal, resultó roto;
b. primer enlace, resultó entero, pero el nudo a que él
conduce es capaz de transmitir la información sólo a un número finito de otros
nudos.
La probabilidad del acontecimiento a equivale a 1 - x, y la
probabilidad del acontecimiento b equivale a xQ(x).
Las probabilidades de los acontecimientos incompatibles pueden ser sumadas. Por
esta razón, la probabilidad de que se interrumpa un canal es igual a 1 - x + xQ(x).
Como todos los canales son independientes, la probabilidad de que todos ellos
se interrumpan equivale a [1 - x + xQ(x)]q.
De aquí se obtiene la ecuación para Q(x):
Q (x)
= [1 - x + xQ(x)]q.
Sustituyendo
Q’ = 1 - x + xQ, dicha ecuación se reduce a la
ecuación (4). Definitivamente obtenemos
Notemos
que los umbrales de percolación para el problema de los nudos y el problema de
los enlaces en el retículo de Bethe son idénticos ( xc =
1/q).
Eso pudo ser dicho de antemano. En efecto, supongamos que el nudo a que conduce
el enlace roto está bloqueado. Después de esto se puede admitir que todos los
enlaces son íntegros, y del problema de los enlaces podemos volver al problema
de los nudos. De aquí se deduce que los umbrales de percolación en estos
problemas deben ser idénticos.
Capitulo 12
1 Es necesario calcular la resistencia del cubo cuya arista es de longitud
unitaria. Al igual que antes, el número de alambres unidos paralelamente es
igual a 1/R2, pero la longitud de cada alambre ya no equivale
a la unidad. La misma supera la unidad un número de veces igual a la relación
(L R)
= (x - xc)-(ζ-ν)
Respectivamente,
la resistencia de un alambre equivale no a ρ0, sino a ρ0 (x - xc)-(ζ-ν).
Por esta razón, para obtener el resultado requerido es suficiente cambiar, en
la formula (8), la magnitud ρ0 que figura en la expresión
para a3, en ρ0 (x - xc)-(ζ-ν).
Como resultado obtenemos
σ =
σ3 (x - xc) (ζ-ν)
donde
σ3 = ρ01 / 2 Por
lo tanto, t = ζ-ν
F I
N
Notas
al fin del libro:
[1] La
designación directa de la rejilla pantalla consiste en proteger diversos
aparatos de radio contra las perturbaciones eléctricas.
[2] Para
la comparación el punto de Curie es de 360 C para el níquel y 1100 C para el
cobalto (Nota del traductor)
[3] Hablando
en rigor, la afirmación que existe un solo racimo infinito no ha sido
demostrada. Hay argumentos en su favor, de mayor o menor grado de certeza, pero
es más correcto decir que los especialistas simplemente creen de buena fe en
dicha afirmación.
[4] Babouschka
(bábushka), voz rusa, diminutivo de la palabra abuela-(Nota del traductor.)
[5] Debemos
notar que desde el punto de vista de la teoría de las probabilidades, la
exaltada abuela sin experiencia, manifiesta mayor sentido común que el jugador
que la consulta. La probabilidad de salida del cero no disminuye en nada a
pesar de que éste salió anteriormente. Esperar, como aconseja el jugador, no
tiene ningún sentido. Esta equivocación frecuente, por lo visto se basa en el
entendimiento incorrecto del hecho de que es muy pequeña la probabilidad de
obtener dos veces seguidas el cero. Pero eso no significa, ni mucho menos, que
si una vez salió el cero, la probabilidad de su salida la vez siguiente es
menor que en la primera. Claro está que la probabilidad sigue siendo
exactamente la misma.
[6] Fiodor
M. Dostoievski, colección “Sepan cuantos...": Las noches blancas, El
jugador. Un ladrón honrado, cuarta edición. Editorial Porrúa, S.A., México.
1981, pág. 80.- (Nota del traductor.)
[7] No
hay una respuesta precisa a la pregunta de por qué esta expresión depende de N
precisamente de modo exponencial. Pero los resultados de numerosos cálculos
indican que eso es así para todos los problemas de la teoría de percolación.
[8] El
autor no se hace responsable de esta información y por eso recomienda no tomar
muy en serio las conclusiones prácticas que se desprenden de la solución del
problema aquí planteado. El mismo se expone tan sólo para mostrar las
posibilidades de la teoría de percolación.
[9] Para
el caso de un solo grupo de coordinación, los valores expuestos de los umbrales
no siempre coinciden exactamente con los datos de las tablas anteriores Eso
está relacionado con el hecho de que en ellas fueron seleccionados los datos
más fidedignos, desde nuestro punto de vista En esta tabla se comparan los
datos obtenidos por un mismo procedimiento
[10] Nicolás
V. Gogol, Las almas muertas, (Aventuras de Chíchikov), Poema, Editorial
Cervantes. Barcelona, 1926. págs. 206-207-(Nota del traductor.)
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